Л. С. ПОНТРЯГИН
ЗНАКОМСТВО
С ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКОЙ
•
АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО
МАЛЫХ
4»
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1980

22.16
П 56
УДК 517
Понтрягин Л. С.
П 56 Знакомство с высшей математикой. Анализ
бесконечно малых. — М.: Наука, 1980. —
256 с. — 45 к.
Книга посвящена изложению некоторых вопросов математиче*
ского анализа. Хотя изложение в ней не является легким, она
задумана как книга, доступная молодым читателям, увлекающимся
математикой. Ее характерной чертой является одновременное
изложение теории функций действительного и комплексного перемен*
ного,
Лев Семенович Понтрягин
ЗНАКОМСТВО С ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКОЙ
АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
М., 1980 г., 256 стр. с илл.
Редакторы В. Р. Телеснин, В. В. Донченко
Технический редактор С. Я. Ш к л я р
Корректор О. М. Кривенко
ИБ № 11183
Сдано в набор 18.12.79. Подписано к печати 06.06.80. Т-08166. Бумага
84ХЮ87з2. Тип. № 2. Литературная гарнитура. Высокая печать. Условн.
печ. л. 13,44. Уч.-изд. л. 13,03. Тираж 100000 экз. Заказ № 464. Цена
книги 45 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой «Союзполиграфпрома» при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29
гт 20203—082 Q1 ол ,-лол«-лллл © Издательство «Наука»
П Л-0/пОЧ Qn 81-80. 1702050000 Главная редакция
UOo(U<s)-oU физико-математической
литературы, 1980

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 4
Введение 7
Глава I. Ряды 20
§ 1. Сходящиеся последовательности чисел , .... 24
§ 2. Бесконечно малые величины 37
§ 3. Условия сходимости Коши 43
§ 4. Применение признака сходимости Коши г .... 57
§ 5. Сходящиеся ряды 65
§ 6. Абсолютно сходящиеся ряды .72
§ 7. Функция ехр(г) 80
§ 8. Основные трансцендентные функции 5 91
§ 9. Степенные ряды 98
Глава II. Дифференциальное исчисление 103
§ 10. Производная 109
§ И. Вычисление производных 123
§ 12. Неопределенный интеграл 132
§ 13. Вычисление некоторых неопределенных интегралов 141
§ 14. Определенный интеграл 149
§ 15. Ряд Тейлора 159
Глава III. Интегральное исчисление . . • 171
§ 16, Определенный интеграл как площадь 171
§ 17. Определенный интеграл как предел
последовательности конечных сумм 177
§ 18. Площадь и длина графика 192
§ 19. Длина параметрически заданной линии ..... 197
Г л а в а IV. Аналитические функции 206
§ 20. Интегрирование функций комплексного переменного 206
§ 21. Теорема Коши 218
§ 22. Ряды Тейлора и Лорана 231
§ 23. Вычеты 241
§ 24. Нахождение обратной функции ........ 247
§ 25. Целые функции и особые точки 253
1*

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книжка является второй из серии
четырех небольших сравнительно популярных книг,
издаваемых мною под общим заглавием «Знакомство
с высшей математикой». Первая книжка «Метод
координат» уже вышла в 1977 году. Эта вторая книжка
посвящена изложению основных фактов
математического анализа.
Изложение ведется так, чтобы всюду, где это
возможно, одновременно рассматривать как
действительный, так и комплексный случай. В первую очередь
это относится к определению сходимости
последовательностей и рядов, в частности степенных рядов*
Точно так же определение производной дается одно*
временно для функций действительного и
комплексного переменного, так как формально оно одинаково
для обоих случаев. Понятие первообразной функции
определяется одинаково как для функции
действительного переменного, так и для функции
комплексного переменного. Одновременно доказывается
единственность первообразной с точностью до
постоянного слагаемого. Такой способ изложения дает
возможность сравнительно легко включить в книгу
основные результаты теории функций комплексного
переменного, что составляет ее четвертую главу. Эта
глава является важнейшей завершающей частью
книги и доведена до таких сравнительно сложных
результатов, как ряд Лорана и поведение функции
вблизи изолированной особой точки.
Те вопросы анализа, которые составляют так
называемую теорию функций действительного
переменного, я стараюсь отодвинуть на задний план, считая
их наименее интересными. Я не свел их вместе, а
4

разбросал по всей книжке, излагая там, где в них
возникает необходимость.
Центральное место в первой главе занимает
изучение функции ехр (г) комплексного переменного 2,
которая задается степенным рядом
exp(z) = l+-f + 1£у+---+^Г+--- 0)
Доказывается, что при действительном значении
z = х мы имеем равенство
ехр (х) = ех9
а для чисто мнимого значения z = iy имеется
формула
ехр {iy) = cos у + / sin у.
Таким образом, не пользуясь дифференциальным
исчислением, мы сразу получаем разложение основных
трансцендентных функций ех, cosy, sin у в
степенные ряды.
Нужно обратить внимание на следующее
обстоятельство. Когда мы доказываем, что некоторая как-
либо заданная функция разлагается в степенной ряд,
то для этого достаточно доказать, что ряд сходится
к некоторому определенному числу — значению
функции. Если же мы хотим определить саму функцию
при помощи ряда (см. (1)), то для этого нужно
доказать, что ряд сходится, для чего необходимо
использовать признак сходимости Коши и дать точное
определение числа. Весь этот аппарат излагается в
первой главе.
Глава II посвящена изложению основных
результатов дифференциального исчисления. Прежде всего
определяется производная одновременно "как для
функции действительного переменного, так и для
функции комплексного переменного и вводится
понятие интегрирования как операции, обратной к
операции дифференцирования. Завершением главы
является доказательство формулы Тейлора с остаточным
членом в интегральной форме.
Глава III посвящена интегральному исчислению.
В ней интеграл определяется сперва интуитивно, как
величина площади, ограниченной графиком, и
доказывается, что так определенный интеграл является
первообразной для функции, задающей график.
5

Далее весьма четко и тщательно интеграл
определяется как предел последовательности конечных сумм.
Таково в основном содержание книги.
Введение распадается на две части. В первой
части напоминаются некоторые простейшие понятия,
которые можно почерпнуть из книжки «Метод
координат». Во второй части «Историческая справка»
дается очень краткое и неполное описание истории
развития математического анализа. Для чтения
предлагаемой книги нет необходимости иметь законченное
среднее математическое образование. Некоторые
употребляемые здесь важнейшие формулы элементарной
математики — сумма геометрической прогрессии,
бином Ньютона — в книге доказаны, так что она может
быть доступна и старшим школьникам, но книга не
является легким чтением и требует значительной
математической культуры. Надеюсь, что она может
послужить также противоядием при «отравлении»
теорией множеств. В последнее время
теоретико-множественная идеология усердно внедряется в программу
и учебники средней школы. Авторы этого внедрения
утверждают, что теория множеств важна для научно-
технического прогресса и является новейшим
достижением математики. В действительности теория
множеств не имеет ничего общего с научно-техническим
прогрессом и не является новейшим достижением
математики. Теоретико-множественная идеология
приводит, например, к таким уродствам, как замена
термина «равенство» геометрических фигур термином
«конгруэнтность» и определение вектора как
«параллельный сдвиг пространства».
В заключение я выражаю благодарность В. Р. Те-
леснину за помощь, оказанную при написании и
редактировании книги, а также официальному
рецензенту издательства Е. М. Никишину за его
многочисленные замечания, значительную часть которых я
использовал.

ВВЕДЕНИЕ
Здесь в первую очередь дается напоминание тех
немногих математических фактов, которые
понадобятся нам и которые можно найти в моей книжке
«Метод координат». Далее дается историческая
справка, в которой очень коротко и неполно излагается
исторический процесс возникновения математического
анализа.
Напоминание
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ
НА ПЛОСКОСТИ
В некоторой плоскости Р выберем две
перпендикулярные друг другу прямые и обозначим через о
точку их пересечения. Для определенности будем
считать, что плоскость Р есть плоскость нашего чертежа
(рис. 1) и что одна из
выбранных прямых проходит
горизонтально, а другая вертикально.
Горизонтальная прямая
называется осью абсцисс, а
вертикальная — осью ординат.
Обе оси называются просто
осями координат, а точка о— Рис х
началом координат.
Пусть теперь z — некоторая точка на плоскости Р.
Пользуясь выбранными осями координат, поставим
этой точке в соответствие два числа х и у: х— ее
абсцисса, у — ее ордината. Для этого из точки z
опустим перпендикуляр zp на ось абсцисс и
перпендикуляр zq на ось ординат. Если точка р лежит вправо
от начала координат о, то через х мы обозначим
1
ч
О
\
/
,7
7 >
7

длину отрезка ops т. е. положительное число. Если
точка р лежит влево от начала координат о, то через
х мы обозначим длину отрезка ор, йзятую со знаком
минус, т. е. отрицательное число. Если точка р
совпадает с началом координат о, то х = 0. Аналогично,
если точка q лежит выше начала координат, то
через у мы обозначим длину отрезка oqt т. е.
положительное число. Если точка q лежит ниже начала
координат, то через у мы обозначим длину отрезка oq,
взятую со знаком минус, т. е. отрицательное число.
Если точка q совпадает с началом координат, то
у = 0. Таким образом, каждой точке z на плоскости
Р при помощи выбранной системы координат
поставлена в соответствие пара чисел: х и у, х — абсцисса
точки, у — ее ордината. В виде формулы это
записывается так:
г = (х9у). 0)
Числа х я у называются координатами точки z.
Если заданы два произвольных числа х и у, то на
плоскости Р легко построить ту единственную точку
г, абсцисса которой равна заданному числу х, а
ордината— заданному числу у.
Если точка z движется вдоль оси абсцисс слева
направо, то абсцисса ее возрастает. Поэтому говорят,
что ось абсцисс направлена слева направо. В том же
самом смысле ось ординат направлена снизу вверх.
Пусть z\ = (xXi у{) и z2=(x2, У2) — две точки на
плоскости Р, заданные своими координатами.
Расстояние между точками z\ и г2, которое мы
обозначим через /(2i, г2), определяется формулой
/ (2i, z2) - + л/(х2-х1Г + (у2-у1Г. (2)
Теперь уместно перейти к рассмотрению векторов,
при помощи которых многие формулы записываются
гораздо короче, чем при помощи координат.
Пусть а и Ь — две точки на плоскости Р. Принято
говорить, что отрезок ab, определенным образом
направленный, именно, от а к 6, есть вектор ab. Точка
а называется началом вектора, а точка Ъ — его
концом. Говорят также, что вектор ab приложен к
точке а. Если с и d — две какие-нибудь другие точки
плоскости Р, то считается, что вектор ab равен век-
8

Рис. 2.
тору cd, если отрезки ab и cd: 1) равны по длине,
2) параллельны, 3) одинаково направлены.
Очевидно, что для каждого вектора ab найдется
равный ему вектор, выходящий из начала координат
о. Обозначим его конец через г, так что векторы ab
и' oz равны. В основном мы будем ограничиваться
рассмотрением лишь тех векторов, которые
начинаются в начале координат о. Такие векторы мы
будем обозначать одной буквой, а именно, вектор oz
будем обозначать просто
буквой г. Этцм самым
устанавливается взаимно однозначное
соответствие между
векторами, выходящими из начала
координат, и точками
плоскости Р, именно, каждому
вектору oz ставится в соответствие
его конец, точка г.
Теперь определим
операцию сложения двух векторов.
Рассмотрим на плоскости Р
два вектора z\ и г2.
Подразумевается, ЧТО Z\ И Z2 — КОНЦЫ
векторов, начинающихся в точке о (рис. 2). Для того
чтобы определить сумму векторов z\ + г2, проведем
из точки z\ вектор z\ZZi равный вектору z2. Вектор
oz3, или, что то же самое, zz есть по определению
сумма векторов Z\ и z2:
В нашем построении суммы z\ + z2 векторы z\ и z^
неравноправны, но легко доказывается, что
Z\+Z2 = Z2 + Z\.
Вычитание векторов определяется как операция,
обратная сложению.
Среди всех векторов имеется один вектор нулевой
длины, начинающийся и кончающийся в точке о. Он
обозначается знаком 0. Этот вектор обладает
следующим свойством: z + 0 = г.
Длина отрезка, определяющего вектор,
называется модулем этого вектора и обозначается
специальным образом, именно
\z\ = l(o,z).
9

Имеет место важное неравенство
|2l + *2l<l*l| + |22|. (3)
Неравенство это следует из рассмотрения
треугольника oziZz (см. рис. 2).
Кроме операций сложения и вычитания векторов,
существует еще одна важная операция над
векторами, именно, умножение вектора на число. Если
а — некоторое число, a z — вектор, то для
определения произведения
z' — az
проведем прямую L, проходящую через точки о и г.
Если а — число положительное, то от точки о
отложим на прямой L отрезок oz\ равный по длине а\г\
и направленный в ту же сторону, что и отрезок ог.
Конец z' этого отрезка и есть вектор az. Если число
а отрицательное, то от точки о отложим на прямой L
отрезок oz' длины |а| |г|, но в направлении,
противоположном отрезку ог. Конец этого отрезка z' и есть
вектор az. Если а = 0 или 2 = 0, то вектор az есть
нулевой вектор.
Введем теперь понятие координат вектора. Так
как z является у нас одновременно и точкой и
вектором, то естественно считать, что координаты точки z
являются одновременно и координатами вектора г.
Таким образом, мы можем записать
2 = (х, у),
где z есть вектор, а х, у— его координаты, т. е.
координаты точки г.
Опишем теперь при помощи координат те
операции над векторами, которые только что были
определены чисто геометрически. Кроме вектора г, запишем
в координатной форме еще два вектора:
Z\ = (Xu У\)\ 22 = (*2, #>)•
Тогда мы имеем
zx + z2 = (xi + хъ У\ + у2), (4)
zi — г2 = (х{ — х2, У\ — у2), (5)
|z| = +Y*2 + */2, (6)
az = (ax, ay). (7)
Эти формулы легко доказываются.
10

Полярные координаты, На нашей плоскости Р мы
уже имеем декартову систему координат, т. е. ось
абсцисс, ось ординат и начало координат. С этой
системой координат тесно связана так называемая
полярная система координат. Пусть z=(x,y)—
произвольная точка плоскости Р, заданная своими
декартовыми координатами.
Поставим теперь этой точке z j z
в соответствие два других /^\
числа — ее полярные коор- ^^
динаты, именно, число р, ^^
равное длине отрезка ог, /fo
р = /(о, z), и число ф, рав- q* jj—*-
ное величине угла между '
положительной полуосью Рис. 3.
абсцисс и отрезком ог,
причем угол отсчитывается в направлении против
часовой стрелки (рис. 3). Мы будем писать
* = [р, Ф].
Число р называется радиусом точки г, а число ф —
ее углом.
Радиус р точки г определен однозначно. Угол ф
точки z не определен совсем, когда точка z совпадает
с началом координат. Но и в том случае, когда
точка z не совпадает с началом координат, угол ф не
определен однозначно. Именно, если ф есть угол
точки г, то ф + 4Ы, где k — произвольное целое число,
ad — величина прямого угла, также является углом
точки z.
Пользуясь одновременно декартовыми и
полярными координатами, мы неизбежно должны
поставить вопрос о связи между теми я другими.
Декартовы и полярные координаты точки г=(х,у) = [р9 ф]
связаны между собой следующими формулами (см.
рис. 3):
л:==рсо8ф, г/==рБШф. (8)
Определим скалярное произведение z\-Z2 двух
векторов 2i= [рьф1] и г2= [р2, ФгЬ пользуясь их
полярными координатами. По определению
*i • *2 = PiP2 cos (ф2 — q>i) = P1P2 cos у, (9)
11

где у есть угол между векторами z\ и z2. Знак числа у
не играет роли. Пользуясь формулами (8) связи
между полярными и декартовыми координатами, мы
получаем выражение
Оно дает скалярное произведение, выраженное через
декартовы координаты векторов.
Геометрическое изображение комплексных чисел.
Декартовы координаты дают еще одну возможность
для установления связи между точками и числами,
а именно, они позволяют геометрически изображать
комплексные числа и действия над ними.
Комплексные числа, как известно, возникли
благодаря тому, что нельзя было извлечь корень
квадратный из отрицательного числа. Поэтому ввели
формально новое число /, удовлетворяющее уравнению
/2+1=0,
так что
У-1 = ± и
и определили комплексное число г формулой
z — x + ly, (11)
где х и у — обыкновенные числа, с которыми уже
привыкли иметь дело и которые теперь, в отличие от
комплексных, мы будем называть действительными.
Над комплексными числами стали производить
обычные действия — сложение, умножение и обратные к
ним: вычитание и деление. Во всех таких
вычислениях заменяли i2 на —1 и получали, таким образом,
возможность производить над комплексными числами
все действия так же непринужденно, как раньше над
действительными.
Определим действия над комплексными числами
более формально. Пусть
zi = xx + iyu z2 = x2 + iy2
е^—два комплексных числа. Тогда их сумма
определяется формулой
г\ + *2 = (*i + x2) + i {yx + у<г). (12)
12

Произведение двух комплексных чисел Z\ и z2
определяется формулой
Z{z2 = (х\ + iy\) (х2 + iy2) = Xix2 + ix\y2 + ly \x2 +
+ 12У\У2 = (х\х2 — У1У2) + i (x{y2 + У\х2). (13)
Комплексное число г, записанное в форме (11),
само просится на нашу плоскость Р, на которой уже
введены декартовы координаты. Его хочется
изобразить в виде точки z с координатами (х, у) или, что
то же самое, в виде вектора z с координатами (х,у),
т.е. z=(x,у). Плоскость Р, на которую нанесены в
виде точек комплексные числа 2, будем называть
плоскостью комплексного переменного z.
Комплексные числа z вида
z = х + /0 = х
теперь разумно называть действительными числами.
Они все лежат на оси абсцисс, и поэтому ось абсцисс
плоскости комплексного переменного z мы будем
называть действительной осью. Комплексные числа вида
z=*0 + iy = iy
называются чисто мнимыми или просто мнимыми, и
они располагаются на оси ординат. Поэтому ось
ординат плоскости комплексного переменного z мы
будем называть мнимой осью. Комплексное число z =
= 0 + ДО попадает в начало координат.
Действительные числа +1 и —1 располагаются на
действительной оси справа и слева от нуля на расстоянии
единица. Мнимые числа -j-i и —i располагаются на
мнимой оси над нулем и под нулем на расстоянии
единица от него.
Используем теперь для записи комплексного
числа z полярные координаты точки z. Так как в силу
формул (8)
х = р cos ф; у = р sin <p,
то комплексное число г, определенное формулой (11),
записывается в виде
z = p (cos ф + / sin ф). (14)
Эта запись комплексного числа z называется
тригонометрической. Неотрицательное число р называется
модулем комплексного числа г, а угол ф —его аргу-
13

ментом. Число р однозначно определено комплексным
числом z и обозначается специальным символом
\г I = р = + Y*2 + У2-
Следует вновь напомнить, что аргумент ср
комплексного числа z не определен однозначно, именно, при
\г\ = О он вовсе не определен, а если |г|=£0 и <р есть
аргумент комплексного числа г, то наряду с этим
значением <р аргументом являются и числа ф 4- 4Ы,
где k — произвольное целое число.
Пользуясь формулами (12) и (13), дадим
геометрическое истолкование операциям сложения и
умножения комплексных чисел.
Из формул (4) и (12) следует, что для того, чтобы
сложить два комплексных числа z\ и z2, достаточно
сложить изображающие их векторы z\ и г2. Тогда
полученная сумма векторов г3 = Z\ + г2 изображает
сумму z\ + 22 комплексных чисел. Так как для
векторов существует операция вычитания, обратная к
операции сложения, то и для комплексных чисел
существует операция вычитания, обратная к операции
сложения. Геометрическая интерпретация сложения
комплексных чисел приводит нас к важному
неравенству
|2l + *2l<|2i| + |Z2|.
Для того чтобы дать геометрическую
интерпретацию умножения комплексных чисел z\, z2, запишем
эти числа и их произведение w в тригонометрической
форме, именно:
zx = p{ (cos qpi + i sin q>i),
z2 = 92 (cos ф2 + / sin ф2),
Z\z2 = w = a (cos ф +1" sin ip).
При подсчете произведения в тригонометрической
форме используем известные формулы
тригонометрии. Мы получаем теперь
w = Z\z2 = P1P2 [(cos ф! cos ф2 — sin ф! sinqfe) +
+ * (sin Ф1 cos ф2 + cos ф! sin ф2)] =
■= PlP2 [COS (ф, -f ф2) + / Sin (ф! + ф2)]
14

или окончательно
a (cos ф + / sin ф) = Pip2 [cos fo + ф2) + / sin (ф! + ф2)].
(15)
Таким образом,
a = piP2; Ф = ф1 + Ф2- (16)
Это означает, что при перемножении комплексных
чисел 2\ и г2 их модули pi и р2 перемножаются, а их
аргументы ф1 и ф2 складываются.
Из формулы (16) видно, что операция деления
одного комплексного числа на другое всегда возможна,
если делитель не равен нулю. В самом деле, будем
считать, что w и г\ — заданные комплексные числа,
а 22 следует определить из уравнения w = Z\z2. Тогда
из формулы (16) мы получаем
Формулу произведения (15) можно
распространить на произвольное число сомножителей, применяя
эту формулу последовательно. Пусть
Zj = P/ (cos фу + i sin ф/), / = 1, 2, ..., л,
<— последовательность комплексных чисел, а w ==
= zxz2... zn. Тогда мы имеем
w = a (cos i|) + i sin -ф) =
= Pi .. - РЛ [cos (ф! + ... + <ря) + i sin (ф! + ... + фя)].
В частном случае, когда все числа z\9 z2y ..., zn
равны одному и тому же числу г, мы получаем важную
формулу
2n = a(cosij) + /sin <ф) = рп(cosшр + 1 sinmp). (17)
График функции. Если существует правило, по
которому можно вычислить, зная число г, величину
w = f (г),
то говорят, что нам задана функция f(z)
независимого переменного z. Здесь w и z могут быть как
действительными, так и комплексными числами. В слу*
чае, если оба эти числа действительные, их обозна»
чают обычно через у и xt и функция y = f(x)
15

является действительной функцией действительного
переменного х. Такую функцию можно изобразить
геометрически на координатной плоскости в виде
линии, которая называется графиком функции. Для
„ этого каждому значению х независимого переменного
ставится в соответствие точка
z = (x,f(x)) (18)
координатной плоскости, абсциссой которой служит
х, а ординатой — величина f(x). Когда абсцисса х
пробегает все допустимые для нее значения, точка
(18) описывает линию, называемую графиком
функции f(x).
Историческая справка
Математический анализ, основными понятиями
которого являются производные и интеграл, прежде чем
принять современную форму, складывался и
развивался в течение очень длительного времени —
нескольких столетий, а можно сказать, даже и
тысячелетий. Во всяком случае в сочинениях Архимеда
(287—212 до н. э.) уже встречаются построения,
которые можно теперь рассматривать как зачаточные
формы интеграла и производной. Архимед вычислил
площадь, ограниченную дугой параболы и куском ее
прямолинейной секущей, методом исчерпывания, т. е«
путем вписывания в эту фигуру последовательности
прямолинейных многоугольников, постепенно
исчерпывающих всю площадь фигуры. Это построение с
современной точки зрения можно считать зачаточной
формой интегрирования. Следует заметить, что в
методе исчерпывания Архимед имел предшественников,
Архимедом также было произведено построение
касательной к спирали, что с современной точки зрения
может рассматриваться как зачаточная форма
дифференцирования, т. е. нахождения производной.
В форме, уже содержащей основные
алгоритмические методы, дифференциальное и интегральное
исчисление были созданы в XVII — начале XVIII
столетия Лейбницем (1646—1716) и Ньютоном (1643—
1727). Лейбниц и Ньютон сделали свои открытия
почти одновременно независимо друг от друга. Но
оба они не спешили с публикациями, так как сами не
16

умели с достаточной четкостью осознать полученные
ими результаты. Созданные ими алгоритмы
действовали хорошо и давали надежные результаты, важные
для приложений, но не было ясного понимания того,
на чем основаны алгоритмы. Здесь имелся как бы
некоторый налет мистики. Кажется, в те времена
бытовало следующее высказывание: «Делай, вера
придет потом». Дело в том, что при определении
скорости, т. е. производной по времени, использовалась
такая непонятная вещь, как мгновенный отрезок
времени. Этот таинственный мгновенный отрезок времени
был совершенно мал, именно, при некоторых
вычислениях его следовало заменять нулем, а при других
вычислениях такая замена была недопустима.
Скорость определялась как отношение длины пути,
пройденного за одно мгновение времени, к протяженности
этого мгновения. Ясно, что при таком описании
скорости протяженность одного мгновения времени
нельзя было считать равной нулю, так как тогда скорость
записалась бы в виде бессмысленного выражения-тт.
Но если при вычислении скорости длительность
мгновения времени обозначить буквой О, как это делал
Ньютон, то, проводя в этих обозначениях вычисление
отношения пройденного пути к длительности
мгновения времени, в полученном результате следовало
заменить букву, обозначающую длительность
мгновения времени, нулем, и получался правильный
результат. Аналогичные трудности имелись и у Лейбница.
Выход из этих затруднений был найден Коши (1789—
1857), который ввел понятие предела. Сущность его
заключается в следующем. Рассматриваемый отрезок
времени не считается мгновенным, а имеет вполне
конечную величину. Составляется отношение длины
пути, пройденного за это конечное время, к
конечному отрезку времени, и в полученном выражении
длина отрезка времени начинает меняться, стремясь
к нулю. При этом смотрят, к какому пределу
стремится полученное отношение. Этот предел и
является скоростью, т. е. производной.
По мере того как развивалось дифференциальное
и интегральное исчисление, возникло и стало играть
очень большую роль еще одно новое понятие. Это
бесконечный ряд, т. е. сумма бесконечного числа
17

слагаемых, которую мы запишем в виде
zi + z2+ ...+гя+ ... (19)
Употребление таких сумм приводило большей частью
к правильным важным результатам, но иногда
давало и ошибочные результаты. Нужно было понять,
при каких условиях можно спокойно пользоваться
бесконечными суммами и какова числовая величина
бесконечной суммы. В качестве конкретной суммы,
вызывавшей недоумение, можно привести следующий
пример:
1-1 + 1--1 + ... (20)
Если подходить к этой сумме способом, привычным
для обычных сумм, то можно группировать члены, а
именно, можно объединить каждый член нечетного
номера со следующим за ним членом четного номера.
Каждая такая пара даст в сумме нуль, и,
следовательно, в результате сложения всех членов суммы
(20) мы получим нуль. Если, однако, выделить
сперва первый член, т. е. единицу, а затем группировать
каждый член четного номера с каждым членом
нечетного номера так, чтобы в результате этих
комбинаций получались нули, то оказывается, что сумма (20)
равна единице. Существовала и такая точка зрения,
согласно которой сумма (20) равна 1/2. К этому
можно прийти из следующих соображений. Если считать,
что сумма (20) существует и равна s, то имеет место
очевидное равенство s = 1—s, откуда вытекает, что
5 = 1/2. Вопрос с бесконечными рядами также
разрешил Коши. Он точно определил, при каких
условиях сумму (19) можно рассматривать и чему равно
ее числовое значение. Именно, он составил
предварительные суммы, положив
sn = zx + z2 + ... + гп.
Таким образом, мы получаем бесконечную
последовательность предварительных сумм
Если эта последовательность„чисел стремится к
некоторому пределу s9 то ряд (19) считается
сходящимся и сумма его считается равной числу s.
18

Роль рядов в математическом анализе особенно
подчеркивается рядом Тейлора (1685—1731). Ряд
Тейлора был получен Тейлором из одной конечно-
разностной формулы Ньютона. Огромное значение
ряда Тейлора заключалось в том, что все функции,
рассматривавшиеся в то время, могли быть записаны
в виде ряда Тейлора, так что возникло даже на
некоторое время представление о том, что любая
функция, во всяком случае по кускам, может быть
представлена при помощи ряда Тейлора. Но это
представление было впоследствии полностью опровергнуто.
Новое направление в анализе возникло в связи
с рассмотрением комплексных функций комплексного
переменного. При изучении таких функций возникало
множество неясностей, но постепенно накапливался
материал при участии таких великих математиков,
как Эйлер (1707—1783) и Гаусс (1777—1855), и
накопление этого материала привело к построению
теории функций комплексного переменного или, что то
же самое, теории аналитических функций. Здесь
решающие результаты принадлежат Коши. Он доказал,
что интеграл по замкнутому пути от комплексной
функции комплексного переменного равен нулю, если
внутри замкнутого пути нет никаких разрывов и
особенностей рассматриваемой функции. Формулируя
эту замечательную теорему, Коши не указал на то,
что рассматриваемая функция должна иметь
производную и даже непрерывную, но использовал это
предположение в процессе самого, доказательства.
Трудно предположить, что такое упущение является
ошибкой. Либо в то время считали, что дифференци-
руемость функции является столь естественным
предположением, что о нем даже не стоит говорить, либо
же думали, что все непрерывные функции имеют
производную. Из этой теоремы Коши вывел свою
интегральную формулу, позволяющую представить
значение функции комплексного переменного при
помощи интеграла, взятого по замкнутому контуру.
Этими результатами Коши заложил основу теории
функций комплексного переменного — теорию,
которая в современном анализе играет большую роль и
находит многочисленные приложения.

Глава I
РЯДЫ
В математике очень часто приходится
рассматривать суммы с бесконечным числом слагаемых или,
как их называют, бесконечные ряды. Такая сумма
или ряд записываются в виде
Zl + Z2+ ... +Zn+ ..., (1)
где z\, 22, ..., гп, ... суть действительные или
комплексные числа. В элементарной алгебре уже
рассматривается один частный случай таких сумм. Это
сумма убывающей геометрической прогрессии, которая
записывается в виде
a + aq + aq2+ ... + aqn + • • •,
где |<7|<1. Устанавливается, что сумму такой
геометрической прогрессии можно рассматривать и она
равна
а
1-я '
Возникает вопрос, при каких условиях можно
рассматривать сумму общего ряда (1). Что здесь не все
ясно, показывает следующий пример. Рассмотрим ряд
1 —1 + 1—J + ... (2)
Если позволить себе оперировать с этой суммой, как
с обычной конечной суммой, то можно комбинировать
ее члены, образуя частичные конечные суммы, а
затем складывать полученные суммы вместе. Таким
образом, можно комбинировать члены ряда (2)
попарно, складывая каждый член нечетного номера со
следующим членом четного номера. Каждая такая
20

сумма равна нулю, и, таким образом, мы приходим
к заключению, что сумма ряда (2) равна нулю. Но
если комбинировать члены по-другому, выделив
первое слагаемое отдельно, а затем складывая четное
слагаемое со следующим нечетным, то каждая такая
сумма будет равна нулю, и у нас останется лишь
первый член, так что сумма ряда (2) будет равна 1.
Отсюда видно, что обращаться с бесконечными
рядами совершенно непринужденно, как с конечными
суммами, невозможно. Необходимо прежде всего
точно определить, что следует понимать под суммой
ряда (1). Для этого точного описания составляют
так называемые предварительные конечные суммы.
Именно, полагают
sn = z\ + 22 + • •. + £Л.
Сумма sn зависит от номера я, и мы можем
рассматривать ее поведение при п неограниченно
возрастающем. Если при этом изменении п число sn стремится
к определенному пределу s, то считается, что ряд (1)
можно суммировать и сумма его равна s. Такие ряды
называются сходящимися. Оказывается, однако, что
и сходящиеся ряды обладают некоторыми
странностями, не присущими конечным суммам. Например,
может случиться, что если в сходящемся ряде (1)
расположить слагаемые в другом порядке, то мы
вновь получим сходящийся ряд, сумма которого,
однако, не равна сумме первоначального ряда. Для
того чтобы избежать этой и некоторых других
странностей, из всех сходящихся рядов выделяют так
называемые абсолютно сходящиеся ряды. Именно, ряд
(1) называется абсолютно сходящимся, если
абсолютные величины его слагаемых составляют
сходящийся ряд, т. е. если ряд
1*1 + 1*21+...+|гя1+...
сходится. Доказывается, что сумма абсолютно
сходящегося ряда не зависит от порядка его слагаемых,
что абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать
по тем же правилам, по каким перемножаются
конечные суммы, и т. п. Таким образом, оказывается, что
над абсолютно сходящимися рядами можно довольно
свободно производить вычисления и получать при
этом правильные результаты.
21

Ряды важны, в частности, потому, что, пользуясь
ими, можно вычислять некоторые важные для
математики числа. Так, например, известна формула
_„!_._ + _+....+ ___ + ... (3)
Таким образом, пользуясь рядом (3), можно с любой
точностью вычислить число тс. Следует, однако,
отметить, что это не есть наилучший способ вычисления
числа я, так как ряд (3) сходится очень медленно.
Не менее важно вычисление функций при помощи
рядов. Именно, если члены ряда (1) являются
функциями действительного или комплексного
переменного г, то в случае сходимости ряда сумма его
определяет некоторую функцию /(г). Именно, мы имеем
f(z) = zl(z) + z2(z) + ... + zn(z)+... (4)
Здесь следует отличать две существенно
различные возможности. Может случиться, что некоторая
функция /(г), известная нам из каких-то других
соображений, разлагается в ряд (4).
Тогда этот ряд помогает нам вычислить известную
нам функцию. Вторая возможность заключается в
том, что функция f(z) сама определяется рядом (4).
Исходя из задания ее формулой (4), мы можем
изучать различные важные для нас свойства функции
f(z).
Особенно важным частным случаем рядов, члены
которых являются функциями переменного г,
являются так называемые степенные ряды, т. е. ряды вида
а0 + a{z + a2z2 + ... + anzn + ..., (5)
где коэффициенты а0, а\, ... ап, ... суть заданные
числа, а z— действительная или комплексная
переменная. Было обнаружено, что очень многие
играющие важную роль в математике функции задаются
степенными рядами, т. е. записываются в виде (5).
Одно время существовало даже предположение, что
каждую функцию можно задать при помощи
степенного ряда, если не целиком, то по кускам. Это
предположение оказалось, однако, совершенно неверным.
В последнем параграфе этой главы тщательно
изучаются функции, задаваемые рядами вида (5) для
комплексного переменного г. Наиболее интересное
22

свойство, установленное там, следующее. Очевидно,
что ряд (5) сходится при г = 0. Может случиться,
что он сходится только в этом случае. Отбрасывая
этот тривиальный случай, рассмотрим ряд, который
сходится и при некоторых значениях гфО, Тогда для
этого ряда определяется так называемый радиус
сходимости г > 0. Оказывается, что для всех значений
г, для которых |г|<г, ряд (5) сходится и притом
абсолютно, а при всех значениях |z|>r ряд (5)
расходится. Таким образом, функция f(z) задается
рядом (5) для всех значений г, для которых |г|< г.
Случай г = оо не исключается. Если г = оо, ряд (5)
сходится при Есех значениях z и определяет функцию
/(г) на всей плоскости комплексного переменного г.
Одна очень важная для анализа функция,
задаваемая степенным рядом, рассматривается и
изучается в § 7. Эта функция ехр(г) комплексного
переменного z задается рядом
«p«=i+f+-nV+.... + -£+••• (6)
Этот ряд сходится для всех значений г, так что
функция ехр(г) определена на всей плоскости
комплексного переменного г. На основании ее изучения
в § 7 доказываются два ее важных свойства. При
действительном значении z = x мы имеем равенство
ехр (х) = ех. (7)
При чисто мнимом z = iy мы имеем равенство
ехр (iy) = cos y + i sin у. (о)
Из формул (6), (7) и (8) непосредственно
получается разложение в степенные ряды основных
трансцендентных функций ех, cos у у sin у для
действительных значений аргументов.
При разложении некоторой функции f(z) в
степенной ряд мы сталкиваемся с двумя различными
подходами к вопросу. При первом подходе мы имеем
каким-то образом заданную функцию f(z), а затем
доказываем, что она разлагается в степенной ряд.
Для того чтобы доказать это, надо показать, что
степенной ряд при данном значении z сходится к
числу f(z). При другом подходе мы задаем функцию
f(z) степенным рядом. Для доказательства того, что
23

такое задание законно, мы должны доказать, что
степенной ряд сходится. При втором подходе мы
должны пользоваться признаком сходимости и иметь
довольно ясное представление о том, что называется
действительным числом. Изложению этих довольно
тонких вопросов посвящены первые параграфы
главы I.
§ 1. Сходящиеся последовательности чисел
Сходящиеся последовательности чисел играют в
математике весьма важную роль.
Говорят, что последовательность действительных
чисел
(О
сходится к числу 5 или имеет своим пределом число s,
если при возрастании номера п число sn
неограниченно приближается к числу s. В этом случае пишут
lim sn = s. (2)
rt-»oo
В частном случае, когда число s == 0, т. е. когда
последовательность (1) сходится к нулю, величину srt,
являющуюся функцией целого числа /г, называют
иногда бесконечно малой. Было бы правильнее
назвать ее бесконечно умаляющейся, так как речь идет
здесь о процессе приближения к нулю числа sn при
возрастающем п.
Ясно, что соотношение (2) и соотношение
lim(sft--s) = 0 (3)
П-*оо
равносильны. В самом деле последовательность (1)
сходится к s тогда и только тогда, когда
последовательность
сходится к нулю. Если соотношение (3) имеет место,
то величина s'n является бесконечно малой. Таким
образом, изучение процесса сходимости в
значительной степени сводится к изучению бесконечно малых
величин.
24

Десятичные дроби. Для того чтобы
проиллюстрировать процесс сходимости на знакомых примерах,
обратимся к бесконечным десятичным дробям,
известным из арифметики.
Выпишем бесконечную десятичную дробь
0,999... (4)
Здесь после нуля и запятой идет бесконечная
последовательность девяток. Из арифметики хорошо
известно, что эта десятичная дробь равна 1. Точный
математический смысл этого утверждения основан на
рассмотрении бесконечной последовательности
5, = 0,9, s2 = 0,99, ..., sa, ... (5)
Здесь sn есть конечная десятичная дробь, в которой
после нуля и запятой следует ровно п девяток. Легко
вычисляется, что для последовательности (5) мы
имеем
с':=с — 1 L-
*п *п 1 10* '
Легко доказать, пользуясь обычной десятичной
записью целого числа, что —^рг есть бесконечно
малая величина, а это значит, что последовательность
(5) сходится к 1. В этом и состоит точный смысл
утверждения, что бесконечная периодическая дробь
(4) равна 1.
Разберем еще один пример бесконечной
десятичной дроби
0,333... (6)
Здесь после нуля и запятой идет бесконечная
последовательность троек. Эта бесконечная десятичная
дробь получается, когда мы переводим обычную
дробь -д- в десятичную дробь путем деления. В
процессе этого деления мы последовательно получаем
числа
S\ — 0,3, s2 = 0,33, •.., sft, ♦.. (7)
Здесь sn есть конечная десятичная дробь, в
которой после нуля и запятой следует ровно п троек.
25

Легко вычислить, что для последовательности (7)
мы имеем
Sn sn 3 3 • \0п '
Величина sn = —3> 1Q/Z, очевидно, является
бесконечно малой, и поэтому последовательность (7)
сходится к рациональному числу -j. В этом и
заключается точный смысл утверждения, что бесконечная
десятичная дробь (6) равна рациональному числу -^.
Обе рассмотренные нами бесконечные десятичные
дроби (4), (6) были вполне конкретными и
периодическими. Рассмотрим теперь случай общей
бесконечной десятичной дроби, которую мы запишем в виде
0,Шв... (8)
Здесь после нуля и запятой стоят цифры fu f2, fz, ...,
каждая из которых может иметь любое значение от
О до 9. Составим последовательность конечных
десятичных дробей, соответствующую десятичной
дроби (8),
5i = 0,/i, s2 = 0,/i/2, ..., snf ... (9)
Здесь sn есть конечная десятичная дробь, в которой
после нуля и запятой стоят цифры fu f2, . *., frt.
Известно, что если бесконечная десятичная дробь (8)
периодическая, то последовательность чисел (9)
сходится к некоторому рациональному числу s. Именно,
так что s'n есть бесконечно малая величина. В этом
и заключается смысл утверждения, что бесконечная
десятичная дробь (8) равна рациональному числу s.
Но если десятичная дробь (8) не периодическая, то
не существует рационального числа s, к которому
сходится последовательность чисел (9). Таким образом,
в этом случае следует поставить вопрос, можно ли
считать бесконечную десятичную дробь (8) числом.
Несомненно, что потребность в таких числах есть,
В геометрии мы встречаем такие линии, длины
которых выражаются бесконечными непериодическими де*
26

сятичными дробями. Примерами могут служить: 1)
гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты
которого равны 1; ее длина обозначается теперь через
д/2;2) длина окружности диаметра ^обозначаемая
через к. Если мы будем вычислять л/2 по обычным
правилам извлечения корней, то получим
бесконечную непериодическую десятичную дробь вида (8),
причем последовательность чисел (9) в естественном
смысле сходится к л/2. Именно, последовательность
чисел
SJ, 52, . , ., Sn, ...
сходится к числу 2.
Аналогичное положение вещей имеет место также
и для числа л. Эти два примера показывают, что
потребности геометрии не могут быть удовлетворены
рациональными числами. Приходится признать
существование чисел, не являющихся рациональными.
Их называют иррациональными. Таких нужных для
математики иррациональных чисел можно указать,
конечно, не только два, но произвольно много. Перед
нами возникает задача описать все нужные для
математики числа. Ключом к решению этой задачи
может послужить изучение сходящихся
последовательностей чисел. Изучением процесса сходимости в этом
аспекте мы займемся в § 3.
Формальное определение сходимости. Сказанное
до сих пор дает достаточно полное интуитивное
представление о том, что такое сходимость. Дадим теперь
формальное общепринятое определение.
Определение. Говорят, что
последовательность-действительных чисел
, 5Ь S2, .. ., Sn, ... (10)
сходится к числу s, если для всякого положительного
числа 8 найдется такое натуральное число v,
зависящее от е, что при п > v мы имеем неравенство
Js„-s|<e. (11)
Для того чтобы лучше уяснить себе процесс
сходимости, перейдем к геометрической интерпретации.
Каждое из чисел sn последовательности (10) изобразим
27

геометрически на оси абсцисс точкой s„,
абсцисса которой равна числу Sn> Точно так же поступим и
с числом s. Ему мы поставим в соответствие точку s,
абсцисса которой равна числу s. Обозначим теперь
через Uе совокупность всех таких точек х оси абсцисс,
для которых имеет место неравенство
1 JC — S|<8. (12)
Здесь х обозначает не только точку, но и величину
ее абсциссы. Интервал Ue называется е-окрестностью
точки 5. Из определения сходимости непосредственно
следует, что последовательность точек (10) сходится
к точке s тогда и только тогда, когда окрестность U6
при произвольном положительном е содержит все
точки последовательности (10), за исключением, быть
может, конечного их числа.
Доказательство этого утверждения не
представляет трудности, и я не буду его здесь проводить.
Образно можно сказать, что точки последовательности
(10) скопляются в своей основной массе около точки s.
В рассмотренных нами двух примерах
периодических десятичных дробей (4), (6) числа s\9 s2i s3, ...
шли в возрастающем порядке и все были меньше
предельного числа s. Это, конечно, не обязательно.
Числа последовательности (10) могут частично быть
меньше s, частично больше 5 и частично даже
совпадать с самим числом s. Может случиться также, что
некоторые числа последовательности (10), имеющие
разные номера, в действительности равны между
собой. Крайним случаем такого рода является тот,
когда все числа последовательности (10) равны между
собой. В этом случае нет постепенного приближения
точки sn к точке s с ростом я, а есть стояние точки
sn на одном месте s. Но, согласно определению
сходимости, и при этих условиях последовательность
(10) сходится к числу s.
Случай комплексных чисел. Все сказанное до сих
пор о сходимости относится к последовательностям
действительных чисел. Вопрос о сходимости
последовательностей комплексных чисел также важен.
Однако случай комплексных чисел полностью сводится
к случаю действительных чисел и в нем нет ничего
принципиально нового.
28

Переходя к комплексному случаю, выпишем
последовательность
n=si + Ни r2 = s2 + it2, ..., rn = sn + itn) ... (13)
комплексных чисел. Считается, что
последовательность (13) комплексных чисел сходится к
комплексному числу г = s + it или имеет предел г,
limrn = r — s + itt (14)
если последовательность действительных чисел
• I гх — г |, | г2 — г |, ..., I гЛ — г |, —
сходится к нулю, т. е. если
lim|rrt —rl = 0, (15)
так что соотношения (14) и (15) равносильны.
Заметим, что это определение сходимости для
последовательности (13) комплексных чисел в случае»
если все эти комплексные числа оказываются
действительными, совпадает с определением, которое
было дано в начале параграфа для случая
действительных чисел.
Если предел г последовательности (13) равен
нулю, то комплексная величина г«, зависящая от
целого числа /г, называется бесконечно малой или,
точнее, бесконечно умаляющейся. Ясно, что соотношение
(14) имеет место тогда и только тогда, когда
величина
п п
является бесконечно малой.
Заметим еще, что соотношение (14) равносильно
одновременному выполнению двух соотношений
\\msn = s, lim tn = t.
rt->oo я->оо
Доказательство этого не представляет трудности, и я
его здесь не привожу. Для придания вопросу о
сходимости последовательности (13) комплексных чисел
геометрической наглядности изобразим числа этой псг-
следовательности и число г в виде точек на
плоскости Р комплексного переменного. Обозначим через
U*(b > 0) круг на плоскости Р с центром г и радиусом
29

е, т. е. совокупность всех точек z плоскости Р,
удовлетворяющих условию
|г-г|<е. (16)
Круг Us называется е-окрестностью точки г
плоскости Р. Ясно, что последовательность (13) сходится
к г тогда и только тогда, когда при произвольном
положительном е все точки последовательности (13),
за исключением, быть может, конечного числа их,
принадлежат окрестности Us.
Подпоследовательность. Если из некоторой
последовательности действительных или комплексных
чисел
г\, тъ •• •> гП9 ... (17)
выбрать некоторую бесконечную часть ее членов и
расположить выбранные члены в том же порядке, в
котором они стоят в последовательности (17), то мы
получим новую последовательность, которая
называется подпоследовательностью исходной
последовательности (17). Эта подпоследовательность всегда
может быть записана в следующем виде:
гя1> гп2> • • •> rnk> • ■ •» (18)
где номера
Щ, Щ, • •., Пк> • • •
составляют некоторую последовательность
натуральных чисел, расположенных в возрастающем порядке;
часто члены последовательности (18) бывает нужно
обозначить новыми буквами с новыми индексами так,
чтобы эти новые индексы принимали значения 1, 2,
3, ..., £, ... Для этого полагают, например,
ri~rnx> r2 = rn2> •■■» rk = rnk> •••
Очевидно, что если исходная последовательность
(17) сходится к числу г, то и ее
подпоследовательность (18) также сходится к числу г. Таким
образом, из
следует, что
30
limr = limr' = r.

