Автор: Понтрягин Л.А.
Теги: алгебра обобщение чисел алгебраические тела векторные пространства
Год: 1986
Текст
@
БИБЛИй'ТЕЧКА -КВАНТ-
ВЬ ПУСК 54
Т-'<I"
л. C пон'тРяrин
ОБОБШЕНИЯ
ЧИСЕЛ
«11)
МОСКВА «НАУКА»>
rЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИ3ИКО МАТЕМАТИЧЕСI(ОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 9 В 6
ББК 22.14]
П56
УДК 512.1(023)
р Е Д А К U И о н н А Я К О Л Л Е r И Я:
Академик ю. А. Осипьян (председатель), академик А. Н. К олмо-
ropOB (заместитель председателя), профессор , л. r. Асламазов I (уче-
ный секретарь), член-корреспондент АН СССР А. А. Абрикосов, ака-
демик Б. К. Вайнштейн, заслуженный учитель РСФСР Б. В. Воздвн-
женский, профессор с. п. Капица, академик с. п. Новиков, академик
АПН СССР В. r. Разумовский, академик Р. 3. Саrдеев, профессор
Я. А. Смородинский, академик с. л. Соболев, член-корреспондент
АН СССР д. К. Фаддеев.
П56
Понтряrин л. с. \
Обобщения чисел. M.: Наука. rл. ред. физ.-
мат. лит., 1986. 1 20 c. (Б-чка «Квант». Вып. 54.)
20 к. 50000 экз.
Популярный рассказ о возможных обобщениях понятия числа.
Сначала подробно рассмотрены обобщения действительных чисел,
именно комплексные числа и кватернионы. Доказано, что друrих
лоrически возможных величин, аналоrичных действительным и комп-
лексным числам и приrодных к употреблению в математике в рол и
чисел, кроме действительных и комплексных чисел, не существует.
Затем рассматриваются друrие обобщения понятия числа, уже не
содержащие действительных чисел.
Для школьников и учителей.
1702030000----158
П 053 (02)-86 КБ-18-7-86
ББК 22.141
Издательство «Н ay a».
rлавная редакция
Физико-математической
литературы, 1986
оrЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 4
.r л а в а 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 7
9 1. Историческая справка 7
9 2. Определение комплексных чисел 8
9 3. rеометрическое изобра2кение комплекснь{х чисел 9
r л а в а 2. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АлrЕБРЫ 14
9 4. Пути в плоскости комплексноrо переменноrо 15
9 5. Комплексные функции комплексноrо переменноrо 19
r л а в а 3. Алrоритм ЕВКЛИДА 23
9 6. Деление мноrочленов 23
7. Разложение мноrочлена на множители 25
8. Общий наибольший делитель двух мноrочленов 28
9. Устранение кратных корней 30
Э 10. Подсчет числа действительных корней мноrочлена на
заданном отрезке 32
r л а в а 4. КВАТЕРНИОНЫ 36
1 1. Векторные пространства 36
9 12. ЕВКЛИДОБО векторное пространство 43
13. Кватернионы 51
9 14. rеометрические применения кватернионов 54
r л а в а 5. друrИЕ ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ 66
I 15. Алrебраические тела и поля 66
9 16. Поле вычетов по простому модулю р 70
17. Теорема Фробениуса 74
r л а в а 6. тополоrО АлrЕБРАI>1ЧЕСКИЕ ТЕЛА 84
Э 18. Тополоrическое тело 85
19. Тополоrические понятия в тополоrическом теле L 90
20. Теорема единственности 96
21. р адические числа 98
22. Некоторые тополоrические свойства поля Kg р-ади-
ческих чисел 107
23. Поле рядов над полем вычетов 111
24. О структуре несвязных локально компактных тополо
rических тел 116
ПРЕДИСЛОВИЕ
Понятие числа складывалось в математи е
постепенно в результате длительноrо развития, которое
шло под воздействием практики и внутренних потребностей
математики. Так, в конце концов, сформировалось понят е
действительноrо числа, которое в данной книrе пред 6ла
rается известным.
На ЭТО1\1, однако, развитие понятия числа не OCTaHO
вилось. Внутренние потребности математики привели к
комплексным числам. Возникшая на их основе теория
функций комплексноrо переменноrо имеет теперь большие
практические применения. КО lплексным числам в книrе
отведено MHoro места. Доказана основная теорема алrебры
о том, что мноrочлен имеет хотя бы один действительный
или комплексный корень. Возникающее из этой TeOpel\fbI
раsложение мноrочлена на линейные множители тщательно
изучено. При этом в качестве вспомоrательноrо аппар' а
в книrе используется деление мноrочленов друr на друrа
и алrоритм Евклида. .
Поскольку комплексные числа оказались очень важными
и полезными в математике, возникла чисто обобщат'ельска,Я
попытка развивать понятие числа в том же направлении.
Так возникли кватернионы, но лишь в результате отказа
от коммутативности умножения. Влаrодаря отсутствию
коммутативности умножения оказалось невозможным пост-
- роить теорию функций кватернионноrо переменноrо. Таким
образом, применение кватернионов в математике оказалось
очень незначительным. При помощи кватернионов хорошо
описываются вращения TpeXMepHoro и четырехмерноrо
евклидовых пространств. Конечно, это по своему значению
не может идти ни в какое сравнение с применением комплекс-
ных чисел. В книrе дается описание кватернионов и при-
менение их к изучению вращений TpeXMepHoro и четырех-
MepHoro евклидовых пространств. Этот раздел книrи завер-
шается доказательством теоремы Фробениуса, утверждаю-
щей, что дальнейшее развитие понятия числа в направлении
кватернионов Невозможно.
4
Переход от рациональных чисел. к действительным
числам вызван скорее внутренней лоrикой развития мате.
матики, чем практическими потребностями, так как при
помощи рациональных чисел с любой точностью можно
осуществить любое измерение. К действительным числам
привело математическое открытие, возникающее из теоремы
Пифаrора и состоящее в том, что длина диаrонали квад-
рата со стороной равной единице не rv10)! eT быть измерена
точно рациональным числом. Действительные числа как
бы заполняют промежутки ме:tIIДУ рациональными числами
и ПРИВОДЯТ к тому, что условие сходимости Коши явля;ется
. не только необходимым, но и достаточным условием
сходимости. Этот факт чрезвычайно важен в математике.
Действительные числа представляют собой ту непрерывную
среду, в которую помещены рациональные числа. Здесь
становится совершенно ясным, что для чисел характерно
не только наличие действий сложения, вычитания, YMHO
жения и деления, но также и понятие предельноrо пере
хода, т. е. известно, что означает последовательность чисел
сходящаяся к данному числу.
Совокупность величин, в которой им:еются алrебраи-
ческие операции сложения, вычитания, умножения и деле..
\>
ния, а также определен предельныи переход, является
естественным лоrически возможным обобщением понятия
числа. Оказывается, что таких обобщений вовсе не очень
MH()ro. Именно их описанию в основном посвящена эта
книrа.
Переход от рациональных чисел к действительным
опирается на представление о том, что такое малое рацио
нальное число. Оказывается, что, кроме совершенно естест-
aeHHoro понятия малости рациональноrо числа, существует
друrое, связанное с некоторым простым числом р. Свя...
занное с этим понятием малости расширение рациональ..
ных чисел приводит к возникновению р-адических чисел,
которые имеют в настоящее время важное применение
в теории чисел и описаны в книrе.
Величинами, для которых возможны алrебраические
операции, являются так называемые вычеты по простому
f.10ДУЛЮ р. Рациональные функции некоторой величины t.
rде коэффициентами служат вычеты по модулю р, образуют
систему величин, в которой возможны операции сложения,
ЙБIчитания, умножения и деления, а также естественно
возникает понятие малости. Дополняя эту систему раци
ональных функций таким образом, чтоб I HOBЬ ПОЛУЧ,е ая
система величин была с точки зрения предельноrо пере...
&
хода полной, т. е. чтобы условие Коши являлось необ-
ходимым и достаточным условиеlv1 сходимости, мы приходим
К изучению бесконечных р ядов относительно величины t.
Это еще одна система ведичин, в которой возможны
8лrебраические операции и предельный переход. В конце
книrи фор:мулируется Teope1Vla Ковальскоrо, описывающая
до некоторой степени любую систему величин, в которой
имеrотся алrебраические операции и предельный переход.
Книrа посвящена описанию таких систем величин с
алrебраическими операциями и предельным переходом,
!{оторые являются лоrически возможными обобщениями
чисел. Налаrая на эту систему величин некоторые очень
простые и естественные оrраничения, мы приходим К ре-
зультату, что никаких друrих лоrических возможностей
для построения приемле:мых в математике величин, ава..
лоrичных действительным и комплексным числам, кроме
действительных и комплексных чисел, не существует. Это
показывает, что действительные и комплексные числа
сложились в математике не в результате случайноrо прс>..
цесса историческоrо развития, а как единственныIe лоrи..
чески возможные величины, удовлетворяющие тем требо-
ваниям, которые естественно предъявить к числам.
В заключение выражаю блаrодарность с. М. Асееву
З3 большую помощь при редактировании этой книrи.
rЛАВА 1
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Здесь я прежде Bcero очень кратко расска-
зываю о том, как возникли в математике и постепенно
утвердились в ней комплексные числа. Затем даю опре-
деление коrt1плексных чисел, действий над ними и их reo..
метрическую интерпретацию. Попутно доказываются фор-
мулы косинуса и синуса суммы, тесно связанные с умно-
жением комплексных чисел.
1. Историческая справка
Из курса математики известно, что ОТРИЦiа..
тельные числа введены прежде Bcero для Toro, чтобы оле..
рация вычитания, обратная к операции сложения, БЫJ1а
всеrда возможна. По аналоrичной причине в математике
появились комплексные числа. Если рассматривать только
действительные числа, то операция извлечения KBaдpaT '
Horo корня, обратная к операции возведения в квадрат,
не всеrда возможна, так как нельзя извлечь квадратный
корень из отрицательноrо числа. Этоrо, однако, недоста..
точно, чтобы заводить в математике новые числа. Оказа-
лось, что если производить вычисления по обычным пра
вилам над выражениями, в которых встречается корень
квадратный из отрицательноrо числа, ТО можно прийти
к результату, уже не содержащему корень квадратный из
отрицательноrо числа. В XVI веке К,ардано нашел фор..
мулу для решения кубическоrо уравнения (Квант, 1976,
NQ 9, с. 2). Оказалось, что именно в том случае, коrда
кубическое уравнение имеет три действительных корня,
в формуле Кардано встречается корень квадратный из
отриц ательноrо числа (там же, с. 11). Обнаружилось
таким образом, что производя вычисления с выражениями,
содержащими корень квадратный из отрицательноrо числа,
можно получить вполне понятные результаты. Поэтому
эти корни стали употреблять в математике. Назвали их
мнимыми числами, и тем самым они как бы приобреЛИr
fJ
l1раво на нелеrальное существование. Полные rраждан-
ские права мнимыIM числам на rрани XVII 1 Х I,X. сто-
летий дал [аусс (Квант, 1977, N2 8, с. 2), который наз-
вал их комплексными числами, дал им rеометрическую
интерпретацию и, что самое rлавное, доказал основную
теорему алrебры, утверждающую, что каждый мноrочлен
имеет хотя бы один действительный или комплексный
корень.
t 2. Опре».еление комплексных чисел
Мы будем исходить из Toro, что действитель-
ные числа нам известны. Мы знаем, что для них опреде-
лены два основных действия сложение и умножение
и имеются обратные к ним действия вычитание и деле..
ние. Для этих действий выполняются хорошо известные
правила, которые обычно употребляются совершенно авто-
матически, и поэтому я их не буду здесь формулировать.
Множество объектов, для которых определены действия
сложения и умножения и обратные к ним действия вычи-
тания и деления, причем выполнены обычные правила,
имеющие место для действительных чисел, называется
в современной абстрактной алrебре полем.
Таким образом, с точки зрения современной абстракт-
ной алrебры множество D всех действительных чисел
представляет собой поле. Поставим теперь перед собой
задачу расширить понятие числа, или, как rоворят
в абстрактной алrебре, расширить поле D до поля 1(2
таким образом, чтобы в этом новом поле I( уравнение
Z2 + 1 == О
имело решение. Элемент поля 1(2, который удовлетворяет
TOMY уравнению, обозначим через i. Таким образом, для
l имеем
i 2 == 1.
(1)
Т ак как поле К2 содержит все действительные чи ла и
элемент i и так как в нем возможны действия сложения
и умножения, то в поле К2 должны содержаться всевоз-
можные мноrочлены относительно i с действительными
коэффициентами, в частности все мноrочлены первой сте..
лени, т. е. выражения вида
z== х + yi == х + iy,
rде х и у дейс вительные числа. Эти выраж ния и
В
называются комплексными числами. Действия над ними
мы определим как действия над мноrочленами, учитывая
при этом условие (1). Комплексные числа вида I
z == Х + Oi == х
являются действительными числами. Комплексные числа
Iвида
z == о + yi == yl,
называются чисто мнимыми числами.
Пусть Z1 == х:! + Y1 i , Z2 Х 2 + Y2Ё ДBa комплексных
числа. Соrласно высказанному правилу сумма и произве
дение этих комплексных чисел определяются равенствами
21 + Z2 == (Х 1 + Y1 i ) + (Х 2 + У2 Ё ) == (Х 1 + х 2 ) + (У1 + У2) i, (2)
Z1 Z 2 == (Х 1 + Y1 i ) (Х 2 + Y2 i ) == Х 1 Х 2 + (Х 1 У2 + У1Х2) i + YIY2i2:%:::
== (XIX2 YIY2) + (Х 1 У2 + У1 Х 2) i. (3)
При получении последнеrо равенства мы использовали
условие (1).
в случае, если число 21 :::s:; 1 действительное, получаем
Х 1 2 2 z:= Х 1 Х 2 + X lY2i. (4)
Из формул (2) и (3) видно, что сумма и произведение
двух комплексных чисел есть также комплексное число.
Для Toro чтобы убедиться, что действие вычитаНl:JЯ,
обратное действию сложения, существует, достаточно наЙ'rИ
число z, противоположное числу z, а для Toro чтобы
убедиться в том, что возможно деление, достаточно для
Z =1= О указать число z l, обратное числу z х + yi. Числа
-эти, как леrко видеть, задаются формулами
z Х yt Z l Х у i
:::=: ., х 2 +у2 х2+у2 . '
Таким образом, величина z l, обратная к Z, суще твует
всеrда, коrда Z =1= о.
3. rеометрическое изображение
комплексных чисел
Обозначим через Р плоскость нашеrо чертежа
и выберем на ней прямоуrольную систему координат
(рис. 1). Комплексное число Z ==,Х + Ёу, поместим в точку
2 С координатами х, у. Обозначим также через' z вектор,
9
идущий из начала координат О в точку z. Таким обра-
зoM' буква z обозначает одновременно комплексное число,
точку z, изображающую это комплексное число, и вектор
z, соответствующий этому комплексному числу. При та...
ком изображении действительные числа попадают на ось
абсцисс поэтому ось абсцисс нааывается действительной
осью плоскости Р КОМП&l1ексноrо переменноrо, а чисто мни-
мые числа попадают на ось ординат поэтому ось орди-
u
нат называется мнимои осью
плоскости Р комплексноrо пе-
peMeHHoro. Нуль попадает в На-
чало координат.
Длина вектора z называется
мод у лем комплексноrо числа
z == х + iy и обоз начает ся I z 1:
I z , == + V X -+ у2.
Комплексные числа z,
удовлетворяющие условию
I z I == 1, составляют окружность радиуса: 1 с центром
начале координат. На этой окружности лежит число 1.
ИЗ точки 1 отложим по окружности дуrу заданной длины
<р в направлении против часовой стрелки. Конец этой
дуrи обозначим через (ер). Если ер отрицательное число,
то для получения (ер) нужно отложить от точки 1 длину
дуrи I ер I по часовой стрелке. Как известно, абсцисса
точки (ер) называется cosep, а ее ордината sinep. Таким
образом, комплексное число (ер) задается формулой
(ер) == cos ер + i sin ер.
у
11
z;:;x+ty
о
ro
@
Рис. 1
(5)
Итак, всякое комплексное число z, по модулю равное
1, записывается в виде (5). Если z произвольное комп
лексное число, модуль KOToporo J z I == р отличен от О, то
число z/p является комплексным числом, по модулю paB
ным 1, и потому записывается в виде (5). Из равенства
z/p == cos<p + i sin ер
мы получаем
z == р (cos ер + i sin ер). (6)
Запись (6) называется триrонометрической формой комп-
лексноrо числа. Число ер называется aprYMeHToM комплекс-
Horo числа. Если модуль р комплексноrо числа z отличен
от нуля, то aprYMeHT определен с точностью до слаrае...
Moro 2kл, rде k целое число. Если же модуль р комп-
neKcHoro числа равен О, то формула (6) также имеет
10
место, однако в ЭТОl\{ случае aprYM HT комплексноrо числа
Бовсе не определен.
Числа р И <р называются полярными координатами
точки Z.
Дадим те:терь rеометрическое истолкование действий
над комплексными числами.
Из формул (2) и (4) следует, что комплексные числа i
складываются И умножаются на действительные числа
как векторы.
rеометрический смысл сложения комплексных чисел
очевиден: вектор ZI + Z2 ЭТО диаrональ параллелоrрамма,i
построенноrо на векторах Zl и Z2. Отсюда вытекает в аж...
ное неравенство:
I Z i + Z2 , 1 z 1 I + , z21. (7) I
Для Toro чтобы дать rеометрическое истолкование
умножения комплексных чисел, нужно употребить опера-
цию поворота вектора или, что то же самое, комплекс..
Horo числа. Повернув вектор z против часовой стрелки на
уrол <х, мы получим некоторый новый вектор, который
обозначим через Ra. (z). rеометрически ясно, что опера..
ция поворота Ra. имеет следующее свойство: если а дей-
ствительное число, то
Ra.+(i (z) == Ra. (R 13 (z»,
Ra. (az) == aRa. (z),
Ra. (ZI + Z2) == Ra. (ZI) + Ra. (Z2).
ИЗ последних двух форму л следует, что если ai и a'l..........
u
два деиствительных числа, то имеет место соотношение
Ra. (a 1 z i + a 2 z 2 ) == a 1 R a. (Z1) + 2Ra. (%2). (8)
Непосредственно ясно также, что I
" ,
Ra. (1) == cos (х + i sin a ; (9)
Докажем теперь, что поворот комплексноrо числа
Z:z= Х + yi на уrол (Х равносилен умножению ero на комп-
лексное число cos (Х + i sin (х, т. е. что
Ra. (z) == (cos (Х + i sin а) z. (10)
Для этоrо рассмотрим сначала поворот на уrол d==='Лj2.
В этом случае cosd+isind==i, и равенство (10) прини-
мает вид Rd (z) == iz. С одной стороны, rеометрически оче- J ,
видно, что Rd (1) == i, Rd (i) == l. С друrой стороны, i.l ::;i,
i. i == 1. Таким образом,
R d (1) == i · 1 , R d (i) === i · i. '
11 '
Из формулы (8) непосредственно вытекает:
iz == i · (х + iy) == х. i + у ( 1) ==
=== xR d (1) + yRd (i) == Rd (х.l + у. i) == Rd (х + iy) == Rd (z).
Таким образом, формула (10) доказана для а::=: п/2.
Пусть теперь а произвольное действительное число.
При z == cos сх + i sin а получаем
"'" " "
z.i== iz== Rd(z)==Rd(coscx+isina)==
:== cos ( а + ) + i sin ( а + ) ==
== Ro; ( cos + i sin ) == Ro; и). (11)
Таким образом, формула (10) доказана при z:== i.
Перейдем теперь к доказательству формулы (10) для
произвольноrо комплексноrо числа
z==x+iy.
Из формул (8), (9), (11) имеем
Ra (z) == Ra (х + iy) == xRa (1) + yRa (i) ==
== x(cosa + i sina) + у (cos сх + i sin сх) i ==
== (coscx + i sin а) (х + yi) === (cos сх + i sin сх) z.
'Таким образом, формула (10) полностью доказана.
Применяя формулу (10) к комплексному числу z ==
== cos + i sin , получаем
(cos а + i sina) (cos + i sin ) == Ra (cos + i sin ) ==
== Ra (R (1) === R a + f1 (1) == cos (а + ) + i sin(cx + ).
'fаким образом,
(cos а t i sin а) (cos + i sin ) == cos (а + ) + i sin (а + ).
Производя перемножение комплексных чисел, стоящих
в левой части, по формуле (3) получим
(cos а + i sin а) (cos + i sin ) ==:!
== (coscx cos sin а sin ) + (sin сх cos + cos а sin ) l.
Значит, мы получили формулы для косинуса и синуса
суммы:
cos (сх + ) === cos а cos sin а sin ,
sin (сх + ) == Sill сх COS + cos а sin (l...
12
Для произвольных комплексных чисел, которые мыI
запишем в виде r(cosct+isinct), s(cosp+isin ), получаем
r (cos ct + i sin а). s (cos + i sin ) ==
== rs [cos (а + Р) + i sin (а + )]. (12)
Т аким образом, при перемножении двух комплексных
чисел их модули перемножаются, а apryMeHTы склады
ваются.
Формулу (12) очевидным об-
разом можно распространить
на произвольное число COMHO
жителей. Если все эти COMHO
?Кители равны между собой и
равны комплексному числу
r(cosa+isinct), то мы полу 1
чаем
[r (cos ct + i sin а)]n ==
=== , n (cos па + i sin па).
Эта формула очень инте Рис. 2-
ресна. Она дает возможность
извлечь корень n й степени из произвольноrо комплекс
Horo числа р (cos ер + i sin ер). Именно, оказывается, что
число корней n й степени из числа р (cos ер + i sin ер) =1= О
равно n, причем корни эти расположены на окружности
радиуса j/ р с центром в начале координат и составляют
вершины правильноrо n-уrольника. Это утверждение я
предоставляю для доказательства читателям.
В частности, корень n-й степени из единицы имеет n
значений, которые являются вершинами правильноrо п
уrольника, вписанноrо в единичный Kpyr, причем одна
из ero вершин есть единица (рис. 2). В виде формулы
эти корни записываются следующим образом:
п/--- l 2kл + .. 2kл k О 1 2 1
v == cos t SlЛ , ==", . . . , 11 .
n n
r ЛАВА 2
k
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АлrЕБРЫ
Здесь будет доказана основная теорема ал-
rебры, утверждающая, что всякий мноrочлен с комплекс-
ными коэффициентами имеет по крайней мере один комп-
лексный корень. При этом действительные числа счи-
таются частным случаем комплексных чисел. Эта теорема
впервые была доказана [ауссом в 1799 rоду для частноrо
случая мноrочленов с действительными коэффициентами.
raycc показал, что всякий такой мноrочлен имеет по
крайней мере один действительный или комплексный ко-
рень. С точки зрения современной абстрактноЙ алrебры
теорема эта показывает, что поле комплексных чисел ал-
rебраически замкнуто: это значит, что, рассматривая
корни алrебраических уравнений (т. е. корни мноrочле-
нов) в этом поле, мы не можем получить новых чисел.
В этом смысле поле комплексных чисел радикально
u
отличается от поля деиствительных чисел, которое не яв-
ляется алrебраически замкнутым. При этом стоит заl\lе-
тить, что поле комплексных чисел получено из поля
u
деиствительных чисел присоединением лишь одноrо корня
уравнения
Z2 + 1 == о.
Доказательство основной теоремы алrебры опирается
не на соображения абстрактной алrебры" а на конкрет-
ное рассмотрение поля комплексных чисел. CTporoe ее
доказательство должно опираться на точное определение
u
деиствительноrо числа и на точное определение непре-
рывности функций. Я здесь привожу не cTporoe, но reo-
метрически убедительное доказательство, основанное на
рассмотрении путей в плоскости комплексноrо перемен-
Horo и их деформаций. Доказательство это не только
доказывает теорему, но до некоторой степе1-IИ объясняет,
почему она верна.
Как следствие основной теоремы алrебры мы покажем,
как мноrочлен с комплексными (в частности, действитель-
ными) коэффициентами раскладывается на множители.
14
4. Пути в плоскости КОМПJIексноrо
nepeMeHHoro
Если точка z в плоскости Р комплексноrо
переменноrо перемещается во времени, коrда время t
меняется в пределах t o t t 1 , то мы считаем, что в
,плrскости Р задан путь (рис. 3). Таким образом, путь
'у
t; 'tl
о
QJ
о t=t o =t 1
Рис. 3. Примеры путей
есть функция z (t) действительноrо переменноrо t, при-
нимающая комплексные значения, заданная на отрезке
to t tl:
z(t), to t tl.
\
Формула эта задает путь. Речь здесь идет о движе-
нии точки, осуществляемом естественно, без скачков. Так
что функция z (t) является непрерывной функцией. Мы
не уточняем здесь понятие непрерывности, считая, что
оно интуитивно ясно, как движение точки. Следует OT
четливо понимать, что путь есть процесс движения, а не
та линия, которую описывает движущаяся точка. Одну
и ту же линию можно описать разными способами.
В процессе движения точка z (t) в разные моменты
времени может попадать в одну и ту же' точку плоско
сти, так что не исключается равенство
z(t 2 )==z(t з ) при t 2 =1=t з .
Таким образом, путь может иметь самопересечения. Он
может даже состоять из одной точки, именно в случае,
коrда точка z (t) вовсе не перемещается при изменении t.
15
В дальнейшем, если это не будет oroBopeHo специально,
мы всеrда будем предполаrать, что путь не проходит че-
рез начало координат, т. е. что величина Z (t) ни при ка-
ком значении t не обращается в нуль. Точка Z (t ) === Zo
называется началом пути, а точка Z (t 1 ) == ZI ero концом.
Если имеет место равенство Zo == Zi, то путь называется
замкнутым (рис. 4).
Так как комплексное число z (t) не обращается в нуль,
для всякоrо значения t определен aprYMeHT <р (t) комп-
лексноrо числа Z (t), но он определен лишь с точностью
х
Рис. 4. Замкнутые пути
до слаrаемоrо 2kn. Эта неоднозначность для нас нежела-
тельна. Для Toro чтобы освободиться от нее, выберем
u u
для начальнаи точки Zo вполне определенныи aprYMeHT
СРО::=: q> (t o ).
Затем по мере возрастания t будем выбирать apry-
мент <р (t) точки z (t) так, чтобы при малых изменениях
t он менялея мало. Этим неоднозначность выбора apry-
мента будет устранена. Добавление к aprYMeHTY числа
2kл при k =1= О привело бы сразу к резкому изменению
величины СР (t). Выбрав начальное значение aprYMeHTa
<р (t о) == СРа И следя за тем, чтобы aprYMeHT ср (t) точки Z (t)
менялея вместе с t непрерывно, мы получаем вполне оп-
ределенную функцию ср (t), меняющуюся непрерывно, т. е.
