Оптимизация форм упругих тел - Баничук Н.В.

Автор: Баничук Н.В.
Теги: механика деформируемых тел упругость деформация прикладная механика прикладная математика вычислительная математика
Год: 1980
Похожие
Теория упругости анизотропного тела.
Нелинейное деформирование тел
Коэффициентные обратные задачи механики.
Механика больших космических конструкций
Текст
                    АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ
Н. В. БАНИЧУК
ОПТИМИЗАЦИЯ
ФОРМ
УПРУГИХ ТЕЛ
«НАУКА»
МОСКВА 1980 г,

УДК 539.3
Б а н и ч у к Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.:
Наука, 1980. Табл. 3, илл. 83, библиогр. 246 назв.; стр. 256.
В монографии приведены результаты исследований опти-
оптимальных форм и структуры упругих тел при различных пред-
предположениях относительно характера нагружепия. Изложены
аналитические и численные методы решения задач оптимизации
конструкций. Рассмотрены вопросы оптимального проекти-
проектирования в условиях неопределенности и при учете взаимо-
взаимодействия конструкций с внешней средой. Значительное внимание
уделено новым постановкам задач в области оптимизации
конструкций, в том числе задачам с неизвестными граница-
границами и локальными функционалами.
Монография рассчитана на инженеров, научных работ-
работников и аспирантов, специализирующихся в области механи-
механики, прикладной и вычислительной математики.
Ответственный редактор
доктор физико-математических наук
профессор Ф. Л. ЧЕРНОУСЬКО
30106-132
> Q55@2)-80 730~80 кн- 2 2105000000 © Издательство «Наука», 1980 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Монография посвящена изложению новых постановок задач
оптимизации конструкций и методов их решения. В ней приво-
приводятся результаты исследований оптимальных форм и структуры
упругих тел при различных внешних воздействиях. Изучаются
вопросы оптимального проектирования в условиях неполноты
информации и при учете взаимодействия конструкции с внешней
средой. Основные математические трудности, на преодоление ко-
которых направлены исследования, обусловлены двумерностью
задач, наличием локальных функционалов и неизвестных границ,
фактором неполноты информации.
Монография включает исследования, выполненные в Отделе
механики управляемых систем Института проблем механики
АН СССР, и главным образом основана на результатах автора.
Ряд вопросов, изложение которых дано в книге, исследовался
автором совместно с В. М. Картвелишвили, А. А. Мироновым,
А. П. Сейраняном.
На актуальность рассмотренной в книге проблематики обратил
внимание автора Ф. Л. Черноусько, проявлявший также постоян-
постоянный интерес к работе. Поддержку проведению исследований ока-
оказали А. Ю. Ишлинский и А. И. Лурье. В книге учтены советы
и замечания, высказанные при обсуждении отдельных вопросов
Н. X. Арутюняном, В. И. Бирюком, В. В. Болотиным, Л. А. Га-
линым, В. М. Ентовым, Л. М. Куршиным, Ю. Р. Лепиком,
К. А. Лурье, Ф. Ниордсоном, Г. К. Пожарицким, В. И. Феодось-
евым, В. М. Фроловым, Н. Н. Яненко.
Всем указанным лицам автор выражает свою искреннюю бла-
благодарность.

ВВЕДЕНИЕ
Проблемы оптимизации конструкций в последнее время при-
привлекают большое внимание, и им посвящено значительное число
работ, опубликованных главным образом в последние 15—20 лет.
Интерес к исследованиям в области оптимального проектирования
значительно усилился в связи с быстрым развитием авиационной
и космической техники, судостроения, точного машиностроения.
На основе оптимального проектирования достигается значитель-
значительное снижение веса летательных аппаратов, улучшение механи-
механических характеристик конструкций. Проблемы оптимизации воз-
возникают также при проектировании строительных сооружений.
Таким образом, исследования в этой области имеют несомненное
прикладное значение.
Проблемы оптимального проектирования имеют и теоретиче-
теоретическое значение. Представляет интерес выделение и исследование
новых классов математических задач в этой области, учет при оп-
оптимальном проектировании различных физических факторов,
разработка эффективных методов оптимизации, существенно ис-
использующих специфику рассматриваемых задач. Отыскание оп-
оптимальных форм и структуры упругих тел наталкивается на серь-
серьезные математические трудности. Так, в ряде случаев оптимальное
проектирование сводится к решению вариационных задач с неиз-
неизвестными границами и игровых задач оптимизации, для которых
отсутствуют регулярные методы исследования. Известные труд-
трудности связаны также с тем, что задачи оптимизации упругих тел
относятся к числу нелинейных задач механики. Нелинейность
этих задач обусловливается нелинейностью условий оптимальности.
Сложностью вопросов оптимизации объясняется то, что при-
ч близительно до середины 60-х годов исследования в этой области
концентрировались вокруг небольшого числа одномерных задач.
Проведение же достаточно общих исследований стало возможно
в последующий период в связи с развитием математических ме-
методов оптимизации (методов вариационного исчисления, теории
оптимальных процессов, нелинейного программирования и др.)
и появлением мощной электронно-вычислительной техники. Ни-
Ниже приведем не претендующий на полноту обзор работ по оптими-
оптимизации упругих конструкций, в котором отметим только некоторые

классические исследования и результаты, непосредственно ка-
касающиеся вопросов, рассматриваемых в книге.
В 1638 г. Г. Галилей [173] ввел понятие равнопрочности
и определил форму равнопрочной балки. Им рассматривался слу-
случай изгиба консольной балки (прямоугольного поперечного сече-
сечения постоянной ширины и переменной высоты) под действием
сосредоточенной силы, приложенной к свободному концу (рис. 1),
и было показано, что условие равнопрочности выполняется, если
высота балки h меняется по параболическому закону. Как оказа-
оказалось впоследствии, задача о форме балки минимального веса при
условии, что нормальные напряжения ох не превосходят заданной
величины а0, т. е. ох <J а0, сводится к задаче, решенной Г. Га-
Галилеем. Таким образом, равнопрочная консольная балка в то же
время является балкой минимального веса. Были найдены и дру-
другие примеры, когда условие равнопрочности обеспечивает мини-
минимальный вес конструкции. Это обстоятельство во многом опреде-
определило интерес к отысканию равнопрочных конструкций. Однако
при дальнейших исследованиях изгиба балок и усложнениях
постановок задач выяснилось, что понятия равнопрочности и
оптимальности тождественны далеко не всегда. Различные вопро-
вопросы отыскания оптимальных и равнопрочных форм балок и стер-
стержневых систем (при учете собственного веса, кручения и других
факторов) рассматривались в работах [1, 62, 113—115, 138, 139,
168, 169, 191, 193, 195, 197, 199, 200, 214, 232].
Существенное развитие теория оптимального проектирова-
проектирования получила в связи с исследованиями задачи отыскания форм
сжатого стержня (колонны), обладающего минимальным весом
и выдерживающего без потери устойчивости заданную нагрузку
(рис. 2). Эта задача была поставлена Ж. Лагранжем [188], однако
полученное им решение оказалось ошибочным.
Оптимальная форма упругого сжатого стержня была найдена
Т. Клаузепом [171] (рис. 3,а). При приближении к незакреплен-
незакрепленному концу стержня толщина оптимального стержня стремится
к нулю, а напряжения сжатия неограниченно возрастают. Для
устранения этой особенности Е. Л. Николаи [106, 107] ввел
дополнительное ограничение на величины допустимых напряже-
напряжений. Полученное в этом случае распределение толщин представ-
представлено на рис. 3,6. В последующих работах [И, 142, 184—186,
198, 212, 233, 235] было проведено подробное исследование данной
задачи для различных типов стержней и условий закрепления.
При этом рассматривалась как указанная задача минимизации
веса балки при фиксированной величине силы потери устойчи-
устойчивости, так и двойственная к ней задача максимизации критической
силы при условии, что объем балки задан. В частности, было по-
показано [184], что среди всех стержней выпуклого поперечного
сечения оптимальным является стержень, сечение которого яв-
является равносторонним треугольником. Выигрыш оптимально
спрофилированного стержня треугольного сечения по сравнению

Рис. 1
Iniiiiiimiiiiiiii
Рис. 2
//У///////// /////// 777777777////////////
Рис. 3
fit
Рис. 4
л-
Л
fit
с цилиндрическим стержнем круглого сечения по величине крити-
критической силы составляет 61,2%. Заметим, что для цилиндрических
колонн выигрыш по силе при переходе от круглых к треуголь-
треугольным поперечным сечениям (равной площади) составляет 20,9%.
Строгое математическое обоснование оптимальности найденных
форм дано в [233]. Некоторые вопросы оптимизации устойчи-
устойчивости упругих арок и круглых пластинок рассмотрены в [170,
172, 246].
6

В отмеченных выше работах исследовались статические задачи
изгиба и устойчивости, и поэтому влияние изменения формы на
распределение инерционных характеристик не учитывалось. Ди-
Динамические задачи оптимального проектирования были впервые
рассмотрены в работах М. Г. Крейна [73] и Ф. Ниордсона [207].
В [73] решались задачи отыскания распределений погонной мас-
массы р по струне, оптимизирующих частоты ее собственных колебаний
при дополнительном ограничении рх <^ р <^ р2 (рх, р2 — заданные
константы) и условии, что объем материала струны задан. Посколь-
Поскольку в модели струны изгибная жесткость считается малой, то ука-
указанные задачи состоят в отыскании наилучших распределений
инерционных характеристик. Найденные оптимальные распреде-
распределения р (я), где х — координата, меняющаяся вдоль струны, име-
имеют релейный характер. На рис. 4,а показано распределение р (я),
доставляющее максимум фундаментальной частоте, а на рис. 4,6 —
минимум. В [207] разыскивалось распределение толщин балки,
доставляющее максимум основной частоте поперечных колебаний.
В этой задаче изменение частот при варьировании формы балки
обусловлено не только изменением инерционных свойств, как
в случае струны, но и вариацией жесткостных характеристик.
Найденное численно оптимальное распределение толщин представ-
представлено на рис. 5. Впоследствии динамические задачи оптимального
проектирования стержней и пластин рассматривались в работах
ряда авторов [31-33, 52, 54, 56, 123, 133, 134, 158, 160, 182, 183,
202, 209-211, 216, 223, 228, 234, 236, 237, 244].
Перечисленные выше задачи оптимального проектирования
упругих элементов конструкций обладают той особенностью, что
«управляющая» функция, описывающая распределение толщин,
входит в коэффициенты уравнения. Данное обстоятельство свя-
связано с приближенным характером используемых определяющих
уравнений, в которых произведено осреднение по одной из про-
пространственных переменных (толщин). В общем же случае для
определения оптимальных форм упругих тел требуется решать
задачи, в которых отысканию подлежит сама форма области, где
определены уравнения равновесия. Это так называемые задачи
с неизвестными границами. По-видимому, первая задача такого
типа была поставлена Б. Сен-Венаном [126] в связи с отысканием
формы сечения упругого цилиндрического стержня, обладающего
максимальной жесткостью при кручении. В [126] было сделано
предположение (подкрепленное некоторыми расчетами и сравне-
сравнениями), что среди сплошных стержней с заданной площадью по-
поперечного сечения стержень круглого сечения обладает макси-
максимальной крутильной жесткостью. Доказательству этой гипотезы
и близких к ней утверждений был посвящен ряд исследований
[110, 218]. Строгое ее доказательство, основанное на использова-
использовании теорем о симметризации, было проведено Г. Полна и Г. Сеге
[110]. Широкие возможности для отыскания оптимальных форм
дает использование в этих задачах метода возмущений и развитого

аппарата теории функций комплексного переменного. Ряд резуль-
результатов по проблеме оптимизации неизвестных границ [14, 19, 20,
47, 78, 79, 95, 112, 144, 174, 192, 245] получен с применением этих
методов сравнительно недавно.
В связи с широким применением в технике и строительстве
композиционных материалов в теории оптимального проектиро-
проектирования начали изучаться вопросы оптимизации внутренней струк-
структуры упругих тел. К настоящему времени выполнен ряд исследо-
исследований, в которых рассмотрены задачи оптимального проектиро-
проектирования конструкций из неоднородных материалов и вопросы опти-
оптимизации анизотропных свойств упругих тел [3, 21—24, 41, 43,
53, 103, 105, 108, 109, 186, 187].
Обычно в теории оптимального проектирования конструкций
предполагается, что внешние воздействия, условия закрепления
и свойства материала конструкции известны точно. Ставится за-
задача отыскания формы и внутренней структуры конструкции,
доставляющих минимум (или максимум) заданному критерию
качества. Естественным усложнением такой детерминированной
постановки являются задачи, в которых внешние воздействия и
свойства среды известны неточно. Возможны различные матема-
математические описания этих задач. При вероятностном подходе при-
прикладываемые нагрузки и свойства среды предполагаются слу-
случайными величинами, а минимизируется математическое ожида-
ожидание веса или другого критерия качества конструкции. При
использовании минимаксного (или гарантированного) подхода, ха-
характерного для теории игр, считается заданным множество, со-
содержащее все возможные реализации внешних сил, граничных
условий и свойств материалов, из которых изготовляется конструк-
конструкция. Разыскивается форма конструкции и ее внутренняя струк-
структура, оптимизирующие критерий качества и обеспечивающие удо-
удовлетворение прочностных и геометрических ограничений для всех
возможных реализаций сил и других указанных выше факторов
[9, 10, 16].
Отметим, что вопросы оптимизации в условиях неполноты
информации рассматривались применительно к управлению ди-
динамическими системами Н. Н. Красовским, А. Б. Куржанским,
Ф. Л. Черноусько и другими авторами. Подробное изложение
теории и решенных конкретных задач содержится в монографиях
[71, 77, 150].
Ряд исследований, выполненных в теории оптимального проек-
проектирования, посвящен вопросам многоцелевой оптимизации, в
частности проектированию конструкций при подвижных нагруз-
нагрузках. Задачи оптимизации при подвижных нагрузках рассматри-
рассматривались в рамках предельного пластического проектирования
М. Савом и В. Прагером [226], а задачи многократного нагруже-
ния — Р. Шилдом [230].
В [222] решена простейшая задача многоцелевой оптимизации
для упругого трехслойного стержня, поочередно нагружаемого
8

изгибающими и растягивающими усилиями. В проведенных ис-
исследованиях предполагалось, что перемещение нагрузок, а также
их смена происходят в квазистатическом режиме, и тем самым
динамические эффекты исключались из рассмотрения. Нетрудно
заметить, что задачи многоцелевой оптимизации и оптимального
проектирования при подвижных нагрузках эквивалентны неко-
некоторым задачам оптимального проектирования при неполной ин-
информации о внешних воздействиях, рассматриваемых в рамках
минимаксного подхода. Так, к решению, полученному В. Пра-
гером и Р. Шилдом [222], приходим, рассматривая задачу опти-
оптимального проектирования стержня в условиях, когда неизвестно,
какая именно из указанных двух нагрузок реализуется, и допу-
допуская к рассмотрению любую из возможностей. Аналогично в
задаче с подвижной сосредоточенной нагрузкой [226] решение
не изменится, если считать, что к проектируемой балке прило-
приложена постоянная сосредоточенная сила, но точка приложения
неизвестна.
Разработке методов исследования и решению конкретных
задач многоцелевой оптимизации упругих тел посвящены рабо-
работы [12, 56, 121, 123-125, 164, 194].
По общим вопросам теории оптимального проектирования
конструкций, таким, как исследование условий оптимальности,
доказательство существования и единственности оптимальных
решений, выделение классов задач, допускающих решение стан-
стандартными методами, укажем работы [14, 96, 112, 165, 178, 196,
219, 223, 225, 227, 231, 240-242].
Большая часть исследований в области оптимизации упругих
конструкций выполнена с применением классических методов
вариационного исчисления. Наряду с широким применением
этих методов имеются также работы, основанные на использовании
методов теории управления. Так, начиная с известной работы
А. И. Лурье [93], для оптимизации конструкций применяются
методы теории оптимального управления, в частности принцип
максимума Л. С. Понтрягина [111] (см. также [37, 83, 84, 159,
189—191, 216]). Находят приложение и методы теории управления
системами с распределенными параметрами [4, 44, 69, 88—90, 95]..
Как уже отмечалось, определение оптимальных форм упругих
тел сводится к решению нелинейных краевых задач для систем
дифференциальных уравнений. Нелинейность задач сильно огра-
ограничивает возможности применения известных аналитических ме-
методов. Среди аналитических методов, предназначенных для ре-
решения нелинейных проблем, наиболее общим и широко исполь-
используемым является метод возмущений. Применение этого метода
открывает большие возможности при исследовании задач опти-
оптимального проектирования. Метод возмущений позволяет полу-
получить простые приближенные формулы и проанализировать зави-
зависимость решения от параметров. Эффективность метода возраста-
возрастает при решении многопараметрических задач, когда численный
9

анализ зависимости решений от параметров затруднителен. От-
Отметим, что в теории оптимального управления метод возмущений
широко используется (см. работу Ф. Л. Черноусько [146]). При-
Приложению метода к решению одномерных и двумерных задач
оптимизации конструкций посвящены работы [14, 162, 246].
В настоящее время большая часть исследований по оптимиза-
оптимизации упругих тел выполняется с использованием мощных ЭВМ.
В связи с этим в ряде работ разрабатываются вычислительные
алгоритмы, предназначенные для решения определенных классов
задач оптимального проектирования. Основы для создания вы-
вычислительных алгоритмов содержатся в теории оптимального
управления [42, 71, 72, 111, 149], нелинейном программировании,
вариационном исчислении, численных методах оптимизации [99,
100, 148, 157].
Дополнительные сведения обзорного характера по вопросам
оптимизации упругих тел содержатся в книгах и статьях [4,
36, 45, 51, 62, 66, 83, 108, 109, 116, 129, 151, 159, 166, 208, 215,
220, 229, 243].

Глава первая
О ПОСТАНОВКАХ И МЕТОДАХ
ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧ
ОПТИМИЗАЦИИ КОНСТРУКЦИЙ
В данной главе в § 1—3 обсуждаются основные элементы по-
постановок задач оптимального проектирования, такие, как выбор
модели, функций состояния и управляющих переменных, задание
ограничений. Указываются функционалы, характеризующие по-
поведение упругих тел. Вопросы применения вариационных прин-
принципов при постановках и решении задач оптимального проекти-
проектирования изложены в § 4. В § 5 описывается способ сведения задач
с локальными функционалами к более простым задачам с инте-
интегральными критериями качества. В § 6—8 приводятся условия
оптимальности для вариационных задач с неаддитивными функ-
функционалами и варьируемыми границами при наличии дифферен-
дифференциальных связей. Далее в § 9 рассмотрены двойственные задачи
с однородными функционалами и приведены формулы, связы-
связывающие решения этих задач. Изложению вычислительных алгорит-
алгоритмов последовательной оптимизации, применяемых в данной книге
для решения задач оптимального проектирования, посвящен § 10.
§ 1. О постановках задач оптимизации конструкций
Рассматриваемые в теории оптимального проектирования за-
задачи заключаются в определении формы, внутренних свойств и
условий работы конструкции, доставляющих экстремум (мини-
(минимум или максимум) выбранной характеристики конструкции
при ряде дополнительных ограничений. Теорию оптимального
проектирования отличает широкое разнообразие постановок за-
задач. Это объясняется тем, что и уравнения, определяющие нагру-
жение и деформирование конструкции, и требования, предъяв-
предъявляемые к ее механическим характеристикам, существенно отли-
отличаются при рассмотрении различных типов конструкций (балки,
колонны, криволинейные стержни, пластинки, оболочки), реоло-
реологических свойств (упругость, пластичность, ползучесть), внешних
воздействий (поверхностные и объемные силы, статические и ди-
динамические нагрузки, «мертвые» силы и силы, зависящие от пове-
поведения самой конструкции, тепловые воздействия), видов управ-
управляющих переменных (форма конструкции, распределение физи-
физических свойств по конструкции), предположений о степени
11

полноты информации об условиях работы конструкции (^задачи
с неполной информацией о виде внешних воздействий и способах
закрепления конструкции). Точность модели и исходных данных
также влияет на постановку задач.
Строгая постановка задач оптимизации конструкций включает
формулировку основных определяющих уравнений, оптимизи-
оптимизируемого функционала, ограничений на функции состояния и иско-
искомые управляющие переменные. С математической точки зрения
эти задачи могут быть классифицированы в зависимости от типов
рассматриваемых уравнений и граничных условий, вида опти-
оптимизируемых функционалов и учитываемых ограничений, размер-
размерности задачи, способов вхождения «управлений» в основные соот-
соотношения (управление коэффициентами уравнений и границами
областей), полноты информации об исходных данных (задачи с
полной и неполной информацией) и других обстоятельств.
Существенными элементами постановок задач оптимального
проектирования являются выбор модели, управляющих функций,
функционалов, определенных на функциях состояния (фазовых
переменных) и управляющих функциях, выбор одного функцио-
функционала, подлежащего оптимизации, и системы ограничений, накла-
накладываемых на управляющие переменные, функции состояния и
рассматриваемые функционалы. Сначала выбираются фазовые
переменные и и уравнения
L{h)u = q, A.1)
связывающие эти переменные с физическими и геометрическими
параметрами упругого тела и внешними воздействиями. Здесь
и — {щ (я), . . ., ит (х)} — вектор-функция, определяющая со-
состояние среды; q = {qx, . . ., qm}— вектор-функция внешних
воздействий, причем независимая векторная переменная х =
= {хг, . . ., Хч} принимает значения из области ?2, занимаемой
упругим телом. Через L (h) в A.1) обозначен дифференциальный
оператор по пространственным координатам xt. Оператор пред-
предполагается линейным, поскольку в дальнейшем рассматриваются
только линейно упругие тела. Коэффициенты оператора зависят
от управляющей вектор-функции h = {кг (х), . . ., hn (x)}. Нату-
Натуральные числа /тг, п, s заданы.
Система уравнений при заданных нагрузках и параметрах
конструкции должна быть замкнутой и определять фазовые пе-
переменные, характеризующие напряженное и деформированное
состояние конструкций. Отыскание фазовых переменных при
заданных управляющих функциях будем называть прямой задачей.
Если уравнения, определяющие состояние конструкции, яв-
являются отражением физических закономерностей, то выбор упра-
управляющих переменных, рассматриваемых функционалов, в том
числе оптимизируемого функционала (критерия качества) и си-
системы ограничений, диктуется назначением и условиями работы
конструкции, технологическими возможностями ее создания.
12

Функции ht (х) определяют форму и физические свойства де-
деформируемого тела. В качестве ht (x) могут, например, выбираться
распределения толщин и площадей сечений тела, функции, опре-
определяющие положение срединных поверхностей криволинейных
стержней и оболочек, распределение концентрации армирующего
материала по конструкции, углы, задающие ориентацию осей
анизотропии в каждой точке упругого тела.
Кроме функций фазового состояния и управляющих перемен-
переменных, в задачах оптимального проектирования фигурируют инте-
интегральные и локальные характеристики конструкции
Ji= [/*(*, и, h)dx, i=l, ...,rlf A.2)
h
Jj = max, fj (x, и (x), h (x)), j = r± + 1, . . ., r± + r2. A.3)
Через ft обозначены заданные дифференциальные выражения
относительно переменных и и Л, а гь г2 — заданные целые числа,
причем гг + г2 = г.
Интегрально или посредством комбинации интегралов вида
A.2) представляются такие характеристики конструкции, как
вес, энергия упругих деформаций (податливость), частота соб-
собственных колебаний, критическая нагрузка, при которой конст-
конструкция теряет устойчивость. Локальными характеристиками
являются величина максимального прогиба, интенсивность на-
напряжений.
Требования, предъявляемые к конструкции, приводят к ог-
ограничениям на управления и фазовые переменные
Ft(Ji, . . ., /г)<0, i = l, 2, . . ., к, A.4)
где Ft и к заданы. В конкретных задачах в качестве неравенств
A.4) могут выступать ограничения разных типов. К одному типу
относятся прочностные условия, сводящиеся к ограничениям
на напряжения. В качестве прочностных условий могут рассма-
рассматриваться, например, условия maxx | ai7-1 — о% <С 0 (atj — ком-
компоненты тензора напряжений, а?;- — заданные положительные
константы), ограничивающие в отдельности допустимые значе-
значения каждой из компонент тензора напряжений, либо условие
max* g (otj) — к2 ^ 0, представляющее собой критерий перехода
среды в пластическое состояние (к — константа пластичности,
g (аи) в теории Мизеса — второй инвариант тензора напряжений).
К другому типу относятся ограничения на упругие перемещения,
вытекающие из геометрических или жесткостных требований,
предъявляемых к конструкции. В качестве примера приведем
условие тахх \и\ — е <^ 0, где и — вектор смещений упругой
среды, а е — заданная положительная константа. К локальным
ограничениям также относится двустороннее неравенство 6Х <;
<; h (х) <; 62 FХ < S2 — заданные константы), накладываемое на
распределение толщин в некоторых задачах оптимального проек-
13

тирования упругих балок и пластин, которое может быть записа-
записано в форме A.4) либо в виде системы неравенств maxx h — 62 <^
<^ О, 6Х — minx h ^ 0, либо в виде одного неравенства maxx (h —
- bi)(h ~ S2) < 0.
Примерами ограничений на интегральные функционалы (ог-
(ограничений интегрального типа) могут служить изопериметричес-
кое условие постоянства объема пластинки \ hdx = У, а также
ограничение на ее податливость J wqdx — с <; 0. Здесь q — по-
поперечная нагрузка, w — функция прогибов, V и с — заданные
положительные константы. Интегрирование ведется по области,
занимаемой пластинкой.
В качестве оптимизируемого функционала принимается один
из рассматриваемых функционалов вида A.2), A.3) или их функ-
функция, т. е.
J = F(JU ..., /г). A.5)
Задача оптимизации A.1)—A.5) заключается в отыскании
функции h (x), доставляющей минимум (максимум) функционалу
A.5) и удовлетворяющей условиям A.1)—A.4).
Заметим, что число рассматриваемых функционалов и накла-
накладываемых ограничений, которые предполагаются непротиворечи-
непротиворечивыми, может быть в принципе сколь угодно большим. Оптимизи-
Оптимизируемый функционал (критерий качества конструкции) в каждой
конкретной задаче только один. Так, например, при изгибе балки
переменной толщины могут быть поставлены задачи минимизации
веса балки при ограничении на прогибы или минимизации мак-
максимального прогиба при заданном весе. Однако задача одновремен-
одновременной минимизации двух функционалов веса балки и максимально-
максимального прогиба — смысла не имеет.
Большую роль при выборе модели и формулировке задачи
играет априорная информация о свойствах искомого решения.
Информация о модели и знание принципиальных свойств ее ре-
решения позволяют при постановке задач оптимизации выделить
существенные ограничения и отбросить «второстепенные» и тем
самым привести задачу к такому виду, что ее можно решить име-
имеющимися численными или даже аналитическими методами. Поэто-
Поэтому большая часть результатов в оптимальном проектировании
относится к хорошо изученным моделям. Часто, однако, оказы-
оказывается затруднительным «угадать» заранее свойства искомого
оптимального решения и задача оптимизации оказывается сфор-
сформулированной таким образом, что получаемые решения нарушают
гипотезы, положенные в основу самой модели. Так, в ряде решав-
решавшихся задач оптимизации форм пластин искомое распределение
толщин обладало большими градиентами, что нарушает предпо-
предположения, положенные в основу теории Кирхгофа. Другие извест-
известные особенности связаны с появлением на оптимальных решениях
нулевых и бесконечных толщин. Поэтому при выявлении откло-
14

нении от модели или нарушении других не учтенных в задаче
условий требуется введение в постановку задачи дополнительных
ограничений, например в задаче об изгибе пластинки — допол-
дополнительных ограничений на толщины. Таким образом, постановка
оптимизационной задачи связана с процессом ее решения, и это
неявно предполагается в теории оптимального проектирования.
«Итерационный» характер проводившихся исследований нетрудно
усмотреть для большинства из решенных проблем.
В связи со сказанным представляется полезным при постанов-
постановке и решении задачи оптимизации «допущение» возможностей
по уточнению условий задачи.
§ 2. Основные функционалы
Выбор функционалов, рассматриваемых при оптимальном
проектировании, является частью постановок задач оптимизации.
На этот выбор влияют многие обстоятельства: основное назначение
конструкции, условия эксплуатации, технологические возмож-
возможности ее создания, ограничения по стоимости, свойства модели,
принимаемой для описания механического поведения конструк-
конструкции, априорные свойства оптимальной задачи. Ниже обсудим не-
некоторые типичные функционалы, наиболее часто рассматриваемые
при оптимизации упругих тел.
1. Вес — одна из основных характеристик конструкции, и
поэтому в большинстве работ по оптимальному проектированию
этот функционал либо рассматривается в качестве оптимизируе-
оптимизируемого критерия качества, либо фигурирует среди других прини-
принимаемых ограничений. Вес конструкции характеризует как расход
материалов, необходимых для ее создания, так и некоторые ее
эксплуатационные свойства. Например, увеличение веса кон-
конструкций летательных аппаратов приводит не только к увеличе-
увеличению количества материалов, идущих на изготовление конструк-
конструкции, но и к большему расходу топлива при полете, ухудшению
ряда других летных характеристик.
Вес — интегральная характеристика конструкции. Для сплош-
сплошных однородных тел вес пропорционален занимаемому ими
объему
^ B.1)
где 7 — удельный вес материала. В этом случае для изменения
веса конструкции требуется варьирование области интегрирова-
интегрирования Q. Для тонкостенных конструкций из однородных материалов
вес представляется интегралом от функции распределения «тол-
«толщин» h
§ B.2)
15

Например, для сплошной пластинки, закрепленной по конту-
контуру Г в плоскости ххх2 {хъх2 — декартовы координаты), / =
= h (хъ х2), & — область, ограниченная контуром Г. В этом
случае уменьшения веса конструкции можно добиваться как
изменением функции h (x) при фиксированной области Q, так
и одновременным варьированием толщин и формы областей.
Обычно в задачах оптимизации конструкций материал делится
на «конструктивный», количество и способ размещения которого
по конструкции отыскиваются, и «неконструктивный», положение
и количество которого заданы. Так, при проектировании трех-
трехслойных пластин наиболее часто рассматриваются задачи оты-
отыскания оптимального распределения толщин внешних армирую-
армирующих слоев при фиксированном среднем слое. При этом функцио-
функционал веса / представляется в виде суммы интегралов Jа + Jc
(от толщин армирующих слоев и срединного слоя пластинки),
а минимизация / сводится к минимизации веса Ja внешних слоев.
В этом состоит свойство аддитивности функционала веса.
В случае оптимизации неоднородных тел функционал веса
зависит от структуры материала, например от концентрации
связующего и армируюших добавок композитных материалов.
Если обозначить через Аа, yaj hCJ ус концентрации и удельные
веса армирующих и связующих компонент, то
= f
где Q — область, занимаемая конструкцией.
2. В ряде работ по теории оптимального проектирования в
качестве меры жесткостных свойств конструкции используется
величина работы, производимой внешними силами при квазиста-
квазистатическом нагружении упругого тела. Этот функционал называет-
называется податливостью конструкции. Пусть упругое тело закреплено
на части границы Ги, а к другой части Tq приложены нагрузки q.
Тогда податливость определяется интегралом по Tq от скалярного
произведения векторов упругих смещений и и внешних сил
B.3)
При более общем определении функционала податливости
можно под q и и соответственно понимать обобщенные силы и
обобщенные перемещения. Например, в качестве обобщенных сил
можно рассматривать распределение моментов сил, приложенных
к балке, в качестве обобщенных смещений — углы поворотов
поперечных сечений в соответствующих точках.
Одной из причин широкого использования в теории оптималь-
оптимального проектирования функционалов вида B.3) является срав-
сравнительная простота получения условий оптимальности и решения
задач. Следует заметить, что в общем случае этот функционал не
16

характеризует жесткостные свойства конструкции. Действительно,
из малости абсолютного значения интеграла / не следует малость
величин перемещений отдельных точек упругого тела. Однако
в некоторых частных задачах оптимального проектирования
функционал B.3) может приниматься в качестве критерия жест-
жесткости.
Пусть нагрузка q, изгибающая балку, представляет собой
сосредоточенную силу Р, действующую в точке х0, т. е. q =
= Рд (х — х0), где б — дельта-функция. Тогда податливость
балки равна
J = -Lpu(x0).
Уменьшение податливости при заданном значении Р означает
уменьшение прогиба балки в точке приложения силы.
Если изгибная нагрузка, действующая на консольную балку,
представляет собой сосредоточенный момент М, приложенный
к незакрепленному краю и вызывающий поворот концевого сече-
сечения на угол ф, то податливость / вычисляется по формуле
В этом случае минимизация податливости (максимизация же-
жесткости) заключается в минимизации угла поворота кончика
стержня.
Пусть в упругое тело, закрепленное на части контура Ги,
вдавливается абсолютно жесткий штамп (Tq — область контакта).
Обозначая перемещение штампа через и, а через Р — равнодей-
равнодействующую сил, приложенных к штампу, будем иметь
Уменьшению податливости / при заданной величине Р отве-
отвечает уменьшение глубины внедрения штампа.
Для трубы круглого сечения, находящейся под действием
внутреннего давления д, податливость / пропорциональна ра-
радиальному перемещению точек внутреннего контура, т. е.
J = — [ qur dcp = 2nrqu,
о
где г — радиус внутреннего контура.
3. Важными характеристиками конструкции являются соб-
собственные частоты колебаний, которые могут быть представлены
в виде рэлеевских отношений
Jn(/?, u)dQ
0,2= о . B.4)
] Т (h, u)dQ v
Q
17

Здесь и — амплитудная функция упругих смещений, h —
управляющая функция, а П и Т — соответственно амплитудные
значения потенциальной и кинетической энергий единицы объема.
В случае продольных колебаний стержня переменной площади
поперечного сечения h= h (х) имеем П = hu%, T = /ш2. Здесь и
ниже используются безразмерные переменные.
При поперечных колебаниях сплошных пластин переменной
толщины
П = /г3 [(ихх + uyyf + 2 A - v) (иххиуу - ulv)\, Т = hu\
где и = и(х, у) — амплитудная функция прогибов пластинки.
Собственные частоты а^ (i = 0, 1, 2,. . .), отвечающие различ-
различным собственным функциям иг{х), образуют спектр колебаний
О ^ соо <^ сох <; со2 ^. . .. Если частоты прикладываемых к кон-
конструкции внешних возмущений лежат в интервале 0 < со < со0
или произвольном интервале со^ < со < co^+i, то в конструкции
не возникает нежелательных резонансных явлений. В приклад-
прикладных задачах часто требуется расширить безрезонансную полосу
частот, т. е. максимизировать фундаментальную частоту со0 или,
если рассматривается полоса co/f < со < co/f+i, максимизировать
разность Дсо/с = со^+1 — со^. Поэтому в ряде динамических задач
оптимального проектирования фундаментальная частота или ком-
комбинация нескольких собственных частот выступают в качестве оп-
оптимизируемых функционалов. Если же критерием качества выб-
выбрана другая характеристика, например вес конструкции, то ти-
типичное ограничение, накладываемое на частоты, имеет вид со0 >
> [г, где (А — заданное число.
4. В теории оптимального проектирования тонкостенных кон-
конструкций, сжатых консервативными силами, также рассматри-
рассматриваются функционалы вида рэлеевских отношений, определяющие
критические значения параметров нагружения, для которых про-
происходит потеря устойчивости. Обозначим через р параметр на-
нагружения, рТ — работу, совершаемую при приведении единицы
объема конструкции в критическое состояние, а через П — плот-
плотность потенциальной энергии упругих деформаций после потери
устойчивости. С использованием классических представлений тео-
теории упругой устойчивости приходим к следующему выражению
для критического значения р:
П (/г, и) dQ
B.5)
р== .
Г J Т (Л, и) dQ
Например, если рассматривается сжатие упругого прямоли-
прямолинейного стержня переменной площади h = h (х) поперечного сече-
сечения, то П = Will*, Т = и*.
Функция и = и (х) описывает распределение прогибов иск-
искривленного стержня (после потери устойчивости). Если же сжа-
18

тию подвергается упругая пластинка переменной толщины
h (#, г/), то выражения для П и Т имеют вид
П = /г3 [(ихх + иууJ + 2 A - v) (uxxuyy - и%у%
T = h [a°xul + ^°хУихиу + o°yu2y],
где и (х, у) — функция прогибов, о°х(х, у), о°у (х, у), хху (х, у) —
напряжения в срединной плоскости неизогнутой пластинки при
р = 1.
Наиболее типичными в теории оптимального проектирования
сжатых конструкций являются задачи максимизации критического
значения р0 (р0 — минимальное из собственных значений) при
заданном весе конструкции и задачи минимизации веса при огра-
ограничении р0 > [г, где \i — заданное число. Заметим, что в отличие
от динамических задач оптимального проектирования, в которых
ставятся ограничения не только на фундаментальную частоту, но
и на высшие частоты, учет в задачах оптимального проектирова-
проектирования ограничений по устойчивости основан на рассмотрении толь-
только минимальных собственных значений.
5. Выше рассматривались функционалы интегрального вида,
учет которых в задачах оптимизации осуществляется классичес-
классическими методами вариационного исчисления. Однако многие важные
задачи приводят к функционалам, зависящим от значений функ-
функций состояния в заранее неизвестных точках. Локальный
характер имеют основные прочностные и деформационные харак-
характеристики. Поясним введение таких функционалов в задачи оп-
оптимального проектирования.
Рассмотрим напряженное состояние упругого тела, нагружен-
нагруженного внешними силами. Пусть упругое тело занимает область Q
с границей Г. Для каждой точки я ЕЕ Q + Г охарактеризуем на-
напряженное состояние среды функцией / инвариантов /х, /2, /3
тензора напряжений, т. е. / = / (/х, /2, /3). Под / будем понимать
функцию, достижение которой в точке х ЕЕ ?2 + Г заданного зна-
значения к2 (константа к — характеристика материала) означает,
что в указанной точке материал находится в предельном
состоянии.
Деформации материала являются упругими, если в соответ-
соответствующих областях выполняется неравенство / < к2. Нарушение
этого неравенства трактуется в различных механических теориях
как появление зон текучести, областей неупругих деформаций и
разрыва сплошности материала и других эффектов. В дальнейшем
будем интерпретировать условие / = к2 как условие пластично-
пластичности. При этом выражение для /, представленное через компоненты
тензора напряжений, предполагается однородной функцией с по-
показателем однородности, равным двум.
Пусть при заданных управляющих функциях (форме тела, рас-
распределениях неоднородности и анизотропных свойств) решена за-
задача о равновесии упругого тела и тем самым найдены напряжения
19

a°ij (x). Тогда можно определить множество точек Qo(^o CI Q + Г),
где реализуется максимум функции /, который обозначим через /
/=(/)*= тахх/. B.6)
Если затем увеличить нагрузки в р раз, то напряжения также
возрастут в р раз. Здесь используется то обстоятельство, что рас-
рассматриваемое тело является линейно упругим. Напомним, что
предположение о линейной упругости применяется на протяжении
всей книги. При значении этого параметра р0 = k/I^J в точках
х ЕЕ ^0 впервые будет достигнуто пластическое состояние. Оче-
Очевидно, что чем меньше значение /, тем при больших нагрузках
(больших значениях р0) в теле появятся пластические деформа-
деформации. Поэтому расширение диапазона нагрузок, для которых де-
деформации являются упругими и в теле не возникают зоны теку-
текучести, достигается за счет минимизации величины /, т. е. если
управляющие функции h выбраны из условия
/# = min/г / = min/г maXjc^Q /.
6. К локальным функционалам относится и такая характери-
характеристика жесткости конструкции, как максимальное смещение точек
упругой среды. Применительно к изгибу балок и пластин жест-
жесткость оценивается величиной максимального прогиба
/ = max^QU (х),
а задача оптимизации жесткости при варьировании управляющей
функции h естественно формулируется как задача минимизации
максимального прогиба (/* = minhJ = minimax^q и).
Поясним смысл оптимальных по жесткости пластинок. Пусть
нагрузка д, прикладываемая к пластинке, пропорциональна пара-
параметру р, т. е. q = pq° (x), где q° — заданная функция простран-
пространственных координат, не зависящая от параметра нагрузки. Пусть
по условиям использования пластинки требуется, чтобы выполня-
выполнялось неравенство и <С е (е — заданное число). В линейной теории,
рассматривающей малые прогибы и = ри°, где и0 — прогибы от
нагрузки д°, а / = тахх и0. Тогда допустимый диапазон измене-
изменения параметра нагрузки р имеет границы 0 ^ р <^ e/J. Следо-
Следовательно, пластинка, у которой минимальна величина максималь-
максимального прогиба, может без нарушения геометрического ограничения
и < е выдержать максимальную нагрузку р = е//#.
§ 3. Основные
и вспомогательные управляющие функции
Цель многих исследований по оптимальному проектированию
состоит в том, чтобы выявить наиболее эффективный из способов
оптимизации. Обычно при оптимальном проектировании конст-
конструкций имеется широкий выбор управляющих функций, измене-
20

нием (варьированием) которых можно влиять на величину крите-
критерия качества. Например, уменьшение веса конструкции может
быть достигнуто в результате рационального распределения тол-
толщин, управления анизотропией материалов, армирования, создания
предварительного напряженного состояния и т. д. Важно знать,
какие способы оптимизации или их комбинации приводят к боль-
большему выигрышу по функционалу. Даже в тех случаях, когда по
причинам большой стоимости или трудностям технологического
характера возможности создания оптимальных конструкций огра-
ограничены, исследование оптимальных проектов имеет важное зна-
значение, так как позволяет теоретически оценить качество тради-
традиционных неоптимальных конструкций. Действительно, используе-
используемые на практике конструкции могут оказаться близкими к
оптимальным и их дальнейшее улучшение — экономически неоп-
неоправданным. Однако выяснить это можно, только проведя соот-
соответствующие исследования по оптимальному проектированию.
Ниже на конкретных примерах обсудим некоторые вопросы,
связанные с введением управляющих функций.
1. Размерность. Здесь под размерностью векторных функций
будем понимать не число компонент вектора, а количество неза-
независимых переменных, от которых зависят скалярные функции
состояния. Размерность функции состояния зависит от многих
факторов: формы конструкции, свойств материалов, характера
внешних воздействий, условий закрепления конструкции и т. д.
Уменьшение размерности функций состояния в конкретных за-
задачах от трех до двух или даже до единицы обусловливается нали-
наличием симметрии, а также осреднениями по одной или двум из про-
пространственных координат (тонкостенные конструкции). В отличие
от функций состояния размерность управляющих функций может
быть произвольна, и этим обстоятельством можно пользоваться
при постановках задач. Действительно, при оптимальном проекти-
проектировании некруглых пластинок переменной толщины распределе-
распределение прогибов (функция состояния) зависит от двух независимых
координат х, у в плоскости пластинки. В то же время распределе-
распределение толщин (управляющая функция) может рассматриваться либо
так же, как функция переменных h (x, у), либо как функция толь-
только одной из независимых координат, например h (x). Заметим,
что рассмотрение «управлений» пониженной размерности хотя и
не столь эффективно в смысле выигрыша по функционалу, однако
представляет определенный интерес в связи с их более простой
практической реализацией. Другими примерами использования
в двумерных задачах одномерных управлений является проекти-
проектирование оптимальных стрингеров и шпангоутов, подкрепляющих
пластинки и оболочки.
2. При оптимальном проектировании балок часто рассматри-
рассматриваются задачи, когда поперечное сечение балки меняется вдоль
пролета. Имеются различные возможности как задания типа попе-
поперечного сечения балки, так и способов изменения параметров сече-
21

ния по пролету балки. Например, можно рассматривать балки
круглого сечения, радиус которых г меняется по пролету, т. е.
г = г (х), или балки прямоугольного поперечного сечения пере-
переменной высоты hx (х) и ширины h2(x). Поэтому в качестве «управ-
«управлений» (будем обозначать через h) могут приниматься одна или не-
несколько функций, задание которых полностью определяет форму
балки, т. е. вид поперечного сечения и закон изменения геомет-
геометрических размеров (параметров) сечения по пролету. Так, для
сплошных балок круглого поперечного сечения задание функций
г = г (х) фиксирует их форму, а для сплошных прямоугольных
балок задание формы происходит при выборе двух функций h^x)
и h2(x).
Основной жесткостной характеристикой балок, фигурирую-
фигурирующей в дифференциальных уравнениях равновесия и граничных ус-
условиях, является величина EI, где Е — модуль Юнга материала
балки, а / — момент инерции поперечного сечения относительно
оси, перпендикулярной плоскости изгиба и проходящей через
нейтральную линию балки. Через посредство этой величины в ос-
основном и проявляется влияние способа распределения «толщин»
на функцию прогибов.
Ограничим рассмотрение зависимостями вида
EI(x) = Аа№(х), C.1)
где Аа — константа, зависящая от типа поперечного сечения
стержня и модуля Юнга. Для стержней постоянного прямоуголь-
прямоугольного сечения а = О, Ао = Eh2hl/12 (h2 — ширина, a hx — высота
сечения). Для сплошных прямоугольных стержней переменной
высоты hx и постоянной ширины h2 имеем а = 3, h = hx, A3 =
= Eh2/l2, а в случае переменной ширины сечения h2(x) и постоян-
постоянной высоты а = 1, h = h2, A1 — Е й^/12. Если отношение высо-
высоты сечения к ширине остается величиной постоянной {hjh2 = \i)
по пролету балки, а поперечные сечения представляют собой по-
подобные прямоугольники, то а = 4, h = /^, Л4 = Е1г\И2\л. В слу-
случае круглых балок переменного радиуса а = 4, h = г, Л4 =
= Е я/4.
Для трехслойных стержней с переменной толщиной внешних
армирующих слоев 1/2Л1 и постоянной толщиной Н среднего слоя
(Н^> maxx h (х)) имеем а — 1, к = кг1 А1 — Eh2H2/i, где h2 —
ширина сечения.
Часто бывает удобным при оптимальном проектировании балок
брать в качестве управляющей функции распределение площадей
сечений S = S (х). Связь между S и EI различна для разных типов
балок и представляется формулой EI (x) = CaSa (я), аналогич-
аналогичной C.1). Так, для балок прямоугольного поперечного сечения
переменной ширины и постоянной высоты эта зависимость имеет
вид EI (x) — Eh\S (x). В случае же постоянной ширины (h2 =
22

= Const) и переменной высоты hx (х) имеем EI = (?/12 h%)S3(x).
Для круглых балок переменного радиуса EI (х) = (Е/Ап) S2 (х).
При оптимальном проектировании упругих пластин и отыска-
отыскании распределений толщин между цилиндрической жесткостью
EI и толщинами пластинки h также используется зависимость
C.1). Равенства а = 1 и а = 3 соответствуют случаям трехслой-
трехслойной и сплошной пластин. В случае а = 3 под h в C.1) понимается
толщина пластинки, ai3^ ?712 A — v2), где v — коэффициент
Пуассона материала пластинки. В случае а — 1 конструктивная
переменная 1/2 h имеет смысл толщины внешних армирующих слоев
пластинки, ait = ЕН2/АA — v2), где Н — постоянная толщи-
толщина среднего слоя.
3. Вспомогательные управления. При отыскании оптималь-
оптимальных распределений толщин h балки, пластинки или оболочки вы-
выставляется ограничение h > 0, вытекающее из физического смысла
рассматриваемой управляющей функции. В тех задачах опти-
оптимизации, для которых оптимальное распределение толщин обра-
обращается в нуль во внутренних точках или на внутренних линиях
области определения Q, учет этого неравенства оказывается зат-
затруднительным. Поэтому оказываются полезными специальные
приемы, основанные на идеях Валентайна, введения вспомога-
вспомогательных функций, позволяющие «автоматически» учитывать ука-
указанное условие. Так, например, если ввести новую управляющую
функцию ф, связанную с h соотношением h = ср2, то, очевидно, для
любых действительных значений ср будет выполнено неравенство
й>0.
Более общие условия, накладываемые на управляющую функ-
функцию (распределения толщин), имеют вид
Umi, < h (X, у) < /*тах, C.2)
где hm[a ^ hmax — заданные константы. Непосредственный учет
неравенств C.2) в задачах оптимизации приводит к необходимости
определения линий выхода функций h (x, у) на ограничения и
«сшивки» на этих линиях искомых решений. Это приводит к изве-
известным трудностям при решении задач. Поэтому целесообразно ис-
использовать идеи, развитые в работе [239]. Введем вспомогатель-
вспомогательную управляющую функцию
h = а + р sin ф,
а = -]f (^max + &min), P = \ (^raax — ftmin). C.3)
Введение функции ф позволяет исключить условие C.2) из
рассмотрений. Действительно, подстановка h из C.3) в C.2) при-
приводит к неравенствам, которые выполняются для любых значе-
значений ф.
23

Кроме неравенств C.2), в задачах оптимального проектирова-
проектирования часто рассматриваются изопериметрические условия вида
= 1. C.4)
&
Это условие также можно исключить из рассмотрений, если
ввести вспомогательную управляющую функцию ф, связанную
с h соотношением
Л = ф| |фсЮ. C.5)
Непосредственно подставляя
т h из C.5) в C.4), убеждаемся,
17/> что рассматриваемое равенство
~-~1 я оказывается выполненным для
— д любых значений ф.
^ Отметим, что введение вспо-
вспомогательной управляющей фун-
рис ^ ^ кции можно произвести неедин-
неединственным образом. Этим обстоя-
обстоятельством можно пользоваться
при численном решении задач для улучшения сходимости алго-
алгоритмов.
4. В качестве управляющих функций в теории оптимального
проектирования могут приниматься коэффициенты уравнений,
граничных условий, ограничений, а также сами границы облас-
областей, где определены эти уравнения (задачи с неизвестными грани-
границами). Вопросы оптимизации коэффициентов и границ обычно
рассматриваются отдельно и для решения этих задач используют-
используются различные методы. Однако это разделение часто оказывает-
оказывается условным. Так, в ряде случаев можно использовать отображение
искомой области на некоторую заданную каноническую область.
При этом неизвестные функции, задающие отображение областей,
будут уже фигурировать в качестве неизвестных коэффициентов
в уравнениях и функционалах, определенных на канонической
области. Поясним это на примере.
Рассмотрим задачу о растяжении упругой полосы (рис. 1.1).
Сторона ВХВ± жестко закреплена, т. е. на указанной части границы
проекции иъ и2 вектора смещений и на оси х, у равны нулю. На
границе полосы В2В3 смещения по оси у также равны нулю, а их =
= С/, где U > О — заданная константа. На линиях ВХВ2, В±В3,
составляющих Fq, по предположению q = 0. Задача максимизации
жесткости полосы при варьировании части границы Tq эквива-
эквивалентна (см. § 4) максимизации потенциальной энергии упругих де-
деформаций
г = тахг minun,
* q

П = 4"
C.6)
где а, Ъ, с — коэффициенты, зависящие от модуля Юнга и коэф-
коэффициента Пуассона. Предположим, что линии BJi^ B±B3, состав-
составляющие варьируемую границу Tq, симметричны относительно оси
х и задаются уравнением у = Y (х). Область Q имеет вид
Q {0^ ?<; х0, | у\ <^ Y (х)}. Перейдем к новым независимым пере-
переменным х', у' по формулам
х' = х, у' = y/Y (х). C.7)
Штрихи в дальнейшем опустим. При этом преобразовании область
Q переходит в прямоугольную область Qo {0 ^ х <^ х0, \у|^ 1}
с известными границами, а функционал П преобразуется к виду
П = -j- ^ |а \ulc + y* u*v) + T"
dxdy. C.8)
Таким образом, исходная задача C.6) отыскания оптимальных
границ свелась при помощи C.7) к задаче C.8) оптимизации коэф-
коэффициентов.
§ 4. Использование вариационных принципов
теории упругости
для исключения дифференциальных связей
Вариационные принципы имеют большое значение в теории
упругости. Во-первых, они позволяют компактно и в более общей
форме сформулировать краевые задачи теории упругости. Уравне-
Уравнения равновесия упругой среды и часть краевых условий (естест-
(естественных) вытекают из вариационных принципов в качестве усло-
условий экстремума. Во-вторых, вариационные постановки задач о рав-
равновесии упругих тел позволяют для решения применить эффек-
эффективные прямые методы вариационного исчисления. Все это спра-
справедливо не только для краевых задач теории упругости, но и для
многих других проблем математической физики.
Применительно к задачам оптимального проектирования ва-
вариационные принципы позволяют исключить из рассмотрения
дифференциальные связи и устраняют необходимость введения
сопряженных уравнений. Тем самым понижается порядок общей
краевой задачи оптимизации и упрощается вывод условий опти-
оптимальности. Кроме того, вариационные принципы и вытекающие
из них вариационные неравенства оказываются полезными при
аналитических исследованиях оптимизационных задач и обосно-
обосновании оптимальных решений,
25

1. Предположим, что упругое тело занимает область Q, огра-
ограниченную поверхностями Г = Ги + Tq. На части поверхности
Ти тело закреплено, а на остальной части Tq к нему приложены
внешние воздействия q. Рассматривается задача минимизации по-
податливости
/ = — ^ qudTq->uiinT ' D.1)
T
Tq
за счет отыскания формы Tq. Для замкнутой постановки задачи
требуется сформулировать определяющие уравнения (уравнения
равновесия) и указать дополнительные ограничения, а при реше-
решении задачи оптимизации ввести в рассмотрение сопряженную пе-
переменную, подчинив ее дополнительной системе уравнений. Та-
Таким способом в общем случае осуществляется учет дифференци-
дифференциальных связей. Однако вид функционала D.1) и использование
вариационного принципа позволяют переформулировать задачу
оптимизации таким образом, что устраняется необходимость вве-
введения сопряженной переменной. Покажем это. Согласно вариа-
вариационному принципу действительное распределение вектора сме-
смещений и (х) упругой среды реализует минимум функционала [82,
140]
П(м, Tq) = — ^ Oijcij dU — \ uq dTq-*minu D.2)
при условии (и)уи — 0. В D.2) предполагается, что напряжения
atj и деформации егу- выражены через перемещения при помощи
кинематических условий и закона Гука. Для действительного рас-
распределения смещений и (я), т. е. для минимали функционала D.2),
имеем / = — П. Учитывая это равенство и вариационный прин-
принцип D.2), можно выразить податливость / через функционал П
/ = - minu П D.3)
и, следовательно, рассматриваемая задача минимизации подат-
податливости может быть сведена к последовательному выполнению
операций минимума и максимума для функционала
(— minu П)= — тахГ( ттиП. D.4)
(
-Внутренний минимум по и в D.4) вычисляется при дополни-
дополнительном условии (м)^ = 0, а внешний максимум по Г^ может ра-
разыскиваться при некоторых дополнительных условиях, наклады-
накладываемых на возможные вариации FQ, таких, например, как изо-
периметрическое условие постоянства объема области Q, занимае-
занимаемой упругой средой.
Учитывать дополнительно уравнения равновесия в смещениях
не требуется, так как эти уравнения уже содержатся в сформули-
сформулированной задаче D.4) в качестве необходимых условий экстремума
26

П по и. Это же относится и к граничным условиям, выставленным
на Г,.
Заметим, что в качестве управляющих величин могут выбирать-
выбираться не только функции, задающие форму области Q, но и перемен-
переменные Л, определяющие внутреннюю структуру среды (распределе-
(распределение модулей жесткости и коэффициентов анизотропии). В этом
случае проведенные рассмотрения остаются справедливыми,
а внешний максимум в D.4) должен браться не только по Га, но и
по h.
2. Предположим теперь, что q = О на Гд, а на границе Гм
задано ненулевое распределение перемещений (тело находится
в деформированном состоянии). Рассмотрим для определенности
случай полосы (см. рис. 1.1), когда на сторонах #iS4> B3B2, обра-
образующих границу Ги, заданы перемещения по оси х: (и^в^ = О,
(щ)в2Вг = U (U ^> 0 — константа), а вертикальные смещения по-
положены равными нулю. На линиях ВХВ^ 5453, составляющих
Га, по предположению q = 0. Введем интеграл
= ±- ^
= -$-UP, D.5)
г„
при помощи которого оценивается жесткость полосы при растя-
растяжении. Предполагая величину U заданной, будем максимизировать
результирующую силу Р или, что то же, функционал / за счет
отыскания формы границы Fq. Учитывая, что
/= minull, П = —\ aifiudu =
(uix + u\v) "+" 2buixu*v + \ (uiy + и**J} dx'dy* D-6)
приходим к задаче
аналогичной D.4). Постоянные а, 6, с выражаются через коэф-
коэффициент Пуассона v и модуль Юнга Е по формулам а =
= Е A - v)/(l + v) (l-2v), b = vE/(l + v) (l-2v), с = El
/A + v) в случае плоской деформации и а = ?7A — v2), b =
= vE/(l — v2), с = E/(l + v) в случае плоского напряженного
состояния.
3. Пусть поведение упругой конструкции описывается в об-
области Q с границей Г дифференциальным уравнением L (h)u = q
с самосопряженным оператором L. Через h обозначена управляю-
управляющая функция, от которой зависят коэффициенты оператора L,
а через и — функция состояния. Форма контура Г не фиксиро-
фиксирована и разыскивается при оптимизации. Определим энергию упру-
27

того тела следующим образом:
n = -L[[uL(h)u- 2qu]d?l. D.8)
а
С учетом того, что для функции и, реализующей минимум функ-
функционала D.8), справедливо равенство
D.9)
приходим, как и в пункте 1, к заключению, что задача минимиза-
минимизации функционала податливости / из D.6) при указанной диффе-
дифференциальной связи эквивалентна вычислению минимума по и
и максимумов по Г и h от П
J^ = mm? minh J = — maxr max^ minu П. D.10)
В частности, к задаче D.10) сводится отыскание оптимального
распределения толщин h и формы упругой пластинки в плане.
В этом случае Q — область, ограниченная контуром пластинки,
и — распределение прогибов, a q — поперечная нагрузка.
В качестве примера рассмотрим кручение упругого анизот-
анизотропного цилиндрического стержня [86, 87], расположенного вдоль
оси прямоугольной системы координат xyz. Функция напряжений
Ф (я, г/), определенная в области поперечного сечения стержня Q
с границей Г и связанная с компонентами тензора напряжений со-
соотношениями xxz = 8фу, xyz = — 9фх (8 — угол закручивания,
приходящийся на единицу длины стержня), удовлетворяет следую-
следующему уравнению и граничному условию:
?ф = — (афх — сцу)х — (byv — сух)у = 2, D.11)
(Ф)г - 0. D.12)
Через а, Ь, с обозначены константы упругости анизотропного
материала, удовлетворяющие, как известно [87], условиям а^>
^> 0, аЪ — с2 ^> 0. Поставим задачу об отыскании формы стержня
(формы его поперечного сечения Q), для которой достигает мак-
максимума жесткость стержня при кручении
D.13)
Заметим, что для заданного контура Г и при выполнении усло-
условий для коэффициентов а, Ь, с решение краевой задачи D.11),
D.12) реализует минимум функционала [87]
П = V (ф/уф — 4ф) dx dy = \ (афх + Ъу% — 2сфзсф1/ — 4ф) dx dy,
D.14)
рассматриваемого на классе функций ф = ф (х, у), удовлетворяю-
28

щих условию D.12), й что для мййймали функционала D.14)
справедливо равенство К = — П.
Таким образом, исходная задача максимизации жесткости при
кручении D.11) — D.13) может быть приведена к виду
= — minr ттфП. D.15)
Внутренний минимум по ф в D.15) вычисляется при фиксиро-
фиксированной форме контура Г и граничном условии D.12). Внешний
минимум по Г разыскивается при дополнительных геометриче-
геометрических ограничениях, накладываемых в конкретных задачах на фор-
форму границы. В качестве ограничения может, например, рассмат-
рассматриваться изопериметрическое условие постоянства площади по-
поперечного сечения стержня, т. е. области й.
4. Другой тип проблем оптимального проектирования, допус-
допускающих исключение дифференциальных связей и использование
вариационных принципов, связан с оптимизацией собственных
значений самосопряженных краевых задач. Как отмечалось в § 2,
к задачам максимизации (минимизации) собственных значений
приходим при оптимизации устойчивости и частот колебаний
упругих консервативных систем.
Пусть поведение упругой системы в области Q с границей Г
описывается уравнением
L(h)u-XT (h)u = О D.16)
и однородными краевыми условиями N (К) и = 0. Предположим,
что L (К) и Т (К) — самосопряженные и положительные (с уче-
учетом граничных условий) дифференциальные операторы, коэф-
коэффициенты которых зависят от управляющих переменных h. Тогда
для вычисления минимального собственного значения и соот-
соответствующей собственной функции можно использовать вариа-
вариационный принцип Рэлея
J1=\uL (h) udQ, J2=\ uT (h) и du. D.17)
Q Q
Уравнение D.16) является уравнением Эйлера для функцио-
функционала D.17), и, следовательно, функция и, реализующая минимум
этого функционала, «автоматически» удовлетворяет уравнению
D.16).
Таким образом, задача максимизации минимального собствен-
собственного значения за счет варьирования h и Г сводится при использо-
использовании принципа Рэлея к последовательному отысканию миниму-
минимумов по и и максимумов по h и Г
~тД- . D.18)
29

Заметим, что если рассматривается задача оптимизации не
минимального, а п-то (в порядке возрастания) собственного зна-
значения, то минимум по и в D.17), D.18) разыскивается при допол-
дополнительных условиях ортогональности и к первым п — 1 собствен-
собственным функциям [67].
§ 5. О приведении к задачам
с интегральными функционалами
Задачи оптимизации конструкций можно условно разделить
по типу оптимизируемых функционалов и виду ограничений на две
группы. К первой группе отнесем задачи оптимизации, для кото-
которых критерий качества и ограничения выражаются через инте-
интегралы от искомых функций. При этом ограничения имеют вид
«изопериметрических» равенств и неравенств. Наиболее часто
в работах по оптимальному проектированию встречаются такие
интегральные характеристики, как вес, энергия деформации (по-
(податливость), сила потери устойчивости, частота колебаний (см.
§ 2). Отнесем задачи оптимизации ко второй группе, если крите-
критерий качества и рассматриваемые ограничения имеют локальный
(неинтегральный) характер. К этой же группе отнесем смешанные
задачи, когда в рассмотрение принимаются как интегральные, так
и локальные характеристики конструкции. Типичными локаль-
локальными функционалами, минимизируемыми при оптимальном про-
проектировании конструкций, являются, например, максимальное
смещение в деформируемом теле и максимальное значение интен-
интенсивности напряжений.
Большая часть результатов, полученных в теории оптималь-
оптимального проектирования, относится к задачам первой группы. Это
объясняется прежде всего тем, что для решения задач с интеграль-
интегральными функционалами существуют известные методы классиче-
классического вариационного исчисления и нелинейного программирования.
Применение этих методов позволило для ряда задач выполнить
аналитические и численные исследования и обнаружить интерес-
интересные закономерности [4, 13, 14, 18, 22, 23, 78, 79, 158, 174, 187,
192, 210].
Для некоторых типов задач с интегральными функционалами
исследования существенно упрощаются за счет того обстоятель-
обстоятельства, что уравнения равновесия оказываются «естественными»
для рассматриваемых функционалов и допускается исключение
дифференциальных связей [14, 234].
Меньшее число работ посвящено исследованию двумерных за-
задач оптимизации с локальными функционалами. Главной при-
причиной этого является отсутствие достаточно общих эффективных
методов решения для задач второй группы. Типичные трудности
решения этих задач заключаются в следующем. Например, если
решается задача минимизации максимального прогиба пластин-
пластинки и отыскания оптимального распределения ее толщин, то вывод
30

необходимых условий оптимальности и их численная реализация
осложнены тем, что заранее неизвестна точка максимального про-
прогиба. Положение же этой точки существенно зависит не только
от вида нагрузки, но и от искомого распределения толщин
(«управляющей» функции). Если же рассматриваются задачи опти-
оптимизации с ограничениями типа неравенств, наложенными на локаль-
локальные характеристики, то аналогичные трудности связаны с опре-
определением положения точек или областей, для которых в рассмат-
рассматриваемых ограничениях реализуется знак строгого равенства.
Существенные упрощения при решении задач второй группы дости-
достигаются в тех случаях, когда задано положение точек, в которых
вычисляется значение локальных характеристик конструкции,
или положение точки экстремума функционала заранее извест-
известно, например, из условий симметрии задачи.
Заметим, что, проводя сопоставление интегральных и локаль-
локальных функционалов, мы прежде всего имеем в виду двумерные за-
задачи оптимального проектирования.
В связи со сказанным представляет интерес разработка при-
приближенных методов редукции более сложных задач оптимизации
с локальными функционалами к задачам с интегральными крите-
критериями качества. Ниже опишем способ такого сведения, основан-
основанный на использовании соотношений между нормами в простран-
пространстве непрерывных функций и нормами в пространствах функций,
интегрируемых с р-й степенью.
1. Рассмотрим задачу оптимизации A.1) — A.5), предпола-
предполагая, что ограничения и минимизируемый функционал имеют
вид
(я, и(х), их(х), к(х))Cх^аг, i=l, . . . , гь E.1)
тахх|?7- (ж, и (ж), их (ж), h (ж)) |< bh j = 1,. . ., r2, E.2)
/ = min/г maxxg (ж, и (ж), их (ж), h (ж)), E.3)
где g, ft, gt — заданные функции ху и, их, h; аь bj — заданные по-
постоянные; и = {их, . . ., ит}; h — {hly . . ., hn) — вектор-функ-
вектор-функции; х = {х1У. . ., xs} — вектор независимых переменных;
их = {u1Xi, . . ., umXi} — вектор частных производных функции
состояния; т, п, s, rly г2 — заданные целые числа.
Условия E.2) можно заменить неравенствами
тахх | g](x, и (ж), их(х)у h (ж)) | < 1,
g) = gilbh / = 1,. . ., г2. E.4)
Штрихи далее опускаем.
Минимизируемый функционал и выражения, записанные в ле-
левой части E.4), представляют собой нормы функций g и gj в про-
пространстве непрерывных функций С, т. е. / = ||g||c» // = \\gj lie-
Наряду с нормами в пространстве С рассмотрим нормы в прост-
31

ранстве Lv функций, интегрируемых с р-ж степенью. Из функцио-
функционального анализа известно, что для любого р ^> О справедливо
неравенство || g \\ьр <^ || g \\c и что
lim||g||L =||g||c. E.5)
Аналогичные E.5) соотношения имеют место для функций gj
(/ = 1,. . ., г2). Учитывая малое отличие норм в С и Lp при до-
достаточно больших р, можно приближенно заменить функционалы
/ = || g \\с и /j = || gj ||c функционалами
где \i (Q) — мера множества Q. Используем это обстоятельство
для осуществления редукции от задачи с локальными функциона-
функционалами к задачам с интегральными функционалами. В качестве при-
приближенного решения задачи A.1), E.1), E.3), E.4) примем функ-
функции и, /г, удовлетворяющие уравнению A.1), ограничениям E.1)
и следующим требованиям:
E.7)
minh (-^щ yg\p dxJlP. E.8)
Таким образом, исходная задача A.1), E.1), E.3), E.4) за-
заменяется задачей A.1), E.1), E.6), E.7), E.8) с интегральными
функционалами. При исследовании задачи A.1), E.1), E.7),
E.8) можно использовать хорошо разработанную технику вариа-
вариационного исчисления для интегральных функционалов.
При большом числе ограничений вида E.2) или E.4) (большом
значении г2) наличие в задаче A.1), E.1), E.7), E.8) г2 + 1 пара-
параметров р, pj может привести к определенным трудностям из-за
оценки р, pj, обеспечивающих заданную точность. В этом случае
можно использовать более «жесткую» схему сведения с одним па-
параметром р, полагая рг = р2 = . . . = рг = р.
Систему ограничений E.7) можно дополнительно упростить,
рассматривая функции gj (/ — 1,. . ., г2) как компоненты вектора
gv = {ёп- • •» ёгг) и принимая в качестве нормы этой вектор-
функции величину || gv ||с = maxj maxx | gj (x, и (x), ux (ж), h (x)) |.
При этом систему неравенств E.4) можно свести к одному не-
неравенству
Ш|с<1. E-9)
Заменяя далее норму в С нормой в Lp, окончательно приходим
к неравенству
Й j=l
32

