БИБЛИОТЕЧКА -КВАНТ
выпуск 54
Л.С. ПОНТРЯГИН
ОБОБЩЕНИЯ
ЧИСЕЛ
БИБЛИОТЕЧКА -КВАНТ*
выпуск 54
Л.С. ПОНТРЯГИН
ОБОБЩЕНИЯ
ЧИСЕЛ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 8 6
ББК 22.141
П56
УДК 512.1(023)
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
Академик Ю. А. Осипьян (председатель), академик А. Н. Колмо-
горов (заместитель председателя), профессор | Л. Г. Асламазов | (уче-
ный секретарь), член-корреспондент АН СССР А. А. Абрикосов, ака-
демик Б. К. Вайнштейн, заслуженный учитель РСФСР Б. В. Воздви-
женский, профессор С. П. Капица, академик С. П. Новиков, академик
АПН СССР В. Г. Разумовский, академик Р. 3. Сагдеев, профессор
Я. А. Смородииский, академик С. Л. Соболев, член-корреспондент
АН СССР Д. К. Фаддеев.
Понтрягин Л. С.
П56 Обобщения чисел. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-,
ллат. лит., 1986.— 120с.—(Б-чка «Квант». Вып. 54.)
20 к. 50000 экз.
Популярный рассказ о возможных обобщениях понятия числа.
Сначала подробно рассмотрены обобщения действительных чисел,
именно комплексные числа и кватернионы. Доказано, что других
логически возможных величин, аналогичных действительным и комп-
лексным числам н пригодных к употреблению в математике в роли
чисел, кроме действительных и комплексных чисел, не существует.
Затем рассматриваются другие обобщения понятия числа, уже не
содержащие действительных чисел.
Для школьников и учителей.
1702030000—158
П 063 (02)-86	КБ-18-7-86	ББК 22.141
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1986
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	4
Глава 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА	7
§ 1.	Историческая справка	7
§ 2.	Определение комплексных чисел	8
§ 3.	Геометрическое изображение комплексных чисел	9
Глава 2. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ	14
§ 4.	Пути в плоскости комплексного переменного	15
§ 5.	Комплексные функции комплексного переменного	19
Глава 3. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА	23
§ 6.	Деление многочленов	23
§ 7.	Разложение многочлена на множители	25
§ 8.	Общий наибольший делитель двух многочленов	28
§ 9.	Устранение кратных корней	30
§ 10.	Подсчет числа действительных корней многочлена на
заданном отрезке	32
Глава 4. КВАТЕРНИОНЫ	36
§ 11.	Векторные пространства	36
§ 12.	Евклидово векторное пространство	43
§ 13.	Кватернионы	51
§ 14.	Геометрические применения кватернионов	54
Глава 5. ДРУГИЕ ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ	66
§ 15.	Алгебраические тела и поля	66
§ 16.	Поле вычетов по простому модулю р	70
§ 17.	Теорема Фробениуса	74
Глава 6. ТОПОЛОГО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ТЕЛА	84
§ 18.	Топологическое тело	85
§ 19.	Топологические понятия в топологическом теле L 90
§ 20.	Теорема единственности	96
§ 21.	р-адические числа	98
§ 22.	Некоторые топологические свойства поля Ко р-аци-
ческих чисел	107
§ 23.	Поле рядов над полем вычетов	111
§ 24.	О структуре несвязных локально-компактных тополо-
гических тел
ПРЕДИСЛОВИЕ
Понятие числа складывалось в математике
постепенно в результате длительного развития, которое
шло под воздействием практики и внутренних потребностей
математики. Так, в конце концов, сформировалось понятие
действительного числа, которое в данной книге предпола-
гается известным.
На этом, однако, развитие понятия числа не остано-
вилось. Внутренние потребности математики привели к
комплексным числам. Возникшая на их основе теория
функций комплексного переменного имеет теперь большие
практические применения. Комплексным числам в книге
отведено много места. Доказана основная теорема алгебры
о том, что многочлен имеет хотя бы один действительный
или комплексный корень. Возникающее из этой теоремы
разложение многочлена на линейные множители тщательно
изучено. При этом в качестве вспомогательного аппарата
в книге используется деление многочленов друг на друга
и алгоритм Евклида.
Поскольку комплексные числа оказались очень важными
и врезными в математике, возникла чисто обобщательская
попытка развивать понятие числа в том же направлении.
Так возникли кватернионы, но лишь в результате отказа
от коммутативности умножения. Благодаря отсутствию
коммутативности умножения оказалось невозможным пост-
роить теорию функций кватернионного переменного. Таким
образом, применение кватернионов в математике оказалось
очень незначительным. При помощи кватернионов хорошо
описываются вращения трехмерного и четырехмерного
евклидовых пространств. Конечно, это по своему значению
не может идти ни в какое сравнение с применением комплекс-
ных чисел. В книге дается описание кватернионов и при-
менение их к изучению вращений трехмерного и четырех-
мерного евклидовых пространств. Этот раздел книги завер-
шается доказательством теоремы Фробениуса, утверждаю-
щей, что дальнейшее развитие понятия числа в направлении
кватернионов невозможно.
4
Переход от рациональных чисел к действительным
числам вызван скорее внутренней логикой развития ^те-
матики, чем практическими потребностями, так как при
помощи рациональных чисел с любой точностью мсжно
осуществить любое измерение. К действительным числам
привело математическое открытие, возникающее из теоремы
Пифагора и состоящее в том, что длина диагонали квад-
рата со стороной равной единице не может быть измерена
точно рациональным числом. Действительные числа как
бы заполняют промежутки между рациональными числами
и приводят к тому, что условие сходимости Коши являйся
не только необходимым, но и достаточным условием
сходимости. Этот факт чрезвычайно важен в математике.
Действительные числа представляют собой ту непрерывную
среду, в которую помещены рациональные числа. Здесь
становится совершенно ясным, что для чисел характерно
не только наличие действий сложения, вычитания, умно-
жения и деления, но также и понятие предельного пере-
хода, т. е. известно, что означает последовательность чйСел
сходящаяся к данному числу.
Совокупность величин, в которой имеются алгебраи-
ческие операции сложения, вычитания, умножения и деле-
ния, а также определен предельный переход, является
естественным логически возможным обобщением понятия
числа. Оказывается, что таких обобщений вовсе пе ояень
много. Именно их описанию в основном посвящена эта
книга.
Переход от рациональных чисел к действительным
опирается на представление о том, что такое малое рацио-
нальное число. Оказывается, что, кроме совершенно естест-
венного понятия малости рационального числа, существует
другое, связанное с некоторым простым числом р. Свя-
занное с этим понятием малости расширение рациональ-
ных чисел приводит к возникновению р-адических чисел,
которые имеют в настоящее время важное применение
в теории чисел и описаны в книге.
Величинами, для которых возможны алгебраические
операции, являются так называемые вычеты по прост°мУ
модулю р. Рациональные функции некоторой величин^ С
где коэффициентами служат вычеты по модулю р, образУют
систему величин, в которой возможны операции сложения,
вычитания, умножения и деления, а также естестве11110
возникает понятие малости. Дополняя эту систему раци-
ональных функций таким образом, чтобы вновь полученная
система величин была с точки зрения предельного пб'Ре'
5
хода полной, т. е. чтобы условие Коши являлось необ-
ходимым и достаточным условием сходимости, мы приходим
к изучению бесконечных рядов относительно величины t.
Это еще одна система величии, в которой возможны
алгебраические операции и предельный переход. В конце
книги формулируется теорема Ковальского, описывающая
до некоторой степени любую систему величин, в которой
имеются алгебраические операции и предельный переход.
Книга посвящена описанию таких систем величин с
алгебраическими операциями и предельным переходом,
которые являются логически возможными обобщениями
чисел. Налагая на эту систему величин некоторые очень
простые и естественные ограничения, мы приходим к ре-
зультату, что никаких других логических возможностей
для построения приемлемых в математике величин, ана-
логичных действительным и комплексным числам, кроме
действительных и комплексных чисел, не существует. Это
показывает, что действительные и комплексные числа
сложились в математике не в результате случайного про-
цесса исторического развития, а как единственные логи-
чески возможные величины, удовлетворяющие тем требо-
ваниям, которые естественно предъявить к числам.
В заключение выражаю благодарность С. М. Асееву
за большую помощь при редактировании этой книги.
ГЛАВА I
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Здесь я прежде всего очень кратко расска-
зываю о том, как возникли в математике и постепенно
утвердились в ней комплексные числа. Затем даю опре-
деление комплексных чисел, действий над ними и их гео-
метрическую интерпретацию. Попутно доказываются фор-
мулы косинуса и синуса суммы, тесно связанные с умно-
жением комплексных чисел.
§ 1. Историческая справка
Из курса математики известно, что отрица-
тельные числа введены прежде всего для того, чтобы опе-
рация вычитания, обратная к операции сложения, была
всегда возможна. По аналогичной причине в математике
появились комплексные числа. Если рассматривать только
действительные числа, то операция извлечения квадрат
ного корня, обратная к операции возведения в квадрат,
не всегда возможна, так как нельзя извлечь квадратный
корень из отрицательного числа. Этого, однако, недоста-
точно, чтобы заводить в математике новые числа. Оказа-
лось, что если производить вычисления по обычным пра-
вилам над выражениями, в которых встречается корень
квадратный из отрицательного числа, то можно прийти
к результату, уже не содержащему корень квадратный из
отрицательного числа. В XVI веке Кардано нашел фор-
мулу для решения кубического уравнения (Квант, 1976,
№ 9, с. 2). Оказалось, что именно в том случае, когда
кубическое уравнение имеет три действительных корня,
в формуле Кардано встречается корень квадратный из
отрицательного числа (там же, с. И). Обнаружилось
таким образом, что производя вычисления с выражениями,
содержащими корень квадратный из отрицательного числа,
можно получить вполне понятные результаты. Поэтому
эти корни стали употреблять в математике. Назвали их
мнимыми числами, и тем самым они как бы приобрели
S'
право на нелегальное существование. Полные граждан-
ские права мнимым числам на грани XVIII — XIX сто-
летий дал Гаусс (Квант, 1977, Ке 8, с. 2), который наз-
вал их комплексными числами, дал им геометрическую
интерпретацию и, что самое главное, доказал основную
теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен
имеет хотя бы один действительный или комплексный
корень.
§ 2. Определение комплексных чисел
Мы будем исходить из того, что действитель-
ные числа нам известны. Мы знаем, что для них опреде-
лены два основных действия—сложение и умножение —
и имеются обратные к ним действия—вычитание и деле-
ние. Для этих действий выполняются хорошо известные
правила, которые обычно употребляются совершенно авто-
матически, и поэтому я их не буду здесь формулировать.
Множество объектов, для которых определены действия
сложения и умножения и обратные к ним действия вычи-
тания и деления, причем выполнены обычные правила,
имеющие место для действительных чисел, называется
в современной абстрактной алгебре полем.
Таким образом, с точки зрения современной абстракт-
ной алгебры множество D всех действительных чисел
представляет собой поле. Поставим теперь перед собой
задачу расширить понятие числа, или, как говорят
в абстрактной алгебре, расширить поле D до поля К2
таким образом, чтобы в этом новом поле № уравнение
z2 + 1 = О
имело решение. Элемент поля №, который удовлетворяет
этому уравнению, обозначим через I. Таким образом, для
i имеем
Р = -1.	(1)
Так как поле № содержит все действительные числа и
элемент i и так как в нем возможны действия сложения
и умножения, то в поле № должны содержаться всевоз-
можные многочлены относительно i с действительными
коэффициентами, в частности все многочлены первой сте-
пени, т. е. выражения вида
z = х 4- yi'= х -|- iy,
где х и у—действительные числа. Эти выражения и
fi
называются комплексными числами. Действия над ними
мы определим как действия над многочленами, учитывая
при этом условие (1). Комплексные числа вида
z = х 4- Ot = х
являются действительными числами. Комплексные числа
вида
z = O + t/t = t/Z
называются чисто мнимыми числами.
Пусть zt == хх 4-У У, z2 = х2 4- y2i—два комплексных
числа. Согласно высказанному правилу сумма и произве-
дение этих комплексных чисел определяются равенствами
zi + г2 = Ui + У1 •) + (х2 4- y2i) = (*» + х2) + (уг 4- уг) i, (2)
z,z2 = (х, 4- у у) (х2 + y2i) = XjX2 4- {xty2 + z/,x2) i + у,у2Р =
= (xtx2—У1у2) 4- (x,y2 4- УЛ) i. (3)
При получении последнего равенства мы использовали
условие (1).
В случае, если число г) = х)—действительное, получаем
x1z2 = x1x24-x1y2i.	(4)
Из формул (2) и (3) видно, что сумма и произведение
двух комплексных чисел есть также комплексное число.
Для того чтобы убедиться, что действие вычитания,
обратное действию сложения, существует, достаточно найти
число —z, противоположное числу z, а для того чтобы
убедиться в том, что возможно деление, достаточно для
z =# 0 указать число г"1, обратное числу z = х 4“ yi- Числа
эти, как легко видеть, задаются формулами
—2=—х—z/t,
Таким образом, величина z“\ обратная к z, существует
всегда, когда z#=0.
§ 3. Геометрическое изображение
комплексных чисел
Обозначим через Р плоскость нашего чертежа
и выберем на ней прямоугольную систему координат
(рис. 1). Комплексное число z = x-\-iy поместим в точку
z с координатами х, у. Обозначим также через z вектор,
9
идущий из начала координат О в точку г. Таким обра-
зом, буква z обозначает одновременно комплексное число,
точку г, изображающую эго комплексное число, и вектор
г, соответствующий этому комплексному числу. При та-
ком изображении действительные числа попадают на ось
абсцисс—поэтому ось абсцисс называется действительной
осью плоскости Р комплексного переменного, а чисто мни-
мые числа попадают на
ось ординат—поэтому ось орди-
нат называется мнимой осью
плоскости Р комплексного пе-
ременного. Нуль попадает в на-
чало координат.
Длина вектора z называется
модулем комплексного числа
z — x-\-iy и обозначается | z |:
|z| = + Vx2- + y2.
Комплексные числа z,
удовлетворяющие условию
|z|=l, составляют окружность радиуса 1 с центром
в начале координат. На этой окружности лежит число 1.
Из точки 1 отложим по окружности дугу заданной длины
<р в направлении против часовой стрелки. Конец этой
дуги обозначим через (<р). Если <р—отрицательное число,
то для получения (<р) нужно отложить от точки 1 длину
дуги | <р | по часовой стрелке. Как известно, абсцисса
точки (<р) называется costp, а ее ордината —sin<p. Таким
образом, комплексное число (<р) задается формулой
(<p) = cos<p-|-tsin <р.
(5)
Итак, всякое комплексное число г, по модулю равное
1, записывается в виде (5). Если z—произвольное комп-
лексное число, модуль которого | z | = р отличен от 0, то
число z/p является комплексным числом, по модулю рав-
ным 1, и потому записывается в виде (5). Из равенства
z/p = cos <р + i sin <р
мы получаем
z = p(cos<p + tsin<p).	(6)
Запись (6) называется тригонометрической формой комп-
лексного числа. Число <р называется аргументом комплекс-
ного числа. Если модуль р комплексного числа z отличен
от нуля, то аргумент определен с точностью до слагае-
мого 2#л, где k—целое число. Если же модуль р комп-
лексного числа равен 0, то формула (6) также имеет
Ю
место, однако в этом случае аргумент комплексного числа
вовсе не определен.
Числа р и <р называются полярными координатами
точки z.
Дадим теперь геометрическое истолкование действий
над комплексными числами.
Из формул (2) и (4) следует, что комплексные числа
складываются и умножаются на действительные числа'
как векторы.
Геометрический смысл сложения комплексных чисел
очевиден: вектор Zi + z2—это диагональ параллелограмма^
построенного на векторах г1 и z2. Отсюда вытекает важ-
ное неравенство:
I zi + z2 I I г11 +1 z21.	(7)'
Для того чтобы дать геометрическое истолкование
умножения комплексных чисел, нужно употребить опера-
цию поворота вектора или, что то же самое, комплекс-
ного числа. Повернув вектор z против часовой стрелки на
угол а, мы получим некоторый новый вектор, который
обозначим через Да(г). Геометрически ясно, что опера-
ция поворота Ra имеет следующее свойство: если а—дей-
ствительное число, то
Яа+₽(г) = 7?а(^₽(2)).
Ra(az) = aRa(z),
Ra (21 + Z2) = Ra (zt) + Ra (z2).
Из последних двух формул следует, что если и а2 —
два действительных числа, то имеет место соотношение
Ra	+ a2z2) = atRa (zj + a2Ra (z2).	(8)
Непосредственно ясно также, что 
/?a(l) = cosa + i sin а.	(9)
Докажем теперь, что поворот комплексного числа
z = x + yi на угол а равносилен умножению его на комп-
лексное число cosa-j-isina, т. е. что
Ra (z) = (cos а + i sin a) z.	(10)
Для этого рассмотрим сначала поворот на угол d=jt/2.
В этом случае cosd-|-i sind=i, и равенство (10) прини-
мает вид Rd (z) = iz. С одной стороны, геометрически оче-
видно, что Rd (1) = i, Rd (i) = —1. С другой стороны, i  1 =i,l
i-i = —1. Таким образом,
7?d(l) = i-l, Rd(i) = i-i.
11
Из формулы (8) непосредственно вытекает:
й = 1-(хфф) = х-1фу(—1) =
= xRd (1) + У Rd W = Rd (х • 1 ф у • i) = Rd (x ф iy) = Rd (г).
Таким образом, формула (10) доказана для а = п/2.
Пусть теперь а—произвольное действительное число.
При г = cos а ф i sin а получаем
z-i = iz = Rd (z) = Rd (cos a ф i sin a) =
a фу I -J-isin I a 4-у ) =
==7?a^cosy4-isinyj = 7?a(i). (11)
Таким образом, формула (10) доказана при z = i.
Перейдем теперь к доказательству формулы (10) для
произвольного комплексного числа
z = x^iy.
Из формул (8), (9), (11) имеем
Ra (*) = Ra (х ф iy) = xRa (1) 4- yRa (i) =
= x (cos a 4- i sin a) ф у (cos a ф i sin a) i —
— (cos а ф i sin a) (x ф yi) = (cos a ф i sin a) z.
Таким образом, формула (10) полностью доказана.
Применяя формулу (10) к комплексному числу z =
= созРф«з1пР, получаем
(cos а ф i sina) (cos Р ф i sin Р) = Ra (cosp ф i sin P) =
= Ra (Re (1)) =	(1) = cos (a ф P) ф i sin (a ф P).
Таким образом,
(cos a ф i sin a) (cos p ф i sin P) = cos (a ф P) ф i sin (a ф P).
Производя перемножение комплексных чисел, стоящих
в левой части, по формуле (3) получим
(cos а ф i sin a) (cos Р ф i sin Р) =
= (cos a cos р—sin a sin P) ф (sin a cos p ф cos a sin P) i.
Значит, мы получили формулы для косинуса и синуса
суммы:
cos (а ф р) = cos a cos р—sin a sin Р,
sin (а ф Р) = sin a cos р ф cos a sin Я»
12
двух комплексных
аргументы склады-
A

Для произвольных комплексных чисел, которые мы
запишем в виде г (cos а 4- i sin a), s (cos 0 4- i sin 0), получаем
r (cos a + i sin a) • s (cos 0 4- i sin 0) =
= rs [cos (a + 0) + f sin (a + 0)]. (12)
Таким образом, при перемножении
чисел их модули перемножаются, а
ваются.
Формулу (12) очевидным об-
разом можно распространить
на произвольное число сомно- ,
жителей. Если все эти сомно-
жители равны между собой и /
равны комплексному числу -4- —
г (cos a 4-i sin а), то мы полу- I
чаем
[г (cos а 4- i sin a)]n =
= rn (cos па 4- i sin na).
Эта формула очень инте-	Рис. 2
ресна. Она дает возможность
извлечь корень n-й степени из произвольного комплекс-
ного числа р (cos ф4-1sin<р). Именно, оказывается, что
число корней n-й степени из числа р (cos ф 4- i sin q>) у= О
равно п, причем корни эти расположены на окружности
радиуса [Zp с центром в начале координат и составляют
вершины правильного n-угольника. Это утверждение я
предоставляю для доказательства читателям.
В частности, корень n-й степени из единицы имеет п
значений, которые являются вершинами правильного п-
угольника, вписанного в единичный круг, причем одна
из его вершин есть единица (рис. 2). В виде формулы
эти корни записываются следующим образом:
1/ 1 = cos----h isin---,	= О, 1,2, ..., n — 1.
v	п 1	п >	’	’
ГЛАВА 2
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ
Здесь будет доказана основная теорема ал-
гебры, утверждающая, что всякий многочлен с комплекс-
ными коэффициентами имеет по крайней мере один комп-
лексный корень. При этом действительные числа счи-
1 таются частным случаем комплексных чисел. Эта теорема
впервые была доказана Гауссом в 1799 году для частного
случая многочленов с действительными коэффициентами.
Гаусс показал, что всякий такой многочлен имеет по
крайней мере один действительный или комплексный ко-
рень. С точки зрения современной абстрактной алгебры
теорема эта показывает, что поле комплексных чисел ал-
гебраически замкнуто: это значит, что, рассматривая
корни алгебраических уравнений (т. е. корни многочле-
нов) в этом поле, мы не можем получить новых чисел.
В этом смысле поле комплексных чисел радикально
отличается от поля действительных чисел, которое не яв-
ляется алгебраически замкнутым. При этом стоит заме-
тить, что поле комплексных чисел получено из поля
действительных чисел присоединением лишь одного корня
уравнения
z2+l=0.
Доказательство основной теоремы алгебры опирается
не на соображения абстрактной алгебры, а на конкрет-
ное рассмотрение поля комплексных чисел. Строгое ее
доказательство должно опираться на точное определение
действительного числа и на точное определение непре-
рывности функций. Я здесь привожу не строгое, но гео-
метрически убедительное доказательство, основанное на
рассмотрении путей в плоскости комплексного перемен-
ного и их деформаций. Доказательство это не только
доказывает теорему, но до некоторой степени объясняет,
почему она верна.
Как следствие основной теоремы алгебры мы покажем,
как многочлен с комплексными (в частности, действитель-
ными) коэффициентами раскладывается на множители.
14
§ 4. Пути в плоскости комплексного
переменного
Если точка z в плоскости Р комплексного
переменного перемещается во времени, когда время t
меняется в пределах te t tit то мы считаем, что в
плоскости Р задан путь (рис. 3). Таким образом, путь
Рис. 3. Примеры путей
есть функция г (/) действительного переменного t, при-
нимающая комплексные значения, заданная на отрезке
С Л-
г(/),
Формула эта задает путь. Речь здесь идет о движе-
нии точки, осуществляемом естественно, без скачков. Так
что функция z (/) является непрерывной функцией. Мы
не уточняем здесь понятие непрерывности, считая, что
оно интуитивно ясно, как движение точки. Следует от-
четливо понимать, что путь есть процесс движения, а не
та линия, которую описывает движущаяся точка. Одну
и ту же линию можно описать разными способами.
В процессе движения точка z(t) в разные моменты
времени может попадать в одну и ту же точку плоско-
сти, так что не исключается равенство
2(Q = 2(Z3) при /2#=/3.
Таким образом, путь может иметь самопересечения. Он
может даже состоять из одной точки, именно в случае,
когда точка z(/) вовсе не перемещается при изменении t.
15
В дальнейшем, если это не будет оговорено специально,
мы всегда будем предполагать, что путь не проходит че-
рез начало координат, т. е. что величина z (t) ни при ка-
ком значении t не обращается в нуль. Точка z(/0) = z0
называется началом пути, а точка z(/1) = z]—его концом.
Если имеет место равенство z(l = z1, то путь называется
замкнутым (рис. 4).
Так как комплексное число z(Z) не обращается в нуль,
для всякого значения t определен аргумент ф(0 комп-
лексного числа z(t), но он определен лишь с точностью
до слагаемого 2/гл. Эта неоднозначность для нас нежела-
тельна Для того чтобы освободиться от нее, выберем
для начальной точки z0 вполне определенный аргумент
<Po = T(Q.
Затем по мере возрас. <ния t будем выбирать аргу-
мент <р(0 точки z(/) так, чтобы при малых изменениях
t он менялся мало. Этим неоднозначность выбора аргу-
мента будет устранена. Добавление к аргументу числа
2kn при k^=0 привело бы сразу к резкому изменению
величины ф (/). Выбрав начальное значение аргумента
Ф (Q — ф0 и следя за тем, чтобы аргумент ф (I) точки г (/)
менялся вместе с t непрерывно, мы получаем вполне оп-
ределенную функцию ф (/), меняющуюся непрерывно, т. е.