без скачков. Если выбрать начальное значение aprYMeHTa
СРО иначе, изменив ero на 2kn, то он будет отличаться
от ранее выбранноrо ровно на 2kл на всем протяжении
16
ИЗl\f.енения t. Отсюда следует, что при таком способе по-
строения функции ер (t) величина
ер (t 1 ) cp (t o ) (1)
не зависит от случайно выбранноrо начальноrо значения
aprYMeHTa числа ZO.
Если путь замкнут, то точки Zo и ZI совпадают и,
следовательно, их aprYMeHTbl ер (t o ) и ер (t 1 ) MorYT отли
чаться лишь на 2kл. Поэтому число (1) в случае замк
HYToro пути есть 2kn. Целое число k называется индек
сом замкнутоrо пути в плоскости комплексноrо перемен-
Horo z. Следует еще раз подчеркнуть, что индекс замкнутоrо
yt
у
х
Рис. 5. Пути с индексами О, 1, 2
пути можно определить лишь в том случае, коrда путь
не проходит через начало координат.
Индекс k имеет простой rеометрический смысл. Имен-
но, он указывает, сколько раз точка z (t), описывая замк
нутый путь, обходит начало координат (рис. 5).
Рассмотрим простой пример. Путь
l+r(cost+isint), о t 2л (2)
является замкнутым. Он описывает qкружность с центром
в точке 1 и радиусом r и проходит окружность в течение
времени t равномерно против часовой стрелки. Если число
r < 1, то окружность не содержит внутри себя начала
координат и индекс пути равен о. Если r > 1, то окруж",
ность содержит внутри себя начало координат и индекс
пути равен 1 (проверьте это самостоятельно). В случае
r == 1 путь проходит через начало координат и ero индекс
не определен. Если число r меняется, то путь (2), как
rоворят, деформируется (рис. 6). Мы видим на этом при..
Mep , что во время деформации замкнутоrо пути ero индекс
17
не меняется, если только путь в какой-то момент дефор"
мации не проходит через начало координат.
rоворя, что путь описывается движением точки во
в ремени, мы лишь хотели придать более ИНТУИТИВНЫЙ
характер определению пути. В действительности же речь
идет о зависимости комплексноrо переменноrо z от неко-
Toporo действительноrо параметра t (который можно обо-
значить и друrой БУКЕОЙ). Так, например, путь (2) можно
записать в виде
l+r(cosa+isina), (3)
О ct 2л,
rде параметром уже является
не t, а (х. Ясно, что путь (3)
описывается точкой 1 + z,
коrда точка z описывает путь
r(cosct+isinct), 0 а 2л.
Здесь r есть числовой пара..
метр, от KOToporo зависит сам
Рис. 6. Деформация пути путь. rоворят, что при измене-
1 +' (cos а+ i sin а) при изме- нии r путь (3) деформируется.
иении r Введем понятие деформа-
ции пути. Будем считать, что
путь деформируется, если он постепенно меняется без
скачков в зависимости от HeKoToporo параметра, который
для пути (3) обозначен через r, а вообще может быть
обозначен и друrой буквой, например, s (рис. 7). Таким
образом, деформирующийся путь записывается формулой
z(ct, s), cto ct ctl' SO S Sl. (4)
;с
Здесь при каждом фиксированном значении параметра s
имеем определенный путь, описываемый во время измене-
ния ct от (х о до (х 1 , а при изменении s сам путь меняется,
деформируясь. Ясно, что если путь (4) замкнут, т. е.
если при любом значении s имеет место равенство
z (а о , s) == z (а 1 , s),
то в течение деформации индекс пути должен меняться
без скачков. А так как он есть целое число, то индекс
этот остается постоянным. Конечно, это верно только
в том случае, коrда для произвольноrо значения s путь (4)
не проходит через начало координат. В противном случае
для этоrо значения s индекс пути не определен. Таким
образом, мы можем высказать следующее утверждение:
18
если за.лu(,нуmый путь непреРЫ8Н,о дефОР.lw'ируеп1СЯ, не
проходя в процессе деформации через начало коордuнапz,
то индекс е20 не меняется.
Дадим еще один пример замкиутоrо пути:
,n (cos па + i sin па), О а 2п. (5)
Ясно, что путь этот описывается точ
кой zп, коrда точка z описывает замкну
тый путь
,(cos а + i sin а),
у
О а 2л.
х
Рис. 7. Дефор..
мация пути
Рис. 8
Видно, что коrда а меняется от О до 2л, aprYMeHT точ"
ки zn меняется от О до 2пп. Таким образом, индекс пути (5)
ра;вен n (СМ. рис. 8, rде схематически показан случай
п == 3).
5. Комплексные функции комплексноrо
nepeMeHHoro
Если числовое значение комплексной пере..
мен ной величины w можно найти, зная числовое значе...
иие друrой комплексной переменной величины Z,TO пере-
J\1енная величина w называется функцией переменной вели..
чины z, что записывается в форме
w==f(z).
Если КОf\лплексная функция f (z) комплексноrо перемен..
Horo z имеет производную,. то она называется аналити-
19
ческой функuией. Теория аналитических функций является
теперр одним И3 важнейших разделов математики. Здесь
нас будут интересовать лишь аналитические функции
очень частноrо вида, именно мноrочлены.
Рассмотрим мноrочлен
w == f (z) ::::::: ZN + alzп 1 + . . . + aп iZ + а п , (6)
rде а 1 , а 2 , ..., а п суть комплексные коэффициенты, а n
неотрицательное целое число, которое называется степенью
yt'
;с
Рис. 9
ноrочлена. Целью нашеrо исследования будет доказатель-
ство Toro, что мноrочлен (6) положительной степени имеет
корень, т. е. что уравнение
f (z) =::: О,
rде f (z) мноrочлен (6) и n > О, имеет решение. Для
доказательства этоrо рассмотрим замкнутый путь
f [, (cos а + i sin а)], О а 2л, (7)
который описывает точка f (z), коrда точка z описывает
u
замкнутыи путь
r(cosa+isina), О а 2л.
Случай, коrда свободный член а п мноrочлена f (z) ра-
вен О, не требует рассмотрения, так как в этом случае
мноrочлен f (z) имее о.чевидный корень z == о. Поэтому МЫ
20
будем считать, что а n =1= о. 3амкну:тый путь (7) зависит
от параметра r и при изменении параметра r деформ!{-
руется. При r t=: О число z равно О и путь f (z) состоит
из неподвижной точки а n . Таким образом, ero индекс при
r === О равен о. Мы докажем, что если взять r достаточно
большим, то индекс пути (7) равен n. Но по предположе
нию n =1= о, поэтому при изменении числа r от большоrо
значения к нулю путь (7), деформируясь, пройдет при
каком-то значении r через начало координат, а это и 3Ha
чит, что при некотором значении z функция f (z) обра-
тится в нуль, т. е. корень у этоrо мноrочлена сущест
вует (рис. 9).
Для доказательства Toro, что при достаточно боль
шом r замкнутый путь (7) имеет индекс, равный n, про
деформируем этот путь в более простой, индекс KOToporo
леrко сосчитать.
Прежде Bcero мы разобьем мноrочлен f (z) на сумму
двух мноrочленов:
f (z) == zn + g(z),
rде ь' (z) задается формулой
g (z) == alZn l + a2zn + · . · + an lZ + а n .
Так как коэффициенты а 1 , а 2 , ... t а п мноrочлена g (z) суть
вполне определенные числа, то все они не превосходят
по модулю некоторую константу с. Из доказанноrо в 3
неравенства (7), распространенноrо на произвольное число
слаrаемых, следует, что при I z I > 1
I g(z) I nс I zn ll. (8)
Рассмотрим мноrочлен f (z, s), зависящий от парамет-
ра s, О s 1, задаваемый следующей формулой:
f (z, s) == zn + sg (z).
МЫ имеем равенство
zn == f (z, s) sg (z),
ОТКУ да
I zn I I f (z, s) 1+ 1 sg (z) I I f (z, s) 1+ пс t zп ;J.1 s
-: , r ( Z, в) I + по I zn -- 1.1
(см. (8». Отсюда следует
I f (z, s) I I zn I nс I zn 1.
21
Обозначим I z I через " тоrда последнее неравеНСТБО
принимает вид
I f (z, s) I , п ncrп l == ,п 1 (, cn).
Таким образом, при r > сп правая часть предыдущеrо
неравенства положительна. Следовательно, моду ль функ
ции f(z, s) не обращается в нуль ни при каком значении 5,
если только r > сп.
Обратим внимание теперь на тот факт, что при s == О
мноrочлен f (z, s) превращаетс.я в известныЙ нам MHoro-
член zn. А индекс пути zn, коrда z описывает окружность
r(cosa+isina), нами уже сосчитан (см. (5)). ОН равен n.
При s == 1 мноrочлен f (z, s) превращается в мноrочлен
f (z), и определяемый им путь (7) имеет индекс, тоже рав-
ный n. Итак, мы доказали, что индекс пути (7), опреде-
ляемый мноrочленом f (z), при r > СП равен n. Таким
образом, если считать, что при меняющемся r от О до
сп + 8, rде 8 > О, путь (7) деформируется, причем при
r == О этот путь превращается в одну точку и ero индекс
равен О, а при r == сп + 8 ero индекс равен n. Из этоrо
видно, что в процессе изменения r путь (7) при некото-
ром значении r проходит через начало координат, и сле-
довательно, мноrочлен f (z) при некотором значении z,
I z I сп + 8, обращается в нуль.
Итак, основная теорема алrебры доказана.
rЛАВА 3
АлrоРитм ЕВКЛИДА
6. Деление мноrочленов
При делении целоrо положительноrо числа а
на целое ПОЛОJКительное число Ь приходим К равенству
а == bh +k, (1)
rде h и k целые неотрицательные числа и k < Ь. Число h
называется частным, а k ocTaTKoM при делении числа а
на число Ь.
Способ деления целых чисел хорошо известен из ариф
метики. Но так JКe, как целые числа, MOJКHO делить друr
на друrа и мноrочлены. Будем исходить из двух MHoro
членов
а (z) == aoz p + alzp l + . . . + ар,
Ь (z) == boz q + blZq :t + . . . + b q .
Предположим здесь, что числа а о и Ь О не равны нулю,
так что мноrочлен а (z) имеет степень р, а мноrочлен Ь (z)
имеет степень q. В результате деления мноrочлена а (z)
на мноrочлен Ь (z) мы придем к следующему равенству,
аналоrичному равенству (1):
a(z)==b(z)h(z)+k(z), (2)
rде степень мноrочлена k (z) меньше q. Мноrочлены h (z)
и k (z) наЗbIваются соответственно частным и остатком при
делении l\1ноrочлена а (z) на мноrочлен Ь (z).
Если k (Z) == О, то rоворят, что мноrочлен а (z) делится
на мноrочлен Ь (z), а h (z) является частным от их деления.
Равенство (1) доказано в арифметике, а равенство (2)
должно доказываться в алrебре. Но деление мноrочленов
не входит в ныне действующую школьную проrрамму.
Чтобы доказать (2), мы должны построить такие MHoro
члены h (z) и k (z), которые удовлетворяют этому paBeH
ству. Процесс этоrо построения представляет собою очень
ва}кныи алrоритм, так называемый аЛ20рumм, Евклида.
Опишеl\1 ero.
23
Если р < q, то h (z) == О, k (z) == а (z) и равенство (2)
выполнено.
Теперь мы будем строить мноrочлены h (z) и k (z) в пред-
положении, что р):= q. Сначала построим равенство
а (z) == Ь (z) h 1 (z) + а 1 (z),
(3 )
в котором степень мноrочлена а 1 (z) меньше р. Для этоrо
положим
h 1 (z) == : zP tl.
Тоrда разность
а (z) b (z) h 1 (z) == a 1 (z)
имеет степень меньше, чем р, так как в этом мноrочлене
коэффициент при zP равен нулю, а остальные степени z,
входящие в этот мноrочлен, очевидно, меньше р. Таким
образом, равенство (3) построено.
Если мноrочлен a 1 (z) имеет степень меньшую, чем q,
то равенство (3) уже является равенством (2). В противо-
положном случае к мноrочлену a 1 (z) применим ту же
процедуру, которая применялась к мноrочлену а (z) при
построении равенства (3). Тоrда получим для Hero paBeH
СТВО
a 1 (z) == Ь (z) h 2 (z) + а 2 (z),
причем степень мноrочлена а 2 (z) уже меньше, чем степень
мноrочлена а 1 (z). Если мноrочлен а 2 (z) уже имеет степень
меньшую, чем q, то подставляя a 1 (z) из последнеrо равен..
ства в равенство (3), получим
а (z) == Ь (z) (h 1 (z) + h 2 (z» + а 2 (z),
которое уже является равенством (2). Если мноrочлен
a 2 '(z) тоже имеет степень большую, чем q, то мы продол..
жим наше построение дальше и, в конце концов, докаж м
нужное равенство (2).
Здесь мы описали процесс деления мноrочлена а (z). на
мноrочлен Ь (z), т. е. нахождение мноrочленов h (z) и k (z),
ВХОДЯЩИХ в равенство (2). Докажем теперь, что мноrочлены
h (z) и k (z) однозначно определены мноrочленами а (z)
;И Ь (z). Допустим, что наряду с равенством (2) имеет
место равенство
а (z) == Ь (z) ho (z) + ko (z),
24
причем степень МНОfQчлена .ko (z) меньше q. Вычитая это
равенство из равенства (2), получим
Ь (z) (h (z) ho (z» == ko (z) k (z).
1 ак как степень мноrочлена Ь (z) равна q, а степень MHoro
члена ko (z) k (z) меньше q, то последнее равенство может
иметь место лишь при условии h (z) ho (z) == о, так что
и k (z) ko (z) == о. . .
Заметим, что при делении мноrочленов не MorYT воз-
никнуть КОlVlплексные числа. Именно, если мноrочлены
а (z) и Ь (z) имеют действительные коэффициенты, то MHoro-
члены h (z) и k (z) также имеют действительные коэффи
циенты.
7. Разложение мноrочлена на множители
Теперь существующий по основной теореме
алrебры корень мноrочлена
'o(z)===zn+alzп l+... +а n , n> О
с комплексными коэффициентами обозначим ч.ерез cti. Дока-
жем, что мноrочлен fo(Z) делится на двучлен (z al). Про-
изводя деление мноrочлена 10 (z) на мноrочлен первой сте-
пени (z al) по правилам, описанным в 9 6, мы получим
частное, которое обозначим через {l (z), и некоторый OCTa
ток в виде мноrочлена нулевой степени, т. е. числа, кото-
рое мы обозначим через k. Таким образом, имеем
10 (z) -== 11 (z) (z al) +k.
Так как 10 (а 1 ) == о, то, полаrая в предыдущем равенстве
z == (х 1 , получаем k == о.
Итак, мноrочлен fo(Z) делится на (z al), и мы имеем
f о (z) == (z al) f 1 (z),
rде f 1 (z) мноrочлен степени n 1, который, очевидно,
начинается с члена zn l. Если n > 1, то n 1 > о; тоrда
мноrочлен fl (z) будет положительной степени и по дока-
занному ранее имеет некоторый корень СХ 2 . Таким обра
зом, по только что доказанному мноrочлен 11 (z) разла-
rается на множители
11 (z) === (z (х 2 ) 12 (z).
(4)
Продолжая этот процесс дальше, мы полу':!им разложе-
ние /o(Z) на п линейных множителей
fo(Z) . (z al)(z a2) ...:( CXп).
25
Числа (Xi, (Х2' .. .; (Хn являются корнями мноrочлена
fo (z), и друrих корней мноrочлен 10 (z), очевидно, не имеет.
Однако может оказаться, что один и тот же корень BCTp -
чается в этом разложении несколько раз. rруппируя рав-
ные между собой корни, получаем разложение
10 (z) == (Z a,1)k1 (Z a,2)k2 . . . (Z a,q)kq, (5)
rде все корни a,l' а,2' ..., a,q различны. Число k 1 назы-
вается кратностью корня a,l' число k 2 кратностью корня а,2
и так далее, число kq кратностью корня a,q. Таким обра-
OM, число различных корней мноrочлена 10 (z) может быт!?
и меньше, чем n. Однако если учитывать кратность каж
u
доrо корня, то сумма кратностеи в точности равна n.
В этом смысле мноrочлен 10 (z) имеет ровно n корней.
Рассмотрим теперь случай, коrда все коэффициенты
мноrочлена 10 (z) действительные числа. О корнях TaKoro
мноrочлена можно высказать некоторые весьма интересные
дополнительные соображения.
Для рассмотрения мноrочлена с де йствительными коэф-
фициентами введем понятие числа z, комплексно сопря-
женноrо данному комплексному числу z. Именно, если
z==x+iy,
то по определению число
z==x ig
(6)
назыв ает ся комплексно сопряженным с z. Таким образом,
число z, комплексно сопряженное с числом z, является
зеркальным образом числа z относительно оси действи-
тельных чисел.
Если
z == r (cos а, + i sin а,),
то
z == r (cos (Х i sin а,) == r [cos ( a,) + i sin ( а,)]. (7)
Таким образом, aprYMeHTbI двух комплексно сопряженных
чисел отличаются лишь знаком. ИЗ формулы (6) следует,
,что
Zl + Z2 == z} + Z2
(см. rлаву 1 (2». Из формулы (7) следует, что
Z l Z2 == zlzi
26
(см. rлаву 1 (12». Заметим еще, что равенство
z==z
имеет место тоrда и только тоrда, коrда z есть действи-
тельное число.
ИЗ трех предыдущих формул леrко получить, что для
мноrочлена {о (z) с действительными коэффициентами
имеет место равенство
10 (z) == {о (z) .
Из этоrо равенства следует, что если а! есть корень
мноrочлена fo(Z) с действительными коэффициентами, то
а 1 есть также ero корень. В случае, если а} есть дейст
вительное число, то это утверждение бессодержательно.
В случае, если СХ 1 не есть действительное число, то ут-
верждение указывает на существование наряду с корнем
а 1 от личноrо от Hero кор ня ai . Таким образом, если а 1 ........
не действительное число, то мноrочлен f1 (z) (см. (4» имеет
делитель (z al), и мы получаем разложение на 'множи-
тели
f о (z) == (z .......( 1 ) (z...-.& СХ 1 ) {2 (z).
Таким образом, мы выделили у мноrочлена {1) (z) квадра-
тичный множитель
g2 (z) == (z al) (z al ) == Z2 ( + ( 1 ) z + cx 1 a i .
Мноrочлен g2 (z) очевидным образом имеет действитель-
HbIe коэффициенты и не разлаrается на действительные
множители, так как не имеет действительных корней.
Отсюда следует, что мноrочлен f2 (z) также мноrочлен
с действительными коэффициентами, так как он полу-
чается в результате деления мноrочлена {о (z) на действи-
тельный квадратичный трехчлен g2 (z) (см. конец 6).
Таким образом, если а 1 действительный корень, то
мы имеем разложение
{о (z) == gi (z) fi (z),
rде gi (z) == z ai, а если ai........ не действительный корень,
то мы имеем разложение
10 (z) == g2 (z) {2 (z).
Таким образом, в обоих случаях {о (z) делится на действи-
тельный мноrочлен первой или второй степени, не разложи-
27
мый на действительные множители'. Мноrочлен с действи-
тельными коэффициентами, не разложимыи на действи-
тельные множители, называется неприводимым. Значит,
мноrочлен 10 (z) разлаrается на действительные неприводи-
мые множители степени один или два. Из этоrо выте-
кает важный вывод:
каждый корень МНО20члена fo(z) является корнем неnри-
водИМО20 МНО20члена первой или второй степени.
8. Общий наибольший делитель
двух мноrочленов
Мноrочлен Ь (z) считается делителем MHoro..
члена а (z), если при делении а (z) на Ь (z) не получается
остатка, т. е. в формуле (2) k (z) == о.
Мноrочлен Ь (z) считается общим делителем двух MHoro-
членов а о (z) и а 1 (z), если он является делителем каждоrо
из этих двух мноrочленов.
Общий делитель с (z) двух мноrочленов а о (z) и а 1 (z)
называется их общим наибольшим делителем, если он
делится на каждый общий делитель Ь (z) мноrочленов
а о (z) и а 1 (z).
Существование общеrо наибольшеrо делителя двух
мноrочленов не очевидно. Ниже оно будет доказано при
помощи последовательноrо деления мноrочленов друr H;:t
друrа, т. е. при помощи, таких операций, которые совер-
шаются без особых трудностей, кроме rромоздких вычис"
лений. Но прежде Bcero мы докажем, что два общих
наибольших делителя со (z) и С 1 (z) двух мноrочленов
а о (z) и ai (z) по существу совпадают. Именно, они MorYT
отличаться друr от друrа только числовым множителем,
отличным от нуля. Докажем это.
Так как со (z) является общим наибольшим делителем
мноrочленов а о (z) и а 1 (z), а С 1 (z) ИХ общим делителем,
то со (z) делится на С 1 (z) И, следовательно, мы имеем
тождество
со (z) == h 1 (z) С 1 (z). (8)
Аналоrично мы имеем формулу
С 1 (z) == ho (z) со (z). (9)
Подставляя выражение С 1 (z) из формулы (9) в Формулr (8),
получаем
СО (z) == ho (z) h 1 (z) СО (z).
28
А так как, при перемн:ожении мноrочленов степени их
складываются, то из последней формулы следует, что
мноrочлены ho (z) и h 1 (z) имеют степень нуль, т. е. явля
IQТСЯ числами.
Таким образом, единственность общеrо наибольшеrо
делителя мноrочленов а о (z) и а 1 (z) доказана.
Перейдем теперь к построению общеrо наибольшеrо
делителя c(z) мноrочленов а о (z) и а 1 (z). Для этоrо про
изведем деление мноrочлена а о (z) на мноrочлен а 1 (z).
Запишем формулу (2) в виде
а о (z) == а 1 (z) h 1 (z) + а 2 (z), (10)
т. е. обозначим остаток от этоrо деления через а 2 (z).
Теперь подверrнем мноrочлен а 1 (z) делению на MHoro-
член а 2 (z), и формулу (2) запишем в виде
а 1 (z) == а 2 (z) h 2 (z) + аз (z), . (1])
Т. е. обозначим остаток от деления через аз (z). Теперь
подверrнем делению мноrочлен а 2 (z) на мноrочлен аз (z) и
запишем формулу (2) в виде
а 2 (z) == аз (z) h з (z) + а 4 (z).
Так как в процессе этоrо построения степень остаточноrо
u
мноrочлена все время снижается, то мы доидем до TaKoro
'остатка, который либо равен нулю, либо будет иметь C'Pe
'пень нуль, а при делении на мноrочлен степени нуль
остаток, очевидно, равен нулю. Таким образом, в конце
концов мы получим тождества
aп 2 (z) == aп l (z) hn i (z) + а п (z), (12.)
aп l (z) == а п (z) h n (z). (13)
Если теперь Ь (z) общий делитель мноrочленов а о (z)
и а 1 (z), то из формулы (10) следует, что он является
делителем a 2 (z). Из формулы (11) следует, что MHoro-
"лен Ь (z) является делителем мноrочлена аз (z). Таким
образом, докажем последовательно, что мноrочлен Ь (z)
является делителем Всех построенных нами мноrочленов
а о (z), ai (z), а 2 (z), ..., а п (z),
в частности мноrочлена an(z). А из формулы (13) следует,
ЧТО мноrочлен an(z) является делителем aп l (z), из фор-
мулы (12) следует, что он является делителем an 2 (z).
В К'онце концов мы установим, что а п (z) является дел.,:-
телем мноrочленов а о (z) и ai (z). Таким образом, ,Дока-
зано, что а п (z) делит я на любой делитель мноrочленов
:.29
а о (z) и Ql (z) И сам является их делителем. Следовательно,
мноrочлен а п (z) является общим наибольшим делителем
мноrочленов ao(z) и a 1 (z).
Докажем теперь следующий ва:л<ный результат, Иl\лею-
щий мноrочисленные применения в алrебре.
Общий наибольший делитель с (z) двух мноrочленов
а о (z) и а 1 (z) может быть записан в виде формулы
с (z) == Ро (z) а о (z) + Рl (z) йl (z), (14)
r:де Ро (z), Рl (z) некоторые мноrочлены. Докажем это
утверждение. Подставляя выражение мноrочлена а 2 (z) из
формулы (10) в формулу (11), получим
аз (z) == Р2 (z) а о (z) + qo (z) а 1 (z).
Продолжая этот процесс дальше, мы получим формулу (14).
Таким образом, формула (14) доказана.
9. Устранение кратных корней
Нахождение корней мноrочлена является
одной из наиболее старых и трудных задач алrебры.
Первоначально ее пытались решить при помощи формулы,
состоящей из алrебраических выражений, включающих
извлечение корней. Это очень удачно сделано для квад-
paTHoro уравнения. Для кубическоrо уравнения также
имеется формула, но уже мало значительная в смысле
приложений. Для уравнений четвертой степени также
есть формула, но лишенная всякоrо практическоrо зна-
чения. Позже было доказано, что для уравнений выше
четвертой степени общей формулы решения уравнений
в радикалах не существует. Полная теория о возмож-
ностях нахождения корней мноrочлена при помощи ра-
дикалов была построена rалуа. На пути решения проблем:ы
отыскания корней мноrочлена .ТIежит следующая, rораздо
более простая задача. Для мноrочлена f (z), имеющеrо
как простые, так и кратные корни, найти такой MHoro-
член g (z), который имеет те же самые корни, что и f (z),
но только простые. Эта задача решается при помощи
алrоритма Евклида, т. е. при помощи деления мноrочле-
нов. Ее решение будет рассмотрено в этом параrрафе.
Пусть а (z) и Ь (z) два мноrочлена, а р (z) их произ-
ведение,
Обозначим через
р (z) == а (z) Ь (z),
af, а 2 , ..., (1" q
30
совокупность всех чисел, каЖJ!9е из которых являетсЯ
корнем хотя бы одноrо иа мноrочленов а (z) и b(z). Тоrда
эти мноrочлены MorYT быть записаны в следующем виде
(см. (5»:
а (z) == (z cti)k1 (z c(2)ki . . . (! aq)kq , (15)
Ь (z) == (z ctl)11 (2 (X2)li ... (z ctq) lq . (16)
В обоих этих разложениях некоторые показатели степе-
ней MorYT равняться нулю. .мыI будем считать, что KpaT
ность соответствующих корней является нулем. Очевидно,
мы имеем
р (z) === (Z ct1)k1 + 11 (Z ct2)k2+ l2 . .. (Z ctq)kq+ lq.
Таким образом, при перемножении мноrочленов кратности
корней у них складываются.
Исходя из разложения мноrочленов а (z), Ь (z) на MHO
жители (см. (15) и (16», леrко найти их общий наиболь-
ший делитель с (z); Для этоrо обозначим через m 1 наи-
меньшее из чисел k 1 и l1, через m 2 наименьшее из чисел
k 2 И l2 И т. Д., через mq наименьшее из чисел kq и lq.
Т оrда наибольший общий делитель мноrочленов а (z) и Ь (2)
задается формулой
с (z) == (z (1)т1 (z (2)т2 . . . (z ----- ctq)т q .