Следует иметь в виду, что || gv\\Lp < || gx) ||с, и поэтому усло-
условие E.9), а следовательно, и система исходных неравенств E.4)
будут выполняться лишь приближенно. Для того чтобы условие
E.9) не нарушалось, можно неравенство E.10) редуцированной за-
задачи заменить условием
Гг
1 Г Г 1 Х* I _ IT) I .7 I ^/Р ^-4 _ /_ \ /К Л Л \
@.11)
{ш\[^т
где 8 (р) — некоторая функция параметра р. Сказанное относится
Рис. 1.2
и к системе ограничений E.7). Функцию 8 (р) можно найти, ис-
используя оценки для нормы в пространстве Lp.
2. Приведем оценку погрешности, возникающей в результа-
результате редукции задачи с локальными функционалами к задаче с ин-
интегральными функционалами. Пусть имеется два функционала, за-
зависящих от управляющей функции,
/ = ||/ (х, и (х), h (х)) ||с, J = \\f{x,u (х), h (х)) ||v
где и (х) — функция, зависящая от управляющей функции h (х)
в силу наложенных дифференциальных связей вида A.1).
Получим априорную оценку сверху и снизу для нормы в про-
пространстве Lp через норму в пространстве С. При этом будем счи-
считать, что область Q принадлежит 5-мерному евклидову простран-
пространству: Q с: R8. Ниже будет использовано обозначение / (х) =
= f(x, и (х), h (x)). Оценка сверху получается непосредственно.
Действительно, по определению нормы в пространстве непрерыв-
непрерывных функций |/ (х) | < таххей \f(x)\ = \\f\\c- Поэтому
^=(ш\1ПхIРёз:I1Р<11П1с-
Оценим норму в пространстве Lp снизу. С этой целью введем
следующие определения и обозначения.
Для 0 <^ в <J 1 определим множество таких точек Qe (рис. 1.2),
для которых справедливо неравенство
||с A-е). E.12)
Будем считать, что функция / принадлежит множеству И^н,б?
если^существует е0 ^> 0 такое, что для всех 0^ е ^ е0 выпол-
2 Н. В. Баничук
33

пяется неравенство
fx (Qe) > fx (Q) #8<\ E.13)
где Н ]> 0 и б > О — заданные константы. Поясним определение
множества Wh,6 на примерах.
А. Пусть |/(ж)| = ||/||с на целой области й0. Тогда ?ioc^Qe
при любых О <J 8 <^ 1 и, следовательно, / ЕЕ Wh,o, 77— fx (Qo)/
/fx (fi) и любом е0.
Б. Пусть существуют константы К и т такие, что
!/(*')-/(*) |< 4 II*'-* IIе. E-14)
где х — некоторая точка, в которой |/ (х')\ = \\f\\c\ zEEQ —
произвольная точка; || х — х\\ — евклидова норма в Rs. При
выполнении условия E.14) множество Q', определяемое неравен-
неравенством
E.15)
содержится в области Qe. Действительно, для х ее Й' имеем
Учитывая, что | / (хг) — / (ж) | > || / ||с — | / (х) |, получим
| / (х) | > || /||с A — s). Поэтому Q' с: Qe и, следовательно, jx (Qe) >
> fx (Q'). Но множество Q', как следует из E.15), является шаром
и поэтому
li (Qe) > ii (Q') = tx (Q)
Я—^A^У, * = i-f E.16)
где V8 — объем единичного шара в i?s. Следовательно, функция
/ е Wn,b при любом е0 и Я, б, определяемых из E.16).
Перейдем теперь непосредственно к оценке нормы в простран-
пространстве Lp снизу, предполагая, что / е Wh,6- Имеем
Используя определение множества Qe E.12) и множества
функций Wh,6 E.13) и предполагая, что 0 <; 8 < 80, получим
E.17)
Применяя известное неравенство а^ > 1 + ^ In а, справедли-
справедливое при любых Z, и а^> 0, преобразуем неравенство E.17) к виду
E.18)
L f f Л
34

ч 6 1
8) = 1П 8 — 8 (
Р \
Поскольку 0^е<^1, то еб In г/р < 0 и последний член
в неравенстве E.18) можно отбросить. Функция % (е) достигает
своего максимума при е^ = б 1{р -\-Ы Н), откуда вытекает огра-
ограничение на р
р>-|--1пЯ. E.19)
Подставляя выражение для е^ в E.18), получим оценку
E.20)
Из оценки E.20) можно получить непосредственно оценку длч
функционала / исходной задачи через интегральный функционал
Для фиксированной управляющей функции h имеем
Получим оценку погрешности по функционалу, связанную с пе-
переходом от исходной задачи оптимизации к вспомогательной за-
задаче с интегральным функционалом. Пусть функция h% достав-
доставляет минимум функционалу /, а функция hp% доставляет мини-
минимум функционалу /р. Тогда по определению минимума будем иметь
Jv (*¦) J {К) - Jv {hm) j (hm) - jp (h^)
Используя неравенство E.20), получим окончательно
Заметим, что оценка погрешности E.20) основана на априор-
априорной информации относительно функции / (х) (/ ЕЕ И^я,б)- В кон-
конкретных задачах эту информацию можно получить на основании
физических соображений.
§ 6. Необходимые условия оптимальности
1. Опишем вариационный подход, используемый при получении
условий оптимальности и сведении оптимизационной задачи к
замкнутой краевой задаче для дифференциальных уравнений.
Пусть вектор-функция и — {иг(х), . . ., ит (х)} удовлетворяет
в области Q дифференциальному уравнению
L (h)u = q F.1)
2* 35

и краевым условиям на границе Г области Q
(N (h)u)r - 0, F.2)
где h = {hx(x), . . ., hn (x)} — вектор управляющих переменных;
х = {х17 . . ., #s} — вектор независимых переменных; L (h),
N (h) — дифференциальные операторы, коэффициенты которых
зависят от h. Обозначим через / (и, К) и Jt (и, h) (i = 1, . . ., г)
интегральные функционалы
J = | / (я, и, К) их, J{= \ fi(#, и, h) dz, F.3)
где /, /^ — заданные функции аргументов х, и, h, и рассмотрим
задачу минимизации функционала /
/^ = min/г / (и, К) F.4)
при интегральных ограничениях, наложенных на управляющие
и фазовые переменные
/|(и, Л)-С| =0, * = 1,. ..,г. F.5)
Здесь Cj — константы, а / и ft — заданные функции аргумен-
аргументов х, и, h.
Получим условия оптимальности в задаче F.1) — F.5). С этой
целью выпишем выражения для первых вариаций интегралов F.3)
и уравнения в вариациях, соответствующие F.1), F.2),
x, F.6)
L (h) 8u + M (и, h) bh = 0, F.7)
N (h) 8u + T (и, h) bh = 0, F.8)
где dfldu = {df/дщ, . . ., df/dum}; dfjdu *= {dfjdu^ . . ., df%ldum}.
Вариации б/, б/j зависят как от вариации функции состояния,
так и от вариации управляющей функции. Последние связаны ли-
линейными относительно 8и и 8h соотношениями F.7), F.8). Урав-
Уравнение в вариациях F.7) и граничное условие F.8) получаются
путем подстановки в F.1), F.2) вместо и и h величин и + 6м?
h ~\- bh и выделения членов, линейных относительно Ьи и б/г.
Через М (и, /г), Т (м, h) обозначены операторы, применяемые
к вектору б/г.
Выразим первую вариацию минимизируемого функционала
через вариацию б/г. Для этого, следуя классической схеме вариа-
вариационного исчисления, введем в рассмотрение вспомогательную
вектор-функцию (сопряженную переменную) v (х) = {иг(х), . . .
. . ., vm (#)}, которую определим ниже из условия, чтобы выра-
выражение для вариации минимизируемого функционала не содержало
вариации функции состояния бм. Для этого потребуется подчинить
36

v некоторой системе дифференциальных уравнений и граничных
условий, т. е. определить v как решение некоторой краевой зада-
задачи. Умножим скалярно левую часть уравнения F.7) на вектор v (х)
и возьмем от произведения интеграл по области Q
J v [L (h) ди + М (и, К) б/г] dx = 0.
Выполняя затем интегрирование по частям, преобразуем этот
интеграл к виду
\v\L(h)bu + М (и, hNh] dx = \ [buL* (h) и + 6hM* (и, h) v] dx.
F.9)
Часть контурных членов, возникающих при интегрировании
по частям, обращается в нуль в силу соотношения F.8), связываю-
связывающего граничные значения вариаций бм, б/г и являющегося след-
следствием граничного условия F.2). Остальные члены положим рав-
равными нулю за счет наложения на функцию v граничных условий
N* (h) v = 0. Коэффициенты оператора L* зависят от h и не за-
зависят от и, а коэффициенты оператора М* могут зависеть как от /г,
так и от и. Операторы L*, N*, М* называются сопряженными
к L, N, М. Учитывая F.6) — F.9) и замечая, что в силу условий
F.5) 8Jt = 0, представим вариацию б/ в виде
г=1
где К = {Xl9 . . ., Хг} — вектор множителей Лагранжа, опреде-
определяемый из условий F.5). Согласно сказанному выше потребуем,
чтобы множитель перед 8и в F.10) обращался в нуль, т. е. положим
г
L* (h)u + dfldu + S Kdfi/ди = 0. Тогда придем к искомому
выражению для первой вариации оптимизируемого функционала,
связывающему б/ с б/г,
б/ = J [м*(и, h)v+^ + ^K^bhdx. F.11)
При выводе формулы F.11) функция и была подчинена диффе-
дифференциальному уравнению и граничному условию
F.13)
37

Функцию i>, как это принято в теории оптимального управле-
управления, будем называть сопряженной переменной.
Необходимое условие минимума функционала / имеет вид
6/ = 0. Откуда получим необходимое условие оптимальности
V , Vb 5/v_n F.14)
Таким образом, задача оптимизации (G.1) — F.5) сводится
к решению связанных краевых задач F.1), F.2) и F.12), F.13)
и определению управляющей вектор-функции h из условий опти-
оптимальности F.14). Константы Xt определяются при помощи изо-
периметрических условий F.5).
Предположим, что / и ft линейно зависят от и, т. е. / =
= ug (/г), ft = ugt (/г), где функции g и gt не зависят от и. В этом
случае в уравнения краевой задачи F.12), F.13) для сопряженной
переменной v не входит функция и
(N* (h) v)T = 0,
а краевые задачи F.1), F.2) и F.15) связаны только через посред-
посредство искомой управляющей функции h.
2. Рассмотрим случай самосопряженной краевой задачи F.1),
F.2), когда линейные дифференциальные операторы L и N яв-
являются самосопряженными [104], т. е. L = L*, N = N*.
Кроме того, будем считать, что / — щ, ft — gt (h) (i =
= 1,. . ., г). В этом случае краевая задача F.12), F.13) примет
вид
L(h) v = - q, F.16)
(N (h) v)r = 0. F.17)
Краевая задача F.16), F.17) с точностью до знака правой ча-
части уравнения F.16) совпадает с краевой задачей F.1), F.2) и
поэтому
и = - и. F.18)
Исключим из условия оптимальности F.14) функцию и. Имеем
,-А = 0. F.19)
г=1
Таким образом, в случае самосопряженной краевой задачи и
при указанных дополнительных предположениях сопряженная
переменная при помощи соотношения F.18) исключается из рас-
рассмотрений. При этом вдвое понижается порядок краевой задачи
оптимизации.
38

Аналогично в случае / = g (h), ft = gt (h) (i ф A), fk = uq
будем иметь
L (h)v + Xkq = 0 F.20)
при граничных условиях F.17). Тогда v = — Хки (F.1), F.2),
F.17), F.20)), а условие оптимальности F.14) запишется в виде
,h)u + -%L+ V ^4г = 0. F.21)
3. Примеры. Выведем условие оптимальности для балки мини-
минимального веса при ограничениях по податливости. Пусть балка
оперта на левом конце (х — 0) и жестко защемлена на правом кон-
конце (х — I). Обозначая через q поперечные силы, действующие на
балку, а через w — функцию прогибов, запишем уравнение из-
изгиба, краевые условия, ограничение на податливость и минимизи-
минимизируемый функционал
L(h)w==(hawxx)xx= g,
w @) = (ti*wxx)x=s0 = 0, w (I) = wx (I) = 0,
i i
}qwdx=c, ^Ыя-^тт^. F.22)
о о
Уравнение в вариациях (ha8wxx)xx + a (h^^w^bh)^ = 0,
соответствующее уравнению изгиба F.22), помножим на и и произ-
произведение проинтегрируем по частям. Будем иметь
i
J v [(habwxx)xx + а (Амм;ххвА)хх] dx =
о
о
dx
— ux (ha6wxx + o.ha~1wxxdh) + bwx(havxx) —
-bw(havxx)x]xx=l F.23)
С учетом этих соотношений для обращения в нуль внеинтег-
раЛЬНЫХ ЧЛеНОВ В F.23) ДОСтаТОЧНО ПОЛОЖИТЬ U @) = (^а^хх)а;=0 =
= 0, v (I) = vx (I) = 0. Эти равенства представляют собой крае-
краевые условия для сопряженной переменной. Само же уравнение
для и и условие оптимальности записываются в виде
(ti*vxx)xx + hq = O, ah^w^u^ + 1-0, F.24)
где через X обозначен множитель Лагранжа, отвечающий изопе-
риметрическому условию F.22). Из сопоставления краевых задач
для w и для и вытекает, что и = — Xiv. Поэтому в условии опти-
оптимальности (второе соотношение F.24)) можно исключить сопря-
39

женную переменную и в соответствии с F.21) получить
ha~1wlx= const. F.25)
Условие оптимальности F.25) совместно с уравнением изгиба
и краевыми условиями F.22) составляют замкнутую краевую за-
задачу для определения толщин h (х) и распределения прогибов
w(x).
В качестве другого примера рассмотрим задачу оптимизации
при изгибе упругой пластинки, опертой по контуру Г,
= [ti* (wxx + vwyy)]xx + [ha (wyy + vwxx)\yy -f
2A — v) (ti*wxy)xy = q,
Л« [A*-i-1 ?]), = <>,
ty (w) dx dy — c, \hdxdy->minh. F.26)
q
Здесь h (x, y) — толщина пластинки, w (x, у) — функция про-
прогибов, г|) (w) — заданная функция от w, а через dwldn, Л, R и Q
обозначены производная функции w по внешней нормали к кон-
контуру Г, оператор Лапласа по переменным х, у, радиус кривизны
контура и область, ограниченная Г. Для этого примера сопряжен-
сопряженная краевая задача и условия оптимальности имеют вид
Wr-o.
I
A — v) (wxxuyy + WyyVxx — 2wxyvxy)] = const. F.27)
4. Выше считалось, что подынтегральные функции в F.3)
зависят только от х, и, h и не зависят от производных функции
состояния. Рассмотрим случай, когда f — f (x, u, ux, h), ft =
= ft (х, и, их, К). В этом случае в подынтегральном выражении
F.6) для вариации S/ добавляются слагаемые (df/dux) 8ux —
— (df/duix) 6u1Xl + . . . + (df/dumXs) &umXs и аналогичные сла-
слагаемые (dfi/dux) 6ux добавляются в выражениях для 8Jt.
Приравнивая вариацию функционала Лагранжа
6/ + 21 МЛ + )v[L(hNu + M (и, АNА] dx
к нулю и проводя стандартные преобразования (интегрирование
по частям), получим
40

Я (д1 \ . V* 1 / d/i ^ 3* УП л 1 Л
da? V^w^J ' /j г \ c/w о»ж \dax ]]\ J
Zj дх} диы. ' дх дих ~ ?j
г, ;=1 ¦? i, ;=1
Заметим, что внеинтегральные члены, получающиеся в резуль-
результате интегрирования по частям, обращаются в нуль при наложе-
наложении на вектор-функцию v системы краевых условий N*(h) и = О
и имеющихся связей F.8) между граничными значениями вариа-
вариаций функции состояния и управляющей переменной. На основа-
основании формулы F.28) приходим к выводу, что условие оптимальности
и выражение, связывающее 8J с dh по-прежнему записываются
в виде F.11), F.14). Иной вид имеет краевая задача для сопря-
сопряженной функции
\ ' * ди дх дкх / i г \ ди дх ди
(JV* (Л) и)т = 0. 1"Х F.29)
Хотя краевое условие F.29) по виду совпадает с F.13), однако
в него уже входят не только члены, обусловленные интегрирова-
интегрированием по частям в F.9), по и слагаемые, получающиеся при выпол-
выполнении аналогичной операции для вариаций б/ и 8Jt (при «пере-
«перекидывании» производных с 8и па djildux).
Аналогично можно учесть вхождение в выражение для / и
ft вторых производных функции и. Не приводя здесь соответствую-
соответствующих выкладок, укажем лишь, что в этом случае условие опти-
оптимальности и выражение, связывающее б/ с 6h, сохраняют вид
F.11), F.14), а в уравнении и граничных условиях для сопряжен-
сопряженной переменной появляются дополнительные члены
,*/1л„ ,^/ д V - * V1 д2 d2f .
2j дх.рх{ дихдих
- V4 №_±А + ±
' 2j l\ du Ox diiy.^ г
2j \ y г 2-1 jt \ дихдих
§ 7. Условия экстремума
для задач с неаддитивными фу§ к ^тоналами
Наряду с отысканием экстремума некоторых интегралов (при
дополнительных ограничениях) в теории оптимального проекти-
проектирования рассматриваются более общие вопросы минимизации или
максимизации неаддитивных функционалов, являющихся задан-
заданными функциями от нескольких интегралов /х,. . . , Jr. К зада-
задачам с неаддитивными функционалами приходим, например, при

оптимизации собственных частот колебаний упругих систем и
при максимизации критических нагрузок, для которых упругий
элемент конструкции теряет устойчивость. К задачам с неаддитив-
неаддитивными функционалами приходим также при рассмотрении локаль-
локальных характеристик конструкции и использовании способа заме-
замены их интегралами, описанного в § 5. Ограничения на фазовые
функции и управляющие переменные в ряде случаев также пред-
представляются в виде нелинейных функций интегральных функцио-
функционалов.
Ниже приведем необходимые условия оптимальности для за-
задач с неаддитивными функционалами, когда минимизируемый
(максимизируемый) критерий качества и ограничения представ-
представлены в виде функции от интегральных характеристик
/ =F(J11. . ., /г), G.1)
Л (Л...., /г) = 0, г = 1,2,..., к. G.2)
1. Сначала рассмотрим задачу вариационного исчисления об
отыскании скалярной функции и (х) векторного аргумента х =
= {#!,. . ., xs}, доставляющей экстремум функционалу G.1)
при ограничениях G.2), причем
Ji= ]Д(я, и, ux)dx, i=l, 2, ...,г. G.3)
п
Для определенности будем считать, что функция и задана на
границе Г области й. Для вывода уравнений Эйлера наряду
с функцией и (х) рассмотрим функцию и (х) + ди (х) (8и (х) = О
на Г) и вычислим вариацию б/ функционала G.1), соответствую-
соответствующую вариации &и. Для этого используем известные формулы
[50], связывающие первые вариации интегралов 8Jt с вариацией
6м функции и:
Разлагая функции F и Ft в ряд по 8Jt с удержанием членов
первого порядка малости, получим
V ^- б/, = С Г У ip. f^L - f JL «L\\ budx. G.5)
к
Приравнивая затем б/ + S^z^z (hi — множители Лагранжа)
к нулю и учитывая G.4), G.5), а также произвольность функции
42

Ьи (х), получим необходимые условия экстремума
к
R
G>6)
+%; дФ/dJt = Fj. (/l? ...,/,) + S^F2j. x
X (/1?. . .,/r) вычислены при значениях функционалов /1?. . .
. . ., /г, соответствующих экстремали вариационной задачи
G.1), G.2), поэтому G.6) есть интегродифференциальное уравне-
уравнение. При отсутствии ограничений G.2) это уравнение было полу-
получено в [148], а для случая, когда минимизируемый функционал
есть произведение степеней нескольких интегралов,— в работе
[201].
2. Рассмотрим, следуя [148], задачу отыскания в области Q
функции и (х), минимизирующей G.1), G.3) при дополнительных
условиях
?(/17 /2,. . .,/,) = С, G.7)
(и)г = 0, G.8)
где С <С 0 — постоянная, 4я — заданная функция своих аргумен-
аргументов. Предположим, что F, W — однородные функции переменных
/1? . . ., /s, причем степень однородности функции "*? равна а,
а функции fi однородны по переменным и, их со степенью р.
Задача G.1), G.3), G.7), G.8) является, очевидно, вариационной
задачей с изопериметрическим условием.
Укажем прием, позволяющий свести эту задачу к задаче без
изопериметрического условия. Пусть и0 (х) есть функция, даю-
дающая решение вариационной задачи с функционалом
/' - F/W G.9)
при дополнительных условиях G.8) и
и0 (х) = 1, G.10)
но без учета изопериметрического равенства G.7). Здесь х —
некоторая произвольная фиксированная точка области Q. В силу
однородности функций ft, F и граничных условий G.8) функция
Ви° (х), где В — постоянная, является также решением задачи
с функционалом G.9), но при любых других условиях нормиров-
нормировки вместо G.10). Далее константу В выберем так, чтобы удовлет-
удовлетворить условию G.7). Подставляя Ви° в G.7), получим
В = С1/^ № (/х (и0),. .., Jr (u°))]-i№. G.11)
Функция Ви° с постоянной 5, определяемой по формуле
G.11), очевидно, является решением исходной задачи G.1), G.3),
G.7), G.8). Указанное замечание полезно при решении некоторых
задач на собственные значения.

3. Рассмотрим теперь более общую задачу оптимизации G.1),
G.2), F.1), F.2), предполагая, что
(*, и, их, h)dx. G.12)
Здесь и = {щ (zO. . ., ит (х)}, h — {кг (я),. . ., hn (x)}, их =
— {uiXl, • • -7 итХч}7 х = {х1?. . ., zs}. Используя формулы § 6
и пункта 1 данного параграфа, получим необходимые условия ми-
минимума (максимума) функционала / при ограничениях G.2) и
дифференциальной связи F.1), F.2), наложенной па фазовые пере-
переменные и и управления h.
Не приводя здесь подробных выкладок, укажем лишь окон-
окончательные формулы. Выражение для вариации функционала /
с учетом дифференциальных связей и граничных условий
(N* (h) v)v = 0 для сопряженной функции может быть представ-
представлено в виде
7=1 " "" J ]
где Ф имеет тот же смысл, что и в формуле G.6), a dfjldu =
= {dfi/дщ,. . ., dfi/dum}, dfi/ди . — {dfildulx., . . . , df^du^.},
(dfi/dh) 8h = (dfi/dhi) 8hx -\- . . . + (dfi/dhn) 6/?n.
Полагая в G.13) б/ = 0 и учитывая произвольность вариаций
функции состояния и управляющей функции, получим уравнение
(векторное) для сопряженной переменной, условие оптимальности
и выражение, связывающее вариацию б/ с вариацией б/г:
<7Л5>
G-16)
Аналогично можно получить необходимые условия оптималь-
оптимальности для случая, когда ft зависят от высших производных функ-
функции состояния. При этом условие оптимальности и выражение,
связывающее б/ с б/г, сохраняют вид G.15), G.16), а изменяется
только уравнение и граничное условие, определяющее сопряжен-
сопряженные переменные. Так, в случае вхождения в подынтегральные вы-
выражения G.12) вторых производных функции состояния d2ui/dxidxj
44

(I = 1,. . ., m; i, / = 1,. . ., г) уравнение для и G.14) запишется
в виде
G.17)
4. В качестве примера рассмотрим задачу оптимизации устой-
устойчивости сжатого упругого стержня. Запишем основные соотно-
соотношения в безразмерных переменных
= max/, minw G7)
i
2 = 5 w2rf;r, /:J == J
0 00
w @) = (Л^хх)^ = 0, w A) = (м;х)я=1 = О.
В точке х — 0 стержень закреплен шарнирно, а при х = 1
защемлен.. Через fe обозначено распределение площадей попереч-
поперечных сечений. Рассматривается случай, когда поперечные сечения
стержня представляют собой подобные фигуры. Максимизируе-
Максимизируемый по h функционал min^ (/i//2) равен критическому значению
силы потери устойчивости. Ограничение /3 = 1 означает задание
объема стержня.
Условие оптимальности для данной задачи примет вид hw\x =
:= COnSt.
§ 8. Задачи с неизвестным» границами
В предыдущих параграфах в основном затрагивались те слу-
случаи, когда управляющие функции определены в й и от их значе-
значений зависят рассматриваемые функционалы, а также коэффициен-
коэффициенты дифференциальных уравнений и граничных условий, опреде-
определяющих при заданных h (x) функции состояния и (х). Границы
области Q считались заданными и не подлежали варьированию.
Однако большое число вопросов оптимального проектирования
приводит к задачам с неизвестными границами, когда в качестве
управляющей функции выбирается сама форма области й. В точ-
точной постановке задачи об отыскании форм упругих тел — это
задачи с неизвестными границами. То обстоятельство, что в ряде
случаев при оптимизации форм упругих тел, в основном тонко-
тонкостенных элементов конструкций, управляющие функции входят
в коэффициенты уравнений и граничных условий, объясняется,
как уже отмечалось выше, переходом от точной трехмерной модели
упругого тела к приближенным моделям меньшей размерности.
В этих моделях произведено осреднение определяющих функций
по одной или двум из пространственных координат. Так, напри-
45

fx+fx rx
мер, вхождение толщины h в уравнения и граничные условия из-
изгиба тонких стержней и пластинок вызвано проведенным осред-
осреднением функций состояния по толщине.
К задачам «управления» границами приходим также при отыс-
отыскании положения поверхностей раздела материалов с различными
механическими характеристиками в неоднородных или кусочно-
однородных телах.
В ряде случаев появление неизвестных поверхностей или ли-
линий, разграничивающих участки упругого тела, обусловливается
не непосредственным требовани-
требованием их оптимизации, а сингуляр-
сингулярными свойствами оптимальных
решений и способами их отыс-
отыскания. Например, при проек-
проектировании пластинок мини-
минимального веса, работающих на
изгиб, оптимальное распреде-
распределение толщин пластинки h (x, у)
может обращаться в нуль на
заранее неизвестных линиях Ts
в области Q. Поэтому приходит-
приходится интегрировать уравнения
равновесия отдельно в областях,
частью границ у которых явля-
является Г8, и «сшивать» на Fs решения или их асимптотические
представления. Разыскиваются и сами линии Fs. Для этого ис-
используются дополнительные соотношения, являющиеся обобще-
обобщениями условий Вейерштрасса — Эрдмана.
1. Ниже приведем необходимые условия оптимальности для
задач оптимизации с неизвестными границами. Пусть па области
й с границей Г (рис. 1.3) определен функционал
/= f/(<r, и, ux)dx. (8.1)
h
Здесь х = {х1ч . . ., xs}, и = {щ (я), . . ., ит (х)}, их =
~ {Щхг, • • •, uWXs}. Рассмотрим сначала задачу отыскания эк-
экстремума функционала по и и по Г. Выражение для первой вариа-
вариации б/ через вариации границы и функции и дается формулой
[50, 75]
dx
Uixjtej) dT +
Рис. 1.3

где dxj/дп = nh n = {щ, . ¦ >, ns}, ||п|| — 1. Для удобства записи
введем векторные обозначения бг = {б^, . . ., 6xs}, Vut =
= {uiXl, . . ., щх&}, Zt = {df/duiXi, . . ., df/duiXs}, где i =
= 1, . . ., га, и, кроме того, будем считать, что в области Q функ-
функция и удовлетворяет условиям экстремума (уравнениям Эйлера)
Тогда выражение для б/ запишется в виде
m in
6/ = J 2 (Z4, п) би^Г + J {(и, br)f - 2 (Zif ») (Vu;, 6r)} ЙГ.
Г i=l Г ** г=1
(8.3)
Круглыми скобками (Zt, ri), (дг, бг), (V^, Ьг) здесь и ниже
обозначаются скалярные произведения векторов.
Делая различные предположения относительно граничных зна-
значений функции и, получим соответствующие условия оптималь-
оптимальности.
Рассмотрим сначала случай, когда (и)г не задана, а вариация
Fм)г — произвольная вектор-функция. Из равенства 6/ = О
с учетом произвольности (би)т получим систему условий транс-
трансверсальности (Zt, п) = 0 (i = 1,. . ., иг), которую запишем в ис-
исходных обозначениях
s
?~п,) =0' » = 1,...,ш. (8.4)
ix' /Г
Предполагая выполненными равенства (8.4), приходим к вы-
выражению для вариации функционала, обусловленной вариацией Г:
67= J (л, бг)/йГ, (8.5)
г
откуда вытекает необходимое условие оптимальности границы Г
(/)г = 0. (8.6)
Рассмотрим теперь другой случай. Будем считать, что вектор-
функция и задана на Г и, следовательно, Fм)г — 0. Для вариаций
границы вида бг = tn, где t — параметр, а п — нормаль к Г,
на основании формулы (8.3) будем иметь
г=1
щ, n)]dT. (8.7)'
Из условия б/ = 0 и произвольности t получим необходимое
условие оптимальности границы Г при заданных краевых значе-
47

ниях вектор-функции и
i m
(t- 2Bf. n)(Vuu n))T = 0. (8.8)
В частном случае, когда (и)? — const, векторы Vut, определен-
определенные в точках жёГ, параллельны вектору нормали п и поэтому
(Zt, n) (Vi^, n) — (Zt, Vut). Условие (8.8) оптимальности грани-
границы, на которой вектор-функция и постоянна, примет вид
/- V -^— «te- =0. (8.9)
Если / — однородная функция степени р относительно пере-
переменных щх., то по теореме Эйлера вычитаемая сумма в (8.9)
равна р/, и, следовательно, снова приходим к условию оптимально-
оптимальности (8.6).
Заметим, что в более общем случае, когда на варьируемой гра-
границе Г заданы первые m1(m1 ^ гп) компонент (щ, . . ., umi) век-
вектор-функции и, а остальные компоненты (иШ1+11 . . ., ит) сво-
свободны и разыскиваются при решении задачи на экстремум интег-
интеграла (8.1), условие оптимальности границы записывается в виде
) (8.10)
2. Пусть теперь оптимизируемый функционал / и наклады-
накладываемые ограничения представляют собой заданные функции ин-
интегральных функционалов, т. е.
/ = F (/2, . . ., /r), Jj = J fj (х, и, их) dx,
й (8.11)
FiiJu. . ., /г) = ct, i = I,- • ., к.
Проводя выкладки, аналогичные тем, которые делались в пунк-
пункте 1 и в § 7, будем иметь выражение для первой вариации S/,
обусловленной вариациями функции и и варьируемого контура Г:
г, т
i tJi dJi \ dui
+ С V |j- [(n, бг) Л + V (Zi? m) F^ — (V^, 6r)) df, (8.1
где
Предполагая, что м не задана на Г, на основании формулы
(8.12) и условия б/ = 0, получим систему соотношений, которым

удовлетворяют экстремальные функции ut и граница Г: уравнения
Эйлера в области й, условия трансверсальности на Г, условие
оптимальности границы:
= 0, ;=1, ...,т, (8.13)
? Sr^-Щ-О. ,_1 -. (8.14)
В случае, когда часть компонент (i = 1,. . ., тх) вектор-
функции м задана, условия трансверсальности (8.14) записывают-
записываются только для остальных т — т1 компонент, т. е. i = т1 -\- 1,. . .
. . . , иг, а условие оптимальности границы Г примет вид
г mi
if Z(Zi' n) (VUi' и)})г = °* (8Л6)
Если, кроме того, функции ut (i = 1,. . . , иг^ постоянны
на Г, то условие (8.16) упрощается
1
Более сложным при исследовании вариации границ оказывает-
оказывается поведение локальных характеристик (локальных функциона-
функционалов), таких, например, как максимальная интенсивность напря-
напряжений или величина максимального смещения упругой среды.
При изучении этих вопросов можно пользоваться приближенны-
приближенными приемами, указанными ранее в § 5.
3. Приведем некоторые примеры использования формул, по-
полученных в данном параграфе.
Пример 1. Рассмотрим задачу максимизации жесткости
полосы, сформулированную в пункте 2 § 4. Применительно к этой
задаче в (8.11) следует положить
/? = П, F1=S=\y S=
V
где выражение для П дается формулой D.6) Учитывая, что на
варьируемой границе полосы Tq перемещения щ и щ не заданы
и применяя соответствующую этому случаю формулу (8.15),
получим необходимое условие оптимальности искомой границы
4 ( + UY Cnst (*> У)
(8.18)
49

Пример 2. В качестве другого примера приведем сформу-
сформулированную в § 4 (пункт 3) задачу максимизации жесткости стерж-
стержня на кручение за счет выбора наилучшей формы контура Г
поперечного сечения. В рассматриваемом случае в (8.11) следует
положить F = П, F1 = S = 1, где II определяется по формуле
D.14), а для S имеем выражение примера 1. Учитывая, что функ-
функция напряжений ф, фигурирующая в формуле D.14), постоянна
на варьируемом контуре Г и используя формулу (8.17), прихо-
приходим к необходимому условию оптимальности контура Г
щ1 + b(fl — 2сцхЦу = const, (я, у) е Г. (8.19)
Пример 3. Рассмотрим (в безразмерных переменных) за-
задачу оптимизации основной частоты колебаний мембраны, за-
закрепленной на плоском контуре Г = 1\ + Г2. Часть контура 1\
считается заданной, а часть Г2 подлежит отысканию из условия
экстремума основной частоты со. Предполагается, что площадь
области Q, ограниченная контуром Г, равна единице. В этой за-
задаче
J = F (/ь /2) = А , J1 = J J (и% + и*) dxdy,
2 п
/2 = j J u4xdy, F1 = S=l, S=
Амплитудная функция прогибов и {х, у) удовлетворяет гра-
граничному условию (^)г = 0. Используя формулу (8.17), приходим
к следующему условию оптимальности искомой части границы:
ul + ul — со2и2 = const, (я, у) е Г2, (8.20)
полученному в работе [181].
§ 9. Двойственные задачи
В теории оптимального проектирования часто рассматривают-
рассматриваются так называемые двойственные задачи, решения которых отли-
отличаются лишь масштабными множителями. В ряде случаев
непосредственное решение задачи можно заменить указанием
двойственной задачи, если последняя уже изучена, и способа «пе-
«перерастяжения» решений. Поэтому выделение двойственных задач
оказывается полезным в исследованиях по оптимальному проекти-
проектированию и позволяет сократить число решаемых задач. Понятие
двойственности задач играет также важную роль при получении
двусторонних оценок оптимальных решений и при построении
численных «встречных» методов.
Соображения двойственности использовались при решении
конкретных задач и ранее, однако строгое исследование этого
вопроса было проведено недавно в [227] применительно к задачам
с однородными функционалами.
50

Рассмотрим экстремальную задачу с однородными функциона-
функционалами. Пусть Л — линейное пространство, а множество Ж — конус
в нем. Это означает, что если элемент h 6E ЗС, то Xfe ЕЕ ^; К =
= const ^> 0.
Пусть Jx и /2 — однородные функционалы со степенями одно-
однородности аир, заданные по Л, т. е. /х (kh) = %<XJ1 (fe) и /2 (kh) =
= №J2 (fe) для к^>0. Предположим, что эти функционалы поло-
положительны при fe ее Ж и рассмотрим задачу на экстремум
min J1(h), h(^J?, (9.1)
J% (h) > c2 > 0,
где c2 — заданная константа.
Очевидно, что поставленная задача имеет смысл, если аир
имеют одинаковый знак. В противном случае решение не сущест-
существует. Для определенности будем считать аир положительными
числами.
Покажем, что если fe* — решение задачи (9.1), то /2 (h*) =
= с2, иными словами, минимум достигается на границе.
Действительно, предположив /2 (/г*) ^> с2, выберем множитель
^ = [с2//2 (/г*)]1/^ < 1. Элемент Xh* является допустимым для
исходной задачи, так как /2 (Kh*) = №J2 (/г*) = с2. При этом
Ji (kh*) < /х (/г*) вследствие Я < 1, а ^> 0, что противоречит
оптимальности /г*.
Рассмотрим теперь другую задачу на экстремум с теми же
функционалами (сх — заданная константа):
max /2 (/г), fee Ж,
Ji (h) < cj > 0. (9.2)
Для этой задачи экстремум также достигается на границе
/х (fe**) — cv Через fe** обозначено решение задачи (9.2). До-
Докажем следующее утверждение.
1. Если fe* — решение задачи (9.1), то элемент fe** = yfe*,
у = [cJJx (fe*)]1/0', является решением задачи (9.2).
Для доказательства возьмем произвольный элемент fe ?Е ЗС
такой, что Jx (fe) ^ сх, и покажем, что /2 (fe) ^ /2 (fe**). Выбе-
Выберем множитель к = [с2//2 (fe)]1^. Элемент xfe является допусти-
допустимым для задачи (9.1), поскольку xfe ее «221 и /2 (xfe) = cx. Вслед-
Вследствие оптимальности fe* имеем /х (xfe) ;> /х (fe*). Или [с2//2 (fe)]a/? X
X/i(fe)> /i (fe*). Выше было показано /2 (fe*) = c2. Поэтому из
последнего неравенства получим
Э/а ^ г /7 *
(9-3)
Здесь мы воспользовались условием J± (fe) ^ cv Итак, ут-
утверждение 1 доказано. Справедливо и обратное.
51

2. Если /&** — решение задачи (9.2), то элемент Ы = |jA**
при fx = [c2/J2 (/г**)]1/р является решением задачи (9.1). Это ут-
утверждение доказывается аналогично предыдущему.
Покажем, что у\х = 1. Действительно, используя равенства
с2 = J2 (/г*), сх = J± (А**), будем иметь
11/06 Г С2 11/р — ГА^!!111/а Г_Л
J и-* №••) J ~" L Л (Л*) J L Л
1
(Л**) J
При проведении последней оценки в (9.4) использовано то об-
обстоятельство, что /г* и/г' — оптимальные элементы и, следователь-
следовательно, J, (/г*) = J, (h'), J2 (/г*) - J2 (hf).
Задачи (9.1), (9.2) будем называть двойственными по отноше-
отношению друг к другу. Для двойственных задач справедливо следу-
следующее утверждение.
3. Если решение одной из задач (9.1), (9.2) существует и един-
единственно, то решение двойственной задачи также существует и
единственно, причем эти решения связаны соотношениями
/г** = у/г*, у = [c1/J1 (/г*)]1/а - [с2//2 (А**)Н/Р. (9.5)
Доказательство этого утверждения основано на использовании
утверждений 1, 2 и соотношения (9.4). При этом ввиду сделанного
предположения о единственности решения в цепочке неравенств
(9.4) появляется знак строгого неравенства.
Замечание 1. Ввиду однородности функционалов задач (9.1),
(9.2) решения /г* и Л** представимы в виде h* = c2^ hx, /г** =
= ci/a ^2> ГДе ^i» ^2 — решения тех же задач при значениях с2 =
= 1, сг = 1.
Замечание 2. Если исходные функционалы имеют степени одно-
однородности разных знаков, то имеет смысл рассматривать следующие
задачи:
min Jx (/г), min /2 (/г),
Л (Л) < с2 > О, Л (h) < с, > О,
Ъ,^: Ж, h (= Ж.
Эти задачи являются двойственными по отношению друг к дру-
другу. В этом нетрудно убедиться введением замены J\ (h) = l//2 (h).
Тогда для функционалов /ь J\ придем к задачам (9.1), (9.2).
Приведем некоторые примзры двойственных задач, возникаю-
возникающих при оптимальном проектировании упругих стержней. Исполь-
Используем безразмерные переменные и будем считать, что стержень имеет
единичную длину, расположен вдоль оси х и шарнирно закреп-
закреплен в точках х = 0 и х — 1. Пусть S (х) — распределение площа-
площадей попереч ых сечений по длине стержня, F, Р, со2, w — объем
стержня, сила потери устойчивости при сжатии стержня усилиями,
52

прикладываемыми к его концам, квадрат основной частоты соб-
собственных поперечных колебаний, величина прогиба в точке х =
= У2 при приложении к этой точке поперечной сосредоточенной
силы. Для указанных величин имеем следующие выражения:
1 1
1 \ иЧх
V = \ Sdx, Р = тт^ , oJ = min
^*^ /2 (9.6)
Здесь предполагается, что поперечные сечения изменяются вдоль
стержня подобным образом (см. § 3). Обозначим через Fo, Ро,
соо, w0 заданные положительные константы. Функцию S (х) при-
примем в качестве искомой управляющей функции, при определении
которой наряду с другими ограничениями учитывается условие
А> 0.
Пример 1. Рассмотрим задачу минимизации объема балки,
нагруженной поперечной сосредоточенной силой в точке х = 1/2
при ограничении на величину прогиба в точке приложения силы:
F-> mins, w'1 > wo~K (9.7)
Функционалы V и ш~г из (9.6) являются однородными отно-
относительно S со степенями однородности а = 1 и |3 = 2. Двойст-
Двойственной по отношению к (9.7) является задача минимизации про-
прогиба w (максимизации обратной величины ы;) при ограничении
на объем балки
и?-1 -+ maxs, V < Vo. (9.8)
Если функция *S* доставляет минимум функционалу объема
при ограничении на прогибы, то для функции *S**, минимизирую-
минимизирующей величину прогиба w и такой, что объем балки не превосходит
заданной величины, согласно (9.5) имеем выражение
1
** = FoS* l\s*dx. (9.9)
Если же известно решение ?** двойственной задачи (9.8),
то решение S* прямой задачи (9.7) выражается через 5** по фор-
формуле
S*=_^*I_ Г\§^E**)-2^11/2. (9.10)
Vw0 LJ J
Пример 2. Пусть требуется за счет выбора соответствующего
распределения площадей поперечных сечений минимизировать
53

объем сжатого стержня при ограничении на силу потери устой-
устойчивости
F-*mins, Р>Ро- (9.11)
Степени однородности функционалов V и Р равны а = 1,
Р = 2. Двойственной по отношению к (9.11) будет задача макси-
максимизации силы потери устойчивости упругого стержня при огра-
ограничении, наложенном на величину объема:
P->maxs, F<F0. (9.12)
Решения прямой S* и двойственной ?** задач (9.11), (9.12)
связаны соотношениями
(9-13)
\х±= Гр0 \ u2(S**)-*dx I\uldx\'2,
о о J
вытекающими из формул (9.5).
Пример 3. Для задачи минимизации объема стержня при
ограничении на основную частоту собственных поперечных коле-
колебаний
(9.14)
стоты
чения
(9.15)
Степени однородности функционалов V и со2 относительно S
соответственно равны а — 1, р = 1. С учетом приведенных зна-
значений а и р на основании (9.5) будем иметь следующие формулы,
связывающие решения *S*, *S** прямой и двойственной задач
(9.14), (9.15):
двойственной является задача максимизации основной частоты
при условии, что объем стержня не превышает заданного значения
=V0 I \
1 о
i l
= w0 j u2S**dx I fyx (S**J dx. (9.16)
I
о о
§ 10. Применение численных методов
для решения задач оптимального проектирования
Вопросы, рассматриваемые в теории оптимального проекти-
проектирования, приводят к сложным математическим задачам. Так,
в ряде случаев отыскание оптимальных форм и структуры упру-
54

гих тел сводится к решению вариа-
вариационных задач с неизвестными гра-
границами и игровых задач оптимизации,
для которых отсутствуют регулярные
методы исследования. Известные
трудности связаны также с тем, что
задачи оптимизации упругих тел от-
относятся к числу нелинейных задач
механики. Нелинейность этих задач
обусловливается нелинейностью ус-
условий оптимальности. Поэтому ус-
успешное развитие теории оптимально-
оптимального проектирования и эффективность
ее методов при решении прикладных
задач связаны с разработкой вычис-
вычислительных алгоритмов и использо-
использованием современных ЭВМ. Работы
по созданию вычислительных алго-
алгоритмов оптимального проектирова-
проектирования, предназначенные для опреде-
определенных классов задач и существенно
использующих их специфику, ин-
интенсивно ведутся в настоящее время.
Разрабатываются и апробируются на
решении конкретных задач различные
численные схемы, основанные на
разностных, вариационно-разност-
вариационно-разностных и вариационных методах,
нелинейном программировании. Используются также различ-
различные варианты метода конечных элементов. Однако еще недос-
недостаточно изучены вопросы обоснования сходимотси вычислитель-
вычислительных алгоритмов и не проведено широкое сопоставление эф-
эффективности различных разработанных алгоритмов (на кон-
конкретных прикладных задачах и тестовых примерах). Поэтому
мы не будем излагать и сравнивать различные методы, а
ограничимся описанием только алгоритмов последовательной оп-
оптимизации, которые разрабатывались и применялись на протя-
протяжении ряда лет в Институте проблем механики АН СССР [25—
28, 31] и использовались для решения задач, рассматриваемых
в книге.
Опишем простейший алгоритм последовательной оптимизации
и укажем некоторые его модификации. Для определенности
будем иметь в виду задачу оптимизации F.1) — F.5) в случае
двух независимых переменных х, у и предположим, что для отыс-
отыскания функции состояния и и сопряженной переменной v могут
быть использованы вариационные принципы. Алгоритм заклю-
заключается в последовательных приближениях к оптимальному реше-
решению и основан на «малых» вариациях управляющей функции h
Рис. 1.4
55

и многократном решении «прямых» задач отыскания и и v при фик-
фиксированной функции h. Основными частями алгоритма являются
следующие два блока (рис. 1.4): блок Buv решения «прямой»
задачи отыскания функций при фиксированных значениях функ-
функции hk и блок Bh формирования нового приближения hk+1 управ-
управляющей функции по значениям hk, uk, vk текущего приближения
(к — номер приближения). Буквами Н и Т обозначены операции
по введению исходных данных (начального приближения) и конт-
контролю точности получаемых приближений. Алгоритм состоит из
шагов. На одном стандартном шаге с номером к + 1 выполняются
следующие операции. Из расчетов, выполненных на предыдущем
шаге, считаются найденными функции hk (x, у), ик (х, у), vk (х,
у) и значение минимизируемого функционала Jk. На (к + 1)-м
шаге сначала определяются новые значения управляющей функ-
функции hk+1 (x, у) (работает блок Bh). Для этого используется метод
проектирования градиентов. Далее для найденного распределе-
распределения hk+1 (x, у) методом локальных вариаций [148] решаются крае-
краевые задачи F.1), F.2), F.12), F.13) (работает блок 5u>r), опре-
определяются функции ик+1 (х, у), vk+1 (x, у) и вычисляется значение
функционала Jk+1. Для найденных hh+1 (x, у), uh+1 (x, у), vk+1 (я,
у), Jk+1 оценивается погрешность (невязка) в выполнении необ-
необходимых условий оптимальности. Если погрешность оказывается
достаточно малой, то решение задачи заканчивается. Если же
невязка велика, то осуществляется переход к следующему
(к + 2)-му шагу, на котором выполняются аналогичные операции.
Заметим, что в задачах оптимизации собственных значений
(критических сил, частот) в блоке Buv для определения функции
состояния используется не метод локальных вариаций, а метод
последовательных приближений.
1. В блоке Bh на основании метода проектирования градиен-
градиентов осуществляется формирование нового приближения hk+1
управляющей функции. Для вычисления hk+1 в этом методе мож-
можно пользоваться следующими формулами:
г=1
где т ^> 0 — шаг по градиенту, Хг — множители Лагранжа, для
определения которых служат равенства F.5). При варьирова-
варьировании h согласно A0.1) значение /уменьшается. Действительно, на
основании формул F.11), A0.1) (Sh = тА^) имеем неравенство
б/ = - т jj jj (Л*J dxdy < 0. A0.2)
Использование формулы A0.1) связано с вычислением множи-
множителей Лагранжа Xt на каждом шаге, что часто приводит к опреде-
56

ленным осложнениям. Поэтому вместо формул A0.1) использует-
используется следующий прием, позволяющий при вариациях h не нарушать
изопериметрические условия вида F.5).
Пусть число интегральных ограничений в задаче F.1) — F.5)
равно двум. Выражения для первых вариаций функционалов
J (A), J\ (А)» /г Ф) представим в виде
б/ = (ф, to), Mt = (ifo, б/г), i = 1, 2, A0.3)
где i|), i|?i« — известные функции, а круглыми скобками обозначены
скалярные произведения соответствующих функций. Положим
т A0.4)
и определим константы [хх, |я2, используя условия (г|)ь б/г) = 0,
вытекающие из ограничений Jx = съ /2 = с2. Имеем
= OP, Ф0 01b Ф2) - (Ф, Ф2) (fo, ф2)
_ (Ф, Ф2ХФ1 Ф0 —(^1 ^h)(%» Ф2) МО ^
У 2 ~ (Ф1, Ф0 01>2, Фй) ~ (ФЬ Ф2J ' К }
Если в задаче оптимизации имеется только одно изоперимет-
рическое условие J1 — съ то выражение для б/г примет вид
Используя неравенство Буняковского — Шварца и проводя
элементарные выкладки, можно показать, что для рассматри-
рассматриваемых вариаций б/г выполняются условия
б/<0, й/, =0, i = 1,2. A0.7)
Следовательно, при таком выборе функции б/г (A0.4) — (Ю.6))
и достаточно малом т функционал / будет уменьшаться, а зна-
значения функционалов Jt изменяться не будут.
Заметим, что указанный прием можно применять и при нали-
наличии г ограничений, но в этом случае для определения г констант
lit требуется на каждом шаге алгоритма решать систему г линейных
алгебраических уравнений, получаемую из условий (фь б/г) = 0,
* = 1,.. ., г.
2. При переходе от одного шага алгоритма к другому делаются
малые улучшающие вариации б/г управляющей функции. По-
Поскольку вариацци б/г — hk+1 — hk достаточно малые, то при отыс-
отыскании новых приближений и^1 и vk+1, соответствующих распре-
распределению hk+1, имеем «хорошее» начальное приближение ик, zA
Это обстоятельство делает целесообразным применение для отыс-
отыскания указанных величин итерационных методов. Примером такого
метода, который может быть успешно применен для отыскания
решения «прямой» задачи, является метод локальных вариаций,
предложенный Ф. Л. Черноусько в работе [145] и разработанный
в [148]. Перейдем к изложению этого метода.
57

Пусть требуется найти функцию двух независимых переменных
и (х, у), определенную в области Q с границей Г, удовлетворяю-
удовлетворяющую ограничениям
и- (х, у)^и (х, у) < и+ (х, у) A0.8)
и минимизирующую функционал
J=[\f(x, у, и, их, uy)dxdy. A0.9)
V
Здесь и+, и~ — функции, заданные в Q + Г, причем и+ >
!> и~ всюду в Q + Г, а / — заданная функция своих аргументов.
Для функции и на контуре Г может быть задано граничное условие
и = % (х, у), которое будем предполагать включенным в ограниче-
ограничения A0.8) посредством задания функции и+, и~ в виде и+ (х, у) =
= и~ (х, у) = % (х, у), (х, у) е Г.
Разобьем область Q некоторой сеткой на ячейки Qtj, площадь
которых равна Stj, и обозначим через utj значение функции и
в узлах сетки. Интеграл A0.9) приближенно заменим суммой
интегралов по ячейкам Qtj
A0.10)
/|; = ^/(*?, у», и*, (их)*, (иу)*).
В качестве аргументов функции / в A0.10) записаны средние
по ячейке значения независимых переменных, искомой функции
и конечно-разностных выражений ее производных.
Из ограничения A0.8) вытекают неравенства, которым должны
удовлетворять значения сеточной функции
u~{xh J/;)<Mij<M+(*i» Vi)- A0.11)
Заметим, что если функционал / (и) является выпуклым, то
для единственности решения задачи минимизации и ускорения
сходимости вычислительного алгоритма следует потребовать,
чтобы аппроксимационная схема была строго выпуклой функцией
от значений utj сеточной функции. Построение строго выпуклых
схем, как показано в [29], достигается путем увеличения в квад-
квадратурной формуле числа обращений к вычислению подынтег-
подынтегральной функции / в каждой ячейке. В [29] выделен ряд схем,
сохраняющих свойство строгой выпуклости, т. е. схем, ставящих
в соответствие строго выпуклому функционалу строго выпуклую
аппроксимацию.
Простейший вариант алгоритма метода локальных вариаций
применительно к задаче минимизации/ из A0.10) при ограничениях
A0.11) заключается в следующем. При фиксированном шаге б
варьирования сеточной функции utj и для фиксированной сетки
методом покоординатного спуска находим за конечное число ша-
шагов значения utj, удовлетворяющие ограничениям A0.11) и дос-
доставляющие минимум A0.10) на данной сетке. После полной
58

сходимости итераций уменьшается шаг варьирования б и снова
осуществляется процесс минимизации суммы. Последовательное
дробление б продолжается до тех пор, пока не будет достигнута
полная сходимость при некотором достаточно малом б = б^. Затем
уменьшаются размеры ячеек, выбирается начальное значение для
б и вновь реализуется процесс последовательного дробления шага
варьирования и минимизации при каждом б функции /.
Таким образом, метод локальных вариаций включает несколь-
несколько вложенных друг в друга итерационных процессов: процесс
уменьшения размеров ячеек, процесс уменьшения шага варьиро-
варьирования и процесс итераций при фиксированной сетке и величине б.
3. Поскольку при использовании алгоритмов последователь-
последовательной оптимизации требуется многократно обращаться к решению
прямых задач, то применяемые для этого методы должны обладать
достаточной скоростью сходимости. Одним из способов ускорения
сходимости метода локальных вариаций является использование
вариантов метода с переменными шагами б [8, 148]. Варьирование
решения с переменными шагами особенно эффективно, когда иско-
искомые величины на различных участках области определения имеют
разный порядок. Откажемся от предположения о постоянстве шага
варьирования и будем выбирать для каждой точки х = xt свой
шаг б = 6г- из условия минимума приращения А/ = А/ (б), где
через А/ (б) обозначена сумма тех слагаемых в A0.10), которые
зависят от значений ut функции и в узле xt. Здесь для простоты
и краткости записи основных соотношений рассматривается од-
одномерная задача минимизации интеграла по отрезку, а не по
двумерной области Q.
Опишем более подробно эту схему. Сначала будем предпола-
предполагать, что ограничения и~ (xt) <^ щ <; и+ (хг) либо отсутствуют,
либо не влияют на решение рассматриваемой задачи. Вычислим
приращение функционала А/, обусловленное заменой ut в точке
х = xt на ut + 6f.
А/ = /i-i (Ui-ь Щ + &i) + Ц (Щ + 6i? Ui+1) — /г-i (Иг-1, U t) —
-1{Щ, щ+1). A0.12)
Подставляя далее в A0.12) выражение It == Axf (xt + Ая/2,
(щ + Mi+i)/2, (щ+i — ut)/Ax) и разлагая полученные выражения в ряд
Тейлора по переменной 6t с точностью до О (б?), будем иметь
А/ = Ь> [-1- ((/«)* 1 + (/и)?) - ¦& ((/«,)* - (/»,)?_
a? [-J-
Здесь обозначение (. . .)* указывает, что величина, стоящая
в скобках, вычисляется при значениях аргументов, равных х =
59

= xt + Дя/2, и = (ut + ui+1)/2, ux = (ui+1 — иг)/кх. При фик-
фиксированных значениях сеточной функции щ выражение для Д/
из A0.13) является квадратичной функцией переменной 6(. Вы-
Выбирая величину шага варьирования из условий минимума прира-
приращения Д/ по bt: d (AI)/d&i = 0, d2 (Д/)/с?б? ^> 0, получим
Если в A0.14) ог < 0, то имеет место максимум Д/ при 8t,
определяемом согласно A0.14), а при at = 0 экстремума в A0.14)
вообще нет. Заметим, что формула A0.14) для бг- содержит в квад-
квадратных скобках конечно-разностную аппроксимацию уравнения
Эйлера /и — (fUx)x — (fUy)y = 0. Поэтому равенство 6^=0
возможно для некоторой точки х — xt лишь в том случае, если для
данного приближения щ на интервале [^_i, xi+x] локально удов-
удовлетворяется разностный аналог уравнения Эйлера. Следователь-
Следовательно, если ut является решением системы разностных уравнений,
то для всех х = Х( на основании A0.14) получим 6^ — 0.
Алгоритм локальных вариаций с указанным выше способом
вычисления шага 6^ заключается в следующем. Пусть s-e прибли-
приближение уже получено, т. е. определены числа и*. Тогда (s + 1)-е
приближение определим следующим образом:
1 + 6,-, если (т7-^>0,
и\, если с
Величины 6^ и ot в A0.15) вычисляются по формулам A0.14)
с щ-1 = ult{, щ = и\, щ+1 = щ+1. Итерации на фиксированной
сетке, т. е. при фиксированном Дг, продолжаются до тех пор, пока
не будет выполнено условие max | бг-1 <^ е. При выполнении этого
условия величина Да: дробится и итерации продолжаются анало-
аналогично на измельченной сетке. Решение заканчивается, если вели-
величина Дг мала и выполнено неравенство е <^ Дя. Из A0.14) не-
нетрудно видеть, что для полученного решения разностные урав-
уравнения Эйлера удовлетворяются с погрешностью е/(Д.гJ.
Описанный алгоритм легко обобщается на случай, когда на
величины ut наложены ограничения и~ (хг) <^ ut <^ и (хг). Пусть
при решении задачи в некоторой точке х = xt получаем и\ -\и
+ §i^> щ или и\ — bt < Ui. Тогда в качестве нового значения
для ut в s + 1-м приближении соответственно берем и*1 = щ и
и*1 = щ, т. е. осуществляем вариацию решения в этой точке с
максимально возможным шагом 6$ = щ — и\, bt = щ — щ-

Правомерность этой операции является следствием монотонного
убывания Д/ при изменении 6* от 0 до значения 6*, определяемого
формулой A0.14). Таким образом, формула последовательных
приближений для задачи с ограничениями примет вид
и\ + 6Ь если ит^и* + hi^u* и о{^>0,
usv если
A0.16)
м+, если u^ + di^ut и ОГ|^>0,
щ, если и\-\- Ь1<^щ и <Тг^>0.
Конкретные примеры применения схемы метода локальных
вариаций с переменными шагами варьирования содержатся в
работах [25-28, 64, 148].
4. Широкий круг вопросов оптимального проектирования
связан с оптимизацией собственных значений (критических сил,
собственных частот) линейных самосопряженных краевых задач
для дифференциального уравнения
L{h) и = ХМ (h) и A0.17)
с граничными условиями
N (h)u = 0. A0.18)
Через L (/г), М (/г), N (h) в A0.17), A0.18) обозначены линейные
дифференциальные операторы, коэффициенты которых зависят от
й, а через X — собственные значения. При решении различных
задач оптимизации собственных значений для системы A0.17),
A0.18) с применением алгоритмов последовательной оптимизации
требуется на каждом шаге алгоритма разыскивать величины и
и X, удовлетворяющие A0.17), A0.18). Для этой цели в рассматри-
рассматриваемых алгоритмах используется метод последовательных прибли-
приближений [67]. Этот метод достаточно прост и удобен для решения
задач вида A0.17), A0.18). Метод заключается в последовательных
итерациях, при выполнении которых определяются величины
и\ и\ . . ., и*, us+1, ... и Х\ X1, . . . , Xs, Xs+1, .... Пусть функ-
функция и8 найдена при выполнении s-й итерации. Тогда для отыскания
функции ms+1 и собственного значения Х8+1 требуется решить
краевую задачу
L (h) u8+1 = M (h) us, N (h) u8+1 = 0 A0.19)
и провести вычисления по формуле
где круглыми скобками обозначено скалярное произведение.
В книгах [67, 68] даны также некоторые обобщения и модификации
схем вида A0.19), A0.20) и их приложения к решению различных
задач на собственные значения.
61

5. Сделаем некоторые замечания. В случае применения алго-
алгоритма последовательной оптимизации для минимизации (максими-
(максимизации) локального функционала следует использовать описанный в
§ 5 способ приближенного сведения к задаче с интегральным функ-
функционалом.
Алгоритм последовательной оптимизации позволяет направ-
направленно улучшать критерий качества. Процесс решения может быть
оборван по окончанию вычислений на любом шаге с номером к.
При этом получим новое распределение hk управляющей функции,
лучшее в смысле оптимизируемого функционала, чем исходное
(начальное) распределение /г°. Кроме того, для функции hk имеем
распределение ик, описывающее действительное состояние конст-
конструкции. Таким образом, на каждом шаге алгоритма получаем
полезную информацию, которая может быть использована для
выявления тенденций при постепенном формировании оптималь-
оптимального облика и внутренней структуры конструкции. Например, для
задач оптимального проектирования, приводящих к вырожденным
решениям, применение алгоритмов последовательной оптимиза-
оптимизации позволяет заметить вырождение еще до окончания работы
алгоритма и ввести дополнительные ограничения, регуляризую-
щие задачу. Таким образом, использование алгоритмов последова-
последовательной оптимизации приводит к удобной форме поиска и позволя-
позволяет активно взаимодействовать с вычислительной машиной в про-
процессе решения.

Глава вторая
ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
Оптимальное проектирование, как уже отмечалось выше, при-
приводит к сложным нелинейным задачам. Значительные трудности
представляет сама корректная постановка задач оптимизации кон-
конструкций. Поэтому важное значение получает выделение наиболее
«простых» задач, допускающих аналитическое исследование и
отыскание точных решений. Эти исследования в ряде случаев уда-
удается эффективно провести для одномерных элементов конструкций
(балки, колонны, криволинейные стержни и стержневые системы)
и выделить существенные ограничения, изучить качественные
особенности оптимальных форм и внутренней структуры конструк-
конструкции, сравнить эффективность различных способов оптимизации
и, что немаловажно, получить тесты, необходимые для апробации
вычислительных алгоритмов и приближенных методик, предназна-
предназначенных для двумерных задач.
В данной главе, основанной на работах [11—13, 15, 24, 30,
147, 223], излагаются исследования некоторых одномерных задач
оптимизации. В § 1 приведено решение ряда задач оптимального
проектирования балок при поперечном изгибе. Проектированию
стержней, выдерживающих без потери устойчивости максималь-
максимальную нагрузку, посвящен § 2. Далее в § 3 исследуются оптимальные
конфигурации ветвящихся стержневых систем. В § 4 строятся
решения задач оптимизации распределения толщин и формы осевой
линии криволинейных стержней. В § 5 рассмотрены некоторые
вопросы проектирования стержней с учетом нагрева и предвари-
предварительных напряжений.
§ 1. Некоторые задачи оптимизации
при изгибе балок
Во введении уже отмечалось, что исследования в области опти-
оптимизации конструкций восходят к классической работе Галилея,
посвященной проектированию формы балок. Впоследствии было
решено значительное число задач, относящихся к оптимизации
балок при изгибе. Тем не менее и в большей части современных
исследований по оптимальному проектированию используется
модель балки. Уравнения изгиба балок являются одними из про-
63

стейших в сопротивлении материалов и удобны для рассмотрения
новых постановок задач, сравнения различных алгоритмов и
методик. В данном параграфе в рамках балочной модели рассмат-
рассматриваются характерные вопросы оптимизации жесткостных и проч-
прочностных характеристик.
1. Пусть балка шарнирно закреплена в точке х = ± / оси х
и изгибается под действием поперечной сосредоточенной нагрузки,
приложенной в точке х = О, т. е. q = РЬ (х). Длина балки 21
и ее объем V считаются заданными, что накладывает ограничение
на возможные распределения площадей поперечных сечений S.
Рассмотрим задачу минимизации величины прогиба w в точке
приложения силы (х = 0) за счет наилучшей профилировки балки,
т. е. задачу отыскания управляющей функции h (x), задание кото-
которой полностью определяет величины S и D = El (S = Bah,
D = El = Aaha; см. § 3 главы I). Здесь Е — модуль Юнга, / —
момент инерции сечения балки относительно оси, перпендику-
перпендикулярной плоскости изгиба и проходящей через нейтральную линию,
А<х, Ва — константы, зависящие от типа сечения балки, а — пара-
параметр, принимающий значения 1, 2, 3. Приведем основные соотно-
соотношения задачи
(Dwxx)xx = q, (w)x=±i = (Dwxx)x=±i = 0,
A-1)
§Sdx = F, / == w @) -> mm/,.
A
Заметим, что двойственной к задаче A.1) является задача мини-
минимизации объема балки при заданной величине прогиба w @).
Условие оптимальности (см. § 6 главы I) как для прямой, так и для
двойственной задачи имеет вид
Л-1мЗх = ^2, A.2)
гдеХ2 — неизвестная константа. Для определения X воспользуемся
равенством работы, совершаемой при нагружепии балки, энергии
упругих деформаций
Р
= ^ \ hawUx = 4^ • A-3)
ш@) J Baw{0) V }
Рассмотрим случай а = 1, соответствующий трехслойным бал-
балкам с переменной толщиной /г/2 армирующих слоев. В этом случае
под *S понимается площадь поперечного сечения армирующих
слоев, т. е. *S = Ыг, где Ъ — ширина прямоугольной балки. Вопро-
Вопросы оптимального проектирования трехслойных конструкций впер-
впервые изучались в работе [223J, где было обращено внимание на
интересное обстоятельство, связанное с тем, что условие оптималь-
оптимальности трехслойных конструкций (балок, пластин) не зависит явно
от управляющей функции. Поэтому если в задаче достаточное число
граничных условий наложено на функцию состояния w и не зависит
64

от управляющей функции h, то условие оптимальности и указанные
граничные условия могут быть использованы для отыскания
функции состояния w. Для определения же управляющей функции
h (толщин армирующих слоев) следует воспользоваться уравнения-
уравнениями равновесия и оставшейся частью граничных условий, завися-
зависящих как от w, так и от h. Предложенная в [223] схема решения
задач оптимизации трехслойных конструкций применима и для
рассматриваемой задачи оптимального проектирования трехслой-
трехслойной опертой балки.
Используя условие оптимальности w\x = X2 и граничные усло-
условия w (— /) = w (I) = О, получим w = 1/2'к (I2 — х2). На основа-
основании A.3) имеем %2 = Pbw @I А^ = (PbP/2A1VJ. Рассматривая
далее условие оптимальности, уравнение равновесия A.1) и гра-
граничные условия hwxx = 0 (х = ± /), приходим к краевой задаче
Кх = 0 (— I < х < 0, 0 < х < /), h (— /) = h (I) = 0, которая
совместно с изопериметрическим условием A.1) определяет функ-
функцию h (x). Проводя элементарные выкладки, получим
РЫ*
На рис. 2.1 показаны распределения толщин и прогибов опти-
оптимальной балки (I = 1, V/b = 0,1, Pb/AA±V = 0,3).
Как видно из A.4) и рис. 2.1, толщина оптимальной балки
достигает максимума в точке приложения силы и убывает к
краям, обращаясь в нуль в точках шарнирного закрепления.
В отличие от балок постоянной толщины и вообще от балок с
h (х) Ф 0, для которых краевое условие hwxx = 0 удовлетворяется
за счет обращения в нуль кривизны осевой линии (wxx = 0 при
х = ± I), для оптимальных балок это условие выполняется за счет
равенства нулю в концевых точках.толщины. Кривизна же опти-
оптимальной балки остается постоянной вдоль всего пролета — I ^
<С х ^ I" Изгибающий момент М (показан штрихпунктирной лини-
линией на рис. 2.1) и упругая энергия, запасаемая элементом балки с
координатой х, ведут себя при изменении х подобно функции h (x),
т. е. достигают максимума при х = 0 и обращаются в нуль в точках
х = ± I.
Оценим эффективность оптимального решения, проводя сравне-
сравнение с балкой постоянной толщины. Для балки постоянной толщины
и того же объема / = w @) = Р/4/3 A±V и, следовательно, относи-
относительный выигрыш по функционалу для оптимальной балки равен
(/ - /*)// = V4, т. е. 25%.
При тех же предположениях рассмотрим случай сплошной
балки переменной высоты h (x) поперечного сечения. Полагая
а — 3 (см. § 3 главы I) и используя условие оптимальности A.2),
преобразуем уравнение изгиба и граничные условия к виду
(w?)xx = 0 при — I < х < 0, 0 < х < I и w (— I) = w(l) =
3 Н. В. Баничук 65

~ wZl ( — 1) — u>xx(l) = О. Добавляя к этим соотношениям условие
wx @) = 0, получим замкнутую краевую задачу для определения
функции прогибов. Краевое условие wx @) = 0 вытекает из сим-
симметрии задачи относительно точки х = 0 и предположения h @) Ф
Ф 0. С учетом указанной симметрии определим все искомые вели-
величины на интервале 0< х< /. Интегрируя уравнение (wxx)xx = 0
и вычисляя три постоянные интегрирования на основании условий
и>х @) — 0, w (I) = Wxl (I) = 0, получим выражение для w, содер-
содержащее одну неизвестную константу. Для отыскания распределе-
Рис. 2.1
Рис. 2.2
ния толщин, постоянной Хя указанной константы применим усло-
условие оптимальности, равенство A.3) и изопериметрическое условие
A.1) (Вг = Ь). Будем иметь
х ч*/
)
A.5)
Функции/г(а:) и w(x) показаны на рис. 2.2 (/ = 1,ЗУ/4й = 0,1,
64РЬ381 A3V* = 0,3).
Оптимальное распределение толщин сплошной балки, так же
как и трехслойной, достигает максимума в центре балки (х = 0) и
обращается в нуль у ее концов. Однако если в случае а = 1 толщи-
толщина h убывала пропорционально расстоянию до края балки, то при
а =;= 3 функция h ведет себя как ]/7, где t = I — х. Имеется каче-
качественное отличие и в поведении функций прогибов при а = 1 и
а = 3. Кривизна осевой линии сплошной балки меняется вдоль
пролета и неограниченно возрастает при приближении к шарнирно
закрепленным концам.
Сопоставляя величину прогиба w @) из A.5) со значением
w @) = 4 Pbsle/3 A3VS, вычисленным для балки постоянной тол-
толщины и того же объема, находим, что выигрыш за счет оптимизации
составляет 40,7%.

