/
Автор: Сивухин Д.В.
Теги: физика оптика оптические явления физические явления волновая оптика
Год: 1968
Текст
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СИВУХИН Д.В.
ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИЧЕСКОЙ
ОПТИКЕ
ч.1.
Новосибирск
1968г.
Предисловие
Основной текст этих лекций был неписен почти 20 лет тому
назад. Лекции читались для студентов 4-го курсе оптической спе-
циальности сначела на физическом факультете Московского государ-
ственного университета, а затем в Московском физико-техническом
институте. При чтении предполагалось, что студенты владеют оп-
тикой в объеме университетского общего курса физики. Последний
раз лекции были прочитаны в 1955/56 учебном году и с тех пор не
пополнялись новым материалом. Значительная часть прочитанного
материала осталась не обработанной. Сюде относятся, главным об-
разом, лекции по молекулярной оптике.
Когда профессор С.Г.Раутиан, слушавший мои лекции в 1950-
- 1951 учебном году, обратился ко мне с предложением издать их
на ротапринте Новосибирского государтвенного университета, я
принял это предложение не без колебаний. Лекции публикуются в
незавершенном виде. Правда, я вновь просмотрел текст и внес не-
которые исправления, главным образом, редакционного характера.
Кое-что я добавил, обработав материал, сохранившийся у меня в
виде отрывочных черновых набросков. Но лекции не были подвергну-
ты той обработке и переработке, которые необходимы для того,
чтобы придать им завершенный вид. В частности, в них на включе-
ны важные вопросы, разработанные за последние годы, которые
должны составлять неотъемлимую часть современных курсов теоре-
тической оптики.
Д.В.Сивухин
Февраль 1968 г.
Глава I
Распространение электромагнитных волн
в диэлектрических средах
§ I. Уравнения Максвелла, Скорость распространения
электромагнитных волн
I. Настоящие лекции посвящены волновой оптике. Под совре-
менной волновой оптикой следует понимать теорию оптических яв-
лений, построенную на основе уравнений Максвелла без учета фо-
тонной структуры излучения. Волновая оптика адекватно описывает
обширный комплекс явлений, получивший общее название явлений
распространении света.
Для длинных волн, например таких, с которыми приходится
иметь дело в радиотехнике, наличие фотонов можно не принимать
во внимание ввиду малости их энергий и импульсов.
Наиболее отчетливо фотонная структура излучения проявляет-
ся тогда, когда энергия фотона порядка или больше собственной
энергии электрона и других элементарных частиц. Тогда под дей-
ствием фотонов могут происходить процессы рождения новых частиц,
а также излучаться фотоны высоких энергий в результате анниги-
ляции частиц. Длина волны фотона Л , энергия которого'равна
собственной энергии электрона тс1, называется комптоновской
длиной волны. Она определяется соотношением
= 0,0242632(2)Ю~аен
где п = 6,62628(24^ Ю ^зрг.сек. ~ постоянная Планка. Столь
короткие длины волн находятся вне спектра, рассматриваемого в
оптике.
Но и для волн промежуточных длин, с которыми имеет дело
оптика, существует обширный круг явлений, который для своего
истолкования требует введения фотонных представлений. Сюда отно-
сятся многочисленные яиления взаимодействия света и вещества
(фотоэффект, комптон-эффект, спектры, люмиеоценция и пр.). До
появления квантовой механики волновые и корпускулярные представ-
ления казались несовместимши. Их синтез был дан квантовой ме-
ханикой и электродииамикей на еенове введения вероятностных
- 4 -
представлений. Современная волновая оптика принимает во внима-
, квантовые свойства вещества, но не излучения. Она. использу-
ет например, результаты квантовомеханических расчетов поляри-
зуемости атомов и молекул (квантовая теория дсиперсии).
2. В основу теории распространения электромагнитных волн в
материальных средах мы положим макроскопические уравнения Мак-
свелла. Для неподвижных сред эти уравнения в интегральной форме
имеют вид
, "л)
JftdF = ,
J&dF = О,
где Е и Н - напряженности электрического и магнитного полей,
и Д - векторы электрической и магнитной ду1нлукпии,
- плотность свободных электрических зарядов, J - плотность
тока проводимости, с - электродинамическая постоянная, т.е.
отношение абсолютных электромагнитной и электростатической еди-
ниц заряда. Линейные интегралы в левых частях первых дв$х уравнений
берутся по произвольному замкнутому контуру X , а интегралы '
в правых частях - по произвольной поверхности F , натянутой
на этот контур. В последних двух уравнениях интегрирование про-
изводится по произвольной замкнутой поверхности F и по объё-
му, ограниченному этой поверхностью. За положительное направле-
ние элемента площади dF принято направление внешней нормали
по отношению к объему.V-
Макроокопичеокие уравнения (I.I) могут быть получены из
микроскопических уравнений Лоренца путем усреднения их по физи-
чески бесконечно малым объемам среды. Для возможности такого
усреднения необходимо, чтобы линейные размеры областей простран-
ства, на протяжении которых свойства среды и напряженность ус-
редненного поля претерпевают заметные изменения, были велики по
сравнению с размерами атомов и молекул, а также по сравнению с
межатомными и межмолекулярными расстояниями. Мерой пространст-
венной неоднороднооти волнового поля может служить длина волны,
'-5-
а при распространении света в метеллах текже и глубина проник-
новения поля в металл (последняя обычно меньше длины волны).По-
этому уравнениями (I.I) можно пользоваться при изучении распрост
ранения радиоволн, е также видимого, инфракресного и ультрафио-
летового излучений. Для рентгеновских волн, длина которых поряд-
ка, е иногда и меньше резмеров молекул и атомов, укезанное ус-
реднение, а с ним и макроскопические уревнения (I.I) теряют
смысл.
Уравнения Максвелла в интегральной форме эквивалентны диф-
ференциальным уравнениям Максвелле и греничным условиям к ним,
которые должны выполняться не поверхностях разрыва векторов
электромагнитного поля. Преобразованные в дифференциальную фор-
му уравнения (I.I) имеют вид -*•
, (1.2)
ей* я = f
cLiir В = О .
,3. Система уравнений (I.I) или (1.2) не является полной.
Если ее записать в компонентах, то получится всего восемь урав-
нений, связывающих 16 величин: 15 компонентов вакторов Е , S& ,
В « И , J и скаляр . Для определении этих 16 величин
восьми уравнений, конечно, недостаточно. К ним необходимо при-
соединить дополнительные соотношения, содержащие величины, ха-
рактеризующие индивидуальные свойства среды. Эти соотношения
назывеютсн метериальными уравнениями.
Материельные уравнении не> обладают той общностью и фунда-
ментальностью, которая свойственна основным уравнениям Максвел-
ла (I.I) и (1.2). Они мргут быть установлены эмпирически или
выведены теоретически. Теоретический вывод материальных уравне-
ний стал принципиально возможным после того, как Г.А.Лоренц в
своей алектронной теории дал атомистическое истолкование макро-
скопических величин 59 , И и J . Векторы.® и 77" были им
-<|дены с помощью соотношений
- 6 -
& = Е + 4хР , (1,3)
Н=Ъ-4-згТ,
где р _ вектор поляризации, al- вектор намагничивания оре-
ды. Векторы Е и Ъ определяются как напряженности электричес-
кого и магнитного полей, усредненные по физически бесконечно
малым объемам. Ток J создается движением электронов и других
электрически заряженных чаотиц. •
Исходя из таких представлений, можно теоретически вычислить
векторы поляризации Р , намагничивания JT и плотности тока
проводимости J . Эти труднейшие зедачи являются основными в
учении о диэлектриках, магнетиках, электропроводности металлов,
полупроводников и других сред. При их решении исходят из опре
деленных упрощенных атомистических моделей изучаемой среды. Ес-
тественно, что сначале к таким моделям применяли законы класси-
ческой механики. Это, наряду с успехами, приводило в ряде слу-
чаев к глубоким расхождениям теории с опытом. Применение кванто-
вой механики устранило основные трудности и означало громадный
прогресс в теоретическом понимании относящихся сюда явлений.Ра-
зумеется, это не могло не отразиться на развитии оптики, в осо-
бенности молекулярной и квантовой. Современная волновая оптика
не является чисто классической теорией. Она учитывает квантовые
свойства вещества, но оставляет в стороне квантовые свойства
излучения. Она использует, например, материальные уравнения,..о-
лучаемые методами квантовой механики. Гакой подход, конечно, не
является вполне последовательным. Счи.'аероя, что энергия атома
при излучении и поглощении света меняется скачкообразно, а где
как энергия самого света меняется непрерывно. Если бы это было
действительно так, то в элементарных актах излучения и поглоще-
ния происходило бы наруиение закона сохранения энергии. Однако
волновая оптика не занимается.исследованием , элементарных актов,
fee интересуют некоторые средние характеристики ореды м излучения
при исоледовании которых охно сохранить квантовые свойства "□-
щеотва и отвлечься от квантовых свойств излучения.
Впрочем, на первых порах при установлении материальных
уравнений лучше всего совсем отвлечьоя от теории и обратится к
- 7 -
опыту. Так и поступил основоположник электромагнитной теории
света Максвелл. Он займствовал материальные уравнения из учении
о постоянных электрическом и магнитном полях и постоянных токах.
В простейшем случае изотропных сред материальные уравнении,при-
нятые Максвеллом, имеют вид
где £ - диэлектрическая,проницаемость среды, jU - ее магнит-
ная проницаемость, а б"- электропроводность.
Для непоглсщающих сред, т.е. таких сред, в которых энергия
электромагнитного поля не превращается в тепло, б~=О. В против-
ном случае, согласно закону Ленца-Джоуля, в единице объема сре-
ды ежесекундно выделялось бы тепло (j Е)=б~Еа.
Для тех высокочастотных полей, с которыми имеет дело опти-
ка, мегяетиэм вещества пректически не проявляется ни в каких
оптических явлениях. В этих случаях векторы В и Н в среде
означают одно и то же, и можно пользоваться любым_иэ этих обо-
значений. Мы предпочитаем пользоваться вектором В , так как в
веществе именно он является основным - силовым - вектсроу. Век-
тор // является сокращенным обозначением суммы и не
имеет глубокого физического смысла. Только по историческим при-
чинам вектор В получил неудечное^название магнитная индукция.
Правильнее было бы назветь Вектор В напряженностью магнитного
поля в’ веществе.
4. Новое, что внес Максвелл в уравнения электродинамики,
оостсит в добавлении тока смещения. Так неэывается пооледний
член в первом уравнении'системы (I.I). Без добавления такого
слагаемого уравнения (I.I) были бы противоречивы. Источниками
магнитного поля по Максвеллу могут быть не только токи прово-
димости, но и токи смещения, т.е. электрические поля, меняющие-
ся во времени. Еще ренине, обобщая результаты опытов Ферадея по
электромегнитной индукции, Максвелл пришел к заключению, что
переменное магнитное поле должно возбуждать поле электрическое.
Электрическое и магнитное поля взаимосвязны и могут возбуждать
друг друга. Такая взаимосвязь проявляется в существовании элект-
ромагнитных волн, предсказанных Максвеллам.
Если в среде создано электрическое поле, то оно не может
исчезнуть бесследно. Если бы оно внезапно исчезло, т^_развились
бы токи смещения с бесконечно большой плотностью.которые
возбудили бы магнитное, поле. Если бы внезапно исчезло магнитное
поле, то производная В стала бы бесконечно больной, и по зако-
ну электромагнитной индукции возбудилось бы электрическое поле.
Таким путем переменные электрическое и магнитное поля взаимно
поддерживают друг друга. Если бы не было процессов поглощения
электромагнитной энергии, то раз возникнув электромагнитное воз-
мущение в среде существовало бы вечно, распространяясь от точки
к точке.
5. Покажем на примере возможность возбуждения электромаг-
нитных возмущений и определим скорость их распространения. Речь
идет не о практических, а о принципиальных способах возбуждения.
Поэтому мы выберем такой идеализированный пример, в котором ма-
тематическая трактовка явления особенно проста и в то же время
сохраняются все его существенные черты.
Будем предполагать, что все пространство заполнено однород-
ным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью £ и магнит-
ной проницаемостью ju. . Поместим в него бесконечную плоскость,
равномерно заряженную электричеством с поверхностной плотностью
'С . Как известно из электростатики, электрическая индукция,
создаваемая такой плоскостью, определяется выражением ,
Если вдоль заряженной плоскости текут постоянные или переменные
электрические токи, но плотнооть Т остается всюду одинаковой,
то справедлива та же формула, но для нормельной составляющей
вектора 5© : , Это непосредственно следует из теоремы
Гаусса и из соображений симметрии.
Присоединим вторую бесконечную плоскость, параллельную пер-
вой и отстоящую от нее бесконечно близко. Пусть она равномерно
заряжена таким же количеством электричества, но противоположно-
го знака. Электрическое поле второй плоскости уничтожает нормаль-
ную составляющую вектора & парвой плоскости. Обе плоскости об-
разуют бесконечный плоский конденсатор. Нормальная составляющая
- 9 -
электрического поля текого конденсаторе во всей внешней простран
стве равна нулю, независимо от"того, текут по его обкладкам то-
ки или не текут.
Допустим теперь, что одна из плестин конденсаторе движется
в своей плоскости с некоторой постоянной или переменной скорос-
тью. Могут двигаться и обе пластины, но с различными скоростями.
Такое движение обрезует электрический ток, возбуждающий магнит-
ное поле. При его определении можно отвлечься от наличия второй
пластины. Ее функции сводятся только к тому, чтобы погасить
нормальнее статическое поле, возбуждеемсе зарядеми первой плес-
тины. Совместим координатную плоскостьХУ с плоскостью плас-
тины, е ось £ неправим перпендикулярно к ней (рис.1). Пуоть
пластина движется параллельно оси X . Электрические токи, свя-
занные о таким движением, параллельны тоиу же нзпревлению.Пусть
в некоторый момент ток направлен вниз. В непосредственной бли-
зости от заряженной плоскости ХУ применима известная теорема
о циркуляции вектора Н , явялющаясн частным случаем первого
уравнения Максвелла (I.I). Согласно этой теореме, ток, текущий
- 10 -
параллельно оои X , возбудит магнитное поле, силовые линии
которого обвиваются вокруг тока в таком направлении, что оно
находится с направлением тока в правовинтовом соотноиении. При
2^0 магнитное поле £> направлено параллельно, а при г<о
- антипараллельно оси У . На самой плоскости XV вектор Н .
претерпевает разрыв непрерывности, обусловленный наличием по-
верхностного тока. Но появлением иагнитного поля дело не огра-
ничивается. Переменное магнитное поле возбуждает электрическое
поле. Возьмем какой-либо Неподвижный контур CPQO , лежащий в
плоскости ZX . Он пронизывается магнитным потоком, меняющимся
во времени. Такой переменный магнитный поток генерирует электри-
ческое поле , так что появляется отличная от нуля циркуляр
ция вектора Е по контуру CPQO, По доказанному выше, поле Е
не может иметь составляющей вдоль оси Е и, следовательно,
должно быть параллельно или антипараллельно оси X . Переменное
электрическое поле в свою очередь генерирует магнитное поле,на-
кладывающееся на мегнитное поле, возбуждаемое движением зарндов
обкладки конденсетора. Как то, так и другое мегнитное поле па-
раллельно или антипараллельно оси У . Возникающее магнитное по-
ле должно иметь такое направление, чтобы препятствовать всяким
изменениям поля F . Точно также электрическое поле, возникаю-
щее при изменениях магнитного, имеет такое направление, что оно
препятствует любым изменениям магнитного поля.
Магнитное и электрическое поля воэникнут не только вблизи,
но и вдали от заряженной плоскости. Из соображений симметрий
следует, что они всюду останутся взаимно перпендикулярными:
электрическое поле Е будет параллельно оси X , а мегнитное
поле В - параллельно оои У . Если заряженная плоскость нахо-
дилась в движении ограниченное время, то электромагнитное поле
справа и слева от плоскости ХУ не успеет занять вое бесконеч-
ное пространство, а распространится лииь на конечные расстояния.
Если остановить движение пластины конденсетора, то генерация
новых электромагнитных полей прекратится. Но ранее возникиее
электромагнитное поле не исчезнет, е будет распространяться на-
право и налевс все дальие и дальне ст зеряхенной плоскости ХУ
с определенной скоростью, которую мы обозначим буквой « .Спра-
ведливость этого утверждения можно было бы отрого доказать, ре-
- II
шан соответствующие дифференциальные уравнения Максвелла. Это
будет сделано немного позже. Цо сначала предпочительнее другой
путь, лучше выясняющий физическую сторону явяления. Докажем,что
утверждение о распространении возмущения с конечной скоростью
согласуется с уравнениями Максвелла в интегральной форме.
Поскольку среда, заполняющая пространство, однородна и в
ней нет электрических зарядов и токов, уравнения Максвелла сво-
дятся л, следующим двум
§На<1з = с~ (1.6)
. (1-7>
Здесь символом Фал обозначен поток вектора электрической индук-
ции 5® через любую поверхность, натянутую на неподвижный замк-
нутый контур 4 . Магнитный поток обоаначен через tyai .
Допустим, что в некоторый момент электрическое поле пред-
ставляетсн кривой Ех (рис.2). Возьмем в плоскости замкну-
тый прямоугольный контур JJU.NOJI с высото” ЛМ , равной еди-
нице. Применим к нему уравнение (1.7). Поль/j отлично от нуля
только на стороне JJU. Поэтому циркуляция вектора Е по рас-
- 12 -
сМ8тривеемому контуру ровно
=ЕХ •
вычислим теперь производную магнитного потоке Флаг через тот
яе контур. Зе время cLt кривая Ех без изменения формы сместит-
ся вправо но отрезок VcLt . чтобы не строить зту кривую в новом
положении, проще сместить всю координатную систему вместе с кон-
туром ОЯДЮ влево на такой же отрезок vdt . От такого сме-
щения площадь контура, пронизываемая магнитным пои >ком, умень-
шится не полоску JPAJllM, т.е. не vdt, е магнитный поток из-
менится не величину
с/0_^г г -Bylrdt.
Таким образом,
и Флаг чгЛ.
~&t = - vBv.
Подставляя эти значения в уравнение (1.7), получим
«•»
Аналогичное рассуждение можно провести с уравнением (1.6),
если взять прямоугольный контур APQO , лежащий в плоскости
J/J? . В результате получится
Но .Если с помощью атих соотношений ис-
ключить £ и Т , то мы придем к двум уравнениям:
Из них находим
Т V* г-,
£-х •
откуда
и- _ С (1Л0)
Волна распространяется в положительном направлении оси Z .
Векторы £ и Г перпендикулярны к атому направлению. Такие
волны называются поперечными. Соотношениям (1.8) и_(1.9) можно
придать векторную форму. Введем единичный вектор Л/ , направ-
ленный в сторону распространения волны. Тогда
- 13 -
(I.II
(1.12:
Векторы E , В , V взаимно перпендикулярны и образуют прано-
винтовую систему. Их взаимное расположение представлено на рис.З
6. Мы умышленно избрали длинный путь наложения, чтобы
лучше оттенить физическую сторону явлений. Мы хотели не только
математически доказать возможность существования электромагнит-
ных волн, но и показать, как они могут возбуждаться, а также
проследить, как электрическое поле возбуждает магнитное, а
магнитное, в свою очередь, порождает электрическое. В приведен-
ном примере электромагнитная волна возбуждалась переменными токами
текущими по бесконечной плоскости. Антенна и вообще любой излу- '
чатель электромагнитных волн действует в принципе так же. В
антенне электромагнитные волны йзучаются быстро переменными токами
текущими по проводам.
Но существование самих электромагнитных волн может быть
предсказено, а их свойства установлены значительно проще и с
большей общностью, если пользоваться уравнениями Максвелла не в
интегральной, а в дифференциальной форме. Рассмотрим снова од-
нородную непоглощающую среду, в которой нет свободных зарядов.
В этом случае величины £ и jj. не зависят от координат, и урав-
нения (1.2) и (1.5) перейдут в
- 14 -
фТТ £ дЕ
zotH^
, р ju ЭИ
г°£Е ~ c. dt ’
cliirE — oLiir H =0.
(I.I3)
или на основании
= 0
где it означает
Аналогично
полним над вторым из этих^уравнений операцию zotПолучим
Zot zot Е = ^Е-ЛЕ =-^-~^го±Н
первого и третьего уравнений (I.I3)
dtz
прежнюю величину
4/5 иг dt1
(I.I4)
(I.IO)
(I.I5)
= 0.
и JU- положительны, то величина V веществен-
£
условии уравнения типа (I.I4) или (I.I6) называют-
Так как
на. При этом
сн волновыми. Они опиоывают возмущения, распространяющиеся в
пространстве со скоростью и~ . В этом проще всего убедиться в
частном случае, когда электромагнитное поле, помимо .времени,за-
висит только от одной из координат, например X . Тогда уравне-
ние (I.I4) переходит в
О Е_____1 и с _
дх* at* ~ '
Общее решение этого уравнения:
_ Е= F (x-vi)+Fl(x,+vt), с1-16)
где Г Vi Ё ~ произвольные функции (см. задачу I к этому параг-
рафу). В частности прш 1}-0 получается возмущение
.распространяющееся в положительном направлении ооиХ со ско-
ростью W , Действительно, вектор Е завшошт только от аргумен-
та X-irt , и, оледовательно, остается постоянным на плоскости
X-lri= const л перемещающейся^; положительном направлении оош
X о постоянной ^коросты) аЕ • Таким же образом убеждаем-
ся, что решение E=F,(x+vt) опиоывает возмущение, распростра-
- 15 -
няющееся в отрицательном направлении оси X с той же скоростью
1Г . Общее решение (I.I6) соответствует наложению двух возму-
щений, распространяющихся в противовположных направлениях.
Установим теперь связь между электрическим и магнитным
векторами в бегущей волне. Допустим, что волна распространяется
вправо, и ее электрический вектор представляется выражением
(I.I7). Магнитный вектор представим аналогичным выражением
где Q - новая функ![ия. По известным формулам векторного анали-
за sot Е ±[дга<£ =["?'],
xLQ = — IfE'
di * '
где штрих означает дифференцирование соответствующей функции по
аргументу X ~ Ut. Подставляя эти выражения во второе уравнение
системы (1.2), получим
[Яг]
При интегрировании этого се сношения интеграционную постоянную
ожно положить равной нулю. Ей соответствует какое-то статичес-
кое поле, накладывающееся на переменное поле волны. Оно не вли-
яет на распространение волны и потому от него можно отвлечься.
В результате получится
[Яе]=£1.
Аналогично
[Ян] = -£гЯ •
Эти формулы эквивалентны (I.II) и (I.I2). Для вакуума £=ju.=£ ,
и формула (1.6) дает V =с .' Таким образом, скорость электро-
магнитных волн в вакууме должна равняться электродинамической
постоянной с , Впервые этот фундаментальный факт был установ-
лен экспериментально В. Вебером и Р.Кольраушем в 1856 году.
Он, пс-видимсму, и навел Максвелла на мысль об электромагнитной
природе света. Последующие измерения, производившиеся все с воз-
растающей точностью, не оставили сомнений в'том, что электроди-
намическая постоянная и скорость света в вакууме - это одна и
та же физическая константа. Еа значение по современным данным:
- тб
C = 299792,5 ± 0,1 км/сек.
7. Другим веяным аргументом в пользу электромагнитной при-
роды свете было поперечность предскезенных Максвеллом электро-
магнитных волн. Замети»^ что в общем случае она является след-
ствием уравнений ctivft'Oy^ cLiir$=O, Действительно, для плос-
кой волны (I.I7) в однородной среде уревнение ditr^’O сводится
К = В Г»
дх
Отсюда EK=const' в точкех пространстве, до которых возму-
щение еще не дошло, Е -О . Поэтому const-01 т.е. для плоской
волны Ех^О во всем простренстве и в любые моменты времени.От-
личными от нуля могут быть только компоненты Еу и Ех , Это и
значит, что относительно векторе Е плоские электромагнитные
волны поперечны. Таким же путем из уравнения dicr^B =О заклю-
чаем, что они поперечны и относительно векторе В . Теким об-
разом, поперечность световых волн, удовлетворительного объясне-
ния которой не могли деть механические теории эфира, для элект-
ромагнитной теории свете не составляет проблемы, е содержится
уже в ее исходных уревнениях.
Впрочем, теория допускеет существование и продольных волн.
Уравнению можно удовлетворить при ЕХ^О t если £ =О ,
Тогда получится чисто продольное электромагнитное возмущение.
Долгое время не земечалй возможности теких возмущений. Между
тем они реализуются в ионизованных газах - плазме или ионосфе-
ре - и существенно определяют их поведение. Диэлектрическая
проницаемость £ , как мы увидим, зависит от частоты ш . В
плазме она может обращаться в нуль при определенной частоте,на-
зываемой плазменной. Продольные возмущения (или колебания) мо-
гут возбуждаться в плазме при частоте, ревной плазменной часто-
те. Такие колебания в физике плазмы играют очень важную роль.
8. Какова бы ни была природа световых волн, из самых общих
волновых представлений следует, что показатель преломления ра-
вен отношению скорости света в вакууме к скорости света в рас-
сматриваемой среде. Это приводит к следующему выражению для по-
казателя преломления
- 17 -
Непоглощающие среды
Л = •
практически немагнитны =
TL =\Г& . '
ci.ib;
Для них
ил?:
Таким образом, электромагнитная теория света позволяет тео
ратичаски вычислить показатель преломления. В какой степени зти
вычисления согласуются с опытом, показывает таблица I (показа-
тели преломления относятся к желтой линии натрия).
Таблице I.
Вещество п
Воздух 1,000292 1,000302
Азот 1,000299 1,000307
Кислород 1,000270 1,000273
Водород 1,000139 1,000139
Углекислота 1,000499 1,000485
Гелий 1,000035 1,000037
Окись углерода 1,000335 1,000346
Аммиак 1,000385 1,000385
Закись азота 1,000507 1,000547
Толуол 1,499 1,549
Четыреххлористый углерод 1,461 1,523
Бензол 1,501 1,511
Сероуглерод 1,629 1,626
Парафин 1,422 1,405
Вода 1,33 9,00
Метиловый опирт 1,34 5,7
Этиловый спирт 1,36 5,1
Для газов, приведенных в таблица, закон Максвелла (I.I9) нахо-
дится в хорошем согласии с опытом. Некоторое согласие наблюдает
ся для жидких углеводородов. Для воды и спиртов, напротив, тео-
рия резко расходится с опытом. Помимо этих частных отступлений
следует подчеркнуть также общую и фундаментальную трудность,
отмеченную самим Максвеллом. В теории Максвелла величина S за-
- 18 -
виоит только от рода вещества и его состояния, но не зависит от
длины волны. Между тем показатель преломления п меняется с из-
биением длины волны (дисперсия света). Таким образом, соотноше-
ние Максвелла (I.I9) находится в противоречии с опытом. По свое-
иу характеру это противоречие нестолько существенно, что оно
неизбежно привело бы к крушению электромагнитной теории света,
если бы его не удалось устранить, не затрагивая самой идеи
электромагнитной теории. В дайствитальности причина противоре-
чия лежит не в электромагнитной природа света, а в ограничен-
ной применимости материальных уравнений (1.5). Эти уравнения
справедливы только для постоянных и достаточно медленно меняю-
щихся полей. Они, как правило, не действительны для быстро ме-
няющихся полей в видимой ш примыкающей к ней областях спектра.
Необходимо поэтому обобщить материальные уравнения (1.5). Для
этого необходимо ввасти понятна монохроматического поля и по-
знакомиться с представлением аго в комплексной форма.
Задачи
I. Показать, что общим ранением уравнения
дг? / дгР л
дх* If*- dt* (1*20) -
является
P-F^irtj+F^x-rt) t (1ад
ГД8 Pf и - произвольнме функции.
РЕШЕНИЕ. Парепииам уравнение (1.20) в виде:
/А. <.1. 8_
\дх v dt jl gx at IjP = 0 .
Введем новые пераманныа '
te = x+vt f ? = x-irt.
Легко показать, что для произвольной функции
1 ду _ df
дх (г dt * Як >
= ? 3<?
Эх if dt г
- 19 -
Таким образом, п по
О + _LJLx л
дх v dt ’
дх v dt
Следовательно, в переменных £ и £ уравнение (1.20) принима-
ет вид
. dkdf =° ’
откуда , где Л - произвольные функ -
ции.
2. Найти сферически симметричное решение’волнового уравне-
ния А т 1 д*У
<К22)
дачи
расстояния г’
В этом случае
РЕШЕНИЕ. Перейдем к сферическим координатам. По смыслу за-
функция <t‘ может зависеть, помимо времени t , только от
~ от некторой неподвижной точки ( начала координат
uz at*
(1.23)
Введем новую функцию = . Тогда
d2F 1 dzF п
dzz v* at* °-
Общее решение этого уравнения:
F =/, ,
где v‘ произвольные функции (см. предыдущую задачу).
Окончательно
///_ fr(n-rt) t ^(г-irt) (!,24)
'г г
Если « то получаетсн сферическая волна, распростра-
няющаяся из центра: если же ft=O , ю возникает также сферичес-
кая волна, но сходящаяся к центру. Каждая из волн, как видно из
- 20 -
(1.24), распространяется со скоростью 1г ,
3.Показать, что в однородное изотропное среде вентеря
Е'=^ ’ a-s)
тдовлетворяют уравнениям
rtF—l-g, (1.ге)
сбит £' = divH ~ О,
которые по своему виду совпадают с уравнениями поля в вакууме и
отличаются от них только тан, что вместо постоянной с в них
входит постоянная
V£/i
- 21 -
i г. МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ И КОМПЛЕКСНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ.
I. Поле называется монохроматический, если оно в каждой точ
ке пространства совершает гармонические колебания во времени о
одной и той ке частотой. Раосмотрим сначала скалярное монохрома-
тическое поле. Омо характеризуется некоторой окалярной величиной
, которая монет быть представлена в виде
% (г)сы[(Л + (?)] , (2.1)
где %(z) м‘ cTfeJ - вещественные функции координат. Первая
из них называется амплитудой, вторая - начальной фазой поля. Вы-
ражение cut + о (г) называется фазой монохроматического поля,
й/ - его циклической частотой. Ради краткости прилагательное
"циклическая" мы обычно будем опускать, если зто не может повес-
ти к недоразумениям. Пока речь идет о кинематической стороне воп-
роса, физический смысл Y не имеет значения. Это может быть,
например, давление или плотность в звуковой волне, температура
среды, электрический потенциал и пр.
2. Очень удобной является комплексная форма монохроматичес-
кого поля. Из формулы Эйлера е£<*= cotat-itirrtL следует, что ве-
личина (2.1) является вещественной частью комплексного выражения
т.е. , где означает операцию взнтия вещест -
венной часты от . Условились знак Хе опускать и писать
просто Ч'-'Р . Смысл этого символического равенства в том, что
V является вецественной частью комплексного выражения у7 .
Оперируя с комплексными выражениями, следует помнить, что нас
в конце концов интересуют их вещественные части. Только они име-
ют физический смысл и являются представителями настоящих физиче-
ских величин. Мнимые части вводятся линь для удобства расчетов
и более краткой записи промежуточных и окончательных результатов.
Амплитуду у>в (g) и начальную фазу можно объединит
в одно комплексное число называемое
- 22 -
комплексной амплитудой поля. Тогда
Л(г)е^.
(2.2)
Таким образом, если амплитуда поля комплексна, то физически это
означает, что начальная фаза колебания отлична от нуля.
Можно формально ввести и комплексную частоту. Полагая
(,) *= (t)' - ib)" , где О)' и й)" - величины вещественные,
запишем формулу (2.2) в виде
или в вещественной форме
Я(г)е^^'£,
причем для краткости мы ограничились случаем вещеотвенной вели-
чины Л(ъ) . Отсюда видно, что при комплексной 6J выраже-
ние (2.2) представляет синусоидальное колебание с частотой И)' ,
амплитуда которого экспоненциально возрастает.
или убывает во времени.
Всякое комплексное число можно изобразить точкой или векто-
ром на плоскости. Применим этот способ к выражению (2.2). Пусть
вектор ОМ (рис.4) изображает V в момент времени i.
Длина этого вектора ОЛС*t j,e. постоянна во времени.
Это значит, что точка JU. должна все время находиться на окруж-
ности радиуоа |_£| с центром в начале координат О . Аргу -
мент числа , т.е. угол JU.OX равен . Отсюда
следует, что точка Л1 должна равномерно вращаться по окружно-
сти с постоянной угловой скоростью Ь) . Вещественная часть f
есть проекция О 9 вектора OJU на ось Л . Поэтому самое
колебание изобразится движением точки Ф по диаметру ВС .
Мы пришли к геометрмчеокой интерпретации гармонического колеба-
тельного движения, применяемой в элементарной физике.
Если величина й) комплексна, т.е. амплитуда колебания
экспоненциально затухает или нарастает во времени, то вместо
- 23 -
окружноети надо внять надлежащую логарифмическую спираль.
Колебание изобразится проекцией на одну из координатных осей
точки, вращающейся по спирали с постоянной угловой скоростью
вокруг начала ксордииат ( рис.5).
Рис.5. ,
3. Векторное поле Е называется монохроматическим, если
каждая ив его проекций на координатные оси может быть представле-
на в виде (2.1) с одной и той же частотой 4) . Комплексной
формой такого поля является выражение
где ЕоС*-) - комплексный вектор, называемый комплексной век-
торной амплитудой поля. Для его проекций в самом общем улучав ~
можно написать Eoj = причем Aj/zJ utyfe)
вещественны. Таким образом в комплексной форме
в в вещественной
Ej = +$&]•
Это и показывает, что любое, векторное монохроматическое поле мо-
жет быть представлено в комплексной форме (2.3). Когда все началь-
ные фазы Oj не зависят от координат, предыдущие выражения
представлящ стоячую волну. Это будет в частности тогда, когда
вектор вещественный. Дли того чтобы волна (2.3) была
бегущей, необходимо ( но недостаточно), чтобы амплитуда Ео (?)
была комплексной.
Для получения вещественной векторной,формы полагаем
Еа(?Е . где Л, и Лг - вещественные векторы.
Тогда, отделяя в выражении (2.3) вещественную часть от мнимсй,
получим
Е = Л, (^)coi wti-Az (z)sin b)i.
Может случиться, что векторы (?) везде или в
некоторых точках коллинеарны. В таких точках поле Е будет *
все время параллельно или антипараллельнс, этим вектсраи, т.е.
поляризовано линейно. Если же Л) и Лг не коллинеарны, то,
как видао из формулы (2.4), вектор £ в любой момент времени
лежит в плоскости векторов J., (?) и Л)(z) . Следовательно,
конец вектора Е списывает плоскую кривую. Чтобы найти ферму
зтей кривой, примем плоскость (Л^ Л) за координатную плос -
кссть ХУ .За оси X к У выберем две произвольные взаимно
перпендикулярные ппнмые, лежащие в рассматриваемой плоскости.
Тогда межно написать
Ех =ЛЛ(г)со1й)1-
Eg = Лд СОЗ [Wt +S~Е*)] j (2-5)
' =0.
- 25 -
Начальную фазу в выражении для ALe мы приняли равной нулю,
так как этого всегда моино достигнуть надлежащим выбором начала
отсчета времени. Исключая из (2.5) время t , получим
4 -г 7^- «"** * -4 -
Лх Л-хЛу Лд
Так как Е не может обращаться в бесконечность, то уравне -
ние (2.6) представляет эллипс. Конец электрического вектора Е
в любой точке пространства движется по эллипсу. Таким образом,
монохроматическое векторное поле всегда поляризовано и притом в
общем случае эллиптически. Форма эллипса и его расположение в
пространстве могут изменяться при пареходе от одной точки прост-
ранства к другой. Эллиптическая поляризация может вырождаться в
линейную или круговую поляризацию.
Фаза колебания определена не однозначно, а с точностью до
слагаемого, являющегося целым кратным от. 2.JE . Поэтому всегда
можно подобрать начальную фазу так, чтобы она была заключена меж
ду-#” и Если зто сделано, то колебание с большей фазой
называется опережающим по отношению к колебанию с меньшей фазой.
Колебание же с меньшей фазой называется запаздывающим по отноше-
нию к колебанию с большей фазой.
Для лучшего уяснения смысла понятия опережения и запаздыва-
ния по фазе изобразим синусоидами I и П два гармонических колеба-
тельных процесса, откладывая по оси абсцисс время, а по оси орди-
нат - значения колеблющихся величин (рис.6). Возьмем какие-либо
Рис.6.
- 26 -
соседние вершины этих синусоид Л и В , сдвинутые по време-
ни относительно друг друга на величину, меньшую полупериода ко -
лебаний . Если точка -3 окажется впереди точки Л , то
колебание ][ будет запаздывающим, а колебание I - опережаю-
щим по фазе. Наоборот, если точка_^ окажется впереди точки & ,
то опережающим будет колебание JL , а запаздывающим - колеба-
ние I . Неопределенность получается только в случае, когда
точки Л и 3 сдвинуты по времени точно на половину периода ко-
лебаний .В этом особом случае разделение колебаний на
опережающие и запаздывающие станонитоя неоднозначным: любое из
двух колебаний X или й_ может рассматриваться и как опережаю-
щее, и как запаздывающее.
Движение по эллипсу (2.6) есть результат сложею!я двух гар-
монических колебаний, совершающихся вдоль взаимно перпендикуляр-
ных осей. Это движение направлено от положительного конца оси
опережающего колебания к положительному концу оси запаздывающего
колебания (рис.7). Действительно, еоли точка движется по эллипсу:
«= /xco4b)t; у=ЛуСоз г
С
У
О < $ <
Рис.7.
27 -
то компоненты ее скорости равны соответственно
X. = - a) dtx. iinut • у = -/у 'A' .
При £ = О
х - у =~ ш •£ysin
Таким образом,нри t - О точка находится на прямо* x.*£ac. .
Если , то т.е. точка движется вверх и, следо-
вательно, будет описывать эллипс в направлении, противоположной
движению часовом стрелки. Если же 9<i~<jT, то у ^оч-
ка движется влиэ, описывая эллипс в направлении движении часовой
стрелки. В обоих случаях точка движется от ноложмтельного жонца
оси опережаюжего колебания к положительному концу оси запаздываю-
щего колебания.
4. Над комплексными полями иожно проиэвожть лвбые веществе!
ные или чисто мнимые линейные операции как если бы эти поля были
вещественными.
Операция называется вещественной, если в результате действия
ее на вещественную величину получается снова величина веществен-
ная. Операция называется чисто мнимой, если результатом действия
ее на вещественную величину является велипиа чисто мнимаи. Нако-
нец, операция % называется линейной, еслм она удовлетворяет
условию
% (ах
где х и у - какие угодно величины, а а. и & - капе угодно
постоянные.
Примерами линейных вещественных операций могут служить сло-
жение двух величии, умножение величины на иостоянное вещественное
число, дифференцирование или интегрирование ио вещественной пере-
менной 9 пр.
28
Если над комплексным полем Е ^"Ё, +iEt выполняется вещест-
эенная линейная операция оС , то на основании линейности этой
)Перации можно написать
ас (F)-z (£*£.) •
Мы видам» что вещественная часть результата СЁ,) полу -
Мается такая хе, как и при непосредственном действии оператора
на вещественное поле Et . Поэтому безразлично, подействуем ли
мы оператором et сначала на комплексное поле, а затем в резуль-
тате выделии вещественную часть, или хе сначала выделим из комп-
лексного поля вещественную часть, а затем подействуем на нее
эператором
Целесообразность комплексной формы записи свнэана с просто-
той дифференцирования и интегрирования показательной функции.При
интегрировании и дифференцировании показательная функция е,л>£
сама себя воспроизводит. Дифференцирование по t сводится к
умножению этой функции на постоянный множитель , интегриро-
вание - к делению на такой же множитель. Тригонометрические функ-
ции этии свойством не обладают - синус переходит в косинус, коси-
нус переходит в синус.
В уравнениях Максвелла (1.2) и материальных уравнениях (1.3)
над полями выполняются только линейные операции: сложение, умно-
жение на вещественную постоянную и дифференцирование по вещест -
венной переиенной. Если поле монохроматическое, то на основании
изложенного можно все величины, входящие в эти уравнения, заме -
нить комплексными выражениями типа (2.3). Замечая, что операция
дифференцирования таких выражений сводится к умножению на
<й/ (~* — it)) , можно записать уравнения (1.2) и (1.3) для
непоглощающих немагнитных сред в следующем виде
Так как дивергенция всякого ротора равна нулю, то отсюда
- 29 -
следует, что diif £ Ej = div S =0 . Сравнивая это с уравнением
div , убеждаемся, что J>=o . Следовательно, если
электромагнитное поле в непоглощающей среде монохроматическое,то
в ней не может быть свободных электрических зарядов.
5. Если требуется выполнять над полями нелинейные операции,
например возводить их в квадрат, то вещественная часть результа-
та действия оператора на комплексное поле будет зависеть яе толь-
ко от вещественной части этого поля, но, вообще говоря, и от мни-
мой. Поэтому при выполнении нелинейных операций надо с самого
начала перейти от комплексной формы поля к вещественной.
Нелинейные операции встречаются, например, при вычислении
плотности или потока энергии в электромагнитном поле. Обе эти ве-
личины квадратично зависят от напряженностей полей. При их вычис-
лении надо пользоваться вещественной формой полей. .Полагая
£-£,+1^ ,
(2.9)
где , £г , - вещественные векторы, можем напи -
сать для плотности электромагнитной энергии
(2.10)
Плотность потока электромагнитной энергии дается вектором Пойнтии-
га
%] •
Разумеется, эти величины можно выразить и непосредственно
через комплексные поля. Действительно,
где Z-* - вектор, комплексно сопряженный с
зон
. Таким обра-
30 -
и аналогично для магнитного поля. Подставляя эти величины в
(2.1°) и (2«П), получим для W и выражения, которые
лишь по виду являются комплексными.
Вследствие крайней малости периода световых колебаний Т ,
во всех опытах определяется не истинная плотность электромагнит-
ной энергии и ее потока, а их значения, усредненные по промежут-
кам времени, весьма большим по сравнению с Т . Для периодиче-
ских полей эти средние значения, очевидно, совпадают с величина-
ми, усредненными за период Т . Нетрудно показать, что ЁГг=Г* .
(Черта означает усреднение по времени). Действительно, например
Г = fedt - =
® О '
Таким образом, для средних величин получаем
^-^{[Ён'Мс'Я]}-
Заметим, что формула (2.12) справедлива только для недисперги-
руюцих сред и не имеет места в случае диспергирующих сред ( см.
§ ?).
ЗАДАЧА
Монохроматическое поле дается выражением (2.3). Найти длины
большой и малой осей эллипса колебаний, а также коэффициент эллип-
тичности, т.е. отношение длины малой оси к длине большой оси это-
го эллипса.
- 31 -
РЕШЕНИЕ. Представим поле (2.3) в вещественной форме:
Е -Л COSCdt +E>Sln.wt t (2.14)
или, вводя обозначения £=со<!&)£ ,
Ех =Л-Л +BX£ ,
Еу = Лу^. + , (2.15)
Е^ ~ Л^ £ + Вг% »
причем £ и % связаны соотношением
fe* * %* =1 • (2.16)
Если Сх , Су , Сг рассматривать как координаты точки в
пространстве, то уравнения (2.15) и (2.16) представят кривую, за-
данную в параметрической форме. Эта кривая, как было показано,
есть зллипс. Найдем длины и направления его главных осей. Послед-
ние^ определятся как такие направления, для которых длина вектора
£ экстремальна. Возведя выражение (2.14) в квадрат, получим
Е*=Л% +В>?+2ЛВ>ьу .
(2.17)
Задача свелась к нахождению экстремума этого выражения при до -
полнительном условии (2.16). Применяя известный метод Лагранжа,
найдем _
(Л‘-^*(1к)4-о .
(лЪ)1 *(£‘-1)4-0 •
Для того чтобы это уравнение имело решение ( тривиальное решение
•’О невозможно, так как ), необходимо и доста-
точно, чтобы параметр Л удовлетворял уравнению
- 32 -
I а; 6^)1 =
| (is) в2-; I
(2.19)
Д2 - (Л2 +В*)А + лгвг -(^s)z =of
откуда
Л -1Ь‘*В‘± Vc^-S1)1^ (J’s)2J
Оба корня уравнения (2.19) Л, и Лг вещественны и положи -
тельны. Каждому корню соответствуют определенные значения Д И?
которые можно найти из уравнений (2.18) и (2.16). Для установле-
ния физического смысла параметра Л умножим первое уравнение
(2.17) на £ , второе на £ и сложим. Получим
/2£2+B2fW^A^= Л (>2* ?2) = Л ,
или на основании (2.17) Л = £ . Отсюда заключаем, что Л, и
jl2 суть квадраты экстремальных длин вектора Е , т.е.
квадраты главных осей эллипса колебаний. Для длин большой и малой
осей эллипса получаем
а2 = Л, =Vf ,
= лг * (2*20)
Остается выразить эти величины через комплексный вектор .
Запишем уравнение (2.19) в виде
(2.21)
- 33 - .
откуда . _
Уравнение (2.21) принимает вид
7 Д
Z 3 -
Его корни At = О- , лг - ;
<2-»>
Коэффициент эллиптичности:
Если ЕО=А^^ , причем Л и f - вещественны, то
т.е. поляризация линейна. В частности, она линейна, когда сам
вектор Ео вещественен.
- 34 -
§ 3. ПЛОСКИЕ МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В НЕПОГЛОЩАЮЩЕЙ
СРЕДЕ.
I. Плоская монохроматическая волна, распространяющаяся в
положительном направлении оси X , имеет вид
,— /— i W ft ~ 7г)
Е=ЕО^ 'у (зл)
где Ео ~ постоянный, вообще говоря, комплексный вектор . Он
называется комплексной векторной амплитудой. Такой же вид имеет
выражение и для вектора 5 в плоской волне.
Величина to(t~ ) называется фазой волны, а поверхность
равных фаз - фронтом волны. Уравнение фронта
4/ (t - £) = COT>ii (3.2)
показывает, что в рассматриваемом случае фронт волны есть плос -
кость , перпендикулярная к оси X . Фронт волны перемещается
в положительном направлении оси X со скоростью
Скорость V характеризует, таким образом, перемещение плоскос-
тей равных фаз. Она называется фазовой скоростью волны.
При фиксированном х (3.1) есть периодическая функция вре-
мени с временным периодом:
(3.3)
Время 7~ называется периодом колебаний. При фиксированном Z
(3.1) есть периодическая функция х с пространственным перио-
дом:
Л = v > (зл)
который называется длиной волны. «
Если ввести волновое число
L _ ш _ 237
К ’
(3.5)
- 35 -
то (3.1) запишется в виде
F =F ei(u€ - (з.б)
*- *~о
Запишем уравнение плоской монохроматической волны в векторной
форме. Пусть Д' - единичный вектор нормали к фронту волны,
проведенный в направлении ее распространения, т.е. в положитель-
ном направлении оси X . Тогда . Введем кроме того
волновой вектор
А = А// =-^.—л/ . (j.?)
В результате получим:
. <3,8)
Хотя_£ти выражения и получены в предположении, что волновой
вектор к -Вещественный, они сохраняют смысл и при комплекс -
ном векторе к . Волны, волновой вектор которых комплексный
или чисто мнимый, называются неоднородными. Если же волновой век-
тор вещественный, то волна называется однородной.
Подставляя (3.8) в (2.8), находим:
Отсюда
(TZ) - =о. <!-ВД
Умножим первое уравнение (3.9) векторно на /F” . Принимав
во внимание (3.10), получим:
36 -
Сравнение этого результата со вторым уравнением дает:
(з.п)
Все эти соотношения справедливы как для однородных, так и длн
неоднородных волн.
2. Рассмотрим теперь подробнее однородные волны. В этом слу-
чае волновой вектор к вещественный и определяется ферму -
лой (3.7). Сравнение ее с (З.П) дает
(3.12)
- результат, уже полученный в § I иным путем. Далее, из (3.9)
находим: __ — т**-*-,
VeE - .
5 = [^^1 • (з.1з)
Эти формулы в немагнитных средах совпадают с формулами (I.Ilj и
(I.I2).
Так как соотношения (3.13) линейны, а их коэффициенты веще-
ственны, то они справедливы также и длн вещественных полей. Они
показывают, что в плоской однородной волне векторы Е и В
колеблются в одинаковых фазах. Далее, мы видим, что плоские од-
нородные волны поперечны, а векторы и В взаимно перпен-
дикулярны (рис.З). Вектор Пойнтинга параллелен
направлению распространении фронта волны. Наконец, из (3.13) по-
лучаем:
9 2.
е.Е =В • <3-14>
'ели среда недиспергирующая, то зто соотношение означает, что
в плоской однородной волне электрическая энергия равна магнитной.
Полная энергия в плоской бегущей электромагнитной волне,
эаспространнющейся в недиспергирующей среде, распределяется по-
ровну между электрической и магнитной не только в том случае,
- 37 -
когда волна монохроматическая, но и в случае волны произвольного
вида. Это непосредственно следует из формул (I.II) и (I.I2).
b этом можно убедиться также, рассмотрев как образуются бегущие
волны, распространяющиеся в противоположные стороны, из началь -
ного возмущения, энергия которого либо полностью электрическая ,
либо полностью магнитная. Ради определенности предположим, что
энергия первоначального возмущения полностью электрическая. Кро-
ме того допустим, что форма первоначального возмущения симметрич
на относительно средней плоскости, перпендикулярной к направле-
нию распространения. Очевидно полная энергия первоначального
возмущения распределится поровну между образовавшимися из него
волнами, распространяющимися в противоположных направлениях.
Кроме того в каждой бегущей волне напряженность электрического
поля в начальный момент времени равна половине напряженности
электрического поля первоначального возмущения в той же точке
пространства. А так как энергия пропорциональна квадрату поля,то
электрическая энергия в каждой бегущей волне составляет одну чет
верть энергии первоначального возмущения. Оставшаяся четверть
приходится на долю магнитной энергии. Таким образом, в каждой из
бегущих волн электрическая и магнитная энергии равны. Недостаток
этого рассуждения в том, что приходится вводить предположение о
симметрии первоначального возмущения, тогда как справедливость
окончательного результата не связана с этим предположением.
Если фиксировать в пространстве какую-либо неподвижную плос
кость, перпендикулярную к направлению распространения волны, то
конец вектора Е (а также вектора 3 ) будет описывать эл-
липс. Ориентировка и форма эллипса будут одни и те же во всех
точках пространства. Эллиптическая поляризация называется правой
когда вектор Е (а значит и вектор •? ) описывает эллипс
по часовой стрелке, если смотреть против направления распростра-
нения света. В противном случае аллиптическая поляризация назы -
вается левой.
В частном случае эллипс иожет вырождаться в круг. Тогда го-
ворят о круговой поляризации.
Наконец эллиптическое колебание может вырождаться в пряио -
линейное. Тогда волну называют линейно или плоско поляризованной
- 38 -
По историческим причинам плоскость, в которой лежат векторы S
и /7 > называется плоскостью поляризации. Перпендикулярную к
ней плоскость, в которой лежат векторы и , иногда назы-
вают плоскостью колебаний.
3. Обратимся теперь к рассмотрению неоднородных волн в не-
поглощающих средах. Положим
к = к '-ik " , (3.15)
где ' и к" - веществанные векторы. Тогда (3.8) переходит
в
С = С -?'*)
t- сое е . (зле)
Это выражение^можно рассматривать как волну, амплитуда которой
равна Еое ъ . Она экспоненциально убывает в направлении •
вектора “ . Поверхности равных амплитуд суть плоскости, пер-
пендикулярные к вектору к" . Поверхности. равных фаз также
плоскости, но перпендикулярные к вектору к' . В непоглоща^щей
изотропной среде плоскости равных амплитуд и равных фаз взаимно
перпендикулярны. Для доказательства подставим выражение (3.15) в
формулу (3.II) . Отделяя вещественную часть от мнимой, найдем:
(3.1?)
(к '!<“) -о .
Из второго соотношения видно, что векторы к а к , а
следовательно и плоскости равных амплитуд и фаз, взаимно перпен-
дикулярны (рис.8). Для поглощающих сред это утверждение, вообще
говоря, не справедливо. м а)г а) с
Из первого! соотношения следует к & • откуда ^7
Это значит, что фазовая скорость неоднородных волн в непог.лощаю-
щей среде меныиа фааовой скорости однородных волн.
Чтобы получить более отчетливое представление о неоднород-
ной волне, запишем ее в вещественной форме. Направим ось Л
- 39 -
Плоскость равных амплитуд
I
7*“ п
Рис.8.
? - вдоль вектора к" . Кроме
и аналогично для /ъу и £Ог •
вдоль вектора к' , а^ось
того положим £>х”Х<еХ ’
да неоднородную волну (3.17) в вещественной форме можно предста-
вить так: л" _
С — /I ~~к Е .j. Z С .л 1
Плоскости равных фаз распространяются в направлении оси X
со скоростью . Амплитуда убывает в направлении оси
Z .
Когда Z _ с“с> , амплитуда неоднородной волны возраста
ет неограниченно. Это показывает,- что плоские неоднородные волнь
в неограниченной среде существовать не могут. Они могут при
опредйленн“х условиях возникать вблизи границы среды. Так напри-
мер» такие БОЛНЫ возникают в оптически менее плотной среде при
полном внутреннем отражении света ( см.главу П). Оказывается,что
поле неоднородной волны заметно лишь в пограничном слое, толщина
которого порядка длины волны. Но этой причине неоднородные волны
называют также поверхностными волнами.
ЗАДАЧА
Оценить напряженность поля солнечного излучения вблизи зем -
ной поверхности, если величина солнечной постоянной составляет
около 2 кал. см-^ мин.-! _ it39,iQ^3pr>CM-2ceK._I Солнечной
постоянной называется количество энергий, попадающей от солнца
( при его среднем удалении от земли) за единицу времени на еди-
ницу площади земной поверхности, перпендикулярной к излучению,
при отсутствии абсорбции в атмосфере).
РЕШЕНИЕ. Волну, излучаемую Солнцем, у земной поверхности
можно считать плоской. В такой волне Е = Н , поскольку для
вакуума & -1 . Плотность потока энергии -^~ЕН •
Приравнивая среднее значение этой величины значению солнечной
постоянной,, получим Ег - I.39.I06 , откуда
Е* = 5,85.10“* ,
= 0,024 СУЗ'*? =7,2 вольт/см.
- 41 -
§ 4. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ.
I. Материальные уравнения (1.5) справедливы только для пос-
тоянных и медленно меняющихся полей. Устанавливаемая ими связь
между векторами электромагнитного поля является локальной. Нап-
ример, вектор 56 в любой точке ^пространстве и .в любой момент
времени определяется вектором Е в той же точке и в тот же
момент времени. То же относится к вектору поляризации Р , свя-
занному с Е и SB соотношением (1.3). Однако заранее ясно,
что в общем случае материальные уравнения не могут быть локальны-1
ми. Рассмотрим, например, зависимость поляризации от времени.
Ввиду конечности масс электронов и атомных ядер для смеще-
ния этих частиц из положений равновесия требуется конечное время
После включения внешнего электрического ноля поляризация среды
устанавливается не сразу. Она не сразу исчезает и после снятия
внешнего поля. Если в некоторый момент времени включено электри-
ческое поле Ео cos wt , то вектор поляризации начнет совер
шать гармонические колебания с частотой о) и постоянной амплы
тудой не сразу, а по истечении конечного времени, называемого
временем установления колебаний. Это показывает, что уравнение
Я — £,Е не учитывает инерционные и релаксационные свойств
ва вещества и может быть приближенно справедливо только тогда,
когда время установления весьма мало по сравнению с периодом КО'
лебаний электрического поля. Далее, ввиду конечности скорости
распространения электромагнитных возмущений, поляризация среды в
каждой точке пространства должна зависеть от электрического поля
не только в той же, но и в окружающих точках пространства.
2. Чтобы в материальных уравнениях учесть инерцию электро-
нов и атомных ядер, а также релаксационные,процессы в ней, не
вводя при этом специальных предположений относительно структуры
среды, мы будем исходить и.э принципа суперпозиции смещений и
скоростей электронов и ионов в электромагнитных полях.
Согласно принципу суперпозиции, смещения электронов и атом-
ных ядер среды под действием нескольких электромагнитных полей
равны сумме смещений, которые вызвало бы каждое из этих полей в
отдельности, если бы остальных полей не было. Такой принцип
- 42 -
моЖет иить справедлив только тогда, когда напряженность внешнего
электрического поля весьма мала по сравнению с внутренними элект-
рическими полями, действующими в атомах и молекулах вещества.
ддЯ тех полей, с которыми до недавнего времени имела дело оптика,
это условие хорошо выполняется. Например, напряженность электри-
ческого поля солнечного излучения вблизи земной поверхности по -
редка I0-2 ед. СУЗ <£ ( см.задачу к предыдущему параграфу),
тогда как напряженность электрического поля, действующего на
электрон в атоме водорода, порядка 10б ед. С УЛ <5 , т.е.приб- .
лизительно в 10® раз больше. Положение изменилось только в пос -
ледние года в связи с изобретением оптических квантовых генерато-
ров (лазеров). Они позволяют получать мощные световые пучки, в
которых напряженность электрического поля уже не пренебрежимо ма-
ла по сравнению с внутренними полями атомов и молекул. Нарушение
принципа суперпозиции проявляется в нелинейности уравнений, опи-
сывающих процессы распространения света в таких пучках. Соответ-
ствующие нелинейные явления изучаются в Недавно возникшем, быст-
ро развивающемся разделе оптики, который называется нелинейной
оптикой. Чтобы составить некоторое представление о характере! не-
линейных оптических явлений, приведем пример одного из них.
Пусть в веществе ( например, кристалле кварца) распространяются
два мощных монохроматических пучка света различных частот и
, накладывающиеся друг на друга. Тогда наблюдается измене-
ние спектрального состава света: наряду с первоначальными часто-
тами (л), и появляется излучение с частотами и
Ы, . Нелинейные оптические явления в наших лекциях рас-
сматриваться не будут. Поэтому во всем дальнейшем мы будем без
оговорок предполагать, что принцип суперпозиции выполняется.
Из принципа суперпозиции вытекает следующее утверждение.
Вектор поляризации среды, вызванный действием нескольких электро-
магнитных полей, равен сумме векторов поляризации, которые выз -
вале бы каждое из этих полей в отдельности, если бы остальных
полей не было вовсе.
3. Сформулируем теперь принцип суперпозиции математически.
При этом сначала мы пренебрежем пространственными изменениями
электромагнитного поля. Будем рассуждать так, как если бы во
всем пространстве поле было однородно и менялось только во
- 43 -
времени. Пренебрежем также, как это принято в оптике, действие^
магнитного поля волны по сравнению с 'действием электрического
поля. Рассмотрим сначала такие бездействия на среду, которые нц
сят импульсный характер. Пусть в момент времени О в течение
бесконечно короткого промежутка времени dt среда подверглаа
воздействию электрического поля напряженности Е , а по истд
чении этого промежутка поле в среде снова обратилось в нуль.
Такое воздействие может рассматриваться как электрический толчд
возбуждающий в среде регулярные колебания электронов и атомных
ядер. В силу принципа суперпозиции поляризация среды, вызванная
таким толчком, должна быть пропорциональна felt . Предпо
лагая, что среда однородна и изотропна, можем написать для век!
ра поляризации в момент времени t.
, c.n
где функция / (t) зависит только от свойств среды и от вре'
ни t. , которое прошло с момента действия,, толчка до момента
наблюдения. Назовем эту функцию функцией влияния. Она конечна
вещественна для всех значений аргумента £ . Функция JCi)
должна обращаться в'нуль при t -О , так как ввиду конечное"
масс электронов и ядер эти частицы не могут мгновенно получить
конечные смещения. Поэтому dP(o) = o
, каково бы ни был
Е (о) dt , откуда и следует, что т-о . Функция f (t)\
должна обращаться в нуль также и при £=*<х>, так как все пеа.