Этот простой способ нахождения общеrо наибольшеrо
делителя двух мноrочленов требует, однако, нахождения
всех корней обоих мноrочленов и потому он практически
мало приrоден, так как сводит простую задачу к очень
трудной. Между тем нахождение общеrо наибольшеrо
делителя двух мноrочленов, как было показано в Э 8,
представляет собой очень простую, решающуюся при
помощи алrоритма Евклида, т. е. при помощи деления
мноrочленов, задачу.
Выясним теперь, как связаны между собой кратности
корней мноrочленов а о (z) и а 1 (z) == a (z), т. е. кратности
корней мноrочлена а о (z) и ero производной a (z).
Оказывается, что если корень а мноrочлена а о (z) имеет
кратность k, то тот же корень для мноrочлена ai (z)==
== a (z) имеет кратность k 1. Но, конечно, кроме кор-
ней, являющихся корнями мноrочлена а о (z), мноrочлен
a (z) может иметь и друrие корни.
Докажем, что если ct есть корень мноrочлена а о (z)
кратности k, то тот же корень является корнем MHoro
члена а 1 (z) == a (z) кратности k-----l.
31
Из разложения (5) мноrочлена а о (z) на множители
с.ледует, что если сх есть корень мноrочлена а о (z) KpaT
ности k, то
а о (z) ' (z a)k Ь (z),
причем Ь (z) уже не делится на (z a) Н, следовательно,
не имеет а своим корнем. Дифференцируя последнее соот-
ношение, получаем
a (z) == а 1 (z) == k (Z CX)k }, Ь (z) + (z cx)kb' (z), (17)
(z tX)k l Ь (z) == а 1 (z)+{(Z tX)k Ь' (z). (18)
Из формулы (17) видно, что а 1 (z) делится на (Z-----a,)k l,
а из формулы (18) следует, что a 1 (z) не делится на (Z CX)k.
В самом деле, если бы а 1 (z) делилось на (z cx)k, то Ь (z)
делилось бы на (z cx). Таким образом, кратность корня а,
для мноrочлена a (z) есть k l. В частности, если a
простой корень мноrочлена au(z), то а не будет корнем
мноrочлена a (z).
Таким образом, если а о (z) имеет разложение (5), то
общим наибольшим делителем мноrочленов а о (z) и a (z)
является мноrочлен
c(z)==(Z CXl)kl 1(Z CX2)k2 1 ... (Z_____a,q)kq l.
Отсюда видно, что мноrочлен а о (z) делится на Mнoro.
член c(z) и частное имеет вид
ао (z)
c(z) == (Z CXl) (Z CX2) · · · (z-----a q ).
Таким образом, сформулированная в начале параrрафа
задача о нахождении мноrочлена g (z), имеющеrо те же
самые корни, что и мноrочлен f (z), но только кратности 1,
решена.
10. Подсчет числа действительных
корней мноrочлена на заданном отрезке
Нахождение комплексных корней MHoro-
члена является задачей более сложной, чем
v v
нахождение ero деиствительных корнеи, так как в слу-
чае комплексноrо корня нам приходится фактически ре-
шать уравнение с двумя неизвестными, которыми явля-
ются действительная часть корня и ero коэффициент при
мнимой части.
32
Поскольку в преДЫДущем параrрафе приведен способ,
ПОqВОЛЯЮЩИЙ свести вычисление корней мноrочлена к вы-
числению корней мноrочлена, имеющеrо только простые
корни, то мы займемся здесь именно этим случаем простых
корней. Здесь будет дан результат, позволяющий в зна..
чительной степени облеrчить приближенное вычисление
действительных корней мноrочлена.
Будем рассматривать мноrочлен а о (х) действитель-
Horo переменноrо х, имеющеrо только простые корни, и
дадим способ определения числа этих корней на задан
ном отрезке o х Gl. Так как все корни мноrочлена
а о (х) простые, то мноrочлены а о (х) и а 1 (х) === a (х) не
имеют общих корней и ни для KaKoro значения х не
мотут одновременно обращаться в нуль.
Для решения этой задачи рассмотрим последователь-
ность действительных чисел
а о , а 1 , а 2 , ..., а n . (19)
Будем считать, что ни одно из этих чисел не обращается
в нуль. Почти что само собой понятно, что значит число
перемен знака в этой последовательности (19). Определим
ero формально. Мы будем считать, что между а о и а 1
имеется перемена знака, если одно из этих чисел поло..
жительно, а друrое отрицательно. Обозначим через Рl
в этом случае число 1. Если же числа а о и а! либо оба
положительные, либо оба отрицательные, то будем счи..
тать, что перемены знака между ними нет. В этом слу-
чае обозначим через Рl число, равное нулю. Точно так
же определим число Р2' которое оценивает перемену знака
между а 1 и а 2 . Таким образом, мы получим последова-
тельность нулей и единиц
Pi, Р2' .. · , Рn.
Сумма всех чисел из этой последовательности есть число
перемен знака последовательности (19).
Исходя из мноrочленов а о (х) и а 1 (х) === a (х), путем
последовательноrо деления построим последовательнос1;'Ь
мноrочленов.
Разделим мноrочлен а о (х) на мноrочлен а! (х) и запи-
шем формулу (2) в виде
а о (х) == h i (х) а! (х) a2 (х).
Разделим теперь мноrочлен а 1 (х) на мноrочлен а 2 (х)
и запишем формулу (2) в виде
а 1 (х) == h 2 (х) а 2 (х) аз (х).
J
2 Л. с. ПОНТРЯ!2ИП
33
На k-M шаrе этоrо процесса мы получим тождество
ak l (х) === h k (х) a k (х) ak+l (х). (20)
Продолжая этот процесс до конца, мы придем к последо-
вательности мноrочленов
а о (х), а 1 (х), ..., а п (х).
(21)
Ilроцесс построения этой последовательности почти в точ-
ности совпадает с процессом нахождения наибольшеrо
общеrо делителя двух мноrочленов. Так как мноrочлены
а о (х) и а п (х) взаимно просты, то последний член последо-
вательности, а именно а п (х), есть число.
Заметим прежде Bcero, что ни при каком значении
х==х о два рядом стоящие мноrочлена последователь-
ности (21) не MorYT обращаться в нуль. В самом деле,
если ak (Х о ) == ak+l (Х о ) == О, то из соотношения (20) следует,
что ak l (Х о ) == о.
Продолжая этот процесс, мы придем к выводу, что
мноrочлены а о (х) и а 1 (х). обращаются в нуль при х == х о ,
а это невозможно, так как они не имеют общих корней.
Пусть теперь х возрастает, начиная от значения o и
кончая i. Ясно, что при таком -росте х число перемен
знака последовательности чисел (21) может измениться.
А это может произойти только при прохождении х через
такое значение Хо, цри котором один из членов последо-
вательности (21) меняет знак, т. е. проходит через нуль.
Допустим, что при х === Хо мы имеем ak (х о ) == О и при
росте х вблизи точки Хо знак функции a k (х) меняется.
Полаrая в соотношении (20) х == хо, получим равенство
ak 1 (х ----- ak+ i (Х о ).
Таким образом, чио а ak--l (х о ) и ak+f (х о ) имеют противо-
положные знаки. ЕGЛИ при Х, близком к х о , число a k (х)
имеет знак, совпадающий со знаком a k -- 1 (х), то знаки
чисел a k (х) и ak+i (х) различны. Таким образом, между
ak l (х) и a k (х) перемены знака нет, а между a k (х) и
a k + 1 (х) перемена знака есть. Если при прохождении
точки х через хо знак числа ak (х) меняется, то для этоrо
х между ak l (х) и ak (х) перемена знака есть, а между
ak (х) и a k + 1 (X) HeT. Таким образом, устанавливается,
что при прохождении точки х через х о , при котором a k (х о )
обращается в нуль, число перемен знаков в трехчленной
последовательности
ak--i (х), a k (х), ak+i (х)
34
не меняется. Номер k обладает лиш тем свойством, что
,у,,, 1fero есть предыдущий номер k 1 и последующий k+ 1.
Таким образом, число перемен знаков последователь-
ности (21) может измениться лишь тоrда, коrда при про-
хождении х через хо меняет -свой знак либо первый член
последовательности (21), либо самый последний. Но послед..
ний член не может менять знака, так как это есть кон-
станта.
Посмотрим теперь, как меняется число перемен знака
последовательности (21), коrда в точке хо первый член
последовательности (21) обращается в нуль. Если при х,
близком к хо, но меньшем хо, а о (х) > О, то при прохожде
нии х через точку хо функция а о (х) изменит знак. Но
при х == хо число а 1 (х о ) будет иметь отрицательный знак,
так как при этом функция а о (х) убывает, следовательно,
производная ее ai (х) отрицательна. Таким образом, при х,
близком к хо, но меньшем х о , между а о (х) и a 1 (х) имеется
переr,1ена знака, а при х, большем хо, но близком к хо,
между а о (х) и а 1 (х) перемены знака нет. Таким образом,
I рри прохождении точки х через хо' при котором функ-
ция а о (х) обращается в нуль и убывает, перемена знаков
между а о (х) и a 1 (х) исчезает. Точно так же устанавли"
вается, что если при переходе через точку ХО функция
а о (х) возрастает, то перемена знака между а о (х) и a 1 (х)
исчезает. Таким обраЗОI\1, установлено, что число перемен
знаков последовательности (21) при изменении х может
произойти лишь тоrда, коrда х проходит через корень
мноrочлена а о (х), при этом кажДЫЙ раз ОДНа перемена
знака исчезает. Следовательно, коrда х растет от o до 1'
В последовательности (21) происходит потеря одной пере-
мены знака при прохождении х через корень мноrочлен
а о (х). И, следовательно, для нахождения числа корней
мноrочлена а о (х) между go и ! надо сравнить ЧИСЛОRI,те
последовательности
а о ( o), а 1 ( o), · · · , а п ( o)'
а() ( l), а 1 ( 1)' ..., а п ( l).
(2
(28)
Число перемен знаков последовательности (22) может быть
лишь больше, чем число перемен знаков последователь.
ности (23).
Потеря числа перемен знаков при переходе последова-
тельности (22) в последовательность (23) есть число кор-
ней мноrочлена а о (х), находяшихся в промежутк
o x i'
2*
8'8
rЛА8А 4
КВАТЕРНИОНЫ
Описанию кватернионов я предпосылаю не-
которые сведения о векторных пространствах, которые
мне понадобятся при изучении кватернионов, так как ква-
тернионы составляют четырехмерное евклидово векторное
пространство.
11. Векторные пространства
Последовательность
х == (х 1 , х 2 , ... t х n )
(1)
из n действительных чисел, расположенных в определен-
ном порядке, указанном в формуле (1), называется n Mep
ным вектором. Совокупность Аn всех n-мерных векторов
называется n-мерным векторным пространством. Числа
х\, х 2 , ..., х n
называются координатами вектора х (см. (1».
Вектор считается равным нулю и обозначается через О,
если все ero координаты равны нулю.
Произвольный вектор х из А n может быть умножен
на действительное число а. Для получения этоrо произ
ведения каждая координата вектора х должна быть умно..
жена на число (Х. Таким образом, в виде формулы про
изведение ах записывается так:
ах == (ах 1 , ах 2 , . . ., ах п ).;
(2)
Каждые два вектора, g (см. (1» и
у==. (у1, у2, ..., уn)
из Аn MorYT быть сложены. Для этоrо координаты их
следует сложить. В виде формулы это записывается сле..
дующим образом:
х + у;= (х:11 + yJJ, .:\1! + y ..., х n + u n ). . (3)
86
Если теперь
Х}, &2' ..., k
(4)
совокупность k векторов пространства Аn, то, поль
зуясь операциями (2) и (3), можно составить их линейную
форму
Z==CX 1 X 1 +СХ 2 Х 2 +... akX'l'
(5)
rде Cl 1 , . . ., СХk действительные числа.
Совокупность из k векторов (4) считается линейно не-
завис,ИМОЙ, если вектор, определенный формулой (5), обра
щается в нуль лишь при условии, коrда
СХ 1 == О, СХ 2 == О, . . ., fX k == О.
В противном случае, т. е. . если существуют такие числа
fXi, СХ 2 , ..., ak' (6)
не все равные нулю, что вектор z, определяемый форму-
лой (5), обращается в нуль, совокупность (4) называется
линейно зависимой. Если к совокупности линейно зави-
симых векторов (4) прибавить еще несколько векторов
Xk+l, Xk+2' . · .., X l , то расширенная совокупность
Х 1 , Х 2 , ..., Х е
будет линейно зависимой. Именно, если совокупность ко..
эффициентов (6) осуществляет линейную зависимость век-
торов (4). то мы имеем соотношение
СХ 1 Х 1 +СХ 2 Х 2 + ... +akXk+OXk+l +... +Oxl==O,
причем не все числа последовательности
СХ 1 , СХ 2 , · . . , а k' а k + 1 == О, · · · , СХ t О
равны нулю.
Если в векторном пространстве А n, состоящем И3 всех
векторов вида (1), рассмотреть те векторы, для которых
i я координата обращается нуль, то мы получим также
векторное пространство An 1, но размерности n 1, KOTO
рое называется координатным подпространством простран-
ства Аn.
Докажем теперь следующее важное предложение.
А) Совокупность (4) векторов n MepHoro пространства
Аn при k > n всеrда линейно зависима.
Для доказательства достаточно рассмотреть случай
k == n + 1. Доказательство будем вести индуктивно. Отме-
ТИМ, пре}кде Bcero, что для n =:: 1 утверждение А) спра-
37
у веДЛИБО. Пусть Х, у два векторз пространства Аl t причем
х == (х 1 ), У == (уl).
Если числа х 1 , уl, равны нулю, то мы имеем соотношение
ах + y == о
ври ПРОИЗБОЛЬНЫХ а и , так что в этом случае векторы
х и у линейно зависимы. Если не оба числа х 1 , уl, равны
нулю, то мы имеем соотношение
уl x xly == о.
Таким образом, при п == 1 утверждение А) верно.
Пусть теперь
Х 1 , Х 2 , ..., Хп+]
(7)
совокупность из (п + 1 ) ro вектора пространства Аn.
Сосредоточим внимание на последней координате всех
векторов совокупности (7). Если все они равны нулю, то
совокупность векторов (7) принадлежит к (n 1 ) MepHOMY
пространству. Соrласно предположению индукции сово-
купность (7) линейно зависима. Допустим теперь, что хотя
бы один вектор, например Х n + 1 , имеет последнюю коор-
динату отличную от нуля. Для каждоrо вектора Xj сово-
купности (7) при j <: п можно подобрать такое число (J.,j'
что все вектора у j, определяемые формулой
Yj == Xj (J.,jX п + i; j == 1, ..., n, (8)
имеют последнюю координату, равную нулю, и потоrvlУ
лежат в (п l) MepHOM векторном пространстве. Следова-
тельно, по предположению индукции они линейно зависимы.
Таким образом, существует совокупность чисел
1' 2 , .. " n
(причем не все эти числа равны нулю) такая, что имеется
соотношение
lYi+ 2Y2+... + nYп==O.
Из этоrо и из формулы (8) BbITeKaeTI
{3 1 .1(1 + 2of 2+. . . + nXп ( 1a1 + 2a2 + . . . '+ пan) Xn;it:=O.
Таким образоrJ, совокупность векторов (7) линейно
заВИСИl\1а. Итак, предложение А) доказано.
В) Базис B€KTopHoro пространства.
Обозначим через el вектор из Ап, все КоординаТЕI
.u
}{OTOpOro равны Нулю. за исключением ОДНОИ координат J -
за
номера i, которая равна 1, Т. е. по ожим
e 1 ==(I, О, ..., О),
e2 (0,1,..., О),
....... .
еп===(О, О, ..., 1).
ЯСНО, что вектор х (СМ. (1» записывается в виде
х==х 1 е 1 + х 2 е з + ... +хnе п ,
причем коэффициенты х 1 , х 2 , . . ., х n , входящие в эту фор..
мулу, однозначно определены вектором х. Таким образом,
каждый вектор Х в векторном пространстве А n Bыpa
жается в виде линейной формы относительно векторов
e 1 , е 2 , .. ., е п ,
(9)
причем коэффициенты этой линейной формы определены
однозначно. Система векторов, обладающая этим свойст..
вом, называется базисом BeKTopHoro пространства Ап."
Построенный нами базис (9) не является единственным.
Оказывается, что любая линейно независимая система
векторов
81' 82' .. ., в п ,
i10)
содержащая n векторов пространства А n, является базисом;
этоrо пространства.
Действительно, пусть х прои звольный вектор про..,
странства Аn. Тоrда векторы
Х, 8i, 82' · · " 8 п
линейно зависимы, поскольку содержат n + 1 вектор
(СМ. А». Таким образом, мы имеем соотношение
ах + (Х1 8 1 + (Х2 8 2 + · · · + (ХпВп == О, (11)
причем в этом соотношении не Бсе коэффициенты равны
нулю. В частности, коэффициент" не может быть равен
нулю, так как если бы он был равен нулю, то оказалось
бы, что векторы системы (1 О) линейно sависимы. Поль...
ВУЯСЬ этим, раздедим соотношение (11) на величину .......а.
Для Toro чтобы не вводить новые обозначения, будем
считать, что a== l, а остальные коэффициенты coxpa
НИМ. Таким образом, получаем
х == (Xl e i + СХ 2 8 2 + · · · + (Хп 8 n, (12)
Если бы вектор х Mor быть записан аналоrично через
,-систему (10), но с друrИ'МI1 коэффициентами, Т. е. имело бы
.39
'\..
место соотношение
х == lel + 2ej + · · · + пeп'
10, вычитая последнее соотношение из соотношения (1 ),
мы получили бы соотношение
(а 1 1) 81 + (a2 2) 82 + . . . + (а п п) е п == О,
что ввиду линейной независимости векторов системы (10)
приводит к равенству al == i; i:::;; 1, .. ., n.
С) Пусть
Х 1 , Х 2 ' ..., Х р (13)
некоторая линейно независимая система векторов из Ап.
Если р < n, то систему (13) можно дополнить векторами
Х Р + 1 ' ..., Х п так, что система
Х 1 , Х 2 , ..., Хр' Xp+i' ..., Х п
линейно независима.
Докажем утверждение С). Если С) неверно, то, при..
соединяя к системе (13) вектор е 1 (см. В)), мы полу-
чим линейно зависимую расширенную систему
е 1 , Х l' '. · ., х Р'
Вектор е 1 ненулевой. Поэтому найдется вектор Xq,
линейно выражающийся через остальные векторы расши-
ренной системы. Исключим ero из расширенной системы.
т оrда любой вектор из А n можно линейно выразить че-
рез оставшиеся векторы расширенной системы. Добавив
к оставшимся векторам расширенной системы вектор е?,
мы получим линейно зависимую систему, из которой MO
жно исключить один из векторов Х 1 , . · ., Xq l' X q + 1 , . . ., ХР.
Продолжая этот процесс, мы исключим из расширенной
системы все векторы (13) и придем к выводу, что лю
бой вектор из Аll линейно выражается через векторы
e 1 , · · ., ер, что неверно. Следовательно, утверждение С)
справедливо.
ИЗ предложения В) видно, что данное в начале при
помощи координат вектора (см. (1)) определение n Mep-
Horo BeKTopHoro пространства Ап не является инвариант-
ным, так как оно зависит от случайно выбранноrо базиса
(9), а базисов в пространстве Ап существует бесчисленное
множество. Поэтому мы дадим друrое инвариантное опре
деление n MepHoro BeKTopHoro пространства Аll. I
D) Векторным пространством называется множество А
элементов, в котором определены две операции сложение
40,
u . .
и умножение на деиствительные числа, причем выполнено
условие: если а И ' .......... два числа, а х и у два элемента
пространства А, т. е. два вектора, то имеют место, СООТ-
ношения
(а + ) х::;::; aJt + x,
а (х+у) == ах+ау.
При помощи операций, имеющихся в векторном прост-
ранстве А, можно составить линейную комбинацию про-
извольной системы из векторов
х 1 , .. ., Х п ,
Т. е. построить вектор
z == а 1 Х 1 + а 2 Х 2 + . · . + а 1l х n ,
rде (X,i, ..., а п действительные числа.
Таким образом, можно ввести понятие линейной зави-
симости векторов и линейной независимости, как это было
сде!lано раньше (см. В). Если в векторном пространстве А
имеется n линейно независимых векторов, но нет п + 1
линейно независимых вектора, то считается, что вектор-
ное пространство А имеет размерность n и обозначается
через Аn. Выбирая в пространстве Ап n линейно незави-
симых векторов, мы получим базис и при помощи Hero
I{оординатную запись любоrо вектора.
Е) Векторное подпространство. Пусть А векторное
пространство и пусть B TaKoe подмножество er9 векто-
ров, что наряду с двумя векторами х и у ИЗ В в В вхо-
дит также Х+ у, а наряду с вектором х в В входит и
ero произведение на произвольное действительное число,
т. е. вектор ах. Тоrда В, очевидно, представляет собой
векторное пространство в силу тех операций, которые
имеют-ся в А. Множество В называется векторным под
пространством пространства А. Если векторное простран..
ство А имеет конечную размерность n, то ero подпрост-
ранство В имеет размерность, не превосходящую n.
Р) Пусть Ап n MepHoe векторное пространство, а ВР
и Сq два Ero векторных подпространства размерности р
и q соответственно. Если векторные подпространства ЕР
и Cq имеют единственный общий вектор нуль, а р + q==п,
то векторное пространство Ап распадается в прямую сумму
с'БОИХ векторных подпространств ВР и Cq. Именно, каж-
ДЫЙ вектор х из Аn представляется в Биде суммы
==Y +
-41
rде Y BeKTOp из 8 Р , а Z BeKTop из Cq, причем слаrае-
мые у и Z однозначно определены вектором Х.
ДЛЯ доказательства этоrо утверждения выберем в под-
пространстве ВР базис
81' 82' ...., 8 р '
(14)
состоящий из р элементов, а в подпространстве Cq базис
8 p +i' 8Р+2' ..., 8n, (15)
состоящий из q элементов. Объединяя совокупность век..
торов (14) и (15), получим совокупность
8 н 82' ..., 8n. (16)
Докажем, что совокупность эта составляет базис простран.
ства А n. Так как число векторов системы (16) равно раз.
мерности пространства А п, то достаточно док азать, что
векторы системы (16) линейно независимы. Допустим, что
имеет место противоположное. Именно, имеет место соот.
ношение
<Х 1 8 1 + а 2 8 2 + · · · + а р 8 р + а р + 1 8 р+ f + · · · + сх'п 8 п ::::::: О, (17)
причем не все коэффициенты, входящие в это соотноше.
ние, равны нулю. Обозначая через у СУММУ первых р чле-
нов суммы (17) и через Z CYMMY остальных членов этой
суммы, получаем два вектора у и z, причем оба они
одновременно не MorYT обращаться в нуль, так что хотя
бы один из них отличен от нуля. При этом соотношение
(17) переписывается в виде
у +z== О,
или, иначе,
rдеУЕВр, zECq.
Таким образом, мы приходим К выводу, что векторные
подпространства Вр и Cq имеют общий вектор, отличный
от нуля, что противоречит нашему предположению.
Таким образом, система (16) является базисом прост
ранства Ап и каждый вектор х из Аn может быть записан
в виде
х == сх'1 8 ! + · · · +сх' р 8 р + (х р + l В Р+ i + . · · + а п 8 n .
Обозначая через у СУММУ первых р слаrаемых последней
СУ ,1l\1Ы, а через Z CYMMY остальных слаrаемых, мы при-
ХОДИМ к выводу, что
X==Y+Z,
rде у Е Вр, z Е Cq. Таким образом, утверждение Р) доказано.,
42
у ::::::: Z,
G) Пусть Х и У ----- два векторных пространства и f----
отображение, ставящее в соответствие каждому вектору
х Е Хнекоторый вектор f (х) Е У, удовлетворяющее еле..
дующим условиям:
f (х! + Х 2 ) =:z f (х 1 ) + f (х 2 ),
f (ах) == af (х),
rде a произвольное действительное число. Такое отобра-
жение f BeKTopHoro пространства Х называется линейным.
rоворят, что отображение есть отображение простран-
ства Х на пространство У, вместо Toro, чтобы сказать
есть отображение в пространство У, в случае, если в каж-
дый элемент пространства У переходит хоть один элемент
пространства х.
Отображение f называется изоморфным, если в нуль
пространства У переходит только нуль пространства Х,
т. е. если из соотношения f (х) == О следует, что х == о.
в этом случае f есть взаимно однозначное отображение
пространства Х на векторное подпространство f (Х) про-
странства У. В самом деле, два различных пектора Х 1 и
Х 2 пространства Х не MorYT перейти в один и тот же
вектор пространства У, так как тоrда их разность Xi X2*O
переходила бы в нуль пространства У.
12. Евклидово векторное пространство
Векторное пространство Ап называется евк-
лидовым, если в нем определено скалярное произведение.
А) fоворят, что В векторном пространстве Аn опре-
делено скалярное произведение, если каждой паре век-
торов х и у этоrо пространства поставлено в соответст-
вие действительное число, которое обозначается (х, у) и
называется скалярным произведением векторов х и у,
причем выполнены условия симметрии и линейности.
Именно, имеют место следующие соотношения
(х, у) == (у, х). (18)
Условие линейности: именно, если Xi и хi........дВа вектора
из простраI1ства Аn, а, действительное число, то имеют
место соотношения
(Х 1 + Х 2 , у) == (Xf, у) + (x , у),
(а,х, у) == а, (х, у).
Так как И11еет место С.имм;етрия, то линейность выполне..
43
на И,пq второму eKTopy,y. Именно:
(х, У1 + У2) === (х, У1) + (х, У2)'
(х, y) == (х, у).
Пусть
В1' 82' ..., 8 п
некоторый базис пространства А n, так что
Х === х 1 В 1 + х 2 8 2 + . . . + хпв n ,
.у == у1 В1 + у 2 В 2 + . . . + yпen
Положим
(8;, 8j)==gi,j.
В силу симметрии (см. (18)) мы имеем
gi, j === gj, ;.
В силу линейности мы имеем
п п
(х, у) == х; у! g i t j == g i t jX"yl. (19)
i,j=l i,j=l
Это есть координатная запись скалярноrо про изведения.
На скалярное произведение (х, у) накладывается еще
одно очень важное условие Скалярный квадрат вектора,
т. е. ero скалярное произведение caMoro на себя, счи-
тается квадратом ero длины и потому всеrда больше или
равно нулю и обращается в нуль лишь при х== О, так
что
(х, x) O; если (х, х)==О, то х===о.
Длину вектора Х обозначают через I xl, так что
IxI 2 ==(x, х).
Оказывается, что зная так определенную длину к'аждоrо
вектора пространства А n, можно вычислить скалярное
произведени двух любых векторов этоrо пространства.
В силу симметрии и линейности мы имеем
(х+у, х+у)===(х., х)+2(х,у)+(у,у).