2. Для найденных в предыдущем пункте решений кривизна осе-
осевой линии изогнутой балки uvoc была непрерывной функцией х при
— 1< х< I. Однако не для всех граничных условий оптимальные
балки обладают указанным свойством. Например, если разыски-
разыскивать форму трехслойной балки с защемленными краями, то опти-
оптимальное решение, для которого wxx непрерывна при — I <C x <C Z,
не существует. Действительно, условие оптимальности wlx = X2
совместно с граничными условиями
w{-I) = wx (-l)=w (I) = wx (I) = 0, A.6)
соответствующими жесткому защемлению концов балки, приводят
к неразрешимой краевой задаче, если считать функцию wxx непре-
непрерывной при — 1< х <С /, а А,2 Ф 0. Поэтому в случае жесткого
защемления концов будем отыскивать решение, допуская разрывы
у функции wxx.
Проанализируем соотношения задачи с указанными разрывами
при произвольных значениях а. Выпишем необходимые условия
экстремума (условия Вейерштрасса — Эрдмана) в точке х# разры-
разрыва кривизны: [hawxx]t = 0, [{hawxx)x]t = 0, [hawxx]t = 0. Здесь
квадратные скобки с индексами (+) и (—) означают разность
предельных значений величины, заключенной в скобки, при
х = х* + 0 и х = х% — 0. Из приведенных соотношений вытекает,
что {hawxx) [wxx]l = 0. Следовательно, при наличии разрывов у
и>хх требуется положить hawxx — 0. Это условие означает, что в
особых точках обращается в нуль изгибающий момент М = hawxx.
Условие же [(hawxx)Jt = 0 означает непрерывность перерезываю-
перерезывающей силы Q = (hawxx)x в рассматриваемой точке. Дополнительные
условия, служащие для определения решения с разрывами, с
учетом условия оптимальности A.2) примут вид
h+ = h~ = 0, {ЫыI% *= — (fe(a+D/2)+. A.7)
Рассмотрим сначала случай трехслойной балки (а = 1), концы
которой жестко защемлены при х = ± I- По-прежнему предпола-
предполагаем, что сосредоточенная нагрузка приложена в центре балки. Из
симметрии задачи следует, что особые точки на оптимальном реше-
решении расположены симметрично относительно начала координат,
т. е. х^ = — 2^2, где ;% е= [— I, 0]. Распределение прогибов и
координату особой точки х%г найдем, используя соотношения
A.2), A.3) и условия, записанные в первой строчке A.7), а для
отыскания распределения толщин применим уравнение hxx = 0
(— /<д;<;0), изопериметрическое условие A.1) и равенства,
записанные во второй строчке в A.7). Будем иметь
v ( , /
3* 67

РЬ/4
w =
* = w @) = PblVlQA^. A.8)
Распределение A.8) толщин и прогибов оптимальной трехслой-
трехслойной балки представлено на рис. 2.3 (I = 1, Vlb = 0,1, w @) =
= 0,3).
Для случая сплошных жестко защемленных балок использова-
использование указанных соотношений в особых точках также позволяет
получить решение задачи оптимального проектирования. Опти-
Оптимальное распределение толщин и прогибов балок прямоугольного
сечения переменной толщины (а = 3) описывается формулами
—(-1 —V _z<a;<_-L
I
w_~
+^)Vi)]-« @), --f<
Графики функций h (x), w (х) и распределение моментов М (я)
показаны на рис. 2.4 (Z = 1, 3F/4& = 0,1, w @) - 0,3).
3. Предположим теперь, что балка шарнирно закреплена по
краям х = ± I (рис. 2.5) и приварена к упругому основанию
(z > 0). Используем винклеровскую модель, т. е. будем считать,
что реакция в точке х пропорциональна величине прогиба w (x).
В точке х = 0 к балке приложена сосредоточенная нагрузка.
В рассматриваемом случае уравнение изгиба балки и выражение
для силы Р через энергию упругих деформаций запишутся в виде
i
(Dwxx)xx + cw=q, P = -i- J (Dw^ + cw*) dx,
где с — коэффициент жесткости основания.
Поставим задачу максимизации силы Р, вызывающей заданный
прогиб w @) = б, за счет соответствующей профилировки балки.
Очевидно, что эта задача эквивалентна отысканию распределения
толщин балки, минимизирующих прогиб w @) при заданной силе Р.
Нетрудно заметить, что условие оптимальности имеет вид A.2).
Решение задачи будем отыскивать при 0 < х < /, используя гра-
граничные условия w @) = б, w (I) = 0, {№wxx)x=i = 0. Рассмотрим
сначала случай малых жесткостей с и применим для определения
искомых величин метод возмущений. С этой целью представим
68

Рис. 2.3
-/ -#,f/
Рис. 2.4
iimliii
Рис. 2.5
искомые величины w, fe, РД в виде рядов по малому параметру е
^ = ^0 + 6^! + ..., h = ft0 + e/*! + ...
Подставим указанные разложения вместо величин w, h, P, X
в основные соотношения задачи (ее = 3) и приравняем члены при
одинаковых степенях 8. Для отыскания величин нулевого прибли-
приближения, отвечающих случаю отсутствия реакции основания (с = 0),
получим систему уравнений, решение которой (см. пункт 1) имеет
вид
/r="^), Ь= -9/8,
С учетом свойств нулевого приближения запишем краевую зада-
задачу для отыскания величин первого приближения
[hi (howlxx + 3Ai^Oxx)]xx + w0 = 0, 0 < х < /,
AiWoxx + h<>wlxx =%u 0 < x < Z, wi @) = 0,
w>i (Z) = 0, wlx @) = 0, (wlxxh30 + Sh%wOxx)x=i = 0,
feid^c = 0, Pi = -
о о
Проинтегрируем уравнение, записанное в первой строчке и
определим четыре постоянных интегрирования и константу Хг
при помощи изопериметрического условия и четырех граничных
69

л
_^ г
Рис. 2.6
0,25
'0,5
0,75 - x /
Рис. 2.7
0г50
0,75
условий. Получим поправки к распределению толщин и величине
силы в первом приближении:
[1 / J LI Т) I1 35 I1 I ) ) 35 J *
p =
На рис. 2.6 в безразмерных переменных х' = xll, hf = ihbllV
показаны распределения толщин оптимальных балок, причем
кривым с номерами 7, 2 отвечают значения параметра с = 0, 0,2.
Из приведенных графиков и формул видно, что при увеличении
параметра с увеличивается толщина оптимальной балки в ее сред-
средней части, а толщина балки у ее концов уменьшается (происходит
заострение концов).
Решение задачи для больших значений с проводилось численно
с применением описанного в § 10 главы I алгоритма последователь-
последовательной оптимизации. Полученные в результате расчетов при с = 0,
16, 512 оптимальные распределения толщин показаны (для поло-
половины балки) на рис. 2.7 кривыми 1—3. Как видно из графика,
оптимальное распределение толщин для случая с = 16 обращается
в нуль во внутренней точке отрезка [0, 1], а при с = 512 на отрезке
[0, 1] появляются две точки, где h обращается в нуль (оптимальная
балка «распадается» на пять балок, соединенных шарнирами).
Зависимость Р% от с показана на рис. 2.8.
70

ffj
?ff
/
/
/
/
f
Jff 60
Рис. 2.8
Приведенные в данном пункте ре-
результаты получены в работе [30].
Кроме изложенного случая проекти-
проектирования сплошной балки, в [30] рас-
рассмотрена задача об оптимальном
распределении толщин несущих слоев
трехслойной балки, скрепленной с
упругим основанием.
4. В изложенных выше задачах
принимались в рассмотрение такие
характеристики балки, как ее объем
(вес) и величина прогиба в точке
приложения силы. Используя только
эти два функционала и принимая
в качестве управляющей функции
распределение толщин, можно пос-
поставить как задачу минимизации
объема при заданной величине ха-
характерного прогиба, так и задачу
минимизации прогиба при заданном объеме балки. Важно за-
заметить, что указанные задачи являются двойственными и нет
необходимости решать независимо каждую из них. Поэтому в
предыдущих пунктах изучалось решение только задач оптимиза-
оптимизации жесткости балок.
Аналогично если в качестве функционалов принять объем балки
и максимальное значение интенсивности напряжений а|), то можно
поставить как задачу минимизации максимального значения
функции я|} при заданной величине объема балки, так и задачу
минимизации "ее объема при заданном максимальном значении
интенсивности напряжений. Эти задачи также оказываются двой-
двойственными, и поэтому ниже, следуя работе [12], рассмотрим только
задачу минимизации объема балки при ограничении по прочности.
Предположим, что балка расположена вдоль оси х и имеет пря-
прямоугольное поперечное сечение переменной высоты h = h (х) и
пщрины b = b (х). Длина балки равна /. Здесь рассматриваются
статически определимые случаи (консольные и шарнирно закреп-
закрепленные балки под действием поперечных нагрузок), когда распре-
распределение моментов М = М (я), действующих в сечениях балки, не
зависит от упругих "^характеристик и формы сечения. Функция
М (досчитается заданной при 0 ^ х ^ /. Функции Ъ = Ъ (х) и
h = h (x), задающие форму балки, ниже поочередно принимаются
в*качестве искомых величин и отыскиваются из решения вариаци-
вариационной задачи
A-10)
(Э 34)
My

Здесь / — момент инерции поперечного сечения относительно
оси, перпендикулярной плоскости изгиба и проходящей через
нейтральную линию балки, d — статический момент, к — заданная
константа. За исключением компонент тензора напряжений, ниж-
нижним индексом х обозначаются производные соответствующих
величин по указанной переменной. Координата у отсчитывается от
центра поперечного сечения и изменяется в интервале —h/2 <^
^ У ^ h/2. Неравенство A.10) ограничивает при |3 — 4 максималь-
максимальное значение касательного напряжения. В случае C = 3 это нера-
неравенство имеет смысл ограничения на допустимые значения потен-
потенциальной энергии изменения формы. Используя приведенные в
A.10) выражения для a.v, %ху, /, d, получим явную зависимость i|?
от переменных ft, h, M
Функция t|) зависит не только от ft, h, M, но и от координаты у,
меняющейся по высоте поперечного сечения балки (| у \ <^h/2).
Эту переменную можно исключить из дальнейших рассмотрений,
учитывая явную зависимость я|) от у и то, что значения яр ограничены
только сверху. Введем вспомогательную функцию W = maxyif),
где —h/2 <; у <J h/2, и придадим условию прочности эквивалент-
эквивалентную форму УР <J к2. Получим выражение для W. При вычислении W
заметим, что относительно переменной у2 функция i|? является
квадратным трехчленом с неотрицательным коэффициентом при г/4.
Поэтому максимум яр по у на интервале —h/2 <; у <; /г/2 дости-
достигается либо при у = 0, либо при у = rt/i/2. Вычисляя эти макси-
максимумы, получим искомое выражение
= max
Операция max в A.11) означает выбор наибольшей из двух вели-
величин, записанных в квадратных скобках.
5. Определим форму балки в случае, когда функция h = h (х)
задана, а разыскивается оптимальное распределение ширины сече-
сечения Ъ = Ъ (х). Выражение A.11) для W подставим в условие проч-
прочности Ч? ^ к2 и рассмотрим отдельно случаи, когда максимум в
A.11) достигается для первой и второй из указанных величин.
В результате определим условия, накладываемые на функцию
Ь (х) критерием прочности
Приходим к задаче отыскания функции Ъ = Ъ (я), удовлетво-
удовлетворяющей неравенствам A.12) и минимизирующей интеграл A.10).
Искомая минималь, очевидно, имеет вид
72

В частности, для балок постоянной высоты (h = const) из
A.13) получим Ъ = max [Ш/kh2, 3 У$\ Мх \ /2kh]. В случае
|4 = 4, к = 1, ft (я) = 1, М = х A — я), Z = 1 зависимость & (я)
показана на рис. 2.9.
6. Перейдем к отысканию оптимального распределения высоты
ft = ft (х) в случае заданной постоянной ширины b = const.
Рассмотрим консольную балку, закрепленную на левом конце в
точке х = О и нагруженную сосредоточенной силой Р на правом
конце в точке х ~ I. В рас-
рассматриваемом случае М = ,
= —Р (/ — я). Исследуем
неравенства, накладываемые
на функцию ft (я) условием
прочности. Если в A.11) мак-
максимум реализуется на первом
выражении в квадратных 0 %f /x
скобках, то из условия W <;
<^к2 можно получить следую- РиСф 2#9
щие два неравенства:
ft > х (х) = [6Р (Z - хIкЬг\% A.14)
A.15)
Заметим, что выражение, записанное в A.15) в круглых скоб-
скобках, положительно, если выполнено условие A.14).
Докажем, что допустимое (в смысле условия W ^ к2) решение
ft (x) удовлетворяет также неравенству
ft >3P /p/2fcb. A.16)
Предположим противное, т. е. условие A.16) нарушается и допу-
допустимое решение ft (х) проходит через точку (xOj h (x0)), для которой
^ (^о) < ЗР J^p/2 6/c. Наряду с этим неравенством воспользуемся
также неравенством (ft (I — х))х <^ 2kb/3 Y$ ^» вытекающим из
условия прочности в предположении, что максимум в A.11) дости-
достигается на втором члене, записанном в квадратных скобках. При
помощи указанных двух неравенств путем интегрирования и вы-
выполнения элементарных преобразований получим двусторонние
оценки
(l — x)h (х0) < , ^ (l — x)h (х0) __2кЫг(т0) (* лн\
I — х0 A + t) + tx ^ ^1 — х0 A — t) — tx ' 3 1^8 Р '
Из правого неравенства A.17) для ft вытекает, что допустимая
функция ft = ft (x) -> 0, причем в окрестности точки х = I главный
член разложения правой мажоранты A.17) имеет вид сг (I — х)
(ci > 0). Учитывая, что функция % из A.14) ведет себя как
с2 (/ — хI/2 при х ->• / (с2 ]> 0), заключаем, что графики этих
73

функций (мажоранты и функции % (х)) пересекутся 6 некоторой
точке отрезка [О, Л. Следовательно, функция h (я), удовлетворяю-
удовлетворяющая условию A.17), будет нарушать неравенство A.14). Получен-
Полученное противоречие доказывает неравенство A.16). Обозначим через
Н (х) (О ^ х <; /) решение задачи
В начальной точке а: = 0 по определению Н = %, а производные
этих функций соответственно равны Нх = О, %х = — ]ЛЗР/2/с6/.
Поэтому при выходе траектории уравнения A.18) из начальной
точки существует интервал 0 < х < 8 (е >• 0), где Н (х) ^> % {х).
Покажем, что Н (х) ^> % (х) при 0 < я ^ I. Для этого рассмот-
рассмотрим условия пересечения кривых Н (х) и % (х). В точке пересече-
пересечения, очевидно, должны выполняться соотношения Н — % и Нх ^
^ 5СХ. Но, как следует из A.18), при Н = % производная Нх = 0,
а %х <С 0 на всем отрезке [0, I] и, в частности, в предполагаемой точ~
ке пересечения кривых. Следовательно, второе из отмеченных
условий (Нх ^ Хх) не выполняется и пересечение кривых х (х) и
Н (х) при 0 < х ^ / не происходит, а поэтому Н (х) > х (ж) на
отрезке 0 ^ х ^ /.
Покажем, что Н (х) -> 0 при х -+ I. Доказывая это утверждение
от противного, предположим существование положительной кон-
константы 6 ]> 0, такой, что Н (х) ^> г при 0 <; х <; /, и заметим, что
при х -> / уравнение A.18) асимптотически представимо в виде
#х = кЬН2/ЗРУ^$ (I — я). Решение этого уравнения Н =
= — ЗР Y^fi/kb In с (I — х) (с> 0 — константа) стремится к нулю
при х -> /, и для достаточно малых / — х будем иметь Н (х) <^ е.
На основании полученного противоречия заключаем, что доказы-
доказываемое утверждение верно.
Из приведенного выше непосредственно следует, что функция
Н(х)]
A.19)
удовлетворяет условию прочности и реализует минимум интегралу
A.10) и, следовательно, является искомым оптимальным решением.
Найденное оптимальное решение A.19) может быть представлено
также в__ следующей форме: h = Н (х) при 0^д:< хш и h =
= ЪРУ$ 12Ък при ж# ^ х ^ I. Величина х* вычисляется из
условия непрерывности функции h (x). Заметим, что функция
Н (x)j рассматриваемая на отрезке 0 ^ х^ /, максимальна при
х = 0. Поэтому, если Н @) < ЗР|/]3/2 Ь, что имеет место для
Р > 8/сЬ//Зр, то оптимальной является балка постоянной высоты
h ¦= ЗР /р 12кЪ.
Определим функцию Н (х) путем численного интегрирования
уравнения A.13). Для удобства вычислений перейдем к безразмер-
безразмерным переменным Я' = АЬЯ/ЗР]Лр", t = 2 {I — х) ШЗРр. В но-
74

вых переменных (штрихи опускаем) уравнение и начальное условие
A.13) примут вид
1/2, H(t1) = Yh. A.20)
Данная задача является однопараметрической с параметром
tv Уравнение A.20) будем интегрировать на отрезке t0 <^ t ^ tx
справа налево из точки t = tv принимая в качестве начального
условия равенство Н (t±) = ]/ tx и определяя величину t0 из усло-
условия Н (t0) = V2, вытекающего из A.16).
Рис. 2.10
fffi
SJ
yff*
V
0
0,25
Численное интегрирование уравнения A.20) проводилось на
ЭВМ для ряда значений параметра tx. Полученные в результате
расчетов зависимости Н = Н (t) при tx = 0,3; 0,4; 0,5; 1; 2 пред-
представлены на рис. 2.10 кривыми 1—5. Штрихпунктирной кривой
на рис. 2.10 показан график функции Н = ]ft.
Заметим, что решение аналогичной задачи для балки круглого
поперечного сечения содержится в работе [30].
§ 2. Оптимизация устойчивости упругих стержней
Задачи оптимизации устойчивости упругих стержней относятся
к числу классических проблем оптимального проектирования.
В проведенных исследованиях этих задач [107, 142, 171, 184—186,
188, 233, 235] было показано, что при оптимизации достигается
значительный эффект, и тем самым была обоснована перспектив-
перспективность дальнейших разработок в этом направлении. Представляют
интерес и сами методы, развитые для решения этих задач. Следует
заметить, что выполненные исследования и разработанные методы
в основном относятся к оптимизации устойчивости упругих кон-
консервативных систем, описываемых самосопряженными краевыми
задачами на собственные значения. Вопросы же оптимального
проектирования неконсервативных систем и, в частности, конст-
конструкций, нагруженных следящими силами, только начинают
изучаться.
Ниже, следуя работе [И], рассмотрим задачу оптимизации ус-
устойчивости сжатого стержня и при этом обобщим известное решение
[171] на случай упругой заделки.
75

Предположим, что консольный
стержень упруго заделан одним кон-
концом, а к свободному концу стержня
приложена сжимающая сила Р (рис.
2.11). При достаточно больших зна-
значениях Р, когда стержень теряет
устойчивость и выпучивается, вектор
силы сохраняет первоначальное нап-
направление, при этом линия действия
силы смещается параллельно самой
себе вместе с концом стержня. Вы-
Выберем прямоугольную систему коор-
координат xoz, совместив начало коор-
координат о с концом стержня и напра-
направив ось х по линии действия си-
силы Р (см. рис. 2.11). Ось z располо-
расположена в плоскости выпучивания стер-
стержня и имеет направление, пока-
показанное на рис. 2.11. Ограничимся
рассмотрением малых деформаций
стержня и исследуем его равновесие,
оставаясь в рамках линейной теории упругости. Обозначим через
w (х) величину отклонения изогнутой оси стержня от линии дей-
действия силы, а через I — его длину. Предполагая, что поперечные
сечения стержня представляют собой подобные фигуры, запишем
основные соотношения задачи максимизации силы потери устойчи-
устойчивости и отыскания наилучшего в этом смысле распределения пло-
площадей S = S (х) по длине стержня
EIwxx + Pw = О, El = C2S\
w @) = 0, (cwx - Pw)x==l = 0,
Рис. 2.11
\sdx=V, P-
> maxs,
B.1)
где Е, с, V, I = I (x) — модуль Юнга, коэффициент жесткости
основания, заданная величина объема балки, момент инерции по-
поперечного сечения относительно оси, перпендикулярной плоскости
изгиба xz и пересекающей нейтральную линию стержня в точке с
координатой х. Под Р понимается первое собственное значение
краевой задачи B.1).
, Необходимое условие оптимальности сжатых стержней выводи-
выводилось ранее различными методами в работах [93, 107, 142, 171, 184,
239] и имеет вид
iv2 = 53. B.2)
В указанных работах это условие было выведено применительно
к другим типам граничных условий. Однако, как нетрудно пока-
показать, оно остается справедливым и в рассматриваемом случае.
76

Необходимое условие оптимальности B.2) связывает функции w
и S и приводит совместно с основными соотношениями B.1) к
замкнутой краевой задаче на собственные значения. Исключая
при помощи B.2) функцию S из уравнения изгиба и изопериметри-
ческого условия и переходя к безразмерным переменным х = х/1,
w' = wC2/Pl2, S' = ISIV, Pr = Pile, получим соотношения
м>хх + w-^ = 0, w @) = 0, (wx - Pw)x=i = 0,
Общее решение дифференциального уравнения B.3) может быть
представлено в параметрическом виде [233]
х = V2 ]/3 fi1/3 @ — V2 sin 29) + fx2, w = [Xi sin3 9,
90 < в < 9lt B.4)
где \ix, fi2, 90, 9X — постоянные, подлежащие определению. Ис-
Используем для отыскания этих констант граничные условия при
ж = 0их = 1и соотношения х (90) = 0, х (9j) = 1. В результате
подстановки в эти условия решения B.4) получим
sin90 = 0, (i8 =-V»/3 ЙЧ. B.5)
V, /3 $* (9Х - 90 - V» sin 2вх) = 1, B.6)
^ = /3 cos вх/Р sin3 ex. B.7)
Соотношениям B.5) — B.7) можно удовлетворить, полагая
90 = 0, \i2 = 0, ех = 9^, |if/e = /3"cos 9^/P sin3 9*, где через 9*
обозначен корень уравнения
Ф (9) = 3 cos 9 (9 — V2 sin 29)/2 sin3 9 = Р, B.8)
удовлетворяющий условию 0^9^^ я/2. Уравнение B.8) полу-
получается, если подставить в B.6) выражение для [д,2/3 согласно B.7) и
положить 90 = 0.
Одновременное добавление к 90 = 0 и 9Х = 9^ величины, крат-
кратной я (при этом постоянные [хх и |и2 подсчитываются по формулам
B.5), B.7)),гможет привести только к изменению знака в выражении
B.4) для w. Но поскольку w определяется из B.3) с точностью до
знака, то указанный сдвиг по оси 9 не приводит к отличному реше-
решению. Отыскание решения B.5) — B.7) с 90 = 0 и ni <91 < ях
X(i + 0,5), где i =1, 2, . . ., в принципе возможно. При этом, как
нетрудно видеть из B.4), у функции w появляются дополнительные
узлы. Так как вычисляется первое собственное значение Р, а ему
соответствует собственная функция, имеющая минимальное число
узлов, то указанные решения рассматриваться не будут. Решение
задачи B.5) — B.7) с я (i — 0,5) < 92 < ni, i = 1, 2, ... не суще-
77

0,5Я 0
Рис. 2.12
Рис. 2.13
ствует, так как в этом случае величина, записанная в правой части
соотношения B.7), отрицательна, а левая часть положительна.
Исследуем некоторые нужные для дальнейшего свойства функ-
функции ф @). Для малых 0 разложим функцию ф @) в ряд Тейлора и
с точностью до членов порядка 03 будем иметь ф @) ж 1 — 02/5.
Следовательно, при 0 ->• 0 функция ф @) ->• 1, причем ф @) < 1.
Далее рассмотрим случай 0 -> я/2. Для удобства введем перемен-
переменную о = я/2 — 0, которая стремится к нулю при 0 -> я/2. Заменяя
в выражении B.8) для ф переменную 0 на со и разлагая ф для малых
со в ряд Тейлора, приходим к следующей оценке: ф ^ Зсо (я —
—4о))/4. Таким образом, при 0 ->• я/2 функция ф стремится к ну-
нулю. Полученный в результате использования асимптотических раз-
разложений и прямых расчетов график функции ф @) показан на
рис. 2.12. Из этого графика видно, что при изменении 0 от 0 до
я/2 функция ф @) монотонно убывает от 1 до 0. Поэтому Р < 1.
В исходных размерных обозначениях это неравенство записыва-
записывается в виде Р < с/1 я представляет собой условие устойчивости в
задаче о равновесии абсолютно жесткого упруго заделанного
стержня (см., например, [117]). Уравнение B.8) задает связь между
неизвестными величинами 0* и Р. Чтобы получить недостающее
второе уравнение, служащее для определения О^иР, подставим
решение B.4), B.7) в изопериметрическое условие B.3) и исключим
из получающегося соотношения величину Р, используя для этого
равенство B.8). В результате будем иметь
<DFi) = y, ф (ej = ф (ej Ф-/'(ej. B.9)
Полученный на основе прямых вычислений график функции
Ф @) показан на рис. 2.13. При убывании 0 от я/2 до нуля функция
78

Ф монотонно возрастает от Одб ©о, притек йри 6 -> 0 эта функций
асимптотически представима в виде Ф @) « 3 ]/3/50. Следова-
Следовательно, решение уравнения B,9), удовлетворяющее условию
О < 02 ^ я/2, существует для любых неотрицательных значений
параметра у.
Таким образом, отыскание при заданных константах С2, /,
F, с оптимального распределения площадей сечений S (х) и ему
соответствующей критической силы Р сводится к последовательно-
последовательному выполнению следующих вычислительных операций. По задан-
Z
Рис. 2.14
ным постоянным С2, lj Vj с вычисляется значение безразмерного
параметра у. Для полученного значения у путем решения транс-
трансцендентного уравнения B.9) определяется величина Qv Затем
подсчитывается безразмерная критическая сила Р, которая соглас-
согласно B.8) равна Р = ф @Х). Определение оптимальной формы про-
проводится по формулам
О — -?- sin 29
B.10)
6i - — sin 28i /3 v (бА - — sin 20^
в которых 0 ^ 0 <; 01# Формулы B.10) вытекают из соотношений
B.2), B.4), B.6).
В указанном порядке проводились расчеты на ЭВМ. Получен-
Полученные результаты расчетов для у = 0,5?, i = 1, 2, . . . , 10 значе-
значений величин BjhP представлены в табл. 2.1. На рис. 2.14 кривыми
Таблица 2.1
Y
0,5
1
1,5
2
2,5
01
1,283
0,882
0,640
0,496
0,404
р
0,488
0,811
0,909
0,948
0,966
Y
3
3,5
4
4,5
5
е4
0,339
0,292
0,257
0,229
0,206
р
0,976
0,983
0,987
0,989
0,991
79

/, 2 показаны оптимальные распределения S = S (х), соответству-
соответствующие значениям у == 0,5; 5. Штриховой линией представлено
распределение S (х) жестко защемленной балки (у = 0). Из сопо-
сопоставления этих графиков, а также рассчитанных распределений,
отвечающих другим значениям 7> видно, что с увеличением жестко-
жесткости заделки с (у ->¦ 0) распределение S (х) приближается к соответ-
соответствующему распределению жестко защемленного стержня. Если
жесткость крепления с уменьшается (у возрастает), то материал
оптимального стержня «перемещается» от свободного конца к
защемленному краю.
§ 3. Оптимальные конфигурации ветвящихся стержней
В связи с оптимизацией конструкций в технике и исследованием
ветвей растений как упругих систем, представляет интерес решение
задач об оптимальной конфигурации ветвящихся стержневых сис-
систем, обладающих минимальным весом при заданных ограничениях
по прочности. Ниже, следуя работе [147], рассмотрим конструк-
конструкции, нагруженные сосредоточенными силами, и найдем значения
параметров, при которых оптимальной является конструкция с
разветвлением.
1. Рассмотрим стержневую конструкцию из трех однородных
прямых упругих стержней (рис. 2.15). Стержень ОХ расположен
вдоль оси х\ стержни ХА, ХВ лежат в горизонтальной плоскости
ху, одинаковы и симметричны друг другу относительно вертикаль-
вертикальной плоскости xz. Координаты точек О, X, А, В в плоскости ху
равны @, 0), (х, 0), (а, Ь), (а, — Ь) соответственно, где а > 0 и
Ъ > 0 — заданные числа, а координата развилки х заключена в
пределах 0 <^ х ^ а.
Относительно сечений стержней предположим, что они постоян-
постоянны по длине каждого стержня и характеризуются линейными раз-
размерами Ь,г для стержней ХА, ХВ и h2 для стержня ОХ, При этом
будем различать три случая геометрии сечений: 1) толщина стерж-
стержней по оси z постоянная и одна и та же для всех стержней, а форма
сечений является результатом растяжения некоторой заданной
области вдоль горизонтальной оси, перпендикулярной оси стерж-
стержня; 2) толщина стержней в плоскости ху постоянная и одна и та же
для всех стержней, а форма сечений является результатом растяже-
растяжения заданной области вдоль оси z; 3) сечения стержней подобны
некоторой заданной области. Линейные размеры fex, h2 имеют
в случае 1) смысл горизонтальной толщины стержней, в слу-
случае 2) — их вертикальной толщины, в случае 3) — некоторого харак-
характерного размера сечения. В частности, в случае круглых стержней
ri> Г2 — их радиусы.
В точке О стержень ОХ заделан, в точке X все стержни жестко
соединены между собой. Конструкция нагружена заданными сила-
силами, параллельными оси z и симметричными относительно плос-
плоскости XZ.
80

Сформулируем следующую задачу: определить оптимальную
конфигурацию стержневой системы ОХАВ, обладающую наимень-
наименьшим объемом V и удовлетворяющую ограничению а <^ а0, где
а — наибольшая величина напряжения в конструкции при задан-
заданных внешних нагрузках, а0 — заданная положительная постоян-
постоянная. Величина а связана с изгибающим моментом М соотношением
о = ММ*1, где / — момент инерции сечения относительно гори-
горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести сечения, h —
Рис. 2.15
наибольшее расстояние от этой оси до точек сечения. Условие
а ^ ог0 ограничения на переменные hv h2i x с учетом равенства
о = ММ*1 можно переписать в виде
7*1 > 0, г2 > 0, 0 < х < а,
C.1)
где М1У М2 — наибольшие изгибающие моменты для стержней ХА,
ОХ соответственно, число т = 1, 2, 3 отвечает указанным выше
трем случаям различной геометрии. Постоянная с зависит от
т и от формы сечения, в частности для круглых стержней имеем
т = 3, с = я/4.
Объем конструкции запишется в виде
V = с0 {2Л? [(а - хУ + Ь2]'/* +
C.2)
где Со — постоянная, зависящая от формы сечения (для круглых
стержней с0 = я), п = 1 при /7г = 1,2и/г = 2 при /тг = 3. Постав-
Поставленная задача свелась к минимизации функции C.2) по параметрам
х, hu h2, удовлетворяющим неравенствам C.1). Далее проводится
решение задачи для двух видов внешней нагрузки.
2. Пусть на конструкцию действуют две равные сосредоточен-
сосредоточенные силы Р, параллельные оси z и приложенные в точках Л, В.
Наибольшие изгибающие моменты для стержней ХА, ОХ дости-
достигаются в точках X, О соответственно, и неравенства C.1) имеют вид
г = Р [{а - xf
= 2Ра
81

При указанных неравенствах й ограничениях, записанных в
C.1) во второй строчке, минимум объема C.2) по Лх, h2 при фикси-
фиксированном х достигается для минимально возможных h±1 h2i допус-
допускаемых этими ограничениями. Имеем
Подставляя эти выражения в соотношение C.2), получим после
преобразования и введения безразмерных переменных
V = VxU F). Уг = 2с0 (^JР'1 (а2 + Ь«)", C.4)
-=tge, 6- — f p=~ + _,
Л (g) = cos2*>9.«(l ~62) + tg29F + 2**-%}.
Здесь Vx — объем конструкции из двух стержней ОА, ОБ
р^отсутствии разветвления (т. е. при х = 0), 0 — угол АОх
(см/рис. 2.15), число р равно 1, 3/4 и б/в в случаях т = 1, 2, 3
соответственно.
Исходная задача сводится к отысканию минимума функции Д
из C.4) по ? ЕЕ [0, 1]. Дифференцируя Д, получим
- 2Р [A - ?J + tg2 ер-* A - 6)
, 0,75<р<1.
Из этих формул имеем /^ ->- —оо при ? -»¦ —оо и /ц ^> 0
при ? = 1. Следовательно, выпуклая по 6 функция Д (^) имеет на
интервале 6 ?= (—°°» U абсолютный минимум при значении ^0>
которое есть единственный корень уравнения /^ = 0 или
P(i- Бо) [A - Ы2 + tg2 e]p^ = 22^зв (з.5)
Если ?0 > 0, то искомый минимум v по 6 ЕЕ [0, 1] достигается
при 6 = ?о> в противном случае (|0 <^ 0) функция Д монотонно
возрастает на интервале 0 ^ ^ ^ 1 и достигает минимума при
6 = 0. Поэтому искомая точка минимума 6* представима в виде
?* = max [0, 10]. Согласно этой формуле равенству 6* = 0 отве-
отвечает случай отсутствия разветвления (х = 0), когда конструкция
состоит фактически из двух отдельных стержней О А, ОБ. Ее без-
безразмерный объем Д в этом случае согласно C.4) равен Д @) = 1.
Объем оптимальной конструкции обозначим через Д* = Д (?*) ^
<^ 1. Величина 1 — /lJ|s характеризует относительную экономию
материала для оптимальной конструкции по сравнению с конструк-
конструкцией из двух стержней. Введем еще отношение линейных размеров
сечений стержней C.3) для оптимальной конфигурации
tg2 ei}1/=
о. 6)

4*
0,8
0,6
0,2
Рис. 2.16
т = 2
\
л
Рис. 2.17
О
Л*
А*
0,9
0,8
0J
0,0
0,?
00
же'
т=2
А
]
J0
00
В случае стержней постоянной вертикальной толщины (т = 1,
р = 1) на основании формул C.4) — C.6) и представления ^ =
= max [О, |0] получим искомое решение в виде
0<0<я/2,
C.7)
Здесь оптимальная конструкция всегда имеет разветвление,
расположенное посередине отрезка [0, а] оси х. Максимальная
относительная экономия материала A — /ы) по сравнению с конст-
конструкцией из двух стержней достигается согласно C.7) при 0 = 0
и составляет 0,25. Эта экономия достигается за счет перераспреде-
перераспределения материала по длине стержня: здесь r\ = V4, т. е. ширина
hx стержней ХА, ХВ оказывается в 4 раза меньше, чем ширина h2
стержня ОХ, что следует также из формул C.3) при Ъ = 0, х =
= а/2.
В случаях т = 2, 3, р < 1 анализ уравнения C.5) показывает,
что ?* <С 0 при 0 > 0* и ?0 > 0 при 0 < 0*. Здесь 0* есть то значе-
значение 0, при котором уравнение C.5) имеет корень ?0- Из C.5) при
?0 = 0 найдем
0# = arccos [0,5 B/?I/<2р-2>],
0^ = arccos 2/9 х 77,16° (т = 2, р = 0,75),
0/= arccos 0,108 ж 83,80° (т = 3, р = */6).
C.8)
83

Рис. 2.18
Итак, при 0 > 0# оптимальная конструкция состоит из двух
отдельных стержней (?•* = 0), а при 0 < 0* имеет место разветвле-
разветвление (?# > 0). При 0 > 0* имеем из соотношений C.4), C.6)
?о = 0, U = l. C.9)
Приведем еще соотношения, полученные из формул C.4) — C.6)
в частном случае 0 = 0:
= 2, 3),
C.10)
т| = Dp)V(i-m) @ = 0; /
^ = 0,7778, /lsH = 0,6547, т) = 0,3333 (т = 2),
g = 0,6714, /lHi = 0,6894, г] = 0,5477 (т = 3).
На рис. 2.16 представлены полученные численно при помощи
соотношений C.5) и ?# = max [0, ?0] зависимости ?# @) для т =
= 2, р = 3/4 (стержни фиксированной толщины в горизонтальном
направлении) и для т = 3, /? = 5/6 (стержни с подобными, напри-
например, круглыми сечениями). На рис. 2.17 изображены в зависимости
от 0 соответствующие безразмерные объемы оптимальных конст-
конструкций /lJ|t. На рис. 2.18 даны безразмерные отношения C.6) линей-
линейных размеров сечений стержней. Все кривые рис. 2.16—2.18
построены на интервале 0 ^ 0 <; 0^, где бодано в C.8). Размерные
величины х, hv h2, V можно восстановить по формулам C.3), C.4),
C.6).
В работе [147] рассмотрен также случай, когда конструкция
(см. рис. 2.15) нагружена собственным весом.

§ 4. Проектирование оптимальных криволинейных стержней
В задачах оптимизации балок и стержней, изложенных в § 1,2,
в качестве искомых управляющих функций рассматривались рас-
распределения толщин при фиксированном положении осевых линий
(в недеформированном состоянии). В § 3 и сама конфигурация
стержневой системы не считалась заданной, однако предполага-
предполагалось, что ее элементами являются прямолинейные стержни. Наряду
с указанными постановками представляет интерес нахождение
самой формы осевой линии (в недеформированном состоянии) из
условия экстремума некоторых жесткостных или прочностных
характеристик. К типичным задачам этого класса можно отнести
определение оптимальной формы криволинейного упругого стерж-
стержня [15].
1. Рассмотрим задачу определения оптимальной формы упруго-
упругого криволинейного стержня, жестко закрепленного одним концом
в точке О (рис. 2.19) и находящегося под действием статических
нагрузок. Ограничимся тем случаем, когда ось стержня представ-
представляет собой плоскую фигуру, задаваемую параметрическими урав-
уравнениями х = х (s), z = z (s), где s — длина, отсчитываемая от точки О.
Предположим, что одна из главных осей инерции поперечного
сечения стержня расположена в плоскости xz и что все внешние
силы действуют в той же плоскости. Поэтому ось стержня после
деформации останется плоской кривой. Деформации стержня
будем считать малыми.
Форма криволинейного стержня задается положением осевой
линии, т. е. функциями х (s), z (s), и. величиной h = h (s), условно
называемой толщиной стержня. В качестве этого параметра так же,
как и для упругих балок, можно, например, принять высоту прямо-
прямоугольного поперечного сечения или радиус для случая стержней
круглого поперечного сечения. От значения величины h зависят
используемые ниже следующие жесткостные и геометрические
характеристики стержня: статический момент d, момент инерции /
и площадь поперечного сечения S.
Обозначая далее через u, w, M, N, Q соответственно компоненты
вектора перемещения вдоль осей х nz, изгибающий момент, растя-
растягивающие и перерезывающие усилия, и учитывая, что и = w = О
в точке О, запишем формулы, приведенные в [128, 132] и служащие
для вычисления перемещений конца стержня:
i
о
85

где х0, у0 — координаты свободного
конца стержня в недеформированном
состоянии, а I — его длина. Через
R, Е, х, ф обозначены соответственно
радиус кривизны осевой линии,
модуль Юнга, коэффициент, зави-
зависящий от формы поперечного сечения
(x = 3(l + v) для стержней прямо-
прямоугольного сечения, v — коэффициент
Пуассона), угол между нормалью к
оси стержня и линией, параллельной
оси z (см. рис. 2.19). Положение сво-
свободного конца (х0, z0) криволинейного
стержня (в недеформированном сос-
состоянии) считается заданным. Входя-
Входящие в подынтегральное выражение
для и и w величины М, N, Q, R, ф
предполагаются заданными в зависи-
зависимости от х, z и их производных по s. Для Диф это известные гео-
геометрические соотношения, а для величин М, N, Q эти зависимости
нетрудно получить в каждом конкретном случае нагружения
стержня из силовых условий равновесия, так как рассматрива-
рассматриваемая задача является статически определимой.
Будем предполяга-ib заданными длину стержня /, его объем V и
координаты х0, z0. Запишем эти условия, а также необходимые
геометрические соотношения
Рис. 2.19
\S(h)ds=V,
D.1)
В качестве минимизируемого функционала / рассмотрим неко-
некоторую функцию F смещений свободного конца стержня
J = F (и (/), w (I)) -> min. D.2)
Задача оптимизации заключается в отыскании на интервале
О < s < / функций х (s), z (s) и h (s), удовлетворяющих условиям
D.1) и доставляющих минимум функционалу D.2).
Заметим, что если в последнем условии D.1) реализуется знак
равенства, то осевая линия стержня будет прямой, соединяющей
точки @, 0) и (х0, z0), а оптимизационная задача сводится к отыска-
отысканию одной функции h (s).
2. В данном пункте положение осевой линии предполагается
фиксированным, т. е. заданными считаются функции х = х (s) и
z =3Z (s), а определению подлежит функция h (s). Через h = h (s)
здесь обозначается распределение толщины стержня прямоуголь-
прямоугольного сечения по длине или толщины несущих слоев трехслойных
86

(Ё1 = Аа№, S = bh). Рассмотрим сначала случай тон-
тонких стержней, когда
Лтах/*<1, Лщах/Дтт < 1. D.3)
Здесь йтах = maxsA (s), Jf?min = minsi? (s). При предположе-
предположениях D.3) выражения для смещений конца стержня даются форму-
формулами
Уравнение Эйлера для неаддитивного в общем случае функцио-
функционала D.2), D.4) при изопериметрическом условии постоянства
объема D.1Iможет быть записано в виде (см. § 7 главы I) Л/7&~<а+1> х
X l(z0 —* z) Fu — (я0 — #) FJ = Я, где Я — множитель Лагранжа,
соответствующий изопериметрическому условию. Частные произ-
производные Fu = Fu (и, w)ts. Fw = Fw (u, w) вычисляются при значени-
значениях функционалов и (I) и w (/), соответствующих экстремали вариа-
вариационной задачи. Для отыскания решения этого уравнения можно
воспользоваться следующим приемом. Обозначим величины FU9 Fw,
соответствующие экстремали вариационной задачи, через уг и у2,
а условие оптимальности запишем в виде
1
- *) Vi - (*о- х) у2])а+1 ' D.5)
Константы Yi и Y2 могут быть найдены из решения системы
уравнений Fu = /х (yx, у2, Ц = 7i, Fw = /2 (Yi, Y2> Ц = Y2» K кото-
которой приходим в результате подстановки представления для h D.5)
в формулы D.4) и последующего вычисления величин Fu и Fw.
После определения констант ух и Y2 множитель X находится по фор-
формуле
В частном случае, когда F = $ги (I) + $2w (/), a рх, p2 —
заданные константы, на основании указанных формул получим
j__ i
h = -?- [М (z0 — z) Pi — (xq — x)p2f+1 (\ (M [(z0 — z) pi —
На примере трехслойного стержня оценим выигрыш в жестко
сти оптимального стержня по сравнению со стержнем, имеющим
постоянную толщину несущих слоев. В рассматриваемом примере
осевая линия стержня имеет форму дуги окружности} z = г sin ф,
87

х = г A — cos ф), х0 s= г, Zq = г, 0 < ф < я/2, где г — радиус,
а внешняя нагрузка дается в виде сосредоточенной силы, приклады-
прикладываемой в точке (хо, z0) и действующей в отрицательном направле-
направлении (рис. 2.20). В качестве минимизируемого функционала примем
величину вертикального смещения w свободного конца стержня
(Р2 = 1, Рх = 0). Величина прогиба
w для трехслойного стержня посто-
постоянного сечения, как это следует из
формул D.1), D.4), будет равна w =
= nh^Pbl&A-iEV. В случае стержня,
имеющего тот же самый объем V
(армирующих слоев) и оптимальное
распределение толщины h=V cos ф/rft,
величина смещения равна w% = Рг*Ы
IEA±V. Из сравнения величин проги-
прогибов получим, что относительный вы-
выигрыш в жесткости оптимального
стержня по сравнению со стержнем
постоянной толщины приблизитель-
приблизительно равен 18%.
Перейдем к общему случаю, отказавшись от предположения о
тонкости стержня. Рассматривая сплошные стержни прямоуголь-
прямоугольного сечения (/ = bh3/l2, S = bh), запишем формулы D.4) следу-
следующим образом:
Г X
Рис. 2.20
о о
где величины Фх, . . . , Ф4 не зависят от h и равны
^z~ Eb v"° ">' 4~
Необходимое условие минимума функционала D.2), D.6) при
интегральном ограничении на h D.1) примет вид (см. § 7 главы I)
ff2 (ф^и -)- Фз^ю) 4~ ЗЛ~4 (Фг^и + Ф*Ру>) = ^* D-7)
Здесь X — множитель Лагранжа. Величины Fu и /^ имеют тот
же смысл, что и в случае тонких стержней и поэтому при решении
уравнения D.7) можно пользоваться указанным выше приемом.
Если] минимизируемый функционал F задан в видеи F = $iu(l) +
+ Рг w (Z), то Fu = рх, Fw = 02, а уравнение Эйлера D.7) сводится
к биквадратному алгебраическому уравнению относительно h.

В этом случае решение рассматриваемой задачи приводится к
вычислению постоянной X, для определения которой служит урав-
уравнение, получающееся после подстановки в изопериметрическое
условие D.1) выражения для h из D.7).
3. В предыдущих рассмотрениях (см. пункт 2) положение осевой
линии стержня считалось заданным, а отыскивалась одна управ-
управляющая функция h (s). В данном же пункте наряду с распределе-
распределением толщин k (s) будем отыскивать форму осевой линии, т. е. пару
функций х (s), z (s). Рассмотрим задачу оптимизации D.1), D.2) в
предположении о тонкости стержней D.3) и для вычисления вели-
величин и (I) и w (Г) будем использовать формулы D.4). Кроме того,
дополнительно конкретизируем постановку задачи. Внешнюю
нагрузку, действующую на стержень, зададим в виде сосредоточен-
сосредоточенной силы Р, приложенной к свободному концу стержня и направ-
направленной параллельно оси z. В качестве минимизируемого функцио-
функционала примем абсолютное значение вертикального прогиба w не-
незакрепленного стержня, т. е. величину смещения в направлении
действия силы.
Используя сформулированные предположения и принимая в
качестве независимой переменной координату х, запишем основные
соотношения вариационной задачи
Р } (o)VT+7x
{ 1 x rfamin D.8)
Л«о
z@) = 0, z(xo) = zo, D.9)
&dx=l, D.10)
где zx = dz/dxj a a = О, 1, 3. Случай а = О является особым, так
как при а = 0 жесткость стержня не зависит от h и оптимизации
подлежит только форма осевой линии z (х). В случае а = 0 условие
D.11) не рассматривается. Решение вариационной задачи D.8) —
D.11) будем разыскивать в классе непрерывно дифференцируемых
функций z (х) и непрерывных функций h (x). Необходимые условия
экстремума [39, 571 в- задаче D.8) — D.11) для функций z ъ. h
элементарными преобразованиями приводятся к виду
- s)i+« + Со] = Съ
D.12)
h = [%0 (х0 — хJР1+а, D.13)
где Со, Си Яо — произвольные константы.

Уравнение D.12) определяет оптимальную форму z ==¦ z (х)
осевой линии стержня при оптимальном выборе изменения толщи-
толщины h (х). Для вычисления констант Со, Си %0 и произвольной
постоянной, возникающей при интегрировании уравнения D.12),
имеем два граничных условия D.9) и два изопериметрических усло-
условия D.10), D.11).
Можно показать [15], что для тех случаев, когда z0 Ф 0 или
z0 = 0, но I ^> xQJ производная решения будет отлична от нуля на
всем интервале 0 ^ х <^ х0.
В дальнейшем без ограничения общности будем считать z0 ^> 0,
откуда в силу отмеченного свойства вытекает, что оптимальное
решение z (x) и производная zx (x) положительны (z (х) > 0 при
0 < х ^ х0, a zx ^> 0 при 0 <; х < х0). Следствием же неотрица-
неотрицательности производной zx будет условие
l<xo + zo, D.14)
выполнение которого необходимо для существования решения
задачи.
Интеграл уравнения D.12) с учетом D.9), D.10) может быть
представлен в виде
Хо
dt
=- = Z0,
Последние два соотношения D.15) рассматриваются как уравне-
уравнения, служащие для определения констант Со, Сг. Для отыскания
постоянной Хо, входящей в формулу D.13), подставим выражения
для h и zx из D.12), D.13) в условие D.11) и выразим Хо из получен-
полученного равенства. В результате приходим к формуле
а) 4Л 6)
по которой можно вычислять Ло, если найдены Со и С1в
Приведенные выражения D.15), D.16) зависят от значения пара-
параметра а, характеризующего тип сечения стержня, и не зависят от
величины коэффициента Аа- Поэтому оптимальная форма осевой
линии будет одинаковой для стержней различного типа, но имею-
имеющих одинаковый показатель в зависимости El = Aaka.
Ниже кратко изложим результаты исследований оптимальных
форм криволинейных стержней для случая ос = 1, Более подроб-
90

ное изложение, а также рассмотрение других случаев содержится в
работе [15].
4. Для удобства введем безразмерные переменные х' = х/х01
z' = z/x0J V = 1/х01 б = zo/xo. Штрихи над безразмерными перемен-
переменными в дальнейшем опускаются.
Вычислим в соотношениях D.15), D.16) интегралы и перейдем
к безразмерным переменным. В результате получим уравнение,
определяющее форму осевой линии и соотношения, которым
должны удовлетворять постоянные с0 = С0/х0, с1 — Сх/х0:
A+со)*-
ci In
Г l
L
L = б,
J
+ CoJ_c2_ /cg_cJ= z. D.17)
Условия существования решения (неравенства D.1), D.14))
запишем следующим образом: I — 1 < б ^ ]Л/2 — 1. После соот-
соответствующих преобразований систему уравнений, служащую для
определения величин с0 и с1( можно привести к виду
=-Lyi*-1 [Bс0 + 1 - /) Bс0
[Bс° + * ~
х
X
jJL
co + f|2co+l-/2| J
D.18)
Константа с0 находится как решение второго уравнения D.18),
а затем в силу первого соотношения D.18) прямым подсчетом
определяется константа сх. С использованием приведенных соотно-
соотношений отыскание констант с0 и сг проводилось численно на ЭВМ.
Затем по приведенной в данном пункте формуле для z определялись
искомые зависимости z = z (x). На рис. 2.21 показаны полученные
в результате расчетов для I = 2 оптимальные формы осевых линий.
Цифрами 1—4 отмечены кривые, отвечающие значениям параметра
б, равным 1,060; 1,308; 1,537; 1,681.
Рассмотрим поведение оптимальных форм в случае, когда зна-
значение параметра б мало по сравнению с единицей. Воспользуемся
следующими представлениями z = eZ, I = 1 + гЧ^ б = еб#,
где е ^> 0 — малый параметр. Исследование этого случая можно
провести на основе соотношений, приведенных в данном пункте,
однако более просто исходить из уравнения, граничных условий и
91

ff,S
изопериметрического равенства
A -)- с0 — х) Zx = cv
Z @) = О, Z A) = 6*,
1 D.19)
\ Zxdx= 2/^,
к которым приводятся соотношения
D.9), D.10), D.12) при использовании
указанных представлений для z, Z,
б и пренебрежении членами более
высокого порядка малости. Разрешая
эти соотношения, получим выражения
для Z как функции х, t и трансцен-
трансцендентное уравнение для константы
t = 1/с0
/
In A + t)
-In
l+t-xt
Рис. 2.21 ^1== ? 277 ' V ;
Условие / — 1 < б < |Л/2 — 1 в рассматриваемом случае при-
примет вид 6I/2Z* •< 1.
Изучим поведение функции г^ (t) для ? > 0. При малых значе-
значениях t функция г|)! (t) асимптотически представима в виде грх (t) =
= 1 ?2/12 и? следовательно, в области малых t при стремлении t
к нулю функция г|)! (t) стремится к единице, не превосходя этого
зкачения. Для больших значений t функция г^ (t) ведет себя как
(In2 t)/t и тем самым стремится к нулю при t, стремящемся к беско-
бесконечности. Результаты расчетов и отмеченные асимптотические
свойства показывают, что при изменении t от 0 до оо функция^ (t)
монотонно убывает от единицы до нуля (график функции ^{t),
полученный в результате расчетов, показан на рис. 2.22, кривая 1).
Рассмотрев поведение функции^ (*), приходим к выводу, что для
всех значений параметров задачи, удовлетворяющих условию
б|/2/н.<1, решение вариационной задачи D.20) существует и
единственно.
На рис. 2.23 показаны полученные в результате вычислений
оптимальные формы криволинейных стержней. Цифрами 1—4
отмечены кривые, отвечающие значениям параметра t = 0,5; 2,5;
10; 50. Значения параметра Sj/2/* для указанных ? соответственно
равны 0,986; 0,879; 0,632; 0,315.
Для значений параметра 6J/2/*, близких к единице, используя
асимптотическое представление для грх при малых ?, получим
явное выражение для t и уравнение оптимальной осевой линии
Z = 6** [1 + t(z- l)/2], t = 2 B - 61/у1/,.
92

/,0
0,8
0,4
0,2
V
\
\
\
z
—•—-
—
0,f -
/
Ш
0 /0 20 J0
Рис. 2.22
Рис. 2.23
Проведенное в данном параграфе исследование иллюстрирует
то обстоятельство, что увеличение числа управляющих функций не
всегда усложняет решение задачи оптимизации. Иногда даже из-за
наличия дополнительных условий оптимальности, обусловленных
увеличением числа управляющих функций, возникают упрощения
и появляются возможности получения аналитического решения.
Другие примеры к сказанному содержатся в [55], где рассмотрена
близкая по постановке задача об одновременной оптимизации фор-
формы срединной поверхности и распределения толщин оболочки
вращения.
§ 5. Оптимизация неравномерно нагретых
и^предварительно напряженных стержней
Наличие температурных и предварительных напряжений суще-
существенно влияет на прочностные и жесткостные характеристики
конструктивных элементов. Так, известным примером ухудшения
жесткостных характеристик является снижение на определенных
режимах полета эффективной крутильной жесткости неравномерно
нагретых сверхзвуковых крыльев. Наличие осевых температурных
напряжений, вызванных аэродинамическим нагревом, может при-
привести, например, к потере устойчивости (дивергенции, флаттеру)
крыльев, потере несущей способности, реверсу элеронов и т. д.
[38]. Наряду с температурным нагревом, источником осевых напря-
напряжений в тонком крыле (замкнутом тонкостенном стержне) могут
быть и другие условия эксплуатации, а также различные способы
создания предварительного напряженного состояния при изготов-
изготовлении конструкции. Поскольку тепловые нагрузки являются
определяющими (в особенности при проектировании летательных
93

аппаратов), а различные методы создания предварительного напря-
напряженного состояния широко применяются на практике для улучше-
улучшения механических характеристик конструкции, то представляет
интерес как рассмотрение задач оптимизации с учетом этих факто-
факторов, так и изучение вопросов об оптимальном распределении
предварительных напряжений по конструкции [203]. Ниже изло-
изложим результаты, полученные недавно В. М. Картвелишвили и
А. А. Мироновым, исследовавшими задачи оптимизации крутиль-
крутильной жесткости неравномерно нагретых и предварительно напря-
напряженных тонкостенных стержней.
1. Для оценки крутильной жесткости длинного цилиндрическо-
цилиндрического стержня при наличии самоуравновешенных осевых напряжений
ах используем формулу [38, 136]
GCe = GC0 + j охг4п, E.1)
где осевые напряжения удовлетворяют следующим интегральным
условиям
j O. E.2)
Здесь GCq —крутильная жесткость по Сен-Венану [6], G —
модуль сдвига, dVi — элемент площади поперечного сечения, заня-
занятого материалом, г — расстояние от d?l до оси кручения. Стержень
расположен вдоль оси х.
На величины осевых напряжений и погонный угол закрутки
стержня 0 наложены также ограничения
GQd < ах < сг0, E.3)
где d — характерный линейный размер стержня; (Го —константа,
некоторая характерная для данной конструкции величина.
Из формулы E.1) следует, что при определенных распределени-
распределениях температурных и предварительных осевых напряжений кру-
крутильная жесткость может обратиться в нуль или даже стать отри-
отрицательной. Это обстоятельство применительно к задаче о крыле
интерпретируется в [179] как потеря устойчивости.
Однако соответствующим изменением этих же величин можно
и увеличивать эффективную крутильную жесткость. Этого можно
добиться, например, рациональным распределением толщины об-
обшивки в сечении крыла.
2. Рассмотрим задачу об оптимальном распределении толщин в
поперечном сечении тонкостенного стержня (при заданных осевых
напряжениях) из условия максимальности эффективной крутиль-
крутильной жесткости. Эта задача возникает при максимизации жесткости
сверхзвуковых крыльев. Действительно, в практике проектирова-
проектирования крыльев форма контура выбирается из соображений аэродина-
аэродинамики. Распределением же толщин обшивки крыла можно, не меняя
его аэродинамических характеристик, увеличить эффективную
94

крутильную жесткость. Имея в виду приложение результатов к
задаче о крыле, примем известное допущение [38] о неизменности
физических характеристик материала при нагреве.
Обозначим через s координату, отсчитываемую вдоль контура
Г поперечного сечения. Будем считать, что распределения толщин
и температур по контуру являются функциями одной независимой
переменной s, т. е. h = h (s), Т = Т (s). Функция Т (s) предполага-
предполагается заданной, a h (s) — искомой. Предположим далее, что попе-
поперечное сечение стержня, распределение температур Т (s) и толщин
h (s) имеют две оси симметрии. В этом случае для свободного от
внешних силовых нагрузок статически определимого неоднородно
нагретого стержня осевое напряжение сг^ = Gx (s) определяется
формулой [98]
огя = Е [9 - р Т (*)], Я = 2 G A + v),
6= р (J T (s) h (s) ds)Kh (s) ds, E.4)
T ' Г
где Р — коэффициент линейного расширения, а величина 0 может
интерпретироваться как средняя температура. Определяя величи-
величину GC0 по формуле Бредта [6] и подставляя E.4) в E.1), получим
явное выражение для эффективной крутильной жесткости нагре-
нагретого тонкостенного стержня
GCe = 4GQ2 К -y-Y* + Ejj /гг2 [9 - рГ] ds. E.5)
Данное выражение для эффективной жесткости запишем в
безразмерных переменных
Q/l\ K = hl\V Г = рГ,
E.6)
где использованы обозначения
= 5 hds.
г г
В безразмерных переменных E.6) (штрихи опускаем) будем
иметь (v = 2 Q7(l + v))
^ \ E.7)
E.8)
г
Эффективная крутильная жесткость Се представлена в E.7)
в виде суммы двух членов Со и CV, где Со — жесткость стержня на
кручение, вычисляемая по формуле Бредта, а Су — вклад в эф-
эффективную крутильную жесткость, обусловленный нагревом и
возникающими осевыми напряжениями. Выражение E.7) для Ст
95

преобразуем с учетом E.4)
Ст = 5 Th (г2 — г2) ds, г2 = ^ hr%ds. E.9)
г г
Из E.9) видно, что если стержень имеет круговое сечение с
постоянной толщиной стенок, то Ст = 0. Иными словами, каково
бы ни было распределение температур, крутильная жесткость
круглого тонкостенного стержня не изменяется из-за осевых
температурных напряжений.
Анализируя формулу E.9), будем иметь в виду постоянное рас-
распределение толщин h = const и распределение температур, харак-
характерное для сверхзвуковых крыльев [38, 179], когда температура
возрастает при приближении к передней и задней кромкам крыла,
т. е. к наиболее удаленным от центра кручения точкам. В этих
точках величина г2 больше, чем среднее значение г2, обозначенное
выше через г*, т. е. г2 > г*. Поэтому при h = const величина Ст <
< 0. Следовательно, у крыльев с обшивкой постоянной толщины
жесткость на кручение при указанном температурном поле умень-
уменьшается.
Используя E.9), нетрудно также убедиться в том, что для лю-
любого заданного распределения температур Т = Т (s) можно найти
как распределения толщин, для которых Ст ^> 0, так и распреде-
распределения h (s), для которых Ст < 0.
Учитывая сказанное, поставим следующую задачу оптимиза-
оптимизации. Для заданного контура Г и фиксированной функции темпера-
температур Т (s) требуется найти такое распределение толщин h (s), кото-
которое удовлетворяет изопериметрическому условию E.8) и максими-
максимизирует эффективную жесткость на кручение
Сене = maxh (Со + Сг), E.10)
где Со и Ст определены согласно E.7). Сформулированная задача
так же, как и некоторые из рассмотренных задач предыдущего
параграфа, относится к вариационным задачам с неаддитивными
функционалами. Необходимое условие оптимальности для задачи
E.7), E.8), E.10) получим, используя формулы, приведенные в
§ 7 главы I. После соответствующих преобразований это условие
примет вид
=Ce.. E.11)
Разрешив E.11) относительно h = h (s), приходим к соотноше-
соотношению, удобному для качественного анализа:
yJe:+V ($) E.12)
96

Рис. 2.24
Значения констант 0, Со, Cei(. интегрально зависят от /г, и поэто-
поэтому соотношение E.12) представляет собой нелинейное интеграль-
интегральное уравнение относительно h. С помощью соотношения E.12)
проведем качественный анализ зависимости h = h (s) оптималь-
оптимального стержня. Рассмотрим выражение E.12) дляф. Сомножители в
этой формуле характеризуют отклонения значений Г и г2 в данной
точке контура от осредненных по контуру значений указанных
величин. Из E.12) следует, что в точках, где оба сомножителя
имеют одинаковый знак (для сверхзвукового крыла это реализует-
реализуется на кромках и в середине крыла), толщина h оказывается наи-
наименьшей. Толщина h увеличивается на тех участках контура Г,
где указанные сомножители имеют разные знаки или даже обраща-
обращаются в нуль.
Оптимальные распределения толщин h (s) отыскивались чис-
численно с применением алгоритма последовательной оптимизации,
описанного в § 10 главы I. Расчеты проводились для тонкостен-
тонкостенных стержней с замкнутыми профилями поперечных сечений. При
этом распределение температур задавалось в виде квадратичной
зависимости от координаты у (показано пунктирной линией на
рис. 2.24), отсчитываемой вдоль хорды крыла, что в известной
степени отражает реальное распределение температур в сверхзву-
сверхзвуковом крыле [179]. На рис. 2.24 для стержня с поперечным сече-
сечением в виде ромба (отношение осей 1 : 10) кривыми 1 и 2 представ-
представлены для половины профиля соответственно графики распределе-
распределений толщин и термоупругих напряжений. Из этих графиков видно,
что толщины оптимального стержня принимают наибольшие
значения в окрестности тех точек профиля, где термоупругие
напряжения обращаются в нуль. Отсюда следует, что для увеличе-
увеличения жесткости на кручение сверхзвуковых крыльев в указанных
4 Н. В. Баничук
97

местах целесообразно располагать стрингеры. Расчеты показали,
что оптимальные распределения толщин для других вытянутых
профилей Г качественно совпадают с приведенным в верхней части
рис. 2.24.
3. Как указывалось выше, роль осевых напряжений сгх в стерж-
стержне могут играть предварительные напряжения. Влияние предвари-
предварительных напряжений на величину эффективной крутильной
жесткости GCe выражается в E.1) вторым слагаемым. При этом
очевидно, что в зависимости от характера расположения осевых
напряжений значение этого слагаемого может быть как отрицатель-
отрицательным, так и положительным. Следовательно, выбирая соответству-
соответствующее предварительное напряжение, удовлетворяющее условиям
E.2), E.3), можно увеличить GCe.
Поставим задачу максимизации эффективной крутильной жест-
жесткости предварительно напряженного тонкостенного стержня с
замкнутым симметричным относительно осей yz (рис. 2.25) конту-
контуром поперечного сечения Г. Требуется найти на четверти контура
Т1У заключенной между осями симметрии, предварительные напря-
напряжения crx = crx (s), максимизирующие функционал
. E.13)
и удовлетворяющие условию самоуравновешеншости E.2) и нера-
неравенству E.3).
Нетрудно убедиться в том, что оптимальное решение задачи
E.13) имеет вид
I —сг0
На Г+' E.14)
на Г".
Здесь Г+ и Г - части контура 1\ (Г+ (J Г = 1\), удовлетво-
удовлетворяющие следующим условиям:
г (s+) > г (О, s+ е Г+, s- 6= Г",
= f haods. E.15)
г
г-
Если h = const и г (s) являются монотонной функцией парамет-
параметра Sj то дуга 1\ разбивается только на две дуги Г+, Г"
(см. рис. 2.25), причем положение точки, разделяющей эти дуги,
определяется из условия E.15). Имеем s# = V8 (или в размерных
переменных s# = г/% Г). При этом выигрыш от оптимизации равен
98

Из формулы E.16) видно, что выигрыш в эффективной жестко-
жесткости на кручение от предварительного напряжения тем больше, чем
больше разность интегралов по Г+ и по Г" или, иными словами,
чем более вытянутым является контур Г.
На рис. 2.26 представлены графики зависимости эффективной
жесткости на кручение Се (кривая 7), крутильной жесткости по
Сен-Венану (кривая 2) и выигрыш от оптимизации х (кривая 3) от
отношения полуосей ц = alb стержня эллиптического поперечного
сечения постоянной толщины. Графики приведены для сг0 — 0,2.
/¦-
——
*-
X;
A'
/7 7
0,2
rr f
n
r4
1 ^4. ^^V
A
Рис. 2.25
Рис. 2.26
Как видно из рис. 2.26, при заданном значении ах (ох = 0,2,
h = const) эффективная крутильная жесткость предварительно
напряженных тонкостенных стержней эллиптических поперечных
сечений с отношением полуосей 1 < г) < г)^ оказывается выше,
чем эффективная жесткость на кручение тонкостенного стержня
круглого поперечного сечения. Причем можно утверждать, что
указанный эффект справедлив не только для данного конкретного
значения ах = 0,2, но и при значениях ах < tf0. Для доказательст-
доказательства сформулированного утверждения вычислим при некотором
значении ах <^ а0 приращение бСе, обусловленное варьированием
полуосей 6а и ЬЬ эллипса с учетом изоперимет^рического условия
постоянства длины контура Ids = I = 1. Очевидно, что если вели-
величина бСе = 6СО + б I Gxr2ds окажется положительной при т) =
= alb — 1, то в окрестности ц = 1 можно найти такое эллиптиче-
эллиптическое поперечное сечение, что стержень с данным сечением будет
обладать большей жесткостью на кручение, чем круглый тонкостен-
тонкостенный стержень. В силу того, что приращение б Се вычисляется на
круге, и в силу изопериметрического условия (Z = 2 я г = 1,
г — радиус окружности) первое слагаемое S Со обращается в нуль.
Записывая уравнение эллипса в параметрической форме х =
4* 99

= a cos ф, у = Ъ sin ф, вычислим второе слагаемое в выражении
для б Се. Имеем
= -S2L ГС
(cos2фба + sin
Г "I
— \ (cos2 фба -f- sin2 фбЬ) ds .
г* J
Откуда, проводя несложные выкладки и учитывая изоперимет-
рическое условие, окончательно получим (при 8а ^> О, 8Ь <С 0)
при сгх ^ сг0, что и доказывает сформулированное выше утвержде-
утверждение.
Итак, среди предварительно напряженных в осевом направле-
направлении тонкостенных стержней стержень круглого сечения не является
оптимальным при кручении.