ные среды являются поглощающими, и всякое свободное колебание
электронов и ядер среды должно затухать,. Поэтому поляризация
диэлектрика, возникшая в результате действия электрического по
ля, после выключения этого поля должна- в конце концов исчезнут
ьсли поле действует в течение длительного промежутк
времени, то этот промежуток можно разбить на бесконечно малые
промежутки и, пользуясь принципом суперпозиции, свести полное
воздействие поля на среду к действию последовательных толчков
Вклад в поляризацию среды.в момент времени £ , внесенный
электрическим толчком E(i'W , действовавшим в- предшеся
вовавший промежуток времени от t' до t'+dt'в согласии а
I -
- 44 -
выражением (Ь.I) и принципом суперпозиции будет
отсюда
или, вводя новую переменную интеграции 17 = £-£Z F
• (4.3)
о . •
В формуле (4.2) для получения полной поляризации Pfa) в
момент времени t мы интегрируем по времени, предшествующе-
му рассматриваемому моменту. Этого требует принцип причинности.
В своей нерелятивистской форме он означает, что каждое событие
определяется только прошедшими событиями, но не может зависеть
от будущих.
Вектор индукции в соответствии с формулой (1.3) будет
= (4.4)
О
Этим уравнением и следует заменить более простое материальное
уравнение Я = 6- , которым мы пользовались в § I. Добавив
его к уравнениям (I.I) или (1.2), мы получим полную систему урав-
нений поля в немагнитных диэлектриках. В этой системе свойства
среды характеризуются уже не какой-то определенной постоянной, а
функцией времени f Ct) . Вид функции /(*-) может быть ус -
тановлен на опыте. К ее определению, в сущности, сводится задача
теории дисперсии.
*• Материальное уравнение (4.4) принимает очень простой вид
для монохроматического электрического поля в. Подстав-
ляя зто выражение в ф'?жулу (4.4), получим
%(i) -H(U)ECt), (4.5)
- 45 -
где £ - определенная функция частоты, связанная с
соотношением
s (и) = («>
о
Она называется диэлектрической проницаемостью среды. Чтобы под
черкнуть зависимость функции & (ь>) от частоты, ее называют
такие динамической диэлектрической проницаемостью. Дизлектричес-'
кая постоянная, которой пользуются в электростатике, получается
иэ (4.6) при U) = О .
Таким образом, в случае монохроматического поля материалы -
ное уравнение принимает прежний простой вид: = с тем от
личием, что теперь £ не постоянна, а является функцией часто-1,
ты 42 .Но пока 4? остается неизменной, это обстоятельстве
не может сказаться на всех формальных выводах и результатах, ко-
торые были получены в предыдущих параграфах. В частности, долине
оставаться справедливым соотношением Максвелла
П~\[ь (4.7)
Но теперь слева и справа стоят функции частоты. Тем самым прин-
ципиально устраняется основнан трудность, которую встретила тео-
рия максвелла при объяснении дисперсии света.
для описания оптических свойств среды функции J-Qt) обычнс
не применяется. Для этой цели пользуются функцией . Оба
описания принципиально равноправны. Действительно, функция f(t)
определена и должна быть определена только для положительных зна-
чений . £ . Но ее можно задать также и для отрицательных значе -
ний tr и притом совершенно произвольно. Этот произвол не может
отразиться на физических выводах теории, поскольку в материальном
уравнении (4.4), определяющем вектор 55 (t) , интегрирование
производится только по положительным значениям аргумента jX
Если .потребовать, чтобы О ПРИ » т0 ин“
тегрирование в (4.6) можно производать от — <=*<= до + ро , и на
основании теоремы обращения Фурье-р'азложения написать
- 46 -
0К1ЛВ образом, заданием /(t) однозначно определяется
и обРагно» заданием £ С4*/ определяется f (t)
5. Определяемая выражением (4.6) .функция &(<•>) » вообще
оВоря, комплексна. Представим ее в виде £. = ,
де £' и ~ величины вещественные. Наличие мнимой части
£, (а)) физически означает, что среда обладает поглощением,
для доказательства выделим в среде произвольный объем V ,
ограниченный замкнутой поверхностью F ' . Среднее коли.чест-
во электромагнитной энергии, вступающей в объем V через эту
поверхность в единицу времени, будет
£ncLF = ZdV ,
где п ~ единичный вектор внутренней нормали к поверхности F.
Так как поле монохроматическое, то средний запас электромагнитной
и) При продолжении функции /(i) в область отрицательных /
вовсе не обязательно полагать f (ij=C при i. О . Можно
было бы, например, считать эту функцию четной:
Тогда получилось бы
Можно было бы считать ее нечетной
Вообще можно было бы продолжить ее в область отрицательных
значений по к.л. иному закону. Мы получили бы тогда
различные выражения для функции /(t) .Но эта неодноз-
начность не может отразиться на физических выводах теории,
поскольку тот или иной выбор функции f (t) не сказывается
на значениях вектора поляризации Р
- 47 -
энергии в объеме V остается неизменным. Поэтому вся
электромагнитная энергия втекающая в объем V через поверх-
ность F за период колебаний, превращается в тепло.
Среднее количество тепла, выделяющееся в единице объема среды в
единицу времени будет
Q я “ сЬ-и’ • (4.9)
Подставляя сюда выражение для среднего значения вектора Пойнтин
га из (2.13), воспользовавшись уравнениями Максвелла
а также материальным уравнением (4.5), получим
• <».ВД
Формула (4.II) и доказывает, что наличие мнимой части у функции
S (t>)) физически означает, что среда является поглощающей.
Из принципов термодинамики следует, что величина Q. должна
быть положительной. Абсолютно непоглощающих сред не существует,
всякая реальная среда должна обладать поглощением, хотя бы и
очень малым. Отсюда заключаем, что величина существен-
но положительная. Таким образом, функция Е.(ь)) не может прини -
мать вещественных значений ни при каких ( вещественных) значени-
ях аргумента и) за исключением и)=О . При Ы =0 , как зто
видно из (4.6), £ - величина вещественная, равная статической
диэлектрической проницаемости '£о
Из формулы (4.6} следует, что ~ четная, а
нечетная функции й)
= > (4.12)
(4ДЗ)
6. Распространим теперь функцию £ (ы) на всю плоскость
комплексной переменной U) = (л)'+ Lu)" .В целесообразности
- 48 -
такого обобщения мы убедимся уже в этом параграфе. Для тех зна-
чений комплексного переменного й/ , для которых интеграл в
(4.6) сходится , мы определим функцию ( выражением
(4.6)). В частности это имеет место для всей нижней полуплоскости
О)"< О . Для тех же значений , для которых интеграл
(4.6) не имеет смысла, функция £. (а)) должна быть определена
аналитическим продолжением из нижней полуплоскости.
Исследуем поведение функции &(ь)) в плоскости комплексной
переменной (J . На вещественной оси она определяется выра -
жением (4.6) и остается конечной при любом значении , в
частности при а)^о , Значит, интеграл J7a) ctt схо-
дится. Наложим, однако, на функцию ° несколько более
жесткое требование. Будем считать, что функция /Ct) не только
интегрируема, но и абсолютно интегрируема, т.е. интеграл
Jсходится. Это условие выполняется для всякой
реальной среды. Физически оно означает, что влияние всякого элек-
трического толчка, которому среда подверглась в какой-то момент
времени, в конце концов полностью исчезнет благодаря диссипатив-
ным силам, действующим в системе. Иными словами, функция f(t)
для достаточно больших значений аргумента обращается в нуль. Ес-
ли функция / (t) абсолютно интегрируема, то в силу известной
теоремы Римана
=о .
+ ОО </
О
Следовательно, как видно из выражения (4.6), при бесконечно боль-
ших вещественных значениях 6J функция £ равна единице.
Но она обращается в единицу также для всякого бесконечно боль-
шого комплексного значения , если только оно лежит в нижней
полуплоскости. В самом деле, если h) = id'+Lid" , то интеграл в
(4.6) переходит в
Tf«)e“4 е'м*<£±.
О
Когда Ct)"<-0 и й)'~±о>=>, это выражение обращается в нуль.
49
Действительно, если функция -f (i) абсолютно интегрируема,
то тем более абсолютно интегрируема функция
и к предыдущему выражению применима теорема Римана. Если же й)
остается конечной, то Id" должна стремиться к . Тогда
написанный выше интеграл по модулю будет меньше
а последнее выражение стремится к нулю при а)"—
Если мнимая часть (О" положительна и притом достаточно
велика то интеграл в (4.6) расходится. В этом случае функция £(ь))
уже не может быть выражена формулой (4.6), а должна быть опреде-
лена аналитическим продолжением из нижней полуплоскости й)"*-О
Ыы видим, что функция не имеет особых точек в нижней по-
луплоскости, но она обязательно должна иметь особые точки в верх-
ней полуплоскости. /
7. Отмеченные свойства функции £ (&) достаточны, чтобы
выразить значения этой функции в нижней полуплоскости через ее
значения на вещественной оси й)" = О .в самом деле, функция
аналитична в нижней полуплоскости и на вещественной оси, а пото-
му для решения поставленной задачи можно воспользоваться интегра-
лом Коши. Возьмем в качестве контура интегрирования вещественную
ось и замкнем ее бесконечно удаленной полуокружностью в нижней
полуплоскости (рис.9). Если применить интеграл Коши к функции
- 50 -
Vй J » , то интеграл по бесконечно удаленной полуокружно-
сти обратится в нуль, и мы получим
dx , (4.14)
1 ' 23л J х-л) ’
— оо
где йУ - любая точка, лежащая в нижней полуплоскости ь)" <0 .
Точка (J* лежит в верхней полуплоскости, т.е. вне контура, о
котором шла речь при выводе формулы (4.14). Поэтому
2Jti J х-а)* (4.15)
Прибавляя это соотношение к (4.14), а затем вычитая, получим
е “гхг ~ х-ш*]^^ > (4.1б)
—
— О"
Подставляя в первое выражение ь) = Ы'+id" , придадим ему
откуда, приравнивая вещественные и мнимые части,
,)г—,
у Я. J1- у J (х-ыч 1-Ш г
(4.19)
dx
(4.20)
- 51 -
Если воспользоваться четностью функции и нечетностью
функции £(*) » то зтим формулам можно придать вид
Функции £"(XJ существенно положительна, tt)u-^O , Поэто-
му выражение в фигурных скобках (4.22) существенно отрицательно,
если ь)'>О и существенно положительно, если сЛ'^-0 . Таким
образом, во всем промежутке интегрировании от О дс+оо под-
ицтегральная функция сохраняет знак. Отсюда следует, что £"(ьЬ)
не может в нижней полуплоскости обращатьсн в нуль при id'фо ;
О t если it)'-уо ; если й?7•‘О . Коро-
че
й)' &и ((•))> ° •
При Ь)'=О £ (aiJ~O , а поэтому в нижней полуплоскости функции
£ (**>) не может принимать вещественных значений за исключени-
ем точек мнимой полуоси 6)' = О , где ее значении вещественны.
Совершенно так же из формулы (4.17) получим
(4.24)
[£.'(*)-1] (х-и)
..,t2 .„2
(4.25)
или на основании (4.12) и (4.13)
J J [(х^л>')Чы,г][(х-ы,)1+ш''1]
dx
(4.26)
„ «л/ >.а'7аы-1](^*и"‘-^) ,
(4.27)
На мнимой полуоси OJ^iV t и формула (4.26) переходит в
dx .
(4.28)
Подинтегральная функция в (4.28) существенно положительна и мо-
нотонно убывает с возрастанием параметра Сд" . Поэтому на
мнимой полуоси нижней полуплоскости функция &&) вещественна
и положительна и монотонно убывает от £-.£>о при до£=/
при CJ= о-о . таким образом, в нижней полуплоскости функция e(u$
нигде не принимает вещественных значений за исключением мнимой
полуоси и не обращается^ нуль ни в одной точке этой полуплоско-
сти. Поэтому функция в нижней полуплоскости регулярна,
т.е. не имеет там особых точек. Точки, в которых ио -
гут лежать в верхней полуплоскости. Они являются точками ветвле-
ния многозначной функции /£(*>) . Следовательно, функция
не имеет точек ветвления в нижней полуплоскости, и каждая иг
двух ветвей этой многозначной функции может рассматриваться в
нижней полуплоскости как функция однозначная.
8. Формулы, выведенные в предыдущем пункте этого параграфа,
теряют силу, когда точка & лежит на вещественной оси, так
как в зтои случае входящие в них интегралы становятся несобствен-
ными и без дальнейшего уточнения не имеют определенных эначений.
Однако эти формулы останутся справедливыми и при вещественных а)
если соответствующие интегралы понимать в смысле их главных зна-
чений. Для доказательства достаточно применить интеграл Коми к
контуру Г , изображенному на рис.10 . При этом радиус у9
полуокружности JT , проведенной в "верхней полуплоскости,
- 53 -
должен быть настолько мал, чтобы в области ограниченного ею по-
лукруга функция £ (<л) не имела особых точек, что всегда мож-
но сделать, поскольку на вещественной оси функция & анали-
тична. Тогда вместо формулы (4.14) следует написать
где Z - комплексная переменная интегрирования на полуокружнос-
ти у При f"*~° последний интеграл перейдет в6^-//
а сумма первых двух интегралов в пределе даст величину, которая
в интегральном исчислении называется главным значением соответст-
вующего несобственного интеграла. Обозначая его обычным знаком
интеграла, но перечеркнутым, можем написать
х/аг .
(4.29)
- чд
Вместо того чтобы обходить точку (t) по полуокружности ft''
сверху, можно было бы обойти ее снизу и применить теорему Коши
к функции • Tor«a мы снова пришли бы к формуле
(4.29). Отделяя в (4.29) вещественную часть от мнимой, получим
или
(4.31)
Эти формулы называются формулами Кронига и Крамерса. Их
называют также дисперсионными соотношениями. Вообще, под диспер-
сионными соотношениями понимают все формулы в физике, которые вы
водятся аналогично формулам Кронига-Крамерса. Иногда говорят,что
дисперсионные соотношения являются следствиями принципа причин -
ности. Но вряд ли это выражение можно признать удачным. Принцип
причинности, конечно, используется при выводе дисперсионных соот
ношений (4.31). Но столь общий принцип совершенно недостаточен
для этой цели. Нужны более специальные предположения. Таков прин
цип суперпозиции, обеспечивающий линейность уравнений. Таково
предположение о диссипативности среды, необходимое для обоснова-
ния сходимости соответствующих интегралов.
Формально формулы (4.30) и (4.31) могут быть получены из
формул (4.24) - (4.26), если в них положить й)"=О и заменить
обычные интегралы интегралами в смысле главных значений. Этими
формулами устанавливается общая связь между дисперсией и поглоще
нием для диэлектриков. Они позволяют, зная кривую дисперсии
£'=£'/*)) во всем бесконечном интервале изменения частоты
- 55 -
+ , построить кривую поглощения е*=£и(^) и
обратно. Связь между дисперсией и поглощением в столь общей фор-
ие вряд ли иогла быть установлена без распространения функции
£. (а)] на область комплексных значений аргумента
9. Если в первой формуле (4.31) положить <0=0 , то полу-
чится оо
• (4-з2>
О
Так как подинтег’ральнан функция существенно положительна, то
(о)= £.о>1 , т.е. статическая диэлектрическая проницав -
иость больше единицы для всех диэлектриков. А так как при бес-
конечно больной частоте £^<jJ обращается'в единицу, то отсю-
да непосредственно следует, что для всякого диэлектрика должна
существовать область частот, в которой £'(&) убывает с воз-
растанием частоты. Явление убывания е*(^) с возрастанием 'О
называется аномальной дисперсией. Если же £'(*>/с возрастанием
<0 'акже возрастает, то говорят о нормальной дисперсии. Та -
ким образом, существование аномальной дисперсии есть необходи-
мое следствие развиваемой здесь общей теории дисперсии.
После того как Ньютон открыл дисперсию света и произвел
первые экспериментальные исследования этого явления, долгое вре-
мя наблюдалась лишь нормальная дисперсия . Аномальная дисперсия
впервые наблюдалась в 1862 году Леру, который обнаружил, что в
призме, яаполненяой парами иода, синие лучи преломляются меньие,
чем красные. Затем опытами Кундта была установлена важная законо-
мерность, согласяо которой все тела, дающие аномальную дисперсию
в какой-либо области спектра, ёильяо поглощают свет в той же об-
ласти спектра. Эта закономерность может быть понята с точки зре-
ния излагаемой здесь теории. В самом деле, является ана-
литической функцией, не имеющей особых точек в нижней полуплос -
кости и обращающейся в нуль на бесконечности зтой полуплоскости.
Поэтому между вещественной и мнимой частями этой функции на ве -
щественной оси можно установить связь совершенно так же, кек ато
было сделано для функции &(•*>) . Получии
{№(?)_ 2и 7ddfaj Д<ж
du X J dx Х*-Ь)г f
„ , . (4.33)
d& (из) £ Г de'fe) 2cdx
du) Г J dx х*-л)* *
Так как функция положительна в интервале | О, +<=~=> |
и равна нулю яа его концах, то она должна достигать максимума
по крайней мере в одной из промежуточных точек этого интервала.
Допустим, что кривая £*=£“ (у) имеет один максимум (рис.II).
rtic.II.
В точке максимума Ю = ь>о оба интеграла:
У<&7^ dx
J dx хг-Мг
оо
Jdefx) dx.
dx хг-еивг
отрицательны, так как слева от максимума
а справа <0 , Хг-а}^ >0 .
^-">0 ,Хг-й)2<0
dx
Поэтому будет
- 5? -
отрицательным и интеграл в смысле главного значении, равный пре-
делу суммы этих двух интегралов при J3 — О , Таким образом,
в точке максимума кривой поглощения производная отрица -
cCCt)
тельна, т.е. дисперсия аномальна. Отсюда следует, что она ано -
мальна и в окрестности этого максимума. При наличии на кривой
поглощения нескольких максимумов это утверждение не обязательно
должно выполняться для каждого максимума.
10. Выясним теперь физический смысл функцта &(ч)^ Для комп-
лексных значений , при которых интеграл dtf-
сходится. • ° .
В пункте 4 функция & (чу) была введена для поля Е =EDfZ‘
в предположении, что &> вещественна. Но все рассуждения сохра -
няют силу и для комплексных ч) при единственном условии, что
интеграл в (4.6) сходится. Поля типа Е ~ Eoe.iaii при
комплексной ч) являются полями, гармонически колеблющимися во
времени, но с амплитудами, экспоненциально нарастающими или экс-
поненциально убывающими во времени. Заведомо ясно, что соображе-
ния, изложенные в пунктах 3 и 4, применимы к экспоненциально на-
растающим полям. В этом случае в каждый момент поле Е конечно,
тогда как при переходе к предшествующим моментам*.времени его амп-
литуда экспоненциально убывает. Если интеграл J
определяющий вклад в поляризацию всех предшествующих воздействий
на среду, сходится в случае постоянных амплитуд ( т.е. при
вещественных чу ), то он тем более будет сходиться в случае по -
лей, амплитуды которых в предшествующие моменты были меньше ,(т.е.
интеграл сходится длн комплексных значений ЬУ = чу'+сы" с от-
рицательными мнимыми частями 6)" ). При й)*то поле £ в
каждый момент времени также остается .конечным. Но при переходе к
предшествовавшим моментам времени амплитуда поля экспоненциально
нарастает и стремится к бесконечности при
случае вклад в поляризацию сСг «
. В этом
вносимый вое-
ми предшествовавшими воздействиями на среду, может оказаться
бесконечно большим. Соответствующий интеграл будет расходиться.
Это действительно имеет место при достаточно больших ч) . Вот
почему формула (4.6) определяет функцию & (чу) во всех точках
нижней полуплоскости и теряет смысл в верхней полуплоскости,
- чя -
когда превосходит некоторое значение^ cJ. .
Существенно, что для полей вида F=Ео(£)е связь
между вектором индукции^® и вектором напряженности поля-f
принимает обычный вид ® - £ Е , независимо от того,
вещественна или комплексна ш - важно только, чтобы интеграл
сходился. Тем самым установлен физический
смысл & (*2.) при таких значениях . Следовательно, если
интеграл сходится, то для полей вида
Р = [Е должны быть справедливы уравнения Максвелла
'lot // - L Е . zot Е =-i ~ё~ #
какова бы ни была - вещественна или комплексна. Это обстоя-
тельство дает возможность перенести на поля с комплексными zJ
результаты, полученные для вещественных . Так, можно ут -
верждать, что плоская волна Е - J *) при
является одним из возможных решений уравнений Максвелла (4.34),
если только комплексный волновой вектор Z" удовлетворяет ус -
ловию
-ту &
и интеграл в (4.6) сходится. Если же этот интеграл расходится,
то функция £ С^) , как уже говорилось выше, должна быть опре-
делена методом аналитического продолжения. Для таких значений
соотношение Й> = , а следовательно и уравнения (4.34)
не применимы.
II. Б верхней полуплоскости, как уже было сказано, функция
£ ((E) должна быть определена как аналитическое продолжение
ее из нижней полуплоскости. Исследование поведения этой функции
в верхней полуплоскости не может быть выполнено с той же степенью
'общности, как это было возможно для нижней полуплоскости. В
верхней полуплоскости должны находиться особые точки функции 8Сь>)
характером и расположением которых определяется вид дисперсион-
ной формулы S = • Принцип суперпозиции, если его
- 59 -
дополнить некоторыми физически оправданными предположениями,
позволяет установить общий вид функции & (<•>) . Однако мы
не будем останавливаться на этом вопросе.
12. Предыдущие рассуждения основаны на принципе причинности
в нерелятивистской форме. В релятивистской физике понятие "рань-
ше" и "позже" зависят от выбора системы отсчета, а поэтому форму-
лировка принципа причинности должна быть изменена. Каждое собы -
тие может зависеть только от таких событий, которые по отношении
к нему являются абсолютно прошедшими, т.е. совершаются раньше во
всех системах отсчета. Поэтому интеграция по времени в формулах
типа (4.2) должна быть заменена интеграцией по всем абсолютно
прошедшим событиям, т.е. по той части пространства-времени,кото-
рая ограничена световым конусом, обращенным в прошлое.
Это наводит на мысль, что и нерелятивистские формулы типа
(4.?) должны быть обобщены так, чтобы в них наряду с интегриро-
ванием по времени производилось интегрирование и по пространству.
Атомы и молекулы имеют конечные размеры. Электрическое поле, ес-
ли оно неоднородно, будет иметь разные значения в различных точ-
ках атома или иолекулы. Это скажется на их дипольных моментах,
индуцируемых световой волной. Поэтому вместо формулы (4.2) еле -
дует пользоваться более общим соотношением.
Р (г, £) =Jctt'jjft-t', z')dz' , (4.36)
в котором d-г*' означает элемент объема пространства
dx'dy dz . Интегрирование производится по всему простран-
ству и по всем предшествующим промежуткам времени. Функция f
определяется свойствами среды. То обстоятельство, что она зави -
сит от разноотш времен t'~ t' , а не от самого времени 4' ,
объясняется однородностью времени. Точно также зависимость ее
от разностей координат z~- z' , а не от самих координат Z'
связано с нашим предположением об однородности среды.
Если теперь взять плоскую монохроматическую волну
Ь я J , в которой частота й) и волно-
вой вектор Z могут принимать любые значения, и применить
предыдущие рассуждения, то мы придем к заключению, что для таких
волн материальное уравнение должно иметь вид
5Э (?,{.) = & . к ) Е С7-~^) (4.з?)
где функция ) выражается через функцию /fi-t; г-?)
по формуле, аналогичной (4.6). Теперь диэлектрическая проницае -
мость & становится^функцией не только частоты а> , но и
волнового вектора к . Величины и к должны рассматри-
ваться как независимые аргументы этой функции. В частности, при
к - О мы возвращаемся к прежней функции £(ъ)) =
Зависимость диэлектрической проницаемости £ от частоты
называется временной или частотной дисперсией, а зависимость от
волнового вектора к - пространственной дисперсией. Порядок
величины частотной дисперсии определяется отношениями ,
где <*)с - собственные частоты рассматриваемой среды. Частот-
ная дисперсия велика вблизи собственных частот ( линий поглоще -
ния) вещества. В оптике линии поглощения обычно лежат либо в
исследуемой области спектра, либо примыкают к ней. По этой причи-
не наблюдение частотной дисперсии возможно без труда. Порядок ве-
личины пространственной дисперсии, напротив, определяется малыми
параметрами а/? , где -Я - длина световой волны, ot - дли-
на порядка размеров атомов или молекул, или какая-либо другая ха-
рактерная длина ( в плазме, например, роль в играет дебаевс-
кий радиус). По этой причине аффекты пространственной дисперсии
в оптике малы и трудно наблюдаемы. Исключение составляет естест-
венное явление вращения плоскости поляризации. Оно является
эффектом пространственной дисперсии первого порядка по параметру^
Если выражение (4.37) подставить в уравнения Максвелла, то
мы снова придем к соотношению
к* &(*>.£) • <4Л8)
В отличие от простого соотношения (4.35) оно является сложным
уравнением и определяет все типы волн ez ,
- 61 -
которые могут распространиться в рассматриваемой среде. Уравнения
такого типа называются дисперсионными. Трудность их исследова-
ние и разнообразие возможных волн обусловлены сложностью функ-
ции В наших лекциях, как правило, эффекты прост -
ранственной дисперсии рассматриваться не будут.
ЗАДАЧА.
Доказать соотношения:
(4.39)
Указание. Применить теорему Коши к функции £&)-4 ,
ваяв в качестве контура интегрирования контур, изображенный на
рис.12, в котором четверть окружности к удаляется в бесконеч-
ность, и воспользоваться тем обстоятельством, что на мнимой по-
луоси функции & вещественна.
Рис.12.
- 62 -
§ 5. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ.
I. В предыдущем параграфе мы не вводили никаких специаль-
ных представлений относительно структуры среды, а также оТнбои-
тальнс законов, управляющих движением злайтронов и яДар в Эзо-
пах и молакулах вещества. Вое рассмотрениа основывалось только
на принципе суперпозиции. Поэтому результаты справедливы неза-
висимо от того, подчиняются ли электроны и атомные ядра класси-
ческой или квантовой механика. Поясним теперь общие рассуждения
и результаты предыдущего параграфа на примера классической тео-
рии дисперсии в ее простейшей форма. Классическая теория приме-
няет законы классической механики к движению электронов и ядер
в атомах и молекулах вещества. На саЫОм деле эти движения управ-
ляются уравнениями квантовой механики. Однако на классическую
теорию нельзя смотреть только как иа простую и наглядную модель
для иллюстрации явления дисперсии. Если к легким электронам в
атомах уравнения классической механики совсем не применимы, то
колебания тяжелых ядер в молекулах могут с известным приближе-
нием рассматриваться классически. Кроме того классичеокан тео-
рия дисперсии пользуется гармоническими осцилляторами, как мо-
делями атомных сиотам. А дли таких моделей, как зто сладует из
общих таорем квантовой механики, результаты классического и
квантового рассмотраний совпадают (см. следующий параграф). С
этим связано то обстоятальство, что классическая теория диспер-
сии не только качественно объясняет дисперсию, но и приводит к
правильному виду дисперсионных формул.
Необходимо иметь в виду, что всякая конкретная теория дис-
персии, независимо от того, основывается ли она на классической
или квантовой механика, имеет дело на с реальными средами, а
о их сильно упрощенными моделями, а поэтому выводы такой теории
на могут претендовать на ту общность, которая присуща результа-
там предыдущего параграфа.
Изложим классическую теорию дисперсии для газа, ооотоящего
из атомов, которые рассматриваются как гармонические осциллято-
ры, содержащие по одному электрону. На электрон^выведанный из
положения равновесия, будет действовать сила , стремящаяся
вернуть его обратно в положение равновесии. Будем считать, что
- 63 -
сила пропорциональна смещению электрона г из этого положе
ния: .
Если электрон находится в поле световой волны, то на него
со_стороны электромагнитного поля будет действовать сила
ДДгде & - скорость, а е - заряд электрона.
Скорость 1г обычно пренебрежимо мала по сравнению со скоростью
свете С (см. задачу I к этому параграфу), а потому действием
магнитного поля можно пренебречь. Это действие проявляется в
слабых силах светового давления, не суи^ственных в рассматривав
мом нами вопросе. Таким образом . Строго говоря, в этом
выражении вместо среднего поля F следовало бы писать поле
действующее не электрон осциллятора. Но для разреженных газов с
достаточной точностью /*=£".
* Наконец, мы должны ввести еще третью силу, играющую роль
сопротивления, испытываемого колеблющимся электроном. Необходи-
мбеть введения таких сил следует иэ того, что колебания ооцилля
торов, если они не поддерживаются действием внешних сил, всегда
затухают. Мы не будем здесь обсуждать физическую природу этого
затухания. Заметим только, что формельно его иожно описать вве-
дением"силы трения" , пропорциональной и противоположно на-
превленной скорости электрона: .
Таким образом, уравнение движения колеблющегося электрона
можно записать в виде
тг -олг + ,
где т - масса электрона. Вводя обозначения
б)о = — ’ &1Г =
° т J и' т 9
получим
Т Ё • (5,I)
2. Как было выяснено в предыдущем парагрефе задача теории
дисперсии сводится к нахождению функции влияшг определя-
емой формулой (4.1). С этой целью допустим, что поле £ включа
но не короткое время от О до cLt . Тогда электрон подвергнется
действию импульса силы который сообщит ему количес
тво движения тгиг*Т. в соответствии с этим надо найти решение
уравнения свободных колебаний осциллятора
~г =0
- 64 -
при начальных условиях
г =о ; Т ~ при i=O .
ог = -в)* .
вектора поляризации получаем
__» С -ibipt) -*
-е ™Edi
где - число атомов в единице объема. Сравнение с
Для
(4.1) да-
(5.2)
fltf-O, как это и должно быть на
7./I г «О и t = + •=«’ fly-0, как это и должно быть на основании
общих соображений. Подставляя выражение для_/^4/в’(4.6), полу-
чим _ ,
При
(5.3)
или после отделения вещественной части от мнимой
„,z„.
<5.«)
Вдали от собственной частоты осциллятора »«, величиной
можно пренебречь по сравнению о в этом приближении
- 65 -
> £ (о)-о (5>5)
Таким образом, вдали от собственной частоты <t)e поглощение прак-
тически отсутствует. При4/—~ функция &(&>) стремится к единице.
Это объясняется тем, что в области частот, очень больших по
сравнению с собственной частотой осциллятора, колебания электро-
нов практически не возбуждаются, и следовательно, поляризация
среды равна нулю; электромагнитные волны распространяются прак-
тически так же, как в вакууме. На рисунке 13 представлен график
Риъ /3
функции согласно формула (5.5). Функциявсюду возрас-
тает с частотой . Исключение составляет точка ,. в ко-
торой претерпевает разрыв, меняясь скачкообразно от+«>=>
до-°*= , это означает, что в окрестности o)=oie формула (5.5)
не применима и должна быть заменена более общей формулой (5.4).
Согласно последней функции £'С^) всюду непрерывна и потому
должна убывать в окрестности собственной частоты = (рис. 14)1
- 66 -
Явление убывания функции с частотой называется аномальной
дисперсией в отличие от дисперсии нормальной,при которой £‘(^)
возрастает с частотой. В области аномальной дисперсии всегда ве-
лико поглощение. На рисунке 14 наряду с кривой £.'=€.'(&) .изоб-
раженной сплошной линией, пунктиром представлена схематическая
кривая £" - t характеризующая поглощение. Физическая при-
чина сильного поглощения, а также резкого изменения диэлектри-
ческой проницаемости в окрестности собственной частоты состоит
в том, что в этой области частот имеет место резонанс для коле-
баний электронов.
3. Формула (5i3) может быть получена проще непосредствен-
ным интегрировавшем уравнения (5.1). Это - линейное дифференци-
альное уравнение с постоянными вещественными коэффициентами.
Оно линейно также относительно поля £ . Поэтому можно пользо-
ваться комплексной формой поля и отыскивать комплексные решения
уравнения (5.1). Вещественная часть комплексного решении есть
действительное смещение электрона г . Решение уравнения (5.1)
состоит шз двух частей. Одна описывает свободные, другая вынуж-
денные колебания электрона. Свободные колебания, если они су-
ществовали, затухнут с течением времени. В проблеме дисперсшш
- 67 -
интерес представляют только вынужденные колебания. Они характе-
ризуются тем, что происходят с частотой, равной частоте внешней
силы , т.е. имеют вид ? =^,е‘м .Подставляя зто выражение в
(5.1), получим е
- ~гп (5.6)
~ 2 2 • tr- '
(jJ.-bT+iUf
Электрический дипольный момент колеблющегося осциллятора равен
р=ег , а поляризация среды е Подставляя сюда
выражение для 2 и воспользовавшись (1.3), снова приходим к
формуле (5.3).
Приведанный вывод, очевидно, применим и в том случае, ког-
да затухание полностью отсутствует: ^=0 . В этом случае мы
приходим к дисперсионной формуле (5.5). Таким образом, принци-
пиально возможна непоглощающая среда, обладающая дисперсией.
Этот вынод находится в кежущемся противоречии с формулами Кро-
нига-Крамерса (4.31). В действительности, однако, формулы (4.31)
не исключают возможности дисперсии в абсолютно непоглощающей
среде. Действительно, при^х выводе предполагалось, что среда
поглощающая, и интеграл /WJё сходится при любых ве-
щественных знечениях <У ° . Это означает, что функция не
должнз иметь особых точек на вещественной оси. Поэтому формула-
ми (4.31) нельзя пользоветься для абсолютно непоглощающей дис-
пергирующей среды. При отсутствии поглощения функция дис-
пергирующей среды должна иметь особые точки на вещественной оси.
В интеграле Коши при интегрировании вдоль вещественной оси эти
особые точки необходимо было бы обойти снизу, что изменило бы
самые формулы (4.31). .
Правильнее, однако, рассматривать непоглощающую среду как
предельный случай среды с поглощением. С этой точки зрения сле-
дует сначала решить задачу (или нечальную часть задачи) с уче-
том поглощения, а затем перейти к пределу, устремляя поглощение
к нулю. В формуле (5.3) предельный переход осуществляется прос-
тым приравниванием нулю параметра . В формулах же (4.30) и
(4.31) это сделать не так просто. Здесь два пред 1ьных перехода
(г. 1ли отвлечься ст бесконечных пределов в интёгралах): I) пре-
; ~ня*анный с вычислением главных значений ин-
тегралов; 2) предельный переход L"(X)-^~O . Необходимо выпол-
нять эти предельные переходы в указанной последовательности:
сначале первый, а затем второй. Если их поменять меотами, то
получится неверный результат: £'(<•>)=/ при Непогло-
щающая среда явяляется абстракцией. Ей можно пользоваться вдали
от собственных частот. Вблизи собственных частот, а тем более
при рассмотрении проблемы дисперсии для всего спектра частот
учет поглощения обязателен.
4. Реальные атомы и молекулы не явнлются гармоническими ос-
цилляторами и обледают многими внутренними степенями свободы.
Согласно классическим представлениям, молекулу следует рассма-
тривать как систему заряженных частиц - электронов и ядер -«ко-
торые могут совершать колебания около своих положений равнове-
сия. Движение такой системы можно разложить не I) поступатель-
ное, 2) вращение системы как целого и 3) колебательное движение
электронов и ядер внутри молекулы. В соответствии с этим степе-
ни свободы молекулы разделяются на I) поступательные, 2) враща-
тельные и 3) колебательные. Исоледуем качественно как возбужда-
ются ати степени свободы прш внесении молекулы в монохроматичес-
кое электрическое поле и как они влияют на поляризацию
среды и диэлектрическую проншцаемооть.
Вынужденные поступательные движения, если бы даже они и
возникли, не могут нас интересовать, поскольку молекулы нейт-
ральны, и поэтому их поступетельное движение не влияет на поля-
ризацию среды.
Вынужденные вращения молекул сказываются на поляризацию
среды в том случае, когда молекулы полярные, т.е. обладают соб-
ственными дипольными моментами. Под действием электрического
поля дипольные моменты полярных молекул стремятся установиться
в направлению поля. Полной ориентации молекул препятствует де-
зориентирующее влияние теплового движения. Полная ориентация
/насыщение/ возможна в достаточно сильных полях. Электрические
поля световых волн, как правило, очень слабы по сравнению с по-
лями насыщения. Для таких полей поляризации среды, связанней о
вращением полярных молекул, пропорциональна полю.
Наиболее существенными для онтикн явяляются вынужденные
колебания электронов и ядер внутри молекул. Свободные малые ко-
- 69 -
лебания этих частиц сколе их положений равновесия можно предста-
вить как результат наложения гармонических нормальных колебаний,
число которых равно числу колебательных степеней свободы молеку-
лы. Вс внешнем поле такая колебательная система ведет себя как
набор гармонических осцилляторов с собственными честотами, рав-
ными собственным частотам нормальных колебаний мсленулы. Если
внешнее поле достаточно слабо по сравнении с внутренними
полями, действующими в молекуле, то амплитуды вынужденных коле-
баний будут пропорциональны амплитуде внешнего поля Е . Коле;
бательная часть вектора поляризации поэтому пропорциональна Е .
То же относится, как мы видели, и к вращательной части. Таким
обрезом, для олабых полей вектор поляризации, а с ним и индук-
ция 2) пропорциональны полю: . Коэффициент .во-
обще говоря, комплексный, что физичеоки означает наличие сдвига
фаз между колебаниями поля и колебанинми электронов и ядер в
молёкуле.
Пока чаотота возбуждающего поля W мала, ядра и электроны
колеблются в фазе с ним ; молекулы испытывают такие же повороты
и деформации как в статическом поле, напряженность которого рав-
на мгновенной напряженности рассматриваемого поля. Для таких
малых частот динамическая и статичеокая диэлектрические проница-
емости практически совпадают, а соотноиение Максвелла (I.I9)
должно соблюдаться в форме п , где £» - статическая ди-
электрическая проницаемость. Опыты показали, что ато имеет мес-
то для всех веществ. Так, для воды £„=£/, и мы должны ожидать,
что длн длинных волн п=]/81=3 . Это действительно так для волн,
длина которых превооходит приблизительно I см.
Если длина волны порядка сантиметра и меньие, то вращения
□олекул не успевают следовать за 'быстрыми изменениями электри-
ческого полн и при дальнейием уменьшении длины волны практичес-
ки прекращаются и перестают влиять на диэлектрическую проница-
емость. Обычно это наступает еще при частотах, малых по сравне-
нию с собственными частотами колебаний ядер. Соответствующая
область частот характеризуется быстрым у>еньиением диэлектри-
ческой проницаемости с возрастанием частоты. Это - первен об-
ласть аномальной дисперсии электромагнитных волн.
- 70 -
Как только частота волны становится сравнимой с собствен-
ными частотами колебаний ядер в молекуле, мы вступаем в область
резонанса, характеризующуюся особенно резкими изменениями пока-
зетеля преломления с частотой и наличием поглощения. Это - вто-
рая область еномальной дисперсии и ебсорбции света. Она лежит
в инфрекрасной части спектра.
Когда частота волны становится большой по сравнению с соб-
ственными частотеми колебаний ядер, вынужденные колебания пос-
ледних почти прекращаются и перестеют влиять на показатель пре-
ломления. Продолжеют колебаться одни лишь электроны, так как
благодари малой маоое собственные частоты их велики по сравне-
нию с собственными частотами "тяжелых ядер". Мы вступили в ви-
димую и ультрафиолетовую область частот, в которой показетель
преломления определяется колебаниями одних только электронов.
Там, где частота волны близка к собственным частотам элект-
ронов, лежит вторая область резонанса, которой соответствуат
третья и последняя облесть аномельной дисперсии и абсорбции
свете. Для большинства веществ она находится в ультрафиолетовой
части спектра. За пределами этой области частоты велики деже по
сравнению с собственными честотами злектронов. В этой области -
- в области рентгеновских волн - вещество должно поэтому оказы-
вать лишь очень слабое влияние на скорость электромагнитных
волн. Покезатель преломления рентгеновских волн должен быть
близок к единице и притом меньше единицы, поскольку электроны
колеблются в протшвофазе с полем. Это заключение полностью под-
тверждается опытом.®'
Теперь понятно, почему в области оптических частот магнит-
ную проницаемооть можно положить равной единице для всех ве-
ществ. Намагничивание парамагнштных сред сводится к ориентацию
собственных магнитных моментов молекул и атомов в направлении
магнитного поля. Но мы видели, что в полях оптических частот
вмнужданныа вращения молекул ш атомов практически прекращаются,
>т.а. среда ведет себя как намагнштная. Намагничивание ферромаг-
нетиков сводится к шзменению направлении намагничивания в пре-
делах доменов, т.е. спонтанно намагниченных до насыщения макро-
се возможностш вваденшя показателя преломленшя для рентганов-
скшх волн см. § 24, пункт 5.
- 71 -
скопичеоких областей тел, а также к изменению размеров самих
доменов. Эти процессы также не-успевают следовать за быстрыми
изменениями магнитного поля световой волны. Наконец, во всех
телах действует механизм, ведущий к диамагнетизму, в случае па-
рамагнитных и ферромагнитных материалов он перекрывается значи-
тельно более сильными аффектеми пера - и ферро- магнетизме. Но
во всех случаях в оптике диамагнитные аффекты очень слабы, и
при вычислении скорости свете по формуле (1.10) ими можно пре-
небречь.
Если среда состоит из честиц о различными зарядеми
маооами тпк , собственными частотами ^4 , коэффициентами зату-
хания и концентрациями , тс классичеокая дисперсионная
формула (5.4) для газов тривиально обобщается и принимает вид
________ (5.7)
Схематически вещественная часть этой функции sfoj представлена
на рис.15.
Рис. 15.
Подводя итоги, следует сказать, что классическая теория дис-
персии не только объяснила завиоимооть показателя преломления
вещества от частоты световой волны, но и показала, что диспер-
сия света невозможна без поглощения. Если, например, в видимой
- 7? -
области спектра среда не обладает сколько-нибудь заметным по-
глощением и в то же время является диспергирующей, то следует
заключить о существовении полосы поглощения где-то в невидимой
облаоти спектра, например в ультрафиолетовой или инфракрасной.
Это необходимое следствие теории воегда оправдывалось, хотя фи-
зическая природа е'го долгое время оставалось неясной, поиа к
вопросу подходили чисто ампиричеоки.
5. Диалектическая проницаемость £ может быть отрицатель-
ной. Вежным примером может служить ионизованный газ (плазма),
электроны и ионы которого могут рессметриватьсн как свободные;
соответствующие им собственные частоты равны нулю. В этом слу-
чае, если пренебречь поглощением, выражение (5.3) переходит в
X = / (5.8)
Если честота электромагнитной волны меньше плезменнной
Tof^O . В этом случае к , т.е. волновой вектор во^г-
де чисто мнимый. Однородные волны таких частот в плазме распрос-
тренятьсн не могут. Все волны неоднородные, их амплитуды зату-
хают в направлении волнового вектора. Несмотря на это, в среде
нет поглощения.
В связи с этим уточним понятие непоглощеющей и прозрачной
сред. Среда называется непоглощающей, если энергии распростра-
няющейся в ней волны не переходит в тепло. В противном случае
среда нааываетси поглощающей. .
Непоглощающая среда называется прозрачной, если плоская
злектромегнитная волна может распространяться в ней беэ затуха-
нии. Не всякая непоглощвющея ореда является прозрачной, кан
видно на примера плазмы. Для непоглощающей среды проницаемость
£ должна быть вещественной - положительней или отрицательной.
Для прозрачной среды она должна быть всегда положительной.
Задачи
I. Найти максимальную скорость вынужденных колебаний сво-
бодного электрона в поле солнечного излучении вблизи земной но-
- 73 -
верхности (см. задачу к § 5). Определить также отношение макси-
мальной силы , действующей на такой электрон со стороны маг-
н». i но го поля, к максимальной силе , действующей со стороны
электрического _цоля. 1оле солнечного излучения заменить монохро-
матическим Е=Еосо$ЪуЬ с длиной волны jl = 5500 А.
РЕШЕНИЕ. В уравнении движения свободного электрона:
т v (Е+ -£-[*£]j
пренебрежем действием магнитного поля. Тогда
7n.tr = &Е = &ЕО coiwt f
V -z-ttE iinat >
mu) *-o *
У eEc _ g E& *
~ mu) ~ 2Tmc ' f—
Так как EZ-4^, to Под-
ставляя это значение, получим:
Чпах _ _. Зя То ~
6,28 9Ю™ -3-10 1 *
23 10ю
= 0.9 10
2. Определить среднюю силу светового давления на гармони-
ческий затухающий осциллятор, колеблющийся в поле монохромати-
ческой однородной световой волны. Рассчитать также среднюю энер-
гию £ , поглощаемую осциллятором в одну секунду и выразить че-
рез нее среднюю силу светового давления. Показать, что еслш бы
поглощения света не было, то средняя сила светового давления
равнялась бы нулю.
РЕШЕНИЕ. В месте нахождению осциллятора электромагнитное
поле имеет вид
,Г=/ее^,
-tn-
где е и £ - взаимно перпендикулярные единичные векторы.Пре-
небрегая сначала действием магнитного поля, приходим к уравне-
нию (5.1), решением которого являете» (5.6). Из (5.6) неходим
_ Lt*> т
Сила, действующая на электрон со стороны магнитного поля:
Поскольку, однако, вычисления ведутся в комплексной форме, сле-
дует заменить это выражение на
Для средней силы получаем
или после простых преобразований
Отсюда видно, что среднян сила светового давления направле-
на в сторону векторного произведения[e£J , т.е. в сторону
распространения волны.
Энергия, поглощаемая в единицу времени:
а ее среднее значение:
£ = VV*.
J Z а
Таким образом °
ZT______& . (5.10)
, , . Г ~ С
Эта формула можат быть получена из простых соображений..
Излучение, поглощаемое атомом веществе, передает ему не только
энергию & , но и связанный с ней импульс —, который про-
является в силах светового давления.
- 75 -
Если свет распространяется через поглощающий газ, то сог-
ласно изложенному он должен производить на наго давление. Впер-
вые такое предположение высказал Кеплер, изучая формы кометных
хвостов. Эксперимантальное доказательство существования свето-
вого давления на газы было дано П.Н.Лебедевым.
3. Разобрать вопрос о малых колебаниях диполя в электри-
ческом поле £'=/^гог^.Иссладовать зависимость амплитуды вынуж-
денных колебаний от частоты Ш .
РЕШЕНИЕ. Уравнение вращения диполя вокруг оси, проходящей
через его центр перпендикулярно к дипольному моменту р" :
J I
где ^7 - момент инерции диполя относительно этой оси, а угол
между векторами р и . В случае малых колебаний Ипф в пра-
вой части можно заменить постоянной величиной . Тогда для
вынужденных колебаний получим
Если , то вынужденные колебания практически прекращаются.
- 76
§ 6. ДИСПЕРСИОННАЯ ФОРМУЛА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ.
I. Для понимания этого параграфа необходимо знание кванто-
вой механики. Если читатель не обладает необходимой подготовкой
по квантовой механике, то он монет пропустить этот параграф без
ущерба для понимания дальнейшего.
Квантовоыеханическая теория дисперсии строится по той не
схеме, что и классическая теория. Она такие исходит из уравне-
ний Максвелла, не учитывающих квантовые свойства электромагнит-
ного поля. В этом непоследовательность квантовомеханической тео-
рии дисперсии; последовательную теорию дает квантовая электро-
динамика. Отличие квантовомеханической теории дисперсии от клас-
сической состоит в том, что к атомам и молекулам она применяет
не классические, а квантовомеханические уравнения двикения, на-
пример, в форме волнового уравнения Шредингера.
Построение теории дисперсии сводится к вычислению индуциро-
ванных дипольных моментов, которые приобретают атомы или моле-
кулы вещества в переменном электрическом поле световой волны. В
классической физике дипольный момент атома определяется как сум-
ма zi , взятая по всем электрически заряженным частицам,
входящим в атом ( - радиус-вектор, определяющий мгновенное
положение I -го заряда). Такое определение не согласуется с
основными представленными квантовой механики . Оно противочерит,
например, принципу неопределенности Гейзенберга. Если бы коор-
динаты всех частиц внутри атома имели .в некоторый момент време-
ни строго определенные значения, то неопределенности их скорос-
тей были бы столь велики, что частицы разлетелись бы в разные
стороны. Вместо классической картины, в которой электрон в каж-
дый момент времени имеет строго определенные положение и ско-
рость, квантовая механика дает статистическое описание состоя-
ния электрона с помощью волновой функции . Квадрат
модуля этой комплексной функции l¥zl2=Y*V7 дает плотность
вероятности обнаружения электрона в соответствующей точке прост-
ранства. Поэтому выражение для дипольного момента атома в кван-
товой механике должно получаться из соответствующего классичес-
кого выражения путем надлежащего квантовомеханического усредне-
ния. Допустим, нз пример, что в атоме всего один электрон. Клас-
сическое выражение для дипольного момента есть. Его
квантовомеханическим аналогом будет
<р> = ^pV*Vclv =,
(6.i)
где интегрирование производится по всему пространству (предпо-
лагается, что волновая функция нормирована к единице, т.е.
= / ). Угловые скобки означают усреднение.
2. Вычислим средний дипольный момент <^> , который полу-
чает атом в однородном электрическом поле световой волны
р = pocoib)i. . ради краткости в дальнейшем будем опускать
скобки, обозначая средний дипольный момент атома просто . Мы
вынуждены пользоваться вещественной формой электрического поля,
так как при вычислении дипольного момента по формуле (6.1) встре-
чается нелинейная операция умножения функции У на комплексно
сопряженную функцию У^. Размеры атома предполагаются малыми по
сравнению с длиной световой волны, так что поле Е может счи-
таться однородным на протяжении всего атома.
Для простоты будем предполагать, что атом имеет всего один
валентный электрон. Валентными электронами определяются химичес-
кие и оптические свойства атомов. Остальные электроны прочно
удерживаются на внутренних оболочках. Им соответствуют значи-
тельно большие энергии связи, и их состояния практически не воз-
мущаются слабым электрическим полем световой волны. Роль внут-
ренних электронов сводится к созданию электрического поля, в ко-
тором движется валентный электрон. При такой постановке задачи
атом может рассматриваться как одноэлектронный. Уже здесь обнару
живается преимущество квантовой теории перед классической. В
классической теории моделью атома явлнется в действительности
не существующий квазиупрого связанный электрон. Модель атома в
квантовой теории, напротив, несьма близко соответствует дейст-
вительности. .
Изменения волновой функции электрона описываются
уравнением Шредингера
= (6-2)
- 78 -
где 5^ - оператор полной энергии или гамильтониан системы, а
/- постоянная Планка, деленная на 2Л", в однородном
электрическом адле диполь с моментом р обладает потенциальной
энергией - (р ЕJ. Поэтому в поле световой волны гамильтониан
- Х°-е (6.5)
где - невозмущенный гамильтониан, т.е. гамильтониен в отсут-
ствие электрического полн. Пусть в отсутствие поля атом находил-
ся в стационарном состоннии с энергией . Волновая функции в
таком состоннии будет
где , , Wn
£
Мы должны найти такое решение уравнения (6.2), которое бы при
отсутствии электрического полн переходило в невозмущенную функ-
цию Уп° ’
Поскольку поле Е предполагается очень малым по сравнению
с внутренними полями в атоме, задечу можно решать методом возму-
щений и искать решение в виде
К
где Фп - малан попревка. Подставим это выражение в уревнение
(6.2) и воспользуемся выражением (6.3). Тогда получим
а lt & - ar -
-е(р?")Ф„ _ .
Примем во внимание, что есть волновая функция невозмущен-
ного гамильтониане, и следовательно,
it ж - згу:
- 79 -
Кроме того отбросим последний член, так как он второго порядка
малости по малому параметру Ео . В результате получим
/д ^п-я°фп =_ е c&iedi,
или — .
Я'*'*-
Это неоднородное уравнение описывает вынужденные колебания функ-
ции Фп . "Вынуждающие силы" гармонически колеблются во времени
с частотами <*4,-^ Решение, соответствующее вынужден-
ным колебаниям, должно представляться синусоидальными функциями
с теми же частотами. Его можно записать в виде
Для получения общего решения к нему сладовало бы добавить общее
реиение однородного уравнения
ik#
Но это уравнение описывает свободные колебания, которые по смыс-
лу решаемой задачи должны отсутствовать. Если атом предоставить
самому себе (т.а. выключить электрическоа поле), то собственные
колебания функции Фп должны в конце концов прекратиться, и
атом перейдет в состояниа с определанной энергшей Еп , описыва-
емое волновой функцией V„ . Таким образом, решение урав-
нения (6.4) действительно следует искать в вида (6.5). Подста-
вив выражение (6.5) в уравнение (6.4) и сравнив коэффициенты
при показательных функциях, получим /’—'г’х
(Г)- -
Z Р„‘&/
Для решения этих уравнений разложим искомые функции U„(T)
и VnC^) по собственным функциям невозмущанного гамиль-
тоншана <3?°:
- 80 -
К. (г)
Подставив эти разложения в предыдущие уревнения и приняв во вни-
мание, что
получим V
(<>.-<;, -»)^ = -е к,
kLbM,(^-<j,±u)4'° =- е .
Для решения зтих уревнений умножаем их не функцию (z) и ин-
тегрируем по объему всего простренства. Тогда, воспользовевшиоь
ортонормировенностыо собственных функций Vk(?) :
““““ . _ /Z&.)
пе 2£fat-6>) ’
D _ 6^0
Ы(ь),л<-й))
Здесь означает боровскую частоту перехода
_ , <6’б)
а - матричный элемент вектора электрического момента:
и, (6-”
Как видно из его вырежения, вектор удовлетворяет соотноше-
нии
(6-8>
Если cj=t(Onie , то соответствующие коэффициенты ЯПк и
Р.* обращаются в бесконечность. Это указывает на неприменимость
в рассматриваемом случае принятого метода расчета. Аналогичная
- 81 -
ситуация встречается и в классической физике при рассмотрении
линейных колебательных систем. При <У=± ь)пк внешняя сила на-
ходится в резонансе с одной из собственных частот системы. Если
нет диссипативных процессов, то амплитуда вынужденных колебаний
должна получиться бесконечно большой. Таким образом, при
учет диссипативных процессов обязателен.
Окончательно волновая функция (^, £) представится
выраженшем ,
С, г* * - ' — Qj я 1 ✓
it L "75^3 К M <*•’>
Приведенные рассуждения предполагали, что нет вырождения -
- все энергетические уровни простые. Наличие кратных энергети-
ческих уровней не внесет ничего принципиально нового, так как
кратный уровень можно рассиатривать как предельный случай не-
скольких простых уровней, расстояния между которыми в пределе
стремятся к нулю. Точно также все вычисления мы ведем для диск-
ретного энергетического спектра. Обобщение на случай непрерыв-
ного спектра тривиально.
3. Остановимся на смысле полученного результата. Мы исходи-
ли из определенного стационарного состояния, характеризующегося
в отсутствие электрического поля энергий W„ и волновой функци-
ей • Затем было включено электрическое поле, синусои-
дально меняющееся во времени. Под действием поля волновея функ-
ция стала изменяться в соответствии с уравнением Шредингера. На-
чался более или менее длительный процесс установления состояния,
аналогичный соответствующим переходным процессам, с которыми
имеют дело в физике колебаний. Мы не исследовали такой процесс,
а сразу нашли волновую функцию » характеризующую
установившиееся состояние етома. Оно представляет собой суперпо-
зицию, в которую входит все стационарные состояния
с соответствующими амплитудами. Амплитуда исходного состояния с
воновой функцией (?, t) является наибольшей. Все осталь-
ные стационарные состояния входят в суперпозицию с малыми ампли-
тудами, пропорциональными Ео . Электрон как бы распределен по
- 82 -
всем возможным стационарным состояниям ф .
Установившееся состояние (6.9) не следует смешивать со ста-
ционарными состояниями, характеризующимися вполне определенными
значениями энергии. В стационарных состояниях все физические
величины или их кванФовомеханические средние не меняются во вре-
мени. В установившемся состоянии (6.9) такое изменение имеет
место. Оно нвляется установившимся в том же смысле, в каком по-
нимается этот термин в теории колебаний. Ради примера вычислим
плотность вероятности нахождения электроне в различных точках
пространства j5 для состояния (6.9). Она равна К'и. • Пе-
ремножая и отбрасывая члены квадратичные по получим
" 2Е Гя Ъ г„ r^J •
к
Главный член Ул Ул не зависит от времени и описывает рас-
пределение плотности вероятности в атоме при отсутствиш электри-
ческого поля. В алектршческом поле Е ’•fccoscjt на него накла-
дываются малые вынужденные гармонические колебания с частотой
Cl) . Все они формально аналогичны вынужденным колебаниям гармо-
нических осцилляторов, обладающих собственными частотами •
Применяя квантовый язык, можно сказать, что под действшем внеш-
него поля происходят квантовые переходы атоиа из стационарного
состояния П во все прочие стационарные состоняин к и обрат-
но. Члены, соответствующие квантовым переходам между стационар-
ными состояниями к и J , из которых ни одно не является сос-
тоянием п , в формуле (6.10) отсутствуют. Онш высшего порядка
малости по малому параметру Ео и должны быть опущены при приня-
той точностш расчета.
4. С колебаниямш плотностш верояности f> связаны колеба-
ния среднего дипольного момента атома . Его можно рассчи-
тать по формуле
- 83 -
f =fr*ezYndv -Jezpttv,
Если подставить сюда выражение (6.10), воспользоваться обозначе-
нием (6.7) и соотношением (6.8), то получится _
к
Вектор есть дипольный момент атома в отсутствие электри-
ческого поля. Он не меняется во времени и не представляет инте-
реса в теории дисперсии. Интерес представляет только перемен-
ная, составляющей дипольного момента . Предыду-
щее выражение только по виду комплексно. На самом деле оно дает
вещественные значения для дипольных моментов р и р' . Но с
этого пункта целесообразно перейти к комплексной символической
форме эеписи, так как нелинейные операции в дальнейшем встречать-
ся не будут. Нетрудно видеть, что величина, стоящая в нижней
строке последней формулы, является комплексно сопряженной по от-
ношению к величине, которая стоит нед ней. Вещественные чести
обеих величин одинаковы. Поэтому применяя символическую комплек-
сную форму записи и вводя обозначение Е = Ea&tut, можно напи-
сеть х-*—
к
Эта формула и устенавливает искомую связь между индуцированными
дипольным моментом атома р' и напряженностью электрического
поля Ё . Ее удобно зеписать в тензорной форме. Будем обозне-
чать греческими буквами d, , J* , координатные индексы
v. у Z .По дважды встречающемуся координатному индексу предпо-
лагается суммирование. Летинские буквы п, k,J оставим для ну-
мереции стеционарных состояний. Суммирование по таким индексам
обознечается знаком суммы 27 . В этих обозначениях
- 84
где Ctj.f> - тензор поляризуемости атома, определяемый выражением
>у _____4 Г*г (Ъ„)р (Dnt)ft (^kn)ti 7 (6.13)
LLl съ-О) + cJ^+cd J'
к
Ввиду соотношения (6.8) тензор О^д эрмитов, т.е.
= aj. • «•»>
Можно в общем виде показать, что такое равенство выражает усло-
вие отсутствия поглощения света в среде.
