Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. - Уэйт А.Э., Митчелл Э.

Автор: Уэйт А.Э. Митчелл Э.
Теги: математика прикладная математика
Год: 1981
Похожие
Применение метода конечных элементов
Метод конечных элементов в технике
Метод конечных элементов. Основы.
Применение метода конечных элементов
Текст
                    МЕТОД КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ

THE FINITE
ELEMENT METHOD IN
PARTIAL DIFFERENTIAL
EQUATIONS
A. R. MITCHELL
Department of Mathematics, University of
Dundee
and
R. WAIT
Department of Computational aud StatistI*
cal Science,
University of Liverpool
A Wiley — Intersclence Publication
JOHN WILEY & SONS
Chlcheeter • New York ¦ Brisbane ¦ Toronto

Э. Митчелл
Р. Уэйт
МЕТОД КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ
Перевод с английского
В. Е. КОНДРАШОВА и В. Ф. КУРЯКИНА
под редакцией
Н. Н. ЯНЕНКО
Издательство «Мир» Москва 1981

УДК 519*
№67
Предлагаемая книга посвящена методу конеч-
конечных элементов и отличается от других книг по
этой тематике простотой и компактностью изло-
изложения, широтой охвата материала и методично-
методичностью изложения. В книге даются анализ различных
вариантов метода и многочисленные примеры его
применения к конкретным задачам. Приведено
свыше ста упражнений различной степени труд-
трудности.
Книга полезна для специалистов, применяю-
применяющих метод конечных элементов на практике, и
студентов, специализирующихся в области при-
прикладной математики.
Редакция литературы по математическим наукам
1702070000
„ 20204-027 © 1977 by John Wiley and Sons, Inc. All Rights
oTUOlT-81 Reserved. Authorized translation from Engltech
language edition publisched by John Wiley and
Sons, Inc.
© Перевод на русский язык, «Мир», 1981

ПРЕДИСЛОВИЕ
РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Метод конечных элементов, который начал интенсивно раз-
разрабатываться с середины 60-х годов, стал теперь достаточно
эффективным способом численного решения целого ряда задач
для уравнений в частных производных, в особенности для
эллиптических нестационарных уравнений. Он очень удобен
для программирования и позволяет учитывать дополнитель-
дополнительную информацию о решаемой задаче в тех случаях, когда
удается получить теоретическое обоснование его примени-
применимости.
Многое еще предстоит сделать для совершенствования это-
этого метода и расширения сферы его применения — прежде все-
всего к нестационарным нелинейным задачам, для которых ко-
конечно-разностный метод остается пока основным способом
получения численных решений. Но достигнутые уже сейчас
уровень теоретической обоснованности и широта практических
приложений метода конечных элементов делают весьма же-
желательным обучение будущих специалистов по прикладной
математике основам этого метода.
В нашей стране уже вышло немало книг, посвященных ме-
методу конечных элементов, в том числе и переводы трудов ве-
ведущих зарубежных ученых, но все это либо монографии для
специалистов, либо учебные пособия для инженеров. Авторы
настоящей книги предприняли одну из первых и, как нам ка^
жется, весьма успешную попытку создать учебное руковод-
руководство для студентов, обучающихся прикладной математике, и
практических работников вычислительных центров, не знако-
знакомых еще с этим методом.
Прочитав книгу и, в особенности, решив хотя бы часть
приведенных в ней задач, читатель приобретет определенные
навыки проведения подготовительной работы, необходимой
при решении конкретных задач методом конечных элементов,

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
а также получит достаточно ясное представление о теоретиче-
теоретических основах метода. Немало интересного найдут в книге и
специалисты — большой набор базисных функций, сравни-
сравнительный анализ различных вариантов метода конечных эле-
элементов; большое внимание авторы уделяют применению мето-
метода для решения нестационарных задач.
Книга написана просто и ясно, на хорошем математическом
уровне. В ней достаточно полно отражено то большое влия-
влияние, которое оказали на обоснование и развитие метода ко-
конечных элементов работы советских математиков. Дополни-
Дополнительная библиография поможет читателю получить об этом
более детальное представление, а также лучше понять роль
и место метода конечных элементов в прикладной математике.
При переводе были исправлены замеченные опечатки и
мелкие погрешности, в библиографии некоторые зарубежные
работы снабжены ссылками на их русские переводы, а пере-
переводы советских работ заменены оригиналами.
Н. Н. Яненко
20 апреля 1979 г.

Энн и Фионе
ПРЕДИСЛОВИЕ
Можно считать общепризнанным, что метод конечных эле-
элементов является эффективным способом численного решения
дифференциальных уравнений с частными производными. Это
в особенности верно для эллиптических уравнений, где сразу
проявились его преимущества по сравнению с конечно-разно-
конечно-разностным методом. Метод конечных элементов служит хорошим
примером весьма трудной темы, развитие которой стало воз-
возможным только благодаря тесному сотрудничеству между ин-
инженерами, математиками и специалистами по численному
анализу. Принимая во внимание широту интересов его при-
приверженцев, нетрудно понять, почему по методу конечных
элементов не написано книги, которая отражала бы должным
образом все возрастающий поток публикаций, ему посвящен-
посвященных. Целью нашей книги было заполнить пробел между хо-
хорошо известными работами Зенкевича A976) и Стренга и
Фикса A977), в которых соответственно нашли отражение
запросы инженеров и математиков. В старинном споре о срав-
сравнительных преимуществах методов конечных разностей и ко-
конечных элементов мы не становимся ни на одну сторону —
нас вполне удовлетворяет, что есть два таких мощных метода
численного решения дифференциальных уравнений с частными
производными.
Большая часть книги доступна студентам соответствующих
математических и инженерных специальностей. Для ее пони-
понимания не требуется специальных математических знаний, вы-
выходящих за рамки обычных курсов линейной алгебры и ана-
анализа. Исключением является гл. 5, которую при первом чте-
чтении можно опустить. Гильбертово пространство и понятия из
функционального анализа используются на протяжении всей
книги главным образом для унификации изложения материа-
материала. Но мы предполагаем, что у читателя есть определенные
навыки практической работы с дифференциальными уравне-
уравнениями в частных производных—только в этом случае наша
книга будет для него действительно полезной. Так как отправ-
отправной точкой для нас чаще являются не уравнения с частными
производными, а тот илн иной вариационный принцип, то в
книгу включена глава о вариационных принципах с леталь-
летальными ссылками на более подробные руководства.

Мы надеемся, что книга окажется полезной и для специа-
специалистов, применяющих метод конечных элементов на практике.
С учетом их интересов метод конечных элементов излагается
в самых различных вариантах (а именно: в форме Ритца, Га-
леркина, наименьших квадратов, коллокации), а в гл. 4 при-
приводится большой набор возможных базисных функций, кото-
которые могут быть использованы в каждом из этих вариантов.
Чтобы сбалансировать включение такого большого по объему
практического материала, мы полностью опустили задачи на
собственные значения. Некоторым оправданием этого шага
служит то, что задачи на собственные значения в близкой нам
трактовке подробно изложены в гл. 6 книги Стренга и Фикса
A977).
Библиография была ограничена только теми работами, на
которые в книге делаются ссылки по существу. Более полная
библиография по методу конечных элементов имеется в книге
Уайтмена A975). Учитывая возможный интерес читателя, мы
включили в наш список литературы последние монографии и
труды конференций, посвященные главным образом методу
конечных элементов (см. Зенкевич A975), Азиз A972), Оден
A976), Стренг и Фикс A977), Грам A973), Ланкастер A973,
1976), Миллер A973, 1975), Уайтмен A973, 1976), Уотсон
A974, 1976), де Бур A974), Оден, Зенкевич, Галлагер и
Тейлор A974), Прентер A975), Хаббард A971)).
Большая часть материала этой книги излагалась в виде
лекций для аспирантов и студентов математических специаль-
специальностей в университетах Данди и Ливерпуля. Кроме того, пер-
первый автор по приглашению Института атомной энергии читал
лекции по материалу гл. 2 и 4 в Институте высших исследова-
исследований НАТО в Кьелере (Норвегия) в 1973 г., а второй — лекции
по материалу гл. 3, 5 и 6 в 1973 г. во время своего пребыва-
пребывания в Техническом университете Дании.
Мы весьма признательны нашим коллегам и бывшим сту-
студентам за те полезные обсуждения, которые проводились в
процессе подготовки этой книги. Мы особенно благодарны
Бобу Барнхиллу, Лотару Коллатцу, Дэвиду Гриффитсу, Дир-
ку Лаури, Джеку Ламберту, Петеру Ланкастеру, Робину Мак-
леоду, Гилу Стренгу, Юджину Уачспрессу, Джиму Уатту и
Олеку Зенкевичу. И, наконец, мы благодарны Роз Даджон и
Дорин Мэнли, которые с большой тщательностью перепеча-
тали рукопись.

ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Аппроксимация кусочно-полиномиальными функциями "
Рассмотрим вначале задачу об аппроксимации веществен-
вещественной функции f(x) на конечном интервале оси х. Один из про-
простых способов решения этой задачи состоит в разбиении ин-
интервала на некоторое число неперекрывающихся подынтерва-
подынтервалов и линейной интерполяции по значениям функции f(x)
в граничных точках подынтервалов (см. рис. 1(а)). Если
имеется я подынтервалов [xt, X{+i] (i = 0,l,2,...,n — 1), то
кусочно-линейная аппроксимирующая функция зависит толь-
только от значений функции //(=/(x,)) в узловых точках xi (i =
= 0, 1,2,... ,п). В тех задачах, где f (x) задается неявно урав-
уравнением (дифференциальным, интегральным, функциональным
и т.д.), значения /( являются неизвестными параметрами за-
задачи. В задаче интерполяции значения /(- известны заранее.
На подынтервале [xi, Xi+i] соответствующая часть аппрок-
аппроксимирующей функции описывается формулой
p\iHx) = ai(x)fl + ^?+l(x)fl+l (xt^x^xi+i), A.1)
где
Следовательно, кусочная аппроксимирующая функция на ин-
интервале х0 ^ х sg: х„ задается формулой
где
t
о
о
х — х
-1
Xi
A.3)
xZx
xt+l xt

10
Гл. 1. Введение
х - хп-1
1-1 <*<*»)
являются пирамидальными функциями, изображенными на
рис. 1(Ь). Пирамидальные функции, заданные формулами
A.3), представляют простейший тип базисных функций. От-
Отметим, в частности, что базисные функции ф,(х) (t = 1, 2, ..,
их)
-а- Я
a
Рис. 1 (a).
\ *M
X. X. .
t i-1
Рис. 1 (b) .

1,1. Аппроксимация кусочно полиномиальными функциями 11
..., я— 1) равны нулю вне интервала [xt-i, xt+i] или, как
говорят, имеют локальный носитель. В этой книге будут стро-
строиться базисные функции различной степени сложности, одна-
однако всегда с локальными носителями. Основным свойством
большинства базисных функций является то, что они равны
единице в некоторой узловой точке и равны нулю в большин-
большинстве других узловых точек.
Вообще говоря, первые производные кусочно-полиноми-
кусочно-полиномиальной аппроксимирующей функции pi(x), заданной форму-
формулой A.2), отличаются от первой производной f(x) даже в
узлах. Теперь попытаемся построить кусочную аппроксими-
аппроксимирующую функцию, которая совпадала бы вместе с первой
производной с }(х) в узловых точках хг (?=0, 1, 2, ..., л).
Другими словами, мы должны построить кусочно-кубический
полином рг{х), такой, что
Dkf(xl) = Dkp3(xt) (ft = 0, 1; i = 0, 1, 2 n),
где D = d/dx. На подынтервале [xi, xi+i\ соответствующая
часть кубического аппроксимирующего полинома задается
формулой
р<» (х) = а{ (х) f? + Рж (*) /<+1 + Y| (х)![ + bi+l (x) f'w, A.4)
где
Я М
\xi+i xi)
М. A.5)
\xt+l xt)
(i = 0 1, 2, ..., n — 1) и штрих означает дифференцирование
по х. Кусочная аппроксимирующая функция на интервале
х0 ^ х ^ хп задается формулой
р3 w=|0 [4f w и+<pf]) w fa. (»-в)
где кубические полиномы q>fHx), y[l)(x) (t = 0, 1, 2, ..., n)
легко получаются из A.5). Базисные функции ф(г0)(^) и ф^(*)
(t == 1, 2,,,,, « — 1) изображены на рис. 2.

12 Гл. 1. Введение
Базисные функции в выражениях A.2) и A.6) появляются
при рассмотрении частных случаев кусочной эрмитовой ин-
интерполяции (или аппроксимации) для заданного разбиения
интервала. Пусть теперь в общем случае П: a=xo<lxi<l...
... < хп = Ь есть произвольное разбиение интервала R =
= [a,b] на оси х. Для целого положительного m и разбиения
интервала П обозначим через Н = #(т>(П, R) множество всех
действительных кусочно-полиномиальных функций w(x), опре-
определенных на R, так, что w(x) e Cm-{(R) и ш(*) есть полином
степени 2пг—-1 на каждом подынтервале [дг,-, лсг+i] интерва-
интервала R. Для любой заданной действительной функции f(x) e
е Cm~l(R) кусочная эрмитова интерполяция однозначно опре-
определяется как такой элемент p2m-i (х) e Я, для которого
f@<6<ml)
Z)ft/ (xt) = Z)V2m_i (*,) { @ < {<n) A.7)
Частные случаи при m = 1, 2 уже были рассмотрены выше и
привели к базисным функциям, входящим в выражения A.2)
и A.6) соответственно. Оценки ошибок для кусочных эрмито-
эрмитовых приближений приводятся в работе Биркгофа, Шульца и
Варги A968).
В задачах, где требуется определить только f(x), часто
бывает нежелательно вводить в качестве дополнительных па-
параметров производные f(x) и тем самым заметно увеличивать
порядок системы уравнений, которая должна решаться. По-
Поэтому весьма желательным свойством кусочных функций
является непрерывность производных в точках сшивки поли-
полиномов без введения значений производных в качестве дополни-
дополнительных неизвестных параметров. Простейшим примером та-
такого подхода представляется' подбор на каждом подынтервале
[Xi, Xi+]\ (i = 0, 1, 2, ..., п — 1) такой параболы, чтобы пер-
первые производные были непрерывны в каждой внутренней уз-
узловой точке xt (i—\, 2 п— 1). Удобную форму такой

1,1. Аппроксимация кусочно полиномиальными функциями 13
кусочной аппроксимации представляет квадратичный сплайн
S»)(д>-ft + !ш=±.{х -Х() + Ci{x-Х(){х-Хш) A.8)
(/ = 0, 1, 2 п-\),
где из непрерывности первых производных следует, что
с,+ с,_, = р-(/,+1-2/,+ /,_!) (/=1,2, .... л-1), A.9)
а разбиение интервала предполагается равномерным с ша-
шагом h. Система A.9) представляет собой п— 1 линейных со-
соотношений относительно неизвестных коэффициентов a (i =
= 0, 1, 2, ..., п — 1), и поэтому в случае квадратичных сплай-
сплайнов остается свободным один коэффициент. Поскольку
S<g)"{x) = 2cl (/==0, 1, 2, ..., п—1), знание второй произ-
производной в любой точке полностью решает задачу.
Наибольшее признание получил кубический сплайн '), для
которого при заданных значениях /,¦ (i = 0, 1, 2, ..., п) на
каждом подынтервале подбираются кубические полиномы, та-
такие, чтобы первая и вторая производные были непрерывны
во всех внутренних узловых точках. Если S%)(x)(i = 0,1,2...
..., п—1) есть искомый кубический сплайи, то функция
S%r (х) должна быть линейной на [xi, JCi+iJ, и поэтому
xt+i xt xt+\
». 2. •••» п-
где ci, Ci+i являются значениями вторых производных в точ-
точках Xi, Xi+\ соответственно. Это обеспечивает непрерывность
вторых производных во внутренних узловых точках. Исполь-
Используя дополнительные условия
=1, 2 п-
') При Л-»-0 кубический сплайи равномерно сходится к аппроксими-
аппроксимируемой функции при условии достаточной ее гладкости. Квадратичные
сплайны таким свойством не обладают. Если, например, на левом конце
интервала задать вторую производную, то по мере приближения к пра-
правому концу эти сплайны начинают осциллировать, тем сильнее, чем мень-
меньше Л. — Прим. перев.

14 Гл. 1. Введение
получим кубический сплайн в виде
= 0, 1, 2, .... п-1),
где сетка предполагается равномерной, а п + 1 коэффициен-
коэффициентов с,- [i = 0, 1, 2, ..., п) удовлетворяют системе п—1 ли-
линейных соотношений
cl+1 + 4ct + ct_1 = jr(fi+l-2ft + fi_l) (/=1,2, ..., п-1).
A.11)
Два свободных параметра в случае кубического сплайна ча-
часто исключают, полагая со = сп = 0, и поэтому другие пара-
параметры однозначно определяются из A.11).
Более естественным представлением кубического сплайна
при равномерном разбиении интервала /= [О, Ь] является
выражение
(т-01- <1ла>
где
Нетрудно показать, что функция Si(x/h) и все ее производ-
производные, кроме третьей, непрерывны во всех внутренних узловых
точках xi (i = 1, 2, ..., я — 1) при всех значениях п + 3 ко-
коэффициентов <%о, а,, 0С2, аз, ps (s = 1, 2, .,., п — 1), Условие
^ 0-0. 1.2, .... п), A.13)
дает п -f- 1 линейных соотношений для « + 3 коэффициентов,
и поэтому остаются два свободных параметра. Система линей-
линейных уравнений сводится к виду, приведенному в упражне-
упражнении 4, Если кубический сплайн A.12) вместе с двумя свобод-

t,1. Аппроксимация кусочно полиномиальными функциями 15
нымн параметрами теперь представить в виде
<U4>
)
1-0
где Ci(x,/h)=l, Ct(xt/h) = 0{]4ki), (i, j = 0, 1, 2, .... n),
то получается, что основные сплайны Ct(x/h) не имеют ло-
локального носителя и не являются удобными для практики
базисными функциями.
Кубические сплайны с локальным носителем длины 4Л
были предложены Шёнбергом A969) как удобные базисные
функции. Для узловых точек х = ih (i = 2, 3, ..., п — 2) они
имеют вид
Эти функции и две их первые производные равны нулю при
—оо < x/h ^i — 2 и / + 2 ^ x/h < +oo. Кроме того,
B,(/-l) = Bi(*+l) = -j' в'<0=1 (^ = 2,3 «-2).
Остальные функции B0(x/h), Bi(x/h), Bn~\(x/h), Bn(x/h) тре-
требуют специального рассмотрения. Полагая
и сопоставляя правые части A.14) и A.16), мы получим трех-
диагональную систему линейных уравнений для определения
коэффициентов y« ('= 0, 1, 2, ..., п), входящих в A.16).
Большинство уравнений этой системы имеет вид
Y*+7(V*+i+Y*-i) = /* (/ = 2,3, .... п-2).
Двумерная аппроксимация
Теперь рассмотрим задачу об аппроксимации действитель-
действительной функции кусочными непрерывными функциями на огра-
ограниченной области R с границей 6R. Область разбивается на
некоторое число элементов. В этом разделе рассматриваются
области, имеющие вид прямоугольника или многоугольника.
1) Прямоугольная область. Стороны такой области парал-
параллельны осям х и у, я она разбивается на такие же прямоуголь-

16
Гл. 1. Введение
в
/и
j
и
0
/-1
Рис. 3.
Н
т
иые элементы прямыми линиями, параллельными осям. Пусть
[хо, хт]X [уо, Уп] есть прямоугольная область и [xi,xi+l]X
X [yi, Ум] есть типичный прямоугольный элемент, где xi+i —
— Xt = h\ и yi+i—yj=h2 @< i < m— 1, 0</ ^ п— 1) (см.
рис. 3). Билинейная форма, приближающая функцию f(x,y)
на прямоугольном элементе, имеет вид
р\1-" (х, у) = а{ i (х, у) flt i + Pi+1>, (х, у) ft+h / +
t+\ + bi+\.l+\(x, y)fi+ui+u (Ы7)
<*<. / (x, y) =
- x
Pi+i.
Vi,
, y) =
- x) (gf -
77 x - x<) (I/ - yt)
@ < i < m — 1; 0 < / < « — 1). Кусочная аппроксимирую-
аппроксимирующая функция в области [х0, хт] X [уо, уп] задается выраже-
выражением
m n
Pi (х, У) — Ео Е Ф*. / (х, у) ft. /. A.18)
Базисные функции у{, /{х, у) A < i < m — 1; 1 < / ^ п — 1)
обращаются в нуль всюду, за исключением прямоугольной об-
области \xi-\,Xi+i]X[yi-uyi+i], и поэтому имеют локальный
носитель (см. упражнение 6 и рис. 3).

1,1. Аппроксимация кусочно полиномиальными функциями i7
Рис. 4.
Только что рассмотренный случай является простейшим
примером кусочной двумерной эрмитовой интерполяции (или
аппроксимации) на прямоугольной области, разбитой на пря-
прямоугольные элементы. В общем случае для любого целого
положительного числа / и любого разбиения прямоугольника
R на прямоугольные элементы обозначим через Я = #<'> (R)
совокупность всех действительных кусочных полиномов
g(x,y), определенных на R, так, что g(x,y)&C'-1-'-l(R) и
g(x, у) есть полином степени 21 — 1 по каждому переменному
х и у на каждом прямоугольном элементе [ж«, *i+i]X(#/»#/+i]
(О^г^/и — 1; 0^/^л — 1) области R. Для любой за-
заданной действительной функции f^jJeCH'-1^) суще-
существует единственный кусочный эрмитов интерполянт
ри-\ (х, у) е Н', определяемый условиями
?*"•*>/(*<, У1)*=О*'*Ря-1(Х1, У!)
при всех 0 =^р, q ^ I— 1, 0 < t < m — 1, 0 </ < rt — 1. Ча-
Частный случай / = 1 был уже рассмотрен выше и дает били-
билинейные базисные функции, вид которых указан в упражне-
упражнении 6. Случай / = 2 разбирается в упражнении 7. Читателя,
интересующегося получением оценок ошибок для двумерной
эрмитовой интерполяции, мы снова отсылаем к работе Бирк-
гофа, Шульца и Варги A968).
2) Многоугольная область. Под этим понимается либо об-
область в форме многоугольника, либо аппроксимация области
другой формы. Многоугольник произвольным образом разби-
разбивается на треугольные элементы. Для типичного треугольного
элемента с вершинами (Xi,yt) (i=l, 2, 3) (см. рис. 4) ли-
линейная форма, приближающая функцию f(x,y) на треуголь-
треугольном элементе, имеет вид
Pi(x,y)='?at(x,y)fl, A.19)

18 Гл. 1. Введение
где fi = \{xi,yi) г(г = 1, 2, 3). Коэффициенты щ(х, у) (i~
в= 1, 2, 3) задаются формулами
I »23 Т Л2Э* — Ъ23»/>
123
= "сЬ"(t81 + %1* ~ ^' A <20)
аз (Jf, «/) =
где ] С^гз | есть удвоенная площадь треугольника, а
1н°=х,У1 — х,у{,
hf — Xt — X/,
i\tt = yt — Vt (U У= 1,2,3).
Разумеется, функции A.20) являются только частями полных
базисных функций, связанных с вершинами треугольной сет-
сетки. Полная базисная функция относительно некоторой вер-
вершины получается путем суммирования частей, связанных с
теми треугольниками, которые примыкают к этой вершине.
Например, вершина 1 на рис. 4 имеет пять примыкающих тре-
треугольников, и поэтому базисная функция, соответствующая
этой вершине, будет состоять из пяти частей. Полная базисная
функция оказывается пирамидальной.
Упражнение 1. Покажите, что кубический полином рг(х),
который принимает значения
определяется формулой
+ x2(x-l)f[.
Упражнение 2. Используйте результат упражнения 1, что-
чтобы получить коэффициенты в представлении A.4) и тем са-
самым получить базисные функции, входящие в A.6).
Упражнение 3. Применяя намеченный в основном тексте
метод, получите выражение для кубического сплайна в форме
A.10),где коэффициенты определяются соотношениями A.11).
Упражнение 4. Применяя условие A.13) к сплайну вида
A.12), покажите, что система уравнений для определения

1.1. Аппроксимация кусочно полиномиальными функциями
входящих в A.12) коэффициентов имеет вид
, = e4fi (/ = 2, 3 п-2),
19
а! + а2 + аз = tf 1/2»
ао = fa,
где 6 есть обычный оператор взятия центральной разности.
Упражнение 5. Решите систему уравнений упражнения 4
при <%i = а2 = 0 и п = 4. Покажите с помощью A.14), что
в этом случае
Нарисуйте приближенный график основного сплайна C2(x/h)
при —оо <.x/h < +oo и покажите, что его носитель не яв-
является локальным.
Упражнение 6. Покажите, что для единичного квадрата
при / = 1 базисные функции, соответствующие внутренним
узлам, имеют вид
О-!<?
0 при всех других значениях аргументов,
где 1 ^ /, / ^ /и — 1 и mft = 1.

20 Гл. 1. Введение
Упражнение 7. На единичном квадрате рассмотрите поли-
полином
з з
g(x, y)=TiH ars*y.
г—0 s—О
Выразите все коэффициенты а™ (О ^ г, s ^ 3) через значения
функций g, dg/dx, dg/dy и d2g/dxdy в четырех угловых точ-
точках квадрата. Покажите, что результаты этих вычислений
могут быть использованы для нахождения базисных функций
в случае 1 = 2 общей теории двумерной эрмитовой интерпо-
интерполяции на прямоугольной области, разбитой на прямоугольные
элементы.
1.2. Функциональные пространства
Этот параграф содержит введение в математические струк-
структуры, необходимые для понимания теоретических аспектов
метода конечных элементов. Будет изложен только самый не-
необходимый материал, а интересующемуся читателю мы реко-
рекомендуем обратиться к книгам Симмонса A963) или Иосиды
A967).
Линейным или векторным пространством называется не-
непустое множество X, в котором любые два элемента х и у
могут быть объединены операцией, называемой сложением,
так что в результате получается некоторый элемент из X, обо-
обозначаемый как х + у, причем операция сложения удовлетво-
удовлетворяет следующим условиям:
(I) х + у = у + х,
(И) x + (y + z) = (x+y) + z,
(III) существует нулевой элемент <р, такой, что <р + х =
= х + ф = х для всех х,
(IV) для каждого х существует отрицательный элемент
— х, такой, что х + (— х) = <р.
Еще одна необходимая для линейного пространства опе-
операция состоит в том, что любой элемент х е X может быть
объединен с любым действительным числом или скаляром а.
Операция эта называется умножением на скаляр и ее резуль-
результат обозначается через ах. Умножение на скаляр должно
удовлетворять следующим условиям:
(V) а(х + у) = ах + ау,
(VI) (а + ®х = ах + $х,
(VII) (ф)х = а®х),
(VIII) \-х = х.

1.2. Функциональные пространства 21
Одним из примеров линейного пространства является мно-
множество всех iV-мерных действительных векторов, для которых
a -f- b = с определяется как щ + 6, = с,- (i = 1, 2, ..., N) и
оса = d как d/ = аа,- (/ = 1, 2, ..., N).
Нормированное линейное пространство (и. л. п.) есть ли-
линейное пространство, для которого определена норма каждого
элемента х, обозначаемая через \\x\\ и удовлетворяющая сле-
следующим условиям:
(DIUIO0,
(II) H
(Ш) || 0
(IV) ||ах|| = | а |||х||.
Таким образом, появляется понятие длины элемента в линей-
линейном пространстве. Полунорма удовлетворяет условиям (I),
(III) и (IV), но не удовлетворяет условию (II).
Пространство с внутренним или скалярным произведением
есть линейное пространство, на котором для каждой пары
вектором определена действительная функция (х, у), удовле-
удовлетворяющая условиям:
(I) (ах + рг/, z) = а (*, г) + Р (у, z),
(II) (х, у) = (у, х),
(III) (х, х)>0; (х, х) =
Упражнение 8. Покажите, что линейное пространство со
скалярным произведением является линейным нормирован-
нормированным пространством относительно нормы
Затем убедитесь в справедливости правила параллелограмма
11*+г/1Р+11*-г/И2 = 2|!
Покажите также, что
Пусть {хп} есть последовательность точек в линейном про-
пространстве со скалярным произведением. Тогда
(a) {хп} называется последовательностью Коши, если для
любого 8>0 найдется такое Л^ = Л?(е), что при всех п,
m^z N
\1х„ — хт\\<е,
(b) {хП} называется сходящейся последовательностью, если
в этом пространстве существует такая точка х, что для

2,2 Гл. 1. Введение
каждого е > 0 найдется такое N = N(s), что при всех п^ N
\\х-хп\\<е.
Упражнение 9. Покажите, что сходящаяся последователь-
последовательность будет последовательностью Коши.
Чтобы показать, что обратное утверждение неверно, по-
поступим следующим образом ').
Рассмотрим линейное пространство функций, непрерыв-
непрерывных на интервале [0,1], определяемое естественными опера-
операциями сложения функций и умножения функции на число, и
определим в нем скалярное произведение как интеграл от про-
произведения функций на интервале [0, 1]. Как известно из ана-
анализа, пределом последовательности таких функций может
быть и разрывная функция, что и показывает-неверность об-
обратного утверждения.
• Пространство, для которого все последовательности Коши
являются сходящимися, называется полным. Полное линей-
линейное пространство со скалярным произведением называется
гильбертовым пространством.
До сих пор неявно рассматривались пространства, элемен-
элементы которых являются точками на действительной оси, векто-
векторами или матрицами. Чтобы получить гильбертово простран-
пространство, удобное для метода конечных элементов, необходимо
ввести такое пространство, в котором точки представляют со-
собой функции. Наиболее употребительные функциональные
пространства могут быть определены по аналогии с простей-
простейшим гильбертовым пространством, обозначаемым через 9?2{Щ-
Пусть для простоты R обозначает интервал (а, Ь) на дейст-
действительной оси. Функция f(x) является точкой этого простран-
пространства только тогда, когда интеграл
\f4x)dx
конечен. Такая функция называется измеримой2). Для любых
двух точек и(х) и v(x) скалярное произведение определяется
как
ь
(и, v) = } и (х) v (х) их,
а.
') В оригинале по этому поводу приводится другой пример, который
оказался ошибочным. — Прим. перев.
2) Обычно такую функцию называют суммируемой с квадратом,—
Прим. перев,

1.2. Функциональные пространства 23
а норма как
ъ
\\uf=\u*(.x)dx.
а
Сложение определяется как (« + v) (х) = и(х) + v(x).
Упражнение 10. Покажите, что если ||«|| и ||у|| конечны, то
скалярное произведение («, и) также будет конечным.
Подмножество линейного пространства, которое само яв-
является линейным пространством, называется подпростран-
подпространством.
Упражнение И. Пусть Si(R) — пространство, определен-
определенное выше. Будут ли подпространствами следующие его под-
подмножества:
(I) функций и, таких, что и(а) = 0.
(II) функций и, таких, что (du/dx)x=a = 0 и «(&) —0?
Упражнение 12. Пусть К есть подпространство линейного
пространства Ж, не совпадающее с ним самим, и пусть X—
множество точек вида {x-\-h}, где х — некоторая фиксиро-
фиксированная точка, принадлежащая Ж, но не принадлежащая К,
а Л — любая точка из К. Покажите, что множество X, обозна-
обозначаемое через {х} @ К, не является линейным пространством.
Множество X называется линейным многообразием.
Отображение Т гильбертова пространства Ж на само себя
называется линейным оператором, если
(I) Т (х + у) = Т (х) + Т (у) (для всех х, у е= Ж),
(II) Т (ах) = аТ (х) (для любого скаляра а).
Линейный оператор Т называется ограниченным, если су-
существует такая постоянная М > 0, что
| Тх||<М||х|| (для всех х<=Ж),
и наименьшее из всех возможных М значение называется
нормой оператора и обозначается через ||Г||; ясно, что
II * IK 1
Ограниченный линейный оператор непрерывен: это означает,
что если точка х является пределом последовательности {хп},
то точка Тх будет пределом последовательности {Тхп}.
Пусть F — линейное отображение прямого произведения
пространств Ж1У.Ж2В пространство Ж%, т. е. для любых л^е

24 Гл. 1. Введение
гД, лг2 s Жч значение F(xi,4g^3 и F линейно по каж-
каждому из аргументов; тогда F будет ограниченным, если суще-
существует такое М > О, что
и ||F|| есть наименьшее из таких М. Будем обозначать через
2{Ж\\Ж'з) пространство ограниченных линейных отображе-
отображений из Ж\ в Ж?.. Пространство $В(Ж\ R) ограниченных линей-
линейных функционалов называется двойственным к Ж -а обозна-
обозначается через Ж'. Элементы пространства 2?(ЖХ,Ж; R) есть
билинейные формы (заданные на Ж).
Упражнение 13. Пусть feS'f^iX^; Жъ); определим
F&.3?(Ж\\ Жг), так, что при некотором фиксированном us
€5 Жч
F(u) = E(u,v) (для всех usЖ{).
Докажите, что
Отметим, что в дальнейшем для краткости нижние индексы
у норм операторов часто будут опускаться.
Теорема 1.1. (Теорема Рисса о представлении функциона-
функционала) (см. Иосида, 1967, с. 132). F е Ж' тогда и только тогда,
когда существует единственный вектор оеЖ, такой, что для
всех и^Ж
Теорема Рисса устанавливает взаимно однозначное соот-
соответствие между Ж и Ж'; такое соответствие называется изо-
изоморфизмом, а два пространства, связанные таким соответст-
соответствием, т. е. имеющие одинаковую структуру, называются изо-
изоморфными. Из определения нормы оператора следует, что
{-таг1}-
а из теоремы 1.1 следует, что существует такой элемент us
е Ж, для которого
F (и) = (и, v).
Поскольку оказалось возможным сопоставить каждому эле-
менту из Ж' единственный элемент из Ж, не должна вызы-

1J. Функциональные пространстве 25
вать недоумение и запись вида
NIL,- sup {^Г}.
Линейный оператор Т, который отображает все гильбер-
гильбертово пространство Ж на подпространство К, являющееся
лишь частью Ж, называется проекцией, если он отображает
точки из К на самих себя, т. е. если
Ту = у (для всех у&К).
Упражнение 14. Какие из следующих линейных операто-
операторов будут проекциями?
(I) Оператор Т, отображающий двумерный вектор I _ I
в вектор I n I-
(II) Оператор Q, отображающий пространство 9?2(R)t
R— [a,b], на пространство линейных функций путем линей'
ной интерполяции по значениям в концах интервала.
(III) Оператор 5, переводящий пространство матриц по-
порядка 2 X 2 в диагональные матрицы по формуле
р"П-Га+б
v sJ;~l о
(IV) Оператор S2, где S определен в (III).
Проекция Р называется ортогональной, если для всех х
из пространства Ж и всех у из его подпространства К
(х — Рх, у) —0 (обозначается как (# — Рх) J. у),
т.е. если разность х — Рх ортогональна всем у из подпрост-
подпространства К. Говорят, что эта разность принадлежит ортого-
ортогональному дополнению К, которое обозначается через Кх.
Лемма 1.1. Если Ж есть гильбертово пространство, а К —
любое его подпространство, то Кх также будет гильбертовым
пространством.
Лемма 1.2. Если Р есть ортогональная проекция гильбер-
гильбертова пространства Ж на некоторое подпространство К, то
I — Р будет ортогональной проекцией Ж на К1 и для лю-
любого х&Ж существуют и е К и v е Кх, такие, что х = u-j-v,
т.е. Ж == К® К±.
Упражнение 16. Докажите лемму 1.1 и лемму 1.2.
Теорема 1.2. Ортогональная проекция гильбертова прост-
пространства на подпространство единственна, а величина \\х — Рх\\

26 Гл. 1. Введение
является минимальным расстоянием от х до подпростран-
подпространства. ', ..
Доказательство. Допустим, что ортогональная проекция Р
не единственна. Тогда существует другая ортогональная про-
проекция Q, для которой
(х — Qx, y) = 0 (при всех у^К).
Так как Px — Qxcz К, то
О = (лг — Qx, Px — Qx) =
= {х — Рх, Рх — Qx) + {Рх — Qx, Рх — Qx) =
^0 + \\Px-Qx\\2>0,
поскольку Рх ф Qx, и получается противоречие. Следователь-
Следовательно, исходное предположение неверно и ортогональная проек-
проекция единственна.
Пусть теперь v есть любая точка в К, отличная от Рх.
Тогда, как и выше,
(v - Рх) 1(х~ Рх).
Следовательно,
II* ~ v\\2 = \\(x - Рх) + (Рх - v) ||2 =
= || х — Рх ||2 + 2 (х ~ Рх, Рх - v) + II Рх — v |р =
а это и является нужным для нас результатом.
Следствие (I). \\Рх\\г = (х, Рх) и \\х — Рх\\2=\\х\\2—
— (х,Рх).
Следствие (II). Для любого х^.Ж существуют единствен-
единственные и0 е К и vQ е Кх, такие, что х = uQ + vQ и
min || х - и ||2 = || х - и0 II2 = || v01|2. A.21)
В A.21) можно поменять ролями К и Кх, и тогда получится
другое минимизирующее соотношение
min || х- v || = || «о II2.
Поскольку
II* II2 = 11 «о II2 +11 foil2,
последняя задача минимизации может быть сведена к нахож-
нахождению

1.3. Аппроксимирующие подпространства 27
ИЛИ
max {2 (х, v) -|| v ||2}, A.22)
1
а эта задача имеет то же самое решение, что и задача A.21).
Линейный оператор Т называется положительно опреде-
определенным, если
(Тх, х)>0 (при всех х ф 0)'),
и называется положительно полуопределенным, если
(Тх, х)^0 (при всех х ф 0).
/ а \ /а/2\
Например, отображение I „ I в I .,. I будет положительно
определенным, тогда как отображение I „ I в I - I будет
положительно полуопределенным, так как
(Тх, х) = а2
и обращается в нуль при а = 0 и произвольном р.
Сопряженным к Т называется такой оператор Г*, для ко-
которого
(Тх, у) = (х, Т*у) (при всех х, у).
Если (Тх,у) = (х,Ту), то Г называется самосопряженным
оператором.
1.3. Аппроксимирующие подпространства
Рассмотрим гильбертово пространство 36, и ' пусть S =
= {хи ..., xw} есть множество W элементов из 36. Эти эле-
элементы называются линейно независимыми, если равенство
имеет место только при нулевых значениях коэффициентов
at (i = 1, 2, ..., N). Если для каждого элемента хеЖ су-
существуют такие коэффициенты f>i, что
то говорят, что множество S образует базис в 36, а 36 есть
W-мерное пространство.
') Другие авторы используют в определении неравенство (Тх, х) ^
> V№ ПРИ Y > О-

28 Гл. 1. Введение
Например, пространство векторов вида ( о ) является дву-
f /0 \
мерным пространством. Множество Si = s ei = l ^ I, e2 =
v n ) (образует в нем базис, точно так же, как и множество
Оба этих базиса
изображены на рис. 5.
Упражнение 16. Докажите, что в одном пространстве
два различных базиса должны иметь одинаковое число
элементов.
Важность конечномерных функциональных пространств
становится понятной, если упомянутые в разделе 1.1 аппрок-
аппроксимирующие функции рассматривать как элементы простран-
пространства 2>2(R)- Например, если интервал R = [а, Ь] разбит точ-
точками xt (i = 0, 1, ..., п), то можно построить множество
эрмитовых функций, которые будут кусочно-линейными на
этом интервале. Любое линейно независимое множество из
(п+1) таких функций образует базис в пространстве
ЯA)(П,/?). Нетрудно показать, что Н является полным под-
подпространством в 3?2{R) (мы предлагаем читателю сделать
это в качестве упражнения), и поэтому Н является (n-f 1)-
мерным подпространством в S2{R). Пирамидальные функции
A.3) представляются естественным базисом в Н для нахож-
/
/
/
/
/
ч
\
Рис. 5.

1.3. Аппроксимирующие подпространства
Cos 5-пл
29
дения параметров
Рис. 6.
= 0, 1, .... п).
Упражнение 17. Пусть разбиение П задано точками х —
= i/4 (i = 0, 1 4) и функции Di(x) определены как
Dt(x)=t ЧЧ (/ = 0, 1, .... 4),
где если а«> = (а<,'>, ..., а«>), то а<°)A, 1, 1, 1, 1), а"> =
= A, l/V2,_0, -1/V.2, -1), а<2> = A, 0, -1, 0, 1), а(з> =
-A, -1/V2, 0, 1/V2, -1), а№ = A, -1, 1, -1, 1).
На рис. 6 приведена функция D3(x) на интервале [0, 1] вме-
вместе с функцией cos (Зяд:).
(I) Постройте приближенные графики Di(x) (i = 0, 1, ...
...,4).
(II) Вычислите скалярные произведения (Di(x), D,(x)) и
затем рассмотрите Di(x) как базис в Я и найдите коэффи-
коэффициенты gt в разложении
4
Упражнение 18. Постройте базисы для пространства куби-
кубических сплайнов и пространства кусочно-линейных функций,
заданных на треугольной сетке.
Все упомянутые в разделе 1.1 аппроксимирующие функции
являются частными случаями общей задачи приближения.
Эта задача состоит в том, что каждому элементу / гильберто-
гильбертова пространства Ж ставится в соответствие единственный
элемент / аппроксимирующего iV-мерного подпространства К

30 Гл. 1. Введение
(например, если К. = Н,то N = п + 1). Элемент J называется
/(-приближением /. Отображение / в f обычно является ли-
линейным и при наличии линейности представляет собой проек-
проекцию. Например, если К = Н, то ] можно получить путем ли-
линейной интерполяции между точками разбиения. Это единст-
единственное отображение, являющееся также и проекцией.
Упражнение 19. Постройте отображение из 2>2(R) в И,
которое не является проекцией.
Если аппроксимация любого элемента / &&2(R) Уже по-
построена, имеет смысл задать вопрос о том, насколько она хо-
хороша. Аппроксимация является наилучшей, если элемент fe
е К оказывается таким, что норма ошибки / — J минимальна.
В теореме 1.2 было показано, что если Р есть ортогональная
проекция на К, то ||/ — Pf\\ является минимальным расстоя-
расстоянием от / до подпространства К, и поэтому f = Pf представ-
представляет собой наилучшую аппроксимацию. Так как предполага-
предполагается, что К имеет конечную размерность, то это предположе-
предположение может быть использовано для построения наилучшей ап-
аппроксимации. Пусть S = {fu ..., fN} образует базис в /(.
Так как
для всех g e К, то
(f-f, Zfofk)=o
для всех возможных последовательностей коэффициентов р*
(k == 1, ..., JV), и поэтому
(f-f, /fe) = 0 (k = l, .... N). A.23)
JV
Если f == X Q-ifi> T°
N
U» Ik) — Zu ai Klh Ik) = u (ft == 1, . . ., ЛГ).
Это может быть переписано как
Ga = b, A.24)
где
a=={ai aN}T
b -{(/. /i) if, fN)}T.

t.3. Аппроксимирующие подпространства 31
Матрица G называется матрицей Грама, а система A.24) на-
называется нормальной.
Упражнение 20. Покажите, что для Ж — 3 (R) наилуч-
наилучшая аппроксимация J, определенная условиями A.23), явля-
является также наилучшей в смысле метода наименьших квадра-
квадратов. Отметим, что нормальную систему A.24) не рекоменду-
рекомендуется использовать для вычисления решения задачи по методу
наименьших квадратов, так как с ростом ее порядка ее обус-
обусловленность быстро ухудшается.
Упражнение 21. Покажите, что можно определить гильбер-
гильбертово пространство 37 (R) с помощью скалярного произведе-
произведения
(и, v)w ¦— \ w (х) и (х) v (x) dx,
а
где w'(x) ^ 0 есть подходящая весовая функция. Далее по-
получите нормальную систему, которая определяет наилучшую
в смысле метода наименьших квадратов с весом аппроксима-
аппроксимацию для функции f(x) из 37 (R). ¦
Упражнение 22. Покажите, что для измеримых функций,
имеющих измеримую первую производную, можно определить
гильбертово пространство S^^iR) с помощью скалярного
произведения
(и,• о), = 5 {и(х)v(х) + и'(х)vr(х)}dx
а
и нормы
ь ^
\\u\tl=\{u4x)-\-u'4x)}dx,
а
где штрих означает дифференцирование по х. Получите нор-
нормальную систему для наилучшей аппроксимации функций
f(x) из этого пространства. Пространство 5^2*(R) представ-
представляет собой пример пространства Соболева.
Методы аппроксимации, включающие решение нормальной
системы с целью получения ортогональной проекции функции
на конечномерное подпространство, называются проекцион-
проекционными.

