Уравнения в частных производных для инженеров - Шарма Дж.Н., Сингх К.

Автор: Шарма Дж.Н. Сингх К.
Теги: дифференциальное исчисление уравнения дифференциальные уравнения
ISBN: 5-9436-004-0
Год: 2002
Похожие
Дифференциальные уравнения в частных производных.
Дифференциальные уравнения в частных производных
Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации
Метод конечных элементов для уравнений с частными производными.
Текст
                    ЕМАТИ
Дж.Н. ШАРМА, К. СИНГХ
Уравнения в
частных
производных
для инженеров
Перевод с английского
Б.В. Карпова
под редакцией А. Г. Кюркчана
ТЕХНОСФЕРА
Москва
2002

1^ Н. Шарма, К. Сишх
Сравнения втастных производных дняннженёрвь
)4осква:
Техносфера, 2002. - 320с.
Основное содержание книги, посвященной методам и приемам решения
равнений в частных производных, дополнено главой по интефальным уравнениям.
Отличительная черта пособия — необходимый минимум теоретического материала
гри множестве примеров, снабженных подробными решениями. В конце каждой
лавы предлагаются различные упражнения, на основные из них дается ответ
Издание представляет собой хороший учебник по уравнениям с частными
[роизводными и интефальным уравнениям для студентов старших курсов
гнженерных спещ4альностей, аспирантов, инженеров-исследователей — для всех,
нающих математический анализ, ряды Фурье, имеющих некоторое понятие об
быкновенных дифференциальных уравнениях и о специальных функциях. Книга
iyaer полезна студентам и аспирантам математических и физических специальностей
дя первого знакомства с предметом.
J.N. Siianna Kehu Smgh
Partial Differential Equations
for
Engineers and Scientists
Narosa Publishing House
.New Delhi Chennsi Mombat CaloMia
Originally published in English as
PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
FOR ENGINEERS AND SCIENTISTS
© 2000 by Narosa Publishing House,
New Delhi - 110 002. AU Rights Reserved
© 2002, ЗАО «РИЦ «Техносфера»
перевод на русский язык, оригинал-
макет, оформление.
BN 5-94836-004-0

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава 1.
Уравнения в частных производных первого порядка 9
1.1. Введение 9
1.2. Уравнения в частных производных первого порядка от
двух независимых переменных 10
1.3. Составление уравнений в частных производных первого
порядка 11
1.4. Решение линейного уравнения первого порядка
(метод Ла1'ранжа) 14
1.5. Интегральные поверхности, проходящие через данную
кривую 19
1.6. Поверхности, ортогональные данному семейству
поверхностей 23
1.7. Совместность уравнений в частных производных первого
порядка 25
1.8. Классификация репюний уравнений в частных
производных первого порядка . .* 31
1.9. Решение нелинейных уравнений в частных производных
первого порядка 35
1.9.1. Метод Лагранжа-Шарпи 35
1.9.2. Метод Якоби 39
1.9.3. Специальные тины уравнений первого порядка 41
1.9.4. Метод характеристик Коши 47
Упражнения 55
Глава 2.
Уравнения в частных производных второго порядка 60
2.1. Один из источников уравнений второго порядка 60
2.2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 63
2.3. Методы решения линейных уравнений 66
2.3.1. Решение вполне приводимых уравнений 66
2.3.2. Рептение уравнений, не являющихся вполне
приводимыми 69
2.3.3. Правила нахождения дополняющих функций 70

Оглавление
2.3.4. Правила нахождения частных решений 72
2.4. Классификация уравнений в частных производных
второго порядка 78
2.4.1. Канонические формы 79
2.5. Сопряженные операторы 85
2.5.1. Метод Римана 88
2.6. Нелинейные уравнения второго порядка (метод Монжа)... 97
Упражнения 104
Глава 3.
Уравнения гиперболического типа 108
3.1. Волновое уравнение 108
3.2. Вывод одномерного волнового уравнения 108
3.3. Приведение одномерного волнового уравнения к
канонической форме и его решение 112
3.4. Решение Даламбера одномерного волнового уравнения .... 113
3.5. Метод разделения переменных 117
3.6. Метод собственных функций 124
3.7. Единственность решения волнового уравнения 128
3.8. Принцип Дюамеля для волнового уравнения 130
3.9. Двумерное волновое уравнение 131
Упражнения 134
Глава 4.
Уравнения параболического типа 138
4.1. Вывод уравнения диффузии 138
4.2. Граничные условия 140
4.3. Метод разделения неременных 141
4.4. Уравнение диффузии в цилиндрических координатах 146
4.5. Уравнение диффузии в сферических координатах 148
4.6. Проблемы линии передачи 157
4.7. Принцип экстремума 160
4.7.1. Теорема единственности 162
4.8. Различные примеры 162
Упражнения 168
Глава 5.
Уравнения эллиптического типа 173
5.1. Уравнения Лапласа и Пуассона 173
5.1.1. Вывод уравнения Лапласа 173
5.1.2. Вывод уравнения Пуассона 175

Оглавление 5j|
5.1.3. Основные свойства гармонических функций 176
5.2. Краевые задачи 177
5.3. Метод разделения переменных 177
5.4. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах 181
5.5. Уравнение Лапласа в сферических координатах 183
5.6. Внутренняя задача Дирихле для круга 185
5.7. Внепхняя задача Дирихле для круга 189
5.8. Внутренняя задача Неймана для круга 192
5.9. Внутренняя задача Дирихле для сферы 194
5.10. Периодические решения волнового уравнения,
обладающие симметрией 196
5.10.1. Цилиндрические координаты 196
5.10.2. Сферические координаты 198
5.11. Различные примеры 199
Упражнения 215
Глава 6.
Интегральные преобразования
и метод функций Грина 218
6.1. Введение 218
6.2. Преобразование Лапласа 219
6.3. Решение уравнений в частных производных 223
6.3.1. Уравнение диффузии 224
6.3.2. Волновое уравнение 226
6.4. Преобразования Фурье и их приложения к уравнениям в
частных производных 232
6.4.1. Уравнение диффузии 233
6.4.2. Волновое уравнение 236
6.4.3. Уравнение Лапласа 239
6.4.4. Различные примеры 243
6.5. Метод функций Грина и его приложения 250
6.5.1. Уравнение Лапласа 253
6.5.2. Волновое уравнение 264
6.5.3. Уравнение диффузии 267
Упражнения 270
Глава 7.
Интегральные уравнения 276
7.1. Уравнения Фредгольма и Вольтерра 276

Оглавление
7.2. Построение решения уравнения Фредгольма второго рода
при малых значениях параметра методом
последовательных приближений 278
7.3. Интегральное уравнение Вольтерра II рода 280
7.4. Интегральное уравнение Вольтерра I рода 282
7.5. Теоремы Фредгольма 284
7.6. Итерированное ядро и резольвента 288
7.7. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с
непрерывным ядром 290
7.8. Понятие спектра 294
Упражнения 296
Ответы к основным упралснениям 298
Прилож;ение А 307
Прилож;ение В 312
Литература 314
Предметный указатель 317

ПРЕДИСЛОВИЕ
Изучение дифференциальных уравнений в частньГх производных
стало весьма важным в связи с успехами, достигнутыми в настоян1,ее
время в различных областях пауки, инженерного дела и
технологии. Умение репгать уравнения в частных производных абсолютно
необходимо для глубокого понимания таких дисциплин как
гидродинамика, теплообмен, аэродинамика, упругость, термоупругость,
сейсмология, волны и электромагнетизм и других.
Эта книга но уравнениям в частных производных возникла в
результате курса лекций, читанных авторами в течение нескольких лет
студентам и аспирантам университета Гуру Данак Дев в Амристаре'
(Пенджаб) и Регионального инженерного колледжа в Xaмиpпype^.
Книга познакомит читателя со многими хорошо известными
математическими приемами такими как метод ра;^деления переменных,
техника интегральных преобразований и метод функций Грипа для
решения различных краевых задач, включаюпщх уравнения
параболического, эл;шптического и гиперболического типа, которые
возникают во многих физических и технических приложениях.
Содержание книги выстроено в логической последовательности,
темы рассматриваются систематически. В главе 1 рассматривается
решение линейнглх и нелинейных уравнений в чах;тных производных
первого порядка. Глава 2 посвящена классификации и приведению
к каноническому виду уравнений второго порядка, методу Рима-
на решения задачи Копга, гюнятию сопряженного оператора, а
также выводу решений линейных и нелинейных уравнений в частных
производных второго порядка. В главе 5 рассматриваются
уравнения эллиптического типа, для которых методом разделения
переменных решены краевые задачи Дирихле и Неймана в декартовых,
полярных, цилиндрических и сферических координатах. Главы 4 и 3
посвящены обсуждению решения уравнений соответственно
параболического и гиперболического типа в различных системах
координат, с использованием метода разделения переменных. Также
рассматриваются принцип максимума-минимума и методы Даламбера.
'Guru Danak Dev, Amritsar
^Hamirpur (Himachal Pradesh)

Предисловие
Глава б посвящена решению уравнений в частных производных с
помощью техники интегральных преобразований и методом функций
Грина^.
Текст включает в себя разобранные примеры, призванные
проиллюстрировать всевозможные методы и понятия на разных стадиях
обучения. Он также дополнен множеством упражнений в конце
каждой главы, с тем чтобы натренировать студентов в решении задач.
Предварительными требованиями для чтения этой книги являются
знание математического анализа, рядов Фурье и некоторое понятие
об обыкновенных дифференциальных уравнениях, а также о
специальных функциях. Книга предназначена в качестве учебника по
уравнениям в частных производных для студентов старших курсов
инженерных специальностей и для аспирантов, изучающих
математику, физику и прикладные науки. Данная книга представляется
интересной и полезной научным работникам и инженерам, ведущим
исследования.
Мы благодарны Кулдипу Купару за превосходный набор и
компьютерную верстку рукописи. Мы благодарны и признательны
коллективу Издательского дома Нароза (Нью Дели, Индия) за его
работу над рукописью как на стадии редактирования, так и на стадии
печати. Автор (Я. Н. Ш.) признателен администрации
Регионального инженерного колледжа в Хамирпуре за помощь, поддержку и
побуждение с ее стороны в течение этой работы. Мы также
признательны нашим коллегам математикам за плодотворные обсуждения.
Наконец, мы выражаем искреннюю благодарность нашим женам
за терпение и поддержку в период работы над этой книгой. Мы
также признательны за понимание, проявленное детьми и внуками
одного из авторов (К. С), которым пришлось воздержаться от нашего
внимания в течение подготовки этой книги.
Конструктивные замечания по улучшению содержания этой
книги приветствуются и будут дружественно приняты.
Яган Нат Шарма
Кехар Сингх
При переводе добавлена глава 7, посвященная элементам теории интегральных
уравнений, а также исправлены некоторые ошибки и опечатки. — Прим. ред.

ГЛАВА I
УРАВНЕНИЯ
В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ
ПЕРВОГО
ПОРЯДКА
1.1. Введение
Многие физические задачи в науке и технике, будучи
сформулированы математически, приводят к дифференциальным уравнениям в
частных производных (УрЧП). Чтобы понять физическое поведение
математической модели, описываемой уравнением в частных
производных, необходимо знать математический тип, свойства и способ
решения этого уравнения. Уравнение, содержащее несколько
независимых переменных, обозначаемых х,у, z,t..., функцию и,
зависящую от этих переменных, и ее частные производные по независимым
переменным, такое как
•'* [•^'1 Vi^lti ■ ■ • t'f^i 't^Xi ^J/) 't^Zi Щ1 • ■ ■ 1 Uxxi ^S/S/5 • • • -I ^жу; • • ■) ^^ 'J (^••'■•^ j
называется дифференциальным уравнением в частных
производных.
Несколько хорошо известных примеров УрЧП:
(i) Uxx + Uyy + Uzz = о (уравнение Лапласа) (1-1-2)
(ii) Uxx + Щу + Uzz = ~2it< (уравнение теплопроводности)(1.1.3)
(iii) Uxx + Щу + Uzz = "2"** (волновое уравнение) (1-1-4)
(iv) цпхх — uux = щ (уравнение Бюргерса^ ) (1.1.5)
^J. М. Burgers, 1940.

Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
Определение 1.1.1. Порядком уравнения в частных производных
называется наибольгпий порядок частной производной,
встречающейся в этом уравнении.
Таким образом, приведенные выше примеры являются
уравнениями в частных производных второго порядка, тогда как
щ = uuxxx + COS а; (1.1.6)
служит примером уравнения в частных производных третьего
порядка.
Во многих физических и технических задачах встречаются
дифференциальные уравнения в частных производных, где входящие
функции зависят от двух или более независимых переменных. В этой
книге мы обсудим некоторые важные дифференциальные уравнения
в частных производных, возникаюи1,ие в науке и технических
приложениях. Первая глава будет посвящена только уравнениям первого
порядка.
1.2. Уравнения в частных производных
первого порядка от двух
независимых переменных
Пусть Z = z{x, у) — функция от независимых переменных х и у.
(i) Любое уравнение, включающее в себя зависимую переменную
2 и ее частные производные по х и у, наг^ывается
дифференциальным уравнением в частных производных.
(ii) Если в уравнение входят частные производные только первого
порядка (т.е. только ||, |^), то оно называется уравнением в
частных производных первого порядка.
(Ш) Если в уравнении первого порядка зависимая переменная z и
ее частные производные §^ ^ ж: встречаются в первой степени
и не умножаются друг на друга, то такое уравнение называется
линейным уравнением в частных производных первого
порядка, в противном случае оно является нелинейным уравнением
в частных производных.
Наиболее обп^ее уравнение в частных производных первого
порядка имеет вид
F{x,y,z,p,q)=0, (1.2.1)

i
1.3. Составление уравнений первого порядка I I
где мы пользуемся общепринятыми обозначениями Монжа:
дх ' ду
Пример 1.2.1. Уравнения
о \ 2
-^1 +2xyz = 0 (1.2.2)
га/
и
.| + | = /(х,„) (1.2.3,
ЯВЛЯЮТСЯ уравнениями в частных производных первого порядка.
Поскольку эти уравнения нелинейны по переменной 2 и ее частным
производным, они являются нелинейными.
Пример 1.2.2. Уравнение
P{x,y)— + Q{x,y)- = R{x,y) . (1.2.4)
является линейным уравнением в частных производных первого
порядка.
1.3. Составление уравнений в частных
производных первого порядка
Рассмотрим соотношение
F{x,y,z,a,b) = 0, (1.3.1)
где а я Ь произвольные постоянные.
Дифференгщруя (1.3.1) отдельно по х и но у, получаем
Соотношения (1.3.1)-(1.3.3) представляют собой три уравнения,
включаюище в себя две произволынэге постоянные а и Ь. Вообще

12 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
говоря, можно исключить а и 6 из этих соотношений, и полученное
уравнение будет иметь вид
f{x,y,z,p,q)=0. (1.3.4)
Это показывает, что уравнение (1.3.1), задающее двухпараметриче-
ское семейство поверхностей в пространстве, приводит к
возникновению уравнения в частных производных первого порядка (1.3.4).
Пример 1.3.1. Исключить произвольные постоянные а и 6 из
уравнения
2z = {ax + yf + b. (1.3.5)
Решение. Беря частную производную по х, имеем:
2— = 2{ах + у) -а
или
1 dz
--Г- = ах + у, афО. . (1.3.6)
а ох
Дифференцируя (1.3.5) по у, имеем:
^=ах + у. (1.3.7)
ду
Из (1.3.6) и (1.3.7) получаем:
дх ду X \ду ) ду
или
dz dz f dz \ 2
^Ъх^Ъ'хЪ ^/ ^^^ px + qy = q ,
что и требовалось.
Пример 1.3.2. Исключить произвольную функцию / из соотношения
z^xy + fix'^ + y''). (1.3.8)
Решение. Дифференцируя данное соотношение по ж, имеем:
= y + f'{x^ + y^)-2x,
дх

I
1.3. Составление уравнений первого порядка 13
следовательно,
y(^-y)=2xy/V + У^)• (1-3.9)
Дифференцируя (1.3.8) по у, имеем:
следовательно,
ду
x(^-x)=2xy/V + y')- (1-3.10)
Из (1.3.9) и (1.3.10) получаем требуемое:
yi-Q у] =^(я ^) ^^^ py + x^ = qx + у^.
Пример 1.3.3. Исключить произвольную функцию F из
соотношения
F{x'^ + y'^ + z'^,z'^~2xy) = 0. . (1.3.11)
Решение. Положим
х^ + у^ + z^ = и и 2;^ — 2жу = и,
так что
F{u,v) = 0. (1.3.12)
Дифференцируя (1.3.12) по ж, получаем:
или I
F„(x+p2:)+F„(-y+p^) = 0. (1.3.13)
Аналогично, дифференцируя (1.3.12) по у, имеем:
Fu{y + qz)+Fy{-x + qz)={). (1.3.14)
Исключение F„ и F„ из уравнений (1.3.13) и (1.3.14) приводит к
соотношению
x+pz —y + pz
y + qz -x + qz
О или
x + pz — (ж + у)
y + qz -{х + у)
= 0,

14 Глава 1. Уравнения в частных производных первого поряОка
что упрощается до
п^ 1
О или z{p - q) = у — X.
X +pz 1
y + qz 1
Это ответ.
1.4. Решение линейного уравнения
первого порядка (метод Лагранжа)
Теорема 1.4.1. Общее решение уравнения в частных производных
Pp + Qq = R (1.4.1)
имеет вид
Fiu,v)=0, (1.4.2)
где F{u,v) - произвольная дифференцируемая функция от левых
1ых интеграле
U{x,y,z) =С]
частой независимых' первых интегралов
(1.4.3)
V{x,y,z) =С2 J
системы обыкновенных дифферен1;иальных уравнений
dx dy dz /, , ,ч
Р Q R ^ ^
Уравнения (1-4.4) называются вспомогательными уравнениями
для уравнения в частных производных (1.4.1).
Доказательство. Поскольку и(а:, у, z) = ci является ренгением (1.4.4),
уравнения
ди , ди , ди , dx dy dz
должны быть совместными. Следовательно,
Pux + Quy + Ruz = 0. (1.4.5)
Аналогично,
Pvx + Qvy + Rv^ = 0. (1.4.6)
'в смысле, определяемом ниже - Прим. ред.

1.4- Решение линейного уравнения (метод Лагранжа) 15
Разрешая (1.4.5) и (1.4.6) относительно Р, Q я R, имеем:
Р Q R
UyV, - U,Vy UrV-r - UtV, Ut.V,, - U„V
z 'JX "-x '^z
IX'^y "'y'Jx
или
Q
R
d(u,v) d(u,v) d(ii,v)'
d{y,z) d{z,x) d{x,y)
Теперь рассмотрим соотношение
F{ti,v) = 0.
Дифференцируя его по х, получаем:
9F, . дР, , ^
— (Ux +pUz) + -7r-(Vx + PVz) = 0.
Аналогично, дифференцируя (1.4.2) по у, получаем:
дР, , дР, , ^
[Uy + quz) + -K~{'Vy + qvz) = 0.
(1.4.7)
ди
dv
(1.4.8)
(1.4.9)
дР дР
Исключение —— и —— из уравнений (1.4.8) и (1.4.9) дает coothohic-
аи OV
ние
«х + PUz Vx + pVz
Uy + qUz Vy + qVz
= 0.
Упрощая это выражение, получаем
d{u,v) d{u,v) d{u,v)
P-
+ q-
(1.4.10)
d{y,z) d{z,x) d{x,y)
Из уравнений (1.4.7) и (1.4.10) имеем:
Pp + Qq = R.
Таким образом, показано, что соотношение (1.4.2) дает рептение
уравнения в частных производных (1.4.1).
С другой стороны, пусть (f{x, y,z) = О - решеггае зфавнония (1.4.1),
тогда р = Zx = ~(Px/Vz ^q = Zy = -ify/ipz, откуда
P^Px + Qfy + P^z = 0.

16 Глава!. Уравнения в частных производных первого порядка
Но вдоль интегральной кривой системы (1.4.4) величины Р, Q я
R пропорциональны соответственно величинам dx, dy и dz,
следовательно, вдоль интегральной кривой системы (1.4.4) справедливо
соотношение
(pxdx + (pydy + (pzdz = О, (1.4.11)
т. е. ^ вдоль интегральной кривой постоянна. Поскольку через
каждую точку области существования и единственности решения
системы (1.4.4) проходит единственная интегральная кривая,
равенство (1.4.11) должно выполняться тождественно. Отсюда следует,
что соотношение
(p{x,y,z) =С
является первым интегралом системы (1.4.4). Что и требовалось
доказать. Ш
Пример 1.4.1. Найти общее решение линейного уравнения в
частных производных
z{xp - yq) = y^ - х^.
Решение. Данное уравнение имеет вид:
zxp — zyq = у ~ X .
Соответствующие вспомогательные уравнения суть-^
dx dy dz xdx + ydy + zdz
xz —yz y^ — a;2 0
Из равенства первых двух членов получаем:
(1.4.12)
dx dy dx dy ^ , , , , , , , , ,
— = -^ ^ — + -^=0 =» Inb; -j-ln у =ln ci .
X —y X у
Следовательно,
жу = С1. (1.4.13)
^Последнее равенство в (1.4.12) получено так: числитель и знаменатель первой
дроби умножены на х, второй — - на у, третьей — на г, после чего все дроби
сложены, благо, они равны. Аналогичные приемы неоднократно используются
и в дальнейшем для получения так называемых интегрируемых комбинаций. —
Прим. ред.

1.4- Решение линейного уравнения (метод Лагранжа) 17^
Последняя дробь в (1.4.12) означает, что
xdx + ydy + zdz = О,
откуда
а;2 + у2 + ;г2 = С2. (1.4.14)
Тсжим образом, общее решение данного уравнения в частных
производных имеет вид
F{ci,C2) = О, т. е. F{xy, х"^ + у'^ + z'^) = {i,
где F — произвольная функция.
Пример 1.4.2. Найти общее решение уравнения в частных
производных
рх{х + у) = qy{x + у)-{х- у){2х + 2у + z).
Решение. Соответствующие вспомогательные уравнения имеют
вид:
dx __ dy _ dz _
х{х + у) -у{х + у) -{x-y){2x + 2y + z)
dx + dy dx + dy + dz
{x-y){x + y) -{x - y){x + у + z)
Из равенства первых двух членов получаем:
(1.4.15)
— = -^ =^ ln|x| = -ln|y|+ln|cii =^ xy = ci. (1.4.16)
х -у
Из (1.4.15) также имеем:
dx + dy dx + dy + dz
ln\x + y\ + ln\x + у + z\ = In |c2|
x + y -{x + y + z)
Отсюда
{x + y){x + y + z)=C2. (1.4.17)
Таким образом, искомое общее решение данного уравнения в
частных производных имеет вид
F{ci,C2)=0, т.е. F{xy,{x + y){x + y + z)) =0.

18 Глава!. Уравнения в частных производных первого порядка
независимые^ решения уравнении
Теорема 1.4.2. Если щ{х1,Х2,хз, ■ ■ ■ ,Xn,z) = Cj (г = 1, 2, ... ,п) -
кия уравнений
dx^ _ dx2 _ ^ ^ ^ ^ /^ ^ ^g4
то соотношение F{ui,U2, . ■ ■,Un) = О, где F — произвольная
дифференцируемая функция, является обш;им решением линейного
уравнения в частных производных
Р,|1 + Р,|^ + ... + Р„|^ = Л. (1.4.19)
OXi 0X2 ОХп
Доказательство. Поскольку
щ{х1,Х2,хз, ... ,Xn,z) = Ci (г = 1,2,3, ... ,п)
являются решениями (1.4.18), уравнения
~dxi + ^dx2 + • • • + ^dxn + -w^dz = О (1.4.20)
OX\ 0X2 ОХп OZ
должны быть совместны с уравнением (1.4.18) при г = 1,2,3, ... ,п.
Таким образом, мы получаем: .
Е^Р, + ^Д = 0, г = 1,2,3,...,п. (1.4.21)
j=i ■'
Эти равенства представляют собой систему из п :шнейный
уравнений относительно Р\,Р2, ... ,Рп- Penian ее по правилу Крамера,
имеем:
Р В
, (1.4.22)
d{ui,U2, ... ,Un) д{щ,и2, ... ,Un)
5(ж1,а;2, ... ,Xi-i,z,Xi+i, ...,Хп) 5(ж1,Ж2, ... ,а;„)
Зт, г d(ui,U2, . . . ,Un)
■'В том смысле, что якобиан ^г^—-— ^, определяемый ниже, не равен
d{Xi,X2, ■■■ ,Хп)
тождественно нулю. - Прим. пер.

1.5. Интегральные поверхности через данную кпивью
%
191
где использованы стандартные обозначения
дщ
dxi
du2
дх\
dun
дх\
дХ2
dU2
дХ2
dun
дХ2
дщ
дхп
du2
дхп
dun
дхп
Рассмотрим теперь соотношение
F(ui,U2,W3, ...,u„) =0.
Дифференцируя его по Xi, имеем:
EdF fduj дщ dz\ „ . , „ „
j=i
duj \dxi dz dxi
Исключая ^-, ^-, ..., ^- из этих n уравнений, получаем
д{щ,щ, ... ,Un)
д{щ,и2, ... ,Un) _у^ dz
д{хиХ2, ... ,Хп) -^ dxj d{xi,X2,... ,z,Xj^i,Xj+i,... ,Хп)
(1.4.24
Из уравнений (1.4.22) и (1.4.24) непосредственно следует
соотношение (1.4.19).
Таким образом, если ui,U2, ... ,Un — независимые решения а-
стемы уравнений (1.4.18), то любая функция F от щ,щ, ... ,Un
удовлетворяет уравнению (1.4.19). ■
1.5. Интегральные поверхности,
проходящие через данную кривую
Пусть поверхность задана линейным уравнением в частных проиг-
водных
dz ^dz
ОХ Оу
(1.5.1

20 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
и параметрические уравнения данной кривой суть
x = x{t), y = y{t), z = z{t). (1.5.2)
Пусть соотношениями
и(х, у, z) =сг, и(ж, у, z) = сг (1.5.3)
представлены любые два независимых решения системы уравнений
dx dy dz
Тогда общее решение уравнения (1.5.1) имеет вид
F{u,v) = 0, (1.5.5)
где F — произвольная функция.
Поскольку интегральная поверхность должна проходить через
кривую (1.5.2), мы должны иметь
uixit},y{t},z{t})=ci и vix{t),y{t),z{t})=C2, (1.5.6)
причем должно выполняться
F(ci,C2)=0.
Следовательно, требуемая интегральная поверхность может быть
получена посредством исключения ci и С2 из соотношений (1.5.3),
(1.5.5) и (1.5.6).
Пример 1.5.1. Найти интегральную поверхность уравнения
2y{z - 3)р + {2х - z)q = у{2х - 3), (1.5.7)
проходяшую через окружность
Z = 0, a;^ + у^ = 2х.
Решение. Вспомогательные уравнения имеют вид
dx dy dz ydy — dz
2y{z-3) 2x-z y{2x-3) -y{z-3)'
Равенство первого и последнего членов дгьет
—dx = 2ydy — 2dz,
(1.5.8)

1.5. Интегральные поверхности через данную кривую 21
откуда следует, что
y2-2z + x = ci. (1.5.9)
Также, из равенства первого и третьего членов имеем
(2ж - 3)dx = 2{z - 3)dz,
следовательно,
ж^ - ^2 - Зж + 6z = С2. (1.5.10)
Данная кривая (окружность) имеет вид
(а;-1)2+у2 = 1, z = 0,
ее параметрические уравнения
X = 1 + cost, у = sint, Z = 0. (1.5.11)
Таким образом, интегральная поверхность уравнения (1.5.7),
проходящая через окружность (1.5.11), задается соотношениями (1.5.9) и
(1.5.10), где ci и С2 — произвольные постоянные.
Теперь
ci = 1 + cos t + sin^ t — О = 2 + cos t — cos t
и
C2 = {1 + costf -0-3{l + cost)+ 6-0^
= 1 + 2 cos t + cos^ t — 3 — 3 cos t =
= —(2 + cost — cos^t) = —ci,
откуда
ci+C2 = 0. (1.5.12)
Исключая ci и C2 из уравнений (1.5.9), (1.5.10) и (1.5.12), получаем:
х + у"^ -2z + x^ -z'^ + Qz-3x = 0
или
х"^ +у'^ - z"^ -2x + 4z = О,
что является уравнением искомой интегральной поверхности.

22 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
Пример 1.5.2. Найти общее решение уравнения
{х — у)р + {у - X — z)q = Z (1.5.13)
и интегральную поверхность, проходящую через окружность
2: = 1, ж^ + 2/^ = 1.
Решение. Вспомогательные уравнения имеют вид
dx _ dy dz dx + dy + dz dx — dy + dz
X — у у — X — z z 0 2{x — у + z)
Четвертая дробь означает, что dx + dy + dz = 0, откуда
(1.5.14)
X + у + Z = Cl.
(1.5.15)
Также, из равенства третьего и пятого членов в (1.5.14) имеем:
^dz _ d{x — у + z)
Z X — у + Z ^
следовательно,
21п|2:| = 1п|а; - у + 2:| - In |с2| =» In
откуда
X — у + Z
= 1П|С2|,
X-y + Z = C2Z^. (1.5.16)
Таким образом, общее решение данного уравнения (1.5.13) имеет вид
у^ f X — у + z\
F{x + y + z, ^ =0,
где F любая дифференцируемая функция.
Параметрические уравнения данной окружности имеют вид
x = cost, у = sint, z = \.
Теперь, подставляя эти выражения в (1.5.15) и (1.5.16), получаем:
cos t + shit + I = с\ и cos f — sin i + 1 = сг-
Решая эти уравнения относительно cos t и sin t, имеем:
Cl + С2 - 2 Cl - С2
cos^ = и smt = .

I
1.6. Поверхности, ортогональные данному семейству 23^
Далее, из тождества sin^ t + cos^ t = 1 следует, что
(Ci - C2f + (Ci + C2 - 2)2 = 4 =^ C? + C| - 2(Ci + C2) = 0.
Подставляя сюда выражения для ci и сг из (1.5.15) и (1.5.16),
получаем:
2
Z^ ) \ ' Z
ИЛИ
(ж + у + г)2+( ;| ~2[x + y + z + ^ )=0
z^{x + у + zf + (х - у + zf - 2z^[x - у + Z + z'^ix + y + z)]=0,
ИЛИ
-4
z^{x + y + z){x + y + z-2) + {x-y + z){x -y + z- 2z^) = 0,
что является искомым уравнением интегральной поверхности,
проходящей через данную окружность.
1.6. Поверхности, ортогональные данному
семейству поверхностей
Пусть семейство поверхностей задано уравнением
f(x,y,z) = c, (1.6.1)
где с - - параметр.
Пусть искомая поверхность, ортогональная семейству
поверхностей (1.6.1) задается уравнением вида
z = g{x,y). (1.6.2)
Пусть P{x,y,z) — любая точка кривой пересечения
поверхностей (1.6.1) и (1.6.2). Координаты нормалей к этим поверхностям в
точке Р{х, у, z) имеют вид
\JxiJyiJz) и (^j.,2:y, —1).
Поскольку поверхности ортогональны, нормали к ним в Р будут
ортогональными между собой. Таким образом,
JxZx -\~ Jy^y " fz — ^J-

24 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
Это условие имеет вид
где Р = fx,Q = fy,R = fz-
Тогда любая интегральная поверхность уравнения (1.6.3)
является искомой, т.е. будет ортогональной семейству (1.6.1).
Пример 1.6.1. Найти поверхность, ортогональную однопараметри-
ческому семейству
Z = сху(х^ + у^)
и проходящую через гиперболу
ж^ - у^ = а^, Z — 0.
Решение. Уравнение данного семейства поверхностей преобразуем
к виду
xyjx"^ + у^) _ 1-
Z с
Следовательно,
/(.,,,.) = ^i4^tv!). (1.а.4,
Далее,
yix"^ + у2) + 2х^у _ у(3ж2 + у2)
P = L =
Z Z
ж(ж2 + 3у2) D_f_ a^y(a^^ + у^)
ч-h- ; ' ti-U- ^2 •
Таким образом, вспомогательные уравнения имеют вид
dx _ dy _ dz
т.е.
dx dy dz xdx + ydy
yz{3x'^ + у2) xzix"^ + 3y2) —ху(ж2 + y^) Axyzix"^ + y^)'
(1.6.5)
Равенство третьего и четвертого членов дает соотношение
xdx + ydy + Azdz — О,

1.7. Совместность уравнений первого порядка 25
откуда
x^ + y^+4:z'^ = ci. (1.6.6)
Из (1.6.5) имеем также:
xdx + ydy _ xdx — ydy
x"^ + y^ ж^ — j/2 ' -,
откуда следует, что
1п(ж2 + у^) = 21п|ж2-у2|-1п|с2|.
Следовательно,
х^ 4- у
Данная гипербола х^ — у^ = с?., z = ^ задается параметрическими
уравнениями
a; = asec<, y = atg<, 2^ = 0. (1.6.8)
Поскольку поверхности (1.6.6) и (1.6.7) проходят через гиперболу
(1.6.8), мы имеем равенства:
с\ = a^(sec^ t + tg^ t) и ci —
1
sec^ t + tg^ t'
поэтому
ciC2 = a^. (1.6.9)
Исключение ci и ci из (1.6.6), (1.6.7) и (1.6.9) приводит к уравнению
искомой поверхности:
(х2 + уЧ4^2)(х2-у2)2 = а^(а;2 + у2).
1.7. Совместность уравнений
в частных производных первого порядка
Два уравнения в частных производных первого порядка
f{x,y,z,p,q) =0 и g{x,y,z,p,q) =0
называются совместными, если данные уравнения имеют общее
решение.

26 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
Условие совместности
Рассмотрим дифференциальные уравнения в частных производных
f{x,y,z,p,q) = 0 (1.7.1)
а
g{x,y,z,p,q)=0. ' (1.7.2)
Мы будем предполагать, что
^=§^#0. (1.7.3)
д{р, д)
Вообще говоря, систему уравнений (1.7.1) и (1.7.2) можно решить
этносительно р ^ д. Запишем это решение в виде
p = A{x,y,z), B = g{x,y,z).
Установим необходимое условие совместности системы (1.7.1),
^1.7.2), разрешенной относительно р и д.
Пусть существует общее решение z обоих уравнений, имеющее
^eпpepывныe частные производные ||, ||, ^^- Подставив это ре-
ление в нашу систему, мы получим тождества, из которых можно
1аити два выражения для -^^ :
d'^z дА дЛ „
дхду ду dz
d'^z дВ дБ ,
дхду дх dz
1риравнивая правые части, получим искомое необходимое условие
а4 дА^^д£ дВ_^
ду dz дх dz
Дифференцируя (1.7.1) по ж и по г: после подстановки выражений
|^я р VI q, получаем:
fx + fpAa: + fgB^ = 0 (1.7.5)
[
fz + fpA, + fgB, = 0. (1.7.6)

1Л. Совместность уравнений первого порядка 27
Умножая (1.7.6) па А и прибавляя к (1.7.5), имеем:
и + Af, + fpiA^ -^АА,) + fgiB^ + АВ,) = 0. (1.7.7)
Аналогично, дифференцируя (1.7.2) по ж и по z, получаем:
9^ + Ад, + др[А^ + АА,) + gq{B^ + АВ,) = 0. (1.7.8)
Исключение Ах + АА, из (1.7.7) и (1.7.8) приводит к соотношению
^^f^^UAШ4-?Miв. + Aв,) = o
д{х,р) d{z,p) d{p,q)
или
Вх + AB, = j
d{f,g) ^ ^^д{!,д)
д{х,р) d{z,p)_
(1.7.9)
Аналогично, дифференцируя (1.7.1) и (1.7.2) по у и г: и действуя
таким же образом, получаем:
Ау + ВА, = --
d{f,g) , ^dif,g)
J [d{y,q) d{z,q)
(1.7.10)
Подставляя выражения из (1.7.9) и (1.7.10) в условие (1.7.4),
получаем необходимое условие совместности в виде равенства нулю скобки
Майера
^^'^^■ d{x,p)^''d{z,p)^ д{у,д)^ d{z,q) ''■
(1.7.11)
Очевидно, условие (1.7.4) является частным случаем (1.7.11) для
системы, разрегаенной относительно р п д.
Опишем кратко метод нахождения обш;его решения совместных
уравнений. Сначала система уравнений (1.7.1), (1.7.2)
разрешается относительно р и q в некоторой области изменения переменных.
В результате получается система вида
Ё1
дх
= A{x,y,z),
dz_
ду
==B{x,y,z).
(1.7.12)
Первое уравнение этой рас^решенной системы заменяется на
обыкновенное дифференциальное уравнение
dz
dx
= A{x,y,z),
(1.7.13)

Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
которое интегрируется при каждом значении параметра у.
Начальное условие для уравнения (1.7.13) при х = xq, вообще говоря, будет
зависеть от параметра, т. е. будет иметь вид z{xq, у) = С(у) и решение
уравнения (1.7.13) будет иметь вид
г = ^{х,у\хаХ{у))-
(1.7.14)
Неизвестная функция С,{у) может быть найдена из второго
уравнения системы (1.7.12), которое при ограничении на плоскость х = xq
становится обыкновенным дифференциальным уравнением
С'(у) = 9(а;о,у,С(у))-
Решение С,{у) этого уравнения подставляется в выражение (1.7.14),
и в результате получается функция z{x,y).
Из описания способа решения следует, что так полученная
функция удовлетворяет системе (1.7.12) только при х = xq. Однако,
пользуясь условием совместности (1.7.4), нетрудно показать, что z{x,y)
является решением системы и при остальных значениях х (см.,
например, [43]). Таким образом, тождественное выполнение условия
(1.7.4) или условия более общего вида (1.7.11) оказывается
достаточным для существования общей интегральной поверхности уравнений
(1.7.1) и (1.7.2), проходящей через каждую точку рассматриваемой
области.
Пример 1.7.1. Показать, что уравнения
2
хр — уд = X, X р + q = XZ
совместны, и найти их общее решение.
Решение. Данные уравнения имеют вид
f{x,y,z,p,q) -:-xp-yq-x = x(p-l)-yq = 0, (1.7.15)
д(х, у, z,p, q) = х^р + q ~ xz = х{хр - z) + q = О, (1.7.16)
Таким образом.
d{f,g)
д{х,р)
d{f,9)
d{z,p)
p—lx
2хр — z х^
^
0 X
2
— X X
= xz — x^{p + l),
d{f,9)
д{у, q)
-я -у
О 1
-q,
= X
дЦд)
d{z,q)
О
-X
-у
1
= -ху.

1.7. Совместность уравнений первого порядка 29
Учитывая (1.7.16) и (1.7.15), имеем:
[/, д]= XZ - х^{р + I) + рх^ - q - худ =
= XZ — X — q — худ = {xz — q) — х — xyq =
= X р — х^ — худ — х[х{р — 1) — уд] = 0.
Таким образом, данные уравнения совместны.
Найдем теперь общее решение данных уравнений. Решая
систему (1.7.15), (1.7.16) относительно f) и д получим:
1 + yz xz-x^
Р=^, ' 9=ТТ • 1.7.17)
I + ху I + ху
Теперь проинтегрируем первое уравнение, считая у параметром:
dz _ \ + yz dz _ dx
dx I +xy i + yz \ +xy^
откуда
A — \
1 +yz = A{1 + xy) или z = 1- Ax,
У
где A ^ О — произвольная функция от у.^ Ее выражаем из
начального условия Z = (^(у) при X = хо
.^ ^ yCJy) +1
1 4-ужо
и таким образом находим z в виде (1.7.14) с неизвестной пока
функцией С (у):
^^ау)-^о^У_ру)±1^ (l^_,gj
1 4- ужо l-b ухо
Тождество z{xo,y) = С(у) проверяется без труда. Второе уравнение
системы (1.7.17) при х = xq имеет вид:
1 + хоу С - а;о 1 + хоу
Следовательно,
С - жо = С(1 + хоу) или С(у) -хо + С(1 4- хоу).
'Особое решение z = — l/j/ не удовлетворяет первому из данных уравнений в
частных производных. — UpxtM. пер.

30 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
Подставляя полученное выражение в (1.7.18), после упрощения
получаем искомое обп1,ее решение данных уравнений:
Z = С + X + Сху.
_ .. - „ т, ди ди ди
Пример 1.7.2. Для щ = т^, и^ — -тг, Щ = -г— показать, что
ох оу OZ'
уравнения в частных производных
/(a;,y,2:,uj,U2,U3) =0 (1.7.19)
и
йг(ж,у,2:,Ы1,Ы2,«з) =0 (1.7.20)
совместны, если
d{f.g) , d{f,g) ^ d{f,9) ^Q
d{x,ux) d{y,U2) д{г,из)
Решение. Дифференцируя (1.7.19) и (1.7.20) по х, имеем:
дщ 5г/2 f диз
/. + /.,^ + /..^+/«3^=0 (1.7.21)
dui du2 , диз f. ,-. „ r,o\
9^ + 9u.-Q^ + 9n,^ + 9u,^ = ^. (1.7.22)
Исключая --— из (1.7.21) и (1.7.22), имеем:
ox
dif,g) ^ dif,g) du2 ^ d{f,g) дщ ^ ^ (17.23)
d{x,ui) d(u2,ui) dx d{uz,ui) dx
Аналогично, дифференцируя (1.7.19) и (1.7.20) по у и исключая -д—,
получаем:
дЦ^д) ^ d{f,g) дщ ^ d{f,g) диз^^ (17.24)
d{y,U2) d{ui,U2) ду d{u3,U2) ду
Снова, дифференцируя по z и избавляясь от -^, имеем:
d{f,g) ^ d{f,g) дщ ^ d{f,g) дп2 ^ ^ ^^^ 25)
д(г,из) д{щ,из) dz д{и2,из) dz '

1.8. Классификация решений уравнений первого порядка 3 I
Складывая равенства (1.7.23), (1.7.24) и (1.7.25) и принимая во
внимание очевидные cooтнoIIIeния^
заключаем, что
d{f,g) дщ ^ d{f,g) duj ^^
d{ui,Uj) dxj d{uj,Ui) dxi
dif,9) , g(/,g) I d{f,g) _^
д{х,щ) d{y,U2) д{г,из)
Что и требовалось.
1.8. Классификация решений уравнений
в частных производных первого порядка
Рассмотрим уравнение в частных производных первого порядка
Fix,y,z,p,q) = 0. (1.8.1)
Предположим, что имеет место соотношение
f{x,y,z,a,b)=0, (1.8.2)
такое, что при исключении произвольных постоянных а и Ь из него и
его частных производных по независимым переменным получается
(1.8.1). Тогда (1.8.2) называется интегралом уравнения (1.8.1).
1. Полный интеграл. Интеграл уравнения (1.8.1),
представленный соотношением (1.8.2), где а и b — произвольные
постоянные, называется полным интегралом; ясно, что он задает двух-
параметрическое семейство поверхностей.
2. Общий интеграл. Если параметр Ь в (1.8.1) связан с а
посредством зависимости b = ip{a), где (р — произвольная
функция, то уравнение огибаюп1,ей полученного однопараметрическо-
го семейства поверхностей является решением уравнения (1.8.1)
и называется общим интегралом. Если предполагается
заданным частный вид (р{а), то соответствующий интеграл
называется частным интегралом.
2
в которых х\ = X, Х2 = у VI xz = Z, — Прим. пер.

32 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
3. Особый интеграл. Если существует огибающая двухпараме-
трического семейства поверхностей (1.8.2), то она тоже
является решением (1.8.1), и называется особым интегралом данного
уравнения в частных производных.
Отметим, что всякое решение уравнения (1.8.1) входит или в
полный, или в общий, или в особый интеграл (см., например, [43]).
Иллюстрирующий пример. Рассмотрим уравнение в частных
производных
z'^{l+p^ + q^) = l. (1.8.3)
Можно проверить, что
f{x, у, Z, а, Ь) : {х- af + {у ~bf + z"" - I = ^), (1.8.4)
где а и Ь — произвольные постоянные, является решением (1.8.3).
1. Поскольку это двухпараметрическое семейство поверхностей, оно
является полным интегралом уравнения (1.8.3).
2. Если мы положим b — (р{а), то тем самым выделим из всех
сфер (1.8.4) однопараметрическое семейство, центры которого
лежат на кривой у = (р{х), Z = 0. Огибающая этого семейства,
получаемая исключением параметра а из уравнений
{х - af + {у- fp{a)f + ;г2 - 1 = О, (1.8.5)
X - а + if'{а){у - ip{a)) = Q, (1.8.6)
является общим интегралом уравнения (1.8.3). Эта огибающая
представляет собой трубчатую поверхность с осью у = ip{x), z = 0.
3. Чтобы отыскать особый интеграл, найдем уравнение огибающей
семейства (1.8.4), где а и Ь — произвольные постоянные. Имеем:
fa = О => X — а = 0 => X = а
и
/б = 0 ^ у-Ь^О ^ у = Ь.
Пользуясь этим в (1.8.4), получаем:
что является особым интегралом уравнения (1.8.3).

1.8. Классификация решений уравнений первого порядка
Отметим, что одному дифференциальному уравнению в
частных производных соответствует бесконечно много полных
интегралов. Например, рассмотрим уравнение (1.8.3) и его полный
интеграл (1.8.4). Если мы в п. 2 выше свяжем а и b линейной
зависимостью, то огибающая соответствующего семейства сфер будет
цилиндрической поверхностью, и мы получим частный интеграл
уравнения (1.8.4). Но таких частных интегралов — двухпараметрическое
семейство, поскольку совокупность прямых на плоскости зависит от
двух параметров.
Действительно, при b = ка + с соотношения (1.8.5) и (1.8.6)
принимают вид
(х - of -Ь (у - fca - с)^ -Ь 2;^ - 1 = О,
X — а + к{у ~ ка — с) = 0.
Исключая а из этих соотношений, получаем:
(кх ~ у + с)^
1 + Р
+ z'' = l. (1.8.7)
Это уравнение задает двухпараметрическое семейство бесконечных
прямых круговых цилиндров, оси которых лежат в плоскости z = 0.
Это семейство, как и (1.8.4), является полным интегралом
уравнения (1.8.3). В этом можно убедиться непосредственной
проверкой, а можно ограничиться замечанием, что по построению
семейство (1.8.7) состоит из частных интегралов уравнения (1.8.3).
Очевидно, что уравнение огибающей семейства (1.8.7) совпадает с
особым интегралом, полученным выше, п. 3, и что любая сфера из
семейства (1.8.4) может быть получена как частный интеграл
семейства (1.8.7), поскольку сфера является огибающей семейства
цилиндров, оси которых проходят через фиксированную точку на
плоскости Z = 0.
Аналогичным образом, исходя из полного интеграла (1.8.4),
можно построить бесконечно много других полных интегралов
уравнения (1.8.3).
Пример 1.8.1. Проверить, что оба соотношения
(а) Z = у/2х + а + -у/2уТЬ
(Ь) z'^ + fx = 2{1 + \-^){х + Ху)
6851

34 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
являются полными интегралами уравнения в частных производных
Z = —I—. Проверить далее, что полный интеграл (Ь) является
Р Я
огибающей однопараметрического подсемейства, полученного при
о = — в решении (а).
А 1 + А ^ '
Решение, (а) Данное соотношение имеет вид
Z = V2x + а + >/2у + 6, (1.8.8)
отсюда
dz
р= —- = ^ - = V2x + a.
ох уДх + а р
Аналогично,
- = у/2у + Ь,
откуда
1 1
- + - = V2x + a + J2y + b = z,
р д
это показывает, что (1.8.8) является решением данного уравнения
- + - = z. (1.8.9)
Р Q
Поскольку оно содержит две произвольные постоянные а и Ь, оно
является полным интегралом.
Аналогично проверяется (Ь).
Далее, если b = ^ — j^, то
z = V2xTa + j2y-j-Y^. (1.8.10)
Дифференцируя (1.8.10) по параметру а и упрощая, имеем:
^y-j-TU-"^- <-">
Сложив (1.8.10) и (1.8.11), получим:
2^ + «=(^^- (1-8-12)

1.9. Решение нелинейных уравнений первого порядка 35
Имеем также:
а fi
ч/2^+а-А^2у---^ = 0. (1.8.13)
Вычитая (1.8.13) из (1.8.10), получаем:
откуда
Складывая (1.8.12) с (1.8.14), умноженное на А, получаем:
»2
2(х + Ху) =-^ +-^ ^ 2(1 + Х-^){х + Ху) = z^ + fi,
1+ '
что и требовалось.
^+л '+л
1.9. Решение нелинейных уравнений
в частных производных первого порядка
1.9.1. Метод Лагранэюа-Шарпи
Рассмотрим уравнение в частных производных
f{x,y,z,p,q)=0, (1.9.1)
возможно, нелинейное по р и q.
Метод Лагранжа-Шарпи состоит в нахождении другого
уравнение в частных производных первого порядка
g{x,y,z,p,q,a) =0, (1.9.2)
где а — произвольная постоянная, такого что
(i) систему уравнений (1.9.1) и (1.9.2) можно разрешить
относительно р и 9,
(ii) дифференциал
dz = pdx + qdy (1.9.3)
интегрируем.

Глава 1. Уравнения в частных прогшводных первого порядка
Основной этап в этом случае состоит в том, чтобы найти
уравнение (1.9.2). Если оно найдено, мы можем решить его относительно р
и q вместе с (1.9.1), подставить эти выражения в (1.9.3) и потом
проинтегрировать. Поскольку полученный интеграл будет содержать
две произвольные постоянные, а и й, он будет полным интегралом
уравнения в частных производных (1.9.1). Так как уравнения (1.9.1)
и (1.9.2) совместны, должно выполняться условие (см. п. 1.7)
d{f,g) d{f,g) d{f,g) dif,g)
+ -jT г + p-^, Г + Q -w} Г = и
д{х,р) d{y,q) d{z,p) d{z,q)
или
Таким образом, соответствующие вспомогательные уравнения
имеют вид:
dx ^dy^ dz ^ dp ^ dq ^
fp /я Pfp +я/я -ifx+pfz) -ify + gfz)' ^'''
Если мы сможем найти решение (1.9.4), содержащее либо р,
либо д, либо их вместе, его можно будет взять в качестве
дифференциального уравнения (1.9.2). Оно также будет содержать
произвольную постоянную. Таким образом, решая (1.9.1) и (1.9.2)
относительно р и д, мы сможем подставить эти выражения в (1.9.3) и получить
искомое решение интегрированием.
Пример 1.9.1. Используя метод Лагранжа-Шарпи, решить
уравнение в частных производных
{p^ + q^)y = qz. (1.9.5)
Решение. Данное уравнение имеет вид
f(x,y,z,p,q) : (р^ + q'^)y - qz = 0.
Беря частные производные, имеем:
fp = "^РУ, 1я = 29У -Z, fz = -q, fx = 0, fy=p^ + q^.
Вспомогательные уравнения Лагранжа-Шарпи имеют вид:
dx _ dy _ dz _ ^Р _ dq
2ру 2qy — z 2y(p2 + g^) — qz pq —jp'

1.9. Решение нелинейных уравнений первого порядка 37^
Равенство последних двух членов влечет
± = ^ ^ pdp + qdq = 0 ^ р2 + д2 = а2. (1.9.6)
Я -Р
Из (1.9.5) и (1.9.6) имеем:
q = a^y/z.
Таким образом, из уравнения (1.9.6) следует, что
р^ = с? -(^ => Р = - \/z^ - а^у^.
Z
Итак, равенство dz = pdx + qdy дает:
zdz — ayz^ — a?y'^dx + a^ydy
2 ^Jz^ — a^y^
=> ax — sjz^ - a^y^ - b => z"^ - a^y^ = {ax + b)^.
Переобозначив константы, имеем искомое решение:
{х + bf + у^ = az^.
Пример 1.9.2. Решить методом Лагранжа -Шарпи уравнение в
частных производных
z^=pqxy. (1.9.7)
Решение. Данное уравнение запишем в виде
fix, у, z,p, q) : pqxy -z^ = 0.
Частное дифференцирование дает
fp = qxy, fg = pxy, fz = -2z, /^ = pqy, fy = pqx,
и вспомогательные уравнения Лагранжа Шарпи принимают вид
dx dy dz dp dq
qxy pxy 2pqxy p{2z — qy) q{2z — px)
(1.9.8)

38 Глава 1. Уравнения в частных прогшводных первого порядка
Беря крайние равенства и рассматривая разности числителей и
знаменателей входящих в них дробей, имеем:
dp dq dy dx
p Q _ У X dp dx _ dy dq
-qy +px px — qy p x у q ''
откуда
px = a^qy, (1.9.9)
где a — произвольная постоянная^.
Подставляя это соотношение в (1.9.7), получаем:
2;^ = a^q^y^ => q = z/ay
и
Таким образом,
р = az/x.
dz adx 1 dy
z X ay'
следовательно,
In \z\ = In |b"y'/"| или z = te"y^/",
это искомое решение.
Пример 1.9.3. Решить методом Лагранжа-Шарпи:
p=iz + qyf. (1.9.10)
Решение. Перепишем данное уравнение в виде
fix,y,z,p,q) : {z + qyf-p = 0.
Вспомогательные уравнения Лагранжа-Шарпи имеют вид:
dx _ dy _ dz _ dp dq
-1 2y{z + qy) -p + 2qy{z + qy) -2p{z + qy) ~ -4q{z + qy)'
(1.9.11)
'Здесь обозначение константы через а^ правомерно, поскольку из
уравнения (1.9.7) следует, что рх и qy одного знака. — Прим. пер.