Глава третья
ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ
УПРУГИХ ПЛАСТИН
(УПРАВЛЕНИЕ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ УРАВНЕНИЙ)
В данной главе рассматриваются задачи оптимизации упругих
пластин при изгибе, причем в качестве искомых «управляющих»
функций рассматривается распределение толщин (от «управлений»
зависят коэффициенты определяющих уравнений). В § 1 формули-
формулируется задача минимизации максимального прогиба упругой пла-
пластинки при изгибе. На основе использования соотношения между
нормами в пространстве непрерывных функций и нормами в прост-
пространствах функций, интегрируемых с р-ik степенью, осуществляется
сведение рассмотренной задачи оптимизации с локальным функцио-
функционалом к задаче с интегральным критерием качества и исследуются
условия оптимальности. В § 2 определены численно оптимальные
формы пластинок для различных способов закрепления сторон и ви-
видов нагрузки. В § 3 исследуются оптимальные по жесткости трех-
трехслойные пластинки и приводятся некоторые точные аналитические
решения. В § 4 приведено решение задач отыскания форм макси-
максимально прочных пластинок. В этих задачах минимизации подле-
подлежит максимальное (по области, занимаемой материалом пластин-
пластинки) значение интенсивности напряжений. В § 5 рассмотрена задача
минимизации максимального прогиба круглой пластинки за счет
оптимального расположения подпорок. Результаты данной главы
содержатся в работах [13, 25—28, 64].
§ 1. Пластинки максимальной жесткости
1. Упругая пластинка переменной толщины, закрепленная по
контуру Г плоскости ху, изгибается под действием поперечных
нагрузок q = q (x, у). Контур Г ограничивает область Q, площадь
которой равна S. Объем пластинки равен F. В недеформированном
состоянии срединная поверхность пластинки совпадает с Q. На
части 1\ границы Г пластинка оперта, а на остальной части Г2
жестко закреплена (Г = 1\ + Г2). Обозначим через w = w (x, у)
и h = h (x, у) соответственно распределения прогибов и толщин
пластинки, причем на h (x, у) наложим ограничение
§hdxdy=V. A.1)
Q
101

Введем безразмерные переменные
,х , у ,w ,/hS
Х y W n
9 —
где E — модуль Юнга, v — коэффициент Пуассона материала пла-
пластинки.
Дальнейшие рассмотрения будем проводить в безразмерных
переменных, причем штрихи у безразмерных величии будем опус-
опускать. В принятых обозначениях уравнения равновесия и граничные
условия запишутся в виде (см., например, [99])
L(h)w = [A3 (wxx + vwyy)]xx + [A3 (wyy + vwxx)]yy +
+ 2(l-v)(h*wxy)xy = q, A.2)
Нижними индексами хну обозначены частные производные
величин, а через dw/дп, R и Д —производная функции w по внеш-
внешней нормали к контуру Г, радиус кривизны контура Г и оператор
Лапласа.
В рассматриваемой ниже задаче оптимизации жесткость плас-
пластинки оценивается величиной максимального прогиба / = maxxy \w\.
Функционал / через посредство функции w, вычисляемой
согласно A.2), A.3), зависит от распределения толщин пластинки.
Задача оптимизации заключается в отыскании среди непрерыв-
непрерывных распределений толщин, удовлетворяющих условиям
< А (х, у) < Атах, A.4)
t[hdxdy=l, A.5)
п
такого, для которого реализуется минимум функционала J, т. е.
достигает минимума величина максимального прогиба пластинки
/J|t = min/l/ = min/lmax3Cy | w \ . A-6)
Сформулированная задача A.2)—A.6) является минимаксной
задачей оптимизации с локальным критерием качества. Соотноше-
Соотношения A.2), A.5), A.4) играют в ней соответственно роль дифферен-
дифференциальных связей, изопериметрического условия и ограничений,
наложенных на минимальное и максимальное значения управляю-
управляющей функции @ <; Amin <; Amax — заданные безразмерные кон-
константы). В отличие от обычно рассматриваемых в задачах оптими-
оптимизации упругих тел интегральных функционалов, таких, как энер-
энергия упругой деформации и фундаментальная частота колебаний
пластинки (выраженная рэлеевским отношением), данный миними-
минимизируемый функционал / = тахху | w | определяется не всей реали-
102

зацией функции состояния, а лишь ее значениями в некоторых
заранее неизвестных точках максимума. «Локальным» характером
оптимизируемого функционала обусловлены основные трудности,
возникающие при решении задачи A.2) — A.6).
Заметим, что исследования одномерных задач оптимизации кон-
конструкций с локальными функционалами проводились в [9, 12, 122,
180]. Некоторые общие методы исследования одномерных задач
оптимизации развиты в [58].
2. Рассмотрим ограничения A.4), A.5), наложенные на управ-
управляющую функцию. Непосредственный учет неравенств A.4) в
задачах оптимизации приводит к необходимости определения ли-
линий выхода функции h (x, у) на ограничения и «сшивки» на этих
линиях искомых решений. Это также приводит к известным труд-
трудностям при решении задачи. Однако, как уже отмечалось в главе I,
можно использовать идею введения вспомогательной управляющей
функции, предложенную в [239] и позволяющую исключить из
рассмотрения ограничения вида A.4). Действительно, вводя вспо-
вспомогательную функцию ф соотношениями
h = а + р Sin ф, а = у (Umax + Amin), Р = -J (Amax — Amin)
A.7)
и принимая ф в качестве новой управляющей переменной, устраня-
устраняем из рассмотрений необходимость учета неравенств A.4), которые
выполняются автоматически для любых значений ф. Единственное
ограничение, накладываемое на ф изопериметрическим условием
A.5), записывается в виде
s-
Наряду с преобразованием A.7) применим при отыскании опти-
оптимальных форм способ, описанный в главе I и позволяющий свести
исследование задачи оптимизации с локальным критерием качест-
качества к задаче с интегральным функционалом. Замечая, что функцио-
функционал / представляет собой норму в пространстве непрерывных
функций и что эта норма связана с нормой в пространстве функций,
интегрируемых с р-& степенью, рассмотрим наряду с исходной
задачей A.2), A.3), A.6) — A.8) (задача 1) задачу минимизации по
Ф интегрального функционала
JPt = ппПф/р = ттф(-J-])\w\p dxdyY Р A.9)
при условиях A.2), A.3), A.7), A.8), которую будем называть
задачей 2. В дальнейшем будем предполагать р четным. В этом слу-
случае знак модуля в интеграле A.9) можно опустить. Для достаточно
больших р решения задач 1 и 2 будут мало отличаться, причем
103

Получим условия оптимальности в задаче 2. С этой целью, сле-
следуя § 6 главы I (см. также [27]), выразим первую вариацию функ-
функционала /р через вариацию управляющей функции ср
6/р = — Зр ^5 cos срЛбсрйЫя, A.10)
^5
Л = (а -|- р sin срJ1Л^Лу — A — v) (wxxuyy + wyyuxx — 2wxyvxy)],
где через v обозначена сопряженная переменная, определяемая как
решение краевой задачи
Ф„ =
Заметим, что граничные условия для w и для и совпадают. Из
условия A.8) следует, что вариация управляющей функции 8ср,
входящая в подынтегральное выражение A.8), должна удовлетво-
удовлетворять уравнению
\\ cos србср dxdy = 0. A.13)
С учетом этого соотношения и равенства б/р — 0, выражающе-
выражающего необходимое условие минимума функционала /р, получим усло-
условие оптимальности в задаче 2
(Л - X) coscp - 0, A.14)
где X — константа (множитель Лагранжа).
При заданном р задача 2 свелась к решению краевых задач
A.2), A.3) и A.11), A.12) для функции w и сопряженной перемен-
переменной v. Управляющая функция ср находится из условия оптималь-
оптимальности A.14), а неизвестная постоянная X определяется при помощи
изопериметрического условия A.8). Таким образом, для отыскания
оптимального (в смысле задачи 2) распределения толщин пластин-
пластинки имеем замкнутую краевую задачу, которая является нелинейной
из-за нелинейности уравнений A.11), A.14).
3. Предельный вид условий оптимальности. Зависимость реше-
решения задачи 2 от р обусловлена вхождением этого параметра в пра-
правую часть уравнения A.1<J) для сопряженной переменной и. Осталь-
Остальные соотношения — A.2), A.3), A.8), A.12), A.14) — не зависят
явно от р. В частности, от р не зависит условие оптимальности
A.14), и поэтому оно будет иметь тот же вид и в предельном случае
р = оо.
Исследуем поведение правой части уравнения A.11) для сопря-
сопряженной переменной и при р ->• оо. При этом будем предполагать,
что существуют пределы последовательностей {wp}, {vp}, {hp} и
{Jp}. Через wpi vp, hp, Jp обозначено решение задачи 2, а через
104

w, u, h, J будут обозначаться предельные значения указанных
величин. Предварительно получим неравенство, которому удовлет-
удовлетворяет величина м>р/(Н w ||l ). Пусть максимум функции | w | по
области Q достигается в точке (?, r\) ЕЕ ?2, т. е. || м; ||с =
= \w(l,r\)\ и | w (я, у) | < | w (|, г]) | для всех (я, 1/)ЕЙи (ж, у) ф
Ф (?, г]). Зафиксируем некоторую точку (я, у) =f= (g, rj) ((я, у) е
€= Q) и получим оценку искомых величин в этой точке. Так как
w (я, у) <c\\w ||c, то существует достаточно малое число е, такое,
что | w (х, у) | < || w \\с — 2 6.
Далее* из предположения, что wp -+ w при р -> оо вытекает
существование числа р' такого, что для всех р^> р' справедливо
неравенство | wp (х, у) — w (х, у) \ < е. Используя эти неравенст-
неравенства, получим
ККМ + в<|М|с-в. A.15)
Воспользуемся равенством lim || w \\L = \\ w \\с при р -> оо
и предположением о сходимости по норме || w \\L -> || w \\c (p ->•
-> оо). По определению предела существует число р" такое, что для
всех р ^> р" имеет место неравенство
III«»р 11^-II и»Не |<х8-
Это неравенство позволяет оценить снизу величину
IKIkp>IMIc-4-e- A.16)
Для всех р ^> max (p', р") на основании A.15), A.16) будем
иметь
6 .. .
2"Ш|1с'
ПриJ9 -> сю для функции Фр (х, у) ((х, у) Ф&, г))), фигурирую-
фигурирующей в правой части уравнения A.11), получим
A.18)
Вычислим теперь предел величины Фр (g, г)) при /? ->¦ сю. С этой
целью умножим функцию Фр(х, у) на wp(x, у) и проинтегрируем
произведение по области Q. Имеем
wp<S>pdxdy= J5 (wp)pAtdy (|| и; ||t/~p= li w ||lp-
Устремим в этом соотношении р к бесконечности. Из предполо-
предположения о сходимости wpkwh\\wp\\k\\w \\с = w (?, г]) следует, что
llwOdxdy=\\w\\c=i$t, л)- A-19)
й
105

Таким образом, предел функции Фр (х, у) при р ->- оо, как это
вытекает из соотношений A.18), A.19), является дельта-функцией
б (х — ?, у — г)), где (х, у) — произвольная точка области ?2.
Следовательно, уравнение для сопряженной переменной v в пре-
предельном случае запишется в виде
L (К) и = б (х — g, у — г)). A.20)
Для определения координат ?, г) к указанным соотношениям
добавляются условия максимальности | w | в Q + Г. В случае если
максимум | w | реализуется одновременно в нескольких изолиро-
изолированных точках, то выражение в правой части уравнения A.20)
заменяется на сумму б-функций.
§ 2. Численное отыскание оптимальных распределений
толщин сплошных пластинок
1. Численное решение краевой задачи A.2), A.3), A.7), A.8),
A.12), A.14), A.20) представляет известные трудности из-за нали-
наличия в правой части A.20) дельта-функции и того, что координаты
?, т| заранее неизвестны и определяются в процессе решения зада-
задачи. Поэтому ниже предлагается метод построения квазиоптималь-
квазиоптимальных решений. Под квазиоптимальными здесь мы понимаем решения
задачи 2, которые переходят в решение задачи 1 при р ->¦ оо.
Для решения задачи 2 применим описанный в § 10 главы I метод
последовательной оптимизации. В рассматриваемом случае исполь-
используется следующее выражение для вариации управляющей функ-
функции i|):
у^ Л cos2 ydxdy '
) = Ti|), i|) = COS ф
Л-
cos2 ydxdy
B.1)
где т — некоторая константа. Нетрудно непосредственно убе-
убедиться, что при определении бф согласно B.1) условие A.13) не
нарушается и б/р < 0.
Отыскание функций w (x, у), и (х, у) (в (к + 1)-м приближении),
соответствующих фиксированным распределениям толщин, основа-
основано на решении вариационных задач
Jw= 55 Л3 К, + w*y + 2vwxxwyy + 2 A - v) u%\ dxdy -
— 2 5^ qwdxdy — 2 -* min^, B.2)
vlv + 2vv**vw + 2 (! - v) vly\ dxdy ~
*mmv B.3)
a
106

по схеме метода локальных вариаций с переменными шагами варьи-
варьирования. Сначала решается задача B.2) и определяется функция
w = w1i+1 (x, */), а затем решается задача B.3) по отысканию рас-
распределения vk+1 (х, у), отвечающего рассматриваемому приближе-
приближению. Значения функции Фр берутся из (к + 1)-го приближения,
т. е. Фр = Фр+1 — (wk+1/ || wk+l ЦьрJ7. Минимизация функциона-
функционалов Jw и Jv осуществлялась на классе функций w и у, удовлетворя-
удовлетворяющих первым двум граничным условиям из A.3), A.12). Третье
граничное условие в A.3) и в A.12) является естественным для
функционалов B.2), B.3), и ему не требуется удовлетворять зара-
заранее.
2. Симметричный случай. Точными соотношениями A.2), A.3),
A.7), A.8), A.12), A.14), A.20), соответствующими задаче 1 (р =
= °°)> удобно воспользоваться в том случае, если положение
точки максимального прогиба известно заранее. Рассмотрим задачу
A.2), A.3), A.6) — A.8) в случае, когда форма области Q и гранич-
граничные условия A.3) симметричны относительно начала координат.
Предположим, что нагрузка q является сосредоточенной и прило-
приложена к пластинке в точке @, 0), т. е. q = Р б (х, г/), где Р — вели-
величина силы.- Уравнение равновесия запишется в виде
L(h)w = Р8 (х, у). B.4)
В рассматриваемом случае для любого симметричного распреде-
распределения толщин максимум прогиба достигается в точке @, 0) и, следо-
следовательно, в уравнении A.20) I = 0 и г) = 0. Таким образом, сопря-
сопряженная функция v задачи 1 удовлетворяет уравнению
L (h) v = б (я, у) B.5)
и тем же граничным условиям A.12), что и для функции прогибов.
Следовательно, w = Pv и на каждом шаге описанного выше алго-
алгоритма вместо двух требуется решать только одну краевую задачу.
Принимая в качестве основной функцию w, запишем выражение
A.10) для Л в виде
Л = -1- (а + р sin фJ [(Дг*J _ 2 A - v) (wxxwyy - w^)].
Для решения краевой задачи A.3), B.4) воспользуемся следую-
следующим приемом. Предположим, что задана величина прогиба w0 =
= iv @, 0), обусловленная силой Ро. Тогда распределение проги-
прогибов и величина силы Ро могут быть найдены из следующего вариа-
вариационного принципа:
(а + Р sin фK [(AwJ —
- 2 A - v) (wxxwyy - wlf)] dxdy. B.6)
Минимум в B.6) вычисляется на классе функций w (x, у),
удовлетворяющих краевым условиям A.3) и условию w @,0) = w0.
107

Функцию, реализующую минимум функционала при указанных
условиях, обозначим через w (x, у). Решение краевой задачи
A.3), B.4), очевидно, пересчитывается через функцию w'(x, у) по
формуле
w = 4r*>' {J=\№\\c = -Prrw*\- B.7)
Таким образом, отыскание функции прогибов w (x, у) и мини-
минимального значения функционала /^ сводится к решению вариаци-
вариационной задачи A.3), B.6) с условием w @, 0) = w0 и пересчету по
формулам B.7). В остальном схема численного решения задачи
оптимизации остается прежней, что и в пункте 1. Для сплошных
пластин, нагруженных в центре симметрии сосредоточенной
нагрузкой q = б (я, у) (Р = 1), расчеты оптимальных форм прово-
проводились при различных условиях закрепления пластин и для раз-
разных значений параметров hm\n, hmax. Расчеты проводились для квад-
квадратных пластин (Q: — У2 <J х ^ V2, — 1ч <^ у ^ Va), причем рас-
рассматривались случаи жесткого и шарнирного закрепления сторон
пластинки. В каждом из случаев использовалась имеющаяся сим-
симметрия и задача решалась в квадрате 0 ^ х ^ V2, 0 ^ у <; 7г,
представляющем четвертую часть области Q. Приведенные на
рис. 3.1—3.3 оптимальные распределения толщин пластинок соот-
соответствуют случаю hmia = 0,8, Amax = 1,2 и различным вариантам
закрепления, причем для всех вариантов начальное распределение
толщин полагалось постоянным h° (x, у) = 1.
Показанное на рис. 3.1 распределение толщин отвечает случаю
пластинки, защемленной по контуру. Расчеты показывают, что
материал пластинки концентрируется в центре и в окрестностях
прямых, соединяющих середины ее сторон. На этих областях есть
участки, где функция h достигает верхнего ограничения h = /гтах.
Качественное поведение функции h вдоль указанных прямых на-
напоминает оптимальное распределение толщин в жестко защемлен-
защемленной балке. В углах пластинки, как следует из расчетов, использо-
использование материала менее эффективно и здесь толщина минимальна
h = ^min. Между областями h = /гтах и h = кт[п есть переходные
зоны.
Заметим, что при увеличении параметра /гтах качественное по-
поведение решения сохраняется, однако области, где концентриру-
концентрируется материал пластинки, становятся более резко выраженными.
Происходит формирование оптимальной балочной системы. Огра-
Ограничения A.4) в случае кубической зависимости цилиндрической
жесткости от управляющей функции h оказываются существен-
существенными.
На рис. 3.2 показано распределение толщин оптимальной пла-
пластинки, отвечающее случаю свободного опирания. Найденное ре-
решение показывает, что основная масса материала концентрируется
в центре и по диагоналям пластинки. На указанных направлениях
толщины пластинки достигают верхнего ограничения h = ftmax-
108

Для опертых пластинок выгодно располагать материал в углах,
где в большей степени сказывается сцепление материала с опорами.
В областях, примыкающих к серединам краев пластинки, h = hmin.
Расчеты проводились также для случая, когда два противопо-
противоположных края (х = ± V2, — Vb <; у < Уг) пластинки защемлены,
а два края свободно оперты. Распределение толщин показано на
рис. 3.3.
Значения функционалов J для пластинок постоянной толщины
А = 1 и 7# для оптимальных пластинок в случае Р = 1 представ-
представлены в табл. 3.1.
Таблица 3,1
Граничные
Жесткое защемление
Свободное опирание
Смешанные (см. рис.
условия
(см. рис
(см. рис.
3.3)
.3.1)
3.2)
0
0
0
0
0
riin
,8
,8
,8
hmax
1,2
1,6
1,2
1,6
1,2
J-IO3
1,39
1,39
2,74
2,74
1,69
/¦•10»
0,98
0,43
1,97
1,04
0,91
Выигрыш,
30,6
70,0
28
63
46
3. Несимметричный случай. Алгоритм, описанный в пункте 1,
применялся для расчета оптимальных форм пластин в несиммет-
несимметричном случае (отсутствие симметрии обусловливается граничны-
граничными условиями), когда положение точки максимального прогиба не-
неизвестно заранее. Отыскание оптимальных распределений толщин
проводилось для квадратных пластинок (Q: — У2 ^ х < Vaf
—V2 <; у <; V2) в предположении о постоянстве нагрузки
q (х, у) = 1 ((#, j/) E Й). Рассматривались случаи: 1) жесткого
защемления по краю (у = —Уч, —Уг < х <^ Vs) и шарнирного
опирания по остальным сторонам (рис. 3.4); 2) шарнирного за-
закрепления по краю (у = У2, — У2 < х <; Уъ) и жесткого защемле-
защемления по остальным сторонам (рис. 3.5). С учетом симметрии задачи
относительно линии у = 0 расчеты проводились для области
¦—Vs <i x < V2, 0 <; у ^ У2, причем указанная область разбива-
разбивалась прямоугольной сеткой с числом ячеек, равным 100. Заметим,
что для данной сетки найденные величины прогибов (в случае по-
постоянной толщины пластинки) находятся в соответствии с приве-
приведенными в [130]. При проведении расчетов начальное распределе-
распределение толщин принималось постоянным h° (x, у) = 1 и в соответст-
соответствии с ним по формулам A.7) определялось начальное приближение
для функции ф° (ж, j/).
На рис. 3.4 показано полученное в результате расчетов распре-
распределение толщин оптимальной пластинки в случае 1). Найденное
распределение толщин отвечает следующим значениям парамет-
параметров: /гтах =|1,2, hm{n ~ 0,8, V = 1, р = 1ОО.|Расчеты показывают,
что материал пластинки концентрируется в центре, у жесткого
110

Рис. 3.4—3.5
края и у углов, образованных опертыми краями. В этих областях
толщина пластинки достигает максимума, т. е. h = hmax. У углов,
прилегающих к жесткому краю, и в середине шарнирно опертых
краев использование материала оказывается менее эффективным!
здесь h = hmin.
На рис. 3.5 показано оптимальное распределение толщин, от-
отвечающее случаю 2). Значения параметров йтах> ^min, V, p те же,
что и для пластинки, показанной на рис. 3.4. В этом случае, как
это видно из рис. 3.5, эффективным оказывается расположение
материала в центре пластинки и у середин жестко закрепленных
краев. Расположение материала в углах пластинки оказывается не-
неэффективным.
Значения функционалов /, /р для пластинок постоянной тол-
толщины и /„, /р* для найденных оптимальных распределений тол-
толщин представлены в табл. 3.2.
ill

Таблица 3.
Граничные условия
Защемление при г/= — 1/2i
—1/г*<я<1/2» опирание по
остальным сторонам (рис. 3.4)
Опирание при у = V2,
— х/г < х < V2» защемление
по остальным сторонам
(рис. 3.5)
frmin
0,8
0,8
Лтах
1,2
1,2
J-10»
2,95
1,70
Jp-10»
2,80
1,61
J»-10*
2,19
1,20
^•10-
2,09
1,14
Выиг-
рыщ,
%
25,8
29,3
§ 3. Оптимальные
по жесткости трехслойные пластинки
Рассмотрим задачу оптимизации жесткости трехслойной пла-
пластинки [13]. В этом случае цилиндрическая жесткость равна Ath,
Аг ==• ЕНУ4 A — v2), где Н — постоянная толщина среднего слоя,
а переменная X/Ji (я, у) имеет смысл толщины внешних армирую-
армирующих слоев пластинки. Пусть пластинка оперта по контуру Г, огра-
ограничивающему область Q плоскости ху. Объем материала внешних
несущих слоев предполагается заданным, что приводит к изопери-
метрическому условию A.1), накладываемому на распределение
толщин армирующих слоев. В данном параграфе при проведении
аналитических исследований будем пользоваться размерными пе-
переменными.
1. Будем исследовать изгиб пластинок, предполагая, что форма
области Q симметрична относительно начала координат, а нагрузка
q является сосредоточенной и приложена к пластинке в начале
координат, т. е. q = РЬ (х, у). Задача оптимизации заключается
в отыскании функции h (я, г/), удовлетворяющей изопериметриче-
скому условию A.1) и доставляющей минимум величине w @, 0)
прогиба пластинки в точке @,0) (функционала задачи). Необходи-
Необходимые условия оптимальности имеют вид
U = го^, + w2 + ^vwxxwyy + 2 A — v) vf1 = V, C.1)
где X2 — множитель Лагранжа. Однако более просто это условие
получается при использовании известных вариационных принци-
принципов теории изгиба упругих пластин. Действительно, при использо-
использовании вариационного принципа выражение для величины / =
= w @, 0) прогиба в точке @,0) примет вид
/= -min^yjii \\ hU (wxx, wxy, wyy)dxdy — 2Pw@, On C.2)
Q
и, следовательно,
, = min
112
— max min -i- «Llx С С hUdxdy — 2Pw @, 0)| .
C.3)

Отсюда нетрудно получить, что условие экстремума функцио-
функционала по h при ограничении A.1) совпадает с C.1), а условие мини-
минимума C.3) по w представляет собой уравнение равновесия в пере-
перемещениях
hA2w + 2hx (Aw)x + 2hy (Aw)y + AhAw —
— A — v) [hxxwyy — 2hKywxy + hyywxx] = PS (я, y). C.4)
Непосредственными выкладками нетрудно показать, что усло-
условие C.1) является не только необходимым, но и достаточным усло-
условием оптимума. Для этого рассмотрим два распределения толщин
h* и /г, удовлетворяющие условию A.1). Пусть w* и w означают
действительные реализации прогибов (решения уравнения C.4)
при граничных условиях
^]) = O, C.5)
соответствующие распределениям толщин h* и К). Предположим,
что функции h* и w* связаны условием оптимальности C.1), а функ-
функции h и w не подчинены этому требованию. Так как при распределе-
распределении толщин h действительное распределение прогибов w миними-
минимизирует потенциальную энергию, то для введенных величин спра-
справедливо неравенство
Аг JJ hUdxdy - 2Pw (О, 0) < А1Ц hU*dxdy - 2Рго* @, 0).
Используя данное неравенство и проводя следующие оценки:
/ — /* = w@, 0) — w* @,0) = — -M1 [[ hUdxdy — 2Pw@,0) —
A1 [[h*U*dxdy + 2Pw*@, 0)]
_^L С С и* (h - Л*) dxdy = 0,
получаем/ > J%. Следовательно, для функций h* и w*, подчинен*
ных условию C.1) (уравнения равновесия, краевые и изоперимет-
рические условия предполагаются выполненными), функционал
задачи достигает минимума. Таким образом, условие C.2) являет-
является не только необходимым, но и достаточным условием оптимума.
В рассматриваемом случае трехслойных пластин задача оты-
отыскания оптимальных распределений h, w и величины w* @, 0)
расчленяется на две краевые задачи для уравнений в частных про-
производных второго порядка. Оптимальное распределение прогибов
в принципе может быть найдено из решения краевой задачи для
уравнения C.1) при первом краевом условии C.5). Вводя новую
переменную и = м?Л, данную краевую задачу представим в виде
(АиJ - 2(i - v) (иххиху - ulv) = 1, (и)Г = 0. C.6)
113

Замечая, что для оптимальной пластинки сила Р связана с про-
прогибом в точке @,0) соотношением
Получим выражение для константы Я
К = w* @, 0)/и @, 0) = и @, 0) P/AXV. C.8)
Для вычисления величины /* = w* @, 0), как это следует из
формулы C.7), не требуется знания оптимального распределения
толщин h (я, у).
Следует отметить, что решение задачи C.6) не зависит от поло-
положения точки приложения силы и полностью определяется формой
области Q. Это позволяет, решив один раз для заданной формы об-
области задачу C.6) и определив функцию и (х, у), получить просты-
простыми пересчетами через и оптимальные распределения прогибов и
значения минимизируемой величины w @, 0) для различных ва-
вариантов расположения точки @,0) в Q.
После отыскания оптимального распределения прогибов и под-
подстановки найденной функции w (х, у) в C.4), C.5) функция h (я, у)
находится из решения уравнения C.4) в Q при втором краевом
условии C.5).
Исследуем асимптотическое поведение оптимальных решений
вблизи контура Г. Будем предполагать контур гладким и введем
в рассмотрение локальную ортогональную систему координат ?, т)
с началом координат в некоторой произвольной точке О контура
Г, направив ось т] по касательной к контуру Г, а ось ? — внутрь
области Q. Вблизи точки О уравнение C.6) асимптотически пред-
представляется в виде и\ъ = 1, а оптимальное распределение прогибов
(учитывается граничное условие C.6)) дается квадратичной функ-
функцией и =* Х1г ?а + ао% (а0 — произвольная постоянная). Исполь-
Используя далее асимптотическое представление и\ъ = 1 и второе условие
C.5), получим
/г = 0, (х, к)еГ. C.9)
Для определения поведения h вблизи Г используем найденную
асимптотику функции и и запишем асимптотическое представление
уравнения C.4) при малых ?: у\ц — 0, откуда с учетом краевого
условия C.9) получим
h = a^, C.10)
где аг — константа асимптотики. Таким образом, при определении
функции h из решения краевой задачи для уравнения C.4) следует
пользоваться граничным условием C.9).
2. Оптимальная форма круглой пластинки. Рассмотрим задачу
оптимального проектирования круглой пластинки радиуса Л,
нагруженной в центре сосредоточенной нагрузкой Р. Решение
114

задачи проведем в полярной системе координат г, G, совместив на-
начало системы г = 0 с центром пластинки. Используя осевую сим-
симметрию задачи, будем разыскивать распределения прогибов и
толщин в зависимости от одной независимой переменной г, т. е.
w = w (г) и h = h (г). Соотношения C.6), C.8), служащие для оп-
определения прогибов w — %и оптимальной пластинки, и условие
симметрии функции прогибов в выбранной системе координат при-
примут вид
2^i^ #), C.11)
и (R) = 0, ит @) = 0, % = w @)/и @). C.12)
Приходим к замкнутой краевой задаче для функции и (г). Ус-
Условие иг @) = 0 непосредственно следует из уравнения C.11).
Действительно, предполагая противное, т. е. что иг @) Ф 0,
и представляя уравнение C.11) в виде
442) = 1' C-13)
получим, что при г, стремящемся к нулю, левая часть C.13) не-
неограниченно возрастает и тем самым условие C.13) при wrF@) Ф 0
не может быть выполнено.
Решение уравнения C.11), удовлетворяющее граничным усло-
условиям C.12), имеет вид
и = (Л2 - г2)/2/2 A + v),
а постоянная % = PRV2 ]/2 A + v)AtV.
Таким образом, оптимальное распределение прогибов описы-
описывается квадратичной функцией переменной г
и?* =* PR2 (R2 - г2)/8 A + v) A±V.
Полагая в этой формуле г == 0, получим,
/„ = К)г=0 = РЛ4/8A + v)A±V. C.14)
Заметим, что для круглой пластинки с постоянной толщиной
армирующих слоев w @) = PR* C + v)/16' A + v)AxV. Сравни-
Сравнивая максимальные прогибы для оптимальной пластинки и пластин-
пластинки постоянной толщины, находим, что относительный выигрыш
по функционалу за счет оптимального распределения толщины
равен (ю — w*)/w = 1—2/C +rv) и меняется в пределах от 33 до
56% в зависимости от значений, принимаемых коэффициентом
Пуассона v @ <. v < 0,5).
Для определения оптимального распределения толщин запи-
запишем уравнение C.4) и полярной системе координат
vwr) + h [rwrrr + wTT - ^j]^ = P6\(x, y). C.15)
: us
\hr\{rw
rr + r) + [

Условия для выбора постоянных интегрирования уравнения
C.15) имеют вид
R
Л(Д) = 0, 2я §hrdr=V. C.16)
о
Подставляя в C.15) найденное распределение прогибов w (r)
и разрешая соотношения C.15), C.16) (относительно функции
h (r)), получим
Л = - DV/R*) 1п(г/Д). C.17)
Оптимальное распределение толщин C.17) имеет сингуляр-
сингулярность в точке приложения силы. Аналогичная особенность была
выявлена в работе [212] при изучении оптимальной формы h (r)
круглой пластинки в рамках теории предельного пластического
проектирования.
Найденное оптимальное решение не может непосредственно ис-
исследоваться для практических целей. Однако его можно приме-
применять для теоретической оценки возможностей оптимизации и для
построения квазиоптимальных решений (близких к найденному
оптимальному решению, но не имеющих сингулярностей).
3. Эллиптическая пластинка. Рассмотрим двумерную задачу
изгиба эллиптической пластинки, нагруженной в точке @, 0)
силой Р и свободно опертой по контуру х2/а2 + у2/Ь2 = 1. Нетруд-
Нетрудно поверить, что для данной формы области Q решение краевой
задачи C.6) имеет вид
C.18)
2AiV У а*
а оптимальное распределение прогибов дается формулой
* а*Ь*Р /л х2 у2 \ /о лс\\
w* = A — 1 . C.1Ш
4y4iV /д1 _|_ ^4 2vfl2b2) \ а2 Ь2 )
Значение функционала задачи на оптимальном решении равно
/# = w* @, 0) = РаЧЩА^ (а4 + Ь4 — 2va2b2). C.20)
§ 4. Пластинки максимальной прочности
В предыдущих параграфах исследовалась задача отыскания
распределения толщин пластинки, минимизирующего величину
максимального прогиба. Наряду с задачей максимизации жестко-
жесткости пластинки для технических приложений представляет большой
интерес отыскание форм упругих пластин, для которых минималь-
минимально максимальное значение «интенсивности» напряжений. Сформу-
Сформулируем данную задачу применительно к изгибу сплошной пластин-
Ш

ки. Обозначим через оХ1 оу, . . ., xyz компоненты тензора напряже-
напряжений и охарактеризуем напряженное состояние материала в каждой
точке (х, у, ?) ((х, у) ЕЕ Q, —h/2 ^ ? ^ А/2) величиной второго
инварианта девиатора тензора напряжений
g== — [o2x + ol — охоу + Ъ%1у + 3 (x%z + т2г)]. D.1)
Для удобства дальнейших рассмотрений воспользуемся без-
безразмерными переменными, введенными в § 1, и, кроме того, поло-
положим
(штрихи в дальнейшем опускаем).
Уравнения изгиба и граничные условия в безразмерных пере-
переменных приведены в A.2), A.3). Выражения, связывающие компо-
компоненты тензора напряжений с прогибами пластинки, запишутся
в виде
ОУ — ,А ..24 С*/2 (WM +
D'2)
После подстановки D.2) в D.1) выражение для g запишется
в виде
F2(/i2 —4t2J
g\ = (^xx + vwyyJ + (wyy + vw;^J —
— {U>xx + VWyy) (Wyy + VWXX) +3A — VJ Wxy,
g2 = Jg- {[A - v) (h*wxy)y + (h* (wxx + vwyy))xf +
+ [A - v) (h*wxy)x + (fe3 (wyy + vi^xx))y]2}. D.3)
В качестве функционала примем величину
/ = max^tg, (x,i/)GQ, ? е [- h/2, h/2] D.4)
и рассмотрим следующую задачу оптимизации. Требуется опре-
определить распределение толщин в пластинке, для которого дости-
достигает минимума максимум по области Qh = Q X [— /г/2, /г/2] вели-
величины g, т. е.
/ = min^ max^; g. D.5)
Ш

Минимум по h в D.5) разыскивается при изопериметрическом
условии A.5) и ограничениях на допустимые толщины A.3).
Сделаем некоторые пояснения к постановке задачи в виде
D.1)—D.5). Предположим, что для некоторой пластинки и задан-
заданной достаточно малой изгибной нагрузки g°(;r, у) решена краевая
задача для уравнений изгиба пластинки и найдена функция про-
прогибов w° (х, у). Тогда в силу соотношений D.2) будут известны на-
напряжения о°х, о°и, %°хи, Тх2, TyZ и можно определить множество точек
&h a Q/i, где реализуется максимум функции g
Если затем увеличивать нагрузку пропорционально некоторо-
некоторому параметру t, т. е. считать, что q = tq° (x, z/), то при значении
параметра t° = к/УJ0 (к — константа пластичности) в точках
(я, у, ?) ?= ?2л будет впервые достигнуто пластическое состояние.
Здесь нами принимается критерий пластичности Мизеса, согласно
которому пластическое состояние материала достигается, если
g «= /с2. Очевидно, что чем меньше значение /°, тем при больших
нагрузках (больших значениях ?°) в пластинке появятся пласти-
пластические деформации. Поэтому расширение диапазона нагрузок, для
которых не достигается предельное состояние g — А;2, т. е. отсутст-
отсутствуют зоны пластичности, может быть реализовано за счет миними-
минимизации величины /°.
Замечая, что g от ? зависит явно, вычислим внутренний мак-
максимум по ? в D.5). Нетрудно показать, что
max?g = max {h*gu V2g2/S3h2}. D.6)
Рассмотрим случай тонких пластин, когда коэффициент VVS3
достаточно мал, причем hm\n ф 0, и максимальным является пер-
первое из двух выражений, записанных в фигурных скобках в D.6).
Будем иметь
Следуя методике, изложенной в § 5 главы I, заменим функцио-
функционал / функционалом /р, определенным по формуле
Q
и проведем необходимые выкладки. Будем иметь следующее выра-
выражение для вариации функционала:
6Jp=ijjijjA6hdxdy, D.7)
Л = 2hX [A - v + v2) (м& + wly) + Dv - 1 - v2) wxxwyy + '
+ 3 A — V2) W2Xy] ~[WXXVXX + WyyUyy +
+ v (wxxuyy + wyyuxx) + 2 A — v) ^x^j,],
118

Рис. 3.6
где v обозначена сопряженная переменная, определенная как ре-
решение краевой задачи
L(h)v = Фр,
Фр = 2A - v + v2) l(%h*wxx)x
X l(%h2wxx)yy + (%h2wyy)x
y)yJ + Dv - 1 - v2) X
6 A — v2) (%h2wxy)xy.
Отличие краевой задачи D.8) для сопряженной переменной от
соответствующей краевой задачи для v A.10), A.11), возникающей
при отыскании форм пластин максимальной жесткости, состоит
в различном определении функции Фр, фигурирующей в прав!ых
частях уравнений.
Полученные соотношения позволяют применить для решения
задачи оптимизации прочности тот же алгоритм, что и для задачи
минимизации максимального прогиба. В качестве примера прово-
проводится расчет оптимальной формы квадратной (—7г ^ х <J V2,
—-V2 < У <J V2) пластинки, шарнирно закрепленной по краю
у = —V2, —V2 ^ х ^ V2 и жестко защепленной по остальным
трем сторонам. Параметры пластинки полагались равными hm\n =
= 0,8, /imax — 1,2, q = 1. Рассчитанное оптимальное распределе-
распределение толщин приведено на рис. 3.6. Заметим, что найденное распре-
распределение толщин, как это видно из сопоставления рис. 3.6 и 3.5,
незначительно отличается от распределения толщин в пластинке
максимальной жесткости (см. рис. 3.5), рассчитанной для тех же
граничных условий и параметров задачи.
§ 5. Об оптимальном подкреплении пластинок
Исследуем вопрос о минимизации наибольшего прогиба нагру-
нагруженной круглой пластинки за счет оптимального расположения
подпорок [64]. Пусть пластинка опирается на п точечных подпорок
119

(абсолютно жестких стержней) в точках 0^. Сила трения в точках
соприкосновения пластины со стержнями отсутствует. Поместим
начало полярных координат г, 9 в центр пластины, а ось^г напра-
направим по нормали к плоскости недеформированной пластины. Пред-
Предположим, что пластина имеет постоянную толщину и защемлена
на контуре г = Л, а нормальная нагрузка, имеющая постоянную
интенсивность q, действует в положительном направлении оси z.
Требуется для заданных, п и q найти в й{г^1, 0^9<^ 2я}
распределение точек опирания Ок = {гЛ, 9/J, к = 1, 2, . . ., п,
которое минимизирует максимальный прогиб пластины.
Ограничимся исследованием оптимального размещения подпо-
подпорок, когда их число не превышает четырех. При этом будем рас-
рассматривать (как наиболее рациональное) симметричное расположе-
расположение подпорок под пластиной, когда точки опирания имеют коор-
координаты
Ок = {р, 2пк/п}, О < р < Л, к = 0, 1, . . ., п - 1. E.1)
Кроме того, при п ;> 3 исследуем случаи, в которых одна из
подпорок помещена в центре пластинки, а остальные — на радиу-
радиусах
9fr = 2як/(п — 1), к = О, . . ., п — 2 E.2)
на расстоянии р от начала координат.
При заданном числе и расположении стержней, т. е. при задан-
заданных п, 9/f, p задача нахождения прогибов пластины w в безразмер-
безразмерных переменных г = r/R, p' = p/Z?, w' = wEh3l'l2 (I — v2) gi?4
(штрихи в дальнейшем опускаем) сводится к минимизации функци-
функционала
2Jt 1
3=\\ \т{rWr)r+-^ Н ~ 2w\r dr dQ E-3)
о о
при краевых условиях
ИГ==1=К)Г=1 = О E.4)
и ограничениях
(w)Ok < 0, к = 0,1,..., п - 1. E.5)
Искомое оптимальное размещение подпорок под пластиной за-
задается величиной ро, определяемой из соотношения
miripmaxQ | w (r, 9) | @ < р < 1), E.6)
где прогибы w (г, 9), соответствующие заданному 0 ^ р < I1
находятся из E.3) — E.5).
Для численного решения задачи E.1) — E.6) область Q
{0<^г<11,0<;9<; 2я} разбивалась сеткой rt = iAr; i = 0,1, ...
. . ., i0; Ar = 1Л0; 9,- = /A9; ; = 0, 1, . . ., j0 — I; A9 = 2n/j0.
При размещении подпорок согласно E.1) /0 выбиралось кратным
120

п, а при размещении согласно
E.2) — кратным п — 1. Функ-
Функция w (г, 0) заменялась сеточной
функцией wtj = w (rh Qj). Учи-
Учитывая симметричность располо-
расположения стержней в Q, выбира-
выбиралась конечно-разностная аппро-
аппроксимация функционала E.3), ко-
которая обеспечивает равенство
нулю производной wr в центре
пластинки. Граничные условия
E.4) аппроксимировались гсо
вторым порядком точности
(whj = О, Mb j = V4^0_2, у, / =
= 0, 1, . . ., /0 — 1). Ограниче-
Ограничения E.5) задавались в узлах
сетки с номерами 1%, к, где к оп-
определялись соотношениями E.1), E.2), а номер i% для данных к по-
последовательно пробегал значения от 0 до i0 — 1.
При фиксированном 0 ^ i^ ^ ц — 1 каждый раз численно ре-
решалась вариационная задача E.3) — E.5) методом локальных ва-
вариаций с локально оптимальным шагом варьирования и находи-
находилось максимальное значение прогиба шах | юг]- \ = J.
Рис. 3.7
/р
Рис. 3.8
Рис. 3.9
Рис. 3.10
121

Таким образом, для данного п получается таблица значений
максимальных прогибов в зависимости от номера i%. Выбирая из
полученных i0 значений для / наименьшее, определяем тем самым
и номер ^, при котором реализуется оптимальное размещение
стержней.
Для численных расчетов принималось i0 = 10, /0 == 24. Вели-
Величина минимального шага варьирования в методе локальных вари-
вариаций выбиралась равной 10~9. На рис. 3.7 кружками показаны
полученные в результате расчетов оптимальные расположения
подпорок. Случаи а — г соответствуют количеству подпорок
п = 1 -г- 4. Крестиками обозначены положения максимальных
нормальных прогибов.
На рис. 3.8 приведены распределения прогибов при отсутствии
подпорок, вычисленные соответственно по точному решению [130]
и методом локальных вариаций (кривые 1,2). Значения макси-
максимальных прогибов совпадают при этом с точностью до 0,5%. Кри-
Кривая 3 соответствует прогибам пластины, подпертой в центре.
На рис. 3.9 показаны распределения прогибов пластины в сече-
сечениях ОА для п = 2,4 (кривые 2, 2), на рис. 3.10 — прогибы в сече-
сечении АВ для п = 3.
Наряду с подкреплением пластин в некоторых точках на прак-
практике для улучшения жесткостных характеристик применяется
армирование пластинок ребрами жесткости. В связи с этим возни-
возникает задача об оптимальном расположении ребер жесткости на
пластине. В работе [120] получены необходимые условия опти-
оптимальности при вариациях положения ребра и, в частности, най-
найдено оптимальное положение круглого ребра на круглой, равно-
равномерно нагруженной пластине постоянной толщины.

Глава четвертая
ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
С НЕИЗВЕСТНЫМИ ГРАНИЦАМИ
В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
(УПРАВЛЕНИЕ ГРАНИЦАМИ ОБЛАСТИ)
Данная глава посвящена исследованию задач оптимизации для
уравнений в частных производных и отысканию оптимальных форм
упругих тел. В качестве искомых управляющих функций рассмат-
рассматриваются границы областей, в которых определены уравнения.
Роль критериев качества в первых трех параграфах играют инте-
интегральные функционалы. В § 1 сформулирована задача оптимиза-
оптимизации жесткости скручиваемого стержня и приведено условие опти-
оптимальности. С применением этого условия в § 2 определяются фор-
формы поперечных сечений стержней, обладающих максимальной
жесткостью при кручении. Задача оптимизации тонкостенного
стержня решается аналитически методом возмущений, а в случае,
когда стержень не является тонкостенным, применяется метод,
основанный на использовании теории функций комплексного пе-
переменного. В § 3 рассмотрены вопросы оптимизации кусочно-одно-
кусочно-однородных стержней при кручении и исследована задача оптималь-
оптимального армирования.
В § 4—6 рассматриваются задачи оптимизации с локальным
функционалом. В § 4 приводится постановка и исследование зада-
задачи об отыскании форм отверстий в упругих пластинках, вызываю-
вызывающих минимальную концентрацию напряжений. Доказывается, что
при растяжении упругих пластин оптимальными являются от-
отверстия с равнонапряженными границами. В § 5 для определения
форм равнонапряженных отверстий используются методы, осно-
основанные на отображении области, ограниченной контурами отвер-
отверстий, на коническую область комплексной плоскости.
Задачи оптимизации при изгибе пластинок с отверстиями рас-
рассмотрены в § 6. Материал данной главы основан на работах [14,
18-21, 46, 78, 79, 144, 162].
§ 1. Задача максимизации жесткости стержня
при кручении
В прямоугольной системе координат xyz рассмотрим задачу
о кручении упругого цилиндрического стержня (рис. 4.1). Ось
z направим параллельно оси стержня. Обозначим через Q область
поперечного сечения стержня плоскостью ху, которую для кратко-
123

сти изложения будем считать двусвяз-
ной, а через Го и Г — соответственно
внутреннюю и внешнюю границы об-
области Q (рис. 4.2). Пусть кручение
происходит вокруг оси z. Предпола-
Предполагая, что материал стержня однороден
и изотропен, выразим отличные от
нуля компоненты тензора напряже-
напряжений xxz и xyz через функцию напря-
напряжений
ххг =
A.1)
где G — модуль сдвига; Э — угол
закручивания, приходящийся на еди-
единицу длины стержня; ср (х, у) —
функция напряжений; срх = дц>/дх\
(ру = дц/ду.
| При заданных границах Го и Г за-
задача кручения сводится к отысканию
функции напряжений ф (х, у), удов-
удовлетворяющей соотношениям [6, 94]
4>хх +
(ф)г =
С дф
J дп
о,
ls =
= —2, i
(ф)г„
250,
(х, у) е!
П, A
A
A
•2)
.3)
Л)
где 50 — площадь области, ограниченной контуром Го. Постоян-
Постоянная С, фигурирующая в A.3),— неизвестная величина и для ее
определения служит условие A.4). Для жесткости на кручение К
имеем следующее выражение:
A.5)
Контур Го и тем самым площадь So области Qo? ограниченной
этим контуром, предполагаются заданными. Кроме того, будем
предполагать заданными длину стержня и его объем. Эти предпо-
предположения приводят к изопериметрическому условию
mes Q = S,
A.6)
где S — заданная константа. Граница Г заранее не фиксируется
и подлежит определению.
Задача оптимизации заключается в отыскании формы контура
Г, максимизирующего функционал A.5) при условиях A.2) — A.4),
A.6).
124

Для получения условий оптимальности удобно переформули-
переформулировать задачу оптимизации, введя в рассмотрение функцию кру-
кручения я|), связанную с функцией напряжений <р соотношениями
Фх = фу + У, tyy ~ — 4>х~ х- Функция кручения i|) определяет-
определяется как решение краевой задачи Неймана
= 0, (х, у) ЕЕ Й,
fl\ A.7)
где пх, пу — проекции на оси хжу единичной нормали к границе
области й. Жесткость стержня К ^. .^
выражается через ty по формуле
К =
При заданных границах об-
области Q функция гр может быть
найдена путем решения вариа-
вариационной задачи [94]
Рис. 4.2
п=j з 10Ф* — уJ
21dx dy
A.8)
Заметим, что здесь не требуется, чтобы функция сравнения i|)
удовлетворяла краевому условию A.7), так как это условие являет-
является «естественным» для функционала A.8). Для функции г|), достав-
доставляющей минимум интегралу A.8) (а не для произвольной функции
сравнения), имеем К = — П [94]. Данное соотношение позволяет
записать оптимизационную задачу в следующем виде:
= —maxr
П.
A.9)
Максимум по Г в A.9) вычисляется при изопериметрическом
условии A.6). Учтем это ограничение, составив функционал Ла-
гранжа / = К — X2 \ \ dxdy. Через V обозначен множитель
Лагранжа. Используя формулы § 8 главы I, получим необходи-
необходимые условия экстремума функционала /. Эти соотношения и будут,
как известно, условиями экстремума функционала К при ограни-
ограничении A.6).
В качестве необходимых условий экстремума / по if будем
иметь уравнение и граничные условия A.7). Необходимое же усло-
условие оптимальности контура Г запишется в виде
- УJ + (Ь
(х, у) е= Г.
A.10)
125

Возвращаясь в A.10) при помощи соотношений tyx = фу + у,
% = ~Фл — х к функции напряжений ф, получим [14, 78]
(Vq>)r - *а, A.11)
где (V<p)a = фх + Фу. Этому условию можно придать и другой
вид (в котором оно и используется ниже), если перейти от диффе-
дифференцирования функции <р по координатам х, у к вычислению про-
производных по касательному и нормальному к контуру Г направле-
направлениям S, П.
Согласно A.3) производная функции напряжений по касатель-
касательному к контуру направлению обращается в нуль, и поэтому вдоль
оптимального контура оказывается постоянным квадрат нормаль-
нормальной производной, т. е.
(dtf/dn)l = ^3. A.12)
Исследуем свойства оптимальных решений. Прежде всего за-
заметим, что на оптимальном контуре постоянно касательное напря-
напряжение т2 = %\г + %\г = G202 (УфJ = X2G292.
Получим выражение, связывающее значение константы % с дли-
длиной I оптимального контура и площадью области, ограниченной
этим контуром. Для этого применим теорему Бредта к контуру Г
и используем условие оптимальности A.12). Будем иметь
Из этого равенства, в частности, следует, что X фО и X Ф оо.
Покажем, что оптимальный контур является гладким и не
имеет ни выступающих, ни входящих углов. Рассуждая от против-
противного, предположим сначала наличие на оптимальном контуре вы-
выступающего угла. Тогда при приближении вдоль контура Г к вер-
вершине этого угла будем иметь т = дкр/дгг —> 0 (см., например, [94]),
и, следовательно, в этом случае нарушается условие % ^ 0. До-
Допустим теперь, что на контуре Г имеется входящий угол. Тогда при
приближении вдоль Г к вершине этого угла величина т = дкр/дп
стремится к бесконечности и, следовательно, нарушается предпо-
предположение X ф оо.
В случае односвязной области Q (отверстие отсутствует), экс-
экстремальный контур Г, ограничивающий Q и удовлетворяющий
условию A.11), является окружностью. Это нетрудно установить
непосредственной проверкой. Строгое доказательство оптималь-
оптимальности круглого сечения, основанное на теореме о симметризации,
дано в [НО].
126

§ 2. Определение оптимальных форм
поперечных сечений скручиваемых стержней
1. Применение метода возмущений. Получим аналитическое
решение рассмотренной в § 1 задачи в случае тонкостенного стерж-
стержня. Для удобства введем новую координатную систему st, связан-
связанную с опорной линией Го (см. рис. 4.2). Координата s точки PgQ
отсчитывается вдоль Го от некоторой фиксированной точки Ох е= Гб
до точки 02 пересечения Го с нормалью к Го, проходящей через
точку Р. Координата t равна длине отрезка О2Р- Обозначим через
R = R (s) и h = h (s) радиус кривизны опорной линии Го и урав-
уравнение контура Г, а через 10 — длину контура Го. В переменных
5, t соотношения A.2) — A.6), A.12) примут вид
C>|)< + (Г-Чр.). = -2Т, T=l + t/R9
Ф (*, 0) = С, <р (*, h) - 0, Ф< (s, h) = - X,
(s, O)ds= — 2S0, §§T dtds = S,
0 0
/. h
= 2(^T<pdtds + CS0). B.1)
о о
Предположение о тонкостенности стержня означает, что
(s) = Я < 10 @ < s < 10), B.2)
т. е. HIIq = 8 — малое число (е <^ 1).
Будем считать сначала, что контур Го не имеет сильно искрив-
искривленных участков, т. е. что
тш,й (s) ~ 10. B.3)
Введем новые переменные, отмеченные штрихами:
s = U\ t = Ht\ h - ЯЛ-', ф = #/0ф\ So = #й,
«з = HIqS , jR = 'о" » **¦ ^^ HIqK , С = HIqC , л = /qA
B.4)
(штрихи в дальнейшем опускаем). Перейдем в соотношениях B.1)
к переменным B.4). Будем иметь
(ГФ()( + е2 (Г-V). = -2е7\ Г - 1 + tt/R,
% (*, ^) = -Л, ф>, 0) - С, tfr(s, h) - 0, B.5)
\j4i(s,0)ds=-2S0, l(h+^g)ds = S,
о о
1 h
К = 2 (С?о + е J J
о о
о о
127

Для решения этой задачи применим метод возмущений и будем
искать функции ф, Аи неизвестные величины С, А., К в виде рядов
по малому параметру 8
ф = <р° + etp1 + е2Ф2 +...,
ft = h° + eft1 + e2ft2 + ..., B.6)
К = K° + гК1 + e2K2 + ... .
Аналогичные разложения используются для величин С и Я.
Выпишем уравнения для определения величин нулевого, первого
и второго приближения. С этой целью подставим представления
B.6) в соотношения B.5) и приравняем члены при одинаковых сте-
степенях е. В результате приходим к краевым задачам, последова-
последовательное решение которых позволяет определить все искомые ве-
величины.
Для определения величин нулевого приближения имеем сле-
следующую краевую задачу:
Ф?е = о, ф° (*, 0) =;с°, ф° (*, hy= о
1 1
J ф? (*, 0) ds = - 2^0, J h° ds = S. B.7)
о о
Учитывая свойства искомых функций нулевого приближения,
запишем краевую задачу для величин первого приближения
<р}, = - 2 - Ф?/Я, ф1 (s, 0) = С\ ф1 (s, №)
B.8)
Краевую задачу для величин второго приближения с учетом
B.7), B.8) запишем в виде
ф?, = - ± [(t<p})t + 2t] - Ф?, ф2 (s, 0) = С\
(s, ft0) = Ш + X°h2, ф? E, ft0) = B —
ii
ф? E, 0) d5 = 0, С ft» d5 = - [ -^- ds. B.9)
0 0 0
Если решения указанных краевых задач найдены, то жесткость
стержня на кручение с точностью до членов порядка 8 может быть
128

вычислена по следующей формуле:
К = К0 + еК1 + г*К2 + . .. = 2C°S0 + 2е (J j Ф° dt ds +
о о
+ 2е2 ( J J ф1 dtds + C2S0) + О (е3). B.10)
о о
Найдем решение задачи оптимизации в нулевом приближении,
т. е решение задачи B.7). Функцию ф° определим из уравнения и
граничных условий B.7) (первая строка). Используя найденное
выражение для ф° и условие оптимальности, записанное во второй
строчке в B.7), определим h°. Имеем <р° - С0 A — t/h°), h° = С0А0.
Подставляя далее ф° и h° в изопериметрические условия B.7), на-
находим постоянные Х° и С0. Приходим к следующим выражениям
для искомых величин нулевого приближения:
feo = 5> фо = 2SS0 A - t/S), K° = iSSl B.11)
k° = 250, С0 = 2SS0.
Как видно из формул B.11), в случае малой кривизны контура
Го (см. предположение B.3)) оптимальное распределение толщины
в нулевом приближении является постоянным.
Определим величины первого приближения. Для этого проин-
проинтегрируем уравнение B.8) для ф1 и определим постоянные инте-
интегрирования из краевых условий, а функцию h1 и константы X1, С1—
из условия оптимальности и изопериметрических равенств B.8).
В результате получим следующие выражения для искомых вели-
величин первого приближения:
В формуле B.12) для hl учитывается влия i j з ч жвизны внут-
внутреннего контура Го на оптимальную фэрму в^зшпа границы Г.
Выражение для оптимального распределения толщины стержня
h = h° + eh1 = S A - eSLR) B.13)
(в размерных переменных h = S п A — S/2Rl0)) показывает, что
с увеличением кривизны для соответствующих точек контура Го
уменьшается величина h. \
5 Н. В. Баничук 129

Аналогично, путем решения краевой задачи B.9) определяются
все искомые величины второго приближения. Приведем здесь
найденные выражения для функции h2 и постоянной С2
При помощи выражения для С2 и соответствующих величин
нулевого и первого приближения, входящих в формулу B.10),
определяется поправка К2. Используя найденные выражения и
переходя к исходным размерным величинам B.4), получим фор-
формулу для жесткости оптимального стержня (в размерных перемен-
переменных)
0 о
Оценим выигрыш, получаемый за счет оптимизации. Для этого
построим решение задачи кручения для стержня с постоянным
распределением толщины h вдоль контура Го. Не приводя соот-
соответствующих выкладок, которые в основном аналогичны описан-
описанным выше, выпишем выражение для разности АК — К — Кг,
между жесткостями оптимального стержня и стержня постоянной
толщины
Применяя к выражению, записанному в квадратных скобках,
неравенство К опт — Буняковского, заключаем, что выражение
в квадратных скобках всегда положительно, и поэтому для любого
внутреннего контура Го, для которого minsi? (s) ~ 10, справедли-
справедливо неравенство &К ^> 0. Знак равенства, как нетрудно заметить,
реализуется для круглого контура Го (R = const — радиус кру-
круга). В этом случае оптимальное распределение толщин является
постоянным.
Решение B.11) — B.15) было найдено в предположении B.3).
Исследуем другой случай, когда min.4i? (s) ~ Я, т. е. случай на-
наличия на контуре участков большой кривизны. Задачу оптимиза-
оптимизации опять рассмотрим в переменных B.4) с тем лишь отличием,
что теперь R = HR'. Основные соотношения задачи получаются
из B.5) заменой в B.5) выражения e/R на 1/Л. Используем метод
130 if^i

возмущений и будем разыскивать решение в виде B.6). Ограни-
Ограничимся определением величин нулевого приближения, которые
удовлетворяют следующей системе соотношений:
[A + */Д)Ф?], = 0, <р° (*, 0) = С\ <р° (*, Щ = 0,
JI ' J \ 2R)
og. и
Разрешая эти соотношения, получим следующие выражения
для искомых величин:
R A + h°/R) In (I + Л°/Д) - const.
Из второй формулы B.16) видно, что толщина оптимального
стержня уже в нулевом приближении является переменной. Если
при изменении s @ ^ s ^ 1) возрастает кривизна 1/Л, то соглас-
согласно B.16) функция hQ (s) будет убывать. Из соотношений B.16)
также видно, что на участках с малой кривизной распределение
толщины оптимального стержня с достаточной степенью точности
является постоянным. Это согласуется с результатами, получен-
полученными выше.
Подобным образом можно исследовать оптимальное распреде-
распределение толщин в зависимости от кривизны контура Го на участках,
для которых R ~ &РН (р ^> 1). Не приводя выкладок, которые
аналогичны проделанным выше, укажем окончательный резуль-
результат. Для искомой зависимости имеем следующее асимптотическое
представление: R = k° exp (—у//г°), где у — произвольная посто-
постоянная.
2. Применение отображений на канонические области. Если
скручиваемый стержень не является тонкостенным, то для опреде-
определения оптимальной формы его сечения можно применить методы
теории функций комплексного переменного, основанные на отоб-
отображении неизвестной области поперечного сечения на канониче-
канонические области. Эффективность такого подхода к решению задачи
оптимизации была показана в работах [78, 79].
Рассмотрим сначала, следуя [78], случай односвязной области
Q (плотность отсутствует), ограниченной контуром Г. Для решения
задачи отыскания контура Г, удовлетворяющего условию опти-
оптимальности, введем в области И аналитическую функцию / (z)
(комплексную функцию кручения [101]) так, что
Re / (z) = ф (х, у) + 0,5 (х* + у% B.17)
где z = х + iy. Граничное условие для функции / с учетом усло-
условия оптимальности ф^ — — X запишется в виде
/' @ = 7 — iK dtl | dt |.
5* 131

у/*
0,5
о
Л
1
\ Z
\ \
\
1
Рис. 4.
3
\ \
1 1
х/0
Если z = со (Q есть отображение единичного круга |^|< 1
на искомую область Q, то[выражение со (т) — XT со' (т) (т = ехр Ю,
О <С Э <С 2я) должно быть граничным значением функции, регу-
регулярной внутри единичного круга. Этому условию, как нетрудно
видеть, удовлетворяет функция со (?) = — С?. Следовательно,
стержень круглого сечения удовлетворяет условию оптимально-
оптимальности. Как уже отмечалось, утверждение об оптимальности стержня
круглого сечения было сформулировано Сен-Венаном [126] и до-
доказано Полна и Сеге [110].
Задача определения внешнего контура Г двусвязной области
Q с заданным внутренним контуром Го из условия, чтобы в обла-
области существовала функция, удовлетворяющая уравнению A.2)
и условиям A.3), A.4), A.12), вредением комплексной функции
кручения сводится к разысканию внешней границы Г двусвязной
области, в которой существует регулярная однозначная аналити-
аналитическая функция / (z), удовлетворяющая на контуре Го условию
/ (t) +'/ (t) = ic + ft,
B.18)
132

на искомом контуре Г условию
t t
dt\. B.19)
Для решения применим отображения
Л=0
п
г = со2 (I) = А\^ af?Tk, ao = bo=l B.20)
л-=о
внешности круга | I \ ^> 1 на внешность контура Го и внешности
круга | ? | ^> 1 на внешность искомого контура Г. Коэффициенты
а/с в B.20) предполагаются заданными, а величины Ьк разыскива-
разыскиваются. Действительные постоянные А ж В определяют масштаб
(величина х — А/В — относительный размер сечения).
С использованием методов теории функций [154] для отыскания
констант Ъи можно получить систему п нелинейных уравнений.
Эта система в работе [79] решалась численно методом Ньютона и
при заданных о,- и х определялись коэффициенты 6у. Решение стро-
строилось в диапазоне 0< х< 1. Внутренний контур Го задавался
при расчетах в виде эллипса (аг = 0,1; 0,2; . . .; 0,9; а/ = 0 при
/ = 2, . . ., п) и в виде прямоугольников с различным отношени-
отношением сторон б (б = 1, 2, . . ., 10). Очертания внешних контуров сече-
сечений показаны на рис. 4.3 для случаев, когда внутренний контур
Го — эллипс при % = 0,3 (рис. 4.3, а), квадрат (рис. 4.3, б), пря-
прямоугольник 6 = 3 (рис. 4.3, в). Кривыми 1—5 представлены кон-
контуры Г соответственно для х, равных 0,2; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9.
§ 3. Кручение кусочно-однородных стержней
и задачи оптимального армирования
1. Следуя работе [18], рассмотрим задачу оптимизации при
кручении кусочно-однородного упругого призматического стерж-
стержня. Обозначим через Q поперечное сечение стержня плоскостью
ху, а через Г — границу области Q (рис. 4.4). Предположим, что
стержень составлен из двух материалов с модулями сдвига Go и
G±1 заполняющих в плоскости поперечного сечения ху соответст-
соответственно области Qo и Q1 (Qo + ^х = Q). Внутренняя область Qo
выпукла и отделена от внешней области Q± гладкой границей 1\.
Контуры 1\ и Г не имеют общих точек. В области Q определим
кусочно-постоянную функцию G (х, у), полагая G (х,у) = 6?0,
если (я, у) ЕЕ й0, hG {х, у) = Gt, если (х, у) ЕЕ &• Для отыскания
функции напряжений ф (я, у), определенной в области Q =
= Qo + &i и связанной с компонентами тензора напряжений соот-
соотношениями %xz = Эфу, tijz = — 6фх, имеем следующую краевую
133

задачу[[6]:
ДФ = - 2G, (ф)г = О,
(ф)г1 — (ф)г > I т 1 — I —г* ~— I — О, C.1)
\т/1 \т/1 \ (* on jVi \ Сг дп }Y\
где А — оператор Лапласа, д/дп— производная по направлению
нормали к контуру, 0 — угол закручивания, приходящийся на
единицу длины стержня. Верхними индексами (+) и (—) в C.1)
обозначены предельные значения соответствующих величин на
Гхпри подходе изнутри и извне об-
области, ограниченной контуром Гг
Заметим, что соотношения, ко-
которые связывают в рассматривае-
рассматриваемой задаче функцию напряжений
с компонентами тензора напряже-
напряжений, отличаются от соответствую-
соответствующих формул A.1) из-за наличия в
правых частях A.1) множителя G.
Контур Гх будем предполагать
фиксированным. Площадь области
?20, охватываемой этим контуром,
обозначим через So. Будем также
считать заданной площадь Sx обла-
области Qb т. е. mes Qx = Sx.
Рассматриваемая ниже задача оптимизации заключается в оты-
отыскании формы контура Г, удовлетворяющего изопериметриче-
скому условию (mes Qx — Sx) и такого, что реализуется максимум
жесткости стержня при кручении (функционала задачи)
C.2)
Рис. 4.4
К = 2 U ф (х, у) dxdy
Q
W Особенностью данной задачи в отличие от задач, рассмотрен-
рассмотренных в § 1, 2, является то, что функция ф в области Q задается
уравнением с разрывной правой частью. Однако необходимое
условие оптимальности контура Г, как нетрудно показать, остает-
остается прежним и может быть записано в виде A.12).
Заметим, что если зафиксировать контур Г и считать неизвест-
неизвестным положение линии разрыва 1\, а функционал C.2) максимизи-
максимизировать за счет наилучшего выбора 1\, то получим задачу об опти-
оптимальном распределении упругого материала по заданному сечению
стержня Q.
В случае 6?0 = 0 из C.1), C.2) путем элементарных преобразо-
преобразований получим соответствующую задачу для полого цилиндриче-
цилиндрического стержня, внутренний контур которого фиксирован, а внеш-
внешний — подлежит определению. Решение этой задачи было изло-
изложено в § 2.
2. Оптимальное армирование скручиваемого стержня. Исполь-
Используя условие A.12), рассмотрим задачу об оптимальном покрытии
134

скручиваемого стержня тонким усиливающим слоем из более
жесткого (с большим модулем сдвига) материала. Область Йх на
рис. 4.4 соответствует армирующему слою. Наряду с исходной
прямоугольной системой координат введем в рассмотрение криво-
криволинейную систему координат s, ?, связанную с контуром 1\. Коор-
Координата s точки Р ЕЕ ?2 отсчитывается вдоль 1\ от некоторой фик-
фиксированной точки О1 ЕЕ 1\ до точки О2 (пересечения 1\ с нормалью
к Т1У проходящей через точку Р). Координата t равна длине отрез-
отрезка О2Р- Обозначим через h = h (s) функцию, задающую в криволи-
криволинейной системе координат положение искомого контура Г, а через
I — длину контура 1\. При решении задачи используем предполо-
предположения Z maxs h (s) ~ 8, GqICx ~ е, mins R (s) < l (г — малый
параметр, R (s) — радиус кривизны контура 1\ в точке с коорди-
координатой s) и ограничимся, как это обычно делается в задаче армиро-
армирования [6], отысканием только первых членов разложения искомых
величин в ряды по параметру е. Для искомых главных членов раз-
разложений примем те же обозначения, что и для самих разлагаемых
величин. В рассматриваемом приближении выражение для функ-
функции ф в области Qu удовлетворяющее уравнению C.1), гранично-
граничному условию ф = 0 на Г и условию непрерывности ф на 1\, опреде-
определяется формулой [6] ф (s, t) = ф (s, 0) [1 — t/h (s)]. Здесь через
ф (s, 0) обозначены значения функции ф в точках контура 1\.
С учетом данного выражения для ф в области ?1г расчет кручения
армированного стержня сводится к определению функции фв й0
из решения краевой задачи
Лф = -2G0, (*, У) е Qo, Ф/ = -Соф/СхЛ, (ж, у) ЕЕ Тг. C.3)
Под ф< в C.3) понимается величина (ф<)+. Краевое условие
C.3) получается в результате подстановки указанного представле-
представления для ф в области Qx в соотношение (Gd{p/dn)+ = (G~*df$ldn)~,
выставленное на Гх. При заданной функции h = h (s) краевая за-
задача C.3) является замкнутой.
Перейдем к решению задачи оптимизации. Снесем условие оп-
оптимальности с контура Г на линию 1\. С точностью до членов
более высокого порядка малости получим (ф*)г1 = — X. Тогда из
выражения для функции ф в области Q будет следовать, что
Л(в) = 4-(ф)г,- C.4)
Таким образом, для оптимально армированного стержня рас-
распределение толщин h (s) и значение функции ф на контуре Г про-
пропорциональны между собой. Соотношение C.4) позволяет свести
третью краевую задачу для функции ф (х, у) (в области Qo) к гра-
граничной задаче с условием Неймана
Дф = -2G0, (х, у) е Qo, <р« = - MVGi, (^» У) е Тг. C.5)
Обозначим радиус-вектор точки с координатами (ж, у) через
г (г2 = х2 + у2) и введем в рассмотрение вспомогательную функ-
135

