/
Автор: Москалев В.А. Нагибина И.М. Полушкина Н.А. Рудин В.Л.
Теги: оптика физика учебное пособие оптические явления оптические приборы прикладная физика
ISBN: 5-7325-0010-3
Год: 1995
Текст
ПРИКЛАДНАЯ
ФИЗИЧЕСКАЯ
ОПТИКА
Под общей редакцией
канд. техн. наук
В. А. Москалева
Рекомендовано Государственным Комитетом РФ
по высшему образованию в качестве
учебного пособия для студентов инженерно-физических
и оптических специальностей высших учебных
заведений
-%
ПОЛИТ£ХНИКЛ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
Санкт-Петербург 1995
ББК 22.343 я7
П75
УДК 535 (075.8)
Издание выпущено в счет дотации, выделенной Комитетом РФ по печати
Авторы: |в. А. Москалев,! И. М. Нагибина,
Н. А. Полушкина, В. Л. Рудин
Рецензенты: кафедра оптики и спектроскопии
физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова
и д-р физ.-мат. наук проф. А. Г. Жиглинскнй
П75 Прикладная физическая оптика: Учеб.
пособие/В. А. Москалев, И. М. Нагибина,
Н. А. Полушкина, В. Л. Рудин; Под общ. ред.
В. А. Москалева —СПб.: Политехника, 1995-
528 с: ил.
ISBN 5-7325-0010-3
В пособии изложены основные вопросы прикладной физической
оптики. Рассмотрены основы фотометрических и колориметрических
измерений, применения явлений поляризации, интерференции, дифракции
и монохроматизации излучения для решения научных и технических
задач.
Изложены также физические принципы голографии, рассмотрены
и некоторые применения голографического метода регистрации
световых волн.
В приложении дано описание лабораторного практикума.
П 1504060000^31-93 ББК 22.343 я7
045(01)-95
УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ
МОСКАЛЕВ Василий Аркадьевич, НАГИБИНА Ирина Михайловна,
ПОЛУШКИНА Наталья Андреевна, РУДИН Вадим Леонидович
ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Редакторы издательства М. Г. Оболдуева, Л. М. Манучарян. Переплет
художника А. А. Парушкина. Художественный редактор А. Н. Волкогонова.
Технический редактор Т. М. Жилич. Корректоры И. Г. Иванова, 3. С.
Романова, Н. В. Соловьева.
ИБ № 108
ЛР № 010292 от 4.03.93 г.
Сдано в набор 27.12.94. Подписано в печать 12.09.95. Формат
издания 60 X 907i6- Гарнитура литературная. Печать высокая. Бумага
типографская. Усл. печ. л. 33,0. Усл. кр.-отт. 33,0. Уч.-изд. л. 35,05. Тираж 1000 экз.
Заказ 167.
Издательство «ПОЛИТЕХНИКА». I9I01I, Санкт-Петербург, Инженерная ул., 6.
Ордена Трудового Красного Знамени ГП «Техническая книга» типография Кэ 8
Комитета РФ по печати. 190000, г. Санкт-Петербург, Прачечный нер„ д. 6.
ISBN 517325-0010-3 © Издательство «Политехника»,
1995
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебные курсы «Физическая оптика» или «Прикладная
физическая оптика» изучаются студентами ряда оптических
специальностей в технических высших учебных заведениях и
университетах.
Преподавание этих курсов необходимо вести с учетом того,
что различные явления оптики могут быть рассмотрены как
с позиций волновых, так и с позиций квантовых представлений.
Данная книга посвящена в основном вопросам волновой
оптики. Это связано также и с тем, что в связи с появлением
новой области физической оптики — голографии и ее
многочисленных применений интерес к волновым оптическим явлениям
значительно возрос.
Кроме того, при современном развитии оптического
образования квантовая оптика выделяется, как правило, в
самостоятельный учебный курс. Однако при рассмотрении процессов
взаимодействия света с веществом, а также работы некоторых
приборов и устройств целесообразно обращаться к квантовым
представлениям о природе излучения. В ряде случаев одно и
то же'явление может быть объяснено с двух позиций: с точки
зрения волновой оптики и с привлечением представлений
о квантовой природе света. Именно это обстоятельство с
предельной убедительностью демонстрирует философское
положение единства и борьбы противоположностей. Противоположные
свойства одного и того же явления или предмета присущи
природе вещей.
Основное содержание книги — изложение закономерностей
распространения электромагнитных волн, принципов
когерентного и частично когерентного взаимодействия волн, основ
фотометрических и колориметрических измерений. Основное
внимание уделено применению явлений поляризации,
интерференции и дифракции для решения научных и технических задач
с использованием оптико-физических методов исследований.
В пособии рассмотрено также применение перечисленных
выше явлений оптики для построения оптических систем,
устройств и приборов. Существенное место при этом занимает
описание экспериментальной техники работы с приборами и
устройствами.
При создании учебника авторы использовали опыт чтения
учебных курсов «Физическая оптика и спектроскопия»,
«Прикладная физическая оптика», «Теоретические основы оптико-
физических исследований», предназначенных для студентов,
обучающихся оптическим инженерным специальностям в
высших учебных заведениях.
Предполагается, что читатели достаточно хорошо знакомы
с разделом «Оптика» общего учебного курса физики.
Изложение материала ведется таким образом, что после
рассмотрения теоретических вопросов того или иного явления
делается основной акцент на прикладные методы построения и
использования систем и приборов и экспериментальные приемы
исследования оптико-физических явлений. Книга предназначена
для углубленного и расширенного изучения большого круга
вопросов физической оптики и рекомендуется для студентов,
аспирантов, посвятивших себя научной работе в
соответствующем направлении. Авторы рассчитывают, что книга будет
полезна также инженерно-техническим и научным работникам
оптико-электронной и оптико-механической промышленности.
С большой признательностью авторы выражают
благодарность коллегам, принимавшим участие при работе над
учебником, за критические замечания и ценные советы при чтении
различных разделов рукописи проф. В. М. Золотареву, доц.
В. В. Лебедевой, канд. физ.-матем. наук А. О. Морозову, проф.
Ю, К. Михайловскому.
ВВЕДЕНИЕ
Физическая оптика — раздел физики, в котором изучаются
природа и свойства электромагнитного излучения,
взаимодействие различных видов излучения со средой, законы
преобразования излучения и явления, возникающие при прохождении
его через оптические среды и устройства. Принципы построения
оптико-физических систем также относятся к области этой
науки.
Основой, на которой строится рассмотрение физической
■сущности вышеуказанных проблем, рассмотренных в учебнике,
является электромагнитная теория Максвелла, описывающая
.законы распространения электрического и магнитного полей
в средах.
Оптическое излучение содержит большой диапазон
электромагнитных волн, пределы которого приближенно можно
ограничить длинами волн X ?г; 2,0 мм или частотой v я^ 1,5 X
X 10" Гц в инфракрасной области и Л я:; 10 нм или частотой
v?i;3-10'^ Гц в короткой ультрафиолетовой области спектра.
Оптическое излучение выделяется из общей шкалы
электромагнитных волн вследствие того, что имеет место определенная
общность методов и приборов, применяющихся для
исследования в этой области спектрального диапазона. Устройства и
приборы, построенные на принципах физической оптики,
обычно предназначены для работы в определенных областях
спектрального интервала или в ряде случаев одновременно в
смежных областях. Принято следующим образом условно
разграничивать области оптического спектра: вакуумная — от 10 до
200 нм, ультрафиолетовая — от 200 до 400 нм, видимая — от
400 до 760 нм, ближняя инфракрасная — от 760 до 1500 нм,
средняя инфракрасная — от 1500 до 2500 нм, дальняя
инфракрасная— более 2500 нм.
Нужно учесть, что наука физическая оптика охватывает
все области оптических явлений, включая геометрическую
оптику, волновые свойства излучения и квантовые
представления о нем.
В учебнике явления дисперсии, интерференции,
поляризации и дифракции рассматриваются с волновой точки зрения.
основанной на электромагнитной теории световых волн.
Квантовые представления включаются в рассмотрение в некоторых
случаях, если это необходимо при изложении соответствующих
проблем.
Явления волновой оптики представляют собой
самостоятельный интерес; кроме того, ряд этих волновых явлений тесным
образом связан с квантовыми физическими процессами и
свойствами.
Не менее значительным является применение волновой
оптики для решения принципиальных физических и
технических задач, так как с помощью оптических методов и устройств,
построенных на выше перечисленных явлениях, можно
проводить различные точные оптико-физические измерения и
исследования.
Методы физической оптики используются для решения
самых различных научных и практических задач. При этом цель
таких задач часто состоит не только в изучении собственно-
оптического излучения, а в определении конкретных
параметров рассматриваемого объекта по той информации, которая
содержится в этом излучении при взаимодействии его с
исследуемым объектом или веществом.
Появление лазеров существенно изменило подход к
реализации оптико-физических приборов и систем. Одновременно
возникла проблема измерений характеристик нового типа
излучения, определения возможностей сверхпрецизионных
измерений. Для этого потребовалось создание современных оптико-
физических методов исследования и соответствующей
аппаратуры, однако классические принципы не теряют при этом
своего значения и в настоящее время.
Методы физической оптики достаточно сложны и
рациональное использование их, обеспечивающее получение
максимальной информации, требует от исследователя не только
определенных теоретических, но и практических навыков работы по
настройке и использованию оптико-физических приборов и
устройств. Необходимо знать принципы работы этих приборов,
их оптические и метрологические характеристики, а также
уметь правильно выбрать условия регистрации и обработки
оптического сигнала в зависимости от поставленной задачи,
вида сигнала, типа используемого прибора и т. д. Только
в этом случае оптик-экспериментатор сможет грамотно
использовать соответствующую аппаратуру для измерений.
Наряду с изучением общих принципов построения и
действия приборов физической оптики необходимо знать также
основы их расчета, проектирования и настройки. Для этого
требуются достаточно серьезные теоретические знания, что
учтено авторами при создании книги.
Монохроматическая волна часто выражается как
синусоидальная (или косинусоидальная) функция времени следую-
б
щими параметрами: ю — циклической частотой, £о —
амплитудой колебания и его фазой ф.
В результате преобразования в оптических средах и
устройствах в световой волне меняются амплитуда (интенсивность),
фаза (оптический путь), частота (длина волны), а также
состояние поляризации (поворот плоскости поляризации,
образование эллиптически поляризованного излучения и т. д.).
Изучению основных параметров световых волн посвящены
связанные и в то же время сравнительно самостоятельные
разделы физической оптики: фотометрия, интерферометрия,
поляризационная оптика и спектроскопия.
Световая волна, в частности, характеризуется следующими
величинами: амплитудой а, фазой ф, частотой v (длиной волны
X) и состоянием поляризации. Скорость распространения
волны Хо в вакууме или в среде X связана однозначным образом
с длиной волны соотношением Хо = сТ или % = vT, где Т
период колебаний, причем v^ 1/Т, т. е. Xo^c/v и X^v/v.
Методы возбуждения и регистрации того или другого
спектрального диапазона зависят от поставленной задачи.
Отметим, что спектральная линия, которую можно получить с
помощью источника, излучающего линейчатый спектр, не может
быть бесконечно узкой, а обладает конечной шириной Av, с-',
и ДХ, нм, или в волновых числах Да, см~', если а^ 1/Х. Это
происходит потому, что даже изолированный атом при
излучении будет иметь затухание, что и определит естественную
ширину излучения.
Фотометрические свойства объектов определяются
законами отражения и пропускания. Количественно они
характеризуются соответствующими коэффициентами, которые можно
рассчитать, используя формулы Френеля й закон Ламберта —
Бэра. Эти соотношения обусловлены электромагнитной теорией
света, которая описывает распространение излучения в
оптических средах, а также поведение световых волн на границе
раздела между средами. Отметим, что при отражении на границе
раздела в общем случае изменяется и состояние поляризации.
Отдельным разделом фотометрии является спектрофотомет-
рия, в которой в отличие от спектроскопии измеряются не
только частоты световых волн, но и распределения интенсив-
ностей по спектру. Еще один раздел физической оптики — цве-
товедение — связан и со спектроскопией, и с фотометрией.
Поскольку длина волны определяет цвет, воспринимаемый
глазом, то цветоведение имеет прямое отношение к спектроскопии.
Однако в настоящее время его относят к фотометрии, так как
цветоведение непосредственно связано со свойствами глаза,
с его способностью воспринимать разные цвета.
Наиболее отчетливо и наглядно изменение состояния
поляризации наблюдается при распространении световой волны
в анизотропной среде. В такой среде распространение волн
различных форм поляризации происходит по разным законам.
Это обстоятельство используется при создании
поляризационных устройств. Анализируя состояния поляризации на выходе
из анизотропного образца, можно определить вид и
количественные характеристики анизотропии среды.
При распространении в среде изменяется оптический путь
световой волны и соответственно изменяется ее фаза.
Измерение фазы позволяет определить изменения оптического пути^
а следовательно, и характеристик оптической среды, так как
оптический путь связан, в частности, с показателем
преломления. Для измерения фазы или разностей фаз используют
какую-либо методику, реализованную с помощью того или
другого интерференционного устройства.
Теория интерференционных явлений и практика применения
соответствующих устройств составляют важный и значительный
по объему раздел прикладной физической оптики. На
интерференционных принципах основано действие многих
поляризационных систем и устройств.
Необходимо также иметь в виду, что интерференционные и
дифракционные явления играют принципиальную роль в
теории голографии, теории образования изображений и новых
методах голографической техники.
Глава I
ОСНОВЫ ФОТОМЕТРИИ И КОЛОРИМЕТРИИ
Фотометрия — наука об изучении и измерении параметров
и характеристик энергетических свойств излучения оптического
диапазона спектра в процессе его распространения и
взаимодействия с веществом. Первоначально эти измерения
проводились лишь в видимой области спектра, занимающей интервал
длин волн от X X 380 нм до X я:; 770 нм. С разработкой
приемников излучения и созданием искусственных источников
излучения появилась возможность производить измерения
лучистой энергии в гораздо более широком спектральном
интервале, носящем название оптического диапазона. Оптический
диапазон охватывает интервал длин волн от 10~^ до 10~^ м.
В теоретической фотометрии изучаются закономерности
распространения излучения в различных средах, взаимодействие
излучения с веществом (телами) и воздействие его на
приемники излучения; экспериментальная фотометрия включает
в себя методы и средства измерений фотометрических
величин.
Колориметрия — наука о методах измерения количественных
и качественных характеристик цвета, основанная на свойствах
светоадаптированного глаза. Цветовые измерения выполняются
в строго определенных условиях в соответствии с
международными стандартами.
Излучение, в том числе и в оптическом диапазоне длин
волн, представляет собой одну из форм существования
материи в виде электромагнитного поля. Особенностью,
характерной для оптического излучения, является наличие у него и
корпускулярных и волновых свойств. С корпускулярной точки
зрения излучение характеризуется набором фотонов —
элементарных частиц излучения. Энергия фотона — квант — равна
S ^ hv, где /г ^ 6,626-10-34 Дж-с — постоянная Планка, v —
частота излучения в герцах. В вакууме фотоны двигаются со
скоростью света с ^ 2,99792458-10^ м/с, которая является
максимальной скоростью движения элементарных частиц материи,
В покое масса фотона равна нулю. Корпускулярные свойства
фотона определяются его массой т = в/с^ и импульсом р ^.
= hv/c.
Волновые свойства фотона описываются частотой v и
длиной волны X. Длина волны в вакууме Ко = c/v. Наряду с
частотой v^ 1/Т, где Т — период колебания волны, вводится
понятие круговой частоты со = 2л/Т. Частота v и круговая
частота со связаны между собой соотношением со = 2nv. Частота
измеряется в герцах, круговая частота в обратных секундах.
Излучение—материя особой формы, имеющая массу покоя„
равную нулю, и движущаяся в вакууме с постоянной
скоростью — скоростью света.
Объединение волновых и корпускулярных свойств в фотоне
представляет собой проявление корпускулярно-волнового
дуализма. Такой подход обоснован в квантовой теории излучения.
Считается, что распространение фотонов в пространстве, а
следовательно, и энергия, связанная с фотонами, пропорциональны
квадрату амплитуды волны, характеризующей данный фотон.
§ 1.1 Энергетическая и световая системы
фотометрических величин и единицы их измерения
В фотометрии можно выделить в основном две группы
измерений, К одной относятся измерения характеристик
источников излучения, включающие в себя измерение испускаемого
лучистого потока, измерение распределения потока по спектру
длин волн, силы света в различных направлениях, яркости
излучения в различных точках и по различным направлениям.
Вторая группа объединяет измерения фотометрических
характеристик различных веществ и тел. К этим характеристикам
относятся; интегральный и спектральный коэффициенты
отражения, поглощения, пропускания и рассеяния излучения
поверхностями тел и массой вещества. К этой же группе
относятся и измерения освещенности различных поверхностей.
При проведении фотометрических работ (для оценки тех
или иных характеристик источников излучения или
характеристик освещаемых объектов) используются две системы
фотометрических величин и единиц; энергетическая и световая
(визуальная). Тождественные фотометрические величины
в обеих системах имеют одни и те же буквенные обозначения
и различаются введением индекса: для энергетической системы
е, а для визуальной — v.
Энергетическая система фотометрических величин и
единицы их измерения '. Фотометрическая величина — аддитивная
физическая величина, определяющая временное,
пространственное и спектральное распределение энергетических
характеристик оптического излучения и фотометрических свойств
веществ, сред и тел как посредников переноса или приемников
энергии излучения.
Фотометрическая величина в энергетической системе Хе
измеряется в единицах энергии (джоулях) или мощности
(ваттах), или производных от них. Рассмотрим величины
энергетической системы.
' Определения всех фотометрических величин даны в соответствинЕ
с ГОСТ 26148—84.
10
Лучистая энергия, или энергия излучения — энергия,
переносимая излучением, обозначается Qe, We- В системе единиц
СИ энергия излучения измеряется в джоулях. Лучистая
энергия может быть оценена также и по производимому ею
тепловому действию, осуществляемому в результате преобразования
ее в теплоту; причем 1 кал ^4,185 Дж. Кроме того, энергия
излучения может быть измерена в единицах энергии,
эквивалентной той энергии, которую приобретает электрон, проходя
участок поля с разностью потенциалов в 1 В, т. е. в электрон-
вольтах:
1 эВ= l,59•10-^^ Дж; 1 Дж = 6,29-10'8 эВ.
Энергия монохроматического излучения Qe может быть оце-
вена числом квантов с энергией е ^ hv: N ^ Qe/Qu Энергия
кванта в электронвольтах рассчитывается из соотношения
Q1236 Т1 л
1^—Z-—эВ, где X — длина волны, выраженная в
нанометрах.
Лучистый поток, или поток излучения, характеризует
мощность излучения, определяемую отношением лучистой энергии,
переносимой излучением в данном направлении, ко времени
переноса, значительно превышающему период
электромагнитных колебаний. Эта величина обозначается: Фе, Р. Лучистый
поток измеряется в ваттах, в случае монохроматического
излучения — в квантах в секунду. В соответствии с определением
Энергетическая яркость— величина, определяемая
отношением потока излучения й^Фе, переносимого узким пучком с
малой площадки dA, содержащей рассматриваемую точку, в
малом телесном угле dQ, содержащем заданное направление,
составляющее угол 6 с нормалью к ^Л, к величине
геометрического фактора d^G этого пучка излучения. Обозначается Le и
определяется по формуле
d^G dA • cos e • rfQ '
где dQ — элементарный телесный угол.
Телесный угол — мера множества лучей, укладывающихся
внутри конической поверхности. Измеряется телесный угол
в стерадианах.
Телесный угол имеет величину в один стерадиан, если его
вершина совпадает с центром сферы, а границы его, т. е.
образующие (лучи), вырезают на сфере фигуру, площадь которой
равна квадрату радиуса сферы. Вся сфера содержит 4я
стерадиан.
11
Таким образом, яркость определяется потоком излучения,
распространяющегося в единичном телесном угле с площадки
единичной площади, расположенной нормально по отношению'
к заданному направлению (рис. 1.1.1). Размерность
энергетической яркости Le (Вт-м~^-ср~').
Энергетическая освещенность или облученность в заданной
точке пространства определяется отношением потока
излучения, падающего на
элементарный участок поверхности,
содержащий
рассматриваемую точку, к площади этого
элементарного участка.
Таким образом, по
данному определению
облученность есть поверхностная
плотность лучистого потока
в той точке поверхности,
которой принадлежит
освещаемый элемент.
Обозначается облученность Ее и оп-
Рис. 1.1.1. Пояснение к расчету
энергетической яркости
ределяется по формуле
Е —-^
'^'— dA ■
Размерность облученности Ее (Вт-м^^).
Энергетическая светимость — величина, определяемая
отношением потока излучения, исходящего от элемента
поверхности, содержащего данную точку, к площади этого элемента.
Энергетическая светимость характеризует плотность потока
излучения"по поверхности излучателя, обозначается Me. В
соответствии с определением ^е^^-г — \ LeCosQdQ.
2л
Размерность энергетической светимости Me (Вт-м~^).
Сила излучения, или энергетическая сила света — величина,
определяемая отношением потока излучения, исходящего от
источника излучения и распространяющегося внутри
элементарного телесного угла, содержащего заданное направление,
к этому элементарному телесному углу.
Сила излучения обозначается через Je, в соответствии
с определением
/.=
dSi'
\ Le COS 6 dA.
Размерность энергетической силы света Je (Вт-ср-').
Понятие силы излучения применимо для точечного
источника. Точечным источником называется такой, размеры
которого настолько малы по сравнению с расстоянием до прием-
12
ника, что ими можно пренебречь в вычислениях. Таким
образом, точечность источника определяется не его абсолютными
размерами, а соотношением размеров источника и
рассматриваемой фотометрической схемы.
Для инженерных расчетов введена средняя сферическая
сила излучения Je,o—величина, определяемая отношением
полного лучистого потока Фе, о, испускаемого источником, к
телесному углу в 4я стерадиан
т Ф^.о
Рассчитывая среднюю сферическую силу излучения,
предполагаем источник излучения равномерным, т. е. таким,
который равномерно излучает свет по всем направлениям в
пределах телесного угла в 4я стерадиан. Если источник излучения
неравномерен, то сила излучения зависит от направления;
следовательно, она должна рассматриваться как функция
полярных углов i и ф.
Для потока dOe, испускаемого в данном направлении в
пределах элементарного телесного угла dQ, можно записать
dOe^Je(t, ((>)dQ.
Для элементарного угла dQ справедливо dQ ^ sinididtp.
Для угла Q соответственно напишем
4>e^\je {i, (f)dQ=[ [ Je {i, ф) sin i di d(p.
Если энергетическая сила света Je не зависит от i и ф, то
Фе = inJe.
Следовательно, сила света! характеризует пространственное
распределение лучистого потока и его угловую плотность.
Энергетическое освечивание — величина, определяемая
интегралом силы излучения по времени действия излучения.
Обозначается Qe и определяется по ф,ормуле
Q^=[JИt = Jet = ^t='^^^
dQ dQ '
t
Размерность энергетического освечивания 9е (Дж-ср-').
Энергетическая экспозиция — величина, определяемая
интегралом облученности по времени. Она обозначается через Не
и определяется по формуле
Не=\
Eedt.
Энергетическая экспозиция может рассматриваться и как
поверхностная плотность энергии излучения Не = Eet =
— ^Фе i _ dQe
~ dA ^ ~ dA
13
Размерность энергетической экспозиции Не (Дж-м-^).
Для всех указанных выше величин вводится понятие
спектральной плотности фотометрической величины Хе,х- Это
физическая величина, определяемая отношением фотометрической
величины dXe, %, приходящейся на малый спектральный
интервал d'k, содержащий данную длину волны %, к ширине этого
интервала:
dXe
dx '
^е, к = "
Спектральная плотность фотометрической величины может
быть образована не только в шкале длин волн Я, но и в других
/
0,2
о
^J.
\
V
0,6
0,2
Г
J
\
\
ЛМАМ
4/0" 8Ю'Чгю'*1>,гц
Рис, 1.1.2. Графики спектральной плотности потока
излучения: а — в шкале длин волн; б — в шкале частот
спектральных шкалах: частот v (с обозначением Xe,v),
волновых чисел а (с обозначением Хе.а), а также логарифмов этих
величин.
Зависимость спектральной плотности фотометрической
величины от длины волны обозначается Jg, ;^,(Я). Формы кривых
спектральных плотностей фотометрических величин,
построенные в различных спектральных координатах, отличаются друг
от друга.
Покажем это на примере построения кривых спектральных
плотностей потока излучения в шкале длин волн и в шкале
частот (рис. 1.1.2,а,б). Для шкалы длин волн спектральная
плотность потока излучения определится в виде Фе, х =
а для шкалы частот — в видеФг, v=-
dv
Найдем
зависимость между спектральными плотностями лучистого потока
Фе, ^ и Фе, V. Значения лучистых потоков не зависят от выбора
спектральных координат, т. е. Oe,t.d% ^ Oe,vdv. Тогда Фе, v =
^ Фе \.-г-^- Так какЯ,^—, то dX^ w-dv, следовательно,
' *■ dv V V
dX с X^
dv v^
чаем Фе г^Фе
или I АЯ, I ^ —^ Av.
Окончательно полу-
^^
Из последних соотношений следует, что
14
максимумы спектральных плотностей потока излучения в шкале
длин волн и в шкале частот не совпадают, поскольку равным
интервалам длин волн не соответствуют равные интервалы
частот. Так, кривая распределения Фе.хЩ для абсолютно
черного тела при Т = 5000 К имеет максимум на длине волны
0,579 мкм (рис. 1.1.2, а), а у функции Фе, v(v) максимум
приходится на частоту v^ 2,94-10'"* с-', которой соответствует длина
волны Х^ 1,019 мкм (рис. 1,1.2,6).
Положение максимума этой кривой (вообще говоря) не
имеет физического и практического смысла.
Прежде всего необходимо подчеркнуть, что спектральная
плотность потока излучения Фе, ?>,(Я) или Фе, v(v), выраженная
в той или иной шкале, сама по себе не связана ни с какой
энергией. Она является лишь вспомогательной величиной,
позволяющей определить плотность лучистой энергии в
выделенном участке спектра. Реальное значение имеют лишь величины
We.xWdK и Фe.v(v)dv.
При рассмотрении спектрального распределения потока
излучения необходимо учитывать, что строго монохроматическое
излучение не является носителем энергии, а спектральная
плотность потока излучения не есть интенсивность
монохроматического излучения, а является вспомогательной величиной,
которую нужно помножить на спектральный интервал, чтобы
получить лучистый поток, излучаемый в данном спектральном
интервале.
Размерности: Фс, ^ (Вт-м-'; Вт-нм-'), Фе, v (Вт-Гц-').
Полный поток излучения в заданном спектральном
интервале, например, ^i — Яг, задается площадью под кривой
спектральной плотности потока излучения, т. е. интегралом от Фе, ^
по длине волны
1^2
di.
Световая (визуальная) система фотометрических величин и
единицы их измерения. В визуальной системе единиц
фотометрические величины образуются от величин
энергетической системы путем преобразования по формуле Х^ =
сю
^ ^т \ ^ (^) ^е, К dl, где Km — множитель, позволяющий пе-
0
рейти от энергетической системы к визуальной, Km =
^683 лм-Вт-' — максимальная световая эффективность;
У(Я)^ относительная спектральная световая эффективность
монохроматического излучения для дневного зрения; Хе,х—
спектральная плотность фотометрической величины в
энергетической системе.
15
Визуальная система величин и единиц предназначена для
измерений характеристик светового излучения, т. е. той части
излучения в видимой области спектра, которая воздействует
на человеческий глаз. Поэтому для образования системы
необходимо знать функцию преобразования потока излучения
в световой поток, которая определяет спектральную
чувствительность глаза. Эта функция задается значениями
относительной спектральной световой эффективности монохрома-
1У^ тического излучения для
дневного зрения У(Я).
Относительная спектральная
световая эффективность
определяется как
отношение двух потоков
излучения Фе, х^ И Фе, ■к
соответственно с длинами
волн \т и Х, вызывающих
в точно определенных
фотометрических условиях
зрительные ощущения
одинаковой силы, т. е.
для каледой длины волны
^ W = - nl "" ■ Длина вол-
0,8
0,6
0,'f
0.2
Г
i
1
1 j
1 /
/ /
Y\
А \
/ ^
\
\
\
\
\
^ ^ч^
т
т
600
/\,НМ
Рис. 1.1.3. Графики функции
относительной спектральной световой
эффективности излучения для дневного
зрения ( ) Хтах = 555 нм и ночного
зрения ( ) Xmal = 507 нм
ны Я,п выбирается так,
чтобы максимальное
значение этого отношения равнялось 1. Для дневного зрения hn =
= 555 нм. График ^(Я)=/(Я) приведен на рис. 1.1.3.
Множитель К представляет собой световую эффективность —
отношение светового потока Ф^, к соответствующему потоку
излучения Фе. Для сложного излучения К = Ф1;/Фе.
Коэффициент к может быть рассчитан и для монохроматического
излучения, когда Кх = Фv, х/Фе, X есть спектральная световая
эффективность. Максимальное значение спектральной световой
эффективности излучения для дневного зрения соответствует
при Л = 555 нм /С^, „ = 683 лм-Вт"'. Для любой другой длины
волны Kx^VxKx,m- На основании приведенных рассуждений
можно образовать все фотометрические величины в световой
системе. Так, световая энергия запишется в виде
оо
Qv = Km\V{K)QeJ.dX,
О
а световой поток соответственно в виде
оо
Ф, = Кт\У{Х)Фе,КС1к.
16
На основании последней формулы можно дать определение
светового потока как величины, образующейся от лучистого
потока, при оценке излучения по его действию на селективный
приемник, спектральная чувствительность которого
определяется нормализованной функцией относительной спектральной
световой эффективности излучения для дневного зрения V(K).
Все величины в световой системе тождественны по смыслу
аналогичным величинам в энергетической системе и
отличаются лишь единицами измерения. Основной единицей
измерения световых величин является единица силы света, которая
называется кандела; она воспроизводится по световым
эталонам и входит в качестве основной единицы в Международную
систему единиц (СИ). Кандела — сила света, излучаемого
в перпендикулярном направлении одной шестисоттысячной
квадратного метра поверхности черного тела, при температуре
затвердевания платины и давлении 101 325 Н на 1 м^.
Единицы измерения других световых величин
устанавливаются на основании приведенных выше связей этих величин
с силой света. Для светового потока установлена единица
измерения люмен. На основании соотношения dOv = JvdQ, 1
люмен— это световой поток, испускаемый равномерным точечным
источником в телесном угле в 1 ср при силе света в 1 кд.
Единицей измерения освещенности является люкс: 1 лк ^
^ 1 лм/1 м^. В табл. 1 приведены все основные величины
световой системы и единицы их измерения.
Таблица 1
Основные величины световой системы и единицы их измерения
Фотометрическая величина
Световой поток
Световая, энергия
Сила света
Освещенность
Светимость
Яркость
Экспозиция
Освечивание
Уравнение, определяющее
величину
Ф„ = 683 |к^ф, ,dX
Q„ = f O^dt
E„ = dO„/dA
M^ = dO^ldA
°~ dQdAcose
e^, = f j^dt
Единица
измерения
люмен, лм
лм-с
кандела, кд
люкс, лк
лм-м~^
кд-м~^
лк-с
кд-с
;ак. № 167
17
Для всех величин в световой системе также вводится
понятие спектральной плотности фотометрической величины,
определяемой отношением фотометрической величины dXv,
приходящейся на малый спектральный интервал d%, содержащий
данную длину волны Я, к ширине этого интервала, т. е. Xv %^
= dXv/d'k,
Связь фотометрических величин с вектором Пойнтинга.
Понятие светового поля. Энергия dQ, переносимая
электромагнитной волной через площадку dA за время dt, определяется по
формуле
dQ = Ял/ dA dt,
где Пм — среднее значение нормальной составляющей вектора
Пойнтинга, характеризующего плотность потока энергии, за
время dt.
Энергия dQ может быть выражена и через поток dO и
освещенность Е: dQ = dO dt = Е dA dt.
Сравнивая полученные выражения, можно записать, что:
nNdAdt = EdAdt; Пм = Е.
Таким образом, пространство, занятое излучением,
целесообразно рассматривать как поле вектора Пойнтинга П, а все
фотометрические характеристики связывать со свойствами
этого поля, называемого световым полем. При этом вектор П
называется световым вектором. Это понятие введено ученым
А. А. Гершуном.
Световой вектор характеризует преимущественное
направление излучения, и его можно рассматривать как векторный
интеграл от яркости по полному телесному углу.
Другой функцией точки светового поля является средняя
сферическая освещенность, характеризующая насыщенность
пространства светом в заданной точке. Ее можно
рассматривать как скалярный интеграл от яркости по полному телесному
углу.
в качестве иллюстрации приведем пример фотометрического
расчета. Рассчитаем обмен лучистыми потоками между двумя
светящимися поверхностями Ai и Лг (рис. 1.1.4). Обозначим
яркость одной поверхности через Li, а второй — через L2;dQi —
телесный угол, в котором видна площадка йЛг из точки 0\,
с?Й2^телесный угол, в котором видна площадка dAi из точки
Ог. Расстояние между точками Oi и Ог примем равным /. Углы
9i и 02 — углы между нормалями Ni и УУг, соответственно
восстановленными в точках 0\ и Ог элементарных площадок dAi
и йЛг, и направлением распространения излучения. В
соответствии с определением величины телесных углов имеем:
/2
Поток с dAi на йЛг может быть рассчитан следующим
образом:
с(2ф, = /, dQ, = -^ dA^ cos 02;
/, = L, dAi cos 9,; d^Oi =
•Li dAi cos 9i dA2 cos 02
_
Рис. 1.1,4, Пояснение к расчету обмена лучистыми
потоками между двумя, светящимися поверхностями Ai и Лг
Полный поток с поверхности Ai на поверхность Лг
определяется интегрированием по поверхности
Ф,= 5 5 ^. cos 9. cos 92 ^д^д_
л, л
Аналогично рассчитывается поток Фг с поверхности Лг на Ль
И обмен излучениями между поверхностями определится как
Ф = Ф1 — Ф2.
§ 1.2. Принципы построения визуальных
и объективных фотометров
Фотометры — это различные приборы и устройства,
предназначенные для измерения фотометрических величин. Различают
визуальные и физические (объективные) фотометры. В
визуальных фотометрах приемником излучения является глаз,
устанавливающий фотометрическое равенство между исследуемым и
сравниваемым излучением по равенству яркости видимых в
фотометре полей сравнения. В объективных фотометрах
используются физические приемники излучения.
Так как принцип построения фотометра зависит от
применяемых приемников излучения, дадим их краткие
характеристики.
2* 19
Глаз и его основные характеристики как приемника
излучения. Глаз — часть органа зрения, в которой создается
оптическое изображение внешнего мира и происходит преобразование
этого изображения в нервные возбуждения. Схематическое
строение глаза представлено на рис. 1.2.1.
Процесс зрения заключается в распознавании различий во
внешнем мире посредством ощущений, создаваемых светом,
попадающим в глаз.
Свет проникает в глаз через роговицу /, имеющую толщину
0,5 мм. За роговицей находится передняя глазная камера 2,
отделенная от задней
7 хрусталиком 4.
Передняя камера 2
заполнена прозрачной
жидкостью, задняя 7—-
стекловидным
веществом; их показатель
преломления п« 1,336.
Перед хрусталиком
находится радужная
оболочка 3 с почти
круглым отверстием,
ограничивающим сечение
пучка лучей,
попадающих в глаз; 5 — цилиар-
ная мышца. Хрусталик
4 имеет слоистую
структуру, наибольший показатель преломления которой п=1,41;
с помощью цилиарной мышцы выпуклость хрусталика может
изменяться. Процесс изменения выпуклости хрусталика,
сопровождающийся изменением его фокусного расстояния,
называется аккомодацией. Нормальный человеческий глаз
начинает отчетливо видеть с расстояния 140 мм. Изображение
получается на сетчатке 6, оно перевернуто. Отметим, что
наибольшее преломление лучей света, необходимое для
формирования изображения, происходит на передней поверхности
роговицы.
Сетчатка 6 представляет собою тонкий слой связанных друг
с другом нервных клеток и светочувствительных элементов —
колбочек и палочек. Световое воздействие вызывает импульсы
тока в нервных клетках, полученные сигналы передаются в кору
головного мозга через зрительный нерв 5. Название
светочувствительных элементов — колбочки и палочки — дано в
соответствии с их формой.
В зависимости от уровней яркости, при которых работает
глаз, функционируют или колбочки, или палочки сетчатки. В
соответствии с этим различают дневное, ночное и сумеречное
зрение.
Рис. 1.2.1. Схематическое строение глаза
человека
20
Дневным зрением называют зрение нормального глаза при
адаптации его к уровням яркости большим, чем 2—3 кд с 1 м^.
Считается, что в этих условиях начинают действовать в
основном колбочки сетчатки и предметы представляются
окрашенными.
Ночное зрение — это зрение нормального глаза при
адаптации его к уровням яркости, меньшим, чем 0,02—0,03 кд с 1 м^.
Считается, что в этих условиях начинают действовать, главным
образом, палочки сетчатки и предметы представляются
неокрашенными. Максимальная относительная спектральная световая
эффективность в этом случае соответствует более короткой
длине волны, чем при дневном зрении.
Зрение, которое является промежуточным между дневным к
ночным зрением, называется сумеречным. В приведенных
определениях введен термин адаптация. Адаптация — это процесс
изменения свойств глаза под воздействием яркостных и
цветовых стимулов. Кроме того, под адаптацией понимают конечное-
состояние этого процесса. В частности, говорят о световой или
темповой адаптации в зависимости от того, превышает ли
яркость несколько кандел с квадратного метра или не достигает
нескольких сотых канделы с квадратного метра.
Для адаптации к низкому уровню яркости требуется больше
времени, чем для адаптации к высокому уровню яркости. По
мере пребывания в темноте чувствительность все время
возрастает. Для достижения полной чувствительности глаза необходим
примерно часовой-полуторачасовой отдых от света.
При переходе от дневного зрения к ночному зрению меняется
спектральная чувствительность глаза, которая определяется'
нормализованной функцией относительной спектральной
световой эффективности излучения (см. рис. 1.1.3).
Глаз чувствителен к излучению с К ^^ 380-^780 нм.
Максимум функции относительной спектральной световой
эффективности У (Я) при дневном зрении находится в области К^ 555 нм,
а при ночном — смещается к Кмакс ^ 507 нм. Это явление носит
название эффекта Пуркинье; оно состоит в уменьшении
светлоты ^ красного света по сравнению со светлотой синего света,
когда яркости уменьшены в одинаковой пропорции без
изменения спектрального состава.
Пороговая чувствительность глаза соответствует работе
палочкового аппарата зрения. В состоянии полной темповой
адаптации глаз крайне чувствителен и способен реагировать на
потоки энергии 2-10"^'^ — 3-10"^'^ Вт. Для излучения с частотой
v^ 5-10'* Гц (желтые лучи) энергия кванта /iv^3,31 ■ 10"'^ Дж;
тогда очевидно, что пороговый поток излучения соответствует
нескольким десяткам квантов в секунду. При максимальной
' Уровень зрительного ощущения, вызываемого яркостью при
определенных условиях наблюдения, называется светлотой.
21
приспособленности к яркому свету глаз еще переносит потоки
излучения, равные 2-10"-^ Вт.
Важнейшим свойством глаза для фотометрии является его
контрастная чувствительность Sc — величина, обратная
отношению пороговой разности яркостей к яркости фона; Sc = L/AL,
где AL — пороговая разность яркостей, т. е. наименьшая
воспринимаемая разность яркостей.
С помощью глаза нельзя оценить, во сколько раз яркость
одной поверхности больше другой, но равенство яркостей
устанавливается достаточно хорошо. Это свойство зрения лежит
в основе всех световых измерений, в которых участвует глаз.
Точность уравнивания яркостей зависит от ряда факторов и
составляет величину 0,5—3 %.
Разрешающая способность глаза в реальных условиях равна
1,25', что соответствует разрешению двух предметов,
находящихся друг от друга на расстоянии 0,1 мм, при удалении
плоскости, в которой они находятся, от глаза на 250 мм.
Разрешающая сила глаза оптимальна в пределах желтого пятна.
При проведении измерений следует иметь в виду, что
интенсивность зрительного ощущения достигает своего максимума не
сразу и зрительное ощущение не сразу исчезает после
прекращения действия излучения на глаз. При чередовании световых
импульсов более 15 раз в секунду глаз перестает ощущать
мелькания. В этом случае справедлив закон Тальбота, который
гласит, что если некоторая площадь сетчатки возбуждается
световым стимулом, интенсивность которого периодически изменяется
с частотой, превышающей частоту слияния мельканий, то
вызываемое зрительное ощущение тождественно тому, которое
создается постоянным световым стимулом с интенсивностью,
равной средней за период интенсивности переменного светового
стимула. Этот закон использован в кинематографе и при
построении вращающихся ослабителей. Поле зрения глаза велико:
для неподвижного глаза оно составляет 160° в горизонтальном
и 130° в вертикальном направлениях.
В заключение отметим, что в субъективных зрительных
впечатлениях и образах значительную роль играет работа мозга,
вносящая большие коррективы в непосредственное фазическое
изображение на сетчатке.
Количество информации, которое глаз принимает и
преобразует, составляет 50 двоичных единиц в секунду.
Визуальные фотометры. Действие визуальных фотометров
основано на свойстве контрастной чувствительности глаза,
который, реагируя на яркость, позволяет наблюдателю судить
о равенстве или неравенстве яркости различных предметов.
Поэтому устройство визуального фотометра сводится к созданию
двух смежных полей сравнения, наблюдаемых глазом, и
системы, позволяющей изменять в известном отношении
сравниваемые величины. Процесс измерения состоит в уравнивании
.22
яркостей, пропорциональных сравниваемым световым
величинам, при которых применяются те или иные способы
количественного ослабления световых величин. Наиболее высокую
чувствительность глаз имеет при уравнивании близких по
спектральному составу сравниваемых излучений.
Устройства для создания полей сравнения могут быть
различными. На рис. 1.2.2 показано классическое устройство
образования полей сравнения —кубик Люммера — Герке. Две пря-
Рис. 1.2.2. Оптическая схема кубика
Люммера-Герке:
/ — световой пучок от одного нз
источников света, образующий поле сравнения /;
2 — световой пучок от одного из
источников света, образующий поле сравиеиия 2
моугольные призмы полного внутреннего отражения находятся
в оптическом контакте. Гипотенузная грань одной из призьг
частично снята, что приводит к нарушению оптического
контакта в этих местах и является основанием для разделения
световых пучков (это показано на рис. 1.2.2) и образованию полей
сравнения / и 2.
Объективные фотометры. В физических (объективных)
фотометрах в качестве приемника излучения используют физические
приемники (например, фотоэлектрические, тепловые), которые
реагируют на поток излучения, падающий на их поверхность.
Реакция такого приемника измеряется внешним измерительным
прибором.
Объективные фотометры позволяют вести прямые измерения
сравниваемых потоков. С повышением требований к точности
измерений усложняется и устройство фотометров. Основными
характеристиками физических приемников, которые должны
быть известны при построении фотометра, являются
спектральная и интегральная чувствительности приемников.
Спектральная чувствительность Sx определяется фототоком
насыщения i, который возникает в цепи приемника при падении
23
на него монохроматического потока излучения мощностью
в 1 Вт или светового потока в 1 лм:
где Sx (А-Вт-1) соответственно в первом соотношении и S^
(А-лм"') во втором соотношении.
Интегральная чувствительность S определяется реакцией
фотоэлектрического приемника при воздействии на него падаю-
Jtuero излучения сложного спектрального состава. Она
измеряется с помощью стандартных источников излучения:
к к
^'v. к d>^
С ^ . 9
\ Ф., к d>^ \ Ф.,
kd>^
тде Se (А-Вт~')—интегральная чувствительность к лучистому
потоку; Sv (А-лм~')—интегральная чувствительность к
световому потоку.
Для световых измерений необходимо, чтобы спектральная
чувствительность физического приемника была подобна
спектральной чувствительности глаза человека. Этого добиваются
с помощью коррекции спектральной чувствительности
физических приемников.
Наряду с фотоэлектрическими и тепловыми приемниками
излучения используется в качестве приемника и
фотографическая эмульсия, наносимая на прозрачные пленки и пластинки.
Эмульсия представляет собой, например, слой желатины
толщиной 10—20 мкм, в котором находятся микрокристаллы
бромистого серебра. Под действием света в слое фотографической
эмульсии возникают процессы, которые, будучи выявлены с
помощью химической обработки, делают этот слой носителем
информации об излучении, воздействующем на него.
Результаты воздействия света проявляются в виде
определенной плотности почернения для каждого из участков слоя.
Основной характеристикой фотографического слоя служит
зависимость D ^ f{EtP), где D — плотность почернения; Е —
освещенность участка слоя; /—время действия излучения; р —
константа Шварцшильда, близкая или меньшая единицы.
Графическая зависимость D^f{lgE) называется
характеристической кривой фотографической эмульсии (рис. 1.2.3).
Участок / называется областью недодержек, прямолинейный
участок 2 — областью нормальных экспозиций, участок 3 —
областью передержек, а участок 4 — областью соляризации.
Кривая почернения до области недодержек — горизонтальна и
переходит в участок, соответствующий уровню вуали. В области
нормальных почернений кривая может быть описана зависи-
:24
мостью D ^ ylg{EtP) — /, где y—коэффициент контрастности
фотографического слоя, равный тангенсу угла наклона 9
прямолинейного участка кривой; / — инерция фотографического слоя.
Другой характеристикой фотографической эмульсии является
ее чувствительность, которая определяется величиной, обратной
экспозиции, необходимой для получения почернения с
плотностью D = 0,2 над плотностью вуали.
В объективных и визуальных фотометрах возникает
необходимость в количественном изменении световых величин.
Существуют следующие приемы изменения в известном отношении
сравниваемых
фотометрических величин при
уравнивании полей
сравнения:
1) изменение площади
светящейся поверхности
или изменение сечения
светового пучка с
помощью
диафрагмирования;
2) применение
неселективных (нейтральных)
светофильстров с
известным коэффициентом пропускания Т (оптической плотностью D^
где D = -^-\;
3) использование явления отражения, при котором величина
отраженного потока может регулироваться в соответствии с
законами, определяемыми формулами Френеля;
4) применение вращающихся ослабителей, действие которых
основано на законе Тальбота;
5) применение закона квадратов расстояний;
6) применение закона косинусов.
Сформулируем и получим выражение для закона квадратов
расстояний. Рассмотрим точечный источник излучения,
находящийся в изотропном пространстве (рис. 1.2.4). Излучение от
источника / распространяется прямолинейно; сила света /
одинакова в направлении, по которому ведется наблюдение.
Определим освещенность поверхностей, удаленных на различные
расстояния /, от источника. Поверхности dAi, йЛг dAi, ...
..., dAn/ расположены перпендикулярно к оси конуса лучей.
Световой поток йФ внутри телесного угла dQ найдем из
соотношения ЙФ = JdQ. Освещенность поверхности dAi равна Ei =
Рис. 1.2.3. Характеристическая кривая
фотографической эмульсии
= do/dAi.
dA,
Из
1.2.4 следует, что dQ ^
откуда dAi
dQl^i.
Подставляя по-
25
следнее выражение для dA; в формулу освещенности и заменяя
оГФ /dQ I
поток силой света, получим £,■ ^——
dA;
dQlj
Полученное выражение показывает, что освещенность поверхности
dii
dAi
<
I,
It
1ы
>
Рис. 1.2.4. Пояснение к выводу закона квадратов
расстояний
равняется силе света, деленной на квадрат расстояния от
источника света до этой поверхности. Следовательно:
£,=^'
•Сз 2' • ■
lU
^ ' ,2 '
Е i ^ i — ■
Из этого ряда получаем
'г + 1
Т. е. освещенность вдоль луча света изменяется
'1+1
обратно пропорционально квадрату расстояния от места
возникновения луча.
Зная освещенность
поверхности Е и расстояние / до источника
излучения, можно рассчитать
силу света его по формуле / = ЕР-.
Получим закон косинусов.
Для этого поверхность площадки
dA расположим наклонно к оси
конуса лучей. Можно показать,
что освещенность поверхности
будет изменяться пропорционально
косинусу угла 9 между лучом и
нормалью N к поверхности площадки dA (рис. 1.2.5).
Полученное соотношение Eq^ EqC-OsQ носит название закона
косинусов.
Объединяя закон квадратов расстояний и закон косинусов,
получим следующее выражение, являющееся основным в
фотометрических расчетах: £ ^-^j cos 9. Эта зависимость
справедлива для точечных источников. Если источник излучения не
точечный, то его разбивают на ряд элементарных участков и
суммируют создаваемую ими освещенность.
Рис. 1.2.5. Пояснение к выводу
закона косинусов
26
Импульсная фотометрия. Создание импульсных источников
света, широкое применение лазеров вызывает необходимость
измерения фотометрических характеристик такого вида
источников. Основные фотометрические параметры импульсных
источников определяются теми же параметрами, что и у источников
излучения непрерывного действия — яркостью, силой света,
светимостью, световым потоком, а также пиковыми и
интегральными во временя значениями этих величин. Особенности,
возникающие при измерениях с импульсными источниками,
определяются большими значениями мгновенной мош;ности (до-
10^— 10'' Вт), достигаемой в одиночном импульсе, и их
кратковременностью (до 10—30 не).
Выбор методов измерений определяется именно последними
из указанных параметров рассматриваемых источников
излучения. Основными в импульсной фотометрии являются
калориметрический и фотоэлектрический методы измерений.
При использовании калориметрического приемника излучения
для измерения стационарных потоков наблюдается повышение
температуры приемного элемента относительно температуры
окружающей среды, пропорциональное поглощаемому
лучистому потоку. В случае использования импульсных источников
максимальное значение изменения температуры,
пропорциональное энергии импульса, будет наблюдаться, если постоянная
времени нагревания элемента много больше длительности
импульса. Тогда и максимальный отсчет по индикатору также
пропорционален энергии импульса.
Принципиальным отличием и преимуществом
фотоэлектрических приемников излучения перед калориметрическими (при
решении задач импульсной фотометрии) является малая
инерционность этих приемников. Поэтому на их основе созданы
приборы для измерения мгновенных мощностей в импульсе и для
измерения формы импульса. При применении инерционных
измерительных приборов или интегрирующих схем можно также
проводить измерения полной энергии импульсов.
Для исследования мощных импульсных источников
излучения, особенно в случае измерения излучения лазеров,
используются ослабители излучения. Применяемые в фотометрии
стационарных потоков поглощающие и вращающиеся ослабители
в данном случае не могут быть использованы вследствие того,
что большие мощности потоков, рассеивающиеся на них,
приводят к изменению оптических характеристик таких
ослабителей.
Действие большинства ослабителей, применяемых в
импульсной фотометрии, основано на делении падающего
светового потока, например, при отражении и преломлении на
границе раздела двух диэлектриков, при полном внутреннем
отражении света, за счет регулирования величины промежутка
между поверхностями слоев диэлектрика.
27
применяются еще ослабители, состоящие из двух или трех
линейных поляризаторов, а также используется отражение от
ловерхностей, рассеивающих излучение в соответствии с
известными индикатрисами рассеяния.
Основные понятия о спектрофотометрии. При проведении
измерений фотометрических величин в ряде случаев необходимо
получить их значения в широком интервале длин волн для
каждой монохроматической составляющей спектра излучения.
Для этой цели применяются спектрофотометры, отличительной
особенностью которых является наличие монохроматора,
обеспечивающего разложение излучения по длинам волн.
Под спектром в случае электромагнитных волн понимают
полную совокупность монохроматических волн, на которую
можно разложить рассматриваемое сложное излучение.
В реальных случаях излучение, называемое
монохроматическим, характеризуется некоторым интервалом длин волн АХ или
частот Av. Если интервал частот Av мал, то приписывают всю
энергию излучения среднему значению частоты из
рассматриваемого интервала Vcp и считают излучение монохроматическим
при —^ 10~'. Монохроматическим излучением обладают
газоразрядные лампы, лазеры.
Противоположностью монохроматического излучения
является излучение со сплошным спектром — спектром сложного
излучения, в котором наблюдаются все возможные в некоторых
пределах значения частот. Сплошной спектр представляет
собой непрерывную совокупность монохроматических излучений
в рассматриваемом достаточно широком интервале длин волн
мли частот. Сплошным спектром излучения обладают тепловые
источники света, например, лампы накаливания.
Значительное число источников излучения обладает
линейчатым спектром, который представляет собой совокупность
отдельных (отличающихся друг от друга по частоте излучения
Vcp) монохроматических составляющих. Если же
монохроматические составляющие образуют дискретные группы (полосы),
состоящие из большого числа тесно расположенных
спектральных линий, то такой спектр называется полосатым.
§ 1.3. Измерение основных фотометрических величин
Расмотрим принципы построения измерительных схем и
средств, позволяющих измерить значения светового потока,
силы света, яркости, освещенности.
Измерение светового потока. Полный световой поток от
источника излучения может быть измерен с помощью
фотометрического (светомерного) шара. Он представляет собой полый
внутри шар, размеры которого выбираются в зависимости от
наружных размеров исследуемого источника света и его мощно-
28
сти. Диаметр шара должен быть не менее чем в десять раз
больше размеров источника. Внутренняя поверхность шара
должна обладать свойствами, близкими к идеальному рассеи-
вателю, т. е. отражать всё падающее на нее излучение
одинаково по всем направлениям (независимо от длины волны излу-
"чения). Рассмотрим принцип действия светомерного шара.