1.9. Решение нелинейных уравнений первого порядка 39
Из равенства второго и пятого членов имеем:
у -2д у2
Подставляя это в (1.9.10), получаем:
\ У
Таким образом, из равенства dz — pdx + qdy следует, что
dz = \ Z + - ) dx + —^dy
V У/ У
= b
dx - "^^^ ^ ''/^^
(^ + а/у)^
1
2; +а/у
=^ х + —^— = Ь,
а + yz
это искомое решение.
1.9.2. Метод Якоби
Рассмотрим уравнение в частных производных
F(x,y,z,p,g)=0. (1.9.13)
Будем искать решение в неявном виде и{х, у, z) = О, где и —
функция, зависящая только от х, у, z. Тогда
ди ди dz _
дх dz дх
следовательно,
щ ди ди
Р= - "
Аналогично,
из дх az
U2 ди
q= , U2 = -^■
из ду
Подставляя эти выражения для pviqB (1.9.13), получаем уравнение
вида
/(x,y,2;,ui,U2,U3) = 0, (1.9.14)

40 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
в котором зависимая переменная и отсутствует. В методе Якоби
вводятся еще два уравнения в частных производных:
g{x,y,z,ui,U2,U3,a) =0, (1.9.15)
h{x,у,Z,ui,U2,U3,b) - О, (1.9.16)
где а и Ь — произвольные постоянные, так что
(i) уравнения (1.9.14), (1.9.15) и (1.9.16) можно разрешить
относительно Ui, U2, из и
(ii) дифференциал
du — u\dx Л-и^йу-\-u-idz (1.9.17)
интегрируем.
Уравнения (1.9.14), (1.9.15) и (1.9.16) должны быть попарно
совместны. Таким образом, должно выполняться
где
д{х,и{) d{y,U2) д{г,щ)
Условие [f,g] = О совместности уравнений (1.9.14) и (1.9.15)
раскрывается в виде
f ^9 ,f ^9 ,f дд дд . дд _ дд _ ^ Q 18^
Это линейное уравнение в частных производных первого
порядка. Следовательно, его решение задается вспомогательными
уравнениями
dx dy dz du\ du2 _ du^
JU\ JU2 Ju3 Jx Jy Jz
(1.9.19)
Любые два решения уравнений (1.9.19), содержащие щ, U2 или
^3) будут служить в качестве уравнений (1.9.15) и (1.9.16) при
выполнении условий совместности. Решим уравнения (1.9.14), (1.9.15)
и (1.9.16) относительно ui, U2 и из и подставим эти выражения
в (1.9.17). Интегрирование этого дифференциала даст искомое
решение.

1.9. Решение нелинейных уравнений первого порядка 4lj|
Пример 1.9.4. Используя метод Якоби, решить уравнение
р^х + q^y = Z. (1.9.20)
Решение. Положим р = и q = . Данное уравнение при-
«3 из
нимает вид:
хи^ + yul - zul = 0. ' (1.9.21)
Следовательно, вспомогательные уравнения Якоби следующие:
dx _ dy _ dz _ du\ _ du2 _ dus
2u\x 2u2y —2u3Z —«1 —«2 u'^
Из равенства первого и четвертого членов имеем: хи^ = а,
аналогично j/«2 = b, откуда, учитывая (1.9.21), получаем:
/а b a+b
X у у \ Z
Таким образом, соотношение du = uidx+U2dy+U3dz принимает вид:
/а , /Ь , а + Ь ,
du = * -dx + А -ay + \ dz,
\ X у у V 2
откуда имеем искомое решение .
и = 2у/ах + 2у/Ьу + 2-/(а + b)z + с.
Замечание. Если мы положим b = 1, с = Ь, то это решение
сведется к решению, полученному методом Лагранмса-Шарпи
(Проверьте!).
1.9.3. Специальные типы уравнений первого
порядка
Уравнения, содерсмсащие только р и q
Пусть дано уравнение в частных производных f(p,q) = 0. Тогда
вспомогательные уравнения Лагранжа-Шарпи имеют вид:
dx dy dz dp dq
fp fq Pfp + Qfq -ifx+pfz) -ify + Qfz)

42 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
Поскольку fx = fy = fz = О, мы имеем:
dp dq ,
Поскольку f{p,q) — О, то f(a,b) = О, и в общем случае b можно
выразить в виде Ь = (р{а). Таким образом,
р = а и q = (р{а).
Дифференциал dz = pdx + qdy принимает вид
dz = adx + (p{a)dy,
откуда, переобозначив константы, имеем искомое ретпение
Z = ах + ip{a)y + b.
Пример 1.9.5. Рассмотрим уравнение
p + q=pq.
Здесь
f:p + q-pq = 0 (1.9.22)
содержит только р и q.
Из уравнений Лагранжа Шарпи имеем:
р = а, q = Ь.
Подставляя эти выражения в (1.9.22), получаем:
a + b-ab = 0 ^ Ь =
а-1
Таким образом, dz = pdx + qdy приводит к искомому решению
Z = ах -\ -у + b или (а — 1){ах — z) + ау = с.

1
1.9. Решение нелинейных уравнений первого порядка 43
Уравнения, не содерсмсащие независимых переменных
Пусть дано уравнение в частных производных
f{z,p,q)=0 (1.9.23)
В этом случае вспомогательные уравнения Лагранжа-Шарпи
имеют вид:
dx dy dz dp dq
fp fq Pfp + Qfq -ifx + Pfz) -{fy + qfz) '
откуда в силу равенств f^ = Q = fy имеем:
^^^ ^ p = aq, (1.9.24)
p q
где a - - произвольная постоянная.
Решая систему уравнений (1.9.23) и (1.9.24) относительно р и q,
подставляя полученные выражения в dz = pdx + qdy и интегрируя,
мы получаем решение данного уравнения (1.9.23).
Пример 1.9.6. Рассмотрим уравнение в частных производных
z=p'^-q^, (1.9.25)
в котором, очевидно, х w у отсутствуют. Здесь
f{z,p,q)=p'^-q^-z = 0.
Как мы видели выше, в этом случае вспомогательные уравнения
Лагранжа- Шарпи приводятся к виду
^ = ^ ^ p^aq. (1.9.26)
р q
Теперь из уравнений (1.9.25) и (1.9.26) следует, что
Таким образом,
dz = pdx + qdy = "' dx + dy,
ya^ — 1 va - 1

44 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
что преобразуется к виду
dz
\/a^ — 1 —7= — adx + dy
^/z
или
2i/(a2 - l)z = ax-\-y-\-b,
это искомое решение.
Уравнения с разделяющимися переменными
Это случай, когда зависимая переменная z отсутствует и данное
уравнение может быть записано в виде
f{x,p) =g{y,q)
или
F = f{x,p)-g{y,q) = 0. (1.9.27)
Тогда уравнения Лагранжа- Шарпи
dx dy dz dp dq
Fp F, pFp + ^F, -{F^+pF,) -{Fy+qF,)
принимают вид
dx _ dy _^ dz _ ^P _ ^Я
fp -9q pfp - qgq -fx -Qy'
Из равенства первого и четвертого членов вытекает, что
fxdx + fj,dp = О,
следовательно, / — константа, т. е.
fix,p) = a и g{y,q)=a.
Эти уравнения могут быть решены относительно р w q, что при
подстановке в dz = pdx + qdy и последующем интегрировании
приводит к решению данного уравнения.

1.9. Решение нелинейных уравнений первого порядка 45
Пример 1.9.7. Рассмотрим уравнение в частных производных
которое приводится к виду с разделяющимися переменными
2 1 1 2
р^ q
Согласно изложенному выше, имеем: f{x,p) = с = д{у, q), т. е.
2 1 12
Решая эти уравнения относительно р и q, имеем:
_ , 1 1
^" V^^-^' ^ У' + С
Если переменные х, у и z вещественны, то интегрирование
dz = pdx + qdy требует рассмотрения трех случаев.
1. с = 0. В этом случае
,1 1
р = ±-, Ч=~2-
X У^
Подставляя эти выражения в dz = pdx + qdy, имеем:
11 1
dz = ±-dx-\—;rdy => z = ±ln\x\ \-b.
X y^ у
2. с > 0. Положим с = a^, a > 0. Выражения для р и q имеют в
этом случае вид;
, 1 ^ 1
W^^^^' ^ у'' + a-''
Имеем далее:
dx dy
dz - pdx + qdy = ± , = +
■ ^^2 _ ^2 j/2 ^ ^2'
откуда интегрированием получаем:
z = ±ln\x + y/x'^ - a^l + - arctg - + b.
a a

ff46 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
3. с < 0. Положим в этом случае с = —а^, а > 0. Выражения для
р и q имеют вид:
^ 1 ' 1
следовательно,
dx dv
dz = pdx + qdy = ± , - , + ^ 2'
откуда
± In Ix + va;2 + a^I + r— In
2a
a +
+ 6.
Таким образом, в каждом из трех случаев получено искомое
решение.
Если переменные х, у и z комплексные, то случаи 2 и 3 можно
объединить, и ответ будет другим. Мы оставляем это читателю в
качестве упражнения.
Уравнения Клеро
Уравнение в частных производных первого порядка вида
z=px + qy + f{p,q)
называется уравнением Клеро.
В этом случае вспомогательные уравнения Лагранжа-Шарпи
имеют вид
dx dy dz dp dq
x + fp y + fq px + qy + pfp + qfq 0 0
Два носледних члена дают
р = а и q = Ь,
следовательно, dz = adx + bdy и
z = ах + by + с, где с = /(а, Ь),
что является искомым решением.

1.9. Решение нелинейных уравнений первого порядка 47)1
Пример 1.9.8, Рассмотрим уравнение
pqz = p'^{xq+p'^) + q'^iyp + q^).
Оно может быть переписано как
Z = хр + yq +
p^+q^
РЯ
что является уравнением Клеро, следовательно, его решение имеет
вид
. а" + Ь^
Z = ах + Ьу -\ г—.
ао
1.9.4' Метод характеристик Коши
В этом параграфе мы рассмотрим метод решения нелинейных
уравнений в частных производных первого порядка, который основан в
значительной степени на геометрических идеях и впервые был
сформулирован Коши.
Как известно, плоскость, проходящая через точку P{xQ.,yQ,ZQ) с
нормалью, параллельной вектору п с координатами {po,Qo,~^)i
однозначно определяется множеством чисел A{xo,yo,zo,po,qo) и
наоборот, любое такое множество из пяти вещественных чисел,
определяет плоскость в трехмерном пpocтpaнcтвe^, поэтому множество
A{x,y,z,p,q) состоящее из пяти чисел, называется плоским
элементом пространства. В частности, плоский элемент {xQ.,yo,zo,po,qo),
компоненты которого удовлетворяют уравнению
F{x,y,z,p,q)=0, (1.9.28)
называется интегральным элементом уравнения (1.9.28) в
точке {хо, уо, zo).
Уравнение (1.9.28) может быть приведено к виду
q = G{x,y,z,p), (1.9.29)
из которого q может быть вычислено при заданных значениях^ х, у,
Z и р.
^Уравнение этой плоскости имеет вид z = zo+po{x—xo)+qo{y — yo). — Прим. пер.
^Это приведение заведомо возможно в окрестности тех точек, где ^ т^ О нри
условии, что функция F действительно содержит д (в противном случае F
содержит р и переменные можно переобозначить, 1шаче (1.9.28) не являлось бы
уравнением в частных производных). — Прим. пер.

Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
Зафиксировав xq, j/Q: •^о и изменяя р, мы получим множество
плоских элементов вида {xo,y(i,ZQ,p,G{xQ,yQ^ZQ,p)), которые
зависят только от р. При различных значениях р мы получаем
множество плоских элементов, задающих плоскости, проходящие через
точку Р (см. рис. 1.9.1), которые, следовательно, огибают конус с
вершиной Р. Конус, порожденный таким способом, называется
элементарным конусом или конусом Монжа уравнения в частных
производных (1.9.29) в точке Р.
Рисунок 1.9.1.
Чтобы решить исходное уравнение (1.9.28), мы найдем
характеристическое уравнение, для которого определим кривую С,
заданную в виде
x = x{t), y = y{t), z = z{t). (1.9.30)
Если в каждой своей точке эта кривая касается образующей
элементарного конуса (1.9.28), то полоса,'* связанная с этой кривой,
называется характеристической полосой.
Точка {х + dx, у + dy, z + dz) лежит на касательной плоскости к
элементарному конусу в точке (а;,у, z), если
dz = pdx -Ь qdy, (1.9.31)
где ж, у, Z, р, q удовлетворяют соотношению (1.9.28).
Полосой называется конфигурация, состоящая из кривой и семейства
соприкасающихся с ней плоскостей. — Ред.

1.9. Решение нелинейных уравнений первого порядка 49^
Дифференцируя (1.9.31) по р, имеем:
dx + -^dy = 0. (1.9.32)
ар
Дифференцируя также (1.9.28) пор, имеем:
др дд др
Из двух последних соотношений видно, что величины dx и dy
пропорциональны соответственно величинам Fp и Fg. Учитывая еще
и (1.9.31), получаем:
dx_dy_ dz
Fp- F,- pFp + qF,- ^^■''■''^>
Следовательно, вдоль характеристической кривой функции x'{t),
y'{t) и z'{t) пропорциональны соответственно Fp, Fg и pFp + qFg.
Следовательно, мы можем выбрать параметр t так, чтобы
x'{t) = Fp, y'{t) = Fg, z'{t) = pFp + qFg.
Далее, мы имеем: p = p{x,y), где x и у являются функциями от t.
Производная р по t, имеет вид:
p'{t) = ^x'{t) + ^y'{t) = Fp^ + Fg^ =P.Fp+q,Fg, (1.9.35)
поскольку Py = qx- Дифференцируя уравнение (1.9.28) по x, имеем:
dF dF dz dF dp dF dq
dx dz dx dp dx dq dx
или
Fx + pF, + Fppx + Fgqx = 0.
При использовании (1.9.35) это влечет
F:,+pF,+p'{t)=0,
следовательно,
p'{t) = -iFx+pF,). (1.9.36)
Аналогично можно заключить, что
q'{t) = -{Fy + qF,). (1.9.37)

50 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
Таким образом, мы имеем следующую систему обыкновенных
дифференциальных уравнений для нахождения характеристической
полосы.
x'{t)=F^, y'{t) = F,, z'{t)=pFp + qF„ ^^^^
p'{t) = -{F,+pF,), q'{t) = -{Fy + qF,).
Эти уравнения известны как характеристические уравнения Коши
уравнения (1.9.28).
Мы теперь можем решить задачу Коши, т. е. задачу о
нахождении интегральной поверхности уравнения F(a;, у, z,p^ q) = О, которая
проходит через кривую Г, имеюшую параметрические уравнения
X = ip{v), у = ^{v), Z = x{v)-
Таким образом, мы берем начальные значения х, у и z как функций
от t, удовлетворяюш,их характеристическим уравнениям (1.9.38), в
виде
хо = ip{v), уо = ^{v), zq = x{v)-
Тогда соответствующие начальные значения ро, qo определяются из
соотношений
x'iv)=Po'p'{v)+qo^'{v), F{<f{v),^{v),x{v),Po,qo)=0. (1.9.39)
Если мы подставим эти выражения для хо, Уо, zq, Ро, 9о вместе
с подходящим значением to в общее репюние характеристических
уравнений (1.9.38), мы получим, что х, у, z могут быть выражены
через параметры t, v в виде
x = Xi{v,t), y = Yi{v,t), z = Zy{v,t), (1.9.40)
т.е. мы найдем параметрические уравнения требуемой
интегральной поверхности, проходяп1,ей через кривую Г. Исключением v и t
из параметрических уравнений мы можем привести уравнение этой
поверхности к виду
f{x,y,z) =0.

1.9. Решение нелинейных уравнений первого порядка 51
Пример 1.9.9. Найти характеристики уравнения^
pq = z
и интегральную поверхность этого уравнения, проходящую через
параболу
ж = О, гр = Z.
Решение. Перепишем данное уравнение, введя функцию jP:
F{x,y,z,p,q)=pq-z = 0. (1.9.41)
Характеристические уравнения имеют вид:
x'{t) = Fj, = q,
y'{t):^Fg=p,
z'{t)=pFp + qFg = 2pq,
p'{t) = -{Fx+pF,) = -{Q+p-{-!))= p,
q'{t) = -{Fy + qF,) = -{Q + q- (-1)) = q. _
Данная кривая задается уравнениями
ж = О, у^ = Z.
Пусть уо = V, так что zq = г'^, и жо = О, to = 0.
Теперь величины ро, qo могут быть получены из
соотношений (1.9.39), которые в данном случае имеют вид:
4 = Рох'о + qoy'o =» 2v =po-0 + qo-l
=Ф- qo = 2v.
Имеем также из уравнения (1.9.41):
Poqo - zo = 0 => Ро • 2v - г)^ = О => ро - v/2.
Из уравнений x'{t) = q к q'{t) = q вытекает, что
dx dq , , л
— = — => dx — dq = U => X — q = ci.
Я g
*3десь, как и в следующем примере, характеристики не находятся,
выписываются только характеристические уравнения и решается задача Коши. — Прим. пер.

52 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
Используя начальные условия, имеем:
0-2v = ci =» ci = -2v,
откуда вытекает, что
X — q = —2v
или
x = q-2v. (1.9.42)
Кроме того, из уравнений y'{t) = р и p'{t) = р следует, что
dy dp
— = — => У-Р = С2.
Р Р
Из начальных условий имеем:
С2 = V — v/2 = v/2,
откуда
y=p + v/2. (1.9.43)
Также, уравнения pl{t) = р vi q'{t) = д имеют решения
р = сзе* и q = 046*.
Используя начальные условия, получаем:
Следовательно,
V
сз = 2 " '^4 == 2г).
р = -е* и q = 2ve*.
Подставляя эти равенства в выражения (1.9.42) и (1.9.43), получаем:
х = 2ь(е*-1) и 2/ = ^(е* + 1). (1.9.44)
Подставим выражения для ;? и § в характеристическое уравнение
z'{t) = 2pq =Ф- dz = 2pqdt.
Будем иметь
dz = 2г)^e^*di =» z = г)^e^* + С5.

1.9. Решение нелинейных уравнений первого порядка 53
Используя начальные условия, находим, что с^ = 0. Следовательно,
Z = v^e2* (1.9.45)
Соотношения (1.9.44) представляют собой систему линейных
уравнений относительно v и ve*, решая которую, получаем, в частности,
что ve*' — {х + 4?/)/4. Подставляя это выражение в (1.9.45), имеем
искомое решение:
X + 4у
Z = ■
Пример 1.9.10. Найти характеристики уравнения
2 2
z=p^ -д^
и интегральную поверхность, проходяшую через параболу
42 + аг^ = О, у = 0.
Решение. Как и в предыдущем примере, введем функцию jP,
переписав данное уравнение в виде
Fix,y,z,p,q)=p''~q^-z = 0. (1.9.46)
Характеристические уравнения имеют вид:
x'{t) = Fp = 2p y'{t) ^F, = -2q,
z'{t)=pFp + qFg = 2p'^-2g'^,
p'{t) = -{F,+pF,) = -{0 + p.{-l)) =p,
q'{t) = -{Fy + qF,) = -(0 -b 9 • (-1)) = q.
Данная кривая задана уравнениями
42 -f- ar^ = О, у = 0.
Мы выбираем начальные значения в виде
жо = 2г; =^> 2о = —г'^, уо = О и to = 0.
Здесь ро и qo определяются из системы условий (1.9.39) и
получаются равными
PQ = -г», qo - ±V2v.

54 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
Из характеристических уравнений следует, что
x'{t) = 2p'{t) и y'{t) = -2q'{t),
откуда
X у
-=p + Ci и - = -9 + С2.
Учитывая начальные условия, эти равенства дают соотношения
x = 2p + Av (1.9.47)
и
y = -2q± 2sf2v. (1.9.48)
Уравнения ^(t) — pvi q'{t) = q имеют решения
p — сзе* и q = С4е',
откуда
p=—'ue'' и q = ±wive'
< " - = ±^2г-*
ввиду начальных условий. Подставляя эти соотношения в
равенства (1.9.47) и (1.9.48), получаем:
ar = 2v(2-e'), у = ±2s/2v{l - е^). (1.9.49)
Подставляя выражения для р vi q в характеристическое уравнение
z'it) = 2(^,^ - q\
получаем:
dz = -2г)^e^'dг =Ф> 2 = -г)^e^* + cs,
откуда
2 = -г;2e^^ ^ (1.9.50)
поскольку С5 = о из начальных условий.
Соотношения (1.9.49) представляют собой систему линейных
уравнений относительно v и ve*, решая которую, получаем, в частности,
что ve* = (х ^ V2y)/2. Подставляя это выражение в (1.9.50),
получаем искомое решение:
z = ~{V2y±xf.

Упражнения 55j|
УПРАЖНЕНИЯ
1. Составить уравнения в частных производных методом
исключения произвольных постоянных из следующих соотношений:
(i) z={x-\-a){y + b),
(ii) йж^ + &y^ + 22 = 1,
(iii) z = x + y + f{xy),
(iv) z = fixy/z),
(v) z = f{x--y).
2. Найти общее рептение (интеграл) линейных уравнений в
частных производных:
(i) р{у + xz) -{х + yz)q = ж^ - 2/^,
(ii) ж(ж2 + Sy^)p - 2/(Зж^ + y^)q = 2z{-x^ + y^),
(iii) px{z - 2y2) = (2 - qy){z - 2/^ - 2x^),
(iv) y'^p - xyq = x{z ~ 2y),
(v) x'^p + y'^q = (ж -b y)z.
3. Для функции и от X, у и z, удовлетворяющей уравнению в
частных производных
, .ди , .ди, sdu ^
показать, что зависимость и от х, у vi z сводится к зависимости
только от ж -Ь 2/ + 2 и ж^ -Ь 2/^ + 2^.
4. Найти общий интеграл уравнения в частных производных
{2ху - 1)р +{z- 2x^)q = 2{х - yz),
а также частное решение этого уравнения, проходяп1;ее через
кривую ж^^-2/^ ~ у = 1, z = 0.
5. Найти интегральную поверхность уравнения
(ж - у)у'^р +{у- ж)ж^9 = (ж^ + y^)z,

56 Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
проходящую через кривую xz = а?, у = Q.
6. Найти общее решение уравнения
2х{у + z'^)p + у{2у + 2^)9 = z^
и вывести, что yz{z'^ +yz — 2у) = ж^ также является решением.
7. Найти обш;ее решение уравнения в частных производных
x{z + 2а)р + {xz + 2yz + 2ay)q = z{z - a).
Найти также интегральные поверхности данного уравнения,
проходящие через кривые
(i) 2/ = О, 2^ = 4аж,
(и) 2/= О, 2^ + ж(2 + a)2 = 0.
8. Найти интегральную поверхность линейного уравнения в
частных производных
ж(2/^ + z)p - 2/(ж^ + z)q = z{x^ - 2/^),
содержащую прямую ж + ?/ = 0, 2 = 1.
9. Найти поверхность, пересекающую поверхности семейства
z{x + у) = c{3z + 1)
ортогонально и проходящую через окружность
ar^ + y^ = l, z = 1.
10. Составить уравнение системы поверхностей, пересекаюпщх
ортогонально конусы семейства
ar^ + 2/^ + z^ = сху.
11. Найти общий вид уравнения поверхности, ортогональной
семейству
(а) ж(ж^ + 2/^ -I- z'^) = ciy^.

Упраоюнетля 57
Показать, что одним из таких ортогональных множеств
является семейство сфер, заданное уравнением
(Ь) ж^ + y^ + 2^ = С2-г.
Показать, что если существует семейство поверхностей,
ортогональных семействам (а) и (Ь), то оно должно удовлетворять
уравнению
2ar{ж^ - z'^)dx + 2/(Зж^ + 2/^ - z'^)dy + 2z{2x^ + y^)dz = 0.
Доказать, что такое семейство действительно существует, и
найти его уравнение.
12. Показать, что уравнения
хр = уд, z{xp + уд) = 2ху
совместны и найти их общее решение.
13. Доказать, что уравнения f{x,y,p,g) = О и д{х,у,р,д) = О
совместны, если
dif,g) , dif,g) _^
д{х,р) д{у,р)
Проверить, что уравнения р — Р{х, у) и д = Q{x, у) совместны,
дР dQ
если ^— = ^—.
оу ох
14. Доказать, что уравнение z = рх + ду совместно с любым
однородным уравнением
f{x,y,z,p,g) -О
по X, у, Z. Решить полностью систему уравнений
z=px + gy, 2ху(р^-\-д^) = z{yp + xg).
15. Проверить, что z = ax + by + a + b — аЪ является полным
интегралом от уравнения в частных производных
Z = рх + ду + р + д — рд.

Глава 1. Уравнения в частных производных первого порядка
Найти особое решение данного полного интеграла, а также
частное решение — огибающую семейства интегральных
поверхностей, проходяп];их через начало координат.
16. Решить следуюи],ие уравнения в частных производных методом
Лагранжа Шарли:
(i) р^х + q^y = Z,
(И) xp + 3yq = 2{z-x'^q'^),
(Ш) рх^ - Vж^ + 6x'^z -2 = 0,
(iv) 2{y + zq) = q{xp + yq),
(v) 2{z + xp + yq) = yp'^.
17. Найти полный интеграл уравнения в частных производных
р^х + pqy = 2pz + X,
соответствующий интегралу уравнений Лагранжа-Шарпи,
включающих q VI у ъ числителе^, в виде
2z = ау'^ + 6ж^ - 7-
о
Вывести уравнение интегральной поверхности, проходящей
через прямую у = I, X = Z.
18. Доказать, что единственной интегральной поверхностью
уравнения
2q{z-px-qy) = l + 9^,
описанной около параболоида
2х = 2/^ + 2^,
является огибающий цилиндр, который касается параболоида
вдоль его сечения плоскостью
у+ 1 = 0.
^как можно понять, имеются в виду уравнения -z- = —т-z т-^ из (1.9.4)
ft -ifv+QTz)
Прим. пер.

Упражнения 59
19. Найти интегральную поверхность уравнения в частных
производных
соприкасающуюся с поверхностью седла x^ — 2^ = 2у.
20. Вывести метод решения уравнений в чгьстных производных вида
, f ди ди\ { ди ди
Найти таким способом полный интеграл уравнения
21. Решить нелинейные уравнения в частных производных:
(i) pq = 1,
(ii) p^z^ + 5^ = 1,
(iii) p^y{l + x^) = qx^,
(iv) (p + q){z - xp - yq) = I,
(v) zpq = p + 9,
(vi) p^q^ + ж^2/^ = ж^9^(ж■^ + ?/^).
22. Найти интегральную поверхность уравнения
z=^{p^ + q^) + {p-x){q-y),
проходяшую через ось ОХ.
23. Найти характеристики уравнения jo^ + 9^ = 4гг и его решение,
принимающее вид 2 = ж^ + 1 при у = 0.

ГЛАВА 2
УРАВНЕНИЯ
В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ
ВТОРОГО
ПОРЯДКА
2.1. Один из источников уравнений
второго порядка
Рассмотрим функцию
z^f{u)+9iv)+w, (2.1.1)
где f VI д ■- произвольные функции от unv соответственно, и и, v,
W функции от X VI у.
Мы пишем
_dz^ _dz^ _^ d'^z d'^z
^~ дх' ^ ~ ду ' '' ~ aж^ ' ^ ~ дхду ' ду^'
Дифференцируя (2.1.1) по ж и по у, получаем соответственно:
p^f'{u)u^+g'{v)v^ + Wr, (2.1.2)
q ^ f'{u)uy + д'{v)vy + Wy. (2.1.3)
Беря вторые частные производные, имеем:
г = f"{u)ul + f'{u)u:,:, + д" {v)vl + g'{v)v^^ + w^^, (2.1.4)
s = f"{u)uxUy + g"{v)vxVy + f'{u)uj:y + g'{v)vxy + w^y, (2.1.5)
t = f"iu)ul + f{u)uyy + g"{v)vl + g'{v)vyy + Wyy. (2.1.6)

2.1. Один из источников уравнений второго порядка 61
%
3 данный момент пять уравнений, с (2.1.2) по (2.1.6), содержат четь-
ре произвольных величины: д', /', д" и /". Исключая эти величины
лы получаем соотношение
p-Wx
q-Wy
г -Wxx
Ux
Uy
^XX
Vx
Vy
"^XX
0
0
ul
0
0
vl
S "^xy '^xy ^xy '^^x'^y '^x'^y
'^yy '^yy ^yy
ur,
= 0,
(2.1.7)
"coTopoe содержит только p, q, r, s, t я известные функции от x я у,
следовательно, оно является уравнением с частными производными
второго порядка.
Если мы разложим определитель (2.1.7) по первому столбцу, мы
лолучим уравнение
Rr + Ss + Tt + Pp + Qq = W,
(2.1.8)
"де Л, S, Г, Р, Q и FT — известные функции от ж и у.
Следовательно, функция (2.1.1) является решением линейного уравнения с
частными производными второго порядка (2.1.8), которое является
"^астным типом уравнения второго порядка и не содержит зависи-
лую переменную z.
Чример 2.1.1. Если и = f{x + гу) + д{х — гу), где /яд — про-
13вольные дважды непрерывно дифференцируемые функции, пока-
jaTb, что
д^и д^и _
дх^ ду^
^ешение. Дифференцируя и дважды по ж, имеем:
ди
— = f{x + гу) + д'{х - iy)
дх"^
f"{x-hiy)+g"{x-iy).
(2.1.9)
Дифференцируя и по у, получаем
ди
ду
if'ix + iy)-ig'{x-iy),

62 Глава 2. Уравнения в частных производных второго порядка
взяв вторую производную, имеем:
0 = -Пх + iy) - д"{х - iy). (2.1.10)
Складывая (2.1.9) и (2.1.10), получаем:
дх^ ду^
что и требовалось.
Пример 1Л..1. Если /ид — произвольные дважды непрерывно
дифференцируемые функции одного аргумента, показать, что
и = f{x - vt + iay) + д{х — vt — гау). (2.1.11)
является решением уравнения
ёР'и д^и 1 д^и
дх'^ ду'^ (? 9f^
при условии a^ = 1 — г;^/c^.
Решение. Дифференцируя (2.1.11) дважды по ж, получаем:
ди ... . ч // , ■ \
-г- = / (ж — ui + гау) + д [х - vt — гау)
ох
и
-^ = f"{x -vt + iay) + д"{х - vt - iay). (2.1.12)
Аналогично, дифференцируя (2.1.11) дважды по у и по i, имеем
соответственно:
~ = -а^ [f"{x -vt + iay) + д"{х - vt - iay)] (2.1.13)
и
-Q^ = v'^ [f"{x -vt + iay) + g"{x - vt - iay)]. (2.1.14)
Складывая (2.1.12) и (2.1.13) и используя (2.1.14), получаем:
д^и 9^u ,^ 9vrw// . ч /// • ч1 1 - а^ 5^u
5^+5^ = (!-«)[/ ix-vt+iay)+g (х - vt - гау)] =—^-^ ,

2.2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 63
что можно переписать в виде
+
9^2 ду"^ с2 dfi '
где а = I — V /с . Таким образом, функция и, заданная
формулой (2.1.11), является решением данного дифференциального
уравнения.
2.2. Линейные уравнения с постоянными
коэффициентами
Уравнение
FiD,D')z = f{x,y), (2.2.1)
где F{D, D') — дифференциальный оператор вида
F{D, £»') = Е Е CrsD'-D'', (2.2.2)
г S
в котором коэффициенты Crs постоянные, D = ^ я D' = -щ-,
называется линейным уравнением в частных производных с
постоянными коэффициентами.
PetueHue как сумма двух частей. Любое наиболее общее
решение соответствующего однородного уравнения в частных
производных
F{D,D')z = 0 (2.2.3)
называется дополняющей функцией уравнения (2.2.1), как и в случае
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Аналогичным образом, любое решение уравнения (2.2.1), не
содержащее произвольной постоянной или произвольной функции,
называется частным решением уравнения (2.2.1). Таким образом,
общее решение уравнения (2.2.1) является суммой дополняющей
функции {zoo — общего решения однородного уравнения) и частного
решения (zvin) неоднородного уравнения (2.2.1). Поэтому
Z = ^оо + ^чн-

64 Глава 2. Уравнения в частных производных второго порядка
Теорема 2.2.1. Пусть ui,U2, ... ,Un решения однородного
линейного уравнения в частных производных F{D,D')z = О, тогда
решением его является также Yl^=\ СгЩ, где С^ — произвольные
постоянные.
Доказательство. Поскольку функции щ, г = 1,2,3, ... п,
являются решениями уравнения в частных производных
мы имеем:
Поэтому
и
F{D,D')z = {), (2.2.4)
F{D,D')ur = Q. (2.2.5)
F{D,D'){CrUr) = CrFiD,D')ur
n n
F{D,D')^Ur = ^F{D,D')ur
r=l r=l
для любого набора функций Ur. Следовательно,
F{D,D')J2CrUr = ^F{D,D'){CrUr) ^^CrF{D,D')ur = Q
r=l r=l r=l
в силу (2.2.5). Отсюда следует, что
п
Z = у UrUr
r=l
= Ecr
является решением данного уравнения (2.2.4). ■
Замечание. Мы подразделяем операторы F{D,D') на два класса:
приводимые и неприводимые. ^
(a) Приводимые: Оператор F{D, D') называется приводимым,
если он может быть представлен в виде произведения
операторов меньшей степени: F{D,D') = Fi{D,D')F2{D,D')
(b) Неприводимые: Оператор F{D,D') называется
неприводимым, если он приводимым не является.
Оператор F{D,D') называется вполне приводимым, если он
может быть разложен на линейные множители вида aD ■+■ /3D' ■+■ 7, где
а, /3 и 7 ' ^ постоянные.

I
2.2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 65^
Например, оператор
Fi{D,D') = D^~- Z>'2 = (£> - D'){D + D')
приводим и даже вполне приводим, в то время как F2{D, D') = D^ + D'
неприводим.
Уравнение в частных производных F{D,D')z = f{x,y)
называется неприводимым, приводимым или вполне приводимым, если
таковым является оператор F{D,D').
Теорема 2.2.2. Пусть аг£>+/3г£>'+7г -' сомножитель в разложении
оператора F{D,D'), т.е. F{D,D') = Fi{D,D'){arD + 0rD' + ъ), и
</?г(0 — произвольная функция одного переменного, тогда функция
Ur = ехр I —— 1 (friPrX — агу) при а,. ^0
\ OLr J
является решением уравнения
F{D,D')z = Q. . (2.2.6)
Доказательство. Требуется доказать, что функция
—^ I ^PtWtX — щу) (2.2.7)
OLr )
является решением уравнения (2.2.6).
Дифференцируя (2.2.7) по ж и по у, имеем соответственно:
Dur = —-Ur + Pr ехр I —— I (p'riPrX - агу),
«г \ Olr J
—— (/?'(/ЗгЖ - агу).
«г /
Следовательно,
(arD + prD' + 7г)мг = 0. (2.2.8)
По условию arD+j3rD'+'уг — сомножитель в разложении оператора
F{D,D'), это означает, что
F{D, D')ur = F'(Z>, D'){arD + 0rD' + jr)ur, (2.2.9)
3-6851

66 Глава 2. Уравнения в частных производных второго порядка
поскольку операторы D и D' коммутируют с умножением на
константу и между собой. Объединяя (2.2.8) и (2.2.9), заключаем, что
F{D, D')ur = 0.
Таким образом, функция
Ur — ехр I — ) ipri^rX — СИгУ)
\ аг J
является решением уравнения (2.2.6). Что и требовалось. ■
2.3. Методы решения линейных уравнений
2.3.1. Региение вполне приводимых уравнений
Пусть дано линейное уравнение в частных производных:
FiD,D')z^f{x,y). • (2.3.1)
Поскольку оно вполне приводимо,
п
F{D, D')z = \{{arD + PrD' + ъ>. (2.3.2)
г=1
Если Z удовлетворяет уравнениям {arD + /3rD' + jr)^ = О при
г = 1,2, ... п, то это дает нам дополняющую функцию. Теперь
dz ^ dz ^
olt-^ +Рг-^ + 7г-г = 0
ох оу
— линейное уравнение первого порядка, поэтому
dx dy dz
Равенство первых двух членов дает нам соотношение
в котором Сг — константа.
(2.3.3)

2.3. Методы решенья линейных уравнений 67
Пусть аг 7^ 0. Тогда
1 dz —7г л ("IrX
— -^ Z = Aj. ехр
Z dx ат \ а.
где Аг — константа.
Следовательно,
Z = (рг{сг) ехр ( —— I = (pr{0rX — сигу) ехр
Мы предположили, что аг Ф О, поэтому
" (-
-^00 = ^ Ч>Л^тХ - агу) ехр ( -
г-=1 ^
аг
где (рг - произвольные функции.
Особый случай. Если аг = О, то линейное уравнение первого
порядка, написанное перед (2.3.3), имеет вид
.9z
И (2.3.3) заменяется на
dy dz
j3r -ъ^'
откуда Z = Сг ехр ( ^3^ 1 при фиксированном х, следовательно,
Z = >рг{РгЗ:)ехр
/Зг
и такой вид принимает соответствуюп1,ее слагаемое в zqo-
Два случая, рассмотренные выше, применимы, если в
разложении оператора F{D, D') нет повторяющихся, точнее,
пропорциональных, множителей вида (a^D + /9г£>' + 7г)-
Случай кратных мноэюителей.
Пусть дифференциальный оператор F(D,D'), стоящий в левой
части уравнения (2.3.1), имеет в разложении кратные множители.
Предположим, что в разложение F{D,D') входит (аг£>+/3г£^'+7г)^-
Тогда мы имеем:

68 Глава 2. Уравнения в частных производных второго порядка
{a^D + prD' + ^rfz = О (2.3.4)
или
{arD + /3rD' + 7r)^ = ^1, где (arD + prD' + 7^)21 = 0.
Следовательно,
zi = ifriPrX - агу) exp I —^ j . (2.3.5)
Имеем:
или
(arD + prD' + 7r)^r = (ргфгХ - схгу) exp | —— ]
(arD + j3rD')z = exp ( —— ] ipriprX - агу) - 7r2.
Следовательно,
dx dy dz
exp I 1 (prK^rX - агу) - ъ^
откуда
j3rX — агУ = Cr,
где Cr — постоянная. Имеем также:
d^ Ъ 1 (-1тх\ ,^ .
Частное решение соответствующего однородного линейного
уравнения Z40 = ехр ( —^), следовательно, мы получаем:
d I г;exp I -^ I I = —(pr{Cr)dx,
\ \СУ.г J J OLr
откуда
zexp ( ^^ ) = —<Рг(Сг) + V'r(C'r)
\ar ) ar
или, с точностью до переобозначения функции </?г)
—^— \ \фг{^тХ - агу) + x^pri^rX - агу)] .

2.3. Методы решения линейных уравнений 69
Эта процедура допускает обобщение для линейных множителей
любой кратности. Добавляя последнее выражение к сумме других
решений, соответствующих однократным линейным множителям,
получаем искомую дополняющую функцию.
2.3.2. Региение уравнений, не являющихся
вполне приводимыми
Рассмотрим линейное уравнение в частных производных с
постоянными коэффициентами
F{D,D')z = fix,y), (2.3.6)
не являющееся вполне приводимым. Пусть имеет место разложение
FiD,D') = FiiD,D')F2iD,D') ...Fn{D,D'\
где операторы Fi,F2, ... ,F„-i неприводимы и имеют степень не
меньше двух, а F„ - вполне приводим.
Тогда решения, соответствующие линейным множителям в
разложении Fn, могут быть получены согласно изложенному выше; они
имеют вид
—^ ) Ч^тШгХ — агу) при а^ 7^ О
аг )
и
ехр I '' I (friPrx) при аг = 0.
Чтобы найти решения, соответствующие неприводимому
сомножителю Fi{D,D'), предположим, что функция z = е"^"*"*^
удовлетворяет уравнению Fi (D, D')z = 0. Тогда функция
Fl{D,D')e'^''+^^ = Fl{a,b)e'^''+^^
должна быть тождественно равна нулю, значит, должно
выполняться условие Fi{a,b) — 0. Следовательно,
J2Cre^^^
г
где Fi {йг, Ьг) = О, г = 1,2,3, ..., является дополняющей функцией,
соответствующей неприводимому множителю.

70 Глава 2. Уравнения в частных производных второго порядка
Произвольные постоянные а^. и Ь^ могут быть выбраны в
зависимости от данных условий.
Аналогично находятся решения, соответствующие остальным
неприводимым множителям.
2.3.3. Правила нахоснсденгля дополняющих
функций
Мы объясним метод нахождения дополняюп1,ей функции для
уравнения в частных производных второго порядка. Он может быть
легко обобщен на случай уравнений высп1их порядков.
Рассмотрим уравнение
d'^z d^z ^z
которое в символьном виде может быть переписано как
iD^-haiDD' + a2D'^)z = 0, (2.3.7)
где D = -^ я D' = ■^. Тогда уравнение
т + aim + а2 = О, (2.3.8)
называется вспомогательным уравнением.
Пусть mi и т'2 корни уравнения (2.3.8).
Случай I. При т\ Ф шг уравнение (2.3.7) может быть записано
в виде
{D-mxD'){D-m2D')z = ^. (2.3.9)
В этом случае решение уравнения (D — m2D')z = О будет также
решением (2.3.9). Но
{D - m2D')z = 0 => р- т2Я - О,
что является уравнением в форме Лагранжа, и его вспомогательные
уравнения имеют вид
dx _ dy _ dz
1 —m2 О
Равенство первых двух членов дает dy + шг^ж = О, откуда
у + т2Х = Ci.

2.3. Методы решения линейных уравнений 71
Имеем также:
dz = {) => Z = С2.
Следовательно, z = /^(у + т2х) является решением уравнения
{D — m2D')z — О, где /г - произвольная функция.
Аналогично, уравнению (2.3.9) будет удовлетворять решение
уравнения
{D~miD')z = d, т.е. z = fi{y + mix),
где /i - другая произвольная функция.
Следовательно, полным решением уравнения (2.3.7) является
z = h{y + 1^1^) + h{y + т2х).
Случай II. В случае, когда вспомогательное уравнение (2.3.8)
имеет равные корни mi = тг = т, уравнение (2.3.7) может быть
переписано как
{D - mD'fz - 0. (2.3.10)
Положим {D — mD')z = и, тогда уравнение (2.3.10) принимает вид
{D - mD')u = 0.
Его решением является и = f{y + тх), как доказано в случае I.
Поэтому соотношение {D — mD')z — и принимает вид
шш
откуда
1 ~т f{y + тх) '
Теперь из равенства первых двух членов вытекает, что
dy + mdx = О или у + тх = ci.
Имеем также:
dx dz
[D-
Р'
dx
-mD')
- mq -
dy
z = f{y + mx)
= f{y + mx),
dz
1 /(ci)
dz = f{ci)dx,

72 Глава 2. Уравнения в частных производных второго порядка
Z = xf{ci) + C2, т.е. Z = xf{y + mx) + С2.
Таким образом, полное решение уравнения (2.3.7) имеет вид
^ = fi{y + тх) + xf2{y + тх).
Обобщая результаты случаев 1 и 2, мы имеем следующий метод
нахождения дополняющей функции.
(i) Если все корни mi, Ш2, тз, ■■■ вспомогательного уравнения
(написанного аналогично (2.3.8)) различны, то
-г^оо = fi{y + niix) + /2(2/ + т2х) + /з(г/ + тзх) + ■■■ ,
где /i, /2, /3, • • • — произвольные функции.
(ii) Если два корня вспомогательного уравнения совпадают, т.е.
т2 = Ш1, то
-г^оо = /i(y + гщх) + xf2{y + mix) + /з(г/ + тпзх) + ■■■ ,
где /i, /2, /3, ... — произвольные функции.
(iii) Если совпадают три корня вспомогательного уравнения, т. е.
тз = т2 = Ш1, то
-г^оо = fi{y+mix)+xf2{y+mix)+x^f3{y+mix)+f4{y+m4x) ■■■ ,
где /ь /2, /з; • • • — произвольные функции. И так далее.
2.3.4' Правила нахоэюдения частных решений
Частное решение (^чн) уравнения
F{D,D')z^f{x,y),
V
где
F{D, D') = Z?" + aiD'^-^D' + a2D'^-^D'^ + ■■■ + UnD"",
задается формулой^ z^h = ^rm в'Л^^^'У^'
'Здесь и в дальнейшем через r\.^f{x^v) обозначается какой-либо прообраз
F(D,D )
функции /(ж, у) относительно действия оператора F{D, D'), т. е. один из
элементов множества [F{D, D')]~^ f{x,y). — Прим. пер.

2.3. Методы решения линейных уравнений 73
Случай 1. Быстрые методы нахождения частных
региений.
(i) Если f{x,y) = 6-+"^, то ^чн = ^^д д,^в""+'^ = -р^^""'''^
при F{a, Ь) ф 0. Случай F(a, 6) = О называется слз/чаем отказа^.
(ii) При f{x,y) = sin(aa; + by), поскольку многочлен F{D,D')
однороден, можно взять
(-г)"
sin(aa; + by) для четного п,
F{a,b)
^чн — ^ ,,
(_Лп+1
————- cos(ax + by) для нечетного п,
F{a, b)
при условии -F(a, b) ф О, иначе говорят, что имеет место
случай отказа. Аналогичное правило может быть выведено для
функции /(ж, у) = cos(aa; + by).
(iii) Если f{x,y) = а;*"у*, где г, s — целые положительные числа, то
Если г < S, мы разлагаем [F{D,D')]~^ по степеням D/D', а
при /• > S — по степеням D'/D. Имеем кроме того:
р/(а;,2/)= / f{x,y)dx и ■^f{x,y)= / f{x,y)dy.
j/=const a;=const
Случай 2. Общий мет.од нахождения частного
реиления.
Общий метод применим во всех случаях, когда /(ж, у) не имеет вида,
описанного выше, или когда быстрые методы дают отказ.
Полином F{D,D') может быть в общем случае разложен на п
*Так переведен авторский термин «failure». В этом случае быстрый метод
отказывает, и надо применять либо общий метод (см. ниже), либо комбинированный
метод (см. пример 2.3.1) — Прим. пер.

74 Глава 2. Уравнения в частных производных второго порядка
линейных множителей^ поэтому
{D - miD'){D - m2D') ...{D- гппП')^^^'^^ "
^ 1 1 __J___f( )
[D-miD') {D-m2D')"' {D - mnD'Y^^''^''
Найдем — =—f{x,y). Рассмотрим уравнение
{D-mD')z ~ f{x,y) или p-mq = f{x,y).
Имеем вспомогательные уравнения
dx dy dz
1 -m f{x,y)'
Равенство первых двух членов дает
dy + mdx = О или у + тпх = с.
Из равенства первого и последнего членов имеем:
dz = f{x, y)dx = f{x, с — mx)dx.
Следовательно,
z= f{x,c — mx)dx
или
D-mD'^^^' ^^ " / /(a^' с - mx)dx,
где с после интегрирования заменяется на г/ + тх. Таким образом,
частное решение ^чн может быть найдено многократным
применением этой процедуры.
'над С — Прим. пер.

2.3. Методы решения линейных уравнений 75
Пример 2.3.1. Решить уравнение
дх^ дх^ду дхду^ дх^
Решение. Данное уравнение может быть переписано в виде
(рз - 2D'^D' - DD'^ + 2D'^)z = e^+^ (2.3.11)
F{D, D') = D^ - 2D^D' - DD'^ + 2D'^ =
= {D- 2D'){D'^ - D'^) = {D- D'){D + D'){D - 2D').
Теперь
,^ ^is ^ dz dz ^ dx dy
откуда
y + 2x = ci.
Итак, произвольно выбранная функция от у+2х, скажем, (pi{y+2x)^
является решением уравнения (2.3.11).
Снова,
^/ч dx dy
(D + D')z = 0 ^ Y = Y ^ y-x = C2.
Следовательно, решением уравнения (2.3.11) будет также
произвольная функция от у — х, скажем, ip2{y — х).
Аналогично, 1рз{х + у) будет решением уравнения (2.3.11),
соответствующим множителю {D — D').
Таким образом, '
Zoo = 'Pi{y + 2ж) + ip2{y -х) + (рз{у + х).
Частное решение имеет вид:
^ _ __Z___pX+y — f,x+y _
"*" F{D, D') [D- D') [D + D')[D - 2D')
1
[D-D') L(l + l)(l-2)
gX+j/
(f+y
2{D- D')

76 Глава 2. Уравнения в частных производных второго порядка
Пусть W = — TZK^^^^i тогда {D — D')w — е^"*"^. Следовательно,
dx dy dw
1 -1 е^+У
Равенство первых двух членов дает
dx + dy = д => а; + у = const — с
и
W = хе'^ = хе^^^.
dw _ dx
"ё^ ~ Т
Следовательно,
^ 1 X+V
Таким образом, полное решение данного уравнения имеет вид
z = ^P\{y + 2а;) + ip2{y ~х) + (рз{у + х) - -а;е^+^.
Пример 2.3.2. Найти решение уравнения Vf^ = е~^cosy,
стремящееся к нулю при а; —> оо и равное cos у при а; = 0.
Решение. Данное уравнение имеет вид
^-"2 + ^-^ = 6 ""cosy ИЛИ (D^ + £)'^)гг = е ^cosy,
следовательно, дополняющая функция является решением
уравнения
{D^ + D'^)z = 0. (2.3.12)
Пусть Z = е"'^^^ — решение уравнения (2.3.12). Тогда
(а^ + б2)еах+б2/ ^ Q ^ а^ + б2 ^ 0.
оо
Откуда Zoo = ^ Лгб"'^^"'''''^^, где Аг — постоянные и а^ -Ь 6^ — О-
г=0
Теперь
^чн= p2:jr^e-^cosy = cosy^23T^"" =
= arcosy—-е~^ = —— coswe"^.
^2D 2

2.3. Методы решения линейных уравнений 77
Следовательно,
оо
2г = ^оо + 2;чн = J]]^e"'-^+''^^ - le-'^cos?/,
г=0
где а^ + 6г = 0.
Поскольку гг —> О при а; ^ оо, числа а^ должны быть
отрицательными. Пусть
йг = —\г, К > О, тогда Ьг = ±i\r.
Следовательно,
оо
Z - У2 Агв"^''^е^^^""^ е'^ cos у =
г=0
оо
X
^5^6 ^'''^cos{\ry + €г) --е ""cosy,
г=0
где Ег — постоянные.
Далее, z = cos у при а; ^^ О, поэтому
оо
COS у — 2_] Вг COs{\ry + £г),
г=0
откуда
I 1 при г ~ О, ' „ 11 при /• = О,
Хг=< £г = О при всех г и Вг = <
10 при г 7^ О, [О при г ^ 0.
Таким образом, искомое решение имеет вид:
\у- -xe~''cosy= ^1 - -je'^'cosy.
д^у ду п д^у
Пример 2.3.3. Показать, что уравнение "^rj + 2к— = с ---^ имеет
решение вида
оо
22i Сге~''* cos{aj.x + е^) cos{wrt + Sr),
r=0
где Cr, ctj., Cr, Sr — постоянные и w^ = a^(? ~ k^.