цию а|) = <р/6?0 + r2/2. Выражая далее ф в C.5) через г|) и учиты-
учитывая равенство dr2/dt = (\/r2, п) = 2 (г, п), получим для функции
гр следующую краевую задачу (задачу Неймана для уравнения
Лапласа):
Дф = 0, (х, у) е Qo,
Ь = - -^- + (г, /г), (*, */) е Гх. C.6)
Для разрешимости задачи C.6) необходимо, чтобы выполня-
выполнялось равенство \ tytds = О, где интегрирование ведется вдоль кон-
контура 1\. Этому условию удовлетворим за счет соответствующего
выбора константы
r,n)ds = ^. C.7)
Заметим, что константа %, внесенная в задачу условием опти-
оптимальности, оказывается выбранной не как обычно из изоперимет-
рического условия, а из условия разрешимости краевой задачи.
Для удовлетворения изопериметрическому условию воспользуем-
воспользуемся еще одним произволом (одна константа), имеющимся в C.6).
Этот произвол появился при переходе от задачи C.3) к C.5),
C.6) и обусловлен тем, что с использованием соотношения C.4)
изменился тип краевого условия. В результате вместо третьей крае-
краевой задачи C.3) приходим к задаче Неймана, решение которой оп-
определяется с точностью до постоянного слагаемого.
Обозначая произвольную постоянную через у, представим
функцию г|) в виде суммы
ф = Т + 7, W (*0, у0) = 1, (х0, у,) ЕЕ Q.
Функция W, кроме указанного условия, удовлетворяет урав-
уравнению и граничному условию C.6) (при X = 2GSJI). Изопери-
метрическое условие в рассматриваемом приближении может
быть записано в виде
J hds=Sv C.8)
h
Из равенства C.8) и соотношений C.4), C.7) вытекает ограни-
ограничение, накладываемое на функцию <р
Подставляя далее в эту формулу вместо ф ее выражение
<р = G Dя + у — г2/2), получим следующую формулу для вычис-
вычисления константы у:
7= —
136

С использованием найденных значений констант к и у прихо-
приходим к окончательным выражениям для искомых величин
r2 \j 1
2"J cfe J
= 2 jj jj
D ^ ,3.9)
Таким образом, определение оптимального решения сведен^
к отысканию функции 4я, удовлетворяющей краевой задаче C.6),
C.7) с дополнительным условием Y (xQ, г/0) = 1. Решение этой
задачи не зависит от физических констант Go, G1? параметра Sx
и полностью определяется геометрией области Qo.
Полагая в C.9) Go = 0, получим оптимальное решение для
скручиваемого полого цилиндра h = SJI, К = AG^lSJl2. Эти
формулы приведены в § 2 данной главы. Оптимальное распределе-
распределение толщин оказывается постоянным. Однако уже в следующем
приближении, как показано в § 2, оптимальное распределение
толщин не является постоянным и существенно зависит от кривиз-
кривизны контура (h = SJ-^l — SJ21R)).
Пусть область Qo — круг радиуса /?0. В этом случае (г, п) =
= i?0, X — G1/?o, а граничное условие C.6) принимает вид d\\)/dt =
= 0, (х, у) ЕЕ 1У Поэтому функция ty не зависит от х и у и, следо-
следовательно, 4я (х, у) = 1 ((х, у)ЕЕ Qo)« Учитывая это, на основании
формул C.9) получим
К = — G0R0 -f- GiSxRq.
Таким образом, для круговой области Qo армирующий слой
постоянной толщины является оптимальным. Этот факт, как не-
нетрудно заметить, остается верным и для толстых покрытий.
3. Достаточность условия оптимальности. Для построения ре-
решения в пункте 2 данного параграфа использовалось необходимое
условие экстремума A.12). Покажем, что в рассмотренной задаче
оптимального армирования это условие является не только необ-
необходимым, но и достаточным условием локального оптимума. Рас-
Рассмотрим два достаточно близких распределения толщин /г* и /г,
удовлетворяющих изопериметрическому условию C.8), и соответ-
соответствующие им в силу задачи C.3) функции ф* и ф.
Малость величины Ыг = /г* — h понимается по норме максиму-
максимума модуля. Малую величину бф = ф* — ф обозначим через со
137

(со = бф). Предполагается, что ф* и h* связаны условием опти-
оптимальности, а ф и ft не обязаны удовлетворять этому соотношению.
Из выполнимости условия оптимальности для /г* и ф* следует, что
функция ф* является также решением задачи C.5), а из условий
C.8), записанных для /г* и /г, имеем J 8hds = 0. Интегрирование ве-
ведется вдоль линии Гх.
Покажем, что АК = К* — К ^ 0. Этим будет доказано, что
условие A.12) является не только необходимым, но и достаточным
условием локального максимума. Прежде чем перейти к непосред-
непосредственным оценкам величины АК, проведем некоторые вспомога-
вспомогательные преобразования. Так как функции ф и ф* являются соот-
соответственно решениями краевых задач C.3), C.5), то функция
со = ф* — ф удовлетворяет уравнению Лапласа с граничным ус-
условием дсо/dt = GqGi1 (ф — Щ/h. Разлагая правую часть этого
условия в ряд по бй и со и удерживая только члены первого поряд-
порядка малости, получим следующую краевую задачу для со:
Применяя к функции со первую формулу Грина, будем иметь
Q = С С (VcoJ dxdy = -^f- jj -iiL (Ш - со) ds.
Перейдем к оценкам величины АК. Используя уравнения C.3),
C.5) и вторую формулу Грина, проведем следующие преобразо-
преобразования:
АК = 2 \ \ (ф* — ф) dx dy = — \ \ (ф*Аф — фАф *) dxdy =
В контурном интеграле заменим ф* и ф* их граничными зна-
значениями согласно C.3), C.5). Используя соотношения C.4), C.7) и
выполняя элементарные преобразования, получим
Предположение о малости 8h и со и то, что интеграл по Гх от
б/i равен нулю, позволяют (с точностью до членов более высокого
порядка малости) представить выражение для АК в виде
^_ (Хб/г - со) ds.
Вычитая из этого выражения положительную константу Q/GQ,
найдем
о L
0 d J Р
138

откуда и вытекает требуемое неравен- w/3= О
ство Д/Г >0. Достаточность доказана.
4. Приведем решение задачи оп-
оптимального армирования в случае,
когда область Qo имеет форму эллип-
эллипса (рис. 4.5). Пусть центр эллипса
совмещен с началом прямоугольной
системы координат ху и в этой точке
задано условие х? -¦= 1 ((х0, у0) сов-
совпадает с О). Для удобства построе-
построения решения воспользуемся эллипти-
эллиптическими координатами ее, р, связан-
связанными с прямоугольными координата-
координатами х, у соотношениями х = с ch a sin p,
у == с sh a cos p, где 2с -— фокусное
расстояние. В эллиптических коор-
координатах границе эллипса 1\ соответ-
соответствует отрезок а = сс0, 0 <^ р^2я,
а области Qo — прямоугольник
О ^ а <С сс0, 0 ^ р ^ 2я. Учтем сим-
симметрию задачи и будем разыскивать решение в
О <; а <; а0, 0 ^ р <; я, отвечающей половине эллипса,
зуя известные соотношения
п 1 о 1 о д 1 д д 1 д
\
¦ Л
Рис. 4.5
8 да '
= -^— sh 2a0, g = c ]/'1/2 (ch 2а
области
Исполь-
Исполь/Г) л лч
запишем в эллиптических координатах уравнение и граничные
условия, определяющие функцию
Vaa+xPn = 0 @<a<a0, 0<р<я), C.11)
Т=1 (а = 0, р = 0), C.12)
C.13)
C.14)
C.15)
(a = a0, 0<р<я),
Та = 0 (а = 0, 0<р<я),
Тэ = 0 @<а<а0, Р = 0) @<а<а0, Р = я).
Представим функцию х? в виде ряда Фурье
п=0
C.16)
Ряд C.16) удовлетворяет граничным условиям C.14), C.15).
Коэффициенты разложения в ряд Фурье определим из условий
C.12), C.13). Имеем
ао= 1 —
C.17)

Подставляя далее C.16), C.17) в C.9) и используя формулы
dxdy == g^dadft, ds = gdft (на 1\) и C.10), получим
ф = Go I —- + 4" (ch 2а°"" ch 2а + cos 2P) +
, V* ( о и , ла sh2mxo\] , 2GlS0Sl
+ ^ап(созп№*а+ 2c2sh2ao )j + —У^
n=i
fe= ? -~ + 4" cos 20 + \ an(cosлгр chда0 +
"T' C.18)
n=i
Найденные выражения C.18) для искомых величин <р, /г, ^Г
можно упростить, если учесть сделанное в пункте 2 предположе-
предположение mins R (s) ~ Z, позволяющее считать величину 1/ch 2cc0 малой
по сравнению с единицей. Разлагая в ряд по малому параметру
1/ch 2a0 подынтегральную функцию в C.17), можно показать, что
с точностью до членов порядка A/ch 2a0J справедливы равенства
до = 1 — а2, а2 - -яс3/4]/2/|/сЬ 2сс0 = -с2/8 ch 2a0,
ax = д3 = . . . = 0. C.19)
С учетом C.19) и некоторых дополнительных преобразований
выражения для h и К из C.18) примут вид
= i/le kc4G0 sh 4a0 + AG&Sll-*, C.20)
где Z x cnY^ ch 2a0. Из формулы C.20) для h и рис. 4.5, на кото-
котором показано оптимальное распределение толщин в усиливающем
слое йь видно, что при движении вдоль контура Гх с увеличением
кривизны границы 1\ уменьшается толщина h. На рис. 4.5 усили-
усиливающий слой заштрихован, а штрихпунктирной линией 1 показана
граница Г области Q в случае постоянного распределения толщин
h = Sjl. Это распределение толщин оказывается оптимальным,
если в качестве Qo берется круг.
§ 4. Минимизация концентрации напряжений
в упругих пластинках с отверстиями
1. В § 1—3 исследовались задачи оптимизации с неизвестными
границами и интегральным функционалом. Более сложным оказы-
оказывается решение задач оптимизации с локальными критериями
140

качества. К этим задачам приходим, в частности, при отыскании
форм удругих тел, обладающих минимальной концентрацией на-
напряжений (см. § 2, главы I, а также § 4 главы III). Рассмотрим
напряженное состояние упругого тела с отверстием при действии
на тело внешних сил. Область, занимаемую упругой средой, обо-
обозначим через Q, а через Г — поверхность отверстия. Примем в ка-
качестве меры интенсивности напряжений величину / = (/)q0 =
= maxp /, где Р ЕЕ Q, й0 — множество точек упругой среды, в ко-
которых реализуется максимум /, а / — функция инвариантов 1г,
/2, /3 тензора напряжений. При этом выражение для /, представ-
представленное через компоненты тензора напряжений, предполагается
однородной функцией с показателем однородности, равным двум.
В этом и последующих параграфах данной главы будут рас-
рассматриваться задачи отыскания границы Г, для которой достигает
минимума максимум по области Q + Г величины /, т. е.
/^ = minr / = minr тахр<=а/. D.1)
Задача D.1) в силу локального характера оптимизируемого
функционала относится к задачам оптимизации с локальными
критериями качества. При отыскании минимума по Г в D.1) пред-
предполагается, что поверхность Г не может стягиваться в точку, т. е.
не допускается отсутствие полости. Форма контура Г играет роль
«управляющей» функции, а уравнения равновесия и совместности
деформаций, служащие для определения напряжений, выступают
в задаче оптимизации в качестве дифференциальной связи.
Исследование сформулированной задачи проведем примени-
применительно к случаям растяжения и изгиба упругих пластинок с от-
отверстиями. Предварительно отметим одно свойство гармонических
функций, существенно используемое в дальнейшем.
Пусть в плоскости ху имеется п отверстий, ограниченных замк-
замкнутыми контурами Tt (i = 1, 2, . . ., /г). В области Q, ограничен-
ограниченной контуром Г = 2Гг и содержащей бесконечно удаленную
точку (Q — внешность отверстий), рассмотрим семейство гармо-
гармонических функций, непрерывных в Q-f Ги стремящихся на бес-
бесконечности к заданной положительной константе А. Для любой
функции х из этого семейства и принимаемых ею значений на
границе Г ((%)г = g) согласно принципу максимума [48] имеет
место неравенство
| х (я, у) | < тах|Л | g (I, г]) |,
в котором (х, у) ЕЕ Й, а (?, r\) e Г. Отсюда, в частности, следует,
что
А < тах^ | g |, D.2)
Если в неравенстве D.2) реализуется знак строгого равенства,
то функция х тождественно равна константе А. Поэтому минимум
по gфункционала max^ | g \ ((?, г]) е Г) достигается на единствен-
единственной функции g {I, г)) = А (х (я, у) = А) рассматриваемого семей-
141

ства и равен А, т. е.
ming max^ | g | = А. D.3)
Указанное свойство гармонических функций используется
ниже для оценки напряжений на границах отверстий в пластинке.
2. Рассмотрим плоскую задачу теории упругости о напряжен-
напряженном состоянии бесконечной пластинки, ослабленной отверстием.
Обозначим через Q в плоскости ху область, занимаемую материа-
материалом пластинки, а через Г — границу отверстия (рис. 4.6). Для
j i I компонент тензора напряжений
\ \ \ &2 используем общепринятые обо-
обозначения сгх, сгу, тху. Предполо-
Предположим, что пластинка растягива-
растягивается на бесконечности, а контур
-*- отверстия Г свободен от прикла-
"*" дываемых нагрузок. Соответст-
$ вующие краевые условия на Г и
г условия в бесконечно удаленной
точке запишем в виде
ап = 0, хп = 0, (х, у) е Г,
Ысо = 0, D.4)
вг\\\
Рис. 4.6
где аг и а2 — заданные положительные константы, а через п и
s обозначены нормальное и касательное к контуру Г направления.
При заданной форме контура Г распределение напряжений в об-
области Q + Г полностью определяется условиями D.4). Как из-
известно, использование функции напряжений ф, связанной с ком-
компонентами тензора напряжений соотношениями ах = фуу, ау = ф^,
*ху = — Фх1/? сводит задачу отыскания напряжений к решению
бигармонического уравнения
Д2ф =
D.5)
в области Q при граничных условиях D.4). Нижними индексами
в D.5) обозначено дифференцирование по соответствующим пере-
переменным.
Для рассматриваемой задачи о растяжении пластинки третий
инвариант тензора напряжений равен нулю, а функция / представ-
представляется в виде / =/(/х, /2), где 1г = ах + ву, /2 = хХ[1 — ахау.
Задание / выражениями / = 1\ + 3/2 и / = 1\ + 4 12 соответст-
соответствует критериям пластичности Мизеса и Треска. Наряду с указан-
указанными выражениями для / в данном параграфе будут рассмотрены
и более общие зависимости / от инвариантов 1г и /2.
Рассмотрим сначала в качестве / следующее выражение:
/ = П + 3/, = а% + al - ах аи + 3tJu, D.6)
142

отвечающее критерию пластичности Мизеса. Выражение D.6)
с точностью до коэффициента равно (по определению) квадрату ин-
интенсивности касательных напряжений.
Введем вспомогательную функцию % = ах + сГу, которая, как
известно (см., например, [101]), является гармонической. С уче-
учетом условий D.4) и равенства ах + <ту = сгп + at будем иметь
АХ = 0, (х, у) ЕЕ Q, (Х)г = ст., (х)оо = <*! + о2. D.7)
Используя далее инвариантность выражения D.6) относитель-
относительно перехода от осей ху к направлениям п и s и граничные условия
D.4), приходим к следующей формуле для граничных значений /:
(/)г = о?. D.8)
Применяя к функции %, определенной соотношениями D.7),
отмеченное свойство гармонических функций D.3) и сопоставляя
выражения D.7), D.8) для граничных значений / и %, получим,
что минимум максимальных значений| % | и / на контуре Г дости-
достигается тогда и только тогда, когда напряжение as постоянно вдоль
контура и равно
= ог + а2. D.9)
Здесь предполагается существование равнонапряженных от-
отверстий, удовлетворяющих условию D.9). В § 5 этой главы будут
описаны некоторые способы [46, 144] отыскания форм отверстий
с равнонапряженными границами. Для рассматриваемого случая
одного отверстия в [143, 144] показано, что контуры Г, удовлетво-
удовлетворяющие D.9), образуют однопараметрическое семейство эллипсов
х2а~[2 + i/2c>22 = ^2, где X2 — параметр.
Покажем теперь, что выполнение равенства D.9) является не-
необходимым и достаточным условием оптимальности контура Г.
Для этого достаточно будет доказать, что для контуров Г, удовлет-
удовлетворяющих условию D.9), максимум функции /, рассматриваемой
в области Q + Г, достигается на контуре Г и поэтому
= тах(зс> у)еГ/. D.10)
Действительно, из предполагаемого равенства D.10) и очевид-
очевидного соотношения
тахг тах(зс> У)ей+г/ > ттгпаах^ У)^г f D.11)
следует, что необходимое и достаточное условие минимальности
максимального значения / на Г будет также необходимым и доста-
достаточным условием минимальности максимального значения / в обла-
области Q + Г, причем
Воспользуемся комплексным представлением компонент тензо-
тензора напряжений через потенциалы Ф (z), W (z) Колосова — Мусхе-
143

ЛИШВИЛИ [101]
ах + оу = 4 Re Ф (z), ву-ох± 2ixxy = 2 [fФ' (г) + Т (г)],
D.12)
где z = х + iy, z = х — Ч/> * — мнимая единица. При выполнении
условия D.9) функция % = ах + ау = ог + а2 в Q + Г и, следо-
следовательно, Ф' (z) = 0. Уравнения D.12) преобразуются к виду
ax + ay = oi + a8, оу - ox + 2ixxy = 2y? (z),
D.13)
Второе равенство D.13) помножим на комплексно сопряженное
выражение ау — ax — 2ixxy = 2Y (z). С учетом первого равенства
D.13) получим
/о = (ах + оа)* + 4 (т|у - аяау) = 4 ТТ. D.14)
Заметим, что функция /0 только коэффициентом при втором
слагаемом отличается от выражения для /. Выразим / через W и
W. Для этого используем формулы D.6), D.14). Имеем
/ = ±/0+ ^(ах + с2J = 3 ?Y+ ±(ог + о2J. D.15)
_ Представим далее функции I и f в виде 4я = i|)x + Ji|J,
vp = <ф1 — гг|J; и запишем формулу D.15) следующим образом:
/ = 3 (гр| + 'Фг) + V4 ((Ti + cr2J- Учитывая, что функции i^ и
*ф2 удовлетворяют условиям Коши — Римана, а также вытекаю-
вытекающие из них равенства Д^ = Дя|;2 = 0, нетрудно показать, что
Д/ = 12(V^iJ > 0. D.16)
Следовательно, /не достигает максимального значения во внут-
внутренних точках области Q + Г. Сопоставление значений (/)г =
= (аг + сг2J и (/)оо = о\ + а\ — а^ приводит к выводу, что мак-
максимум достигается на Г.
Из того, что минимум максимального значения / на контуре Г
реализуется для равнонапряженных контуров D.9), и того, что
в случае равнонапряженного контура максимальное значение /
в области Q + Г достигается на Г, вытекает (см. D.10), D.11)),
что равнонапряженные контуры являются оптимальными. Отме-
Отметим, что условие D.9) является как необходимым, так и достаточ-
достаточным условием глобального оптимума.
3. Предположим теперь, что в пластинке имеется п отверстий,
ограниченных контурами 1\ (Г = 2I\, i = 1, 2, . . ., п). В рас-
рассматриваемом случае применение свойства D.3) позволяет пока-
показать, что минимум максимального значения / на Г достигается при
выполнении условия D.9).
Заметим, что формы равнонапряженных контуров, удовлетво-
удовлетворяющих D.9), найдены в случае двух отверстий, а также для неко-
144

торых периодических систем отверстий в [144]. Далее отметим, что
доказательство неравенства D.16) не зависело от связности области
Q + Г. Поэтому при наличии п равнонапряженных отверстий
максимум / (в области ?i +T) достигается на Г. Следовательно,
в рассматриваемом случае равнонапряженные отверстия также
будут оптимальными.
Деформация пластинок с равнонапряженными отверстиями
происходит таким образом, что дилатация одинакова для всех то-
точек области Q + Г. Действительно, из выполнимости в области
Q + Г условия ох + оу = ог + а2 и известных соотношений меж-
между деформациями и напряжениями следует равенство
=±^-(a1 + cra)> D.17)
где U — вектор перемещений; v — коэффициент Пуассона.
Из проведенных исследований свойств функции / вытекает, что
в процессе нагружения пластинки с оптимальными отверстиями
пластические деформации не могут сначала возникнуть во внутрен-
_ них точках области Q + Г. Пластическое состояние материала
впервые достигается на Г, причем одновременно по всему контуру
(Г = 2Г«).
4. В пунктах 2 и 3 в качестве / выбиралась величина D.7),
равная квадрату интенсивности касательных напряжений (вели-
(величина второго инварианта девиатора напряжений), что соответст-
соответствовало критерию пластичности Мизеса. Рассмотрим теперь случай,
когда / задается выражением
/ = 1\ + 4/2 = (сгя - avf + 4т|,. D.18)
Величина /, определенная согласно D.18), равна максималь-
максимальному касательному напряжению ттах и по принимаемым ею значе-
значениям судят о появлении пластичности, выбрав критерий Треска.
Граничные значения для напряжений и условия в бесконечно
удаленной точке будем предполагать прежними. Для рассматри-
рассматриваемого функционала можно показать, что граничные значения
/ на Г определяются той же формулой (/)г = o2SJ что и в пункте 2.
Поэтому остается верным утверждение, что для равнонапряженных
контуров достигается минимум максимального значения / на кон-
контуре Г. Доказательство же неравенства, аналогичного D.16),
становится более кратким, так как в рассматриваемом случае
/ = /0. Имеем Д/ = Д/о= 16 (V^iJ > 0. Таким образом, равно-
напряженные отверстия оказываются оптимальными и в смысле
критерия D.18).
5. Рассмотрим теперь более общую зависимость / от инвариан-
инвариантов тензора напряжений 1Ъ /2, предполагая неотрицательность
первой и второй частной производной / по /2, т. е.
/ = / AЪ /2), df/dl2 > 0, d*t/dl\ > 0. D.19)
145

Считаются также выполненными предположения пункта 1 об
однородности зависимости величины / от компонент тензора на-
напряжений и условие положительности /. На основании свойств од-
однородности и положительности/, а также с учетом равенств (/j)r =
= сгв, (/2)г = 0 приходим к следующему выражению для значений
/ на контуре Г;
Использование указанного представления для (/)г и отмечен-
отмеченного в пункте 1 свойства гармонических функций приводит непос-
непосредственно к выводу, что для равнонапряженных контуров дости-
достигается минимум максимума / на Г.
Учтем далее условия D.19) и то, что в случае равнонапряжен-
равнонапряженных контуров величина 1г постоянная в области Q + Г A1 =
= аг + сг2). Проводя выкладки, полностью аналогичные тем, ко-
которые делались в пункте 2, можно показать, что для пластинки
с отверстиями, удовлетворяющими условию D.9), справедливо
неравенство
Л/=ik(v/aJ + 4 ж(wJ > 0> {х> у) е Q + г*
Функция / при сделанных предположениях оказывается супер-
супергармонической и, следовательно, не достигает максимума во внут-
внутренних точках области Q + Г. Сравним значения, принимаемые
функцией / на Г и в бесконечно удаленной точке (/)г = / (стх + сг2,0),
(/)оо = / (<*i + въ,—О\Оъ)- Замечая, что (/2)оо = — ага2 < (/а)г =
= 0, и используя первое из неравенств D.19), получим (/)г > (/)<х>.
Таким образом, в рассматриваемом случае справедливо равенство
D.10). Отсюда вытекает, что оптимальными являются равнонапря-
женные отверстия.
6. Проведенные в пункте 3 рассмотрения могут быть распрост-
распространены на случай, когда к границам отверстий приложено давле-
давление а0 (а0 > 0 — заданная константа), т. е. (сгп)г = —сг0. Второе
граничное условие на Г и условия в бесконечно удаленной точке
задается соотношениями D.4). Используя данные граничные ус-
условия и формулу D.6), получим выражение для значений функции
/ на контуре отверстия (/)г = о>« + o0os + (Tq. На основании при-
приведенной формулы для (/)г и свойства D.3) можно показать, что
минимум максимального значения (/)г реализуется тогда и только
тогда, когда
Ыг = ах + а2 + а0. D.20)
Нетрудно заметить, что неравенства (/)г ^ (/)«> и Д/ > 0, а сле-
следовательно, и соотношение D.10) справедливы в данном случае.
Поэтому приведенная формула для граничных значений os представ-
представляет собой необходимое и достаточное условие оптимальности в рас-
рассмотренной задаче. Равнонапряженные отверстия, удовлетворяю-
146

щие условию (crs)r = аг + сг2 + ао> оказываются оптимальными
и в смысле критериев D.18), D.19).
Не приводя доказательства, укажем также, что условия опти-
оптимальности остаются прежними и в случае плоской деформации уп-
упругих тел с отверстиями.
§ 5. Определение форм равнонапряженных отверстий
В данном параграфе опишем два способа отыскания форм рав-
равнонапряженных отверстий в плоских задачах теории упругости.
1. Следуя работе [144], изложим способ отыскания равнонапря-
равнонапряженных контуров, основанный на использовании методов теории
функций комплексного переменного и сведении исходной обратной
краевой задачи к задаче Дирихле для внешности параллельных
разрезов.
Определение напряженного состояния в плоскости с отверстия-
отверстиями, удовлетворяющими условию D.20), приводит к отысканию
одного из комплексных потенциалов Колосова — Мусхелишвили
"V (z), где z = х + iy. Функция Т (z) ведет себя как Р + О (z~2)
при z-voo, где р = V2 (сг2 — ах). Учитывая D.13), D.20), равен-
равенство (стп)г = —ст0 (см. пункт 6 § 4) и известное соотношение [101]
(Уз — ап + 2tisn = е™ {<*у — сг* + 2^),
вапишем граничное условие для функции Т
<mrp (Z) = Ц, z е Г, E.1)
где \i = (аг + а2 + 2ао)/2, а Э — угол между внешней нормалью
к контуру Г и осью х.
Применим^конформное отображение z = 0 (?) внешности п
разрезов в плоскости комплексного переменного ?, параллельных
действительной оси, на внешность соответствующего числа равно-
напряженных отверстий плоскости z (рис. 4.7). Заметим [65],
что на всякую n-связную область, включающую бесконечно уда-
Рис. 4.7
147

ленную точку, всегда можно конформно отобразить внешность п
разрезов, параллельных действительной оси, с соответствием бес-
бесконечно удаленных точек. При га>3 это отображение единствен-
единственное, если задать поведение отображающей функции со (Q на бес-
бесконечности: со (?) = ? + О A) при ?->¦ оо.
Определим величину е2Ш, фигурирующую в условии E.1).
Дадим приращение точке на плоскости z в направлении нормали
к контуру Г: dz = ei0\dz\. Соответствующая точка на плоскости ?
в силу конформности отображения переместится по нормали к раз-
разрезу, т. е. к действительной оси dt> = + &|d?|. При помощи при-
приведенных выражений для dz и dt> находим eiQ = dz/\dz\ =
= ± ?co'(Q/| со' (Q|. Штрихом здесь и ниже обозначается опера-
операция дифференцирования. Следовательно, e2i<3 = о' (Q/ | со' (?)|
Подставляя выражение для e2i0 в E.1), получим
-ф (?) со' (С) = |ш' (?), ?<=ГС> E.2)
где i|? (?) = "*Р (w (?)), а 1\ — граница прямолинейных разрезов
в плоскости ?. Функции i|?(Q и со (Q подлежат определению из
решения краевой задачи E.2). Возьмем действительную и мнимую
части в выражении E.2). Будем иметь
Re Г @ = О, С €= Гс, Г' @ == (ф (S) + ц) со' (?), E.3)
Im iV' (S) =0Де Г;, ЛГ' (?) = (ф (?) - ц) со' (?). E.4)
Функции 7" (Q и iV' (Q аналитичны всюду во внешности раз-
разрезов Г^. В окрестности бесконечно удаленной точки они ограни-
ограничены, так как функции \|)(Q и (о' (Q ограничены при ?-> оо. Бу-
Будем предполагать контуры отверстий Г гладкими. Отсюда следует,
что я|) (?) ограничены всюду в окрестности разрезов Г^, а функция
о/ (Q ограничена всюду, за исключением концов разрезов Г^,
в окрестности которых со (Q будет иметь степенную особенность
порядка V2. Таким образом, аналитические функции Т' (Q и
N '(Q будут ограниченными во всей плоскости, за исключением
концов разрезов Г^, в которых они имеют степенную особенность
порядка V2, т. е.
Г (Г) = О (¦ 1 \, AT Q = О ( t 1 ) E.5)
при ^ ->- ^, где ^ —конец одного из разрезов.
Краевые задачи E.3) и E.4) представляют собой классические
задачи Дирихле для внешности разрезов, причем решение задач
отыскивается в классе функций, ограниченных на бесконечности
и имеющих особенность вида E.5) у концов разрезов.
Если функции Г(?) и N (?>) найдены, то искомые функции
Ф (?) и со (Q ца основании E.3), E.4) определятся до следующим
148

формулам:
'(Е). E.6)
Через с0 обозначена произвольная постоянная.
В случае одного отверстия в плоскости z имеем один разрез
в плоскости ?, который без ограничения общности будем считать
расположенным вдоль действительной оси и соединяющим точки
(—1, +1). Пусть при ?-> оо функция со (Q = сг?> + О^), где
сг — действительная контанта. Это условие вместе с заданием
длины разреза исчерпывает произвол в описании конформного
преобразования двух заданных областей. Согласно E.3), E.4) при
? —> оо
Г (?) = (р + ц)С1 + О (Г2), ЛГ' @ = (Р - |i)cx + О (Г2)-
E.7)
Решение краевых задач E.3), E.4) при условиях E.5), E.7)
имеет следующий вид:
Г Ш = (Cl?(P + Ц) + ^)/|Л"^^1, TV' @ = Cl (p - ,х) +
-1. E.8)
Действительные постоянные dx и d2 произвольны. Интегрируя
выражения E.8), находим
Т Ш = сг VV - 1 (Р + ц) + di In (? + /С2 - 1),
N @ = CiS (Р - Ц) + ^ In (С + /F^l).
Используя далее первую формулу E.6) и полагая с0 = 0, по-
получим
Условие однозначности функции со (?) во внешности разреза
(—1, +1) удовлетворим, положив dx = d2 — 0- Тогда из формулы
E.9) получим следующее параметрическое представление формы
контура отверстия:
х - с^щ/2, у = ± Сх/Па/Г^ТУг (—К t < 1), E.10)
где ? — параметр. Исключая в этих формулах параметр t, прихо-
приходим к уравнению эллипса x2lm\ + У2/т\ = №. Если о0 = 0, то
уравнение равнонапряженного контура имеет вид
хЧа\ + уУа\ = %\ E.11)
В случае двух отверстий на плоскости ? будет два разреза
(kv Xz) и (А,3, Х4), расположенных вдоль действительной оси I
149

V
л 7
-2
*- Pkc. 4.
4
(рис. 4.8). Коэффициент сх в условиях E.7) будем считать действи-
действительным и положительным. Решение задач Дирихле E.3), E.4)
при условиях на бесконечности E.7) имеет вид
Г (Q =
/(c-*i)(e-*i)(c-
E.12)
Здесь dx, d2» ^з» ^4 — произвольные действительные постоян-
постоянные. Учитывая симметрию задачи относительно осей абсцисс и
ординат, для определенности будем считать, что одно отверстие
целиком расположено в левой полуплоскости (х < 0), а другое —
в правой (х^> 0). В формулах E.12) можно без ограничения общ-
общности положить %1 = — 2, Х2 — — 1, Х3 = 1, ^4 = 2, dx = d3 =
= d4 = 0. При помощи первой формулы E.6) вычислим функцию
со (?). Постоянную с0, фигурирующую в E.6), выберем из условия,
чтобы со @) =0. В результате получим
@(L) = ¦
- [((г +
- 2 + 4"
(arcsin?,-i-)
(arcsinS. 4"
E.13)
Здесь F is. E — эллиптические интегралы первого и второго
рода. Форму контура находим непосредственно по формулам E.6),
150

E.13) (при х > 0 и у > О)
1) + ^г{^-Р + 2^ + Р)?;Ш-
i]} E.14)
X
Подробный анализ решения E.14), а также определение форм
контуров периодических и двоякопериодических систем равнона-
пряженных отверстий проведены в работе [144].
2. Другой способ определения форм равнонапряженных отвер-
отверстий (в конечносвязных областях), основанный на приведении
к интегральному уравнению, предложен в работе [46].
Как известно [76], на всякую и-связную область комплексной
плоскости переменного z, включающую бесконечно удаленную
точку, можно отобразить каноническую область, получаемую из
плоскости переменной ? выбрасыванием п кругов. При п ^> 2
отображение со (Q, имеющее вид со (Q = с? + со0 (Q, где соо (Q
ограничена на бесконечности, зависит от Зтг действительных пара-
параметров, шесть из которых (например, одну окружность, фиксиро-
фиксированную точку на ней и центр еще одной окружности) можно задать
произвольно; с — масштабный множитель. Следовательно, сис-
система равнонапряженных контуров, если она существует, образует
(Зтг — 6)-параметрическое семейство. Границы изменения пара-
параметров определяются из геометрических соображений. При нали-
наличии симметрии число параметров может уменьшиться.
Для определения напряжений на границе отверстий Г имеем
соотношения
ог + ов = 4Re Ф (?),
ае - стг + 2itr6 = 7 ,*»' (со (Q Ф' (С) + со' (?) Y (?)). E.15)
rk® (ъ)
Здесь аг, ае, тге — нормальные и касательное напряжения
в полярной системе координат с полюсом в центре ^ окружности
с радиусом гк и границей Г/с, к = 1, 2, . . ., п. Если на бесконеч-
бесконечности задано одномерное напряженное состояние с компонентами
напряжений ах = ах, ау = а2, тху = 0, то Ф(9 и f (Q имеют
вид Ф @ = У4 (ах + а2) + Фо (Q, Т (Q = V2 (а, - а,) + То(Q,
где Фо (Q и Wo (Q — голоморфны и при z ->¦ оо имеют асимптоти-
асимптотику О (z~2). Учитывая, что (аг)г = —-а0 на контурах отверстий,
имеем ае = ог + а2 + а0. Тогда, как уже отмечалось выше,
151

Ф (?) = V4 (crx + аг), а второе соотношение E.15) принимает вид
Рассмотрим в формуле E.16) второй член слева. Заметив, что
Л I (? — ?>кJ = — dC/^S при ? е 1\, запишем его в виде
Подставляя это выражение в E.16) и выполняя интегрирова
ние, получим
т^) E.17)
?еГ*, Л = 1,2, . . ., п.
Функция Л (Q голоморфна, Л' (Q = coq (Q To (Q/|a, a 4-
произвольные постоянные. Изменяя при необходимости afc, добьем-
добьемся, чтобы ограниченные функции Л (Q и соо (Q убывали на беско-
бесконечности. Для решения краевой задачи представим, следуя
Д. И. Шерману [155], Л (Q и со0 (?) интегралами типа Коши
Условия на бесконечности удовлетворяются представлением
E.18). Подставляя E.18) в E.17), получим
E.19)
Постоянные dk определим следующим образом:
dk = — -^— ^ и (t)ds, ds=\dt|. E.20)
Уравнение E.20) фредгольмово с вещественным симметричным
ядром. Отделяя в нем вещественную и мнимую части, получим
пару интегральных уравнений относительно потенциалов двой-
двойного слоя видоизмененной задачи Дирихле в классе ограничен-
ограниченных непрерывных функций. Эти уравнения однозначно разреши-
разрешимы, поэтому уравнение E.19) при условии E.20) также разрешимо
для любой правой части. В случае п = 1 уравнение E.19) имеет
очевидное решение Л (Q = ?, со0 (?) = p/|i?. Функция со (Q =
= с (? + Р/и-0 совпадает с функцией со (Q из E.9), если допол-
дополнительно преобразовать внешность единичного круга на внеш-
внешность отрезка [—1, 1] функцией Жуковского.
152

J x/c
Рис. 4.9
При п^> 1 уравнение E.19) в работе [46] решалось численно
методом наименьших квадратов. Были рассчитаны оптимальные
формы циклически-симметрично расположенных п отверстий.
Предполагалось, что к контурам отверстий приложено равномер-
равномерное давление (сгг)г = — ог0, (тгэ)г = 0, а усилия на бесконечности
отсутствуют, т. е. ах = о2 = 0. На рис. 4.9 показаны полученные
в результате расчетов оптимальные контуры. Кривые 1—4 соот-
соответствуют значениям единственного независимого параметра
X = г^Я sin (т/2), X > 0, равным 1,01; 1,1; 1,3; 1,5, где т = 2я/п,
Н = \ Zfc |. При X ^> 1 уравнение E.19) для данных граничных ус-
условий допускает очевидное решение
¦СУ
,-1
2!
к=1
Штрих означает, что в сумме пропущен член с к = I.
§ 6. Оптимизация формы отверстий в пластинках,
работающих на изгиб
1. Приведем основные уравнения, описывающие изгиб упругой
бесконечной пластинки с отверстием и сформулируем задачу оп-
оптимизации. Обозначим через Q в плоскости ху двусвязную область,
занимаемую материалом пластинки, а через Г — границу отвер-
отверстия (рис. 4.10). Наряду с прямоугольной системой координат ху
будем использовать ортогональные координаты ns, связанные
с контуром Г и отсчитываемые соответственно в нормальном и
касательном направлениях к границе отверстия. Контур отвер-
отверстия предполагается не содержащим угловых точек. Для изгибаю-
изгибающих моментов и перерезывающих сил в системах координат ху и
ns используются общепринятые обозначения Мх, Му, Mxv, Qx,
Qy и Мп, Ms, MnS, Qn, Qs. Пластинка изгибается моментами
153

Мх = Мг !> 0, My = М2 > 0, Мху = О, приложенными в беско-
бесконечно удаленных точках, а контур отверстия свободен от нагрузок.
Функция прогибов w = w {х, у) в предположении об отсутствии
поперечных сил удовлетворяет бигармоническому уравнению
Д2м> = 0. Граничные условия, отвечающие предположению об
отсутствии нагрузок на контуре отверстия, в точной формулиров-
формулировке записываются в виде^
Мп = 0, Mns = 0, Qn = 0, (х, у) е= Г. F.1)
Изгибающие моменты и перерезывающие силы связаны с функ-
циейТпрогибов1*наследующими соотношениями (см., например,
[119]):
Мх = — D (wxx + vwyy),
My = — D (wyy + vwxx),
Mxy = - D A + v) wxyi
Qx = -D (Дм;)я,
Qy = -D (Aw)y, F.2)
Рис- 4Л0 где D = Eh3/12 A - v2) - цилинд-
цилиндрическая жесткость пластинки;
Е — модуль Юнга; v — коэффициент Пуассона; h — толщина
пластинки.
В общем случае одно из условий F.1), как известно (см. [130]),
является «лишним». Здесь имеется в виду то обстоятельство, что
для отверстия произвольной формы решение бигармонического
уравнения не может одновременно удовлетворять всем трем ука-
указанным условиям. Поэтому в технической теории пластин исполь-
используется приближенная формулировка граничных условий в виде
двух равенств Мп = 0, Qn + dMnJds = 0. Решение же краевой
задачи с этими условиями приводит к известному искажению по-
полей напряжений у краев отверстий. Для дальнейшего заметим,
что, как будет показано ниже, для отверстий оптимальной формы
удается удовлетворить всем трем граничным условиям F.1). Ниже
при исследовании задачи оптимизации будут использоваться ус-
условия Мп = 0, Мпч = 0, а условие Qtl = 0 в случае отверстия оп-
оптимальной формы окажется выполненным автоматически.
Если функция прогибов w (х, у) найдена как решение краевой
задачи с дополнительными условиями на бесконечности Мх = М1У
Му = M2J Mxy = 0 и тем самым в силу соотношений F.2) известны
моменты и перерезывающие усилия, то отличные от нуля компо-
компоненты тензора напряжений подсчитываются по формулам [118,119]
- 3/2 (/*2 - 4?) h~*Qx, v = 3/2 (/*2 - 4t?)h-*Qy. F.3)
Действительная переменная ? отсчитывается вдоль нормали
к срединной поверхности и меняется в пределах — h/2 ^ ? <^ h/2.
154

В качестве функции /, фигурирующей в D.1), примем величину
второго инварианта девиатора тензора напряжений
/ = О| + О* — Ох0у + $ (%1у + X\z + X2yz) =
= 144?2А"в [(Мх + Myf + 3 (М2ху - МХМУ)\ +
F.4)
где (я, I/) Е Й + Г, —А/2 <^ ? ^ Л/2. Заметим, что зависимость
/ от ? явная, а от переменных х, у функция / зависит через посред-
посредство величин Мх, Му, Мху, Qx, Qy.
Задача оптимизации заключается в определении формы конту-
контура Г, для которого реализуется минимум максимального значения
/ по области Q + Г, занимаемой материалом пластинки:
/jj. = minr / — minr maxxy raax^/. F.5)
В отличие от задач оптимизации, рассмотренных в § 4, функция
из F.4) зависит не только от переменных я, г/, но и от переменной ?.
При отыскании минимума по Г в F.5), как и прежде, предпола-
предполагается, что искомый контур не может стягиваться в точку, т. е.
не допускается отсутствие отверстия.
2. Представим функцию / в виде суммы двух слагаемых
f = h + /„ /i=™ <Л* ~ Ф)%ЬГ*«& + Ql)>.
fx = 144^%-6 l(Mx + My)" + 3 {Ml, - MxMy)] F.6)
и рассмотрим сначала вспомогательную задачу минимизации мак-
максимального значения /х на контуре Г
Jx% = minr тахЛ?/ max; /х, F.7)
где (х, ^еГ, ? е [—А/2, А/2]. Заметим, что величина, записан-
записанная в F.6) в квадратных скобках, положительная. Это свойство
является следствием положительности функции /. Действительно,
предполагая противное и полагая ? = ±А/2 в выражении для /,
приходим к противоречию / = Д <С 0. Используя отмеченное свой-
свойство, заключаем, что максимум по ? в F.7) достигается при ? =
= ±А/2.
Получим выражение для функции /х в точках границы Г. С этой
целью проведем вспомогательные рассмотрения. Величина / инва-
инвариантна относительно перехода от одной ортогональной системы
координат к другой. Учитывая это свойство и то, что при ? =
= ±А/2 имеет место равенство / = Д = 36/г~4 1(МХ + МуJ +
+ 3 {Мху — МХМУ)], заключаем, что выражение, записанное
в квадратных скобках, инвариантно относительно перехода от
осей ху к координатам ns, т. е. (Мх + МуJ + 3(М %и — МХМУ) =
= (Мп + MsJ + 3 (Mns — MnMs). Используя далее граничные
условия Мп = 0, Mns = 0 ((х, у) е Г), приходим к следующему
155

выражению для Д в точках границы:
(/1)r = flMj. а = 144?2/Гб. F.8)
Введем в рассмотрение вспомогательную функцию % = Мх +
+ Л^у. На основании соотношений F.2) имеем % = —D A +
4~ v)Am\ Распределение прогибов м? удовлетворяет бигармониче-
скому уравнению, и, следовательно, функция % является гармо-
гармонической. Учитывая равенство Мх + Му = Mn + Ms, условия
на Г и в бесконечно удаленной точке, приходим к следующим со-
соотношениям для %:
Ax = 0, (%)r = Ms, (х). = МХ + АГа, F.9)
аналогичным формулам D.7).
Рассматривая далее соотношения F.8), F.9) и используя свой-
свойства D.3), приходим к выводу, что минимум максимального зна-
значения Д на контуре Г достигается тогда и только тогда, когда
(Ms)r = M1 + М2. F.10)
Таким образом, равенство F.10) является необходимым и дос-
достаточным условием оптимальности во вспомогательной задаче
F.7). Из F.8), F.10) вытекает формула /lsH = 36/Г4 (Мг + М2)\
3. Рассмотрим теперь задачу минимизации максимального зна-
значения Д в области Q + Г и покажем, что условие оптимальности
в этой задаче также выражается равенством F.10). С этой целью
изучим поведение функции Д в области Q + Г и докажем, что для
контуров, удовлетворяющих условию F.10), функция Д достига-
достигает своего максимального значения на границе отверстия.
Воспользуемся комплексным представлением [119] изгибаю-
изгибающих моментов Мх, Му, Мху и перерезывающих сил Qx, Qy через
две аналитические функции Ф (z), Ч <[z)
Мх + Mv = -2D A + v)[O (z) + Ф (*)],
Му - Мх + 2iMxy = ID A - v)№' (z) + ? (z)], F.11)
где z = x + iy, z = x — iy; i — мнимая единица. Черта над Ф
означает, как и прежде, комплексное сопряжение.
Предположим выполненным условие F.10). В этом случае
аналитическая функция Ф (z) постоянна в области определения
(Ф' (z) = 0), а соотношения F.11) примут вид
Мх + Му = Мг + Ма, Му - Мх + 2iMxy =
= W A - v) V. F.12)
Второе соотношение F.12) и комплексно сопряженное равен-
равенство Му — Мх — 2iMxy = 2D A — v) W (z) перемножим почлен-
почленно. Получим
/0 = (Мх + Myf + 4 (Mlv - МХМУ) = 6W, F.13)
156

где b = AD2 A — vJ. Представим функции V и W в вщде *Р =
= i|>i + ^2» ^ = ^i — i^2- Здесь -ф19 -ф2 — действительные вели-
величины. Тогда выражение для /0 преобразуется к виду, удобному
для последующих оценок, /0 = Ъ {^\ + tyl). Величины грх и г|J
удовлетворяют условиям Коши — Римана tylx = г|52у, i|?ly = — 'фгх
и являются гармоническими функциями (Дг^ = Дг|>2 = 0). При-
Применяя к функции /0 оператор Лапласа и проводя несложные вы-
выкладки с использованием отмеченных свойств функций г|?х и -ф2,
приходим к неравенству А/о = 46 (V^iJ > 0- Выразим функ-
функцию Д через /о и константы задачи: Д = V4# [(Мх + М2J +
+ 3/0]. Применяя далее к указанному выражению оператор Лап-
Лапласа, будем иметь ДД = 3ab (V^iJ > 0- Следовательно [74], Д
не достигает максимального значения во внутренних точках об-
области ?2 + Г. Из непосредственного сопоставления значений
а (Мг + М2J и а((М1 + М2J — ЗМгМ2), принимаемых функцией
Д соответственно на Г и в бесконечно удаленной точке, вытека-
вытекает, что максимум Д достигается на границе Г.
Таким образом, при выполнении условия F.10) максимум Д
по области Q + Г достигается в точках контура Г. Максимальное
же значение Д на Г, как это было показано выше, достигает своего
минимума тогда и только тогда, когда выполнено условие F.10).
Следовательно, и в задаче минимизации максимального значения
Д по области Q + Г необходимое и достаточное условие оптималь-
оптимальности дается равенством F.10).
4. Перейдем к исходной задаче минимизации максимального
значения /. Применяя результаты предыдущего пункта, покажем,
что условие оптимальности в этой задаче также выражается ра-
равенством F.10). Действительно, для отверстий, удовлетворяющих
F.10), имеем Qx — iQy = — 4/)Ф' (z) = 0 и, следовательно,
Qx = Qv = 0. F.14)
В этом случае /а = 0 для всех точек (х, у) ?Е Q + Г и имеет
место равенство
/ = /i, (*,у)еО + Г. F.15)
Для отверстий же произвольной формы
f = fi + U> /i, (*, !/)ЕПГ. F.16)
Сопоставляя соотношения F.15), F.16) и учитывая, что мини-
минимум максимального значения Д по области Q + Г достигается
тогда и только тогда, когда выполнено равенство F.10), прихо-
приходим к выводу, что и в задаче минимизации максимального значе-
значения / это равенство является необходимым и достаточным услови-
условием оптимальности.
5. Доказательство оптимальности отверстий, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию F.10), не зависело от связности области Q. Поэтому
и при наличии п отверстий равенство F.10) является необходи-
необходимым и достаточным условием оптимальности.
157

Проведенные выше рассмотрения обобщаются на тот случай,
когда к границам отверстий приложены постоянные распределен-
распределенные моменты Мп = —Мо (Мо ^> 0 — заданная константа). Не-
Нетрудно показать, что при наличии на контуре распределенных
моментов, условие оптимальности имеет вид
(М.)г = Мг + М2 + Мо. F.17)
Отыскание формы оптимального контура с использованием
соотношения F.10) приводит к замкнутой краевой задаче для би-
гармонического уравнения с граничными условиями Мп = 0,
Mns = 0 и заданными условиями на бесконечности, причем соот-
соотношение F.10) служит для определения неизвестной границы Г.
При помощи равенств Мх + Му = — D A + v)Aw и Мх +
+ Му = Мх + М2 данная задача сводится к обратной краевой
задаче для уравнения Пуассона
Aw = с, с = -(М1 + M2)/D (I + v), F.18)
исследованной методами теории функций комплексного перемен-
переменного в [144] (см. § 5). Используя результаты работы [144], полу-
получим, что при изгибе пластинки отверстия эллиптической формы
х2М? + у*М722 = № F.19)
являются оптимальными. Через А,2 обозначена произвольная по-
положительная константа. Поскольку отыскание оптимальных форм
отверстий при растяжении и изгибе пластинок приводит к оди-
одинаковым математическим задачам, то для отыскания контуров
систем отверстий могут применяться методы, описанные в § 5.
Для пластинки с оптимальным отверстием в силу F.14) ока-
оказывается выполненным «неучтенное» краевое условие Qn = 0.
Следствием равенства F.14) является также то, что все компонен-
компоненты тензора напряжений и функция / на срединной поверхности
(? = 0) обращаются в нуль.
Отметим, что средняя кривизна срединной поверхности изо-
изогнутой пластинки с оптимальным отверстием для всех точек
(ж, }) Е Q + Г постоянна
J LAu; = c, F.20)
'у
где с — константа, определенная по формуле F.18), а через r^S
Гу1 в F.20) обозначены кривизны, соответствующие направлениям
х и у.
Отметим, что при изгибе пластинки с оптимальными отверстия-
отверстиями, как и в рассмотренном в § 4 случае растяжения, пластическое
состояние материала впервые достигается на Г (Г = 21^), при-
причем одновременно на всем контуре.
Задачи, подобные рассмотренным в § 4—6, возникают при
отыскании оптимальных форм упругих тел конечных размеров
при построении оптимальных «сопряжений» в областях с резко
меняющейся геометрией и высокой концентрацией напряжений
[205, 206, 238, 245].

Глава пятая
ОПТИМИЗАЦИЯ АНИЗОТРОПНЫХ СВОЙСТВ
УПРУГИХ ТЕЛ
Вопросы, излагаемые в данной главе, относятся к новому
классу задач оптимизации внутренней структуры упругих тел.
Эти исследования вызваны возрастающим интересом к использо-
использованию композитных материалов. В § 1 обсуждаются постановки
задач оптимизации анизотропных тел. Основное внимание здесь
уделяется отысканию оптимальной ориентации осей анизотропии.
Анализ условий оптимальности и стационарных способов ориен-
ориентации упругих модулей показывает, что необходимые условия
экстремума не выделяют однозначным образом наилучшую ори-
ориентацию осей анизотропии. Основные трудности решения опти-
оптимальной задачи обусловлены необходимостью рассмотрения
различных сочетаний стационарных способов ориентации, приме-
примененных в отдельных областях тела, и сравнения значений, при-
принимаемых функционалом. Поэтому вначале рассмотрены некоторые
вариационные задачи, связанные с вращением матриц, и изу-
изучены достаточные условия оптимальности (см. § 2). С применени-
применением этих результатов в § 3 получены оптимальные распределения
модулей в неоднородных анизотропных стержнях, обладающих
максимальной жесткостью при кручении. В § 4 вопросы оптими-
оптимизации анизотропных свойств упругой среды рассмотрены приме-
применительно к плоским задачам теории упругости. В § 5 излагаютоя
результаты численного решения ряда задач об оптимальной ори-
ориентации осей анизотропии. В § 6 приводятся некоторые замеча-
замечания, касающиеся отыскания формы и совместных задач оптими-
оптимизации формы и анизотропных свойств упругих тел. Часть резуль-
результатов данной главы опубликована в работах [21—24].
§ 1. О постановках задач оптимизации
анизотропных тел
При нагружении конструкции ее элементы обычно находятся
в сложном напряженном и деформированном состоянии. Дейст-
Действующие напряжения и обусловленные ими деформации не оди-
одинаковы в различных направлениях и частях упругого тела, это
обстоятельство явилось причиной широкого использования на
практике анизотропных и неоднородных материалов. Перемеще-
159

ния материала со слабо напряженных частей тела, ослабление
конструкции в «неработающих» направлениях и, наоборот, уси-
усиление отдельных направлений, воспринимающих основную на-
нагрузку, подкрепление частей с резкой концентрацией напряжений
являются воплощением идеи армирования.
Современная техника широко использует конструкции из
композитных материалов. В качестве армирующих элементов
(одномерных или двумерных) обычно применяются высокопрочные
нити и тонкие пластинки (волокна бора, стеклянные волокна,
керамические нити, древесные шпоны), в качестве связующего
материала — фенольные, эпоксидные и другие полимерные смолы,
различные клеи. В настоящее время ведутся широкие поиски в об-
области создания новых конструкционных армированных материа-
материалов. Принцип армирования открывает перспективный путь для
получения материалов, обладающих заданным благоприятным
сочетанием механических и физических свойств.
В связи с широким применением в технике анизотропных мате-
материалов и возрастающими возможностями создания различных ви-
видов конструктивной анизотропии становятся актуальными воп-
вопросы эффективного использования анизотропных свойств материа-
материалов в упругих конструкциях. Представляют интерес отыскание
формы упругих анизотропных тел (из материала с заданной ани-
анизотропией), оптимальное распределение модулей жесткости по
деформируемому телу, проблемы совместной оптимизации формы
и структуры тела.
Обсуждая вопросы оптимального проектирования, прежде
всего отметим, что при постановке задач оптимизации армирован-
армированных конструкций важную роль играет выбор расчетной схемы.
Как отмечено в [41], широко используются следующие два типа
расчетных схем. Первая группа схем основана на чисто феномено-
феноменологическом подходе. В ней предполагается непосредственное ис-
использование известных уравнений теории упругости анизотроп-
анизотропного тела. При этом механические постоянные Аф1 (упругие мо-
модули), фигурирующие в обобщенном законе Гука
A-1)
и других определяющих уравнения конструкции, находятся на
основе лабораторных испытаний образцов армированных материа-
материалов. Через otj и etj в A.1) обозначены компоненты тензоров
напряжений и деформаций. Величины А\-дм составляют тензор
упругих модулей четвертого ранга. В общем случае анизотропного
тела число отличных от нуля модулей Л да равно 21. Если струк-
структура анизотропного тела обладает симметрией какого-нибудь ро-
рода, то и в упругих свойствах обнаруживается симметрия [156].
Упругая симметрия проявляется в том, что в каждой точке обна-
обнаруживаются направления, эквивалентные в отношении упругих
свойств. При этом число отличных от нуля модулей Л да умень-
уменьшается. Если через каждую точку проходит плоскость упругой
160

симметрии, то число упругих постоянных сводится к 13. Орто-
тропное тело, через каждую точку которого проходят взаимно
перпендикулярные плоскости, характеризуется девятью упруги-
упругими константами. У трансверсально-изотропного тела, через все
точки которого проходят параллельные плоскости упругой сим-
симметрии, являющиеся, кроме того, плоскостями изотропии, число
независимых констант равно пяти. В предельном случае изотроп-
изотропной среды независимых констант две.
Заметим, что поскольку величины Ацы образуют тензор чет-
четвертого ранга, то при повороте осей координат они изменяются
по линейному закону, содержащему в качестве множителей про-
произведения четырех косинусов {пг>и . . ., пп) углов между новыми
(отмечены штрихами) и старыми направлениями осей [7, 85, 87]:
Awl' = Ai№ni'iny}nk'knl'l' (I*2)
Вторая группа расчетных схем деформирования и разруше-
разрушения материалов базируется на их макроструктурных особеннос-
особенностях. В этих схемах механические характеристики армированного
материала связываются с механическими характеристиками свя-
связующего и армирующего материалов, коэффициентами армирова-
армирования, размерами армирующих элементов и другими макрострук-
турными параметрами. Достоинство этих схем заключается в том
[41], что появляется возможность связать вопросы деформирова-
деформирования и прочности упругих тел, предсказать механические свойст-
свойства композитов по механическим характеристикам их компонент,
решать вопросы оптимального проектирования материалов и т. п.
Заметим, что основные методы получения уравнений армирован-
армированных сред при использовании указанного подхода предложены
в [2, 40, 41, 141, 175—177]. В [41] также выявлены некоторые экст-
экстремальные свойства армированных материалов.
Используя указанные математические теории анизотропных
сред, можно сформулировать различные задачи оптимизации.
Обсудим некоторые из них. Задачи отыскания оптимальных форм
упругих анизотропных тел являются естественным обобщением
соответствующих задач для изотропных тел. Основные трудности,
возникающие при отыскании оптимальных решений, заключаются
в сложности определяющих уравнений анизотропной конструк-
конструкции.
Неклассическими по постановке являются задачи оптимиза-
оптимизации распределения модулей жесткости. Этим задачам и будет уде-
уделено основное внимание в данной главе. Для определенности пред-
предположим, что требуется минимизировать податливость конструк-
конструкции при ограничениях на ее вес. Пусть упругое тело составлено
из одинаковых бесконечно малых кристаллов, произвольно по-
повернутых друг относительно друга. То, что кристаллы одинако-
одинаковы, но произвольно ориентированы, означает, что положение осей
упругой симметрии относительно некоторой неподвижной декар-
декартовой системы координат меняется при переходе от одной точки
6 Н. В. Баничук 161

тела к другой, значение же самих упругих модулей в осях упру-
упругой симметрии остается неизменным. Зададим ориентацию осей
анизотропии в каждой точке х = {хи х2, х3} среды относительно
неподвижной декартовой системы координат хгх2х3 тремя углами
аг (х), а2 (х), а3 (х), являющимися компонентами управляющей
вектор-функции а (х), т. е. а (х) = {аг (х), а2 (х), а3 (х)}. Через
О/(/ = 1,2, 3) обозначен угол между осью упругой симметрии
Xj и осью неподвижной системы координат ху Отыскание опти-
оптимальной ориентации осей анизотропии, т. е. вектор-функции а (х)
из условия минимума податливости, приводит к задаче
/# = mina / (a). A.3)
К другой оптимизационной задаче приходим, считая направ-
направление осей анизотропии (в каждой точке тела) заданным, а вели-
величины упругих модулей в этих осях искомыми управляющими
функциями. При формулировке этой задачи на искомые модули
должны быть наложены ограничения, вытекающие из рассмотре-
рассмотрения структуры композита и механических свойств его компонент.
В противном случае допускались бы бесконечно большие зна-
значения упругих модулей.
При оптимизации анизотропных свойств в качестве искомых
управляющих функций могут выбираться распределенные пара-
параметры макроструктуры. Действительно, рассматривая упругие
модули Aijki как некоторые осредненные в данной точке характе-
характеристики, зависящие от параметров макроструктуры (концентра-
(концентрации армирующих и связующих материалов, размеров и располо-
расположения армирующих элементов и т. д.), можно принять эти
параметры в качестве управляющих величин. Такая постановка
задачи оптимизации позволяет учесть различные конструктивные и
технологические ограничения и в результате ее решения отве-
ответить на вопросы, представляющие прикладной интерес.
Отыскание оптимальных распределений модулей позволяет
как выявить предпочтительные направления армирования, так
и оценить качество традиционно используемых конструкций.
Даже в тех случаях, когда создание оптимальной конструктивной
анизотропии оказывается трудноосуществимым, решение оптими-
оптимизационных задач полезно для выяснения предельных возможнос-
возможностей и разработки квазиоптимальных способов армирования.
Прежде чем перейти к исследованию конкретных вопросов
оптимизации анизотропных тел, рассмотрим, следуя работе [23],
вспомогательную вариационную задачу, связанную с отыскани-
отысканием оптимальных поворотов заданной матрицы.
§ 2. Об одной задаче на экстремум,
связанной с вращением матрицы
1. Пусть состояние системы описывается скалярной функцией
ср и квадратной матрицей Г. Функция ф = ср (я, у) и элементы
tjj = ttj (х, у) (i, / = 1,2) матрицы Т определены в области Q
№

переменных ху. Функция ср — 0 на границе Г области ?2, а мат-
матрица Т обладает свойством ортогональности. При сделанных пред-
предположениях определим на элементах ср и Т интегральный функ-
функционал
/ (ф, Т) = J J [(V9, T*ATV<?) - 2/ф] dxdy, B.1)
где / ^> 0 — заданная в Q скалярная функция, А — заданная
в Q симметрическая положительно определенная матрица с эле-
элементами atj (?, ; = 1, 2), зависящими от х и г/, т. е. ап ^> О, апа22 —
— fli2 ^> 0- Круглыми скобками в подынтегральном выражении
B.1) обозначено скалярное произведение, звездочкой — опера-
операция транспонирования матрицы, а знаком V — оператор гради-
градиента, т. е. Уф = {срх, ц)у). Собственные числа матрицы А обозна-
обозначим через %ь где ? = 1,2. Из сделанного предположения о поло-
положительной определенности матрицы А вытекает положительность
собственных значений Xt (кг ]> 0, ? = 1, 2). В дальнейшем для
определенности будем считать, что Хх (х, у) <С Х2 (х, у). Произве-
Произведение матриц Т*АТ, фигурирующих в B.1), обозначим через М,
т. е. М = Т*АТ. Заметим, что собственные числа у матрицы М
те же, что и у матрицы А, т. е. равны %t.
Рассмотрим при указанных дополнительных условиях задачу
минимизации по ср и Г функционала /
/^ = minr тшф / (ф, Т),
Е, B.2)
где Е — единичная матрица.
Получим необходимые условия оптимальности для вариационной
задачи B.1), B.2). С этой целью наряду с функцией ф и матри-
матрицей Т рассмотрим их проварьированные значения ф + бф, Т (Е +
+ 6Г). Для того, чтобы указанные проварьированные величины
удовлетворяли граничному условию и условию ортогональности
B.2), потребуем, чтобы вариация функции ф на границе Г обраща-
обращалась в нуль, а б Г была кососимметрической матрицей, т. е.
Fф)г = 0? FГ)* = -6Г. B.3)
Тогда выражение для первой вариации б/ функционала /,
обусловленной вариациями бф и б Г, запишется в виде
б/ = 2 §1 F7Тф, М Уф) dx dy + 2^ [(Убср, МУф) — /бф] dx dy.
Из условия обращения в нуль б/ для произвольной скалярной
функции бф, удовлетворяющей граничному условию B.3), и про-
произвольной кососимметрической матрицы б Г получим необходимые
условия экстремума для ф и Т. В качестве условия экстремума
/ по ф имеем уравнение Эйлера
div (MVq>) = -/. B.4)
6* 163

Необходимое условие экстремума / по Т, как это нетрудно
заметить, означает коллинеарность векторов Уф и ikfVcp. Сле-
Следовательно, вектор Уф является одним из собственных векторов
матрицы
^Уф (* = 1,2). B.5)
Подставляя соотношения B.5) в уравнение Эйлера B.4), по-
получим уравнения, служащие для определения стационарных ср
в случае задания Т согласно B.5)
div (b,Vq>) = -/ (S = l,2), B.6)
%г = J- [п11 + а22 + (- 1)* V(an - а22J
Элементы ортогональной матрицы Т представим в виде
tn = cos a, t12 = — t21 = sin a, t22 = cos а,
где а — угол поворота, задаваемый матрицей Т. На основании
B.5) получим явное соотношение, связывающее угол а = а (#, у)
с функцией ф = ф (Xj у). Пусть для определенности вектор Уф =
= {фя, фу} соответствует собственному числу Хг. Тогда собствен-
собственному числу %j (i ф j) будет отвечать собственный вектор Ъ = {фу,
—фэс}, ортогональный к собственному вектору Уф. Домножим
скалярно обе части векторного равенства B.5) на Ь. Будем иметь
(Ь, МУф) = 0. Данное соотношение включает два различных
случая.
Первый случай
cos 2а = Р, sin 2a = <?, B.7)
р_ (Дц а22)(фх - фу)
(УфJ V(an-(h*)* + h%2
отвечает меньшему собственному значению Хг.
Второй случай
cos 2а = -Р, sin 2а = -Q B.8)
отвечает большему собственному значению Х2. Таким образом,
условие стационарности не дает однозначного способа определе-
определения угла а и не позволяет сформулировать замкнутую краевую
задачу для определения искомых величин. Для выделения одно-
однозначной зависимости функции а от переменной ф следует прибег-
прибегнуть к исследованию знака второй вариации оптимизируемого
функционала и выяснить, какой из указанных случаев отвечает
минимуму /.
164

2. Покажем, что минимум функционала J достигается, если
во всей области Q реализован режим B.7), соответствующий мень-
меньшему собственному значению. С этой целью выпишем выражение
для второй вариации функционала /, обусловленной вариациями
Ф и Т при условиях B.2)
б2/ = J J {(Убф, МУбф) + (бГУф, МбГУф) +
4 (МУф, бГбТТф) + 2 (бГУф, МУбф) —
— 2 (Убф, 6ТМУф)} dx dy. B.9)
Пусть Уф — собственный вектор, соответствующий собствен-
собственному значению Хх. Тогда ортогональный к нему собственный век-
вектор б7Тф отвечает собственному значению %2. Если представить
матрицу ЬТ в виде б Г = бсс5, где В — кососимметрическая мат-
матрица с элементами Ьп = Ь22 = 0, bi2 = —Ь21 = 0, то
6Г6Г = — (баJ?\ бГУф = ба {ф^, — фх}. B.Ю)
Учитывая B.10), преобразуем выражение B.9) к виду
г* (*
б2/= \ \ (pyCp)dxdy, p= {ба,бфх, бфу}, B.11)
где С — симметрическая матрица с элементами
С11 = (^2 — ^l)(V9J» ^12 = С21 = (^2 — ^1>
С13 = С31 = — (^2 — ЮЧх,
с22 = У 2IK + К- (К - Ы l
^23 = ^32 = — (^2— К)Цх
Css = V2 [^ + Х2 + (Х2 -
Подынтегральное выражение в B.11) представляет собой квад-
квадратичную форму относительно компонент вектора р = {ба, бфх,
бфу}. Для определения знака квадратичной формы вычислим уг-
угловые миноры Ах, А2, А3 матрицы С первого, второго и третьего
порядка. Получим
А, = (Х2 - ^)(УФJ, А2 = К, (X, - M(V(pJ,
* B.12)
Из предположения о положительной определенности матрицы
А и неравенства ^ (х, у) < Х2 (х, у) вытекает, что миноры B.12)
неотрицательны (Д^^О, ? = 1,2, 3). Величины А^ обращаются
в нуль, если Уф = 0. Обращение в нуль градиента ф на конечной
подобласти ЙОСЙ противоречит уравнению B.4). Поэтому поч-
почти всюду в Q справедливы строгие неравенства Аг > 0 (i = 1, 2,
3). При выполнении этих неравенств, согласно критерию Силь-
Сильвестра, квадратичная форма (р, Ср) является положительно оп-
определенной и, следовательно, б2/ ^> 0.
165