Однако очень часто бывает, что исходная
последовательность (17) не сходится, но из нее можно выбрать
некоторую сходящуюся подпоследовательность. Это
обстоятельство будет играть впоследствии
существенную роль.
Основные правила теории пределов. Отметим
теперь некоторые простые свойства бесконечно малых
величин. Мы будем говорить о комплексных
величинах, помня все время, что действительные являются
их частным случаем. Выпишем последовательность
комплексных чисел
£l> ^2> • • • > Сп> • • •
Эта последовательность называется ограниченной,
если существует такое положительное число с, что
для произвольного п мы имеем
\сп\<с. (19)
Если соотношение (19) имеет место, а гп есть
бесконечно малая величина, т. е. такая, что
limrrt = 0,
то и величина спгп также бесконечно мала, т. е.
lim cnrn == 0.
Доказательство этого факта не представляет никаких
трудностей. Отметим еще, что сумма и разность двух
бесконечно малых величин есть также бесконечно
малая величина.
Пользуясь этими простыми замечаниями
относительно бесконечно малых величин, мы можем
доказать пять основных правил теории пределов.
Выпишем две последовательности комплексных
чисел
zu z2, ..., zni ..., (20)
wu щ, ..., wn, ... (21)
Мы предположим, что последовательности (20) и
(21) сходятся соответственно к числам z и w, т. е.
lim zn — z, lim wn = w. (22)
Л-»оо Л-»оо
31

Правило 1.
lim (zn + wn) = z + w,
или словами: предел суммы равен сумме пределов.
Правило 2.
lim (zn — wn) = z — w,
Л-»оо
или словами: предел разности равен разности
пределов.
Правило 3.
\im znwn = zw,
или словами: предел произведения равен
произведению пределов.
Правило 4. Если w ф О, то
Нт-2*- =—, (23)
' -~ Wn W
или словами: предел частного равен частному
пределов в случае, если предел делителя не равен нулю.
Правило 5. Если величины zn и
wnдействительные и
zn<wn, (24)
то z <; w, т. е. при знаке «меньше или равно» можно
переходить к пределу. Следует подчеркнуть, что из
неравенства zn < wn не следует z < w.
Доказательство этих правил не представляет
трудностей, и я приведу здесь только наиболее сложные
доказательства правил 4 и 5.
Положим
zn = z + £n> wn = w+$n. (25)
Здесь zn и wn являются бесконечно малыми
величинами. Мы составим разность
-^ -. (26)
В первой дроби заменим zn и wn по формулам (25).
Тогда мы получим
z + гп г_ zw + znw — zw — zwn znw ~- zwn
w + wn w (w + wn) w (w + wn) w '
32

Числитель последней дроби есть величина бесконечно
малая, а величина (ш + $п) w является величиной,
ограниченной при достаточно большом п> так как
w ф 0. Таким образом, вся разность (26) есть
величина бесконечно малая, и, следовательно, формула
(23) доказана.
Докажем правило 5. Учитывая обозначения (25),
перепишем соотношение (24) в виде
*»п ~ гп = (w + wn) — (z + 2Л) > 0,
или, иначе,
(»-*) + (*,-*„)><). (27)
Так как величина wn — zn бесконечно мала, то из
соотношения (27) выходит, что число w — г не может
быть отрицательным. Действительно, если бы оно
было отрицательным, то ввиду бесконечной малости
числа wn — zn число wn — zn оказалось бы
отрицательным при достаточно большом я.
В нижеследующих примерах даются понятия,
которые используются лишь в дальнейшем. Поэтому
изучение их разумно отложить до момента, когда на
них появятся ссылки.
Пример 1. В школьном курсе математики
теперь уже дается понятие функции.
Напомню его здесь: величина w считается
функцией величины г, что записывается в виде формулы
w = f(z), если, зная числовое значение величины z,
мы можем вычислить соответствующее ему числовое
значение w = f(z). Примером функции может
служить многочлен w = f(z)= aozk -j- a\Zk~x + .. * [+ а*,
где k — натуральное число. В математическом
анализе играют большую роль так называемые
непрерывные функции. В книгах по анализу им обычно
уделяк?т очень много места. Не желая придавать
непрерывным функциям чрезмерно большое значение, я
само определение непрерывной функции даю лишь в
примере, не отделяя друг от друга комплексный и
действительный случаи.
Определение. Функция f(z) называется не-
прерывной для значения z = Zo ее аргумента, если,
какова бы ни была последовательность
Z\f Z2, ...» 2ц> • • •
2 Л. С. Понтрягин
33

значений ее аргумента, из соотношения
limz„ = 2b (28)
П->оо
следует соотношение
lim/(*„) = /(*). (29) 1
Функция f(z) называется непрерывной, если она не-
прерывна для каждого значения ее аргумента.
Из правил 1—4 теории пределов следует, что если
f(z) и g(z)— две функции, непрерывные для
значения z = го их аргументов, то функции
f(z) + g(z), f{z)-g{z)t f(z)g(z), -^ (30)
также- непрерывны при z = г0. Последнее из
соотношений (30) верно, однако лишь при условии, что
g(2o)=7^0. Из непрерывности произведения функций
непосредственно следует и непрерывность степени
[f(z)]k, где k — натуральное число.
Так как функции f(z)—z и f[z)=c9 где с — по*
стоянная, очевидно, непрерывны, то из сказанного
следует, что произвольный многочлен
Ф {z) = a0zk + axzk-{ + ... + ak
является непрерывной функцией. Далее, если ^(г)^
есть другой многочлен, то частное 'ZrL' непрерывно
для каждого значения z = zq, для которого if» (г0) # 0.
Пример 2. Приведем примеры разрывных, т. е.
не непрерывных функций.
Определим действительную функцию f(x)
действительного переменного х условиями
f(*) = l при*>0,
/ (Х) = — 1 при х < 0. ( )
(График этой функции см. на рис. 4.) Этими
соотношениями функция f(x) не определена при х = 0.
Если считать, что она задана только для
положительных и отрицательных значений, но не определена
при х = 0, т. е. значение х = 0 не является
допустимым значением ее аргумента, то функция f(x)y
согласно определению, оказывается непрерывной. Это
легко проверить. Возникает вопрос, можно ли при-
34

дать функции f(x) какое-нибудь значение при х = О,
т. е. выбрать число /(0) так, чтобы полученная
функция, определенная уже для всех действительных х>
была непрерывной. Ясно, что
это невозможно.
Действительно, пусть хи х2, ..., хП) ...—
последовательность положи*
тельных чисел, сходящаяся к
нулю. Тогда f(xn)= 1 и в
силу определения
непрерывности мы должны были бы иметь
f(0)= 1. Точно так же,
исходя из последовательности
Хи Х2, ..*, хш, ...
отрицательных чисел, сходящейся к нулю, мы пришли бы к
выводу, что /(0)==—1. Таким образом, доопределить
функцию f(x) (см. (31)) для значения х = 0 так,
чтобы она стала непрерывной, невозможно.
Рассмотрим действительную функцию sin—
действительного переменного х. Эта функция так же, как
Рис. 4.
и предыдущая функция, определена только для
положительных и отрицательных значений х. Считая
известным, что функция sin<p непрерывна, легко
доказать, что функция sin—, заданная лишь для
положительных и отрицательных значений х, также
непрерывна. Но невозможно доопределить ее для х = 0
так, чтобы полученная функция была непрерывна
при всех действительных значениях х. Для того что*»
бы убедиться в этом, полезно представить себе гра-
фик функции у = sin — (рис. 5).
X
2*
35

Пример 3. Здесь мы будем говорить о
комплексных числах, отождествляя их с точками
плоскости Р комплексного переменного z. Как уже было
сказано (см. (16)), е-окрестностью точки г
плоскости Р или, что то же самое, окрестностью радиуса е,
где г положительно, называется множество UB всех
таких точек z плоскости Р, для которых имеет место
неравенство
|z —г|<в.
Таким образом, окрестность Ue есть круг радиуса е
с центром в точке г, к которому, однако, не
причислены его граничные точки. Если М есть некоторое
бесконечное множество точек плоскости Р, то точка г
называется его предельной точкой при условии, что
каждая окрестность точки г содержит бесконечное
множество точек из М. Если множество М содержит
лишь действительные числа, то очевидно, что
предельная его точка г также есть действительное число.
В самом деле, если г = s + it и t Ф 0, то
окрестность 1)\ *| точки г, очевидно, не содержит
действительных чисел и поэтому точка г не может быть
предельной точкой для множества М, лежащего на
действительной оси плоскости Р.
Докажем теперь, что если г — предельная точка
для множества М, то в множестве М можно найти
последовательность
Ги Тъ ..., тп, ..., (32)
содержащую бесконечное множество различных
точек, сходящуюся к точке г. Для построения
последовательности (32) обозначим через U\/n окрестность
точки г радиуса—, где п — произвольное
натуральное число, и выберем из окрестности U\/n точки г
некоторую точку гп, отличную от точки г. Йолученная
так последовательность точек (32) сходится к г.
Множество М называется замкнутым, если
каждая его предельная точка принадлежит ему. Так,
например, отрезок, т. е. множество всех чисел,
удовлетворяющих неравенству а <; х ^ 6, есть замкнутое
множество.
36

§ 2. Бесконечно малые величины
В первом параграфе разъяснялось, что означает
утверждение, что последовательность
сходится к числу г. Это утверждение в виде формулы
записывается так:
\\тгп = г. (1)
Это было сделано как для последовательности
действительных чисел, так и для последовательности
комплексных чисел. По самому определению
соотношение (1) равносильно соотношению
Нт|гЛ — г 1 = 0.
Так как числа \гп — г\ не отрицательны, то, для того
чтобы научиться умело и непринужденно
пользоваться сходящимися последовательностями, нам нужно
прежде всего научиться легко и почти автоматически
узнавать, является ли данная положительная
величина sn9 зависящая от натурального числа /г,
бесконечно малой или нет. Как было указано в § 1,
величина sn считается бесконечно малой тогда и только
тогда, когда для нее выполнено соотношение
lim sn = 0.
Здесь мы рассмотрим несколько типичных, часто
встречающихся в анализе бесконечно малых величин,
которые надо научиться распознавать с той же
легкостью, с какой мы пользуемся таблицей умножения.
Основной прием распознавания бесконечно малых
величин заключается в сравнении новых, не
встречавшихся ранее бесконечно малых величин с уже
известными и хорошо зафиксированными в памяти.
Знаки О и о. Основной прием сравнения двух
величин sn и tn заключается в рассмотрении их
отношения — с точки зрения поведения этого отноше-
ния при п, неограниченно возрастающем. Здесь
имеются два важных случая, для которых в анализе
даже заведены специальные обозначения.
37

1. Величина — является ограниченной. Это зна-
чит что существует такая константа с, что
при произвольном п. В этом случае пишут
tn=0(sn). (2)
2. Величина ~ является бесконечно малой, или,
что то же самое,
rt-»oo %
В этом случае пишут
tn = o(sn). (3)
Ясно, что из соотношения (3) следует
соотношение (2). В самом деле, если отношение -f~ стремится
к нулю при м->оо, то очевидно, что отношение это
остается ограниченным при всех значениях п.
Знаки Оно удобны в употреблении. Ими часто
пользуются в анализе, и следует хорошо запомнить
их смысл.
Если величина sn бесконечно мала, то из
соотношения (2) следует, что и величина tn также
бесконечно мала. Если величина sn бесконечно мала и
имеет место соотношение (3), то можно сказать, что
величина tn стремится к нулю быстрее, чем величина
s«. Соотношения (2) и (3) часто употребляют, когда
sn есть 1, т. е. когда последовательность чисел s\9
s2, ..., sA, ... есть последовательность единиц. В этом
случае соотношения (2) и (3) записываются в виде
Ь = 0(1), (4)
tn = o(l). (5)
Легко видеть, что соотношение (4) означает
просто, что величина tn ограничена, а соотношение (5)
означает просто, что величина tn является бесконечно
малой.
Величину tn часто сравнивают не с самой
величиной sn, а с ее степенью. Если имеет место
соотношение
38

где Sn есть бесконечно малая величина, a k —
натуральное число, то говорят, что величина tn имеет
порядок малости k относительно величины sn.
Рассмотрение величин разных порядков малости
относительно заданной бесконечно малой величины sn
играет в анализе важную роль.
Наряду с бесконечно малыми в анализе
рассматриваются также и бесконечно большие величины.
Величина sn называется бесконечно большой, если с
ростом п число \sn\ неограниченно возрастает, т. е.
если для каждого положительного числа с найдется
такое натуральное число v, что при п > v мы имеем
\sn\> с.
В этом случае пишут
Нт$Л=оо. (6)
Знак lim имеет здесь несколько иной смысл, чем в
П + оо
случае, когда в правой части соотношения типа (6)
стоит конечное число.
Иногда бывает полезно рассматривать две
взаимно обратные величины sn и tn, т. е. величины,
связанные соотношением
sntn=l.
Ясно, что в этом случае величина tn бесконечно мала
тогда и только тогда, когда величина sn бесконечно
велика. Таким образом, соотношения
lim $п =х оо, lim tn = О (7)
равносильны, когда sn и U взаимно обратны.
Простейшим примером бесконечно большой
величины является величина sn = п. Таким образом, из
(7) следует, что /я = — есть бесконечно малая
величина. Запишем это. формулами
lim л = оо, lim г- =0.
/1->оо Я->оо п
Бином Ньютона. Для установления того, что
некоторая конкретная величина является бесконечно
большой или бесконечно малой, в случаях более слож-
39

1
ных, чем для величин s„ = п, *« = 7Г» приходится
употреблять некоторые алгебраические формулы,
среди которых важнейшую роль играет известная
формула «бинома Ньютона». Несмотря на то, что
формула эта входит в элементарную алгебру, я про»
веду здесь ее доказательство заново.
Прежде всего напомню обозначение:
nl = 1 • 2 • ... *п.
Таким образом, п! есть произведение всех целых чи*
сел, начиная от 1 до п. Формально считают, что
0!=*1.
Формула Ньютона дает разложение n-й степени дву»
члена z ■+■ w в виде многочлена по степеням z и до«
Она имеет вид
р. <7>0
P+qf-rt
Здесь знак X означает, что мы должны взять
p. q>0
P+q=n
сумму всех членов, стоящих после него, по всем це*
лым неотрицательным р и qy для которых р + q яв п.
Формулу мы докажем индуктивно. Прежде всего,
очевидно, что она верна при л== 1. Действительно,
мы имеем
Допустим теперь, что формула (8) верна для п я
= fc— 1, и докажем, что тогда она верна для п = k4
Для этого сосчитаем произведение (г + ш)*"1(г +
+ ау). При этом подсчете мы будем предполагать,
что первый множитель (г + до)*-1 выписан по фор*
муле (8). Он содержит все члены вида
(*-Щ
*!/!
rV, (9)
где /, /— целые неотрицательные числа, причем i +
+ j = k-l.
При умножении члена (9) на z мы получаем член,
содержащий множитель zwwf. При умножении члена
(9) на w мы получаем член, содержащий множитель
40

2*до/+1. Для того чтобы эти два члена бь^и ™тт~*тты
между собой и содержали множитель
чтобы при умножении на z мы имели
N /=^р—1, / = ?,
а при умножении на w должно быть
' = Р. / = ?—1.
Подсчитывая коэффициенты при обоих этих членах
и суммируя их, получаем
(6-1)? , (fe-1)1
(p-l)I?! ^ p\{q-1)1 #
Приводя оба члена к общему знаменателю путем
умножения числителя и знаменателя первого
слагаемого на р, а числителя и знаменателя второго ела*
гаемого на qy мы получаем в сумме
(k-\)\p+(k-\)\q _{k-\)\{p + q) = k\
p\q\ p\q\ p\q\ *
Таким образом, для п = k формула (8) оказывается
доказанной, так как индуктивное доказательство ее
полностью проведено.
Выпишем теперь коэффициент—~р в несколько
иной форме, разделив числитель и знаменатель на р!«
Тогда мы получим следующую формулу:
{z + wf = z« + ^z"-iw +
+ n(n-\)...(n-q+l) ^Щир+ _ +wnu {щ
В этом виде формула Ньютона (8) обычно и дается
в элементарной алгебре.
Конкретные бесконечно малые величины. Перей*
дем теперь к рассмотрению некоторых наиболее
важных для анализа конкретных положительных
бесконечно малых и бесконечно больших величин или,
что то же самое, последовательностей, сходящихся
к нулю, и последовательностей, неограниченно воз*
растающих. Те и другие, как уже было отмечено (см.
(7)), взаимно связаны друг с другом.
41

Первое место по значению занимает
геометрическая прогрессия
1, а, а2, ..., ап, ..., (11)
где а — положительное число. Оказывается, что при
а< 1 последовательность (11) сходится к нулю, или,
что то же самое, ап есть бесконечно малая величина,
а при а>1 последовательность (11) неограниченно
возрастает, или, что то же самое, ап есть бесконечно
большая величина. В виде формул это запишем так:
lim <хЛ = 0 при а < 1, (12)
П->оо
lim> аЛ=оо приа>1. (13)
/г->оо
Докажем соотношения (12) и (13). Прежде всего
ясно, что они равносильны друг другу. Действитель-
но, положим р=— и составим последовательность
UP, р2, ..., р\... (14)
Последовательности (11) и (14) взаимно обрат-
ны, следовательно (см. (7)), из того, что одна из них
стадится к нулк>,, следует, чш другая неограниченно
возрастает. Сопоставив это с тем фактом* что если
одно из чисел <& или р меньше I» то другое из них
будет больше I, мы убеждаемая в том, что
утверждения (12) и (13) эквивалентны. Таким образом,
для доказательства соотношений (12) и (13) нам
достаточно доказать лишь одно из них.
Докажем соотношение (13). Так как а>1, то
мы можем записать число а в виде
а=1+б,
где б — положительное число. Отсюда в силу
формулы (10) следует
где в правой части не выписано несколько
положительных членов. Таким образам, мы имеем
ап > nL
В силу положительности числа б величина пб
неограниченно растет при возрастании п\ то же самое
42

имеет место и для аи. Таким обраэоэд, соотношение
(13) доказано, а вместе с ним доказано и
соотношение (12).
Итак, доказано, что при 0 < а < 1 величина ап
является бесконечно малой. Эта бесконечно малая
величина очень часто служит в анализе эталоном
сравнения. Поэтому соотношение (12) нужно твердо
помнить, чтобы можно было употреблять его, не за-
думываясь.
Пользуясь тем же приемом, который был
употреблен нами для дозсазательства соотношений (12)
и (13), мы можем доказать более сильные сошжь
шения^ имеето.,
ап
lim —- = oo (15)
при а> 1, где k — произвольное натуральное число.
Переходя к обратным величинам, получаем другое
соотношение
limrt*aft = 0 (16)
П~>оо
при а< 1, где k — произвольное натуральное число.
Словами первое из этих соотношений (15) можно
выразить, сказав, что при а > 1 величина ап
стремится к бесконечности быстрее, чем величина пк,ддя
произвольного натурального числа k. Второе из этих
соотношений можно выразить, сказав, что при a < 1
величина ап стремится к нулю быстрее, чем величина
—r-f где ^ — произвольное натуральное число.
пн
Так же, как при доказательстве соотношений
(12) и (13), мы докажем только соотношение (15),
т.е. рассмотрим случай а> 1. Тогда мы имеем
а=1+6,
где б — полшкитешыюе число. Мы имеем
Здесь в правой части не выписано несколько
положительных членов. Рассмотрим отдельно
коэффициент
п(п-~\) ... (п — k)
а~ (Л+1)|
43

В числителе правой части здесь стоит k + 1
множитель. В предположении, что п > 2k, каждый из этих
множителей больше чем -у, так что мы имеем
nk nk\2J (k+l)\ 2k+l(k+\)\
Таким образом, при неограниченно возрастающем п
величина — неограниченно возрастает, и поэтому
соотношение (15) доказано. Отсюда следует, что и
соотношение (16) также верно.
Утверждение (16) можно существенно усилить,
показав, что величина nkan не только является
бесконечно малой, но стремится к нулю быстро, —
именно, быстрее, чем члены некоторой убывающей
геометрической прогрессии. Докажем это. Так кака< 1,
то существует число у, заключенное между а и 1, т.е.
a<v< 1.
Тогда величина nk~ = nk[— ) является бес-
Y \ Y /
конечно малой, так как — <1 (см. (16)). Отсюда
следует, что при 0 < a < 1 имеем
nkaa = o(ya)f (17)
где число y удовлетворяет условию a < y < 1-
Рассмотрим еще одну важную для анализа
бесконечно малую величину, именно, величину
ГУ*
7Г> (И)
где a — произвольное положительное число. Мы дока*
жем не только то, что величина (18) бесконечно
мала, т. е. стремится к нулю при п, неограниченно
возрастающем, но что она может быть оценена
через члены убывающей геометрической прогрессии.
Именно, для всякого положительного числа а можно
подобрать такое положительное число y < 1> что
имеет место соотношение
.^ = 0(уп). (19)
44

Докажем соотношение (19). Для этого прежде
всего выберем такое наименьшее целое число к,
чтобы имело место неравенство
а<Л+1.
Ясно, что k ^ 0. Теперь положим
а
Y:
k+ l
Очевидно, что у<.\. Рассмотрим значение n^zk<
Для этих значений п имеем п = k + /, где I ^ 0. Мы
имеем
ап ak+i ak ai ak ai
n\ {k + l)l .A! (k+\)...'(k + l) * kl (ft+1)1
Таким образом, при n ^ ft мы имеем
a* a*
— <feV, где 6=^Г-
При п <. k рассмотрим гипотетические неравенства
■£<«V. (20)
где с — некоторое положительное число. Ясно, что
так как в неравенствах (20) п принимает лишь
конечное число значений от 1 до k—1, то можно
выбрать такое число с, чтобы все они были выполнены.
Принимая теперь за а наибольшее из чисел Ь и с,
мы получаем неравенство
Отсюда следует соотношение (19).
Из соотношения (19) вытекает, что величина п\
растет быстрее, чем величина ап при произвольном
положительном ос. Переходя к обратным величинам,
можно сказать, что величина -^ стремится к нулю
быстрее, чем величина ап при произвольном
положительном ос < 1.
Пример. В то время, как возведение
положительного числа ос в целую положительную степень п
45

имеет непосредственный смысл, в алгебре определено
также возведение числа айв нулевую и в
отрицательную целую степень. Для этого используют
обратные величины. Точно так же удается определить и
возведение числа а в рациональную степень при
помощи извлечения корня. Более деликатной является
операция возведения числа а в действительную
степень. Однако она также определяется. Позже мы
будем говорить об этом более подробно. Однако
будем считать теперь, что а
можно возводить в
произвольную
действительную степень х так, что
определена функция
У = *х, (2D
где х — произвольное
действительное число:
отрицательное,
положительное или нуль, а а > 0.
Будем считать, что а
здесь больше 1. Наряду
с функцией (21)
рассмотрим функцию
у = ах\ (22)
г 0\ *~ где а — положительное
1 число, a k — натуральное
число. Построим графи-
Рис- *• ки обеих функций (21) а
(22) для
неотрицательных значений х. Из соотношения (15), доказанного
для целых значений х, следует, что и при
произвольных положительных значениях х функция
(21) при больших возрастающих х растет быстрее,
чем функция (22). Таким образом, при
достаточна больших х график функции (21) проходит
выше графика функции (22). Если считать, что число
а > 1, но близко к 1, а число а большое, то, хотя
кривая (22) начинается в начале координат, а кривая
(21) начинается в точке 1 на оси координат, в
начальной стадии роста х > 0 кривая (22) поднимается
вверх быстрее, чем кривая (21), так что происходит
пересечение этих двух кривых. Но затем кривая (21)
4$

постепенно обгоняет кривую (22), так что они вно&ь
пересекаются (рис. 6).
В частном случае
У = 2* (23)
у = 4х (24)
мы имеем именно такую картину. В этом случае
графики функций (23) и (24) пересекаются дважды,
причем второе пересечение имеет место в точке х = 4,
у = 16. Среди нестандартных задач элементарной
математики рассматривается задача: решить
уравнение
2х = 4х, (25)
т. е. найти пересечение графиков функций (23) и
(24). Школьники понимают ее иногда в том смысле.,
что можно найти некую формулу вроде формулы
решения квадратного уравнения, из которой вытекало
бы, что решением уравнения (25) является х = 4.
Такое понимание задачи бессмысленно, так как
непосредственно проверяется, что х = 4 является
решением уравнения (25). Задачу о решении уравнения
(25) следует понимать как задачу нахождения
второго решения х < 4, причем это решение можно
найти только приближенно. Его существование видно
из рассмотрения графиков функций (23) и (24).
§ 3. Условия сходимости Коши
Мы уже говорили о том, что еще древние
геометры обнаружили линии, длины которых новозможно
описать рациональными числами, т. е. числами вида
-j, где а и b — целые. К таким линиям принадлежит,
например, гипотенуза прямоугольного треугольника,
катеты которого равны по длине единице. Длину этой
гипотенузы мы обозначаем теперь через V2 • Позже
было обнаружено, что длина окружности диаметра,
равного единице, также не является рациональным
числом. Эту длину мы обозначаем теперь через п.
Оба эти числа д/2 и я не являются рациональными.
Такого рода числа, в отличие от рациональных,
называются иррациональными. Количество иррациональ-
47

ных чисел, несомненно, бесконечно. Так, все числа
видааУ2, где а — целое число, являются
иррациональными. Перед математиками прошлого столетия
встала задача описать или, если угодно, создать
такие числа, которые необходимы для построения
геометрии и математического анализа. Описание этих
чисел должно, естественно, исходить из чисел
рациональных, которые предполагаются при этом вполне
известными и достаточно понятными. Описание всех
чисел, нужных для математики, было сделано
несколькими различными способами. При любом
способе описания полное доказательство всех важных
для нас свойств вновь построенных чисел
представляет собой довольно громоздкое дело. В этом
параграфе я даю один из способов построения чисел, не
входя при этом, однако, в детали доказательств их
свойств. Приводится лишь набросок доказательств,
так что читатель сможет при большом желании
восстановить эти доказательства полностью. Однако я
не рекомендую делать это, так как доказательства
представляются мне довольно скучными.
Определение сходимости, данное в §1, отвечает на
вопрос, сходится ли последовательность чисел
г и ?2> •.., гП1 ... (1)
к заданному числу г или нет. Очень важно
формулировать условие сходимости в такой форме, чтобы оно
отвечало на вопрос, сходится ли последовательность
(1) к какому-нибудь числу, которого мы еще не знаем,
или нет. Этому требованию удовлетворяет условие
сходимости Коши.
Условие Коши. Говорят, что последовательность (1)
действительных или комплексных чисел
удовлетворяет условию Коши или просто есть
последовательность Коши, если для каждого положительного числа
8 можно подобрать такое натуральное число v, что
при
- p>v, q>v (2)
имеет место неравенство
|гр-г,|<в. (3)
Докажем, что условие Коши является
необходимым условием сходимости. Допустим, что послело-
48

вательность (1) сходится к числу г. Зададимся
положительным числом е = у.Тогда, согласно
определению сходимости (см. § 1, (11)), существует такое
натуральное число v, что при п > v мы имеем
I гп - г |< е.
Таким образом, если р, q суть числа,
удовлетворяющие неравенствам (2), то мы имеем два неравенства
|гр — г\< е, 1^-гКе.
Из этого вытекает, что
\rp-rq\ = \rp-r + r- rj<| rp-r i+1 r-r, | < 2e=6.
Таким образом, доказано, что если
последовательность (1) сходится к некоторому числу г, то условие
Коши выполнено, т. е. доказана его необходимость.
Сделано это одновременно как для действительных,
•так и для комплексных чисел. Разницы в
доказательстве для этих двух случаев нет.
Итак, мы с легкостью доказали, что условие Коши
является необходимым условием сходимости.
Совершенно иначе обстоит дело с достаточностью. Здесь мы
Сталкиваемся не столько с трудностью доказательства,
Сколько с совершенно принципиальным вопросом о
^ом, что же такое есть число. При этом речь идет о
Действительных числах. Случай комплексных чисел
Легко сводится к случаю действительных чисел, так
как каждое комплексное число z записывается в
форме z = х + а/, где х и у — действительные числа.
Хотя понятие рационального числа слагалось
постепенно в течение веков, будем считать сейчас, что
оно совершенно ясно. Появление первых
иррациональных чисел связано с теоремой Пифагора, и оно
было большим историческим событием. Само их
название «иррациональные», т. е. неразумные, указывает
на ту тревогу, которую они вызвали у древних
математиков. Не останавливаясь на сложном и
длительном развитии представления об иррациональном
числе, скажу только, что условие Коши как достаточное
условие сходимости стало насущной необходимостью
Математики. Следовательно, числа должны быть
такими, чтобы всякая последовательность Коши
действительных чисел сходилась к действительному числу.
49

Построение действительного числа. Если исходить
из предположения, что понятие рационального числа
вполне ясно, то мы прежде всего приходим к выводу,
что всякая последовательность Коши рациональных
чисел должна сходиться к некоторому
действительному числу, рациональному или иррациональному.
Выпишем некоторую последовательность Коши
S\, s2, ..., snt •.. (4)
рациональных чисел. Если эта последовательность
сходится к некоторому рациональному числу, то
вопрос ясен. Если же не существует такого
рационального числа, к которому последовательность (4)
сходится, то нам остается только признать, что
существует некоторое иррациональное число, к которому
она сходится. Признав это, мы фактически вводим
новое представление о числе, считая, что оно
задается последовательностью Коши рациональных чисел*
Итак, по определению всякая последовательность
Коши рациональных чисел задает действительное
число, рациональное или иррациональное.
Действительное число, которое задается последовательностью
(4), мы обозначим через s. Члены
последовательности (4) мы должны теперь считать приближенными
значениями действительного числа s. При этом
точность приближения легко может быть оценена. В
самом деле, согласно определению, для всякого
положительного числа б существует такое натуральное
число v, что два любых члена sp и sq
последовательности (4) с номерами, большими v, отличаются друг
от друга меньше чем на 6, и потому следует считать»
что член sn последовательности (4) с номером n>v
задает число s с точностью 6. «Так как
последовательность Коши (4) рациональных чисел, определяющая
действительное число s, дает нам возможность
вычислить это число 5 с произвольно высокой точностью,
то мы можем определить действия над так
определенными действительными числами и ответить на все
вопросы, возникающие в связи с этим определением.
Если наряду с последовательностью Коши (4)
рациональных чисел выписана другая
последовательность Коши
s[, s'2i ..., s'a, ... (5)
50

рациональных чисел, то прежде всего надо ответить
на вопрос о том, будут ли эти две
последовательности задавать одно и тоже действительное число.
Ответ ясен. Мы составляем последовательность
Si Sj, S2 52, . . ., Sn Sn, . . • (6)
рациональных чисел. Последовательности (4) и (5)
определяют одно и то же действительное число тогда
и только тогда, когда последовательность (6)
сходится к нулю. В этом случае последовательности (4) и
(5) называются эквивалентными.
Действительное число, задаваемое
последовательностью (4), положительно тогда и только тогда,
когда все члены последовательности (4), начиная с
некоторого номера, становятся больше некоторого
положительного рационального числа.
Если наряду с последовательностью (4),
определяющей число st имеется другая последовательность
Коши
Ч> *2> • • •» *й> • • •
рациональных чисел, определяющая действительное
число /, то ясно, как надо определить действия над.
числами s и t. Действительное число s + t
определяется последовательностью
si + tu S2 + t2, ..., sn + tn, ...
рациональных чисел, которая является
последовательностью Коши. Разность s — t, произведение st и
частное -у определяются аналогичным образом
соответствующими последовательностями Коши. Частное
у можно определить лишь в том случае, когда
делитель t не является нулем. Зная, когда действительное
число положительно, и умея вычитать
действительные числа, мы тем самым знаем, что означает знак
неравенства для действительных чисел.
Оказывается, что для так определенных
действительных чисел условие Коши является достаточным
уоловием сходимости. Доказательство этого
неинтересно, и я здесь его не привожу.
Если теперь объявить, что комплексное число z
задается формулой z == х + ty, где х и у суть
действительные числа в описанном смысле, то легко до-
51

называется, что последовательность Коши комплекс*
ных чисел сходится к некоторому комплексному
числу.
Итак, мы посгроили такую систему действитель-
ных и комплексных чисел, что для нее условие Коши
является необходимым и достаточным условием
сходимости.
Пример. Выпишем некоторую десятичную дробь
a, fxf2... f«... (7)
Здесь после запятой стоят цифры f\f2 ... fn ...,
каждая из которых имеет некоторое определенное
значение от нуля до 9. Перед запятой стоит целое число
а, которое мы не будем записывать с помощью
десятичной системы, но которое может быть
отрицательным, положительным или нулем. Формально
выписанная дробь (7) выглядит как бесконечная, но если,
начиная с некоторого номера, цифры, стоящие после
запятой, все обращаются в нуль, то она в
действительности является конечной дробью. Бесконечная
десятичная дробь (7) порождает бесконечную
последовательность конечных десятичных дробей
so —а,
si=a't fu
S2 — a> /1/2»
S/t = a, /1/2 ... fn>
Здесь sn есть десятичная конечная дробь, в которой
до запятой стоит целое число а, а после запятой
ровно п цифр fif2, ..., fn- Мы уже рассматривали это
построение (см. § 1, (8), (9)), но здесь мы можем
утверждать, что последовательность рациональных
чисел (8) есть последовательность Коши. В самом
деле, если р < q суть два натуральные числа, то мы
имеем очевидное неравенство
1
sq~- sp< \qp •
52

Таким образом, если оба числа р и q больше
натурального числа v, то мы имеем
\sq-sp\<-^Tr, (9)
а это и значит, что последовательность (8) есть
последовательность Коши. Таким образом, в силу
нашего соглашения она определяет некоторое
действительное число s — рациональное или иррациональное.
Естественно теперь считать, что действительное
число s записывается в виде десятичной дроби (7).
Остается, однако, неясным, можно ли записать любое
действительное число таким способом в виде
десятичной дроби. В § 4 будет доказано, что каждое
действительное число можно записать в виде десятичной
дроби.
§ 4. Применение признака сходимости Коши
Достаточность признака сходимости Коши
позволяет нам в ряде случаев считать существующим или,
иначе говоря, строить нужное для нас число. В этом
параграфе будет дан ряд примеров такого
построения. В частности, будет точно определена длина дуги
окружности.
Верхняя и нижняя грани. Каждое действительное
число х мы можем изобразить на оси абсцисс в виде
точки, абсцисса которой равна числу х. Эту точку мы
также будем обозначать буквой х. Изображение
чисел в виде точек на прямой придает им некоторую
геометрическую наглядность. Мы будем одновременно
пользоваться как числовой, так и геометрической
терминологией.
Любая десятичная дробь
я> /i/г ... fnt (О
в которой перед запятой стоит произвольное целое
число, положительное, отрицательное или нуль, а
после запятой стоит ровно п цифр, может быть запи-
ь
сана в виде"^» где Ъ — некоторое целое число.
Наоборот, каждая дробь вида —- может быть
записана в виде десятичной дроби вида (1). При п = О
53

числа вида (1) являются целыми, а изображающие
их на прямой точки называются целочисленными.
Легко представить их себе геометрически. Говорят,
что они образуют целочисленную сетку на прямой.
Числа вида-у^, изображенные геометрически, обра*
зуют уже более густую сетку, поручавшуюся из
целочисленной путем подразделения каждого ееотрез&а
на десять равных частей.
Точно так же числа вида -^ образуют на
прямой сетку более густую, чем предыдущая,
получающуюся из нее путем подразделения каждого ее
отрезка на 10 равных частей. Таким образом, на
прямой мы получаем последовательность все более из-
Ъ
мельчающихся сеток, возникающих из чисел——, где
п = 0, 1, 2, ... Сетки эти мы занумеруем, считая,, что
числа вида —- составляют сетку 2„.
Пусть теперь М — некоторая совокупность или, как
говорят, некоторое множество действительных чисел.
Числа эти мы можем рассматривать также и как
точки на прямой, так что М представляет собой
одновременно множество точек. Допустим, что множество М
ограничено сверху, т. е. существует такое число с, что
для всякого х, принадлежащего множеству М,
выполнено неравенство
х<с. (2),
Геометрически это значит, что все точки множества
М лежат левее точки с.
Докажем теперь, что ограниченное сверху
множество М имеет верхнюю грань, именно, что существует
число g, удовлетворяющее следующим условиям. При
любом положительном е в множестве М найдется
число х, удовлетворяющее неравенству
х > g — в,
но не существует в множестве М числа х,
превосходящего число g, т. е. удовлетворяющего неравенству
х> g.
Это число g и называется верхней гранью множества
М. Геометрически верхнюю грань g можно описать
54

следующим образом. Если сдвинуть точку g сколь
угодно мало влево, т. е. взять точку g — е, где е
положительно, го справа от этой точки g — г
найдется хоть одна точка множества М, но не
существует ни одной точки множества М, лежащей вправо
от точки g.
Построение верхней грани g множества М
проводится следующим образом. Мы будем геометрически
сравнивать множество М и точки сетки 2Я. Если взять
точку р сетки S«, лежащую справа от точки с (см.
(2)}, то все числа множества М лежат слева от этой
точки р. С другой стороны, существует такая точка
q сетки Ъп, справа от которой имеются точки
множества М. Так как между точками q и р сетки 1>п
имеется лишь конечное число точек этой сетки, то
существует такая самая правая точка сетки 2Я, справа
от которой еще имеются точки множества М. Ее
мы обозначим через sn. Выполнив этот выбор точки
sn для каждого я = О, 1, ..., мы получим
последовательность чисел
S(h S\9 • • • j &ni • • • (3)
Ясно* что в этой последовательности точек каждая
следующая либо совпадает с предыдущей, либо
лежит справа от нее. Ясно также, что не может
случаться, чтобы в, последовательности (3) все точки,
начиная с некоторого места, повторялись, не
продвигаясь вправо. В самом деле, точка sn выбрана так,
что справа от нее еще имеются точки множества М.
Поэтому для достаточно большого номера п' точка
sn, лежит правее точки sn. Отсюда следует, что
последовательность (?3) конечных десятичных дробей есть
последовательность (8) § 3^ т. е. может быть
получена из бесконечной десятичной дроби (7) § 3. Эта
десятичная дробь в самом деле бесконечна, так как
доследовательность точек (3) постепенно
продвигается вправо. Последовательность Коши (3) определяет
число g, которое и является, как легко видеть,
верхней гранью множества М. Если множество М состоит
из единственного числа ту то g = т, и бесконечная
десятичная дробь (7) § 3 является его записью.
Таким образом, мы доказали, что каждое число может
быть записано в виде бесконечной десятичной дроби
ч(см. пример § 3). Отсюда видно, что множество всех
65

действительных чисел можно описать как совокупи,
цость всех бесконечных десятичных дробей.
Допустим, что некоторое множество ЛГ
действительных чисел ограничено снизу, т. е. существует
такое число с', что для каждого числа х из ЛГ
выполнено неравенство
с' < х. (4)
Докажем, что для ограниченного снизу множества М'
существует нижняя грань g\ т. е. такое число, что
при любом положительном е всегда найдется число
х из множества ЛГ, удовлетворяющее неравенству
*<g"' + e, но не существует такого числа х из ЛГ,
что х < g'. Для доказательства обозначим через
—-ЛГ = М совокупность всех чисел вида —х9 где х
принадлежит заданному множеству ЛГ. Если
множество ЛГ ограничено снизу, то множество М = —ЛГ
ограничено сверху и потому имеет верхнюю грань g.
Очевидно, что число g' = —g является нижней
гранью множества ЛГ.
Верхний и нижний пределы. Обозначим через М
некоторое бесконечное множество действительных чи-
сел, ограниченное как сверху, так и снизу (см. (2),
(4)). Действительное число р называется верхним
пределом множества ЛГ, если для всякого
положительного числа е существует бесконечное множество
чисел, принадлежащих М и превосходящих число
р — е, но существует не более конечного числа
чисел, принадлежащих множеству М и превосходящих
число р + е. Аналогично действительное число р'
называется нижним пределом множества М, если для
каждого положительного числа е существует
бесконечное множество чисел из М9 меньших числа р' + е,
но найдется не более конечного числа чисел из М9
меньших чем р' — е. Докажем, что множество М имеет
верхний предел. Для этого поступим так же, как при
построении верхней грани множества. Возьмем
некоторое целое неотрицательное число п и выберем из
рациональных чисел вида ——, где Ъ — целое число,
такое наибольшее число sn, что существует
бесконечное множество чисел из М, превосходящих число sn*
Ясно, что последовательность
Sq, S\f . . ., Snt . • •
56

есть возрастающая последовательность десятичных
дробей типа (8) §* 3 и потому удовлетворяет условию
сходимости Коши. Предел этой последовательности,
очевидно, и есть верхний предел р множества М.
Существование нижнего предела р' множества М
доказывается так же, как это делалось в отношении
нижней грани, при помощи рассмотрения множества — М.
Легко убедиться в том, что числа р и р' являются
предельными для множества М (см. пример 3 § 1).
Таким образом, доказано, что бесконечное
множество М действительных чисел, ограниченное сверху и
снизу, имеет предельные числа. Ясно, что р есть
наибольшее из этих предельных чисел, а р' —
наименьшее из этих предельных чисел. Может случиться,
однако, что р и р' совпадают между собой. В этом
случае множество М имеет только одно предельное
число р = //. Так будет, например, когда множество М
состоит из элементов бесконечной
последовательности попарно различных чисел, сходящейся к числу р.
Ограниченные последовательности и ограниченные
множества чисел. Последовательность
П> >"2> • • •> гп> • • • (5)
действительных или комплексных чисел называется
ограниченной, если найдется такое положительное
число с, что для всякого номера п имеет место
неравенство
|г«|<с.
Аналогично множество М действительных или
комплексных чисел называется ограниченным, если
найдется такое положительное число с, что для всякого
числа х из множества М имеет место неравенство
\х\<с.
Мы докажем сейчас, что из всякой ограниченной
последовательности чисел (5) можно выбрать
сходящуюся подпоследовательность (см. § 1, (18)), и затем
докажем, что всякое бесконечное ограниченное
множество М чисел имеет предельное число (см.
пример 3 § 1).
Мы уже отмечали, что в последовательности (5)
чисел могут под разными номерами стоять равные
между собой числа. Таким образом, может оказать-
57

ся> что последовательность (5) содержит лишь
конечное число различных чисел. В этом случае в
последовательности (5) найдется такое число г,
которое встречается бесконечное число раз под различ-
йым~и номерами. Выписывая все члены
последовательности (5), равные числу г, в том порядке, в каком
они стоят в последовательности (5), мы получим
подпоследовательность
Гпх> Гп2> • • •» *"«£» • • • (6)
последовательности (5), все члены которой равны
числу г. Таким образом, подпоследовательность (6)
последовательности (5) сходится к числу г, и наше
утверждение доказано.
Будем считать теперь, что множество N1 всех
чисел, встречающихся в последовательности (5),
бесконечно. Разберем сперва случай, когда числа
последовательности (5) все являются действительными,
так что и множество М состоит из действительных
чисел. Так как множество М ограничено в силу
ограниченности- последовательности (5), то по
доказанному выше (см. верхний предел) множество М имеет
хотя бы одну предельную точку рл В силу
доказанного ранее (см. § 1, пример 3) из множества М
можно выбрать последовательность
<гь о2, ..., сгй, ..., (7)
содержащую бесконечное множество различных
чисел, сходящуюся к числу р. Переставим порядок
членов последовательности (7) так, что получающаяся
в результате этой перестановки новая
последовательность также будет сходиться к р и в то же время
будет являться подпоследовательностью исходной
последовательности (5). Для этого поступим так.
Посмотрим на число г\. Если оно не входит в
последовательность (7), то мы отбросим его. Если же оно
входит в последовательность (7), то мы обозначим
его через г . Посмотрим далее на число г%. Если оно
не входит в последовательность (7), то мы отбросим
его, а если входит, то обозначим через гпГ Будем
перебирать постепенно все члены последовательности
(5), и в результате этого перебора мы получим бес-
58

конечную последовательность
Гп{) Гп2) • • •, Гп^ . . . (8)
Указанный процесс выбора чисел из (5) не может
остановиться, так как последовательность (7)
содержит бесконечное множество различных чисел. Ясно,
что полученная так последовательность (8) является
подпоследовательностью последовательности (5). Но
в то же время она содержит все числа, входящие в
последовательность (7), и потому сходится к числу р.
В самом деле, любая е-окрестность Ue числа р
содержит все числа последовательности (7), за
исключением, быть может, лишь конечного числа их.
Следовательно, это верно также и в отношении
последовательности (8).
Рассмотрим теперь случай, когда
последовательность (5) содержит бесконечное множество
различных чисел, но числа эти необязательно
действительные, а, вообще говоря, комплексные. Каждое число
Гп последовательности (5) запишем в виде
Гп = Sn + ltn-
Таким образом, у нас возникают две
последовательности действительных чисел
Si, $2, * • •> sn> • • •> (9)
tu t2, ..., tn, ... (10)
Так как, по предположению, последовательность (5)
содержит бесконечное множество различных чисел,
то хотя бы одна из последовательностей (9) и (10)
также содержит бесконечное множество различных
чисел. Для определенности предположим, что
бесконечное множество различных чисел содержит
последовательность (9). Так как она состоит из
действительных чисел, то по только что доказанному из нее
можно выбрать подпоследовательность
Snl9 Sn2 ...» Snk, ...»
01)
содержащую бесконечное множество различных
чисел, сходящуюся к некоторому числу s. Рассмотрим
теперь последовательность
59

действительных чисел. Так как она ограничена, то по
ранее доказанному из нее можно выбрать некоторую
подпоследовательность
сходящуюся к некоторому числу t. Здесь
натуральные числа
trtu ^2* ..., щ, ...
идут в возрастающем порядке и составляют лишь
подпоследовательность последовательности
натуральных чисел
Таким образом, последовательность
Sm^ 5/n2> • • • > Stripy • ■ •
составляет подпоследовательность
последовательности (11) и содержит бесконечное множество
различных действительных чисел. Полагая
мы получаем последовательность
(12)
содержащую бесконечное множество различных
чисел, сходящуюся к числу г = s + it и являющуюся
подпоследовательностью последовательности (5).
Таким образом, если исходная ограниченная
последовательность (5) содержит бесконечное множество
различных чисел, то из нее можно выбрать сходящуюся
подпоследовательность (12), содержащую
бесконечное множество различных чисел, сходящуюся к неко-
рому числу г.
Теперь перейдем к ограниченному бесконечному
множеству М и докажем, что оно имеет предельное
число. Так как множество М содержит бесконечное
множество чисел, то из него можно выбрать
некоторую последовательность
Ги гь • • •» ?п> • • •> (13)
содержащую бесконечное множество различных чиг
сел. Согласно только что доказанному из этой
последовательности (13) можно выбрать подпоследова-
60

тельность, которая уже сходится к некоторому числу
г и содержит также бесконечное множество
различных чисел. Отсюда вытекает, что число г является
предельным и для множества М.
Итак, наше утверждение полностью доказано.
Длина дуги окружности. После того, как
объяснено, что такое действительное число, естественно
объяснить, что следует понимать под длиной кривой
линии, исходя при этом из предположения, что нам
хорошо известно, что представляет собой длина
прямолинейного отрезка. Т^е мы будем обозначать через
l(p,q), где р и q — концы отрезка. Мы рассмотрим
здесь лишь дугу окружности. Случай более общий
принципиально не
отличается от случая дуг
окружности и будет
рассмотрен позже (см. § 19).
На некоторой плоскости
Р выберем окружность
К радиуса 1 с центром в
точке о и на этой
окружности выберем дугу ab
такую, что угол аоЬу
опирающийся на нее, не
превосходит 120° (рис. 7). Рис.7.
Его мы обозначим через
2а. Таким образом, а ^
^ 60°. Это ограничение несущественно. Будем считать
также, что, двигаясь от точки а к точке Ь по дуге ab9
мы идем против часовой стрелки.^ Наша цель состоит
в том, чтобы дать точное формальное определение
длины дуги ab.
На дуге ab выберем последовательность точек
Яо> Яь Д2> •••» <*к\ а0 = а; ak = b. (14)
Мы будем считать, что переход от точки ai-\ к точке
at осуществляется движением вдоль дуги ab против
часовой стрелки. Таким образом, точки (14) следуют
по дуге ab одна за другой и разбивают дугу ао на
куски. Ломаную a0^i«2 ... а* мы обозначим А и
будем говорить, что она опирается на хорду ab. Длину
этой ломаной обозначим через t(A). Сравним теперь
длину ломаной А с длиной хорды ab. Ясно, что
Ца6)</(Л),
61

но этого нам недостаточно. Проекции точек
последовательности (14) на хорду ab обозначим
соответственно через
ао> a'i> а'*> • • • ■> a'k.
Ясно, что
I (об) = I {a'Qa[) + I (а[а'2) + ...+/ «_Х>
Обозначим «ерез р* угол наклона зсорды a^at к
хорде ab. Тогда очевидно, что
v i_1 i7 cosfo ^ cosa
Суммируя последнее неравенство по всем значениям
i от 1 до k, мы получаем
ЦаЬХПАХ^. (15)
Положим х — 1{аЬ) и вычислим разность
У X
cosa
Для этого мы заметим, что л;-= 2sina, а потому
cos2a =1 j- • Теперь мы «меем
d = *(—L- - f) < *(—L \) =
V cos a / \ cos2 a J
sin* a _. * sin2a 9
ros* a ^ 1
T
Теперь неравенство i(15) перетесывается .в виде
дг </(Л)<а:(1 +л:2). (16)
Разобьем теперь дугу a<-jfl/ на кусочки точно так
же, как мы это сделали с дугой ab, но не будем
обозначать точки деления шкякшии буквами.
Полученную в результате этого деления ломаную обозначим
через Вг и будем говорить, что она опирается ш&
хорду щ-гш. Длину этой ломакой обозначим через l(Bi).
Объединяя вместе вое жшаные В\, В$, ..., 5&, мы
получим ломаную £, длину которой обозначим через
1(B), и будем говорить, что ломаная В опирается на
ломаную А. Положим
62

Применяя результат (16), пригодный для любой
хорды ab, к хорде ai-\aiy мы получим неравенство
xi < I (Bt) <xt(l+ хд < xt (1 + (6 (Л))2), (17)
где б (Л) есть максимальное из чисел хи i = 1, ..., &,
т. е. длин отрезков, составляющих ломаную Л.
Суммируя неравенства (17) по всем значениям / от 1 до
yfe, получаем
/(Л)</(В)</(Л)(1+(6(Л))2). (18)
Заметим еще,, что все ломаные, опирающиеся на
хорду ab, имеют ограниченную длину, именно, мы имеем
в силу формулы (15)
1{А)<1Ш^Су
v ' cos a '
где число с зависит только от хорды ab. Теперь из
неравенства (18) мы можем сделать вывод, что
\1 (В) -1(A) |< с (6 (Л))2, (19)
где Л — произвольная ломаная, опирающаяся на
хорду aby а В — ломаная, опирающаяся на ломаную Л.
Пусть теперь Л и А' — две ломаные, опирающиеся
на хорду ab. Занумеровав теперь их вершины в том
порядке, в каком они встречаются при прохождении
дуги ab против часовой стрелки от а до Ь, мы
получим некоторую последовательность точек, которая
может быть положена в основу некоторой ломаной В,
опирающейся на обе ломаные Л и А'. Тогда наряду
с неравенством (19) мы имеем неравенство
\l(B)-l(A')\<c(b(A')f. (20)
Из неравенств (19) и (20) следует, что
| 1(А)-1 (Л')1 < с [(6(Л))2 + (6(Л'))2]. (21)
Построим теперь некоторую последовательность
ломаных
A0 = ab, Ль ..., Ат ...,
где каждая следующая ломаная опирается на
предыдущую, а первая ломаная Л0 является просто
исходной хордой ab. Предположим затем, что
Нт6(Л„) = 0. (22)
П->оо
63

Из неравенства (19) следует, что последовательность
чисел
1(А0), 1Ш, ..., ЦАп)9 ... (23)
есть последовательность Коши. Ее предел мы
обозначим через 25, т. е.
lim / (Ап) = 2s.
ft-»oo
Легко видеть, что полученный предел 2s зависит
лишь от дуги ab, а не от случайно выбранной
последовательности ломаных (22). Действительно, если
вместо последовательности (22) имеется другая
аналогичная последовательность
А'0 = аЬ, А'и ..., An, ...,
то в силу формулы (21) мы имеем
| /(Ап)-1{К)\<с[(6(An)f + (6(АЖ
и потому обе последовательности (23) и
IW, 1(А[), ..., ЦА'п), ...
сходятся к одному и тому же числу 2s. Это число 2s
и называется длиной дуги ab. Эту длину 2s дуги ab
называют величиной угла aob, выраженной в
радианах. В высшей математике обычно считают, что
аргумент тригонометрической функции есть угол,
выраженный в радианах.
Из неравенства (15) следует
о • —- // л \ ^ * 2sins
х = 2 sin s < / (Ап) < = •
^- v n/ cos $ cos s
Переходя к пределу при /г^оо и деля полученное
неравенство на 2, получим
sins<s<tgs. (24)
Если теперь s\f S2, ..., s«, ... — последовательность
положительных чисел, сходящаяся к нулю, то из
соотношения (24) получаем два соотношения
ft->oo Stl
64