78 Глава 2. Уравнения в частных производных второго порядка
Решение. Пусть у = е"^+''* - решение данного уравнения. Тогда
мы имеем:
Ь^ + 2кЬ - с?<? = О,
откуда
Ь= ~к± л/W+a^.
Вообще говоря,
Ьг = -к± i/A;2 + а^с^.
Если al = —аН, то
Ьг = —к± \/к^ — а^с^ = —к ± iw,.
где
Следовательно,
«;2 = afc'' - к\
У _ gbrtgOrX _ ^-kt^±iwrt^±iarx
ИЛИ
у = \] Сгв *^* cos(ar^ + ^г) cos{wrt + dj.)-,
где все Сг, аг, Wr^ £г я дг — постоянные. Что и требовалось доказать.
2.4. Классификация уравнений
в частных производных второго порядка
Наиболее общим видом линейного уравнения в частных
производных второго порядка с неизвестной функцией и в области Q
пространства с координатами {xi), г = 1,2, 3, ... , п является
п п
Y^ Aiju^^xj + Yl ^^"^г + ^Ы) = G'- (2-4.1)
i,j=l г=1
Классификация таких уравнений зависит только от
присутствующих в них старших производных и мотивируется классификацией
квадратичных уравнений вида
Ах^ + Вху + Cy'^ + Dx + Ey + F = Q, (2.4.2)

i
2-4- Классификация уравнений второго порядка 79
которые могут иметь эллиптический, параболический или
гиперболический тип в соответствии с тем, является ли дискриминант
5^ — ААС отрицательным, нулевым или положительным.
Определение. Уравнение, линейное относительно частных
производных второго порядка, т. е. относительно г, s и t, называется
квазилинейным Ур^1П второго порядка.
Например, уравнение
Rr + Ss + Tt + fix,y,z,p,q) = 0, (2.4.3)
где функция f(x, г/, z, р, q) не обязательно линейная, является
квазилинейным уравнением в частных производных. Здесь
коэффициенты i?, S, Т являются функциями от X и у.
Говорят, что уравнение (2.4.3)
(i) имеет эллиптический тип, если S^ — ART < О,
(ii) имеет параболический тип, если S^ — ART = О, и
(iii) имеет гиперболический тип, если ^2 - ART > О
в точке {хо,уо).
Если это верно во всех точках области П, то уравнение (2.4.3)
называется уравнением эллиптического, параболического или
гиперболического типа в этой области. Если имеется две или три
независимых переменных, то всегда можно найти преобразование,
приводящее данное УрЧП к канонической форме (нормальной форме).
Вообще говоря, если число независимых переменных больше трех,
то такое преобразование найти невозможно, за исключением
некоторых особых случаев. Идея приведения данного УрЧП к
канонической форме состоит в том, что уравнение приводится к простому
виду, так что последующее решение уравнения оказывается несложным.
2.4-1- Канонические формы
Чтобы привести уравнение в частных производных (2.4.3) к
канонической форме, мы применяем преобразование
^ = ^{х,у), г] = г]{х,у) (2.4.4)
такое, что функции ^ и г/ бесконечно дифференцируемы и якобиан
= ^хГ]у ~ iyTjx ф О (2.4.5)
J=^(^'^)
д{х, у)
Vx Ъ

^80 Глава 2. Уравнения в частных производных второго порядка
в области П, в которой рассматривается уравнение (2.4.3).
Мы имеем:
dz dz д^ dz dri . ■ .
d'^z д
г = -^ = аж^^^"^^ '^ '^^'^''^ ^ ^^"^^^ "^ "^^^^^ "^ '^^'^'''' "^ '^'''^^^ "^ "^^xVx^Ti,
t =
d^z
* ~ ^у2 "" ^^^^У "^ ^^yVyHv + ■^'?'?'7j/ + ■2r^^j/j/ + гг^%2/,
s =
Подставляя эти выражения для р, 9, г, s и f в (2.4.3), получаем:
(2.4.6)
где
A{u,v) = Ru^ + Suv + Tv^,
2B{ui,Vl,U2.,V2) — 2Ru\U2 + S{uiV2 + U2V1) + 2TV\V2-
Можно легко проверить, что
2В\^,,^у,г)^,щ) - А{^,,^у)А{1),,щ) = iS^-4RT)J, (2.4.7)
где J — якобиан замены, заданный формулой (2.4.5).
Случай I. S^ - 4RT > 0.
При условии S^ — ART > О уравнение
R\^ + S\ + T = 0
имеет различные вещественные корни. Пусть эти корни Ai и Аг-
Выберем ^ и rj так, чтобы
^х = AiCj/, % = А2%. (2.4.8)
Теперь поскольку ^х = М^у эквивалентно равенству ^х ~ М^у = О,
являющемуся линейным уравнением в частных производных
первого порядка, мы имеем:
dx dy __ d^

t
2.4- Классификация уравнений второго порядка 81
откуда d^ = О => ^ = const и
• / + Ai(x,y)=0. (2.4.9)
—Ai 1 dx
Аналогично,
£ + А2{х,у) = 0. (2.4.10)
V
Пусть решения этих уравнений заданы в виде f\{x,y) = const и
h{x-,y) = const. Таким образом, мы получаем:
^ = fi{x,y) и V = f2{x,y). (2.4.11)
Теперь
А{^.,^у) ^Щ1 + SUy + теу = fy{R^1 + SXi +Т) = еу-0 = 0,
поскольку Ai является корнем уравнения
RX'^ + SX + T = 0. (2.4.12)
Аналогично, A{i]x,r)y) = О, так как Аг также является корнем (2.4.12).
Имеем:
В^ = (S^ - 4RT)J ф О,
следовательно, уравнение (2.4.6) приводится к виду
4n = 9{^,V,z,4^^n)^ (2.4.13)
который является требуемой канонической формой для уравнения
гиперболического типа.
Случай II. S'^-ШТ = 0. В этом случае уравнение ДА^+^А+Т = О
имеет равные корни Ai = Аг = А. Мы выбираем ^ = fi{x,y), где
fi{x,y) = const — решение уравнения
^+А(х,у)=0.
ах
Поскольку в данном случае А{^х,^у) = О и S^ — ART = О, из (2.4.7)
следует, что В = Q.
Однако, А{г)х-,'Пу) Ф 0^ иначе г] будет зависеть от ^. Используя
равенства A(^^xii,y) = О = 5 в уравнении (2.4.6), мы получаем
гщ=д{^,^,^,Ч'^п)^ (2.4.14)

С82 Глава 2. Уравнения в частных производных второго порядка
что является канонической формой дая уравнения параболического
типа.
Случай III. S"^ — 4RT < 0. В этом случае корни уравнения
RX^ + SX + T = 0
комплексно сопряженные, с ненулевыми мнимыми частями, поэтому
функции ^ я т) также будут комплексно сопряженными.
Пусть ^ = а + ip и Г) = а — г0, тогда
При этом преобразовании мы имеем:
откуда
И, преобразовав ответ (2.4.13) случая I, получаем каноническая
форма уравнения эллиптического типа:
Zaa + Zi30 = ip{a,0,Z,Za,Z^). (2.4.15)
Пример 2.4.1. Привести уравнение
2 9^z d^z 2 ^^^ _ У^ ^^ ^^ ^^ со 4 i а\
дх^ дхду ду^ х дх у ду
к канонической форме и затем его решить.
Ре1пение. Имеем: R = у^^ S = —2ху, Т = х"^, откуда
S^ - ШТ = Ах'^у^ - 4ж2у2 = 0.
Следовательно, данное уравнение (2.4.16) имеет параболический тип.
Теперь
R\^ + S\ + T = Q =^ у2А2 - 2ху\ + ж^ = О =^ (Ау - xf = О,
значит,
А = х/у.

t
2.4. Классификация уравнений второго порядка 83
Таким образом, мы имеем:
dy dy —X
dx dx у ''
следовательно,
xdx + ydy = 0 => x^ + y^ — const.
Пусть ^ = ж^ + y^. Поскольку Г) нужно выбрать независимым от ^,
положим
2 2
■q = x -у\
Тогда
^х = z^ix + ^7?% = 2x(z^ + г,,), (2.4.17)
Zy = z^^y + Zr^T]y = 2y{z^-Zr,), (2.4.18)
Zxx = 2(Z^ + Zjj) + 2x{z^^^x + Z^r)T}x + Zn^^x + Z^r}x) =
= 2{z^ + Zr;) + Ax'^{z^^ + 2z^r, + Zrrn), (2.4.19)
Zyy = 2{z^ - Zr,) + iy^iz^^ - 2z^r, + ^w)> (2-4-20)
Zxy = 2x{z^^iy + z^nVy + Zr,iiy + г^г;Г?г,) = 4жу(г^^ - z,,^). (2.4.21)
Подставляя в уравнение (2.4.16) выражения для частных
производных (2.4.17)-(2.4.21) и упрощая полученное уравнение, имеем:
Sl^z
4zr,T; = 0 => ^ = 0 => z = Аг) + В,
где А VI В — произвольные функции от ^, т. е.
z = r)A{0+B{i)
нли
^ = (а:2-у2)Л(х2+у2) + В(х2 + у2),
что является искомым решением уравнения (2.4.16).

84 Глава 2. Уравнения в частных производных второго порядка
Пример 2.4.2. Привести уравнение
К канонической форме и найти его общее решение.
Решение. Здесь R = {п- Vf, S = 0,Т = -у^", откуда
5^ - 4ЯГ = 4{п - 1)2у2" = [2{п - 1)у"]^ > 0.
Следовательно, данное уравнение в частных производных —
гиперболического типа.
Теперь
,,2п
RX^ + SX + T = 0 =» (п - 1)2а2 - у2" = О =» Л2 = —^-—^,
(п - 1)2
отсюда
"п-1
Таким образом, мы имеем:
dy у" _
dx п — 1
или
(п - l)y~"rfy it dx = О =» ж it у^~" = const.
Пусть
е = х + у1-" и г? = ж-у1-",
тогда
^х = ^е^ж + Zr^Vx - z^ + Zr,, (2.4.23)
^у = Ч^у + -г^г;^г/ = (1 - ")У~"{^е - -^ч), (2.4.24)
■2^11 = Z(^(,(,x + ■2;$;?^2; + Zrj(,(,x + ■2;,j,j% = Z^^ + 2z(_r) + ^т/т;, (2.4.25)
Zyy = - n(l - n)y-i-"(z^ - z,,) +
+ (1 - n)y-^{z^^E,y + Z^r)Vy - Zr)^^y - Zr^r^Vy) =
= - n(l - n)y-i-"(z^ - z„) + (1 - п)2у-2"(г;^е - 2^;^^ + z„„).
(2.4.26)

2.5. Сопряженные операторы 85
Подставляя в уравнение (2.4.22) выражения дая частных
производных из формул {2.4.23)-{2.4.26), после упрощения получаем:
4{п - ifz^n = 0 => -ге„ = О,
откуда имеем искомое решение:
z = fiiO + f2iv) или z = /i(x + yi-")+/2{x-yi-"),
где /i и /г — произвольные функции.
2.5. Сопряженные операторы
Пусть
L{z) =Lz = R^^ + S^-^ + T—, + F— + Q— + ZZ
ox^ oxoy ay' ox oy
— линейный дифференциальный оператор II порядка.
Определение. Линейный дифференциальный оператор II порядка
L*{w) называется сопряженным оператору L{z), если разность
wLz — zL*w
является суммой частных производных по ж и у от некоторых
функций « и и, т. е. является выражением типа дивергенции:
^^ ди dv
wLz — zL w = ——\- -7— ■
ox oy
Если L = L*, TO оператор L называется самосопряженным.
Пример 2.5.1. Пусть L — оператор
дх^ ахоу оу'- ох оу
я М — сопряженный оператор, заданный в виде
(2.5.2)

((86 Глава 2. Уравнения в частных производных второго порядка
Показать, что
/ / {wLz — zMw)dxdy = [и cos(n, х) +v cos(n, у)] ds,
s с
где С — замкнутая кривая, ограничивающая область 5", и
u = Rw-^-z—-(Rw)-z—-(Sw) + Pzw, (2.5.3)
ox ox ду
„ dz ^ dz д ,^ . ^ /„,. ,4
V = 5w— + Tw— - z--{Tw) + Qzw. (2.5.4
ox ay oy
При
Rx + ^«^з/ = P, —Sx + Ty = Q
показать, что оператор L самосопряжен.
Ре1пение.
f о^^^ dHRw)\ r^ d'^z dHsw)\
wLz - zMw = < wR^-^ - z } + < Sw^-^ ^ a a С +
(^ OX'' OX'' J (^ OyOx oyox J
( d^z d^{Tw)\ (^ dz д ,^ ,}
Qw-^ - z—{Qw) \ + Zzw - zZw =
dx \ dx J dx \ dx J dy \ dx
dx \ dy J dy \ dyj dy \ dy
d ( ^dz diRw) diSw) „ 1
= — { wR— - z^-—^ - z^^ + Pwz } +
ox [ ox ox dy J
_ du dv
dx dy^

2.5. Сопряженные операторы 87
где и и V заданы формулами (2.5.3) и (2.5.4) соответственно.
Таким образом,
/ / {wLz — zMw)dxdy = 11 I——Ь ^ ) dxdy =
s s
= {lu + mv)ds= I [ucos{n,x) -\-vcos{n,y)]ds,
с с
что и требовалось.
Далее, преобразовывая и учитывая данные соотношения, имеем:
= RWxx + "^RxWx + RxxW + SWxy + SyWx + SxWy + wSxy +
+ Twyy + 2TyWy + wTyy - Pwx - wPx - QyW - Qwy + Zw =
= RWxx + {2Rx + Sy)Wx + SWxy + TWyy - PWx - wPx - QyW-
- Qwy + {2Ty + Sx)wy + RxxW + wSxy + wTyy + Zw =
= RWxx + 2PWx + SWxy + TWyy - PWx - wPx - QyW - QWy +
+ 2Qwy + RxxW + wSxy + wTyy + Zw —
= RWxx + SWxy + TWyy + PWx + QWy + Zw+
+ RxxW + wSxy + wTyy - wPx - QyW —
^d^w „ d'^w ^d^w „dw ^dw ^
= R^-j + S^—- + T^-j + P— + Q— + Zw+
OX'' oxoy oy' ox oy
/d^R d'^S 9^ _ 9F _ dQ\
\ dx'^ dxdy dy'^ dx dy J
В силу данных условий выражение в скобках равно нулю, поэтому
М = L* = L, следовательно, данный оператор самосопряжен.
Пример 2.5.2. Найти оператор, сопряженный оператору Лапласа
L{u) = Uxx + Uyy.

88 Глава 2. Уравнения в частных производных второго порядка
Рехпение. Имеем:
Здесь Д=1,5' = 0, T=1,F = 0, (Э = 0, Z = 0, следовательно,
учитывая результат предыдущего примера^, сопряженный к L оператор
может быть найден по формуле
Таким образом,
т. е. L* = L. Итак, оператор Лапласа самосопряжен.
2.5.1. Метод Римана
Мы знаем, что любое линейное уравнение в частных производных
гиперболического типа может быть записано в виде
8f^z dz .dz ,/ ч /г. г г\
+ a-- + b—+cz = f{x,y), (2.5.5)
дхду дх ду
где а, 6 и с — функции от ж и у, или
L{z) = f{x,y),
где
L = — а— Ь— с'
дхду дх ду
В соответствии с (2.5.1) здесь R = Т = О, S = 1, Р — а, Q = Ь, Z = с.
Таким образом,
^/ ч .,/4 ди dv
u,L{z)-zMiw) = - + -,
Точнее, его условие. А если учитывать результат, то считать ничего не надо,
поскольку, равенства i2i+i5j, = Ри ^Sx+Ty = Q в данном примере очевидны. —
Прим. пер.

2.5. Сопряженные операторы 89 ,
-де (см. (2.5.2)-(2.5.4))
dw , dz
и = waz — z~^— , V = woz + w-^ .
ay ox
(2.5.6
Рассмотрим теперь дугу AB кривой Г, где РА параллелен oct
)Х., РВ параллелен оси 0Y и Р{^,г)) — произвольная точкс.
Рисунок 2.5.1.
lycTb 5" обозначает область, ограниченную контуром АВРА. Ясно
-чю на отрезке АР у ~ г), dy = О, и яа, РВ х = ^, dx = 0. Следова-
-ельно, по формуле Грина
/ {wL{z) — zM{w)) dxdy = 11 \'^ + -^) dxdy = {udy — v dx,
".? s с
-де С — замкнутый контур АВРА. Имеем:
в РА
j{udy — vdx)= l{udy — vdx)+ udy— I vdx. (2.5.7

90 Глава 2. Уравнения в частных производных второго порядка
Далее,
^A■ ^
I vdx — /I wbz + w— \ ax = wz\ + z \wb— — I ax =
p p p
A
= [wz]a - [wz\p + z iwb— — 1 dx.
p
Таким образом,
A A
[wz]p = [wz]a + z iwb - — ] dx — vdx =
p p
= [wz]a + J z(^wb-^jdx- J z(^wa- ^j dy-
P в (2.5.8)
в в
- / wz{ady - bdx) + / I z^dy + w^dx ) +
A A
+
dw , dz
^-dy + w—-(
oy ox
11 {wL{z) - zM{w)) dxdy.
Здесь функция w совершенно произвольная, мы можем выбрать ее
так, чтобы выполнялись следующие условия^:
(i) M{w) = О, V
(ii) -;г— = aw на прямой х = ^,
ду
(iii) -;г— == Ьго на прямой у = г),
ох
(iv) [w]p = l.
■^Функция W, удовлетворяющая условиям (i)-(iv), называется функцией Рима-
на. — Прим. ред.

2.5. Сопряженные операторы 91
Тогда мы имеем:
в в
[z]p = [wz]a — I wz{ady — bdx) + / I ^-^dy + w—dx | +
^ ^ (2.5.9)
+ / / wf{x,y)dxdy,
поскольку L{z) = f{x, y).
Это дает значение функции z в любой точке Pi^,v)i если даны
значения z и ^ на кривой АВ. Однако, если даны значения z, ||,
то можно воспользоваться соотношением
Г ( dw^ dz \ } fd{wz)^ d{wz) ^
(2.5.10)
f f dw^ dz\ ^ f f dw^ dz^ \
^ A
Подставляя это выражение в (2.5.9), мы можем найти значение [z]p
в виде
в в
[z]p = [wz]b - / wz{ady - bdx) - / f z—dx + w—dy 1 +
A A (2.5.11)
+ / / wf{x,y)dxdy.
s
Складывая (2.5.9) и (2.5.11), получаем:
в в
[wz]a + [wz]b ft, u^ \ '^ f {^^^ ^^j ^
[z\p = / wz(ady - bdx) " 9 / "^ I Я"^ ~ ^ I ~
A A
В
~ 2 / "^ \£'^''" "^''v "^ J J "'•^^^' ^^ ''^''^-
л s
(2.5.12)

92 Глава 2. Уравнения в частных производных второго порядка
Если на Г заданы z, ^, |^, применяется формула (2.5.12), а (2.5.11)
используется, если на Г заданы z, щ.
Пример 2.5.3. Доказать, что для уравнения
— -z = 0
дхду 4
функция Римана задается формулой
^{х,у,С,11) = Jo [Vi^-Oiy-V)) ,
где Joiz) — функция Бесселя первого типа нулевого порядка.
Решение. Данное уравнение имеет вид
^2 1
L{z) = О, где L =
дхду 4
Здесь а = b = О, с = ^ и f{x,y) = 0. Следовательно,
дхду 4
Имеем:
d'^z d'^w _ д f ^^ _ д_ f dw\ _ д£ dV_
дхду дхду дх \ ду) ду \ дх) дх ду
где
dz dw
U = w—- и V = -z—-.
ду дх
Следовательно,
/ / {wL{z) — zM{w)) dxdy =
s
S ABPA

2.5. Сопряженные операторы 93
В РА
= f{Udy-Vdx)+ fudy- fvdx =
А В Р
В Р А
= I [Udy - Vdx) + I w-^dy + I z-^dx =
A В P .,
= I (Udy— Vdx)+ wz\ — I z-^r-dy + I z-^r-dx.
J \b J oy J dx
A В P
Таким образом,
в PA
{Udy - Vdx) + / z—dy - I z—dx+
A в p (2.5.13)
+ // {wL{z) - zM{w))dxdy.
s
Предположим теперь, что мы выбрали го так, что
(i) M{w) = О,
(и) — = О при у = /?,
(Ш) — = О при а; = ^,
(iv) [w]p = l.
Пусть го = w{f), где / — однозначная дифференцируемая функция
от а; и у. Положим
Тогда
/*= = о(а;-е)(у-г?), fc>0.
дх df дх к^" "•' df
d'^w _ а ,2-к^'^ af^~^ dw
~ 13. J ~ПТ ' ТЛ It •
Поскольку
дхду к^' dp fc2 df
d^w 1
+ -го = О,
дхду 4

94 Глава 2. Уравнения в частных производных второго порядка
должно выполняться
а ,r,_i.<fw а ,,_i.dw 1
к^ dp fc2 df 4
или
.od'^w ,dw fc^ ,1,
Это соотношение становится уравнением Бесселя нулевого порядка,
если взять А; = 2 и а = 1. Тогда его решение задается формулой
wif) = МЛ = Jo (Vi^-Oiy-v)).
Видно, что условия (i)-(iv) выполняются. Подставив выражение для
го в (2.5.13) и проинтегровав, можно найти решение данного
уравнения в частных производных.
Пример 2.5.4. Проверить, что функция Римана уравнения
d'^z 2 fdz dz\ ^
дхду X + у \дх ду
^ dz „ о
удовлетворяющая условиям z — О, -^ = ох на прямой у = х, зада-
дх
ется формулой
^{х + у) [2ху + (е - Tj){x -у)+ 2^//]
ii + rjf
w{x,y,C,il)- ,^ ,
и получить решение данного уравнения в виде
z = {x- у){2х^ -ху + 2у2).
Решение. Здесь
_а^ 2 dz 2 dz _^ Г2 5 14)
дхду X + у Эх X + у ду
Сравнивая это уравнение со стандартной канонической формой
уравнения гиперболического типа, имеем:
2
а = Ь= , с = 0, / = 0.
х + у

2.5. Сопряженные операторы 95
Сопряженное к данному уравнение имеет вид M{w) =0, где
так что
(i) M{w) = О на всей жу-плоскости,
(и) -х- = —;—го при у = //,
ох X + у
..... dw 2
(ill) —- = —;—го при х = ^,
ду х + у
(iv) го = 1 в точке P{^,ri).
Если мы определим го формулой
(х + у)
"^(^' У' ^' ^) = 7?-ГЗ¥ [2^У + (е - '/)(^ - у) + 2^
то
5w (^+У) го , f 1 , 2а:у + (С-т?)(а:-у)+2^77
а^ = (ёТ^[2у + ^-'/] + (ёТ^р
1
(2.5.16)
[4а;у + 2у2 + 2а;(е - г?) + 2^7?]
d'^w _ 4(а; + у)
дхду iC + v)^ '
(2.5.17)
^ = -(^Щг i^^y + 2^' - 2У(^ - '?) + 2^^] ■ (2-S-18)
Подставляя (2.5.16)-(2.5.18) в формулу (2.5.15), получаем:
,,, , d'^w 2 fdw dw\ 4го
дхду X + у \дх ду J (х + yY
А{х + у) 4(а: + у) ^ ^

96 Глава 2. Уравнения в частных производных второго порядка
Следовательно, условие (i) выполнено. Далее, на прямой у = т)
и
Из (2.5.19) и (2.5.20) имеем:
dw 2
дх X + у
W при у = т].
Таким образом, выполнение условия (ii) проверено. Аналогично
проверяется (iii). К тому же, при х = ^, у = г/ мы имеем:
Значит, условие (iv) также удовлетворяется.
Теперь
wL{z) - zMH = ^ + ^,
где
2zw dw ^^ 2zw dz
U = —■ z—- и V = —;—+г"-к--
X + y oy X + y ox
Следовательно, мы имеем соотношение^
// {wL{z) - zM{w)) dxdy = f {Udy - Vdx) =
s с
A p в (2.5.21)
= I (Udy - Vdx) + ({Udy - Vdx) + j{Udy - Vdx),
BAP
которое с учетом условий (i)-(iv) и того, что^ у = г/ на АР vi х — (^
'Здесь имеется в виду треугольный контур ВАР, тр,е РЦ,г]), А{г],г]) и В{^,^),
при этом А, В лежат на прямой у = х тл положительное направление обхода
контура соответствует порядку букв ВАРВ. — Прим. пер.
"^а также того, что L{z) = M{w) = 0 — Прим. пер.

2.6. Нелинейные уравнения (метод Мопжа) 97
на ВР упрощается до
[z\p = [zw]a - I
А
w-;—dx.
ox
в
Теперь, используя данное условие, а именно,
dz
„ = Зж^ на АВ,
ах
мы получаем:
[z]p = [zw]a - 3 у ^' (^ (^^^)з ) dx =
в
или
Следовательно, z = [х ~ у){2х'^ — ху + 2у^), что и требовалось.
2.6. Нелинейные уравнения второго порядка
(метод Монжа)
Рассмотрим уравнение в частных производных
Rr + Ss + Tt = F, (2.6.1)
где г, S, t, как обычно, обозначают вторые частные производные
искомой функции Z, а. R, S,T,V — функции от х, у, z, р и q.
Имеем:
dp = -r-dx + -x-dy = rdx + sdy, dq = -77-dx + -r-dy = sdx + tdy,
ox ay ox ay
откуда
dp — sdy dq — sdx
r — : и t =
dx dy
4-6851

98 Глава 2. Уравнения в частных производных второго порядка
Используя в (2.6.1) эти выражения для г и t, получаем:
или
Rdpdy + Tdqdx - Vdxdy - s{Rdy'^ - Sdxdy + Tdx'^) = 0. (2.6.2)
Любое соотношение между x, у, z, p и g, удовлетворяющее условиям
Rdpdy + Tdqdx - Vdxdy = 0 (2.6.3)
и
Rdy^ - Sdxdy + Tdx^ = 0, (2.6.4)
будет удовлетворять (2.6.2).
Уравнения (2.6.3) и (2.6.4) называются вспомогательными
уравнениями Монжа. Пусть (2.6.4) разложено на линейные уравнения
от dx и dy вида
dy — midx = О, ' (2.6.5)
dy — m2dx — 0. (2.6.6)
Из уравнений (2.6.3) и (2.6.5) мы получаем два интеграла типа
1*1 = а и ^1 = 6.
Тогда соотношение
Щ=кЫ (2.6.7)
является решением уравнения (2.6.1) и называется промежуточным
интегралом.
Аналогично, из (2.6.3) и (2.6.6) мы находим другой
промежуточный интеграл в виде
U2 = кЫ- (2.6.8)
Выражая р vl q через а; и у из системы уравнений (2.6.7) и (2.6.8),
подставляем эти выражения в соотношение
dz = pdx + qdy,
которое после интегрирования дает полный интеграл уравнения (2.6.1).
В этом и состоит метод.

S.6. Нелинейные уравнения (метод Монснса) 99
Региение методом Монжа уравнений типа
Rr + Ss + Tt + U{rt - s^) = F, (2.6.9)
где R, S, Т, и hV — функции от х, у, z, р и q.
И^^eeм:
ах ay
Подставляя выражения (2.6.10) в уравнение (2.6.9), получаем:
(Rdpdy + Tdqdx + Udpdq — Vdxdy) —
(2.6.11)
- s(jf?dy2 - Sdxdy + Tdx^ + Udpdx + Udqdy) = 0.
Следовательно, вспомогательные уравнения Монжа имеют вид
L = Rdpdy + Tdqdx + Udpdq - Vdxdy = О, (2.6.12)
М = Rdy^ - Sdxdy + Tdx^ + Udpdx + Udqdy = 0. (2.6.13)
Теперь рассмотрим уравнение
M + XL = 0
или
,.2 с J /,. I rrjJi-
{Rdy^ - Sdxdy + Tdx'^ + Udpdx + Udqdy) +
+ X{Rdpdy + Tdqdx + Udpdq - Vdxdy) = 0.
Пусть (2.6.14) раскладывается на множители
(2.6.14)
{Rdq + mTdx + kUdp)(dy + —dx + -do) = 0. (2.6.15)
m к
Сравнивая (2.6.14) и (2.6.15), имеем:
R
т
+ mT = -iS + XV), к = тп (2.6.16)
RX = kU (2.6.17)
Теперь соотношения (2.6.16) и (2.6.17) дают
и RXT ._, ^^^, RX
- + —= -(5 + AF) и т = ~

100 Глава 2. Уравнения в частных проглзводных второго порядка
откуда следует, что
X^iUV + RT) + XUS + U^ = 0. (2.6.18)
Пусть Ai, А2 — корни квадратного уравнения (2.6.18). Тогда
из (2.6.15) имеем при А = Ai
V
(Udy + XiTdx + XiUdp){Udx + X^Rdy + XiUdq) = 0 (2.6.19)
и при A = Аз
(Udy + X2Tdx + X2Udp)iUdx + XiRdy + XiUdq) = 0. (2.6.20)
Один из множителей в (2.6.19) может быть объединен с одним
множителем из (2.6.20), чтобы дать промежуточный интегралЧ
Эти промежуточные интегралы могут быть разрешены
относительно р и д, с тем, чтобы посредством интегрирования равенства
dz = pdx + qdy
дать полный интеграл исходного уравнения.
Пример 2.6.1. Решить методом Монжа волновое уравнение
r = t. (2.6.21)
Решение. Нам известно, что
dp -
dq =
= rdx + sdy,
= sdx + tdy,
^
^
эти выражения в (2.6.21),
dp — sdy
dq
dp ~ sdy
dx
^ dq — sdx
dy
получаем:
— sdx
dx dy
или
dpdy — dqdx — s[dy^ — dx^) = 0.
'Точнее, первые сомножители из (2.6.19) и (2.6.20) дают один промежуточный
интеграл, а вторые — второй. — Прим. пер.

I
2.6. Нелинейные уравнения (метод Монэюа) 10^1^
Следовательно, вспомогательные уравнения Монжа имеют вид:
dpdy - dqdx = О (2.6.22)
и
dy^-dx^ = 0 ^ {dy - dx){dy + dx) = 0. (2.6.23)
Случай I. dy - dx = О => у — x — ci и dy = dx.
Следовательно, (2.6.22) принимает вид
[dp — dq)dy = 0,
откуда
dp — dq = О => P — Q = const = /(ci).
Итак,
p-q = f{y-x). (2.6.24)
Случай II. dy + dx — 0 => dy = -dx я у + x = C3.
В этом случае (2.6.22) влечет
dp + dq = 0 ^ Р + Я = 9{сз) = 9{х + у). (2.6.25)
Из (2.6.24) и (2.6.25) получаем:
Следовательно,
dz = pdx + qdy —
1 1
= 2 f-^(^ - 3;) + g{y + ж)] й^ж + - [g{y + ж) - /(у - ж)] dy =
= 2^(У "^ ^)^(^ + ж) - -/(у - a;)d(y - ж),
откуда
z= -^ 9{у + x)d{y + ж) - - / /(у - ж)^(у - ж) =
= G(y + ж)+F(y-ж).
Получено полное решение.

102 Глава 2. Уравне7тя в частных производных второго порядка
Пример 2.6.2. Решить уравнение
rg^ - 2pqs + tp^ ^ pt - qs. (2.6.26)
Решение. Нам известно, что
dp — sdy da — sdx
г = -^--—- и t = -Ц . V 2.6.27
ax dy
Подставляя (2.6.27) в (2.6.26), получаем:
q^dydp + {р^ - p)dqdx - s[q^dy^ + 2pqdxdy + (p^ - p)dж^ - qdxdy] = 0.
(2.6.28)
Вспомогательные уравнения Монжа имеют вид:
q'^dpdy + {р^ - p)dqdx = О (2.6.29)
и
q^dy^ + q{2p ~ l)dxdy +р{р- l)dx^ = 0. (2.6.30)
Уравнение (2.6.29) может быть переписано в виде
{qdy + {р- l)dx) {qdy + pdx) = О,
откуда либо
qdy + pdx = 0 =» dz = 0 =» z = с,
либо
qdy + pdx = dx => dz — dx = 0 =» z — x = ci.
Случай I. При z = с, dz = 0, мы имеем: '
pdx + qdy = 0 =» pdx = —qdy.
Следовательно, (2.6.28) принимает вид
qdp - {p- l)dq = 0,
откуда
dp dq ^
= 0 =» p-l = C2q
p-\ q

2.6. Нелинейные уравнения (метод Мопжа) 103
или
р-1 =f{c)q = f{z)q,
значит,
dx _ dy _ dz
Теперь из равенства первого и последнего членов следует, что
dz = dx => z = ж + С3.
Также, равенство второго и третьего членов дает
dy = -f{z)dz
или
у = F{z) + const = F{z) + С(сз).
Следовательно,
у = F{z) + G{z - х).
Случай II. (р — l)dx + qdy = О или (р - \)dx = —qdy.
Уравнение (2.6.28) принимает вид
q^dpdy + pdq{-qdy) = О
или
qdyiqdp - pdq) = О,
откуда
, , dp dq •>
qdp = pdq => — = — =» p = C4q.
p q
Следовательно,
p-C4q = 0,
dx dy dz
T" ^ " ¥'
откуда
dz — 0 =^ z = const = C5

104 Глава 2. Уравнения в частных производных второго порядка
и
dy + Cidx = 0 => у + С4Х = const = /(cs).
Итак,
y-hC4X = f(z).
Объединяя ответы в случаях I и II, получаем искомое решение.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Проверить, что уравнению в частных производных
d'^z d'^z _ Iz
дх^ ду"^ X
удовлетворяет функция z — —ip{y — х) + ц>'{у — ж), где <р —
X
произвольная функция.
2. Для Z = f {х^—yj+gix"^+y)i где /яд — произвольные функции,
доказать, что
d'^z 1 ^^ _ 4 2 9^^
дх"^ X дх ду^
3. Найти решение уравнения тг-^ — тг^ —х — у.
ах^ ау^
л „ Qf^z d^z ^ d^z
4. Решить уравнение ——г + -^-т = 1-
дх^ ду'^ дх'^ду^ '
, „ d'^z 1 dz ,
5. Показать, что уравнение -г-тт = г тг имеет решение вида
дх^ к at
yj с„ cos(na; + е:„)е
-кпН
п=0
6. Найти частные решения уравнений
(i) (1)2 - D')z = 2у- х^,
(ii) (£)2 - D')z = e2^-^ '

Упражнения 105
(iii) (D^ - D')z = Acos{lx + my),
где A, I, m — постоянные.
7. Решить следующие уравнения:
(i) r + s-2t = e^+s/,
(ii) r-s + 2q — z = x'^y^,
(iii) r + s-2t-p~2q = 0.
8. Решить следуюш;ие уравнения:
(i) ^_3-^!^+4^.е^+^^
дх^ дх'^ду ду^ '
,.., ei'z ei'z .
(iii) {D^ - 7DD'^ - 6D'^)z = sin(3; + 2y) + e2^+^
,. , ci^z ^ ^z d'^z
(v) r - 4s + 4f = 6^^+^,
(vi) (21)2 - 5Z?D' + 2D''^)z = 5 sin(2a; + y),
. ... 3^z 3^z d'^z
9. Решить следуюш,ие уравнения в частных производных:
(i) ^_4-^!^ + 4-^=0
дх^ дх^ду дхду"^ '
(ii) ^_2-^ + ^!f = sinx
(v) 4г + 12s + Ш = е^'^-^У,

106 Глава 2. Уравнения в частных производных второго порядка
дх^ду дхду^ ду^ '
(vii) г + 2s Л-t — 2{у — х) + sin(a; — у).
10. Решить следующие уравнения:
(i) z{qs - pt) = pq\
(ii) pq = x{ps-qr),
(iii) q^r - 2pqs + p^t - 0,
(iv) r+ 4s + t + rt-s^ = 2,
(v) г:^И-s^) + z(l + g^)r-2pgzs +
+ z{\+p'^)t + l+p'^ + q^ = 0,
д z д z -L д z dz dz
""Лв r = -Q^, S — ощ, t = ^, P= g^, q= Щ-
d^z d'^z
11. Привести уравнение —-x + x^—-^ = 0 к канонической форме.
ox"^ oy^
12. Привести следующие уравнения к канонической форме:
d^z __ ^d'^z
.... d'^z d'^z d'^z _
дх'^ дхду ду"^
и таким образом их решить.
13. Показать, как найти решение уравнения s — /(ж, у),
содержащее две произвольные функции.
14. Найти решение уравнения в частных производных
^z ^ 1
дхду ж + у'
определенное при ж,у > О, жу > 1, и такое, что
г. dz 2у ^ ,
Z = О, —— = на ветви гиперболы ху = I.
ох X + у

Упражнения 107
15. Определить типы следуюп1,их уравнений и привести их к
канонической форме:
(i) y^Uxx - x^Uyy =0, ж > О, у > О,
(ii) Uxx + "^Uxy + Uyy = Oi
(iii) x^Uxx + 2xyuxy + y^Uyy = 0,
(iv) Suxx + i-Ouxy + Suyy = 0. Также решить его.
16. Показать, что оператор L{u) = (?Uxx ~ utt самосопряжен.
17. Найти сопряженный оператор L* для оператора
L{u) = Auxx + Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu,
где функции A, В, С, D, E и F зависят только от x и у.
18. Решить уравнения:
(i) {D^-DD'+ D'-l)z = cos{x + 2y),
(ii) (Z?2 + 2DD' + D'^ + 2D + 2D' + l)z = 0,
(iii) D{D - 2D' - 3)z = e^+2^
(iv) (Z)2 + 2DD' + D'^ -2D- 2D')z = sin(3; + 2y),
(v) {D + D'-l){D-D'-2)z = e'^''-y + x,
(vi) {D + D'~l){D + 2D'-3)z = 4 + 3x + ey.

ГЛАВА 3
УРАВНЕНИЯ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО
ТИПА
3.1. Волновое уравнение
Одним из наиболее важных и типичных однородных уравнений в
частных производных гиперболического типа является однородное
волновое уравнение, которое имеет вид
§ = c'V\ (3.1.1)
где с — скорость распространения волн. Уравнение (3.1.1)
используется во многих областях физики и техники и наблюдается во
многих ситуациях, таких как поперечные колебания струн или мембран,
продольные колебания стержней, распространение звуковых волн,
электромагнитные волны, морские волны, упругие волны в твердых
телах и поверхностные волны при землетрясениях. Решения
волнового уравнения называются волновыми функциями.
3.2. Вывод одномерного волнового
уравнения
в этом параграфе мы выведем уравнение в частных производных,
описывающее поперечные колебания струны. Предположим, что гиб-
кг1я струна натянута между двумя точками на расстоянии L, и
величина натяжения равна Т, как показано на рис. 3.2.1. Мы делаем
следующие предположения.
1. Движение происходит только в одной плоскости, и в этой
плоскости каждая точка движется в направлении,
перпендикулярном равновесному положению струны.
2. Величина натяжения Т струны постоянна.

3.2. Вывод одномерного волнового уравнения 109
3. Сила тяжести пренебрежимо мала по сравнению с
натяжением Т струны.
4. Угловые коэффициенты касательных к линии прогиба
достаточно малы.
Пусть концы струны закреплены в точках 0(0,0) и А(0, L), и
струна лежит на оси ОХ в равновесном положении. Рассмотрим ин-
финитезимальный сегмент струны PQ. При возникновении
колебаний струны в плоскости OXY последующее смещение у точки Р от
положения равновесия будет функцией от ж и времени t, а элемент
длины dx растянется до длины ds, равной
ds = \ll+{^) dx
'ЧШ' "^
с точностью до членов высшего порядка.
Y
О
.
т^^
Р Q
' ds
Т
А
X
Рисунок 3.2.1.
Элементарное удлинение имеет вид
1 /Pi \
dL = ds — dx = - ( —- ) dx,
2 \oxJ
работа элемента против натяжения Т равна произведению натя-
на удлинение, т. е.
1т(?У\\.
2 \dxj

о Глава 3. Уравнения гиперболического типа
Следовательно, полная работа W струны равняется
о
Пусть и — потенциальная энергия струны, тогда
^'=>-=^ЛШ''-
о
Кроме того, кинетическая энергия струны равна
L
-^^АШ"'
о
где р[х) — линейная плотность струны. По принципу Гамильтона
имеем:
«1
5 !{К - U)dt = О,
to
tl
т.е. J {К — U)dt постоянен. Иными словами, двойной интеграл
to
tiL
2У7 1Ч1Г-К1)>*
UI
to о
постоянен и имеет вид
// F{x,t,y,yx,yt)dxdt.
Из уравнения Эйлера Остроградского имеем соотношение
ду dt \dytj дх \дух) '
которое дает равенство
д ( ду\ д ( ду\

3.2. Вывод одномерного волнового уравнения I I I
Если струна однородная, то р и Т - постоянные, и уравнение,
описывающее поперечные колебания струны, имеет вид
^ = ^'^' (3-2-1)
где
с' = Т/р.
Пример 3.2.1. Рассмотрим уравнения Максвелла
электромагнитного поля
\7 ■Ё = 47гр V • Я = О
„ - 1дН „ ^j 47гг 1дЕ
Vx£; = —-- УхЯ = + —^,
с at с с at
где Е — напряженность электрического поля, р - плотность
электрического заряда, Н — напряженность магнитного поля, г - - плот-
■ость тока и с — скорость света. Показать, что при отсутствии
зарядов Е и Н удовлетворяют однородному волновому уравнению.
-> 1 f)M
Решение. Применяя к обеим частям уравнения V х ^ = —-
с at
операцию ротор и пользуясь тем, что р = г = О, имеем:
cdtyc dt) ~ с^ df^ '
Пользуясь тождеством
V X (V X ^) = V(V • Ё) - V'^E = - V^i,
шолучаем, что компоненты поля Е удовлетворяют волновому урав-
1 д'^Ё
V'E =
с2 а*2 ■
Аналогично можно показать, что магнитное поле Н также
удовлетворяет волновому уравнению
Х72Я - 1 ^^^

112 Глава 3. Уравненья гиперболического типа
3.3. Приведение
одномерного волнового уравнения
к канонической форме и его решение
Рассмотрим одномерное волновое уравнение
Напомним, что для дифференциального уравнения вида
Auxx + "iBuxy + Cuyy = О
уравнения характеристик имеют вид
Ady = (в± Vb^ - ас) dx.
В случае (3.3.1), считая, что у = i, имеем: Л = 1, Б = О, С = —1/с^,
т. е. уравнения характеристик имеют вид
dx±cdt = 0,
а их решения — характеристики
X ±ct — const.
Выбирая характеристические линии
^ = X — ct, т] = х + ct, (3.3.2)
имеем:
ди ^ (д д\
— =Ux = и^^х + UrjVx =Щ + Щ= \^-щ + щ] и,
ди ^ , ^ ( д д\
— = щ^ U^^t + Ur,r]t -= c{Ur, -щ)=с1—- — I «,
д^
дх^
д'^и
-Q^=<? [Ч(. - 2«^г, + «w) • (3.3.4)

f
3.4- Решение Даламбера одномерного волнового уравнения I 13
Подставляя равенства (3.3.3) и (3.3.4) в уравнение (3.3.1), получаем
его каноническую форму:
и^п = 0. (3.3.5)
Интегрируя, имеем:
где ср и ip — произвольные функции. Заменяя ^ и г/ на их
определения из (3.3.2), имеем общее решение волнового уравнения (3.3.1) в
виде
u{x,t) =(p{x-ct) + ip{x + ct). (З.З.б)
Два слагаемых в выражении (З.З.б) могут быть интерпретированы
как волны, распространяющиеся соответственно вправо и влево.
Пусть к - - произвольный вещественный параметр. Тогда
функция вида
и(ж, t) = <р(к{х - ct)\ + i)(k{x + ct)\ (3.3.7)
также является решением волнового уравнения.
Кроме того, если ш = кс^ то решением волнового уравнения
также является функция вида
и(ж, t) = (р{кх — шЬ) + ^{кх + ut). (3.3.8)
3.4. Решение Даламбера
одномерного волнового уравнения
Рассмотрим задачу с начальными условиями, аналогичную задаче
Коши, для уравнения ^
д и, д 11
-к^ = с^^-^, -оо < ж < -Ьоо, t ^ о (3.4.1)
ot^ дх^
и начальных условий
и{х, 0) = ф), —Хх, 0) =v{x). (3.4.2)
Здесь кривая, на которой определены начальные данные т]{х) и v{x),
является осью ОХ. Функции 1]{х) и v{x) предполагаются дважды

1 14 Глава 3. Уравнения гиперболического типа
непрерывно дифференцируемыми, и и{х, t) обозначает смещение ин-
финитезимального элемента струны для всех х и t. Условие (3.4.2)
означает, что смещения и скорости точек струны заданы при i = 0.
Мы знаем, что обп^ее решение волнового уравнения имеет вид
и{х, t) = (р{х - ct) + ip{x + ct), (3.4.3)
где (риф-- произвольные функции. Пользуясь уравнением (3.4.1)
и начальными условиями (3.4.2), получаем соотношения:
<р{х) + 'ф{х) = Tjix), -с{<р'{х) - 'ф'{х)) = v{x). (3.4.4)
Интегрируя второе соотношение, имеем:
X
-<p{x)+i,{x) = -Jv{i)d^. (3.4.5)
о
Первое из соотношений (3.4.4) и равенство (3.4.5) дают выражения
X
о
X
о
Подставляя эти выражения для (р{х) и ф{х) в формулу (3.4.3), имеем:
x+ct
Ф, t)==\ {Ф + ci) + ф ~^)) + Yc J ""^^^ '^ ^^'^'^^
x—ct
Это выражение известно как формула Даламбера для решения
одномерного волнового уравнения. Если w = О, т. е. струна отпущена
из состояния покоя, решение имеет вид
и{х, t) = - (г]{х + ct)+ г]{х - ct)). (3.4.7)

3.4- Решение Даламбера одномерного волнового уравнепия 115
Пример 3.4.1. Решить задачу Копги для неоднородного волнового
уравнения
^
&^и о д^и
— с
с начальными условиями
= f{x,t)
«(ж,0) = г/(ж), -^(^,0) = v{x).
Решение. Будем искать решение задачи в виде суммы
и{х, t) = ^1(2;, t) + «2(ж, i),
где щ является решением однородного волнового уравнения (3.4.1) и
удовлетворяет данным начальным условиям; т. е. находится по
формуле (3.4.6), а U2 удовлетворяет данному неоднородному волновому
\"равнению
дх"^
т^
-c~^r^ = f{x,t)
и однородным начальным условиям
дио
«2(^,0) = О, -^(х,0)=0.
(3.4.8)
(3.4.9)
t
0
*
P{xo,to)
x—ct=xo—cto/ \x+ct=xo+cto
/ я^ \
A в
X
Рисунок 3.4.1.
Интегрируя уравнение (3.4.8) по области^ R, изображенной на
"эта область ограничена характеристиками, проходящими через точку (жо,<о), и
прямой t = О — Прим. ред.

I 16 Глава 3. Уравнения гиперболического типа
рис. 3.4.1, мы имеем:
//(
я
d'^U2 2 ^^"2
df^
— С
дх^
dxdt
= //^<^-"
dxdt
или
-//
R
д / 2du2\ _ д^ (du2
дх\ дх ) dt\ dt
dxdt
-II
R
f{x,t)dxdt.
Применяя формулу Грина к левой части этого равенства, получаем
соотношение
-/(
дк
du2 , 9 ^«2 .
R
dxdt,
(3.4.10)
где dR обозначает Гранину области R. Эта граница состоит из трех
dx dx
отрезков: ВР, РА и АВ. С учетом равенств -— = —с на ВР и -— = с
at at
на РА соотношение (3.4.10) принимает вид:
РА
du2 . odu2 ,
АВ
I dx dt.
du2
Отрезок АВ лежит на оси ОХ, поэтому на нем dt = Q и -^- — О
согласно второму начальному условию (3.4.9). Следовательно, в
последнем соотношении интеграл по АВ равен нулю, и оно может быть
переписано в виде
/ cdu2 - I cdu2 = f{x,t)
ВР PA R
dxdt
или
cu2iP) - cu2{B) + cu2{P) - cu2{A) = f f f{x,t) dxdt. (3.4.11)
я

3.5. Метод разделения переменных 117
Пользуясь первым начальным условием (3.4.9), имеем: U2{A) = О,
U2{B) = О, следовательно, соотношение (3.4.11) принимает вид
to xo+c{to-t)
U2iP)^^fffix,t)dxdt=^fdt J fix,t)dx. (3.4.12)
R 0 xo-c(to-t)
Итак, искомое решение неоднородного волнового уравнения с
данными начальными условиями имеет вид
(3.4.13)
u{x,t) =ui(x,t) + и2{х,1) = -^yiix + ct) +г}{х -ct)\ +
x+ct t x+c{t~T)
x-ct 0 х-ф-т)
Это решение известно как формула Римана-Вольтера.
3.5. Метод разделения переменных
Рассмотрим краевую задачу для одномерного волнового уравнения
с граничными условиями
и(0, t) = 0, t>0, u{L, i) = О, i > О, (3.5.2)
и начальными условиями
V
ди
и{х, 0) = f{x), —(ж, 0) = д{х).
Будем искать решение этой задачи в виде
u{x,t) = X{x)T{t). (3.5.3)
Подставляя это выражение в уравнение (3.5.1), имеем:
djT _ ,^

I 18 Глава 3. Уравнения гиперболического типа
что можно переписать в виде
1 d^X _ 1 (fT
X dx^ ~ с^Т di2
где к — параметр разделения.
= к,
Случай I. Если А; > О, то положим к = \^. Тогда' мы имеем два
обыкновенных дифференциальных уравнения
Их решения могут быть записаны в виде
X = cie^^ + сзе"^^, Т = сзе^^* + ае-^^К
Следовательно,
и{х, t) = (cie^^ + С2е-^^) (сзе'^^' + С4е-^^^). (3.5.4)
Теперь воспользуемся граничным условием
„(0,f) = О = (ci + С2)(сзе'^^* + с^е-"^^),
из которого следует, что
ci + С2 = 0. (3.5.5)
Кроме того, условие u{L,t) = О дает соотношение
cie^^ + С2е'^''= 0. (3.5.6)
Система уравнений (3.5.5) и (3.5.6) имеет нетривиальное решение
при
1 - е'^^^ = 0 => е^^^ = 1 => XL = 0.
Отсюда следует, что А = О, поскольку L ф Q. Это противоречит
нашему предположению о том, что к > Q. Следовательно,
решение (3.5.4) не годится, и случай I невозможен.
Случай II. Пусть к = Q. Тогда мы имеем уравнения

3.5. Метод разделения переменных 119
которые дают решение
u{x,t) = {Ax + B){Ct + D).
Из граничных условий мы имеем:
u{Q,t)^Q = B{Ct + D) =^ В = 0,
u{L,t)=0 = AL{Ct + D) =^ А = 0.
Это дает тривиальное решение, в то время как мы иш;ем решения
нетривиальные.
Случай III. Пусть /с < О, положим к ~ —Х'^. Тогда мы имеем
уравнения
IIx решения дают
и{х, t) = (ci COS \х + С2 sin \х) (сз cos(cAi) + С4 sin(cA<)). (3.5.7)
Из граничного условия и (О, i) = О имеем: С\ = 0. Кроме того,
условие u(L,<) = О влечет sin(AZ) = О, что дает собственные значения
П7Г „ ^
А = -р-, п & L. (следовательно, возможные решения имеют вид
Li
, , . /тгх\ ( ^ пжсЬ _, . птгсА
Un(x, t) = sin I —— ) I Л cos — f- В sm —— I
n = 1,2,3, ... .
i( /
По принципу суперпозиции имеем:
Щ
sin ( —jT-) I An cos-j-'+Bn sin-J-j. (3.5.8)
Первое начальное условие дает соотношение
оо
и{х,0) = f{x) = 2_] ^п sin
которое является рядом Фурье по синусам. Здесь
L
1 /WSin-r-da;,

120 Глава 3. Уравнения гиперболического типа
Из второго начального условия имеем:
Q ОО
— {х, 0) = д{х) - 2^ -J^^n sin -J- ,
n=l
откуда
2 / тьтг'Т
Вп = / д{х) sin —— dx.
птгс J L
О
Решения Un{x,t) называются собственными колебаниями, и
птгс , „ „
Wn = —г—, п = 1,2,3, ... , называются собственными частотами.
Li
Пример 3.5.1. Найти решение уравнения радио
в случае, когда на конец линии ж = О подается периодическая э. д. с,
равная Vo cospt.
Реы1ение. Пусть v = X{x)T{t) — решение уравнения (3.5.9). Тогда
мы имеем:
1 (РХ _ ^£Т_ _ _ 2
LCX dx"^ ~ Т dfi ~
Получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:
-rr + X^LCX^Q и —^+А2т = 0.
dx^ dt'^
Их общие решения имеют вид соответственно
Х{х) = Асо&{\у/ТСх) +B&\xi{\y/LCx)
и
T{t) = C'cos{Xt) +Dsm{Xt).
Таким образом,
v= (Acos{X\/LCx) + вsin{X\/LCх)) (сcos{Xt) + DsiniXt)).
Имеем:
dv
i{x,0)=0 => —(ж,0) = 0 => D = 0.