ГЛАВА 2
ВАРИАЦИОННЫЕ
ПРИНЦИПЫ
2.1. Введение
Вариационные принципы встречаются во многих физиче-
физических и других задачах, и методы приближенного решения та-
таких задач часто основаны на соответствующих вариационных
принципах. Математически вариационный принцип состоит в
том, что интеграл от некоторой функции имеет меньшее (или
большее) значение для реального состояния системы, чем
для любого возможного состояния, допускаемого основными
условиями системы. Подынтегральная функция зависит от ко-
координат, амплитуд поля и их производных, а интегрирование
осуществляется по области, покрываемой координатами систе-
системы, среди которых, возможно, есть и время. Задача опреде-
определения минимума интеграла часто сводится к решению одного
или нескольких дифференциальных уравнений с частными
производными при соответствующих граничных условиях.
Цель нашей книги не в том, чтобы рассматривать приближен-
приближенные методы решения этих дифференциальных уравнений как
способ решения исходных физических задач, сформулирован-
сформулированных в виде вариационных принципов. Вместо этого мы наме-
намерены описать приближенные методы, которые основаны непо-
непосредственно на вариационных принципах.
В качестве примера таких экстремальных задач рассмот-
рассмотрим двойной интеграл
/(и) = \\ F(х, у, и, их, иу)dxdy, B.1)
V
где и — непрерывная вместе со всеми производными до вто-
второго порядка функция, значения которой на границе области
/? заданы. Область R здесь — ограниченная область на пло-
плоскости (х, у). Сравнительно легко показать (см. Курант и
Гильберт, 1951), что необходимое условие экстремума 1(и)
состоит в том, что функция и(х,у) должна удовлетворять
уравнению Эйлера — Лагранжа
Из многих решений этого уравнения выбирается то, которое
удовлетворяет заданным граничным условиям. К примеру, для

2.1. Введение ' "
F = y (u2x + u2y) уравнение B.2) сводится к уравнению Лапласа
д2и д2и _„
дх2 + di/2 ~ U*
Причина требования непрерывности вторых производных и
теперь ясна; непрерывность обеспечивает существование урав-
уравнения Эйлера. Однако приближенные методы, основанные на
минимизации /(«) в виде B.1), требуют только непрерывно-
непрерывности и и кусочной непрерывности ее первых производных.
Вернемся теперь к основной задаче вариационного прин-
принципа: найти такую функцию из допустимого класса функций,
что некоторый определенный интеграл по замкнутой области
R, зависящий от функции и ее производных, принимает мак-
максимальное или минимальное значение. Это есть обобщение
элементарной теории вычисления максимумов и минимумов,
которая состоит в нахождении точки замкнутой области, в ко-
которой функция имеет максимальное или минимальное значе-
значение в некоторой окрестности в этой области. Определенный
интеграл в вариационном принципе есть пример функционала
и зависит от всего поведения функции в целом, а не от числа
переменных. Область определения функционала есть про-
пространство допустимых функций. Главная трудность вариаци-
вариационного подхода состоит в том, что задачи, которые могут быть
естественно сформулированы как вариационные, могут неЧ
иметь решений. Математически это выражается незамкну-
незамкнутостью пространства допустимых функций. Поэтому в вариа-
вариационном принципе нельзя предполагать существование макси-
максимума или минимума. В этой книге мы, однако, имеем дело
с приближенными решениями вариационных задач. Они по-
получаются при рассмотрении некоторого замкнутого подмноже-
подмножества пространства допустимых функций для получения верх-
верхней и нижней оценок точного решения вариационной задачи.
Одно очевидное преимущество вариационного подхода со-
состоит в том, что нужно налагать менее жесткие требования
на непрерывность решения. Этот парадокс разъясняется в
разд. 1.3 книги Стренга и Фикса A973) и в гл. 2 книги Клег-
га A967). Полезным следствием более слабых требований не-
непрерывности является то, что в вариационном подходе легче
строить приближенные решения. Большая часть данной книги
состоит в описании таких приближенных методов.
Оцениваемый в вариационном принципе интеграл берется
по пространству, которое может иметь координату-время. Мы
рассмотрим сначала вариационные задачи, не содержащие
время. Эти вариационные задачи обычно выражают принцип
минимума потенциальной энергии при нахождении состояния

34 Гл. 2. Вариационные принципы
устойчивого равновесия во многих классических задачах ма-
математической физики. В этой главе содержатся только те во-
вопросы теории вариационных принципов, которые имеют отно-
отношение к главной теме книги. Никаких доказательств или под-
подробных обсуждений здесь нет, и в случае особой заинтересо-
заинтересованности читателю следует обратиться к соответствующим
разделам книг Куранта и Гильберта A951), Морса и Феш-
баха A958), Хилдебранда A965), Шехтера A971) и Клегга
A967).
2.2. Стационарные задачи
Дифференциальное уравнение, которое связано с вариа-
вариационным принципом, известно как уравнение Эйлера — Ла-
гранжа. Оно является необходимым, реже — достаточным ус-
условием, которому должна удовлетворять функция, максимизи-
максимизирующая или минимизирующая определенный интеграл. В про-
простейшей задаче вариационного исчисления требуется найти
минимум интеграла
х,
I(u)=\F(x,u(x),u'(x))dx, .
Хц
где граничные значения и(х0) и и{х\) заданы, а штрих озна-
означает дифференцирование по х. Необходимым (но не доста-
достаточным) условием существования минимума является диф-
дифференциальное уравнение
dF_ d dF _n
ди dx ди' ~ и>
которому должна удовлетворять функция и, доставляющая
минимум функционалу /(«). Приведем обобщение этого фак-
факта для следующих ситуаций.
A) Случай двух неизвестных функций. Минимизируемый
интеграл есть
Пи, v)= \F(x, и(х), оD и'(х), v'(x))dx,
X,
где значения и(х0), и(х{), v(x0), v(x{) заданы. Необходимые
условия таковы:
dF d dF _
ди dx ди' ~ '
dF_ d dF _ n
до dx dv' ~U'

2.2. Стационарные задачи 35
B) Случай функции двух переменных. Минимизируется
интеграл
I(u)=))F(x, у, и(х, у), их(х, у), ии(х, y))dxdy,
где и принимает заданные значения на границе области инте-
интегрирования R. Необходимое условие минимума:
dF_ д dF д dF _
ди дх дих ду диу '
C) Наличие высших производных. В задачах со вторыми
производными минимизируется интеграл
Х\
1{и)=\ F(x,u(x), u'{x),u"{x))dx,
Хо
где значения и(х0), и'(х0), u(xi), u'{x{) заданы, а соответст-
соответствующее необходимое условие есть
dF_ d___dF_ d2 dF _-
ди dx ди' ~г dx2 ди" ~~ U*
D) Условный экстремум. В таких вариационных задачах
функция и(х) должна удовлетворять ряду дополнительных
условий. Здесь ищется экстремум одного интеграла при усло-
условии, что другие интегралы сохраняют постоянные значения.
Такие задачи называют изопериметрическими. В качестве
примера рассмотрим задачу о нахождении экстремума инте-
интеграла
(*, u(x), u'(x)) dx
при условии, что и(х) удовлетворяет уравнению
XI
^G(x,u(x),u'(x))dx = a, B.3)
где а — заданная константа. Необходимое условие экстрему-
экстремума заключается в том, чтобы
d(F + XG) d
ди dx ди' ~и>
где численное значение параметра Я находится из условия
B.3). В качестве простого примера изопериметрической за-
задачи приведем следующую. Необходимо найти форму прови-
провисающей однородной струны с закрепленными концами. Здесь

36 Гл. 2. Вариационные принципы
требуется найти кривую и(х), проходящую через точки (х0, «о)
и (хии\) и минимизирующую интеграл
при условии, что интеграл
X,
J (l+u'2y'2dx
Ха
имеет фиксированное значение.
Упражнение 1. Покажите, что длина кривой, соединяющей
две точки (х0, м0) и (х\, «i), есть
1 + u'2)l!2 dx.
Используя соответствующее уравнение Эйлера — Лагранжа,
найдите путь наименьшей длины между этими точками.
Упражнение 2. Найдите кривую и(х), проходящую через
две точки (х0, ио) и (х\, «i) и дающую минимальную площадь
поверхности вращения, при вращении кривой вокруг оси х.
Упражнение 3. Покажите, что уравнение
д2и . д2и . д2и if/ \ п
является необходимым условием минимизации интеграла
Т ("* +ul + uz~- 2uf (x- У' 2))dx йУ dz>
к
когда на поверхности dR, содержащей объем R, функция
и(х, у, z) задана.
Прежде чем идти дальше, дадим несколько примеров ва-
вариационных принципов и эквивалентных им уравнений Эйле-
Эйлера — Лагранжа. В этих примерах функции определяются в об-
области R с границей dR.
A) Задача Дирихле для уравнения Лапласа.
R
ихх + Uyy — Q {и задана на dR).

1.2. Стационарные задачи 37
B) Нагруженная пластина с заделанным краем. (Бигар-
монический оператор)
+ 2иххии + Uyyyy = q (x, у).
Здесь q{x,y) —нагрузка по нормали на пластину.
C) Теория упругости при малых деформациях. (Плоское
напряженное состояние.)
ихх-\-"Мху-{-\(\ — v)(uyy+vxy) = 0, (u, v заданы на dR),
D) Радиация (еи) и диффузия молекул (и2).
ul + ul+ BeU \dxdy,
14«у
«лх + «г/у == 1 2 (« задана на 57?).
E) Задача Плато. (Найти поверхность минимальной пло-
площади, ограниченную замкнутой кривой в трехмерном прост-
пространстве.)
V(Y!)V(u) = 0, Yi = (l + x + «2J/2 (« задана на dR).
F) Неньютоновские жидкости.
1 (м) = S S [т С"*+«D'+s+cu]rfjc rf^
V(y2)Vm = c, Y2 = (u*+ "»)e,(--T<«<»)• (c-const),
(и задана на &R),

38 Гл. 2. Вариационные принципы
G) Течение сжимаемой жидкости.
/(p)=f$prfx Г Р- плотность,
V \ р — давление,
V (pVcp) = 0 I ф — потенциал скорости.
Из этих задач первые три — линейные, четвертая — слабо
нелинейная, последние три — нелинейные.
2.3. Граничные условия
Стационарные задачи, описанные в предыдущем разделе,
таковы, что искомая функция задана на границе и не может
там варьироваться1). Однако во многих задачах функция не
задана на границе, и применяют другие граничные условия.
Рассмотрим, например, (Курант и Гильберт, 1951, стр. 163—
- 164) вариационную задачу, состоящую в минимизации инте-
интеграла
Xl
I{u)=\F{x,u,ur)dx, B.4)
Хо
где и не задана в точках х = х0, Х\. Необходимое условие ми-
минимизации /(«) состоит в том, что и(х) удовлетворяет уравне-
уравнению Эйлера — Лагранжа
д?_ d dF ^0
ди dx ди'
и граничным условиям
_ = о (х = х0, х\).
Последние известны как естественные граничные условия,,
поскольку они следуют яепосредственно из минимизации ос-
основного интеграла. Если граничные условия задачи не заданы
непосредственно и не определены естественные граничные ус-
условия, минимизируемый функционал необходимо должным об-
образом изменить.
Рассмотрим следующий модифицированный вид B.4):
Х\
/(«)= J F(x, ц, u')dx+[gl(x, u)]x=Xi-[g0(x, u)]x=xs,
') Часто такие граничные условия называют главными, в отличие от
естественных, см. ниже. — Прим. перев.

7.3. Граничные условия 39
где go(x, и) и g\(x, и) — произвольные функции. Необходимым
условием минимизации этого функционала является (см. Шех-
тер 1971, с. 35) уравнение
dF_ d dF _n
ди dx ди' ~ и
с граничными условиями
#+4г=° <*=*¦>¦
Таким образом, с помощью функций go(x, и) и gi(x,u) можно
получить подходящие граничные условия задачи. Например,
вариационная задача, эквивалентная дифференциальному
уравнению
uw+/(*) = <>
¦с граничными условиями
-м'+аы = 0 (х = х0),
имеет функционал
Xi
I (и) = \\т «'2 -
Если теперь мы рассмотрим двумерную вариационную за-
задачу, состоящую в минимизации интеграла
М = J J F (х> у' "' "*' "у) dx dy'
R
где и не задана на границе области R, необходимое условие
минимума состоит в том, что и удовлетворяет дифференциаль-
дифференциальному уравнению
dF д_ 6F _ _д_ dF _ _
ди дх дих ду диу
с естественными граничными условиями
_dF dy dF dx _
дих da д и da

40
ГЛ. 2. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
dy
dx
Рис. 7.
на кривой dR, являющейся границей R. Если угол между
нормалью к dR и осью х равен а (см рис. 7), то cos a =
= dy/da и sin а = —dx/da, где а означает длину дуги вдоль
границы. В более общем случае двух искомых функций и и v
(Хильдебранд, 1965, стр. 135) получается дополнительное
уравнение Эйлера — Лагранжа для v
?_ д_ _dF_ д dF
dv дх dvx
и иг и иг „
ду
и дополнительное естественное граничное условие
dF dy dF dx n
dvx da
dvy da
Если граничные условия не определяют явно граничные
значения и (или v) или не являются естественными, то снова
необходимо изменять функционал. Рассмотрим это на при-
примере двумерной задачи со вторыми производными в подын-
подынтегральном выражении. Пусть требуется найти функцию
и(х,у), доставляющую стационарное значение функционалу
, у, и, их, иу, ихх, иху, uyy)dxdy +
G (х, у, и, иа, иаа, ип) da,
dR
где д/да и д/дп — операторы дифференцирования по направ-
направлениям касательной и нормали к кривой dR. Интегрирование
по 3R осуществляется так, что область R при движении вдоль
3R оказывается слева (движение по 3R против часовой стрел-
стрелки). Необходимое условие минимума /(«) —уравнение Эйле-
Эйлера — Лагранжа
и~~дх и* ду "и'*' дх2 tu
р _ _
~дх и* ду
д2
дх ду
иху
д1
ду2

2.4. Смешанные вариационные принципы 41
с граничными условиями
"* дх Гихх} da L "у ду Гиуу} da
J_/F — F \ dx аУ
да Vйхх Гиуу)) da da
йхх Гиуу))
2\ да tu
2 I Vдх Гиху) da \ ду Гиху) do
dG dF / dy у dF ( dx у . dF dx dy _ 0 Bg,
д«„ <Э«л:х Wff/ <3«j,v Wo/ du^ da da ' *• ' '
Функция G выбирается так, чтобы граничные условия B.5) и
B.6) соответствовали естественным граничным условиям за-
задачи.
2.4. Смешанные вариационные принципы ')
Рассмотрим теперь теорию упругости при малых деформа-
деформациях и принцип минимума потенциальной энергии, изложен-
изложенный в примере B) разд. 2.6. Этот принцип предполагает, что
имеют место определенные соотношения между напряжением
и деформацией и между деформациями и перемещениями, а
также выполнены кинематические граничные условия.
Если ослабить два последних условия и рассматривать их
как множество ограничений, то можно написать модифициро-
модифицированный функционал вида
ди dw
B.7)
Sd Sd sd
где /p — функционал потенциальной энергии, а\ ae, Pi,
§2, Рз — множители Лагранжа. Независимыми варьируемыми
величинами являются три перемещения, шесть деформаций и
девять множителей Лагранжа. Из B.7) можно получить мно-
много смешанных вариационных принципов. В частности, если
') Этот раздел лучше читать после раздела 2.6. — Прим. перев.

" Гл. 2. Вариационные принципы
то получается принцип Ху — Васидзу, а при
Щ = Ох аб = хгх
возникает принцип Рейснера — Хелингера.
Функционал, связанный с принципом Рейснера — Хелинге~
ра, можно записать как
до,
т« + оттда + naz -Z)w da, B.8)
где /с — функционал дополнительной энергии.
Принципы Ху — Васидзу и Рейснера — Хелингера являют-
являются смешанными принципами и утверждают стационарность,
а не экстремальность значений функционала для реальных
состояний. Несмотря на это, в приближенных методах (на-
(например, в методе конечных элементов), основанных на сме-
смешанных вариационных принципах, достигается примерно
одинаковая точность таких величин, как перемещения и на-
напряжения, тогда как при использовании принципа минимума
энергии хорошая точность может быть получена либо для пе-
перемещений, либо для напряжений, но не для обоих одновре-
одновременно.
Более полное обсуждение смешанных вариационных прин-
принципов и полное определение величин, использованных в B.7)
и B.8), имеется в книге Васидзу A968) и Табаррока A973).
2.5. Вариационные принципы в нестационарных задачах
Наиболее важным и фундаментальным из таких вариаци-
вариационных принципов, использующих и время в качестве независи-
независимой переменной, является принцип Гамильтона, из которого
могут быть выведены основные уравнения для большого

2.5. Вариационные принципы в нестационарных задачах 43
числа физических явлений. Принцип Гамильтона утверждает,
что реальное движение системы материальных точек с мо-
момента времени ^о до момента t\ таково, что интеграл по вре-
времени от разности кинетической и потенциальной энергий си-
системы стационарен для траектории этого движения. Матема-
Математически это означает, что интеграл от лагранжиана L
U U
= \{T-V)dt,
где Т и V есть соответственно кинетическая и потенциальная
энергии системы, имеет стационарное значение для реальной
траектории по сравнению с близкими возможными траекто-
траекториями. Для системы с п обобщенными координатами q\, 92. • • •
..., qn связанные с этим принципом уравнения Эйлера — Ла-
граижа оказываются такими:
МЖ)"&<Т-Ъ = ° <г«1. 2, ...,«).
На них обычно ссылаются как на уравнения Лагранжа дви-
движения системы.
В качестве простого примера применения этой теории к
сплошной среде рассмотрим случай гибкой струны, на кото-
которую действует постоянное натяжение т. Концы струны закреп-
закреплены, и она совершает малые колебания около положения
устойчивого равновесия — интервала 0 ^ х ^ 1 оси х. Если
u{x,t)—перемещение точки струны перпендикулярно оси х,
то
где р — плотность струны и с2 = т/р. Уравнение Эйлера —
Лагранжа
д2и 2 д2и
dt*~ C дх
является волновым уравнением. Таким образом, для струны
волновое уравнение эквивалентно требованию минимальности
усредненной разности полной кинетической и потенциальной
энергий струны в предположении выполнения начальных и
граничных условий задачи. Другими примерами применения
этой теории служат колебания стержня, мембраны и пласти-
пластины (Курант и Гильберт, 1951, стр. 215—221).
Вариационные принципы, включающие время как пере-
переменную, пока еще редко используются для численного реше-

" Гл. 2. Вариационные принципы
ния эволюционных задач. Они обычно решаются полудискрет-
полудискретными методами Галеркина (см. гл. 6).
Теперь перейдем к нестационарным диссипативным систе-
системам и покажем, как можно построить для них вариационные
принципы. Применяемый метод состоит во введении сопря-
сопряженной системы с отрицательным трением. Энергия, теряе-
теряемая диссипативной системой, передается сопряженной систе-
системе, и поэтому полная энергия обеих' систем сохраняется. Дру-
Другой подход, основанный на ограниченных вариационных прин-
принципах, можно найти у Розена A954). В качестве примера рас-
рассмотрим одномерный осциллятор с трением. Уравнение его
движения есть
x+kx+n2x = 0 (k>0).
Требуется найти вариационный принцип, для которого урав-
уравнение Эйлера — Лагранжа совпадало бы с этим уравнением.
Это невозможно сделать, но если мы рассмотрим также со-
сопряженный осциллятор (описываемый координатой х*) с от-
фицательным трением и с уравнением движения
х* — kx* + п2х* = О,
то для построенного чисто формально лагранжиана
L = хх* — •=- k (х*х — хх*) — п2хх*
уравнения Эйлера — Лагранжа совпадут с приведенными вы-
выше уравнениями движения обоих осцилляторов.
Другим важным примером диссипативной системы являет-
является задача о диффузии тепла. В одномерном случае она опре-
определяется уравнением
ди __ д2и
dt ~~ дх2 "
Тогда сопряженную задачу определит уравнение
ди* _ дги*
dt ~~ д*2 "
Эти два уравнения являются уравнениями Эйлера — Лагран-
Лагранжа для формального лагранжиана
, ди ди* 1 С » ди ди*\
ь~~~дх~ЫГ~Т\и dt ~и~ЬТ)-
2.6. Двойственные вариационные принципы
До сих пор наши вариационные принципы были «односто-
«односторонними», т. е. приближенное решение всегда давало оценку
теоретического решения задачи либо сверху, либо снизу. Од-
Однако часто можно для задачи построить два вариационных

2.6. Двойственные вариационные принципы 45
принципа так, что некоторая величина d дает минимум для
одного и максимум для другого вариационного принципа. Если
d" и dl — приближенные решения для принципов минималь-
минимальности и максимальности соответственно, то
^ < d < du,
и поэтому мы имеем практический метод оценки величины d.
Часто оказывается, что величина d имеет физический смысл.
Теперь мы дадим несколько примеров задач, в которых
можно построить двойственные вариационные принципы.
A) Классическая задача Дирихле. Здесь минимизируется
функционал
/ (и) = \ \ у (и2х + и2) dx dy
R
на множестве непрерывных функций и(х,у), имеющих в об-
области R кусочно-непрерывные первые производные и задан-
заданные значения и = f(a) на dR, где а — длина по dR, границе R.
Двойственная задача состоит в максимизации функционала
- \vr{a)da
dR
относительно непрерывных функций v(x, у) с кусочно-непре-
кусочно-непрерывными в R первыми производными, которые удовлетворяют
естественным граничным условиям на dR. В этом примере
min / («) = max / (v) = d.
и v
Численная реализация этого двойственного принципа приво-
приводится в разд. 7.4 (С).
Упражнение 4. Поток несжимаемой невязкой жидкости
параллелен оси х. Вычислите /(«) и J(v) в этой задаче, счи-
считая R квадратом 0 ^ х, у ^ 1, и покажите, что их экстре-
экстремальные значения совпадают. (Отметим, что и есть функция
тока, a v — потенциал течения.)
Упражнение 5. Покажите, что необходимыми условиями
максимума J(v) являются уравнение Эйлера — Лагранжа
и естественные граничные условия
dx du

46 Гл. 2. Вариационные принципы
B) Теория упругости при малых деформациях (Васидзу
1968). Пусть изотропное тело в трехмерном пространстве за-
занимает область R, ограниченную замкнутой поверхностью dR.
Компоненты объемных сил (на единицу объема) обозначим
через X, Y, Z. Поверхность тела разбита на две части: Sa, на
которой в качестве граничных_условий заданы внешние силы
(на единицу площади) (X, Y,Z), и Sa, на которой заданы пе-
перемещения (п, v, w); при этом dR = Sa + Sa. Тогда общая
потенциальная энергия дается формулой
к
1р= \\\ W^x' ву 8г> уУ*' Угх
к
— jj jj J (Xu + У v + Zw) dx — J (Xu + Yv + Zw) da,
н s
где
Vxf\l
a ? — модуль Юнга и v — коэффициент Пуассона для данной
среды. Если объемные и поверхностные силы не изменяются
в процессе вариаций, /р достигает минимума при реальных
перемещениях. В этом состоит принцип минимума потенци-
потенциальной энергии.
Дополнительная энергия имеет вид
= \\ \
\\ \*' °у'а*'%уг'Xzx' Xx») dx ~
где
— ayaz — azax — axayj].
Если поверхностные перемещения остаются неизменными
при вариациях, /с достигает минимум при реальных напря-
напряжениях. Это — принцип минимума дополнительной энергии.
С помощью этих двух принципов удобно оценивать коэффи-
коэффициент прямого влияния или обобщенное перемещение (Пиан,
1970).
Упражнение 6. Покажите, что W = <р, если выполнены
следующие линейные соотношения между напряжением и де-

2.6. Двойственные вариационные принципы 47
формацией:
Еех = ах — v (ау + az), туг=2A + у) уу2,
Eey = oy v(ox+oz), хгх= 2A + v) Угх,
/7
?ег = сгг — v(ox + Oj,), т^ = 2 A + v) Уху
Упражнение 7. Покажите, что необходимыми условиями
минимума потенциальной энергии
dx dy
являются уравнения Эйлера — Лагранжа
B - 2v) ихх + A - 2v) иву + иад = О,
B - 2v) vge + A - 2v) wxx + uxy = 0
и граничные условия
2A — v) ux cos a + A — 2v)«v sin а + A — 2v) vx sin а +
+ 2vWj, cos а = 0,
2v«x sin а + A — 2v) uy cosa+ A — 2v) vx cos a +
+ 2(l-v)!)j,sina = 0
на границе dR области R (см. рис. 7).
C) Течение сжимаемой жидкости (Севелл, 1969). Соответ-
Соответствующие объемные подынтегральные выражения, которые
появляются в двойственных вариационных принципах, суть
давление р и величина р + ри3, где р — плотность, а о — ско-
скорость жидкости. Здесь
p = p(vh h, г]),
где Vi (i = 1, 2, 3) —составляющие скорости, h и ц полная
энергия и энтропия, приходящиеся на единицу массы соот-
соответственно. Из этих принципов следует, что
¦g^ — -Qdt — 1. 2, 3), ж-р, ^- рГ.
Здесь Qi = pvi (i = 1, 2, 3), а Г—температура. Вводится
функция
3
P = P{Qhh, 4)=Z
i

48 Гл. 2. Вариационные принципы
для которой
дР /• 1 о о\ дР дР т
Двойственные вариационные принципы, включающие р и Р
соответственно, могут усилить принципы экстремальности ча-
частных случаев течения сжимаемой жидкости.
Две попытки унификации двойственных принципов пред-
предприняты Севеллом A969) и Артурсом A970). Первый из них
использует преобразования Лежандра (или инволютивные
преобразования), второй—каноническую теорию уравнений
Эйлера — Лагранжа. Превосходный обзор двойственных ва-
вариационных принципов вообще содержится в статье Нобла
и Севелла A972).

ГЛАВА 3
МЕТОДЫ
АППРОКСИМАЦИИ
Вариационная формулировка вместе с присущими ей бо-
более слабыми требованиями непрерывности естественно пере-
переносится на приближенные методы решения, называемые
обычно прямыми методами (Курант и Гильберт, 1951,
стр. 154; Нечас, 1967). Применение этих методов сводит за-
задачу к нахождению стационарных точек функции конечного
числа вещественных переменных.
В этой главе, однако, мы рассматриваем лишь одно семей-
семейство прямых методов, а именно методы конечных элементов.
Дается описание различных классов методов конечных эле-
элементов совместно с немногочисленными примерами из обшир-
обширной области их применения; в гл. 7 приводится дополнитель-
дополнительно еще несколько примеров. Вопросы точности и сходимости
методов обсуждаются в гл. 5.
3.1. Метод Ритца
Создателем классического прямого метода обычно считают
швейцарского математика В. Ритца A878—1909). Если тре-
требуется решить вариационную задачу
6/(и) = 0 (о (х) 6=50), C.1)
где х.=(хь ..., Хщ) и Ж — пространство допустимых функ-
функций, приближенное решение и может быть получено, если
ограничиться функциями из некоторого N-мерного подпрост-
подпространства Kn cr Ш. Сразу ясно, что если стационарная точка
в C.1) дает экстремум, то мы получаем оценку этого экстре-
экстремального значения. Другими словами, если
тогда и только тогда, когда
/ (v0) = min / (v) = d,
то
для всех V е Kn-

50 Гл. 3. Методы аппроксимации
Если функции ф«(х) (i = l, ..., N) образуют базис под-
подпространства Kn, to будем искать приближенное решение
в виде
?
причем значения искомых параметров должны быть такими,
что I(U) стационарно относительно этих параметров a; (i =
= 1, 2 N). Таким образом, получается система уравне-
уравнений
N
Применим, например, метод Ритца к решению следующей за-
задачи. В области — у я < x, у < уя решить уравнение
д2и , д2и
!s-rW-2==° C-2)
при условии, что
Построим кусочно-билинейное приближенное решение по ме-
методу конечных элементов, используя метод Ритца, применен-
примененный к соответствующему этой задаче вариационному принципу
6I(v) = 0,
причем
\\[] C.3)
где
«-(-fl)x(-f.f).
В предыдущей главе было указано, что если на границе
значения решения заданы (граничные условия Дирихле), то
эти условия налагаются на пространство Ж, тогда как в слу-
случае задания естественных граничных условий это не является
обязательным. В данной задаче необходимо ограничиться про-
пространством Ж функций, удовлетворяющих граничному усло-
условию v = 0.
Аппроксимирующие функции определены на 'области R%
разбитой на (Г + IJ квадратных элементов посредством 2Т
равно расположенных внутренних линий сетки, параллельных

3.1. Метод Ритца 51
осям (см. рис. 3). Тогда N( = T2) базисных функций Чц{х,у)
(i, / = 1, ..., Т) подпространства Kn, определенных в гл. 1
(упражнение 6), принадлежат, очевидно, пространству Ж,
так как они все обращаются в нуль на границе.
Приближенное решение имеет тогда вид
U{x, У)= ? Ut,<fu(x, у), C.4)
it /"l
где Uif — значение приближенного решения в точке (xi,yj).
Условием стационарности является система уравнений
(т
Отсюда и из C.3) получаем
т .
Y, U^ki(х, у)) = 0 (/, / = 1 Т). C.5)
k,l-\ У
k,l=\
Непосредственное вычисление интегралов приводит к уравне-
уравнениям
2 + 1 / + 1 '
3f/'/-jE Е ?4/ + 2й2 = о (/,/=1, .... т),
k=l-\ Z-/-1
где Uki = 0, если k, I == О, Т + 1. Эти уравнения можно запи-
записать через разностные операторы так:
ШУ + Ьрх} Uц - 2h2 = 0 (i, } = 1, ..., Т),
где б2х, бх — центрированные разностные операторы второго
порядка, a Ix, Iy — операторы «правила Симпсона», опреде-
определенные равенством
и аналогично для 1У. Приближенное решение в узловых точ-
точках, изображенных на рис. 8, приводится в табл. 1; вследствие
симметрии необходимо изображать только одну восьмую об-
области. Точное решение в этой задаче есть
и(х, у) =
(nV i 2i 8Г (-l)ft+1 chBfe— \)y ._, ,.
= -Ы + X2 + ? L Bk - I)» ch № - 1) я/2) C0S Bk ~ L> *•

52
Гл. 3. Методы аппроксимации
@,0)
10
Рис. 8.
Если уравнение C.2) снова решается в области— %
< -=-, но заданы естественные граничные условия
*
(*¦**)
= 0 (|*|<f).
= 0
пространство допустимых функций Ж содержит также функ-
функции, не равные нулю на границе. Аппроксимирующее подпро-
подпространство также должно содержать такие функции, поэтому
мы берем дополнительные базисные функции <tu(x,y), соот-
Таблица 1
Точка
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Г = 3
— 1.534
—0.950
-1.278
Решение
Г==7
— 1.473
— 1.321
—0.907
—0.370
— 1.394
— 1.089
—0.566
— 1.146
—0.666
—0.698
Г=15
-1.459
-1.308
—0.897
—0.362
— 1.381
-1.078
—0.559
— 1.135
-0.660
—0.692
Точное
— 1.454
— 1.304
—0.894
—0.359
— 1.376
— 1.075
—0.556
— 1.132
—0.658
—0.690

3.1. Метод Ритца
53
Рис. 9.
ветствующие граничным точкам (хг, у,-) с xit z// —±у. la-
кие функции не равны нулю самое большее на двух элемен-
элементах, как показано на рис. 9(а), остальные же базисные функ-
функции отличны от нуля на четырех элементах (см. рис. 9(Ь)).
Упражнение 1. Используя метод Ритца и кусочно-били*
нейные базисные функции, вычислите коэффициенты урав-
уравнения
д j_n
диа ~
предполагая, что точка (х,-, у/) есть (а) угловая точка и
(Ь) точка на стороне. Здесь берутся естественные граничные
условия, I(v) задан в C.3).
Системы уравнений
Метод Ритца можно применять и к- решению систем диф-
дифференциальных уравнений с частными производными в тео-
теории упругости при малых деформациях. Вообще, если мы бе-
берем приближения вида
t
C.6>

54 Гл. 3. Методы аппроксимации
и ищем стационарную точку функционала /(?/, V) относитель-
относительно U и V, то получаем Ni + #2 уравнений
C.7)
N2).
/-1
k-l
3.2. Граничные условия
Мы показали, как методом конечных элементов могут
быть решены задачи двух различных типов. Вначале мы рас-
рассмотрели однородные граничные условия Дирихле и = 0.
В этом случае все допустимые функции должны удовлетво-
удовлетворять этим условиям. Затем мы рассмотрели однородные гра-
граничные условия Неймана ди/дп = 0. Здесь на допустимые
функции никаких ограничений не накладывается, поскольку
граничные условия являются естественными для функционала
C.3).
Граничные условия Дирихле
В общем случае граничные условия Дирихле необходимо
вводить как дополнительные условия на аппроксимирующие
функции. Это легко сделать если нам нужно решить в неко-
некоторой области R cz Rm линейное дифференциальное уравнение
Au = f C.8)
при условии, что
u = g
на границе dR, причем g является гладкой функцией, допу-
допускающей явное аналитическое продолжение внутрь R, т. е.
задана такая гладкая функция w, что
w = g
на dR, a Aw определена всюду в R. В этом случае можно рас-
рассматривать приближенное решение вида
N
tf = »+?a,q>,, C.9)
где все <рг- равны нулю на dR (Синж, 1957). Поскольку функ-
функции вида C.9) образуют линейное многообразие, а не линей-
линейное пространство, часто для математического анализа удоб-

3.2. Граничные условия 55
нее слегка изменить задачу. После такого изменения задача
аппроксимации приобретает структуру классических прибли-
приближений, описанных в разд. 1.3 и 1.5. Следует подчеркнуть, что
численных расчетов это преобразование не затрагивает; ме-
меняется лишь математическая формулировка задачи. Следую-
Следующее упражнение иллюстрирует это.
1 д2
Упражнение 2. Пусть f = 0, g = —?- (х2 + У2)> А — —<fp ~~
— -Д-2- и уравнение C.8) рассматривается в области —^ < х,
У <\- Пусть
w (х, у) = 8 (х, у) = - 1 (х2 + У2). C.10)
Решите уравнение
с условием v = 0 на границе. Используя решение этого урав-
уравнения, заданное табл. 1 или любым другим способом, вычис-
вычислите решение в узловых точках, изображенных на рис. 8, и
сравните это приближение с точным решением
(_!)*+¦ chB*-l)y , , п
BЙ-1K chBA- 1)я/2 cos^/e 1>х*
k-l
Другой подход к аппроксимации граничных значений
К сожалению, во многих практических задачах граничные
условия Дирихле недостаточно гладки, чтобы гарантировать
возможность явного аналитического продолжения. В таких
задачах может оказаться удобным как-то аппроксимировать
граничные данные, используя базисные функции ср,-, не обра-
обращающиеся в нуль на границе. Таким образом, мы получаем
приближенное решение вида
где некоторые из at фиксируются начальными данными. Их
можно подобрать, например, так, что приближенное решение-

56 Гл. 3. Методы аппроксимации
интерполирует граничные условия. Остальные параметры, со-
соответствующие внутренним узлам, вычисляются по методу
Ритца. Приближения такого типа не укладываются в рамках
классической формулировки метода конечных элементов по-
посредством вычисления вариаций, однако ниже, в гл. 5 пока-
показано, что, если все сделано правильно, точность аппроксима-
аппроксимации не уменьшается. Широкое признание получил другой под-
подход (Брамбл и Шатц, 1970; Бабушка, 1973; Нитше, 1971), в
котором неоднородные граничные условия Дирихле вводятся
с помощью так называемого функционала штрафа. Включая
граничные условия в функционал, можно удалить все ограни-
ограничения на аппроксимирующее подпространство Kn. Например,
если даны дифференциальное .уравнение C.2) и граничное
условие и = g, можно использовать функционал
jb \iv-gfda. C.12)
dR
Ясно, что, если ограничений на аппроксимирующие функции
нет, стационарная точка функционала C.12) соответствует
решению уравнения C.2), удовлетворяющему етественному
граничному условию
на dR. Неоднородные граничные условия Дирихле еще встре-
встретятся позднее в этой главе, когда будет описываться метод
наименьших квадратов.
Неоднородные граничные условия Неймана или смешан-
смешанные граничные условия могут быть включены в функционал
аналогично C.12) без внесения ограничений на аппроксими-
аппроксимирующее подпространство.
3.3. Метод Канторовича (или полудискретный метод)
Другим подходом к применению прямых методов аппрок-
аппроксимации является получение приближенного решения вида
N
U= Е
где неизвестные коэффициенты a,- (i = 1, ..., N) уже не ска-
скаляры, а функции одной из независимых переменных, напри-
например, jci; тогда ф* рассматриваются как функции оставшихся

3.3. Метод Канторовича 57
т — 1 переменных, т. е.
N
U (хь х2, ..., х„) = 2 at (xi) <р, (х2, х3, ..., хт).
Этот метод часто связывают с именем Л. В. Канторовича
(Канторович, 1933); он лежит в основе большинства конечно-
элементных методов решения нестационарных задач, рассмот-
рассмотренных в гл. 6. В применении к краевым задачам метод Кан-
Канторовича весьма похож на хорошо известный метод прямых
(Березин и Жидков, 1962).
Рассмотрим метод Канторовича на простом примере по-
получения приближенного решения уравнения C.2) с граничны-
граничными условиями C.2а). Берется аппроксимирующее подпрост-
подпространство Kn, содержащее функции только одного аргумента у;
по C.2а) такие функции будут удовлетворять условиям
Ф*(-т) = (Р'(т)==0 ('=1. 2, ...,#).
Приближенное решение вида
V(x,y)=f,<tl(x)<Pt(y) C-13)
вычисляется путем минимизации функционала I (v) из C.3)
относительно неопределенных функций at (t = l,2, ..., N).
Чтобы сделать это, необходимо сначала переписать функцио-
функционал / следующим образом:
/А \ 7
\i = i ) _n_
2
где
I IL
N N \ 2
v V V» 1 f >; "Ф/ , ,
da' da' ' - . ¦ - . ~ -,. {3M)
л I 1 = 1 л
Это можно сделать, так как функции ср* (i = 1, 2, ..., N) из-
известны, а интегралы в C.14) можно вычислить точно. Чтобы
получить стационарную точку функционала 7(ai )

58 Гл. 3. Методы аппроксимации
мы поступим согласно процедуре, описанной в предыдущей
главе, и получим уравнения Эйлера—Лагранжа, соответст-
соответствующие вариациям каждой а,(х) (j = 1, . . ., N). Это необхо-
необходимо делать с учетом того, что коэффициенты а,- уже не про-
просто скаляры. Поэтому они определяются из системы N урав-
уравнений
где штрих означает дифференцирование по х, a F(a\, . . . , aN)
определяется в C.14). Поэтому неизвестные функции а,- (/=
= 1 N), входящие в приближенное решение C.13), по-
получаются из системы обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений
Е (V.7 - a"idti) =bi V = h ..., Ю, C.15)
где
л
- J
' 2
я
~2
при условии, что °г (—y) = а'("?") ~° (*=1» •••>
Упражнение 3. Решите систему уравнений C.15), исполь-
используя кусочно-линейные базисные функции tp; (t= 1, ..., N),
Г п л 1
определенные на интервале I g", -g-l с равномерным раз-
разбиением по формулам A.3). Сравните результаты, получен-
полученные для различных значений N, с приведенными в табл. 1.
Полудискретный метод можно применять к задачам как
с неоднородными граничными условиями Дирихле, так и с
естественными граничными условиями. Процедура усложня-
усложняется, когда функционал нужно дополнить интегралами по
границе.

3.4. Метод Галеркина 59
Упражнение 4. Найдите функционал I{ct\, • ••> а#)> кото-
который можно было бы использовать для получения решения
уравнения C.2) в области г- < х, У<-к при условии и =
= g на границе.
Вообще говоря, при решении краевых задач полудискрет-
полудискретный метод эффективен только при условии, что получающая-
получающаяся одномерная задача может быть решена непосредственно и
точно. Несколько таких примеров есть у Эльсгольца A958),
с. 152. Применения к задачам с начальными данными имеют
большее значение, и мы будем иметь с ними дело в гл. 6.
3.4. Метод Галеркина
Пока что в этой главе мы рассмотрели ряд методов аппро-
аппроксимации решения ы(х) линейного дифференциального урав-
уравнения
Au = f C.16)
для х е Rm, удовлетворяющего определенным граничным ус-
условиям. Для всех этих методов- предполагалось, что диффе-
дифференциальный оператор А удовлетворяет таким условиям, что
функция ы(х) является решением вариационной задачи
6/(ы) = 0 . C.17)
для некоторого функционала 1(и). В этом случае можно по-
показать (Михлин, 1976), что функционал может быть записан
в виде
1(и) = ~(Аи,и) -(«,/), C.18)
где
(ы,и) = ^ и (х) v (x) dx.
R
Обобщение этого результата на случай нелинейных операто-
операторов подробно рассмотрено Вайнбергом A956). В нескольких
примерах, приведенных в предыдущих разделах этой главы,
< л д2 д2
был использован оператор Л = —^р- ^-j- вместе с функ-
функционалом
I (u) = \\\ (ul + ifydxdy -\\uf dxdy. C.19)
R R
Используя теорему Грина (Курант и Гильберт, 1951, с. 241),
это выражение можно получить (при определенных гранич-
граничных условиях) из стандартной формы C.18).
Упражнение 5. Укажите граничные условия для и(х,у),
при которых справедлив переход от C.18) к C.19).

60 Гл. 3. Методы аппроксимации
Использование интегрирования по частям — т. е. теоремы
Грина — для преобразования функционала из стандартной
формы C.18) к такому виду, при котором требуется меньшая
гладкость допустимых функций ы(х), является одной из основ
успеха метода конечных элементов (Прентер, 1975, с. 229).
Аппроксимация Ритца ?/(х)= ?] a(qp,-(х) решения вариа-
! = 1
ционной задачи C.17) может считаться решением уравнения
-JL/(?/)== (Ж/, <р()-(<Рг,/) = О A=1, ...,N) C.20)
только тогда, когда мы имеем оператор А требуемого вида.
Но даже если это не так и C.20) не справедливо, система
уравнений
f,4t) = 0 (i=l ЛО C.21)
все еще определяет приближенное решение U(x) для C.16).
В действительности систему C.21) можно использовать, даже
если оператор нелинеен. Таким образом, метод конечных эле-
элементов можно использовать для решения значительно более
широкого класса задач, чем класс задач, допускающих вариа-
вариационную формулировку. Однако все же желательно, чтобы
C.21) можно было бы интегрированием по частям преобразо-
преобразовать так, чтобы уменьшить требуемую гладкость функций qp,-.
Такие аппроксимации решения обычно связывают с именем
русского математика Б. Г. Галеркина A871 —1945). Во мно-
многих советских учебниках о них говорят как о методе Бубно-
Бубнова — Галеркина (Михлин и Смолицкий, 1965; Вулих, 1967).
Слабые решения
Часто функцию ы(х), которая удовлетворяет линейному
дифференциальному уравнению
Au = f (x е= R),
называют классическим решением, в отличие от слабого реше-
решения, которое удовлетворяет уравнению
(Au,v) = (f,v) (для всех dg^) C.22а)
или
(и, A*v) = (/, v) (для всех v е= Ж{). C.22Ь)
Пространство Ж содержит все измеримые допустимые функ-
функции, которые обращаются- в нуль на границе dR; про такие
функции иногда говорят, что они имеют компактный носи-
носитель. Пространство Ж\ а Ж содержит только те допустимые
функции, для которых A*v измерима.