Полагая tg sn = tn, мы получаем из последнего
соотношения
lim^^=l. (25)
Здесь можно считать, что последовательность
^ь h> • • •> tn, ...
есть произвольная последовательность
положительных чисел, сходящаяся к нулю.
Длина окружности радиуса 1 обозначается через
2я. Таким образом, я есть вполне определенное
число. Вычислено, что я; « 3,1415926.
Пример 1. Пусть
5ь So, ..., snf ... (25)
— неубывающая ограниченная последовательность
чисел, т. е. такая, что sn+\ ^ sn и sn < с, п= 1,2,—,
где с — константа. Обозначим через g верхнюю грань
множества, состоящего из всех чисел (26). Легко
видеть, что
limsn = g.
П->оо
Точно так же для невозрастающей
последовательности
t\, U> • ■ -у tn> • • •> (27)
ограниченной снизу, мы имеем
lim tn = g'f
П->оо
где g' есть нижняя грань множества, состоящего из
всех чисел (27).
§ 5Г Сходящиеся ряды
Еще большую роль, чем сходящиеся
последовательности, играют в математике сходящиеся ряды.
Слагаемыми их могут быть как числа, так и функции.
В последнем случае ряд дает возможность, исходя из
простых, хорошо известных функций, например
степеней независимого переменного, строить новые
функции. Именно с этой целью ряды будут использованы
нами в первую очередь (см. § 7). Но сперва мы зай-
3 Л. С. Понтрягин
65

мемся рядами, слагаемыми которых являются дей*
ствительные или комплексные числа.
Выпишем сумму
Zi + z2+ ... + zn + ... (1)
с бесконечным числом слагаемых. Сумма эта
называется рядом. Ее слагаемые zn> n= 1, 2 ...,
являются комплексными или действительными числами.
В случае, если какое-либо высказывание о ряде (1)
имеет смысл лишь при действительных слагаемых,
это обстоятельство будет оговариваться специально.
Прежде всего мы должны объяснить, что следует
понимать под суммой ряда {1). Для этого выпишем
так называемые предварительные конечные суммы
sn = zx + Z2 + ... + гп, (2)
где п — произвольное натуральное число. Если
последовательность
5], 52, . . ., Sn, . . • (3)
сходится (см. § 1), то говорят, что ряд (1) сходится,
и его сумма равна пределу последовательности (3)*
Если последовательность (3) задана, то легко
получить ряд (1), из которого она возникает, согласно
изложенному правилу. Для этого достаточно
положить
2l = Si, 22 = S2 — Sb •••> Zn = Sn — S„_b ...
Таким образом, на первый взгляд кажется, что изу-
чение сходящихся рядов полностью сводится к
изучению сходящихся последовательностей, и наоборот,
изучение сходящихся последовательностей можно
свести к изучению сходящихся рядов. Но это не
совсем так. Прежде всего может оказаться, что при
решении некоторой задачи возникает ряд, и тогда он
должен считаться первичным объектом. Если же при
решении задачи возникает последовательность, то
первичным объектом должна считаться именно она.
Бывают случаи, когда при решении задает всшшкает
последовательность, но для доказательства ее
сходимости приходится переходить к соответствующему ей
ряду. Есть, однако, один важный вопрос, который
имеет смысл только для рядов, но не имеет смысла
для последовательностей. Хорошо известно, что сум*
66

ма конечного числа слагаемых не зависит от их
порядка. Но это неверно для рядов. Может случиться,
что при перестановке слагаемых ряда (1) мы
получим новый ряд, сумма которого отличается от суммы
исходного ряда. Это будет показано ниже в
примере 1.
Важную роль в теории рядов играют условия их
сходимости или, как говорят иначе, признаки
сходимости. Первым необходимым и достаточным
условием сходимости ряда является условие Коши,
которое представляет собой простую переформулировку
на язык рядов условия сходимости Коши для
последовательностей (см. § 3). Но очень важную роль в
теории рядов играют и достаточные условия
сходимости, не являющиеся необходимыми.
Условие сходимости Коши. Говорят, что ряд (1)
удовлетворяет условию сходимости Коши, если для
всякого положительного числа б можно подобрать
такое натуральное число v, что при
q> р > v
имеет место неравенство
\zp+i + zp+2+ .*• + zq\<b. (4)
Это условие является необходимым и достаточным
условием сходимости ряда. В самом деле,
\sP — s<r\ = \zp+l + zp+2+ ... +zq\. (5)
Таким образом, условие сходимости Коши для ряда
(1) в точности равносильно условию сходимости для
последовательности (3). Последнее же, как было
показано в § 3, является необходимым и достаточным
условием сходимости последовательности (3).
В частном случае, когда р = п—1, q = п, мы
имеем Sq — Sp = Zn, и соотношения (4), (5)
превращаются в соотношение
UJ<6,
©ткуда следует, в силу формулы (4),
lim zn = 0. (6)
rt-»oo
Таким образом, слагаемые сходящегося ряда при
неограниченном возрастании их номера обязательно
стремятся к нулю.
3*
Ы

Дадим еще одно следствие условия сходимости
Коши. Если ряд (1) сходится, то ряд
2* + 2Л+1+ ••• + **+« + •«• (7)
также сходится и для всякого положительного числа
б можно подобрать такое натуральное число v, что
при k > v сумма ряда (7) не превосходит б.
Знакопеременный ряд. Докажем теперь один
достаточный признак сходимости для ряда
2i + z2+ ... +гп+ ... (8)
с действительными слагаемыми. Мы будем
предполагать, что все слагаемые этого ряда с нечетными
номерами положительны, а все слагаемые с четными
номерами отрицательны. Кроме того, будем
предполагать, что модуль каждого слагаемого меньше модуля
предыдущего слагаемого, т. е.
l*,»+il<|zj.
Кроме того, предположим, что
lim \zn 1 = 0.
Такой ряд (8) называется знакопеременным.
Оказывается, что знакопеременный ряд всегда сходится.
Для доказательства этого рассмотрим
предварительную сумму S2k четного номера п = 2k,
соответствующую этому ряду в силу формулы (2).Мы имеем
s2k = (*i + г2) + (z3 + *4) + ••• + (*2*-i + *»)•
Здесь каждая из скобок, стоящих в правой части,
положительна, и поэтому число s2k возрастает вместе
с А. С другой стороны, та же предварительная сумма
s2k может быть записана в виде
S2k = Z\ + (Z2 + ZZ) + (zA + Z5)+ ... +
+ (*2к + Z2k+l) — Z2k+U
Здесь каждая из скобок отрицательна, а последний
член — z2k+\ также отрицателен. Таким образом,
S2k <Z\.
Таким образом, возрастающая последовательность чи-»
сел
S2t 54, . . ., $2£, • • •
68

является возрастающей и ограниченной и поэтому
сходится к некоторому числу 5 (см. § 4, пример 1).
Так как предварительная сумма s2k+\ нечетного
номера отличается от предварительной суммы s2£
четного номера на число «2*+ь которое стремится к нулю,
то и последовательность всех предварительных сумм
сходится к тому же числу s, к которому сходится
последовательность предварительных сумм четных
номеров.
Итак, доказано, что знакопеременный ряд всегда
сходится. Оказывается, однако, что если для
знакопеременного ряда (8) число
tk = Zi + Zs + Zs+ ... +2Г2*_1
неограниченно возрастает при возрастании k, то
путем перестановки слагаемых ряда (8) можно
получить новый ряд, сходящийся к наперед заданному
числу t. Это странное свойство некоторых
сходящихся рядов менять сумму при перестановке слагаемых
наводит на мысль о том, что ряды такого рода могут
обладать и другими странностями, делающими их
малопригодными для употребления. Поэтому в
теории рядов основную роль играют так называемые
абсолютно сходящиеся ряды, изучению которых будет
посвящен § 6. Эти ряды уже не имеют такого рода
странностей.
Пример 1. Для знакопеременного ряда
*i+22+ ... +2„+ ... (9)
составим две суммы
tk=Zi+Zs+ ... +22ft-b
tk = Z2 + Zi+ ... + Z2k-
Первая из этих сумм положительна и возрастает
вместе с &, вторая отрицательна, и модуль ее возрастает
вместе с k. Оказывается, что если tk ->- оо, то модуль
fk также стремится к бесконечности. Действительно,
мы имеем
Так как число s2k стремится к определенному пределу
при k возрастающем, то из предположения, что
положительное число tk неограниченно возрастает,
следует, что отрицательное число /£ неограниченно убы-
69

вает, стремясь к — оо. Зададимся теперь произвола
ным числом t и переставим слагаемые ряда (9) так,
чтобы сумма вновь полученного ряда была равна
числу t. Процесс перестройки ряда (9) следующий.
Обозначим через рх наименьшее значение
натурального числа р, при котором
tp>t.
Далее, обозначим через q\ наименьшее значение
числа q, при котором
tPl + t'g<t.
Исходя из этих начальных значений чисел р\ и qu
построим две возрастающие последовательности
натуральных чисел
РЬ РЪ •-., Рп, ••> (10)
. <7ь Q2> •-., <7«> ... О1)
индуктивно, считая, что числа рп и qn уже заданы.
Числа рп+\ и qn+\ определим так: рп+\ есть
наименьшее значение натурального числа р, при котором
tp + fQn>t9
а число qn+i есть наименьшее натуральное число q,
для которого
Так как ряд (9) сходится, то члены его стремятся к
нулю при п возрастающем, а отсюда легко следует,
что для полученных последовательностей чисел (10)
и (11) мы имеем
lim (tp +t'a)=t.
Но сумму tpn + tg можно записать в виде
h> + Гц + (Ч - tPl) + (fqt - t'qi) + ... +
+ ('р.-'р.-.) +С*-'*«-.)■ (12>
Каждое из выписанных здесь слагаемых
представляет собой сумму нескольких членов ряда (9),
причем слагаемые ряда (9) не повторяются в слагаемых
суммы (12), а при возрастании п исчерпывают все
члены ряда (9). Таким образом, если в сумме (12)'
заменить- каждое слагаемое соответствующей суммой
70

членов ряда (9), мы получим ряд, содержащий все
слагаемые ряда (9), но расположенные в новом
порядке. Так возникающий новый ряд имеет своей
суммой наперед заданное число t и получается из ряда
(9) путем перестановки его слагаемых.
Пример 2. Дадим теперь конкретный числовой
ряд (9), для которого имеет место сказанное в
примере 1. Этот ряд есть
1~Т + Т+ ■■■+-J7^-+ ••• MIS)
Так как числа tk и 11%\ либо оба остаются
ограниченными при возрастании ky либо оба стремятся к
бесконечности, то, для того чтобы доказать, что
первое из них неограниченно возрастает, достаточно
доказать, что их сумма неограниченно возрастает, т.е.
что мы имеем
limfa + |ft|) = oo.
Для ряда (13) нам достаточно, таким образом,
доказать, что ряд
• 1 + 1 + 1+...+!+... (И)
расходится, т. е. сумма его равна '+ оо. Рассмотрим
отрезок ряда (14), состоящий из членов с номерами
я, удовлетворяющими условиям
где I — натуральное число. Число этих членов равно
2'-1, а последний наименьший член равен—. Таким
образом, сумма членов этого отрезка ряда больше
21~{ 1
чем —Г~вТ' ^есь Ряд (^' начиная со второго
слагаемого, распадается на непересекающиеся
отрезки рассмотренного вида, где / меняется от 1 до оо.
^аким образом, сумма ряда (14) равна
бесконечности.
Итак, для ряда (13) число tn неограниченно
возрастает, и потому в силу доказанного в примере 1
.члены ряда (13) можно переставить так, чтобы сум-
71

ма вновь полученного ряда была равна наперед
заданному числу t.
Пример 3. Пусть
г\+ г2+ ... + гп+ ..., (15)
wi + w2+ ... +wn+ ... (16)
— два сходящихся ряда. Сумму первого из них
обозначим через s, сумму второго через /. Оказывается,
что ряды эти можно складывать почленно, т. е. ряд
\zi + wl) + (z2 + w2)+ ... +(Zn + wn)+ ... (17)
сходится к числу s + t. Докажем это.
Составим предварительные суммы
sn = Zi + ... + znt
Тогда в силу сходимости рядов (15), (16) для каж*
дого положительного числа б найдется настолько
большое натуральное число v, что при п > v имеем
К-5|<|; Mn-t\<^.
Ясно, что предварительная сумма ряда (17) номера
п равна sn + tn. Но так как при м > v мы имеем
\(Sn + tn)-(s+t)\<6,
то ряд (17) сходится к числу s + /.
§ 6. Абсолютно сходящиеся ряды
Ряд
Zl + Z2+ ... +Zn+ ... (1)
называется абсолютно сходящимся, если ряд,
составленный из абсолютных величин, или, что то же
самое, модулей его слагаемых
l*ll + |22|+ ... +\Zn\+ ..., (2)
сходится.
Прежде всего следует доказать, что абсолютно
сходящийся ряд сам сходится в обычном смысле
слова. Для доказательства используем признак сходимо*
сти Коши. Так как, по предположению, ряд (2) схо»
дится, то для всякого положительного числа
б.существует настолько большое натуральное число v,
72

что при if " ■ мы имеем
! ^ -Н гр+21 + ... + | гя К «
Так как
<|2p+il + |ep+2l+ ... +|^1<б,
то. мы видим, что признак сходимости Коши
выполнен также и для ряда (1), т. е, он сходится.
К этому простому рассуждению тесно примыкает
одно важное свойство абсолютно сходящегося ряда,
которое, вообще говоря, не имеет места для ряда
просто сходящегося. Если ряд (1) абсолютно
сходящийся, то для каждого положительного числа б можно
подобрать настолько большое натуральное число v,
что если натуральные числа р\ < рч < ... < pk все
превосходят число v, то имеет место неравенство
К+Ч2+ ...+zPk\<6. (з)
Здесь v — то натуральное число, которое
соответствует положительному числу б согласно признаку
сходимости Коши для ряда (2).
Для доказательства этого свойства достаточно
* выписать неравенство
\гР1+гР2+ ...+*рл|<|*р1| +KI + ---+|*/ъ|<
<\zp+l\ + \Zp+2\+ ... +|z„|<6,
где р + 1 = ри q = pk.
Независимость от порядка слагаемых. Докажем
теперь, что сумма s абсолютно сходящегося ряда (1)
не зависит от порядка его слагаемых. Для
доказательства выпишем ряд
zl + z'2+ ...+z'n+ ..., (4)
получающийся из ряда (1) перестановкой слагаемых.
Составим предварительные суммы для обоих рядов,
т. е. суммы
sn = zi+z2+ ... + zn, s'n = zi + Z2+ ...+г'п.
Зададимся теперь произвольным положительным
числом б и выберем настолько большое натуральное
число v, чтобы при п > v выполнялось неравенство
К - s К д (5)
73

и для того же самого v имело место соотношение
(3). Зафиксируем теперь /г, положив n = v+ 1. Так
как теперь сумма sn является вполне определенной,
то существует настолько большое v', что сумма s'v'
содержит все члены ряда (1), входящие в сумму sn.
Тогда при п' > v' сумма s'n> также содержит все
члены ряда (1), входящие в сумму sn> и потому в
силу неравенства (3) мы имеем
К'-*я1<б. (6)
Из неравенств (5) и (6) следует, что
\s'n> — s\< 26
при условии, что п! > v', где v' зависит от б.
Зададимся теперь произвольным положительным числом
е и положим S —у. Таким образом, доказано, что,
исходя из заданного положительного числа е, можно
найти такое натуральное число v', что при п' > v'
имеет место неравенство
| sfn' — s | < г.
А это и значит, что ряд (4) имеет своей суммой число
5, являющееся суммой ряда (1).
Итак, доказано, что для абсолютно сходящегося
ряда сумма не зависит от порядка слагаемых.
Перемножение рядов. Для того чтобы перемно-*
жить две конечные суммы, следует каждое слагаемое
первой суммы умножить на каждое слагаемое второй
суммы и полученные произведения сложить.
Докажем, что то же правило действует и в отношении
абсолютно сходящихся рядов. Для доказательства этого
выпишем два абсолютно сходящихся ряда
г0 + гх + ... + zn + ..., (7)
w0 + wi+ ... +wn+ ... (8)
Здесь первые слагаемые рядов обозначены буквами
с индексами 0, а не с индексами 1. Это не имеет
значения, а в дальнейшем будет удобно при
применениях. Предварительные конечные суммы этих рядов
обозначим через
sn — ZQ + *i+ ••• +zn> tn=w0 + w{+ ... +wn.
74

Предварительные суммы для рядов абсолютных
величин обозначим через
sn = I Zo I + I zx I + ... + I zn I,
K = \w0\ + \wi\+ ...+\wn\.
Положим, далее,
lim sn = st lim tn = t.
И->оо n->oo
Составим теперь произведения каждого члена ряда
(7) на каждый член ряда (8), т. е. произведения вида
zPWqy и составим сумму всех этих произведений,
выписав их предварительно в виде одной строки. Сделать
это можно разными способами. Укажем, например,
такой:
^о^о + (г\Щ + z0wi) + (z2w0 + z\W\ + zQw2) + ...
... + (гпщ + zn_iw{ + ... +z0wn).
Здесь в одну группу собраны все произведения zpwq>
для которых р + Я = п, и в этой группе слагаемые
расположены по росту индекса q от 0 до п. Этим или
другим способом расположенные в ряд произведения
вида ZpWq запишем в виде одной строки
go + gl + ... + gm + ... (9)
Предварительную сумму этого ряда обозначим через
hm = go + gi+ ... +gm-
Мы докажем, что ряд (9) абсолютно сходящийся и,
следовательно, имеет сумму, которую мы обозначим
через Л, так что
lim hm = h.
m-»oo
Далее, мы покажем, что
h = st.
Докажем это утверждение. Для этого составим
предварительные суммы для ряда абсолютных
величин членов ряда (9)
£т = 1Ы + |£21+ ••• +\gml
Так как предварительная сумма hm содержит лишь
конечное число слагаемых вида |2ра^|, то существует
75

для данного т такое большое л, что все члены
предварительной суммы hm содержатся в произведениях,
возникающих при перемножении сумм sn и ?я.
Отсюда следует в первую очередь, что .
а так как при неограниченном возрастании п оба
множителя правой части остаются ограниченными, то
ограниченной остается и предварительная сумма hm
при неограниченном росте числа т, так что ряд (9)
абсолютно сходится. Далее, очевидно, что все
произведения вида zpWqy входящие в предварительную
сумму hmt входят в попарные произведения,
возникающие при перемножении сумм sn и tn. Таким образом,
разность sntn — hm может быть записана в виде
sn*n — hm = gP{ + gP2 + ... + gPk,
где все номера р\ < рч < ... < pk больше т. По
ранее доказанному (см. (3)), для заданного
положительного числа б найдется настолько большое
натуральное число v, что при v < р\ < р2 < ... < рь
имеет место неравенство
\SPl+gp2+ ... +gPk\<b
и что при п>\ имеют место неравенства
|srt-s|<6, \tn-t\<b.
Из сказанного следует, что
lim hm == Hm sntn = st.
Итак, правило перемножения рядов доказано.
Одна основная формула элементарной алгебры.
Докажем здесь одну основную формулу алгебры,
которая будет употребляться много раз в дальнейшем,
в частности для суммирования геометрической
прогрессии. Для записи этой формулы и ее
доказательства обозначим через fk(zyw) многочлен относительно
двух переменных z и w, представляющий собой
сумму всех произведений вида
zpw\ (10)
76

где р и q — неотрицательные целые числа, сумма ко*
торых равна k. Таким образом,
fk(z9 w) = zk + zk-lw + zk~2w2+ ... + zwk~l + w\
Форх^ула, о которой идет речь, следующая: '
Zn-Wn = {z-W)fn_l{2> да). (И)
Для ее доказательства умножим fn-\(z, w) на z. Оче-
видно, что это произведение содержит все слагаемые
вида (10), где k = п, кроме wnt так что мы имеем
/«-i(*. w)z = fn(z, w) — wn. (12)
Точно так же мы имеем
fe_l(*f W)w = fn(z9 W)-Zn. (13)
Вычитая равенство (13) из равенства (12), получаем
f«-ife, w){z — w) = zn— wn,
т.е. доказываемую формулу (11).
Суммирование геометрической прогрессии.
Применим теперь формулу (11) для суммирования геомет*
рической прогрессии
sn = a + aw+ ... -\-awn, (14)
где а и w — комплексные числа.
Ясно, что sn= afn(l,w), откуда в силу формулы
(11) получаем
*-*%#>• оч
Последнюю формулу можно применить для сум*
мирования бесконечной геометрической прогрессии
a + aw-\-aw2+ ... -\-атп+ ... " (16)
в случае, когда |а;|<1. Для ряда (16) сумма sn
(см. (14)) является предварительной суммой, и в
силу формулы (15) при |о>|< 1 мы имеем
(см. §2, (12)).
Главный признак абсолютной сходимости. Дадим
теперь один важный достаточный признак абсолют-
11

ной сходимости ряда. Выпишем ряд
Zo + Zi+ ... +zn+ ..., (18)
слагаемыми которого являются действительные или
комплексные числа. Наряду с ним выпишем другой
ряд
Щ + Щ+ ... + ип + ..., (19)
слагаемыми которого являются действительные
положительные числа.
Если ряд (19) сходится и выполнены неравенства
|гп|<ия, я = 0, 1, 2, ...,
то ряд (18) является абсолютно сходящимся.
Доказательство этого утверждения настолько просто, что
нет надобности его приводить. Отметим
дополнительно важное соотношение. Если s — сумма ряда (18),
a v — сумма ряда (19), то имеет место неравенство
Особенно важным частным случаем ряда (19)
является геометрическая прогрессия
а + аа + аа?+ ... +аап+ ..., (20)
где а и а — положительные числа, причем а<1.
Сходимость ряда (20) нами уже доказана (см. (17)),
причем сумма v ряда (20) дается формулой
Таким образом, если ряд (18) удовлетворяет
условиям
l*«l<flwn. л = 0, 1,2, ..., (22)
то ряд (18) абсолютно сходится, и мы имеем
оценку его суммы в виде неравенства
\sKj~. (23)
Совокупность неравенств (22) можно записать
коротко в виде одной формулы
z» = О К) (24)
(см. § 2). Таким образом, последнее условие (24)
является достаточным для абсолютной сходимости ряда
(18).
78

Пример I. Здесь будет дана формула, доказа*
тельство которой служит хорошей иллюстрацией
только что изложенного достаточного признака
абсолютной сходимости ряда. Сама формула найдет
важное применение в следующем параграфе. Пусть
c(k) — ограниченная функция натурального числа /г,
т. е. функция, удовлетворяющая условию
\c(k)\<c,
где с — константа, не зависящая от k. Тогда имеет
место следующее предельное соотношение:
c(k) \k
fe-»oo
lim(l+£|L)ft=l. (25)
Для доказательства развернем выражение, стоя*
щее под знаком предела, по формуле бинома Ньюто*
на (см. § 2, (10)), именно, напишем
О+П?г1)*=1+*!+*+ ... +*п+ ...,
где
_k(k-l) ... (k-n+l)f c(k)\n_
Zn~ n\ \ k2 ) ~
— JL JL k~~l (k — n + \) г с(k) \n
n\ ' k k '•' k V k ) '
Эта формула верна при произвольно большом п, хотя
в биноме Ньютона содержится лишь конечное число
членов.
Непосредственно видно, что
и.к(тГ
Таким образом, при k > с мы имеем в силу формулы
(23) неравенство
с
\zi+z2+ ... + *„l< _™_£_.
1~~Т
Из этого видно, что при &->оо сумма z\ + z2 +" ***
*.. + Ztt стремится к нулю. Итак, формула (25)
доказана. Эту формулу можно переписать в виде
а('+о(т))'-«-
к-*<»
79

i*^ii м е р 2. Докажем, что ряд
и4 + 7+- +-4г+... (26)
сходится. Для доказательства построим
вспомогательный ряд, слагаемые которого превосходят
слагаемые ряда (26) и сходимость которого легко
устанавливается. Ряд этот следующий:
1+Ti¥ + 2i3+ ••• +(^Т)7+--- (27)
Мы имеем
(п— \) п п — 1 я '
Заменяя'по этой формуле каждый член ряда (27),
мы получаем новый ряд
« + 0Ч) + (|-й+-+Ыт-т) +
Ясно, что сумма последнего ряда равна 2. Так как
п2 ^ (/г- \)п'
то из сходимости ряда (27) вытекает сходимость
ряда (26), причем сумма ряда (26) меньше 2.
§ 7. Функция ехр(г)
Большую роль в анализе играет функция ехр(г)
комплексного переменного г, которая задается рядом
exp(2) = ^ + ~fr+4+ ••• +i+ ••• W
Ряд этот абсолютно сходится для произвольного
значения г, так как
1^|1 = 0(у'г), (2)
где 7 < 1, а это есть признак абсолютной
сходимости ряда (1) (см. § 2, (19) и § 6, (24)).
Основные свойства функции ехр(г). Установим
теперь несколько свойств функции ехр(г). Прежде
80

всего, ясно, что
ехр(0)=1. (3)
Важнейшее свойство функции ехр(гУ выражается
следующей формулой:
exp (z-\-w) = exp {г) • exp (w), (4)
где z и w — два произвольных комплексных числа..
Для доказательства формулы (4) выпишем ряд
exp(w) = ± + ^ + £+ ... +^+ ... (5)
Так как оба ряда (1) и (5) абсолютно сходятся, то
для получения их произведения следует перемножить
их почленно (см. § 6). Таким образом, нам следует
составить все произведения вида
1 zpwq (6)
p\q\ Z W ' , K }
где p и q — целые неотрицательные числа, и
просуммировать их. Просуммируем сперва все произведения
вида (6), для которых р + q = п, где п —
фиксированное целое неотрицательное число. Умножим эту
конечную сумму на я!. Полученная так сумма состоит
из всех слагаемых вида
_«L zPwq> (7)
p\q\ уп
где р + q = n, а числа р и q — целые
неотрицательные. По формуле бинома Ньютона (см. § 2, (8))
сумма всех членов вида (7) равна
(z + w)n.
Так как в произведение рядов (1) и (5) входит
сумма всех произведений вида (6), а мы умножили ее на
л! для того, чтобы получить сумму членов вида (7),
то произведение рядов (1) и (5), очевидно, имеет
вид
exp (z) • exp (w) =
_ 1 . г+w , (z+w)2 . , (z+w)n . _
0! ^~ 1! ' 2! ' * * " n\ ' • • •
= exp(z + w)
;(cm. (i)).
81

Таким образом, основная формула (4) доказана.
Из соотношений (3) и (4) следует, что
Действительно, мы имеем
1 = ехр (0) = ехр (г + (— -г)) = exp (z) • ехр (— г),
так что ехр (г) -ехр(—z) = 1, а это значит, что
формула (8) верна.
Из формул (4) и (8) непосредственно вытекает,
что
, ч ехр (w) /Q\
Путем последовательного применения формулы
(4) в случае z = w мы получаем
ехр (kz) = (ехр (z))kf
где k — произвольное натуральное число. Из этой
формулы и формул (3) и (8) следует, что
ехр (кг) = (ехр {z))k (10)
при произвольном целом к.
Докажем теперь, что
при |2| = а<1 имеем | ехр (z) — 1 [< х ^_ . (11)
Действительно,
я
ехр(г)-1=^ + -|г+ ... +|г+ ... 02)
I г I n
При |z| = a<l мы имеем -1——^ап, и,
следовательно, сумма ряда, стоящего в правой части
равенства (12), по модулю не превосходит величины
г __а (см. § 6, (23)). Таким образом, неравенство
(11) доказано.
Из неравенства (11) следует, что
при \w — z\ = a<l имеем | ехр (w) — exp (z) |<
<| ехр (аг)!-^. (13)
82

Действительно, в силу формулы (9) мы имеем
exp (w) — ехр (г) = ехр (г) • (exp (w — z) — 1),
откуда в силу неравенства (11) следует неравенство
(13).
Из неравенства (13) следует, что функция ехр (г)
есть непрерывная функция (см. пример 1 § 1). В
самом деле, пусть z0 — произвольное комплексное число
и 2i, г2, ... zn, ... — такая последовательность
комплексных чисел, что
\\mzn = z0.
В силу формулы (13) мы имеем для достаточно
больших п __
I ехр (гп) - ехр Ы К | ехр (z0) I x 1%7-io I '
Переходя в этом неравенстве к пределу при п-^оо,
получаем
lim exp (zn) = ехр (го),
так что функция ехр (z) непрерывна для каждого
значения своего аргумента го.
Функция ехр(2) для действительных значений z=x.
Установим теперь некоторые свойства функции ехр (z)
для действительных значений аргумента z = x.
Прежде всего, ясно, что ехр (х) при действительных х
всегда действительна и положительна. В самом деле, все
коэффициенты ряда (1) действительны и
положительны, поэтому значения ехр (я) действительны и
положительны при х ^ 0,- но они положительны и
при х < О, что следует из формулы (8). Итак,
ехр(*) > 0.
Совершенно особую роль в математике играет
значение функции ехр(1). Число это имеет
специальное обозначение е и, согласно формуле (1), оно равно
е = ехр(1)=1+± + ± + ... +^-+ ... (Н)
Благодаря своей исключительно большой роли в
математике число е вычислено с высокой точностью.
Дадим его здесь с точностью до 5 десятичных знаков:
е» 2,71828.
83

Из формул (10) и (14) следует
ехр (*) = ** (15)
для произвольного целого &. Но оказывается, что и
для произвольного рационального числа г мы имеем
ехр(г) = гг. (16)
В самом деле, полагая в формуле (10) k ===== / и /г =
= л:, мы получаем из нее
ехр(л;) = (ехр(-у-)) . (17)
Так как числа ехр(лг) и expf-yj положительны, то
из формулы (17) вытекает
ехр(т) = (ехРМ)т#
Здесь, очевидно, подразумевается, что в правой части
взято положительное значение корня из
положительного числа. Полагая в этом соотношении х = k, мы
получаем в силу формулы (15)
exp(4)=(exp(fe))T = (^)T=-^T,
Так как — есть произвольное рациональное число,
то формула (16) доказана.
В формуле (16) справа стоит е в рациональной
степени г, определенное по всем правилам
элементарной алгебры, т. е. для натуральных значений
числа г обычным способом, для отрицательных и
дробных степеней г, как это принято, при помощи
обратных величин и корней. Таким образом, функция
ехр(г) для рациональных значений г получила ясное
с точки зрения элементарной алгебры выражение.
Можно теперь попытаться распространить функцию
ех, определенную для рациональных значений
аргумента х == г, на все действительные значения х
таким образом, чтобы она стала непрерывной
функцией действительного аргумента х. Такое распростра*
нение можно дать, положив
е* = ехр(*). (18)
84

Для рациональных значений х = г'это равенство
имеет место в силу формулы (16). Но правая часть
равенства (18) определена для всех действительных
значений х и непрерывна. Таким образом, формула
(18) распространяет функцию ех на все
действительные значения х.
Другого способа распространить функцию ех,
определенную для рациональных значений аргумента
х = г, на все действительные значения так, чтобы
она стала непрерывной, не существует. Это легко
проверить. В самом деле, пусть xq — произвольное
действительное число. Существует тогда такая
последовательность
*"b г2> • • •> ?п\ • • •
рациональных чисел, что
Так как мы хотим, чтобы функция е* была
непрерывна в точке х = xq, to мы должны иметь
ИтеГп = ех°.
Я->оо
Подставляя в левую часть этого равенства вместо еп
выражение ехр(гя), мы получаем в силу
непрерывности функции ехр (х)
lim ехр (гп) = ехр (лг0)
Л>оо
и, следовательно, ех° = ехр(х0).
. Итак, доказана формула
е* = ехр (*) = ■!+ -£- + -£+ ... +^+ ••• (19)
для действительных значений х. Формула эта глубоко
содержательна. Она выражает функцию ех
действительного переменного х, первоначально
определенную чисто алгебраически, при помощи ряда (19), что
позволяет легко вычислять ее с большой точностью.
Функция ехр(z) для мнимых значений г = iy. Мы
изучили функцию ехр (г) для действительных
значений z = х. Изучим ее теперь для чисто мнимых
значений z = iy, где у — действительное число.
Оказывается, что имеет место следующая замечательная
85

формула:
exp (iy) = cos у + i sin y> (20)
где cos у и sin у суть функция, определенные в
тригонометрии и хорошо известные из элементарной
математики. Здесь угол у измерен в радианах.
Проведем доказательство этой формулы. Для
этого, прежде вс^го, в ряд (1), определяющий ехр(г),
подставим z = iy. Тогда ряд (1) будет содержать
члены двух типов: такие, которые не содержат в
своих коэффициентах мнимой величины t, и другие,
которые ее содержат. Собирая вместе
действительные члены и чисто мнимые члены ряда (1) для z=iy,
т. е. переставляя члены этого ряда, что возможно в
связи с его абсолютной сходимостью, мы получим
Ш-1-£+ ...+(-ir7gr+..., (21)
^)-y-g-+...+(-D»-^5r+... (22)
Так как ряд exp (г) абсолютно сходится, то ряды (21)
и (22) также абсолютно сходятся, и в силу
результатов § 5 (см. пример 3) их можно почленно суммиро*
вать, и потому
exp(ly) = f(y) + ig(y).
Таким образом, доказав формулу (20), мы докажем,
что
cos y = f (у); sin у = g(y), (23)
т. е. получим для тригонометрических функций cos ц
и sin у разложение в степенные ряды. Ряды эти
абсолютно сходящиеся для произвольного значения у,
что следует из абсолютной сходимости ряда (1).
При доказательстве формулы (20) нам придется
найти приближенное выражение функций f(y) ng(y),
исходя из рядов (21) и (22), в предположении, что
у мало. Мы будем считать, что\ y\<-j> Заметим,что
все слагаемые ряда (21), начиная со второго, по мо*
дулю не превосходят слагаемых,геометрической про»
грессии
\У\2+ ... +\УГ + ....
86

а все слагаемые ряда (22), начиная со второго, по
модулю не превосходят слагаемых геометрической
прогрессии
Ы3+ ... +\уГ+1+ ...
Так как сумма первой геометрической прогрессии
равна
\~\y\2 ^ I 3 m
4
(см. § 6, (23)), а сумма второй геометрической
прогрессии равна
4
при|у|<-т, то для функций f(#) и g(y) мы полу
2
/(</)-! К 4i</l2; lg(*/)-yl<4l#l3. (24)
чаем при | у |< ^
Идея доказательства формулы (20) следующая.
В силу формулы (10) мы имеем
ехр Щ = (exp (-£))* = (exp (ia))k,
где « = -?• = О f т-J, в предположении, что (3 не
зависит от k. Здесь k — натуральное число, но
предположим дополнительно, что оно четно. Выражая
комплексное число exp (ia) = f{a) + ig(a) приближенно
на основании формул (24), которые справедливы,
конечно, при у = а, мы получаем
/(а)=1 +0(^); g(a) = a + 0(Jr). (25)
Возводя выражение f{a)+ ig(a) в степень k и
переходя к пределу при &->оо, мы в результате ряда
вычислений получим
lim (exp (ia))k = cos p + i sin p, (26)
чем формула (20) и будет доказана цри у = р.
87

Комплексное число exp(iaV запишем в
тригонометрической форме, т. е. положим
/ (а) + ig (a) = P (cos б + i sin 6),
где р и б суть функции числа сс= |-, т. е.'в
конечном счете, четного натурального числа k. Так как
теперь
(exp (ia))k = pk [cos (k6) + i sin (k6)]
(см. введение, (14), (17)), то для доказательства
соотношения (26) достаточно доказать два
соотношения
!imp*=l, (27)
lim kd = р. (28)
Пользуясь приближенными формулами (25), мы
легко получаем
Р2= U (a)]2 + ig («Л2 = [1 + О (^)]2 + [о+ О (■£)]!=
= 1+0(^).
Далее,
• -««*■*&.
Для приближенного вычисления отношения -утт* со"
ставим разность
,.<«) « + <>(£) « + 0(^)-«-a.0(^)
-а = т~т—а=-
/(а) И-О(т-) ' + 0(1)
i + o(£) °Ь0-
Таким образом,
причем y = О Гу J . Следовательно,
e-arctgY-^..(a + 0(^)). (29)
88

Пользуясь полученными приближенными
выражениями для р2 и б, мы легко докажем формулы (27)
и (28). Действительно,
limp*= lim (р2)т = lim (l + o(-^))~==
где / —-g-- ^ СИЛУ формулы (25) § 6
Таким образом, формула (27) доказана. Далее, мы
имеем по формуле (29)
В силу формулы (25) § 4
ft->oo Y
а
lim (to + АО (£)) - Ит (р + О (^)) - р.
Таким образом, формула (28) доказана.
Итак, равенство (26) доказано, а тем самым
доказана и основная формула (20).
Пример 1. Определим функцию exp(z),
заданную рядом (1), иначе. Именно, оказывается, что
exp(z)= lim fl +4)*- (30)
Для доказательства разложим выражение, состоящее
под знаком предела, по формуле бинома Ньютона
(см. § 2, (10)). Мы имеем
0+1)*=1 + т|-т+---
, k(k-l) ■ • • (fe-n+1) zn .
• •. i ~t -pi- ... (<*U
89

Член номера т суммы (1) имеет вид
_ zm
Zm ~ m\ '
Член номера т суммы (31) имеет вид
Zm = '■"I V4 "^Г >
1 ,и\ k(k— 1) ... (k-m-Ы)
где /m(£) = — jji '-, так что
0</т(£)<1, ' (32)
Hm/m(Jfe)=l. (33)
Таким образом, мы имеем
<к+1|+к+2|+ •••=б«- <34)
Так как ряд (1) абсолютно сходится, то
lim 6„ = 0. (35)
П->оо
Далее, положим
sn = zo + z{ + ... +zn,
< = < + *!+ -.. + <■
Из (33) и (34) следует, что
К-*„|=М")> (37)
причем при фиксированном п имеем
lim &k (n) = 0. (38)
Из формул (34), (36) и (37) следует, что
|(l +j)k-exp(z)\<6n + ek(n). (39)
Зададимся теперь произвольно малым
положительным числом а и выберем настолько большое п,
что 6„ < -j (см. (35)). Зафиксируем это значение л
и выберем для него настолько большое число k>
чтобы было ek (п) < -j (см. (38)). Тогда из (39) получаем
К1 +т)*~ехрН<а- (40)
90
(36)

Таким образом, при произвольном положительном а
можно найти настолько большое k, что выполнено
неравенство (40), а это и значит, что выполнено
равенство (30).
Особый интерес формула (30) представляет при
2=1. Тогда мы имеем
e=lim(l+4-) .
к~>оо
Именно таким способом было первоначально
определено число е.
§ 8. Основные трансцендентные функции
Основными трансцендентными функциями счи-
таются показательная функция ах, где а — положи*
тельное число, тригонометрические функции sin х,
cosx, tg#, ctgx и обратные к ним функции, т. е.
loga х, arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.
В предыдущем параграфе, пользуясь функцией
ехр(г), мы получили разложение функций е*, cos я,
sin л: в степенные ряды, именно:
«*~1+Т7+£+... + -£+■". (О
v2 у2П
«* I I / 1 \Л *
cos* = l —±-+...+(-1)-^-+..., (2)
sin*-*—{■- + ... +(-1)"^+ ... О)
(см. § 7, (19), (21) — (23)), причем ряды эти
абсолютно сходятся для всех действительных значений х.
Таким образом, пользуясь функцией ехр(<г), мы
получили разложение в ряды по степеням х трех
очень важных функций ех9 cos x, sin x действительного
переменного. Каждая из этих трех функций по
самому своему определению имеет смысл лишь для
действительных значений аргумента.
Но так как ряды (1) — (3), при помощи которых
теперь эти функции можно вычислить, абсолютно
сходятся, то они сходятся и для комплексного
значения аргумента, так что вместо действительного аргу-/
мента х мы можем подставить в них комплексный
аргумент z и считать, что функции, прежде
определенные лишь для действительных значений аргумен-
91

та, определены' теперь и для комплексных значений
аргумента. Таким образом, по определению мы
можем написать
е
= 1+1г + 1й+ ■■■ +-ЙГ+-- <4>
C0S2=1—|р+ ... +(-1)"-^+ .... (5)
23 Z2n+i
sin2=2-ir+ ••• +<-I)Bito+i)T+ ••• (6)
Итак, пользуясь рядами, мы сумели функции,
заданные лишь для действительных значений аргумента,
распространить на все комплексные значения
аргумента; Возникает вопрос, является ли такое
распространение на комплексные значения аргумента
случайным, т. е. можно ли его сделать для каждой из
функций ег, cos г, sin г при помощи рядов разными
способами. В следующем § 9 будет показано, что
такой возможности нет, что распространить на
комплексные значения аргумента функцию
действительного переменного, пользуясь степенным рядом,
можно только одним способом.
Из равенства (1) § 7 и равенства (4) следует, что
ег = ехр (г). (7)
Таким образом, функция ez имеет следующие
свойства:
(Р=19 (8)
ez+w = ez'ew, (9)
*- = 4-. (Ю)
е
е
ew-z = ^-r (П)
е
(см. § 7, (3), (4), (8), (9)). Кроме того, функция
ez непрерывна, так как ехр (г) непрерывна. Функции
cos z и sin г, получаемые при помощи рядов (5) и
(6), являются новыми функциями комплексного
переменного, но они тесно связаны с функцией ez = ехр (г)..
Именно, подставляя в ряд (4) вместо z величину iz и
сравнивая полученную формулу с формулами (5) и
92

(6), мы приходим к тождеству
etz = cos z + i sin z. (12)
Эта формула отнюдь не следует из формулы (20)
§ 7, которая доказана лишь для действительного
значения аргумента, она верна для любых комплексных
значений z. Из формул (5) и (6) следует, что
cos (— z) = cos г, sin (— z) = — sin z.
Таким образом, cos z есть четная функция, a sin z
есть нечетная функция. Пользуясь этими формулами
и заменяя в формуле (12) z на —z, мы получаем
e~iz = cos z — i sin г. (13|
Разрешая соотношения (12) и (13) относительно
cos z и sin z, получаем для них следующие
выражения:
cos2 = ——%^-—» (14)
sin z = ^-~—- (15)
Таким образом, новые построенные нами функции
cos г и sin г комплексного переменного z очень
просто выражаются через функцию ег комплексного
переменного 2.
Для функций cos 2 и sin 2 комплексного
переменного теперь заново нужно доказать формулы
косинуса суммы и синуса суммы. Доказательство
проводится на основании формул (14) и (15) при помощи
формулы (9). Это я предоставляю сделать читателю.
Эти формулы указывают на сходство функций cos z
и sin z действительного и комплексного переменных.
Но есть и разница — для комплексного переменного
эти функции не ограничены.
Теперь, пользуясь формулой (9), можно более
детально изучить функцию ег комплексного
переменного z = х + iy. Именно, мы имеем (см. § 7, (20))
ex+iy _ exeiy _ ех (cos у _|_ i sjn у^ (16)
Первый множитель р = ех есть показательная
функция, и ее сравнительно легко можно себе
представить. Это есть монотонная функция, которая
чрезвычайно быстро возрастает при л;->-оо и очень бы-
93

стро стремится к нулю при х->—оо, оставаясь все
время положительной. График ее изображен на
рис. 8. Он пересекает ось ординат в точке р = 1.
Обратная функция для функции ех, т. е. решение
уравнения
относительно х, называется логарифмом числа р при
основании е или натуральным логарифмом числа р.
Она обозначается через In р, так что х = In p.
Действительная функция In p определена лишь для
положительных значений р. Она положительна при
р > 1 и отрицательна при р < 1. График этой
функции легко себе представить, отобразив зеркально
Ч /
iV
Рис. 8.
Рис. 9.
график функции р = ех относительно биссектрисы
первой и третьей четверти координатной плоскости.
Он изображен на рис. 9.
Так как функции cos у и sin у имеют период 2я, то
из формулы (16) следует, что функция ег имеет
период 2ш, т. е.
Далее, из формулы (16) следует, что функция ег
не обращается в нуль ни при каком значении г, т. е,
е*Ф0.
Функция Inw комплексного переменного w. Для
того чтобы изучить функцию In w комплексного
переменного w9 нам следует решить уравнение
ег = w = р (cos ф + / sin ф)
относительно г. Это уравнение перепишем в виде
ex+iy _ ех (cos у _|_ i s jn y) — p (cas ф + / sin ф).
04

Мы получаем
л: = 1пр, (17)
г/ = Ф + 2kn.
Здесь в формуле (17) имеется в виду
действительный логарифм действительного положительного
числа р, a k — произвольное целое число. Таким
образом, комплексная функция In w комплексного
переменного w есть многозначная функция. Она
определена лишь с точностью до слагаемого 2Ш. Это
очевидно априори, так как функция ez имеет период 2ni.
Натуральный логарифм действительного
положительного числа также определен неоднозначно, но обычно
рассматривают лишь его действительное значение,
которое определено однозначно. Здесь мы приходим к
неизбежному расширению понятия функции, именно,
функция может быть многозначной, с чем, однако,
сталкиваются уже и в элементарной алгебре при
извлечении корня и в элементарной тригонометрии при
рассмотрении обратных тригонометрических
функций.
Для того чтобы составить себе представление о
характере многозначности функции In w в
комплексной области, представим себе, что точка w движется
в плоскости комплексного переменного w, описывая
некоторую кривую, не проходящую через начало
координат. Кривая эта задается уравнением
w=w(t)y
где / — действительная переменная (время),
возрастающая от нуля. Если
до = р (cos <р + i sin ф),
то w(t) = [p(t), ф(/)], где р(/) и ф(0 суть полярные
координаты точки w(t). Так как точка w(t) в
процессе своего движения не проходит через точку w =
= 0, то функция p(t) положительна и непрерывно
зависит от t, но функция ф(^) неоднозначна. Для того
чтобы сделать ее однозначной, нужно выбрать для
нее какое-либо определенное значение в начальный
момент времени t = О, т. е. взять определенное
значение ф(0), а затем следить за изменением угла ф(0'
при изменении г так, чтобы функция ф(/) оставалась
непрерывной, т. е. не делала скачков. При этом мо-
£5

жет случиться, что в некоторый момент времени
t = t\ мы придем вновь в точку w(0), так что w(t\) =
= w(Q). При этом
р(Л) = Р(0); ф(/1) = ф(0) + 2*я;
здесь k может оказаться не равным нулю.
Таким образом, значение функции In wf
непрерывно меняющееся при возрастании t от нуля до /ь
изменится в результате движения вдоль нашей
кривой на число 2&ш\ хотя значения аргумента w
функции In w в начальный и конечный момент совпадают.
Легко усмотреть, что целое число k равно числу
обходов вокруг начала координат кривой, которая
описывается точкой w(t) при своем движении. Это
конкретно можно себе представить в случае, когда
w(t) = co$t + * sin/,
a t\ = 2kn, т. е. когда точка w(t) движется по
окружности радиуса единица вокруг начала координат,
начиная из положения w = 1, причем мы считаем
<р(0) = 0. Так как t\ = 2fcrt, то при таком движении
точка w(t) пробегает окружность k раз, так что
кривая w(t) k раз навертывается на окружность, и число
k равно числу оборотов точки w(t) вокруг начала
координат. Ввиду того, что изменение значения In w
зависит от числа обходов кривой вокруг начала
координат, начало координат называется точкой
ветвления функции In w, или более полно,
логарифмической точкой ветвления.
Функции arccos w и arcsin w комплексного
переменного w. Функции arccos w и arcsin w легко
выражаются через логарифм комплексного переменного. Для
того чтобы найти функцию arccos w, мы должны
решить уравнение w = cos z относительно г. Для
решения этого уравнения выразим cos г по формуле
(14). Тогда мы получим
W = 2
Полагая
eiz = b (18).
мы имеем
£2- 2w%+ 1=0,
96

откуда l = w-\--y/w2— 1 . Здесь под функцией <\fw2—\
подразумевается двузначная функция, и потому нет
надобности писать перед корнем оба знака. В силу
формулы (18) получаем
z = — / In (w + д/^2 — 1 )»
следовательно,
arccos w = —/ In (w + V^2 ~~ 1 )•
Точно так же получается формула
arcsin w = —/ In (tw + У1 — w2 )•
Таким образом, функции arccos а; и arcsin w
выражены через логарифм. Входящие в эти формулы
неоднозначные функции У~и 1п могут принимать свои
произвольные значения.
Пример. История логарифмов. Хорошо
известное из элементарной математики понятие логарифма
возникло первоначально из сопоставления свойств
геометрической и арифметической прогрессий
..., q~\ ..., q-\ l, q, ..., q\ ..., (19)
..., — па, ..., — a, 0, a, ..., па, ..., (23)
где q>\\ a > 0. Видно, что произведению чисел
первого ряда соответствует сумма чисел второго
ряда, т. е. в современном смысле числа второго ряда
являются логарифмами чисел первого ряда при
некотором основании. Эта зависимость между
последовательностями (19) и (20) была отчасти подмечена уже
Архимедом и хорошо известна математикам XV—
XVI веков. Однако это свойство не было
использовано для практической цели. Между тем таблица
(19), (20) дает возможность заменить операцию
умножения более простой операцией сложения. Позже,
в XVI веке, потребности навигации, связанные с
определением положения корабля по звездам, вызвали
развитие различных вычислительных приемов, в
частности возникновение логарифмических таблиц.
Первые таблицы логарифмов были составлены
швейцарским математиком Бюрге и шотландским
математиком Непером в XVII веке. Здесь мы изложим
основную идею Бюрге.
4 Л. С. Понтрягин
97