Прямые лучи от источника света 2, помещенного внутри шара /
(рис. 1.3.1), создадут на поверхности шара освещенность,
которая в зависимости от положения источника и распределения
в пространстве силы света J(i, ф)
будет различна для разных участков
поверхности шара. После
многократного отражения лучей от
поверхности шара величина вторичной
освещенности будет одинакова по
всей внутренней
поверхности.'Можно показать, что вторичная
освещенность Е2 пропорциональна полному
потоку от источника света Ф
1Л1 1—К Рдс. 1.3.1. Пояснение к
принципу измерений свето-
где £ —освещенность на поверх- вого потока с помощью фо-
ности шара; ^о — освещенность, со- тометрического шара
■здаваемая прямыми лучами; / —
расстояние от источника до поверхности шара; R —
коэффициент отражения поверхности шара.
Для проведения измерений в произвольном участке
поверхности шара делают отверстие, закрывают его молочным
стеклом 4 и помещают за ним фотоэлемент 5. Между источником
света 2 и фотоэлементом 5 помещают небольшой экран 3,
препятствующий попаданию на фотоэлемент прямых лучей.
Метод измерения полного светового потока состоит в
следующем. Образцовый и исследуемый источник поочередно
помещают в шар и отношение их потоков определяют по
отношению освещенностей, создаваемых на молочном стекле. Яркость
молочного стекла с наружной стороны можно определить как
визуальным, так и объективным методом.
Измерение светового потока, падающего на площадку
ограниченных размеров, можно произвести по измерениям
освещенности в данной точке, произведенным с помощью люксметра:
Ф = ЕА, где А — площадь площадки.
Измерение силы света. Измерение силы света — один из
основных видов световых измерений. При визуальных
измерениях используется фотометрическая скамья (рис. 1.3.2). Скамья
состоит из направляющих, на которых устанавливаются и при
необходимости перемещаются вдоль оси скамьи образцовый и
исследуемый источники излучения с силой света /] и /г соответ-
29
ственно, фотометрическая головка / и другие приспособления.
В фотометрической головке / производится визуально сравнение
яркостей полей сравнения, образованных светорассеивающими
поверхностями 2 и <?. На рис. 1.3.2 приведен и ход лучей в
фотометрической головке, в которой 4 и 5 — призмы полного
отражения, 6 — светоделительный кубик, 7 — окуляр.
Для уравнивания полей сравнения источники излучения
перемещаются вдоль скамьи друг относительно друга.
Рис. 1.3.2. Пояснение к принципу измерений силы света
с помощью фотометрической скамьи
И следовательно
Jx = Jik/h , где /] — сила света образцового источ-
В момент равенства яркостей полей сравнения можно
записать, что £,=-f, £2 = -f-; Ei=E^
h '2
ника; Jx — сила света исследуемого источника; /i и 4 —
расстояния от образцового и исследуемого источника, до полей
сравнения.
Сила света источника может быть измерена и
телецентрическим методом. Телецентрический метод основывается на
возможности выделения и измерения светового потока ДФ,
распространяющегося от источника, внутри постоянного и малого
телесного угла ДО, и определения силы света в соответствующем
направлении (рис. 1.3.3).
Линза / большого диаметра (рис. 1.3.3) перехватывает все
пучки света, расходящиеся от источника в пределах телесного
угла ДО. В фокальной плоскости линзы располагается
диафрагма 2, за диафрагмой помещается фотоэлектрический
приемник 3, имеющий интегральную чувствительность Se- Если А —
площадь диафрагмы 2, f — фокусное расстояние линзы, то
ДО = А/р. Ток в цепи приемника i = Se ДФ = Sg/ДО = kJ, где
k — постоянный коэффициент, определяемый градуировкой.
Приборы, построенные по такой схеме, называются свечемерами;
они позволяют производить измерения различных источников на
малых расстояниях и в незатемненных помещениях.
30
Сила света в различных направлениях измеряется с
помощью распределительного фотометра по измерению
освещенности в разных участках сферы или полусферы, условно
очерчиваемой вокруг источника света.
Во внелабораторных условиях измерение силы света в
разных направлениях осуществляется по измерениям освещенности,
производимым с помощью переносных приборов — люксметров,
по формуле J ^ ЕР, где Е — измеренная освещенность;
/—расстояние от источника
света до поверхности,
на которой измеряется
освещенность.
Измерение яркости.
Измерение яркости
самосветящихся
поверхностей с равномерным
по поверхности
распределением яркости
производится по
измерениям освещенности
площадки АЛ,
расположенной от источника на расстоянии /: L ^ М-^, где М —
светимость. Освещенность измеряется люксметрами и
различного вида фотометрами.
Измерение яркости поверхностей разных размеров,
самосветящихся или отражающих свет, производится по результатам
сравнения с известной яркостью. Для этой цели используются
яркомеры различных устройств.
Определение яркости поверхности в них основывается на
измерении световых потоков от исследуемой и образцовой
поверхностей излучения. В этом случае Lj;^-^pLo, где Nx и No
отсчеты прибора при измерениях неизвестной Ьх и известной
Lo яркостей.
Измерение освещенности. Освещенность может быть
измерена по результатам сравнения ее с известной освещенностью
с помощью различных фотометров, а также люксметров,
представляющих собой сочетание фотоэлектрического приемника и
присоединенного к нему электроизмерительного прибора,
который предварительно должен быть проградуирован в единицах
освещенности.
Рис. 1.3.3. Пояснение к принципу
измерения силы света с помощью свечемера
/2
§ 1.4. Основы колориметрии
Колориметрия — это цветовые измерения, основанные на
свойствах светоадаптированного глаза. Напомним, что под
световой адаптацией понимают адаптацию человеческого глаза
к уровням яркости, которые больше, чем 2—3 кд с 1 м^.
31
в этом случае максимум спектральной чувствительности глаза
лежит в желто-зеленой области спектра (X ^ 555 нм).
Цвет — это характеристика зрительного ощущения,
позволяющая наблюдателю распознавать качественные различия
излучений, обусловленные различным спектральным составом
света. Цвет можно рассматривать как количественную и
качественную характеристики воздействия светового излучения на
глаз человека.
Цветовое восприятие относится к одному из важнейших
явлений, с помощью которых мы опознаем и различаем предметы,
находящиеся вокруг нас. Оценки по цвету производятся и
имеют важное значение в различных областях науки и техники.
Ощущение цвета, вызываемого некоторым излучением,
зависит не только от его спектрального состава, но и от
индивидуальных особенностей наблюдателя, выражающихся в некотором
различии спектральной чувствительности глаза у разных людей.
В соответствии с 1международными соглашениями для
однозначности оценки цвета в колориметрии принят некоторый
«средний» глаз, спектральная чувствительность которого
определяется нормализованной функцией относительной спектральной
световой эффективности излучения VCk) при условии световой
адаптации. Способность глаза различать цвета определяется
колбочками сетчатки глаза, содержащими три типа приемников
света, обладающих различными реакциями на излучение
сложного спектрального состава. Изолированное возбуждение одного
из них дает ощущение насыщенного красного цвета, второго —
насыщенного зеленого, третьего—насыщенного синего цвета.
Попадающий в глаз свет (сложный по спектральному составу)
обычно действует на два или три этих приемника, возбуждая
их в различной мере. Комбинации различных по интенсивности
раздражений фоторецепторов, переработанные в мозговых
зрительных центрах, дают многообразие зрительных ощущений,
зависящих от цветовых особенностей видимых предметов.
Функции относительного спектрального распределения реакций
глаза, обусловленных работой колбочек, обозначаются г{Х),
g(X), b{X). Графики этих функций приведены на рис. 1.4.1.
Значения функции относительной спектральной световой
эффективности V(X) связаны_с этими функциями уравнением V{X)^
^ йгг (К)-\-ugg (Х)-{-аьБ {%), где йг, ag, аь — постоянные
коэффициенты.
Теория цветового зрения сейчас подтверждена
экспериментально.
Цветовое (колориметрическое) уравнение. Рассмотрим опыты
по смешению цветов, на которых основана колориметрия, и
получим цветовое уравнение. Белая диффузно отражающая
призма образует два поля сравнения (рис. 1.4.2). На левую грань
призмы падает излучение произвольного спектрального состава
Ф, цвет которого исследуется. Если на правую грань призмы
32
будем посылать три разноцветных излучения Фг, Ф^, Фб и
будем менять их по величине, то в ряде случаев можно уравнять
по яркости и цветности обе грани призмы. Это
колориметрическое равенство, определяющеетождество исследуемого цвета 5ф
потока Ф и сумму цветов потоков Фг, Ф^, Ф^, описывается
уравнением, называемым цветовым уравнением,
8ф ^ 5ф -]- S(j
Ъф^ + 5ф^
или
1.0
0.5
5ф = r'R + g'G + Ь'В,
г(Л)
/
л
\
\
у
^
(^
\Ss
ф
~Z-
Фг
т
500.
600 А,нм
Ф,г
ж
Рис. 1.4.1. Графики функций
относительного
спектрального распределения реакций
глаза, обусловленные
работой колбочек сетчатки глаза
\, I у \г
Рис. 1.4.2. Пояснение к опыту по
смещению цветов
где S ф^, 5ф , 8ф^—компоненты цвета 8ф потока
произвольного спектрального состава; R, G, В — единичные значения
компонент цвета; г', g', b'—координаты цвета, показывающие,
какое количество единичных значений каждой компоненты цвета
взято для получения колориметрического равенства.
Смысл цветового уравнения — любой цвет может быть
уравнен смесью из определенных количеств трех линейно
независимых цветов. Три цвета называются линейно независимыми, если
каждый из них не может быть получен смешением двух других.
Цвета R, G, В — линейно независимые (основные) цвета для
данного уравнения. Существует множество триад основных
цветов. При выборе основных реальных излучений стремятся
к тому, чтобы каждое из них действовало лишь на один из цве-
точувствительных приемников колбочек сетчатки глаза. В
качестве основных реальных цветов берут излучения с Х^^ТООнм,
Kg ^ 546,1 нм, }\,b = 435,8 нм. Подобрать излучение, которое
действовало бы лишь на один зеленочувствительный приемник,
невозможно.
В ряде случаев установить колориметрическое равенство так,
как было показано выше, нельзя. В этом случае к потоку Ф
доза к. №. 167
33
бавляют один из потоков Ф,-, Ф^, Фб, т. е. 5ф + 5ф = 8ф^ +
+ 5ф^. Тогда цветовое уравнение примет вид: 5ф^5ф —
— 5ф + 5ф^_. Для различных наблюдателей соотношения
потоков Ф, Фг, Ф^, Фь при достижении колориметрического
равенства могут изменяться.
Законы смешения цветов. В основу цветовых измерений
положены законы смешения цветов, которые приведены ниже.
1. Любые четыре цвета являются линейно зависимыми
(наряду с существованием бесконечного множества линейно
независимых систем из трех цветов), т. е. любой цвет может быть
уравнен смесью из определенных количеств любых трех
независимых цветов. Напомним, что три цвета считаются линейно
независимыми, если каждый из них не может быть получен
смешением двух других.
2. При непрерывном изменении спектрального состава
излучения непрерывно изменяется и его цвет.
3. Любой цвет может быть уравнен при смешивании белого
цвета и какого-либо монохроматического излучения.
4. Смешение световых потоков одного и того же цвета дает
идентичные по цвету результаты независимо от спектрального
состава излучений, порождающих эти потоки. Цвет смеси
определяется только цветами смешиваемых излучений.
Вся современная колориметрия основана на этом принципе.
Он означает, что можно оперировать со световыми потоками,
учитывая их цвета и не рассматривая их спектральный состав.
Из'последнего закона можно вывести важные следствия:
а) два световых потока одного и того же цвета, отдельно
смешанные с двумя другими потоками, цвета которых
совпадают, дают смеси одинакового цвета:
■^Ф, ^ ^ф^; 5ф^ ^ 5ф,; 5ф, -\- 8ф^ ^ Ьф.^ -\- 8ф^;
б) если световые потоки одинакового цвета вычитаются из
смесей одинакового цвета, то остающиеся после вычитания
цвета одинаковы
•Ьф, 'JфJ ^= 'Ьфг 'Ьф4>
в) увеличение или уменьшение в одно и то же число раз
потоков излучения одинакового цвета не нарушает цветового
равенства.
Эти следствия называют законами линейности при
уравнивании цветов.
При рассмотрении законов смешения введено понятие
белого цвета. Дадим его определение. Белый цвет Е — световой
поток, у которого спектральная плотность потока излучения
постоянна в видимой области спектра (равноэнергетический
спектр).
34
Наряду со стандартным белым излучением Е вводится
понятие белого излучения, получаемого от теплового источника —
лампы накаливания с вольфрамовой нитью с различной
цветовой температурой. В зависимости от значения цветовой
температуры различают три вида источников белого цвета: источник
типа А с цветовой температурой Тс ^ 2854 К, дающий
излучение, близкое по спектральному составу свету Солнца в
вечерние часы; источник типа В, имеющий Тс ^ 4800 К,
спектральный состав излучения которого близок к прямому солнечному
свету в полдень; источник типа С с цветовой температурой
Рис. 1.4.3. Геометрическое
представление цветового
пространства
Рис. 1,4.4. Пояснение к понятию
единичной плоскости
Тс = 6500 К, излучение которого близко к спектральному
составу солнечного света, рассеянного облаками.
Геометрическая интерпретация закона смешения цвета.
Законы смешения цветов и их следствия можно выразить
простыми алгебраическими уравнениями, что было уже показано.
Понятие цвета (как трехмерной математической величины)
и законы смешения имеют геометрическую интерпретацию
в трехмерном пространстве, которое называется трехкоординат-
ным цветовым пространством. В этом пространстве каждый
цвет, заданный тремя цветовыми координатами, представляется
вектором.
На рис. 1.4.3 изображено в произвольной системе координат
геометрическое представление цветового пространства. Три
основных цвета — красный R, зеленый G и синий В изображены
прямыми линиями, расположенными под некоторым углом друг
к другу. Они являются осями координат. Если г', g', b' —
цветовые координаты данного цвета S выбранных основных
цветов R, G, В, то цвет S — есть вектор с проекциями r'R,
g'G, b'B на соответствующие координатные оси. Эти оси един-
35
ственно возможным образом описывают трехмерное
пространство, если они исходят из одного центра О и не лежат в одной
плоскости. Это условие соответствует тому, что цвета R, G и В
являются линейно независимыми, т. е. ни один из этих
основных цветов не может быть получен смесью двух других
основных цветов. Масштабы по осям, т. е. единичные значения
основных цветов R, G, В, выбираются произвольно с учетом
практических соображений. Один из выборов основан на том, что
Рис. 1.4.5. Пояснение к
введению понятий
координат цветности
Рис. 1.4.6.
Пояснение к построению
цветового графика
в системе RGB
Рис. 1.4.7. Цветовой
график в системе RGB
равные, количества цветов R, G_, В создают ахроматический
цвет, соответствующий вектору S, который пересекает
единичную плоскость (рис. 1.4.4) в центральной точке. Для нее r'-f
-\-g'-If-b'^ 1. Единичная плоскость представляет особый
интерес, так как любой цветовой вектор S или его продолжение
пересекает единичную плоскость в точке S, которую можно
использовать для определения цветового вектора во всех
отношениях, кроме его длины, т. е. абсолютной величины. Точку 5
называют цветностью исследуемого цвета. Участок единичной
плоскости, заключенный внутри цветового охвата данной
системы цветовых координат, называют графиком цветности или
цветовым треугольником.
Для установления положения точки 5 на графике цветности,
т. е. определения цветности вектора S, вводим координаты
цветности г, g, b. Они определяются как кратчайшие
расстояния от точки 5 до соответствующих сторон треугольника
(рис. 1.4.5). Форма треугольника зависит от первоначально
выбранной ориентации осей трех основных цветов R, О, В в
трехмерном пространстве. Так как выбор произвольный, то
треугольник любой формы может служить графиком цветности и
любой цвет может быть задан точкой внутри или вне
треугольника.
Оценка цвета. Оценка цвета имеет количественную и
качественную стороны. Количественная оценка определяется соот-
36
ветствующими фотометрическими величинами Фа, Lv, Ev, Mv.
Качественной характеристикой является цветность,
определяемая либо координатами цветности, либо совокупностью
цветового тона и чистоты цвета.
Координата цветности — относительная величина,
характеризующая цвет:
-— -'■'- • _ g' ,_ b' _
/■'-fg'-fb'' ^ /-'-fg'-f 6' ' r' + g'+b'-
Цветовой тон или доминирующая длина волны Ха — длина
волны монохроматического излучения, которое в надлежащей
смеси со стандартным ахроматическим излучением дает
цветовое равенство с рассматриваемым излучением.
Чистота цвета Рс определяется отношением яркости
(потока) монохроматического излучения к яркости (потоку) смеси
монохроматического и белого излучения, создающей заданную
цветность. Чистота цвета характеризует насыщенность цвета
Рс= ^
^Х + ^Е
Цветовые системы. Сформулированные законы смешения
цветов лежат в основе построения цветовых систем. Рассмотрим
две цветовые системы RGB и XYZ.
В качестве основных цветов системы RGB взяты излучения
с Хц ^ 700 нм, Ха = 546,1 нм, Хв = 436,8 нм. Цветовое
уравнение этой системы записывается в виде
S = r'R-i- g'G + b'B.
Координаты цветности: г = г'/т, g = g'/m, b = Ь'jm, где
т ^ г'-\-g'-\-Ь'—цветовой модуль; тогда r-fg-fb^l.
Равенство суммы координат цветности единице позволяет
получить цветовой график в виде равностороннего треугольника
с высотой, равной единице. В вершинах такого цветового
треугольника (рис. 1.4.6) лежат основные цвета R, G, В. В
середине треугольника располагают белый цвет Е (^r = g = b =
= 1/3). Можно доказать математически, что цвета,
получающиеся в результате смешения двух цветов, расположены в
цветовом треугольнике на прямой линии, соединяющей точки,
соответствующие смешиваемым цветам. Так, на биссектрисах
углов треугольника располагаются цвета, получающиеся при
смешении каждого из основных цветов с белым цветом Е.
Для того чтобы нанести на цветовой треугольник положение
всех остальных спектральных цветов, необходимо знать
значение координат цветности г, g и b для всех спектральных цветов.
Значения эти были получены в результате лабораторных
исследований, которые заключались в уравнении цвета двух
полей сравнения при освещении одного из них последовательно
•спектральными (монохроматическими) излучениями всей види-
37
мой области спектра через 5 нм, а второго — комбинациями-
основных цветов J^, G и В.
На рис. 1.4.7 представлен цветовой треугольник с нанесенной
линией спектральных цветов по данным этих исследований.
Цифрами вдоль линии спектральных цветов указаны длины
волн в нанометрах соответствующих спектральных цветов. Все
спектральные цвета (за исключением основных цветов ^, G
и В) расположены вне цветового треугольника и, следовательно,
для каждого из них одна из координат цвета отрицательна.
Такой график, на котором расположены все существующие
цвета, носит название цветового графика.
На линии, соединяющей красный цвет с длиной волны 700 нм
и фиолетовый цвет с длиной волны 400 нм, расположены чистые
пурпурные цвета. Таким образом, цветности всех существующих
цветов располагаются на цветовом графике на площади,
ограниченной кривой спектральных цветов и прямой линией
пурпурных цветов.
Проведем прямую линию, соединяющую белый цвет Е
с цветом Si до пересечения с линией спектральных цветов. На
этой прямой линии будут расположены цвета, которые
получаются при смещении в разных пропорциях спектрального цвета
с цветовым тоном К: и белого цвета Е. Одним из таких цветов
является цвет Si.
Все цвета, расположенные на прямой линии ESi, имеют
одинаковый цветовой тон Xj, но отличаются друг от друга по
степени разбавленности белым цветом, т. е. по чистоте цвета.
Чем ближе к точке белого цвета Е расположен данный цвет,
тем меньще его чистота. В точке белого цвета Е чистота цвета
с любым цветовым тоном равна нулю. На линии спектральных
цветов чистота цвета равна 100%. Наиболее чистым
пурпурным цветам, не являющимся спектральными цветами, условно
приписывается чистота цвета, равная 100 %.
Цветовой график наглядно показывает, что любой цвет,
имеющий чистоту цвета меньше 100%, т. е. не являющийся
спектральным цветом, может быть получен смещением
бесчисленного множества пар цветов. Чтобы убедиться в сказанном,
проведем мысленно через точку Si, характеризующую собой
определенный цвет, ряд прямых линий под различными углами..
Продолжим все эти прямые до пересечения с линией
спектральных цветов. Каждая линия пересечет кривую спектральных и
чистых пурпурных цветов два раза. Любые два цвета,
расположенные на каждой из прямых, один из которых расположен по-
одну сторону, а другой по другую сторону от цвета Si, при
смещении в некоторой определенной пропорции дадут заданный
цвет Si.
Все сказанное относится и к белому цвету, который также
гложет быть получен смещением множества пар цветов. Эти
пары цветов являются дополнительными цветами. Таким обра-
38
зом, свойства цветов, которые были обнаружены
экспериментально, очень просто и наглядно объясняются с помощью
цветового графика. Цветовая система, построенная на определении
заданного цвета через три основных цвета — красный, зеленый
и синий, смешанных в определенной пропорции, дает
возможность разрешить все вопросы, связанные с расчетом цвета.
Однако наличие в этой системе отрицательных координат
цветности значительно усложняет цветовые расчеты. Поэтому
международная комиссия по
освещению (МКО) утвердила
новую колориметрическую
систему определения цвета XYZ.
Эта система, как и
предыдущая, построена на основе
трех цветов X, Y и Z,
являющихся в этой системе
основными цветами.
Трехкоординатное цветовое
пространство, построенное на
основе этих цветов, показано
на рис. 1.4.8. Ориентация осей
основных цветов выбрана так,
чтобы единичная плоскость
(X-f y + Z^l)
представляла собой прямоугольный
треугольник. Вектор S
пересекает плоскость в точке S, которая характеризует цветность,
задаваемую координатами цветности х я у. Из рисунка
следует, каким образом цвета R, G, В располагаются
относительно цветов X, Y, Z. Вся область реально
существующих цветов заключена внутри цветового треугольника XYZ,
и координаты цветности всех реальных цветов в этой
системе положительны. Основные цвета в координатах XYZ
нереальны, так как они чище спектрально чистых цветов с р ^ 1,
но они могут быть выражены через реальные цвета R, G, В
путем математических преобразований. Поэтому цветовое
уравнение (независимо от того, каким являются основные цвета
X, Y и Z) описывает процесс смешения реальных существующих
цветов в виде
Рис. 1.4.8. Трехкоординатное
цветовое пространство в системе XYZ
S = x'X + y'Y +z'Z.
Здесь х', у', г' — относительные координаты цвета; J, У, Z —
единичные значения компонент цвета. Единицы X, У, Z имеют
лишь расчетное значение. Координаты цветности выражаются
следующими соотношениями:
т^ х' -\- у' А^ z', а х -\- у ^ z^ 1.
х^—; у ■■
11
т
-, где
39
Цветовой график строится в соответствии с приведенными
соображениями в прямоугольной системе ординат ху. Вид этог»
графика представлен на рис. 1.4,9.
У
0,3
0,7
0.6
0,5
О,'*
0.3
0.2
szo/T
51о1
500
^
\
тгТ^
^8ff\
Г-'^й'
^у-Л
А-
\Ш
бсЛЛ
У\Щ
р/
550
J \ж^
v/W "^
560'
\j7^
"-^JX^
'::^^о'
580
■■;;;^^^^^о'
\бОО
'то
0,1 0,2 0^ 0,f 0,5 0,6
Рис. 1.4.9. Цветовой график в системе XYZ
0,7 Л
В середине графика расположен белый цвет Е. Вдоль
линии спектральных цветов указаны длины волн в нанометрах,
соответствующие отдельным спектральным цветам. На прямых:
линиях, соединяющих белый цвет Е со спектральными цветами,
располагаются цвета, получающиеся смешением спектральных
цветов с белым цветом.
Для упрощения расчетов цветности на цветовом графике
нанесены кривые одинаковой чистоты цвета. Для всех точек
графика, лежащих на одной кривой, чистота цвета одинакова.
40
кривые одинаковой чистоты цвета соответствуют значениям
чистоты цвета 10, 20, 30 и т. д. до 100%- Последнее значение
чистоты цвета соответствует спектральным цветам.
Вдоль линии чистых пурпурных цветов указаны значения
длин волн (со штрихом) цветов, дополнительных к
соответствующим пурпурным цветам.
С помощью графика могут быть определены характеристики
дветности произвольного цвета, для которого предварительно
имеющимися методами определяют координаты цвета. Затем
по ним рассчитывают координаты цветности и по графику
находят точку А, соответствующую цветности данного цвета.
Затем, соединив точку белого цвета Е с точкой А отрезком прямой
и продолжив его до пересечения с линией спектральных цветов,
определяют цветовой тон Kd- Чистота цвета определяется по
расположению точки А относительно кривых, имеющих
одинаковую чистоту цвета. Значение чистоты цвета может быть рас-
i/i / у — Уе \
считано и по формуле Рс^—- , где у — координата
У \ Ух Уе '
цветности смеси однородного излучения с длиной волны к и
белого излучения. Таким образом, любой цвет может быть
изображен точкой на цветовом графике и охарактеризован
цветовым тоном и чистотой цвета.
На цветовом графике наносится точка, соответствующая
дветности одного из четырех стандартных источников белого
двета: Е (х = 0,333, у = 0,333); А (х = 0,447, у = 0,407);
В (х = 0,348, у = 0,351); С (х = 0,310, у = 0,316).
Важнейшей характеристикой системы XYZ являются
удельные координаты цвета х{К), у (К), z(K) постоянных по
мощности монохроматических излучений, которые представляют собой
отношения соответствующей координаты цвета однородного
лучистого потока, выраженного в ваттах, к величине этого потока.
Удельные координаты выражают спектральные цвета видимой
области спектра через нереальные основные цвета X, Y, Z и
•определяют свойства стандартного колориметрического
наблюдателя, от которых зависит правильность уравнивания цветов
в выбранной цветовой системе.
Функции х(К), у{К), z{X) в видимой области спектра
(рис. 1.4.10) называются функциями сложения стандартного
колориметрического наблюдателя.
Из графиков следует, что они не имеют отрицательных
значений; это обстоятельство было положено за основу при
преобразовании системы RGB в XYZ. Другой важной особенностью
является то, что функция у{Х) тождественна нормализованной
функции относительной световой спектральной эффективности
V{X). Следовательно, стандартная колориметрическая система
включает в себя основной стандарт фотометрии.
Цветовые расчеты в системе XYZ. Для проведения цветовых
расчетов необходимо знать цветовые уравнения исходных цве-
41
ных цветовыми уравнениями
15
тов, спектральную плотность светового или лучистого потока-
в видимой области спектра, а также спектральные значения
коэффициентов отражения ^?^, пропускания Г^, поглощения а.%,
тел, цветность которых рассчитывается. Приведем примеры
цветовых расчетов.
1. Расчет координат цветности смеси двух излучений, задан-
Si = x\X + y[Y + z[Z; 52 =
= X2X + y2Y + Z2Z. В
соответствии с законами
смешения цвет смеси 5
определяется цветами-
смешиваемых излучений
S=S, + S,^{x[ + X2)X +
+ (yi + г/2)Г + {z[ + z,)Z.
Координаты цвета смеси
двух излучений равны
сумме координат цвета
смешиваемых излучений:.
x' = xi-{-x'., у'= y'l-\-у'2.
2 ^ 21 + 22. Цветовой
модуль полученного цвета
m = xi + Х2 + y'l +У2 +
Координаты
полученной
10
0,5
2(Л)
1 Ял; \
А^^г
/г
^•>.
\
i
\
..—
т S00 600
Рис. 1.4.10. Функции сложения
дартного колориметрического
дателя
700 Л,нм
стан-
наблю-
+ 21 + 22.
цветности
смеси излучений рассчитываются по формулам:
Х,+Х2
У'
г/1 + г/2
Zi+Za
m -^ т т
2. Расчет цветности тела, избирательно отражаюш,его
лучистые потоки.
Для расчета необходимо знать спектральную плотность
потока излучения Фе.ъ спектральные значения коэффициента
отражения R-^, функции сложения х{1,), у (К), z{K). Предположим,
что все эти функции заданы графически (рис. 1.4.11). Разобьем
спектр излучения на узкие интервалы АХ, считая, что в каждом
интервале лучистый поток однородный и Rj^ не изменяется.
Сделав эти допущения, запишем выражения, определяющие
координаты цвета потока, отраженного от исследуемого тела, т. е.:
N
Еф.
у
N
t,.xiki)R^.AXr,
t,.yiXi)Rt,.AXi;
z' = E Фе, %iZ (Xi) Rx^ AXi,
42
15
W
0.5
Z(X)
\ J^^ ^
v?xN^ >
H^)
К
r^
--^
m
HDD
600
700 K,HM
где iV — число участков, на которые разделен спектр; Rxi,Oe,Xi,
■x(Ki), yCki), z{Xi) — средние значения функций на участке
спектра AXi с порядковым номером i.
Зная координаты цвета, рассчитаем координаты цветности.
Для упрощения громоздких цветовых расчетов в настоящее
время широко применяется вычислительная техника.
Цветовые измерения. Цветовые измерения проводятся
с целью отождествления цветов и находят широкое применение
во многих областях
научной и практической
деятельности; они имеют
большое значение при
оценке качества цвета в
массовой продукции,
предназначаемой для
населения, а также при контроле
технологических
процессов, связанных с
изменением цвета изделия.
Для измерения
координат цвета световых
потоков произвольных
спектральных составов
применяются колориметры,
которые делятся на
визуальные и
фотоэлектрические.
Визуальные
колориметры— это приборы, в которых неизвестное по своему
спектральному составу излучение заполняет одну часть поля зрения,
а другая прилегающая часть поля зрения (поле сравнения)
может заполняться один за другим известными по спектральному
составу потоками излучения. Проводя регулировку количеств
известных потоков, добиваются одноцветности обоих полей
сравнения. Показания регулировок в момент установления равенства
цветов принимаются в качестве характеристик цвета
исследуемого светового потока. Затем они могут быть пересчитаны на
координаты цвета в системе XYZ.
Большое распространение получили фотоэлектрические
колориметры— приборы, в которых координаты цвета
исследуемого излучения определяются без участия глаза. Основная
сложность при их построении заключается в том, чтобы
спектральные чувствительности трех приемников излучения были
прямо пропорциональны функциям сложения стандартного
наблюдателя хСк), у{1), z{l) по всему видимому спектру. Если
получено полное воспроизведение функций сложения, то
реакция первого фотоэлемента дает координату цвета х' лучистого
потока, падающего на него, а реакция второго и третьего фото-
Рис 1.4.11. Пояснение к расчету
цветности тела, избирательно отражающего
лучистый поток
43
элементов — соответственно координаты у' и г'. Правильная
настройка фотоэлектрических приемников может быть
выполнена с большей или меньшей точностью при использовании
следующих двух методов.
В первом методе используется монохроматор, в плоскость
спектра которого попеременно устанавливаются три
спектральные маски, представляюш,ие собой диафрагмы определенной
формы (рис. 1.4.12). С их помощью спектральная чувствитель-
Маска X Маска Y Маска Z
Рис. 1.4.12. Оптическая схема колориметра с масками
ность единственного фотоэлектрического приемника
последовательно приводится к трем стандартным функциям сложения.
Такие приборы называются колориметрами с масками.
Во втором методе коррекция спектральной чувствительности
фотоприемников выполняется с помощью трех цветных
светофильтров, устанавливаемых перед каждым из них. Эти
колориметры называются колориметрами с фильтрами.
В настоящее время при проведении цветовых измерений
с целью повышения их точности все больше используется
автоматизация эксперимента на основе вычислительной техники,
дающей готовые координаты цвета и цветности.
Глава 2
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
В ОПТИЧЕСКИХ СРЕДАХ
В этой главе взаимодействие излучения с веществом
рассматривается с точки зрения условий распространения световой
волны в среде. При прохождении потока электромагнитного
излучения через газы, жидкие и твердые тела величина потока,
длина волны, направление распространения и состояние
поляризации могут меняться в той или иной степени в результате
перечисленных ниже явлений.
1. Поглощение, в результате которого величина потока
уменьшается по мере прохождения через среду.
2. Преломление и отражение на границе раздела сред, что
приводит к изменению направления падающей волны и
появлению преломленной и отраженной волн с уменьшенной
интенсивностью. Величина отклонения преломленной волны зависит
от отношения показателей преломления на границе раздела
сред. Кроме того, это отношение зависит от длины волны;
последнее приводит к тому, что величина отклонения является
функцией длины волны. Это явление получило название
дисперсии.
3. Анизотропия преломления и отражения, которая приводит
к изменению состояния поляризации волны.
Эти особенности распространения являются предметом
изучения физической и частично геометрической оптики и могут
быть проанализированы без привлечения понятий квантовой
теории. Исключение составляет случай нелинейной связи
между полем и результатом его взаимодействия со средой, т. е.
нелинейная оптика, которая имеет практическое значение при
больших плотностях потека излучения. В этой главе нелинейные
явления будут рассмотрены в самых общих чертах.
Все перечисленные вопросы рассмотрены в основном в
прикладном плане.
§ 2.1. Описание характеристик световой волны
Во введении было отмечено, что световая волна
характеризуется амплитудой, фазой и частотой (длиной волны).
Поскольку электромагнитная волна имеет векторный характер, то в
понятие амплитуды следует ввести понятие поляризации, т. е.
зависимости от времени направления электрического и
магнитного полей в пространстве.
45
Особое значение имеют плоские гармонические
(монохроматические) волны. Вектор Е в такой волне можно записать
в виде
£=£ocoscu[^ —(г'.п)/с], (2.1.1)
где Eq — амплитуда колебаний вектора напряженности
электрического поля; со ^ 2nv; v — частота световых колебаний; г —
радиус-вектор, проведенный из начала координат в точку, где
определяется напряженность; п — единичный вектор нормали
к поверхности волны; (г-п) — скалярное произведение векторов
г и п; с — скорость света.
В проекциях на оси координат выражение {г-п) имеет вид
(г-п)^х cos а -f г/ cos Р + 2 cos 7, где х, у, z — координаты точки
наблюдения на волновой поверхности; cos а, cos |3, cosv —
компоненты вектора п (направляющие косинусы) по осям х, у, z.
В случае плоских волн выберем оси координат таким
образом, чтобы вектор Е лежал в плоскости х, у, а направление
распространения волны совпадало с осью z. В частности, можно
положить, что поле имеет только одну составляющую вектора
Е, например, Ех, т. е.
£ = £^ = £„ cos [(О [t — z/c) -f ф]. (2.1.2)
Преобразуя выражение ш(/ — z/c), в котором со ^ 2kv ^
^ 2л/Г, где Т ^ Ко/с ^ k/v — период световых колебаний,
Хо, Я — длины волн в вакууме и среде, будем иметь сй(/ — z/c)^
= (at — 2nz/Xo. Величина й ^ 2лДо определяет циклическое
волновое число и представляет собой абсолютное значение
волнового вектора k, который в изотропной среде по направлению
совпадает с направлением нормали к волновой поверхности,
т. е. й = 2лп/Хс.
Перенос энергии световым полем определяется вектором
Умова — Пойтинга
S = (сп)/4л {п\ Е f),
где с — скорость света; п — единичный вектор направления; п —
показатель преломления среды.
Количественно вектор Умова — Пойтинга представляет собой
величину мощности оптического излучения, проходящего через
единичную площадку, перпендикулярную направлению
распространения света. При фотометрических измерениях среднее
значение этой величины за время наблюдения называется
интенсивностью излучения или облученностью. Часто употребляют
46
также термин интенсивность света /, под которой обычно
понимают величину, пропорциональную квадрату амплитуды
напряженности электрического поля, т. е. I = А\Е\^, где А — постоян-
вый коэффициент. Интенсивность, следовательно, равна
плотности излучения, если постоянный коэффициент равен сп/4л
(система единиц СИ). При использовании выражения (2.1.2)
/« е1.
Одной из важнейших характеристик волны в когерентной
оптике является ее фаза, которая определяет результат
взаимодействия волн друг с другом.
в уравнении (2.1.2) фаза представлена двумя слагаемыми —
ПОСТОЯННЫМ ср и переменным -г- z = 2nnz/Xo. Переменная
составляющая 2nnz/Xo зависит от пути z, проходимым волной
в среде с показателем преломления п. В оптике произведение
nz называют оптической длиной пути. Численное значение фазы
волны зависит от начала отсчета координат и поэтому
определяется с точностью до постоянной. Однако при
экспериментальном исследовании важна, как правило, разность фаз волн
2n{niZi — «222)Ао, а она от выбора начала отсчета уже не
зависит. Величину AL ^ riiZi — n^z^ называют оптической
разностью хода.
Если необходимо учесть поглощение среды, то следует
ввести комплексный показатель преломления в виде п^п — i%.
Здесь п — действительная часть показателя преломления,
определяющая скорость распространения волны, а % — показатель
поглощения характеризующий убывание амплитуды плоской
волны, распространяющейся вдоль оси z. При этом комплексная
амплитуда E(x,y,z) имеет вид
Е (х, у, z)^Eo ехр (— 2лх2/Ло) ехр {i2nnz/Ko)-
Первый экспоненциальный множитель, определяющий
убывание амплитуды, для интенсивности обычно записывают в виде
закона Бугера /^/оехр(—az), где /о — интенсивность волны
на входе в слой вещества толщиной z, а а — коэффициент
поглощения, зависящий от длины волны {а=^ 4лхДо).
Рассмотрим следствия, вытекающие из векторного характера
световой волны, т. е. из поперечности световых колебаний. Так,
в волне типа (2.1.2) плоскость колебаний может быть
ориентирована произвольным образом, но она всегда параллельна
плоскости ху. Если направление колебаний электрического вектора
с амплитудой составляет угол 6) с осью х, то волну (2.1.2)
можно задать через ее проекции Ех и Еу, т. е. в виде:
Ех = Ео cos 6 cos Ш — 2nz/X -f ф^;);
(2.1.3)
Еу = Ео sin 6 cos (at — 2nz/X -f ф^).
47
Согласно формулам (2.1.3), Е^ и Еу изменяются с разными
фазами. Так, в некоторый момент времени t (при заданном z)
значение Ех может стать равным нулю, тогда как Еу при этом
будет максимальным {Еу = Ео). В общем случае возможны
самые разнообразные сочетания значений Ех и Еу-. значение
вектора напряженности электрического поля в каждый момент
времени задается точкой внутри прямоугольника {2А,2В),
изображенного на рис. 2.1.1. Исключая из соотношений (2.1.3) пе-
Рис. 2.1.1. Эллипс поляризации
и его параметры:
Х^ а — большая полуось эллипса;
b — малая полуось эллипса;
а — угол, определяющий
ориентацию эллипса в
координатах ху; р = arctgfe/o —угол
эллиптичности; R — угол,
характеризующий отношение
амплитуд £^ и Ey(igR = EyIEx)
ременную часть фазы, зависящую от / и 2, получим
геометрическое место точек, определяющее возможные значения Е^ и
Еу, т. е.
(£;,/cos е)' + {Eyliin Qf + 2ЕхЕу (sin G cos G cos 6) = El nn 6,
(2.1.4)
где 6 = фх — ф(/; Л = fo cos 6; В = Eq sin 6.
Уравнение (2.1.4) есть уравнение эллипса (рис. 2.1.1),
вписанного в прямоугольник со сторонами 2А, 23 \ Волна, у
которой проекция конца электрического вектора описывает эллипс,
называется эллиптически поляризованной. У такой волны по
мере изменения величины (ш^ — 2л2Д) конец электрического
вектора перемещается по эллипсу. Весь эллипс описывается
в данной точке z за период колебания электрического вектора
Т = 2л/сй.
Эллиптически поляризованное излучение является общей
формой простого регулярно поляризованного излучения. Если
фазы фх и фу не постоянны, а зависят от времени, то в
соответствии с характером этой зависимости возникают другие формы
' Между параметрами эллипса поляризации на рис. 2.1.1 и разностью
фаз б существует следующая связь:
Г tg2p= sin а tgS; f tg 2а = tg 2^? cos б;
cos 2/? = cos 2a cos 2p
либо j
sin 2p^ sin 2R sin 6.
48
поляризации. При случайном хаотическом изменении фазы,
а соответственно и разности фаз б, излучение становится
полностью неполяризованным. Иногда такое излучение называют
естественным светом. В действительности в эксперименте свет
всегда частично поляризован. В общем случае он частично
эллиптически поляризован.
Таким образом, световая волна может быть поляризована
полностью, частично или совсем неполяризована. Для
полностью поляризованной волны необходимо указать параметры
эллипса поляризации. Для частично поляризованной волны
вводится понятие степени поляризации, которая численно
характеризуется отношением интенсивностей поляризованной
составляющей к полной интенсивности волны.
До сих пор рассматривались свойства монохроматических
волн бесконечно протяженных во времени и в пространстве.
Такая волна имеет вид неограниченной синусоиды, т. е. Е ^
^ £0 cos (о)/-f ф — r/v), где г — путь, пройденный волной в
направлении распространения; а v — скорость распространения
волны в среде. В действительности строго монохроматические
волны вводятся в рассмотрение в качестве предельного случая,
удобного для выяснения физического смысла явления или
проведения тех или иных расчетов. В эксперименте обычно имеют
дело с группой волн, обладающих разными частотами со и
разными скоростями распространения v. Группой волн называют
импульс, спектр которого можно представить как совокупность
бесконечного числа синусоид; частоты этих синусоид мало
отличаются друг от друга и сгруппированы относительно некоторой
центральной частоты шо.
Для облегчения вычислений импульс можно представить
в виде двух синусоид, близких по частоте и с одинаковой
амплитудой. В большинстве случаев при таком упрощении
основные черты явления сохраняются. Остановимся на основных
свойствах такой группы волн. Рассмотрим две компоненты
с круговыми частотами coi ^ Шо-f Асй/2, сог ^ соо — Асй/2.
Соответствующие волновые числа для этих волн будут:
^1 ^ йо-f Ай/2, ki^ko — Ай/2. Напомним, что волновое число
связано с круговой частотой соотношением со ^ vk.
Итак, рассматриваемый импульс (группа волн) описывается
выражением
Е (t) = Ео cos {щ1 — Ъуг) + Ео cos {(л^^ — k^r) =
= 2Ео cos (Аш^ — Айг) cos (шо/ — коГ) =
= А cos {(Hot — ког). (2.1.5)
Множитель А ^ 2Eocos(^(iit — Айг) медленно меняется во
времени и пространстве, так как по определению Аш <С шо и
Ай <С йо- Вид функции, описывающей импульс типа (2.1.5),
представлен на рис. 2.1.2.
4 Зак. № 167 49
a;
^)
J.E'>^
Рис. 2.1.2. Сложение двух колебаний с близкими
циклическими частотами (о); результирующая
интенсивность во времени (б)
Если импульс имеет более сложную форму, то для расчета
его спектрального состава ^(v) необходимо воспользоваться
разложением Фурье. Согласно теореме Фурье функцию E{t).
можно представить в виде:
оо
E{t)={E (v) exp {i2nvt) dv;
0
CO
E (v)=[e (t) exp (— i2nvt) dt.
0
В частности, для импульса E{t) в виде отрезка синусоиды
при t > |т/2| имеем
i:/2
£(v)=£„exp —г[(2лг/1) —6] \ е-^^" (''-'"^ Ыt =
-т/2
^ rsinn(v-vo)Tl ,,(,„,д)_а1. (2.1.6)
Распределение энергии по частоте пропорционально
квадрату модуля выражения (2.1.6), т. е.
и / ч ,2 2 Г sin я (v
— vo) т
Vo) Т
(2.1.7)
Эта зависимость представлена на рис. 2.1.3. Интервал частот
между точками первых минимумов, расположенными
симметрично по отношению к Vo, равен Av ^ 1/т. Величина Av ^
= АХс/К^ характеризует ширину спектральной линии излучения
и обратно пропорциональна длительности цуга т. Время т
называют временем когерентности.
Длина цуга / ^ сх, где с — скорость света. Учитывая, что
Av ^ 1/т, X = c/v и обозначив через Xq среднюю длину волны,
соответствующую vo, найдем I^Ko/AK. Длина / называется
50
Рис. 2.1.3. Контур спектральной
полосы
1Е(^)1^
длиной когерентности. Если
^(v), т. е. спектр отличен от
нуля только при значениях v,
близких к vo, и Av -С vo, то
излучение называют
квазимонохроматическим. При этом xjT
становится очень большим
числом. Следовательно, за время существования цуга происходит
большое количество колебаний с частотой vo.
§ 2.2. Прохождение света
через прозрачный диэлектрик
Согласно электромагнитной теории света свойства среды для
•оптического диапазона длин волн характеризуются показателем
преломления п^ л/г, где е — диэлектрическая проницаемость
веш,ества. На основании классической теории дисперсии
показано, что величина п зависит от частоты электромагнитного
поля, т. е. среда обладает дисперсией. Современная теория
дисперсии может быть построена как при использовании
классических представлений взаимодействия световой волны с веш,е-
ством, так и с квантово-механических позиций. Будем опираться
на классическую электронную теорию дисперсии, в которой
учитывается воздействие проходяш;ей через веш,ество световой
волны не связанные электроны этого веш,ества с учетом или без
учета силы торможения.
Дисперсия веш,ества, т. е. зависимость показателя
преломления от длины волны (частоты), определяет целый ряд свойств
волны, распространяюш,ейся в среде. Одним из свойств является
скорость распространения волны. Для монохроматической
волны скорость ее перемеш,ения можно связать с перемещением
фазы. Из уравнения волны £'^£oCos(cu^ — kr) следует, что
условием постоянства фазы является соотношение со^ — kr ^
= const. Дифференцируя, получим, что v = dr/dt = w/k.
Поскольку со ^ 2п/Т и k ^ 2л/Х, то о ^ ш/й ^ %/Т. Эту скорость
называют фазовой. При распространении в среде
немонохроматической волны, т. е. импульса, понятие фазовой скорости не
применимо.
Для среды, не обладающей дисперсией, введение понятия
скорости не вызывает принципиальных затруднений. Скорость
распространения импульса отождествляется со скоростью
перемещения какой-либо его характерной точки, например,
максимальной напряженности поля. При этом предполагается, что
импульс сохраняет свою форму в процессе перемещения.
4* 51
V+J V
Рис. 2.2.1. Распространение двух
монохроматических волн Xi и ^2 в диспергирующей
среде
В диспергирующей среде различные монохроматические
синусоидальные составляющие, образующие импульс,
распространяются с различными фазовыми скоростями и импульс
деформируется. Если дисперсия невелика, то через некоторое
характерное время импульс восстанавливает свою первоначальную
форму. Процесс восстановления формы при этом является
периодическим.
В связи с этим и появляется возможность введения понятия
скорости распространения импульса, связав эту скорость со
временем восстановления
V формы импульса и с дли-
I *■ о, !■< ^ >н р^ ной пути, проходимым
импульсом за это время.
Очевидно, что
рассчитанная таким образом
скорость не совпадает с
фазовой. Ее называют
групповой, т.е. скоростью
распространения группы волн
(импульса). Для
установления связи между
групповой и фазовой
скоростями воспользуемся
выражением (2.1.5).
Импульс при этом представляет собой синусоиду с медленно
меняющейся амплитудой Л ^ 2£'о cos (Аш^ — Айг). Выделим на
импульсе какую-либо точку с определенным значением Qi,
например, максимум (рис. 2.2.1). Определим скорость перемещения
этой точки, которая и характеризует скорость распространения
импульса (групповую скорость). Отметим, что эта скорость есть
скорость перемещения максимальной амплитуды, а
следовательно, и энергии, переносимой движущимся импульсом.
Для нахождения групповой скорости и запишем условие
постоянства амплитуды, т. е.
^ Асо — г l^k^ const = глот.
Дифференцируя, находим:
dtSua — drl^k^^ или и = drjdt = Асо/Ай.
Найдем связь между и и v.
и = Асо/Ай = А (vk)|^k = v + k Av/Ak
или, так как й ^ 2л/Я, Ak ^—2лАЯД^. имеем ^Ао/Ай =
^ —Я Ао/АЯ и окончательно
u = v~Xdv/dX. (2.2.1)
Формула (2.2.1) называется формулой Рэлея.
При нормальной дисперсии скорость v монохроматической
волны растет с увеличением длины волны, поэтому волна
5.2
с я + AX обгоняет волну с X (рис. 2.2.1, I н II). Если в
некоторый момент времени максимумы Pi и Рг совпадают, то через
некоторое время т Рг обгонит Pi, но при этом совпадут
максимумы Qi и Q2. Это означает, что центр импульса за это время
сместился на одну длину волны Я.и совпал с точкой Qi.
Поэтому скорость сложного импульса меньше фазовой скорости
первой волны на величину Х/т.
Отметим, что энергия распространяется со скоростью,
которую можно назвать скоростью сигнала. Поэтому эту скорость
иногда называют сигнальной. При измерении скорости света
различными методами измеряется, как правило, именно
групповая (сигнальная) скорость, а не фазовая.
В соответствии с инвариантом преломления nisina^
^ П2 sin р, где аир — углы падения и преломления
соответственно, а абсолютные значения показателей преломления
первой и второй сред щ и Пг соответствуют фазовым скоростям
волн, т. е. Щ = C/Vl и П2 ^ C/V2-
В ряде случаев экспериментально выполняются измерения
показателя преломления, соответствующего групповой скорости
и. Установим связь между фазовым и групповым показателями
преломления. Введем обозначения По ^ c/v и Пи ^ с/и. Тогда
из (2.2.1) получим Пи ^ tiv — "kdn.v/d'k. Отметим еще, что при
измерении расстояний с применением светодальномеров
необходимо при расчетах учитывать групповую скорость, т. е.
вводить поправки на дисперсию показателя преломления среды.
Выполним анализ формулы Рэлея (2.2.1). Величина dv/dX
в формуле (2.2.1) характеризует дисперсию, и от ее значения
зависит соотношение между фазовой и групповой скоростями.
Предварительно получим выражение, связывающее
групповую скорость с дисперсией материала. Поскольку со ^ 2лс/Хо ^
^ 2пс/{п'к), k = 2я/Х, то имеем
u = d [2ncl(nl)]ld (2л/Я) = с/п Г1 - (Я/п) ^
Отметим, что это выражение может служить обоснованием
введения группового показателя преломления.
Если dv/dX^O (дисперсия отсутствует), то по формуле
(2.2.1) фазовая скорость равна групповой (u==v). Это
справедливо только для вакуума. Для некоторых сред дисперсия
пренебрежимо мала в видимой области спектра, и ее можно'
в этих случаях не учитывать. При dv/dX > О и < о, что
соответствует нормальному ходу дисперсии, так как при этом dn/d%
меньше нуля, потому что
dv/dk = {с'/п') (dn/dk) > 0.
Аномальному ходу дисперсии соответствует случай dv/dX<CO
и и > и. При выполнении этого неравенства возможна
ситуация, когда рассчитанная групповая скорость окажется больше
53
скорости света с, что противоречит физическому смыслу. В
действительности это свидетельствует о неприменимости понятия
групповой скорости в этом случае.
Детальный анализ показывает, что групповую скорость
можно ввести только при относительно малой величине
дисперсии. Большая дисперсия сопровождается значительными
искажениями формы импульса, и говорить о скорости его
распространения в том смысле (как это сделано выше) некорректно.
В частности, при этом периодическое восстановление
первоначальной формы импульса не имеет места.
Для выполнения конкретных расчетов необходимо получить
соотношение, связываюш,ее показатель преломления с длиной
волны (частотой). Классическая электронная теория дисперсии
приводит к формуле
n^ = A + B/[{(4-&^)-\-iya]. (2.2.2)
В формуле (2.2.2) Шо — собственная частота колебаний
электрона; со — частота колебаний электромагнитной волны; А, В —
постоянные; у — коэффициент, характеризуюш,ий затухание
колебания в среде.
Из этого выражения следует, что показатель преломления
в обш,ем случае является комплексной величиной п ^ п-\- Ы.
Производя в формуле (2.2.2) соответствуюш;ие преобразования
и отделяя веш;ественную часть и мнимую, получим;
п'-^' = А+ ,^^'"\':'f\ ,; (2.2.3)
2«'<=-7Т—1?Г-^- (2.2.4)
(cog — (иу -f Y ш
В формулах (2.2.3) и (2.2.4) х — показатель поглош;ения.
Уравнения (2.2.3) и (2.2.4) связывают показатель
преломления п и показатель поглош;ения х. Графики функций пк и
.n(cu)—1 в зависимости от частоты со для газа (рис. 2.2.2)
в основных чертах дают представление о характере изменения
п и X вблизи резонансной частоты coq. На участках АВ и CD
показатель преломления возрастает с частотой. На участке ВС
показатель преломления п убывает. Этот участок кривой
описывает аномальную дисперсию. Отметим, что п является четной
функцией относительно со, а х — нечетной. Кроме того, эти
величины тесно связаны между собой. Это позволяет сделать
вывод, что поглош;аюш;ая среда всегда обладает дисперсией.
Поскольку «их являются составляюш;ими одной функции, то это
свидетельствует о возможности по известному показателю
преломления найти показатель поглош;ения и наоборот. Более
строго эта связь устанавливается так называемыми
соотношениями Крамерса — Кронига.