3.5. Метод разделения переменных 121^
Решение принимает вид
(а'cos{X\fLC х) + в'sin{X\fLC х)^ cos(A<),
где А' = АС и В' — ВС — новые константы.
Кроме того, V = Vq cospt при х — О, следовательно,
Vo cos pt = А' cos Xt, yt,
откуда
A' = Vo и X=p.
Таким образом, искомое решение имеет вид:
v{x,t) = (Vocos[pvLCх) + В'sin{pVLCx) j cospt,
где В' — произвольная постоянная.
Пример 3.5.2. Туго натянутая струна с закрепленными концами
JT = О и ж = / имеет в начальный момент положение, заданное фор-
2МЛ-ЛОЙ у = уо sm^{7rx/l). Из состояния покоя в этом положении
струну- отпускают. Найти смещение y{x,t).
Решение. Смещение струны описывается волновым уравнением
с начальными и граничными условиями
у(0,t)=0 = у{1,t), yt, у{х,0) = УОsin^ ^
ш
ду
■^ = О при * = 0.
Пусть y{x,t) — X(x)T(t) — решение уравнения (3.5.10). Тогда
мы имеем:
X dx^ ~ с^Т df^ ' '
отеуда
X = ^cos(Aa;) + 5sin(Aa;) и Т = Ccos(Ac*) +Dsm{Xct).

122 Глава 3. Уравнения гиперболического типа
Таким образом,
y{x^t) = iAcos{Xx) + Вsin{\x)\ iCcos{\ct) + Dsia.{\ct)\.
Теперь из условия y(0,;t) — О следует, что Л = О, и условие
ду.
—-(ж,0) = О, соответствующее тому, что струна была отпущена из
от
состояния покоя, влечет D = 0. Следовательно,
у{х, t) = А' sin Хх cos Xct,
где А' = ВС новая произвольная постоянная. Кроме того, из
условия y{l.,t) = О вытекает, что
А' sin XI cos Xct = О, откуда sin XI = О,
поскольку А' ^0. Следовательно,
м , П7Г
XI = пп и А = — , п €
Таким образом.
/ \ v^ л ■ "^^ nnct
у{х, Ч = 2^Ап sin —р cos —^ .
п=1
Далее, из начального условия у{х, 0) = уо sin — следует, что
7ГЖ ^—V , . ПТТХ
Т
уо sin"" -;- = 2^ ^п sin
n=l
или
Уо f^.T^X . ЗТГЖЧ v^ . . П7ГЖ
— (3 sin sin ——\ = 2_^Ап sin —— .
n=l
Из этого равенства находим:
Итак, искомое решение имеет вид:
/ ч Уо /„ . 71"Ж 7rc:t . Зтгж Зтг^
у(ж, ;t) = — I 3 sin — cos — sin —^ cos ——

3.5. Метод разделения переменных 123
Пример 3.5.3. Движение струны, натянутой и закрепленной в двух
точках на расстоянии (, начинается посредством смея|;ения струны
в положение у = а sin —, из которого струну отпускают в момент
^)емени t — 0. Показать, что в момент времени t смещение
произвольной точки струны, находящейся на расстоянии х от ее конца,
ЖХ TTCt
задается формулой у{х, t) = а sin — cos —г-.
Решение. Колебания струны описываются уравнением
Поскольку концы струны закреплены, мы имеем граничные условия:
у(0,*)=0 и yil,t) = 0, yt. (3.5.12)
Ортогональная составляющая скорости любой точки струны в
начальный момент нулевая, поэтому к данному начальному условию
добавляется следуюп1;ее:
^(а;,0)=0. ■ (3.5.13)
Поскольку колебания струны периодические, решение
уравнения (3.5.11) имеет вид
у{х, t) = (ci cospx + С2 smpx){c3 coscpt + c^ sincp;t). (3.5.14)
В силу первого из условий (3.5.12) мы имеем:
у(0, t) = ci (сз cos cpt + С4 sin cpt) = 0.
Поскольку это должно выполняться в любой момент времени,
ci =0.
Следовательно, у{х, t) = сг втрх{сз cos cpt + С4 sin cpt) и
ду . , . , .
— = С2 sinpx{—C3cpsmcpt + C4cpcoscptj.
Условие
ду
(ж,0) = C2{c4cpsinpx) = о

i
124 Глава 3. Уравнения гиперболического типа
выполнено, если С2С^ср = 0. При С2 = О мы имеем только
тривиальное решение, следовательно, с^ — 0. Имеем:
у(/, t) — С2С3 sinp/ cos cpt = О, Vf.
Поскольку C2 и сз отличны от нуля, мы имеем: sva.pl = О, откуда
р = '^f-, п € Z. Таким образом,
, , . пттх nnct
у (ж, t) = С2С3 sin —^ cos —^—.
Эти решения уравнения колебаний (3.5.11), удовлетворяюш,ие
граничным условиям (3.5.12) и первому из начальных условий (3.5.13),
называются собственными функциями, отвечаюш,ими собственным
СТ17Г
значениям А„ = —— колебаний струны. Множество значений Ai, А2,
A3, ... называется ее спектром. Наконец, накладывая условие
тътгх жх
у(ж, 0) = С2Сз sin ——- = а sin —,
заключаем, что С2С3 = а и п = 1.
Итак, показано, что решение имеет требуемый вид:
. , . ЖХ TTCt
у{х, ъ) — а sin — cos —^ .
3.6. Метод собственных функций
Пусть R область на плоскости OXY, ограниченная простой
замкнутой кривой дК. Положим R = R\J OR. Рассмотрим краевую
задачу для уравнения
-^-г^^и=-р{х,у,г), x,yeR, <>о, (3.6.1)
с граничными условиями вида
В{и) ^0 на dR, 00 (3.6.2)
и начальными условиями
и(х,у,0) ^ f{x,y) в R
ди, ^, , , 15 (^■^■^)
~{х,у,Щ ^ д[х,у) в R.

3.6. Метод собственных функций 125
Здесь В (и) = 0 заменяет одно из следующих граничных условий:
(i) и = 0 на OR (условие Дирихле),
Зи
(И) -^ =ф{х,у) (условие Неймана),
дп
дн
дн
(ш) п + — =: О на dR (смешанное условие Робина).
Трехмерное волновое уравнение может быть записано как
Пусть u(x,y,t) = (p(x,y)T{t). Подставляя это выражение в волновое
уравнение, получаем:
-7^— = = —А (параметр разделения),
с-'Т (f
что дает
Т" + Хс'^Т = О • (3.6.4)
и
VV + Ау' = 0. (3.6.5)
Уравнение (3.6.5) является пространственной формой волнового
уравнения или уравнением Гельмгольца, tp = О является его
тривиальным решением. Нетривиальные решения этого уравнения
существуют только для некоторых значений {An}, называемых собственными
значениями, и соответствующие решения ipn называются
собственными функциями. Для каждого собственного значения А„
существует по меньшей мере одна вещественнозначная дважды непрерывно
дифференцируемая функщ1я ipn такая, что
V^^n + А„^„ = О в Д, yj„ = О на dR,
и последовательность собственных функций^ удовлетворяет
свойству ортогональности:
//
У^пУ^т dA — Q для всех пфт.
R
^соответствующих различным собственным значениям — Прум. ред.

126 Глава 3. Уравнения гиперболического типа
Мы записываем решение поставленной задачи в виде
со
u{x,y,t) = ^Cnit)(pnix,y), (3.6.6)
где функции Cnit) требуется найти.
Подставляя выражение (3.6.6) в уравнение (3.6.1) в
предположении возможности почленного дифференцирования, получаем:
со
Y^ [Cn{t)ipn{x,y) - c^Cn{t)V^ipn{^,y)] = F{x,y,t).
n=l
Ho
V (^n = -^пЧ^п,
следовательно, мы имеем:
Y, [Cn{t) + ^ICnit)] vn = F{x,y,t), (3.6.7)
n=l
где
.2 2
Шп^с Xn, n = 1,2,3,
Умножая обе части равенства (3.6.7) на ipm, интегрируя по области
R и меняя местами операции интегрирования и суммирования, мы
получаем равенство
Y^ ^Cn{t) + ulCnit)^ // ipnix,y)ipm{x,y)dA = // FifmdA.
В силу свойства ортогональности собственных функций это
равенство сводится к равенствам
C^{t)+i4bCrn{t)=Fm{t),
Fm{t) = т. ^ // F{x,y)tprn{x,y)dA,
(3.6.8)
R

3.6. Метод собственных функций 127
где квадрат нормы собственной функции вычисляется по формуле
4h^'
Wm\V = I I WmV dA.
R
Ряд (3.6.6) удовлетворяет начальным условиям (3.6.3), т.е.
5^ Сп(0)(^п(ж, у) =/(ж, у),
п
^ Cn{Q)<Pn{x, у) = 9{х, у),
что дает выражения:
^гп(0) = -л Г[2 / / f{x,y)<Pm{x,y)dA,
WmW J J
R
C'm(O) = J. ГТ2 // 9ix,y)ipmix,y)dA.
\\<Pm\r J J
(3.6.9)
Пользуясь методом вариации постоянных, из общего решения
уравнения (3.6.8) получаем:
^^ = и й^ // fi^^y)'Pm{x,y)dA,
R
[То // 9{х,у)^Рт{х,у)dA, т = 1,2,4, ...
Вт =
Wm
Следовательно, мы нашли решение общей краевой задачи (3.6.1)-(3.6.3)
в виде формального ряда
u{x,y,t) = У^ [An COS ШпЬ + Вп sin Unt) Ч^п (ж, у) +
t
оо ,
+ Е— Fn{OM'^n{t-0)d^
4>п{х,у).

128 Глава 3. Уравнения гиперболического типа
3.7. Единственность
решения волнового уравнения
Рассмотрим волновое уравнение, возникающее в задаче о
колебаниях струны:
где с^(ж) = Хо/р{х), с начальными и граничными условиями
(3.7.1)
и(ж,0) = /(ж), O^x^L,
ди
(ж,0)=9(ж), O^x^L,
^0,i)=/i(0, u{L,t) = h{t).
Пусть u\ и U2 — два решения данной краевой задачи,
удовлетворяющие граничным условиям при t < Т. Пусть V = щ — U2- Мы
покажем, что F = 0.
ди >
Умножая уравнение (3.7.1) на р-^, имеем:
dt
ди
д'^и 2^^"
W^ д^
д_
dt
„ ди
Р (9и\^ Ао
2\dt) 2
(диу
\дх)
д
дх
ди ди
дх dt
Интегрируя это выражение по ж от О до L и по ;t от О до некоторой
величины Т > О, получаем:
^-j(p{x){ut{x,T)f + XQ{u^{x,T)f)dx-
0
L
- 2 / (/э(ж)(мt(ж,0))^ + Ao(г^a;(ж,0))^jcгж-
ГL
— XoUx{L,t)ut{L,t)dt + XoUx{0.,t)ut{0,t)dt = I Fputdxdt.
(3.7.2)
00

3.7. Единственность решения волнового уравнения
Первые два интеграла представляют разность полной энергии
(т. е. суммы кинетической и потенциальной энергий) в моменты
времени Т и 0. Следующие два интеграла представляют работу у-со-
ставляющей силы растяжения в концах струны, и правая часть
равна работе силы F. Поскольку щ и U2 — два решения уравнения
(3.7.1), для которых данные i^,/, ff,/ь/г совпадают при ;t < Т, их
разность V = щ — U2 является решением той же задачи, но для
F = f = g = 0wfi=f2 = 0 при О < X < L иО <t <Т. Тогда ясно,
что
dV dV dV
^(0,,) = ^(L,.)=0, ^(x.0)=0.
Равенство (3.7.2) сводится к более простому виду
^- j{p{x){Vt{x,T)f + XQ{V^{x,T)f)dx ^Q. (3.7.3)
о
Это означает, что если струна не имеет энергии в момент i = О,
энергия остается нулевой при отсутствии работы внешних сил. Мы
предполагаем, что и р{х), и Ао положительны, тогда подынтегральная
функция нигде не отрицательна. Следовательно,если мы
предположим, что подынтегральная функция непрерывна и отлична от нуля
хотя бы в одной точке, то значение интеграла будет положительным,
что противоречит равенству (3.7.3). Таким образом,
подынтегральная функция тождественно нулевая.
Следовательно,
dV dV
-г-(ж,<1)=0 и --(ж,<1) = 0 при 0<*1<Т, О < ж < L,
от ох
откуда V{x,t\) — константа. Но У(ж,0) = О, поэтому
V{x,t) =ui{x^t) — U2{x^t) =Q при t^T.
Значит, V{x,ti) = О, и поскольку h произвольно, V{x,t) = О для
всех t. Из этого следует, что ui{x,t) = U2{x,t). Таким образом,
решение волнового уравнения (3.7.1) при заданных начальных и
граничных условиях единственно.
6851

130 Глава 3. Уравнения гиперболического типа
3.8. Принцип Дюамеля для волнового
уравнения
Рассмотрим евклидово пространство М^, произвольную его точку
обозначим через X ~ (ж1,Ж2,жз). Пусть при фиксированном А
функция v{X^t,\) удовлетворяет уравнению в частных производных
~{X,t,\)~c''vMX,U\)=Q, (3.8.1)
и начальным условиям
v(X,0,A)=0, ^(X,0,A) = F(X,A),
где F{X, А) — непрерывная функция от X € М?. Тогда функция
t
и{Х, t)= f viX, t-X,X) dX (3.8.2)
0
является решением уравнения
^-c''v\ = F{X,t), (3.8.3)
где X € М^ и :t > О, и удовлетворяет начальным условиям
и{Х,0) = —{Х,0)=0.
Доказательство. Пусть функция u{X,t) задается соотнопхени-
ем (3.8.2), и v{X, i—А, А) - однопараметрическое семейство решений
уравнения (3.8.1). Мы предполагаем далее, что
v{X,0,X) = О для всех значений А. (3.8.4)
Дифференцируя равенство (3.8.2) по t под знаком интеграла и
пользуясь правилом Лейбница, имеем:
t , t ^
^ = viX,0,t) + 1 ^iX,t - X,X)dX = J^iX,t- X,X)dX

3.9. Двумерное волновое уравнение 131
в силу равенства (3.8.4). Еще раз дифферен11,ируя это соотношение
по i, имеем:
-^ = vt{X,0,t) + / -g^iX,t- А, A)dA = vt{X,0,t) + / c^V^wdA
о о
(3.8.5)
в силу (3.8.1). Наконец, с использованием (3.8.2) последнее
соотношение приводится к виду
^-c'V'u = ^^{X,0,t), (3.8.6)
dv
из которого с учетом начал1>ного условия —{X,0,t) = F{X,t) следует,
(Jo
что функция и{Х, t) удовлетворяег неоднородному уравнению (3.8.3)
и требуемым начальным условиям. Утверждение доказано.
Отметим, что фзтпщия v{X, t, А) называется функцией импульса или
функцией силы. ■
3.9. Двумерное волновое уравнение
Двумерное волновое уравнение имеет вид
дх^ ду^ с2 dt^ ■ ^ '
Пусть
и = X{x)Y{y)T{t) (3.9.2)
— решение уравнения (3.9.1). Тогда мы имеем:
Х^ Y^_ J_r'
X "^ У ~ с2 Т
+ — = -:^^- (3-9-3)
Это равенство будет справедливым, в частности, если каждый член
будет константой. Выбирая подходящие константы, имеем:
Общие решения этих обыкновенных дифференциальных уравнений
имеют вид соответственно
X = ci cos кх + С2 sin кх.,
5»

1^2 Глава 3. Уравнения гиперболического типа
Y = cz cos ly + С4 sin ly
I
i = C5 cos + C6sin (л/РТРс*) .
"".начит, согласно (3.9.2), решение уравнения (3.9.1) имеет вид
u{x,y,t) = (ci cos кх + С2 sin кх) (сз cos /у + с^ sin Zy) х
X f С5cos (\/А;2 + Рct\ + Сбsin (а/А;2 + /2сЛ J.
(3.9.4)
Теперь предположим, что прямоугольная мембрана натянута
между прямыми
ж = О, ж = а, у = О, у = Ь.
Гоаничные условия имеют вид:
i) u = Q при а; = О, (ii) и == О при х = а,
iii^ 7; = о при У = О, (iv) U — Q При у = Ь
Y
г = 0
0
.
У = Ь
•
у = 0
а: = а
Х
Рисунок 3.9.1. ^
~\о условию (i) мы имеем:
' = ci (сз cos/у + С4 sin/у) I C5COS iyk"^ + /2 cij +Сб sin iyk"^ + l'^ct\ J
одя всех у и i. Отсюда ci = 0. Подставляя это значение в (3.9.4) и
учитывая условие (ii), имеем:
sin ka = Q
, ттг
к = , т €
а

3.9. Двумерное волновое уравнение 133
Далее, учитывая условие (Ш), получаем: сз = 0. Подставляя это
значение и пользуясь условием (iv), находим:
sin/b = 0 =» I =-г-, п € Z.
о
Следовательно, решение (3.9.4) принимает вид:
т-кх . птгу
и(х, у, 1) — С2С4 Sin Sin —;— (С5 cospt + Се sinpf 1,
а О
где
m^ n^
Р = ^с^-^ + -р-, т,пе
Мы можем записать общее решение уравнения (3.9.1) в виде
ОО ОС
I \ v^ v~^ . fm^x . птгу, . „ . \ /о г. ,-4
u{x,y,t)= ^^sin sin-—(A^ncospf+ 5^„sinpi), (3.9.5)
T7l=l n=l
где Amn и 5шп — новые константы.
Предположим теперь, что мембрана отпущена из состояния
покоя из начального положения и = f{x.,y). Тогда, учитывая
соответствующее этому начальное условие |^ = О при i = О, получаем, что
Кроме того, принимая во внимание условие u{x,y,Qi) = f{x,y),
получаем соотношение
л/ ч \~^ \~^ л . чп-кх . ппу ,„ „ „ч
/(^,2/) = 1]1]^™"^^" ^'^h (^•^•^^
Это двойной ряд Фурье. При умножении обеих частей этого
равенства на sin ^^^ sin ^^ и интегрировании по а; от О до а и по г/ от О
до Ь все слагаемые в правой части кроме одного обратятся в нуль.
Тогда мы получим:
а Ь
., . . тжх . П1гу , , аЬ .
fix, у) sin sin -^ dx dy = —Amn,
00
т.е.
о 6
а о
//■
4 f Г ., ч . ттга; . птги , , /„ „ „ч
^mn = -Т /(^' у) sin sin —2- dx dy. (3.9.7)
00

134 Глава 3. Уравнения гиперболического типа
Итак, соглс1Сно (3.9.5), искомое решение принимает вид
ос оо
и{х, У,Ч = 2^ 2^ Атп Sin Sin —- cospt,
m=l n=l
m^ n"^
где Aran определяются из (3.9.7) и p = nc\ —^ + ,o • '
V a^^ b'^
Пример 3.9.1. Прямоугольная мембрана с закрепленными
сторонами совершает поперечные колебания. Объяснить, как можно
получить решение задачи о колебаниях в виде формального ряда.
Решение. Согласно предыдущему изложению, функция смещения
точек мембраны задается формулой (3.9.5). Единственное отличие
состоит в том, что мембрана не предполагается отпуи;енной из
состояния покоя, а вместо этого дано начальное распределение скоростей
— (а;,у,0) =д{х,у).
Учитывая это соотношение для решения u{x,y,t), полученного по
формуле (3.9.5), имеем:
оо оо
д{х, у}=рУ > Втп sin sin -— ,
т=1 п=\
откуда
о 6
__ ^ f f , ^ ■ ТПТГХ . птгу , , / « г,\
Втп = —г I 9(х, У) sin sin —— dx dy. (3.9.8)
abpJJ a b
0 0
Таким образом, решение задачи о колебаниях мембраны имеет
вид (3.9.5), где коэффициенты Атп и В^п определяются из
соотношений (3.9.7) и (3.9.8) соответственно.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найти решение уравнения -т0 = c^^, описывающего
колебания струны длины I с закрепленными концами, при условиях:
y(0,f) = О, y{l,t) = О, у{х,0) = fix) и f (х,0) =0,0<х<1.
2. Туго натянутая струна с закрепленными концами х = О и х = I
имеет в начальный момент смещение у — Уо sin(27ra;//) и от-

Упражнения 135
пускается из состояния покоя в этом положении. Найти
смещение y{x,t).
3. Найти решение волнового уравнения -^ = с^д-|,
соответствующее треугольному начальному отклонению
{2кх ^ I
при и < а; < -,
fix) = <
^ -г- 2'
— {I — X) при ~ < X < I
и нулевой начальной скорости.
4. Туго натянутая гибкая струна имеет закрепленные концы в
точках а; = О и ж = /. В момент времени i = О струне придано
положение F{x) = цх{1 — ж), где ц — постоянная, затем
струна отпущена. Найти смещение произвольной точки х в любой
момент i > 0.
5. Найти смещение у{х, t) точек струны длины I, если в
начальный момент струна находится в состоянии покоя в равновесном
положении, и точкам придана начальная скорость vq sin^(7ra;/^).
6. Туго натянутая струна, концы которой закреплены в точках
X — Q VI X = I, находится в начальный момент в состоянии
покоя в равновесном положении. Каждой точке струны
сообщается скорость \х{1 — ж), и струна начинает колебаться. Найти
смещение точек струны на любом расстоянии х от конца в
любой момент времени t.
V
7. Пользуясь методом Даламбера, найти смегцение
колеблющейся струны единичной длины с закрепленными концами, зная
начальную скорость v{x) = О и начальное смещение
(i) fix) = а{х - а;3),
(И) f{x) = asin^(7ra;).
8. Показать, что волновое уравнение ^^ = с §^ с условиями
ди.
u{Q,t) = О, u{l,t) = О, Vi и u{x,Q) = f{x), %{x,Q) = 9{x) для

1^6 Глава 3. Уравнения гиперболического типа
всех X имеет решение вида
оо
л COS \nt "Ь С^п sin ^п
<)sin——.
n=l
9. Решить задачу с начальными условиями для уравнения
W'"" дх^~^ '
если дано, что и{х,0) = 5 и ^{х,0) = a;^.
10. Решить задачу с начальными условиями для уравнения
д^и 2^^^ _ t
если дано, что u{x,Qi) = sina; и ^(а;,0) = 0.
11. Решить краевую задачу с начальными условиями для
уравнения
если дано, что «(ж,0) =0, ||(а;,0) = О, ж > О и и(0,<) = sin<,
при i > 0.
12. Решить краевую задачу для уравнения
с граничными условиями и(0, i) = и{1, i) = О, i ^ О, и
начальными условиями u{x,G) = 10sin^, ||(а;,0) = О, О ^ ж ^ Z.
13. Для сферической волны и = u(r, i) в сферических координатах
волновое уравнение имеет вид:
^д_ f 2ди\ 1 д'^и
г"^ дг \ дг J (? dfi
Найти общее решение этого уравнения.

Упраоюнения 137
14. Решить задачу с начальными условиями для уравнения
-^-с^—^ = /(a;,t), -оо<ж<+оо, t ^ О,
условиях:
(i)
(ii)
(iii)
/(a;,f) =4a; + t,
u(a;,0) =0,
— (a;,0) =сЬЬж
15. Решить следуюшую задачу с начальными условиями для
неоднородного волнового уравнения
и условий «(ж,0) = //(ж), ^(ж,0) = «(ж).
16. Туго натянутая однородная струна, концы которой
закреплены в точках ж = О и ж = L, совершает поперечные колебания.
Движение начинается с нулевой начальной скоростью из
положения струны, заданного формулой /(ж) — A;(ж^ — ж^). Найти
смеш,ение и (ж, i) в любой момент времени t.
17. Найти решение уравнения радио
а^_ Л;
в случае, когда на конец линии ж = О подается периодическая
э.д.с, равная Vosinpt.
18. Считая RhG пренебрежимо малыми, найти ток i и напряжение
7ГЖ
е на линии длины I, если г(ж, 0) = го, е(ж, 0) = ео sin — и спустя
t секунд концы внезапно заземляются.

ГЛАВА 4
УРАВНЕНИЯ
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО
ТИПА
4.1. Вывод уравнения диффузии
Явления диффузии, такие как распространение тепла в твердых
телах и рассеяние завихрений при обтекании тел вязкой жидкостью
описываются уравнениями в частных производных
параболического типа. В этой главе мы рассмотрим различные свойства и технику
решения уравнения теплопроводности (диффузии), которое имеет
параболический тип. Сначала мы выведем уравнение
теплопроводности из основных законов.
Пусть V — произвольная область, ограниченная замкнутой по-
верх1юстью S, положим V* = V U S. Пусть T{x,y,z,t) —
температура в точке Р{х, г/, z) в момент времени t. Если температура не
постоянна, то тепло перетекает от областей с высокой температурой
к областям с низкой температурой и удовлетворяет закону Фурье,
согласно которому поток тепла q{r, t) через элемент поверхности dS
с нормалью п пропорционален градиенту температуры.
Следовательно,
q{r,t) = -KVT{f,t), (4.1.1)
где К называется коэффициентом теплопроводности. Кроме того,
количество тепла, протекающее через элемент dS в единицу времени
равняется
dQ = {q-n)dS. (4.1.2)
Тепло может выделяться вследствие ядерных реакций или
движения механических частей или благодаря химическим источникам;
оно может быть функцией от положения, температуры и времени и
может быть обозначено через H(f, Т, t).
Кроме того, количество тепла dQ, необходимое для увеличения
температуры элемента массы dm = pdV на величину Т, задается

4-1. Вывод уравнения диффузии I39j
-^
формулой dQ = CTpdV, где С - - удельная теплоемкость и р —
плотность веи;ества. Таким образом,
V
Отсюда следует, что
Количество энергии в области V равно сумме количества тепла,
входящего в V через ограничиваю1цую поверхность и количества
тепла, выделенного в V. Итак,
III pC^~~-dV = - JJ{qn)dS + JIJ H{r,T,t)dV. (4.1.4)
V S V
Пользуясь формулой Гаусса-Остроградского, имеем:
/// И^^1^+'^^ ^^^' *^" ^^^' ^' *^
dV = 0. (4.1.5)
V
Поскольку рассматриваемая область прсклрапства произвольная, имеем:
рС^^^ = -divqtr,t) +Я(г,Т,*). (4.1.6)
Равенства (4.1.1) и (4.1.6) дают соотношение
РС^Щ^ = KV''T{r, t) + H{r, Т, t)
или
^^^ = a'V'Tir.t) + H{f,T,t)/{pC), (4.1.7)
2 К
где а = -— — коэффициент температуропроводности среды.
При отсутствии источников тепла уравнение (4.1.7) сводится к
= a'^V^T{f,t). (4.1.8)
dT(r,t) ^ ,^2^,„_
dt

140 Глава 4- Уравнения параболического типа
Основная задача теплопроводности состоит в том, чтобы
получить решение уравнения (4.1.7), удовлетворяющее начальным и
граничным условиям. Такие задачи называются краевыми задачами с
начальными условиями.
4.2. Граничные условия
Уравнение теплопроводности может иметь много решений, если не
указаны начальные и граничные условия. Рассматривают три
основных типа граничных условий, которые кратко объясняются ниже .
Граничные условия I типа.
Распределение температуры задано на всей ограничивающей
поверхности. Этот тип граничных условий зависит от исследуемой
задачи. Иногда температура на ограничивающей поверхности является
функцией только от координат точки или только от времени или
является константой. Частный случай, когда Т{г, i) = О на
граничной поверхности, называется однородным граничным условием.
Граничные условия II типа.
На граничной поверхности задана величина теплового потока, т. е.
дт ^
производная температуры по нормали -—7. с9то граничное условие
on
называется условием Неймана. Выделяют частный случай, когда
^ п с.
"7^:7 = и на границе. Это однородное условие называется также изо-
оп
лирующим граничным условием, поскольку оно означает, что поток
тепла через поверхность нулевой.
Граничные условия III т,ипа.
На границе задана линейная комбинация распределения
температуры и величины теплового потока, т. е.
дТ
K— + hT = G{f,t).
on
Граничные условия этого типа называются условиями Робина. Они
означают, что на граничной поверхности происходит рассеяние теп-
'В отечественной литературе приняты названия соответственно: 1-я, П-я и Ш-я
краевая задача. — Прим. ред.

4-3. Метод разделения переменных 141
ла в силу конвекции. Согласно закону Ньютона мы имеем:
дТ
где То — температура окружающей среды.
Может быть рассмотрен частный случай однородного граничного
условия
дТ
on
Другие физические явления, такие как теплопередача вследствие
излучения, удовлетворяющая закону, содержащему четвертую
степень температуры, и процессы, связанные с изменением состояния
вещества, такие как плавление, таяние и т. д., приводят к
нелинейным граничным условиям.
4.3. Метод разделения переменных
Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности ■
Пусть
Tix,t)=X{x)Y{t) (4.3.2)
— решение этого уравнения. Подставляя выражение (4.3.2) в (4.3.1),
получаем, что
X ~ a^Y ~ '
А — константа разделения, тогда мы имеем:
ffiX
^-ЛХ = 0, (4.3.3)
- а^ХУ = 0. (4.3.4)
dY 2
dt
При решении уравнений (4.3.3) и (4.3.4) возникают три различных
случая.

142 Глава 4- Уравнения параболического типа
Случай I. Если Л положительно, скажем, А = а^, решения будут
иметь вид
X = Cie'^^ + Сзе-'^^, У = С^ё
a^Q^t
(4.3.5)
Случай II. При А = —а^, где а положительно, решения будут
иметь вид
X — Ci cos ах + C'z sin аж, Y = Сзе
(4.3.6)
Случай III. Если А = О, то мы имеем решения
(4.3.7)
Итак, всевозможные решения одномерного уравнения
теплопроводности (4.3.1) имеют вид
T{x,t) = {Ае"'' + Ве-'^^)е"^''^*,
T{x,t) = {А cos ах + В sin ах)е
T{x,t) =Ах + В,
-a'^a^t
где во всех случаях Л = C]Cz и i? = С2С3.
Пример 4.3.1. Пока;^ать, что решение уравнения
at ~ дх^'
удовлетворяюш,ее условиям
(i) Т ^ О при t-^oc, ^
(ii) Т = О при X = О и X = I, для всех t > О,
(iii) Т = X при ^ = ОиО<а;</,
имеет вид
Т(х, i = — > ^^ '- sin -- а; ехр
тг ^-^ п \ I /
п=1
_(^)%-
(4.3.8)
(4.3.9)

4-3. Метод разделения переменных 143
Решение. Возможные решения уравнения (4.3.9) имеют вид
Tix,t) = (Ае'^^ + Ве~'^'^)е°'^\
Т{х, t) = [А cos ах + В sin ах)е~°' *,
T{x,t) = Ах + В.
В условии (i) требуется, чтобы Т ^ О при ^ —> оо, поэтому мы
отбрасываем первое решение. Ввиду условия (ii), третье решение дает
0 = Л-0 + 1?, {) = А-1 + В,
откуда следует, что и А, и В равны нулю и, следовательно, Г = О
при всех t. Это тривиальное решение, и мы его тоже отбрасываем.
Таким образом, условию (i) удовлетворяет только решение
T{x,t) = {Acosax + Bsmax)e~°' *.
Ввиду граничного условия (ii), мы имеем:
О = (Л • 1 + В • 0)e-''^^
откуда следует, что А = О при всех t, и
0= {А cos al + В sin al)e~'^'^
что влечет
2/
Т17Г
sin а/ = о => al = пж, п € Z, или а = —— , п & Z.
Решение, таким образом, получается в виде
Т{х, t)=B sin f —а; j exp ( - -
/2
Отметим, что уравнение теплопроводности линейно. Его наиболее
обш,ее решение получается по прингщпу суперпозиции. Следовательно,
T{x,t) ^}2^ггехр f ^ j sm (^—х) .
Используя условие (iii), получаем соотношение
оо
= ^2^nSin(—x], 0<х<1,
оо
X

144 Глава 4- Уравнения параболического типа
которое является рядом Фурье по синусам, следовательно,
Положим
„ 2 /■ . /п-кхл ,
Вп = J / a;sm {—j—l dx.
—- = z, тогда ax — —az.
I 7Г
Имеем: z — 0 при x = 0 и z = тт при x = I, откуда
cos(n2;)
2 I f 2
Bn = T ■ —^ z s\n(nz)dz = —
I ж^ J ж
2l_
2
— Z-
n
" 1 /■ .
+ - / cosi
0 nj
nz)dz
21 ( cos(n7r) 1 . / Ч
-7Г 1—-^^Wiynz)
''^ _ -2/ cos(n7r) _ -2/ (-1)"
7Г n ж n
Ж'- \ n n
n = 1,2,3, ... .
Таким образом, искомое решение имеет требуемый вид:
21 ^ (-1)"-*
^, , ZI -^-^ (-1) . /'пж \
п=1
-пЧ^
/2
Пример 4.3.2. На концах А и В стержня длиной 10 см
поддерживается температура 0°С и 100° С соответственно до достижения
стационарного режима. Внезапно температуру на конце А увеличивают
до 20°С, а на конце В — уменьшают до 60°С. Найти распределение
температуры в стержне в момент времени t.
Решение. Задача описывается уравнением
, О < ж < 10,
и условиями
Т(0, t) = О, Г(10, t) = 100.
Для стационарного режима
dx^
О, откуда Ts =^ Ах + В.

4-3. Метод разделения переменных 145
Теперь из условия Т = О при ж = О следует, что В — Q, откуда
Ts — Ах, и в силу условия Т = 100 при ж = 10 имеем: А = 10.
Таким образом, начальное стационарное распределение температуры
в стержне имеет вид
Тнс(ж) = Юж.
Аналогично, когда значения температуры на концах Аи В стержня
заменяются соответственно на 20°С и 60°С, конечное стационарное
распределение температуры, которое будет достигнуто после
продолжительного времени, задается формулой
Тс (ж) = 4х + 20.
Температура Т{х, t) в произвольный момент времени имеет вид
Tix,t} = T„ix,t)+Tcix},
где Тп(ж,^) — переходное распределение температуры, стремящееся
к нулю при i —> оо. Температура T{x,t) удовлетворяет данному
уравнению в частных производных, следовательно, этому же уравнению
удовлетворяет и Тп{х, t). Принимая во внимание стремление Тп(ж, t)
к нулю при i —> оо, получаем общий вид искомой температуры:
T{x,t) = Tc{x) + Tnix,t),
T{x,t) = 4ж + 20 -Ь е""'-^'*(Бсо8Лж + CsinAa;).
В силу условия г = 20 при ж = О имеем:
20 = 20-1-Be-"^-^^* => В = 0, t>0.
Из условия Т — 60 при ж = 10 получаем:
60 = 60 + e-"^^^*CsinlOA,
откуда
sin 10А = 0, т. е. А = —, п 6 Z.
Принцип суперпозиции дает
Г(ж, t) = 4х +20+ Y^Cn ехр
п-1
-" (то) '
. /птг >
sin — ж
\10 у

146 Глава 4- Уравнения параболического типа
Пользуясь начальным распределением Т = 10а; при i = О, мы
получаем соотношение
оо
10ж = 4x + 20 + J2Cnsin (^х^ ,
п=1
в котором
10
2 f / 7Ъ7Г \
С„ = — / (6а; - 20) sin (— xj dx =
о
1
5
„800 _ 200
ПТГ П7Г.
ПТГ ПТГ
Таким образом, искомое решение имеет вид:
T,M)=4..20.f: (i^ - ,-:,»i^) е.рр (=^)%] .п(И.)
п=1 ^ ' "- -■
4.4. Уравнение
диффузии в цилиндрических координатах
Рассмотрим трехмерное уравнение диффузии
В цилиндрических координатах оно принимает вид
j^OT_5^ 1.ет j_5^ 5^
Мы предполагаем разделение переменных в виде
T{r,e,z,t) = R{r)Q{e)Z{z)ip{t).
Подставляя это выражение в уравнение (4.4.1), мы имеем:
где — А^ — параметр разделения. Тогда
if' + a^X^if = О (4.4.2)

4.4- Уравнение диффузии в цилиндрических координатах 147
R" 1R' 16" ,2 -Z" 2
Уравнение на Z, Див распадается на два уравнения:
Z" -fj.'^Z = 0 (4.4.3)
и
R 1R .о qN 9 ~0 „о
_н.-- + лЧм^).= = -д- = п^
Следовательно,
в" +. fi^e = О (4.4.4)
и
R" + ^R' + Гл^ + м^ - ^) Л - 0. (4.4.5)
Уравнения (4.4.2)-(4.4.4) имеют решения вида
= е-"'^'*, Z = Лe^^ + Be-^^ в ^ СсовШ + ВвтПв.
Уравнение (4.4.5) является уравнением Бесселя порядка 17, и его
общее решение имеет вид
R(r) = CiJa (v/A^T^r) + C2Ya (v/aMV^) ,
где Jfi{r) и Yfi{r) — функции Бесселя порядка ft соответственно
первого и второго рода. Функция Yq имеет особенность при г — О,
в то время как физически значимое решение уравнения (4.4.5)
должно быть дважды непрерывно дифференцируемым при О ^ г ^ Ь.
Следовательно, уравнение (4.4.5) имеет только одно
ограниченное решение, т. е.
R{r) = Jn (v/A4Vr) ■
Окончательно получаем, что обш,ее решение уравнения (4.4.1) имеет
вид
T{r,e,z,t) = expi-a^xH) (Ле^^ + Be''"') х
(4.4.6)
X (С cos ne + D sin Пв) Jn f^/J^TJt^r)

148 Глава 4- Уравнения параболического типа
4.5. Уравнение
диффузии в сферических координатах
в сферических координатах уравнение теплопроводности
V
может быть записано в виде
д'^Т 2дТ 1 д f ^дТ\ 1 а^Г 1 5Т ,, ,
+ Z^ + -0-7-71^ sin^^ + о.. 9 л п.,9 = -о-^ • (4.5.1)
Предположим, что его решение имеет вид
Т = R{r)H{e)^{ip)-^{t). (4.5.2)
Подставляя это выражение в (4.5.1), мы имеем:
/'
?L. 1?L 1 I d ( . dH\ 1 с/^Ф _ 1 Ф^ _ 2
где A2 — параметр разделения. Следовательно,
^^ + А^а^Ф = О, откуда Ф = Cie-"'"^'*. (4.5.3)
dt
Кроме того, имеем:
г^ sin^ в
+ —г- + „ о . .-^ sine-— + А^
R\dr^ г dr Hr^sinede V dd
что Дс1ет уравнение
из которого
1 сРФ
Ф dip^
= т^,
5(^2
+ ш^Ф = о.
ф = С1е'"''^ + С2е-'"''^. (4.5.4)
Теперь другое разделенное уравнение имеет вид
Д Vdr2 + г d^J ^ "" ~ sin^e HsmOde \ de

4-5. Уравнение диффузии в сферических координатах 149
После перегруппирования это уравнение приводится к двум
уравнениям:
R" + ^д' + (^л^ - ^i^) R = О (4.5.5)
и
дв^
+ ctg*f+(п(„+1)-^)н = 0. (4.5.6)
Пусть R = (Аг) 2/3(г), тогда уравнение (4.5.5) приводится к
/3"(г) + ^/З'(г) + ( А^ - ^^^il^ ) /3(г) = 0.
Это дифференциальное уравнение Бесселя порядка (п + ^), его
решение имеет вид
/3(r)=AJ„^i(Ar) + By„^i(Ar).
Следовательно,
Щг) = (Аг)-^ (^4+1Й^) + ^^п+|ЙО) , (4.5.7)
где Jn W Yn — функции Бесселя соответственно первого и второго
рода.
Теперь положим cos в ~ ^л, так что
ц dH г ^dH сРН ,^ o.d^H dH
^1 - ^2' (Ю ^ ^ dn' de^ \ f^ ) ф2 ^ ф
Уравнение (4.5.6) принимает вид:
V
(1 - М^)-г^ - 2^3- + U(n + 1) - :; 2 ]Н = 0. (4.5.8)
Это дифференциальное уравнение присоединенных функций Лежан-
дра, его решение имеет вид:
Я(е) = СРЛм) + ^9;Г(м), (4.5.9)
где Р^{ц) и Q^in) — присоединенные функции Лежандра степени п
порядка т соответственно первого и второго рода.

150 Глава 4- Уравнения параболического типа
Следовательно, общее физически значимое ретение уравнения
диффузии в сферических координатах имеет вид:
T{r,e,'P,t)= Y1 ^Am„(Ar)-5j„^i(Ar)P-(cose)e±^-'^-"'^'*.
A,77l,n
(4.5.10)
Здесь функции Q'^{^l) и (Ar)~2y^^j^(Ar) исключены, поскольку они
имеют особенности в точках ^ = ±1 и г = О соответственно.
Пример 4.5.1. Найти температуру внутри шара радиуса а, если на
его поверхности поддерживается нулевая температура и известно
начальное распределение температуры /{г,в).
Решение. В сферических координатах уравнение
теплопроводности V^Ф = ^^ имеет вид:
1 д ( 2-9Ф\ 1 д ( . т\ 1 5^Ф 1 5Ф
-г^^ + о . ^тт;т sine—- +
г^ дг\ дг ) г2 sin в дв \ дв ) r^ sin^ в дф^ с^ dt
Посколькутемпература, поддерживаемая на поверхности, и
начальное распределение не зависят от (/;, то и в любой момент времени
<9Ф
температура не будет зависеть от w, т.е. -г— = 0. Следовательно,
dtp
последнее уравнение принимает вид:
1 д ( 25Ф\ 1 д ( . ^дЯ/\ 1 5Ф
г2 дг yj" дг)^ г2sineае V'"^ дв) d^'dt'
Решение этого уравнения, полученное методом разделения
переменных и имеюш,ее физический смысл, имеет вид (см. (4.5.10)):
Ф = 5^С„(Аг)-Ь„+1(Аг)Р„(/х)е-^^^Ч fi^cose. (4.5.11)
Х,п
По условию Ф = о на сфере г = а, откуда следует, что
4+i(Aa) = 0. (4.5.12)
Пусть A„Q, A„j, А„2 5 • • • корни уравнения (4.5.12), тогда
n,i

4-5. Уравнение диффузии в сферических координатах 151 ),
В начальный момент t = О температура Ф = /(г, ^), следовательно,
fir,e) = 5;C„,(A„,r)-^J„+i(A„,r)P„(/x).
n,i
Умножая обе части этого равенства на (^nj^) J„^ii^nj'r')Pmil^) и
выполняя двойное интегрирование по г от О до а и по // от —1 до 1,
получаем:
а 1
О -1
a 1
поскольку
Cmj Amj 2^-1-1 ["^"1+1 i^rrij a)
/I 0 при тп ^ n,
Pm{tJ.)Pn{fi) dn = { 2
2m+ 1
при тп = n
и
a
J rJ^^i\n^r)J^^{\nir)dr
^„+i(A„,.a)
приг# j,
при г = j.
Следовательно,
2та + 1
Сщ^ —
^7 9
■' а''
о
1
j nr,e)Pm{n)dii. (4.5.13)
Искомое решение имеет вид
Ф = I]C'm,(A^,r)-^J^+i(A^,r)P^(//)e
-Al,c^t
'w.j

152 Глава 4- Уравнения параболического типа
где Crrij определяются из соотношения (4.5.13).
Пример 4.5.2. Радиальный тепловой поток черюз сплошной шар
радиуса R описывается уравнением
где Т{г^ t) — температура в момент времени t в любой точке, отсто-
яш,ей на расстоянии г от центра шара, и с — константа. Показать,
что функция S = гТ удовлетворяет уравнению
Отсюда методом разделения переменных найти температуру Т в
любой момент t при следуюш,их условиях.
(a) На поверхности шара все время поддерживается нулевая
температура.
(b) В любой момент времени в центре шара 5 = 0.
(c) В начальный момент температура в любой точке на расстоянии
То . /7ГГ\
г от центра имеет вид Т = — sm -zr •
г \ R J
Решение. Имеем: Т = S/r, откуда
dT_ldS^_S_
дг г дг r^'
(4.5.15)
04 la^S 2в5 2^_ ,^^3^^^,
И
ат_ 1^
dt ~ г dt
(4.5.17)
Подставляя соотношения (4.5.15)-(4.5.17) в уравнение (4.5.14), мы
получаем требуемое уравнение на S:

4-5. Уравнение диффузии в сферических координатах 153
Далее, пусть решение уравнения (4.5.18) имеет вид S = A{r)B{t),
тогда мы имеем:
1 B'{t) А"{г)
с2 B{t) А{г)
А.
Следовательно,
Кроме того,
fA
Следовательно,
или
B'{t) ,о „ r,u^^ЛcЧ
Bit)
= Ас^, откуда B{t) = е^'' \
АА = О =» А{г) = Се^^ + Бе"^'
S = rT^ е^"^^ \Се^^ + Бе"^'
ЛсН г
Т =
Се^^ + Be
-Vxi
Поскольку температура понижается с течением времени, А должно
быть отрицательным. Положим
А = -а2.
тогда
-a^c^t
т =
-C'cos{ar + D').
(4.5.19)
(а) На поверхности шара г = R имеем: Т = О, следовательно,
ж
Сcos{aR + D') = О => aR + D' = - + nn, п G Z.
Отсюда
7Г
D' = — — аЯ + тт => cos(ar + D') = ± sm{aR - аг).
Осуществляя выбор знака за счет константы, мы имеем выражение
-а^бН
-C"sin(a(fl-r)).

154 Глава 4- Уравнения параболического типа
(Ь) Из условия 5 = 0 следует, что гТ = О в точке г = О при всех f,
откуда функция Т должна быть ограниченной в окрестности центра
шара. Таким образом, мы получаем:
C"sinai? = 0, CVO,
следовательно.
sinai? = О ^ aR = rmr, гпЕ
Итак,
Имеем:
ттг
а = —, те
2^2^2//d2
т =
^-т'п'сЧ/Н
= С'-
,-т^7г^сЧ/Н^
= (-1У
C'sin(^(i?-r)) =
. / тпг \
g-m-^TT^c^t/fi^ ^^ . fmnr\
(с) Кроме того, Т — — sin ^г при t = 0. Имеем:
г it
То . /7гг\ (-!)'"„, . /татггч
— sm -Z- = —С sm —-- ,
г \RJ г \ R J'
откуда
Итак,
ш = 1, (-1ГС" = То или С" = -То.
Т = ZOe-^^^'/H^ sin (^)
г \ it /
Пример 4.5.3. Пусть функция в{г, t) удовлетворяет условиям
д'^0 1дв 1 дв
(i)
дг^ + гд-г = 72т' °^'^"' *>°'
(4.5.20)
(ii) 6>(r,0) = /(r), O^r^a,
(iii)
5r
+ he = 0 при r = a, Vf>0.

4-5. Уравнение диффузии в сферических координатах 155
Показать, что
где сумма берется по положительным корням ^i,^2) • • • ^ь • • • УРЗ'В-
нения hJoia^) = ^Ji{a^).
Решение. Пусть решение уравнения (4.5.20) имеет вид
в = Rir)T{t),
тогда мы имеем:
1 fcfiR ldR\ 1 dT о
R\dr^ г dr J с^Т dt
Следовательно,
и
(fR IdR ^2 г, г.
аг^ г dr
откуда
Л(г) - Jo(^r),
поскольку 0 должно быть конечным при г = 0. Таким образом,
е(г,^) = 5^Л^7о(^г)е-'^'^'', (4.5.22)
где А^ — постоянные. Теперь из условия в{г,0) = /(г) следует, что
Кроме того, из условия (iii) мы имеем:
M^a) + hM^a)=()
или
hM^a) = ^im, (4.5.23)

56 Глава 4- Уравнения параболического типа
поскольку Jq = — Ji- Пусть ^j, г = 1, 2, 3, ... — корни
уравнения (4.5.23), тогда
оо
г=1
Умножая обе части последнего равенства на rjQ{^jr) и интегрируя
по г от О до а, получаем:
а 00**
J rf{r)Joi^jr) dr = ^AiJ rM^jr)M^ir) dr.
0 *=1 0
Поскольку Jo является функцией Бесселя, имеем:
или
d
+
Аналогично,
dr
dr
dr
(4.5.24)
r^Ai^jr) +^]rJoi^jr) = 0.
Умножая предпоследнее равенство на Joi^jr) и последнее на Jo(^i^))
затем вычитая и интегрируя по г от О до а, получаем:
а
о о
= / -^оСбОх HAi^J^^ - / M^jr)-^ \гЫо{^гг)
dr =
Таким образом, с использованием (4.5.23) и (4.5.24) мы получаем:
f "
/ rJQ{iir)JQ{^jr)dr = -
0 при ^i Ф ^j.