Для того чтобы составить таблицу логарифмов,
важно, чтобы числа последовательности (19)
располагались достаточно густо, т. е. чтобы число q было
достаточно близко к единице. Можно положить
<7=14--г, где k — достаточно большое натуральное
число. Если положить a==~j> то вместо
последовательностей (19) и (20) получаем последовательности
.... (и4Г> ...,(i+!)~'(i,
О+тЭ'-'О+т)" <21>
_л — J. Л 1 а (оо\
к, ..., л, л, л, •.., ^ > • • • i^j
Теперь числа последовательности (22) являются
логарифмами последовательности (21), взятыми при
основании (!+"£■) ■ Чем больше k9 тем, гуще
становится последовательность (21) и тем совершеннее
таблица логарифмов, построенная при помощи
последовательностей (21) и (22). Бюрге взял за k число
10 000 и получил для основания логарифмов
( 1 \ Ю 000
( 1 + ' 1QQQQ 1 значение 2,71824, совпадающее счис-
лом е с точностью до 4 десятичных знаков. Само число е,
как это было указано в примере 1 § 7„ определяется
как предельное значение для П +т) ПРИ &-^°°«
В результате этого предельного перехода
соответствие между последовательностями (21) и (22)
превращается в логарифмическую зависимость у = \пх<
§ 9. Степенные ряды
Функция ехр(г) комплексного переменного z
определяется как сумма степенного ряда (см. § 7)
ехр(г) = -~ + -^+^+ ... +-J+ ... (1)
Естественным обобщением этого является задание
функции f(z) комплексного переменного г при по-
96

мощи произвольного степенного ряда
f(z) = a0 + alz + a2z2+ ... +anzn+ ..., (2)
где Яо, аь ^2, ... ап, ... — заданные комплексные
числа, определяющие ряд и тем самым функцию f(z).
Ясно, что ряд (1) является частным случаем ряда
(2), когда
Функция f{z) может быть определена формулой (2)
лишь для тех значений аргумента г, для которых ряд
(2) сходится. Ряд (1), определяющий функцию
ехр(г), сходится для всех значений z (см. § 7). Но,
конечно, произвольный ряд (2) не обладает этим
свойством. Таким образом, первой важнейшей
задачей, с которой мы здесь сталкиваемся, является
решение вопроса о том, для каких значений z
конкретно заданный ряд (2) сходится или, что даже более
важно, сходится абсолютно.
Очевидно, что при z = О ряд (2) всегда сходится,
но существуют и такие ряды типа (2), которые
сходятся лишь при 2 = 0 (см. пример 1). Такие ряды,
конечно, не определяют никакой функции, и мы пока
будем называть их тривиальными.
Некоторые свойства нетривиального ряда. Итак,
будем исходить из предположения, что для
некоторого значения z = zo Ф 0 ряд (2) сходится. Тогда в
силу формулы (6) § 5
limart2o = 0,
и потому все числа вида
anzo, n = 09 1, 2, ...,
по модулю меньше некоторой константы а. Таким
образом, мы имеем |a,*IUo|rt < я.
Отсюда мы получаем оценку для коэффициента
ап\ именно, мы имеем
\ап\< j^rr, п = 0, 1, 2, ...
Составим теперь вспомогательный ряд из
положительных членов
4*
99

Ряд (3), как говорят, мажорирует ряд (2), так кай
каждый его член больше соответствующего члена
ряда (2), именно:
\а^\<а^г. (4)
Поскольку при
IzKlzol (5)
ряд (3) является сходящейся геометрической
прогрессией, то при выполнении условия (3) ряд (2J
абсолютно сходится.
Отбросим в ряде (2) свободный член. Тогда мы
получим ряд
fl(z) = alz + a2z2 + ... +anzn+ ...
Его мажорирует ряд
f«<*>-4^+e№+••■+«!*£+•••• (6)
и потому мы имеем
\fi(z)\<fi(z).
При выполнении условия (5) ряд (6),
представляющий собой геометрическую прогрессию, имеет своей
суммой
1*1
М*)=
1
1*о 1 a I g I
1*1 1*о|-|*1
1*о|
(см. § 6, (21)). Таким образом,
IM*>l<TifRrir (7)
Мы имеем
Пг) = ао + Ш9 (8)
причем ft (г) удовлетворяет неравенству (7).
Допустим, что
Выберем теперь такое ограничение на \z\, чтобы
модуль первого слагаемого суммы (8) был больше
модуля второго. Тогда сумма (8), т. е. f(z)9 не
обратится в нуль. Для этого достаточно предположит^
100

что
UK-^IZoMp. Ф)
Подставляя в (7) вместо \z\ его оценку (9), мы
только увеличиваем правую часть (7) и получаем
1До1 iz |
If (у\\< а 2а —- а|ар| ^ а\ао\ _ | п \
Uol-^Uol -« I ао I
Таким образом, если ао=И=0, мы нашли такое
положительное число р (см. (9)), что при
|2|<Р
ряд (2) сходится и сумма его f(z) отлична от нуля,
так что
при |z|<p имеем !(г)Ф0. (10)
Радиус сходимости. Оказывается, что если ряд (2)
нетривиален, то существует такое положительное
число г (случай г = оо не исключается), что при
|г|<г ряд (2) абсолютно сходится, а при \z\> r
ряд (2) расходится. Число г называется радиусом
сходимости ряда (2), а круг с центром в точке 0 и
радиусом г называется кругом сходимости ряда (2).
Докажем существование радиуса сходимости
нетривиального ряда (2). Обозначим через М
множество всех действительных чисел вида |z0|. где zQ
удовлетворяет условию
ряд (2) сходится при z = Zq. (11)
Из условия (11) следует, что если число а
принадлежит М, то и любое положительное число р < а
также принадлежит М. Отсюда следует, что если в М
входят произвольно большие числа, то множество М
состоит из всех положительных чисел. В этом случае
положим г = оо. Если же множество М не содержит
произвольно больших чисел, то оно ограничено, и мы
обозначим через г его верхнюю грань (см. § 4).
В обоих случаях множество М содержит все числа,
удовлетворяющие условию 0 < а < г. Докажем, что
так определенное нами число г есть радиус
сходимости ряда (2).
101

Допустим, что \z\\<r. Тогда найдется такое чис*
ло г0, что при z = zq ряд (2) сходится и
\гг\<\г0\<г.
Так как при z = г0 ряд (2) сходится, то в силу уело*
вия (5) он сходится абсолютно при z = z\. Таким
образом, для всех точек г, удовлетворяющих условию
Ы <С г, ряд (2) сходится абсолютно. Если теперь
|2i|>r, то |2i| не принадлежит множеству Му и
потому при г = z\ ряд (2) расходится. Итак, доказано
существование радиуса г > О сходимости для
нетривиального ряда (2). Если ряд (2) сходится лишь при
z = 0, то мы будем считать, что его радиус
сходимости равен нулю. Термин «нетривиальный ряд» в
дальнейшем употребляться не будет.
Поведение степенного ряда вблизи точки г = 0.
Будем считать, что не все коэффициенты ряда (2) с
положительным радиусом сходимости равны нулю,
и докажем, что существует настолько малое
положительное число р, что уравнение
f(*) = 0 (12)
при \z\ < р либо вовсе не имеет решений, либо имеет
единственное решение г = 0.
Пусть а* есть первый из коэффициентов ряда {2)п
не обращающийся в нуль. Случай &=<0 уже был
нами рассмотрен (см. (10)). В этом случае
уравнение (12) не имеет решения. Допустим теперь, что
k > 0. Запишем функцию f(z) в виде
f(z) = zkfk(z),
где
fk(z) = ak + ak+lz+ ... +ak+nzn+ ... (13)
Так как свободный чдьеы Шк ряда (13) отл«ичега от
нуля, то, согласно (10), существует ташке пшгавдь
тельное чвело р&, что Мя)Ф0 при Jzj-Op*. Тжш
образом, при |z-|< р% функция f{z)= zPfn(z) швжет
обращаться в нуль только тогда, когда ^брашца^ется
в нуль ее первый множитель, т. -е. при z = Q.
Теорема единственности для рядов. Пусть М —
некоторое бесконечное множество точек плоскости твомп-
лексного переменного г, имеющее точку нуль своей
предельной точкой (см. § t, пример 3). Допустим,
102

что функция f(z)\ определяемая рядом
!(г)=ао + а{г + ... +anzn+ ..., (14)
обращается в нуль в каждой точке z множества М,
т. е.
при геМ мы имеем /(z) = 0. (15)
Тогда оказывается, что все коэффициенты ряда (14)
обращаются в нуль.
Докажем это. Допустим, что не все коэффициенты
ряда (14) обращаются в нулк Тогда в силу
доказанного выше существует такое положительное число р,
что при |<г|<:р уравнение /(г)=0 имеет не более
одного решения, и если оно его имеет, то это решение
есть z — Q. Неравенство |г|<р определяет
окрестность U$ радиуса р точки 0. А так как точка z = 0
есть предельная точка множества М, то в этой
окрестности содержится точка z множества М, отличная от
нуля, и для нее в силу условия (15) мы имеем /(г) =
= 0, что невозможно.
Таким образом, приходится признать, что все
коэффициенты ряда (14) равны нулю.
Сделаем теперь вывод из этого предложения,
относящийся уже к двум рядам
<p(z)==a0 + a1z+ ... +anzn+ ..., (16)
*(2) = fc + M+ ". + № + ... (17)
Если теперь М — опять множество, имеющее точку 0
своей предельной точкой, то из предположения, что
для всякой точки z, принадлежащей к М, имеет
место равенство
Ф (*>=*<*), (18)
вытекает, что коэффициенты рядов (16) и (17)
совпадают между собой, т. е.
an = fci, л = 0, 1, ... (19)
Доказательство этой части утверждения,
относящейся к двум функциям, сраау же сводится к первой
его части, относящейся к одной только функции. Для
этого сведения выпишем рааность
/(2) = ф(г)-1|)(2) = (ао-Ро) + (а1-р1)2+ ...
... +(«л-ft.) *"+ •.. (20)
103

Из равенства (18) следует равенство f(z) = 0 при
гЕ'М, так что все коэффициенты ряда (20) равны
нулю, а это значит, что имеют место равенства (19),
Итак, теорема единственности доказана.
Задание функций степенными рядами есть один из
важнейших методов высшей математики. Этот метод
ставит перед нами ряд вопросов, среди которых есть
и следующий. Может ли быть функция f(x) действие
тельного переменного х задана двумя различными
степенными рядами
Ф(л') = о0 + а1х+ ... +апхп+ ..., (21)
W = Po + pi*+ ... +М*+ ... (22)
хотя бы на очень маленьком отрезке изменения xt
|х|< р, где р — положительное число. Теорема един»
ственности сразу дает нам отрицательный ответ на
этот вопрос, именно: коэффициенты рядов (21) и
(22) должны быть одинаковыми, если они задают
одну и ту же функцию f(x).
В самом деле, подставляя в ряды (21) и (22)
вместо действительного переменного х комплексное
переменное 2, мы получим функции ф(г) и ^(г)у
которые равны между собой на множестве М, состоящем
из всех действительных чисел, удовлетворяющих
условию |х|<р. Это множество М имеет в качестве
своей предельной точки точку 0. Таким образом, в
силу теоремы единственности коэффициенты рядов
(21) и (22) должны быть равны между собой.
Одновременно мы получаем решение также и другого
вопроса. Функция f(x) действительного переменного х,
которая может быть задана степенным рядом хотя
бы на очень маленьком отрезке |х|<р, может быть
превращена в функцию комплексного переменного,
задаваемую степенным рядом лишь единственным
способом. Так обстоит дело, в частности, с
функциями e*f cos д: и sin л: действительного переменного х.
В предыдущем параграфе мы превратили их в
функции комплексного переменного г, и теперь видно, что
сделать это можно было лишь одним способом.
Найдем теперь радиусы сходимости некоторых
конкретных степенных рядов.
Пример 1. Дадим прежде всего такой ряд с
радиусом сходимости нуль:
l + l!2 + 2!z2+ ... +nlztl+ ... (23J
104

Ряд этот расходится при любом z ф 0. Для доказа*
тельства положим |г| = —. Тогда мы имеем
In!z«| = ^,
и потому (см. § 2, (18))
Таким образом, слагаемые ряда (23) ке только не
стремятся к нулю, но неограниченно возрастают, и,
следовательно, ряд (23) при г Ф 0 не может
сходиться.
Пример 2. Выпишем ряд
f(z)=l+z + z2 + ... +гп+ ... (24)
Это есть геометрическая прогрессия, при |г|< 1 она
сходится, и сумма ее определяется формулой (21) §6
/(*)=т=7- <25>
При \z\^ 1 ряд (24) всегда расходится, так как
слагаемые его не стремятся к нулю. Таким образом,
радиус сходимости ряда (24) есть единица. Следует
подчеркнуть, что-и при \z\= 1 ряд (24) всегда рас-
^ ходится. Здесь следует отметить очень важный и
интересный факт. Ряд (24) определяет функцию f(z)]
лишь для |г|< 1, между тем как формула (25)
задает ее для всех значений zф\. Это явление очень
важно и типично в теории аналитических функций.
Первоначально аналитическую функцию можно
задать рядом, который определяет ее лишь в круге
сходимости. Потом оказывается, что так заданная
функция в действительности определена и для других
значений аргумента — в данном случае для всех, за
исключением 2=1. Так полученное продолжение
функции, первоначально заданной на круге
сходимости, на более широкую область значения аргумента
называется аналитическим продолжением исходной
функции, и это продолжение можно, оказывается,
осуществить лишь единственным способом. Типичным
для аналитических функций оказывается тот факт,
что на границе круга сходимости имеется особая
точка функции /(г), заданной формулой (25), имен-
105

но, точка 2=1, где функция f(z)\ заданная
формулой (25), равняется бесконечности или, иначе, просто
не определена. Если бы мы исходили из функции
/(г), заданной формулой (25), и захотели разложить
ее в степенной ряд, то, конечно, круг сходимости
этого ряда не мог бы содержать точку 2=1, так как
в этой точке функция, заданная формулой (25),
становится бесконечной. Поэтому ряд, задающий
функцию (25), не может иметь радиус сходимости г > 1,
но оказывается, что он равен единице. Таким
образом, препятствием к расширению круга сходимости
служит появление на его границе особой точки
исходной функции (25).
Пример 3. Естественным обобщением ряда (24)
является ряд
fk(z)=\ + \kz + 2k# + ... +nV+ .... (26)
где k — некоторое целое число. При k = О мы
получаем ряд (24). Из формул (15) и (16) § 2 следует,
что радиус сходимости ряда (26) при любом k равен
единице.
При k = —1 мы получаем ряд, заслуживающий
особого внимания. Позже будет доказано (см. § 13,
пример 3), что он равен 1 — 1п(1—2), так что мы
имеем
l-ln(l-2)=l + f + x+ ••• +-7Г+ •••
Заменяя здесь z на —2, мы получаем
ln(l+z) = i--£ + -5L+ ... +(-1Г1-^+ ...
(27)
При 2=1 ряд (27) сходится, так как он является
знакопеременным рядом с убывающими членами (см.
§ 4). При z = — 1 он расходится (см. § 5). Таким
образом, на границе круга сходимости ряд (27) в
некоторых точках сходится, в некоторых расходится. При
k = —2 мы получаем ряд
Ряд этот сходится при всех значениях z на границе
круга сходимости, т. е. при \г\= 1 (см. пример 2 §6).
106

Из этих примеров видно, что на границе круга
сходимости ряд может вести себя по-разному. Ряд
f0(z) расходится во всех точках на границе круга
сходимости. Ряд /-i(z) в некоторых точках границы
круга сходимости сходится, в некоторых расходится,
И, наконец, ряд f~2{z) абсолютно сходится во всех
точках границы круга сходимости.
Пример 4. Если г0 есть постоянная комплекс-
ная величина, то некоторую функцию f(z) можно
задать рядом
f(z) = Oo + al(z-z0)+ ... +ап(г~г0)п+ ... (28)
по степеням величины 2 — г0. Из ранее доказанного
следует, что существует такое число г ^ О, что при
\г — zo\<.r ряд (28) абсолютно сходится, а при
\z — z0\ ;> г ряд (28) расходится.

Глава II
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Эта глава посвящена весьма сжатому изложению
первой основной части математического анализа,
связанной с понятием производной функции,
вычислением производных различных функций или, что то
же самое, их дифференцированием. Для того чтобы
дать определение производной, приходится прежде
всего несколько видоизменить понятие предела,
данное в главе I. Затем дается само определение
одновременно для действительного и комплексного
случая. Это делается в § 10. В § И даются правила
вычисления производных. В первую очередь
вычисляется производная степенного ряда, что дает
возможность продифференцировать функции ez, cos 2, sin z,
разложение в степенные ряды которых уже было
получено в главе I. Затем выводятся правила
дифференцирования произведения, отношения и сложной
функции. Из последнего выводится правило
дифференцирования обратной функции. Таким образом,
§ 11 содержит в себе правила дифференцирования
всех элементарных трансцендентных функций. Хотя
глава и называется «дифференциальное исчисление»,
в ней, однако, вводится и операция интегрирования
как обратная к операции дифференцирования.
Вводится понятие первообразной функции или, что то же
самое, неопределенного интеграла, также
одновременно для действительного и комплексного случая.
При помощи формулы Лагранжа доказывается
единственность первообразной с точностью до
постоянного слагаемого, так что предварительно приходится
доказать теорему Ролля и формулу Лагранжа для
действительных функций. Все это делается в § 12.
103

В § 13 находятся первообразные для некоторых
конкретных функций, а также даются некоторые правила
интегрирования, именно, интегрирования по частям и
при помощи замены переменной интегрирования.
В § 14 несколько искусственно вводится понятие
определенного интеграла как такой первообразной,
которая обращается в нуль в заданной точке го. На
основе этого устанавливается ряд правил,
относящихся к определенным интегралам, и, в частности,
дается оценка определенного интеграла от
действительной функции через ее модуль. Делается это при
помощи формулы Лагранжа.
Определенный интеграл вводится таким не вполне
естественным образом, для того чтобы в последнем
параграфе главы дать формулу Тейлора с
остаточным членом в интегральной форме и для того чтобы
в ряде конкретных случаев дать оценку этого
остаточного члена. Вычисление остаточного члена в
интегральной форме делается исключительно просто.
Такого простого вычисления остаточного члена в
интегральной форме я нигде не встречал.
§ 10. Производная
В математическом анализе огромную роль играет
так называемая производная функции. Представим
себе, что мы изучаем некоторую функцию f(t)
действительного переменного /. Пользуясь некоторыми
операциями, которые будут подробно описаны ниже,
мы, исходя из функции f(t), строим новую функцию
/'(■/)• Эта новая функция называется производной
функции /(/). Прежде чем перейти к детальному
описанию того, как функция f'(t) получается из функции
f(t)t скажем несколько слов об этой функции /'(/).
Конечно, это словесное описание производной
довольно туманно, но все же оно даст нам некоторую
возможность составить себе представление о значении
производной для приложений математики, в
частности для физики и других разделов естествознания.
Будем для определенности считать, что / есть время,
a f(t) есть какая-то физическая величина,
меняющаяся со временем. Физические величины,
меняющиеся с течением времени, встречаются во всех
физических процессах. Так, например, абсцисса х неко-
109

торой точки, движущейся по оси абсцисс, зависит от
времени и является его функцией, так что процесс
этого движения может быть записан в виде
* = /(/).
Это уравнение рассказывает нам о том, как
положение точки меняется с изменением времени. Точно так
же температура Т некоторого тела может меняться
со временем, и тогда процесс этого изменения может
быть записан в виде уравнения
T = f(t),
где f(t) есть какая-то определенная функция
времени t. He стараясь на первых порах определить, что
это значит точно, мы все же ясно представляем себе,
что скорость изменения величины f(t) с течением
времени t может быть разной в разные моменты
времени. Таким образом, мы ясно ощущаем, что
скорость изменения величины /(/) зависит от момента
времени / и является функцией времени t. Эта
скорость и обозначается через f'(t). Таким образом,
чисто словесное определение производной f'{t)
следующее: f (t) есть скорость изменения величины f(t)
в момент времени t. При изучении физического
процесса обычно выделяют несколько физических
величин, характеризующих состояние нашего физического
объекта в данный момент времени, и эти величины,
как правило, меняются со временем, т. е. происходит
физический процесс. Например, если речь идет о
сжатии некоторого количества газа в цилиндре, то
физические величины, характеризующие состояние газа
в данный момент, следующие: объем газа, его
давление и температура. Если происходит сжатие газа, то
все эти величины меняются со временем, и ясно, что
скорость их изменения играет существенную роль в
описании процесса сжатия газа (см. § 13, пример 1).
Оказывается, что все или почти все физические
законы могут быть описаны математически как
некоторые уравнения, связывающие физические величины
со скоростями их изменения, т. е. связывающие
функции и их производные. Это обстоятельство и
определяет исключительно большое значение производной
для изучения физических процессов.
110

Для того чтобы дать полное математическое опи*
сание производной, необходимо предварительно
несколько видоизменить операцию предельного
перехода, которая рассматривалась нами в § 1.
Новое понятие предельного перехода. В § 1 мы ис*
ходили из некоторой последовательности чисел
su s2, ..., snt ... (1)
При этом было выяснено, какой смысл имеет
утверждение, что последовательность (1) сходится к
некоторому числу s. Именно, было объявлено, что
последовательность (1) сходится к числу 5 тогда и только
тогда, когда разность sn — s неограниченно
приближается к нулю при неограниченном возрастании
числа п. Если это имеет место, то пишут
lim sn = $. (2)
Напомню здесь более формальное точное описание
предельного перехода, которое принято в математике
и которое уже было дано в § 1. Соотношение (2)
имеет место тогда и только тогда, когда для каждого
положительного числа е можно подобрать настолько
большое целое число v, что при п > v имеет место
неравенство \sn — s! < г.
Это описание предельного перехода можно легко
перефразировать, взяв за исходный объект не
последовательность чисел, а функцию f(n) целочисленного
аргумента, которая определяется формулой
f(n) = sn, и=1,2, ... (3)
Ясно, что если мы знаем последовательность (1),
то тем самым мы знаем и функцию f(n)
целочисленного аргумента д, и наоборот, если известна функция
f(n) целочисленного аргумента п, то известна и
последовательность (1). Связь между
последовательностью и функцией дается формулой (3).Теперь
естественно перейти от функции f(n) целочисленного
аргумента п к функции /(г) действительного или даже
комплексного переменного г. При рассмотрении
функции целочисленного аргумента п мы считали, что этот
аргумент п неограниченно возрастает, т. е. стремится
к бесконечности. При рассмотрении функции f{z)\
комплексного или действительного переменного z мы
Ш

будем считать, что z стремится к некоторому
числовому значению г0, и поставим перед собой вопрос,
стремится ли значение f(z) при этом к некоторому
числу /о- Если это имеет место, то пишут
Нт/(г) = /0. (4)
При этом мы считаем, что функция f(z) может быть
и не определена при z = г0.
Утверждение (4) имеет следующий,
непосредственно ясный смысл. По мере того как аргумент z
функции f(z) неограниченно приближается к
некоторому числу 2о, значение функции f(z)
неограниченно приближается к числу /0. Точная формулировка,
принятая теперь в математике, следующая: по
определению соотношение (4) имеет место тогда и только
тогда,' когда для каждого положительного числа 8
можно подобрать настолько малое положительное
число б, что при \z — го|<б имеет место
неравенство \f(z)— /0|< е.
Новое определение предельного перехода для
функции f(z) не только аналогично старому
определению предельного перехода для последовательности
чисел, но оно связано с ним логически, однако
изучать эту связь мы не будем.
Непрерывность функции. Новое определение пре*
дельного перехода для функции f(z) дает
возможность дать новое определение непрерывности
функции, именно, функция f(z) считается непрерывной для
значения своего аргумента zq, если имеет место
соотношение
Нт/(*) = /(*). (5)
Это новое определение непрерывности равносильно
старому, данному в примере 1 § 1. В дальнейшем мы
будем пользоваться лишь этим новым определением
непрерывности, и для того чтобы установить связь
с прежним определением, докажем, что функция,
непрерывная в новом смысле (см. (5)), непрерывна и
в старом смысле. Доказательство будет дано в
нижеследующем примере 3.
Производная функции. В математике
рассматриваются производные функций как действительного, так
и комплексного переменных, причем определение оди-
112

наково для обоих случаев. Поэтому будем исходить
из некоторой функции f(z) действительного или
комплексного переменного, не фиксируя этого заранее.
Закрепим временно некоторое значение z аргумента
функции f(z) и определим значение f'(z)
производной функции f(z) для этого значения аргумента z.
Для этого наряду с закрепленным значением z
рассмотрим произвольное значение \ аргумента
функции f{z). Мы будем мыслить себе величину £ как
полученную из величины z путем ее изменения. Для
того чтобы подчеркнуть это, назовем приращением
величины z величину
Az = £ —z.
Тогда
£ = z + Az.
Приращению Аз независимого переменного
соответствует приращение функции, определяемое формулой
Af(2) = f(0-f(2) = /(2 + A2)-f(2).
Для того чтобы вычислить производную f'(z)\
составим отношение приращения функции к
приращению аргумента
АМг) _ f (С) — / (g) _ f(e + Az)-f(g) ,fiv
Это отношение определено для всякого значения £,
не равного г, или, что то же самое, для всякого
значения Дг Ф 0. При £ = г числитель и знаменатель
дроби (6) обращаются в нуль, поэтому дробь не
имеет смысла. Если отношение (6) стремится к
определенному пределу, когда £->г или, что то же самое,
Дг -> 0, т. е. когда
Игл ISZkzM. (7)
существует, то считают, что функция f(z) имеет про-
изводную f'(z) для своего значения аргумента z, и
эта производная определяется формулой
Г(*)-ИтЩ^Ё1. (8)
При определении производной в точке z мы будем
предполагать, что все значения величины £,
достаточно близкие к zy являются допустимыми значения-
113

ми аргумента. В дальнейшем мы будем считать, что
если написана производная, то она существует.
Если функция f(z) записана у нас в виде
сложного выражения, то при обозначении его производной
штрих ставят иногда за скобку, именно, следующим
образом:
П*) = (/(*))'. (»)
В дальнейшем, когда мы будем писать f'(z)\ мы
всегда будем считать, что производная функции f{z)
существует при заданном значении z, т. е. что предел
(7) существует.
Определяя производную /' (г) функции f(z)y при
значении аргумента г, мы, как правило, будем
предполагать, .что функция f(z) определена для всех зна-
чений своего аргумента, принадлежащих некоторой
окрестности U6 точки z (см. § 1, (12), (16)), так что
при вычислении предела (7) за £ можно принимать
произвольное число, удовлетворяющее неравенству
о<|£ — *|<а.
Бесконечно малые величины. В связи с новым оп*
ределением предела, данным в этом параграфе,
возникает и новое представление о бесконечно малых
величинах. Если некоторая переменная величина т
интересует нас главным образом в процессе своего
стремления к нулю, то мы будем называть ее
бесконечно малой. В этом смысле бесконечно малой
величиной является приращение Az — £ — z
независимого переменного при вычислении производной. Если
т в этом смысле — бесконечно малая величина и
ф(т)—ее функция, причем
lim ф(т) = 0,
то величину ф(т) мы будем также называть
бесконечно малой. Чтобы выразить это более полно, мы
можем сказать, что величина ф(т) бесконечно мала
вместе с т. Очень часто приходится сравнивать
быстроту убывания величины ф(т) с быстротой убывания
величины т. В первую очередь это делается при
помощи знаков О и о (см. § 2). Так, если величина
114

остается ограниченной, когда т-^0, то пишут
ф(т) = 0(т).
Если же дробь (10) стремится к нулю при т->0,
то пишут
ф(т) = о(т).
Очень часто приходится сравнивать быстроту
убывания величины ф(т) с быстротой убывания величины
%п, где п — натуральное число.
Если имеет место соотношение
Ф(т)=0(тп),
то говорят, что ф(т) есть бесконечно малая порядка
п относительно т.
Дифференциал. Разберем теперь несколько
подробнее определение - производной. Она задается
формулой
(см.^ (8)). Иначе говоря, величина
a(S,z)=nilZfz{z)-f'(z) (И)
является бесконечно малой вместе с £ — z. Равенство
(11) можно переписать в виде
/(0-/(г)-Г(г)(С-г) + а.(£-г),
причем
lim а = 0.
Если положить
a.(C-z) = pf
то формула (11) перепишется в виде
Ш-/<*) = Пг)<С-*)+Р, (12)
причем, очевидно,
P = o(£-*). (И)
Левая часть равенства (12) представляет собой
приращение функции, а правая часть состоит из двух
членов, второй из которых удовлетворяет условию
(13). Таким образом, если f (г)ф 0, второй член
правой части равенства (12) стремится к нулю быстрее,
чем первый член. Поэтому считают, что первый член
115

правой части равенства (12) является главным во
всей сумме. Потому можно сказать, что главная
часть приращения Af(z) функции f(z) равна f'(z)Az.
Введем теперь новую терминологию. Будем называть
приращение Аг независимого переменного его
дифференциалом и писать
Аг = dz.
Главную часть приращения А/(г) функции /(г)'
будем называть ее дифференциалом и обозначать через
df{z). Таким образом, мы получаем формулу
df(z) = f'(z)dz. (14)
Понятие дифференциала пока что мало содержатель*
но. На первых порах оно дает нам новую запись для
производной, именно, из формулы (14) следует
Но с течением времени мы убедимся, что
пользование дифференциалами полезно. Производную f(z)i
иногда записывают в виде
ff(z) = -^f(z). (16)
Запись производной в виде (15) и (16) имеет
некоторое преимущество перед обозначением f'{z), так как
в этих записях ясно видно, по какой переменной
берется производная, а это в некоторых случаях
оказывается очень важным. В связи с формулой (15)
операцию взятия производной часто называют
операцией дифференцирования. Функция, имеющая
производную в точке z, называется дифференцируемой
в точке z. Функция, имеющая производную для
любого значения своего аргумента, называется
дифференцируемой функцией.
Непрерывность дифференцируемой функции. Если
функция f(z) имеет в точке z производную /'(г), то
она непрерывна в этой точке. Действительно,
переходя в равенстве (12) к пределу при £-^г, мы
получаем
Нт(/(0-/(г)) = 11т(//(г)(С-г) + о(С-2г)) = а
116

Рис. 10.
так что функция f{z)^ непрерывна в точке z (см. (5)).
[Таким образом, если функция имеет производную для
каждого значения своего аргумента, то она
непрерывна.
Частная производная. До сих пор мы говорили
только о функциях одного переменного, хотя в
действительности почти всегда имели дело с функциями
многих переменных; так,
например, многочлен от
переменного z в
действительности является и
функцией своих коэффи- #
циентов. Тем не менее
при взятии производной
от многочлена мы ясно
понимали, что
производная берется по
переменному z. В некоторых
случаях, однако, имея дело
с функцией нескольких
переменных, например f(z, w) двух переменных, нам
важно четко заявить о том, по какому из двух
переменных берется производная. Такая производная
называется частной производной и обозначается через
■£/(*,«>). (17)
При вычислении ее мы даем приращение только z
и считаем величину w постоянной.
Пример 1. Дадим теперь геометрическое
истолкование производной действительной функции f{x)
действительного переменного х. Для этого начертим
график К функции f{x) на плоскости Р, в которой
выбрана некоторая прямоугольная декартова система
координат (рис. 10). Таким образом, К есть кривая,
определяемая уравнением
y = f(x). (18)
Зафиксируем некоторое значение х аргумента нашей
функции и обозначим через у соответствующее
значение функции согласно уравнению (18). Тогда a s=
— (я, у) есть точка плоскости Р9 лежащая на
кривой /С. Эту точку мы будем считать неподвижной. На-
117

ряду со значением аргумента х выберем произвольна
другое значение | Ф х и обозначим через ц соответ-
ствующее значение функции, так что г\ = /(£). Точка
а =(£, л) лежит на кривой К, и ее мы будем считать
подвижной. Если I приближается к х убывая, то
точка а движется по кривой Л', приближаясь к точке а
с правой стороны. Если величина | приближается кх
возрастая, то точка а движется по кривой К> при»
ближаясь к точке а с левой стороны. Проведем через
точки а и а прямую L. L есть секущая кривой К.
Подсчитаем тангенс угла наклона прямой L, т. е.
тангенс угла между осью абсцисс и прямой L. Для этого
через точку а проведем горизонтальную прямую, т. е.
прямую, параллельную оси абсцисс, а через точку
а — вертикальную прямую. Пересечение этих двух
прямых обозначим через у. Нам нужно подсчитать
тангенс угла при вершине а в прямоугольном
треугольнике ауа> учитывая при этом знак угла. Для
определенности будем считать, что | > х. Тогда
положительное число I — х равно длине стороны ау
нашего треугольника, а число ri—у равно длине
стороны y&> взятой со знаком плюс, если ц > у, и со
знаком минус, если ri < у. Таким образом, в любом
случае тангенс угла наклона прямой L равен
отношению I1 у . Если | < х9 то тангенс угла наклона
s х
прямой L равен тому же самому отношению. Это
легко проверить, учитывая знаки обеих величин ц — у и
g— х. Если производная f'(x) функции f(x) при
данном значении аргумента х существует, то это
значит, что отношение ?~^ стремится к пределу /'(*)!
to x
при £.-**. Таким образом, если производная f(x)
существует» то тангенс угла наклона секущей L
стремится к определенному пределу, когда точка а
неограниченно приближается к точке а. В этом случае
сама прямая L стремится к своему предельному
положению М9 причем прямая М также проходит через
точку а. По определению прямая М считается
касательной к кривой К в точке а. Таким образом,
производная f'(x) есть тангенс угла наклона
касательной М, проведенной в точке а—(х9у) к графику К
функции f(x). Это и есть геометрический смысл
производной.
118

Может случиться, что отношение ' стремится
ь х
к определенному пределу k\f когда £->#, оставаясь
больше х, и то же самое отношение стремится к
другому пределу k2i когда £->#, оставаясь меньше х.
В этом случае по определению функция f(x) не имеет
производной при заданном значении аргумента х.
^Числа k\ и k2 называются соответственно правой и
левой производными. Поскольку k\ и k2 не равны
между собой, обозначим через М{ предельное
положение секущей L, когда а приближается к а справа,
н через М2 предельное положение секущей L, когда
а приближается к а слева. Прямые М\ и М2 не
совпадают и кривая К не имеет в точке а касательной.
Точка а в этом случае называется угловой точкой
кривой К. Простейший пример угловой точки дает
функция
f(*) = l*|.
Ее график, задаваемый уравнением у—\х\, состоит
из биссектрисы первой четверти системы координат
и биссектрисы второй четверти системы координат.
При х = 0 мы имеем k\ — +1, k2 = —1, и термин
«угловая точка» в этом случае имеет вполне
наглядный смысл.
Пример 2. Дадим еще одно очень важное
применение производной. Докажем, что если
действительная функция f(x) действительного переменного х
имеет при заданном значении аргумента х
положительную производную, т. е. f'(x)>0, то вблизи
точки х функция f(x) возрастает. Более точно,
существует настолько малое положительное число б, что
при ||—-я|<б мы имеем следующие соотношения:
если g < х, то f{l)<f (х)\
если | > х, то f(l)>f (х).
Это следует непосредственно из формулы (12).
Совершенно аналогично устанавливается, что если при
некотором значении аргумента х производная f'(x)
отрицательна, т. е. ?{х)< О, то вблизи точки х
функция f{x) убывает. Именно, существует настолько
малое положительное число б, что при || —х|<б
119

имеют место соотношения
если I < х, то f(l)>f (х);
если 1>х9 то /(£)</ (х).
Из полученных результатов можно сделать
чрезвычайно важный вывод. Именно, если функция f(x) при
некотором значении своего аргумента х достигае?
максимума, т. е. имеет место неравенство
/(*)>/©
при произвольном значении аргумента | функции, то
производная f'(x) равна 0.
Можно даже доказать более сильный результат*
именно, если в точке х функция f(x) имеет
локальный максимум, т. е. существует такое положитель*
ное число б, что при |g — л-|<б имеет место
неравенство
/(*)>/«), (19)
то
/'(*) = о.
Доказательство будем вести от противного. Допу»
стим, что //(л:)>0. Но тогда функция f(x) в точке л;
возрастает, и, следовательно, существует такое
значение I > х аргумента f(x)9 удовлетворяющее
условию I — х < б, что
/(E)>fM,
а это противоречит предположению (19). Точно так
же производная f'(x) не может быть отрицательной,
так как тогда функция f(x) в точке х убывающая,
т. е. существует такое значение | < х,
удовлетворяющее условию |5 — х\ < б, что^
f(t)>f(x),
а это противоречит предположению (19). Итак,
доказано, что в точке локального максимума
производная функции обращается в нуль.
Совершенно аналогично доказывается, что если
функция f (x) имеет минимум для значения своего
аргумента х или локальный минимум, , т. е. при
|| — *|<б выполнено неравенство f(x)^f(l)\ то
производная этой функции обращается в нуль при
120

значении аргумента х:
Г(*) = о.
Таким образом, для того чтобы найти локальные
максимумы и локальные минимумы функции f(x),
мы должны решить уравнение
и затем уже более детально изучить все значения
аргумента х> удовлетворяющие этому уравнению.
Обычно локальный максимум и локальный минимум
функции называются просто максимумом и миниму*
мом.
Пример 3. Докажем теперь, что если функция
f(z) непрерывна в точке г0 в смысле определения,
приведенного в этом параграфе, т. е. что если для
всякого положительного е можно подобрать такое
положительное число б, что
при | z — г0 К в имеем | f {z) — f (z0) I < e, (20)
то функция f(z) непрерывна в точке г0 и в смысле
определения, приведенного в примере 1 § 1, т. е. для
всякой последовательности
Z\t Z%, . • • Zn, . . .
ее аргументов, удовлетворяющей условию
lim z„ = Z(b (21)
tt->oo
выполнено и соотношение
lim f(zn) = f(z0). (22)
Л->оо
Для доказательства зададимся произвольным
положительным числом е, и пусть б — то
положительное число, которое соответствует ему в силу
условия (20). Из соотношения (21) следует, что
существует такое целое число v, что при п > v имеем
K-zol<6.
Тогда в силу (20) получаем
l/(2*W(zo)i<e. (23)
Таким образом, для заданного положительного
числа е мы нашли такое целое число v, что npH/z>,v
121

выполнено неравенство (23), а это и значит, что вы*
полнено соотношение (22).
В дальнейшем непрерывность будет пониматься
только в смысле этого параграфа.
Пример 4. В конце § 1 были сформулированы
пять основных правил перехода к пределу в
применении к последовательностям. Те же самые правила
имеют место и для предельного перехода, введенного
в этом параграфе. Формулируем их здесь.
Пусть f(z) и g(z) — две функции действительного
или комплексного переменного г, для которых
выполнены соотношения
lim f(z) = h\ Hm g(z) = g0.
Тогда имеют место следующие правила:
Правило 1. \\m{f{z) + g (z)) = /о + go-
Z->Zo
П р а в и л о 2. lim (/ (z) — g (г)) = /о — go-
П р а в и л о 3. lim (/ (z) • g (z)) ==■ /0 • go.
Z->Z0
Правило 4. Если go Ф 0, то
*->**(*) So
Правило 5. Если f(z) и g* (г) —действительные
функции и
/(*)<£(*)> то /o<go.
Для доказательства этих правил, так же как и в
§ 1, используем бесконечно малые величины. Для
этого положим
f(z) = fo + f(z); g(z) = g0 + g(z).<
Ясно, что величины f(z) и g(z) бесконечно малы
вместе с величиной z — г0. Используя очевидные
простейшие свойства бесконечно малых величин,
аналогичные тем, которые были указаны в конце § 1 перед
правилами предельного перехода, мы без труда
проведем доказательство пяти правил, данных здесь.
122

§ 11. Вычисление производных
Здесь мы вычислим производные некоторых
"функций, в первую очередь многочленов и сходящихся
степенных рядов. Пользуясь правилом вычисления
производной для сходящегося ряда, мы затем найдем
производные функций ezy cos г, sin г. Затем будет
установлено правило дифференцирования
произведения двух функций и отношения двух функций. Далее
будет установлено правило дифференцирования
сложной функции, т. е. функции вида / (г)== ,ф(ф(г))1,
и правило дифференцирования функции, обратной к
заданной функции. Пользуясь последним правилом,
мы найдем производные обратных
тригонометрических функций и логарифма.
Установим теперь некоторые простейшие правила
дифференцирования.
Отметим прежде всего, что производная
постоянной есть нуль. В самом деле, если f(z)=c, то
Д£)=с и, следовательно, /(£)— f(z) — О, так что
с' = 0. (1)
Допустим теперь, что мы имеем несколько функций
f\(z)>f2{z), ...,fn(z) и столько же чисел аь а2,..., ап.
Оказывается тогда, что
(aifi(2) + 02f2(z)+ ... +anfn(z)Y =
= afl(z) + a2r2(z)+ ... +aj'n{z). (2)
Для доказательства этой формулы достаточно
доказать две другие, более простые, именно,
(f(z) + gW = r(z) + g'(z) (3)
(а/{*))'=«/'(г). (4)
При доказательстве мы используем правила
предельного перехода, данные в примере 4 § 10. Докажем
сначала первую из этих формул, именно, формулу
(3). Мы имеем
{f(Z) + 8{Z)Y»щи ^+><o-j;w+gw) =
= Hm Щ=Ш + lim jLi^ULM = у (2) + gr (г)#
123

Так же просто доказывается и вторая из этих
формул, именно, формула (4). Действительно, мы имеем
(а/ <*))' - lim *«>-*<»> - a lim Ш=Ш = а/' (г).
Докажем теперь формулу (2), пользуясь
формулами (3) и (4). Доказательство проведем
индуктивно. Для /г=1 формула (2) следует из (4).
Допустим, что она верна для числа слагаемых, равного
п—1. Мы разобьем левую часть соотношения (2) в
сумму двух слагаемых. Именно, левую часть
равенства (2) мы запишем в виде
((^fi(z) + a2f2(z) + ... +<*n-ifn-i(z)) + *Jn(z)Y.
В силу формул (3) и (4) это выражение равно
(«х/, (*) + «2/2 (г)+ ... + <*„_,/„_, (z))' + а/п (г). (5)
В силу предположения индукции мы видим, что
выражение (5) равно правой части равенства (2).
Таким образом, формула (2) доказана.
Применяя формулу (2) к многочлену
a0 + a{z + a2z2 + ... + anzn, (6)
получаем
(oq + axz + a2z2 + ... +anz?)' =
= a'0 + al(zY + a2(zr+ ... + an(zj.
Таким образом, принимая во внимание формулу (1),
для того чтобы вычислить производную любого
многочлена, нам достаточно научиться вычислять
производную целой положительной степени переменного z,
именно, функции zk, где k — натуральное число.
Докажем, что
(**)' = fe*-i. (7)
Действительно, в силу формулы (11) § 6 мы имеем
= lim($*-1 + £*~22+ ... +**-1) = fe*-1
(см. правила перехода к пределу, пример 4 § 10).
Таким образом, для многочлена (6) мы получаем
124

производную в виде
(ао + axz + a2z2 + ... +апгп)' =
= a{ + 2a2z + ... + nanzn~l. (8)
Итак, мы получили формулу производной для
произвольного многочлена действительного или
комплексного переменного.
Производная степенного ряда. Докажем, что
функция
f(z) = a0 + alz + a2z2 + ... +anzn+ ..., (9)
определяемая степенным рядом с радиусом
сходимости г > 0, имеет производную f'{z). Положим
fi{z) = al + 2a2z + ... +nanzn^+ ... (10)
Тогда
П2) = Ы*). (11)
При этом ряды f(z) и fi(z) имеют одинаковые
радиусы сходимости.
Для доказательства высказанных утверждений
мы будем вычислять предварительное отношение
f(t)-f(g)
t~* '
где |г|<г. Так как в предварительном отношении
мы должны переходить к пределу при £ ->- г, то
можно считать, что | £ | < г.
Выпишем три знакоположительных сходящихся
ряда:
fo=a|aol + |aik+ ••• +\ап\гп+ ...,
fi = |a1| + 2|o2|r+ ... +n\an\r«-l+ ...,
f2 = 22|a2| + 32|a3k + ... +n2|aJr»-2+ ...
Сходимость этих рядов следует из формул (17) § 2
и (4) § 9. Ряд fo мажорирует ряд f(z)9 а ряд }х
мажорирует ряд fi(z).
Запишем предварительное отношение
У (С) — f (g)
в виде ряда (см. пример 3 § 5). Мы имеем
/ (С) — f (г) _ до — до .
125

Далее,
| (£n-zn)
= \an\\l*~l + ?~** + ... +zn'l\<\an\nri
Л-1
(cm. § 6, (11)). Таким образом, ряд f\ мажорирует
ряд (12), так что ряд (12) сходится. Вычтем теперь
из ряда (12) ряд (10). Мы имеем
-а.(-Ы--&)+ •••+*»№
■яг1
ГЯ— 2Л
у-'г ~гс
i * п,п-\
п~Х) + • • •
(13)
Оценим величину %_* яг"-"1. Мы имеем
... + г*"2 ft - г) + (г*- * - г*- 01 =
= 1?-г||(Г2 + Г3г + ... +^"2) +
+ г(Г3 + Г4г+ ... +гЛ"8)+ ...
... +2""2KI£- г|л2гЛ-2.
Таким образом, ряд (13) мажорируется рядом /2,
умноженным на |£ — z|. Итак, мы имеем
окончательно
tit)-Hz) f ( v
<1£~*1*.
где с — константа. Отсюда следует, что
lim
40-Ч«)
существует и равен величине f\(z)\ Таким образом,
формула (И) доказана.
Тот факт, что ряды f(z) и f\(z) имеют одинаковые
радиусы сходимости, следует из формул (17) § 2 и
(4) § 9.
Из формулы (10) непосредственно вытекают
формулы
if?Y = f\ (14)
(15)
sin г = cos z, cos z = — sin z.
126

Формулы эти получаются при помощи почленного
дифференцирования рядов (1) —(3) § 8,
сходящихся при произвольном значении z. Таким образом,
формулы (14), (15) верны для произвольных комп^
лексных и действительных значений г.
Дадим теперь некоторые основные формулы диф^
ференциального исчисления. Именно, вычислим
производную произведения двух функций, производную
отношения двух функций, а также производную
функции от функции.
Производная произведения. Если f(z) и g(z)— две
функции, то мы имеем
(f (z) • g (г)У = Г (г) -g(z) + f (z) • g' (г). (16)
Для доказательства этой формулы выпишем в
удобной для нас форме разность /(£)'•£(£)— f{z) -g{z)c
Мы имеем
f(0-g(0-f(z)-g(z) =
= f(0-g(0-f (z) -g(0 + f(z)-g (t) -f(z)-g (z) =
= (/ (£) - f (z)) g(t) + f (z) (g (£) - g (z)).
Деля это равенство на % — z, мы получаем
f(t,)-8(Z)-f(z)-g(z) _r
Переходя в этом равенстве к пределу при £->г,
мы получаем формулу (16).
Производная отношения. Если f(z) и g(z)—две
функции, причем и{г)Ф О, то
( fiz) V f'(z)g(z)~g'(z)f(z) n?v
\8(г)) ~ ^й)2 " KU)
Для доказательства этой формулы выпишем
разность
f Д) f(z) _ f(Z)g(z)-f(z)g(Z) ,m
*tt) g(*)~ 8 it) 8 (г) # U;
Перепишем теперь по-иному числитель правой части.
Мы имеем
/(S)-S(2)-/(z)£(» =
= /(£)• г (г)- f (г)*(г) + f(z) -g(z)-g(Z,) -f(z) =
= (/ (?) - / (г)) g {z) - / (г) (g (£) - g (z)). (19)
127

Деля соотношение (18) на С — * и используя при
этом равенство (19), мы после перехода к пределу
при t,-+z получаем формулу (17). Вычислим теперь
производные функций
, sin z , • cos z
^г==^П и ctSz = !iK7-
В силу формул (17) и (15) мы получим
<»«*>'-1SF7 и ^2)'=-Ж' (20)
Производная сложной функции f(z) = 1р(ф(г)).
Пусть ф(г) и ty(w) — две функции. Подставим во
вторую функцию вместо w выражение w = q(z). Тогда
мы получим так называемую сложную функцию
f(z) = г|)(ф(г)) или, как говорят иначе, функцию от
функции. Оказывается, что имеет место формула
/' (z) = ф' (W)• Ф' (z) = я|/ (Ф (z)) Ф' (г). (21)
Используя запись производной в виде отношения
дифференциалов (см. § 10, (15)), мы можем
переписать формулу (21) в легко запоминаемой форме
dip(w) dj>(w) dw ,99v
dz dw ' dz ' * }
где до = <p(z).
Докажем формулу (21). Мы имеем
j> (Ф (С)) — -Ф (Ф (г)) ф (Ф (Q) - ф (Ф (г)) ф(С)-ф(г) т.
С-* Ф(0-Ф(г) " £-* ' * '
Чтобы получить производную (ф(ф(2))Г, мы должны
в равенстве (23) перейти к пределу при £-*г. Для
этого уясним себе более отчетливо, что представляет
собой первая из дробей, стоящих в правой части
равенства (23). Для этого вспомним, что ф(<г)==ш, и
положим ф(£) = со. Ясно, что при £->г имеем со-ж;.
Таким образом, для того чтобы совершить
предельный переход в равенстве (23) при £-*г, мы должны
подсчитать предел
|. t|> (Ш) — -ф (W)
который по определению равен ф'(я;). Таким
образом, совершая предельный переход в равенстве (23) |
128

.при £r-*z, мы получаем
(*(Ф(*))Г-*'^.фЛ(г),
т. е. формулу (21).
Производная обратной функции. Если равенство
z = ty(w) можно разрешить относительно до, т. е.
найти такую функцию до = ф(г), что выполнено тож-г
дество
*(ф (*)) = *. (24)
то функция ф (г) называется обратной па отношению
к ty(w). В § 24 будет доказано, что для функции,
задаваемой степенным рядом, существует обратная
функция, которая также задается степенным рядом.
Дифференцируя (24) по г, согласно формуле (21)
получим
*'(ш)-ф'(*)=1.
откуда
^^=rb-- <25>
Подставляя в правую часть (25) до = ф(гУ, мы
получаем
*'<2)=*w- <26)
Эта формула дает нам возможность вычислить
производную ф'(г) функции ф(г), обратной функции
if (до). Для этого нужно в функцию ■ф'(до) подставить
вместо до его выражение через z, т. е. положить до **
= ф(г), и затем взять обратную величину
полученной функции 1|/(ф(,г)).
Сосчитаем теперь, пользуясь этим правилом, про-
изводные функций, обратных функциям ew, sin до,
cos до, tg до, ctg до, т. е. функций In г, arcsin г, arccos г,
arctg г и arcctg г. Оказывается, что
ln'* = i; (27)
arcsin' г = , , arccos' г = , ; (28)
VI — г2 VI — г1
arctg' г = -qpp-, arcctg' г = —ррр-. (29
Функция In z определяется как решение
уравнения ew = г относительно до. В силу формулы (26)
5 Л. С. Понтрягин
129