54
Если в спектре вещества имеется несколько полос
поглощения, то правую часть формулы (2.2.2) необходимо заменить
суммой. Так, для двух полос поглощения имеем
n^^A + -Y^ + —^- (2.2.5)
В частности, если полосы поглощения обязаны
возникновением взаимодействия волны с электронами и ионами, то cooi ^
= Ше и сй(,2 = «а- Полоса поглощения с резонансной частотой cog-
Ti((J0)'1 tt
1
п
П--1
,
"^
1
1
\
'
i
\
?г
А»;
Ад
Рис. 2.2.2. Ход кривой дисперсии в
области линии поглощения
Рис. 2.2.3. Зависимость и от Я без учета
затухания в среде
лежит в коротковолновой, а с частотой соа в длинноволновой
областях спектра.
Для удобства сравнения с экспериментом формулу (2.2.5)
преобразуем, используя соотношения cooi ^ 2лсДо1, сйо2^2лс/Хо2
и со ^ 2лс/'к. Тогда получим
п'^А +
biX^Xoi
'^oi
Й2Л02
(2.2.6)
Выражение (2.2.6) приведено без учета затухания колеба-
ниий в среде. На рис. 2.2.3 показана зависимость n^f(X).
В формуле (2.2.6) bi и Ьг — постоянные, причем
bi = NteVoi/{mnc'), (2.2.7)
где Ni—число поглощающих атомов в единице объема; т —
масса колеблющейся частицы; е — заряд электрона.
55.
§ 2.3. Отражение света
на границе раздела прозрачных диэлектриков
При рассмотрении явления отражения электромагнитной
волны от границ раздела сред могут иметь место три случая:
а) волна распространяется из среды менее плотной в среду
более плотную и слабо поглощающую, т. е. ni < «2 и хг «^ 0;
б) волна распространяется из среды более плотной в среду
менее плотную щ > Пг, при этом коэффициент поглощения
второй среды Х2 ^ 0; в) имеет место падение излучения на
границу раздела двух сред, из которых вторая менее плотная
rti >> ^2 и показатель поглощения Х2 Ф 0.
Рассмотрим явления, соответствующие приведенным
соотношениям.
Отражение световой волны, происходящее на границе двух
различных сред (при соотношении щ Ф Пг), неразрывно связано
с явлением преломления луча во вторую среду. Если
показатели преломления обеих сред одинаковы, то отражения не
происходит даже в том случае, когда среды различаются по
другим свойствам. Законы отражения принимают простой вид для
случая оптически гладкой плоской поверхности раздела. При
выполнении этого условия каждый луч падающего пучка света
отражается так, что угол падения, образуемый лучом с
нормалью к поверхности в точке его падения, равен углу
отражения; причем оба луча (падающий и отраженный) лежат в одной
плоскости с нормалью к поверхности. Эта плоскость называется
плоскостью падения.
Основным свойством зеркально отраженной волны является
ее когерентность с волной падающей и преломленной. При
встрече падающей и отраженной волн образуются стоячая и
бегущая волны и наблюдается интерференция. Частота
световых колебаний при зеркальном отражении не меняется. Таким
образом, отражение от диэлектриков дает возможность
получить когерентные волны.
Законы отражения света, учитывающие состояние
поляризации отраженной и преломленной волн, выводятся для
перечисленных выше случаев из общей теории отражения и
преломления электромагнитных волн и представляются в виде формул
Френеля.
Пусть имеются два диэлектрика, разделенных плоской
поверхностью и характеризуемых показателями преломления п.\
и щ (диэлектрические проницаемости ei и 62).
На поверхность раздела под углом а (рис. 2.3.1) падает
линейно поляризованная волна. При падении на поверхность
раздела она дает отраженную (угол отражения а) и
преломленную (угол преломления р) волны. Все три луча лежат в
одной плоскости — плоскости падения.
:56
Для решения задачи об интенсивности и поляризации
отраженной и преломленной волн нужно использовать условия на
границе раздела для электрического и магнитного полей (век-
торы Е и Н).
Падающую волну любого вида поляризации можно
разложить на две составляющие, что показано на рис. 2.3.1, а, б; век-
-*• -*-
тор Е\] лежит в плоскости падения, вектор Е±, — перпендикуля-
Рис. 2.3.1. Направление векторов £ и Я на границе раздела
рен ей. Будем называть поляризацию в первом случае
параллельной, а во втором — перпендикулярной.
Примем определенную систему для обозначения
направлений колебаний векторов Е и Я; пусть переход от направления
колебания вектора Е к направлению Н будет происходить по
часовой стрелке при наблюдении навстречу лучу. Положение
векторов Е и Н обозначено на рис. 2.3.1, а, б.
Формулы Френеля для амплитудных коэффициентов
отражения и пропускания получены с учетом граничных условий,
которые требуют непрерывности тангенциальных составляющих
Е и Н электромагнитной волны на границе раздела двух сред.
Тогда для колебаний векторов, параллельных плоскости
падения Е\\ и Erj\, имеем для амплитудного коэффициента отражения
Г|| = -
tg(a-P)
tg(a + P)
(2.3.1)
5Г
S)
71
Рис. 2.3.2. Зависимость
амплитудных коэффициентов
пропускания и отражения от угла
падения при «i < щ (а) и
фазовые соотношения между
составляющими падающей (^и,
£_!_) и отраженной (^гц, frj_)
волн (б)
А
^J., ^п
\ 1
1
i
^1
»п
Для колебаний векторов Ех_ и fr, х, перпендикулярных
плоскости падения, имеем
г I =
sin (а —р)
sin (а -f р)
(2.3.2)
Соответственно можно написать формулы для преломленных
волн, поляризованных параллельно Et,\\ и перпендикулярно £;, х-'
h
2 cos а sin р
sin (a-f- р) cos (а — р)
^ =-
't, ±
2cos а sin р
(2.3.3)
(2.3.4)
J_l_ sin (а+ р)
Уравнения (2.3.1) —(2.3.4) известны как формулы Френеля.
Они дают полное представление об амплитуде и фазе
отраженной и преломленной волн при прохождении света из менее
плотной в более плотную непоглощающую среду. Графики
зависимостей (2.3.1) —(2.3.4) при п\= 1,0; «2=1,5 даны на рис.2.3.2,а.
Рассмотрим более подробно формулы (2.3.1) и (2.3.2). Они
дают возможность построить кривые для амплитуд и фаз
отраженных волн в зависимости от углов падения. При отражении
света от более плотной среды для компоненты Ег, \\ имеет место
скачок фазы колебаний по отношению к фазе падающей волны
на л в определенных интервалах углов падения. Это
подтверждается экспериментально. Ориентация векторов Е и Н в
отраженной волне (с учетом сказанного выше) представлена на
рис, 2,3,1, а, б. При такой ориентации для вектора Н при
отражении скачок фазы отсутствует, что и должно быть, так как на
границе раздела магнитные свойства среды не меняются. На
рис. 2.3.1 вектора Е в падаюш;ей и отраженной волне
противоположны по фазе, что соответствует ориентации векторов,
изображенной на рисунке.
58
при принятом выборе знаков в формулах (2.3.1) и (2.3.2)
поворот плоскости поляризации в отраженной волне меняется
монотонно, что иллюстрируется на рис. 2.3.3. Как видно из
рисунка, в результате изменения амплитуд frji и Er,i.
отраженная волна с начальной ориентацией вектора Ег под углом 45°
к плоскости падения испытывает поворот плоскости поляриза-
Рис, 2,3.3. Ориентация векторов Е в отраженной
волне
ции при изменении угла падения а. При скользящем падении
(а = 90°) плоскость поляризации ориентирована под углом 90°
к исходной.
Из формулы (2.3.1) при а + р = л/2 следует, что
коэффициент Гц обращается в нуль. При одновременном присутствии
в падающем излучении параллельной и перпендикулярной
компонент отразится от поверхности раздела только компонента
Ег,± и свет станет линейно поляризованным. При а-j-р ^ л/2
sin р ^ cos а (рис. 2.3.4) и инвариант преломления для
относительного показателя преломления дает
п =
Пз
sin а
П1
cos а
= tg авр.
(2.3.5)
Угол, соответствующий условию (2.3.5), называют углом
Брюстера. Для случая п^1,52 и Л ^ 0,5 мкм авр ^ 57°. На
рис. 2.3.2,6 изображен график изменения фазы между
отраженной и падающей волнами для обеих поляризаций Ь± и бц для
всех углов а.
59-
Рассмотрим подробнее зависимость от угла падения
разности фаз 6х и б|| между падающим и отраженным лучами. Из
формулы (2.3.2) следует, что для всех углов Qi < а <; л/2 для
перпендикулярной поляризации разность фаз 6i остается
постоянной и равной л (см. рис. 2.3.2,6). Для параллельной
поляризации {Ег,\\) разность фаз 6|| равна также л при таких
значениях а, для которых сумма а + р ^ л/2. При а + р ^ л/2
в формуле (2.3.1) знак тангенса
изменится и произойдет скачок фазы на л,
т. е. фаза отраженной волны совпадает
с фазой падающей. В соответствии с
формулой (2.3.1) амплитудный коэффициент
отражения меняет знак.
Для реальной границы раздела
скачкообразное изменение фазы би при а^
^авр не наблюдается. На рис. 2.3.2,6
штрихпунктиром показан реальный ход
зависимости 8\\. Таким образом, в этом
случае при а^авр между параллельной
и перпендикулярной компонентами
имеется разность фаз, приближенно
равная л/2.
Для преломления волны из формул (2.3.3) и (2.3.4) следует,
что при любом значении углов падения а и преломления ^р
знаки Е\\ и Et, и, знаки Е±_ и Et, ± совпадают. Это свидетельствует
о том, что преломленная волна во всех случаях имеет фазу
падающей волны. Амплитудные же коэффициенты пропускания ^ц
и t±_ (так же, как и в отраженной волне) отличаются и зависят
от углов падения (см. рис. 2.3.2, а).
Покажем, что при падении линейно поляризованного света
направление плоскости поляризации в отраженной и
преломленной волнах оказывается повернутым относительно
соответствующего направления этой плоскости в падающей волне. Этот
поворот происходит вследствие различной зависимости
амплитудных коэффициентов отражения и пропускания волн разной
поляризации от угла падения а. Обозначив азимуты колебаний
электрического вектора в падающей, отраженной и
преломленной волнах через у, ц, е, можно записать:
Рис. 2.3.4. к
определению угла Брюстера
tg Y = -р^; tg л = ■
'г, 1
tge =
'*, ±
Отсюда с учетом (2.3.1) и (2.3.2), (2.3.3) и (2.3.4) имеем:
, cos (а — В) ,
^g^=cos(a + P)^gY'
tg е = cos (а — Р) tg Y-
Из этих формул следует, что при увеличении угла падения
плоскость колебаний в отраженной волне удаляется, а в пре-
60
ломленной волне приближается к плоскости падения. При угле
падения, соответствующем углу Брюстера, tgr] ^ оо, т. е. ц ^
= я/2, а при углах а > авр tgT] < О вследствие изменения
знака cos(a+p) и соответствующего скачка фазы для гц.
Если принять Y = 45°, то Е±_ = Е\\, и соответственно г±. = г\\
при а ^ 0. При увеличении угла а, в соответствии с формулами
(2.3.1) и (2.3.2), гх возрастает, а гц убывает и азимут ц
увеличивается. Когда а = авр, г\\ ^ О и т] становится равным 90°.
Затем знак гц изменяется и ц становится больше 90°. При
скользящем падении (а = 90°) гц = —г± = 1 и угол ц будет равен
135° или —45°. Изменение ц в зависимости от угла падения а
представлено на рис. 2.3.3.
Отметим еще угол падения а = 45°. В этом случае имеем
ло формулам (2.3.1) и (2.3.2):
г. Е^ . cos{45° —р) cosP+sinp
cos (45 ° + I
cos
г I =
sin (45° —(
cos p — sin
sin (45 ° + I
Следовательно, при a = 45°
) cos p + sin p ■
получим с учетом
(2.3.6)
(2.3.6)
соотношения:
ctgT]=rj.; Гх = Г||. (2.3.7)
Соотношения (2.3.7) позволяют осуществить определение
амплитудных коэффициентов отражения по положению
плоскости поляризации, не проводя фотометрических измерений.
Рассмотрим энергетические коэффициенты в отраженной и
преломленной волнах. Обозначим через R±, R\\, 7j., Т\\
соответствующие составляющие коэффициентов отражения и
пропускания. Примем во внимание, что энергия поля падающей
волны распределяется между энергиями полей отраженной и
преломленной волн по-разному. Она зависит не только от
коэффициентов отражения и пропускания границы раздела и от
оптических характеристик сред tii и п^, но и от направления
распространения волн (вектора Пойнтинга). Этим объясняется
"■^'^^ Р в выражениях для составляю-
появление множителя
«1 cosa
-Щих 7|| и Т±. Тогда имеем:
^11
R±
■Р)
■ t
tgMa + p
2 «2 COS I
sin 2a sin 2p
п\ cos a
sin^ (g — p
sin^ (a + p
sin^ (a + P) cos2 (a —P)
-, ,2 «2 cos p sin 2a sin 2p
(2.3.8)
«I cosa sin^ (a + (
61
Легко проверить, что в обоих случаях выполняется закон
сохранения энергии, т. е. R\\ + Гц ^ 1 и R± + Tj. ^ 1.
Для неполяризованного света, когда имеет место осевая
симметрия расположения вектора Е, средние значения Е'ц = £1-
Тогда энергетический коэффициент отражения будет равен
полусумме квадратов амплитуд для параллельной и
перпендикулярной компонент отраженной волны, т. е.
^ — 2 L si
sin^ (а-
tg^{a-|
iM<^TPr-lgMa + pyj = T(^x + /?„). (2.3.9)
На рис. 2.3.5 представлена кривая коэффициента отражения
R для неполяризованного света и кривые для R± и R\\. Здесь
рассмотрен случай отражения от границы воздух — стекло для
л = 1,52 (аБр = 56°40').
Из рис. 2.3.5 следует, что при а = авр в отраженном свете
присутствует только одна поляризация. Коэффициент
отражения неполяризованного света в этом случае R = R±/2. Для;
а ф авр в отраженном свете присутствуют обе поляризации..
На рис. 2.3.5 все три кривые для R\\, R± я R совпадают при
а = О и а = 90°.
Наличие полностью поляризованного света при а = авр
можно определить экспериментально (рис. 2.3.6). На рисунке
показан ход лучей при от-
Roth ражении от двух диэлектри-
! / ческих поверхностей Si и Si
при а = авр. При повороте
S2 вокруг оси,
совпадающей с лучом, интенсивность
света на выходе меняется
и при определенном
положении становится равной нулю.
В этом случае плоскости
падения на зеркала S\ и Sz
взаимно перпендикулярны.
Рассмотрим случай
перпендикулярного падения
волны на поверхность раз-
Рис. 2.3.5. Зависимость R, Rj_ и .Ry Рис. 2.3.6. Схема опыта, демонстри-
от угла падения на границе воздух- РУЮЩего поляризацию света отра-
стекло женного под углом Брюстера
62
дела. Напишем формулы Френеля (2.3.1) и (2.3.2) при
условии, что а ^ О и р ^ 0. Для амплитудных коэффициентов
отражения получаем
г„ = гх = -^^Ц^=-^^, ■ (2.3.10)
где п = П2/П1.
Из формулы (2.3.10) следует, что различие между
параллельной и перпендикулярной поляризациями волн исчезает и
понятие плоскости падения теряет смысл.
Энергетический коэффициент отражения R при а ^ О
получим возведением обеих частей равенства (2.3.10) в квадрат
Для прозрачных диэлектриков величина R обычно мала.
Например, для видимой области (зеленая длина волны) при
п = 1,52 величина R = 0,04, т. е. 4 % от падающего на
поверхность света идет в отраженную волну. Необходимо отметить,
что значение коэффициента отражения при нормальном падении
не зависит от направления распространения луча, т. е. от того,
из какой среды (первой или второй) свет падает на границу
раздела. Таким образом, при прохождении волны через
стеклянную пластинку теряется 8 % энергии, т. е. коэффициент
пропускания такой пластинки 7 ^ 92 %.
Если оптическая система состоит из многих поверхностей,
то коэффициент пропускания Т может стать малым. Для
повышения пропускания необходимо осуществлять «просветление»
элементов системы. Способы просветления будут рассмотрены
далее.
Из формулы (2.3.11) следует, что при уменьшении разницы
между «2 и И] коэффициент R заметно уменьшается. Например,
при прочих равных условиях для границы стекло — вода (Иотн^
= 1,33) коэффициент R = 0,019.
Из рис. 2.3.5 следует, что энергетический коэффициент
отражения R увеличивается с увеличением угла падения а. Кроме
того, изменяется также доля компонент R± и R\\. Свет
оказывается частично поляризованным, так как Ег, ±Ф Ег,\\-
Следует ввести понятие о степени (мере) поляризации у
V='^"^T^/ 100°/о. (2-3.12)
где /j., /|| — интенсивности, соответствующие амплитудам Ег, ±.
и Е,;\1.
Из формулы (2.3.12) ясно, что степень поляризации
отраженного света может меняться от 100 % до нуля. Эти крайние
значения соответственно относятся к полностью
поляризованному свету — линейная поляризация у = 100 % (■^± ф О и J\\ ^ 0)
63
и неполяризованному свету у^О (•^±^■^11) (естественный
свет). Все промежуточные значения соответствуют частично
поляризованному излучению.
Возможность получить линейную поляризацию при
отражении широко используется в оптическом эксперименте, например
в ИК-области спектра. На этом принципе строятся
поляризаторы, представляющие собой пластинки из диэлектрика,
которые обладают плоской поверхностью, полированной до
зеркального блеска. Эти зеркала изготовляются из стекол, непрозрач-
Рис. 2.3.7. Варианты зеркальных поляризаторов: а —
поляризатор со смещенной оптической осью; б—поляризатор без
смещения оптической оси; Afi, М2, М3—пластинки диэлектрика
ных для ИК-области, из германия и других материалов. На
рис. 2.3.7, а, б показаны два варианта таких поляризаторов.
Параллельный пучок лучей падает под углом Брюстера авр
на зеркальные поверхности. На выходе имеем линейно
поляризованный свет. Различная форма и расположение зеркал
применяются для сохранения заданного направления лучей (вдоль
оптической оси системы). Апертура описываемых поляризаторов
невелика и составляет около 10°.
§ 2.4. Полное внутреннее отражение
Интересные физические явления наблюдаются в том случае,
когда электромагнитная волна распространяется из среды
более плотной в среду менее плотную и слабо поглощающую, т. е.
показатель преломления Лг < «i {п ^ П2/П\ <, \) и хг «:< О
(рис. 2.4.1). Угол преломления в этом случае больше угла
падения, и формулы Френеля для произвольного угла падения
должны иметь противоположные знаки в сравнении с
формулами (2.3.1) и (2.3.2).
Инвариант преломления записывается в виде «isina^
= «2 sin р, при этом р > а.
64
Предельным будет случай, когда р = 90° (рис. 2.4.1).
Запишем условие для угла падения апр
(2.4.1),
sin а
—-^ = п
(2.4.2)
где п< 1.
Это же условие можно записать в виде
п sin апр =1 при л > 1.
Оба условия (2.4.1) и (2.4.2) определяют кри™ческий угол
(а ) пои котором не наблюдается преломленного луча, т. е.
Энергия как бы скользит по пограничному слою и возвращается
асп
Tlf
^г
\ ос
^-90'
>^
777777777777:^'7777777777777
Пг
Рис 2 4 1. Поведение пре- Рис. 2.4.2. К миграции
ломленной волны при п1< энергии при полном
< «Ги полном внутреннем внутреннем отражении
отражении
при больших а в первую среду. В этом случае будет
наблюдаться явление полного внутреннего отражения (ПВО).
При угле падения а = апр угол преломления -р = я/2, а при
а > апр величина sinp становится больше 1. При этом обычное
понятие угла преломления теряет смысл. Однако использовать
формулу Френеля для количественных расчетов характеристик
отраженной волны можно, введя комплексный угол преломле-
JJJJJJ ,р _ л/2 + ip'. Воспользовавшись законом преломления
Снелля, запишем
л cos р = ± г Vsin^ а — п^. (2.4.3)
Из физических соображений в формуле (2.4.3) следует
учитывать только знак плюс, так как в противном случае во
второй среде имело бы место не затухание, а нарастание
амплитуды волны по мере удаления ее от границы раздела.
Для выполнения равенства (2.4.3) необходимо, чтобы ,р =
= я/2 -Ь ip'.
Вещественная часть р равна я/2, поскольку преломленная
волна скользит вдоль поверхности раздела, а мнимая часть
определяет затухание волны при удалении от поверхности
раздела.
5 Зак. № 167
65
при этом имеем
л sh р' ^ д/sin^« — "^■
Закон преломления примет вид sina = nchp'. При углах
« > апр вся энергия, падающая на границу раздела, должна
возвратиться в первую среду. Однако часть энергии все же
проникает во вторую среду и таким образом электромагнитная
волна проходит через границу дважды; энергия проникает внутрь
на некоторую очень малую глубину, распространяется вдоль
поверхности и вновь выходит в первую среду (рис. 2.4.2).
Глубина проникновения излучения во вторую среду зависит от
относительного показателя преломления л, длины волны А, и от
угла падения а. Вблизи угла апр глубина проникновения волны
во вторую среду мала и убывает с увеличением угла а.
Покажем, что при а > апр амплитудный коэффициент
отражения (как для параллельной, так и для перпендикулярной
поляризации) по модулю равен единице, т. е. |г||| ^ |rj.| ^ 1.
Обозначим амплитудные коэффициенты отражения как и
прежде:
г„ _ •^'•> II ■ г —EliA^
f^W — ~р~' '^-L — ~~F •
Тогда из формул (2.3.1) и (2.3.2), учитывая, что р ^ я/2+
-+ tp', получим:
Амплитудные соотношения как функции от а показаны на
рис. 2.4.3, а («1 = 1,5; П2= 1,0).
Для энергетического коэффициента отражения имеем:
^Il-lnil -Г\\Г\\— ,tg(„+,.p,),^g(„_,.p.) =i-
D —\r 1^ = r r* — COS (g—/pO cos (а + ФО ^ ,
AX irj.1 TxJx. cos{a+/p') COS (a—гР')
Т. е. r(\\ = R^= 1.
Рассмотрим фазовые соотношения для отраженной волны.
Прежде всего обратим внимание на то, что для обеих
поляризаций от а^О до а ^ авр (угла Брюстера) отраженная волна
совпадает по фазе с падаюшей (рис. 2.4.3,6). После угла
Брюстера отраженная волна для параллельной поляризации
опережает падающую на я. Затем после угла полного внутреннего
отражения апр фаза волны для параллельной поляризации
возрастет от я до 2я, а для перпендикулярной от О до л.
66
Рис 2.4.3. Зависимость амплитудных коэффициентов отражения от угла
падения при «2 < "I (я); фазовые соотношения между составляющими
падающей {£■_!_, fii) и отраженной (Ег^, Ягц) волн при иг < «i (б)
Рассчитаем разность фаз между взаимно
перпендикулярными компонентами б. Для этой цели из формул Френеля
(2.4.4) и (2.4.5) найдем отношение
(^)''^ = ехр [г (бх - б||)/2] = ехр гб/2. (2.4.6>
Соотношение (2.4.6) вытекает из того, что амплитуды г± к
Гц при полном внутреннем отражении по модулю равны
единице и отличаются только фазами. Из соотношений (2.4.4) и
(2.4.5) для отношения (г±/г||)'/2 имеем
/rj_\'/2_, /" sin (а
\-Г) - У sin (а
-гр')
sin а cos р' — г cos а sh Р'
+ Ф') Vsin^ а ch2 В' -Ь cos2 а sh^
(2.4.7)
Приравняв в формуле (2.4.6) вещественные и мнимые части
с учетом (2.4.7), получим
^ ,,_ , . о, cosa Vsin^a — и^
ctg6/2 = -ctgatgp' = ^i-^^^
(2.4.8)
Из формулы (2.4.8) следует, что б^я при а ^ апр и при
а ^ я/2, что находится в полном соответствии с ранее
проведенным анализом. Поскольку зависимости бц и б± от угла
падения различны, то при некотором а (апр < а < я/2) разность
фаз i6 будет достигать экстремума. Для нахождения его
продифференцируем формулу (2.4.8) и приравняем производную
нулю. В результате найдем соотношение для угла падения аэ.
при котором
5*
достигается экстремальное значение sin^ аэ
67
:^ 2п2/(1 + n^). Разность фаз бэ при этом угле имеет величину,
определяемую из соотношения
^''-& 2 2и •
Таким образом, анализ показывает, что при а > апр
отраженный свет становится эллиптически поляризованным.
Отметим еще одну особенность угла аэ. Оказывается, что
амплитуды волн, проникающих в менее плотную среду, для
обеих поляризаций равны между
собой. При этом |г'||/г'х| = | г'н/г'х | ^ ^ 1,
т. е. коэффициенты пропускания для
обеих поляризаций при а ^ Ug равны.
Экспериментальные исследования
и применение явления ПВО.
Рассмотрим экспериментальные
исследования, целью которых является
наблюдение процесса полного внутреннего
У//// отражения для выяснения физических
явлений, происходящих на границе
двух сред, или для получения
определенного состояния поляризации.
Опыты показали, что при полном
внутреннем отражении за границей
раздела двух сред существует
электромагнитное возмущение, т. е. имеет
место проникновение излучения во
вторую среду. Это возмущение имеет
ту же частоту, которая
характеризует падающую волну. Поле при этом (его амплитуда)
затухает экспоненциально по мере проникновения в среду по на-
лравлению z
(2.4.9)
Рис. 2.4.4. Стоячая волна
вблизи поверхности при
полном внутреннем
отражении
£=£оехр —-^- .
Глубина проникновения dp определяется как расстояние от
границы раздела, на котором амплитуда £о электрического
вектора уменьшается в е раз (рис. 2.4.4). Отраженная волна
формируется в приграничном слое, в который проникла падающая
волна.
Рассмотрим случай, когда среда слабо поглощает энергию
^х^О,!). Глубина проникновения при этом зависит от угла
падения луча и от относительного показателя преломления п =
= П2/П1. Вблизи скользящего угла падения (а i^ 90°) глубина
проникновения составляет величину порядка dp = %/п, если
материал среды имеет высокий коэффициент преломления. Для
заданного угла падения значение dp тем больше, чем ближе
значения показателей преломления граничащих сред. Например,
68
при а » 50° и л = 0,707 dp = 0,5К, а при а = 37° и п = 0,574
dp » 1,0А,.
Кроме того, имеют место также малые смещения пучка света
вдоль границы раздела, которые пропорциональны глубине
проникновения. Это смещение зависит еще и от состояния
поляризации излучения.
Таким образом, при ПВО происходит такая миграция
энергии излучения, при которой падающая волна, проникая во вто-
Рис. 2.4.5. Схема опыта, демонстрирующего
проникновение излучения во вторую, среду
рую Среду, имеет продольное смещение и вновь возвращается
в первую.
Схема эксперимента для доказательства проникновения
излучения во вторую среду показана на рис. 2.4.5. Лучи,
падающие на гипотенузную грань призмы 1, полностью отражаются.
Если осуществить оптический контакт призмы с элементом 2,
то свет будет проходить не только через зону контакта и
размер светового пятна 3 окажется больше размера зоны
контакта. Следовательно, излучение проходит систему и вне зоны
контакта. При использовании источника белого света края
светового пятна 3 в проходящем свете окрашены в красный цвет,
а в отраженном свете края пятна 4 — голубые. Последнее
объясняется тем, что dp (см. рис. 2.4.4) пропорционально длине
волны, а вблизи зоны контакта зазор между элементами 1 к 2
постепенно увеличивается. Поэтому длинноволновая часть
видимого диапазона спектра — красная — вне области
непосредственного контакта проникает во вторую среду. В отраженном
же свете при этом наблюдается дополнительная окраска
(голубая).
Элементы ПВО широко используются в оптическом
приборостроении для изменения направления лучей в оптической си-
69
Ф
Рис. 2.4.6. Основные типы элементов ПВО
стеме, а также для других целей. На рис. 2.4.6, а—в
представлены некоторые из таких элементов. Их действие ясно из
рисунков.
Призма, изображенная на рис. 2.4.6, а, используется в
качестве зеркального элемента с коэффициентом отражения,
близким к единице. Призма на рис. 2.4.6, б изменит направление
распространения лучей на 180°. На рис. 2.4.6, в представлена
призма Дове. Она используется в качестве оптического эле-
Рис. 2.4.7. Кривая дисперсии и
контур линии поглощения (а); спектры
пропускания и отражения для
кварцевого стекла (б), схема получения
спектров (е):
-схема опыта с внешним отражением^
- схема опыта с внутренним отражением
мента, вращающего изображение. Если поворачивать призму"
вокруг оси О — О, то изображение вращается с удвоенной
скоростью.
Рассмотрим характерные кривые пропускания и отражения:
для сильно поглощающих веществ. На рис. 2.4.7, а
представлены контур линии поглощения хг в некоторой области длин
волн и кривая дисперсии в этой же области Пг для плавленного
кварца.
70
Кривые пропускания Т и отражения R' и R" представлены
на рис. 2.4.7, б для конкретного случая кварцевого стекла
с «1 ^ 2,4 и «1 == 1.
Для исследования спектра пропускания сильно
поглощающих излучение сред требуется использование тонких образцов,
толщина которых составляет 2—3 мкм. Пропускание таких
слоев представлено в виде кривой Т. Минимум кривой
пропускания при умеренном поглощении
близок по положению к максимальному
значению Х2 для длины волны Яо. Однако
получить спектры пропускания затруд-ни-
тельно из-за сложности изготовления
образцов. Поэтому переходят к
исследованию спектра отражения
вещества. В случае внешнего отражения
{рис. 2.4.7, е — 1), когда показатель пре-
г г
ломления внешней среды п\ мал (ni?«
та 1), кривая отражения R' имеет
минимум для длины волны Яо, где П\ = п^.
Максимум кривой смещен по отношению
к контуру поглощения в сторону
больших длин волн.
в случае внутреннего отражения,
если п[ имеет значение п';> i (верхняя
прямая), что показано на рис. 2.4.7,а,
кривая коэффициента отражения R"
трансформируется и становится как бы
обратной по отношению к кривой внешнего отражения R'. При
этом минимум отражения приходится на длину волны, которая
соответствует равенству п\^п^.
Таким образом, использование явлений внешнего и
внутреннего отражения позволяет с большой точностью определить ход
кривых Х2 и «2 в широкой области спектра.
Интересно применение явления полного внутреннего
отражения в приборах, в которых с достаточно высокой точностью
может быть измерен показатель преломления (с точностью до
J0-''). Такие приборы получили название рефрактометров.
Наиболее известным является рефрактометр Пульфриха
(рис. 2.4.8). Принцип действия этого прибора заключается
в следующем; основой системы является прямоугольная призма
Р с известным показателем преломления По- Обычно она
изготовлена из стекла (флинт) с По^1,9. На верхнюю грань
призмы помещается исследуемый образец М — твердое тело
(реже жидкий образец) с показателем преломления Пх. При
этом должно быть заведомо известно примерное значение Пх.
Обычно показатель преломления Пх может иметь значение в
интервале от 1,3 до 1,9.
Рис. 2.4.8. Схема
рефрактометра
Пульфриха
71
Для почти скользящего падения входящего пучка имеем
Пд: = По51пРпр- (2.4.10)
На второй грани призмы выполняется равенство
sinoo^noCosPnp-
Складывая равенства и возводя в квадрат обе части,
получим
rix^'ynl — sixi'aa. (2.4.11>
Из формулы (2.4.11) следует, что для определения п^
нужно измерить угол выхода луча ко. Точность измерений будет
тем больше, чем точнее мы произведем измерение угла ао.
Волоконно-оптические устройства. В настоящее время весьма-
перспективно применение явления полного внутреннего
отражения для создания светопередающих устройств — световодов.
С этими устройствами связана развитие новой области
оптической науки — волоконной оптики. С созданием и применением:
волоконно-оптических устройств связано развитие других
областей оптики — лазерной оптики, тепловидения, голографии.
Обычно оптическое волокно состоит из стеклянной или:
пластмассовой сердцевины, диаметр которой может меняться
в некоторых пределах (примерно от 4 до 100 мкм) и
стеклянной или полимерной оболочки, показатель преломления которой:
меньше, чем у сердцевины. Электромагнитная волна должна
быть направлена на торец световода под такими углами,
которые соответствуют полному внутреннему отражению на границе
сердцевина — оболочка.
При выполнении условий (2.4.1) и (2.4.2) при а'> Кпр
световая энергия будет передаваться вдоль сердцевины.
В соответствии с (2.4.1) имеем
«возд sin а' = sin а' = п^ sin [(я/2) — arcsin {njtii)] = 'sjn'i — яг-
(2.4.12)-
В (2.4.12) угол а' называется приемным углом волокна.
Отметим, что несмотря на известность приемов вытягивания
размягченного стекла в волокно, серьезные исследования и
реальные применения в этой области в основном относятся
к последним десятилетиям. Главные трудности состоят в
создании таких технологических процессов, которые позволили бы
обеспечить высокие требования, предъявляемые к
количественным параметрам волоконных элементов большей длины,
например, для передачи светового сигнала на большие расстояния.
Эта задача получила практическое решение в связи с
использованием мощных лазерных источников света.
72
;/WB
В настоящее время изготовляются свотоводы различных
типов— одножильные и многожильные. Диаметр световедущей
жилы может быть различным и колеблется от нескольких длин
волн до десятков микрометров. На рис. 2.4.9, а, б представлен
простой (одножильный) световод. Это цилиндрическая
двухслойная структура. Внутренний слой световода (жила)
выполнен из оптического материала, обладающего показателем
преломления «1 ^ Пс большим, чем показатель преломления
внешнего слоя (оболочки)
На границе раздела
-слоев вошедший в
первую среду луч
многократно испытывает полное
внутреннее отражение и
таким образом
определяет световедущую
способность жилы. Луч
может падать на левый
боковой торец волокна под
углом (рис. 2.4.9, а, е, г, (3)
или по нормали (рис.
2.4.9, б).
Наиболее часто в
качестве среды для жилы
в УФ-области спектра
используется плавленный
кварц и другие
оптические среды, а также
органические материалы — полистирол и полиметилметакрилат.
Для видимой и ближней ИК-области спектра обычно
используют оптическое стекло, обладающее большим показателем
преломления. Для ИК-области спектра используется
оптическое стекло с присадкой трехсульфидного мышьяка.
Световоды из плавленного кварца работают в спектральном
интервале от 0,4 до 1,8 мкм.
На рис. 2.4.9, е представлен изогнутый световод. Световод,
диаметр которого уменьшается в направлении распространения
света (рис. 2.4.9, г), называется фоконом, световод с обратным
изменением диаметра называется афоконом. Он изображен на
рис. 2.4.9,(3.
На рис. 2.4.10, а, б показаны возможные конструктивные
оформления световодов, а на рис. 2.4.10, е — световод,
выполненный в виде змеевидного жгута.
Физические принципы работы световолокна (световода)
могут быть пояснены как с точки зрения геометрической оптики,
так и с позиций волновой природы проходящего через волокно
излучения. Последнее рассмотрение дает более полную картину
Рис. 2.4.9. Типы световодов
73
Рис, 2.4.10. Конструкции световодов
распространения света. Ограничимся геометрической теорией
волоконных элементов.
Одной из главных характеристик световода является его
светосила, определяющая поток, проходящий через световод.
Будем пока считать, что источник света находится где-то вблизи
волокна и его приемный угол а' таков, что все лучи встречают
границу раздела под углами а' > Кпр. Тогда излучение
попадает как бы в ловушку между границами раздела. Пусть
имеется прямой световод постоянного сечения, ограниченный
прямыми торцами (рис. 2.4.11). Здесь лучи / и 2 падают на
внутреннюю поверхность
жилы или под углом,
большим Опр, поэтому они далее
проходят вдоль жилы, ИСПЫ'
тывая полное отражение, и
выходят через второй тореи,
волокна. Луч 5 падает под
углом а <; Опр и поэтому
преломляется внутрь
оболочки, быстро затухая
внутри. Из рис. 2.4.11 следует, что максимальный угол Отах. при
котором еще имеет место распространение лучей по световоду,
определяется с учетом того, что апр = 90° —Рс и что rtisinai =
= Пс sin Рс.
Выражение (2.4.12) определяет один из важных параметров
световода — числовую апертуру по аналогии с числовой аперту-
рой А линзы или объектива. Эта величина входит как
составляющая в оценку светосилы волоконно-оптического элемента и
определяет количество энергии, которое можно ввести от
источника света в световод.
Характеристикой световода является числовая апертура Л,
которая (как в любой оптической системе) определяется
произведением /4^nsina, где п — показатель преломления среды
в пространстве предметов; а — угол, под которым виден радиус
входного зрачка оптической системы из точки пересечения ее
оси с плоскостью предмета. Таким образом, числовая апертура
определяет максимальный телесный конус лучей, пропускаемых
Рис. 2.4.11. К расчету световода
74
оптической системой, т. е. в данном случае световодом. Из
рис. 2.4.11 имеем: ni sinctmax ^ «csin Рс; Пс sin Кпр ^ Поб sin 90°
и sin Кпр = Поб/Яс
Из ААВС получим, что cos Рс = sin Кпр = Поб/Яс-
Тогда sin Рс = л/1 — cos^Pc = л/1 — («об/Яс)^.
Для числовой апертуры имеем
Л = П, Sinamax = «cSinPc = V"c — «об- (2.4.13)
2 2
Яс — «об называется
номинальной числовой апертурой. Из формулы (2.4.13) следует, что
для увеличения апертуры необходимо иметь максимально
возможную разницу между показателями преломления материала
световода Пс и оболочки Поб- Однако из технологических
соображений эта разница невелика. Ее относительное значение не
лревышает 1%, т. е. ДПотн = (пс — Прб)/Пс ^ 0,01, и тогда по
■формуле (2.4.13) А х Псл/2Ап. Обычно числовая апертура
системы равна 0,1—0,2, что соответствует углам Ктах = 5,7-=-11,5°.
В некоторых случаях световод может иметь углы более 30°.
Если торец освещается коническим пучком лучей, имеет
угол а/, подобранный правильно, то все лучи пройдут через
световод и его пропускание Т без учета потерь на отражение от
торцов и поглощения внутри световода будет Г ^ 1.
Играет роль выбор показателей преломления. Если пока-
казатели преломления Пс и Поб выбраны так, что Пс ^ «об, то
светопропускаиие будет близко к единице.
Апертурный угол будет определять допустимый радиус
изгиба (если световод гибкий) или угол конусности.
Реально потери света в световоде определяются
поглощением, рассеянием в среде и потерями при отражении на торцах.
Путем экспериментальных измерений показано, что
энергетический коэффициент отражения R находится в интервале от
0,99900 до 0,999999. При передаче энергии на большие
расстояния эти значения R снизят светопропускание по закону Т = R"^,
а при учете потерь на поглощение в световоде Т = е/?^, где
•ц — число отражений; е — коэффициент потерь на поглощение.
Ослабление сигнала в оптических волокнах-световодах
происходит как за счет поглощения, так и за счет релеевского
рассеяния излучения. Можно различать собственное поглощение,
которое вызвано взаимодействием распространяющейся волны
с компонентами вещества световолокна, и поглощение,
связанное с наличием примесей, например, ионов хрома, железа,
никеля, магния и других элементов, в частности, воды. Однако
полосы поглощения из-за второй причины очень узки. Большая
доля потерь световой энергии возникает из-за радиационных
потерь: релеевское рассеяние получается из-за флуктуации
плотности вещества волокна или нерегулярности световода —
изгибания, неравномерности диаметра и т. д.
75
Единичный световод имеет ограниченное применение.
Подавляющее большинство применяемых в приборостроении
волоконных элементов представляют собой множество световеду-
щих жил, разделенных изолирующими прослойками (см.
рис. 2.4.10,6). В этом случае появляется возможность переноса
оптического изображения. На рис. 2.4.12, я показана оптическая
система, с помощью которой передается изображение предмета
на экран. Для получения изображения предмета А используется
объектив Оь который проек-
F
а)
А
1
^
Oi
*^
S
Щ
'Р^
уП
JR
0
г
Рис. 2.4.12. Схемы передачи
изображения с помощью световодов
тирует предмет на входной
торец световода 5, затем
изображение А" после
световода проектируется
объективом Ог на экран F{A"')^
Качество изображения
без учета аберраций
объективов Oi и Ог
характеризуется коэффициентом
передачи /(=Ф„р/БФ, где Фпр —
поток, зарегистрированный
приемником излучения;
ЕФ — общий поток,
прошедший через объектив. В
среднем коэффициент передачи
при правильно выбранной
числовой апертуре световодов и заполнения торца составляет
0,35—0,4.
В случае передачи изображения важной характеристикой
волоконного устройства является разрешающая способность по
освещенности. Основным критерием оценки качества
изображения является видность V = {Емаис — Емш) / (Ем^кс + Емжи), где
Емакс И £'„ин — освещенность светлых и темных деталей предмета.
Для оценки этой характеристики используется мира. Из-за
перераспределения потоков от разных точек миры, а также
проникновения дополнительных помех V ф L Таким образом,
коэффициент передачи контраста K^V/Vo также снижается
(Vo — видность изображения на входе; V— видность на выходе).
Коэффициент передачи контраста с увеличением частоты
штрихов V миры уменьшается и при частоте Vkp становится равным
нулю. Эта частота Vkp связана с разрешающей способностью
волоконной детали R.
Для определения значения R надо принять во внимание
контраст. Тогда разрешающая способность будет определяться
максимальной разрешаемой частотой штрихов с определенным
заданным контрастом (при рассмотрении изображения глазом
./? = 90 -=- 100 лин/мм).
Изображение, переданное на выходной торец световода по
схеме рис. 2.4.12, а, можно рассматривать глазом или регистри-
76
ровать на фотопластинку, находящуюся в контакте с торцом,
или проектировать, что показано на рис. 2.4.12, а, на экран F
(плоскость изображения). Изображение при этом подобно
предмету.
Если объективы не использовать, то на входной элемент
торца световода, как следует из рис. 2.4.12,6, падают лучи от
всех элементов предмета. Таким образом, от данной точки А
лучи попадают на все жилы торца волоконной детали. В этом
случае на выходном торце не будет иметь место подобие
изображения.
Каждая волоконная жила разбивает изображение на
маленькие элементы, расположенные на его торце или
спроектированные на поверхности торца. Таким образом, изображение
будет состоять из элементов различной яркости, т. е. оно
получится мозаичным. Мозаичность структуры определяет
разрешающую способность передачи. Если ориентироваться на
восприятие изображения глазом, то для пространственной частоты
в 100 мкм (разрешение сетчатки глаза), рассматриваемой с
помощью окуляра с таким увеличением, что элементы структуры
будут иметь размеры тоже 100 мкм, изображение будет
мозаичным и неприятным для наблюдения. Поэтому необходимо
рассчитывать диаметр волокон в соответствии с требуемым
разрешением. Например, диаметр жилы может быть равен 4 мкм, а
толщина прослойки ■— 1 мкм при соответствующем увеличении
окуляра.
При увеличении выходного торца увеличивается диаметр
световода, но допустимая кратность увеличения окуляра
ограничивается диаметром жил.
Разрешающая способность будет определяться диаметром
жил на входном торце. Если нужна разрешающая способность
100 лин/мм (диаметр жил 4 мкм, толщина прослойки 1 мкм),
а кратность увеличения 5, то диаметр жил на выходном торце
должен быть 20 мкм. Тогда кратность увеличения изображения
с помощью окуляра ограничена величиной 100 мкм/20мкм^5><,
а общее увеличение фокон — окуляр будет 25>^. Это эквивалентно
отношению 100 мкм к диаметру жилы 4 мкм на входном торце.
Разрешающую способность многожильного световода можно
увеличить, уменьшая диаметр волокна, и тогда R = l/2do, где
do — диаметр каждого волокна. Однако разрешающая
способность световода ограничена из-за дифракционных явлений и
аппаратурных ограничений, связанных с уменьшением
коэффициента заполнения светом торца волновода, что, в свою очередь,
снизит светосилу.
При изучении распространения волнового поля в волокне
принимается во внимание концепция парциальных плоских волн;
в результате имеет место интерференция плоских однородных
волн, направленных под углом к оси волновода и испытываю-
77
щих зеркальное отражение. Волновая теория световода требует
специального и подробного рассмотрения.
Практическое применение волоконных оптических деталей
весьма разнообразно. Они используются для передачи сигнала
на большие расстояния, оптического изображения по гибким
и жестким каналам, для преобразования светового сигнала
с целью передачи, хранения и воспроизведения информации, а
также для кодирования и декодирования изображений.
Нарушенное полное внутреннее отражение. Обычно в оптике
рассматриваются два случая отражения при сильном
поглощении: отражение от диэлектрика, обладающего некоторым
коэффициентом поглощения хг, и отражение от металлов.
Явление нарушенного полного внутреннего отражения
(НПВО) наблюдается в случае, когда электромагнитная волна
распространяется из среды более плотной в среду менее
плотную (Л1>П2), если вторая среда обладает сильным
поглощением Х2 > 0,001 и угол падения а > Кпр. При этом
электромагнитное излучение проникает во вторую среду на некоторую
глубину. Часть энергии теряется вследствие поглощения света
в слое, в который проникает волна. В результате этого
коэффициент отражения в отличие от ПВО оказывается меньшим
единицы. Можно показать, что при НПВО образуется затухающая
волна, амплитуда которой в направлении z уменьшается по
закону £'^£'оехр(—zldp), где dp — глубина проникновения во
вторую среду, при которой амплитуда волны ослабляется
в е раз (см. с. 68).
Таким образом, явление нарушенного полного внутреннего
отражения основано на абсорбционном механизме ослабления
падающей электромагнитной волны.
В зависимости от длины Я падающего излучения
энергетический коэффициент отражения меняется в широких пределах,
например, от 0,1 до 1,0. При этом характер изменения
коэффициента отражения зависит от поглощающих свойств объекта.
Это обстоятельство положено в основу спектроскопии НПВО.
Выполнение количественных измерений с помощью методов
НПВО предполагает наличие оптического контакта между
первой и второй средой. Оптический контакт представляет собой
соединение двух поверхностей твердых тел, отполированных по
высокому классу точности и сближенных на расстояние намного
меньшее, чем длина волны Я. На таких расстояниях происходит
высокопрочное соединение поверхностей за счет сил
межмолекулярного взаимодействия.
В случае НПВО световая энергия частично или полностью
превращается в тепло. В фосфоресцирующих средах энергия
может поглощаться и переизлучаться. Следует отметить, что
величина ослабления отраженного излучения различна для
разных состояний поляризации падающей волны; обычно она
больше для параллельной составляющей. Степень ослабления
78
потока в условиях НПВО определяется с помощью учета хг —
главного показателя полгощения второй среды, а также с
учетом соотношения пг ^ Пг — «2- Главный показатель
поглощения Х2 может меняться в пределах 0,001 < Х2 < 1. Главный
показатель поглощения Х2 связан с натуральным показателем
поглощения а' следующим образом:
4ЯИ2
а' =■
(2.4.14)
Для массивного образца и тонкой пленки в НПВО
коэффициент отражения записывается в виде
/? = 1 — CL' ^эфф1
где а'—натуральный показатель поглощения; с?эфф —
эффективная толщина, зависящая от угла падения а, ti2 и п\.
При многократном отражении (МНПВО)
R^ = {\ -аМзфф)^« 1-Л^а'4фф, (2.4.15)
т. е. потери при отражении увеличиваются в N раз.
Можно записать, что R^ = ехр(—Na'd^^^), где R^
измеряется экспериментально. Можно получить спектры НПВО или
МНПВО, по которым определяются спектроскопические и
оптические свойства исследуемой среды.
Эффективные толщины характеризуют интенсивность
взаимодействия света с образцом. Этот параметр используется для
сравнения спектров НПВО и спектров пропускания.
Эффективная толщина в формуле (2.4.15) эквивалентна действительной
толщине слоя, которую необходимо использовать, чтобы в
спектрах пропускания получить такое же поглощение, какое
наблюдается в спектре НПВО.
Для тонких пленок, когда Х2 <С 0,1, глубина проникновения
пропорциональна геометрической толщине пленки.
Наиболее важным применением спектроскопии НПВО
является измерение оптических постоянных материалов. Для
определения показателя преломления вещества п и показателя
поглощения X необходимо измерить энергетические коэффициенты
отражения для перпендикулярной Rx и параллельной Rw
составляющих поляризаций при некотором угле падения на
исследуемую поверхность.
Выражения для Rx и R\\ записываются на основании
формул Френеля при учете комплексности показателя преломления.
Тогда;
. V- 2 . 2 11/2
■ 1K2) — Hj sm al '
Rii =
R± =
П[ COS a — [(^2
^j cos a -t- [(^2 — Ы^^ — nj sin al
(^2 — ЫЛ cos a — n^ \(п2 — ^'яЛ — nj sin a]
1/2
1/2
(^2 — ЫЛ^ COS a -t- П| [(^2 — i'>i2) — "1 sin a]
1/2
(2.4.16)
(2.4.17)
79
в формулах (2.4.16) и (2.4.17) а — угол падения; щ и П2 —
коэффициенты преломления для первой и второй сред.
Разделив уравнения (2.4.16) и (2.4.17) на действительную
и мнимую части, получим два уравнения, позволяющие
рассчитать значения Пг и иг- Исходными для такого расчета служат
либо величины ^ц и Rx, определенные экспериментально при
фиксированном угле падения а, либо величины Rw/Rx,
измеренная при двух углах падения ai и аг и неизменном состоянии
поляризации.
1,0
0,6
0,2
О
(Х=56°
46V0'
WOO 1020 WW 1060 1080 1000 1020 1040 1060S,cm'
цоь
0,03
001
0
1020 low 1060s,cm'^
Рис. 2.4.13. Спектры
НПВО: а —i?=/(a);
б —П2 = !{а); в—к2 =
На рис, 2.4.13 в качестве примера приводятся спектры НПВО
при различных а и вычисленные Пг и иг для различных длин
волн жидкого бензола.
Решение проблемы оптического контакта твердых сред может
быть найдено путем применения элементов НПВО из
термопластичных халькогенидных стекол для исследования спектров
НПВО в ИК-области спектра. Преимущество этих стекол
заключается в том, что они прозрачны в широком диапазоне (от
1,0 до 18 мкм) и имеют Пх •■= 2,4.
Оптический контакт получается при разогревании
пластичных стекол до температуры размягчения; при этом происходит
хороший контакт с исследуемой поверхностью даже тогда, когда
эта поверхность не является гладкой.
Отражение от металлов. Явления, происходящие при
отражении света от металла, схожи с теми, которые были
рассмотрены ранее, когда граница раздела проходила между двумя
диэлектриками. Обратим внимание на некоторые особенности
отражения света от металлических поверхностей и на приемы
определения оптических констант металла, которые
характеризуют и диэлектрик.
Физические явления при отражении электромагнитной волны
от металлических поверхностей связаны с наличием в металле
свободных электронов, от которых зависит электропроводность
80
металла и плотность которых весьма велика (приблизительно
1022 см-з).
При падении света на поверхность металла возникают
вынужденные колебания электронов, которые порождают сильную
отраженную волну. Даже тонкие слои металла дают высокий
коэффициент отражения и являются малопрозрачными.
Электромагнитная волна внутри металла быстро затухает. Так же
как и в случае диэлектрика с сильным поглощением, можно
говорить о величине 6?эфф, т. е. о глубине проникновения света
в металл и о значении главного показателя поглощения х
йзфф = Хо/4лх, (2.4.18)
где Хо — длина волны в вакууме.
В формуле (2.4.18) ко можно выразить через показатель
преломления Ко = к/п.
При падении световой волны на поверхность металла
изменение интенсивности будет
/ =/о ехр (—-^/гхг). (2.4.19)
Если в формуле (2.4.19) /гх ^ 1, то в слое толщиной в одну
длину волны (2 = X) интенсивность света уменьшится в С*" раз.
Для металлов в видимой области спектра х > 1. Для золота,
например, х = 2,82 и Йэфф = W35,4. Пленки металлов по
толщине близкие к длине волны практически непрозрачны для
света.
Оптические свойства металлов.определяются путем
измерения отраженного излучения. При отражении от металлов
формула Френеля при нормальном падении и ni ^ 1 для
амплитудного коэффициента отражения запишем из (2.3.10) в виде
г=- i"-;;-':^". (2.4.20)
(«+1) — m« ^ '
Для металла показатель преломления комплексная величина
л' ^ /г (1 — 1х).
Для получения энергетического коэффициента отражения
умножим формулу (2.4.20) на комплексно-сопряженную
величину
j?=!"-;;;+l";. (2.4.21)
Для металлов слагаемое х^/г^ значительно больше {п—1)^,
поэтому R близок к единице. Для металлов поглощение
называют слабым, если глубина проникновения много больше длины
волны, так как при этом наблюдается слабое затухание
амплитуды внутри второй среды. При отражении от металлов под
углом а ф О имеет место разность фаз для перпендикулярной
и параллельной составляющих поляризации. Следовательно,
если луч, падающий на поверхность металла, поляризован ли-
6 Зак. № 167 81
нейно и плоскость поляризации составляет некоторый yrojr
с плоскостью падения, то отраженный свет будет иметь
эллиптическую поляризацию. Исследуя количественные
характеристики отраженного от металла эллиптически поляризованного
света, можно определить константы пик.
Эти оптические константы связаны с электрическими
характеристиками металла следующими соотношениями:
п'{1 —к') = е;
■a/v,
где е — диэлектрическая проницаемость; а —
электропроводность; V — частота излучения.
Постоянные /г и х зависят от- длины волны, поэтому
некоторые металлы, где эта зависимость велика, обладают ярко
выраженной окраской в видимой области.