3.4. Метод Галеркина °*
Отсюда следует, что если оператор А имеет порядок 2k, то
слабая форма C.22а) требует, чтобы решение и имело изме-
измеримые производные порядка 2k, что в терминах пространства
Соболева (см. гл. 5) можно Записать как и е 36% ' (R). Одна-
Однако вторая слабая форма задачи C.22Ь) требует только, чтобы
u^2?%(R); для пробных функций v — наоборот. Дополнитель-
Дополнительное требование обращения в нуль v на границе обычно — как
в гл. 5 — указывается как v е Зб\ ' {R).
С вычислительной точки зрения наиболее полезная слабая
форма задачи, называемая далее галеркинской формой1),
возникает из C.22а) или из C.22Ь) после k интегрирований
по частям. В этой галеркинской форме требования гладкости
минимальны в том смысле, что uell (R), v^M2](R).
Обычно в этом случае задача записывается так:
а (и, v) = (/, v) (для всех v «= 362), C.23)
где новое пространство пробных функций 36%, очевидно, удов-
удовлетворяет вложениям
(ЛО \ d <Л92 С— <Л9 .
Например, галеркинская форма дифференциального опера-
д2 дг
тора — -^рг — -gjr имеет вид
R
где в этом случае k = \. Форма Галеркина дифференциально-
го оператора -^- + 2 дх2 ду2 + -щ^ (см. гл. 2) выглядит так:
Можно показать, что при достаточно внимательном отно-
отношении к граничным условиям слабое решение единственно и
совпадает с классическим: один из таких результатов приво-
приводится в теореме 5.2 гл. 5. Существование и единственность
слабых решений изучаются также в книгах Берса, Джона и
Шехтера A966), с. 206, Нечаса A967), с. 23 и Лионса и Мад-
женеса A971), § 2.9. В этой книге предполагается, что про-
пространства 36и 36ч, 36 выбраны правильно, а тогда решения
задач C.22а), C.22Ь) и C.23) совпадают с требуемым клас-
классическим решением. Вообще единственной рассматриваемой
') Под формой Галеркина здесь понимаются и слабая постановка за
дачи, и слабая форма уравнения и некоторый билинейный функционал.
Нам кажется, что в контексте это не вызовет недоразумения.—Прим., перев.

62 Гл. 3. Методы аппроксимации
здесь слабой формой является форма Галеркина. Аппрокси-
Аппроксимация Галеркина U удовлетворяет системе
a(tf,<Pi) = (f.<Pi) (/=1, .... АО. C.24)
Поскольку функции ф; порождают конечномерное подпрост-
подпространство Kn, утверждение, эквивалентное системе уравнений
C.24), есть
a(U,V) = (f,V) (длявсех Fe^). C.24а)
Заметим, что и (или U) не обязательно из энергетического
пространства, это требование накладывается только на v
(или V). Так, если заданы неоднородные граничные условия
Дирихле, то может быть удобным использовать аппроксима-
аппроксимацию вида
где функция W удовлетворяет граничным условиям.
В уравнениях Галеркина естественно предполагать, что
приближение U и пробные функции V определяются одним
множеством базисных функций q>,- (i=l, ...,N). В этом
случае в задачах, в которых возможны как аппроксимации
по Ритцу, так и аппроксимации по Галеркину, оба метода при-
приводят к одному и тому же решению. Другая аппроксимация
получается с использованием тех же базисных функций ср, е
е Kn, но при пробных функциях, выраженных через некото-
рые ф; g Lji (t = l, ..., N), где Kn и Ln — разные подпро-
подпространства пространства Ж.
Метод наименьших квадратов можно рассматривать как
метод этого типа с af>« = Л<р,- (t=l, ..., N). Использование
двух множеств, {<р,} и {af>,}, несовпадающих базисных функ-
функций для определения аппроксимации указанного выше вида
из условий
a(U,^) = (f,^) (i = h ..., N) C.25)
приводит различных авторов к развитию так называемых со-
сопряженных аппроксимаций (см. Оден, 1976, и приведенную
там библиографию) и к так называемому методу взвешенных
невязок (см. Финлейсо-н и Скривен, 1967, и имеющиеся там
ссылки). В разд. 7.4(Е) на примере показано, что в некото-
некоторых практических задачах есть определенные вычислитель-
вычислительные преимущества, связанные с выбором пробных функций
другого вида, нежели приближенное решение. Однако ни
здесь, ни в гл. 5 нет возможности для обсуждения теоретиче-
теоретических выгод таких методов; для этого читателю следует обра-
обратиться к указанной литературе.

3.4. Метод Галеркина 63
Метод Галеркина можно применить к решению нелиней-
нелинейных задач, но только в специальных случаях удается полу-
получить слабую форму с меньшими требованиями гладкости. Один
из примеров такого рода — дифференциальное уравнение
Оно приводит к форме Галеркина
ми, *>- \\ [,«/> т Dg.)+,(B
-(?,ф|) ((=1,2 И)
Сопряженные формулировки
Вариационное исчисление можно распространить на широ-
широкий класс задач, допускающих применение метода Галерки-
Галеркина. В предыдущей главе был получен формальный лагран-
лагранжиан диссипативной системы путем рассмотрения сопряжен-
сопряженной задачи. Если ищутся приближенные решения как основ-
основной, так и сопряженной задач, то аппроксимация Галеркина
находится из условия стационарности этого лагранжиана.
Фактически C.24) возникает как необходимое условие ста-
стационарности лагранжиана.
В качестве простого примера рассмотрим уравнение
_^_ + *!fL + 2-^ = 0 C.26)
дх2 ' ду2 ' ду v '
в некоторой области R czR2 при условии и = 0 на границе
dR. Будем называть эту задачу основной. Сопряженной зада-
задачей будет решение сопряженного уравнения
** *?.-2-?¦ = О C.27)
дх2 ду2 ду
в R при аналогичном граничном условии и* = 0.
Нетрудно убедиться в том, что C.26) и C.27) оказывают-
оказываются уравнениями Эйлера — Лагранжа, соответствующими ва-
вариации функционала
Следует, однако, помнить, что основное уравнение C.26) по-
получается из условия
6и.1(и, и*) = 0, C.29а)

64 Гл. 3. Методы аппроксимации1
а не из условия
Ьи1{и,и*), C.29Ь)
так как C.29Ь) ведет к сопряженному уравнению.
Если мы ищем приближенное решение основной задачи
в виде U = 2 0,-ф,-, то приближенное решение сопряженной
N
задачи необходимо получить в той же форме, U* = ? Р,<р,-;
другой вид сопряженной аппроксимации даст скорее C.25),
чем C.24). Эти приближения можно найти как стационарную
точку функционала C.28) относительно неизвестных коэффи-
коэффициентов а, и р,. Таким образом мы от C.29а) приходим к
-^ / (U, U*) = 0 (i = 1, ..., ЛО, C.30а)
а от C.29Ь) — к
-^ I (U, U*) = 0 (i = 1 ЛО. (З.ЗОЬ)
Если мы рассматриваем функционал I(U, U*) из C.28), при-
приближенное решение основного уравнения получается из си-
системы уравнений
\Ш) (*)+(f) Ш+"Ш -(§) *Ь*-о
C.31)
(*=1,..., ло.
Более прямой способ получения аппроксимации Галеркина
следует из слабой формы уравнения C.26). Легко проверить,
что слабой формой Галеркина уравнения C.26) является
а (и, v) = 0 (для всех v e Ж),
где
dv
а отсюда сразу получаем, что аппроксимация Галеркина, воз-
возникающая из системы уравнений
a(U, ф,) = 0 (i=l, ..., N), C.32)
удовлетворяет уравнениям C.31). Таким образом, на приме-
примере данной задачи показано, как одна и та же система уравне-
уравнений может быть получена двумя математически разными спо-

3.4. Метод Галеркина 65
собами: как слабая форма исходного дифференциального
уравнения, или как условие стационарности некоторого функ-
функционала. Сопряженная задача, нужная для определения под-
подходящего функционала, вообще говоря, является всего лишь
математическим приемом и не имеет физического смысла.
Поэтому в дальнейшем метод Галеркина исследуется на осно-
основе слабой формы уравнения, на другую же формулировку де-
делаются только ссылки.
В качестве примера возьмем уравнение C.26) в области
— у я < х, у < -2 я с граничными условиями
и(х, —1я) = 0 (|*|<уя). C.33)
Применим к этой задаче метод конечных элементов Галеркина
для получения приближенного решения на классе кусочно-
билинейных функций, использованном ранее. Введем функцию
<«• <*-К*I-*¦](* + *)¦?•
которая удовлетворяет граничным условиям, после чего най-
найдем аппроксимацию Галеркина вида
т
U (х, у) = Е ацЧ>ц (х, y) + w (х, у)
из системы уравнений C.31). Результаты вычислений при
различных сетках, описанных ранее, приводятся в табл. 2. На
рис. 10 изображено положение точек, включенных в таблицу.
Хотя здесь нет той симметрии, которая была ранее, необхо-
ТаЗлица 2
Точка
1
2
3
4
5
6
7 = 3
1.826
1.324
0.934
1.301
0.940
0.665
Решение
7 = 7
1.822
1.314
0.870
1.309
0.933
0.617
Т= 15
1.821
1.311
0.859
1.310
0.931
0.608
Точное
1.821
1.310
0.855
1.311
0.931
0.605
3 Зак, 672

66
Гл. 3. Методы аппроксимации
@,0)
1
2
3
4
5
6
Рис. 10.
димо рассматривать все еще только половину области. Точное
решение уравнения C.26), удовлетворяющее граничным ус-
условиям C.33), выглядит так:
ft-l
sin([2fe-lp+D'/2y
sin([2fe— 1]2+ lI/2-?
ch
ch([2*-I]*
Л/2
у 1 cos Bfe — 1) л:
Л f (-l)fe-1Bfe- IK '
2 J
Здесь следует подчеркнуть, что во всех вариантах метода Га-
леркина система уравнений получается без особых затруд-
затруднений.
Полудискретный метод Галеркина
Если метод Галеркина следует из вариационного принци-
принципа, получаемого с помощью введения сопряженной задачи,
должно быть ясно, что, применяя метод, описанный в разд. 3.3,
можно свести диссипативное уравнение с частными производ-
производными к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Такой подход имеет небольшую ценность для решения крае-
краевых задач, и так как для задач с начальными данными нет ва-
вариационной формулировки, мы не рассматриваем подробно
этот метод. Следующее ниже упражнение предназначено чи-
читателям, интересующимся данным методом.
Упражнение 6. Положим
w (х, у) —
(х) Ф; (у),
C.34a)
C.34b)

3.4. Метод Галеркина
67
где ф1 и ф2 — кусочно-линейные функции. Постройте функцио-
функционал l(w, w*), соответствующий уравнению C.26) с граничны-
граничными условиями C.33), а затем, используя w(x, у) и w*(x, у),
указанные в C.34а) и C.34Ь), найдите решение уравнений
од,
= 0 (/=1,2),
т. е. определите полудискретное решение Галеркина уравне-
уравнения C.26), удовлетворяющее C.33). Сравните ваше решение
с результатами, приведенными в табл. 2.
Метод переменных направлений Галеркина (ПНГ) для случая
прямоугольных областей (Дуглас и Дюпон, 1971)
Когда метод конечных элементов применяется к одномер-
одномерным линейным задачам, матрица получающейся системы ли-
линейных алгебраических уравнений имеет простой ленточный
вид, тогда как задачи большей размерности дают блочно-лен-
точные матрицы, у которых каждый блок сам является лен-
ленточной матрицей. Например, в двумерном случае билинейная
аппроксимация часто приводит к системе с матрицей вида
DE
CDE
CDE
CD.
где С, D и Е — трехдиагональные матрицы.
Имеется несколько алгоритмов решения систем уравнений
с ленточными матрицами, эффективных и дешевых (т. е. даю-
дающих максимальную точность при минимуме времени и памя-
памяти), однако такие методы менее эффективны и значительно
дороже в применении к задачам с блочно-ленточными матри-
матрицами. Цель метода ПНГ в методе конечных элементов та же,
что и в методе переменных направлений в разностных схемах,
а именно свести систему уравнений многомерной задачи к по-
последовательности систем, по форме аналогичных системам
уравнений, возникающих в одномерных задачах (Митчелл,
1967).
Для того чтобы применять метод ПНГ, необходимо пред-
предполагать, что базисные функции имеют форму тензорного
произведения, т. е.
<ttl(x, y) =
(/=1,
Nx; 7 =
Ny).
3*

68 Гл. 3. Методы аппроксимации
Матрицу G = {а((рц, <р«)} можно тогда разложить так, что
а
(г, fe=l, ..., Nx; j, l=\ Ng).
Если А—(iVX ЛГ) -матрица и В—(M X М) -матрица, то
матричное тензорное произведение, обозначаемое A <g) В, есть
(NM X JVA1) -матрица
апВ ...
_aNlB ... aNNB _
Теперь матрицу G можно записать как
Ау,
если узлы упорядочены по столбцам. Система уравнений при-
принимает вид
{ Ах ® By + Вх ® Ау} а = Ъ
и решается посредством итераций
- Ах) ® AпВу - А
в два этапа:
(КпВх + Ах) <S> In a("*) = ij}*"», C.35 а)
hx ® {KBy + Ay) a<"> = a<"*). C.35b)
Можно расщепить эти уравнения так, что если aPiC =
=(api, ..., o,pn У (р = 1 iV*) — столбец значений на сетке,
а аР, я = (aip aNxp)T (Р == Ь • • • > ^/) — строка значений на
сетке, то C.35а) переходит в
а C.35Ь) — в
-«^ (Р =
Дуглас и Дюпон показали, что при подходящем выборе после-
последовательности параметров итераций {кп} метод ПНГ оказы-
оказывается быстро сходящимся.

3.5. Проекционные методы . 69
Метод коллокации
Метод коллокации во многих отношениях подобен методу
Галеркина. Он предусматривает такой выбор коэффициентов
at (i = 1 N) в представлении
N
что дифференциально.е уравнение удовлетворяется точно в не-
некоторых определенных точках. Было показано (де Бур и
Шварц, 1973; Лукас и Редин, 1972; Элберг и Ито, 1975), что
для обыкновенных дифференциальных уравнений при пра-
правильном выборе точек коллокации метод подобен по точности
методу Галеркина с тем же самым набором базисных функ-
функций ф< (/=1, ..., N). Если, например, базисные функции
являются эрмитовыми кусочно-полиномиальными функциями
степени 2г—1, точки коллокации на кажом подынтервале
[xit Xi+i] берутся в нулях полинома Лежандра
/2x-xt+l-xt\
\ *,+ ,-*! У
Преимущества метода коллокации состоят в следующем:
(I) Нет скалярных произведений, а значит, не нужно ин-
интегрировать, как в методах Галеркина и Ритца.
(II) Окончательные алгебраические уравнения имеют
меньше членов, чем соответствующие уравнения для
аппроксимаций Галеркина.
Главный недостаток метода коллокации заключается в не-
необходимости использовать базисные функции степени (по
меньшей мере) 2k для дифференциального уравнения поряд-
порядка 2 k.
Методы, использующие коллокацию, были разработаны
также и для эволюционных задач (Дуглас и Дюпон, 1973).
Пример, включающий коллокацию, приводится в разд. 7.4(В).
3.5. Проекционные методы
Ранее в этой главе эквивалентность вариационного урав-
уравнения
6,I(v) = Q C.36)
и дифференциального уравнения
Au = f C.37)

70 Гл. 3. Методы аппроксимации
использовалась для получения приближенного решения Рит«
ца вида
N
J Т V
1-1
Параметры a* (t = l, ..., N) определяются из вариацион-
вариационных уравнений
==0 (t = l, .... N),
которые можно записать в более явной форме
N
a(<Pi> Ф/)а/ = (Фг. /) (i=\, ..., N). C.38)
Е
Е
В разд. 1.3 показано, что если Ж— гильбертово простран-
пространство со скалярным произведением [,] и Kn — любое iV-мер-
ное подпространство Ж, то для любого q e Ж его ортого-
ортогональная проекция на Kn,
N
^ = Еед>„ C.39)
такова, что
Е [Ф|, Ф/] а/ = [ф<, Ч\ (i == 1, • • •, АО, C.40)
где фг (/=1, ..., N) образуют базис Kn- Отсюда следует,
что q является единственной наилучшей аппроксимацией, как
и в разд. 1.2. Теперь покажем, что не только C.38) и C.40)
кажутся похожими, но и аппроксимации обладают аналогич-
аналогичными свойствами.
Пусть с(в — пространство допустимых функций, соответ-
соответствующее дифференциальному уравнению Аи = / с заданны-
заданными граничными условиями. Тогда энергетическое пространст-
пространство Жа оператора А данной задачи есть подпространство Ж,
содержащее все допустимые функции ы(х) и v(\), такие, что
функционал a(u,v), определенный в разд. 3.4, ограничен.
Скалярное произведение в энергетическом пространстве Жа
определяется как
(и, vjA = а (и, v),
а норма, которую называют энергетической нормой, — как
В этом определении предполагается, что если можно пре-
преобразовать скалярное произведение (,)л, используя интегри-

3.5. Проекционные методы 71
рование по частям, то именно преобразованная форма исполь-
используется в определении энергетического пространства. Если это
сделано, энергетическое пространство оказывается полным,
а значит, гильбертовым.
Теорема ЗД. Если линейный оператор А положителен и
самосопряжен, приближенное решение Ритца дифференциаль-
дифференциального уравнения Аи = f является ортогональной проекцией
точного решения на аппроксимирующее подпространство энер-
энергетического пространства. Таким образом, аппроксимация
Ритца есть наилучшая аппроксимация в смысле энергетиче-
энергетического пространства.
Доказательство. Доказательство прямо следует из опреде-
определения аппроксимации Ритца, данного в разд. 3.1. Наилучшая
аппроксимация
U = Е
i
точного решения «0^в смысле энергетической нормы есть U
е Kn, такое, что
т. е.
a (U — щ, Ф») = О (t=l N). C.41)
Если решение единственно, то C.41) можно переписать как
C.38). Отсюда следует требуемый результат, если только а —
действительно норма. Можно показать (Михлин, 1976, с. 86),
что билинейная форма а является нормой тогда и только тог-
тогда, когда C.36) эквивалентно C.37), а это завершает доказа-
доказательство.
Приближенное решение Ритца уравнения C.2), например,
есть наилучшая аппроксимация точного решения в смысле
полунормы Дирихле
I " ll. R = .
¦{У [(?)*+е$)>«}1
Упражнение 7. (I) Покажите, что для того, чтобы (,)д
было скалярным произведением, a [|.|U — нормой, оператор А
должен быть положительно определенным и самосопряжен-
самосопряженным.
(II) Покажите, что a(u,v) ограничена тогда и только тог-
тогда, когда и \\u\\a и НИЦ ограничены. Отсюда покажите, что
и — элемент энергетического пространства тогда и только
тогда, когда ||ы||д ограничена.

72 Гл. 3. Методы аппроксимации
Упражнение 8. Покажите, что функционал I(v), соответст-
соответствующий дифференциальному уравнению Аи = / в области R
с граничным условием и = О, можно переписать как
I(v) = \\v-uo\fA-\\uoffl C.42)
или
где Ыо — точное решение дифференциального уравнения.
Упражнение 9. Укажите класс дифференциальных уравне-
уравнений, для которых аппроксимация Ритца оказывается наилуч-
наилучшей в смысле нормы Соболева:
Метод наименьших квадратов
Метод Ритца дает наилучшую аппроксимацию решения
линейного дифференциального уравнения Аи = f в смысле
энергетической нормы тогда и только тогда, когда оператор
А — положительно определенный и самосопряженный. Хотя
метод Галеркина можно использовать для приближенного ре-
решения более широкого класса задач, мы уже не получим наи-
наилучшей аппроксимации того же типа. Чтобы получить «наи-
«наилучшую аппроксимацию» в несамосопряженных задачах, не-
необходимо переформулировать процедуру аппроксимации и
ввести так называемый метод наименьших квадратов.
Напомним, что аппроксимация Ритца есть решение вариа-
вариационной задачи
min \\U — uofA,
U<=KN
где и0 — неизвестное решение. Теоретически можно заменить
энергетическую норму ||.||л на любую другую при условии, что
нам требуется Аи0, а не решение и0 само по себе. Таким обра-
образом, мы можем определить аппроксимацию U как решение
задачи
min || AU — Аи01|2
U<=KN
или
min || Ж/-/IP;
V<=KN
это и есть основа метода наименьших квадратов (Брамбл и
Шатц, 1970; 1971). Если применить вариационное исчисление
к вычислению необходимых условий стационарности такого

3.5. Проекционные методы 73
функционала, получается уравнение Эйлера — Лагранжа,
включающее оператор А*А, т. е. получается уравнение более
высокого порядка, чем исходное. По этой причине необходимо
быть осторожными с утверждением, что решения задач совпа-
совпадают, особенно когда заданы неоднородные условия Дирих-
Дирихле; таким образом, если только не налагаются дополнитель-
дополнительные условия на аппроксимирующие функции, мы должны ви-
видоизменить функционал (см. разд. 3.2). Если мы полагаем
и = g на OR, аппроксимация по методу наименьших квадра-
квадратов могла бы минимизировать, например,
dR
при подходящем выборе X.
Хотя подробное рассмотрение метода наименьших квадра-
квадратов остается вне рамок этой книги, он снова упоминается в
разд. 5.4(D). Численные эксперименты с методом наимень-
наименьших квадратов можно найти в гл. 7.

ГЛАВА 4
БАЗИСНЫЕ
ФУНКЦИИ
В разд. 1.1. были построены элементарные базисные функ-
функции для прямоугольных и многоугольных областей, причем
первые разбивались на прямоугольные элементы, а вторые —
на треугольные. В данной главе базисные функции строятся
для разнообразных по форме элементов в случаях двух и трех
измерений.
4.1. Треугольник
(А) Лагранжева интерполяция
Треугольник, или двумерный симплекс, является, вероят-
вероятно, наиболее широко используемым конечным элементом.
Одна из причин этого в том, что любую область в двумерном
пространстве можно аппроксимировать многоугольниками, ко-
которые всегда можно разбить на конечное число треугольни-
треугольников. Кроме того, полный полином порядка т
E «У D.D
может быть использован для интерполяции функции, скажем
U(x, у), по значениям в -j (т + 1) (т + 2) симметрично рас-
расположенных узлах в треугольнике. Первые три случая этого
общего представления для треугольника Р1Р2Р3 с координа-
координатами вершин соответственно {х\,у\), (х2,У2), (*з, Уз) таковы:
A) Линейный случай (т = 1). Здесь интерполирующий
полином имеет вид
з
1^ (х, у) = а1 + а^с + а3у = Е V,pf (*. у),
где Uj (/ = 1,2,3) — значения U(x,y) в вершинах р/, а
D>2)

4.1. Треугольник 75
где
Г ! х у I Г1 х, у, I
Dkl = det I 1 xk уЛ, С1Ы = det 1 xk yk\,
L 1 xi yt J L 1 xi уi J
причем (j,k,l)—произвольная перестановка из A, 2, 3), a
| С/*/1—удвоенная площадь треугольника PiP^Ps; нетрудно
заметить, что
B) Квадратичный случай (пг = 2). Теперь полином имеет
вид
П2 (х, y)=Yj, U,pf] (x, у), D.3)
где Uj (/' = 1, ..., 6) — значения U(x, у) в вершинах Р/ (/ =
= 1, 2, 3) ив средних точках Р/ (/ = 4, 5, 6) сторон PiP2,
Р2Р3, Р3Р1 соответственно. Функции pf> (х, у) (/ = 1, 2, ..., 6)
задаются формулами
] (х, у) и pf^ (x, у) — аналогично) и
pf(x, у) = Щ№
1 (x, у) и р® (х, у) — аналогично). Снова видно, что
Особо отметим, что базисные функции pf> (х, у) (/ = 1, ..., 6)
можно выразить через базисные функции р^Цх, у) (/ = 1,2,3).
Это верно почти для всех базисных функций, которые мы бу-'
дем рассматривать, и поэтому для упрощения формул мы
будем писать просто р/ вместо р\1) (/== 1, 2, 3).
C) Кубический случай (т = 3). Интерполирующий поли-
полином есть
ю
Щ(х, y)=T,iUipfHx, У), D.4)
где ?// '(/ = 1, 2, 3) — значения U(x, у) в вершинах Р\, Рг, Рз,
Uj (/ = 4, 5, ..., 9) — в точках трисекции сторон, a Uu> — зна-
значение U{x,y) в центре тяжести треугольника. Базисные функ-

76 Гл. 4. Базисные функции
ции таковы:
аналогично pf (х, у) и рр (х, у),
Р?Чх, ^) = -|р1р2(Зр1 - 1), /#> (х, у) =| р,р2Cр2 - 1),
аналогично р® (х, у), ..., р^3) (х, у), а
Десятый параметр может быть исключен с помощью линей-
линейного соотношения
9 3
/-4 /=1
и получающаяся функция будет еще точно интерполировать
квадратичные функции (Сьярле и Равьяр, 1972 а); это пример
так называемого исключения внутренних параметров. Тре-
Треугольники для m = 1, 2, 3 показаны на рис. 11.
Упражнение 1. Проверьте, что
9
11 (Y 1l\ / fln^iv tA
U \Л, у) ?_j U tfJ. \Л, у)
1=1 ' '
интерполирует квадратичные полиномы точно, если pf] =
= pf + a,pf0 (/ = 1 9), где
4 (/=1,2,3)
4 (/ = 4 9)
Упражнение 2. Покажите, что
Упражнение 3. Выразите pfHx, у) (/ = 5, б, 7, 8, 9) через
Pk{x,y) (k= 1,2,3).
Вернемся теперь к общему случаю полного полинома т-го
порядка (см. D.1)). Этот полином имеет -j (т-\- 1) (т + 2)
коэффициентов, которые могут быть выбраны так, чтобы по-
полиномом интерполировал U(x,y) по значениям в -^-(т+ 1) X
Х(/я+2) симметрично расположенных точках треугольника

4.1. Треугольник 77
P1P2P3, координаты которых
уМ, У ML, D.5)
где Pi, P2, Рз — целые числа, удовлетворяющие условиям 0 ^
^ Р* ^ т (k = 1, 2, 3) и Pi + р2 + Рз = m. Эти точки вклю-
включают три вершины треугольника Р\Р2Ръ- Остальные точки по-
получаются разбиением каждой стороны треугольника на т
равных частей как точки пересечения прямых, параллельных
сторонам треугольника и проходящих через точки разбиения.
В результате получается разбиение треугольника на т2 рав-
равных треугольников, чьи вершины суть ^-(m-f- l)(m-[-2) точек,
описанных в D.5). Если обозначить через' U/ значение U(x,y)
в такой точке, интерполирующий полином степени т можно
выразить формулой
~{т + \) (т+2)
U(x,y)= Yj UtP(im)(x,y), D.6)
/=1
где суммирование осуществляется по всем точкам, а
Р^Цх, у) — полиномиальная базисная функция степени т,
принимающая значение 1 в точке, связанной с тройкой (Рь
Рг, Рз), и значение 0 во всех остальных узлах. Формула D.6) —
интерполяционная формула лагранжева типа.

78 Гл. 4. Базисные функции
Стандартный треугольник
Из формулы D.2) легко вывести, что
(D Ер/ (х, У)=\,
(II) линейные уравнения pj(x,y) = 0 (/=1, 2, 3) пред-
представляют стороны треугольника Р2Рз, РгРи Р\Рг
соответственно и
(III) Pi(x,y)= 1 (/= 1, 2, 3) в вершинах Ри Р2, Ръ соот-
соответственно.
Иначе говоря, треугольник Р\Р2Ръ в плоскости (х, у) пре-
преобразуется в стандартный треугольник П1П2П3 в плоскости
(рир2) по формулам D.2), причем IIi = (l,0), П2 = @, 1),
П3 = @, 0) (см. рис. 12). Обратное преобразование плоскости
(Ри Рг) в плоскость (х, у) выражается формулами
D.7)
Поскольку все треугольники треугольной сетки в плоскости
(х, у) могут быть преобразованы в этот стандартный треуголь-
треугольник, очень удобно работать со стандартным треугольником и
в нужный момент выражать результат в терминах конкрет-
конкретного треугольника плоскости (х, у) с помощью линейного
преобразования D.7). Эта процедура будет использоваться
неоднократно в этой главе и в следующей, когда будут встре-
встречаться треугольные элементы.
Рис. 12.

4.1. Треугольник 79
Геометрический метод построения базисных функций
Опишем теперь для треугольника в квадратичном и куби-
кубическом случаях простую геометрическую процедуру построе-
построения базисных функций, полученных из лагранжевой интерпо-
интерполяции. К примеру, в первом случае базисная функция р^Цх, у)
должна быть равной нулю в узлах р/ (/ = 2, 3, ..., 6) и еди-
единице в узле Р\. Прямая р\ = 0 проходит через точки Р2, Рг и
/>5, а прямая линия Pi = y проходит через точки Р4, Ре, и та-
таким образом получается базисная функция pf> (x, у) =
= pjBpj—1). Функции pf](x, у), р?\х, у) получаются
аналогично. Базисная функция в узле, расположенном посре-
посредине стороны, скажем в Р4, получается из прямых р\ = 0 и
р2 = 0, которые проходят через точки Рг, Рг, Ръ и Pi, Рз, Ре
соответственно. Требуемая базисная функция, нормированная
в точке Р4, естьр42) (х, у) — \рхр? функции р??> (х, у) и pf (x, у)
получаются аналогично. В кубическом случае построения
осуществляются аналогичным образом.
С0-аппроксимирующие функции ')
В общем случае функция интерполируется по значениям
в -g- (пг + 1)(я* + 2) точках в треугольнике. На стороне тре-
треугольника интерполирующая функция сводится к полиному
степени пг от переменной s, которая измеряется вдоль сторо-
стороны треугольника. Этот полином интерполирует U(x,y) по
значениям в (пг + 1) точках на стороне треугольника и, зна-
значит, определен однозначно. Кроме того, при любой триангуля-
триангуляции каждая сторона (внутри области) принадлежит двум тре-
треугольникам. Если функция интерполирует в каждом треуголь-
треугольнике по -g- (пг + 1) (т + 2) симметрично расположенным точ-
точкам, она представляется единственным полиномом от s степе-
степени пг на общей стороне. Это означает, что интерполирующая
функция на полной треугольной сетке непрерывна на внутрен-
внутренних сторонах сетки и, таким образом, имеет на многоуголь-
многоугольной области гладкость С0.
(В) Эрмитова интерполяция
Как альтернативу интерполяции функции U(x,y) на боль-
большом числе точек, симметрично расположенных в треугольни-
') С*-аппроксимирующими (или С*-гладкими) называются такие ап-
аппроксимации, у которых все производные до порядка k $s 0 включительно
непрерывны во всей области. — Прим. перев.

80 Гл. 4. Базисные функции
ке, можно рассматривать интерполяцию U(x,y) и некоторых
ее производных по меньшему числу точек.
Класс полиномов, соответствующий этой задаче, содержит
полные полиномы Gv(x,y) нечетной степени 2v + I (v = 1, 2,
3, ...,), которые определяются значениями
D'GAPi) (Ul<v; /=1, 2, 3), и
Здесь Pi, Р2, Р% — вершины треугольника, a Pi — его центр
тяжести; i= (/i,/2). где i\, h — неотрицательные целые чис-
ла, М=
Это пример мультииндексных обозначений производных. Пер-
Первые два случая этого общего представления таковы:
A) Кубический случай (v = 1). Здесь полный кубический
полином имеет десять коэффициентов, которые определяются
по значениям функции и ее первых частных производных в
вершинах и по значению функции в центре тяжести треуголь-
треугольника, причем однозначно. Поэтому в этом случае мы можем
записать полином Пз(*, у), данный в D.4), в виде
3) (*,</) +
Mll D-9)
где
qf (х, у) = Pj (Зр, - 2р) - 7pkPt),
qf (х, у) = 27ptp2ps,
rf (х, у) = ps \ljkpk (pt - p,) + ljlpl (pk - p,)l
a sf] (x, у) получается из rfp (x, у) заменой | на т). В этих
формулах (/, k,l) — любая циклическая перестановка A,2,3).
Этот элемент широко используется в методе конечных эле-
элементов.
B) Случай полинома пятой степени (v = 2). Полный по-
полином пятой степени имеет 21 коэффициент; они однозначно
определяются значениями функции и ее первых и вторых ча-
частных производных в вершинах и значениями функции и ее
первых частных производных в центре тяжести. Этот элемент
редко используется на практике и поэтому не рассматривает-
рассматривается здесь подробно.

4.1. Треугольник 81
Упражнение 4. Покажите, что на стороне треугольника
функция, заданная в D.9), сводится к полиному степени 3 по
переменной s, которая определяется вдоль стороны треуголь-
треугольника. Покажите также, что этот поплином однозначно опреде-
определяется значениями функции и ее первых частных производ-
производных в вершинах, являющихся концами стороны. Отсюда по-
покажите, что интерполирующая функция этого элемента имеет
гладкость С0.
В случае кубической эрмитовой интерполяции можно ис-
исключить значение U(x,y) в центре тяжести и еще точно ин-
интерполировать квадратичные полиномы. В этом случае дела-
делается замена
где ХA) обозначает суммирование по (/, k, l) для всех цикли-
циклических перестановок A, 2, 3).
Интерполирующий полином теперь имеет вид
. у)
где
<??>* (х, У) = р, (Зр, - 2р) + 2pkPl), D.10а)
rf (х, У) = Р) {р&, + РМ + $ P,PkPi (!„ + lki) D- ЮЬ)
и (/, k, I) —любая перестановка A, 2, 3). Функции sf* полу-
получаются из D.10Ь) заменой | на х\.
Упражнение 5. Проверьте, что квадратичные функции точ-
точно интерполируются сокращенным кубическим интерполян-
том.
Упражнение 6. Используя линейное преобразование по
формулам D.7), покажите, что D.10) в переменных стандарт-
стандартного треугольника имеет вид

82 Гл. 4. Базисные функции
где
dU .. dU . dU ,. , оч
^-^^з-^Г+Л/з^г 0=1.2)
и функции 9/3>*. '¦/3)* и sfv{\=\, 2, 3) задаются формулами
(/ = 2,3),
0" = 2)
Для доказательства можно воспользоваться соотношением
s<3)* = < 1
' { PJP + -2 Р1Р2Р3
где (/, k, I) —любая перестановка A, 2, 3).
Упражнение 7. В частном случае Pi = A, 0), Р2 = @, 1),
Рз= @,0) найдите G\{x, у) из D.10), а затем покажите, что
производные от G\(x, у) по нормалям к сторонам описываются
формулами
+*(?),-(#),-«'¦-*(? W(?

4.1. Треугольник 83
где
Х = х+у, Y = y-x, Ы +
dY 2 V dx ~*~ dy ) '
Трикубическая интерполяция
Биркгоф A971) предложил треугольный элемент, вклю-
включающий двенадцатипараметрическое семейство всех полино-
полиномов четвертой степени, которые кубичны вдоль любой прямой,
параллельной любой стороне треугольника. Относительно
стандартного треугольника такое семейство выражается фор-
формулой
V(p,q)= I alkp{pl, D.11)
причем
°31 ~Ь а13 — а22-
Полином D.11) называется трикубическим: Этот полином
однозначно определяется по значениям U, dU/dp[t dU/dp2 и
d2U „ о д2и
—~ д в каждой вершине. Здесь -5—3 смешанная производ-
производная, вычисляемая в каждой вершине по направлениям ens,
параллельным смежным сторонам. Эту единственную интер-
интерполирующую функцию можно представить в виде
где коэффициентами при ф^ и ф; служат значения соответ-
соответствующих производных от U в вершине П/ стандартного тре-
треугольника (рис. 12). Функции ф| и ф; имеют вид
(/=1)
(/ = 2)
(/ = 1)
ф(о. 1) = { р\р2 (р2 - 1 - 4Plp3) (/ = 2)
[ (/ = 3),

84 Гл. 4. Базисные функции
где (/, k, I)—любая перестановка A, 2, 3). Заметим, что
здесь D' представляют производные в плоскости {р\,р2).
Смешанные производные (d2U/drds) > (/=1, 2, 3) суть про-
d2U d2U dW _
сто ~ TfTdQ ' J^dQ • д^Гд^ соответственно, где Q = р2 - />,.
Единственная интерполирующая трикубическая функция для
конкретного треугольника на плоскости (х, у) получается из
D.12) с помощью линейного преобразования D.2), т.е. под-
подстановкой вместо р\, р2, рз их выражений из D.2).
Упражнение 8. Покажите, что трикубические полиномы
дают аппроксимирующую функцию гладкости С0 (т. е. просто
непрерывную) на сетке треугольных элементов.
(С) С -аппроксимирующие функции
Рассматриваемый здесь треугольный элемент использует
полное семейство полиномов пятой степени. На плоскости
стандартного треугольника полный полином пятой степени
имеет вид
U(Pvp2)= I\*lkPlPk2. D-13)
Коэффициенты a,jk можно выразить через D'U(Pj) (|г|^2;
/ = 1,2, 3) и dU/dn(P,) (/ = 4, 5, 6), где Р, (/ = 1, 2, 3)-
вершины, а Р; (/ = 4, 5, 6) — середины сторон. Функция
U{pi,p2), заданная в D.13), сводится к полиному пятой сте-
степени по s вдоль каждой стороны треугольника, определенному
однозначно 6 граничными условиями, а именно значениями
d2U
U, dU/ds, -gp-, на концах каждой стороны. Нормальная про-
6U
изводная на каждой стороне,-^-, где п суть р2, pi + р2, р\
соответственно, есть полином четвертой степени по s; он опре-
дЬ д2и
деляется однозначно значениями -^ и dnds на концах каж-
ди „
дои стороны и значением -д— в середине стороны. Отсюда
видно, что полные полиномы пятой степени дают аппроксими-
аппроксимирующую функцию на сетке треугольных элементов, непрерыв-
непрерывную вместе со своими первыми производными на всей обла-
области. Про такую функцию говорят, что она имеет на области
гладкость С1.
На самом деле параметры, соответствующие нормальным
производным в серединах сторон, можно исключить без по-
потери С-гладкости на треугольной сетке. Это можно сделать,
если предположить кубическое поведение нормальной произ-
производной вдоль каждой стороны, а это эквивалентно требова-

4.1. Треугольник 85"
нию, что в D.13)
«41 =а14.
5а50 + а32 + а23 + 5cto5 = 0.
Таким путем от D.13) мы приходим к семейству полиномов,
зависящему от 18 параметров, и однозначно определенная
интерполирующая функция получается по формуле
U(Pv Р2) = Z , S О'^фКРр Р2). D-14)
где
Ю (/=L 2)
и (/, k, I) —циклические перестановки A, 2, 3),
фи. о) = р2 ( _ 4pi + 1р\ - Зрз —
1'0> = PiPl C
ф(о, о = р2р2 (^з - 2р, - 4 р2 - -| р1 + | р,р2) ,
Ф2°" 1) = Р\{~ 4р2 + 7р1 - Щ - Ц- р\Рз) ,
Ф',1' " = PiP2 (- I + р{ + \Р2 + ~ Р\- \ Р{р2)
Фз1' ° = Р1Р2 (-l+YPi + P2 + TP?~
Фз1'" = Р1Р2Р32.

86 Гл. 4. Базисные функции
Корректирующие функции
В другом методе получения С'-аппроксимирующей функ-
функции на треугольной сетке берется С°-аппроксимирующая функ-
функция из D.10) и к ней добавляются корректирующие члены,
которые повышают гладкость функции до С1. Эти корректив
рующие функции должны обращаться в нуль на периметре
треугольника и сводить нормальную производную функции
вдоль сторон треугольника от квадратичной к линейной функ-
функции, разумеется, без потери непрерывности функции и ее пер-
первых производных внутри треугольного элемента.
Одно семейство корректирующих функций, широко исполь-
используемых на практике (Зенкевич, 1967, с. 113), имеет вид
где (/, k, I) —перестановка A, 2, 3). Фактически Дюпюи и
Гель A970) показали, что С-гладкость получается, если к
правым частям D.10а) и D.10Ь) добавить
D.15а)
Т [&* + Ы А' + Cg" + 5g/* + 6т1" 77 sin
sin
где (/, k, I) —любая циклическая перестановка A, 2, 3), 9/ —
угол треугольника у вершины Р/, a L,- — длина стороны, ле-
лежащей против вершины Р,; 8s,- получается из D.15Ь) заменой
? и т| на т] и g соответственно.
Упражнение 9. Покажите, что в случае Pi = A,0), Яг =
-= @, 1) и Рз = @,0) дополнительные члены имеют вид
б<7з = — 2 б<72 = — 2 6<7i = 4 б^ == 4 6s2 = 4A + 4B — 2C,
6г2 = — 6sj = у Я — -j В,
бгз = 4(^+35 -С), ^

4.1. Треугольник 87
где
2(J 22
Отсюда, используя результат упражнения 7, покажите, что
нормальные производные линейны вдоль каждой стороны тре-
треугольника.
Другие корректирующие функции, указанные Клафом и
Точером A965), получаются так. Каждый треугольник раз-
разбивается на три треугольника с общей вершиной в центре
тяжести. Корректирующие функции выражаются формулой
p2, Рз) =
Ha Ti
«a Tk D.16)
Ha Tv
где Tj — треугольник напротив вершины Р\ и т. д., а (/, k, I) —
любая перестановка A, 2, 3). Добавки 8q,-, 8r,- и 6s,- полу-
получаются из D.L5a) и D.15Ь) с Л/ из D.16).
Упражнение 10. Для треугольника упражнения 9 найдите
корректирующие функции Л, В, С из D.16) и покажите, что
на стороне, описываемой уравнением х = 0,
ЗА „ ,, v дВ дО „
ж = -6уA-г/), ^-— = 0,
на стороне с у = 0
# = -6*A -х), # = # = 0,
и на стороне, точки которой удовлетворяют уравнению х -р
H-if = 1. _ _ _
дХ~ 2К >' дХ дХ ~"и>
где X = х + у и Y = у — л. Покажите, что отсюда следует
линейное изменение нормальных производных от q/ + 6
г,- + бг/ и s/ + fo/ вдоль сторон. (Указание. Используйте
зультат упражнения 7.)
Упражнение 11. Пусть функции Л/(л, у) имеют вид
ga малых треугольниках ГА. Проверьте, что

88 Гл. 4. Базисные функций
(I) в вершинах D!A, = 0 (|i| ^ 1) и
(II) на сторонах
0 (р,фО)
дп I PkPi (Pi = 0)
тогда и только тогда, когда
(!) Л// = Р1Р2Р3 + Р) (afjPj + aikPk + aiiPi) и
(II) Alk = р) (aklPl + akkPk + aklpt)
для любых констант ац, a-,k и т. д., где (j,k,l)—любая пе-
перестановка A, 2, 3).
После этого докажите, что функции А,-, заданные в D.16),
шмеют С'-гладкость на треугольнике P\PiPz, если приравнять
Л// и т. д. и их производные вдоль внутренних линий раздела.
Последний набор корректирующих функций таков:
2
PiPk
А](ри р2, Рз) = уз^-.
тде (j,k,l)—циклическая перестановка A,2,3). Биркгоф и
Менсфилд A974) использовали его для добавления к трику-
бическому полиному с целью получить С'-гладкость на тре-
треугольной сетке. Это С'-гладкое семейство, зависящее от 15 па-
параметров, легко выразить через значения U, dU/dpit dU/dp2
в вершинах и дИ/дп, d2U/dsdn в серединах сторон, где d/ds
и д/дп обозначают частные производные по направлениям
сторон и нормалей соответственно. Айронс A969) использовал
некоторые корректирующие функции для добавления к пол-
полному полиному четвертой степени и таким образом получил
семейство, зависящее от 18 параметров, которое также имеет
С'-гладкость на треугольной сетке.
4.2. Прямоугольник
Области типа прямоугольника, т. е. области со сторонами,
параллельными осям х и у, возникают во многих задачах фи-
физики и техники. Следовательно, прямоугольный элемент имеет
большое значение и в этом параграфе для него строятся ба-
базисные функции.
Бикубические эрмитовы функции
В параграфе 1.1 мы использовали билинейные функции от
х и у для построения базисных функций A.17), каждая из
которых равна нулю вне области, составленной из четырех

4.2. Прямоугольник 89
прямоугольных элементов. На всей прямоугольной области
кусочно-билинейные аппроксимирующие функции имеют С°-
гладкость. В этом пункте мы рассмотрим бикубические по-
полиномы
У D.17)
.=>G ft-0
на единичном квадрате 0 ^ х, у^1. Коэффициенты
«(ft @ ^ /, k =?Г 3) можно однозначно найти по значениям Я3,
дН% дН3 д*Н3
—¦fa-' ~~а^Г' gx qu в четырех вершинах, так что
S ФЩ1кЦН)%Чу), D.18)
, I, т^ 1
где
г|><°> (/) = р C — 20,
Нижний индекс jk указывает значение в вершине с х = j,
у = k.
Нетрудно увидеть, как можно изменить D.18) для получе-
получения требуемой эрмитовой бикубической интерполирующей
функции на прямоугольном элементе исходной области типа
прямоугольника. Аппроксимирующая функция на всей обла-
области получается затем аналогично выводу A.6). На этот раз
каждому узлу прямоугольной области соответствуют четыре
базисные функции. Для внутреннего узла, т. е. узла не на
границе прямоугольной области, каждая базисная функция
имеет своим носителем четыре прямугольных элемента. Для
узла на границе, но не в углу, базисная функция имеет носи-
носителем два элемента, а для узла в углу —один прямоуголь-
прямоугольный элемент. Кусочно-бикубическая аппроксимирующая функ-
функция на всей прямоугольной области оказывается С1' '-глад-
'-гладкой1)-
Упражнение 12. Используя D.18), покажите, что базисные
функции для D('' m)U @ ^ I, m ^ 1) в узле @, 0) единичной
ячейки получаются в форме тензорного произведения
') О- '-гладкость и(х,у) означает непрерывность всех производных
?><'¦ т> и @ < / < /, 0 s? m < k).