мы получаем
\n'z =
(ewY ew z '
Из формул (28) докажем только первую.
Функция arcsin z определяется как решение уравнения
sin w = z относительно w. Таким образом, в силу
формулы (26) получаем
.,11 1 1
arcsin z = —-— = = , о =г = , .
sin w cosw VI — sin2 w aJ\ — z*
Из формул (29) докажем также только первую.
Мы имеем
Вычислим, наконец, производную функции z\ где
г — произвольное действительное число. Для
рационального г функция эта определена в элементарной
алгебре. Для произвольного действительного г мы
определим ее, положив
zr = er In z (30)
Для рациональных г эта формула дается в
элементарной алгебре. Продифференцируем соотношение
(30), применяя к правой части правило
дифференцирования сложной функции (21) и учитывая формулу
(27), положив при этом w = rlnz. Тогда мы полу*
чим
(у'у — *£L. -^. _»» JbL — ow. r. 1 —
KZ } ~ dw dz ~e dz ~е г z ~
= ^1пг.г.1 = ггг.1 = Г2г-1
2 Z
Таким образом,
(zV^rz'-K (31)
Как уже говорилось в § 8, основными
трансцендентными функциями считаются ег, sin г, cos г, tg z9
ctgz и функции, обратные к ним. Алгебраическими
функциями здесь будем называть многочлены,
рациональные функции, т. е. функции, получаемые
делением одного многочлена на другой, и функцию,
получаемую путем извлечения корня. Функции,
получаемые путем применения основных трансцендентных
функций и алгебраических функций путем последо-
130

нательного их применения в произвольном числе и
произвольном порядке, называются элементарными
трансцендентными функциями. Приведенные в этом
параграфе правила дифференцирования дают
возможность вычислить производную любой
элементарной трансцендентной функции.
Пример 1. Дадим теперь механический смысл
производной. Представим себе, что точка движется
по оси абсцисс, так что абсцисса ее является
заданной функцией времени
* = /(')• (32)
Если точка движется с постоянной скоростью, то
равенство (32) записывается в виде
x = x0 + vt9
где Хо — начальное положение точки при t = О, а
v — ее постоянная скорость. Если точка движется не
с постоянной скоростью, то требуется объяснить, что
такое ее скорость в данный моменх времени. Это
делается в механике следующим образом. Наряду с
моментом времени / рассмотрим другой момент
времени т > t За время т — t точка проходит
расстояние, равное /(т)—f(t). Естественно считать, что на
отрезке времени от t до т точка имеет среднюю ско-
/ (т) - f (0 г
рость, равную «г — " • Скорость точки в момент
времени t определяется как предел этого отношения
при х -*» t, т. е. как производная f (t):
v{t) = f'(t).
Если скорость v(t)4 непостоянна, т. е. меняется со
временем /, то говорят об ускорении. Среднее
ускорение от t до т определяется как отношение
v (т) — о ^ а ускорение u(t) в момент времени /
определяется как предел этого отношения при т->-/,
т. е. формулой м(0= £>'(*)• Мы видим, что ускорение
xf(t) есть производная производной /'(0- Она
называется второй производной функции f(t) и
обозначается через f"(t). Таким образом, ускорение точки
задается формулой u(t) = /"(/)•
5*
131

§ 12. Неопределенный интеграл
В §§ 10 и 11 была описана производная, именно,
для заданной функции (здесь мы ее обозначим через
А (г)) действительного или комплексного переменного
z была построена ее производная функция h! (z) того
же переменного г. Производная h'(z) функции ft (г)
имеет и другое часто употребляемое обозначение,
именно
(см. § 10, (15)). Операция перехода от функции Л (г)
к функции
/(г) = А'(г) 0)
называется операцией взятия производной функции
А (г) или операцией дифференцирования этой
функции.
Всякий раз, когда математики рассматривают
какую-либо операцию, возникает вопрос об операции,
к ней обратной. Так, в алгебре наряду с операцией
умножения рассматривается обратная к ней операция
деления, наряду с операцией возведения в степень
рассматривается обратная к ней операция
извлечения корня. Говоря об обратной операции, мы всегда
должны поставить перед собой два важнейших
вопроса. Первый—возможна ли обратная операция,
второй — однозначна ли обратная операция. Так,
деление не всегда возможно. Оно невозможно, когда
мы хотим разделить на нуль. Извлечение корня не
всегда однозначно: так, извлечение квадратного
корня из числа, как правило, двузначно.
Операция, обратная к операции
дифференцирования, т. е. операция нахождения функции А (г) по
функции /(г)=А'(г), называется операцией
интегрирования и имеет специальную запись
h(z)=\f(z)dz. (2)
Знак \ называется интегралом и формула (2)
читается следующим образом:
Л (г) равна интегралу f{z)dz.
132

То обстоятельство, что операция- интегрирования* яв*
ляется обратной к операции дифференцирования, оз*
начает в точности, что формулы (1) и (2) равно*
сильны;
Функцию Л (-г), удовлетворяющую условию (1),
часто называют первообразной функции /(г). Таким
образом, интегрирование есть нахождение
первообразной функции. '
На первый основной вопрос относительно опера*
ции интегрирования, — именно, на вопрос о ее
возможности— мы не дадим в этом параграфе сколь-
нибудь общего ответа, а лишь заметим, что в ряде
случаев операция интегрирования возможна и.
результат ее легко выписать. Так, мы имеем
\ cos z dz = sin z% \ sinzdz = — cos г. (3)
Эти формулы следуют из формул (15) § 11. Точно
так же легко проверяется, что
J («о + а,2 + а2г2 + ... + anzn)dz =
= аог + ^22 + ^-г*+ ... +^*ж. (4)
Эта формула вытекает из формулы (8) § 11. Та*
ким образом, в ряде случаев операция интегрирова*
ния возможна, и, изучая ее, мы проводим вполне
содержательные исследования.
Что касается второго основного вопроса
относительно операции интегрирования, — именно, вопроса
об ее однозначности, — то мы сможем дать в этом
параграфе полный ответ на него. Прежде всего, ясно,
что операция интегрирования неоднозначна. Именно,
если, имеет место равенство (2), то имеет место и
равенство
\f{z)dz = h(z) + c, (5)
где с — произвольная постоянная. Это следует из
того, что *
(A(z) + c)'-A'(z) + c'-A'W
(см. §llf(l)i (3)).
133

Таким образом, интеграл определен лишь с
точностью до постоянного слагаемого. Именно поэтому
\f(z)dz
называется неопределенным интегралом. В этом
параграфе мы докажем, что этим постоянным
слагаемым неопределенность интеграла и
ограничивается,— именно, будет доказано, что если
\ f (z) dz = hx (z)9 J / (z) dz = h2 (z), (6)
то мы имеем
h2(z) = hl(z) + c, (7)
где с — постоянная величина. Отметим, что это
утверждение верно лишь с некоторыми ограничениями,
именно, в том случае, когда функция f(z) определена
на некотором связном множестве й, т. е.
совокупность всех допустимых значений аргумента z есть
связное множество й.
Сразу же нужно сказать о том, что понимают под
связным множеством Q. В случае действительного
переменного связность множества й означает лишь, что
если 20 и 2* — два допустимых значения аргумента z
функции /(г), причем г0 < z*, то и всякое число г,
.удовлетворяющее неравенству zo <C z < z*,
принадлежит к числу допустимых значений аргумента
функции f(z)> т. е. к множеству й. В случае комплексного
переменного г множество й есть некоторое
множество на плоскости комплексного переменного zt и в
этом случае связность означает другое. Именно, если
Zo и z* — два произвольных значения аргумента
функции /(г), т. е. две точки плоскости, принадлежащие
множеству й, то существует ломаная линия
zo, zu ..., zn — z*f (8)
целиком проходящая по множеству й. В последовав
тельности (8) указаны лишь вершины этой ломаной*
Сама ломаная состоит из всех отрезков вида
[zjZf+i], где /==0, 1, ..., п— 1.
Говоря, что ломаная (8) проходит вся по множеству
й, мы подразумеваем, что каждый отрезок [2/2/+i]|
/ = 0, 1, .,., п—1, принадлежит множеству й.
134

Для того чтобы доказать, что из равенств (6)
следует равенство (7), достаточно доказать, что из
равенства
h' (z) = 0 (9)
следует
А (2)-с, (10)
где с — постоянная. Предполагают при этом, что
множество й, на катором определена функция Л (г), есть
^эязное множество. Полагая h{z) — h2(z)— h\(z)y мы
из равенства (10) получаем равенство «(7).
Перейдем теперь к поэтапному доказательству
того, что из равенства (9) следует равенство (10).
Доказательство это непросто, и ему мы предпошлем
доказательство нескольких предложений, которые
важны сами по себе.
Максимум и минимум непрерывной функции. Пусть
h(x) — действительная непрерывная функция
действительного переменного х, определенная на отрезке
а<*<6, (11)
где а и Ъ — два числа, причем а < 6. Таким
образом, аргументом х функции h(x) может служить
любое действительное число, удовлетворяющее
неравенству (11), а другие значения аргумента не
рассматриваются. Оказывается, что эта функция
достигает своего минимума и своего максимума, именно,
существуют такие значения аргумента х = а и х = р
функции h(x)f что выполнено неравенство
Л (a)<A(x)< A (P) (12)
при произвольном х, удовлетворяющем неравенству
(11). Ниже в примере 2 будет показано, что
разрывная функция может не обладать этим свойством.
Таким образом, условие непрерывности здесь весьма
существенно.
Докажем прежде всего, что наша функция h(x))
ограничена. Доказательство будем вести от
противного. Допустим, что она не ограничена. Тогда для
каждого натурального числа п можно подобрать
такое значение ее аргумента х = уп, что имеет место
неравенство
|A(Y«)I>«. 03)
135

Так как числа у„ расположены на отрезке- а ^х^
^ &, то из последовательности ^
Yb Y2, ..., Yrt, ••• г(14)
можно выбрать сходящуюся подпоследовательность
*ie V 6*^V ■'■•■ 6* = V -:; " <15>
так, что
Hm bk = б, и t,
где б — некоторое число, принадлежащее отрёЗКу
\\ab] (см. § 4, ограниченные множества чисел, и § 1,
(18)). Так как функция h(x) непрерывна, то мы
имеем
lim Л(бА) = А(б),
fe-»oo
но это невозможно. Действительно,
последовательность (15) является подпоследовательностью (14), и,
следовательно, в силу неравенства (13) число |Л(6*)1
неограниченно возрастает вместе с ростом k. Итак,
мы доказали, что множество всех чисел вида h(x)
ограничено как сверху, так и снизу, поэтому это
множество чисел имеет нижнюю грань, которую мы
обозначим через р, и верхнюю грань, которую мы
обозначим через q^ Так как q является верхней
гранью множества всех чисел вида h(x), то из этого
множества можно выбрать последовательность чисел,
сходящуюся к q, а это значит, что имеется
последовательность
значений аргумента х, удовлетворяющих условию.
\imh([in) = q. (17)
И->оо
Так как все числа последовательности (16)
принадлежат отрезку [ab], то из этой
последовательности можно выбрать сходящуюся
подпоследовательность
vi = ?v v2 = *4 v* = f4' "■' (,8)
так, что мы имеем
lim vk = $.
Jfc-»oo
136

Но так как последовательность (18) является под^
последовательностью (16), то из формулы (17)
.следует, что
limA(v*)=A(P) = <7.
Таким образом, верхней гранью q множества всех
чисел вида h(x) является значение функции h(x) при
х == р. А это и значит, что функция h(x) достигает
своего максимума при х = р. Точно так же
доказывается, что функция h(x) достигает своего минимума
чри некотором значении х = а.
Следствие (теорема Ролл я). Допустим
теперь, что рассмотренная выше непрерывная
функция h(x) для каждого значения своего аргумента
а < х < Ь имеет производную и что значения этой
функции на концах отрезка [ab] равны между собой,
т. е. А(а)=А(6). Оказывается тогда, что внутри
отрезка [ab] имеется число £ (это значит а < £ < b)
такое, что
h'&) = 0. (19)
Докажем это. Если функция h(x) постоянна, то
производная ее тождественно равна нулю на всем
отрезке [ab] и тогда за £ можно взять произвольную
внутреннюю точку этого отрезка. Если функция h{x)
непостоянна, то тогда имеет место по крайней мере
одна из двух возможностей. Первое — функция h(x)\
для некоторых значений своего аргумента больше,
чем h(a). Второе — функция h(x) при некоторых
значениях своего аргумента меньше, чем А (а). В первом
случае функция h(x) достигает своего максимума в
некоторой точке £, лежащей внутри отрезка [ab]. Во
втором случае она достигает своего минимума в
некоторой точке £, лежащей внутри отрезка [ab].
В обоих случаях производная функции h(x) при
* = £ равна нулю, т.е. имеет место равенство (19)
(см. пример 2 § 10).
Конечное приращение (формула Лагранжа).
Допустим, что действительная непрерывная функция
h(x) действительного переменного х, заданная на
отрезке [jcoati], имеет производную в каждой
внутренней точке отрезка [*o*i]. Тогда имеет место
равенство
А (*,) - А (*0) = Ы (£) (хх - *о), (20)
Ш

где g — некоторая внутренняя точка отрезка [лго^].
Для доказательства рассмотрим функцию
g(x) = h(x)-h{x>)-hx(x,,) х. (21)
Функция g(x) имеет одинаковые значения в точках
хо и х\. Действительно,
g(xl)—g(xo) = h(xl)-h(xo) - k{XiZ^ ixi-x^Q-.
Таким образом, в силу теоремы Ролля существуем
такая внутренняя точка £ отрезка [xo*i], что м >
£'(£) = О
(см. (19)). Подставляя в это равенство выражение
(21) для g(Q, получаем
^ ДГ1 — а:0 '
откуда следует соотношение (20).
Из формулы Лагранжа (20) непосредственно
вытекает, что в случае действительной функции А (л:)]
действительного переменного х имеет место наше ос-»
новное утверждение, т. е. что из равенства
А'(*) = 0 (22)
(ср. (9)) следует равенство
h(x) = C
(ср. (10)). В самом деле, из (22) следует, что h'{%)\
в формуле (20) есть нуль, и, следовательно, в силу
формулы (20) h(x\)= h(x®), где х0 и х\ — два
произвольных значения аргумента функции h(x)9 заданной
на связном множестве, так что функция h(x) есть
постоянная.
Проведем теперь доказательство нашего
основного утверждения для комплексной функции h{x)\
действительного переменного х. Мы имеем h(x) —
= ф (х) + *ф (х), где Щ) (х) и if (x) — действительные
функции действительного переменного х. Из формулы
(2) § И следует, что А'(х) = <р'(#)+ /$'(#)• Таким
образом, из равенства Ж'(х) = 0 следует <р'(#) = 0 и
ф'(я) = 0, так что, по доказанному^ функции ц>{х) и
if (л:) суть постоянные, следовательно, и функция h(x)]
также постоянная.
ш

Доказательство соотношения (10) для
комплексного аргумента. Рассмотрим сперва случай, когда
ломаная (8) состоит из единственного отрезка [го^].
Для этого на отрезке [20гх] введем действительный
параметр /, положив
г = 2ь(1—/) + *!*. (23)
Когда действительное переменное t изменяется от 0
до 1, точка z> заданная равенством (23), пробегает
отрезок fzoZi]. Функцию h(z) на отрезке [zqZ\]
рассмотрим как функцию действительного переменного t9
положив
A(0=*fe>(i-/) + *iO.
Мы имеем
#'(0 = н*Ы1-0 + ztt) • (zt - zQ)
(см. § 11, (21)). Так как функция h'{z) на отрезке
[zqz{\ равна нулю, и, следовательно, функция ff(t)
равна нулю на отрезке O^i^ 1, то функция l${t)
постоянна, т. е. /г(1) = /£(0>; ко так как Й(0)= h\z$t
а #(!)= k(z\)9 то h(z\)= й|го). Если теперь ломаная
(8) состоит из произвольного числа отрезков» то на
концах каждого отрезка k(z) имеет рааные значения.
Таким образом, мы имеем равенства
А(20) = /г(2:1),
h{zx) = h{z&
h(zn^h{Zn) = h{z*\
откуда следует, что
h(z*) = h(zQ),
так что значение функции h(z*) для любого значения
z* равно постоянной величине А (го) и, следовательно,
функция h (z) есть постоянная величина.
Случай функции нескольких переменных* Если
подлежащая интегрированию функция зависит не от
одного переменного, а от нескольких» например двух
переменных, т. е. имеет вид f(zyw), то мы должны
четко указать ту из двух переменных, по которой
производится интегрирование, что, впрочем,
достаточно ясно выражается самой формулой (2), где знак
dz означает, что интегрирование производится по z.
Ш

В случае функции f (г, до) интеграл •
J f(z> w)dz . ,.
сам, естественно, зависит от двух переменных г иш,
так что соотношение (1) получает вид
/(г, w) = ^h(zti до)
[(см. § 10, (17)). В этом случае из соотношения
-foh(zy до) = 0
вытекает соотношение h(z, до) = с(до), где величина
с (до) есть произвольная функция до. Вместо
соотношения (7) мы получаем теперь соотношение
h2(zt w) = hi(z, до) + с (до).
Пример 1. Если множество всех допустимых
значений z функции h(z) не связно, то производная
hf{z) функции h(z) может равняться нулю без того,
чтобы сама функция h(z) была постоянной. В
качестве примера приведем действительную функцию
sign л: действительного переменного х, определенную
для всех ненулевых значений х, причем для
положительных значений аргумента sign.*: = 1, а для
отрицательных значений аргумента sign л: ==—1.
Функция эта задана на несвязном множестве, именно, на
множестве всех действительных значений л;, за
исключением значения х = 0. Ее производная в каждой
точке равна нулю, но функция sign x непостоянна.
Пример 2. Функцию h(x) действительного
переменного х определим на отрезке 0 ^ х ^ 1 условиями
Л(0) = 0,
h (х) — 1 — х при х > 0.
Ясно, что определенная так функция h{x) разрывна,
именно, она имеет разрыв в точке х = 0 и не
достигает своего максимума, так как верхняя грань ее
значений равна 1, а сама она этого значения не
принимает..
Пример 3. Дадим формулу движения точки,
перемещающейся с постоянным ускорением а (см.
пример 1 § 11). Если обозначить через x = f(t) коорди-
440

нату в момент времени / точки х, движущейся по оси
абсцисс, то для функции f(t) мы имеем соотношение
/'' (0 — а- Отсюда в силу формул (4) и (7) мы имеем
/'(О = *><> +а/, (24)
где vo — скорость движения точки в момент / = 0.
В силу тех же формул (4) и (7) из равенства (24)
вытекает
/ (O-^ + etf + T?-.
•где хь — положение точки в момент / = 0. Это есть
известная формула равноускоренного движения точки.
§ 13. Вычисление некоторых неопределенных
интегралов
Дадим теперь несколько правил нахождения
неопределенных интегралов. Соответствующие формулы
непосредственно вытекают из формул
дифференцирования, данных в § 11. В правой части каждой
формулы будет стоять произвольное постоянное
слагаемое с.
Интеграл степенного ряда. Из формулы (10) § 11
дифференцирования степенного ряда вытекает
формула интегрирования степенного ряда
\ (оо + щг + cfcz2 + ... + anzn + ...) dx —
= c + uoZ + al-Y + a2 — + ... +a*lT+T+ ••• '*>
Следует заметить, что радиусы сходимости обоих
рядов, входящих в эту формулу, равны между собой.
Интегралы некоторых конкретных функций.
\e*dz = c + e*; (2)
\ sin г dz — с — cos z, \ cos z dz = с + sin z\ (3)
14 mi

Выписанные формулы вытекают непосредственно из
формул (14), (15), (20) § 11
$-y-«* + Inz; (5)
\ j\L# = c + arcsinz; (6)
Jyq^r = ^ + arctg2:. (?)
Эти формулы вытекают из формул (27) —(29) §11.
В настоящий момент мы имеем возможность
выписать в виде формулы интеграл некоторой функции
лишь в том случае, когда эта функция была уже
раньше получена как производная некоторой
функции. Положение с интегрированием, таким образом,
резко отличается от положения с
дифференцированием. Согласно правилам, изложенным в § 11, мы
можем найти производную любой элементарной
трансцендентной функции и выписать ее в виде другой
элементарной трансцендентной функции. Оказывается,
что интеграл элементарной трансцендентной функции
не всегда можно записать в виде элементарной
трансцендентной функции. Но и в тех случаях, когда его
можно так записать, нахождение интеграла в виде
формулы представляет большие трудности.
Существуют, однако, некоторые правила, позволяющие
преобразовать подлежащую интегрированию
функцию в другую функцию, которая уже является
производной некоторой известной функции. Здесь мы
приведем два таких правила: 1) замена переменного при
интегрировании; 2) интегрирование по частям.
Замена переменного при интегрировании. Если из*
вестно, что функция f(z) является производной неко*
торой функции Л (г), т. е. если
f{z) = h'{z)
или, в другой форме,
\f(z)dz = h(z)y
т. е. если мы умеем выписать интеграл функции f(z)\
то путем замены переменного z == г|? (до) мы можем
найти некоторую новую функцию g(w), для которой
142

интеграл тоже легко выписать. Для этого достаточно
сделать подстановку z — ty{w) в функцию h(z)9
получив функцию Л(ф (w))t и вычислить производную
этой функции
I I /ч ту Я Г Я Я
g(w) = fft(w))-*'(w), (8)
мы получаем
\g (w)dw = h{${w)).
Таким образом, умея выписать интеграл функции
f(z), мы путем подстановки z = '$(w) получаем
новую функцию g{w) (см. формулу (8)), для которой
также можно выписать интеграл. Очевидно, что из
функции g(w) можно обратно получить функцию/(г)
путем подстановки w = <p(z), где <р(г) есть функция,
обратная к функции ty(w). Описанная здесь связь
между функциями f(z) и g{w) достаточно проста, ло
она становится совершенно автоматической, если под*
становку 2 = я|)(ау) делать в выражении, стоящем под
знаком интеграла, т. е. в выражении f(z)dz, заменяя
z через ty(w) как под знаком функции f(z), так и под
знаком дифференциала. Действительно, мы имеем
f(z)dz=f^ (w)) d$ (w) = / Оф (w)) ф' (w) dm
(см. формулу (14) § 10). Столь формальный переход
от одного подынтегрального выражения с
переменным z к другому подынтегральному выражению с
переменным w при замене z = ty(w) оправдывает тот
факт, что в подынтегральном выражении выписан
символ dz — дифференциал независимого
переменного. Проиллюстрируем этот способ интегрирования
простым примером, именно, подсчитаем интеграл
функции ^л: , где q>(z)—некоторая заданная функ*
ция, т. е. вычислим функцию
У (г) dz ,m
Делая замену <p(z) = w9 мы в силу наших правил
можем переписать интеграл (9) в форме
JsW5-=J-Tr=c+ta""=c+1,"'<* <10>
J
143

4
Интегрирование по частям. Правило дифференте* I
рования произведения дает нам !|
{и (z) v (z)Y -V (z) v (z) + u (г) V (г) * |
(см. формулу (16) § 11). Отсюда мы получаем I
\ u{z)v'(z)dz + ^ v(z)u'(z)dz = c + uv. I
' • ~ ' ' I
Полагая vr, ц
u'{z)dz = du(z)f v'(z)dz = dv(z), ю* ||
мы получаем формулу
\u(z)dv(z)+\v{z)du(z) = c + u(z)v(z)
или, иначе,
J u{z)dv(z) = c + u(z)v(z)~ J и(*)</и(г). (11)
Полученная формула называется формулой
интегрирования по частям. Она применяется в тех случаях,
когда стоящий справа интеграл легче вычислить, чем
интеграл, стоящий слева.
Пример 1. Дадим пример применения диффе^
ренцирования и интегрирования к задаче
естествознания. Для этого разберем поведение идеального газа,
находящегося в сосуде переменного объема,
например в цилиндре с подвижным поршнем. Мы будем
также считать, что газ, заключенный в цилиндр, не
имеет теплообмен с окружающей средой и что
поршень движется без трения, массу же газа
предположим равной одной грамм-молекуле. Давление газа,
находящегося в цилиндре, обозначим через Р, его
объем через V, а абсолютную температуру через Т. .
Тогда имеет место известное соотношение Клапейрона
PV = RT, (12)
где R есть константа, не зависящая от состояния га/
за. Второе соотношение, которое мы берем из
физики, дает нам величину внутренней энергии U газа,
находящегося в цилиндре, при помощи формулы
С/=С07\
где Cv есть константа, зависящая от газа,
находящегося в цилиндре, но не от его состояния. Для того
144

.чтобы-уясняю фнзяческий смысл констант» G*, 1фед-
ставим себе, что мы подагрели газ, находящийся в
щдашдре, от температуры Ti дв температуры Т2, не
меняя объема газа, т. е. не двигая аоршня. Тогда
внутренняя энергия газа увеличится на величину
Cv(T%—Т\). Так как-в процессе этого нагревания газ
не произвел никакой работы (поршень не сместился),
то все тепло, приданное газу, пошло на повышение
его температуры, таким образом, Cv есть
теплоемкость нашего газа при постоянном объеме.
Обозначим через о площадь сечения цилиндра и
через / расстояние от дна цилиндра до поршня. Тогда
V = oL Сожмем теперь слегка газ, изменив
положение поршня, т. е. величину /, на малую
отрицательную величину б/. Тогда объем газа V изменится на
отрицательную величину &V, определяемую формулой
§V = об/. В течение этого периода сжатия Газа сила
давления газа на поршень приблизительно равна
аР — приблизительно потому, что давление в
процессе сжатия слегка меняется, так что сила эта в точно-.
сти равна F = <х(Р + е), где е стремится к нулю
вместе с б/. По известному закону физики работа,
затраченная на сдвиг поршня, равна силе воздействия на
длину —б/ пройденного поршнем пути. Таким
образом, эта работа равна
-Ра (61 +о {61))
или, иначе,
-P6V + o(6V).
Ввиду отсутствия трения и теплообмена вся эта
работа должна превратиться во внутреннюю энергию
газа, т. е. внутренняя энергия газа U = CVT должна
увеличиться на Cv6Ty так что мы имеем
Cv6T=~-P6V + o(6V). (13)
Вычисляя величину Р по формуле Клапейрона, мы
получаем
P-3L
г— v •
Подставляя это значение величины Р в формулу (13),
получаем
; Cv6T = -RT^ + o(6V), (14)
145

Так как в процессе сжатия газа температура Т
является функцией объема газт, то, деля соотношение
(14) да 7W, мы получаем
Cv ЬТ _ % о{%Т)
Перейдя в этом соотношении к пределу при бУ^-0,
мы получаем
C^dT^ 5.
Т d¥~ V
или, иначе,
Тадим образом, в силу основного результата
предыдущего параграфа неопределенный интеграл от левой
части соотношения {15) есгь юэнстанта, так что мы
имеем
или, иначе»
В силу формулы (Ш) мм яюлучаем
Деля это соотношение на Cv и потенцируя его, мы
получаем равенство
где £— константа, возникшая в результате интегрл-
рования и потому зависящая лишь от того газа, ко*
торый находится в нашем цилиндре, но не от его
состояния. Подставляя в последнее соотношение Т из
равенства (12) Клапейрона, мы получаем
PV cv =£> (Щ
где с — константа, зависящая от газа, находящегося
в цилиндре, но не от его состояния.
Величина Cv> как уже отмечалось, есть теплоем»
кость газа при постоянном объеме. Величина Ср =:
= R + CVt как легко сообразить, есть теплоемкость
того же газа при постоянном давлении, так как, если
газ нагревать, сохраняя постоянное давление, то рас-
146

ходуемеге тепло частью идёт на увеличение
внутренней энергии (т. е. на повышение температуры) газа,
частью превращается в механическую работу
смещения поршня.
Таким образом, формула (16) записывается в виде
PV* = c, (17)
где Y = 7r~-
Формула (17) носит название формулы
адиабатического сжатия газа.
Пример 2. Применим формулу интегрирования
по частям для нахождения интеграла от функции
f(z)=u(z)ez, где и(г) есть многочлен степени п
относительно переменного г. Для этого положим а(г)—
= ez, так что dv (z) = ezdz. Таким образом, мы имеем
J | (г) dz = J «(z)e* dz = J » (2><fofc) =
= с + и (z) ez - J ег du (г) = с + и (г) е*—\и' (г> ег dz.
Итак, мы свели нахождение интеграла от функции
u(z)ez к интегралу от функции uf{z)ez. Но u(z) есть
многочлен, следовательно, и u'{z) — также многочлен,
но степени на единицу ниже. Этим открывается
возможность последовательного применения формулы
интегрирования по частям, в результате которого мы
можем записать искомый интеграл в форме
.„+(-iyt^fc}e* = c + ez(u(z}-u'fr) +
+ u»{z)+...+(-\)nu^(z)).
Здесь мы употребляем производные не только
первого и второго порядков, но и произвольного
порядка, естественным образом определяемые
(подробности см. в§ 15, (2)).
Пример 3. Пользуясь формулой (1) почленного
интегрирования степенных рядов,, дадим разложение
в степенные ряды функций Гп (1 + z) и arctgz. В силу
формул (27) и (29) § 11 мы имеем
In' (I + г) = -j^, arctg' г = -pp-jr«
147

Стоящие в правых частях последних равенств функ-
ции легко могут быть разложены в степенные ряды
е-радиусом сходимости 1 на основании-формулы для
суммы геометрической прогрессии (см. (21) § 6).
Именно, мы имеем
т^т=1-г + г2+...+(-1)пгп+...>
-т^=1-22 + 24+...+(-1)п22'1+... н
Интегрируя два последних равенства по формуле (I)-,
мы получим разложение функций 1п(1+г) и arctg г
в степенные ряды по 2 с радиусом сходимости 1. Для
доведения дела до конца нам остается только
выбрать значение константы с, входящей в правую часть
равенства (1). Для нахождения этой константы
достаточно придать переменной z какое-нибудь
определенное значение, например z = О, и получить
значение константы с из равенства (1). Таким образом,
нам надо знать значение In 1 и arctgO. Но так как
функции In и arctg неоднозначны, то мы имеем
In 1 = 2kni9 arctg 0 = kn,
где k — произвольное целое число. Выбрав из всех
этих значений какие-либо вполне определенные, для
величин In 1 и arctg 0, мы получим те разложения в
степенные ряды функции In (1 +*г) и функции arctg г,
которые при г = 0 имеют заданные значения. Мы
выберем для In 1 и arctg 0 значение нуль. Тогда значен
ние константы с в обоих случаях будет также нуль,
и мы полудам. следующие разложения в степенные
ряды:
Следует подчеркнуть, что полученные разложения в
степенные ряды функций In (1 +z)\ и arctg z задают
в круге радиуса 1 те ветви многозначных функций
]п(1+г) и arctg г, которые при 2 = 0 обращаются
в нуль* .
148

§44. Определенный интеграл ** --
В. § 12 мы ввели операцию интегрирования как
обратную операции дифференцирования. Именно, мы
объявили, что.интегралом заданной функции
f(z)-называется такая функция %(z)9которая удовлетворяет
условию
%'(z) = f{z). (1)
Любая функция %{z), удовлетворяющая условию (1).,
называется первообразной функции f(z).
Соотношение (1) представляет собой уравнение, где
f(z)—известная заданная функция, a %(z) — неизвестная
искомая функция.
Сразу же было обнаружено, что уравнение (1)
имеет не единственное решение. Очевидно, что. если
функция %(z) удовлетворяет этому уравнению, то
одновременно ему же удовлетворяет и любая функция
вида х(г)+с, где с—произвольная постоянная.
. Совсем не просто, а в результате довольно
сложных исследований был установлен и характер
неоднозначности решений уравнения (1). Было установлено,
что если множество допустимых значений аргумента
z функции /(г) связно, то вся неоднозначность
решения уравнения (1) сводится к добавлению константы
с. Точнее, было доказано, что если h (z) есть функция,
удовлетворяющая уравнению (1), т. е. условию
*'(*)«/(*). (2)
то она может быть записана в виде
h(z)=%(z) + c. (3)
Таким образом, для того чтобы из всех функций ft (г),
удовлетворяющих уравнению (2), выбрать одну
вполне определенную, достаточно придать константе с
определенное значение. Есть, однако, другой и в
некоторых отношениях более важный способ выбора
определенного решения h(z) уравнения (2). Опишем
его.
Пределы интегрирования. Пусть f(z)—некоторая
действительная или комплексная функция
действительного или комплексного переменного z, заданная
на связном множестве значений аргумента.
Зададимся некоторым определенным значением го ее ар-
149

гумента и выберем такой интеграл hfe) функции
/(г) (см. (2), (3)), который удовлетворяет условию
/ф*} = 0. (4)
Такой интеграл всегда существует; в самом деле, для
нахождения его достаточно задать константу с так,
чтобы было выполнено соотношение 1
Таким обозом, при
*== —*(*о)
мы получаем функцию
*fe) =*«*»-Xfefc (5)
удовлетворяющую условиям (2) и (4). Эъш функвдя
Л (г) называется определенным интегралом фуикщш
f(z) и записывается в виде
г
h(z)=\ !&)<%. (6)
Этот интеграл k (z) функции f(z) называете^
определенным интегралом, значение аргумента Zo —
нижним пределом интегрирования, а значение
аргумента z — верхним пределом интегрирования. Величина
h(z), определенная формулой (6), зависит от
исходной функции f(z) и двух пределов интегрирования:
нижнего Zo и верхнего г, но не зависит от величины £,
которая называется переменным интегрирования, ее
мы можем обозначить любой буквой, например бук-»
вой t9 так что имеет место равенство
z z
Из условий (2) и (4), наложенных на функцию
fi(z), мы вывели выражение (5) для функции Л (г),
где %(г).— любая первообразная фушщш |(г).
Отсюда Следует, од*© условиями (2) и (4) функция А (г)}
определяется однозначно и что ее выражение (Б) че*
рез первообразную не зависит от выбора нервооб*
разной.
150

Простейшие свойства определенного интеграла.
Если f\(z) и /2(2) — две фунхвди с первообразными
%\(z) и %2(z), а сы, аг —два числа, то функция
ai%i(z)+ a2%2(z) является первообразной для
функции a\fi(z)+ «2/2 (z)- Отсюда следует
г
$КМ£)+«2Ы?)Н£ =
= [aiXi (2) + a2x2 (г)] — [a^ (z0) + а2Хг (z0)] =
= «i [Xi {г) - Xi (20)] + «г [Хг (г) - Хг Ы\ =
г г
Окончательно получаем
г г г
\ [a,/i © + «2/2 (О] rfg = a, \ h (£) rf£ + «2 J /2 (0 <*S.
Za Z& Zq
Нижний и верхний пределы го и г до некоторой
степени равноправны. Для того чтобы подчеркнуть это,
обозначим верхний предел интегрирования через ги
&огда мы получим
{см. (б)). Меняя местами пределы интегрирования,
мы получим
J/ft)«-X(«)-Xfe). (8)
Из равенств (7) и (8) непосредственно вытекает
J/(OrfC--Jf(C)rfC О)
15

Если заданы три значения г0, *ь *2 аргумента
функции/(г), то мы имеем м
Zo'
Zj
5/(S)rfS = X(22)-x(zI),
г^
Z»
Jf(S)rfS = X(22)~X(2o).
*0
Из этих трех.равенств вытекает важное соотношение
Z\ Z<i 23
\f(Qdt+\f(QdZ=\f(Z,)dZ. (Щ
2Ф г, Z-»
Единственность определенного интеграла. Будем
по-прежнему предполагать, что исходная функция
f(z) задана на связном множестве. Положим
j/<0 « = *(*.*,). (П)
2- >
Тогда в силу (5)
A fob 2|) = xW-x(4
Для функции h{z0iz\) соотношения (2) и (4)
переписываются в виде
^4^=/(*,), <12>
А(г0,2о) = 0. (13)
Так как соотношения (2) и (4) однозначно
определяли функцию h(z)9 соотношения (12) и (13) одно*
значно определяют функцию А (го, Z\).
Меняя в соотношениях (12), (13) местами г© и z\t
получим соотношения . ^ . л ~ .*
A-fo, *!) = (), . (15)
152

которым» функция» h(z\, zq) однозначно определяется.
Заметим теперь, что
h(zuZo) = — h(zo9zii (16)
(см. (9) и (11)). Таким образом, величины Л(г0,z\)
и h(zuZo) однозначно определяют друг друга.
Заменяя в соотношениях (14), (15) функцию h(zh £о) по
формуле (16), мы получаем соотношения
*УЁГ = -ГЫ. (17)
h(zltZl) = 0 (18)
для функции Л(г0, 2i), которыми она однозначно оп=-
ределяется. Резюмируя, можно сказать, что функция
й(2о, Z\) удовлетворяет как паре соотношений (12),
(13), так и паре соотношений (17), (18), причем
каждой парой соотношений она определяется однозначно.
Существование первообразной. Все до сих пор
рассказанное в этом параграфе опирается на предполог
жение, что существует первообразная %(z) функции
f(z). Очевидно, однако, что если функция h (го, Z\)y
удовлетворяющая условию (12), существует, то в
силу этого условия й(г0, z\) есть первообразная
функции f(z\), т. е. первообразная функции f(z)
существует. Точно так же, если функция Л(г0, 2i),
удовлетворяющая условию (17), существует, то функция
—А(го, z{) есть первообразная функции /(го), т. е.
первообразная функции f(z) существует. Резюмируя,
можно сказать, что определенный интеграл ;
найден, если указана функция Л (го, z\),
удовлетворяющая либо паре условий (12), (13), либо паре ус?
ловий (17), (18).
Замена переменного интегрирования. Мы уже
занимались вопросом о замене переменного интегрирр-
вания для случая неопределенного интеграла (см.
§ 13, (8)). В случае определенного интеграла
требуется дополнительное рассмотрение вопроса о
пределах интегрирования. Рассмотрим определенный
153

интеграл
г
Вместо z введем новое переменное w по формуле
z = q {w)t
имеющей обращение, т. е. эквивалентной формуле
^==ф(г),
так что выполнены тождества
q>{ty(w)) = w; ip(<p(z)) = z. (19)
Выясним теперь, как можно записать в виде
определенного интеграла функцию
hm(w) — hft{w)).
Оказывается, что это можно сделать следующим
образом:
w
h*(w) = \ g(<*)d<*. (20)
Wo
где
*(«) = /(*(©))*'(<*); (21)
Щ — ф (г0), w = ф (г).
Для доказательства формулы (20) покажем, что для
функции h*(w) выполнены условия (12) и (13).
Действительно, мы имеем в силу формулы
дифференцирования сложной функции (см. § 11, (21))
(h* (w)Y = (Л (i|> И))' = Л' (* (w)) • V (w) =
= f (Ф И) • Ф' И = g (w)
(см. (21)). Таким образом, условие (12) для
функции h*(w) выполнено. Далее, мы имеем
h* {wo) = \ g (со) d® = 0.
Wd
Таким образом, условие (13) выполнено. Так как для
функции h*(w) условия (12) и (13) выполнены, то
она является определенным интегралом (20).
154

Зависимость от параметра. Если подлежащая
интегрированию функция зависит не только от одного
переменного z, по которому производится интегриро
вание, но и еще от некоторого переменного и,
которое мы будем называть параметром, т. е. имеет вид
/(г, и), то ее первообразная также зависит от
параметра и, т. е. имеет вид %(z, и). Эта первообразная
удовлетворяет уравнению
— %(Zi u) = f(ztu).
Всякая другая функция h(z,u)y удовлетворяющая
уравнению
-^h(zyu) = f(z,u), (22)
отличается от функции %(z, и) только на величину, не
зависящую от г, но, естественно, могущую зависеть
от параметра и. Таким образом, функция h(z,u)
может быть записана в виде
Л (г, и) = % (z, и) + с (и),
где с {и)—произвольная функция параметра и.
Выберем теперь какое-нибудь вполне определенное
значение 20 аргумента z и аотребуем, чтобы функция
h(z,u) удовлетворяла условию
А(2ь,и) = 0. (23)
Для того чтобы последнее условие имело место, мы
должны выбрать функцию с (и) параметра и так,
чтобы выполнялось соотношение
X («г0, и) + с (и) = О,
откуда
c(u) = — %(z0, tl),
и для Л (г, и)\ удовлетворяющей условию (23), мы
получаем выражение
h (г, и) = % (z, a) — % (z0, «). (24)
Функция А (г, и), удовлетворяющая условиям (22) и
(23), является определенным интегралом функции
/(г, и)] и записывается в виде
Z
А (г, «)=$/(£, «)<*£. (25)
Z9
155

Таким образам, определенный йнтегрМ*425) имеет -^
вид (24). Для того чтобы подчеркнуть некоторое pas- *.
направие нижнего и верхнего пределов интегрирова- ^ч
ния, обозначим верхний предел интегрирований -#
через 2\. Тогда мы можем записать
г, ' ' - * *
$ / (£, и) dl = Л (г0, ги и) *= X (гь и) - х (ад «О- (26)
г-
Эта формула подчеркивает, что определенный
интеграл (26) зависит от нижнего и верхнего пределов
интегрирования и от параметра и. Определенный
интеграл h(zo, z\, и) как функция своего верхнего предела
удовлетворяет условиям
•g^h{2otZuu)~f(zuu)9 (27)
h(zo,zQ,u) = Ot (28)
которыми он и определяется однозначно.
Определенный интеграл A(zo, z\, и), рассматриваемый как
функция нижнего предела го, удовлетворяет двум
условиям
■^ h (г0, zu и) = — f (z0f w), (29)
h(z{tzl9u)=*0, (30)
которыми он и.определяется однозначно. Таким
образом, для того чтобы убедиться в том, что функция
А(г0, zu и) трех переменных является определенным
интегралом:
A(zo, Z|,w)=$/(£, w)d£,
мы должны убедиться в том, что функция h{zo, zu и)1
удовлетворяет либо паре условий (27), (28), либо
паре условий (29), (30). Поэтому изложенный способ
нахождения определенного интеграла есть способ
проверки. Мы просто должны угадать функцию
h(zQ,z\,u)\ которая удовлетворяет либо паре условий
(27) и (28), либо паре условий (29), (30).
Все сказанное до сих пор относительно
интегрирования функции, зависящей от параметра и, не
представляет собой ничего интересного. Ситуация стано-
156

таится нетривиальной и требующей, осрбого внимания
в>/юм случае,: кргда параметр и совпадает с одним из
пределов интегрирования, т. е. когда имеет, место
одно из двух равенств : - .
или w = z<b или u = zu
т. е. когда мы хотим найти один из двух интегралов
A(*o,Zi,2i)=$f(£, Zi)d£, (31)
Za
■ \\ \ ■ \
Z\
A(2b,«b2b)=Jf(£,2b)d£. (32)
При нахождении интеграла (31) предложенный нами
способ проверки при помощи соотношений (27) и
(28) становится негодным, но зато пригоден способ
проверки при помощи соотношений (29) и (30). Если,
наоборот, мы хотим найти интеграл (32), то
предложенный нами способ проверки при помощи
соотношений (29) и (30) становится негодным, но годится
способ проверки при помощи соотношений (27) и (28).
Объясним, почему это так. Рассмотрим случай
первого интеграла (31). В функции Л (го, Zu и) и
замерено через zu и функция Л(г0, z\, £i), подозреваемая
в том, что она есть интеграл (31), рассматриваемая
как функция переменного z\, уже не удовлетворяет
условию
^h(z0, zu zi) = / (z0, z,). (33)
Действительно, при выведении условия (27) мы
считали, что аргумент и, стоящий на третьем месте, есть
величина постоянная, а в левой части формула (33)
при дифференцировании по z\ мы уже считаем, что
аргумент, стоящий на третьем месте, есть переменная
величина z\. В этом случае, для того чтобы убедить*
ся, что функция двух переменных A(z0, zbzi)
является определенным интегралом (31), нужно применить
к ней условия (29) и (30), т. е. убедиться в том, что
-§£ A (z0, zu *i) — — / fob z\) (34)
*<*!,*,, *i)«=0.. (35)
157

Аналогично обстоит дело и в случае нахождения
интеграла (32). В этом случае мы должны убедиться
в том, что
-^-ft(z0, 2Ь 20) = /(г0, *i)
и
h (г0, zQi zq) = 0.
Интегрирование неравенств. Здесь мы будем рас*
сматривать только действительные функции
действительных переменных. Мы докажем, что если для двух
функций f\{x,u) и f2{x,u) выполнено неравенство
fi(x,u)<h{xtu) (36)
для всех интересующих нас значений- переменных х
и и, то имеет место неравенство
X X
sign {х — хо) J fi (|, и) dg < sign (x — *0) J /2 (I, w) dg,
(37)
т. е. что неравенство (36) можно интегрировать в
пределах от х0 до х.
Для доказательства этого утверждения составим
функцию
f(x9 u) = f2(xfu) — fl(x>u).
Ясно, что для того чтобы доказать, что из
неравенства (36) вытекает неравенство (37), нам для
функции f(xyu) достаточно доказать, что из неравенства
f(x,u)^0 (38)
вытекает неравенство
X
sign (*-*<>) $ f(S,")dS>0. (39)
Хъ
Займемся доказательством этого свойства функции
f{x, и). Для этого прежде всего положим
h(xtu)=\f($,u)dt
Из соотношения (23) следует, что
Л {х, и) = Л (х} u) — h {xQl и). (40)
158

Далее, в силу формулы Лагранжа (см. § 12, (20))
мы имеем
А (х, u) — h (х0, u) = -^h (л, и) (х — x0) = f ft, и) (х — х0),
(41)
где rj — число, заключенное между хо и х. Так как по
условию (38) /(л, и) 5* 0, то из соотношений (40) и
(41) следует
sign (x — xo)*h (x, и) > 0,
т. е. неравенство (39).
Заметим, что так доказанная формула верна, в
частности, и при и = х0, так как при ее
доказательстве мы пользуемся соотношениями (27) и (28),
задающими определенный интеграл. Пользуясь соот-
ношениями (29) и (30), можно доказать, что нера«
венство (37) верно и для и = х.
Интегрирование модуля функции. Здесь мы опять
будем рассматривать действительную функцию
действительного переменного. Мы докажем, что если
|/(М1<М (42)
для всех значений g на отрезке [до], то имеет место
неравенство
\f(Z,u)dt
<Af-|*-*ь|. (43)
Докажем это. Из соотношения (42) следует, что
-М</(£, и)<А1
Интегрируя это двойное неравенство в пределах от
хо до х9 мы получим двойное неравенство
х
sign (х — хо) • (— М) • (* — хо)< sign (x -~xQ)y (g, и) d% <
< sign (х — *0) • Af • (л; — лг0), (44)
из которого непосредственно вытекает неравенство
(43).
§ 15. Ряд Тейлора
Один из важнейших способов вычисления
значений функции по значениям ее аргумента опирается
на разложение функции в степенной ряд. Иногда сте-
159

пенным рядом функция и.задается. Так, мы задали*-
функцию ехр(г) при помощи ряда, (см. § 7). Иногда
функцию, заданную каким-либо другнэд способом,
удается разложить в степенной ряд и получить таким
путем средство ее вычисления. Так было с функ*
циями cos х и sin х действительного переменного jc,
которые первоначально задаются геометрически, а
затем мы нашли их разложение в степенные ряды в
§ 8, пользуясь свойствами функции ехр(е). Пользуясь
разложением функции в степенной ряд, можно изу*
чать ее свойства. Так это было сделано в § 7 с
функцией ехр(г). В самом начале § 7 был установлен ряд
ее свойств. При помощи степенных рядов функция,
заданная для действительных значений переменного,
распространяется на область комплексного
переменного (см. § 9). Мы уже нашли разложение в ряды
многих трансцендентных функций. Теперь пора
поставить вопрос о возможности разложения заданной
функции в степенной ряд. Этим вопросом мы и
будем заниматься в настоящем параграфе. Мы сразу
будем рассматривать разложение функции в ряд не
по степеням независимого переменного г, а по степе*
ням разности z~ го, где z0 есть некоторое
постоянное значение аргумента. При этом мы будем
рассматривать одновременно как действительный, так и
комплексный случай, так что рассматриваемая функ*
ция f{z) может быть как комплексной, так и
действительной, точно так же как и ее аргумент г.
Сперва мы будем исходить из предположения, что
функция f(z) разлагается в степенной ряд по
степеням разности z — zq9 т. е. что имеет место равенство
f(z) = a0 + ai(Z" 20) + a2(z — z0)2+ ...
...+an(z-*o)n+.*. (i)
Ряд этот, очевидно, сходится при z = г0, но для того
чтобы ^Рассмотрение его имело какой-нибудь смысл,
следует считать, что ряд сходится не только для
значения аргумента z = zo, но и для других значений.
Из этого вытекает, что ряд (1) имеет положитель*
ный радиус сходимости, т. е. он абсолютно сходится
для всех значений z, удовлетворяющих неравенству
U — ?о1<Г, Г>0.
160

Коэффициенты ряда (1) очень легко можно
вычислить через производные функции f(z), правда, для
этого нужна не только первая производная, но и
производные произвольного порядка функции f(z). Они
не были еще формально определены, а потому дадим
их определение здесь.
Производные разных порядков. Мы уже знаем, что
такое производная f'(z) функции f(z). Она
называется производной первого порядка. Производная (/'(г))'
функции ff(z) называется производной второго
порядка функции f(z) и обозначается через /"(г).
Точно так же производная {f"(г))' называется производ-
ной третьего порядка функции f(z) и обозначается
через f'"(z) или f{3)(z). Производная произвольного
порядка п определяется индуктивно при помощи
формулы
/«(г) = (/<"-'> (Z))'. (2)
Мы уже знаем, что если степенной ряд сходится
в круге положительного радиуса г, то его
производная, вычисленная при помощи почленного
дифференцирования ряда, также сходится в круге радиуса г.
Это было доказано для функции, разлагающейся по
степеням аргумента z (см. § 11). Так как функция
f(z) (см. (1)) разложена по степеням аргумента
z — 2о, то ряд можно дифференцировать по
аргументу г — zoi сохраняя его радиус сходимости, но
дифференцирование по z — z0 и дифференцирование по z
эквивалентны в силу формулы (22) § 11, так как
(z — z0) ^ ^ £еря ПрОИЗВОдную порядка п от обеих
частей равенства (1), мы получаем
fn)(z) = n\ an + (n + l)n(n-l) ... 2an+{(z-z0)+...
.:.+(n + k){n + k-l)...(k+ l)an+k(z - z0f + ...,
причем это равенство имеет место для всех значений
\'z — Zo\<lr. Полагая в нем z = z0t мы получаем
f(n){z0)= nlan, откуда
Таким образом, мы выразили коэффициент аг
ряда (1) через п-ю производную функции f{z) и
б Л, С. Понтрягин
161