§ 2.5. Распространение света
в анизотропных средах
При рассмотрении распространения электромагнитных волн
в материальной среде было принято, что скорость их
распространения не зависит от состояния поляризации, так как речь
шла об изотропной среде.
Для анизотропных сред
скорость распространения
зависит от ориентации
электрического вектора
относительно некоторого
выделенного направления в среде.
Это направление называют
оптической осью.
Проиллюстрируем эта
утверждение следующими
примерами.
На рис. 2.5.1, а луч падает из воздуха на границу раздела,
ориентированную перпендикулярно оптической осн. Если
электрический вектор колеблется перпендикулярно плоскости падения,,
то при изменении угла падения его ориентация относительно
оптической оси остается неизменной; соответственно будет
постоянным и показатель преломления По. Закон преломления
запишется в этом случае в виде sin а ^ По sin Ро.
Если электрический вектор лежит в плоскости падения, то его
ориентация меняется с изменением угла падения а, поэтому
соответственно оказывается переменным и показатель
преломления. Закон преломления имеет при этом вид sin а ^ п , а-ш Рг>
где Пе—переменный показатель преломления необыкновенного
луча {По ^ Пе ^ Пе), зависящий от направления
распространения.
Рис. 2.5.1. Преломление луча в
анизотропной среде
82
На рис. 2.5.1,6 луч падает на границу раздела,
ориентированную параллельно оптической оси. При этом закон
преломления для обыкновенного и необыкновенного лучей имеет вид
sin а ^ По sin Ро и sin а ^ Пе sin Ре соответственно. При этом
в обоих случаях показатели преломления постоянны {По в
первом случае и Пе во втором), так как ориентация электрического
вектора относительно оптической оси не меняется электрический
вектор перпендикулярен оптической оси для обыкновенного
луча и параллелен ей для необыкновенного луча.
Анизотропия среды может быть как естественной,
обусловленной анизотропией молекул или расположением атомов в
пространстве, так и искусственной, связанной с изменением свойств
среды под действием внешних полей — электрического,
магнитного, силового.
Оптическим проявлением анизотропии является двулучепре-
ломление. В анизотропной среде распространяются две
ортогонально поляризованные волны с разными скоростями.
Оптические свойства анизотропной среды. Оптика
анизотропных сред основывается на тех же представлениях об
электромагнитном поле, которые лежат в основе оптики изотропных
сред. Существенное отличие состоит в том, что электрическая
проницаемость анизотропной среды зависит от направления и
не является скалярной величиной, поэтому уравнение D ^ еЕ
для нее не применимо. Связь между вектором электрической
индукции D и вектором электрического поля Е в анизотропной
среде выражается в более сложной форме D ^ kE, так как их
направления не совпадают. Составляющие векторов D и Е при
этом связаны линейными соотношениями, а не линейной
пропорциональностью, что имеет место в изотропной среде.
Для анализа прохождения света в анизотропной среде
целесообразно ввести эллипсоид, связанный с вектором
электрической индукции. Он получается, при подстановке в формулу D =
^ kE Dx, Ру и Dz, используя соотношение Dx = гхЕх и т. д.
x^/e, + г/^/e, + 2^/e,= l. (2.5.1)
Этот эллипсоид Френель использовал для описания
анизотропии скоростей света в кристалле и его поэтому называют
эллипсоидом Френеля. Полуоси эллипсоида (2.5.1) равны
величинам Пх = ^/вх, Пу = л/ву, tiz = Vez. Эллипсоид такого вида
называют эллипсоидом показателей преломления или оптической
индикатрисой, так как он используется для описания
анизотропии показателей преломления в среде.
Оптическая индикатирса обладает следующим свойством.
Если из ее центра О провести прямую ОР (рис. 2.5.2) по
направлению распространения волнового фронта, то центральное
сечение, перпендикулярное этому направлению, в общем случае
будет эллипсом; показатели преломления возникающих линейно
поляризованных волн определяются длинами полуосей эллипса
6* 83
OA и OB, a направления OA и OB соответствуют направлениям
колебаний вектора Е. Если оптическая индикатриса —
эллипсоид вращения, то только в одном направлении ОР
перпендикулярное ему центральное сечение имеет форму круга, это
направление— оптическая ось. Очевидно, что она совпадает
с осью вращения эллипсоида. Такая индикатриса соответствует
одноосной среде.
В трехосном эллипсоиде существуют два направления OPi
и ОР2 (рис. 2.5.3), для которых центральные сечения оптической
индикатрисы имеют форму круга. Это означает, что в этих
направлениях фазовые скорости волн с ортогональными линей-
^
^^
Х^;^
■^
х''Пр
ш
\Щ
^^
^р,
^ Az
-^"^
Рис. 2.5.2. Иллюстрация, свойств
оптической индикатрисы
Рис. 2.5.3. Эллипсоид Френеля для
двухосного кристалла
ными поляризациями совпадают, т. е. в указанных направлениях
двулучепреломление отсутствует. Направления 0Р\ и ОР2
называют оптическими осями. Анизотропные среды, имеющие
оптическую индикатрису в виде трехосного эллипсоида, являются
двухосными. Наибольший показатель преломления у такой
среды обозначают tig, наименьший Пр, а средний Пт- Оптические
оси лежат в плоскости, в которой находятся оси индикатрисы
Опр и Otig. Эту плоскость называют плоскостью оптических
осей. Угол между осями 2V называется углом оптических осей.
Все перечисленные свойства оптической индикатрисы
справедливы, если описывать явления распространения волн с
помощью волновой нормали. Рассмотрим это понятие подробнее.
Когда речь идет о направлении распространения света, то
имеют в виду два различных понятия: направление
распространения энергии волны и направление распространения волнового
фронта. Оба направления тождественно совпадают в изотропной
среде, в которой волновой фронт от точечного источника
является сферическим и нормаль к нему совпадает с лучом, т. е.
с радиусом-вектором соответствующей точки волнового фронта.
Поэтому в оптике изотропных сред пользуются обоими
терминами и понятиями как равноценными. Иначе обстоит дело в
оптике анизотропных сред, когда волновые фронты не являются
сферическими. Для несферического волнового фронта радиус-
84
вектор в точку Р волнового фронта (луч) не совпадаете
направлением нормали, т. е. с перпендикуляром к плоскости,
касательной в точке Р (рис. 2.5.4); в точке Р луч направлен по ОР и
не совпадает с нормалью ON. Используя оптическую
индикатрису, определяют волновую скорость, т. е. величину
пропорциональную l/Vex, ^1л/гу, l/V-Вг. Отметим еще, что волновая
скорость определяет фазу распространяющейся волны, в то время
как лучевая скорость является скоростью переноса энергии. Ис-
Рис. 2.5.4. Направления
распространения энергии волны и волнового
фронта
Рис. 2.5.5. Форма
волновых поверхностей в
двухосной анизотропной
среде
пользуя понятие волновой нормали, можно применять закон
преломления в обычной форме к обеим волнам,
распространяющимся в анизотропной среде. В отношении же лучей закон
преломления вообще теряет смысл. Поэтому при изучении
распространения света в анизотропных средах целесообразней
пользоваться понятием о волновых поверхностях и о нормалях к ним,,
а не о лучах.
Рассмотрим механизм образования волновых поверхностей
в анизотропной среде. В такой среде от точечного источника
распространяются две ортогонально-поляризованные волны..
В случае двухосной среды для обеих волн скорость
распространения зависит от направления, так как электрический вектор
меняет свою ориентацию относительно оптических осей и
волновые поверхности имеют сложную форму. Совокупность
волновых поверхностей образована двумя оболочками,
пересекающимися между собой в четырех точках, лежащих в
воронкообразных углублениях (рис. 2.5.5). Через эти точки и центр
проходят две оптические оси, при распространении вдоль которых
свет не испытывает двойного лучепреломления. На рис. 2.5.5
изображена только одна из осей 00' двухосного кристалла, а
соответственно и одна точка А пересечения оси с волновой
поверхностью.
Форму волновых поверхностей в этом случае наглядно-
можно представить при рассмотрении сечений их тремя плос-
85
костями. Начнем с плоскости timiip (см. рис. 2.5.3). Пусть
плоскость timtip является плоскостью падения волны. Если
электрический вектор перпендикулярен этой плоскости, то будет иметь
место постоянная скорость распространения волны, не
зависящая от направления, так как вектор Е всегда ориентирован под
■одним и тем же углом к оптическим осям. Показатель
преломления для этой волны равен tig, а скорость распространения
■Vg = c/iig. Следовательно, рассматриваемое сечение есть
окружность iig (г/2 + z^) = Л
Для волны с электрическим вектором, лежащим в плоскости
ладения, показатель преломления меняется от Пр до Пщ- Сече-
''^>-^
\1\\р
Рис. 2.5.6. Волновые поверхности в различных сечениях
нием этой волновой поверхности является эллипс с,полуосями
CJtlp и с1Пт, Т. е. ПрУ^ -\- Птг^ ^ С-. Поскольку 1/Пр'>1/Пт>
> l/iig, то эллипс расположен вне окружности (рис. 2.5.6, а).
Рассмотрим теперь сечение tigiim (см. рис. 2.5.3). Рассуждая
аналогично предыдущему, найдем, что сечением волновой
поверхности для волны с электрическим вектором,
перпендикулярным плоскости iigtim, является окружность Пр{х^ -\- у^) ^ с^.
Для другой волновой поверхности имеем в сечении
эллипс п%х^' + ttgy^ = с^, расположенный внутри окружности
^(рис. 2.5.6,6).
Наиболее интересным является сечение tigttp (см. рис. 2.5.3),
т. е. сечение, содержащее обе оптические оси. В этом случае для
одной из волновых поверхностей получаем в сечении эллипс
с полуосями cjng и с1пр и окружность с радиусом с1пт
(рис. 2.5.6, в). Эллипс описывается уравнением npx'^-{-ngz'^ ^ с'^,
а окружность — уравнением Пт{х^-\-z^) ^ с^. При некотором
угле распространения V плоскость волнового фронта является
касательной одновременно для обеих волновых поверхностей.
В этом случае для волн с ортогональными поляризациями
волновые скорости при распространении совпадают.
S6
Рассчитаем угол V. Уравнение касательной к эллипсу в точке
Х\у\ имеет вид
tipXiX -\- ngZxZ^c (2.5.2)
По условию эта прямая касается также и окружности в точ-
ке Хоуо, т. е. справедливо равенство ПрХоХ\ + iigZoZ] = с^.
Подставим в это равенство значения координат, выраженных через
радиус-вектор эллипса, радиус окружности го^с/пт и углы V
и V': х\ ^ г cos V'; Z\ ^ г sin V'; Xq = Го cos V; Zq = Го sin V, а
также учтем соотношение г = cos(V— V) = с/пщ (рис. 2.5.6,в)..
Рис. 2.5.7. Волновые поверхности для одноосной
среды: а—положительный кристалл; б —
отрицательный кристалл
В результате найдем tg Vtg V ^{пт — n^jirig — Пт)• Кроме-
того, из уравнения касательной по формуле (2.5.2) имеем
tipig V = tigtg V. Окончательно для угла V получим формулу
«р V «i-«m
(2.5.3)
Двухосная среда считается положительной при tig—п,п>
> Пт — Пр и отрицательной при «g — Пщ <С Пщ — Пр. В первом
случае 1/< 45°, а во втором—V > 45°, что следует из
формулы (2.5.3). Определяя знак среды по этому правилу,
необходимо иметь в виду, что для угла, близкого к 45°, т. е. при
tig — Пт CV Пгп — Пр, знак среды не определен, а при tig — Пт^
^ Пт — tip среда всегда отрицательна.
Рассмотрим предельные случаи. Для оптически
положительной среды, оставляя постоянным отношение fig/tip, устремим
Пр к Пт- Тогда получим в пределе в сечении ПщПр окружность
с радиусом с/пт внутри окружности с радиусом с/tig (в
соответствии с рис. 2.5.7, а); в сечении tigtim получим окружность с ра-
87"
диусом с1пт И вписзнный В Нее эллипс с полуосями cltig и с1пт
в соответствии с рис. 2.5.7, а. Сечение ngtip аналогично сечению
ngtim. Эти три сечения соответствуют картине волновых
поверхностей положительной одноосной среды с обыкновенным
показателем преломления По ^ Пт и необыкновенным Пд = tig,
причем Пе>По (рис. 2.5.7, а). По этой причине неравенство
ng — Пт> Пт — /ip и принято считэть соответствующим
положительной двухосной анизотропной среде. Отметим, что угол 2V
при этом равен нулю. Аналогично при неравенстве tig — Пт <
<. Пт — tip путем предельного перехода, устремляя Пт к tig,
можно получить волновые поверхности, соответствующие
отрицательной одноосной среде (рис. 2.5.7,6). При этом
обыкновенным показателем преломления будет По = rig, а
необыкновенным Пе = Пр; причем Пе < По, а угол 2V = 180°.
В предыдущем анализе использовался эллипсоид Френеля
как для определения формы волновых поверхностей, так и для
вывода формулы при нахождении угла между оптическими
осями.
Эту формулу можно вывести также, используя оптическую
индикатрису. Оптическая ■ индикатриса двухосной среды имеет
уравнение
хУ/гр + г/7пт + z^/n\ = 1. (2.5.4)
Оптические оси расположны в плоскости xz, т. е. в
плоскости tigtip. Уравнение эллипса (см. рис. 2.5.6), получающегося при
■сечении оптической индикатрисы этой плоскостью, имеет вид
X /пр -\- Z /tig^l. (2.5.5)
Поскольку оптическая ось перпендикулярна круговому
сечению, то радиус-вектор, находящийся в этом сечении, равен Пт,
т. е. г ^ Пт^ Xm/cos V = Zm/sivi V. Подставляя в формулу
(2.5.5) значения Хщ и Zm, получим {Пт/tip) ^ COS^ V-{- (WmMg)^X
X sin^ V ^ I. После некоторых преобразований найдем: tg 1/ ^
^ {tigjtip)^j{nm — nl)/{nl —nil), Т. е. формулу, совпадающую
с (2.5.3).
Выше отмечалось, что среда считается положительной, если
rig — Пт> Пт — Пр, Т. е. направление rig является биссектрисой
•острого угла 2V, а для отрицательной среды rig — Пт <С Пт — Пр,
и биссектрисой острого угла будет направление Пр. Таким
образом, мы еще раз показали, что при предельном переходе для
положительной среды угол 2V стремится к нулю, а для
отрицательной среды угол 2V стремится к 180°.
Для одноосных сред любое центральное сечение оптической
индикатрисы, представляющее собой эллипс, имеет в качестве
одной из полуосей радиус кругового сечения. Это означает, что
по любому направлению в таких средах распространяются две
волны, причем для одной из них показатель преломления будет
обыкновенным по и не зависит от направления, а другой —
необыкновенным и меняется от по до Пе. Если Пе > По, то среда
оптически положительна, а при Пе <С По — оптически
отрицательна. В обоих случаях оптическая индикатриса представляет
собой эллипсоид вращения, причем ось вращения является
оптической осью среды. Для положительной среды эллипсоид
вытянут вдоль оси, а для отрицательной — сплюснут. Волновые по-^
верхности для этих случаев представлены на рис. 2.5.7, а, б.
Выведем основное соотношение, следующее из свойств
оптической индикатрисы и позволяющее выполнять расчеты
распространения света в анизотропной среде. Пусть направление
распространения волны ОР (см. рис. 2.5.2) составляет угол 6 с
оптической осью X (рис. 2.5.7,6). Для оптически отрицательной
среды сечение, перпендикулярное к ОР, представляет собой
эллипс с осями По и «о, где Пе переменный показатель
преломления, зависящий от 6 {Пе <. Пе <. По). Рассмотрим эллиптическоС'
сечение, содержащее оптическую ось и направление Р. Это
сечение имеет уравнение х1/по-\- Ze/пе = 1. Учитывая
соотношения Пе sin Q ^ хв и Пе COS 6 = zq, получим ИЗ уравнения
эллиптического сечения, что
l//ie = (l/«o)sin'e + (l/n')cos'e. (2.5.6)^
Таким образом, зная угол 6 между преломленной волновой
нормалью и оптической осью, а также константы вещества По и
Пе, МОЖНО рассчитать, воспользовавшись формулой (2.5.6),
переменный показатель преломления fie.
Двойное лучепреломление на границе раздела с одноосной
средой. Если из изотропной среды через плоскую границу
раздела волна преломляется в анизотропную среду, то в
последней в общем случае возникают две волны с ортогональными
поляризациями и различными направлениями волновой
нормали. Для обеих волновых нормалей угол преломления
определяется из закона преломления, причем для одной из нормалей
в законе преломления используется постоянный показатель
преломления По, а для другой — переменный, зависящий от
ориентации нормали относительно оптической оси — Пе.
Следовательно, расчет углов преломления сводится к
определению переменного показателя преломления. Этот расчет можно
провести как с использованием волновых поверхностей
(эллипсоида скоростей), так и с помощью оптической индикатрисы.
Первый метод, обладая наглядностью, в некоторых случаях
приводит к громоздким расчетам, и поэтому в этих случаях следует
воспользоваться свойствами оптической индикатрисы.
Используем тот и другой методы.
Рассмотрим двойное лучепреломление на границе раздела
изотропной среды и одноосной анизотропной среды при
следующих условиях: а) оптическая ось перпендикулярна границе раз-
89»
дела; б) оптическая ось параллельна границе раздела; в)
оптическая ось ориентирована наклонно к границе раздела,
плоскость падения содержит оптическую ось, а угол падения равен
нулю.
При использовании метода волновых поверхностей
определение углов преломления производится с использованием
принципа Гюйгенса. Элементарными волнами Гюйгенса во всех
случаях являются: сфера для обыкновенного луча и эллипсоид
Рис. 2.5.8. Построения Гюйгенса для анизотропной среды,
вырезанной перпендикулярно оптической оси
вращения для необыкновенного (рис. 2.5.7). Для оптически
отрицательной среды, рассмотрением которой ограничимся, сфера
вписана в эллипсоид (рис. 2.5.7,6). Сечение волновых
поверхностей плоскостью падения в первом случае представлено на
рис. 2.5.8. Сечением эллипсоида является эллипс P\AoQi, а
сечением сферы — окружность PAoQ. Радиус окружности PAoQ
пропорционален 1/по, а полуоси эллипса PiAoQi
пропорциональны 1/По и 1/Пе соответственно. Плоскости преломленных
волновых фронтов представлены прямыми ВМо и BMg, выходящими
из общей точки В и касающимися окружности в точке Мд и
эллипса в точке Me. Очевидно, что угол преломления для нормали
обыкновенной волны |Зо — ZMoBO, а для нормали
необыкновенной волны |3е—ZMeBO. Из закона преломления имеем
sin а = По sin |Зо. Для того чтобы найти угол |3е и tg |3е, построим
вспомогательную окружность PiAoQ: радиуса 1/пе и проведем
след вспомогательной плоской волны ВМо- Для
вспомогательной плоской волны справедливо соотношение sin а ^ sin |3е,
выполняющееся при любых углах падения, так как
элементарной вспомогательной волной является сфера. Используя
свойство эллипса, найдем что tg|3e/tg|3e ^ ОМ'о/ОМе ^ Пе/ПоК ИС-
' Правильность этого соотношения легко проверить качественно,
перемещая точку В в бесконечность.
90
пользовав затем закон преломления sin а ^ Пе sin |3е, получиьЕ
для tg |3е формулу
tgp:= "l^ili-^. (2.5.7>
"о V"е — S'" «
где /lo и /ig— известные значения показателя преломления
обыкновенной и необыкновенной волн.
Определим теперь tg |3е, используя оптическую индикатрису^
Уравнение индикатрисы одноосной анизотропной среды имеет
вид эллипсоида вращения, а именно
z'/nl + (х^ + уУп1 = 1. (2.5.8)^
Для определения показателя преломления Пе для
необыкновенной волны, нормаль к волновому фронту которой образует
угол 6 с оптической осью, введем полярные координаты по
известным формулам X ^ Пе cos 6 cos (О, у ^ Пе COS 6 sin (О, Z =
^ Пе sin 6. Здесь со — угол между плоскостью падения и
сечением ху.
В результате получим из (2.5.8)
rieCOS e(COS CD + sin СО)/Ио + ^e Sin Q/Пе ^
2 2 2 2 2 2
^ lie cos в/По-\- lie sin 6/«e ^ 1.
Для величины lie имеем соотношение
l/iie^s'm e/«e4-cos Q/по- (2.5.9)>
r
в рассматриваемом случае угол 6 ^ |3е и, используя закон
преломления Пе sin |3е^ sin а, найдем
tg |3е ^/ig sin аДио'V'^e ~ sin^ а).
т. е. выражение для tg Ре, совпадающее с формулой (2.5.7).
Отметим, что поскольку в плоскости падения лежит оптическая
ось, угол |3'е не зависит от ориентации плоскости падения, т. е.,
от угла (О.
Рассмотрим теперь случай, когда оптическая ось
параллельна границе раздела сред (рис. 2.5.9, а, б). Когда оптическая
ось перпендикулярна плоскости падения, сечение
волновых поверхностей представлено на рис. 2.5.9, а. Сечением
эллипсоида является окружность PxAeQx, а сечением сферы —
окружность PAoQ. Радиус окружности Р\АеО.\ пропорционален
1/«е, а радиус окружности PAoQ— I/Wq. Если плоскость падения
содержит оптическую ось, то сечения волновых поверхностей
имеют вид, представленный на рис. 2.5.9, б. Эти сечения
представляют собой окружность PAqQx с радиусом,
пропорциональным Xjiio, и эллипс PAoQx с полуосями ХЫо и \liie. в общем
случае, когда плоскость падения составляет угол со с
плоскостью, содержащей нормаль к границе раздела и оптическую^^
9Е
Рис. 2.5.9. Построения. Гюйгенса для одноосной
анизотропной среды — оптическая ось параллельна границе
раздела: а — оптическая ось перпендикулярна
плоскости падения; б—оптическая ось параллельна плоскости
падения
ОСЬ, сечения волновых поверхностей изображены на рис. 2.5.10.
Для необыкновенной волны сечением будет эллипс PiAgQi
с полуосями ОАе ?K 1/Пе И 0Р\ X 1/па. В пределе при (0^0
OP'i = OP (см. рис. 2.5.9, б) и при со = я/2 OP'i = OPi
(см. рис. 2.5.9, а).
Выполним расчет угла |3е в общем случае. Прежде всего
лайдем Па. Поскольку угол между оптической осью и направ-
Рис. 2.5.10. Волновые поверхности в анизотропной среде,
оптическая ось которой параллельна границе раздела и
произвольно ориентирована относительно плоскости
падения
92
лением OPi равен ю (рис. 2.5.11, а), то в (2.5.9), заменив 6 на
to, имеем
l/ra(o^sin^cD/«e4- cos^cd/По- (2.5.10)
Для расчета угла |3е воспользуемся следующим приемом.
Построим вспомогательную окружность P\AoQi (рис. 2.5.10) с
радиусом, пропорциональным 1/па. При этом имеем соотношения
tg Po/tg |3е ^ ОМ'/ОМе ^/ie//ia И Лщ sin (Зо ^ sin а. Окончатель-
ло имеем для tg |3е с учетом соотнои1ения (2.5.10) формулу
tg Ре ^ 'уп1п1 — sin^ а (ле cos^ CD + «о з1п^ (и)/по sin а. (2.5.11)
в частных случаях со ^ я/2 (см. рис. 2.5.9, а) и со ^ О
^см. рис. 2.5.9, б) получим соответственно:
tgPe = 'Y«e — sin a/sin а;
(2.5.12)
tg Ре ^ «е V"о — sin^ а/По sin а. (2.5.13)
Формулы (2.5.12) и (2.5.13) можно вывести
непосредственно, используя свойства соответствующих сечений волновых
поверхностей (см. рис. 2.5.9, а, б).
Рассмотрим теперь этот же случай, использовав свойства
оптической индикатрисы. Выше отмечалось, что для угла
преломления нормали к волновому фронту необыкновенной волны
•справедлив закон преломления Пе sin Ре ^ sin а. Для того чтобы
использовать инвариант преломления, необходимо установить
\0 в Ось
Рис. 2.5.11. Иллюстрация расчета
закона преломления в анизотропной
среде при произвольной ориентации
оптической оси относительно границы
раздела: а — плоскость падения
содержит оптическую ось и нормаль к
поверхности; б — плоскость падения
ориентирована произвольно; в —
плоскость падения содержит
оптическую ось, расположенную
произвольно, луч падает по нормали к
поверхности раздела
93
связь между углами ю и 6 (рис. 2.5.11, а). Напомним, что |3е —
угол преломления (угол между нормалью к поверхности
раздела и преломленной волновой нормалью), со — угол между
плоскостью падения и плоскостью, содержащей нормаль к
поверхности раздела и оптическую ось, а G — угол между оптической
осью и преломленной волновой нормалью. Из рис. 2.5.11, а
следует, что 0Р[ = ОМе sin |3е, OPi = OPi'cOS со ^ ОМе cos CD X
X sin |3е и OPi = ОМе COS 6. В результате находим искомую-
связь между |3е, ю и 6 в виде
cos 6 ^ sin Ре cos со. (2.5.14}
Использовав соотношение (2.5.9), закон преломления
Пе sin |3е ^ sin а, а также значение cos 6 из (2.5.14), после
некоторых тригонометрических преобразований получим формулу
для tg |3е, совпадающую с выражением (2.5.11).
В общем случае, когда оптическая ось составляет
произвольный угол of) с нормалью к поверхности раздела и плоскость
падения не совпадает с главной плоскостью, связь между
углами Ре, 6 и со (в соответствии с рис. 2.5.11,6) имеет вид
cos 6^ cos Ре ^C0ST|)-1- sin Ре Sin-ф COS CO. (2.5.15)-
Формула (2.5.15) выводится как соотношение между
сторонами Ре, ф и 6 в сферическом треугольнике MgO'N и углом при
его вершине со (рис. 2.5.11,6).
Применив закон преломления в форме ?,т^ %^ sm"^ ajtic, к
2 2 2
подставляя в него значение 1/пе из (2.5.6), так как iiq ^ Пе>
получим
sin= Ре = sin= а [а^ — {а' — Ь') cos= 6], (2.5.16)
где а = 1/Пе и b ^ 1/По.
Используя в (2.5.16) значение cos 9 из (2.5.15), после
тригонометрических преобразований получим квадратное уравнение
относительно ctg Ре.
с^ ctg^ Ре ^ sin^ а — 2 ctg Ре sin^ а {а^ — Ь^) sin -ф cos -ф cos со +
+ sin=a[a= —(а= —6=)sin=T|)Cos=co]— 1=0, (2.5.17)
где введено обозначение
с^ = а^ sin' -ф + ^^ cos^ -ф.
В результате решение уравнения (2.5.17) получим в виде
ctg Ре =-^-^ sin-ф cos-ф cos со +-^^^ X
X д/l — a'sin^afsin^co + ^-cos^co). (2.5.18)
Можно показать, что в частных случаях при af> ^ О получим
формулу (2.5.12), а при af> ^ п/2 формулу (2.5.13).
94
До сих пор рассматривался вопрос о преломлении волновой
нормали. Для ряда поляризационных устройств необходимо
выполнять расчет прохождения луча в анизотропной среде.
Рассмотрим случай, когда волна падает по нормали к
поверхности раздела, а оптическая ось лежит в плоскости
раздела, но ориентирована произвольно (рис. 2.5.11,в). Для
необыкновенной волны элементарной волной Гюйгенса является
эллипсоид вращения с осью, образующей угол 6 с нормалью Л^ к
поверхности раздела PP. Следы обеих волн изображены на
рис. 2,5.11, в окружностью QAoQ и частью эллипса РМНР.
Радиус окружности равен l//io, а полуоси эллипса 1/По и l/ig.
Малая ось эллипса образует угол 6 с нормалью. Если угол между
лучом ОМ и большой осью эллипса равен у, то из свойств
эллипса следует соотношение tg 6 ^ а^ igy/b^-
Для угла преломления (Зе необыкновенного луча ОМ имеем
igP,-tg(e-Y) =
tge-tgY {a--b^)tgQ
2 2
Пп — П,
1 + tgetgY a^ + u^tg^e nlctge + nltgQ'
(2.5.19)
При 6 ^ О и 6 ^ п/'2 угол Ре ^ 0. Следовательно, для
некоторого угла 6 величина угла |3е максимальна. Исследовав
выражение (2.5.19) на экстремум, найдем, что максимальное
значение Ре достигается при tg 9 ^ По/Пе:
tg^e = (nl-nl)/2none. (2.5.20)
Вращение плоскости поляризации. Одним из видов двойного
лучепреломления является появление в результате него двух
циркулярно поляризованных волн, приводящих к вращению
плоскости поляризации. Это явление называют оптической
активностью вещества. Оптическая активность в естественных
кристаллах определяется как строением молекул вещества, так и
расположением молекул в кристаллической решетке.
Возникновение оптической активности связано с тем, что
электромагнитная волна, проходящая через вещество, имеет различную фазу
в разных частях молекулы или кристаллической решетки. В
результате колебания электронов, возбужденных световой волной
в отдельных частях асимметричной молекулы, они имеют
разную фазу, и при интерференции вторичных световых волн
происходит поворот плоскости поляризации. Это явление может
быть названо «внутримолекулярной интерференцией».
Оптической активностью обладают только асимметричные молекулы и
кристаллы, не имеющие ни плоскости, ни центра симметрии.
Вращение плоскости поляризации в жидкостях является
следствием так называемой оптической изометрии. Так как
молекулы большинства органических соединений не симметричны, то
в простейшем случае у таких соединений возможно наличие
двух стереоизомеров, являющихся зеркальным отражением друг
95
друга. Избыток одного из стереоизомеров и приводит к тому,
что в целом вещество оказывается оптически активным.
Направление вращения принято устанавливать для
наблюдателя, смотрящего навстречу приближающейся волне:
правовращающие вещества поворачивают плоскость поляризации
направо (по часовой стрелке — положительный знак), а левовра-
щающие — дают обратное вращение (отрицательный знак).
В природе встречаются вещества, как правило, представленные
одним изомером и вращающие плоскость поляризации направо.
Рис. 2.5.12. Графическое представление механизма
поворота плоскости поляризации
Механизм поворота плоскости поляризации можно наглядно
представить следующим образом. Разложим вектор падающего
линейно поляризованного света на право- и левоциркулярно
поляризованные компоненты (с одинаковыми периодами и
амплитудами) . Пусть на входе в слой оптически активного вещества
эта совокупность волн эквивалентна линейно поляризованному
свету с колебаниями по направлению АА (рис. 2.5.12, а), т. е.
вращающиеся электрические вектора правой и левой волн
симметричны по отношению к плоскости АА. Рассмотрим, какой
будет ориентация этих векторов после прохождения пути / в
веществе. Примем, что до рассматриваемой точки среды в
определенный момент времени волна, циркулярно поляризованная
влево, дойдет с некоторым отставанием по фазе по отношению
к волне циркулярно поляризованной вправо. В рассматриваемой
точке электрический вектор волны, циркулярно поляризованной
вправо, будет повернут вправо на больший угол по сравнению
с электрическим вектором левоциркулярно поляризованной
волны (рис. 2.5.12,6).
Следовательно, результирующее колебание останется
линейно поляризованным, а плоскость симметрии АА должна
повернуться, т. е. должна повернуться плоскость поляризации. Для
получения аналитического выражения для угла поворота выра-
96
зим углы поворота электрического вектора как функции
времени t и пути /, проходимого светом, для волн, циркулярно
поляризованных вправо и влево: апр^со(^ — l/vnp); «лев ^
= Ш(^— //^лев), где Опр = С/Ппр, Олев = с/Ллев (^пр, «лев — фаЗО-
вые скорости распространения первой и второй волн
соответственно, а Ппр и Плев — соответствующие показатели
преломления); со — циклическая частота волны. Из этих выражений
следует, что угол поворота плоскости поляризации на пути / равен
а = («пр — алев)/2 = (ш//2с) (w^b — «пр) = (л/До) (w^b — «пр), (2.5.21)
где Ко — длина волны излучения в вакууме.
Формулу (2.5.21) иногда записывают в виде а ^ ао/, где ао —
удельное вращение плоскости поляризации для определенной
длины волны, т. е. угол, на который поворачивается плоскость
поляризации линейно поляризованного света при прохождении
слоя вещества единичной длины.
Удельное вращение зависит от длины волны. Эту
зависимость называют вращательной дисперсией (или дисперсией
оптической активности). Для вращательной дисперсии
используют эмпирическую формулу
а„ = а%У{%^ ~ %]) + Ь%1/{%^ - Х1) + F,
'где а, b и F — коэффициенты, определяемые экспериментально,
а Я] и Яг — длины волн, соответствующие максимумам
поглощения.
В настоящее время в качестве эталонов вращения
плоскости поляризации используют поляриметрические пластинки из
кристаллического кварца. Для кварца установлена в видимой
области следующая зависимость удельного вращения ао (°/мм)
от длины волны X (нм)
ао = — 647,5А^ — 2310040/(Я^ — 863,84) 4- 9563920/(Я= — 12756,8).
Для длины волны я ^ 546 нм ао ^ 33,5° при
распространении света вдоль оптической оси. В направлении,
перпендикулярном к оптической оси, вращение имеет противоположный
знак и меньшую величину. Для промежуточных направлений
величина вращения всегда меньше, чем в направлении оси.
В направлении, составляющем угол 56° к оси, вращение равно
нулю. Для образцов кварца различных месторождений значения
удельного вращения незначительно отличаются друг от друга.
Вращение плоскости поляризации в растворах используют
для определения концентрации оптически активного вещества.
Для растворов в оптически неактивных растворителях
установлена следующая зависимость: а ^[a]Ct/lOO, где а — угол
вращения плоскости поляризации; / — толщина слоя; С —
концентрация активного вещества в данном растворителе в
процентах и [а] —коэффициент, называемый постоянной вращения
(или удельным вращением) и определяемый природой вещества.
7 Зак. № 167 97
Удельным вращением [а] (зависящим от длины волны и
температуры) называется угол вращения плоскости поляризации,
производимый слоем толщиной 10 см при концентрации активного
вещества 100%, т. е. чистым жидким веществом (в таблицах
удельное вращение обычно приводится для температуры 20 °С).
Измеряя угол вращения а раствора вещества с известной
концентрацией, вычисляют удельное вращение [а] ^ 100а//с.
Обнаружено, что значения удельного вращения,
определенные при работе с растворами различных концентраций вещества
(в одном и том же растворителе), несколько отличаются друг
от друга. Например, для сахарозы в воде при 20°С и длине
волны 589 нм
[а] = 66,435 + 0,00870С — 0,000255С=,
где С — объемный процент сахарозы на 100 мл.
Кроме того, значения удельного вращения, полученные с
растворами вещества в различных растворителях, также могут
быть разными.
Дихроизм и анизотропия поглощения. Рассмотрим среды,
обладающие дихроизмом, обусловленным анизотропией
поглощения. При прохождении света через такую среду волна
испытывает двойное лучепреломление и ортогонально
поляризованные компоненты поглощаются в различной степени. Поскольку
коэффициент поглощения зависит от длины волны, то различие
в поглощении ортогональных компонент приводит к появлению
окраски. Если ортогональные компоненты линейно
поляризованы, то среда линейно дихроична. Необходимо подчеркнуть, что
степень поглощения компоненты зависит от ориентации
колебаний электрического вектора относительно выделенного
направления. Направление распространения луча не является
определяющим. Лучи, имеющие одно и то же направление
распространения, поглощаются в разной степени, если различно
направление колебаний их электрического вектора. Если же
направление колебаний одинаково, то поглощение также
одинаково (даже если направление распространения разное).
Точно так же, как и для линейного двойного
лучепреломления, можно определить индикатрису поглощения, т. е. наиболее
сжатую характеристику свойств анизотропно поглощающей
среды. Индикатриса в общем случае представляет собой
эллипсоид с полуосями a-w, av и а^. Индикатриса поглощения служит
трехмерной моделью, с помощью которой можно определить два
коэффциента удельного поглощения для произвольного
направления распространения. Метод определения заключается в том,
что индикатриса рассекается плоскостью, проходящей через ее
центр и перпендикулярной к нормали волнового фронта
распространяющейся волны (рис. 2.5.13). Эта плоскость пересекает
индикатрису по эллипсу, наибольшая и наименьшая полуоси
которого по величине равны двум искомым коэффициентам удель-
98
ного поглощения. Среди плоскостей, проходящих через центр
индикатрисы, всегда можно выбрать плоскости,
ориентированные таким образом, что пересечение их с индикатрисой дает
окружности. Нормали к таким плоскостям называются
монохроматическими осями Am, а угол между ними —
монохроматическим углом 2М (рис. 2.5.13). Если среда имеет две
монохроматические оси, то она называется плеохроичной, если же оси
совпадают— дихроичной. Индикатриса называется положительной,
если 2М < 90°, и
отрицательной, если 2М > 90°.
Количественно
дихроизм характеризуется
разностью коэффициентов
удельного поглощения.
Величина Dw,v ^(ctw —
— йу) называется первым
дихроизмом, Dv,u^
^ (йу — йи) — вторым
дихроизмом и наконец
величина Dw,u ^ (ciw —
— йи) — общим
дихроизмом. Последняя величина
является наиболее
важной, при этом
прилагательное «общий» часто
опускается.
Если пучок света падает по нормали к границе раздела, то
поляризованные компоненты в дихроичной среде имеют одно и
то же направление волновой нормали (перпендикулярно границе
раздела). Следовательно, можно рассматривать только одно
сечение индикатрисы поглощения, а именно сечение,
параллельное границе раздела. Характер поглощения, характеризуемый
этим плоским сечением, можно качественно назвать плоским
поглощением. При этом в общем случае поперечное сечение
индикатрисы является эллипсом. Длины полуосей awp и аир
называются наибольшим и наименьшим коэффициентами плоского
удельного поглощения. Разность awp — ciup обозначается Dp и
называется плоским дихроизмом. Отношение Rp = awp/ctup
называется плоским дихроичным отношением.
Наряду со средами, в которых наблюдается линейный
дихроизм, существуют среды с циркулярным дихроизмом. В этих
средах два луча с правой и левой циркулярной поляризацией,
на которые разделяется падающей линейно поляризованный
луч, поглощаются по-разному.
Пусть в среде, обладющей циркулярным дихроизмом,
распространяются две волны, прошедшие разные пути. Вследствие
различного поглощения эти циркулярно поляризованные
компоненты с противоположным направлением вращения электриче-
Рис. 2.5.13. К определению коэффициентов
удельного поглощения анизотропной
поглощающей среды
у*
99
ского вектора имеют неодинаковые амплитуды йг и йе. Они
представляются векторами Ег и Eg, ориентированными друг к другу
под некоторым углом. Эти вектора представляют собой
мгновенные положения электрического вектора в каждой из волн.
Б результате сложения их образуется эллиптически
поляризованная волна. Большая полуось эллипса поляризации равна
сумме амплитуд йг-\-йе, а малая полуось — их разности.
Направление вращения электрического вектора в результирующей
волне совпадает с направлением вращения электрического
вектора циркулярно поляризованной волны с большей амплитудой.
Угол а между большой осью эллипса и направлением
колебаний линейно поляризованного света, входящего в среду, зависит
от величины циркулярного двойного лучепреломления.
Искусственная анизотропия. Наряду с анизотропией,
обусловленной свойствами среды, под действием внешних полей
возникает наведенная (искусственная) анизотропия. В
зависимости от природы внешнего поля различают следующие виды
искусственной анизотропии: пьезооптический эффект
(фотоупругость), электрооптический эффект (линейный и квадратичный),
магнитооптический эффект (двойное лучепреломление и
оптическая активность). Рассмотрим эти явления последовательно.
Если изотропное тело находится в силовом поле
(деформируется), то в нем возникает выделенное направление и тело
приобретает свойства кристалла (в том числе и свойство
двойного лучепреломления). При одностороннем растяжении или
сжатии изотропное тело становится подобным одноосному
кристаллу с оптической осью, параллельной направлению
растяжения или сжатия. При более сложных деформациях, например,
при двустороннем растяжении, тело становится оптически
двухосным.
Теория и опыт показывают, что разность показателей
преломления Пе—По, являющаяся мерой возникающей
анизотропии, пропорциональна давлению F, которому подвергается
деформируемое тело, т. е. Пе — По ^ KF, где К— константа,
определяемая свойствами вещества.
Оптическая анизотропия может возникнуть и в потоке
жидкости при наличии градиента скорости движения жидкости. Она
вызывается натяжением и аналогично анизотропии,
возникающей в твердых телах при деформации.
Другим примером искусственной анизотропии является
электрооптический эффект. Квадратичный электрооптический
эффект наблюдается в средах, имеющих центр симметрии,
например, в жидкостях. Под действием электрического поля жидкость
становится по оптическим свойствам, подобной одноосному
кристаллу с оптической осью, направленной вдоль оптического
поля.
Для монохроматического света с длиной волны Я разность
показателей преломления Пе—«о пропорциональна квадрату
100
напряженности поля Е, т. е. Пе — «о ^ КЕ^, где К — константа,
характеризующая жидкость. Наряду с константой К вводят
постоянную Керра В = К^.
Для большинства жидкостей S >• О (Пе > Пд), т. е. их
анизотропия соответствует анизотропии положительного кристалла.
Численные значения постоянной Керра для разных веществ
весьма различны. Максимальным значением обладает
нитробензол, для которого В ^ 2,2- lO^i" см/В^.
Наряду с квадратичным существует линейный
электрооптический эффект. Наиболее сильно этот эффект выражен в
кристаллах дигидрофосфата калия {KDP) и аммония {ADP). Эти
кристаллы анизотропные и одноосные. Под действием
электрического поля кристалл становится двухосным и кроме того
происходит поворот эллипсоида показателя преломления.
Магнитооптический эффект проявляется в двух видах.
Наложение магнитного поля приводит либо к возникновению
двойного лучепреломления, либо вещество становится оптически
активным.
В первом случае явление аналогично эффекту Керра, т. е.
Пе — По ^ DH^, где Я — напряженность магнитного поля; D —
константа, харктеризующая свойства среды. Вводим также
постоянную Коттона—Мутона с* = D/X. Константа с* очень мала.
Этот эффект наблюдается в жидкостях, стеклах и не
наблюдается в газах.
Вещества, не обладающие естественной оптической
активностью, приобретают ее под действием внешнего магнитного
поля. Угол поворота плоскости поляризации а в этом случае
пропорционален длине пути d света в среде и напряженности
магнитного поля Я: a^pdH, где р — постоянная, характерная
для вещества и носящая название постоянной Верде. Значения
р невелики, и требуются достаточно сильные магнитные поля,
чтобы эффект был значительным. Например, для сероуглерода
р = 0,042, для тяжелого флинта р = 0,06—0,09, если d
выражено в сантиметрах, а Я — в эрстедах.
Очень большой поворот плоскости поляризации наблюдается
в тонких пленках ферромагнитных металлов (железо, никель,
хобальт и др.). Пленка железа толщиной 0,1 мкм в поле
напряженностью 10* Э поворачивает плоскость поляризации на 2°.
Направление вращения плоскости поляризации для каждого
вещества определяется лишь направлением магнитного поля и
не зависит от направления распространения света. Если свет
многократно проходит через вещество, то происходит накопле-
яие угла поворота.
Глава 3
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
И ТЕХНИКА ИНТЕРФЕРОМЕТРИИ
Интерференция света — явление сложения световых
колебаний, при котором амплитуда или состояние поляризации
результирующего колебания в разных точках пространства
становятся зависимыми от разности фаз складывающихся колебаний^
Интерферировать могут только когерентные световые
колебания. Световые колебания называются когерентными, если
разность их фаз остается постоянной во времени или изменяется
по какому-либо закону. Это возможно только при
согласованном протекании во времени и пространстве световых
колебательных процессов, которые можно характеризовать временной:
и пространственной когерентностью.
При интерференции неполяризованных пучков лучей или при:
интерференции лучей одного вида поляризации с совпадающими
азимутами в области наложения световых пучков наблюдается
пространственное перераспределение энергии светового
излучения, выражающееся в чередовании областей повыщенной и
пониженной интенсивности. Такое чередование чаще всего бывает
регулярным, и тогда возникают интерференционные полосы.
В этих случаях перераспределение энергии — есть следствие
зависимости амплитуды результирующей волны от разности фаз:
складывающихся колебаний.
При взаимодействии ортогонально поляризованных световых
волн в области наложения световых пучков возникает
результирующая волна, состояние поляризации которой зависит от
разности фаз складывающихся колебаний, а интенсивность
равна сумме интенсивностей исходных волн и не зависит от
разности фаз. Очевидно, что визуальное наблюдение изменения
состояния поляризации невозможно, так как глаз реагирует
только на изменение интенсивности (освещенности). Для
визуализации взаимодействия подобного рода необходимы
специальные поляризационные устройства.
Данная глава посвящена интерференции света, результатом
которой является зависимость результирующей интенсивности '
от разности фаз интерферирующих световых волн.
' Отметим, что понятие «интенсивность» здесь и в дальнейшем в книге
используется как величина, пропорциональная квадрату амплитуды. Это
понятие хотя и не является терминологически узаконенным, однако его
применение целесообразно при рассмотрении общих принципов работы
интерференционных систем, когда нет необходимости фиксировать тот или другой способ
регистрации светового потока.
102
Наблюдать интерференцию световых волн можно лишь при
■определенных условиях. Для получения когерентных колебаний
на практике используют различные способы деления одного
первичного пучка на два и более. Это деление можно осуществить
путем расщепления пучка при частичном отражении света
(деление амплитуды волны), с помощью установки диафрагм на
пути распространения пучка (деление фронта волны),
образованием интерферирующих пучков при двойном лучепреломлении
(поляризационное деление пучка). Все названные случаи
получения когерентных пучков рассмотрены далее.
Значение интерференционных измерений, которое они имеют
в физике и технике, трудно переоценить. Высокая
чувствительность, точность и безынерционность интерференционных
измерений определили широкие возможности их использования.
Перечислим основные области, в которых применяются
интерференционные измерения.
1. В технологии производства для контроля качества
поверхностей оптических деталей, исследования макро- и
микрогеометрии поверхностей металлических и оптических деталей, для
контроля однородности оптических материалов и др.
2. В метрологии для измерений длины волны, механических
леремещений, измерения показателя преломления вещества,
исследования структуры спектральных линий, определения
спектроскопических постоянных и т. д.
3. В технике физического эксперимента для изучения
разного рода физических процессов при наличии неоднородности
исследуемого объекта. Сюда относятся: изучение
температурного поля объекта; исследование неоднородностей в воздушных
вихрях и потоках; исследование дисперсии света, т. е.
зависимости показателя преломления вещесгва от длины волны вдали
и вблизи полосы поглощения; измерение механических
напряжений в моделях при наличии статистических и динамических
нагрузок и др.
4. В приборостороении на принципе интерференционных
явлений создаются приборы и устройства, применяемые для
различных целей в технике физического эксперимента. Например,
интерференционные и интерференционно-поляризационные
фильтры, резонаторы лазеров, спектральные приборы, построенные
на базе интерферометров, поляризационные компенсаторы для
анализа поляризованного света, голографические
интерферометры и др.
При интерференционных измерениях используются как
визуальные, так и фотоэлектрические методы регистрации.
Фотоэлектрические способы значительно повышают объективность,
точность и чувствительность измерений.
§ 3.1. Общие характеристики
интерференционного поля
Обычно человеку редко приходится наблюдать
интерференционные явления. Исключение составляют наблюдения цветных
пятен на поверхности воды, если эта поверхность имеет какую-
либо тонкую поверхностную пленку. Тогда говорят, что
наблюдается интерференция в тонком слое.
В технике физического эксперимента для получения
интерференционной картины создаются специальные устройства —
интерферометры.
Интерферометрами называют измерительные устройства.,
принцип действия которых основан на явлении интерференции;
света. Основываясь на определении интерференции как
когерентной суперпозиции двух или большего числа пучков, под
интерферометром можно понимать также устройство, служащее
для создания когерентных пучков, формирования
интерференционной картины, а иногда и ее интерпретации.
Основные понятия. В результате интерференции двух илк
большего числа пучков в пространстве имеет место чередование
максимумов и минимумов интенсивности, т. е. возникает система
интерференционных полос. Интерференционной полосой
называется геометрическое место точек с одинаковым
интерференционным эффектом, соответствующим равным разностям фаа
(разностям хода) между интерферирующими лучами.
Результат интерференции наблюдается на некоторой поверхности»
В частном случае этой поверхностью является плоскость.
Область пространства, в которой перекрываются интерферирующие
пучки, называется интерференционным полем.
При сложении двух строго монохроматических
(гармонических) колебаний одинаковой частоты со.' 5i ^ ai sin(cu^-j-ф:) к
52 ^ «2 sin(cu^-f Фг), имеющих амплитуды ai и а2, фазы at-^
-f Ф1 и ш^ -f Ф2 и разность фаз б ^ ф1 — ф2, возникает
результирующее колебание с амплитудой А, определяемой уравнением'
Л^^а?-f аг-f 2a,a2Cos6. (3.1.1)
Перепишем уравнение (3.1.1) через интенсивности /i и Jz
интерферирующих колебаний, т. е.
J = J^ + ■f2 + 2^/JAcosЬ. (3.1.2)
Выражение (3.1.2) —уравнение двухлучевой интерференции,,
которое определяет распределение интенсивности в
интерференционном поле в зависимости от разности фаз б.
При равенстве амплитуд колебаний ui ^ а2 = а имеем иа
формулы (3.1.2)
/ = 2a"(l-f cos6) = 2/(l -f cos 6) = 4/cos'(6/2). (3.1.3)
104
Как следует из формул (3.1.2) и (3.1.3), результат интер-
«ференции существенно зависит от разности фаз б
складывающихся колебаний. Разность фаз б связана с разностью
оптических длин путем /i и h, проходимых колебаниями до места их
взаимодействия. Величина А ^ /i — /2 называется разностью
хода. Запишем связь между б и А
6 = 2jtA/A,. (3.1.4)
Оптическая длина пути / — есть произведение длины
геометрического отрезка пути t, проходимого лучом в среде, и
показателя преломления п этой среды, т. е. I ^ nt. Отношение
разности хода А к длине волны К называют порядком
интерференции k
й = А/Х. (3.1.5)
Из формулы (3.1.5) следует, что порядок интерференции есть
^исло; оно может быть как целым, так и дробным. Из формул
(3.1.4) и (3.1.5) следует связь разности фаз с порядком интер-
•ференции
b = 2nk. (3.1.6)
Если фазы ф1 и ф2 будут беспорядочно и случайным образом
меняться во времени, то разность фаз б может в выделенном
конечном интервале времени т принимать в общем случае
любые значения от О до 2jt, поэтому средняя интенсивность /,
•согласно формуле (3.1.2), будет определяться интегральной
величиной
т
7^—\/т eft ^ а?-f аг ^/i-f/г- (3.1.7)
о
Выражение (3.1.7) показывает, что результирующая
интенсивность равна сумме складывающихся интенсивностей и
интерференционного эффекта двух колебаний получить в этом случае
не удается. Этот результат соответствует известному закону
фотометрии, когда освещенность, создаваемая двумя
независимыми— не коррелированными (не связанными) по фазе —
источниками света, равна сумме освещенностей, создаваемых
каждым из них в отдельности.
Для получения интерференционного взаимодействия двух
колебаний необходимо, чтобы разность фаз была, например,
постоянна в течение времени, необходимого для фиксирования
результата этого взаимодействия. В самом деле, если разность
фаз б в течение времени наблюдения постоянна и будет
составлять четное число л, т. е. б ^ 2пт (где т — число целое), то
из формул (3.1.1) и (3.1.2) получим
/max = («. + а,Г = (VA + л/hf. (3.1.8)
105
По формуле (3.1.8) при равенстве амплитуд ai = аа = а
имеем /max = 4а2. В этом случае т = k, т. е. порядку
интерференции.
Если разность фаз б определяется нечетным числом яте
б = (2т + l)jt, то
/min = («1 — а,У = i^/j, — ^J,f. (3.1.9)
По формуле (3.1.9) при Ui = az == а имеем /щш = О, а
порядок интерференции k^ т + V2.
Рис. 3.1.1. Распределение
интенсивности как функции разности фаз
Рис. 3.1,2. Интерференция от двух;
точечных источников света
Таким образом, при постоянной разности фаз между
интерферирующими пучками в течение времени, достаточного для
регистрации, будут наблюдаться максимумы и минимумы ин-
тенсивностей, т. е. возникает интерференционная картина.
Интерференционная картина представляет собой чередование
максимумов и минимумов по определенному (свойственному
данному типу интерференции) закону. В рассмотренном случае
взаимодействуют два колебания — такой тип интерференции
называется двухлучевым.
Можно графически представить распределение интенсивности
при двухлучевой интерференции (рис. 3.1.1). Шириной
интерференционной полосы b называется линейное расстояние между
двумя соседними интерференционными максимумами. Ширина
полосы может быть дана и в угловых величинах.
На рис. 3.1,1 кривая 1 соответствует равенству интенсивно-
стей Ji = /2 = /о, а кривая 2 — случаю, когда /i Ф J2.
Штриховая линия является осью симметрии для синусоид У и 2; она
соответствует среднему значению (/max-f/тт)/2 =/, +/а.
В частности, при /; = /з = /о амплитуда синусоиды 1 равна
•/^тах/2 = 2/о = 2а?-. При неравенстве интенсивностей /i и /а
амплитуда синусоиды 2 равна (/max — /mm)/2 = 2л/]\12.