Таким образом, если в области Q функция а (х, у) связапа
с ф соотношениями B.7) (случай минимального собственного зна-
значения), то реализуется минимум функционала /.
§ 3. Об оптимальной анизотропии
скручиваемых стержней
Полученные в § 2 результаты используем при отыскании оп-
оптимального распределения модулей в скручиваемых стержнях.
1. Рассмотрим кручение анизотропного упругого цилиндри-
цилиндрического стержня. Пусть стержень расположен параллельно оси
z в прямоугольной системе ко-
координат xyz и закручивается
относительно этой оси момента-
моментами, приложенными к его кон-
концам. Обозначим сечение стержня
плоскостью ху через Q, а грани-
границу Q — через Г. Стержень пред-
предполагается прямолинейно ани-
анизотропным, имеющим в каждой
точке плоскость упругой сим-
симметрии, нормальную к образую-
образующей (оси z). Вводя функцию на-
напряжений ф (х, у), связанную с
компонентами тензора напряже-
напряжений txz, xyz и углом закрутки,
приходящимся на единицу длины стержня, соотношениями
%xz = 8фу, %уг = — 0фх, запишем уравнение кручения и гранич-
граничное условие для функции напряжений в виде [86]
Рис. 5.1
о
Ф = 0, (я, у) (= Г,
C.1)
где /7гп, иг12, т22 — коэффициенты деформации в системе коорди-
координат xyz. Наряду с системой координат xyz в произвольной точке
(х, у) ^ Q введем систему координат grj ?, ось ? которой параллель-
параллельна оси z, а ось ? повернута относительно оси х на угол а (х, у)
(рис. 5.1). В осях gri? материал стержня характеризуется коэффи-
коэффициентами деформации ап (х, у), а12 (х, у), а22 (х, у), которые счи-
считаются заданными функциями ху у. Коэффициенты ти связаны
с atj соотношениями [86]
ти === ап cos
п
2 а —
in 2сс + а22 sin2 cc,
т22 = ап sin2 a + a12 sin 2ct + a22 cos2 а,
Щ2 — */я (#и — а22) sin 2а + а12 cos 2а,
C.2)
которые могут быть представлены в матричном виде М = Т*А Т
(см. обозначения в § 2).
166

Функцию а = а (х, у), задающую ориентацию осей J-tj?, при-
примем в качестве управляющей функции и рассмотрим следующую
задачу оптимизации.
Требуется определить функцию а = а (а:, у) такую, что ре-
решение ф (х, у) краевой задачи C.1), C.2) доставляет максимум
функционалу (жесткости стержня на кручение):
К (а) — 2 \ ^ ср (х, у) dx dy -» maxa. C.3)
Q
Заметим, что если упругий материал является локально орто-
тропным, а оси ?т)? совпадают с осями ортотропии (в этом случае
а12 = 0), то задача оптимизации заключается в отыскании опти-
оптимального распределения углов наклона осей ортотропии.
Сформулированная задача C.1) — C.3) максимизации кру-
крутильной жесткости стержня допускает исключение дифференци-
дифференциальной связи C.1). Введем функционал
) J + ratify — 4ф) dx dy C.4)
и заметим, что при заданной функции a (x, у) решение краевой
задачи C.1), C.2) реализует минимум функционала J. В справед-
справедливости данного утверждения нетрудно убедиться, выписывая
уравнение Эйлера но ф для функционала C.4) и замечая, что из-
известные достаточные условия абсолютного минимума функциона-
функционала тп ^> 0, тпт22 — тп212 >0 в рассматриваемом случае выпол-
выполнены. Учитывая далее, что для функции ф (х, у), минимизирующей
функционал C.4) при краевом условии C.1), имеет место равен-
равенство J = —К, запишем соотношение между J и К в следующем
виде: К = — min(p J. С учетом этого равенства задача максими-
максимизации при условиях C.1), C.2) сводится к последовательному вы-
вычислению минимумов по ф и по а функционала /
К% = таха К (а) = —mina mi% J (а, ф). C.5)
Внутренний минимум по ф в C.5) вычисляется при заданно
реализации а =а (х, у) и граничном условии C.1).
Таким образом, отыскание оптимальной ориентации осей
анизотропии свелось к решению вариационной задачи, рассмот-
рассмотренной в § 2. Поэтому полученные в § 2 результаты можно при-
применить для анализа задачи максимизации крутильной жесткости
стержня.
2. В общем случае отыскание q> и а сводится к решению крае-
краевой задачи
(ЬчЧ>х)х + (Къ)у = —2, (ф)г = 0,
(« + «22 — К(ац — а22J + 4я?2) C.6)
и определению а по формулам B.7). Решения краевых задач вида
C.6) получены для различных способов задания коэффициента
167

Рис. 5.2
Рис. 5.3
Кг (в связи с расчетом кручения неоднородных стержней) и пред-
представлены в [86, 91].
3. Пусть коэффициенты деформации atj и, следовательно, соб-
собственное значение Хх не зависят от х, у. Тогда уравнение кручения
сведется к уравнению Пуассона
Фхх + ФУУ = -2&i\ C.7)
описывающему при граничном условии (ср)г = 0 кручение одно-
однородных изотропных стержней с модулем сдвига G = Х^1. Посколь-
Поскольку теория кручения изотропных однородных стержней хорошо
разработана и решение соответствующей краевой задачи найдено
(аналитически или численно) для большинства практически важ-
важных форм сечений стержней [6], то указанная редукция позволя-
позволяет решить поставленную задачу оптимизации.
4. Рассмотрим решение задачи оптимизации для стержня из
локально ортотропного материала: ап = 1/6?!, а22 = 1/6?2, ai2 —
= 0, где G±^> G2 — модули сдвига. В этом случае распределение
углов наклона осей ортотропии дается формулами
а = V2 arctg |ы при \i > 0, цхц)у > 0 и |х < О,
фхфт/ < О,
а = V2 arctg |li + V2 я при jx >- 0, фхфу < 0 и fx < О,
ФЛ > 0. C.8)
Через [I в формулах C.8) обозначена величина 2фзсср1//(сря —
- <й).
Как нетрудно показать [22], в каждой точке (х, у) Ez й ось
г) с большим модулем сдвига касается линии уровня функции ф,
а ось ? с меньшим модулем сдвига 6?2 ортогональна к этой линии.
На рис. 5.2 и 5.3 приведены решения задач оптимизации для
168

Стержней эллиптического и квадратного сечений. Сплошными И
пунктирными кривыми соответственно изображены семейства ли-
линий уровня функции напряжений и ортогональных к ним линий.
Оси т] с максимальным модулем сдвига Gx касаются линии первого
семейства, а оси ? с модулем сдвига G2 касательны к линиям второ-
второго семейства.
Приведем оценку эффективности оптимизации. Для этого срав-
сравним величину жесткости К# оптимального стержня с жесткостью
однородного изотропного стержня, имеющего ту же самую область
поперечного сечения Q и модуль сдвига Gr = (G, -\- C2)/2. Выиг-
Выигрыш по жесткости, получаемый за счет оптимизации, не зависит
от формы поперечного сечения стержня и равен
(К+ - Кс)/Кг = (Gx - G2)/(GX + G2).
Из этой формулы видно, что относительный выигрыш изменя-
изменяется в пределах от 0 до 100% при увеличении отношения модулей
GJGz от 1 до 0.
§ 4. Оптимизация анизотропных свойств упругой среды
в плоских задачах теории упругости
Исследуем вопросы оптимизации анизотропных характеристик
упругих тел в случае плоской деформации или плоского напря-
напряженного состояния [24].
1. Рассмотрим в прямоугольной системе координат ху плоскую
задачу теории упругости о равновесии упругого анизотропного
тела, нагруженного силами (qx, ду) на части контура Тг и жестко
закрепленного на части контура Г2. Будем предполагать, что свой-
свойства материала не меняются в направлении оси z, ортогональной
к плоскости ху, и что деформация ez = 0 (случай плоской дефор-
деформации). Предположим, что упругая среда является локально ор-
тотропной и обозначим через ?, г] оси ортотропии. В точке с коор-
координатами ху положение осей ортотропии ?г] относительно осей
ху зададим с помощью угла а = а (я, у) (а — угол между осями
х и ?). Значения констант ортотропии А\ъ Л?2, А\ъ, А\2, А\&
Лзз, А%ь А\ь, А% [87] считаются заданными. Равновесие упруго-
упругого тела при указанных граничных условиях характеризуется ва-
вариационным принципом
П = ^ fdx dy — J (uqx + uqy) ds —> minu, t»
Q Ft
f = 4r(Anzl + Az&l + Лп6у1у) -|- AU8.xsy + Auexyxy + А
D.1)
где u,v — перемещения вдоль осей х и у\ гх, . . ., гху = 1/<2уХу,
<5Х, • • •» ъху — компоненты тензоров деформации и напряжений.
Модули упругости Atj в фиксированной системе координат ху свя-
169

Заны с заданными константами Л? в системе |г] известными фор-
формулами перехода [87, 97]
Ап = сг cos4 a + c2 sin4 a + с3, ^22 = ci s*n4 a +
+ ^2 COs4 a + С3>
Л12 = (с1 + с2) sin2 a cos2 a + ^4j2,
Л к, =-sin a cos а (с2 sin2 а — с, cos2 а),
Л2{, =z_sin а cos а (с2 cos2 a ~ c} sin2 а),
Ли* = (ci -\~ cz) sin1 a cos2 а + ^«г,7
в которых q - Л?! - А°и - 2Л?6, с2 - А°ы - Л?2 - 2А°т
с3 = Al2 + 2Лд6. Величины Л^- являются функциями угла а, т. е.
Atj = Ац (а), а П — функционал от а (х, у). Заметим, что мини-
минимум по и и v в D.1) разыскивается на классе функций и (х, у),
и (xi y)i удовлетворяющих кинематическим условиям на Г2. Гра-
Граничные условия на 1\, как известно, являются естественными для
функционала D.1) и удовлетворять им заранее не требуется.
Примем величину работы внешних сил, приложенных к кон-
контуру Г\, в качестве оптимизируемого критерия качества (см. § 4
главы I)
J (а) = Т \ (Щх + vqv)ds D>3)
Л
и рассмотрим ниже задачу минимизации этого функционала
/^ = mina / (a) D.4)
за счет соответствующего выбора распределения углов наклона
осей ортотропии в каждой точке а (х, у) по отношению к непод-
неподвижной системе осей ху. Функционал /, как уже отмечалось, на-
называется податливостью упругого тела.
2. Условия экстремума. Стандартный способ получения усло-
условий оптимальности, как известно, связан с учетом дифференци-
дифференциальных связей (в нашем случае уравнений равновесия для и и v)
и введением сопряженных переменных. Однако для рассматривае-
рассматриваемой задачи вследствие того, что уравнения равновесия в переме-
перемещениях являются уравнениями Эйлера для функционала D.1),
задачу оптимизации можно переформулировать аналогично тому,
как это делалось в предыдущем параграфе, и исключить из рас-
рассмотрения дифференциальные связи. С этой целью, используя
теорему Клапейрона, выполним следующие преобразования [14, 22]:
/^ = mina (—minw v П) = —гааха minM> v П.
Таким образом, задача D.4) сводится к отысканию максимина.
Для удобства получения условий стационарности П по ее и сокра-
сокращения выкладок введем в рассмотрение в каждой точке (х, у) си-
систему главных осей деформации XY и обозначим компоненты тен-
тензора деформации в этих осях через е^, еу, bXy (z>xy = 0). Обозна-
170

чим через *ф и % соответственно углы между осями X и |, х и X
так, что г|) = а — х (рис 5.4). Величины &х, 8У, е^ и 8*, 8у,
связаны между собой известными формулами перехода
X + 8,у cos2 х — 7х?у sin X cos X»
— ех) sin 2x + V27xy cos 2X = 0.
Выражение D.1) для / преобразуем к виду
8* — 8Х COS
гу = ех sin
- V2 (*
D.5)
- N COS4
+ <?eos2i|) +
= Va (ex
где 8^, гу определены соотношениями D.5). Таким образом, функ-
функционал П представлен при помощи D.2), D.5), D.6) через два уг-
угла г|) и х, между которыми име-
имеется связь г|) + х — а- При по-
получении необходимых условий
экстремума потребуем выполне-
выполнения равенства нулю первой ва-
вариации функционала П, обу-
обусловленной вариациями 6а, 8м,
8у. Заметим, что при варьирова-
варьировании П по и, v и а (как это
обычно делается для функцио-
функционалов, зависящих от вектор- /-
функции [50, 80]) величины и, z
и и а считаются независимыми.
Следовательно, при этом можно Ряс. 5.4
считать не зависящим от а и
угол х» входящий в выражения D.5), D.6) и определяемый из
третьего соотношения D.5) в зависимости только от компонент
деформаций tg 2х = уху/(&х — 8У). Поэтому при выписывании
первой вариации полагаем df/да = <9//<9i|). В качестве условия ста-
стационарности по а будем иметь sin 2-ф BN cos2 -ф + Q) = 0. Это
условие содержит в себе три различных экстремальных способа
ориентации леей:
1) cos -ф = 0, 2) sin \\) = 0,
3) cos2 г|) - -Q/2N при 0 < -Q/2N < 1.
D.7)
Ориентация осей ортотропии согласно способу 3) возможна
только при выполнении неравенства, указанного в D.7). Поясним
это, используя представление для / в виде квадратичного трехчле-
трехчлена / = iVY2 + Qt + R относительно переменной t = cos2 -ф. Так
как t изменяется на отрезке 0 ^ t ^ 1, то экстремум f no t может
реализоваться либо в граничных точках t = 0 и t = 1, что соот-
171

ветствует способам 1 и 2, либо во внутренней точке. Неравенство
D.7) и выражает условие принадлежности t отрезку [0, 1].
Приведем выражения для потенциала /, соответствующие спо-
способам 1—3:
&у + У(гх - tyf
V(ex- еуJ + ylvf + А
°а
= Ve^u [ex + 8,
(гхеу - V4Y^),
(/)з= Dx {ггх + e?/ + 2D&xsY) = Z?i [(ex + eyJ -f
D.8)
где Z>1? ZJ — постоянные, выражающиеся через константы A\j,
Для определенности в дальнейшем будем предполагать
>А°п.
3. Применим соотношения D.7), D.8) к конкретной задаче оп-
оптимизации анизотропных свойств упругой плоскости с круговым
отверстием. Область Q имеет вид г > а, 0 ^ 0 ^ 2я, где а — ра-
радиус отверстия, г и 0 — полярные координаты, начало которых
совмещено с центром отверстия. К границе Г (г = а) приложены
постоянные нормальные усилия /?, т. е.
<тг = р, тг0 - 0. D.9)
Наличие осевой симметрии обусловливает независимость от 0
углов наклона осей ортотропии а и радиальных перемещений и,
т. е. а = а (г), и = и (г). При этом касательные напряжения, сдви-
сдвиговые деформации и перемещения в окружном направлении обра-
обращаются в нуль (тге = 0, уге = 0, v = 0). Главные оси тензора
деформации имеют в каждой точке (г, 0) области Q радиальное
и окружное направления. Минимизируемый функционал D.3),
вычисляемый вдоль контура Г, будет пропорционален радиаль-
радиальному смещению и (а) точек контура, и его значение / = 2пгри (а)
принято в качестве меры жесткости.
Решая поставленную задачу оптимизации жесткости рассмот-
рассмотрим сначала случаи, когда для всех точек области Q реализуется
172

одинаковый способ ориентации осей ортотропии. Пусть cos i|) = О
в области Q. Это соответствует тому, что ось ортотропии с макси-
максимальным модулем А°п ориентирована в окружном направлении,
а ось с минимальным модулем А^2 — в радиальном направлении.
При этом выражение для /, уравнение равновесия и распределение
радиальных перемещений имеют вид
/ = ± A\d + A°12%eq + 4" А1Л игг -; - А- - х2 -^ = О,
и = Сгг* + f2r-*, x = VA°n/A°22>l. D.10)
Определяя неизвестные константы Сх, C2 из первого гранично-
граничного условия D.9) и условия в бесконечно удаленной точке аг = 0,
получим
^ *&L /^S-^. D.11)
На рис. 5.5, а сплошными и пунктирными линиями показаны
соответственно направления с большим и меньшим модулем.
Если sin -ф = 0 при г > а, то ось ортотропии с большим моду-
модулем Лц имеет радиальное направление. В этом случае направле-
направления с большим и меньшим модулем показаны на рис. 5.5, б сплош-
сплошными и пунктирными линиями.
Запишем соответствующее выражение для /, уравнение равно-
равновесия и распределение радиальных перемещений
/ = ± А°пг2г + Л1аегее + 4" ^22е2е, игг + ^--к*^- = 0.
u = Cirfc + Car-*, A = l/x = /i4Sa/4?i<l- D.12)
С учетом граничных условий (аг)г=а = р и (аг)г==оо = 0 на осно-
основании D.12) имеем
и = pak+1/yr\ J - 2ка2р2/у. D.13)
Сравнивая D.11), D.13), заметим, что способы ориентации осей
ортотропии 1 и 2 приводят к одинаковым значениям минимизи-
минимизируемого функционала /.
В случае третьего способа ориентации осей анизотропии, ког-
когда cos2 гр = —Q/2N в ?2, приходим к следующим выражениям для
/, и и уравнению равновесия:
/ - Z?! (еГ2 + 8^ + 2?2егее), игг + иг/г - и/г2 = 0, D.14)
и = С гг + Cjr-1.
Вычисляя константы Сх, С2, определим распределение переме-
перемещений, величину cos21|) и значение минимизируемого функциона-
функционала /
и - paV2A%r, J = па2р2/А1ъ, cos2i|) - 1/2. D.15)
17?

Рис. 5.6
Оси ортотропии в этом случае направлены по касательным к ли-
линиям, показанным на рис. 5.6. Из сравнения значений функцио-
функционала / D.11), D.13), D.15) следует, что если
то к наибольшей жесткости приводят способы ориентации осей
анизотропии 1 и 2. Если же в D.16) имеет место знак обратного
неравенства, то меньшее значение функционала / реализуется
для способа ориентации 3.
Выше рассматривались стационарные решения, полученные
в предположении, что каждый из способов ориентации реализо-
реализован во всей области Q. Оптимальным же может оказаться решение,
«составленное» из областей с различными стационарными спосо-
способами распределения модулей. Поэтому нужно также исследовать
возможности сочетания в Q способов 1—3, допуская, что область Q
распадается на кольцевые зоны, распределенные окружностями
(г = rt), в которых реализуются различные ориентации осей ор-
ортотропии. Решение этого вопроса приводит к задачам с неизвест-
неизвестными границами, причем при г = rt непрерывны напряжения
17*

tfr, а производные ur терпят разрыв. Используя поэтому в точ*са?
г -~ rt условия Вейерштрасса — Эрдмана и проводя элементар-
элементарные, но громоздкие вычисления, можно показать, что если моду-
модуля упругости А\ъ Л22, Alb удовлетворяют неравенству D.16), то
сшивки областей с различными типами ориентации осей ортотро-
пии не приводят к значению функционала, меньшему величины
/ из D.11), D.13). Если же неравенство D.16) не выполняется,
то сочетание указанных областей не позволяет достигнуть значе-
значения функционала, меньшего значения / из D.15). Заметим, что
при «сшивке» любого числа областей вида 1 и 2 (в этих областях
реализованы способы ориентации 1 и 2) значение функционала
оказывается равным величине / из D.11), D.13), т. е. остается тем
же, что и для случаев, когда во всей области Q реализуется какой-
нибудь один из этих способов. Таким образом, при выполнении
неравенства D.16) оптимальными оказываются способы ориента-
ориентации 1 и 2, в противном случае — способ ориентации 3.
Замечание. В рассмотренной задаче способы ориента-
ориентации 1, 2, реализованные во всей области Q, а также произвольное
сочетание областей, в которых оси ортотропии ориентированы
согласно 1 или 2, приводят к одинаковым значениям функциона-
функционала. Однако это свойство связано с бесконечностью области Q и не
справедливо для конечных кольцевых областей. Действительно,
рассматривая случай кольцевой области Q {a <J г ^ Ь, 0^0^
<; 2jt}, когда на внутренней границе г = а заданы условия D.9),
а внешняя граница свободна от напряжений, получим, что для
любых а и Ъ к меньшему значению / приводит способ ориентации
осей 1.
§ 5. Расчет оптимальных анизотропных характеристик
упругих тел
В данном параграфе приведем результаты, полученные авто-
автором совместно с А. В. Албулом и Д. М. Епураш и относящиеся
к численному решению некоторых конкретных задач оптимизации
анизотропных свойств плоских упругих тел. Общая постановка
задачи приведена в предыдущем параграфе, где также показано,
что минимизация податливости (максимизация жесткости) сво-
сводится к отысканию максимина потенциальной энергии системы
П, т. е.
/* = —maxa minuv П. E.1)
Для численного решения задачи E.1) применялся метод после
довательной оптимизации, описанный в § 10 главы I. При исполь-
использовании этого метода вариация управляющей функции ба пола-
полагалась равной 6а = (df/da)t, что обеспечивало положительность
вариации функционала П:
6аП = t J J (df/даJ dx dy > 0, E.2)
175

где t^> 0 — шаг по градиенту, а
df/да = V« (дАп/да) е| + (дАа1да) ехеу + V2 (&Ап1да) ej +
+ {dAulda) ехуху + (dAi6jda) еууху + 1Ы (дА66/да) у%у,
E.3)
дАц/да = 4 sin a cos а (с2 sin2 а — с\ cos2 а),
<9422/да = 4 sin а cos а [сх sin2 а — с2 cos2 а],
дАи/да = дЛ66/да = 2 (сг + c2)(sin а cos3 а — cos а sin3 а),
dA1Q/da = — с2 sin4 а — Сг cos4 а + 3 (с± + с2) sin2 a cos2 а,
dA^jda = с2 cos4 а + сх sin4 а — 3 (сх + с2) sin2 а cos2 а.
Расчеты проводились для прямоугольных областей @<
^ а, — Ь/2 ^ у ^ Ь/2) при различных условиях нагружения.
При этом использовалось отображение области на единичный
квадрат Q и решение разыскивалось для ряда значений парамет-
параметра X — Ь/а. Во всех случаях полагалось Ег = 17,5, Е2 = 13,1,
^з = 5,3, G12-2,82 (кг/см2.104), v12 = 0,1, va8 = 0,17, v81 =
== 0,229 (стеклотекстолит), причем для подсчета констант А% ис-
использовались формулы
11
Здесь Ег, Е2, Е3 — модули Юнга, G12 — модуль сдвига, v12,
V23» V3i — коэффициенты Пуассона.
Найденные в результате расчетов оптимальные распределения
углов наклона а {х, у) осей ортотропии представлены на рис. 5.7—
5.11. Касательные к сплошным линиям на этих рисунках показы-
показывают направления с максимальным упругим модулем.
Приведенные на рис. 5.7, 5.8 распределения углов а соответ-
соответствуют случаю пластинки, закрепленной вдоль края х = 0, —V2 <^
<^ у <; 1/2 и растягиваемой силами qx = 1, qy = 0, приложенными
к" границе х = 1, — V2 ^ г/ < V2. Вдоль границ г/ = ±V2, 0 ^
^ х ^ 1 усилия не прикладываются: qx = qy = 0. Для распре-
распределений, показанных на рис. 5.7, 5.8, параметр X равен соответ-
соответственно X = 2, А, = 1. Как видно, на большей части оптимальной
пластинки линии с максимальным упругим модулем ориентируют-
ся по направлению внешних сил и во всей области симметричны
относительно оси х. Эти линии (см. рис. 5.7, 5.8) искривляются
лишь вблизи закрепленного края. С уменьшением X оптимальное
распределение углов а (х, у) стремится к распределению а (х, у) =-
= 0, соответствующему однородной ортотропной пластинке с осью
максимального модуля, параллельной оси х. Относительный выиг-
выигрыш, получаемый за счет оптимизации, по сравнению с однород-
176

I
J
_^
-*>
—»•
9*
х
\
Рис. 5.7
Рис. 5.9
%
%
i
У
1
|
1
1 i.
-Ч
1
i
Рис. 5.8
Рис. 5.Н
f
ной ортотропной пластинкой (а = 0) уменьшается с уменьшением
К и для значений X = 2, 1, 72, V6 соответственно равен 0,23; 0,11;
0,05 и 0,012%.
На рис. 5.9 — 5.11 изображены рассчитанные распределения
углов а (ж, у) в случае, когда к краю х — 1, —V2 <^ У <^ V2 при-
177

ложены нагрузки вида qy = 0,001, qx -— 0. Йа остальных трех
сторонах квадрата граничные условия те же, что и в предыдущих
примерах. Значение параметра А, для рис. 5.9 — 5.11 соответственно
равно К = 1; 0,5; 0,1. Ориентация упругих модулей оказыва-
оказывается симметричной относительно линии у = 0. Проведенные рас-
расчеты показывают, что с уменьшением X сплошные линии выпрям-
выпрямляются и лишь при х, близких единице, эти линии заметно отли-
отличаются от горизонталей. Сравним при одних и тех же значениях
X оптимальные пластинки и ортотропные однородные пластинки,
у которых ось ортотропии с максимальным модулем параллельна
оси х. Для значений К = 1; 0,5; 0,1 относительный выигрыш в жест-
жесткости, получаемый за счет оптимизации, составляет ~32, 10 и
0,6%. Из этого сопоставления видно, что уже для отношения сто-
сторон Я, = 0,1 оптимальная пластинка незначительно отличается
от однородной ортотропной пластинки с горизонтальным направ-
направлением оси максимального модуля.
§ 6. Замечания о выборе формы анизотропных тел
и задачах совместной оптимизации формы
и ориентации осей анизотропии
В предыдущих параграфах данной главы были рассмотрены
вопросы об оптимальном распределении анизотропных свойств
в упругом теле. Найденные в предыдущих параграфах распределе-
распределения по телу углов наклона осей анизотропии оказываются пере-
переменными. В связи с этим заметим, что для приложений представ-
представляют интерес и более простые задачи оптимизации из однородных
прямолинейно анизотропных материалов. Эти задачи сводятся
к оптимизации нескольких параметров. В качестве конкретного
примера укажем на следующую задачу. Требуется из однородного
прямолинейного анизотропного листа (фанеры) вырезать прямо-
прямоугольную пластинку заданных размеров, обладающую наилуч-
наилучшими жесткостными свойствами. Эта задача, очевидно, сводится
к отысканию угла поворота одной из осей анизотропии листа от-
относительно системы осей, связанных с пластинкой.
Наряду с вопросами оптимизации анизотропных свойств в при-
приложениях возникают также задачи отыскания оптимальной фор-
формы элементов конструкций из материалов с заданными анизотроп-
анизотропными свойствами и задачи совместной оптимизации формы и ори-
ориентации осей анизотропии упругого тела. Поясним постановки
подобных задач на примере максимизации жесткости стержня на
кручение.
1. Задача максимизации жесткости стержня на кручение за
счет выбора оптимальной формы сечения была сформулирована
в § 3 главы I, а условие оптимальности границы приведено в § 8
главы I (формула (8.19)). Используя это условие, приходим к
замкнутой краевой задаче для определения функции кручения
178

(х, у) и формы контура сечения
— 2а12фяу + а22фщ/ = — 2, (ж, у) (=Q, (ф)г = О,
х + ^22фу — 2л12фкф1/)г = const, mesQ = S. F.1)
Путем решения задачи F.1) находим функцию ф, форму кон-
контура Г и затем вычисляем жесткость стержня на кручение К%.
Имеем
1 Г S лГ г" 9 о 21
Ф —— "ТГ7—Z 9\~ ' ^11^22 — $12 — а22Х" — и&\2ХЦ — &иУ ?
Z (ао — г) L Я J
Г: а22х2 + 2п\2ху -
S2
—7=^====
F.2)
Для оценки выигрыша, получаемого за счет оптимизации,
сравним полученное значение К^ с жесткостью стержня круглого
сечения Ко = 52/я (ап + а22) той же площади
Ко
F.3)
Учитывая, что коэффициенты деформации анизотропного ма-
материала an, a22, а12 удовлетворяют условию [86]: ап ^> 0, а1га22 —
— ^12 ^> 0, нетрудно показать, что 0 ^ Р ^ 1.
Для ортотропного материала а12 = 0, an = 1/Gi, a22 = 1/G2,
где 6гц G2 — модули сдвига, соответствующие осям ж, г/. Подста-
Подставив указанные значения коэффициентов в F.2), F.3), приходим
к соответствующим формулам, отвечающим случаю ортотропного
материала:
ф = ± (JL-
у _
__ 1 /ft /\
Из последнего соотношения F.4) видно, что выигрыш за счет
оптимизации увеличивается как при G±/G2 ->• 0, так и при G±/G2 -*-
-»- сю, т. е. что относительный выигрыш увеличивается с увели-
увеличением степени анизотропии. Минимальный выигрыш, равный
нулю, получается при Gx = G2 = G, т. е. для изотропного мате-
материала. В этом случае К% = Ко = GS2/2n, а оптимальное сечение
представляет собой круг.
2. Рассмотрим совместную задачу оптимизации формы облас-
области Q и углов наклона осей анизотропии а {х, у) из условия К ->
179

-> тахГо таха, где Го — искомая часть границы области Q. С уче-
учетом соотношений, приведенных в § 3 главы I, приходим к следую-
следующей формулировке задачи совместной оптимизации:
К% = —minro mina ттф /, F.5)
где / определяется согласно C.4). Предполагается, что коэффи-
коэффициенты деформации atj не зависят от х, у. Минимум по Го отыски-
отыскивается при изопериметрическом условии постоянства площади
поперечного сечения стержня, а минимум по ср вычисляется на
классе функций, удовлетворяющих краевому условию (ср)г = 0.
Для определения искомых «управляющих» величин а и Го полу-
получим систему двух необходимых условий оптимальности, состоя-
состоящую из уравнения B.7) и соотношения (игцф? — 2т7г12фзсфу +
+ яг22фу)г0 ~ ^2 (^2 — константа). Анализ условий оптимально-
оптимальности и основных соотношений задачи позволяет преобразовать ус-
условие, служащее для определения контура Го, к виду
? = Я». F.6)
При этом отыскание величин ф {х, у), а (я, у), Го оптимально-
оптимального стержня сводится к решению краевой задачи
АФ - -2*Г\ (ф)г = 0
с дополнительным условием F.6) и последующему определению
углов а (я, у) при помощи соотношений B.7), а в случае орто-
тропного материала — по формулам C.8). Если область попереч-
поперечного сечения предполагается односвязной, а под Го понимается
вся граница области Q (Го = Г), то для оптимального локально-
ортотропного стержня область Q оказывается кругом, а оси орто-
тропии в каждой точке сечения направлены по радиусу и в окруж-
окружном направлении.
В общем случае, когда часть границы ?i задана, а часть под-
подлежит определению, решение совместной задачи оптимизации
выписывается непосредственно, если найдено решение вспомога-
вспомогательной задачи отыскания формы области поперечного сечения
однородного изотропного стержня (с модулем сдвига 6?), обла-
обладающего максимальной жесткостью при кручении. При этом оп-
оптимальная форма области Q будет той же, что и во вспомогатель-
вспомогательной задаче, а в выражении для функции напряжений ф (я, у) в слу-
случае ортотропной среды следует заменить G на Gv Оптимальное же
распределение углов ортотропии а (я, у) определится через функ-
функцию напряжений по формулам C.8).

Глава шестая
ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ
В ЗАДАЧАХ ГИДРОУПРУГОСТИ
В данной главе рассматриваются задачи оптимального проек-
проектирования упругих пластин при учете их взаимодействия с
идеальной жидкостью. В § 1 приводятся основные соотношения,
описывающие малые колебания упругих пластин в идеальной
жидкости и изучаются основные свойства возникающей краевой
задачи. Постановка и исследование задачи оптимизации частот
колебаний пластинки в жидкости составляют содержание § 2. В § 3
приводится аналитическое решение внешней гидродинамической
задачи при плоскопараллельных движениях жидкости и пластин-
пластинки. В § 4 определяются оптимальные формы длинных прямоуголь-
прямоугольных пластинок, шарнирно закрепленных вдоль длинных краев.
Отдельно в § 4 рассматривается случай трехслойной пластинки,
оптимальная форма которой находится аналитически. В § 5
исследуется плоскопараллельная задача о дивергенции (потери
устойчивости под действием гидродинамических сил) упругой
пластинки. Разыскиваются оптимальные распределения толщин
пластинок, для которых скорость дивергенции максимальна. Для
определения нетривиальных равновесных форм прямоугольных
пластинок, закрепленных вдоль одной из длинных сторон, в § 6
описывается схема струйного обтекания с бесконечной каверной и
изучаются свойства краевой задачи. Рассматривается оптимиза-
оптимизационная задача об отыскании распределений толщин в пластин-
пластинках, для которых нетривиальная равновесная форма возникает
при максимально большом значении скорости набегающего пото-
потока. Результаты данной главы частично опубликованы в работах
[31-34].
§ 1. Определяющие уравнения для пластинок,
колеблющихся в идеальной жидкости
1. Рассмотрим задачу о малых колебаниях упругой пластин-
пластинки в идеальной жидкости. Предположим, что пластинка шарнир-
шарнирно закреплена по контуру Г плоскости z = 0 прямоугольной си-
системы координат zyz. Контур Г считается гладким и ограничиваю-
ограничивающим некоторую односвязную область Q. Обозначая через h —
= h (х, у), w = w (х, у, t),t, q = q (x, у, t) распределения толщин,
181

функцию прогибов, время и реакцию жидкости на пластинку,
запишем уравнение малых колебаний пластинки и граничные ус-
условия
pphwtt + aL (h)w = q, A.1)
(w)r = О, (Л» [wxx + wyy - ±^- JjL])r = 0, A.2)
где а = ?/12 A — v2), E — модуль Юнга, v — коэффициент Пу-
Пуассона, pp — удельная плотность материала пластинки, п — нор-
нормаль к контуру Г (в плоскости ху), R — радиус кривизны кон-
контура Г.
Будем считать, что жидкость покоится на бесконечности. Для
описания движения жидкости введем потенциал скоростей <р =
= ф (х, у, z, t), предполагая при этом отсутствие вихрей. Потен-
Потенциал ф удовлетворяет уравнению Лапласа, условию отсутствия
скорости на бесконечности и линеаризованным граничным усло-
условиям, выставленным на верхнем (+) и нижнем (—) берегах раз-
разреза z = 0, (х, у) е &:
Дф = 0, * ' A.3)
? = Щ, A.4)
= 0. A.5)
Граничные условия A.4) получены путем сноса на пло-
плоскость ху краевых условий непротекания жидкости через поверх-
поверхность пластинки. При этом используются предположения о ма-
малости прогибов w и толщин h, а также о безотрывности движений
жидкости и пластинки. Через А и V обозначены операторы Лап-
Лапласа и градиента.
Обозначая через р = р (х, г/, z, t) распределение давлений,
запишем выражение для реакции жидкости q = р~ —р+. Рас-
Распределение давлений р (х, у, z, t) связано с потенциалом скоро-
скоростей ф (х, г/, z, t) интегралом Коши — Лагранжа [59, 81]
Через р/, рос обозначены соответственно плотность жидкости
и давление жидкости на бесконечности. Пренебрегая в интеграле
Коши — Лагранжа членом ^фJ, имеющим второй порядок ма-
малости, получим р — рос — р/ф/. Используя данное соотношение
и формулу q — р~ — р+, приходим к следующему выражению
для реакции жидкости:
? = Р/(Ф? —ф7)« A-7)
Замкнутая краевая задача A.1) — A.5), A.7) полностью
определяет функции w (я, г/, t) и ф (х, г/, z, t). Используем соот-
соотношения A.1) — A.5), A.7) и будем искать решение задачи в виде
w = u(x, у) exp hot, ф = icoO (х, г/, z) exp hot, A-8)
182

где со — частота колебаний, i — мнимая единица. Для удобства
анализа и решения задачи перейдем к безразмерным переменным
я обозначениям:
х - х/1, у' - у/1, ъ' = z/l, и' = и/1, Ы = Ph/V,
со' = [12рр/8 A - v*)lEV*Y'* со, р = pflslf>pV. ¦ A.9)
Здесь V — объем пластинки, I — характерный размер облас-
области Q. При переходе к безразмерным переменным A.9) область Q
преобразуется в Q', а контур Г — в Г'. Штрихи в дальнейшем
опускаем. Указанные преобразования приводят к следующим со-
соотношениям для определения амплитудных функций и (х, у),
Ф (х, у, z):
L (h)u — со2 [Аи — р (Ф+ - Ф-)] = 0, A.10)
±^ = o, A.11)
ЛФ==0, (Ф2J=и, (Va^^O. A.12)
Задача A.10) — A.12) является задачей на собственные зна-
значения. Роль собственного значения играет величина со2. Отыска-
Отыскание собственных значений при заданной функции h = h (х, у)
сильно упрощается, если удается разрешить задачу A.12) для
произвольной функции и (х, у). В этом случае путем исключения
разности потенциалов Ф+ — Ф~ из A.10) приходим к краевой за-
задаче на собственные значения для одного уравнения.
Рассмотрим краевую задачу A.12) и представим решение этой
задачи в виде
Ф (х, у, z) = J J 1С (I, г\, х, у, z) и (I, ц) dl dri,
й
где К' — функция Грина. Функция К' не зависит от h, и и опре-
определяется только формой области й. Вводя обозначение К (?, т),
х, у) = —2К' (?, г\, х, у,0) и используя указанное представле-
представление для Ф, приходим к выражению для скачка потенциала ско-
скоростей
Ц?,г\,х,у)и&у])<11<11]. A.13)
Подставляя далее A.13) в уравнение A.10), приходим к сле-
следующему интегродифференциалыюму уравнению:
^\ A.14)
В дальнейшем уравнение A.14) будем также записывать в виде
L(h)u— coW (h)u = 0, A.15)
обозначая через N(h)u выражение, записанное в A.14) в квад-
квадратных скобках.
183

2. Исследуем краевую задачу на собственные значения для
линейного интегродифференциального уравнения A.15) при гра-
граничных условиях A.11). Покажем, что операторы L (h) и N (h)
являются самосопряженными и положительными.
Для доказательства самосопряженности достаточно проверить
равенство
\ \ щЬ(к) u2dx dy = \ \ u2L (h) \i\dx dy
и аналогичное равенство для оператора N (h). Здесь щ, щ —>
произвольные функции, удовлетворяющие условиям A.11). Свой-
Свойство самосопряженности оператора L (h) известно (см., например,
[99]), Покажем, что оператор N (К) также является самосопря-
самосопряженным. Введем вспомогательные гармонические функции Ф\
Ф2, являющиеся решениями краевой задачи A.12) соответственно
при и = щ и и = щ. В силу A.12) имеем
uxN (h) u2dx dy = jj jj [huxu2 - рФ^ ((Ф2)+ - (Ф2)")] dx dy =
Q
= [[ huiii^dxdy — p[\ (Ф2Фг)+ dxdy +[[ (Ф2Ф*)" dx dy =
п Q Q
= [ [ hutUidx dy - p [[ Ф2 -^- do, A.16)
где nv — внешняя нормаль к поверхности пластинки в отличие
от п — нормали к контуру Г. Двойной интеграл
берется по всей поверхности разреза (z = 0, (я, у) ЕЕ ?2), т. е.
по обоим его берегам. Используя гармоничность функций Ф1 и
Ф2, преобразуем указанный интеграл
Проводя для правой части последнего равенства преобразова-
преобразования A.16) в обратной последовательности, получим
\ \ hiiiu2dx dy — р \ \ Ф1 -^— da = V V u2N (h) uxdx dy.
Таким образом, оператор N (h) является самосопряженным.
Покажем, что операторы L (h) и N (К) положительны, т. е.
(h) udx dy ^> 0
a
184

для всех функций и, удовлетворяющих граничным условиям A.11)
и не равных тождественно нулю. Указанное свойство оператора
L (h) известно [99]. Докажем положительность оператора N (h).
Обозначая через Ф гармоническую функцию, являющуюся реше-
решением задачи A.12), выполним преобразования, аналогичные тем,
которые делались при доказательстве самосопряженности опе-
оператора N:
uN (h) udx dy=[[ [hu2 — p (Ф+ — Ф") Ф2] dx dy =
Применяя к поверхностному интегралу формулу Грина и учи-
учитывая A.12), получим
Из приведенных соотношений вытекает положительность опе-
оператора N. Из того, что операторы задачи A.11), A.15) являются
самосопряженными и положительными, вытекает действитель-
действительность собственных чисел и применимость вариационного прин-
принципа Рэлея для отыскания минимального собственного значения.
Определим выражение для квадрата частоты из уравнения
u — co2jV (h) и] dx dy = 0.
Используя обозначения
Jx (h, и) = j ^' In? [(uxx + uvyf — 2A — v)(uxxuyy — uly)\ dx dy,
Q
J2 (Л, u) = \ \ hu^dx dy,
/з (и) = J j и (х, у) (J J К (I, r], x, y) udl dr\) dx dy, ' A.17)
будем иметь
со2 == / (h, и) = Jx (h, u)/[J2 (h, u) + p/8 (и)]. A.18)
По доказанному, для любых достаточно гладких функций
ифО и удовлетворяющих краевым условиям A.11), квадратич-
квадратичные функционалы /1? /2 + р/3 являются строго положительны-
положительными и, следовательно, положительно рэлеевское отношение /. При
заданной функции h = h (x, у), согласно вариационному прин-
принципу Рэлея, минимальное собственное значение задачи A.11),
185

A.15) равно
4 (h, и). A.19)
Минимум / по и в A.19) вычисляется на множестве гладких
функций и {х, у), удовлетворяющих первому краевому условию
A.11). Второе краевое условие A.11) является «естественным»
для функционала A.18) и ему заранее удовлетворять не требует-
требуется. Искомая минималь функционала /, найденная с учетом пер-
первого краевого условия A.11), будет автоматически удовлетворять
второму краевому условию A.11). Функция и (х, г/), реализующая
минимум функционала / при указанных предположениях, явля-
является собственной функцией, соответствующей минимальному соб-
собственному значению.
3. Фундаментальная частота (Oq зависит от параметра р. Ис-
Используя доказанные свойства симметричности и положительности
операторов задачи, покажем, что для заданной функции h =
— h (х, У) зависимость cdq от р является монотонно убывающей
функцией параметра р. Для этого рассмотрим бесконечно близ-
близкие значения р и р + dp параметра задачи и отвечающие этим
значениям величины cdq, и и cdq + dcol, и -|- du. Фундаментальные
частоты и распределения прогибов (cdq, и), (cdq + dcoo, и + du)
являются решениями задачи A.18), A.19) соответственно для зна-
значений параметра р и р + dp при h — h(x, у). Соотношение A.18)
должно удовлетворяться при подстановке в него величин
(р, (Оо' м) и (р + dp, cdq + dcol, и + du). Запишем A.18) дважды
для указанных наборов величин и вычтем из одного соотношения
другое. После элементарных преобразований с точностью до чле-
членов первого порядка относительно приращений dp, dcol, du по-
получим
dcoo [/2 (й, и) + Р-Ыи)] -|- d(>D/3 (и) -г
+ 2 ^ [L (h) и — co20N (h) u\ du dx dy = 0.
о
Из этого равенства с учетом того, что и, h и cdq связаны урав-
уравнением A.15), получим для производной dcol/dp следующее выра-
выражение:
d©J/dp = — со^з (и)/У2 (А, и) + р/3 (и)\. A.20)
Как доказано выше, выражения, записанные в числителе и зна-
знаменателе правой части A.20), неотрицательны и, следовательно,
справедливо неравенство dcol/dp < 0, которое показывает, что
с увеличением параметра р (р = p}P/ppV > 0) фундаментальная
частота убывает.

§ 2. Задача оптимизации частот колебаний
1. Рэлеевское отношение A.18) является функционалом от
h {x, у) и и (х, у). Следовательно, и фундаментальная частота со2,*
определяемая из A.19), зависит от h {x, у). На множестве непре-
непрерывных функций h (x, у) рассмотрим следующую оптимизацион-
оптимизационную задачу.
Требуется определить функцию h(x,y), максимизирующую
минимальное собственное значение
coo* = max/t (Oq (h) — max^rain^ / (h, u) B.1)
и удовлетворяющую условию постоянства объема
\\hdxdy=\. B.2)
Равенство объема единице объясняется тем обстоятельством,
что в § 1 при формулировке основных соотношений мы перешли
к безразмерным переменным A.9), обезразмерив при этом объем
пластинки (в размерных переменных объем пластинки равен V).
Минимизация по и в B.1) проводится на множестве гладких функ-
функций, удовлетворяющих первому из условий A.11).
Сформулированная задача B.1), B.2), A.11), A.18) является
однопараметрической с параметром р = Pfl3/ppV. При р = 0 при-
приходим к задаче оптимизации фундаментальной частоты свободно
колеблющейся пластинки.
Получим необходимое условие оптимальности в задаче B.1),
B.2), A.11), A.18). Выписывая выражение для первой вариации
при условии B.2) и полагая б/ = 0, приходим к следующему не-
необходимому условию экстремума:
З/*2 1(ихх + иуу)* - 2 A - v)(uxxuyy - ulv)] - co0V = с2, B.3)
где с2 > 0 — постоянная, определяемая при решении задачи.
2. Исследуем особенности в поведении функций Л, и, Ф вбли-
вблизи контура Г для оптимальной пластинки. Используем предполо-
предположение о гладкости контура, что позволяет единственным образом в
произвольной точке Ог контура Г ввести в рассмотрение локаль-
локальную ортогональную систему координат ?r)t, направив ось г) по
касательной к контуру Г в точке #г, °сь ? — внутрь области Q,
а ? — по перпендикуляру к плоскости ху (рис. 6.1). Условие оп-
оптимальности B.3) вблизи точки Ог, т. е. при малых ?, и второе
граничное условие A.11) в точке 0^ асимптотически представимы
в виде
Sh2u\z — (д20и2 = с2, h3u& = 0. B.4)
Из условий B.4) и первого краевого условия A.11) получим
следующие граничные условия для функций распределения про-
187

гибов и толщин при 1 = 0:
иЦ = 0, h = 0. B.5)
Второе условие B.5) характерно для задач оптимизации опер-
опертых балок и пластин.
Используя первое из условий B.4), равенство A.13) и гранич-
граничные условия для функции и, запишем также при малых ? уравне-
уравнение A.10)
- <$(-?-ии?+ 2рФ+) = 0. B.6)
Рис. 6.1
Учитывая первое равенство B.5) и условие обращения в нуль
на границе Г функции и, запишем асимптотическое представление
функции
и = аг1 + a2t2 + . . . + ф (Ьо + Ъ±1 + . . .). B.7)
На параметр \i накладывается ограничение
0 < fx < 2. B.8)
Неравенство 0 < \х вытекает из условия обращения в нуль
на Г функции и, а ограничение «сверху» \i < 2 накладывается
первым условием B.5).
Исследуем асимптотику функции Ф вблизи края пластинки.
Для этого наряду с координатной системой ?т]? введем цилиндри-
цилиндрическую систему координат г0г|. Ось г расположена в плоскости
?•?, а 0 — угол между осями г и ?• (начала систем координат сов-
совмещены).
Нетрудно убедиться, что при малых г имеет место следующее
асимптотическое представление для уравнения A.12):
Решение этого уравнения будем искать в виде
ф = -ф (9)rw + о (rm),
где т — параметр, г|) — функция угла 6. Подставляя данное вы-
выражение в уравнение для потенциала, получим соотношение, ко-
которому должна удовлетворять функция 'фее + ^2Ф = 0.
188

Общее решение уравнения для ф имеет вид л|) = A sin m$ -\-
+ В cos mQ. Константы А, В, т должны выбираться из соотно-
соотношений
Ф (я) = О,
Г (Фе)е=о - а? + a2t2 + ... + & (Ьо + Ъг1+ .. .), B.9)
вытекающих соответственно из краевых условий Ф = 0 при
Б < 0, S-ОиФ^ г'гФв при g > О, ? - 0.
Определение параметров [х и т, как это обычно делается в
асимптотическом анализе, проводится путем последовательного
рассмотрения вариантов, отвечающих различным предположени-
предположениям о величинах параметров. Не проводя здесь этих рассмотрений
и анализа реализуемости того или иного варианта, сформулируем
конечный результат. Из соотношений B.6) — B.9) величины т и
\х определяются единственным образом и равны т = 2, [х = 3/2.
Подставляя найденную асимптотику функции распределения
прогибов в первое уравнение B.4), определим асимптотику
h=-^rVt+... B.10)
Асимптотики B.10) и B.7) с [х = 3/2 имеют тот же вид, что и для
оптимальных пластинок, колеблющихся в вакууме. Заметим
также, что найденные асимптотики могут использоваться при чис-
численном решении оптимизационных задач для задания поведения
соответствующих функций в ячейках сетки, прилегающих к кон-
контуру Г.
3. Оптимальная форма пластинки и величина первого собст-
собственного значения (максимизируемый функционал) зависят от зна-
значения параметра р. Исследуем зависимость со^ = ©2* (р). Рас-
Рассмотрим с этой целью два близких значения р и р + dp параметра
задачи и соответствующие этим значениям оптимальные решения
(<*>о#> и, Ь) и (coo* + dcoo*, и + du, h + dh). Данные решения удов-
удовлетворяют соотношению A.18). Подставим величины (со^ +
+ dcoo*, u + du, h + dh) в A.18) и удержим в полученном соот-
соотношении только члены, линейные по приращениям do)^, du, dh.
После выполнения некоторых элементарных преобразований бу-
будем иметь
du>t [Л (Л, и) + р/3 {и)] + dp©;*/3 (и) + 2 J J [L (ft) и -
- (olN (A) U] dudxdy+^ {Ш [(ихх + uyyf -
— 2 A — v) (uxxuyy — uly)] — G)o*u2} dh dx dy = 0.
Данное соотношение преобразуем, используя уравнение A.15),
условие оптимальности B.3) и ограничение на вариацию dh, вы-
вытекающее из изопериметрического равенства B.2). Учитывая
189

также положительность величин /х (/&, и), /2 (Л, и), /3 {и)-> полу-
получим
^ (Л, м) + р/8 (")] < О- B.Н)
Данное неравенство показывает, что максимум оптимизируе-
оптимизируемого функционала (фундаментальной частоты) является монотон-
монотонно убывающей функцией параметра р.
Заметим, что если для заданного значения параметра р — рх
решение оптимизационной задачи B.1), B.2), A.11), A.18) най-
найдено, т. е. определены величина максимизируемого функционала
(С0У1 и функции их, hu то для приближенного отыскания макси-
максимального значения фундаментальной частоты, отвечающей близ-
близкому значению параметра р --- р2, можно пользоваться формулой
(р2 —
вытекающей из B.11).
§ 3. Определение реакции жидкости
при плоскопараллельных движениях
жидкости и пластинки
Ниже ограничимся рассмотрением колебаний длинных прямо-
прямоугольных пластин, закрепленных вдоль длинных краев, парал-
параллельных оси у. Предположим, что распределение толщин и функ-
функция прогибов пластинки не зависят от г/, а движения жидкости
происходят в плоскостях, параллельных плоскости х, z. Изуче-
Изучение плоскопараллельных движений и вычисление гидродинами-
гидродинамической реакции может быть эффективно проведено с использова-
использованием методов теории функций комплексного переменного [81].
Задача определения ядра К в плоскопараллельном случае
сводится к решению краевой задачи для двумерного уравнения
Лапласа при граничных условиях, выставленных на берегах раз-
разреза —1 ^ я <; 1, z = 0 и содержащих произвольную функцию
и(х)
ФХХ + Фгг = 0, C.1)
(Ф2)± = щ -1 < х < 1, z = 0, (УФ)К = 0. C.2)
Рассмотрим вспомогательную функцию
W = ? + 1Ф
комплексной переменной ? = х + iz, где i — мнимая единица.
Функция W является аналитической в плоскости с разрезом
—1 <^ х ^ 1, z = 0. Из условий Коши — Римана и граничных
условий C.2) будем иметь Wx ~ Фг = и, откуда
C = U(x) + C, C.3)
—1
190

где С — постоянная интегрирования. Таким образом, задача оп-
определения потенциала Ф сводится к отысканию мнимой части ана-
аналитической функции W, действительная часть которой на отрезке
[—1, 1] равна
Re W = ? = U (х) + С.
Используя результаты работы [153], выпишем решение дан-
данной задачи
—1
O. ¦ C.5)
_
Соотношение C.5) служит для определения постоянной С и
представляет собой условие регулярности функции W в точке
? = 1. Учитывая, что
-ДЛ-* =i,
т J ур—1
из C.5) получим
Используя далее выражение C.6) для С и формулу
1 У/« <ig _ J_ / I -H V/» _ J_
1 / 5-?'~" 2 \ Б-1 J 2 '
—1
выполним следующие преобразования в представлении C.4) для W:
M
—l
g-1 У/г1_
Вычислим величину Ф4, переходя к пределу в C.7) при ? =
= # + &г -> я + Ю @ < я ->- + 0) и выделяя в полученном выра-
выражении мнимую часть
1
C.8)
191

Интеграл в C.8) понимается в смысле главного значения по
Коши (v. p.). Для разности потенциалов на верхнем (+) и ниж-
нижнем (—) берегах разреза будем иметь
.С UWft , C.9)
—1
Преобразуем интеграл C.9). По определению интеграла в
смысле главного значения имеем
-
-1 х+е
Выполняя далее интегрирование по частям и используя выра-
выражение C.3) для U (t), получим
2Ф
е-»о
гс—е x-f-e
+ =lim \т(х— г,х) [ u(t)dt — Т (х + е, х) С u(t)dt —
ОС—8 1
— С T(t,x)u(t)dt — { T{t,x)u(t)dt\, C.10)
+
—1 ос+е
где введено обозначение
| х-
Заметим, что все выражения в правой части C.10) (записанные
в квадратных скобках) конечны и, следовательно, примененное
выше интегрирование по частям возможно. При е-> 0 сумма пер-
первых членов в C.10) обращается в нуль, а два последних интегра-
интеграла сходятся. Таким образом, искомая зависимость величины скач-
скачка потенциала скоростей Ф+ — Ф~ = 2Ф+ от распределения про-
прогибов пластинки имеет вид
1
2Ф+=- J K(t,x)u(t)dt, K(t,x)=T(t, x). C.12)
—i
§ 4. Отыскание оптимальных форм
колеблющихся пластин
1. Пусть длинная прямоугольная пластинка шарнирно за-
закреплена вдоль длинных краев, которые параллельны оси у
(рис. 6.2). Будем предполагать, что толщина пластинки не меня-
меняется в направлении г/, т. е. h — h (x), и все рассмотрения про-
проведем в плоскости xz, так как производные по у от искомых функ-
192

ций равны нулю. Площадь сечения пластинки плоскостью xz обоз-
обозначим через S и будем считать в данной задаче заданным не объем
пластинки V, а площадь поперечного сечения S. При этом пере-
переход к безразмерным переменным осуществляется по формулам A.9)
с формальной заменой в C.9) V на IS. В новых переменных за-
закрепленным концам пластинки в плоскости xz соответствуют точки
В рассматриваемом случае уравнение A.15), граничные условия
A.11), выражения для /ь /2, /3 и изопериметрическое условие
B.2) запишутся в виде
1
J K(t,x)u(t)dt] =0, D.1)
и ( — 1) = и A) = 0, (йп)х=ч = (Л8ия*)«1 = 0, D.2)
1
D.3)
1
/3 = \ К (t, x) и (t) и (х) dt dx.
—i -i —i
D.4)
Для ядра К используем найденные в § 3 выражения C.11),
C.12).
Ниже отдельно приведем решения задач оптимизации для
сплошных и трехслойных пластин. В случае трехслойных плас-
пластин h3 в первом члене уравнения D.1) и в выражении D.4) для /х
заменяется на h.
2. Отыскание оптимальных распределений толщин сплошных
пластинок проводилось численно с применением описанного
в § 10 главы I алгоритма последовательной оптимизации. Выпи-
Выпишем основные использовавшиеся при выполнении расчетов соот-
соотношения и сделаем некоторые пояснения. Выражения для вариа-
вариаций максимизируемого функционала и интеграла, записанного
в левой части равенства D.3), имеют вид
х, w = ¦
(г|)ь Щ = J 6Л dx = 0, % == 1. D.5)
—1
Для отыскания нового распределения толщин применялась
формула A0.6), в которой величина of» заменялась на —-ф, так как
в рассматриваемом случае решается задача на максимум, а не на
минимум, как в § 10 главы I. После указанной замены и исполь-
использования выражений для л|? и i|?x приходим к следующим расчетным
7 Н. В. Баничук il93
Щ- } I™"*-" V— J2(h,u)-9J3(u) '
—i
i

f,a—
\
Рис. 6.2
Рис. 6.3
Рис. 6.4
формулам:
Л*+1 = hk + 6fe?
D.6)
—1
Подбирая достаточно малое положительное число т и вычисляя
по формулам D.5), D.6) новое распределение толщин, можно до-
добиться возрастания оптимизируемого функционала и выполнения
изопериметрического условия.
Отыскание функций прогибов для текущих распределений тол-
толщин проводилось с использованием метода локальных вариаций.
При решении учитывалась симметрия задачи относительно точки
ж = 0и расчеты велись на отрезке —1 <^ х ^ 0, который разби-
разбивался на 30 равных ячеек. Для аппроксимации интегралов /ь /2,
/3 использовался метод трапеций.
Расчеты проводились при р = 0; @, 1JП; п = 0, 1, . . .,7.
Для каждого из указанных значений р в качестве начального
приближения для h выбиралось постоянное распределение тол-
толщин h (x) = х/2 и на первом этапе расчетов определялось распре-
распределение прогибов и значение квадрата частоты coq, соответствую-
соответствующее постоянному распределению толщин.
На рис. 6.3 показаны зависимости квадрата частоты coq от р
для оптимальных пластин (кривая 1) и для пластин постоянной
толщины (кривая 2).
На рис. 6.4 показано оптимальное распределение толщины для
р = 1,6. Функция h (х) достигает максимума при х = 0 и стре-
194

ми^ся к нулю йри Стремлении х И ±1, т. е. при приближений
к шарнирно закрепленным концам пластинки. Пунктирной линией
показано начальное приближение для функции толщин. Заметим,
что при р = 0 выигрыш для coq составляет 23,6%, а при р =
= 1,6-38%.
3. Перейдем к отысканию оптимальных распределений толщин
h (x) внешних несущих слоев трехслойных пластинок. Через hd
обозначим расстояние между несущими слоями (hd = const).
Вводя в рассматриваемом случае безразмерную частоту со' (штрих
в дальнейшем опускаем)
г 4Р/1« A — v»)
IV.
\
<4'7>
запишем основные соотношения задачи: уравнение колебаний,
граничные условия и условия оптимальности
1
1
(huxx)xx = со2 [±L +^K(t,x)u(t)d*] , D.8)
—1
и(—1) = иA) = 0, D.9)
(huxx)x^.1 = (huxx)x=+1 = О, D.10)
2 2 B0) D.11)
Рассмотрим предельный случай р = р//2/р^5 -> оо, соответ-
соответствующий тонким пластинкам или жидкости большой плотности.
Уравнение D.8) и условие оптимальности D.11) запишутся в виде
1
(huxx)xx = to2 J К (t, x) и (t) dt, D.12)
—i
{uxxf = c\ D.13)
Учитывая симметрию задачи относительно точки х = 0, бу-
будем разыскивать решение на интервале [—1,0], выставив в точке
х = 0 следующие граничные условия
(ия)х=о = О, D.14)
(К)х=0=0. D.15)
Отметим особенность рассмотренной задачи, заключающуюся
в том, что условие оптимальности D.13) не зависит явно от h.
Это обстоятельство позволяет искать решение задачи следующим
образом. Решая краевую задачу D.13) с граничными условиями
D.9), D.14), определяем с точностью до множителя с2 функцию
и (я), соответствующую оптимальной пластинке. Подставляя за-
затем найденную функцию и (х) в уравнение D.12) и граничные
условия D.10), D.15) и решая это уравнение относительно h при
указанных граничных условиях, находим оптимальное распределе-
7* 195

ние толщин. Построенная таким образом функция к будет зави-
зависеть от параметра со2, фигурирующего в уравнении D.12). Величина
со2 находится путем подстановки выражения для h в изопери-
метрическое условие
1
= ~
D.16)
—i
и выполнения элементарных вычислений. Реализуем указанный
процесс решения задачи.
Из уравнения D.13) и гра-
граничных условий D.14) и D.9)
(первое равенство) находим рас-
распределение прогибов и, соответ-
соответствующее оптимальному распре-
/
Л
делению толщин
и = с (х2 - 1)/2.
О 0,5 х / _
Подставляя выражение для
Рис. 6.5 и в уравнение колебаний D.12)
и условие D.10) отсутствия мо-
момента в точке х = —1, а также используя условие D.15), при-
приходим к следующей краевой задаче:
1
О)*
K(t,x)(t*-l)dt,
—1
h (-1) = 0, (Ая)Яв0 = О-
Решение краевой задачи имеет вид
K(t,x)(t*-l)dtd?dr\. D.17)
-i о -i
Используя далее найденное распределение D.17) для опти-
оптимальных толщин h (x) и изопериметрическое условие D.16), при-
приходим к следующему выражению для фундаментальной частоты
D.18)
Значение величины coj#, вычисленное по формулам D.17), D.18),
равно со2* = 1,121.
График оптимального распределения толщин h (x) представлен
на рис. 6.5.
Для отыскания оптимального решения в данном случае ис-
использовалось условие оптимальности D.13). Покажем, что в рас-
рассматриваемой задаче условие D.13) является не только необходи-
необходимым, но и достаточным условием оптимальности [223].
196

Пусть Л*, и* удовлетворяют уравнениям D.12), D.13), изо-
периметрическому равенству D.16) и соответствующим граничным
условиям. Рассмотрим также функции кии, удовлетворяющие по
предположению всем указанным выше соотношениям, за исклю-
исключением, быть может, условия оптимальности D.13). Множество
функций /г, и включает в себя распределение /&*, м*. Докажем,
что выражение
2/т \ Ji(h*jU*) Jx(h,u)
положительно. Для этого, учитывая изопериметрическое условие
D.16) и свойства функций /г*, и* и h, и, проведем следующие оцен-
оценки:
л 2 J\ (Л*, и*) Ji (h, и) /г (Л*, u*)
(°° ~" /3 (и*) J3(u) ^ J3 (и*)
—1
Таким образом,
^o* = ^o №*) > ^o CO
и, следовательно, доказано, что фундаментальная частота со0 до-
достигает максимума, если выполняется условие D.13).
§ 5. Пластинка в потоке идеальной жидкости.
Максимизация скорости дивергенции
Излагаемое ниже исследование оптимальной задачи для плас-
пластинки, безотрывно обтекаемой идеальной жидкостью, принадле-
принадлежит А. А. Миронову.
1. Рассмотрим обтекание пластинки идеальной жидкостью
при нулевом угле атаки. Как известно, если пластинка имеет
искривленную поверхность, то давление на выпуклой поверхности
меньше давления на выгнутой стороне, и, таким образом, возни-
возникающая реакция стремится увеличить кривизну пластинки. Эта
реакция пропорциональна динамическому напору pi& (p — плот-
плотность жидкости, Уоо — скорость потока) и при достаточно большой
скорости Уоо может превысить восстанавливающую упругую силу.
Таким образом, произойдет потеря устойчивости.
Перейдем к математической формулировке задачи, при этом
ограничимся рассмотрением плоскопараллельного случая (слу-
(случай длинной прямоугольной пластинки). Введем декартову си-
систему координат xOz, направив ось Ох параллельно скорости по-
потока. Обозначим через w, ф, Ф соответственно прогибы пластинки,
потенциал скоростей и функцию, связанную с ср соотношением ср =
Реакция жидкости q равна разности давлений на верхней и
нижней сторонах пластинки: q = р" — р+. Давление р связано
с потенциалом скоростей ср интегралом Бернулли р = Рос —
197

— 1/2р (VфJ. Функция ф — ф (х, у) определяется как решение
краевой задачи Неймана для внешности пластинки. В дальней-
дальнейших рассмотрениях используем вместо ф вспомогательный потен-
потенциал Ф (потенциал возмущений), связанный с ф соотношением ф =
= Wx + Ф. Считая ф и w малыми, линеаризуем задачу гидроди-
гидродинамики и снесем краевые условия непротекания с поверхностей
пластинки на берега разреза 2 = 0, 0 ^ х ^ Z, где I — длина
пластинки. В безразмерных переменных х ~ xll, z' = zll,
w' = w/l, Ф = Ф/lVoo, Ы = ihlS основные соотношения ли-
линеаризованной задачи гидроупругости запишутся в виде
(hawxx)xx = Х(ф+х — ф^), E.1)
w @) = w A) = 0, (h«wxx)x=0 = (h«wxx)x=1 = 0, E.2)
ДФ еее Фхх + Фгг = 0, E.3)
где S — площадь поперечного сечения пластинки, а через X в E.1)
обозначена комбинация параметров
Гидродинамическая задача E.3), E.4) об определении потен-
потенциала Ф и задача об изгибе E.1), E.2) являются связанными, так
как в граничные условия E.4) для Ф входит производная распре-
распределения прогибов пластинки, а в правую часть уравнения изгиба
пластинки — производные потенциала Ф. Задача E.1) — E.4)
является однородной задачей на собственные значения, где в ка-
качестве собственного значения выступает параметр X.
Величина Фх — Ф~, фигурирующая в правой части уравнения
изгиба пластинки E.1), определяется с использованием результа-
результатов § 3. Для этого заметим, что функция Ф удовлетворяет крае-
краевой задаче
Дфх = 0,
(Фя)? = wxx (z = 0, 0 < х < 1), (Ф^оо = 0. E.5)
решение которой найдено в § 3. Для скачка давления на поверх-
поверхности пластинки будем иметь
1
Ф1-Ф-=:\K(t,x)wH{t)dt, E.6)
о
K(t.x)=±l
Таким образом, задача об изгибе пластинки сводится к реше-
решению интегродифференциального уравнения
1
(hawxx)xx =%^K(t,x) wu (t) dt E.7)
о
с граничными условиями E.2).
198

Интегральный оператор, записанный в правой части E.7),
является положительным и самосопряженным. Доказательство
этих свойств проводится аналогично доказательству положитель-
положительности и самосопряженности оператора N в § 1 и здесь не приводит-
приводится. Положительность и самосопряженность оператора в левой
части уравнения E.7) известны. Следовательно, задача E.2), E.7)
имеет положительные собственные числа.
Первое собственное значение для пластинки постоянной тол-
толщины, найденное численно по методу последовательных прибли-
приближений, равно Ко = 36,9693. Критическая скорость дивергенции
может быть найдена по формуле у*, =
ф |р/
2. Рассмотрим задачу максимизации скорости дивергенции
за счет оптимального распределения толщин пластинки
X* = max/г Хо, E.8)
E.9)
,x)u(t)dt, E.10)
=1 = 0, E.11)
где и = wxx. Получим необходимое условие оптимальности в за-
задаче E.8) — E.11). Для этого запишем уравнение E.8) в вариа-
вариациях
1 1
(ha6u)xx — %o\K (t, x) 6u(t)dt = 6X^K (*, х) и (t) dt —
о о
E.12)
Поскольку Хо — собственное число уравнения E.10), то для
разрешимости задачи необходимо, чтобы правая часть уравнения
E.12) была ортогональна собственной функции уравнения E.10),
т. е.
11 1
ЬЬЦК (*, х) и (t) и (х) dtdx— а\ ка~ЫЧН dx = 0,
0 0 0
откуда
11
J I K (t, x) и (t) и (x) dt dx
о о
Поскольку функция h удовлетворяет изопериметрическому ус-
довию E.9), то интеграл от вариации Ыг должен быть равен нулю.