¦90 Гл. 4. Базисные функции
где
ф@)@=М1+/JA_20 (_
A-02/
Интересный прямоугольный элемент был описан Пауэл-
лом A973). Прямоугольник разбивается диагоналями на четы-,
ре треугольника, и предполагается, что на каждом треуголь-
треугольнике аппроксимирующая функция задается полной квадратич-
квадратичной по х и у функцией. Коэффициенты этих квадратичных
функций можно выбрать так, что получится С-гладкость на
прямоугольной сетке.
Бикубические сплайны
В разд. 1.1 было показано, что одномерный кубический
сплайн с локальным носителем длины 4/г имеет вид A.15).
Фактически этот сплайн, впервые предложенный Шёнбергом
A969), часто записывается как
М(х) = ^-1
где б — обычный оператор центральной разности, а константа
-гт- выбрана так, что
+ оо
Л M(x)dx = \.
— 00
Константа -г- в A.15) была выбрана с тем, чтобы
В, (/) = 1.
В областях типа прямоугольника, разбитых на прямоуголь-
прямоугольные элементы, рассмотрим сплайны Шёнберга М(х) из D.19)
и
M(y) = -Lb*(Jl--kK.
Тензорное произведение М(х) и М{у) дает функцию с носи-
носителем из 16 прямоугольных элементов. Она оказывается ба-
базисной функцией в узле х = jh, у — kh для кубических сплай-
сплайнов, если только узел не лежит на границе области и не при-
примыкает к ней. Для граничных и примыкающих к границе уз-

4.3. Четырехугольник 91
лов нужно строить специальные базисные функции, если, ко-
конечно, решаемая задача не имеет естественных граничных
условий (гл. 3, стр. 54). Полная аппроксимирующая функция
в этом случае является С2- 2-гладкой.
Возможно, заслуживает упоминания то, что в маловероят-
маловероятном случае ?*• 4-гладкости аппроксимирующей функции на
прямоугольной области, если только она потребуется, могут
быть использованы, подобно кубическим сплайнам, сплайны
Шёнберга пятой степени
Их тензорное произведение имеет носитель из 36 прямоуголь-
прямоугольных элементов, что делает эти сплайны довольно неудобными
для работы.
В заключение этого короткого параграфа о прямоугольном
элементе следует указать на то, что размер носителя сплайна
увеличивается с ростом порядка сплайна, тогда как носитель
эрмитовой функции остается всегда состоящим из четырех
элементов, независимо от ее порядка, в то же время сплайны
имеют гладкость C2<v-'>'2(v-1> против С*-1-*-1 для эрмитовых
функций при степени полиномов 2v — 1.
4.3. Четырехугольник
Можно подумать, что четырехугольник является лучшей
формой ячейки, чем треугольник, поскольку сетка в целом
упрощается. Например, треугольная сетка всегда может быть
упрощена объединением треугольников попарно в четырех-
четырехугольники. К сожалению, однако, невозможно найти полином
от х и у, который бы сводился к произвольной линейной фор-
форме вдоль четырех сторон общего четырехугольника, и поэтому
не ясно, как можно построить кусочно-полиномиальную функ-
функцию от х и у, которая имела бы С°-гладкость на четырех-
четырехугольной сетке.
Лемма 4.1. Пусть 9>и 9>2, 9>г и 9>ц — точки в трехмерном
пространстве, такие, что 9ij = (х/, у/, z/) (/' = 1, 2, 3, 4). Тогда
плоскость, проходящая через три точки 9>i, 9>k и 9*i {
описывается уравнением
где Ujkt = —zCjki + z/Dm — zkDji + ziDik, a C}kt, Dki и т. д.
определены в разд. 4.1. Кроме того, поверхность
n/w = 0, D.20)

¦92 Гл. 4. Базисные функции
Рис. 13.
где (/, k, I, m)—любая циклическая перестановка A,2,3,4)
проходит через четыре точки 9>\, 9>% ?Р$ и ^4 и содержит пря-
прямые линии &\0*2, &2&3, @г&4, 3*4&\ при любых значениях а и р.
Из этой леммы ясно, что такие поверхности как D.20), ко-
которые проходят через точки 0*\ = (Xj,yj,fi) (/ = 1, 2, 3, 4),
можно использовать для определения функций f(x,y) на че-
четырехугольнике Р1Р2Р3Р4, где Pj=(Xj,yj), таких, что
A) f(Xj,yj) = fj и (II) f(x,y) изменяется линейно вдоль сто-
сторон Р1Р2, P2P3, Р3Р4, Р4Р1 четырехугольника.
Таким образом, можно взять &*/ = (х,-, у\, 1) и 0*k =
= (хк,Ук,0) {кф\) и определить базисную функцию (pj(x,y),
такую, что
Ф/(**, У*) = { 0 l^k) (К/,й<4). D.21)
Упражнение 13. Пусть Р$ — точка пересечения прямых
Р\Р2 и Я3Р4, а Ре — точка пересечения прямых Р2Рг и P4Pi
(рис. 13). Докажите, что прямая линия Р5Р6 (D^e = 0) та-
такова, что
(I) т^ + тР- — т**- = -тг1- D.22а)
1-123 L134 1^!24 Lue
и что существует такая константа % ф 0, для которой
(И) С134С234О12 + C123C124D34 —
— L.123U234i'l4"r' 1> 1341-' 124^-'23 — Л^бб- ул.АЛЪ)
Отсюда покажите, что если aCkimCjkm = pC/(mC/ft;, то базис-
базисные функции, определенные в D.21), могут быть записаны

4.3. Четырехугол 93
как
(
Cjkl Cllm V С/55
где PkPi и Р;Рт — стороны четырехугольника, не содержащие
угол Р/, и где (/, k, I, m) — некоторая перестановка A,2,3,4).
{Используйте формулы
(I) C,kl~Cktm + Cltm-Clkm = 0, D.23а)
(II) Cm-Dkl + Dn—Dik = 0, D.23b)
где (/, k, I, m) —любая перестановка A, 2, 3, 4).)
ИзОПАРАМЕГРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
Билинейная аппроксимация
Наиболее общий метод использования четырехугольных
элементов состоит в применении точечного преобразования
четырехугольника в единичный квадрат и в использовании
так называемой изопараметрической аппроксимации (Айронс,
1966; Зенкевич, 1975). Другими словами, угловые точки Р/ =
= (*/> У)) (/=1.2, 3, 4) четырехугольника преобразуются в
четыре точки A,1), @,1), @,0) и A,0) (в плоскости (p,q)).
Стандартное преобразование есть
t = pqtx + (l—p)qt2 + (l-p)(l -q)h+p{\-q)tA
(t = x,y), D.24)
которое можно записать как
? (t=x,y). D.25)
Изопараметрическая аппроксимация получается, если опре-
определить аппроксимацию вида D.25), а именно
U(p,q)=Zi??4p,<l)Ur D.26)
Упражнение 14. Покажите, что преобразование, обратное
D.25), может быть записано как
(С234 + С,„) Р2 + (Аи + Da - С123 - Сш) р + D23 = 0 D.27а)
и
(С234 + Си) Ф + (D23 + Я« - Сз4 ~ Сш) q + D34 = 0. D.27b)
Далее, используя D.23а) и D.23Ь), покажите, что функция
р, определенная в D.27а), эквивалентна поверхности вида

Гл 4. Базисные функции
П2
п6
п
п
5
.
п9
п7
П8
\
• Рис. 14.
D.20), проходящей через точки 9*\ = (#/,«//,//) с /2 = fз — 0
и /i = /4 = 1, если а = р, а <7, определенная в D.27Ь), эквива-
эквивалентна такой же поверхности с /з = А = 0, /i = /2 = 1 и
Упражнение 15. Если требуется преобразовать четырех-
четырехугольник PiPzPbPi в единичный квадрат, то выбор а = р не
является единственно возможным. Покажите, что если ^/ (/==
= 1, 2, 3, 4) взяты как в упражнении 14, и aCkimCjkm =
= §CjimCjki, то новые координаты р и q можно определить
так:
Р — ~7^~ ~7^~ I Т^~ I + ~7^~ Т^~ I 7^" ) •
^ 123 (-'134 Ч *-* 156 • ¦ *-*234 *-* 124 Ч ^456 /
-1
Дгз
__ 1 _ _ I _ I
С156 / ^*234 t-* |24 Ч *-*256 /
Я =
Упражнение 16. Покажите, что якобиан / преобразования
D.25) можно записать как
J = A — Р) Cl23 ~\~ A — <7) Cl34 + (Р "Т" Я — 1) С]24,
и докажите, что / > 0 для 0 ^ р, q ^ 1.
Если билинейные полиномы, использованные в преобра--
зовании D.25), заменить на полиномы более высокой степени,
можно ввести дополнительные точки, определяющие преобра-
преобразование, и одновременно распространить изопараметрические
аппроксимации на криволинейные четырехугольники.
Биквадратичная аппроксимация
Теперь добавим к четырем точкам Р/= (Xj,yj) (/ = 1,2,
3, 4), которые соответствуют углам единичного квадрата в
(р, q) -плоскости, точки Р\ (/ = 5, ..., 9), которые соответ-

4.3. Четырехугольник 95
/ 1 ,\ /Л 1\ / 1 Л\ /, 1 \
ствуют серединам сторон l-^, 1J, ^0, -^у у-^, 0J и ( 1, -^ I
и центру Г-д-, yj соответственно (рис. 14). Биквадратич-
ное преобразование определяется как
9
/ = X Ф»2) (Р. <7) */ (^ = *> У)> D.28)
/-1
где фA2)==рBр — 1)<7B<7—1) и аналогично определяются
Ф22)ФC2) и ф^2), ф^2) = 4A—p)pqBq—1) и аналогично опреде-
определяются Ф^2)ф?2) и ф^2), а ф^2>= 16/? A —р)<7A —q).
Изопараметрическая аппроксимация тогда определяется фор-
формулой
9
U (p> q)==zl Ф/2> (Р> ?) Uh D.29)
/='
С другой стороны, если преобразование определено по D.25),
а аппроксимация — по D.29), то это — пример субпараметри-
субпараметрической аппроксимации.
Стороны четырехугольника можно сделать прямыми под-
подходящей расстановкой узлов Рь, Рб, Pi и Р& на сторонах. В ча-
частности, если они являются серединами , соответствующих
сторон, а Рэ — центром тяжести четырехугольника, формулы
D.28) сводятся к D.25).
Внутренний узел Рд можно исключить аналогично тому,
как исключались внутренние узлы из аппроксимаций, осно-
основанных на треугольных элементах, используя линейное со-
соотношение
8 4
/=5 /-1
Это дает функцию, которая все еще интерполирует квадра-
квадратичные по р и q функции точно, но не имеет члена с p2q2. Ее
можно записать как
^ (р< q) = H Ф/2>* (p. q) и» D.30)
где Ф<2>* = pq Bр + 2<7 — 3) и аналогично ф<;2>* (/ = 2, 3, 4), ф^2>* =
= Apq(\ — p) и аналогично ф^2)*(/ = 6, 7, 8). Для изопарамет-
рической аппроксимации с восемью узлами преобразование
(х, у) в (р, q) будет также определяться по D.30) заменой U
поочередно на х и у. Этот четырехугольник с восемью узлами

96
Гл. 4. Базисные функции
\
p
p. к
p3j
1
¦*;
s
5-
4
^=1
=0
n
П7
П8
ne
n9
П5
П,о
n,
nif
П4
Рис. 15.
был использован Джорданом A970) в качестве Элемента при
решении задач, включающих плоское напряжение или дефор-
деформацию.
Бикубическая аппроксимация
Полная бикубическая аппроксимация включает четыре
внутренних узла (см. рис. 15) в дополнение к четырем угло-
угловым и восьми боковым узлам (по два на каждой стороне).
Внутренние узлы могут быть исключены для получения аппро-
аппроксимации, в которой нет членов с p2q2, рьф, р Ць и p3q3. Ее
можно записать в виде
где ф<,3>* = —
— р — q + ¦§) РЧ и аналогично
(/ = 2, 3, 4), qf >' = j pq (I - р) (Зр - 1) и аналогично qf
(/ = 6, .... 12).
4.4. Тетраэдр')
Лагранжева интерполяция
Полный полином степени
f>*
Пт(х,у,г)=
') Сравните с разд. 4.1.

4.4. Тетраэдр
97
можно использовать для интерполяции функции U(x,y,z) по
(т +l)(m + 2)(m + 3)
g—^ симметрично расположенным в тетраэд-
тетраэдре узлам. Первые три случая этого общего представления для
тетраэдра Я1Я2Я3Я4 таковы:
A) Линейный случай (т= 1). Полином задается форму-
формулой
где
где
() = 1, 2, 3, 4) —значения U(x,y,z) в вершинах Я, и
jkln
(х, у, z)=
= det
n — АЫпх + ВЫпу — Cklnz),
У1
Xk
Xl
Xn
Ук
У1
Уп
zk
Zn
[1 Ук 2ft-|
1 Уг zi
1 Уп znl
и т.д., a (/, k, I, n) —любая перестановка A, 2, 3, 4). Заме-
Заметим, что g-| riMn I — объем тетраэдра Pi/W^
B) Квадратичный случай (m = 2). Теперь полином та-
таков:
ю
П2(лг, У, z)^
Y,
, у, г),
где Uj (/= 1, 2, 3, 4) — значения U(x,y,z) в вершинах pi,
а ?// (/ = 5, .... 10) — значения в серединах ребер. Выра-
Выражение р}2) (через ру>) имеет тот же вид, что и для треуголь-
треугольника (см. параграф 4.1).
C) Кубический случай (пг = 3). Здесь полином имеет
вид
U3(x,y,z)=Zujpf(x,y,z),
где Uj (/= 1,2, 3,4)—как и выше, U, (/ = 5, .... 15) —
значения U(x, у, z) в точках трисекции ребер, a Ut (j = 16, ...
..., 20) — значения в центрах тяжести граней. Формулы для
pip (через pf]) имеют тот же вид, что и для треугольника
(см. разд. 4.1).
4 Зак. 672

98 < Гл. 4. Базисные функции
Эрмитова интерполяция
Кубическую аппроксимацию U(x,y,z) на тетраэдре моле-
молено выписать подобно D.9) — D.10Ь) как
G, (х, у, г) =
-Z Ы + Ш, f + (f ),*,» + Щ <?> + ^Т]- D-31)
где С'/ A = 1, ..., 4) — значения U(x,y,z) в центрах тяже-
тяжести граней, противолежащих вершинам Р/, и где
qf (х, у, г) = Pj CР/ - 2Р/2 - 7 (рЛ + ргр„ + PnPk)), D.32a)
^3)(^. У. z)=: 27pkplPn,
и
if (*,- «/. 2) = р, l(llkPk (Pl + Pn~ Pj) +
+ %iPi{Pk + Pn~ Pi) + %пРп {Pk + Pi - P,)l' D-32b)
•s(/3) (*> У> z) получается из rf> (x, у, г) заменой g на г\, а
tf] (x, у у z) — заменой | на %, где ?/ft = z/ — 2*. Как и для
треугольника, мы писали Pj вместо р^ (/ = 1, 2, 3, 4) для
упрощения формул.
Упражнение 17. Проверьте, что можно исключить значе-
значения U(x,y,z) в центрах тяжести граней и все еще точно ин-
интерполировать квадратичные функции, если сделать замену
где 2*' означает суммирование (при фиксированном /) по
(j,k,t,n) для всех возможных четных перестановок A,2,3,4).
Покажите, что интерполирующий полином становится таким:
о\(х, у, *-?[usr+(fo/f>*+(f
где
?f * (х, у, z) - Р/ (Зр; - 2р2 + 2 (pftP/ +
<f* (*. »• г) = Р) (lklPk + V, + lniPn) +jP, {Pkpl {lkl
я т.д.

4.5. Шестигранник W
4.5. Шестигранник r)
Вообще говоря, в случае трехмерного пространства эле-
элемент с шестью четырехугольными гранями лучше тетраэдра.
Локальные изопараметрические координаты (р, q, r) можно
ввести как и для четырехугольных элементов в двумерном
случае. Преобразование координат имеет вид
' = t Фр (р. Ч> г) tt (t = х, у, г), D.33)
где ф(,1) = р<7г, ф|1) = A — p)qr и т. д., причем вершины про-
пронумерованы как на рис. 16. При таком преобразовании про-
произвольный шестигранник переходит в единичный куб в
(р, q, r) -пространстве. Затем по формуле
ipf(pq)l D.34>
определяется изопараметрическая аппроксимация. Можно
получить и триквадратичную и трикубическую аппроксима-
аппроксимации, если ввести дополнительные точки на ребрах и гранях,
а также ряд внутренних точек. Точки на гранях и внутрен-
внутренние точки можно исключить подобно тому, как это было сде-
сделано в Двумерном случае при исключении внутренних точек
четырехугольника.
Упражнение 18. Вычислите базисные функции q>f> (p, q, r)
(/= 1, ..., 27) для триквадратичной изопараметрической
аппроксимации на шестиграннике. Затем проверьте, что
центры тяжести граней и самого шестигранника можно ис-
исключить и получить аппроксимацию вида
20
U(p, q,r)=Zq>f(p, q,r)Up D.35)
которая точно интерполирует квадратичные функции, но не
имеет членов с p2q2, q2r2, r2p2, p2q2r, p2qr2, pq2r2, p2q2r2 и для
которой <р(,2)* = pqr Bp + 2<7 + 2г — 5) и аналогично ур)* (/ «=
= 2, ...» 8), ф<2>* = 4р<7гA— р) и аналогично ф<2)* (/= 10,""..., 20).
Упражнение 19. Проверьте, что трикубическая аппрокси-
аппроксимация на шестиграннике требует 64 узлов: восемь вершин,
по две точки на каждом ребре, по четыре — на каждой грани
и восемь точек внутри шестигранника. Затем проверьте, что
узлы на гранях и внутренние узлы, могут быть исключены
для получения аппроксимации, которая включает члены
') Сравните с четырехугольником в параграфе 4.3.

100
Гл. 4, Базисные функции
с p!qkrl(j-\- k + ^ ^ 4), а также члены пятой степени p3qr,
pq3r и par3, так что
32
U (р, Я, г) = ? <р}»)* (р, q, r) U,, D.36)
?
-(f\ и аналогично
где <р<3)* = ^
q>f)* (] = 2, ..., 8), a q><?>* == | р?г A - р) (Зр - 1) и аналогично
4f (/=10, .... 32).
4.6. Криволинейные границы
До сих пор базисные функции строились в основном для
сеток с прямыми сторонами ячеек. В реальных двумерных и
трехмерных задачах, однако, границы и поверхности раздела
часто криволинейны. Цель этого параграфа заключается в
получении базисных функций для сеток, составленных из эле-
элементов с криволинейными сторонами (двумерный случай),
или с криволинейными поверхностями (трехмерный случай).
Криволинейный элемент появился при расчете сооружений у
Эргатодиса, Айронса и Зенкевича A968), и библиографиче-
библиографические разъяснения по этому вопросу можно найти у Зенке-
Зенкевича A975). В двумерном случае, если граница области
является ломаной линией, элементов с прямыми сторонами7
обычно треугольников или четырехугольников, вполне доста-
достаточно. Однако если некоторая часть границы (или линии раз-
раздела материалов) изогнута, желательны элементы по край-
крайней мере с одной криволинейной стороной.
Вначале мы рассмотрим треугольный элемент с двумя
прямыми и одной криволинейной сторонами. С помощью

4.6. Криволинейные границы 101
этого элемента и треугольников с прямыми сторонами можно
адекватно решить большинство плоских задач с криволиней-
криволинейными границами и линиями раздела.
(А) Треугольники с одной криволинейной стороной
Рассмотрим треугольник Р\Р2Рз в (х, у) -плоскости с пря-
прямыми сторонами Р2Р3 и Р3Р1, которые описываются уравне-
уравнениями 1(х,у)=0 и т(х, у) = 0 соответственно. Криволиней-
Криволинейная сторона, проходящая через точки Pi и Р2, описывается
уравнением F{x, у)= 0. Функции 1{х,у), т{х,у) и F(x,y)
нормированы так, что
/ (х\, У\) = т (х2, у2) = F (х3, Уз) = 1 •
Преобразование плоскости (х, у) в плоскость (/, т) выглядит
так:
пУ), D.37а)
131у). D.37Ь)
В плоскости (/, т) получается треугольник Р[РГ2Рз, где Р{ =
A,0),Р2 = @, 1) и Рз = @, 0), а криволинейная сторона Pi
выражается уравнением
l, m), y(l, m)) = f(/, m) = Q.
Мы используем здесь 1и.ш вместо /?[!) и pl2l) (ср. с D.2)), по-
потому что треугольник Р1Р2Р3 с одной криволинейной стороной
не является стандартным треугольником.
Теперь мы опишем один тип лагранжевой аппроксимации
на криволинейном треугольнике Р1Р2Р3, которая удовлетво-
удовлетворяет следующим условиям:
(I) Линейные полиномы интерполируются точно, т. е.
т, D.38)
где qp,(/, m) — базисная функция, связанная с i-узлом. Так
как преобразование (х, у) в (I, т) линейно, соотношения
D.38) означают, что линейные полиномы в плоскости (х, у)
на треугольнике Р\Р2Рз также интерполируются точно.
(II) Базисная функция фз(/, т), соответствующая Р'з,
равна тождественно нулю на криволинейной стороне РзРь
(III) Получающаяся кусочно-гладкая функция, опреде-
определенная на сетке треугольников, каждый из которых имеет
самое большее одну криволинейную сторону,- непрерывна.

102 Гл. 4. Базисные функции-
Нетрудно увидеть, что для выполнения (I) и (II) на iре-
угольнике Р1Р2Р3 необходимо иметь по крайней мере четыре
узла. В простейшем случае берутся три вершины и допол-
дополнительная точка P'i = (/4, in*) на криволинейной стороне.
Вначале мы построим базисную функцию фз, которая
удовлетворяет (II), а затем используем D.38) для построе-
построения фг, фг и ф4. Применим геометрические рассмотрения, по-
подобные тем, которые были привлечены к получению базис-
базисных функций для четырехугольника, и поэтому рассмотрим
семейство поверхностей z(l, m)=0, которое пересекает пло-
плоскость (/, т) по кривой f(l,m)=Q и задается уравнением
г (az + р/ + ут + 6) + f (/, т) = 0. D.39)
Если мы наложим на z условия
A) 2=1 (/ = т = 0),
B) z=\-l (m = 0)
C) z=l— m {1 = 0),
то можно определить f$, у, б с помощью одной произвольной
константы а, так что D.39) перейдет в
] , m) = 0. D.40)
Теперь мы полагаем ф3 = г, после чего остальные базис*
ные функции определяются из D.38) как
A — /и4) / + Um — U . Ц
Ф1== 1 _ i _ т г } _ i _т Фз.
nttl + A—Ц) т — ша . nii /л At\
ф2= ^ _ , _ г 1 _ / _ Фз> D.41)
1 —1 — т 1
Упражнение 20. Проверьте, что если в D.40) a = 0, базис-
ная функция фз имеет вид
4K = f @, m)/(l - т) + f (I, 0)/(l - I) - I ' D'42>
а если криволинейная сторона является коническим сечением
/ (/, т) = аР + Ыт + cm2 — A + а) I — A+ с) т + 1 = 0,
то
= а/2 + Mm + стг - A + а) / - A + с) т + 1 D 43,
и мы приходим к рациональным базисным функциям Уачсп»
ресса A971, 1973, 1974 и 1975).

4.6. Криволинейные границы 103
Упражнение 21. Если криволинейная сторона — отрезок
гиперболы
/ (/, т) = Ъ\т — I — т + 1 = О,
покажите, что базисные функции qp; (i = 1, 2, 3,4) суть по-
полиномы, если а = 0.
Замечание. Кусочно-гиперболические дуги можно исполь-
использовать для аппроксимации криволинейных границ или по-
поверхностей раздела и получить все еще полиномиальные ба-
базисные функции. ,
(В) ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ ')
Квадратичная аппроксимация на стандартном треугольнике
Часто треугольные элементы с криволинейными грани-
границами преобразуют в стандартный треугольник, а потом ис-
используют изопараметрические аппроксимации. Проиллюстри-
Проиллюстрируем этот подход вначале на примере общего криволиней-
криволинейного треугольника, изображенного на рис. 17. Преобразова-
Преобразование (х, у) -плоскости в (р, q) -плоскость задается формулой
t='Lpf{p,q)t1 (t = x,y), D.44)
где квадратичные базисные функции pf] (/=1, ..., 6) опре-
определяются как в разд. 4.1, только р\ и р2 заменены на р и q
соответственно. Тогда изопараметрическая аппроксимация
получается аналогично, т. е.
^ D.45)
Если мы рассмотрим частный случай треугольника с двумя
прямыми сторонами и одной криволинейной, так что t5 =
= 2 2 3 , ^б==~а~о—~ (t — х, у),то преобразование D.44) сво-
сводится к
l — apq + p, D.46а)
q, D.46b)
где а = 2B/4— 1) и f$ —2Bm4 — 1). Обратное преобразова-
преобразование выглядит так:
рр2 + (am - 0/ + 1) р - / = 0, D.47а)
)q — m = 0 D.47b)

104
Гл. 4. Базисные функции
/¦=1
<7=0
Рис. 17.
Упражнение 22. Покажите, что если /4 = т\ = /?, то из
D.47а) и D.47Ь) следует, что г(= 1 — р — q) удовлетворяет
уравнению
г2-Ж=Тг + [ 2/?-1, (/-"*JJ = 0 D.47c)
и, следовательно, криволинейная сторона /(/, т)=0 заме-
заменяется кривой г = 0, описываемой уравнением
1-
l + m
2/?
D.48)
которая оказывается параболой. Покажите далее, что если
а = 2Г и /(/, т) определена по D.48), то D.40) перехо-
переходит в D.47с) с заменой г на г. Объясните эту связь между
йзопараметрической аппроксимацией и прямыми методами
работы с криволинейными границами.
Упражнение 23. Покажите, что вообще криволинейная
сторона г = 0 задается уравнением
(
где аир заданы выше.
Запрещенные элементы
Одним из неприятных моментов использования изопара-
метрических координат для работы с криволинейными эле-
элементами является случай обращения в нуль якобиана
¦'.(=г 1.+ РР + o.q) преобразования, заданного в D.46а) и

4.6. Криволинейные граница)
105
D.46b). Этот якобиан положителен для всех р, q, таких, что
0 ^ р, q, р + q ^ 1, если только точка (/4, nii) лежит в об-
области /, т> -j, как показано на рис. 18. При других поло*
жениях точки (/4,^4) в положительном квадранте (/, т)«
плоскости, включая и линии 1=-^ и т = -^. якобиан либо
равен нулю, либо отрицателен для некоторых значений (р, q)]
(Джордан, 1970), и поэтому в этих «запрещенных» случаях
изопараметрические координаты, вообще говоря, нельзя ис-
использовать для работы с криволинейными элементами (ис-
(исключения из этого правила приводятся в разделе 7.4(F)).
Причина этого заключается в том, что результаты, вычислен-
вычисленные с помощью изопараметрических координат (p,q), нельзя
перенести обратно на (/, т.)-плоскость, поскольку вследствие
обращения в нуль якобиана где-то на элементе обратного
преобразования нет.
Вместо использования изопараметрических координат мы
можем работать прямо clam, применяя D.40) и D.4J).
Если, как в упражнении 22, искривленная сторона опреде-
определяется из D.48) и a=BR — l)/2R, уравнение D.40) будет
иметь вещественные корни, если только
D.49)
Нетрудно заметить, что при фиксированном R функция
F(l,m;R) не имеет максимума или минимума внутри эле-
мента или где-либо на (/, т) -плоскости. Следовательно, наи-
наименьшее значение F(l,m;R) достигается на границе эле-
элемента при всех значениях R. В самом деле, из D.48) сле-
Рис. 18.
Рис 19.

106 Гл. 4. Базисные функции1
дует, что
для всех R на криволинейной стороне, и, конечно, F всегда
положительно на сторонах / = 0 и т = 0 в силу D.49). Та-
Таким образом, условие D.49) выполняется для всех R и для
всех точек (/, т) элемента.
При использовании в этом примере изопараметрических
координат значения R в области 0 < R < -j использовать
запрещается. Может показаться, что при использовании
D.40) таких ограничений нет. Однако с помощью простых
геометрических рассмотрений можно показать, что при
0 < R < -г криволинейная граница пересекает оси / и т в то-
точках между началом координат и единичными точками осей
(см. рис. 19).
Упражнение 24. Для 0 < R < -j найдите точки пересече*
ния криволинейной стороны с осями / и т между началом
координат и единичными точками и покажите, что при R-*-?
эти точки стремятся к единичным точкам на соответствую'
щих осях.
Упражнение 25. Покажите, что квадратное уравнение
D.40) имеет вещественные корни при любых значениях а,
когда толка (/, т) лежит на границе треугольника с двумя
прямыми сторонами и одной криволинейной стороной.
Кубическая аппроксимация на стандартном треугольнике
Однозначно определенный кубический интерполяционный
полином на плоскости (р, q) может быть записан как
ю
D.50)
где базисные функции pf] (/=1, ..., 10) описаны в разд. 4.1.
Мы получим изопараметрическую аппроксимацию, если ис-
используем D.50) для определения точечного преобразования
(х,у) (или (/, ш)) в (р, q) заменой U на х и у (или / и ш)
(см. рис. 20). В частном случае треугольника с двумя пря-
прямыми сторонами, у которого Ръ, Pj и Pg, Pg — точки трисек-

4.6. Криволинейные границы
107
"Р
Рис. 20.
ции сторон Р2Рз и Р3Р\ соответственно, мы получаем фор-
мулы
4). D-51)
т = q + у
— ш4 — т5 — 1) +
27 /
-у Р2? ^4 —
1 \
-3-J
2Т
-у
где Р' = (/у,/Пу) (/ = 4,5)—точки на криволинейной, сто-
стороне, а (/ю, тю) — внутри треугольника. Из D.51) следует,
что преобразованная кривая, проходящая через точки Pi, P\,
Р'ь и Р% оказывается кубической.
Упражнение 26. Покажите, что если /4 = /5 + -т и т4 =
=т5—а* Т0 кубическая кривая вырождается в единствен-
единственную параболу, проходящую через точки A,0), (/4,^4),
(/5,^5) и @,1). Если к тому же Ц = 2110 и ms = 2тю, то
докажите, что формулы преобразования D.51) сводятся к
= </ + 9 (
m10 — -j
и что уравнение кривой из упражнения 23 при 4/4=*9/io—1
и 4т4 = 9тю—1 задает параболу данного упражнения.

108 . Гл. 4. Базисные функции
В статье Маклеода и Митчелла A975) построены при-
примеры разнообразных криволинейных сторон и получены со-
соответствующие дуги парабол. Во всех примерах было обна-
обнаружено, что параболы близки к первоначальным кривым.
Важно подчеркнуть то, что изопараметрические элементы
вообще чрезвычайно чувствительны к деформации основной
треугольной формы.
(С) Ч ЕТЫРЕХУГОЛЬНИК С ОДНОЙ КРИВОЛИНЕЙНОЙ СТОРОНОЙ
В разд. 4.3 для биквадратичной аппроксимации на четы-
четырехугольнике была дана формула D.30). В частном случае
четырехугольника с тремя прямыми и одной криволинейной
сторонами (рис. 21), в котором Р6, Pi и Р8— середины пря-
прямых сторон Р2Рз, Рз^*4 и Р4Р1 соответственно, формулы то-
точечного преобразования, соответствующие D.30), сводятся к
m = q+ (—3 — тх + 4m5) pq + B + 2тх — 4m5) p2q
для изопараметрическои аппроксимации, где
т = ?^- (т34
Координату q можно исключить из D.52) и получить
Тр3 + [Z - 77 + Ym] р2 + [ 1 + Хтп - ZI] р - / = 0.
Кривая q = 1 задается уравнением
[77- YA - m)f+ (T + ХТ- YZ)[ZI + Ц + Х)A-/и)] = 0.
D.53)
Здесь X = — 1 — h + 4/5, Y = 2/, — 4/5, Z = — 3 — /щ + 4тБ и
7* = 2 + 2mi — 4/П5. Эта кривая, конечно, — парабола. Сле-
Следовательно, если, используются изопараметрические коорди-
координаты, как определено формулами точечного преобразования,
соответствующими D.30), криволинейная сторона заменяется
дугой параболы, уравнением которой является D.53).
Упражнение 27. Для случая четырехугольника с одной
криволинейной стороной и с дополнительными узлами в точ-
точках трисекции всех прямых сторон (рис. 22) покажите, что

4.6. Криволинейные границы
109
Рис. 21. Рис. 22.
формулы точечного преобразования сводятся к
- (h - 4/5 + 5/6) р\ + (/, - 3/5 + 3/6) p3q],
. 9 [Y2 . „ 1П
= q + -2 \\j mi — тъ + 2m6 g-J p? —
— (mi — 4m5 + 5m6 — 2) /т2^ + (nti — 3m5 + 3m6 — 1) p*q].
т
Затем покажите, что изопараметрическая координата q мо-
может быть исключена, чтобы получить уравнение четвертой
степени по р, что кривая # = 1—четвертого порядка по /
и т, а кривые постоянных р—прямые линии.
(D) Тетраэдр с криволинейными гранями
Рассмотрим тетраэдр с четырьмя криволинейными гра-
гранями, у которого на каждом из шести искривленных ребер
взят один промежуточный узел (см. рис. 23(а)). Стандарт-
Стандартный тетраэдр в (р, q, r) -пространстве „можно отобразить
в (х, у, z) -пространство так, что его вершины и промежуточ-
промежуточные узлы перейдут в соответствующие вершины и узлы про-
произвольного наперед заданного искривленного тетраэдра. Это
осуществляется с помощью точечного преобразования
+ 4pst5 + 4pqt& + 4qst6 + 4rqtg + ^prtio + 4rs/7, D.54)
где p + q + r + s = l, t = x, у, г. Для изопараметрического
элемента интерполирующая функция также задается в виде

110
Гл. Л. Базисные функции
Рис. 23.
D.54) с заменой / на U. Так как большинство ограничен-
ограниченных областей в трехмерном пространстве можно приближен-
приближенно разбить ') на тетраэдральные элементы либо с четырьмя
плоскими гранями, либо с одной искривленной и тремя пло-
плоскими гранями, мы остановимся на последнем тетраэдре.
Если плоские грани Р'2Р'гР\, Р'гР\Р\ и Р[Р2Р\ лежат в плоско-
плоскостях 1 = 0, m = О и л = 0 соответственно, а вершины
Р\, Р'ч, Рз на осях соответствуют / = 1, т = 1, п = 1, то мы
приходим к рис. 23(Ь), где Рб, Рь и Р'7 — середины соответ-
соответствующих прямых ребер, a P's — (Ru Ru 0), Pg = @, R2, R2)
и Pm = (^?3, 0, Яз). Теперь из D.54) получаем формулы то-
точечного преобразования
/ = р+ 2 BR, - 1) pq + 2 BР3 - 1) рг,
¦l)pq + 2BR2-l)qr, D.55)
;— l)pr + 2BR2— \)qr.
С помощью громоздких выкладок можно показать, что по-
поверхность 1 — р — q — г = 0 оказывается многочленом чет-
четвертой степени по I, m и п.
(Е) Шестигранник с криволинейными гранями
Ограниченная область в трехмерном пространстве, имею-
имеющая криволинейную границу, может быть разбита на конеч-
конечное число шестигранных элементов с криволинейными гра-
гранями. Точечные преобразования, основанные на изопарамет-
') При таком разбиении куски границы области дублируются примы-
примыкающими к границе гранями элементов наподобие того, как это происхо-
происходит в апельсине.

4.6. Криволинейные границы 111
рических аппроксимациях типа D.35) и D.36), можно ис-
использовать для перехода от произвольного шестигранника к
единичному кубу в (p,q, г) -пространстве. В преобразованном
пространстве вычисления тогда выполняются обычным обра-
образом. К сожалению, формулы преобразования, соответствую-
соответствующие D.35) и D.36), столь сложны, что из них невозможно
получить хоть какие-то представления о форме криволиней-
криволинейной поверхности, порождаемой точечными преобразованиями.
Единственным утешением служит то, что это можно сделать,
если провести поверхность через большое число точек, лежа-
лежащих на первоначальной криволинейной поверхности.
Замечание. Имеется большая потребность в базисных
функциях, которые точно воспроизводят конкретные криволи-
криволинейные стороны и поверхности в двумерном и трехмерном
пространствах соответственно. Это особенно важно в задачах
динамики невязкой жидкости, где «подделка» границы пол-
полностью изменяет поведение скорости вблизи границы. Хотя
изопараметрический подход является улучшением по сравне-
сравнению с заменой кривых линий, и поверхностей прямыми ли-
линиями и плоскостями соответственно, он все же основан на
точечных преобразованиях и поэтому дает только аппрокси-
аппроксимацию исходных кривых и поверхностей. Предварительные
результаты, основанные на геометрических рассмотрениях
для нахождения точных базисных функций криволинейных
элементов, можно найти у Уачспресса A975), Маклеода
A977), Маклеода и Митчелла A972) и Барнхилла и Грегори
A976а) и A976b).

ГЛАВА 5
СХОДИМОСТЬ
АППРОКСИМАЦИИ
5.1. Введение '
В гл. 3 было дано определение аппроксимации Галеркина.
Было показано, что такая аппроксимация U удовлетворяет
уравнению
a (U, V) = (f, V) (для всех V е KN), E.1)
где Kn есть N-мерное подпространство пространства допу-
допустимых функций Э$. Если предположить, что интегралы вы-
вычисляются точно, то анализ ошибок для кусочно-гладких ап-
аппроксимаций вида
сводится к двум основным моментам:
A) Доказательству того, что аппроксимация является
наилучшей илн почти наилучшей. В разд. 3.5 было показано,
что аппроксимация Ритца будет наилучшей в энергетической
норме, т. е.
\\u-U\\A= inf Ци-filU. E.2)
йК
В общем же случае удается показать лишь то, что аппрокси-
аппроксимация Галеркина является почти наилучшей в некоторой со-
болевской норме1): это означает, что
\\u-U\\r,R<C inf ||и-«И,.* E.3)
йеЛСдг
при некоторых г, С > 02).
B) Оценке верхней границы правой части E.3) в том
специальном случае, когда элемент п е Kn интерполирует ре-
решение. Если Kn есть пространство конечноэлементиых ап-
аппроксимаций, то обычно существуют целое k = k(KN) и по-
постоянная С — C(Kn), такие, что ошибка интерполяции огра-
') Определение пространств и норм Соболева дается на стр. 114.
2) В этой главе через С обозначается положительная постоянная, своя
для каждого конкретного случая.

5.1. Введение 113
ничена как
П« — й Иг. я <СА*+»-'П и H*+t.« (r = 0, 1 k) E.4)
при условии, что и е Ж-^+и(Я). Если предположить, что ре-
решение и удовлетворяет соотношению
а (и, v) = (f, v) (для всех о е Ж)
и является элементом Соболевского пространства Жп + (/?),
неравенства E.3) и E.4) могут быть объединены для полу-
получения оценки порядка сходимости аппроксимации Галеркина
U при стремлении h к нулю.
Если, как это обычно имеет место, интегралы получаются
численно по некоторой квадратурной формуле, то прибли-
приближенное решение не определяется более соотношением E.1),
а определяется его приближенным аналогом
а„ (Uh, V) = (f, V)h (для всех V е Кы). E.5)
При этом оказывается возможным получить оценку порядка
сходимости с помощью E.3) и E.4), если справедливо нера-
неравенство
при некотором s > 0. Аппроксимация границы также приво-
приводит к некоторому изменению уравнений системы E.1), как
и использование несогласованных элементов, т. е. недопусти-
недопустимых функций ИьфЗб- Поэтому ясно, что анализ вопросов,
порождаемых приближенным характером системы E.5),
имеет большое значение при практическом использовании ме-
метода конечных элементов.
Обозначения и вводные замечания
Билинейная форма а называется эллиптичной') в Ж,
если существует такая постоянная у > 0, что для всех и е Ж
а(и,и)>у\\и\\2.
По аналогии с гл. 1 назовем ее ограниченной, если суще-
существует такая постоянная а > 0, что для всех и, v e Ж
\а(и, о)Ка||а||||0||.
Большинство оценок погрешностей в этой главе выра-
выражается в терминах Соболевских норм. Такая норма опреде-
определяется как
') Иногда говорят, что она коэрцнтнвна или положительно определена.

114 Гл. 5, Сходимость аппроксимаций
где в правой части использованы введенные ранее мульти-
индексные обозначения. Полезным оказывается также поня-
понятие полунормы, определяемой производными только одного
порядка:
Пространство Соболева d@2k) (R) состоит из всех тех функций,
для которых соответствующая Соболевская норма конечна.
Через (и, v) будет обозначаться (если не оговорено ничего
другого) скалярное произведение функций ы(х) и v(x) в
смысле пространства 2?z(R):
(«,o)=,
Двойственное к Ж{2к) (R) пространство обозначается через
Ж{2~ (R), а соответствующая ему норма имеет вид
= sup
В разделе 5.4 (В), где элемент F <= Ж{2~к) (R) будет опре-
определен для некоторого v e Ж^ (R) как
F (и) = (ы, и) (при всех ы е Ж[к) (/?)),
можно положить, не внося двусмысленности в обозначения,
\W\Ur= sup. {^}
Упражнение 1. Докажите, что для любого ы е ^2' (/?)
В следующих неравенствах обозначаемые через С по-
постоянные могут зависеть от области R и от пространства
Ж допустимых функций, но не будут зависеть от самих рас-
рассматриваемых функций. Предполагается, что R является от-
открытой ограниченной областью с гладкой (или кусочно-глад-
кусочно-гладкой) границей dR, что R = R U dR и, если не оговорено про-
противное, R cz R2. Для достаточно гладких функций, принадле-
принадлежащих, скажем, пространству Ck(R), иногда будет использо-
использоваться максимум-норма

5.1. Введение 115
вместе с соответствующей полунормой
Для любого k > 0 определим пространство Ж® (/?):
:«G#(«)l« = -= ••• =^Й- = 0на5
дп дп
и аналогично для любого конечномерного подпространства
Кы <= 3@2к) (R) определим
Kn = Kn П Mk) (R);
через Kn обозначается дополнение к Kn в Kn- Например, для
любого подпространства Kn конечных элементов Kn будет
подпространством, образованным только теми базисными
, функциями, которые соответствуют граничным узлам, т. е.
обращаются в нуль во всех внутренних узлах.
Для краткости изложения различные дополнительные ог-
ограничения на область R при формулировке следующих лемм
будут опущены. Эти ограничения не являются особенно об-
обременительными и обычно выполнены, если граница будет
достаточно гладкой между угловыми точками. Интересую-
Интересующийся читатель может обратиться к литературе, на которую
в каждом случае имеются детальные ссылки. Предполагает-
Предполагается, в частности, что лемма Соболева (см., например, Агмон,
1965, стр. 32 нли Иосида, 1965, стр. 242) применима к обла-
области R cz Rm, т. е. что при k > г + т/2
Лемма 5.1. При всех и е Ж(г (R)
Если X (>0) есть минимальное собственное значение для
задачи, определяемой дифференциальным оператором Лап-
Лапласа и однородными граничными условиями Дирихле, то
С=1/Я. (Курант и Гильберт, 1953, стр. 386—392). Из лем-
леммы 5.1 следует, что для Ш^ (R) величины \\.\\u r и |.|i, я бу-
будут эквивалентными нормами. Лемма 5.1 является частным
случаем более общих результатов:
Лемма 5.2 (Обэн, 1972, стр. 173).
II«II,,«, < С | « |ki д {для всех и е Мк) (/?)).