5. Тензорная связь между р' и £ указывает на зависимость
свойств атома от_^го ориентации относительно направления элект-
рического поля Е - анизотропию атома. Анизотропии не может
быть, когда атом находится в •$ - состоянии, в котором он не ов-
ладеет моментом количества движения. Во всех прочих состояниях
с отличными от нуля моментами количества движения атомы анизо-
тропны. Для вычисления диэлектрической проницаемости изотропнкх
сред (здесь мы рассматриваем только газы) нужна средняя поляри-
зуемость атома. Это скаляр, определяемый выражением
а -у (аи+ а„ + аи)-^ам «•»)
Сумма в скобках называатся следом или шпуром тензора ш является
инвариантом относительно поворота координатной системы. Диэлект-
рическая проницаемость £ связана-с поляризуемостью атома соот-
ношением
6 , (6.16)
где h! - число атомов в единице объема. Для величины Ct форму-
ла (6.13) дает
/ ZV __ Z Г’ й)„к(1)п1ск
=-з1 г
- 85
По классической теории поляризуемость одкозлектронного атома
(гармонического осциллятора) выражается формулой
где т - масса электрона. Для сравнения с классической теорией
представим формулу (6.17) в следующем виде
е2 р Ал (6.18)
Здесь /«л - безразмерные коэффициенты, называемые силами осцил-
ляторов. Они выражаются следующей формулой
А зяг (е- , <6-20)
или
X* = з£~ (Znk Utn ’ (6.21)
где - матричный элемент радиуса-вектора ? :
(6.22)
В результате мы приходим к следующей дисперсионной формуле
квантовой механики
, . (6.23)
« = •
6. Формально формула (6.23) вполне аналогична классической
дисперсионной формуле для среды, состоящей из классических ос-
цилляторов с различными собственными частотами. Здесь проявляет-
ся то обстоятельство, что н синусоидальном электрическом поле
атом приходит в такое установившееся состояние, которое являет-
ся суперпозициай стационарных состояний с соответствующими ам-
плитудами, зависящими от времени. При желании иметь классичес-
кую модель можно представить себе, что N атомов среды как бы
разбиты на множество групп. В одной и той же группе валентные
электроны находятся в одинаковых'состояниях, и каждый из них
подобен классическому гармоническому осциллятору с соответствую
щей собственной частотой. Электроны разных групп отличаются
- 86
друг от друга собственными частотами. Число валентных электро-
нов к -той группы равно л* - . Хотя эта классическая
картина и не соответсвует дайствительности, она наводит на сле-
дующее рассукдение. Так как число атомов сохраняется, то должно
быть Л7rJK -/V , и следовательно,
Г/- = 1 . 16-24)
к
Приведенное рассукдение ни в коем случае на монет служить дока-
зательством соотношения (6.24). Однако самс соотношение верно и
монет быть строго доказано методами квантовой механики без при-
влечения каких бы то ни было наглядных классических представле-
ний. Приведем это доказательство.
Матричные элементы (6.22) явяляются функциями времени, тек
как сами волновые функции (?-, к) зависят от времени. При
вычислении производной надо иметь в виду, что в правой час-
ти соотношения (6.22) координаты и время должны рассматриваться
как независимые переменные. Поэтому
Так как
и Ь)п - > то
С* = iu^
Это выражение есть матричный элемент скорости, электрона .
Для получения метричного элеманта импульоа <P=mir &го надо
умножить на маосу электрона т :
Йе = /<4,^ К* (6.25)
Примем теперь во внимание, что и перепишем выраже-
ние (6.21) в виде
/„к
= ~
- 87 -
Если раскрыть скалярные произведения, то выражение в скобках
представится в виде суммы трех членов вида
(^пк Хкп ~ f
где Хпк и ^4- означают матричные элементы х - координаты
электрона и соответствующей ей проекции импульса. Суммируя по
всем к и пользуясь правилом перемножения матриц, получим
£(%**, - -*&)„„
Здесь х. и означают операторы координаты X и соответст-
вующей ей проекции импульса . Согласно известному ссстноие-
нию квантовой механики, выражающему принцип неопределенности
Гейзенберга,^
у>л- _ = ~it ,
и следовательно*
it
То же самое справедливо для проекций на координатные оси У и£
Таким образом,
что и требовалось доказать. Если в атоме Z валентных электро-
нов, то это соотношение переходит в
. ZA. =Z . (6-25)
Формулы (6.24) и (6.25) выражают так называемое правиле сумм.
Онс было установлено с помощью принципа соответствия независимо
друг ст друга Тсмасом и Рейхе - с одной стороны - и Куном - с
другой (1925).
7. Все изложенное справедливо независимо ст конкретней мо-
дели атсма, положенной в основу расчета. Представляет интерес
исследовать, к каким реэультетам приведет квантовая механика,
если всспользсваться классической моделью атома в виде гармони-
ческого осциллятора. Из квантовой механики известно, что энерге-
тические уровни гармонического осциллятора являются равнсстстся-
- 88 -
щими, а матричные элементы отличны от нули только тогда,
когда к =n±‘f . Это означает, что все частоты ь)„к , вхо-
дящие в формулу (6.23) вырождаются в одну и ту же частоту,
рую можно обозначить одной буквой й)о . Если же принять во
мание правило сумм (6.24), то не представит труда привести
мулу (6.23) к виду
8 =/*
т
- GJ1
кото-
вни-
фор-
Это в точности совпадает с классической формулой дисперсии. Та-
ким образом для модели гармонических осцилляторов клаосическая
и квантовая механики приводят к тождественным результатам. В
этом одна из причин успеха классичеокой теории дисперсии.
8. Аналогия между дисперсионной.формулой квантовой механи-
ки (6.23) и соответствующей классической формулой (5.7) только
внешняя. Квантовая теория предсказала кечественно новый ход
кривой дисперсии, который с классической точки зрения.невозмо-
жен. В дисперсионной формуле классической механики (5.7) числи-
тели всех членов существенно положительны. В квантовой теории
они могут быть и отрицательными. Если к>п (и следовательно <4>
>^п to4L»>0. Если же к^п , чо^}кп<-0 , с другой сто-
роны, скалярное произведение (t** можно записать в виде
(z„ic откуда видно, что оно существенно положительно.
Таким образом, при п*.к силы осцилляторов положительны,
а при ~ отрицательны.
При выводе формулы (6.23) предполегалось, что до включения
электрического поля все атомы вещества находились в одном и том
же энергетическом состоянии о энергией . В обычных услови-
ях термодинамического равновесия состояние V4 явялнется основ-
ным, н котором энергия минимальна. При включении электрического
поля возникают квантовые переходы из основного состояния в воз-
бужденные и обратно. Возможны квантовые переходы и между возбуж-
денными состояниями, но их можно не учитывать ввиду малой веро-
ятности теЖих состояний. В атих условиях в формуле (6.23) все
силы осцилляторов^,* положительны. Однако еще до включения
электромагнитного поля могут быть возбуждены и высшие анергати-
ческие уровни атомов. Это будет, например, при достаточно высо-
- 89 -
кой температуре среды (термическое возбуждение). Тогда визник-
нет множество квантовых переходов между всевозможными энергети-
ческими уровнями. Одним из них будут соответствовать положитель-
ные силы осцилляторов , другим - отрицательные. При термо-
динамическом равновесии число атомов о увеличением номера энер-
гетического уровня убывает в ооответотвии с формулой Больцмана.
В этих условиях в дисперсионной формуле члены с положительными -
силами осцилляторов будут превосходить соответствующие члены с
теми же собственными частотами, для которых силы осцилляторов
отрицательны. Ничего качественно нового 'по сравнению с класси-
ческой дисперсионной формулой не получится. Однако, применяя
нетепловые методы возбуждения, можно создавать термодинамически
неравновесные метаотабильные состояния веществе с инверсной за-
селенностью энергетических уровней. Под/инверсной заселенностью
двух различных энергетических уровней Донимают такое распределе-
ние атомов, когде на верхнем уровне находится больше атомов,
чем на нижнем. Допустим для простоты'рассуждений, что в атоме
всего два энергетических уровня Ып и U6,) , из ко-
торых оба возбуждены. В поле световой волны газ из таких атомов
будет вести себя как смесь двух различных газов. Атомы одного
до освещения светом находились на нижнем уровне , атомы
другого - на верхнем уровне Т44 . Для первого газа все оилы ос-
цилляторов положительны, для второго газа - отрицательны. В пер-
вом случае говорят, что дисперсия положительна, во втором - от-
рицательна. Не схематическом рисунке 16 показан ход вещественной
- 90 -
части диэлектрической проницаемости £'6^/в зависимости от час-
тоты вблизи линии поглощения С0о при положительной и отрицатель-
ной дисперсии. При наличии многих уровней картина становится
более сложной,, но принципиально рассуждение сохраняет силу. От-
рицательную дисперсию удалось наблюдать экспериментально.
- 91 -
§ 7. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ.
I. Строго монохроматическое поле, кек оно было определено
в § 2, никогда^не реализуется в действительности. Однако произ-
вольное поле E(t) можно разложить в интеграл Фурье. В комплек-
сной форме это разложение имеет вид
Е(1) = Jdfa)eMida) (7.1)
— о-в
где
(7-г>
Выражение (7.2) должно быть вещественным. Поэтому должно
соблюдаться соотношение
ffa а*(и)е““ du.
Заменив здесь переменную интеграции а) на - , получим
E(t)= fa*(-ta)etMi db),
Сравнение с выражением (7.1) дает:
Это есть необходимое и достаточное условие, чтобы выражение
(7.1) было вещественным. Принимая аго во внимание, разложение
(7.1) можно представить в виде
Е(^)~ + Kormrt.conpj da) , ^7*4^
о
Сюда входят только положительные зннчания а) . Формулн (7.4)дает
разложение поля в спектр частот или так называемое спектральное
разложение. Выражение
c[E(t) = Канпл. conpj du) (7.5)
можно рассматривать как слагающую поля, приходящуюся на интер-
вал частот между а) и a)+da).
Если коэффициенты отличны от нуля в очень узкой облас-
ти частот, а при остальных частотах практически обращаются в
нуль, тс такое поле называется квазимонохроматическим. Когда в
- 92 -
практической оптике говорят о монохроматическом свете, то в дей-
ствительности имеют в виду свет квазимонохроматический.
Спектральное разложение можно записать в символической фор-
ме. Так кек веществеаные части комплексного чиола и аго комплек-
сно сопряженного одинаковы, то вмеото выражения (7.5) можно на-
писать: =2d(u)eivtda> .
Это символическое равенство означает, что величина равна
вещественной части комплексного вырежения При таком
понимании
Е(t) =je(to)etU ски, (7.6)
о
где
e((d)=2a(^}=Erfr(t)e LlJidl , <7,7)
-оо
2j Приведем пример спектрального разложения. Допустим, что
поле Е(ij имеет вид оборванной косинусоиды. Оно отлично от нули
в промежутке:и представляется там выражением t
£ = coz(t)0t . .
Вне этого промежутка поле равно нулю. Заменяя СО2Ы„4 на в ,
имеем: -f- у-
2"
г п] -2 Г ** (ы-bk) 2
или переходя снова к вещественной
tut /
е du .
форме
(7.8)
E(t)=± CBSaiM.
1 ' •* J U -сдо
функцияе(ы) представлена на рис. 17. Она обращается в нуль в
гочкех to=b}o+&Fn. / п = J,2,3 - /. Примерно посередине между
Цвумн ссоедними минимумами модуля этой функции лежат его макси-
- 93 -
мумы. Главный максимум находится при tJ= . Значения последова-
тельных максимумов равны приблизительно
Г . 2Т . 2Т . гт .
X ' ЗХ1 ' SX2 ' 7Х2 '
Таким образом, больная часть энергии приходится на интеграл час-
тот ширина которого равна . Эта ве-
личина может служить мерой ширины спектральной области, занимае-
мой рассматриваемой волной. Следовательно, ширина спектральной
области и время Т* , в течение которого существует поле,
связаны соотношением:
ДУТ ~ 2Т (7-9)
Чем меньие Т , т.е. чем короче обрывок синусоиды, тем шире
спектральная область, занимаемая волной, и наоборот. Этот вывод
имеет общее значение независимо от формы волны. Если волна крат-
ковременна, то ее разложение в спектр не может занимать узкую
область частот. Для того чтобы получились узкая область частот
и поле, близкое к монохроматическому, необходимо, чтобы время
Т , в течение которого поле отлично от нуля, было достаточно
велико.
- 94 -
Когда Z'-*0’0 , выражение (7.8) переходит в E^costfct^ как
это следует из известной теоремы Дирихле, излагаемой в теории
рядов Фурье.
3. Наряду с электрическим полемс {£) разложим в интеграл
Фурье также магнитное поле В ft) и индукцию
&(t)= fcT(a))etuidb) t (7.10)
S(t)=. <’-п)
О
Подставляя эти разложения в уравнения Максвелла (1.2) и сравни-
вая подынтегральные функции, приходим к уравнениям:
, (’-К)
divcL = div 6 = О,
—♦ --ГГ
Чтобы установить связь между векторами d и в , исходим^з
соотношения (4.4). Подставляя в него выражения для Eft)* Я ft),
находим
d(co) = в(ы)е (со) (7.13)
ще£(У дается выражением (4.6). Таким образом, векторы е* ,
а. , 6 удовлетворяют той же системе уравнений, что И векторы
Е , © , Ё для монохроматического поля. Поэтому при решении
задач на распространение волн в диспергирующих средах следует
разложить волну на монохроматические составляющие и реосмотреть
распространение каждой из них в отдельности кек если бы осталь-
ных составляющих не было вовсе. Тем самым задеча о распростране-
нии волны призвольного спектрального состава в диспергирующей
среде сводится к задаче о распространении монохроматических
волн. Возможность такого сведения, как следует из изложенного,
основана на принципе суперпозиции.
4. Всякое реальное поле может быть разложено в интеграл
Фурье, поскольку оно всегда длится конечное время, а поэтому
каждая из его проекций на координатные оси абсолютно интегрируе-
ма в промежутке времени от-»о до + «=»^> . Однако иногда бывает
- 95 -
целесообразно рассматривать идеализированные и длящиеся беско-
нечно долго поля, которые не интегрируемы абсолютно в промежут-
ке времени от-«*=> до+**=> . Такиа поля не разлагаются в интегра-
лы Фурье. В этом случае может оказаться возможным представить
поле также интегралом вида (7.1) с тем, однако, отличием, что
интегрирование ведется не вдоль вещественной оои, а по некото-
рому пути комплексной плоскости 6) . Если путь интегрирования
целиком проходит в нижней полуплоскости, то диэлектрическая про-
ницаемость£(ш) может быть определена выражением (4.6). Тогда к
подобного рода разложениям применимо все, что было сказано в
предыдущем пункте относительно разложений в интегралы Фурье
(см. § 4, пункт 10).
Приведем пример, принадлежащий Ьоммерфельду. Рассмотрим
оборванную с одного конца синусоиду:
О при — / <£ О
Sin ait при О t *
(7.14)
Легко видеть, что эту функцию можно представить интегралом
гГ , (Jo г eiui . , (?-15)
где интегрирование ведется по произвольному контуру • , распо-
ложенному в нижней полуплоскости, асимптотически приближающему-
положим W=Ui‘+ioi". Тогда 61и = 6^^. Отсюда видно, что
при Ъ<О функция eiui не имеет особых точек в нижней полуплос-
кости. Замкнув путь интегрирования бесконечно удаленной полуок-
ружностью К , заключаем, что интеграл (7.15) по замкнутому кон-
туру Г + К обращается в нуль. Но интеграл по беоконечно удален-
ной полуокружности К равен нулю. Таким образом при равен
нулю и интеграл (7.15). Если же t>O, то функция не имеет
особых точек в верхней полуплоскости. Тогда мы замкнем путь ин-
тегрирования бесконечно удаленной полуоркужностью К , располо-
женной в верхней полуплоскости. Интеграл по этой полуокружности
текже обратится в нуль. Но в верхней полуплоскости имеются два
полюса первого порядка: . Поэтому при i
J иг-^лг 2JT Jыг-и* 2Я J иг-и)*
Поскольку в формуле (7.15) путь интегрирования целиком про-
ходит в нижней полуплоскости, где интеграл (4.6) сходится, мож-
но написать для индукции
LWt
~т—Г-
(7.16)
Отсюда следует, что в среде
вида
возможно распространение возмущения
i(ui -!сх)
'.I2 _ z.l*
(7.17)
где к - комплексное число
к(?)=
В § 10 мы воспользуемся этим результатом для рассмотрения воп-
роса о скорости распространения передового фронта волны.
(7.18)
У? -
§ 8. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ
СРЕДАХ
I. Общеизвестное выражение для плотности электромагнитной
энергии
W = — (м? ^Н") (8Л)
не применимо для диспергирующих сред в переменных электромагнит-
ных полях. Его вывод предполагает справедливость материальных
уравнений &Е , Ж = , в которых величины^
и ju. одни и те же для всех полей Е и U, в частности не
зависят от частоты Ы . Для обобщенья формулы (8.1) на случай
диспергирующих сред надо исходить иэ более общих энергетических
положений электродинамики.
Наибольшей общностью отличается выражение для плотности
потока электромагнитной энергии, даваемое вектором Пойнтинга
(8.2)
Оно справедливо в любых материальных средах. На это наводит сле-
дующее рассуждение. Предполагая справедливость формулы (8.2) в
вакууме, рассмотрим границу вакуума с какой-либо средой. Иэ зако-
на сохранения энергии непосредственно следует, что нормальные
составляющие вектора потока энергии по обе стороны грачицы разде-
ла одинаковы. В вакууме нормальная составляющая этого вектора
представляется векторным произведением Гг*0* 7Т^а,<1
чК Lct J •
Таково же значение нормальной составляющей вектора потока элект-
ромагнитной энергии и в среде на границе с вакуумом.Но танген -
циальные составляющие векторов и Z/*" непрерывны на любой
границе раздела. Следовательно, нормальная составляющая вектора
плотности потока энергии может быть также представлена в виде
, где £ и U - напряженности полей в среде.
% К К]
- 98 -
Граница раздела может быть ориентирована как угодно. Если поэто-
му ввести предположение, что вектор плотности потока энергии дол-
жен выражаться локально через векторы и /Г , то из
справедливости формулы (8.2) в вакууме будет следовать ее спра -
ведливость в среде. Хотя необходимость локальной связи между
рассматриваемыми векторами и не диктуется принципом причинности
и общими представлениями теории поля, выражение (8.2) для плот -
ности потока энергии согласуется со всеми известными фактами.
Поэтому мы будем пользоваться формулой (8.2) при рассмотрении
наиболее общих энергетических вопросов.
Выделим в среде произвольный объем V , ограниченный замк-
нутой поверхностью F . Если среда яепоглощающая, то количество
электромагнитной энергии, втекающей в этот объем в секунду
£Sn cLF ( IT - внутренняя нормаль ), должно равняться
ежесекундному приращению ее в зтом объеме:
V F
Преобразуя поверхностный интеграл в объемный, получим
V
откуда ввиду произвольности области интегрирования
+ dilT $ =0 . (8.3)
Z/Г
Из уравнений Иаксвелла (1.2) в предположении, что J = О на-
ходки
- 99 -
Сравнение с (8.3) дает
Разделяя энергии на электрическую^ магнитную, можем написать
дмэ _
dt 4J7 dt (вл)
дм*_____-j 77 дВ (8.5)
dt н dt
Такие формулы получаются в электродинамике из рассмотрения
работы, совершаемой электромагнитными полями при поляризации и
намагничивании сред. Величина дает, напри -
мер, работу электрических сил в единице объема диэлектрика при
изменении вектора индукции 5Э на ct’ft . Если эта работа
идет на приращение электрической энергии, то получается формула
(8.4). Если формулы (8.4) и (8.5) принять за исходные, как это
делается в электродинамике, то, обращая порядок наших рассужде-
ний, можно получить доказательство теоремы Пойнтинга. При вычис-
лении работы и выводе формул (8.4) и (8.5) материальные уравне -
ния яе используются. Поэтому выражение для плотности потока энер-
гии и не содержит никаких материальных констант, характеризующих
среду.
2. Воспользуемся формулами (8.4) и (8.5) для вывода выраже-
ний плотности электромагнитной' энергии в диспергирующей среде.
Среду в рассматриваемой области частот будем считать непоглощаю-
щей. Точнее, ее следует*рассматривать как предельный случай
реальной среды с. исчезающе малым поглощением.
Вычислим сначала электрическую энергию. Иэ соотношения
(8.4) получаем
^fW-^'л
(8.6)
- 100 -
причем за нулевой .принят такой момент времени, когда векторы Е
и , а с ниш и плотность электрической энергии в среде бы-
ли равны нулю. Однако непосредственное вычисление величины У1Э(±)
для ионохрогатичеокого поля по этой формуле выполнено быть яе мо-
лст. онохроматическое поле никогда не начинается и никогда яе
ооръьастсн во времени. Для него нельзя указать момент, когда
электромагнитная энергия равна нулю, Нейду тем по самой поста-
новке задачи надо исходить из начального состояния, в котором
электромагнитного поля нет. Затем следует вычислить работу, кото-
рую необходимо затратить на создание электромагнитного поля.
Для преодоления этой трудности С.Й.Рытов и Ф.С.йдкевич, впервые
решившие вопрос о плотности электромагнитной энергии в иепогло-
щаюхих диспергирующих средах, разлагали реальное поле в интеграл
Фурье, а затем переходили к предельному случаю квазимонохромати-
ческого поля. Однако можно прийти быстрее к цели и избежать длин-
ных вычислений, если поступить иначе. Будем рассматривать моно-
хроматическое поле как предельный случай поля EoC^Je**1*
с Хомнликсной величиной Л/ , лежащей в нижней полуплоскости.
АЛлитуда поля экспоненциально нарастает во времени и обращается
в нуль при t —. Для таких полей 59 ” €• £<•>)£
поскольку в формуле (8.6) все векторы^предполагаются веществен-
ными, мы заменим t на (Е+Е*) и т.д. Сделав
такую замену, подучим
= Т~~ if + -1— [е* ~+конпл. сопл.
Э ЛГУ 91 dtxj ft (8.7)
Подставляя сюда &-&(*>)£ , считая мнимую часть й)"
отрицательной и выполнив интегрирование, получим для первого
слагаемого
- 101 -
Предполагая мнимую часть малой, можем написать
и предыдущее выражение примет вид
. idzfa'jEЕ* / Г d(ue) 1 ЕЕ*
1бя (ы-ь)*) 32ТЕI Lw
Прибавим сюда комплексно сопряженную величину, учтем, что для
непоглощающей среда диэлектрическая проницаемость яа Бе“
щесзвенной оси вещественна и перейдем к пределу си "-* О ,.
Тогда получим
•/ d(tt)£.) Е [Е*
16Т du)
Окончательно для плотности электрической энергии находим
Ц/ - ,d(u)z) ЕЕ*/ £
Wa /&Г du) tttr Г t J (8.8)
Дифференцирование производилось вдоль мнимой оси. Но его
можно заменить дифференцированием вдоль вещественной оси, так
как функция £ (tJ) аналитическая. Плотность магнитной энер-
гии получается аналогично и равна
ш -JL d&ftl jjij* /ЬХ db) НН /гт*'77**1 'згг 1Н+^ / (8-’>
- 102 -
При усреднении по времени вторые слагаемые в формулах (8.8) м
(8.9) обратятся в нуль, и для средней плотности электромагнит-
(8.10)
ной энергии получится
При отсутствии дисперсии выражения (8.8)- (8.10) переходят в
прежний формулу (8.1).
3. М.Л.Левин на частном примере дал простой вывод формулы
(8.10), очень хорошо разъясняющий существо дела. Пусть вещество
с диэлектрической проницаемостью £ (ы) и магнитной проницае-
мостью (ь)} заполняет плоский конденсатор с емкостью
и тонкий соленоид с шндуктивностью«£^А'' Ьс , соединенна’
в колебательный контур (рис.19). Величины Со ш <£о означают
гис.19.
емкость и индуктивность для случая, когда в пространстве между
обкладками конденсатора и внутри соленоида вакуум. Допустим, что
они подобраны так, что Ю— -— является собственной час-
УХ(ы)С(-») ,
тотой колебательного контура. Пусть при t <О в контуре со -
вериаются свободные колебания, так . что сила тока и напря-
жение на обкладках конденсатора V представляются выражениями
- 105 -
Как известно, они связаны между coo'oii соотношением:
icM+v-o.
В момент времени Т-0 включим в контур исчезающе малое сопро-
тивление X. . Тогда» начиная с этого момента, колеиаппя н
контуре будут описываться уравнением
т.е. будут затухающими. Именно при t>O
- комплексная частота, удовлетворяющая уравнению:
Ш Х(о>) ~
Поскольку К исчезающе мало, 0 должна отличаться от Ы
также на исчезающе малую величину. Но й) удовлетворяет уравне-
нию .
Вычитая его из предыдущего соотношения и заменяя все разности их
дифференциалами, получим
[^и*Ги'сг /
x dfidt) /
(Г * du + tdc1 du du C du
Первоначальная анергия, запасенная в колебательном контуре,
очевидно, равна всему выделившемуся теплу:
- 104 -
Гг/^к/ ___________________
W |л( 2 4 /2гйУ* ОаГ JM 4
° . Г? +J-\
n [cdz+&Z & J
или в пределе при О -»» о
пользуясь соотношением
аа>
аы
Подставляя сюда значение для
7У^/Х| = |%| , получим
Вообразим на одно мгновение, что между обкладками конденсатора
и внутри соленоида вакуум. Если амплитуда напряжения на конден-
саторе равна 14 , а амплитуда тока ОС , ю и
C.lV.l* 4
—----- будут средними по времени значениями магнитной энер-
гии в соленоиде и электрической энергии в конденсаторе. В этом
случае для них можно написать
Sf-fXI* 7 Д|кГ 7 Я .
где и Ze - объемы соленоида и конденсатора, а Е иЦ -
напряженности электрического и магнитного полей в вакууме между
пластинами конденсатора и в объеме соленоида. Но при одной и
той же силе тока в соленоиде и при одной и той же разности по -
тенциалов на обкладках конденсатора напряженности магнитного и
электрического полей в объемах Т„ и 7~е не зависят от ве-
щества, заполняющего эти объемы. Поэтому для электрической и
магнитной энергии можно написать
8Г d« t > vym- L-,
105 -
где Е и // - напряженности полей' в среде. Отсюда немедлен-
но получаются прежние формулы" для плотнрсти электрической и маг-
нитной энергий.
Отметим недостаток этого изящного вывода. Разность частот
Q-СО - СЛ является величиной чисто мнимой. Поэтому
дифференцирование функций со£ и со С производится
вдоль мнимой оси. В окончательном же выражении оно подменяется
дифференцированием по вещественной переменной СО . Это закон-
но, когда функции со £ и соС аналитичны. Однако доказа-
тельства этого в выводе М.Л.Левина не содержится. Вывод для пол-
ного своего обоснования нуждается в общей теории дисперсии, где
дается обоснование аналитичности функций (ь) и Си) .
4. Получим, наконец, выражение (8.8) еще на одном примере ,
чтобы с особой отчетливостью выяснить физический смысл отдельных
слагаемых, на которые можно разбить это выражение. Пусть газ,
атомы которого могут рассматриваться как классические^гармоничес-
кие осцилляторы, помещен в электрическое поле Е =
Предполагая, что частота далека от собственной частоты ос-
циллятора <Оа , пренебрежем в уравнении (5.1) "силой трения" и
запишем его в виде
-X- е г~ е Е~
Отсюда для установившихся колебаний получаем
е Е
? ЕЕГЕЕ * (W
Электрическая энергия в среде слагается из двух частей:
энергии поля и энергии частиц, иэ которых эта среда состоит.
Энергия поля - это та энергия, которая осталась бы в пространст-
ве, если бы иэ него удалить все частицы без изменения самого
поля. Энергия частиц в свою очередь слагается иэ -внутренней ки-
нетической энергии частиц и их внутренней потенциалмой энергии.
В разбираемом нами случае это - кинетическая энергия колеблющих-
ся электронов и квазиупругая потенциальная энергия, возникающая
- 106
при смещении их из положений равновесия. В статических п|)лях ки-
нетическая энергия отсутствует, но она всегда существует в пере-
менных полях.
Плотность собственно энергии электрического поля:
и/ = _С/_£±£*)2-^
™ 8Х\ 2 / 32 Л
—-— + комп л. cofap.
32 Л
Плотность потенциальной энергии:
Плотность кинетической энергии:
+КОМПЛ- еопр.
Подставляя в эти формулы выражение (8.II), складывай их и
определив величину V т иэ дисперсионной формулы
+ ’ • (8.12)
получим
Г’э 32Л 32TL J г
(8.13)
Но иэ формулы (8/12) легко получить
db> ~li’ '
так что предыдущее выражение переходит в (8.8).
- 107 -
§ 9. ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ. ВОЛНОВЫЕ ПАКЕТЫ. СКОРОСТЬ
ДВИЖЕНИЯ ЭНЕРГИИ"
I. Произвольное возмущение можно представить в виде наложе-
ния монохроматических волн различных частот. Если все волны пло-
ские и распространяются в одном и том же направлении, то резуль-
тирующая волна будет также плоской. В недиспергирующей среде она
будет распространяться.в том же направлении, что и составляющие
ее монохроматические компоненты. Так как в недиспергирующей сре-
де фазовые скорости всех монохроматических компонентов одинаковы,
то профиль результирующего-возмущения не будет изменяться с тече-
нием времени. Возмущение будет продвигаться вперед со скоростью,
равной фазовой скорости.
Не то будет в диспергирующих средах. Там без изменения про-
филя могут распространяться только монохроматические волны. Вся-
кая другая волна не только продвигается вперед, но и непрерывно
изменяет свою форму, так как фазовые скорости монохроматических
компонентов, на которые она может быть разложена, различны. Это
показывает, что понятие скорости распространения волны в диспер-
гирующих средах лишено того ясного смысла, какой свойственен ему
в средах недиспергирующих. В некоторых случаях, однако, можно го-
ворить об определенной скорости распространения волнового возму-
щения и в диспергирующих средах.
Рассмотрим сначала в действительности не существующую непог-
лощающую диспергирующую среду, для которой фазовая скорость яв -
ляется линейной функцией длины волны:
тг . *9-1)
Пусть в такой среде распространяется плоская бегущая волна.
Разложим ее на монохроматические составляющие. Их число, вообще
говоря, бесконечно велико. Но мы проведем рассуждение.в предполо-
жении, что число волн равно трем. Это, как будет видно из дальней-
шего, не отразится на общности рассуждений и результатов.
На рис.20 изображено расположение рассматриваемых трех волн
- Ю8й
Рис.20.
в какой то момент времени. Каждая из волн представлена синусои-
дой. Форма результирующей волны зависит от взаимного расположе -
ния синусоид. Синусоиды перемещаются вправо со скоростями
V,=v(, Vz=ir(l2y , Vz =&(As) . Сложив ординаты сину-
соид, можно найти результирующее возмущение в произвольный момент
времени. Поскольку скорости V, , иг , IQ различны,
взаимное расположение синусоид будет непрерывно изменяться и
повлечет за собой непрерывное изменение формы результирующей вол-
ны. Докажем, что при линейном законе дисперсии (9.1) взаимное
расположение синусоид, а с ним и форма всего возмущения периоди-
чески восстанавливаются.
Пусть в начальный момент гребни -Я , 3 и С трех
волн налагаются друг на друга ( это предположение не ограничи-
вает общности рассуждения). Допустим ради определенносигг что
фазовая скорость длинных волн больше, чем коротких. Тогда гребень
, Л начнет обгонять гребни В и С Гребни , Bt ,
Ct будут еще больше расходиться. Гребни же , Ва . Са
начнут сближаться. Вычислим промежуток времени Т < по истече-
нии которого гребень .к догонит Ва . Поместим начало коор-
динат в точку, в которой находились гребни , 3 , С в
- 109 -
начальный момент. Тогда координаты гребней -Л2 , , С2 в
произвольный момент времени будут равны :
Xct "J*
При £ = Т координаты гребней Л И ог должны совпадать,
т*е.
кг-J, = ,
откуда
2“ -
v. -ui ~ dv ~ в
Аналогично, по истечении времени
Z** - ; Я.'Яз _ ' = Z*
1Г, -1Г3 dir 6
гребень наложится на . Таким образом, спустя время Т
гребни Л2 , Ъ2 и С2 пространственно совпадут. Это значит,
что первоначальное расположение синусоид, а с ним и первоначаль-
ная форма возмущения восстанавливаются. Вывод, очевидно,. сохра -
няет силу для произвольного числа синусоид и для какого угодно
их взаимного начального расположения. Стадо быть, он справедлив
для волнового воз1 ущения произвольной формы. По истечении време-
ни форма произвольного плоского волнового возмущения,
распространяющегося в диспергирующей среде, восстанавливается.
Время Т можно назвать временем восстановления формы возмуще-
ния.
Если разделить на Т" расстояние между волновыми возмуще-
ниями в моменты времени / и +Т , то полученную величину
- НО -
естественно рассматривать как скорость распространения возмуще-
ния в диспергирующей среде. Она называется групповой скоростью.
Под расстоянием, о котором здесь идет речь, следует понимать
расстояние между какой-либо произвольной точкой возмущения в
момент времени t и аналогичной точкой того же возмущения в
момент ~L +Т .
Для вычисления групповой скорости можно следить за периоди-
ческим появлением в различных местах пространства произвольной
особенности в волновом образовании, например максимума возмуще -
ния, если таковой существует. Мы проведем рассуждение примени -
тельно к максимуму, но оно может быть повторено без всяких изме-
нений для произвольной точки волнового возмущения. В рассматрива-
емом нами частном случае взаимного расположения синусоид максимум
волнового возмущения получается в тех точках пространства, где
гребни всех синусоид налагаются друг на друга. Он не продвигает-
ся вперед непрерывно, а периодически появляется в различных точ-
ках волнового образования через время Т . За это время первая
синусоида смещается вперед на расстояние ^7^” . Точка же мак-
симального возмущения смещается относительно нее назад на длину
волны . Таким образом, максимум возмущения проходит путь
и;т - Л • При линейном законе дисперсии (9.1) тот же
путь равен 1Гг Г или . Вообще он равен
Ут » поскольку это выражение не зависит от Л
Следовательно, скорость перемещения максимума равна
&Т-А chf (9.2)
Эта формула впервые была получена Релеем после того как в среди-
не прошлого века Стокс обратил внимание на различие между фазовой
скоростью и скоростью перемещения конечной группы синусообразных
волн.
, Выражение (9.2) можно записать в виде
—тзг-
III -
или
du
HF
Далее
dir de с dn_________________________°^п
dA ~ dA п ~ пг dA nd/’
и выражение (9.2) переходит в
Z, Л
(9.3)
(9.4)
2. Предыдущим рассуждениям можно придать, чисто аналитичес-
кую форму. Пусть начальное волновое возмущение представляется
функцией
F, ~Г(Х)
(9.5)
которая отлична от нуля на конечном отрезке оси X , а вне
этого отрезка обращается в нуль. Такую функцию можно разложить
в интеграл Фурье
сю
о
В зависимости от начального распределения магнитного поля возму-
щение начнет распространяться либо в положительном, либо в отри-
цательном направлении оси -X < либо разделится на два возмуще-
ния, идущих в противоположных направлениях. Допустим, что возму-
щение пойдет в положительном направлении оси -X . Начальному
условию (9.6) удовлетворяет функция
(9.7)
о
- 112 -
Она и будет представлять возмущение в любом месте пространства
в любой момент времени, если только частота «о является над-
лежащей функцией волнового числа к , определяемой законом
дисперсии электромагнитных волн в рассматриваемой среде. Допус-
тим, что функция cD (kJ линейна по к : Ь)-ик+д- ,
где и и - постоянные. Легко проверить, что такой закон
дисперсии совпадает с принятым ранее законом (9.1). Теперь воз-
мущение (9.7) представится в виде
о
Рассмотрим точку, перемещающуюся со скоростью U. .В такой
точке ut-x = comt , Подинтегральная функция, а с ней и
временный ход возмущения в рассматриваемой точке определяются
только экспоненциальным множителей 6 . Но этот мно-
житель периодически меняется во времени с периодом
~
~ $ otir . Через такой промежуток времени должно
восстанавливаться значение поля Е~ в рассматриваемой точке..
Отсюда следует, что по истечении времени г волновое возмуще-
ние принимает исходную форму, но оказывается переместившимся
вперед на расстояние л. = UT . Мы пришли к прежнему резуль-
тату: Т есть время восстановления, а и - групповая ско -
рость.
3. При линейном законе дисперсии (9.1) полученные результа-
ты являются точными. Но они приближенно справедливы в любых не -
поглощающих диспергирующих средах, если речь идет о распростране-
нии так называемой группы волн. Под группой волн понимают волно-
вое образование, занимающее столь узкую спектральную область,что
в пределах этой области приращение фазовой окорооти с достаточ-
ным приближением может считаться пропорциональным соответствую-
щему приращению длины волны. Другое эквивалентное определение:
Группой волн называется волновоа образование, занимающее столь
узкую спектральную область, что в ее пределах частота может
быть с достаточной точностью аппроксимирована линейной
- ИЗ -
функцией волнового числа.
В случае группы волн возмущение (9.7) сводится к интегралу
по узкому интервалу волновых чисел от к„ до кв + dk . Часто-
ту можно разложить в ряд по степеням к-ко и обор -
вать это разложение на членах первой степени:
6) = Ы (кв) ¥ (к-кв}=ы(к‘)+и&>)(к-ко^ , (9.9)
Тогда мы придем к линейному закону дисперсии, к которому отно -
сятся все полученные выше результаты. Для группы волн ^следова-
тельно, можно говорить о времени восстановления ,
по истечении которого она принимает свою исходную форму.
Однако при наличии отклонений от линейного закона дисперсии
восстановление формы волны будет не совсем полным. Если группу
наблюдать достаточно долго, то ее форма может претерпеть сущест-
венные изменения, как бы узка ни была спектральная область с к
Чтобы найти условие, при выполнении которого еще имеет смысл го-
ворить о приближенном периодическом восстановлении формы группы,
дополним разложение (9.9) членом второй степени:
Ы=Ыо(кв)+и {к-ко)+-~-^ (к-кв) . <9-10)
Рассмотрим выражение (9.7) в произвольной точке, движущейся со
скоростью и , например в точке х = t .в этой точке
(9Л1)
кв
В начальный момент
Е Л (к) dk , (9.12)
По истечении времени ~ ~ёОг пеР®ы“ экспоненци-
альный множитель в подынтегральном выражении (9.П)принимает
- 114 -
исходное значение - единицу- Форма группы практически не будет
отличаться от начальной (9.12) , когда для любого к из проме-
жутка интегрирования второй экспоненциальный множитель также
почти не будет отличаться от единицы. Для этого достаточно
или
^г<< 1~ <’-в>
При выполнении этого условия распространение произвольного
плоского возмущения в диспергирующей среде может быть описано
следующим образом. Воэиущение идет вперед, и его 1 pi. непрерыв-
но изменяется. Однако по истечении времени У = возмущение
принимает форму, почти совпадающую с исходной, причем за это вре-
мя оно продвигается вперед на расстояние Я.= U-T , По истечении
следующего промежутка той же длительности произойдет то же самое.
Вообще, форма волнового возмущения в любой момент £ с
мало заметным искажением воспроизводит его форму в более ранний
момент времени t , причем за время Т" возмущение перемещает-
ся вперед на расстояние X- = . Если наблюдать возмущение
достаточно долго, то малые изменения, которые оно претерпевает
за следующие друг за другом равные промежутки времени длительностью
Т , накапливаются и могут настолько сильнг исказить возмуще-
ние, что его форма потеряет всякое сходство с исходной. Время t ,
в течение которого имеет место периодическое приближенное вое -
становление начальной формы возмущения, удовлетворяет условию
• <э-15>
4. Развитые соображения позволяют легко решить вопрос о
скорости движения энергии в диспергирующих средах в тех областях
спектра, в которых применимо понятие групповой скорости ( т.е.
вдали от полос поглощения). Прежде всего следует заметить, что
- 115
фазовая скорость волны не имеет ничего общего со скоростью дви-
жения анергии. Фановой скоростью устанавливается только связь
между фазами колебаний в различных точках пространства.
Связь такого типа в принципе может существовать и без передачи
анергии. Следующий пример может служить для разъяснения зтого.
Лооорагим длинную цепочку людей, расположенных вдоль прямой ли -
нии на равных расстояниях друг от друга. Они совершают одно и
то же периодическое движение руками и притом так, что каждый впе-
реди стоящий человек начинает движение о некоторым запаздыванием
по отнонению к стоящему'за ним человеку. Пусть время запаздыва-
ния одно и то же для всех людей цепочки. При наблюдении со сторо-
ны будет казаться, что по цепочке бежит -волна с определенной фа-
зовой скоростью, значение которой зависит от (Юсстсяния между со-
се, и ими людьми и от времени запаздывания, о котором говорилось
зыке. Наличие такой волны, конечно, ие означает, что каждый чело-
век' пеночки приводит в движение впереди стоящего человека. Так
н :>озможносгь распространения в среде плоской монохроматической
«ины не дает оснований заключить, что волна переносит анергию
с фазовой скоростью.
Строго плоская монохроматическая волна не пригодна для наб-
людения передачи анергии, поскольку она ие имеет ни начала, ни
। юнца во времени н в пространстве. Сайа постановка вопроса о пе-
; даче анергии требует отказа от такой идеализации. Необходимо
. перейти к волновому возмущению, ограниченному в пространстве по
крайней мере с одного конца, т.е. имеющему передовой фронт, ве-
ред которым возмущение отсутствует. Подходящий волновыи -браво-е-
ле чожет служить группа води. Если выполнено условие (9.13),
то средняя скорость анергии, иереиосииой группой, совпадает с
групповой скоростью. В сапом"делЬ, при. выполнении зтого условия
форда группы, какую она имела в момент "t , восстанавливается
без заметного искажения в-более порций момент времени £ *7* .
При асом группа виерте с локализованной в ней анергией за время
Т * перемещаемся В”*>ред на расстояние X* иТ . Так как
„сдобного рода восстановление формы группы имеет неото каков
.бы ни был момент времени , то представление о движении
энергии с групповой ^скоростью и сохраняет смысл на протяжении
- 116 -
как угодно длинного промежутка времени, хотя га такой промежуток
форма группы может потерять всякое сходство с ее исходной формой.
Итак, в области, далекой от сильного поглощения, окорссть
двииения энергии в группе волн равна групповой скорости. То ие
самое приближенно имеет место и для скорости движения энерхии
в волновом возмущении, занимающим сравнительно широкую спектраль-
ную область, если только в пределах зтой спектральной области
групповая скорость и=и(А) меняется нале.
Если ширина спектральной области Л , занимаемой группой,
стремится к нулю, то группа в пределе переходит в монохроматичес-
кую волну. Можно поэтому сказать, что средняя скорость переноса
энергии в монохроматической волне совпадает с групповой скоростью.
Это утверждение следует понимать именно в приведенном смысле,
рассматривая монохроматическую волну как предельный случай квази-
монохроматической. Нельзя ограничиться идеализированной плоской
строго монохроматической волной, отвлекаясь от представления ее
как предельного случая квазимонохроматической волны. При такой
абстрактной постановке вопроса утрачивается связь с реальными
явлениями, а потому с точки зреншя физики она бессмысленна.
5. Поскольку фазовая скорость не имеет отношения к скорости
распространения энергии, принципиельно могут существовать такие
плоские волновые возмущения, в которых направления фазбвой и груп-
повой скоростей противоположны. Для электромагнитных волн в проз-
рачных диэлектриках это, однако, невозможно ( с одной оговоркой,
о которой будет сказано ниже). Действительно, средняя плотность
электромагнитной энергии, как она была определена в § 8, сущест-
венно положительна, каково бы ки было электромагнитное поле.Для
плоской бегущей монохроматической волны , и
выражение (8.10) переходит в
- 117 -
или
IV = --------. (9-К) '
у 16^a)jJ- da) 1 -г' *
/ 2
Так как к = & ft , то
й7= Г Г* С*^ ~ = с- -^* . (9.17)
vv *- I’EjxcJ da) SZJ-1- Ь-U
Из положительности этого выражения заключаем, что yz^zz >о •
При этой понятие групповой скорости U. , очевидно, применимо
только в тех случаях, когда волновой вектор к вещественный.
Последнее возможно тогда и только тогда, когда £,JJ->O , как
это видно из формулы к 1 ~~сГ &• Значит, знаки £
и yz должны быть одинаковы. Если величины & и ju обе положи -
тельны, то irU>o , т.е. направления фазовой и групповой ско-
ростей совпадают. Если же & и ju- обе отрицательны, то
VU <0 , и направления этих скоростей противоположны. Сре-
ды, у которых величины & и у обе отрицательны, неизвестны.
Не ясно даже, возможны ли они принципиально. В оптике величинаJU.
может считаться равной единице или отличаться от единицы пренеб-
режимо мало. Поэтому возможность ju- <-о следует исключить и счи-
тать, что в оптике направлении фазовой и групповой скоростей в
прозрачных изотропных диэлектриках всегда совпадают.
6. К вопросу о средней скорости движения энергии в монохро-
матической волне можно подойти с другой точки зрения. Уравнение
баланса энергии в плоской волне может быть записано в виде
+-^- =0 . (9.18)
di дх
Рассмотрим плотности энергии И/ и ее потока «S' в какой-либо
фиксированной плоскости пространства x. = et — const э перпенди-
кулярной к направлению распространения волны. Пусть возмущение
распространяется в положительном направлении оси X , Вначале
|Лектромагнитное поле в плоскости ос = а. , а с ним и величины
ттс -
W и S' были равкы нулю. В некоторый момент времени / =
возмущение достигнет плоскости хг = а. , после чего плотность
энергии начнет изменяться по формуле
<8Л”
----
С момента t начнется сложный процесс установления колебаний.
После того как он закончится в плоскости х=а. установятся
синусоидальные колебания поля. Плотность энергии IV , опреде-
ляемая формулой (9.19), будет слагаться из двух частей: из не
зависящего от времени слагаемого IV , которое может быть назва-
но средней плотностью энергии, и из колебательного члена,частота
колебаний которого вдвое превосходит частоту колебаний поля. На
такие же две части может быть разбит и полный поток энергии $ .
Для средних величин уравнение баланса энергии примет вид
-
Иэ = > (9.20)
И/
где Uэ - средняя скорость движения энергии. Такое определение
средней скорости движения энергии в монохроматической волне вос-
ходит еще к Релею. Однако оно приобретает смысл только* после то-
го, как будут установлены выражения для величин £ и IV или
по крайней мере указан принципиальный способ их определения?
Предыдущие рассуждения показывают, что достаточно иметь выраже-
ние только для плотности потока энергии . Плотность самой
энергии может быть вычислена по формуле (9.19), являющейся част-
ным случаем более общей формулы (8.3). Именно таким путем была
вычислена в § 8 плотность электромагнитной энергии в диспергирую-
щих средах. Для возможности такого вычисления, как уже отмечалось
при выводе формулы (8.10), нельзя просто подставить в формулу
(9.19) значение потока <5 в монохроматической волне, а необходи-
мо рассматривать такую волну как предельный случай квазимонохро-
матической волны с передовым фронтом, перед которым волновое
возмущение отсутствует. Тем самым устанавливается связь с рассуж-
дениями пункта 4 этого параграфа и становится понятным, что
- 119
величина IL* , определяемая выражением (9.20), должна совпа-
дать с групповой скоростью.’
Проверим последнее утверждение для плоской монохроматичес-
кой электромагнитной волны. В этом случае
£ = fit+котя "V ~ ][*+компл.сопр.
или на основании
и =
=—/т*- гр*
8ZVJi ЕС BTuji tL Г ,
. Поделив это выражение на (9.17), получим
—
~ dk U’
т.е. IL3 совпадает с групповой скоростью.
7. Выше при введении понятие групповой скорости предполага-
лось, что плоские монохроматические волны, входящие в волновое
образование, распространяются в одном и том же направлении. Не
представляет большого труда обобщить рассуждения на случай, ког-
да такие волны занимают по-прежнему узкую область частот, но
распространяются в разных направлениях, образующих узкий конус
направлений. Соответствующее волновое образование называется
волновым пакетом. Аналитически волновой пакет можно представить
в виде тройного интеграла
или в более короткой записи
120 -
[(?.£)= dk . (9.2i)
Частота и и волновой вектор к меняются в узких пределах,
группируясь вокруг средних значений иа и ._Частоту*>
следует рассматривать как функцию волнового вектора к . Ви-
дом этбй функции определяется закон дисперсии волн в рассматри-
ваемой среде. Если среда изотропна, то функция и (И) может
зависеть только от длины вектора к , ио не может зависеть
от его направления. В общем случае, однако, когда среда анизо-
тропна, имеется и зависимость от направления. С таким случаем мы
встретимся при изучении кристаллооптики. Поэтому мы не будем
конкретизировать вид функции и (к) и проведем рассужде-
ния для общего случая. Разложим функцию а (*) в степенной
ряд и оборвем его на линейных членах:
Cd = cdo + Л Cd ,
Ж'-5?^,
dkt dky y окг
&k = к-ко .
Введем вектор и. с компонентами
Л, ди „ _ ди
' и^1кч ’ иг=~дкг ’
Его можно представить в сокращенной векторной форме
(9.22)
- 121 -
смысл которой раскрывается сравнением с написанными выше коорди-
натными формулами. Выражение для Д/У примет вид лй)=Илк ,
а потому
где введено обозначение
Для такого возмущения уже нельзя ввести единое время восста-
новление формы. Это можно сделать только для одномерных возмуще-
ний. Если же возмущение трехмерно, то следовало бы говорить о
восстановлении формы в трех различных направлениях, не лежащих в
одной плоскости. Этим направлениям соответствуют три времени вос-
становления, вообще говоря отличающиеся друг от друга. Только в
частном случае, когда все три времени совпадают, получается кар-
тина периодического восстановления формы всего возмущения. Поэто-
му при введении понятия скорости возмущения нельзя поступать так,
как мы поступали при рассмотрении распространения группы волн.
В движущейся точке с радиусом - вектором г
функция IP. i) постоянна и равна JtzfkJdk
В этой точке волновое возмущение имеет вид ;
const е = const G
и представляет гармоническое колебание с постоянной амплитудой
и частотой (к„ и.) , Величина CL играет роль скорос-
ти распространения волнового пакета. Она определяется как скорост:
точки, движущейся вместе с волновым пакетом, в которой амплитуда
колебаний остается постоянной. Вектрр называют групповой
скоростью или скоростью волнового пакета. Если волновой пакет
- 122
распространяется длительное время, то амплитуда колебаний в
точке, движущейся со скоростью И , может заметно измениться.
Начнут сказываться квадратичные члены и члены высших степеней в
разложении частоты Со , которыми мы пренебрегли. Медленное
изменение аиплитуды поведет к существенному изменению формы са-
мого волнового пакета. Это явление называется расплыванием па-
кета. Но даже при наличии расплывания ( в отсутствие поглощения)
сохраняет смысл представления о движении энергии с групповой
скоростью.
ЗАДАЧИ.
I. Найти соотношение между фазовой и групповой скоростями
для волны, распространяющейся в прямолинейном волноводе произ -
вольного поперечного сечения. Стенки волновода идеально проводя-
щие, а сам волновод заполнен диспергирующей средой с диэлектри-
ческой проницаемостью S Еы) и магнитной проницаемостью •
Рассмотреть два случая: I) продольная составляющая вектора п
равна нулю (волна электрического типа) ; 2) продольная составляю-
щая вектора равна нулю ( волна магнитного типа).
РЕШЕНИЕ. Введем прямоугольную систему координат, направив
зсь Z вдоль волновода, а оси X иУ перпендикулярно к ней.
1оле волны, распространяющейся в волноводе, можно записать в ви-
?де - постоянная. Уравнения Максвелла примут вид:
z. U =i—F
• к U t _ • Е. ci t~ .к г , и (9.22)
га с . dEv ЗЕХ _ • //
17'17 ~Е*’- -17-ТГ -
- 125 -
Допустим, что волна является волной электрического типа, T.e.Z£=P
. Тогда, пользуясь (9.22), легко выразить все компо-
ненты поля через
и : £й) д£г
дх П* L со* ду
и ^г})
а1 ду пч ~ L с<& дх
^=0 ,
kl=~rbyL ; Al=P-kt , (9.24)
причем Z^ удовлетворяет уравнению
К зтому уравнению следует добавить краевое условие яа стенках
волновода. Электродинамики требует непрерывности тангенциальной
составляющей вектора Е на границе раздела сред. В нашей за-
даче по одну сторону границы находится идеально проводящий металл,
где электрическое поле должно обращаться в нуль, так как в про -
тивном случае возникток бесконечной плотности в соответствии
с уравнением J =* о* Е ( = 0,1) . Такии образом, задача
сводится к реиению уравнения (9.23) с краевым условием Z^ =О
на стенке волновода. Такая задача может иметь решения лишь дли
определенных значений параметра а , образующих дискретный
спектр собственных значений: Л «а, , л •••
Возьмем одно из этих значений и тем самым конкретизируем вид
распространяющейся волны. Если изменить частоту Ы , то вооб-
ще говоря изиенятся к и кг , но значение параиетра ОС у
волн рассматриваемого вида, разумеется, останется беэ изменения.
Поэтому дифференцируя (9.24) при постоянном 64 а принимая во
внимание, что получим
- 124 -
После подстановки фазовой If = ~т~~ и групповой и= -у-;
^2 CL^Cg
скоростей найдем
“Г °• <’-ж>
В частности, если среда не диспергирующая,
(9.27)
Формулы (9.26) и (9.27) остаются без изменения и для волн
магнитного типа. В этом случае £Z=O , и с помощью уравнений
(9.22) легко выразить все компоненты поля через :
Г 2/ Я_/А ЕЕ*
ьл~ с са* ду L д* 1
уМ н _L Л М (9.28) COL* дх. г- Ег =о.
Величина должна удовлетворять уравнению Л4- + <9*29) дхг ду*
а тангенциальная составляющая вектора с ка стенках волновода
должна быть равна нулю. Тангенциальная составляющая Ет , как
легко видеть, может быть выражана через производную Нг по
внешкей нормали п к стенке волновода по формуле
с<лг дп
(9.30)
- 125 -
Таким образом, задача сводится к решению уравнения (9.29) с крае-
вым условием п О на стенках волновода. Такая задача
может иметь решения только длн определенных значений параметра
О. , образующих дискретный спектр собственных значений. Поэто-
му рассуждения, примененные выше длн волн электрического типа,
сохраняют силу и в рассматриваемом сейчас случае. В частности,
для волн магнитного типа справедливы формулы (9.26) и (9.27).
2. Показать, что средняя скорость движения энергии в моно-
хроматической бегущей волне электрического и магнитного типа,
распространяющейся в прямолинейном волноводе произвольного попе-
речного сечения, совпадает с групповой скоростью.
РЕШЕНИЕ. Средняя скорость распространения энергии определя-
ется как отношение среднего количества энергии, протекающего че-
рез поперечное сечение волновода в одну секунду, к средней энер-
гии, приходящейся на единицу длины волновода. Среднее количество
энергии, проходящее в одну секунду через поперечное сечение вол-
новода, определяется интегралом
Ji (9.31)
причем интегрирование ведется по площади поперечного сечения вол
повода. Ради определенности рассмотрим волну электрического типа
Подставляя в (9.31) значении £ и К из (9.23), получим
7 rtf - дЕ* t df
'*af 8£<*\)\дх дх &у dy J 7 (9.32)
Пользуясь формулой (8.10), получаем для средней энергии,
дящейсн на единицу длины волновода:
й)г£г clfudlfdEt д£+ +
сг
прихо •
"/6Г
/Ли
(9.33)
дх
Очевидно
- 126 -
Первый интеграл в правой части этого равенства обращается в нуль.
В этом легко убедиться, преобразовав указанный интеграл по тео -
реме Гаусса-Остроградского в контурный интеграл, в которой интег-
рирование ведется по замкнутой линии, получающейся при пересече -
нии волновода плоскостью, перпендикулярной к его оси. Так как на
этой линии = 0 , то равен нулю и сам контурный интеграл.
В случае волны магнитного типа роль играет , но соот -
ветствующий интеграл также обращается в нуль, так как на контуре
- =о . Только в этом пункте доказательство для волны магнит-,
ОП
ного типа отличается от доказательства для волны электрического
типа). Второй же интеграл в правой части преобразуеи с помощью
(9.25). В результате получим
дЬ
дх дх ду ду
у с((ые)
Умножим это соотноиение на 5* da) и прибавим к правой
части (9.33). Тогда, принимая во внииание (9.24), найдем
Доделив (9.32) на (9.34), получим среднюю скорость распростране-
ния энергии вдоль волновода:
_______L________ .
' (9-35)
Сравнивая'эту формулу с (9.26), убеждаемся, что.скорость распро-
странения энергии совпадает с групповой скоростью.
- 127 -
3. При каком законе дисперсии немагнитной среда
связь между фазовой и групповой скоростями принимает вид
VII ? (9.36)
РЕШЕНИЕ. Необходимо и достаточно, чтобы формула (9.26) пере-
ходила в (9.36). Это дает
Интегрируя это соотноиение, найдем
X-Z - .
° ' “ (9.37)
Таким законом дисперсии обладает ионизованный газ - плазма
причем в этом случае const отрицательна. Так как ско -
рость распространения энергии не может превышать скорости света
в вакууме, то в волноводе, заполненном такой средой Vt-C ;
волны с фазовой скоростью меньше С распространяться не могут.
В частности, если внутри волновода вакуум, то в нем не могут
распространяться волны с фазовыми скоростями, меньшими С
- 128 -
§ 10. СКОРОСТЬ ПЕРЕДОВОГО ФРОНТА ВОЛНЫ.
I. Вопрос с скорости распространения передового фронта вол-
ны в начала нашего века привлек внимание физиков в связи с не-
которыми выводами теории относительности, казавшимися парадок-
сальными. Согласно теории относительности скорости движения тел
и распространения каких угодно сигналов не могут превосходить
скорость свата в вакуума. Существуют среды с показателями пре-
ломления маньие единицы. Для них скорость света V больие с
Это на противоречит теории относительности, так как v есть
Фазовая скорость, не имеющая никакого отношения к скорости рас-
пространения сигналов. На фазовую скорость указанный вывод тео-
рии относительности не распространяется - ее величина может
быть любой. В диспергирующей среде сигнал распространяется с
групповой скоростью U. . В сбласти аномальной дисперсии
так что U^V . Производная в принципе может быть настоль-
ко велика, что выражение для и (Э.Ч) не только достигает С ,
но и превзойдет эту величину. Но это также не противоречит тео-
рии относительности. Понятие групповой скорости относится к йе-
поглощающим или слабо поглощающим диспергирующим средам. В об-
ласти аномальной дисперсии воегда есть сильное поглощение, и ве-
личина и , определяемая формулой (9.4)^ уже не может быть ин-
терпретирована как скорость сигнала. Чтобы устранить Всякую
воамсжнссть сомнений подобного рода, надо было рассмотреть воп-
рос о скорости распространения передового фронта волны, так как
эта скорость есть максимально возможная скорость , с которой
может передаваться сигнал волновым возмущением. Этот вопрос был
решен в 1907 году Зоммерфельдом. Зоммерфельд показал, что ско-
рость передового фронта волнового возмущения не может превосхо-
дить скорости света в вакууме С . В своем доказательстве Зом-
мерфельд рассматривал сигнал специальной формы. От этого ограни-
чения легко освободиться. Более существенное ограничение связа-
но с тем, что в доказательстве явно используется выражение (5.3)
Для £6^. A1 St о выражение выведено только для .сильно упрощенной
классической модели диспергирующей среды. В действительности
Для доказательства Зоммерфельда знания контретного вида диспер-
сионной формулы на требуются. Надо анать только поведение анали-
тической функции &СШ) в комплексной плоскости - вопрос, ис-
- 12; -
следованный, нами в общем виде в § 4 (правда без учета проотранл
ственной дисперсии).
Вопрос о скорости распространения передового фронта волны
давно потерял актуальность. Теперь нет сомнений в правильности
основ теории относительности. Невозможность сверхсветовых элект-
ромагнитных сигналов следует также из основных положений элект-
ронной теории. Согласно этой теории всякую среду следует рассмат-
ривать как вакуум, в который распространяется в пространства меж-
ду атомами и молекулами вещества, т.е. всегда со скоростью С. .
Когда световое возмущение достигает какого-либо атома, электро-
ны и атомные ядра, выражаясь классическим языком, приходят в ко-
лебания и сами становятся центрами излучения новых электромаг-
нитных волн. Эти вторичные волны интерферируют с первичной вол-
ной и тем самым определяют все волновое поле в среде. Но из-за
инерции электронов и ядер они не сразу приходят в колебания.
Пока электроны и ядра не пришли в колебания, они не излучают
вторичные волны, а потому не оказывают никакого влияния на рас-
пространение возмущения. Поэтому ясно, что передовой фронт дол-
жен респространнться в среде с Той же скоростью, что и в вакууме,
Это качественное рассуждение является наиболее общиь и строгим
доказательством утверждения о скорости передового фронта. Оно не
использует никаких конкретных атомно-молекулярных моделей среды.