без скачков. Если выбрать начальное значение аргумента
Фо иначе, изменив его на 2kn, то он будет отличаться
от ранее выбранного ровно на 2kn на всем протяжении
16
изменения t. Отсюда следует, что при таком способе по-
строения функции ф(/) величина
ф(^)-ф(^)	(I)
не зависит от случайно выбранного начального значения
аргумента числа z0.
Если путь замкнут, то точки г0 и zl совпадают и,
следовательно, их аргументы Ф(/о) и <р(^) могут отли-
чаться лишь на 2kn. Поэтому число (1) в случае замк-
нутого пути есть 2kn. Целое число k называется индек-
сом замкнутого пути в плоскости комплексного перемен-
ного г. Следует еще раз подчеркнуть, что индекс замкнутого
пути можно определить лишь в том случае, когда путь
не проходит через начало координат.
Индекс k имеет простой геометрический смысл. Имен-
но, он указывает, сколько раз точка z (t), описывая замк-
нутый путь, обходит начало координат (рис. 5).
Рассмотрим простой пример. Путь
1 4- г (cos 14- i sin t),	^.2n	(2)
является замкнутым. Он описывает окружность с центром
в точке 1 и радиусом г и проходит окружность в течение
времени t равномерно против часовой стрелки. Если число
г < 1, то окружность не содержит внутри себя начала
координат и индекс пути равен 0. Если г >1, то окруж-
ность содержит ' внутри себя начало координат и индекс
пути равен 1 (проверьте это самостоятельно). В случае
г=1 путь проходит через начало координат и его индекс
не определен. Если число г меняется, то путь (2), как
говорят, деформируется (рис. 6). Мы видим на этом при-
мерз, что во время деформации замкнутого пути его индекс
17
не меняется, если только путь в какой-то момент дефор-
мации не проходит через начало координат.
Говоря, что путь описывается движением точки во
времени, мы лишь хотели придать более интуитивный
характер определению пути. В действительности же речь
идет о зависимости комплексного переменного г от неко-
торого действительного параметра t (который можно обо-
значить и другой буквой). Так, например, путь (2) можно
записать в виде
Рис. 6. Деформация пути
1 -|-г (cos а + i sin а) при изме-
нении г
1 ф- г (cos а -ф i sin а),
(3)

а ;С2л,
где параметром уже является
не t, а а Ясно, что путь (3)
описывается точкой 1+г,
когда точка z описывает путь
г (cos а 4- i sin а), 0 а 2л.
Здесь г есть числовой пара-
метр, от которого зависит сам
путь. Говорят, что при измене-
нии г путь (3) деформируется.
Введем понятие деформа-
ции пути. Будем считать, что
путь деформируется, если он постепенно меняется без
скачков в зависимости от некоторого параметра, который
для пути (3) обозначен через г, а вообще может быть
обозначен и другой буквой, например, s (рис. 7). Таким
образом, деформирующийся путь записывается формулой
z(a, s),
а0^а
(4)
So - S Sx
Здесь при каждом фиксированное значении параметра s
имеем определенный путь, описываемый во время измене-
ния а от а0 до alt а при изменении s сам путь меняется,
деформируясь. Ясно, что если путь (4) замкнут, т. е.
если при любом значении s имеет место равенство
z(a0, s) =2(аг, s),
то в течение деформации индекс пути должен меняться
без скачков А так как он есть целое число, то индекс
этот остается постоянным Конечно, это верно только
в том случае, когда для произвольного значения s путь (4)
не проходит через начало координат. В противном случае
для этого значения s индекс пути не определен. Таким
образом, мы можем высказать следующее утверждение
18
если замкнутый путь непрерывно деформируется, не
проходя в процессе деформации через начало координат,
то индекс его не меняется.
Дадим еще один пример замкнутого пути:
Рис. 7. Дефор-
мация пути
rn (cos па + i sin па), 0 а 2л. (5)
Ясно, что путь этот описывается точ-
кой z", когда точка г описывает замкну-
тый путь
Рис. 8
Видно, что когда а меняется от 0 до 2л, аргумент точ-
ки z" меняется от 0 до 2пл. Таким образом, индекс пути (5)
равен п (см. рис. 8, где схематически показан случай
м = 3).
§ 5. Комплексные функции комплексного
переменного
Если числовое значение комплексной пере-
менной величины w можно найти, зная числовое значе-
ние другой комплексной переменной величины г, то пере-
менная величина w называется функцией переменной вели-
чины z, что записывается в форме
ш = /(?).
Если комплексная функция /(г) комплексного перемен-
ного z имеет производную, то она называется аналити-
19
ческой функцией. Теория аналитических функций является
теперь одним из важнейших разделов математики. Здесь
нас будут интересовать лишь аналитические функции
очень частного вида, именно многочлены.
Рассмотрим многочлен
w = f(z)=^zn+a1zn-1+ . .. +a„_1z+a„,	(6)
где alt а2, ..., ап суть комплексные коэффициенты, ап —
неотрицательное целое число, которое называется степенью
Рис. 9
многочлена. Целью нашего исследования будет доказатель-
ство того, что многочлен (6) положительной степени имеет
корень, т. е. что уравнение
7(г) = 0,
где f(z) — многочлен (6) и п > 0, имеет решение. Для
доказательства этого рассмотрим замкнутый путь
f[r (cos а 4- i sin а)],	0^а^2л,	(7)
который описывает точка f (z), когда точка z описывает
замкнутый! путь
г (cos а + i sin а),	0 а 2л.
Случай, когда свободный член ап многочлена f (г) ра-
вен 0, не требует рассмотрения, так как в этом случае
многочлен /(z) имеет очевидный корень г — 0. Поэтому мы
20
будем считать, что а„^=0. Замкнутый путь (7) зависит
от параметра г и при изменении параметра г деформи-
руется. При г-0 число г равно 0 и путь f(z) состоит
из неподвижной точки ап. Таким образом, его индекс при
г = 0 равен 0. Мы докажем, что если взять г достаточно
большим, то индекс пути (7) равен п. Но по предположе-
нию п =/= 0, поэтому при изменении числа г от большого
значения к нулю путь (7), деформируясь, пройдет при
каком-то значении г через начало координат, а это и зна-
чит, что при некотором значении z функция f(z) обра-
тится в нуль, т. е. корень у этого многочлена сущест-
вует (рис. 9).
Для доказательства того, что при достаточно боль-
шом г замкнутый путь (7) имеет индекс, равный п, про-
деформируем этот путь в более простой, индекс которого
легко сосчитать.
Прежде всего мы разобьем многочлен /(z) на сумму
двух многочленов:
f(z) = z« + g(z),
где g(z) задается формулой
g(z) = atzn~1 + a2zn~i+ . .. +a„_tZ \-ап.
Так как коэффициенты alt а2, ..ап многочлена g(z) суть
вполне определенные числа, то все они не превосходят
по модулю некоторую константу с. Из доказанного в § 3
неравенства (7), распространенного на произвольное число
слагаемых, следует, что при | z | > 1
ISr(z)lCnc|zn-l|.	(8)
Рассмотрим многочлен f(z, s), зависящий от парамет-
ра s, O^s^Cl, задаваемый следующей формулой:
f(z, s) = zn + sg(z).
Мы имеем равенство
zn = f(z, s)—sg(z),
откуда
lz"Klf(z, s)| + | — sg(z)|sC|f(z, s)|-|-nc|z'’-1|s<
^'lf(z, s) | ~|- nc|z"~’|
(cm. (8)). Отсюда следует
|/(z, s) |	| zn |—nc|z"~l|-
21
Обозначим |z| через г, тогда последнее неравенство
принимает вид
|f(2, s)|^r" — ncr"~1 = r"~’(г—сп).
Таким образом, при г > сп правая часть предыдущего
неравенства положительна. Следовательно, модуль функ-
ции f(z, s) не обращается в нуль ни при каком значении s,
если только г > сп.
Обратим внимание теперь на тот факт, что при s=0
многочлен f(z, s) превращается в известный нам много-
член гп. А индекс пути z“, когда г описывает окружность
г (cos а -|-1 sin а), нами уже сосчитан (см. (5)). Он равен п.
При s=l многочлен f(z, s) превращается в многочлен
f(z), и определяемый им путь (7) имеет индекс, тоже рав-
ный п. Итак, мы доказали, что индекс пути (7), опреде-
ляемый многочленом f (z), при г > сп равен п. Таким
образом, если считать, что при меняющемся г от 0 до
сп 4- е, где е > 0, путь (7) деформируется, причем при
г —0 этот путь превращается в одну точку и его индекс
равен 0, а при r—-cn-j-e его индекс равен п. Из этого
видно, что в процессе изменения г путь (7) при некото-
ром значении г проходит через начало координат, и сле-
довательно, многочлен f (z) при некотором значении г,
|z|^cn4-£, обращается в нуль.
Итак, основная теорема алгебры доказана.
ГЛАВА 3
АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА
§ 6. Деление многочленов
При делении целого положительного числа а
на целое положительное число b приходим к равенству
a = bh-\-k,	(1)
где h и k—целые неотрицательные числа и k < b. Число h
называется частным, a k—остатком при делении числа а
на число Ь.
Способ деления целых чисел хорошо известен из ариф-
метики. Но так же, как целые числа, можно делить друг
на друга и многочлены. Будем исходить из двух много-
членов
a (z) = aozP + а^Р-1 + -..+ар,
b (z) = b0z9 + blzt>~14-... 4-Ьг
Предположим здесь, что числа а0 и Ьо не равны нулю,
так что многочлен а (г) имеет степень р, а многочлен b (z)
имеет степень q. В результате деления многочлена a (z)
на многочлен b(z) мы придем к следующему равенству,
аналогичному равенству (1):
a(z) = &(z)/i(z)4-^(z),	(2)
где степень многочлена k(z) меньше q. Многочлены h(z)
и k (z) называются соответственно частным и остатком при
делении многочлена а (г) на многочлен b(z).
Если ft(z) = 0, то говорят, что многочлен а (г) делится
на многочлен b(z), a h(z) является частным от их деления.
Равенство (1) доказано в арифметике, а равенство (2)
должно доказываться в алгебре. Но деление многочленов
не входит в ныне действующую школьную программу.
Чтобы доказать (2), мы должны построить такие много-
члены h(z) и k(z), которые удовлетворяют этому равен-
ству. Процесс этого построения представляет собою очень
важный алгоритм, так называемый алгоритм Евклида.
Опишем его.
23
Если p<q, то /г (2) = О, £(z) = a(z) и равенство (2)
выполнено.
Теперь мы будем строить многочлены h (z) и k (г) в пред-
положении, что p^-q- Сначала построим равенство
a(z) = fc(z)h1(z)+a1(z),	(3
в котором степень многочлена а, (z) меньше р. Для этого
положим
Тогда разность
a (z)—b(z)h1 (z) = <z1 (г)
имеет степень меньше, чем р, так как в этом многочлене
коэффициент при zp равен нулю, а остальные степени г,
входящие в этот многочлен, очевидно, меньше р. Таким
образом, равенство (3) построено.
Если многочлен аг (z) имеет степень меньшую, чем q,
то равенство (3) уже является равенством (2). В противо-
положном случае к многочлену at (г) применим ту же
процедуру, которая применялась к многочлену a (z) при
построении равенства (3). Тогда получим для него равен-
ство
«1 (z) = &(z) h,(z)+a2 (z),
причем степень многочлена а2 (z) уже меньше, чем степень
многочлена (z). Если многочлен а2(г) уже имеет степень
меньшую, чем q, то подставляя «, (z) из последнего равен-
ства в равенство (3), получим
a (z) = b (z) (hx (z) + h2 (z)) + a2 (z),
которое уже является равенством (2). Если многочлен
a2(z) тоже имеет степень большую, чем q, то мы продол-
жим наше построение дальше и, в конце концов, докажем
нужное равенство (2).
Здесь мы описали процесс деления многочлена а(г)на
многочлен b(z), т. е. нахождение многочленов h (z) и k (z),
входящих в равенство (2). Докажем теперь, что многочлены
/i(z) и fe(z) однозначно определены многочленами a(z)
и b(z). Допустим, что наряду с равенством (2) имеет
место равенство
a(z) = fc(z) ft0(2)+fe0(z),
24
причем степень многочлена kB{z) меньше q. Вычитая это
равенство из равенства (2), получим
Ь (z) (h (z)—hB (z)) = kB (z)—k (z).
1 ак как степень многочлена Ь (z) равна q, а степень много-
члена A0(z)—k(z) меньше q, то последнее равенство может
иметь место лишь при условии h(z)—/i„(z) = 0, так что
и k(z)—feo(z) = O.
Заметим, что при делении многочленов не могут воз-
никнуть комплексные числа. Именно, если многочлены
a (z) и b (z) имеют действительные коэффициенты, то много-
члены h (г) и k (z) также имеют действительные коэффи-
циенты.
§ 7. Разложение многочлена на множители
Теперь существующий по основной теореме
алгебры корень многочлена
(z) = zn + a1zn-1+	гг > О
с комплексными коэффициентами обозначим через ах. Дока-
жем, что многочлен /0(z) делится на двучлен (z—ах). Про-
изводя деление многочлена fB (z) на многочлен первой сте-
пени (z — at) по правилам, описанным в § 6, мы получим
частное, которое обозначим через A (z), и некоторый оста-
ток в виде многочлена нулевой степени, т. е. числа, кото-
рое мы обозначим через k. Таким образом, имеем
fo(z) = fi(z) (z — ax) + fe.
Так как /0(ai) = 0» то, полагая в предыдущем равенстве
? = «!, получаем /г = 0.
Итак, многочлен f0(z) делится на (z— a,), и мы имеем
A(z) = (z—at) A (z),
где A (z) — многочлен степени п—1, который, очевидно,
начинается с члена z"-1. Если n> 1, то п—1 >0; тогда
многочлен А (2) будет положительной степени и по дока-
занному ранее имеет некоторый корень а2. Таким обра-
зом, по только что доказанному многочлен A (z) разла-
гается на множители
A(z) = (z-a2)A(z).	(4)
Продолжая этот процесс дальше, мы получим разложе-
ние A(z) на и линейных множителей
А(2) = (2—«1)(г—а2) ... (z—ап).
25
мый на действительные множители. Многочлен с действи-
тельными коэффициентами, не разложимый на действи-
тельные множители, называется неприводимым. Значит,
многочлен /о (г) разлагается на действительные неприводи-
мые множители степени—один или два. Из этого выте-
кает важный вывод:
каждый корень многочлена f0(z) является корнем непри-
водимого многочлена первой или второй степени.
§ 8. Общий наибольший делитель
двух многочленов
Многочлен b(z) считается делителем много-
члена a(z), если при делении а(г) на b(z) не получается
остатка, т. е. в формуле (2) k(z) = O.
Многочлен b (г) считается общим делителем двух много-
членов а0 (г) и (г), если он является делителем каждого
из этих двух многочленов.
Общий делитель с (г) двух многочленов ае (z) и a, (z)
называется их общим наибольшим делителем, если он
делится на каждый общий делитель b(z) многочленов
a0(z) и ajz).
Существование общего наибольшего делителя двух
многочленов не очевидно. Ниже оно будет доказано при
помощи последовательного деления многочленов друг на
друга, т. е. при помощи таких операций, которые совер-
шаются без особых трудностей, кроме громоздких вычис-
лений. Но прежде всего мы докажем, что два общих
наибольших делителя (z) и гу (z) двух многочленов
ас (г) и «1 (г) по существу совпадают. Именно, они могут
отличаться друг от друга только числовым множителем,
отличным от нуля. Докажем это.
Так как св(г) является общим наибольшим делителем
многочленов ae(z) и at(z), a cy(z)— их общим делителем,
то c0(z) делится на c1(z) и, следовательно, мы имеем
тождество
c0(z) = ft1(z)c1(z).	(8)
Аналогично мы имеем формулу
Ci(z) = /i0(z)c0(z).	(9)
Подставляя выражение (z) из формулы (9) в формулу (8),
получаем
cc(z) = /i„(z)/i1 (z)c0(z).
28
А так как при перемножении многочленов степени их
складываются, то из последней формулы следует, что
многочлены hB(z) и /ц(г) имеют степень нуль, т. е. явля-
ются числами.
Таким образом, единственность общего наибольшего
делителя многочленов ав(г) и аг(г) доказана.
Перейдем теперь к построению общего наибольшего
делителя c(z) многочленов ав (г) и аг(г). Для этого про-
изведем деление многочлена aB(z) на многочлен а,(г).
Запишем формулу (2) в виде
«o(z) = a1(z)/i1(z) + a2(z),	(10)
т. е. обозначим остаток от этого деления через a2(z).
Теперь подвергнем многочлен аг(г) делению на много-
член а2 (г), и формулу (2) запишем в виде
a1(z) = a2(z)/i2(z) + o3(z),	(11)
т. е. обозначим остаток от деления через а3(г). Теперь
подвергнем делению многочлен а2 (г) на многочлен а3 (z) и
запишем формулу (2) в виде
a2(z) = a3 (z)/i3 (z)-ha4(z).
Так как в процессе этого построения степень остаточного
многочлена все время снижается, то мы дойдем до такого
остатка, который либо равен нулю, либо будет иметь сте-
пень нуль, а при делении на многочлен степени нуль
остаток, очевидно, равен нулю. Таким образом, в конце
концов мы получим тождества
«и-2 (*) = a»-! (z) Vi (z) + а„ (z),	(12)
a„_1(z) = a„(z)/i„(z).	(13)
Если теперь b(z)—общий делитель многочленов aB(z)
и аг(г), то из формулы (10) следует, что он является
делителем a2(z). Из формулы (11) следует, что много-
член b(z) является делителем многочлена a9(z). Таким
образом, докажем последовательно, что многочлен b(z)
является делителем всех построенных нами многочленов
«о (z). ai (z), а2 (z), ..., ап (г),
в частности многочлена n„(z). А из формулы (13) следует,
что многочлен n„(z) является делителем ап_г(г), из фор-
мулы (12) следует, что он является делителем an_2(z).
В конце концов мы установим, что an(z) является дели-
телем многочленов a0(z) и а^г). Таким образом, дока-
зано, что c„(z) делится на любой делитель многочленов
29
мый на действительные множители. Многочлен с действи-
тельными коэффициентами, не разложимый на действи-
тельные множители, называется неприводимым. Значит,
многочлен f0 (г) разлагается на действительные неприводи-
мые множители степени—один или два. Из этого выте-
кает важный вывод:
каждый корень многочлена fB(z) является корнем непри-
водимого многочлена первой или второй степени.
§ 8. Общий наибольший делитель
двух многочленов
Многочлен b(z) считается делителем много-
члена a(z), если при делении a(z) на b(z) не получается
остатка, т. е. в формуле (2) /Дг) = 0.
Многочлен b(z) считается общим делителем двух много-
членов а0 (г) и at (z), если он является делителем каждого
из этих двух многочленов.
Общий делитель с (г) двух многочленов ав (г) и cz, (z)
называется их общим наибольшим делителем, если он
делится на каждый общий делитель b(z) многочленов
a„(z) и аДг).
Существование общего наибольшего делителя двух
многочленов не очевидно. Ниже оно будет доказано при
помощи последовательного деления многочленов друг на
друга, т. е. при помощи таких операций, которые совер-
шаются без особых трудностей, кроме громоздких вычис-
лений. Но прежде всего мы докажем, что два общих
наибольших делителя сп(г) и сДг) двух многочленов
ав (г) и «1 (z) по существу совпадают. Именно, они могут
отличаться друг от друга только числовым множителем,
отличным от нуля. Докажем это.
Так как сДг) является общим наибольшим делителем
многочленов aB(z) и аДг), a с, (г)— их общим делителем,
то c0(z) делится на сДг) и, следовательно, мы имеем
тождество
c0(z) = /i1(z)c1(z).	(8)
Аналогично мы имеем формулу
G(z) = /i0(z)c0(z).	(9)
Подставляя выражение ty (z) из формулы (9) в формулу (8),
получаем
cB(z) = hB(z)h, (z)c0(z).
28
А так как при перемножении многочленов степени их
складываются, то из последней формулы следует, что
многочлены h0(z) и /h(z) имеют степень нуль, т. е. явля-
ются числами.
Таким образом, единственность общего наибольшего
делителя многочленов a0(z) и ах (z) доказана.
Перейдем теперь к построению общего наибольшего
делителя c(z) многочленов ае (z) и ax(z). Для этого про-
изведем деление многочлена au(z) на многочлен а^г).
Запишем формулу (2) в виде
o0(z) = a1(z)/}1(z) + a2(z),	(10)
т. е. обозначим остаток от этого деления через a2(z).
Теперь подвергнем многочлен аг (г) делению на много-
член a2(z), и формулу (2) запишем в виде
a1(z) = a2(z)/i2(z) + <z3(z),	(11)
т. е. обозначим остаток от деления через a3(z). Теперь
подвергнем делению многочлен а2 (г) на многочлен as (z) и
запишем формулу (2) в виде
a2(z) = a3 (z)/i8 (z) + a4(z).
Так как в процессе этого построения степень остаточного
многочлена все время снижается, то мы дойдем до такого
остатка, который либо равен нулю, либо будет иметь сте-
пень нуль, а при делении на многочлен степени нуль
остаток, очевидно, равен нулю. Таким образом, в конце
концов мы получим тождества
«п-2 (2) = a„_i (z) hn^ (z) + ап (z),	(12)
an-i(z) = a„(z)ft„(z).	(13)
Если теперь b(z)—общий делитель многочленов й0(г)
и аг(г), то из формулы (10) следует, что он является
делителем a2(z). Из формулы (11) следует, что много-
член b(z) является делителем многочлена a8(z). Таким
образом, докажем последовательно, что многочлен b(z)
является делителем всех построенных нами многочленов
«о (z), «1 (z), а2 (z), ..., ап (z),
в частности многочлена a„(z). А из формулы (13) следует,
что многочлен a„(z) является делителем <zn_1(z), из фор-
мулы (12) следует, что он является делителем o„_2(z).
В конце концов мы установим, что a„(z) является дели-
телем многочленов c0(z) и ах(г). Таким образом, дока-
зано, что fi„(z) делится на любой делитель многочленов
29
a0(z) и ai(z) и сам является их делителем. Следовательно,
многочлен ап (z) является общим наибольшим делителем
многочленов a0(z) и at(z).
Докажем теперь следующий важный результат, имею-
щий многочисленные применения в алгебре.
Общий наибольший делитель с (г) двух многочленов
ае (z) и Gj (z) может быть записан в виде формулы
c(z) = p0(z)a0(z)+p1(z)a1(z),	(14)
где p0(z), рг (z)—некоторые многочлены. Докажем это
утверждение. Подставляя выражение многочлена а2 (z) из
формулы (10) в формулу (11), получим
а3 (z) = р2 (z) ае (z) + (z) a, (z).
Продолжая этот процесс дальше, мы получим формулу (14).
Таким образом, формула (14) доказана.
§ 9. Устранение кратных корней
Нахождение корней многочлена является
одной из наиболее старых и трудных задач алгебры.
Первоначально ее пытались решить при помощи формулы,
состоящей из алгебраических выражений, включающих
извлечение корней. Это очень удачно сделано для квад-
ратного уравнения. Для кубического уравнения также
имеется формула, но уже мало значительная в смысле
приложений. Для уравнений четвертой степени также
есть формула, но лишенная всякого практического зна-
чения. Позже было доказано, что для уравнений выше
четвертой степени общей формулы решения уравнений
в радикалах не существует. Полная теория о возмож-
ностях нахождения корней многочлена при помощи ра-
дикалов была построена Галуа. На пути решения проблемы
отыскания корней многочлена лежит следующая, гораздо
более простая задача. Для многочлена f(z), имеющего
как простые, так и кратные корни, найти такой много-
член g (z), который имеет те же самые корни, что и / (г),
но только простые. Эта задача решается при помощи
алгоритма Евклида, т. е. при помощи деления многочле-
нов. Ее решение будет рассмотрено в этом параграфе.
Пусть а (г) и b(z)—два многочлена, а р (z) — их произ-
ведение,
p(z) = «(z)6(z).
Обозначим через
«о «а.  • •, %
30
совокупность всех чисел, каждое из которых является
корнем хотя бы одного из многочленов а (г) и b(z). Тогда
эти многочлены могут быть записаны в следующем виде
(см. (5)):
a(z) = (z—а2)*« ... (г—ад)к<1,	(15)
b(z) — (z—a^(z—а2)^ ...(г—ад) 1ч.	(16)
В обоих этих разложениях некоторые показатели степе-
ней могут равняться нулю. Мы будем считать, что крат-
ность соответствующих корней является нулем. Очевидно,
мы имеем
p(z) = (z—cc1)*‘ + z>(z—a2)k‘+l* ... (z—ag)k9+lv.
Таким образом, при перемножении многочленов кратности
корней у них складываются.