116 Гл. 5. Сходимость аппроксимаций
Лемма 5.3 (Нечас, 1967, стр. 18).
I
s. r+ ? IИ D'M dx Г) (для всех
' \i\<k
Теорема 5.1 (лемма Брамбла — Гильберта; Брамбл и
Гильберт, 1970; Сьярле и Равьяр, 1972а). Пусть элемент
F g= 3@{2~k~l) (R) таков, что F(p)=0 для всех p<=Pk. Тогда
существует такая постоянная С= C(R), что
\F(u)\<CftFH_h_UR\u\k+UR (для любого ие^Н1|(«)).
Доказательство. Можно показать (упражнение 2), что
для любого и е ЗФь +1) (R) существует такой полином р =
) Pfe) что
R
Применяя теперь лемму 5.3, получим
Тогда в силу линейности функционала F
F(u) = F(u + p)
и после объединения всех этих результатов будем иметь
Упражнение 2. Докажите индукцией по k, что для любого
k+l (R) существует такой полином p = p{u)^Pk, что
Чаще всего лемма Брамбла — Гильберта используется для
получения оценок для билинейных форм. Например, пусть Ж
есть гильбертово пространство и F — ограниченная билиней-
билинейная форма с аргументами из Ж\+ (R) и д@, т. е. Fe
(^+ll). Тогда если
F(u, o) = 0
для всех v<^36 при u^Pk и функционал Fi ^3№2~k~l)(R)
определен для некоторого oel в виде
Fi (и) = F (и, v) (для всех и е Ж^" (/?)),

5.1. Введение 117
то лемма Брамбла— Гильберта приводит к оценке
В разд. 1.2 (упражнение 13) показано, что для такого функ-
функционала
И F, || < IIF ЦП о 1^,
и объединение двух этих результатов приводит к неравенству
\F(u,v)\^C\\F\\\\v\\g€\u\k+UR. E.6)
Упражнение 3. Используя лемму 5.3, доказать, что если
Fe^{Ж[к+Х)(R) XМ+1)(/?); R) такой, что
f для всех и е Ж2к+1)(R), если оеРг
Р (ц, и) = 0 <
[ для всех v е ЖBг+1) (R), если и е Pk,
то
Ы
Регулярные преобразования
Обычно базисные функции определяются на стандартном
элементе То, который может быть единичным квадратем или
прямоугольным треугольником с единичными катетами, а
затем вводится точечное преобразование для построения ба-
базисных функций на произвольном элементе Т (ср. с гл. 4).
Поэтому естественно получать оценки погрешностей на стан-
стандартном элементе, если только они допускают обобщение на
произвольные элементы.
В случае криволинейных элементов такое точечное пре-
преобразование обычно разбивается на два этапа путем введе-
введения промежуточного элемента Т'. Этот промежуточный эле-
элемент имеет те же вершины, что и криволинейный элемент Т,
но стороны его уже прямолинейны. Поэтому То отображается
на Т' линейным преобразованием I = F0(p), таким, что
t = t3+(tl-t3)p+(t2-t3)q (t = l,m),
где р = (р,^)еТ0 и 1=(/,т)еГ. Тогда отображение Тг
на криволинейный элемент Т можно рассматривать как нели-
нелинейное возмущение линейного преобразования. Если х =
= (х,у)^Т, то полное преобразование запишется в виде
где Fo есть линейное преобразование, a F, — нелинейный по-
поправочный член. Все рассмотренные в гл. 4 криволинейные

118 Гл. 5. Сходимость аппроксимаций
элементы могут быть представлены таким образом. Заме-
Заметим, что построение некоторых элементов в разд. 4.6 прово-
проводилось с помощью другой последовательности преобразова-
преобразований, в которой промежуточный элемент Т имел криволиней-
криволинейные стороны и те же вершины, что и стандартный треуголь-
треугольник Г0-
Чтобы неравенства вида E.6) можно было использовать
для получения оценок порядка сходимости конкретных конеч-
ноэлементных аппроксимаций, часто бывает необходимо ото-
отобразить 2eV(Tu) на ЗбУ (Т) и обратить это отображение. По-
Поэтому мы будем считать отображение F настолько гладким,
чтобы нз v е д@2Г)(Т), следовало бы, что ooFeJ^W. где
сложный (нли составной) оператор v о F определен как
(aoF)(p) = D(F(p)) (для всех реГ0).
Для упрощения обозначений мы часто будем писать v вместо
v о F и в случае необходимости v(p) или, например, v(x),
чтобы исключить возможную двусмысленность. Предполо-
Предположим также, что обратное преобразование F-1 настолько
гладко, что при v (р) e ЗвТ (То) выполняется включение
v (х) щ Жкг) (Т).
Условие 5.1 (условие регулярности). Если v e Ж%] (Т) и
диаметр1) элемента Т есть h, то существуют такие постоян-
постоянные Со, Ci и С2, что
|o|rtri<C,{lnf /(p)}-1/2Ar||t»lifjr> E.7a)
ре Го
| v |f Го>С2{ sup/(р)ГЩhr \v\nT E.7b)
SUp/(p)
inf/(p)
где J обозначает якобиан преобразования x= F(p).
Заметим, что это условие предполагает положительность
якобиана для всех реГ0. В гл. 4 было показано, что яко-
якобиан всегда положителен, если отсутствуют так называемые
запрещенные элементы.
') Диаметром треугольного элемента является длина его наибольшей
¦стороны, диаметром четырехугольного элемента является длнна его наи«
большей диагонали.

5.1. Введение 11?
Если все сводится к линейному преобразованию х =
= Fo(p), то якобиан будет константой и
[if. i?. 1 Г 1 *i г/, I
? * =det 1 *2 м .
и поэтому оценка E.7с) становится тривиальной.
Условие регулярности выполняется для определенных не-
нелинейных преобразований вида
где Fi есть «малое» возмущение (см. упражнения 9 и 10).
Если возмущающий член удовлетворяет некоторым условиям,
то можно показать, что якобиан имеет вид
где величина h также «мала», и поэтому выполняется усло-
условие 5.1 (Сьярле и Равьяр, 1972; Зламал, 1974).
Упражнение 4. Докажите, что из E.7Ь) следует, что если
h <С 1, то
|М1Г> Го > С |М|Г_ r ftr { sup / (р)Г1/2.
Упражнение 5. Докажите, что для любого v е 3?ч(Т)
{p
per
Сочетание леммы Брамбла — Гильберта с условием регу-
регулярности применяется главным образом (но, не исключи-
исключительно) для оценки погрешности интерполяции. Столь же
успешно это сочетание можно использовать для оценки оши-
ошибок, возникающих в результате применения численных квад-
квадратур, основанных на конечноэлементных разбиениях обла-
области интегрирования.
Упражнение 6. (I) Пусть E0(v) есть ошибка численного
интегрирования на стандартном элементе для функции
v e Ж{2+Х) (То), и пусть квадратурная формула точна для по-
полиномов степени не выше k. Покажите с помощью леммы
Брамбла — Гильберта, что
\Eo(v)\^C\v\k+UTo.
"(II) Пусть теперь такая формула преобразована для ин- ¦
тегрирования на произвольном элементе, полученном линей-
линейным преобразованием из стандартного элемента. Используя

120 Гл. 5. Сходимость аппроксимаций
условие регулярности, покажите, что ошибка интегрирования
для v e Ж{2 +l (T) может быть представлена в виде E0(JqvY
и что
\Eo(Jov)\^Chk+1\v\k+UT.
Упражнение 7. (I) Пусть ug^hii(Fo), ше/>, и E0(uw)'
обозначает ошибку численного интегрирования на стандарт-
стандартном элементе произведения uw. Введем еще билинейную
форму ?ie^ EЙ*+ " (Го) X ^ (То); R) как
Ех (и, ш) = E0(uw)
и предположим, что квадратурная формула точна для поли-
полиномов степени не выше г + к. Докажите, что тогда найдется
такая постоянная С, что
С|| w || | и \k+l Гч.
Ео {uw) К С|| w ||^ (Г,, | и
(Указание. Доказательство аналогично выводу неравенства
E.6),)
(II) Пусть теперь такая квадратурная формула преобра-
преобразована для интегрирования на произвольном элементе с по-
помощью линейного преобразования. Покажите, что тогда
ошибка численного интегрирования произведения двух функ-
функций и е Ж{2 +1) (Т) и w e Рг может быть представлена в виде
Eq(JqUW) Н ЧТО
В упражнениях 6 и 7 предполагалась линейность преобра-
преобразований, и поэтому /оау(р)е Рг, когда до(х)еРг. При ис-
использовании нелинейных преобразований, как это будет в
разделе 5.4(А), необходимо рассматривать такие функции
а>(х), для которых до(р)/(р) является полиномом. Дальней-
Дальнейшие детали по поводу видоизменения квадратурных формул
для интегрирования на произвольных элементах изложены
в разделе 5.4(А).
Упражнение 8. Докажите, что если х = Fo(p), то найдут^
ся такие постоянные С\ и С2, что
JJ (?)•*>«¦ \\ {(?)'+(?)'}'•* «=*• *

5.1. Введение
121
Рис. 24.
Докажите далее по индукции, что неравенства E.7а) и
E.7Ь) останутся верными при г=1, 2, ..., если в них за-
заменить \\v\\r, г на \v\r, т.
Упражнение 9. (а) Покажите, что если точки Ръ и Ре яв-
являются серединами сторон Р2Р3 и Р1Р3 соответственно, то
квадратичные изопараметрические элементы с одной криво-
криволинейной стороной (см. рис. 24(а)) задаются преобразова-
преобразованием
- h
(t = x, y)
(ср. с разд. 4.6).
(b) Покажите, что для такого преобразования
где
h (Р) = 4 (дч -
{(У2 ~Уг)Я- {У х- Уъ) р) +
4 (уА - ^Ж) {(х, - асз) Р ~ (х, - х3) q}
Найдите достаточные условия, при которых
0< ¦/„ - С/гэ < У </„ +
т. е. J ==0(/г2). Сравните ваши результаты с E.19).
Зламал A973) предложил для треугольных элементов
с одной криволинейной стороной другой, подход, который
приводит к аналогичным оценкам.
Упражнение 10. Покажите,' что если точ*ки Р6 и Р7, Р& и Р»
делят на три равные части стороны Р2Р3 и Р\РЯ соответ-
соответственно (см. рйс. 24 (Ь)), то преобразование, задающее ку-
кубические изопараметрические элементы; содержит нелиней-

122 Гл. 5. Сходимость аппроксимаций
ные члены
Полные аппроксимации
Условие регулярности содержит предположения о свой-
свойствах преобразования, переводящего произвольный элемент
в стандартный элемент. При объединении этих предположе-
предположений с леммой Брамбла — Гильберта можно получить оценки
типа E.4), т. е. определить порядок сходимости конечно-
элементной аппроксимации. Поэтому основное значение лем-
леммы Брамбла — Гильберта состоит в получении оценок для
ошибок интерполяции. Лемма одинаково хорошо может ис-
использоваться при оценке ошибок для любой формы аппрокси-
аппроксимации, представимой как проекция на пространство кусоч-
кусочных полиномов. Чтобы применить лемму, сначала необхо-
необходимо сделать некоторые предположения относительно типов
функций, лежащих в основе конечноэлементной аппроксима-
дии.
Для любого элемента Г обозначим через Kit] простран-
пространство, определяемое теми пробными функциями, которые от-
отличны от нуля на Г. Другими словами, Km есть сужение
пространства пробных функций относительно элемента Т.
Обозначим через Кш пространство таких функций у(р), для
которых у(х)е/С[г]. Это пространство Кш имеет особо важ-
важное значение при анализе методов конечных элементов. По-
Порядок метода определяется максимальной степенью поли-
полинома (по р), для которого ошибка аппроксимации функцией
из Kio] равна нулю. В общем случае эта степень совпадает
с таким максимальным k, для которого Pft с /С[о]-
Например, если рассматривается аппроксимация кусоч-
кусочными кубическими полиномами (Лагранжа или Эрмита) на
треугольной сетке (разд. 4.1), то преобразование F будет
линейным и Кш, К[т] = Рз- Для аппроксимации D.14) (опре-
(определяемые 18 параметрами полиномы пятой степени со сшив-
сшивкой в С1) преобразование также будет линейным, но Р4 сг Кш,
Kit) сг Р5 (строгое вложение), а для биквадратичной изопа-
раметрической аппроксимации D.29) Р2 сг Km cr Р4 (снова
строгое вложение), но преобразование уже не будет линей-
линейным, т. е. Kin не будет полиномиальным подпространством.
Для каждого элемента Т введем проекцию Пг иа /Ctrl, так
что для любой достаточно гладкой функции и функция

5.2. Сходимость аппроксимаций Галеркина 123
Пги(х) будет интерполировать ы(х) на Т. Интерполяция
в этом контексте означает согласование всех узловых пара-
параметров, которыми определяется .конечноэлементная аппрок-
аппроксимация. Для функций, заданных на стандартном элементе,
можно определить отображение П на Кы как
n(yoF) = (nry)oF.
Условие 5.2 (условие полноты). Для любого элемента Т
диаметра h существует такое k > 0, что Р* cr Кш и для про-
проекции П нормы ||/ — П|| равномерно ограничены при всех п.
Пример того, что нормы ||/ — П|| не будут равномерно ог-
ограничены, доставляют треугольные элементы, когда нормаль-
нормальная производная в точке стороны является параметром, а
значение функции и тангенциальная производная — нет, и не-
некоторые треугольники стремятся к вырожденным при измель-
измельчении сетки, т. е. есть такие элементы, у которых наимень-
наименьший угол стремится к нулю (Брамбл и Зламал, 1970). Мы
снова вернемся к этому примеру в конце разд. 5.3.
В параграфе 5.3 предполагается, что можно определить
пространство ЖBк) (R) для нецелых k так же, как и для. це-
целых. Детальное обсуждение свойств такого пространства и
смысла теоремы о следе выходит за рамки этой книги, и мы
отсылаем интересующегося читателя к работам Обэна
A972), Лионса и Мадженеса A972) или Нечаса A967).
Краткие сведения о наиболее важных свойствах этих про-
пространств и об их приложениях можно найти в первой главе
книги Варги A971).
5.2. Сходимость аппроксимаций Галеркина
Продолжением результатов разд. 3.5 является доказатель-
доказательство того, что аппроксимация Галеркина для линейных за-
задач в общем случае является почти наилучшей в смысле того
определения, которое было дано в предыдущем параграфе.
Основой такого доказательства служит обобщение леммы
Лакса —Мильграма (Иосида, 1965, стр. 134):
Теорема 5.2 (Обэн, 1972, стр. 40). Если Ж есть гильбер-
гильбертово пространство, I е Ш' и а-— эллиптичная в Ж ограни-
ограниченная билинейная форма, то существует единственный век-
вектор и е Ш, такой, что
а (и, v) = / (v) (для всех v e Ж).
Для данного N-мерного подпространства К» существует един-
единственный вектор О е Kn, такой, что
a (U, V) = I {V) (для всех Ve=KN).

124 Гл. 5. Сходимость аппроксимация
Более того,
||и~1/||ж<С inf ||ы — aIU,.
ueKN
Аналогичный результат может быть получен для некоторых
нелинейных задач, допускающих применение теории моно-
монотонных операторов (Варга, 1971, гл. 4).
В качестве примера результатов, которые могут быть по-
получены с помощью теоремы 5.2, рассмотрим аппроксимацию
Ритца решения уравнения
E.8)
с граничным условием
и(х,у) = 0 {{х, r/)sa«), E.9)
где предполагается существование таких постоянных б и Д,
что
О < 5 < dx (х, у), d2 (*, у) < А ((*, г/) е /?).
Для этого примера
l(v) = (f,v)
и
+d
Так как
| а (и, о)
R
билинейная форма будет ограниченной, а поскольку
а (и, м)>6|и|,,к,
то из леммы 5.1 следует, что она будет эллиптичной
Следствие теоремы 5.2. Если и есть решение задачи E.8) —
E.9), то аппроксимация Ритца U е Кы с ^2 (/?) такова, что
\\и-и\\и R<C inf ||и-й||,.я.
О
Упражнение 11. Докажите, что если (I) н есть решение
уравнения E.8) с граничным условием и = g на <Э/? и
(II) до е 5^2'' (/?) — любая такая функция, что до = g на д/?, то
о о
аппроксимация Ритца U + до при U ^ КN <^-Зв^ (R) такова,
что
inf ||н-(й+1»)||,1Л

5.2. Сходимость аппроксимаций Галеркина 125
Упражнение 12. Докажите, что если и есть решение урав-
уравнения E.8) с граничным условием -^- = g на OR, то суще-
существует такая аппроксимация Ритца U е Кыс2Щи(Н), что
||и-*/||,.„<С inf ||и-б||,. „.
й е Кц
Отметим, что для существования решения необходимо пред-
предположение о совместимости fag. Например, если в E.8)
й\ = б?2= 1, то мы предположим, что
OR
и так как решение определяется однозначно с точностью до
постоянного слагаемого, то это последнее можно выбрать
так, чтобы
(Нечас, 1967, стр. 256). Следовательно, для получения ре-
результата можно применить лемму 5.3 при k = 1.
Если необходимо аппроксимировать граничные условия
базисными функциями, принимающими на границе ненуле-
ненулевые значения, то указать границу ошибки еще возможно.
Если
где UQ e KN cr Ж^ (R), то U содержит только такие базис-
базисные функции, которые могут принимать ненулевые значения
на границе, и полностью определяется граничными данными.
Из определений параграфа 5.1 следует, что f/e Kn-
Лемма 5.4. Если и есть решение_уравнения E.8) с гранич-
граничным условием и — g на dR и U e Kn выбрано так, что
O\x,y)((x,y)edR) есть фиксированная аппроксимация
функции g, то конечноэлементная аппроксимация U = Uo + О
при U0^KNcz Щ1> (R) такова, что
1шЯ — (й + О)\1шК(для всех
Доказательство. Так как
о
и Uo — й^Кы, то результат непосредственно следует из лем-
леммы 5.3 и определений и и U. ¦

126 Гл. 5. Сходимость аппроксимаций
Если мы предположим, что существует гладкое продолже-
продолжение g в R, то лемму 5.4 можно использовать также для по-
получения оценок в терминах пространства Ж^ЦК). Существует
по крайней мере одно такое продолжение — именно само ре-
решение и.
Теорема 5.3 (Файервезер, 1972, стр. 45). Пусть и есть ре-
решение уравнения E.8) с граничным условием и = g на dR
и w^ 3/ё^] (/?) — любое гладкое продолжение g в R. Тогда
конечноэлементная аппроксимация вида U = ?/, + W, где
о
W е Кы есть аппроксимация ш, а G,е Kn, будет такой, что
|| и -(?/, + W) ||,, R < С {|| и - (й + W) ||1р R + \\w-W |!,. R} E.10>
о
5ля любого п е /Cw.
Отметим, что если, например, граничное условие полу-
получается с помощью интерполяции, то правая часть E.10) со-
О
стоит из ошибки аппроксимации функции и — w^M{^{R) и
ошибки интерполяции функции w, которая отлична от нуля
на границе.
Аппроксимация границы и численное интегрирование
Построение конечноэлементной аппроксимации для задач
с интерполированными граничными условиями — как это
только что было — это одно из основных нарушений вариа-
вариационных принципов (Стренг, 1972), на которые приходится,
постоянно идти при решении практических задач. Другие на-
нарушения таковы: (I) искажение положения границы; (II)
использование численного интегрирования для вычисления
скалярных произведений и (III) применение несогласован-
несогласованных элементов. Несогласованные элементы будут детально
рассмотрены в разд. 7.2. Если применяется любой из этих
приемов, то приближенное решение не лежит более в Kn a
не удовлетворяет условию
a(U, V) = (f, V) (для всех Vs=KN). <S. 11>
Вместо этого решение Uh e Ки и удовлетворяет условию
ah(Uh, Vh) = (f, Vh)h (для всех Vh e= Kh), E.12).
где обе части E.12) и вид нового М-мерного пространства
Kh, которое может содержать функции, не являющиеся до-
допустимыми для изложенных в гл. 3 классических вариацион-
вариационных методов, зависят от характера нарушений вариационных
принципов. Обычно бывает, что М ^ N и /Сл Э Кы. Если.

5.2. Сходимость аппроксимаций Галеркина 127
Rh = Kn, как в том случае, когда единственным отличием от
классической формы вариационного метода является приме-
применение численного интегрирования, то решения обеих систем
E.11) и E.12) будут линейными комбинациями функций
ф,(л;) (t=l, .... N). Коэффициенты такой комбинации для
задачи E.11) определяются из системы
Ga = b, E.13)
где матрица жесткости G ={a(<p;, <р/)} и Ь = {(/, ф;)} (i,j —
= 1, ..., N). Для приближенной задачи E.12)
СЛ«Л = ЬЛ, E.14)
где Gh ={а/,(ф1, ф/)} и b/, = {(f, q>i)h}. Можно сравнить конк-
конкретные элементы Gh и Ь/, с соответствующими элементами G
и b и получить оценку нормы \\U— Uh\\ известным из линей-
линейной алгебры стандартным методом малых возмущений. К со-
сожалению, этот метод в большинстве случаев позволяет полу-
получить лишь грубую оценку сверху для нормы |]?/— Uh\\ (Фикс,
1972). Если предположить, что приближенная билинейная
4>орма эллиптична в ^ и ограничена, то тогда теорема 5.2
не только обеспечивает существование единственного реше-
решения, но и позволяет оценить степень приближения.
Упражнение 13. Покажите, что если а& есть эллиптич-
эллиптичная в Ш билинейная форма, то
ah (U - Uh, Wh) = (ah - a) (U, Wk) + (/, Wh) - (f, Wh)h
для любого Wh e Kh. Тем самым докажите, что
ah-a){U.WhL + \(f, Wh)-(U
h
E.15)
и получите аналогичную оценку для || и — ^л11ж-
Упражнение 14. Покажите, что если ah есть ограниченная
билинейная форма, то
\ah{Uh-Vh, Wh)\^a\\u-Vh\\Wh\\ + \{f,Wh)h-ah{u, Wh)\
для любых Vh, Wh e Kh. Докажите далее, что если ah к тому
же эллиптична в Ж, то
II uh - vh |к f и „ - vh ii + ™lKh {
для любого Vh e Kh, и существует такое С > 0, что
inf \\u-Vh\\+ sup
E.16)

128 Гл. 5.. Сходимость аппроксимаций
Отметим, что оценкой E.15) можно пользоваться только
тогда, когда 11н в некотором смысле близко к классической
аппроксимации Галеркина. Это будет так, если Kh = Kn или
Кн = Knф{ф«+ь •••, фм}, где дополнительные ф,(х)(; =
= N + 1, ..., М) обладают такими специальными свой-
свойствами, которые исключают их из числа допустимых для
классической аппроксимации функций: например, они могут
быть несогласованными. Оценка E.16), наоборот, применима
тогда, когда наше приближение существенно отличается от
любой классической аппроксимации, как, например, в слу-
случае несогласованности всех элементов (разд. 5.4 (Е)).
Аналогичным образом метод малых возмущений может
быть применен и тогда, когда E.5) является системой вариа-
вариационных разностных уравнений (см., например, работу
Демьяновича, 1964).
Упражнение 15. Докажите, что если аи и а такие били-
билинейные формы, что аи эллиптична в Кн, а а ограничена, то
5.3. Ошибки аппроксимации
Как показано в предыдущем разделе, аппроксимации Га-
Галеркина всегда почти оптимальны в некоторой норме. В ча-
частности, приближенные решения для задач второго порядка
таковы, что
inf ||и-й||,.л.
Оценки ошибки также могут быть получены в терминах др
гих норм, в частности норм пространств Я?ч{К) и S'oo(R)
Оценки в 2?ao(R) позволяют также доказать так называемое
свойство сверхсходимости некоторых методов Галеркина, т. е.
наличие в узлах более высокого порядка аппроксимации по
сравнению с неузловыми точками (Дуглас, Дюпон и Уилер,
1974). Более подробно с этим вопросом можно познакомиться
в работе де Бура A974).
Пусть То есть стандартный элемент. Тогда большинство
результатов о сходимости может быть получено с помощью
следующей леммы о полиномиальной аппроксимации на Го:

S.3. Ошибки аппроксимации
Лемма 5. 5
есть проекция
1
для всех сеЗ
. Пусть П
на /С[0|, где
\v-Ylv\\r,T.
ЩЬ+ЧТЛ.
<=2 (Ж
Щ] [То)
<С||/-
(ft+1) Q
=>*[..
П|||о
го); л
= ^-
Ift+l. Го
Гог5а
Это значит, что если интерполяция точна для полиномов
степени не выше k, то ошибка интерполяции может быть вы-
выражена через (&+1)"е производные интерполируемой функ-
функции. Операторы Пи/ — Й переводят элементы пространства
Зё?+1) (Гд) в элементы пространства Ж^] G1,,), поскольку при
конкретном применении леммы г зависит от порядка диффе-
дифференциального уравнения, a k зависит от свойств пробных
функций. Значение ||/ — П|| зависит от значений г и k, но
предполагается, что эти нормы равномерно ограничены и,
вообще говоря, необязательно знать точное значение нормы.
Доказательство леммы 5.5. Для любого G е Ж^~ )
определим F е Щ~к-" (То) так, что при любом v е= Щк*Ц (То)
Тогда, применяя к F лемму Брамбла — Гильберта, будем
иметь
|G([/-n]0)|<C||FL*-,.r.l4.n.r..
IIFII = sun f I G ([/ - П] щ) l
Из двойственности пространств ЗбХ* (То) и Ж1~п {То) следует,
что для любого и е Ж^ (То)
||Ы||Г,ГО= sup
о—Г'
так что, в частности,
Объединяя теперь эти результаты, получим
5 Зак. 672

130 Гл. 5. Сходимость аппроксимаций
НО
"ft+l. To'
откуда сразу следует утверждение леммы.
Этот результат может быть объединен с условием регуляр-
регулярности для получения оценки ошибки интерполяции в обла-
области R.
Теорема 5.4. Предположим, что условие полноты справед-
справедливо для некоторого k > 0 и условие регулярности справед-
справедливо для всех г <: k. Тогда если и е 5^fc+1) (R), п интерполи-
интерполирует и, то
где h ограничивает диаметры элементов, составляющих раз-
разбиение области R.
Доказательство. Если мы предположим, что область R раз-
разбита на элементы Tt (j = 1, ..., S), то
Рассматривая типичный элемент Т, получим из леммы 5.5, что
Применяя затем условие 5.1 и результат упражнения 4, будем
иметь
Ввиду равномерной ограниченности всех операторных норм
||/ — П|| суммирование по всем элементам приводит к жела-
желаемому результату.
Этот результат может быть применен в том специальном
случае, когда преобразование То в Т линейно и интерполя-
интерполяция конечноэлементными функциями точна для и е Pk. Тогда,
в частности,
где й — интерполирующая функция. Такой тип оценки тре-
требует для задач второго порядка определения порядка конеч-
ноэлементной аппроксимации с помощью почти оптимальных
неравенств параграфа 5.2. Отметим, что если рассматривать
область только из одного элемента, то получается оценка
ошибки для обычной интерполяции Лагранжа; это обстоя-

5.3. Ошибки аппроксимации 131
тельство будет использовано ниже, в разд. E.4(В)). Лагран-
жевы (или эрмитовы) элементы из разд. 4.1 таковы, что пре-
преобразование Го в Г линейно, базисные функции ф е Рк, интер-
интерполяция точна для «ePt и /Со = Km = Pk. Поэтому если
область R является многоугольником, граничные условия точ-
точно согласованы и интегралы вычислены аналитически, то для
ошибки такой конечноэлементной аппроксимации задачи вто-
второго порядка будем иметь
\\u-U\\URKChk\u\k+UR. E.18)
Аналогичный результат справедлив для задач на прямоуголь-
прямоугольниках с прямоугольной сеткой: снова показатель степени точ-
точно интерполируемых полиномов определяет показатель сте-
степени у Л в оценке E.18).
Упражнение 16. Покажите, что исключение внутренних
параметров из таких конечноэлементных аппроксимаций, как
лагранжевы (или эрмитовы) кубические элементы, или иск-
исключение нормальных производных в серединах сторон 21-па-
раметрической аппроксимации полиномами пятой степени со
сшнвкой в С1 уменьшает показатель степени у Л в E.18) на
единицу.
Упражнение 17. Покажите, что биквадратичная и бикуби-
бикубическая субпараметрические аппроксимации (разд. 4.3), ис-
использующие билинейное преобразование для перевода произ-
произвольного четырехугольника в единичный квадрат, могут ин-
интерполировать точно полиномы второй и третьей степени со-
соответственно по х и у. Покажите, что если R является много-
многоугольником, граничные условия точно согласованы и инте-
интегралы вычисляются аналитически, то оценка E.18) справедли-
справедлива при k = 2 и 3 соответственно.
Упражнение 18. Покажите, что оценка E.18) справедлива
для шестигранных субпараметрических элементов в трехмер-
трехмерном пространстве при условии, что область Я допускает точ-
точное разбиение.
Криволинейные элементы
Сьярле и Равьяр A972b) показали, что оценки вида E.18)
справедливы также для некоторых изопараметрических эле-
элементов с одной криволинейной стороной; в частности, они
-установили порядок сходимости для двух специальных слу-
случаев:

132 Гл. 5. Сходимость аппроксимаций
A) Квадратичные изопараметрические треугольные эле-
элементы могут быть представлены в виде (упражнение 9)
t = t3 + (h- h)p+{t2 ~Qq + (h - "Чг2-) 4W (' = х> У)-.
Так как интерполяция точна для полиномов второй степени
по р и q, то ошибка оценивается как
\\u-U\\hR =
при условии, что
[у*-4м-]2Г=
Это эквивалентно тому, что
де PJ есть середина хорды Р\Р2, а норма — это евклидово
расстояние в 1R2. Этому дополнительному условию всегда
можно удовлетворить, если h достаточно мало по сравнению с
радиусом кривизны границы. Предполагается также, что гра-
граница может быть точно представлена с помощью дуг, допу-
допускающих параметризацию вида
t = UpBp - 1) + /8A - р)A - 2р) + /44рA - р) E.20)
(t = x,y; pe[0, 1]).
Аналогичная оценка справедлива для биквадратичных изопа-
раметрических аппроксимаций, определенных на четырех-
четырехугольниках с одной криволинейной стороной, если выполнены
такие же ограничения геометрического характера.
B) Кубические изопараметрические элементы могут быть
представлены в виде (упражнение 10)
=4»+(ti - « P+ih ~ h) q+27pq A - p-q) [tw -
(t = x,y).
Так как интерполяция точна для кубических полиномов по р
и q, то ошибка оценивается как
при условии, что
(/ = 4,5)
< - Рд ~ (Р5 - П) Ir. = О (h% E.21)

5.3. Ошибки аппроксимации 135
и точка Р\о выбрана так, что
+ С -Q+ (>.-<) „=,,„,, (В.22)
де Р* == (a^4> ^4) и Р1 (Х1> У\) ~ точки, делящие хорду />iP2 на
три равные части и прилежащие к Ра и Яб соответственно.
Дополнительное ограничение E.21) в действительности вы-
выполняется при достаточно малом h. Как и в предыдущем слу-
случае, оценка порождаемой конечноэлементнои аппроксимацией
ошибки справедлива лишь тогда, когда в граничном условии
нет погрешности. Подобная же оценка имеет место для эрми-
эрмитовой изопараметрической аппроксимации (Сьярле и Равьяр,
1972b) при выполнении совокупности условий, аналогичных
E.21) и E.22).
Эти строгие ограничения на кривизну изопараметрических
элементов могут оказаться необходимыми на практике, как
показывают некоторые численные эксперименты (Бонд, Све-
нелл, Геншелл и Уабартон, 1973), но комментируются они
по-разному.
Во всех оценках сходимости для случая двух переменных
предполагается, что наименьший угол 9 треугольной сетки
остается отделенным от нуля при стремлении h к нулю. В ана-
аналогичных результатах для случая трех переменных или четы-
четырехугольных сеток на плоскости предполагается, что отноше-
отношение — остается ограниченным при стремлении h к нулю. Для
любого элемента величина р определяется как диаметр наи-
наибольшей сферы (в R3) или окружности (в R2), лежащей внут-
внутри этого элемента. Если же таких предположений нельзя сде-
сделать, то оценка для ошибки интерполяции примет вид
E.23)
в предположении, что величина ||/ — П|| равномерно ограни-
ограничена по всем элементам. Оценка такого вида вводится пото-
потому, что в условии 5.1 второе неравенство E.7Ь) теперь пра-
правильнее выражать через р, чем через h (Сьярле и Равьяр,
1972а, Брамбл и Зламал, 1970). Для треугольных сеток
р « h sin 8,
и поэтому в скобках правой части E.23) будет стоять
hk+x~r/ (sin 8)г. Если нельзя считать отношение — ограничен-

134 Гл. 5. Сходимость аппроксимаций
ным при стремлении h к нулю, то может оказаться '), что ве-
величина ||/ — П|| также не будет равномерно ограниченной, и
поэтому, как показали Брамбл и Зламал, оценка для ошибки
интерполяции может быть представлена в виде
11 "r-K ^ (sin6)"+r ' *+'.«
при некотором n^l, что лучше оценки E.18). Бабушка и
Азиз A976) отмечают, что лучше иметь дело с углами, стре-
стремящимися к 2я, чем с углами, стремящимися к нулю.
Оценки вида
г hk+l-r E.24)
для ошибки интерполяции могут быть получены с помощью
теоремы Сарда о ядре для методов, использующих как прямо-
прямоугольники, так и треугольники. Для некоторых видов кусоч-
кусочных полиномиальных аппроксимаций значения постоянных
Ck, r из неравенства E.24) могут быть получены численно.
Результаты эти .также подтверждают, что оценки вида E.23)
не являются наилучшими из возможных (см. Барнхилл, Гре-
Грегори и Уайтман, 1972, и цитируемые ими работы).
Оценки ошибки интерполяции в терминах максимум-полу-
максимум-полунормы Ыда^ более правильные по сравнению с использую-
использующими соболевскую полунорму оценками вида E.18), снача-
сначала получил Зламал, а затем Сьярле и Равьяр и Женишек
(см. Сьярле и Равьяр, 1972а, и цитируемые ими работы).
Если решение не является достаточно гладким, величины
|м|*+1,я могут не существовать и нельзя получить оценку
вида E.18), даже если Kw=>Pk- В таких случаях необходимо
использовать показатель
так как k* ^ k, то необходимо лишь переформулировать тео-
теорему 5.4, заменив k на k* там, где это нужно; в остальном
анализ проводится без изменений. Типичные задачи, для ко-
которых решение сингулярно или почти сингулярно, возникают
в случае областей с вдавленными внутрь углами. Для реше-
решения таких задач были разработаны специальные приемы, ко-
которые кратко рассматриваются в разд. 7.4 (F); другой подход
приводится в гл. 8 книги Стренга и Фикса A977) и в работе
Уэйта A976).
') Одним нз примеров такого рода является 21-параметрическая ап-
аппроксимация полиномами пятой степени со сшивкой элементов в С1.

5.4. Ошибки возмущений 135
5.4. Ошибки возмущений
В оценках E.16) и E.17) содержатся два различных типа
ошибок:
A) Первый член
inf Wu-Va
представляет собой ошибку аппроксимации и может быть
оценен методами, изложенными в разд. 5.3.
B) Все остальные члены возникают из-за приближенного
характера уравнения Галеркина E.12). В этом параграфе мы
попытаемся оценить эти дополнительные члены для различ-
различных видов возмущений.
Конечноэлементное решение называется оптимальным, если
для него порядок ошибок возмущений не превосходит поряд-
порядка ошибки аппроксимации (Нитше, 1972).
В своем исследовании квадратурных ошибок Хеболд и
Варга A972) назвали квадратурную формулу совместимой,
если в результате ее применения получается оптимальная ап-
аппроксимация.
(А) Численное интегрирование
Оценки ошибок интегрирования, осуществляемого числен-
численно с помощью стандартных квадратурных формул, были рас-
рассмотрены в упражнениях 6 и 7 разд. 5.1. В этом разделе мы
рассмотрим этот вопрос более детально и получим оценки,
справедливые при некоторых типах нелинейности в преобра-
преобразовании, отображающем То на Т.
Квадратурная схема на стандартном элементе задается
последовательностью точек pisTo (/ = 1, ..., L) и последо-
последовательностью положительных весов bi. Если возмущенная би-
билинейная форма эллиптична в Кн, то условие bi > О необхо-
необходимо. Любой интеграл по стандартному элементу можно за-
записать в виде
L
и(р)d(р) = ?М(р,) + Ео(и),
1-1
То
где, как и раньше, Ео есть оператор квадратурной ошибки
для стандартного элемента. Чтобы получить квадратурную
формулу для интегрирования на произвольном элементе, возь-
возьмем точки X; = F(p/)<= Т и веса р/ = biJ(pi), где / есть яко-
якобиан преобразования F. Если обозначить через Е(и) квадра-

136 Гл. 5. Сходимость аппроксимаций
турную ошибку на элементе Т, то
L
L
= \\ и(р)/(p)dp - У b,J(p,)«(P/) = Eo(«/)•
В этом разделе, следуя Сьярле и Равьяру A972с), мы изу-
изучим ошибки возмущений для решения дифференциального
уравнения
с граничным условием
и(х, у) = 0.
Предположим, что все ошибки возмущений возникают при
вычислении скалярных произведений с помощью численного
интегрирования. Поэтому все базисные функции ф удовлетво-
удовлетворяют граничному условию и согласованы — для этой задачи
Ч>еЖ (/?). Предположим далее, что область R разбита на5
элементов Т,• (j = 1, ..., S) и что для каждого элемента су-
существует преобразование F/, отображающее на него стандарт-
стандартный элемент; якобиан преобразования F/ обозначим через J,.
¦ Поэтому нашей задаче будет соответствовать билинейная
форма
и возмущенная форма будет иметь вид
/-1 i-i
Ш (?)+<Ч?) (ж)
) (
ЗУ ) JX=F
F/(P/)
где
Следовательно,
{^ft) Mfy^j>)}- E.26)
/-i

5.4. Ошибки возмущений 137
Таким образом, отдельные члены последней суммы имеют
вид E0(zw), где z(p) и w(p) есть соответственно d\ Г -?-\
и \-?г) //(или ^г(-^-) и (-^-)//)*. пусть di и d2 являют-
являются настолько гладкими, что, z e 5^2 (Го). Тогда для интегра-
интегралов от произведений можно использовать оценку, полученную
в упражнении 7, при условии, что I -^ 11 \ и \-т~ I ¦'/ являют-
являются полиномами по р.
Аналогичным образом квадратурная формула применяется
и к правой части уравнения Галеркина
а (и, v) = (f, v),
где
Отсюда следует, что
s l
('' V>h = L, L, *Ч " W У W'x-F, (р,)'
и поэтому
(f,o)-(/,o)*=E^o(fo//). E.27)
Если снова / е Ж2А) (Го) при некотором k, то для произведения
такого вида можно применить оценки квадратурных ошибок
при условии, что vJj есть полином по р. Вместе с тем мы по-
получили оценки возмущений E.26) и E.27), которые могут
быть использованы в E.16) и E.17) при выяснении вопроса
о сходимости аппроксимации.
Если каждый элемент получается из стандартного элемен-
элемента линейным преобразованием, то все якобианы являются кон-
константами, и если Wh(x) есть полином, то полиномами будут и
—я ' —?i~ и Wh (p). Можно показать, что на каждом
ах ау
элементе функции dWh(p)/dxJ(p), dWh(P)/dyJ(p) и
Wh(p)J(p) будут полиномами, если Wh{\) есть пробная ко-
нечноэлементная функция различных видов (Сьярле и Равьяр,
1972с).
Упражнение 19. Покажите, что для квадратичного изопа-
раметрического элемента, приведенного в упражнении 9, функ-
функции ]{др/дх), J(dp/dy), J(dq/dx) и J(dq/dy) линейны по р
и q. Покажите далее, что для любой кусочно-квадратичной
пробной функции Wh на каждом треугольнике функции

138 Гл. 5. Сходимость аппроксимаций
J(p)dWh(p)/dx и J(p)dWh(p)/dy будут полиномами второй
степени по р; покажите также, что J(p)Wh(p) есть полином
четвертой степени.
Упражнение 20. Докажите, что если используются тре-
треугольные изопараметрические элементы степени k, то на
каждом треугольнике функции /, J(dwh/dx) и J(dWh/dy) бу-
будут полиномами степени 2(k—1) для любой пробной функ-
функции Wh- Докажите, что в общем случае JWh e Рз&-2 на каж-
каждом треугольнике.
Сделав предположение о полиномиальности J(p)dWh/dx,
J(p)dWh/dy и J(p)Wh на каждом элементе, можно получить'
оценки возмущений E.26) и E.27).
Теорема 5.5. Предположим, что для любой пробной функ-
функции Wh^Kh на каждом элементе функции J(p)dWh/dx и
J(p)dWh/dy есть полиномы степени не выше гь a J(p)Wh —
полином степени не выше г0, и что условие регулярности вы-
выполняется для всех s ^ max {гь г0}. Тогда если квадратурная
формула точна на стандартном треугольнике для полиномов
степени не выше r\ + s, то возмущение E.26) билинейной
формы ограничено как
\(a-aH)(VH'WH)\ < СА.+1 „ у „ ,- «ох
где Vh, Wh s Kh есть любые пробные функции. Аналогично
этому, если квадратура точна для всех полиномов степени не
выше го + s—1> то возмущение E.27) правой части ограни-
ограничено как
\ (f, Wh) - (/,
для любой Whe Kh при условии, что f eЖ{2+1)(R).
Если к примеру, применяются лагранжевы или эрмитовы
элементы степени k, преобразование Т в То линейно и на каж-
каждом элементе J0(dWh/dx)^ Pk-\, Jo(dWh/dy)& Pk-\ и /о^е
e Pk. Поэтому n = k — 1, ro = k, и если используется квад-
квадратура, которая точна для всех полиномов степени не выше
Ш — 2, то в E.28) и в E.29) s = k— 1. Тогда из E.17) сле-
следует, что
wh

5.4. Ошибки возмущений 139
где п интерполирует и. Как было показано в разд. 5.3 (след- '
ствие из теоремы 5.4),
поэтому аппроксимация будет оптимальной и
так как добавочные члены E.28) и E.29) есть также O(hk).
Эта теорема не только указывает степень точности квад-
квадратурной формулы, обеспечивающую оптимальность аппрок-
аппроксимации, но указывает также, что минимальная степень, обе-
обеспечивающая сходимость при стремлении h к нулю, есть
min{n,ro— 1}. В предыдущем примере она равнялась k— 1.
Доказательство теоремы 5.5. Ошибка в билинейной форме
складывается из членов вида
где v(p)=dl(dVh/dx) и w(p) = J(dWh/dx). Если шеЯг_ и
квадратура точна для полиномов степени r\ -f- s, то из леммы
Брамбла — Гильберта следует, что (см. упражнение 7)
Считая коэффициент d\ достаточно гладким, получим с по-
помощью E.7Ь) и результата упражнения 5, что
Просуммировав по всем элементам и поделив на | Wh 11, /?, по-
получим E.28).
Справедливость E.29) установим, следуя Сьярле и Равья-
ру A972с). Введем проекцию По на одномерное подпростран-
подпространство />о функций — констант на элементе Го; так что для лю-
любой функции и^2?2(Т0)
(и — Uou) dp = 0.
Типичный член в ошибке для правой части уравнений Галер-
кина может быть записан как
Ео (WHJ) = Ео (fJ [I - По] Wh) + Ео (fJ [По] Wh).
Так как / [/ — По] Wh e Рг то из леммы Брамбла — Гильбер-
Гильберта следует, что (см. упражнение 7)
| Ео ф [I - По] Wh) \ < С|| J [I - По] Wt

140 Гл. 5. Сходимость аппроксимаций
Но По есть проекционный оператор, так что можно применить
лемму 5.5, чтобы получить неравенство
Поэтому из E.7а) следует, что
|?o(f/[/-no]rA)l<C{sup
ре Г-
<CAs+1||f||s,7.|l^hlli,r. E.30)
Аналогично этому, если /(р)ёРг, и U0Wh есть константа, то
(r.>l f |,+lj 7o<
<С/г5+1||/||5+1Л.||ГА||^(Л. E.31)
Объединяя E.30) с E.31), суммируя по всем элементам и
деля на HWJIi, r, получим желаемый результат.
Упражнение 21. Рассматривая ошибки вида
v (d*Vh
*-° V дх2 дх2
покажите, что если квадратура точна для полиномов степени
n-fs и произвольный элемент переводится в стандартный
элемент линейным преобразованием, то возмущение (а — ан)
для задач четвертого порядка допускает оценку
при условии, что пробные функции согласованы и являются
полиномами степени не выше чем г\ + 2 на каждом элементе.
Результаты, аналогичные теореме 5.5, были получены
Фиксом A972) при изучении влияния квадратурных формул
на лагранжеву и эрмитову конечноэлементные аппроксимации
на многоугольной области. Квадратурные формулы исследо-
исследовались также Хеболдом и Варгой A972), но только для пря-
прямоугольных областей и в предположении, что билинейная
форма ан проинтегрирована точно.
Сьярле и Равьяр A972с) применили результаты теоремы
5.5 к изопараметрическим аппроксимациям, определенным как
на треугольниках, так и на четырехугольниках. Они показали
также, как выбрать такую квадратурную формулу, чтобы би-
билинейная форма аи была эллиптична в Кп, и тем самым можно
было обосновать применение оценки E.17).