4-6. Проблемы линии передачи 157
Поскольку Ji{(,ia) = —Joi^ia) в силу соотношения (4.5.23), мы имеем:
а
Следовательно,
или
- A,
'{h?
41 .
+ a-^o(^i«)/
-7 frf(r)MCir)dr. (4.5.25)
a) J
0
Итак, объединяя формулы (4.5.22), (4.5.25), мы получаем требуемое:
1 п
4.6. Проблемы линии передачи
Рассмотрим находящийся под током кабель длины I м, имеющий
активное сопротивление R ом/м, индуктивность L гн/м, емкостное
сопротивление С ф/м и проводимость изоляции G [омм]~^. Пусть
мгновенные напряжение и ток в момент времени t в точке Р,
находящейся на расстоянии х от передающего конца О, равны v{x^t) и
г{х, t) соответственно. Рассмотрим малый участок PQ кабеля
длины Sx.
Поскольку падение напряжения на сегменте Sx равно сумме
падений напряжения вследствие активного и индуктивного
сопротивлений, мы имеем соотношение
di
—Sv = iRSx + L-—Sx
at
или

158 Глава 4- Уравнения параболического типа
в пределе при Sx —> 0.
Аналогично, потери тока между точками Р и Q складываются
из потерь на емкостное сопротивление и на проводимость изоляции,
следовательно,
Cdv . _, .
—дг = —;;—ох + Gvox
at
или
di Cdv _ /. ^ r>\
Исключая г из соотношений (4.6.1) и (4.6.2), имеем уравнение
g=icg + (I,G + fl<7)| + «G». (4.6.3)
С другой стороны, исключая v из (4.6.1) и (4.6.2), получаем:
|i = Lcg + (LG + HC)| + flffi. (4.6.4)
Уравнения (4.6.3) и (4.6.4) называются уравнениями телефона. При
L = (j = О уравнения (4.6.3) и (4.6.4) принимают вид
0 = ЛС| (4.6.5)
Эти уравнения известны как уравнение телеграфа^.
Если R = G = О, уравнения (4.6.3) и (4.6.4) принимают вид
d'^v 1 d'^v .2 1
ax^-k^at^^ '-LC ^'-'-'^
^-1^!! fc2__L (468)
Эти уравнения называются уравнениями радио.
'в отечественной литературе принят термин «телеграфные уравнения».
Прим. ред.

4-6. Проблемы линии передачи 159
Пример 4.6.1. Линия передачи длиной 1000 км находится
изначально в установившемся режиме с потенциалом 1300 вольт на
передающем конце (ж = 0) и 1200 вольт на приемном конце (ж — 1000).
Приемный конец линии внезапно заземляется, но на источнике
сохраняется потенциал 1300 вольт. Предполагая индуктивность и
проводимость изоляции пренебрежимо малыми, найти потенциал v{x,t).
Решение. Уравнение линии передачи имеет вид
Пусть Vg — начальное установившееся напряжение, удовлетворяю-
щее уравнению ^-^ = О, из которого следует, что
V, = 1300 -^ = v{x, 0). (4.6.10)
Пусть также v'^ — конечное установившееся напряжение (после
заземления приемного конца), когда стационарные условия в конце
концов достигнуты, следовательно, мы имеем
v', = 1300 - 1,3ж,
откуда
v{x,t) = v'g + vt{x,t),
где vt{x,t) — переходная часть. Таким образом,
ОО / 2 '2j\
v{x,t) = 1300- 1,зж + 22^"е^р( рлс )^''^Т~' (^-б-и)
п=1 ^ '
где I = 1000 км.
Полагая t = О, мы имеем из равенств (4.6.10) и (4.6.11):
1300 - 0,1ж = v{x,0) = 1300 - 1,3а; + ^Ьпsin
птгх
I '
п=1
т.е.
ОО
1,2ж = ^Ь„
. ппх
sin——,
п=1 '

160 Глава 4- Уравнения параболического типа
где коэффициенты легко вычисляются:
I
2 Г^ ^ . пжх , 2400, ,,,
Ьп = т l,2xsm——dx = (-1)
I J I пп
\n+i
I ПЖ
0
Итак,
^(а;,<)-ШО 1,3a; + ^ 2w „ ^''Pl.lOOO^flcJ'^^lOOO
n=l ^ '
4.7. Принцип экстремума
Теорема 4.7.1. Пусть u(x^t) — функция, удовлетворяющая
уравнению теплопроводности
,2
д'^и ди
d^^'di' 0<^<^ 0<t<T, (4.7.1)
где Т > О — фиксированный промежуток времени, и непрерывная
в замкнутой области О ^ х ^ I, О ^ t ^ Т. Тогда функция u{x^t)
достигает своего максимального и минимального значения либо в
начальный момент < = О, либо в конечных точках х — Оих = 1в
некоторый момент времени^ t, О ^ < ^ Т.
Доказательство. Пусть М — максимальное значение функции
u{x,t) при t = о, о ^ X ^ I, или при ж = 0, 0<^^Т или при
X = I, О < t ^ Т. Предположим, что в некоторой точке {xo,to),
()<xo<l,0<to^T, функция u{x,t) достигает своего
максимального значения. Тогда мы имеем
и{хо, to) = M + е. (4.7.2)
Поскольку функция и{х, t) достигает максимума в точке (жо, <о)» мы
имеем:
ди д и
— (жо,^о)-0, -^{xo,to)^0. (4.7.3)
'Теорема имеет очевидный физический смысл: если температура на границе
и в начальный момент не превосходит некоторого значения М, то при
отсутствии источников внутри тела не может создаться температура, большая М. —
Прим. ред.

^.7. Принцип экстремума 161
Так как функция u{xo,t) достигает своего максимального значения
при t = tQ, имеем'^:
^{хоМ^О. (4.7.4)
Из этого неравенства и из (4.7.3) можно увидеть, что знаки левой и
правой частей уравнения (4.7.1) в точке {xo,to) различны. Однако,
пока противоречие не получено, поскольку обе части могут быть
равны нулю. Найдем точку {xi,t-[), в которой —-^ ^ О и — > 0.
Введем для этого вспомогательную функцию
v{x,t)=u{x,t) + X{to-t), (4.7.5)
где А — некоторая постоянная. Ясно, что
v{xo,to) =u{xo,to) = М+ е и А(<о - *) ^ AT.
Выберем А > О так, что А < —;. Тогда максимальное значение v{x, t)
при t — о или X = О или а; = / не превосходит М + е/2. С другой
стороны, v{x, t) — непрерывная функция, поэтому существует точка
{xi,t]), в которой эта функция принимает максимальное значение.
Очевидно, что
v{xi,U) ^ vixo,to) = М + е.
Поэтому ii > О и О < xi < /. В точке {x\,ti), по аналогии с (4.7.3)
и (4.7.4), должно быть Vxx{xi,ti) ^ О и vt{x\,ti) ^ 0. У'пггывая (4.7.5),
находим:
^(xbii) = ^(xbii)^0,
— (xbil) = -^(a^bii) + А ^ А > 0.
Отсюда следует, что уравнение (4.7.1) в точке {x\,ti) не
удовлетворяется. Следовательно, функция и внутри области не может
принимать значений, превосходящих наибольшее значение и{х, t) на
границе (при i = О или а; = О или х = I).
Можно заметить, что аналогичный результат справедлив и для
минимального значения функции и, поскольку если u{x,t)
удовлетворяет уравнению (4.7.1), то ему же удовлетворяет и —и{х, t). Итак,
^При этом ясно, что если (о < Т, то ^ = О, если же to = Т, то ^ ^ 0.
Прим. пер.
6 — 6851

162 Глава 4- Уравнения параболического типа
максимальные и минимальные значения достигаются либо в
начальный момент времени, либо в конечных точках. Теорема докаг^ана. ■
4-7.1. Теорема единственности
Теорема 4.7.2. Если непрерывная функция u{x,t) удовлетворяет
уравнению теплопроводности
а также начальным и граничным условиям
u{x,{)) = f{x), u{0,t) = g:{t), u{l,t) = g2{t), (4.7.7)
где f{x), gi{t) и g2{t) — непрерывные функции на своей области
определения, то она единственна.
Доказательство. Предположим, что ui{x,t) и U2ix,t) — два
решения уравнения (4.7.6), удовлетворяющих условиям (4.7.7).
Определим функцию
v{x,t) = U2{x,t) — ui{x,t), (4.7.8)
которая также удовлетворяет уравнению теплопроводности (4.7.6)
и является непрерывной функцией в области 0^x^l,0^t^T.
Кроме того, v{x, 0) = О при О ^ а; ^ / и w(0, t) = v{l, i) = О, О ^ i ^ Т.
Следовательно, функция v{x, t) удовлетворяет условиям принципа
максимума-минимума, поэтому v{x, t) = О при О^ж^/, O^i^T.
Отсюда следует, что
U2ix,t) — Ui{x,t) = О =» Ui{x,t) = U2{x,t).
Итак, уравнение теплопроводности (4.7.6) имеет единственное
решение, удовлетворяюш,ее условиям (4.7.7). ■
4.8. Различные примеры
Пример 4.8.1. Однородный стержень длины /, поверхность
которого теплоизолирована, имеет изначально температуру 9 = Oq. В
момент времени t = О один конец стержня внезапно охлаждается до
0° и в дальнейшем на этом конце эта температура поддерживается.

4-8. Различные прглмеры 163
второй же конец остается теплоизолированным. Найти
распределение температуры e{x,t).
Репхение. Распределение температуры в стержне описывается
уравнением теплопроводности
а также начальными и граничными условиями
(4.8.1)
в{х,0) = во, O^x^l,
дв (4.8.2)
e{0,t) = 0, ^^0, , —(/,^) = 0, ^>0.
Методом разделения переменных нетривиальное решение, имеющее
физический смысл, получается в виде
в{х, t) = е""^^^* {А cos Хх + В sin \х).
Из условия 0(0, i) = О, Vi ^ О следует, что Л = О, поэтому условие
дв
---{l,t) = О, Vi > О дает соотношение
ох
ABe-"'^'*cosA/ = 0,
откуда
cos А/ = О
Таким образом,
Л=е^ = Л„, „ = 0,1,2,3,....
6» = в ехр
-а^ (&^ 1 t
2п + 1
sm I ——— тгх
Наконец, условие 0(а;,О) = ^о? О ^ а; ^ /, дает соотношение
'2п + 1
6>о = ^ В„ sin f -
«=0 ^
21
■кх \ .
'в следующей формуле действительно можно ограничиться
неотрицательными значениями п, поскольку \Ве~°' 'cosAx — функция нечетная
относительно Л. — Прим. пер.
6«

164 Глава 4- Уравнения параболического типа
Это ряд Фурье по синусам, следовательно,
2 Г . /2гг + 1 \ ,
Вп = J Оо sin ( ^^ тга; I dx
о
zl ^°(2гг + 1)7г
400
21 [2п + 1
cos ——— -кх
21
{2п + 1)7г
Итак, искомое распределение температуры имеет вид
2
щ
^(^'*) = Е7^;^^ехр
п=0
(2гг + 1)7г
_^, ^(2^ , ,
2гг + 1
sin I — -кх
16(
Пример 4.8.2. Найти решение Т уравнения диффузии,
удовлетворяющего граничным и начальным условиям
(i) функция Т ограничена при t —> +00,
= О при всех t,
,... дт
х=0
(hi)
дТ
дх
= О при всех t,
x=t
(iv) Т{х, 0) = х{1 - х) при О < а; < /.
Реы1ение. Обгцее решение одномерного уравнения диффузии,
допустимое с физической точки зрения, методом разделения
переменных получается в виде^
T{x,t) = ex][){-a'^X'^t){AcosXx + BsinXx).
Следовательно,
(4.8.3)
дх
= Ае " ^ *{-AsmXx + BcosXx).
(4.8.4)
Для него условие (i), очевидно, выполняется. — Прим. пер.

4-8. Различные примеры 165
Пользуясь граничным условием (ii), мы получаем, что В = 0. Из
условия (iii) имеем соотношение
откуда'
ХА sm{\l) exp(-a^A^i) = О, Vi,
3
TITT
sin(A/) = 0 => ^ = ~Г' " = 0Д'2>3, ... .
Следовательно, по принципу суперпозиции мы получаем:
Т{х, t)^2^An ехр ( -а^—72— 1 cos [—j-) ■
n=0 ^ ^
Начальное условие (iv) дает соотношение
Т{х, 0) = х{1 - X) = Ао + 2_^ An ехр ( -^— t 1 cos ( — xj ,
n=l ^ '
где
Ло = у l{lx-x^)dx = -,
о
2 / / 7Г77 Т* \
^п = у I {1х — х^) COS f —-— j da; =
о
2/2 2/2
[1 + cos Н = --44 [! + (-!)"] ■
гг^тг^ 'п?'к'^
Следовательно, ^ 2
, „ „ при гг четном,
Ап= \ гг^тг^
О при гг нечетном.
Итак, искомое решение имеет вид:
т=] \ / \ /
В следующей формуле, как и в предыдущем примере, можно ограничиться
неотрицательными значениями п, поскольку \Ае~°' *sinAx — функция четная
относительно Л. — Прим. пер.

166 Глава 4- Уравнения параболического типа
Пример 4.8.3. На границах прямоугольника О^х^а, О^у^Р
поддерживается нулевая температура. В момент времени t = О
температура Т имеет предписанное значение f{x,y). Показать, что при
t > О температура в точке внутри прямоугольника задается формулой
^ оо оо
гг,/ ч 4 v^ v^ , , , 2^2 \ ■ гп'гсх . ппу
Т{х, y,t) = —^ 2^У д{т, п) ехр -а X^J) sm sin —- , где
ар ^—' ■^—' а р
/ ч /"/",./ \ . WTTX . п-ку , .
д{т,") = fix, У) sin —^ sin — dx dy,
00
Ре1ыение. Распределение температуры описывается уравнением
теплопроводности
а также начальными и граничными условиями
(i) T(0,y,<)=T(a,y,f) = 0, О^у^^, i^O,
(ii) Т(ж,0,*) =T(a;,/3,i) = 0, О ^ а; ^ а, i ^ О,
(iii) Т(а;,у,0) = /(а;,у), О^х^а, О^у^/3. (4.8.6)
Методом разделения переменных общее решение уравнения (4.8.5)
получается в виде
T{x,y,t) = {Acospx + В smpx){C cosqy + Dsmqy)e'''^^^\ (4.8.7)
где A^ = p^ + q^. Из граничного условия Т(0, y,t) = 0 следует, что
Л = О, и условие Т(а;, О, i) = О дает С = 0. Следовательно, решение
(4.8.7) принимает вид:
T{x,y,t) = BDsmpxsinqye~"^^^K
Применяя граничное условие Т{а, у, t) = О, мы получаем, что
ттс _ „ „
smpa = 0 =» р — , т — 1,2,3, ... .
а

4-8. Различные примеры 167
Согласно принщпу суперпозищш, решение може!' быть записано в виде
Т(а;,У,i) = 2^ Лш Sin (^ jsingye " ^-\ где А^ = —^ + q
Используя последнее граничное условие T{x,p,t) = О, мы
получаем:
птс
sing/3 = о => Я=-^, п = 1,2,3, ... .
Таким образом, решение находится в виде
Т{х, y,t)=2^2_^ Атп sin (^-^ j sin
^^u-«'^-'
m=] n=]
2 2 / "^ '^
гдеА^„-7г (^—+ -^.
Наконец, начальное условие (iii) дает равенство
Т{х, у, 0) = /(ж, у) = 2^ Л„„ sm (^-^ j sin ( — 1 ,
которое является двойным рядом Фурье, следовательно,
2 2 /■/■ ,. , . ттга; . ггтгу , ,
Лтп = -■ -Б / / /(^' у) sin sin —— dx dy.
a pJJ a P
0 0
Итак, искомое обш,ее решение имеет вид:
, оо оо
Т{х, У, <) = —5 V V 9{т, п) ехр -а X^J) sin sm —- ,
ар ■^ ■^ а р
'^ m=i п=\
где д{т, п) и А^„ задаются требуемыми соотношениями:
а/З
/ л f f ,■/ ч • wvra; . ппу , ,
д{т,п}= // /(а;,у)sin sm-—dxdy,
о о
/9 1
2 _ 2 / "^ "
>mn I ^2 ' /Q2
а2 /32

168 Глава 4- Уравнения параболического типа
УПРАЖНЕНИЯ
1. Решить краевую задачу для уравнения
ди .)с(^и
- = а^^, 0<.</
С начальными и граничными условиями
uu ди
— (О, t) = о, —(/, t) = о, и{х, 0) = X.
2. На одном конце стержня длиной 50 см с изолированной
боковой поверхностью поддерживается температура 0°С, а на
другом - 100°С до достижения стационарного режима. Внезапно
оба конца изолируют, так что на них градиент температуры
становится нулевым на все последующее время. Найти
распределение температуры в стержне.
3. Найти решение уравнения —- = а -:--^^ такое, что
at дх'^
(a) функция в ограничена при t -^ -Ьоо,
Вй
(b) тг" = О при а; = О, Vi, 6» = О при х = 1, Ш,
ох
(c) в = во при i = о для всех значений х между Ои /.
ди д^и
и(а;, 0) = 3sinггтгж, u(0,i) = О = u(l,i), О < а; < 1, i > 0.
4. Решить уравнение -^ = ——^т с граничными условиями
Ot ОХ'''
5. Решить уравнение ^г- = а тг-^ для распределения тепла в
ot ох'^
стержне без теплоизлучения при следующих условиях:
(a) функция и ограничена при t -~> оо,
Oti
(b) -— = О при X = 0 и X = l,yt,
ох
(c) и = 1х — х'^ при i = О, О < а; < /.
О. Найти репшние уравнения --— = а -;г-;г, если дано, что
ot ох^

Упражнения 169
V = Vq sin nt при X = 0, для всех значений i, и У = О при очень
больших X.
7. Однородный брусок постоянного поперечного сечения
расположен вдоль оси ОХ так, что его торцы находятся в плоскостях
X = Оях = I. Боковая поверхность и поверхности торцов бруска
изолированы, и внутри бруска нет источников тепла.
Начальное распределение температуры имеет вид 1х — х"^, О ^ х ^ I.
Найти распределение температуры в бруске при i > 0.
8. Найти решение уравнения -^ = -к-^, удовлетворяюш,ее усло-
дТ д^Т
решение уравнения
виям:
(а) Т = О при а; = О и а; = 1 для всех t,
... ^ \2х 0^x^1/2,
(Ь) Т = < при ^ = 0.
[2(1-ж) 1/2 ^ а; ^ 1,
9. Найти решение уравнения диффузии
дв 2 fd'^e 1 дв
dt V дг^ г дг
удовлетворяющее условиям:
(a) функция в конечна при г = О и i > О,
(b) в = 0 при г = а и f > О,
(c) в = -^- {а^ - г2) при t = 0.
Здесь р, /i и c^ — постоянные.
10. Пусть функция ^{х) ограничена при всех вещественных значе
дТ од'^Т
ниях X. Показать, что регпение уравнения — = а -^-g")
удовлетворяющее условию Т(а;,0) = ^р{х), имеет вид
оо
T{x,t) = ^=i= / <^(0exp[-(a:-0^/(4a2i)]d^.
11. Ha гранях a; = 0 и a; = / конечной пластинки подцерживайтся
нулевая температура. Начальное распределение температуры в

170 Глава 4- Уравнения параболического типа
пластинке задается формулой
T{x,0)^fix), O^x^l.
Найти распределение температуры в последующие моменты
времени.
V
12. Распределение температуры в тонком изолированном стержне
с источниками тепла удовлетворяет уравнению в частных
производных
а также условиям и(0, t) = и{1, i) = О и и{х, 0) = f{x), О ^ х ^1,
где ри С — постоянные, а, F — непрерывная функция от а; и i.
Найти u{x,t).
13. В однородном сплошном niape радиуса R начальное
распределение температуры имеет вид /(г), О ^ г ^ Д, где г -
расстояние от центра шара. На поверхности шара поддерживается
температура 0°. Показать, что распределение температуры в шаре
гг., ^ дТ ofd'^'r 2аТ
i(r,t) является решением уравнения —— = с -—-^ Н -—
ot \ дг^ г or
где с^ - константа. Показать также, что распределение
температуры в шаре при f > О имеет вид
П7ГС
14. Найти распределение температуры Т{г, t) в бесконечном
цилиндре О ^ г ^ а, если начальная температура имеет вид
Т(г, 0) = /(г) и на поверхности г = а поддерживается
нулевая температура.
15. Найти решение однородного уравнения диффузии,
удовлетворяющее следуюпщм начальным и граничным условиям:
(а) Т ограничена при i —> оо,
дТ
С' &
= О при всех i,
х=0

Упражнения
= О при всех t,
(d) Т{х, 0) = х{1 -х), 0<х< I.
дТ
16. Сплошной прямой круговой цилиндр ограничен поверхностями
г = аиг = ±1в цилиндрической системе координат {г,в,г).
Найти стационарную температуру ip{r, z) во внутренних точках
цилиндра, если (/? = Ti на основании z = I, (р = Т2 на основании
Z = —[ и (р = О на 6oKOBQfi поверхности г = а, где Ti и Т2 —
константы.
17. Два бесконечных полуконуса в = а и в = /3 ограничивают
однородное тело. На поверхности в = а поддерживается нулевая
температура, а на поверхности в = р -— распределение
температуры Го(1 — ехр(—г/а)), где Го и а — константы, а г —
расстояние до вершины О конуса. Найти стационарную
температуру во всех точках тела.
18. На передающем конце телефонного провода длины I
поддерживается постоянный потенциал 20 вольт, а на приемном конце —
12 вольт. В момент времени t = О приемный конец заземляется.
Найти напряжение и ток спустя t секунд. Проводимостью
изоляции и индуктивностью пренебречь.
19. На концах однородного стержня из проводящего материала
длины 100 см поддерживается нулевая температура.
Распределение температуры в начальный момент имеет вид
и{х,0) = <
100 - а; 50 ^ а; ^ 100.
Найти температуру u{x,t) в любой момент времени.
20. Найти температуру и(х, t) в бруске длины 10 см, боковая
поверхность которого полностью изолирована, на торцах
поддерживается температура 0°С, и начальное распределение
температуры в градусах Цельсия имеет вид f(x) = а;(10 — х).
Поперечное сечение бруска имеет постоянную площадь 1 cм^,
плотность вещества 10,6 г/см^, теплопроводность 1,04 кал/(см -"С- с),
и удельная теплоемкость 0,056 кал/(г-°С).

72 Глава 4- Уравнения параболического типа
21. Решить краевую задачу методом разделения переменных:
u{0,t) = 0, u{2,t)=0, О О,
и(х,0) = О, 0<а;<2.
22. На концах стержня х = О и х = I поддерживается нулевая
температура. Стержень подвергается мгновенному воздействию тем-
, ^, . тга; „
пературы и(х,0) = sin—-. Показать, что распределение темпе-
, ,, . тга; -"^т^(
ратуры в стержне имеет вид и{х, t) = sin —е '^

ГЛАВА 5
УРАВНЕНИЯ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО
ТИПА
5.1. Уравнения Лапласа и Пуассона
в этой главе мы изучим различные свойства и технику решения
уравнений Лапласа и Пуассона, которые имеют эллиптический тип.
Этими хорошо известными уравнениями описываются многие
физические явления. Назовем некоторые из них, часто встречающиеся
в приложениях: стационарное тепловое поле, инфильтрация в
пористых средах, безвихревое течение идеальной жидкости,
распределение гравитационного потенциала и т. д.
5.1.1. Вывод уравнения Лапласа
Пусть две частицы с массами mi и тг находятся в точках Р и Q,
отстоящих друг от друга на расстоянии г. Согласно закону
всемирного тяготения Ньютона, модуль силы притяжения прямо
пропорционален произведению их масс и обратно пропорционален квадрату
расстояния между ними, и задается формулой
F = G^, (5.1.1)
где G — гравитационная постоянная. Если г = PQ, то сила в
точке Q, имеющая место благодаря наличию массы в точке F, задается
формулой
i. = _!!^ = v(^) (5.1.2)
^3
в предположениях единичной массы в Q и G = 1; она называется
напряокенностью поля тяготения.
Предположим, что частица единичной массы движется из
бесконечности в точку Q под действием силы притяжения частицы с мае-

174 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
сой mi в точке Р, тогда работа силы F равна
/F.<,f=/v(^)*-==l. (5.1.3)
оо оо
Противоположная но знаку величина называется потенциалом в
точке Q относительно частицы в точке Р и обозначается через U,
С/=-^. (5.1.4)
г
Из равенств (5.1.2) и (5.1.4) следует, что
F = -VU. (5.1.5)
Если мы рассмотрим систему частиц с массами mi,m2, ... ,тпп,
находящихся от точки Q на расстояниях ri, гг, ... ,г„
соответственно, то сила притяжения этой системы, действующая на единичную
массу в точке Q, будет равна
Работа, производимая силой, действующей на частицу, равна
L
Легко проверить, что
V^C/=-V^(t^)=tv^(^)=0, г. ^ О, (5.1.8)
\г=1 ' / г=1 V ' /
^2 Ql q2
где V = div grad = ——^ + тг"^ + тг"^ называется оператором Лапласа
дх^ ду^ oz^
или лапласианом.
В случае, когда вещество плотности р непрерывно распределено
в теле V, имеем:
U{x,y,z) = jjjPMl£Ldv, (5.1.9)

^
5.1. Уравнения Лапласа и Пуассона I75J,
где г = у/{х — ^^) + [у — ?/)^ + {z — C)^ и точка Q находится вне тела.
Можно проверить, что U удовлетворяет уравнению Лапласа
V^C/ = 0. (5.1.10)
5.1.2. Вывод уравнения Пуассона
Пусть S — замкнутая поверхность, заключающая частицы с масса-
п
ми mi,1712, ■■ • , тпп- Пусть Q - - любая точка на 5 и "Y^'i^^i — ^ —
суммарная масса внутри 5. Пусть §1,92, • ■ ■ ,9п — напряженности
гравитационных полей в точке Q, создаваемых находящимися
внутри 5 частицами с массами т\,т2, ... ,т„ соответственно. Кроме
п
того, пусть J2 9г = 9 — напряженность полного гравитационного
поля в точке Q. Тогда по закону Гаусса мы имеем:
//
g-dS^-A-KGM, (5.1.11)
S
где М = JJJ pdv и р - функция плотности массы.
V
Поскольку гравитационное поле потенциально,
9 = VU, (5.1.12)
где и — скалярный потенциал.
По теореме Гаусса-Остроградского равенство (5.1.11) приводит
к соотно1пению
fff{Vg + 4nGp)dv = 0,
V
из которого следует, что
V ■ 9 = -АтгОр.
Из формулы (5.1.12) имеем:
V • VC/ = -AnGp
или
у2С/ - -4тгОр. (5.1.13)
Это равенство известно как уравнение Пуассона.

Глава 5. Уравнения эллиптического типа
5.1.3. Основные свойства гармонических
функций.
Функция и называется гармонической в области F, если она
непрерывна в этой области вместе со своими производными до 2-го
порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа.
Гармонические функции обладают многими замечательными свойствами.
Приведем без доказательства некоторые из них.
1. Если гармоническая в области V с достаточно гладкой
границей S функция и{х, у, z) непрерывна в F U 5 вместе со
своими производными первого порядка и равна нулю па
границе S области F, то U{x,y,z) = О для всех {x,y,z) & V U S
(свойство единственности гармонической функции - оно
может быть установлено на основании 5-го свойства, см. ниже).
2. Если нормальная производная -—; гармонической в области
on
V функции U{x,y^z), непрерывной в V U S вместе со своими
производными первого порядка, равна нулю на границе S
области V, то U{x,y^z) = const для всех {x,y,z) G V.
3. Если и функция, гармоническая в области V, ограниченной
поверхностью S, то
//
on
где Е любая замкнутая поверхность, целиком лежащая в
области V.
Если функция U{x, у, z) гармонична в некоторой области V, а
(а;о,Уо7^о) ~ какая-нибудь точка, лежащая внутри области F,
то имеет место формула
U{xQ,yQ,ZQ) = -^^ 11 и da.
где Sr - - сфера радиуса г с центром в точке [xq, уо, ^о), целиком
лежащая в области V (теорема о среднем значении).
Если функция U{x, у, z), гармоничная в области V, непрерывна
в замкнутой области F U 5, то максимальные и минимальные
значения функции U{x,y,z) достигаются на границе S
(принцип экстремума).

5.2. Краевые задачи 177
5.2. Краевые задачи
Функция с/, удовлетворяюи1,ая уравнениям Лапласа или Пуассона в
ограниченной области V трехмерного пространства, должна кроме
того удовлетворять также некоторым граничным условиям на
границе S этой области. Такие задачи называются краевыми задачами
для уравнений Лапласа и Пуассона. Если функция / G С^"^ то все
ее производные порядка п непрерывны. Если / G С^^', то имеется в
виду, что / непрерывна.
Существует три основных типа краевых задач для уравнения
Лапласа. Если функция / G С^^^ и задана на границе S некоторой
конечной области V, задача нахождения функции Ф{х, у, z) такой,
что V^Ф = О внутри V и Ф = f на. S, называется первой внутренней
краевой задачей или задачей Дирихле.
Вторая внутренняя краевая задача состоит в том, чтобы
найти функцию Ф{х,у,г) такую, что V^Ф = О внутри области V, в то
время как в каждой точке ограничивающей поверхности S задана
дФ
производная — по внеппюй нормали к S. Эта задача надрывается
задачей Неймана.
Третья щуаевая задача состоит в отыскании функции Ф(а;,у, z),
удовлетворяющей уравнению V^Ф = О внутри Д, и граничному усло-
дФ
ВИЮ вида -7— + НФ = /, где функция h ^ О задана в каждой точке
on
поверхности S. Эта задача называется смешанной краевой задачей
или задачей Черчилля.
Из свойств гармонических функций вытекают следующие
теоремы единственности: первая внутренняя краевая задача не может
иметь двух различных решений; решение второй внутренней
краевой задачи определяется с точностью до произвольной постоянной.
5.3. Метод разделения переменных
Метод разделения переменных применим к большому числу
классических линейных однородных уравнений. Выбор системы
координат, вообще говоря, зависит от формы тела. Рассмотрим двумерное
уравнение Лапласа
^2 дЧ дЧ
^"=a^ + V='- ^'-'-'^

78 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Мы предполагаем, что
и(х,у)=Х{х)¥{у). (5.3.2)
Из равенств (5.3.1) и (5.3.2) следует, что
X" —Y"
-—- = = к (параметр разделения).
JL У
Возникают три случая.
Случай I. Пусть А; > 0. Тогда к = р^, где р вещественно. Мы
имеем:
откуда следует, что
X = CieP^ + С2е-Р^
и
Y = Сз совру + Ci sinpy.
Итак, решение имеет вид
и{х,у) - (CieP^ + С2е-Р^)(Сзcospy + С4sinpy). (5.3.3)
(fx (Py
Случай II. Пусть к = 0. Тогда -j-y = О и -^y = О, что дает нам
CtX (ли
соотношения
Х = Сьх + С^ и Y = C7y + Cs.
Следовательно, решение имеет вид
и{х,у) = (Сьх + СеЦСту + Cg). (5.3.4)
Случай III. Пусть А; < О, тогда к = —p^. Не ограничивая общности
рассуждений, мы можем считать, что р > 0. Действуя так же, как и
в случае I, получаем:
и{х,у) = [C^cospx + CiQsmpx){Cne^ + Ci2e-^). (5.3.5)
Во всех трех случаях константы интегрирования Cj (г = 1, ... , 12)
определяются из граничных условий. Например, рассмотрим область,

5.3. Метод разделения переменных 179)1
определяемую неравенствами: О ^ а; < +оо, О ^ у ^ а и граничные
условия
м(0, у) = /(у), и{х,0) = 0, и{х.,а)=0, и{х,у) ^f О при х ^i-+оо.
В этом случае подходящий вид решения и{х,у) из полученных
выше методом разделения переменных, следующий:
и{х,у) = (CieP^ + С2е-Р^)(СзС08ру + dsinpy). (5.3.6)
Поскольку и{х, у) —>^ о при X —> +00, мы имеем: Ci = О, откуда
и{х, у) = С2е~^^(Сз cospy + С4 sinpy).
Так как и{х, 0) = О, мы получаем:
С2е-Р''Сз = 0 =» Сз = 0 (поскольку Сг ^ О ^^ е^Р^, Va;),
значит,
и{х,у) = Ле~^^8шру, Л = С2С4.
Теперь
«(ж, а) = 0 =» Ae~P^smpa = 0 =» sin pa = О (т. к. Л т^ 0),
откуда
„ тгп „ ^ „
ра = тт, п^Ъ =^ р=—, п = 0,1,2,...
а
в силу положительности р и а. Таким образом, искомое решение в
нашем случае имеет вид
оо
,. . . У
п=0
где Лп — постоянные. ^
Пример 5.3.1. Показать, что двумерное уравнение Лапласа V^C/ = О
в полярных координатах г ив имеет решение вида (Лг"+Вг~")е^"*^,
где Л, В и п — постоянные. Найти функцию С/, если она
удовлетворяет уравнению Лапласа V^C/ = О в области О^г^а, О^0^27ги
условиям
(i) и остается конечной при г —» О,
(ii) и = ^Спсо8{пв) на окружности г = а.

180 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Решение. Уравнение Лапласа в полярных координатах имеет вид:
^2гг д'^и 1 ди 1 д'^и ^ ,^,,,
Пусть
и - R{r)Q{e) (5.3.8)
является решением уравнения (5.3.7).
Из равенств (5.3.7) и (5.3.8) следует, что
откуда^
^ + п2в = О (5.3.9)
и
^2^ + г^_п2д = 0. (5.3.10)
Теперь из уравнения (5.3.9) следует, что
О = Се'"^ + £>е-'"^ (5.3.11)
Будем искать решение уравнения (5.3.10) в виде R = г"*, тогда
m^ — n^ = О =» m = ±п.
Следовательно,
Д = Аг" + Вг-".
Таким образом, решение уравнения (5.3.7) принимает требуемый
вид:
п
= Y, (^п^" + Впг-") (с; cos(n0) + £>; sin(n0)).
^Kaк видно из дальнейшего решения, выбор параметра разделения в виде п^
связан с тем, что @{в) должна быть периодической функцией с периодом 27Г. —
Прим. пер.

5.4- Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах 181
Далее, по условию (i) функция U должна быть ограниченной
при г —> О, откуда Вп = 0. Следовательно,
U = Y^ Апг"" (с; cos(n^) + D'^ sinine)).
п
Теперь по условию (ii) должно выполняться U = Y^Cn cos(n^) на
п
окружности г — а, значит,
^ Сп со8{пв) = ^ Л„а" {Сп со8{пв) + D'^ sin(n6')),
п
откуда
D'^ = О, Vn и Л„С>" = с„, т е. АпС'^ = ^ .
(л
Итак, f/(r, в) = 2_, Cni-) cos{n9) - искомое решение.
5.4. Уравнение
Лапласа в цилиндрических координатах
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах имеет вид:
Предположим, что оно имеет решение вида
и{г, в, z) = R{r)e{e)Z{z). (5.4.2)
Подставляя выражение (5.4.2) в уравнение (5.4.1), получаем:
1 /d^R 1 dR\ 1 £в 1 cPZ ^ ,^ ^^^
R\dr^ г dr J гЮ de^ Z dz^
Пусть TT-r-v = m . He ограничивая общности рассуждении, мы мо-
Z dz^
жем считать, что m > 0. Тогда
откуда
Z = е^"^'. (5.4.4)

82 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
При этом уравнение (5.4.3) принимает вид
г2 /(fR ldR\ 2 2 1 ^^0 n /. . r^
R\dr'^ rdr J в de^
rr ^d^® 2
Пусть -rr—rp;^ = —n , тогда отсюда следует, что
В do^
^® 2^ ^
^ + "^6 = 0
ИЛИ
G = е^^"^ (5.4.6)
Теперь уравнение (5.4.5) преобразуется к виду
cPR IdR / 2_^\д^0
dr"^ г dr \ г"^)
т. е. становится уравнением Бесселя.
Его решение может быть записано в виде
R{r) = AJn{mr) + BYn{mr).
Тогда равенство (5.4.2) принимает вид
и = Я(г)е*™^*^"^
В то же время R остается конечным при г -^ О, откуда следует,
равенство:
В = 0.
Таким образом, наиболее общее решение уравнения (5.4.1) имеет вид
u{r,e,z) - Jn{mr) (cie™^ + сге"™^) (сзcosпб» + С4sinпб).
Константы определяются исходя Р13 граничных условий. Если область,
в которой ищется решение, неограниченая, то вводят так
называемое условие на бесконечности (см. ниже, разд. 5.7). В трехмерном
случае требуют, чтобы решение стремилось к нулю при удалении
точки наблюдения на бесконечность.
Рассмотрим, например, область О ^ г ^ /(^)i О < z < +00,
О ^ ^ ^ 27Г и граничное условие
и —^ О при Z —> +00.

5.5. Уравнение Лапласа в сферических координатах 183
Это означает, что
С1 =0.
Следовательно, искомое общее решение уравнения (5.4.1) принимает
вид:
u{r,e,z) = Jn{mr)e~"^^ {сз cosпв + С4 sinпв).
5.5. Уравнение
Лапласа в сферических координатах
Уравнение Лапласа в сферических координатах имеет вид
V\ =
уди
1 д
sin^^ 1 +
1 д^и
г^[дг У дг) 8твдв У de)^s\i?edip^
Предположим, что его решение задается в виде
u{r,9,<p)=R{r)F{e,>p).
Подставляя это выражение в уравнение (5.5.1) имеем:
= 0. (5.5.1)
(5.5.2)
/г'^ /-2
dR\ R д { . JF\ R d'^F ^
dr V drj sin в дв \ дв) sin2 в дф^
откуда
R F
где А — параметр разделения. Следовательно,
^^ / 2dR
Rdr V
кроме того
1
= -А,
Rdr\'"'dr '" ^'
д_ ( . dF\ 1 d^F
Fsine
Уравнение (5.5.3) преобразуем к виду
2(^Я „ dR
= А.
(5.5.3)
(5.5.4)
dr-' dr

184 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Пусть R = г^ — его решение. Тогда при А = —п{п + 1) мы имеем;
р(р-1)+ 2р-п(п +1) = 0 или р^+р-п(п+1) = 0.
Это дает р = п или р = —{п + 1). Следовательно,
Д = С1г" + С2/г"+'. v (5.5.5)
При А = —п{п + 1) уравнение (5.5.4) принимает вид
1
sin^
+ n(n + l)F = 0. (5.5.6)
Предположим, что решение уравнения (5.5.6) имеет вид
F = @{вЩ^р).
Тогда равенства (5.5.6) и (5.5.7) дают соотношение
1 (рФ sin 6»
(5.5.7)
где т^ другая константа разделения. Имеем
d4
= т% (5.5.8)
dip'
+ т^Ф = О
и
sin^
^(d„.^)+„(„+l)esi„'.
= т
(5.5.9)
(5.5.10)
Обш,ее решение уравнения (5.5.9) имеет вид
Ф = сз cos{rrnp) + С4 sm{nnp)
при условии m 7^ 0.
Если m = О, то решение не зависит от (,£>, что соответствует
аксиально-симметричному случаю.
Подставляя cos^ = /х в уравнение (5.5.10), получаем хорошо
известное уравнение Лежандра:
SQ
dQ
^^-n-:п:2--''^^-J7 +
dfi
dfj,
n(n + l)
m
2 T
l-M^
G = 0.

5.6. Внутренняя задача Дирихле для круга 185
Его общее решение имеет вид
0(/х) = С5РГ Ы + c^Qnif^h -1 ^ /^ ^ 1,
или
6(6») = CbP^icosO) + C6Q™(cos6'),
где Р^{ц) и Q^{n) — функции Лежандра соответственно первого
и второго рода.
Из непрерывности &{в) в точках ^ = О, тг следует непрерывность
G(/i) в точках /X = ±1. Поскольку Q™(/x) имеет особенности при
/X = ±1, мы полагаем се = 0. Следовательно, решение уравнения
Лапласа в сферических координатах имеет вид:
U{r,e,ip) = ^ {^Inf'' + -~^j {Сзт COS пир+ С4т sin пир) Р^ {cos в).
т,п
В аксиально-симметричном случае общее решение принимает вид
и{г,0) = Y1 {'^гпг^ + ^) '^зоР^Ссов^) =
п
=f:Unr-+^)^n{cose),
п=0 ^ ^
ПО принципу суперпозиции.
5.6. Внутренняя задача Дирихле для круга
Задача Дирихле для круга формулируется следующим образом:
найти значение функции и в любой точке внутри круга с границей г = а,
где и — однозначная непрерывная функция в замкнутой круговой
области, удовлетворяющая уравнению
V^n = 0, О^г^а, 0^6»^ 27Г (5.6.1)
и граничному условию
и{а,в) ^ /(в), О ^ ^ ^ 27Г. (5.6.2)
Из требования однозначности функции и следует условие
периодичности, т. е.
и{г,в + 2тг)=и{г,в), О ^ г ^ а. (5.6.3)

186 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Уравнение (5.6.1) в полярных координатах имеет вид:
o^^u \ди 1 д'^и ^ ,г п л^
Пусть функция
и{г,в) = Н{г)е{в) .^ (5.6.5)
удовлетворяет уравнению (5.6.4), которое в этом случае сводится к
^{r^R" + rR') = -^ = k, (5.6.6)
где к — параметр разделения, и R', &' обозначают производные
соответственно по г и по в. Имеют место следующие три случая.
Случай I. Пусть А; > О, тогда мы можем положить к = Х^. Имеем:
r^R" + rR' - X^R -= О,
это уравнение эйлерова типа, оно может быть решено заменой г = е^.
Решение имеет вид
R = cie^"^ + С2е~^^ = с^г^ + С2Г~^.
Кроме того,
G" + Л^е = О => G = сз cos(A0) + С4 sin(Ae).
Следовательно,
и{г,в) = (cir^ + С2Г-^] (сз cos(A6') + С4 sin(A(9)). (5.6.7)
Случай II. Пусть А; < 0. Тогда А; = — А^, и мы имеем:
r^R" + rR' + X^R = О,
откуда
R = Ci cos(A In r) + C2 sin(A In r)
и
G" - A^G = 0 => G = сзе^^ + CAe'^^.
Таким образом,
u{r,в) = (ci cos(A Inr) + C2 sin(A Inr)) (c^e^^ + 046'^^) . (5.6.8)

5.6. Внутренняя задача Дирихле для круга 187
Случай III. Пусть А; = О, тогда мы имеем:
гД" + Я' = 0 => r^ + F = 0, где V{r) = R'{r).
dr
Отсюда
dV dr ^ ,, , ' ci dR
—- + — = 0 ^ Vr = ci => F= — = —-
К r r dr
Следовательно,
rfi? ci
Кроме того,
dr г
Итак,
и{г,0) = (Ci Inr + С2) (Сз^ + С4) (5.6.9)
Теперь, переходя к внутренней задаче для круга, отметим, что
точка г = О принадлежит области постановки задачи, и
поскольку функция Inr не определена при г = О, решения (5.6.8) и (5.6.9)
не годятся. Тогда искомое решение получается из формулы (5.6.7).
Из условия периодичности (5.6.3) следует, что
сз cos(A^) + С4 sin(A^) = сз cos Х{9 + 2тт) + С4 sin Х{9 + 2тт)
или
2 sin Атг (сз sin{X9 + Лтг) - С4 sin \{9 + 27г) j = О,
откуда
sin Лтг = О => Лтг = П7Г => Л = п, (п = 0,1,2,3, ...).
Пользуясь принципом суперпозгащи и переобозначая константы, имеем:
оо
и{г, e) = J2 (Спг-" + />пг"") {An COS пв + Вп sin п9). (5.6.10)
п=0
Функция и{г,9) должна быть конечной в точке г = О, значит
Dn = О при всех п.

188 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Следовательно, мы имеем:
оо
п(г, ^) = V] г" [An COS п9 + Вп sin п9) =
п=0
+ ^ г" (а„ cos п6' + Ь„ sin пб»), Л =5? у ,
(5.6.11)
п=\
что при каждом фиксированном г является рядом Фурье по полной
тригонометрической системе.
Теперь из равенства и{а,в) = /{в) следует, что
оо
/(^) = — + ^ а" (а„ cosпв + Ьп sinп9),
п=1
откуда
27Г
27Г
ао = - 1 f{e)de, а„ = -i- f f (в) cos nede,
о о
27Г
bn = -^ f f{0)sinnede, n = l,2,3, ....
(5.6.12)
0
Таким образом, мы получаем решение
27Г
u{r,e)=—jf{ip)dip+
О
1 Т °° " '
Н— / f{(f) У~] (-] (cosrvf COSпО + sinrup sinnejdip ~
27Г
n L n=l
dcp.
(5.6.13)
где переменная в в (5.6.13) была заменена на ip, чтобы отличить О
от переменной интегрирования из (5.6.12).

5.7. Внешняя задача Дирихле для круга 189
Пусть
оо , оо
(^=2_.{~) cosn{(f — e) И *=/J(~") s'mn{(f — в),
(г/а)е^(^-^)
п=1 п—1
так что
c + is = ^[Lei(^-e)
n=l
1 - (r/a)e»('^-^) '
так как г < а, ^ < 1 и \e'^^P-^^ \ ^ 1.
Приравнивая вещественные части, получаем:
ir/a)cos(ip-e)-(r'^/a'^)
с =
1 - (2г/а) cos{ip ~0)+ г^/а^ '
Таким образом, выражение в квадратных скобках в формуле (5.6.13)
равняется
2 2
2(a2-2arcos((p-(9) + r2)
Решение краевой задачи принимает вид:
zTT J la"^ — 2ar cos[ip — в) + r^)
0
Это известная интегральная формула Пуассона для круга, она дает
единственное решение задачи Дирихле и имеет много физических
интерпретаций.
Функция
2 2
с? — 2аг cos((|P — в) + г'^
называется ядром Пуассона. Она пропорциональна производной по
нормали к границе области от функции Грина первой краевой
задачи для уравнения Лапласа в круге (см. главу 6).
5.7. Внешняя задача Дирихле для круга
Внешняя задача Дирихле задается условиями:
V^cp = О при О ^ е ^ 27Г, г> а,

190 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
функция vf непрерывна при г ^ о, ограничена при г —> оо и
ip{a,e) =/{в), О^б'^гтг,
где f{9) —■ непрерывная функция на окружности г = а.
Обп1;ая постановка внешней задачи Дирихле на плоскости такова:
найти функцию (|Р(а;, у), удовлетворяющую следующим условиям
1) Д(|Р = О вне области F, ограниченной контуром S\
2) функция ip непрерывна в области вне F, включая границу S\
3) ip\g = f{x,y), где / -- заданная на S непрерывная функция;
4) (|Р(ж, у) ограничена на бесконечности, т. е. существует iV, такое,
что )(|Р(ж, ?/)| < N.
Имеет место теорема: внешняя задача Дирихле для функции
двух перемегшых может иметь только одно решение.
06ni;ee решение уравнения V'^ip = О в полярных координатах,
полученное методом разделения переменных, может быть записано
в виде
ip{r,0) = ^ {Спг'' + Впг~'^) {An cosп9 + В^ smn9).
п=0
Решение ip> должно быть ограниченным при г —> +оо, поэтому
полагаем Сп = 0. Таким образом, после переобозначения констант
получаем:
оо
ip{r,9) = ^ г"" (а„ cos пб' + Ьи sin пб»). (5.7.1)
п=0
Без ограничения общности это выражение может быть также
записано в виде
оо
(|Р(г, 0) = — + У^ г"" (а„ cos пв + Ъп sin пв).
п=1
При г — а с использованием ортогональности тригонометрических

5.7. Внешняя задача Дирухле для круга 191
функций имеем:
27Г
•27Г
ао = ^ ff{e)de, ап = ^ fЛв)со8пв
о о
27Г
сШ,
(5.7.2)
isinn^rf^.
Таким образом, решение (5.7.1) принимает вид
27Г
п=1
с1ф. (5.7.3)
о •-
Пусть
оо
(^ — 2^\~) cosn(i/' —0) И ^ —У^(~) sinn(i/? —б),
оо
с + г'з = 2_]
п=1
п=\
так что
n=l
Поскольку f < 1 и |е^(^-^)| < 1, мы имеем:
а e^W-")
с + гз = --р -7. ij-
г J
Выделяя вещественные части, получаем:
,2
С =
- cos(V' -В) 5
л 2а , , ., а''
1 cos(V' - б) + ^
Таким образом, выражение в квадратных скобках в формуле (5.7.3)
равняется
2(r2-2arcos(V'-e) + a2)

192 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Итак, искомое решение внешней задачи Дирихле принимает вид:
27Г
^ir,B) = l-j
{г^-а^)/{ф)
(г^ - 2аг cos(V' - в) +0^)
ёф.
Полученная формула отличается от (5.6.14) знаком, т.е.
направлением внешней нормали к границе области.
5.8. Внутренняя задача Неймана для круга
Внутренняя задача Неймана для круга ставится следуюпщм
образом: найти значение неизвестной функции и в каждой точке внутри
круга с границей г = а, так, чтобы удовлетворялось уравнение
V^u = 0, 0^г<а, О^б/^гтг (5.8.1)
и граничное условие
ди ди (г, в)
дп дг
= д{в) на окружности г = а. (5.8.2)
Общее решение уравнения V^u = О, полученное методом
разделения переменных в полярных координатах, может быть записано в
виде
оо
u(r, e) = Yl {Спг'' + Впг-"") {An cosпв + Вп зтпв).
п=0
В точке г = О решение должно быть конечным, поэтому Dn = О, Vn.
Значит, обш,ее решение принимает вид:
оо
и{г, б) = ^ г" (а„ cos пв + Ьп sin пд).
п=0
Без ограничения общности мы можем написать
оо
и{г,в) = ^ + ^г'' {an cos пв + Ьп sin Щ . (5.8.3)
Следовательно,
оо
„ COS пв -\- bfi sin пВ).
дг
п=1

5.8. Внутренняя задача Неймана для круга 193
ди
Из равенства —{а,в) = д{9) следует соотношение
д{в) = ^ па^ ^ (а„ cos п9 + Ь„ sinn^), (5.8.4)
n=l
которое является разложением Фурье функции д[в) по полной
тригонометрической системе, где
27Г
27Г
«п = „ 1 / д{в)со8пвёв, Ьп = ^ 1 д(в)8тпвёв. (5.8.5)
о о
Подставляя эти выражения в (5.8.3), получаем:
27Г
п{г,в) = ^ +
2
у ^ —г / д{ф) ( cos п^з cos пв + sin n^ sin пв) di/?
n=l "^^ I
7 °° r n a
(5.8.6)
С другой стороны, положим
оо оо
п=1
Следовательно,
c + is
а v-^ 1
и, \—-у
7Г ^
п=1
П
а
п=1
= In
7Г
1 _ !:e^(v-e)
а
Теперь, поскольку вещественная часть комплексного логарифма равна
Ке(1пг;) = \n.\z\, имеем: с = — In
1 _ Ls^-e)
а
. Итак,
с = In
ж
i2
1 cosUp — в) + - sin(^ — в)
а J La
7Г
_ а /а^ — 2аг cos{ip — 0) + г^
7 - 6851

94 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Итак, искомое решение (5.8.6) принимает вид:
27Г
и{г, e) = -^--Jln^ ^ '- giip)dip. (5.8.7)
5.9. Внутренняя задача Дирихле для сферы
Внутренняя задача Дирихле для сферы формулируется следующим
образом: найти значение функции и в любой точке внутри сферы
г = а и такой, что
V^u = 0, 0^г<а, 0^6»^ 7г, О^ур^гтг (5.9.1)
и
u{a,e,ip) = f{e,ip) на сфере г = а. (5.9.2)
Решение уравнения V^u = О в сферических координатах, найденное
методом разделения переменных, имеет вид:
и{г, e,ip) = (cir" Н -у ) (сз cos mip + с^ sin mip) х
X (c5P^(cos в) + c^Q"^{cos в)), (5.9.3)
где F^in) и (5^(/i), ц = cos 9 присоединенные функции Лежандра.
Поскольку область постановки задачи содержит начало
координат г = О, и функция и должна быть конечной при г = О и при
б = 0,7г, мы должны иметь С2 = О и се = 0.
Таким образом, решение (5.9.3) принимает вид:
оо п
и{г, 0,(р) =^'^^г'^ [Атп cos{m(p) + Втп siu{rrup)] P^ifJ.),
п=0 т=0
О ^ Г ^ а,
(5.9.4)
где А^п и Втп — новые константы, полученные после
переобозначения. Теперь на поверхности сферы мы имеем:
u{a,e,ip) = f(e,ip), r = a.
Следовательно,
оо п
/{в, ¥>)='J2Y1 «"-ССм) [Атп cos(mip) + Втп sin(m<^)]. (5.9.5)
п=0 т=0

5.9. Внутренняя задача Дирихле для сферы 195
Умножая обе части равенства (5.9.5) на cos{mip)P^{fi) sin б и беря
двойной интеграл по ip (О ^ f ^ 27г) и по 0 (О ^ б ^ тг), получаем
соотношение
27Г 7Г
/ / /(^, ^} cos{rrup)P^{cos в) sin в dOdip =
о о
^ 2(1 + 6от)т^а'^Атп{п + т)\
" (2ra + l)(n-m)!
Отсюда следует, что
27Г 7Г
(2n + l)(n-m)!
I и {в, (p)cos{m(p)P^ {cos в) sine dedip.
2(l + 5om)7ra"(n + m)!
0 0
(5.9.6)
Аналогично, если умножить обе части (5.9.5) на P^(/i)sin(m^)sine
и проинтегрировать, мы получим, что
(2n + l)(n-m)!
Отп —
27Г 7Г
///(б, У?) sin(m<^)P^(cose) sine dOdip.
2(1 + 5от)та"(п + т)!
о о
(5.9.7)
Подставляя выражения (5.9.6) и (5.9.7) в соотношение (5.9.4), мы
получим искомое решение задачи Дирихле Ч
°° " (2n + l)(n-m)! I'r^n
27Г 7Г
y"y"/(V',x)i'r(cose)P-(cosV)
27Г 7Г
X / / ^(i/;,Y)i-'r(cost/)K,'4cosi/;)x
0 0 V
X [cos mx cos my? + sin mx sin mi/?] sin i/; di/'dx
oo n
_ 1 -r^ Y^ (2n + l)(n-m)! /r\«
25Г7Г
/{ф,х)Р^{со8в)Р;^{со8г1;)со8т{х - (p)siml;dx/}dx.
X
0 0
'Эту формулу также можно свести к интегралу Пуассона — Прим.ред.