Рассмотрим результат интерференции от двух точечных
источников 5i и 52 (рис. 3,1.2). Геометрические места равной раз-
106
ности фаз, например, соответствующие максимумам
интенсивности (б ^ 2jtm, где т — целое число), представляют собой
поверхности, зависящие от расположения источников света и
наблюдателя. В случае двух точечных источников, излучающих
сферические волны (рис. 3.1.2), разность хода А в точке Р поля
интерференции, соответствующая условию максимумов
интерференции, будет равна
A = nt, — nt^ = kX. (3.1.10)
В формуле (3.1.10) ti и ^2 — геометрические пути лучей; k —
лорядок интерференции.
Семейство кривых для разных порядков интерференции,
соответствующих уравнению (3.1.10), представляет собой
гиперболы, а поверхности равных разностей фаз — гиперболоиды
вращения с осью SiSz (рис. 3.1.2).
При регистрации результата интерференции, например, на
фотоэмульсии, получим полосы, имеющие вид окружностей а,
дуг б, прямых в, в зависимости от расположения наблюдателя
относительно точек Si и 52 (рис, 3.1.3, а).
Для наглядности очертим вокруг источников Si и 52
произвольную сферу с центром, лежащим в точке О — середине
отрезка 5i и 52; будем наблюдать интерференционные полосы как
линии пересечения поверхности сферы с поверхностями равных
фаз (гиперболоидами). Если линия наблюдения
перпендикулярна прямой, соединяющей точки 5i и 52, то полосы будут
прямолинейны, так как поле интерференции расположено вблизи
экватора сферы. Если линия наблюдения проходит через точки
Si и 52, то
интерференционные полосы имеют
вид окружностей,
поскольку линия
наблюдения является осью
симметрии, а поле
Рис. 3.1.3. Вид интерференционных картин для различных положений на-
^Злюдатели при интерференции от двух точечных источников Si и Si (а);
Si (а); определение ширины полосы (б)
107
интерференции расположено вблизи полюса сферы. В других
направлениях будут наблюдаться криволинейные полосы. В
зависимости от направления наблюдения (рис. 3.1.3) изменяется
угол со между интерферирующими лучами.
Рассмотрим зависимость формы и ширины
интерференционных полос от взаимного расположения источников 5i и 52 и
наблюдателя. На рис. 3.1.3, а представлены три случая
расположения интерференционного поля. Если направление наблюде-
Рис. 3.1.4. Зрачки и люки системы
ния перпендикулярно прямой, соединяющей точки Si и Зг
(вид а), то полосы должны быть прямолинейными и иметь
приблизительно одинаковую щирину, так как угол схождения
лучей шо в пределах поля изменяется мало, а именно: шо = а/1^
где / — расстояние до произвольной точки поля, которое велико
по сравнению с а, равным отрезку Si52. Поле интерференции
расположено как бы вблизи экватора сферического пространства..
В других направлениях ф угол Шф не будет постоянен, так
как Шф л; а sin (90° — ф)// л^ шо cos ф. Полосы будут иметь
криволинейную форму, так как в зависимости от направления
наблюдения изменяется угол ф (вид б). Если линия наблюдения
проходит через точки Si—52, то интерференционные полосы;
имеют вид окружностей (линия наблюдения симметрична
относительно углов интерференции, т. е. поле интерференции
расположено вблизи полюса сферы). В этом случае щирина полосы
переменна и зависит от величины ф (вид Ь).
Можно установить связь в общем виде между шириной ин-
теренционной полосы b и углом со.
На рис. 3.1.3,6 показаны участки волновых фронтов Wi и
W2 двух интерферирующих лучей J я 2, сходящихся под углом-
со. Очевидно, что разность хода А есть функция координаты
точек S в поле интерференции и равна А = cos. Ширина полосы Ь-
определяется как расстояние ds ^ b между максимумами
соседних интерференционных полос. Учтя условие максимумов-
^ ^ kX и то, что изменение порядка между соседними полосами
dk ^ \, получим Xdk = ads. Отсюда
6=Х/а. (3.1.11)
108
Из формулы (3.1.11) следует, чго ширина
интерференционной полосы обратно пропорциональна углу схождения
интерферирующих лучей.
Выражения (3.1.2) и (3.1.3) идеализированы, так как они
справедливы только для строго когерентного монохроматического
света и точечного источника излучения. Наличие некоторой доли
некогерентного света в излучении источника приведет к
уменьшению видности (контраста) интерференционной картины
(даже при /i = /г), так как некогерентная часть будет
создавать общий фон.
Пусть у — доля когерентного света, присутствующая в
излучении (степень когерентности); тогда интенсивность каждого
интерферирующего пучка (например, первого) будет состоять
из двух слагаемых: yJi — доля когерентного света и (1—y)Ji —
доля некогерентного света.
Если интерферирующие лучи будут иметь равные
интенсивности /i ^ /г ^ /о, то интенсивность каждого пучка равна /i =
^/2 ^ Y'^o + (1—y)'^o. Тогда суммарная интенсивность будет
складываться из интенсивности двух пучков некогерентного
света, которая равна 2/о(1—y)> и переменной интенсивности
когерентной части колебаний по формуле (3.1.3), равной
4/о7 cos2 (6/2), т. е. / = 2/о (1 — y) + 4/о Y cos^ (6/2).
Окончательно будем иметь
/ = 2/„[1 -y + 2ycos'(6/2)] = 2/o(1 + ycos6). (3.1.12)
Видность интерференционной картины, определяется
следующим соотношением:
у_ /HSLZj^EiJL. (3.1.13)
•/max + -/min
Тогда ВИДНОСТЬ интерференционной картины, описываемой
уравнением (3.1.12), будет V ^ y> так как
2Уо(1+у)-2Уо(1-у)
2У„(1+у) + 2Л(1-у) ^'
Таким образом, видность интерференционной картины равна
значению степени когерентности источника излучения. Видность
V интерференционной картины тем лучше, чем большая доля
когерентного света присутствует в излучении источника; при
Y= 1 1/ = Y= 1.
Видность интерференционной картины зависит также от
соотношения интенсивностей /i и /а. Обозначим через т = Ji/J^
отношение интенсивностей интерферирующих пучков.
Тогда V = 2Vm/(m+l).
Значения видности V при разных отношениях т приведены
ниже:
т 1 2 3 4 5 10 15 20
V 1 0,94 0,87 0,80 0,75 0,57 0,48 0,42
109
Из этих данных следует, что неравенство интенсивностей
интерферирующих пучков не оказывает решающего влияния на
контраст интерференционной картины.
Геометрическая модель двухлучевой интерференционной
системы.
Интерференционные явления наблюдаются как в
«естественных» условиях, так и в специально построенных для этой цели
системах — интерферометрах, В первом случае интерференция
наблюдается в основном в тонких слоях. При определенных
условиях можно также наблюдать интерференцию
поляризованных лучей в анизотропных кристаллах, а также в средах с
механическими напряжениями.
Рассмотрим основные свойства интерференционной картины,
создаваемой двухлучевой интерференционной схемой,
воспользовавшись понятиями общей теории интерферометров, развитой
А. Н. Захарьевским и А. А. Забелиным. Такие интерферометры
имеют две ветви, каждая из которых представляет собой как бы
отдельную оптическую систему. Интерференция получается в
результате взаимодействия пучков, проходящих через обе ветви.
В условной схеме интерферометра, представленной на рис. 3.1.4,
L — источник света (входной зрачок интерферометра), В —
плоскость, в которой наблюдается интерференционная картина
(поле интерференции или выходной люк). Две ветви
интерферометра связаны таким образом, что они имеют общий входной
зрачок L и общее поле В. Каждая из ветвей дает изображение
входного зрачка, так что в общем случае интерферометр имеет
два выходных зрачка Li и L2 и два входных люка Si и Вг.
которые являются изображениями поля интерференции В в
обратном ходе лучей.
Подобно тому, как это принято для обычных оптических
приборов, совокупность входного зрачка L и двух входных люков
Si и ^2 можно отнести к пространству предметов, а
совокупность двух выходных зрачков Li и L2 и выходного люка В —
к пространству изображений. Точки Pi и Рг, соответствующие
некоторой точке Р поля интерференции, называют
соответственными точками. Они аналогичны точкам 5i и 52 на рис. 3.1.3,
Разность хода в интерференциононй системе можно
подсчитать двумя способами. Для расчета в каждой ветви
интерферометра путь от источника света L (рис. 3.1.4) до точки поля Р
делят на две части.
В первом способе расчета одна часть пути от L до L\ лежит
как в воздухе, так и в различных средах, из которых составлена
ветвь интерферометра. Другая часть пути от L\ до Р
прямолинейна и лежит в воздухе. Полная длина оптического пути от
Z, до Р в первой ветви равна (LP)i = {LL\) -\- L\P. Во второй
ветви длина оптического пути от L до Р равна {LP)2 = (^^2) +
-|- L2P. Отрезки, заключенные в скобки, представляют собой
110
длины оптических путей, отрезки без скобок — геометрические
длины путей.
В результате для разности хода в точке интерференционного
поля Р имеем выражение
A = {LP), - {LP),=[{LL,) - {LL,)] + L,P - L,P. (3.1.14)
Поскольку точки L\ и L2 являются изображениями точки L,
то составляющая разности хода, заключенная в квадратные
скобки, для всех точек поля Р есть постоянная величина. Таким
образом, эквивалентная схема интерферометра может быть
представлена как совокупность точек Р, L\, L2.
При втором способе расчета одна часть пути — от входного
зрачка L до соответственных точек Pi и Рг поля в пространстве
предметов — лежит в воздухе. Другая часть пути — от
соответственных точек поля Pi и Рг в пространстве предметов до точки
поля Р в пространстве изображений — содержит оптические
среды, в которых расположены ветви интерферометра. Для двух
ветвей длины оптических путей равны соответственно (LP) 1 =
= LPi + (PiP) и {LP) 2 = LP2 + {Р2Р) ■ Разность хода в точке Р
равна
А = {LP), - {LP), = [{Р,Р) - {Р,Р)] + LP, - LP, = А, + А,.
(3.1.15)
Так как точки Pi и Рг являются изображениями точки Р, то
разность хода, заключенная в квадратные скобки, величина
постоянная, не зависящая от положения точки L на входном
зрачке. Для различных точек L зрачка меняется только
разность геометрических отрезков LP2 — LPi. При этом способе
расчета эквивалентная схема интерферометра является
совокупностью L, Рь Рг.
Проиллюстрируем приведенные выще понятия и соотнощения
на конкретном примере. Для этого рассмотрим
интерференционные явления в клиновидном слое MNRS с углом клина 6
(рис. 3.1.5). К такой схеме сводятся оптические системы ряда
интерферометров. На рис. 3.1.5: L — входной зрачок, Р — точка
поля, Li и L2 — выходные зрачки, а Pi и Рг — соответственные
точки. Из геометрии рисунка следует, что при изменении
положения точки Р разность (LL2 — LLi) постоянна (первый
случай), а при изменении положения источника L постоянной
остается разность {РР2 — PPi) (второй случай). Кроме того, если
точка Р лежит на пересечении лучей LiA и L2B, а точки Pi и
Рг — изображения точки Р, создаваемые при отражении от
поверхностей MN и RS, то обе точки Pi и Рг лежат на
первоначальном направлении луча LAB. Так как плоскость MN
перпендикулярна PPi и делит PPi пополам, а RS перпендикулярна
РР2 и также делит РР2 пополам, то точки Р, Pi и Рг лежат на
окружности с центром в точке пересечения MN и RS. Разность
хода двух лучей, приходящих в точку Р, равна АН-\- ВР — АР
111
или АР2—АР1, т. е. отрезку Р2Р1 (или LP2 — LP\). Это
справедливо и при произвольном расположении точки Р (сравните
с формулой 3.1.15).
Из рис. 3.1.5 следует, что точка Р расположена на
пересечении лучей АР и ВР, возникших из первичного луча LA. В этом
случае точки Pi и Рг расположены на продолжении этого луча.
Если точка Р смещается, то
ее изображение при
отражении от поверхности RS
уже не будет находиться на
продолжении луча LAB.
При этом будут
интерферировать лучи, идущие из
источника L по другим
направлениям.
Используя приведенные
выше соображения,
рассмотрим виды
интерференционных полос.
Разность хода Ai =
= [{Р2Р) - {РхР)]
определяет по формуле (3.1.15)
результат интереференции
как в зависимости от
положения точки Р в поле
интерференции, так и в
зависимости от настройки
интерферометра, поскольку этим
определяется взаимное
расположение лучей Pi и Рг.
Величина же Аг ^ LP2 —
—LP\ задает разность хода
в точках Pi и Рг, которая
зависит от взаимного расположения этих точек относительно
точки L на входном зрачке (источнике). Для некоторого
заданного расположения точек L, Pi, Р2, Р результат интерференции
дается соотношением (3.1.3), которое запишем с учетом (3.1.15)
в виде
/ = / (L) {1 + cos [2яа (А, + А^)]}. (3.1.16)
Интенсивность в различных точках интерференционного
поля, в соответствии с формулой (3.1.16), зависит от аргумента
под знаком косинуса, а аргумент является функцией нескольких
переменных. Прежде всего отметим зависимость аргумента от
волнового числа а = 1Д. При неизменной настройке
интерферометра и при заданном расположении точек L, Р результат
интерференции зависит только от волнового числа а.
Интерференционные полосы, возникающие при изменении а, называют по-
Рис. 3.1.5. Интерференция в клине
112
лосами разного хроматического порядка (полосами в спектре,
канавчатым спектром). При этом необходимо, чтобы А ^ Ai +
+ А2 ^ const.
Для дальнейшего анализа формулы (3.1.16) необходимо
рассчитать разность хода Аг в зависимости от расположения
соответственных точек. Пусть соответственные точки Pi и Рг
освещаются сферической волной с радиусом г, где г — радиус
сферы с центром в точке Pi и проходящей через точку L
(рис. 3.1.6). Точка Pi лежит в начале координат, а точка Рг
в плоскости г/г.
Рис. 3.1.6. К расчету разности хода
Выполним расчет переменной разности хода Аг = LPi — LPi.
Для отрезка LP2 имеем соотношение {LP2Y ^ {zp^—ZlY+
-\-{yPi—УьУ -\- xl, 1&К. как ХР2= 0. Поскольку точка L лежит
на поверхности сферы радиуса г с центром в точке Pi, то
отрезок (LPi)'^ ^ г^ ^ ZL + Уь + xl- Вычитая (LP2) из (LPi)^,
найдем {LP2Y— {1-Р\)^ ^zp^-\- yp^ — 2zp^ZL — '2,y%^yL. Это
выражение упрощается при условии г ^ Zp^, г !Э- ур^, т. е. при
расположении входого зрачка в дальней зоне (по отношению к
соответственным точкам и при небольших разностях хода). Учтем,
о о о 9 9
что zl^ г^ — yL—XL^r^ — Р2, где р^ ^ XL+ yL, Введем
полярные координаты точки L: yi = pcos9, xl = psin 9 и
используем приближенное значение Хь ZL = ril
2л2 -г • • •; —
^rcosi, где i^p/r. Здесь использовано приближение
cos(p//-) « 1 — р2/2/-2. Кроме того, в приближении малых углов
имеем sin i ^ i ^ р/г. В данном приближении имеем также
LP2 « LPi « г.
Таким образом, окончательно для разности хода получим
выражение
Aj^LPa — LPi^ Zp^ cos i -\- ур, sin i cos в. (3.1.17)
Проанализируем полученное выражение (3.1.17). Результат
интерференции зависит от настройки интерферометра (коорди-
8 За к. № 167
ИЗ
нат соответственных точек), от угла падения света i на
интерференционную систему, а также от положения точки Р в поле-
интерференции (с изменением положения точки L на зрачке
меняется и положение точки Р). Отметим, что от настройки
интерферометра зависит также разность хода Ai^[{P2P) —
— (PiP)] по формуле (3.1.15).
Такая сложная зависимость не позволяет отнести
возникающие полосы к какому-либо определенному типу. В технической
литературе такие полосы иногда называют полосами
смешанного типа. Введем понятие о типах полос, которые реализуются
в двух случаях расположения соответственных точек, т. е. при
Ур2 ^ О и zp, ^ 0. В первом случае соответственные точки
располагаются друг за другом по оси Ог, во втором —
перпендикулярно к ней.
При г/Яг = 0 и Ур, ^ о в интерферометре существует только-
продольный сдвиг волновых фронтов и интерференная система
становится эквивалентной плоскопараллельной пластинке, т. е,
расположение соответственных точек уже не зависит от
положения точки Р в поле интерференции (см. рис. 3.1.3, а). В этом
случае при неизменной настройке интерферометра в результате
изменения угла / возникают полосы равного наклона в виде
колец с центром на продолжении линии Р1Р2 (или S1S2).
Соответственные точки Pi и Рг располагаются
последовательно на продолжении падающего луча также в том случае,
когда они являются изображениями точки Р пересечения
интерферирующих лучей. При этом интерференционная полоса в
точке Р имеет максимальную видность и яркость при
использовании протяженного источника в виде круга. Площадь круга
определяется размерами центрального кольца интерференционной
картины полос равного наклона. Совокупность точек Р
определяет поверхность локализации полос равной толщины.
При а ^ const, но при изменении настройки интерферометра,
т. е. при изменении расстояния между соответственными
точками в случае постоянства угла i возникают
интерференционные полосы, которые по аналогии с полосами в клиновидной
пластинке называют полосами равной толщины.
Во втором случае при zp.^O и уРгФО в интерферометре
имеет место лишь поперечный сдвиг волновых фронтов и
условий для возникновения полос равной толщины не возникает. При
поперечном сдвиге возникают полосы равного наклона (нелока-
лизованные). Линии одинакового результата интерференции
перпендикулярны направлению сдвига. В результате изменения
настройки интерферометра, не приводящей к возникновению
продольного сдвига волновых фронтов, изменяется лишь
расстояние между полосами, а характер интерференционной
картины остается прежним.
Таким образом, можно дать классификацию
интерференционных полос, приводимую ниже.
114
1. При изменении волнового числа и при постоянной
настройке интерференционной системы, а также при неизменном
угле падения вознкают полосы равного хроматического порядка.
2. При изменении угла падения d интерферометре с
продольным сдвигом волновых фронтов в монохроматическом свете и
неизменной настройке возникают полосы равного наклона в виде
колец с центром на линии направления сдвига.
3. При изменении настройки интерферометра с продольным
■сдвигом волновых фронтов и постоянным углом падения в
монохроматическом свете возникают полосы равной толщины.
4. При изменении угла падения в интерферометре с
поперечным сдвигом волновых фронтов в монохроматическом свете
возникают при неизменной настройке только не локализованные
полосы равного наклона в виде прямых полос, перпендикуляр-
иых направлению сдвига волновых фронтов.
5. В интерферометре с произвольным сдвигом волновых
фронтов в монохроматическом свете появляются полосы
смешанного типа, возникающие как при изменении угла падения,
так и при изменении настройки интерферометра.
§ 3.2. Характеристики интерференционных полос
При изучении общей теории интерференционных систем
исследователей интересуют следующие вопросы: получение
интерферирующих пучков, классификация интерференционных полос,
местоположение (локализация) наиболе контрастной
интерференционной картины, влияние различных факторов на
характеристики интерференционных полос, условия наблюдения
картины и др.
Действие двухлучевой интерференционной системы часто
может быть сведено к интерференции в воздушной пластинке.
Разность хода А между интерферирующими лучами в такой
системе зависит от угла падения I и может быть записана в виде
A = AoCosi = &X, (3.2.1)
где Ао ^ 2/ — разность хода при г ^ 0; % — длина волны; k—■
порядок интерференции; t — толщина пластинки.
Соотношение для разности хода (3.2.1) входит в основное
уравнение интерференции (3.1.3), которое перепишем в
следующем виде:
/ = /о
1 + cos (-^ Ао cos /1 ^ /о [1 + COS (2яа Ао cos /)], (3.2.2)
где /о ^ 2/, где / — интенсивность падающего пучка; а^
= 1/Х — волновое число.
В предыдущем параграфе были определены условия
получения различных видов интерференционных полос. В одних
случаях они характеризуются некоторыми общими свойствами,
в других — имеют характерные только им присущие свойства.
8* 115
Ширина интерференционной полосы. Рассмотрим некоторые
общие характеристики интерференционных полос различных
видов. Одной из главных характеристик интерференционной
картины является ширина полосы, т. е. расстояние между
соседними интерференционными максимумами или минимумами,
выраженное в линейной,
угловой мере или в длинах волн.
Рассмотрим
соотношения, которые дают эту
характеристику для полос
различных видов.
Рассмотрим полосы
равной толщины в отраженном
свете на примере интерфе-
-> ренции в клиновидном слое
с углом 9 между
отражающими гранями MN и RS.
Пусть луч, падающий на
поверхность слоя NM,
образует с нормалью к ней
угол /. В результате деления
по амплитуде в точке А
образуется отраженный -луч
АР и прошедший АВ.
Прошедший луч АВ после
отражения в точке В от задней поверхности RS выходит в
направлении ВР и встречает луч АР в точке Р (рис. 3.2.1). Пусть г —
расстояние между Р и ребром клина MNRS в точке О.
Результат интерференции в точке Р определяется разностью хода
между встречающимися лучами, которая равна расстояниям
между соответственными точками Pi и Рг. Это расстояние равно
[Р,Р2], т. е.
Рис. 3.2.1. Возникновение
интерференционных полос в клиновидном слое
[Р,Р2] = 2/-Sin 9 = А.
(3.2.3)
Если Л ^ 2/" sin 9 ^ ^Х {k — целое число), то в точке Р
имеем максимум. Вся система полос наблюдается в плоскости
ОРР', где полосы обладают наилучшей видностью. Эту
плоскость называют плоскостью локализации. Пользуясь
соотношением (3.2.3), можно показать, что ширина полос равна
6 ^ Гд, ^ 1 — Гд, ^ V(2 sin 9) = л/(2 sin й)/2).
(3.2.4)
Отметим, что ширина полос не зависит от угла падения
лучей на клиновидный слой. От угла падения а зависит только
положение плоскости локализации.
При последующих расчетах наряду с формулой (3.2.1) А^
^ До cos/ целесообразно использовать также формулу /^
^ До sin/, где / — расстояние между соответственными лучами.
116
Для углов i, не слишком близких к нулю, угловая ширина полос
рассчитывается по формуле
6i=V(AoSin/cp) = V'- (3.2.5).
В таком виде эта формула может быть использована в
сравнительно больших пределах. Она получается из соотношения
Ao(cosii — cos/2) ^ i. При ii ^ О из этого же соотношения
имеем
6/= (2Х/Ао)'/^. (3.2.6>
Полосы равного наклона в зависимости от угла наблюдения
имеют вид колец или их малых отрезков и прямых линий,,
а как предельный случай — гипербол. По кривизне полос
равного наклона можно определить угол i, а по их ширине —
разность хода До. Ширина полос определяет также критические
размеры источника, при которых полосы равной толщины имеют
достаточную видность. Угловая ширина полос рассчитывается
по формулам (3.2.5) при г =7^ О и по формуле (3.2.6) при i = О,
Полосы равного хроматического порядка возникают как
зависимость пропускания интерференционной системы от длиньг.
волны (волнового числа). Ширина полос определяется
спектральным расстоянием между двумя соседними экстремумами
пропускания (максимумами или минимумами). Положение,
например, соседних максимумов порядка k vi k -\- \ в шкале длик
волн определяется соотношениями:
(2я/Хд,) А = 2я% и (2лАд, + ,)А = 2л(&+!)•
Из этих соотношений получим для спектральной ширины
(Xft+i—^*) выражение
K + ^-K = {^k'kk + ^)|^. (3.2.7).
При больших разностях хода длины волн %k+\ и ^k близки
друг к другу и приближенно имеем
ЬХ ^ Г/А. (3.2.8>
Отметим, что величина Х^/бХ = L, где L — длина временной
когерентности. Формула (3.2.8) определяет критическую
величину немонохроматичности источника. При L ^ А видность
интерференционных полос равной толщины и равного наклона
становится равной нулю. Равенство L = А соответствует
известному условию
Ы = К/к, (3.2.9).
определяющему допустимую немонохроматичность.
Влияние величины спектрального интервала и размеров
источника на видность интерференционной картины. Рассмотрим
влияние временной и пространственной когерентности источника-
излучения на характеристики интерференционных полос.
ИГ
Вначале будем рассматривать только временную
когерентность источника. Учтем, что источник излучает конечный
интервал частот (или волновых чисел) и что каждая спектральная
составляющая дает свой вклад в интерференционную картину.
Обратимся к выражению (3.2.2) и учтем влияние отдельных
•спектральных составляющих путем интегрирования по
диапазону Аа ^ аг — Oi. Будем считать, что источник света излучает
равномерно в этом спектральном интервале
J = jA da+ jA COS {2ла А) da. (3.2.10)
После интегрирования и подстановки пределов интегрирова-
;ния в формулу (3.2.10), получим:
, I , > 1 г sin 2jtCT Д
J = Уо(с12 — сг,) + Уо-
2jtCT Д
: /о (02 — а,) 1 +
sin 2jtCT2 Д — sin 2jtCTi Д
2jtД (02 — СГ])
:нли после упрощении
/ =/„ Аа [ 1 + ^^^4!^ cos 2яа„ А
(3.2.11)
jt (Дст) Д
где ао = (ai + а2)/2 и Аа = (аг — ai).
Выражение (3.2.11) представляет собой уравнение
интерференции с учетом немонохроматичности источника.
Определим по формуле (3.1.13) видность интерференционной
.картины с учетом выражения (3.2.11)
•/^тах — -/^min sin jt (СТ2 — стОД
V =
■/max "Т ■'rr
Л (02 — CJi) Д
(3.2.12)
Из формулы (3.2.12) следует, что видность V равна
множителю, стоящему перед косинусом в выражении (3.2.11). Таким
■образом, выражение (3.2.11) совпадает с общим уравнением
интерференции (3.1.12) для реальной интерференционной
системы, в которой интерферирующие пучки частично когерентны.
Из формулы (3.2.12) следует, что видность V есть функция
типа (sinx)/x (рис. 3.2.2). При Аа = О V^l и справедливо
.выражение (3.2.2). Если (аг — ai)A=:=l, то У = 0 и
интерференционная картина не наблюдается. Это условие перепишем
.в следующем виде:
Соотношение (3.2.13) совпадает с выражением (3.2.8). Это
•означает, что если при заданной разности хода А немонохрома-
тичность источника такова, что интервал Аа равен ширине полос
■равного хроматического порядка, то видность
интерференционна
ASA
Рис. 3.2.2. Функция видно-
сти
Рис. 3.2.3. Схема Юнга
^--н-^
=Ji
ной картины У ^ 0. В этом проявляется связь требуемой
монохроматичности источика света с характеристиками этих полос.
Можно считать, что допустимо условие (аг—a^A^-g—'
Тогда У =^ 2/л. Отсюда получаем требование к
монохроматичности источника излучения, которое можно записать в виде
а^_ст, = Дст=1/2А. (3.2.14>
В формуле (3.2.14) спектральный интервал представлен.
1/cT^l/L. Величина L^
Я2
в волновых числах Аа^
г?
—--—-гт- называется длиной когерентности источника и равна
ДА
произведению скорости света с на время жизни атома в
возбужденном состоянии т. Тогда из формулы (3.2.14) следует, что
хорошая видность интерференционной картины будет иметь местО'
л 2 \
при условии, что разность хода А = L/2 и Д^^^д" = ^-
При разности хода А ^ L, видность У = 0. Соотношение-
А = L/2 показывает взаимосвязь между длиной когерентности:
L источника и заданной разностью хода А интерференционной
системы.
Рассмотрим влияние пространственной когерентности
источника, т. е. его размеров, на характеристики интерференционной
картины на примере опыта Юнга (рис. 3.1.6, рис. 3.2.2 и
рис. 3.2.3). В этом случае соответственные точки расположены
перпендикулярно оси системы, т. е. соответственные точки
(см. рис. 3.1.6) имеют только поперечный сдвиг. Согласно
рис. 3.2.3, разность хода в направлении угла дифракции ф будет
равна А ^ D sin ф. Если щель / бесконечно узка и расположена
симметрично относительно двойной щели 2, то интенсивность,
в направлении угла ф будет равна
y = y„(l+ cos^Ab (3.2.15)
119?
/ = /c
Если щель бесконечно узка, но расположена несимметрично
ютносительно двойной щели, то появится дополнительная раз-
лость хода и распределение интенсивности будет иным:
1 +cos^(A + AO]. (3.2.16)
Можно записать, что дополнительная разность хода из-за
несимметрии равна А' ^ Dtp' ^ D х/1, где х—смещение
источника.
Отметим, что дополнительная разность хода имеет разные
знаки в зависимости от направления смещения. Надо иметь
в виду, что x<C/hZ)<C/. с учетом соотношений для А и А'
напишем
/ = /о
2jt
1 + COS -л—^ (sin ф + т'
(3.2.17)
Реально мы имеем равномерно освещенный источник
конечной ширины. Тогда каждый элемент можно рассматривать как
бесконечно узкую щель, смещенную относительно оси системы.
В этом случае необходимо учесть суммарное действие всех
элементов щели, интегрируя по всей ширине щели, т. е.
/^ [jadx-\- \ cos -^D (з1Пф+ Y"
dx^
I + I cos
2it
X
Dsinm \
cosi —D-^
dx, (3.2.18)
;где / = Jo2a.
В результате из формулы (3.2.18) окончательно получим
/ = /
1 +
2jt _ а
1Г Т
2jt „ £_
~1Г Т
2jt л
-cos^^ А
л
(3.2.19)
Напишем согласно (3.1.13) значение видности V для интер-
(ференционной картины, описываемой выражением (3.2.19),
-В виде
X
V =
2it _ _а_
• DIq]
2it
X
а
2я
X
(3.2.20)
Z)/o'
'.где /о — угловой размер источника света (щели).
Наличие множителя V в формуле (3.2.19) уменьшит контраст
интерференционной картины и этот контраст будет тем меньше,
чем больше угловой размер источника. Таким образом,
конечный размер источника света (так же, как и спектральный интер-
J20
вал) определяет видность картины. Это можно иллюстрировать
тем же рисунком 3.2.2, но только по оси абсцисс следует
отложить 2aD—^.
Проанализируем соотношение (3.2.20). При 2а ^ О V ^ U
при условии -г—Z) у^я V^O. Как и в предыдущем случае,
допустимым будет следующее условие:
2п р. а 2я р.. я
Рис. 3.2.4. Учет продольной
когерентности источника
Запишем для ширины щели:
2а = Я//2£) и 2и =
2D
(3.2.21)
Соотношение (3.2.21) определяет размер входного отверстия
при заданной геометрии схемы интерферометра, т. е. при
соответствующем отношении IjD. Таким образом, при поперечном
смещении соответственных точек конечный размер источника
(пространственная когерентность) влияет на изменение видно-
сти картины так же, как и конечный спектральный интервал
(временная когерентность).
При учете продольной когерентности интегрирование по
площади следует проводить иначе, чем в предыдущем случае.
Теперь надо учесть, что соответственные точки Pi и Pi
расположены вдоль оси системы (см. рис. 3.1.6). При увеличении угла i,.
в соответствии с формулой (3.2.1), разность хода уменьшается
(в предыдущем случае она могла менять знак). Кроме того,
необходимо иметь в виду осевую симметрию источника (рис. 3.2.4),
имеющего радиус R. Тогда расстояние от источника до
соответственных точек (при условии, что А <С О можно записать через-
угол i = r/l или через cos г ^ 1 — t^/2 = 1 — г^/2Р.
Учитывая осевую симметрию, интегрирование надо проводить
по кольцевой зоне элементарной площади 2nrdr. При
равномерном распределении яркости по источнику интенсивность
излучения будет пропорциональна площади этой зоны. Поэтому для;
размера источника радиуса R имеем
R R
; \ /оГ dr -\-2л\ /о cos
о о
A(l-^)]rdr. (3.2.22)
121
Первый член суммы в (3.2.22) — величина постоянная, т. е.
/i = /ояТ?",
тде R — радиус источника света.
Второй член суммы в (3.2.22) получим путем интегрирования
второго слагаемого
R
J2 = 2я/о cos -J- А \ cos {-J- А -^\ г dr +
о i
R
+ 2я/о sin-^ А \ sin г-^ А -^\ г dr.
о
После интегрирования и подстановки пределов окончательно
лолучим
Г sin — Д -^ 1
J{^) = яRЧM + ""^^ /' cos[^a(1--^)]>. (3.2.23)
Из формулы (3.2.23) получено уравнение двухлучевой
интерференции с учетом размера источника. При продольном
расположении соответственных точек фактор видности V имеет тот же
вид (8шл)л
sin (я/Х) Д (/?2/2/2)
V =
(л1%) Д (/?V2/2)
2я R^
Дополнительное слагаемое ^--А ^уз" Учитывает изменение
положения интерференционных полос, обусловленное конечностью
размеров источника света. Если при рассмотрении поперечной
когерентности и немонохроматичности источника света
положение полос интерференционной картины остается неизменным, то
в данном случае конечные размеры источника приводят к
смещению положения полос, так как появляется дополнительный
фазовый сдвиг.
Найдем допустимые размеры источника с точки зрения
удовлетворительной видности полос. Для этого примем как обычно,
что [яД) А(7?2/2/2)] =я/2; тогда:
^" = -^ = 1и h = ^J^. (3.2.24)
Отметим, что угловой размер источника в (3.2.24) равен
угловому размеру центрального кольца в картине полос равного
наклона (см. § 3.3.). Таким образом, размеры источника
однозначно связаны с заданной разностью хода Д, хотя и более слабо,
чем в случае учета поперечной когерентности источника.
122
Интерференционная
система
§ 3.3. Условие образования и наблюдения
интерференционных полос различного типа
Ранее были рассмотрены общие условия возникновения
интерференционных полос. Рассмотрим принципы образования
различного вида полос и их свойства в реальных
интерференционных системах.
Полосы равной толщины. Эти полосы возникают в том
случае, если интерферирующие лучи после прохождения
интерференционной системы (интерферометра) имеют реальное или
мнимое пересечение в пространстве
изображений. 1 -1 1 1 1 1 '1
Принципиальную схему образо- * Т Т Т т Т Т
вания полос равной толщины можно
представить себе следующим
образом (рис. 3.3.1). Пусть на
интерферометр, схему которого не будем
детально конкретизировать, а
обозначим условно прямоугольником,
падает параллельный пучок света.
Пройдя через интерферометр,
соответственные лучи в разных его
ветвях будут иметь разные оптические
длины путей и окажутся
непараллельными. Они пересекаются в
пространстве изображений, что пока- Рис. 3.3.1. Принципиальна5г
зано на рис. 3.3.1. Лучи, прошедшие ^хема образования полос
^ , *^ ^ равной толщины
первую ветвь интерферометра,
обозначены через ао, а\, а^, а^, «4, ...,
а лучи, прошедшие вторую ветвь интерферометра, обозначены
ао, а\, 02, аз ,04, ....
Лучи ао и ао характеризуются начальной разностью хода и
в случае равенства ее нулю дают в центре картины нулевой
порядок (т^О); остальные лучи имеют другие разности хода,,
соответствующие порядкам интерференции т\, т^, т^ и т. д.
Можно сформулировать следующее определение для полос
равной толщины. Интерференционные полосы, образующиеся
в результате изменения разности хода в области пересечения
вторичных лучей, возникающих из одного первичного луча,
называются полосами равной толщины.
Приведем конкретную схему образования полос равной
толщины для того, чтобы пояснить общий принцип происхождения
интерферирующих лучей. На рис. 3.3.2, а изображена
клиновидная пластинка, освещаемая наклонным параллельным фронтом
волны. После деления пучка на первой поверхности пластинки-
клина по амплитуде и отражения от второй поверхности
образуются два когерентных пучка. На первой поверхности луч от-
123
разится под углом i, преломится внутрь клина под углом г и,
отразившись от второй поверхности, выйдет в то же
пространство, что и первый луч. В точках пересечения Аи Ач. вторичных
интерферирующих лучей возникает интерференционная картина.
Здесь будут наблюдаться интерференционные полосы,
соответствующие максимумам и минимумам интенсивности.
Интерференционную картину полос равной толщины можно
наблюдать непосредственно вблизи поверхности воздушного
клиновидного слоя.
На рис. 3.3.2, б—д штриховой линией показано положение
плоскости локализации при различных углах падения пучка на
воздушный клин с углом 9. При падении пучка перпендикулярно
на заднюю поверхность (рис. 3.3.2, б) плоскость локализации
совпадает с передней поверхностью, при перпендикулярном
падении на биссектрису угла 9 — совпадает с ней (рис. 3.3.2,в),
при падении по нормали к передней поверхности клина
плоскость локализации совпадает с задней поверхностью
(рис. 3.3.2,г). При произвольном угле падения (рис. 3.3.2,<5)
плоскость локализации занимает произвольное положение. Во
всех случаях на плоскости локализации пересекаются
интерферирующие лучи, образующие между собой угол со = 29.
Рис. 3.3.2.
Интерференция в клине
124
Условие интерференционных максимумов в рассматриваемом
случае соответствует равенству 2t = kX, если k — целое число,
а t — толщина клина в рассматриваемой точке.
Напишем выражение для ширины интерференционной
полосы (рис. 3.3.2,6). В этом случае интерференционная картина
наблюдается (локализована) на первой поверхности клина и
ширина полосы b определится следующим образом: изменение
разности хода в соседних максимумах (точки Л и Б) равно
Д ^2(^2 — ^i) = Я. Из рисунка следует, что 2(^2 — ^i) = '2b tg 9.
Тогда из-за малости угла 9 имеем Я = 269. С учетом того, что
<й = 29, получим
Ь = Я/29 = Я/ш. (3.3.1)
В формуле (3.3.1) со — угол схождения интерферирующих
лучей.
Пусть плоский фронт волны падает перпендикулярно на
первую поверхность клина (рис. 3.3.2,г). Интерферируют (так же,
как и в первом случае) лучи 1 и 2, которые имеют угол
схождения со = 29. Проведем два фронта Wi и W2, соответствующие
лучам 1 и 2. Тогда из построения разность хода
А л* (ЛВ -Ь ВС) = 20BQ. (3.3.2)
Интерференционная картина локализована там, где
пересекаются интерферирующие лучи, т. е. на прямой ОВ. Для другой
точки, находящейся на расстоянии Ах = Ь, разность хода
изменилась на Я. Поэтому из формулы (3.3.2) имеем, что 2Ах9 = Я
и ширина полосы
Ь = Ах=А. (3.3.3)
Получена общая формула для ширины полос равной
толщины. Для малых углов 9 и угла сходимости со можно вновь
записать, что b = Я/со. Это выражение совпадает с полученным
ранее. Оно показывает, что линейная ширина
интерференционной полосы равной толщины зависит только от угла схождения
ft). Для получения достаточно широкой полосы надо иметь
малый угол со.
Перечислим основные свойства полос равной толщины.
1. Все точки интерференционных полос равной толщиной
образованы лучами, выходящими из одной светящейся точки
источника света.
2. В реальных случаях при наличии источника света
конечных размеров каждая точка источника образует свою систему
полос. Это приводит к ослаблению контраста картины и,
следовательно, к ограничению размеров источника света.
3. Полосы равной толщины имеют наибольший контраст
в точках пересечения вторичных интерферирующих лучей и
могут наблюдаться без дополнительной оптической системы, так
125
как картина образуется в результате изменения разности хода
между непараллельными интерферирующими лучами.
4 Ширина полос не зависит от места наблюдения, если
пучки света лежат в плоскости главного сечения клина между
Wx и Wi. В этом случае ширина полос определяется только
углом схождения интерферирующих лучей.
Полосы равного наклона. Эти полосы возникают в
интерференционной системе при взаимодействии параллельных пучков
Интерср еренционная
система
Рис. 3.3.3.
Принципиальная схема образования
полос равного наклона
Рис. 3.3.4. Образование интерферирующих
лучей в плоскопараллельной пластинке
лучей, которые после прохождения через систему приобретают
определенную разность хода.
Пусть на интерференционную установку, условно
обозначенную прямоугольником, падает совокупность пучков лучей
разных направлений а, Ь и с (рис. 3.3.3). После прохождения
интерферометра из каждого луча данного направления образуются
вторичные лучи, которые, оставаясь параллельными между
собой имеют некоторую разность хода. Каждому выбранному
направлению в пространстве предметов после интерферометра
соответствует определенное направление^и разность хода^ля
каждой пары интерферирующих лучей а—а , b — о , с с^
в пространстве изображений. Разность хода будет одинаковой
для всех лучей данного направления. Для лучей, исходящих из
другой точки источника и имеющих иное направление, разность
хода, которая возникает в интерферометре, приобретает новое
значение.
Таким образом, интерференционные полосы или кольца,
возникающие при наличии разности хода между отдельными
парами вторичных лучей, из которых каждая пара происходит от
126
различных точек источника света, называются полосами
равного наклона.
В качестве иллюстрации рассмотрим интерферометр,
представляющий собой стеклянную плоскопараллельную пластинку,
на которую падает пучок лучей от широкого источника света
(рис. 3.3.4). Каждому направлению падения лучей будет
соответствовать пара вторичных лучей: например, направлению а
■соответствуют лучи а' — а" в отраженном свете и лучи а\ и а\
Рис. 3.3.5. К расчету
разности хода в плоско-
лараллельной пластинке
Рис. 3.3.6.
Соответственные лучи при
образовании полос равного
наклона
В Проходящем свете; направлению b — лучи Ь' и Ь" в
отраженном свете и bi и bi в проходящем свете и т. д. Интерференцию
можно наблюдать как в отраженном, так и в проходящем свете.
Если считать, что поверхности стеклянной пластинки Р не
имеют специальных покрытий, т. е. коэффициент отражения на
поверхности пластины мал, то лучший контраст будет
наблюдаться в отраженном свете, так как лучи а' и а" по одному разу
отразятся от границы воздух — стекло и стекло — воздух,
поэтому они будут иметь почти равные интенсивности. Их
отношение составит 5 : 4,5.
Проходящие же лучи а\ и а\ имеют резко неравные
интенсивности (9:0,2), поэтому они дадут интерференционную
картину с очень малым контрастом (видностью). Если же
коэффициент отражения поверхностей пластин существенно увеличить,
то в проходящем свете можно наблюдать многолучевую
контрастную интерференционную картину.
Если пластинка имеет толщину t, то разность хода для
интерферирующих лучей S'—S" будет (рис. 3.3.5)
^ = n {АА' + A'D) -АВ + Я/2 = 2tn cos г + Я/2, (3.3.4)
где п — показатель преломления материала пластинки; г — угол
-отражения от внутренних поверхностей пластинки.
127
Второе слагаемое Я/2 присутствует в форме (3.3.4) из-за
скачка фазы при отражении от границы воздух — стекло на
величину я, что и соответствует разности хода Я/2. В ряде
случаев при использовании интерференционной картины для
сравнительных измерений второе слагаемое не учитывают.
Условие максимумов (3.3.4) можно записать для стеклянной
пластинки через угол г; учитывая инвариант преломления,
имеем:
2t sjn^ — sin^ i = kX. (3.3.5)
Представим себе, что угол падения i -■= const. В этом
случае при ^= const будет иметь место некая определенная
разность хода (общая для всего фронта) или, как говорят, будет
иметь место бесконечно широкая полоса k-то порядка.
При использовании источника света конечных размеров, т. е.
при i Ф const будут наблюдаться интерференционные полосы
или кольца. Поскольку интерференционная картина
формируется системой параллельных пучков, для наблюдения ее следует
использовать проекционную систему. В фокальной плоскости
будем иметь контрастную интерференционную картину, что
соответствует ее локализации в бесконечности.
Рассмотрим вопрос о ширине полос равного наклона. Для
этого вида полос имеет смысл рассматривать угловую ширину.
Воспользуемся понятием соответственных точек и
соответственных лучей. Будем считать, что главные соответственные лучи
в пространстве изображений точно совмещены. Пусть точки А
и Л', находящиеся на этих лучах, будут лежать на одной
прямой, на которой расположен источник света / (рис. 3.3.6).
Разность хода между лучами, идущими по линии источника,
равна расстоянию между соответственными точками До.
Разность хода будет иметь другое значение для измененного
направления. Для лучей, падающих на интерферометр под углом t
к центральному лучу, разность хода А ^ До cos t, а расстояние
между соответственными лучами
;^A„sini. (3.3.6)
Для получения формулы для ширины полос воспользуемся
исходными данными (3.2.5) для воздушной пластинки. Для
упрощения вывода представим себе предельные случаи, когда
t'l ^ О и tcp = л/'2. Первый случай соответствует тому, что
интерференционные полосы равного наклона представляют собой
кольца. Тогда условие для соседних максимумов в случае
ii = 0 будет Ло(1 —cosf2)= Я или 2 sin2(f2/2) До = 2Дo(t2/2)^=
= Я. Здесь г'г = Д^ т. е.
Д1 = д/2^Ао. (3.3.7)
При tcp = я/2 соответственно получаем
М = Я/До.
128
Последнее выражение совпадает с формулой (3.2.6) при
sintcp^l. Обратимся теперь к выражениям (3.2.5) и (3.3.6).
Отсюда получим угловую ширину полос равного наклона в виде
М = 111. (3.3.8)
Соотношение (3.3.8) определяет связь между угловой
шириной полосы Ai и расстоянием / между соответственными
лучами. Оно совпадает по структуре с соотношением (3.3.1),
полученным нами для полос равной толщины, что свидетельствует
S)
Рис. 3.3.7. Получение полос равного
хроматического порядка: а—оптическая схема; б — вид
полос
О связи между полосами равного наклона и равной толщины.
Сформулируем свойства полос равного наклона.
1. Различные точки интерференционной полосы равного
наклона образованы лучами, идущими от различных точек
источника света. Интерференционная картина в целом образована
лучами, исходящими из множества точек источника.
2. Полосы равного наклона локализованы в бесконечности и,
как правило, наблюдаются с помощью какой-либо оптической
системы в ее фокальной плоскости.
3. Наличие угла между интерферирующими пучками
приведет к тому, что их дифракционные изображения для каждого
соответственного луча не будут точно совпадать, что вызывает
снижение контраста картины.
4. Ширина полос равного наклона в общем случае зависит
от угла падения и положения наблюдательного прибора.
Полосы равного хроматического порядка. При рассмотрении
видов интерференционных полос уже упоминались полосы,
возникновение которых связано с изменением в системе волнового
числа (длины волны) при постоянстве других геометрических
параметров. Такие полосы получили название полос равного
хроматического порядка. Для наблюдения полос необходимо
использовать источник света, излучающий сплошной спектр. На
рис. 3.3.7 изображена оптическая система, позволяющая создать
и наблюдать полосы этой природы.
9 Зак. № 167
129
Источник света L, дающий непрерывное излучение,
изображается с помощью объектива Oi на диафрагме S' малого
диаметра D. Отверстие D является таким образом точечным
источником, от которого после объектива Оо на пластинку Р падает
плоский фронт волны. В пластине /' образуются
интерферирующие лучи, вследствие деления амплитуды падающей волны при
отражении на поверхности пластины. Пластина может быть
плоскопараллельной, клинообразной, а также иметь некоторый
поверхностный рельеф. Одна из поверхностей пластины Р
проектируется объективом Оз на входную щель S спектрального
аппарата М. В частном случае это может быть, например, приз-
менный или дифракционный спектрограф. Вместо спектрографа
может быть использован монохроматор, в котором выходная
щель заменена окуляром 0^ для визуального наблюдения
картины.
В фокальной плоскости спектрального аппарата Р\р2 можно
наблюдать интерференционные полосы равного хроматического
порядка.
Запишем условие возникновения этих полос. Полоса равного
хроматического порядка есть геометрическое место точек, для
которых выполняется условие
ant = const (3.3.9)
где ст = lA — волновое число, см~'; п — показатель
преломления вещества пластины; / — ее толщина.
Если оптическая толщина nt есть величина постоянная, то
условие максимумов будет зависеть только от длины волны
падающего излучения. Это условие из формулы (3.3.9) можно
записать в виде
2ant = k, (3.3.10)
где k — порядок интерференции.
Плоскопараллельная пластина пропустит только те длины
волн, которые удовлетворяют условию (3.3.10). Она будет
играть роль фильтра, пропускающего определенные длины волн.
Поэтому в фокальной плоскости спектрального аппарата F1F2
можно будет наблюдать прямые интерференционные полосы,
параллельные длинной стороне щели (рис. 3.3.7,6). В
зависимости от толщины пластинки полосы будут более или менее
часто расположены в спектре.
В случае рельефной поверхности дело обстоит иначе. Если
толщина пластинки меняется от точки к точке, то через
различные участки пластинки пройдет излучение различных длин
волн, согласно формуле (3.3.10). Так как поверхность пластинки
проектируется на щель спектрографа и через различные точки
щели (вдоль ее длины) будет пропускаться излучение
различных длин волн, то в фокальной плоскости спектрального
аппарата F1F2 получатся искривленные интерференционные полосы
130
в соответствии с изменениями оптической толщины [см.
формулу (3.3.9)] (рис. 3.3.8). Интерференционные полосы
воспроизведут изменения оптической толщины исследуемого объекта Р
вдоль проектируемого на щель участка. Однако эти изменения
будут сильно увеличены по сравнению с фактическим
изменением оптической толщины (микрогеометрией проецируемого
участка объекта). Увеличение будет тем больше, чем больше
линейная дисперсия
спектрального аппарата. Рассмотрим это
явление подробнее.
Перепишем выражение (3.3.10)
через длину волны и отметим, что
изменение оптической толщины
6{nt) приведет к смещению
полосы /г-го порядка в спектре на
6Л, т. е. 2^{nt) = kb'k. Разделим
обе части этого равенства на
линейную величину Ы этого
смещения, измеренную в фокальной
плоскости спектрального
аппарата. Тогда в правой части
равенства получим величину ЬХ/Ы^ ^/Di, которая представляет
собой обратную линейную дисперсию спектрального прибора.
Линейное смещение полосы будет
Рис. 3.3.8. Вид полос РХП при
рельефной поверхности
Определим линейное увеличение при условии, что показатель
преломления п = const
6/ _ 2Dtn
6t ~ k '
где Di — линейная дисперсия спектрографа.
Если линейная дисперсия спектрального аппарата Д =
= 0,05 -^ 0,1 мм/нм, а /г ^ 100, то это означает, что можно
получить увеличение в тысячи и более раз.
Относительное изменение волнового числа (или длины
волны) будет связано с относительным изменением оптической
толщины пластинки nt.
Расстояние между полосами (ширину полосы) получим при
дифференцировании условия максимума (3.3.10) при
постоянном nt и полагая, что А/г ^ 1. Тогда
Аа= \l2nt.
(3.3,12)
Это означает, что расстояние между полосами Дст (см-')
определяется только оптической толщиной пластины. Отметим,
что в приведенных выше формулах не учитывается фазовый
сдвиг при отражении от поверхности пластины.
9*
131
Интерференционные полосы равного хроматического
порядка обладают некоторыми особенностями, не присущими другим
видам полос. Из формулы (3.3.12) следует, что относительное
смещение полосы й(Аст)/Аст, которое получится из-за изменений
величины показателя преломления, не будет зависеть от
абсолютного значения толщины t, так же, как относительное
смещение интерференционных полос из-за изменения толщины не
зависит от абсолютного значения показателя преломления п.
Интерференционные полосы равного хроматического порядка
целесообразно использовать для точных измерений толщин
плоскопараллельных пластинок или воздушных промежутков.
Пусть необходимо измерить толщину плоскопараллельной
пластинки. Разности хода, выраженные в длинах волн, для A,i
и Лг соответственно равны:
2/п, =ЙЛ,;
2tn^ = {k + p)\i, (3.3.13)
где П\ и Пг — показатели преломления для длин волн Ki и Лг;
k и k -\- р — целые числа, представляющие ссобой порядки
интерференции. Тогда для k имеем
k =
рк2П
а соответственно
;>Я,Я. ^3.3.14)
2(Xl«2—Я2«1) ^
Из формулы (3.3.14) следует, что толщину пластинки можно
измерить, подсчитав число интерференционных полос (число р),
укладывающихся между фиксированными длинами волн Ki и Лг
в фокальной плоскости спектрального аппарата. Значения для
п\ и П2 должны быть известны.
Если П] ^ П2 ^ 1 (воздушный слой), то ^ ^ (р/2) [1/(Л~2—
-АГ')]
р = 2/(а2 —а,), (3.3.15)
Таким образом, по формуле (3.3.15) разность порядков
интерференции р пропорциональна разности волновых чисел ст;
при этом коэффициент пропорциональности равен 2t. Если
построить зависимость р = /(ст), то наклон этой прямой будет
количественно определять абсолютное значение / с большей
точностью, чем при однократном счете полос.
§ 3.4. Типы интерференционных систем
Рассматривая основные характеристики интерференционных
явлений, мы подразумевали взаимную интерференцию двух
лучей. Для такой интерференции в идеальном случае характерно
132
тсосиносоидальное распределение интенсивности, являющееся
функцией разности фаз (разности хода).
Интерференция трех, четырех и многих лучей изменяет
характер указанных выше зависимостей и в ряде случаев может
дать преимущества перед двухлучевой интерференцией по
достижимой чувствительности, точности измерений или по другим
признакам.
Трехлучевая интерференция. На рис. 3.4.1 представлена
оптическая схема, которая позволяет наблюдать интерференцию
трех лучей.
Рис. 3.4,1. Схема для
наблюдения трехлучевой
интерференции
Объектив Oi формирует параллельный пучок лучей от
источника /. Параллельный пучок лучей проходит через диафрагму D,
имеющую три щели, которые отстоят друг от друга на строго
одинаковых расстояниях. При прохождении пучка через систему
щелей световая волна будет дифрагировать на каждой щели.
Результат интерференции дифрагированных волн можно
наблюдать в фокальной плоскости F объектива Ог.