В частности оно не вводит представления о сплошной среде и сво-
бодно от ограничений, связанных с таким представлением. Однако
качественного рассмотрении недостаточно. Качественное рассмотре-
ние ничего не может сказать о величине и характере изменения
электромагнитного поля в окрестности передового фронта. Поэтому
количественное исследование Зоммерфельда сохранило значение до
настоящего времени, и мы приводим его ниже с некоторыми обобще-
ниями.
2. Рассмотрим плоское волновое возмущение:
г- Г , > . (ЮЛ)
Е = J а(ы)е 1 Jcfb) }
занимающее при отрицательных значениях времени i пространство
левее плоскости Х-=О , пусть в момент t=O передовой фронт воз-
мущения достиг плоскости Х=О и начал распространяться делее
направо. Поле Z” в начале координат представляется выражением
- 130 -
ffij/
~с>*э /
и равно нулю для всех отрицательных значений х . Определив
по формуле
представим поле с в виде
£(x,l)= , (I0’2)
где 1 «о .
C/C^a^e^-L£ fF^e^^Sw.^
О 2
Величины 6) и k должны быть связаны соотношением /2°^4^/не
оба значения квадратного корняудовлетворяют условиям
задачи. Дело в том, что прш вояком фиксированном значении £
найдутся достаточно далекие области пространства оправа от нача-
ла координат, до которых возмущение еще не дошло. Поэтому вокны,
входящие в суперпозицию (10.1), должны затухать в положительном
направлении осшХ" . Представив к в виде lc=k’~ik'мы должны,
следовательно, заключить, что^,^">Р. Этим однозначно определяет-
ся комплексная функция к(к>)~ Как было показано в § 4,
функция ^/‘Ув нижней полуплоскости & не имеат оообых точек,а
ее'точки ветвления лежат в верхней полуплоскости. у
Рассмотрим теперь интеграл (10.3) прш х>с£ или .Тог-
да тем более . Подынтегральная функция в (10.3), а с
ней и функция 9&) не имеют особых точак в нижней полуплоскости.
Приб7-«»о функциястремится к . Значит, на бес-
конечности в нижней полуплоскости подынтегральная функция пере-
ходит в
откуда видно, что она обращается в нуль, поскольку W"<О , • а мы
рассметриваем такие зшачения параметров £ и х , при которых
• Следовательно, на бесконечности в нижней полуплос-
с
- 131 -
кости обращается в нуль также и функция t). Поскольку она
сверх того не имеет особых точек в нижней полуплоскости, интег-
рал (10.2) по вещественной оси можно земенить на интеграл от
той же функции по бесконечно уделенной полуокружности, на кото-
рой он исчезает. Итак, при Х*с£ f=O. Это значит, что волно-
вое возмущение отсутствует правее плоскости x=c.t , а потому
скорость передового фронта волны не может превышать С .
3. При x<ct трудно сделать какое-либо определенное заклю-
чение, не конкретизируя вида функции Поэтому, следуя Зом-
мерфельду, мы рассмотрим конкретный вид функции , изобра-
жающейся оборванной с одного конца синусоидой:
при Ж 7 < о
яра •
(Ю.4)
Г(*)’{°пОк
Как было покзззно в § 7, эта функция может быть представлена ин-
тегралом (7.15), если в шем заменить наQ , причем волно-
вое возмущение
г-р, I Q Г <&> (Ю.5)
при i-о переходит в функцию (10.4). Путь интегрирования 7*
предстевлен на рис.21. Для возмущения, распространяющегося впра-
Рис.21
во, следует выбрать то из значений k^k'-ik , у которого
к">0 . Исследуем интеграл fio*5) справа от точки X =О при
различных значениях времени /
- 132 -
Допустим сначала, что X>ct. В бесконечности нижней полу-
плоскости £=/ , к=^г , так что е< откуда
видно, что при x>ci функция eaut *' не имеет особенностей в
нижней полуплоскости. Поэтому путь интегрирования можно цели-
ком сместить в бесконечность нижней полуплоскости, где функция
г7, а с ней и интеграл (10.5) обращаются в нуль. Мы по-
лучили известный результат - передовой фронт не может распрост-
раняться со скоростью, превышающей с ,
При исследовании случая Х*-с£ будем пользоваться простей-
шей дисперсионной формулой (5.3). Постоянней вначале будем
пренебрегать. Обозначая положительную постояннуючерез
CL1 , представим дисперсионную формулу в виде
(10.6)
функция имеет два полюса первого порядка, лежащих на ве-
щественной оси: и> = ±ь)о. Кроме того обращается в нуль в
точках , являющихся точками ветвления много-
значной функции Наконец, подинтегральная функция в (10.5)
имеет еще два полюса первого порядка: . Таким образом,’
подынтегральная функция в (10.5) имеет всего три пары особых
точек: , ь),, они представлены на рис.21.
Преобразуем первоначальный путь интегрировании Г в полу-
окружность очень большого радиуса R с центром в начале коор-
динат. Полуокружность проходит в нижней полуплоскости. Она до-
полняется двумя прямолинейными участками, параллельными вещест-
венной оси и уходящими в бесконечность. Вследствие наличия в
знаменателе большой величины /V2 интеграл (10.5) на этих участ-
ках в пределе обратится в нуль. Рассмотрим кроме того аналогич-
ный контур н верхней полуплоскости, изображенный на рис. 22
пунктиром. На этом контуре можно считать £=/
ательно, jaK как ,
верхней полуплоскости экспоненциально убывает,
пунктирной полуокружности в пределе обращается
его к интегралу (10.5), можем .написать
ж
то
а
в
*= с?, и оледо-
) эта функция в
। интеграл по
) нуль. Добавив
- 133 -
1й)”
Рис. 22.
где интегрировение ведется пс полной окружности . Исследуем
прежде всего поле в окрестнссти передового фронта, т.е. при ма-
лых, но положительных значениях аргумента , Для к на
окружности ОТ можно напиоать
/ ePL \Ь, аа a1
Л с У1+ы*-ы*- е |//~ — с 2а>С 7
причем мы пренебрегли (J* по сравнению о to* . Подставляя это
значение в (10.7), вводя обозначение М’Д^и пренебрегая в зна-
менателе й* по сравнению с to2 , получим
Подотановкой J
- 134 -
приведен этот интеграл к виду
о
Срзвнивзя это выражение с известным представлением функции Бес-
селя гх: т~.
О
окончательно получим
/ / / .X — _
Это выражение обращается в нуль при г .Но при даль-
нейшем возрзстзнии t оно также начинает возрастать. Это пока-
зывает, что скорость передового фронта возмущения не только не
превосходит С , как было доказано выше, но и в точности равна
С . /^— . .__
I / Я / b
В подстановке й)=у-^гс параметр у-р играет роль радиу-
са окружности Он при выводе считался очень большим по срав-
нению с величинами S2. , и Л . Таким образом, условием при-
менимости решения (10.8) явяляется выполнение неравенств
4>Р'; 4»^* ; <ю-9>
или после подстановки значения параметра £
с£ > т С^~7Г' (10Л0)
сс _Q« 2 ’ Q’ 2 2
За время t передовой фронт проходит путь . вели-
чина с£’ есть расстояние между передовым фронтом и точкой, в
которой рзссмзтриваетоя возмущение. Как показывают условия
(10.10), для применимости решения (10.8) необходимо, чтобы это
расстояние было очень мало по сравнению о расстоянием, пройден-
ным передовым фронтом. Это означает, что решение (10.8) годится
только в непосредственной окрестности передового фронта.
Возмущение, которое несет передовой фронт, называется пер-
вым предвестником. Иэ первого условия (10.9) непосредственно сле-
дует, что амплитуда колебаний в первом предвестнике ?- ' •
по сравнению с амплитудой падающей велим /пес •. . .
ний бесселевой функции *4/Zy убывают с возрастанием аргументаЯ/.
Точно такие период колебаний в предвестнике крайне мал по срав-
нению с периодом колебаний падающей волны Г— jg"" . Действи-
тельно, функция Бесселя обращается в нуль при следующих
значениях аргумента: 0; 3,83; 7,02; 10,17; 13,32;... В дальней-
шем расстояния между корнями этой функции практически равны
jf"= 3,14. При этом при переходе через корень функция меня-
ет знак, тек что ее "период" может считаться равным . Этому
"периоду" соответствует "период" колебаний поля в предвестнике
Т, определяемый из условия Д ~ \[% Т-237, которое
дает
„ ,/ j’
L = 2&]/ £
2-Z7 . /2ct^
а V х
Отсюда на основании первого условия (10.9) заключаем, во-первых,
что 17= Т • Во-вторых, видим, что значения 17 не зависят
от периода колебаний Т . Передовой предвестник при не слишком
малых X относится примерно н рентгеновскому спектру. Схематичес-
кий рис.23 представляет качественное нарастание поля в предвест-
нике.
ЛЛ/\'
Рис. 23.
Рассмотрим теперь случай очень больших , когда коле-
бения можно считать установившимися. Для того чтобы колебатель-
ный процесс мог установиться, необходимо неличие в ореде процес-
сов затухания или поглощения, которыми мы до сих пор пренебрега-
ли. Учет их в нашей схеме означает замену вещественных особых
точек ± (7>о и , соответствующими комплексными особыми точкеми,
лежащими в верхней полуплоскости /рис.24/. На вещественной оси
- 136 -
останутся только два полюса и . Деформируем первона-
чальный путь интегрирования Г , сместив его в верхнюю полу-
плоскость и обходя при этом все особые точки, как это указано
на рис.24. Для достаточно больших t обход особых точек в верх-
ней полуплоскости не даст никакого вклада в интеграл (10.5) бла-
годаря затуханию множителей типа et6)*t, стремящихся к нулю при
. Остается выполнить лишь обход вокруг полюсов* .Q .ле-
жащих на вещественной оси. Сделав это и имея в виду, что- значе-
ния к в указанных полюсах равны соответственно,
получим „ „ _____.
E(t, х) = Sin Q .
Но это ес^ь уравнение установившегося процесса, перемещающегося
в положительном направленим оси X с фазовой скоростью.
Значительно более сложным явяляется исследование поля при
промежуточных значениях t' . Оно сводится к вычислению вкладов
в интеграл (10.5), которые вносят обходы особых точек 6^, , й),
- 137 -
. Это исследование было выполнено Л.Бриллюеном
и опубликовано в том же номере Лпп. d. Phys .44. 203, 1914,
что и основная статья Зоммерфельда. Мы не можем здесь останавли-
ваться на исследовании Бриллюена. Оно показывает, что за пред-
вестником следует некоторое переходное состояние, соответствую-
щее постепенному раскачиванию электронов до тех пор, пока их
честота и амплитуда не сделаются равными частоте и амплитуде па-
дающей волны. Если Q лежит далеко от собственной частоты (Оо ,
так что поглощение мало, то установившееся состояние а амплиту-
дой I и частотой Q достигеется ко времени , где и -
- групповая скорость. Таким образом, основная часть сигнала
распростреняется с групповой скоростью.
- 138 -
§ II. ТЕОРЕМА ЛЕОНТОВИЧА.
I. Совершенно инече, чем Зоммерфельд, к вопросу о распрост-
ранении передового фронта волнового возмущения подошел М.А.Леон-
тович. Из того обстоятельствз, что светоные волны при своем рес-
пространении в средах подчиняются принципу суперпозиции, следует,
что дифференциальные уравнения для светового поля линейны и од-
нородны. М.А.Леонтович рассметривает произвольное, не обязатель-
но злектромегнитное, волновое поле, харектеризующееся совокуп-
ностью величин п = 1,2,3.....V ), удовлетворяю-
щих системе линейных однородных дифференциальных уравнений. Без
огреничения общности можно считать, что эти уравнения являются
уравнениями первого порядка. Если бы уравнения были, например,
второго порядка, то мы свели бы их к уравнениям первого порядка,
обозначив первые производные особыми буквами и рассматривая их
как неизвестные функции, равноправные со всеми остельными функ-
циями, характеризующими волновое поле.'
Для простоты ограничимся плоской задачей, т.е. будем счи-
тать, что зависят от единственной координаты X . По пред-
ложению волновые функции^ подчиняются системе уравнений
Г /ту • + п w\-c (п.1)
В случае однородной среды коэффициенты постоянны.
В случае неоднородной среды они явяляются известными функциями
координеты X . Будем предполегать, что среда однородна.
Если волновое поле имеет вид
у, = (п-2)
то пооле подстановки уравнения (II.I) получится
у (ia)a„j-Lkbry =о.
ста системе линейных однородных уравнений имеет нетривиальное
Решение /по крайней мере одно шз £/ отлична от нуля/, если
f)ei\a„jir-6nj+-^\^Qt (Ы’3)
- 139 -
гдс^=^-----разовая скорость волны (11.2). Уравнение (II.3) оп-
ределяет эту скорость в зависимости от волнового числа к ,т.е.
дает закон диспепсии: w=lr (к).
Рассмотрим теперь движение передового Фронта волны. Оно
изобразится на плоскости X , £ прямой линией Фф (рис.25),
по одну сторону которой все Ну равны нулю, а по другую по
крайней мере одна из функций отлична от нуля. Вообще гово-
ря, заданном значений всех на какой-либо кривой в плоскости
X , i решение системы (II.I) определяется однозначно. Ксклю-
юние составляют особые линии, называемые характеристиками. За-
дание значений всех функций Уу на характеристике либо вообще
не дает решения, либо определяет его не однозначно. Легко видеть
что движение фронта волны должно изображаться характеристикой.
Действительно, на линии ФФ (рис.25) все Фу равны нулю. Но для
таких значений У£ уравнения (II.I) заведомо допускают два реше
ния. Это, во-первых, рассматриваемое нами возмущение с передовым
фронтом ФФ ; во-вторых, тривиальное решение Фу-О. следова-
тельно, заданием всех Уу на ФФ решение не определяется одно
ьначно, т.е. прямая ФФ явяляетоя характеристикой.
Найден теперь все характеристические направления дли сшсте-
мы уравнений (II.I), т.е. направления касательных к характерис-
тикам. Проведем на плоскости Л. произвольнуа ливню Jb
и зададим на ней значения функций Фу . Возьмем на этой линии
произвольную точку Хо , to . Полно показать, что если на кри -
вой лъ функции Фу аналитичны, а коэффициенты tC"J
в окрестности точки X , Л> являются аналитическими функциями
- 140 -
X и i. . Поэтому вблизи точки X , должны иметь вид
и задача сводится к нахождению коэффициентов этих рядов, прежде
всего Двигаясь по отрезку кривой АВ , можно не-
писать9 * dx-Jo
откуда
ЗуД = [А\ _ (&) (— )
ай
дгх Лгу
Величины и должны рассматриваться как известные функ-
ции t их; проиэводнея есть угловой коэффициент кривой
АВ , а функция по условию задана на этой кривой. Подстав-
ляя значение (II.4) в уравнения (II.I), получим
<п-5)
Это неоднородное линейное уравнение относительно неиэвест-
ных/хй), коэффициенты при которых, а также правые части из-
вестны. иэ (этих урзвнений могут быть определены интересующие
нас величин^ • а затем о помощью (II.4) и величины
Для того что'бы уравнения (II.5) имели единственное решение; не-
обходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный иэ коэф-
фициентов при неизвестных, был отличен от нуля. Если же он ра-
вен нулю, то системе (II.5), либо совсем не будет имать реиения,
либо решение не будет единственным. Отсюда следует, что для то-
го чтобы кривая АВ была характеристикой, необходимо, чтобы ее
угловой коэффициент удовлетворял уравнению
<п-6)
Это уравн^н^е N -й степени относительно с постоянными
коэффициентами. Оно имеет л/ корней, определяющих на плоскости
(je , i) V характеристических направлений, которым соответству-
ет прямолинейные характеристики. Среди корней могут быть крат-
кие и комплексные. Если все корни комплексные, то действитель-
ных характеристик не существует.
- 141 -
Так как линия фронта ФФ есть характеристика, то один из
корней уравнения (II.6) должен равняться скорости передового
фронта волны: Сравнивая (II.6) с (II.3), заключаем,
что т.к. при к=о^> уравнение (II.3) переходит в
(II.6). Таким образом, скорость респространения передового фрон-
те волны равна фазовой скорости бесконечно коротких волн. В
этом и состоит теорема М.А.Леонтовича.
2. Приведенное доказательство без существенных изменений
может быть обобщено на случей неоднородной среды, когда O-nj ,
Snj , C"j явяляются функциями координет /и даже времени/. Тог-
да фазовая скорость, а также скорость передового фронта будут
функциями точки, а следовательно, линия ФФ будет кривой.
Если задача не одномерная, то возникает еще вопрос о форме
передового фронта. Он решается чрезвычайно просто: скорость пе-
редового фронта соответствует , т.е. предельному переходу
к геометрической оптике /см. гл.5/. Поэтому все, что касеется
фронте /форма, момент приходе и т.д./, может быть найдено по
предельным законем - законам геометрической оптики /принципу
Гюйгенсе, принципу Ферма, уравнению эйконала и т.д./. Это оправ-
дывеет применение законов геометрической оптики в расчетах, де-
лаемых при сейсмических методех геологической разведки по прихо-
де передового фронта волны.
В случае электромагнитных волн v(oaj-c длн всякой одно-
родной или неоднородной среды. Следоветельно, плоский фронт
всегде остеется плоским и распростреняется со скоростью свете в
вакууме, какие бы тела ни стояли на пути волны.
- 142 -
ГЛАВА П.
ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА.
§ 12. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ.
I. Формальная теория отражения и преломления света исходит
из граничных условий, которым удовлетворяют векторы электромаг-
нитного поля на границе раздела двух сред. Граничные условия
легче всего получить из уравнений Максвелла в интегральной фор-
ме (I.I). Можно не вводить поверхностные токи, текущие вдоль
границы раздела сред. С физической точки зрения введение таких
токов явяляется искусственным математическим приемом. Реальные
токи всегда обладают конечной объемной плотностью. Но на грани-
це сред она можат достигать очень больших значений. В отсутст-
вие поверхностных токов из первых двух уравнений системы (I.I)
следует, что тангенциальные компоненты векторов 2: и 77" по раз-
ные стороны раздела одинаковы:
Е°-Е? ; Н^Н". (12Д)
Из последних же двух уравнений системы (I.I) получаются гранич-
ные условия для нормальных составляющих векторов 5Э и в :
, (и’г)
где б~ - поверхностная плотность свободных зарядов на границе
раздела, причем нормаль л направлена от среды I к среде 2.
Граничные условия (12.I) и (12.2) могут быть выведаны так-
же из уравнений Максвелла в дифференциальной форме (1.2). Для
этого резкую границу раздела следует -рассматривать как предель-
ный случай непрерывного, хотя и весьма быстрого, перехода. В
обоих способах материальные уревненин не используются. Поатому
условия (12.I) и (12.2) обладают той же общностью, что и урав-
нения Максвелла (I.I) или (1.2). Этими условиями можно пользо-
ваться для (любых электромагнитных полей и любых сред, пока
справедливо макроскопическое описание электромагнитного поля.
Если поле монохроматичеокое, то в непоглощающей среде не
могут существовать свободные объемные электрические заряды.
/§ 2/. Не могут существовать и свободные поверхностные заряды,
- 143 -
поскольку они являются предельным случаем объемных. Следова-
тельно в случае монохроматического поля граничные условия (12.2)
переходят в
(12.3)
2. Граничные условия (12.3) являются следотвиями условий
(12.I) и дифференциальных уравнений Максвелла (1.2). Для дока-
зательства построим бесконечно короткий цилиндр, образующие ко-
торого перпендикулярны к гравице раздела, а основания и
лежат по разные стороны от нее (рис.26). Используя теорему Сток-
Рис. 26
са, получим:
. L. F. F
Аналогично r>
^u™d> - 4-.
В прежде, когда высота цилиндра обратится в нуль, контуры
Z, и Z2 сольются в общий контур L , а основании F, и£-в
общую площадку F , ограниченную контуром Z . При этом, ввиду
непрерывности тангенциальных составляющих векторе JT , контур-
ные интегралы совпадут между ообой, и мы получим
=fSt^'dF.
- 144 -
Так как область интегрирования Т~ проиавольне, то
<I2-4)
Для монохроматического поля SD-itW. Поэтому соотноиение (12.4)
переходит в первое из условий (12.3). Аналогично доказывается
и второе условие (12.3).
Если условия (12.I) записать в координатной форме, то по-
лучится четыре уравнения, так как каждый из вакторов Р или fj
можно разложить не две тенгенциальных и одну нормальную состав-
ляющие. Теким образом, электродинамика приводит к четырем неза-
висимым греничным условиям (I2.I).
Старые теории рассматривали свев как упругие колебания све-
тового эфира. Но теория упругооти дает иесть независимых гранич-
ных условия, а именно, равенство трех составляющих смещений и ра-
венство трех состевляющих сил упругих напряжений по обе стороны
границы разделе. Для того чтобы удовлетворить этим шести гранич-
ным условиям, вообще говоря, необходимо, чтобы кроме поперечных
волн существовали текже и продольные. Но опыт говорил против су-
ществования продольных волн. Возникшую трудность теория пыта-
лесь устренить, неделяя эфир текими овсйствеми, что'бы продоль-
ные волны в ней никогда не возникали(несжимеемый или бесконечно
сжимеемый эфир). Однеко удовлетворительного реиения проблемы та-
ким путем получено не было. Электромагнитная теория не знает
этой трудности, поскольку число независимых граничных условий в
ней равно четырем. Им можно удовлетворить с помощью двух попа -
речных компонентов отраженной и двух поперечных компонентов
преломленной волн .
145 -
§ 13. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ ОТРАЖЕНИЯ И
ПРЕЛОМЛЕНИЯ'ВОЛН.
I. Необходимость отражения и преломления света на границе
раздела двух сред следует уже из граничных условий. Действитель-
но, как будет видно из дальнейшего, граничные условия могут
быть удовлетворены, вообще говоря, лишь при наличии отраженной
и преломленной волн. Условимся обозначать падающую волну знач-
ком С /ent/aUende /, отраженную - значком г feeffettiette.
/, проходящую - значком d f dutchge/iCnde д
Пусть на плоскую неподвижную границу раздела падает плоская
монохроматическая волна ,
(15.I)
соображений симметрии следует, что отраженная и прошедшая
волны,
С (13.2)
Е(4^е^ (М
будут также плоским и притом той же частоты 6J . Равенство
частот явяляатся следствием линейности и однородности граничных
условий. Если среды неподвижны, то коэффициенты при напряженнос-
тях полей в граничных условиях могут зависеть от координат, но
не от времени. Пусть и Oj- частоты отраженной и прошедшай
волн. Тогда любое из граничных условий (12.I) принимает вид
С^е^. о.
Коэффициенты отличны от нуля, если только от-
раженная и прошедшая волны действительно существуют. Следова-
тельно, функции е , линейно зависимы, а зто воз-
можно лишь при . Если граница движется, то Л , Я и
С зависят не только от г" , но и от времени. Тогда имеет
меото изменение частоты (эффект Допплера). В этой главе всюду
предполагается, что среды неподвижны.
2. Найдем теперь волновые векторы отраженной и прошедшей
волн. Формулы, коими эти векторы определяются, называются гео-
метрическими законами отражения и преломления волн. Они опреде-
ляют направления распространения отраженной и прошедшей воля, а
в случае их неоднородности также и затухание в пространстве.^.
Примем границу раздела сред за координатную плоскость ХУ..
За ось X возьмем линию пересечния плоскооти раздела сред с
плоскостью падения. Ооь Z направим вниз, т.е. в сторону второй
среды. Тогда осьУ окажется перпендикулярной к плоскости паде-
ния и будет лежать в плоскости раздела сред.
Так как по доказанному частоты падающей, отраженной и про-
шедией волн одинаковы, то любоа из граничных условий (12.I)
принимает вид .
где Л , & , - постоянные и притом отличные от нуля, если
только отраженная и прошедиая волны действительно существуют.
Полагая Ц~О , получаем линейную зависишость между функциями:
е1*'**,^**'^ заключаем, что
Z =/' =/ (13.4)
А/х л/л. •
Аналогично
к,, =к'ч =kt) . <в-5)
Таким образом, тангециальные составляющие волновых векто-
ров отраженной и прошедшей волн равны тангенциальной составляю-
щей волнового вектора падающей волны. Оотается найти нормальные
составляющие этих векторов. Согласно соотношению (З.П)
T*'z т-г а)* „
К =к, (13.6)
/л -
, (13.7)
где ш &г - диэлектрические проншцаемостш периой ш второй
сред соотиетственно. Далее
(13.8)
г
(13.9)
~ Укг "*7х
Знак минус перед корнем в формуле (13.8) ввит потому, что
плюс соответотвует падающей волне. Что кесаетсн зшаке перед кор-
- 147 -
нем в (13.9), то он будет определен в дельнейием шз физических
соображений.
Если падаюцая волна однородна, то шз (13.4), (13.5) и (13.8)
следует, что отраженная волна также однородна. Ее волновая нор-
маль дежит в плоскостш падении, е угол отражения равен углу па-
дения. Для проходящей волям надо различать два случая.
I случай. • т,е* преломленная волна однородна.
Определим какой знак следует выбрать в этом случае перед квад-
ратным корнем в (13.9). Знаку плюс ооотвествует волна, распрост-
раняющаяся ст границы'раздела - направление ее распространения
обозначено на рид. 27 сплошной стрелкой. Знаку минус соответст-
Рис.27.
вует волна, идущая к граншце раздела - ее направление обозначе-
но пунктирной стрелкой. Этш стрелки указывают направления рас-
пространения волновых фронтов, т.е. плоскостей равных фаз.Ясне,
что отраженная и преломленная волны должны быть уходящими от
границы разделе. Однако требование ухода относится не к фазе, а
к энергии волны. Но в случае электромагнитных волн в изотропных
средах направления распространения фаз^ и энергии волны совпада-
ют. (См. § 9, пункт 5). Поэтому знак минус перед корнем в (13.9)
следует отбросить; условиям задачи удовлетворяет только знак
плюс.
Как видно из (13.4), нормали к падающей и преломленной вол-
нам лежат в плоскости падения. Если $ - угол падения, а f -
- угол преломления, то
- 148 -
откуда на основании (13.4)
= \ fJL . (I3.IO)
ц п, t V &,
~ 2 случай. или , откуда =л.
Здеоь П - относительный показатель преломления второй среды
относительно первой. Так как/то рассматриваемый слу-
чай возможен только при отражении от оптически манае плотной
срады /п < / /. Составляющая k2i чисто мнимая, а волна во вто-
рой ореде, если она существует, неоднородная. Знак корня в
(13.9) определится из требования, чтобы при удалении от границы
раздела амплитуда волнв.затухала. Этому требовании удовлетворяет
только выражение:
к.
,В самом деле, тогда (13.3) принимает вид:
~кгх*)
(I3.II)
(13.12)
т.е. волна во второй среде будет затухать в направлении оси/ ,
чего не получилось бы, если бы в (13.II) вместо минуса взять^
плюс.
Плоскости равных фаз волны (13.12), парпандикулярны к оси
X и распространяются вдоль наа с фазовой окоростыо1£=-^-.
Плоскости равных амплитуд параллельны граница раздела. При сме-
щении вглубь среды не к. интенсивность волны /пропорционельная
квадрату амплитуды/ убывает в е раз. Величина К называется
глубиной проникновения волны во вторую среду. Она равна
к = -_________= —— у (15ЛЗ)
\fklrk*
где - длина волны в первой среда.
Из (13.12) видно, что на больших /по сравнению с глубиной
проникновения/ расстояниях от границы раздела волна во второй
- 149 -
среде пректически полностью зетухеет. А тек кек поглощение све-
те отсутствует, то следует зеключить, что энергия педающей вол-
ны, проникшея во вторую среду, долине сно^е целиком возвратить-
ся в первую среду. Иными словами, при отражение свете
должно быть полным. Оно незывается полным внутренним отрежением
или, короче, полным отражением. Угол , определяемый соотно-
шением , назывеется предельным углом полного отражения.
3. В случае обыкновенного отражения
, cos<f>=_JL- , (13.14)
SinY--^ ,
В случее полного отрежения не существует вещественного угла ,
удовлетворяющего соотношениям (13.14), тек как они дают для
sin f знечения, превосходящие единицу, а для cosp - мнимые
значения. Однеко в целях сохранения единой формы записи при
обыкновенном и полном отражениях целесообразно сохренить форму- -
лы (13.14) как простые определения и . Поскольку
эти величины удовлетворяют соотношению sin^P+costy , они мо-
гут
рессметриветься как синус и косинус комплексного ергументе
в смысле теории функций комплексного переменного:
' С0Л$^=
2i ' г
2
^cosf известны, то этими формулами ергумент у’
определяется с точностью до целого кретного от 2£. Это не мо-
жет скезаться не однозначности физических выводов, так как во
все. формулы будет входить не сем комплексный угол , а его
синус и косинус. К тек определенным функциям Sin у при-
менимы все формельные соотношения обычной тригонометрии. По-
этому над комплексными sin у и cosfp можно выполнять все пре-
образования, как если бы они были обыкновенными синусои и коси-
нусом.
Заметим, наконец
Sin У* =
C-Osy> =
, что вместо (13.14) можно неписать:
Sin'P
~П~ ’ - (13.15)
— 77" \/sin2y>-nz .
§ 14. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕЛЯ.
При выводе геометрических законов отражения и преломления
волн явный вид граничных условий не использовался. Для опреде-
ления амплитуд отраженной и проходящей волн необходиио исполь-
зовать граничные условия в явном виде.
Разложим электрическое поле каждой волны на две составляю-
щие. Одна из них (р - составляющая) лежит в плоскости падения,
другая (Л - составляющая) перпендикулярна к этой плоскости.
Часто эти составляющие называют равными составляющими соответст-
вующих волн. Пусть 6^. , - единичные векторы вдоль
координатных осей, а - единичные векторы, лажащие
в плоскости падения и перпендикулярные соответственно к падаю-
щему, отраженному и преломленному лучаи (рис.27). Тогда
g-=/^£7_ ,
ri'ГЧ <»«
е* к '
В случае полного отражения вектор 6г комплексный, и его
геометрическая интерпретация как единичного вектора, перпенди-
кулярного к преломленному лучу, теряат смысл. Поэтому чтобы ох-
ватить не только обыкнованное, но и полное отражаниа, дальней-
шие вычислания проводятся чисто аналитичаски, на прибегая к чер-
тежу. Введем разложения:
(„.г)
^еу+fye/ >
и определим амплитуды , ЗЭ^о. Умножая скалярно пер-
вое из уравнений (14.2) на ех» находим:
- 151 -
Аналогично
=4r j •я*у>.
Следовательно, ifat &)
E^=cos^e '
tf. &.eiLut-^ <».«
5>
Магнитные свойства сред учитывать не будем, т.е. будем счи
тать, что векторы и Н тождественно совпадают. Мегнитное
поле вычисляем по формулам (3.9). Находим:^—.
Вж -—ССНрЛ, (^е. у
В*. п.^‘С.....> <1М>
в/'5', чп^6,е‘( Л
Для отреженной волны:
Е^= - smf^e1 ( " )
= c0t<fn,Xsel<~~)
В^ = itnfn.nsei( '> .
- 152 -
Для преломленной волны: _
з/7 = -coiifnt^c- J
B/J = n2^fetC')
senn^etC’--J
(14.6)
Для определения четырех неизвестных: , 2)f И
электродинамика дает четыре независимых граничных условия:
/-Ле/ Г
Ь* + ЬХ_ = L а,
г^! _ Г(а) (14.7)
4" * 4'v =
Подставляя в’них (14.3), (14.4), (14.5) и (14.6), получим:
= COi^p
&S+ = £>3
n, -isJ=n2 a>J^s
n, (Zp-ttyt П± ^P 9
откуда^ _ n,coi f-ntepi<p _ 2n, cot>f> #
&!, ~ n^oift-riteoif J S~6S TtfCtHfi-ngCoif ^(14.8)
_ ^cosf-n,a>tfp д/ _ ^» _ 2n, coif
Г &P ггл cxtfi-n^coi^ ' P 4е
A
Отношения
,... называются коэффициентами Френеля.
- 153 -
С помощью соотношений (13.10) формулы (14.8) легко привести к
виду
ИпС'Р-'Р) Я* _ iCO4<pM^ . (I4J
dj ~ Sin (<?+¥) J &s Sin.f'P+V)
%p _ ('f-'f) »/> = 2сеа? Sin<p
Эти формулы и решает поставленную задачу. Они были впервые
получены в 1821 году Френелем из механической теории упругого
эфира с помощью весьма простых, но нестрогих и противоречивых
рассуждений. Последующие попытки строгого решения задачи с по-
мощью уравнений упругости ухудшили дело: они приводили к форму-
лам, не согласующимся с опытом. Только электромагнитная теория
света впервые дала строгое и удовлетворительное решение задачи.
Задачи
I. Вывести формулы для отражения и преломления электромаг-
нитных волн в предположении, что магнитная проницаемость отлич-
на от единицы.
- 1^4 -
2. Какой вид принимают формулы (14.10), если£.,=6г =/ ?
Ответ.
Д п2 coif- n,coif
~ coif+ п, coif
_ 2.пг со*^
is ~ п2 coif+п, cos f (14П)
Пр п, Cojtp - С-О4Ц>
&р nt COif -f- п2 CO3f
Qp 2.n^ coif
-П, coi f + пгсол f
Формулы для отражения в точности совпадают с формулами
Френеля, если только поменять местами S - и р - составляющие.
Этот факт был отмечен Гельмгольцем.
155 -
§ 15. ОБЫКНОВЕННОЕ ОТРАЖЕНИЕ.
I. При обыкновенном отражении угол , а с ним и все коэф-
фициенты Френеля (14.8) вещественны. Отсюда следует, что отраже-
ние И преломление не сопровождается изменением фаз за исключени-
ем, быть может, изменения фазы отраженной волны на 180°. Если
падающая волна была линейно поляризована, то отраженная и прелом-
ленная волны будут также линейно поляризованы.
При нормальном падении формулы (14.8) дают
Rs______Лр _ пл-п, (15.1)
+ п,
В этом случае исчезает разница между S - и f - составляю-
щими всех волн. Различие в знаках коэффициентов Френеля у4- и
связано с условным выбором_положительных направлений, в
которых приведены векторы е, и G, • в предельном случае нор-
мального падения эти вакторы направлены прямо противоположно
(рис.27). Если7г2>/%, то если <n,t то Это
означает, что отражение света от оптичаски более плотной среды
сопровождается скачкообразным изменениам фазы на 180°. Отражение
от оптически менее плотной среды происходит без изменения фазы.
При скользящем падании, когда угол У близок к 90°,
А _ Лр ,
&р '
т.е. отражение практически полное. С этим связано происхождение
ярких и красивых изобреженией противоположных берегов в спокой-
ных водах озер или рек. Этим ха объясняется, почему изображе-
ние заходящего солнца в тех же условиях по яркости почти не ус-
тупает самому солнцу. %
Как видно из формул (14.8) или (14.9), отношение никог-
да на обращается в нуль, за исключением тривиального случая
Напротив, при jp знаменатель обращаете я в беско-
нечность. В этом случае Лр~О , т.е. Отражение отсутствует. Та-
ким образом, еоли электрический вектор падающей волны лежит в
плоскости педения, то при некотором угле падания отражение све-
та исчезает. В этом состоит закон Брюстара, открытый им экспе-
риментально в 1815 году. Соответствующий угол падения^ назы-
- 156
вается углом Брюстера. Для его вычисления заметим, что при
-jp направлении падающего и отраженного лучей взаимно
перпендикулярны (рис.28). Следовательно,са!^= Sin% =
т.е.
Если неполяриэованный свет падает под углом Брюстера, тс в
отраженном свете р - составляющая не появится. Отреженный
свет скажетсн линейно поляризованным и притом так,.что электри-
ческий вектср будет перпендикулярен к плоскости падения. Малюс,
открывший поляризацию света при отражении, назвал плоскость па-
дания плоскостью поляризации отраженного света. Таким образом,
электрический вектор перпендикулярен к плоскости поляризации,а
магнитный лежит в этой плоскости.
Многие авторы понимают под плоскостью поляризации плос-
кость, проходящую через направление распространения волны, в
которой колеблется электрический вектср. Вс избежение путаницы
мы будем называть такую плоскость плоскостью колебаний, сохра-
нив термин "плоскость поляризации" в прежнем смысле.
Отражение под углом Брюстере дает простейший способ полу-
чения поляризованного света. Недостаток этого спсссба - малая
интенсивнссть отражаннсго света.
2. Отношение отраженной энергию к анергии падающай назы-
вается коэффициентом отражения. Так как энергия пропорциональна
квадрату амплитуды, то формулы (14.8) дают для коэффициентов
отражения S - i р - составляющих следующие выражения:
- 157 -
сол'Р-ПС.ОЛЧ'
COS<p+ncoHfJ j
(15.3)
/ псо$у>~ cojp 12
fo ~ ( rtcos<f± ccj<fjJ '
Коэффициент отражения при нормальном падении называет-
ся отражательной способностью:
£ = (“~у-) . (15л)
Для стакла ( п = 1,5) Я = 0,04 = 4% ; для воды (/?,= 1,33)
Л = 2%. При отражении от веды длинных электромагнитных волн
(л = |/£^ =9) = 64%. Эти ЦИфри показывают, что ни вода, ни
стекло при нормальном падении на могут служить зеркалом. Обыч-
ные зеркала используют отражение света от металлических поверх-
ностей. Стакло служит только для защиты их задних посеребренных
поверхностей. Однако наличие даже слабого отражения от парадней
стороны стекла делает такие посеребренные с задней стороны зер-
кала непригодными для оптических целей. Для этих целей необхо-
димо покрывать металлом /лучше всего родием/ переднюю поверх-
ность стекла.
Отношение прошедшей энергии к энергии падающей называется
коэффициентом пропускания. Коэффициент пропускания можно также
определить как отношение нормальных компонентов усредненного по
временш вектора Пойнтинга прошедшей и падающей волн. На основа-
нии формул (2.13), (14.3) и (14.4) находим для падающей волны
Аналогично для прошедшей волны
- 158 -
Предполагая сначала, что вектор £ перпендикулярен к плос-
кости падения, а затем параллелен, находим для коэффицентов
пропускания^ гс<>^ *
СО$у> ( co3<f+ncc*<f>J > (15.5)
о _ псо&у / 2,С£>4У> )*
Р соау> ( nconf>+ cojy'j
Нетрудно проверить, что={. , как и должно быть
согласно закону сохранения энергии.
Коэффициент пропускания при нормальном падении:
Д _ 4п (15.6)
называется поверхностной прозрачностью. Измерения отражательной
способности и поверхностной прозрачности дают удобный метод из-
мерения показателей преломления в инфракрасной части спектра
/Рубенс/.
Найдем теперь коэффициент отражения для того случая, когда
плоскость поляризации падающей волны составляет с плоскостью па-
дения угол <Х . Этот угол называется азимутом поляризации пада-
ющей волны. Очавидно где & - амплитуда
падающей волны. Полная отраженная энергия пропорциональна
Следовательно, коэффициент отра-
жения равен
Д = Д Сс*г& + • (15.7)
Коэффициент отражения наполяризованного света J3 получает-
ся отсюда путем усреднения по Л . Так как в неполяриаованном
свете все направления электрического /и магнитного/ вектора
представлены с одинаковой вероятностью, то cod*<* *</=/; По-
этому
С15-8)
На рис. 29 приведены теоретические кривые для коэффициен-
тов отражения видимого света от стекла /я= /7 /, а на рис.30 .
для радиоволн при их отражении от поверхности воды = /,
- 159 -
Расчет показывает, что J> не имеет минимума, если показатель
преломления п не превосходит 3,732. Если же я> 3,732, то
кривая для J3 имеет минимум. Для видимого света показатели
преломления всех веществ меньие указанаого значения. Поэтому в
этой области спектра коэффициент отражения J° монотонно воз-
растеет с возрастанием угла падения.
3.‘Многочисленные измерения коэффициентов отражения при
различных углах падения и при различных поляризациях падающей
волны, предпринимавшиеся с целью проверки формул Френеля, нахо-
дятся в очень хороием согласии с этими формулами как в случае
видимого света, так и в случае радиоволн. Исключение составляет
случай отражения под углом Брюстера и в его ближайшей окрестнос-
ти, где наблюдаются незначительные отступления от формул Френе-
ля.
Другой способ проверки, также приводящий к хорошему согла-
сию, основан на исследовании вращения плоскости поляризации при
отражении и преломлении света. Пусть <х , уЗ , и/* означают ази-
муты поляризации падающей, отраженной и прошедшей волн. Не на-
рушая общности, можно считать, что они на превосходят 90°. Усло-
вимся считать Л положительными, если плоскости колебаний
падающей и преломленной волн проходят соответственна внутри уг-
лов, образованных векторами в? , 6, и , е* /фиг.27/. В про-
тивном случае эти азимуты считаются отрицательными. Азимут
условимся считать положительным, когда плоскость колебаний отра-
женной волны проходит вне угла между Лекторами ш е/
если же она проходит внутри указанного угла, то угол Jb считает-
ся отрицательным. Целесообразность такого соглашения оправдывает-
ся тем, что в случае нормального падения мы получаем одинаковые
азимуты поляризации падающей, отраженной ш прошедшей волн как по
величине, так и по знаку. Пои таком соглашении
йли на основании (14.9)
, л CQS&+4’) , . / -tgd. (15.10)
cotty-y) *9 ' $Г~ coify>_^ ‘
- KI -
fy’-PV'J I = I Coi ФйМЧ'-Sift ffinV I J
(•P-W) I ~ I ЫбУгЫУ' + Sin<fSin4> I ~~ 1
Так как углы Y и не превосходят 90°, то
I C0ify+Vf) I = I CDS ‘PcjhW-Sin ftin4f I /
I coitf-W) I ~ I CDS4>^4> + Sinfsin4> I" 1 ‘
Следоветельно,|^1-1<£|. Ана логично,|“|>|<*|. Отсюда видно, что при
отражении линейно поляризованного овета плоокооть поляризации
Рр fcos^f+v) 7 2 г\
• Отсюда видно, что/л всегда больше
рр за исключением олучаев нормельного и скользящего падения,
когда обе величины совладеют. Поэтому при отражении естествен-
ного света в отраженной волне буДет в больней степени представ-
лена 6 - составляющая, чем р - составляющая, а в прошедией
наоборот. Отраженный свет .будет частично поляризован в плоскос-
ти падения, прошедший - в плоскости, перпендикулярной к плоскос-
ти падения. За меру степени поляризации отраженного или прелом-
ленного света принимается абсолютное значение отношения:
л = I I (15‘П)
Где и - интенсивности S -^-составляющих. Это отноиение
полет изменяться б пределах от нуля до единицы.
При отражении под углом Брюстера, как показывают формулы
Френеля, отраженный свет поляризован полностью; прошедший свет
поляризован частично. При отражении под всяким другим углом час-
тично поляризован не только проиедший, но и отраженный свет.
Степень поляризации увеличивается при многократном отражении.
Обычно используют несколько плоскопараллельных стеклянных плас-
тинок, сложенных в виде стопы /стопа Столетове/. Раньше такая
стопа использовалесь в качестве поляризатора в тех случаях,ког-
да не требовалось, чтобы поляризация была совершенно полной.
Теперь такой способ почти не применяется.
4. Формулы Френеля мы вывели в предположении, что свет мо-
нохроматический. Однако в случае обыкновенного отражения в зти
формулы не входит длина волны, а отражение не сопровождается
изменением фазы. Поэтому в случае яелиспергирующих сред формулы
Френеля справедливы и для немояохроматических волн. Надо только
под , Kg , и т.д. понимать соответствующие компоненты на-
пряженностей электрического поля падающей, отраженной и прошед-
ией волн на границе раиела. Этс непосредственно следует из тео-
ремы Фурье и принципа суперпозиции.
Задали
I. Показать, что отражательная способность ореды для 'радио-
волн обращается в яуль, если .
2. Останется ли справедливым закон Брюстера для радиоволн,
если магнитные проницаемости сред ju, и отличны от единицы?
Ответ. Если закон Брюстера имеет место, то угол Брюстера,
при котором не отражаетоя Р - составляющая электршческого поля
определяется выражениемl------------------
/ ф . (15.12)
У
Возможен случай, ксгда не будет отражаться J - составляющая.
Угол, при котором это имеет место, находится из уравнения
tgf' (15.15)
6 V-M fyl, - ft
163 -
Оба случая взаимно исключают друг друга, так как знаки подкорен-
ных выражений в (15.12) и (15.13) противоположны.(Предполагает-
ся, что £ иJ*- существенно положительны). Теким образом,всег-
да существует угол, при котором не отражается либо р -, либо
S - составляющая падающей волны. В задаче к § 22 затронутые
здесь вопросы рассматриваются с другой точки зрения.
- 164 -
§ К. ПОЛНОЕ ОТРАЖЕНИЕ.
I. В атом случае COS у принимает чисто мнимые эначения.
Формулы Френеля удобно записать в виде
coif + l\/sin.l'/>—nz
coif - i.\ffcn*y -п* ’
______2 coif____________
4r ~ - i^un*f-nz
2f> _ nzcosf + il/sinzf-nz'
&p ~ пгс<ну ~Lfsinzf-7?
(I6.I)
_________Zncoif
&p nl cojf — i\/sin*<f-nZ
Они показывают, что и И/ | — I I .Та-
ким образом, отрахение действительно является "полным". В то же
время неоднородная волна во второ! среде, вообще говоря, не нс -
чезает. Например, если f=fa-a.7ctin п , то
Средняя плотность и средни! поток электромагнитно! энергии во
второ! среде не обращается в нуль. На первы! взгляд это кажется
пнрадоксальяым: паданцая энергия должна возвращаться в первую
среду целиком и в то хе время во второ! среде всегда должна быть
анергия. На саном деле эдесь нет никакого парадокса. Дело в том,
что формулы Фреяеля относятся к ионохроматическому полю, т.е. и
некоторому установивиемуся процессу. В этом случае для выполне -
ния закона сохранения энергии не обязательно, чтобы во второ!
среде не было поля. Достаточно, чтобы среднее за период измене -
ние энергии во второ! среде было равно нулю. Что это условие де!-
ствительно выполняется, показывает следующее простое вычисление.
Вычислим усредненную по времени нормальную составляющую век-
тора ПоЖнтинга во второ! среде. Пусть электрически! вектор лежит
в плоскости падения. Тогда
= 4*//у компя сопр
- 165 -
Поле во второй среде определяется формулами (14.6). Так какГДГ^' -
величина чисто мнимая, то из них видно, что между электрическим
и магнитным полями существует сдвиг фаз в 90^. При этом величина
Е* Нц также чисто мнимая, а потому $г = О . То же
справедливо и в случае, когда электрический вектор перпендикуля-
рен к плоскости падения. Этим наше утверждение доказано.
Вычисление остальных компонентов усредненного вектора Пойн-
тинга дает /
____ (16.2)
~G >
где А - глубина проникновения, определяемая выражением (13.3).
Таким образом, во второй среде действительно имеется энергия,
средний запас которой со сременем не изменяется, а средний поток
параллелмноси X • Существование такой энергии при установив-
шемся режиме, очевидно, не противоречит полному отражению падаю-
щей волны.
Чтобы ответить на вопрос, как появилась энергия во нторой
среде, надо исследовать процесс установления колебаний. Можно,
например, рассмотреть квазимонохроматическую волну с передовым
фронтом, перед которым нет никакого волнового возмущения. Пока
фронт волны не достиг границы раздела, во второй среде нет поля.
Как только волна дойдет до границы раздела, она сначала будет
почти целиком ррояикать во вторую среду и лииь частично отра -
жаться. По мере установления колебаний, коэффициент отражения
будет быстро нарастать и стремиться к своему предельному значе -
нию - единице. Полное отражение имеет место лииь для установив -
пегоея режима. Пока прочесе не установился, отражение всегда час-
тичное.
2. Более детально ( без усреднения по времени) движение
энергии в неограниченной монохроматической волне при полном
- 166 -
отражении проследил А.А.Эйхенвальд. Он изобразил на чертеже мгно-
венную картину силовых линий электрического и магнитного полей,
а также линий потока энергии в обеих средах. Для определенности
предположим, что овет падает под углом 45°, и электрический век-
тор лежит в плоскости падения. Магнитные силовые линии будут
перпендикулярны к плоскости падения, на рис.52 они не изображены.
Электрические силовые линии в первой среде являются замкнутыми
кривыми, в пределе переходящими в квадраты, изображенные на рис.
52 пунктиром. В центрах и углах квадратов электрическое поле об-
ращается в нуль. Электрические силовые линии обвиваются вокруг
центров квадратов, а линии потока энергии сходятся в них. Плос -
кости ЛЛ । и 55 являются узловыми плоскостями магнитного
поля : магнитное поле, а с ним и вектор Пойнтинга на этих плоско-
стях равны нулю. Через них энергия не поступает и не уходит.
Имеет место лишь колебание энергии в направлении оси Z , на
167 -
которое накладывается непрерывный поток энергии в направлении .
оси X • Расстояние между узловыми плоскостями составляет .
Вс второй среде, как видно из рисунка, также существует поле.
Электрические силовые линии входят из первой среди во вторую,
испытывая преломление на границе раздела сред. Густота силовых
линий быстро убывает при удалении от границы раздела, что соот -
ветствует затуханию поля в направлении оси Z • Линии потока
энергии - кривые. Каждая из этих линий в одном месте входит из
первой среды во вторую, а в другой месте снова выходит в первую.
Таким образом, энергия, проникная в какой-либо месте во вторую
среду, снова возвращается в первую, но в новом месте и в другой
момент времени. Чтобы представить себе, как будет протекать про-
цесс во времени, надо вообразить, что вся картина движется в
направлении оси X со скоростью Vx а •
3. Пусть две одинаковые среды разделены тонкий воздушным
проксдуткоы, на который падает волна под углом, большим предель-
лога. Можно ожидать ( см.задачу 2, § 16), что она проникает в
воздуиный зазор в виде неоднородной волны. При достаточно малой
'толщине зазора неоднородная волна достигнет его второй границы
еще не очень сильно ослабленной. Вступив из воздуиного зазора во
вторую среду, волна снова превратится в однородную и может быть
обнаружена обычными средствами. Опыт такого рода был выполнен
еде Ньютоном и рассматривался как экспериментальное доказатель-
ство проникновения сВе.’О в оптически менее плотную среду при пол-
ном отражении. Строго говоря, здесь нет полного отражения: оно
возмущено наличием второй средн. Ньютон прижимал к гшютенузной
грани прямоугольной призмы другую призму, ооилифованную сфериче-
ски ( рис.33). Оказалось, чтс свет проходит во вторую призму не
только в месте соприкосновении ( оптический контакт), но и в
невольном кольце вокруг него - там, где тонина воздуиного проме-
жутка сравнима о длиной волны. При наблюдении в белом свете
внешний край кольца имел красноватую окраску. Этого и следовало
ожидать, тек как глубина проникновения пропорциональна длине вол-
ны: она оольве для красных лучей, чей дли синих.
Нения толщину воздуиного зазора, можно изменять интенсивнссть
проходящего света. На этом основанс устройство светового телефона,
- 168
запатентованного фирмой Цейсс. Роль одной на сред играет проз-
рачная меморана, колеблюцаяся под действием падаюцего на нее
звука. Свет, проиедний через зазор, меняет интенсивность в таит
окаменениями силы звука. Падая иа фотоэлемент, он возбуждает пе-
ременный ток, сила которого изменяется также в соответствии с
изменениями силы звука. Этот ток усиливается и используется в
дальнейием.
Явления прохождения волн через тонкие зазоры, аналогичные
описанному оптическому явлению, не специфичны для оптики. Они
имеют место для волн любой природы и могут происходить когда фа-
зовая скорость в зазора превосходит фазовую скорость в окружаю-
щих средах. Легче всего они реализуются для длинных волн ( радио-
техника, акустика). Оообо важное значение зти явления имеют в
ядериой и атомной физике, а также в теории твердого лежа. Напри-
мер, альфа-частица, удерживается в ядро высоким потенциальным
барьером. По классическим законам ока ке может преодолеть этот
потенциальный барьер, так как в противном случае внутри барьера
классическое выражение для кинетической анергии частицы стало бы
отрицательным. Волновая механика, напротив, допускает возможность
- 169 -
выхода частицы из ядра даже в тех случаях, когда по классическим
представлениям ее кинетическая энергия недостаточна. Волна де-
Бройля, определяющая вероятность нахождения частицы в пространст-
ве, может пройти через потенциальный барьер совершенно так же,
как проходит черев узкий зазор неоднородная световая волна. Су-
ществует конечная вероятность обнаружения - частицы по дру-
гую сторону барьера, т.е. вне ядра. Это проявляется в явлениях
— распада.
Ч. При обыкновенно^ отражении оба отношения и
всегда вещественны. При полном отражении они, вообще говоря, комп-
лексны. Это значит, что при полном отражении фаза волны испыты -
вает скачок и притом, как правило, отличный от нуля или .
Пусть волна поляризована в плоскости падения.
Можно написать jv
ему + i\/sin2 p-nz = Ле z ,
где Л и величины вещественные. Тогда
сол у> -i \/sin.l<f- п2 ~ Jle'L 2 ,
~г = е
Отсюда видно, что и есть интересующий нас скачок фазы.
Приравнивая вещественные ш мнимые части, получим
Лсы-— = созу> ;
ЛИП ~ = ^Sir^f-n* ,
откуда
\/sin!y-nz'
Солер
(К.З)
- 170 -
Аналогично, для волны, поляризованной перпендикулярно к
плоскости падения р,
. £ xhirW-n1
П'со^ • <1бЛ>
Скачки фаз различны для S - и р -составляю -
щих. Если падающая волна поляризована линейно, то в отраженную
волну эти составляющие войдут с определенной разностью фаз. Поэ-
тому отраженная волна будет, вообще говоря, полнризована эллип-
тически.
Допустим, что между р - и S - составляющими падающей
волны нет разности фаз ( азимут поляризации лежит в пределах от
О до + )• Тогда разность фаз между ними в отраженной вол-
не будет
и помощью формул (16.3) и (16.4) найдем
/ J1 COi У9 (16.5)
9 Z $спгу>
Отсюда видно, что > О , т.е. лежит в преде-
лах от О до 57 . Значит, р - составляющая опережает
по фазе £ - составляющую, и эллиптическая поляризация отра -
женного света будет левой. Наоборот, если разность фаз между р -
и j - компонентами падающей волны равна( азимут поляриза-
ции лежит междуи О ), то эллиптическая поляризация,
отраженной волны будет правой.
Величина обращается в нуль при и .
Между этими пределами она должна достигать максимума. Его легко
найти, полагая co$<f - зс и приравнивая нулю производную от
по ЗС . Максимум достигается при л - coi<f=
Максимальная разность фаз dm определяется уравнением
2 2п
- 171 -
Для получения
удовлетворяющий уравнению
, нужен показатель преломления.
/-/г*2
Отсюда п =v2 -d « 0,414. Показатель преломления оптически
более плотной среды относительно менее плотной будет л'=^- а
ж 2,41. Если п' не меньие этого значения, то при однократном
отражении можно получить разность фаз S' «90°. В этом случаа
при азимуте поляризации падающей волны СХ ж+45° ~S>p)
поляризация отраженного света будет круговая и притом левая.
Такой больной показатель преломления в видимой области спектра
имеет только алмаз ( п' ж2,42). Для всех прочих сред в видимой
области П ' < 2,41. В этих случаях получить разность фаз
Sж90° при однократном отражении невозможно. Но это возможно для
коротких радиоволн. Для воды, например, = 9 , л = у ;
круговая поляризация, согласно (16.5), должна получиться при
У7 ^°29' и У ж44°58' . Опыт подтвердил это предсказание.
Для стекла ( п' ж!,51 ) максимальная разность фаз бС»
достигается при У* ж51° 20* и составляет 45° 36' . Разность
фаз S в точности равна 45° при У 48°37' и при У «64°37*.
Если применить двукратное отражение под одним из этих углов, то
возникнет относительней разность фаз 90°. Этим воспользовался
Френель для получения круговой доляржзацми. Он изготовил стеклян-
ный параллелепипед с углом Л ж54° 37* (рис.34). Светова* луч££/,
Рис.34.
- 172 -
падающий перпендикулярно яа грань ЛР> , претерпевает двук-
ратное полное отражение на гранях ЛХ) и SC , после чего вы-
ходит из параллелепипеда в направлении fJCL . При каждом из
отражений р - составляющая опережает по фазе $ -составляю-
щую на 45°. Если падающий свет поляризован линейно с азимутом
поляризации сС «+45°, то выходящий свет будет поляризован по
левому кругу. Если его заставить вторично пройти через параллеле-
пипед Френеля, то он снова превратится в линейно поляризованный,
но плоскость поляризации повернется на 90° относительно своего
исходного положения.
5. Возникновение скачка фазы при полном отражении можно
понять не обращаясь к формулам Френеля. Для этого достаточно най-'
ти скачки фазы при У = и при *Р «90°.
Допустим ради определенности, что электрический вектор лежит в
плоскости падения. Если угол падения строго равен предельному
углу полного отражения , то волна во второй среде будет
еще однородной. Она должна распространяться параллельно границе
раздела. Так как однородные волны поперечны, то отсюда следует,
что тангенцальная слагающая электрического поля на границе в4о -
рой среды обращается в нуль. Ввиду граничных условий должна рав-
няться нулю и тангенциальная слагающая электрического поля на
границе первой среды. Из рисунка 35 видно, что это может быть
тогда и только тогда, когда Z ~ составляющие электрического
поля падающей и отраженной волн на границе первой среды все вре-
мя имеют одинаковые энаки. При том выборе положительного направ-
ления электрического поля, которого мы придерживаемся ( рис.35),
юис.35
- 173 -
это означает, что фазы падающей и отраженной волн на границе раз-
дела совпадают. Напротив, при У » 90° полное отражение сопровож-
дается изиенением фазы аа 180°. В этой случае падающая и отражен-
ная волны распространяются в одной и той же направлении - парад -
лельно границе раздела. Граничные условия будут удовлетворены,
если положить Rp = -t>p .Падающая и отраженная волны гасят друг
друга, в результате чего как в первой, так и во второй средах не
будет никакого светового поля, и граничные условия выполняются
тривиально. Но равенство Ир означает, что при отраже-
нии появляется скачок фазы в 180°. Следует заметить, что гово -
рить об отражении света, когда угол падения точно равен 90°, не
имеет смысла. Приведенное рассуждение показывает только к како-
му пределу стремится амплитуда ?/> , когда угол падения приб-
лижается к 90°. Если отражение полное, то в первой среде образу-
ются стоячие волны с узловыми плоскостями, параллельными границе
раздела. По мере приближения угла падения к 90° расстояние между
узловыми плоскостями увеличивается и стремится к бесконечности.
При этом ближайшая узловая плоскость в пределе сливается с гра -
ницей раздела. Одновременно исчезает поле во второй (оптически
менее плотной ) среде.
Итак, при У= Уо скачок фазы при отражении равен нулю, а
при У 90° он составляет 180°. При этом во всей интервале из-
менения угла У от до 90° отражение должно оставаться пол-
ным ( § 13). Изобразим колебание электрического поля в отражай -
ной волне на векторной диаграмме. При амплитуда изобра-
зится вектором Л(У>) (рис.36), а оамо колебание его проекцией
- 174 -
на ось X ( если заставить вектор Л (Й) равномерно вра-
щаться вокруг О с угловой скоростью (О ). При
амплитуда изобразится вектором ЯJ , равным вектору ),
но противоположно направленным. Для промежуточного угла падение
У’ амплитуду, представляющую колебание, обозначим Л (т) .
При возрастании угла У от jg до длина вектора л(У)
не может изменяться, так как отражение полное. С другой стороны,
вектор , изменяясь непрерывно, должен из исходного
положения JF(<fe) перейти в конечное положение
Это можно осуществить только поворотом его вокруг точки О
Значит, если угол падения У* лежит между 5? и 90° , то
вектор / № должен быть наклонен к оси X . Угол нак-
лона tfp и есть скачок фазы при отражении.