Исходя из разложения многочленов a (z), b(z) на мно-
жители (см. (15) и (16)), легко найти их общий наиболь-
ший делитель с (г). Для этого обозначим через mt наи-
меньшее из чисел ki и /1, через тг—наименьшее из чисел
k2 и /2 и т. д., через тд—наименьшее из чисел kq и 1д.
Тогда наибольший общий делитель многочленов а (г) и b(i)
задается формулой
с(г) = (г—а^Дг—а2)т* ... (г — a.q)m4.
Этот простой способ нахождения общего наибольшего
делителя двух многочленов требует, однако, нахождения
всех корней обоих многочленов и потому он практически
мало пригоден, так как сводит простую задачу к очень
трудной. Между тем нахождение общего наибольшего
делителя двух многочленов, как было показано в § 8,
представляет собой очень простую, решающуюся при
помощи алгоритма Евклида, т. е. при помощи деления
многочленов, задачу.
Выясним теперь, как связаны между собой кратности
корней многочленов a0(z) и й1(г) = а^(г), т. е. кратности
корней многочлена а0 (г) и его производной а'о (z).
Оказывается, что если корень а многочлена (z) имеет
кратность k, то тот же корень для многочлена at(z)=
= сДг) имеет кратность k—1. Но, конечно, кроме кор-
ней, являющихся корнями многочлена аДг), многочлен
°Дз) может иметь и другие корни.
Докажем, что если а есть корень многочлена а0 (г)
кратности k, то тот же корень является корнем много-
члена ах (z) = а0' (г) кратности k — 1.
13


Из разложения (5) многочлена а0 (г) на множители
следует, что если а есть корень многочлена а0(г) крат-
ности k, то
«о (z) = (z—a)kb(z),
причем b(z) уже не делится на (г—а) и, следовательно,
не имеет а своим корнем. Дифференцируя последнее соот-
ношение, получаем
а'о (г) = ах (z) = k (г—b (г) + (г—а)кЬ' (z),	(17)
(г—а)*-1 Ь(г) = ъ «i(z)+4(z—а)й ь' (г)-	(18)
Из формулы (17) видно, что a, (z) делится на (г—cc)ft“l,
а из формулы (18) следует, что афг) не делится на (г—а)к-
В самом деле, если бы аг (г) делилось на (г—a)ft, то b (г)
делилось бы на (z —а). Таким образом, кратность корня а
для многочлена оДг) есть k—1. В частности, если а —
простой корень многочлена ou(z), то а не будет корнем
мнбгочлена оДг).
Таким образом, если а0(г) имеет разложение (5), то
общим наибольшим делителем многочленов а0(г) и а'0(г)
является многочлен
c(z) = (z—at)*-"Цг—а^-1 ... (г—а/?'1.
Отсюда видно, что многочлен а0 (г) делится на много-
член с (г) и частное имеет вид
-д^- = (г—«0(2—а2) •  • (г—а9).
Таким образом, сформулированная в начале параграфа
задача о нахождении многочлена g(z), имеющего те же
самые корни, что и многочлен f(z), но только кратности 1,
решена.
§ 10. Подсчет числа действительных
корней многочлена на заданном отрезке
Нахождение комплексных корней много-
члена является задачей более сложной, чем
нахождение его действительных корней, так как в слу-
чае комплексного корня нам приходится фактически ре-
шать уравнение с двумя неизвестными, которыми явля-
ются действительная часть корня и его коэффициент при
мнимой части.
32
Поскольку в предыдущем параграфе приведен способ,
позволяющий свести вычисление корней многочлена к вы-
числению корней многочлена, имеющего только простые
корни, то мы займемся здесь именно этим случаем простых
корней. Здесь будет дан результат, позволяющий в зна-
чительной степени облегчить приближенное вычисление
действительных корней многочлена.
Будем рассматривать многочлен ав(х) действитель-
ного переменного х, имеющего только простые корни, и
дадим способ определения числа этих корней на задан-
ном отрезке ?0^x^gi. Так как все корни многочлена
а0 (х) простые, то многочлены ав (х) и (х) = а'в (х) не
имеют общих корней и ни для какого значения х не
могут одновременно обращаться в нуль.
Для решения этой задачи рассмотрим последователь-
ность действительных чисел
а0, «1. а2, .. ., а„.	(19)
Будем считать, что ни одно из этих чисел не обращается
в нуль. Почти что само собой понятно, что значит число
перемен знака в этой последовательности (19). Определим
его формально. Мы будем считать, что между ав и at
имеется перемена знака, если одно из этих чисел поло-
жительно, а другое отрицательно. Обозначим через
в этом случае число 1. Если же числа ав и либо оба
положительные, либо оба отрицательные, то будем счи-
тать, что перемены знака между ними нет. В этом слу-
чае обозначим через число, равное нулю. Точно так
же определим число р2, которое оценивает перемену знака
между ал и а2. Таким образом, мы получим последова-
тельность нулей и единиц
Pi, Рг,  • •. Рп-
Сумма всех чисел из этой последовательности есть число
перемен знака последовательности (19).
Исходя из многочленов ав(х) и а1(х) = а„(х), путем
последовательного деления построим последовательность
многочленов.
Разделим многочлен ав (х) на многочлен at (х) и запи-
шем формулу (2) в виде
ав (х) = (х) а,; (х)—а2 (х).
Разделим теперь многочлен at(x) на многочлен а2(х)
и запишем формулу (2) в виде
(*) = К (х) а2 (х) — а3 (х).
2
Л. С. Понтрягин
33
На k-м шаге этого процесса мы получим тождество
ak-i(x) = hk(x)ak(x)—ak+1(x).	(20)
Продолжая этот процесс до конца, мы придем к последо-
вательности многочленов
а0(х), а^х), ..ап(х).	(21)
Процесс построения этой последовательности почти в точ-
ности совпадает с процессом нахождения наибольшего
общего делителя двух многочленов. Так как многочлены
о0(х) и ап(х) взаимно просты, то последний член последо-
вательности, а именно ап(х), есть число.
Заметим прежде всего, что ни при каком значении
х = х0 два рядом стоящие многочлена последователь-
ности (21) не могут обращаться в нуль. В самом деле,
если ак (x„) = ak+l (х0) = 0, то из соотношения (20) следует,
что ak_l(x0) = Q.
Продолжая этот процесс, мы придем к выводу, что
многочлены а0(х) и аДх) обращаются в нуль при х=х0,
а это невозможно, так как они не имеют общих корней.
Пусть теперь х возрастает, начиная от значения Ео и
кончая Ясно, что при таком росте х число перемен
знака последовательности чисел (21) может измениться.
А это может произойти только при прохождении х через
такое значение х0, при котором один из членов последо-
вательности (21) меняет знак, т. е. проходит через нуль.
Допустим, что при х — хй мы имеем cft(xo)=0 и при
росте х вблизи точки х0 знак функции ак(х) меняется.
Полагая в соотношении (20) х = х0, получим равенство
oft_i(x & — aft+i(x0).
Таким образом, чис a czft_i(x0) и aft+f(x0) имеют противо-
положные знаки. Если при х, близком к х0, число ак(х)
имеет знак, совпадающий со знаком ак_1 (х), то знаки
чисел ак (х) и ак+1 (х) различны. Таким образом, между
aft_i(x) и ак(х) перемены знака нет, а между ак(х) и
ak+i (х) перемена знака есть. Если при прохождении
точки х через х0 знак числа ак (х) меняется, то для этого
х между ак~1(х) и ак(х) перемена знака есть, а между
ак(х) и йа+1(х)—нет. Таким образом, устанавливается,
что при прохождении точки х через х0, при котором ак (х0)
обращается в нуль, число перемен знаков в трехчленной
последовательности
йм(4 ah(x)t ак+1(х)
34
не меняется. Номер k обладает лишь тем свойством, что
у него есть предыдущий номер k — 1 и последующий &4-1.
Таким образом, число перемен знаков последователь-
ности (21) может измениться лишь тогда, когда при про-
хождении х через х0 меняет свой знак либо первый член
последовательности (21), либо самый последний. Но послед-
ний член не может менять знака, так как это есть кон-
станта.
Посмотрим теперь, как меняется число перемен знака
последовательности (21), когда в точке хв первый член
последовательности (21) обращается в нуль. Если при х,
близком к х0, но меньшем хв, ав (х) > 0, то при прохожде-
нии х через точку х0 функция ав(х) изменит знак. Но
при х = хв число аДхо) будет иметь отрицательный знак,
так как при этом функция ав(х) убывает, следовательно,
производная ее at (х) отрицательна. Таким образом, при х,
близком к хв, но меньшем хв, между ав (х) и (х) имеется
перемена знака, а при х, большем хв, но близком к х0,
между ав (х) и (х) перемены знака нет. Таким образом,
при прохождении точки х через х0, при котором функ-
ция ав(х) обращается в нуль и убывает, перемена знаков
между ав(х) и (х) исчезает. Точно так же устанавли-
вается, что если при переходе через точку х0 функция
а0(х) возрастает, то перемена знака между ав(х) и щ(х)
исчезает. Таким образом, установлено, что число перемен
знаков последовательности (21) при изменении х может
произойти лишь тогда, когда х проходит через корень
многочлена а0(х), при этом каждый раз одна перемена
знака исчезает. Следовательно, когда х растет от £п до Е1(
в последовательности (21) происходит потеря одной пере-
мены знака при прохождении х через корень многочлена
ав(х). И, следовательно, для нахождения числа корней
многочлена ав(х) между |0 и ii надо сравнить числовые
поел едовательности
ао (£о)> а1 (?о)>  • •’ ап (^о)>
Oodi), Oi(U. • • •> MBi)-
(22)
(2S)
Число перемен знаков последовательности (22) может быть
лишь больше, чем число перемен знаков последователь-
ности (23).
Потеря числа перемен знаков при переходе последова-
тельности (22) в последовательность (23) есть число кор-
ней многочлена а0(х), находящихся в промежутке
B0<x<£v
2*	В6
ГЛАВА 4
КВАТЕРНИОНЫ
Описанию кватерййонов я предпосылаю не-
которые сведения о векторных пространствах, которые
мне понадобятся при изучении кватернионов, так как ква-
тернионы составляют четырехмерное евклидово векторное
пространство.
§ 11. Векторные пространства
Последовательность
лг = (х1, х2, .хп)	(1)
из п действительных чисел, расположенных в определен-
ном порядке, указанном в формуле (1), называется «-мер-
ным вектором. Совокупность А" всех n-мерных векторов
называется «-мерным векторным пространством. Числа
X1, X2, ..хп
называются координатами вектора х (см. (1)).
Вектор считается равным нулю и обозначается через О,
если все его координаты равны нулю.
Произвольный вектор х из Ап может быть умножен
на действительное число а. Для получения этого произ-
ведения каждая координата вектора х должна быть умно-
жена на число а. Таким образом, в виде формулы про-
изведение ах записывается так:
ах = (ах\ ах2, ..., ах”).'	(2)
Каждые два вектора, х (см. (1)) и
у=(у\ У2, • • Уп)
из А" могут быть сложены. Для этого координаты их
следует сложить. В виде формулы это записывается сле-
дующим образом:
л + > = (х1Ч-{/\ №+£/?,	х" + уп). (3)
36
Если теперь
^1’ Х2...Xk	(4)
— совокупность k векторов пространства Ап, то, поль-
зуясь операциями (2) и (3), можно составить их линейную
форму
+ а2*2 + - • • + акхк,	(5)
где аи	ak—действительные числа.
Совокупность из k векторов (4) считается линейно не-
зависимой, если вектор, определенный формулой (5), обра-
щается в нуль лишь при условии, когда
«! = 0, а2 = 0, . .., ак = 0.
В противном случае, т. е. если существуют такие числа
«1. «2, ..., ак,	(6)
не все равные нулю, что вектор г, определяемый форму-
лой (5), обращается в нуль, совокупность (4) называется
линейно зависимой. Если к совокупности линейно зави-
симых векторов (4) прибавить еще несколько векторов
xft+1, xft+2> хк то расширенная совокупность
Х1, Х2,	, Х1
будет линейно зависимой. Именно, если совокупность ко-
эффициентов (6) осуществляет линейную зависимость век-
торов (4), то мы имеем соотношение
ф ... |- 0xz = 0,
причем не все числа последовательности
«1,а2, .. .,aft,aft+1 = 0, . .., а, = 0
равны нулю.
Если в векторном пространстве Ап, состоящем из всех
векторов вида (1), рассмотреть те векторы, для которых
i-я координата обращается в нуль, то мы получим также
векторное пространство Ап~1, но размерности п—1, кото-
рое называется координатным подпространством простран-
ства Ап.
Докажем теперь следующее важное предложение.
А)	Совокупность (4) векторов n-мерного пространства
Ап при k > п всегда линейно зависима.
Для доказательства достаточно рассмотреть случай
k = п -ф 1. Доказательство будем вести индуктивно. Отме-
тим, прежде всего, что для п — 1 утверждение А) спра-
37
ведливо. Пусть х, у —два вектора пространства причем
х = {х1), у = (у1).
Если числа х1, у1 равны нулю, то мы имеем соотношение
ах + Р_У = О
при произвольных а и р, так что в этом случае векторы
х и у линейно зависимы. Если не оба числа к1, у1 равны
нулю, то мы имеем соотношение
у1х— хгу = 0.
Таким образом, при п=1 утверждение А) верно.
Пусть теперь
х.>, • • •, Jfn+i	(7)
— совокупность из (« + 1)-го вектора пространства А".
Сосредоточим внимание на последней координате всех
векторов совокупности (7). Если все они равны нулю, то
совокупность векторов (7) принадлежит к (п—1)-мерному
пространству. Согласно предположению индукции сово-
купность (7) линейно зависима. Допустим теперь, что хотя
бы один вектор, например х„+1, имеет последнюю коор-
динату отличную от нуля. Для каждого вектора х, сово-
купности (7) при можно подобрать такое число ау-,
что все вектора у определяемые формулой
У} = Xj—аух„+1; j = I.....п,	(8)
имеют последнюю координату, равную нулю, и потому
лежат в (п—1)-мерном векторном пространстве. Следова-
тельно, по предположению индукции они линейно зависимы.
Таким образом, существует совокупность чисел
Р1. Р2,
(причем не все эти числа равны нулю) такая, что имеется
соотношение
Mi + ₽2>i+---+₽n^n = 0.
Из этого и из формулы (8) вытекает:
Рл + Мг-Ь. - .+₽„x„—(Р^ + Р.а.4- . .. +Р„а„)лгп+\.=0.
Таким образом, совокупность векторов (7) линейно
зависима. Итак, предложение А) доказано.
В)	Базис векторного пространства.
Обозначим через ег вектор из Ап, все координаты
которого равны нулю, за исключением одной координаты,
38
номера i, которая равна 1, т. е. положим
е1 = (1, 0, ..., 0),
е2 = (0, I____0),
е„ = (Ь, О,'.’..,' 1).
Ясно, что вектор х (см. (1)) записывается в виде
х =	4- х2е2 4- • •  + хнеп,
причем коэффициенты х1, х2, ..., х'!, входящие в эту фор-
мулу, однозначно определены вектором х. Таким образом,
каждый вектор х в векторном пространстве А" выра-
жается в виде линейной формы относительно векторов
elt е2,	е„,	(9)
причем коэффициенты этой линейной формы определены
однозначно. Система векторов, обладающая этим свойст-
вом, называется базисом векторного пространства А".
Построенный нами базис (9) не является единственным.
Оказывается, что любая линейно независимая система
векторов
s., s2, .... 8„,	/10)
содержащая п векторов пространства Ап, является базисом
этого пространства.
Действительно, пусть х—произвольный вектор про-
странства Ап. Тогда векторы
х, 61, е2, .... 8„
линейно зависимы, поскольку содержат п 4-1 вектор
(см. А)). Таким образом, мы имеем соотношение
ах 4~ aiEi 4~ а2®а 4* • • • 4- апгп = 0,	(11)
причем в этом соотношении не все коэффициенты равны
нулю. В частности, коэффициент а не может быть равен
нулю, так как если бы он был равен нулю, то оказалось
бы, что векторы системы (10) линейно зависимы. Поль-
зуясь этим, разделим соотношение (11) на величину —а.
Для того чтобы не вводить новые обозначения, будем
считать, что а = — 1, а остальные коэффициенты сохра-
ним. Таким образом, получаем
x = ai6i4-a2e24-... 4-а„8„.	(12)
Если бы вектор х мог быть записан аналогично через
систему (10), но с другими коэффициентами, т. е. имело бы
39
место соотношение
х=₽181+₽й + • • •
то, вычитая последнее соотношение из соотношения (12),
мы получили бы соотношение
(а1—₽1)е1 + (а2—₽2)Е2+ ••+(«„—₽„) е„ = 0,
что ввиду линейной независимости векторов системы (10)
приводит к равенству a, = Pf; i— 1, n.
С) Пусть
х2, ..., Хр	(13)
— некоторая линейно независимая система векторов из Ап.
Если р<.п, то систему (13) можно дополнить векторами
хр+1, хп так, что система
Xi, х2, ..Хр, Хр}1, хп
линейно независима.
Докажем утверждение С). Если С) неверно, то, при-
соединяя к системе (13) вектор (см. В)), мы полу-
чим линейно зависимую расширенную систему
elt хи • • -, Хр.
Вектор Ci — ненулевой. Поэтому найдется вектор хд,
линейно выражающийся через остальные векторы расши-
ренной системы. Исключим его из расширенной системы.
Тогда любой вектор из А" можно линейно выразить че-
рез оставшиеся векторы расширенной системы. Добавив
к оставшимся векторам расширенной системы вектор е?,
мы получим линейно зависимую систему, из которой мо-
жно исключить один из векторов х1г .. ., xg_lt х9+1,..., Хр.
Продолжая этот процесс, мы исключим из расширенной
системы все векторы (13) и придем к выводу, что лю-
бой вектор из Ап линейно выражается через векторы
е1г..., ер, что неверно. Следовательно, утверждение С)
справедливо.
Из предложения В) видно, что данное в начале при
помощи координат вектора (см. (1)) определение «-мер-
ного векторного пространства Ап не является инвариант-
ным, так как оно зависит от случайно выбранного базиса
(9), а базисов в пространстве А'1 существует бесчисленное
множество. Поэтому мы дадим другое инвариантное опре-
деление «-мерного векторного пространства Ап.
D) Векторным пространством называется множество А
элементов, в котором определены две операции — сложение
40
и умножение на действительные числа, причем выполнено
условие: если а и р—два числа, ахи у—два элемента
пространства А, т. е. два вектора, то имеют место соот-
ношения
(а + Р)х = ах + Рх,
а (х + у) — ах-\- ау.
При помощи операций, имеющихся в векторном прост-
ранстве А, можно составить линейную комбинацию про-
извольной системы из векторов
*1,   •, х„,
т. е. построить вектор
z =	+ а2х2 + • - • + а„х„,
где ах, ..., а„—действительные числа.
Таким образом, можно ввести понятие линейной зави-
симости векторов и линейной независимости, как это было
сделано раньше (см. В)). Если в векторном пространств Л
имеется п линейно независимых векторов, но нет п +1
линейно независимых вектора, то считается, что вектор-
ное пространство А имеет размерность п и обозначается
через Ап. Выбирая в пространстве А" п линейно незави-
симых векторов, мы получим базис и при помощи него —
координатную запись любого вектора.
Е) Векторное подпространство. Пусть А -векторное
пространство и пусть В—такое подмножество его векто-
ров, что наряду с двумя векторами х и у из В в В вхо-
дит также x-f-y, а наряду с вектором х в В входит и
его произведение на произвольное действительное число,
т е. вектор ах. Тогда В, очевидно, представляет собой
векторное пространство в силу тех операций, которые
имеются в А. Множество В называется векторным под-
пространством пространства А. Если векторное простран-
ство А имеет конечную размерность п, то его подпрост-
ранство В имеет размерность, не превосходящую п.
F) Пусть А'1—n-мерное векторное пространство, а В?
и Сс>—два его векторных подпространства размерности р
и q соответственно. Если векторные подпространства В?
и С9 имеют единственный общий вектор нуль, a p-\-q=n,
то векторное пространство Ап распадается в прямую сумму
своих векторных подпространств В? и С’. Именно, каж-
дый вектор х из Ап представляется в виде суммы

41
где у — вектор из Вр, а г—вектор из Сч, причем слагае-
мые у и z однозначно определены вектором х.
Для доказательства этого утверждения выберем в под-
пространстве Вр базис
еп е2, ..ер,	(14)
состоящий	из	р	элементов,	а в подпространстве	Сч — базис
®f+l>	•••»	(15)
состоящий	из	q	элементов.	Объединяя	совокупность	век-
торов (14) и (15), получим совокупность
еп 82, ..., 8„.	(I6)
Докажем, что совокупность эта составляет базис простран-
ства Д". Так как число векторов системы (16) равно раз-
мерности пространства Д", то достаточно доказать, что
векторы системы (16) линейно независимы. Допустим, что
имеет место противоположное. Именно, имеет место соот-
ношение
ВД -J- a2e2 +  - • + чсрър + ap+x8P+i + • • • +	= О, (17)
причем не все коэффициенты, входящие в это соотноше-
ние, равны нулю. Обозначая через у сумму первых р чле-
нов суммы (17) и через z—сумму остальных членов этой
суммы, получаем два вектора у и z, причем оба они
одновременно не могут обращаться в нуль, так что хотя
бы один из них отличен от нуля. При этом соотношение
(17) переписывается в виде
Л-г = 0,
или, иначе,
У = — 2,
где у € Вр, —z € Сч.
Таким образом, мы приходим к выводу, что векторные
подпространства Вр и Сч имеют общий вектор, отличный
от нуля, что противоречит нашему предположению.
Таким образом, система (16) является базисом прост-
ранства Ап и каждый вектор х из Ап может быть записан
в виде
л" = а181+ • •  -\-аре.рА-^р+ieP+j + • • • -)-ал8„.
Обозначая через у сумму первых р слагаемых последней
суммы, а через г—сумму остальных слагаемых, мы при-
ходим к выводу, что
x=y + z,
где у € Вр, z £ Сч. Таким образом, утверждение F) доказано •
42
G) Пусть X и Y—два векторных пространства и f—'
отображение, ставящее в соответствие каждому вектору
X G X некоторый вектор / (х) g Y, удовлетворяющее еле- 
дующим условиям:
f(Xi + x2) = f(Xi) +f(x2),
f(ax) = af(x),
где а—произвольное действительное число. Такое отобра-
жение f векторного пространства X называется линейным.
Говорят, что отображение есть отображение простран-
ства X на пространство Y, вместо того, чтобы сказать
есть отображение в пространство Y, в случае, если в каж-
дый элемент пространства Y переходит хоть один элемент
пространства X.
Отображение f называется изоморфным, если в нуль
пространства Y переходит только нуль пространства X,
т. е. если из соотношения f(x) = 0 следует, что х = 0.
В этом случае f есть взаимно однозначное отображение
пространства X на векторное подпространство f(X) про-
странства Y. В самом деле, два различных вектора хг и
х2 пространства X не могут перейти в один и тот же
вектор пространства Y, так как тогда их разность хг—х2=#0
переходила бы в нуль пространства Y.
§ 12. Евклидово векторное пространство
Векторное пространство Ап называется евк-
лидовым, если в нем определено скалярное произведение.
А) Говорят, что в векторном пространстве Ап опре-
делено скалярное произведение, если каждой паре век-
торов х и у этого пространства поставлено в соответст-
вие действительное число, которое обозначается (х, у) и
называется скалярным произведением векторов х и у,
причем выполнены условия симметрии и линейности.
Именно, имеют место следующие соотношения
(х,у) = (у,х).	(18)
Условие линейности: именно, если xt и л*2—два вектора
из пространства Ап, а—действительное число, то имеют
место соотношения
(Х1 + х2, у) = (х1, у) + (х2, у),
(ах, у) = а(х, у).
.Так как имеет место симметрия, то линейность выполне-
43
на и по второму вектору у. Именно:
(х, J1+J2) = (x, Ji) + (X, j2),
(х, ₽j) = P(x, у).
Пусть
е1> Е2. • • •» еп
— некоторый базис пространства Ап, так что
х=хЧ + х3е2 4- ... 4- х"8„,
У = У1^ 4- У2Яг 4- • • • 4- УГК-
Положим
(₽<- ^f) = gi,J-
В силу симметрии (см. (18)) мы имеем
gi,/=g/,r
В силу линейности мы имеем
(х,у) = 2 х‘У^1,/= S gi.^'y'-	(19)
i,/=1	i, ,= l
Это есть координатная запись скалярного произведения.