196 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
5.10. Периодические решения волнового
уравнения, обладающие симметрией
Пусть функции
u{f,t) = F{f)e^^
V
является решением волнового уравнения
имеющим периодическую зависимость от времени. Тогда
и волновое уравнение принимает вид e^'^'V^F = —^Fe^^^, т. е.
функция F удовлетворяет уравнению Гельмгольца
с2
которое имеет эллиптический тип. Ниже рассматриваются случаи,
когда функции F яи обладают пространственной симметрией:
аксиальной (цилиндрические координаты) и сферической (сферические
координаты).
5.10.1. Цилиндрические координаты
Если функция и зависит только от г, то для нее волновое уравнение
в цилиндрических координатах принимает вид
Для периодического по времени решения мы имеем:
и = F{r)e^K
Тогда
^ = ^'(0e^"^ ^ - -ш''Р{г)е^К (5.10.2)

5.10. Периодические решения волнового уравнения 197
При подстановке этих выражений уравнение (5.10.1) приводится к
виду
F"{r) + ^^ + '^Р{г) = О, (5.10.3)
г с^
т. е. имеет вид уравнения Бесселя нулевого порядка для функции у,
связанной с F соотношением F{r) = у I — 1. Следовательно, мы
имеем:
F{r) = AJo (^) + BYo (^) . (5.10.4)
В комплексной форме это равенство мы можем написать как
Это может быть записано в виде
. = ..я<-'(^)..,яГ(^^).
где Щ и щ — функции Ханкеля, которые определяются из
соотношений
я« = л(^)..г.(^),
и ведут себя кале затухающие тригонометрические функции 1фи
больших г.
Таким образом,
п(г-,0 = в^-(с1Я(') {^)+сХ'' (^))- (5.10.5)
Пользуясь асимптотическими формулами
^о^^(^) ~ \ — e'i'^-^h Н'^\х) ~ \ — е-^(^-?) при больших х,
V тга; V тгж
можно получить асимптотику периодического решения данного
волнового уравнения в цилиндрических координатах в виде
[2^ ( _,.ехр[г|(гм^ ехр [-г^(г - ci)] ^
u{r,t) ^ \ — I С]е 4 ^ ^ + С2е'i '
TTU3 \ yjr yr I
(5.10.6)

98 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
5.10.2. Сферические координаты
В сферических координатах для сферически симметричной
функции и (т. е. зависящей только от г) волновое уравнение принимает
вид
I д / ^ди\ 1 д'^и
"^ ' - -, г > 0.
г^ дг \ дг) c^ д^^
В качестве периодического по времени решения рассмотрим
Подставляя это выражение в уравнение (5.10.7), имеем:
(5.10.7)
(5.10.8)
е
г
tuit
~{r'^F" + 2rF') = -^e^'^'F.
Следовательно,
2 , иг
F" + -F' + %rF = 0.
(5.10.9)
/CO \~2
Пусть F = [—rj ip{r). Тогда мы имеем:
(70"'[-»П-'<"-((7)^-Ш>'
0.
Поскольку —г ф о, должно выполняться соотношение
с
которое имеет вид уравнения Бесселя, и рентение которого задается
формулой
^(г)=.Л'л(^г)+Б'7_,(^г-),
где Л' и 5' — постоянные. Следовательно,
F{r)=i%Y'\j^jA''-r\^B'J .Г-г\\ =
7 ^ ^ ^'п ~^^с ^J (5.10.10)

5.11. Различные примеры 199;
где А = \1 —А' и В = \ —В'. Но известно, что
ш V ш
J\{x) = 1/— sina;, J_i(x) = \/— созж.
2 V тга; 2' V тгж
Следовательно,
^.„ = ./lIf^!^ + £^:2iiy (5до,п)
в комплексной форме
Лшт/с „—шг/с
F{r) =Ci hC2 .
Г г
Таким образом, искомое решение имеет вид
5.11. Различные примеры
Пример 5.11.1. С помощью метода разделения переменных
показать, что уравнение V^[7 = О имеет решения вида Лехр(±па;±ту),
где Лип — постоянные. Отсюда вывести, что функции вида
U{x,y) = Y ^ге""''^/" sin ^, ж ^ О, О ^ у ^ а.
где Аг — постоянные, являются гармоническими функциями на
плоскости, удовлетворяющими условиям [/(ж, 0) = О, U{x,a) = О,
U{x,y) —^ О при а; —> оо.
Решение. Данное уравнение имеет вид:
^2гг г. д^и д^и ^
дх^ оу'
Пусть
U = X{x)Y{y).
Тогда мы имеем:
1 (fX 1 (PY 2
(5.11.1)
(5.11.2)
X dx^ У dy^

200 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
откуда
±4 - п^Х = О ^ Х = ^ie±"-
и
ffiV
^ + n^F = о => Y = Л2е±'"^
т.е. и = Agin^i^nJ/^ где А = А1А2 — произвольная постоянная.
Точнее,
U = Y1 (^"^"'^ + Впе-'''') [Сп cos(ny) + Dn sin(ny)],
п
где А„, 5п, С„ и Dn — константы.
(i) Поскольку и{х,у) —> О при ж —> оо, мы имеем: А^ — О для
всех п, откуда
и = J2 Впе''^'' {Сп cos(ny) + Dn sin(ny)).
n
(ii) Из условия U{x, 0) = О вытекает, что Сп = О, Vn, следовательно
?7 = ^5„i?„e-'^^sm(ny).
п
(iii) Наконец, в силу условия U{x,a) = О имеем:
^5„£>„e-"^sin(na) = 0,
п
откуда
sin(na) = О, поскольку BnDn ф О, Vn.
Следовательно,
па = Г7Г, r€Z => п = —, reZ.
а
Окончательно имеем:
V{x, у) = ^ Ле-'"'^^^/" sin ^ ,
rez
где Аг — новые произвольные постоянные.

5.11. Различные примеры 201
Пример 5.11.2. Тонкая прямоугольная однородная теплопроводя-
щая пластинка расположена в области О^ж^а, О^у^б. На
ребре у = О поддерживается распределение температуры Тх{х — а),
где Т — константа, а на остальных ребрах поддерживается
температура 0°. Все грани изолированы, и внутри пластинки нет источников
тепла и теплоотводов. Найти стационарное распределение
температуры внутри пластинки.
Решение. Стационарное распределение температуры и в данном
случае должно удовлетворять уравнению Лапласа
V^u = О (5.11.3)
и граничным условиям
„(0,у)=0, и(а,у) = 0, и{х,Ь)=0, и(а;,0) = Та:(а;-а). (5.11.4)
Подходящее решение, полученное методом разделения переменных,
задается формулой
и{х, у) = {ci€^ + С2е~Р^) (сз cospa: + С4 sinpa:). (5.11.5)
В силу условия и(0, у) = О имеем:
сз(с1еР^-|-С2е-Р^) =0.
Поскольку cie^ + с^е^^'У ф О, должно выполняться сз = 0.
Далее, пользуясь условием и{а, у) = О, мы имеем:
С4 sinpa {cie^y + сге"^^) = О, Vy,
откуда
sinpa = О, ^■
поскольку С4 ф О W cie^ + сге""^^ ф 0. Из этого следует, что
р= —, п = 1,2,3, ... .
а
Таким образом, мы имеем:
оо
и(а:,у) = VJsin ( j а„е » +bne « . (5.11.6)

202 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Кроме того, условие и(а;, 6) = О дает соотношение
sm
(=)
njrb
а„е о. + Ь„е «
= 0,
из которого следует, что
пттЬ —П7г6
а„е а + о„е " = 0.
Это дает соотношения
рП7г6/о
^" =-«";з;^ =-«"^'"'^'^ п = 1,2,3,....
Следовательно, решение (5.11.6) принимает вид
П=1 " \ " /
п=1 ^ ^
где Л„ = 2а„е"'^*/«.
Снова, используя неоднородное граничное условие
и{х,0) = Та;(а; — а),
мы получаем соотношение
л^ / ч v^ . . /"ппх\ , {—пжЬ\
Тх{х -а)— У An sm ( 1 sh I I ,
n=l ^
которое является рядом Фурье по синусам. Следовательно,
^„sh
= ^|x(x-a)sin(^^)dx=-^|x(a:-a)d{cos(=)}
о
2Т
П7Г
а
, . /птгжч " а Лг, njT • /'"^
а;(а: — а) cos I i^x - а)а sm —
\ а / Q пп J I \ а
ппх\

5.11. Различные примеры 203
'^ о ''
2аТ I . 2а /птгжч
а sm П7Г Л cos I 1
П^'К^
пп
2аТ 2а
п'^п'^ пп
(cosnTT — 1) =
4а'^Т
Итак, искомое распределение температуры имеет вид:
, , v;^ 1 4а^Т (гтх\ , /тг{у ~ Ь)\
и(х,у) = У — —— ^-^ (-1)"-1 sin sh —^^ ^ .
""^ ^ sh(-n7rb/a) п^я-з ^\ '^ ^ \ а / V « /
Пример 5.11.3. В теории упругости функция напряжений if в
задаче о кручении балки удовлетворяет уравнению Пуассона
(5.11.7)
с граничными условиями (/р = О на сторонах а; = 0, а: = 1,у = 0
и у = 1. Найти функцию напряжений (f.
Решение. Итак, искомая функция должна удовлетворять
уравнению (5.11.7) и граничным условиям
(^(0, у) = ф, у) = ф, 0) = ф, 1) = О (5.11.8)
Предположим, что решение имеет вид
ip = v + w, (5.11.9)
где W — общее решение однородного уравнения Лапласа
V^w = О (5.11.10)
а V -- частное решение уравнения Пуассона
V\^2. (5.11.11)
Предполагают обычно, что v имеет вид
«(ж, у) = а + Ьх + су + dx^ + еху + fy^.

204 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Подставляя это выражение в (5.11.11), мы имеем:
2d + 2f = 2.
Пусть / = О, тогда d = I. Остальные коэффициенты могут быть
выбраны произвольно. Поэтому положим
v(x,y) = -x + x'^, (5.11.12)
так что V обращается в нуль (т. е. удовлетворяет граничным условиям)
на сторонах а; = О и а; = 1.
Теперь будем искать w из уравнения
у2ад = 0, O^x^l, O^y^l, (5.11.13)
и граничных условий
w{0,y) =-viO,y) = О,
w{l,y) = -v{l,y)=0, ^^^^^^^
w{x, 0) = —v{x, 0) = X — х^,
w{x, I) = —v{x, 1) = a; — x^.
Общее решение уравнения (5.11.13) с использованием метода
разделения переменных, граничных условий при ж = О, а; = 1 и принципа
суперпозиции находится в виде
оо
'^'^{х,у) = /Jsin(n7ra;) [а'„ехр{ппу) + 6^ехр(—птгу)] .
п=1
Перепишем это общее решение следующим образом:
оо
w{x, у) — 2_. sin(n7ra;) [а„ сЬ(п7гу) + 6„ sh(n7ry)], (5.11.15)
n=l
где
«п = а^ + Ь^ и 6„ = а^ - 6^.
Теперь, применяя неоднородное граничное условие
w(a;,0) = а; — а; ,

5.11. Различные примеры 205^
получаем уравнение
оо
w(x, 0} = X — х^ == Yj а„ sin(n7ra;)
n=l
из которого следует, что
1
а„ =2 / (ж — х^) sin(n7ra;) dx =
о
• со8(п7га;)'\ / — sin(n7ra;)'
- (1 - 2х) [ -2-2 ) +
/-со8(п7га;)
1
П-'ТГ''
-2 2
cos тг +
п^тг^ п^тг^
о
4
п^тг^
[1-(-!)"]•
Таким образом,
( 8
^-^ , если п нечетно, • /(.,,,„4
а„ = < п-^тг"* (5.11.16)
О , если п четно.
Кроме того, граничное условие w{x, I) = х — х"^ п уравнение (5.11.15)
дают соотношение
оо
X ~ х^ = У^ [а„ сЬ(п7г) + Ьп sh(n7r)] sin(n7ra;), (5.11.17)
n=l
из которого следует, что
о
Отсюда
1 - СЬ(П7Г) ._ ,, ,„.
Ьп=ап ,,' ■ 5.11.18
8П(П7Г)
Итак,
оо
tiytrr iti\ =1 \ п 1яЬ п^ттМ — ii\ 4- я\\('П'п-11\ I ■
sh(n7r)
ОО ' ( \
«^(а;, у) = 2^ «п [sh П7г(1 - у) + sh(n7ry)] ^^—т^ • (5.11.19)
п=\

206 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Объединяя равенства (5.11.9), (5.11.12), (5.11.16) и (5.11.19),
получаем искомую функцию напряжений:
оо
й
+-
ip{x,y) = х{х- \)+
sin[(2n — 1)7га;]
8v^r Г 1 Г S ll 8ш(2п-1)7га;
Пример 5.11.4. Токопроводяпщй цилиндр г — а помещается в
однородное электростатическое поле с напряженностью Е,
направленной в отрицательном направлении оси ОХ. ^1асть цилиндра, выреза-
^ л ^ «
хаемая условиями: —;r<^<i7,'' = o имеет постоянный потенциал V,
7Г ЗТГ „
а часть — <с/< —, г = а заземлена, т. е. имеет нулевой потенциал.
Определить электростатический потенциал в конечной точке Р{г, в),
внешней по отношению к цилиндру.
Решение. Для проводяп1,его цилиндра напряженность Е
внешнего поля задается формулой Е = —Е7, где г — единичный вектор
оси ОХ. Пусть Фо — потенциал этого поля, так что
Следовательно,
Е = -УФо.
-Ег = -{ -г—г + -г—J + -г—fc
ох оу OZ
откуда
и
ОФо
дх
Е => Фо = ^а: = ^гсо8б' (5.11.20)
ОФо . ОФо ^
—— = О = -г— ^ Фо не зависит от у и ^.
оу az
Когда цилиндр помещается в поле, электростатический потенциал
возмущается, и пусть он имеет вид
Ф(г,^) = Фо(г,^) + Ф1(г,е), (5.11.21)
где через ^i{r,e) обозначено слагаемое, соответствующее
возмущению.

5.11. Различные примеры 207
Поскольку поле остается невозмущенным вдали от цилиндра, то
Ф(г,6>)—>Фо(г,6>) при г-^оо (5.11.22)
или
ФЦг, ^)—> о при 1—> оо.
Теперь
у2ф -О ^^ -— 1^^-0
Методом разделения переменных получается следующее решение:
Ф1 = ^ (Л„ г" + -^ j (Сп cos пб» + Z)„ sin пв).
Поскольку Ф1(г, ^) —> о при г —> оо, мы имеем:
Л„ = О для всех п.
Следовательно,
оо
^1 (j', ^) = У^ J'"" («п tos п0 + 6„ sinn^),
п=0
где а„ = ВпСп и Ьп = B„Dn - измененные константы.
Таким образом,
оо
Ф=:Фо + Ф1 = ^г COS 6» + ^ г'" (а„ COS п6' + Ь„ sin пб»). (5.11.23)
п=0
По условию имеем:
О I <в<4
Ча.е) = {^ 1<^<м ^^■''•^^)
Так как Ф должно быть из соображений симметрии четной
функцией от 0, мы должны иметь
6„ = О при всех п.
Следовательно,
оо
Ф(г,6') = ^г cos 6» + 5^ а„г~" COS пб». (5.11.25)
п=0

208 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Поэтому
Ф(а,е) = Еа cos 6» + ^ о„а-" cos п^. (5.11.26)
п=0
Умножал (5.11.26) на cosm^ и интегрируя по в от —| до ^, с
учетом (5.11.24) получаем:
Я-/2 37г/2 37г/2
/ VcosmBde =^ао 1 cosm9de+ 1 (Еа-\ j cos0cosш^d^+
-Я-/2 -7г/2 -7г/2
3^2 •
+ N а„а " / cos тв cos пв йв.
п=2
-7г/2
Отсюда следует, что
V
7Г
При п ^ 2 имеем:
2F „ . /П7Г\
П7Г \ 2 /
в силу свойства ортогональности тригонометрических функций.
Таким образом, искомое решение принимает вид:
Ф{г,в) = - + Ecoselr J + — f — -^cosSe») +•••
Пример 5.11.5. Трехмерный прямой круговой цилиндр ограничен
поверхностями г = а, z = ±1 в цилиндрической системе координат
{r,e,z). Найти стационарное распределение температуры Ф{г,г) в
точке {r,0,z), если
Ф = Ti на основании z = I, Ф = Т2 на основании z = —I,
Ф = О на боковой поверхности г — а,
где Tj и Тг — константы.

5.11. Различные примеры 209J,
Решение. Стационарная температура удовлетворяет уравнению
Лапласа
Э^Ф 10Ф J_^ ^ = 0 f5 1127^
Пользуясь методом разделения переменных, мы получаем:
Ф = (AJmi^r) + ВУт{\т)\ {Ссозтв + Dsmme) (ев^' + Ре'^Л,
где А, В, С, D, Е и F константы и А — параметр разделения.
Поскольку Ф должна быть конечной при г = О и Ym{\r) имеют
особенности при г = О, полагаем: В = 0.
Кроме того, в силу симметрии задачи температура Ф не зависит
от 9. Таким образом,
Ф = М\г)(^А'е^'+В'е-^'У
где А' и В' — новые константы.
Так как Ф = О на поверхности г = а для всех z таких, что
—l^z^l, должно выполняться
Jo(Aa) = 0. (5.11.28)
Пусть ^j, г = 1,2,3, ... Kopiraуравнения Jo(0 — О' тогда Aj = (,i/a —
корни уравнения (5.11.28). Имеем:
ос
Ф = ^(а„е^"^ +Ь„е-^"^) Jo(A„r). (5.11.29)
n=l
По условию Ф = Ti на основании z = I, откуда
оо оо
Ti = Х](а„е^"' + Ь„е-^"') Jo(A„r) = J^ СпМКг),
n=l n=l
где С„ = а„е^"' + Ьпе~^'^К Умножая обе части этого равенства на
rJo{Xmr) и интегрируя 1Ю г от О до а, имеем:
о а
Ti I rJo{Xmr)dr = Yl^n rJo(A„r)Jo(Amr)dr.

210 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
В силу свойств функций Бесселя^
а ,
[rMX„r)MXmr)dr = °. „^^ • "Р^ ^ ^ "' (5.11.30)
J l^'^i^'^'"") при m = п.
о
имеем
/а
гМ^тг) dr = С^ Y Jf (A^a).
о
Следовательно,
а
^т = у Т27Т ^ / ''■^о(АтГ) rfr = — -~ ,
О
где последний интеграл вычисляется с использованием тождества
zJq{z) — [zJi{z)) . Отсюда
«„е-^"' + Ь„е -^"^ =
-2Ti
aA„Ji(A„a)
Аналогично,
«„е--""' + бпе-""' =
a\nJ\ (А„а)
Разрешая два последних уравнения относительно а„ и 6^? получаем:
2 Гге"-^"' - Tie-^"'
а„ =
и
_ 2 Tie~^"'-T2e'^"'
A„aJi(A„a) g^^n'- g^^-^"'
Таким образом, искомое решение имеет вид:
Ф{r,z) =
'Здесь, впрочем, можно действовать по аналогии с выводом формулы (4.5.25).
Прим. ред.

5.11. Различные примеры 21 I
Пример 5.11.6. Однородный теплопроводящий цилиндр
расположен в области О^г^а, О^в^ 2it, О ^ z ^ h, где г, в и z —
цилиндрические координаты. На верхнем основании z = кина,
боковой поверхности г — а цилиндра поддерживается температура 0°С,
в то время как на нижнем основании поддерживается
температура 100°С. Предполагая, что внутри цилиндра нет источников тепла,
найти стационарное распределение температуры внутри цилиндра.
Решение. Пусть и — распределение температуры, оно должно
быть однозначной непрерывной функцией. Стационарное
распределение температуры удовлетворяет уравнению
V^ы = 0 (5.11.31)
и граничным условиям
и = 0° на основании z = h,
и = 0° на боковой поверхности г = а,
и = 100° на основании z = 0.
Общее решение уравнения Лапласа (5.11.31), полученное методом
разделения переменных и регулярное при г = О, имеет вид
u{r,e,z) = Jn{Xr){cicosne + С2 8тпв){сзе^'' + С4е~^''). (5.11.32)
Поскольку на основаниях цилиндра z = О и z — h поддерживается
температура 100° С и 0°С соответственно и на боковой поверхности
г = а также поддерживается 0°С, температура в любой точке внутри
цилиндра, очевидно, не зависит от в, что возможно только при п = 0.
Таким образом, равенство (5.11.32) принимает вид
u{r,z) = Jo{Xr){Ae^' + Ве-^^). (5.11.33)
Теперь из условия и = О при z = h следует, что
Ае^^ + Ве-^^ = О, откуда В = -Ае^^/е'^^.
Следовательно,
u[r,z) - :М^(еА(^-л) _ e-^{z-h)^^ ^ A,U\r)sh\{z - Л),
где Ai = 2Ае^^.

212 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
С другой стороны, из условия и = О при г = а имеем:
О = Ai Jo (Аа) sh \{z~h) ^ Jo (Аа) = О,
т. е. мы приходим к уравнению (5.11.28). Это уравнение имеет
бесконечно много положительных корней А„ = ^п/о» где ^п» как и выше,
— корни уравнения Jo(^) = 0. Таким образом, решениями являются
функции
^r,2) = AiJo(^lsh
en
(z-h)
, n = 1,2,3,
Следовательно, по принципу суперпозиции мы имеем:
и{г, z)=f^ А„ Jo (^^) sh (^{z - h)
(где смысл константы Ау изменен — Перев.)
Теперь условие и = 100° С при 2 = 0 дает соотношение
IOO=|^sh(zM).„(^).
которое является рядом Фурье — Бесселя. Отсюда следует, что
а
Ш lrjJ^\dr= '
о
П —1 Q
п=1 ^ ^
в силу (5.11.30).
Следовательно,
Л-ПП
" a^sh(-e
200 Г
nh/a)Jf{(n) J
г Jo I ^ ) dr.

5.11. Различные примеры 213
Положим -^ = X, тогда dr = —dx, и мы имеем:
о
200а;Ji (х) 1^" _ 200
поскольку (xJi{x)) = xJoix) в силу рекуррентной формулы для
функций Бесселя
vJ„{x) + xJl{x) = xJi,-i{x).
Итак, искомое распределение температуры внутри цилиндра
имеет вид:
u(z,г) = 200 > —-—■ , ^ ui \ т /^ \ ■
Пример 5.11.7. На основаниях цилиндра, ограниченного
плоскостями Z = О, Z = I и поверхностью г = а в цилиндрических
координатах (г, в, z), поддерживается нулевая температура, а на боковой
поверхности — температура f{z). Пока^^ать, что стационарное
распределение температуры внутри цилиндра задается формулой
^^ Т IП7ГГ \
где Aji = Jq f{z)sin{mrz/l)dz и /q — модифицированная функция
Бесселя первого рода и нулевог о порядка.
Решение. Уравнение теплопроводности в цилиндрических
координатах имеет вид
Поскольку распределение температуры стационарно, имеем: -— = 0.
Кроме того, температура распределена аксиально-симметрично от-
носительно оси 0Z, следовательно, (р не зависит от в, т. е. —— = 0.
ии

214 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
Таким образом, (р удовлетворяет уравнению
Предположим, что
ip = R{r)Z{z). (5.11.35)
Из (5.11.34) и (5.11.35) мы получаем:
Z = А cos{mz) + В sin[mz)
и
(fR IdR 2 т. г.
аг^ г аг
откуда
R = СЩтг) + DKo{mr),
где 1о и Ко — модифицированные функции Бесселя соответственно
первого и второго рода ^.
Поскольку (р = 0 при Z — О и Z = I, мы имеем:
А = 0 и В sin{ml} = О,
откуда
sin(m/) = О (т. к. 5 / 0) => ml = тг,п = 0,±1,±2, ...
птт _
=> т = —, п € Z.
Учитывая, что функция Kq имеет особенность при г = О, мы
полагаем Z) = О, следовательно
уз = л/о(mr) sin(тг), ■m = -j-, n £ Z,
где A — новая произвольная постоянная. Таким образом, в общем
виде
^P = Y^ AJo (^ г) sin {^ 2j .
nez
Имеют место следующие соотношения:
h{x) = e-'^^J.iix), К^{х) = ^-^e"'^Hi''\ix). — Прим. ред.

Упраэюнения 215
При г = а по условию (р = f{z), следовательно
,, , т-^ , _ /"тта\ . /mrz\
«ez
Умножая все на sin ( —- 2) и интегрируя от О до Z, мы получаем, что
I
, ^ /птгач 2 /" ,, , . /П7гг\ ,
^nIo[-j-)-jJf{z)sm[—)dz.
о
Следовательно,
где
„ 2 /■ ,, , . /П7гг\ ,
0
что и требовалось показать.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найти решение уравнения в частных производных
d'^ip 1 dip 1 a^yp ^
удовлетворяющее условиям: ^
Vr = -Tq- = О при г = а,
or
1 Л
Vr = Ucose, ш =--J—= —f/sin0 при г-^ оо.
2. Решить краевую задачу
V^гx = 0, О ^ г ^ 10, О ^ (9 ^ тг,

i
216 Глава 5. Уравнения эллиптического типа
с граничными условиями
и{10,в) = — (7Г0 - 0^), и{г,0) = О = м(г,7г),
тг
и так, чтобы и{0, в) было конечным.
3. Теплопроводящее тело ограничено двумя концентрическими
сферами радиусов аиЬ {а <Ь). На внутренней границе
поддерживается температура Ti, а на внешней — Т2(1 — cos в). Найти
стационарное распределение температуры в теле.
4. Для бесконечно длинного токопроводящего цилиндра
радиуса а, ось которого совпадает с осью 0Z, потенциал
удовлетворяет уравнению Лапласа
V^u = 0, а < г < оо, О < 6» < 27Г.
Найти потенциал и{г,в) при г ^ а, такой, что lim и{г,в) = О и
ди
удовлетворяющий условию -тг*
or
= —sin 30.
r=a «
5. Найти решение уравнения Пуассона -^-^ + -^-т = 2, удовлетво-
ряюш,ее условиям и{0, у) = и{5, у) = и{х, 0) = и{х, 4) = 0.
6. Двумерный постоянный поток несжимаемой вязкой жидкости
обтекает круговой цилиндр, и в пренебрежении инерциальными
членами описывается бигармоническим уравнением в частных
производных V^(/7 = О, где (р — функция потока. Найти
решение этого уравнения, удовлетворяюш,ее граничным условиям
(р(г, в) = -^ = 0 при г = 1
or
и такое, что ip{r, в) —> г sin б при г —> оо.
7. Тонкое круговое кольцо расположено в области О < а ^ г ^ 6,
О ^ в ^ 2-к. Грани его изолированы. На внутреннем ребре
поддерживается температура 0°, в то время как на внешнем ребре
поддерживается температура Т = К cos(0/2), где К —
константа. Найти распределение температуры в кольце.

Упражнения 217
8. Найти функцию потенциала и(х, у, z) в прямоугольном
параллелепипеде О ^ X ^ а, О ^ у ^ Ь, О ^ Z ^ с, если потенциал
нулевой на всех боковых гранях и нижнем основании, а на
верхнем основании Z = с оя имеет вид и = f{x,y).
9. Найти решение уравнения V^г^ = 0, О ^ х ^ а, О ^ у ^ Ь,
удовлетворяющее условиям
и{0,у) = и{х,0) = и{х,Ь) = О, ~{а,у) = Tsin^ ^ .
ох а
10. Найти потенциал во всех точках пространства внутри и
снаружи сферы радиуса JR = 1, на которой поддерживается
стационарное распределение электрического потенциала
и{в,(р) = /((9) = cos 2(9.
11. Найти потенциал и внутри цилиндра
О^г^а, 0^6»^ 27Г, O^z ^h, '
если на верхнем основании z = h и на, боковой поверхности
г = а потенциал нулевой, а на нижнем основании он задан
формулой и{г,в,0) = Vo I 1 2 )) ^'А^ ^0 — постоянная и г, в,
z — цилиндрические координаты.
12. Пусть V — функция (уг г и в, удовлетворяющая уравнению
дг^ г дг r^ дв^
внутри области, ограниченной кривыми г = а, г = Ь, в = О,
в = —. Ее значения вдоль границы г = а равны 0 ( — — 01, в то
время как значения на остальных участках границы нулевые.
Доказать, что
2 у^ (г/Ь)^"-^ - (Уг)^"-^ sin(4n - 2)в

ГЛАВА 6
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
И МЕТОД
ФУНКЦИЙ ГРИНА
6.1. Введение
Интегральные преобразования, по существу, являются
математическим инструментом, который используется при решении ряда
инженерных и математических задач. Линейное интегральное
преобразование функции /(i), определенное на конечном или бесконечном
интервале а < t < Ь, полезно, когда мы имеем дело с линейными
дифференциальными уравнениями. Общее линейное интегральное
преобразование функции f{t) определяется следующей формулой:
6
/» = T{f{t)} = Jk{s,t)f{t)dt, (6.1.1)
где функция k{s, t) называется ядром преобразования. Его результат
f{s) называется образом или преобразованием функции f{t).
Ядра и пределы интегрирования некоторых стандартных
интегральных преобразований представлены в таблице 6.1
Интегральные преобразования, собранные в таблице, определены
либо на луче, либо на всей числовой прямой. Аналогично можно
задать интегральные преобразования и на конечных интервалах.

6.2. Преобразование Лапласа 2l9j(
"^
Таблица 6.1. Интегральные преобразования и их ядра
Название
преобразование Лапласа
преобразование Фурье
синус-преобразование Фурье
косинус-преобразование Фурье
преобразование Ханкеля
преобразование Меллина
k{s,t)
е-^'
1 ist
^ Sin St
^ COS St
tJn{st)
t'-'
a
0
— CX)
0
0
0
0
b
CX)
CX)
CX)
CX)
CX)
CX)
6.2. Преобразование Лапласа
Преобразование, о котором здесь идет речь, впервые было
введено Лапласом (1749-1827), французским математиком, в 1790 году в
его работе о теоремах теории вероятностей. Эта техника получила
пшрокое распространение после того, как Хевисайд применил ее к
решению обыкновенных дифференциальных уравнений,
возникающих в теории электрических цепей.
Определение 6.2.1. Функция веп1,ественного переменного f{t)
называется оригиналом, если она равна нулю при t < О, кусочно
непрерывна и удовлетворяет неравенству
\f{t)\<Me'''
для всех i > О, где М>Оиа^О — некоторые константы.
Функция комплексного переменного /(«), заданная формулой
f{s) = Je-''f{t)dt,
о
(6.2.1)
называется изображением оригинала f{t). Преобразование,
относящее оригиналу f{t) его изображение f{s), называется
преобразованием Лапласа.
При этом для изображения f{s) употребляется еще обозначение
■^[/(0] (-^ ~ знак преобразования Лапласа).

220 Интегральные преобразования и метод функций Грина
Неравенство \f{t)\ < Ме'^* из определения оригинала
обеспечивает равномерную сходимость интеграла /q e~^^f{t)dt при Res ^
^ ai > (Т, следовательно, изображение /(.s) является аналитической
функцией в полуплоскости Re s > а.
Простейшим примером оригинала может служить функция Хе-
висайда (в литературе также называемая «единичной ступенью»)
1 при i ^ О,
О при i < 0.
Ее изображение имеет вид
оо
mt)] = Je-^4t=l
о
в дальнейпгем изложении все функции, к которым применяется
преобразование Лапласа, считаются умноженными на функцию Хеви-
сайда, причем согласно традициям, принятым в литературе,
множитель ri{t) не пишется. В частности, это замечание относится к
функциям из таблицы 6.2.
Приведем без доказательства основные свойства преобразования
Лапласа.
1. Линейность. Если L[f{t)] = f{s) и L[g{t)] = g(s), то
L[af{t) + bgit)] = afis) + Ьф),
где a и b — константы.
2, Свойство подобия. Если L[f{t)] = f{s), то для любого а > О
L[f{at)] = ^fis/a).
3. Дифференцирование оригинала. Если если f'{t)
является оригиналом (тогда f{t) тоже оригинал и суш,ествует /(-f-O) =
= lim fit)), то
L[f'{t)] = sf{s)-fi+0).

6.2. Преобразование Лапласа 221
4- Дифференцирование изображения. Если L[f{t)} — f{s),
то
L[-tf{t)] = f'{s).
5. Интегрирование оригинала. Если f{t) непрерывна на луче
(0; +оо), то
dr
т
6. Запаздывание. Если L[f{t)] = f{s), то для любого г > О
Lifit - т)] = е—/».
7. Смещение. Если L[f{t)] = /{s), то
L[e^'fit)] = f{s-X), VAeC.
8. Теорема умножения (теорема о сверт,ке).
t
L-'[f{s)g{s)]=Jf{r)g{t~r)dT,
о
где L~^ — обратное преобразование Лапласа.
Обратное преобразование Лапласа
Соотношение L {/(<)} = f{s) влечет f{t) = L~^ {f{s)], где L и
L~^ — прямое и обратное преобразования Лапласа соответственно.
При решении дифференциальных уравнений с помощью
преобразования Лапласа часто в качестве результата получаются функции,
которых нет в стандартных таблицах оригиналов и изображений
(т.е. функций и их образов при преобразовании Лапласа). Поэтому
нужен так называемый первый принцип обращения
преобразованного решения, который можно применять, не прибегая к помощи
таблиц.
Обращению преобразования Лапласа посвящена следующая
теорема, которую мы приводим без доказательства.

222 Интегральные преобразования и метод функций Грина
Георема 6.2.1. Пусть f{s) — аналитическая функция в откры-
''ой полуплоскости Res > а, и при любом действительном ^ > а
выполняются следующие условия:
+ 00
(i) / 1/(7 + гг)|^т сходится,
(ii) f{s) —> О при Res ^ 7? к1 —>■ +оо.
'^огда f{s) является изображением, причем оригиналом будет
7+гоо
7—too
Основная идея, которая высветит актуальность определения
обратного преобразования Лапласа с помощью формулы (6.2.2), это
использование контура интегрирования, расположенного на комп-
1ексной плоскости. Детали вычислений зависят от природы
преобразуемой функ1;ии /(s). Численные методы оценки интеграла в правой
^асти формулы (6.2.2) приведены в приложении В.
Преобразования Лапласа от некоторых важных элементарных
рункций, а также их обратные преобразования приведены в таб. 6.2.
Таблица 6.2. Преобразования Лапласа элементарных функций
№
1
2
3
4
5
6
7
8
fit)
0
1
t
е
e^^'
sin at
cos at
shat
f{s) = L{m}
0
1/s
1/s'
r(n)
1
s — a
a
s2 + a2
s
s2+a2
a
s^ — a^
fis)
0
l/«
Ф'
r(n)
1
s — a
a
s^ + a^
s
s2+a2
a
s^ — a^
m = L-'{f{s)}
0
1
t
<"
e"*
sin at
cos at
shat

6.3. Решение уравнений в частных производных 223
Продолжение таб. 6.2
л>
9
10
\\
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
/(*)
chat
t sin at
t cos at
T]{t - a)
fit - a)r,(t - a)
S(t - a)
Mt)
tJoit)
e-«*/(<)
<"/(<)
erf(<)
1
J f{t-u)g{u)du
0
fit)
t
f{s) = L{m}
,s
s^ — a^
2as
(s2 + a2)2
2 2
s — a
(s2+a2)2
,s>0
e-"V(«)
e-"^ a > 0
1
Vl+S2
s
(l + s2)3/2
/(s + a)
(-^)"£^^'w
^^""^^^(1)
/(«)»(«)
5
m
s
s^-a^
2a s
(s2 + a2)2
„2 „2
s — a
(s2+a2)2
^ ,s>0
s
e-"V(«)
e-"^ a > 0
1
v/l + s2
s
(1 + s2)3/2
/(.9 +a)
(-^)"I^/"W
j^^^'^^^d)
/(«)»(«)
OO
srnda
S
f{t) = L-'{fis)}
chat
t sin at
t cos at
Ф - a)
fit — a)'qit — L
Sit - a)
Mt)
tJoit)
e-^'fit)
<"/(<)
erf(<)
1
/ fit - u)giu) ai
0
fit)
t
6.3. Решение уравнений в частных
производных
Большое число задач науки и техники включают в себя решени-.
линейных дифференциальных уравнений с частными
производными. К функциям от двух и большего числа переменных тоже
можно применять преобразование Лапласа. Пусть u{x,t) — функция от

224 Интегральные преобразования и метод функций Грина
двух независимых вещественных переменных. Если применить пре-
обра:^ование Лапласа к линейному дифференциальному уравнению
на и(х, t) относительно переменной t, то получится обыкновенное
дифференциальное уравнение на f-обра;^ й(х, s). Затем на общее ре-
птение обыкновенного дифференциального уравнения
накладываются граничные условия исходной задачи. Наконец, искомое решение
и{х, t) получается в результате использования комплексной
формулы обращения (6.2.2). Таким образом, преобразование Лапласа
особенно удобно при решении краевых задач с начальными условиями,
когда начальные условия задаются при t = 0.
6.3.1. Уравнение диффузии
Пример 6.3.1. Пользуясь преобразованием Лапласа, найдите
решение краевой задачи с начальными условиями
, ди д'^и ^ , « ^
'^^Т =-5-9-' 0<х</, 0<f<oo;
at дх^
u(0, t) = О, и{1, t) = g{t), 0<t<oo;
и{х,0) = 0, 0<х<1.
Рехнение. Применяя преобразование Лапласа к данному
уравнению с частными производными, получаем
:>2„
-{S}^4£}
или
к {su{x, S) - и(х, 0)) = ^-2 •
Это можно переписать как '
g - ksu = о, (6.3.1)
поскольку и{х, 0) = 0. Следовательно,
u{x,s) = А ch(xVks) + В sh(x Vks). (6.3.2)
Грахшчные условия после преобразования Лапласа приобретают вид
й{0, s) = О, й{1, s) = gis). (6.3.3)

6.3. Решение уравнений в частных производных 225^
Подставляя первое из этих условий в уравнение (6.3.2), получаем,
что
А = 0.
Отсюда
g{s) = Bsh(lVks\
или
В =
sh
(lVk2^
Чтобы найти теперь решение исходной задачи, следует применить
обратное преобразование Лапласа. Имеем:
I ^ г°° sh (xVks )
"(^'*) = 9:;;7 / 5(^)e^'-V—fds. (6.3.4)
J—too
Для вычисления интеграла в правой части равенства (6.3.4),
воспользуемся методом вычетов. Полюсы подынтегральной функции
определяются из уравнения
sh (iVE ) = О или е'^ - е-'^ = 0.
Решая его обычным способом, имеем
^2l^s ^ 1 ^ ^2nni ^ sn^ -^, П = О, ±1, ±2, ±3, . ..
кг
Если функция g(s) такова, что интеграл по полуокружности
бесконечно большого радиуса, замыкающей в полуплоскости Res < 7
контур интегрирования в (6.3.4), стремится к нулю, то по теореме
Коши о вычетах
7+ioo
2b / '(^'
7—IOC
sh [xy/its )
sh IWks 1
где Ri — вычет в г-ом полюсе.
Вычет в точке s = О равен нулю, а в точке 5 = s„ он совпадает с
8 — 6851

С226 Интегральные преобразования и метод функций Грина
пределом
lim 3(5)^ ^ = lim ^^'f^^ e^^sh ixsfu] =
2,2 / / „27^2
2Ш7Г У V Ы^ 1 , /Ш7Г N -" .'^^t , „ „
«/'= со8(гп7г) \ / у
Таким образом,
При выписывании окончательной формулы для вычета мы
использовали следующие тождества:
и/- ^ U Л"^ ^ • ■ /'"^ А
сп(гп7г) = со8П7г и sh I —т-а; I = «sin I —j-xj .
Итак, искомое решение имеет вид:
п=1 ^ '
6.3.2. Волновое уравнение
Пример 6.3.2. С помощью преобразования Лапласа решить
краевую задачу для уравнения
я~2 ~ ~2~яЩ ~ coswf, 0<ж<оо, 0<f<oo,
с начальными и граничными условиями
и(0,<) =0, и ограничена при х -^ оо.
Эй
— (х,0)=у(х,0) = 0.

6.3. Решение уравнений в частных производных 227
Решение. Применяем преобразование Лапласа к данному
уравнению с частными производными:
^ = ^ ( s^u{x, s) - su{x, 0) - -^ [х, 0) I
С учетом начальных условий, имеем
d^й s^ _, , s
dx^ с^ s^ + ш^
S'' +Ш
2'
(6.3.5)
Общее решение уравнения (6.3.5) имеет вид:
й{х,з) = Ае^'/"^'' + 5е-(*/^^^ +
с2
s(5^ +а;2)"
(6.3.6)
Изображение решения тоже должно быть ограничено при а; —> оо.
Это возможно только если А = 0. Поэтому
u{x,s) — Be с +
с?
s{s^ + ш^)'
Подставив преобразованное граничное условие и{0, s) = О в
уравнение (6.3.6), получим:
В = -
sis"^ + ш^)'
Следовательно,
u{x,s) =
5(52 -Ьа;2)
(1 - е-(*/^)^)
Теперь, после применения обратного преобразования Лапласа,
находим искомое решение:
u{x,t) = c^L-^
s{s'^ Л-иР')
-c'L
.2r-l
=^(1 - cosu^t) - £^ (1 - COS a; (^ - ^)).? (t - ^) ,
где T] — функция Хевисайда.

ff228 Интегральные преобразования и метод функций Грина
Пример 6.3.3. Решить краевую задачу для уравнения
^ = ^, 0<x<l,t>0,
С начальными условиями
и(а;,0) = sinTra;, —-(XjO) = — sinTra;, О < а; < 1
и граничными условиями
u{0,t) = u{l,t) = 0, t>0.
Решение. После преобразования Лапласа исходное уравнение
принимает вид
■j-^ = s^u{x,s) - su(x,Q) - —{x,0).
с учетом начальных условий это уравнение можно переписать как
(fu 2- /1 \ •
-j-g- — S и = (I — S) вштга;.
Общее решение полученного обыкновенного дифференциального
уравнения задается формулой
{s — 1) sinTra;
7Г2-Н52
й{х, s) = Ае'^ + Ве-'^ + ^ „^ , . (6.3.7)
ПодстаЬив преобразованные граничные условия
й{0,з) =0 = u{l,s)
в обш;ее решение (6.3.7), находим константы
А = В = 0.
Значит,
_, , (s — 1) sinTra;
Вычислим оригинал найденного изображения решения.
, .. . 1 / 5-1 \ . / sinTrA
Ufa;, t) =sin'KxL —г x = зштга; cosirt .

6.3. Решение уравнений в частных производных 229
Итак,
. / sinTrtN
и{х, t) = smTra; I cos irt 1
является искомым решением исходной граничной задачи.
Пример 6.3.4. Между двумя точками (0,0) и {1,0) натянута струна.
Колебания ее вызваны тем, что струне была придана форма
синусоиды и = sin (^), и из состояния покоя в этом положении в момент
времени t = О струну отпустили. Найдите зависимость смещения
каждой точки струны от времени.
Решение. Искомая зависимость u{x,t) удовлетворяет уравнению
^ = с2^, 0<x<l,t>0
и условиям:
«{a:,0)=sin(^), ^{х,0)=0;
и{0,1) = u{l,t) =0.
После преобразования Лапласа исходное уравнение приобретает вид
s'u{x,s) - su{x,0) - -otI^iO) = с -r-2-
Учитывая начальные условия, получаем обыкновенное
дифференциальное уравнение:
(Рй s^ ~ _ S . тгх
dx"^ (? (? I
Его общее решение задается формулой:
-/ ч л ^ ^ :^гг ssin(Trx/l) /^ „ „ч
и{х, s)=Aec + Be— + ^ , \ ' '. 6.3.8
Применение преобразования Лапласа к граничным условиям дает
й(0, S) = О, й{1, s) = 0.
Подставляя эти соотношения в решение (6.3.8), получаем

230 Интегральные преобразования и метод функций Грина
Решение получившейся системы тривиально:
А = В = 0.
Следовательно,
S sinlnx/l)
u{x,s) =
s^ + 7r2c^/г^'
Теперь находим оригинал преобразованного решения, используя
обратное преобразование Лапласа:
/ ч /7ГС \ . тга;
u{x,t) = cos [^tj sm—,
что дает решение исходной задачи.
Пример 6.3.5. Найти решение уравнеьшя с частными производными
ди д'^и ^ ^ г>
удовлетворяющее начальным и граничным условиям:
и(а;, 0) = О, и{х, i) —> О при х —> оо,
u[Q,t)=g{t).
Решение. Применив преобразование Лапласа к данному
уравнению, получим
к^-^ = su[x,s) - и{х,и),
ах^
что с учетом начального условия и(х,0) = О дает
dx"^ к
Общее решение этого обыкновенного дифференциального уравнения
имеет вид:
u{x,s) = Аехр { \ т^) + ^ехр 1 —\т^
Граничные условия после преобразования Лапласа записываются
как
й —> О при а; —> оо и й{0, s) = g{s).

6.3. Решение уравнений в частных производных 231
Подставляя их в общее решение, находим
А = 0, B = g{s).
Поэтому
u{x,s) = g{s)exp
i-m
Согласно теореме о свертке, произведению изображений g{s) • h{s)
соответствует свертка их оригиналов, т. е. оригиналом этого
произведения служит функция
/ hit - у)д{у) dy,
где введено обозначение h{s) = ехр (~\/^х).
Оригинал для g{s) нам известен. Это — g{t). Кроме того,
Следовательно, с использованием теоремы умножения имеем:
u{x,t) = L-^}.g{s)expl-J^xj \ =
--{
L{git)}L
2\/кп^
ехр (-x'^/4kt) I =
= /
ж ехр [-x'^/4:k{t — у))
giy) dy.
Пример 6.3.6. Используя преобразование Лапласа, найдите
частное решение дифференциального уравнения с частными
производными
ди _ д^u
удовлетворяющее начальным и граничным условиям:
(7г \ ди
-,<j=0, —(0,f) = 0.

С232 Интегральные преобразования и метод функций Грина
Решение. Применяя преобразование Лапласа к данному
уравнению, получаем
su{x, s) — и{х, 0) = 3-^-2 •
с учетом начальных условий это уравнение переписывается в виде
Срй S_ in с;
-—^ и = — Юсовож.
dx'' 3
Общее решение последнего уравнения задается формулой:
30 cos 5ж
й{х, s) = Aev^(^^ + Ве-^^^'' +
75+ S
Подставляя в него преобразованные по Лапласу граничные условия,
находим, что А = В = 0. Таким образом,
_, . 30 cos 5ж
После применения обратного преобразования Лапласа приходим к
окончательному ответу:
/ ч т-^ /30со8 5ж\ „„ _75/
u{x,t) = ^ ( ^7 ) = ЗОе ^^' cos5a;.
6.4. Преобразования Фурье и их приложения
к уравнениям в частных производных
Жозеф Фурье, французский математик, в 1801 г. изобрел метод,
названный преобразованием Фурье, для объяснения потока тепла
вокруг тора. С тех пор этот метод стал мощным инструментом в
разнообразных областях науки и техники. Он позволяет решать
громоздкие уравнения, описывающие динамические воздействия
электричества, тепла или света, а также идентифицировать регулярную
составляющую в флюктуирующем сигнале, помогая тем самым
осмыслить результаты исследований в астрономии, медицине и химии.
Преобразование Фурье стало необходимым при численных расчетах
электрических цепей, для анализа механических колебаний и
изучения распространения волн. Эта техника широко используется для

6.4- Преобразования Фурье и их приложения 233
решения проблем, в которых переменные определены на луче,
прямой или в неограниченной области. В этом параграфе мы имеем
дело с приложениями преобразования Фурье к уравнению диффузии,
волновому уравнению и уравнению Лапласа. Преобразования Фурье
и Ханкеля некоторых важных функций приведены в приложении А.
6.4-1 • Уравнение диффузии
Рассмотрим задачу о распространении тепла в бесконечной среде
—00 < ж < 00, если известно начальное распределение температуры
f{x) и источники тепла отсутствуют.
Пример 6.4.1. Решить уравнение теплопроводности
, д^u ди
ктг-^ — -77Г, -сю < ж < 00, ^ > О
аж^ at
с начальными и граничными условиями:
ди
u{x,t) -^0, -;r-{x,t)^0 при |ж| —> оо;
ох
и{х,0) = f{x), -00 < ж < 00.
Решение. Применим преобразование Фурье к данному уравнению
в частных производных. Тогда с учетом соотношений
получаем
и{а, i) —> О и -т-и{а, t) —> О,
ах
^"' — ■ -.2„-.
—(а, t) + каЧ{а, t) = 0. (6.4.1)
at
Преобразование Фурье, примененное к начальным условиям, дает
й{а,0) = f{a), —00 <а < оо.
Общее решение уравнения (6.4.1) имеет вид
Для отыскания частного решения необходимо в общее решение
подставить преобразованные начальные условия. Сделав это, найдем
u(a,i)=/»e-'="4

234 Интегральные преобразования и метод функций Грина
Теперь нужно применить обратное преобразование Фурье к
преобразованному решению й(а, f).
iax-kaH^_
„(x.«) = -^//(a)e-V-.. = -!=//>,
— 00 —ОО
V
в этом месте удобно воспользоваться известным интегралом:
ОО
/ ехр(—аж^ — 2Ьх) dx = J — ехр I — ] .
— ОО
Руководствуясь этой подсказкой, имеем
ОО
(6.4.2)
e-l"^%-i<^^ da =
1 0F
2-Ky/ki
exp -
4A;</ V2ki^^^\ ^kt
X
Здесь a = kt, b — y, a преобразование Фурье функции g{x)
равно e~ *. Следовательно, по теореме о свертке получаем:
00
{х, t) = -= 1 f{a)g{x -a)da^
— ОО
ОО
— ОО
ОО
1 I ,, , \-{i-a)"
da =
а — X
Введя обозначение z = , искомое решение и{х, t) можно пере-
v Akii
писать в виде
00
и(ж,<) = -р: / f \х +г\/ш\е~'^^dz.