можем теперь записать равенства (1) в новей форме:
/(*) = / Ы + Цг& - ъ,) + .....
•••+-^Г1(*-*Г+..- (4). ~
Ряд, стоящий в правой, части последнего равенства,
называется рядом Тейлора, для функции f(z) в. точке
г = zq. Это разложение возможно лишь при условии, f
что функция f(z) имеет производные всех порядков
в точке го. При доказательстве равенства (3.) мы.
исходили из предположения, что функция f(z) уже. раз.-,
лагается в ряд (1) по степеням z — г0и соответствую*
щий ряд имеет положительный радиус сходимости.
Теперь возникает вопрос, разлагается ли
некоторая заданная функция f(z) в ряд Тейлора (4). Для
решения его, очевидно, следует составить разность
Д„ = Яя(го,2) = /(г)--
-[/ Ы + ^Г Ы (г- г0) + ... + ±f<«(Z&) (г-гьГ ]
(5)
между функцией f(z) и конечным отрезком ряда (4).
Ясно, что если имеет место соотношение
Ит /?„(zo, г) = 0, (6)
Д->оо
то функция /(г) разлагается в ряд (4). Если соогжь
шение (6) не имеет, места, то функция f(z) не
разлагается в ряд (4).
Оказывается, что величина Rn(zo>z) может бытв
записана в виде определенного интеграла от
сравнительно простой функции, и эта запись в ряде случаев
позволяет решить вопрос, выполнено соотношение (6)
или нет. Для того чтобы записать функцию Rn(zo, г)1
в виде определенного интеграла, мы воспользуемся
условиями (34) и (35) § 14, считая при этом, что
Rn (г0, г) = h (г0, г, г).
Для проверки условия (34) § 14 мы должны
вычислить производную
■£*.<*,*>. ГО
162

чтобы тем самым няйти функцию f(zo, г)\ стоящую в
правой части .-соотношения (34). Далее, ты должны
проверить условие (35).
Займемся вычислением производной (7), при этом
мы должны считать величину z0 переменной, а
величину ^—лгостаякной. Тогда мы имеем
£/•<*) = о. £/Ы = П*>. (8)
При k > О
(9)
Суммируя от 1 до п равенства (9) и принимая во
внимание соотношения (8), мы получаем
^ Rn (z0, z) = ~ ^ /("+1) Ы (г - гь)".
Таким образом, в нашем случае функция f(zotz)\
стоящая в правой части равенства (34) § 14,
определяется равенством
f(zo,z) = ±-f{n+l)(z0)(z-zo)n.
Для проверки соотношения (35) § 14 мы должны в
равенстве (5) заменить г0 через г. Тогда мы,
очевидно, толучаем
Jk(2,.2f)='Q.
В силу результатов *§ 14 мы можем теперь записать
Rn(zo,~z) в-виде определенного интеграла
г
Мь =Хп (2о, л) = ±- \ fn+1)iO (z - If dl. (10)
Из формул (5) и (10) непосредственно вытекает
равенство
/(г)-/Ы + -тгГЫ(г-^)+...
... + ± Г (г0) (z - гоГ + ± \ /<п+1) (?) (г - 0"rfE. (11)
б* 163

Величина (10) называется остаточным членом
формулы Тейлора. Формула Тейлора (II) имеет место
тогда, когда функция f(z) имеет все производные до
я + 1-го порядка включительно. Она важна не
только для разложения функции в ряд Тейлора. Для того
чтобы соотношение (6) имело смысл, необходимо,
чтобы функция f(z) имела производные сколь угодно
высокого порядка. Таким образом, для того чтобы
функция f(z) разлагалась в ряд Тейлора, необходимо,
чтобы она имела производные всех порядков и чтобы
ряд (4) сходился. Этого, однако, недостаточно. В
примере 2 будет построена функция, имеющая
производные произвольного порядка, причем ряд (4) сходится
при 20 = 0, которая, однако, не разлагается в ряд
Тейлора при г0 = 0.
Пользуясь полученными результатами, дадим
разложение в ряд Тейлора по степеням х действительной
функции
f(x) = (l+x)r (12)
действительного переменного х, где г — произвольное
действительное число (см. § 11, (30), (31)).
Разложение это следующее:
...+ Mr-1)"n,(r-w + 1V+... (13)
Когда г—натуральное число, формула эта совпадает
с формулой бинома Ньютона. Естественно сохранить
за ней это название и для случая произвольного г,
тем более, что формула (13) была известна Ньютону.
Мы докажем, что разложение (13) имеет место при
|*|<; 1. Для доказательства этого выпишем прежде
всего производную порядка п функции (1 +л;)г,.поль*
зуясь формулой (31) § 11. Мы имеем
1™(х)*ВЯг(г-1)...(г-п+1Н1+хГя-
Мы докажем, что остаточный член в нашем случае
стремится к нулю при |*|< 1. Для этого мы оценим
величину
164

где g — действительное переменное, принимающее
значения из отрезка [Ох]. Именно, мы докажем, что
In KUI. (15)
Если х положительно, то g тоже положительно, и
тогда из формулы (14) сразу видно, что верна
формула (15). При х отрицательном g также
отрицательно, и тогда из формулы
|1:
1-1
X
1+1
также следует соотношение (15). Для функции (12)Г
остаточный член Rn дается формулой
X X
#„ = Ап \ (1 + 0Г—> (др - 1)п сЦ = Ап\ цп (1 + 1Г1 rfg,
О О
где
_ г(г-1)...(г-и)
п~ п\ '
Так как |#|< 1, a £ меняется в пределах от 0 до ху
то величина (1+5) г~1 не превосходит некоторой
константы б. Таким образом, в силу оценки интеграла
(см. § 14, (43)), мы имеем \Rn\< АпЬ\х\п+К
Величина Ап может быть записана в виде произведения
„ г—1 г —2 г — п
Ап = г 1 — ... -J-.
Таким образом, за исключением множителя г,
величина А„ есть произведение чисел вида —g— = -£• — 1.
Очевидно, что
«"(т-0 —«• <1в>
Если теперь выбрать положительное число 5 так,
чтобы было
Ul<s<l,
то из соотношения (16) следует, что существует
настолько большое натуральное число /, что j
при k > I имеем г ~ х < s.
165

Теперь мы имеем
|/?„1<г(г~!);,"(г~0 ■а-*"1!*!'*'.
Так кт $ < 1, то s^-^0 при я-xdq, и
соотношение (6) для кашей функции f(x) доказав©. Итак,
формула (13) верна при \х\<. 1.
Пример 1. Выпишем теперь остаточный чл<ен
формулы Тейлора Rn для действительной функции
действительного переменного в наиболее принятой
простой форме. Для этого предположим, что функ*
ция /(л+1)Ш на отрезке от х0 до х непрерывна и что
минимум ее равен р, а максимум q, так что имеет
место Неравенство
Р</("+1) (£)<?. (17)
Оказывается тогда, что
*»=-^?Fv, (18)
где у — число, промежуточное между р и ц. Мы
можем зашюаягь число у в виде
Y = f(n+,,(tlX
где т) есть число, заключенное между х0 и х. Тогда
остаточный член Rn приобретает общепринятый вид
D _ (X — Хр)П+1 f(n+l),„\ /lQv
*»*= <д+1)< / (Л)- (19)
Докажем формулу (19). Для этого воспользуемся
формулой
х
^*-Э"^-5гЬг<х-^
Зная, что знаки величин (х — £) и (х — л:0)
совпадают, умножим двойное неравенство (17) на
положительную величину (л: — %)п sign (х — xQ)n:
(X - И" р Sign (* - xof < (* - l)nfia+l\l) Sign(* - ХоГ <
< (* — £)" <7 sign (* — лг0)Л.
166

Интегрируя это двойное неравенство в пределах от
Хд до х, мы получим (см. § 14, (44))
п + 1
; sign (х - x0)n+l \ (х - ir fn+l) (i) di <
< -^T <* - *»>"+1 si§n <* - *o)"+'-
Деля это двойное неравенство на п\, получим
j^r^ (х - хо)п+{ sign (х - хо)п+1 <
<#„ sign (х - *0)я+1 <_2_(Л-Хо)»+1 sign(x-*0f+i.
Отсюда непосредственно следует формула (18).
Пользуясь остаточным членом в форме (19), легко
получить разложение в ряды Тейлора функций ех, sinx,
cos л:, но разложение функции (1 +х)г (см. (13)) при
помощи оценки (19) не получается.
Пример 2. Дадим теперь пример функции, не
разлагающейся в ряд Тейлора. Для этого прежде
всего отметим, что функция е^ растет быстрее, чем
функция |" при положительном пу когда \ стремится
к оо. Действительно, мы имеем
Ь t2 ln+l
е1 _^ 1+ТГ + ~2Г+'"+ (я'+1)1 +'" I
Ъп Г > in+1)1 •
откуда непосредственно следует, что
lim -тп= оо.
Переходя к обратным величинам, мы видим, что е~$
стремится к нулю быстрее, чем -г», при |-*оо.
Полагая | = -р- и считая, что х->0, мы из сказанного
выводим, что если Р Г—J есть многочлен относи-
i
теэшю —, то
X
limp(-~)e™ = 0. (20)
167

1
Функция f(x) = e *3 определена для всех значений
х, отличных от нуля. При х == 0 она не определена,
но естественно считать, что /(0)= 0, ибо так
доопределенная функция f(x) непрерывна и в точке х = 0.
При всяком значении х ф 0 производная функции
f(x) легко вычисляется по правилам, данным в § 11,
и записывается в виде
В силу соотношения (20) мы имеем
\imfw{x) = 0.
Из этого, однако, не следует, что /(п) (0) = 0.
Докажем, что /(rt>(0) = 0, по индукции. Будем считать, что
р~1)(0)=0, и докажем, что и р>(0)=0. В самом
деле,
/<»>(о) = ,,„ ^W-^W -„mi^iL-i = 0
х->0 х *-»0 х
(см. формулу (20)). Таким образом, как сама
функция /(х), так и все производные ее произвольного
порядка равны нулю при х = 0. Если бы эту функцию
{(х) можно было разложить в ряд Тейлора в точке
х = 0, то мы получили бы f(x)= 0, что, однако,
очевидным образом неверно. Таким образом, эта
функция f(x) = e x* не разлагается в ряд Тейлора в
точке х = 0.
Пример 3. Будем исходить из некоторой
действительной непрерывной функции f(x)
действительного переменного х, заданной на связном множестве.
Допустим, что эта функция принимает два значения
*/о и у2, т. е. существуют такие два значения ее
аргумента Хо И Х2у ЧТО
Уо = /(*о). # = /(**)• (21),
Тогда для каждого действительного числа у и
заключенного между у0 и у2, найдется такое значение
аргумента хи заключенное между хо и х% что имеет
место равенство у\ =-f(x\). Коротко говорят, что дей-
163

ствительная непрерывная функция принимает все
значения, промежуточные между двумя любыми ее зна«
чениями.
При доказательстве этого утверждения мы для
определенности предположим, что х0 <С х2, у0 < у2.
Мы можем считать, что ух не совпадает ни с у0, ни
е y2i так как, если бы такое совпадение имело место,
то функция /(я), очевидно, принимала бы значение
уг (см. (21)). Соберем теперь вместе все те точки
отрезка [*о*2], для которых выполнено неравенство
Множество всех таких точек х отрезка [х0х2] мы
обозначим через М. Это множество непусто, так как '
оно содержит точку *0. Действительно,
/(лго)==^о <
Верхнюю грань множества М (см. § 4) мы обозначим
через Х\ и докажем, что
f{xi) = yi. (22)
Доказательство равенства (22) будем вести от
противного. Именно, мы предположим, что оно
неверно и что, следовательно,
e = l/(*i)-yil>0.
Так как функция f(x) непрерывна, то для этого
положительного числа е найдется такое положительное
число 6, что при
\x-x{\<6 (23)
имеет место неравенство
l/(*)-/(*i)l<e.
Совокупность всех точек отрезка [лдог],
удовлетворяющих неравенству (23), обозначим через U. Ясно,
что если f(x\) < i/i, то все точки множества U
принадлежат множеству М. Если же, наоборот, /(*!);> уито
все точки множества U лежат вне множества М.
В первом случае любая точка х множества U,
лежащая справа от точки хи принадлежит множеству М,
и потому х\ не является верхней гранью множества
М. Во втором случае все точки х из множества U,
лежащие слева от точки х\, и сама точка х\ не принад-
169

лежат множеству М, ж тэтому точка х\ мв мшкет
быть верхней гранью множества М. Тазаш егбра&шя,
мы пришли к противоречию, т, е. равенство (22)
имеет место.
Пример 4. Ясно, что ряд (13) сходится и при
замене действительного числа х комплексным числом
г, причем радиус сходимости его не меньше 1. В
действительности он равен 1, если только г не есть
натуральное число. Таким образом, мы можем определить
функцию (1 + г)г, где z — комплексное число, причем
\z\ < 1, положив
(!+*)'«! +^* + lJ^22+...
...+ rir-l)-Jr-n + l)zn+... (24)
Воспользуемся теперь разложением (24) для
разложения функции arcsin z в ряд Тейлора. В силу
формулы (28) § 11 мы имеем
arcsin'.z = (l ■— z2) 2.
В силу формулы (24) мы имеем
arcsin'*=i+-iz2+... +^1,3'--;;!(2*~tV+...
(25)
Выбирая ту ветвь функции arcsin .г, которая
обращается в нуль при z = Q, мы путем интегрировайяя
равенства (25) получаем
arcsin z = z + -2-*-3-z3+...
• • • ^ 2» 2л + 1 n\ Z + • • • W
Таким образом, мы получили разложение (2©)
функции arcsin z в ряд Тейлопа.

Глаъа Hi
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Интегральное исчисление начинается с описания
определенного интеграла действительной функции
f(x) действительного переменного х как площади,
заключенной между графиком функции f(x), двумя
ординатами и куском оси абсцисс. При этом не
подвергается сомнению тот факт, что площадь эта
существует. Доказывается, что описанный так
определенный интеграл является первообразной для функции
f(x). Таким образом, доказывается существование
первообразной, исходя из существования площади,
которое считается интуитивно ясным. Далее
определенный интеграл описывается как предел
последовательности конечных сумм. Здесь уже проводится
безупречно точное доказательство его существования.
В конце главы даются некоторые приложения
определенного интеграла, вычисляется, длина куска графика
функции, и длина кривой, заданной параметрически.
§ 1в. Определенный интеграл как площадь
В § 14 было дано описание определенного,
интеграла функции /(г). Именно, функция h{z) считается
определенным интегралом функции, f(z) и
записывается в виде
z.
если она удовлетворяет двум условиям:
h'{z) = f{z), А(г0) = 0.
17!

Это описание определенного интеграла имеет тот
недостаток, что оно не указывает никакого способа его
нахождения. Мы просто должны угадать
какую-нибудь первообразную функцию %(z) функции f(z), т.е.
функцию, удовлетворяющую условию %'(z) = f(z).
Этот способ угадывания не так уж плох. Во всяком
случае, пользуясь им, мы сумели проинтегрировать
многочлены, степенные ряды и целый ряд
элементарных трансцендентных функций (см. § 13). Но все же
он не конструктивен: он не дает никакого
определенного способа для построения интегралов. Есть другой
способ описания определенного интеграла для
действительных непрерывных функций действительного
О
\
*
ZlS
7 i
S^t
■ i
^£
^ь.
Рис. 11.
переменного, исторически более ранний, связанный
с вычислением площади. Опишем его.
Мы можем описать определенный интеграл как
площадь некоторого куска плоскости, ограниченного
частично дрямолинейными отрезками, частично
кривой линией. Если считать интуитивно понятным, что
такое площадь куска плоскости, то мы получаем
наглядное геометрическое описание определенного
интеграла. Если дать какой-либо конкретный способ
приближенного вычисления площади, то мы получим
способ приближенного вычисления определенного
интеграла, но это будет сделано позже (см. § 18). Здесь
же мы установим связь между определенным
интегралом и площадью, исходя из чисто интуитивного
представления о площади.
Площадь графика. Будем исходить из некоторой
известной нам действительной непрерывной функции
f(l) действительного переменного £. Прежде всего
построим график С этой функций. Для этого на пло-
172

скости Р нашего чертежа (рис. 11) горизонтально
проведем ось абсцисс и вертикально — ось ординат.
По оси абсцисс мы будем откладывать величину £, а
по оси ординат величину
.Точку на оси абсцисс, абсцисса которой равна £, мы
будем обозначать также через £. Выберем теперь
какие-нибудь два совершенно произвольных значения
аргумента £ и обозначим их через хо и х. Через точки
хо и х проведем вертикальные прямые и точки их
пересечения с кривой С обозначим соответственно
через яо и а. Если кусок а0а графика С лежит по одну
сторону от оси абсцисс, то у нас совершенно
естественным образом выделяется кусок плоскости Р,
ограниченный с боков ординатами [лдоо]; [ха], снизу
отрезком [хох] оси абсцисс, а сверху отрезком [а0а]
графика С. Несмотря на то, что этот кусок плоскости
с одной стороны ограничен кривой линией, все же
вполне естественно считать, что он имеет площадь.
Площадь по природе своей — величина
положительная или, в крайнем случае, равная нулю, например
тогда, когда хо = х. Мы алгебраизируем площадь
четырехугольника хохаао, придав ей определенный знак.
При хо < х мы будем считать эту площадь
положительной, если кривая а0а лежит над осью абсцисс,
и отрицательной, если кривая а0а лежит под осью
абсцисс. При Хо > х мы изменим установленный
таким образом знак площади на обратный. Так алгеб-
раизированную площадь четырехугольника хохаао мы
обозначим через h(xo, x).
Сравним теперь площадь h(xo,x) с площадями
двух естественно возникающих прямоугольников. Для
этого обозначим через р(хо, х) минимум функции
f(l) на отрезке [х0х] и через q[xo, x] максимум
функции f(l) на том же отрезке [х0х]. Построим теперь
на отрезке [хох] как на основании прямоугольники,
один высотой р(*о, х) и второй — высотой q(xo,x)*
При этом построении мы будем учитывать знак
величин р(хо, х) и q(x0fx), т. е. строить прямоугольник
над осью абсцисс, если высота его положительна, и
под осью абсцисс, если высота его отрицательна.
Если кривая а0а проходит над осью абсцисс, то
криволинейный четырехугольник хохаао содержит внутри
па

себя первый из построенных прямоугольников я со-*
держится во втором. Из этого при условии, это
Хо < х> вытекает двойное неравенство
(х — лго)р(х0, х)<h(х0, *)<(л: — х0)q(*o> х).
Если хо *> х, то написанное двойное неравенство уже
неверно, и для получения правильного двойного
неравенства мы должны изменить оба входящих в него
знака неравенств на обратные. Чтобы одной
формулой охватить оба случая Xq < х и Хо > х, мы
употребим функцию sign/, которая равна +1 при t
положительном и —1 при t отрицательном. Тогда единое
неравенство, верное для обоих случаев хо < х и хо >
f> х, запишется в виде
(х — лго) р (хо, х) sign (х — дгоХ h (xQ, x) sign (x — л^Х
< (х — лг0) q(х0> х) sign (л: — х0). (1)
Эта формула, выведенная в предположении, что
кривая аф лежит над осью абсцггсс, верна также и в
случае, когда кривая аф лежит иод осью абсцисс,
что легко проверить.
До снх пор мы предполагали, что кривая аф
лежит но одну сторону оси абсцисс. Рассмотрим теперь
и тот случай, когда она пересекает ось абсцисс в
нескольких точках, быть может, даже в бесконечном
числе точек. В этом случае не существует
четырехугольника хвхаа0у так как -кривая а0а частично лежит
над осью абсцисс, а частично под ъсью абсцисс.
Сложим все площади, лежащие между верхней частью
кривой аоа и осью абсцисс, и вычтем из этого сумму
всех площадей, лежащих между нижней частью
кривой и осью а'бсцисс. Полученное так число умножим
на sign (х — Хо) и полученную величину обозначим
через h (хо, х). Легко проверить, что и в этом случае
величина к(х0у х) удовлетворяет двойному
неравенству (1). Как подчеркивают это сами обозначения,
в дальнейшем мы будем считать хо постоянной
величиной, ад: — переменной и положим
h(x) = h{xo, x).
Очевидно, что
h{xo) — h{xoy x^) = Q. (2)
174

Кроме того, мы докажем сейчас, что
Л'М = /(*)• (3)
Из соотношений (2) и (3) будет следовать
х
Л(*)«=$/(8Ч*6 (4)
(см. соотношения (2) и (4) § 14). Таким образом,
будет найден геометрический смысл определенного
интеграла. Для завершения этого нам остается
только доказать формулу (3). Займемся этим.
При проведении доказательства формулы (3)
разумно представлять себе случай, когда кривая a0a
проходит над осью абсцисс, помня при этом, однако,
что все выписываемые формулы верны и в самом
общем случае поведения этой кривой, что, конечно,
каждый раз следовало бы тщательно проверять. Для
вычисления производной функции h(x) мы выберем,
как положено, величину g, близкую к х, но не
равную х. Точку пересечения вертикали, проведенной че«
рез g с графиком С, обозначим через а и составим
разность.
h(Q — h(x)=h(xo, Q — h(x0, х).
Геометрически очевидно, что
fi(Mto Ш — h (х<ь х)~ h(x, g), (б)
Это штеяаег из неметрического рассмотрения двуя
криволинейные четырехугольников- Afogaao и Хохсш®
(см. рис. 11), причем равенство (б) в^рно как при
х < |, так и при х> g- Заменяя в неравенстве- (1) ль
черев х, а х через g, мы получим двойное
неравенство
(l — x)p(x, g)sign(g — 4<А(л^ g) sign (g — *) <
< ft — a:) <7 (a:, g) sigB (g — л:).
Деля это двойное неравенство на положительную
величину (g — x)sign(g — х), мы получим неравенство
175

Так как в силу непрерывности функции f(xf мы
имеем
lim р (х9 |)■= lim q (х, 1) = f (х),
то, переходя в двойном неравенстве (6) к пределу
при 1~+х9 мы получаем
Л'(*)-/(*),
т. е. соотношение (3) доказано. Итак, нами получена
геометрическая интерпретация определенного
интеграла как площади и одновременно дан способ
вычисления этой площади в том случае, когда мы можем
угадать неопределенный интеграл функции f(x).
Воспользуемся этим для вычисления площади куска
плоскости, граница которого частично криволинейна.
Пример 1. В плоскости Р нашего чертежа
выберем горизонтально ось абсцисс и вертикально ось
ординат, начало координат обозначим через о.
Рассмотрим в этой плоскости параболу, определяемую
уравнением
где у— положительное число. Ось этой параболы
совпадает с положительной полуосью абсцисс. Через
некоторую точку х положительной полуоси абсцисс про-*
ведем вертикальную прямую и обозначим ее
пересечение с верхней ветвью параболы через а и с нижней
ветвью параболы через а'. Вычислим теперь
площадь Six), заключенную между куском параболы
аоа' и вертикальным отрезком [аа']. Осью абсцисс
эта площадь разбивается на две равные части.
Вычислим площадь верхней части, заключенную между
отрезком [ох] оси абсцисс, вертикальным отрезком
[ха] и куском параболы [оа]> Верхняя ветвь
параболы задается уравнением
Таким образом, в силу ранее доказанного (см. (4)*)
верхняя половина нашей площади определяется
формулой
х
A(*)=$V2Yi<«.
о
175

Непосредственно проверяется, что
так как для этой функции мы имеем
Л(0) = 0, h'^^-yfivc.
Таким образом, вся интересующая нас площадь S(x)
равна
S(jc) = 2A(jc) = |V2y?-
§ 17. Определенный интеграл как предел
последовательности конечных сумм
В предыдущем § 16 мы вплотную подошли к
конструктивному описанию определенного интеграла. Мы
дадим это конструктивное описание здесь.
Одновременно будет дано формальное определение понятия
площади, которым в предыдущем параграфе мы
пользовались чисто интуитивно. При этом мы будем
пользоваться понятием равномерно непрерывной
функции. Дадим ее определение.
Равномерная непрерывность. Мы будем
рассматривать некоторую действительную или комплексную
функцию f(z) действительного или комплексного
переменного г. Мы должны объяснить, при каких
условиях функция эта считается равномерно непрерыв--
ной. Для этого каждой паре (zy g) значений ее
аргумента поставим в соответствие два неотрицательных
числа
1С-*1, 1Ш-/(*)(.
Может случиться, что при всяком изменении пары
чисел (г,£), при ковром |£ — г|-^0, к нулю же
стремится |f(£)—f(z)\. Если это имеет место, то
функция f(z) называется равномерно непрерывной. Более
точно, функция f(z) называется равномерно
непрерывной, когда для всякого положительного числа е
можно подобрать настолько малое положительное
число б, что из условия
1£-2|<6 (1)
следует, что
1Ш-/(г)1<е. (2)
177

Коротко это свойство мы запишем в, виде
Иш |/(0-/(г)|-0.
Если в этом определении зафиксировать величину
2, а считать переменной только величину £, то мы
получим определение непрерывности функции в точке z
(см. §10, (5)).
Как известно, функция называется непрьерывной^
если она непрерывна для^ каждого значения своего
аргумента. Таким образом, видно, что функция
равномерно непрерывная является, непрерывной.
Оказывается, однако, что обратное верно не всегда (см.
пример 1).
Мы докажем сейчас, что если множество N1 всех
допустимых значений аргумента функции f(z)
замкнуто и ограничено, то из непрерывности функции
следует ее равномерная непрерывность. Доказательство
будем вести от противного. Именно: мы
предположим, что непрерывная функция f(z) не является раа-
номерно непрерывной, т. е. что для некоторого
положительного числа е нельзя подобрать достаточно
малое положительное число б (см. соотношения (1)
и (2),).
Таким образом, для этого положительного числа
е можно подобрать такую последовательность пар:
что
lim.IC^—25.1=0, (3)
Я-»©о
НО
l/<b.)-/fe»)l>e>0. (4)
Так как множество М аамкнуто и ограничено, а все
точки
2b %2л • • •» Zm • • • (5)
принадлежат М, то из последовательности (5) можно
выбрать подпоследовательность, сходящуюся к
некоторой точке г0 множества М (см. § 4). Для-того что*
бы не вводить новых» обозначений для этой
подпоследовательности, мы будем просто считать, что сама
последовательность (5) сходите» к точке z0> так что
имеет место соотношение
lim zn = z0. (6)
178

Из соотношений (3) и (6) легко следует, что
lim £„=*0. (7)
В самом деле, мы имеем
U* - zo I < I £» - гЛ Ж z„ - zo I•
Переходя б этом неравенстве к пределу при /г-*оо,
мы получаем соотношение (7). Так как функция f(z)
непрерывна, а следовательно, непрерывна и в точке
0о, то мы имеем
lim f(zn) = f(ze)t (8)
Hm/(£„) = /(*„). (9)
П->оо
Далее, мы имеем
\f(Zn)-f(Zn)\<\f(U~f(Zo)\ + \f(Zn)-f(Zo)l
Переходя в этом неравенстве к пределу при /г->оо,
мы в силу соотношений (8) и (9) получаем
lim|/(£j~/(z„)| = 0,
что противоречит соотношению (4).
Таким образом, мы пришли к противоречию и тем
доказали, что функция /(г), заданная на замкнутом
ограниченном множестве М, "будучи непрерывной,
является одновременно и равномерно непрерывной.
Перейдем теперь к конструктивному описанию
определенного интеграла
h(x)=^f(t)dt (10)
действительной непрерывной функции /(£)'
действительного переменного £, заданной на связном
множестве значений аргумента. Описание интеграла будет
опираться на вычисление его приближенных
значений.
Так же, как в § 16, обозначим через
р(х0, х) и q(x0, x) (11)
минимум и соответственно максимум функции f(g)j
на отрезке [хох]. Положим далее
е (л* х) = q (xq, x) — р (xQt х). (12)
179

Неотрицательная величина e(x0i*) характеризует
размах колебаний функции /(g) на отрезке [*о*].Оче- -щ
ВИДНО, ЧТО ДЛЯ ДВуХ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ТОЧеК Ц И V ОТ' *
резка [хох] имеет место неравенство «I
l/foWMKefo, х). (13) *,
Подразделение отрезка. Разобьем отрезок [х0х] на ;
отрезки некоторой монотонной последовательностью |
точек J
Х = (х0, xu •••» *ь •••» *k)> xk = x. (14) I
В случае х0 < х монотонность означает, что ;
лг0 < Х\ < ... < Xi < ... < xk- (15) ]
В случае хо > х монотонность означает, что
Хо > Х\ > ... > Xi > ... > Xk. (16)
Таким образом, в обоих случаях имеет место
равенство I
sign (лг| — ATi_i) = sign (дс — лго). (17)
Последовательность эта подразделяет отрезок [х^х] I
на k отрезков вида I
[**-i**]« I
Это подразделение отрезка [хох] мы будем называть I
подразделением X. В частном случае мы можем иметь I
подразделение, определяемое последовательностью I
Х = (х0,х), (18)
т. е. отрезок вовсе не подразделен. Конструктивное |
описание интеграла (10) опирается на рассмотрение I
многих подразделений отрезка [х0х], так что под- I
разделение X мы будем в дальнейшем рассматривать I
как переменную величину, значениями которой яв- I
ляются произвольные подразделения отрезка [хох] на I
произвольное число k отрезков, где k не фиксировано.
Переменная величина X будет в дальнейшем служить I
аргументом нескольких нужных для нас действитель- I
ных числовых функций. Обозначим через Ь{Х)
наибольшее из чисел I
\Xi — Jfj-i'l, /=1, 2, ..., к. I
Величина 8(Х) есть функция аргумента X, так как I
она может быть вычислена, если подразделение X за-
180

дано. Величина 8(Х) характеризует мелкость
подразделения X. Чем меньше число 8(Х), тем мельче
подразделение X. Если подразделение X делит отрезок
[xqx] на k равных отрезков, то
6(a:)=u~*qI.
Таким образом, существуют произвольно мелкие
подразделения отрезка [хох], так как при k достаточно
> \ X — #0 1
большом величина J—^—- становится произвольно
малой.
Через е(Х) обозначим наибольшее из чисел
e(Xi-\,Xi) (см. 12)). Неотрицательное число е(Х)
также является функцией переменной величины X,
так как оно может быть вычислено, когда
подразделение X задано. Очевидно, что если |ы и v — два
числа, принадлежащие одному и тому же отрезку
подразделения X, то имеет место неравенство
!fM~/(v)|<e(X)
(см. (13)). Так как функция /(g) непрерывна, то на.
отрезке [х0х] она равномерно непрерывна. Поэтому
для каждого положительного числа е можно
подобрать настолько малое положительное число б, что
если подразделение X удовлетворяет неравенству
6(Х)<6, то для него выполнено и неравенство
е(Х)<Се. Иначе говоря, если подразделение X
меняется так, что число 8(Х) в процессе этого
изменения стремится к нулю, то число е(Х) также
стремится к нулю. В виде формулы это свойство функции
е(Х) мы запишем так:
Hm e(*) = 0. (19)
б (Х)-*0
Введем в рассмотрение еще одну функцию
переменного подразделения X. Мы положим
а (Х) = (х{-Хо) /&) + ... +(xt-xM)ffa)+ ...
... +(**-**-!)/(&*), (20)
где. gi есть произвольная точка отрезка [xt-ixi].
Таким образом, в точном смысле слова а(Х) не есть
функция только подразделения X, так как для
вычисления суммы (20), кроме подразделения X, нужна
181

знать еще точки
Sit §2, ..., I/, ••-, g*> №)
и следовало бы написать
о(Х) — а (Жу &+ ..., lh ..., Ife).
Можно, однако, считать, что сумма (20) является не
однозначной функцией а(Х) переменного X, а мажет
принимать любое значение, которое получается' при
произвольном выборе последовательности (2.1),. ирги
котором, однако, каждая точка £/ принадлежит
отрезку [xi-\Xi]. Все свойства функции о(Х), которые
будут доказываться, ниже,, будут верны для любого
ее значения, т. е. для любого выбора
последовательности (21). Для того чтобы сократить длину
формулы (20), мы запишем ее иначе, именно:
*(*)•=£ (*-**-!)/&)■ (22)
В дальнейшем мы постоянно будем пользоваться
знаком суммирования£. Формула (22) имеет смь&сл
как при х > х0у так и ирм х < х0, но при х = х0,
отрезок [хох] превращается в точку и никакие
подразделения его невозможна Мы будем форадашадю
считать, что в этом' случае
а(Х) = 0. (23)
Конечные суммы сг(Х) будут приближенными
значениями интеграла5 (W). Приближение это будет тем
точнее, чем мельче подразделение X, т. е. чем ближе
к нулю величина 6(Х).
Определение интеграла. Мы покажем, что если
подразделение X меняется так, что мелкость его 6(Х)-*~
-►-0, то величина в(Х) стремится к некоторому
определенному пределу,, который мы обозначим через-
h (x). Утверждение это в виде формулы мы запишем
так:
1dm o(X) = h(x). (24)
в до-*о
Развернутый смысл этого утверждения следующий:
для всякого положительного числа е найдется
настолько малое положительное число б, что из соот-
182

Я©шения
ЦХ) < S
рытекает соотношение
\oiX)-h[x)\<B. (25)
Перейдем теперь к доказательству существования
величины Л (л:), удовлетворяющей условию (25).
Заметим прежде всего, что для подразделения
(18) мы имеем
о(х0, *) = (* —*о)/(6)>
где g — произвольная точка отрезка [хох]. Докажем
теперь, что для произвольного подразделения X мы
имеем неравенство
Iсг(лг0, х) — *(Х)\^\х — Хо\ъ(х0, х). (26)
Действительно,
к
o(xo,x)=Z(xi~-xi„l)f®. (27)
Вычитая из равенства (27) равенство (22), получаем
k
о (*о, х) - о (X) = £ fo/ - *_,) (/ (6) - / (1,)). (28)
В силу формулы (13) мы имеем
I f (9-/(Ь)1 <*<*.*)• (29)
Из формул (28) и (29) следует, что
k
I ff-fob *) — *{Х) К X I */ — J^-i I* foo> *) =
= |*~ Xofefoo, л;),
т. е. неравенство (26) доказано.
Если монотонная последовательность
Л \Хд> Лр • • • t Хр * . ., X^jtf Xq ==== Xq> X} === л
(см. формулы (15), (16)) содержит все числа
последовательности X (см. (14)), то подразделение X'
называется шмелтемиеж подразделения X. Докажем,
что если подразделение А7 далжтся измельчением
подр&зделешш X, то имеет место неравенство
| а (X) - а (Г) | <| * - * |е (*). (30)
183

Те точки подразделения Х\ которые попадают на
отрезок [*,•_!*,■], подразделяют этот отрезок на
кусочки. Это подразделение отрезка [x/-i, Jtj]> мы обо^
значим через Х\. Применяя к отрезку \xi-\Xi\ и его
подразделению Х\ формулу (26), верную для произ?
вольного отрезка [х0х]9 мы получим
о (*,_!, *,) - о (X't) | < | х. - xt_x |е (xt_l9 x.) <
<Ui-*,-ile<*). (31)
Очевидно, что
o(X')=to(Xd (32)
и
k
а(Х)=£*(*|-ь**). (33),
Вычитая (32) из (33), в силу (31) получим
|а(Х)-а(Г)| =
йи*^.*о-*та]
<
< S |*j —*i-i|e(X) = |x —*ole W-
Таким образом, неравенство (30) доказано.
Пусть X и X" — два произвольных подразделения
отрезка [хох]. Докажем, что
\о(Х)-о(Х")\<\х-хо\(в(Х) + ЦХ")). (34)
Объединим все числа, входящие в
последовательности X и X", и расположим полученную так
совокупность чисел в монотонном порядке. Так полученную
монотонную последовательность чисел обозначим
через X'. Очевидно, что подразделение X' является
измельчением обоих подразделений X и X". Таким
образом, наряду с неравенством (30) мы имеем
неравенство
| а (X") - о (Г) КI * - *01 в (X"). (35)'
Из неравенств (30) и (35) вытекает неравенство (34).
Теперь мы можем построить число к(х) (см. (24)).
Для этого выберем произвольную последовательность
Ль Л2, . . ., Хп, . . .
384

подразделений отрезка [х0х], удовлетворяющую
условию
lim 6(Х„) = 0. (36)
Оказывается тогда, что последовательность
а(Х,), а(Х2)9 ..., а(Хя)9 ... (37)
сходится. Предел ее мы и обозначим через h(x), так
что
limo(Xa) = h(x). (38)
П->оо
Мы докажем, что последовательность (37)
удовлетворяет условию сходимости Коши (см. § 3). Для
этого выпишем оценку разности \o(Xr)—o(Xs)\,
опираясь на оценку (34). В силу (34) мы имеем
\о(Хг)-о(Ха)\<\х-Хо\(е(Хг) + г(Х,)). (39)
Так как величина 8(Хп) стремится к нулю (см. (36)),
то величина е(Хп) также стремится к нулю (см. (19)).
Таким образом, правая часть (39) стремится к нулю,
когда натуральные числа г и 5 оба неограниченно
возрастают, а это и значит, что последовательность
(37) удовлетворяет условию Коши, так что
существует ее предел h (x) (см. (38)).
Теперь мы можем доказать, что полученная
величина h(x) удовлетворяет условию (24). Для этого
оценим выражение \о(Х) — Л(лг)(. Мы имеем
\o(X)-h(x)\<\o(X)-o(Xn)\ + \o(XJ-h(x)\<
^\x-XQ\(e(X) + e(Xn)) + \o(Xn)-h(x)\.
Переходя в этом соотношении к пределу при п ->■ оо,
мы получаем
| о (X) - h (х) | < \х - х0 I e (X). (40)
Из этого на основании соотношения (19) получается,
соотношение (24).
Теперь мы можем окончательно выписать
определение интеграла
X
\f(t)dt= lim o(X).
185.

Вьттшшези теперь одну важную оценку величины
интеграла, именно:
(л; — х0) р (х0> x) sign (х — х0) <
X
< sign (л; — лго) \/ (£) dl < {х — х0) q (х0, x) sign (х — х0).
Для доказательства неравенства (41) выберем
произвольное подразделение X отрезка [хох]. Мы имеем
р(*о, *)</(!*)< <7(*о. *)» /=1, ...&
(см. (11) и (14)). Умножая это неравенство на
положительное число (xt — xi-i) sign (xi — Xi-\) и сумми- |
руя по i от 1 до ky мы получаем, учитывая (17),
неравенство
(х — х0) р (х0, х) sign (л: — х0) < (sign (х — х0)) а (X) <
< (х — х0) q (x0, x) sign (x — ха). (42)
Перехода в этом неравенстве к пределу при 6(Х)-^0,
мы получаем неравенство (41).
Теперь пришло время доказать, что функция h(x)
удовлетворяет условиям
АЫ = 0, ' (43)
h'(x) = f(x), (44)
т.е. функция h(x) является определенным
интегралом функции /(g) ив смысле определения, данного
в§ 14 (см. §14, (2), (4)).
Соотношение (43) следует из формулы (23),
докажем соотношение (44).
Отрезок [хох] разобьем на два отрезка точкой х1,
лежащей между точками Хо и х. При этом
переобозначим точки х0; х, положив хо = х°; х = х2. Выберем
некоторое подразделение X1 отрезка [х0*1] и
некоторое подразделение X2 отрезка [х1х2]. Выписанные
подряд точки последовательностей Х\ X2 составят по*
следовательность XlX2t подразделяющую отрезок •
[х°х2]. Мы имеем очевидное равенство
о(Хг) + а{Х2) = о(Х1Х2). (45)
186

Переходя к пределу при б~(ХгТ-*»09 б(Я2)->0, мы т*
лучаем из соотношения (45)
*' *5 *»
$/«<*+$ /СО*- 5 /(f)А (46)
*0 Я1 Л«
' Для вычисления производной h'(x) мы, согласно
правилу, выберем точку g, близкую к jc, но отличную
от нее, и составим развость й(£) — h{x). Для втк*
ления этой разности воспользуемся формулой (46).
Если g лежит вне отрезка [x0#]> то х делит отрезок
|"а:о|], и в силу (46) мы имеем
с 1 1
\f{t)dt+\f(t)dt= \f(t)dt.
*° X Х°
Если £ лежит на отрезке [л;0*], то в силу (46) имеет
место соотношение
I X X
\f(t)dt + [f(t)dt= \f(t)dt.
х« I jc.
Таким образом, в первом случае мы имеем
А©-А(*)= $/(/)Я- J/(/)tf=$f(0#, (47)
#о Хо х
а во втором случае
I х х
А(£)-А(л:) = $/(/)<#- J/</)rf3f-= \f(f)dt. (48)
Применяя к правым частям равенств (47) и (48)
двойное неравенство (41), мы получим в нервом
случае
(1-х)р (х, I) sign (6 - *) < (sign (| - х)) (h (I) - h (x)) <
<(6-*M*,6)sign(6--*) (49)
н во втором случае
(x-Z)p(t,x)sign(x-l)^(sign(x~t))(h(x)--h(t))<l
<(x-l)q(tx)sign(x-l). (50)
Так как р(х91У= P(h*)\ Ч(*Л) = Я(t, x)\ то, деля
каждое из неравенств (49), (50) на положительную
187

величину
(6 — х) sign (Z~x) = (x — I) sign (x — |),
мы в обоих случаях получим одно и то же неравен*
ство
p(x,%Xh%Zhx)(X)«l(x,l).
Переходя в этом неравенстве к пределу при £-»-*»
получаем
f(x)<h'(x)<f(x).
Таким образом, соотношение (44) доказано.
Проведем некоторое обобщение данного здесь
способа интегрирования.
Кусочно непрерывная функция. Если действитель*
ная функция f(x) действительного переменного х в
некоторой точке х = а не является непрерывной, то
точка а называется точкой разрыва этой функции.
Опишем простейшие точки разрыва, именно, так
называемые точки разрыва первого рода. Точка
разрыва а функции f(x) называется точкой разрыва
первого рода, если выполнены два следующих уело*
вия:
1) вблизи точки а нет других точек разрыва
функции /(л:), это значит, что существует настолько
малое положительное число е, что на интервале
\х—а|<е нет точек разрыва функции f(x), кроме
точки а;
2) если число х приближается к а, оставаясь
меньше а, то функция f(x) при таком изменении х
стремится к пределу, который мы условно обозначим
через f(a — 0). В виде формулы это записывается
следующим образом:
lim/(*) = /(a-0).
х<а
х-*а
Если число х стремится к а, оставаясь больше а, то
предел функции f(x) при таком изменении х
существует и обозначается условно через f(a + 0). В виде
формулы это записывается так:
Нт/(*)=*/(а+ 0).
х>а
183

Значение /(а)' функции в точке разрыва а обычно не
играет никакой роли и не будет рассматриваться.
Функция f(x) называется кусочно непрерывной, если
все ее точки разрыва являются точками разрыва
первого рода и если на каждом конечном отрезке
изменения функции f(x) этих точек разрыва конечное
число. Легко определить интеграл
х
кусочно непрерывной функции f(x). Сделаем это в
предположении, что Хо < х. Предположим сперва, что
на отрезке [хох] функция f(x) не имеет других точек
разрыва кроме, быть может, его концов, каждый из
которых может быть либо точкой разрыва первого
рода, либо точкой непрерывности функции f(x). Если
хо есть точка разрыва функции f(x), то значение ее
в точке дго определим формулой f(x0)= f(x0 + 0). Если
конец х есть точка разрыва функции, то значение
функции в точке х определим формулой f(x) —
= f(x — 0). Дополненная так выбранными
значениями в точках х0,х функция f(x) уже непрерывна на
всем отрезке [х0х] и потому интеграл ее определен.
Если теперь [хох] есть произвольный отрезок
интегрирования, то он может быть разбит на крнечное
число отрезков, внутри каждого из которых нет
толе
чек разрыва и \/(£)<*£ определяется в этом случае
Хч
как сумма всех интегралов, взятых по отрезкам
разбиения. В случае х0 > х интеграл определяется
аналогично.
Кусочно гладкая функция. Непрерывная функция
h(x) называется кусочно гладкой, если производная
ее h'(x) есть функция кусочно непрерывная. Легко
видеть, что интеграл
х
Хо
кусочно непрерывной функции f(x) есть кусочно
гладкая функция h(x) и что имеет место соотношение
189

ft'(*y= f(x)\ верное для ^всех значений х, отличных от
точек разрыва функции f(x).
Интегрирование комплексной (функции f(x)
действительного переменного х. Функция f{x) может быть
записана в виде
/М=ч> (*)+**(*).
где ф(хУ и Ор{хУ суть действительные функции
действительного переменного х. Пусть X — некоторое
подразделение отрезка \xqx] интегрирования. Для
комплексной функции f(x) составим сумму типа or,
именно, положим
аДО=||(*/-*м)Ш. (SO
где |/ —некоторая точка отрезка \xj-\XfY. Положим
к
0i (X)—2 (х; - *,_,) ч> &);
/«I
Очевидно, что
а<(ЗО = 01(Ж) + ш2Ш. (S2)
Та<к как для .действительных .непрерывных функций
Ф (g) и пф (|) имеют вместо [равенства
lim atW-Ud)^,
Hm 02(X)= U(i)d|,
то в силу формул (51) и (52) предел величины а{Х)
при $(#)-> О существует и может быть принят по
определению за интеграл, так что мы получим
X XX
\f(Z)d$= lim a(X)= U(6)d6 + f U(6)dg. (53)
Если исходная комплексная функция f(Q не
непрерывна, а кусочно непрерывна, то интеграл ее может
быть описан так же, как интеграл действительной
190

кусочно непрерывной функции, и при этом^
определении интеграла соотношение (53) сохраняется.
Так как для функций <р(#) к ty(x) имеют место
равенства
Xq Xq
J<p(|)rf4=0, J+Orfg-O-
XO Xo
И
x x
775ф(1)^1-ф(дг), ~ J*(S)d|-*(x),
то для комплексной функции fix) мы имеем те же
равенства
Хо X
$Ш<*6 = 0, -j^\f(l)dl=f(x). (54)
Мы установили, что определенный в этом
параграфе интеграл
X
\fil)dl (55)
комплексной функции действительного переменного х
удовлетворяет условиям (54), г. е. является
интегралом в смысле § 14. Поэтому все результаты, полу*
ченные в § 14> имеют место и для1 интеграла (55),
в частности
Х\ Х% Хъ
\ f (D dl + J, / ®d&= J / (I) dt (56)
Xq X\ Xb
Если в интеграле
x~
^f®dS; (57)
Xo
от комплексной функции действительного
переменного £ подынтегральная функция удовлетворяет нера*
венству
191

то для интеграла (57) мы имеем оценку ,
<f«(jc —д:о). (S8)
J/(i)tfg
I Ко
Это непосредственно вытекает из равенства
#<* / =» 1
(см. (51)).
Пример. Приведем пример непрерывной, но не
равномерно непрерывной функции. Положим /(#)=
= —. Функцию эту будем рассматривать для всех
значений х, удовлетворяющих неравенству 0 < к ^ 1,
Ясно, что она непрерывна, но не равномерно
непрерывна, так как величина
при |g — #|<б может стать произвольно большой,
если х и g близки к нулю.
§ 18. Площадь и длина графика
В § 16 мы говорили о площади четырехугольника,
ограниченного сверху кривой линией, графиком
непрерывной функции, как о вещи само собой
понятной. Для каждого здравомыслящего человека,
казалось бы, должно быть очевидно, что площадь может
быть измерена. Но такого рода очевидности иногда
оказываются просто неверными. Поэтому мы должны
тщательно объяснить, что следует понимать под
площадью куска плоскости, ограниченного кривой
линией. Точно так же обстоит дело и с длиной кривой
линии. Для того чтобы избежать недоразумений,
нужно, как говорят математики, дать строгое опреде*
ление этих понятий. Займемся этим и одновременно.
вычислим соответствующие величины при помощи
интегралов.
Площадь. Будем исходить из некоторой
действительной непрерывной функции f(l) действительного
переменного |. График этой функции на координат-
192

ной плоскости обозначим через С. На оси абсцисс
выберем некоторый отрезок [хох] и через концы его
проведем вертикальные прямые, пересечение которых
с графиком С обозначим соответственно через а0, а.
Для определенности будем предполагать, что хо < х
и что кусок [а0а] графика С лежит над осью абсцисс.
Тогда возникает четырехугольник х0хаао,
ограниченный снизу отрезком х0х абсциссы, с боков
ординатами х0ао, *я и сверху куском а0а графика С (см.
рис. 11). Поставим перед собой задачу измерить
площадь этого четырехугольника и в надежде на то,
что нам это удастся, обозначим заранее величину
этой площади через 5.
Если мы имеем две точки д, v оси абсцисс, то
через р{\х, v) мы обозначим минимум функции /(g) на
отрезке [|iv], а через q{\i,v)—максимум функции
/(g) на том же отрезке [jliv]. Так как непрерывная
функция, рассматриваемая на отрезке, достигает на
нем своего минимума и своего максимума (см. § 12),
то мы имеем два равенства
/>Gi,v) = /<g'). ?(|i,v) = /(S"),
где g', g"— две точки отрезка [|uv].
Выберем теперь какое-нибудь подразделение
X = (Xq, Хи • • • > %i, . . ., Xjjj Xk ==#,
отрезка [х0х] (см. § 17, (14)). Через 1\ обозначим
точку, в которой функция /(g) достигает своего
минимума на отрезке [*/-i*/], а через g" обозначим
такую точку, в которой функция /(g) достигает своего
максимума на отрезке [Xi-\Xi]. Составим две сумхмы
o'{X)=t(xl-xt_l)f{l'i),
"*W-g(*,-*i-i)/(6r).
Из этих равенств видно, что величины о'(Х), о" {X)
являются двумя значениями многозначной функции
о(Х) (см. § 17), и поэтому имеют место два
7 Л. С. Поитряпш 193

равенства
X
lim а"(Х) = f/©rfS. (2)
Дадим теперь геометрическое описание
возникающей здесь картины (рис. 12). Для этого обозначим
через Pi прямоугольник с основанием xi-ixt и высотой
Рис. 12.
/(!£), а чеРез Qt — прямоугольник с основанием х^\Хг
и высотой /(£"). Площадь прямоугольника Pi равна
(xt — л:^)/(£;). Площадь прямоугольника Q; равна
(**~~**-i)/(£")■ Так как все прямоугольники Ри
i= 1, 2, ..., &, содержатся внутри четырехугольника
хохаа0у то сумма их площадей не превосходит
площади S четырехугольника хохаао. Так как совокуп*
ность прямоугольников Qi, /= 1, 2, *.., ky содержит
внутри себя четырехугольник хохаао, то площадь 5
не превосходит сумму площадей прямоугольников Q/.
Таким образом, исходя из предположения, что пло-
щадь четырехугольника хохаао можно измерить иона
равна числу S, мы получаем для этого числа двойное
неравенство
a'(X)<S^o"(X). (3)
Теперь разумно посмотреть на дело так, что
величины о'(X) и о"{Х) являются приближенными
значениями щдтиш 5, причем, как это следует из
двойного неравенства (3), величина о'(Х) оценивает
величину 5 снизу, а величина о"(Х) оценивает
величину S сверху. Так как две эти оценки при неог-.
194

раниченном измельчении подразделения X стремятся
к одному и тому же пределу (см. (1), (2)), то
следует прийти к выводу, что наше измерение площади
четырехугольника xQxaa0 удалось, и величина S
определяется формулой
?= \f(l)dl
Таким образом, формальное определение площади
совпадает с интуитивным представлением о
результатах ее измерения.
Длина графика. Будем исходить из некоторой дей->
ствительной функции f(x) действительного
переменного х, имеющей непрерывную производную. Пусть
Рис, 13.
[х0х]—некоторый отрезок оси абсцисс, причем х0 <3
< л:, на котором функция f(x) определена, а X —
некоторое подразделение отрезка [х0х] (см. § 17).
График функции f(x) на координатной плоскости Р
обозначим через С (рис. 13). Пересечение вертикальной
прямой, проведенной через точку x-h с графиком С
обозначим через т. Построим ломаную
do, й\у ..., а^ = а}
составленную из отрезков
[<№L\]t [ам], ... [ctk-^kl
Длину отрезка [сц-гсц] обозначим через /(а;~ь сц)<
Длину ломаной обозначим через 1{Х)> т. е. положим
к
/(*)= £*(*<-!.*/). (4)
7*
195

Легко убедиться в том, что если \xt — *,-_i|->0, то й
l(ai-u си)-+0. По определению будем считать, что
длина s{x0, x) куска [а0а] графика С определяется
как предел
s(xQ, x)= lim 1{X).
Нам остается доказать, что предел этот существует
и написать его в виде некоторого определенного ин*
теграла. Займемся этим. Через точку а^\ проведем
горизонтальную прямую и обозначим пересечение ее
с вертикальной прямой, проходящей через точки xtt
а/, через Ъи Тогда длина отрезка [щ^ш] как длина
гипотенузы прямоугольного треугольника
записывается при помощи формулы
/(а,_ь а,) = У('(в/-ь bt)? + (/(6„ а,))2.
Так как
то для длины 1(сц-ищ) мы получаем формулу
Цам, at) == V(xi - *,-i)2 + (/ (*) - / (^_i))2.
В силу формулы Лагранжа (см. § 12) мы имеем
f(xt)-f(xi-i)=f'fa)(xi-xM)9
где |/ — некоторая точка отрезка '[xt-\xi\. Таким
образом, длина 1(х0,х) всей нашей ломаной задается
формулой
i (х) ^ £ fe - Xw) у1 + (Г(Ы)2.
Правая часть представляет собой не что иное, как
сумму типа а (См. § 17), составленную для функции
V 1 + (/' (I))2, Так что мы имеем
X
*(*о, х) = J Vl + (/'(i))2 <& (5)
Таким образом, мы одновременно доказали, что
предел суммы (4) при 6СХ)->0 существует, и вычислили
этот предел в виде интеграла (5).
196 .