На скалярное произведение (х, у) накладывается еще
одно очень важное условие. Скалярный квадрат вектора,
т. е. его скалярное произведение самого на себя, счи-
тается квадратом его длины и потому всегда больше или
равно нулю и обращается в нуль лишь при х=0, так
что
(х, х)^0; если (х, х) = 0, то х=0.
Длину вектора х обозначают через | х|, так что
|х|2 = (х, х).
Оказывается, что зная так определенную длину каждого
вектора пространства Ап, можно вычислить скалярное
произведение двух любых векторов этого пространства.
В силу симметрии и линейности мы имеем
(X4-J, x4-J) = (x, х)4-2(х, j)4-(j, у).
Таким образом, получаем
(X, j) = 1(|x+j|2-|x|3-|j|3).	(20)
Здесь слева стоит скалярное произведение (х, у) двух
произвольных векторов пространства Л", а справа—дли-
44
ны трех различных векторов, которые по предположению
известны.
В)	Система вектор
81, 82,	(21)
называется ортонормальной, если имеет место соотношение
(8о8/)={о iZ/’	(22)
I V, 1^=/,
Таким образом, каждые два различные вектора системы
(21) ортогональны между собой, а длина каждого век-
тора (21) равна единице.
Ортонормальная система (21) всегда линейно незави-
сима. Действительно, если имеет место соотношение
ад + а282 + .. • + аргр = О,
то умножая это соотношение скалярно на в,-, получаем
а,= 0. Таким образом, если р — п, то система (21) яв-
ляется ортонормальным базисом
е17 е2, ..., 8„	(23)
пространства Ап.
В случае ортонормального базиса (23) скалярное про-
изведение (19) в координатной форме записывается в виде
(х, j) = i х'у'.
1 = 1
Базис (23), удовлетворяющий условию (22), называется
ортонормальным потому, что каждые два различных его
вектора ортогональны между собой, он нормировав по-
тому, что длина каждого вектора равна единице.
С)	Каждая линейно независимая система векторов
Xi, хг, .  ., хр	(24)
однозначно определяет ортонормальную систему векторов
81,82, .. .,вр.	(25)
Процесс перехода от системы векторов (24) к системе
векторов (25) называется ортонормированием. Опишем его.
Так как система векторов (24) линейно независима,
то вектор Xi =А= 0 и, следовательно, его длина | хг |	0.
Мы полагаем
Далее, полагаем
е2— х2 (-^2»
Мы имеем
(®2i ®1) = (^2> ®1)	(^2> ®1) = О-
Таким образом, векторы Ej и е2 ортогональны между со-
бой. При этом вектор е2 =£= 0, так как векторы хг и
линейно независимы, а следовательно, линейно независи-
мы векторы Ej и е2. Теперь нормируем вектор е2. Именно,
положим
Таким образом, получаем
(®2. ®s) = 1 •
Пусть Ец Eg, уже построены так, что они состав-
ляют ортонормальную систему. Построим вектор Et-+1. По-
ложим
ej+1s=xl+i—®i)®i—(-*Т+1, е2)®2—• • •—(•*/+!. ®()®«-
Прежде всего вектор е^+1У=0, так как из линейной неза-
висимости векторов xlt х2..Хц.1 следует линейная не-
зависимость векторов
®1, ®2» • • •»®«, Jfj + i-
Умножая вектор ef'+1 на произвольный вектор е7-, / sC h
получаем
(®ш, е7-) = 0.
Таким образом, построенный вектор ег'+1 ортогонален ко
всем векторам е^, е2, . . . ,ег и отличен от нуля. Нормируя
вектор ej+1, т. е. полагая
мы получаем вектор Et-+f. Таким образом, индуктивное
построение ортонормированной системы (25) проведено.
Заметим, что переход от системы (24) к системе (25) яв-
ляется непрерывным. Это значит, что при непрерывном
изменении системы (24) соответствующая система (25)
также меняется непрерывно.
D)	Каждое векторное подпространство Вр евклидова
векторного пространства А" само естественным образом
46
является евклидовым векторным пространством. Действи-
тельно, каждая пара векторов из Вр является парой век-
торов из Ап и потому для нее определено скалярное
произведение. Вектор г пространства Ап, ортогональный
каждому вектору из подпространства Вр, считается орто-
гональным ко всему пространству Вр. Обозначим через С
совокупность всех векторов пространства Ап, ортогональ-
ных векторному подпространству Вр. Оказывается, что С
является векторным подпространством пространства А"
размерности q — n—р, причем векторное пространство Л"
распадается в прямую сумму своих подпространств Вр и
С — Сч. Подпространство Сч называется ортогональным
дополнением подпространства Вр.
Оказывается, что подпространство Вр является орто-
гональным дополнением подпространства Сч.
Для доказательства данного утверждения выберем в
евклидовом векторном пространстве Вч ортонормальный
базис
®1» ®2» • • • » 8jp.
Данную систему векторов дополним до максимальной ли-
нейно независимой системы векторами xpJrl, ..., хп
(см. § 11 С)). Тогда мы получим максимальную линейно
независимую систему
81» ®2> • • • >	^р+i» • • •» хп.
Теперь подвергнем эту систему процессу ортонормирова-
ния (см. С)). При этом первые р векторов Ef, е2, ..., &р
не изменятся, а векторы xp+t, хр+2,...,хп заменятся
другими векторами. Вновь полученную систему запишем
в виде
Е1> ®21 • • • > Ер’ ер+Ь • •  1 ЕП-
Последняя система является ортонормальным базисом
пространства Ап, так что каждый вектор х пространства
Ап записывается в виде
х=х1е1+ ... +xPe/,-f-xP+1e/,+i-|- ... +х"е„.
Для того чтобы вектор х был нормальным ко всему про-
странству Вр, необходимо, чтобы он был нормальным к
каждому вектору 1=1, ..., р. Таким образом, должно
быть выполнено условие
(х, ez) = 0;	р.
47
Из последнего условия вытекает
х1 = 0, ..., хр — 0.
Таким образом, вектор z, нормальный ко всему прост-
ранству Вр, записывается в виде
z =	+	+ . . . + Хп8„. Ч
Совокупность всех векторов такого вида составляет век-
торное подпространство С9 пространства Ап размерности
q — n—р, которое является ортогональным дополнением
подпространства Вр. Ясно, что подпространство Вр, в
свою очередь, является ортогональным дополнением под-
пространства С1'.
Дадим геометрическое описание скалярного произве-
дения двух векторов пространства Ап.
Е)	Пусть
я, У
— два линейно независимых вектора пространства Ап.
Совокупность всех векторов
W==ajf + Pj,
где а и [:> — произвольные действительные числа, состав-
ляет двумерное векторное подпространство А2 векторного
пространства Ап. Пространство А2 является векторным
двумерным евклидовым пространством, иначе говоря, евк-
лидовой плоскостью. Таким образом, векторы х и у яв-
ляются линейно независимыми векторами плоскости А2,
и ясно, что такое угол между ними. Обозначим его че-
рез ф. Оказывается, что скалярное произведение векто-
ров х и у выражается в следующем виде:
(Jf, j) = |x||j|coscp.	(26)
Для доказательства формулы (26) ортонормируем пару
векторов х, у. Мы получим два вектора
®2>
составляющих базис двумерного евклидова пространства
А2. При этом
x = | Jf|8i; y = ly |(8i cos + е2 sin <р).	(27)
Таким образом,
(X, у) = (I X I 81, |J I (81 COS ф + 8, Sin ф)) = | X | | у | COS ф.
Таким образом, формула (26) доказана. В случае, если
48
X и у линейно зависимы, то следует считать, что угол ф
между ними равен нулю или л. При этом оба они выра-
жаются через один и тот же вектор:
x = |x|eI; j = ±|_y|8i.
Тогда мы имеем
(х, у) = | х | |_у | cos О
или
(X, j) = | х| |j I cos л.
Таким образом, формула (26) имеет место для любых двух
векторов х и у из А".
F)	Пусть А3—евклидово векторное пространство раз-
мерности 3 и
81, 82, 83	(28)
— его ортонормальный базис. Определим векторное про-
изведение
*=[*,
двух векторов
х — х1^ 4- х2е2 + х388,
J = f/18i + y282+y383-
Зададим координаты г1, г2, г3 вектора z в базисе (28) с
помощью формул:
гх = х2у3—х3у2,
г2 = х3у1—х1у3,	(29)
г3 = х1у2—х2у\
Инвариантность этого определения векторного произведе-
ния относительно выбора базиса (28) мы рассмотрим поз-
же (см. § 14). Здесь отметим только, что
[х, j] = — [j, х]; [х, х] = 0.
Вычислим векторное произведение z, пользуясь форму-
лами (27). Для этого выберем ортонормальный базис про-
странства А3 специальным образом—так, чтобы векторы
х и у записывались при помощи формул (27), и вычис-
лим векторное произведение г, пользуясь этими форму-
лами. Из них и из формул (29) вытекает:
г* = 0, г2 = 0, z3 = |x | |_у | sinф,
где ф—угол между векторами х и у. Таким образом,
векторное произведение векторов х и у ортогонально к
49
ним и его модуль равен произведению модулей |х| и
|у | на модуль синуса, а направление его определяется
углом <р.
G)	Отображение ф евклидова векторного пространства
Ап на евклидово векторное пространство Ап называется
изоморфным, если оно линейно (см. § 11 G)) и сохраняет
скалярное произведение, т. е. если для любых двух век-
торов х и у из А" имеет место формула
<p(j)) = (x, У).	(30)
Заметим, что в силу формулы (20) сохранение скаляр-
ного произведения вытекает из сохранения длины векто-
ров при отображении <р. Именно, если для любого век-
тора х£Ап имеет место соотношение
I ф(аг) I = I х|,
то при отображении ф сохраняется и скалярное произведение
(см. (30)). Пусть tpt—изоморфное отображение евклидова
векторного пространства Ап самого на себя, непрерывно
зависящее от параметра t, меняющегося в пределах 0s^
t <1 1, причем ф0 есть тождественное отображение Ап
на себя, т. е. выполнено условие
Ф0(х) = х.
Таким образом, отображение фг получается из тождест-
венного отображения путем непрерывного его изменения
или, иначе говоря, путем его непрерывной деформации.
Изоморфное отображение евклидова векторного простран-
ства самого на себя, которое получается путем непрерыв-
ной деформации тождественного отображения ф0, назы-
вается вращением евклидова векторного пространства А".
Следует отметить, что не всякое изоморфное отображе-
ние евклидова векторного пространства самого на себя
может быть получено путем вращения. Это будет дока-
зано в § 14.
В евклидовом векторном пространстве определено рас-
стояние р(х,у) между каждыми двумя его точками х и
у, или, что то же самое, между любыми двумя векторами
с концами х и у, выходящими из начала координат. Оно за-
дается формулой
р(х, j) = |x—j|.	(31)
Б0
§ 13. Кватернионы
Комплексные числа играют в математике
огромную роль. В связи с этим возникло желание дать
дальнейшее обобщение действительных чисел. На этом
пути были построены кватернионы, роль которых в ма-
тематике оказалась незначительной. Кватернионы полу-
чаются в результате присоединения к действительным
числам не одной, а трех мнимых единиц, которые обо-
значаются через
I, /, k,	(32)
так что каждый кватернион х записывается в форме
x — x°-^-x1i-lt-x2i-{-x3k,	(33)
где
X®,Xl,X2, Xs
— действительные числа, являющиеся координатами ква-
терниона х. Таким образом, совокупность К4 всех кватер-
нионов представляет собой четырехмерное векторное про-
странство с базисом
Если считать этот базис ортонормальным, то векторное
пространство К4 становится евклидовым четырехмерным
пространством. Сумма кватернионов х и
у^+у^+у^+уч
определяется как сумма векторов, т. е. задается формулой
X + у = х« 4- у0 4- (х14- у1) i 4- (х? 4- у2) j 4- (х3 4- у3) k.
Кватернион х превращается в действительное число х®,
если его координаты х1, х2, х3 равны нулю. Таким обра-
зом, в множестве Л4 всех кватернионов содержится дей-
ствительная ось D, состоящая из действительных кватер-
нионов. Действительное число х® считается действительной
частью кватерниона х (33). Все кватернионы х, для кото-
рых х° = 0, считаются чисто мнимыми. Они составляют
трехмерное подпространство I пространства К4. Простран-
ства / и D являются взаимно ортогональными дополнени-
ями. В соответствии с этим запишем кватернион х в виде
х = х® 4- х,
где x — x1i -\-x2j -\-x3k. При этом х®—действительная часть
кватерниона, а х—его мнимая часть. Точно так же
Б1
запишем кватернион у, положив
y^tf+y,
где
y=yli+y2i + y3k.
Кватернион х, сопряженный к кватерниону х, опре-
деляется формулой
х=х°—х.
Аналогично
у = ув—у-
Перейдем теперь к описанию правил умножения ква-
тернионов. Будем считать, что при перемножении коорди-
наты кватерниона, являющиеся действительными числами,
перестановочными с мнимыми единицами (32). После этого
остается задать лишь правила перемножения мнимых еди-
ниц (32). Они суть следующие:
«= = /2 = /г2 = —1,	(34)
ii = — ji = k; jk = — kj = i;
/гг = — ik=j.	( 5)
Пользуясь этими правилами, перемножим сперва чисто
мнимые кватернионы х и у. Мы имеем:
ху — — (х1у* + х2у2 + х3у3) + (х2уа—х3у2) i +
4- (х'у3 —Xsу1) j + (xly2 —х2уг) k.
Ьспоминая правила скалярного и векторного перемноже-
ния (см. § 12 В), F)) векторов х и у трехмерного евкли-
дова пространства /, мы можем переписать эту формулу
в виде
ху= — (х, у) + [х, р].	(36)
Пользуясь этой формулой, произведение кватернионов х и
у можно записать в следующем виде:
xy=xf>tf—(x, у) + ^у + у°х + [х, у].	(37)
Выпишем теперь произведение кватерниона х и сопря-
женного кватерниона х. Мы имеем
хх = (л-°)? + (х, х) = (х, х) = | х |2.	(38)
Таким образом, произведение хх есть скалярный квадрат
вектора х в евклидовом пространстве /С. Из этого следует,
52
что каждый кватернион х, отличный от нуля, имеет обрат-
ный кватернион х~\ удовлетворяющий условию хх~г .-=«
= х-1л=1, причем
^=|7Г-	<39>
Пользуясь формулой (37), выпишем теперь произведе-
ние кватернионов у, х. Мы имеем:
ух = хпу°—(х, у)—хпу—у°х—[х, у].
Из этой формулы следует важная формула
ху = ух.	(40)
Докажем теперь, что
ky| = klly|-	(41)
Действительно, в силу формулы (38)
\ху\2 = хуху = хуух=-х\у\2х = хх\у\* = \х\2\у\г.
Из формулы (38) следует, что если модуль кватернио-
на е равен 1, то
8"х=ё.	(42)
Совокупность всех кватернионов, по модулю равных 1,
обозначим через Н. Множество Н представляет собой трех-
мерную сферу в пространстве К* радиуса 1 с центром
в нуле.
Заметим, что каждый кватернион а, по модулю рав-
ный 1, может быть записан в форме
а = cos а -ф (si п а) и,	(43)
где а есть угол, удовлетворяющий условию | а | л, a
и— чисто мнимый кватернион, по модулю равный единице,
и наоборот, каждый кватернион, записанный в форме (43),
имеет модуль, равный единице.
Докажем формулу (43). Так как пространство № рас-
падается в прямую сумму своих подпространств D и I, то
а = 5 + т)«.
где В, т]—действительные числа, а и—чисто мнимый ква-
тернион, по модулю равный единице. Далее,
1 = | а [2 = аа — (£ ф- tjw) (g—цы) = S2—ц2ы2 = £2 ф- ца.
53
Следовательно, Jj2 + if = 1 и найдется такой угол а, | а | л,
что £ = cosa, 1] — sin а. Таким образом, формула (43) до-
казана.
Так как кватернионы складываются как векторы, то
мы имеем
+ + <44)
Оказывается, что операции сложения и умножения,
имеющиеся для кватернионов, непрерывны. Именно, если
кватернион х мало отличается от кватерниона х, а ква-
тернион у' мало отличается от кватерниона у, то кватер-
нион x'-j-y' мало отличается от кватерниона х + у, а ква-
тернион х'у' мало отличается от кватерниона ху.
Докажем это. Мы имеем:
(х' + у')—(х + у) = (х’—х) + (у'—у)
Так как по предположению х'—х и у' — у—малые ква-
тернионы, то в силу формулы (44) кватернион (х'4-f/)—
— (*+ У) мал-
 Перейдем к умножению. Мы имеем
х'у' —ху = х'у' —х'у+х’у—ху = х' (у'—у) + (х'—х) у.
Так как у’ — у и х'—х—малые кватернионы, то в силу
формулы (41) кватернионы х' (у' — у) и (х'—х) г/малы.
А в силу формулы (44) их сумма тоже мала.
§ 14. Геометрические
применения кватернионов
В предыдущем параграфе мы построили со-
вокупность К4 кватернионов, представляющую собой евкли-
дово векторное пространство размерности четыре. Было
установлено, что пространство это распадается в прямую
сумму действительных кватернионов D и чисто мнимых
кватернионов /, причем линейные подпространства D и /
векторного пространства № являются взаимно ортогональ-
ными дополнениями.
В пространстве А4 было выделено множество Н ква-
тернионов, по модулю равных единице и представляющее
собой трехмерную сферу радиуса 1 с центром в начале
координат.
А)	Каждому кватерниону а из Н поставим в соответ-
ствие отображение fa евклидова векторного пространства
К4 на себя, задаваемое формулой
fa(x) = axa~l.	(45)
54
Оказывается, что отображение fa всех кватернионов на
себя является изоморфизмом, т. е. сохраняет операции,
имеющиеся в множестве кватернионов К*. Именно, выпол-
няются соотношения
fa (X + У) = fa (х) + fa(y),
fa(Xy) = fa(X)fa(y).	1 ’
Легко проверяется, что при последовательном применении
двух отображений fa и fb имеет место соотношение
fafb~fab‘
Далее, оказывается, что линейное отображение fa евкли-
дова векторного пространства К4 является вращением (см.
§ 12 G)). Кроме того, отображение fa переводит линей-
ные векторные подпространства D и I каждое само в себя.
Докажем предложение А). Прежде всего докажем
соотношение (46). Это доказательство осуществляется авто-
матически. Именно, мы имеем
fa (х + у) = а (х 4- у) а-1 = ахсг1 + аусг1 = fa (х) + fa(у).
Далее,
fa (ху) = ахуа-1 = ахсг'аусг1 = fa (х) fa (у).
Докажем теперь, что при отображении fa длина вектора х
сохраняется. Для этого заметим прежде всего, что
ахсг1 — а~1ха — аха~1
(см. формулы (40) и (42)).
В силу формулы (38) длина вектора ахсг1 определяется
формулой
1аха~112 = аха~1аха~1 — аха~1аха~1 = аххаг1 = | х|2.
Как было доказано в § 12 из того, что длина каждого
вектора сохраняется при отображении fa, следует, что
скалярное произведение, имеющееся в евклидовом вектор-
ном пространстве К4, также сохраняется при отображе-
нии fa. Таким образом, отображение fa является изоморф-
ным отображением трехмерного векторного пространства
I на себя.
Далее, мы имеем, при х из D
ахаг1 = хаа~1 -- х.
Таким образом, fa(x) — x, т. е. fa есть тождественное
отображение D самого на себя. Так как ортогональность
65
при отображении fa сохраняется, то ортогональное допол-
нение / к D также переходит само в себя.
Докажем теперь, что отображение fa является враще-
нием евклидова векторного пространства Ki- В силу фор-
мулы (43)
a = cosa + (sina)«.
Полагая a (Z) = cosa/ + (sina/) и, получаем кватернион
«(/), по модулю равный единице, который при изменении
I от 0 до 1 непрерывно меняется от 1 до а. Таким обра-
зом, отображение /а(/) осуществляет непрерывный переход
тождественного отображения в отображение [а и, сле-
довательно, fa есть вращение евклидова векторного про-
странства /С4.
В)	Пусть и, v—ортонормальная пара векторов из /.
Рассматривая их как кватернионы, составим произведение
w= uv.
Оказывается, что для кватернионов
и, v, w	(47)
выполнены те же соотношения, что и для первоначально
взятых мнимых единиц кватернионов (32). Именно, имеют
место соотношения	ц2 = н2 = ю2 =—1.	(48)
Далее,	UV = — VU = W, vw =— wv—u\	(49) ши = — UW = V
(ср. с (34), (35)). Докажем соотношения (48) и (49); сле-
дуя формуле (36), мы имеем
ии = — (и, и) + [и, и] = —1,
Точно так же
VV= — (V, ц)+[ц, о]==—1.
В силу той же формулы (36) имеем
uv=[u, ц] = — [ц, п] = — VU.
Таким образом, кватернион w—-uv определяется в трех-
мерном евклидовом пространстве / как векторное произ-
ведение векторов и, v, а потому принадлежит 1. При этом
Ьб
также имеет место соотношение
uv = — vu = w.
Таким образом, первое соотношение (49) доказано. Далее
имеем
(uv)2 = uvuv — — iiuv  v = — 1,
так что последнее из соотношений (48) тоже доказано.
Докажем теперь последние два из соотношений (49). Мы
имеем
VW = VUV = — v2u = и,
WU = UVU = — VU2 = V.
Итак, все соотношения (49) доказаны.
С)	Пусть и, v—произвольная ортонормальная пара
из /. Произведение кватернионов и, v обозначим через w,
т. е. положим w = uv.
Плоскость из / с базисом v, w обозначим через Р. По-
ложим а = cos а 4- sin а • и, | а | л (см. (43)). Оказывается
тогда, что вращение fu (см. (45)) пространства / есть вра-
щение вокруг оси и, при котором плоскость Р вращается
в направлении от вектора v к вектору w на угол 2а. При
этом угол а может быть и отрицательным; в этом случае
вращение происходит в противоположную сторону.
Докажем утверждение С). Вычислим кватернионы
/в(и) = аыа-1,
fo(y) = rzm-1,
fa (wj — awa-1.
Так как кватернион а равен cos a-)- sin а • и, то он переста-
новочен с и, следовательно, мы имеем:
fu(u) — аиа~х = иасг1 = и.
Далее, имеем:
fa(у) = (cosa-}-sin а - «)o(cosa—sin а  н) =
= (cos а 4- sin а  и) (cos а + sin а • и) v=
= (cos 2а 4- sin 2а • и) v = cos 2а • v 4- sin 2а • w.
Далее,
fa (w) = (cos a 4- sin a • u) w (cos a—sin a • u)
= (cos a 4- sin a • u) (cos a 4- sin a • u)w =
= (cos2a-|-sin2a • u)w =cos2a • w — sin2a • v.
57
Из последних двух соотношений следует, что преобра-
зование fa осуществляет вращение плоскости Р в направ-
лении от вектора v к вектору ш на угол 2а.
D)	Пусть х, у—два кватерниона из /, по модулю рав-
ные единице. Существует тогда вращение fa такое, что
fa(x) = y.
Таким образом, существует вращение пространства 7, при
котором вектор х переходит в вектор у, и которое за-
дается в виде fa. При этом если х и у мало отличаются
друг от друга, то угол а мал, и потому кватернион а
близок к единице.
Для доказательства предложения D) проведем через
векторы х и у плоскость Р; и пусть и—кватернион, т. е.
вектор из /, ортогональный к Р и по модулю равный
единице. В Р выберем произвольный вектор v, ц| —1.
Тогда и, v образуют ортонормальную пару в /. Полагая
w — uv,
мы получим ортонормальный базис (47) пространства 7,
причем ортонормальная пара v, w составляет базис пло-
скости Р, в которой лежат векторы х и у. Очевидно,
существует такой угол а, что поворот на угол 2а в на-
правлении от v к iv будет переводить вектор х в вектор у,
при этом а может быть и отрицательным. Но если при
этом х и у мало отличаются друг от друга, то угол а
будет мал. Таким образом, предложение D) доказано.
Е)	Существует такое вращение fc (см. А)), что
/₽(0 = “. М/) = ^ fe(k) = W,
где и, v, w—кватернионы, построенные в В). При этом,
если ортонормальная система i, j, k (32) близка к орто-
нормальной системе и, v, w (47), то кватернион с близок
к единице, и следовательно, вращение fc мало.
Докажем предложение Е). В силу предложения D)
существует вращение fa, переводящее кватернион i в ква-
тернион и, т. е.
fa (i) = u.
При этом, если ортонормальные системы (32) и (47) близки,
то кватернион а близок к единице. Пусть Р — плоскость
с ортонормальным базисом /, k и
P' = fa(P),
тогда плоскость Р' содержит кватернионы fa(j), fa(k), vt)
58
w. Теперь существует такое вращение fb, b = sin 0 + cos 0 - и
вокруг оси и, при котором кватернион fa(j) переходит
в кватернион и; при этом, если ортонормальные системы
(32) и (47) близки между собой, то кватернион b близок
к единице.