С.4Л.
удовлетворяющее следующим начальным и граничным условиям:
и(ж, 0)=0, О < ж < оо, и(0, t)=uo, < ^ О,
если как и, так и ^ стремятся к нулю при х —^ оо.
Решение. Поскольку и задано при ж = О, к нашему уравнению
применимо синус-преобразование Фурье. После преобразования, с
учетом граничного условия и(0, i) = uq, i ^ О, получаем обыкновенное
дифференциальное уравнение:
, ОС
-^ + ка й = \ —кащ, где u{a,t) — \1 — 1 u{x,t)&iviaxdx.
о
Его частное решение, удовлетворяющее преобразованным
начальным и граничным условиям исходной задачи, описывается
формулой:
Воспользуемся обратным преобразованием Фурье.
схэ <х>
u{x,t) = \ — I u{a,t) sin ах dq = —щ / [1 - е~''°' Ч da =
о о
^2kiJ\
2uo I ^ _ ;^ г
7г 2 2 ^'^
При этих вычислениях мы учли известное соотношение:
оо
2 sin(2a!y) _ 7г
/■
da= ;г^ег%),
а: Z
где
erf (у) = —= / exp{—z^)dz.

Ю236 Интегральные преобразования и метод функций Грина
Итак, искомым решением нашего уравнения теплопроводности
является функция:
u{x,t) = щ
1 - А I ехр(-^2)
dz
= щ erf,
\\/2kiJ'
где erfc(y) =-^ J exp{-z^)dz.
6.4-2. Волновое уравнение
Волновые движения, встречаюп^иеся в природе, а именно: звуковые
волны, поверхностные волны, поперечные колебания бесконечной
струны и механических систем, описываются волновым уравнением.
Пример 6.4.3. Колебания бесконечной струны подчиняются
уравнению
^и
,д^
и
и начальным условиям
-оо < X < оо
ди,
и{х, 0) = f(x), -оо < ж < оо, -—(ж, 0) = 0.
at
Требуется найти закон колебаний.
Решение. После преобразования Фурье уравнение принимает вид
y/bi J dt''
ue^^^dx
или
CpU 2 2- rs '
Выпишем общее решение полученного обыкновенного
дифференциального уравнения:
й(а, t) — А cos{cat) + В sin(cai). (6.4.4)
Применение преобразования Фурье к начальным условиям дает
— (a,f)=0, й(«,0) = /(а).

6.4- Преобразования Фурье и их прилооюения 237
Подставляя эти данные в решение (6.4.4), находим Ам В:
А = !{а), и В = 0.
Следовательно,
u{a,t) = f{a) cos{cat).
Теперь применяем обратное преобразование Фурье.
00
u{x,t) = —j= / /(«) cos(ca:<)e~"*^ dcx =
—oo
oo ■ 00
Отсюда, благодаря интегральной формуле Фурье, находим решение
и{х, 0 = 2 (/(^ + ^) + /(^ - ^0)'
в котором узнаем хорошо известное решение Даламбера волнового
уравнения.
Пример 6.4.4. Между точками а; = О и ж = / натянута струна
длины /. В точке ж = Ь, 0<Ь</ее оттянули на малое расстояние h
и в момент времени t = О отпустили из состояния покоя. Найдите
закон колебания этой струны.
Решение. Пусть и{х, t) — функция, описываюш,ая колебания
нашей струны. Тогда она должна удовлетворять следующей краевой
задаче:
д^u _ 2д^u
с начальными и граничными условиями:
Г f, о < ж < 6;
и(ж,0) = < ., ,,
1 ^, Ь<х<1;
Зи
— (а;,0) = 0 и u{0,t)=u(l,t) = 0, t^O.
at

238 Интегральные преобразования и метод функций Грина
Для решения волнового уравнения применим к нему
синус-преобразование Фурье, определенное на отрезке [0,1]:
о о
V
Учитывая граничные условия, это соотношение можно переписать
в виде обыкновенного дифференциального уравнения:
Его общее решение описывается формулой:
u(n, *) = А COS — l-Bsm—-—. (6.4.5)
Теперь, применяя синус-преобразование Фурье к начальным
условиям, получаем:
6 /
-/ «ч f hx . пжх , fhix — l) . пжх ,
и{п, 0) = I -г- sm —р- ах + I — ;— sin —г- ах
Jo I J b-l I
о 6
hl^ . пжЬ
sin
пЧЩ1-ь) I ■
Из соотношения (6.4.5) при t = О вытекает формула:
и{п, 0) = А = , „ ,—гг sin —-.
П^7Г'^0(( - О) I
Кроме того, из второго начального условия следует, что при t = О
Продифференцировав равенство (6.4.5) по it и подставив эти
начальные данные, увидим, что В = 0.
Таким образом,
_, , Ы^ . пжЬ пжсЬ
"("'^)^п^7г^Ь(/-Ь)""-Г^"^-Г-

6.4- Преобразования Фурье и их приложения 239
Используя, наконец, обратное преобразование Фурье^, получаем
искомое решение:
, . 2hP •sr-^ 1 . nnb . пжх rnrct
тг^Ьи -Ь) ^ п^ I I I
^ ' п=1
V
6.4'3. Уравнение Лапласа
Одно из самых важных уравнений в частных производных,
возникающих в многочисленных приложениях науки и техники, — это
уравнение; Лапласа.
Стационарное течение тока в сплошных проводниках, потенциал
скорости безвихревой невязкой жидкости, гравитационный
потенциал во внепшей точке по отношению к эллипсоидальной Земле и
так далее описываются уравнением Лапласа. Рассмотрим несколько
примеров.
Пример 6.4.5. Найдите решение краевой задачи на полуплоскости
у > О для уравнения
Uxx + Uyy = О, -оо < Ж < оо, у > о,
удовлетворяющее граничным условиям: и{х,0) — /(ж), и ограничено
при г/ —> оо, как и, так и |j стремятся к нулю при |а;| —> оо.
Решение. Поскольку в данном дифференциальном уравнении в
частных производных переменная х принимает любое вещественное
значение, следует воспользоваться преобразованием Фурье
относительно X. Если помнить о том, что как и, так и |j стремятся к нулю
'Имеет место следующая теорема (см. [34]).
Если f{x) удовлетворяет условиям Дирихле в интервале (О, а) и если в этом
интервале ее синус-преобразование с конечными пределами определяется при
помощи соотношения
f(n)= I f{x)sin dx,
J a
TO в любой точке интервала (О, а), в которой функция f{x) непрерывна, имеет
место следующее равенство:
f{x) = - 2J f(n) sin . — Прим. ред.
п=1

240 Интегральные преобразования и метод функций Грина
при |ж| —> сю, то получаем
ОС
—00
(Рй
Uyye^"'^ dx = 0
или
dy
2 («' у) - oi^u{a, у) = 0.
(6.4.6)
Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения, к
которому мы пришли после преобразования Фурье, имеет вид:
й{а,у) = Ае''У + Ве-''У.
(6.4.7)
Из-за ограниченности функции и при у —> оо, можно утверждать,
что й{а, у) также ограничена при у -^ оо. Следовательно, А = О при
а > О и В = О при а < 0. Таким образом, вне зависимости от знака
а имеем
й(а,у) =Се-1'*1^ . (6.4.8)
где С — какая-то величина, не зависяш,ая от у.
Граничные условия после преобразования Фурье превращаются в
й(а,0) = /(а).
Подставив это соотношение в (6.4.8), найдем
с = /».
Значит,
V
00
й{а,у) = /(а)е-1'*1г/ = -^ / /(ж)е-1'*1^ах^^
—оо
Применяем теперь обратное преобразование Фурье.
оо г оо
оо L —оо
e-'°^rfa =

6.4- Преобразования Фурье и их приложения 241
оо оо
= 2^ 1 fiOd^ / ехр ш(^ -х)~ \а\у
— (X) —(X)
(X)
■^ J (е-.
da
2 J. „2'
x}^ + 2/'
При этих вычислениях мы воспользовались тождеством^:
оо
2^7
ехр
т(^ - ж) - ja|2/
da = —-
Итак,
ui.,y) = f / ^
7Г (^ -а;)2 + 2/2'
а;)^ + 2/2
Мы получили хорошо известную интегральную формулу Пуассона.
Равенство имеет место при всех положительных значениях
переменной у при условии, что f{x) — ограничена и кусочно непрерывна на
всей числовой прямой.
Пример 6.4.6. Найдите стационарное распределение температуры
и{х,у) в длинном бруске квадратного сечения со стороной тг, если
на одной его грани поддерживается постоянная температура ио, а
на остальных — нулевая температура.
Решение. Математически данная задача описывается
дифференциальным уравнением в частных производных
Uxx + Uyy — 0, о < ж < 7Г, о < 2/ < 7Г
с граничными условиями:
и{0,у) = и(п,у)=0,
и{х,0) = О, и{х,тг) = щ.
Применяя к уравнению синус-преобразование Фурье относительно
В справедливости этого тождества можно убедиться, взяв преобразование
Фурье по X от обеих частей и воспользовавшись техникой вычисления интегралов
с использованием теоремы о вычетах и леммой Жордана. — Прим. ред.

242 Интегральные преобразования и метод функций Грина
переменной ж, получаем
}д^и . ^ }дЧ . ^ ^
I ——;г Sin пхах + / ——;г sm пх ах = о,
J ох^ J ду^
о о
что с учетом граничных условий «(О,?/) = «(тг,у) = О влечет^
<^« 2- п
—— - ■nfu = 0.
Мы свели задачу к обыкновенному дифференциальному уравнению,
общее решение которого ищется стандартным образом:
« = Achny + Bshny. (6.4.9)
После синус-преобразования Фурье вторая пара граничных условий
имеет вид
й(п,0) =0
и
тг
/ ч г . , /1 ~ COS П7Г
it(n, -к) = 1 щ Sin пх ах = щ\
о
Подставив это в общее решение (6.4.9), находим
А = 0, д=М1-совп7г)
nshnTT
Следовательно,
Щ / 1 — cos П7Г \ ,
и = -; sany.
shnTT \ п /
Наконец, применяя обратное преобразование Фурье, получаем
/ , 2 .г-^ щ /1 — cos птг \ ,
ЩХ.у) = — > -г-—- shnusinna;.
7Г -^ sh(n7r) V п /
Интегрируя по чгьстям, получим:
^-^sinnxda; = п [(—1)""^^«(я-,у) + и(0,у)]—п^ 1 и(х,у)sinnxdx. — Прим.ред.

6.4- Преобразования Фурье и их прилоэюения 243
Отсюда получаем искомое распределение температур:
4^0 у> sh[(2A: + 1)у] sm[{2k + 1)х]
" ^ 1^ (2A; + l)sh[(2A; + l)7r] *
6.4•4- Различные примеры
Пример 6.4.7. Найдите решение уравнения
ЭУ ldV_ д'^У _
определенное при г ^ О, z ^ О и удовлетворяющее условиям:
(i) F —> О при z —> оо и г —> оо;
(ii) V = f{r) при z = О и г ^ 0.
Решение. Применяя преобразование Ханкеля нулевого порядка'* к
исходному уравнению и интегрируя по частям, мы получаем
(X)
д^V ldV\ ^,^ , J ,2f>
Qj.2 J. Qj.
0
с учетом условия (i), так как Jo{^f) удовлетворяет уравнению
аг'' г dr
Следовательно, наше дифференциальное уравнение превращается в
обыкновенное:
tfiV
^ - f F = О => V = Ае^^ + Ве-^\
Имеют место следующие формулы прямого и обратного преобразовадия
Ханкеля ([34]):
ОО
^(а) = / xg{x)Ju{otx)dx^
о
ОО
д{х) = / ag{a)Jv{ax)dx,
о
где Ju{x) — функция Бесселя порядка и. — Прим.ред.

244 Интегральные преобразования и метод функций Грина
Опираясь на условия задачи, получаем, что F —> О при z —> оо и
V = /(^) при Z = 0. Значит, «константы», фигурирующие в общем
решении обыкновенного дифференциального уравнения поддаются
вычислению:
А = О и в = т.
Итак,
Искомое решение получается после применения обратного
преобразования:
о
оо
о
Пример 6.4.8. Найдите решение уравнения
^ + ^ = О, -оо < ж < оо, 2/^0, (6.4.10)
удовлетворяющее условиям:
(i) функция Z вместе со своими частными производными
стремится к нулю при X —> ±оо;
dz
(ii) z = f{x), — = Оприу = 0.
ду
Решение. Применяя преобразование Фурье по переменной ж,
получаем
г\Л.
Следовательно, исходное уравнение принимает вид
Общее решение полученного уравнение описывается формулой:
Z = Acos(^^2/) + Bsin{^^y).

6.4- Преобразования Фурье й их прилоэюения 245J
Начальные условия после преобразования Фурье выглядят как
dz
z = f{0, ^=0 при у = 0.
Следовательно,
А = т и В = 0. ,
Отсюда вытекает частное решение преобразованного уравнения:
Применив обратное преобразование Фурье, приходим к
окончательному решению:
оо
--4= [ ze'^^'d^
V2^ J
—ею
оо
= -l=|/(Ocos(e22/)e-'^^de
Пример 6.4.9. Распределение температуры в ограниченном слева
бесконечном стержне (О ^ ж ^ оо) подчиняется дифференциальному
уравнению в частных производных
дв д^в
И условиям:
(i) в = 0 при t = 0, ж ^ 0;
(ii) в = во при ж = О, i > 0;
(Ш) <9 ^ 0> £ ^ О при ж ^ оо.
Используя синус-преобразование, покажите, что
(X)
7Г У ^

246 Интегральные преобразования и метод функций Грина
Решение. Умножим обе части уравнения (6.4.11) на sin(^a;) и
проинтегрируем по ж от О до оо:
(X)
о
М^х)— - ^ cos(^a;)e 1 - ^^ / в8т{^х) dx
= к
sinl
= к I sin(
= -к{е~в~ш,
где ^ = J Osin^xdx. При вычислениях мы использовали то, что
о
0 —> О, ^ -^ О при ж —> оо и ^ = 00 при ж = 0. Итак,
откуда
df)
—+кев=к^во,
в = ^ + Ае-'^'К
1^ как в{^, 0) = О, то А = — %, поэтому
Обращая синус-преобразование, получаем искомое распределение
температуры:
(X)
e{x,t) = - esm{^x)d^ =
о
оо
= ^/5^^^(l-e-^^^*)de
71" У ^

6.4- Преобразования Фурье и их приложения 247
Пример 6.4.10. Функция У{г,в) удовлетворяет уравнению в
частных производных
а^ lay 1 э^у _
Qj.2 J, Qj, J.2 Qffl
В КЛИНОВИДНОЙ области \Q\ < а (см. рис. 6.4.1) а граничным
условиям: 'V(r,:^a) = /(г), а также условиям на бесконечности: К —> О,
|j^ ^ О при г ^ оо.
Рисунок 6.4.1.
Покажите, что V может быть представлено выражением
7+»оо сх)
''<^''')=2Ь / ^Л«к-Ч. где /К) = //(.И-*.
7—гоо О
Решение. Итак, нам нужно решить краевую задачу
aV 1 dv 1 av
+ -■
+
= 0, r^O, I^Ka.
dr^ T dr r^ 9^^
Применяя преобразование Меллина^ относительно г, получаем
(6.4.12)
оо
/(
av \dv 1 a^i/x ^^1
+ .^ + -,_,...^. = о,
Qj,2 J. Qj. J.2
^Имеет место теорема ([34]): если интеграл /о°° а;* '|/(a;)|d!a; ограничен для
некоторого А; > О и если /(^) = J^ f{x)x^~^ dx, то f{x) = ^^ Ц;^^'^ fiO^'^ d^, где
у > к. — Прим. ред.

248 Интегральные преобразования и метод функций Грина
что можно переписать в виде
оо ■ оо „
0 0 0
Последнее можно переписать как
r.S +
1 ду_
дг
> />
(X) л ,
-{s + l)r'V +s{s + l) г'-^
О
оо о °°
Vdr + r'V
Vdr = 0.
о о
Теперь, с учетом условий на бесконечности имеем:
откуда
s^F + -^ = О, где V= f Vr'-^ dr,
о
V ^ Acos{se) + Вsm(se).
(6.4.13)
Здесь A VI В — произвольные функции, не зависящие от
переменной S.
По условию V{r,±a) = f{r}. Значит,
оо
V{s, ±а) = f{s), fis) = J f{ry-' dr.
0
Отсюда, в частности, вытекает, что V — четная функция
относительно переменной s, т. е.
В=0 и А=
т
cos(5а)'
Итак,
cos (5а)

I
6.4- Преобразовангля Фурье и их приложения 249J
Обращая преобразование, получаем искомое решение:
7+гоо . 7+^°°
2т J 2т J
fis)r-'cosise) ,
as.
cos{sa)
7—joo 7—гоо
Пример 6.4.11. Изменение функции z, определенной на плоскости
Оху при t ^ О определяется уравнением:
г,2 1 д^z
V Z — .
c■^дt^
Известно, что z = f{x,y) и ^ = О при t = 0. Покажите, что во все
последующие моменты времени
оо оо
zix,y,t) = ^ j J mrj) (cosctVe + ri^) e'(^'+^y^ d^dv,
где
оо (X)
mrj) = ~ J J f{x,y)e'(^'-'^Uxdy.
—00 —(X)
Решение. Перепишем уравнение в виде
дх^ + 52/2 ~ с2 а*2 • ^ '
Умножая обе части уравнения на ^е^^^'^^^ и интегрируя по х и у
от — оо до оо, получаем
(X) (X)
—00 —00
где
z = — f f ze'^'^+'^'ydxdy.
—(X) —00
Следовательно,
^+c'ie+rj^)z=o,

250 Интегральные преобразования и метод функций Грина
откуда
z = Acos (\/^2 + ^2 fA ^ 5sjn (y/^'^ + rj'^ct) .
Так как z = f{x, у) при < = О, то
^ = Ш,'П) при < = 0.
Отсюда находим, что
Кроме того,
dz dz
-— = О при i = О =» -г- = О при < = 0.
от ас
Это дает нам уравнение на В:
Вс^ДЧ^ = 0.
Но поскольку с ^ о и Уч+'Т^ т^ О, то последнее соотношение влечет
В = 0.
Следовательно,
z = mr,)cos(cWe + rj^).
Применяя обратное интегральное преобразование, приходим к
выводу
(X) ОО
zix,y,t) = ^ J J ze-'^''-'''У d^dv =
— ОО —ОО
ОО ОО
— ОО —ОО
6.5. Метод функций Грина и его приложения
Одним из удобных способов отыскания аналитического решения
краевой задачи является метод функций Грина. В этом параграфе мы
определим функцию Грина для уравнения Лапласа, уравнения
диффузии и волнового уравнения. Кроме того, мы обсудим этот метод
решения на конкретных примерах.

6.5. Метод функций Грина и его приложения 251
Рассмотрим дифференциальное уравнение
Lu{x) - fix), (6.5.1)
где L ~ обыкновенный дифференциальный оператор, f{x) —
известная функция, а и{х) — неизвестная функция. Уравнение (6.5.1)
приводит нас к соотношению
и{х) = L-'f{x) = j G{x, Of (О de, (6.5.2)
где G{x,0 — ядро интегрального оператора, которое называется
функцией Грина дифференциального оператора L. Таким образом,
если известна функция Грина для данной задачи, то решение
неоднородного дифференциального уравнения получается сравнительно
легко. Применяя дифференциальный оператор L к обеим частям
соотношения (6.5.2), получаем условие:
fix) = LL-'fix) = jLG{x,0f{0d^- (6.5.3)
Оно будет выполнено, если мы выберем G{x, ^) таким образом, что
LGix,0 = Hx-0, (6.5.4)
где д{х—0 — ^-функция Дирака. Решение уравнения (6.5.4)
называется фундаментальным решением^ уравнения (6.5.1). Такой подход
к решению можно распространить и на дифференциальные
уравнения в частных производных. Чтобы объяснить идею обобш,ения,
рассмотрим уравнение
L[uiX)]=f{X), (6.5.5)
где L — некоторый линейный дифференциальный оператор от трех
независимых переменных х, у и z, и X = {x,y,z). Функцию Грина
для оператора L обозначим через G{X,X') с X' = {x',y'z') и
потребуем, чтобы она удовлетворяла уравнению
L [G{X, X')] = S{X - X') (6.5.6)
'Часто функцию G{x,^) называют функцией точечного источника или просто
функцией источника. — Прим. ред.

252 Интегральные преобразования и метод функций Грина
или, что то же самое,
L [G(x, у, z; х', у', z')] = S{x - x')h{y - y')S(z - z'). (6.5.7)
Умножим обе части уравнения (6.5.6) на fiX') и проинтегрируем их
по объему V' относительно переменных X':
10{Х, X')f{X') dV = I fiX')6{X - X') dV = f{X).
v J v
Объединяя это с (6.5.5), приходим к решению уравнения (6.5.5):
и{Х) = j G{X,X')f{X')dV'. . (6.5.8)
Таким образом, метод функций Грина в принципе можно
применять для решения любого линейно1'о неоднородного
дифференциального уравнения в частных производных. Теперь мы приведем
несколько особых решений. При этом мы найдем функцию Грина для
решений уравнений в частных производных, наиболее часто встре-
чаюпщхся в приложениях математической физики и технике.
Рассмотрим задачу об отыскании фундаментального решения
для трехмерного потенциала, удовлетворяющего уравнению:
V^гt = 6{Х),
(6.5.9)
где и можно интерпретировать, например, как электростатический
потенциал точечного источника. Нас интересует решение, которое
зависит только от расстояния до источника г — \Х\. Поэтому г > О
и и (г) удовлетворяет уравнению:
у2и=Л^(г2?^Ы0.
^2 Q^
дг
Интегрируя, получаем
г
Используя тот факт, что потенциал стремится к нулю на
бесконечности, имеем
А
и = —
г

6.5. Метод функций Грина и его приложения 253
Проинтегрировав уравнение (6.5.9) по шару V малого радиуса е,
придем к соотношению
/
V^dV ^1.
По формуле Гаусса — Остроградского имеем:
Гди
J дг
dS = l,
где S — сфера, ограничивающая V. Отсюда следует, что А = —■^.
Значит, особым или фундаментальным решением уравнения V^w = О
служит функция
1
и= —
47ГГ
6.5.1. Уравнение Лапласа
Для начала определим функцию Грина для задачи Дирихле. Будем
искать функцию и, удовлетворяюшую уравнению V^г« — О внутри
некоторой ограниченной области Д, граница которой S —
достаточно гладкая поверхность, причем на границе S дано, что и = f.
Рисунок 6.5.1.
Предположим, что мы знаем значение функции и в каждой точке
границы S, и что функция удовлетворяет соотношению V^г« = О в
области R. Наша задача — найти и{Р), где Р € R. Пусть ОР = г.
Обозначим через С сферу радиуса е с центром в точке Р, а через
S — область между сферой С и границей R. Границу области S

254 Интегральные преобразования и метод функций Грина
обозначим через Si. Положим по определению
1
V =
1г-гГ
(6.5.10)
где г' — радиус-вектор, проведенный из точки О к Q €T,U Si (см.
рис. 6.5.1). Если и и и' — дважды непрерывно дифференцируемые
функции на S, имеющие непрерывные первые производные на S, то
согласно теореме Грина имеем
Е Si
Здесь п — орт нормали границы Si, направленный наружу по
отношению к области Е, а ^ обозначает производную по направлению п.
Так как V^u = V^u = О внутри области S, то имеет место
соотношение
с S
Используя (6.5.10), получаем
//HI(f^)-f^I'^-'')''^-
s
Рассмотрим интеграл по сфере С. Введем обозначение: \f—f\=p.
Тогда
д 1
дп\г — f'\
д_1
дрр
72'
р=е
откуда
с с
где и* — среднее значение и{г') на поверхности С.

I
6.5. Метод функций Грина и его прилооюения 255
Далее,
с с
где (щ) - среднее значение нормальной производной (^) на
сфере С. Подставляя полученные выражения в формулу (6.5.11), будем
иметь
//(
"<'')|й^ - wh-Л''^''^У'=''"• - ^- (S
Устремим е к нулю. Тогда получим:
1) limu* = и{г), т.к. и(г) — непрерывная функция, а. и* — ее
е—>0
среднее значение по сфере радиуса е с центром в точке Р{г);
2) Ит47ге (^)* = О, т. к. из непрерывности первых производных
функции и{г) внутри R сразу же вытекает ограниченность
нормальной производной
ди ди ди ^ ди
■^z; =-^ cos а +-—cos/? +-^ cos 7
on ox оу oz
в окрестности точки г. Выполнив указанный предельный переход
е -^ О, получим интегральную формулу Грина для уравнения
Лапласа
""^'^ = ill [jf^b^^"^'")" "("^^ if^
dS. (6.5.12)
Следовательно, значение и во внутренней точке области R
определяется известными значениями и и ^ на границе S.
Напрашивается вывод: для решения задачи Дирихле необходимо знать граничные
значения как и, так и щ. Однако это не так, как можно видеть из
концепции функции Грина, которая определяется следуюш,им
образом.
Пусть Н{г—г') — гармоническая функция, заданная на R. Тогда
функцией Грина для задачи Дирихле служит
G{r, f') = —^ + Я(г - г"), (6.5.13)
\г — г \
где Н{г — г') обладает свойствами:

256 Интегральные преобразования и метод функций Грина
(i) У'2Я{г-г')=0,
(И) С = ^+Я(г-г')=0 на 5.
Итак, функция Грина в задаче Дирихле, включающей оператор
Лапласа, это функция G{f,r'), удовлетворяющая следующим
требованиям:
(i) V^G(f,r") =5(r-f') на Д;
(ii) G{f,г') = О на 5;
(iii) G симметрична, т.е. G{r,f') = G{f',r);
(iv) имеют место соотношения (см. вывод формулы (6.5.12))
lim II GdS = О, lim -^ Ц ^dS=\. (6.5.14)
е-
с с
Следуя описанной процедуре и заменяя v на G{r — f'), по
аналогии с предыдущим можно показать, что
"'' = i//(°""-"''l**"
BG
)-uir)-g^ir,f'))dS. (6.5.15)
Поэтому решение задачи Дирихле сводится к определению функции
Грипа G{f,r').
Теорема 6.5.1. Функция Грина симметрична, т.е.
G{fi,f2) = G{r2,f\).
Доказательство. Положим
G = Т^—=77 + Н^
\г — г \
где Н — гармоническая функция, тогда (см. формулу (6.5.9) и текст
после нее)
V^G = у2 ( ,^ ^^„ 1 + V^Я = -4пд{г-г') + 0= -4п6{г- г').
\\г — г \)
Пусть и = (7(fi,г') и и = (j(f2,f'), где г' G Д, а п, Г2 — Радиус-
векторы точек Pi и Р25 принадлежащих области R (рис. 6.5.2).

I
6.5. Метод функций Грина и его приложения 257д
Рисунок 6.5.2.
Тогда
С(п,г') = 0, С(г2,г')=0 на 5;
V^G(ri,r') = -Аж5{г1 - г');
V^G(f2, f') = -47г5(г2 - г').
Окружим точки Pi и Р2 сферами Ci и (72 соответственно радиуса е.
Применяя теорему Грина
jjj (G'(fl,f')V^G'(f2,r') - G'(f2,f')V'G'(fi,f'))dF =
Е
" // (^(^"'ь")^^(^"'2,г')-С(г2,О^С(п,г'))й5
С1+С2+5
К области Е, ограниченной поверхностями 5, C7i и С2, будем иметь
jJ (^С(Г1,Г')^С(Г-2,Г') - С(Г2,Г')^С(Г1,Г') ]dS +
//('
+ // [Gin,r')^Gif2,f')-Gif2,f')-^Gin,r')]dS = 0,
С2
т. к. интеграл в левой части предыдущего соотношения равен нулю,
поскольку V^(7 = О, а интеграл по поверхности S равен нулю в силу
граничных условий для функции Грина. Переходя теперь к пределу
при е —> О и используя соотношения (6.5.14), получим
G{ri,r2) ^G{r2,ri),
что свидетельствует о симметричности функции G{r,г')? ■
^Доказанная симметрия функции Грина является математическим выражением
9 - 6851

258 Интегральные преобразования и метод функций Грина
Пример 6.5.1. Используя метод функции Грина, решите задачу
Дирихле на бесконечном полупространстве^.
Регпение. Задача Дирихле на полупространстве - это задача о
нахождении решения уравнения:
V^u = 0, О ^ ж < сю, —сю < у ^ сю, —сю < z < сю,
удовлетворяющего граничным условиям:
u{(),y,z) = f{y,z), \im u{x,y,z) =0,
1 ЮО
где г — длина радиус-вектора точки с координатами (ж, у, z).
Пусть G{r, г') — функция Грина данной задачи. Тогда
(i) G{r,f') = -^ + H;
\r — г \
(ii) V^Я(f, f') = 0, где V^ = ^ + ^ + ^;
(iii) G{f,г') =0 на плоскости х = 0.
Пусть Р'{р) — точка, симметричная точке Р{г) относительно
плоскости X — О (рис. 6.5.3).
принципа взаимности в физике: источник, помещенный в точку Г\, производит в
точке Г2 такое же действие, которое производит в точке п источник, помещенный
в точку Г2 [37]. — Ред.
^В этом примере, а также в двух последующих при построении функции
Грина используется так называемый метод электростатических изображений (здесь
мы интерпретируем решение уравнения Лапласа как потенгщал некоторых
зарядов). Идея метода состоит в том, что в формуле для функции Грина (функции
источника)
\г — г \
величина Н определяется как потенциал зарядов, расположенных вне
поверхности S, ограничивающей область, в которой ищется решение краевой задачи, и
выбираемых таким образом, чтобы выполнялось условие
Эти заряды называются элект,ростлт,ическими изображениями е/щничного
заряда, помегценного в точку Р(г) и создающего в отсутствие поверхности S
потенциал if^jtn . — Прим. ред.

6.5. Метод функций Грина и его приложения 259^
Р'{р)
Рисунок 6.5.3.
Тогда, искомая функция Грина есть
G{r,r') = —^-~^
\г — г \ \р — г \
где 1/9- f'1"^ = [(ж + х')"^ + (у ^ y')^ + (^ ~ ^')^] • ^ самом деле,
в области ж > О
1/9- г I
а при ж = О
Ir*—г"| Ip —^'1
Из формулы (6.5.15) имеем:
= 0.
u{f') = -~ f[u{f')^{f,r')dS. (6.5.16)
4тг J J an
Кроме того,
9G _ _9_
дп дх'
9G
дх'
\/(^^-^ОМ=(у^^уО^+(^^^^
1
_ 2х
х'=о ~ ~[ж^ + (y-y')^ + (^-^')^P'

260 Интегральные преобразования и метод функций Грина
Подставив этот результат в уравнение (6.5.16), получим
. , ^ 7 7 f{y',z')dy'dz'
Чх, У,^)-2^ J J ^ ^ г/2'
—оо —оо
поскольку
u{f')=fiy',z').
Таким образом, задача может быть решена, если известна
функция/(у', z').
Пример 6.5.2. Опираясь на метод функции Грина, найдите
решение внутренней задачи Дирихле для шара.
Регпение. Уточним постановку задачи. Здесь нам нужно найти
решение уравнение
V^u = 0, при О < г < а, О^в^п, 0^ip^2n,
удовлетворяющее условию:
u{a,e,ip) = f(e,ip).
Будем искать функцию Грина в виде
G{r,r') = -^ + H{f,r'),
\г — г \
где Н удовлетворяет условию:
г)2 r)^ <9^ \
дх'^ ду'^ dz'^
и
V
на границе шара, т. е. на сфере радиуса а.
Пусть Р{г, в, ip) — точка внутри шара с радиус-вектором г, куда
мы поместим единичный заряд, а Р' — инверсная ей точка
относительно сферы, т.е. центр сферы О и точки Р, Р' лежат на одной
прямой и
ОР ■ ОР' = a^.
Введем обозначения:
ОР = г, ОР = г, ОР'^ р.

6.5. Метод функций Грина и его приложения 261
Тогда/j = OP' = ^.
Если Q' — произвольная точка сферы, то из подобия
треугольников^ OQ'P и OQ'P' следует, что
Рисунок 6.5.4.
PQ> _ г^_а
P'Q' ~ а~ р
-^ = - = - ^ PQ' = ~Р'0'.
Таким образом, гармоническая функция Н{г,г') задается
формулой:
Н{г,г') =
а 1
—а
^ ' P'Q'l г\ОР' - OQ'l г\р - г')
а2
г
—а
г
г
г'
г
—а
-^г -г
Если точка Р попала на сферу, то г = а, H{f,r') — ———z:^- и
\г — г \
Gif,f')
= 0.
Значит, искомая функция Грина задачи Дирихле для области вну-
треугольники подобны, поскольку угол при о у них общий, а прилежащие к
нему стороны пропорциональны: ОР/а = а/ОР' — Прим.. ред.

262 Интегральные преобразования и метод функций Грина
три сферы имеет вид
G{f,f') = —-^-
а/г
|г — г ,
1 а/г
hr -г
1 а/г
\PQ\ \Fq\ R"^'
(6.5.17)
где PQ = R, P'Q - R'.
Теперь no теореме косинусов получаем
PQ2 ^ ^2 ^ ^/ 2 _ 2rr> cos 7 = i?2,
[P'Qf = {OP'f + r'2 - 2(OP')r'cos7 = Л'2,
(P'Q)^ = §^ + r' 2 - 2a^r' cos 7 = R' 2,
(6.5.18)
где COS7 = cos^cos^' + sm^sin^'cos((^ — ^p')- Из формулы (6.5.17)
имеем:
1 dR a/rdR'
dG _dG _
dn dr'
=
=
1 с
R'^'c
1
1
i?2ar' Л'2 ar'
= _ _L д^ _ (^^) !:!л'^'
дз ^,^/ \г/ а^ дг'
(поскольку -^ = ^)-
Кроме того, из соотношения (6.5.18) вытекает, что
,ал
,ал'
2Л—- = 2г' - 2г COS7 и 2R'—-- = 2г' - 2— cos7-
дг
Значит,
дО
дп
1
г'=а ~ "ДЗ
т''-a^
дг'
(а — г cos 7) 2 I ^ ^°^ 'У
г2-а2
a-R^ а [г2 + а^ - 2аг cos 7] ^^^'
Если и = f{e, if) на сфере, то решение задачи Дирихле для шара

6.5. Метод функций Грина и его приложения 263
выглядит так:
и[г, Ь, ip) - ^^ J J „(^2 + «2_2arcos7)3/2 ^"^ ~
27Г 7Г
S
^ 27Г 7Г
а(а2-г2) /^ , Г fie',(p')sm9'de'
Аж J J (r^ + а^ — 2ar cos 7)^/2'
о о
так как dS' = а?8тв' ёв'ё(р'.
Мы получили известную интегральную формулу Пуассона.
Пример 6.5.3. Найдите функцию Грина для задачи Дирихле на
круге:
V\ = 0, г<а, и{а,9)=/(в).
Решение. Пусть Р(г, в) и Q(r', в') — точки с радиус-векторами г и
г' соответственно, а Р' — точка, инверсная Р относительно нашей
окружности, так что
ОРОР'^а^ и Р'{а'^/г,в).
р'
Рисунок 6.5.5.
Будем искать функцию Грина в виде
G = In -Д^ + Я.
\г — г \
Пусть Н = 1п(г • —^ J. Можно проверить, что
у2я = О,
r.P'Q (6-5.19)
G = In —-Г-.
aPQ

ff264 Интегральные преобразования и метод функций Грина
На границе круга г = а и
о = ы^ = ы ^'^
1п(1) = 0.
Кроме того,
PQ {r/a)P>Q
PQ^ = r'^ + r'^- 2rr' cos(e' - в)
P'Q^ = r'^ + ^- 2r'— cos(e' - в).
Подставляя это в формулу (6.5.19), получаем
G=-lu
= i.n
r^jr' ^ + ayr^ - 2r'a^ cos(g^ - в)/г)
a2(^2 + r'2 - 2rr'cos{e> - в))
д2 ^ ^2(^/ 2/д2) _ 2rr' C0S(6I' - 61)
r^ + r>^~2rr'cos{e'-e)
Ha окружности r' = a,
dG_
dn
dG,
-(a2 - r2)
r'=a ar' ''•'=" a[a'^ - 2ar cos(6'' - б») + r^]'
Следовательно,
«2_^2
u(r,e) =
/
/(^0 d^'
27Г i a2 - 2ar cos(6l' - б») + r^
0
(cp. с формулой (5.6.14)).
6.5.2. Волновое уравнение
Теорема Гельмгольца. Пусть ip{f) — функция, имеющая
непрерывные частные производные первого и второго порядка в
области R, ограниченной поверхностью S. Если (p(f) удовлетворяет
волновому уравнению Гельмгольца V'^ip + к'^(р = О, то
47гУУ
exp{ik\f—f'\)d(p._f (-\д /ехр(гА;|г — г'|)
\г-г'\
дН^'^ -''^''^дН
If— f'\
dS =
^ Г ip{r), feR;
1 О, f^R.

6.5. Метод функций Грина и его приложения 265
Доказательство. Пусть ip — решение уравнения Гельмгольца
V^^ + к\ = {) (6.5.20)
в области R, причем все особенности этой функции лежат вне
области Л, ограниченной поверхностью S.
Рисунок 6.5.6.
Рассмотрим фундаментальное решение уравнения (6.5.20):
, _ ехр(гА;|г'— г'\)
(6.5.21)
По теореме Грина имеем
fffiuV\' - uV\) dV = ff L^ - u'~^ dS, (6.5.22)
я s
где n — орт внешней нормали к поверхности S. Подставим и = (р и
и' = G в левую часть равенства (6.5.22) и используем соотношения
(6.5.20) и (6.5.21). Имеем
411
R
ifV^
fffi^^^G - GV^if) dV
R
2/ехр(гА;|г — f'|)\ exp{ik\f—r'\). 2
If— f'\
|r — r I
dV =
III
^kf^^lzpl + A:V'"P^'^''" "'
\f-f'\
\f-f'\
dV^O,
где \f— r'\ Ф 0, если точка P(f) лежит вне области R.

266 Интегральные преобразования и метод функций Грина
II
Следовательно,
ехр(гА;|г'— f'l)
If— f'\
exp{ik\f—f'\) д
If— f'l
дп
^fin
dS = 0.
(6.5.23)
Если точка P(f) лежит внутри области Л, опишем вокруг нее сферу
С радиуса е так, чтобы она целиком поместилась в область R, и
применим теорему Грина к области Е, заключенной между сферой
С и поверхностью S. Имеем:
II4I {*-''^
exp(«A;|f — f'l)
If— f'l
exp(iA;|f — f'l) д
If— f'l
dn
^ip{f
')| dS = 0,
где |f- f'l 7^ 0.
Повторяя далее дословно все рассуждения при выводе
формулы (6.5.12), получим формулу Грина для уравнения Гельмгольца
exp(iA;|f — f'l) 1 exp(iA;|f — f'l) д
//k'll^^l^^}
|f—f I dn
^'fin
dS
Итак,
hin
= —4ir(p{f).
exp(iA;|f — f'l) 5(/p(f) ,_,. д /exp(iA;|f — f'|) д
If-f'l
dn ^^ 'dn
\r — r \
dn
dS =
что и требовалось доказать. ■
если r^R,
если f ^ Я,
(6.5.24)
Введем функцию Грина 0{г,г'), удовлетворяющую условиям:
(i) G{f,f') = Щ^1_р1+н{г,г'), ^Н{г,г')+еН{гГ) = О,
\г — г \
(И) G{r,r')
= 0.

6.5. Метод функций Грина и его приложения 267ji
Заменяя ехр(гА;|г*—f'|) на функцию G в уравнении (6.5.24), получаем
-^'^ = hll
^^„дц>{г') , .^.ас,_,
G{f,r')
дп
f{r )-д^{г,г )
dS,
где п — орт внешней нормали к поверхности S. Так как G
удовлетворяет свойствам (i) и (ii), то
6.5.3. Уравнение диффузии
Рассмотрим задачу об отыскании решения уравнения
теплопроводности
-^ = kV\, (6.5.26)
удовлетворяюп1;его граничным условиям
u{f,t)=e{r,t), feS
(6.5.27)
и начальным условиям
u(f,0) = /(f), feV.
Определим функцию Грина G{f^r',t — t'), t > t', где t' —
параметр, таким образом, чтобы выполнялись условия:
(i)
dG
at
= kV^G;
(ii) G(f,f',t-t') = 0, feS;
(iii) G = 0 при t < t' и Mm G = 0 для любой точки трехмерного
тела V за исключением точки г, где G имеет особенность
вида
G =
8{Trk{t - t')f/^
и поэтому Щ = —A;V^G.
ехр
Ir-f'P""
Ak{t - f)
(6.5.28)

268 Интегральные преобразования и метод функций Грина
Функцию G можно здесь проинтерпретировать как температуру
точки г" в момент времени t', соответствующую источнику
единичной мощности, возникшему в точке г в момент времени t.
Уравнение (6.5.26) и граничные условия (6.5.27) можно
переписать в виде
1^ = kV^u, t'<t; ] ■'
dt' ' ' \ (6.5.29)
u{f',t') = eif',t'), f'eS. J
Кроме того, ввиду (6.5.28) имеем:
-iuG) = G- + u- = GkW\-kuW^G.
Если е — произвольная положительная константа, то
t-e
t-e
> dt.
I ' /// ^^"'^^ ^'^' ' ^*' = ^ I ' [[[((^^^'^ - ^"^^G) dr'
0 I V } 0 I V >
(6.5.30)
Поменяв порядок интегрирования в левой части этого соотношения,
с учетом начальных условий (6.5.27) и того факта, что
u{r',t') =u{r,t-e)=u(r,t).
t'=t-£
получим
t-e
vKo ) V
= JJJiuG)t'=t-edT' - JJIiuG)t'=odT =
V V
= u(f, t) jjjG{f,r-', t - t')l^^_^ dr' - IIIG{f,f', t)fif') dr'
V V
Однако
t'=t-£
'-III
8(7гА:е)3/2
^ if'\2
\f— f
4^7
dr'->l
V
при e —> 0.

6.5. Метод функций Грина и его приложения 269
Правая часть равенства (6.5.30) после применения теоремы Грина
сводится к
t-ef \
к f < fff {GV\ - «V^G) dr' \ dt' =
0 I V J
= kJUj {Gt-u^4^ds\dt'.
dn dn
Если теперь вспомнить, что G = О на поверхности S и перейти к
пределу при е —> О, то получим, что эта правая часть сходится к
о I V )
Таким образом, соотношения (6.5.29) принимают вид
t
u{f,t) = JJJf{r')G{r,f',t)dT'-kJdt'JJeif\t)^dS',
что дает искомое решение.
Пример 6.5.4. Решите краевую задачу для одномерного уравнения
теплопроводности
^ = А:|^, O^x^l, t>0,
с граничными и начальными условиями
и(0, t) = и{1, t)=0, t>0, )
u{x,0)=f{x), O^x^l. J
(6.5.31)
(6.5.32)
Решение. Используя метод разделения переменных, и учитывая
начальные и граничные условия задачи, получаем
I г
- ^ е"*^-^"' sin(A„j/) 8т(А„ж)
п V п=1
f{y) dy. (6.5.33)

270 Интегральные преобразования и метод функций Грина
Нетрудно видеть, что функция G, определенная формулой
2 °°
G{x, У, <) = у У] е"''^"* sm(A„j/) sin(A„a:),
' n=i (6.5.34)
П7Г
0^x,y^l, t>0, Xn--r-
удовлетворяет условиям:
(i) —{x,y,t) = k-^{x,y,t) = k-^{x,y,t), OKx,y^l, t > 0;
(ii) G{0,y,t)=G{l,y,t)=0, O^y^l t>0; (6.5.35)
(iii) G{x,y,t) = G{y,x,t), 0^x,y^l, t > 0.
Первое свойство из (6.5.35) следует определения функции G (6.5.34)
после дифференцирования. Функция G, которую мы определили
называется функцией Грина данного уравнения теплопроводности.
Она удовлетворяет этому уравнению, симметрична и подчиняется
граничным условиям. Поэтому решение уравнения (6.5.33) можно
записать как
u{x,t) = j G{x,y,t)f{y)dy, О
^x^l, t > 0.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Определите функцию Грина для задачи Робина в первом
квадранте
У\ = <^(ж,г/), ж>0, г/>0,
с граничными условиями:
и(0,у)=/(у), —{x,Q)=g{x).
2. Используя метод функции Грина, найдите решение уравнения
V'^u = О в верхней полуплоскости: у ^ О, —оо < ж < оо,
удовлетворяющее условию «(ж, 0) = f{x).

Упражнения 271
3. Покажите, что функция Грина для задачи о распространении
тепла в ограниченном слева бесконечном стержне,
описываемой уравнением
и
ди д.-
с начальными и граничными условиями '
и{0, t)=0, t>0; и{х, 0) = f{x), х>0,
имеет вид:
1
G{x,y,t) =
/Airt
Г {x-yf\ ( {x + yf\
4. Используя преобразование Лапласа, покажите, что частное
решение 9{x,t) одномерного уравнения диффузии
д'^в 1дв ^ ^
удовлетворяющее граничным условиям:
e{0,t) = l-e-\ t>0; 6'(7г,«)=0, t>0
в{х,0) =0, t = 0, О^х^тг,
задается формулой:
в(х t) = "^^^ - ^"*^^"0^~^)/^) 2 ^ sinn:re-"'fe*
^ sin(7r/v^) ^;^ n{n4t)
5. Пользуясь преобразованием Лапласа, решите краевую задачу:
u(0,«) = 0, E—{l,t) = P, t>0,
где E и P~ константы, u{x, 0) = О == *£^, О < x < I.

272 Интегральные преобразовангы и метод функций Грина
6. С помощью преобразования Лапласа решите краевую задачу
для уравнения
-Q^ = с -Q-2, 0^ж<оо, 0^«<оо,
с начальными и граничными условиями
V
u{0,t) = 0, и{х,0)=0, —{х,0) = 1.
7. Температура в{х, t) в ограниченном слева бесконечном стержне
X ^ О подчиняется дифференциальному уравнению:
dt~^ дх^
и условиям:
в{х,0)=0, e{0,t) = ip{t), t>0.
Используя синус-преобразование Фурье, покажите, что
°°
X
2а\Д
8. Методом преобразования Фурье покажите, что если V^u = О
при ж ^ О и и = /(у) при ж = О, то
и{х,у) = ^ /
оо
:г2 + (у-е)2'
9. Используя преобразование Фурье, покажите, что решение
уравнения Лапласа
удовлетворяюш,ее условию
и(:с,0) = | J'
X <0,
х>0,

Упражнения 273
определено на верхней полуплоскости у > О и обладает
свойством: lim и{х,у) = О на всей плоскости.
10. Примените преобразование Фурье для решения краевой задачи:
dV d^V
dt дх^
, 0<x<6, t>0;
dV dV
— {0,t) = 0 = —{6,t), u{x,0) = 2x.
11. Используя конечное преобразование Фурье, найдите частное
решение двумерного уравнения Лапласа
^^ + "9^=0' 0<:г<7Г, 0<у<уо,
удовлетворяющее условиям:
V{0,y)=0, У{7г,у) = 1-
^{х,0) = 0, V{x,yo)=0.
12. Используйте метод синус-преобразования Фурье для решения
одномерного уравнения теплопроводности
дх"^ к dt
\
если известно, что Т(ж,0) = О и Г(0,<) = То, lim T{x,t) = О,
lim ^{x,t) = 0. Кроме того, покажите, что предел решения
Т{х, t) при < —> оо равен Tq.
13. Используйте косинус-преобразование Фурье для решения
одномерного уравнения теплопроводности
д^Т _ 1дТ_
дх"^ к dt ^

274 Интегральные преобразования и метод функций Грина
если
dT{x,t)
Т(ж,0)=0 и
дх
— Qq\
х=0
дТ
lim Т(ж,0) = lim -^{x,t) = 0.
х—«оо 1—►оо ох
14. Стационарный поток тепла в металлической пластинке
описывается уравнением
дх'^ ду'^
С помощью преобразования Фурье найдите Т{х,у), при
условии, что
дТ
Т{х,0,)=ф), lim Т{х,у)= lim -~[x,y) = Q.
x-»±oc I—►±оо аж
15. Пользуясь методом преобразования Фурье, решите одномерное
уравнение теплопроводности
при условиях
дТ
lim T(x,t)= lim ^-(ж,«)=0
х—«±00 1—►±оо С/ж
И V
Т(ж,0) = е-"'^', а>0.
16. Методом преобразования Фурье решите задачу о колебаниях
бесконечной струны, если известно, что и{х, i) -^ О и -г—(ж, i) ^^ О
ох
при X —> ±оо, а также
и{х,0)=Пх) и ^^^=9И-

Упражнения 275
17. С помощью преобразования Фурье решите одномерное
волновое уравнение Шрёдингера для свободной частицы:
и получите решение в виде
уЗтгп J
—оо
где ^{рх-,^) = 'Ф{Рх)- Вычислите 'ф{рх) для <(0(ж,0) = е"^ Z^'*

ГЛАВА 7
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
7.1. Уравнения Фредгольма й Вольтерра
Весьма эффективным математическим аппаратом решения многих
задач физики и техники являются интегральные уравнения.
Существует большое число типов интегральных уравнений. Мы
рассмотрим два наиболее распространенных типа таких уравнений — это
уравнения Фредгольма и Вольтерра.
Начнем с исследования интегральных уравнений Фредгольма
второго рода. Такое уравнение имеет вид (для простоты мы
ограничимся рассмотрением интервала [а,Ь])
ь
<p(x)-\jK{x,yMy)dy = f{x), xe{a,b], (7.1.1)
а
где интеграл распространен по действительной оси, ядро К{х, у) и
правая часть f{x) являются заданными действительными
непрерывными функциями, ^р{х) — искомая функция, А — действительный
параметр.
Интегральное уравнение
?
<p''{x)-XJK{x,y)^\y)dy = Q (7.1.2)
а
называется однородным, а однородное уравнение
6
i>{x) ~\jК{у,х)ф{у)с1у = О (7.1.3)
а
называют союзным с (7.1.2) однородным уравнением.

7.1. Уравнения Фредгольма и Вольтерра 277
Если один из пределов интегрирования переменный, то такое
уравнение называется уравнением Вольтерра
X
<pix)-xjK(x,yMy)dy = f{x), (х>а) (7.1.4)
второго рода.
Легко видеть, что общее решение Ф{х) интегрального уравнения
Фредгольма второго рода, когда оно существует, имеет вид:
ФИ =/(:г) + <^И, (7.1.5)
где ^р^{х) — общее решение соответствующего (7.1.1) однородного
уравнения (7.1.2), а (р{х) — частное решение неоднородного
уравнения (7.1.1). Доказательство очевидно.
Пример 7.1.1. Свести следуюшую задачу Коши к интегральному
уравнению Вольтерра
0+у = О, у(0)=0, у'(0) = 1.
Решение. Интегрируя уравнение с учетом начальных условий,
имеем
Лг V tC W *tf
у = х- 11 y{t') dt'dt = х- I y{t') dt' I dt = x- j [x - t')y{t') dt'.
0 0 Of 0
Таким образом, мы получили интегральное уравнение
X V
о
y = x+{t- x)y{t) (
Вольтерра второго рода.