Таким образом, получаем
1
(х, Y)===2(lx+YI2 lxI2 IYI2). (20),
Здесь слева стоит скалярное произведение (х. у) двух
произвольных векторов пространства А п, а справа ДJ1И-
44
ны трех различных векторов, которые по предположению
известны.
В) Система вектор
8}, 82' ..., r
(21 )
называется ортонормальной, если имеет место соотношение
) { 1, i == j; . 1
( 8 i , 8 j == О . .. l , j == , ..., р. (22)
, l J,
Таким образом, каждые два различные вектора системы
(21) ортоrональны между собой, а длина каждоrо BeK
тора (21) равна единице.
Ортонормальная система (21) всеrда линейно незави
сима. Действительно, если имеет место соотношение
а 1 8 1 +а 2 8 2 +... +а р 8 р ==О,
то умножая это соотношение скалярно на 8i' получаем
а; == о. Таким образом, если р === n, то система (21) яв
ляется ортонормальным базисом
81, 82' ..., 8 п
(23)
пространства А п.
В случае ортонормальноrо базиса (23) скалярное про
изведение (19) в координатной форме записывается в виде
а
(х, у) == xiyi.
i= 1
Базис (23), удовлетворяющий условию (22), называется
ортонормальным потому, что каждые два различных ero
вектора ортоrональны между собой, он нормирован по-
тому, что длина каждоrо вектора равна единице.
С) Каждая линейно независимая система векторов
Х 1 ,Х 2 ,...,Х р (24)
однозначно определяет ортонормальную систему векторов
е 1 , 82' . . , , 8 Р. (25 )
Процесс перехода от Gистемы векторов (24) к систеlVlе
векторов (25) называется ортонормированием. Опишем ero.
Так как система векторов (24) линейно независима,
ТО вектор )(1:/= О и, следовательно, ero длина I х 1 1 =1= о.
Мы полаrаем
Х!
81 == I Х1 I ·
Далее, полаrаем
8; == Х 2 ----- (х 2 , 81) 8i.
Мы имеем
(8;, 81) == (Х'2' 81) ----- (х 2 , 81) == о.
Таким образом, векторы 81 и 8 ортоrональны между со-
бой. При этом вектор 8; =1= О, так как векторы Х 1 и Х 2
линейно независимы, а следовательно, линейно независи-
мы векторы 81 и 8 . Теперь нормируем вектор 8 . Именно,
положим
82 ==
,
82
18; I ·
Таким образом, получаем
( 82' 82) - 1.
Пусть 8i,8 2 , · . . ,8i уже построены так, что они состав-
ляют ортонормальную систему. Построим вектор 81+ 1 . По
ложим
ei+l == Xi+i.........(Xi+I, 81) 81 -----(Xi+lt 82) 82-----. · · (Xi+r, 8i) Е[.
Прежде Bcero вектор 8[+1 =1= о, так как из линейной неза..
висимости векторов )(1, Xtj" . · ., Xi+f следует линейная не-
зависимость векторов
81t 82' . · ., 81.' Xi+i.
Умножая вектор 8;+1 на произвольный вектор 8}, j i,
получаем
(8;+1' 8}) == о.
Таким образом:, построенный вектор 81+1 ортоrонален КО
всем векторам Bi' 82' · · ., 8i И отличен от нуля. Нормируя
,
вектор 8i+1t т. е. п<:>лаrая
"
ei+l
Bi + 1: == I ' ( '
81+1
мы получаем вектор 8i+i. Таким образом, индуктивно
построение ортонормированной системы (25) проведено.
Заметим, что переход от системы (24) к системе (25) ЯВ-
ляется непрерывным. Это значит, что при непрерывном
изменении системы (24) соответствующая система (25)
также меняется непрерывно.
D) Каждое векторное подпространство Вр евклидова
BeKTopHoro пространства А само естественным образом
46
является евклидовым векторным пространством. Действи-
тельно, каждая пара векторов из Вр является парой век-
торов из Аn I! потому для нее определено скалярное
'произведение. Вектор z пространства А n, ортоrональный
каждому вектору из подпространства ВР, считается орто-
rональным ко всему пространству Вр. Обозначим череа С
совокупность всех векторов пространства А n, ортоrональ-
ных векторному подпространству ВР. Оказывается, что С
является векторным подпространством пространства А n
размерности q == n р, причем векторное пространство А п
распадается в прямую сумму своих подпространств ЕР и
С == Cq. Подпространство Cq называется ортоrональным
дополнением подпространства Ер.
Оказывается, что подпространство Ер является Ор,ТО-
rональным дополнением подпространства Cq.
Для доказательства данноrо утверждения выберем в
евклидовом векторном пространстве Bq ортонормальный
базис
81' 82' · · · , 8 Р.
анную систему векторов дополним ДО максимальной ли-
нейно независимой системы векторами Xp+f,..., Х"
(см. 11 С». Тоrда мы получим максимальную линейно
независимую систему
8f, 82' · · · , 8 р' х р + f , · · · , Х п ·
Теперь подверrнем эту систему процессу ортонормирова-
ния (см. С». При этом первые рвекторов 81' 82' ..., ер
не изменятся, а векторы Х р + 1 , Х Р + 2 ' · . ., Х п заменятся
друrими векторами. Вновь полученную систему запишем
в виде
8i, е 2 , · · · , 8 р ' 8 р + f, · · · , В п .
Последняя система является ортонормальным базисом
пространства А n, так что каждый вектор х пространства
А n записывается в виде
х == х 1 81 + . . . + Х Р 8 р + x p + 1 e p +i + . . . + x,ze n .
Для Toro чтобы вектор х был нормальным ко всему про-
странству 8 р , необходимо, чтобы оН был нормальным к
каждому вектору 8i) i == 1, ..., р. Таким образом, должно
быть выполнено условие
(х, 81) == о;
i == 1 t ..., р.
.47
Из последнеrо условия вытекает
Х 1 О Х Р О
, ..., .
Таким образом, вектор z, нормальный ко всему прост"
ранству ВР, записывается Б Биде
z == х р + 1 8р+l + . . . + х п 8 n .
Совокупность всех векторов TaKoro вида составляет век.
торное подпространство Cq пространства Аn размерности
q==п p, которое является ортоrональным дополнением
подпространства ВР. Ясно, что подпространство 8 Р , в
свою очередь, является ортоrональным дополнением под.
пространства Cq.
Дадим rеометрическое описание скалярноrо произве..
дения двух векторов пространства А n.
Е} Пусть
Х,у
два линейно независимых вектора пространства А п.
Совокупность всех векторов
и == (ХХ+ Y,
rде а и произвольные действительные числа, состав...
ляет двумерное векторное подпространство А2 BeKTopHoro
пространства Аn. Пространство А2 является векторным'
двумерным евклидовым пространством, иначе rоворя, евк-
лидовой плоскостью. Таким образом, векторы х и у Я8
ляются линейно независимыми векторами плоскости А 2,
И ясно, что такое уrол между ними. Обозначим ero че
рез <р. Оказывается, что скалярное произведение векто-
ров х и У выражается в следующем виде:
(x,Y)==lxIIYlcoscp. (26)
Для доказательства формулы (26) ортонормируем пару
векторов х, У. Мы получим два вектора
8f,8 2 ,
составляющих базис двумерноrо евклидова пространства
A . При этом
Х == I х 181; У == 1>, f (8! COS ер + 82 sin ер). (27)
Таким образом,
(х,У):.:= (1 х 181' 'У 1(81 cos ер + 82 sin ер)) == I х Ily I cos ер.
Таким образом, формула (26) доказана. В случае, если
48
х и у линейно зависимы, то следует считать, что уrол <р
между ними равен нулю или з-t. При этом оба они выра-
жаются через один и тот же вектор:
x===lxI8 1 ; y== + IYle 1 .
т or да мы имеем
(х, у) == 1 х IIY I cos о
или
(х, у) == I х 11 у I cos л.
Таким образом, формула (26) имеет место для любых двух
векторов х И.У из А п .
F) Пусть А 3 евклидово векторное пространство раз-
мерности 3 и
81,82' В3
(28)
ero ортонормальный базис. Определим векторное ира-
изведение
z==[x,y]
двух векторов
х == х 1 Вl + х 2 8 2 + Х 3 В з ,
у == y 1 8 1 + у2 82 + у3 вз _
Зададим к()ординаты zl, z2, Z3 вектора Z в базисе (28)- с
помощью формул:
ZI == х 2 уз x3y2,
Z2 == х 3 у l хlуз,
Z3 == х 1 у 2 x2y1..
Инвариантность этоrо определения BeKTopHoro произведе-
нин относительно вь бора базиса (28) мы рассмотрим лез-
же (см. 14). Здесь отметим только, что
[x,y] [y, х]; [х, х]==о.
(29)
Вычислим векторное произведение z, пользуясь форму-
лами (27). Для этоrо выберем ортонормальный базис про-
странства А3 специальным образом так, чтобы вект@{}ы
х и у записывались при помощи формул (27), и вычис"
лJ1м векторнре произ едение z, пользуясь этими форму-
лами. Из них и ИЗ формул (29) вытекает:
ZI==O, Z2==0, zЗ==lх"УJsinср,
rде q> уrол между векторами х и у. Таким образом,
векторное произведение векторов х и у ортоrонально к
49
ним и ero моду ль равен произведению моду лей I х I и
'У I на модуль синуса, а направление ero опред-еляется
уrлом ер.
G) Отображение ер евклидова BeKTopHoro пространства
А n на евклидово векторное пространство А n называется
изоморфным, если оно линейно (СМ. Э 11 G)) и сохраняет
скалярное произведение, т. е. если для любых двух век-
торов Х и у из Ап имеет место формула
(ер (Х), ер (у)) === (х, у).
(30)
Заметим, что в силу формулы (20) сохранение скаляр-
Horo произведения вытекает из сохранения длины векто-
ров при отображении ер. Именно, если для любоrо век-
тора х Е А п имеет место соотношение
Icp(x)(==lxl,
то при отображении ср сохраняется и скалярное произведение
(см. (30)). Пусть СРt изоморфное отображение евклидова
BeKTopHoro пространства Ап caMoro на себя, непрерывно
зависящее от па раметра t, меНЯIощеrося в пределах О
t 1, причем еро есть тождественное отображение А 11.
на себя, т. е. выполнено условие
СРо (х) == х.
Таким образом, отображение СР! получается из тождест-
BeHHoro отображения путем непрерывноrо ero изменения
или, иначе rоворя, путем ero непрерывной деформации.
Изоморфное отображение евклидова BeKTopHoro простран-
ства caMoro на себя, которое получается путем непрерыв-
ной деформации тождественноrо отображения СРо, назы-
вается вращением евклидова BeKTopHoro пространства Ап.
Следует отметить, что не всякое изоморфное отображе-
ние евклидова BeKTopHoro пространства caMoro на себя
может быть получено путем вращения. Это будет дока-
зано в Э 14.
В евклидовом векторном пространстве определено рас-
стояние р (х, у) между каждыми двумя ero точками х и
у, ИЛИ, что то же самое, между любыми двумя вектораIvIИ
с концами Х и у, выходящими из начала координат. Оно за-
дается формулой
p(x,Y)==lx YI.
(31)
50
13. Кватернионы
Комплексные числа иrрают в математике
оrромную роль. В связи с этим возникло желание дать
дальнейшее обобщение действитеLТIЬНЫХ чисел. На этом
пути были построены кватернионы, роль которых в , ма-
тематике оказалась незначительной. Кватернионы полу-
чаются в результате присоединения к действительным
числам не одной, а трех мнимых единиц, которые обо-
зна чаются через
i,j,k, (32)
так что каждЫЙ кватернион х записывается в форме
х::=хО+х 1 i+х 2 j+х З k, (33)
rде
Х О х 1 х 2 х3
, , ,
----- действительные числа, являющиеся координатами ква-
терниона х. Таким образом, совокупность /(4 всех кватер-
нионов представляет собой четырехмерное векторное про-
странство с базисом
1, i,j,k.
Если считать ЭТОТ баЗИQ ортонормальным, то векторное
пространство К4 становится евклидовым четырехмерным
пространством. Сумма кватернионов х и
у == уО + уl i + у2 j + уЗ k
определяется как сум:ма векторов, Т. е. задается формулой
х + у == х о + уО + (х 1 + уl) i + (x + у2) / + (х з + уЗ) k.
Кватернион Х превращается в действительное число х О ,
если ero координаты х 1 , х 2 ,. х 3 рав.ны нулю. Таким обра-
30М, в множестве ,К4 -всех I{ватернионов содержится дей-
ствительная ось D, состоящая из действительных I(BaTep-
нионов. Действительное число х О считается действительной
частью кватерниона х (33). Все кватернионы Х, дЛЯ кото"
рых Х О == О, считаются чисто I\1НИМЫМИ. ОНИ составляют
трехмерное подпространство 1 пространства 1(4. Простран-
ства 1 и D являются взаимно ортоrонаЛЬНЫl\1И дополнени-
ями. В соответствии с этим запишем кватернион х в виде
"-
х==хО+х,
rде x===x 1 i+x 2 j-tх З k. При этом хО действительная часть
,кватерниона, ,а,. X-:7::ero мнимая часть. Точно так же
51
запишем кватернион у, положив
у== уО+ у,
rде
у == y 1 i + y2j + y3k.
Кватернион х, сопряженный к кватерниону х, опре-
деляется формулой
х ;;:;. х о x
АнаJ оrIIЧНО
y==yO y.
Перейдем теперь к описанию правил умножения ква-
тернионов. Будем считать, что при перемножении коорди-
наты кватерниона, являющиеся действительными числами,
перестановочными с мнимыми единицами (32). После этоrо
остается задать лишь правила перемножения МНИМЫХ еди-
ниц (32). Они суть следующие:
i 2 == j2 == k 2 == 1 ,
ij== ji==k; jk== kj==i;
ki == ik === j.
(34)
(35)
Пользуясь этими правилами, перемножим сперва чисто
мнимые кватернионы х и у. МЫ имеем:
" л
ху == (х 1 у1. + x2y + х 3 у3)'+ (х 2 у3 x3y2) i +
+ (xly3 x3yl) j + (xly x2yl) k.
Ьспоминая правила скалярноrо и BeKTopHoro перемноже-
ния (см. 12 В), F» векторов х и у TpeXMepHoro евкли-
дова пространства 1, мы можем пере писать эту формулу
в 'виде
ХУ== (х, у) + [х, у].
(36)
Пользуясь этой формулой, произведение кватернионов х и
у можно записать в следующем виде:
"л л Л ""
xy==xOyO (x, у)+хОу+ уОх+ [х, у]. (37)
Выпишем теперь произведение кватерниона х и сопря
женноrо кватерниона х. Мы имеем
хх == (xO) + (х, х) === (х, х) == I х 12.
(3 )
...
Таким образом, произведение хх есть скалярный квадрат
вектора х в евклидовом пространстве К4. Из этоrо следует,
52
что каждый кватернион х, отлич'Ный. от нуля', имеет обрат-
ный кватернион x l, удовлетворяющий условию xx l =::
=== x lx == 1, причем
х
x l ==: тхт ·
(39)
Пользуясь фор муло й (37), выпишем теперь произведе-
ние кватернионов у, х. Мы имеем:
yx==xoyo (x, y) xoy yox [x, у].
Из этой формулы следует важная формула
ху===ух.
(40)
Докажем теперь, что
Ixyl==lxllyl.
(41)
Действительно, в силу формулы (38)
I ху 12 == ху ху == ху у х == х I у 1 2 х == х х I у 12 == I х 121 у 12.
. Из формулы (38) следует, что если модуль кватернио-
на в равен 1, то
8 1 == 8.
(42),
Совокупность всех кватернионов, по модулю равных 1,.
oUозначим через Н. Множество Н представляет собой трех..
мерную сферу в пространстве К4 радиуса 1 с центром
в нуле.
Заметим, что каждый кватернион а, по модулю рав-
ный ], может быть записан в форм
а == cos а + (sjn а) и, (43)
rде а есть уrол, удовлетворяющий условию I а I л, а
u чисто мнимый кватернион, по модулю равный единице 7
и наоборот, каждый к атернион, записанный в форме (43)?
имеет модуль, равный единице.
Докажем формулу (43). Так как пространство К4 рас-
падается в прямую сумму своих подпространств D и 1, то
a==s+f1 u ,
rде S, ll действительные числа, а u чисто мнимый ква..
тернион, по модулю равный единице. Далее,
1 :=; I а p ::=: аа === (s + f)u) (s 't]u) == S f)2U == + 1]2.
53
Следовательно, + f)2 == 1 и найдется такой уrол а, I ct I п,
что == cos а, 't') == sin а. Таким образом, формула (43) ДО'"
казана.
Так как кватернионы складываются как векторы, то
мы имеем
Ix+yl lxl+IYI.
(44)
Оказывается, что операции сложения и умножения,
имеющиеся для кватернионов, непрерывны. Именно, если
,
кватернион х мало отличается от кватерниона х, а ква..
,
тернион у мало отличается от кватерниона у, то кватер-
, , +
нион х + у мало отличается от кватерниона х у, а ква..
, ,
тернион х у мало отличается от кватерниона ху.
Докажем это. Мы имеем:
(х' + у') (x + у) == (х' x) + (у' у).
Т "
ак как по предположению х x и у у малые ква-
тернионы, то в силу формулы (44) кватернион (х' + y')
(х+ у) мал.
Перейдем к умножению. Мы имеем
х' у' xy == х' у' x' у +х' y xy == х' (у' у) + (х' x) у.
Так как у' y и х' х малые кватернионы, то в силу
формулы (41) кватернионы х' (у' y) и (х' x) у малы.
А в силу формулы (44) их сумма тоже мала.
14. rеометрические
применения кватернионов
В предыдущ м параrрафе мы построили со-
вокупность К 4 кватернионов, представляющую собой евкли"
дово векторное пространство размерности четыре. Было
установлено, что пространство это распадается в прямую
сумму действительных кватернионов D и чисто мнимых
кватернионов /, причем линейные подпространства D и 1
BeKTopHoro пространства К4 являются взаимно ортоrональ-
ными дополнениями.
В пространстве К4 было выделено множество Н ква..
тернионов, по модулю равных единице и представляющее
собой трехмерную сферу радиуса 1 с центром в начале
координат.
А) Каждому кватерниону а из Н поста8ИМ в соответ-
ствие отображение ta евклидова BeKTopHoro пространства
К4 на себя, задаваемое формулой
f а (х) == аха 1. ( 45)
4
Оказывается, что отображение {а всех кватернионов на
сеGЯ является изоморфизмом, Т. е. сохраняет операции,
имеЮШ,иеся в множестве кватернионов /(4. Именно, выпол"
няются соотношения
ta (х+ у) == fa (х) + fa (у),
fa (ху) == fa (х) fa (у).
(46)
Леrко проверяется, что при последовательном применении
двух отображений fa и fb имеет место соотношение
f af ь == f аЬ ·
Далее, оказывается, что линейное отображение {а евкли"
дова BeKTopHoro пространства К4 является вращением (см.
12 О). Кроме Toro, отображение fa переводит линей-
ные векторные подпространства D и 1 каждое само в себя.
Докажем предложение А). Прежде Bcero докажем
соотношение (46). Это доказательство осуществляется авто..
матически. Именно, мы имеем
f а (х + у) ::::: а (х + у) а 1 == аха --1, + а уа 1 == f а (х) + f а (у)«
Далее,
fa (ХУ) == axya l == axa--laya l == fa (х) 'а (у).
Докажем теперь, что при отображении {а длина вектора х
сохраняется. Для этоrо заметим прежде Bcero, что
.... -- -
axa ;t == a lxa == axa 1,
(см. форм улы (40) и (42».
в ,силу формулы (38) длина вектора axa l определяется
формулой
I axa ).12 == axa laxa l == axa--l axa l == a xxa l == I х 12.
Как было докааано в Э 12 из Toro, что длина каждоrо
вектора сохраняется при отображении 'а' следует, что
скалярное произведение, имеющееся в евклидовом вектор-
ном пространстве /(4, также сохраняется при отображе-
нии fa. Таким образом, отображение fa является изоморф-
ным отображением TpeXMepHoro BeKTopHoro пространства
1 на себя.
Далее, мы имеем, при х из D
axa l == хаа-- 1 === х.
Таким образом, fa (х) == Х, т. е. fa есть тождественное
отображение D caMoro на себя. Так как ортоrональность
I
65
при отображении f а сохраняется, то ортоrональное доrй)л..'
нение 1 к D также переходит само в себя.
Докажем теперь, что отображение fa является враще..
нием евклидова BeKTopHoro пространства К4. В силу 'фdр-
мулы (43)
а == cos rt + (sin (Х) и. .
Полаrая а (t) == cos rtt + (sin at) и, получаем кватерIlИОН
а (t), по модулю равный единице, который при изменении
t от О до 1 непрерывно меняется от 1 до а. Таким обра
зом, отображение 1 а (1) осуществляет непрерывный переход
тождественноrо отображения 11 в отображение lа и, сле-
довательно, lа есть вращение евклидова BeKTopHoro про..
странства К 4.
В) Пусть и, v ортонормальная пара векторов из J.
Рассматривая их как кватернионы, составим произведение
w == иv.
Оказывается, что для кватернионов
И, и, w
(47)
выполнены те же соотношения, что и для первоначально
взятых мнимых единиц кватернионов (32). Именно, имеют
место соотношения
и 2 == и 2 == w 2 == 1.
(48)
Далее,
ИV =:: VИ::=: w;
vw== wv ...:..... u;
wu === uw== v
(49)
(ер. с (34), (35). Докажем соотношения (48) и (49); сле-
дуя формуле (36), мы имеем
ии== (и, и)+[и, u]=== l,
Точно так же
ии== (и, и)+[и, и]==: 1..
В силу той же формулы (36) имеем
иv==[u, и]== [и, и]== vu.
Таким образом, кватернион W::=::: ИV определяется в трех-
мерном евклидовом пространстве 1 как векторное произ
ведение векторов и, и, а потому принадлежит 1. При этом
6
также имеет место соотношение
, -..... i I ..
uv== ии == ш.
. : ! ! 1
Таким образом, первое соотношение (49) доказано. Далее
имеем
(ии)2 == ии иv == uuv.v == l,
так что последнее из соотношений (48) тоже доказано.
Докажем теперь последние два из соотношений (49). Мы
имеем
vw == vuv == v 2 u == U
,
wu == uии == vu 2 == v.
Итак, все соотношения (49) доказаны.
С) Пусть и, v произвольная ортонормальная пара
нз 1. Про изведение кватернионов и, v обозначим через Ш,
Т. е. положим w === ии.
Плоскость из 1 с базисом и, w обозначим через Р. По..
ложим а == cos а + sin а · и, I а I л (см. (43)). Оказывается
тоrда, что вращение fa (см. (45) пространства 1 есть вра-
щение BOKpyr оси и, при котором плоскость Р вращается
в направлении от веКТора v к вектору w на уrол 2а. Пр
этом уrол а может быть и отрицательным; в этом случае
вращение происходит в противоположную сторону.
Докажем утверждение С). Вычислим кватернионы
'а (и) == aиa 1,
f а (и) == аиа 1 ,
f а (w) === awa 1 .
Так как кватернион а равен cos а + sin а · и, то он п реста-
новочен с и, следовательно, мы имеем:
f а (и) === а иа 1 == иаа 1 == и.
Далее, имеем:
'а (v) == (cosa+ sin а . и) v (cosa sin а . и) ==
==(cosa+sina. u)(cosa+sina. и)и==
=== (cos 2а + sin 2а · u)v cos 2а · и+ sin 2а · w.
Далее,
fa(w)==(cosa+sina. u)w(cosa sina. и)
==(cosa+sina. u)(cosa+sina. и)ш==
;;= (cos 2а + sin 2а · и) w C{)S 2а · w .......... in 2а · V.
'57
Из последних двух соотношений следует, что преобра..
зование fa осуществляет вращение плоскости Р в направ-
лении от вектора v к вектору w на уrол 2а.
О) Пусть х, у-----два кватерниона из 1, по модулю рав-
ные единице. Существует тоrда вращение {а такое, что
fa (х) == у.
Таким образом, существует вращение пространства 1, при
котором вектор х переходит в вектор у, и которое за-
дается в виде {а. При этом если х и у мало отличаются
друr от друrа, то уrол а мал, и потому кватернион а
близок к единице.
Для доказательства предложения О) проведем через
векторы х и у плоскость Р; и пусть u кватернион, т. е.
вектор из /, ортоrональный к Р и ПО модулю равный
единице. В Рвыберем произвольный вектор v, I v I === 1.
Тоrда и, v образуют ортонормальную пару в 1. Полаrая
,Ш ::::: U V,
МЫ получим ортонормальный базис (47) пространства 1,
причем ортонормальная пара v, w составляет базис пло-
скости Р, в которой лежат векторы х и у. Оч.евидно,
существует такой уrол а, что поворот на уrол 2а в на..
правлении от v к w будет переводить вектор х в вектор у,
при этом (Х может быть и отрицательным. Но если при
этом х и у мало отличаются друr от друrа, то уrол (Х
будет мал. Таким образом, предложение О) доказано.
Е) Существует такое вращение fc (см. А»), что
f с (i) == а, f с (j) == v, f с (k) == ш,
rде и, V, w.........Кватернионы, построенные в В). При этом,
если ортонормальная система i, i, k (32) близка к орто-
нормальной системе и, v, w (47), то кватернион с близок
к единице, и следовательно, вращение fc мало.
Докажем: предложение Е). В силу предло)кения О)
существует вращение fa' переводящее кватернион i в ква-
тернион и, т. е.
f а (i) == а.
При этом, если ортонормальные системы (32) и (47) блпзки,
ТО кватернион а близок к единице. Пусть р......... плоскость
с ортонормальным базисом j, k и
р' fa (Р),
тоrда плоскость р' содержит кватернионы Та (j), {а (k), v,
58
w. Теперь существует такое вращение {Ь' Ь == sin + cos Р · и
BOKpyr оси и, при котором кватернион 'а (j) переходит
в кватернион v; при этом, если ортонормальные системы
(32) и (47) близки между собой, то кватернион Ь близок
к единице.
Таким образом, мы имеем
fb (fa (j» == и.
Положив с== Ьа, получим
f с (i) == и, f с (j) == и.
Далее,
Тс (k) == 'С (ij) == 'С (i) 'С (j) == ИV== Ш,
при этом, если ортонормальные системы (32) и (47) близки
друr к друrу, то кватернионы а и Ь близки к единице,
а следовательно, близок к единице и кватернион с.
F) Пусть
и о , и о , Ш О ; Иi' Vi, W:f
две ОрТОНОр /Iальные тройки в пространстве 1, мало от ли-
чающиеся друr от друrа. Тоrда существует такое враще-
ние 'с' rде с кватернион, близкий к единице, при котором
fс(И о )==И 1 ' fc(Vo)==Vi, fc(Wo)==Wi. (50)
Докажем утверждение F). Так как кватернион W == ИоV о
ортоrонален к кватернионам и о , и о , то мы имеем
Ш == 2Ш о , rде ВО == + 1.