6. В отноиении перехода частичного отражения в полное сде-
лаем следующее замечание. В области частичного отражения коэффи-
циенты отражения ft и fp меняются непрерывно и при jP-*- *fo
приближаются к единице. Таким образом, при они не испы-
тывают разрыва. Однако их производные по у* претерпевают в
этом месте раздав. Вычислим ^роизводные по от коэффициентов
Френеля 2S = ~^' и в окрестности угла в
предположении, что У < 9^ ? • Простое вычисление дает
= —— ; - % . (К.6)
с[д> солу посолу'
При У =52 СОЗ^-О , и обе производные обращаются в беско-
нечность. Обращаются в бесконечность также и
(j>s = Zi ). Поэтому вблизи предельного угла#
коэффициенты частичного отражения J*s и fp должны очень рез-
ко меняться с изменением угла падения. 0 резкости изменения мож-
но судить по рисунку 57, на котором приведена теоретическая кри-
вая для на границе стекло-воздух П* =-1,51 . Кривая
наглядно объясняет происхождение резкой границы между областями
частичного и( полного внутреннего отражения, которая бывает видна
в рефрактометрах, основанных на полном отражении света.
Рис. 37
- 176 -
§ 17. ПРИНЦИП ОБРАТИМОСТИ
I. В механике консервативных систем справедлив следующий
принцип обратимости. Если в некоторый иомент времени изменить
на противоположные направления скоростей всех материальных то-
чек замкнутой консервативной системы, то система повторит свое
движение в обратном порядке.
Аналогичный принцип имеет место и в электродинамике.
Пусть все пространство заполнено непроводящей ( непоглощающей )
средой. Если в некоторый момент изменить на противоположное нап-
равление магнитного вектора во всех точках пространства, то
электромагнитное поле повторит свою историю в обратном порядке
с той только разницей, что вектор в соответствующие но -
менты времени будет направлен противоположно по сравнению с его
направлением в прямом процессе.
Докажем это утверждение. Если в уравнениях Максвелла
div(s£)-4rp; div В =о. (I7,I)
изменить знаки у времени / и вектора В , то они перейдут
в z zri £ ЭЁ л г 1 3(-в)
vot (-В)- — d(_tj ; = d(-tj •
dilr 4тр ; div(-B,) =01 (I7*2)
т.е. в уравнения, тождественные с исходными уравнениями (17.I).
Таким образом, уравнения Максвелла не меняются при одновременном
изменении знаков у i и В . Возьмем произвольное решение
уравнений (17.I)
£&.?) Г ft?) ;
(17.3)
- 177 -
Тогда поле
Ё/t, О’-"»
будет также решением, так как оно удовлетворяет уравнениям
(17.2), тождественным с уравнениями (17.I).
Для завершения доказательства воспользуемся соответствую-
щей теоремой единственности, согласно которой заданием векторов
2Г и 3 во всем пространстве в какой-либо момент времени
реиение уравнений (I7.I) определяется однозначно. Пусть поле пред-
ставляется выражениями (17.3). В момент времени i = O изменим
знак у вектора В . Тогда в последующие моменты времени
решение будет удовлетворять начальным условиям
Ef.'
Ё{.0--Ф(о.г).
Но этим начальным условием удовлетворяет (17.4). Ввиду теоремы
единственности оно ш будет представлять электромагнитное поле
при . Решения (17.3) и (17.4), очевидно, связаны соотно-
иениями j .
Любой момент иожно принять за начало отсчета времени. Поэтому
установлением этих соотношений доказательство принципа обратимо-
сти! завершается.
Для иллюстрации пршнципа обратимости! возьмем плоскую моно-
хроматическую волну (3.8) в непоглощающей среде. Из принципа об-
ратимости следует, что возможна также волна
- 178 -
т.е. волна, идущая в противоположном направлении.
2. Стокс воспользовался принципом обратимости ( в механиче-
ской форме ) для установления связи между коэффициентами Френеля.
Со времени доказательства электромагнитной теории света результа-
ты Стокса утратили свое значение, так как они перекрываются фор -
мулами Френеля. Но в свое время эти результаты имели существен -
ное значение ввиду общности исходных положений, из которых они
выводились. Если справедлив принцип обратимости, то все конкрет-
ные теории отражения и преломления света должны включать резуль-
таты Стокса. Однако рассуждения, с помощью которых Стокс прииел
К своим результатам, полностью сохранили силу до настоящего вре-
мени. Поэтому не лииено интереса привести рассуждения Стокса ,
модифицированные применительно к электромагнитной теории.
Пусть падающая волна поляризована либо в плоскости падения,
либо перпендикулярно к ней. Амплитуды падающей, отраженной и
проиедшей волн связаны соотноиениями ( рис.38а)
- 179 -
(17.5)
где Z и d - коэффициенты Френеля. Изменим направление магнит-
ного поля на противоположное. Тогда, согласно принципу обратимос-
ти, все волны начнут распространяться в противоположных направле<-
ниях, причем амплитуды электрических полей не изменятся (рис.Звв).
Теперь имеются две падающих волны с амплитудами R и , испы-
тывающие отражение и преломление на границе раздела. В результа -
те отражения и преломления волны R возникнут волны с амплиту-
дами (фиг.38с):
К™ -cUb-zdi.
При отражении и преломлении волны & получатся волны с
амплитудами:
2^=d'^dd'£ .
Здесь Z! и d' означают коэффициенты Френеля для случая, когда
свет падает со стороны среды J/ на среду J . Сравнивая рис.38с
с рис.Звв, видим, что волны и должны гасить друг
друга, а волны и 50^ при наложении должны давать .•л-
ну <£ , т.е.
Отсюда и получается соотноиения Стокса:
г' = ~г
^+dd‘=£ .
(17.6)
Из них видно, что коэффициенты отражения при прямом и обратном
ходе лучей одинаковы: |г'|2а|г|. . . Но скачки фаз при
- 180 -
отражении различны и отличаются друг от друга на 180°. Однако
принцип обратимости не позволяет сказать, возникает ли скачок
фазы при прямом ходе лучей или при обратном. Ему не противоречит
также предположение, что скачки фаз появляются и при прямом и
при обратном ходе лучей. Он требует лишь, чтобы разность скачков
составляла 180°.
ЗАДАЧА
Проверить непосредственным расчетом, что формулы Френеля
удовлетворяют соотношениям Стокса (17.6).
- 181 -
§ 1Ь. ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНУЮ
ПЛАСТИНКУ. ПРОСВЕТЛЕНИЕ ОПТИКИ.
I. Допустим, что на поверхность отражающего тела нанесена
пленка толщины -t с показателем преломления п (рис.39).
Рис.39.
Показатель преломления первой среды обозначим п, , а второй
7lt . Пусть все показатели преломления Ч , nt и п
постоянны ( т.е. среды однородны), а падающая волна поляризована
либо в плоскости падения, либо перпендикулярно к ней.
Падающая волна
(18.I)
(начало координат в О ) претерпевает многократныа отражения
на границах пленки. В результате интерференции в первой среде
возникает отраженная волна
(18.2)
Поле внутри пластинки будет состоять из двух плоских волн:
182 -
(18.3)
Наконец, во второй среде возникнет преломленная волна
(18.4)
Ввиду граничных условий тангенциальные компоненты волновых век-
торов к, , к' . 4 , к , kL должны быть одинаковы.
Этим однозначна определяются направления всех волн ( см.§ 13).
Для определения неизвестных амплитуд к. , А , A' t
электромагнитная теория дает четыре независимых граничных условия
(два на верхней поверхности пленки и два на нижней), из коих эти
неизвестные могут оыть найдены. Однако мы предпочитаем решить за-
дачу иным, более коротким, способом.
На верхней границе сходятся четыре плоских волны (рис.40),
Рис.40.
Из которые дье приходящие, а две другие - уходящие. Для нахожде-
ния соотношений между их комплексными амплитудами можно отвлечь-
ен от существования нижней границы, ыожно считать, что нижней
Границы как бы не существует и рассматривать приходящие волны
как падающие, в результате ( однократных) отражений и преломле-
ний которых возникают уходящие волны. Падающая волна с амплиту-
дой , отражаясь от верхней границы, дает волну, идущую в
направлении вектора . Волна с амплитудой Д' , преломля-
ясь на той же границе, дает волну, идущую в том же направлении.
Результатом интерференции этих волн-.и является отраженная волна
с амплитудой к . Это дает
R. = 2, & Л (18.5)
Аналогично
Л = (18.6)
Здесь 2? и d, означают коэффициенты Френеля на верхней
границе пленки; и dt -''такие же коэффициенты на ее ниж-
ней границе ( предполагается, что свет пересекает эти границы
сверху вниз). Коэффициенты Френеля при обратном ходе лучей обоз-
начаются теми же буквами, но штрихованными.
Такое же рассуждение можно провести и для нижней границы
пленки . Надо только перенести начало координат в точку О ,
находящуюся на нижней поверхности пленки ( рис.39).
Тогда волна (18.1) запишется в виде
откуда видно, что роль комплексной амплитуды-будет играть величи-
на . Аналогично преобразуются комплексные
амплитуды и остальных волн. В результате получим
SBe^-d, Ae‘l,’t
Решая теперь четыре уравнения (18.5), (18.6), (18.7), (18.8)
- 184 -
и принимая во внимание соотношения Стокса (17.6), найдем:
-Zik^nlcotV
К г, + га е__________________
* (18.9)
где л, - волновое число в вакууме, a <f>' и - углы прелом-
ления на первой и второй границах.
Для наглядности при выводе мы ссылались на чертеж, относя-
щийся к однородным волнам. Но очевидно результаты (18.9) справед-
ливы и в том случае, когда волны в пленке или во второй среде
неоднородны.
2. При нормальном падении первая формула (18.9) переходит
в
э» ~ „ --ак.пС
Л _ 2,+2te_____________
о ~ . -Zik.nt
g i+z.z,e
(18.10)
I
Это выражение обращается в нуль, если выполняются два условия:
Ъ+Ъ (2пкЛ) >
ап (г.пкЛ) = о .
Из второго условия получаем:
2nJ(X =h/jr ,
или 1
где Л/ - целое число, а Я - длина волны в пленке. Теперь
первое условие можно записать в виде
^ + (~1) ?г=0 .
- 185 -
Если /у - нечетное, то <?, = ; если же /V - четное,
то . 2, = ?г • Однако последнее равенство не полет быть выпол-
нено. действительно}
г - п~п‘ 2Х = П‘~П •
* n + nz ’ * nt+n
Если бы 2f=~-Zz , то мы получили бы п(п^-п,^=О, откуда
либо П^О , что невозможно, либо nt=n, , что не пред-
ставляет интереса. Это показывает, что число л/ должно быть
нечетным, а следовательно, 2, должно равняться 2^ . Из
равенства = гх получаем:
п = \/п,Пг . (18.12)
Таким образом, если П=^П,п^ , а толщина пленки равна
, где - нечетное число, то отражательная способность
обращается в нуль.
На этом результате основан один из методов увеличения по-
верхностной прозрачности стекол, применяемый в оптической промыш-
ленности ( так называемое просветление оптики ). Для свекла
(ZZ =1,5) отражательная способность равна R =(п^/~) =°»°* =
4%, т.е. совсем невелика. Однако оптические приборы состоят из
многих деталей, изготовленных из стекла. Отражение на границах
их соприкосновения является главной причиной ослабления света
при его прохождении через оптический прибор. Так например, поте-
ри света в призменном бинокле составляют свыше 50%, причем они
почти целиком происходят за счет отражения света.
Значительная доля отраженного света, благодаря последующий
отражениям, доходит до глаза наблюдателя и, будучи в лучием.слу-
чае равномерно рассеянной, дает освещенный фон, ослабляющий
контраст света и тени в изображении. Особенно вреден этот рассе-
янный свет в фотографических приборах. В лучшем случае он созда-
ет общую вуаль на эмульсии. При некоторых же неблагоприятных
расположениях источников света могут получиться блики и дополни-
тельные изображения.
- 186 -
Для увеличения поверхностной прозрачности стекла на его
поверхности создается пленка с показателем преломления
и толщиной */<£• . Применение более толстых пленок ( соответст-
вующих N =3;5 и т.д.) нецелесообразно, так как условие полно-
го исчезновения отражения может быть точно выполнено только для
одной определенной длины волны и одного определенного угла паде-
ния. При д/ =1 возрастание коэффициента отражения с изменением
длины волны, а также с изменением угла падения получается наибо-
лее медленным. Поэтому в этом случае можно добиться почти полно-
го исчезновения отражения для сравнительно большого участка спект-
ра и сравнительно широкого интервала углов падения.
Такие пленки создаются либо путей выщелачивания из поверх-
ности стекла его компонентов, либо, что лучше, путей напыления
на поверхность стекла слоя посторонних веществ. При этом возни-
кают трудности, связанные с тем, что показатель преломления плен-
ки должен быть значительно меньше показателя преломления стекла.
Например, если =1,52, П, =1, то П = 1,23. Твердых ве-
ществ с таким малым показателем преломления в природе не ветре -
чается. Поэтому пленку приходится делать пористой,причем, во’из-
бежание заметного рассеяния света, разиеры пор должны быть весь-
ма малы по сравнению е длиной волны. Но пористая пленка не обла-
дает достаточной механической прочностью. Трудности могут быть
преодолены путем применения двуслойных покрытий. Сначала просвет-
ляемая поверхность покрывается пленкой, показатель преломления
которой значительно превосходит показатель преломления стекла, а
затем пленкой с меньшим показателем прелоиления.
г 3. Условия отсутствия отражения (IB.II) и (18.12) могут быть
получены из простых интерференционных соображений. При малых
коэффициентах отражения можно пренебречь волнами, претерпевшими
многократные отражения на границах пленки. Тогда останутся две
отраженных волны, из которых одна отразилась от передней, а дру-
гая, от задней поверхности пленки. Чтобы эти волны гасили друг
друга, должны соблюдаться два условия: I) фазы их должны быть
противоположны ; 2) интенсивности их должны быть равны. Первое
условие при нормальной падении приводит к соотношению (181II).
Второе условие, если пренебречь ослаблением волны за счет отраде
ния от передней поверхности пленки, сводится к 2, — 2Л . Отсюдг.,
- 187 -
как показано выше, получается формула (18.12). Недостаток приве-
денного доказательства в том, что оно не. учитывает многократные
отражения .
ЗАДАЧш
I. Пусть n,-nt . Показать, что коэффициент отражения
стремится к нулю, когда толщина пленки & также стремится к
нулю ( оптический контакт ). *
2. Предполагая, что п, =пг и п.<п, , исследовать,как
меняетсн интенсивность прошедшего света с изменением толщины
пленки t если угол падения превосходит предельный угол
полного внутреннего отражения.
- 188 -
§ 19. ОТСТУПЛЕНИЯ ОТ ФОРМУЛ ФРЕНЕЛЯ. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ
теОРИЯ ПЕРЕХОДНОГО СЛОЯ
I. Классические формулы Френеля, относящиеся к отражению и
преломлению света на плоской границе двух прозрачных изотропных
сред, являются только первым, хотя в большинстве случаев и доволь-
но точным приближением к действительности. В действительности от
этих формул наблюдаются отступления, хорошо заметные при отраже-
нии в окрестности угла Брюстера и с особой отчетливостью прояв -
лнющиеся в существовании следующих трех явлений.
а) Согласно формулам Френеля свет не должен отражаться вов-
се, если он падает под углом Брюстера и полярмэован перпендику-
лярно к плоскости падения. В действительности совершенно полное
исчезновение отражения не наблюдается ни при каком угле падения
ни при каком состоянии поляризации падающего света.
б) Согласно формулам Френеля линейно поляризованный свет по-
сле отражения от прозрачной изотропной среды должен оставаться
линейно поляризованным во всех случаях, за исключением случаев,
полного внутреннего отражения. В действительности зто строго спра-
ведливо только,тогда, когда падающий свет поляризован либо в пло-
скости падения, либо перпендикулярно к ней. Во всех остальных слу-
чаях при отражении линейно поляризованного света возникает эллип-
тическая поляризация, хорошо заметная вблизи угла Брюстера и
практически отсутствующая при отражении под другими углами.
в) Согласно формулам Френедя отражение на границе двух сред
должно полностью исчезать, еоли показатели преломления обеих сред
одинаковы. В действительности слабое отражение имеет место даже
и в этом случав.
2. Первые два отступления не независимы, а взаимно обуслав-
ливают друг друга. Для доказательства заметим, что вдали от угла
Бойстера обе формулы Френеля
а
(19.I)
Sin (р+р)
(19.2)
- 189 -
справедливы по крайней мере приближенно. Формула (19.I) показы-
вает, что при переходе через угол Брюстера коэффициент Френеля
Zp ыеннет знак. Это означает, что такой переход сопровождает-
ся изменением фаза отражающейся волны .на & . Изменение фазы
не может быть скачкообразным, так как при самом угле Брюстера
формула (19.I) неверна. Она дает нулевое значение для коэффициен-
та 2^ , тогда как на самом деле этот коэффициент не обращается
в нуль ни при каком угле падения. Поэтому должна существовать
узкая окрестность угла Брюстера А У’ , при переходе через
которую разность фаз между и меняется непрерывно от#
до Яс . Подобного изменения, как видно из формулы (19.2), -
составляющая волны не испытывает. Точнее, из формулы (19.2) мож-
но заключить, что скачок фазы Л - составляющей должен быть
мал по сравнению с Яс . Таким образом, скачки фаз />- и <$ -
составляющих падающей волны, испытываемые в окрестности А^Р ,
не одинаковы. Поэтому в указанной окрестности отраженный свет
будет, вообще говоря, поляризован эллиптически, если падающий
был поляризован линейно. Значит, второе отступление является
следствием первого.
Обратное также справедливо. В самом деле, если падающий
свет, линейно поляризованный под углом к плоскости падения, прев-
ращается после отражения в эллиптически поляризованный, то это
означает, что в отраженной волне присутствуют и 3~, и р -
составляющие. Но зти составляющие, как требует принцип суперпо-
зиции, должны отражатвся независимо друг от друга. Отсюда и
следует наше утверждение. Надо только сделать оговорку, что это
рассуждение не применимо для оптически активных сред, т.е. сред,
вращающих плоскость поляризации.
3. В настоящее время, по-видимому, общепризнанно, что причи
иой указанных отсуплений от формул Френеля является наличие на
поверхности отражающей среды переходного слоя, свойства которого
отличны от свойств остальной среды. Переходный слой возникает
обычно в результате загряанения или обработки отражающей поверх-
ности. Исследуя отражение света от свежих сколов кристаллов ка-
менной соли, Друде навел, что отражение почти точно следует
формулам Френеля. Рэлей, тщательно очищая поверхность воды,
- 190 -
показал, что отступления от формул Френеля исчезали почти сов-
сем, хотя небольшие отступления и продолжали оставаться. То же
было обнаружено другими исследователями на большом числе органи-
ческих жидкостей.
Теоретическое рассмотрение будет наиболее простым, если
предположить, что переходный слой однороден, т.е. его толщина и
показатель преломления всюду одинаковы. Такое рассмотрение было
дано в предыдущем параграфе. Более общим явлнетсн предположение,
что слой является сплошным, но его показатель преломления непре-
рывно меннется по толщине. В этом предположении теория переходно-
го слон излагается в настоящем параграфе. Она требует уточнении -
в тех случаях, когда толщина переходного слон становится сравни-
мой с атомными размерами и межатомными расстояниями. Такое уточ-
нение даетсн дальше в § 23.
4. Предположим, что две прозрачные изотропные однородные
среды с показателями прелонлеция п, и разделены переход-
ным слоем толщины Z” . Ради общности будем считать, что слой
неоднородный и анизотропный с оптической осью, параллельной ’оси
j? (одноосный кристалл). Оптические свойства слоя будем харак-
теризовать главными показателями преломлении = п? и пг ,
являющимися известными функциями координаты л . Материаль -
ные уравнения для переходного слоя запишем в виде
= £ я. >
} (19.3)
В частном случае изотропного слоя П*. - Пу ~^г • Поле внутри
переходного слоя удовлетворяет уравнениям Максвелла
ъоЬ В = ikjE ,
'zotE у
,(19.4)
/ GJ
ме
- длина волны в вакууме. Поле в
- 191 -
Рис.41.
в момент времени t.' можно записать в виде
Точка N с координатами л , у , 2 будат находиться в
точности в таких же условиях, что и точка JU. по истечении вре-
мени д/ = = когда точка S) волнового
tr, v, at о
фронта достигнет границы слоя в ® . Отсюда следует, что поле
в точке V в момент времени t = i'+bt = £'+ —
I
будет равно полю в точке -Л/ в более ранний момент времени i
т.е.
- 192 -
что и фага
внутри переходного
Отсюда видно, что фаза поля внутри переходного слоя распростра -
няется в направлении оси X с той хе скоростью,
падающей волны. Итак, злектромагнитное поле
слоя должно иметь вид
i(wt -k.nlXSin^J
i(at
юдставляя эти выражения в уравнение (19.4) и используя соотнохе-
шя (19.3), получим
/И
n,s.n.fH^=-n‘En ; n, ип<р~Ц,г ,
(19.5)
- 193
Ищем реиение этой системы уравнений в ваде бесконечных рядов:
яг
' (19.6)
Подставляя атм ряды в уравнения (19.5) к сравнивая члены с одина-
ковыми степенями ' к0 , находим прежде всего
= О . (19.7)
dz dz dz °-2
Иэ уравнена! (19.7) заключаем, что /7«у , £«. ••• не
зависят от 2 . т.е. являются постоянными. Поэтому баз огра-
нкчения общности можно принять, ЧТО Пву , к при
т / о обращается в нуль. В таком случае Н” , Е^
будут равны значениям функции С7) - при г-о
С другой стороны, еслн начало координат дднестять на верхней
границе переходного слоя, эти значения легко выравить череэ
комплексные амплитуды падающей и отраженной волн. Ввиду грапгаш
- I9U -
условий (12.I)
E?-<^RS ; 7/"=-л,^-^Л (I9-’>
Пользуясь этими значениями, др уравнений можно последова-
тельно найм все функции H.g(zj , (z) ,.. .
для любого т , начиная с т.=1 , Полученные таким путем
ряда (19.6) будут формально удовлетворять уравнениям (19.5).
Остается только додавать, что они сходятся и что их можно почлен-
но дифференцировать по 2 . f.
Пусть а. означает иаибольпй из модулей: | //у | , | ,
, а Л - наибольшее значение, которого достига-
ет модуль одной из функций:
т£ (z) , fc), £- ,
Тан как уравнения (19.5) распадаются на две независимые системы
однотипных уравнений, то при исследовании сходимости достаточно
ограничиться рассмотрением, например, первых двух уравнений. Они
дают
Отсюда
|<| < ааг ; |£'|*аяг ;
1 "2\
| т! ‘
Таким образом, каждый член знакоположительного и равномерно-
сходящегося ряда
+ (19Л0)
2: т!
больше абсолютных величин соответствующих членов каждого из ря--
дов (19.6). Отсюда следует, что каждый из рядов (19.6) сходит-
ся и притом равномерно относительно Z . Точно также и ряды,
полученные из рядов (19.6) почленным дифференцированием по 2 ,
равномерно сходятся относительно z . Действительно, из
(19.8) находим
откуда и вытекает равномерная сходимость. Следовательно, почлен-
ное дифференцирование рядов (19.6) допустимо.
Таким образом, задача о нахождении поля внутри переходного
слоя в принципе может быть решена для слоя любой толщины и при
любом виде функциональной зависимости главных показателей прелом-
ления Пж , Пу , Пг от координаты Z . В частности,мо-
гут быть определены и значения тангенциальных компонентов злектри
чаского и магнитного полей на нижней границе слоя, т.е. при
Z = £. . Если приравнять эти значения значениям тех хе ком-
понентов, вычисленным из выражения (14.6) для поля преломленной
волны, то получится система четырех уравнений, достаточная для
определения четырех искомых комплексных амплитуд: R. ,
«»/».'•
5. Впрочем, довести указанным путем решение задачи до конца
в общем виде возможно лииь тогда, когда толщина переходного слоя
весьма мала по сравнению с длиной световой волны. Это действи-
тельно имеет место при отражении от пцверхностей, которые
- 196 -
называют "чистыми". Если бы это было не так, то при отражении
света от "чистых" поверхностей наблюдалось бы интерферецциаонное
явление, известное под названием цветов тонких пленок.
Отбросим в рядах (19.6) все члены, начиная с квадратичных.
Ошибка, вносимая таким путем в величины тангенциальных компонен-
тов электрического и магнитного полей внутри слоя, не превосходит
суммы ряда
Так как сами компоненты порядка Ct , то этой суммой можно t
пренебречь, когда . Величина <Х- порядка еди-
ницы, а поэтому это условие практически сводится к условию
4О£ 4. или
(19.II)
С указанной степенью точности формулы (19.6), (19.8) и (19.9)
-п, С&/. .
Е„ и) -
- 197 -
где
= ~П. СОЛ
с[г
(19.12)
С другой стороны, те хе самые величины можно
образом: -гл,4^^
виравить
следующим
п, 5Э»е
; Путем сравнения этих выражений с предыдущими
К5 _ Л t ikaB R, ./'t z>
£ ' JL + ikjJ '
-М' * dc^N'
находим:
(19.13)
где
Л = п, eoiif- nt cosp
<JU = n, e.oi*f+ пг c»if (ii.ik.y
- ~p + fn*sin*<f>еозрcoipf
- 198 -
Д/, &'п*р + (п,nt cot pcoj<pt
Л '= пг coi<f>- n,cosp t
Jl'= ntw^+n,eo^f
B' =-tnint+pCOStffcMi^1-C^n^ntSinl^t
f>J ' = €n,nt+ pcospcoi Ф-Q, Ttt3nt Sin*
(19.14)
8ти формулы были выведены Друде более коротким, но менее
строгим способом. Изложенный здесь метод обладает тем преимуще-
ством, что он бее труда поддается обобщена - можно получить
формулы с точность» до любого порядка по ко •
Выполнив деление и отбросив квадратичные члены, можно преоб-
разовать формулы Друде к следующему виду
где
(19.15)
cei’f — fin*tp
(19.16)
6. Если падающая волна линейно поляризована, то между р - и
3 - компонентами нет сдвига фаз ( ь, сдвиг фаз равен 'ЗГ ),
В этом случае..амплитуды о, и можно выбрать вещественными.
Но амплитуды Rs и Ир будут, вообще говоря, комплексны.„Физи-
чески зто означает, что отражение сопровождается, скачком фазы.
- 199 -
Скачки фазы различны для р - и S - компонентов отражавшейся
волны. Поэтому отраженный свет будет поляризован эллиптически.
Эллиптическая поляризация полностьв характеризуется комплексный
отношением п
*7»
~{е (19.17)
Разность фаз между р - и S - компонентами отражен-
ной волны может быть измерена с помощью компенсатора. Величина £
также может быть измерена, так как tg , где ji - ази-
мут' поляризации отраженной волны после того как ее линейная по -
йяризация восстановлена никблем-анализатором.
Конец.электрического вектора отраженной волны описывает
эллипс в плоскости, перпендикулярной к отраженному дучу. Отноше-
ние i -лой к большой оси этого гллчпса называется коэффи -
циеитом эллиптичности отраженного света. Для него легко получить
г _ (и и)
Утйл. Л , образуемый больной осью эллипса с плоскостью падения,
определяется соотноиением
Допустим, что падающий свет линейно поляризован под углом
455 к плоскости падения ( . Тогда из (19.15) получа-
ем
Rs ' ' (IS,20)
Сравнение с (19.17) дает , , i
С
(19.21)
- 200 -
Исключая отсюда , получим
' да.гг>
При угле Брюстера У>+^/='^~ » а потому — ~^-
Сдвиг фаз S' условимся считать существенно положительном, Ве-
личина же •? может быть как положительной, так и отрицатель-
ной. Тогда при угле Брюстера «Л = + , и на основание
(19.18)/=!? . Таким образом, для коэффициента эллиптичнос-
ти при отражении под углом Брюстера вторая формула (19.21) дает
уэ='
(19.23)
(19.24)
1
где JI - длина волны в вакууме, - угол Брюстера
Положительному коэффициенту эллиптичности J3 соответству-
ет левая эллиптическая поляризация отраженного света, отрица -
тельному - правая.
В чаотном случае, когда переходный слой изотропный, т.а
выражение (19.24) переходит в следующее
>. (19.25)
а пц г лежит между
эллиптичности положителен; если ке
Отсюда видно, что если
и Tlt , то коэффициент
то он отрицателен^ В случае однородного слоя
(19.26)
- 201 -
Одного значения j) недостаточно для вычисления двух вели-
чин: толщины слоя £ и его показателя преломления п .
Однако в случае положительного отражения формула (19.26) позво -
ляет оценить нижнюю границу Z ~ . Выражение (19.26)
достигает максимума при П - . Этому значению и соответ-
ствует минимально возможная толщина переходного слоя. Если ее
ввести в (19.26), то получится
пг-п.,
Л
(19.27)
Л2 + П,
7. Обыкновенная вода имеет отрицательный коэффициент эллип-
тичности. Радей показал, что при очищении поверхности воды эллип-
тичность уменьшается, при некоторой степени очищения обращается
в нуль, затем становится положительной и стремится к значению
J3 = 0,00042 для предельно чистой поверхности. Эти наблюдения
Рэлея были подтверждены исследованиями Романа и Рамдасса, Буэ, а
в последнее время В.А.Киэеля на многих органических жидкостях.
Таким образом, эффект эллиптической поляризации связан не только
с загрязнениями отражающей поверхности жидкости; он существует
м при отражении от абсолютно чистых поверхностей жидкостей. Для
всех исследованных жидкостей коэффициент эллиптичности оказался
положительным.
Таблица 2
Вещество J3W5 п tntin Л
Метиловый спирт 1.33 0,00062
Этиловый спирт (Буз) 92 1.33 0,00124
Четыреххлориотый углерод 107 1,46 0,00103
Бензол 135 I.5I 0,00117
Толуол 114 1,50 0,00101
Ортоксилол 137 I.5I 0,00119
Вода(Рэлей) 42 1.33 0,00057
- 202 -
объяснения наблюдаемой
света от чистых поверх-
В таблице 2, по данным В.А.Кизеля, приведены значения J3
для различных жидкостей ( при J =5460 А ) в предположении,что
первая среда воздух^ (п = 4 ) . Последний столбец таблицы со-
держит значения —у2 , вычисленные по формуле (19.27).
Из таблицы видно, что очень тонкие переходные слои - порядка ты-
сячной длины волны - уже достаточны для
эллиптической поляризации при отражении
ностей жидкостей.
Приведенная оценка указывает также
границы применимости феноменологической
на то, что мы вышли за
теории, так как толщина
слоя получилась порядка молекулярных размеров. Применять к таким
слоям макроскопические уравнения Максвелла и характеризовать их
свойства макроскопическими параметрами типа показателя преломле-
ния- значит выходить за границы их применимости. Для таких слоев
задача должна решаться на основе молекулярной теории. Последняя
также приводит к формулам Друде (19.15), но дает более общую ин-
терпретацию параметров и , пригодную не только для
макроскопических, но и для мономолекулярных олоев. Мы вернемся к
этому вопросу в § 23.
§ 20. ПРИМЕР ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОБ ОТРАЖЕНИИ •
СВЕТА ОТ ТОЛСТОГО ПЕРЕХОДНОГО СЛОЯ С НЕПРЕРЫВНО МЕНЯ>
ШИМСЯ ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ.
I. Метод, изложенный в предыдущем параграфе, применим к
макроскопическим переходным слоям произвольной толщины. Но фак-
тическое проведение расчета с достаточной точностью по этому
методу возиожно только для слоев, толщина которых весьма мала
по сравнению с длиной световой волны. Между тем представляет
интерес выяснить влияние толщины переходного слоя на отражение
и преломление света в предположении, что показатель преломления
меняется внутри слоя непрерыгно. Точное реиение текой задачи
требует интегрирования уравнений Максвелла внутри переходного
слоя. Это возможно для некоторых специальных случаев. Первая
задача такого типа была решена Рэлеем (1880г.). Рзлей рассмот-
рел случай нормального падения на переходный слой, показатель
преломления в котором’ меняется пропорционельно ^75 / О. -посто-
янная/ Общие выводы, получаемые из анализа реиения задачи для
этого специального случая качественно верны и для произвольных
переходных слоев, показатели преломления которых меняются непре-
рывно и монотонно.
2. Введем обозначение^ ^Z+Ct. Тогда для слоя Рэлея можно
написать р
коп = > (20.1)
где р - постоянная, а ко - волновое число в вакууме. На верх-
ней границе слоя г*о , а следовательно g =О. Обозначим через
6 значение % на нижней границе слоя. Постоянные Ct , 6 и р
можно выразить через показетели преломления п, и пг первой и
второй сред и толщину слоя Очевидно
А= 4т > к*пг = ~~ •
Решая эти уравнения, получим
- 204 -
n‘ni_ L Р * гг- п,пл
п, -пг К° L п, -п
Л, Л,
Л* , z. > »
(2о.г)
(20.3)
На рже.42 приведен график функции (20.3) для случая П^Р
/7г=<5*. Он незначительно отклоняется от прямое. Поэтому полу-
ченные ниже результаты приближенно применимы к слоям,показатель
преломления которых линейно меняетоя с глубиной.
Пуоть падаюцая волна линейно ноляризованз. Тогда отражен-
ная н кроне диая волны, в текже поле внутри слоя будут также по-
ляризованы линейно. Пуоть злектричеокое поле Е неправлено па-
раллельно осн У , а магнитное В - параллельно оов X .
Внутри слоя л.
' PL^ikt (го-‘>
Исключая 3 • получим
gJl+~JtE^O. (20.5)
- 205 -
Общее решение этого уравнения имеет вид
E = , (го-6)
где Л и С - произвольные постоянные, a определяется
уравнением:
о1- -L - рг. (20.7)
X “ 4 /
Отсюда , _ol
} <го-8)
На верхней ,границе слоя Е= £ +R , В = На нижней
границе Е• Приравнивая эти величины зна-
чениям Е и 'В на границах слоя, вычисленным из (20.6) и (20.8)
найдем: fa*+Са^&+11 }
V6[Jlgf-i-C6't}.^e-‘t‘n’e ,
Решая эти уравнения, после несложных преобразований получим:
Л = -2_
£ 2 ^сАс(*гуо<4<Х 1 '
где
d^yfn^- (“-ОД
Представлять ренете в этой форве удобно, есяи/б'Дрг >т-е.
когда величина вещественна. Если же рг>^ , то аг<О . В
- 206 -
этом случае и <Х чисто мнимые. Положим
Л«М' j = {у '
где <%' и а' вещественны. Тогда
К __ 1 *"<*'_________
' СОМ ' + ipiiOtk'
_
nt
(20.11)
(20.12)
e
£ у, 'сом' + iptin а
Промежуточному случаюрг = % соответствует . В
этом случае обе формулы (20.9) и (20.12) приводят к неопреде-
ленности вида -р- , которая может быть раскрыта обычными мето-
дами. Получим
n,
(20.13)
JJ _ 2У7^
& ~ 2+ifn^-
e
Если (.-О , тор=о , и
&
£)__ 4
& сАа
формулы (20.9) дают
2п,
Z2z_
Те же результаты,как первое приближение, получаются при
Таким образом, если толщина переходного слоя очень мала
по сравнению с длиной волны, то, как и следовало ожидать, отра-
жение и преломление происходят практически так же, кек и в слу-
чае резкой границы.
Рассмотрим другой крайний случай, когда . В этом слу-
чае , и в формуле (20.?) членом можно пренебречь,!.е.
положить . Тогда из (20.12) получаем для коэффициента от-
ражения
2_
г
(20.14)
- 207 -
Отсюда видно, что коэффициент отражения Ji является осциллирую-
щей затухающей функцией толщины слоя Z . Амплитуды этих осцил-
ляций
(20.15)
убывает обратно пропорционально квадрату толщины переходного
слоя. Таким образом, для слоев, толщине которых велика по сравне-
нии с длиной вслны, отражение практически отсутствует. Этот вы-
вел не связан оо специальным законом изменения показатели пре-
ломления (20.3), а относится к любым толстым переходным слоям
с плавно меняющимися показателями преломления.
- 208 -
§ 21. ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ДИПОЛЯ ГЕРЦА.
I. Теория отрежения и преломления свете, изложенная в пре-
дыдущих параграфах, явяляется формальной. Она дает количествен-
ные формулы, определявшие интенсивность и поляризацию отражен-
ного и преломленного свете. Но она ничего не говорит о физичес-
кой природе явления. Оне не отвечает на вопрос, как и почему
возникают отраженная и преломленная волны. Ответ на этот вопроо
дает молекулярная теория.
С точки зрения молекулярной оптики всякую среду следует
рассматривать как вакуум, в которнй вкраплены молекулы и атомы
веществе. Под действием внешней подающей волны, а также под
влиянием излучений самих молекул и атомов, электроны и ядре сре-
ды приходят в колебания и поэтому сами становятся центрами излу-
чения вторичных электромагнитных волн. Эти волны, как и падаю-
щая волна, распространяются в промежутках между этомеми и молеку-
лами со скоростью С . Они когерентны, и их интерференцией оп-
ределяются все детали волнового поля в среде.
Допустим, например, что среда граничит с вакуумом и на нее
падает плоская электромагнитная волна. Вторичные волны, излучае-
мые атомами или молекулами среды, выходят из нее, интерферируют
и таким образом формируют отраженную волну. Преломленная волна
возникает при интерференции вторичных волн между собой и с па-
деющей волной, проникией в пространство, занятое средой. Таково
объяснение отражении и преломления света, даваемое молекулярной
теорией. Для того, чтобы облечь его в количественную форму,надо
знать как излучают атомы или молекулы, когда в них возбуждены
колебания электронов'и атомных ядер.
2. Простейшей моделью излучающего атома или молекулы явля-
ется точечный электрический диполь, дипольный момент которого
колеблется во времени. Он незывэется диполем Герца. Найдем
электромагнитное поле колеблющегося точечного диполя Герца. Мы
не будем следовать оиотематическим методам, применяемым в элект-
родинамике при решении этой зедачи, а изберем более длинный
путь, широко*'использующий физические соображения. На этом путш
каритшне формирования электромагнитного поля вокруг диполя вы-
нвитои более отчетливо. Имея в виду дальнейшие применения, бу-
- 209 -
дем предполегеть, что диполь помечен в однородную среду о ди-
электрической проницаемостью £ н магнитной прсннцаемостью^а.
Скорость электромагнитных волн в такой среде определяется выра-
жением (1.10).
Итак, допустим, что в начале координат помещен точечный
диполь, дипольный момент которого явяляетоя известной функцией
времени: . Если бы дипольный момент был постоянным,
то индукция Si определялось бы известной формулой злектроста-
тнки > —
дГ г7 р (2I.I)
г’ ’
i!a должны решить, кек нзыеннтся зте формуле, ксгда дипольный
момент меняется во времени. Электромагнитные взаимодействия
распространяются о конечной скоростью V . Поэтому поле диполя
и точке наблюдения в момент времени t должно опредеслтьоя
значениями дипольного момента н i-o прон*воггах не в тот же, а
в более ранний момент времени
£'=-[______; (21.2)
где Z - расстояние от диполя до точки наблюдения. На малых
раоо'голниях, когда время запаздывании мало по сравнению о
характерными временами, в течение которых заметно меняются ди-
польный момент и его мромнводвые, эффект зенавдывания практичес-
ки не может оказаться на нанряженностн поля. На таких расстоя-
ниях поле о достаточной точвоотью определяетоя прежним выраже-
нием (21.I). Но на больших расстояниях вреиенем запаздывания
пренебрегеть нельзя. Простойная мысль, к которой приводит фяэи-
чеокая интуиция, состоит в тем, что вектор Я , по крайней ме-
ре приближенно, должен определяться выражением
С с*
Это выражение получается из формулы (21.1) путем земеш вектора
р его значением (t) и момент времени /’ . Оправданием та-
кого выражения служит аамечапе,- что оно согласуется о представ-
лением теории поли е кемчиой скорости распространения вванмо-
дейотвий и в то же время на малых расстояниях переходит в пре-
- 210 -
дельную формулу электростатики (21.1). Как и должно быть, оно
описывает возмущение, распространявшееся от диполя со скоростью
V.
3. Однако выражение (21.3) яе может быть даже приближенно
верным на любых расстояниях от диполя, так как вектор дол-
жен удовлетворять уравнению otir^=O t а вектор Я. такому урав-
нению не удовлетворяет.
Чтобы убедиться в атом, напомним оначале одну формулу век-
торного 8Н8ЛИ88. Пусть ОЗИвЧввТ ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ВвКТОр, 38ВИСЯ-
щнй от аргументов ? я i' -1 ~ & . Очевидно
/ дЛ~\ fUA d&fdt'\JdA,A л
( дх ( дх \Эх /Лдх )е oz *
Здесь Использована термодинамическая символике: знзчкг и £'
означают, что снабженные этими значками- производные вычисляют-
ся при постоянных £ и £' ооолетотвевис. В уравнениях Максвел-
ле дифференцирование по координатам производится при постоянном
. Поэтому в дальнейяем значок i у знака производной будем
опускать, считая, что он подразумевается. Написав предыдущая
соотноиение для координат у и Z и сложив найдем
Совериевио аиалогячио получается формула
зд! («Л ft-fj. l2I-5)
Применяя формулу (21.4) к выражению (21.3), получим
лиг*). ^.г4
Таким образом, div^b^O . Поэтому к выражению (£1.з) следует
добавить какой-то член -$5", чтобы уничтожить divX>o . Этот член
текже должен иметь форму возмущения, распространяющегося от ди-
поля со екоростью V . Значит, он должен быть функцией аргу-
ментов 2 и t . Он должен убывать обратно пропорционально
квадрату расстояния Z , так как только в этом случае от его
дифференцирования получится дивергенция, убывающая обратцо яро-
порциоыалы о Z3 . Не основании линейности уравнений поля заклю-
чаем, что вектор Я, должен выражаться через 7^?^лкне*в0« Н®_
- 211 -
конец, иэ соображений симметрии оледует, что вектор Д должен
лежать в плоскости векторов ? и j? (£')• Поэтому его можно раз-
ложить по векторам Т и т.е. предотевить в виде
=► (21.6)
где а. л & - постоянные. Применяя к этому выражению прежнюю
формулу (21.4) , легко получить —)
Первое слагаемое должно уничтожать . Для этого надо по-
ложить 6*-f . Тогда /-=-zz»/ -х- I
4. Последнее выражение можно обратить в нуль, положив л«/
Однако, поступай так, нельзя гарантировать, что в дальиейием
при вычислении магнитного поля мы не придем ж противоречию. Фи-
зические соображения, основаинне на закона сохранения энергии,
покаеывеют, что вдали от точечного лоточника нами анергии любых
волн должен убывать обратно пропорционально второй, 8 следова-
тельно, семо поле - первой степени расстояния 2 . На этом ос-
новании временно оставим параметр л неопределенным, а в вы-
ражении для 9 добавим новый член , меняющийся обратно
пропорционально первой степени 2 . Вид 2>г определитои иэ тех
же физических соображений, которыми мы руководствовались при вы-
боре выражения для . Мы полагаем
— frit.)?) — f&'J <21-7)
riOj =о( *' *у® ,
где с*и уЗ - новые постоянные. Для днвергенциии 2^ получаем
Первое слагаемое в правой части должно уничтожить дивергенцию
вектора . Для этого должно быть
ct-yS*/— а. «0.
Что касаетои второго слегаемого, то оно должно обрацаться в нуль,
потому что выражение для 2Г должно обрываться на члене, убываю-
- 212 -
щек обратно пропорционально первой степени 2 , как это было
аргументировано выие. Значит, надо потребовать, чтобы <*^/3=0 ,
а потону _ а-/
<*-/>- z , (21.8)
С-^АЛ-W- _ (я.,>
5. Перейдем теперь к вычислению магнитного поля И и одно-
временно найден значение постоянной а , Исходным является пер-
вое уравнение Максвелла (I.I). Токи проводимости в нашей задаче
отсутствуют. Магнитное поле возбуждается только токами смещения.
В ооответствии с формулой 55 = , ток .смещения раз-
биваетоя на три слагаемых. Найдем магнитное поле Hf , возбуждае-
мое током смещения~ЯГ , Дифференцируя выражение (21.3),
убеждаемся, что вектор 5й. симметричен относительно направления
оси вектора (t'J. Поэтому магнитные силовые линии должны быть
окружностями, центры которых лежат не этой оси (рио.43). Цирку-
ляция вектора Ht вдоль круговой силовой линии of определяется
интегралом
- 213 -
Поверхность , натянутая на контур , может быть какой
угодно. Проще всего взять участок сферической поверхности ради-
уса Ъ с центром в точке нахождения диполя. Тогда аргумент
Z -t"^’ будет иметь одно и то хе значение во всех точках это-
го участка, и предыдущее соотношение перейдет в .
uni}
Отсюда
н. -
или в векторной форма
н
Uni}
(21.10)
н,
Если пренебречь запаздыванием, то это выражение перейдет в за-
кон Био и Севера, определяющий магнитное пола элементе тока.Это-
го, разумеется, и следовательно ожидать.
Так хе вычисляется магнитное поле Нг , возбуждаемое токои
смещения ~ %), . Оно равно
(21-п)
. 2.C.VZ1 Lr J
Ток смещения ~ магнитного поля на возбуждает. Действитель-
но, формула (21.9) показывает, что вектор 5Q касается поверх-
ности £ , а потому его поток через эту поверхность равен нулю.
Заметим также, что diir 7^= diirJZ =0 , Это непосредственно
следует из того, что поля Н, и ^обладают осевой симметрией и
соответствующие им силовые линии явяляются окружностями.
6. В наших выражениях все еще осталась неопределенной пос-
тоянная а . Это и понятно, так как мы использовали только три
уравнения Максвелла. Второе уравнение Максвелла (1.2) еще нигде
не применялось. Из него и определится постоянная а . Запишем
его в удобной для нео форме
- 214 -
ZO-h^ = • (21.12)
Применяя формулу (21.5), нетрудно получить
го/ [р (*) гУ
zot я, ,
Используя эти выражения, убеждаемся, что векторы Я>=3&о+2)+5^
и 7Т=Н,+Т?г удовлетворяют уравнению (21.12) только при
а.=з.
Окончательно поле диполя Герца может быть предстевлено
следующими формулами: _ д ,
Н=Н,+Нг , (21.13)
= / (21.14)
(21Л5)
г- [j&J1] (21-ю
Как ясно из вывода, эти формулы применимы при любых изменениях
дипольного момента во времени в том числе и тогда, когда диполь-
ный момент меняется по направлению.
7. Пространство вокруг диполя Герца естественно разбивает-
ся на три области или зоны, между которыми нет резких границ. В
самой бд имущей зоне, называемой статической, главным является
поле с„=~^ , убывающее обратно пропорционально кубу расстоя-
нин. В этой зоне можно пренебречь запаздыванием. Тсгде поле £о
в праделе перейдет в электростатическое поле диполя. Магнитное
- 215 -
поле в рассматриваемой воне убывает обратно пропорционально
квадрату 8 и может быть вычислено по статической формула Био
и Севера. Далее следует промежуточная вона, в которой играют
существенную роль поля и , убывающие обратно пропор-
ционально квадрату расстояния & . В атой вона вапэздываниам
пренабрегать нельзя. В промежуточной вона пола меняется наиболее
сложно, так кек в ней поля , 2^ , а также од-
ного порядке. Наконец, идет так нааыввемая волновая вона,пред-
ставляющая для лао основной интерес. В волновой вона поля Sv. ,
, Н, быстро .убывающие с расстоянием, становятся пренебрежи-
мо малыми. Остаются только поля 5Э, и Zt, убывающие обратно
пропорционально первой степени расстояния, т.а. значительно мад-
ленеа. Таким обрезом, алактромагнитноа поле в волновой воне
представляется выражениями
<гьв)
где Л^~£~ - единичный вектор нормали, в направлении которого
распространяется сферический фронт волвм.
Магнитные силовые линии в волновой воц» являются окружнос-
тями, центры которых лежат не оси вектора . Эмртрическое
поле направлено вдоль меридианов (рис.#*). Векторы Зб и Н пер-
ZW 44
пендикулярны между собой, а также к волновой нормали N . Между
ними существует такое же соотношение, что и между соответствую-
щими векторами в плоской волне. Плотность потока энергии опре-
деляется вектором Лойнтинга ..
(21.18)
Поток энергии все время направлен от диполя. Значит, диполь не-
прерывно излучает электромагнитную энергию. Излучение не изо-
тропно - плотность энергии пропорциональна квадрату синуса угла
между вектором f? (i'Jn направлением излучения. Эта зависимость
представлена на полярной диаграмме (рис.45). Излучение макси-
мально в направлении, перпендикулярном к вектору р(1). В на-
правлении вектора излучение отсутствует. Плотнссть пото-
ка энергии убывает обратно пропорционально квадрату расстояния
от диполя. Поэтому полный поток энергии через любую замкнутую
поверхность, окружающую диполь, не зависит ст ее формы и распо-
ложения. Чтобы его вычислить, проще всего взять сферу с центром
в точке нахождения диполя. Таким путем получается следующее выра-
жение для энергии £ , излучаемой диполем в одну секунду:
Z - А- Г (21.19)
0 3 Sir3
- 2Т1 -
8. До сих пор расстояния, на которых начинается или конча-
ется та или иная гона, были охарактеризованы не достаточно опре-
деленно. Это и понятно, так как зависимость от времени дипольно-
го момента уВГ(i) предполагалась любой. Допустим теперь, что
вектор о" явяляется синусоидальной функцией времени:
J = p.&
/ ‘J
где - волновое число. Подстановка этого выражения в фор-
мулы (21.13) - (21.16) дает
Э - /р < ity е^'^,
(21‘20)
Здесь p»t и fa означают слагающие вектора f>B вдоль радиуса-
-вектора г" и перпендикулярно к нему. Если Хгг^/, т.е.
, то полями 2)в, 2>, , п, можно пренебречь. Таким об-
разом, волновую зону следует определить как область пространст-
ва, уделенную от диполя на расстояния, много большие длины волны
Задача
Найти электромагнитное поле колеблющегося точечного магнит-
ного диполя с магнитным моментом rn = 7П Ci-) •
Ответ
• 218 -
§ 22. ВЫВОД ФОРМУЛ ФРЕНЕЛЯ В МОЛЕКУЛЯРНОЙ ОПТИКЕ.
I. Допустим, что однородная изотропная среда граничит с
вакуумом вдоль плоскости. Падающая на нее плоская электромагнит-
ная волна возбудит колебания электронов и атомных ядер. Атомы
среды станут центрами излучения вторичных электромагнитных волн.
В первом приближении они излучают кан точечные диполи Герца,по-
мещенные в вакууме. Поэтому можно воспользоваться формулами
(21.13) - (21.17), положив в них 1Г«=с , , /7=В . Все
эти волны, как и падающая волна, распространяются в промежутках
между диполями со скоростью С . Они когерентны и интерферируют
между собой. Задача об отражении и преломлении света была бы
полностью реиена, если бы удалось найти результирующее волновое
поле, возникающее в результате такой интерференции. Мы пойдем,
однако, по другому пути с целью обойти длинные и утомительные
вычисления.
Предварительно сделаем следующее замечание. Пусть среда за-
полняет все неограниченное пространство, и в ней распространяет-
ся плоская монохрометическая волна. Дипольные моменты атомов рре-
ды можно предотевить выражением
<22л>
Среда не подвергается внеиним взаимодействиям, а вместе с элект-
ромагнитным полем образует замкнутую систему. Дипольные моменты
в ней совериают собственные незатухающие колебания, поддерживаю-
щиеся полями излучении семих диполей. В месте нахождения каждого
диполя ооздается такое действующее поле Ё'(т) • что 7*0^)=
=, где jb - поляризуемость атома. Этим условием опре-
деляется закон дисперсии ы = cof&) . Им мы не будем занимать-
ся, так как сейчас нас интересует не дисперсия, а отражение све-
та. Мы просто будем считать закон дисперсии известным, фазовая
скорость дипольной волны (22.1) в то же время еоть фазовая ско-
рость в веществе. В § 24 мы приведем элементарное объяснение,
почему налИ|Чие вещества приводит к изменению фазовой скорости
света. Сейчао же >граничимоя напоминанием, что фазоваи скорость
в веществе не имеет прямого отношения к скорости рас-
пространения сигнала и движения энергии, а текже к скорости сже-
- 219 -
та в вакууме с . Ей устанавливается лишь соотношение между
фазами различных атомов в установившихся колебаниях, представ-
ляемых дипольной волной (22.1).
2. После этого замечания обратимся к задаче об отражении
овета. Рассмотрим бесконечную среду, ограниченную плоскостью.
В ней также можно возбудить и поддерживать дипольную волну пос-
тоянной амплитуды (22.1). Только для этого необходимо внешнее
воздействие. Его оказывает падающая волна. Она проходит внутрь
среды как в вакуум и -гасится вторичными волнами, излучаемыми
атомами. В результате в среде остается одна только преломлен-
ная волна. Вторичные волны, вышедшие из среды, интерферируют и
образуют отраженную волну.
Наиболее просто с изложенной точки эрания объясняется за-
кон Брюстера. Пусть электрический вектор падающей волны лежит в
плоскости падения (рис.46). Если волна падает под углом Брюсте-
Рис. Ьб
ра, то преломленный луч ОС перпендикулярен к направлению отра-
женного луча ОВ , ввиду поперечности световых волн электричес-
кий вектор в среде перпендикулярен к преломленному лучу ОС .
Возбуждаемые им дипольныа моменты атомов будут также перпендику-
лярны к ОС , а следовательно, параллельны ОВ , Но вдоль коле-
баний дипольного момента диполь Герца не иэлучает. Значит, в на-
правлении ОВ атомы среды не излучают, и отраженная волна воз-
никнуть не может.
- 220 -
3. Общие форйулы для амплитуд отращенных волн могут быть .
установлены без детального знания молекулярной структуры среды.
Lro возможно потому, что в задаче об отражении волн речь идет
о вычислении полей на таких расстояниях от границы среды, кото-
рые очень велики по сравнению с межмолекулярными расстояниями.
Поэтому дискретные излучающие центры могут быть заменены источ-
никами, непрерывно распределенными по объему среды. Разобьем
все пространство, заполненное средой, на клетки равных объемов
таким образом, чтобы на каждую клетку приходился один диполь.
Линейные размеры клеток будут порядка межмолекулярных расстоя-
ний, т.е. очень малы по сравнению с длиной волны. При вычисле-
нии поля вдали от границы среды дипольный момент каждого диполя
можно непрерывно распределить по объему соответсвующей клетки.
Каждая клетке будет излучеть в вакуум электромагнитцые волны
как точечный диполь Герца с дипольным моментом ^=РдУ, где
AV - объем клетки, аг- непрерывная векторная функция - по-
ляризация среды. Теким образом, от дискретной дипольной волны
(22.1) мы переходим к непрерывной волне поляризации
(22.2)
нового вектора к , пар
Слагающая волнового вектора К , параллельная границе раздела,
должна равняться одноименной слагающей волнового вектора ко
педающей волны, так как в направлении границы скорость распрост-
ранения фазы волнового процесса в среде должна совпадать с фа-
зовой скоростью падающей волны в том же направлении. То же спра-
ведливо для волнового вектора отраженной волны 4/. Как и рань-
ше, поместим яачало прямоугольной системы координет на границе
среды, ооь Z направим в сторону среды, а плоскость ZX совмес-
тим с плоскостью падения. Тогда
~ к о*. кх ,
коу ~ код ~ кд = О •
(22.3)
Кроме того волновые векторы в вакууме должны удовлетворить соот-
ношению
- 221 -
(гг.Ц
Отсюда и из формулы (22.3) получаем
Если задан волновой вектор падающей волны, то по этим формулам
можно рассчитать волновые векторы отраженной и преломленной
волн.
4, Разобьем среду на плоскопараллельные слои
толщина каждого из которых равна Z - , (рис.47). Эти слои
мы будем называть зонами по Аналогии с кольцевыми зонами Френе-
ля. Каждая плоскопараллельная зона излучает в верхнее полупрост-
ранство, плоскую волну с волновым вектором £ . Фазы волн, из-
лучаемых соседними зонами, сдвинуты относительно друг друга на
X . Поэтому электрическое поле £* отраженной волны представит-
ся знакопеременным рядом
(22.6)
' члены которого представляют поля излучения соответствующих зон.
При строгой однородности волны поляризации (22.2) члены ря-
де (22.6) одинаковы по абсолютной величине. Частичные суммы ря-
- 222 -
да колеблются между нулей и Е\ , а сумма самого ряда не имеет
определенного значения. В действительности реальная волна поля-
ризации не однороднн. Она имеет передовой фронт, перед которым
волнового возмущения нет. Поэтому на самом деле ряд (22.6) со-
держит конечное число членов, т.е. сходится. Легко найти его
сумму. Мысленно удалим первую зону вместе с излучеемым ею полем
и сдвинем остевиуюся среду вверх на расстояние L . Изменим да-
лее фазы всех диполей среды на одну и ту же величину и притом
такую, чтобы диполи, оказавшиеся после смещения на границе раз-
дела, получили те же фазы, какие имели бы в тот же момент време-
ни удаленные с этой границы диполи первой зоны. Ввиду медленнос-
ти изменения членов ряда (22.6) и тождественности зон,поле излу-
чения среды н верхнем полупространстве в результете этих опера-
ций практически останется без изменения. Но теперь оно может
быть представлено рядом
ez-ЁгЁгЁ-...
Складывая его с предыдущим, найдем
Ё' . <гг-8)
Таким обрезом, напряженность поля излучения среды в верхнем по-
простравстве равна половине напряженности поля, излучаемого в
то же полупространство первой зоной.
5. Прежде чем идти дальне необходимо сделать следующее за-
мечание. Отраженная волна, излучаемая сплошной средой с непре-
рывно распределенным вектором поляризации (22.2), в верхнем по-
лупространстве будет всюду плоской и однородной. В случае реаль-
ной среды, построенной из дискретных молекул и атомов, на плав-
но меняющееся псле волны вблизи границы среды накладывается
"молекулярная рябь”, т.е. дополнительное поле, резко меняющееся
на расстояниях порядка межмолакулярных или межатомных расстоя-
ний. Это пола может быть представлено в виде суперпозиции волн,
.быстро затухающих при удалении от границы среды. Пространствен-
ный период вдоль оси л таких неоднородных или поверхностных
волн порядка расстояния между атомами <2 . Соответствующая сос-
тавляющая волнового вектора будет порядка -g-. д тек как
длина самого векторе X должна быть равна , то для аго Z-
-составляющей получится ___
Отсюда видно, что при удалении от границы раздела на^расстояние
а поле неоднородных волн убывает приблизительно вб ~ 500раз.
Выше указывалось, что замена дискретных излучающих центров -
- молекул и атомов - источниками, непрерывно распределенными по
объему среды, годится при вычислении поля излучения в нерхнем
полупространстве на таких ресстояниях от границы, которые очень
велики по сравнениюс Ct. Приведенная оценка показывает, что это
ограничение в действительности должно быть сильно ослаблено.
Поле излучения реальной среды не отличается от соответсвующего
поля ее идеализиронанной модели с непрерывно распределенным век-
тором поляризации уже на расстояниях от границы порядка а .
6. Дальше при выводе формул Френеля можно пойти двумя пу-
тями. Один путь сводится к расчету поля излучения диполей среды
в занимаемом ею полупространстве. По этому пути мы не пойдем, а
обойдем вычисления, воспользовавшись замечанием, приведенным в
начале этого параграфа. Мы представим падающую волну как резуль-
тат излучения некоторой среды. Вообразим, что верхнее полупрост-
ранство на рис.47 заполнено такой же средой, что и нижнее. Тог-
да во всем бесконечном пространстве может распростраяняться од-
нородная волна с вектором поляризации (22.2). Колебания вектора
поляризации в такой волне поддерживаются только путем излучения
самой волны. Добавление воображаемой среды не меняет состояния
среды и поля в нижнем полупространстве. Но воображаемая среда
оказываат влияние на среду в нижнем полупростравстве посредством
своего поля излучения. Так как в нижнем полупространстве ничего
не изменилось, то поле, излучаемое воображаемой оредой в нижнее
полупространство, тождественно с полем падающей волны.