Пусть ui ^ а2 ^ аз ^ а — амплитуда световых колебаний,
выходящих из каждой щели. Так как расстояние между щелями
одинаково и равно d, то лучи, дифрагировавшие под углом ф
на крайних щелях, приходят в некоторую точку
интерференционного доля М с опережением (-f-б) и с запаздыванием (—б)
по фазе по сравнению с лучами, дифрагировавшими под углом ф
на средней щели. Сдвиг фазы, задаваемый крайними щелями по
отношению к средней, определится из соотношения
6 = ± ^Г-« 81Пф,
(3.4.1)
где d sin ф — разность хода лучей, пришедших в точку М
экрана; ф — угол дифракции.
Запишем выражения для трех световых колебаний в
комплексном виде, т. е. без учета временной части колебания:
й, ^ а ехр
Si^a ехр
5з ^ а ехр
^/„-f 6
2л
к
2jt
k
и
(3.4.2)
где /о — оптическая длина пути среднего луча.
133
в)
yvvvvv
2JI д-
d
'2% -%
Рис. 3.4.2. Распределение интенсивности
функция разности фаз
как
Сложение всех строчек формулы (3.4.2) дает
результирующее колебание
2ii
S^^a exp
г -^ г„) [ехр (— г6) + ехр (г6)].
(3.4.3)
Соответствующее выражение для интенсивности найдем,
умножив на комплексно-сопряженную величину
/ = 5^52 = а"'(1+2 cos 6). (3.4.4)
Путем тригонометрических преобразований формулы (3.4.4)
получим
, sin^ 3(6/2)
^—^ sin46/2) • ^•^■^■^'
Графически зависимости (3.4.4) и (3.4.5) представлены на
рис. 3.4.2, а. Интерференционная картина представляет собой
чередование главных и второстепенных максимумов при
соответствующих конкретных значениях б.
134
Пусть теперь в ход среднего луча введена некоторая
дополнительная оптическая длина пути, например,
плоскопараллельная пластинка К (см. рис. 3.4.1). Световое колебание,
соответствующее среднему лучу, приобретает дополнительную фазу
Р = (2яД)А', где А'^/'(п'—1), причем /' — толщина
пластинки Ку п' — ее показатель преломления. Результирующее
колебание по аналогии с формулой (3.4.3) будет иметь вид
Ss = а ехр (- г -^ Ао) [ехр (- /6) -f ехр Щ -f ехр (г6)]. (3.4.6)
Соответствующая ему интенсивность получится умножением
обеих частей равенства на комплексно-сопряженное выражение,
что в итоге дает
/ = а^ (1 ц_ 4 cos' 6 -f 4 cos 6 cos p). (3.4.7)
Графически зависимость (3.4.7) представлена на рис. 3.4.2,6
для \,= {2k-\- 1)я/2 и на рис. 3.4.2, в — для ^= {2k-\- 1)я. Из
формул (3.4.7) и (3.4.4) следует, что введение в средний луч
дополнительной фазы приводит не к смещению
интерференционных полос, как при двухлучевой интерференции, а к
перераспределению интенсивностей в максимумах при неизменном их
положении.
Многолучевая интерференция при делении амплитуды
световой волны. Явление многолучевой интерференции связано с
интерференцией большого числа когерентных лучей. Этот вид
интерференции может быть получен при многократном отражении
электромагнитной волны от граней плоскопараллельной или
клиновидной пластинки (деление амплитуды) или при
прохождении света через большое число параллельных щелочных
диафрагм (деление фронта волны).
Для осуществления первого способа необходимо иметь слой
диэлектрика, поверхности которого обладают высоким
коэффициентом отражения. В этом случае интенсивность лучей,
испытавших два, три и больше число отражений, будет медленно
спадать. Впервые такого типа многолучевая двухзеркальная
система была предложена учеными Фабри и Перо в 1897 г. для
спектроскопических исследований. В настоящее время ее чаще
называют интерферометром Фабри—Перо, который не только
не утратил своего значения, но и получил весьма широкое
применение для различных целей физического эксперимента.
К числу приборов, использующих принцип многолучевой
интерференции, можно отнести интерференционные светофильтры,
интерферометр Фабри—Перо, резонаторы лазеров,
дифракционные решетки и др.
Вначале рассмотрим интерференцию бесконечно большого
числа пучков, получающихся при многократном отражении от
слоя диэлектрика толщиной / (рис. 3.4.3), т. е. при делении
амплитуды падающего луча. Пусть на двухзеркальную систему
135
падает плоский фронт волны (луч а). Световая волна, попадая
на первое зеркальное покрытие, расщепляется на отраженную
и проходящую части и, испытывая многократное отражение,
теоретически бесконечное число раз проходит через слой
диэлектрика. Благодаря высокому коэффициенту отражения
зеркальных слоев {R ^ 0,8—0,9) при каждом последовательном
отражении происходит незначительное снижение интенсивности
проходящего пучка. Напротив, в отраженном свете интенсивность
первого пучка значитель
но больше интенсивности
последующих пучков.
Таким образом, как
в проходящем, так и в
отраженном свете,
получается система
параллельных когерентных лучей.
Рассмотрим
интерференционную картину,
получаемую в проходящем
свете.
Определим
распределение интенсивности в
интерференционной картине
с учетом интерференции
когерентных лучей. В общем случае будет иметь место
сложение бесконечного числа колебаний. Обозначим амплитуды
последовательных лучей через «i, 0:2, «3, ..., йр, а изменение фазы
лучей соответственно через О, б, 26, 36, ..., р6.
Разность фаз между любыми соседними лучами б^
4я
—Покрытие
-Диэлектрик
—Покрытие
i'\ \\ \\
0 1 2 3 ^^ 5 р
Рис. 3.4,3. Образование лучей в случае
многолучевой интерференции в
плоскопараллельной пластинке
Д^2/псозг — разность хода между этими
лучами, как в (3.3.4). Колебания последовательного ряда лучей:
= ^г— tn COS г, где
л
(3,4,8)
Из рис, 3,4,3 следует, что соотношение между интенсивно-
стями для соседних лучей
2
«2
-^ л 9 О
(3.4.9)
"р-1
где R, Тс — коэффициенты отражения слоя и пропускания
диэлектрика.
136
Из (3.4.9) имеем ар^ ao{RTc). Тогда сумму S^ всех
строчек в формуле (3.4,9) запишем в виде
Sx = Е Sp = Е «о {RTcf е^ <"'^'*'' (3.4.10)
р==0 р==0
Результирующее колебание по формуле (3.4.10) будет
представлять собой также гармоническое колебание с новой
результирующей амплитудой А и фазой wt-{-y
52 = Ле'(<^'+)^. (3.4.11)
Задача заключается в отыскании результирующего
пропускания, так как 9 i^ А'^. Объединяя формулы (3.4.10) и (3.4.11),
выпишем без учета временной части
оо
Е ao{RTafPe'P^ = Ae'^.
Это выражение — сумма геометрической прогрессии со
знаменателем RTce^^.
Поэтому
\ — RTce^^ {\ —RTc cosb) — iRTc sin Ь
^ gp (1 — RTc) cos6-f jRTc sin 6 C3 4 19^
~ \—2RT^ cos 6+R'^tI
После разделения формулы (3.4.12) на косинусную и
синусную части, возведения в квадрат каждой части и сложения
получим
«о
А'= : ^г- (3.4.13)
\—2RT^ cos 6 +R^Ti
Если амплитуду падающего на интерферометр света
обозначить через а, то а^ = а^Т^Тс и окончательно пропускание
системы X = АУа^ будет равно
у,2у.2
"" (\-RTcf+ iRTс sin'(6/2) ' (3.4.14)
Выражение (3.4.14) можно записать в более удобном для
анализа виде
т 1
^°™ = ^^;^^ l-fFsinM6/2) ■ (3.4.15)
В формуле (3.4.15) б ^ (2яА) 2/п cos г — разность фаз
между соседними интерферирующими лучами; Хтах =
=^ РГс/(1 — RTcY; F — фактор резкости, который определяется
по формуле
^ = 4^5^- (3-4.16)
137
Проведем анализ выражения (3.4.15), которое получило
название формулы Эйри. Изменение р.чзности фаз может
происходить либо за счет изменения угла падения лучей на
интерферометр i (или угла г), либо за счет изменения оптической
толщины слоя диэлектрика nt. На рис. 3.4.4 показано
распределение относительного пропускания двухзеркальной системы как
функции разности фаз б при различных значениях параметра
кТа- Из рисунка следует, что характер распределения относи-
2Л-Я
2(1< + 1)Я
Рис. 3.4.4. Распределение интенсивности
двухзеркальной системы при различных RTc
тельного пропускания существенно зависит от параметра RTc —
произведения коэффициента отражения R покрытия на
коэффициент пропускания Тс слоя диэлектрика. При малых RTc
интерференционная картина имеет слабый контраст, поэтому
требуется большие значения RTc- Пропускание многолучевого
интерферометра является периодической функцией разности фаз б.
Определим контраст интерференционной картины. По
формуле (3.4,14) в зависимости от б фз'нкция х может принимать
различные значения. Максимальное значение пропускания будет
при условии, когда б = 2nk, где А ^ О, 1, 2, ... . Тогда хтах =
= ТЧс/{I — RTc)^' и соответственно хюш = ТЧс/{1 + RTc)^ при
условии, когда б = 2я(А-|- g-), где k — целое число. При других
б будут иметь место промежуточные значения для х. Таким
образом, контрастность напишем в виде
Тт in /1 — RTc
к =
tmax
^ + RTc
(3.4.17)
Из формулы (3.4.17) следует, что значение для К всегда
будет отличаться от нуля, так как параметр RTc меньше еди-
138
иицы. Это обстоятельство определяет наличие фона, что
показано на рис. 3.4.4. В случае двухлучевой интерференции строго
монохроматических колебаний и при равенстве амплитуд
складывающихся колебаний величина фона равна нулю.
Из формулы (3.4.17) следует, что для увеличения контраста
многолучевой картины при заданном коэффициенте
пропускания диэлектрической прослойки Тс надо увеличивать
коэффициент отражения покрытий пластин. Увеличение параметра RTc
означает по формуле (3.4.16) возрастание значений фактора
резкости F.
Увеличение параметра RTc приведет также к сужению
интерференционного максимума. Получим формулу для
относительной полуширины интерференционного максимума (рис. 3.4.4).
Положение интерференционного максимума соответствует
величине б = 2kn, где к — целое число. Изменим б на некоторую
величину б' таким образом, чтобы в формуле (3.4.15) Тотн = 1/2.
Тогда имеем
sin' {kn + 672) = sin' (672) = -^.
Таким образом, для 6' получим формулу б'^ 2 arcsin-p.
При больших F приближенно полуширина интерференционного
максимума в разностях фаз определяется формулой
26' = 4/F. (3.4.18)
Так как изменение фазы между максимумами равно 2я, то
для относительной полуширины максимума получим
соотношение
'or^^ = ^ = W- (3.4.19)
Для определения угловой ширины интерференционного
максимума воспользуемся формулой (3.2.1) для записи
разности фаз
6 = (2я/А,) До cos ф,
где ф — угол интерференции.
После дифференцирования этого выражения по ф получаем
2it
Д6^ X—ДosiпфДф. Тогда для угловой полуширины
интерференционного максимума с учетом (3.4.18) условия максимумов
для До имеем
Дб 2
Дф^
2л (Ао/^) sin ф nFk sin ф '
На основании предыдущего можно сделать общее
заключение: при достаточно больших значениях параметров RTc, т. е.
^большом факторе резкости F, в проходящем свете имеет место
139
чередование узких интерференционных максимумов и широких:
минимумов, что и является характерной особенностью
многолучевой интерференциононй картины в проходящем свете. В
отраженном свете получим обратную картину, а именно,
чередование широких максимумов и узких минимумов.
Многолучевая интерференция при делении фронта световой
волны пучка. Пусть пучок света заполняет площадку, которая
представляет собою периодическую структуру из большого числа
Л'^ параллельных и
равноотстоящих щелей (N может
составлять 100—100 000 и
более щелей, расположенных
на близких расстояниях друг
от друга). Это устройство
представляет собой
прозрачную дифракционную
решетку. Такая решетка
называется амплитудной, так как
периодически изменяет
амплитуду падающей волны от
значения а до нуля. Лучи,,
проходящие через
различные щели, когерентны.
Рассмотрим результат
интерференции N лучей (рис.
3.4.5). Пока не будем
учитывать различия
интенсивности интерферирующих
лучей, распространяющихся
после решетки в
различных направлениях. Этот вопрос будет рассмотрен в гл. 5. Если
каждую щель считать точечным источником, то результат
интерференции лучей в фокальной плоскости F1F2 объектива L
(поле интерференции) дает картину многолучевой
интерференции при конечном N числе пучков одинаковой интенсивности.
Лучи, идущие через объектив L без отклонения, имеют нулевую
разность фаз и собираются объективом в точке О. Здесь
результирующее колебание будет представлять собой сумму всех N
колебаний с амплитудами а. Амплитуда результирующего
колебания будет равна aN; результирующая интенсивность
определится квадратом этой величины.
J = Ca^N\ (3.4.20)
где С — некоторый коэффициент пропорциональности.
Для различных углов дифракции ф (рис. 3.4.5) разность фаз
интерферирующих лучей различна. Как и при многолучевой
интерференции, возникающей при отражении от слоя диэлектрика,,
будет иметь значение разность фаз между соседними интерфе-
Рис. 3.4.5. Ход лучей при прохождении
плоского фронта через прозрачную
решетку
140
рирующими лучами, находящимися на расстоянии d. Величина d
является периодом решетки и называется постоянной решетки.
Разность хода между соседними лучами (при угле падения,
равном нулю), очевидно, равна А ^ d sin ф.
Напишем выражение для разности фаз
б = (2лД)сг51Пф, (3.4.21)
где К — длина волны; ф — угол дифракции; d — постоянная
решетки.
О и, По
1
tYTYlhvvltyynlhTttlTmlhfmthYirillwrtlmYl
i
7lA
Ш.
!ш1_лш_т
Siriip
Рис. 3.4.6, Распределение интенсивности как функции
S и ф
Найдем комплексную амплитуду результирующего
колебания в направлении ф
N
где бо — результирующая фаза; k — номер луча.
Значению k = 1 соответствует первый крайний луч решетки.
Таким образом, имеем геометрическую прогрессию, поэтому
окончательно напишем
Лфе^«»:
— 1
>-1
(3.4.22)
Интенсивность /ф в произвольном направлении ф получим,
умножив (3.4.22) на комплексно-сопряженное выражение, т. е.
■"Ф-^Ф '■
С а
2 2-(е~^'^« + е''-^'*)
= Са
2 sin^ (iV6/2)
е"*—1 sin2(6/2)
Учитывая (3.4.20), определим пропускание (интенсивность)
рассматриваемой системы
, /о sln2 (iV6/2) /о sin^ (Nv)
В (3.4.23) /о — интенсивность при ф ^ О, о = 6/2.
(3.4.23)
На рис. 3.4.6 представлено распределение относительной
интенсивности в фокальной плоскости объектива О. Здесь по оси
141
абсцисс отложен угол дифракции, так как ф пропорционален б
по (3.4.21). Распределение, приведенное на рисунке, поясним
путем анализа формулы (3.4.23). В самом деле: минимальное
значение функции /ф ^ О будет иметь место в тех направлениях
углов дифракции б, при которых sin Л^и = О, т. е. при условии
Ny = kn, где ^^ 1, 2, 3. Исключение составят числа, кратные
N. При k = mN, где т — целое число, v будет кратно п.. Тогда
можно записать, что v = тп, где m ^ 1, 2, 3... .
В этом случае (3.4.23) имеет неопределенность, которая
раскрывается в Л^^ и J^ = Jo (/отн =/ф//о ^ l)i т. е. получим
интерференционный максимум. Условие максимумов запишем
в виде
{n/K)d sin (р = тп, (3.4.24)
или окончательно из (3.4.24) условие главных максимумов
будет
dsm((> = m\. (3.4.25)
Таким образом происходит перераспределение энергии—
вместо интерференционного минимума при k = mN мы
получаем главный максимум, который имеет характерный для
многолучевой интерференции узкий контур. Эти максимумы будут
расположены не слишком часто, так как значению k надо
пройти Л^ — 1 последовательных целых значений, чтобы стать
кратным Л^. Здесь в отличие от предыдущих случаев будем
иметь множество вторичных максимумов, расположенных между
главными максимумами (рис. 3.4.6).
Условие возникновения вторичных максимумов получим из
(3.4.23) путем дифференцирования sin Nv/sin v и
приравнивания производной нулю. Это дает
Ntgv = tg{Nv). (3.4.26)
Условию (3.4.26) должна удовлетворять функция v =
= nd sin (р/К, чтобы в направлении ф возник дополнительный
максимум. Интенсивность этих максимумов весьма мала, так как
можно показать, что при выполнении (3.4.26) значение /ф будет
пропорционально /ф л; (cos^o-j-№ sin^ o)~i. В силу очень
высокого значения Л^^ (большое число, например IQi")
интенсивность /ф будет незначительной. Этим и объясняется условное
изображение вторичных максимумов и лежащих между ними
минимумов в виде мелкой «гребенки» на рис. 3.4.6. В целом
будем наблюдать ряд главных максимумов, которые
соответствуют интерференционным порядкам т.
Рассмотренная интерференционная картина будет
видоизменяться из-за явления дифракции на каждой прозрачной щели.
Здесь это явление не будем пока принимать во внимание.
Окончательное распределение энергии при прохождении плоского
фронта волны через прозрачную решетку будет дано в гл. 5.
142
Теперь логично сравнить две интерференционные картины,
которые получаются при интерференции бесконечно большого
числа лучей убывающей интенсивности (3.4.14) и большого
числа лучей одинаковой интенсивности (3.4.23). В первом
случае вместо вторичных максимумов между главными
интерференционными максимумами наблюдается фоновая
интенсивность, так как интерферирующие лучи имеют существенно
различные амплитуды. Во
втором случае имеет место Fi
N — 2 вторичных
максимумов. Они возникают в
результате интерференции
лучей одинаковой амплитуды.
Образование
интерференционных полос при'
использовании дифракционных
решеток в качестве делителей.
На рис. 3.4.7 показаны две
идентичные прозрачные
дифракционные решетки Pi и
Рг. имеющие одинаковые
постоянные d и
расположенные параллельно друг другу
на расстоянии t.
Параллельный пучок излучения
длины волны Я, падает на
первую решетку под углом i|3
относительно нормали к решетке. В этом случае первая
решетка дает т дифракционных порядков, наблюдаемых под
углами, определяемыми из уравнения решетки (3.4.25)
Рис. 3.4.7. Образование лучей при
использовании дифракционных двух
решеток
ЗШф
-1, О, 1, 2, 3,
-^+51Пг|з,
(3.4.27)
порядки дифракцион-
где т = . .. —3, —2,
ных максимумов.
Принимая во внимание, что углы дифракции ф для порядков
первой решетки являются углами падения для второй и
учитывая (3.4.27), получим для углов дифракции второй решетки
5Шф,,. = ^Я+з1пг|5, (3.4.28)
где q и г — дифракционные порядки; q, г = —.,. —3, —2, —1,
О, 1,2, 3, ....
В случае, когда г + q ^ k, уравнение (3.4.28) дает
результаты, аналогичные уравнению (3.4.27). Следовательно,
соответствующие дифракционные порядки распространяются в тех же
самых направлениях, что и для одной решетки. Семейство
порядков, распространяющихся в одном направлении, называют
/fe-й группой. На рис. 3.4.7 выделена первая группа, для которой
143
сумма дифракционных порядков г -г q везде одинакова и равна
единице. Если вторую решетку слегка повернуть относительно
направления штрихов или сделать ее постоянную d' отличаю-
ш:ейся от постоянной d первой решетки, то волновые фронты
лучей, составляюш;их k-ю группу, также будут наклонены на
некоторый угол по отношению друг к другу. В связи с тем, что
лучи, составляюш:ие k-ю группу, являются когерентными, в
результате их интерференции возникает система комбинационных
Рис. 3.4.8. Получение комбинационных интерференционных полос
интерференционных полос. Эти полосы можно наблюдать
глазом (рис. 3.4.8).
Точечный источник / монохроматического излучения, нахо-
дяш:ийся в фокусе объектива 0\, образует параллельный пучок,
падаюш:ий на решетки Pi и Рг. В фокальной плоскости второго
объектива Ог наблюдаются изображения источника,
образовавшиеся в результате интерференции лучей в каждой группе {k-я,
(^-1)-й, {k+ 1)-йи т.д.
Если выделить одно из изображений, то поверхность второй
решетки будет видна покрытой интерференционными полосами.
Структура и число наблюдаемых полос зависят от номера
выбранной группы, от взаимного наклона решеток относительно
друг друга и от соотношения постоянных решеток. Если решетки
параллельны друг другу, а постоянные d равны, то вторая
решетка будем равномерно освеш:ена. Интенсивность освеш:ения
зависит от амплитуды и фазы результируюш:ей волны, распро-
страняюш:ейся в направлении k-я группы, которые в свою
очередь зависят от амплитуд и фаз составляюш:их ее компонентов.
§ 3.5. Принципиальные оптические схемы
двухлучевых интерферометров
Высокая чувствительность и точность интерференционных
методов измерений определили широкое распространение
интерферометров в различных областях науки и техники.
144
в данном параграфе рассмотрим оптические системы
некоторых интерферометров, которые работают на принципе двух-
лучевой интерференции. Обратим внимание читателя на такие
системы и приборы, которые наиболее часто используются в
измерительной технике и технике физического эксперимента.
Вначале рассмотрим общие принципы построения зеркальных
интерферометров, а затем конкретные интерференционные
системы.
Принцип построения четырехзеркальных интерферометров.
Для возникновения интерференционной картины необходимо,
чтобы световой пучок,
разделенный на два
когерентных пучка,
пройдя пути в двух ветвях
интерферометра, вновь
соединился. При
некотором расположении
■оптических деталей
интерферометра, когда
■оптическая разность рТ'"'-'- —'~-~—-_"->\
хода равна нулю, а ин- '/ "^^^^f;*
терферирующие лучи р„с. 3.5.1. Принципиальная схема четырех-
по выходе из интерфе- зеркальных интерферометров
рометра совпадают по
направлению и не имеют смещения, в интерферометре
наблюдается бесконечно широкая интерференционная полоса нулевого
порядка. Назовем такое положение интерферометра исходным
или начальным. В исходном положении два луча, происшедшие
от одного первичного луча после прохождения двух ветвей
интерферометров, вновь соединяются в один луч. В
интерферометрах, имеющих две частично отражающие пластины и два
отражающих зеркала, это условие будет выполнено в том случае,
если отражающие зеркала будут совпадать с касательными
к эллипсу, а центры частично отражающих пластин будут
находиться в фокусах эллипса.
Такая принципиальная схема интерференционного узла че-
тырехзеркального интерферометра показана на рис. 3.5.1. Здесь
два полупрозрачных зеркала Pi и Рг расположены в фокусах
Fi и р2 эллипса, а два отражательных Pi и Ра — по
касательным к нему.
Падающий световой пучок делится полупрозрачным слоем
зеркала Pi на два, каждый из которых, пройдя ветви
интерферометра FiP^Fs и Р\Р\р2, вновь соединяются на
полупрозрачном слое зеркала Рг.
Если на выходе интерференционной системы будет
наблюдаться бесконечно широкая полоса, то результирующая
оптическая разность хода равна нулю и оба интерферирующих луча
10 :ак. № 167 145
по выходе из системы совпадут. Как уже говорилось выше,
соответствующее этому положение зеркал интерферометра
называется начальным.
Именно такому условию удовлетворяет расположение
пластин на рис. 3.5.1, так как по свойству эллипса сумма радиусов-
векторов есть величина постоянная, а нормали к эллипсу в
точках касания пластин Pi и Рг есть биссектрисы углов между
падающим и отраженным лучами. Геометрическое
рассмотрение показывает, что при начальном положении интерферометра
Рис. 3.5.2. Оптическая схема интерферометра Цендера-Маха
линии, продолжающие направление плоскостей зеркал,
пересекаются в одной точке — полюсе интерферометра Q.
Можно показать, что ряд известных и используемых в
практике интерферометров построены по рассмотренной выше
эллиптической схеме при соответствующем положении полюса
интерферометра Q.
В этой связи рассмотрим несколько типов
интерференционных систем и приборов, а также их настройку. Некоторые из
рассматриваемых ниже приборов известны давно и являются
классическими (интерферометры Цендера-Маха,
Рождественского, Майкельсона), другие появились позже (интерферометры
последовательного типа, интерферометры сдвига). Однако все
эти приборы имеют общую основу построения и близкие
области применения.
Интерферометры Жамена, Цендера-Маха, РождестБенского.
Принципиальная схема интерферометров Жамена, Цендера-
Маха и Рождественского получается из общей схемы четырех-
зеркальных интерферометров при удалении полюса
интерферометра в бесконечность. На рис. 3.5.2 показано начальное
расположение зеркал интерферометра и образование двух
интерферирующих лучей.
Из рис. 3.5.2 следует, что лучи, разделившись на пластине Pi,
образуют две ветви интерферометра I и II. В одной из них свет
146
идет против часовой стрелки (путь Pi — Р2 — Р2), в другой —
по часовой стрелке (путь Pi —Pi —Рз)- На выходе лучи,
соединяясь, интерферируют.
Прототипом интерферометров Цендера-Маха и
Рождественского является классический интерферометр Жамена.
Интерференционный узел интерферометра Жамена
представляет собой две толстые плоскопараллельные стеклянные
пластины Pi и Рг,
расположенные под углом 1^45°
к падающему пучку
лучей (рис. 3.5.3). Две
параллельные ветви
интерферометра / и //,
образуемые при отражении от
поверхностей первой
пластины, далее после
отражения от поверхностей
второй, как видно из
рисунка, соединяются ц
дают интерференционную
картину.
Разность хода в
интерферометре определится
разностью разностей
хода, возникающих в каждой
с (3.3.4) запишется в виде
Рис. 3.5.3. Интерференционный узел
интерферометра Жамена
ИЗ пластин, и в соответствии
А ^ 2 di cos Г1 — 2 da cos Га.
(3.5.
Здесь di и ^2 — толщины первой и второй пластин; п —
показатель преломления стекла; ri и /-2 — углы падения на вторую
поверхность пластин. При строго параллельном расположении
пластин и di ^ ^2 будет наблюдаться бесконечно широкая
полоса нулевого порядка, так как для всех углов падения и всех
длин волн Д ^ 0.
Для возникновения интерференционной картины необходимо
'создать некоторый угол между пластинами е.
Если пластины интерферометра наклонены так, что угол
будет создан в горизонтальной плоскости, что показано на
рис. 3.5.3, то интерференционные полосы будут вертикальны, а
порядок интерференции не может быть равен нулю. В этом
случае интерференционные полосы могут наблюдаться только
в монохроматическом свете. Если при настройке
интерферометра пластины наклонить в вертикальной плоскости, то
интерференционные полосы будут горизонтальными. Возможно
наблюдение полос в белом свете, так как можно достичь нулевой
разности хода.
10*
147
Преобразуем выражение (3.5.1) для случая, когда di = d^
и ri « /"2, в виде
^ = 4dn sin ""'j"""^ sin '''"'"' = 2 dtt sin r Ar. (3.5.2)
В формуле (3.5.2) ri + гг ?» 2/- и (/"i — Г2)/2 .ж Ar.
Выражение (3.5.2) можно написать и через угол падения i
(рис. 3.5.3), учитывая закон преломления sin г = л sin г, из
которого следует, что Аг = (cos г/п cos г) Аг. В частном случае,,
если i = 45° и п ^ 1,5, то Ar = Aj72 = е/2; тогда итоговая
разность хода будет равна
A = 2d/i sinr Аг = d8Sin/, (3.5.3)
При освещении пластинки Pi непараллельным пучком лучей
получим систему прямолинейных интерференционных полос
равного наклона, ориентированных параллельно плоскости рисунка.
Такая система полос возникает вследствие того, что после
выхода лучей из второй пластины интерферирующие лучи,
оставаясь параллельными между собой, оказываются смещенными
в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка. Это
означает, что соответственные точки 5i и 52 имеют поперечный сдвиг
(см. рис. 3.1.3, а).
Интерферометр Жамена может быть использован, например,
для измерений показателя преломления. Тогда в одну из
ветвей интерферометра / или // следует поместить исследуемый
объект. Однако малое расстояние между ветвями
интерферометра, определяемое толщиной стеклянных пластин,
ограничивает возможности этого прибора. При помещении объекта в одну
из ветвей могут иметь место температурные влияния. Небольшое
расстояние между ветвями интерферометра приводит также
к ограничению размера объекта.
Более удобными в эксплуатации являются интерферометры
Цендера-Маха и Рождественского, построенные также на основе
четырех зеркал. В этих интерферометрах стеклянные пластины
заменены воздушными плоскопараллельными слоями. Это
обстоятельство позволяет значительно отдалить друг от друга
ветви интерферометра, что имеет большое значение, особенно
если исследуются нагретые объекты или объекты большой
протяженности. Кроме того, отпадает необходимость использования
дорогостоящих толстых оптически однородных пластин. Тонкие
пластины и зеркала, применяемые в интерферометрах Цендера-
Маха и Рождественского, легко и равномерно прогреваются и
поэтому создают более устойчивую интерференционную
картину, т. е. менее зависимы от условий эксплуатации.
Рассмотрим сначала принцип работы интерферометра
Рождественского. На рис. 3.5.4 изображена схема
интерференционного узла в удобном для рассмотрения принципа действий
виде. Здесь показаны лучи, проходящие воздушные промежутки
Pi — Р2 и Рз — Р4.
148
Разность хода, возникающая в первой воздушной пластине,
выражается обычной формулой Ai^2dcos/-i, где /"i ^ и —
углы падения луча на зеркала Pi и Р2, а di ^ d2 = d — толщина
воздушного слоя.
Рис. 3.5.4. Образование интерферирующих
лучей в интерферометре Рождественского
Таким же образом можно написать выражение для разности
хода во второй пластине Аг ^ 2d cos /-2. Здесь соответственно
Г2 = 12 — угол падения луча на вторую и первую грани пластины
Рз — ^4. Окончательно разность хода в интерферометре по
аналогии с (3.5.1) запишем в виде
А ^ 2d (cos /-2 — cos /"i) ^ 2d sin г Ar. (3.5.4)
Из геометрических соображений Аг = е; действительно, из-
рис. 3.5.5 видно, что 90°—п + е + гг ^ 90°, и таким образом
вместо (3.5.4) напишем
А = 2dE sin г = 2d& sin /.
(3.5.5>
Определим угловой размер интерференционной полосы,
продифференцировав (3.5.5) при условии А ^ kk и dk^l,
М.
2е dcos i
(3.5.6)
Как видно из (3.5.6), угловая ширина интерференционных
полос при выбранном d зависит от угла между пластинами и
увеличивается при уменьшении е.
Рис. 3.5.5. Соотношение
углов
149
Для получения желаемой ориентировки интерференционных
полос равного наклона необходимо принять во внимание
следующие соображения: значение Аг зависит от угла е и от
ориентации лучей. Для лучей, падающих в плоскости, перпендикулярной
к поверхностям обеих пластин, Аг имеет максимальную
величину, равную Е. Лучи, идущие в пространстве между
воздушными слоями и перпендикулярные биссектрисе угла е, падают
яа пластины под равными углами, в результате для них Аг = 0.
Рис. 3.5.6. Оптическая схема интерферометра Цендера-
Маха в рабочем положении
'Следовательно, и разность хода равна нулю. На основании этого
можно заключить, что нулевая полоса расположена в плоскости,
перпендикулярной биссектрисе угла е между пластинами.
Таким образом, если необходимо расположить нулевую полосу
в горизонтальной плоскости, угол между пластинами должен
быть создан в вертикальной плоскости. Так обстоит дело в том
случае, если толщины пластин Pi — Р2 и Р3 — Р4 (см. рис. 3.5.4)
точно равны друг другу (di ^^2)- Однако может иметь место
некоторое неравенство толщин. В результате при наличии угла
в вертикальной плоскости нулевая полоса будет наклонена
к горизонту. Этот наклон можно скомпенсировать небольшими
тонкими перемещениями пластин интерферометра, и тогда
можно вывести нулевую полосу в горизонтальное положение.
Интерферометры Цендера-Маха и Рождественского хотя и
имеют одинаковые принципиальные оптические схемы, но от-
-личаются областью применения и способом настройки.
Интерферометр Цендера-Маха применяется главным образом для
исследования неоднородностей протяженных объектов и, как
правило, имеет большие размеры. Этот интерферометр нашел
особенно большое применение для аэродинамических
исследований и для исследования быстро протекающих процессов.
На рис. 3.5.6 представлена принципиальная схема
интерференционного узла интерферометра Цендера-Маха в рабочем
положении. При освещении интерферометра телецентрическим
пучком лучей при наклоне зеркал Pi и Рз (например, Рз) воз-
ликают условия для наблюдения полос равной толщины, так
150
как интерферирующие лучи, как видно из рисунка,
пересекаются в точке М. Объект обычно размещают между зеркалами
Рг и Рз> и интерференционную картину наблюдают в области
расположения объекта. Плоскость локализации обычно
совмещают с центральным сечением объекта, расположенным на
равных расстояниях от зеркал Рг и Рз.
Поворотом зеркала Рз можно также изменять угол
схождения (О интерферирующих лучей, т. е. ширину интерференционных
полос, так как b = Я/'ш- Мнимое пересечение интерферирующих
Рис. 3.5.7. Принципиальная схема
интерферометра Майкельсона
; ^
Рис. 3.5.8. Расположение
зеркал при наблюдении
полос равной толщины
лучей (точка М) совмещают с плоскостью исследуемого сечения
объекта. Если расстояние между зеркалами Рг— Рз в два раза:
больше расстояния между зеркалами Pi — Р2, то плоскость
локализации находится посередине между зеркалами Рг и Рз.
Интерферометр Майкельсона. Интерферометр
Майкельсона— классический и широко известный прибор. Майкельсон
впервые использовал его для обнаружения абсолютного
движения Земли. В результате этого опыта была показана
несостоятельность теории эфира. В дальнейшем этот интерферометр
приобрел весьма широкое распространение и разнообразные
применения в технике физического эксперимента, а в настоящее
время — как база для построения нового класса спектральных
приборов — фурье-спектрометров (см. § 7.1).
Оптическая схема интерферометра Майкельсона (рис. 3.5.7)
является частным случаем общей схемы четырехзеркального
интерферометра (см. рис. 3.5.1). В этом случае эллипс
вырождается в окружность, две полупрозрачные пластины заменяются
одной, а полюс интерферометра Q находится на пересечении
продолжения отражательных зеркал (рис. 3.5.7). При падении
151
-луча на разделительную пластину Р образуются две ветви
интерферометра / и //, которые расположены под углом 90° друг
к другу.
Когерентные интерферирующие лучи, пройдя двойной путь
в каждой из ветвей интерферометра (после отражения от
зеркальных поверхностей пластин Mi и М2), вновь соединятся на
поверхности пластины Р. Благодаря различию длин оптических
путей di и ^2 разность хода определится соотношением
\ = 2{d: — d,). (3.5.7)
Условие максимумов, как и обычно, записывается в виде
A = kk. На рисунке пластина Afi является изображением Mi
в частично отражающей пластине Р.
Интерферометр Майкельсона может перестраиваться с
помощью юстировочных перемещений: в приборе могут
наблюдаться полосы равного наклона при строгой перпендикулярности
зеркал Ml и М2. В этом случае изображение пластины Mi будет
параллельно М2, и мы можем наблюдать интерференционные
полосы равного наклона, соответствующие воздушной
плоскопараллельной пластине М1М2.
Можно осуществить другую настройку интерферометра.
Пусть зеркало Mi несколько наклонено к горизонтали
(рис. 3.5.8). Тогда луч 2, упавший на зеркало Mi, отразится под
некоторым углом и после возращения на разделительную
пластину Р и вторичного отражения от нее составит угол с первым
интерферирующим лучом /. Изображение пластины Mi теперь
образует с зеркалом М2 воздушный клин, в котором и
наблюдаются полосы равной толщины. Естественно, что способы
освещения и положение плоскости локализации будут разными для
полос равного наклона и равной толщины.
Таким образом, в интерферометре Майкельсона можно
наблюдать интерференционные картины в воздушных пластинках
параллельных и клиновидных, толстых и тонких. Необходимо
только правильно настроить прибор для получения желаемого
результата.
В последние годы интерферометр Майкельсона получил, как
уже упоминалось, новое и весьма перспективное применение.
Его можно использовать как диспергирующую систему для
преобразования сложного излучения и анализа его спектрального
состава. Спектральный прибор, построенный на базе
интерферометра Майкельсона, получил название фурье-спектрометра.
Иначе эти приборы называются спектрометрами с частотной
модуляцией светового потока. В самом деле, если представить
себе, что одно из зеркал интерферометра Майкельсона,
настроенного на полосы равного наклона, перемещать параллельно
самому себе в том и другом направлении, то разность хода А
152
будет периодически меняться. В соответствии с (3.1.3)
интенсивность на выходе интерферометра запишем в виде
. ' (3.5.8).
/ = 4а^ cos^ ^1Г^ '^^^ \ ^ + '^^^ -^^
Если разность хода А изменять со скоростью v, то за время t
она станет равной At = vt. Выражение (3.5.8) может быть
записано в виде
/ ^ /о [1 + cos 2я {vtl%)] ^ /о (1 + cos 2navt),
(3.5.9)
где волновое число а, см~'.
В этом случае световой поток будет
модулирован с частотой / = v/'k. Если на
входной зрачок прибора падает сложное
излучение, то частота модуляции будет
различна для разных длин волн. Вид
полученной сложной интерферограммы на
выходе прибора зависит от спектрального
распределения излучения источника света
L{a). Далее эту интерферограмму можно
расшифровать путем разложения ее в ряд
Фурье с помош,ью
электронно-вычислительной машины.
Можно заметить, что принцип работы
оптической системы интерферометра Май-
кельсона в конечном счете сводится к
интерференции в одной воздушной пластине.
В этом смысле к этому же типу
интерферометра можно отнести и интерферометр
Физо.
Интерферометр Физо. Этот интерферометр применяют пре-
имуш,ественно для измерений длин концевых мер, а также для
контроля плоскостности оптических поверхностей. Оптическая
система интерферометра и его эксплуатация достаточно просты
(рис. 3.5.9). Он работает на принципе, который близок к методу
колец Ньютона, предназначенному для контроля качества
поверхностей различной формы.
Оптическая схема интерферометра Физо может быть
построена с применением линзового коллиматора или с вогнутым кол-
лимируюш,им зеркалом.
На рис. 3.5.9 представлен один из вариантов этой системы.
Источник / с помош,ью линзы 2 проецируется на входную
диафрагму 3, которая помеш,ена в фокальной плоскости
объектива 6. За объективом помеш,ается эталонная пластина 7 и
испытуемая оптическая деталь 8. Зеркало 4 служит для изменения
обратного хода лучей, чтобы в фокальной плоскости окуляра 5
получить в обш,ем случае два изображения диафрагмы 3. После
Рис. 3.5.9. Оптическая
схема интерферометра
Физо
153
совмещения этих изображений юстировочными подвижками
испытуемой детали с помощью телескопической лупы наблюдают
итерференционную картину полос равной толщины.
Техзеркальные интерферометры последовательного типа.
Трехзеркальные интерферометры последовательного типа
"^ .
/
^—
/
к 9^
В-
•в^
—^^^
d2
п
В« ^^^^•8,9,10,11
3,4,5,е
Рис. 3.5.10. Принцип работы интерферометра
последовательного типа: а — интерференционные пластины; б — образование
двух когерентных лучей; в — группы интерферирующих лучей
(ИГТТ) так же, как и рассмотренные ранее интерферометры,
являются модификацией четырехзеркальной системы. В этом
случае полюс интерферометра удаляется в бесконечность, а эллипс
вырождается в окружность. На рис. 3.5.10, а представлена
принципиальная схема интерферометра последовательного типа.
Три полупрозрачные пластины А, В, С расположены в одну
линию последовательно друг за другом; две из них А и С — по
касательной, а третья В — в центре окружности.
Такого типа интерферометр был использован В. А. Савиным
в 1948 г. для точных измерений малых углов; позднее Сандерс
и Пост применили его для измерений напряжений в прозрачных
моделях конструкций.
Отличительной особенностью рассматриваемых
интерферометров является возможность использования их схем для по-
154
строения как двухлучевых интерферометров, так и
интерферометров многолучевого типа.
Для наблюдения интерференции двух лучей необходимо
расположить две пластины А и В интерферометра (пока все
пластины считаем бесконечно тонкими) наклонно относительно
плоскости пластины С, т. е. так, как показано на рис. 3.5.10,6. При
расположении пластин А и В, имеющих углы наклона 2а и а
соответственно, лучи 1 и 2 выйдут из системы параллельными,,
испытав два отражения в каждом промежутке между зерка-
Рис. 3.5.11. Оптическая схема ИПТ
лами. На рисунке для ясности чертежа лучи 1 я 2 показаны
смещенными по вертикали. Возможны повторные отражения
лучей от поверхностей пластин (рис. 3.5.10,в). Таким образом из
интерферометра реально выйдут группы лучей с малой
разностью хода. Эти группы лучей будут пространственно
разведены из-за наличия углов между пластинами. Лучи 1 и 2 будут
обладать наибольшей яркостью, так как они имеют всего два
отражения. Эти лучи должны быть выделены диафрагмой. Для
получения интерференционных полос следует ввести
дополнительное малое рассогласование в положении зеркал, так, чтобы
кратность углов не была бы точно равна двум.
Разность хода определяется (см. рис. 3.5.10, а) разностью
оптических длин путей лучей в последовательно расположенных
ветвях интерферометра A.^2{d2 — di). Условие максимумов
будет записано в виде
2 (^2 — di) ^kX,
(3.5.10)
где di и ^2 — расстояния между отражающими поверхностями
пластин; k— порядок интерференции.
Оптическая схема интерферометра последовательного типа
(ИПТ) дана на рис. 3.5.11. Источник света / с помощью
конденсора 2 изображается на входном зрачке прибора 4. Входной
зрачок, как правило, представляет собой круглое отверстие
небольшого диаметра(2—4 мм). Далее объектив 5 формирует
параллельный пучок лучей, падающий на систему пластин —
зеркал 6, 7, 8. Объектив 9 дает изображение входной диафрагмы
в фокальной плоскости, где диафрагма 10 выделяет рабочую
группу лучей. Перед входной диафрагмой 4 помещается фильтр 3,
необходимый для монохроматизации излучения. Интерференци-
15S
■онную картину можно наблюдать глазом через выходную
диафрагму или фотографировать.
Трехзеркальные интерферометры последовательного типа
обладают еще одним полезным свойством. Они могут работать
как при равенстве расстояний между последовательно
расположенными пластинами, так и при кратности этих расстояний.
Рассмотрим случай кратных расстояний между пластинами
(рис. 3.5.12). Пусть d2^2di. В этом случае интерферировать
■будут лучи, которые в первом (ЛВ) и втором (ВС) плечах
пройдут близкие пути. При этом
Л В С разность хода будет равна
_-—^—-—'
_——-—^
di
^^^^--^^
6.2
A = 2(2rf,-rfj).
(3.5.11)
В общем случае при
^ кратности р разность хода
может быть записана в
следующем виде:
Рис. 3.5.12. Расположение пластин при
условии d2ld\ = 2
t!.=:^2{pd,—di).
(3.5.12)
В этих вариантах работы интерферометра целесообразно
поместить объект в короткое плечо интерферометра. Тогда луч
пересечет объект р раз, что повысит чувствительность
обнаружения малых неоднородностей объекта. Как и в случае равных
расстояний, здесь следует также создать соответствующие
наклоны пластин с тем, чтобы с помощью диафрагмы можно было
выделить нужную пару лучей.
Интерферометры сдвига. Для решения ряда важных
физических и технических задач необходимо создание
интерференционных приборов, обладающих большим рабочим полем. При
исследовании, например, газодинамических полей требуется
использование объектов, обладающих сечениями в 700—800 мм и
более. В этом отношении весьма эффективными оказываются
интерферометры, основанные на принципе сдвига волновых
фронтов интерферирующих лучей. Наиболее распространенные
интерферометры сдвига имеют компактный интерференционный
узел и сферическое зеркало большого диаметра, которое и
определяет величину рабочего поля. В этом случае собственно ин-
терферметр помещается вблизи центра кривизны этого зеркала
и представляет собой четырехзеркальную систему.
Отличительной особенностью интерферометров сдвига является отсутствие
изолированной ветви сравнения. Если сравнить интерферометры
сдвига с ранее рассматриваемыми интерферометрами, то в ряде
практически важных случаев они вполне могут конкурировать
с классическими интерферометрами из-за их хороших эксплуа-
156
тационных качеств — простоты юстировки, меньшей
чувствительности к вибрациям, однако в ряде случаев расшифровка
интерференционной картины затруднена.
Суш,ествуют различные варианты оптических схем
интерферометров сдвига. В этих оптических схемах различным образом
осуществляется сдвиг или смеш,ение интерферируюш,их
волновых фронтов.
Вначале рассмотрим принципиальную оптическую схему
интерферометра сдвига, которая была впервые предложена в
Рис. 3.5.13. Принципиальная схема
интерферометра сдвига
начале XX века (рис. 3.5.13). Светоделителем здесь является
плоскопараллельная пластинка /, установленная наклонно по
отношению к падающему лучу. Два пучка, образованные
отражением от первой и второй поверхностей пластины, пройдя
объектив 2, фокусируются на плоском зеркальце 3, отражаются от
него и вновь проходят систему в противоположном направлении,
возвращаясь к коллиматору 4. Таким образом, в фокальной
плоскости объектива 4 получаются два изображения апертуры
оптической системы, соответствующих отражению от первой и
второй поверхностей пластины /, которые оказываются
смещенными. В области их наложения можно наблюдать
интерференционные полосы, частоту которых можно менять, перемещая
зеркало 3 вдоль оптической оси объектива 2.
Интерферометры сдвига могут быть реализованы на базе
ряда известных интерференционных систем. Наиболее
распространенными являются приборы, построенные на принципе
рассмотренных ранее четырехзеркальных систем. Особенностью
таких интерферометров является то, что они имеют малые
размеры и располагаются вблизи фокуса вогнутого зеркала
большого диаметра. На рис. 3.5.14, а зеркала Mq и М2 являются
полупрозрачными, а Ml я Мз — полностью отражающими.
Длиннофокусное сферическое зеркало М располагается на большом
157
расстоянии от разделительной пластинки Мо. Вблизи зеркала
может быть расположен исследуемый объект.
Свет от источника / с помощью конденсора L проецируется
на входную диафрагму S и затем расходящимся пучком падает
на полупрозрачное плоское зеркало Р. Отражаясь от зеркала Р,
свет также расходящимся пучком падает на сферическое
зеркало М. Сходящийся пучок лучей, отраженный от сферического
зеркала, попадает на полупрозрачную пластину Мо и после раз-
Рис. 3.5.14. Оптическая схема
интерферометра сдвига на базе четырех-
зеркального интерферометра: а
—общая схема; б — интерференционный
узел
деления на два пучка проходит оптическую систему
интерферометра по двум направлениям: по часовой стрелке и против нее.
Интерферирующие лучи соединяются на пластинке М2 и
выходят в направлении стрелок, что показано на рис. 3.5.14, а.
Оптические длины путей интерферирующих лучей будут
близки, так как используется симметричная обратнокруговая
схем4. Предварительно оптическая схема юстируется таким
образом, чтобы два пучка лучей, которые образуются за счет
полупрозрачной пластины Мо, собирались в фокусе сферического-
зеркала О на поверхности зеркала М2. Это начальное
положение интерферометра будет соответствовать тому, что выходящие
из интерферометра два волновых фронта будут точно
налагаться друг на друга, и мы получим широкую полосу нулевого
порядка.
Сдвиг волновых фронтов двух интерферирующих лучей
возможен за счет поворота зеркала М2 вокруг вертикальной оси
(рис. 3.5.14,6).
Поворот зеркала М2 на угол 6 вызовет угловое смещение
фронтов волн на угол 26. Таким образом, наблюдаемая
интерференционная картина представляет собою результат взаимо-
158
действия двух совершенно одинаковых, но смещенных
относительно друг друга волновых фронтов. Смещение фронтов
получено за счет интерференционного узла Мо, Ми М.2, Мг.
Юстировка интерферометра сдвига осуществляется по общим
правилам юстировки четырехзеркальной системы (см. § 3.7).
Вначале добиваются совпадения двух пучков света, проходящих
интерференный узел. Это значит, что должны совпасть два
изображения щели S на поверхности в центре зеркала Мг. Теперь
интерферометр можно настроить на бесконечно широкую полосу
перемещением элемента светоделителя, так как юстировка
считается законченной при получении в поле зрения полосы
нулевого порядка. Для этого малыми юстировочными подвижками
зеркал М\ и Мъ (смещение волновых фронтов) и зеркала Мг
(сдвиг волновых фронтов) добиваются равномерного
интерференционного поля. Это будет означать, что прибор установлен
на нулевой сдвиг и нулевое смещение центра кривизны
волнового фронта. Далее зеркала интерферометра должны занять
рабочее положение.
Рассмотрим характеристики интерференционных полос.
В классических интерферометрах при введении объекта полосы
представляют собой семейство кривых вида
Г (л:, r/) = (ax: + Pr/) = const, (3.5.13)
где W{x,y) —деформированная волновая поверхность,
прошедшая объект; х, у — координаты в плоскости, сопряженной с
плоскостью наблюдения; а, fj — постоянные, характеризующие
настройку интерферометра.
В выражении (3.5.13) ах-\-^у соответствует плоской волне
сравнения, прошедшей ветвь интерферометра без объекта.
В интерферометрах сдвига полосы образуются из-за
наложения двух сдвинутых, но идентичных по форме и одинаково
измененных исследуемых объектов волновых фронтов. Уравнение
(3.5.13) полос тогда запишется следующим образом:
W{x,y) —W{x — S, у) = const, (3.5.14)
где S — величина сдвига, если ось абсцисс параллельна сдвигу.
В уравнении (3.5.14) волна {W(x — S, у) записана вместо
плоской волны в форме (3.5.13).
Задача обработки интерферограмм сводится к определению
функции W{x,y) или ее производной. Для интерферометров
сдвига непосредственно измеряемой величиной является
/S.W[x,y) — W{x,y) — W{x — S,y). Для определенности
интерпретации картины необходимо знать вид функции W{x,y) и
направление сдвига 5. В интерферометрах сдвига рабочая
разность хода получается за счет углового и соответственно
линейного сдвига фронтов (рис. 3.5.15). Угловая величина сдвига вол-
159
нового фронта со связана с линейной С через радиус кривизны
R большого сферического зеркала
0) = ^. (3.5.15)
Возникающая при этом разность хода между волновыми
фронтами различная и в разных направлениях расходящегося
пучка дает интерференционную картину. На рис. 3.5.16 схема-
/
Рис. 3.5.15. Поворот
волнового фронта
Рис. 3.5.16. Схематическое
представление образования
интерференционной полосы
тично показано образование интерференционной картины при
наличии сдвига. Волна / опережает по фазе волну 2.
Взаимодействуя, эти волны дадут результирующую картину, условно
построенную по точкам с учетом знака опережения (-[-) или
отставания (—) по фазе.
Угловая ширина полос, как и в случае полос равной
толщины, должна определяться линейным смещением волновых
фронтов. Учитывая (3.5.15), запишем
г = Х/С = Х1{сйЯ), (3.5.16)
где е — угловая ширина полосы.
Линейная ширина полос b определяется по формуле для
ширины полос равной толщины (3.3.1) и с учетом (3.5.16)
Ь = 11(й = Щ1С. (3.5.17)
Таким образом, ширина полосы зависит от линейной
величины смещения центров кривизны волновых фронтов.
Как всегда в интерференционных схемах полосы будут
иметь ориентировку, перпендикулярную плоскости, в которой
расположены лучи. В интерферометре сдвига целесообразно
интерференционные полосы настроить вдоль направления
сдвига, располагая щель перпендикулярно этому направлению.
160
Для определения наилучшего контраста картины следует
иметь механизм поворота щели S (рис. 3.5.14, а) вокруг
горизонтальной оси с тем, чтобы иметь возможность установить ее
перпендикулярно линии сдвига фронтов. В противном случае будет
иметь место изменение порядка интерференции вдоль щели.
При введении сдвига интерференционные полосы могут
наблюдаться в месте изображения двух выходных зрачков
интерферометра. Ширину входной щелк следует выбирать такой.
8иЗ с5оку
Рис. 3.5.17. Схема работы интерферометра Релея (а)\ б — двойная щель Dz
чтобы ее ширина была бы равна не более четверти ширины
полос, получаемых на зрачке, т. е. а ^ bjA и с учетом (3.5.17)
а</?А,/4С. (3.5.18)
Допустимая ширина щели в этом случае тем меньше, чем
больше линейный, а следовательно, и угловой сдвиг фронтов.
Кроме того, чувствительность измерений возрастает при
увеличении сдвига. Это требует уменьшения ширины входной щели
и, следовательно, светосила прибора окажется меньшей.