Поскольку кватернион Ш == И 1 V 1 ортоrонален к кватер'"
иионам и 1 , Vi, то мы имеем Ш == B 1 W i, rде В 1 ==х 1.
Так как кватернионные пары и о , и о ; Ui, и 1 близки между
собой, то их произведения Ш и Ш также близки. А из бли
, ,
зости кватернионов Ш О и Ш 1 вытекает, что 20 == 21 == 2,
rде 2 == ::f:: 1.
Кватернионные тройки
и о , и о , ВШ О И и 1 , Vi, 2te.'i,
близкие между собой, составляют ортонормальные системы
в 1, которые MorYT служить мнимыми единицами системы l( 4
(см. В». Поэтому в силу предложения Е) существует вра-
щение 'с' rде с кватернион, близкий к единице, при
котором
'с (и о )== Иi, fc(Vo)==Vi, fc(ew o )::;:: 8W i..
59
Таким образом, соотношения (50) имеют место. Утверж..
дение F) доказано.
Т е о р е м а 1. Всякое вращение g вектОРНО20 np6c"f
ранства 1 всех чисто мнимых кватернионов может быm6
записано в ви де
g (х) == f а (х) === аха 1,
2де а некоmОрblЙ кватернион, по модулю равный единице.
Если два кватерниона а и Ь равны по модулю единице,
то вращения fa и fb совпадают тО2да и только тО2да,
КО2да а u Ь либо совпадают, либо отличаются знаком,
то ecпlb
ь == + а.
Доказательство. Так как g есть вращение, то
оно получается в результате непрерывноrо перехода qJt
от тождественноrо отображения СРо к вращению СР1 === g
(см. 9 12 G)). Здесь О t 1, а <Vt есть вращение, непре-
рывно зависящее от параметра t. Разобьем отрезок [О, 1]
на п равных частей длины б, причем б настолько малое
число, что вращения <Ррб и <Р(р+1) б мало отличаются дpy
от друrа. Это значит, что для любоrо вектора х дли 'ы
еДиница из 1 кватернионы СРрб (х) и СР(р+1) б (х) близки друr
к друrу.
Пусть i, j, k кватернионные единицы из 1 (32).
Тоrда, так как ортонормальные тройки
СРр6 (i), СРр6 (j), <Ррб (k);
СР(Р+1) б (i), <Р(Р+l) б (j), <Р<Р+1) 6 (k)
близки между собой, то в силу F) существует такой ква..
тернион Ср' близкий к единице, что вращение 'С р Переводит
первую И3 этих троек во вторую (см. F)). Таким образом,
последовательное применение вращений fc' 'с' ..., f C
t 2 п
переведет ортонормальную тройку i, j, k в ортонормаль:"
ную тройку
g (i), g (j), g (k).
Таким образом, вращение g будет получено как после..
довательное применение вращений fCt' ..., fc п ' так что
искомый кватернион а задается формулой
а == CпCп f · . · С 1 .
Тем самым первая часть теоремы доказана.
GO
Докажем теперь, что вращения f а и f ь совпадают тоrда
и только тоrда, коrда а == + Ь. Если последнее равенство
и т место, то очевидно, что вращения {а и {ь совпадают.
Докажем обратное утверждение. Рассмотрим вращение
fc==fa 1fb' Тоrда c==a 1b. Если вращения {а и {ь совпа-
дают, то вращение {с является тождественным. Пусть
с == cos (Х + sin (Х · и, \ (Х I л
(см. D». Тоrда в силу предложения В) вращение 'С
я ляется вращением BOKpyr оси u на уrол 2(Х. Такое вра-
щение является тождественным лишь при условии, I\оrда
2(Х == 2qл, Т. е. (Х == qл. В этом случае с == + 1, и следова
rrельно, а == + Ь. Итак, теорема 1 полностью доказана.
Займемся теперь вращением четырехмерноrо евклидова
eKTopHoro пространства К4, состоящеrо из всех KBaTep
нионов. .
G) Каждой паре кватернионов а, Ь Е Н, по моду лю pa -
ных единице, поставим в соответствие отображение
{а, ь (х) == axb 1,
rде х произвольный вектор из К4, т. е. произвольный
кватернион. Оказывается, что 'а, Ь есть вращение евкли-
дова BeKTopHoro пространства К4. .
Для доказательства этоrо докажем, что отображе-
ние {а, ь не меняет длины вектора, т. е. модуля кватер..
ниона х. В силу формулы (41) мы имеем
I ахЬ 1 I == 1 а 11 х 11 Ь 1 I == 1 х 12 ·
Таким образом, модули кватернионов. х и fa, ь (х) равны
между собой и, следовательно, в силу формулы (20) 'а, ь
есть изоморфное отобра)кение евклидова BeKTopHoro прост-
ранства К4 caMoro на себя.
Докажем теперь, что изоморфное отображение fa ь
евклидова BeKTopHoro пространства К 4 является враще-
нием, т. е. получается в результате непрерывноrо пере-
хода CfJt, О t 1, тождественноrо отображения <1>0 в
отображение СР1 == СРа, ь. Для этоrо запишем кватернионы
а и Ь в форме D):
а == cos (Х + sin (Х · и,
Ь == cos + sin . v.
Положим далее
а (t) == cos (Х! + sin (Xt . и,
Ь (t);;;; соэ pt + iP t · V
6!
Кватернионы а (t) и Ь (t) непрерывно зависят от пара
метра t и по модулю равны единице. Таким образом,
отображение 'а (t). ь (t) есть изоморфное отображение eBI)#p
дова BeKTopHoro пространства К4 caMoro на себя, неп'ре
рывно зависящее от t и переводящее тождественное
отображение в отображение 'а. ь. Таким образом, 'а. ь есть
вращение евклидова BeKTopHoro пространства [(4.
Т е о р е м а 2. Каждое вращение g евклидова вектОРНО20
пространства К4 задаепlСЯ формулой
g (х) == fa. ь (х) == axb-- (51)
(СМ. G». При эmом вращения 'а Ь и 'а', Ь' совпадают тОсда
и только тОсда, КОсда кватерн.ионы а' u Ь' совпадают с
кватернионами а и Ь или одновременно отличаются от
них знаком.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
8 == g (1). (52)
Здесь В-----кватернион, по модулю равный единице. Наряду
с вращением g рассмотрим отображение, определяеrvfое
формулой
g' == в -- J g.
(53)
Леrко проверить, что отображение g' является вращением
евклидова BeKTopHoro пространства К4, так как кватер..
нион 8 может быть получен из единичноrо кватерниона
в результате непрерывноrо изменения 8 (t), rде 18 (t) 1== 1,
и переводит единицу в кватернион в. Кроме Toro, YMHO
жение всех кватернионов из К4 на кватернион 8 (t), по
модулю равный единице, является изоморфным отображе
нием евклидова BeKTopHoro пространства К4 caMoro на
себя (см. F). Итак, g' есть вращение евклидова вектор"
Horo пространства К4. Из соотношений (52), (53) следует,
что вся действительная ось D в евклидовом векторном
пространстве К4 при отображении g' отображается тож-
дественно сама на себя. А так как g' есть изоморфное
отображение евклидова BeKTopHoro пространства К4 на
себя, то ортоrональное дополнение к D, а именно 1,
отображается при помощи g' само на себя. Таким обра..
I
зом, g является вращением евклидова BeKTopHoro прост-
ранства 1.
Следовательно, в силу теоремы 1 оно может быть
записано в виде
g' (х) == cxc J1o
62
Отсюда следует, что отображение g. записывается в виде
g (х) == 8cxc 1. (54)
Полаl-'ая, что
8С== а, с== Ь,
мы видим, что формула (51) верна, и первая часть тео.
ремы 2 доказана.
Перейдем к доказательству второй ее части.
Так как кватернион 8 однозначно определяется отобра-
жением g, то из совпадения ДВУХ вращений gl и g2 евкли"
дова BeKTopHoro пространства К4 caMoro на себя следует
и совпадение соответствующих им отображений g и g .
Следовательно, в силу формулы (54) кватернионы с!
и с 2 , соответствующие отображениям gl и g2' по теореме 1
MorYT отличаться лишь знаком.
Отсюда следует, что отображения 'а, ь И fa', Ь' MorYT
совпадать тоrда и только тоrда, коrда кватернионы а, Ь
совпадают с кватернионами а', Ь' или оба отличаются от
них одним и тем же знаком.
Итак, теорема 2 доказана.
Покажем теперь, что не всякое изоморфное отображе-
ние евклидова BeKTopHoro пространства 1 caMoro на себя
может быть получено как вращение.
Н) Кватернионные единицы i, j, k, лежащие в 1, пред-
ставляют собой ортонормальную систему, которая может
служить базисом пространства 1. Тем же свойством обла-
дают кватернионы i, j, k. Существует поэтому изоморф-
ное отображение f TpeXMepHoro евклидова BeKTopHoro
пространства 1, при котором
f(i)==i, f(j)==j, f(k)==- k.
Отображение f не может быть записано формулой
f == fa
(см. (45». Действительно, если бы это равенство имело
место, то мы имели бы
fa(i)==:i, fa(j)::::j, fa(k)=:%-----k.
Но это невозможно. Действительно,
f а (k) == f а (i j) == f а (i) f а (j) == i j == k.
Итак, не всякое изоморфное отображение еВКЛИДова
BeKTopHoro пространства 1 на себя может быть получено
как отображение 'а, а между тем в силу теоремы 1 любое
вращение пространства 1 может быть записано в форме f а.
63
Таким образом, не всякое изоморфное отображение f
евклидова BeKl'OpHOrO пространства 1 на себя является
вращением.
Докажем теперь инвариантность определения вектор-
Horo произведения [х, у] двух векторов х, у из 1, которое
дано было в координатной форме при помощи ортонор-
мальноrо базиса, i, j, k (см. 12, F)).
В евклидовом векторном пространстве 1 имеется базис
i, j, k, (55)
а также ортонормальный базис
и, и, w
(56)
(см. В)), получаемый из базиса (55) путем вращения в
евклидовом векторном пространстве 1 (СМ. Е)). При этом
правило перемножения кватернионов (56) полностью сов...
падает справилом перемножения кватернионов (55).
Пусть теперь х и Y ДBa кватерниона из 1. Запишем
их в базисах (55) и (56):
x===x 1 i +x 2 j +x 3 k,
У== y 1 i + y2j + y3k.
(57)
Далее, имеем
х == 1и + 2и + 3ш,
у == ч 1u + f) 2 V + ,,3ш.
(58)
Векторное произведение [х, у] при помощи координат,
связанных с базисом (55), было определено формулой
[х, у] == (х 2 у3 x3y2) i + (х 3 у l xly3) j + (х 1 у2 x2yl) k.
После этоrо было дока;зано, что кватернионное произведе..
ине ху выражается формулой
ху === (х, у) + [х, у],
при этом доказательство опиралось на правило перемно-
жения кватернионов (55).
Составим теперь, кватернионное произведение ху при
помощи базиса (56). '
Так как правило перемножения кватернионов (56) 110Л-
ностью совпадает справилами перемножения кватернио-
нов (55), то кватернионное произведение ху запишется
при помощи координат (58) в форме
xy== (x, у)+[х, у].
64
Но вместо координат (57) будут стоять координаты (58).
Так как координатная запись скалярноrо произведения
(х, у) инвариантна относительно выбора ортонормальноrо
базиса, то векторное произведение [х, у] двух векторов
х и у, взятых в двух ортонормальных базисах (55) и (56),
которые MorYT быть переведены один в друrой путем вра..
щения, оказывается одинаковым.
Но это относится только к ортонормальным базисам,
которые можно перевести друr в друrа путем вращения
з л. С. Понтряrнн
r ЛАВА 5
друrИЕ ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
Для TOrO чтобы вполне точно ставить вопрос
об обобщениях чисел, мы в первую очередь должны точно
u u
определить те правила деиствии, которые должны иметь
место, а эти правила формулируются как правила дейст-
вий, имеющиеся в алrебраических телах и полях. Поэтому
первый параrраф настоящей rлавы посвящен определению
алrебраических тел и полей.
Во втором параrрафе этой rлавы доказывается теорема
Фробениуса о том, что друrих обобщений действительных
чисел, кроме комплексных чисел и кватернионов, не
существует.
В следующей rлаве будут рассматриваться друrие обоб-
щения чисел.
15. Алrебраические тела и ПОЛ
В этой книrе мы уже имели дело с несколь-
кими видами чисел или, лучше сказать, величин, так как
кватернионы не принято называть числами. Я имеIО в виду
рациональные, действительные, комплексные числа и ква-
тернионы. Все упомянутые четыре вида величин имеют
некоторые общие черты. В каждом из упомянутых четырех
множеств величин имеются два действия сложение. и
умножение. Для каждоrо из этих действий выполнены
определенные правила. Прежде чем формулировать эти
правила, скажем, что совокупность величин, в которой
(1
определены два деиствия сложение и умножение, связан-
ные TaKoro рода правилами, называется в алrебре телом,
а в случае, если умножение коммутативно, полем. Сово-
купность или множество всех величин, составляющих
тело, обознаЧИ1\1 через К. Сформулируем теперь те пра-
вила, которым удовлетворяют действия, имеющиеся в К.
1. По сложению тело К коммутативно. Это значит, что
если х и у две величины из К, то имеет место равенство
х+ у==у+х. (1)
66
2. Сложение ассоциативно. Это значит, что если х, у,
z три величины из К, то выполнено следующее правило:
(х + у) + z == х + (у + z).
3. В l( имеется единственный элемент, называемый
нулем сложения и обозначаемый знаком о. Он удовлетво
ряет следующему условию:
х + о === х;
следовательно (см. (1)), О+х===х.
4. Для каждой величины х из [( Иl\/Iеется противопо
ложная ей величина, обозначаемая x и удовлеТВОРЯIО
щая следующему условию:
x+( x)===O.
Из сформулированных правил следует, что соотношение
x+y==z
(2)
(у и z заданные величины) рассматриваемое как уравне-
ние относительно х, разрешимо. Для ero решения к обеим
частям равенства (2) прибавим y. Тоrда получим
х == z + ( y) == z y.
Таким образом, в К им:еется действие вычитание, обратное
сложению.
Из сказанноrо видно, что совокупность всех элемеНТОВ J
входящих в К, по сложению образует коммутативную
rруппу.
Для умножения выполнены правила, аналоrичные. Te!\-l,.
которые были перечислены для сложения, за исключением
одноrо первоrо коммутативности.
5. УМНО:lкение в К ассоциативно. Именно, если х, у, z
три величины из К, то выполнено условие
(ху) z === х (yz).
6. В К существует единица е умножения, удовлетво
ряющая следующему условию:
ez === ze == z.
7. Для каждоrо элемента z' из К, отличноrо от О,
имеется обратный элемент, обозначаемый z l, удовлетво
ряющий условию
Z lZ == zz }: == е.
3":
67
Из сформулированных правил умножения, имеющихся
D К, вытекает, что соотношения
ху == z, (3)
ух === z, (4)
rде У, z заданные элементы К, причем у =1= О, MorYT быть
разрешены относительно х. Для решения уравнения (3)
умножим обе ero части справа на y l. Тоrда получим
х === zy l.
Для решения уравнения (4) умножим обе ero части слева
на y l. Тоrда получим
х == y lZ.
Таким образом, по умножению все элементы из К,
отличные от о, образуют rруппу.
Наконец, действия сложения и умножения, имеющиеся
в К, связаны следующим правилом.
8. Дистрибутивность. Именно, если х, у, z три произ-
вольных элем.ента из К, то имеют место соотношения
(х + У) z === xz + yz;
z(x+y)==zx+zy.
ИЗ сфОРМУЛИРО8анных правил вытекает
Oz==zO==O.
(5)
Действительно, мы имеем
Oz == (о + о) z === Oz + Oz.
Вычитая из обеих частей этоrо соотношения Oz, ПОЛУЧИ J1
О == Oz.
Второе из соотношений (5) доказывается аналоrично.
С друrой стороны, из соотношения
ху === О
(6)
следует, что один из множителей (х или у) равен о.
Это свойство тела формулируют, rоворя, что в теле К
нет делителей нуля. Докажем это.
Допустим, что У =1= о, и докажем, что х тоrда равен о.
Умножая обе части соотношения (6) справа на y--l, по..
лучим х== Oy--l === о. Аналоrично доказывается, что если
х =1= О, то у == о.
Естественным образом определяется умножение произ..
вольноrо элемента х тела К на целое неотрицательное
68
j
число п: именно,
Ох == о;
1 х == х;
2х == х + х;
3х == х + х + х;
Леrко проверяется, что если т и п ДBa целых не-
отрицательных числа, то
тх + пх== (т + п) х;
(тх) (пу) == тпху.
(7)
(8)
Определим теперь так называемую характеристику
тела К, которая равна либо О, либо простому числу р.
LLля этоrо составим последовательность элементов тела К
Ое, 1 е, 2е, . . ., пе, ... (9)
Если в этой последовательности элементов толы(о
один элемент Ое равен О, то считают, что тело К имеет
характеристику о. Если это не имеет места, то в после
довательности величин (9) встречаются нулевые элементы,
отличные от Ое. В множестве элементов (9) определ ны
операции сложения и умно)кения (см. (7), (8)). Оказы
вается, что в случае, коrда характеристика не равна О,
множество (9) содержит лишь конечное число различных
элементов, составляющих поле РР вычетов по простому
модулю р (см. 16). В этом случае характеристикой тела
считается простое число р.
Очевидно, что поле R всех рациональных чисел имеет
характеристику О. Оказывается, что в известном смысле
поле R является простейшим полем характеристики о.
Определение 1. Два тела К и К' считаются иэо
МОрфНblJvtи, если cyи ecтвyeт взаимно однозначное cooтвeп1
ствие между элементами множеств К и К', причем
операции, имеющиеся в К и К', переходят друе в друса.
Более депzально: существует такое взаимно однозначное
отображение t множества К на множество К', при ко..
тором операции умножения и сложения сохраняются,
т. е. выполнены условия
f (х + у) == t (х) + f (у),
f (ху) == f (х) f (у).
Отображение f тела К на тело К' называется uзоморф
HЬt.М или изоморфизмом. f! СНО, чщо !lPU и ОМQрфизме нуль
69
ne !'fXOaUtп в нуль, едUflица в единицу, противоположный
ЭJ1fАlеНfn в пРОfпивоположный, обратныЙ в обратный.
При определении характеристики тела К мы paCCMa
три вали последовательность (9) элементов тела. В случае,
если характеристика тела К равна нулю, мы, пользуясь
операциями вычитания и деления, имеющимися в теле К,
!'ложем определить естественным образом произведение лю-
боrо рациональноrо числа r на единицу е. Таким обра-
зом, в теле К имеется совокупность всех элементов вида
.......
(е, rде r рациональное число. Lовокупность всех таких
элементов естественным образом составляет поле, лежащее
в теле К, и поле это изоморфно полю рациональных чи-
сел. И, таким образом, поле рациональных чисел яв-
ляется простейшим телом характеристики нуль.
О п р е Д е л е н и е 2. Если в lпеле К содеРЖИlпся мно-
жество элементов К 1, KOnlopoe в силу операций СЛОJfсенuя
u умножения, UlvlеЮlЦUХСЯ в К, составляет тело, то nlело
К 1 называется подтелом К. , а тело К расшu рением
/nела К 1.
Приведем теперь описание простейшеrо поля xapaKTe
ристики р. Оно является полем вычетов по модулю р. .
16. Поле вычетов
по простому модулю р
А) Пусть т > 1 ..........некоторое натуральное
число. rоворят, что целые числа а и Ь сравнимы между
собой по модулю т, и пишут
а == Ь (mod т),
если разность b a делится на lп, т. е. если
b==a+Cfп,
(1 О)
rде с целое число. Очевидно, что если два числа cpaB
нимы с одним И тем же числом по модулю т, то они
сравнимы и между собой по oдy лю т.
В) Множество всех чисел, сравнимых с некоторым за-
данным числом а по модулю 'т, называется вычетом по
модулю т. Будем обозначать это множество через [а].
Очевидно, что каждые два числа множества [а] сравнимы
между собой по модулю т. Если Ь произвольное число
из множества [а], то множества [а] и [Ь] совпадают между
собой:
[а] == [Ь].
70
Ясно,. что совокупность
[О], [1], [2],
. . . ,
[m 1]
составляет СОВОКУПНОСТЬ всех вычетов по модулю {п. Та..
ким образом, имеется ровно т вычетов по модулю n1.
С) Пусть а 1 И, a2 ДBa целых числа, [а 1 ] и [a2] coдep-
жащие эти числа вычеты ПО модулю т; Ь 1 , Ь 2 ......... два целых
числа, принадлежащих соответственно вычетам [а 1 ], [а 2 ].
т оrда в силу (1 О) мы ИlV1еем
Ь 1 == а! + C 1 nZ, Ь 2 ==. а 2 + с 2 т.
И, следовательно,
bf. + Ь 2 == а! + а 2 + (С 1 + С 2 ) nz.
Отсюда видно, что сумма b i + Ь 2 принадлежит вычету
[а 1 +а 2 ]. Таким образом, складывая произвольное число
из вычета [а 1 ] с произвольным числом из вычета [а 2 ], мы
всеrда получим число, принадлежащее вычету [а! + а 2 ].
Следовательно, вычет [а 1 +а 2 ] однозначно определен вы..
четами [а 1 ] и [а 2 ]. Этот вычет не зависит от случайноrо
выбора чисел Ь 1 и Ь2, из вычетов [а 1 ] и [а 2 ]. Вычет [а 1 +а 2 ]
считается суммой вычетов [а 1 ] и [а 2 ]:
[а 1 ] + [а 2 ] == [а 1 + а 2 ].
Таким образом, в совокупности всех вычетов по модулю
т определена операция сложения. Нулем этоrо сложения
является [О]. Точно так же можно определить разность
двух вычетов по модулю т и произведение двух вычетов
по модулю т. Причем единицей умножения служит [1].
Мы видим, что в совокупности всех вычетов по модулю т
определены операции сложения, вычитания и умножения.
D) Если т He простое число, Т. е. если оно разло..
жимо на два мноя{ителя
т == rs,
rде r и s оба отличны от единицы, ТО ясно, что
[r] [s] == [О].
Таким образом, в случае не простоrо числа т в совокуп-
ности всех вычетов имеются «делители нуля». В этом
случае совокупность всех вычетов по модулю т с опре..
u
деленными в этон совокупности операциями не может
составлять поле. Оказывается, что если т === р есть простое
число, ТО совокупность всех вычетов по модулю Р соста..
71
вляет поле. Пусть
[1 ], [2], "', [р 1 ]
(11 )
совокупность всех вычетов по простому модулю Р,
отличных от нуля. Произведение двух вычетов [r] и [s]
из последовательности (11) не может обращаться в нуль.
Если бы было
[r][s]==[O],
то это означало бы, что rs делится на р, а это значит, что
один из этих множителей делится на р, т. е. соответствую-
щий ему вычет равен нулю, и, следовательно, не принад
лежит последовательности (11). Если [а 1 ], [а 2 ] и [а]
три произвольных вычета последовательности (11), то
равенство
[а 1 ] [а] == [а 2 ] [а]
(12)
возможно лишь в случае, если [а 1 ] == [а 2 ]. Действительно,
из равенства (12) следует
([al] [a2])[a] . [о].
Так как [а] не равно нулю, то первый множитель равен
нулю и, следовательно, [а 1 ] == [а 2 ]. Таким образом, YMHO
жая все вычеты последовательности (11) на один и тот
же вычет [а], мы получим ровно p 1 вычет, причем все
они будут различны. Это значит, что умножение на la]
последовательности (11) отображает ее на себя взаимно
однозначно. Таким образом, найдется такой вычет [а'], что
[а] (а'] == [1].
Это значит, что для вычета [а] существует обрат'ный вы-
чет [а'], и потому совокупность всех вычетов по простому
моду лю р составляет поле. Это поле называется полем
вычетов по модулю р, причем р простое число. Мы бу-
дем обозначать это поле через РР.
Е) Если в последовательности (9) элементов некото-
poro тела К имеется равный нулю элемент, отличный от
элемента Ое, то обозначим через т минимальное натураль.
ное число, при котором те== о. Оказывается тоrда, что
если целое число t удовлетворяет условию te == О, то t
делится на т. Действительно, разделив t на т, мы
получим
t == qm + r ,
72
rде q частное, (-----осТаТоК, причем r < т. Умножая это
равенство на е справа, мы получим.:
O==O+re.
Таким образом, ,е == О, причем r < т, что противоречит
нашему предположению. Очевидно, что если два целых
числа а и Ь обладают тем свойством, что ае == Ье, то а
и Ь сравнимы по модулю т. Таким образом, устанавли-
вается взаимно однозначное соответствие между элемен-
тами тела К вида ((9) Э 15) и вычетами по модулю т,
при котором сохраняются операции сложения и умноже-
ния. Так как в теле К отсутствуют делители нуля, то
число т должно быть простым (см. D)). Следовательно,
совокупность всех элементов вида (9) тела К изоморфна
полю вычетов РР по простому модулю р. Простое число
р называется хаР.Jктеристикой тела 1(. Тем самым поле
вычетов РР является простейшим теЛОlVI характеристики р.
Непос редственно к предложению D) примыкает так
называемая малая теорема Ферма, отличная от великой
теоремы Ферма, пользующейся широкой известностью.
В дальнейшем малая теорема Ферма не будет использо-
вана в этой книrе. Я привожу ее здесь вместе едоказа -
тельством, так как она является нетривиальным примене-
нием вычетов.
Малая теорема Ферма. Пусmьр простоечисло,
а произвольное целое число, не делящееся на р. ТОсда
имеет место следующее сравнение:
aP l == 1 (mod р). (13)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Последовательность (9) состоит
из всех величин поля РР, отличных от нуля. Умножая
все эти величины на вычет [а] из поля РР, мы, как это
было доказано в предложении D), получим те же самые
величины последовательности (9), расположенные в дру-
rOM порядке. Таким образом, в поле РР имеет место
следующее равенство:
[ а ]Р 1 [1 ] [2] . . . [р 1 ] == [1] [2] . . . [р 1 ] .
Величина, стоящая в правой части этоrо равенства,
отлична от нуля в поле РР, поэтому последнее paueHcTBO
можно на нее разделить. Так что мы получаем равенство
[a]P l == [1].
Это равенство, имеющее место в поле РР, равносильно
числовому сравнению (13), которое содержится в Форму-
73
лировке малой теоремы Ферма. ТаКИl\1 образом, малая
rreopeMa Ферма доказана.
Проверим малую теорему ФерIVlа на ПрОСТОl\.1 числовом
примере. Пусть р == 5, а == 2. Имеем 24 == 16, а 16 очевидно
сравнимо с 1 по модулю 5.
Рассмотрим теперь вычеты по простейшим модулям 2,
3 и 4. .