Таким образом, мы имеем
h (faU)) = v.
Положив с —ba, получим
М0=«. fc(i)=v.
Далее,
fc (&) = fc (if) = fc (0 fc (/) =
при этом, если ортонормальные системы (32) и (47) близки
друг к другу, то кватернионы а н b близки к единице,
а следовательно, близок к единице и кватернион с.
F)	Пусть
^0> Ц»» ^0’	^1» ^1'
— две ортонормальные тройки в пространстве I, мало отли-
чающиеся друг от друга. Тогда существует такое враще-
ние fc, где с—кватернион, близкий к единице, при котором
fe(u0) = «i» /с(Уо) = У1> fc(w0) = Wi- (50)
Докажем утверждение F). Так как кватернион wB — uovu
ортогонален к кватернионам и0, и0, то мы имеем
wB = ewB, где е0=±1.
Поскольку кватернион w[ = u1vi ортогонален к кватер-
нионам и„ то мы имеем ^ = 6^, где е! = ± 1.
Так как кватернионные пары ы0, и0; и,, близки между
собой, то их произведения ш'в и wi также близки. А из бли-
зости кватернионов и вытекает, что е0=е1 = е,
где е = + 1.
Кватернионные тройки
«о- u0, ёку0 и uit vlt еич,
близкие между собой, составляют ортонормальные системы
в /, которые могуз служить мнимыми единицами системы Л’4
(см. В)). Поэтому в силу предложения Е) существует вра-
щение fc, где с—кватернион, близкий к единице, при
котором
fc («о) = «1> fc (щ) = vlt fc (еш0)=
59
Таким образом, соотношения (50) имеют место. Утверж-
дение F) доказано.
Теорема 1. Всякое вращение g векторного прост-
ранства I веек чисто мнимых кватернионов может быть
записано в виде
g(x) = fa(x) = axa-1,
где а—некоторый кватернион, по модулю равный единице.
Если два кватерниона а и b равны по модулю единице,
то вращения fa и fb совпадают тогда и только тогда,
когда а и b либо совпадают, либо отличаются знаком,
то есть
Ь— ± а.
Доказательство. Так как g есть вращение, то
оно получается в результате непрерывного перехода
от тождественного отображения <р0 к вращению чц — g
(см. § 12 G)). Здесь 0<Z t 1, a <pf есть вращение, непре-
рывно зависящее от параметра /. Разобьем отрезок [0, 1]
на п равных частей длины б, причем б—настолько малое
число, что вращения <рРб и <р(р+1) в мало отличаются друг
от друга. Это значит, что для любого вектора к длины
единица из I кватернионы q>p6 (х) и ф(р+1) б (х) близки друг
к другу.
Пусть I, j, k—кватернионные единицы из / (32).
Тогда, так как ортонормальные тройки
Фрб (0. ФРд (/). Фрб (ft);
Ч><р+1>б(0» *Р<р+1> б(/)> 4\pi-i> б (ft)
близки между собой, то в силу F) существует такой ква-
тернион ср, близкий к единице, что вращение f переводит
первую из этих троек во вторую (см. F)). Таким образом,
последовательное применение вращений fCt, fCt, ..., fCn
переведет ортонормальную тройку i, j, ft в ортонормаль-
ную тройку
g(0.	£(ft)-
Таким образом, вращение g будет получено как после-
довательное применение вращений fCi, .. ., / , так что
искомый кватернион а задается формулой
« =	• •  G-
Тем самым первая часть теоремы доказана,
со
Докажем теперь, что вращения fa и fb совпадают тогда
и только тогда, когда а = ± Ь. Если последнее равенство
имеет место, то очевидно, что вращения fa и fb совпадают.
Докажем обратное утверждение. Рассмотрим вращение
fc = fa-‘ft>- Тогда с = а~1Ь. Если вращения [а и fb совпа-
дают, то вращение fc является тождественным. Пусть
с = cos а ф-sin а • и, |а|^л
(см. D)). Тогда в силу предложения В) вращение fc
является вращением вокруг оси и на угол 2а. Такое вра-
щение является тождественным лишь при условии, когда
2а = 2дл, т. е. ос = дл. В этом случае с==±1, и следова-
тельно, а = ± Ь. Итак, теорема 1 полностью доказана.
Займемся теперь вращением четырехмерного евклидова
векторного пространства Л4, состоящего из всех кватер-
нионов.
G)	Каждой паре кватернионов а, Ь^Н, по модулю рав-
ных единице, поставим в соответствие отображение
fa.b(x)^axb-\
где х—произвольный вектор из К*, т. е. произвольный
кватернион. Оказывается, что fa, ь есть вращение евкли-
дова векторного пространства /С4.
Для доказательства этого докажем, что отображе-
ние fa, ь не меняет длины вектора, т. е. модуля кватер-
ниона х. В силу формулы (41) мы имеем
|ОхЬ-Ч=|а||х||Ь-4| = |хГ
Таким образом, модули кватернионов хи fUth (х) равны
между собой и, следовательно, в силу формулы (20) fa,b
есть изоморфное отображение евклидова векторного прост-
ранства Л? самого на себя.
Докажем теперь, что изоморфное отображение fa.b
евклидова векторного пространства Д"4 является враще-
нием, т. е. получается в результате непрерывного пере-
хода O^ZsgJl, тождественного отображения <р0 в
отображение = <ра< ь. Для этого запишем кватернионы
а и b в форме D):
а — cos а ф- sin а • и,
b — cos р -4- sin р • v.
Положим далее
а (Z) = cos at ф- sin at  и,
b (t) = cos pz ф- sjn pz • v
ei
Кватернионы a(t) и b(i) непрерывно зависят от пара-
метра t и по модулю равны единице. Таким образом,
отображение /а(П, Ь(/) есть изоморфное отображение евкли-
дова векторного пространства К4 самого на себя, непре-
рывно зависящее от t и переводящее тождественное
отображение в отображение fa, ь. Таким образом, fa< ь есть
вращение евклидова векторного пространства К4.
Теорема 2. Каждое вращение g евклидова векторного
пространства К1 задается формулой
g(x) — fa, ь(х) = ахЪ~х	(51)
(см. G)). При этом вращения fat 6 и fa',b- совпадают тогда
и только тогда, когда кватернионы а' и Ь' совпадают с
кватернионами а и b или одновременно отличаются от
них знаком.
Доказательство. Пусть
B = g(l).	(52)
Здесь е—кватернион, по модулю равный единице. Наряду
с вращением g рассмотрим отображение, определяемое
формулой
g'^E^g.	(53)
Легко проверить, что отображение g’ является вращением
евклидова векторного пространства Л'4, так как кватер-
нион е может быть получен из единичного кватерниона
в результате непрерывного изменения е(/), где |е(/)|= 1,
и переводит единицу в кватернион е. Кроме того, умно-
жение всех кватернионов из Ki на кватернион е(/), по
модулю равный единице, является изоморфным отображе-
нием евклидова векторного пространства К4 самого на
себя (см. F)). Итак, g' есть вращение евклидова вектор-
ного пространства Л'4. Из соотношений (52), (53) следует,
что вся действительная ось D в евклидовом векторном
пространстве К4 при отображении g' отображается тож-
дественно сама на себя. А так как g' есть изоморфное
отображение евклидова векторного пространства К4 на
себя, то ортогональное дополнение к D, а именно /,
отображается при помощи g' само на себя. Таким обра-
зом, g' является вращением евклидова векторного прост-
ранства I.
Следовательно, в силу теоремы 1 оно может быть
записано в виде
g (х) — схс~\
62
Отсюда следует, что отображение g записывается в виде
g(x) = ECXc~1.	(54)
Полагая, что
ес-= а, с—Ь,
мы видим, что формула (51) верна, и первая часть тео-
ремы 2 доказана.
Перейдем к доказательству второй ее части.
Так как кватернион е однозначно определяется отобра-
жением g, то из совпадения двух вращений gt и g2 евкли-
дова векторного пространства Л4 самого на себя следует
и совпадение соответствующих им отображений gj и g2.
Следовательно, в силу формулы (54) кватернионы
и с2, соответствующие отображениям gt и g2, по теореме 1
могут отличаться лишь знаком.
Отсюда следует, что отображения ь и fa,t ь, могут
совпадать тогда и только тогда, когда кватернионы а, b
совпадают с кватернионами а', Ь' или оба отличаются от
них одним и тем же знаком.
Итак, теорема 2 доказана.
Покажем теперь, что не всякое изоморфное отображе-
ние евклидова векторного пространства I самого на себя
может быть получено как вращение.
Н) Кватернионные единицы i, /, k, лежащие в I, пред-
ставляют собой ортонормальную систему, которая может
служить базисом пространства /. Тем же свойством обла-
дают кватернионы i, /, —k. Существует поэтому изоморф-
ное отображение / трехмерного евклидова векторного
пространства /, при котором
/(0=й /(/) = /, f(k)=-k.
Отображение / не может быть записано формулой
f = fa
(см. (45)). Действительно, если бы это равенство имело
место, то мы имели бы
А»(О = Й =	fo(k)=~ — k.
Но это невозможно. Действительно,
fa (*0 = fa (И) = fa (!) fa (0 = O' = *•
Итак, не всякое изоморфное отображение евклидова
векторного пространства 1 на себя может быть получено
как отображение fa, а между тем в силу теоремы 1 любое
вращение пространства I может быть записано в форме fa.
63
Таким образом, не всякое изоморфное отображение f
евклидова векторного пространства / на себя является
вращением.
Докажем теперь инвариантность определения вектор-
ного произведения [х, у] двух векторов х, у из /, которое
дано было в координатной форме при помощи ортонор-
мального базиса, i, /, k (см. § 12, F)).
В евклидовом векторном пространстве 1 имеется базис
t, /, k,	(55)
а также ортонормальный базис
и, v, w	(56)
(см. В)), получаемый из базиса (55) путем вращения в
евклидовом векторном пространстве / (см. Е)). При этом
правило перемножения кватернионов (56) полностью сов-
падает с правилом перемножения кватернионов (55).
Пусть теперь х и у—два кватерниона из /. Запишем
их в базисах (55) и (56):
х = хЧ + х2/ + х’А,	Л
y=yli+y2i+y3k.
Далее, имеем
x=£lzz-l-£2v4-£3№,
у = т)1// -р ф- т)3ш.	(58)
Векторное произведение [х, у] при помощи координат,
связанных с базисом (55), было определено формулой
[х, у] = (х2г/3—х3уг) i 4- (х3//1—х1^3) j + (xly2—x2yl)k.
После этого было доказано, что кватернионное произведе-
ние ху выражается формулой
ху = — (х, у)4-[х, У],
при этом доказательство опиралось на правило перемно-
жения кватернионов (55).
Составим теперь кватернионное произведение ху при
помощи базиса (56).
Так как правило перемножения кватернионов (56) пол-
ностью совпадает с правилами перемножения кватернио-
нов (55), то кватернионное произведение ху запишется
при помощи координат (58) в форме
ху = —(х, у) 4-к У]-
64
Но вместо координат (57) будут стоять координаты (58).
Так как координатная запись скалярного произведения
(х, у) инвариантна относительно выбора ортонормального
базиса, то векторное произведение [х, у] двух векторов
х и у, взятых в двух ортонормальных базисах (55) и (56),
которые могут быть переведены один в другой путем вра-
щения, оказывается одинаковым.
Но это относится только к ортонормальным базисам
которые можно перевести друг в друга путем вращения
3 Л. С. Понтрягин
ГЛАВА 5
ДРУГИЕ ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
Для того чтобы вполне точно ставить вопрос
об обобщениях чисел, мы в первую очередь должны точно
определить те правила действий, которые должны иметь
место, а эти правила формулируются как правила дейст-
вий, имеющиеся в алгебраических телах и полях. Поэтому
первый параграф настоящей главы посвящен определению
алгебраических тел и полей.
Во втором параграфе этой главы доказывается теорема
Фробениуса о том, что других обобщений действительных
чисел, кроме комплексных чисел и кватернионов, не
существует.
В следующей главе будут рассматриваться другие обоб-
щения чисел.
§ 15.	Алгебраические тела и поля
В этой книге мы уже имели дело с несколь-
кими видами чисел или, лучше сказать, величин, так как
кватернионы не принято называть числами. Я имею в виду
рациональные, действительные, комплексные числа и ква-
тернионы. Все упомянутые четыре вида величин имеют
некоторые общие черты. В каждом из упомянутых четырех
множеств величин имеются два действия—сложение и
умножение. Для каждого из этих действий выполнены
определенные правила. Прежде чем формулировать эти
правила, скажем, что совокупность величин, в которой
определены два действия—сложение и умножение, связан-
ные такого рода правилами,— называется в алгебре телом,
а в случае, если умножение коммутативно,— полем. Сово-
купность или множество всех величин, составляющих
тело, обозначим через К. Сформулируем теперь те пра-
вила, которым удовлетворяют действия, имеющиеся в К-
1.	По сложению тело К коммутативно. Это значит, что
если х и у—две величины из К, то имеет место равенство
х + у — у+х.	(1)
66
2.	Сложение ассоциативно. Это значит, что если х, у,
г—три величины из /С, то выполнено следующее правило:
(x + y) + z = x + (y + z).
3.	В К имеется единственный элемент, называемый
нулем сложения и обозначаемый знаком 0. Он удовлетво-
ряет следующему условию:
х + 0 = х;
следовательно (см. (1)), 0 + х = х.
4.	Для каждой величины х из К имеется противопо-
ложная ей величина, обозначаемая —х и удовлетворяю-
щая следующему условию:
х + (— х) = 0.
Из сформулированных правил следует, что соотношение
х + «/ = г	(2)
{у и z—заданные величины) рассматриваемое как уравне-
ние относительно х, разрешимо. Для его решения к обеим
частям равенства (2) прибавим —у. Тогда получим
х = г + (—y) = z—у.
Таким образом, в К имеется действие вычитание, обратное
сложению.
Из сказанного видно, что совокупность всех элементов,
входящих в К, по сложению образует коммутативную
группу.
Для умножения выполнены правила, аналогичные тем,
которые были перечислены для сложения, за исключением
одного—первого—коммутативности.
5.	Умножение в К ассоциативно. Именно, если х, у, z—
три величины из /С, то выполнено условие
(xy}z = x(yz).
6.	В Д' существует единица е умножения, удовлетво-
ряющая следующему условию:
ez = ze = z.
7.	Для каждого элемента z из К, отличного от 0,
имеется обратный элемент, обозначаемый г-1, удовлетво-
ряющий условию
z~1z = zz“’! = e.
67
3.*
Из сформулированных правил умножения, имеющихся
в К, вытекает, что соотношения
ху = г, -	(3)
yx = z,	(4)
где у, z—заданные элементы/С, причем у=#0, могут быть
разрешены относительно х. Для решения уравнения (3)
умножим обе его части справа на у~1. Тогда получим
x = zt/“1.
Для решения уравнения (4) умножим обе его части слева
на у~1. Тогда получим
х=у~1г.
Таким образом, по умножению все элементы из А,
отличные от 0, образуют группу.
Наконец, действия сложения и умножения, имеющиеся
в К, связаны следующим правилом.
8.	Дистрибутивность. Именно, если х, у, z—три произ-
вольных элемента из К, то имеют место соотношения
(x + y)z = xz + yz\
z(x+y) = zx+zy.
Из сформулированных правил вытекает
0z = z0 = 0.	(5)
Действительно, мы имеем
Oz = (0 + 0) z = Oz 0z.
Вычитая из обеих частей этого соотношения 0z, получим
0 = 0z.
Второе из соотношений (5) доказывается аналогично.
С другой стороны, из соотношения
ху = 0	(6)
следует, что один из множителей (х или у) равен 0.
Это свойство тела формулируют, говоря, что в теле К
нет делителей нуля. Докажем это.
Допустим, что у =# 0, и докажем, что х тогда равен 0.
Умножая обе части соотношения (6) справа на у"1, по-
лучим х = 0//-1 = 0. Аналогично доказывается, что если
х#=0, то «/ = 0.
Естественным образом определяется умножение произ-
вольного элемента х тела К на целое неотрицательное
68
число и: именно,
t Ox = 0;
lx — x;
2x = x-}-x;
3x = x + x + x;
Легко проверяется, что если т и п—два целых не-
отрицательных числа, то
тх + пх = (т + п) х;	(7)
(тх) (пу) = тпху.	(8)
Определим теперь так называемую характеристику
тела Д, которая равна либо 0, либо простому числу р.
Для этого составим последовательность элементов тела
Ое, 1е, 2е, ..., пе, ..	(9)
Если в этой последовательности элементов только
один элемент Ое равен 0, то считают, что тело Д имеет
характеристику 0. Если это не имеет места, то в после-
довательности величин (9) встречаются нулевые элементы,
отличные от Ое. В множестве элементов (9) определены
операции сложения [и умножения (см. (7), (8)). Оказы-
вается, что в случае, когда характеристика не равна 0,
множество (9) содержит лишь конечное число различных
элементов, составляющих поле Рр вычетов по простому
модулю р (см. § 16). В этом случае характеристикой тела
считается простое число р.
Очевидно, что поле R всех рациональных чисел имеет
характеристику 0. Оказывается, что в известном смысле
поле R является простейшим полем характеристики 0.
Определение 1. Два тела К и К' считаются изо-
морфными, если существует взаимно однозначное соответ-
ствие между элементами множеств К и Д', причем
операции, имеющиеся в К и Д', переходят друг в друга.
Более детально: существует такое взаимно однозначное
отображение f множества Д на множество Д', при ко-
тором операции умножения и сложения сохраняются,
т. е. выполнены условия
f(x + y) = f(x) + f(y),
f(xy) = f(x)f(y).
Отображение f тела Д на тело Д' называется изоморф-
ным или изоморфизмом. Депо, что при изоморфизме нуль
69
переходит в нуль, единица в единицу, противоположный
влемент в противоположный, обратный в обратный.
При определении характеристики тела К мы рассма-
тривали последовательность (9) элементов тела. В случае,
если характеристика тела К равна нулю, мы, пользуясь
операциями вычитания и деления, имеющимися в теле К,
можем определить естественным образом произведение лю-
бого рационального числа г на единицу е. Таким обра-
зом, в теле К имеется совокупность всех элементов вида
ге, где г — рациональное число. Совокупность всех таких
элементов естественным образом составляет поле, лежащее
в теле К, и поле это изоморфно полю рациональных чи-
сел. И, таким образом, поле рациональных чисел яв-
ляется простейшим телом характеристики нуль.
Определение 2. Если в теле К. содержится мно-
жество элементов Кг, которое в силу операций сложения
и умножения, имеющихся в К, составляет тело, то тело
Ki называется подтелом К, а тело К.—расширением
тела
Приведем теперь описание простейшего поля характе-
ристики р. Оно является полем вычетов по модулю р.
§ 16.	Поле вычетов
по простому модулю р
А)	Пусть т>1—некоторое натуральное
число. Говорят, что целые числа а и Ь сравнимы между
собой по модулю т, и пишут
а == Ь (mod m).
если разность Ь—а делится на т, т. е. если
Ь = а-[-ст,
(Ю)
где с—целое число. Очевидно, что если два числа срав-
нимы с одним и тем же числом по модул. > т, то они
сравнимы и между собой по модулю т.
В)	Множество всех чисел, сравнимых с некоторым за-
данным числом а по модулю т, называется вычетом по
модулю т. Будем обозначать это множество через [а].
Очевидно, что каждые два числа множества [а] сравнимы
между собой по модулю т. Если b—произвольное число
из множества [о], то множества [о] и [Ь] совпадают между
собой:
[«] = №
70
Ясно, что совокупность
[0]. [1]. [2]....[т-1]
составляет совокупность всех вычетов по модулю т. Та-
ким образом, имеется ровно т. вычетов по модулю т.
С)	Пусть и а2—два целых числа, [«jJ и [а2]—содер-
жащие эти числа вычеты по модулю m; blt b2—два целых
числа, принадлежащих соответственно вычетам [«!], [а2].
Тогда в силу (10) мы имеем
&1=a1+c1/n, b2 = a2-j-c2m
И, следовательно,
bl + b2 = a1 + a2-^(c1 + c2)m.
Отсюда видно, что сумма Ьх + &2 принадлежит вычету
[flij + Ca]. Таким образом, складывая произвольное число
из вычета [«tJ с произвольным числом из вычета [а2], мы
всегда получим число, принадлежащее вычету [ах + с2].
Следовательно, вычет [ах+а2] однозначно определен вы-
четами [сх] и [а2]. Этот вычет не зависит от случайного
выбора чисел bt и Ь2 из вычетов [а1] и [с2]. Вычет [сх +«2]
считается суммой вычетов [ах] и [а2]:
[fii] + [«а] = [ci +а2].
Таким образом, в совокупности всех вычетов по модулю
т определена операция сложения. Нулем этого сложения
является [0]. Точно так же можно определить разность
двух вычетов по модулю т и произведение двух вычетов
по модулю т. Причем единицей умножения служит [1].
Мы видим, что в совокупности всех вычетов по модулю т
определены операции сложения, вычитания и умножения.
D)	Если т—не простое число, т. е. если оно разло-
жимо на два множителя
т — rs,
где г и s оба отличны от единицы, то ясно, что
ИН = [0].
Таким образом, в случае не простого числа т в совокуп-
ности всех вычетов имеются «делители нуля». В этом
случае совокупность всех вычетов по модулю т с опре-
деленными в этой- совокупности операциями не может
составлять поле. Оказывается, что если т~р есть простое
число, то совокупность всех вычетов по модулю р соста-
71
вляет поле. Пусть
[1], [2], .... [р-1]	(11)
— совокупность всех вычетов по простому модулю рг
отличных от нуля. Произведение двух вычетов [г] и [s]
из последовательности (11) не может обращаться в нуль.
Если бы было
ИМ=[0],
то это означало бы, что rs делится на р, а это значит, что
один из этих множителей делится на р, т. е. соответствую-
щий ему вычет равен нулю, и, следовательно, не принад-
лежит последовательности (11). Если [щ], [с2] и [с] —
три произвольных вычета последовательности (11), то
равенство
=	(12)
возможно лишь в случае, если [Oj] = [я2]. Действительно,
из равенства (12) следует
([Й1]-Ы)М = [О].
Так как [а] не равно нулю, то первый множитель равен
нулю и, следовательно, [Oi] = [o2]- Таким образом, умно-
жая все вычеты последовательности (11) на один и тот
же вычет [я], мы получим ровно р— 1 вычет, причем все
они будут различны. Это значит, что умножение на [а]
последовательности (11) отображает ее на себя взаимно
однозначно. Таким образом, найдется такой вычет [с'], что
[а][я'] = [1]
Это значит, что для вычета [о] существует обратный вы-
чет [а'], и потому совокупность всех вычетов по простому
модулю р составляет поле. Это поле называется полем
вычетов по модулю р, причем р — простое число. Мы бу-
дем обозначать это поле через Рр.
Е)	Если в последовательности (9) элементов некото-
рого тела Л' имеется равный нулю элемент, отличный от
элемента Ое, то обозначим через т минимальное натураль-
ное число, при котором те = 0. Оказывается тогда, что
если целое число t удовлетворяет условию /е = 0, то t
делится на т. Действительно, разделив t на т, мы
получим
t — qtn г,
72
где q—частное, г — остаток, причем г</п. Умножая это
равенство на е справа, мы получим:
О = 0 + ге.
Таким образом, ге = 0, причем г < т, что противоречит
нашему предположению. Очевидно, что если два целых
числа а и b обладают тем свойством, что ае — Ье, то а
и b сравнимы по модулю т. Таким образом, устанавли-
вается взаимно однозначное соответствие между элемен-
тами тела К вида ((9) § 15) и вычетами по модулю ш,
при котором сохраняются операции сложения и умноже-
ния. Так как в теле К отсутствуют делители нуля, то
число т должно быть простым (см. D)). Следовательно,
совокупность всех элементов вида (9) тела К изоморфна
полю вычетов Рр по простому модулю р. Простое число
р называется характеристикой тела К- Тем самым поле
вычетов Рр является простейшим телом характеристики р.
Непосредственно к предложению D) примыкает так
называемая малая теорема Ферма, отличная от великой
теоремы Ферма, пользующейся широкой известностью.
В дальнейшем малая теорема Ферма не будет использо-
вана в этой книге. Я привожу ее здесь вместе с доказа-
тельством, так как она является нетривиальным примене-
нием вычетов.