5.4. Ошибки возмущений 141
Однако эти результаты приводят к содержательным оцен-
оценкам только тогда, когда используемые изопараметрические
элементы имеют не более одной криволинейной стороны. Да-
Даже в этих случаях результаты определяются условиями, отме-
отмеченными в разд. 5.3. Большинство оценок квадратурных оши-
ошибок обобщается на случай Rm(m > 2) для дифференциаль-
дифференциального уравнения
l.I-l
где
X \X\i • • •, XffiJ*
Упражнение 22. Используя результаты упражнения 20, по-
покажите, что изопараметрическая аппроксимация степени k
оптимальна, если используется квадратурная формула, сте-
степень точности которой равна 4(k — 1).
(В) Интерполируемые граничные условия
Предположим теперь, что аппроксимирующее подпростран-
подпространство Kh содержит функции, не обращающиеся в нуль на гра-
границе, но что интегралы вычисляются точно. Поэтому можно
использовать оценку ошибки E.15), в которой добавочным
членом будет
«пп I 1 if' Wh) - а (», Wk) | 1 ,, „_v
Рассмотрим сначала приближенное решение уравнения
а (и, v) = (/, v),
где
что соответствует дифференциальному уравнению
с граничным условием
Результаты этого раздела могут быть применены и в случае
неоднородных граничных условий, если, как и в разд. 5.1, гра-
граничные значения допускают подходящее продолжение. Воз-
Возможен и другой подход, использующий для оценки ошибок
теорему 5.3.

142
Гл. 5. Сходимость аппроксимаций
Анализ методов, в которых граничные условия не удовлет-
удовлетворяются точно, почти всегда приводит к рассмотрению инте-
интегралов от граничных значений. Это относится также и к ме-
методам штрафов, описанным в разд. 5A(D). Можно определить
соболевское пространство Ш(ъ~ (dR) аналогично тому, как
было определено пространство Жк ~п (R) в разд. 5.1. Из та-
такого определения следует, например, что
^VW)W^da <lSVliWllr*|l*-i.a*'
а в силу теоремы о следе
Тогда из теоремы Грина следует, что
\(f,Wh)-a(u,Wh)\= \(^)Wkda
dR
и, объединив эти два выражения, мы получим оценку вида
| (/, Wh) - а (и, Wh)\<C\\u \\k+l R || Wh H,_ft_ dR.
Чтобы быть применимым к задачам второго порядка, вы-
выражение E.32) должно содержать ||№h||i, r, но не должно со-
содержать ||№fclli-fc, dR- По этой причине Скотт A975) ввел оцен-
оценки вида
г I W II N
E.33)
для пробных функций Wh, которые близки к нулю на границе
dR. Бергер, Скотт и Стренг A972) установили справедливость
E.33) для частного случая k = 1, но они не смогли указать
наилучший способ выбора пробных функций и обобщить этот
результат. Из определения двойственного пространства сле-
следует, что оценка E.33) эквивалентна неравенству
или тому, что при всех g ^ 2ё{к~1) (dR) и Wh
\gWhda
E.34)

S.4. Ошибки возмущений 143
Лагранжевы элементы
Сейчас мы установим справедливость E.34) для одного
частного вида интерполируемых граничных условий, рассмот-
рассмотренного Скоттом; при этом мы будем в основном придержи-
придерживаться его метода. Пусть область R разбита на треугольные
элементы и стороны элементов прямолинейны внутри R, а
примыкающие к границе элементы могут иметь одну криво-
криволинейную сторону. В этом разделе предполагается, что (кри-
(криволинейная) граница для любого граничного элемента 71/ мо-
может быть параметризована как
С целью упрощения алгебраических выкладок предположим,
что для типичного граничного элемента Т координаты х и у
выбраны так, что 6 = х (рис. 25). Тогда для длины дуги
а(х) будем иметь
Узлы интерполяции на искривленной стороне элемента опре-
определяются узлами (k -f- 1)-точечной квадратурной формулы
Лобатто на интервале [0, 1], которые мы обозначим через ?J*
(t = l, ..., k -f- 1). Такая квадратурная формула рассматри-
рассматривается, например, в работе Дэвиса и Рабиновича A967). Та-
Таким образом, для типичного элемента точками интерполяции
будут (Ql\k\ у (веди))') (i = 1 k + 1).
Таблица 3
Таблица узлов квадратурной формулы Лобатто
на интервале [0,1]
Л = 1 0,1
* = 2 0,72,1
0,7а ±
—1^,
2д/5_
') Скотт показал, что это условие может быть несколько ослаблено
без изменения окончательного результата.

144 Гл. 5. Сходимость аппроксимаций
Рис. 25.
Интеграл от граничных значений из E.34) можно перепи-
переписать в виде
SV Г
dR I dRj
Типичное слагаемое этой суммы может быть представлено как
е
J z (x) w (x) dx, E.36)
о
где
w(x) — Wh(x,y(x)).
Теперь введем полином г(*)е Pk-2, интерполирующий г(х) на
интервале [0, в]. Из теоремы 5.4 следует (если заменить к на
k — 2 и/? =@,0) = /), что
Цг-2||г§/<Св»-'-Ч|г||ь_1>/ (r<ft-2), E.37)
если z(x) и тем самым g(x,y), и а(х) достаточно гладкие
функции. Поэтому E.36) можно представить как
ее е
\zwdx= \(z — z)wdx+ \zwdx. E.38)
0-0 0
Так как интервал 7 = [0, ©] может быть переведен в стан-
стандартный интервал [0,1] линейным преобразованием, то из
леммы Брамбла — Гильберта (см. упражнение 23) следует,
что
Но Wh(x, у) обращается в нуль в k -\- 1 граничных точках ин-
интерполяции, и поэтому w (х) обращается в нуль в k -f- J т<?4-

5.4. Ошибки возмущений 145
ках интервала /, так что по теореме Ролля
| w(х) \<Св^\ max
I [о. 1]
Поскольку в не может превосходить диаметра элемента Т, из
этого следует, что
JmT. E.39)
Можно показать (см. упражнение 24), что
Объединяя два последних неравенства и интегрируя, будем
иметь
и поэтому
)wdx <[C/ife+1/2||g|| \\Wh\\ , E-41)
где dRT обозначает криволинейную часть границы элемента Т.
Рассмотрим теперь второе слагаемое в правой части E.38).
Так как функция w(x) обращается в нуль в квадратурных
точках Лобатто, интеграл, содержащий w(x) как множитель
в подынтегральном выражении, аппроксимируется нулем при
использовании квадратуры Лобатто. Поэтому оценка квадра-
квадратурной ошибки одновременно является и оценкой значения
самого интеграла. Так как (k -f- 1)-точечная квадратура Ло-
Лобатто точна для полиномов степени не выше 2k — 1, из леммы
Брамбла — Гильберта следует (см. упражнение 6), что
в
\z(x)w (x) dx
о
но геРм и w(x)=Wh(x,y(x)), где Wh <= Pk на Т, и по,
этому
Вместе с E.37) это дает
II г llft_2,, < II г \_%, + II z - г \_% j

146 Гл. 5. Сходимость аппроксимаций
Так как переход от Т к стандартному элементу Го является
линейным, то из условия регулярности будет следовать, что
Объединяя эти четыре последние неравенства, получим
в
E.42)
\ zwdx
Суммируя теперь неравенства вида E.41) и E.42) по всем
прилегающим к границе элементам, получим для ошибки воз-
возмущения оценку
u dR || Wh ||lt R E.43)
dR
и, следовательно,
- Теорема 5.4 показывает, что для интерполяционных поли-
полиномов Лагранжа степени k ошибка интерполяции оценивает-
оценивается как
и поэтому оценка ошибки для аппроксимации Галеркина
имеет вид
H«-f/Alli.*<C{Aft|M|A+,^ + AA+1/2ll«IUi,R}. E.45)
Следовательно, конечноэлементная аппроксимация с такой
интерполяцией граничных условий остается оптимальной до
тех пор, пока ошибка возмущения будет более высокого по-
порядка (по Л), чем ошибка аппроксимации. Скотт A975) и
Чернука, Купер, Линдберг и Олсон A972) предложили для
треугольных элементов с криволинейными границами квадра-
квадратурные формулы, сохраняющие порядок для кусочных квадра-
квадратичных аппроксимаций. Такие аппроксимации изучались так-
также Бергером A973) с целью получения оценки ошибки в тер-
терминах нормы пространства 9?2(R)\ он также проводил числен-
численную проверку порядков A972). В противоположность интер-
интерполяции граничных данных по конечному числу значений
можно строить аппроксимацию, точно воспроизводя их вдоль
всей границы, если использовать смешанные функциональные
интерполянты (Гордон и Уиксом, 1974). Некоторые сведения
О смешанных функциях будут изложены в разд. 7.3,

5.4. Ошибки возмущений 147
Упражнение 23. Используя рассуждения, аналогичные при-
приведенным в упражнении 6 (или в лемме 5.5), докажите, что
из леммы Брамбла — Гильберта следует неравенство
в
\ (г — z)wdx
о
где z e Pk-2 интерполирует г на интервале / = @, в) и w e
ei?2(/) (Указание. Для доказательства рассмотрите функ-
функционал FeS'^-nl/JXS'jW; R), где
в
F (г, w) — \ {г — г) w dx.)
о
Упражнение 24. Покажите, что для лагранжевых интерпо-
интерполяционных полиномов степени k на треугольниках с прямоли-
прямолинейными сторонами при k = 2 и k = 3 любая пробная функ-
функция W удовлетворяет неравенству
Упражнение 25. Покажите, что оценка ошибки возмущения
E.44) справедлива также для частного вида эрмитовых куби-
кубических элементов, предложенных Скоттом A975).
(С) Аппроксимация границы
По-видимому, первые оценки ошибок для методов конеч-
конечных элементов на приближенно заданных областях были по-
получены советскими математиками (см., например, работу Ога-
Оганесяна, 1966). Они получили оценки для кусочно-линейных
аппроксимаций на треугольных сетках и рассматривали толь-
только приближенное решение для задач второго порядка с гра-
граничным условием
заданным на криволинейной границе. Они показали, что
но их доказательства слишком сложны и выходят за рамки
этой книги. Для таких задач были получены оценки ошибки
в терминах нормы пространства 3?2(R) (Оганесян и Руховец,
1969). Несколько позже было показано (Стренг и Бергер,
1971, Томе, 1973), что если Rh есть многоугольник, вписанный
b/?cR2 (Rm, m ^ 2 согласно Стренгу и Фиксу, 1977, пара-

148 Гл, 5. Сходимость аппроксимаций
граф 4.4), то для модельной задачи, определяемой уравнением
¦& + -0" + /<*, У) = 0 ((*, у) е= /?) E.46)
и граничным условием и = О на <Э/?, справедлива оценка
II«-«/, 111.^ = о О3'2).
где «л есть решение возмущенной задачи, определяемой урав-
уравнением
и граничным условием uh = 0 на <3/?А.
Таким образом, если уравнение E.46) решается прибли-
приближенно путем разбиения многоугольной области Rh и после-
последующего вычисления конечноэлементного решения уравнения
E.47), то, согласно результатам разд. 5.3,
П и — ?/д ||,. Ла = О (Л)
для кусочно-линейных аппроксимаций на треугольных раз-
разбиениях. Если аппроксимирующие функции содержат все по-
полиномы степени 2 или выше, то, согласно тем же результатам,
Этот порядок аппроксимации может оказаться существенно
ниже того, который получился бы только на основании ре-
результатов разд. 5.3, и происходит это из-за плохой аппрокси-
аппроксимации вблизи границы; иногда это понижение интерпрети-
интерпретируют, как эффект приграничного слоя. Можно воспользовать-
воспользоваться принципом максимума, чтобы показать, что при наличии
негладкой границы возмущения будут меньше внутри R. Не-
Некоторые результаты такого рода могут быть распространены
на тот случай, когда Rh ф R. Свойства сходимости конечно-
элементных аппроксимаций вовне области изучались Нитше и
Шатцем A974), а также Брамблом и Томе A974).
Бергер, Скотт и Стренг A972) показали, что если область
R в общем случае аппроксимируется областью Rh, которая не
обязательно является многоугольником, так, что максималь-
максимальное расстояние между двумя границами dRudRh есть O(hk+l),
то соответствующий такому возмущению член в оценке E.16)
будет величиной порядка O(/ift+1/2). Этому условию может
удовлетворять аппроксимация границы кусочными полинома-
полиномами степени k, например, путем интерполяции; можно пока-
показать, что если для аппроксимации функции и интерполяции
границы используются полиномы одинаковой степени, то

5.4. Ошибки возмущений 149
ошибка метода конечных элементов будет еще порядка O(hk)
в терминах нормы пространства 5^п(/?й). Аналогичный ре-
результат имеет место для изопараметрических аппроксимаций,
так как Сьярле и Равьяр A972с) показали, что заключения
теоремы 5.5, будучи слегка измененными, остаются справедли-
справедливыми и тогда, когда область задана приближенно. Похожий
результат был получен Зламалом A973, 1974). Задача Ней-
Неймана рассматривалась несколькими авторами, например
Стренгом и Фиксом A973) и Бабушкой A971).
(D) Методы штрафов
К этой категории относятся все те методы, в которых не-
неоднородное граничное условие Дирихле рассматривается в
форме интеграла от граничных значений, добавляемого к со-
соответствующему функционалу, а не в форме наложения не-
некоторого условия на аппроксимирующие функции. Такие ме-
методы могут основываться на методе наименьших квадратов
или на методе Ритца, или же на сочетании их обоих. Наибо-
Наиболее часто употребляемый подход основывается на методе наи-
наименьших квадратов, для которого ошибки уже нельзя есте-
естественным образом получить в терминах соболевских норм, и
приходится постоянно привлекать теорему о следе для оценки
интегралов от граничных значений (см., например, гл. 6 в
книге Варги, 1971).
Если мы предположим, что оценка ошибки интерполяции,
приведенная в теореме 5.4, справедлива при некотором k > О,
то можно получить и непосредственную оценку ошибки, но не
в терминах соболевских норм.
Теорема 5.6. Если конечноэлементная аппроксимация удов-
удовлетворяет условию
(AUh-f, AVh) = h-\Vh-g,Vh) (для всех Vh<=Kh), E.48)
где
и если теорема 5.4 справедлива при некотором k~>0, то имеет
место неравенство
\\AUh-

150 Гл. 5. Сходимость аппроксимаций
Доказательство. Так как
|| Лы - Ли [[^ (R) < С || и - й [|2i Л
для любой функции м-йе 5^2) (/?) и
II« - я Кг, Фю < с \h~ II« - й IU <«> + л1'2 II« - й II, J
(Агмон, 1965), то
\\Au~ Au\\^R) + h3l2\\u-u\\^{R)<
<C{||M-u||2iR+/i-1||«-M||1>R + A-2||M-u||iS,!(R)}. E.49)
Поэтому метод наименьших квадратов, заданный с помощью
E.48), является проекционным методом в том смысле, что
||u-?/A||m= inf П и — Я ПЕ1]>
где норма определена как
Результат немедленно следует из неравенства E.49) и теоре-
теоремы 5.4 при г = 0, 1 и 2.
Можно доказать также, что
но доказательство выходит за рамки этой книги (Бейкер,
1973; или Брамбл и Шатц, 1970). Численный пример примене-
применения оценки такого частного вида будет приведен в разд. 7.4(А);
другие примеры можно найти у Сербина A975).
Другие авторы предлагают отличные от изложенного про-
проекционные методы для решения уравнения E.46); они осно-
основывают свои методы на использовании таких норм, как
(Брамбл, Дюпон и Томе, 1972) и
IIФ Ни а (Ф, Ф) - 2 (Ар, Ф) + h2\\ Ac? |?г№) +
»(Брамбл и Нитше, 1973).
Такие методы допускают обобщение на задачи более вы-
высокого порядка и на задачи размерности большей двух. Пред-

5.4. Ошибки возмущений 151
лагаются также и методы, основанные на использовании ста-
стационарных точек функционалов, не являющихся положитель-
положительно определенными (см., например, работу Томе, 1973). Мето-
Методы штрафов изучались также Обэном A972), с. 23.
(Е) Несогласованные элементы
Определим билинейную форму
s
и dv , ди d
которая не совпадает с билинейной формой
ди dv , ди
если функция v терпит разрыв вдоль границ между элемен-
элементами; различие между двумя формами а и ал является основ-
основным моментом при изучении несогласованных элементов (см.
разд. 7.2); в дополнение к этому определим полунорму, соот-
соответствующую форме ah, как
а также норму
В качестве примера результатов, которые могут быть по-
получены для несогласованных элементов, рассмотрим прост-
пространство Кн кусочно-линейных элементов, которые согласова-
согласованы в серединах сторон треугольной сетки (дальнейшие детали
снова можно найти-в параграфе 7.2). Для таких элементов
ошибка при интерполяции линейных функций равна нулю, так
что по аналогии с разд. 5.3
inf Wu-V
для любой функции и е Ж^1 (/?). Поэтому, если несогласован-
несогласованная аппроксимация оптимальна, добавочный член
SUp jT-rs-jj
должен быть не больше, чем O[h).

152 ' Гл. 5. Сходимость аппроксимаций
Применяя теорему Грина к каждому элементу, получим,
что
-ZSKW"+(? ".)"}"¦
I —I E,
где через Et обозначена сторона между двумя соседними эле-
элементами сетки, а два слагаемых в последнем интеграле, отме-
отмеченные как [1] и [2] соответственно, есть предельные значе-
значения, соответствующие элементам по обе стороны линии раз-
разрыва Ei. Применяя лемму Брамбла — Гильберта к функцио-
функционалам вида
11
(см. упражнение 27), можно показать (Крузей и Равьяр,
1973), что если
- W[h]) do = 0 E.51)
для всех Wh e Кь, то
| (/, Wh) - ah(u, Wh) |<Ch| и |1$„|| Wh\\h. E.52)
Упражнение 26. Покажите, что E.51) выполняется для ку-
кусочно-линейных несогласованных элементов, описанных выше.
Отметим, что в разд. 7.2 будет показано, что E.51) пред-
представляет собой кусочное тестирование несогласованных эле-
элементов для задач второго порядка. Сьярле A973) получил
аналогичные результаты для элементов, связанных с задача-
задачами об изгибе пластины. Сравнительный анализ несогласован-
несогласованных элементов для задач об изгибе пластины имеется у Ласко
и Лесена A975).
Упражнение 27. Предполагая выполненным условие E.51),
примените лемму Брамбла — Гильберта к функционалу E.50)
и докажите тем самым справедливость оценки E.52).
5.5. Резюме
В этом разделе содержатся краткие выводы по некоторым
из наиболее важных результатов разд. 5.2—5.4. ')
') Хотя этот раздел может читаться без знакомства с предыдущими
параграфами дайной главы, приведенные в нем результаты существенно
используют обозначения н определения разд. 5.}.

5.5. Резюме 153
Первый результат относится к интерполяционным свойст-
свойствам базисных функций, используемых в конечноэлементной
аппроксимации, и называется условием полноты. Если в об-
общем случае полином степени к интерполируется точно и ре-
решение и задачи второго порядка, заданной на двумерной об-
области R, является достаточно гладким, так что аеЖ!,'+1)(й),
то для аппроксимации Галеркина t/e^ справедлива оценка
II и - U ||,. R < С || и - й ||,. я < Chk || и Цк+,. „, E.53)
где h есть диаметр наибольшего элемента и й е Кя интерпо-
интерполирует и. В этом контексте вид интерполирующей функции
определяется типом используемой конечноэлементной аппрок-
аппроксимации; при.этом предполагается, что все узловые парамет-
параметры интерполяции определены точно.
Если решение и не является столь гладким, как этого тре-
требует оценка E.53), то показатель степени у /г в оценке ошиб-
ошибки уменьшается так, что при «eJf+ll(i?) (k*^k)
H«-?/lli.*<CA*l«ll*4i.*. E-54)
Оценка ошибки в такой модифицированной форме использу-
используется, например, тогда, когда какая-либо из младших произ-
производных имеет особенности внутри области R или на ее грани-
границе. Тот случай, когда D'u {\i\ sg: 1) имеет особенности на гра-
границе, подробно обсуждается в других работах (Стренг и
Фикс, 1973, гл. 8, и Уэйт, 1976) и здесь рассматривается толь-
только вкратце в разд. 7.4 (F).
Для аппроксимаций, построенных на элементах, у которых
базисные функции не выражаются непосредственно через про-
пространственные переменные х и у, а определяются вместо
этого с помощью преобразования к стандартному элементу
с новыми переменными р и q, показатель степени у h в E.53)
определяется немного иначе. Для таких аппроксимаций, в ко-
которые входят и весьма распространенные изопараметрические
элементы, k есть степень полиномов по р и q, которые интер-
интерполируются точно.
При использовании криволинейных изопараметрических
элементов важно помнить о тех строгих ограничениях, при ко-
которых справедливы оценки E.53) и E.54). Даже когда только
одна сторона треугольного элемента заменяется отрезком
квадратичной кривой, элемент будет близким к треугольному
с прямолинейными сторонами только с точностью О (А2). Если
криволинейная граница будет кубическим полиномом, то огра-
ограничения на элемент будут даже более строгими — детали из-
изложены в разд. 5.3 на с. 132.

154 Гл. 5. Сходимость аппроксимаций
Если заданы граничные условия Дирихле, то необходимо
добиться удовлетворения приближенным решением этих усло-
условий по всей длине границы, прежде чем применять оценки
E.53) или E.54). Если же граничные условия интерполиру-
интерполируются по конечному числу значений в граничных точках, оцен-
оценка ошибки принимает вид
||«-?/!и<СА*||«|[*+1.Л + Д, F.55)
где величина добавочного члена Д определяется типом ап-
аппроксимации граничных данных. Оценкой E.55) можно поль-
пользоваться также и тогда, когда область R аппроксимируется
некоторым образом (например, многоугольником), когда при-
применяется численное интегрирование или используются несо-
несогласованные элементы при построении аппроксимации. Все
три приема можно рассматривать как отклонения от класси-
классического вариационного метода, и поэтому в анализе каждого
из них есть много общего. Что же касается величины возму-
возмущения, то сходимость еще имеет место, если эта величина
есть О (As) (s > 0). Измененная возмущением аппроксимация
называется оптимальной, если порождаемая возмущением
ошибка есть O(hk), т. е. имеет тот же порядок малости, что и
ошибка интерполяции.
(А) Численное интегрирование
Можно показать, что для задач второго порядка, при ре-
решении которых используются элементы с прямолинейными
сторонами, порождаемый численным интегрированием доба-
вочный член есть
при условии, что квадратура точна для всех полиномов степе-
степени s + k — 2; это означает, что сходимость имеет место для
квадратурной формулы порядка1) k—1, а оптимальность —
для квадратурной формулы порядка 2k — 2. Если использу-
используются треугольные изопараметрические элементы с криволи-
криволинейными сторонами, то в силу упомянутых выше ограничений
для обеспечения оптимальности аппроксимации необходимы
квадратурные формулы порядка 4(k — 1), тогда как для схо-
сходимости достаточно формул порядка 3{k— 1).
') Квадратурная формула имеет порядок г, если она точна для всех
полиномов степени ие выше г,

5.5. Резюме 155
(B) Интерполяция граничных условий
Если для каждого граничного элемента граничные условия
согласованы только в конечном числе точек, то порядок соот-
соответствующего добавочного члена зависит от расположения
этих точек интерполяции на границе. Аппроксимация будет
оптимальной, если граничные данные согласованы в квадра-
квадратурных точках Лобатто; это означает, что если граница эле-
элемента может быть задана параметрически как (x(Q),y(Q)),
(О ^ 9 ^ 0), то точки границы, по значениям в которых ин-
интерполируются граничные данные, определяются квадратур-
квадратурными точками Лобатто на интервале [0,0]. Другим спосо-
способом задания квадратурных точек является использование дли-
длины дуги вдоль границы в качестве параметра.
(C) Аппроксимация криволинейных границ
Можно показать, что если для каждого граничного элемен-
элемента граница аппроксимируется кривой, уравнение которой
представляется полиномом степени k, то граница отстоит от
своего приближения на O(hk+l), и поэтому аппроксимация бу-
будет оптимальной. В противоположность этому, если границу
аппроксимировать многоугольником, то соответствующий до-
добавочный член будет величиной порядка O(h3/2), и сохраняет-
сохраняется только сходимость.
(D) Несогласованные элементы
Можно показать, что сходимость имеет место, если элемен-
элементы выдерживают кусочное тестирование (см. гл. 7),

ГЛАВА 6
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ
ЗАДАЧИ
В гл. 3 мы построили семейство приближенных методов
решения задач с граничными условиями; они сводятся к на-
нахождению стационарной точки некоторого функционала, кото-
которая является также и точкой экстремума. В этой главе мы по
возможности обобщим такие методы на задачи с начальными
данными. Однако при рассмотрении вариационной формули-
формулировки эволюционных задач возникают дополнительные труд-
трудности. Например, в случае диссипативных систем после допол-
дополнения основной задачи сопряженной соответствующий им
функционал /(и, и*) уже не будет обладать такими экстре-
экстремальными свойствами. Даже в таких эволюционных задачах,
для которых существует точная вариационная постановка,
как, например, динамические системы Гамильтона, стацио-
стационарная точка не является экстремальной.
Эти трудности привели различных авторов к предположе-
предположению о том, что вариационные формулировки вряд ли окажут-
окажутся полезными для решения нестационарных задач. Мы при-
присоединяемся к этому мнению в особенности потому, что, как
было показано в гл. 3, методом Галеркина можно пользо-
пользоваться без какого-либо упоминания о вариационных принци-
принципах. Единственным оправданием изучения сопряженной зада-
задачи является желание рассмотреть диссипативные системы в
рамках развитого здесь математического аппарата. Для по-
подобных целей другие авторы предлагают так называемые
ограниченные вариационные принципы или квазивариацион-
квазивариационные принципы; такие принципы не имеют большого внутрен-
внутреннего смысла, а просто служат математическим обоснованием
для применения метода Галеркина к диссипативным систе-
системам. Все формулировки одинаково хороши в этом отношении
и одинаково несовершенны в смысле строгости, когда дело
касается задач с начальными данными.
6.1. Принцип Гамильтона
В разд. 2.5 уравнения движения непрерывно распределен-
распределенной динамической системы были получены как необходимые
условия стационарности функционала. Покажем теперь, что
если используется этот подход, то приближенное решение мо-

6.1. Принцип Гамильтона 157
жет быть получено, как и в гл. 3, путем определения стацио-
стационарного значения относительно аппроксимирующего подпро-
подпространства функций. Поскольку уравнения движения таких ди-
динамических систем будут гиперболического или параболиче-
параболического типа, соответствующий функционал не будет положи-
положительно определенным. Следовательно, даже для консерватив-
консервативных систем стационарное значение не является экстремумом
и невозможно получить наилучшую аппроксимацию. Приме-
Примером такого функционала, соответствующего уравнению дви-
движения
для колеблющейся струны, является выражение
U о
Граничные условия
Может показаться, что приближенное решение вида
для уравнения F.1) получается путем непосредственного при-
применения изложенного в разд. 3.1 метода Ритца к функциона-
функционалу I(v), заданному формулой F.2); к сожалению, это при-
приводит к несовместности в граничных условиях.
Задача, определяемая линейным гиперболическим диффе-
дифференциальным уравнением вида
+ Ли (х, I) = f (х, t) (t0 < t < /,) F.3)
при xe^cRmc границей dR, где А есть линейный эллипти-
эллиптический дифференциальный оператор, аналогичный введенно-
введенному в гл. 3, корректно поставлена в области R~X [to, U], если
заданы граничные и начальные условия
и (х, /) = 0 ((х, t)€BdRX (to, Uj), F.3a)
и (х, t0) = «о (х) (х е= R) F.3b)
и
dUftto)-vo(x) (хеЛ). F.3с)
Однако задача не будет корректной, если F.3с) заменить
условием при t = t\, таким, например, как
и (х, /,) = щ (х) (х е= R). F.3d)

158 Гл. 6. Нестационарные задачи
Задача, определяемая уравнением F.3) и условиями (б.За),
F.3b) и F.3d), возникает при определении стационарного
значения такого функционала
и
I (v, t0, ti) = J {(vit vt) -a(v,v) + 2 (f, v)} dt, F.4)
где скалярное произведение обозначает то же самое, что и в
главе 3.
Таким образом, перед вычислением решения Ритца для
задачи, определяемой уравнением F.3) и условиями F.3а),
F.3b) и F.3с), необходимо несколько видоизменить метод
так, чтобы избежать введения граничного условия F.3d). Мы
не встретимся с этой трудностью, если воспользуемся полу-
полудискретным методом Канторовича, чтобы получить прибли-
приближенное решение вида
(, 0Е1@фЛ),
поскольку при этом уравнение F.3) будет заменено системой
обыкновенных дифференциальных уравнений второго поряд-
порядка относительно функций ai(t) (i=\, ..., N) (см. разд. 3.3).
Условия F.3b) и F.3с) заменятся эквивалентными условиями
в|(*о)=-с, (i=l, ..., N) F.5а)
и
^P- = dt (/=1,..., N). F.5Ь)
Мы отложим обсуждение полудискретного метода до по-
последнего параграфа и вернемся вкратце к задаче о вычисле-
вычислении решения Ритца вида
f/(x, 0=Еа,ф,(х, 0- F.6)
Если функция u(x,t) является решением уравнения F.3) и
удовлетворяет заданным условиям, то при любых То и Т\, та-
таких, что to ^ То < Т\ sg: U, функция и(х, t) доставляет ста-
стационарное значение интегралу /(»: То, Тх), где все допустимые
функции удовлетворяют условиям
о(х, Т0) = и(х, То) (хе=/?)
и
v (х, Тг) = и (х, TJ (х <= R),
и граничному условию
о(х, 0 = 0 ((х, Оед

6.1. Принцип Гамильтоне 159
В частности, если взять разбиение интервала [to, tt] точками
то решение уравнения F.3) доставит стационарное значение
каждому из функционалов
U (о) = ) {(vt, vt) ~a(v,v) + 2if, v)}dt (я- 1 K).
F.7)
Отметим, что области задания функционалов по времени пе-
перекрываются. Используя функционалы F.7) вместо функцио-
функционала F.4), можно построить метод решения в виде последо-
последовательных шагов, сводящихся к методу Ритца. А именно, счи-
считая решение известным на момент t = хп-и попытаемся найти
численно стационарную точку функционала 1п и тем самым
решение на момент t = т„+1, чтобы затем использовать его
как известное условие. Чтобы осуществить это практически,
представим задачу, так, как если бы граничное условие F.3а)
было задано вместе со значениями решения u(x, t) на момен-
моменты t = тп-ь Тп+ь и затем решим ее относительно неизвестного
решения на момент t = %п+\. Такой подход возможен при усло-
условии, что у нас имеется дополнительная информация о решении
на промежуточном шаге t = xn- Следовательно, для вычисле-
вычисления решения на момент t = %n+l мы должны знать его на двух
предыдущих шагах, т. е. при t = %п и t — тп-ь
В качестве примера мы опишем один из способов вычисле-
вычисления конечноэлементного решения уравнения F.1). Возьмем в
области 0 =sj х sg: /, Тп-i ^ t ^ Тл+1 разбиение вида
где Xi+t — xi = Ax (г = 0, 1, 2, .... L), и будем также счи-
считать, что
Т„+1 — Т„ = Т„ — Т„_! = Л/.
Теперь представим себе, что мы решаем краевую задачу, опре-
определяемую уравнением
g.-ei^^O @<x<l\ tn_i<t<xn+1), F.8)
и условиями
u(x,xn+i) = un+i(v) @O<0, F.9а)
и(х, т _1) = ы _i(x) @^.?¦</) F 9Ь)
«(О, 0 = «(',0 = 0 (тя_, < t < тя+1). F.9с)

160
Гл. 6. Нестационарные задачи
X
Рнс. 26.
Чтобы получить приближенное решение этой задачи, опреде-
определим в области @ ^ х sg: /; tn-i ^ t sg: tn+i) билинейные ба-
базисные функции ф;/(лг, t) (i = 1, .. ., L; / = п — 1, п, п + 1).
соответствующие точкам P{ = (xt, т{) (ср. с разд. 3.1), изо-
изображенным на рис. 26. Тогда приближенное решение запи-
запишется в виде
п+\ L
U(x,t)= I Zb,(x,t)U{, F.10)
где U\ есть значение этого решения в точке Р[. При решении
краевой задачи F.8) — F.9с) величины Ui+l и ?/?"' (/ =
= 1, ..., L) определяются из F.9а) и F.9Ь) соответственно,
а С/" определяются из системы
1 = 0 A=1, ...,L). F.11)
Мы же пытаемся решить не краевую задачу, а задачу с на-
начальными значениями. Следовательно, если величины ?/""
и С/?(/= 1, ..., L) известны, система F.11) должна быть
использована для определения ?/?+ •
Упражнение 1. Покажите, что пошаговый метод решения
уравнения
g0
с использованием билинейных базисных функций, который
был описан выше, приводит к системе разностных уравнений
{b]lx-rXlt}ul = Q, F.12)

4,1,-Принцип Гамильтона 161
где б< и 6* есть операторы взятия центральных разностей
второго порядка, halt — операторы интегрирования по Симп-
сону, введенные в разд. 3.1, а г = At/Ах, и область разбита
так, что
тя+1 — т„ = Л/ (п = 0, .... /С) и
Начальные условия
В приведенном выше примере и вообще в пошаговых ме-
методах, получающихся аналогичным образом для задачи F.3) —
F.3с), необходимо как-то получить приближенное решение
при t = то и t = ti, чтобы затем уже можно было использо-
использовать функционал I\(v) для нахождения решения при t = т2.
Если между начальными и граничными условиями нет раз-
разрывов, то приближенное решение можно определить в виде
N
U (х, t) = «о (х) + S am (х, 0. F.13)
Использование этого представления эквивалентно переходу к
такой задаче (ср. с разд. 3.2), для которой начальное условие
F.3b) заменено условием
U (х, t0) = 0 (х е= R)
При наличии разрывов, т. е. когда
нельзя использовать приближение вида F.13) и необходимо
аппроксимировать ио(х) функцией вида
N
U (х, t0) = ? агфг (х, ?0)
t-i
так, что либо U(\,to) интерполирует ио(х), либо ошибка
Ио(х)—?/(х, to) минимизируется в некоторой норме. Точно
так же необходимо аппроксимировать и второе начальное ус-
условие, так что
ди (х, t0) _ у» _ d<pt (x, ;„)
да — Lа{ Ft
является хорошим приближением для flo(x).
Поэтому в рассмотренном выше примере можно ввести на-
начальные условия
?
и\-и°.

162 Гл. 6. Нестационарные задачи
Такое использование принципа Гамильтона позволяет по-
построить вполне работоспособный метод последовательных ша-
шагов для решения консервативных систем, хотя метаматиче-
ская формулировка такого метода в ряде случаев не кажется
слишком убедительной. Аналогичным образом пошаговый ме-
.тод для приближенного решения гиперболических уравнений
описывается у Нобла A973).
6.2. Диссипативные системы
Как уже упоминалось в начале этой главы, различные
авторы пытались получить вариационную формулировку для
диссипативных задач. Некоторые из них пытались получить
такой же общий вариационный принцип, который был бы
справедлив для большого класса таких задач (Финлейсон и
Скривен, 1967, и цитируемые ими работы), как принцип Га-
Гамильтона — для консервативных систем. Основные недостат-
недостатки подобных формулировок таковы:
A) Вариационные принципы проще всего получаются из
основных уравнений, так что вариационная формулировка
требует дополнительных усилий, но не дает дополнительной
информации.
B) Участвующий в формулировке вариационного принци-
принципа функционал не имеет физического смысла и его стацио-
стационарные значения никогда не являются настоящими экстрему-
экстремумами, которые могли бы быть использованы для получения
оценок ошибки.
C) Как уже отмечалось в предыдущем разделе, имеется
заметная несогласованность между вариационными задачами
и задачами с начальными данными, которая постоянно игно-
игнорируется в большинстве так называемых вариационных фор-
формулировок эволюционных задач.
Мы подчеркнули достоинства и недостатки вариационных
формулировок именно в этом месте книги ввиду большого
разнообразия в литературе таких формулировок для диссипа-
диссипативных или необратимых задач и подчас противоречивой их
трактовки. Мы не будем рассматривать конечноэлементное
решение эволюционных диссипативных систем, получающееся
исходя из сопряженной формы задачи, а вместо этого приве-
приведем два упражнения, которые могут быть выполнены интере-
интересующимся читателем.
Упражнение 2. Покажите, что при подходящем выборе
аппроксимирующих функций функционал, соответствующий
задаче, определяемой простейшим уравнением диффузии
ди д2и /п ^ ^ 1 ,

6.2. Диссипативные системы 162
граничными условиями
и@,/) = ы(/, t)(x) = 0 (to<t^tl)
и начальным условием
" (х, /о) = "о (х) (О < х < /),
имеет вид
, Г f f до ¦ . . до до' 1 , ,,
t. о
Покажите далее, что уравнение
ди*
является необходимым условием, для стационарности точки,
определяемой из системы 8vI(v, v*) = 0, если либо (I) функ-
функция и считается известной при t = t0 и t = h, либо (II) ц
считается известной при < = <ции* = 0 при t = t\.
Замечание. Отсюда видно, что при вычислении стационар-
стационарной точки функционала 1п нужно предположить, что функция
и(х, Тл-i) может принимать любые значения, тогда как
u*(x,tn) = Q. Поэтому функция U*(x, t)—это не приближен-
приближенное решение отдельной сопряженной системы, а скорее после-
доЁательность приближений для ряда отличных друг от друга
сопряженных систем, соответствующих каждому из интерва-
интервалов [тя-ь Хп], причем для каждой такой системы должно вы-
выполняться условие
при 0 ^ X г^ /.
Упражнение 3. Покажите, что решая методом последова-
последовательных шагов уравнение
как это было описано выше, и используя при этом билинейные
базисные функции, мы придем к системе разностных уравне-
уравнений
MxUi-±rb2x{url + 2Ui} = 0, F.14)
где А* есть оператор взятия разности вперед по /; 1Х, Ьх— оп-
определенные ранее разностные операторы по х, а г — At/(AjcJ.
Область разбита так, что хп+\ — хп = At (п = 0, 1, ..., К) и
Xi+\—Xi = Ax (i = 0, 1, ,,,, N). Здесь читатель, знакомый

164 ' Гл. 6. Нестационарные задачи
с конечноразностными методами, может сравнить полученное
выше разностное уравнение со стандартной конечноразност-
ной аппроксимацией простейшего уравнения диффузии, такой,
например, как схема Кранка — Николсона. Аналогичное срав-
сравнение можно провести между уравнением F.12) и стандарт-
стандартными конечноразностными аппроксимациями волнового урав-
уравнения.
Другие «вариационные» приемы численного решения про-
простейшего уравнения диффузии можно найти у Нобла A973),
а также в работе Чекки и Челла A973).
6.3. Полудискретный метод Галеркина
Полудискретные методы, кратко упомянутые в разд. 6.1,
позволяют обойтись без вариационной постановки эволюци-
эволюционных задач, включающей все независимые переменные. Они
составляют основу наиболее употребительных методов реше-
решения таких задач. В гл. 3 различные модификации полудискрет-
полудискретного метода применялись к эллиптическим задачам, но там
такой подход оказывается несущественным. Первым шагом
является переход к дифференциальному уравнению в слабой
форме — как это было при рассмотрении методов Галеркина
для эллиптических задач. Как и в гл. 3, здесь не делается по-
попыток доказать эквивалентность классического и галеркин-
ского решений дифференциального уравнения: будем считать,
что решение единственно и совпадает с ними обоими.
В качестве примера рассмотрим дифференциальное урав-
уравнение
д"^' ° + Ли(х, t) = f (x, /)(x, t) s R X (to, h]), F.15)
где А есть дифференциальный оператор второго порядка, ко-
который в двумерном случае имеет вид
л дх2 ду2 ¦
Уравнение F.15) дополняется начальным условием
и (х, t0) = и0 (х) (xe=R) F.15а)
и граничным условием
и (х, /) = 0 ((х, 0 е а/? X (to, /J). F.15b)
Соответствующая слабая форма задачи в обозначениях пара-
параграфа 3.4 такова, что при t ^(t0, ti]
fl(«. ») = (/. v) (для всех v(x)<=26) F.16)

6.3. Полудискретный метод Галеркина 145
совместно с начальным условием
(«. v)t-t. — ("о. v) (для всех v (х) €= Ж). F.16а)
Ясно, что для этой модельной задачи (если вспомнить обо-
обозначения гл. 5) Ж — Ж(г (R) и решение «е^ХС'[4 h].
Если заданы граничные условия более общего вида, то может
оказаться необходимым модифицировать слабую форму за-
задачи добавлением интегралов от граничных значений. Такая
модификация функционалов рассматривалась в гл. 2, 3 и 5.
Полудискретная аппроксимация U теперь определяется из
уравнения в слабой форме: это означает, что при t е (^о, ^i]
выполняется уравнение
(гш- • v) +а (^ v">=и» v"> (для всех v (х>е к^ <6Л7>
с начальным условием
(u>V)i=u = (u0,V) (для всех V (х) <е= KN). F.17а)
о.,.
Для модельной задачи Кы<^Ж\ (R). Если функции <р,- (i =
= 1, ..., Л^) образуют базис подпространства Kn, to можно
дать эквивалентную формулировку: полудискретная аппрок-
аппроксимация при t e (^о. ^i] удовлетворяет уравнению
) a(U,ift) = (f,Vl) (i = l,...,N) F.18)
и условиям
(U.Vth-u^fo.Vt) (/=1, ...,Л0. F.18а)
Для этой модельной задачи снова следует, что V и U должны
обладать одинаковыми свойствами (по х), так что ?/е /СлгХ
X С1 [to, t{], а аппроксимация Галеркина имеет вид
tf(x./)=JJa,@«P*W. F.19)
Если заданы неоднородные граничные условия Дирихле, то
аппроксимацию Галеркина можно представить в виде
U (x,t) = W(x,t)t
где ф; е Kn, а W(x, t) удовлетворяет граничным условиям.
Как и для эллиптических задач, функция V должна только
принадлежать энергетическому пространству, а на аппрокси-
аппроксимацию U такого требования не накладывается.
Аппроксимация Галеркина определяется из системы обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функ-

jgg Гл. 6. Нестационарные задачи
ций ai(t) (i = 1, ,.., N). Из F.18) следует, что для "модель-
"модельной задачи эти уравнения могут быть записаны как
N
-чг- (?/• ф*)+aia (ф/- ф*>} = tf' ф*) (* =1 W. F-20>
а начальные условия F.18а) примут вид
*i(to) = c, (i = 1, ..., N), F.20а)
где
Е с/ (Ф/> Ф|) = («о, Ф/) (/ = 1 N). F.20Ь>
Определяемые из F.20Ь) коэффициенты с/ (/=1, ..., N)
удовлетворяют условию
«о (х) — Е с/ф/ (х) = min;
для определенных задач это обстоятельство может быть ис-
использовано с целью замены F.20Ь) другой аппроксимацией
исходных данных или для изменения формы аппроксимации
таким образом, чтооы точно удовлетворить начальному усло-
условию (разд. 6.1).
В качестве иллюстрации этого метода рассмотрим простей-
простейшее уравнение диффузии
решение которого удовлетворяет условиям
и
и(х, О)==ио(х) @<х<1).
Приближенное решение этой- задачи имеет вид
N
U(x,t)=Y.ai(t)^i{x),
где базисные функции удовлетворяют граничному условию,
Ф<@) = Ф*@ = 0 (/=1 ц)т {б21)
Тогда система уравнений F.20) примет вид
ы
{ } ° (i=L..;N). F.22)

4.3. Полудискретный метод Галеркина
где
S
о
i
dx.
о
Хотя полудискретные методы разработаны теоретически
главным образом в применении к параболическим уравне-
уравнениям, они с таким же успехом могут применяться и к гипер-
гиперболическим уравнениям, в особенности к уравнениям вида
которые описывают затухающие механические колебания. Для
таких задач полудискретная аппроксимация вида
приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравне-""
ний второго порядка относительно неизвестных функций а*(/)\
Эту систему дополняют две последовательности начальных
условий
(to)
?— —
коэффициенты с,- и di определяются заданными начальными
значениями
и (х, t0) = щ (х)
так, чтобы
II N
"о (х) — Е cWi (x)
II i-l lljr>«)
и
II N f
vo (x) — E dtfi (x) = min
II . t-i hr,(K>
соответственно.