Имеются два вычета по модулю 2: [О] и [1]. Для
этих вычетов имеются следующие правила сложения и
умножения:
[O]+[IJ==[I],
[О] [1] == [о],
[1]+[1]==[0],
[1][1]==[1].
Из этих правил видно, что выч'еты по модулю 2 со-
ставляют поле, которое мы обозначаем через р2.
Вычетов по модулю 3 имеется три: [о], [1], [2].
Выпишем правило сложения и умно ения для этих
вычетов. Мы имеем
[1]+[1]==[2], [1]+[2]==[0],
[2] + [2] == [1],
[1][1]==[1]) [2][2)==[1].
Из этих правил видно, что вычеты по I'лодулю 3 состав-
ляют поле, которое мы обозначаем через рз.
Вычетов по модулю 4 имеется четыре: (О], [1], [2], [3].
Выпишем правила сложения и умножения для этих
вычетов. Мы имеем
[1]+[2]==[3], [1]+[3]==[0],
[2] + [3] == [1], [3] [3] == [2],
[2] [2] == [о], [2] [3] === [2], [3] [3] == [1].
Из этих правил видно, что вычеты по модулю 4 не со..
ставляют поле, так как квадрат вычета [2] равен нулю.
В частности, по этой причине нельзя равенство [2] [3] == [2]
сократить на величину [2], так как для величины [2]
нет обратной.
17. Теорема Фробениуса
т е о р е м а 3. Пусть L алсебраuческое lпело,
содержащее в качестве подтела тело D деЙСlпвитеЛЬНblХ
чисел, причем каждый элемеНtп из L КО,М,Лtуmатuвен по
у.множеflUl0 с элеменmа tU из D, а каждый элемент х из
'14
к записывается в виде
0 + 1" + + n.
Х == Х Х t 1 · · " Х t nt
(14)
2де х о , х 1 , ..., х n действительные числа, являющиеся
координатами величиНbl х так, что х есть (n+ 1)-мерныа
вектор. TaKUht образом предnоласается, что величины
1, ii, · · · t i 1Z
составляют базис eef mopfl020 пространства L. ДЛЯ опре-
деления умножения в L достаточно задать правило nере-
Лlножения велиЧUfl i f , . . ., i n так, чтобы каждое произве-
дение iri s записывалось в форме (14). Оказывается тОсда,
что L либо совпадает с полем D, то есть изоморфно полю
дейсmвитеЛЬflЫХ чисел, либо изоморфно полю 1(2 комплекс-
ных чисел, либо изоморфно телу 1(4 кватернионов.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поле D действительных чисел
состоит из всех величин х вида (14), для которых только
координата х о может быть отлична от- нуля. Множество
D представляет собой одномерное векторное подпростран-
ство BeKTopHoro пространства L. Тело L, очевидно, Иl'J1еет
характеристику о.
Для Toro чтобы сделать доказательство более обозри-
мым, разобьем ero на пункты А), В), С).
А) В теле L выделим величины, которые естественно
считать чисто мнимыми. Совокупность всех их обозначим
через 1. К I мы Отнесем всякую величину z из L, К,вад-
рат которой действителен, т. е. принадлежит D и непо-
ложителен. Т аким образом, 1 состоит из тех z, для ко..
торых
Z2 Е D; Z2 о.
Последнее неравенство может превратиться в равенство
только в случае Z == о. Ясно, что мно)кества 1 и D пере-
секаются только в нуле.
Величины из I обладают следующими свойствами.
Если сх действительное число, а z Е 1, то
cxz Е 1 . ( 15)
Далее, если z Е 1 и z *= о, то
Z l- Е 1.
( 16)
Оказывается, что каждая величина х из L единственным
способом разлаrается в сумму
х == а + z, (1 7)
дe а Е D, z Е 1ft
75
Itокажем утверждение А). Начнем с утверждения (15).
Мы имеем (cxz)2==a 2 z 2 . Так как a2 O, Z2 O, то (az)2 O.
11, следовательно, az Е 1.
Для доказательства (16) составим произведени€
Z2 (Z 1)2 == ZZZ lZ l == 1.
ТаКИl\1 образом, (Z 1)2 == (ZZ) l и, следовательно, отрица-
тельно. Так что Z l Е 1 .
Докажем теперь, что имеет место разложение (17).
Для этоrо составим последовательность величин
1 Х Х 2 Х N + 1
, , ,..., .
( 18)
Так как размерность BeKTopHoro пространства L равна
n + 1, а число величин последовательности (18) равно
n + 2, то в силу предложения А) 11 величины после..
довательности (18) линейно зависимы, т. е. имеет место
соотношение
СХ о + сх 1 х + ... +сх n + 1 х n + 1 ==О,
rде коэффициенты СХ о ' сх 1 , ..., СХ n + 1 суть действительные
числа, не все равные нулю. ТаКИl\1 образом, величина х
является корнем мноrочлена с действительными коэффи"
циентами, и потому в силу результатов 7 является
корнем либо мноrочлена gi первой степени, либо MHoro..
члена g2 второй степени. Так что для х выполнено одно
из двух соотношений
x cx===o; x2 2ax+b==O,
rде a2 b < о. в первом случае х есть действительное'
число сх, и для разложения (17) мы имеем а==сх, z==O.
Во втором случае мы имеем (x a)2 == а 2 b < о. Таким
образом, величина x a принадлежит 1; обозначим ее
через z. Тоrда мы получаем x==a+z, и разложение (17)
доказано.
Установим теперь единственность разложения (17).
Допустим, что наряду с (17) мы имеем разложение
х == ao+z o , (19)
rде aoED, zoEI. Докажем, что тоrда ао==а, zu==z. Вы..
читая из разложения (17), мы получим
z === Zo + (ao a)"
Возводя это равенство в квадрат, получаем
Z2 == Z + 2zo (ao a) + (ao a)2,
76
ИЛИ, иначе,
2zo (ao a) == z2 z (ao a)2.
Здесь в левой части стоит чистО' мнимая величина
(см. (15)), а в правой действительная. Таким образом,
обе они равны нулю. То есть мы имеем 2zo (ao a) == О.
Так KaI{ характеристика тела L не равна 2, то имеет
место равенство Zo (ao a) == О, что возможно только тоrда,
коrда один из множителеЙ равен нулю. ДОПУСТИI\1 сперва,
что Zo == О. Тоrда из соотношения (19) следует, что х
действительное число а о . А из соотношения (17) получаем
z == а о a. Таким обраЗОI\1, левая часть есть чисто I\1НИI\1ая
величина, а правая действительная. Следова тельно, обе
они равны нулю '[аким образом, мы пришли к выводу,
что Zo==z::=::O, а ОТСlода следует, что ао==а. (При этом
предполаrалось, что Z(J == О.) Если )ке равен нулю MHO
житель a(j a, то а о == а, а из этоrо в СIIЛУ соотношений
(17) и (19) вытекает, что Zo == z. ТаКИl\1 образом, единст
венность разложения (17) установлена и преДЛОR{ение А)
ПОЛIIОСТЬЮ доказано.
В) Пусть u и v две величины из 1, а r и s два
действительных числа. Тоrда, оказывается, имеют место
два нижеследующих соотношения:
uv+vuED, (20)
у) == r u + sv Е 1. (21 )
Из соотношения (21) следует, что 1 есть векторное
подпространство BeKTopHoro пространства L. А из этоrо
и из предложения А) вытекает, что L распадается в пря
мую сумму своих векторных подпространств D и 1.
Дока)l{ем предложение В). Рассмотрим сперва тот
простой случай, коrда величины
и, v, 1
линейно зависимы. Тоrда мы имеем
аи + v + у == О,
причем не все действительные числа а, , l' равны НУЛIО.
Последнее равенство перепишем в виде
аи == v 1'.
Здесь аи и v чисто мнимые величины в силу соот-
ношения (15) и в силу единственности разложения (17)
получаем l' == о. Таким образом,
аu == v.
77
Так как оба коэффициента а .Н В не MorYT быть равны
нулю, то один ИЗ них отличен от нуля. Для определен..-
ности будем считать, что В =f= О. Тоrда
а
V=== 1fu.
Подставляя это выражение в (20), получаем s == 2; и 2 ,
т. е. есть действительное число и соотношение (20)
в этом случае доказано. Подставляя полученное выраже-
ние для v в (21), получаем 'У]== (r ) и. Так что в си-
лу (15) 11 есть чисто мнимая величина.
Рассмотрим теперь случай, коrда величины и, v, 1
линейно независимы. Утверждения (20) и (21) будем дo
казывать вместе. Мы будем рассматривать только тот
случай, коrда r и s оба отличны от нуля. В противном
случае оба соотношения (20) и (21) леrко проверяются.
Для доказательства разложим величины и п соrласно (17).
Положим
==uv+vu==a+z,
(22)
rдеаЕD,zЕ/;
11 == ru + sv =:::: а о + zo'-
(23 )
rде а о Е D, ZO Е 1.
Для доказательства соотношений (20) и (21) нам дo
статочно доказать, что z == О и а о == О.
Возведем равенство (23) в квадрат. Тоrда мы получим
r 2 u 2 + S2V + rs (ии + ии) == a + 2a o z o + Z .
Подставляя в левую часть этоrо соотношения Bl\1eCTO
иv + ии ero выражение в силу равенства (22), мы получим
, 2 а 2 + 5 2 V 2 + rs (а + z) == a + 2a u z o + Z . (24)
Левая и правая части этоrо, равенства состоят из деЙст"
вительной и чисто мнимой части. В силу единственности
разложения (1 7) эти части должны соответственно paB
няться друr друrу. Мнимая часть левой части равенства
(24) есть rsz, а мнимая часть правой части есть 2a o z o '
так что мы имеем равенство
'52 == 2a o z o .
(25)
Рассмотрим теперь два различных случая. ПервыЙ:
z, ..;.. о; второй: Z:#= о.
18
в nepBOl\1 случае из равенства (25) мыI имееftл aoz o == о.
Следовательно, либо а о , либо Zo обращается в нуль. Если
a u == О, то соотношение (21) верно, а соотношение (20)
следует из предположения, что z == о. Если Zo == о, то
равенство (23) превращается в линейную зависимость
между и, v и 1. Этот простой случай нами уже разобран.
ТаI{ИМ образом, в предположении z == О (первый случай)
доказательство предложения В) получено.
Рассмотрим случай Z =1= о. Поскольку r и s оба не
равны нулю, то из соотношения (25) следует а о =J:= О, и
соотношение (25) можно переписать в виде
,s
ZO== 2 z.
ао
Подставляя это выражение для Zo в равенство (23), по-
лучаеl\1
rs
ra + sv::::::: ай + 2 z.
ао
(26)
Заметим, что z не зависит от чисел r и s и равенство (26)
доказано нами в предположении, что Z -=1= о. Выпишем
теперь равенство (26) для I{аких нибудь двух друrих чи-
I I М
сел r и s. ы получим
I , , " s'
r и + s v == а о + ........., z. (27)
2ао
Исключим из равенств (26) и (27) величину z, умножив
равенство (27) на подходящее действительное число с и
вычтя ero из равенства (26). Тоrда мы получим
(, cr') u + (S cS/) v == а о ca . (28)
Поскольку числа " и s' выбирались совершенно произ-
вольным образом, лишь бы оба они не равнялись нулю,
мы можем их выбрать так, чтобы не было пропорциональ
ности. В этом преДПОЛО)l{ении в равенстве (28) коэффи-
циенты r...........cr' и s cs' не !v1orYT оба обращаться в нуль.
Тоrда равенство (28) превращается в линейную зависи-
мость между величинами и, v и 1, f}'. е. в случай, разо-
бранный нами в самом начале доказательства предложе-
ния В).
Таким образом, предложение В) доказано.
С) Пусть u и v две величины из 1, удовлетворяющие
условиям
u 2 == ........ 1 , v 2 ;::::: 1, W == uVJE 1.
(29)
19
Тоrда величины и, V, W удовлетворяют тем же условиям,
что и кватернионные единицы (см. 13 (33), (34)), т. е.
имеют место равенства
и 2 == v 2 == w 2 == 1,
uv== vu == W, vw == wv== и;
wu == иш== v.
(30)
(31 )
Докажем .предложение С). ДЛЯ этоrо установим прежде
Bcero, что
vu == (UV) l.
Действительно,
uv vu == u ( 1) u :::::: и 2 ( 1) == 1.
Таким образом, мы имеем
uv+vu==uv+(UV) l. (32)
В силу соотношения (20) левая часть этоrо равенства
есть действительное число. Правая же часть есть сумма
двух чисто мнимых величин, так как (UV) l в силу (16)
есть чисто мнимая величина и, следовательно, правая
часть равенства (32) в силу (21) чисто мнимая. Таким
образом, обе части равенства (32) обращаются в нуль и,
следовательно, мы имеем:
uv == vu.
(33)
Таким образом, первое из равенств (31) нами уже до-
казано. Докажем теперь последнее из равенств (30). Мы
имеем
w'l == uv uv == uv vu == 1.
Докажем теперь второе и третье из соотношений (31).
Мы имеем
vw == vuv == vvu == и.
(34)
Три величины и, W и u == vw удовлетворяют тем же усло-
виям, что и величины (29), а для величин (29) имеет
место соотношение (33). Таким образом, здесь мы имеем
wv== vw.
Таким 05разом, вместе с (34) это соотношение дает второе
И3 соотношений (31).
Рассмотрим теперь
ши =::. UVU ::; UUV == v.
80
Точно так же, как и перед этим, докажем, что
ши == ИШ.
Таким образом, и третье соотношение из (31) доказано.
Итак, предложение С) доказано.
Перейдем теперь к заключительному этапу доказатель-
ства теоремы 3.
Если J содержит только нуль, то L совпадает с D
и, следовательно, изомор'рно полю действительных чисел D.
Таким образом, в этом случае теорема 3 верна.
Допустим теперь, что в I есть вектор Zo, отличный от о.
Тоrда, полаrая
· Zo
t == V '
Zo
мы получаем элемент i Е 1, удовлетворяющий условию
i 2 == 1.
Если размерность пространства 1 равна 1, то всякий
элемент из 1 записывается в форме
bi,
rде Ь действительное число. Тоrда каждый элемент из L
записывается в виде
а + bi.
Таким образом, в случае, коrда разность BeKTopHoro
пространства 1 равна 1 , тело L изоморфно полю комп-
лексных чисел К2.
Допустим теперь, что размерность пространства 1
больше единицы. Тоrда в 1 существует такая величина Zl'
что пара векторов
i, Zj
линейно независима.
Рассмотрим произведение iz 1 . Соrласно (17)
iz 1 ==a+z.
Положим
il == Zl +- ai.
Т or да мы имеем
ijl == iZ 1 a == z.
Полаrая
· il
J == V '
----11
1/24 л. С. Понтряrпн
81
мы получаем для j равенство
j2 == 1.
Таким образом, величины i, j удовлетворяют условиям
82 1 82 1 . .. Е 1
t === , 1 == , t, / ·
Следовательно, величины
i,j,k==ij
в силу предложения С) удовлетворяют тем же условиям,
что и величины и, v, ш. Таким образом, совокупность
всех величин из L, которые можно записать в виде
х == х о +x 1 i + x 2 j +x 3 k,
rде х О , Xl, х 2 , х 3 суть действительные числа, составляет
тело К4 кватернионов.
Если пространство 1 имеет размерность три, то L
совпадает с телом К4, т. е. изоморфно телу кватернионов.
Допустим теперь, что размерность пространства 1
больше трех, и приведем это предположение к противо-
речию.
Если размерность пространства 1 больше трех, то
в нем найдется такая величина Z2' что векторы
i, j, k, Z2
линейно независимы.
iz 2 ==a+x,
в силу разложения (17) мы имеем
j Z2 == Ь + у, kZ 2 === С + z,
rде а, Ь, с действительные числа, а х, у, z принадле-
жат 1. Составим теперь величину
11 == Z2 + ai + bj + ck.
В силу (21) 11 Е 1, и в силу линейной независимости век-
торов i, j, k, Z2 имеем 11 =1= о.
Кроме Toro,
il 1 == iZ 2 а + bk + с! === х + bk + с j Е 1
в силу (21). Точно также доказывается, что jl 1 Е 1 и
kl 1 Е 1.
Положим теперь
li
1 == V ,
l
тоrда
12 == 1 ,
82
и величины i, [, il Е 1 удовлетвор ют тем же условиям,
что и величины и, v, w в предложении С). Так что мы
имеем
il== li.
Точно также доказывается, что
jl== lj и kl== lk.
Т еперь рассмотрим величину il j. Мы имеем
il j == i ( j [) == kl,
ilj == lij == lk == kl.
Таким образом, мы приходим к выводу, что 2kl == О, что
tIевозможно, так как характеристика тела L не равна
двум.
Итак, теорема 3 полностью доказана.
..
rЛАВА 6
тополоrО..АлrЕБРАИЧЕСКИЕ ТЕЛА
Рассмотренные нами три алrебраических T
ла поле действительных чисел, поле комплексных чисеJJ
и тело кватернионов являются евклидовыми простран
ствами размерности 1, 2, 4 соответственно. Посколь у
в этих пространствах имеется метрика, т. е. определено
расстояние между двумя точками (см. rл. 4), то имеется
и понятие сходимости. Будем обозначать любое из трех
упомянутых тел через К. Если
а 1, а 2 , .. · , а п' · · ·
есть некоторая последовательность элементов простран.
ства К, то известно) что означает, что она сходится
к элементу а. Это значит, что расстояние р (а п , а) между
ТОЧI<ами а п и а с ростом п стремится к нулю. Этот факт
в виде формулы записывается так:
Нт а п == а.
п oo
(1)
Тот факт, что в пространстве К определена сходимость>
мы будем выражать, rоворя, что К является тополоrи-
ческим пространством.
Леrко доказывается, что алrебраические операции,
имеющиеся в теле К, являются непрерывными относи..
тельно имеющейся там тополоrии. Более точно, если по..
следовательность
b 1 ,b 2 ,.. .,Ь п ,...
элементов тела К сходится к элементу Ь, Т. е. если
Нт Ьп==Ь,
п oo
то выполнены условия непрерывности операций сложения
и умножения. Именно, имеют место соотношения
Нт (а п + Ь п ) == а + Ь, Нт апЬ п == аЬ.
n ф n
84
Это показывает, что операции сложения и умножения,
имеющие:я в К, являются непрерывными относительно
тополоrии имеющейся в К.
Так как операции вычитания и деления сводятся
к операциям взятия противоположноrо и обратноrо эле-
ментов, то непрерывность операций вычитания и деления
можно сформулировать следующим образом:
liт ( йn) == а.
n 00
Если а =1= О, то
lim
a l a l
п ·
п oo
Если в некотором алrебраическом теле L имеется то-
полоrия, Т. е. имеется сходимость, иначе rоворя, известно,
что означает соотношение (1), а операции, имеющиеся
В теле L, непрерывны в отношении этой тополоrии, то
такое тело называется тополоrо-алrебраическим, или,
короче, тополоrическим телом, если уже известно, что
под телом подразумевается алrебраическое тело.
Изучение тополоrических тел составляет часть 1'опо-
лоrической алrебры. Интересным оказывается тот факт,
что тополоrических тел существует не слишком MHoro и
и Все их можно обозримым образом описа;rь. В Э 18 дается
аккуратное определение тополоrическоrо тела.
Ясно, что соотношение (1) должно иметь место, еСЛI1
все элементы последовательности
а 1 , а 2 , · · . , а п , · · . ,
начиная с HeKoToporo номера, совпадают между собой.
Но если соотношение (1) имеет место только при этом
условии, то существование сходимости не вносит ничеrо
HOBoro в алrебраическое тело L и тела с такой тополо.
rией мы не будем рассматривать и не будем называть их
тополоrическими.
18. Тополоrическое тело
Как было сказано в начале настоящей rлавы,
алrебраическое тело становится тополоrическим телом, если
в нем наряду с алrебраическими операциями имеется еще
операция предельноrо перехода, причем алrебраические
операции непрерывны в отношении этоrо предельноrо пе-
рехода. Три рассмотренных нами тела являются евклидо-
выми пространствами, и предельный переход в них опре-
деляется при помощи расстояния. Так что для определе..
85
ния ero нужно знать расстояние между каждыми двумя
ero точками. Можно, однако, определить предельный пе-
реход, не пользуясь расстоянием, т. е. способом, приrод-
ным для общих тополоrических тел,-пользуясь при этом
операцией вычитания, определенной в К. В самом деле,
утверждение, что расстояние между а п и а стремится
к нулю, равносильно утверждению, что I а п a I о. Для
Toro чтобы определить операцию предельноrо перехода
(см. (1)), обозначим через и п совокупность всех элемен-
тов х тела К таких, что
I х I < 1/n.
(2)
Так что и п есть шар радиуса 1/n с центром в нуле. ДЛ}j
Toro чтобы было выполнено соотношение (1), необходимu
и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие: для
каждоrо натуральноrо числа п найдется такое натураль-
ное число r, что при р > r имеем
(ap a)Eип.
Перенесем теперь это построение на любое тело L. ДЛЯ
этоrо введем предварительно некоторые обозначения.
А) Если Х и У два множества из L, то через Х + у
обозначим совокупность всех величин вида
х+у, rде хЕХ, УЕУ,
а через Х У все элементы вида
x у, rде х Е Х, у Е У.
Далее, через ХУ обозначим совокупность всех эле..
ментов вида
ху, rде х Е Х, у е У,
а через XY l совокупность всех элементов вида
xy l, rде x X, УЕУ.
Так как при у == о величина y l не определена, то в по-
следней формуле будем рассматривать лишь те элементы
у Е У, которые не равны нулю.
Оп р е Д е л е н и е 3. Убывающая бесконечная последо-
вательность множеств
U 1 , и 2 , ..., и п , ...
(3)
из L, содержащих нуль тела L и nересекающихся только
по нулю,
OEUn+1cU n ,
С6
и и и
называется полн,ои системои окрестностеи нуля то поло
сическоzо тела L, если выполнены следующие пять условий.
а) Для всякоzо наmуральноzо числа п существует Ha
столько большое натуральное (tисло р, что
(ир+ир)си n .
Ь) ДЛЯ всякоzо натуральноzо числа п существует на-
столько большое натуральное число р, чmо
ирирси n .
с) Для всякоzо натуральносо числа n существует на-
столько большое натуральное число р, что
Uj/cUn,
d) (Напомним, что через е обозначается единица
тела L.) ДЛЯ всякоzо натуральноzо числа n существует
настолько большое натуральное число р, что
(е+Ир) lсе+иn.
е) Какой бы ни был элемент а Е L, для всякоzо нату-
ральноzо числа n существует настолько большое нату-
ральное число р, что
ираси n , аирси n .
В) Пользуясь полной системой окрестностей нуля
(см. (3), в теле L понятие сходимости можно определить
точно так же, как это было сделано для тела К.
О п р е Д е л е н и е 4. Последовательность
а 1 , а 2 , ..., а п' ...
элементов из L считается сходяu{ейся к, элементу а,
Вт а n == а,
n--+ 00
если для каждоzо натуральноzо числа n существует на-
столько большое натуральное число (, что при р > ,
и мее-м
(ap a) Е и n.
Тоrда имеет место теорема:
т е о р е м а 4. Если определить сходимость в L спо-
собом, указанным в В), /nо алzебраuческие операции,
uмеющиеся в теле L, оказываются непрерывными относи-
тельно этой сходимости. Именно, если имеют место
соотношения
Вт а n == а, Вт Ь п == Ь,
n--+ n--+ ф
(4)
87
то
Нт (anbrJ == аЬ,
п --4- 00
liт ( an) == a.
n OO
(5)
(6)
(7)
Вт (ап+Ьп)==а+Ь,
n 00
Если а =1= О, то имеет место coomHoLueHue
liт a l == a l.
n--+ 00
(8)
Таким образом, последовательностью (3) определена mоnо-
ло ия в теле L.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем соотношение (5). Из
формулы (4) следу т, что при произвольно большом Ha
туральном числе f найдется такое большое натуральное
число р, что при р > f ИIy1еем
ар Е а + U " Ь р Е Ь + и,.
Т or да
ар +Ь р Е а+ Ь + и , + U r .
(9)
в силу условия а) определения 3 для каждоrо натураль-
Horo числа n найдется настолько большое натуральное
число (, что
U,+UrcU n .
т с r J1.a из (9) следует
(ap+bp) (a+b)E и n .
Таким образом, соотношение (5) доказано.
Докажем соотношение (6). Из (4) следует, что для
произвольноrо натуральноrо числа r найдется настолько
большое натуральное число р, что при р > r имеем
ар Е а + U " Ь р Е Ь + U '.
Тоrда арЬ р Е (а+ U r ) (Ь+ U ,) == аЬ+аи r + Urb + U , и '.
В силу условий а), Ь) и е) определения 3 для всякоrо
натуральноrо числа n найдется настолько большое нату-
ральное число (, что
аи , + U , Ь + U rUr C U n.
Таким образом,
(apbp ab) Е U n'
И, следовательно, соотношение (6) доказано.
88
Соотношение (7) следует из условия с) определения 3.
Докажем соотношение (8). Рассмотрим величину а р 1 а.
L{ля этоrо предварительно рассмотрим обратную ей вели-
чину a"'la p . Из формулы (4) следует, что для произвол!?-
но большоrо натуральноrо числа q найдется настолько
большое натуральное число р, что
ар Е а + и q.
Далее, для произвольно большоrо натуральноrо числа s
найдется настолько большое натуральное число q, что
а'" 1 (а + и Q) == (е + a lU q) се + U s
(см. е) определения 3). Отсюда получаем, что при до-
статочно большом натуральном р выполняется включение
a lap Е (е + U s)'
В силу условия d) определения 3 из этоrо следует
ар-l а Е е+ U r ,
rде r произвольно большое натуральное число, если р
достаточно велико. Далее, мы имеем
(а р 1 а e) Е U " (а р 1 a"'l) Е U ra"'J..
В силу условия е) определения 3 для произвольноrо
натуральноrо числа п найдется настолько большое нату-
ральное число " что
u ra"'l С и n.
Таким образом,
(а р 1 a"'l) Е и n.
И, следовательнu, tuuтношение (8) доказано. Итак, тео-
рема 4 доказаНа.
С) Оказывается, ЧТU система окрестностей
U i , U 2 , ..., и п , .",
(1 О)
рассмотренных тел К со-
всем условиям определе-
определенная в любом из трех
отношением (2), удовлетворяет
ния 3.
Докажем это утверждение. МЫ имеем для окреС1НО-
стей (1 О)
ир+ирси n ,
rде р > 2п. Из этоrо следует условие а) определения 3.
5 Л, С. Понтряrин
89
Далее имеем
и ри р с:. и р2.
Из этоrо следует условие в) определения з.
Далее иrviеем
........ и п == U п.
Из этоrо следует услопие с) определения 3.
Далее, если а......... произвольиый элемент тела I( и х Е и р'
то
I ах I == J а I J х 1 < J а J J..
р
Следовательно, при р БОЛhIlТИХ п 1 а' выполняется условпе
е) из определения 3.