Разобьем воображаемую среду на плоскопараллельные зоны А. ,
3, с толщина каждой из.которых равна Z=A (рис.48).
Рассуждая как и раньше, легко показать, что напряженность поля,
излучаемого воображаемой средой в нижнее полупространство, рав-
на половине напряженности поля излучения зоны Л . Вычисление
отношения амплитуд отраженной и падающей волн Л. и свелось,
- 224 -
таким образом, к сравнению полей излучения зон I и А на гра-
нице раздела 2 -О.
7. Если вектор Р перпендикулярен к плоскости падения, то
отноиение амплитуд # и £ будет просто равно отноиению толцин
эон I и А , взятому со знаком минус, поскольку фазы волн, из-
лучаемые этими зонами, на границе раздела противоположны. Это
дает первую формулу Френеля
= _ ^6?-^ (22‘9)
L kt+kol
Если вектор Р параллелен плоскости падения, то необходи-
мо учеоть зависимость поля излучения диполя от угла между ди-
польным моментом и направлением излучения. Излучение дает толь-
ко поперечная слагавцан дипольного момента. Поатому величину
необходимо умножить не отномение^проекций вектора р на
направления единичных векторов и сГ, перпендикулярных к
направлениям распространения отраженной и надавцей волн. Если
учесть поперечнооть преломленной волны (кРШО1 то для этого
отномения нетрудно найти -^^^(рлс.«у и 43), е для отионе-
нля самих амплитуд н J
#s eoifiP+'k) (?-'?) , (22.10)
- 225 -
Это - вторая формула Френеля.
Таким же путем может быть разобран случай обратного паде-
ния, когда волна падает из среды на ее границу с вакуумом, а
также общий случай отражения не границе раздела двух материаль-
ных сред.
Задача
Предполагая, что> найти условие, при котором коэф-
фициент отражения электромагнитных волн от плоской границы сре-
ды равен нулю. Отраженную волну рассматривать кек результат су-
перпозиции вторичных волн, излучаемых элементами объема среды.
Ращение. Если ^^7 , то в электромагнитном поле атомы
среды будут обладать не только электрическими, но и магнитными
моментами. Обычные геометрические законы отражения остенутся
справедливыми и в этом случае. Поэтому для исчезновения отраже-
ния необходимо, чтобы волны, излучаемые электрическими дипольны-
ми моментами в направлении отраженного луча, гасились волнами,
излучаемыми магнитными моментами. Пусть ~р означает электричес-
кий дипольный момент атома, а ТП - его магнитный момент. Элект-
рическое поле излучения атома в точка г волновой эоны пред-
ставляется выражение^»
где р± - поперечная составляющая электрического момента Р .
Если редиус-вектор параллелен отраженному лучу,, то для всех
етомов поле должно обращаться в нуль. Введем единичный век-
Top"if=-£- , проведенный в этом направлении. Тогда после инте-
грирования условие сичезновения отражения примет вид
=0,
или
[?,[= [% ' (22,п)
Отсюда
- 226 -
Возможны два случая: либо , либо (рХ)—О .
В первом случае скалярным умножением предыдущего уравнения не
получаем , так как ввиду поперечности электро-
магнитных волн (рт)=о , Поэтому d—D , и следовательно,
(22.12)
Во втором случае, соотноиение (22.11) переходит в
[^,ГП.]=Р , (22.13)
При нормальном падении векторы J? , ттг , Z, взеимно перпендику-
лярны, так что справедливы оба соотношения: тп - [ръ] и
Х^=/~г; ™] • Рассмот1" и оба случая в отдельности.
I случай. Если перейти к макроскопическому описанию, то
соотноиения (22.12) примут вид
JP'J’I, '22л'>
где I - вектор намагничивания среды. Выражая с помощью формул
(1.3) и (1.4) векторы и / через напряженности полей Е и
// прошедшей волны, перепишем соотношения (22.14) в виде:
(&-<)[&] = (s-Jpp (Ъ)+о.
С другой стороны, векторы Е и Н связаны соотношениями
E^[HN], <22-и
где N - единичный вектор волновой нормали прошедшей волны.
Отоюда заключаем, что в рассматриваемом случае вектор // перпен-
дикулярен к векторам и N » ®.е. к плоскости падения. Зна-
чит, волна линейно поляризована перпендикулярно к плоскости па-
дения. Подставляя выражение для Е из соотношения (22.16) в
соотношение (22.15) и учитывая, что (Нг,уо , получим
Если 6^ - единичные векторы вдоль координатных осей,
Т° К ’ ^»6^гг?у>-^СЛГ^Т8К что
COi
- 227 -
Сюда надо еще присоединить закон преломления
tint
С помощью этих соотношений нетрудно получить
(22.17)
2 случай. (fX)'0 . Этот случай получается из преды-
дущего, если величины ряда-»
уо\ ГЛ, г?,
заменить соответствующим^ величинами другого ряда
fn, Р& •
Волна поляризовене в плоскости падения. Вместо формулы (22.17)
получается формуле
(22.18)
Формулы (22.17) и (22.18) были ухе получены ранее формаль-
ным путем (ом. задачу 2 к § 15). Здесь раскрыт их щетинный физи-
ческий смыол. Как ухе указывалось, они не могут выполняться од-
новременно, так кек подкоренные вырахенин в этих формулах имеют
противополохные знаки. Если £ >ju- , то существует угол, опреде-
ляемый формулой (22.17), педая под которым волна, поляризован-
ная перпендикулярно к плоскости педения, отрахаться не будет. В
этом случае невозможно исчезновение страхения для волны, поляри-
зованной в плоскости падения.
В противоположном случае £<ju. невозможно исчезновение отра-
жения для волны, поляризованной перпендикулярно к плоокости па-
дения. Но это возможно для волны, поляризованной в плоскости па-
дении. Соответствующий угол падения определяется формулой (22.18).
В частности, при«£=^/ отражение должно исчезать при нор-
мальном падении. Это пытались использоветь немцы во время пос-
ледней войны для защиты подводных лодок от редиолокеционных уста-
новок союзников. Чтобы вернуться обратно, луч радиолокатора дол-
жен отражаться от поверхности лодки нормально. С целью устрене-
ния отражения поверхность лодки предлагали покрывать пористым
- 228 -
магнитным материалом, для которого . Но это не реиало проб-
лему, так как таким путем не устранялось отражение от границы
пористого материала о металлической поверхность» лодки, играю-
щее основную роль. Для того чтобы его устранить, покрытие надо.
было изготовлять иэ поглощающего материале и притом поглощающе-
го слабо во избежание сильного отражения от самого покрытия.
Для эффективного поглощения толщине покрытия получилась бы не-
допустимо больной - она должна юыле бы содержать много длин
волн.
- 229 -
§ 23. ИНОЙ МЕТОД РАСЧЕТА. ПРИЛОЖЕНИЕ К ПЕРЕХОДНЫМ
слоям:
I. Можно не пользоваться разбиением на плоскопараллельные
зоны, а поступить иначе, например, свести поА'е излучения среды
к издугянчю бесконечно тонкого слоя1 расположенного на ее гра-
нице. Для того чтобы избежать трудностей, связанных со сходи -
мостью соответствующих. интегралов, учтем поглощение среда. С
этой целью в выражении для волны поляризации ( 22.2) веществен-
ный волновой вектор 1с заменим комплексным. Его тангенциаль-
ные составляющие по-прежнему должны удовлетворять соотноиениям
(22.3), т.е. должны быть величинами вещественными. Нормальная же
составляющая должна содержать минимую часть:
> kjL-k^~ ikg ( kt > О) . Введение мнимой
части обеспечивает затухание волны. Оно может быть сколь угодно
малым. В пределе “* О ш вернемся к случаю непогло-
щающей среда, и при этом не возникнет никаких неопределенностей.
2. Возьмем бесконечно тонкий слой, ограниченный плоскостями
2 = ?
и
им
рис.49
в верхнее полупрострайбтдо, будет плоской ж пойдет в иаправле-'
нии волнового вектора Ко отраженной волны. Колебании вектора
поляризации в точке О представляются выражениеи t а
в точке О' - выражением , волне, испущенная
ив О' в направлении TZ • по сравнению о такой же волной, ис-
пущенной из течки О , получает дополнительное запаздывание по
фазе , где p-O’J-P^^ , или Д$Р=4,,%
Поэтому поле волны, ивлучеииой в верхнее полупространотво эле-
ментарным слоем dp , долине содержать в качестве множителя век-
тор
Интегрируя по воем слоям, получим т
причем интегрирование океэалось возможным благодаря наличию в
кг в мнимой чаоти.
Если алементацдый слой находился из границе отражающей сре-
дн, то вектор dll переходит в с£По =?.&** dg . Вектор£«(Г
имеет смысл амплитуды дипольного моменте, приходящегося нз еди-
ницу площади рассматриваемого элементарного слоя. Сравнение вы-
ражений wmcU]o и ТГ приводит к следующему результату. Вся
среде излучает в верхнее полупространство кек бесконечно тонкий
слой, помещеивнй не ее гренице, с поверхностной плотностью ди-
кольного момента
кг+к
Поверхностная плотность амплитуда дипольного момента такого эк-
вивалентного слоя равна ч
(23.1)
- 231 -
3. Падающую волну текла надо запенить полем излучения ана-
логичного бесконечно тонкого слоя. Прием, который мы применяли
в предыдущем пераграфа, при комплексном А*, не применим, так
кек в воображаемой среде вектор поляризации (22.2) неограничен-
но возрастал бы при удалении от границы раздела. Поэтому мы пос-
тупим иначе.' Вектор Р в нижнем полупространства экспоненциаль-
но убывает. При достаточно больших Z он практически обращает-
ся в нуль. Не этом основании нашу неограниченную среду' можно за-
менить плоскопараллельной пластинкой большой толщины. Полное по-
ле ниже плеотинки равна нулю. Но оно слагается из плоской падаю-
щей волны и из водны, излучаемой самой пластинкой. Отоюда следу-
ет, что в пространства ниже пластинки поле падающей волны равно
и противоположно по знаку палю излучения пластинки. Последнаа
может быть сведано к излучению басконачно тонкого эквивалентно-
го слоя, расположенного на верхней границе пластинки, совершен-
но тек же, как это было одалано для излучения в верхнее полу-
пространство. Таким путам находим, что в нижнем полупространст-
ве падающая волна зквивалентна полю излучения бесконачнс тонко-
го слоя, расположанного на границе среды, причем амплитуда по-
верхностной плотности аго дипольного момента дается выражением
В (23.2)
1 L-k,
Так кек падающая волна и волна, излучаемая эквивалентным слоам,
оба плоские, то зто утверждение справедливо для всего нижнего
полупространства, а не только для пространства, расположанного
под нижней границей плаотинки.
4. Теперь можно выполнить предельный переход к непоглощаю-
щей среде и считать величину кг вещественной. Вопрос свелся к
элементарной задаче сравнения полай излучения двух колеблющихся
диполей с амплитудами дипольных моментов (23.1) и (23.2). Одна-
ко имеет смысл обобщить еЬо, учтя наличие на поверхности средн
тонкого переходного елся. Избранный нами метод изложения наилуч-
шим образом приспособлен к этой цели. В волна поляризации (22.2)
постоянный вектор Ц следует заменить суммой R+I?' (%) .при-
чем функция Р (z) отлична от нудя только в тонком поверхност-
ном слоа, толщна которого очень мала по сравнению с длиной вол-
ны. функция PK'(z) может служить макроскопической характеристи-
- 232 -
ко! при описании состояния переходного сдоя. При наличии пере-
ходного слоя к выражению (23.1) следует добавить интеграл
di, <25-”
а на выражения (23.2) вычесть интеграл
di. (гз-”
Так как ело! тонки!, то запаздыванием по фаза можно пренебречь,
заманив оба интеграла болаа простым
г - . (2’-5>
Вектор Т имеет смысл амплитуды поверхностно! плотности допол
нательного дипольного момента, обусловленного переходным слоем.
Итак, амплитуды (23.1) к (23.2) следует заменить соответст
веяно не 7>_ _ _ Я .
* “ 1 ^-г + Т ’ (23.6)
При сравнении излучений диноле! с амплитудами (23.6) и (23.7),
конечно, необходимо принять вс внимание зависимость излучения
от направления: излучение дает только поперечная слегачщая ди-
польного моменте. Заметив мэ, введем обозначения
и рассмотрим две случая.
I едучай, Электрический вектор перпендикулярен к плоскос-
ти падения. Очевидно
У
^3
- 233 -
Подставив сюда выражения для ЛГуИ Лу из (23.6) и (23.7),после
несложных преобразований получим
*in С'М') /* (&К<Р+ПСОЗ'1>) (23.9)
77 sin('M') ^-^^Ceosf-neost)
2 случай. Электрический вектор, лежит в плоскости падения.
Пусть fiT и ffz - единичные векторы, лежащие в той же плоскости
и перпендикулярные к падающеыу_и отраженному лучам (рис.50).Тог-
да
~(Тг)
Рис.50.
Воспользовавшись формулами (23.6), (23.7) и учтя поперечность
преломленной волны (FP = О) , после несложных преобразова-
ний получим ' \ .
5. Выполнив деление и отбросив квадратичные члены по JT ,
нетрудно преобразовать формулы (23.7) и (23.8) к виду (19.15).
По сравнению о прежним выводом приведенный здесь вывод отлича-
ется тем преимуществом, что он приводит к новым выражениям(23.8)
для параметров /« , которые сохраняют смысл для как угод-
но тонких переходных слоев. Параметры Ji и в первом поряд-
ке полностью херактеризуют переходный слой. Они имеют размер-
ность длины. В теории первого порядка их достаточно вычислить в
злектростатичском приближении. Действительно, при более точном
- 234 -
выяислении в интегралах (23.3) и (23.4) можно было бы не пренеб-
регать фазовыми множителями. Тогда величины и оказались
бы функциями волнового числа ко . Если их разложить по ко и
подставить в формулы (23.7 и (23.8), то члены первого порядка
этих разложений приведут к поправкам второго порядка, которыми
мы непренебрегали. Поэтому при вычислении пареметров Г--Л
длину волны Д можно считать бесконечно большой, т.е. пользо-
ваться уравнениями электростатики. Разумеется, в таких расчетах
надо пользоваться не статическим значением диэлектрической про-
ницаемости £ , а ее значением для рассматриваемой длины волны
Л .
6. Обычные макроскопические переходные слои возникают на
поверхности отражающего тела в результате ее загрязнения или об-
работки. Однако опыты показали, что отступления от формул Френе-
ля при отражении от жидкостей остаются при самой тщательной
очистке мх отражающих поверхностей. Как указывалось в § 19 тол-
щина переходного слоя, вызывающего эти отступления, порядка мо-
лекулярных размеров. К ним фаноменологическая теория непосредст-
венно не применима, тогда как теория, изложенная в этом парагра-
фа остается в силе. Природа переходных слоев окончетельно не
установлена. По этому вопросу мы ограничимся некоторыми кратки-
ми замечаниями.
Начнем с критики и уточнения физического объяснения закона
Брюстера, которое было приведено в предыдущем параграфа. 'Объяс-
нение предполагало, что направление дипольного момента молекулы
совпадают с направлением действующего на нее электрического
поля . Это справедливо только для изотропных молекул. Если
же молекулааниэотропна (а такими явяляется больиинство молекул)
то м с *, вообще говоря, имеют разные направления. В этом
случае молекулы излучают также и вдоль ОВ (рис.46). Однако,
если они ориентированы беспорядочно, так что все ориентировки
равновероятны, то среда будет оптически изотропна. В этом случае
[электромагнитные волны, излучаемые в направлении ОВ, не коге-
рентны. Они гасят друг друга, а потому закон Брюстера по-прежне-
му должен выполняться. Отклонения от него возможны при наруше-
нии хаотичности в ориентации молекул, например, тогда, когда в
- 235 -
приграничном слое анизотропные молекулы ориентированы в некото-*
ром преимущественном направлении.
Объяснение предполагало далее, что електрическое поле £
перпендикулярно к направление преломленного луча ОС . Основани-
ем для втого служила поперечное» световых волн. Но оне являет-
ся следЬтвием макроскопических уравнений Максвелле. Последние
безусловно справедливы вдали от границы средн - на расстояниях,
больиих пс сравнение с межмолекулярными. Но они, кйк и всякие
макроскопические уравнения, теряет силу на самой границе разде-
ла, хотя бы потому, что'понятие дизлектрической проницаемости
или среднего поля-таи не имеет смысла.'О направлении и величине
злектричеокого поля, действуюцего же граничные молекулы средн,
макроскопическая теория не может дать ответа. Здесь необходима
последовательно молекулярная теория. Расчет бЫД выполнен для
оптически изотропной кубической кристаллической реиетки, постро-
енной из точечных я изотропных атомов. Он показал, что дипольные
моменты атомов первого олоя имеют слагающие, перпендикулярные к
направлению луча ОВ- в этом направлении они будут иалучать.
Таким образом, молекулярная структура средн сема по себе ведет
к отступлениям от формул Френеля. Однако по теории получается
эллиптичность в несколько рев меньие наблюдаемой на опыте. Кро-
ме того теория приводит к отрицательной эллиптичности, тогда
как для больиинстве жидкостей наблюдается положительная эллип-
тичность.
По-видимому?эллиптичность отраженного свете связана о изме-
нением молекулярной структуры жидкости вблизи ее поверхности.
Так, для многих жидкостей измеренные значении эллиптичности со-
гласуются с вычисленными, еоЖи предположить, что анизотропные
молекулы моиомолекулярного поверхностного олоя ориентируются в
определенном направлении. Возможно, что некоторую роль играет
изменение межмелекулярных.расстояний в поверхностном слое жид-
кости.
Убедиться непосредственным расчетом, что для макроскопи-
ческих переходных слоев формулы (23.8) переходят в (19.16).
Реиенке. Как было выяснено, интеграл (23.5) надо вычислить
- 236 -
в электростатической приближении. Поэтому электрическое поле Е
может считаться статическим. Координатные оси можно выбрать так,
чтобы вектор Е лежал в плоскости ZJC . Ввиду осевой симмет-
рии электрическое поле в среде и в переходном слое не может ^за-
висеть от координат х к у , а у - составляющие векторов Е и
должны обращаться в нуль. Поэтому уравнения zotE -О и
diir<E)=O переходят в
dEx _ ЭХ)г
dz dz
Из этих уравнений следует, что во всем пространстве Ех и 5Э не
зависят от z , т.е. являются постоянными. Для вектора поляриза-
ции внутри переходного слоя получаем
Р„ +Ri - £.,
Р +р' = =_±_ .
Вычитая отсюда выражения для вектора поляризации внутри среды
где £ = const _ диэлектрическая прницаемость среды, получим
р' g р • р'=J_
Еояс. J/Х t-t I leg (. £ £&/^l •
Дополнительный дипольный момент Z* , приходящийся на единицу
площади переходного слоя, найдется интегрированием этих выраже-
ний по толщине слоя Z :
- 237 -
Разделив Zx и на и /ог соответственно, получим
/ = •= P~^
Q*- <£-/ тг*-1 ’
у _ ^~fn2
иг .&-{ ~ пг-1
§ 24. ВАЖНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ К МОЛЕКУЛЯРНОЙ ИНТЕРПРЕ-
ТАЦИИ ЯВЛЕНИЙ РАСПРОСТРАНЕНИЯ, ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕ-
НИЯ СВЕТА.
I. При изложении молекулярной теории отражения света мы
учитывали, что свет в веществе распространяется с иной фазовой
скоростью, чем в вакууме. Однако объяснение этого факта с точ-
ки зрения молекулярной оптики дано не было. Ниже приводится на-
иболее элементраное объяснение. По существу оно принадлежит Рэ-
лею, хотя сем Рэлей й не пользовался представлениями электрон-
ной теории.
Допустим, что в вакууме распространяется плоская монохроме-
тическая волна
на пути которой стоит бесконечно тонкий плоскопараллельный слой
вещества толщины ct^ (рис.51), состоящий из точечных и неподвиж-
ных атомов, равномерно распределенных по объему слоя. Слой пер-
пендикулярен к направлению распространения волны. Нейдем элект-
Рис.51.
cft
- 239 -
рическое поле £ в точке Л , находящейся в волновой зоне всех
диполей слоя. Согласно формуле (21.20) электрическое поле, воз-
буждаемое в точке Л атомом с дипольным моментом
/ £ определяется выражением
А о
г
(24.1)
Такие выражения надо просуммировать по всем атомам слоя. Перпен-
дикулярная составляющая амплитуды дипольного момента убыве-
ет по мере удаления от центра О . По этой причине для суммиро-
вания вырежений (24.1) можно применить метод кольцевых зон Фре-
неля. Действительно,как показывают последующие вычисления, поле,
возбуждаемое в точке А отдельной зоной Френеля, медленно убы-
вает с возрастанием ее номера, а бесконечно удаленная зона не
вносит никакого вклада в излучение. Из теории кольцевых зон
Френеля известно, что при выполнении этих условий напряженность
поля излучения всех диполей слоя в точке Л равна полови-
не напряженности поля, возбуждаемого в этой точке диполями цент-
ральной зоны. Таким образом, для вычисления поля с£[^ надо про-
суммировать выражения (24.1) по всем диполям центральной зоны и
результат разделить на две.
Но и беа суммирования ясно, какое влияние на поле падающей
волны будут оказывать вторичные волны, излучаемые диполями- слоя.
Вторичные волны, исходящие от края центральной зоны Френеля, от-
стают по фазе на 2" от волны, исходящей из центра зоны О , а
следовательно, и от падающей волны. Для остальных вторичных
волн, исходящих из точек первой зоны, отставание по фазе будет
промежуточным между О и Л~,. Таким образом, результирующая вол-
на, излучаемая всеми диполями слоя, должна отставать по фазе от
падающей волны. Это приводит к 'замедлению скорости распростране-
ния фазы.
2. Для упрощения расчета суммирование можно заменить интег-
рированием. Возьмем в плоскости слоя бесконечно узкое кольцо с
площадью ct£ = 22Lpdf , Ему соответствует элементарный объ-
ем cLv^aXfdfct^ , в котором находится 2.3CNpetfak диполей
(Л/ - число диполей в единице объема). На это число надо умно-
жить выражения (25.1), проинтегрировать по всей центральной зоне
и результат разделить на 2. Интегрирование по р можно заменить
интегрированием по Z . Как видно из рис.51,
- 240 -
(^)г.
Отсюда дифференцированием при постоянном расстоянии ОЛ = х-§
получаем = . Поэтому «-$*£
dEt 4k^p.eiCui'^diJe'^dz.
x-i —
Мы пренебрегали изменением направления вектора fai в точках
центральной зоны Френеля и заменили атот вектор постоянным век-
тором pi . Выполнив интегрирование, получим
Интегрируя по остальным зонам, можно убедиться, что излу-
чаемые ими поля медленно убывают с увеличением номере зоны из-
-за уменьиения поперечной составляющей амплитуды дипольного мо-
мента рол . Для бесконечно удаленной зоны J>ax=O , так что она
ничего не вносит в результирующее поле излучения. Этим дано
обоснование применимости метода зон Френеля к рессматриваемому
вопросу. —
Добавив dE. к падающей волне, найдем полное поле
в точке
Л
или
1(ъ&-клх- cL4>)
где введено обозначение
с1ф _
Таким образом, наличие слоя приводит к дополнительному отстева-
нию по фазе на . Если слой имеет конечную толщину , то
отставание по фазе будет равно
2^гк.Мр.
(24.2)
В этой формуле содержатся принципиальное объяснение замед-
ления скорости распространения фазы световой волны в веществе.
- 241 -
Чтобы довести расчет до конца, необходимо найти связь между век-
торами pi и to • Для этого следовало бы найти поле, действующее
на атомы среды. Мы не будем это'го делать. Убедимся только, что
в простейшем случае разреженной среды(газа) формула (24.2) со-
гласуется с обычными представлениями. В этом случее действующее
поле можно отождествить с полем падающей волны. Величина
есть амплитуда вектора поляризации среды, и в рессматриваемом
приближении представляется выражением
Так как показатель преломления п близок к единице, To(fc*/J»2f
и формула (24.2) переходит в .
ф-к.(Н-4)С,
что согласуется с результатом феноменологического рассмотрения.
3. Можно было бы точку наблюдения Л поместить перед слоем.
То£да наше вычисление привело бы к волне, распространяющей в
противоположном направлении, т.е. к отраженной волне. Таким об-
разом, слой излучает только в направлении падающей волны и в
прямо противовположном направлении!. Во всяком другом направле-
нии излучение отсутствует - сферические волны, излучаемые в этом
направлению отдельными атомами слоя, гасят друг друга из-за шн-
терференциш. Это является следствием предположения об оптичес-
кой однородности среды, которое было попользовано нами прш вы-
числениях. Оно предполагает, что число атомов шли молекул в
макроскопических элементах объема среды, размеры которых малы по
сравнению с длиной волны, пропорционально этим объемам. Только
при выполнении! этого условия применим использованный выше метод
расчета с помощью зон Френеля, в котором дискретные суммы-аппрок-
симируются непрерывными интегралами. При его нарушении среда
становится оптически мутной. Она будет реосеивать свет во всех
направлениях. Нарушение оптической однородности может быть обус-
ловлено вкраплением в среду беспорядочно расположенных посторон-
них частиц (пыльный воздух, туман). Значительно более интересно
рассеянше светя в совершенно чистых веществех. Оно обусловлено
тепловыми флуктуациями показателя преломления ореды и называет-
ся молекулярным рассеянием, флуктуации показателя преломления
242
вызываются яе только флуктуациями плотности вещества, но и дру-
гими причинами, например, флуктуациями анизотропии. Рассеянию
света мы отиедем специальную главу.
4. Ив того факта, что вещество оказывает влияние на фазо-
вую окорость распространения онета непосредственно следует, что
при наклонном падении на плоскую границу среды направление рас-
пространения волны должно изменяться. Это становится очевидным,
еоли заметить, что вдоль границы ореды падающая и прошедшая
волны должны иметь общую фазовую скорость. Легко убедиться, что
пр наклонном падении на плоскую границу оптически однородной
среды могут возникнуть только волны, распространяющиеся в на-
правлениях, предписываемых геометрическими законами отражения ш
преломления. Во всех других направлениях волны, излучаемые ато-
мами или молекулами оптически однородной среды, гасят друг дру-
га из-за интерференции.
5. В феноменологической теории показатель преломления сре-
ды вводится о помощью макроскопических уравнений Максвелла.
Справедливость их связана с предложением, что среду можно мыс-
ленно разбить на такие макроскопические элементы объеме, разме-
ры которых очень малы.по сравнению с кубом длины волны. Каза-
лось бы, что понятие показателя преломления теряет смысл, когда
ато условие не соблюдается. Молекулярное рассмотрение, приведен-
ное в этом параграфа, показывает, что зто не так. Понятие.пока-
зателя преломления может быть сохранено даже в тех случаях, ког-
да средние расстояния между атомами среды велики по сравнению с
длиной волны распространяющегося в ней. света. Так, можно гово-
ворить о показателе преломления для рентгеновских лучей, хотя
макроскопические уравнения Максвелла на них не распространяются.
Не лииено смысла говорить о влиянии атомов и молекул на показа-
тель преломления межпланетного или межзвездного проотренства,
хотя зто влияние ш ничтожно (число атомов в кубическом санти-
*етр межпланетного и межзвездного пространства не превышает при-
мерно одного).
Чтобы убедиться в справедливости высказанного утверждения,
Заметим, что точку наблюдении Z (рис.51) всегда можно отодви-
нуть от слоя нестолько, чтобы внутри каждой эоны Френеля
- 243 -
и элементарного объема с£у-2TJ3dj3 находилось еще
очень много атомов. Если они распределены в пространстве о рав-
номерной плотностью, то вычисление напряженности поля в точке
Я., выполненное выше, сохраняет силу и в этом случае. Поэтому
должно иметь место изменение скорости распространения фазы вол-
ны, и можно ввести показатель преломления, как отношение ско-
рости свете в вакууме к его фазовой скорости в ореде.
Если средние межатомные расстояния меньше длины волны и
атомы распределены в пространстве ревномеряо, то не возникнет
никаких волн помимо прошедшей и отраженной. Не так будет в тех
случаях, когда межатомные ресстояния больше длины волны. Если
атомы в среде распределены регулярно, например находятся в уз-
лах кристаллической решетки, то вторичные волны, излучаемые
атомами, когерентны, и будут складываться напряженности волно-
вых- полей. Условия интерференционного усиления вторичных волн
могут выполняться не только в направлениях падающего и отражен-
ного света, но и для некоторых других направлений. Возникнет
дискретный ряд плоских волн, распространяющихся в различных на-
правлениях (интерференционное рассеяние). Такой случай реализу-
ется при дифракции коротких рентгеновских волн на кристалличес-
кой решетке. Если же атомы среды распределены в пространстве
хаотически, то вторичные волны ведут себя как некогерентные.
Складываются их интенсивности, и возникает диффузное рассеяние.
6. До сих пор мы не учитывали тепловое движение атомов. Не-
обходимо объяснить, как при наличии такового в среде может рас-
пространяться регулярная волна и как может возникнуть правиль-
ное отражение от зеркальных поверхностей твердах и жидких тел.
Рассмотрим сначала газы. Между столкновениями атомы газа дви-
жутся прямолинейно и равномерно.-Ввиду эффекта Допплера атомы,
движущиеся с различными скоростями, излучают свет с различными
частотами. Казалось бы, что никакой интерференции при таких ус-
ловиях возникнуть, не может. На самом деле изменение частоты не
имеет месте, когда' речь идет о вторичных волнах, идущих в направ-
лении распространения света. Действительно, пусть в газе рас-
пространяется плоская монохроматическая волне с частотой <*> .
Речь идет о частоте в системе отсчета ЗС , в которой газ поко-
- 244 -
ится. Рассмотрим какой-либо движущийся атом. Перейдем в систему
отсчета , в которой атом неподвижен. В системе St/частота
распространяющейся плоской волны изменится и будет равна, ска-
жем, Ы* . С той же частотой в системе St/ возбудятся колебания
атома и будут излучаться вторичные сферические волны. При обрат-
ном переходе в систему ЗС частота и' излучаемой сферической
волны изменится. В оистеме частота будет зависеть от направ-
ления излучения. Только для излучения, идущего в направлении
респространения света, получится прежняя частота , независи-
мо от того с какой скоростью и в каком направлении двигался
етом. Этот результат спреведлив как в релятивистской, так и в
нерелятивистской кинематике .Таким образом, в напревлении распрос-
транения света все етомы будут излучеть волны с одной и той же
частотой . С этим и связана возможность регулярного распрост-
ранения света в газах. Во всех других направлениях движущиеся
атомы будут посылать волны с различными частотеми. Например, во-
ли атом движется в направлении света, то в обретном напревлении
он будет излучать волны с меньшей частотой. Если же он движется
навстречу свету, то частоте излучаемой волны в направлении efo
движения увеличится.
В твердых и жидких телех тепловое движение носит иной ха-
рактер. В зтих случаях атомы вое время движутся ускоренно, и
рассуждение о переходом к движущейся системе отсчете здесь не-
применимо. А$омы совершают колебания около положений равновесна
и тем самым модулируют поле световой волны. В результате сохра-
няются вторичные волны с прежней частотой и возникают волны с
новыми частотами. К излучениям с прежними частотами применимо
вое сказанное выие. С ними связана возможность регулярного рас-
пространения световых волн в твердых и жидких средах, а также
правильного отражения и преломления их на зеркальных поверхнос-
тях тел. Излучения же о изменившимися частотами приводят к появ-
лению в раосеянном овете новых частот.
- 245 -
ГЛАВА а.
ФОРМАЛЬНАЯ МЕТАЛЛООППКА.
§ 25. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФОРМАЛЬНОЙ МЕТАЛЛООППКИ.
КОМПЛЕКСНАЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ. МЕТАЛЛОВ.
I. В формальной теории Максвелла погаоцевие свева связыва-
ют с превращением электромагнитной энергии в джоулево тепло. С
этой точки зрения погдощевщая среда должна иметь конечную элект-
ропроводность . Иэ всех сред наибольшей электропроводностью
обладают металлы. Поэтому оптику сильно поглощающих сред часто
называют металлооптикой, хотя металлами и не исчерпывается
класс поглощающих сред.
При традиционном изложении метеллооптики кладут в основу
уравнения Максвелла (1.2) и метериельные уравнения (1.5), поле-
гая в последнихju-=£. Свойства среды характериауются двумя
постоянными: диэлектрической постоянной <£*> и статической элект-
ропроводностью . Теория согласуется с опытом для радио- и
длинных инфракрасных волн. Но для коротких инфракрасных волн,
видимого и ультрафиолетового излучений наблюдаются значительные
расхождения между теорией и экспериментом. Это укезывеет не не-
применимость материальных уравнений (1.5) в укеэенной области
спектра. Поэтому уравнениями (1.5) мы не будем пользоветься, а
положим в основу язложения принцип суперпозиции подобно тому,
кек это было сделано в оптике диэлектриков.
2. Макроскопические уравнения Максвелле в металлах /о так-
же в других средах/ удобно записать в виде
(25.1)
ь Ot .
dHr£= Ь ; с(.йг2> = О,
где Р^^ полная плотность электрических зарядов в среде, а
- плотность полного тока, обусловленного их движением.
Разумеется, речь идет об усредненных значениях этих величин,
поскольку теория является макроскопической.
- 246 -
Величина
^см. и плотности
noAri
а полный ток. Jполк.
ляриаации Jrm,. :
поли.
слагается на плотности свободных зерядов
связанных зарядов ftt.™ :
_/, -п (25.2)
~ J ctoS. rJJclin< _
- ив тока проводимости jn/»i. и тоже по-
(25.3)
Той проводимости обусловлен движением свободных зарядов, ток
поляризации - движением связанных аарядов. Под свободными мы
понимаем все заряды, движением которых создается ток в статичес-
ких электрических полях. Все прочие заряды называется связанны-
ми. Таким образом, по определение, в статических полях связанные
заряды не участвует в создании электрического тока. Они претер-
певает лииь смещения, вызывающие поляризацию ореды. Под векто-
ром поляризации Р мы понимаем средний дипольный момент едини-
цы объема вещества, вызываемый смещением связанных зарядов сред-
них положений, которые они занимали в отсутствие поля. Заметим,
что связанные заряды в металлах, вообще говоря, не образуй
электрически нейтральную систему. Поэтому дипольный момент, о
котором идет речь, нельзя определять суммой , проводя
вое радиусы - векторы из общего начала. Вместо нее надо
пользоваться суммой , в которой лХ означает смещение
I -го эарядя из его среднего положения, которое он занимал в
отсутствие поля. В переменных полях вектор Р меняется во вре-
меня. Появляется ток поляризации
(25Л)
В диэлектриках нет свободных зарядов, полный ток сводится
ж току поляризации. Ток проводимости равви нулю. В металлах,на-
против, ток проводимости играет основную роль. Ои вызывается
движением свободных электронов, перемещающихся между узлами
кристаллической реиеткж. Ток поляризации в металлах, как прави-
ло, играет меньпую роль. Он создается колеваняями связанных
электронов.
2*7 -
Будем предполагать, что среда оптически изотропна. Оптичес-
кая изотропия имеет место либо в монокристаллах кубической сис-
темы (см. гл.1У), либо в металлах имеющих поликристаллическую
структуру, когда размеры беспорядочно ориентированных кристал-
ликов, из которых они состоят, очень малы по~сравнению о длиной
световой волны, а такие по сравнению с глубиной проникновения
светового поля в металл /см. § 26/.
3. Уравнения (25.1) долины быть дополнены соотноиеяием
между полным током J ***•<. и напряженностью электрического поля
Р. Вид этого соотношения можно установить на основе принципа
суперпозиции совершенно так не, как это было сделано в случае
диэлектриков. Если не учитывать пространственную дисперсию, то
вектор поляризации металла можно представить формулой (4.3).
Дифференцируя ее по времени, получим
(25,5)
Аналогично находится выражение для плотности тока проводимости.
Если на металл в промежутке времени от t' до действовало
электрическое пола £*^/У( электрический толчок), то вызванный
им ток проводимости в более поздний момент времени / можно
представить формулой ,
а)=U)dt(25.6)
Функция может зависеть только от промежутка времени
проиедщего с момента действия электрического толчка
i' до момента наблюдения t . Она различна для различных сред
и вмасте с функцией /6^} можат служить для характеристики опти-
ческих свойств металлов. Назовем еа второй функцией влияния в
отличие от функции влияния у называемой первой. Функция
¥(&) вещественна, конечна и обращается в нуль при 1^=+°°. Ус-
ловие 'pf+oo^"(/учитывает диооипативные свойства ореды: каков
бы ни был электрический толчок вызванный им ток прово-
димости dj,^ (£) в конце концов затухнет вследствие дисси-
пативных процессов в среде. Однако, в отличие от функцииу/У),
функция f обращается в нуль при &-0. Это связано с
тем, что ток определяется не смещениями заряженных частиц, а их
- 248 -
скоростями, которые непосредственно после прекращения электри-
ческого толчка не только не обращаются в нуль, е наоборот макси-
мальны.
Если поле t(i) действовало на среду в течение длительного
времени, то это время можно разбить на бесконечно малые промежут-
ки и свести таким образом воздействие поля на среду к непрерыв-
ному действию следующих друг за другом толчков. Суммарный ток
(25.7)
проводимости, вызванный тнкими толчками, можно представить в ви-
де / _
№*-*'№*№
или, вводя новую переменную интеграции
(25.8)
Если электрическое поле постоянно: Е~ЕО
Сравнивая зто выражение с законом Ома .rGZE_. , убеждаем-
ся, что статическая электропроводность свнзена с функцией
я#соотноиением ••
в; -
(25.9)’
EyMjf предполагать, что величина: б» конечна, а потому ин-
теграл должен сходиться. Необходимо однако, наложить
на функцию более жесткое требование: она должна быть не
только интегрируема, но и абсолютно интегрируема. Это всегда
выполняется, поскольку всякая реальная среда диссипативна. Нало-
жив указаное требование, мы можем применять теорему Римана так
же, как это делалось в § 4.
Суммируя выражении (25.5) и (25.8), получим длн полного то-
Z™ (*.J (25.10)
О
Этим соотноиением и устанавливается искомая овязь между полным
током и напряженностью электрического поля в среде. Что касается
» ’о дря определения этой величины служит уравнение
_п (25.Ц)
— + aivi^ = Ot
ot J
- 249 -
являющееся следствием первого и последнего уравнений системы
(1.2).
4. Применим полученные соотношения к монохроматическому
полю _ . ...
Е =Е„ Н=Ц(*)е <»-Е>
Подставляя выражение для Z~ в соотношение (25.10), найдем
где
1Шс&. (25Л4)
Уравнения (25.1) примут вид г ° _
Свойства среды в этой системе уравнений херектеризуются "диэлект-
рической проницаемостью"Sfa), являющейся комплексной функцией
частоты. При этом, как следует иэ (25.14),
= (25Л6)
Отсюда заключаем, что вещественней часть комплексной величины
£.^ы)-£,(*,,)~*£Тл}} ~ четнея, а мнимая - нечетнея функции :
8'fa) = £'{-<•>), £"(*>) = -С' С~^) ‘ (25.16)
Иэ требования диссипативности следует /см. § 4/, что при
вещественных значениях^ справедливо неравенство .
Следовательно, функциякомплексна при всех значениях^, за
исключением Ь)=О , где она обретается в бесконечнссть.
Для характеристики оптических свойств металлов можно поль-
зоваться либо комплексной диэлектрической проницаемостью ,
либо двумя вещественными функциями и Принципиально
оба способа равноправны. Если известны функции Убу и ^(«j, то с
помощью формулы (25.14) можно вычислить Обратно, если из-
вестна комплексная функция £(ы) то можно найти обе функции
JfJ’J и Для этого можно распространить функции/^ и^/
на область отрицательных значений & так, чтобы они были чет-
ными: . После этого иэ формулы
- 250 -
(25.14) легко получить
Lb)
Отсюда
ЙЯ74
е. d&f
'е iu*da.
e &•)
ГДО-'
Ct) CCCJ.
как закон продолжения функций
Но можно поступить и иначе, так
f(&) и область отрицательных значений & может быть
произвольным. Можно, например, потребовать, чтобы функции /иу
и были нечетными - тогда для них получатся выражения, отли-
чающиеся от предыдущих. Однако зта неоднозначность несуществен-
на, поскольку оне не отрекается на знечениях полного тока(25.10)
а следовательно, и на всех физических выводах теории.
Если поле E(t) не монохроматическое, то его можно резло-
жить на монохроматические составляющие. В виду принципа суперпо-
зиции они независимы друг от друга. Тем самым задача о распрост-
ранении произвольных электромагнитных возмущений в металлах сво-
дится к такой же задаче для монохроматических волн. Соответству-
ющие ресоуждения ничем не отличаются от рассуждений, проведен-
ных в § 4 для дизлектриков, и нет необходимости повторять их.
5. Уревнения (25.15) формально тождественны с анелогичными
уравнениями для непоглощающих сред. От последних они отличаются
только тем, что в поглощающих оредах £> комплексна, тогда как
в непоглощеющих она вещественна (см. § 4). Граничные условия
также одинековы: они требуют непрерывности тангенциальных компо-
нентов вектрров £* и Н на границе раздела оред. Как следст-
вие таких граничных условий и уравнений (25.^5), получаете^ не-
прерывность нормальных компонентов вектора ££ (см. § 12). По-
этому любое соотноиение оптики прозрачных сред, полученное из
- 251 -
уравнений (25.15) и граничных условий к ним с использованием
только линейных вещественных операций, может быть формально пе-
ренесено в оптику поглощающих сред, если вещественную величину
£ заменить на комплексную. Однако такая замена требует допол-
нительного исследования физического содержания и смысля подоб-
ного родя соотноиений.
6. Вместо комплексной диэлектрической проницеемости £ для
характеристики оптических свойств металлов можно пользоваться
комплексным показателем преломления V .Он определяется соот-
ноиением
У* =£=£,-Z£/'. (25.17)
Полагая
у = п -iae, (25.18)
получим
Л2_ае2=£/ / 2п»=&" (25.19)
Вещественная величина п называется главным показателем
преломлении металла. Величину X обычно называют главным пока-
зателем поглощения. Последнее название неудачно, так как ае не
всегда характерирует поглощение. Например, если величина £ ве-
щественна, но отрицательна, то поглощения нет. Однако в этом
случае V - чисто мнимая величина, а потому xfO, Мы предпо-
читаем называть ае главным показателем затухания.
Если среда однородна, то в ней могут распространяться плос-
кие монохроматические волны вида (3.8). При этом должны выпол-
няться соотношения
>
В поглощающей среде волновой вектор всегда
а соответствующая плоская волна всегда неоднородна,
венно, тан как при наличии поглощения плоская волна
распространяться без затухания. Положим
(25.20)
(25.21)
(25.22)
комплексный,
Это естест-
ве может
- 252 -
, к=к '~ik",
где к и к - вещественные векторы
ношения (25.22)
(25.25)
Тогда на основании ооот-
k,z-k
(25.24)
&
£
Вектор к' указывает направление распространения плоскостей рав-
ных фаз. В направлении вектора к* убывает амплитуда волны. В
общем случае плоскости равных фаз и плоскости равных амплитуд
не перпендикулнрны между собой. Перпендикулярность всегда имеет
место только для непоглощающих сред (см. § 3).
7. Как и в диэлектриках, в металлах функция может
быть определена не только для вещественных, но и для комплекс-
ных значений аргумента М . Если точка ^=<y,*££i;/z лежит в ниж-
ней полуплоскости Ct)"<0 , то амплитуды полей (25.12) экспоненци-
ально нарастают во времени. В этом случае интеграл (25.10), а с
ним и интегралы в (25.14), сходятся. Поэтому в нижней полуплос-
кости функцию £можно определить выражением (25.15). В верх-
ней полуплоскости* выражение (25.14) ресходитсн, и функцию
следует определять ее аналитическим продолжением иэ нижней полу-
плоскости. Для так определенной функции £ уравнения (25.15) уже
перестанут быть справедливыми.
В нижней полуплоскости аналитическая функция в случае
металлов может быть исследована тем же методом, который был
применен для диэлектриков (см. § 4). Прежде всего иэ формулы
(25.14) заключаем, что при комплексных CJ справедливо соотноме-
е(а) =$»(-&>*), (25Л68)
переходящее в соотношение (25.16) при вещественных . Да-
лее, на бесконечности нижней полуплоскости . Новым по
сравнению с диэлектриками является то, что функция обраща-
ется в бесконечность при 4? =0 , имея в этой точке полюс перво-
го порядка., В самом деле, как видно из (25.14),
£(<•>) = t (25-25)
- 253 -
где £'(<ы)- аналитическая функция, не имеющая особых точек на
вещественной оси и в нижней полуплоскости.
Применяя к функции£(ь)]-£ интеграл Коши, получим
Г г *
где интегрирование ведется по контуру / , изображенному на
рис.52. Так как на бесконечности нижней полуплоскости £(Z)->>-£
то удаляя большую полуокружность этого контура в бесконечность,
можем напиоать
Теперь будем стремить к нулю радиус уо полуокружности .
Тогда в фигурных скобках получится интеграл в смысле главного
значения.Для интеграла же по полуокружности в пределе полу-
____-/ Сj fdz _ 2.Z&
~2Zi J Z-ы £ OJ J Z
i 1
- 254 -
Таким образом
e^i-Л. U^dx-i. &«’
с ( / * г^с J а) '
Точка лежит в нижней полуплоскости. Следовательно, точка
расположена в верхней полуплоскости, т.е. вне об-
лести, охветываемой контуром Г . Поэтому
п- 7 / zz:o° (25.27)
U - ~ 2Zi J ~(Л* L а)*
Вычитая почленно из уравнения (25.26) уравнение (25.27) и
приравнивая мнимые части, после несложных преобразований найдем
£ £ 'х+ы’Г+Л'* ~ (25’28)
f о
При U >0 входящий сюда интегрел в нижней полуплоскости сущест-
венно положителен, а при и)'<0 существенно отрицателен. Следова-
тельнс^£7*У>0 прий/>о и б'^А^при ь>'<О . Короче, в ниж-
ней полуплоскости . Теким образом, и в случае метел-
лов <5 6*9 в нижней полуплоскости не может приниметь вещественных
знечений зе исключением мнимой полуоси, где эта функция вещест-
венна.
Складывая уравнение (25.26) и (25.27), приравнивая вещест-
венные чести и полегая в рез^льтетеb>=ib>" t получим
о
Отсюде видно, что на мнимой полуоси в нижней полуплоскости функ-
ция Sfx) вещественна, положительна и монотонно убывает от£=*м
при ш=0 до £=7 при^=о<э .
Таким образом, в нижней полуплоскости О функция £^*9
для металлов сохраняет все существенные свойства, какие оне име-
ет для диэлектриков.
Если точка ь> лежит на вещественной оси, то в интеграле
Коши ее необходимо обойти сверху по бесконечно малой полуокруж-
ности (рис.53). В результате вместо соотношения (25.26) получит-
*• 7 I/ J Х-й) й>
OQ
- 255 -
Отсюда, приравниванием вещественных и мнимых частей, находим
£ -£~ (25.31)
ск+^£,
1 J X J х-ы й)
О»
или. ввиду соотношения (25.16). , . *
О
Соотноиения (25.31) и (25.32) называются формулами Крояига-Кра-
мерса для металлов. Они явяляются обобщением соответствующих
формул (4.30) и (4.31) для диэлектриков.
- 256
§ 26. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ
СВЕТА НА ГРАНИЦЕ МЕТАЛЛА.
I. Пусть из вакуума на плоскую границу металла падает
плоская монохроматическая_рднородная волна, распространяющаяся
вдоль волнового вектора к (рис.54). Возникнет однородная от-
раженная волна с волновым вектором к, и неоднородная волна,про-
шедиая в металл. Комплексный волновой вектор прошедшей волны
обозначим к (без индекса). Вывод геометрических законов отра-
жения и преломления, приведенный в § 13, полностью применим к
поглощающим средам. Как было показено, из граничных условий сле-
зет / / ' /
k№=kn=kz . (26.D
Отсюде заключаем, что угол отражения равен углу падения. Геомет-
рические законы отражения света от поглощающих и непоглощеющих
сред одинаковы. Различие существует лишь в законах преломления.
Прежде всего отметим, что плоскости равных амплитуд проиед-
шей волны параллельны границе металла. Действительно, разобьем
- 257 -
комплекный волновой вектор к на вещественную и мнимую чести
по формуле (25.23). Иа соотношения (26.1) следует, что тенген-
цидльная составляющая вектора 7? вещественна. Поэтому вектор
к должен быть перпендикулярен к поверхности метелла, что и
доказывает наше^утверждение. Прошедшая волна затухает в направ-
лении вектора к" . Поэтому вектор к" надо направить вниз, т.е.
в сторону поглощающей среды, так как затухание волны в металле
до ажно идти в этом, а не в противовположном направлении. В сто-
рону поглощающей среды должен быть направлен и вектор к' , по-
скольку угол между векторами и острый, как это следует
из второго сощьошения (25.24).
Вектор к' перпендикулярен к плоскости равных фаз прелом-
ленной волны. Угол % , образуемый этим вектором с положитель-
ным направлением оси Z , называется вещественным углом пре-
ломления. Отношение
Л”<Р _ _
W//X ~
вообще гозоря, зависит от угла падения . Оно называется по-
эателем преломления. Так как kx=k^-l<iinfy то из соотношения
(26.1) следует
Z'_ L Sin</> _ Ь>_п
По аналогии с (26.3) введем новую величину , определяемую
соотношением п
к *-хг1
Ее принято называть показателем поглощения. Это название неудач-
но. Величина может отличаться от нуля даже при отстутствии
поглощении. Поэтому мы предпочитаем называть Ж? показателей
затухания.
Физический смысл показателя затухания легко установить,рас-
сматривая выражение для пз.*н проиедшей волны:
(26.2)
(26.3)
(26.4)
Запишем эту волну в вещественной форме:
г Г 2
- 258 -
где Ло - длина волны в вакуума. На глубине
/ ... Ле (26.5)
* = ™ ~ IXx?
интенсивность светового поля /пропорциональная квадрату ампли-
туды/ убывает в е раз. Величина /у называется глубиной про-
никновения светового поля в металл. Таким образом, показатель
затухания можно определить как отноиение длины световой
волны в вакууме к умноженной на 42" глубине проникновения све-
ТОБОГО ПОЛЯ б металл.
2. Для металлов показатель затухания в видимой области
спектра обычно порядка единицы. Например, для золота при нор-
мальном падении t£.^=2,S2' h*= . Отсюда находим, 1
т •» тг -4X73^,
что на протяжении длины световой волны интенсивность светового
поля в золоте убывает в вЧ ^2fy-10,r раз. Этот пример нагляд-
но показывает, насколько быстро убывает интенсивность света в
металлах. Плевки металлов, толщина которых порядка длины волны,
как правило, практически непрозрачны для света. Об оптических
свойствах маталлов обычно судят по отраженному свету. Там не
менее, необходимо изучить законы проникновения света в металл,
т.к. баз них нельзя понять законы отражения. Свет, отраженный
ч металла /как и от диэлектрика/, возникает в результате ин-
терференции когерентных вторичных волн, излучаемых электронами
и атомными ядреми металла. Но вторичные волны, очевидно, воз-
буждаются падающей волной, провикией в металл. Если бы поле в
меТалл совсем не проникало, то отражение света было бы невоз-
можно.
3. Выразим теперь и через оптические константы ме-
талла и , ае. и угол падения У . Подставляя выражения (26.3)
и (26.4) в формулы (25.24), получим
coil = .
Сравнивая с (25.19), находим
-эе^ = /гг-зе2 ,
КеттелеР’Впервые получивший эти соотношения, везвал их
уравнениями распространения световых волн в поглощающих
(26.6)
(26.7)
главными
средах.
- 259 -
Они показывают, что величины
а=Пу-эе£ ; Ъ coj%. (26.8)
не зависят от угла педения f . Они зависят только ^>т рода ме-
талла, его физического состояния и от длины световой волны.
Величины Ct it 6 называются инвариантами Кеттелера и могут
служить для характкристики оптических свойств металлов /вместо
п и де /.
Если ^Р=О , то Х=О , и уравнения (26.7) дают Г7у = ±Л ,
ЭС^=±Ж. Здесь надо взять знак плюс, так как,по определению,
величины Пу> и Ж.^, существенно положительны. Таким образом,при
нормальном падении показатели преломления и затухания П? иЗбу
принимают свои главные значения П и Ж .
Из уравнений Кеттелера (26.7) легко найти Пу и Ж? в за-
висимости от угла падения . С этой целью перепишем второе
уравнение (26.7) в виде
п? эе*акгХ. = п^эс* (±-ЯпгХ.уп^ж.гт-эе^ыл1^^^.
Решая его совместно с первым уравнением, найдем
п% -i[z (26-9)
= Z[z l/J'ar- (ci -S'rf'p)]\
Знаки перед квадратными норйями должны быть одинаковы в
обеих формулах, так как только тогда разность будет рав-
на а . Кроме того, Пу и Л’у должны быть непрерывными функциями
угла . Для действительно поглощающих сред инвариант б не
равен нулю, как зто видно из выражения &=2,пЖ , Поэтому квад-
ратный корень в формулах (26.9) не может обращаться в нуль и
менять знак при изменении угла . Но при ^*-(2 величины Пу и
могут быть существенно положительными тогда и только тог-
да, когда оба квадратных корня в (26.9) взяты со знаком плюс.
Значит, знак плюс следует брать и при любых значениях угла У* .
Таким образов!, для действительно поглощающих сред
- 260 -
nV~Z [tfa -Stn*fF+6*+ (cL+Sin*ff \1
/ (26.10)
~ ~2 -tin?'$'+&' ~ (a - 2/.
В частности, при О 7
П* = а], (26.11)
эе3 = f [\/а*+бг~ aj.
Особенности в выборе знака могут иметь место только при
т.е. либо при П-0 , , либо при nfo ,se=ff.
В обоих случаях диэлектрическая проницаемость вещественна, т.е.
среда непоглощающая /см.задачу I/.
4. Для прямой экспериментальной проверки формул (26.10)
необходимо, прежде всего, измерить оптические константы металла
п и эе . Измеряя ослабление волны в тонком слое металла извест
ной толщины к. , можно определить глубину проникновения при
нормальном падении, а затем по формуле (26.5) вычислить Ж , На
границах Тонких пленок сват испытывает значительное ослабление'
из-за отражения. Эту трудность можно преодолеть, измеряя затуха-
ние волны в двух слоях различной толщины. Недостатком метода
является трудность изготовления сплошных ш однородных металли-
ческих пленок, толщина которых составляет доли длины световой
волны.
Показатель преломления можно определить методом преломле-
ния в металлической призме. Необходимо пользоватьсн призмами с
очень малыми преломляющими углами /доли дуговых минут/, чтобы
интенсивность проходящего света была заметней. Плоская однород-
ная волна при вступлении в призму превращается в неоднородную.
По выходе из призмы волна продолжает оставаться неоднородной.
\)днако, вследствие малости преломляющего угля призмы, амплиту-
да прояедшей волны.будет меняться вдоль волнового фронта весь-
ма медленно. К такой волне с большой точностью можно применять
законы геометрической оптики (ом. гл.У). По углу отклонения лу-
ча в призме можно вычислить показатель преломления Пу совер-
шение тёк же, как это делеется для прозрачных призм. Трудность
метода состоит в изготовлении металлических призм с малыми пре-
ломляющими углами. Кундту удало.сь преодолеть эту трудность и
изготовить подходящие металлические призмы путем электролиза на
платинированном стекле. На таких призмах Кундт измерил главный
показатель преломления Л для ряда металлов.
На рис.55 с помощью формул (26.10) построены теоретические
кривые, выражающие зависимость от угла падения У’ для некото-
рых металлов. В основу построения (изложены значения п- и ее ,
найденныа Кундтом /для натрия использованы значения, найденные
по методу Друде/. Показатели преломления натрия, золота, сереб-
ра и меди сильно меняются с изменением угла падения. Для плати-
ны и железа они остаются практически постоянными. Показатель
затухания эе<р для всех приведенных металлов также почти не из-
меняется с изменением угла падения. Ши, пользуясь призмами,из-
готовленными Кундтом, измерил для ряда металлов при различ-
ных углах падения и нашел полное согласие теории с опытом. В
настоящее время, в связи с открытием аномального скин-зффекте */
металлах, эти опыты и их сопоставление с теорией должны быть пе-
ресмотрены.
Показатели преломления натрия, золота, серебра и меди в
определенных интервалах изменения угла^менвие единицы (рис.55).
Однако полного отражения от этих металлов при таких углах не
наблюдается. Происходит зто потому, что Л^> непрерывно возрас-
тает с, возрастанием угла У7 I При некотром угле падения *^=ф
показатель nv обращается в единицу, а затем растет дальие.
/См. задачу 2). ПриУ»ф световая волна вступает в металл без
преломления. Для меди, как видно иэ рис.55, угол < лежит между
60° и 70°, для серебра и золота - между 70° и 80°. Ши удалось
показать на опыте, что при таких углах падения преломление От-
сутствует.*
Задачи
I. Исоледовать знаки квадратных корней в формулах (2£9). в
особом случае, когда 6-0 •
РЕШЕНИЕ. Всегда следует брать знак плюс, за, исключением слу-
чая, когда
П<1 , эе = о t ,
- 262 -
- 263 -
где - предельный угол полного внутреннего отражения. Дейст-
вительно, в этом случае О.=П* , и формулы (26.9) дают
(п1-*пгр) - (пг - sin‘f)} •
Знак + не годится, так как тогда Пу-П , и уравнению (26.2)
нельзя удовлетворить вещественным значением X . Надо брать
знак минус, что дает п^= Sin*f>.
В этих формулах содержится геометрическая теория полного
внутреннего отражения. Величины П? и Ж? при резличных углах
падения даются таблицей:
Ч’о
п
абу. 0 ^sinzp-nz
При опредалении глубины проникновения надо иметь в виду,
что свет падает не из вакуума, так что под П следует понимать
относительный показатель преломления второй среды относительно
первой. Поэтому в формуле (26.5) А<> следует заменить на А у -
- длину волны в первой среде. -Это дает
L _ i -А* . _________________________ *
'f ЦТЖу « 4 J~lA«712y>-n2
в согласии с формулой (13.13).
2. Показать, что угол преломлания % может принимать зна-
чение тогда и только тогда, когда среда непоглощающая.
РЕШЕНИЕ. Из (26.2) приХ*-^- находим sin<р= п?. Подставляя
это значение в (26.10), получим
(а-ип?у>р+в* = sin2?-а,
откуда 6=0 . Следовательно, среда должна быть непоглощающей.
- 264 -
§ 27. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕЛЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ
КОНСТАНТ МЕТАЛЛОВ ПО ПОЛЯРИЗАЦИИ ОТРАЖЕННОГО
СВЕТА.
(27.1)
I. формулы Френеля (14.8) или (14.9) применимы и для погло-
щающих сред, если под SZ'Z и понимать комплексные величи-
ны: sirLy = ,
COSf =^-^yZ-Sinlf .
В кечестве col'p надо взнть то значение квадратного корня, кото-
рое имеет отрицательную мнимую часть - только тогда неоднород-
ная волна, проникшая в поглощающую среду, будет затухать при
удалении
от границы раздела.
При нормальном падении
А V-/
Для
а =_________________в______________
&р V+1 (п+1)+1эс
отражательной способности металла получаем
(27.2)
(27.?)
2. При отражении от металла оба коэффициента Френеля и
, вообще говоря, комплексны. Следовательно должны появлять-
5 - и р - сос-
RP
ip
ся скачки фаз. Они, как правило, различны для
тавляющих. Если падающий свет был поляризован линейно под каким-
-то углом к плоскости падения, то отраженный от металла свет по-
ляризован эллиптически. Исоледуя эллиптическую поляризацию отра-
женного света, можно определить оптичеокие константы метелла П
иЗб . На этом основан метод Друде, излагаемый ниже.