Учитывая это и полагая 6К = О, приходим к необходимому усло-
условию оптимальности
fca-iMi = С2 E.13)
Здесь с — множитель Лагранжа, определяемый из условия
E.9).
Оптимальное распределение толщин сплошной пластинки (ее —
= 3) разыскивалось численно с использованием приведенного
выражения для вариации функционала 6К и алгоритма последо-
последовательной оптимизации, описанно-
описанного в § 10 главы I (см. также § 4
данной главы). Найденное в ре-
результате расчетов оптимальное
распределение толщин показано
на рис. 6.6. Соответствующее зна-
значение к% = 47,37, а выигрыш по
сравнению с пластинкой постоян-
постоянной толщины составляет 28,15%.
х Для трехслойной пластинки
(ее = 1) условие оптимальности
и2 = с2 определяет распределения
прогибов w. Это обстоятельство вносит существенные упрощения
и позволяет аналитически решить задачу оптимизации. С исполь-
использованием условия оптимальности уравнению равновесия пла-
пластинки E.10) и граничным условиям E.11) можно придать вид
1
Отсюда с учетом изопериметрического условия нетрудно полу-
получить
11
h = КН (я), Н (х) = J $ Т (х, I) К (*, I) dt d?,
00 , E.14)
X — 1, ?<#,
Аналогично тому, как это делалось в § 4, можно показать, что
постоянство величины и2 является не только необходимым, но и
достаточным условием глобального оптимума.
ь § 6. Схема струйного обтекания
для исследования равновесных форм упругих пластин
и задача оптимизации
Выше при решении задач максимизации критических скоро-
скоростей и частот колебаний использовалось предположение о безот-
рывности обтекания пластинки жидкостью. В данном параграфе,
300

следуя работе [34], при определении гидродинамических Сил, дей-
действующих на пластинку, рассматривается схема струйного обте-
обтекания с бесконечной каверной (схема Кирхгофа).
1. Рассмотрим задачу обтекания идеальной жидкостью упру-
упругой пластинки О А (рис. 6.7). В недеформированном состоянии
пластинка располагается в плоскости, перпендикулярной оси z,
причем передний край пластинки (точка А'', см. рис. 6.7) является
свободным, а задней кромкой (х = О, z = 0) она прикреплена
к абсолютно жесткой полубесконечной пластинке ОВ, располо-
77/////////////т-
женной вдоль полуоси х ^> 0, z = 0. Для исследования нетри-
нетривиальных положений равновесия пластинки наряду с исходной
невозмущенной формой (z = 0) рассмотрим некоторую равновес-
равновесную изогнутую форму О А. Распределение прогибов w(x) (w<^.l)
удовлетворяет уравнению равновесия пластинки и граничным ус-
условиям жесткого закрепления w = wx = 0 в точке х = 0, а также
условиям отсутствия перерезывающих сил и моментов hawxx =
= (hawxx)x = 0 на свободном крае х = —/.
Для определения реакции жидкости рассмотрим гидроди-
гидродинамическую задачу об обтекании идеальной жидкостью контура О А.
Предположим, что обтекание изогнутой пластинки жидкостью
происходит со срывом струи и образованием бесконечной кавер-
каверны ВОАК. На бесконечности вектор скорости параллелен оси х,
а его модуль равен и^. Движение жидкости предполагается без-
безвихревым с потенциалом ф (х, z) (v — Уф), удовлетворяющим урав-
уравнению Лапласа Аф = 0. Как и в § 5, представим потенциал ф в ви-
виде ф = xVoc + Ф, где функция Ф также является гармонической,
а на бесконечности обращается в нуль, т. е.
АФ = 0, (Ф)^ - 0. F.1)
Функция Ф должна удовлетворять определенным граничным
условиям на поверхности пластинки и на свободной поверхности
жидкости (границе каверны). Предполагая малыми прогибы плас-
пластинки и отклонения свободной поверхности от оси z, выполним
линеаризацию и снос краевых условий на ось х, пренебрегая чле-
членами о (femax), о (м?тах)» где Атах = таххй, wmax = maxx w.
Проведем вдоль полубесконечного интервала х > —I оси х раз-
разрез нулевой толщины и будем отмечать значения функций на верх-
201

й нижнем берегах итого разреза соответственно Значками (+)
и (—). Берега разреза обозначим через Г+ и Г". После линеариза-
линеаризации и сноса на поверхность Г условия непротекания жидкости че-
через поверхность пластинки получим
(Фг)' = VO0Wx (-Z < X < 0), (Ф2)~ = 0 (Х> 0). F.2)
Здесь использовано предположение, что характерная толщина
пластинки много меньше характерного прогиба. Аналогично за-
запишется условие, снесенное со свободной поверхности на Г+:
= v»fx. F.3)
Динамическое условие (VcpJ = const, вытекающее из интеграла
Бернулли и означающее постоянство давления на границе ка-
каверны, примет вид
(Фя)+ = 0, *>-/. F.4)
При заданном распределении прогибов пластинки w = w (х)
краевая задача F.1), F.2), F.4) является замкнутой, и, решая ее,
можно определить функцию Ф (я, z). После отыскания функции
Ф (#, z) форма каверны находится (как это следует из F.3)) при
помощи квадратуры
Oz (*, 0))+ dt. F.5)
и
Распределение реакции жидкости на пластинку определим, поль-
пользуясь интегралом Бернулли. После линеаризации и элементар-
элементарных преобразований получим
Q = Р~ — Р+ = — PfVoo (Фх)".
Переходя далее к безразмерным переменным, указаным в § 5,
запишем основные соотношения задачи гидроупругости
(h«wxx)xx = -Х (Фх)-, - 1 < х < 0, F.6)
w @) = wx @) = 0, (/ia^)x=_a = [(/i^^bU-i =0, F.7)
АФ = 0, (Ф)» = 0, F.8)
(Фх)+ = 0, -1 < х, F.9)
(Фг)- = и;я, -1 < х < 0; (Ф,)" = 0, х > 0. F.10)
Через X обозначена безразмерная комбинация параметров за-
задачи X = pfvloS-vAa ia+3 (S —площадь поперечного сечения уп-
упругой пластинки).
Таким образом, приходим к замкнутой краевой задаче для
функций w и Ф. Гидродинамическая задача F.8) — F.10) об оп-
определении потенциала Ф и задача об изгибе F.6), F.7) являются
связанными, так как в граничные условия F.10) для Ф входит
202

производная распределения прогибов пластинки, а в правую часть
уравнения изгиба пластинки F.6) — производная потенциала Ф.
Задача F.6) — F.10) является однородной и, следовательно,
допускает тривиальное решение w = Ф = 0. Рассматривая воп-
вопрос об отыскании нетривиальных решений этой системы уравне-
уравнений, приходим к задаче на собственные значения, где роль соб-
собственного значения играет X. Будем искать первое (наименьшее)
собственное значение Хо, которое отвечает критическим значениям
параметров р,, i>«>, /, S, Аа.
Появление в системе F.6) — F.10) при X = Хо нетривиальных
решений можно рассматривать как неустойчивость недеформиро-
ванного положения пластинки.
2. Исследование краевой задачи. Задача F.8) — F.10) для
потенциала Ф линейна по w и не зависит от h, поэтому выраже-
выражение в правой части F.6) можно представить в виде
(Фя)- = Mw,
где М — некоторый линейный оператор. Покажем, что этот опе-
оператор самосопряжен и положителен. Пусть и?1 (х) и w2 (x) — две
произвольные гладкие на отрезке [—1, 0] функции, удовлетворяю-
удовлетворяющие граничным условиям, и пусть Ф1 и Ф2 - решения краевой
задачи F.8) — F.10) соответственно при w — w1 и w = w2. До-
Доопределим функции ш1 и w2 на отрезке [0, б], где б — некоторое по-
положительное число, положив w1 (х) = w2 (х) = 0. Будем иметь
ь
wxMw2 dx = ^ w1Mw2 dx t= —
Применим к последнему интегралу формулу интегрирования
по частям. Учтем при этом, что (Ф1)+ = (Ф2)~ = 0 при х = —1,
и используем граничные условия для потенциалов Ф1 и Ф2. По-
Получим
о ь а
\ w1Mw2 dx = \ w\ (Ф2)"" dx = \ (Фг)" (Ф2)" dx =
-1 -г -1
J [(Ф\)(Ф*Г-(Ф\)(Ф*)+]Aх.
Обозначим символами г? и Г^ отрезки берегов разреза, для
которых —1 <; х <; б, через 2б окружность радиуса б с центром
в точке (—1, 0), а через п внутреннюю нормаль к границе Г^ =
= Г? + Гб + 2в. Тогда будем иметь
\ wlMw2 dx = —
—X
203

Применяя теперь формулу Грина к первому интегралу в пра-
правой части F.11), получим
о
w1Mw2 dx = -
Учитывая граничные условия для потенциалов Ф1 и Ф2, по-
последнее равенство перепишем в виде
о б
Осуществляя интегрирование по частям и переходя к пределу
при б -> оо, придем к соотношению
о о
\ wlMw2 dx = \ w2Mwl dx.
Тем самым самосопряженность М доказана.
Аналогично докажем положительность оператора М. Поло-
Положим в формуле F.11) W1 = w2 = w и Ф1 = Ф2 = Ф. Применяя
формулу Грина, получим
wMw dx =
Область Vb ограничена поверхностью Гб. Устремляя теперь
в этом соотношении величину б к бесконечности, приходим к не-
неравенству
°>
\ wMwdx =
Область Vo представляет собой внешность полубесконечного
разреза — 1 <С х, z = 0.
Таким образом, оператор М положителен и самосопряжен.
Положительность и самосопряженность оператора левой части
уравнения F.6) известны. Отсюда, в частности, следует, что соб-
собственные числа задачи F.6) — F.10) являются положительными.
3. Перейдем к определению реакции жидкости на пластинку.
Влияние жидкости на изгиб пластинки учитывается выражением,
записанным в правой части уравнения F.6). Для определения про-
производной потенциала (Фх)~ рассмотрим внешнюю гидродинами-
гидродинамическую задачу F.8) — F.10). Введем в рассмотрение вспомога-
вспомогательную функцию
W = Ф + W
204

аргумента ? = х + iz (i — мнимая единица). Функция W пред-
предполагается аналитической в плоскости xz с полубесконечным раз-
разрезом —1 <: х, z = 0. Для производной функции W (?) имеем вы-
выражение W = Фдс + iY*. На основании уравнений Коши — Ри-
мана и граничных условий получим
РР*Г = - (Фу)" = - X (*).
ох при —1 <; х < 0,
) при а; > 0.
Из этих соотношений и граничного условия F.9) вытекает, что
при х > — 1
Re(Vn+ = 0» lm{W'Y= — i%. F.12)
Таким образом, для отыскания производной W аналитической
функции W приходим к смешанной краевой задаче F.12). Реше-
Решение этой задачи было получено Д. И. Шерманом и имеет вид
W' = и" \ Z г dt +
F.13)
Переходя в выражениях, записанных в правой части F.13),
к пределу ? = х + iz ->¦ а: — Ю @ > z) и используя формулы
Сохоцкого—Племеля, получим
О l/
(W')~= — iwx + —гт- { A, ) *
2л A+ х) _J
+ —71- \ T dt.
Откуда следует, что искомая величина (Фх)" равна
—1
о
2яA . , _х
Здесь интегралы понимаются в смысле главного значения по
Коши. В дальнейшем для искомой величины (Фх)~ будем поль-
205

зоваться следующим представлением:
о
(фх)-=- ^ K(t,x)wtdt,
4. Найденное выражение для реакции жидкости подставим
в уравнение изгиба пластинки F.6). Получим однородное интег-
» родифференциальное уравнение,
описывающее распределение
прогибов:
/
Рис. 6.8
F.15)
Решение краевой задачи
F.15), F.7) для постоянного
распределения толщин пластин-
пластинки (h = 1) разыскивалось чис-
численно с использованием метода,
изложенного в [67]. Найденное
в результате расчетов собствен-
ное значение равно % = 5,132.
Соответствующее распределение
прогибов показано на рис. 6.8
пунктирной линией. Рассмотрим в качестве иллюстрации сталь-
стальную пластинку шириной в 1 м, толщиной в 1 см. Критическая
скорость движения этой пластинки в воде равна
Uoo = У XSs/l2pfl* да 10 м/с.
Ниже рассмотрим пластинки переменной толщины и опреде-
определим распределение толщин, для которого величина первого соб-
собственного значения достигает максимума.
Учитывая свойства положительности и самосопряженности
операторов краевой задачи, применим для определения первого
собственного значения X вариационный принцип Рэлея [67]
Хо = minw / (Л, w), J = Jx (Л, w)/J2 (w),
О 0 0
/х = J fc«M&. dx, J%(w)= J J К (t, x) w (x) wt (t) dt dx.
<
-I -l
Минимум ищется на классе функций, удовлетворяющих гра-
граничным условиям F.7), выставленным при х = 0. Два других гра-
граничных условия F.7) являются естественными для функционала /
и удовлетворяются автоматически вд экстремалях /,

Рассмотрим оптимизационную задачу: среди всех непрерыв-
непрерывных функций h (я), удовлетворяющих изопериметрическому ус-
условию постоянства поперечного сечения пластинки
о
J h(x)dx = U F.16)
—1
требуется найти такую, которая максимизирует первое собствен-
собственное значение Хо, т. е.
/ (h, w). F.17)
Необходимое условие оптимальности имеет вид
Л^и&с = с*> F.18)
где с — постоянный множитель Лагранжа, отвечающий изопери-
изопериметрическому условию F.18).
Ограничимся рассмотрением случая а = 1 (трехслойные пла-
пластинки с переменной толщиной армирующих слоев). Из уравне-
уравнения F.18) с граничными условиями F.7) при х = 0 находим рас-
распределение прогибов w* (х) оптимальной пластинки (показано
на рис. 6.8 непрерывной линией)
w* = сх2/2.
Уравнение F.15) и граничные условия F.10), выставленные
при х = —1, с учетом найденного выражения для w* приводят
к следующей краевой задаче для обыкновенного дифференциаль-
дифференциального уравнения второго порядка:
о
htx = K J K(t,x)tdt, Л*(-1) = й?(-1) = 0.
-1
]Оптимальное распределение толщин, получаемое интегриро-
интегрированием данного уравнения, имеет вид
о о
ft* = Х^Н (х), # (я) = § $ (х - г)) К (*, т|) dt dr|. F.19)
X —1
Собственное число %# определим, используя изопериметриче-
ское условие F.16):
о
^=(j Я(ж)^) = 7,567. F.20)
Выигрыш от оптимизации по сравнению с пластинкой посто-
постоянной толщины составляет 47,4%. Оптимальное распределение
толщин h* (x) показано на рис. 6.8.
Аналогично тому, как это делалось в § 4, можно показать, что
в рассмотренном случае (а = 1) условие F.18) является доста-
достаточным условием глобального оптимума, а формулы F.19), F.20)
дают решение оптимальной задачи.

Глава седьмая
ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ
ПРИ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ О ВНЕШНИХ
ВОЗДЕЙСТВИЯХ. ВОПРОСЫ МНОГОЦЕЛЕВОЙ
ОПТИМИЗАЦИИ
В данной главе исследуются вопросы Оптимального проекти-
проектирования конструкций при неполной информации о внешних воз-
воздействиях. При постановке и решении задач используется мини-
минимаксный (гарантированный) подход теории игр. Применение
минимаксного подхода отвечает реальным ситуациям, возни-
возникающим при проектировании, и позволяет единообразно рассмат-
рассматривать вопросы оптимизации при неполноте информации и проб-
проблемы многоцелевого проектирования. Проводится отыскание форм
упругих конструкций, оптимальных для классов воздействий.
Изложение следует опубликованным работам [9, 10, 12, 16, 17,
56, 124, 161, 164, 227].
§ 1. О постановках задач оптимизации
в условиях неполноты информации
Большинство задач теории оптимального проектирования
конструкций, в частности задачи, приведенные в предыдущих
главах, рассматривались в рамках детерминированного подхода,
т. е. предполагались полностью известными вид прикладываемых
к телу нагрузок, свойства материалов, из которых изготовлена
конструкция, граничные условия. Для решения этих задач при-
применимы методы вариационного исчисления и теории оптималь-
оптимального управления. Принципиально отличными по постановке и ме-
методам исследования оказываются задачи проектирования опти-
оптимальных конструкций при неполной информации. Обсуждая здесь
различные подходы к задачам оптимизации с неполной информа-
информацией и их специфику, для определенности будем иметь в виду за-
задачу отыскания форм упругих тел, обладающих минимальным
весом и удовлетворяющих заданным ограничениям на прочность
и жесткость. Формулировка и решение оптимизационных задач
на основе детерминированного подхода приводит к оптимальным
формам, -которые, как правило, обладают тем свойством, что уже
при незначительных изменениях внешних условий (например, при
изменении положения точки приложения силы) конструкция
данной формы уже не будет удовлетворять прочностным и гео-
геометрическим ограничениям. А так как в ряде случаев либо не
208

имеется полной информации относительно прикладываемых
нагрузок, либо известно, что на конструкцию последовательно
могут действовать различные силы, то наряду с детерминиро-
детерминированными постановками представляет интерес рассмотрение более
общих задач оптимизации конструкций, в которых оптимиза-
оптимизация проводится в расчете на целые классы сил.
Одним из возможных подходов к постановке и решению этих
задач (задач с «неполной информацией») является применяемый
в данной работе минимаксный подход. При использовании мини-
минимаксного (или гарантированного) подхода предполагается за-
заданным множество, содержащее все возможные реализации внеш-
внешних сил, а разыскивается форма конструкции минимального веса,
удовлетворяющая прочностным и геометрическим условиям для
всех возможных реализаций сил. Конструкция данной формы яв-
является оптимальной, если для любой другой конструкции мень-
меньшего веса можно указать такую реализацию сил из заданного
класса, при которой будут нарушены условия прочности или гео-
геометрические ограничения. При решении задач на основе указан-
указанного подхода реализуется одна из двух возможностей. Либо ока-
оказывается, что в рассматриваемом классе существует «наихудшая»
нагрузка, для которой конструкция минимального веса, найден-
найденная в расчете только на эту нагрузку, удовлетворяет условиям
прочности и жесткости и для всех остальных реализаций сил из
заданного класса. Конструкция данной формы и является опти-
оптимальной для класса сил, т. е. решением исходной задачи, либо не
существует «наихудшей нагрузки» и оптимальное для класса сил
решение не является оптимальным ни для какой в отдельности
реализации нагрузок из данного множества. В данной главе со-
содержатся примеры того и другого вида. Заметим, что минимакс-
минимаксный подход можно также применить к задачам с неполной инфор-
информацией о граничных условиях и о свойствах материала, из кото-
которого изготовляется конструкция.
Отметим, что минимаксное рассмотрение не является един-
единственным подходом к указанным задачам с неполной информа-
информацией. Возможен также вероятностный подход, в котором прикла-
прикладываемые нагрузки предполагаются случайными величинами
с заданными распределениями вероятностей, а минимизируется
математическое ожидание веса конструкции.
Пусть уравнение равновесия упругого тела и граничные ус-
условия имеют вид
L(h) и = q, x<= Q,
N (h) и = 0, х е Г, { ' }
где и, h, q — функция состояния, управляющая функция, внешнее
воздействие, L (h) и N (К) — дифференциальные операторы, ко-
коэффициенты которых зависят от h. Внешние воздействия q могут
входить и в граничные условия A.1).
209

Вид прикладываемой к телу нагрузки заранее йа фиксируется,
а предполагается заданным множество Rq, содержащее все воз-
возможные реализации внешних сил. Запишем это в виде
q?ERq A.2)
и при решении задачи оптимизации формы тела будем допускать
к рассмотрению только силы из A.2). Если, к примеру, объект
оптимизации — пластина переменной толщины, а внешние воз-
воздействия — односторонние нагрузки, результирующая которых
не превосходит Р, то множество Rq в A.2) имеет вид Rq (q > 0,
Jg(s) <&<Л х е Q).
При заданных q ш h краевая задача A.1) отыскания функции
и предполагается однозначно разрешимой.
Задача оптимизации заключается в отыскании функции h (я),
минимизирующей функционал/ (h) (вес тела) и удовлетворяющей
при любых q из A.2) прочностным и геометрическим ограничениям
г|> (я, и, К) <0, A.3)
где г|э — заданная вектор-функция. Условия A.3) представляют
собой систему скалярных неравенств.
Сформулированная задача в силу имеющейся неопределенности
в конкретном виде прикладываемой нагрузки относится к игро-
игровым задачам (игры с природой), и для ее решения может исполь-
использоваться минимаксный (или гарантированный) подход.
Поясним содержание этого подхода [9], предполагая для про-
простоты, что решение краевой задачи A.1) может быть найдено
в замкнутом виде и = и (я, Л, q). Зависимость и от q и h может
быть, вообще говоря, функциональной. Подставим выражение для
и в левые части неравенств A.3). В результате приходим к системе
функциональных неравенств W (x, h, q) ^ 0, где Y (х, h, q) =
= г|) (я, и (я, Л, д), К). Обозначим через Wj компоненты вектора
Ч*" и определим максимумы W (x, h, q) по q e -Rq-
Максимизация производится при фиксированных h и х Е=?2 • Пред-
Предположим, что максимум ;-й компоненты Wj вектора W достигается
при qjj = qj, т. е.
Т/ (ж» Л» qf) =* шах ^j (х, К Ч),
и введем обозначения
4я* (х h) = Ч*1/ (х h о* (х h)). A.4)
Если максимум 4я по q достигается сразу на нескольких различ-
различных функциях из A.2), то в качестве q* можно выбрать любую из
этих функций. Используя далее введенные обозначения A.4),
приходим к неравенствам
?*(*, Л) < 0. A.5)
210

Таким образом, исходная задача сводится к вариационной за-
задаче минимизации по h функционала J {h) при неравенствах A.5).
Для решения этой задачи можно использовать вариационные
методы.
Заметим, что минимаксный подход можно также применить
к задачам с неполной информацией о граничных условиях и о свой-
свойствах материала, из которого изготовляется конструкция.
§ 2. Проектирование балок минимального веса
для классов нагрузок
при ограничениях по прочности
Равновесие упругой шарнирно закрепленной балки длины
/, расположенной вдоль оси х плоскости xz (рис. 7.1) и нагружен-
нагруженной внешними силами q (x), параллельными оси z, описывается
следующими уравнениями и гра-
граничными условиями:
Мх = <?, Qx = -g,
ikf @) = M (I) = 0. B.1
Здесь М = M (x) и Q =
^ (а:) — соответственно изги-
лшТП
бающий момент и поперечная рис# 7.1
сила, действующая в сечении
балки плоскостью, перпендикулярной оси х, а Мх = dM/dx,
Qx = dQ/dx. Балка имеет прямоугольное поперечное сечение по-
постоянной ширины Ъ и переменной толщины h = h (х). Функция
h = h (х), определяющая форму балки,— искомая величина.
Предполагается, что прикладываемая к балке нагрузка поло-
положительна (направление действия нагрузки совпадает с положи-
положительным направлением оси z), а ее равнодействующая не превос-
превосходит заданной величины Р, т. е.
i
q(x)>0, lq(x)dx^P. B.2)
Для любой реализации нагрузок, удовлетворяющей условиям
B.2), нормальное и касательное напряжения ох и xxz должны
удовлетворять условиям прочности
•фх = | ах | — сто < 0, я|>2 == | %xz | — т0 < 0, B.3)
где 0О, т0 — заданные константы. Координата Z, здесь и ниже от-
считывается от центра поперечного сечения балки и меняется в пре-
пределах — А/2 < I < А/2.
211

Задача оптимизации формы балки заключается в отыскании
функции h = h (x), удовлетворяющей при любых реализациях
q = q (x) из B.2) условиям B.3) и минимизирующей интеграл
(вес балки)
J = yb^h(x)dx. B.4)
о
Через у обозначен удельный вес материала среды. При рас-
рассмотрении данной задачи будем следовать работе [9].
Прежде чем перейти к решению задачи, выясним нужные для
дальнейшего свойства функций М (х), Q (х). Интегрируя уравне-
уравнения B.1) с указанными граничными условиями, получим сле-
следующие выражения для М и Q:
М (х) = § о)! (х, t) q (t) dt, Q (x) = § co2 (x, t) q (t) dt, B.5)
о о
cox = t (I — #)/7приО < t ^ x, cox = x (I — t)/l при я ^ t <; /,
co2 = — til при 0 <; t <; x, щ = 1 — til при x < t <; I.
Из положительности функций ауг (х, t) и q (x) вытекает,
что М (х) > 0. Зафиксируем точку х ЕЕ U/2, I] и рассмотрим мно-
множество значений, принимаемых величинами М (х) и Q (х) при
всевозможных реализациях q = q (t) из B.2). Обозначим через
таха М (х) и maxq | Q (х) \ максимальные значения изгибающего
момента и модуля поперечной силы и покажем, что при 112 ^ х ^ I
М (х) = Рх A - x/l), maxQ ) Q (х) \ = Рх/1. B.6)
С этой целью, используя формулы B.5), выполним следующие
оценки:
М(х) <max,о)! (х, t)\q(t)dt = Рх 11 — -^-) .
Максимум по t вычисляется при 0^ ?<^ /. Заметим также,
что для реализации q (t) = Р8 (t — х) момент равен М (х) =
= Рх (I — хI1. Через S здесь обозначена 6-функция. Отсюда и из
приведенных выше оценок следует справедливость формулы B.6)
для М.
Доказательство соотношения B.6) для Q проведем с помощью
аналогичных оценок
i
(' хР
I Q (#) К vraimax, | co2 (x, t)\\q(t)dt\= — .
о
Здесь через vrai max, | co2 | обозначен существенный макси-
максимум по t @ < t ^ I) кусочно-непрерывной функции щ {х, t),
212

которая разрывна при t = х. Подставим реализацию q (t) =
= Р6 (t— х1) с 1/2 <; х1 < х в формулу B.5) для Q и вычислим
интеграл. В результате получаем | Q (х) \ = Pxl/l. В пределе
при х1 ->- х — 0 имеем lim | Q (х) \ = Рх/1. Отсюда с учетом не-
неравенства | Q (х) | <; Рх/1 получим формулу B.6) для Q.
Учитывая симметричность условий задачи относительно точки
х = Z/2, будем в дальнейшем все рассмотрения проводить при
1/2 < х < /.
Используя отмеченные свойства функций М (х) и Q (х), пе-
перейдем к отысканию явных выражений для Y* и W* (см. § 1). Опре-
Определим сначала величины Ч^ и Ч^. Применяя для этого формулы
B.3), B.5), получим
т0.
Вычислим максимумы функций у?х по q из B.2) и по ? на ин-
интервале — hi2 ^ ? ^ fe/2, используя при этом оценку B.6) для
maxQ M
Определим^максимумы функции ^?2 по q и по ^. Заметим, что вы-
выражение, записанное под знаком модуля в формуле для ?2, пред-
представляет собой линейную функцию относительно ?2 и, следова-
следовательно, максимум по ? функции Ч^ при —h/2 ^ ? ^ ?/2 дости-
достигается либо при ?2 = й2/4, либо при ?2 = 0. С учетом сказанного
будем иметь
= max
Ъ =
—r)h-
B'8)
Более подробные выкладки приведены в [9].
Используя полученные выражения для функций ?* и Т*, ука-
укажем условия, которым должна удовлетворять функция h = h (x)
для того, чтобы выполнялись неравенства A.5). Первое из нера-
неравенств A.5) после подстановки в него выражения B.7) для Т*
213

приводит к условию
Подставляя во второе неравенство A.5) выражение для Т*
из B.8), получим
< . roin^fe, 2W - *А, 2ХЛ2 + (I - x)h), B.10)
a; \l x)
hx > -—i—- rrax (— M2, — 2X&2 — a*, — 2W + (Z — x) Л),
a; (J — #)
B.11)
где Я = blxJ3P. Неравенства B.10), B.11) можно упростить,
если заметить, что третье выражение, записанное в B.10) в круг-
круглых скобках, больше второго, и что в B.11) второе выражение мень-
меньше третьего. Учитывая это, неравенства B.10), B.11) запишем
следующим образом:
hx < —1—r min (kh2, 2Xh? — xh), B.12)
X \l X)
К > —тЛ—rmax (- Ш, - 2Xh2 + (l — x)h). B.13)
X \JL ~~~ X)
Разобьем область А {1/2 <; x ^ Z, h > 0), в которой разыски-
разыскивается решение оптимальной задачи, на три подобласти
Лх (Z/2 < о: < Z, Л>аА), Л2 (Z/2 < х < Z,
(Z - х)/% < h < аД), Л3 (Z/2 <o:<Z, 0<fe<(Z-
В указанных подобластях неравенства B.12), B.13) запи-
записываются в виде
-(Г^<^<Т(Г^)"> (^Л)еАь B.14)
xh / l\ а /о к\
ух > (ж,Л)еЛ„ B.15)
Неравенства B.14) непротиворечивы для любых (я, /i) e Ax.
Для разрешимости неравенств B.15) в области Л3 и неравенств
B.16) в области Л3 необходимо, чтобы выполнялись условия
h > х/ЗХ, h > 1/4X. B.17)
Итак, исходная задача оптимизации прямоугольных балок
переменной толщины свелась к отысканию непрерывной функции
h (x)j удовлетворяющей конечным неравенствам B.9), B.17),
дифференциальным неравенствам B.14) — B.16) и минимизирую-
минимизирующей интеграл B.4), в котором из-за симметрии задачи интегри-
214

ровайие ведется ае по всему отрезку [0, /], а по половине этого
отрезка [Z/2, I]. Функции h =h (#), удовлетворяющие неравенствам
B.9), B.14) — B.16), будем называть допустимыми и исследуем
некоторые их свойства, используемые в дальнейшем. Рассмотрим
некоторую функцию h = h (x), которая проходит через точку
{х°, h°) gA2 + Л3, где h° = h (z°). Из B.15), B.16) следует,
что h (х) <; и (х) для х > #°, где и (х) — решение дифференциаль-
дифференциального уравнения
vx = BXv2 — xv)lx {1-х),
удовлетворяющее начальному
условию и (#°) = h°. Интегрируя
это уравнение при данном на-
начальном условии, получим
7 ^
2X\n(c/x) '
С =
B.18)
Рассмотрим поведение интегральных кривых и (х) в зависимо-
зависимости от положения начальной точки (я0, fe°). Если значения х°, h°
таковы, что постоянная с^> I, то, как нетрудно заметить из B.18),
имеет место стремление v (х) ->• 0 при х ->• I (рис. 7.2). Для началь-
начальных значений я0, h° таких, что с < Z, интегральные кривые и (х)
уходят на бесконечность при х, стремящемся к с. Если же вели-
величины я0, h° удовлетворяют условию я0 ехр [(I — я°)/2АЛ°] = Z, то
при х -> Z числитель и знаменатель в формуле B.18) для v стремят-
стремятся к нулю. Раскрывая в этом случае неопределенность по правилу
Лопиталя, получим и (I) = 1/2%. Функцию и (х) с с = I обозна-
обозначим через Ф2 (х).
Используя отмеченные свойства функции и (х), покажем, что
решение оптимизационной задачи имеет вид (см. рис. 7.2)
если 1/2 <; х
если х*^х
B.19)
In (Z/ar)
или в другой форме Ь, = тах[Ф1{хI Ф*(х)].
Величина х* определяется следующим образом. Если парамет-
параметры задачи таковы, что Ф2(#) > Ф1 \х) всюду на отрезке 1/2 ^ х ^
<J /, то оптимальным решением является h = Ф2 (х) и я* в B.19)
полагается равной х* = 1/2. Нетрудно проверить, что этот слу-
случай реализуется для
х = бРоо/lbrl > 16 In2 2.
215

Для другого случая, когда х < 16 In2 2, на отрезке 1/2^x^1
имеется как интервал, где Ф2 (х) < Фх (#), так и интервал, для
которого Ф2 (х) > Фг (х). Следовательно, в этом случае оптималь-
оптимальное решение состоит их двух частей, определяемых формулой,
а величина я* находится из условия Фх (х*) = Ф2 (я*), которое мо-
может быть записано
[я*/х (I - **)№ (х*/1) = 0,25. B.20)
Доказательство оптимальности решения B.19), B.20) заклю-
заключается в проверке того, что данная функция является допустимой,
т. е. удовлетворяет условиям B.9), B.14) — B.17), и что не суще-
существует другой допустимой функции h (x), для которой функцио-
функционал / принимал бы меньшее значение, чем для h из B.19).
Рассмотрим сначала случай х <; 16 In2 2 и определим области
изменения я, для которых выполняются неравенства B.14) —
B.16) при подстановке в них h = Фг (х). Проводя элементарные
выкладки, получим, что неравенство B.14) выполняется при
1/2 < х < Pi == I A + |/~4/D + х))/2, неравенство B.15) спра-
справедливо для 1/2 ^ х ^ C2 = / D + ]^16 — х)/8, а неравенство
B.16) будет выполнено, если 1/2 < х <; C == min (plf C2). Можно
убедиться в том, что х/2Х < Ф2 (х) < х/Х при 1/2 ^ х < / и
Фг W = #/2А, при х = I. Отсюда, в частности, вытекает, что ве-
величина х1 = 16 //(х + 16), являющаяся корнем уравнения
х1/2Х = Фх (х1), удовлетворяет неравенству х1 >?*. Поэтому для
доказательства неравенства р>х* достаточно убедиться в спра-
справедливости соотношений C > х1 при 0 <х <^ 16 In2 2, что дости-
достигается элементарными выкладками. Кривая Ф2 (х) из B.19) рас-
располагается в зависимости от значений параметра х либо в области
Л2, либо в Л2 + Л3 (Ф2 {х) < х/Х). Неравенства B.15), B.16) бу-
будут выполнены, так как при h = Ф2 (х) в правых частях этих не-
неравенств реализуется знак точного равенства. Это следует из
самого построения функции Ф2 (х). Следовательно, функция h (я),
задаваемая равенствами B.19), является допустимой при 0 <^ х ^
< 16 In2 2.
Для х > 16 In2 2 функция Ф2 (х) A/2 ^ х < /) также допу-
допустима, так как при h = Ф2 (х) будут удовлетворены условия B.15),
B.16).
Покажем, что допустимая функция h (x) из B.19) является оп-
оптимальной. Для этого достаточно доказать, что график любой
другой допустимой функции h(x) расположен не ниже кривых
<!>! (х) и Ф2 (х). При 1/2 < х < я* допустимые h (x), как следует из
B.9), должны лежать не ниже кривой Ф1 (х), т. е. h (x) > Фг (х).
Докажем, что для х* ^ х ^ / выполнено неравенство h (x) >
> Ф2 (х). Предположим противное, т. е. что в некоторой точке
х = х'(х* < х' ^ /) допустимая функция h (x) удовлетворяет не-
неравенству h (xf) <^ Ф2 (х'). Но, как отмечалось выше, для допу-
допустимой кривой h (х), проходящей через точку (х\ h [x')), имеет
216

место стремление h (x) ->¦ 0 при х -> Z. Поэтому траектория h (x),
исходящая из точки (#', h (#'))> неминуемо попадет в запретную
область, определяемую неравенством B.17), и будет нарушено
предположение о допустимости функции h (x). Полученное про-
противоречие доказывает справедливость неравенства h (x) > Ф2 (х)
для я* <^ х <^ Z. Следовательно, решение задачи оптимизации
дается формулой B.19).
Для найденного оптимального решения оценим величины на-
напряжений ах и %XZJ которые возникают при действии на балку со-
сосредоточенной силы Р. Обозначим здесь через <ух максимальное
по поперечному сечению (т. е. по ?) значение нормального напря-
напряжения, а через тХ7 — существенный максимум касательных нап-
напряжений. Если сосредоточенная сила Р прикладывается к опти-
оптимальной балке в точке ? A/2 <^ ?• < я*), то величины вх (х)
и %xz (x), как следует из формул B.3), B.5), B.19), удовлетворяют
неравенствам ах (х) <^ or0, %xz (х) < т0 A/2 <^ х <^ Z). Равенство
&х — сг0 достигается при х = g. Если же а:* <^ ^ ^ Z, то cr^ ^
^С ^о» Txz ^ ^о- В этом случае предельное значение для касатель-
касательного напряжения txz = т0 достигается при х = g, а равенство
(Тя = ог0 имеет место, если я = ?• = я*.
Таким образом, при приложении сосредоточенной силы к оп-
оптимальной балке в любую точку х интервала A/2, I) предельное
состояние достигается только в этой точке и, следовательно, при
проектировании балки на фиксированную нагрузку будут иметь-
иметься дополнительные возможности для оптимизации. Это непосред-
непосредственно подтверждается отысканием оптимальной формы балки
для фиксированных сил (соответствующие выкладки здесь не при-
приводятся). Следовательно, для рассмотренной задачи не существу-
существует наихудшей (в указанном выше смысле) нагрузки и оптимальная
для класса сил форма балки не является оптимальной ни для ка-
какой в отдельности реализации сил из данного класса.
§ 3. Оптимизация жесткости балок
1. В § 2 решалась задача отыскания формы балки минималь-
минимального веса (объема) при ограничениях по прочности. Представляет
интерес исследовать также аналогичную задачу оптимизации при
учете ограничений на максимальные прогибы балки. Эта задача
двойственна к задаче минимизации максимального прогиба при
заданном весе (объеме) балки, и их решения получаются одно из
другого простым пересчетом. Ниже, следуя работе [12], рассмот-
рассмотрим задачу минимизации максимального прогиба, предполагая,
как и прежде, что класс нагрузок задается условиями B.2).
Распределение прогибов w (x) упругой балки, опертой в точ-
точках х = 0 и х = Z, описывается следующим уравнением и гра-
граничными условиями:
(EIwxx)xx = ?, C.1)
w @) = (Iwxx)x==0 = w(l) = (Iwxx)x=i = 0.
17

Длина балки I и ее объем V считаются заданными. Функция
S (х) (площадь поперечного сечения) связана с I и V соотношением
= V. C.2)
В решаемой ниже оптимизационной задаче площадь S (х) яв-
является основной искомой функцией, а ограничение C.2) рассмат-
рассматривается в качестве изопериметрического условия, накладывае-
накладываемого на S. Функция S (х) связана с / (х) соотношением EI (х) =
= CaS*(x) (а = 1,2, 3; см. § 3 главы I).
Для заданной функции S = S (х) определим число /, пред-
представляющее собой величину максимального прогиба балки при
всевозможных реализациях нагрузки q из B.2), т. е.
/ = maxa max;* w.
Внутренний максимум по х вычисляется по всем х из интерва-
интервала 0 ^ х <; Z, а внешний максимум по q разыскивается среди всех
реализаций q = q (х), удовлетворяющих условиям B.2). Величина
/ является функционалом, определенным на функциях S = S (х)
из C.2).
Сформулируем следующую оптимизационную задачу. Среди
всех функций S = S (х), задающих форму балки и удовлетво-
удовлетворяющих условию C.2), требуется определить такую, для которой
реализуется минимум /
/# = mins / = mins maxq max^ w. C-3)
Другими словами, требуется определить оптимальную форму
балки, для которой был бы минимальным максимальный прогиб.
Ниже на основе минимаксного подхода определены оптимальные
формы.
2. Проинтегрируем уравнение C.1) при указанных граничных
условиях. В результате получим следующее представление
для w:
i
C.4)
) при
Ф(|, х) = %(х,I) при х
+ 6A-.* \П*-W*
I }\ EI(t)

Используя представление C.4) и условия B.3), нетруДйо
получить, что
w < Р тах| Ф (?, х) = РФ (с, х)
для любых q (|) из B.2) и
w = РФ (с, я)
для g (|) = Рд (I — с). Здесь через с обозначена точка максимума
функции Ф (|, я) по |, удовлетворяющая условию 0 < с < Z.
Из приведенных оценок вытекает, что максимальный прогиб в точ-
точке х достигается при приложении сосредоточенной нагрузки
в точке ? = с, выбираемой из условия максимума Ф по |. Учиты-
Учитывая это в дальнейшем при решении задачи будем рассматривать
только сосредоточенные воздействия на балку.
Схема решения задачи оптимизации будет состоять из следую-
следующих этапов. Сначала определяется функция So (я), для которой
минимален прогиб w в точке х — 1/2 при приложении сосредо-
сосредоточенной нагрузки в эту же точку. Величину этого прогиба обоз-
чим через w0. Далее в пунктах 3 и 4 будет показано, что для функ-
функции S = So (х) при приложении силы Р в любую точку | из ин-
интервала 0 < | < I величины прогибов удовлетворяют неравен-
неравенству w <: w0. На основании отмеченных свойств функции So (x)
нетрудно показать, что So (x) является решением исходной зада-
задачи, a w0 = /#. Для этого предположим, что существует другое
решение /S^ (я), для которого / <С w0. Тогда для функции /5Х (х)
прогиб w (в точке х ~ 1/2 под действием силы Р, приложенной
в точке ? = 1/2) будет удовлетворять неравенству w ^ / <С mv
Получаем противоречие, так как So (x) по определению миними-
минимизирует величину прогиба w в точке х = 1/2. Следовательно, So (x)
является решением исходной задачи C.1) — C.3), B.2). Опреде-
Определение функции So (x) сводится к решению изопериметрической
вариационной задачи о минимуме по S величины w A/2) при усло-
условии C.2). Применяя для решения этой задачи метод множителей
Лагранжа и проводя элементарные выкладки, получим
Г1(* 11/а+1 w - PVl*
где g (Ж) = д;2/4 при 0 < х < 1/2 и g (ж) = 1A — х)/А при Z/2 <
<o:<Z.
Ниже покажем, что для найденной формы балки So (x) проги-
прогибы w, возникающие от действия силы q = PS (t — ?), удовлет-
удовлетворяют неравенству w <^ w0 при любых я и ? из интервала (О, Z).
3. Рассмотрим сначала случай а= 1 и найдем для формы So рас-
распределение прогибов от действия сосредоточенного усилия. Вычис-
Вычисления проведем по формулам C.4), C.5), а для сокращения вы-
выкладок используем теорему Бетти, согласно которой при фикси-
фиксированных х и ? прогиб в точке х при приложении сосредоточенной
силы в точку ? равняется по величине прогибу в точке |, если
219

же сила приложена в точке х. В результате будем иметь
w = 0! (?, х) при 0 < ? < х <//2,
и; = 0Х (ж, ?) при 0 < ж < ? < 1/2, w = со2 (?, ж) при 0 <
< Б < //2 < а: < Z,
м? = со2 (я> ?) ПРИ О < я <^ Z/2 <; ? < Z,
со, F,^-^ ^Ц__1)+_| rJ. C.6)
Подставим в доказываемое неравенство w^ w0 вместо w и w0
найденные выражения C.5) с а = 1 и C.6). Учтем также, что вслед-
вследствие симметрии представлений C.6) из четырех получаемых не-
неравенств различными будут только два. Затем перейдем в полу-
получаемых соотношениях к безразмерным переменным ,х' = х/1,
?' = yi. Штрихи у безразмерных переменных будем опускать.
При этом рассматриваемые неравенства примут вид
A - х) I2 + 1х G2 + х - 2 In 2х) + 78 > 0 при 0 < I <
< х < V2,
A - х) I2 + I (V2 (I + х) - х2) + V8 > 0 при 0 < I < V2 <
<*<1. C.7)
Рассмотрим сначала первое из неравенств C.7). Выражение,
записанное в левой части этого неравенства, представляет собой
квадратный трехчлен относительно ? с положительным коэффици-
коэффициентом при ?2. Поэтому для проверки неотрицательности этого вы-
выражения достаточно доказать, что при О <С ? ^ х <; V2 его ди-
дискриминант неположителен, т. е. что 2я2 G2 + х — 2 In 2a:J —
— 1 + х <; 0. Это неравенство может быть преобразовано к виду
Тг (х) < Т2 (ж), Тх (х) = ]/2 (V2 + х - 2 In 2ж),
Т2 (х) = VT^~xlx. C.8)
В точке х = V2 функции Тх (х) и Т2 {х) равны Тг G2) =
= ^2 (V2) = V, а при я -> 0 имеем Тг ->• оо, ^ ->¦ оо. Поэтому
для доказательства C.8) достаточно будет показать, что производ-
производные Т1Х и Т1^ удовлетворяют неравенству Т1Х > Т7^ при 0 <^
^ л:^ 72. Подставляя в это неравенство выражения для производ-
производных Т1Х = 1/~2ГA—2/х), Т2Х = (х — 2)/Bа:2 /l — ж) и выполняя
элементарные преобразования, приходим к соотношению
8#2 A — х) ^ 1, которое удовлетворяется в рассматриваемом ин-
интервале изменения х. Первое из неравенств C.7) доказано.
Докажем второе неравенство C.7). Как и в предыдущем слу-
случае, выражение, записанное в левой части рассматриваемого нера-
220

венства, представляет собой квадратный трехчлей отйосйтейьйо
? с положительным коэффициентом при ?2. В рассматриваемом
интервале изменения я, т. е. при V2 ^ х < 1, дискриминант трех-
трехчлена, как нетрудно убедиться, не положителен. Следовательно,
при 0 < ?<; V2 ^ #<^ 1 второе неравенство C.7) удовлетворяется.
Таким образом, в случае а = 1 решением исходной задачи
оптимизации C.1) — C.3) является функция S = So (x), даваемая
формулой C.5).
4. Рассмотрим теперь случаи а = 2, а — 3 и определим по фор-
формулам C.4), C.5) распределения прогибов w, которые возникают
при приложении сосредоточенной силы Р к балке в точке ?. Про-
Проводя необходимые выкладки, получим
при
при
при
при 0 < х < //2
~(а+з)/(а+1)
_ х (а2 + За + 4) / / \A-а)/A+аЛ
а*-1 \г\ J
(а + 1) Р Г (а + ^)^ ]а IJ_X
2 (а + 3) Са I (а + 3) V J \ 2 /
_ 4- A - х)<-./««. + A|i±|. D)*"""] • C.9)
Доказательство того, что w <^ w0, начнем с проверки нера-
неравенства (о3 (?> ^) ^ ^о при 0 <; ^ <^ х ^ Z/2. Это может быть вы-
выполнено путем установления следующих оценок:
соз (I, х) < 0з (*, ж) < соз (//2, Z/2). C.10)
Докажем сначала первое из неравенств C.10), т. е. что
(о3 (?> ^) ^ «з (я, я) при 0 < I < а: ^ Z/2. Для этого вычислим
частную производную со3| (?> ^) и покажем, что со35 (^> ^) > 0 в
области изменения аргументов. Проводя необходимые элементар-
элементарные преобразования, получим оценку
<ЗЛ1)
221

Нетрудно показать [12], что выражейие, записанное в C.41)
в квадратных скобках, положительно при 0 < х <; 1/2 (а = 2, 3).
Таким образом, доказано первое из неравенств C.10).
Справедливость второго из неравенств C.10) устанавливается
при помощи непосредственного вычисления производной
(со3 (х, х))х и проверки ее неотрицательности при 0 < х <; 1/2.
Аналогично показывается, что со4 (?, х) ^ w0 при 0 < ? <^
<; Z/2 <^ а; <; 1. Для этого устанавливаются следующие проме-
промежуточные оценки:
со4 (Б, х) < ©4 (Б, 1/2) < со4 (Z/2, Z/2) = w0. C.12)
Справедливость первого и второго неравенств C.12) следует
соответственно из неположительности производной (о4зс (?, а:) при
0<c?><^l/2<^x<cl и неотрицательности производной функции
со4 (?, //2) по переменной Б [12]. Проверкой соотношений C.12)
завершается доказательство неравенства w ^ w0. Таким образом,
для рассмотренных здесь случаев а ~ 2 и а = 3, так же как и в
случае а = 1, решением основной задачи C.1) — C.3) является
функция S = Sо (х).
§ 4. Проектирование пластинок для классов сил
1. Рассмотрим задачу [16] об изгибе упругой пластинки, опер-
опертой по контуру Г в плоскости ху. Область Q, ограниченная кон-
контуром Г, предполагается выпуклой. Через q = q (я, у) {{х, у) е
е ?2) обозначим нагрузки, прикладываемые к пластинке и дей-
действующие в направлении, перпендикулярном плоскости ху. Вид
нагрузки q заранее не фиксирован и рассматриваются все ее воз-
возможные реализации, удовлетворяющие условиям
q (х, у)>0, \Ч q {х, у) dx dy < P, D.1)
где Р — заданная величина.
Уравнения равновесия пластинки и краевые условия на кон-
контуре Г в безразмерных переменных могут быть записаны в виде
L (h) w ^ (WWJXX + 2 (WWxy)xy + (WWyy)yy = ?f
w = 0, ha (Аи; - ii^- i?) = 0, (x, у) е= Г, D.2)
W = h« [(Aw)* - 2 A - v) (wxxwyy - wly)],
где w и h — распределения прогибов и толщин пластинки; А —
оператор Лапласа; R — радиус кривизны контура Г; v — коэф-
коэффициент Пуассона. Нижними индексами обозначены частные про-
производные по соответствующим переменным. Параметр а может при-
принимать значения 1 и 3, что, как отмечалось выше, соответствует
случаям трехслойной и сплошной пластинок.
222

В рассматриваемой ниже задаче оптимизации распределение
толщин h (x, у) играет роль управляющей функции и на нее на-
наложено ограничение (V — заданная константа)
h(x,y)dxdy = V. D.3)
Прогиб w в точке (я;, у) Ez ^ зависит от координаты этой точки
и функционально от fe и д, т. е. w (я, г/, Л, q). При заданном рас-
распределении толщин максимальный прогиб определится равен-
равенством
/ = / (h) = mdLXqmdLXxyw (я, i/, h, g), D.4)
где (я, ?/) ЕЕ ?2, а распределение сил q (я, ?/) удовлетворяет усло-
условию D.1).
Задача оптимизации заключается в отыскании распределении
толщин h (я, г/), удовлетворяющего условию D.3) и минимизи-
минимизирующего максимальный прогиб
/^ = minhJ (h) = min^maXqmax^yW; (я, i/, h, q). D.5)
Задача оптимизации D.1) — D.5) является игровой, а крите-
критерий качества — локальным.
Сформулированная минимаксная задача может рассматри-
рассматриваться так же, как задача оптимизации с неполной информацией
о внешних воздействиях, в которой известна не конкретная на-
нагрузка, а все множество D.1) возможных реализаций сил.
2. Экстремальные свойства внешних воздействий и двойст-
двойственная задача. Исследуем свойства задачи D.1)—D.5), позволяю-
позволяющие сократить число искомых переменных. Докажем справедли-
справедливость следующих утверждений.
Теорема1. При любом фиксированном распределении тол-
толщин нагрузка, реализующая максимальный прогиб, является
сосредоточенной.
Для доказательства этого факта достаточно рассмотреть два
равновесных распределения прогибов w и wc, отвечающих
соответственно распределенной нагрузке q (x, у) из-D.1) и сосре-
сосредоточенной силе величины Р, приложенной в точке (хг, уг) ма-
максимума w. Значения функций w и wc в точке {хъ уг)
обозначим через wx и w^. Для распределения прогибов с учетом
D.1) получим следующую оценку:
\\ qwdxdy^ (maxx, у w) \ \ q dx dy ^ WiP. D.6)
Используя далее D.6) и принцип минимума полной энергии,
приходим к следующим неравенствам:
' W(Л, w°) dxdy - 2Ри>\< JJ W(h, w)dxdy -
Q
- 2Pwx < J J {W (Л, w) - 2qw) dx dy. D.7)
223

Энергетические соотношения
Pw\ = ^ W (Л, wG) dx dy, ^qwdxdy=^W (Л, w) dx dy,
выражающие условие равенства работы внешних сил и энергии
упругих деформаций, позволяют упростить неравенства D.7)
Pm?$>2jPm?!— ^[qwdxdy^ Wqwdxdy. D.8)
Из неравенств D.8) вытекает, что w\ > w±. Таким образом,
показано, что для любой нагрузки д, удовлетворяющей условиям
D.1), можно указать положение сосредоточенной силы Р, для ко-
которой прогиб балки в точке приложения силы не меньше макси
мального прогиба от распределенной нагрузки q (x, у). Теорема
1 доказана.
Рассмотрим выражение D.4) для величины J ~ J (h) макси-
максимального прогиба пластинки. Пусть максимум по ху в D.4) реали-
реализуется при я = хг и у = уг, а максимум по q — при q = Р8 (х — х2,
у — у2), т- е- ПРИ приложении сосредоточенной силы в точку
Теорема 2. Максимальный прогиб J = J (h) (максимум
берется как по д, так и по (х, у) е ^) достигается в точке прило-
приложения силы, т. е. при хг = х2 и уг = у2.
Докажем это утверждение, рассуждая от противного и пред-
предполагая, что максимум прогиба w± достигается в точке (хг, уг) при
приложении сосредоточенной силы Р в другой точке (х2, у2), где
возникает прогиб w2. Рассмотрим также распределение проги-
прогибов wa, возникающее при приложении силы Р в точке (хг, г/х).
Обозначая, через w\ величину прогиба wa в точке (хг, у г) и исполь-
используя известный вариационный принцип, будем иметь
, wa) dx dy — 2Pu\ < \ \ W (h, w) dx dy —
- 2Pw1 < j J W (h, w) dx dy - 2Pw2. D.9)
Воспользуемся энергетическими соотношениями
Pw2 = ЭД W (/г, м?) dx dy, Pu>l =^W (Л, wa) da: dj/
и преобразуем неравенства D.9) к виду
Ри>1 > 2Pw1 — ^W(h,w)dxdy^^W (Л, w) dx dj/. D.10)
Из правого неравенства D.10) получим
Pwi — \\W (hjiv) dx dy ;> 0.
224

С учетом этой оценки из левого неравенства D.10) вытекает,
что w\ > wx.
Полученное противоречие доказывает справедливость теоремы 2.
Основываясь на доказанных теоремах, будем в дальнейшем
рассматривать только сосредоточенные силы величины Р и зна-
значения прогибов в точках приложения сил.
Для удобства рассмотрений перейдем к двойственной задаче
w(l, Л» 5» Л» h) = ">0, D.11)
т. е. к задаче максимизации по fe из D.3) минимального значения
силы, вызывающей прогиб w0 в точке (?, г)) приложения силы.
Решения исходной и двойственной задач получаются одно из дру-
другого простым пересчетом. Действительно, пусть, например, при
заданном значении w0 найдено решение двойственной задачи D.2),
D.3), D.11), т. е. определено оптимальное распределение толщин
к, функция прогибов w и величина силы Р#. Тогда оптимальное
решение /г', w' исходной задачи D.1) — D.5) в заданным значе-
значением силы Р в D.1) может быть получено по формулам
Ь! = h, wr —
причем минимум величины максимального прогиба равен
PP
Ниже будем излагать результаты, относящиеся к случаю а = 1.
3. Рассмотрим сначала задачу D.2), D.3), D.11), предполагая,
что точка (?, т]) приложения сосредоточенной нагрузки фикси-
фиксирована, а операция тпц^'в D.11) опущена. В этом случае прихо-
приходим к задаче, рассмотренной в работе [13]. Воспользуемся не-
некоторыми результатами указанной статьи. Необходимое и доста-
достаточное условие максимума по h функционала D.11) при изопери-
метрическом условии D.3) имеет вид
(wxx + wyyf - 2 A - v) (w&wyy - w2xu) = X\ (x, у) е Q, D.12)
где № — неизвестная константа. С использованием условия оп-
оптимальности D.12) задача оптимизации сводится к двум краевым
задачам для уравнений в частных производных второго порядка.
Оптимальное распределение прогибов можно нпйти, решая кра-
краевую задачу для уравнения D.12) с условием (w)r = 0, а опти-
оптимальное распределение толщин находится из уравнения равно-
равновесия и граничного условия (h)T = 0 после подстановки в ука-
указанное уравнение оптимального распределения прогибов. Краевая
задача, служащая для отыскания оптимальных прогибов после
замены переменной v = w/%, записывается в виде
(»хх + Vyy)* - 2 A - v) (uxxvyy - vl0) = 1, (x, у) е Q,
v - 0, (*, у) е Г. D.13)
8 H. В. Баничук 225

Если решение задачи D.13) найдено, то значение силы Ро
находится по формуле
Ро = w0V/v* (Б, г]). D.14)
Для дальнейшего важно отметить, что решение задачи D.13)
не зависит от положения точки (?, ц) приложения силы и полно-
полностью определяется формой области Q. Это позволяет, в частности,
решив один раз для заданной формы области задачу D.13) и опре-
определив функцию v (х, у), получать простыми пересчетами через
оптимальные распределения прогибов и значения максимизируе-
максимизируемой величины Ро для различных вариантов расположения точки
(Б, т|) в Q.
Пусть максимум функции и (х, у) достигается в точке (я*,
?/„), т. е. Vv = ivx + jvv = О при х = х* и у = у%. Тогда из вы-
выражения D.14) видно, что при стремлении (?, к\) ->- {х^ у%) (в ок-
окрестности точки (х%, у%)) величина Ро убывает.
Отмеченные свойства функции и (х, у) позволяют сделать пред-
предположение, что решение вспомогательной задачи с Б — #* и т] =
= i/jj., которое обозначим через Л* (#, у), является решением за-
задачи D.2), D.3), D.11), а следовательно, и исходной задачи D.1) —
D.5). Для доказательства проверим, что при h = h* прогиб w0
в любой другой точке Б» Л вызывается сосредоточенной силой
Р (Б, г]) 1> Р%, т. е. что точка Б = #*> Л = У* является точкой
минимума функции Р (Б, л). Оценим величину АР = iPx + ]РУ.
Имеем
VP = ^^[L (h*) w] {1юг + ]юц) dx dy =
= — — №х
При Б = x% и г] = y^ из этой формулы и условия Vv = 0 по-
получим VP = —PXwo'^v = 0. Можно показать также, что квад-
квадратичная форма Л (Б, л) = P^s2 + 2Р^ st + Pmt2 является
положительно определенной. Таким образом, точка (#*, у%) яв-
является точкой минимума функции Р (Б, ц) и, следовательно, вы-
высказанное предположение справедливо. Можно сделать вывод, что
решения, найденные в § 3 главы III, для круглой и эллиптической
пластинок являются решениями игровой задачи D.1) — D.5)
и оптимальны для классов воздействий.
§ 5. Оптимизация стержней, работающих на кручение и изгиб.
Многоцелевые задачи
В предыдущих параграфах данной главы рассматривались за-
задачи оптимального проектирования балок и пластин при неполной
информации о виде изгибной нагрузки. Как уже отмечалось во
введении, задачи оптимизации при неполной информации экви-
эквивалентны некоторым многоцелевым задачам оптимального проекта-
226

рования. Так, задачи, изложенные в § 2—4, могут трактоваться
также, как задачи оптимального проектирования балок и пла-
пластин, которые в процессе эксплуатации последовательно подвер-
подвергаются действию различных нагрузок с равнодействующей, не
превышающей заданной величины. Программа нагружения вклю-
включает все допустимые нагрузки этого типа. Особенностью задач из
§ 2—4 было то, что в программе нагружения допускались лишь
изгибные нагрузки и поэтому в процессе оптимизации рассматри-
рассматривалось одно и то же уравнение состояния (уравнение изгиба). На
меньший теоретический и прикладной интерес представляет ис-
исследование оптимальных форм при действии на конструкцию не-
неоднотипных нагрузок. В этом случае приходится учитывать раз-
различные определяющие уравнения и характеристики конструк-
конструкции.
Ниже приводится решение некоторых задач такого типа [164].
В этих задачах отысканию подлежат оптимальные формы упругих
стержней, подвергающихся в процессе эксплуатации последова-
последовательно изгибу и кручению.
1. Рассмотрим следующую задачу оптимального проектиро-
проектирования. Требуется минимизировать площадь S поперечного се-
сечения упругого цилиндрического стержня, крутильная (К) и из-
гибная жесткость (С) которого удовлетворяет неравенствам
К :> Ко, С ;> 6т0, где Ко и Со — заданные константы. Предпола-
Предполагается, что стержень не работает одновременно на кручение и из-
изгиб и в процессе эксплуатации он либо закручивается, либо под-
подвергается изгибу.
Приведем строгую математическую формулировку задачи.
С этой целью рассмотрим последовательно основные соотношения
при кручении и изгибе стержня.
Пусть цилиндрический стержень закручивается моментами
Af, прикладываемыми к его концам. Возникающий при этом угол
закрутки t), приходящийся на единицу длины стержня, связан
с М соотношением М = KQ, где К — жесткость стержня на кру-
кручение. Для определения жесткости на кручение введем в рассмот-
рассмотрение функцию напряжений ф = <р (х, у), которая является ре-
решением следующей краевой задачи:
Ф*х + Ъу = —2» (я, У) е Q, (ф)г = 0. E.1)
Здесь Q — односвязная область изменения х, у (поперечное
сечение стержня), а Г — граница области Q. Жесткость стержня
при кручении К выражается через функцию напряжений <р (х, у)
по формуле
$ E.2)
8* 227

Через G в E.2) обозначен^модуль сдвига. При отыскании фор-
формы стержня на К накладывается ограничение
К > Ко, E.3)
где Ко — заданная положительная константа.
Рассмотрим теперь случай, когда стержень используется в ка-
качестве балки и работает на изгиб. Основной механической харак-
характеристикой балки является ее изгибная жесткость. Предполагая,
что изгиб происходит в плоскости yz (z — ось, направленная вдоль
стержня) и обозначая через Е модуль Юнга, запишем выражение
для изгибной жесткости
E.4)
От величины изгибной жесткости (цилиндрического стержня)
зависит не только статическая жесткость при поперечных нагруз-
нагрузках, но и спектр частот собственных колебаний. Увеличивая изгиб-
ную жесткость балки (при заданной массе), мы тем самым умень-
уменьшаем ее прогибы при поперечных нагрузках и увеличиваем
частоты собственных колебаний. Поэтому ограничения на макси-
максимальные допустимые прогибы и на динамические характери-
характеристики могут быть сведены к следующему неравенству:
С > Со, E.5)
где Со — заданная положительная константа.
Задача оптимизации заключается в отыскании формы попереч-
поперечного сечения упругого стержня, удовлетворяющей условиям
E.3), E.5) и минимизирующей площадь S поперечного сечения:
S(T)= ^ dx dy -> min. E.6)
и
Для сформулированной задачи проанализируем типы возмож-
возможных решений. С этой целью рассмотрим сначала задачу E.1) —
E.3), E.6), т. е. задачу минимизации площади поперечного сечения
при одном только ограничении на крутильную жесткость. Не-
Нетрудно показать, что двойственной к этой задаче является задача
максимизации крутильной жесткости при заданной площади по-
поперечного сечения стержня S. Оптимальным в прямой задаче ока-
оказывается [110J стержень круглого сечения радиуса г = BК0/
/лбгI/4. Круглый стержень будет оптимальным и в двойственной
задаче.
Крутильная и изгибная жесткости круглого стержня свя-
связаны соотношением К = 2GC/E = С7A + v), v — коэффициент
Пуассона. Данная зависимость представляется прямой линией,
делящей квадрант К > О, С > 0 плоскости параметров К, С на
две области /, // (рис. 7.3), причем наклон йрямой меняется от 45
до 33,7° при изменении v в пределах 0 <, v ^ V2. Каждому стер-
228

жню круглого поперечного сечения соответствует точка, лежа-
лежащая на указанной прямой в плоскости (К, С). Если константы
Ко и Со удовлетворяют неравенству
Ко > 2GCO/E7
E.7)
I
Рис. 7.3
г. е. если соответствующие им точки лежат в области /
(см. рис. 7.3), то оптимальным является стержень круглого се-
сечения. Это является следствием факта, что если неравенство
E.7) выполняется, то изгибная жесткость стержня круглого се-
сечения (удовлетворяющего нера-
неравенству E.3)) превышает вели-
величину 6'0, т. е. выполняется ус-
условие E.5).
Если же заданные парамет-
параметры Ко, Со нарушают условие
E.7), т. е. они лежат в обла-
области // (см. рис. 7.3), то оба огра-
ограничения E.3) и E.5) оказывают-
оказываются существенными при отыска-
отыскании формы сечения (которое
предполагается выпуклым) оп-
оптимального стержня. В этом
случае при отыскании опти-
оптимальной формы будем учитывать ограничения E.3), E.5), исполь-
используя технику множителей Лагранжа.
Заметим, что в квадранте К > О, С > 0 не имеется областей,
в которых оптимальное решение определяется только неравен-
неравенством E.5). Это объясняется тем, что, не нарушая условие выпук-
выпуклости, возможно уменьшать площадь поперечного сечения стер-
стержня (стремя ее к нулю), не уменьшая при этом изгибную жест-
жесткость. Поясним на примере стержня прямоугольного сечения с ши
риной сечения Ь и высотой/г, для которого S = Ыг и С = Ebh3/12.
Предполагая изгибную жесткость заданной и равной Со и исклю-
исключая Ь из выражений для S и С, получим S = 12C0/Eh2. Следова-
Следовательно при h —» оо площадь поперечного сечения стержня S —» 0, а
изгибная жесткость С = Со.
Определим оптимальное решение в области // (см. рис. 7.3).
Для получения необходимых условий оптимальности удобно
преобразовать соотношения задачи, исключив из рассмотрения
дифференциальное уравнение E.1) (см. §4 главы I). Ограничение
E.3) запишем в виде
К = roin<p -у- ^ (ср2х + фу — 4ф) dx dy > Ко,
где минимум по ср разыскивается на классе непрерывно дифферен-
дифференцируемых функций, удовлетворяющих граничному условию ф = О
на Г. Обозначая далее через Хг и %2 постоянные множители, соста-
229

вим функционал Лагранжа
П = J jj [l + h -|- (<р| + Ф2У - 4«р)
и, применяя формулу (8.9) главы I, получим необходимое условие
оптимальности контура Г: 1 — 1l^k1G (ф* + фу) + ^2^У2 = О,
которое может быть записано в виде
4>l + 4>l=H + \^2y2t E.8)
где \ix = 2/kiG и |л2 = 2K2E/X1G. Для определения констант \ix и
|л2 служат условия К = Ко и С = Со. Таким образом, для решения
рассматриваемой задачи оптимизации (определения формы по-
поперечного сечения стержня и соответствующей функции напря-
напряжений ф (х7 у)) следует воспользоваться системой уравнений
E.1) — E.5), E.8), приняв в E.3), E.5) знак строгого равенства.
Исходя из вида необходимого условия оптимальности E.8),
будем искать решение задачи оптимизации в виде
Г: х2 + ау2 = Ь,
ф =, N (Ь - х2 - ау2O E.9)
где а, 6, N — неизвестные постоянные, которые совместно с мно-
множителями Лагранжа \il9 \л2 должны быть определены из основных
соотношений задачи. Нетрудно проверить, что для задания Г и ф
в виде E.9) граничное условие E.1) оказывается выполненным.
Подставляя выражение для ф в условие оптимальности E.8),
получим уравнение
х2 + (а2 - |ха/4ЛГ) у2 = \iJAN. E.10)
Условие совпадения контуров, определяемых соответственно
уравнениями E.9), E.10), приводит к двум соотношениям, накла-
накладываемым на искомые коэффициенты а2 — \i2/4N2 = а, \ix/AN2 = b.
Остальные три уравнения, служащие для определения коэффици-
коэффициентов a, b7 \il7 \i2y N, получаем путем подстановки E.9) соответ-
соответственно в уравнение E.1) и ограничения E.3), E.5) (в E.3), E.5)
принимается знак строгого равенства). Приходим к следующей
системе алгебраических уравнений:
а2 - ii2/AN2 = а, \iJ4N2 - 6, 1 + а = 1/N,
= K0/nG, bVa'l* = 4
Разрешая данную систему относительно искомых величин,
получим
а = 1/(Р - 1), Ь = (^oPMG)V.(l/p - 1)VS N
н = 4 (K0/nGY>>W - l)§/VP'/.f |i = 4 B -
где Р = ^C0G/EK0. Из неравенства E.7) вытекает, что Р > 2
в области // (см. рис. 7.3). Для этой области форма поперечного
230

сечения цилиндрического стержня минимального веса и соответ-
соответствующая функция напряжений имеют вид
(§)(Р- 1)V«, E.11)
(Г1 ~ 1)'Л - х* ~ (Г1 ~ 1) J/21 ((P
Таким образом, решение E.11) задачи оптимизации полностью
определяется заданием постоянных материала Е, G и констант
^<ь Со, удовлетворяющих требованию AGC0/EK0 > 2. Площадь
сечения оптимального стержня равна
Gyi> (р2/(Р - I)I/*. E.12)
Для того чтобы оценить эффективность оптимизации, сравним
iSopt с площадью стержня круглого сечения, имеющего ту же из-
изгибную жесткость Со, что и оптимальный стержень. Для круглого
стержня имеем So = (АпС0/Е)^г. Выигрыш, получаемый за счет
оптимизации, оценивается формулой
(So - Sopt)/S0 = 1 - (р - 1)-"/«.
Из этой формулы видно, что для случая Р = 2 (граница обла-
области //) So = Sovt и круглый стержень является оптимальным.
С увеличением |3 (Р > 2) увеличивается выигрыш по функциона-
функционалу, получаемый за счет оптимизации.
2. Задачи оптимизации крутильной и изгибной жесткости.
Кроме рассмотренной выше задачи, имеются две родственные за-
задачи оптимизации, которые приводят к условию оптимальности
E.8). Первая из них заключается в максимизации крутильной же-
жесткости цилиндрического стержня (К ->• max) при ограниче-
ограничениях на площадь поперечного сечения и изгибную жесткость стер-
стержня
С> Со, S<S0. E.13)
Во второй задаче требуется максимизировать изгибную жест-
жесткость стержня (С -> max) при заданных ограничениях на пло-
площадь поперечного сечения и крутильную жесткость
К > Ко, S> So. E.14)
Для этих задач, не проводя подробных выкладок, опишем
лишь окончательные результаты исследований. В первой задаче
квадрант плоскости параметров (С ^> О, S "> 0) делится на две
области параболой С = ESVAn (рис. 7.4). Если заданные пара-
параметры проектирования' Со, ?о удовлетворяют неравенству
Со < ESl/Azi, E.15)
т. е. они лежат в области / (см. рис. 7.4), то поперечное сечение
стержня максимальной крутильной жесткости будет кругом ра-
радиуса г = Уп$о- В области / ограничение по изгибной жесткости
231