Интерферометр Релея, построенный на принципе деления
фронта падающей волны. К числу таких интерференционных
систем относятся щелевые или ступенчатые устройства, которые
строятся на принципе деления падающего параллельного
фронта волны по площади: часть фронта проходит через прозрачные
участки, а другая — не проходит. Примером таких систем
является двухщелевая схема Юнга, о которой речь шла при
рассмотрении общей теории интерференции и при изучении явления
интерференции трех лучей. Здесь рассмотрим двухлучевой
интерферометр Релея (схема Юнга), используемый для измерений
показателей преломления газов и жидкостей. На рис. 3.5.17, а
изображена оптическая схема такого интерферометра. Парал-
11 Зак. № 167
161
лельный пучок лучей формируется коллиматором К, состоящим
из диафрагмы D\ и линзы 0\. Лучи дифрагируют на двойной
щели D2 [деление фронта волны (рис. 3.5.17,6)], и в фокальной
плоскости объектива 0^ наблюдается интерференционная
картина. В поле зрения окуляра Оз экспериментатор будет видеть
интерференционные полосы.
Закон распределения интенсивности определяется общей
формулой (3.4.23) при дифракции плоской волны на щелях
решетки. При числе щелей N ^ 2 получим выражение из
следующих ниже рассуждений.
а) </',=А/а
£=A/t£
Рис. 3.5.18. Положение дифракционных и
интерференционных максимумов
^ Обратимся к выражению (3.4.23) и учтем, что наблюдается
дифракция на каждой из щелей, имеющей ширину а.
Дифракционный множитель имеет следующую структуру: s'm^'x/x^, где
X ^ па sin фД. Тогда полное выражение для распределения
интенсивности в фокальной плоскости объектива О2 будет
:/0COS^("^f Ф
2 1 па sm ф
X
ла sin ф
X
(3.5.19)
где /о — интенсивность недифрагированного света (ф ^ 0); d —
расстояние между щелями в диафрагме D2 (рис. 3.5.17,6); а —
ширина каждой из щелей; ф — угол дифракции.
В формуле (3.5.19) второй косинусный множитель отражает
интерференционное взаимодействие пучков. Третий множитель
формулы дает результат дифракции на каждой отдельной щели.
Оба дифракционных контура от первой и второй щелей
совпадают и поэтому результирующая картина представляет
интерференционные полосы, заключенные между левым и правым
первыми минимумами дифракционного контура (рис. 3.5.18, о).
Положение максимумов и минимумов функции (3.5.19)
определится следующим образом. Минимумы при дифракции от
162
щели шириной а получаются при значениях углов ф,
удовлетворяющих равенствам:
. (па sin Ф \ п • / ^о,Ч> \ (Л
зш ——-t =0 иля sin 1—^1 = 0, т. е. при
паср/Х ^ кл, где k^l, 2, ... ; а — ширина щели. Нас будут
интересовать только первые минимумы слева и справа от
центрального максимума, которые наблюдаются в направлении
углов дифракции ф1 = ±%/а. Угловая величина 2ф1 = 2%/а
определяет область наблюдения интерференционной картины
(рис. 3.5.18, а, б). Интерференционные минимумы получатся при
Рис. 3.5.19. Вид интерференционной
картины в поле зрения
анализе второго множителя формулы (рис. 3.5.19) при условии
со8(яйф/А,) ^ О, т. е. для углов ф, равных ф ^ (2fe + 1) A,/2d.
При fe ^ О, 1, 2, ... углы ф соответственно равны 'kl2d; 3Kl2d;
5X/2d. Здесь рассмотрен случай, когда d/a = 3. При других
соотношениях в поле зрения будет наблюдаться другое число
максимумов (см. гл. 5).
Угловая ширина интерференционных полос равна
e = 9fe + .-9fe = (V2rf){[2(fe+l)+l]-(2fe + l)},
т. е. е ^ X/d.
В действительности в интерферометре Релея (см. рис. 3.5.17)
поле зрения конструктивно разделено на две части: верхнюю и
нижнюю. Увеличению яркости картины способствует
применение цилиндрического окуляра Оз. Распределение интенсивности
в верхней части интерференционного поля соответствует
действию системы, в которой исследуемый объект отсутствует, а
в нижней части поля распределение интенсивности соответствует
действию объекта, помещенного перед двойной щелью. Таким
образом, получаются две системы полос. Положение полос
в нижней части интерференционного поля зависит от разности
хода, вносимой объектом.
Для измерения разности хода служит компенсатор,
состоящий из двух одинаковых плоскопараллельных пластинок Р\ и
Рг. Пластинка Pi — неподвижна, пластинка Рг может
поворачиваться с помощью микрометренного винта М. При этом в
нижнюю часть интерферометра вводится добавочная разность хода,,
которая компенсирует разность хода вводимую объектом. При
введении объекта нижняя система полос смещается
относительно верхней (рис. 3.5.19).
и* 163
в результате верхняя система полос относительно нижней
является как бы неподвижным индексом. По смещению полос
судят о внесенной объектом разности хода, которая отсчиты-
вается по шкале микрометренного винта.
Принцип работы микроинтерферометра Линника.
Микроинтерферометр Линника представляет собой сочетание
интерферометра и микроскопа. Он предназначен для измерения высоты
Рис. 3.5.20. Принципиальная схема
микроинтерферометра Линника
микронеровностей или следов обработки на металлических и
других поверхностях высокого класса чистоты.
Рассмотрим принцип действия микроинтерферометра на
основе принципиальной схемы, изображенной на рис. 3.5.20.
Здесь исследуемый объект Si в виде зеркала и эталонное
зеркало S2 помещены в фокальных плоскостях
микрообъективов 0[ и Ог. В этом случае изображение объекта и зеркала
получаются в фокальной плоскости зрительной трубы Т.
Зеркала Si и S2 перпендикулярны оптической оси, оптические
длины обеих ветвей интерферометра одинаковы. При таком
расположении элементов в интерферометре разность хода
между любой парой соответственных лучей равна нулю, и
в поле зрения наблюдается бесконечно широкая полоса равного
наклона нулевого порядка. Если теперь переместить зеркало Si
или ^2 вдоль оптической оси, то один из интерферирующих
волновых фронтов станет сферическим.
В этом случае в поле зрения интерферометра будут
наблюдаться кольца равной толщины (типа колец Ньютона),
центрированные относительно оптической оси (рис. 3.5.20, а). Однако
164
кольцеобразная форма интерференционных полос совершенно
непригодна для измерения высоты микронеровностей. Чтобы
получить удобные для измерения прямолинейные
интерференционные полосы, надо в этот симметричный ход лучей внести
несимметричность, которая бы не оказывала влияния на
качество изображения. Это достигается перемещением
микрообъектива Ог перпендикулярно оптической оси. Перемещения не ока-
Рис. 3.5.21. Ход лучей при смещенном объективе
;зывают никакого влияния на качество изображения, так как
между микрообъективом и зрительной трубой имеется
параллельный ход лучей.
Не изменится также длина хода лучей, параллельных
оптической оси. Однако длина хода лучей в наклонных пучках
изменится, и между двумя соответствующими наклонными лучами
возникает некоторая разность хода, величина которой будет
зависеть от угла наклона этих лучей и величины смещения
микрообъектива Ог (рис. 3.5.20,6).
Рассмотрим подробно действие перемещения
микрообъектива перпендикулярно оптической оси прибора (рис. 3.5.21).
Для получения прямолинейных полос равного наклона
необходимо сначала интерферометр отъюстировать так, чтобы
разность хода в интерферометре для всех лучей была равна нулю
и в поле зрения наблюдалась бы бесконечно широкая полоса
нулевого порядка. Ход лучей в таком интерферометре
изображен сплошными линиями на рис. 3.5.21.
Рассмотрим лучи, идущие под углом ф к оси до смещения
микрообъектива Ог. Из рисунка следует, что после разделения
165
лучи /i и /г сходятся снова на делителе М и никакой разности
хода между ними не возникает. Штриховая линия показывает
ход луча /г при смещенном положении микрообъектива Ог на
величину d. В этом случае лучи /ь отраженные зеркалом S\, и
лучи /г, отраженные зеркалом 5о, после делителя М идут
параллельно друг другу на расстоянии 2d. Они сходятся в
фокальной плоскости объектива зрительной трубы Т [см. рис. (3.5.20)],.
где и интерферируют. Так как фронт волны наклонен к оси
зрительной трубы на угол ф, то разность хода между этими
двумя лучами равна
А = 2d sin ф. (3.5.20)
Как следует из (3.5.20), разность хода зависит от величины
смещения микрообъектива d и угла наклона лучей ф. Когда
микрообъектив не смещен по отношению к оси, т. е. d^ О,
разность хода равна нулю. При постоянном смещении d ^ const
разность хода лучей зависит только от угла падения ф и,
значит, наблюдаемые полосы есть полосы равного наклона.
Разность хода возникает только в плоскости смещения
микрообъектива, поэтому в поле зрения наблюдаются прямолинейные
интерференционные полосы, ориентированные перпендикулярно
направлению смещения микрообъектива. Интерференционные
полосы образуются в бесконечности, угловой размер
интерференционной полосы е = }./2d.
В поле зрения зрительной трубы Т (см. рис. 3.5.20) с углом
зрения 2а наблюдается число полос N = 2а/е. Учитывая, что
2а ^D/f, где D — диаметр поля зрения и / — фокусное
расстояние объектива зрительной трубы, получим для числа полос
выражение
N = 2dD/Xf. (3.5.21)
Из формулы (3.5.21) следует, что число полос зависит от
величины смещения d микрообъектива и увеличивается с
увеличением смещения. Изменяя направление смещения
микрообъектива Ог (рис. 3.5.21), можно поворачивать
интерференционные полосы в желаемом направлении. В микроинтерферометре
можно наблюдать интерференционную картину и в белом, и
в монохроматическом свете.
В отъюстированном интерферометре наблюдается
одновременно интерференционная картина и поверхность исследуемого
объекта.-Если на исследуемой поверхности имеется бугор или
впадина, то в этом месте разность хода меняется и,
следовательно, интерференционные полосы смещаются. При
интерференционных измерениях смещение полосы обычно измеряется
в долях интервала между полосами. Очевидно, что смещение
полос, равное одному интервалу, происходит при изменении
разности хода на одну длину волны. Обозначим глубину
впадины через Я. Тогда разность хода Ая, вызванная наличием.
166
впадины, будет равна Ая = 2Я. Она дает смещение
интерференционных полос на р долей интервала. При наблюдении
в монохроматическом свете Ая = рА,. Очевидно, что глубина
впадин Н определится следующим образом:
Н = Р^.
Обычно визуально можно оценить величину искривления
интерференционных полос, составляющих приблизительно 0,1
интервала между ними (р^ОД). В этом случае наименьшая
высота неровности, которая может быть измерена, равна
Ятш = 0,05А,.
В этом параграфе мы рассмотрели основные принципы
работы интерферометров, построенный на различных принципах
деления первичных лучей. Здесь не описаны
интерференционные системы, в которых используется поляризационный
принцип деления падающего пучка. Этот вопрос рассмотрен в гл. 5,
касающейся применения поляризационных устройств.
§ 3.6. Техника интерферометрии
В этом параграфе будут рассматриваться вопросы настройки
наиболее распространенных интерференционных систем,
некоторые технологические особенности изготовления этих систем
и методы измерения разности хода.
Несмотря на то что оптические элементы и механические
узлы интерференционных приборов изготовлены с весьма
высокой степенью точности, после сборки прибора требуется
тщательная юстировка в соответствии с определенными правилами.
Принципы методики юстировки. Они являются общими для
любого типа интерференционной системы. Наиболее общим
случаем является четырехзеркальная система, построенная на базе
эллипса (см. § 3.5).
Конечная цель юстировки интерференционного прибора
заключается в получении в заданой части пространства интер-
■ференционной картины с определенной формой, шириной и
направлением полос максимальной яркости и максимального
контраста. Это можно осуществить после приведения системы зеркал
в начальное (исходное) положение. Тогда будет наблюдаться
бесконечно широкая интерференционная полоса нулевого
порядка.
Начальное положение интерферометра может быть получено
в том случае, если основные элементы интерферометра
расположены в соответствии с геометрическими правилами
построения данной интерференционной схемы.
Устраняя методом последовательного приближения
отклонения от правильного положения элементов, можно достигнуть
идеального исходного положения интерферометра и после этого
167
прийти к конечной цели юстировки — к получению
интерференционной картины, удовлетворяющей заданным требованиям.
Рассмотрим принципы юстировки четырехзеркальных
систем.
Опишем общие принципы и приемы всех юстировочных
операций, не привязывая их к какой-либо конкретной схеме четы-
рехзеркального интерферометра. Юстировку интерферометра
можно разбить на три последовательных этапа:
предварительная установка элементов, геометрическая юстировка,
окончательная юстировка.
Предварительная установка элементов — первая и
достаточно грубая операция. Она заключается в расстановке
элементов интерферометра в исходное геометрическое положение
в соответствии с расчетными данными. В общем случае зеркала
интерферометра располагаются в приборе в вершинах
прямоугольника или параллелограмма.
В результате проведенных юстировочных операций на
выходе имеем два пучка, совмещенных друг с другом и имеющих
одинаковое направление. Контроль ведется с помощью
наблюдения проекции параллельных пучков на экране,
расположенном после делительной пластины.
Отклонение положения элементов прибора от номинала
будет соответствовать в линейной мере 2^4 мм.
Геометрическая юстировка является вторым этапом, который
уточняет положение элементов интерферометра и обеспечивает
возможность наблюдения интерференционной картины.
Для того чтобы приблизить установку зеркал
интерферометра к точному положению, заданному оптической схемой,
необходимо применить юстировочные приспособления. После
предварительной юстировки выходящие из интерферометра
лучи могут образовать некоторый остаточный угол. Кроме того,,
лучи могут иметь некоторое линейное смещение и поэтому
некоторую остаточную разность хода.
После этого этапа юстировки должна появиться интреферен-
ционная картина при освещении прибора монохроматическим
светом. Однако положение элементов интерферометра еще не
будет соответствовать окончательной стадии юстировки. Вполне
качественную интерференционную картину необходимо
получить в белом свете или добиться бесконечно широкой полосы
нулевого порядка в монохроматическом свете.
Интерференционная картина, наблюдаемая после окончания
второго этапа юстировки, свидетельствует только о том, что
прибор находится в рабочем положении, но, как правило, имеет
место отклонение положения элементов интерферометра от
идеального. О величине этих отклонений можно судить по
форме, ширине и расположению интерференционных полос.
Окончательная юстировка проводится, чтобы максимально
приблизить все элементы интерферометра к начальному поло-
168
жению. После этого может быть выполнена установка
элементов интерферометра для наблюдения заданной
интерференционной картины, обладающей максимальными контрастом и
яркостью.
Описанная ниже юстировка четырехзеркального
интерферометра обеспечивает начальное положение зеркал, которое
затем стремятся приблизить к основному геометрическому поло-
л^ению зеркал в идеальном интерферометре, чтобы получить
высокую контрастность или цветовую насыщенность
интерференционных полос при использовании монохроматического или
белого света соответственно. Поскольку в процессе юстировки
экспериментатор наблюдает интерференционные картины
различного вида, то целесообразно предварительно пояснить
механизм их возникновения при различном расположении зеркал.
Начальное положение зеркал в общем
случае. Интерференционное поле. Полоса
бесконечной ширины нулевого порядка. При начальном
положении зеркал интерферирующие плоские волновые фронты
измерительного (объектного) и сравнительного пучков
идентичны. Интенсивность излучения по сечению пучка постоянна
{максимальна), так как волновые фронты полностью
накладываются друг на друга с нулевой разностью хода.
При использовании белого света поле зрения имеет
однородный белый цвет, поскольку оптические длины световых
путей точно выравнены для всех длин волн (А^О). В
дальнейшем такое поле будем называть интерференционной полосой
бесконечной ширины нулевого порядка.
Объектив Lz (рис. 3.6.1, а, б) дает изображение плоскости
im — tm И плоскости tr — tr В ПЛОСКОСТИ ti — ti. ПЛОСКОСТЬ
im — tm — ЭТО ПЛОСКОСТЬ, В которой располэгается объект
исследования, плоскость tr — tr — референтная плоскость в пучке
■сравнения, а плоскость /, — ti — плоскость изображения.
Интерференционная картина образуется именно в плоскости
ti — ti — в поле интерференции — и представляет собой
результат интерференции объектного и сравнительного волновых
фронтов. Начальное положение зеркал является частным
случаем произвольного расположения четырех зеркал
относительно друг друга. Смещение зеркал из начального положения
вызывает появление некоторых разностей оптических путей,
изменяющихся по полю, которые складываются с разностями
оптических путей, вводимыми объектом.
Полоса бесконечной ширины со сдвигом
фазы. При смещении делителя светового пучка Мг на
величины А/, например, по нормали к его плоскости уменьшается
длина пути измерительного пучка и настолько же увеличивается
длина пути сравнительного пучка (рис. 3.6.1,а). При этом
плоскости tm — tm И tr — tr смещаются параллельно друг другу и
в плоскости изображения ti — ti возникает изменение интенсив-
169
ности, а при вариации А/ возникают сменяющие друг друга
темные и светлые полосы бесконечной ширины. Если
измерительный и референтный пучки одинаковы по интенсивности, то при
возникновении разности оптических путей А,/2 в результате ин-
Рис. 3.6.1. Принципиальная схема расположения элементов при юстировке
интерферометра: а—при смещении делителя пучков уИ2 ; б—при повороте
зеркала Mj
терференции происходит полное затемнение поля
интерференции. Максимальную интенсивность (дополнительную
интерференционную картину) можно наблюдать при помощи второго
объектива, изображенного на рис. 3.6.1, а штриховыми линиями.
Это можно использовать в юстировочных целях для получения
точной настройки на полосу бесконечной ширины, наблюдав
поле зрения как через один, так и через другой объектив. Если
используется источник белого света, то -при смещении
разделителя пучка М2 образуются полосы бесконечной ширины
с однородной сменяющейся окраской. Последнее объясняется
170
тем, что при любом смещении А/ относительно основного
геометрического положения зеркал часть спектра оказывается
погашенной в результате интерференции. Остальные спектральные
компоненты дают наблюдаемый цвет (рис. 3.6.2,а). При
смещениях А/> (1-^4) А, происходит периодическая смена
окраски, причем при наблюдении через основной и вспомогательный
белая
ахроматическая
полоса
Черный Коричневый Красный Фиоле- ГопуЕой'йЪ
тоВьш
к=-1
h=-0,5
ЬТк=0
0 1 2 5/ V 5 6
О
1 2 д 4 5 6
Рис. 3.6.2. Формирование интерференционной картины: а —
образование однородно окрашенной полосы бесконечной ширины со
сдвигом фазы при использовании источника белого света; б —
интерференционное поле в интерферометре при повороте зеркала М j на
угол ф; в — интерференционная картина в интерферометре при
повороте зеркала М-^ на угол ф и смещении зеркала Mj на
расстояние Д/
объективы наблюдаются дополнительные цвета. При больших
смещениях дополнительные цвета пропадают в поле
интерференции и через оба объектива наблюдается «белый свет
высокого порядка». Если такой свет направить в спектральный
прибор, то спектр оказывается пересеченным темными и светлыми
лолосами равного хроматического порядка, перпендикулярными
направлению разложения света в спектр. При использовании
«белого» света от спектральной, например, ртутной лампы без
фильтра, состоящего из дискретных спектральных линий,
наблюдаемая последовательность окраски поля интерференции
периодически повторяется соответственно спектральным
компонентам, но с уменьшающимся контрастом.
Полосы равного хроматического порядка также могут быть
использованы для контроля результатов юстировки. По виду и
171
расположению этих полос в спектре можно судить о том,
какие волновые фронты интерферируют и с какой разностью
хода.
Например, если полосы расположены часто, то разность
хода велика. Если к тому же они не перпендикулярны
направлению дисперсии, то интерферирующие волновые фронты не
параллельны.
В настоящее время для юстировки интерферометров широко
используются лазерные источники света вместо газоразрядных,
излучающих ряд спектральных линий. Излучение лазера
обладает высокой пространственной и временной когерентностью и
большой интенсивностью. С одной стороны, это облегчает
получение интерференционной картины, но с другой затрудняет
установку зеркал интерферометра в начальное положение..
Кроме того, высокая когерентность приводит к появлению
побочных интерференционных картин от нерабочих поверхностей
в интерферометре, которые накладываются на основную и
затрудняют интерпретацию результатов юстировки. Необходимо
учитывать также значительную неравномерность излучения
лазера по сечению пучка, а также возможность появления
пятнистой структуры, обусловленные высокой пространственной и
временной когерентностью лазерного излучения.
Пятнистая структура затрудняет наблюдение
интерференционной картины и оценку ее качества. Можно принять
соответствующие меры для улучшения структуры пучка, но это, как:
правило, приводит к существенному уменьшению его
интенсивности.
Интерференционные полосы конечной
ширины. Мнимый клин. На рис. 3.6.1, б зеркало М,
изображено повернутым на угол ф относительно основного положения.
Ось вращения, отмеченная точкой, является одновременно
ребром двойного клина, образованного плоскостью повернутого-
зеркала и плоскостью его первоначального положения.
Волновые фронты пучка сравнения отклоняются на угол 2ф
относительно первоначального направления tr — tr (штриховые
линии) . Эти волновые фронты взаимодействуют с волновыми
фронтами измерительного пучка в плоскости tm—tm- В этом
случае образуются интерференционные полосы, параллельные
оси вращения зеркала.
Оси вращения соответствуют нулевая разность хода и
интерференционная полоса нулевого порядка. При использовании
же белого света полосы, соответствующие не нулевой разности
хода, окрашены в последовательности, соответствующей
цветовой шкале Ньютона, т. е. аналогично последовательности
изменения цветов в случае полосы бесконечной ширины при
увеличении сдвига фазы, поскольку разность оптических путей
в клине возрастает при удалении от ребра клина — оси
вращения. Формирование цветных полос иллюстрируется рис. 3.6.2, а.
172
На рис. 3.6.2,6 представлено расположение интерференцион-
ных полос при повороте зеркала Mi на угол ф, когда ребро
мнимого клина С расположено в центре поля зрения.
На рис. 3.6.2, в показаны полосы в интерференционной
картине, возникающие при повороте зеркала Му на угол ф и при
дополнительном смещении зеркала Мг на величину А/.
Ребро С мнимого клина в этом случае не расположено
в центре поля зрения, а смещено в поперечном направлении
на величину Ау ^ г А1 ^ 2ц) А1 и может находиться далеко за
пределами поля зрения. При использовании источника белого
света положению оси С соответствует ахроматическая полоса
с симметричным расположением около нее цветными полосами.
Положение ахроматической полосы в поле зрения может
изменяться при помощи механизма перемещения зеркала Мг-
Плоскость (поверхность) локализации интерференционной
картины, соответствующая, как было показано ранее,
поверхности пересечения соответственных лучей, находится вблизи
ребра мнимого клина С. Если соотношение сторон
параллелограмма зеркал интерферометра сделать равным 2:1, то при
настройке зеркалом Mi плоскость локализации занимает
оптимальное расположение посередине между зеркалами Мг и Мг-
Приемы наладки и юстировки интерферометра нагляднее
всего конкретно рассмотреть на примерах интерферометров
Цендера-Маха и Майкельсона.
Методика юстировки интерферометра Цендера-Маха.
Последовательность юстировочных операций, приводящая к
правильному положению зеркал, будет ясна, если учесть изложенные
выше правила юстировки.
На рис. 3.6.3 оптические оси представляют собой
центральные лучи параллельных пучков. Зеркала Рь Рг, Рг можно
поворачивать (углы поворота ф/) и наклонять (углы наклона i|}/).
Зеркало Рг служит для выравнивания длин хода лучей,
поэтому его положение может быть регулируемым только вдоль
оптической оси.
Изложим последовательно этапы юстировки. На первом
этапе четыре зеркала устанавливаются в углах параллелограмма
и освещаются параллельным пучком света (рис. 3.6.3,а).
Расстояния между зеркалами 2а и а должны быть выдержаны
с точностью ±1 мм, с учетом когерентности источника света.
Очевидно, что лучи в измерительной и сравнительной
ветвях интерферометра только приблизительно параллельны: они
пересекаются после зеркала Рг под некоторым произвольным
углом, а соответствующие им волновые фронты, приходящие от
светоделителя Рг, смещены относительно друг друга. Большое
угловое расхождение устраняется при помощи
вспомогательного зеркала М, установленного после Рг. Это зеркало отра-
173
жает оба параллельных пучка обратно в сторону источника
света L. После вторичного разделения двух параллельных
пучков на зеркале Рг образуется четыре пучка. Поэтому объектив
0\ дает четыре изображения источника света L в фокальной
^■2
О''
О' ^
ф
L,. L2
^-^
белый свет
Монохроматический
едет
Рис. 3.6.3. Этапы юстировки интерферометра Цендера-
Маха
плоскости — Lx, L2 и Lz- Однако в плоскости источника света
наблюдается только три изображения, поскольку два из
четырех совпадают даже при полностью разрегулированных зеркалах.
Поворачивая зеркала Pi и Рг и наклоняя их, т. е. изменяя углы
<р и г|}, эти изображения (рис. 3.6.3, а) можно совместить вблизи
источника света. Уменьшение диафрагмы L облегчает эту
операцию. Вспомогательное зеркало М позволяет также
отрегулировать параллельность светового пучка путем изменения
расстояния между объективом 0\ и источником света L, чтобы
получить четкие изображения диафрагмы в фокальной
плоскости. На втором этапе вместо вспомогательного зеркала М на
оптической оси устанавливается телескопическая трубка Т, по-
174
зволяющая наблюдать источник света L с некоторым
увеличением (рис. 3.6.3,6).
Регулируя зеркала Рг и Pi, точно совмещают изображения
источника света Li и L^, соответствующие измерительной и
сравнительной ветвям интерферометра. Обычно изображение
источника света пересекается густой сетью интерференционных
полос, контраст и ширину которых стремятся увеличить.
Оценивая цветовой контраст при освещении ртутной лампой (без
фильтра), можно определить, насколько точно реализовано
начальное положение зеркал. Если интерференционных полос не
видно, то необходимо проверить расстояние 2а и а. Положение
обычно исправляется путем необходимого смещения зеркала Рг-
Теперь между источниками света L и объективом Oj
устанавливается линза Ог для того, чтобы одно действительное
изображение источника света L\ получалось в плоскости t — /,
а второе La — около Pi (рис. 3.6.3, s). Телескопическая труба Г
фокусируется на эти изображения, которые затем совмещают
соответствующей регулировкой зеркал Рг, Р ь Наблюдение Li
и La на бесконечности и соответствующая регулировка (как
описано в первом этапе), а затем в плоскости t—t (второй
этап) повторяются до тех пор, пока Li и L^ не совпадут
в обоих случаях. Изображение при этом будет пересечено
широкими интерференционными полосами с высоким контрастом.
Таким образом, регулировка наклона зеркал почти закончена.
Окончательная юстировка заключается в уравнивании
расстояний длин обеих ветвей. Диффузное стекло D
устанавливается перед объективом 0\ (рис. 3.6.3,г). Одна его половина
освещается ртутной лампой L', а вторая — рассеянным белым
светом приблизительно такой же интенсивности L. При этом
интерференционные полосы, как правило, наблюдаются в поле
1, освещенном ртутной лампой. Вертикальную ориентировку
полос и расстояние между ними можно отрегулировать при
помощи зеркал Ра и Р\. Смещение зеркала Ра приводит к
перемещению полос в поле зрения. Если зеркало Рг смещается
в правильном направлении (определенном эмпирически),
контраст полос в области, освещенной ртутной лампой,
увеличивается, а в поле 2, освещенном белым светом, появляется так
называемая ахроматическая (белая) полоса, по обе стороны
которой наблюдается несколько цветных полос. На этом
заканчивается процесс юстировки.
Методика юстировки интерферометра Майкельсона.
Оптическая схема интерферометра представлена на рис. 3.6.4.
Диафрагма 5 (входной зрачок), расположенная в фокальной
плоскости объектива, освещается ртутной лампой.
Из коллиматора 1 выходит пучок параллельных лучей.
Задняя поверхность пластинки 3 является полупрозрачной и делит
пучок на две части равной интенсивности: первая часть после
175
отражения от зеркала 2 вновь проходит разделительную
пластинку 3 и поступает в выходной коллиматор 6; вторая часть
проходит компенсационную пластинку 4, отражается зеркалом
5, снова проходит пластинку 4 и после отражения от
полупрозрачной разделительной пластинки 3 также поступает в
коллиматор 6. Для того чтобы длина хода лучей в стекле была
Г////////////.
\
Т
7
Рис. 3.6.4. Оптическая схема интерферометра Майкельсона
В обеих ветвях одинакова, разделительная пластинка 3 и
компенсационная пластинка 4 должны иметь строго одинаковую
толщину. Для полной гарантии эти пластинки изготовляются
разрезанием одной плоскопараллельной пластинки на две части.
Для выравнивания длин хода лучей в воздухе зеркало 2
имеет микрометренное перемещение вдоль оптической оси.
Пластинки 3 VI 4 устанавливаются строго параллельно друг другу,
что достигается соответствующей юстировкой.
Как ясно из предыдущего, интерференционные картины,
которые наблюдаются в интерферометре Майкельсона, можно
рассматривать как результат интерференции в некоторой
эквивалентной воздушной пластине. Она образуется между
зеркалом 2 и изображением зеркала 5 в делителе 3 и может быть
ллоскопараллельной или клиновидной. Поэтому в
интерферометре могут наблюдаться как полосы равного наклона, так и
полосы равной толщины в толстых и тонких пластинах.
176
Опишем последовательно приемы юстировки этого прибора.
Начнем с геометрической юстировки. Вначале следует
установить ось осветительного коллиматора 1 перпендикулярно
плоскости зеркала 5. Это легко осуществляется с помощью
автоколлимационной трубы и при регулировке наклона зеркала 5.
Далее таким же образом устанавливается ось второго
коллиматора 6 и зеркала 2. После этого можно определить правиль-,
ное положение пластины 3 путем ее поворотов вокруг
вертикальной оси и совмещения при этом двух изображений
входной диафрагмы 5 в фокальной плоскости 6. После этого этапа
юстировки при использовании монохроматического источника
и малом размере диафрагмы 5 можно наблюдать полосы
равной толщины, локализованные на зеркале 2, 5. Ввиду наличия
остаточной разности хода они в белом свете не наблюдаются.
Для выравнивания длин ветвей интерферометра с целью
получения нулевой разности хода используют кольца равного
наклона на этапе окончательной юстировки.
Для получения полос равного наклона с помощью тонких
юстировочных подвижек зеркала 2 (или 5) надо расширить
полосы равной толщины до получения в поле зрения
бесконечно широкой полосы. При этом поле интерференции должно
стать равномерно освещенным. Тогда в фокальной плоскости
коллиматора 6 с помощью окуляра О можно наблюдать кольца
равного наклона (при полностью раскрытой диафрагме).
Если прибор настроен на полосы равного наклона, то при
освещении монохроматическим светом следует малыми
перемещениями зеркала 2 добиться уменьшения числа
интерференционных колец. Когда разность хода будет близка к нулю,
центральное кольцо займет почти все поле интерференции. Вблизи
этого положения зеркала 2 и следует искать картину в белом
свете.
Правильное направление движения зеркала 2, приводящее
к уменьшению разности хода, можно определить из следующих
■соображений. В картине колец равного наклона периферийные
кольца имеют меньшую разность хода, чем центральные.
Поэтому при уменьшении разности хода кольца будут стягиваться
к центру.
Для наблюдения полос равного наклона или полос равной
толщины с наибольшим контрастом следует добиться
появления интерференционной картины в белом свете. Это и понятно.
Белый свет соответствует широкому интервалу АЛ, и,
следовательно, интерференционную картину можно наблюдать только
в низких порядках, т. е. при наименьшей разности хода. После
получения интерференционной картины в белом свете можно
настроить интерферометр на полосы равной толщины с
помощью юстировочных подвижек, поворачивающих зеркала 2
или 5. Юстировка интерферометра Майкельсона окончена, если
получена интерференционная картина высокого качества.
12 За к. № 167 177
Методы измерения разности хода. Целью любого
интерференционного эксперимента является определение разности хода
(разности фаз), возникшей при введении в интерферометр
объекта исследования или в результате изменения положения
элементов интерферометра.
Все методы измерения разности хода можно разделить на
две группы: методы счета полос и методы компенсации. Эти
методы можно реализовать как при визуальном наблюдении,
так и при фотоэлектрической регистрации. В ряде случаев
интерференционная картина может быть зарегистрирована
фотографически.
Р
Рис. 3.6.5. Вид интерференционной
картины
Метод счета полос или их долей часто используется для
оценки искажений в интерференционной картине. Так,
например, если в результате введения объекта интерференционная
картина приобрела вид, представленный на рис. 3.6.5, то в этом
случае разность хода в центре интерференционной картины
соответствует трем полосам (расстояние Р). Метод счета
полос применяют также в тех случаях, когда изменения
интерференционной картины достаточно плавные. При этом разность
хода в линейной мере оценивают произведением длины волны
на число интерференционных полос, прошедших в поле зрения
между начальным и конечным состоянием элементов
интерферометра или состоянием объекта.
В методе счета интерференционных полос в основном
используются полосы равной толщины. При этом производятся
измерения изменений разности хода, а не разности хода.
Разность хода легче измерить при использовании полос равного
наклона и равного хроматического порядка.
Рассмотрим эти приемы. Пусть в интерферометре при
наблюдении полос равного наклона создана разность хода,
равная До. Пусть зависимость разности хода от угла падения
лучей а на интерферометр дается соотношением Дц = До cos а или
в приближении для малых углов
Д, = До-До^. (3.6.1)
Учитывая, что для максимумов и соответственно для
минимумов в интерференционной картине выполняются
соотношения Aa = kX и Да = (ft +-о)'^ (^ — целое число), для опреде-
178
ления величины До можно использовать зависимость k^f{a^),
которая в соответствии с (3.6.1) является линейной. По тангенсу
угла наклона прямой линии в координатах k, аР- определяется
разность хода До.
Метод полос равного хроматического порядка (спектроин-
терференционный метод) основан на изучении характера
спектрального пропускания интерферометра в зависимости от
разности хода До. Известно, что положение полос равного
хроматического порядка в спектре дается соотношениями До ^ йЛ и
А ^ До/А, ^ Доа. Построив линейную зависимость k^f(a),
вычисляют тангенс угла наклона Дй/Дст и определяют таким
образом разность хода, так как До = dk/do.
Одним из вариантов использования полос равного
хроматического порядка является метод, в котором применяется шкала
интерференционных цветов (табл. 2). При этом обычно
измеряются небольшие разности хода. Табл. 2 составлена при
использовании в интерферометре источника типа С (Тс^ 6500 К,
дневной свет).
Для этой цели наблюдают интерференционную картину
в белом свете. Уравнение интерференции запишем в виде
/^/„(1 -\- cos 2ла Д) ^/о (1 + соз2лД/А,).
Из него следует, что те длины волн, для которых
выполняются условия максимума Д = k%, будут пропущены
интерферометром, а длины волн, для которых Д^(й + "2")^' будут
погашены. Промежуточные области будут ослаблены в разной
степени. В результате наблюдаем различную окраску
интерференционного поля при изменении разности хода. При этом
двета будут повторяться в зависимости от Д, при изменении
разности хода на одну длину волны цвет повторяется.
Распределение цветов (табл. 2) подобрано так, что изменению
порядка на единицу соответствует изменение разности хода на
А ^551 нм. Первый порядок цветов занимает, следовательно,
область от разности хода, равной нулю, до разности хода
551 нм, второй порядок — от 551 нм до 1102 нм и т. д.
Как следует из таблицы, окраска поля зрения периодически
повторяется с периодом, равным одному порядку. В связи
с этим при измерениях разности хода возникает
неопределенность, т. е. разность хода может быть оценена с точностью до
порядка. Поэтому описанным методом измеряется разность
хода, как правило, меньше одной длины волны.
Однако в интерференционной системе часто имеется
возможность преодолеть этот недостаток, используя
дополнительные цвета. Дело в том, что каждый интерферометр имеет два
выхода, интерференционные картины в которых по цвету
являются дополнительными (см. рис. 3.6.1). Так, например, если
цвет поля зрения в одном выходе светло-зеленый, а в другом —
карминовый, то согласно табл. 2 разность хода равна 1811 нм
12* 179
Таблица 2
Интерференционные цвета в дневном свете в зависимости от разности хода
Порядок
1
2
3
Разность
хода, мкм
0
40
97
158
218
234
259
267
275
281
306
332
430
505
536
551
565
575
589
664
728
747
826
843
866
910
948
998
1101
1128
1151
1258
1334
1376
1426
1495
1534
1621
1652
Интерференционные цвета
прямой (при скрещенных
поляризаторах)
Черный
Светло-стальной
Лавандово-серый
Серовато-голубой
Серый
Зеленовато-белый
Почти белый
Желтовато-белый
Слабо-соломенно-желтый
Соломенно-желтый
Светло-желтый
Ярко-желтый
Кор ичневато-желтый
Красновато-оранжевый
Красный
Темно-красный
Пурпурный
Фиолетовый
Индиго
Небесно-голубой
Зеленовато-голубой
Зеленый
Светло-зеленый
Желтовато-зеленый
Зеленовато-желтый
Чисто-желтый
Оранжевый
Ярко-оранжево-красный
Темно-фиолетово-
красный
Светлый голубовато-
фиолетовый
Индиго
Зеленовато-голубой
Аквамариновый
Ярко-зеленый
Зеленовато-желтый
Ярко-красный
Карминово-красный
Матово-пурпурный
Серо-фиолетовый
дополнительный (при
параллельных поляризаторах)
Светло-белый
Белый
Желтовато-белый
Коричневато-белый
Коричневато-желтый
Коричневый
Светло-красный
Карминово-красный
Темно-красно-коричневый
Темно-фиолетовый
Индиго
Синий
Серо-голубой
Голубовато-зеленый
Бледно-зеленый
Желтовато-зеленый
Светло-зеленый
Зеленовато- желтый
Золотнсто-желтый
Оранжевый
Коричневато-оранжевый
Светлый кармино-
красный
Пурпурно-красный
Фиолетово-пурпурный
Фиолетовый
Индиго
Темно-голубой
Зеленовато-голубой
Зеленый
Желтовато-зеленый
Грязно-желтый
Ярко-красный
Коричнево-красный
Фиолетовый
Светловато-голубой
Аквамариновый
Зеленый
Матово-аквамар иновый
Желтовато-зеленый
180
Продолжение табл. 2
Порядок
4
Разность
хода, мкм
1682
1711
1744
1814
1927
2007
2048
Интерференционные цвета
при скрещенных
поляризаторах
Серовато-голубой
Матово-аквамариновый
Голубовато-зеленый
Светло-зеленый
Светло-серо-зеленый
Беловато-серый
Ярко-красный
при параллельных
поляризаторах
Зеленовато-желтый
Желтовато-серый
Лиловый
Карминовый
Серовато-красный
Голубовато-серый
Зеленый
(четвертый порядок). Рассмотренный метод используется для
оценки толщины тонких пленок и в поляризационных
устройствах.
Рассмотрим теперь измерения разности хода при
использовании узких спектральных интервалов, излучаемых источником
света. Одним из возможных является метод совпадения
дробных частей. Пусть наблюдается двухлучевая интерференция
полос равной толщины и результат ее в некоторой точке поля
соответствует разности хода Д. Если % — длина волны
используемого излучения, то порядок интерференции в
рассматриваемой точке поля равен k^A/K. Представим k в виде й-f-e,.
обозначив через ^ целую часть порядка, а через е — дробную
часть, заключенную в пределах от О до 1. Следовательно,
данная точка поля расположена между интерференционными
порядками ё и й-f-Г. Число k обычно не известно, но дробная
часть е может быть измерена как некоторая доля ширины
интерференционной полосы.
Для излучения длины волны К' имеем для той же точки
поля соотношение, аналогичное предыдущему, т. е. k' = ДД^
и k' ^ k' -^ г'. Следовательно, й' ^ F -f- е' ^ (й -f- е) ХД'-
Аналогичные соотношения можно получить для третьей, четвертой
длины волны и т. д.
Пусть будут измерены дробные части е, е', г" и т. д. Кроме
того, пусть известно приближенное значение порядка k,
полученное путем предварительных независимых измерений.
Поскольку величина k известна приближенно, то в общем случае
дробные части е, е', вычисленные с использованием этого
порядка k, не совпадут с измеренными экспериментально. Для
определения истинного значения k применим метод подбора.
Изменяя ё в допустимых пределах, и вычисляя k', k" и_т. д.,.
а соответственно и дробные г', г", ..., выбирают такое k, для
которого расчетные и экспериментальные дробные части
согласуются наилучшим образом. Полученное значение ё
принимается за истинное.
18F.
Для иллюстрации проведем результаты измерений и
расчетов для некоторой разности хода. Пусть наблюдения
выполнены для четырех линий кадмия: Xi = 643,84696 нм, Хг ^
= 508,58220 нм, Хз = 479,99088 нм и Х* = 467,8150 нм.
Экспериментально измерены следующие дробные части: ei ^ 0,82; ег ^
^. 0,00; ез = 0,79; е* = 0,93.
Положим, что из предварительных измерений известно, что
лорядок k для Х\ = 643,84696 нм имеет значение, лежащее
вблизи целого числа 31050. Составляем таблицу (табл. 3),
в которой для каждой из длин волн рассчитаны целые и
дробные части.
Таблица 3
Расчетные значения порядков для четырех длин волн
Порядки интерференции для различных длин
643,84696
31048,82
49,82
50,82
51,82
52,82
53,82
54,82
55,82
56,82
57,82
58,82
508,58220
39306,70
07,97
09,23
10,50
11,76
13,03
14,30
15,56
16,83
18,09
39319,36
479,99088
41648,06
49,40
50,74
52,08
53,42
54,77
56,11
57,45
58,79
60,13
41661,47
воли, нм
467,8150
42732,04
33,41
34,79
36,17
37,54
38,92
40,30
41,67
43,05
44,42
42745,80
Из таблицы следует, что наилучшее согласование между
расчетными и измеренными дробными частями достигается для
М^ 31053 {Х\ = 643,84696 нм). Для других значений й
расчетные и измеренные дробные части значительно рассогласованы.
Следовательно, выбор истинного значения k с уверенностью
выполнен.
В рассмотренном примере использовались четыре длины
Болны. Измерения для большего числа длин волн, очевидно,
делают определение порядка интерференции, а следовательно,
и разности хода более надежными.
В ряде случаев используют компенсационные методы
измерений. Сущность компенсационного метода можно пояснить
с помощью схемы, изображенной на рис. 3.6.6. Первоначально
интерферометр настраивают таким образом, чтобы поле
зрения / без объекта имело характерный вид (темное поле,
пурпурный цвет, равнояркие поля и т. д.). При введении в одну из
ветвей интерферометра объекта О, изменяющего разность хода
182
на величину Д, вид поля в области О меняется (рис. 3.6.6,//),
Если в интерферометр поместить устройство, вводящее
переменную разность хода (компенсатор Pi, Р2), то путем измене-
Рис. 3.6.6. К объяснению компенсационного метода
измерений
Рис,
ния его настройки (поворота Рг) можно в ветвь
интерферометра без объекта ввести разность хода, в точности равную Д.
Равенство разностей хода в ветвях устанавливается по
восстановлению первоначального характерного вида поля зрения
в области О (рис. 3.6.6,///). Очевидно, что шкала
компенсатора предварительно должна быть програ-
дуирована в разностях хода.
Рассмотрим каким образом можно
создать тот или иной характерный вид
поля зрения интерферометра. Темное
поле возникает тогда, когда разность
хода в интерферометре равна нечетному
числу полуволн, т. е. Х/2, ЗХ/2 и т. д.
Темное поле используется вследствие
высокой контрастной чувствительности
глаза при малых освещенностях. Обычно принимают, что глаз
замечает при этом изменение освещенности в пределах пяти,
процентов. Еще большую чувствительность можно достигнуть,
используя так называемый полутеневой метод.
Во всех устройствах, реализующих полутеневой метод, поле
зрения разделяется на две или большее число частей,
отличающиеся небольшой разностью хода Д (рис. 3.6.7,а, б).
В некомпенсированном состоянии интерференционной схемы
поля зрения существенно отличаются по яркости (рис. 3.6.7,а).
При достижении компенсации яркости выравниваются
(рис. 3.6.7,6), и это положение используется в качестве чув-
3.6.7.
Полутеневые картины
183
ствительного индикатора компенсации. Малая яркость полей
при этом определяет название метода — полутеневой. Если
в ветвь интерферометра ввести некоторую разность хода, то
равенство яркостей полей нарушится и для их выравнивания
необходимо изменить настройку компенсатора.
Чувствительность полутеневого метода может быть
рассчитана следующим образом. Яркость полей в обеих половинах
поля при условии равенства выразится при малых значениях
А следующим образом:
L = Lo [1 - cos (2л0 Д/2)] = 2Lo sin^ (ло Д/2) « 2LoлV Д74.
(3.6.2)
В формуле (3.6.2) Lo максимальная яркость поля, знак
минус соответствует наблюдению в темном поле, Д — постоянная
полутеневого устройства, т. е. разность хода, вводимая для
создания полутени; а — волновое число. Определим, с какой чув-
•ствительностью бД можно восстановить реавенство яркостей.
Мз формулы (3.6.2) имеем:
L, = 2LoЛo^(бД —Д,/2)^;
и = 21 опа-{6А—Ъ J 2у. (3.6.3)
Из соотношений (3.6.3) получаем
6Д = 4^- (3.6.4)
При наблюдении глазом при заданной яркости L существует
некоторая минимальная еще фиксируемая разность AL,
соответствующая порогу фотометрической чувствительности.
По мере уменьшения Д полутеневая яркость становится все
слабее и вместе с тем начинает резко возрастать AL, т. е. глаз
становится менее фотометрически чувствительным. При
заданных условиях существует оптимальное значение L, при котором
установка равенства яркости осуществляется с наибольшей
точностью.
В некоторых случаях интерферометр освещают не
монохроматическим, а белым светом. При этом вместо минимальной
яркости наблюдается так называемый чувствительный цвет.
Он образуется в результате смещения красного и синего и дает
глубокий фиолетово-красный или пурпурный тон, который при
уменьшении Д быстро переходит в красный, а при увеличении
-Д — в фиолетовый. Образование чувствительного цвета
объясняется тем, что в момент компенсации разность хода в
интерферометре такова, что пропускание его равно нулю для
зеленой области спектра. Это соответствует началу второго
порядка в шкале интерференционных цветов.
184
Оптические компенсаторы. Рассмотрим теперь принцип
работы и оптические схемы некоторых из интерференционных
компенсаторов '. Эти устройства, как уже указывалось,
применяются в интерферометрах для введения небольших
добавочных разностей хода. Компенсаторы снабжены отсчетными
приспособлениями и следовательно являются измерительными
устройствами. Они обладают обычно тем свойством, что
позволяют вводить малые разности хода с помощью сравнительно-
грубых средств.
Рассмотрим компенсатор, состоящий из двух одинаковых
плоскопараллельных пластинок толщиной t. Одна из пластинок
Pi неподвижна, а другая Рг
может вращаться вокруг оси с
помощью микрометренного винта.
Один из интерферирующих пучков
проходит через пластинку Pi, а
другой через пластинку Рг.
Рассчитаем разность хода, которую
вводит компенсатор. Она, очевидно,
равна разности оптических
путей лучей, проходящих через
пластинки Pi и Рг. Оптический путь
луча через наклонную пластинку
рассчитывается следующим
образом. В отсутствии пластинки
путь от точки А до произвольной
точки с плоскости Е (рис. 3.6.8) равен АС. При введенной
пластинке путь от Л до С равен пАВ -\- ВС, где п — показатель
преломления материала пластинки. Если линия ЕС
перпендикулярна к выходящему лучу, то дополнительный оптический
путь при введенной пластинке равен Д ^ [иЛВ-f-ВС] — ЛС, или"
д ^ иЛБ — AF. После подстановок и преобразований с
использованием соотношений: АВ = t/cos Р, sin а ^ и sin р, получим
Д ^ ^(^л^ — sin^a — cos а). (3.6.5)-
Если две пластинки установлены под одним и тем же
углом а, то разность хода равна нулю. Если же пластинку Рг
повернуть на некоторый угол da, то оптический путь луча,
проходящего через нее, изменится в соответствии с (3.6.5) и между
интерферирующими лучами возникнет разность хода.
Формулу для этой дополнительной разности хода dA получим
путем дифференцирования (3.6.5). Эта разность равна
Рис.
3.6.8.
Пластинка-компенсатор
d Д ^ ^ sin а (1 —
cos а
V«'
da = Mda. (3.6.6)
Компенсаторы поляризационные будут рассмотрены в гл, 4.
185
Рис, 3.6.9.
Двухклиновой
компенсатор
А
'*4№
Рио, 3.6.10.
♦ 1 Четырехклиновой
компенсатор
Можно показать, что величина М равна FB, -т. е. линейному
смещению луча, прошедшего через пластинку. Из формулы
(3.6.6) следует, что для одного и того же значения da
величина dA пропорциональна t и, следовательно, применяя более
тонкие пластинки, можно вводить меньшие разности хода при
том же угле поворота da. Обычно принимают угол а = 45°.
Если при этом и = 1,5, то по (3.6.6) имеем й(Д=—da. Если
О
необходимо иметь чувствительность порядка 1/20
интерференционной полосы, то при толщине ^^ 1 мм этой
чувствительности соответствует поворот пластинки на 15".
Значительно большие возможности предоставляет двухкли-
новой компенсатор. Дело в том, что при наблюдении
интерференции в белом свете введение дополнительного
плоскопараллельного слоя стекла в одну из ветвей интерферометра
приводит к тому, что вводится различная разность хода для разных
длин волн. В связи с этим момент компенсации может точно не
соответствовать разности хода по шкале компенсатора,
отградуированного в монохроматическом свете. Компенсатор,
состоящий из двух клиньев, можно ахроматизировать. Принцип
работы двухклинового компенсатора состоит в следующем. Из
двух клиньев с одинаковым углом р составляют
плоскопараллельную пластинку (рис. 3.6.9).
Толщина этой пластинки при перемещении одного из
клиньев на отрезок / изменяется на величину Д^^/tgp. Если
компенсатор вводится в одну из ветвей интерферометра, то
в другой ветви необходимо установить пластину толщиной,
равной средней толщине составной пластины компенсатора.
Угол р клиньев компенсатора обычно рассчитывают таким
образом, чтобы при взаимном смещении клиньев на 0,01 мм
разность хода изменялась на 1/10— 1/20 полосы.
Ахроматический компенсатор можно создать, используя две
пары клиньев (рис. 3.6.10). Клинья Pi и Рг с одинаковыми
углами изготовляют из кронового стекла (например, К-8). Они
образуют первую плоскопараллельную пластинку. Вторая
плоскопараллельная пластинка составлена из флинтовых клиньев
186
Рз и Pi (например, из ТФ-1) с углами Р^Р'. Клинья Pi и Pi
неподвижны, а клинья Рг и Рз перемещаются в направлении,
показанном стрелками. Пусть Д^ и At' — изменения толщин флин-
товой и кроновой пластинок при перемещении клиньев на
отрезок /. Пусть (3 и Р' удовлетворяют условию tg Р'^—(пр —
— nc)tgP/(ttf—Пс), где пр, Пс, пр и пс —показатели
преломления флинта и крона для длин волн Xf = 486,1 нм и Хс =
^ 656,3 нм. При выборе р и Р' указанным образом порядки
интерференции для длин волн Хр и Хс равны.
Для стекол ТФ-1 и К-8 имеем tgp'^—2,37tgp.
Максимальная разность хода, которую можно компенсировать таким
компенсатором при допустимой погрешности шкалы в четверть
длины волны, достигает величины 0,3 мм.
Рассмотренные выше приемы измерения разности хода
ориентированы в основном на визуальный метод наблюдения
с созданием соответствующего характерного поля в
интерферометре. При использовании фотоэлектрической регистрации
необходимо в момент компенсации иметь характерный вид
электрического сигнала. Рассмотрим, каким образом это
можно осуществить.
В настоящее время наиболее широко используется так
называемый модуляционный метод.
Сущность этого метода состоит в том, что разность хода
между интерферирующими пучками изменяют в небольших
пределах по периодическому закону и тем самым осуществляют
модуляцию интенсивности света на выходе интерферометра.
Получим выражение для результирующей интенсивности при
двухлучевой интерференции при этих условиях. Сначала
запишем выражение для разности хода в виде Д ^ A_-f-До sin coL
Тогда для разности фаз имеем соответственно б ^ б-f-бо sin coL
Уравнение для распределения интенсивности в этом случае-
имеет вид
/ = /oCOS^ Y = /o(l -Ь cos 5) =/о + /о cos (б -f-5oSincuf) =
^ Jo-\- h cos б cos (бо sin at) — /о sin б sin (бо sin co^). (3.6.7)
Прежде чем анализировать (3.6.7), обратимся крис. (3.6.11).
На рис. 3.6.11 дана графическая иллюстрация модуляционного
метода. Изменение результирующей интенсивности / от
разности фаз б при бо ^ О представлено кривой 1. Зависимость
изменения разности фаз б от времени t вблизи б^я и б^-^-я
представлена кривыми 2 и 3. Тогда при периодических измене-
ниях фазы вблизи б=л. и 6^-^п интенсивность на выходе
интерферометра представлена кривыми 4 и 5 соответственно.
Из рисунка следует, что при 0<;б<;я и 2я>б>я частота
187
дем иметь в виду нормальное падение световой волны на
поверхность диэлектрика. Падающая волна частично отражается
от первой среды, частично проходит в слой и частично
отражается от диэлектрика. Волны, отраженные от границ
поверхностей воздух — слой и слой — диэлектрик, интерферируют
с максимальной результирующей интенсивностью.