Световой луч, пройдя через поляризатор (рис.56),поляри-
зуется линейно. Для простоты расчета предположим, что азимут по-
ляризации равен 45° Обобщение ня случай произвольно-
го азимута не встречает никаких затруднений, отраженный луч сна-
чала проходи? через компенсатор ЗС , а затем через анализатор
А , Изменяя установку компенсатора и вращай анализатор вокруг
направления отраженного луча, можно погасить отраженный луч. В
зтои случае после прохождения через компенсатор свет становится
поляризованным линейно. Азимут егр поляризации называется азиму-
том воостановленной поляризации отраженного света. Компенсато-
- 265 -
9
/I
>n»»mur»»»mm
Рио.56.
ром можно измерить разность фаз А между p - 5 -coc-
тавляюжими отраженной волны, а анализатором Л - азимут j!> ее
восстановленной линейной поляризация. По этим данным можно вы-
числить оптические константы металла П и ОС . Действительно,
из формул Френеля (14.9) при получаем
Я
Очевидно
cos (y>-
К
где
К
Из этжх формул находим ,
1 ~ cosCY-Y)
i-^ге iA= 2siaY>eo*¥' .
ctoty-Y)
2W -
Отсюда
•/~?efa Со$Ч> C-OS<f> y/yZ-Siri1'?
l+ZeL^ Sin f Sin f igysiny
Далее
j - s/n2y>= n^-^-Zinx-sir^if.
)) (П-гЭе
На основании (26.7) и (26.8)
/ -йа'у> = ^Лу-afy,sin.1 у.
Следовательно
l/CPjy - SLFIY = ,4f>C'UJ *
f-zeLA _ 77у,доХ-/аер
(27.4)
Умножая числитель и знаменатель левой части не {+Z6 , полу-
ЧИМ 'f-Z1-2L2Sin.A TKpCOSX-^ip
S +9* +2гсохл. ~ -tyP Sin<p ’
а отделяя вецественную часть от мнимой,
(27.5)
dev = 2. to ff>an tp-t$.PStn&--
+ tyfl +21д/>с*>*ь
или „ , coi2fi
nr^ts<f>iin<p
xr - tgVUnV ^Г1г^“пл-------------
r 4 ' 1 / Sin. 2ji COSA
Из этих фчрмул можно определить fy ДОЛ и ЭС^. После, этого лег-
ко вычислить инварианты Кеттелера по формулам
- 267 -
а~пгр-эе* ~пгусозгх.+лп*<г-9е$ ,
6 = .
Наконец, с помощью формул (26.11) по инвариантам Кеттелера мож-
но вычислить главные показатели преломления и аатухания п их .
Для упрощения расчетов можно подобрать такой угол падения
У , при котором А = . Такой угол называется главным углом
падения,_а соответствующий ему азимут fi - главным азимутом.
При У’= У> формулы (27.5) принимают вид
nicest. ^-typsinycoszfi,
3. Наиболее трудным при экспериментальном определении П и
эе. является приготовление металлических поверхностей. Применя-
ются следующие способы: механическая полировка, химическое осеж-
дение, гальваническое осаждение, напыление в вакууме, отливка
на стекло, электролитическая полировка. Механическая полировка
приводит к образованию переходного слоя, структуре и свойства
которого отличаются от структуры и свойств массивного металле.
А так как толщина переходного слоя обычно того хе порядка, что
и глубина проникновения поля в металл, то при атом способе из-
меряются оптические постоянные переходного слоя, а на массивно-
го металла. При химическом и гальваническом осаждении, а также
при напылении в вакууме получаются сравнительно тонкие слои ме-
талла, причем структура металла в этих слоях может отличаться
от структуры массивного металла. Структура слоев, полученнных
различными методами, также может быть различной. Например, на-
пыление в вакууме Лд , Ли и См на стекло и плавленный кварц
выявило зависимость полученных оптических постоянных от вица
подложки и скорости напыления даже при толщине слоя в несколько
сотен миллимикрон. Таким образом, напыление в вакуум, химическое
я гальваническое осаждение не позволяют получить даиИые, относя-
щиеся к массивному металлу. Отливка металла на отекло или не
плавленный кварц пригодна для Sn и 3/ . Она может, по-ви-
димому, дать константы, относящиеся к массивному металлу, если
- 268 -
принять специальные меры предосторожности для предохренения ме-
талла от окисления, например, производя отливку в вакууме. В
настоящее время наилучиим методом приготовления отражающих поверх-
ностей металлов, свободных от вредных поверхностнях слоев, нужно,
по-видимому, признать метод электрической полировки.
В таблице 3 приведены для ориентировки значения эе и гг
некоторых металлов, полученные по методу Друде / J = 5893 А/.
Отражательная способность R вычислена по формуле (27.3).
Таблица 3.
Металл эе п ’ Я в %
Натрий 2,61 0,004 99,8
Серебро, цельное 3,64 0,18 95,1
Магний, цельный 4,42 0,37 93,1
Золото, цельное 2,82 0,37 84,9
Золото, электролитическое 2,83 0,47 81,5
Ртуть 4,41 1,62 75,3
Медь, цельная 2,62 0,64 73,2
Никель, цельный 3,32 1,79 62,0
Никель, электролитический 3,48 2,01 62,0
Никель, гальванический распыленный 1,97 1,30 43,3
Железо, гальванически распыленное 1,63 1,51 32,6
4. Запиием формулу (27.3) в виде
р fa*+9e**<)-2n (27.8)
Как видно из таблицы 3 почти дли всех металлов 2п мало по срав-
нению о . Благодаря атому отражательная способность ме-
таллов очень велика - для многих металлов она близка к единице.
"Металлический блеск”, присущий металлам, объясняется их боль-
шой отражательной способностью. Тек как 9е и п изменяются в
зависимости рт длины волны, некоторые металлы - в особеннности
медь и золото - обладают резко выраженным цветом. Металл кажет-
ся нам, например, красным, если он сильнее всего отражает крас-
ные лучи. Поэтому, грубо говоря, поверхностная окраска металла
- 269 -
является дополнительной к цвету лучей, проходящих через тонкяе
металлические пленки. Например, очень тонкяе золотые пленяя в
проходящем свете кажутся зелеными.
В случае олабо поглощающих тел коэффициент отражения овета
определяется почти исключительно главным показателем преломле-
ния п и практически не завиоит от эе . К текям телам относят-
ся красящие вещества. В этом случае поверхностная окраска тал
обусловлена не избирательным отражением, а избирательным погло-
щением в слое красящего вещества. Поэтому окраска тел кажется
одинаковой в отраженном и проходящем свете. Слои лаковых красок
свободны от неоднородностей, которые одалаля бы этж слои мутны-
ми. Сквозь слои таких красок видны детали поверхности тала.Свет
от источника попадает на поверхность тала и на ней рассеивается.
Таким образом, на пути к глазу он дважды проходят через поглоща-
ющий слой краоки, претерпевая при атом избирательное поглощение.
Свет, отраженный от парадней поверхности лака, может дать слабый
беловатый оттенок. Если повархнооть слоя лака гладкая, то такой
беловатый оттенок практически ограничивается областьв зеркально-
го отражении. Клеевые краски искусственно делаются мутными пу-
тем введения в них различных неоднородностей. Сват, падающий на
слой краски, раосаиваатся на этих неоднородностях, не достигая
поверхности тела. Таким образом, значительная доля овета рассеи-
вается верхними слоями краоки, на пратарпевая избирательного по-
глощении. Благодаря этому появляется заметный беловатый отгадок.
Различие в происхождении поверхностной окраски слабо и силь-
но поглощающих сред можно пояснить на следующей примере. Покро-
ем повархность прозрачной стеклянной плаотинки слоем фиолетовых
чернил. Чарнила, пока они иа насохли, явяляются "олабо поглощаю-
щей средой? Они кажутся фиолетовыми как в отраженной, так и в
проходящем свате: окраока обусловлена избирательным поглощением
света, проходящего чарев слой чарнил н испытывающего расоеиние
в нам. Когда чарнила засохнут, on превращаются в "сильно погло-
щающую среду". В проходящем свете оп жо-прежиему кажутся фиоле-
товыми - окраака обусловлена избирательным поглощением. В отра-
женном же свате засохпй слой черни приобретает дополнительней
желтовато-зеленый металлический блеск, вызванный избирательна
отражением.
- 270 -
5. Зависимость оптических констант многих металлов от дли-
ны волны выражена весьма резко. Так, серебро, характеризующееся
в видимой области больмим коэффициентом отракенин /свыие 95%/,
имеет в ультрафиолете резко выраженную область плохого отраже-
ния и больной прозрачности - вблизи Л - 3160 I отражетельвая
способность серебра снижается до 4,2%, т.е. стеновится такой же,
кек у отекла. Вуд показал, что тонкие пленки щелочных металлов
были прозрачны в ультрафиолетовой части спектра, но совериенно
не пропускали видимых лучей. Ему удалось даже обнаружить угол
Брюстера при отражении ультрафиолетовых лучей от этих металлам.
Для многих поглощающих тел отражательная способность мНт
резко выраженный максимум в некоторой, иногда весьма узкой, об-
ласти спектра. Путем многократных отражений от таких тел мокно
получить лучи с высокой степенью монохроматичности. Такие лучи
называются остаточными. Этот метод применяли Рубенс и его сот-
рудники для получения монохроматических инфракрасных лучей. В
качестве источника света они применяли аузровскую сетку без
стеклянного колпака. После пятикратного отражения от сильвина
получилось довольно монохроматическое излучение с длиной волйы
/в воздухе/ J = 0,061 мм. Отражательная способность сильвина
для зтих лучей R = 80%. Выделить остаточные длинноволновые
инфракрасные лучи путем отражения удается и для других веществ
- каменной если, плавикового шпата, кварца, флюорита и др.
Задача
Исследовать^ в каких случаях возможно полное отражение све-
та от среды.
РЕШЕНИЕ. Если свет поляризован в плоскости падения, то усло-
вие полного отражения будет
I l2_ СОЗЧ> -У* COS* _ .
I ds I cojf-t-ycosj' созф+))*ссз* ’
или . .
+)T*cos*4'J-о.
Пользуясь формулой (27.4), ему можно придать вид
__ (27.9)
77у ewypcoj/ = о .
- 271 -
Такое хе условие получится и в случае света, поляризованного
перпендикулярно к плоскости падения. Таким образом, полное отра-
жение может наступить в одном из трех случаев: 1)СО!ф=О ;
2) 72^=0 ; 3)COSX=*0 . Первый случай соответствует скользя-
щему падению. Во втором случее П^-0 , а потому ввиду (26.7)
ПЭ€.=О. В третьем случае С.о$](.=О , и следовательно, пае также
равно нулю. Итак, если , то дли полного отражения необ-
ходимо, чтобы П9е=0 . Это условие может осуществиться в двух
случаях: ; 2)п^о , «е=О.
I случай. П=о . Отражение будет полным при любом
угле падения. Действительно, в рассматриваемом случаеV=n-ide =
=-2*эе , и формулы Френеля принимают вид
& costy+1»ееыу'
cosf-iaecotf г -iaecotf + coif
В них
откуда видно, что - величина, всегда вещественная. В знаме-
нателях формул Френеля стоят величины, комплексно сопряженные
с числителями. Следовательно |= 1 = _/ .
В рассматриваемом случае £=y*«/-ae2<0 , т.е. мы
имеем дело с непоглощающей средой, диэлектрическая проницаемость
которой отрицательна. Этот случай осуществляется при отражении
радиоволн от ионосферы. Отражение видимого свете от натрия так-
же довольно точно соответствует атому случаю.
2. случай. TLi=O • 9С.=0 . В этом случае })=п ,£.=п*>0,
т.е. среде прозрачна. Полное отражение будет иметь место при
71 <4 /если f превосходит предельный угол = aicsin п.
(см. § 16).
- 272 -
§ 28. ОТРАЖЕНИЕ РАДИО- И ДЛИННЫХ ИНФРАКРАСНЫХ ВОЛН.
Диэлектрическая проницаемость металлов £(<•)) , как мы ви-
дели, имеет полюс первого порядка ъ) = О . в окрестности этого
полюса она может быть представлена выражением (25.25), причем
функция £, (ы) регулярна в этой окрестности. При малых Ы функ-
ция £t(S)) становится малой по сравнению с . Если ей
пренебречь, то получится
В этом приближении оптические свойства металлов характеризуются
единственной постоянной - электропроводностью ба . Приближе-
ние справедливо для длинных электромагнитных волн. Указать грани-
цу применимости соотношения (28.1) можно только ориентировочно.
Ее положение определяется точностью, предъявляемой к расчету, и
зависит от рода металла и его физического состояния.
Если воспользоваться приближением (28.1), то уравнения
(25.19) перейдут в
пг-эе2=о ;
Отсюда
> (г8-2>
где 1 - период колебаний, Л - длина волны в вакууме. Соотно-
шения (28.2) впервые были получены Друде. Для видимого света они
совсеи не оправдываются. Так , Для меди = 5^ /4 -±017сек~1.
Полагая Л = 5393А = £,893-10 см , из формул (28.2)
получаем .----,
п =эе. = узозо «зз •
- 273 -
Это не имеет ничего общего с значениями, полученными эксперимен-
тально. Однако для достаточно длинных электромагнитных волн тео-
рия требует, чтобы соотношения (28.2) выполнялись количественно.
До недавнего времени считалось, что это было экспериментально
доказано Гагеном и Рубенсом в 1903 году. Они измеряли отражатель-
ную способность металлов в инфракрасной области спектра. Отража-
тельная способность металлов определяется формулой (27.3). Учи-
тывая соотношения (28.2), приводим этой формуле вид
. J 1
р _ 2пг-2п +i _ 7Г * 27?
К 2тг+2п+1
или после разложения по степеням
или, нанонец.
(28.3)
Эта формула и проверялась Гагеном и Рубенсом. Они производили
измерен” я для четырех длин волн: Ajl , 8ju. , /2^ и 25,5у.
Оказалось, что при длинах волн больше 5 микрон формула (28.3)
начинает оправдываться количественно. В таблицеУприведены неко-
торые результаты опытов Гагеяа ш Рубеиса. Положение осложнилось
в связи с теорией аяамального скин-эффекта и некоторыми недавно
выполненными измерениями величин п. , х и £ . По новейшим
иоследованиям соотношения (28.2), строго говоря, справедливы лишь
в области радиоволн, а также в очень далекой инфракрасной части
спектра (^~ i-oo/t н более). Граничная частота, ниже кото -
рой ссотноиение (28.2) начинает оправдываться с достаточной точ-
ностью, должна быть уточнена дальнейший экспериментальными исс-
ледованиями. Например, опыты Шулвца показали, что для ртути и
жидкого галлии соотношения (28.2) ^хорошо выполняются и в близкой
инфракрасной области спектра примерно в интервале от I до ZOyU..
- 274 -
Таблица 4
Металл 1-R в %; Л «12 * в % ; А «25.5
Наблюд. Вычисл. Наблюд. Вычисл.
Серебро 1,15 1,3 . 1,13 1,15
Медь 1,6 1,4 1,17 1,27
Золото 2,1 1,6 1,56 1,39
Алюминий - - 1,97 1,60
Цинк - - 2,27 2,27
Кадмий - - 2,55 2,53
Платина 3,5 3,5 2,82 2,96
Никель *.1 5,6 3,20 3,16
Олово - - 3,27 3,23
Сталь 4,9 4,7 3,66 3,99'
Ртуть - - 7,66 7,55
Манганин - - 4,63 4,69
Константан 6,0 7,4 5,20 5,05
Для радиоволн величина
отражательная способность -
ны практически полностью.
Д—-— очень близка к нулю, а
к единице: металлы отражают радиовол-
- 275 -
§ 29. ИМПЕДАНС. АНОМАЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ В МЕТАЛЛАХ.
I. Импедансом называется умноженное на отношение
тангенциальной составляющей электрического поля на границе разде-
ла к соответствующей тангенциальной составляющей магнитного поля
на той же границе. При этом предполагается, что электрический
вектор либо перпендикулярен, либо параллелен плоскости падения.
В первом случае импеданс определяется выражением
во втс эом случае - выражением
(29.2)
Для , Zy , л . к на границе раздела формулы
(14.3), (14.4), (14.5) дают:
Е* = cos<f (£р-Rf.) ; Ev=£s+Rs ;
п , (29.3)
— aif (£S-H,) £ = < .
J г Г
С помощью этих выражений, используя соотношение (27.4) и формулы
Френеля, нетрудно получить
су cosy cfafCosjC-iXy) * (29.4)
У fa) . 4тfnvcosx-iaev) .
^-р су ~ су1
В общем случае импеданс зависит от поляризации падающей
волны м от угла падения. Однако для металлов в большом числе слу-
чаев эта зависимость слабая, и ее можно не учитывать.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим выражения для ъэличиш и
- 27fi _
riyCOJl . Для ухе было получено выражение (26.10).
Величина n^cosji найдется из системы уравнений (26.6). Таким
образом,
(RyCosx)z= ~ fyfa - sin‘rf+82 + (a
эе? =-^[\/(а-!сг1гг)г+62'-(a-sin*?)].
(29.6)
Для длинных волн регулярная часть в формуле
(25.25) мала по сравнению с . значит, в выражении
£ (&)=£ (и)-И /ftj/мнимая часть £"6*7 велика по сравнению с ве-
щественной £ Qj) . Из формул (25.19) следует поэтому, что для
длинных волн v CL . Если сверх того , то в форму-
лах (29.6) можно пренебречь величинами CL и $in2tp . В этом
приближении , т.е. n^coyji и#? не за-
висят от . Поэтому можно положить =/г-/ае=>/.
Тогда оба выражения (29.4) и (29.5) становятся равными: ’
Таким образом, для каждого металла должна существовать
граничная частота, ниже которой импеданс практически не
зависит от угла падения и состояния поляризации падающей
волны. Такой "универсальный” характер импеданс сохраняет для
большинства металлов и в видимой области спектра. В этом можно
убедиться, подставляя в формулы (29.6) значения для п иЭС из
таблицы 3.
2. Целесообразность введения понятия импеданса оправдывает-
ся тем, что знание этой величины позволяет решать задачи об от-
ражении или дифракции волн без определения электромагнитного по-
ля внутри металла. Для этой цели служат уравнения (29.1) и
(29.2), играющие роль граничных условий. Правда, практическое
значение импеданс может иметь только тогда, когда он носит уни-
версальный характер, т.е. не зависит от состояния поляризации
- 277 -
и угла падения. В области применимости обычной металлооптики
использование импеданса для решения задачи об отражении плоской
волны от плоской металлической поверхности не представляет инте-
реса, поскольку зта задача решается точно и элементарно. Но в
случаях отражения и дифракции на различных металлических препят-
ствиях более сложной конфигурации использование импеданса может
сильно упростить нахождение приближенных решений. Для суждения
о степени точности таких приближенных реиений можно пользоваться
сравнением их с точными решениями, полученными в простейших слу-
чаях. Например, .для отражения от плоской поверхности металла
уравнения (29.1), (29.2), (29.3) и 29.7) дают
Я: <Ж<Р-У . Ир _ Усы-м (29„
Эти выражения отличаются от точных формул Френеля тем, что в
них вместо cos стоит единица. '
В тех случаях, когда импеданс не универсален, а зависит от
угла падения и поляризации волны, его вычисление требует полно-
го реиения задачи об отражении или дифракции волны. Это значит,
что для вычисления импеданса надо найти электромагнитное поле
не только вне, но и внутри металла. В таких случаях использова-
ние импеданса не может дать упрощений.
3. Особое значение импеданс имеет в случае аномального .
скин-эффекта в металлах. Скин-эффектом называется проникновение
злектромагнитного поля в тонкий поверхностный слой «таила, назы-
ваемый скин-слоем. В обычной металлооптике толщина скин-слоя
или глубина проникновения электромагнитного поля в металл опре -
деляетон формулой (26.5). Для применимости макроскопических
уравнений Максвелла (25.1) необходимо, чтобы межатомные расстоя-
ния были малы по сравнению не только с длиной волны, но и с тол-
щиной скин-слоя; Это условие можно считать выполненным для всех
металлов. Более жестким является условие применимости понятия
диэлектрической проницаемости , как оно было введено в
§ 25. Там было учтено,_что электроны и ионы, движением которых
создается полный ток f движутся в электрическом поле,
- 278 -
которое меняется во времени, но не было принято во внимание его
изменение в пространстве. Это допустимо, когда средняя длина
свободного пробега электронов мала по сравнению с расстояниями,
на которых заметно меняется напряженность электрического поля,
т.е. по сравнению с длиной волны и толщиной скин-слоя. Только
тогда электрон от столкновения до столкновения движется практиче-
ски в однородном поле. Если же средняя длина свободного пробега
электрона порядка или больше толщины скин-слоя или длины волны,
то результаты § 25 требуют пересмотра. Понятие диэлектрической
проницаемости может потерять смысл. Тогда напряженность по-
ля и ток будут убывать вглубь металла не экспоненциально, а по
более сложному закону. Соответствующий скин-эффект называется
аномальным. Положение здесь аналогично тому, что получается во
всех случаях, когда существенную роль начинает играть простран-
ственная дисперсия.
Если воспользоваться значениями эе из таблицы 3, то легко
видеть, что у всех металлов, приведенных в этой таблице величина
к - j^xae.' дая видимого света порядка Ю с-н . Того же по-
рядка при комнатных температурах и средняя длина свободного про-
бега электронов. Это указывает на аномальный характер скин-эффек-
та. Только дй( плохих проводников, у которых длина свободного
пробега мены*, скин-эффект при комнатных температурах нормаль -
ный. В области же низких температур, где средняя длина свободно-
го пробега достигает для Очень чистых образцов значений порядка
•л-2 -3
10 - ±0 см, об использовании теории нормального
скин-эффекта, основанной на понятии диэлектрической проницаемос-
ти, ие может быть и речи. Поскольку характер скин-эффекте опреде-
ляется ооотноиением между средней длиной свободного пробега элежт-
рона и толщиной окин-слоя, всякая последовательная теория анамаль-
ного скин-эффекта должна строиться на молекулярно-кинетической
основе.
4. Незавыимо от того, является ли скин- эффект нормальным
или аномальным, отражение.возникает в результате излучения
электромагнитных волн токами, текущими в поверхностном слое метал-
ла и возбуждаемыми падающей волной. Механизм отражения света от
металлов вполне аналогичен соответствующему механизму для
- 279
диэлектриков, разобранному в §§ 22 и 23. В случае нормального
скин-эффекта плотность полного тока убывает вглубь металла по
экспоненциальному закону. В случае аномального скин-эффекта это
не так. Однако, если толщина скин-слон много меньше длины волны,
конкретный закон изменения плотности тока в поверхностном слое
может лишь слабо сказаться на отражении света, так как в этом
случае фазы источников вторичных волн, распределенных в поверх-
ностном слое, практически одинаковы по всей его толщине. Поэтому
при вычислении поля отраженной волны действительное распределе-
ние полного тока в скин-слое может быть заменено распределением,
в котором плотность тока убывает экспоненциально. Такая замена
эквивалентна введению вместо £ эффективной диэлектрической про-
ницаемости металла £ &р<р. . Пользуясь величиной бэдоо. ,
можно вычислять поле отраженной волны так, как если бы скин-эффект
был нормальным, а металл имел диэлектрическую проницаемость
£ — . Однако, если скин-эффект аномальный, пользовать-
ся £эуф. для вычисления поля внутри металла нельзя: термин
"эффективная" понимается в смысле’ "эффектшвная в отношении отра-
жения". Эффективная диэлектрическая проницаемость, очевидно, мо-
жет быть введена и в случае более толстых скин-слоев. Однако в
этих случаях она, вообще говоря, зависит от состояния поляриза-
ции падающей волны и от угла падения. Для того чтобы теоретичес-
ки вычислить величину £ , надо решить задачу об отраже -
нии света методами молекулярно-кинетической теории. Введение по-
нятия эффективной диэлектрической проницаемости оправдано в тех
случаях, когда она слабо зависит от угла падения и от поляриза-
ции падающей волны. Тогда такую зависимость можно не принимать
во внимание. Опыт показывает, что это, как правило, действитель-
но ииеет иесто. Точно также импеданс обычно слабо за-
висит от поляризации падающей волны и от угла падения. Еслш та-
кую зависимость не учитывать, то £ ш импеданс Z
будут евязаны соотношением
1 7 С- 7SZ7 <»•’>
- 280 -
которое является обобщением формулы (29.?).
Мы не можем входить в детали сложной молекулярно-кинетиче-
ской теории аномального скин-эффекта. Нашей целью было изложение
феноменологической металлооптики.
- 281 -
ГЛАВА 1У.
ФОРМАЛЬНАЯ КРИСТАЛЛООПТИКА.
§ 30. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
I. Все среда разделяются на изотропные и анизотропные.
Свойства изотропных сред одинаковы во всех направлениях. Свой-
ства анизотропные сред в различных направлениях различны. Типич-
ными анизотропными средами являются кристаллы. Одно и то хе те-
ло может вести себя как анизтропное по отношению к одним свой-
ствам и как изотропное по отношению к другим. Так, кристаллы
кубической системы по своим, упругим свойствам анизотропны. В оп-
тическом хе отношении они изотропны. Поэтому все тела можно
разделить на оптически изотропные и оптически анизотропные.
Оптику оптически анизотропных сред обычно называют кристал-
лооптикой, хотя кристаллами и не исчерпывается класс оптически
анизотропных сред. Изотропные среды обычно становятся оптически
анизотропными при деформации или при внесении их в электричес-
кое или магнитное поля. Однако оптическая анизотропия наиболее
отчетливо выявляется у кристаллов. В настоящей главе мы будем
рассматривать только непоглощающие и притом оптически неактив-
ные кристеллы.
2. В основе формальной кристаллооптики лежат уравнения Мак-
свелла. При отсутствиии свободных зарядов они имеют вид
<50Л)
Магнитные свойства, как всегда, мы не учитываем и полагаем
К этим уравнениям (30.1) следует присоединить еще матери-
альные уравнения. Оптические константы кристаллов, как и изотроп-
ных сред, зависят от частоты (частотная дисперсия). Для учета
См., впрочем, § 33, пункт 3.
- 282 -
частотной дисперсии в кристаллах следует разлагать поле на мо-
нохроматические составляющие и применять принцип суперпозиции.
Тем оамым задача сводится к нахождению материальных уравнений
для монохроматических полей. Во всем дальнейием предполагается,
что поле в кристалле монохрометическое. Явления, связанные с
пространственной дисперсией в кристаллах, мы в зтой глава рас-
сматривать не будем. Наиболее существенное из них - вращения,
плоскости поляризации в оптически активных или гиротропных сре-
дах. __
Предположим, что компоненты вектора %) являются однород-
ными линейными функциями компонентов вектора Е . В формальной
теории зто предположение может рассматриваться как обобщение
опытных фактов, но оно может быть обосновано с помощью молеку-
лярных представлений о структуре кристаллов. Выраженное матема-
тически, предположение гласит.
%)х ~ + Е„ + f
у у ” > (30.2)
“fig ★S'l/yEy }
^Z ~ .
Девять величин £*«, <£жу,... при заданном выборе координатных
осей являйся материальными постоянными среды. Они зависят от
физического соотоиния среды, 8 также от частоты электромагнит-
ного пбля. Так как Ех, Е9 , Ег , а также образуют
векторн, то совокупность величин составляет
тензор. Ои называется тензором диэлеитрической проницаемости
кристалла или, короче, диэлектрическим тензором. Этим тензором
и характеризуются оптические свойства кристаллов.
В целях сокращения пиоьма уравнения (30.2) и им аналогич-
ные мн будем записывать в виде
%* Ед (30.3)
Л J
( a,Ji ~*,у, z J .
- 283 -
Диэлектрический тензор можно было бы ввести с помощью принципа
суперпозиции, подобно тому как,была введена диэлектрическая про-
ницаемость для изотропных сред. Для зтого скелярные функции вли-
яния/А?7 и следует заменить тензорнымии . В
остальном рассуждения останутся без изменения, поэтому нет необ-
ходимости повторять их.
3. Компоненты диэлектрического тензоре, вообще говоря, ком-
плексны. Докажем, что для непоглощающжх кристаллов диэлектричес-
кий тензор эрмитов, т.е.^^^*. Среднее количество электромаг-
нитной энергии, поступающей в любой объем V из окружающего
пространстве в одну секунду, дается выражением
cLF - cLv.
Для монохроматического поля в непоглощающей среде эта величина
должна обращаться в нуль, так каи в этом случае среднее количест-
во'электромагнитной энергии, локализованной в объеме V , оста-
ется неизменным. Ввиду произвольности объема V это возможно
тогда и только тогде, когда cLi.tr 5=0. Воспользовавшись выраже-
нием для вектора Пойтинга (2.13), это условие моино записать в
виде
[Б Н*1 * сопр. =О.
Раскрыв , воспользовавшись уравнениями (30.1) и
учтя, что /М , получим
UL UL 3
Для монохроматического поля^/=г<у» следовательно
ЕЯ* -Ё*Я-о ,
или не основании (30.3)
в^- р-
Это соотйоиение должно выполняться для любого поля Ь , что
возиожно тогда и Только тогда*,когда 6^*. Действительно,
пусть все комповеты вектора Е за исключением одного/* рав-
ны нулю. Тогда предыдущее соотноиенне переходит в
и мы заключаем, чт< £*Л - = О . Пусть теперь отличны ст
нуля два компонента Ел и , а третий компонент равен нулю.
Тогда то же соотношение примет вид
('^ -
Полагая здась Ej^-E^ голучим
Полагая же E^-i-E^., найдем
Из этого и предыдущего уравнений заключаем, что £^=^01 .
Таким образом, соотношение справедливо как для оди-
наковых, так и для различны:, индексов и у5 . Тем самым эрми-
товость тензора для вепоглощающих кристаллов доказана. Для
поглощающих кристаллов диэлектрический танзор не эрмитов.
4. Иэ условия эрмитовости следует, что диагональные элемен-
ты диэлектрического тензора непоглощающих кристаллов веществен-
ны. Для того, чтобы плоская волна могла распространяться в крис-
талла беэ затухания, т.е. для прозрачности кристалла, необходи-
мо, сверх того, чтобы диагональные элементы были положительны
/см. § 5, пункт 5/. Прозрачные кристаллы разделяются на оптичес-
ки активные или гиротропные и оптически неактивные или йегиро-
тропные. У оптически активных кристаллов недиагональные элемен-
ты диэлектрического тензора комплексны /в частности, чисто мни-
мы/; у оптически неактивных кристаллов они вещественны. Условие
эрмитщвности диэлектрического тензора для прозрачных оптически
неактивных кристаллов сводится т.е. для таких крис-
таллов диэлектрический тензор симметричен. В этой главе рассмат-
риваются только оптически неактивные кристаллы.
5-‘ Каквэвеотнр» всякий симметричный тензор можно привести
к диагональному виду, т.е. выбрать систему координет. так, чтобы
были очличин от нуля илько диагональные элементы тензора. В та-
кой еистаме юординат диагональные элементы называютои главными
диэлектричаокимн проницаемостями, е соответствующие коордиват-
- 285
ные оси - главными осями тензора диэлектрической проницаемости
или дизлектричеокими осями. Обозначим главные дизлектричеокие
проницаемости символами £х , я£у , £/. В системе диэлектри-
ческих ооей метеризльные уравнения (30.5) записываются в более
простом виде:
А<»•»>
В неоднородной среде направления диэлектрических осей меняются
от точки к точке. В однородной среде они одинаковы во всех точ-
ках кристалла. В атом случав целесообразно зв координатные оси
принять главные оси диелектричеокого тензоре. Так мы и посту-
пим в дальнейшем. Кроме того, ось наименьшей диэлектрической
проницаемости условимся называть осью X , ось неибольией --
- осью Z , а промежуточной - осью У . В такой системе коор-
динат всегда соблюдается условие
£« « • (30*5)
Поскольку величины зависят от длины волны, может слу-
читься, что направления главных ооей будут меняться с изменением
длины волны. Это явление действительно наблюдается у кристаллов
моноклинной и триклинной систем. Оно называется дисперсией опти-
ческих осей.
6. Как видно из материальных уравнений (50.4), в кристал-
лах направлении векторов Ё и J0 , вообще говоря, не совпада-
ют. Угол СЛ между ними в прозрачных оптически неактивных крис-
таллах всегда острый. Это следует из положительности скалярного
произведения
Векторы Е и $ совпадают по направлению тогда и только тогда,
когда они параллельны какой-либо из дизлектрических осей кристал-
ла.
Задача
Показать, чтр средняя плотность электромагнитной энергии и
непоглощающих кристаллах дается выражением
W=— П Г с*-/- E&fy) IJ Ц*\
где - тензор магнитной проницаемости.
- 286 -
§ 31. ПЛОСКИЕ МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В ПРОЗ-
РАЧНЫХ ОДНОРОДНЫХ КРИСТАЛЛАХ.
I. Плоская монохроматическая волна в кристалле представля-
ется в виде — , г~-~\
<31.1)
сред, например, при
Вообще говоря, вектор к может быть комплексным. Тогда
волна <31.1) будет неоднородной или поверхностной. Текая волна
может возникнуть на границе раздела двух
полном внутреннем отражении. Ограничимся рассмотрением однород-
ных
волн, когда вектор JT вещественный. В таком случае
(31.2)
где
V
ИТ V
/V - единичный вещественный вектор нормали к фронту волны,
- фазовая скорость в направлении нормали. Возможность рас-
пространения однородных волн в кристалле оледует ив Дальнейших
рассуждений.
2. Подставляв выражения <31.1) в уравнения (30.1), получим
(51.5)
а-4/лГ£7.
Так как вектор/у - вещественный, а величина V , как, бу-
дет показано далее, также вещественна, то все три вектора £ ,Л »
S в однородной волне находятся в одинаковых фазах. Поэтому оо-
отноиения (31.3) справедливы и для вещественных полай, хоти их
вывод был выполнен в комплексной форме. _
Как видно иэ соотношений (31.3), векторы Я иВ перпендику-
лярны^ направлению волновой нормали г\ . По отношению к векто-
рам S) и В световые волны поперечны. Напротив, вектор £
ойичва не перпендикулярен к ft , по отношению к атому вектору
световые волны не поперечны, -*_*_*.
Иэ соотношений (31.3) видно также, что векторы N ,SH .Е.
S /рис.57/ иерпендикулярим к вектору £ . Следовательно, эти
- 287 -
Рис.57.
четыре вектора лежат в одной плоскости, перпендикулярной к S .
Векторы £*" и 55 , вообще говоря, не параллельны; угол между
ними О(^всегда острый /см. предыдущий параграф/. Вектор Пойн-
тинга составляет с АГ тоже угол <Х .
Таким образом, в плоской однородной волне в кристалле мож-
но выделить две тройки взаимно перпендикулярных векторов:
I) векторы S) , М , и 2) векторы Г,Г л . Одна трой-
ка по направлению может быть совмещена с^другой путем поворота
на угол <Х вокруг направления вектора ? .
3. Из этих геометрических соображений следует, что^зедани-
ем, вектора & (или Z*) однозначно определяется_вектор Е (или
5D ), а также направления, осей векторов В , N , £ . Исклю-
чение составляет случай, когда векторы параллельны.
Действительно, если известен вектор sE , то с помощью уравне-
ний (30.4) можнс найти вектор Е и наоборот. Если векторы Т и
3 не параллельны, то они определят плоскость, перпендикуляр-
ную к вектору X . Тем самым определится направление оси, кото-
- 288 -
рой параллелен вектор о «Выбрав одно из двух возможных направ-
лений вектора В ,• иы однозначно определим направления вакторов
N и 3 • _
Болае того, заданием направления 9) или Е однозначно
определяется и значание нормальной скорости V . Действительно,
исключая из уравнений (31.3) вектор Е , найдем
»- - жн №№) (51-”
Отсюда после скалярного умножения на получится
1Г2 &£} (31.5)
U ~ Я*
То обстоятальство, что величина скорости распространения
волны однозначно определяется направлением именно вектора Е~
(или £) ), а не какого-либо другого вектора, следует также из
простых физических соображений. Изменение фазовой скорости вол-
ны при ее вступлении в кристалл, как и во всякую другую матери-
альную среду, определяется вынужденными колебаниями электронов
и атомных ядер, т.е. в конце концов напряженностью электричес-
кого поля. Напротив, векторы N или 3 не имеют прямого отно-
шения к вынужденным колебаниям электронов и атомных ядер, а пото-
му, направлениями этих; векторов скорость распространении волны
определяется не однозначно (см. следующий параграф).
- 289 -
§ 32., ЗАКОН ФРЕНЕЛЯ ДЛЯ, НОРМАЛЬНОЙ
СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛНЫ В КРИСТАЛЛЕ.
I. Допустим, что направление волновой нормали /V фиксиро-
вано. Исследуем, какие, плоские волны и с" какими фазовыми ско-
ростями могут распространяться в этом направлении. Задача сво-
дится к нахождению условий совместности линейных однородных
уравнений (31.3). Они действительно совместны но только при
вполне определенных значениях нормальной скорости V . Дока-
зательство совместности одновременно может служить доказатель-
ством возможности распространения в кристаллах плоских монохро-
матических волн. Можно было бы получить условия совместности
где
с помощью общих теорем, относящихся к системам линейных однород-
ных уравнений. Однако этот путь связан с длинными, хотя и эле-
ментарными, математическими выкладками. Мы по нему не пойдем, а
изберем более прямой путь, не опирающийся на зти теоремы. Исполь-
зуя материальные уравнения (30.4), перепишем соотношение (31.4)
в следующем виде г
02.1)
= • (52.2)
Предполагая, что иг~а^фо / «.разделим (32.1) на Vz~Cc\ :
Умножим обе части этого соотношения'на Л4 и просуммируем по d. .
Получим ,z '
Zk^V-eW^^ . _
'““я/a/fJ,
(NEj, най-
так как Что касается скалярного произведения
то оно, вообще говоря, отлично от нуля. Сокращая на {
дем . .2
4- ьг-а1 и'
(32.4
В развернутом виде . »
г£ . А/, , п (к-5>
ir*-a'x иг-а* * и1-а* >
а после освобождения от знаменателей ,
F(u*) sNl(t’')r~ a'J(K.6)
+ =0
2. Хотя уравнение (32.6) и было получено из уравнения(32.5),
в действительности оно обладает большей общностью, чем (32.5).
При выводе уравнени(ц(32.5) предполагалось выполнение условий:
\)Уг-О.^0 и 2) (/VЕ)ЕО . Справедливость уравнения (32.6) с
этими ограничениями не связана. В самом деле, допустим, что они
не выполняются. Разумеется, конечно, что по крайней мере одна из
составляющих,вектора S) , например, , отлична от нуля. Если
39^0, a {Ее)=С>, то из соотношения (32.1) следует U2-
ПоэтЪму достаточно исследовать только тот_случай, когда (ЙЕ)=О,
т.е. когда вектор Е^ перпендикулярен к Д/ . По вектор £ так-
же перпендикулярен к вектору . Поэтому в рассматриваемом слу-
чае вектор Е параллелен 5^ , т.е. или^-jT^. Сравни-
вая с (30.4), видим, что^-^ . Это значит, что может об-
ращаться в нуль только в том случае, когде вектор Е параллелен
одной из диэлектрических осей кристалле. Пусть, например-, он па-
раллелен оси X . Тогда, из (32.1) следует иг=а%.. Но это реше-
ние является текже корнем уравнения (32.6), так как в рассматри-
ваемом особом случае • Итак, уревнение (32.6) справедливо
всегда, а уравнение (32.5) теряет смысл, когда один из знамена-
телей обращается в нуль.
3. Уравнение (32.4) или (32.6) называется зеконом Френеля
для нормальной скорости распространения световых волн в кристал-
ле. Если задать направление N , то на этих уравнений можно
определить нормальную скорость V . Уравнение (32.6) является
квадратным относительно V2 , Докажем, что оно имеет веществен-
ные и притом положитальныа корни. Для прозрачных кристаллов
главные значения диэлектрического тензора существенно положи-
тельны. Следовательно, существенно положительны и величины .
-291 -
При этом ввиду соглашения (30.5)
а, > «у > . (32.7)
Придавая в функции (и*)аргументу U2 значения#* , ау ,
#/ , прийдем к неравенствам:
F (<£)*№ (alx-a}J(di-al)>o,
F(a*]=N* (a'-atyaf-a^o,
F(azt)= N‘(ai ~ a‘)(a\ - a}) >o.
Из них видно, что функция Л^^/двежды меняет знак: один раз меж-
ду #х и dtj, другой - между dy к de. Следоветельно, уравнение
имеет два вещественных положительных корня: иг уИг"2 ,
причем , „
CLx'&lf ^ССу ССг . (32.8)
Отсюда следует, что в направлении N могут распространять-
ся две волны, одна иэ которых имеет нормальную скорость V' , а
другая У" . В частных случеях скорости У' и Ун могут совпа-
дать.
4. Если скорости У' и У" различны, то каждая из волн бу-
дет поляризована линейно. Это следует иа соотноиения
S) £) я-Лк-- & • aL_, (к-9)
которое получается из (32.3) и в котором под У следует пони-
мать либо У’ , либо У" . Все величины, стоящие в правой части
соотноиения (32.9), вещественны. Значит, между компонентами &х.,
нет сдвигов фаз, отличающихся от О или 5Г , а потому
волна поляризована линейно. Для строгости доказательства следо-
вало бы последовать особые случаи, когда величины (ME) и
U^-Cl^ обращаются в нуль. Но в этом нет необходимости, так
как в § 34 будет приведена геометрическая иллюстрация, с помо-
щью которой всегда можно определить харектер поляризация волны.
Докажем, что если скорости У1 и 1Г'различны, то вектору
& обеих волн, которые могут распространяться в направлении /у ,
- 292 -
взаимно парпеадикулярны. Отмечая величины, относящиеся к одной
из воля одним штрихом, е к другой - двумя штрихеми, из соотноше-
ния (31.4) получим
Умножим пеовое уравнение скелярно на ЗГ* второе наЯГ и выч-
1И1 jpdiJricHflc иКсЛпрми Но суд’ j Лдирии По И ВиЧ
тем одно уравнение из другого. Так как ТО в
результете получится
Но очевидно 7*3© ~Етек как каждое из этих скалярных
произведеаий равно ЕелЕ^Е^ . Следовательно,
Отсюда при#'4-#’ Vf получеем что и требовалось до-
казать. Аналогично докажем, что (В'Ъ"^=О.
5. Итак, в каждом направлении в кристалле могут распростра-
няться две линейно поляризованных волны, скорости которых, вооб-
ще, гово^, различны. Обе волны поперечны относительно векторов
50 и В • Векторы 50 / а также я этих волнех взеимно пер-
пендикулярны. Относительно вектора Е световые волны в кристал-
ле не поперечны, за исключением тех случаев, когда вектор Е не-
правлен параллельно одной из диэлектрических осей кристалле.
6. Чтобы выяснить физический смысл постоянных напра-
вим вектор Е вдоль диэлектрической оси о( . Тогде ,
и уревнение (31.5) перейдет в
1/г= сг
1
cz
£ л >
С<Х
откуда V- , Таким образом, величина есть нормальная
скорость распространения волны, у которой электрический вектор
параллелен диэлектрической оси Л . Это
очевидным, если земетить, что в частном
ческое поле пареллельно диэлектрической
транения волн в кристалле не отличаются
ных средах.
утверждение становится
случае, когда электри-
оси, уревнения распрос-
от уравнений в изотроп-
- 293 -
Величины ал называются главными скоростями распростране-
ния света в кристалла. Наряду с главными скоростями, для харак-
теристики оптических свойств кристаллов пользуются также глав-
ными показателями преломления, которые определяются соотношени-
ями
(32.10)
(32.11)
Для волны произвольного направления показатель преломления
кристалла определяется выражением
П i —
, IT _
Его зцдчение однозначно определяется направлением вектора
или Е . Каждому направлению распространения волны соответству-
ют два значения показателя преломления, в соответствии с двумя
возможными поляризациями волны.
- 294 -
§ 33. ПОВЕРХНОСТЬ нормалей, оптические классы кристаллов
I. Для исследования уравнения Френеля воспольауеыся геомет-
рическим методом. Ив какой-либо точки О в различных направле -
ниях будем проводить прямые и на них откладывать отрезки, длины
которых равны вначениям нормальных скоростей в этих направлениях.
Геометрическое место концов таких отрезков называется поверхностью
нормалей. Равумеется, такой геометрический метод годится для ис-
следования любых волн, а не только электромагнитных волн в крис-
таллах. В кристалле каждому направлению нормали соответствуют
два вначения скорости. Поэтому поверхность нормалей кристалла яв-
ляется двойной поверхностью, т.е. состоит из двух слоев. Она
представляет собой поверхность шестого порядка и имеет очень слож-
ный вид. Для того чтобы составить представление о поверхности
нормалей электромагнитных волн в кристалле, рассмотрим сечения
ее координатными плоскостями ХУ , УХ , ZX
~ Сечение плоскостью ХУ В этом случае волновая нормаль
N лежит в плоскости ХУ « т.е. ~О . Уравнение Френе-
ля (32.6) принимает вид
Ив него получаем два значения нормальных скоростей:
Скорость V" не вависит от направления нормали N
Ей соответствует круговое сечение поверхности нормалей (рис.58).
Скорость V' изменяется с изменением направления волновой
нормали. Ей соответствует сечение поверхности нормалей, имеющее
' форму овала. Из уравнений (33.1) следует If' , так что
круг находится целиком внутри овала. Вектор 9$ должен быть
перпендикулярен к N .Ив соображений симметрии ясно, что
вектор одной волны параллелен оси Z , а вектор
другой волны параллелен плоскости ХУ . Первому направлению
- 295 -
Рис.58.
- 296 -
вектора 56 соответствует круговое сечение поверхности норма-
лей, второму - овальное.
Сечение плоскостью У2 Волновая нормаль А/ лежит в
плоскости , т.е. . Уравнение Френеля принимает
вид
(и*-а
«)[^(~а*)+^г (а1~а^)]=0'
Оно дает два значения нормальных скоростей:
у-‘=к, ’а, */№ .. <52’г>
Скорость If' не зависит от направлении нормали Л/
Ей соответствует круговое сечение поверхности нормалей и вектор
, направленный параллельно оси X . Скорость V" изме -
няется с изменением направления волновой нормали! Ей соответст -
вует овальное сечение поверхности нормалей и вектор , парад
дельный плоскости У<? . Она целиком помешается внутри круга,
так как У"^1Г , как это следует из уравнений (33.2).
Сечение плоскостью ZX Волновая нормаль ЛГ лежит в
плоскости ZX , т.е. *0 . Уравнение Френеля принимает
вид
и дает два значения нормальных скоростей:
Скорость v' не зависит от направления иориали Д/ . Ей
соответствует круговое сечение поверхности нормалей и вектор 3^
параллельный оси У . Скорость V" изменяется с измеяенмеи
направления й0лновой нормали. Ей соответствует овальное сечение
- 297 -
поверхности нормалей и вектор S) , параллельный плоскости ZX .
2. Третий из рассмотренных* случаев существенно отличается
от первых двух. В первых двух случаях овал и круг не пересекают-
ся. В третьем случае они пересекаю^я в четырех точках ( рис.58).
Это означает, что в плоскости 2Х ' имеются два направления
АА' и ВВ' , симметричные относительно оси Z , вдоль
которых обе волны распространяются с одной и той хе нормальной
скоростью. Направления, вдоль которых совпадают нормальные ско-
рости волн, называются .оптическими'осями второго рода, осями нор-
малей или бинормалями.
Если в кристалле все три главных скорости (Хх , (Ху , (Хг
различны, то в нем существуют две и только две оптических оси
второго рода.
Действительно, пусть If' и V" означают нормальные скорости
двух волн, распространяющихся в произвольном направлении А/ .
Если вектор А/ направлен вдоль оптической оси второго рода,
то должно быть v' = lf" . В виду соотношений (32.8) это возмох- •
но только тогда, когда lf'=lr"= СХу . Но тогда уравнение Френеля
(32.6) дает
Так как по предположению + Ct г , то отоюда следует,
что Му -О . Это значит, что оптические оси лежат в плоскости
ZX • Но в этой плоскости, как показано выше,имеются две и
только две оптических оси второго рода. Они симметрично располо-
жены относительно оси 2 и наклонены к ней под некоторым угломJi.
Для нахождения величины fi воспользуемся условием гг' =(Гп .
Подставляя в него значения If' и If" иэ формул (33.3), поду-
чим г
а‘ =Х а' ,
или
=1/га* +I/*cl* ,
- 298 -
откуда
3. Если две из трех главных скоростей совпадают между со -
бой Оу или С1у = О-1 ), то оптические оси сливаются в
одну ось, параллельную оси Z ( когда 6Zx = <2y ), или оси X
( когда Cty= CLl ). Наконец, если все три главные скорости оди-
наковы, то любое направление в кристалле обладает свойством оп-
тической оси. В таких кристаллах плоские волны, независимо от их
поляризации и направления, распространяются с одной и той же
скоростью - кристаллы в оптическом отношении ведут себя как изот
ропные среды. К ним относятся кристаллы кубической системы.*^
х) Необходимо, однако, отметить, что при наличии пространствен-
ной дисперсии кристаллы кубической системы могут быть опти-
чески анизотропными. На эту возможность указывал еще Г.А.
Лоренц при построении электронной теории дисперсии кристал-
лов. Только в I960 году Гросс и Каплянский, исследуя спект-
ры поглощения на монокристаллических образцах Си.гОt
экспериментально обнаружили необычное для кубических крис-
таллов явление анизотропного поглощения света для спектраль-
ной линии « 6125 д. Оптическая изотропия кристаллов
кубической системы мокет нарушаться также при молекулярном
рассеянии света. Это явление возникает из-за флуктуаций пло-
тности и анизотропии в кристаллах. Сами флуктуации можно
рассматривать как тепловые акустические волны, распростра -
няющиеся в кристалле. Рассеяние света есть результат интер-
ференционного отражения электромагнитных волн от таких
тепловых акустических волн. Но в иеханическом отношении
кристаллы кубической системы не изотропны: скорость акус-
тических воля зависит от их поляризации и направления рас-
пространения. Поэтому и рассеяние света должно зависеть от
поляризации и направления распространения падающего и рас-
сеянного света.
- 299 -
4. Поверхность нормалей одноосного кристалла есть поверх-
ность вращении вокруг оптической оси и состоит из сферы и овало-
ида вращения. В таком кристалле" могут распространяться две вол-
ны. Скорость одной из них не зависит от направления распростра-
нения. В этой волне, называемой обыкновенной, вектор г)
перпендикулярен к оптической оси. Скорость второй волны ивиеняет-
ся с изменением направления распространения. В этой волне, назы -
ваемой необыкновенной, вектор 55 лежит в^плоскости. проходящей
через оптическую ось и волновую нормаль Д/ . деление волн на
обыкновенную и необыкновенную имеет смысл только для одноосных,
но не для двуосных кристаллов.
Если оптической осью одноосного кристалла является ось Z ,
то овалоид целмкои лежит внутри сферы (рис.59): скорость
Положительный кристалл. Отрицательный кристалл.
Рис.59.
необыкновенной воин меньие, чем обыкновенной. Соответствующий
кристалл называется положительным. Если же оптической осью
- 300 -
одноосного кристалла является ось X , то сфера целиком ле
хит внутри овалоида ( рис.59): скорость необыкновенной волны
больие, чем обыкновенной. Такой кристалл называется отрицатель
ным.
- 501 -
§34.. ЗЛЛИСОИД НОРМАЛЕЙ
I. Поверхность нормалей имеет весьма сложный вид. В некото-
рых случаях удобнее пользоваться другим геметрическим методом,
принадлежащим Френеле. В атом методе используется более простая
поверхность - эллипсоид. 1
Как было показано, направлением вектора 58 однозначно
определяется нормальная скорость if . Для определения V мо-
жет служить формула (31.5), которую легко преобразовать к виду
(».1)
л
Придавая вектору всевозможные направления, будем прово -
дить из одной и той же точки прямые, параллельные ж, и на них
откладывать обратные значения соответствующих нормальных скорос-
тей. Геометрическое место концов отложенных отрезков будет по -
верхность, уравнение которой имеет вид
- z
г ~ * X) ’
или в координатной форме
= и^)хл •
Подставляя это аначенме в формулу (34.1), получим
(»-2)
ос
Таким образом, рассматриваемая поверхность есть эллипсоид
с полуосями . Он наэываетои эллипсоидом
нормалей или эллипсоидом электрической индукцим.
2. Применение эллипсоида нормалей к вопросам кристаллоопти-
ки основано на следующей теореме.
Проведем через центр эллипсоида нормалей плоскость, перпен-
дикулярную к волновой нормали N ( рис.60) .
- 302 -
Рис.60.
Она пересечет эллипсоид нормалрй по эллипсу. Оси этого эллипса
укажут направления векторов S) в двух линейно поляризованных
волнах, которые могут распространяться в направлении Л . Дли-
ны полуосей будут равны обратным значениям соответствующих нор -
мальных скоростей.
Для доказательства заметим, что при выводе закона Френеля
мы исходили из уравнения (31.4), которое можно преобразовать к
виду
р
Условие совместности этой системы линейных однородных урав-
нений ведет к закону Френеля, из которого можно найти два значе-
ния V . Зная V , из уравнений (34.3) можно найти далее
направления вектора $ .
Сопоставим теперь с этой физической задачей геометрическую
- 303 -
задачу нахождения полуосей эллиптического сечения эллипсоида
нормалей. Последняя задача сводится к нахождению экстремума вы-
раиения
=)~\ ' (34.4)
при дополнительных условиях:
=о (34.5)
и
We)-Z’A(lx<t=O. <»•«)
С помощью известного метода Лагранжа эта задача на условный
экстремум в свою очередь сводится к отысканию безусловного экст-
ремума выражения
£* (х* +2ДЛ/лхл+^а;хл)
л '
где 2Л и JJ. - лагранжевы множители. Дифференцируя по Х& ,
получим условия экстремума
+ + =°- (34.7)
Для определения умножим зто уравнение на и про -
суммируем по ОС . Учтя соотноиения (34.5) и (34.6), получим
ух = -гг.
Аналогично, умножая на и суммируя по Л , находим
Л = г*27<^*л.
Подставляя значения Д и уи. в (34.7), получаем условия
экстремума:
~гга^хл а^х °О.
- 304 -
Воспользовавшись, наконец, соотношениями
придадим этому условию вид
=< alS^-I^EafySif.
fl 1
Это уравнение тождественно с уравнением (34.3). Значит,
геометрическая задача нахождения длин и направлений главных осей
рассматриваемого эллиптического сечения математически тождествен-
на с физической задачей определения скорости и поляризации плос-
кой волны, распространяющейся в направлении N . Теорема до-
казана.
3. Иэ доказанной теоремы непосредственно следует, что каж-
дому направлению нормали соответствуют, вообще говоря,две
волны, распространяющиеся с различными скоростями. Обе волны от-
личаются друг от друга направлениями векторов индукции. Векторы
индукции в обеих волнах взаимно перпендикулярны. Эти результаты
ухе были получены в § 32. Из теоремы непосредственно следует,что
во всех случаях каждая из возможных волн поляризована линейно.
Исключение составляет только случай, когда волновая нормаль N
параллельна одной из оптичеоких осей второго рода ( см.ниже).
4. Из доказанной теоремы следует также и существование опти-
ческих осей второго рода. Действительно, каждый трехосный эллип-
соид имеет два и только два круговых сечения, которые получаются
от пересечения его двумя плоскостями, проходящими через среднюю
ось эллипсоида. Следовательно, существуют два направления распро-
странения волны, которым соответствуют круговые сечения эллипсои-
да нормалей. В этих направлениях может распространяться волна
любой поляризации и при том с одной и той же скоростью. Они и
являются оптическими осями второго рода.
§ 35. ЛУЧИ В КРИСТАЛЛАХ. ТЕОРЕМА ОБРАЩЕНИЯ,
I. Величина V" , определяемая формулой (31.2), есть око -
рость распространения фронта или фазы волны в направлении волно-
вой нормали. Она называется нормальной скоростью. Можно говорить
о скорости распространения фронта и фазы волны в бесчисленном
множестве других направлений. Помимо нормальной скорости важное
значение имеет скорость распространения фронта или фазы волны в
направлении вектора Пойнтинга в . Она назы-
вается лучевой скоростью, а прямые, направленные вдоль вектора
- лучами. Лучевая скорость обозначается в дальнейшем че -
рез Ut а единичный вектор, указывающий направление луча ,-
через У .В оптически изотропных средах лучи совпадают с вол-
новыми нормалями. В кристаллах ато имеет место только в тех слу-
чаях, когда волна распространяется параллельно одной из диэлект-
рических осей. Во всех остальных случаях направлении и
не совладают. На рмс.61 плоскость ЛВ означает положение волно-
вого фронта в некоторый момент времени, а плоскость Л'В
Рис.61.
- 306
положение того же фронта через единицу времени. Длина отрезка
АС равна нормальной, а отрезка ЛА' лучевой скорости
волны. Из рисунка ясно, что скорости U я V связаны соотноше-
нием
V= U COS Л = и(Л/З) , (35.1)
где Л - угол между векторами Л/ « J .
2. Лучевые скорости в кристалле для различных направлений
луча можно было бы найти совершенно так же, как выше были
найдены нормальные скорости. Однако мы быстрее придем к цели,
доказав предварительно одно общее положение кристаллооптики, на-
зываемое теоремой обращения. Эта теорема имеет самостоятельное
значение. Она облегчает ориентироваться в обилии сложных формул
кристаллооптики и может служить руководящим принципом при уста -
новлении внутренних связей между ними. Выражаясь упрощенно, мож-
но сказать, что теорема обращения сокращает вдвое число формул
и теорем кристаллооптики, подлежащих запоминанию.
Умножая первое уравнение (31^) векторно на о , получим
(/&)%-(*%)$}
Так как J —О , то
Подставив сюда вместо (Mi j его выражение из (35.1), оконча-
тельно найдем
В [££)]. (35.2)
Таким же путем можно получить
£ =-£-[?%]. (55Л>
- 307 -
Таким образом, получаются два ряда формул:
Я=-$-[нЕ] Н*-£[&)]
Все результаты, относящиеся к распространению плоских волн в
однородных кристаллах, были получены нами как следствия первого
ряда формул. Но формулы второго ряда можно формально получить
из формул первого ряда заменой всех величин по следующей схеме:
Я В Л/ С IE
Е S 1 и 1 (35.5)
Следовательно, любое соотношение между величинами, характеризую-
щими распространение плоских волн в однородных кристаллах, оста-
нется справедливым, если все входящие в него величины заменить
на соответствующие согласно схеме (35.5) . Соответствующими счи-
таются величины, стоящие друг под другом в рядах (35.5). Этот
результат и называется теоремой обращения.
3. Прежде чем применять теорему обращения к решению конк -
ротных вопросов, остановимся на физическом смысле луча ш лучевой
скорости. При введении зтих понятий мы руководствовались представ-
лением о потоке анергии, согласно которому анергия течет в нап -
равленим вектора Пойнтинга & . Направление вектора «5^ s
вообще говоря, не совпадает с направлением волновой нормали /V .
В случае неограниченной плоской волны ато различие направлений
ни в чем не проявляется. Не так будет в случае ограниченной вол-
ны. Допустим, например, что на пути распространения плоской вол-
ны поставлен акран с отверстием ЯЬ ( рис.62), плоскость
которого параллельна фронту волны; Пусть размеры отверстия очень
велики по сравнению с длиной водны. Тогда применимы приближенные
законы геометрической оптики. Согласно этим законам из светового
- 308 -
Рис.62.
поля будет вырезан цилиндрический пучск ЯЯ 'ВВ , основа-
нием которого является отверстие ЛВ . Свет будет распростра-
няться только внутри пучка, вне пучка света не будет. Образующие
цилиндра и любые прямые, им параллельные, являются световыми лу-
чами в том смысле, что сни указывают направление, вдсль которых
распространяется свет.
Если верны представления Псйнтинга о движении анергии, то направ-
ление луча должно совпадать с направлением вектора Псйнтинга.