Малая теорема Ферма. Пусть р—простое число,
а — произвольное целое число, не делящееся на р. Тогда
имеет место следующее сравнение:
аР~г 1 (mod р).	(13)
Доказательство. Последовательность (9) состоит
из всех величин поля Рр, отличных от нуля. Умножая
все эти величины на вычет [а] из поля Рр, мы, как это
было доказано в предложении D), получим те же самые
величины последовательности (9), расположенные в дру-
гом порядке. Таким образом, в поле Рр имеет место
следующее равенство:
№-[1][2] ... [р- 1] = [1][2] .. . [р-1].
Величина, стоящая в правой части этого равенства,
отлична от нуля в поле Рр, поэтому последнее равенство
можно на нее разделить. Так что мы получаем равенство
Это равенство, имеющее место в поле Рр, равносильно
числовому сравнению (13), которое содержится в форму-
73
лировке малой теоремы Ферма. Таким образом, малая
теорема Ферма доказана.
Проверим малую теорему Ферма на простом числовом
примере. Пусть р = 5, с = 2. Имеем 24= 16, а 16 очевидно
сравнимо с 1 по модулю 5.
Рассмотрим теперь вычеты по простейшим модулям 2,
3 и 4.
Имеются два вычета по модулю 2: [0] и [1]. Для
этих вычетов имеются следующие правила сложения и
умножения:
[0] + [1] = [1],	+ =
[0][1] = [0],	[1][1] = [1].
Из этих правил видно, что вычеты по модулю 2 со-
ставляют поле, которое мы обозначаем через Р2.
Вычетов по модулю 3 имеется три: [0], [1], [2].
Выпишем правило сложения и умножения для этих
вычетов. Мы имеем
[1] + [Ч = [2], [1] + [2] = [0],
[2] + [2] = [1],
[1][1] = П]. [2][2] = [1].
Из этих правил видно, что вычеты по модулю 3 состав-
ляют поле, которое мы обозначаем через Р3.
Вычетов по модулю 4 имеется четыре: [0], [1], [2], [3].
Выпишем правила сложения и умножения для этих
вычетов. Мы имеем
[1] + [2] = [3], [1] + [3] = [0],
[2] + [3] = [1], [3] + [3] = [2],
[2][2] = [0],	[2][3] —[2], [3][3] = [1].
Из этих правил видно, что вычеты по модулю 4 не со-
ставляют поле, так как квадрат вычета [2] равен нулю.
В частности, по этой причине нельзя равенство [2] [3] = [2]
сократить на величину [2], так как для величины [2]
нет обратной.
§ 17. Теорема Фробениуса
Теорема 3. Пусть L—алгебраическое тело,
содержащее в качестве подтела тело D действительных
чисел, причем каждый элемент из L коммутативен пс
умножению с элементами из D, а каждый элемент х из
74
К записывается в виде
x=x° + x1il+...+xnitl,	(14)
где х°, х1,	хп—действительные числа, являющиеся
координатами величины х так, что х есть (п \-\ )-мерный
вектор. Таким образом предполагается, что величины
1, А, t„
составляют базис векторного пространства L. Для опре-
деления умножения в L достаточно задать правило пере-
множения величин ij, in так, чтобы каждое произве-
дение iris записывалось в форме (14). Оказывается тогда,
что L либо совпадает с полем D, то есть изоморфно полю
действительных чисел, либо изоморфно полю К2 комплекс-
ных чисел, либо изоморфно телу Ki кватернионов.
Доказательство. Поле D действительных чисел
состоит из всех величин х вида (14), для которых только
координата х" может быть отлична от нуля Множество
D представляет собой одномерное векторное подпростран-
ство векторного пространства L. Тело L, очевидно, имеет
характеристику 0.
Для того чтобы сделать доказательство более обозри-
мым, разобьем его на пункты А), В), С).
А) В геле L выделим величины, которые естественно
считать чисто мнимыми. Совокупность всех их обозначим
через /. К 1 мы отнесем всякую величину z из L, квад-
рат которой действителен, т. е. принадлежит D и непо-
ложителен. Таким образом, I состоит из тех г, для ко-
торых
z2gD; г2С0.
Последнее неравенство может превратиться в равенство
только в случае г = 0. Ясно, что множества / и D пере-
секаются только в нуле.
Величины из I обладают следующими свойствами.
Если а—действительное число, a z£l, то
агЕ/.	(15)
Далее, если г СI и г =# 0, то
г-1 С/.	(16)
Оказывается, что каждая величина х из L единственным
способом разлагается в сумму
х = а\г,	(17)
где а С D, z£ I.
75
Докажем утверждение А). Начнем с утверждения (15),
Мы имеем (az)2 = a2z2. Так как a2>0, z2 + 0, то (az)2СО.
И, следовательно, az С /
Для доказательства (16) составим произведение
г2 (г-1)2 = zzz~xz~x = 1.
Таким образом, (z-1)2 = (zz)-1 и, следовательно, отрица-
тельно. Так что z-1 С 7.
Докажем теперь, что имеет место разложение (17)
Для этого составим последовательность величин
1,х,х2, ...,xn+1.	(18)
Так как размерность векторного пространства L равна
п+1, а число величин последовательности (18) равно
п + 2, то в силу предложения А) § 11 величины после-
довательности (18) линейно зависимы, т. е. имеет место
соотношение
ao + aix + ... +a,i+1x'l+1 = 0,
где коэффициенты a0, ап ..., а„+1 суть действительные
числа, не все равные нулю. Таким образом, величина х
является корнем многочлена с действительными коэффи-
циентами, и потому в силу результатов § 7 является
корнем либо многочлена gt первой степени, либо много-
члена g2 второй степени. Так что для х выполнено одно
из двух соотношений
X—а = 0; х2— 2пх + Й = 0,
где а2—Ь<0. В первом случае х есть действительное
число а, и для разложения (17) мы имеем а = а, z = 0.
Во втором случае мы имеем (х—а)2 —а2—b < 0. Таким
образом, величина х—а принадлежит 7; обозначим ее
через z. Тогда мы получаем x = n + z, и разложение (17)
доказано.
Установим теперь единственность разложения (17).
Допустим, что наряду с (17) мы имеем разложение
x = n0+z0,	(19)
где о06 D, z0£l. Докажем, что тогда n0 = c, z„ = z. Вы-
читая из разложения (17), мы получим
z = z0 + (n0—а).
Возводя это равенство в квадрат, получаем
z2 = z§ + 2z0 (й0—а) + (a0—а)2,
76
или, иначе,
2z0 (а„—а) = z2—г„—(аи—а)2.
Здесь в левой части стоит чисто мнимая величина
(см. (15)), а в правой—действительная. Таким образом,
обе они равны нулю. То есть мы имеем 2z0(a0—с) = 0.
Так как характеристика тела L не равна 2, то имеет
место равенство z0 (fi„—о) = 0, что возможно только тогда,
когда один из множителей равен нулю. Допустим сперва,
что zo = O. Тогда из соотношения (19) следует, что х —
действительное число а0. А из соотношения (17) получаем
z = aB—а. Таким образом, левая часть есть чисто мнимая
величина, а правая—действительная. Следовательно, обе
они равны нулю. Таким образом, мы пришли к выводу,
что zc = z = 0, а отсюда следует, что ай = а. (При этом
предполагалось, что zo = O.) Если же равен нулю мно-
житель а„—а, то а0 = а, а из этого в силу соотношений
(17) и (19) вытекает, что z„ = z. Таким образом, единст-
венность разложения (17) установлена и предложение А)
полностью доказано.
В) Пусть и и v—две величины из /, а г и s—два
действительных числа. Тогда, оказывается, имеют место
два нижеследующих соотношения:
^ = uv-\-vu^D,	(20)
т] = ги + snC 1-	(21)
Из соотношения (21) следует, что I есть векторное
подпространство векторного пространства L. А из этого
и из предложения А) вытекает, что L распадается в пря-
мую сумму своих векторных подпространств D и /.
Докажем предложение В). Рассмотрим сперва тот
простой случай, когда величины
и, v, 1
линейно зависимы. Тогда мы имеем
аи + Т =
причем не все действительные числа а, Р, у равны нулю.
Последнее равенство перепишем в виде
аи — — ри—у.
Здесь аи и —Рп—чисто мнимые величины в силу соот-
ношения (15) и в силу единственности разложения (17)
получаем у = 0. Таким образом,
аи = — Ри.
77
Так как оба коэффициента а и р не могут быть равны
нулю, то один из них отличен от нуля. Для определен-
ности будем считать, что Р=#0. Тогда
и. Так что в си-
Подставляя это выражение в (20), получаем £ =----------
т. е. £ есть действительное число и соотношение (20)
в этом случае доказано. Подставляя полученное выраже-
ние для v в (21), получаем г] =	~
лу (15) г] есть чисто мнимая величина.
Рассмотрим теперь случай, когда величины и, v, 1
линейно независимы. Утверждения (20) и (21) будем до-
казывать вместе. Мы будем рассматривать только тот
случай, когда г и s оба отличны от нуля. В противном
случае оба соотношения (20) и (21) легко проверяются.
Для доказательства разложим величины ё и ц согласно (17).
Положим
£ = uv-[-vu — a + г,	(22)
где a С D, z£l\
i] = r« H-sv=o0 + z0,	(23)
где a0 $D, z0 6 I.
Для доказательства соотношений (20) и (21) нам до-
статочно доказать, что z = 0 и ос = 0.
Возведем равенство (23) в квадрат. Тогда мы получим
r2w2 4- s2h? + rs (uv + ш) = о2 + 2g0z0 -j- z„.	_	. I
Подставляя в левую часть этого соотношения вместо
uv-^vii его выражение в силу равенства (22), мы получим
r2w2 + s2o2 + rs (а + z) = о2 + 2goz0 + z0-.	(2 4)
Левая и правая части этого равенства состоят из дейст-
вительной и чисто мнимой части. В силу единственности
разложения (17) эти части должны соответственно рав:
няться друг другу. Мнимая часть левой части равенства
(24) есть rsz, а мнимая часть правой части есть 2goz„,
так что мы имеем равенство
rsz — 2aozo.	(25)
Рассмотрим теперь два различных случая. Первый:
z = 0; второй: z=^=0.
78
В первом случае пз равенства (25) мы имеем c0z(, = O.
Следовательно, либо а0, либо z0 обращается в нуль. Если
а„ = 0, то соотношение (21) верно, а соотношение (20)
следует из предположения, что z = 0. Если го=О, то
равенство (23) превращается в линейную зависимость
между и, v и 1. Этот простой случай нами уже разобран.
Таким образом, в предположении г = 0 (первый случай)
доказательство предложения В) получено.
Рассмотрим случай г =# 0. Поскольку г и s оба не
равны нулю, то из соотношения (25) следует а0 =£ 0, и
соотношение (25) можно переписать в виде
rs
Подставляя это выражение для г0 в равенство (23), по-
лучаем
ГС
rw + sv = «0 + ^-z.	(26)
Заметим, что г не зависит от чисел г и s и равенство (26)
доказано нами в предположении, что г=#0. Выпишем
теперь равенство (26) для каких-нибудь двух других чи-
сел г' и s'. Мы получим
r'u + s'i'=^+-r4-z.	(27)
2<?о
Исключим из равенств (26) и (27) величину г, умножив
равенство (27) на подходящее действительное число с и
вычтя его из равенства (26). Тогда мы получим
(г—cr')u + (s—cs')v — aQ—са^.	(28)
Поскольку числа г' и s' выбирались совершенно произ-
вольным образом, лишь бы оба они не равнялись нулю,
мы можем их выбрать так, чтобы не было пропорциональ-
ности. В этом предположении в равенстве (28) коэффи-
циенты г—сг и s—cs’ не могут оба обращаться в нуль.
Тогда равенство (28) превращается в линейную зависи-
мость между величинами и, v и 1, т. е. в случай, разо-
бранный нами в самом начале доказательства предложе-
ния В).
Таким образом, предложение В) доказано.
С) Пусть и и v—две величины из I, удовлетворяющие
условиям
w2= — 1, v2 ——1, w — uv^I.	(29)
79
Тогда величины и, v, w удовлетворяют тем же условиям,
что и кватернионные единицы (см. § 13 (33), (34)), т. е.
имеют место равенства
н2 = и2 = ц>2 = —1,
(oU)
=—vu = w, vw=—-wv=u\
wu = — tiw — v.	(31)
Докажем предложение С). Для этого установим прежде
всего, что
VU = (w)-1.
Действительно,
uvvu — u(—\)и — и2(—1)= 1.
Таким образом, мы имеем
uv 4- vu = uv + (uv) *х.	(32)
В силу соотношения (20) левая часть этого равенства
есть действительное число. Правая же часть есть сумма
двух чисто мнимых величин, так как (uv)~l в силу (16)
есть чисто мнимая величина и, следовательно, правая
часть равенства (32) в силу (21)—чисто мнимая. Таким
образом, обе части равенства (32) обращаются в нуль и,
следовательно, мы имеем:
uv—— vu.	(33)
Таким образом, первое из равенств (31) нами уже до-
казано. Докажем теперь последнее из равенств (30). Мы
имеем
W2 — UVUV — — uv vu — — 1.
Докажем теперь второе и третье из соотношений (31).
Мы имеем
vw—vuv— — ши — и.	(34)
Три величины и, w и u = vw удовлетворяют тем же усло-
виям, что и величины (29), а для величин (29) имеет
место соотношение (33). Таким образом, здесь мы имеем
WV = — VW.
Таким образом, вместе с (34) это соотношение дает второе
из соотношений (31).
Рассмотрим теперь
WU — UVU — — UUV—V.
80
Точно так же, как и перед этим, докажем, что
WU = — UW.
Таким образом, и третье соотношение из (31) доказано.
Итак, предложение С) доказано.
Перейдем теперь к заключительному этапу доказатель-
ства теоремы 3.
Если / содержит только нуль, то L совпадает с D
и, следовательно, изоморфно полю действительных чисел D.
Таким образом, в этом случае теорема 3 верна.
Допустим теперь, что в / есть вектор zu, отличный от 0.
Тогда, полагая
мы получаем элемент i£l, удовлетворяющий условию
i2 = — 1.
Если размерность пространства / равна 1, то всякий
элемент из / записывается в форме
bi,
где b—действительное число. Тогда каждый элемент из L
записывается в виде
а + Ы.
Таким образом, в случае, когда разность векторного
пространства / равна 1, тело L изоморфно полю комп-
лексных чисел Кг.
Допустим теперь, что размерность пространства /
больше единицы. Тогда в / существует такая величина zlt
что пара векторов
I, Zj
линейно независима.
Рассмотрим произведение izv Согласно (17)
iZj = а -j- z.
Положим
!1 = 21
Тогда мы имеем
= а = г.
Полагая
2^ Л. С. Понтрягяя
81
мы получаем для / равенство
/2 = -1.
Таким образом, величины i, / удовлетворяют условиям
i2 = — 1, /2 = —1; i,/£/.
Следовательно, величины
в силу предложения С) удовлетворяют тем же условиям,
что и величины и, v, w. Таким образом, совокупность
всех величин из L, которые можно записать в виде
X = Х° + X1!• + X2/ + xsk,
где х", х1, х2, х3 суть действительные числа, составляет
тело К4 кватернионов.
Если пространство I имеет размерность три, то L
совпадает с телом К*, т. е. изоморфно телу кватернионов.
Допустим теперь, что размерность пространства /
больше трех, и приведем это предположение к противо-
речию.
Если размерность пространства I больше трех, то
в нем найдется такая величина z2, что векторы
i, j, k, z2
линейно независимы. В силу разложения (17) мы имеем
/г2 = а + х, jz2 = b ф- у, kz2 — с ф- г,
где а, Ь, с—действительные числа, а х, у, z принадле-
жат 1. Составим теперь величину
/j = г2 ф- ai ф- bj ф- ck.
В силу (21) С 1и в силу линейной независимости век-
торов Z, /, k, z2 имеем =£ 0.
Кроме того,
il1 = iz2—а ф- bk ф- cj = х ф- bk ф- cj £/
в силу (21). Точно также доказывается, что /71С 7 и
kl^I.
Положим теперь
/2 = — 1,
тогда
82
и величины i, /, Ц £ / удовлетворяют тем же условиям,
что и величины и, v, w в предложении С). Так что мы
имеем
И = — Н.
Точно также доказывается, что
jl = — lj и kl= — lk.
Теперь рассмотрим величину ilj. Мы имеем
— jl) = — kl,
ilj ----- — lij = — lk = kl.
Таким образом, мы приходим к выводу, что 2£/ = 0, чтс
невозможно, так как характеристика тела L не равна
двум.
Итак, теорема 3 полностью доказана.
4*
ГЛАВА 6
ТОПОЛОГО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ТЕЛА
Рассмотренные нами три алгебраических те-
ла— поле действительных чисел, поле комплексных чисел
и тело кватернионов —являются евклидовыми простран
ствами размерности 1, 2,4 соответственно. Поскольку
в этих пространствах имеется метрика, т. е. определено
расстояние между двумя точками (см. гл. 4), то имеется
и понятие сходимости. Будем обозначать любое из трех
упомянутых тел через К- Если
CZj, п2, ..., о„, ...
есть некоторая последовательность элементов простран-
ства К, то известно, что означает, что она сходится
к элементу а. Это значит, что расстояние р(ап, а) между
точками ап и а с ростом п стремится к нулю. Этот факт
в виде формулы записывается так:
lim ап = а.	(1)
п -> 00
Тот факт, что в пространстве К определена сходимость,
мы будем выражать, говоря, что К является топологи-
ческим пространством.
Легко доказывается, что алгебраические операции,
имеющиеся в теле К, являются непрерывными относи-
тельно имеющейся там топологии. Более точно, если по-
следовательность
bj, b2, ..., Ьп, ...
элементов тела К сходится к элементу Ь, т. е. если
lim bn = b,
то выполнены условия непрерывности операций сложения
и умножения. Именно, имеют место соотношения
lira (ап + bn) — а + b, lim anbn = ab.
84
Это показывает, что операции сложения и умножения,
имеющиеся в К, являются непрерывными относительно
топологии имеющейся в К.
Так как операции вычитания и деления сводятся
к операциям взятия противоположного и обратного эле-
ментов, то непрерывность операций вычитания и деления
можно сформулировать следующим образом:
lim (— ап) = — а.
П-+ СО
Если а У= 0, то
lim а”1 = а-1,
п —> со
Если в некотором алгебраическом теле L имеется то-
пология, т. е. имеется сходимость, иначе говоря, известно,
что означает соотношение (1), а операции, имеющиеся
в теле L, непрерывны в отношении этой топологии, то
такое тело называется тополого-алгебраическим, или,
короче, топологическим телом, если уже известно, что
под телом подразумевается алгебраическое тело.
Изучение топологических тел составляет часть топо-
логической алгебры. Интересным оказывается тот факт,
что топологических тел существует не слишком много и
и все их можно обозримым образом описать. В § 18 дается
аккуратное определение топологического тела.
Ясно, что соотношение (1) должно иметь место, если
все элементы последовательности
^1, ^2* " • * ’	,
начиная с некоторого номера, совпадают между собой.
Но если соотношение (1) имеет место только при этом
условии, то существование сходимости не вносит ничего
нового в алгебраическое тело L и тела с такой тополо-
гией мы не будем рассматривать и не будем называть их
топологическими.
§ 18. Топологическое тело
Как было сказано в начале настоящей главы,
алгебраическое тело становится топологическим телом, если
в нем наряду с алгебраическими операциями имеется еще
операция предельного перехода, причем алгебраические
операции непрерывны в отношении этого предельного пе-
рехода. Три рассмотренных нами тела являются евклидо-
выми пространствами, и предельный переход в них опре-
деляется при помощи расстояния. Так что для определе-
85
ния его нужно знать расстояние между каждыми двумя
его точками Можно, однако, определить предельный пе-
реход, не пользуясь расстоянием, т. е. способом, пригод-
ным для общих топологических тел, пользуясь при этом
операцией вычитания, определенной в К. В самом деле,
утверждение, что расстояние между ап и а стремится
к нулю, равносильно утверждению, что \ап—а\—>0. Для
того чтобы определить операцию предельного перехода
(см. (1)), обозначим через Un совокупность всех элемен-
тов х тела К таких, что
|х|<1/и.	(2)
Так что Un есть шар радиуса 1/п с центром в нуле. Для
того чтобы было выполнено соотношение (1), необходимо
и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие: для
каждого натурального числа п найдется такое натураль-
ное число г, что при р > г имеем
(ар— a)eUn.
Перенесем теперь это построение на любое тело L. Для
этого введем предварительно некоторые обозначения.
А) Если X и У—два множества из L, то через Ху У
обозначим совокупность всех величин вида
х-\-у, где	у С У,
а через X—У—все элементы вида
х—у, где х£Х, y£Y.
Далее, через XY обозначим совокупность всех эле-
ментов вида
ху, где х g X, у$У,
а через XY-1 совокупность всех элементов вида
ху'1, где х^Х, y£Y.
Так как при у = 0 величина у-1 не определена, то в по-
следней формуле будем рассматривать лишь те элементы
у Е У, которые не равны нулю.
Определение 3. У бывающая бесконечная последо-
вательность множеств
ut, V2, ип, ...	(3)
из L, содержащих нуль тела L и пересекающихся только
по нулю,
oeun+l<zun,
86
называется полной системой окрестностей нуля тополо
гического тела L, если выполнены следующие пять условий-
s.') Для всякого натурального числа п существует на
столько большое натуральное число р, что
(Up + Up)^Un.
b)	Для всякого натурального числа п существует на-
столько большое натуральное число р, что
uPup<zUn.
с)	Для всякого натурального числа п существует на
столько большое натуральное число р, что
-и^ип
d)	(Напомним, что через е обозначается единица
тела L.) Для всякого натурального числа п существует
настолько большое натуральное число р, что
е)	Какой бы ни был элемент a£L, для всякого нату-
рального числа п существует настолько большое нату-
ральное число р, что
UpaczUn, aUpc:Un
В)	Пользуясь полной системой окрестностей нуля
(см. (3)), в теле L понятие сходимости можно определить
точно так же, как это было сделано для тела К.
Определение 4. Последовательность
^1, ^2» •  ‘ > ^п’ ' ' '
элементов из L считается сходящейся к элементу а,
Игл ап =а,
П~+- со
если для каждого натурального числа п существует на-
столько большое натуральное число г, что при р~> г
имеем
(ap—a)^Un.
Тогда имеет место теорема:
Теорема 4. Если определить сходимость в L спо-
обом, указанным в В), то алгебраические операции,
имеющиеся в теле L, оказываются непрерывными относи-
тельно этой сходимости. Именно, если имеют место
соотношения
lim ап = а, lim bn = b,	(4)
87
то
lim (я„ф-6„) = яф-Ь,	(5)
Л-> со lim (a„bH) = ab,	(6)
П-* со lim (—я„) = —я.	(7)
П-+ л
Если а=£0, то имеет место соотношение
lim я^^я-1.	(8)
Таким образом, последовательностью (3) определена топо-
логия в теле L.
Доказательство. Докажем соотношение (5). Из
формулы (4) следует, что при произвольно большом на-
туральном числе г найдется такое большое натуральное
число р, что при р > г имеем
арб:а-\-Е r, bp£b-\-Ur.
Тогда
°	+ 7/г 4-Дг.	(9)
В силу условия а) определения 3 для каждого натураль-
ного числа п найдется настолько большое натуральное
число г, что
Тогда из (9) следует
(аР + Ьр) — (° + ^) Е U п-
Таким образом, соотношение (5) доказано.
Докажем соотношение (6). Из (4) следует, что для
произвольного натурального числа г найдется настолько
большое натуральное число р, что при р> г имеем
ap£a+Ur, bp£b+Ur.
Тогда арЬр ё (я + U r) (b ф- Ur) = ab \-aUr ф- Urb ф- UrUr.
В силу условий a), b) и e) определения 3 для всякого
натурального числа п найдется настолько большое нату-
ральное число г, что
aUr + Urb + UrUr^Un.
Таким образом,
(apbp—ab) е Uп,
и, следовательно, соотношение (6) доказано.
88
Соотношение (7) следует из условия с) определения 3.
Докажем соотношение (8). Рассмотрим величину арга.
Для этого предварительно рассмотрим обратную ей вели-
чину а~гар. Из формулы (4) следует, что для произволь-
но большого натурального числа q найдется настолько
большое натуральное число р, что
apEa + U(l.
Далее, для произвольно большого натурального числа s
найдется настолько большое натуральное число q, что
а~1 (а + Ua) = (е + а - 4Jq) се + Us
(см. е) определения 3). Отсюда получаем, что при до-
статочно большом натуральном р выполняется включение
a-lape(e + Us).
В силу условия d) определения 3 из этого следует
«р'п С е-\- Ur,
где г — произвольно большое натуральное число, если р
достаточно велико. Далее, мы имеем
(а^а —е)£ Ur, (Яр1 —о-1) ra~l.
В силу условия е) определения 3 для произвольного
натурального числа п найдется настолько большое нату-
ральное число г, что
Ura~lczUn.