удовлетворяется автоматически и не влияет на оптимальную фор-
форму стержня. Если же неравенство E.15) нарушается (точка (Со,
So) лежит в области II на рис. 7.4), то оба ограничения E.13)
влияют на форму поперечного сечения. Оптимальным, как и преж-
прежде, оказывается стержень эллиптического сечения Г: х2 + xz/2 =
— хг/2)/A + ъ). Крутильная
равна
причем
жесткость
Ф = (|/x*V
оптимального
— х2 —
стержня
Перейдем к описанию результатов решения второй задачи.
Как и в исследованных выше задачах, в рассматриваемом случае
Рис. 7.4
Рис. 7.5
E.14) квадрант плоскости параметров проектирования К !> О,
5 > 0 делится на две области параболой К = GS2/2n (рис. 7.5).
Однако в отличие от предыдущих задач, если заданные параметры
Ко, So таковы, что
Ко > GS*/2n
(точка (Ко, So) лежит в заштрихованной области на рис. 7.5), то
рассматриваемая задача не имеет решения. Это объясняется
тем, что для любого цилиндрического стержня, обладающего пло-
площадью поперечного сечения S < 50,^крутильная жесткость К <
< GS2J2n.
В незаштрихованной части квадранта (см. рис. 7.5), для ко-
которой Ко < GSl/2n, оптимальная форма контура и функция нап-
напряжений имеют вид х2 + &У2 = YbSJn, <p = (У 6Sq/tc — х2 —
— 8у2) A + 6), а соответствующая изгибная жесткость равна
Copt = ESl/4nV&, где /6 = у/2 - УуУА - 1, у = С5^яЯ.
Заметим, что использованный в данном параграфе метод ана-
анализа возможных типов решений может быть непосредственно рас-
распространен на задачи многоцелевого проектирования с большим
числом ограничений.
232

§ 6. Круглая пластинка минимального веса
при ограничениях по жесткости
и частоте собственных колебаний
В качестве другой задачи многоцелевой оптимизации рассмот-
рассмотрим [56] проектирование круглой пластинки минимального веса,
которая в процессе эксплуатации может находиться в двух различ-
различных состояниях. В первом она совершает свободные осесиммет-
ричные колебания, а во втором на нее действуют постоянные из-
гибные нагрузки. В обоих случаях пластинка оперта по контуру.
На частту основного тона и средний прогиб пластинки (жесткость)
накладываются ограничения.
1. Приведем основные соотношения задачи. Обозначим через
wx амплитудную функцию прогибов пластинки при колебаниях,
а через ы;2 — прогибы, вызванные приложением статических на-
нагрузок. При заданном распределении толщин пластинки h функ-
функции wx (r) и w2 (г) определяются как решения следующих уравне-
уравнений (используются безразмерные переменные):
L (h) wx = cohhw^ F.1)
L (h) w2 = rq F.2)
при краевых условиях, соответствующих опиранию пластинки:
и;г(\) = О, [л* (wirr -V -j- wir)]rssl = °> wir @) = 0,
[h3 (wirr + wirlr)r + (Л3)г {Щтт + vM7ir/r)]r=o = 0. i = l,2. F.3)
Здесь через г обозначено расстояние, отсчитываемое от центра
пластинки, а через L (h) дифференциальный оператор
Безразмерный средний прогиб пластинки при изгибе равен
1 /1 1
а=\ nv2dr \ rdr = 2 \ rw2dr, F.4)
0 10 0
а безразмерный объем пластинки выражается соотношением
1
V = §rhdr. F.5)
о
Ограничения на частоту собственных колебаний и средний
прогиб запишем в виде
со > со0, а < а0, F.6)
где со0 и а0 — заданные безразмерные константы.
Сформулируем задачу оптимизации: требуется найти функции
h (r), wx (r), w2 (r), удовлетворяющие уравнениям F.1), F.2),
233

граничным условиям F.3), а также ограничениям F.6) так, что
функция h (r) реализует минимальное значение функционала объ-
объема F.5).
2. Приведем необходимые условия оптимальности. Поскольку
краевые задачи F.1), F.3) и F.2), F.3) являются самосопряжен-
самосопряженными и положительно определенными, то для определения фунда-
фундаментальной частоты и среднего прогиба можно использовать ва-
вариационный принцип Рэлея и принцип минимума потенциальной
энергии системы (см. § 4 главы I)
о2 (h) = rain№l
a(h)= — -у ттШ2 [(L (h) w2, w2) — 2 (rq, w2)\, F.7)
где скалярное произведение (L (h) Wi, wt) определяется формулой
(L (h) wb Wi) = J Л3 [и;?гг + Ц- wirwirr + (^J] r dr.
0
Минимумы в выражениях F.7) разыскиваются на классе
функций wx, Wz, удовлетворяющих граничным условиям wlr @) =
= wx A) = w*r @) = w2 A) = 0.
Ограничения F.6) запишем в виде со2 (h) — ©2 > 0, а0 —
— а (К) > 0. Градиенты этих функционалов с использованием вы-
выражений F.7) с точностью до постоянных множителей представим
в форме
grad (о2 (h) - <oj) = г [Ш \w\rr + ^ wlrwlrr + (^ilJ] - со8^} =
= n|>i (Л, тг),
grad (а0 — a (h)) = Ъг№ w\rr + -у- w2rrw2r + \-у-) = г<Фг {К и>*)-
Поскольку градиент функционала F.5) равен г, то, предпола-
предполагая h (г) ^> 0, г G @, 1), получим необходимые условия опти-
оптимальности функции h (r)
1*1^1 (Л, ^l) + 1*2^J (К W*) = 1, F.8)
Их (со2 (Л) - соо) = 0, ^ > 0, F.9)
(Л2 (а (Л) - оо) = 0, pt2 > 0. F.10)
Через [Ац \i2 здесь обозначены множители Лагранжа. Таким об-
образом, для отыскания неизвестных функций h (r), wx (r), w2 (r)
и констант \iv \i2 имеем соотношения F.1), F.2), F.6), F.8) —
F.10) и граничные условия F.3).
3.. Исследуем зависимость оптимального решения задачи от
параметров q, coo, а0. Предварительно рассмотрим случай выхода
на равенство первого ограничения F.6), т. е. случай со2 (h) = coj,
234

a (h) <; а0. Для него из уравнений F.8) — F.10) имеем \it > 0,
|Ы2 = 0. Воспользовавшись свойством однородности оператора
L (К), функционала F.5) и первого из функционалов F.7), нетруд-
нетрудно заключить, что оптимальное распределение толщин имеет вид
К = о>о/г$ (г),
где й$ (г) — решение системы уравнений F.1), F.3), F.8) — F.10)
с ц,2 = 0, \1г >> 0 и о)о = 1. Получим неравенство, которому дол-
должны удовлетворять параметры задачи q, a0, соо, чтобы функция
hx (r) была решением исходной задачи оптимизации. С этой целью
для функции h± следует решить краевую задачу F.2), F.3) и вы-
вычислить величину среднего прогиба. Учитывая при этом однород-
однородность функционала а (К) из неравенства a (hx) ^ а0, получим ис-
искомое ограничение
<7/aocoos<Pj, Pt = ?/a(ftJ). F.11)
Рассмотрим теперь случай выхода на равенство второго огра-
ограничения F.6), т. е. a (h) = а0, со2 (h) >> со0. Для этого случая из
соотношений F.8) — F.10) получим \ix = 0, \i2 ^> 0, а оптимальное
решение имеет вид
где hi — решение системы уравнений F.2), F.3), F.8) — F.10) для
значений еоо = 0, (q/a) = 1. Для функции h2 решим задачу на
собственные значения F.1), F.3) и определим со2 (йг). Учитывая
однородность функционала со2 (й2), на основании ограничения
со2 (h2) > со? получим неравенство
q/a0col > Ра, Р2 = [со2 (/г°2)р/% F.12)
при выполнении которого функция h2 является решением задачи
оптимизации.
Введем в рассмотрение параметра [3 = q/aO(dl. Как показано
выше, для значений Р ^ Pi (рис. 7.6, область /) решением опти-
оптимальной задачи является функция hx = соо Щ (г); для значений
Р > Рг (область //) оптимальным решением будет функция k2 =
= (q/a)xl hi (г). На рис. 7.6 прямая 1 соответствует значению
Р = Вх, а прямая 2 — значению Р = р2.
На рис. 7.7 приведены полученные в результате расчетов за-
зависимости h\ (r), h\ (г) (кривые 7, 2) для v = 0,3. Соответствующие
объемы равны v? = 0,088, vS = 0,130.
Значениям параметра Р, удовлетворяющим двустороннему не-
неравенству Pi < Р < Рч (рис. 7.6, область ///), соответствует
случаи ((j,! j> 0, [х2 ]> 0) выхода обоих ограничений F.6) на равен-
равенства, это следует из выражений F.6).
4. Квазиоптимальное решение. Пусть параметры задачи q, a0,
сэ0 таковы, что параметр р удовлетворяет двустороннему неравен-
235

ству рх < р < р2 (рис. 7.6, точка А). Этой точке соответствует
оптимальное решение h (r) со значением функционала (объема)
F. Тогда точке В на рис. 7.6 будут соответствовать параметры
а'о = а0 р/р2, соо = со0 и, следовательно, оптимальное решение
будет иметь вид h2 = (Рг^/р^оI^ (г) со значением объема
v
2'
— (§ h°r fir
Решение h2 (г) является допустимым для исходной задачи, по-
поскольку удовлетворяет ограничениям а'о < а0, о>о = о>о и поэтому
- 0,2?
Аналогично, взяв допустимое решение
точке С на рис. 7.6, получим оценку
V < со
(г), соответствующее
F.13)
Объединим эти неравенства
V <J Vq = min [соо (p/Pi)'^Fj, (P2#/p#oI/3^2].
Допустимое решение, получаемое при помощи кг (г), /г2 (г) и от-
отвечающее минимуму правой части F.13), назовем квазиоптималь-
квазиоптимальным решением со значением функционала объема Vq.
Имеем также оценку
•/.y:i < v, F.14)
поскольку функция /г (г), являющаяся решением задачи с двумя
ограничениями, не может сообщить функционалу объема меньшее
значение, чем функции 0ofe* (r), (g/ao)v*2 (Г)> отвечающие реше-
решению той же задачи, но с одним из ограничений. Из F.13), F.14)
нетрудно получить соотношение
1 < VJV < [iW'VS. WJ]. F.15)
236

Итак, зная функции h\ (г), h\ (г), а следовательно, и константы
Pi> Рг Для любой точки А, лежащей в области 77/, построим допу-
допустимые решения hx (г) = сОоСр/РхI'^? (г), h2 (г) = (дРг/раоI/»-
•Аг(г). Из указанных двух допустимых распределений толщин
примем в качестве квазиоптимального то, которое реализует .ми-
.минимум в F.13), причем имеем оценку F.15) отличия квазиопти-
квазиоптимального решения от оптимального по функционалу, которая,
как показывают вычисления, равна 1 < Vq/V < 1,0028.
§ 7. О построении квазиоптимальных решений
в задачах многоцелевого проектирования
В предыдущем параграфе был приведен конкретный пример
построения квазиоптимального решения. При этом существенно
использовалось свойство однородности рассматриваемых функ-
функционалов. Это свойство, как показано в [227], позволяет построить
допустимые решения, а также получить двусторонние оценки оп-
оптимизируемых функционалов и в более общих случаях задач со
многими ограничениями.
1. Рассмотрим задачу на экстремум с несколькими ограниче-
ограничениями
min J (/г), h e Ж,
Ji(h)>ct>0, i = I, 2, . . ., л, G.1)
где ct — заданные константы.
Будем предполагать, что функционалы /и Jt (i = 1, 2, ..., п) по-
положительны на Ж и однородны относительно h с положительными
степенями однородности Р и рг соответственно. Рассмотрим за-
задачу G.1), но с одним i-м ограничением, индекс i произволен.
Решение этой задачи обозначим h\, а решение задачи G.1) с полным
набором ограничений — через /г*.
Вычислим значения Jj (/if), где / = 1, 2, . . ., п. Очевидно, что
некоторые ограничения задачи G.1) при этом могут оказаться на-
нарушенными. Подберем такой множитель yt, чтобы элемент ythi удов-
удовлетворял всем ограничениям. Нетрудно видеть, что yt следует
взять в виде
Vi= так \CjlJj(ht)]ll*i. G.2)
j-^l, 2,..., n
Действительно,
)
h (ТгЛ?) = V^Jj (ti) > [(CjUi (fH)f^P Jj (Л?) = C).
Таким образом, элемент yth* является допустимым, поскольку
выполнены все ограничения задачи G.1), но, вообще говоря, не-
неоптимальным. Следовательно, справедлива оценка J (h*) <J
237

< J (yth*). С другой стороны, / (ti?) <; / (/i*) вследствие того, что
элемент /i*, являющийся решением задачи с одним ограничением,
не может доставлять минимизируемому функционалу большее
значение, чем элемент /г*, являющийся решением задачи с п огра-
ограничениями. Объединяя эти два неравенства, получим / (ht) <^
^V (/&*) <^ / (Yth*). Вследствие произвольности индекса i будем
иметь
max / (hf) < / (ft*) < min / (угК?).
i i
Допустимое решение hq = yph%, отвечающее минимуму пра-
правой части полученного соотношения, назовем квазиоптимальным
решением. Через р обозначен индекс, для которого реализуется
указанный минимум. Согласно этому определению
/ (hq) = J \уХ) = min J (TiA?).
1=1, 2,..., П
Из последних двух соотношений получим следующую оценку:
min J (у$)
<r ^=i> 2,..., п г п оч
< G3)
< шах J(h*) * G*3)
i=l, 2,...,n
Таким образом, зная решение задач на экстремум с одним ог-
ограничением hi (i = 1, 2, . . ., тг), можно вычислить константы yt
согласно G.2), построить квазиоптимальное решение и оценить его
близость к решению задачи со многими ограничениями по значе-
значению минимизируемого функционала.
Представляет интерес выявить зависимость верхней оценки
G.3) от соотношения параметров задачи G.1) сь i = 1, 2, . . . , п.
Для этого воспользуемся представлением оптимальных решений
hi в виде
ht = c\'4l, G.4)
где hi есть решение задачи G.1) с одним i-u ограничением при
значении ct = 1. С учетом представления G.4) и свойства однород-
однородности функционалов, запишем константы yt в виде
Y,= cJ/pi max cJ/pi( };1
.'=1, 2,...,П J г
В этом выражении индекс kt указывает то значение /, при ко-
котором выражение, записанное в квадратных скобках, достигает
максимума.
238

Преобразуем G.3) с учетом G.4), G.5)
J (*•) < max J(h
i
= mm
1=1, 2,..., n
^ min ! L^ !_. G.6)
Последнее неравенство справедливо, поскольку минимум из оп-
определенного числа величин не убывает при уменьшении их числа.
Полученная оценка не содержит параметров ct, однако зависит от
них, так как вектор к = (кг, к2у . . ., кп) определяется соотноше-
соотношением между этими параметрами (см. G.5)). Заметим, что при из-
изменении параметров сг компоненты вектора к принимают не все
возможные значения. Для того чтобы выяснить, существует ли
вектор к с компонентами къ k2j . . ., /сп, следует, исходя из соот-
соотношений G.5), составить систему линейных неравенств относи-
i/Pi
тельно переменных С{
c\'h > 0, i, / = 1, 2, . . ., R; / ф kt. ^Л)
lip-
В /г-мерном пространстве a l (i = 1, 2, . . ., п) неравенствами
G.7) выделяется область Щ. Если эта область не пустая, то для
1/9 1 /R
любых векторов с = (сг \ . . ., сп п), с е= Rk выражение G.6)
дает абсолютную оценку близости квазиоптимального решения
к оптимальному по значению минимизируемого функционала.
Если взять от правой части G.6) максимум по всем значениям
векторов /с, таких, что соответствующие R^ являются не пустыми
множествами, то придем к абсолютной оценке близости квази-
оптимального решения в квадранте а г ^> 0, i = 1, 2, . . ., п.
Отметим, что Ы = С{ lhi будет оптимальным решением исход-
исходной задачи G.1), если параметры ct удовлетворяют следующей
системе неравенств:
c)^c:l№i^jfHhf), / = 1,2,..., и; )ФЬ. G.8)
Действительно, непосредственной проверкой можно убедиться
в том, что для сь удовлетворяющих указанным неравенствам, вы-
выполняются все ограничения G.1), величина yi= 1, и квазиопти-
239

мальное решение совпадает с оптимальным hq — hi = /г*. В этом
случае компонента kt вектора к равна i.
Заметим, что для анализа областей реализации отдельных оп-
оптимальных и квазиоптимальных решений можно ввести замену,
например, tt = а РУсп п, ? = 1, 2, ..., /г — 1 и вместо рассмот-
рении в тг-мерном пространстве параметров а , г = 1, 2, . . ., п
перейти к (/г — 1)-мерному пространству параметров tti i = 1, 2, ...
..., n-1.
2. В качестве примера приведем решение задачи минимизации
объема балки с тремя различными ограничениями: на частоту
собственных поперечных колебаний первого тона, на минимальное
значение продольной силы, при которой происходит потеря устой-
устойчивости, и величину прогиба в середине пролета при действии
сосредоточенной силы, приложенной в этой точке [124]. Собствен-
Собственные колебания, сжатие балки продольными силами и изгиб по-
поперечной нагрузкой рассматриваются по отдельности, т. е. пред-
предполагается, что при приложении к концам балки сжимающих уси-
усилий поперечная нагрузка не действует и балка не совершает попе-
поперечных колебаний, а при рассмотрении собственных колебаний
обе статические нагрузки считаются отсутствующими. Сечение
балки предполагается прямоугольным с переменной толщиной
h (х) и постоянной шириной Ь, а условия закрепления — шарнир-
шарнирными на обоих концах.
Все рассмотрения проведем в безразмерных переменных. Для
минимизируемого функционала (объема балки) будем иметь сле-
следующее выражение:
1
V = §h(x)dx. G.9)
о
Выражения для основной частоты собственных колебаний,
силы потери устойчивости и величины w прогиба в центре балки
запишутся в виде
со2 (h) = min — , p(h) = min —
Wl ^hw\dx Wz |
* /2' G.10)
Минимумы в G.10) разыскиваются на классе функций wl9 w2
удовлетворяющих граничным условиям wt @) = w± A) = w2 @) =
= w* A) = 0.
Наложим на частоту собственных колебаний силу потери
устойчивости и прогиб в центре балки ограничения в виде
240

неравенств
(о2 > со2., р > р0, 1/и> > 1/м>оэ G.11)
где о)о, р0, м;0 — заданные безразмерные констант.
Сформулируем задачу оптимизации: требуется найти функцию
h (х) ^> 0, х е= @, 1), реализующую минимум функционала G.9)
при ограничениях G.11), в которых величины ш2, /?, ^определяют-
^определяются согласно G.10). Решение задачи о максимизации основной час-
частоты собственных поперечных колебаний дано Ф. Ниордсоном
[207], аналитические решения оптимальных задач о потере устой-
устойчивости стержней с различными граничными условиями приво-
приводятся в работах [171, 184, 233]. Решение задачи с одним ограни-
ограничением на величину прогиба особых трудностей не представляет.
Для сформулированной задачи приведем необходимые условия
оптимальности
G.12)
При заданных параметрах соо, р0, w0 из системы соотношений
G.10) — G.12) можно найти функции h (я), юг (х), юг {х) и множи-
множители \1Ъ \i2i М>3> реализующие оптимальное решение.
В зависимости от соотношений между параметрами задачи
возможны выходы на различные ограничения, например случаю
со = оо0, р J> р01 w<Cw0 соответствует согласно G.12) ^i > 0,
fx2 = |л3 = 0. Следовательно, в этом случае решение задачи опти-
оптимизации сводится к задаче с первым ограничением G.11).
Непосредственно из выражений G.9), G.10) следует, что функ-
функционалы V (h), со2 (Л), р (A), w (h) положительны при h (х) > 0
и однородны по h со степенями однородности Р = 1, Pi = 2,
Р2 = 3, рз = 3 соответственно. Решения задач оптимизации с од-
одним г-м ограничением представим в виде
Л* = cooAj (ж), ht = рШ (х), ht = wtUhl (x). G.13)
Функции hi (x), hi (x) вычислялись градиентным методом в про-
пространстве управляющих функций, при этом на каждом шаге гра-
градиентной процедуры решались задачи на собственные значения.
Функции /ij, hi представлены на рис. 7.8. Ввиду симметрии этих
функций относительно х = V2 на рисунке приводится лишь по-
половина графиков.
Решение задачи оптимизации с одним третьим ограничением
из G.11) нетрудно получить аналитически Аз (х) = 2-'/. ух при
0 < * < V* и hi (х) = 2-6/в У 1-х при Va < х < 1. С помощью
функций hi, hi, A3 вычислим матрицу (см. G.5))
^^Щ G.14)
Щ

Согласно G.8) решения /**, &*, й* реализуются соответственно
в областях параметров /, 77, /77, определяемых неравенствами
> J . i(hi), /= 1, 2, . . . ,/г; j^i*
0,25
Рис. 7.8
4
Рис. 7.9
Вводя для удобства параметры ^ = 1#01/зсоД Z2 = ,
г3 = оHро/з — ^2/^1, запишем неравенства, определяющие области
/, //, ///, соответственно
С2,
где ох - 4,6043, а2 = 0,3346, ^ = 4,5993, й2 = 1,5349, d± =
= 0,3513, d2 = 1,6329. На рис. 7.9 представлены области /, //,
///. Таким образом, если параметры задачи со0, р0, w0 таковы, что
точка (t±, h) лежит в областях /, // или ///, то соответствующим
решением задачи оптимизации явятся функции G.13).
Рассмотрим теперь случай, когда параметры задачи таковы,
что соответствующая им точка (tu h) не принадлежит ни одной из
указанных областей. В этом случае согласно G.2) можно вычис-
вычислить величины уь построить квазиоптимальное решение и из G.3)
получить оценку близости этого решения к оптимальному по ми-
минимизируемому функционалу V.
Займемся получением абсолютных (не зависящих от парамет-
параметров о)о, /?0, Wo) оценок близости квазиоптимальных решений к оп-
оптимальным. Для этого построим области Rk согласно G.7). В дан-
данной задаче оказывается, что из всей совокупности векторов к
только векторам C, 3, 1), C, 3, 2), B, 1, 2) B, 3, 2) соответствуют
согласно G.7) непустые области R], (векторы к, у которых компо-
компоненты kt = ?, не рассматриваются). В плоскости ?х, U неравен-
неравенства G.7) определяют области Dx, Ь2, D3, D4
242

?4: *i<ba/bi» 6i<*2/*iOi-
Эти области показаны на рис. 7.9. Согласно G.6) для этих об-
областей имеем следующие абсолютные оценки:
= 1,00064,
(Л«) ' (о (h^ V (hi) '
¦ = 1,00046, (<!,«,)
Из приведенных оценок видно, что для любых неотрицатель-
неотрицательных значений параметров со0, /?0, w;0 квазиоптимальные решения
в данной задаче превышают оптимальные по значению минимизи-
минимизируемого функционала менее чем на 2,1%.
Таким образом, использование свойства однородности функ-
функционалов позволяет построить квазиоптимальные решения и по-
получить оценки близости оптимальных и квазиоптимальных ре-
решений по функционалу. Удобство квазиоптимальных решений
заключается в том, что по решению п более простых задач опти-
оптимизации с одним ограничением можно судить об оптимальном
решении задачи с п ограничениями. Методика построения квази-
квазиоптимальных решений может быть применена к задачам оптими-
оптимизации конструкций со многими ограничениями для таких
механических объектов, как стержни, балки, арки, пластинки и
оболочки, описываемые линейными дифференциальными уравне-
уравнениями с однородными граничными условиями, при этом ограни-
ограничения могут быть наложены на частоты собственных колебаний,
критические силы потери устойчивости, податливость, макси-
максимальные значения прогибов или напряжений.
243

ЛИТЕРАТУРА
1. Абгарян К, А. К теории балок минимального веса.— В кн.: Расчеты на
прочность. М.: Машгиз, 1962, вып. 8, с. 136—151.
2. Аннин Б. Д. Современные модели пластических тел. Новосибирск;
НГУ, 1975. 96 с.
3. Аннин Б. Д. Оптимальное проектирование упругих анизотропных
неоднородных тел. Третий национальный конгресс по теоретической и
прикладной механике. Болгария, Варна, 1977, с. 275—280.
4. Арман Ж.-Л. Приложения теории оптимального управления системами
с распределенными параметрами к задачам оптимизации конструкций.
М.: Мир, 1977. 142 с.
5. Арман Ж.-Л., Лурье К. А., Черкаев А. В. К решению задач оптимиза-
оптимизации собственных значений, возникающих при проектировании упругих
конструкций.— Изв. АН СССР. МТТ, 1978, № 5, с. 159—162.
6. Арутюнян Н. X., Абрамян Б. Л. Кручение упругих тел. М.: Физмат-
гиз, 1963. 686 с.
7. Ашкенази Е. К. Анизотропия машиностроительных материалов. Л.:
Машиностроение, 1969. 112 с.
8. Баничук Н. В. Расчет нагружения упруго-пластического тела.— Изв.
АН СССР. МТТ, 1969, № 1, с. 128-135.
9. Баничук Н. В. Об игровом подходе к задачам оптимизации упругих
тел.— ПММ, 1973, т. 37, вып. 6, с. 1098—1108.
10. Баничук II. В. Некоторые задачи оптимального проектирования балок
для классов сил.— Изв. АН СССР. МТТ, 1973, № 5, с. 102—110.
11. Баничук Н. В. Оптимизация устойчивости стержня с упругой задел-
заделкой.— Изв. АН СССР. МТТ, 1974, № 4, с. 150—154.
12. Баничук Н. В. Оптимальное проектирование в одномерных задачах
изгиба для фиксированных и подвижных нагрузок.— Изв. АН СССР.
МТТ, 1974, № 5, с. 113-123.
13. Баничук Н. В. Об оптимальных формах упругих пластин в задачах
изгиба.— Изв. АН СССР. МТТ, 1975, № 5, с. 180-188.
14. Баничук II. В. Об одной вариационпой задаче с неизвестной границей и
определении оптимальных форм упругих тел.— ПММ, 1975, т. 39, вып. 6.
с. 1082—1092.
15. Баничук Н. В. Определение оптимальных форм упругих криволинейных
стержней.— Изв. АН СССР. МТТ, 1975, № 6, с. 124—133.
16. Баничук Н. В. Об одной игровой задаче оптимизации упругих тел.—
ДАН СССР, 1976, т. 226, № 3, с. 497—499.
17. Баничук Н. В. Некоторые задачи оптимизации упругих конструкций.
Второй национальный конгресс по теоретической и прикладной механике
(Варна, 1973). София: Изд-во Болг. АН, 1976, т. 2, с 619—627.
18. Баничук Н. В. Об одной двумерной задаче оптимизации в теории круче-
кручения упругих стержней.— Изв. АН СССР. МТТ, 1976, № 5, с. 45—52.
19. Баничук Н. В. Задача оптимизации формы отверстия в пластинке,
работающей на изгиб.— Изв. АН СССР. МТТ, 1977, № 3, с. 81-88.
244

20. Баничук Н. В. Условия оптимальности в задаче отыскания форм отвер-
отверстий в упругих телах.— ПММ, 1977, т. 41, вып. 5, с. 920—925.
21. Баничук Н. В. Оптимизация формы и распределения ^модулей упругих
тел.— Труды 14-го югосл. конгр. по теорет. и прикл. механике. Порто-
рож, 1978, т. С, с. 319—326.
22. Баничук И. В. Об оптимальной анизотропии скручиваемых стержней.—
Изв. АН СССР. МТТ, 1978, № 4, с. 73—79.
23. Баничук И. В. Об одной задаче на экстремум для системы с распреде-
распределенными параметрами и определении оптимальных свойств упругой
среды.— ДАН СССР, 1978, т. 242, № 5, с. 1042—1045.
24. Баничук Н. В. Оптимизация анизотропных свойств деформируемых
сред в плоских задачах теории упругости.— Изв. АН СССР. МТТ,
1979, № 1, с. 71-77.
25. Баиичук Н. В., Картвелишвили В. М., Миронов А, А. Методы последо-
последовательной оптимизации для численного решения минимаксных задач
оптимального проектирования конструкций.— В кн.: Численные методы
нелинейного программирования: Тезисы II Всесоюз. семинара. Харьков,
1976, с. 54—59.
26. Баничук Н. В., Картвелишвили В. Л/., Миронов А, А, Численное ре-
решение двумерных задач оптимизации упругих пластин.— Изв. АН
СССР. МТТ, 1977, № 1, с. 68-78.
27. Баничук Н. В., Картвелишвили В. М., Миронов А, А. Задачи оптими-
оптимизации с локальными критериями качества в теории изгиба пластин.—
Изв. АН СССР. МТТ, 1978, № 1, с. 124—131.
28. Баничук И. В., Картвелишвили В. М., Миронов А. А. Об одном чис-
численном методе решения двумерных задач оптимизации в теории упруго-
упругости: Материалы V Всесоюз. конф. по численным методам решения задач
теории упругости и пластичности. Ч. 2. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР,
1978, с. 3-14.
29. Баничук //. В., Картвелишвили В. М., Черноусъко Ф. Л. О разностно-
квадратурных аппроксимациях выпуклых интегральных функциона-
функционалов.— ДАН СССР, 1976, т. 231, № 2, с. 269—272.
30. Баничук Н. В. Минимизация веса крыла при ограничении по скорости
дивергенции.— Учен. зап. ЦАГИ, 1978, т. 9, № 5.
31. Баничук Н. В., Миронов А. А. Оптимизация частот колебаний упругой
пластинки в идеальной жидкости.— ПММ, 1975, т. 39, вып. 5, с. 889—899.
32. Баничук Н. В., Миронов А. А. Оптимальное проектирование пластин
в динамических задачах гидроупругости.— Труды X Всесоюз. конф. по
теории оболочек и пластин. Тбшг си: Мецниереба, 1975, с. 35—44.
33. Баничук Н. В,, Миронов А, А, Задачи оптимизации пластин, колеблю-
колеблющихся в идеальной жидкости.— ПММ, 1976, т. 40, вып. 3, с. 520—527.
34. Баничук Я. 2?., Миронов А, А, Схема струйного обтекания для иссле-
исследования равновесных форм упругих пластин в потоке жидкости и задачи
оптимизации.— ПММ, 1979, т. 43, вып. 1, с. 83—90.
35. Биркгоф Г. Гидродинамика. М.: ИЛ, 1963. 244 с.
36. Бирюк В. И., Липин Е. К., Фролов В. М. Методы проектирования кон-
конструкций самолетов. М.: Машиностроение, 1977. 232 с.
37. Бирюк В. #., Моисеенко В. Л. О применении дискретно-непрерывного
принципа максимума к задачам оптимального проектирования конструк-
конструкций. — Учен. зап. ЦАГИ, 1973, т. 4, № 4.
38. Бисплингхофф Р. Л., Эшли X., Халфмен Р. Л. Аэроупругость. М.:
ИЛ, 1958. 800 с.
39. Б лисе Г. А. Лекции по вариационному исчислению. М.: ИЛ, 1950. 314 с.
40. Болотин В. В. Основные уравнения теории армированных сред.—
Механика полимеров, 1965, т. 1, № 2, с. 27—37.
41. Болотин В. В. Плоская задача теории упругости для деталей из армиро-
армированных материалов.— В кн.: Расчеты на прочность. М.: Машинострое-
Машиностроение, 1966, вып. 12, с. 3—31.
42. Брайсон Л., Хо-Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления.
М.: Мир, 1972. 544 с.

43. Брызгалин Г. И. К рациональному проектированию анизотропных
плоских тел со слабьш связующим.— Изв. АН СССР. МТТ, 1969, № 4,
с. 123-131.
44. Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распре-
распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. 568 с.
45. Вакуленко Л. Д., Мазалов В. Н. Оптимальное проектирование конст-
конструкций. Библиогр. указатель отеч. и иностр. литературы за 1948—
1974 гг. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1975, ч. I, II.
472 с.
46. Вигдергауз С. Б. Интегральное уравнение обратной задачи плоской
теории упругости.— ПММ, 1976, т. 40, вып. 3, с. 566—569.
47. Вигдергауз С. Б. Об одном случае обратной задачи двумерной теории
упругости.— ПММ, 1977, т. 41, вып. 5, с. 902—908.
48. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Паука,
1976. 528 с.
49. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат,
1953. 264 с.
50. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. М.: Физмат-
гиз. 1961. 228 с.
51. Голубев И. С. Аналитические методы проектирования конструкций
крыльев. М.: Машиностроение, 1970. 288 с.
52. Гольдштейн Ю. J3., Соломещ М. А. К оптимальному проектированию
балок при динамических нагрузках.— Строит, мех. и расчет сооруж.,
1968, № 4.
53. Григорович В. #., Соболев Н. Д., Фридман Я. Б. О наивыгоднейшем
направлении волокон в изделиях из анизотропных материалов.—
ДАН СССР, 1952, т. 86, № 4, с. 703-706.
54. Гринев В. Б., Филиппов А. П. Оптимальное проектирование конструк-
конструкций, имеющих заданные собственные частоты.— Прикладная механика,
1971, т. 7, вып. 10, с. 19—25.
55. Г ура Н. М. Оболочка максимальной жесткости, работающая на круче-
кручение.- Изв. АН СССР. МТТ, 1979, № 1.
56. Гура Н. М., Сейранян А. П. Оптимальная круглая пластинка при
ограничениях по жесткости и частоте собственных колебаний.— Изв.
АН СССР. МТТ, 1977, № 1, с. 138-145.
57. Гюнтер Н. М. Курс вариационного исчисления. М.; Л.: ОГИЗ ГИТЛ,
1941. 308 с.
58. Дубовицкий А. Б., Милютин А. А. Задачи на экстремум при наличии
ограничений.— Журн. вычислит, матем. и матем. физ., 1965, т. 5, № 3,
с. 395—453.
59. Жермен П. Механика сплошных сред. М.: Мир, 1965. 480 с.
60. Зоммерфелъд А. Механика деформируемых сред. М.: ИЛ, 1954. 487 с.
61. Иванов Г. М., Космодамианский А. С. Обратные задачи изгиба для
тонких изотропных пластин.— Изв. АН СССР. МТТ, 1974, № 5, с. 53—
56.
62. Иеги Э. М. Оптимальная конструкция и ее проектирование.— Труды
Таллинского политехи, ин-та, 1967, № 257, с. 63—85.
63. Ишлинскип А. Ю. О равнопрочном сечении балки.— Учен. зап. МГУ,
1940, вып. 39, с. 87—90.
64. Картвелишвили В. М. Численное решение двух контактных задач для
упругих пластин.— Изв. АН СССР. МТТ, 1974, № 6, с. 68—72.
65. Келдыш М. В. Конформное отображение многосвязных областей на
канонические области.— Успехи матем. наук, 1939, № 6.
66. Киселев В. А. Рациональные формы арок и подвесных систем. М.:
Госстройиздат, 1953.
67. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968.
68. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика.
М.: Мир, 1969. 448 с.
69. Комков В. Теория оптимального управления демпфированием колебаний
простых упругих систем. М.: Мир, 1975. 160 с.
246

70. Корнишин М. С., Александров М. А. Численный расчет гибких пластин
и пологих оболочек наименьшего веса при смешанных граничных усло-
условиях." Материалы V Всесоюз. конф. по численным методам решения
задач теории упругости и пластичности, ч. 2, Новосибирск: ВЦ СО АН
СССР, 1978, с. 76—81.
71. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.
476 с.
72. Красовский Н. Н. Теория оптимальных управляемых систем. Механика
в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1968, т. 1, с. 179-244.
73. Крейн М. Г. О некоторых задачах на максимум и минимум для характе-
характеристических чисел и о ляпуновских зонах устойчивости.— ПММ, 19511
т. 15, вып. 3, с. 323—348.
74. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 с.
75. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.: Гостехиз-
дат, 1951.
76. Курант Р. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные
поверхности. М.: ИЛ, 1953. 311 с.
77. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределен-
неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.
78. Куртин Л. М. К задаче об определении сечения стержня максимальной
крутильной жесткости.— ДАН СССР, 1975, т. 223, № 3, с. 585—588.
79. Куртин Л, М., Оноприенко 77. Я. Определение форм двусвязных сече-
сечений стержней максимальной крутильной жесткости.— ПММ, 1976,
т. 40, вып. 6, с. 1078—1084.
80. Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А. Курс вариационного исчисления.
М.; Л.: Гостехиздат, 1950. 296 с.
81. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их ма-
математические модели. М.: Наука, 1973. 416 с.
82. Лейбензон Л. С. Вариационные методы решения задач теории упругости.
М.: Гостехиздат, 1943.
83. Лепик Ю. Р. Применение принципа максимума Понтрягина в задачах
прочности, устойчивости и колебаний тонкостенных конструкций.—
В кн.: Механика. М.: Мир, 1974, № 6, с. 126—141.
84. Лепик Ю. Р. Применение принципа максимума Понтрягина для опти-
оптимального проектирования цилиндрических оболочек из жесткопластиче-
ского материала.— В кн.: Успехи механики деформируемых сред. М.:
Наука, 1975, с. 340—349.
85. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. 2-е изд. М.: Гостехиздат,
1957.
86. Лехницкий С Г. Кручение анизотропных и неоднородных стержней.
М.: Наука, 1971.
87. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука,
1977. 416 с.
88. Лионе Ж.— Л. Оптимальное управление системами, описываемыми урав-
уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 414 с.
89. Литвинов В. Г. Некоторые вопросы оптимизации пластин и оболочек. —
Прикладная механика, 1972, т. 8, № И, с. 33—42.
90. Литвинов В, Г. Некоторые обратные задачи для изгибаемых пластин.—
ПММ, 1976, т. 40, вып. 4, с. 682-691.
91. Ломакин В, А, Теория упругости неоднородных тел. Изд-во МГУ,
1976. 368 с.
92. Лурье А. И, О малых деформациях тонких криволинейных стержней.—
Труды Ленингр. политехи, ин-та им. М. И. Калинина, 1951, № 3.
93. Лурье А. И, Применение принципа максимума к простейшим задачам
механики.— Труды Ленингр. политехи, ин-та. Л.; М.: Машиностроение,
1965, № 252, с. 34-46.
94. Лурье А. И, Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.
95. Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики.
М.: Наука, 1975. 480 с.
96. Лурье К. А., Черкаев А. В. О применении теоремы Прагера к задаче
247

оптимального проектирования тонких пластин.— Изв. АН СССР. МТТ,
1976, № 6, с. 157—159.
97. Малмеистер А. К., Тамуж В. Я., Тетере Г. А. Сопротивление жест-
жестких полимерных материалов. Рига: Зинатне, 1967.
98. Марченко В. М. Температурные поля и напряжения в конструкциях
летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1965.
99. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.:
Наука, 1970. 512 с.
100. Моисеев II. Я. Численные методы в теории оптимальных систем. М.:
Наука, 1971. 424 с.
101. Мусхелишвили II. И. Некоторые основные задачи математической теории
упругости. М.: Наука, 1954. 648 с.
102. Муштари X. А. К теории изгиба прямоугольной пластинки переменной
толщины.— Инж. журн., 1964, т. 4, вып. 1, с. 45—49.
103. Муштари X. А, Теория изгиба пластинок минимального веса из компо-
композитного материала.— Прикладная механика, 1967, т. 3, № 4, с. 1—7.
104. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука,
1969. 528 с.
105. Немировский Ю. В, Рациональное проектирование армированных кон-
конструкций с точки зрения прочности и устойчивости.— Всесоюз. межвуз.
сб. «Прикладные проблемы прочности и пластичности». Горький, 1977,
вып. 6, с. 70—80.
106. Николаи Е. Л. Труды по механике. М., Гостехиздат, 1955. 584 с.
107. Николаи Е. Л. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонн.—
Изв. Петербург, политехи, ин-та, 1907, т. 8.
108. Образцов И. Ф., Васильев В. В. Некоторые вопросы расчета и проекти-
проектирования оптимальных конструкций из ориентированных стеклопласти-
стеклопластиков.— Труды Моск. авиац. ин-та, 1971, вып. 180, с. 201—216.
1U9. Образцов И. Ф., ВасилъеётВ. В., Бунаков В. А. Оптимальное армирова-
армирование оболочек вращениягтга композиционных материалов. М.: Машино-
Машиностроение, 1977. 144 с.
110. Полиа Г., Сегё Г. Изопериметрические неравенства в математической
физике. М.: Физматгиз, 1962. 336 с.
111. Ионтрягин Л. С, Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. 2?., Мищенко
Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука,
1969. 384 с.
112. Прагер В. Основы теории оптимального проектирования конструкций.
М.: Мир, 1977. 111 с.
ИЗ. Рабинович И. М. К теории статически неопределимых ферм. М.: Транс-
желдориздат, 1933.
114. Рабинович Я. М. Стержневые системы минимального веса.— В кн.:
Труды II Всесоюз. съезда по теоретической и прикладной механике:
Обзорные доклады. М.: Наука, 1966, вып. 3, с. 265—275.
115. Радциг Ю. А. Статически неопределимые фермы наименьшего веса.
Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1969. 287 с.
116. Ржаницын А. Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств
материалов. Стройвоенмориздат, 1949.
117. Ржаницин А. Р. Устойчивость равновесия упругих систем. М.: Гостех-
Гостехиздат, 1955.
118. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наук,
думка, 1968. 887 с.
119. Савин Г. Я. Концентрация напряжений около отверстий. М.; Л.:
Гостехтеоретиздат, 1951. 496 с.
120. Самсонов А. М. Оптимальное положение упругого тонкого ребра на
упругой пластинке.— Изв. АН СССР. МТТ, 1978, № 1, с. 132—138.
121. Сейранян А. П. Упругие пластины и балки минимального веса при
наличии нескольких видов изгибающих нагрузок,— Изв. АН СССР.
МТТ, 1973, № 5, с. 95-101.
122. Сейранян А. П. Оптимальное проектирование балок при ограничениях
по прогибам.— Изв. АН АрмССР. Механика, 1975, № 6, с. 24—33.
248

123. Сейранян А, Я. Оптимальное проектирование балки с ограничениями
на частоту собственных колебаний и силу потери устойчивости.— Изв.
АН СССР. МТТ, 1976, № 1, с. 147-152.
124. Сейранян А. Я. Квазиоптимальные решения задачи оптимального
проектирования с различными ограничениями.— Прикладная механика,
1977, № 6, с. 18—26.
125. Сейранян А. Я. Исследование экстремума в оптимальной задаче о
колебаниях круглой пластинки.— Изв. АН СССР. МТТ, 1978, № 6,
с. 113-118.
126. Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. М.:
Физматгиз, 1961. 518 с.
127. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 4, ч. 1. М.: Наука, 1974.
336 с.
128. Тимошенко С. Я. Расчет упругих арок. М.: Госстройиздат, 1933. 124 с.
129. Тимошенко С. Я. История науки о сопротивлении материалов. М.:
Гостехтеоретиздат, 1957. 536 с.
130. Тимошенко С. Я., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.:
Наука, 1966. 636 с.
131. Тимошенко С. Я., Гудьер Д. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 576 с
132. Тимошенко С. Я. Прочность и колебания элементов конструкций. М.:
Наука, 1975. 704 с.
133. Троицкий В. А. Оптимизация упругих стержней при свободных колеба-
колебаниях.— Изв. АН СССР. МТТ, 1976, № 3, с. 145-152.
134. Троицкий В. А. Оптимальные процессы колебаний механических сис-
систем. Л.: Машиностроение, 1976. 248 с.
135. Украинцев Г. Z?., Фролов В. М. Метод оптимизации силовой конструк-
конструкции крыла по жесткости при варьировании распределением относитель-
относительной толщиной профиля.— Учен. зап. ЦАГИ, 1972, т. 3, № 4.
136. У майский А. А. Строительная механика самолета. М.: Оборонгиз, 1961.
530 с.
137. Феодосьев В. И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материа-
материалов. М.: Наука, 1973. 400 с.
138. Филин А. Я., Гуревич А. Я. Применение вариационного исчисления
к отысканию рациональной формы конструкции.— Труды Ленингр.
ин-та инж. ж.-д. трансп., 1962, вып. 190, с. 161—187.
139. Филин Л. Я., Соломещ М. А., Голъдштейн Ю. Б. Классическое вариа-
вариационное исчисление и задача оптимизации упругих стержневых систем.—
В кн.: Исследование по теории сооружений. М.: Стройиздат, 1972,
вып. 19, с. 156—163.
140. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехтеоретиздат,
1956. 407 с.
141. Хилл Р. Упругие свойства составных сред; некоторые теоретические
принципы.— Механика: периодич. сб. переводов ин. статей, 1964, № 5,
с. 127—143.
142. Ченцов Я. Г. Стойки наименьшего веса.— Труды ЦАГИ, 1936, вып. 265,
с. 1—48.
143. Черепанов Г. Я. Некоторые задачи теории упругости и пластичности с
неизвестной границей.— В кн.: Приложение теории функции в механике
сплошной среды. М.: Наука. 1965, т. 1.
144. Черепанов Г. Я. Обратные задачи плоской теории упругости.— Прикл.
матем. и мех., 1974, т. 38, вып. 6, с. 963—979.
145. Черноусько Ф. Л. Метод локальных вариаций для численного решения
вариационных задач.— Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1965, т. 5,
№ 4, с. 749-754.
146. Черноусько Ф. Л. Некоторые задачи оптимального управления с малым
параметром.— Прикл. матем. и мех., 1968, т. 32. вып. 1, с. 15—26.
147. Черноусъко Ф. Л. Некоторые оптимальные конфигурации ветвящихся
стержней.— Изв. АН СССР. МТТ, 1979, № 3.
148. Черноусъко Ф. Л., Баничук Я. В. Вариационные задачи механики и
управления: Численные методы. М.: Наука, 1973. 238 с.
249

149. Черноусъко Ф. Л"., Колмаповский В. Б. Вычислительные и приближен-
приближенные методы оптимального управления.— В кн.: Итоги науки и техники.
Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1977, т. 14.
150. Черноусъко Ф. Л., Меликян А. А. Игровые задачи управления и поиска.
М.: Наука, 1978. 271 с.
151. Чирас А. А. Теория оптимизации в предельном анализе твердого дефор-
деформируемого тела. Вильнюс: Минтис, 1971. 123 с.
152. Шатровский Л. И. Об одном численном методе решения задачи опти-
оптимального управления.— Жури, вычислит, матем. и матем. физ., 1962,
т. 2, № 3, с. 488—491.
153. Шерман Д. И. К вопросу о напряженном состоянии междукамерных
целиков. Упругая весомая среда, ослабленная отверстиями эллиптиче-
эллиптической формы. II.— Изв. АН СССР. ОТН, 1952, № 7, с. 992—1010.
154. Шерман Д. И. Про один метод разв'язання деяких задач кручення,
згину i плоско'1 теори пружност1 для неоднозв'язних областей.—Прикл.
мех., 1957, т. 3, вып. 4, с. 363—377.
155. Шерман Д. И. Об одном способе рассмотрения краевых задач теории
функций и двумерных задач теории упругости.— В кн.: Механика
сплошной среды и родственпые проблемы анализа. М.: Наука, 1972,
с. 635—665.
156. Шермергор Т. Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.:
Наука, 1977. 400 с.
157. Энеев Т. М. О применении градиентного метода в задачах теории опти-
оптимального регулирования.— Космические исследования, 1966, т. 4, № 5.
158. Armand J.-L. Minimum-mass design of a plate-like structure for specified
fundamental frequency.—AIAA Journal, 1971, vol. 9, N 9, p. 1739—1745.
159. Armand J.-L. Applications of optimal control theory to structural optimi-
optimization: analytical and numerical approach.— In: Proceedings of IUTAM
Symposium on Optimization in Structural Design. Warsaw, 1973. Berlin:
Springer — Verl., 1975, p. 15—39.
160. Ashley H., Mclntosh S. C, Jr. Applications of aeroelastic constraints in
structural optimization.— In: Proceedings of the 12th International
Congress of Applied Mechanics. Stanford University 1968. Berlin: Springer-
Verl., 1969, p. 100—113.
161. Banichuk N. V. Game problems in the theory of optimal design.— In:
Proceedings of IUTAM Symposium on Optimization in Structural Design.
Warsaw, 1973. Berlin: Springer-Verl., 1975, p. 111—121.
162. Banichuk N. V. Optimization of elastic bars in torsion.— Int. J. Solids
and Struct., 1976, vol. 12, N 4, p. 275—286.
163. Banichuk N. V. Minimax approach to the structural optimization prob-
problems.— J. Optimiz. Theory and Appl., 1976, vol. 20, N 1, p. 111—127.
164. Banichuk N. V., Karihaloo B. L. Minimum-weight design of multi-
multipurpose cylindrical bars.— Ini. J. Solids and Stiuct. 1970, vol. 12, N 4,
p. 267—273.
165. Banichuk N. V., Karihaloo B. L. On the solution of optimization prob-
problems with singularities.— Int. J. Solids and Struct., 1977, vol. 13, N 8,
p. 725—733.
166. Barnett R. L. Survey of optimum structural design.— Exp. Mech., 1966,
vol. 6, N 12, p. 19-26.
167. Barnett R. L. Minimum-weight design of beams for deflection.— Proc.
ASCE. J. Engng Mech. Div., 1961, vol. 87, N 1, p. 75—109.
168. Barnett R. L. Minimum deflection design of a uniformly accelerating
cantilever beam.— J. Appl. Mech. Trans. ASME, 1963, vol. 30, N 3,
p. 466-467.
169. Blasius H. Trager kleinster Durchbeigung und Stabe grosster Knickfestig-
keit bei gegebenem Materialverbrauch.— Z. Math, und Phys., 1914, vol. 62,
p. 182-197.
170. Budiansky В., Frauenthal J. C, Hutchinson J. W. On optimal arches.—
J. Appi. Mech. Trans. ASME, 1969, vol. 36, N 4, p. 239—240.
250

171. Clausen T. Ober die Formarchitektonischer Saulen.— Bull, phys.-math.
Acad. St.-Peterbourg, 1851, т. 9, p. 279—294.
172. Frauenthal J. C. Constrained optimal design of circular plates against
buckling.— J. Struct. Mech., 1972, vol. 1, p. 159—186.
173. Galilei G. Discorsi e dimonstrazioni matematiche. Leiden, 1638.
174. Gurvitch E. L. On isoperimetric problems for domains with partly known
boundaries.— J. Optimiz. Theory and Appl., 1976, vol. 20, N 1, p. 65—79.
175. Hashin Z. Theory of mechanical behaviour of heterogeneous media.—
Appl. Mech. Revs, 1964, vol. 17, N 1.
176. Hashin Z. On elastic behaviour of fibre reinforced materials of arbitrary
transverse phase geometry.— J. Mech. and Phys. Solids, 1965, vol. 13, N 3.
177. Hashin Z., Rosen B. W. The elastic moduli of fiber-reinforced materials.—
J. Appl. Mech., 1964, vol. 31, N 2.
178. Hegemier G. A., Tang H. T. A variational principle, the finite element
method, and optimal structural design for given deflection.— In: Proce-
Proceedings of IUTAM Symposiumon Optimization in Structural Design. Waisaw
1973. Berlin: Springer-Verl., 1975, p. 464—483.
179. Hoff N. J. Approximate analysis of the reduction in torsional rigidity and
of the torsional buckling of solid wings under thermal stresses.— J. Aero-
Aeronaut. Sci., 1956, vol. 23, N 6, p. 603—604.
180. Huang N. С Optimal design of elastic beams for minimum-maximum
deflection.— J. Appl. Mech., 1971, N 4.
181. Huichinson J. W., Niordson F. I. Designing vibrating membranes.—
В кн.: Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М.:
Наука, 1972, с. 581-590.
182. Karihaloo В. L., Niordson F. I. Optimum design of vibrating cantile-
cantilevers.— J. Optimiz. Theory and Appl., 1973, vol. 11, N 6, p. 638—654.
183. Karihaloo B. L., Niordson F. I. Optimum design of circular shaft in for-
forward precession.— In: Proceedings of IUTAM Symposium on Optimization
in Structural Design. Warsaw, 1973. Berlin: Springer-Verl., 1975, p. 142—
151.
184. Keller /. B. The shape of the strongest column.— Arch. Rational Mech.
and Anal., 1960, vol. 5, N 4, p. 275—285.
185. Keller /. В., Niordson F. I. The tallest column,— J. Math, and Mech.,
1966, vol. 16, N 5, p. 433—446.
186. Klosowicz B. Sur la nonhomogeneite optimal d'une barre tordue.— Bull.
Acad. polon. sci. ser. sci. techn., 1970, vol. 18, N 8, p. 611—615.
187. Klosowicz В., Lurie K. A. On the optimal nonhomogeneity of torsional
elastic bar.— Arch. Mech., Warszawa, 1971, vol. 24, N 2, p. 239—249.
188. Lagrange J. L. Sur la figure des colonnes. Miscellanea Taurinensia, 1770—
1773, t. 5.
189. Lepik U. Application of Pontryagin's maximum principle for minimum
weight design of rigid — plastic circular plates.— Int. J. Solids and
Struct., 1973, vol. 9, p. 615—624.
190. Lepik U. Minimum weight design of circular plates with limited thick-
thickness.— int. J. Non-Linear Mech., 1972, vol. 7, N 4, p. 353—360.
191. Lepik U. Optimal design of beams with minimum compliance.— Int. J.
Non-Linear Mech., 1978, vol. 13, p. 33—42.
192. Majerczyk-Gomulkowa /., Mioduchowski A. Optymalna niejednorodnosc
plastyczna skreconcgo preta ze wzgledu na nosnosc graniczna.— Rozpr.
inz., 1969, vol. 17, N 4, p. 583—599.
193. Mansfield E. H. Optimum tapers of eccentrically loaded ties.— J. Roy.
Aeronaut. Soc, 1967, vol. 71, N 681, p. 647—650.
194. Martin J. B. Optimal design of elastic structures for multi-purpose loa-
loading.— J. Optimiz. Theory and Appl., 1970, vol. 6, N 1, p. 22—40.
195. Masur E. F. Optimum stiffness and strength of elastic structures.— ASCE
J. Engr. Mech. Div., 1970, vol. 96, N 5, p. 621-640.
196. Masur E. F. Optimality in the presence of discreteness and discontinuity.—
In: Proceedings of IUTAM Symposium on Optimization in Structural De-
Design. Warsaw 1973. Berlin: Springer-Verl, 1975, p. 441—453.
251

197. Maxwell С. Scientific Paper. Cambridge Univ. Press, 1980, Vol. 2,
p. 175—177.
198. Mclntosh S. C, Eastep F. E. Design of minimum-mass structures with
specified stiffness properties.— AIAA Journal, 1968, Vol. 6, p. 962—964.
199. Michell A. G. M. The limits of economy of material in framestructures.—
Phil. Mag., 1904, vol. 8, N 47.
200. Michell A. J. M., Melbourne M. С S. The limits of economy of mate-
material.— Phil. Mag. Ser. 6, 1904, vol. 8, p. 589—597.
201. Miele A. Drag minimization as the extremization of products of powers
of integrals.— В кн.: Проблемы гидродинамики и механики сплошной
среды. М.: Наука, 1969, с. 311—316.
202. Mroz Z. Optimal design of elastic structures subjected to dynamic harmo-
harmonically-varying loads.— ZAMM, 1970, Vol. 50*, N 5, p. 303—309.
203. Mroz Z., Taylor J. E. Pre-stress for maximum strength.— Int. J. Solids
and Struct., 1973, vol. 9, N 12, p. 1535—1541.
204. Mroz Z., Shamieu F. G. On optimal design of reinforced annular slabs.—
Arch. Inz. Lad., 1970, vol. 16, N 4, p. 575-584.
205. Neuber II. Der Zugbeanspruchte Flacnstab mit Optimalen Querschnitts-
ubergand.— Forsch. Ingenieurw., 1969, Bd. 35, p. 29—30.
206. Neuber H. Zur Optimierung der Spannungskonzentration.— В кн.: Меха-
Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М.: Наука,
1972, с. 375—380.
207. Niordson F. I. On the optimal design of a vibrating beam.— Quart. Appl.
Math., 1965, vol. 23, N 1, p. 47—53.
208. Niordson F. /., Pedersen P. A review of optimal stiuctural design Proc.
13th Internat. Congr. Theoiet. and Appl. Mecb. Mcscow University, 1972.
Berlin: Springer, 1973, p. 264—278.
209. Olhoff N. Optimal design of vibrating circular plates.— Int. J. Solids and
Struct., 1970, Vol. 6, N 1, p. 139-156.
210. Olhoff N. Optimal design of vibrating rectangular plates.— Int. J. Solids
and Struct., 1974, vol. 10, N 1, p. 93—109.
211. Olhoff N. On singularities, local optima and formation of stiffeners in
optimal design of plates.— In: Proceedings of IUTAM Symposium on
Optimization in Structural Design. Wai saw 1973. Berlin: Springer-Verl.,
1975, p. 82—103.
212. Olhoff N., Rusmussen S. H. On single and bimodal optimum buckling
loads of clamped columns.— Int. J. Solids and Struct, 1977, vol. 13,
p. 605-614.
213. Onat E. Г., Shumann W., Shield R. T. Design of circular plates for mi-
minimum weight.— ZAMP, 1957, vol. 8, N 6, p. 485—499.
214. Pedersen P. Optimal joint positions for space trusses.— J. Struct. Div.
Proc. Amer. soc. civ. eng., 1973, vol. 99, N ST12, p. 2459—2476.
215. Pierson B. L. A suivey of optimal stiuctural design under dynamic const-
constraints.— Int. J. Numer. Meth. Eng., 1972, vol. 4, p. 491—499.
216. Pierson B. L. An optimal control approach to minimum weight vibrating
beam design.— J. Stiuct. Mech., 1977, vol. 5, p. 147—148.
217. Polya G. Liegt die Stello der grosstcn Beanspruchung an der Oberflache? —
Z. angew. Math, und Mech., 1930, Bd. 10, N 4, p. 353—360.
218. Polya G. Torsional rigidity, principal frequency, electrostatic capacity
and symmetrization.— Quart. Appl. Math., 1948, vol. 6, N 3.
219. Prager W. Optimality criteria in structural design.— Proc. Nat. Acad.
Sci. USA, 1968, vol. 61, N 3, p. 794—796.
220. Prager W. Optimization of structural design.— J. Optimiz. Theory and
Appl., 1970, vol. 6, N 1, p. 1—21.
221. Prager W. Optimal thermoelastic design for given deflection.— Int. J.
Mech. Sci., 1970, vol. 12, p. 705—709.
222. Prager W., Shield R. T. Optimal design of multi-purpose structures.—
Int. J. Solids and Struct., 1968, vol. 4, N 4, p. 469—475.
223. Prager W., Taylor J. E. Problems of optimal structural design.— J.
Appl. Mech. Trans. ASME, 1968, vol. 35, N 1, p. 102-106.
252

224. Prandtl L. Anwendungsbeispiele zu einem Henckyschen Satz fiber dai
plastische Gleichgewicht. — Z. angew. Math, und Mech., 1923, Bd. 3, N 6.
225. Save M. A. Some aspects of minimum-weight design. Enginnering
plasticity / Ed. by J. Heyman, F. A. Leckie. Cambridge: Univ. Press,
1968, p. 611-626.
226. Save M.^ Prager W. Minimum-weight design of beam subjected to fixed
and moving loads.— J. Mech. and Phys. Solids, 1963, vol. 11, N 4,
p. 255-267.
227. Seyranian A. P. Homogeneous functionals and structural optimization
problems.— Int. J. Solids and Struct., 1979, vol. 15, N 4.
228. Sheu C. Y. Elastic minimum-weight design for specified fundamental
frequency.—Int. J. Solids and Struct., 1968, vol. 4, N 10, p. 953—958.
229. Sheu С. У., Prager W. Recent developments in optimal structural de-
design.— Appl. Mech. Rev., 1968, vol. 21, N 10, p. 985—992.
230. Shield Я. T. Optimum design methods for multiple loading.— ZAMP,
1963, vol. 14, p. 38—45.
231. Shield R. T. Optimum design of structures through variational princip-
principles.— Lect. Notes Phys., 1973, Bd. 21, N 1.
232. Shield R. Г., Prager W. Optimal structural design for given deflection.—
ZAMP, 1970, vol. 21, N 2.
233. Tadjbaksh /., Keller /. B. Strongest columns and isoperimetric inequali-
inequalities for eigenvalues.— J. Appl. Mech., 1962, vol. 29, N 1, p. 159—164.
234. Taylor J. E. Minimum mass bar for axial vibration at specified natural
frequency.— AIAA Journal, 1967, vol. 5, N 10, p. 1911—1913.
235. Taylor J. E. The stronges column, an energy approach.— J. Appl. Mech.
Trans. ASME, 1967, vol. 34, N 2, p. 486—487.
236. Taylor /. E. Optimum design of a vibrating bar with specified minimum
cross section.— AIAA Journal, 1968, vol. 6, p. 1379—1381.
237. Turner M. J. Design of minimum mass structures with specified natural
frequences.— AIAA Journal, 1966, vol. 5, N 3, p. 406—412.
238. Tvergaard 7. On the optimum shape of a fillet in a flat bar with restricti-
restrictions.— In: Proceedings of IUTAM Symposium on Optimization in Structu-
Structural Design, Warsaw 1973. Berlin: Springer-Verl., 1975, p. 181 — 195.
239. Valentine F. A. The problem of Lagrange with differential inequalities as
added side conditions. Contiibution to the calculus of variations, 1933—
1937. Chicago: Univ. Chicago Press, 1937, p. 4 3—447.
240. Wasiutynski Z. On the equivalence of design principles: minimum pa»
tential-constant volume and minimum volume — constant potential.—
Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. techn., 1966, vol. 14, N 9, p. 883—885.
241. Wasiutynski Z. On the criterion of minimum deformability design of
elastic structures; effect of own weight of material.— Bull. Acad. pol.
sci. Ser. sci. techn., 1966, vol. 14, N 94 p. 875—878.
242. Wasiutynski Z. On the congruency of the forming according to the mini-
minimum potential energy with that according to the equal strength.— Bull.
Acad. pol. sci. ser. sci. techn., 1960, vol. 8, N 6, p. 259—268.
243. Wasiutynski Z., Brandt A. The present state of knowledge in the field
optimum design of structures.— Appl. Mech. Revs, 1963, vol. 16, N 5,
p. 341-350.
244. Weisshaar T. A. Optimization of simple structures with highermode
frequency constraints.— AIAA Journal, 1972, vol. 10, p. 691—693.
245. Wheeler L. On the role of constant-stress surfaces in the problem of mini-
minimizing elastic stress concentration.— Int. J. Solids and Struct., 1976,
vol. 12, N 11, p. 779—789.
246. Wu С. Н. The strongest circular arch-a perturbation solution.— J. Appl.
Mech. Trans. ASME, 1968, vol. 35, N 3, p. 476—480.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 4
Глава первая
О постановках и методах исследования задач оптимизации конструкций
§ 1. О постановках задач оптимизации конструкций И
§ 2. Основные функционалы 15
§ 3. Основные и вспомогательные управляющие функции .... ~0
§ 4. Использование вариационных принципов теории упругости
для исключения дифференциальных связей 25
§ 5. О приведении к задачам с интегральными функционалами. . 30
§ 6. Необходимые условия оптимальности 35
§ 7. Условия экстремума для задач с неаддитивными функционала-
функционалами 41
§ 8. Задачи с неизвестными границами 45
§ 9. Двойственные задачи 50
§ 10. Применение численных методов для решения задач оптималь-
оптимального проектирования 54
Глава вторая
Одномерные задачи оптимизации
§ 1. Некоторые задачи оптимизации при изгибе балок 63
§ 2. Оптимизация устойчивости упругих стержней 75
§ 3. Оптимальные конфигурации ветвящихся стержней 80
§ 4. Проектирование оптимальных криволинейных стержней ... 85
§ 5. Оптимизация неравномерно нагретых и предварительно напря-
напряженных стержней 93
Глава третья
Оптимальное проектирование упругих пластин
(управление коэффициентами уравнений)
§ 1. Пластинки максимальной жесткости. . 101
§ 2. Численное отыскание оптимальных распределений толщин
сплошных пластинок 106
§ 3. Оптимальные по жесткости трехслойные пластинки 112
§ 4. Пластинки максимальной прочности 116
§ 5. Об оптимальном подкреплении пластинок 119
Глава четвертая
Задачи оптимизации с неизвестными границами в теории упругости
(управление границами области)
§ 1. Задача максимизации жесткости стержня при кручении . . . 123
§ 2. Определение оптимальных форм поперечных сечений скручи-
скручиваемых стержней 127
254

§ 3. Кручение кусочно-однородных стержней и задачи оптималь-
оптимального армирования 133
§ 4. Минимизация концентрации напряжений в упругих пластинках
с отверстиями 140
§ 5. Определение форм равнонапряженных отверстий 147
§ 6. Оптимизация формы отверстий в пластинках, работающих на
изгиб 153
Глава пятая
Оптимизация анизотропных свойств упругих тел
§ 1. О постановках задач оптимизации анизотропных тел .... 159
§ 2. Об одной задаче на экстремум, связанной с вращением матрицы 162
§ 3. Об оптимальной анизотропии скручиваемых стержней .... 166
§ 4. Оптимизация анизотропных свойств упругой среды в плоских
задачах теории упругости 169
§ 5. Расчет оптимальных анизотропных характеристик упругих
тел 175
§ 6. Замечания о выборе формы анизотропных тел и задачах сов-
совместной оптимизации формы и ориентации осей анизотропии 178
Глава шестая
Оптимальное проектирование в задачах гидроупругости
§ 1. Определяющие уравнения для пластинок, колеблющихся в идеаль-
идеальной жидкости 181
§ 2. Задача оптимизации частот колебаний 187
§ 3. Определение реакции жидкости при плоскопараллельных дви-
движениях жидкости и пластинки 190
§ 4. Отыскание оптимальных форм колеблющихся пластин .... 192
§ 5. Пластинка в потоке идеальной жидкости. Максимизация ско-
скорости дивергенции 197
§ 6. Схема струйного обтекания для исследования равновесных
форм упругих пластин и задача оптимизации 200
Глава седьмая
Оптимальное проектирование при неполной информации о внешних
воздействиях. Вопросы многоцелевой оптимизации
§ 1. О постановках задач оптимизации в условиях неполноты ин-
информации ?08
§ 2. Проектирование балок минимального веса для классов нагру-
нагрузок при ограничениях по прочности 211
§ 3. Оптимизация жесткости балок 217
§ 4. Проектирование пластинок для классов сил 222
§ 5. Оптимизация стержней, работающих на кручение и изгиб. Мно-
Многоцелевые задачи 226
§ 6. Круглая пластинка минимального веса при ограничениях по
жесткости и частоте собственных колебаний 233
§ 7. О построении квазиоптимальных решений в задачах многоце-
многоцелевого проектирования 237
Литература 244

НИКОЛАЙ ВЛАДИМИРОВИЧ
БАНИЧУК
ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМ
УПРУГИХ ТЕЛ
Утверждено к печати
Институтом проблем механики
АН СССР
Редактор издательства М. Г. Макаренко
Художник М- И. Эльцуфен
Художественный редактор Н. Н. Власик
Технические редакторы Т. С. Жарикова и О. Г. Ульянова
корректоры Л. В. Лукичева, И. А. Талалай
ИБ № 17422
Сдано в набор 12.11.79.
Подписано к печати 21.03.80-
Т-07306. Формат 60Х90»/и
Бумага типографская JSfo 2
Гарнитура обыкновенная
Печать высокая
Усл. печ. л. 16 Уч.-изд. л. 17,7
Тираж 2100 экз. Тип- Зак. 2515
Цена 1 р. 90 к.
издательство «Наука»
117864 ГСП-7, Москва, В-485, Профсоюзная ул., 90
2-я типография издательства «Наука»
121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 10