278 Глава 7. Интегральные уравненья
7.2. Построение решения уравнения
Фредгольма второго рода при малых
значениях параметра методом
последовательных приближений
в случае, когда параметр А удовлетворяет условию
|А| < ^, (7.2.1)
где М — положительное число такое, что
о
I \К{х,y)\dy^M, a^x^b (7.2.2)
решение (р{х) уравнения (7.1.1) существует и его можно
построить методом последовательных приближений.
Будем искать функцию ^{х) в виде предела последовательности
о
¥'о(ж) = /(ж), (pn{x)^f{x) + X K{x,y)(pn-i{y)dy, n = l,2, ...
(7.2.3)
Сходимость последовательности (7.2.3) равносильна сходимости ряда
Мх) + Y11'Priix) ~ fn-iix)]. (7.2.4)
n=l
в силу (7.2.2) имеем
{
\(ро{х)\ ^т= max \f{x)\,
\^n{x)-ipn-iix)\^m\X\'^M'^, n = l,2,
(7.2.5)
Таким образом, каждый член ряда (7.2.4) по модулю не превышает
оо
соответствующего члена положительно1Т> числового рада Y1 пг|А|"М",
п=0
который в силу неравенства (7.2.1) сходится. Следовательно, рад (7.2.4)

7.2. Построение решения уравнения Фредгольма второго рода 279
и, стало быть, последовательность непрерывных функций (7.2.3)
сходится абсолютно и равномерно к непрерывной функции (р{х)
(р{х) = lim (рп{х) = (ро{х) + V] [(рп{х) - (pn-i{x)]. (7.2.6)
п=1
Переходя к пределу при п —> оо в равенстве
6
(fnix) = f{x)+X K{x,y)^n-i{y)dy,
получаем
о
(р{х) = f{x)+X К{х, уЫу) dy,
т.е. (р{х) является решением интегрального уравнения (7.1.1).
Уравнение (7.1.1) других решений не имеет (при |А| < 1/М).
В самом деле, предположим, что наряду с ^р{х) имеется еш,е одно
решение — 'ф{х). Тогда в{х) = ^р{х) — ^{х) — решение однородного
уравнения (7.1.2), т.е.
e{x) = xjK{x,y)e{y)dy,
откуда находим, что
во ^ \Х\Мво, во = max \в{х)\.
Но ЭТО неравенство противоречит неравенству (7.2.1), если
только ^0 / 0. Поэтому ^0 = О, т.е. ф {х) =<р (ж), что и требовалось
доказать.
Пример 7.2.1. Решить методом последовательных приближений
уравнение Фредгольма
1
у{х) = X + X xty{t)dt,

280 Глава 7. Интегральные уравнения
указать значения параметра А, при которых ряд последовательных
приближений сходится.
Решение. Итак,
1
/ /■ 2 А / А\
Уа{х) = ж, у\ —хА \х / t dt = X + -X = X [1 + - j,
о
y2 = x + \xJt(l + ^jtdt = x + x(l + -j^=x\l + ^ + —],
о
и так далее. Ясно, что
/А А"
Уп = х11 + - + --- + -
При |А| < 3 ряд сходится и даёт искомое решение нашего уравнения:
X
lim уп
п—>оо
1-^/3
7.3. Интегральное /равнение Вольтерра
II рода
Следуя предыдуш,ему пункту, в случае уравнения Вольтерра
второго рода (7.1.4) будем иметь {К{х,у) = О, у > х)
Щ
{x) = f{x), ^,{x)=f{x) + xJKix,y)ipn-i{y)dy (7.3.1)
, , . .4, |А|"М"(ж-а)" , „ ,„,„,
ipnix) - ipn~iix)\ ^ т^ —. п = 1,2, ..., (7.3.2)
п!
где
М^ — тах.\К{х,у)\, т = тах|/(ж)|
^ а€х <Х.
на некотором отрезке
'Точнее, m = max|/(x)| на некотором отрезке а ^ х ^ X и М, = тах\К{х,у)\ в
треугольнике а^х^Х,а^у^х — Прим. пер.

1.3. Интегральное уравнение Вольтерра II рода 281
Так как функциональный ряд с положительными членами
оо
ш> 1^1"М."(^-аГ^^^|л|М.(.-.)
^ п!
п=0
СХОДИТСЯ равномерно при любом конечном значении параметра Л, то
в силу оценок (7.3.2) последовательность функций (7.3.1) сходится
равномерно, т. е.
if{x) = lim <р„(ж)
п—>оо
есть решение интегрального уравнения (7.1.4).
Для любого фиштрованш)го зш1че^1г1я параметра А уравнение (7.1.4)
не может иметь более одного региения.
Пусть <р(ж) и %p{x) — непрерывные решения уравнения (7.1.4). Их
разность 9{х) = ip{x) — 'ф{х) удовлетворяет однородному уравнению
X
e{x)^\j K{x,y)e{y)dy, (7.3.3)
а
поэтому
\в{х)\ < \Х\М^т^{х - а), (7.3.4)
где т* = шах \9{х)\ на некотором отрезке а ^ х ^ X. В силу (7.3.4)
из (7.3.3) следует оценка
\в{х)\ < \X\^M^m^-^^^.
Продолжая эту процедуру, будем иметь
\в{х)\ < |ЛГМ>.-^^^ (7.3.5)
п!
для любого натурального п. Из оценки (7.3.5) в пределе, когда п -^ оо,
получаем, что 9{х) = О, т.е. ^{х) = ^{х).
Таким образом, инт,егральное уравнение Вольт,ерра (7.1.4) при
требовании непрерывност,и его ядра К{х,у) и правой части f{x)
имеет единственное региение для каждого конечного значения па-
рамет,ра Л.

282 Глава 7. Интегральные уравнения
В этом состоит существенное отличие интегральных уравнений
Вольтерра второго рода от уравнений Фредгольма второго рода,
которые, как будет ниже показано, имеют решения не при всех Л, а при
некоторых значениях А решение не единственное.
7.4. Интегральное уравнение Вольтерра
I рода
Предположим, что ядро К(х,у) и правая часть f{x) интегрального
уравнения Вольтерра первого рода
X
/ K{x,y)(piy)dy = f{x)
удовлетворяют условиям:
1) K!j.(x,y) и f'{x) существуют и являются непрерывными
функциями;
2) К{х,х) нигде в нуль не обращается.
Продифференцировав это уравнение по х:
X
К{х,х)(р{х) + / K!,{x,y)ipiy)dy = /'(ж),
а
МЫ получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода
X
ipix) + j К*{х, уЫу) dy = Пх),
где
Ki^^y). .*,„^_ /'(^)
К*{х,у) = ^^-^; Пх) =
К{х,х) ' К{х,х)
Если перечисленные условия не соблюдены, то исследование
интегрального уравнения Вольтерра первого рода, вообще говоря,
затруднительно, но в некоторых частных случаях удается указать
способы решения таких уравнений.

t
7.4- Интегральное уравнение Вольтерра I рода 283
Рассмотрим, например, следующее интегральное уравнение с
непрерывной правой частью f{x)
X
I
4>{y) dy
{х - у)<^
о
= fix), о < а < 1, х>0,
которое называется интегральным уравнением Абеля.
Запишем его в виде:
f'piy)dy ^ ,
J it-у)- ^^*''
О
1
умножим его на г-;— и проинтегрируем по t от нуля до х
(Х — t)^''°^
f dt } ipiy)dy ^ } fit)dt
J ix-ty-'^J it-у)'' J ix-ty-^-
0 0 0
Учитывая, что
/• dt f ifiy) dy _ f f s, f dt
J ix- ty- J (T^ - J ^^^^ "^4 ix- ty-it - y)-
0 0 0 у
и интеграл
X
f 7 п-^^7 ^ = ^^^ = ^(1 - a, a) = Г(1 - а)Г(а)
J ix-ty-<^it-y)<^ sinvra ^ ' ' ^ ' ^ '
равен бета-функции, имеем
j jl^a= j ^iy)dy j ^^_,y%_y^^=^f ^iy)dy,
0 0 у 0
X
sinvra rf f fit)dt
'^^''^'~;rdij ix-ty-<-

284 Глава 7. Интегральные уравнения
или, если функция f{x) непрерывно дифференцируема, то т. к.
J (x-ty-^ J z^-'^
имеем
f fit)dt ^ m ff'{x-z)^_ /(0) f nt)dt
J (ж-«)!-« ж1-« J ^1-" ж1-« J (ж-«)!-«'
О О
dx j {x — t)
0
т.е.
^p{x) =
sinvra
7Г
l-a ^ J (a;_f)l-a
/(0)
в частности, при а = 1/2 будем иметь:
^^^)=^£/
1 d jT fit)dt
\/х -1
7.5. Теоремы Фредгольма
Интегральное уравнение Фредгольма II рода
с выросмсденным ядром
Ядро К{х,у) интегрального уравнения (7.1.3) называется
вырожденным, если оно имеет вид
лг
К{х,у) = Y^Piix)qiiy),
(7.5.1)
г=1
где Рг{х) и Qiiy), X е [а, 6], у € [а, 6] — заданные действительные
непрерывные функции. Без ограничения общности можно считать,
что системы {pi{x)], {qi{y)} линейно независимы. Это означает, что
N
если, например, YL o-iPi{x) =0, Vx € [а, 6], то все Oj = 0.
г=1

1.5. Теоремы Фредгольма 285
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода с
вырожденным ядром
Ь N
Ф) - А / 53^^(^)9^(y)'^(2/)c?J/ = fix). (7.5.2)
Уравнение (7.5.2) можно записать в виде
N
ip{x) = fix) + А J] CiPiix), (7.5.3)
где
6
Ci
= j qiiy)^iy)dy, i = l,...,N (7.5.4)
— неизвестные постоянные.
Внесем выражение (7.5.3) для ip(x) в левую часть (7.5.2). Тогда
получим:
лг
>^^Piix)
г=1
ЛГ Ь
Ci- qiiy)fiy)dy - А J] / Cjqiiy)pj{y) dy
1=1
a. J a
= 0,
откуда в силу линейной независимости системы {piix)} следует, что
ь JV ь
Сг- qiiy)fiy) dy-\^Cj 1 qi{y)pj{y)dy = 0, i = l,...,N
a J=l a
ИЛИ
лг
Сг - A^OyCj =7i, i = l,...,N, (7.5.5)
где
6 6
Oy = / Qiiy)Pjiy) dy, 7i = / fiy)qiiy) dy. (7.5.6)
a a
Таким образом, задача поиска решения ip{x) интегрального
уравнения (7.5.2) (т. е. по сути дела нахождения коэффициентов Cj) сведена
к решению системы линейных алгебраических уравнений (7.5.5).

286 Глава 7. Интегральные уравнения
Соответствующее (7.5.2) однородное уравнение
" N
/Н - Л lY,Pi{x)qi{y)^p\y)dy = О (7.5.7)
i г=1
ТОЧНО так же сводится к соответствующей (7.5.5) однородной
линейной алгебраической системе
N
(7.5.8)
Рассмотрим соответствующую матрицу
М(Л) =
' 1 — Аац —Aai2
—Лаз! 1 — Аазг
\ -Лалг1 -Ааууз
—Лахдг \
1 - Хамы /
Из линейной алгебры известно, что система (7.5.5) всегда (для
любых правых частей 7г) имеет и притом единственное решение, если
detM(A) /0.
(7.5.9)
Но det М(Л) есть полином степени N относительно Л.
Следовательно, условие (7.5.9) будет нарушено лишь для конечного числа
значений Л: Ai, ... , Лот, т ^ N, являющихся нулями полинома det М(Л).
Эти значения называются собственными числами ядра К{х,у).
Таким образом, для любого конечного значения Л, отличного
от \k, к = 1, ... ,771 система (7.5.5) имеет единственное решение
ci, ... , сдг. Подставляя это решение в правую часть (7.5.3), получим
решение (р{х) интегрального уравнения (7.5.2). Тем самым доказана
Первая теорема Фредголъма: если Л не является собст,вен-
ным числом ядра К{х,у), т,о инт,егральное уравнение (7.5.2) для
любой непрерывной правой част,и f{x) имеет и притюм единст,вен-
ное решение.

7.5. Теоремы Фредгольма 287^
Союзное с (7.5.7) интегральное уравнение в силу (7.5.1) имеет
вид
N ^
ф{х) ~XJ2 IрЫяАхШу) dy = 0. (7.5.10)
Уравнение (7.5.10) равносильно союзной с (7.5.8) однородной системе
N
di-\^ajidj = {), (7.5.11)
где
о
di= рАуШу) dy.
l,...,N.
Если Л = Afc, fe = 1, ...,т и ранг матрицы М(А) равен г, то, как
известно из линейной алгебры, однородная система (7.5.8) и союзная с
ней система (7.5.11) имеют по (iV —г) линейно независимых решений
Ci , ... ,Сдг,
d^ S ' = 1'---'^--'
«1» • • • 1 "ДГ1
задаваемых свободными неизвестными. Подставляя полученные
решения систем (7.5.8) и (7.5.11) соответственно в правые части формул
■фl{x)-^\Y.d^^i{x), 1 = 1, ... ,N-г,
получаем по (N — г) линейно независимых решений однородных
интегральных уравнений (7.5.7) и (7.5.10).
Вторая теорема Фредгольма: соответствующее (7.5.2)
однородное инт,егральное уравнение (7.5.7) и союзное с ним однородное
инт,егральное уравнение (7.5.10) имеют ровно по N — г линейно
независимых решений (г - ранг матрицы М{\) при Л = Х^).
Функции ip^{x),l = \, ... , N—r называются собственными
функциями ядра К{х,у), соответствующими собственному числу Х^.

288 Глава 7. Интегральные уравнения
Напомним здесь известную теорему алгебры: для того, чтобы
система (7.5.5) при X — Xk, к = I, ... ,т, т ^ N была совместна,
необходимо и достаточно, чтобы числа jj, j = I, ... ,N, удовлетворяли
условиям
N
5]7i4 = 0' l = h...,N-r, {r,d')^0,., (7.5.13)
i=i
т.е., чтобы вектор-столбец правых частей системы (7.5.5) был
ортогонален ко всем решениям союзной однородной системы (7.5.11).
Условия (7.5.13) в силу (7.5.6) и (7.5.12) равносильны системе
равенств
b дг Ь
Jfix)^i{x)dx = Xj2difqiix)f{x)dx = 0, 1 = 1,... ,N-r.
а ^—^ а
(7.5.14)
Таким образом, имеет место
Третья теорема Фредголъма: при X — Л^, к = 1, ... ,т,
для разрешимости интегрального уравнения (7.5.2) необходимо и
достлт,очно, чт,обы правая его част,ъ f{x) была ортюгональна ко
всем решениям ^i{x), 1 = 1,..., N—r, союзного с (7.5.7) однородного
интегрального уравнения (7.5.10).
7.6. Итерированное ядро и резольвента
Выше было доказано, что при выполнении неравенства
|Л|<^, М ^ j \K{x,y)\dy (7.6.1)
а
последовательные приближения (7.2.3) сходятся к решению <р(ж)
интегрального уравнения
6
ф) -xjK{x,y)ip{y)dy = fix), (7.6.2)
а
причем предполагалось, что функции К{х,у) и f{x) непрерывны.

1.6. Итерированное ядро и резольвента 289
Функции
Ki{x,y) = К{х,у),
ь
Кп{х,у)= K{x,yi)Kn-i{yuy)dyu п = 2,3,
(7.6.3)
называются итерированными (повторными) ядрами.
С использованием этого понятия последовательные
приближения (7.2.3) можно записать в виде
*: п
^г,{х) = f{x) + \ Y.^^-'K^{x,y)f{y)dy. (7.6.4)
Повторяя рассуждение, примененное выше при доказательстве
сходимости последовательности (7.2.3), можем убедиться в том, что ряд
R{x,y;X) = Y,>-'''Kj{x,y) (7.6.5)
i=i
при выполнении условия (7.6.1) сходится равномерно, когда а ^ ж ^ 6,
О- ^ у ^ Ь. Сумма этого ряда называется резолъвент,ой или
разрешающим ядром ядра К(х,у) или интегрального уравнения (7.6.2).
Из равенства (7.6.5) очевидно, что резольвента позволяет записать
решение ip{x) уравнения (7.6.2) в виде
о
<р{х) = fix) + xj R{x, у; X)fiy) dy. (7.6.6)
Заметим, что функция R{x, у; Л) непрерывна относительно
переменных ж, у в квадрате а^х^Ъ, a^y^bvi аналитична
относительно Л для всех, в том числе комплексных, значений Л из круга
|А| < 1/М. Поэтому из формулы (7.6.6) непосредственно следует,
что наряду с /(ж) непрерывным является и решение <р(ж)
уравнения (7.6.2).
10 — 6851

290 Глава 7. Интегральные уравнения
Пример 7.6.1. Построить резольвенту для уравнения
1
у{х) = х + X xty{t)i
„, J dt.
о
Имеем:
Ki{x,t) = K{x,t) ^xt;
1 1
K2{x,t)= jK{x,t')K]{t',t)dt' ^ f xt' t'tdt' = ^;
0 0
1
Кз{х,г)= fKix,t')K2it',t)dt' = ^xt;
0
и так далее. Получаем:
^-' xt
R{x,t;X) = ^X'-'Kjix,t) = ^xt (-] --
Л/3
Последнее равенство получено при условии, что |Л| < 3, однако
окончательное выражение для резольвенты представляет собой
функцию, регулярную во всей комплексной плоскости Л, за исключением
простого полюса в точке Л = 3.
7.7. Интегральное уравнение Фредгольма
второго рода с непрерывным ядром
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода с
непрерывным ядром
Ь
<р{х) - X jК{х,уЫу)йу = f{x). (7.7.1)
а
Соответствующее однородное уравнение имеет вид:
ip\x)-xjKix,y)ip\y)dy = 0. (7.7.2)

7.7. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода 291
Пусть теперь условие (7.6.1) необязательно выполняется.
Поскольку К{х,у) непрерывна в квадрате а ^ ж ^ 6, а ^ у ^ 6, то
для любого наперед заданного е > О можно указать такие линейно
независимые системы непрерывных функций {pi{x)}, а ^ х ^ b и
{Яг{у)}, а^у ^b,i^ 1, ... ,N, что
К{х,у) = J2PiHQiiy) + Keix,y), (7.7.3)
г=1
где Ке{х,у) — непрерывная функция и
\Ке{х,у)\ < -^; х,уе [а,Ь]. (7.7.4)
о — а
В силу теоремы Вейерштрасса такими функциями pi , qi могут быть,
в частности, полиномы.
Перепишем уравнение (7.7.1) с учетом (7.7.3) в виде
о
ipix) -\jKe{x,y)ip{y)dy = Fix), (7.7.5)
a
где
F{x) - fix) + XJ2 Piix)qiiy)<piy) dy. (7.7.6)
Для любого конечного фиксированного значения А подберем число е
так, чтобы
^)
|А| < -. ' (7.7.7)
Таким образом, для интегрального уравнения (7.7.5) в силу (7.7.4)
и (7.7.7) соблюдено условие (7.6.1) и, стало быть, это уравнение
однозначно обращается. Обозначив через Де(а;,у;А) резольвенту ядра
Keix,y), решение уравнения (7.7.5) запишем в виде
о
ф) = Fix) + xf Reix, у; A)F(y) dy. (7.7.8)
10*

292 Глава 7. Интегральные уравнения
Подставляя выражение (7.7.6) для F{x) в правую часть (7.7.8),
получим
(р{х) = f{x) + >^J2 Pii^)^iiyMy) dy + X Re{x, у, \)f{v) dy +
^—^ a a
+ A^ / Rs{x,z;X) ^ / pi{z)qi{y)ip{y)dydz,
откуда
'' N
где
¥>{х) - '^ / XI '^iix)qi{y)'piy) dy = д{х), (7.7.9)
b
g{x) = fix) + A / Щх, у; А)/(г/) dy,
a
b
Гг{х) =pi{x) + X / Re{x, z; X)Piiz) dz
Таким образом, для любого конечного фиксированного
значения А интегральное уравнение (7.7.1) с непрерывным ядром
эквивалентно интегральному уравнению Фредгольма второго рода (7.5.2)
с вырожденным ядром.
Используя доказанные в разделе 7.5 теоремы Фредгольма для
интегрального уравнения с вырожденным ядром, приходим к так
называемой альтернативе Фредгольма.
Альтернатива Фредгольма. Для любого фиксированного
значения X либо соответствующее (7.7.1) од^юродное интегральное
уравнение (7.7.2) не имеет отличного от, нуля решения, и тогда
уравнение (7.7.1) всегда имеет, и притом единственное решение для любой
правой части f{x), либо однородное уравнение (7.7.2) имеет
отличные от, нуля решения, и тогда, как однородное уравнение (7.7.2),
т,ак и союзное с ним уравнение имеют, одинаковое конечное число
линейно независимых реилений; в эт,ом случае уравнение (7.7.1) не
для всех f{x) имеет решение, причем для разрешимост,и
неоднородного уравнения (7.7.1) необходимо и дост,аточно, чтобы его правая
часть f{x) была ортогональна ко всем решениям союзного с (7.7.2)

7.7. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода 293
уравнения, т. е.
Ь
Jf{x)^iix)dx = 0, 1 = 1, ...,N-г,
а
V
где ^i{x), I = 1, ... ,iV — г — все линейно независимые решения
союзного с (7.7.2) однородного уравнения.
Функция, тождественно равная нулю, очевидно, является
решением как однородного уравнения (7.7.2), так и союзного с ним
уравнения. Ниже под решением однородного уравнения будем понимать
отличное от нуля решение.
Значение А, при котором однородное уравне1ше (7.7.2) имеет
решение ip^{x), I = 1, ... ,/9 называется собственным числом ядра
К{х,у), а функции ip^{x) - собственными функциями, соответству-
юш,ими собственному числу А.
Запишем уравнение (7.7.1) в виде
ь
ip{y)-\JK{y,t)ip{t)dt = f{y),
а
умножим обе части на ХК{х,у) и проинтегрируем
6 ь
ф)-\^ 1 K2{x,t)ip{t)dt = h{x), hix) = f{x)+\ j K{x,y)f{y)dy
a a
6
K2{x,t) = j K{x,y)K{y,t)dy.
a
Продолжая этот процесс, будем иметь
6
ip(x) - А"" / Km{x,y)ipiy)dy = frn{x).

294 Глава 7. Интегральные уравнения
где
о
/т{х) = /m-lW + А / K{x,y)fm-liy)dy, fi{x) = f{x).
Таким образом, если А и (р{х) -- собственное число и
соответствующая ему собственная функция ядра К{х,у) (при этом f{x) = 0), то
А"* и ip{x) будут собственным числом и соответствующей ему
собственной функцией итерированного ядра Кт{х,у).
В силу вышесказанного можно заключить, что вся изложенная
теория сохраняет силу и в случае ядер вида
^(^'У) = Т^^' 0<а<по,
\х-у\'^
где К{х,у)- непрерывная функция относительно совокупности
переменных X, у, а По — размерность области D или ее границы S.
В этом легко убедиться, если учесть, что ядро рштегрального уравнения
ф)-Х'^ / Kmix,y)ipiy)dy = f^{x),
D(S)
полученного m-кратным итерированием ядра К{х, у), при
достаточно большом т представляет собой непрерывную функцию х и у.
7.8. Понятие спектра
Множество всех собственных чисел ядра К{х,у) называется
спектром этого ядра.
Ядро К{х,у) называется симметричным, если для всех
значений (ж,у) из области его задания К{х,у) = К{у,х).
Если <pi{x) и <^2(^) - собственные функции, соответствующие
отличным друг от друга собственным числам Aj и Аг симметричного
ядра, то
о
ipi{x)ip2{x) dx = 0.
а
(Здесь (fii 1 (^2-)

1.8. Понятие спектра 295
В самом деле:
6
(Ai - Аг) / (pi{x)(p2{x) dx =
а
Ь Ь
= А1А2 / ipiix)dx / K{x,y)ip2iy)dy-
а а
Ь Ь
- А1А2 / ip2{x)dx I K{x,y)ipi{y)dy =
а а
b Ь
=AiA2 / ipi{x)dx / [К{х,у) - K{y,x)]ip2iy)dy = 0.
а а
Поэтому, так как Ai ^ Аг , то {ipi,ip2) = О, где
6
{(Р1,(Р2)= hpiix)(p2ix)dx
обозначает вещественное скалярное произведение функций ipi{x) и ip2ix).
Отсюда вытекает, что собственные числа действительного
симметричного ядра вещественны.
Действительно, если предположить, что
A = Ai+tA2, (р{х) = (pi{x)+iip2ix),
то А = Ai — JA2 и ^(ж) = ipiix) —iip2{x) также являются собственным
числом и соответствующей ему собственной функцией. Если Аг ф О,
то, как было выше показано,
о о
/ 1р{х)Щх) dx = |<^(ж)р dx = 0.
Поэтому ip{x) = о, а это невозможно в силу определения собственной
функции, поэтому Аг = О, т. е. А — действительное число.

296 Глава 7. Интегральные уравнения
УПРАЖНЕНИЯ
1. Решить методом последовательных приближений уравнеьше Воль-
терра
X
ip{x) =х+ {у- x)ip{y) dy.
о
2. Решить методом последовательных приближений уравнение Фред-
гольма
1
у{х) =х + - ht-x) y(t)dt.
3. Найти собственные значения и собственные функции уравнения
1
/(ж) = А f {t + x)(p'^{t)dt.
-1
4. Найти собственные значения и собственные функции уравнения
27Г
(р°{х) -\ f cos(x - t) if^it) dt = 0.
0
5. Найти собственные значения и собственные функции уравнения
1
ip^ix) - 2А /ехр(ж + t) ip°{t) dt = 0.
о
6. Найти собственные значения и собственные функции уравнения
7Г
ip°{x) - А I sinx ip°{t)dt = 0.

Упраэюнения 297
7. Решить уравнение, используя вырожденность ядра
1
^р{х) — X + ~ I [x + t) ip{t) dt.
-1

ОТВЕТЫ К ОСНОВНЫМ
УПРАЖНЕНИЯМ
Глава 1
1. (i) pq = z;
(ii) pq + sz = 0;
(iii) xp-yq = x-y;
(iv) xp{z - yq) = yp{z -yp)\
(v) p + q = {).
2. (i) F(a;2 + y^ - z'^, xy + z) = 0;
(ii) F(^,^(x2 + y2))=0;
111 F^, +ж^ =0;
(iv) F(n;2 + yz, ж^ + y^) = 0.
4. Общий интеграл: F{y + xz, x"^ + y'^ + z) — 0;
частное решение: x^ + y"^ — xz — у + z — \ = д.
5. ^^(а;3+у^)^ = о9(ж-у)3.
7 i?f^if±^ ж(^ + а)\ ^д
/xjz + a)
Ж + У
(a) 2г^ = 4a{x + y);
(b) x^z"^ + {x^ - ay)z'^ + 2ax'^z + a?x^ - 0.

Ответы к основным упраэюнениям 199 .
8. ж^ + y^ + 2xyz - 2^ + 2 = 0.
10. x'^ + y'^ + z'^ = F{{x'^-y'^)lz'^).
И. (а) x2 + 2/2 + ^2 = ^F((2x2+2/2)/^2);
(b) положить в пункте (а) F ((2a;2 + y'^)lz^^ = с^.
12. 2;2 =: ci + 2ху.
14. 2;2 = c(a;2 + г/2) или z"^ = сху.
15. (i) особое решение:-г = (ж + 1)(у + 1);
(ii) частное решение: (х + у — z^ = Аху.
16. (i) х/(1+ф = -v/аж + v/y + Ь-
17. ^2=^2(2у2_1)
21. (i) о2ж + у - а-г = с;
+ \/ПГа2^ = 2а{ах + у + Ь)\
(ii) azya + cfiz — In
02;
(iii) z = aVl +a;2 + -o2y + 6;
(iv) z = ax+ by + {a + b)~^.
22. ^ = -у(4ж-Зу).
Глава 2
3. z = (pi{x + y) + ip2ix-y) +-х{х~уу.
6. (i) z = a;2y.
7. (i) z = ipi{x + y) + ip2ix - 2y) + -же^+^.
8. (i) z = fi{y - x) + f2{y + 2x) + xMy + 2x)-- sin(a; - 2y);
0
(ii) z = fi (y) + f2{y + x) + - sin(a; + 2y) - - sin(a; - 2y);

300 Ответы к основным упраэюнениям
(ш) z = fi{y-x) + /2{у + Зх) + Му -2х)-— со8(ж + 2у) -
12 '
2 3
(iv) z = fiix-y) + f2{y~2x) + '^-~;
(v) z = My + 2x) + xh{v + 2x) + -хЧу+^^; '
5
(vi) z = /i(2y + 1) + /2(y + 2x) - -xcos{y + 2x);
(vii) z = /i(y-3a;) + /2(y + 22;) + sina;-ycosa; + —8ш(у + 2ж).
9. (i) z = f,{y)+f2{y + 2x)+xf3iy + 2x);
(ii) z = fi{y + x) + xf2iy - x) - sinx;
3
(iii) -г = /i (y - ж) + /2(y - 2ж) + 2жЗу - -x*;
(iv) ^ = /i(y - ж) + ж/2(у -x) + -(ж^ - 2жЗу + 2ж2у2);
(v) ^ = /i (2у - Зх) + х/2{2у - Зх) + ^ж2eЗ^-^^;
(vi) Z = Мх) + /2(у + 2х) + Му + Зх) + уе^;
1
2
(vii) Z = fiiy-x) + ж/2 (у -х)+ х^у -х^ + -х'^ sin(a; - у).
d'^z 1 /9^^ ^2^
11. ^r-rr~ = - ( ^^^ +
д^дт) 4 \^у2 дх"^
14. ^(ж, у)=ж1п'^^^''^^^
+ у1п
у(а; + у)
1+^2 у ^ '^ *" \^ 1 + у2
15. (i) 2(^2 - 7?2)у^^ _ ^У^ ^ ^У^ = О, e = a;^+y^, ?? = ж2-у2;
(ii) Urp,=0, ^ = у - X, т) = у;
(iii) u^„ = О, ^ == у/х, ■п=^у\
(iv) м^^ = О, ^ = у-3х, 1] = у- х/3.
Общее решение: и{х, у) = f{y — Зх) + д{у — х/3).

Ответы к основным упражнениям 301
18. (i) z = e'^My) + e~^f2iy + x) + ^sm{x + 2yy,
(ii) г = е-^1(у-з;) + з;е-^2(у-з;);
(iii) ;гr = /l(y) + eЗ^/2(y + 2x)-^e^+^^;
(iv) г = /l(y-з;)^-e^^/2(y-з;) +
+ — (2 cos(3; + 2y) - 3 sin(3; + 2y));
(v) z = eVi(y + x)+ e^V2(y + a;) + ^(2з; + 3);
(vi) 2Г = e^/i (y - ж) + e^^/2 (y - 2ж) + ж + 2y + 6.
Глава 3
, , ,, ^ nnct . птгз; 2 !. ,, . . птгж ,
1. у(з;, t)= }2 an cos —— sm -p, an = j J f{x) sin —— da;.
n=l
„ , ,, . 27ГЗ; 27rrf
2. у(з;, t) = yo sm —— cos —r—.
„ , . S/c P2> 1 . П7Г nvrci . nnx
3. y(a;, iJ) = ^ L ^ sin -— cos -^- sm •
,2 ^. „2 2 / /
, ^, 8/i/^ ^ 1 . (2n - l)nx (2n - l)7rct
4. y{x, t) = -— 2^ — rr^ sm -^^ —— cos ■
тгЗ ,fi(2n-l)3
/
/
5. y{x, t) =
vol
12С7Г
„ . nx net . Зтгж Зтгс^
9 sm — cos — sm —— cos —-—
CI с li
6- у{х, t) = —- Yl
С7Г4 ^1 (2m - 1)4 ""* /
7. (i) y(a;, iJ) = ах{1 - з;^ - Зc2i^),■
. (2m — l)nct . (2m — Лтгж
sm -^^ r^^ sm -^^ ;—-—.
(ii) y{x, t) = -{1 - cos27r3; cos27rrf).

302
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Ответы к основным упражнениям
«(х, t) = sinx cosci + (е* — l)[xt + х) — xte^.
и(х, t) = < .' /, х\
1 sin (i - f) ,
X < Ct,
X > ct.
и
(x, i) = 10 cos -r- sin —.
16.
17.
18.
19.
г
, , da.bx shbct „ , ,о ,„
«(x, i) = + 2хГ + t^/Q.
be
J I X+Ct
и{х, t) =-[ф + ct) + ф - ct)] + - J v{^)d^ +
^ <- x-ct
1 xo—cto—ct
+ — J fix, t) dxdt.
^^ xo—cio+ci
u{x, t) = k{x'^ + (?t'^ - x^ - Зхс2*2).
г; = Vo sin ipt — pxVLC).
nt
, . . nx
e(x, t) = eo sin -— cos
I IVLC ,
./ Ч . fC nx . nt
ilx, t) = г — eoA/— cos -;-sin—; .
Глава 4
I 4Z °°
1. u{x, t) = 2 X;
2 ;г2 „f 1 (2n - l)^'°' I
I .Л ГСП 400 ^1 (2n - 1)7ГХ -.^a^(2n-l)'«
2. u(x, t) = bO J- 2^ — ttt: cos z~— e 2500
7г^ ,fi(2n-l)2
50
3. «(x, i) = —
7Г
e v2i/"^cos-; e v 21 / " 'cos —-x+
/ 3 21
1 -("бтгчг 2f бтгх
+ -e <- 21 j " f cos —- + • •
5 21

Ответы к основным упражнениям 303^
4. и{х, t) = 3 Y^ sinnvra; ехр(—n^7г^i).
оо
п=1
;2 ,2
6. V{x, t) = Foexp
-^/(n/2a^)з; sin ni — y^(n/2a^)з;
7. Т(з;, 0=2 videos (^) exp(-a^n^7r^i//^),
^ 2 ' , „^ /mrx\ ,
где Л„ = - J (/ж - ж ) cos ( —у— 1 аж.
8. Т{х, t) — —п У] -5-sm-—sin(n7r3;)exp(-n^7r^i).
И. Т(х, о = Д B„sin(^) ехр (^-а2 (^)^i
12. и{х, t) = jGix, ^, t)f{Od^ + JlG{x,^,t-T)^^^^d^dT,
о о
где
G(., 4, О = Е ^««,-л|«-..
п=1
2 ^ MUr)
14. Т(г, О = ;;! Е W^"^P(-"^^-^)
Juf{u)Jo{^mu)du
15. Т(ж, о = ^ - ^ g COS f?!!^') exp(-4a^m^7r^i/г^).
о ТГ-' m=l \ « У
20(г - ж) 24 ^ (-!)"+! .^ ^птгх^
20 24 ^
18. .(., t) = —^— + - Е -^^ sm (—) ехр ^ ^^^, ^,
-n^7r^<
iix, *) = ^ + ^+Е^ (-1)" «i»^ (^) еМ-п'пН/ПС1%
19 nfa: Л-Ч" У^ ^~^^"'., зin^^'"+^^^'"гxD [f~^^"^+^^^^^^f
т=0 L

304 Ответы к основным упражнениям
20. ^x,i)=E(2^rf^si
n=l
sm
(2п-1)та o,oi75(2n-n^7r^t
100
01 I ,, 4 ^ (-1)" . nnx =гпЫ1
21. «(ж, i) = 2^-—^sm e 4
n n=i n 2
Глава 5
1. </?(r, 0) = f/r I 1 H—2 I f^os в + k, где A; — константа.
3200 '^ / r №"-1
2. Цг,0)--^ЕД^о) sin(2n-l)0/(2n-l)='.
3. T(r, в) = (Ao + Bo/r)Poicose) + (Air + Bi/H)Pi(cos0), где
A, =
a-63 '
B.=»l^.-"^^^);
5. u{x, y) = x{x — 5) +
Ш y^ ("ch (^"-^)^(4-i!/) ^ „^ (2n-l)7ri!/\sin[(2n-l)TO/5] „^г(2п-1)47Г|
ra-1 ^ /("■-)
I 200
6. ip{r, 9) = 2A [r\nr — - + — ) sin0, где Л ~- константа.
7. T(M) = ^£ "
7Г „=i 4n2 - 1
(r/g)" - (g/r)"
{Ь/аГ - (а/Ь)"
sinn^.
i. u{x,y,z)= 2^ ^c^^sin sin—— shA^n^r, где
m=l n=l О 0
a 6
Я., . . miTX . nny , ,
f{x, y) sin sm —— dxdy.
0 0
gbcshAg„
n /- \ ^ 0-' . 3 Try , /П7Г \ /П7Г N
9. u{x, y) = y, — sin'' — sec n —-g sh -;-з; .
n=i nn a \ b / \ b /

Ответы к основным упражнениям 305
-(4r^P2(cos0) — 1) внутри шара,
О
1 4
-\—^Р2{со8в) вне шара.
10. и(г, 0) = -j
11. uir,z)= Z{mMU/a)sh{^^^) /enM^n)sh[^)).
Глава б
1
1. G{a;, у) = -—In -) f) ;; -f
Ч у 'f f{x')dx'
2. u(x, y) = ^ / '' '
n J^ {x - х'У + y^'
7+ioo
PCe'^
7—гоо
PZ Ж ^ V" / ,jj sin(sin3;)cos(sinrf)
¥ [7 "^to" ' (2n + l)2
2n + r
sm 1 -^^ , 7Г.
6. u{x,t) = t- (t--)'n(t---)
7. .(M)={f^«- '"-''-'
, где ?7 — функция Хевисайда.
1
t < x/a,
где a
fw
9. u{x, y) =
7Г
7Г X
2 + ^'^'^^^ у
10. У(.,у) = 6 + ^ЕД-^^^)в зе COS —
48 ^ 1
= 6-fiE
ттга; т^тг^е
тг^ m=i 4m'
cos
11 T// ^ 2 2^ (-1)2 chny .
11. У{х,у)--Л--У1, ——\ smna;.
7Г 7Г ji=i n chnyo

^306 Ответы к основным упражнениям
Глава 7
^3 ^5 °° Jik+l
3. Ai,2 = ±—; ¥'1',2 = -a; ± —.
4. Ai = Л2 = —; </?! = —cosa;; </?2 = —sina;.
7Г 7Г 7Г
5. Л = -5—-; ip^ = ce^; с = const.
e-^ — 1
6. ^= -^■1 f^ = csinx; с = const.
/ Ч 3 1

ПРИЛОЖЕНИЕ А
Таблица 1. Комплексное преобразование Фурье
I
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10
— ОС
sm(ax)
X
( e-^ X € (р, д),
1 0, x^(p,q)
1 0, ж < 0
ехр(-рж^), Re(p) > 0
cos{px^)
sin(pa;*)
1
\х\
е-«1^1
v/R
f (a^-x2)-^/^ |х|<а,
1 0, |ж| > а
sin (bia^+xy")
л/а2 + ж2
оо
— оо
\ 0, |s|>a
j gipCi^+j) _ giQ(.i^+s)
\/2ir s
г
\/2tc{uj + s + ic)
exp(-s^/4p)
1 /з"" Л
1 . /S^ 7Г\
—F= sm 1—
v^ V47r 4У
1
J^Mas)
i 0, \.^\>b,
\ ^Jo{aib'-sy^'), \s\<b 1

308 Приложение А
Таблица 2. Косинус-преобразовалие Фурье
№
1.
2.
3.
4.
5.
6.
f{x) =
= y=/o°°/c(s)cos(sx)ds
1 1, X € (0, а),
\ 0, х^(0, а)
е"^
sech (тгж)
ехр(—ж^)
"^{y)
Hi)
/c(s) = у - /o°° /W cos(sx) dx
/T sm(sa)
V f s
/T 1
V 7Г 1 + S2
1
1+S4
exp(—s^)
1
1
V2
COS (0+Sin (|-)
COS (i-)-sin (i-)
Таблица 3. Синус-преобргаование Фурье
№
1.
2.
3.
4.
4.
OO
fix) = vfc / /3(s)sin(sx)ds
0
e"^
жехр(-ж^/2)
x^e""^
cos(ax^)
cos(ax^)
1— °°
fs{s) = J^ J f{x)sin{sx)dx
' 0
/Y 1
V 7Г 1+S^
exp(-sV2)
2"+5p"n!s
7^ h^ 4a S"! Vt^ + Sill L COS ^^]
-1 . /s^ s \
•^■""V^a ' \/2iraJ

Приложение А 309
Продолжение таб. 3
№
5.
6.
ехр(—а-у/ж)
v/ж
1 0, х€{0, а),
/— °*^ '
/Д*) = Vf / /(a;)sin{sx)dx
* 0
—р (cos (v^as) — sin [y/ias))
V*
J1 Jo (as)
Таблица 4. Ряд Фурье по косинусам
№
/(^)=f/c{0) + f E/C{«)C0S2^
/c(n) = / /(ж) COS dx
a, n = 0,
0, n = 1,2,3,..
1, 0 < ж < a/2,
-1, a/2 < ж < a
0, n = 0,
l^sin^, n = l,2,3,...
2 '
n = 0,
(^)'((-ir-lX « = 1,2,3,.
2a3
n = 0,
{-1Г, n= 1,2,3,...
5.
(-1У
3'
2a
n = 0,
, n= 1,2,3, ...

31 о Приложение А
Таблица 5. Ряд Фурье по синусам
№
/(ж) = - Е Л И sin
а „=1 а
fs (и) = / /(ж) sin —^ dx
о
о
u^^^i-^r^')
2.
тгп
1-^
а
тт
4.
ж, О :^ ж:^ |,
а — ж, |:^ж^а
2а . 7ГП
тг^п^ 2
а«(-1)"-' 2а-^(1-(-!)")
(-1)
7.
х{а^ - ж^)
(-1)
п+1
ба"
Таблица 6. Преобразование Ханкеля
№
1.
2.
3.
/(^) = /о°° sf{s)J„{sx) dx
J ж", 0 < ж < а,
1 0, X > а
J 1, 0 <ж <а,
1 0, ж > а
J а^ - ж^, 0 < ж < а,
1 0, ж > а
п > -1
п = 0
п = 0
f{s) = J^xf{x)Jn{sx)ds
J„+i(as)
- Ji(as)
s
4a 2o ,
-^Ji(as) — Jo(sa)

Приложение А 311))
Продолжение таб. 6
Hi
L
5.
6.
7.
8.
9.
0.
1.
2.
3.
f{x) = J^3f{3)M3x)dx
х"ехр{—рх^)
g-px
g-px
g-px
X
g-px
a{a''-x')~'
sin ax
X
sin ax
X
sin ax
x^
n> -1
n = 0
n = 0
n = 0
n = 0
n = 0
n = 0
n = 0
n=l
n = 0
/(«) = ir xf{x)Jn{sx) ds
f~s'\
(2p)n+^ '^P (, 4p J
1
<

ПРИЛОЖЕНИЕ В
Численное обращение преобразования Лапласа
Обратное преобразование Лапласа определяется формулой:
С+гоо
/W = ^ / /(р)^*'^?'' (в-1)
C—ico
где С — произвольное вещественное число, выбранное таким
образом, что все особые точки функции f{p) лежат левее прямой Re z = С.
Положив р — С + iy, получим
oCt
fi*) = ^ J f{C + iy)e^'ydy. (В-2)
Раскладывая функцию h{t) = f{t)e ^^ в ряд Фурье на отрезке [О, 2Z],
приходим к приближенному соотношению
fit) = fooit) + Ed, (В-3)
где
fooit) = -f + ^Ck, 0^t^2l, (В-4)
A:=l
Ск = exp{Ct/l) Re {exp{ik'!rt/l)f{C + ikir/l)} , (B-5)
a Ed — ошибка дискретизации, которую можно сделать сколь
угодно малой, выбрав С достаточно большим.
В общей ситуации вычислить сумму ряда (В-4) довольно
трудно. Поэтому, заменяя ряд на его N-ую частичную сумму, находим
приближенное значение f{t)
С ^
fNit) = ^ + TCk, 0^t^2l. (В-6)
^ А=1

Приложение В 313j)
Используя эту формулу для численной аппроксимации f{t), мы
вводим ошибку усечения Ет, которую необходимо добавить к
предыдущей для вычисления общей ошибки приближения. Чтобы
уменьшить ошибку Ed, применяется так называемый «метод
корректировки». Кроме того, для ускорения сходимости, используют е-алго-
ритм, уменьшающий ошибку усечения.
Если воспользоваться формулой метода корректировки
fit) = fooit) - exp{-2Cl)f^{2l + t) + E'a, (B-7)
где \E'ij\ <C \Ed\, to приближенное значение функции f{t) будет
выглядеть следующим образом:
М {t) =fN- exp{-2Cl)fN'{2l + t), (В-8)
где N' — целое число, удовлетворяющее неравенству N' < N.
Теперь опишем е-алгоритм, применяемый для ускорения
сходимости ряда в (В-6). Пусть N -— нечетное натуральное число, а
т
Sm = Х^ Cfc — последовательность частичных сумм ряда из фор-
мулы (В-6). Определим е-последовательность как
£0,т ~ и, в1,т — ^т
И
era+l,m = era-l,m+l Н [;]^ , П, Ш = 1, 2, 3, . . .
Можно показать, что последовательность ei,i,e3,ii •••) ега.ь •••
стремится к f {t) + Ed — Сч/2 быстрее, чем последовательность
частичных сумм {sm}- Таким образом, процедура обращения
преобразования Лапласа состоит в совместном использовании формулы (В-8)
и е-алгоритма.

ЛИТЕРАТУРА
[1] Ahlfors, L. v., Complex Analysis (2nd edition), McGraw-Hill Koga
Kusa Ltd., Tokyo, Japan, 1996.
[2] Bell, W. W., Special Functions for Scientists and Engineers, Van
Nostrand, London, 1968.
[3] Carslaw, H. and Jaeger, J., Condition of heat in solids, Oxford
University Press, Fairlawn, N. J., 1950.
[4] Chester, C. R., Techniques in Partial differential equations, McGraw-
Hill, New York, 1971.
[5] Churchill, R. V., Fourier series and boundary value problems (2nd
edition), McGraw-Hill, New York, 1963.
[6] Churchill, R. v., Operational Mathematics, New York, McGraw-
Hill Book Company, 1958.
[7] Churchill, R. V., Complex variables and applications, New York,
McGraw-Hill Book Company, 1960.
[8] Copson, E. Т., Partial differential equations, S. Chand & Company,
New Delhi, 1976.
[9] Dettman, J. W., Applied Complex variables, New York, The Macmil-
lan Company, 1966.
[10] Dennemeyer, R., Introduction to Partial differential equations,
McGraw-Hill, New York, 1968.
[11] Duchaleau, Paul and Zachmann, D. W., Partial differential
equations (Schaum's outline series in Mathematics), McGraw-Hill, New
York, 1986.
[12] Duff, G.F.D. and Naylor, D., Differential equations of Applied
Mathematics, Wiley, New York, 1966.
[13] Garabedian, P., Partial differential equations, Wiley, New York, 1964.

Литература 315
[14] Gelfand, I. and Shilov, G., Generalized functions, Vol-1, Academic
Press, New York, 1964.
[15] Greenberg, M., Applications of Green's functions in Science and
Engineering, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1971.
[16] Gustafson, K. E., Introduction to partial differential equations and
Hilbert space Methods, Wiley, New York, 1987.
[17] Graff, K. F., Wave motion in elastic solids, Dover Publications Inc.,
New York, 1991.
[18] Hildebrand, F. В., Advanced calculus for applications, Prentice-
Hall, Englewood Cliffs, N. J, 1963.
[19] Harper, C, Introduction to Mathematical Physics, Prentice Hall
India, New Delhi, 1987.
[20] Jdm,F., Partial differential equations, Springer-Verlag, New York, 1971.
[21] Jaeger, J. C, An Introduction to Applied Mathematics, Oxford,
The Claredon Press, 1956.
[22] Kyrola, A., Applied functions of a complex variables, Wiley-Inter
Science, New York, 1972.
[23] Kreyszig, E., Advaced Engineering Mathematics, John Wiley &
Sons, Inc., New York, 1962.
[24] Myint, U. Т., Partial differential equations of Mathematical Physics,
American Elsevier Publishing Company, Inc., 1973.
[25] Machie, A. G., Boundary value Problems, Oliver and Boyd,
London, 1965.
[26] Pipes, L. A., and Harvill, L., Applied Mathematics for Engineers
aad Physicists, New York, McGraw-Hill Book Company, 1970.
[27] Rax), K. S., Introduction to partial differential equations, Prentice-
Hall India, New Delhi, 1995.
[28] Scarborugh, J., Differential Equations and Applications,
Baltimore, Waverly Press Inc., 1965.
[29] Sharma J. N., State space approach to generalized thermoelastic
problems, Indian J. Pure Appl. Math. Vol. 26, pp. 1211-1223, 1995.

316 Литература
[30] Silverman!!, R. A., CoDaplex A!!alysis with Applicatioi!S, Pre!!tice-
Hall l!!c., E!!glewwod Cliffs, N. J., 1974.
[31] Sim!no!!s, G. F., Differe!!tial equatio!!s with Applicatio!!S a!!d
Historical Notes, McGraw-Hill Book Со!пра!!у, New York, 1972.
[32] S!!eddo!!, Ian., Fourier Series, New York, Dover Publications Inc., 1961.
[33] Sneddon, Ian., The use of Integral TransforDas, Tata McGraw-Hill,
New Delhi, 1974.
[34] Sneddon, Ian., Fourier TransforDOS, McGraw-Hill Book Сонарапу,
New York, 1951. (Имеется русский перевод: Снеддон И.
Преобразования Фурье. М: ИЛ, 1955.)
[35] Sneddon, Ian., Elements of Partial Differential Equations,
International edition, McGraw-Hill, Singapore, 1986.
[36] Stackgold, IVAR, Boimdary value problems of Mathematical Physics,
Vol-I, Macmillan, New York, 1968.
[37] Тихонов A. H., Самарский A. A. Уравнения математической
физики. — М.: Наука. 1999.
[38] Weinberg, Н. F., А First Course in Partial Differential Equations,
Blaisdell Publishing Co., New York, 1965.
[39] Whittaker, E. T. and Watson, G. N., Modem Analysis, The Macmil-
lai! Company, New York, 1947.
[40] Watson, G. N., A Treatise on Bessel Functions, Cambridge
University Press, 1954.
Литература, добавленная при переводе
[41] Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. — М.:
Наука. 1982.
[42] Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной
переменной. — М.: Наука. 1974.
[43] Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — М.: Гос.
издательство физ.-матем. литературы. 1958.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
альтернатива Фредгольма, 292
задача Дирихле, 177
краевая вторая, 177
первая, 177
смешанная, 177
с начальными
условиями, 140
третья, 177
Неймана, 177
Черчилля, 177
изображение, 219
электростатическое, 258
интеграл общий, 31
особый, 32
полный, 31
промежуточный, 98
частный, 31
конус Монжа, 48
элементарный, 48
лапласиан, 174
напряженность
поля тяготения, 173
оператор Лапласа, 174
вполне приводимый, 64
неприводимый, 64
приводимый, 64
самосопряженный, 85
сопряженный, 85
оригинал, 219
порядок уравнения, 10
потенциал, 174
преобразование Лапласа, 219
интегральное, 218
принцип взаимности, 258
обращения первый, 221
резольвента, 289
решение фундаментальное, 251
частное, 63
скобка Майера, 27
собственное число ядра, 286
собственные значения, 125
колебания, 120
функции, 124, 125, 287
ядра, 293
частоты, 120
числа ядра, 286, 293
спектр, 124, 294
уравнение Бюргерса, 9
Вольтерра
второго рода, 277
Гельмгольца, 125, 196
Лапласа, 9, 175
Пуассона, 175
уравнение волновое, 9
вполне приводимое, 65
интегральное Абеля, 283
однородное, 276

318 Предметный указатель
неприводимое, 65
приводимое, 65
союзное, 276
теплопроводности, 9, 138
уравнения вспомогательные, 14
Монжа, 98
совместные, 25
условие Дирихле, 125
Неймана, 125, 140
Робина, 125, 140
граничное
изолирующее, 140
однородное, 140, 141
формула Даламбера, 114
Римана Вольтера, 117
функции Ханкеля, 197
функция Грина, 251
Римана, 90
Хевисайда, 220
волновая, 108
гармоническая, 176
дополняющая, 63
импульса, 131
источника, 251
силы, 131
точечного источника, 251
характеристическая полоса, 48
элемент интегральный, 47
плоский, 47
ядро Пуассона, 189
интегрального
преобразования, 218
разрешающее, 289
симметричное, 294