16fT Гл. 6. Нестационарные задачи
Нелинейные задачи
В гл. 3 мы привели пример нелинейного уравнения A(u)=f,
которое может быть решено методом Галеркина. В то же вре-
время нужно помнить, что преимущества метода Галеркина не
могут быть полностью реализованы, если невозможно приме-
применить интегрирование по частям для упрощения скалярных
произведений. Это верно и в том случае, когда мы применяем
полудискретный метод Галеркина для решения нелинейного
параболического уравнения
Рассмотрим в качестве примера такой же нелинейный член,
как и в эллиптическом случае, а именно
А ("> = - W [Р <«>-аг) ~ IF (*("> W
Чтобы применить полудискретный метод Галеркина к этому
уравнению, сначала необходимо переписать уравнение в сла-
слабой форме
^)a(U,m) = 0 (i=l N).
Затем второй член упрощается с помощью интегрирования по
частям, после чего получится система нелинейных обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений вида
^Г^/+Я(а) = 0 (/=1, ..., N)
(ср. с F.22) и с F.37), где а = (аь ..., ajv)T. Вопрос о ре-
решении такой нелинейной системы обсуждается ниже в этой
главе.
Упражнение 4. Опишите полудискретный метод Галерки-
Галеркина, построенный с помощью кусочно-линейных базисных функ-
функций, в применении к уравнению затухающих колебаний струны
дополненному граничными и начальными условиями
и «U>= и (/,*) = 0
и (х, t0) = «о (х)
х, t0) = «о (х) ¦)
(X,to) ,.
Jt — Щ (х) )

6.4. Непрерывные по времени методы 169
Упражнение 5. Опишите полудискретный метод в примене-
применении к уравнению
д2и д2и , дги ,, ,. „..,. .,.
~W = ~W + Ih? ((*' #» 0 е /? X (^о. ti]),
дополненному начальными и граничными условиями
и (х, У, к) = "о (х, у)
где д/? есть граница области /? = (х0 < jc <C Xi)X(^o < ^ <
< ^i), a n является внешней нормалью к границе.
Упражнение 6. Покажите, что применение полудискретного
метода Галеркина к линейному дифференциальному -уравне-
-уравнению
, д2и , ди , . ,
приводит к системе обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений вида
Pa + Qa + Ra = Ъ,
где матрицы Р, Q и R не зависят от времени и С\Р = b\Q.
6.4. Непрерывные по времени методы
Как показано в предыдущем разделе, полудискретный ме-
метод приводит к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений
а = Ъ F.23)
с начальными условиями
a (t0) = Со F.24а)
a (t0) = d0, F.24b)
если А ф 0. Для линейных задач, у которых матрицы Л, В и
С постоянны, решение уравнения. F.23) может быть получено
стандартными аналитическими методами.
Если А = 0, то задача упрощается, и ее решение может
быть записано в виде

170 Гл. 6. Нестационарные задачи
и выражено (Уэйт и Митчелл, 1971) в терминах решения за-
задачи на собственные значения для уравнения
(KB — С) и = 0.
Если же В = 0, то a(t) может быть выражено в терминах
решения задачи на собственные значения для уравнения
(Я2Л-С)и = 0.
Хотя и можно получить полное решение отдельной задачи
на собственные значения, для больших систем вычисления бу-
будут очень дорогостоящими, и поэтому в таких случаях часто
выгоднее аппроксимировать решение уравнения F.23) не-
небольшим числом одних преобладающих компонент. Такие
компоненты обычно очень слабо изменяются относительно из-
изменений во времени и соответствуют наименьшим по модулю
собственным значениям. Конкретные собственные значения
вместе с соответствующими собственными векторами могут
быть вычислены методом обратной итерации (Уилкинсон, 1965,
стр. 534) значительно дешевле по сравнению с полным реше-
решением задачи на собственные значения, и поэтому такой под-
подход обладает определенным преимуществом при условии, что
аппроксимация немногими преобладающими компонентами
адекватна решаемой задаче. Такая аппроксимация является
особенно подходящей, если (I) А ф 0 и необходимо сглажи-
сглаживать осцилляции или (II) А = 0 и требуется знать стационар-
стационарное состояние, а не процесс его установления.
Рассмотрим для примера уравнение
w=wr + w (o<*. »<«; *>о), F.25)
решение которого удовлетворяет граничным условиям
u(x,0,t) = u(x,n,t) = 0 @<*<я), F.26а)
u(O,y,t) = O @<#<я) F.26Ь)
и
и (я, у, t) = sin у @<#<я), F.26с)
а также начальному условию
и(х, y,Q) = -? smy @<*, 0<я). F.26d)
Для построения конечноэлементного решения воспользуемся
полудискретным методом и билинейным базисом. В данном
случае необходимо специальным образом учесть то обстоя-
обстоятельство, что граничное условие F.26с) является неоднород-
неоднородным (и гладким). Это можно сделать различными способами,
и мы проведем некбторое сравнение их между собой. Будем

4.4. Непрерывные по времени методы
171
10
Error
11
Ba)l ooo{6,44!
1 ддд(б,зз)
B6) -#-Непрерыв.
д/4
t
Рис. 27.
искать аппроксимирующее решение в виде
U (х, y,t) = V (x, y,t) + W (x, у),
где функция
t
F.27)
{6.28)
«сть кусочная билинейная аппроксимация решения уравнения
dv d*v ,_дЧ _Asiny @<х,у<Я; />0) F.29)
с однородными начальными и граничными условиями, а
W(x, у) либо
A)
либо
B)
W (x,y)=—siny,
(х, у) =
, г/),
F.30)
F.31)
и коэффициенты Сц определяются с помощью начального
условия.
Относительные достоинства различных способов вычисле-
вычисления такой аппроксимации видны из рис. 27. Точное решение
задачи есть
=frsin v+т
sin *«sin

172 Гл. 6. Нестационарные задачи1
Для способа A) W(x, у) задается равенством F.30), для спо-
способа Bb) W(x, у) задается в виде F.31) и интерполирует на-
начальное условие; для способа Bа) W(x, у) задается в виде
F.31), причем коэффициенты сц выбираются так, чтобы полу-
получилась наилучшая аппроксимация начального условия в
2{R
6.5. Дискретизация по времени
Для нелинейных задач уже нельзя получить решения в та-
таком виде, как в предыдущем разделе, и такими решениями
редко пользуются для задач, в которых граничные условия
зависят от времени. В таких случаях необходимо получать
численное решение пошаговым методом. Подробное изложе-
изложение численных методов для системы обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений можно найти у многих авторов (см., на-
например, Ламберт 1973), и мы рассмотрим только такие ме-
методы, которые являются подходящими для вычисления конеч-
ноэлементных решений. Система таких уравнений, как F.23),
может быть жесткой (Ламберт, 1973, стр. 231), а это означает,
что они могут быть решены с удовлетворительной точностью
только некоторыми специальными методами (Лаури, 1977,
Гопкинс и Уэйт, 1976).
Параболические уравнения с частными производными и со-
соответствующие им системы первого порядка (по времени), ве-
вероятно, заслуживают наибольшего внимания, и наиболее рас-
распространенным способом их решения является так называе-
называемый метод Кранка — Николсона — Галеркина. В этом методе
система дифференциальных уравнений
Ва + Са = b F.32)
заменяется системой разностных уравнений
В{
где ап аппроксимируют а (/о + nAt) и хп+\/2 = 'о + (л -f 'A) At
(п = 0, 1, ...). Такую форму аппроксимации решения систе-
системы обыкновенных дифференциальных уравнений более точно
можно назвать методом трапеций. Из F.33) следует, что на
каждом шаге вычислений необходимо решать систему линей-
линейных алгебраических уравнений для нахождения значений ал+ь
К сожалению, ситуация не так проста для нелинейных урав-
уравнений вида
Ва + а(<х) = Ь, F.34)

€.5. Дискретизация по времени 173
которые получаются в результате применения полудискретно-
полудискретного метода Галеркина к уравнениям вида
¦^- + A(u) = f. F.35)
Аппроксимация Кранка — Николсона — Галеркина в случае
F.34) сведется к системе нелинейных уравнений для опреде-
определения осл+ь так что придется применять метод «предиктор —
корректор». Дуглас и Дюпон A970) предложили ряд различ-
различных схем и провели их сравнительный анализ, но здесь мы
можем лишь вкратце остановиться на типичном примере пред-
предлагаемых ими методов для решения уравнения F.35) при
*(*)=-?(рм%)-Мч{и)%У F'36)
В этом случае c(ot) = (ci(a), ..., Сдг(а))т и
а=\,.... ло.
Поэтому с (а) можно представить как
c(a) = ?)(a)a
и вместо F.34) получить
Ва + D (а) а = Ь;
тогда F.33) заменится двумя уравнениями
F.38,
И
f an+\
F.39)
Предиктор F.38) дает первое приближение Рл+ь а затем
можно дополнительно использовать корректор F.39) для
улучшения этого приближения.
Упражнение 7. Покажите, что полудискретный метод, ис-
использующий аппроксимацию Кранка — Николсона — Галер-
Галеркина, в применении к простейшему уравнению диффузии

174 Гл. 6. Нестационарные задач*
в случае линейных базисных функций сводится к системе раз-
разностных уравнений
AtIxUi— j&l{U?+i + U?} = 0, F.40)
где операторы Д/, 1Х и Ьх, постоянная г и разбиение области
такие же, как и в упр. 3 из разд. 6.2.
Одношаговый метод Галеркина (конечные элементы по вре-
времени)
Другой подход состоит в дискретизации уравнения F.32)
с помощью аппроксимации Галеркина, т. е. в получении при-
приближенного решения в виде
s
oW @ = ? а'»у»> @ (п = 0, I, ...) F.41)
/-о ' '
на каждом подынтервале (тп, т„ + Д^), где коэффициенты
аГ' (/ = 1> • • •» 5) определяются из системы
(Вам + Са<»>, qf>)n = (Ь, ф<п')п, (/ = 1 S; F.42)
п = 0, 1,...)
и условия непрерывности
а(п) (т+) = а{п-г) {%-) (я = 1, 2, ...). F.43)
/-я компонента вектора <и, о>„ есть
т„+Дт
И|(/)о(/)Л,
гдеи=К@ «И0)т-
Заметим, что в представление F.41) входят S+ 1 базис-
базисных функций, тогда как система F.42) содержит только S
уравнений, и поэтому вид разностной аппроксимации зависит
от способа упорядочения базисных функций.
- Разобьем подынтервал [тл, тл -+- Д^] так, чтобы
тп = т0" < Tjn < ... < ts" = тп + оЛ

6.5. Дискретизация по времени 175
Предположим, что ф^' (/ = 0, 1, ..., S) образуют базис для
лагранжевой интерполяции на [хп, хп + Д^1, т. е.
1 U = к)
{
и ф'/1* (t) есть полиномы степени S на [тП)т„ + Д^]. Из F.43)
следует, что
а(«> = а<?-» = ап«а(тп) (я=1, 2, ...),
и поэтому при S ^ 2 можно исключить а<"> (/=1, . .., S — 1)
из F.42) и получить одно уравнение, связывающее ап+\ и ап
(л = 0, 1,...).
Рассмотрим, например, тот случай, когда b = 0:
A) S = 1 (Комини, дель Гвидичи, Левис и Зенкевич, 1974).
Тогда
{ } {^}n. F.44)
B) S = 2. Тогда
+ | ДШ + -^ (ЫJМ>} ап+1 = {/ - ¦§¦ ДШ + ^
где Л1 =В-1С.
Можно показать (Халм, 1972), что некоторые хорошо из-
известные разностные методы могут быть сформулированы как
одношаговые методы Галеркина.
При использовании эрмитовой интерполяции получатся
другие формулы. Другим возможным способом получения раз-
разностных схем является замена аппроксимации Галеркина
F.42) аппроксимацией в смысле метода наименьших квад-
квадратов.
Упражнение 8. Покажите, что если базисные функции рас-
расположены в обратном порядке, т е.
~ (п — 01 1
и если b = 0 и S = 1, то разностное уравнение примет вид
Упражнение 9. Можно получить другие системы разност-
разностных уравнений, если определить локальную аппроксимацию
F.41) с помощью системы
(Яа<»> + Са<п\ Цп))п = (Ь, Цп)п У = 1, • • •, 5; л = 0, 1, ...)

176 Гл. 6. Нестационарные задачи
вместо F.42), где {ср<п)} и {ityn)} отличны друг от друга. По-
Покажите, что при Ь = 0,
получатся следующие разностные уравнения:
A) S = 1. Тогда
B) S = 2. Тогда
где М = В-'С.
Упражнение 10. Покажите, что если заменить F.42) ап-
аппроксимацией в смысле наименьших квадратов, то при S = 1
и b = 0 получится разностное уравнение
Метод переменных направлений Галеркина для параболиче-
параболических уравнений (Денди и Файервезер, 1975).
В гл. 3 этот метод был применен к эллиптическим зада-
задачам. Аналогичным образом его можно применять и к пара-
параболическим задачам, определенным на прямоугольных обла-
областях. Если используемые базисные функции заданы в виде
тензорного произведения, то для аппроксимации, определяе-
определяемой линейным уравнением
a{U, V) = (f, U) (t>t0),
получается (в случае двумерной задачи) алгебраическая си-
система, которая может быть записана как (см. гл. 3, стр. 71)
Вх © Ву {a"+'A7tt"} + (А* ® By + Вх © Ау) {°"+'2+а"} = Ь„+1/2
(л=1, 2, ...), F.45)
где через C) обозначается тензорное произведение. Если к ле-
вой части добавить член (-5- Д/J Лх® Ауап+\, то F.45) можно

6.6. Сходимость полу дискретных аппроксимаций Галеркина 177
заменить уравнением
(в, + Ц- Ас) © (в„ + -f Ау) а„+1 = Ч>,
которое может быть решено в два этапа, как и в эллиптиче-
эллиптическом случае (разд. 3.4).
Был предложен и ряд других методов, но при этом во
многих случаях рассматривались только линейные задачи, на-
например, в приложениях общих многошаговых методов (Зла-
мал, 1975) и методов Норсетта (Семенич и Глэдвелл, 1974).
Дюпон, Файервезер и Джонсон A974) построили семейства
трехслойных разностных схем для решения как линейных, так
и нелинейных задач. Файервезер и Джонсон A975) показали,
что можно использовать локальную экстраполяцию Ричард-
Ричардсона, основанную на таких трехслойных схемах, а также на
некоторых двухслойных схемах, предложенных Дугласом и
Дюпоном A970). Они рассмотрели также влияние интерпо-
интерполяции нелинейных коэффициентов, т. е. интерполяции таких
функций, как р(и) и q{u) в F.36).
6.6. Сходимость полудискретных аппроксимаций Галеркина
Этот раздел содержит краткое изложение одной из оценок
сходимости, полученных Томе и Уолбином A975) и Уилером
A973) для модельной задачи, определяемой уравнением
ди д2и . д2и ,, . п . . , п
~дГ = ТР + -а$г ((*> У' 0 s # X (to, t{\),
начальным условием
и (х, у, t0) = и0 (х, у) ((х, у) е R)
и граничным условием
и(х, у, 0 = 0 ((*, у, Oe^X(to. U])¦
При этом ограничение двумя измерениями не является суще-
существенным.
Отправная точка для анализа та же, что и в гл. 5; а имен-
именно, формулировка предположения об аппроксимирующих
свойствах подпространства Кы- Поэтому предположим, что
теорема 5.4 справедлива и существует такое k ^ 1, что для
любого u^<№f+Vt(R) ошибка, порождаемая интерполяцией и
элементом п е Кы, ограничена как
\\u-u\\r,R^Chk+l-r\\u\\k+un (г<А). F.46)
Если предположить, что нарушения вариационных прин-
принципов, отмеченные в гл. 5, отсутствуют, то полудискретная

178 Гл. 6. Нестационарные задач*
аппроксимация Галеркина будет удовлетворять уравнению
(lF' v) + a(U,V) = 0 (для всех V е= К„). F.47)
Если и е= Mk+V (R)XCl [to, t\], то из F.46) следует, что про-
о
екция W е KN X С1 [^0, М, которая при /e[fo, ?i] удовлет-
удовлетворяет условию
a (W, V) = a(u, V) (для всех Vf=KN), F.48)
будет также удовлетворять неравенству
\\u-W||г. р <С/2*+1~г|| u||fc+li я (/ е [t0, /,]). F.49)
Из F.47) и F.48) получим, что
(f—^ к) + .(»-». Ю = (^-^, К)
для любого f е [^о, ^i]; при V = Ut—Wt это дает
Wt-wtfXim + \4ia{V-w' u-w)^(ut-wt, ut-wt).
Применяя неравенство Шварца к правой части, получим
WUt-Wtfrt(Ri + ^a(U-W, U-W)<
<\\ut-Wt\^(JUt-Wt\\*,m.
Из F.49) следует, что
так что
L-^aiU-W, U-W) <СА« || и \\l+h R,
и поэтому
a(U-W, U — W)<:Ch2k, C = C(u). F.50)
о
Так как билинейная форма а эллиптична в Ж$ (разд. 5.2),
то объединение F.49) и F.50) дает
Это оценка в непрерывной форме для аппроксимации Галер-
Галеркина. Если уравнение F.47) решается пошаговым методом, то
должен быть рассмотрен дополнительный источник ошибок.
Рядом авторов были получены оценки таких ошибок; даль-
дальнейшие ссылки по этому вопросу можно найти, например, у
Денди A975) или у де Бура A974).

ГЛАВА 7
ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ
ТЕОРИИ И ПРИЛОЖЕНИЯ
7.1. Введение
Прежде чем применять метод конечных элементов в раз-
различных его формах к решению задач, полезно в сжатой фор-
форме сформулировать основные характеристики этого метода.
Метод может быть использован для решения как стацио-
стационарных, так и нестационарных задач. Ограниченная прост-
пространственная или пространственно-временная область разби-
разбивается на некоторое число неперекрывающихся элементов.
Аппроксимирующие функции, которые могут быть полинома-
полиномами, рациональными дробями и т. д., относятся к конкретным
элементам, и параметры при этих аппроксимирующих функ-
функциях согласованы так, чтобы обеспечивалась желаемая сте-
степень гладкости аппроксимации на стыках между соседними
элементами. Тогда аппроксимирующая функция во всей обла-
области может быть выражена с помощью своих значений и зна-
значений своих производных в узловых точках области через ба-
базисные функции, которые отличны от нуля только на немно-
немногих элементах, расположенных вокруг соответствующих узлов.
Более точно, аппроксимирующая функция для всей области
имеет вид
[ (^) (g)] G.1)
2-1
где х = (хи х2, ..., хт), функции pi(x), <7<(х), Мх) и т.д.
имеют локальный носитель, a N есть число узловых точек
в области. Функции р,(х), dqi{x)/dx\, drt(x)/dx2 и т. д. при-
принимают единичное значение в узле /. Во многих случаях G.1)
имеет упрощенный вид
U(x)^Zpi(x)Ult G.2)
хотя есть задачи, для которых необходимо использовать пред-
представление G.1) общего вида, особенно те, в которых требу-
требуется большая гладкость между элементами или повышенная
точность в определении градиента решения. Построение ба-
базисных функций р,(х), <7,(х), п(х) и т.д. является одним из
наиболее важных и часто одним из самых трудных моментов

'80 Гл. 7. Дальнейшее развитие теории и приложения
в методе конечных элементов. Это в особенности верно для
задач с криволинейными границами и линиями раздела, осо-
особенностями и т. д., и для задач с производными высоких по-
порядков. Вопросы построения базисных функций изложены
•в гл. 4.
В конце этой главы мы увидим, как решаются некоторые,
в основном физические и инженерные задачи методом конеч-
конечных элементов в различных его формах (Ритца, Галеркина,
наименьших квадратов, колокации). Разнообразные типы ба-
базисных функций и модификации основного метода будут ис-
использованы для того, чтобы подчеркнуть относительные пре-
преимущества тех различных приемов, которые объединяются под
общим названием метода конечных элементов. Что касается
базисных функций для задач, в которых требуется высокая
степень гладкости между элементами (например, решение би-
гармонического уравнения в смысле наименьших квадратов
должно принадлежать пространству1 С3), то здесь будут при-
применены несогласованные элементы, и поэтому мы начнем эту
главу с краткого описания некоторых используемых на прак-
практике несогласованных элементов.
7.2. Несогласованные элементы ')
До сих пор аппроксимация для всей области в методе ко-
конечных элементов строилась в предположении ее некоторой
гладкости (или по крайней мере непрерывности) на стыках
между соседними элементами. Для дифференциального урав-
уравнения порядка 2k требовалась сшивка в С*-1 для методов
Ритца и Галеркина или сшивка в С2к~1 для метода наимень-
наименьших квадратов. Если для тетраэдральных элементов сшивка
в С1 достигается применением полиномов девятой степени, то
нетрудно себе представить, каким сложным делом будет при
к > 1 построение элементов с требуемой степенью гладкости
сшивки, т. е. построение согласованных элементов. Поэтому
с вычислительной точки зрения желательно научиться исполь-
использовать элементы с меньшей степенью гладкости на стыках,
чем это формально требуется, т. е. несогласованные элементы.
Поскольку инженеры в меньшей степени по сравнению с
математиками избегают применения на практике теоретиче-
теоретически не обоснованных приемов, нет ничего удивительного в
том, что несогласованные элементы были впервые предложены
именно инженерами. Ими было предложено также так назы-
называемое кусочное тестирование для выбора таких несогласован-
') Авторы признательны проф. Р. Барнхиллу и Дж. Брауну за полез-
полезные дискуссии при подготовке материала этого раздела.

7.2. Несогласованные элементы
181.
ных элементов, которые обеспечивали бы сходимость конеч-
ноэлементной аппроксимации для данной задачи. В действи-
действительности кусочное тестирование является проверкой непро-
непротиворечивости несогласованного конечноэлементного метода,,
используемого для решения конкретной задачи.
Кусочное тестирование (Айронс и Раззак, 1972)
Смысл кусочного тестирования состоит в следующем. Пред-
Предположим, что пространство несогласованных базисных функ-
функций содержит все полиномы такого порядка г, какой имеет
старшая производная в энергетическом функционале (в обо-
обозначениях гл. 5 Рг cz Кп), и пусть граничные условия вдоль пе-
периметра произвольно взятой части элементов определены как
значения произвольно взятого частного решения и е Рг на
этой линии. Тогда кусочное тестирование считается выполнен-
выполненным, если приближенное решение Uh, вычисленное по методу
конечных элементов в форме Ритца без учета разрывов на
границах между элементами, совпадает с и на рассматривае-
рассматриваемой части элементов. Таким образом, кусочное тестирование-
выполнено, если при йеР,
Uh = u. - G.3).
В качестве иллюстрации применения кусочного тестирова-
тестирования к задачам второго порядка рассмотрим решение уравне-
уравнения Лапласа на части элементов, образующей единичный
квадрат и составленной из двух треугольных элементов-
(рис. 28). Энергетический функционал содержит первые про-
производные, и поэтому г= 1. На каждом треугольнике опреде-
определим линейную функцию по ее значениям в серединах трех его
Рис. 28.

182 Гл. 7. Дальнейшее развитие теории и приложения
сторон. Тогда
Uw(x, y) = (l-2x)Ul-(\-2y)U2 + (l+2x-2y)U5 .
и
(х, у) = - A - 2х) Uг + A - 2у) U4 + A - 2х + 2у) U5
для треугольников Т\ и 72 соответственно. Интерполянт на
всем квадрате в общем случае разрывен вдоль границы раз-
раздела треугольников, и поэтому такие элементы являются не-
несогласованными для метода Ритца.
В качестве примера возьмем на этой части элементов те-
тестовое решение
и = х + у,
4
сфинимающее граничные значения
1 з
Mi — Ы4= у. Щ — ыз = >
так что указанные интерполянты запишутся в виде
, у) = {-\-х + Зу) + A + 2х - 2у) U5 G.4а)
(х, y)==(-l+3x-y) + (l-2x + 2y)U5. G.4b)
Метод конечных элементов в форме Ритца сводится к мини-
минимизации энергетического функционала
\\Uf>) dxdy
¦относительно 11ь, что дает
Ut = \. ¦
Подставляя это значение в G.4а) и в G.4b), получим
U^{x, y) = UW{x, y) = x + ij,
и поэтому
Uh = u
ла всей рассматриваемой части. В действительности же это
верно для любого иеР| и любой части таких элементов, т. е.
такой несогласованный элемент выдерживает кусочное тести-
тестирование.
Упражнение 1. Проведите кусочное тестирование для эле-
элементов, изображенных на рис. 29, и покажите, что
¦.. _ 1 — а — а2 + 2аа
5 ~ 1 - 2а + 2а3 "

7.2. Несогласованные элементы
У
183
a
/
/
1-е
/
/
\-a
3
a
1—
1-
а 4 1-а
Рис. 29.
Докажите тем самым, что такие элементы выдерживают ку-
кусочное тестирование только при а = '/г-
В качестве следующего примера применения кусочного те-
тестирования рассмотрим задачу четвертого порядка, опреде-
определяемую на квадратной области бигармоническим уравнением
и заданием решения и его нормальной производной на гра-
границе. Разобьем квадрат обычным образом на прямоугольные
треугольники равной площади и снова рассмотрим часть эле-
элементов в виде единичного квадрата, состоящего из двух тре-
треугольных элементов (рис. 30). Для бигармонического уравне-
уравнения энергетический функционал содержит вторые производ-
производные, и поэтому г = 2. На каждом треугольнике определим
квадратичную функцию по ее значениям в вершинах треуголь-
треугольника и по значениям ее нормальной производной в серединах
*¦ К

184 Гл. 7. Дальнейшее развитие теории и приложения
сторон. Такой элемент называется треугольником Морли. Ин-
терполянты будут иметь вид
х, у) = A - х - у + 2ху) ?/, + -I (х + у +х* - 2ху - у2) U2+
+ \{х + У - х*-2ху + у*)иА + у{\ - у)(^.M-
для треугольников Т\ и Т2 соответственно, где п есть внешняя
нормаль по отношению к Г] и внутренняя нормаль по отно-
отношению к Т2. Снова интерполянт на всем единичном квадрате
в общем случае разрывен вдоль границы между двумя тре-
треугольниками, и поэтому такие элементы являются несогласо-
несогласованными. Для задачи четвертого порядка элементы останутся
несогласованными и тогда, когда интерполянт будет непре-
непрерывным на этой границе, а его нормальная производная к
ней — нет.
В качестве примера возьмем на этой части элементов те-
тестовое решение
и = ха+у2,
принимающее граничные значения
«1 = 0, ы2 = «4=1, «з = 2;
(ди_\ _(ди\ _0 (ди\ _(ди\ _-
\ду)ь—\дх)9 — "> \ дх O ~ \ ду Л — г>
тогда указанные интерполянты запишутся как
у) = {х + у- 2ху) --^(х + у)A-х-у) (|^-M G.5а)
х, у) = B — 3х-3у + 2х2 + 2ху + 2у2)
+ -^{х + у-2П1-Х-у)[^\. G.5Ь)

7.2. Несогласованные элементы 185
Метод конечных элементов в форме Ритца сводится к мини-
минимизации энергетического функционала
$ $ т + 2^! + ^'Л dxdy+W (С/™ + 2 ?/№
г, г,
относительно параметра (du/dn)s, что дает
Подставляя это значение в G.5а) и в G.5Ь), получим
UM{x,y) = lfl*4x,y) = J<* + !rl,
и поэтому
Uh = u
на всей рассматриваемой части. В действительности же это
верно для любого иеР2и для любой части таких элементов,
т. е. треугольник Морли выдерживает кусочное тестирование.
Упражнение 2. Покажите, что треугольный элемент, на
котором полная квадратичная функция определяется своими
значениями в вершинах и в серединах сторон, не выдержи-
выдерживает кусочного тестирования для задачи четвертого порядка,
описанной выше.
Хотя математическая проверка несогласованных элементов
кусочным тестированием привлекательна сама по себе, с прак-
практической точки зрения достаточно осуществить такую провер-
проверку на вычислительной машине. Элементы считаются выдер-
выдержавшими кусочное тестирование, если численное решение
воспроизводит заранее известный ответ с учетом, конечно,
влияния ошибок округления.
Необходимое и достаточное условие сходимости построен-
построенной на несогласованных элементах аппроксимации, которое
эквивалентно кусочному тестированию, в обозначениях
разд. 5.4 (Е) имеет вид равенства
ак(р, Vh) = (f, Vh) (при всех Vh<=Kh) G.6)
для любого полиномиального решения р е Рг, где Рг <= Кн,
а г есть порядок старшей производной, входящей в an.
Но любое решение и удовлетворяет уравнению
а(и, v) = (f, v)
при всех допустимых функциях оеДи если оно также удов-
удовлетворяет уравнению
а(и, Vh) = (f, Vh) G.7)

186 Гл. 7. Дальнейшее развитие теории и приложений
при всех несогласованных функциях Vn e Кн, то G.6) примет
вид
а* (Р. Vh) = a(p, Vh) (при всех Vh е=Л'А) G.8)
(Стренг и Фикс, 1973, с. 207). Например, если задача сво-
сводится к минимизации
то
Если область R разбита на неперекрывающиеся элементы Г,-
(/ = 1, 2, ..., S), то тогда
Физический смысл равенства G.8) состоит в том, что разрывы
на границах между элементами можно не учитывать при вы-
вычислении а(р, Vh).
Для установления эквивалентности G.3) и G.8) удобно
ввести полунорму
Тогда можно получить оценки
I „ _ и | > «un ( I ah (". Ун) - а (и, Vh) | 1 _ q,
\и L/A |ft ^ sup | ^jh | G.9)
и (ср. с E.16))
1 и - Uh \h < inf 1 и - Vh \h + sup 'ah (и' vfy-'{u' ^' G.10)
при условии, что выполнено G.7). Тогда G.8) следует из G.3)
и G.9). Обратно, из G.8) и G.10) следует, что
Правая часть этого неравенства равна нулю, так как Р, а
а Кн, и мы получаем G.3).
Упражнение 3. Убедитесь в справедливости G.7) для несогла-
несогласованных кусочно-линейных элементов с узлами в серединах
сторон.

7.3. Смешанные Интерполянты 187
Для задач второго порядка можно дать следующую полез-
полезную для практики формулировку кусочного тестирования:
кусочное тестирование выдержано, если
-VV)do-0, G.11)
где Е есть любое внутреннее прямое ребро сетки, a Vn есть
любая несогласованная функция, так что Va1 и Vh являются
ее предельными значениями по разные стороны ребра Е
(Браун, 1975).
В заключение отметим два несогласованных прямоуголь-
прямоугольных элемента, которые выдерживают кусочное тестирование:
A) Элемент Вильсона (Вильсон и др., 1971). На квадрате
О ^ х, у ^ 1 шесть функций образуют базис: четыре били-
билинейные ху, х(\—у), у{\—х), A—х) A—у) и две дополни-
дополнительные 4хA —х) и 4г/A —у). Последние функции дают воз-
возможность представить в этом базисе произвольный квадра-
квадратичный полином от двух переменных и тем самым повысить
точность аппроксимации на каждом элементе.
B) Элемент Адини (Адини и Клаф, 1961). Для этого эле-
элемента с 12 степенями свободы неизвестными параметрами яв-
являются значения и, ди/дх и ди/ду в вершинах квадрата,
а входящие в полный кубический полином функции вместе
с х3у и ху3 образуют базис.
Упражнение 4. Покажите, что прямоугольные элементы Виль-
Вильсона и Адини выдерживают кусочное тестирование для задач
второго и четвертого порядка соответственно.
7.3. Смешанные интерполянты
Один из методов получения конечноэлементных аппрокси-
аппроксимаций, точно удовлетворяющих граничным условиям Дирихле,
состоит в том, что в решение задачи включается некоторый
смешанный функциональный интерполянт, построенный поза-
данным граничным значениям (Гордон, 1971). В простейшем
случае — это билинейный смешанный интерполянт на квад-
квадрате.
Если, например, /еР2(/!), где R = [О, h]X[0, h], то
функция
-f)f(x, 0) +
!"/(*. '»)-?(*. у), G.12)

188 Гл. 7. Дальнейшее развитие теории и приложения
где
1(х, *>-(! --¦?)(! -f)f(O. 0) + (l -?)¦?/(*. 0) +
+ 0 -xHm Л) + т т^Л> Л)- <7ЛЗ>
точно интерполирует / на всех четырех сторонах квадрата.
Более того, Гордон и Холл A973) показали, что
П/>'(/ — f)ц^^<3&—о (л*-»о @<ш<1),
тогда как для простого билинейного интерполянта f
II Dl (f - f) ||^ (_ = О (Л2-1 'I) @ < | Л < 1).
В качестве численного примера использования смешанных
функциональных интерполянтов получим конечноэлементное
решение задачи о потенциальном течении в области, пред-
представляющей собой единичный квадрат, с источником в точке
х = 0.437, у = —k (k > 0). Точным решением этой задачи
является функция
и — log г,
где г2 = (х — 0.437J+ (у + kJ. Поэтому нам нужно найти
приближенное решение уравнения
^ + W = 0 {{х' y)^{Q' 1)Х@> !))>
удовлетворяющее условию и = log r на границе области.
Разобьем область на № квадратных элементов и приме-
применим метод Галеркина для нахождения приближенного реше-
решения, являющегося билинейным на не соприкасающихся с гра-
границей элементах и включающего билинейные смешанные ин-
терполянты по граничным значениям на элементах, примы-
примыкающих к границе. Другими словами, мы ищем приближен-
приближенное решение вида
лг-1
U{x,y) = W{x,y)+ 2 Ulk<pjk(x, у), G.14)
где ф/й (/, k = 1, ..., N— 1) суть кусочные билинейные ба-
базисные функции, соответствующие точкам (j/N, k/N), a
W(x,y) является кусочной билинейной смешанной функцией,
которая отлична от нуля только на примыкающих к границе
элементах и на каждом таком элементе представляет собой
частный случай общей формы G.12). Если элемент R со сто-
стороной h имеет два внутренних узла, а противоположная им

7.3. Смешанные интерполянты
189
сторона (у = 0) является частью границы, то на R
y) = {\ --f-)/(x, 0),
так как функция W линейна на трех других сторонах и равна
нулю во внутренних узлах. Аналогично этому, если R есть
угловой элемент с одним внутренним узлом и две его стороны
х = 0 и у = 0 являются частями границы, то на R
y)-(l --§-)№, 0)
Для сравнения эта задача решалась также с использованием
аппроксимации, которая является билинейной на каждом эле-
элементе и в которой граничные условия интерполировались толь-
только по значениям в узлах. Численные результаты были полу-
получены для 16, 64, 144 и 256 элементов при k = 0.3, 0.2 и 0.1.
В табл. 4 максимальные по модулю значения приближенных
решений, выбранные каждый раз по сетке 16-ти элементов,
сравниваются со значениями точного решения в соответствую-
соответствующих точках.
Таблица 4
Число
элементов
Граничные условия
Дискрет-
Дискретные
Точные
Дискрет-
Дискретные
Точные
Дискрет-
Дискретные
Точные
ft=0.3
к=0.2
ft=0.1
16
64
144
256
Точное
решение;
2.5747
2.5875
2.5896
2.5904
2.5918
2.5915
2.5914
2.5913
2.5913
2.7590
2.7822
2.7859
2.7872
2.7852
2.7882
2.7886
2.7888
2.7888
2.9756
3.0200
3.0281
3.0306
3.0176
3.0310
3.0325
3.0331
3.0339
Упражнение 5. Проведите такие же вычисления для задачи
с периодическими граничными условиями, когда точным ре-
решением является функция
и сравните ваши численные результаты с теми, которые были
получены для этой задачи Маршаллом и Митчеллом A973).
До сих пор мы строили смешанные функциональные интер-
интерполянты для прямоугольных элементов. Но они могут быть

190 Гл. 7. Дальнейшее развитие теории и приложения
построены также и для треугольных элементов, и мы отсы-
отсылаем интересующегося читателя к работам Барнхилла, Бирк-
гофа и Гордона A973), Барнхилла и Грегори A976а) и
A976b) и Маршалла A975).
7.4. Приложения
(А) 3 АДАЧИ О ПОЛЯХ
Теперь мы рассмотрим решение методами конечных эле-
элементов некоторых типичных граничных задач о полях.
Задача 1. (Уравнение Пуассона.)
Вернемся к задаче, впервые рассмотренной в гл. 3: найти
решение уравнения
aF ^ ду2 z
в области R, удовлетворяющее граничному условию
ы = 0,
на границе OR, rjieR—y — -^ , ^jXy—-^^ ~й ) ¦ в методе
Ритца (м. Р.) минимизируется функционал
тогда как в методе наименьших квадратов (м. н. к.) миними-
минимизации подлежит функционал
где о и w имеют вид G.1) (или G.2)) и удовлетворяют гра-
граничному условию на dR. В модификации Брамбла — Шатца
(м. Б. Ш.) метода наименьших квадратов (разд. 5.4 (D)) ми-
минимизируется функционал
6R
где весовой множитель Л-3 введен для того, чтобы оба инте-
интеграла имели одинаковую размерность, и уже не требуется,
чтобы w удовлетворяла граничному условию на 6R. Величина
h равна значению параметра аппроксимирующего подпрост-
подпространства.
Область R разобьем на квадратные элементы прямыми ли-
линиями, параллельными осям х и у, и пусть расстояние между

7.4. Приложения 191
соседними линиями равно h, где h = n/N. Треугольные эле-
элементы получаются путем проведения в квадратах диагоналей
с наклоном —1. Задача 1 была решена численно при N = 6
методом Ритца, методом наименьших квадратов и методом
Брамбла — Шатца с использованием различных базисных
функций. Максимальные ошибки для каждого случая приве-
приведены в табл. 5. В общем для метода наименьших квадратов
Таблица 5
Тип базисных функций
Билинейные на квадрате
Кубические эрмитовы на квадрате
Линейные на треугольнике
Кубические на треугольнике
Пятой степени на треугольнике
Функции Клафа и Точера
Функции Дюпюи и Геля
М.Р
0.03269
0.00063
0.03116
0.00007
О.00041
0.00036
0.00032
м. н. к.
0.00063
0.00283
0.00042
0.04052
0.03395
м. Б. Ш.
0.06294
0.02935
0.00321
0.03752
0.03320
и метода Брамбла — Шатца они значительно больше, чем
для метода Ритца. По-видимому, это объясняется плохой об-
обусловленностью тех систем линейных уравнений, к которым
сводятся методы наименьших квадратов.
Задача 2 (пластина с заделанным краем).
Найти решение уравнения
д*и . п д*и . д1и _?_
дх* "*" г дх2 ду2 "*" ду* ~~ D
в области R, удовлетворяющее граничным условиям
ди .
на 6R, где R = @, L)X@, L). Мы рассмотрим тот случай,
когда нагрузка q распределена по пластине равномерно. Если
есть максимальное смещение пластины, то
и точное значение а равно 0.00127. Задача решалась только
методом Ритца, и вычисленные при N = б и различных базис-
базисных функциях значения а приведены в табл. 6.
Авторы признательны М. Вайну за предоставленные им
численные результаты, приведенные здесь в табл. 5 и 6. Даль-
Дальнейшие подробности и численные результаты для этих и сход-
сходных с ними задач можно найти у Вайна A973).

192 ' Гл. 7. Дальнейшее развитие теории и приложения
Таблица 6
Тип бависных функций
Эрмитовы кубические на квадрате 0.00128
Кубические на треугольнике 0.00136
Пятой степени на треугольнике 0.00127
Функции Клафа и Точера 0.00117
Функции Дюпюн и Геля 0.00119
В) Задачи о точном управлении для параболических уравнений
(Харли и Митчелл, 1976)
Теперь применим метод конечных элементов для решения
задачи о точном управлении в случае линейного параболиче-
параболического уравнения. Пусть базисные функции состоят из кусоч-
кусочных бикубических полиномов, а дифференциальное уравнение
удовлетворяется на каждом элементе в гауссовых квадратур-
квадратурных точках в смысле метода коллокации.
Рассмотрим уравнение теплопроводности
•ff-=!^r + q>(*, *) ((*, /)e=Q = (O, 1)Х@, Т)), G.15)
дополненное начальным условием
и(х, О) = ио(х) (*е=[0, 1]) G.16)
и граничными условиями для /е [О, Т], состоящими из усло-
условия
Slf~--f{t) G.17/
и либо условия
"дх ^ =^(^' G.18а)
или же условия
G.18b)
где р есть константа. Функции q>(x, t) в G.15) и f(t) в G.17)
заданы, а определить требуется граничную управляющую
функцию g(t) (или G(t)) так, чтобы решение указанной выше
системы в некоторый фиксированный момент времени Т в точ-
точности совпало с tict(x), т. е. чтобы
(*е=[0, 1]), G.19)
где иа(х) есть заданная функция.