Пусть х..........произВольНый элемент ОI реСТНОС'IеЙ и п
(Сl\Л. (2)). Тоrда множество
(е + и п) JJ
СОСТОИТ из всех элементов вида
(e+x) .
Но мы имеем
(е ! x)--J == е.......х X x3 + . . . (11)
Эта формула, известная для действительных и комплекс
ных чисел, верна также и для кватернионов, TaI{ как
все кватернионы, входящие в нее, перестановочны между
собой при перемно)кении. ФОрl\IlУ ла (1 1) мо)кет быть пе-
реписана в виде
(e+x) l==e+y,
rде у::::: x + x2 x3 + . . ., так что
1 1 1 1
IY) & + + + \O
п п 2 па .. · п 1
Таким образом,
(е+ и n)--l Е е+ и п--f.
Из этоrо вытекает условие d) определения 3..
19. Тополоrические понятия
в тополоrическом теле L
Здесь в тополоrичеСКОf\,1 теле L будут вве
,.,
дены тополоrические понятия, оощепринятые в ТОПОJlоrии
знание которых, однако, в этой книrе не I предполаrается
O
А) Пусть М ........ некоторое множество элементов npd-
странства L. Точку а Е L будем называть предельной для
множества М, если в множестве М найдется последова-
тельность
а 1 , а 2 t ..., а п , ...
попарно различных элементов, сходящихся к элементу а.
Множество М называется замкнутым, если все ero пре-
дельные точки принадлежат ему. Присоединяя к произ-
вольному множеству М все ero предельные точки, мы
получим замыкание множества М, которое обозначают
через М. Если мно жество М вообще не имеет предельных
точек, то через М обозначается оно само. Множество М
называется замкнутым, если М === М . Оказывается, что
замыкание М любоrо множества М замкнуто, т. е.
м ==М.
( 12)
Доказательство этоrо соотношения просто, НО оно rpo-
моздко. Поэтому Я дам только некоторые указания, как
ero провести.
Пусть
Ь 1 , Ь 2' ..., Ь n , ...
(13)
последовательность попарно различных точек из М,
сходящаяся к некоторой точке Ь. Требуется доказать, что
Ь Е М . Без нарушения общности мы можем считать, что
все точки последовательности (13) не пр и надлежат М.
К каждой точке Ь n сходится некоторая последовательность
В п попарно различных точек из М.
В последовательности В п выберем некоторую точку
достаточно BbI('oKoro номера в этой последовательности п
обозначим ее через СП. Тоrда мы получим последователь-
ность
С 1 , С 2 , ..., Сп' ...
I
попарно различных точек множества М, сходящуюся к Ь.
Таким образом, Ь есть предельная точка для М, и соот-
ношение (12) доказано. Так устанавливается, что множе-
ство М замкнуто.
В) Множество Q пространства L называется компакт-
ным, если каждое бесконечное подмножество М множест-
ва Q имеет хотя бы одну предельную точку, принадле..
zкащую Q.
5*
91
С) Тополоrическое тело L называется локально ком-
пактным, если существует окрестность нуля и п последо-
вательности (3) пространства L, замыкание котороЙ и п
компактно.
D) Замкнутое бесконечное множество М из L назы-
вается связным, если ero нельзя представить как объеди-
нение двух непустых замкнутых подмножеств М 1 и М 2 ,
не имеющих общих точек. Это значит, что М нельзя
разбить на сумму двух замкнутых непересекающих под-
lVIножеств М 1 и М 2 .
Е) Оказывается, что все три рассмотренных нами до
сих пор тела К, Т. е. поле действительных чисел, поле
комплексных чисел и тело кватернионов, локально ком-
пактны и связны. Так как все три тела К являются евкли"
довыми пространствами, то мы предпошлем доказатель-
ству предложения Е) рассмотрение n MepHoro евклидова
пространства А п, состоящеrо из векторов
х == (x 1 , х 2 , ..., х n ).
Мы ПРИlv1ем без доказательства, что множество действи-
тельных чисел
......l t<l
является множеством связным и компактным.
В пространстве А п рассмотрим куб Q, определяемый
условиями
1 Xi 1, i == 1, 2, ..., n,
и докажем, что куб этот является компактным множест-
вом. В кубе Q рассмотрим бесконечную последователь-
ность попарно различных точек
Х 1 , Х 2 , . . . , Хр, . . . (14)
Пусть
i l i i==l, n (15)
хн Х 2 , . . . , Х р , . . . , . . . ,
последовательность i X координат точек (14). Заме-
тим, что все числа этой последовательности принадлежат
отрезку .........1 t 1, который компактен. Поэтому из
последовательности чисел (15) при i == 1 можно выбрать
сходящуюся подпоследовательность Xl, которая, вообще
rоворя, не состоит из попарно различных чисел.
Последовательность Х 1 соответствует подпоследова-
тельности Yl векторов (14). Вторые координаты послед 0-
ва Iельности У:\ составляют последовательность чисел,
92
принадлежащих отрезку 1 t 1. Из последователь- I
ноет и этих вторых н:оординат выберем сходящуюся под-
последовательность, которой соответствует подпоследова-
тельность У2 последовательности векторов (14). Продол-
жая так, получим подпоследовательность уп последова-
тельности векторов (14), сходящуюся к некоторой точке у.
Таким образом, устаНОВЛЕНО, Ч10 из последовательности
попарно различных ВЕКТОРОВ (14) можно Еыбрать подпо-
следоватеЛЬНОС1Ь }/п, сходящуюся !{ некоторому вектору у,
принадлежащему кубу Q. ИЗ этоrо непосредственно вы-
текает, что куб Q компактен. в самом деле, если М
некоторое бесконечное множество точек куба Q, то из М
МО)I{НО выбрать некоторую последовательность (14) по-
парно различных векторов. Последовательность эта схо..
дится к вектору у и потому является предельной точкой
для множества М, а это и означает компактность куба Q.
В кз)кдом из трех еВКЛИДОБЫХ пространств К, соот"
ветству'ющих трем рассмотренным телам К, куб Q явля-
ется компактным множеством. Любая окрестность вида
и р (см. (2)) принадле)I{ИТ кубу Q, а потому замыкание ее
и р компактно. Таким образом, все три рассмотренных
тела К локально компактны.
Докажем теперь, что евклидово пространство А п
связно. Допустим противоположное, т. е. что ero можно
разбить на два замкнутых непересекающихся множества
М] и М 2 . Рассмотрим теперь в пространстве Ап прямо-
линейный отрезок
X(t)==( ; ; t)X l+( ; + ; t)Xi' l t l, (16)
такой, что начальная точка отрезка x( 1)==X f принад-
лежит М 1, а конец отрезка х (1) == Х 1 принадлежит
М 2 . Пересечение рассматриваемоrо отрезка (16) с М!
обозначим через M , а пересечение этоrо отрезка
с множеством М 2 обозначим через M . Множества M и
M являются замкнутыми подмножествами отрезка (16).
Т ак как пространство А II распадается в сумму замкнутых
непересекающихся множеств М 1 и М2' то отрезок (16)
распался в сумму заМI{ИУТЫХ непересекающихся мно"
жеств M и M , а это противоречит преДПОЛО)I{еНИIО
о том, что отрезок этот есть связное множество.
Итак, доказано, что любое евклидово векторное про-
странство А n связно. Следовательно, и все три рассмот.
ренные нами тела К связны.
Итак, утверждение Е) доказано.
93
F) IlоследоватеЛЬllОСТЬ
аl' а 2 , ... t а п , ...
(17)
элементов тополоrическоrо тела L называется последова-
тельностью I(оши, если дЛЯ БСЯКОI О натуральноrо ЧИСIl1J3. n
можно найти настолько большое натуральное число "
что при р > У, q > r имеем
(ар a{l) Е и n.
Оказывается, что если последоеательность (17) сходится
в тополоrическом теле L, ТО она является последователь-
ностью I<оши. Однако последовательность Коши не всеrда
сходится. Но если какая-нибудь ее бесконечная подпоследо-
вательность сходится, то сама последовательность Коши
тоже сходится.
Дока}кем, что если последовательность (17) сходится,.
то она является последовательностью Коши.
Если
1iln ап == а,
п --+ rtJ
то из 9Toro следует, что для всякоrо натуральноrо числа s
найдется такое натуральное чисдо " что при р > r t q > r
имеем
(ap a) Е U s , (ач а) Е U s
(см. В) 18). О'fсюда
ap aq == (ap a) (aq a) Е и s Us.
Но тоrда в силу условий а) и с) определения 3 при до...
статочно большом s имеем
(и s----- U s) с U п.
rде п ----- произвольно большое натуральное число.
ТаКИ11 обраЗОl\1, доказано, что последовательность (17),.
сходящаяся к элементу а, является последовательностью
Коши.
Докажеl\1 теперь, что если последовательность (17)
есть последовательность Коши, а некоторая ее бесконеч-
ная подпоследовательность сходится к элементу а, то сама
последовательность (17) сходится к этому элементу . Так
как некоторая бесконечная подпоследовательность после-
довательности (17) сходится к а, то в последовательности
(17) существуют элементы с произвольно большими номе..
рамп р j'акие, что
(ap a) Е и s'
94
rде s.........произВольно большое натураЛ,ьное числ'о. Так как
последовательность (17) является последовательностью
Коши, то для натуральноrо числа s существует настолько
большое натуральное число (, что при р > " q > r ИlYlеем
(ap aq) е U S .
Так как
(ap a)EUst
ТО
aq.........a == (a q -----ар) + (ар a) Е и s + и S
Таким образом,
(a q -------а) е и п'
И последовательность (17) сходится к а.
G) Тополоrическое тело L называется полным, если
всякая последовательность Коши в нем сходится. Ока-
зывается, что всякое локально компактное тело L является
полным.
Пусть
aj , а 2 , ..., ар, ...
(18)
некоторая последовательность I(оши тела L. Тоrда
соrласно определению последовательности Коши (см. F»
разность ap aq при достаточно больших р и q принад"
лежит некоторой окрестности и n нуля тела L, причем п
можно выбрать так, чтобы и n было компактным. Отсюда
вытекает, что из элементов последовательности (18) доста-
точно BbIcoKoro номера можно выбрать такой элемент с,
что при достаточно больших р и q имеем
(ар с)ЕUп, (aq c)EUn.
Так как U п компактно, то из последовательности
(а 1 c), (а 2 c), ..., (ар c), ...
(19)
можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к неко-
торому элементу Ь Е и n. Из Toro, что последовательность
(18) есть последовательность I(оши, непосредственно сле-
дует, что последовательность (19) также является после...
Довательностью Коши. А так как некоторая ее бесконечная
подпоследовательность сходится к элементу Ь Е и n' то сама
последовательность (19) сходится к 'Ь. Отсюда сл дует,
что последовательность (18). сходится к элементу Ь +с.
95
Из предложения G) следует, что все три рассмотрен..
вые нами тела К являются полными (см. Е)). Приведем
теперь пример неполноrо тополоrическоrо тела. Таким
примером является совокупность R всех рациональных
чисел с системой окрестностей нуля (2). Причем и п
состоит из всех рациональных чисел х, удовлетворяющих
условию 1 х I < 1jn. Это те же самые условия, КОТОРЫl\/lИ
определены окрестности и п В поле D действительных
чисел. В этом смысле тополоrическое поле R рациональ..
ных чисел является подполем поля D действительных
чисел. Если теперь
йl, а 2 , ..., а п'
(20)
некоторая последовательность рациональных чисел,
удовлеТВОРЯЮll ая условию Коши, то как совокупность
элементов тела D она сходится к числу а. Если а не яв-
ляется действительным ЧIIСЛОМ, то последовательность (20)
не сходится в тополоrическом теле R и, следовательно,
тополоrическое тело R не является полным. Тополоrи..
ческое тело D, содержащее в себе тополоrическое тело R,
является пополнением R до полноrо тела D в том смысле,
что каждый элемент тела D является предельным для
некоторой последовательности Коши из тела R.
В 21 будет дана друrая тополоrия в теле рациональ-
ных чисел R, приводящее к друrому пополнению тела R
до полноrо тела, отличноrо от тела действительных чисел.
20. Теорема единственности
Действительные и комплексные числа воз..
никли в математике в результате длительноrо развития
понятия числа в основном из..за потребностей практики,'
а частично в результате лоrики развития самой матема-
тики. Необходимость считать предметы вызвала появление
натуральных, т. е. положительных целых чисел. Дроби
появились при ToproBbIx расчетах и при измерениях ве-
личин. Развитие rеометрии привело к выяснению Toro
факта, что диаrональ квадрата со стороной единица не
может быть измерена точно рациональным числом, хотя
может быть измерена им с произвольной точностью. Т аким
образом, внутреннее развитие математики привело к по
явлению длин, неизмеримых при помощи рациональных
чисел. Следовательно, из внутренних потребностей мате.
l\1rLТИКИ ЕОЗНИКЛИ нерациональные числа, которые стали
называть иррациональными.
96
Вначале появилась потребность. лишь внебольшом
I{ОJIичеС1ве иррациональных чисел, но требование лоrи-
ческой стройности математики привело к построению всех
действительных чисел. В частности, для стройности мате-
матической теории было очень важно, чтобы всякая после-
довательность Коши сходилась. Но для рациональных
чисел это неверно. Последовательность Коши рациональ-
ных чисел может не сходиться к рациональному числу,
она сходится к действительному числу. Таким образом,
IIоле рациональных чисел нужно было дополнить до поля
действительных чисел. Отрицательные числа появились
в основном из внутренних математических соображений
для Toro, чтобы вычитание всеrда было возможно, хотя
отрицательные числа имели и практическое толкование.
Можно было толковать отрицательное число как долr.
Комплексные числа возникли из внутренних математи-
ческих соображений, так как при некоторых вычислениях
появилась необходимость извлекать квадратные корни из
отрицательных чисел. Комплексные числа оправдывались
в значительной степени еще и тем, что всякий мноrочлен
с действительными коэффициентами всеrда имеет корень,
быть может, не действительный, а комплексный. Комплекс
ные числа позволили очень сильно упростить некоторые
вычисления и дали новую теорию комплексных функций
комплексноrо переменноrо, иrрающую важную практи-
ческую и теоретическую роль. Таким образом, действи-
тельные и комплексные числа являются продуктом исто-
рическоrо развития математики. Кватернионы были по-
строены из обобщательских соображений. Это была
попытка обобщить комплексные числа, но она не дала
ценных результатов, так как отсутствие коммутативности
не дает возможности развить теорию кватернионных
функций. По сравнению с тем значением, которое имеют
действительные и комплексные числа в математике, роль
кватернионов ничтожна.
Так как действительные и комплексные числа ПОЯВИЛИСЬ
в математике в результате определенноrо пути развития,
которыЙ Mor бы оказаться и друrим, то возникает естест-
венный вопрос: не Mor ли этот друrой путь развития
привести к друrим числам, аналоrичным действительным
и комплексным, но всё же к друrим? Для Toro чтобы
решить этот вопрос, нужно точно сформулирова'Ть те тре-
бования, какие следует предъявить к объектам, которые
моrли бы иrрать роль чисел, и выяснить, существуют ли
друrие системы объектов, удовлетворяющие этим требо-
97
. ваниям. Не трудно прийти I{ убеждению, что система
объектов, vдовлетворяющая требованиям, предъявляемым
к числам, должна представлять собой тополоrическое тело.
Если положить на это тело еще Дополнительные требова..
u
ния о локальнои компактности и связности, что довольно
естественно, то оказывается, что имеет место следующая
теорема, которая была доказана мною в 1931 rоду.
Т е о р е м а 5. Всякое локально компактное связное
mополоеuческое тело является либо полем действительных
чисел, либо полем комплексных чисел, либо телом ква..
тернионов.
Теорема эта показывает, в частности, что действитель..
u
ные и комп,пексные числа являются не случаиным про..
дуктом историческоrо развития, а по необходимости
возникли в математике как единственнные объекты, при-
rодные к употреблению в роли чисел.
21. р-адические числа
Совокупность R всех рациональных чисел
составляет поле в силу тех правил сложения и умноже-
ния, которые в нем определены. При этом нулем сложения
является число нуль, а единицей умножения число еди-
ница. р-адические числа появляются в результате введения
в поле R своеобразной тополоrии, зависящей от задан-
Horo простоrо числа р. Интуитивный смысл этой тополоrии
заключается в том, что рациональное число r считается
тем меньше, чем лучше оно делится на заданное простое
число р. Запишем число r в форме
r == : рn. (21 )
Здесь Ь натуральное число, не делящееся на р, а а.......
произвольное целое число. Число n может быть положи-
тельным, отрицательным или нулем. Если число а делится
на р, то показатель п можно увеличить, вынеся :множи-
тель из а. Рациональное число , считается тем меньше,
чем больше целое число n. Формально это осуществляется
введением в поле R системы окрестностей нуля, удовлет"
воряющих определению 3.
А) Ilоследовательность
и f, и 2' ..., и n' ..., (22)
фиrурирующая в определении 3, задается следующим
образом. Окрестность 'и п считается СОСТОЯЦJ,ей из всех
98
чисел вида (21) с заданным n. Нопосредственно ВИДНО,
что последовательность (22) убывающая и что нуль ЯВ
ляется единственноЙ общеЙ точкой всех множеств (22).
Оказывается, что для последовательности (22) выполненыI
все условия определения 3.
ДокаlI{ем ЭТО УТБерждени . Пусть '! и Y2 ДBa чис.па
из окрестности и n' так что они MorYT быть записаны
в виде
а! а2
r i == b 4 рп, r 2 == ь; р n .
,L\'lbI и vfeCM:
..L аl Ь 2 t- b 1 a 2 п
ri I '2== bb р.
1 2
vJз ЭТОЙ формулы следует
uп+и п С:: и n .
tlo так как О Е U n' то Brv'leCTO предыдущеrо включения
имеет место равенство
U 1 'l + U п === и ll .
Из этоrо следует, что условие а) определения 3 выполнено.
Далее, мы имеем
йl й 2 2п
r 1 r 2 ==. ............... Ь Р ·
1 Ь 2
Таким образом, получаем
и 1l и п с:: и 2n.
Таким образом, условие Ь) определения 3 выполнено.
Из записи (21) числа r следует, что если r е U п' то ' е U n.
Таким образом, мы имеем
U1l==иn.
Это значит, что условие с) определения 3 выполнено.
Докажем теперь, что и условие d) определения 3
выполнено.
Если 11" есть произвольный элемент множества U п' то
мно)кество (1 + U п) l состоит из всех элементов вида
1
1 +, · Эту дробь нам нужно записать в виде
1
1+, ==1+s.
99
Из последней формулы получаем
a
S == Ь+арn р n .
Отсюда следует, что s е U n' И потому
(1+иn) 1cl+ип.
Следовательно, условие d) определения 3 выполнено.
Пусть , произвольное число из R. В силу COOTHO
шения (21) ero можно записать в виде
а k
'===ь Р ·
Здесь Ь не делится на Р, а k произвольное целое число.
Умножая окрестность U n на число " заданное последней
формулой, получаем, очевидно,
,UncU n + k .
ИЗ этоrо видно, что условие е) определения 3 выполнено.
При построении р адических чисел используется aHa
лоr разложения целоrо неотрицательноrо числа в CYMlVIY
степеней числа р. Разложение это аналоrично тому, кото-
рое мы употребляем при десятичной записи целых неот"
рицательных чисел, но там вместо р фиrурирует число 10.
Возможность такой записи почти очевидна, но мы все..таки
ее сформулируем и докажем.
В) Каждое целое неотрицательное число х может быть
записано в виде
х==х о +х 1 р+х 2 р 2 +... +хпр n , (23)
rде коэффициенты Хо, Х 1 , . . ., Хll целые числа, удовлетво"
ряющие неравенствам
O Xi p l, i==O, 1, ..., n.
При х == О в разложении (23) все коэффициенты равны
нулю и оно имеет место. При х > О доказательство будем
вести индуктивно, именно, мы будем считать, что для вся-
Koro числа х' < х разложение (23) имеет место.
Рассмотрим бесконечную rеометрическую проrрессию
1, Р, р2, . . ., р п , рn+l, . . .
Каждое натуральное число х непременно попадет в один
из промежутков между двумя соседними членами этой
проrрессии. Допустим, что имеют место неравенства:
рп Х < pn+l.
100
Разделим теперь число Х на число р'n. Тоrда мы ПОЛУЧИМ
равенство
Х == ХпРn + Х' .
(24)
Здесь
х' < рп, О Х п Р 1 ,
так как если бы Х п было больше или равно р, то х было
бы больше или равно рп+l, что противоречит предполо
жению. Так как число Х' < рn Х, то оно разлаrается
в сумму, аналоrичную (23), причём в ней присутствует
не более чем (n 1) я степень р. Из этоrо и из равенства
(24) вытекает разложение (23).
Мы записали в форме (23) каждое целое неотрицатель
ное число из R. Но отрицательное целое число нельзя
записать в форме (23). Точно так же рациональное число
вида (21) не всеrда можно записать в форме (23). I<poMe
Toro, поле R с заданной в нем при помощи А) тополо
rией не является полным. Поэтому мы будем рассматри
вать величины, несколько обобщив выражение (23).
Именно, мы будем рассматривать бесконечные ряды по
степеням р, включающие, быть может, конечное число
отрицательных степеней, и определим алrебраические
действия над ними.
С) Обозначим через Kg совокупность всех рядов вида
00
х== Xipi;
i=k
(25)
здесь коэффициенты X i суть целые числа, удовлетворяю-
LЦие неравенствам
O Xi p l, i==k, k+l, ... (26)
В множестве I(g мы введем операции сложения и YM
ножения так, что Kg превратится в поле, а также топо
доrию так, что поле Kg станет тополоrическим полем.
Будет установлено, что поле R с тополоrией, введенной
в нем в А), содержится в тополоrическом поле K и что
каждый элемент тополоrическоrо поля Kg является пре
дельным для содержащеrося в нем поля R.
При построении алrебраических операций в поле K
1\1Ы будем производить операцию исправления коэффи
циеНТОБ, КОI'ОрУЮ опишем сперва в общем виде.
Операция эта соответствует принятой в арифметике
фразе «7 пишем, 2 в уме», которая произносится при
сло)кении и умножении целых чисел, взятых в десятичной
записи.
JOl
D) Пусть
00
w == Wlpi,
i=k
(27)
rде коэффициенты Wi MorYT уже не удовлетворять нера..
венетвам типа (26). Если teJk не удовлетворяет неравенствам
O Wk p l,
то существует целое число Zk' удовлетворяющее HepaBe!I-
ствам
O Zk p 1
и сравнимое с w k по модулю р, т. е. такое, что
W k == Zk + Uk+'iP.
Подставим это значение W k в сумму (27). Тоrда получим
следующее выражение для Ш:
00
W==Zkpk+(Uk+l+Wk+i)pk+ + Wipi. (28)
[= k + 2
Если не выполнены неравенства
O uk+i+Wk+i p l,
ТО существует число Zk+l, удовлетворяющее неравенствам
О Zk+i p......-w 1
и сравнимое с числом Uk+i + Wk+f по модулю р, т. е. такое,
что
Uk+f + Wk+l с: Zk+f. + Uk+2P.
Подставляя это значение в ряд (28), получим
00
W == Zkpk + Zk+iPk+l + (U k + 2 + W k + 2 ) pk+ + lt'ipi.
i=k+З
Продолжая этот процесс далее, ПОЛУЧИJ\1 дЛЯ W вместо ряда
(27) ряд
00
ш== Zipi
i=k
уже «нормальноrо» вида, т. е. такой, что коэффициенты
удовлетворяют неравенствам
O Zi p l, i==k, k+I, ...
Определим теперь алrебраические операции в Kg.
102
Е) Пусть'
rJJ
У == у lpi
i=ll
(29)
есть произвольный элемент из :множеСТЕВ КС. Здесь k
взято тем же, что и для ряда (25), но это не налаrает
никаких оrраничений, так K8I{ некоторые коэффициенты
в рядах (25) и (29) MorYT быть равны нулю. Складывая
чисто формально в рЯДЫ (25) и (29), ПОJ1УЧИl\1
00
х+у== (Xi+YI)pi.
i=k
Применяя к ЭТОI\fУ ряду операцию исправления коэффи"
циентов, описанную в D), :мы ПОЛУЧИl'Л для суммы х у
уже ряд в НОр11альноЙ форме, Т. е. элеl'4ент множества
КС, I{СТОрЫЙ и считается суммоЙ х+ у. Таким: образом,
сум ла х + у У2и:е принадле;кит мно;-кеству КС. Разность
х у опреде,ПIПД сперва, произзедя фОрi'.1аЛЬНQ вычитание
ряда (29) из ряда (25). Тоrда получиrА
00
х у == (х {....... у 1) pt .
l;:;:;.k
Произведя исправление коэффициентов этоrо ряда по спо..
собу, указанному в D), мы получим ДЛЯ X y ряд «нор"
мальноrо» вида, Т. е. элемент из КС. Перемно}кая ряды
Х и у как степенные ряды по р, получим для произведе
иия ху иекоторый ряд по степеням р. Произведя исправ"
ление ero коэффициентов по СПQсобу, указанному в D),
МЫ получим для произведения ху ряд «норrvtальноrо» вида,
т. е. элемент из K . Итак, мы определили операции ело..
жения, вычитания и умножения рядов вида (25). Для за..
вершения построения алrебраических операций в поле КС
нам остается построить обратный элемент. Сделаем это.
F) Будем искать обратный элемент сперва для ряда
х ;::: ХО + Х 1 Р + X2P + · · · , (30)
rде хо =1= о. Обратный элемент будем искать в виде ряда
у == Уо + УIР + у 2р 2 + · . . (31)
'"
Перемножая формально рЯДЫ х, у, мы получим
ху == w == W o + W 1 P + W2P + · · · , (32)
rде
WI == XOYL + X 1 Yi--i + · · · +XIYo.
103
Здесь ряд (31) должен быть подобран так, чтобы было вы..
полнено соотношение ху == 1.
Таким обраЗОl\I, ряд (32) после поправки коэффициен-
тов, описанной в D), ДОЛ)l{ен получить вид
w== 1 +Ор+Ор2+...
Соrласно ПУНКТУ О) исправленные коэффициенты ряда (32)
записываются в виде
Zo == W o и 1 р;
zi==wl+ Ui Ui+lP==XOYi+XlYi i+... +хiУо+Ut' Ult-1Рt
i:::::l,2, ...
3аl'летим прежде Bcero, что поскольку ХО =1= О, то су--
ществует обратный ему элемент из поля вычетов рР по
модулю р, т. е. такое число 8, что 8хо сравнимо с еди-
u
ницеи по модулю р.
Таким образом, первое из уравнений, которое нам
нужно решить, а именно уравнение
Zo == ХоУо ----- и 1 р == 1,
имеет решение, именно, Уо == 8. При i > О нам нужно решать
уравнения:
ХоУ i + Х 1 У i 1 + · · · + Х i У о + tl i ----- tl i + iP == о.