Таким образом,
(йр1—й"1)^,,.
И, следовательно, соотношение (8) доказано. Итак, тео-
рема 4 доказана.
С)	Оказывается, что система окрестностей
иг, и2, ип, ..,	(10)
определенная в любом из трех рассмотренных тел М со-
отношением (2), удовлетворяет всем условиям определе-
ния 3.
Докажем это утверждение. Мы имеем для окрестно-
стей (10)
Up + Up<=Un,
где р > 2п. Из этого следует условие а) определения 3.
5 Л, С. Понтрягин
Далее имеем
VpU^Vp>-
Из этого следует условие в) определения 3.
Далее имеем
Из этого следует условие с) определения 3.
Далее, если а—произвольный элемент тела К и х£ Upt
то
\ах\ = |а||х| <|а|р
Следовательно, при р блпыпих п1п| выполняется услогге
е) из определения 3.
Пусть х—произвольный элемент окрестностей Un
(см. (2)). Тогда множество
состоит из всех элементов вида
(е + х)"1.
Но мы имеем
(е-\-х)~1 = е—х-фх3—х3+.--	(И)
Эта формула, известная для действительных и комплекс-
ных чисел, верна также и для кватернионов, так как
все кватернионы, входящие в нее, перестановочны между
собой при перемножении. Формула (11) может быть пе-
реписана в виде
(е+х)-*=е + у,
где у=—х-|-х2—х3-|-..., так что
 . Л,!,!,	_ 1
। 1 П I* п2 ‘ п3 ‘ '	п — 1 *
Таким образом,
(e + UnT'Ce + Un-i-
Из этого вытекает условие d) определения 3.
§ 19.	Топологические понятия
в топологическом теле L
Здесь в топологическом теле L будут вве-
дены топологические понятия, общепринятые в топологии,
внание которых, однако, в этой книге не предполагается.
«о
А.) Пусть M—некоторое множество элементов про-
странства L. Точку a£L будем называть предельной для
множества М, если в множестве М найдется последова-
тельность
^1, ^2> • * * f	•
попарно различных элементов, сходящихся к элементу а.
Множество М называется замкнутым, если все его пре-
дельные точки принадлежат ему. Присоединяя к произ-
вольному множеству М все его предельные точки, мы
получим замыкание множества М, которое обозначают
через М. Если множество М вообще не имеет предельных
точек, то через М обозначается оно само. Множество М
называется замкнутым, если М = М. Оказывается, что
замыкание М любого множества М замкнуто, т. е.
М = М.	(12)
Доказательство этого соотношения просто, но оно гро-
моздко. Поэтому я дам только некоторые указания, как
его провести.
Пусть
Ь» Ьг, ..., Ьп, ...	(13)
— последовательность попарно различных точек из М,
сходящаяся к некоторой точке Ь. Требуется доказать, что
b£M. Без нарушения общности мы можем считать, что
все точки последовательности (13) не принадлежат М.
К каждой точке Ьп сходится некоторая последовательность
Вп попарно различных точек из М.
В последовательности Вп выберем некоторую точку
достаточно высокого номера в этой последовательности и
обозначим ее через сп. Тогда мы получим последователь-
ность
clt с2> • • •, Gz> •  •
попарно различных точек множества М, сходящуюся к Ь.
Таким образом, b есть предельная точка для М, и соот-
ношение (12) доказано. Так устанавливается, что множе-
ство М замкнуто.
В)	Множество Q пространства L называется компакт-
ным, если каждое бесконечное подмножество М множест-
ва Q имеет хотя бы одну предельную точку, принадле-
жащую Q.
5*
91
С)	Топологическое тело L называется локально ком-
пактным, если существует окрестность нуля Uп последо-
вательности (3) пространства L, замыкание которой (7
компактно.
D)	Замкнутое бесконечное множество М из L назы-
вается связным, если его нельзя представить как объеди-
нение двух непустых замкнутых подмножеств Мг и М2,
не имеющих общих точек. Это значит, что М нельзя
разбить на сумму двух замкнутых непересекающих под-
множеств и Л42.
Е)	Оказывается, что все три рассмотренных нами до
сих пор тела К, т. е. поле действительных чисел, поле
комплексных чисел и тело кватернионов, локально ком-
пактны и связны. Так как все три тела К являются евкли-
довыми пространствами, то мы предпошлем доказатель-
ству предложения Е) рассмотрение /i-мерного евклидова
пространства Ап, состоящего из векторов
х = (х1, х2, ..., х").
Мы примем без доказательства, что множество действи-
тельных чисел
— 1
является множеством связным и компактным.
В пространстве Ап рассмотрим куб Q, определяемый
условиями
— 1^х‘<1, z = l, 2, ..., п,
и докажем, что куб этот является компактным множест-
вом. В кубе Q рассмотрим бесконечную последователь-
ность попарно различных точек
хп х2, ..., хр, ...	(14)
Пусть
х{, х‘2, ..., х‘р, ..i=l, п (15)
— последовательность i—X координат точек (14). Заме-
тим, что все числа этой последовательности принадлежат
отрезку —1^/^1, который компактен. Поэтому из
последовательности чисел (15) при z=l можно выбрать
сходящуюся подпоследовательность X1, которая, вообще
говоря, не состоит из попарно различных чисел.
Последовательность X1 соответствует подпоследова-
тельности У1 векторов (14). Вторые координаты последо-
вашльности Y1 составляют последовательность чисел,
92
принадлежащих отрезку — 1 t 1. Из последователь-
ности этих вторых координат выберем сходящуюся под-
последовательность, которой соответствует подпоследова-
тельность У2 последовательности векторов (14). Продол-
жая так, получим подпоследовательность У" последова-
тельности векторов (14), сходящуюся к некоторой точке у.
Таким образом, установлено, что из последовательности
попарно различных векторов (14) можно выбрать подпо-
следовательность У", сходящуюся к некоторому вектору у,
принадлежащему кубу Q. Из этого непосредственно вы-
текает, что куб Q компактен. В самом деле, если М —
некоторое бесконечное множество точек куба Q, то из М
можно выбрать некоторую последовательность (14) по-
парно различных векторов. Последовательность эта схо-
дится к вектору у и потому является предельной точкой
для множества М, а это и означает компактность куба Q.
В каждом из трех евклидовых пространств К, соот-
ветствующих трем рассмотренным телам К, куб Q явля-
ется компактным множеством. Любая окрестность вида
Up (см. (2)) принадлежит кубу Q, а потому замыкание ее
Up компактно. Таким образом, все три рассмотренных
тела К локально компактны.
Докажем теперь, что евклидово пространство Ан
связно. Допустим противоположное, т. е. что его можно
разбить на два замкнутых непересекающихся множества
Л1] и /И.,. Рассмотрим теперь в пространстве Ап прямо-
линейный отрезок
(16)
такой, что начальная точка отрезка х(—1) = х_, принад-
лежит Л41г а конец отрезка л(1) = х1 принадлежит
Л12. Пересечение рассматриваемого отрезка (16) с
обозначим через М[, а пересечение этого отрезка
с множеством М„ обозначим через /Ий. Множества /И, и
М2 являются замкнутыми подмножествами отрезка (16).
Так как пространство А" распадается в сумму замкнутых
непересекающихся множеств ЛД и /И2, то отрезок (16)
распался в сумму замкнутых непересекающихся мно-
жеств M't и М'2, а это противоречит предположению
о том, что отрезок этот есть связное множество.
Итак, доказано, что любое евклидово векторное про-
странство Ап связно. Следовательно, и все три рассмот-
ренные нами тела К связны.
Итак, утверждение Е) доказано.
93
F)	Последовательность
^1» ^2> • * ’’ ^п» * ’ *	(17)
элементов топологического тела L называется последова-
тельностью Коши, если для всякого натурального числа п
можно найти настолько большое натуральное число г,
что при р > г, q > г имеем
(Ор—а?)€ Un-
Оказывается, что если последовательность (17) сходится
в топологическом теле L, то она является последователь-
ностью Коши. Однако последовательность Коши не всегда
сходится. Но если какая-нибудь ее бесконечная подпоследо-
вательность сходится, то сама последовательность Коши
тоже сходится.
Докажем, что если последовательность (17) сходится,
то она является последовательностью Коши.
Если
lim ап — а,
п »
то из этого следует, что для всякого натурального числа s
найдется такое натуральное число г, что при р > г, q^> г
имеем
(«р—a)£Us, (aq--a)eUs
(см. В) § 18). Отсюда
ар~ aQ = (аР — а) — (ад — а) € Уs — Us-
Но тогда в силу условий а) и с) определения 3 при до-
статочно большом s имеем
(U-Us) с U„,
где п— произвольно большое натуральное число.
Таким образом, доказано, что последовательность (17),
сходящаяся к элементу а, является последовательностью
Коши.
Докажем теперь, что если последовательность (17)
есть последовательность Коши, а некоторая ее бесконеч-
ная подпоследовательность сходится к элементу а, то сама
последовательность (17) сходится к этому элементу. Так
как некоторая бесконечная подпоследовательность после-
довательности (17) сходится к а, то в последовательности
(17) существуют элементы с произвольно большими номе-
рами р такие, что
(ар—a)$Us,
04
где s—произвольно большое натуральное число. Так как
последовательность (17) является последовательностью
Коши, то для натурального числа s существует настолько
большое натуральное число г, что при р > г, q> г имеем
(ap—a4)^Us.
Так как
(ар—a)eUs,
то
—а = (а<1—ар + (а^—а) £ —Us-i-Us.
Таким образом,
iflq ®) пг
и последовательность (17) сходится к а.
G)	Топологическое тело L называется полным, если
всякая последовательность Коши в нем сходится. Ока-
зывается, что всякое локально компактное тело L является
полным.
Пусть
О1, «2....аР, • • •	(18)
— некоторая последовательность Коши тела L. Тогда
согласно определению последовательности Коши (см. F))
разность ар—aq при достаточно больших р и q принад-
лежит некоторой окрестности U п нуля тела L, причем п
можно выбрать так, чтобы Uп было компактным. Отсюда
вытекает, что из элементов последовательности (18) доста-
точно высокого номера можно выбрать такой элемент с,
что при достаточно больших р и q имеем
(ap—c)£lJn, (aq—c)£.Un.
Так как U „ компактно, то из последовательности
(at—c), (аг—с), .... (ар —с), ...	(19)
можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к неко-
торому элементу b£Un. Из того, что последовательность
(18) есть последовательность Коши, непосредственно сле-
дует, что последовательность (19) также является после-
довательностью Коши. А так как некоторая ее бесконечная
подпоследовательность сходится к элементу b£ Un, то сама
последовательность (19) сходится к Ь. Отсюда следует,
что последовательность (18) сходится к элементу Ь-Ьс.
95
Из предложения G) следует, что все три рассмотрен-
ные нами тела К являются полными (см. Е)). Приведем
теперь пример неполного топологического тела. Таким
примером является совокупность R всех рациональных
чисел с системой окрестностей нуля (2). Причем U
состоит из всех рациональных чисел х, удовлетворяющих
условию |х|< 1/п. Это те же самые условия, которыми
определены окрестности Un в поле D действительных
чисел. В этом смысле топологическое поле R рациональ-
ных чисел является подполем поля D действительных
чисел. Если теперь
оъ «2......о„,	...	(20)
— некоторая последовательность рациональных чисел,
удовлетворяющая условию Коши, то как совокупность
элементов тела D она сходится к числу а. Если а не яв-
ляется действительным числом, то последовательность (20)
не сходится в топологическом теле R и, следовательно,
топологическое тело R не является полным. Топологи-
ческое тело D, содержащее в себе топологическое тело R,
является пополнением R до полного тела D в том смысле,
что каждый элемент тела D является предельным для
некоторой последовательности Коши из тела R.
В § 21 будет дана другая топология в теле рациональ-
ных чисел R, приводящее к другому пополнению тела R
до полного тела, отличного от тела действительных чисел.
§ 20, Теорема единственности
Действительные и комплексные числа воз-
никли в математике в результате длительного развития
понятия числа в основном из-за потребностей практики,
а частично в результате логики развития самой матема-
тики. Необходимость считать предметы вызвала появление
натуральных, т. е. положительных целых чисел. Дроби
появились при торговых расчетах и при измерениях ве-
личин. Развитие геометрии привело к выяснению того
факта, что диагональ квадрата со стороной единица не
может быть измерена точно рациональным числом, хотя
может быть измерена им с произвольной точностью. Таким
образом, внутреннее развитие математики привело к по-
явлению длин, неизмеримых при помощи рациональных
чисел. Следовательно, из внутренних потребностей мате-
матики возникли нерациональные числа, которые стали
называть иррациональными.
£6
Вначале появилась потребность лишь в небольшом
количестве иррациональных чисел, но требование логи-
ческой стройности математики привело к построению всех
действительных чисел. В частности, для стройности мате-
матической теории было очень важно, чтобы всякая после-
довательность Коши сходилась. Но для рациональных
чисел это неверно Последовательность Коши рациональ-
ных чисел может не сходиться к рациональному числу,
она сходится к действительному числу. Таким образом,
поле рациональных чисел нужно было дополнить до поля
действительных чисел. Отрицательные числа появились
в основном из внутренних математических соображений
для того, чтобы вычитание всегда было возможно, хотя
отрицательные числа имели и практическое толкование.
Можно было толковать отрицательное число как долг.
Комплексные числа возникли из внутренних математи-
ческих соображений, так как при некоторых вычислениях
появилась необходимость извлекать квадратные корни из
отрицательных чисел. Комплексные числа оправдывались
в значительной степени еще и тем, что всякий многочлен
с действительными коэффициентами всегда имеет корень,
быть может, не действительный, а комплексный. Комплекс-
ные числа позволили очень сильно упростить некоторые
вычисления и дали новую теорию комплексных функций
комплексного переменного, играющую важную практи-
ческую и теоретическую роль. Таким образом, действи-
тельные и комплексные числа являются продуктом исто-
рического развития математики. Кватернионы были по-
строены из обобщательских соображений. Это была
попытка обобщить комплексные числа, но она не дала
ценных результатов, так как отсутствие коммутативности
не дает возможности развить теорию кватернионных
функций. По сравнению с тем значением, которое имеют
действительные и комплексные числа в математике, роль
кватернионов ничтожна.
Так как действительные и комплексные числа появились
в математике в результате определенного пути развития,
который мог бы оказаться и другим, то возникает естест-
венный вопрос: не мог ли этот другой путь развития
привести к другим числам, аналогичным действительным
и комплексным, но всё же к другим? Для того чтобы
решить этот вопрос, нужно точно сформулировать те тре-
бования, какие следует предъявить к объектам, которые
могли бы играть роль чисел, и выяснить, существуют ли
другие системы объектов, удовлетворяющие этим требо-
97
ваниям. Не трудно прийти к убеждению, что система
объектов, удовлетворяющая требованиям, предъявляемым
к числам, должна представлять собой топологическое тело.
Если положить на это тело еще дополнительные требова-
ния о локальной компактности и связности, что довольно
естественно, то оказывается, что имеет место следующая
теорема, которая была доказана мною в 1931 году.
Теорема 5. Всякое локально компактное связное
топологическое тело является либо полем действительных
чисел, либо полем комплексных чисел, либо телом ква-
тернионов.
Теорема эта показывает, в частности, что действитель-
ные и комплексные числа являются не случайным про-
дуктом исторического развития, а по необходимости
возникли в математике как единственнные объекты, при-
годные к употреблению в роли чисел.
§ 21. р-адические числа
Совокупность R всех рациональных чисел
составляет поле в силу тех правил сложения и умноже-
ния, которые в нем определены. При этом нулем сложения
является число нуль, а единицей умножения—число еди-
ница. р-адические числа появляются в результате введения
в поле R своеобразной топологии, зависящей от задан-
ного простого числа р. Интуитивный смысл этой топологии
заключается в том, что рациональное число г считается
тем меньше, чем лучше оно делится на заданное простое
число р. Запишем число г в форме
r =	(21)
Здесь b—натуральное число, не делящееся на р, а а —
произвольное целое число. Число п может быть положи-
тельным, отрицательным или нулем. Если число а делится
на р, то показатель п можно увеличить, вынеся множи-
тель из а. Рациональное число г считается тем меньше,
чем больше целое число п. Формально это осуществляется
введением в поле R системы окрестностей нуля, удовлет-
воряющих определению 3.
А) Последовательность
Ult иг, ..., Un, ...»	(22)
фигурирующая в определении 3, задается следующим
образом. Окрестность U п считается состоящей из всех
98
чисел вида (21) с заданным п. Непосредственно видно,
что последовательность (22) убывающая и что нуль яв-
ляется единственной общей точкой всех множеств (22).
Оказывается, что для последовательности (22) выполнены
все условия определения 3.
Докажем это утверждение. Пусть г± и г2—два числа
из окрестности Й„, так что они могут быть записаны
в виде
Мы имеем
Г1~ Ь2Р ’ Ъ2Р •
ri + r*~	ъ^2 Р •
Из этой формулы следует
ип+ипСип.
Но так как О С Un, то вместо предыдущего включения
имеет место равенство
ип+и„=ип.
Из этого следует, что условие а) определения 3 выполнено.
Далее, мы имеем
Г1Г2
Пгп
Ь^Ь2 Р
Таким образом, получаем
Таким образом, условие Ь) определения 3 выполнено.
Из записи (21) числа г следует, что если г g П„,то —г g Uп.
Таким образом, мы имеем
— I/ =£/
п п
Это значит, что условие с) определения 3 выполнено.
Докажем теперь, что и условие d) определения 3
выполнено.
Если г есть произвольный элемент множества Uп, то
множество (1 + £7П)-1 состоит из всех элементов вида
—. Эту дробь нам нужно записать в виде
7^7-1+s.
99
Из последней формулы получаем
-—а
s = b+^Pn-
Отсюда следует, что s g Un, и потому
(1+1/„Гс1+1/в.
Следовательно, условие d) определения 3 выполнено.
Пусть г — произвольное число из /?. В силу соотно-
шения (21) его можно записать в виде
а к
r = ~bP-
Здесь b не делится на р, a k—произвольное целое число.
Умножая окрестность Vп на число г, заданное последней
формулой, получаем, очевидно,
Un + k-
Из этого видно, что условие е) определения 3 выполнено.
При построении р-адических чисел используется ана-
лог разложения целого неотрицательного числа в сумму
степеней числа р. Разложение это аналогично тому, кото-
рое мы употребляем при десятичной записи целых неот-
рицательных чисел, но там вместо р фигурирует число 10.
Возможность такой записи почти очевидна, но мы все-таки
ее сформулируем и докажем.
В) Каждое целое неотрицательное число х может быть
записано в виде
х — хо + х,р -\-х2р2	. . -\-хпрп,	(23)
где коэффициенты х0, хи ..., хп—целые числа, удовлетво-
ряющие неравенствам
—1, t = 0, 1, ..., п.
При х = 0 в разложении (23) все коэффициенты равны
нулю и оно имеет место. При х > 0 доказательство будем
вести индуктивно, именно, мы будем считать, что для вся-
кого числа х' < х разложение (23) имеет место.
Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию
1, р, р2, .... рп, рп+\ ...
Каждое натуральное число х непременно попадет в один
из промежутков между двумя соседними членами этой
прогрессии. Допустим, что имеют место неравенства:
рп х < рп+\
100
Разделим теперь число х на число рп. Тогда мы получим
равенство
х = хпрп-\-х'.	(24)
Здесь
х’<рп,	h
так как если бы хп было больше или равно р, то х было
бы больше или равно р”+1, что противоречит предполо-
жению. Так как число	то оно разлагается
в сумму, аналогичную (23), причём в ней присутствует
не более чем (п—1)-я степень р. Из этого и из равенства
(21) вытекает разложение (23).
Мы записали в форме (23) каждое целое неотрицатель-
ное число из R. Но отрицательное целое число нельзя
записать в форме (23). Точно так же рациональное число
вида (21) не всегда можно записать в форме (23). Кроме
того, поле R с заданной в нем при помощи А) тополо-
гией не является полным. Поэтому мы будем рассматри-
вать величины, несколько обобщив выражение (23).
Именно, мы будем рассматривать бесконечные ряды по
степеням р, включающие, быть может, конечное число
отрицательных степеней, и определим алгебраические
действия над ними.
С) Обозначим через Rfi совокупность всех рядов вида
СО
х= 2 xiP' ;	(25)
i ~k
здесь коэффициенты х, суть целые числа, удовлетворяю-
щие неравенствам
—1.	i — k, k 1, ...	(26)
В множестве Kg мы введем операции сложения и ум-
ножения так, что Kg превратится в поле, а также топо-
логию—так, что поле Kg станет топологическим полем.
Будет установлено, что поле К с топологией, введенной
в нем в А), содержится в топологическом поле Kg и что
каждый элемент топологического поля Kg является пре-
дельным для содержащегося в нем поля R.
При построении алгебраических операций в поле Kg
мы будем производить операцию исправления коэффи-
циентов, которую опишем сперва в общем виде.
Операция эта соответствует принятой в арифметике
фразе «7 пишем, 2 в уме», которая произносится при
сложении и умножении целых чисел, взятых в десятичной
записи.
101
D) Пусть
u> = 2 wiP‘>	(27)
। =*•
где коэффициенты w, могут уже не удовлетворять нера-
венствам типа (26). Если wk не удовлетворяет неравенствам
О	sC Р—1,
то существует целое число zk, удовлетворяющее неравен-
ствам
1
и сравнимое с wk по модулю р, т. е. такое, что
Подставим это значение wk в сумму (27). Тогда получим
следующее выражение для w.
^ = zft/?ft + (Mft+I + ^ft+I)pft+'x+ 2 wiP’- (28)
t = * + 2
Если не выполнены неравенства
то существует число 2ft+i, удовлетворяющее неравенствам
0^гА+1Ср —1
и сравнимое с числом + по модулю р, т. е. такое,
что
uk+i + wk+i = гЛ+1 + мл+гР-
Подставляя это значение в ряд (28), получим
ьу = г^ + гй+1рЛ+1 + (мЛ+2 + ^+2) pfe+2-|- 2
1 = * + 3
Продолжая этот процесс далее, получим для w вместо ряда
(27) ряд
£<у= 2 г,Р‘
i=k
уже «нормального» вида, т. е. такой, что коэффициенты
удовлетворяют неравенствам
ОгСг,гСр—1, i = k, &-J-1, ...
Определим теперь алгебраические' операции в К%.
102
Е) Пусть
сю
У — ЪУ1Р1
i=*k
(29)
есть произвольный элемент из множества Ло- Здесь k
взято тем же, что и для ряда (25), но это не налагает
никаких ограничений, так как некоторые коэффициенты
в рядах (25) и (29) могут быть равны нулю. Складывая
чисто формально в ряды (25) и (29), получим
СЮ
х-\-у —	+
i=k
Применяя к этому ряду операцию исправления коэффи-
циентов, описанную в D), мы получим для суммы хф-у
уже ряд в нормальной форме, т. е. элемент множества
который и считается суммой х-\-у. Таким образом,
сумма хф-у уже принадлежит множеству К%- Разность
х—у определим сперва, произведя формально вычитание
ряда (29) из ряда (25). Тогда получим
сю
X—у = 2 {Xi—tjijp1.
i~k
Произведя исправление коэффициентов этого ряда по спо-
собу, указанному в D), мы получим для х—у ряд «нор-
мального» вида, т. е. элемент из Перемножая ряды
хну как степенные ряды по р, получим для произведе-
ния ху некоторый ряд по степеням р. Произведя исправ-
ление его коэффициентов по способу, указанному в D),
мы получим для произведения ху ряд «нормального» вида,
т. е. элемент из Кр0. Итак, мы определили операции сло-
жения, вычитания и умножения рядов вида (25). Для за-
вершения построения алгебраических операций в поле
нам остается построить обратный элемент. Сделаем это.
F) Будем искать обратный элемент сперва для ряда
х = х|)-|-х1р-|-х2р2}- ...,	(30)
где х0 0. Обратный элемент будем искать в виде ряда
У = Уо + У1р + У»Р2+ • • •	(31)
Перемножая формально ряды х, у, мы получим
xy = w = w0 + w1p + w2pi+ ...,	(32)
где
4>i — Л'оУт + х1У1-1 + •  • + Х(Уй.
103
Здесь ряд (31) должен быть подобран так, чтобы было вы-
полнено соотношение ху=1.
Таким образом, ряд (32) после поправки коэффициен-
тов, описанной в D), должен получить вид
w = 1 + Ор + Ор2 + ...
Согласно пункту D) исправленные коэффициенты ряда (32)
записываются в виде
г0 = ^0—z/ip;
2i = wl + 11{ — щ+1р = хоу,+х1у{_1+ . . . +X(y0 + Ui — Ui + 1p,
i=l, 2, ...