§ 19. Длина параметрически заданной линии
При помощи определенных интегралов
описываются и определяются очень многие величины,
встречающиеся как в самой математике, так и в ее
приложениях в естествознании. При этих описаниях
интеграл часто появляется как предел
последовательности конечных сумм, аналогичных суммам, рассмот*
ренным в § 17. Однако суммы эти могут иметь вид
несколько более общий, чем суммы, данные в § 17.
Для того чтобы установить связь между этими более
общими суммами и суммами, рассмотренными в § 17,
мы введем в рассмотрение суммы, так сказать,
бесконечно малые, т. е. стремящиеся к нулю, когда
подразделения X отрезка [х0х] неограниченно
измельчаются. Займемся этим.
Будем исходить из отрезка [хох], заданного на
оси абсцисс, и допустим, что каждому отрезку [juvj,
лежащему на отрезке [хох], поставлено в
соответствие действительное или комплексное число р(|ш, v).
Мы будем предполагать, что число р(р,, v) стремится
к нулю вместе с числом |v — \jl\. Более точно, мы
будем предполагать, что для каждого положительного
числа е существует настолько малое положительное
число б, что из соотношения
| V — fX К 6 (1)
следует соотношение
Ipfo, v)|<e. (2)
В виде формулы это свойство функции p(fx, v) мы
запишем так:
lim pfti, v) = 0. (3)
Функцию р(|ш, v) отрезка [p/v], обладающую этим
свойством, мы будем называть бесконечно малой.
Допустим теперь, что задано некоторое
подразделение
X = С#о> Хь • • •» xk)> xk — х9
отрезка [х0х] (см. § 17, (14)). Этому подразделению
X отрезка [х0х] мы поставим в соответствие число
k
Р {X) = Z (Xi — */-i) P fo-ь хд,
197

исходя из бесконечно малой функции р~(|ш, vj отрезка*
Оказывается, чтр величина р(Х)->0, когда подраз*
деление X неограниченно измельчается, что в виде
формулы можно записать так:
lim p(*) = 0. (4)
Для доказательства соотношения (4) выберем
произвольно малое положительное число е и
подберем для него такое малое положительное число б,
что при выполнении неравенства (1) выполняется
неравенство (2). Будем теперь считать, что
подразделение X достаточно мелко, т. е. удовлетворяет
условию
6{Х)<6.
Тогда для каждого отрезка подразделения X мы
имеем неравенство
\xt — #i_i|<6.
Поэтому в силу неравенства (2) выполнено
соотношение
1р(**-ь */)!<«-
Тогда для функции р(Х) мы получаем оценку
lpWI<ZUi-^-illP(^-b^)l<
к
< ZU/ — лг£_1 |е = | лг — лг0 |в.
Так как е — произвольно малое число, то из
последнего неравенства вытекает соотношение (4).
Кусочно гладкая линия. Пусть q>{t) и ty(t)—две
действительные функции действительного
переменного t. Полагая
* = ф(0. 0 = + О. (5)
мы получим параметрическую запись линии, которая
расположена на координатной плоскости Р и
описывается точкой
(х,у) = Ш, Ф(0), (6)
когда t меняется возрастая или убывая. Линия эта
называется кусочно гладкой, если обе функции ср(0
и г|)(£) кусочно гладкие (см. § 18) и производные их
198

w'(t) и ^'{0 не обращаются в нуль одновременно ни
при каком значении t. Если для какого-нибудь
значения t хотя бы одна из функций <р'(0' или ty'(t)
терпит разрыв, то соответствующая точка t на нашей
линии называется угловой точкой. Мы будем предпо*
лагать, что при подходе к угловой точке производные
<р'(/) и i|/(/) не стремятся к нулю одновременно
(точки линии, не являющиеся угловыми, называются
точками гладкости). Наша линия разбивается своими
угловыми точками на куски, каждый из которых уже
представляет собой гладкую линию. Для того чтобы
определить логически и вычислить длину кусочно
гладкой линии, достаточно вычислить длину линии
на каждом из кусков гладкости, затем сложить
между собой все эти длины. Таким образом, нам доста*
точно определить и вычислить длину линии на неко«
тором куске [tot], на котором наша линия является
гладкой.
Определим теперь логически и вычислим длину
гладкого куска линии, заданного уравнениями (5) на
отрезке [tQt]. Пусть
— некоторое подразделение отрезка [tot] (см, § 17,
(14)). Так же, как и там, мы будем считать, что
последовательность Т монотонна. Обозначим через a-t
точку с координатами <p(fc), ${ti), положив
a/ = (<P('i). ♦('*)).
Последовательность
а0, аь ..., аи ..., ak
определяет ломаную, составленную из отрезков вида
,[аца/], i=l, 2, ,.«, k. Длину отрезка [ai^ai] мы
обозначим через /(at-i, а<), считая ее положительной,
если tt-\ < U9 и отрицательной, если U < U~\. Длина
1{Т) всей нашей ломаной определяется формулой
k
Таким образом, длина 1(Т) положительна при rfo'<C t
и отрццательна при t < tQu Аналогично тому, как мы
это делали в § 17, через 6 (Г) мы обозначим макси-
199

мальное из чисел \ti— ti-\\, f= 1, 2, ..., k. Мы до- Ч
кажем, что при 6(Г)->0 величина 1(Т) стремится к , I
некоторому пределу, который называется длиной ли- I
нии. Именно, мы покажем, что - I
i I
lim l(T) = \ + ^WWTWWdr. (7)
To I
Перейдем к доказательству формулы (7). Выбе- I
рем какие-нибудь два значения \i, v параметра t и I
обозначим через р и у точки (ф(|ы), ^(pi)) и (<p{v)t I
t|}(v)). Длину отрезка [Pv] обозначим через /(р, vh
считая ее положительной при |ш < v и отрицательной I
при \х > v. Мы, очевидно, имеем I
/ (р, у) = sign (v - |i) л/[у(у) -<p([i)]2 + №(v) - $(VW.
Составим функцию p(ii, v) отрезка [jiv], положив I
p (i*. v)=-^r - V(«p' (v))2 + (*' (v))2 ■ (8)
Мы докажем, что построенная так функция р (|i, v)]
удовлетворяет условию I
lim р(ц, v) = 0, (9)
| V —|JL |-»0 I
т. е. что функция p(fi, v) является бесконечно малой I
(см. (3)). Из этого уже легко будет вывести фор-» I
мулу (7). I
Приступим к доказательству соотношения (9), I
В силу формулы Лагранжа (см. § 12) мы имеем I
Ф (v) — ф (ц) = (v — \х) q/ (Ti), ф (v) — -ф (|i) = (v—|i) ф' (т2),
где числа ti и х2 лежат на отрезке [\xv]. Таким обра* I
зом, мы имеем I
4^=+ Vfo'№ + (+'«.
Положим, далее,
со = (ф' Ы)2 + (ф' (т2))2, w = (Ф' (v))2 + (ф' (v))2.
Таким образом, из формулы (8) следует, что I
Р (й, v) = V® "" V^ •
200

Так как корень квадратный есть равномерно непре*
рывная функция, то для всякого положительного
числа в найдется настолько малое положительное
число ги что при
| СО — W | < Ej
имеем _
ipfa, v)|=|Vg>-УИ<*. (ю)
Далее, мы имеем s
I« - «> | < I (Ф' (ti))2 - (Ф/ (v))21 +1 fo' (т2))2 - ($' (v))21.
Так как
|v — fi|<|v —ц|, |v —t2|<|v —(i|,
то для заданного числа г\ можно найти настолько
малое число б, что при
I V — ^ К 6 (11)
мы имеем
I (ф' (т.))2- W (v))2 К Ц-, | ft' (т2))2 - w (v))2 |< -§-.
Таким образом, для всякого положительного числа б
мы подобрали такое б, что при выполнении нера*
венства (11) имеет место неравенство (10), т. е<
функция p(|i, v) есть бесконечно малая функция.
Таким образом, мы получаем
ЦТ) - I (U - U-i) У(ф'&))2 + 01>'&))2 =
i=»l
= Е [/(а/-ь а,) - (/, - *,_,) л/МШГШТШ =»
k
^ZVt-tt-Mt-uU). (i2)
1=1
Так как р (ц, v) есть бесконечно малая функция, то
правая часть соотношения (12) стремится к нулю при
б(Г)->-0 (см. (4)). Таким образом, мы и получаем
соотношение
t
lim l(T) = \^WWTWWdT. (13)
Итак, мы доказали, что длина кусочно гладкой ли*
нии существует и определяется интегралом (13)«
201

Пример. На линии, заданной параметрически
уравнениями (5), положение точки определяется
значением параметра / (см. (6)), поэтому параметр t
естественно считать координатой, введенной на
линии. Как мы это уже много раз делали раньше, мы
иногда будем называть точку линии,
соответствующую значению параметра t, просто точкой /. При этом
может случиться, что двум различным значениям
параметра t = V и t = f\ причем V ф ?\ соответствует
на плоскости одна и та же точка. Именно, имеет
место равенство
(ф(0, *(0)-(ф(П. +('")).
Такие две точки V и t" мы все же будем считать
различными точками линии, а совпадение их на
плоскости будем рассматривать как самопересечение линии.
Длина s куска линии, заключенной между точками to
и tt определяется формулой (13), так что длина эта
есть функция параметра t
s = s(t)9 (14)
причем
Jr= + У(ф'(О)8+ (*'('))», (15)
ds «у
при этом величина -^- всюду положительна.
Уравнение (14) можно разрешить относительно /, и мы
получим равенство
t = t(s), (16)
причем
t'(s) = jr>0.
dt
Я не привожу здесь доказательства того, что
уравнение (14) можно разрешить относительно t.
Геометрически это, довольно ясно, если на некоторой
координатной плоскости изобразить график функции, s (t).
Подставляя в параметрические уравнения (5)
выражение величины t через s по формуле (16), мы полу-
чиж равенство
* = Ф(/(*)), У = Ф (/(*)). (17)
Уравнения (17) можно рассматривать как
параметрическое уравнение прежней линии, в котором вместо

параметра t введен новый параметр s. Его мы тоже
можем рассматривать как координату, введенную на
нашей линии. Точке t0 теперь соответствует точка с
координатой s = 0, т. е. начало координат. Отрезок
линии от начала координат до точки 5 имеет длину,
равную s. Так введенный на линии новый параметр s
является наиболее удобным. Для того чтобы не
вводить новых обозначений, мы будем считать, что
линия задана параметрически в виде
х = Ф ($), у = ty (s).
Соотношение (15) теперь получает вид
-§=У(ф'(*))2 + (Ф'(5))2.
Таким образом,
(<p'(s))2 + tt>'(s))2=l. (18)
Вектор, ведущий из начала координат в точку (cp(s),
a|)(s)), мы обозначим через %{s), так что имеет место
равенство
X(s) = (<P(s), $(s)).
Вблизи неподвижной точки s выберем подвижную
точку о и проведем'через точки %{s)y %(o) прямую
линию, секущую нашей линии. Обозначим через а
угол наклона к оси абсцисс вектора, ведущего из точ*
ки %(s) в точку %(о); тогда мы имеем, очевидно,
cosa = d(p(g)-<1)(s)) йпй-й+™-*М.
о — s о — s
где й — некоторый положительный коэффициент.
Переходя в этих равенствах к пределу при a->s и
обозначая предельное значение угла а через а, а
предельное значение коэффициента а через а, мы полу*
чим равенство
>cos a = aq/ (s), sin a = ai|/ (s).
Из соотношения (18) следует, что a = 1, так что мы
имеем
cosa — qp^s), sin a = г|/(s). (19)
Таким образом, вектор
Х'(*) = (Ф'(*), ♦'(*))
203

имеет длину, равную 1:
|JC'(*)|=1.
Так как при проведенном предельном переходе
секущая переходит в касательную к нашей линии в точке
5, то вектор %'(s) есть единичный вектор,
касающийся нашей линии в точке s и направленный в сторону
возрастания s. Из уравнений (19) следует
Дифференцрфуя соотношение (18) по s, мы получаем
соотношение .
Ф,(5)Ф"(5) + ^(5)Г(5) = 0,
из которого следует, что векторы %'(s) и %"(s)
перпендикулярны (см. введение, (9), (10)). Обозначим
через р угол наклона вектора %"{s) к„ оси абсцисс,
тогда мы имеем
<р" (S) = Ь cos р, i|/' (s) = Ь sin р, (21)
где Ь=|х,/(5)| — некоторая положительная
величина. Углы аир являются функциями параметра 5,
™ с/а
хотя это явно не выписано. Вычислим величину -^,
представляющую собой скорость вращения вектора
%' относительно параметра s. Эта величина
характеризует крутизну поворота кривой и называется ее
кривизной. Дифференцируя по s соотношение (20),
мы получим
da 1 -_V (s) g/ (s) - <р" (s) г|/ (s) _
ds ' cos2 а (ф' (s))2
V(s)y'(s)-qP(s)*'(s\
Из этой формулы в силу формул (19) и (21) следует
it - ft sin (Р-а). (22)
Из того, что векторы %'(s) и %"is) перпендикулярны
друг другу, следует, что
sin (Р — а) = ± 1.
204

Таким образом, из формулы (22) следует
или же
Поэтому
Абсолютная
тора %(s)
da
ds
da _
ds ~
6==
= b
= -&.
da t
ds 1 *
величина скорости
равна
Ь.
Величина
da
ds
da
ds
вращения век-
положительна,
если вращение вектора %(s) с возрастанием s идет
против часовой стрелки, и отрицательна, если это
вращение идет по часовой стрелке. Величина Ь называет-
ся кривизной нашей линии в точке s.
Наряду с кривизной в дифференциальной
геометрии рассматривается обратная к ней величина ^ = ^>
называемая радиусом кривизны нашей кривой в
точке s. Название это объясняется следующим: возьмем
на нашей кривой три точки s\ < s2 < s3, близкие друг
к другу, и проведем через три точки x(si)> x(s2)>
X(s3) окружность, радиус которой обозначим через г.
Оказывается, что когда все три величины sb S2, s3
стремятся к одному пределу s, радиус t стремится к
пределу *" = -у- Доказательство этого интересного
геометрического факта несложно, и я рекомендую
читателю провести его самому.

Глава IV
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
В этой главе даются основные довольно далеко
идущие результаты теории аналитических функций.
Прежде всего определяется интеграл комплексной
функции комплексного переменного вдоль кривой,
проходящей на плоскости независимого комплексного
переменного. Далее доказываются некоторые частные
случаи теоремы Коши о том, что интеграл по
замкнутому контуру от комплексной функции
комплексного переменного, имеющей производную, равен
нулю. Это дает возможность вывести интегральную
формулу Коши и дать разложение функции
комплексного переменного вблизи изолированной особой
точки в ряд Лорана. В конце главы разбирается
поведение аналитической функции вблизи
изолированной существенно особой точки. Именно,
доказывается, что функция эта вблизи существенно особой точки
стремится к произвольному пределу, если
надлежащим образом выбрать последовательность значений
ее аргумента, сходящуюся к существенно особой
точке.
§ 20. Интегрирование функций комплексного
переменного
В § 17 было доказано, что всякая непрерывная
функция действительного переменного интегрируема,
т. е. имеет интеграл. Тот же вопрос об интегрируемо*
сти естественно поставить также и для функции комп*
лексного переменного. Оказывается, что для интег*
рируемости функции комплексного переменного
недостаточно ее непрерывности. Приходится предполо-
206

жить, что она дифференцируема, т. е. имеет
производную в каждой точке. Но при выполнении этого
довольно скромного требования функция
комплексного переменного разлагается в ряд Тейлора п
каждой точке, т. е. для каждого значения г0 своего
аргумента она разлагается в степенной ряд по степеням
- —го с положительным радиусом сходимости. Такие
функции называются аналитическими. Аналитические
функции играют в математике очень важную роль.
Их изучению посвящен целый большой раздел в
математике. Доказательство того, что всякая
дифференцируемая функция комплексного переменного
является аналитической, довольно сложно. Оно
производится в несколько этапов, и мы перейдем сейчас к
его подготовке.
Открытое множество. Поскольку аналитическая
функция комплексного переменного z разлагается в
степенной ряд для каждого значения Zo своего
аргумента, т. е. определена для всех значений аргумента,
удовлетворяющих условию
| 2 — 24) |< Г, (1)
где г — положительное число, то множество
допустимых значений ' аргумента аналитической функции
должно удовлетворять следующему условию.
Множество G точек плоскости комплексного переменного z
является открытым, если наряду с каждой точкой zo,
входящей в G, множество G содержит и все точки г,
удовлетворяющие условию (1), где г — достаточно
малое число, зависящее от выбранной точки z0.
В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что
каждая рассматриваемая нами функция f(z)
комплексного переменного z задана на некотором
открытом множестве G плоскости комплексного
переменного г.
Установим теперь некоторые очень простые
свойства открытого множества G плоскости комплексного
переменного zy которые понадобятся нам в
дальнейшем для изучения комплексной функции
комплексного переменного.
Будем исходить из некоторого замкнутого
ограниченного множества F плоскости комплексного
переменного и некоторого положительного числа г. Через
Fr мы обозначим совокупность всех таких точек £ на-
807

шей плоскости, для каждой из которых найдется
точка г, входящая в множество F и
удовлетворяющая условию
1£-*|<г. (2)
Оказывается, что множество Fr замкнуто и
ограничено. Далее, оказывается, что если множество F
содержится в открытом множестве О, то найдется
настолько малое положительное число г, что множество
Ft щлностью содержится в множестве G.
Для доказательства нашего утверждения, а
вернее, двух утверждений, будем исходить из двух
последовательностей точек
Z\f Z2, •. •, zny .. ♦, (3)
£1, Ь, ....Си,... (4)
и некоторой ограниченной последовательности
положительных чисел
г\9 Ть ..., гп> ... (5)
Относительно последовательности (3) комплексных
чисел мы будем предполагать, что все они
принадлежат множеству F, относительно последовательности
(4) комплексных чисел мы будем предполагать, что
они удовлетворяют условиям
1С* —гл|<гя, п=1, 2, ... (6)
Мы докажем прежде всего, что из
последовательности натуральных чисел
1 , Z, . . . , fly ...
можно выделить такую подпоследовательность
натуральных чисел
«ь п2, ..., пкУ ..., (7)
что элементы последовательностей (3) и (4) с
номерами (7) образуют их сходящиеся
подпоследовательности. В отношении последовательности (3) точек,
принадлежащих замкнутому ограниченному
множеству F, это утверждение уже было доказано нами
(см. § 4). Для того чтобы не менять обозначений, мы
можем просто считать теперь, что
последовательность (3) сходится к некоторой точке z0 множества F.
Так как последовательность положительных чисел
208

(5) ограничена, то существует настолько большое
число р, что все числа последовательности (5)
меньше чем р/2. Из этого и из того, что
последовательность (3) сходится к 2о, легко следует, чтб все числа
последовательности (4), начиная с некоторого
номера, удовлетворяют условию
l£«-Zo!<p. (8)
Так как множество всех чисел £, удовлетворяющих
условию
|£ — 2b|<pt
замкнуто и ограничено, то из соотношения (8)
вытекает, что последовательность (4) содержит
сходящуюся подпоследовательность. Для того чтобы не
менять обозначений, мы будем просто считать, что
последовательность (4) сходится к некоторому числу £0.
Итак, исходя из двух последовательностей (3) и (4)
комплексных чисел и ограниченной
последовательности (5) положительных чисел, мы можем выбрать
такую подпоследовательность (7) натуральных чисел,
что элементы последовательностей (3) и (4) с
номерами (7) образуют их сходящиеся
подпоследовательности. А для того чтобы не менять обозначений, мы
будем считать, что исходные последовательности (3)
и (4) сами сходятся к точкам 20 и £0.
Для доказательства замкнутости и
ограниченности множества Fr мы предположим, что все числа
последовательности (5) равны г. Тогда
последовательность (4) есть произвольная последовательность
чисел, принадлежащих множеству Fr, и мы доказали,
что эта последователность (4) ограничена и из нее
можно выбрать сходящуюся подпоследовательность,
очевидно, принадлежащую Fr. Таким образом,
замкнутость и ограниченность множества Fr доказана.
Доказательство второй части утверждения, т. е.
того, что для достаточно малого г множество Fr
содержится в области G, мы будем вести от
противного. Для этого мы предположим, что
последовательность положительных чисел (5) сходится к нулю и
что во всяком множестве Frn найдется точка %п, не
принадлежащая множеству G. Так как точка £я
принадлежит множеству Fr , то найдется точка гл
209

множества F, для которой выполнено неравенство
IU-zJ</V (9)
Таким образом, мы пришли к двум
последовательностям чисел (3) и (4) и последовательности (5),
сходящейся к нулю. Будем считать теперь, что
последовательность (3) сходится к точке го, тогда из
соотношения (9) и сходимости чисел
последовательности (б) к нулю следует, что последовательность (4)
также сходится к точке z0. Но так как точка г0
принадлежит множеству F и принадлежит открытому
множеству G, то для нее существует положительное
число г такое, что если
I С — «о I < г,
то точка £ принадлежит множеству G. Таким обра*
зом, последовательность (4), сходящаяся к точке г0,
вся, начиная с некоторого номера, содержится в от*
крытом множестве G, что противоречит нашему
исходному предположению. Таким образом, вторая
часть нашего утверждения доказана.
В дальнейшем роль замкнутого ограниченного
множества F будет играть у нас совокупность всех
точек, принадлежащих кривой /С, параметрически
заданной уравнениями
* = Ф«, * = ♦(*). (Ю)
где ф(0 и \p(t)]—кусочно гладкие функции на отрезке
f*<'<v. (11)
Поскольку у нас сейчас идет речь о плоскости
комплексного переменного z, пару уравнений (10)
естественно записать в виде одного уравнения
2 = 2(0 = ф(0 + П|>(0. <12>
Так же как в § 19, мы будем считать, что пара урав*
нений (10), или, что то же самое, уравнение (12)
описывает кусочно гладкую кривую. Замкнутость мно*
жества всех точек, принадлежащих кривой /С, еле*
дует из того, что множество всех допустимых
значений t (см. (11)) ограничено и замкнуто, а функция.
z(t) непрерывна. В дальнейшем кривую К мы будеЫ
210

рассматривать как путь, проходимый точкой z(t) в
определенном направлении, когда t возрастает от |i
до v. В этом смысле он ориентирован. Вместо
параметра t мы можем ввести другой параметр ?, причем
параметры эти связаны двумй взаимно обратными
соотношениями
t-t{i), i = t(t)> (13)
так что имеют место тождества
t=t(Ht))> At=t{t{i)).
Подставляя в (12) t(i) вместо t, мы получим
уравнение
z = z(t(t)) = Ht)> (И)
которое задает ту же самую кривую К, что и
уравнение (12). Мы будем предполагать, что производная
f(t) на всем протяжении кривой К непрерывна и не
обращается в нуль, а потому имеет постоянный знак,
Из этого следует, что и производная i'(t) непрерыв*
на, не обращается в нуль и имеет тот же знак, что и
производная f (i) (см. § 11, (26)). Если
производные f(i) и i'(t) положительны, то кривая К при
параметризациях t и i (см. (12) и (14)) проходится в
одном и том же направлении. Если производные t'(i)
и i'(t) отрицательны, то параметризации t и t
считаются противоположно ориентированными, и если
путь,.описанный при параметризации /, обозначается
через К, то путь, описанный при параметризации ?,
обозначается через — К. Это естественно, так как при
возрастании t кривая К проходится в одном
направлении, а при возрастании t кривая К проходится в
противоположном направлении.
Интегрирование функции вдоль пути. Будем исхо*
дить из непрерывной функции /(г)" комплексного пе*
ременного z, заданной на некотором открытом мно<
жестве G, и некоторого пути /С, определяемого
соотношением (12) и содержащегося целиком в открытом
множестве G, так что "множество F всех точек,
принадлежащих пути К, принадлежит множеству G. Мы
определим теперь интеграл функции f(z)] вдоль пути
211

/С, обозначив его через \ / (J) d£, при помощи формулы
к
v
$/(»«-$/(*(*))/<*) Л. (15)-
К М-
Выясним теперь, в какой мере определенный так
интеграл функции вдоль пути зависит от параметрит
зации этого пути. Оказывается, что если две пара*
метризации пути ориентированы одинаково, то полу!
чающиеся при помощи этих двух параметризаций ин»
тегралы равны между собой. Если же
параметризации ориентированы противоположно, т. е. вместо
пути К мы берем путь — /С, то интеграл меняет зна^
Таким образом, интеграл зависит лишь от направлен
ния, в котором проходится путь, а не от того способа,
каким он проходится. При прохождении пути в
противоположном направлении, т. е. при переходе к
противоположному пути —/С, мы получаем изменение
знака интеграла. Итак, в формуле
к
К есть не объект, заданный формулой (12), а
действительно геометрический путь, проходимый точкой,
z в определенном направлении, причем способ про-^-
хождения, т. е. параметризация, не играет роли. При .
изменении направления пути мы получаем вместо пута
К путь —К и интегралы для этих путей связаны со*
отношением
$f(E)rfS = -$f<C)<«. (16)
-/с к
Для доказательства высказанных утверждений
рассмотрим наряду с параметризацией t параметра*
зацию ?, связанную с параметризацией t соотноше^
ниями (13). При этой замене формула (12) переход
дит в формулу (14). Положим, кроме того,
H = i(ii), v = *(v).
Произведя в интеграле (15) замену переменного ий*
тегрирования т на переменное интегрирования t, при*"
чем т = ((т), мы по правилам замены переменного
212

интегрирования (см. § 14) получаем
v
J/(S)^=Sf(2W)2,W^s=
к »
t(v)
= 5/(г(/(t)))г'(/(*))/7(*)Л-
f (II)
■о
= $/(2(т))г%<(т))^)^ =
А
«$/(*(*))*'(*)<» (см. (14)).
А
Итак, мы получаем
\f(z(x))z,(x)dx=\f(z(x))zf(x)d^ . (17)
Теперь следует напомнить, что в определении (15)
интеграла по пути предполагается, что нижний
предел интегрирования \х меньше верхнего предела
интегрирования v (jli < v, см. (11)). Таким образом,
неравенство jut <C v является существенным элементом
определения (15) интеграла вдоль пути.
В случае, если i'(t) положительна, из неравенства
\i < v следует неравенство А < v. Таким образом,
равенство (17) в этом случае показывает, что две
одинаково ориентированные параметризации пути
дают одну и ту же величину для интеграла (15).
В случае V(t)<0 из неравенства \i < v следует
неравенство £ > v, и потому, согласно определению
(15), правая часть равенства (17) не представляет
собой интеграла по пути, так как нижний предел
интегрирования больше верхнего предела,
интегрирования, что недопустимо. Для уяснения того, что же
стоит в правой части равенства (17), мы рассмотрим
интеграл
$/(*(*)) *'(*)<». (18)
гш

Согласно определению интеграла по пути, формулу
(18) дает нам интеграл
$/(£)#.
-к
Но так как
р. ф
J / (2 (*)) г' (t) rft = - J / (5 (t)) z' (т) Л, (19)
то из соотношений (19) и (17) следует соотношение
(16). Итак, вопрос о зависимости интеграла по пути
от параметризации полностью выяснен и наши
утверждения доказаны.
Если имеются два пути К\ и /С2, причем начало
пути /С2 совпадает с концом пути Ки то, проходя
последовательно сперва путь Ки затем /G, мы получаем
новый путь /С, на котором можно ввести единую
параметризацию, и потому в силу формулы (56) § 17
мы имеем
$/(E)rfE=5/(E)d£+$f(E)rfS- (20)
Параметризация при помощи длины. Если за па*
раметр t принять длину пути 5 от точки гф) до точ*
ки z(s) (см. § 19, пример 1),, то
1^(5)1=1. (21)
Действительно,
| z' (s) | = | ер' (s) + /*' (s) | = + У (q/ (s))2 + fl>' (s))2 = 1
(см. § 19, (18)). Это дает возможность произвести
удобную оценку модуля интеграла (15)., именно, если
на всем пути К имеет место оценка
1/(2 (*))|<*!,
то в силу оценки (58) § 17 мы имеем
I v
\f(Odz\ = \\f(z(s))z'(s)ds
<m(v-n), (22)
IK
где у — |х есть длина всего пути интегрирования.
214

Сравнение интеграла по пути К с интегралом по
ломаной L, вписанной в К. Подразделим путь
интегрирования К на кусочки, введя для этого
подразделение
Т — (Ah 0> •.. > 4)> ^о = ^> ^ = v,
отрезка [jiv]1 изменения параметра /. Точки z(0-i)
и г(//) соединим прямолинейным отрезком L/ и
обозначим через L = L(t) путь, возникающий при
последовательном прохождении отрезков Li,Z,2, ..., £а.
Ломаный путь L. вписан в криволинейный путь К*
Наша задача заключается в том, чтобы сравнить
интегралы, взятые по пути К и по пути L, — именно,
доказать формулу
\f(Qdt = llm \f(0d£. (23)
Таким образом, интеграл, взятый по криволинейному
пути /С, может быть с любой точностью заменен
интегралом, взятым по ломаной. В дальнейшем этот
результат будет играть для нас важнейшукГроль. На
прямолинейном пути L/ мы введем естественную
линейную параметризацию так, чтобы путь этот
проходился точкой z*(t), когда t меняется в пределах от
//-1 до tj. Для этого мы положим
z (t) Jy^Zi , (24)
Непосредственно проверяется, что при t, меняющемся
от tj-t до 0, точка z*(t) проходит прямолинейный
отрезок I/. Таким образом, при изменении t от |ш до
v точка z*(t) проходит весь ломаный путь L. Итак,
параметризация на ломаном пути L = L(T) введена.
В определении интеграла (15) фигурирует
функция z'{t), поэтому прежде всего подсчитаем
величину z*'(t) на отрезке от О-i до tj. В силу
определения (24) функции z*(t) мы имеем
0) =
_ *(*/)- 2 (/,-,) _ ф(//)-ф(*/-1) *(//)- + (^/-l)
O — 0-i 0-0-1 0-0-
215

Далее, в силу формулы Лагранжа (см. § 12, (20)J
мы имеем
= Ф (аД
fr(*/)-*(*/-i)
tj-tf-г
-♦'(РА
где числа а; и р/ принадлежат отрезку r[f/-i //]'. Таким
образом, на отрезке от tj-\ до // мы имеем ,
г' (0 - г+/ (t) = fo' (0 - Ф' (а7)] + / Ц>' (*) - +' (р,)],
где точки f, а/, р/ принадлежат отрезку [//-if/]1. Так
как функция z'(t), будучи кусочно непрерывной, яв«
ляется кусочно равномерно непрерывной, то на всем
отрезке \х ^ / < v имеем
|z'(')-**'(01<p(r), (25)
где ;
Итр(Г) = 0.
6(Г)-»0
Здесь р(Г) есть действительное число, зависящее
от подразделения Т. Так как
t
z(t)-z*{t)=\[z'{x)-z*'(x)]d%,
то в силу формулы (58) § 17 мы из оценки (22) по*
лучаем
|z(/)-2*(0Kp(r)(v~n). (26)
Обозначая, как раньше, через F множество всех то*
чек, принадлежащих пути /С, выберем настолько ма*
лее г, чтобы множество Fr принадлежало открытом^
множеству G, и будем считать, что при всех рассмат**
риваемых нами подразделениях Т путь L(T) прохо*
дит по множеству Fr. Для этого достаточно, чтобы
было
б(Г)<б,
где б — достаточно малое положительное число. Так
как функция f(z) равномерно непрерывна на замкну*
том ограниченном множестве Fr, по которому проход
дят оба пути К и L, то из неравенства (26) следует?
\f(z(t))-f(z'(t))\<9i(T), (27)
216

причем
limPl(r) = 0,
6 (Г)-»О
где р\(Т) есть некоторое положительное число, за-
зисящее лишь от подразделения Т. Из неравенств
(25) и (27) следует непосредственно
| / (г (/)) г' (/) - / (г* (0) z*' (0 I < р2 (Л, (28)
причем
Птр2(Г) = 0.
6(Г)-»0
Здесь р2(7") есть некоторое положительное число,
зависящее только от подразделения 7\ В самом деле,
\f(z(f))z'(f)-f(zm{t))zm'(t)\=*
=\um)2'(t)-f(z(t))**'w]-
-U(z*(t))z'(t)-f(z(t))z*'(t))\<
<\f(z(/)){zf (t) - z*'(0) I +1 (/(г*(/)) - /(z(/)))2^(/) |<
<тр(Г) + Р1(Г)-т,
где m дает оценку модулей функций f(z(t)) и г*'(0>
именно
If (*(/)) К т.
\z"(t)\<m.
Такая оценка существует, так как функции f(z(tj) и
z*r(t), будучи кусочно непрерывными, ограничены.
Таким образом,
p2(T) = m(p(T) + 9l(T)).
Из соотношения (28) в силу формулы (58) § 17
следует __
|J/(S)#-$/(£)<*е|
V
\[f{z(t))z'{T)-f{z*(x))z*'{x)]dx
<p2(7,)(v-n).
(29)
Из соотношений (29) и (28) следует равенство (23),
которое мы должны были доказать.
Пример. При доказательстве равенства (23) я
дважды неявно воспользовался понятием равномер*
217

ной сходимости, которым нам придется
воспользоваться в дальнейшем уже в явной форме. Определим
это понятие здесь.
Последовательность
fi(z), /2(2), ...,Ш, ..♦ (30)
действительных или комплексных функций
действительного или комплексного переменного z считается
равномерно сходящейся к функции f(z)\ если для вся*
кого положительного числа е можно подобрать
настолько большое число v, что при п > v для всех
допустимых значений аргумента z имеет место
неравенство
lM*)-/(z)l<e.
Если z есть действительное число t9 то из
равномерной сходимости последовательности (30) легко
следует, что
Нт \ fn (т) dx=\f (т) d%.
В самом деле,
t 'II' I
$/»(т)Л-5/(т)Л <К(/А(т)-/(т))Л <|/-|i|e.
Л |X I |jl I
Соответствующей оценкой интеграла мы пользова*
лись при доказательстве неравенств (26) и (29),
только вместо переменного номера п мы брали
переменное подразделение Т.
Учитывая связь между последовательностями и
рядами (см. § 5, (2)), ясно, как следует ввести
понятие равномерно сходящегося ряда и как доказать,
что равномерно сходящийся ряд можно
интегрировать почленно.
§ 21. Теорема Коши
Теорема Коши является центральной теоремой
теории аналитических функций. Ее общая
формулировка и не очень педантичное доказательство
приводятся в примере 1. В основной части параграфа
будут даны лишь особенно важные частные случаи
теоремы Коши.
218

Напомним прежде всего, что, согласно термшюло*
гии, введенной в § 20, уравнение
2 = z(t) = <p (/) + ^(0, (1)
причем jn ^ t ^ v, где ср'(0 и ty(ty суть действитель*
ные непрерывные кусочно гладкие функции пара*
метра /, описывает некоторый путь К на плоскости
комплексного переменного г, когда t возрастает от
IX до v. Этот путь называется замкнутым, если начало
и конец его совпадают, т. е. если имеет место равен-»
ство
*fa) = z(v). (2)
Так определенный путь К является путем, вдоль ко*
торого производится интегрирование заданной
дифференцируемой функции f{z). Именно, определен ин*
теграл
к
(см. § 20, (15)). Докажем теперь некоторые предва*
рительные результаты.
Пусть функция f{z)\ заданная на некотором от<
крытом множестве G, интегрируема, т. е. имеет пер*
вообразную функцию h(z), удовлетворяющую, следо*
вательно, уравнению
*'(*) = /(*), (3)
причем функция h(z) определена на всем множестве
G и однозначна на нем (последнее условие нужно
особенно подчеркнуть, так как хотя мы, как правило,
говоря о функции, считаем, что она однозначна, в
действительности же мы уже встречались с
неоднозначными функциями, например In г). Так вот, если
имеет место соотношение (3), то интеграл по пути К
от функции f(z) легко может быть вычислен. Именно,
имеет место соотношение
lf(Qdt = h(z(v))-h(z(v)). (4)
к
Докажем равенство (4). В силу правила
дифференцирования сложной функции мы имеем
Щ^- = h' (z (/)) z' (t) = / (2 (0) г' (/). (5)
219

Поэтому
V
\f(0^=[f(z(x))z'(x)dx = h(z(v))^h(z(n))
К ;.i
'(см. § 14, (20), (21)). Таким образом, равенство (4)
доказано.
В частном случае, когда путь К замкнут (см. (2}),
мы имеем
$/(»«-
0.
Докажем теперь частный случай теоремы Коши,
который в действительности составляет ее ядро.
Теорема Коши для треугольника. Допустим, что
в открытом множестве G лежит треугольник abc.
Это значит, что не только граница Го треугольника
аЬсу но и вся площадка ?0, включающая не только
границу Т0, но и все внутренние точки треугольника
abcy принадлежит открытому множеству G. Через Го
обозначим путь, описываемый точкой z при
последовательном прохождении сторон треугольника abc, т. е.
при последовательном прохождении отрезков а&, be,
са. Будем считать, что путь этот проходится против
часовой стрелки. Если функция f(z) имеет
производную в каждой точке z открытого множества G, то
интеграл от нее по пути Т0 равен 0. Запишем это в
виде формулы _ш^:
$ШЯ«о. (б)
То
Равенство (6) будем доказывать от противного.
Именно, мы допустим, что имеет место неравенство
is
/(£)#> а, а>0. (7)
Середины сторон ab, be и са обозначим
соответственно через ci, а\, Ь\. Отрезками афи Ь\Си С\й\
исходный треугольник Т0 разбивается на четыре
треугольника, границы которых, проходимые против часовой
стрелки, мы обозначим соответственно через
Т\9 71, Т]9 Tb (8)
220

Каждый из треугольников (8) подобен треугольнику
Т0 с коэффициентом подобия у. Имеет место равен-
ство
1-1 Т{
(9)
Равенство это имеет место потому, что каждый из
отрезков а\Ь\у Ь\С\, С\ах входит ровно в два из четы-*
рех путей (8) и проходится при прохождении этих
двух путей в противоположных направлениях. Из не*
равенства (7) и равенства (9) следует, что среди
путей (8) найдется хотя бы один путь, который мы обо*
значим через Ти для которого выполнено неравенство
is
а
Разделяя треугольник Т\ на четыре части таким же
образом, как мы поступали с треугольником Г0, мы
найдем такой треугольник Т2> что для него
выполнено неравенство
is
т,
Этот треугольник Т2 подобен исходному треугольнику
Г0 с коэффициентом подобия Гу) . Продолжая этот
процесс далее, мы построим последовательность
треугольников
I о> 1 U • • •> * П9 • • •
такую, что треугольник Тп подобен треугольнику Г0
с коэффициентом подобия Г у J , причем имеет место
неравенство
IS
. Ю<«|>г». (Ю)
Обозначим через Тп треугольную площадку или,
проще, треугольник, содержащий как весь путь Тп$
так и все точки, находящиеся внутри этого пути. Оче*
видно, что треугольник Тп+\ целиком содержится з
221

треугольнике Тп, п = О, I, 2, ,i? Докажем теперь, что
существует точка £, принадлежащая всем треуголь*
никам
Го> Т\, •. •, Тп> ... (11)
Для этого обозначим через I длину наибольшей из
сторон треугольника Го. Тогда длина наибольшей из
сторон треугольника Тп будет равна ^тг.
Следовательно, расстояние между двумя точками в треугольнике
Тп не превосходит величины т^. Далее, выберем в
каждом треугольнике Тп точку гп> п = О, 1, ,,, Мы
покажем, что последовательность
£о> %ь * • •> £«» • • • (12)
есть последовательность Коши и что ее предел 5
принадлежит всем треугольникам последовательности
(11). В самом деле, пусть v — произвольное
натуральное число, а р и q — два натуральных числа,
больших v. Тогда точки гр и zq обе принадлежат
треугольнику ?v и, следовательно, расстояние между
ними не превосходит числа —, а это и значит, что
последовательность (12) есть последовательность
Коши.
Так как все элементы последовательности (12),
начиная с номера v, принадлежат треугольнику fv,
то и предел ее принадлежит треугольнику Тv, так как
треугольник этот есть замкнутое множество. Таким
образом, точка г принадлежит всем треугольникам
последовательности (11).
Так как производная функции f(z) существует в
каждой точке открытого множества G, то она
существует и в точке z. А это значит, что предел
существует. Последнее соотношение можно
переписать в виде
/(г)-т _Г0)аду(а)> (13)
где |v(2)I^Y, причем у — число, удовлетворяющее
условию Пту = 0.
222

Соотношение (13) можно переписать в виде
f(z) = f(t) + f'(*)(z-i) + y(z)(z-*). (14)
Записанную в таком виде функцию f{zj мы будем
теперь интегрировать по пути Тп. Сумма первых двух
членов в правой части равенства (14) интегрируема.
Действительно,
^[f(^(g-^)+r(g)(22~g)2]=/(i)+f(^)(^-^
Таким образом, интеграл от суммы первых двух
членов правой части равенства (14) по замкнутому пути
Тп в силу ранее доказанного равен нулю, Нам
остается проинтегрировать лишь последнее слагаемое, т, е.
Величину интеграла этой функции по пути Тп мы
оценим по формуле (22) § 20. Прежде вещего, длина
пути интегрирования не превосходит величины ^тг.
Далее, так как обе точки z и z принадлежат треу*
гольнику ТП9 то
Таким образом, мы имеем
is
Y (z) (z — z) dz
причем
^ з/2
4n
limv^O. (15)
Итак, мы получаем
n-
w
f(£)rfd<^-v. (16)
Неравенства (16) и (10) противоречат друг другу в
силу соотношения (15). Итак, мы пришли к
противоречию, и равенство (6) имеет место.
Отметим, что при доказательстве равенства (6)
мы использовали лишь существование производной
f'(z\ заданной функции f(z), но не использовали
непрерывность производной, т. е. непрерывность фуШ£*
МИ /'(*)..
223

Выведем теперь из равенства (6) два следствия
оба являющиеся частными случаями теоремы Коши!
Следствие 1. Будем считать, что в открытом
множестве G, на котором определена дифференцируем
мая функция /(г), задан замкнутый путь /С, опреде*
ляемый уравнением (1) и условием (2). Выберем в
открытом множестве G некоторую точку а и
предположим, что прямолинейный отрезок [dz(t)]9 прове-"
денный из точки а в произвольную точку z{t) пути
К, целиком проходит в открытом множестве G. Ока*
зывается тогда, что интеграл функции f(z) по замк*
нутому пути К равен нулю, или в виде формулы
S f (OrfC —0. . (17)
к
Для доказательства впишем в заданный путь К
ломаный путь L, определяемый подразделением
2n = (^o> h> • ••, tk)> to — P* ^ = v»
так, как это было сделано в предыдущем параграфе.
Если подразделение Т достаточно мелко, т. е. если
б (Г) мало, то ломаный путь L проходит очень близко
от криволинейного пути К\ из этого следует, что
каждый отрезок, исходящий из точки а и ведущий в
точку z*(t) ломаного пути L, проходит внутри открытого
множества G. Таким образом, каждый треугольный
путь /С/, составленный из отрезков
[az(f/-i)l. [*('/-!)*('/)]. И'М
ограничивает треугольную площадку Я/, целиком
лежащую в открытом множестве G. Таким образом,
для каждого треугольника Kj верно соотношение (6),
что в виде формулы записывается так:
J /(S)d£ = 0. (18)
*/
Суммируя это1 равенство (18) по / от 1 до k, мы
получаем
k
£$ /(E)dC = 0. (19)
/—1 JCy
224

Так как каждый отрезок [az(t})] входит в два
соседних треугольника К/ и /C/+i и при интегрировании по
этим треугольникам проходится в противоположных
направлениях, то интегралы по этим отрезкам
взаимно сокращаются при суммировании (19). Из
замкнутости пути К это же верно и для отрезка, идущего
из точки а в точку z(tQ) = z(tk). Таким образом, в
результате суммирования (19) мы получаем лишь
интеграл по пути L, что в виде формулы можно
записать так:
J / (е) ^с=о.
L
Так как в силу доказанного в предыдущем параграфе
(см. § 20, (23)) мы имеем равенство
то формула (17) доказана.
Ясно, что замкнутый путь /С, заданный
уравнением (1) и условием (2), можно пройти, начав
движение из произвольной его точки, отчего интеграл по
замкнутому пути не изменится. Таким образом,
интегрируя функцию по замкнутому пути, мы не
должны указывать начало замкнутого пути, а должны
указывать только сам замкнутый путь.
В частном случае, когда К — окружность,
лежащая вместе со всеми своими внутренними точками
в открытом множестве G, то, приняв за а центр этой
окружности, мы получаем для нее равенство
S/(£)dC = 0. (20)
к
Следствие 2, Допустим, что в открытом
множестве б, на котором задана дифференцируемая
функция f(z), лежат две концентрические окружности
К\ и /G с общим центром о2, причем К\ больше /С2-
Допустим далее, что в кольце, заключенном между
окружностями К\ и Кг, лежит окружность Кг с
центром в о3> все внутренние точки которой также
принадлежат кольцу. Мы будем считать, что все точки,
лежащие на окружности К\ и внутри нее, за
исключением, быть может, двух точек о2 и Оз, принадлежат
8 Л. С. Понтрягкн
225