Уравнения эти мо)кно решать последовательно е ростом i.
Для уравнения номера i появляется лишь одно новое
неизвестное число Yi, которое стоит с коэффициентом хо,
потому уравнение это можно разрешить относительно у {а
I<аждый раз мы можем выбирать решение Yl такое, чтобы
были выполнены неравенства
O Yi p l.
Таким образом, мы построим элемент У, обратный к эле..
менту х (см. (31)), причеl\il Yo=l=O. Но каждый ряд вида
(25), отличный от нуля, может быть записан как p1x
(см. (30)) и обратный ему элемент (см. (31))l
( р! Х ) 1 == Р 1 У .
В свою очередь каждый такой элемент может быть за
писан в виде (25) и потому принадлежит множеству K .
Таким образом, для каждоrо элемента множества Kg мы
построили обратный элемент.
Для Toro чтобы доказать, что K с введенными в нем
операциями является полем, нужно доказать еще ассо..
104
циативность сложения и умножения, а также дистрибу-
тивность (см. определение 4). Это не очевидно, так как
после проведения каждой операции требуется править
коэффициенты. Но доказательство этих фактов я прово-
дить здесь не буду.
Введем теперь в поле КС тополоrИIО при помощи ОК-
рестностей нуля, как это сделано в определении 3.
G) Полную систему окрестностей нуля
U l' U 2' · · " U п' ... (33)
в поле Kg определим, включив в окрестность U п все ряды
вида (25), в которых k == n, Т. е. все ряды вида
Х == хпрп + х n + 1 рп+l + . . . (34)
Выпишем еще один ряд TaKoro же вида
у === у nрn + у n + 1 рп + 1 + . . .
Ка>кдый из этих рядов характеризуется тем, что первые
n коэффициентов ero равны нулю. Оказывается, что для
системы множеств (33) выполнены все условия определе
ния 3.
Докажем Э10. Очевидно, что последовательность (33)
есть убывающая последовательность множеств, причёrvl
пересечение этих мно}кеств содержит нуль и только нуль.
При формальном сложении Х и У, входящих в U n' мы
получим ряд w, первые п коэффициентов KOToporo равны
нулю. При правке коэффициентов это обстоятельство не
может быть нарушено. Таким образом, мы имеем
иn+иnс:и n ,
Но так как ипсодержит нуль, то вместо последнеrо
включения имеем равенство
и n + U п ==. И n. (35)
Таким образом, условие а) определения 3 выполнено.
При формальном перемножении рядов х и у мы полу-
чим ряд, низшей степенью р в котором будет 2п, а пре-
дыдущие коэ:рфициенты равны нулю. Это обстоятельство
не может измениться при праБке коэффициентов, так что
и п и n С U 2п'
Таким образом, условие Ь) определения 3 выполнено.
Преобразованием формальноrо ряда х (см. (34)) мы
получим ряд, первые п коэффициентов KOToporo равны
нулю. При правке коэффициентов это обстоятельство не
105
lVl0жет измениться. Таким образом, мы имеем
........ и п == и n.
Отсюда следует, что условие с) определения 3 выполнено.
Множество (1 + и n)--l состоит 113 всех элементов вида
1
1 +х (см. (34). Представим этот элемент поля Kg в виде
1
....................... 1 ..L У
1 + х....... I ·
Отсюда y== x/(l+x). В силу F) элемент (l+x) l есть
элемент ряда (31), начинаюп.\ийся с нулевой степени р.
А так как ряд ...........Х начинается с n-й степени р, то l\fbI
получаем у Е и n И, следовательно,
(1 + и п) l С 1 + и n.
Таким обраЗОl\1, условие d) определения 3 выполнено.
Пусть х ряд вида (25), Т. е. ПРОИ3БОЛЬИЫЙ элеNlент
поля K . Ясно, что
xUnc.U n + k .
Таким образом, условие е) определения 3 выполнено.
ВКЛЮЧИl\f теперь поле R рациональных чисел в поле
КС с заданной в R p-адичеСRОЙ ТОПОЛОI ией (СМ. А). Эле-
мент r (см:. (21)), принадлежащий полю R, rде Ь не де-
лится на р, м:ожет быть записан в виде
ab l рn.
Но элемент b--r: поля КС записывается в Биде
b-- 1 == Уо + УIР + YoP + · · .,
rде Уо =1= о. Таким образом, элемент r включен в поле КС.
Причем окрестности (22), имеющиеся в R, переходят в
окрестности (33) поля КС. Таким образом, мы включили
тополоrическое ПОЛfj R в тополоrическое поле К« с сохра-
нением тополоrии. Для элемента х, заданноrо рядом (25),
введем операцию b l (х) формулой
1 1
bl(x)== xipi.
i ::;; k
Ясно, что b l (х) Е R.
Видно, что
x-----b l (х) Е и 1.
Отсюда следует, что
Нт Ь п (х) == х,
п oo
106
причем Ь п (х) Е R. Таким образом, ка}кдый элемент поля _/(
является пределом последовательности элементов ВЛОJКен-
\ Horo в иеrо поля R.
\
Для примера рассмотрим запись элемента 1 из поля
КС в форме (25), получающуюся после исправления коэф-
фициентов (см. D». Мы имеем
..........1 == w == Ш О + ш 1 р + Ш2Р + · · .,
rде Ш О == .......1, Ш 1 == о, Ш 2 == о. Исправляя коэффициент Ш О ,
мы получим W O ==Zo+U 1 P, rде zo==p l; Ul== l.
Далее, Ш 1 + и 1 === -----1. Поэтому в результате ero ис-
правления получаемWi+ul==.......I==Zf+U2р' rде Zl==p l,
и 2 == -----1. Продолжая этот процесс дальше, мы получаем
00
для Ш:;;;: -----1 исправленный ряд ----1 == (Р....... 1) pi, иначе,
i=O
(р ........ 1 ) (1 + р + Р + . . .).
Бесконечный ряд, стоящий в скобках, сходится в тополо-
rическом поле Kg, так как pi стремится к нулю с ростом Ё,
и потому мы имеем
1 + р + p + . .. ===: 1 1 .
p
Таким образом, получаем
1 ==(p 1) 1 p
1
,
что подтверждает правильность наших выкладок.
22. Некоторые ТОIlолоrические
поля Kg р..адических чисел
А) Пусть U n произвольная окрестность
системы (33). Обозначим через 8 п совокупность всех точек
из Kg, не входящих в и n . Оказывается, что 8 п есть замк..
нутое множество.
Докажем это. Допустим ПРОТИВОПОЛОJКное. Пусть
u
своиства
1 Х 2 X Q
Х, , ..., ,...
(36)
некоторая последовательность точек из 8n, сходящаяся
к точке х 8 n , Тоrда х Е U n. Так как последовательность
(36) сходится к Х, то соrласно определению 4 это значит,
в частности, ЧТО при достаточно большом q имеем
(x q ........ х) Е и п.
107
Тоrда в силу (35) имеем:
x q Е х + ипС и n.
И, следовательно, все элементы последовательности (36),'
начиная с достаточно большоrо номера, принадлежат и ll
и не MorYT принадлежать 8 п . Таким образом, мы пришли
к противоречию и, следовательно, предложение А) ,Показано.
Заметим, Чl0 р адическое число х, заданное рядом (25),
принадлежит окрестности и п тоrда и только тоrда (см. (33)),
коrда Ь п (х) === О.
Наряду с р адичеСI{Иl\1 числом Х, заданным рядом (25),
рассмотрим произвольное р-адическое число у, заданное
рядом (29).
В) Разность x у р адических чисел х и у (см. (25)
и (29» принадлежит окрестности U п тоrда и только
тоrда (Cl\tl. (33), коrда имеет место равенство
Ь п (х) == Ь п (у).
Докажем это утверждение. При построении разности
x y мы сперва СlрОИМ формаЛЬНУIО разность между ря-
дами (25) и (29), Т. е. ряд
00 00
w ==:= Wipz' === (Xi Yi) pi.
l==k i=k
(37)
Пусть Х 1 У l первый из коэффициентов этоrо ряда, от-
личныЙ от нуля. А это значит, что Xl Yl не сравнимо
с нуле11 по модулю р. Таким образом, при правке коэф-
<рициентов ряда (37) первым отличным от нуля будет KO
эффициент Zl' и мы будем иметь
Ь Е ' (х) == Ь Е (у),
причем 1 наибольшее число, удовлетворяющее этому
условию. Отсюда вытекает правильность утверждения В).
С) ДЛЯ Toro чтобы последовательность
х 1 , х 2 , ..., x q , ...
(38)
элементов тополоrическоrо поля I(g сходилась к элемен-
ту х этоrо поля, т. е. чтобы имело I'лесто равенство
Нт x q == х
,
q oo
(39)
необходимо и достаточно, чтобы для каждоrо натураль..
Horo числа n нашлось настолько большое натуральное
число r такое, что при q > r имеем:
Ь п (x q ) == Ь п (х).
10S
Докажем это утверждение. .
Соrласно Э 18 В) соотношение (39) выполняется тоrда
и только тоrда, коrда для произвольноrо натуральноrо
числа п найдется настолько большое натуральное число
" что при q > r имеем
(xq x)EUn'
Но в силу предложения В) последнее включение имеет
место тоrда и только тоrда, коrда выполнено соотношение
Ь п (x q ) == Ь п (х).
Таким образом, утверждение С) доказано.
D) Любая окрестность и V (см. (33)) замкнута и ком..
пактна. Докажем сперва замкнутость множества и V' Эле..
менты окрестности и v характеризуются условием
b v (х) == о.
Если теперь предположить, что последовательность (38)
целиком содержится в U V' то для всех достаточно боль-
ших натуральных чисел п имеет место равенство
Ь п (x q ) == Ь п (х) (40)
(см. С)). Заметим теперь, что при v < п для любоrо эле..
мента у из Kg имеет место соотношение
b v (Ь п (у)) == b v (у).
Если теперь имеет место равенство (40), то
b v (х) == b v (Ь п (х)) == b v (Ь п (x q )) == b v (x q ) == о.
т аким обраЗОlVI,
х Е U v'
и, следовательно, и v замкнуто.
Докажем теперь компактность множества U V' В силу
Э 19 С) это означает локальную компактность тополоrи..
ческоrо поля Kg и, следовательно, ero полноту (см. Э 190)).
Пусть М бесконечное подмножество элементов из и".
Поскольку первый элемент разложения коэффициента х
в ряд (25) может принимать лишь конечное число зна-
чeHий, а именно р, то в М можно выделить бесконечное
множество M k таких элементов из М, у которых коэффи"
llиенты Xk совпадают между собой в ряде (25). Точно
так )ке в множестве M k выделится бесконечное подмно-
жество M k + 1 , элементы х KOToporo имеют одинаковые коэф"
фициенты Х Н + 1 . И точно так же выделяется бесконечное
109
подмножество Mk+2 В мно)кестве Mk+i' и мы получаем
бесконечно убываЮli УЮ последовательность ПОДМНО:fкеств
М t ЛJ k , i\1 k + i , M k + 2t · · t
, " М
причем для двух элеlVlентон х ИХ, принадлежащих l'
имеем равенство
b z (х') == b z (х").
Вы:берем теперь из :мнол{ества 1\11 произвольный элем:ент
х l. lvlLI имеем (СМ. С))
liт хl == х,
Z.-+ 00
rде x неКQТОРЫИ эле fе:нт rvrножества U V ' Таки л образом, '
КОlVlпактиос.ть мно)кества U'V доказана.
Итак, предло)кение О) доказано.
Изучим теперь детальнее окрестность и " нуля поля }(g.
Е) Окрестность U v раепадается в конечнуто сумму
н:оrv1пактных заr\п нутых попарно непересекаl0ЩИХСЯ MHO ,
жеств вида
xa+U V + l ,
(41 )
r де ха; CG == 1, ... t р! различные элементы окрестно-
сти и ".
Докажем это. Пусть х....... произвольный элемент из и V'
т or да
b v + 1 (х) == xvpv + X"+lpV+l + . . . + Xv+l.....lpv+l l == ха
есть мноrочлен относительно р с 1 коэффициентами, каж..
ДЫЙ из которых может принимать р различных значениЙ.
Таким образом, последняя формула содержит ровно р!
различных мноrочленов. Эти мноrочлены мы обозначаем
через ха. Совокупность всех х Е и", для которых b"+l (х) ===
== ха, представляет собой СУМ:МУ (41 ). Каждое из мно-
жеств (41) замкнуто и компактно. Далее, если ха =1= х fЗ ,
то соответствующие множества ха + и v+ 1 И х(3 + и "+ 1 не
пересекаются. Допустим противоположное, т. е. допустим,
что имеется элемент у, принадлежащий ЭТИi\tI ДВУI\1 lVIHO"
жествам. Тоrда мы получаеI'А
b"+l (у) == ха, b V + 1 (у) == х В ,
что невозможно, так как ха '* х(3. Итак, предложение Е)
доказано. Оно показывает, что окрестность и V разбита в
сумму конечноrо числа маленьких кусочков вида (41).
Это может иметь место и для Bcero пространства Kg.
110
F) В пространстве Kg нет связны замкнутых беско-
нечных подмножеств. ,
Докажем это. Допустим, что М ........сВязНое замкнутое
подмножество из Kg. Пусть у-----Какой-Нибудь ero элемент.
Тоrда множество М' == М -----у связно и содержит нуль.
Так как множество М' бесконечно, а окрестности и n
(см. (33») пересекаются только по нулю, то найдется
настолько большое натуральное число n, что окрестность
и п Не содержит полностью Bcero множества М'.
Обозначим через M пересечение М' n и n' а через
М ..........пересечение М' n 8 п (см. А)). Множества M и NI;
замкнуты и не пересекаются. Таким образом, множество
М' не связно, а потому и не связно исходное множество
М. Таким образом, мы пришли к противоречию, и ут"
верждение F) доказано.
23. Поле рядов над полем вычетов
Пусть Рр...........поле вычетов по модулю задан..
Horo npocToro числа р (C1\1. Э 16). Выражение
а (t) == а о + a 1 t + a2t + . . . + ant n , (42)
rде коэффициенты а о , а 1 , ..., а п суть вычеты по модулю
р, называется мноrочленом над полем РР. Над мноrочле..
нами вида (42) можно производить операции сложения,
вычитания и умножения, производя соответствующие
действия как над элементами поля РР. Если Ь (t) есть
друrой мноrочлен типа (42), то выражение
а (t)
r == Б(i) ( 43)
называется рациональным выражением над полем РР.
Дроби вида (43) можно складывать, вычитать, умножать
и делить по обычным правилам, так что совокупность
всех этих дробей составляет поле Pq.
В поле Р7 вводится тополоrия, С:J\IЫСЛ которой заклю-
чается в том, что выражение (43) считается тем меньше,
чем лучше оно делится на t.
А) В поле pr вводится тополоrия при помощи по..
следовательности окрестностей нуля:
и i, и 2' · · ., и п' . · ·
(см. (33»), причем в окрестность [1 n включаются все вы..
ражения вида
(44)
а (/) n
r == ь (t) t ,
(45)
111
rде предполаrается, что мноrочлен Ь (t) не делится на
t, т. е. ero свободный член Ь О =1= О в поле Р Р. Прежде
Bcero ясно, что последовательность (44) есть убывающая
последовательность, пересекающаяся только по ну J1Ю.
Кроме Toro, оказывается, что все пять условиЙ определе-
ния 3 для системы окрестностей нуля (44) выполнены.
Докажем последнее утверждение. Если
аl и) t n й2 и) t n
r 1 == Ь 1 (t) , r 2 == Ь 2 (t)
два произвольных элемента из окрестности и n' то яс-
НО, что и их сумма есть элемент U n' А так как О Е и n'
то мы получаем следующее paBeHCTBO
U n + и п == и 71,9
Из этоrо следует, что условие а) определения 3 выпол",
нено.
Далее, мы имеем
йl (t) а2 (t) t 2n
r 1 r 2 ---- Ь 1 (t) Ь 2 (t) .
При этом знаменатель дроби Ь 1 (t) Ь 2 (t), очевидно. не де-
лится на t. Таким образом, мы имеем
и n и п си 2п .
Следовательно, условие в) определения 3 выполнеНОt
Далее, мы имеем (см. (45))
а и) п
r == ь (t) t ·
Отсюда получаем
U n == U 11'
И условие с) определения 3 выполнено.
Элемент (45) есть произвольный элемент окреСТНОСТII
U n. Таким образом, произвольный элемент множества
(1 +Un)--l записывается в виде (1 +r) l. Если предполо-
жить, что
1
1 + r == 1 + s,
то для s мы получаем выражение
а (i) n
S == ь (/) + а (t) t п t ·
112
Таким образом,
(l+Un) lcl+Un,
и потому условие d) определения 3 выполнено.
Пусть
а (t) t k
S == Ь (1)
........... произвольный элемент поля Р1. Тоrда мы получае:м,
очевидно,
sU п С и n+k,
откуда следует, что условие е) определения 3 выполнено.
Итак, последовательность (44) является системой ОК-
рестностей ну ля в теле p , в силу чеrо Pq становится
тополоrическим полем. оказыIается,, однако, что поле
это не является локально компактным. Для Toro чтобы
включить ero в локально компактное полное поле, мы
рассмотрим всевозможные ряды относительно t с коэффи..
циентами из РР, включающие, быть может, конечное чис-
ло отрицательных степеней [.
В) Множество всех рядов вида
00
X== Xi ti ,
i=k
(46)
rде коэффициенты Xl суть элементы поля вычетов РР, а
k целое число, быть может, и отрицательное, обозначим
через Kr. В множестве K естественным образом опреде
ляются операции сложения, вычитания и умножения.
Для построения обратноrо элемента найдем сперва обрат-
ный элемент для ряда
X==X O +x 1 t +X2t +..., (47)
rде ХО * О. Обратный элемент обозначим через у и запи
тем ero в виде
у == Уо + Yl t + Y2 t2 + · · ·
л
Произведение ху обозначим через w. Тоrда мы
иметь
(48)
бу дем
00
W == Witi'}
i=O
rде
W i == xOYl + XiYI--i + · · · + xiYo'
, 113
Для TOrO чтобы у был обратным элементом к х, доста..
точно, чтобы были выполнены условия
W o == 1, w i == о, i == 1, 2,... (49)
Первое из этих уравнений дает нам соотношение
ХоУо== 1.
Это уравнение разрешимо относительно Уо в поле РР,
так как хо =1= о. Следующее уравнение последовательности
(49) имеет вид
ХоУ! + Х 1 Уо == о.
Ero мы должныl разрешить относительно Yf, что возмож-
но, так как коэффициент при У! не равен нулю. Каждое
следующее уравнение из ряда (49) содержит лишь один
новый неизвестный элемент, входящий сненулевым коэct...
фпциентом. Таким образом, элемент У (см. (48)), обрат-
ный к Х, вычисляется, причем Уо =1= о. Произвольный ряд
(46), неравный нулю, может быть записан Б Биде
.....
х == tt x
(см. (47), и мы получаем
x ;t. == t "'ly
И обратный элемент для х =1= О построен. Таким образом,
Kf является полем. Введем в этом поле тополоrию по
способу, указанному Б определении 3.
С) Ilоследовательность
U i , U 2 , ..., и п , ... (50)
окрестностей нуля поля Kf определим, включив в окрест-
ность U n все ряды (46), в которых k == п. Ilрежде Bcero
ясно, что последовательность (50) есть убывающаяся по..
следовательность множеств, пересекающихся по нулю.
Далее оказывается, что для нее выполнены все пять
условий определения 3.
Докажем эТо. Непосредственно проверяется, что имеют
CTO соотношения
иn+иn==и n ; и п u n ==u'2n; Un==Ut1..
Отсюда следует, что условия а), Ь) и с) определения
3 выполнены.
Проверим условие d). Множество (1 + и n)--;t. состоит
из всех элементов вида (1 +x) l, rде в ряде для х (46),
k==.n, n;;З: 1. Таким образом, обратный элеlмент для (1 +х)
J14
существует (СМ. (В)) и начинается с единицы, а далее
идут степени t, начиная с п.й. В результате получаем
(1 + и n) --1 С (1 + и 11)'
и условие d) определения 3 выполнено.
Если теперь х (СМ. (46)) произво.пьный элемент поля
Kr, то ясно, что
хи n с: и n+k.
Таким образом, условие е) определения 3 выполнено.
Итак, система ОIсрестностей (50) определяет Тополоrию
в поле Kt p .
ВЛО;i{ИМ теперь Pf в поле /( .
О) Ка.я{дый элемент r поля pr записывается в виде
(см. (43))
а (t) n
r :::= Ь (1) t ·
Так как 1\1ноrочлен Ь (t) не делится на t, ТО В поле l(f он
иrvlеет обратный элемент b J.. (t) (СМ. В»), и элемент r поля
Kf записывается теперь в виде
';:: а (t) b l (t) [ n
и входит в Kf. Т аким обраЗОl\I, тополоrическое поле Pf
ВКJ1ючено в тополоrическое поле Kf, приче!vI всякая OK
рес1'НОСТЬ и f1, из последовательности (44) оказывается
вло)кенноЙ' в окрестность и n последовательности (50).
Следовательно, тополоrическое поле Pf вложено в топо
лоrическое поле K с сохранением тополоrии.
Е) КаждоЙ сумме х (СМ. (46)) ПостаВИl\1 в соответствие
конечную сумму:
1...1
b l (х) == Xi ti .
i=k
Прежде Bcero ясно, что условие b l (х) == О эквивалентно
условию Х Е и [' Отсюда следует, что соотношение
lim Xq == Х
q oo
имеет место тоrда и только тоrда, коrда дЛЯ ПРОИЗ130ЛЬ-
Horo натуральноrо числа n можно найти такое наТУlJаль
ное число " что при q > r имееМI
Ь п (xQ) == Ь п (х). (51)
Из этоrо условия непосредственно вытекает, что
Вт Ьn(х)==х,
n--+- 00
115
НО Ь п (х) есть элемент поля pr. Итак, поле p , вложенное
n поле K , имеет своим замыканием все поле K .
F) Построим теперь взаимно однозначное отображение
f пространства Kf на пространство КС р адических чисел.
Для построения отображения f в ряде (46) заменим ках{..
.Ц,ЫЙ вычет Xi содержащимся в нем числом X i , удовлетво-
ряющим неравенствам О X i Р 1, а букву t простым
числом р. Тоrда ряд (46) превратится в р адическое чис
ло f (х). При этом отображении алrебраические операции
не сохраняются, так как в поле р адических чисел имеет
,feCTo правка коэффициентов. Но сходимость сохраняется
(СМ. (51), (40»). Именно, если
lim xq == х, (52)
q --+ (fJ
ТО
Нт f (x q ) == f (х).
q--+ 00
Наоборот, из последнеrо соотношения следует (52). Из
предложения F) следует, что поле Kf не содержит связ"
ных множеств.
24. О структуре несвязных
локально-компактных тополоrичес их тел
в то время как локально компактные связ
ные тела полностью изучены, о несвязных локально ком-
пактных телах я Mory привести здесь теорему Ковальс-
Koro, доказанную им в 1953 rоду.
т е о р е м а 6. Локально компактное несвязное тело L
непременно всюду раЗрblвно, пzo есть не содержит связных
подмножеств и МО2ут U/JIlеться два взаUJJt!но исключающих
случая:
а) тело L имеет характеристику нуль, u тО2да в нем
содержится поле Kg == К р адических чисел).
Ь) тело L имеет характеристику р, и тО2да в нем
содеРЖИ111СЯ поле K === К рядов оп1носительно некотОРО20 t.
В обоих случаях элемеl'l1пы поля К перестановочны по
умножению с элеhlентами пzела L tl имеется конечный ли..
неЙНblЙ базис пlела L над полел[ К. Именно, такая cиcтe
ма элементов
1 о ==е, /1, ..., lv,
'lmo каждый элемеНlп х Е L запUСblваеlпся в виде
Х == xolo + x 1 1 1 . . · + XV I \"
2де коэффициеНlnЫ X i Е К.
116
* * *
в этой книrе мы рассмотрели системы величин с ал-
rебраическими операциями и предельным переходом, ко-
торые являются лоrически возможными обобщениями чи-
сел. В частности, налаfая на эту систему весьма общие
оrраничения, мы пришли к результату, что никаких
друrих лоrичеСJ\ИХ возможностей для построения прием-
лемых в математике величин, аналоrичных деЙствитель-
ным и комплексным числам, кроме действительных и ком-
"
плексных чисел, не существует. .:JTO показывает, что
действительные и комплексные числа сложились в мате-
матике не в результате случаЙноrо процесса историческо-
то развития, а как единственные лоrически возможные
величины, удовлетворяющие тем требованиям, которые
естественно предъявить к числам.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
rЛАВI1АЯ РЕДАКЦ}IЯ
ФИЗИКО-МА ТЕМА ТИ'ЧЕСКОJfI JIИТЕР А ТУРЫ
117071 Москва 8-71, Ленинский проспект, 15
rотовuтся к печапlU в 1987 соду:
ПОНТРЯI i-IН л. с. Знакомство высшеЙ
математикой! ft.JJrебра......... 8 л. (АннотированныЙ
теМ:ПJIа н 1987 r.., п 03, 43)
Знакомство с ВЫС1LС'й Мt1темвтикой» ...... серия неболь-
ши» научно-популярных книr, предназначенная школь-
никам старших классов, интереСУIОЩИМСЯ матеl\lатикоЙ.
«Алrебрв» ---- тре.iЪЯ книrа в этой серии. В ней приве.-
дeHы основные результаты алrебры, включая теорию
определителей. Этот раздел составляет rлавную часть
книrи. Кроме Toro, в книrе содержится раздел, посвя-
щенный корням мноrочленов и комплексным числам.
Для школьников старших классов, интересующихся
математикой. Может быть полезна также преподавателям
средней и высшей школы.
Предварительные заказы на данную книrу прини-
маются без оrраничения всеми маrазинами Книrоторrа
и Академкниrи, распространяющими физико-математиче-
скую литературу.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
r ЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071 Л10сква, В-71, Ленинский проспект, 15
rоmовuтся к nечаlпu е 1987 соду:
понтряrин л. с. Знакомство с высшей
математикой: Метод координат 6 Л. (АffНОТИ
рованный темплан 1987 r., поз. 44)
в книrе излаrается метод координат и, в основном,
аналитическая rеометрия на плоскости. 3атраrиваются
также вопросы алrебры, дается rеометрическое изобра-
жение комплексных чисел и рассматриваются мноrочлены
к ак комплексные функuии комплексноrо переменноrо,
что дает возможность доказать OCHOBHYIO теорему высшеiI
алrебры. Более беrло даются декартовы координаты в
пространстве и аналитическая rеометрия в пространстве.
Для школьников старlUИХ классов, интересующихся
математикой. Книrа может быть полезна также препода-
вателям средней и высшей школы.
Предварительные заказы на данную книrу прини-
маются сез оrраничения всеми маrазинами Книrоторrа
и Академкниrи, распространяющими физико-математиче-
скую литературу.