Этим установлен физический смысл луча. Лучевая скорость есть ско-
рость распространения света вдоль лучей. При отсутствии дисперсии
(нормальная фазовая скорость не зависит от частоты, а только от
направления волновой нормали) лучевая скорость совпадает с фазо-
вой в том же направлении.
4. Слабость приведенного рассуждения в том, чтс сно основа-
но на теореие Псйнтинга. Последняя строго дсказана в тех случаях,
когда речь идет о потоке злектромагнитной анергии через замкнутые
поверхности. Однако локальнее выражение дли вектора плотности
потока электромагнитной энергии этой теоремой устанавливается не
- 309 -
однозначно. Между тем направление светового пучка, проходящего
через отверстие ( рис.62), а с ним и направление световых лучей
уравнениями Максвелла определяются однозначно ( разумеется, в
пределах применимости понятия луча). Поэтому мы установим направ-
ление луча, как линии, вдоль которой распространяется свет, из
других соображений. Если плоская волна определенной частоты про-
ходит через отверстие в экране, то она претерпевает дифракцию.
Вместо волны строго определенного направления за экраном образу-
ется волновой пакет, состоящий из плоских волн, распространяю-
щихся в близких направлениях. Скоростью такого пакета является
групповая скорость ' пРедставление ° распро-
странении света вдоль линий вектора Пойнтинга будет обосновано,
если доказать, что групповая скорость совпадает с ранее
введенной лучевой скоростью И . При доказательстве мы бу-
дем предполагать, что кристалл недиспергирующий. Это значит,что
нормальная скорость V = зависит только от направления
волнового вектора , но не от его длины. Иными словами, не
зависят от частоты главные скорости
Запишем формулу (32.4) в виде
£
= 0.
получим
(35.6)
и принимая во внимание
Эк
Эк:
Дифференцируя это соотношение по
что
Ив формулы (32.3) нйходим
- 310 -
г 1
ъ с* ’
У~ Afe? _ / J_ (ей)
Ь с* (ЯЕ? ~ с‘ ffify '
Подстановка этих значений в предыдущее соотношение дает
Согласно верхней формуле (31.3)
ж=- ^да/= =±н.
Поэтому
По формуле (31.5) Е,
так что
Применим теперь к соотношении (31.5) теорему обращения. Заменяя
V на , С - на - на £~ , - на ,
- 311 -
получим
(35.8)
Подстановка этого выражения в формулу (35.7) дает
(35.9)
что и требовалось доказать.
При доказательстве предполагалось, что скалярное произве-
дение ( Nt) не равно нулю.
Если {/Усу" с/ , то вектор С направлен параллельно
одной из диэлектрических осей кристалла ( см.§ 32, пункт 2).
Для этого случая теорема очевидна.
- 512 -
§ 36. ЛУЧЕВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ И ЛУЧЕВОЙ ЭЛЛИПСОИД.
I. Найдем лучевую скорость в кристалле по заданному направ-
лению луча. Задачу легче всего реиить с помощью теоремы обраще-
ния. Исходным является уравнение Френеля (32.5) или
Согласно^теореме обращена в нем следует заменить
V на /ц , ал на fa* • Таким путем получим
132.6).
N на J
или
(36.1)
J"' -----х0 (36.2)
4-^ ^-ai.
Это уравнение называется законом Френеля для лучевой скорос-
ти в кристалле. Оно вполне аналогично закону Френеля для нормаль-
ной скорости и может быть ксследовано теми хе способами. Но в
таком исследовании нет необходимости, если воспользоваться теоре-
мой обращения. Из нее непосредственно получаются следующие резуль-
таты.
Уравнение (36.2) является квадратным относительно иг. Для
каждого направления одо имеет два положительных веществен-
ных корня и.'г и Lt , причем
аг и. аг . (3б.з)
В каждом направлении в кристалле могут распространяться два
чинейно поляризованных луча, вообще говоря, с различными луче-
выми скоростями и' и и ", Электрические векторы Е в этих
двух лучах взаимно перпендикулярны.
2. Для наглядной геометрической интерпретации закона
Френеля (36.2) можно построив лучевую поверхность, форма кото-
рой во многор напоминает поверхность нормалей. С этой целью из
одной и той же точки проводят лучи во всевозможных направлениях
и на них откладывают значения соответствующих лучевых скоростей.
Геометрическое место концов отложенных отрезков и называется
Лучевой поверхностью. Так как каждому направлению луча соответ-
- 313 -
ствуют два значения лучевой скорости, то лучевая поверхность,
как и поверхность нормалей, является двойной поверхностью, т.е.
состоит иэ двух слоёв. Лучевая поверхность есть поверхность
четвертого порядка. Рассмотрим её сечения координатными плоскос-
тями ХУ , УИ и ZX . При реиении этой задачи можно восполь- ,
зоваться результатами § аз, переформулировав их с помоцы> теоремы
обращения. Можно воспользоваться также рисунками 58, так как
качественно сечение лучевой поверхности,координатными плоскостями
не отличаются от соответствующих сечений поверхности нормалей.
Отличия, трудно передаваемые чертежам, дучие выразить словами
или математическими формулами. При сечении поверхности нормалей
получаются круги и овалы. Сечениями лучевой поверхности будут
круги и эллипсы.
Сечение плоскостью ХУ , Луч 3“ лежит в плоскости ХУ ,
т.е. -О . Лучевая скорость может иметщ два эначения:
и. "= аг
=^~ + -^- (36.4)
и а} агх
Скорость и" не зависит от направления луча. Ей соответствует
круговое сечение лучевой поверхности (рис.58). Скорость U- ме-
няется о изменением направления луча.' Докажем, что ей соответст-
вует сечение лучевой поверхности, имеющее форму эллипса. Действи-
тельно, уравнение рассматриваемого сечения в векторной форме
имеет вид
г = и'*’,
откуда ~ ц
“ w
Подставляя эти значения в (36.4), подучаем
т.е. уравнение эллипса о полуоодми Лу и &х. • В виду
соотноиений (86.3) и'^и.и , так что круг находится целиком
внутри эллипоа, Вектор £ должен $ыть перпендикулярен к 4 .
- 314 -
Иэ соображений симметрии ясно.^что вектор Е одной волны
параллелен оси Z , а вектор £ другой волны параллелен плос-
кости ХУ . Первому направлению вектора £ соответствует круговое
второму - эллиптическое сечение лучевой поверхности.
Сечение плоскостью У£ , В этой плоскости лучевые скорости
могут иметь два значения:
и.' = ах ,
1 = (36.6)
и alz as
Скорость U-' не зависит от направления луча. Ей соответствует
круговое сечение лучевой поверхности и вектор Е , параллельный
оси X . Скорость ct" меняется о изменением направления луча.
Ей соответствует аллиптическое оечение лучевой поверхности:
и вектор Е , лежащий в плоскостиZX • Согласно (36.3) ,
так что эллипс целиком помещается внутри круга.
Сечение плоокортью . Как и в предыдущих случаях ско-
рость определяется двумя выражениями:
л. ь ls6-8)
и'1 ~ а$ ’
из которых первое не зависит от направления луча. Ему соответст-
вует круговое сечение лучевой поверхности и вектор Е , парал-
лельный оси У . Скорость U “ меняется с изменением направления
луча. Ей соответствует эллиптическое оечение лучевой поверхности:
zz х1 _ ,
£
и вектор Е , лежащий в плоскости ZX. Эллипс и круг пересекаются
- 515 -
друг с другом в четырех точках (рис.58). В соответствии с этим
в'плоскости ZX имеются два направления ft Я и ЬЪ , симметричные
относительно оси 2 , вдоль которых оба луча распространяются с
одинаковыми лучевыми скоростями. Такие направления называются
оптическими осями первого рода, лучевыми осями или бирадиалями.
3. Если в кристалле все три главных скорости • Ог
различны, то в нём существуют две и только две оптических оси
первого рода. Они лежат в плоскости ZX и симметрично расположены
относительно оси Z . Угол , образуемый одной из оптических
осей первого рода с осью Z , определяется формулой
Сравнение этой формулы с формулой (33.4) приводит к соотношению
--££/• (ж-П)
из которого следует • Такий образои, оптические оси первого
рода расположены ближе к оси Z , чем оптические оои второго рода.
Обычно и не очень сильно отличаются друг от друга. Бла-
годаря этому угол между оптическими осями первого и второго рода
обычно мал и при рассмотрении многих явлений может не приниматься
во внимание. Для слюды он составляет около 40* .
Если две иэ трех главных скоростей равны между собой, то
оптические оси второго рода сливаются в одну ось, направленную
либо параллельно оси Z (когда либо параллельно оси X
(когдайу= Ог ). В этом случае оптическая ось первого рода совпа-
дает с оптической ооью второго рода. Наконец, когда все три глав-
ные скорости равны между собой, любое направление в кристалле
обладает свойствами оптической оси.
По числу оптических осей первого рода кристаллы разделяются
на: I) двуосные; 2) одноосные и 3) оптически изотропные. Эта
классификация совпадает с классификацией § 33, основанной на
- 316 -
числе Оптических ocei^ второго рода.
- 4. Лучевая поверхность имеет простой физический смысл^ До-
пустим, что в кристаллической среде помещен точечный источник
света. Геометрическое место точек, до которых согласно законам
геометрической оптики световое возбуждение доходит от источника
в течение одной секунды, и есть лучевая поверхность. По этой
причине лучевую поверхность называют также волновой поверхностью.
Для одноосных кристаллов волновая поверхность есть поверхность
вращения вокруг оптической оси и состоит из сферы и эллипсоида
вращения, касающихся друг с другом в двух точках, в которых они
пересекаются с оптической осью. Этот результат был впервые
постулирован Гюйгенсом для истолкования двойного преломления
света в оптически одноосных кристаллах. Разумеется, Гюйгенс не
мог дать этому постулату какого-либо обоснования. Впервые пред-
положение Гюйгенса о форме волновой поверхности в оптически
одноосных кристаллах было обосновано Френелем. Оно содержалось
как частный случай в установленных им законах распространения
света в кристаллах. Правда, в трудах Френеля эти законы были толь-
ко гениальной догадкой. Строго научное обоснование теоретической
кристаллооптики отало возможным только в электромагнитной теории
света.
5. Результаты этого параграфа иожно получить с помощью пост-
роения лучевого эллипсоида. Он называется также обратным эллип-
соидом или эллипсоидоы^Френеля. Из формулы (35.8) следует, что
направлением вектора £ однозначно определяется лучевая скорость
волны. Будем проводить из одной и той же точки векторы Р во
всевозможных направлениях и на них откладывать соответствующие
значения лучевых скоростей. Геометрическое место концов отложен-
ных отрезков есть эллипсоид:
У =i <жлг>
еС* £*<*
с полуосями О-х. • Ду • . Он называется лучевым эллип-
соидом и обладает следующий свойством.
Проведем через центр лучевого эллипсоида плоскость, перпен->
дикулярную к направлению луча 3 . Она пересечет эллипсоид по
- 317 -
эллипсу. Оси этого эллипса укажут направления векторов Е двух
линейно*поляризованных лучей, которые ыогут распространяться в
направлении • Длины хе полуосей будут равны значениям соот-
ветствующих лучевых скоростей (рис.63).
- 318 -
§37. Связь поверхности нормалей о лучевой поверхность»,.
Принцип Гюйгенса для волн в кристалла».
I. Между поверхностью нормалей и лучевой поверхностью су-
ществует одно - однозначная связь, позволяющая построить одну из
таких поверхностей, если известна другая. Эта связи не специ-
фична для электромагнитных волн в кристаллах. Ояа справедлива для
любых волн, например упругих волн в анизотропных оредах или
магнито-звуковых и альфвеновых волн в плазме при наличии магнитного
поля. Требуется только, чтобы среды были однородными и не облада-
ли дисперсией. Для получения указанной связи в общем виде вычислим
групповую скорость и , не вводя никаких предположений относи-
тельно физической природы волн. Нормальная фазовая скорость волны
it в общем случае является функцией волнового вектора
Дифференцируя соотнокение
(V ~ ки- (к )
ПО к i } подучили
или в векторной форме
a'^=tr(K)N +к-^ (37-1)
В общем случае благодаря наличию слагаемого к скорости
и ir отличаются не только по величине, ио и по направле-
и
нию. Допустим теперь, что нет дисперсии. В недиопергируощих
средах функции (к) зависит только от направления, но не от
длины волнового вектора к :
, *
в одно и то же
Если измени» компоненты
чиоло раз, то отиоиении Л А .ас ними и
' ' к ’ к
значение оамой функции 1г останутся неизменными. Это означает,
что скорооть v является однородной функцией аргументов
нулевой степей. Ир известной теореме Эйлера оо однородных
функциях
- 319 -
L dir . /. да ,l да = 7* да =n (37,2)
dkx +dk^ К'Ж °'
Соотношение (37.2) означает, что в отсутствие дисперсии
вектор перпендикулярен к , а следовательно, и к
волновой нормали N Как показывает формула (37.1) волновой
п« :ет в этом случае распространяется вдоль нормали к волновому
фронту со скоростью V и испытывает боковое смещение в перпен-
дикулярном направлении со скоростью к . Таким образом,
составляющая лучевой скорости и вдодь врлновой нормали
равна нормальной фазовой скорости волны /V :
(37.3)
в кристаллооптике это соотноиение совпадает с (35.1).
Отсутствие дисперсии не только достаточно, но и необходимо
для справедливости соотношения^37.3). Действительно, окалерным
умножением формул! (з7Л) на /V убеждаемся, что (37.3) может
выполняться тогда и только тогда, когда соблюдается условие
(37.2). Но №> матенахил» известно, что из условия (37.2) следует,
что 1Г (кх , к у. к?) есть однородная функция нулевой
степени. А это эквивалентно утверждению, что а зависит только
от направления, но не от длины волнового вектора к •
2. Умножением на к придадим формуле (37.3) вид
(аК) = . (37.4)
Отсюда следует, что бесконечно малые изменения величин и, к со
связаны соотношением (и.сГ-f- j ~dio По
определению групповой скорост дсо . Следовательно,
(кд^-о .или >
(/\/(Ги)=7. ' (37.5)
Вектор ди лежи в касательной плоскости к лучевой поверх-
ности. Поэтому из формул (87.5) и (37.3) следует, что касательная
- 320 -
плоскость к лучевом поверхности перпендикулярна к соответствую-
щей волновой нормали и отсекает на ней отрезок, равный нормаль-
ной скорости волны. Отсюда в свою очередь следует, что лучевая
поверхность является огибающей плоских волн, распространившихся
из ее центра за единицу времени в различных направлениях. Этими
теоремами и устанавливается искомая геометрическая связь между
лучевой поверхностью и поверхностью нормалей.
3. Можно также сказать, что касательная плоскость к лучевой
поверхности есть фронт волны, соответствующий лучу, проведенному
в точку касания. В таком виде теорема допускает простую интерп-
ретедию. Согласно пункту 4 § 36 лучевая поверхность есть поверх-
ность равных фаз, до которой световое возмущение от точечного
источника доходит в течение одной секунды. Малый участок такой
поверхности может рассматриваться как плоский. Если размеры участ-
ка очень велики по сравнению с длиной волны, то его распростране-
ние в течение ближайшего времени будет с достаточной точностью
подчиняться законам геометрической оптики. Согласно зтим законам
участок должен распространяться как безграничная плоская волна
в направлении луча, причем лучевая и нормальная скорости будут
связаны соотношением (35.1). Отсюда непосредственно следует, что
волновой фронт есть касательная плоскость к лучевой поверхности.
Зта простая интерпретация не может, однако, заменить стро- -
гое доказательство. При установлении геометрического смысла луче-
вой поверхности в § 36 предполагалось, что расходящийся пучок,
исходящий из точечного источника, ведет себя совершенно так же,
как система не зависящих друг от друга плоских волн, распростра-
нение которых чисто геометричеоки представляется с помощью лучевой
поверхности. Впервые Лама указал (1852), что здесь необходимо
решить сложную математическую задачу: точно представить волновой
комплекс, исходящий в анизотропной среде из одного*точечного
центра (аналог паровой волны в изтропной среде). Лама решил эту
задачу для упругой анизотропоной среды. При этом он действительно
(при исключении продольных волн) пришел к форме лучевой поверх-
ности. В электромагнитной теории аналогичный вопрос сводится к
решению задачи о поле точечного диполя Герца, помещенного в
однородную анизотропную среду.
- 521
4. Пользуясь доказанными теоремами, можно построить поверх-
ность нормалей, если известна лучевая поверхность и наоборот.
Пусть ЛВС - участок лучевой поверхности с центром О
(рис.64)
Рис. 64-.
В каждой точке лучевой поверхности проведем касательную плос-
кость и опустим на нее перпендикуляр из центра 0. Геометричес-
кое место оснований таких перпендикуляров и будет поверхностью
Нормалей.
Наоборотн чтобы ио заданной поверхности нормалей построить
лучевую поверхность, надо из центра 0 провеоти во всевозможных
направлениях радиусы-векторы и в точках пересечения их с поверх-
ность» нормалей построить плоскости, перпендикулярные к ним.
Огибаниям таких плоскостей и будет лучевой' поверхностью.
5. Допустим* что в некоторый-момент времени t в кристалле
известно положение плоского волнового фронта. Для того чтобы
построить волновой фронт в более поздний момент времени ,
- 322 -
можно на основании доказанной теоремы поступить следующим обра-
зом. Из каждой точки исходного волнового фронта опишем элементар-
ную волну радиусы-векторы которой подучаются умножением на^—
( ) соответствующих радиусов-векторов лучевой поверхноотш.
Плоскооть, касательная ко всем элементарным волнам и даст поло-
жение волнового фронта в момент времени . Иэ двух возмож-
ных касательных плоскостей следует выбрать ту, которой соответ-
ствует волна требуемой поляризации. Направление луча найдется
соединением центра элементарной волны о соответствующей точкой
касания. Это поотроение является обобщением построения Гюйгенса
длн изотропных оред. Оно было впервые введено Гюйгенсом для
одноосных кристаллов. В отличие от изотропных сред в анизотропных
средах построение Гюйгенса годится только для однородных крис-
таллов и притом, вообще говоря, только для плоских волн.
- 323 -
§ 38. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРАВЛЕНИЯ ЛУЧА ПО НАПРАВЛЕНИЮ
ВОЛНОВО' НОРМАЛИ И ОБРАТНО.
I. Как было показано в § § 32 и 34 заданием направления
волновой нормали определяются вообще говоря, два направления век-
тора . Исключение составляет случай, когда волновая нор -
маль параллельна одной из оптических осей второго рода. В этом
случае вдоль оптической оси второго рода мохет распространяться
поперечная ( относительно векторов 9 и $ ) плоская вол-
на произвольной поляризации. Направлением вектора , вообще
говоря, определяется и направление светового луча ( см.§ 31,
пункт 3). Таким образом, каждому направлению волновой нормали
соответствуют, вообще говоря, два направления луча - два, а не
четыре, так как угол между № и б всегда острый.
Обратно, каждому направлению луча соответствуют, вообще говоря,
два направления волновой нормали. Выведем формулы, с помощью ко-
торых можно по заданному вектору tT найти вектор и об-
ратно.
Умножая скалярно уравнение (31.4) на У и принимая во
внимание, что = 0 , получим
($*) - №)(/&)--£ №). (и-1>
Преобразуем (32.1) с помощью теоремы обращения:
л на основании (38.1)
Умножим и разделим левую часть второ соотноиения на и учтем,
««^ = <s£ . а^£.=Сг .Тогда
- 324 -
(38.2)
Сравнение этого соотношения с (32.1) дает
(38.3)
откуда _£4<_ _ гг/\4
а-^-и2 a*-if
Умножим соотношение (38.4) на и просуммируем по
Тогда, приняв во внимание закон Френеля (32.4) .получим
(38.4)
а .
(38.5)
или
4 (а2 ~и2)(а2(а2-u2)(ax-uj +
+ ^г (а2х -<S)(a2-u)=O.
- соотношение, более общее, чем (38.5), так как справедливость
его, как легко показать, не связана с предположением, что ’
а‘-и^о .
Из (38.3) следует
или
Возведем это соотношение в квадрат и просуммируем по <Х
- 325 -
Учтя соотношение (35.1), получим
и2 -iS - и ‘(и1
Введем обозначение £г = ~U*) . Тогда
Я У ( \г
и формулы (38.6) примут вид
(38.7)
(38.8)
Если задано направление волновой нормали /V , то ив за-
кона Френеля (32.4) можно найти, вообще говоря, два значения V ,
а по формуле (38.8) - два значения . Тогда по формулам
(38.9) найдутся два вектора U-3 , определяющих направления
лучей и значения лучевых скоростей. '
Для решения обратной задачи легче всего воспользоваться тео-
ремой обращения. Согласно последней, из (38.9) ш (38.8) получаем
<58'10)
' и1 а* / ’
Если задано направление луча 4 , то шз закона Френеля
(36.1) можно найти, вообще говоря, два значения и , а по фор-
муле (38.11) - два значения - . Тогда по формулам (38.10)
найдутся два вектора N / V , Определяющие направления волно-
вых нормалей и значения нормальных скоростей.
- 326 -
2. Каждому направлению волновой нормали соответствуют,
'вообще говоря, два направления светового луча. Исключение возмож-
но гтолько в том случае, когда в (38.9) один из знаменателей
V2 —С& обращается в нуль. Ввиду закона Френеля (32.4), зто
возможно тогга, когда обращается в нуль один из компонентов »
т.е. когда "С-.новая норналь N лежит в одной из координатных
плоскостей ХУ , У2 , ZX . Однако, если координатная
плоскость не содержит оптической оси, то никакой неопределеннос-
ти не будет. Рассмотрим, например, случай, когда волновая нор -
маль лежит в плоскости У2 , т.е. /\4=0 . Согласно закону
Френеля
остается конеч -
/V,1<
и2-с& и1-a* ir2-а*
Отсюда видно, что при V-» (Хл величина - г —г
ной, так как ,Ctg=Ctx . Далее^ ~а*
т.е. величина такж_ конечна. Поэтому на основании
(38.9) заключаен, что = O . Аналогично, легко показать,что
иг-а* кг -а2
Используя эти соотношения, из формулы (38.9) получаем
Совершенно так же докажем, что не получится никакой неоп-
ределенности и в том 'случае, когда волновая нормаль лежит в '
плоскости ХУ .
- 527 -
Рассмотрим теперь случай, когда волновая нормаль лежит в
плоскости 2Х , т.е. в координатной плоскости, содержащей оп-
тические оси кристалла ( § 33). В этом случае при V Оу вели-
чина
Му _ _ Мх________________(ЫЛ2.)
ггг-а^ иг-а* >гг-агг
вообще говоря, остается конечной, а потому сохраняют силу все
рассуждения, которые были проведены применительно к плоскости
У2 . иднако, когда Л4 и удовлетворяют условию
(38.13)
оптичес-
стремит-
т е. когда волновая нормаль направлена вдоль одной иэ
ких осей второго рода, то величина (Зь.12) при 1Г-~ а?
ся к нулю. В этом случае
_______________________________________
иг - a* + J£_+ML__
у и*-агх Уг~агх иг-а’ иг-а} иг-а!
Когда V Cty , числитель и знаменатель выражения справа стре-
мятся к нулю, и "Sy принимает неопределенный вид % . Неопре-
деленные выражения получаются и для и . Например, что -
бы вычислить d* , надо наити значенме дроби
ХМ____________________Л4_____________________________,
e’-ai ~ < u‘-ais ?-а’.
и*-а* if2- и*-агг 1гг-а*
в которой второй-член в знаменателе при 4Г-* Cty , согласно
(38.12) и (38.13), принимает неопределенный вид О!оо .
Таким образом, если волновая нормаль направлена вдоль одной
из оптических осей второго рода, то направление луча становится
неопределенным. Как будет показано в § 39 в этом случае волновой
нормали соответствует бесконечное множество лучей. С такой осо-
бенностью связано явление внутренней конической рефракцией (см.
§ ЗУ).
3. Ьвиду теоремы обращения совершенно аналогичное положение
имеет место и в том случае, когда по направлению луча ищетс^ нап-
равление волновой нормали. Каждому направлению луча соответству-
ют,^ вообще говоря, два направления нормалей. Исключение составля-
ет случай, когда луч направлен вдоль одной из оптических осей
первого рода двуосного кристалла. Тогда формулы (38.10) привадят
к неопределенным выражениям для . Физически зто означает,
что лучу, направленНЪму вдоль оптической оси первого рода двуос-
ного кристалла, соответствует бесконечное множество волновых
нормалей. С такой особенностью связано явление, внешней коничес-
кой рефракции ( см. § 39).
- 329
§ 39. КОНИЧЕСКАЯ РЕФРАКЦИЯ.
1. Когда волновая нормаль N параллельна одной из опти-
ческих осей второго рода, скорости обеих волн V' и V" совпа -
даюу между сооой, а .направления векторов этих волн становят-
ся неопределенными. Значит, в направлении оптической оси второго
рода может распространяться плоская волна любой поляризации, ц
скорость распространения не зависит от характера поляризации. В
этом отношении рассматриваемый случай' аналогичен случаи распрост-
ранения волны в изотропной среде. °днако, если кристалл двуосный,
между ними имеется существенное различие, .
Если среда изотропна, то направления векторов $ ^и Е
всегда совпадают; совпадают также направления N и 5
Дл" плоской волны, распространяющейся вдоль оптической беи двуос-
ного кристалла, положение меняется. В этом случае вектор мо-
жет принимать любое направление, перпендикулярное к Д/ . Так
как /\J~ лежит в плоскости. ZX , то одним из возможных нап -
равлений вектора 2) является ось У . В этом и только в этом
случае вектор S) будет совпадать по направлению с вектором £**,
а нормаль N с лучом 3” . Во всех остальных случаях направ-
'ления луча и волновой нормали отличаются друг от друга. Придавая
5Э всевозможные направления, перпендикулярные к оптической
оси, получим бесчисленное множество направлений луча 3
Вот почему направление вектора становится неопределенным,
когда волновая нормаль N направлена вдоль одной из оптических
осей второго рода двуосного кристалла ( см.§ 38). Докажем, что
в этом случае все лучи лежат на поверхности конуса.
Для доказательства воспользуемся соотношение,» (38.5), кото-
рое справедливо при любом направлении вогновой нормали /V .
Так как волновая нормаль направлена вдоль оптической оси,
то Ау • и соотношение (38.5) принимает вид
'*/ =q
al-и1 а*-и* ,
- 330 -
Отсюда
CZ* ^х *х + = 4/2 ) •
Ввиду соотношения (35.1) . Следова-
тельно,
(a^*, + ajNl3I)(M^+N,^~a,,l
Рассмотрим произвольную точку на луче 3* с радиусом-век-
тором 2* (х. у, z) . Тогда = 2 , и предыдущее
соотношение переходит в
(a}Nzx i- a^z)(/Vxjc (».d
Это однородное уравнение второго порядка представляет конус.
Образующими конуса являются лучи, соответствующие волновой норма-
ли /у , параллельной одной из двух оптических осей второго
рода. Конус (39.1) называется конусом внутренней конической реф-
ракции. Волновая нормаль явлнется одной из образующих конуса
(39.1). Это следует из того, что направлении ? и N совпадают,
когда вектор S) параллелен диэлектрической оси У .
2. Конус внутренней конической рефракции пересекается фрон-
том волны
N? =NZX +N£Z = (39.2)
по кругу. В самом деле, линия пересечения определяется системой
уравнений (39.1) и (39.2), равносильной системе
alz.Hxx + = а^х1tyz+z^ t
- 331 -
Первое уравнение (39.3) есть уравнение сферы, второе - уравне-
ние плоскости. Их пересечение есть круг, и наше утверждение
доказано.
Определим угол раствора конуса внутренней конической реф-
ракции., точнее, угол % , получающийся от пересечения этого
конуса плоскостью , проходящей^через оптическую ось
кристалла ( рис.65). Когда вектор ^направлен вдоль диэ-
лектрической оси У , векторы 7 и , а также оптическая
ось второго рода совпадают по направлению. Если хе вектор
Рис.65.
лежит в плоскости , то в той же^плоскости будет лежать
и луч Т , так как четыре вектора Е , 5Э , Т , Л7'
всегда должны лежать в одной плоскости ( см» § 31, пункт 2)_^
Искомый угол % будет равен углу между векторами й “ f ,
поскольку стороны этих углов взаимно перпендикулярны. Его лег-
ко определить из формулы (31.5), так как в рассматриваемом слу-
чае нормальная скорость V равна . Формула (31.5)
Из рис.65 получаем
, получим
Подставляя эти значения в выражение для cos Л
Использовав формулу (33.4), после несложных преобразований
найдем
(39.4)
Конус внутренней конической рефракции пересекает лучевую,
поверхность по кругу, вдоль которого ее касается фронт волны.
Это непосредственно следует из теоремы, доказанной в § 37.
3. Теорема обращения распространяет полученные результаты
на лучи. Если луч в двуосном кристалле направлен вдоль одной
_ ччч -
иг оптических осей первого рода, то ему соответствует бесконеч-
ное множество волновых нормалей, образующих конус. Этот конус
называется конусом внешней конической рефракции. Луч является
одной из образующих этого конуса. Сечение конуса внешней кониче-
ской рефракции плоскостью, перпендикулярной лучу, есть круг.
Угол раствора конуса определяется уравнением
Проведем касательную плоскость к лучевой ‘поверхности в точ-
ке пересечения ее с лучевой осью. Такая плоскость будет
перпендикулярна к волновой нормали. А так как волновых нормалей,
соответствующих лучу, направленному вдоль лучевой оси, бесконеч-
но много, то в точке «S' можно провести бесконечное множество
касательных плоскостей к лучевой поверхности. Это означает, что
в окрестности такой точки лучевая поверхность имеет воронкообраз-
ную фориу.
На рис.66 представлено сечение поверхности нормалей и луче-
вой поверхности плоскостью ZX . Точка N есть двойная
точка поверхности нормалей , ON - оптическая ось второго ро-
да. Перпендикуляр NA к этой оси дает сечение фронта волны
плоскостью чертежа. Прямая NA- касается лучевой поверхности в
точке Л , угол X = LNOA есть угол раствора конуса
внутренней конической рефракции, £ - двойная точка лучевой
поверхности, OS - лучевая ось. Касательная к лучевой по -
верхности в точке £ пересекает поверхность нормалей в точке
Ъ ; прямая ОЬ будет одной из волновых нормалей, принад-
лежащих лучу OS . Сам луч OS является нормалью плоской
волны, которая касается кругового сечения лучевой поверхности
и = 4, в точке «S' . Угол ^=£ S03 есть угол раст-
вора конуса внешней конической рефракции.
Каждому лучу, принадлежащему конусу внутренней конической
рефракции, например, лучу ОА ( рис.66), соответствует
- 334 -
z
РИС.66.
вполне определенная линейная поляризация. В самом деле, в нап-
равлении 01 могут распространяться два луча, электрические
векторы которых взаимно перпендикулярны. Однако только один из
них соответствует волне,, распространяющейся вдоль волновой нор-
мали ON . Другому дучу соответствует лучевая скорость ОН ,
и следовательно, иное направление волновой нормали. Аналогично,
каждой волновой нормали, принаддекацей конусу внеиней коничеокой
рефракции, также соответствует вполне определенная линейная
поляризация. ,
4'. Волновой фронт AN ( рас.66), распространяющийся в
ианравленнн оптической оси второго рода ON , как было пока-
зано, касается лучевой поверхности нс кругу, вдоль которого
- 335 -
эта поверхность пересекается конусом внутренней конической реф-
ракции. Такой волновой фронтне может пересекать лучевую поверх-.
.Hoctfb. В самом деле, пересечем лучевую поверхность плоскостью
JNO , проходящей через оптическую ось ON (рис .67).
Рис .67.
В сечении получится кривая
СВА. Если бы фронт/Л'пересе-
кал лучевую поверхность, то
ввиду конечности лучевой ско-
рости на кривой СВА нашлись
бы такие точки В, С,, что про-
екции радиусов-векторов ОВ,
ОС на направление ОМ были бы
минимальны или максимальны.
Если плоскость J.M0 прово-
дить во всевозможных направ-
лениях, проходящих через
оптическую осьON , то
точки В, С, опйут замкнутые
кривые. На зтих кривых в
свою очередь найдутся точки,
проекции радиусов-векторов
которых на направление би-
нормали ON будут максимальны
или минимальны. Пуоть В -
одна из таких точек (рис.67).
Тогда касательная плоскость 25/7 к лучевой поверхности в
точке В будет параллельна волновому фронту УЛ/ ,т.е.
перпендикулярна к бинормали fiV . Значит, плоскость BN' са-
ма является волновым фронтом, распространяющимся в направлении
бинормали ON . Таким образом, если бы волновой фронт NA
мог пересекать лучевую поверхность, то вдоль бинормали могли бы
распространяться две волны с различными нормальными скоростями
U-ON и it'-ON , что противоречит определению бинорма-
ли. Поскольку волновой фронт касается лучевой поверхности по
кругу ( в точках А ), из’доказанного следует, что лучевая по -
верхность целиком лежит с той стороны волнового фронта AN ,
с которой находится ее центр 0 . (рмс.66). Значит, в точке
д лучевая поверхность имеет не просто воронкообразную
форму, как было отмечено выие, но воронкообразное углубление.
- 336 -
5. После выяснения этих геометрических соотношений можно
обратиться к рассмотрению физического явления - внутренней кони-
ческой рефракции, явление было теоретически предсказано Гамиль-
тоном в 1832 году. Примерный ход рассуждений Гамильтона был сле-
дующий. Пусть плоскопараллельная пластинка иэ двуесного кристал-
ла прикрыта с одной стороны непрозрачным экраном с малым отверс-
тием О ( рис.68).
Осветим пластинку параллельный пучком деполяризованных лучей
таким образом, чтоби после преломления на передней поверхности
плаотинки волновая нормаль оказалась направленной вдоль одной из
оптических осей второго рода ОА . Волновой нормали ОЛ со-
ответствует конус лучей. Энергия распространяется вдоль лучей,
позтоиу при достаточно малых размерах отверстия О световой
пучок внутри плаотинки развернется в конус ОА& . После пре-
лоиления на задней поверхности пластинки волновая нормаль при -
'мет свое исходное направление. А так как в изотропных средах
направления лучей и волновых нормалей совпадают, то все лучи
выйдут из пластинки параллельным пучком и расположатся но по -
верхности I ’ а. Если нА их пути поместить экран, то иа ней
।
- 33? -
должно получиться светлое кольцо. По предложению Гамильтона отыс-
канием этого явления занялся Ллойд, который и обнаружил его в
1833 году на кристалле арагонита: на экране наблюдалось светлое
эллиптическое кольцо. (Угол % для арагонита равен 1°52* ).
Хотя Гамильтон и предсказал коническую рефракцию,его объяс-
нение является неправильным.
При более детальной изучении оказалось, что явление выгля -
дит иначе, чем предсказывал Гамильтон. Применяя более узкие от-
верстия в экране, Поггендорф нашел, что кольцо в действительнос-
ти двойное. Объяснение было дано Фохтом. Гамильтон рассматривал
строго плоскую волну, распространяющуюся в кристалле точно в на-
правлении оптической оси. Физически зто реализовать невозможно.
Если бы даже можно было осветить отверстие О строго плоской
волной, то после прохождения через него волна перестала бы быть
плоской из-за дифракции. Такая волна распадется на бесконечное
множество плоских волн, направления распространения которых близ-
ки к направлению оптической оси. Нельзя ограничиться расе <отре- -
нием поведения только одной волны, распространяющейся строго в
направлении оптической оси. Это ясно уже из того, что на ее долю
приходится исчезающе малая энергия, и физически ничего не изме -
нится, если эту волну даже совсем удалить из волнового комплекса.
Необходимо рассмотреть бесконечное множество плоских волн, волно-
вые нормали которых группируются вблизи оптической оси. Это и
было сделано Фохтом.
Если строго плоская волна распространяется в направлении
оптической оси второго рода, то, как было показано, волновой
фронт касается лучевой поверхности по кругу. Примем плоскость та-
кого круга за плоскость рисунка. На рис.69 N есть точка пе-
ресечения плоскости рисунка с оптической осью. Допустим теперь ,
что имеется бесконечная совокупность плоских волн, волновые нор-
мали которых лежат в преде.лах небольиого конуса, ось которого
совпадает с оптической осью. Сечение этого конуса плоскостью ри-
сунка пусть будет круг к • Каждой волновой нормали соответ-
ствует точка внутри или на границе круга к . Найдеи где рас-
положатся соответствующие ей лучи. Волновой нормали N соответ-
ствует конус лучей, пересекающих плоскость рисунка по окружности
St
- 338 -
Рис .69.
Лучевая поверхность касается плоскости рисунка вдоль этой окруж-
ности, а поэтоиу кривизна лучевой поверхности в направлении ок-
ружности (С равна нулю. Кроне того, лучевая поверхность должна
лежать по одну сторону от плоскости рисунка. Ради определенности
прииен, что все волны распространяются к читателю. Тогда лучевая
поверхность будет лежать за плоскостью рисунка, и следовательно,
ее окрестность вблизи окружности будет обращена к читателю
своей выпуклостью. В такой окрестности лучевая поверхность*ииеет
баранкообразную форму. Пересечен лучевую поверхность двуия парал-
лельными плоскостяии и ЛВ , перпендикулярными к плос-
кости рисунка и проходящими через центры окружностей ОТ и к .
Бесконечно малые отрезки 3%% и && перпендикулярны к ок -
ружности ЯК , поэтому в направлениях этих отрезков кривизна
лучевой поверхности будет максимальна, а в перпендикулярных нап-
равлениях равна нулю. Следовательно, перпендикуляры'к этим бес-
конечно малым отрезкам должны лежать в плоскости , т.е.
они будут параллельны волновым нормалям, лежащим в плоскости /В .
Значит»касательная плоскость к лучевой,поверхности в какой-либо
точке отрезка или отрезка будет перпендикулярна к
соответствующей волновой нормали, проходящей через отрезок AN
- 339 -
Касательная же плоскость к лучевой поверхности г какой-либо точ-
ке отрезков будет перпендикулярна к волновой
нормали, проходящей через отрезок /VCB . Это овначает, что
каждой волновой нормали, проходящей через отрезок , соот-
ветствуют два луча, иэ которых один проходит через отрезок
а другой - через отрезок . Каждой же волновой нормали,
проходящей через отрезок , соответствуют два луча, проходя-
щие через отрезки^ и • Таким образом, каждой вол -
новой нормали, наклоненной под малым углом к оптической оси вто-
рого рода, соответствуют два луча, один из которых проходит внут-
ри конуса внутренней конической рефракции, а другой вне этого
конуса.
Теперь ясно происхождение двойного светлого Кольца Погген-
дорфа. Волновым нормалям, пересекающим плоскость рисунка внутри
малого круга радиуса ctz с центром в N , соответствует
малая доля анергии, которая должна распределиться по сравнитель-
но большой площади с£& кольца по обе стороны от окружности .
Если же взять волновые нормали, пересекающие плоскость рисунка
внутри кольца со средним радиусом 2 и той же толщиной аг ,
то таким волновым нормалям будет соответствовать значительно
большая энергия, поскольку она пропорциональна площади кольца
23"гс/г • Эта анергия должна распределиться по площади двух
колец, одно иэ которых лежит внутри, а другое вне окружности ОС .
Площади обоих колец с точностью до бесконечно малых высшего по -
рядка по-прежнему равны с(.3 . Поэтому освещенность обоих колец
будет много больше освещенности центрального кольца в окрестнос-
ти окружности . Освещенность должна равняться нулю вдоль
окружности iJC и непрерывно возрастать по мере удаления от
этой окружности как в наружную, так и во внутреннюю стороны.
Таким образом, там, где по-Гамильтону должна была бы получаться
максимальная освещенность, в действительности наблюдается темно-
та.
То же самое можно облечь в математическую форму. Каждой ок-
ружности радиуса Z « через которую проходят волновые норма-
ли, соответствуют две окружности, через которые проходят лучи:
одна внутри , другая вне круга . Радиус R. каждой из
- 340 -
таких окружностей есть функция радиуса 2 . Если эти функции
разложить в ряд ло степеням 2 и ограничиться первыми степенями,
то получится
2 = C(R.~RO) при
2 = C(Re-jQ при ,
где Д» - радиус центральной окружности , а С, - посто-
янная. Энергия падающей волны может быть представлена в двух
формах: в форме распределения по направлениям волновых нормалей:
г
и в форма распределения по направлениям световых лучей:
&= [iLliM ,
j !
где и н U - соответствующие плотности распределения. Так как
радиус 2 в окрестности окружности меняется мало, то, не .
делая существенной ошибки, можно положить 2 К 2 = 2хХо м в
соответствии с этим написать
Аплж
Й = J им.
Приравнивая оба выражения, находим
ги U
и=_с!1™±и.
2 R.
Если плотность и считать постоянной, то освещенность в окрест-
ности окружнооти Х7Г возрастает линейно с увеличением 12- .
6. Помимо внутракней конической рефракции, Гамильтоном бы-
ла предсказана внеивяя коническая рефракция, экспериментально
- 341 -
обнаруженная также Ллойдом в 1933 году. Она свяаана с тем, что
световому лучу, идущему "вдоль-лучевой оси двуосиого кристалла,
соответствует бесконечная совокупность волновых нориалей, лежащих
на конической поверхности. Нет необходимости входить в теорию
этого явления. Она непосредственно следует иэ теоремы обращения.
Достаточно описать явление, как оно наблюдалось в установке Ллой-
да. Обе поверхности плоскопараллельной арагонитовой пластинки
были покрыты экранами с малыми отверстиями О я О' (рис.70),
цеитры которых лежали на оптической оси первого рода. Линза ЗС
концентрировала на О сходящийся пучок лучей. Диафрагмы О
я & ' выделяли только те лучи, которые шли вдоль оптической оси
ООf .По выходе из пластинки лучи развертывались в конус,
и на экране наблюдалось светлое кольцо. Газумеется, при
достаточно малых размерах отверстий- О я О' кольцо будет
двойное.
- 342 -
7. Явление конической рефракции не есть специфическое свой-
ство световых волн в оптически двуосных кристаллах. Оно может
ииеть место и для других волн. Даже не обязательно, чтобы среда
обладала двумя "оптическими" осями. Так, из теории следует, что
внутренняя коническая рефракция должна существовать в магнитной
гидродинамике для так называемых магнитозвуковых волн. Условием
ее возникновения является совпадение скорости альфвеновых волн
со скоростью звука в рассматриваемой среде. В этом случае среда
(плазма или идеально проводящая жидкость) ииеет всего одну, вы-
деленную ось, параллельную магнитному полю, т.е. обладает сим-
метрией оптически одноосного кристалла. Коническая рефракция в
магнитной гидродинамике экспериментально не исследовалась.
343 -
. § 4Й. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА
НА ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА КРИСТАЛЛОВ
I. Как и в оптике изотропных сред, задача об отражении и
преломлении в кристаллооптике может быть полностью решена на
основе граничных условий, которым должны удовлетворять векторы
электромагнитного поля: по обе стороны границы раздела должны
быть равны тангенциальные компоненты векторов,^ и# (см.§12),
Задача распадается на две чарти: геометрическую, в которой оп-
ределяются направления распространения, поляризация и скорости
отраженных и преломленных волн, а в случае их неоднородности
также и затухание волн в пространстве^ и физическую, в которой
определяются амплитуды"волн (вообще говоря, комплексные). Оста-
новимся сначала на геометрической стороне вопроса.
Пусть яа плоскую границу раздела^падает плоская монохрома-
тическая волна о волновым вектором к, • В случае изотропных
сред получается только одна отраженная и только одна преломлен-
ная волны. Для анизотропных сред, это вообще говоря, не так.
Однако, каково бы ни было число отраженных и преломленных волн,
из линейности и однородности граничных условий непосредственно
следует, что тангенциальные компоненты волновых векторов падаю-
щей, отраженных и преломленных волн должны быть одинаковы
(см. §13), Следовательно, нормали падающей, отраженных и прелом-
ленных волн, а такжа нормаль к границе раздела все лежат в од-
ной плоскости. Кроме того преломление волновых нормалей подчи-
няется закону преломления Снеллиу^а: отношение еинусе угла паде-
нии к синусу угла преломления равно отношению соответствующих
нормальных скоростей волн. Практически от этого закона мало поль-
зы. Его недостаточно для нахождения направления волновой нормали
преломленной волны, тек кек нормальней скорость преломленной
волны не известна. Она зависит от-направления падающей волны и
сама Подлежит определению. Проще всего ато можно сделать графи-
ческим Методом.
2. Рассмотрим одну иэ преломленных волн. Пусть к означает
ее волновой вектор. Ввидуграничных условий тангенциальную сос-
тавляющую этого вектора к^ можно считать известной: / .
- 344 -
Она лежит в плоскости падения. Остается найти нормальную состав-
ляющую к„ • Прежде всего, она должна быть направлена вниз - в
сторону второй среды так как преломленная волна должна ухо-
дить от границы раздела. Для решения задачи можно применить сле-
дующее геометрической построение. Будем проводить из точки О
(рис.71) во вторую среду прямые по всевозможным направлениям и
?ис.71.
на них откладыватьцулины волнового вектора к • Поскол«.лу на-
правления к иN совпадают, а каждому направлению соот-
ветствуют два значения нормальной скорости, можно сказать так-
же, что каждому направлению нормали f/ соответствуют два значе-
ния волнового числа к . Поэтому в результате построения полу-
чится сложная поверхность, состоящая из двух сдоев. Будем назы-
вать ее поверхностью волновых векторов.*' Она просто связана с
мт---------------------- — ' с
’'Если вместо величины к-? откладывать величину , т.е.
показатель преломления п , то получится Поверхность, подоб-
ная поверхности волновых векторов. В кристаллооптике ее назы-
вают индикатрисой или поверхностью показателей преломления.
Радиуо-вектор этой поверхности дает значение показателя пре-
ломления для плоской волны, нормаль которой совпадает по на-
правлению с этим радиусом-вектором.
- 345 -
поверхностью нормалей. Поскольку Л » поверхность волновых
векторов по отношению к поверхности нормалей является обратной:
длины ее радиусов-векторов обратно пропорциональны длинам парал-
лельных им радиусов-векторов поверхности нормалей. Пересечем
поверхность волновых векторов плоскостью падения - в сеченим по-
лучатся две кривые (фиг.71). Отложим от точки^вдоль границы раз-
дела тангенциальную составляющую = J<(t волнового вектора к
и из конца этой составляющей восстановим перпендикуляр к грани-
це раздела. Он пересечет указанные две кривые, вообще говоря, в
двух точках Л и В . Соединив эти точки с точкой 0 , мы полу-
чим два вектора ОА и Ot> , каждый из которых может быть вол-
новым вектором преломленной волны.
3. Указанным геометрическим построением находятся не толь-
ко направления, но и нормальные скорости преломленных^волн, а
также их поляризация. Направлением волновой нормали /V и вели-
чиной нормальной скорости V по формуле (38.9) однозначно оп-
ределяется вектор <-lT , т.е. направление луча и значение луче-
- вой скорости. Исключение составляет только случай, когда направ-
ления ОЯ и GB совладеют между собой и с оптической осью вто-
рого рода. Но как выяснено в предыдущем параграфе, этот особый
случай можно не рассматривать, так как строго плоская волна, в
которой луч и волновая нормаль отождествляются с метематической
прямой линией, является математической абстракцией и никогда не
реализуется в действительности. Можно продолжить прямые ОЛ и
ОВ и отложить на них отрезки с длинами, равными соответствую-
щим нормальным скоростям. Такие отрезки будут радиусами - векто-
рами поверхности нормалей. Они перпендикулярны к фронту волны,
а сам фронт волны касается лучевой поверхности в точке пересече-
ния ее с лучом. В общем случае направления лучей и волновых нор-
малей не совпадают. В оптически двуосных кристаллах оба луча,
как правило, выходят из плоскости падения.
Таким образом, волна, вступающая в кристаллическую среду,
расщепляется на две волны, идущие в разных исправлениях. Каждой
из этих волн соответствуют вполне определенные направления век-
торов N и з" , а потому и вполне определенная линейная поля-
ризация, так как векторы и 5* определяют плоскость, к кото-
/
- 346 -
рой перпендикулярен магнитный вектор Ъ . Тем семым дано полное
объяснение явления двойного лучепреломления. Если волна падает
не кристалл из изотропной среды, то она мелет быть поляризоване
как угодно. В кристелл она всупит в виде двух линейно поляри-
зованных волн. Если хе первея среда также кристаллическая, то в
направлении , могут распространяться две волны с различными
поляризациями и с различными нормальными скоростями. Их нздо
рассматривать как независимые волны. Каждая из них в кристалле
расщепится на.две линейно поляризованные волны. Во второй среде
получится всего четыре волны.
4. Может случиться, что длина вектора ки окажется больше
длины одного или обрих отрезков ОС и OD, отсекаемых на оош
X поверхностью волновых векторов. Тогда построение, выполнен-
ное на рис.71, станек невозможным. Возникнет либо одна прелом-
ленная волна, либо нщ одной. Одна из волн или обе волны испыты-
вают полное отражением
5. Таким же способом может быть решен вопрос о направле-
нии и поляризации отраженного света. Надо только построить по-
верхность волновых векторов не во второй, а в первой среде. Ес-
ли первая среда изотропна, то поверхность волновых векторов бу-
дет сферой. Возникнет только одна отраженная волна, причем угол
падения будет равен углу отражения. Если же первая среда ани-
зотропна, то при отражении волна расщепится на две линейно поля-
ризованные волны, идущие в разных направлениях.
6. Рассмотрим частный случай, когда оптически одноосный
кристелл граничит с .«готропной средой. В этом случае поверхность
волновых векторов расщепляется на две поверхности. Одна из них,
соответствующая обыкновенной волне, будет сферой. Другая, соот-
ветствующая необыкновенной волне, как легко видеть, будет эллип-
соидом вращения, ось которого параллельве оптической оси крис-
талла. Проведем через направление падающего луча главное сече-
ние кристалла, т.е. плоскость, проходящую через егэ оптическую
ось. Плоскость главного сечвия пересечет поверхность волновых
векторов обыкновенной волны по. кругу, а необыкновенной - по эл-
липсу. Эллипо и круг касаются друг . друг*в точках их пересече-
ния с оптической осью кристалла. Электрический вектор обыкновен-
ий? -
ной волны перпендикулярен к гневному сечению. Электрически.! век-
тор необыкновенной волны лежит в главном сечении. Обыкновенный
луч всегда лежит в плоскости падения. Необыкновенный луч, как
правило, выходит из плоскости падения.
Все описанные здесь геометрические построения могут быть
заменены еналитическим расчетом. Принципиально при аналитичес-
ком решении такой геометрической задачи не всречается никаких
вычислительных трудностей. Однако формулы получаются довольно
громоздкими, и нет смысла приводить их здесь. При необходимости
читатель сам может вывести эти формулы.
7. Выяснив 'вопрос о направлении и поляризации отраженных и
преломленных волн, обратимся к вычислению амплитуд этих волн.
Принципиально вопрос решается просто с помощью граничных усло-
вий. Однако в общем случае получаются довольно сложные и трудно
обозримые выражения. Поэтому мы ограничимся случаем, когда свет
падает на границу кристалла из оптически однородной среды. Но
даже в этом случае задача значительно сложнее аналогичной зада-
чи для одних только изотропных сред. Осложнения связаны с тем,
что составляющие электрического поля падающей волны, лежащие в
плоскости падения и перпендикулярно к ней, перестают быть неза-
висимыми, тем более, что каждая из этих составляющих при вступ-
лении в кристалл претепевает двойное преломление. Однако можно
разбить задачу на две независимые части и тем оамым значительно
упростить вычисления. При этом удобно взять за исходную не какую-
-либо составляющую падающей волны, а сосредоточить внимание на
одной иэ двух линейно поляризованных волн, вступивших в кристалл.
Направление распространения, скорость и поляризация каждой из
таких волн можно определить геометрическим построением, изложен-
ным выше. Эти параметры могут считаться известными. Поэтому мы
поставим следующий вопрос: какими свойствами должна обладать
педающая волна, чтобы в.кристалле возникла только одна из двух-
преломленных волн?
8. Начнем с того, что разобьем падающую волну на две сос-
тавляющие с электрическими векторами, лежащими в плоскости паде-
ния и перпендикулярно к ней соответственно. Так же, как в § 14
для падающей волны можно написать
- 348 -
= С(Ыр&р £ CeL g
' L a ’ (40.1)
Jyw-44.
Здесь опущены фазовые множители, так как нас интересует поле в
первой среде на самой границе раздела, где эти множители обра-
щаются в единицу. Для отраженной волны:
Ef-R, <“-г)
Мы ищем условия, при выполнении которых волна вступает в
кристалл в виде одной преломленной волны. Тем не менее, для
преломленной волны в кристалле нельзя воспользоваться формулами
(14.6) , так как этм формулы выведен^ в предположении, что вол-
на поперечна относительно вектора £ , а это в кристалле не
имеет места. Поэтому мы разложим поле t преломленной волны по
направлениям координатных осей X , У ,2 , связанных с грани-
цей раздела, плоскостью падениям нормалями к ним.Такие оси при-
менялись в § 14. Обозначим, как и раньше, амплитуду прошедшей
волны буквой 5) (не смешивать с вектором электрической индукции)
и напишем
Е‘-@, ।
где ? ^компоненты единичного вектора, направленно-
го вдоль вектора с • Компоненты магнитного вектора В найдут-
ся по формуле (31.3). Подставляй в нее N~ + ,
получим
Е", H2(cosf£^iin^E^w^
Введем креке того азимуты плоскости поляризации падающей, отра-
женной и пр ведшей волн по формулам (15.9), т.е. положим
^4 . £р = sina г (40.5)
- 349 -
Граничные условия - непрерывность тангенциальных компонентов
векторов £ и о - запииутся-в виде
-RЛ =12),
= £%),
а*<р (6S - 1Q = ^ncos'p$)i
&p + Rp=n (kcosf-^sinf)^
пг • ‘
где П= - относительный показатель преломления.
Решая зти уравнения и воспользовавшись соотношениями (40.5),
2coi<f> ’
R __ t_(e^-nco^l (w 6)
J 2. сол<£> ’
'Rsina
J 2<x>sy>
Отсюда
Qcjo$<p
ncos<P COS^ -
(40.7)
(40.8)
Ц Ct>M cosy> - n cosy
COitp + TICDS^
Scojol-cosy)
(40.9)
(40.10'
- 550 -
Эти формулы и решает поставленную задачу. Они показывают,
что действитально имеется падающая волна определенной поляриза-
ции, которая при преломлении дает в кристалле только одну пре-
ломленную волну, рассмотренную здесь.
В том частном случаа, когда вактор Е перпендикулярен к
плоскости падания, ^=^—0 , ^=1 . В этом случае формулы
(40.7) и (40.8) дают d.=p =0 , а формулы (40.9) и (40.10) пе-
реходят в формулы Френеля (14.8) для отражения и преломления
S - компонента падающей волны.
В другом частном случае, когда вектор Е перпендикулярен
к волновой нормали и лежит в плоскости падения, £ = cos*p ,
g=-binp , £=О . По формулам (40.7) и (40.8) получается
. В эт?м случаа формулы (40.9) и (40.10) неудоб-
ны, так как они npi ним ...ют неопределенный вид -g- . Вместо них
лучше пользоватьс° формулами:
R _ Япа j-ncJos4>Qc<*Y-Z*in4') t (40.11)
S? Sinjb $+ПСО4<р cosy—% Sin
_ QiinckSintf (40.12)
Й | + n.CO4if> (£cosy -/Sin <f>)
В рассматриваемом частном случае R=-Rp, и формулы(40.II)
и (40.12) переходят в формулы Френеля (14.8), но уже для отра-
жения и преломления р - компонента.
9. Общий случай произвольной падающай волны сводится к ра-
зобранному. Для этого по направлению падающей волны надо прежде
всего найти направления, относительные показатели преломления и
поляризацию двух преломленных линейно поляризованных волн, ко-
торые порождаются падающай волной. Пусть значения соответствую-
щих параметров для одной из преломленных волн будут П.' ,
V , , а другой г г,г ’Г . Подставляя
эти параметры в формулу (40.7), получим два значения соответст-
вующих им азимутов плоскости поляризации (X и СХ". Падающую
волну следуат разложить на две линейно поляризованные составляю-
щие с азимутами поляризации dud. Каждая составляющая всту-
пит в кристалл в виде только одной преломленной волны. Поэтому
к таким составляющим применимы формулы (40.8) - (40.12), по ко-
торым можно вычислить все параметры отраженной и преломленных
волн* хцт ~
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава I
Распространение электромагнит ццд вола в диалект мчесыд
средах
§ I. Уравнения Максвелла. Скорость распределения электромагнит-
ных волн. •.....................................стр. 4
§ 2. Монохроматические поля и комплексные выражения...... 22
§ 3. Плоские монохроматические волны в непоглощающей среде ...35
§ 4. Принцип суперпозиции и общая теория дисперсии........42
§ 5. Классическая теория дисперсии........................63
§ б. Дисперсионная формула квантовой механик» ............77
§ 7. Спектральное разложение,'...........................,92
§ 8. Энергия электромагнитного поля в диспергирующих средах
§ 9. Групповая скорость. Волновые пакеты. Скорость движения
анергии ................................................ 10£
§ Ю.Скорость передового фрокта волны ................... 129
§11. Теорема Леонтовича ............................... 139
Глава П
Отражение и преломление света
§ 12. Граничные условия ..................................^3
§ 13. Геометрические законы отражения и преломления волн • •
§ 14. Формулы Френеля .................................
§ 15. Обыкновенное отражение ........................... 156
§ 16. Полное отражение ................................ 165
§ 17 Принцип обратимости ................................177
§ 18. Прохождение'света через плоскопараллельную пластинку.
Просветление оптики. ................................... 182
§ 19. Отступления от формул Френеля. Феноменологическая теории
переходного слоя....................................... 189
- 352 -
§ 20. Пример точного решения задачи об отражении света от толсто-
го переходного слоя с непрерывно меняющимся показателем
преломления...................................................204
§ 21. Поле излучения дипсля Герца .......................... 209
§ 22. Вывод формул Френеля в молекулярной оптике.............219
§ 23. Иной метод расчета. Прилохеяие к переходным «лоям .... 230
§ 24. Важные замечания к молекулярной интерпретации явлений
распространения, отражения и преломления овета................239
Глава Ш
Формальная металлооптица
§ 25. Основные уравнения формальной металлооптики. Комплексная
диэлектрическая проницаемость металлов........................246
§ 26. Геометрические законы отражения и преломления света на
границе металла ..............................................257
§27. Формулы Френеля. Определение оптичеоких констант
металлов по поляризации отраженного света ................... 265
§ 28. Отражение радио - и длинных инфракрасных волн..........273
§ 29. Импеданс. Аномальный окия-эффект в металлах............276
Глава 1У
формальная кристаллооптика
§ 30. Основные уравнения ................................... 282
§ 31. Плоские монохроматические волны в- прозрачных однород-
ных кристаллах ...............................................287
§ 32. Закон Френеля для нормальной скорооти распространения
волн в кристалле •............................................29
§ 33. Поверхность нормалей. Оптические клаооы кристаллов.....295
§ 34. Эллжпооид нормалей ................................... 302
§ 35. Лучи в кристаллах. Теорема обращения...................306
§(36. Лучевая поверхность и лучевой эллипсоид ................313
§ 37. Связь поверхности нормалей с лучевой поверхностью. Принцип
Гюйгенса для волн в кристаллах **.’......................... 319
§ 88. Определение направления луча ио направлению волновой
нормали и обратно....^................^.......................324
- 353 -
§ 39. Коническая рефракция..................................330
§ 40. Определение и преломление света на плоской границе
раздела кристаллов.............;........................;... 344
Сивухин Дмитрий Васильевич
"Лекции пс физической оптике"
ч.1.
Ответственный за выпуск -
проср. С.Г.Раутиан
Подписано к печати 24 /1У-68 г. № мноиве
Фермат бумаги 60* 8^ Объем 22 п. л.
Заказ Nf iee Тираж 800 экз. Цена 70 коп
Отпечатано на ротапринте НГУ, Новосибирск-90.