Заметим прежде всего, что поскольку х0=?<=0, то су-
ществует обратный ему элемент из поля вычетов Рр по
модулю р, т. е. такое число 6, что 6х0 сравнимо с еди-
ницей по модулю р.
Таким образом, первое из уравнений, которое нам
нужно решить, а именно уравнение
Zo = xvy0 илр = 1,
имеет решение, именно, у0 = 6. При i > 0 нам нужно решать
уравнения:
х<уУ1 + xiyi_1+ ... +х{у0+и1—ui+ip = 0.
Уравнения эти можно решать последовательно с ростом i.
Для уравнения номера i появляется лишь одно новое
неизвестное число уь которое стоит с коэффициентом х0,
потому уравнение это можно разрешить относительно У(.
Каждый раз мы можем выбирать решение у,- такое, чтобы
были выполнены неравенства
О «С У/«Ср— 1-
Таким образом, мы построим элемент у, обратный к эле-
менту х (см. (31)), причем уо7^0. Но каждый ряд вида
(25), отличный от нуля, может быть записан как р1х
(см. (30)) и обратный ему элемент (см. (31)):
(//%)-! = p-fy.
В свою очередь каждый такой элемент может быть за-
писан в виде (25) и потому принадлежит множеству К?-
Таким образом, для каждого элемента множества Kg мы
построили обратный элемент.
Для того чтобы доказать, что К? с введенными в нем
операциями является полем, нужно доказать ещё ассо-
104
циативиость сложения и умножения, а также дистрибу-
тивность (см. определение 4). Это не очевидно, так как
после проведения каждой операции требуется править
коэффициенты. Но доказательство этих фактов я прово-
дить здесь не буду.
Введем теперь в поле Kg топологию при помощи ок-
рестностей нуля, как это сделано в определении 3.
G) Полную систему окрестностей нуля
^2, .... П„, ...	(33)
в поле Kg определим, включив в окрестность U п все ряды
вида (25), в которых & =	т. е. все ряды вида
х = х„ря + хи+1рп+1 +...	(34)
Выпишем еще один ряд такого же вида
Каждый из этих рядов характеризуется тем, что первые
п коэффициентов его равны нулю. Оказывается, что для
системы множеств (33) выполнены все условия определе-
ния 3.
Докажем это Очевидно, чго последовательность (33)
есть убывающая последовательность множеств, причём
пересечение этих множеств содержит нуль и только нуль.
При формальном сложении х и у, входящих в Uп, мы
получим ряд w, первые п коэффициентов которого равны
нулю. При правке коэффициентов это обстоятельство не
может быть нарушено. Таким образом, мы имеем
ип+ип^ип.
Но так как Un содержит нуль, то вместо последнего
включения имеем равенство
=	(35)
Таким образом, условие а) определения 3 выполнено.
При формальном перемножении рядов х и у мы полу-
чим ряд, низшей степенью р в котором будет 2и, а пре-
дыдущие коэффициенты равны нулю. Это обстоятельство
не может измениться при правке коэффициентов, так что
unun^uin.
Таким образом, условие Ь) определения 3 выполнено.
Преобразованием формального ряда—х (см. (34)) мы
получим ряд, первые п коэффициентов которого равны
нулю. При правке коэффициентов эго обстоятельство не
105
может измениться. Таким образом, мы имеем
Отсюда следует, что условие с) определения 3 выполнено.
Множество (1 + Ц,)-1 состоит из всех элементов вида
—— (см. (34)). Представим этот элемент поля Кр0 в виде
ГР7=1+^-
Отсюда у— — х/(1 + х). В силу F) элемент (1+х)-1 есть
элемент ряда (31), начинающийся с нулевой степени р.
А так как ряд —х начинается с л-й степени р, то мы
получаем t/ € U„ и, следовательно,
(Wcl + Ц,.
Таким образом, условие d) определения 3 выполнено.
Пусть х—ряд вида (25), т. е. произвольный элемент
поля Кр0. Ясно, что
xUncU„+k.
Таким образом, условие е) определения 3 выполнено.
Включим теперь поле R рациональных чисел в поле
К% с заданной в R р-адической топологией (см. А)). Эле-
мент г (см. (21)), принадлежащий полю R, где b не де-
лится на р, может быть записан в виде
ab~lpn.
Но элемент Ь~1 поля Kg записывается в виде
b'i = y0 + y1p + y0P2+ •••»
где »/о^=О. Таким образом, элемент г включен в поле Kg-
Причем окрестности (22), имеющиеся в R, переходят в
окрестности (33) поля Kg. Таким образом, мы включили
топологическое поле R в топологическое поле Kg с сохра-
нением топологии. Для элемента х, заданного рядом (25),
введем операцию bt(x) формулой
I— 1
(х) = 2
t=k
Ясно, что b, (х) € R-
Видно, что
х—bt (x)g U
Отсюда следует, что
lim bn (х) = х,
106
причем bn (х) G R- Таким образом, каждый элемент поля К%
является пределом последовательности элементов вложен-
ного в него поля R.
Для примера рассмотрим запись элемента — 1 из поля
Kg в форме (25), получающуюся после исправления коэф-
фициентов (см. D)). Мы имеем
—1 =№ = и,о4-wrp + w2p2+ .
где о>0 = —1, Wi — O, к<2 = 0. Исправляя коэффициент ш0,
Mpi получим w0 — z0-\-uxp, где г0 = р—1; иг ——1.
Далее,	= —1. Поэтому в результате его ис-
правления получаем wi~\-u1 = —1 = гх-}-и2р, где zx = p—1,
«а =—1. Продолжая этот процесс дальше, мы получаем
со
для w ——I исправленный ряд—1= 2(Р—Ьр‘> иначе,
i=0
(р-1)(1+р + ра+...).
Бесконечный ряд, стоящий в скобках, сходится в тополо-
гическом поле Kg, так как р‘ стремится к нулю с ростом I,
и потому мы имеем
1+р + /^+• • •	•
Таким образом, получаем
что подтверждает правильность наших выкладок.
§ 22. Некоторые топологические свойства
поля Kg р-адических чисел
А)	Пусть U п — произвольная окрестность
системы (33). Обозначим через 0П совокупность всех точек
из Kg, не входящих в U п. Оказывается, что 0„ есть замк-
нутое множество.
Докажем это. Допустим противоположное. Пусть
х1, х2, .. ., х’, ...	(36)
— некоторая последовательность точек из 0„, сходящаяся
к точке х(£б„. Тогда x£Un. Так как последовательность
(36) сходится к х, то согласно определению 4 это значит,
в частности, что при достаточно большом q имеем
(х’-х)^.
107
Тогда в силу (35) имеем:
х^х+и„сиа.
И, следовательно, все элементы последовательности (36),
начиная с достаточно большого номера, принадлежат U п
и не могут принадлежать 6„. Таким образом, мы пришли
к противоречию и, следовательно, предложение А) доказано.
Заметим, что р-адическое число %, заданное рядом (25),
принадлежит окрестности U п тогда и только тогда (см. (33)),
когда Ьп(х)~ 0.
Наряду с р-адическим числом х, заданным рядом (25),
рассмотрим произвольное р-адическое число у, заданное
рядом (29).
В)	Разность х— у р-адических чисел х и у (см. (25)
и (29)) принадлежит окрестности V п тогда и только
тогда (см. (33)), когда имеет место равенство
ьп(х)=ьп(у).
Докажем это утверждение. При построении разности
х—у мы сперва строим формальную разность между ря-
дами (25) и (29), т. е. ряд
® = 2 ®tP1' = 2 Ui—yi) pf-	(37)
t—k	i—k
Пусть хг—yt — первый из коэффициентов этого ряда, от-
личный от нуля. А это значит, что хг—у{ не сравнимо
с нулем по модулю р. Таким образом, при правке коэф-
фициентов ряда (37) первым отличным от нуля будет ко-
эффициент гг, и мы будем иметь
bi(x) = bt(y),
причем I—наибольшее число, удовлетворяющее этому
условию. Отсюда вытекает правильность утверждения В).
С)	Для того чтобы последовательность
х1, х2, ..., х’, ...	(38)
элементов топологического поля сходилась к элемен-
ту х этого поля, т. е. чтобы имело место равенство
lim х« = х,	(39)
необходимо и достаточно, чтобы для каждого натураль-
ного числа п нашлось настолько большое натуральное
число г такое, что при р > г имеем:
108
Докажем это утверждение.
Согласно § 18 В) соотношение (39) выполняется тогда
и только тогда, когда для произвольного натурального
числа п найдется настолько большое натуральное число
г, что при 7 > г имеем
(х’-х)6^„-
Но в силу предложения В) последнее включение имеет
место тогда и только тогда, когда выполнено соотношение
Ь„ = Ьп (х).
Таким образом, утверждение С) доказано.
D)	Любая окрестность Uv (см. (33)) замкнута и ком-
пактна. Докажем сперва замкнутость множества Uv. Эле-
менты окрестности Uv характеризуются условием
bv (х) = 0.
Если теперь предположить, что последовательность (38)
целиком содержится в L/v, то для всех достаточно боль-
ших натуральных чисел п имеет место равенство
bn(x<)=b„(x)	(40)
(см. С)). Заметим теперь, что при v < п для любого эле-
мента у из имеет место соотношение
by (Ьп(у)) =--Ьх(у).
Если теперь имеет место равенство (40), то
<х} bv (bn (х)) = bv (fe„ (х«)) = bv (хч) = 0.
Таким образом,
хС Uv,
и, следовательно, Uv замкнуто.
Докажем теперь компактность множества t/v. В силу
§ 19 С) это означает локальную компактность топологи-
ческого поля и, следовательно, его полноту (см. § 19G)).
Пусть М—бесконечное подмножество элементов из Uv.
Поскольку первый элемент разложения коэффициента х
в ряд (25) может принимать лишь конечное число зна-
чений, а именно р, то в М можно выделить бесконечное
множество Мк таких элементов из 714, у которых коэффи-
циенты xft совпадают между собой в ряде (25). Точно
так же в множестве Мк выделится бесконечное подмно-
жество A4ft+1, элементы х которого имеют одинаковые коэф-
фициенты хА+1. И точно так же выделяется бесконечное
109
подмножество Мк+г в множестве Мк+1, и мы получаем
бесконечно убывающую последовательность подмножеств
Л'1, Мк, Л1к+1, Мк+г,...,
причем для двух элементов х' и х", принадлежащих Л1;,
имеем равенство
(*') = (х").
Выберем теперь из множества Л1; произвольный элемент
х1. Мы имеем (см. С))
liinxz = x,
/->00
где х—некоторый элемент множества t/v. Таким образом,
компактность множества Uv доказана.
Итак, предложение D) доказано.
Изучим теперь детальнее окрестность Uv нуля поля KS-
Е) Окрестность Uv распадается в конечную сумму
компактных замкнутых попарно непересекающихся мно-
жеств вида
xa + Uv+l,	(41)
где х“; а=1, ..., р1 — различные элементы окрестно-
сти Uv.
Докажем это. Пусть х—произвольный элемент из Uv.
Тогда
bv+l W = xvpv + xv+Ipv+1 + • • • + xv+,_1pv+'-1 = x'2
есть многочлен относительно pci коэффициентами, каж-
дый из которых может принимать р различных значений.
Таким образом, последняя формула содержит ровно р1
различных многочленов. Эти многочлены мы обозначаем
через х“. Совокупность всех х£ Иv, для которых 6v+z(x) =
= х“, представляет собой сумму (41). Каждое из мно-
жеств (41) замкнуто и компактно. Далее, если ха=/=хр,
то соответствующие множества x“ + t/v+/ nxf;4C'v+ine
пересекаются. Допустим противоположное, т. е. допустим,
что имеется элемент у, принадлежащий этим двум мно-
жествам. Тогда мы получаем
Ьх+! (У)=х?, bv+l (у) = хр,
что невозможно, так как ха^хр. Итак, предложение Е)
доказано. Оно показывает, что окрестность разбита в
сумму конечного числа маленьких кусочков вида (41).
Это может иметь место и для всего пространства Л’£.
110
F) В пространстве К£ нет связных замкнутых беско-
нечных подмножеств.
Докажем это. Допустим, что М—связное замкнутое
подмножество из Пусть у—какой-нибудь его элемент.
Тогда множество М' = М—у связно и содержит нуль.
Так как множество М' бесконечно, а окрестности Un
(см. (33)) пересекаются только по нулю, то найдется
настолько большое натуральное число п, что окрестность
Un не содержит полностью всего множества М'.
Обозначим через пересечение М' Г) Un, а через
М'2—пересечение Л4'Г10п(см. А)). Множества М'х и М2
замкнуты и не пересекаются. Таким образом, множество
М' не связно, а потому и не связно исходное множество
М. Таким образом, мы пришли к противоречию, и ут-
верждение F) доказано.
§ 23. Поле рядов над полем вычетов
Пусть Рр—поле вычетов по модулю задан-
ного простого числа р (см. § 16). Выражение
а (0 = с0 + aj + агР + . • • + a„tn, (42)
где коэффициенты а0, alt ап суть вычеты по модулю
р, называется многочленом над полем Рр. Над многочле-
нами вида (42) можно производить операции сложения,
вычитания и умножения, производя соответствующие
действия как над элементами поля Рр. Если b(t) есть
другой многочлен типа (42), то выражение
называется рациональным выражением над полем Рр.
Дроби вида (43) можно складывать, вычитать, умножать
и делить по обычным правилам, так что совокупность
всех этих дробей составляет поле Pf.
В поле Р? вводится топология, смысл которой заклю-
чается в том, что выражение (43) считается тем меньше,
чем лучше оно делится на t.
А) В поле Pf вводится топология при помощи по-
следовательности окрестностей нуля:
Ult U2,..., ип,...	(44)
(см. (33)), причем в окрестность Uп включаются все вы-
ражения вида
r-ia/-,	<45)
111
где предполагается, что многочлен Ь(1) не делится на
t, т. е. его свободный член Ь,.=рО в поле Рр. Прежде
всего ясно, что последовательность (44) есть убывающая
последовательность, пересекающаяся только по нулю.
Кроме того, оказывается, что все пять условий определе-
ния 3 для системы окрестностей нуля (44) выполнены.
Докажем последнее утверждение. Если
(0 tn г . °* (0 tn
bi (/) ’	2 ьг (о
— два произвольных элемента из окрестности U п, то яс-
но, что и их сумма есть элемент U п. А так как 0 g
то мы получаем следующее равенство:
ип + ип = ип.
Из этого следует, что условие а) определения 3 выпол-
нено.
Далее, мы имеем
_«,(') а2 (!)
12 МОМО 
При этом знаменатель дроби bl(t)b2(t\ очевидно, не де-
лится на t. Таким образом, мы имеем
Следовательно, условие в) определения 3 выполнено.
Далее, мы имеем (см. (45))
Отсюда получаем
и условие с) определения 3 выполнено.
Элемент (45) есть произвольный элемент окрестности
Uп. Таким образом, произвольный элемент множества
(1 Uп)~1 записывается в виде (1+г)-1. Если предполо-
жить, что
то для s мы получаем выражение
МО tn
112
Таким образом,
и потому условие d) определения 3 выполнено.
Пусть
1
— произвольный элемент поля Ppt. Тогда мы получаем,
очевидно,
откуда следует, что условие е) определения 3 выполнено.
Итак, последовательность (44) является системой ок-
рестностей нуля в теле Ppt, в силу чего Ppt становится
топологическим полем. Оказывается, однако, что поле
это не является локально компактным. Для того чтобы
включить его в локально компактное полное поле, мы
рассмотрим всевозможные ряды относительно t с коэффи-
циентами из Рр, включающие, быть может, конечное чис-
ло отрицательных степеней t.
В)	Множество всех рядов гида
х = 2 xf,	(46)
i = k
где коэффициенты х{ суть элементы поля вычетов Рр, а
k — целое число, быть может, и отрицательное, обозначим
через Kpt. В множестве K.pt естественным образом опреде
ляются операции сложения, вычитания и умножения.
Для построения обратного элемента найдем сперва обрат-
ный элемент для ряда
х — хо +	x.2t2 + - - ,	(47)
где хо=7^О Обратный элемент обозначим через у и запи-
шем его в виде
y = yB + yit + У^2- + • • •	(48)
Произведение ху обозначим через w, Тогда мы будем
иметь
со
да=2
где
wt — хоУ1 + х1У1-х + • • • + хсУо-
113
Для того чтобы у был обратным элементом к х, доста-
точно, чтобы были выполнены условия
w{ = 0, i=l, 2,...	(49)
Первое из этих уравнений дает нам соотношение
= 1 •
Это уравнение разрешимо относительно у0 в поле Рр,
так как х0 #= 0. Следующее уравнение последовательности
(49) имеет вид
ад1+^о==О-
Его мы ДОЛЖНБ1 разрешить относительно yit что возмож-
но, так как коэффициент при yi не равен нулю. Каждое
следующее уравнение из ряда (49) содержит лишь один
новый неизвестный элемент, входящий с ненулевым коэф-
фициентом. Таким образом, элемент у (см. (48)), обрат-
ный к х, вычисляется, причем уо=^=О. Произвольный ряд
(46), неравный нулю, может быть записан в виде
х = 1‘х
(см. (47)), и мы получаем
x~l — t~ty
и обратный элемент для х=А0 построен. Таким образом,
Kpt является полем. Введем в этом поле топологию по
способу, указанному в определении 3.
С)	Последовательность
U„ и2, ..., ип, ...	(50)
окрестностей нуля поля Кр определим, включив в окрест-
ность Un все ряды (46), в которых k = n. Прежде всего
ясно, что последовательность (50) есть убывающаяся по-
следовательность множеств, пересекающихся по нулю.
Далее оказывается, что для нее выполнены все пять
условий определения 3.
Докажем это. Непосредственно проверяется, что имеют
место соотношения
ипип=и2п- -ип=ип.
Отсюда следует, что условия а), Ь) и с) определения
3 выполнены.
Проверим условие d). Множество (1 4-(/„)_х состоит
из всех элементов вида (l-j-x)-1, где в ряде для х (46),
k=n, п^1. Таким образом, обратный элемент для (1 4-х)
114
существует (см. (В)) и начинается с единицы, а далее
идут степени I, начиная с n-й. В результате получаем
(i-+-un)-*c(i + ип),
и условие d) определения 3 выполнено.
Если теперь х (см. (46)) — произвольный элемент поля
Кр, то ясно, что
xV „C.U
Таким образом, условие е) определения 3 выполнено.
Итак, система окрестностей (50) определяет топологию
в поле К?.
Вложим теперь Ppt в поле Kpt.
D)	Каждый элемент г поля Pf записывается в виде
(см. (43))
Так как многочлен Ь(Г) не делится на t, то в поле Кр он
имеет обратный элемент Ь~1 (1) (см. В)), и элемент г поля
Kpt записывается теперь в виде
г = a(/)t>-1 (/) tn
и входи г в Кр. Таким образом, топологическое поле Pf
включено в топологическое поле Kf, причем всякая ок-
рестность V п из последовательности (44) оказывается
вложенной в окрестность U п последовательности (50).
Следовательно, топологическое поле Ppt вложено в топо-
логическое поле К1 с сохранением топологии.
Е)	Каждой сумме х (см. (46)) поставим в соответствие
конечную сумму:
/-1
M*) = S
i — k
Прежде всего ясно, что условие 6z(x) = 0 эквивалентно
условию х С Ut. Отсюда следует, что соотношение
lim xq — x
имеет место тогда и только тогда, когда для произволь-
ного натурального числа п можно найти такое натураль-
ное число г, что при > г имеем:
bn(xq) = bn(x).	(51)
Из этого условия непосредственно вытекает, что
lim bn(x) — x,
115
но bn(x) есть элемент поля Рр. Итак, поле Рр, вложенное
в поле Kpt, имеет своим замыканием все поле Л7?.
F) Построим теперь взаимно-однозначное отображение
f пространства К? на пространство К$ р-адических чисел.
Для построения отображения / в ряде (46) заменим каж-
дый вычет Xj содержащимся в нем числом хь удовлетво-
ряющим неравенствам O^Xf^p—1, а букву t — простым
числом р. Тогда ряд (46) превратится в р-адическое чис-
ло f(x). При этом отображении алгебраические операции
не сохраняются, так как в поле р-адических чисел имеет
место правка коэффициентов. Но сходимость сохраняется
(см. (51), (40)). Именно, если
lim хч — х,	(52)
>СС
то
lim f(x<i) = f(x).
Наоборот, из последнего соотношения следует (52). Из
предложения F) следует, что поле Kpt не содержит связ-
ных множеств.
§ 24.	О структуре несвязных
локально-компактных топологичес их тел
В то время как локально компактные связ-
ные тела полностью изучены, о несвязных локально ком-
пактных телах я могу привести здесь теорему Ковальс-
кого, доказанную им в 1953 году.
Теорема 6. Локально компактнее несвязное тело L
непременно всюду разрывно, то есть не содержит связных
подмножеств и могут иметься два взаимно исключающих
случая:
а)	тело L имеет характеристику нуль, и тогда в нем
содержится поле К^—К р-адических чисел;
Ь)	тело L имеет характеристику р, и тогда в нем
содержится поле Kpt~K рядов относительно некоторого t.
В обоих случаях элементы поля К перестановочны по
умножению с элементами тела L и имеется конечный ли-
нейный базис тела L над полем К- Именно, такая систе-
ма элементов
lu — е, li, ..., 1Х,
что каждый элемент x£L записывается в виде
X — хо^о +	• 4~ Хх1х,
где коэффициенты xt£ К.
116
* * X-
В этой книге мы рассмотрели системы величин с ал-
гебраическими операциями и предельным переходом, ко-
торые являются логически возможными обобщениями чи-
сел. В частности, налагая на эту систему весьма общие
ограничения, мы пришли к результату, что никаких
других логических возможностей для построения прием-
лемых в математике величин, аналогичных действитель-
ным и комплексным числам, кроме действительных и ком-
плексных чисел, не существует. Эго показывает, что
действительные и комплексные числа сложились в мате-
матике не в результате случайного процесса историческо-
го развития, а как единственные логически возможные
величины, удовлетворяющие тем требованиям, которые
естественно предъявить к числам.
Лев Семенович Понтрягин
ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
Серия «Библиотечка «Квант», вып. 54
Редактор С- М. Асеев
Художественный редактор Т. Н. Кольченко
Технический редактор Е. В. Морозова
Корректоры Т. С. Родионова» И, Я. Кришталь
ИБ № 32366
Сдано в набор 21.03.86. Подписанок печати 02.09.86. Т-19504. Формат
84X108/S2. Бумага тип. № I. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл.
печ. л. 6,3. Усл. кр.-отт. 6,72. Уч.-изд. л. 5.41. Тираж 50 000 экз.
Заказ № 2429. Цена 20 коп
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции н ордена Трудового Красного Знамени
М1Ю «Первая Образцовая типография» имени А. А. Жданова
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
113054 Москва, Валовая, 28
Отпечатано в типографии № 2 издательства «Наука», 121099 Москва, Шубин*
ский пер., 6 Зак. 3003
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Готовится к печати в 1987 году:
ПОНТРЯГИН Л. С. Знакомство с высшей
математикой: Алгебра — 8 л. (Аннотированный
теиплан 1987 г, поз 43)
«Знакомство с выси • математикой» —серия неболь-
ших научно-популярных книг, предназначенная школь-
никам старших классов, интересующимся математикой.
«Алгебра» — третья книга в этой серии. В ней приве-
дены основные результаты алгебры, включая теорию
определителей. Этот раздел составляет главную часть
книги. Кроме того, в книге содержится раздел, посвя-
щенный корням многочленов и комплексным числам.
Для школьников старших классов, интересующихся
математикой. Л1сжет быть полезна также преподавателям
средней и высшей школы.
Предварительные заказы на данную книгу прини-
маются без ограничения всеми магазинами Книготорга
и Академкниги, распространяющими физико-математиче-
скую литературу.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071 Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Готвеится к печати в 1987 году:
ПОНТРЯГИН Л. С. Знакомство с высшей
математикой: Метод координат — 6 л. (Анноти-
рованный темплан 1987 г., поз. 44)
В книге излагается .метод координат и, б основном,
аналитическая геометрия на плоскости. Затрагиваются
также вопросы алгебры, дается геометрическое изобра-
жение комплексных чисел и рассматриваются многочлены
как комплексные функции комплексного переменного,
что дает возможность доказать основную теорему высшей
алгебры. Более бегло даются декартовы координаты в
пространстве и аналитическая геометрия в пространстве.
Для школьников старших классов, интересующихся
математикой. Книга может быть полезна также препода-
вателям средней и высшей школы.
Предварительные заказы на данную книгу прини-
маются без ограничения всеми магазинами Книготорга
и Академкниги, распространяющими физико-математиче-
скую литературу.