открытому множеству G. Будем считать окружности
К\у /Сг и Къ путями интегрирования функции f(z)\
проходимыми против часовой стрелки. Тогда
оказывается, что имеет место равенство
$/(£)dS=S/(5)d£+$/(&)#. (21)
Ki Кг Кз
При доказательстве равенства (21) будем
пользоваться чертежом (рис. 14). Для того чтобы было
Рис. 14.'
удобнее словесно описывать чертеж, предположим,
что прямая Р, проходящая через точки о2 и о3,
горизонтальна и что точка 02 лежит левее точки о3. Это
предположение никак не связано с расположением
осей координатной плоскости комплексного
переменного z. Мы просто временно повернули чертеж для
удобства описания. Прямая Р делит каждую из трех
окружностей К/ на половины — верхнюю К/ и
нижнюю К". Каждая из окружностей К/ пересекается с
прямой Р в двух точках — правой Ъ\ и левой с\. Часть
открытого множества G, заключенную между окруж*
ностью Кг и двумя окружностями Кг и Къ, обозначим
226

через R. Эта часть делится прямой Р на два куска*
верхний /?' и нижний R". Замкнутый путь,
составляющий границу куска R\ проходимый против часовой
стрелки, обозначим через С, а замкнутый путь, со-
ставляющий границу куска R", проходимый против
часовой стрелки, обозначим через С". Пусть а' — не«
которая точка, лежащая внутри куска R\ а а" —
некоторая точка, лежащая внутри куска /?". Каждый
отрезок, идущий из точки а' в любую точку пути С',
очевидно, лежит в открытом множестве G. Точно так
же каждый отрезок, идущий из точки а" в точку пути
С", лежит в открытом множестве G. Таким образом,
в силу следствия 1 мы имеем два соотношения
$/«)«-О, (22)
с
$/(Q« = 0. (23)
С"
Замкнутый путь С' состоит из нескольких кусков —
трех полуокружностей и трех отрезков. Выпишем
этот путь с учетом направления его прохождения
против часовой стрелки:
С = (KU схс2, - К'ъ Ь2съ, - KL ад-
Точно так же запишем путь С"%
С" - (*{', 6А, - К'*', сфъ - *$', с2сх).
Заметим, что прямолинейные отрезки, входящие в
пути С и С", проходятся в противоположных направо
лениях, полуокружности К\ и К" проходятся против
часовой стрелки, а полуокружности К) и К"> У = 2,3,
проходятся по часовой стрелке. Таким образом,
складывая равенства (22) и (23), мы получаем, учитывая
формулу (20) §20,
$/(£)<*£+$ /(£)#+$ Ш^ = 0,
Ki -tfi ~/Сз
откуда в силу формулы (16) § 20 непосредственно
следует равенство (21).
Обозначим через г} радиус окружности /С/, /= 1,
^ 3. Формально каждый из трех интегралов в
формуле (21) зависит от радиуса соответствующей ок*
ружности и не зависит от радиусов двух других ок^
8*
227

ружностей, но так как равенство (21)v сохраняется
при любых радиусах окружностей, то ясно, что каж*
дый интеграл, входящий в (21), в действительности
не зависит от радиуса соответствующей окружности.
Интегральная формула Коши. Обозначим через
и комплексное число, которое соответствует точке о2,
и рассмотрим функцию
8(z) = (z-u)\
где п — целое число. Таким образом, перед нами
стоит задача вычислить интеграл
A(«)=J(E-tt)erft
Параметризуем окружность /Сг, положив
Когда t меняется от 0 до 2я, точка г(0] пробегает
ьсю окружность /С2. Далее, мы имеем
z'(t) = ir&if.
Таким образом, в силу формулы (15) § 20 мы имеем
2я 2я
h (и) = J r2V W dx = /гГ' \ el (№+1) x dr.
о о '
В случае, если п + 1 Ф 0, первообразная функция
функции, стоящей под знаком последнего интеграла,
есть , , ^ ei{n+l)%. Поэтому при п + \ф0 имеем
0
образом, при пФ — 1 мы получаем
Stt-nyrfS-O.
к,
В случае, когда я = —1, имеем
2я
/г (г/) == rg г ^ dt==2m.
о
228
(24)

Таким образом,
к3 <° и
Последняя формула имеет весьма важное обобщение.
Пусть f(z) — функция, дифференцируемая во всем
круге Ки Мы положим
6 v ' z — и
и подсчитаем интеграл
A(a)=$Ji£LrfC.
Мы имеем
^(^) = ^ + ^7rl==7^ + ^(») + Y(^(26)
где | у (z) | < Y и при zy принадлежащем /С2, Нт у = 0.
г2-»0
Так как интеграл по окружности /С2 от левой
части равенства (26) не зависит от г2> точно так же
как интегралы от первых двух слагаемых правой
части равенства (26) не зависят от г2, то и интеграл от
последнего члена правой части (26) не зависит от г2.
Мы имеем
|$Ytt)<tt|<Y-2*r2.
Таким образом,
lim $ Y(E)« = 0f (27)
но так как интеграл, стоящий-в левой части (27), не
зависит от г2, то он равен нулю, и мы получаем
$ JLttUc ==/(«)$ ^ + /'(«)$ dl = 2nif(u)
Кг * И /С» fe ~ " Л
(см. (25)).
Перепишем эту формулу заново, обозначив через
/С окружность с центром м, ориентированную против
часовой стрелки
\J3Ldt = 2mf{u). (28)
Здесь предполагается, что окружность К и все
лежащие внутри нее точки лежат в открытом множестве
229

G, в котором 'функция f(zy дифференцируема. Фор-»
мула (28) есть интегральная формула Коши, играю-,
щая в теории аналитических функций исключительно
важную роль.
Пример. Дадим теперь общую формулировку
теоремы Коши и ее не вполне педантичное доказав
тельство. Допустим, что в открытом множестве G, на
котором задана дифференцируемая функция f{z)t
имеются замкнутые кусочно гладкие, не
пересекающие друг друга и не имеющие самопересечений пути
Ki, j = О, 1, ..., т, ориентированные против часовой
стрелки. Эти пути мы будем просто называть
замкнутыми кривыми. Мы будем предполагать, что
замкнутые кривые
Ки ^2> • • •> Km (29)
все лежат внутри замкнутого пути Kq и что ни одна
из кривых (29) не находится внутри другой из этих
кривых. Обозначим через R ту часть плоскости,
которая содержится внутри Ко и лежит вне кривых (29).
Будем считать, что часть плоскости R содержится в
открытом множестве G. Оказывается тогда, что
m
Для доказательства разобьем всю плоскость
комплексного переменного г на мелкие квадраты
вертикальными и горизонтальными прямыми. Размер
квадратов будем предполагать настолько малым, что
каждый из них, пересекающийся с множеством R,
целиком содержится в открытом множестве G. Пусть
— совокупность всех квадратов, которые
пересекаются с множеством R. Пересечение каждого квадрата
Ck с множеством R обозначим через Bk, а границу
куска Bk обозначим через Ak. Если квадрат Ck
целиком лежит в множестве R, то граница Ak куска
Bk есть просто граница квадрата С*. Если же
квадрат Ck не полностью помещается в множестве i?, то
Ak частично состоит из прямолинейных отрезков,
входящих в границу квадрата С*, частично же — из ку*
сков кривой, ограничивающей множество R, т. е. при-
230

надлежит одной или нескольким кривым /С/, / = О,
\t ,.., т. Внутри каждого куска Bk выберем
произвольно точку ak и соединим эту точку а* прямолиней-
ным отрезком с каждой точкой границы Ак куска £*,
Все такие прямолинейные отрезки, очевидно,
принадлежат открытому множеству G. Таким образом, мы
имеем
S f(0<*6-o. (31)
В этом интеграле мы будем предполагать, что
замкнутая кривая Ak ориентирована против часовой
стрелки. Каждый прямолинейный отрезок границы Aky
принадлежащий квадрату С*, принадлежит
одновременно и другому квадрату С/ и проходится при
интегрировании по кривым Ak и At в противоположных
направлениях. Каждый криволинейный отрезок
границы Ak принадлежит одной из кривых Kj, j = О,
1, *.., т. При этом, если он принадлежит кривой/Со,
то проходится в том же направлении, что и кривая
Ко. Если же он принадлежит одной из кривых (29),
то проходится в направлении, противоположном
прохождению этой кривой. Таким образом, суммируя все
соотношения (31) по k от 1 до п, мы получим в
результате
т
$/(M+Z S /(о«=о.
К, /=1 -Кj
Из этого соотношения следует равенство (30)*
Доказательство это формально не безупречно, так
рак, например, предполагается очевидным, что
замкнутая кривая разбивает плоскость на две части:
внутреннюю и внешнюю, что доказывается отнюдь не
просто, а здесь принимается как очевидное. Кроме того,
некоторые из линий А\ могут быть.устроены не так
просто, как это может показаться на первый взгляд,
Например, они могут содержать бесконечное
множество криволинейных кусочков.
§ 22. Ряды Тейлора и Лорана
Здесь будет доказано, что дифференцируемая
.функция f{z), заданная на открытом множестве G, в
каждой точке го этого открытого множества разла-
231

гается в ряд Тейлора, т. е. может быть записав
в виде
(г) = а0 + ах (г — z0) + a2 (z — г0)2 + ...
... +ап(г-го)п+ ... (1)
(см. § 15), причём ряд этот имеет положительный ра*
диус сходимости г. Будет также дана оценка вели--
чины г снизу. Именно, будет показано, что если все
точки z вида
|г-г0|<г'
содержатся в открытом множестве G, то радиус схо«
димости г не меньше, чем г':
Далее будет рассмотрен случай, когда сама точка
г0 не принадлежит к открытому множеству (3, но вся*
кая точка г, удовлетворяющая условию
0<|z-z0|<r', г'>0,
принадлежит открытому множеству G. Это случай
так называемой изолированной особой точки функции
f (z). Функция f(z) не определена в точке г0, но опре*
делена во всех других точках некоторого круга с
центром в точке го. В этом случае функция /(г) разла*
гается в так называемый ряд Лорана. Именно, она ^
может быть разбита в сумму двух функций
f(*) = M*> + f-(*). (2)
где /+(г) разлагается в ряд вида (1) по неотрица*
тельным степеням величины z — го, а функция /«(г)]
разлагается в ряд по отрицательным степеням вели*
чины z — г0, т. е. записывается в виде
'- Ф = 7=7^ + (z - го)2 + •" +(z-z0)n+ '••• ^
причем ряд этот сходится при любом 1
гфг0. (4)
Сразу же приведем пример такой функции, кото*
рую мы уже теперь можем разложить в ряд Лорана,
Это есть
f{z) = e~. (5)
232

I
Действительно, мы имеем
^=1 + 7 + ш-?+- + *■?+■•■ (в)
(см. § 8, (4)). Для функции (5) /+(*) = 1, a /J(*X
равна сумме всех членов ряда (6), содержащих
отрицательные степени г.
Мы видим, что ряд Тейлора есть частный случай
ряда Лорана, при котором точка го принадлежит
открытому множеству G; тогда, как мы увидим, функ-
ция /-(г) тождественно равна нулю.
Для доказательства того, что функция f(z)'
разлагается в ряд Лорана по степеням величины z — го,
мы выберем прежде всего окружность Кь с центром
в точке г0, целиком, со всеми своими внутренними
точками, за исключением, быть может, точки г0,
содержащуюся в открытом множестве G. Далее, Пусть
w — некоторая точка, лежащая внутри окружности
К\у отличная от z0(w Ф го). Выберем две окружности
Кг с центром в точке го и Кг с центром в точке w
так, чтобы они целиком лежали внутри окружности
К\ и находились каждая вне другой. Теперь мы
положим
К этой функции g(z) мы применим формулу (21J
§ 21, считая, что го = Ог и w = 03. Для удобства
вычислений мы для каждого из трех интегралов,
входящих в формулу (21) § 21, введем особое обозначение,
положив
'*»(»)—5Г$ £Нг* т-1,2,3;
тогда формула (21) § 21 может быть переписана в
виде
h3 (w) = hi (w) — h2 (w). (7)
Вычислим теперь последовательно функции hz{w)\
h\(w) и h2(w). hz{w) непосредственно задается ин<
тегральной формулой Коши (см. § 21, (28)). В силу
этой формулы мы имеем
h3(w)^f(w). (8)
233

Вычислим теперь функцию HiJwJ. Для этого мы
запишем выражение, стоящее под анаком
соответствующего интеграла, в виде
/(С) = Ш) = f(Q 1 _
£ — w (£ — г0) — (w — г0) £ — ^о * ! _ ^ — го
Мы разложили здесь в ряд в виде геометрической
прогрессии выражение
j W — Zo
i — zq
что возможно, так как величина
T=*"I"P<L
Действительно, точка £ лежит на окружности Ки а
точка до — внутри этой окружности.
Ряд, стоящий в правой части формулы (9), рав*
номерно сходится по переменному £ (см. пример 1
§ 20) и потому допускает почленное интегрирование,
так что мы имеем
Я—и Ай
Итак,
hi (ш) = сю + ai (ю — *о) + ... +ая(да —z0)"4- ....
(Ю)
где
и мы полагаем
f+(w) = hx(w).
В случае, если точка z0 принадлежит открытому мно*
жеству G, функция h^w) тождественно равна нулю,
так как мы интегрируем по окружности /Сг, которая
вместе со своей внутренностью принадлежит области
дифференцируемости функции /(г), В этом случае мы
234

имеем равенство
/ (w) = hi (w) = /+ (w)
(см. (7) и (8)).
Вычислим теперь функцию h2{w) в случае, если го
не принадлежит открытому множеству G. Функцию,
стоящую под знаком соответствующего интеграла, за-*
пишем в виде ,
J (О = НЕ) ^ f(S) 1 =
g - до (а; — г0) — (£ — г0) до - г0 ' j _ g ~ z0
до — го
=-£ш/с~*1,- (12)
*-; (до—г0Г+
Здесь мы применили разложение в виде
геометрической прогрессии выражения
1
t £ - г0 '
до —• г0
так как величина
£ — 20
до — г0
<г<1.
Действительно, точка £ лежит на окружности /Сг, а
точка w вне ее. Вследствие этого ряд, стоящий в
правой части равенства (12), равномерно сходится по £
и допускает почленное интегрирование. Таким
образом, мы получаем ' ^
до — г0 • (до — zq)2 ' '' (до — z0)k
(13)
где
^"■iJftO-a-^b)*-1^. (14)
к*
Теперь мы положим
f-{w)= — h2{w).
Несмотря на то, что число го не принадлежит к от»
крытому множеству G дифференцируемости функции
/(г), может случиться, что все коэффициенты а-и
а~2, ..♦, a-k, ... ряда (13) обращаются в нуль. В этом
случае функция f-{w) тождественно равна нулю, и
235

тогда следует положить
/ (w) = f+ (w),
доопределяя тем самым исходную функцию f(z) в
точке г0 так, чтобы она стала аналитической и в
точке г0.
Итак, мы разложили функцию f(w) в сумму двух
функций
f(w) = f+(w) + L(w).
Правда, здесь в виде аргумента стоит буква w, а не
г, но w может быть заменено буквой г, и мы получим
результат, который был сформулирован вначале (см.
(2)). Заметим, что ряд (13) для функции f-(w)
сходится при всех значениях w ф го. Согласно
построению он сходится для всех значений wf удовлетворяю*
щих неравенству
Г2 < | W — Zq | < Г7.
Но, как уже % отмечалось, коэффициенты a_*> (см.
§ 21) не зависят от радиуса г2 окружности К2.
Таким образом, для построения ряда (13) и его
сходимости достаточно, чтобы было выполнено
неравенство
О < \w—z0\ <r\.
Что касается w, находящихся вне круга К\, то
сходимость этого ряда вытекает из того, что при
выходе из круга К\ члены ряда (13) по модулю
становятся меньше. Таким образом, ряд (13) сходится
при произвольном w Ф г0, так что достаточность
условия (4) для сходимости ряда (3) доказана.
Точка го, не входящая в открытое множество 6,
называется изолированной особой точкой функции
/(г). Различают три различных типа особых точек.
Если ряд (3) содержит бесчисленное множество
членов, то точка го называется существенно особой
точкой функции /(г). Если ряд (3) содержит лишь
конечное число членов, однако отличное от нуля, то
точка z называется полюсом функции /(г). Если ряд
(3) вовсе не содержит членов, то точка называется
устранимой особой точкой функции f(z), так как,
придав этой функции в точке г0 значение /(г0)=ао, мы
получаем разложение функции /(г) в ряд Тейлора
в точке г0.
236

Подытоживая полученный результат, мы можем
записать разложение функции f(z) в ряд Лорана в
точке 20 в следующем виде:
/ (*) = Z ая (г — *оУ\ (15)
где п принимает всевозможные целые значения, как
отрицательные, так и положительные. Теперь
возникает вопрос, определяются ли коэффициенты ая,
входящие в разложение (15), самой функцией f{z).
Иначе говоря, не может ли функция f(z) быть
разложена в точке 2о в ряд Лорана двумя различными
способами, т. е. с разными коэффициентами.
Докажем, что это невозможно, т. е. покажем, что коэффи*
циенты ап разложения (15) определяются функцией
f{z). Заметим прежде всего, что ряд (15) сходится
равномерно на всякой окружности К с центром в го
положительного радиуса, не превосходящего г\.
Умножим равенство (15) на величину (z — z0)^{k+l\
где k — произвольное целое число. Тогда мы
получим равенство
f (z) • (z - гйГ <*+1) = I аа (г - *оГ "+1). (16)
П
Так как ряд, стоящий в правой части равенства (15),
равномерно сходится на окружности /С, то и ряд (16)
также сходится равномерно на окружности К. Таким
образом, при интегрировании равенства (16) по
окружности К мы можем правую часть интегрировать
почленно. В результате этого интегрирования мы
получаем равенство
\ f (?) (С - *оГ(*+1) * -1«. J ft - *оГ№+,) dl. (17)
К п К
В § 21 (см. (24), (25)) было доказано, что
(С — 2o)n""(*+1)d£=^0 только в том случае, когда
к
показатель степени п —(k + 1)= —1, т. е. этот интег*
рал отличен от нуля лишь в том случае, когда n = k.
Таким образом, мы из соотношения (17) получаем
ak = 4u\f(0&-z0r{k+l)dZ. (18)
к
237

Формула эта в явном виде выражает коэффициент
йк через функцию /(г). Тем самым все коэффициенты
разложения (3) функции f(z) в ряд Лорана в точке
г0 однозначно определяются самой функцией /(г).
Займемся теперь еще одним вопросом
единственности.
Пример 1. Связное открытое множество G мы
будем называть областью. Напоминаю, что
множество G называется связным, если каждые две его
точки можно связать ломаной линией, проходящей в
этом множестве (см. § 12). Пусть G— некоторая об*
ласть, на которой заданы две аналитические
функции f\(z) и /2(2). Допустим, что существует такое
бесконечное множество М точек области G, имеющее
своей предельной точкой точку zo области G, что
функции f\[z). и /г(г) совпадают во всех точках
множества М. Оказывается тогда, что функции /1(2) и
Ы2) тождественно равны между собой на всей
области G. Докажем это.
Пусть г* — произвольная точка области G иг=>
= z(t) — путь, соединяющий точку z0 с точкой г*,
целиком проходящий в области G, так что
z(t0) = z0> z{f) = z\ /0</<Л (19)
причем точка z{t) принадлежит области G. Как уже
было доказана в § 9, из того, что функции ft (г) и
/2(2) совпадают на множестве М9 еледует,. что в точке
Zo их разложения в ряды Тейлора совпадают. Так как
радиусе сходимости г этого ряда Тейлора
положителен, то часть пути (19), начинающаяся в точке г (/о),
проходит внутри круга радиуса г с центром в Zq, и
на этом отрезке пути имеем
fi(z(t)) = f2(z(0). (20)
Пусть теперь t\ — верхний предел множества всех
значений t, для которых имеет место равенство (20). Так
как функции f\{z(t)) и f2(z(t)) переменного t
непрерывны, то в точке t\ мы также имеем равенство
fi(z(tl)) = f2(z(tl)). (21)
Таким образом, в точке z\ = z(t\) функции f{(zf и
/2(2) совпадают. Далее, так как точка t\ является
предельной для точек tt удовлетворяющих условию
?38

(20), то и точка z\ является предельной для точек г,
для которых выполнено равенство
fx(z) = h{z).
Из последнего следует, что ряды Тейлора для
функций f\(z) и f2(z) в точке г\ совпадают. Радиус
сходимости этого ряда Тейлора мы^ обозначим через г\.
Если теперь допустить, что t\ ф /*, то окажется, что
имеется целый отрезок пути (19) при t,
принадлежащем отрезку t\ ^ / ^ /2, целиком лежащий в круге
радиуса г\ с центром в z\, и поэтому точка t\ не
является верхним пределом тех точек, для которых
имеет место равенство (21). Итак, мы доказали, что
fi = t* и, следовательно, в точке z*=z(**) функции
Ы2) и /2(2) равны между собой. Так как точка г*
есть произвольная точка области G, то функции fi(z)]
и /2 (г) совпадают во всех точках области G.
Из доказанного непосредственно вытекает, что
если некоторая функция f(z) обращается в нуль во
всех точках множества М области G, то функция эта
тождественно равна нулю на всей области G.
Пример 2. Хотя определение производной
действительной функции действительного переменного и
определение производной комплексной функции
комплексного переменного формально совершенно
одинаковы (см. § 10), что и дает возможность
формулировать их одновременно? реальное содержание этих
приятии весьма различно. Предположение, что
действительная функция действительного переменного
дифференцируема, т. е* имеет производную в каждой
точке, является сравнительно слабым ограничением
на функцию. Предположение же, что комплексная
функция комплексного переменного
дифференцируема, т. е. имеет производную в каждой точке, является
требованием чрезвычайно сильным. Это глубокое
различие видно, в частности, в том, что действительная
функция действительного переменного, имеющая
производную произвольно высокого порядка, может ре
разлагаться в степенной ряд (см. § 15, пример 2),но
комплексная функция комплексного переменного,
имеющая лишь производную первого порядка,
разлагается в каждой точке в степенной ряд. Эта
глубокая разница объясняется тем, что когда мы опреде*
ляем производную /' (х) действительной функции f_(x)'t
239

действительного переменного х, т, е. изучаем отно-»
шение
f(t)-f(x)
1-х
при £->*, то £ может приближаться к х только с двух
сторон, убывая или возрастая. При определении же
производной f'(z) комплексной функции f(z) комп«
лексного переменного z мы изучаем отношение
т^т (22)
и ищем предел этого отношения при £->z, причем Е;
может приближаться к г по бесконечному множеству
направлений, так как £ находится не на прямой, а на
плоскости комплексного переменного. Так, точка £
может приближаться к точке г, двигаясь
горизонтально, или же это приближение может
осуществляться при движении точки £ по вертикальному
направлению. В обоих случаях в пределе должна
получиться одна и та же величина, а это уже налагает на
функцию /(£) весьма сильные ограничения. Для того
чтобы разобраться в этом, разобьем величину z на ее
действительную и мнимую части, положив z = х + iy.
Величину f(z) также разложим на действительную
и мнимую части, положив f(z)= и (л:, у) + iv (x, у).
Положим далее
тогда отношение (22) запишем в виде
U (§, Г)) + IV (I, Т)) — U (X, у) — IV (X, у) ( ,
(6-*) + i(t|-tf) ' l ;
Если теперь £-*z горизонтально, то в формуле (23)
следует положить ц — у = 0, и предел отношения
(23) при £ -> z получает вид
д« (*» У) i f да (*, У) /0.v
Если £->2 вертикально, то в формуле (23)
следует положить £ — jc = 0, и предел (23) получает вид
1 ди (х, у) , до (х, у) /оп
/ , <fy "i Ту • ^°Л
Так как выражения (24) и (25) должны быть равны
240

между собой, то мы получаем дча соотношения
ди (х, у) __ dv (х, у) ди (х, у) __ dv (х, у)
дх ду * ду дх
Соотношения эти называются условиями Коти — Ри*
мана. Из этого видно, насколько велики требования,
которые мы налагаем на комплексную функцию
комплексного переменного, требуя, чтобы она имела
производную.
§ 23. Вычеты
Будем исходить из некоторой аналитической
функции f(z)9 заданной на некоторой области G. Как мы
уже говорили в предыдущем параграфе, может
случиться, что некоторый круг с центром в точке г0
полностью, за исключением лишь своего центра г0,
принадлежит области G. В этом случае точку го мы
называли изолированной особой точкой функции /(г).
Мы различали три вида особых точек: существенно
особые точки, полюсы и устранимые особые точки.
В случае устранимой особой точки можно придать
функции f(z) определенное значение f(z0) в этой
точке и тем самым сделать функцию f(z)
аналитической функцией в точке го. Таким образом,
устранимую особую точку го функции f(z) естественно
включить в множество G. В двух других случаях,
говоря, что точка го является существенно особой
точкой или полюсом функции /(г), мы тем самым как
бы включаем точку го в число тех точек, в которых
функция /(г) рассматривается. Поэтому естественно
включить все изолированные особые точки функции
/(г) в область G, и так расширенное множество
снова обозначить через G. Это расширенное множество
G также является связным открытым множеством, т. е.
областью. Мы будем говорить теперь, что
аналитическая функция f(z) задана на области G, хотя в
действительности в особых точках она не определена.
Следует отметить, что множество М особых точек
функции f(z) может быть бесконечным, но оно не
может иметь предельной точки в области G. В са*
мом деле, для любой точки го области G функция/(г)
дифференцируема в некотором круге. с центром в
точке го, за исключением, быть может, самой точки
241

z0, и потому внутри этого круга функция f(zy не мо*
жет иметь особых точек, отличных от го. Таким обра*
зом, точка Zq не может быть предельной для множе*
ства М.
Поведение функции вблизи полюса и неособой
точки. Пусть f(z)—аналитическая функция, заданная
на области G, и zq — некоторая точка области G, не
являющаяся существенно особой точкой функции
f(z) (случай полюса не исключен). Тогда в
некотором круге с центром в z0 функция f(z) может быть
записана в виде
f(z) = (z-zor](z)t (1)
где
l(z) = a0+al(z — z0)+ ... + dn{z-z0)n + ..., (2)
причем а0 ===== f («го) ф 0.
Докажем это утрерждщще. Так как z0 не является
существенно особой точкой функции /(г)„ то функция
f(z) в окрестности точки zq может быть записана
в виде
/(г)=ЕМг-2оГ, (3)
где ац Ф 0. Таким образом, функция f(z)\ может
быть записана в виде
/ {z)={z— zofla^+a^x (г—z0}+. •. +all+Az-z0)a+... ].
Тем самым формула (2) доказана.
В случае отрицательного |ш говорят, что функция
f(z) имеет в точке z0 иолюс порядка — \i. В случае
положительного \х говорил', что функция f(z) имеет
в точке Zq нуль краттости р,.
Отношение двух функций, Пусть ф(г) и $> (г)—* две
аналитические функции, заданные в области G, и
точка Zq — неособая точка этих функций, и пусть
ф(2)==«0 + а1(^ — г0)+ .,, +qn(z — z0)n+ • ♦., {5)
$(z) = Po + $i(z-zQ) + ...+$niz--z0Yl+... ;(6)
— разложения этих функций в ряды Тейлора в точке
Zq, Причем
с*о = Ф(2о) Ф 0> Po = i(zo) Ф 0. (7)
242

Пусть р — радиус сходимости ряда (5)v, cr —радиус
сходимости рада (6) и а'— расстояние между точкой
zQ и ближайшим к ней нулем функции ty{z)\
Наименьшее из чисел р, <т, о' обозначим через о"'. Тогда
отношение % (г) = Т разлагается в ряд Тейлора
1|)(г)
^ + М^-го)+...+Ы2-гоГ+..., (8)
Ро
причем радиус г сходимости этого ряда не меньше
чем а".
Докажем это утверждение. Отношение $(z)/yjp(z)
имеет производную в каждой точке z (см. § 11, (17)),,
удовлетворяющей условию \z — 20|<а", и потому
является аналитической функцией в области G,
определенной условием \z—z0\<o". В силу
результатов предыдущего параграфа она разлагается в
точке z0 в ряд Тейлора с радиусом сходимости, не
меньшим чем а". Первый член %{zq)\ ряда Тейлора
|(8), очевидно, равен отношению
*М. = 4^^=0. (9)
Таким образом, наше утверждение доказано.
Пусть теперь <p(z) и гр(г) —две функции,
заданные в окрестности точки z0 формулами
Ф (z) = (z - z0)" Ф (г), Ф (г) = (z - z0)' Ф (г)
(см. (4)), где функции ф (z)" и ^(г) разлагаются в
ряды Тейлора по степеням (г — zo), причем
Тогда отношение
x^W^2-^'"^2)' (10)
где %(z)] разлагается в ряд Тейлора в точке г0 и
Это утверждение вытекает непосредственно из
формул (8) и (9J,
243

Вычеты. Пусть f(z)—аналитическая функция, за*
данная на области Gr и z0— некоторая точка это$
области. Положим г ^
°te)--srSf<orftt). (12)
к
где К есть окружность с центром в г0 настолько ма«
лого радиуса, что правая часть (12) уже не зависит
от этого радиуса. Величина v (го) называется
вычетом функции f(z) в точке го. Если го не является
особой точкой функции /(г), то вычет v(z0) функции
f(z) в точке г0, очевидно, равен нулю (см. § 21, (20))«
Если го есть особая точка функции /(г), то величина
и (го) определяется формулой
1>(2о)=Я-Ь
где а-\ есть коэффициент ряда Лорана при (г — го)"1
(см. §22, (14)).
Пусть /Со — такая замкнутая кривая, что все
точки, лежащие на ней и внутри нее, принадлежат
области G. Тогда внутри этой кривой и на ней самой
может быть лишь конечное число особых точек, та»
как предельная точка множества всех особых точен
не может принадлежать области G. Мы будем пред*
полагать, что на самой кривой /Со нет особых точек
функции /(г). Обозначим через гь г2, ..., zm
совокупность всех особых точек функции /(г), лежащих
внутри кривой /(о. Тогда имеет место формула
^\f(Qdi = v(zi) + v(z2)+..,+v(zfn). (13)
Ко
Для доказательства этого утверждения окружим каж*
дую точку Zj окружностью /С/ достаточно малого ра«
диуса. Тогда в силу формулы (30) § 21 мы имеем
/Со /=1 /Су /-1
Таким образом, формула (13) доказана.
Логарифмические вычеты. Пусть /(г)—функция,
заданная на области G. Функция
*(2)e7wT
244

называется логарифмической производной функции
}(z). Действительно, мы имеем
*(*) = -£ In/(г).
Впрочем, последняя формула нам вовсе не
нужна. Она.только объясняет название функции g(z).
Пусть 20—-произвольная точка области G, не
являющаяся существенно особой точкой функции f(z).
Тогда в окрестности точки z0 функция f(z)
записывается в виде (4). Мы имеем, далее,
Г (г) = ixao (г - ZoT~l + (vl + 1) й{ (z - z0f + ...
...+(и + п)йп(г-гоГ+п~1 + ...
Таким образом,
g(z) = -£$~= ц(2_го)-1 + у(г) (14)
(см. (10)), где y(z) есть ряд по неотрицательным
степеням z — zq, имеющий положительный радиус
сходимости. Тогда вычет v (zo) логарифмической
производной g(z) (логарифмический вычет) функции
f{z) определяется формулой -^\ giQd^ — ii.
к
Пусть теперь /Со— некоторая замкнутая кривая,
проходящая в области G, в которой задана функция
f(z). Мы предположим, что все точки, лежащие
внутри кривой /Со, принадлежат области G и что на самой
кривой и внутри нее нет существенно особых точек
функции f(z). Кроме того, мы будем считать, что на
кривой /Со нет ни нулей, ни полюсов функции f(z).
Пусть теперь z\, z2, ..., zp — совокупность всех
нулей функции f(z), лежащих внутри кривой /Со,
причем Zj имеет кратность ju,/. Пусть, далее, г*, 22, ..., z*q—
совокупность всех полюсов функции /(г),
лежащих внутри кривой /Со, причем z\ имеет порядок v*.
Пусть h(z)—некоторая функция, аналитическая в
области G, не имеющая в этой области никаких
особенностей, т. е. ни полюсов, ни существенно особых
точек. Оказывается, что тогда имеет место
следующая очень важная формула;
■as- Sh ® iwdl -1 bh <*/> -1 ^h (*;>• <l5>
245

Обозначим через X/ Ъкружность малого радиуса
с центром в точке г/, а через Lk — окружность малого
радиуса с центром в точке г\. Тогда мы имеем
(см. (14) и § 21, (28)). Точно так же имеем
l
2ш"
(cm. (14) и § 21, (28)). Из формулы (30) § 21
следует, что
В частном случае, когда h(z)= 1, мы получаем
важный результат:
istS^*-*-*, (16)
Ко
где jli — общее число нулей функции f{z)\
содержащихся внутри кривой /Со» с учетом их кратностей, а
v — общее число полюсов функции f(z), содержащих*
ся внутри кривой /Со, с учетом их порядков
В другом важном случае, когда h(z) = г, мы
имеем
$ят®а-£««л-2>*!- ,,7>
1
2iw'
/Со " /=1 Л«1
Пример. Пользуясь логарифмическим вычетом,
докажем основную теорему алгебры, т. е. докажем,
что многочлен f (z) = zn L+ a\zn-1 + ... w+ a« имеет
ровно п корней с учетом их кратностей. Для этого
составим логарифмическую производную
„(г.\— Г№ ■- "*a-l + (n—i)«i*-*+...+a*-i пяч
ё{ ]~ ~7W~ г* + а1гя-1 + ...+аа У•'
и докажем, что
246
■srS*(»de=*.

где К есть окружность достаточно большого радиуса
г с центром в точке г = 0.
Так как стоящий в левой части последнего
равенства интеграл берется по окружности К большого
радиуса г, то заменим величину z, положив
г=1/и. (19)
Тогда для больших значений величины z величина и$
обратная ей, будет мала. Сделаем подстановку (19)
в формулу (L8). и после этого умножим числитель и
знаменатель полученной дроби на ип. Тогда мы
получим
/JV пи + иу(и)
* V и ) 1 + ф (и) ' ^V)
где функции <р(и) и t|>(«) являются многочленами по
степеням и, делящимися на и (т. е. конечными рядами
без свободных членов). Тогда g(l/u) разлагается в
следующий ряд по степеням и:
g(l/u) = nu + ylu2+ ...+упип+л+ ... (21)
с положительным радиусом сходимости р.
Подставляя теперь 1/г вместо и, мы получим в
силу формул (20) и (21)
£(г) = Т + ^+ — +1^г+ —
Ряд этот по отрицательным степеням z равномерно
сходится при |2?| = г > — и допускает потому
почленное интегрирование по окружности К радиуса г, и
мы получаем
1 Г Г (С) dl _
2т У /(E) —л-
к
Так как многочлен f(z) не имеет полюсов, то
последняя формула указывает на то, что в круге К
имеется ровно п нулей многочлена f(z)\
§ 24. Нахождение обратной функции
Используем результаты, полученные в § 23, для
нахождения обратной функции (см. § 11).
Рассмотрим уравнение
я|)(ш) = 2, (1)
247

где tyjw) есть аналитическая функция переменного
w, разлагающаяся в ряд Тейлора в точке w = w0, т. е«
со неотрицательным степеням величины w — w0i
причем для этой функции выполнены условия г£> (w0) «= г0,
1р'(№0)Ф0. В уравнении (1) величину w мы будем
считать искомой неизвестной величиной, a
z—известной величиной. Мы докажем, что уравнение (1) имеет
решение w = q)(z)t где q>(z0)=Wot причем ф(г)^
аналитическая функция переменного z, разлагающая*
ся в ряд Тейлора в точке z = z0l т. е. по
неотрицательным степеням величины z — z0.
Для доказательства выберем в плоскости комп*
лексного переменного w окружность К настолько
малого радиуса, чтобы уравнение ty(w)—ty(w0)=0
имело внутри этой окружности лишь один корень
w = wo кратности 1 (см. § 9) и чтобы функция
ty(w)—г|)(ш0) не обращалась в нуль на этой
окружности, так что для точки w, принадлежащей окружи-
кости К, имеет место неравенство
Жа>)-*(а*>)1>*>0. (2)
Таким образом, в силу формулы (16) § 23
1 f V (<а) d® I /o\
2m* J *(©) —-ф(Юо) 1 '
К
В силу формулы (17) § 23
1 Г соф' (со) d® . .
2т J ф (со) - ф (©о) ~ ^°' I4'
Будем теперь искать нуль ф(г) функции
•ф (w) — г = (ф (w) — ф (шл)) — (г — 20), (5)
находящийся в круге К при достаточно малом зна-*
чении величины \z — z0\. В силу формулы (16) § 23
величина
1 f $'(®)d<u
2я/ J -ф(со) — г
К
является целым числом, а так как при z = z$ она
равна 1 (см. (3)), то и для достаточно малых значе*
ний z — 20 она также равна 1 в силу соображения не*
прерывности, так что уравнение (1) при достаточно
малых значениях \z — z0\ имеет лишь один корень
248

внутри круга К. В силу формулы (17) § 23 нуль
функции ip(w)— z, который мы обозначили через
ф(2), задается формулой
г, (Л— 1 [ nVtod* ,Av
ф ^ 2ni J (* (со) - « (ш0)) ~(z- г0) w
(см. (5)),
Функцию, стоящую под знаком интеграла в пра*
вой части равенства (6), можно записать в
следующем виде:
б)'ф/ (0)
(ф (Ш) — t|> (WQ)) — (Z~ Zq) ~~
Cut|/ ((и) __
"(t(eHW,['i(5^)]"
Здесь мы разложили функцию
l
j Z — Zq
i|> (со) — ф (o;0)
в геометрическую прогрессию, которая сходится при
|z — 2o|<6 и 0, принадлежащем окружности /С (см*
(2)). Ряд (7) сходится равномерно на окружности/ft
и его можно проинтегрировать по этой окружности,
так что мы получаем
Ф (*) = 2J (* - г°)П * ~Ш) [«(©Т-^юоН^1 ' (8)
я=0 /С
Этот степенной ряд по неотрицательным степеням
z — Zo сердится при |« — г0(<б. Следует заметить,
что свободный член этого ряда равен wq в силу фор*
мулы (4). Таким образом, мы нашли решение урав*
нения (1) в форме степенного ряда по
неотрицательным степеням z — z0. Допустим, что функция $(w)t
заданная в точке w0 при помощи ряда Тейлора, в
действительности определена на некоторой области Н
плоскости комплексного переменного w, а функция
Ф(г), заданная разложением (8) в точке г0, в
действительности определена на некоторой области G
плоскости комплексного переменного г, причем для
249

всякой точки z из области G выполнено условие, что
q>(z) принадлежит Н. Составим теперь функцию
я|)(ф(г)). Она является аналитической для всех
значений г, принадлежащих области G, так как имеет
производную по z для всех этих значений. Для всех
значений г, близких к 20, мы имеем тождество
Ф(ф(г)) = г. (9)
Но так как левая и правая части этого равенства
являются аналитическими функциями в области G} то
они тождественно равны для всех значений г>
принадлежащих области G определения обеих функций
(см. § 22). Таким образом, для всех значений z из
области G мы имеем тождество
Ф(ф(2))^г. (Ю)
Пример 1. Решение ш = ф(г) уравнения
ew=l+z (11)
по определению есть натуральный логарифм
величины 1+2: ф(«г)"= ln(l + z). Дифференцируя
тождество
еФ(*)=1 +г, (12)
получаем (p'(z)evw == 1. Заменяя в этом
соотношении величину e^z\ взятую из равенства (12), мы
сразу получаем
Ф'(*)-1/(1+*).
Разлагая правую часть последнего равенства в
степенной ряд как геометрическую прогрессию,
получаем
фЧ*)«1-* + *+...+(-1)в*,|+... (13)
Интегрируя это равенство и принимая во внимание,
что ф(0)= 0, мы получаем
Ф(г)=2~4+4+-"+(-1)Л^+-" (14)
Этот ряд для функции y(z)] имеет радиус
сходимости 1. На первый взгляд кажется, ^то мы уже полу-,
дали разложение функции ln(l+z) в ряд (14). Од*
Вако это не так. Мы исходили из предположения, что
функция <f(z)] есть решение уравнения (12), но это
250

предположение не обосновано в том смысле, что мы
вообще не знаем, существует ли функция ф(г),
удовлетворяющая уравнению (12). Мы только доказали,
что если ф(г)' удовлетворяет уравнению (12), то она
разлагается в ряд (14). Теперь нам остается
доказать, что если в уравнение (12) вместо ф(г)
подставить ряд (14), то мы получим тождество. Однако
сделать это вовсе не легко.
Легко сделать нечто другое. Исходя из
предположения, что 1п(1+г) задается рядом (14), мы сразу
получаем, что 1п/(1+г) задается рядом (13) и что,
следовательно, 1п'(1 + г)= 1/(1 + г). Таким
образом, легко доказывается, что если функция In (1 + г)]
задается рядом (14), то мы имеем In" u= \/и.
Отсюда легко вывести, что In ew = w. Действительно,
найдем производную функции In и, считая, что и = ew%
Мы имеем
-з— in и = In и -г— == -j— е = — и = 1.
aw aw и aw и
Таким образом, мы имеем
откуда следует, что In ew = w + с.
Полагая в этом равенстве w = О, мы получаем
для с значение с = 0. Таким образом, соотношение
\new = w
вытекает из предположения, что 1п(1"+г) задается
рядом (14). Из этого, однако, никак не следует, что
функция ф(г), заданная рядом (14), удовлетворяет
уравнению (12), так как мы вообще не знаем,
существует ли решение этого уравнения. Этот пробел
восполняется результатом настоящего параграфа.
Существование решения уравнения (11)
относительно w в виде w = ф (z) вытекает из доказанной
в этом параграфе разрешимости уравнения (1).
Действительно, положим $(wy=ew — l. Тогда
уравнение (11) переписывается в виде
ty(w) = zt (15)
причем г|)(0)=0, а|)'(0)= 1. Построенное решение
этого уравнения (см. (8)) ау = ф(г) при малых
251

значениях z записывается в виде ряда
Ф (z) = axz + a2z2 + ... + anzn + . •.' (16)
Так как для этих малых значений z функция, заданная
рядом (16), удовлетворяет уравнению e^z) = 1 + г,
то, по доказанному ранее, функция эта разлагается
в ряд (14) при малых значениях 2, и, следовательно,
коэффициенты ряда (16) равны коэффициентам ряда
(14). Следовательно, функция ф(г), определенная
рядом (16), определена во всем круге \z\< 1. Так как
ряд, определяющий функцию ty(w), сходится при
всех значениях w, то, подставляя в (15) функцию,
определенную рядом (14), мы получаем тождество
<ф (ф (г)) = z (см. (10)). Таким образом, мы доказали,
что ряд (14) действительно дает функцию ln(l + z)
при \z\ < 1.
Пример 2. Совершенно аналогичным образом
обстоит дело с функцией arcsin г, которая
определяется как решение w = cp(z) уравнения sin w = г.
Исходя из предположения, что функция ф(г)4,
удовлетворяющая уравнению
sin ф (z) = z, (17)
существует, мы с легкостью доказываем, что
ф/(г)=1/л/Ь=Г^г
(см. § 11, (15)). Отсюда легко получается
разложение функции ф(-г) в ряд по z с радиусом сходимости
1 (см. § 15, (26)). Но для доказательства того, что
функция ф(г), удовлетворяющая уравнению (17),
действительно существует, мы должны
воспользоваться результатами настоящего параграфа, а затем,
точно так же как это было сделано для логарифма,
мы докажем, что функция ф(г), заданная рядом (26)
§ 15, действительно удовлетворяет тождеству
sin ф (г) = 2 (18)
для всех |г|< 1.
В то же время очень легко доказать аналогично
тому, как это сделано для функции In и, что для
функции ф(г) выполнено тождество ф(зт ш)= г^,
что в действительности эквивалентно тождеству (18):
однако не видно никакого простого доказательства
эквивалентности этих тождеств.
252

§ 25. Целые функции и особые точки
Функция f(z)\ область G существования и
дифференцируемое™ для которой совпадает со всей
плоскостью переменного г, называется целой. Как это
следует из результатов § 22, она разлагается в ряд
Тейлора в каждой точке zp плоскости с бесконечным
радиусом сходимости. В частности, это имеет место
для точки z = 0. Таким образом, она записывается
в виде
f(z) = a0 + alz+ ... +anzn+ ..., (1)
где ряд (1) сходится при всех значениях z. В частном
случае, когда ряд (1) имеет лишь конечное число
членов, функция f(z) является многочленом. Но мы
имели и более сложные примеры целых функций. Это
были е2, sin г, cos z (см. § 8).
Ограниченные целые функции. Докажем прежде
всего, что если целая функция f(z) ограничена во
всей плоскости комплексного переменного z, т. е. для
нее выполнено неравенство \f(z)\<c, где с —
положительная константа, а г — произвольное значение,
то функция эта является константой:
/(*) = *. (2)
Для доказательства воспользуемся формулой (18J
§ 22. Мы имеем
«.-■sb-j/ajt-"»*.
к
где К есть окружность радиуса г. Тогда
|Ш?-<«+1>|<_£_.,
и в силу оценки (22) § 20 получаем
я*1 = -
2л
$/(£)Г*+1Ч
-к?а •*"=!*• <3>
Так как ап не зависит от г и при п ^ I правая часть
неравенства (3) стремится к нулю при г ->- оо, мы
получаем ап = 0 при п ^ 1. Таким образом, /(г)=ао
(см. (2)).
253

Поведение многочлена при z-^oo. Если ряд (\у
содержит лишь конечное число членов, т. е. функция
f(z) есть многочлен, то мы имеем
/ (z) = а0 + агг + ... + апгп,
где ап ф 0. Будем считать, что п > 0. Тогда мы
имеем
/(г) = 2«(ая + ^.+ ...+^).
Из этого равенства ясно, что /(г)->оо при г->оо
или в виде формулы
lim / (z) = оо.
2-»оо
Случай целой функции, отличной от многочлена.
Если ряд (1) содержит бесконечное множество
членов, т. е. функция f(z) не является, многочленом, то
она обладает следующим замечательным свойством:
каково бы ни было комплексное число а, всегда
найдется такая бесконечная последовательность
значений аргумента z, неограниченно возрастающая,
т. е. удовлетворяющая условию
lim |zJ = oo, (4)
что имеет место равенство
lim f(zn) = a. (5)
Утверждение это мы будем доказывать от против*
ного. Его отрицание можно формулировать в
следующей форме. Найдется настолько малое
положительное число б и настолько большое положительное
число р, что
при |г|>р имеем \f(z) — a|>e. (6)
Рассмотрим теперь функцию g(z)= \/(f{z)—а)\ Из
условия (6) следует, что при |^|>р имеем g{z)<C
< 1/е, т. е. что функция g(z) вне круга радиуса р
ограничена. Однако внутри круга радиуса р она
может иметь полюсы, а именно в тех точках, где
функция f(z)—а обращается в нуль. В ограниченном
круге радиуса р функция f{z) — а может обращаться в
254

нуль лишь в конечном числе точек. Обозначим их
через «ь 062, ..., am. В точке а/ функция g(z) имеет
полюс, так что в ее разложении в ряд Лорана в
точке а/ имеются отрицательные степени величины
z — а/. Сумму всех их обозначим через <р/(2).
Функция ф/(г) есть многочлен относительно величины
1/(2 — а/). Таким образом, при неограниченно
возрастающем z величина ф/(г)->0. Положим теперь
A(z) = g(z) —Ф!(г) —Фа(г)-- ••• — Фт(*)-
Функция /г(z) уже не имеет полюсов в круге радиуса
р и остается в нем ограниченной. В то же время она
ограничена и вне круга радиуса р. Таким образом,
функция h{z)\ есть целая функция, ограниченная на
всей плоскости переменного z, и потому она является
константой (см. (2)). Таким образом, мы имеем
'f(z)-a """ ф1 ^ ~~ ф2 ^ ~~ ' * • ~~ фт № == ^1#
Отсюда получаем
/(*) = *(*),
где 1|5(г)^"есть рациональная функция, т. е. дробь от
двух многочленов по z. Т^к как функция f(z) не
имеет полюсов, то функция ip(z), которой она равна,
в действительности является просто многочленом.
Итак, мы пришли к противоречию, так как предпола<
гали, что функция f(z) не является многочленом, и
наше утверждение (см. формулу (5)) доказано.
В этом рассмотрении выпал случай а == оо,
Восполним этот пробел. Отрицание утверждения (5) в
случае а = оо означает, что функция f(z) ограничена
во всей плоскости и потому является константой.
Таким образом, мы опять пришли к противоречию.
Поведение функции вблизи изолированной особой
точки. Пусть F(z) имеет изолированную особую точку.
Тогда она, согласно результатам § 22, представима
в виде
F(z) = F_(z) + F+(z). (7)
Разложение в сумму (7) функции F{z) мы сделаем
несколько иначе, чем в § 22. Именно, член а0, не
содержащий степени z — z0, мы отнесем к фуцкции
F~(z)t так что функция F+iz)] разлагается в ряд по»
20$

положительным степеням величины z — г0, и потому
F+ (г0) = 0. (8)
Как было доказано в § 22, ряд
/L (г) == а0 + a_i (г — го)""1 + ... + а.я (г — zQ)"n + ...
сходится при всяком значении z Ф г0, так что
функция
/ («) = я0 + a~iw + ... + а„пип + ...
есть целая функция. Если точка г0 есть полюс
функции F(z), то функция f(u) есть многочлен. Если
точка г0 есть существенно особая точка функции F{z),
то функция f(u) есть бесконечный ряд по степеням
и. Пусть теперь а — произвольное комплексное
число. Согласно ранее доказанному результату (см. (4)
и (5)) можно подобрать такую последовательность
значений аргумента функции f(u)f что
Нт К | = оо (9)
Л-*оо
И
lim f(un) = а. - (10)
Положим теперь гп = г0 -\ . Тогда из условия
(9) следует НтгЛ = г0, а из соотношения (10) сле-
дует lim F_(zn) = a. Так как F+(z0)—Q (см. (8)), то
для функции F(z) мы получаем lim F(zn) = а. Это
имеет место в том случае, когда точка го является
существенно особой точкой функции F(z). В случае,
если го есть полюс, мы имеем lim F{zn) = со. Таким
2n~>zo
образом, поведение функции F(z) вблизи ее
изолированной особой точки г0 совершенно различно в
случае полюса и в случае существенно особой точки.