7.4. Приложения 193
Область Q нормируем по времени так, чтобы Q = (О,1)Х
Х@, 1), и разобьем ее на N2 квадратов со стороной-/г( = 1/М),
а приближенное решение U(x,t) представим через кусочные
бикубические полиномы по х и t (см. разд. 4.2). Полное число
коэффициентов в такой аппроксимации равно 4(N + IJ, но,
конечно, некоторые из них определяются с помощью функций
ио(х), иа{х) и f(t), и если число неизвестных коэффициентов
есть M{<.A(N + 1J)> то идеальным для метода коллокации
был бы тот случай, когда U(x,t) удовлетворяет дифференци-
дифференциальному уравнению G.15) в М точках, выбранных в области
Q. Это дало бы М линейных уравнений относительно М неиз-
неизвестных параметров. Будем получать эти уравнения по методу
коллокации в квадратурных точках Гаусса для каждого эле-
элемента. Если на каждом элементе взять по четыре таких точки,
то точность аппроксимации заданными базисными функциями
будет наилучшей (ср. с разд. 3.4). При этом получится 4N2
уравнений с М неизвестными, т. е. недоопределенная система.
Это нежелательно, и поэтому мы возьмем по девять гауссовых
узлов на каждом элементе, что даст 9N2 уравнений с М неиз-
неизвестными, т. е. переопределенную систему. Последняя реша-
решалась численно по методу наименьших квадратов — с деталями
можно познакомиться в работе Харли и Митчелла A977).
Здесь представлены численные результаты для двух таких
задач, точные решения которых известны. Управляющая функ-
функция в первой задаче является составной частью граничного
условия Неймана G.18а), а во второй задаче — составной
частью смешанного граничного условия G.18Ь). В обоих слу-
Таблица 7
N2
%<Л2
%<л4
Функция
9
100
100
состояния
16
100
89
25
100
80
Таблица 8
% < Л2
% < Л4
9
94
60
Функция состояния
16
98
50
25
92
40
Управляющая
9
100
50
16
. 100
28
функция
^ 25
100
20

1?4 Гл. 7. Дальнейшее развитие теории и приложения
чаях для функции состояния и функции управления вычисля-
вычислялись модули ошибок в рассматриваемых узлах. В табл. 7 и 8
приводится процент таких узлов от их общего числа, в кото-
которых модули ошибок были меньше чем h2 и hk.
Задача 1.
щ (х) = sin х + cos x,
Щ{х) = е~х (sin x+ cos*)
и
Требуется найти функцию управления g(t) (см. G.18а)), если
точное решение имеет вид
и (х, t) = e~* (sin х + cos x) {{x, t) e Q)
g@ = e-'-(cos(l)-sin(l)) (/e[0, 1]).
Задача 2.
"Ж = & + е~' {Dа;2 ~ !> sin (jc2) ~ 2 cos
«oW=sin(x2),
«d W = e~l sin (л:2)
Требуется найти управляющую функцию G(t) при р = 2 (см.
G.18Ь)), если точное решение имеет вид
и(х, t) = e-tsin(x2) ((jc, OeQ)
(/ e [0, 1]).
(С) П РАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДВОЙСТВЕННЫХ ВАРИАЦИОННЫХ
ПРИНЦИПОВ
В гл. 2 было приведено несколько примеров таких задач,
для которых справедливы двойственные вариационные прин-
принципы. Почти во всех случаях численное решение таких задач
с помощью метода конечных элементов основывается на прин-
принципе минимума, а не на принципе максимума. Вообще говоря,
это происходит потому, что принцип минимума легче реали-
реализовать практически. Сейчас мы решим с помощью метода ко-
конечных элементов одну простую задачу, используя сначала
принцип минимума, а затем принцип максимума, и сравним
полученные результаты.

7.4. Приложения
19S
/V=25
Рнс. 31.
Выбранная нами задача состоит в нахождении функции и,
которая удовлетворяет уравнению
«*.»)¦
G.20)
и граничному условию
G.21)
где R есть единичный квадрат 0 ^ х, у ^ 1, а функция g за-
задана на границе dR э/эго квадрата. Область разобьем на
треугольные элементы, как показано на рис. 31.
Принцип минимума для этой задачи сводится к нахожде-
нахождению
mini,
где функции и удовлетворяют граничному условию, а
G-22)
Если на каждом треугольнике решение аппроксимируется ли-
линейным интерполянтом, определяемым значениями и в вер-
вершинах треугольника, то полный интерполянт U запишется1
в виде

196
Гл. 7. Дальнейшее развитие теории и приложения
где N есть число узлов, а <р,(х) (t = 1, 2 N) — кусочно-ли-
кусочно-линейные базисные функции. Неизвестные значения ?/< во внут-
внутренних узлах получаются путем минимизации G.22) после
замены и на U.
Принцип максимума (Артуре и Ривс, 1974) сводится к на-
нахождению
maxG,
и и и,
где U\ = ди/дх, U2 = ди/ду, а
G.23)
dR
Такая форма принципа максимума с использованием произ-
производных первого порядка аналогична принципу минимума до-
дополнительной энергии для задачи о малых упругих деформа-
деформациях из разд. 2.6. В то же время для аппроксимации 11\ и U2
на каждом треугольнике используются линейные функции.
Неизвестные значения {U\)i и (U2)i получаются при нахож-
нахождении максимума функционала G.23) численным путем.
В качестве примера с помощью принципа минимума и
принципа максимума решалась задача, для которой гранич-
Таблица 9
N
9
16
25
Точное ре-
решение
N
9
25
Точное ре-
решение
J
4.8872
4.8563
и в середине квадрата
Принцип
минимума
2.0268
G
4.8288
4.8382
4.8416
4.8462
Принцип
максимума
2.0295
2.0279
2.0281

7.4. Приложения 197
ное условие получается из точного решения
Численные результаты приведены в табл. 9. С дальнейшими
деталями можно познакомиться в работе Фримана и Гриф-
фитса A976).
(D) Критическая температура детонирующего стержня
В этом примере полудискретная форма метода конечных
элементов (разд. 6.3) применяется для определения критиче-
критической температуры 9Крит твердого детонирующего стержня,
один конец которого поддерживается холодным (9 = 0]),
а другой — горячим (9 = 9о). Критическая температура опре-
определяется так, что при 90 < 9кРИт мы со временем придем к ста-
стационарному решению 9 ^ 90 на всем стержне, тогда как при
9о > 9кРит в некоторой внутренней точке стержня со време-
временем возникнет 9 > 90, что и является признаком зажигания
стержня.
Уравнение, описывающее предшествующий зажиганию про-
процесс, может быть записано в безразмерных единицах (Кук,
1958) как
где Сил являются константами; оно дополняется начальным
условием
в(х, о)=-е, (о<*<1)
и граничными условиями
9@, 0 = во
(
где 90 > 9,.
Задача сведется к системе нелинейных обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений, если приближенное решение
ищется в виде
N+1
в (х, 0=1 МОФ|(*),
1-0
где базисные функции ф,- (i = 0, 1, ..., N + 1) определены на
интервале [0, 1] с помощью равномерного разбиения. Функ-
Функции а0 и алг+i определяются граничными условиями, а а,-@
(/ = 1,2,..., N) удовлетворяют системе уравнений
, G.24)

198
Гл. 7. Дальнейшее развитие теории и приложения
где Л1 и Лг есть положительно определенные матрицы, точка
означает дифференцирование по времени, a f(a) есть нели-
нелинейная векторная функция, компоненты которой имеют вид
1 . .N+1 \~\
//(«)= U/(*)Cexp( г-(? а((О Ф|(х) J )dx (/=1 N).
Система G.24) является жесткой, и при ее численном реше-
решении необходимо проявлять осмотрительность. Она решалась
с переменным по времени шагом методом, предложенным
Т. Р. Гопкинсом, которому авторы признательны за предо-
предоставленные им численные результаты.
В численном примере полагалось, что решение станет ста-
стационарным, если 9(х, 10) < 90 для х^ @, 1); напротив, если
Q(x,t) ^ во для некоторого а: е @, 1) и некоторого ^^10,
то считалось, что произошло зажигание. Критическая темпе-
температура находилась по методу деления отрезка пополам: если
0О = QL приводит к стационарному решению, а 90 = 9« (>6i)
приводит к зажиганию, то вычисляется решение для во =
Таблица 10
во
Время
зажигания
во
Время
зажигания
-
0.02440
00
0.02840
оо
h
Линейные
0.03050
0.90
0.02850
оо
базисные
0.02745
оо
0.02855
оо
1/4
функции .
0.02898
4.74
0.02857
оо
1/8
0.02821
оо
0.02858
6.5
1/16
0.02859
6.04
Таблица 11
1/32
Линейные: h ¦¦
0.02857 0.02843 0.02839
Квадратичные:
N+ 1
0.02837 0.02841 0.02838
Эрмитовы
2
кубические: А —"тг
0.02822 0.02837 0.02837

7.4. Приложения 199
= ТГ @?+0я) и 0« или 0t заменяется этим новым значением
0о в зависимости от того, приводит такое 0о к зажиганию или
нет.
В табл. 10 и 11 приведены численные результаты, получен-
полученные при решении этой задачи с различными значениями N
для кусочно-линейных, кусочно-квадратичных и эрмитовых ку-
кусочно-кубических базисных функций. Во всех случаях 6i =
= 0.0122, что примерно соответствует температуре 12 °С,
а бесконечное время зажигания означает то, что решение ста-
становится стационарным. Кусочно-квадратичные базисные функ-
функции изображены на рис. 33.
(Е). Задачи о конвекционной проводимости
На неадекватность многих стандартных конечноэлемент-
ных методов в применении к задачам, содержащим как пер-
первые, так и вторые производные искомой функции, впервые
обратил внимание авторов О. Зенкевич. Это в особенности
так, если коэффициенты при первых производных оказывают-
оказываются сравнительно большими. Типичным примером такого рода
служит задача о стационарном течении несжимаемой вязкой
жидкости; здесь уравнение переноса завихрения в двумерном
случае имеет вид
d2w , d2w \ ( дт , _. dw \ n G 25)
где w обозначает завихрение, и и v являются компонентами
скорости, a v есть коэффициент кинематической вязкости. Ко-
Коэффициенты при первых производных в G.25) по порядку
величины эквивалентны числу Рейнольдса и поэтому прини-
принимают большие значения во многих практических задачах.
Чтобы показать те трудности, с которыми приходится стал-
сталкиваться при численном решении уравнения G.25), рассмот-
рассмотрим одномерное модельное уравнение
IP^0 (*e[°. W. G-26>
где k = м/v положительно и предполагается постоянным.
Разобьем интервал [0, 1] на N равных частей длины h = \/N
точками х = ih (i = 0, 1, ..., N). В численных примерах ис-
использовались граничные условия
(* = 0),
(«-о, <7-27>

200 Гл. 7. Дальнейшее развитие теории и приложения
получающиеся из точного решения
-ft _ -kX
w(x)= e k \ . G.28)
Решение Галеркина W удовлетворяет системе уравнений
(W, ^) + k{W, Ф/) = 0 (/=1, 2, .... ЛГ-1), G.29)
где
T G.30)
и штрих означает дифференцирование по х. Если предполо-
предположить базисные функции tp,- кусочно-линейными, то G.29)
сведется к системе разностных уравнений
)l_1 = 0 G.31)
(i=\,2, ..., N-l).
Эта система имеет точное решение
и поэтому при
будут иметь место осцилляции.
Теперь заменим G.29) системой
(W',ty + k(W, ^) = 0 (/=1, 2 N-1),
где W снова имеет вид G.30) с теми же самыми кусочно-ли-
кусочно-линейными базисными функциями ф/, а в качестве пробных
функций if,- (j = 1, 2, ..., N — I) взяты асимметричные ку-
кусочно-линейные базисные функции, показанные на рис. 32. Та-
Такие функции были предложены Д. Ф. Гриффитсом и имеют
вид
1 + a (i - -?) (* е= f(i - t|) Л, (i + I) h]), G.32)

7.4. Приложения
201
где 0 ^ |, ц < 1 и а есть тангенс угла наклона среднего зве-
звена со знаком минус. Асимметричные функции г|з, совпадают со
стандартными кусочно-линейными базисными функциями <р*
при а = ? = ц = 0. Теперь коэффициенты аппроксимации
G.30) будут удовлетворять системе разностных уравнений
\ G.33)
имеющей точное решение
(i = 0, 1, 2 N).
G.34
Разностные уравнения G.33) имеют первый порядок точно-
точности, если | ф ц и
1-л •
Если ввести еще обозначение
то точное решение G.34) перепишется в виде
W t = А2 + В2

202 Гл. 7. Дальнейшее развитие теории и приложения
Следовательно, в конечноэлементном решении не будет ос-
осцилляции, если
(I) Л 3*1
или
(II) -оо< А<1 и h< (XlA)k.
Отметим, что три стандартные конечноразностные аппрокси-
аппроксимации уравнения G.26) получаются в следующих случаях:
(I) А = 1 (разность назад),
(II) Л = 0 (центральная разность),
(III) А = — 1 (разность вперед).
При Л=0 получаются уравнения Галеркина G.31); только
они имеют второй порядок точности.
Наконец, мы получим решение Галеркина, используя ку-
кусочные квадратичные базисные функции, показанные на
рис. 33. После проведения соответствующих выкладок полу-
получаются разностные уравнения
(/=1, 2, ..., JV-1)
в целых узлах и
(A-kh)Wi-8Wi-U2+D+kh)Wi-l = 0 (/-=1,2 N)
в полуцелых узлах. После исключения неизвестных в полуце-
полуцелых узлах получим систему разностных уравнений
+ ± ft%») Wt+l - B + -J-kW) Wt +
+±kh + -*TkW)wi_l = 0 (i=l, 2, ..., N-l),
имеющую точное решение
Это решение свободно от осцилляции при любых значениях
Ли k.
Численные результаты приведены в табл. 12, где сравни-
сравниваются конечноэлементные решения, полученные для линей-
линейных и квадратичных базисных функций. Для линейных функ-
функций были выбраны два случая, а именно А = 0 (центральные

7.4. Приложения 203
разности) и А = 1 (разности назад). Осцилляции видны в слу-
случае центральных разностей при h = 1/20. Не вызывает сом-
сомнения то, что для этой частной задачи можно получить луч-
лучшую точность при том же объеме вычислений, уменьшая раз-
размеры элементов с приближением к правой границе. Однако
в тех случаях, когда форма ответа не известна заранее, не-
неравномерные сетки редко используются иа первой стадии ра-
работы над задачей. Дальнейшие подробности по этому вопросу
можно найти у Кристи A975).
(F) С ИНГУЛЯРНЫЕ ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
В разд. 4.6 было показано, что необходимо соблюдать
осторожность при выборе узлов на изопараметрических эле-
элементах, чтобы нигде на элементе якобиан не обращался в
нуль. Однако бывают такие ситуации, при которых обраще-
обращение якобиана в нуль в отдельной точке может быть полезным.
В этом разделе мы рассмотрим вкратце один случай примене-
применения таких изопараметрических элементов.
Если функция и(х,у) удовлетворяет уравнению
д2и . д2и п
в области R, то в окрестности угловой точки границы OR она
может быть представлена в виде
D) G.35)
при некоторых постоянных у/ '(/= 1, ...), где ал есть вели-
величина угла, внутри которого лежит R, а (г, в) есть полярные
координаты с началом в вершине угла. Отсюда следует, что
вблизи вершины врезающегося в область угла (а > 1) про-
производные главного члена в G.35) неограниченно возрастают

204
Гл. 7. Дальнейшее развитие теории и приложения
Таблица 12
(ft-60)
ft —1/20
Точное
решение
Решение для
центральной
разности
Решение для
разности
назад
Решение для
квадратичных
функций
0.90
0.95
1.00
0.9975
0.9502
0
0.9600
1.2000
0
0.9375
0.7500
0
0.9941
0.9231
0
¦ 1/40
Точное
решение
Решение для
центральной
разности
Решение для
разиостн
назад
Решение для
квадратичных
функций
0.90
0.925 '
0.95
0.975
1.00
0.9975
0.9889
0.9502
0.7769
0
0.9996
0.9971
0.9796
0.8571
0
0.9744
0.9360
0.8400
0.6000
0
0.9974
0.9885
0.9490
0.7742
0
при стремлении г к нулю. Следующие две ситуации имеют
очень много общего: когда а = 2, т. е. область имеет разрез
или трещину, и когда а = 3/2, т. е. область имеет прямоуголь-
прямоугольную «вмятину». Тогда главные члены разложения становятся
пропорциональными г1>2 и г2/3 соответственно. Одна из основ-
основных причин непригодности многих стандартных численных ме-
методов для решения таких задач состоит в том, что эти функ-
функции нельзя с достаточной точностью приблизить полиномами
(по г).
Теперь мы приведем два примера таких изопараметриче-
ских элементов, которые позволяют обойти эту трудность при
условии, что угловая точка области является вершиной эле-
элемента, в котором другие узлы выбраны специальным образом.
A) Для приближения г1/2 могут быть использованы квад-
квадратичные элементы. Если ^4=2"(Л+/2)> 4 = -j (З^з + 4) и
t6 = -^Ct3-\-ti) (см. рнс. 17), то изопараметрическое преобра-
преобразование примет вид
t-h = ((t1-t3)p+(t2-t3)q)(p + q) (t = x, у),
и линейные по р и q функции будут иметь нужное поведение
вида г1/2, где г есть расстояние до вершины Р3. Например,

7.4. Приложения ' 205
ВДОЛЬ Р1Р3 (q = 0)
г* = (x - *3J + (у - y3f = ((*,- дг3J + (*/, - йJ) Р4,
и поэтому р ж г1/2. Якобиан этого преобразования можно
представить в виде
2С
и поэтому он обращается в нуль только в точке Р3 (р = q =
= 0).
B) Для приближения г2^3 в окрестности узла Рз могут
быть использованы кубические элементы. Если узлы распо-
расположены правильно, то изопараметрическое преобразование
примет вид
(t = x, у).
По аналогии с предыдущим случаем можно убедиться, что
линейные по р и q функции ведут себя как г1/3, так что квад-
квадратичные функции будут иметь нужное поведение вида г2/3.
Теперь якобиан преобразования запишется в виде
ЗС123(р+?L,
и обратится в нуль только при р = q = 0.
Дополнительные подробности о сингулярных изоларамет-
рических элементах, иллюстрацию их эффективности при про-
проведении практических вычислений и обобщения такого под-
подхода на различные особенности и на случаи более высоких
размерностей можно найти в работе Уэйта A976).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1)
Агмон (Agmon S.)
A965) Lectures on Elliptic Boundary Value Problems, Van Nostrand, Prin-
Princeton.
Адини, Клаф (Adini A., Clough R, W.)
A961) Analysis of Plate Bending by the Finite Element Method, Nat.
Sci. Found. Rept. G7337. Univ. of California, Berkeley.
Азиз (Aziz A. K. Ed.)
A972) The Mathematical Foundations of the Finite Element Method with
Applications to Partial Differential Equations, Academic Press, New York.
Айронс (Irons В. М.)
A966) Conf. on Use of Digital Computers in Structural Engineering, New-
Newcastle.
A969) Int. J. Num. Meth. Eng. 1, 29.
Айроис, Раззак (Irons В. M., Razzaque A.)
A972) см. Азиз A972), 557—587.
Артуре (Arthurs A. M.)
A970) Complementary Variational Principles, Clarendon Press Oxford.
Артуре, Ривс (Arthurs A. M., Reeves R. I.)
A974) J. Inst. Math. Applies. 14, 1.
Бабушка (Babuska I.)
A969) Tech. Note BN-624, University of Maryland.
A971) SIAM J. Numer. Anal., 8, 304.
A973) Numer. Math., 20, 179.
Бабушка, Азиз (Babuska I., Aziz A. K.)
A976) SIAM J. Numer. Anal., 13, 214.
Бабушка, Зламал (Babuska I., Zlamal M.)
A973) SIAM J. Numer. Anal., 10, 863.
Барихилл, Биркгоф, Гордон (Barnhill R. E., Birkhoff G., Gordon W.)
A973) J, Approx. Theory, 8, 114.
Барнхилл, Грегори, Уайтман (Barnhill R. E., Gregory A., Whiteman J. R )
A972) см. Азиз A972), 749—755.
Барихилл, Грегори (Barnhill R. E., Gregory A.)
A976a) Malh. Сотр. (to appear).
A976b) J. Approx. Theory (to appear).
Бейкер (Baker G. A.)
A973) Math. Сотр., 27, 229.
Березин И. С, Жидков Н. П.
A962) Методы вычислений, т. 2. —М.: Наука, 1962.
Бергер (Berger A. E.)
A972) см. Азнз A972), 757—796.
A973) Numer. Math., 21, 345.
*) При цитировании литературы номера страниц указываются по рус-
русскому переводу (если такой имеется), но указывается год выхода в свет
оригинала.

Список литературы 207
Бергер, Скотт, Стренг (Berger A. E., Scott R,, Strang G.)
A972) Symposia Mathematica X. Academic Press, London.
Берс, Джои, Шехтер (Bers L,, John F., Schechter M.)
A964) Partial Differential Equations, Interscience New York. (Русский
перевод: Берс Л., Джои Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производ-
производными. — М.: Мир, 1966.)
Биркгоф, Шульц, Варга (Birkhoff G., Schultz M. H., Varga R. S.)
A968) Numer. Math., 11, 232.
Биркгоф (Birkhoff G.)
A971) Proc. Nat. Acad. Sci., 68, 1162.
Биркгоф, Менсфилд (Birkhoff G., Mansfield L.)
A974) J. Math. Anal. Applies, 47, 531.
Бонд, Свеиелл, Геишелл, Уабартон (Bond Т. J., Swanell R. D., Hen-
shell R. D., Warburton G. B.)
A973) J. Strain Anal., 8, 182.
де Бур (de Boor C.)
A974) Mathematical Aspects of Finite Elements in Partial Differential
Equations, Academic Press, New York. ч
де Бур, Шварц (de Boor C, Swartz В.)
A973) SI AM J. Numer. Anal., 10, 582.
Брамбл, Дюпон, Томе (Bramble J. H., Dupont I., Thomee V.)
A972) Math. Сотр., 26, 869.
Брамбл, Гильберт (Bramble J. H., Hilbert S. R.)
A970) S1AM J. Numer. Anal., 7, 112.
Брамбл, Зламал (Bramble J. H., Ziamal M.)
A970) Math. Сотр., 24, 809.
Брамбл, Нитше (Bramble J. H., Nitsche J. A.)
A973) SIAM J. Numer. Anal., 10, 81.
Брамбл, Шатц (Bramble J. H., Schatz A. H.)
A970) Comm. P. Appld. Math., 23, 635.
A971) Math. Сотр., 25, 1.
Брамбл, Томе (Bramble J. H., Thomee V.)
A974) R. A. I. R.O., 8 (R-2), 5.
Браун (Brown J. H.)
A975) Non Conforming Finite Elements and their Applications, M. Sc. The-
Thesis, Univ. of Dundee.
Вайн (Vine M.)
A973) Applications of the Finite Element Method to Partial Differential
Equations, Ph. D. Thesis, Univ. of Dundee.
Вайнберг М. M.
A956) Вариационные методы исследования нелинейных операторов, М.,
ГИТТЛ.
Варга (Varga R. S.)
A971) Functional Analysis and Approximation Theory in Numerical Ana-
Analysis. SIAM Publication Philadelphia. —
(Русский перевод: Варга Р. Функциональный анализ и теория аппрокси-
аппроксимации в численном анализе. — М.: Мир, 1974.)
Васидзу (Washizu К.) *)
A968) Variationl Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Press,
London.
Ватсон (Watson G. A., Ed.)
A974) Conf. Num. Soln. Diff. Equns, Dundee, Springer-Verlag Lecture
Notes in Maths., 363. J
*) Транскрибируется также как Вашицу,

208 ' Список литературы
Ватсои (Watson G, A. Ed.)
A976) Conf. Num. Anal., Dundee, Springer-Verlag Lecture Notes in Maths,
Вильсон, Тейлор, Доерти, Габусси (Wilson Е. С, Taylor R. U, Doher-
ty W. P., Ghaboussi J.)
A971) Univ. of Illinois Symposium.
Вулих Б. З.
A967) Введение в функциональный анализ. — М.: Наука.
Гопкиис, Уэйт (Hopkins Т. R., Wait R.)
A976) Сотр. Meth. App. Mech. Eng., 9, 181.
Гордой (Gordon W. J.)
A971) SIAM J. Numer. Anal., 8, 158.
Гордон, Уиксом (Gordon W. J., Wixom J. A.)
A974) SIAM J. Numer. Anal.; 11, 909.
Гордой, Холл (Gordon W. J., Hall С. А.)
A973) Numer. Math., 21, 109.
Грам (Gram J. G.)
A973) Numerical Solution of Partial Differential Equations, Reidel Publi-
Publishing Co., Boston, U. S. A.
Демьянович Ю. К.
A964) Мат. сб., 5, 1452.
Денди (Dendy J. E.)
A975) SIAM J. Numer. Anal., 12, 541.
Денди, Файервезер (Dendy J. E., Fairweather G.)
A975) SIAM, J. Numer. Anal., 12, 144.
Джордан (Jordan W. B.)
A970) A. E. С Research and Development Report KAPL-M-7112.
Дуглас, Дюпон (Douglas J., Dupont T.)
A970) SIAM J. Numer. Anal., 7, 575.
A971) см. Хаббард A971), 133—244.
A973) Math. Сотр., 27, 17.
A975) Math. Сотр., 29, 360.
Дуглас, Дюпон, Уилер (Douglas J., Dupont Т., Wheeler M. F.) '
A974) R. A. I. R. O., 8 (R-2), 61.
Дюпои, Файервезер, Джонсон (Dupont Т., Fairweather G., Johnson J. P.)
A974) SIAM J. Numer. Ana!,, 11, 392.
Дюпюи, Гель (Dupuis G., Goel J. J.)
A970) Int. J. Num. Meth. Eng., 2, 563.
Девис, Рабинович (Davis P. J., Rabinowitz R.)
A967) Numerical Integration, Blaisdell, Waltham, Mass.
Зенкевич (Zienkiewicz О. С.)
A967 The Finite Element Method in Structural and Continuum Mecha-
Mechanics, Me Graw-Hill, New York.
(Русский перевод: Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в
теории сооружений и в механике сплошных сред. — М.: Недра, 1974.)
A971) The Finite Element Method in Engeneering Science, McGraw-Hill,
Зенкевич (Zienkiewicz О. С.)
New York.
(Русский перевод: Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. —
М.: Мир, 1975.)
Зламал (Zlamal M.)
A973) SIAM J. Numer. Anal., 10, 227.
A974) SIAM J. Numer. Anal., II, 347.
A975) Math. Сотр., 29, 350.
Иосида (Iosida К.)
A965) Functional Analysis, Springer-Verlag, Berlin.
(Русский перевод: Иосида К. Функциональный анализ.—М.: Мир,
1967.)

Список литературы 209
Канторович Л. В.
A933) Изв. АН СССР, 5, 647.
Клаф, Точер (Clough R. W., Tocher J. L.)
A965) Proc. 1st. Conf. Matrix. Methods in Structural Mechanics, Wright-
Patterson A. F. В., Ohio.
Клегг (Ciegg J. C.)
A967) Calculus of Variations, Oliver and Boyd, Edinburgh.
Комиии, дель Гвидичи, Левис, Зенкевич (Comini G., del Guidici S., Le-
Lewis R. W., Zienkiewicz О. С.)
A974) Int. J. Num. Meth. Eng., 8, 613.
Кристи (Christie I.)
A975) Conduction — Convection Problems. M. Sc. Thesis. Univ. of Dundee.
Крузей, Равьяр (Crouzeix M., Raviart P. A.)
A973) R.A. I. R. O., 7, (R-3), 33.
Кук (Cook G. B.)
A958) Proc. Roy. Soc. London. A. 264, 154.
Кураит, Гильберт (Courant R., Hilbert D.)
A953) Methods of Mathematical Physics, Vol. 1, Interscience, New York.
(Русский перевод издания 1930 года: Курант Р., Гильберт Д. Методы
математической физики, т. 1, —М. — Л.: ГИТТЛ, 1951.)
Ламберт (Lambert J. D.)
A973) Computational Methods in Ordinary Differential Equations, Wiley,
London.
Ланкастер (Lancaster P., Ed.)
A973) Proc. Conf. on Theory and Applications of Finite Element Methods,
Univ. of Calgary.
Ласко, Лесен (Lascaux P., Lesaint P.)
A975) R.A. I. R.O., 9 (R-l), 9.
Лаури (Laurie D. P.)
A977) Inst. Math. Applies, 19, 119.
Лионе, Мадженее (Lions J. L., Magenes E;)
A972) Non-Homogeneous Bondary Value Problems and Applications I,
Springer-Verlag, Berlin.
(Русский перевод с французского издания 1968 года: Лионе Ж.-Л., Мад-
жеиес Е. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М.: Мир,
1971.)
Лукас, Редин (Lucas Т. R., Reddien G. W.)
A972) SIAM, J. Numer. Anal., 9, 341.
Маклеод (McLeod R. J.)
A977) J. Approx, Th., 19, 25.
Маклеод, Митчелл (McLeod R. J., Mitchell A. R.)
A972) J. Inst. Math. Applies, 10, 382.
Маклеод, Митчелл (McLeod R. J., Mitchell A. R.)
A975) J. Inst. Math. Applies., 16, 239.
Маршалл (Marshall J. A.)
A975) Some Applications of Blending Function Techniques to Finite Ele-
Element Methods, Ph. D. Thesis. Univ. of Dundee.
Маршалл, Митчелл (Marshall J. A., Mitchell A. R.)
A973) J. Inst. Math. Applies, 12, 355.
Миллер (Miller J. J. H., Ed.)
A973) Topics in Numerical Analysis I., Academic Press, New York.
A975) Topics in Numerical Analysis II, Academic Press, New York.
Митчелл (Mitchell A. R.)
A969) Computational Methods in Partial Differential Equations, Wiley,
London.
Михлии С. Г.
A976) Вариационные методы в математической физике. — М.: Haysa.

210 Список литературы
Михлин С. Г., Смолицкий X. Л.
A965) Приближенные методы решения дифференциальных и интеграль-
интегральных уравнений. — М.: Наука.
Морс, Фешбах (Morse P. M., Feshbach H.)
A953) Methods of Theorethical Physics, McGraw-Hill, New York.
(Русский перевод: Морс Р. М., Фешбах Г., Методы теоретической физи-
физики,—М.: ИЛ, т. 1, 1958, т. 2, i960.)
Нечас (Necas J.)
A967) Les Methodes Directes en Theorie des Equations Eiliptiques, Acade-
mia, Prague.
Нитше (Nitsche J. A.)
A971) Abhandt. d. Hamb. Math. Sem. 36, 9.
A972) см. Азиз A972. 603—627).
Нитше, Шатц (Nitsche J. A., Schatz A. H.)
A974) Math. Сотр., 28, 937.
Нобл (Noble В.)
A973) см. Уайтмаи A973), 143—152.
Нобл, Севелл (Noble В., Seweli M. J.)
A972) J. Inst. Math. Applies, 9, 123.
Обэн (Aubin J. P.)
A972) Approximation of Elliptic Boundary Value Problems, Wiley, New
York.
(Русский перевод: Обэн Ж-П. Приближенное решение эллиптических
краевых задач. — М.: Мир, 1977.)
Оганесян Л. А.
A966) ЖВМ и МФ, 6, 116.
Оганесян Л. А., Руховец Л. А.
A969) ЖВМ и МФ, 9, 153.
Оден (Oden J. T.)
A972) Finite Elements of Nonlinear Continua, McGraw-Hill, New York.
(Русский перевод: Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике
сплошных сред. — М.: Мир, 1976.)
Одеи, Зенкевич, Галлагер, Тейлор (Oden J. Т., Zienkiewicz О. С, Gallag-
Gallagher R. Н.. Taylor С.) (Eds.)
A974) Finite Element Methods in Flow Problems, Wiley, New York.
Пиан (Piart Т. Н. H.)
A970) Numerical Solution of Field Problems in Continuum Physics,
SIAM— AMS Proceedings Volume 2.
Пауэлл (Powell M. J. D.)
A973) Conference on Numerical Software, Loughborough.
Прентер (Prenter P. M.)
A975) Splines and Variational Methods, Wiley, New York
Розеи (Rosen P.)
A953) J. Chem. Phys., 21, 1220.
Розеи (Rosen P.)
A954) J. App. Phys., 25, 336.
Севелл (Seweli M. J.)
A969) Phill. Roy. Soc. (London), A265, 319.
Семенич, Глэдвелл (Siemenuich J. L., Gladweell I.)
A974) Numer. Anal. Report 5, Manchester University.
Сербии (Serbin S. M.)
A975) Math. Сотр., 29, 777.
Симмонс (Simmons G. F.)
A963) Introduction to Topology and Modern Analysis, McGraw-Hill. New
York.
Синж (Synge J. L.)
A957) The Hypercircle in Mathematical Physics, C.U.P., London.

Список литературы 211
Скотт (Scott R.)
A975) SIAM J. Numer. Anal, 12, 404.
Стренг (Strang G.)
A972) см. Азиз A972), 489—710.
Стренг, Бергер (Strang G., Berger A. R.)
A971) см. Ргос, American Math. Soc. Summer Inst. in Partial Diff.
Equns, 199—205.
Стренг, Фикс (Strang G., Fix G.)
A973) An Analysis of the Finite Element Method, Prentece Hall, New
Jersey. (Русский перевод: Стренг Г., Фнкс Дж. Теория метода конечных
элементов. — М.: Мир, 1977.)
Сьярле (Ciarlet P. G.)
A973а) Springer-Verlag Lecture Notes, 363, 21, Berlin.
A973b) см. Уайтман A973), 113—129.
Сьярле, Равьяр (Ciarlet P. G., Raviart P. A.)
A972a) Arch. Rat. Mech. Anal., 46, 177.
A972b) Сотр. Meth. Appl. Mech. Eng., 1, 217.
A972c) см. Азиз A972), 409—474.
Табаррок (Tabarrok В.)
A973) Proc. Conf. on Theory and Applications of Finite Element Methods,
Univ. of Calgary (Ed. P. Lancaster A973))
Томе (Thomee U.)
A973) J. Inst. Math. Applies., 11, 33.
Томе, Уолбин (Thomee V., Wahlbin L.)
A975) SIAM J. Numer. Anal., 12, 378.
Уайтмав (Whiteman J. R, Ed.)
A973) The Mathematics of Finite Elements and Applications, Academic
Press, New York.
Уайтман (Whiteman J. R.)
A975) A Bibliography for Finite Elements, Academic Press, London.
A976) The Mathematics of Finite Elements and Applications, Academic
Press, New York.
Уачспресс (Wachspress E. L.)
A971) Conf. on Appl. Num. Anal, Dundee, Springer-Verlag Lecture Notes
in Math, 228, 223.
A973) J. Inst. Math. Applies, 11, 83.
A974) Conf. Num. Soln. Diff. Equns, Dundee, Springer-Verlag Lecture
Notes in Math, 363, 177.
A975) A Rational Finite Element Basis, Academic Press, New York.
Уилер (Wheeler M. F.)
A973) SIAM J. Numer. Anal, 10, 723.
Уилкинсон (Wilkinson J. H.)
A965) The Algebraic Eigenvalue Problem. O. U. P., Oxford. (Русский
перевод: Уилкинсон Дж. X, Алгебраическая проблема собственных зна-
значений. — М.: Наука, 1970.)
Уэйт (Wait R.) v
A976) Singular Isoparametric Finite Elements, J. Inst Math. Applies, 20,
133.
Уэйт, Митчелл (Wait R, Mitchell A. R.)
A971) J. Inst. Math. Applies, 4, 241.
Файервезер (Fairweather G.)
A97?) Galerkin Methods for Differential Equations, CSIR Special Report
WISK96, Pretoria, South Africa,
файервезер, Джонсон (Fairweather G, Johnson J. P.)
A975) Numer. Math, 23, 269.

212 Список литературы
Фикс (Fix G. L.)
A972) см. Азиз A972), 525-556.
Финлейсон, Скривен (Finlayson В. A., Scriven L. Е.)
A967) Int. J. Heat. Mass. Trans., 10, 799.
Фриман, Гриффите (Freeman L., Griffiths D. F.)
П976) Complementary Variational Principles and the Finite Element Me-
Method (to appear).
Хаббард (Hubbard В., Ed.)
A971) Numerical Solution of Partial Differential Equations. II,
SYNSPADE, 1970, Academic Press, New York,
Халм (Hulme B. L.)
A972) Math. Сотр., 26, 415.
Харли, Мнтчелл (Harley P. 1, Mitchell A. R.)
A976) J. Inst. Math. Applies, 18, 9.
A977) Int. J. Num. Meth.Eng., 11, 345.
Хеболд, Варга (Herbold R. J., Varga R. S.)
A972) Aeq. Math., 7, 36.
Хнльдебранд (Hildebrand F. B.)
A965) Methods of Applied Mathematics, Prentice Hall, New York.
Чекки, Челла (Cecchi M. M., Cella A.)
A973) Proc. 4th Canadian Congress on Appld. Mech. 767—768.
Чернука, Купер, Лнндберг, Олсон (Chernuka M. W., Cowper G. R., Lind-
berg G. M., Olson M. D.)
A972) Int. J. Num. Meth. Eng., 4, 49.
Шехтер (Schechter R. S.)
. A967) The Variational Method in Engeneering, McGraw-Hill, New York.
(Русский перевод: Шехтер Р. С. Варнационнын метод в инженерных рас-
расчетах. — М.: Мир, 1971.)
Шёнберг (Schoenberg I. J.)
A969) Approximations With Special Emphasis on Spline Functions, Aca-
Academics Press, New York.
Элберг, Ито (Ahlberg J. H., Ito T.)
A975) Math. Сотр., 29, 761.
Эльсгольц Л. Э.
A958) Варнацнонное нечисление. М., ГИТТЛ.
Эргатодис, Айронс, Зенкевич (Ergatoudis I., Irons В. М., Zienkiewicz О. С.)
A968) Int. J. Solids Structures, 4, 31.
Список дополнительной литературы
1. С математической постановкой и теоретическими аспектами боль-
большей части рассматриваемых в книге задач можно познакомиться в сле-
следующих руководствах:
Владимиров В. С. Уравненння математической фнзнки. — М.: Наука,
1971.
Годунов С. К- Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1971.
Соболев С. Л. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1966.
Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. —
М.: Наука, 1966.
2. Следующие работы посвящены в основном теоретическим аспектам
метода конечных элементов:
Деклу Ж. Метод конечных элементов. Пер. с франц. — М.: Мнр, 1976.
Корнеев В. Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков
точности. — Л., — Издательство ЛГУ, 1977.
Оганесян Л. А., Ривкннд В. Я., Руховец Л. А. Вариацнонио-ранзост-
ные методы решения эллиптических уравнений. В сб. «Дифференциальные

Список литературы 213
уравнения н их приложения». — Вильнюс: (часть 1 в вып. 5, 1973, часть 2
в вып. 8, 1974).
Сьярле Р. Метод конечных элементов для эллиптических задач. Пер. с
франц. — М.: Мир, 1980.
3. Следующие работы ориентированы на конкретные приложения:
Квитка А. Л., Ворошко П. П., Бобрицкая С. Д. Напряженно-деформи-
роваиное состояние тел вращения. — Киев: Наукова думка, 1977.
Коннор Дж., Бреббна К. Метод конечных элементов в механике жид-
жидкости. Пер. с англ. — М.: Судостроение, 1979,
Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использо-
использованием ЭЦВМ, ч. 1, 2. Сб. под ред. А. Ф. Смирнова. — М.: Стройиздат,
1976.
Постнов В. А., Хархурим И. Я. Метод конечных элементов в расчетах
судовых конструкций. — М.: Судостроение, 1974.
Постнов В. А. Численные расчеты судовых конструкций. — Л.: Судо-
Судостроение, 1977.
Розни Л. А. Основы метода конечных элементов в теории упругости. —
Л.: Издательство ЛПИ, 1972.
Розин Л. А. Метод конечных элементов в применении к упругим си-
системам.— М.: Стройиздат, 1977.
Снницын А. Н. Метод конечных элементов в динамике сооружений. —
М.: Стройнздат, 1978.
Слесарев И. С, Снротин А. М. Вариационно-разностные схемы в тео-
теории переноса нейтронов. — М.: Атомиздат, 1978.
4. Более подробное изложение вариационных принципов механики и
нх связи с методом конечных элементов можно найти в упомянутой выше
книге В. А. Постнова, а также в книге
Абовский Н. П., Андреев Н. Т., Деруга А. П. Вариационные принципы
теории упругости и теории оболочек. -— М.: Наука, 1978.
5. В книге почти не затронуты вопросы о численных методах реше-
решения получаемых линейных систем. Представление об этих методах можно
получить по следующим работам:
Дафф И. С. Обзор исследований по разреженным матрицам. ТИИЭР,
т. 65, № 4, 1977.
Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных .урав-
.уравнений.—М.: Наука, 1978.
Тьюарсон Р. Разреженные матрицы. Пер. с англ. — М.: Мир, 1977.
6. В третьей и шестой главах книги описывается метод переменных
направлений Галеркнна. Это отражает тот факт, что и в рамках метода
конечных элементов стоит проблема создания экономичных схем. Большой
материал по построению различных схем расщепления можно найти в сле-
следующих работах:
Марчук Г. И. Методы вычислительной математики.—М.: Наука,
1977.
Самарский А. А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1977.
Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач ма-
математической физики. — Новосибирск, 19С7.
7. Следующие сборники статей дают некоторое представление е^ том,
над чем работают советские специалисты, использующие метод конечных
элементов:
Вариационно-разностные методы в математической физике. Сборник
научных трудов. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974.
Вариационно-разностные методы в математической физике. Материалы
Всесоюзной конференции. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1978.
Вариационно-разностные методы решения задач математической фи-
физики. Труды 2-го Всесоюзного семинара. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР,
1976.

214 Список литературы
Метод конечных элементов в строительной механике. — Горький: Из-
Издательство ГГУ, 1975.
Разностные и вариационно-разностные методы. Труды семинара «Ме-
«Методы вычислительной и прикладной математики», вып. 2. — Новосибирск:
ВЦ СО АН СССР, 1977.
8. Замечания об истории возникновения и развития метода конечных
элементов можно найтн в указанной выше книге А. Н. Снницына, а также
в обзорной статье:
Зенкевич О. Метод конечных элементов: от интуиции к общности. Ме-
Механика (сб. переводов), № 6, 1970.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 7
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ 9
1.1. Аппроксимация кусочно-полиномиальными функциями 9
1.2. Функциональные пространства 20
1.3. Аппроксимирующие подпространства 27
ГЛАВА 2. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 32
2.1. Введение 32
2.2. Стационарные задачи 34
2.3. Граничные условия 38
2.4. Смешанные вариационные принципы 41
2.5. Вариационные принципы в нестационарных задачах . . 42
2.6. Двойственные вариационные принципы 44
ГЛАВА 3. МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ 49
3.1. Метод Ритца 49
3.2. Граничные условия 54
3.3. Метод Канторовича (или полудискретный метод) . . 56
3.4. Метод Галеркнна . 59
3.5. Проекционные методы 69
ГЛАВА 4. БАЗИСНЫЕ ФУНКЦИИ 74
4.1. Треугольник 74
4.2. Прямоугольник 88
4.3. Четырехугольник 91
4.4. Тетраэдр 96
4.5. Шестигранник 99
4.6. Криволинейные границы 100
ГЛАВА 5. СХОДИМОСТЬ АППРОКСИМАЦИИ 112
5.1. Введение 112
5.2. Сходимость аппроксимаций Галеркина 123
5.3. Ошибки аппроксимации 128
5.4. Ошибки возмущений 135
5.5. Резюме 152
ГЛАВА 6. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ 156
6.1. Принцип Гамильтона 156
6.2. Диссииативные системы 162
6.3. Полудискретный метод Галеркина 164

216 Оглавление
6.4. Непрерывные по времени методы 169
6.5. Дискретизация по времени 172
6.6. Сходимость полудискретных аппроксимаций Галеркнна 177
ГЛАВА 7. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ И ПРИЛОЖЕНИЯ 179
7.1. Введение ." 179
7.2. Несогласованные элементы 180
7.3. Смешанные интерполянты 187
7.4. Приложения 190
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 206
СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 212
Э. МИТЧЕЛЛ, Р. УЭИТ
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ УРАВНЕНИИ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Научный редактор А. А. Бряндинская
Мл. научный редактор И. К. Недобой
Художник В. В. Кашлии
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Л. П. Чуркина
Корректор Н. В. Андреева
ИБ № 2219
Сдано в набор 01.04.80. Подписано к печати 23.12.80. Формат 60X90'/ie Бумага типограф-
типографская № 2. Гарнитура латинская. Печать высокая. Объем 6,75 бум. л. Усл. печ. л. 13,50
Уч-.изд. л. 11,52. Изд № 1/0708. Тираж 12 000 экз. Зак. 672. Цена 85 коп.
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР"
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного
Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга». им. Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, поли-
полиграфин и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52; Измайловский проспект, 29.