Действительно, разность хода за счет прохождения в слое
будет Я/4 + V4 ^ V2, т. е. имеет место разность фаз я. Кроме
того, необходимо еще учесть скачок фазы на границе воздух —
/ П
Ш
Tbi
Ji1
*
Til
do
П2=П
Рис. 3.7.1. Схематическое
представление
двухслойной системы
Рис. 3.7.2. Многослойная
система
диэлектрик {п\); скачок равен А,/2. В результате отраженные
волны от передней и задней границы слоя с п\ находятся
в фазе, так как имеет место общая разность хода Х/2 -f- Я/2 ^
^ Я и разность фаз 2я. Таким образом можно увеличить
коэффициент отражения, т. е. обеспечить усиление интенсивности
поля, отраженного от рассматриваемой поверхности. Например,
при П\ = 2,45 и П2 ^ 2,3 получим R = 0,3.
Однако добиться высокого отражения при однослойном
покрытии не удается. Для значительного повышения
коэффициента отражения необходимо применять многослойные
диэлектрические покрытия (рис. 3.7.2).
Для этого на основную поверхность наносят покрытие,
состоящее из ряда слоев, имеющих поочередно более высокий и
более низкий коэффициенты преломления п\^ п^ и Пг ^ Ян-
Если оптические толщины всех слоев одинаковы и равны
n^d-B. = Пяйя = Я/4, то отраженные от всех слоев волны будут
находиться в одинаковых фазах. Чаще всего для этой цели
используются сульфид цинка ZnS (яв ^ 2,3) и криолит NasAlF^
(Ии ^ 1,35). Покрытие из семи-восьми слоев дает возможность
получить i? ^ 0,9 в спектральной области шириной
приблизительно 50 нм.
Для получения коэффициента отражения R = 0,99 (такие
зеркала используются в резонаторе лазера) наносят 11—
13 слоев.
190
Подбором толщины слоев и материала можно добиться,
если это необходимо, и равенства i? = 7 ^ 0,5 {Т —
энергетический коэффициент пропускания). Если из такого
полупрозрачного материала изготовить окна автомашины, то
отраженный от стекол поток будет значительно сильнее потока,
идущего из кабины, поэтому будет плохо видно, что происходит
внутри салона, в то время как сидящим в машине хорошо
видна ситуация на улице. ,
Ф
r:l
5)
/?,%
60
ю
•4
у
ч.
1
>
t
'
\
■
во
20
О kO 80120 Ш2002W 280320 ЗВО
О W 80 1201В0 200 2hO 280 320 ЗВО
"IT'
'r.I
100
60
20
•^
^
^^
/VI
\7^г
r^j
'
1
1
\f
V
>
о liO 80 пот2002W280320ЗВО
Л
W so W1B02002W2803203SO
Рис. 3.7.3. Спектральные кривые отражения для покрытий при
нечетном числе слоев (ив ^ 2,2; Пи = 1,45) и при числе слоев 5, 7, 9, 11
На рис. 3.7.3 даны примеры коэффициентов отражения при
различных числах слоев и для различных разностей фаз.
Оптической толщине Х/4 соответствует разность фаз 4nnd/k =
= 180°, где расположен основной максимум. Из рисунка
следует, что имеют место побочные максимумы. Увеличение числа
слоев приводит к уменьшению ширины интерференционного
максимума. Можно заметить, что ширина полосы с высоким
коэффициентом R тем больше, чем больше разница в
показателях преломления «„ и п^.
Для подавления побочных максимумов используют иногда
слои неравной толщины, но так, чтобы tiedi = nndi+\.
В общем случае использования многослойного
диэлектрического зеркала точные формулы весьма сложны и громоздки.
В некоторых случаях можно воспользоваться упрощенными
выражениями. Если число слоев т нечетное, то справедлива
формула
(3.7.1)
'1"р"н
где п\ и Пр — показатели преломления среды и подложки; Па
и Ив — показатели преломления слоев соответственно с низким
л высоким показателями преломления.
191
Можно подсчитать JR в зависимости от числа слоев и Пр.
Например, при Пр ^ 1,46, «н ^ 1Д5 и «в ^ 2,0 и числе слоев
11 для R получается значение ^^0,94; при «р ^ 1,52, «н ^
= 1,45, Ив ^2,2 для этого числа слоев ^^0,97; при прочих
равных условиях и 13 слоях R = 0,99. Таким образом, можно
заключить, что многослойные диэлектрические покрытия
обеспечивают весьма высокий коэффициент отражения; однако они
одновременно дают сравнительно малую спектральную область
высокого отражения, т. е. имеют большую селективность.
Металлические зеркала обладают, как правило, меньшими
коэффициентами отражения, но одновременно меньшей
селективностью по спектру.
«Просветление» оптических поверхностей. В этом случае
явление интерференции в тонком слое используется для
уменьшения коэффициента отражения от поверхностей оптических
деталей— такой прием называют «просветлением оптики». Так
же как и ранее, рассмотрим вначале качественно явление,
которое имеет место при однослойном просветлении. На
поверхность диэлектрика с показателем преломления «2 (рис. 3.7.1)
наносится такой слой, чтобы его показатель преломления tii
был бы меньше «2 («i < rii). В этом случае при нормальном
падении скачок фазы на л (или потеря в разности хода
половины длины волны) будет иметь место два раза при отражении
от границы сред / и // и //—///. Если толш,ина пленки по-
прежнему Х/4, то результируюш,ая разность хода отраженных
лучей будет: Х/4-f V4-f Х/2 + V2 = >- +V2. Здесь два
первых слагаемых соответствуют прохождению волной два раза
слоя //, а вторые слагаемые соответствуют скачку фаз при
отражениях света на границах раздела менее плотной и более
плотной сред. В результате интерферируюш,ие волны окажутся
в противофазе и погасят друг друга. Коэффициент отражения R
для рассматриваемой длины волн К станет равным нулю.
Для того чтобы реализовать это условие, надо правильно
подобрать коэффициент преломления слоя //. В соответствии
с формулами Френеля для системы слоев /, //, ///
(однослойное просветление) справедливо соотношение для амплитудного
коэффициента отражения
' - '" + '"С- (3-7.2)
1 4- гпГ2зе
Здесь б^-л—di«i, т. е. разность фаз между соседними ин-
терферируюш,ими лучами; ri2 и Г2з — амплитудные
коэффициенты отражения для соответствуюш,их номеров сред.
Отражательную способность R получим, если умножим
(3.7.2) на комплексно-сопряженное выражение. Тогда
„ ^ + 4 + 2Г12Г23 COS 26 /о 7 ЧЧ
R^ 5—5 . (3.7.3)
1 + Г12Г23 + 2'-12'-23 COS 26
192
Из формулы (3.7.3) следует, что экстремальные значения
коэффициента отражения будут иметь место при cos 26^—1
и при cos26^+l. Нас интересует возможность получения
минимального значения для R при соответствующем выборе tii.
В этом случае
^ = {^"^—^1 (3.7.4)
1 Г12Г23
Целесообразно написать формулу (3.7.4) через показатели
преломления для случая перпендикулярного падения волны на
поверхность системы. Тогда будем иметь
(ИпИо — и? Л^
, • (3.7.5)
Разность фаз б, которая фигурирует в формулах (3.7.2) и
(3.7.3), надо принять равной (йя/2), т. е. б ^{n/X)2do^ kn/2
(при ^ = 1, 3, 5...). Тогда оптическая толщина слоя d ^ ditii
принимает значения Х/4, ЗХ/4, 5Х/4. Это соответствует
приведенному выше качественному рассмотрению и определяет
технологический процесс нанесения столь тонких пленок. Второй
экстремум функции (3.7.3) не дает положительного результата
для просветления поверхности, так как при четном k
оптическая толщина d = nidi принимает значения Х/2; к; ЗЯ,/2 и
J? ^ ( "° ^ ) , т. е. коэффициент отражения не зависит от
показателя преломления «ь
Воспользуемся теперь выражением (3.7.5) для определения
коэффициента преломления слоя //. Для того чтобы при
выбранной толщине tiidi {k — нечетное) коэффициент отражения
был бы равен нулю (^^0), надо потребовать следующее
значение для «ь
n^=^Jnan^. (3.7.6)
Если принять «о = 1 (воздух), то «1 ^ ^п^. Пусть
оптическая среда // имеет Пч ?t; 1,5. Тогда в этом конкретном
случае П\ = 1,22. Условие П\ = 1,22 практически трудно
осуществимо, так как отсутствуют вещества со столь низким
показателем преломления. Это обстоятельство означает, что нужно
идти на увеличение п\, что приведет соответственно к
некоторому реальному коэффициенту отражения. Можно достичь
коэффициента отражения соответствующего условию (3.7.6),
искусственно увеличивая пористость слоя //.
На рис. 3.7.4 приведены, зависимости R от показателя
преломления П\ для частного случая «о ^ 1 и «2 ^ 1,5. Кривые
дают представление о влиянии показателя преломления П\ на
количественный результат просветления. Здесь приняты во
внимание различные толщины слоя //, что и дает
осциллирующую зависимость.
13 Зак. № 167 193
Для однослойного просветления имеет место селективный
характер отражения по спектру. Если для видимой области
спектра в качестве расчетной будет выбрана X = 550 нм, то
Рис. 3.7.4. Зависимость R от показателя преломления
просветляющего слоя (ио^ 1; «2^ 1.5)
ДЛЯ длинноволновой области и коротковолновой области R
будет заметно отличаться от нуля. В целом можно наблюдать
пурпурный цвет (смесь красного с фиолетовым) просветленных
поверхностей. Избирательный характер отражения сильнее
сказывается для среды с большим показателем преломления.
л7о
3
2
1
О
\
\
V
V
^
^^
7J
i>-
Лда 450 550
650 750
Л,нм
Рис. 3.7.5. Зависимость
коэффициента отражения от толщины
просветляющего слоя.
Рис. 3.7.6. Схема
двухслойного просветления
Рассмотрим двухслойное просветление оптических
поверхностей. Однослойное покрытие дает достаточно
удовлетворительные результаты просветления поверхности в видимой
области спектра при хорошо подобранном коэффициенте
преломления til и оптической толщине пленки tiidi = К/4 (рис. 3.7.5,
кривая 1). Если принять tiidi ^ ЗХ/А, то плавность кривой по
длинам волн значительно нарушается (рис. 3.7.5, кривая 2).
194
Двухслойное просветление дает возможность устранить
отражение от поверхности оптической детали независимо от
показателя преломления ее материала. Однако значение R,
близкое к нулю, можно достичь для более узкой области спектра.
При расчете такого двухслойного покрытия надо принять во
внимание следующие коэффициенты преломления: tii, «2> «з
и ГЦ (рис. 3.7.6). Теперь Пг и «з соответствуют просветляющим
слоям. Для расчета имеем четыре параметра: «2 и «з —коэф-
' ГС
Рис. 3.7.7. Графическое
решение задачи двухслойного
просветления
л\
А
1 ^
0 - .
W
/
ол
0,5
0,6 0,7
Л,мкм
Рис. 3.7.8. Спектральные
зависимости коэффициента отражения
для различных двухслойных
просветлений:
-я, = 1,34; п, = 1,64; 2 — п, = 1,45;
lb •=. 1,79; 3 — rii = 1,5; т = 1,84
фициенты преломления слоев, di и с/з —толщины слоев
(рис. 3.7.6). Если заданы значения «2, «з и «4, то можно найти
соответствующие толщины слоев dz и ds, удовлетворяющих
наилучшему результату, т. е. обеспечить R ^ 0.
Двухслойное просветляющее покрытие обычно представляет
собой систему из двух не равных по толщине слоев, показатели
преломления слоев удовлетворяют условию tii < «2, Щ-Спг и
«3 > «4-
Здесь не приводим формулы для расчета (они сложны);
приведем лишь векторное рассмотрение. Будем считать так же,
как в предыдущем случае, что интерферируют.теперь три луча,
которые имеют амплитудные коэффициенты отражения гц, /"23
и /"34. Для того чтобы R было равно нулю, необходимо, чтобы
длины векторов, обозначенные через величины г, образовали
бы замкнутый треугольник (рис. 3.7.7). Эти треугольники
будут характеризоваться внутренними углами ф и г|з. Определим
амплитудные коэффициенты ги, г^г и rг^ поочередно для
каждого слоя. Пусть «1= 1, «2= 1,45, «3 = 2,2, а «4 = 1,5 '(крон
К-8). Тогда по формулам Френеля:
r„| = J:^£^^ = 0,814; |/
' «2 + "1
\г I —JlilZ^L
"^7"^ =0.205;
Из + «2
= 0,189.
13*
195
Расчеты показывают, что при таких значениях
амплитудных коэффициентов получим при нормальном падении
максимальное просветление. Толщины слоев будут определяться
разностью фаз между соседними лучами, которые при принятых
условиях построения имеют следующие значения:
4я
Ф И d, = 0,12Х; 6^3 =
4я
=-j^ dgfia + Л = Зл — ij; и d2 = 0,192X.
Могут быть и другие варианты для расположения векторов
и соответственно другие толщины слоев.
/?.7с
/о
1
0
ол
0,5
0.6 0,1
ж,мкм
Рис. 3.7.9. Спектральная кривая
отражения при трехслойном
просветлении
На рис. 3.7.8 показаны кривые отражения для п^^ 1,52 и
п\ = 1 при различных сочетаниях п^ и n%. Из рисунка 3.7.8
следует, что двухслойное просветление имеет выраженный
избирательный характер для энергетического коэффициента по
спектру.
Более сложные покрытия, состоящие из трех и более слоев,
дают новые результаты. Увеличение числа слоев и,
следовательно, общей толщины покрытия создает условия для ахрома-
тизации R отраженного света.
На рис. 3.7.9 показана зависимость коэффициента
отражения R от длины волны для трехслойного покрытия, нанесенен-
ного на стекле К-8. Из рисунка следует, что имеет место
малый коэффициент отражения для широкой области спектра.
Узкополосные интерференционные фильтры (УИФ).
Оптические устройства, выделяющие узкие области спектра, служат
для монохроматизации излучения. Они работают на принципе
многолучевой интерференции. УИФ представляет собой две
плоскопараллельные пластины диаметром 40—50 мм, между
которыми расположен слой диэлектрика, имеющий толщину,
сравнимую с длиной волны. Внутренние поверхности пластин
имеют высокоотражающие покрытия из металла или
диэлектрика. На рис. 3.7.10, а, б показано устройство и конструкция
простейшего УИФ. Принцип получения высокоотражающих
диэлектрических зеркал описан выше. Современный УИФ
представляет собой устройство, состоящее из нескольких
многослойных диэлектрических прослоек, заключенных также между
196
пластинами: каждая диэлектрическая прослойка является двух-
компонентной системой, состоящей из чередующихся слоев
с высоким и низким показателями преломления.
УИФ может быть выполнен на основе металлических или
металлодиэлектрических зеркал. В этом случае зеркало состоит
из слоя металла, дополненного диэлектрическими непоглощаю-
щими слоями (рис. 3.7.10,а).
Отметим отличительные особенности узкополосных интер-
.ференционных фильтров:
MffF2
4—jn_ Стенпо
Ю
Рис. 3.7.10. Устройство (а) и
конструкция [б) простейшего
интерференционного фильтра:
I — пластина с диэлектрическими слоями; 2 —
защитная пластина; 3 —прокладки; 4 —
оправа; 5 — резьбовое кольцо
а) ПО Сравнению с абсорбционными фильтрами они
характеризуются более узкими полосами пропускания и меньшими
потерями внутри полосы;
б) полоса пропускания фильтров имеет ширину пропускания
от нескольких десятков до десятых долей нанометра;
в) в отлииче от монохроматоров УИФ обладают большими
сечениями световых пучков (10—50 мм);
г) в отличие от абсорбционных фильтров УИФ дают
возможность в небольших пределах смещать пропускаемую ими
длину волны по спектру путем изменения угла падения.
Основными оптическими характеристиками УИФ являются:
длина волны пропускания в максимуме Хт, шиирна полосы
пропускания фильтра бХ, относительная ширина пропускания
6Х/Хт, светосила.
Эти количественные характеристики можно получить,
используя формулы (3.4.15) и (3.4.16), справедливые для
многолучевых систем с двумя отражающими слоями.
Определим рабочую длину волны фильтра. Длина волны,
-соответствующая максимуму пропускания фильтра, определится
197
из условия максимумов для разности фаз, которое в этом
случае должно быть записано в виде:
Ь = 2кл= {2п/Хт) 2dn cos ф + 2г|;, (3.7.7)
где A^2dncosq> — разность хода; ф — угол интерференции;
dn — оптическая толщина диэлектрической прослойки фильтра;
k — порядок интерференции, г|з — скачок фазы при отражении
на границе диэлектрик — покрытие.
Отсюда однозначно вытекает выражение для центра полосы
пропускания Хт
Хт =
2dn cos ф
k —-ф/я
(3.7.8)
В связи с тем, что в большинстве случаев
интерференционный фильтр работает при нормальном падении светового
потока, можно положить ф ^ 0. Тогда целесообразно графически
представить зависимость Хт' от оптической толщины dn
диэлектрического слоя, заключенного между зеркалами,
обладающими высоким коэффициентом отражения. Эта зависимость
в случае системы металлическое покрытие —
диэлектрик—металлическое покрытие может быть точно вычислена, если
известен скачок фазы ф при отражении.
На рис. 3.7.11 изображена эта зависимость для случая
серебряного металлического покрытия для различных значений k
(в предположении, что г|з = 0,6).
Из рисунка можно определить, например, что при dn =
= 0,5 мкм фильтр дает максимальное пропускание для Хт =
= 525 нм; при dn = 0,75 мкм Хт соответствует длинам волн
1^^470 нм в третьем порядке и Хт^710 нм во втором
порядке.
ZOO
600
'too
_—
—
L^i
bf-
iy
V\
fj
/у
/L/
y^
X
0
0,5
1,0
l,5dn,MKM
Рис. 3.7.11. Зависимость
рабочей длины волны фильтра от
оптической толщины прослойки
Рис. 3.7.12. Полоса пропускания
фильтра
' Здесь и далее через Х„
ференционного контура.
обозначается, длина волны максимума интер-
198
Для больших значений dti, т. е. больших k, полосы
пропускания будут повторяться еш,е более часто и может случиться,
что фильтр перестанет играть свою роль, так как пропустит
хотя и дискретное, но болшое число длин волн. Таким образом,
не будет обеспечена единственность полосы пропускания в
рабочей области спектра. Следовательно, фильтр должен работать
в малых порядках интерференции.
Рассмотрим вопрос о ширине пропускания
интерференционного фильтра. За ширину полосы пропускания
интерференционного фильтра принимается величина горизонтального отрезка
АВ (рис. 3.7.12), который получается на половине высоты
интерференционного максимума. Эту величину мы будем
обозначать 6А,.
Согласно обозначениям на рисунке, точка А соответствует
длине волны 1т — Ъ'к/2. В этой точке пропускание Эотн ^ 1/2.
Из формулы (3.4.22) следует, что пропускание составит
половину от максимального, если Psin2(6'/2)^ 1, где, как и в
формуле (3.4.16), фактор резкости Р ^ , _ п/- Это означает,
что sin^ {8'/2) ^ \/F и дополнительная разность фаз б', соот-
ветствуюш,ая точке А, равна ^6' = 2arcsin(l//^).
Напишем условие максимума для А,т и условие,
справедливое для точки А полосы пропускания с учетом дополнительной
разности фаз б':
2яй = (2л/Ят) 2dn cos ф + 2г|;;
2л
2яА + 2arc3in (l/F) = т^— 2dn cos ф + 2\j;,
где г|з — одинаковые скачки фаз при первом и втором
отражении.
Решим эти равенства относительно искомой величины б^-.
Путем вычитания первого равенства из второго получим
2arcsin(l//^) ^4dляcosф (-г гт-то к—)• (3.7.9)
Упрош,ение в формуле (3.7.9) разности, стояш,ей в скобках,
и замена arcsin(l//^) собственно дугой l/F дает
ЬХ = —^ «^. (3.7.10)
я ant cos ф nkt ^ '
В последнее выражение (3.7.10) введен порядок
интерференции k из формулы (3.7.7) без учета 2г|з. Формулу (3.7.10)
для ширины полосы пропускания можно написать через
свободный спектральный интервал, учитывая, что А^- = X/k, т. е.
6^ = -^ = Sf- (3.7.11)
199
Напомним, что в формуле (3.7.11) F ^ — рт —фактор
резкости; ДА, — расстояние между максимумами в длинах волн..
Учтем теперь изменение фазы б', соответствующее
изменению оптической толщины nd при изменении % на полуширину
8Х. В связи с тем, что фильтр работает в малых порядках
интерференции, в ряде случаев этим обстоятельством пренебречь
нельзя. Тогда надо продифференцировать условие максимумов
(3.7.7) при 2г|з = const и
0,5
^ЗОнм
С08ф
1;
4л J , п d6'
dl.
где
d6'
dk
2я d(nd)
к dX
Вблизи полосы
ния порядка k
330
500
1000 К,нм
d
dX
Рис. 3.7.13. Реальная кривая пропу
екания фильтра в различных обла
^^^ стях спектра
Пропуска-
(6'Я)]}бЯ.
(3.7.12)
Выше (3.4.18) было
показано, что для полуширины
изменение фазы интерференции 6
будет 4/F. Приравняв этому значению d6 в (3.7.12), получим
более точную формулу для бЯ
6Я = ■
2Х„
лр \ k
л \_dX
(б'Х)
]]
(3.7.13)
Из (3.7.11) следует, что для того чтобы получить фильтр-
с узкой полосой пропускания, нужно увеличивать порядок
интерференции, в котором работает фильтр, и, следовательно,,
стремится к увеличению оптической толщины диэлектрической
прослойки nd. Кроме того, желательно максимально увеличить
фактор резкости F, т. е. произведение JRTc. Однако применение
больших оптических толщин nd не целесообразно, так как
в этом случае свободный интервал ДЯ окажется малым и фильтр
будет пропускать, что следует из рис. 3.7.11, ряд
интерференционных максимумов в заданной области спектра. В ряде
случаев, однако, их можно погасить. На рис. 3.7.13 представлена
реальная кривая пропускания фильтра при nd ^ 1050 нм.
Обратим внимание на то, что рабочая длина волны фильтра
Km ПО формуле (3.7.8) может быть в небольших пределах
изменена путем поворота фильтра вокруг вертикальной оси.
Поясним это обстоятельство. Поворот фильтра означает
изменение угла падения пучка на его поверхность. В самом деле, для
200
перпендикулярного падения (ф = 0) выражение (3.7.8) пере-
лишется в виде
Яо=: ^"'" ■ (3.7.14)
Для угла ф, отличного от нуля, сохранится общий вид
выражения
К = ^Щ^- (3.7Л5)
■Здесь г|зо — скачок фазы на границе диэлектрик — покрытие при
<р ^ 0; г|3ф — скачок фазы на той же границе при ф ^ 0.
Из соотношений (3.7.14) и (3.7.15) вытекает
K = K^^E:^cos4>. (3.7.16)
Таким образом, как следует из формулы (3.7.15), путем
поворота можно сместить рабочую длину волны только в
коротковолновую область спектра. Практически оказывается, что
поворот УИФ на 6° приводит к смещению максимума
пропускания приблизительно на 10 нм, поворот УИФ на 10° дает
смещение длины волны приблизительно на 20—22 нм.
зависимость Хщ — /(ф) удобно использовать для точного
совмещения положения Я^ с заданным значением. Но, конечно,
имеется предел, так как при больших углах падения (ф > 30°)
происходит значительное увеличение ширины пропускания и
уменьшение контраста. Перемещение рабочей длины волны по
спектру при повороте фильтра вокруг вертикальной оси очень
важное его свойство. Дело в том, что технология изготовления
УИФ не всегда позволяет выполнить фильтр точно на
заданную длину волны.
При наклонном падении параллельного пучка лучей
значения сдвига фаз al)]] и г|зх для составляющих электрического
вектора Е, параллельных и перпендикулярных плоскости падения,
не равны между собой и разность г|з|| — г|зх зависит от угла
падения. Вследствие этого длины волн в максимуме Km и Х^'
которые при нормальном падении на фильтр совпадают, при
наклонном падении различны. Может произойти при
небольших углах уширение полосы пропускания, а при больших — ее
раздвоение. Зависимость положения Хт от угла падения,
следовательно, ограничивает угловую апертуру световых пучков.
Многослойные диэлектрические узкополосные
интерференционные фильтры (ДУИФ) обладают значительно более
высоким пропусканием, чем металлодиэлектрические фильтры и
могут дать более узкую полосу пропускания, приближаясь по
этой характеристике к монохроматорам. ДУИФ состоит из двух
многослойных зеркал, разделенных одним слоем диэлектрика.
201
Зеркала представляют собой лвухкомпонентную систему,
состоящую из иепоглощаемых слоев диэлектриков с высоким и
низким показателями преломления. Эти слои чередуются
попеременно.
Из предыдущего следует, что наиболее хорошие
характеристики может дать фильтр, содержащий несколько слоев.
Многослойные диэлектрические зеркала дают более высокий коэф-
«;
^^
щ^
ZnS
MqFj.ni^Kll
InS
MgrF^
^^
K-8 (подложка)
5)
ZnS,nd'^K/^i-
NagAlFB,nA=Klh
ZnS,nd=K/4
Va3AlFs,nd--2,/4
ZnS,Jid=M2
Na^AbFg,nd=2^l^
Zn5,nd=X/'+
NagAlFs^nd^hJk
ZnS,nd=Kh
K-8 (подпожпа)
• вслоев
дслоев
Рис. 3.7.14. Схема построения металлодиэлектри-
ческих (а) и многослойных диэлектрических
фильтров (б)
фициент отражения при меньших потерях на поглощение, чем
металлодиэлектрические фильтры. На рис. 3.7.14, а, б в
качестве примера дана схема металлодиэлектрического и
многослойного диэлектрического фильтров. Здесь стеклянная
плоскопараллельная пластинка из стекла К-8 используется в качестве
подложки. В первом случае (рис. 3.7.14, а) основным слоем
с dn ^ %/2 является слой диэлектрика MgFz, а покрытие,
состоящее из трех слоев — металлодиэлектрдческое. Во втором
случае (рис. 3.7.14,6) средний слой выполнен из диэлектрика
ZnS и также имеет оптическую толщину nd^K/2, а
отражающие слои поверхности состоят из восьми чередующихся слоев,,
обладающих высоким «в (сернистый цинк ZnS) и низким п^
(криолит MgsAlFe) показателями преломления и nd ^ Х/4.
Современная технология изготовления ДУИФ позволяет
изготовить фильтры с заданными характеристиками в области
202
спектра от 0,17 до 15 мкм. В качестве примера в табл. 4 даны
характеристики реальных ДУИФ для различных длин волн.
Интерферометр Фабри — Перо (ИФП). На принципе
многолучевой интерференции работает интерференционная система,
получившая название интерферометра Фабри — Перо. Принцип
работы ИПФ такой же, как и УИФ; существенное различие
состоит в том, что в интерферометре Фабри — Перо'расстояние
между пластинами, как правило, во много раз больше
исследуемой длины волны. Это определяет
его количественные характеристики и
способы применения.
Интерферометр Фабри — Перо
(ИФП) применяется в качестве
прибора для монохроматизации
излучения как прибор высокого разрешения
в метрологии и спектроскопии; он
является также резонатором лазера.
Рассмотрим некоторые характери-
■стики системы, представленной на
рис. 3.7.15. Две стеклянные или
кварцевые пластинки Pi и Рг
имеющие высокоотражающие покрытия на
внутренних поверхностях Si и S2, разделены воздушным
промежутком. Многократные отражения луча, падающего на
интерферометр, приводят к интерференции многих параллельных
пучков в проходящем и в отраженном свете. Если устройство
работает в проходящем свете, то в фокальной плоскости
объектива создается интерференционная картина. В соответствии
с рассмотрением, проведенным ранее, в проходящем свете
будут наблюдаться узкие интерференционные максимумы и
широкие минимумы. Картина в отраженном свете будет обратной.
Если конструкция интерферометра такая, что расстояние
между отражающими поверхностями пластин постоянно, то
такой прибор принято называть эталоном Фабри — Перо. Если
в конструкции предусмотрено изменение этого расстояния
(плавное или дискретное), то такой прибор называют
интерферометром Фабри — Перо.
Рис. 3.7.15. Схема
прохождения лучей в ИФП
Таблица 4
Спектральные характеристики ДУИФ
Число
отражающих слоев
17
21
23
17
^т'
нм
486,7
529,0
254,8
1260,0
6к,
нм
1.3
0,5
1,6
5,0
Ы.1Ъ.„
0,0027
0,0009
0,0063
0,0040
Пропускание,
%
68
50
50
83
203
Напишем формулу для распределения интенсивности
в фокальной плоскости объектива, воспользовавшись формулой
(3.4.15). При этом учтем, что воздушный промежуток
толщиной d, заключенный между интерференционными пластинами,
имеет пропускание Т^\. Перепишем выражение (3.4.15),
заменив пропускание т интенсивностью ///о — величиной,
пропорциональной амплитуде суммарного колебания
^= (\-R)^ , , 4j? . , Я , ' (3.7.17)
где 4i?/(l—R^)^ ^ F^—фактор резкости; А ^ 2d cos ф —
разность хода между соседними интерферирующими лучами (ф —
угол интерференции); разность фаз б ^ 2пА/Х =-т- 2g!cos ф
(в данном случае мы не учитываем скачки фаз при
отражении).
Вместо параметра RTc имеем теперь коэффициент R, так
как пропускание слоя диэлектрика имеет значение Гс ^ 1. Из
формулы (3.7.17) пропускания в максимуме и минимуме соот-
ветственнео равны:
•'max = /J Р)2 ' ■'min ^ /j i /?)2 • (о.7.1о)
Здесь /о — интенсивность падающего света; /шах и /шт —
интенсивности в максимуме и минимуме соответственно.
Из (3.7.18) следует, что для увеличения пропускания
интерферометра выгодно увеличить пропускание полупрозрачного^
покрытия Т и его коэффициент отражения R. Однако эти
условия противоречивы, так как всегда в силу закона сохранения
энергии имеет место соотношение /?+Г + а^1, где а —
коэффициент поглощения полупрозрачного слоя. Следовательно,
необходимо найти оптимальные соотношения для
коэффициентов R, Т и а.
Перепишем выражение из (3.7.18) для /шах в виде
-шах— (i_;^)2 (Г + а)2 (1+а/Т)^-
Таким образом, пропускание в максимуме зависит только
от отношения а/Т. В идеальном случае при а ^ О и /max = /о,
т. е. интенсивность в максимуме равна интенсивности света,
падающего на интерферометр. Это означает, что необходимо
выбирать покрытие с наименьшим а. Отсутствие в последнем
выражении коэффициента отражения R не означает, что его
величина может быть любой. Дело в том, что резкость
интерференционной картины, а следовательно, и ширина полосы
пропускания прямым образом связаны с коэффициентом
отражения покрытия R и чем он больше, тем лучше эта
характеристика. Этот вопрос специально рассмотрим несколько ниже»
204
Заметим, что для получения слоя, обладающего высоким
коэффициентом отражения R и малым коэффициентом
поглощения а, следует применять диэлектрические покрытия,
которые обладают весьма низким коэффициентом поглощения а;
однако их селективность высока.
Выше уже упоминалось, что ИФП имеет расстояние d
между пластинами, во много раз превышающее исследуемую
длину волны. Вследствие этого прибор работает в весьма
высоких порядках интерференции. Это следует из условия
максимумов, который является общим
для интерференции в
плоскопараллельном слое А ^.2с?созф = feX.
Приближенно порядок
интерференции в центре картины k = 2d/'k.
Чем больше угол ф, тем меньше k
и, следовательно, максимальный
порядок находится в центре
картины. Высокие порядки
интерференции k определяют главную
особенность рассматриваемой системы —
узость свободного спектрального
интервала АК, в пределах которого
работает прибор, так как АХ = K/k.
Поэтому ИФП часто называют
прибором узких спектральных
интервалов.
Подсчитаем порядок
интерференции, в котором работает
система, имеющая, например,
расстояние d ^ 5 мм. В соответствии
с условием максимумов получим, что в этом случае для
X ^ 500 им и ф^О fe^20 000. Свободный спектральный
интервал АК в этом частном случае равен 0,025 им. Эта величина
определяет требования к степени монохроматичности
исследуемого излучения; в пределах малого интервала АК можно
исследовать сверхтонкую структуру излучения или изучить
собственную ширину спектральной линии в излучении разряда.
На рис. 3.7.16 изображено распределение интенсивности в
интерференционной картине и системе интерференционных
колец.
Напишем формулу для углового расстояния Аф между
соседними интерференционными максимумами. Эта формула
получается из условий максимумов для соседних порядков,
а именно:
Рис. 3.7.16.
Интерференционная картина и
распределение интенсивности в
картине
2d cos ф^ kK;
2d cos (ф + Аф) = {k — \) ?..
(3.7.20)
(3.7.21)
205
Путем вычитания (3.7.20) из (3.7.21) и упрощения разности
получим
Аф = __4 ^=--^^. (3.7.22)
^ 2а sin ф к tg Ф
Здесь знак минус ознаЧает, что изменение порядка
интерференции обратно изменению угла ф.
Выражение (3.7.22) показывает, что угловое расстояние
между соседними порядками изменяется от центра ф = О к
периферии картины и становится тем меньше, чем больше угол ф.
На рис. 3.7.16 показано распределение интенсивности в
интерференционных кольцах, образующихся в фокальной плоскости
объектива, расположенного после интерферометра, и угловое
расстояние Аф между соседними максимумами.
Благодаря очень высоким порядкам интерференции ширина
интерференционного максимума будет весьма мала. Напишем
выражение для этой ширины, используя формулу (3.7.10) для
узкополосного интерференционного фильтра. Ширина
интерференционного максимума по (3.7.10) тем меньше, чем больше
порядок интерференции k и чем выше фактор резкости F.
Раньше уже говорилось, что порядок интерференции для ИФП
очень высок (он может достигать десятков и сотен тысяч).
Именно за счет этого мы имеем очень малую ширину
интерференционного максимума или аппаратной функции
устройства бХ.
Введем для ИФП понятие эффективного числа
интерферирующих пучков
Здесь Л''эфф это такое число пучков одинаковой интенсивности,
которое дает такую же ширину интерференционного
максимума i6X, как и бесконечно большое число пучков убывающей
интенсивности.
Тогда формула ширины интерференционного максимума по
^3.7.10) запишется в виде
бХ = ^-г^=-г^. (3.7.23)
в (3.7.23) Кк^%/к — свободный спектральный интервал,
который (вследствие больших значений k) очень мал.
Юстировка интерферометра Фабри — Перо сводится к,
установке с необходимой точностью пластин Р^ и Рг (см. рис. 3.7.15)
параллельно друг другу так, чтобы воздушный промежуток
между ними образовал плоскопараллельную пластинку.
Параллельность поверхностей пластин, на которых нанесены
зеркальные покрытия S\ и S2, регулируется тремя юстировочными
винтами, расположенными под углом 120° друг к другу. Движение
винтов передается одной пластине и поджимает ее к промежу-
206
-Л^эфф = -
точному кольцу, установленному между пластинами Pj и Рг и
обеспечивающему заданное расстояние d.
Рассмотрим этапы юстировки интерферометра. Юстировка
производится на рельсе, на котором устанавливается в качестве
источника излучения ртутная или кадмиевая лампа и
специальный конденсор. Интерференционная картина рассматривается
глазом, аккомодированным на бесконечность. Если при этом
интерференционные кольца слишком размыты или совсем не
наблюдаются, то это свидетельствует о том, что ответственные
детали (скорее всего площадочки промежуточного кольца)
загрязнены. В этом случае следует провести разборку прибора,
тщательно почистить спиртом или эфиром опорные
площадочки и края пластин и вновь осуществить сборку прибора.
При юстировке следует, наблюдая картину, , перемещать
глаз по направлению к юстировочным винтам, которые, как
указано ранее, находятся под углом 120° друг к другу. Вместе
с перемещением глаза обычно вначале наблюдается
перемещение и интерференционных колец. Они кажутся сходящимися
к центру картины или наоборот выходящими из центра. Это
свидетельствует о непараллельности зеркальных пластин
интерферометра.
С помощью поворота юстировочных винтов можно добиться
неподвижности интерференционной картины при перемещении
глаза наблюдателя. Если кольца при движении глаза по
направлению к одному из винтов расходятся от центра, то
следует уменьшить расстояние между пластинами, а если кольца
сходятся к центру картины, то следует увеличить это
расстояние. Таким образом надо поступать, пока картина не окажется
неподвижной. На этом заканчивается этап юстировки
интерферометра. Следующий этап состоит уже в согласовании
работы интерферометра со спектрографом или монохроматором,
которые необходимы для выделения свободной области
дисперсии.
Сферический интерферометр. Он представляет собой афо-
кальную систему, состоящую из двух одинаковых вогнутых
зеркал, имеющих радиус кривизны г (рис. 3.7.17). Расстояние
между зеркалами Si и S2 выбирается также равным г, при
этом центр кривизны каждого из зеркал совпадает с вершиной
другого. Луч, вошедший в интерферометр, в результате
многократного отражения от зеркал Si и S2 образует на выходе две
одинаковые системы интерферирующих лучей 1 и Г. На
рис. 3.7.17, а показано по одному лучу из каждой системы.
Определим разность хода между двумя последовательными
лучами. Луч, падающий на зеркало Si в точке а (рис. 3.7.17, б),
проходит путь adcbad и выходит через зеркало S2 в точке d.
Разность хода между этим лучом и лучом ad будет А =
^ ad-\- dc-\- сЪ -\-Ьа. Считая, что углы падения и отражения
малы, из abOi и 02сЬ можно получить равенство aOi = Oic,
207
из dc02 и 02cb — равенство йОг ^ ОгС?. Из этого следует,
что ad ^ dc ^ сЬ ^ Ьа, т. е. А ^ 4г. Таким образом,
сферический интерферометр можно рассматривать как эквивалентный
интерферометр с двумя плоскими зеркалами с тем же
коэффициентом отражения R и расстоянием между зеркалами 2/,
если принять г ^ t.
Особенностью сферического интерферометра является то,
что разность хода А в идеальном интерферометре не зависит
6 О2
Рис. 3.7.17. Сферический интерферометр: а — оптическая
схема; б — ход лучей
ОТ угла падения лучей на зеркала и составляет постоянную
величину А ^ 4г. В этом случае условие максимума
интерференции A^4r,^mX {т — целое число) выполняется для всех
лучей, проходящих через интерферометр под любыми углами.
Интерференционная картина, даваемая сферическим
интерферометром, представляет собой одно центральное кольцо полос
равного наклона.
Из-за наличия аберраций, присущих любой оптической
системе, к разности хода А добавляется разность хода Адоб,
поэтому для реального интерферометра имеем
А = А + Адо5, (3.7.24)
где А ^ 4г, а Адоб ^—D^/{\&r^). Последнее выражение
представляет собой максимальное значение дополнительной
разности хода, вносимое аберрациями системы сферических зеркал
диаметром D.
Добавочная разность хода Адоб оказывает существенное
влияние на результат интерференции только для пучков,
падающих на интерферометр под достаточно большими углами и
при больших размерах зеркал. Это приводит к образованию
нескольких колец равного наклона. Однако центральное кольцо
занимает большую часть поля интерференции.
Интерферометр Фабри—Перо как резонатор лазера. Для
получения генерации излучения в активной среде, т. е.
создания направленного когерентного пучка света, имеющего
высокую интенсивность, необходим оптический резонатор,
настроенный на заданную длину волны.
208
Резонатор представляет собой такую же двухкомпонентную
систему, как и ИФП. Однако он имеет значительно большее
расстояние между зеркалами. Часто одно из зеркал делают
полупрозрачным, а другое — полностью отражающим. Принцип
работы резонатора по физике образования интерференционной
картины совпадает со сферическим эталоном Фабри — Перо.
Между зеркалами резонатора находится активная среда.
Электромагнитная волна, возникающая в активной среде,
многократно вызывает в этой среде
новые акты вынужденного
испускания, вследствие отражения между
зеркалами ИФП. Таким образом
в оптическом резонаторе
происходит накопление электромагнитной
энергии. Резонатор играет
важнейшую роль в работе лазера, так как
он определяет пространственную и
временную когерентность
генерируемого излучения.
Оптический резонатор выделяет
в активной среде направление
распространения выходящего луча, т.е.
он определяет оптическую
ось^—направление, для которого
выполняется условие генерации. Для других
направлений условия генерации не
выполняются, так как процессы индуцированного излучения не
имеют соответствующего нарастания. Резонатор выполняет
роль селектора и поэтому формирует остро направленный
лазерный луч высокой пространственной когерентности. Такое
действие резонатора можно считать эквивалентным удалению
источника света на очень большое расстояние от оптической
системы, так как фотон многократно отразится зеркалом.
При длине резонатора 0,5 м атом-излучатель как бы
удален от приемника, например, на 50 км. Иначе говоря,
получим пучок лучей, практически не имеющий углового
расхождения.
Одновременно с этим оптический резонатор определяет
форму и ширину генерируемой линии, т. е. временную
когерентность излучения.
То обстоятельство, что излучение в объеме резонатора
задерживается, означает, что как бы увеличивается «время
жизни» атома-излучателя. Если время жизни атома — то, то
ширина излучения спектральной линии в частотах по известному
соотношению равна Av ^ 1/то. Чем больше то, тем меньше Av
и тем выше временная когерентность. Так как из-за
многократных отражений т^ ^ то, то Avr^ I/xr <_ Av. На рис. 3.7.18
представлены контуры линий излучения свободного атома
Рис. 3.7,18. К вопросу о работе
резонатора
14 Зак. № 167
209
(штриховая линия) шириной Av и контуры, обусловленные
работой резонатора, шириной Av«.
Важное значение имеет свойство резонатора, называемое
добротностью. Чем выше добротность, тем больше т^ и тем
выше степень временной когерентности. Практически
добротность резонатора снижается из-за потерь. «Вредные» потери
связаны с поглощением и рассеянием излучения в активной
среде, с дифракцией света из-за конечного диаметра зеркал
резонатора, возможной разъюстировкой зеркал. Частичную
прозрачность зеркал, необходимую для работы лазера, надо
отнести к полезным потерям. Добротность Q резонатора
определяется отношением энергии Pr, запасенной в резонаторе,
к энергии потерь Ра с точностью до множителя 2п
Q = 2nP^IPa. (3.7.25)
С другой стороны добротность определяется величиной
Q ^ 2nT«u/Xo, где Хо — длина волны, соответствующая
максимуму излучения; v — скорость света.
Учитывая, что т^ = 1/Av«, получим
Q = 2nKo/6Kj^. (3.7.26)
Сравнивая формулы (3.7.25) и (3.7.26), находим
Pj^ = P^'KI6Kj^. (3.7.27)
Теперь используем формулу (3.7.10) для ширины
интерференционного максимума узкополосного интерференционного
фильтра при созф = 1 в виде
Я^ Я^
В формуле (3.7.28) d' = nd оптическая толщина активной
среды; А/'эфф^ "_ njf > и по (3.7.27) напишем
Ря = РаЦ^^^^^, (3.7.29)
так как Xol^'^RT' = -т—^ _ „у, , где Т' — коэффициент
пропускания среды.
Таким образом, из формулы (3.7.29) следует, что
добротность резонатора увеличивается с ростом коэффициента
отражения зеркал и в целом параметра RT', а также добротность
тем больше, чем больше оптическая длина активной среды.
С параметром RT' связана также и пространственная
когерентность лазерного излучения. Угловой размер максимума
контура линии излучения равен
X л ,кт Лф(1—/?Г')
6ф = Аф/Л^зФФ= \^^. ■
210
Если RT' « 1, то бф ^ 0. Реально при условии компенсации
в резонаторах газовых лазеров (/?Г')эфф может быть очень
близок к единице и тогда теоретически бф = 0. Угловая ширина
пучка определится лишь дифракцией на входном окне
резонатора.
Таким образом, излучение лазера будет также весьма мо-
нохроматичным, так как из-за высоких значений RT' по
формуле (3.7.28) величина бЛ^г. очень мала. Что касается
погрешности изготовления зеркал резонатора, которая может
привести к уширению контура излучения, то здесь дело обстоит
прош,е, чем в ИФП, так как диаметр зеркал меньше и
получить RT', близкое к предельному, значительно легче.
В лазере могут присутствовать другие типы колебаний (не
только те, которые соответствуют оси резонатора). Поэтому
реально наблюдается большая расходимость пучка и большая
немонохроматичность излучения, чем в идеальном случае, когда
имеется один тип колебаний. У резонатора лазера вместо
плоских оказывается целесообразно использовать сферические
поверхности, так как в этом случае обеспечивается
большая стабильность системы и устойчивость генерации. Это
обусловлено тем, что у сферического эталона ФП центральное
кольцо занимает большую часть поля зрения.
§ 3.8. Интерференционная метрология
Измерения длин волн с высокой точностью имеют
принципиальное значение в технике оптико-физического эксперимента,
в том числе и для спектроскопических исследований. Особый
смысл эти измерения приобретают в связи с тем, что эталон
длины — метр — определяется через длину световой волны.
Уже давно ученые отказались от линейки — метра, которая
могла бы служить первичным эталоном длины. Наиболее
надежной мерой является длина световой волны спектральной
линии, возбуждаемой при строго определенных условиях.
Интерференционные методы измерений позволяют
сравнивать большие и малые длины, а также линейные перемещения
с большой надежностью и точностью. Эти и другие вопросы
охватывает интерференционная метрология.
В настоящее время принято следующее определение метра,
которое положено в основу международной системы.
«Метр — длина, равная 1650763,73 длины волны в вакууме
излучения, соответствующего переходу между уровнями 2^'"
и ЪсР атома криптона-86». Отсюда значение длины волны
Акг8б = 6057,80211 • Ю-'о м = 605,780211 нм.
В Международной спецификации строго оговорены условия
воспроизведения первичного эталонного излучения. Это
специальная изотопная лампа, заполненная газообразным Кгве.
Свечение возбуждается генератором высокой частоты (100—
14* 211
200 Мгц) и во время работы лампу охлаждают до температуры
тройной точки азота (63 К). При этих условиях возбуждения
ширина оранжевой линии Кхвв не превышает 0,013—0,016 см~'.
Такой источник излучения устанавливается перед
интерферометром, на котором измеряют материальные эталоны метра
в виде концевых и штриховых мер. Во ВНИИМе создана и
функционирует эталонная интерферометрическая установка,
которая предназначена для измерения вторичных эталонов и
позволяет измерять меры длины до 1000 мм со средним ква-
дратическим отклонением 3-10-^ в относительных единицах.
Рис. 3.8.1. Оптическая схема с ИФП для измерения длин
Интерференционные методы измерения длин следует
разделить на абсолютные и относительные. При абсолютных методах
измеряемую длину выражают непосредственно в длинах
световых волн. Эти методы весьма трудоемки. При измерении длины
в 200 мм насчитывается около 3-10^ интерференционных
максимумов. При регистрации одного максимума в секунду
пришлось бы затратить на их счет 3,5 дня. Следовательно, при
проведении абсолютных интерференционных измерений
необходима автоматизация процесса.
Во многих случаях применяются относительные
интерференционные методы, которые основаны на сравнении длин,
находящихся в приблизительно кратном отношении. Эти методы
дают возможность с высокой точностью измерять большие
длины, представляющие интерес в том числе и для
геодезической практики. При этом можно использовать различные виды
интерференционных полос.
Измерение длины с помощью интерференционных колец
равного наклона. Эталон длины может быть выполнен в виде
интерферометра Фабри — Перо. На рис. 3.8.1 изображен эталон
длины Си выполненный в виде кварцевого цилиндра. На
полированные торцы цилиндра установлены на оптическом контакте
плоские зеркала. Их поверхности обладают высоким
коэффициентом отражения.
Расстояние между внутренними поверхностями пластин
ИФП определяет длину i эталона. Источник света / располо-
212
жен в фокальной плоскости объектива Оь При освещении
интерферометра Ci монохроматическим светом с длиной волны X
в фокальной плоскости объектива Ог будет наблюдаться
интерференционная картина колец равного наклона.
Для центрального кольца (ср ^ 0) разность хода А будет
равна
2t = ko%. (3.8.1)
Порядок интерференции ко в общем случае будет дробным
числом. Чтобы рассчитать длину эталона t, надо знать целый
порядок интерференции в центре картины и его дробную-
часть е.
Определим сначала экспериментально дробную часть е
порядка интерференции. Для этого измерим диаметр D
некоторого интерференционного кольца с номером р, ведя счет колец,
от центра интерференционной картины и полагая для
центрального кольца р^1. Из предыдущего следует, что порядок
интерференции колец с увеличением диаметра кольца убывает..
Поэтому для кольца с номером р он будет ко — {р—1)—е.
Из-за малости углов падения условие максимума для кольца;
с номером р может быть записано в виде
А = 2^ cos ф = 2t fl —Х-] = [К — {р—\) — е] К. (3.8.2)
Преобразуя выражение (3.8.2), получаем с учетом (3.8.1)
Ф = 72(р-1 + е)/,%о. (3.8.3)
Для малых ф можно написать для диаметра кольца D =
= 2/02ф. Тогда по формуле (3.8.3) для дробной части порядка
интерференции в центре картины получим
^ = ^^+^-Р- (3-8-4)
Если предварительно сравнительно грубо определить длину
эталона t, то по формуле (3.8.1) можно вычислить
приближенное значение порядка интерференции ко- Далее надо измерить
диаметр кольца D и знать фокусное расстояние fo2
объектива Ог. Тогда по формуле (3.8.4) можно вычислить дробную
часть е порядка интерференции ко в центре картины с
некоторой точностью.
После вычисления дробной части порядка определяется
целая часть порядка интерференции по методу совпадения
дробных частей (см. с. 181).
Применение полос наложения для сравнения длин.
Интерференционные методы измерений позволяют сравнивать две
длины, например, два эталона Фабри — Перо, которые
находятся в приблизительно кратком отношении. В этом случае
длина меньшего эталона должна быть предварительно изме-
21S
рена непосредственно в длинах световых волн, например, опи-
■санным выше методом.
Для сравнения длин эталонов применяется схема для
наблюдения полос наложения. При больших и неравных
расстояниях между зеркалами эталонов Ci и Сг наблюдается
интерференционная картина полос наложения порядков
интерференции. На рис. 3.8.2 изображены два эталона длиной Ci и Сг,
выполненные в виде кварцевых цилиндров. Торцы цилиндров
находятся в оптическом контакте с плоскими полупрозрачными
пластинами.
м
Рис. 3.8.2. Схема использования полос наложения для
сравнения длин
Если второй эталон длины Сг отличается приблизительно
Б целое число раз от основного эталона длины Ci, то его
можно сравнить с длиной этого эталона. Положим, что 4 »
л^ mt\, здесь /г — длина эталона Сг; ti — длина основного
эталона; т — целое число. Тогда можно записать:
t^^mti — dt или ^2 — mti^dt, (3.8.5)
где dt—малая положительная величина.
Эталоны Ci и Сг устанавливают строго параллельно друг
другу и освеш;ают параллельным пучком белого света,
падающим почти нормально к поверхности зеркала. За эталонами
установлен клиновой компенсатор К. На поверхности одной из
пластин, составляющих компенсатор, нанесена миллиметровая
шкала М, проградуированная в толщинах клина. Лучи 1 и 2
выходят параллельными. Луч 1 испытывает четыре отражения
в первом эталоне, а луч 2 — два отражения во втором эталоне.
После прохождения клинового компенсатора К
интерферирующие лучи 1 и 2 составят угол со. Они образуют
интерференционную картину полос наложения, локализованную на одной
из поверхностей клина.
Запишем разность хода между лучами 1 и 2, она равна
Д = 2mti — {2t2 + 2d) = 2 (dt) — 2d, (3.8.6)
где d — толщина клина.
214
Толщина d клина переменна. Теперь обратим внимание, что-
найдется такое значение d, для которого Д = 0. В этом месте
клина будет наблюдаться система полос наложения в белом
свете и может быть точно определено значение d для нулевой
(белой) полосы по шкале М. Тогда имеем
2mt, — {2t, + 2d) = 0
(3.8.7)
Рис. 3,8.3. Оптическая схема совместного использования ИФП
и интерферометра Майкельсона
и, следовательно, /2=m/i —с? и с учетом формулы (3.8.5)
dt = d. Таким образом, задача определения dt в (3.8.5) решена
и, следовательно, измерена величина ^2 второго эталона С2.
Полосы наложения применяются также для сравнения
толщины эталона Фабри—Перо с концевой мерой большой
длины L. В этом случае последовательно располагается эталон
Фабри — Перо (зеркала Pi и Р2) и интерферометр
Майкельсона (зеркала М, Ми М2, М^) (рис. 3.8.3). Эталон Фабри —
Перо и интерферометр Майкельсона освещаются параллельным
пучком лучей. Лучи, многократно отразившиеся от зеркал Pi
и Р2 эталона, попадают на делительное зеркало М, проходят
ветви интерферометра Майкельсона и зеркалом М
направляются в коллиматор О2. В этой системе могут наблюдаться
интерференционные полосы наложения равной толщины. Если
расстояние между плоскостью R и зеркалом /И2 в m раз
больше длины / эталона Фабри—Перо, то разность хода между
лучами, т раз отразившимися между зеркалами эталона
Фабри— Перо и затем разделенными зеркалом М, будет мала и
интерференционная картина может наблюдаться в белом свете.
215
Это свойство описанной системы используется для
сравнения длины L концевой меры с длиной эталона / (рис. 3.8.4, а, б).
Концевая мера притирается к отражающей поверхности
.зеркала Мг. В поле зрения можно при этом наблюдать две
интерференционные картины (рис. 3.8.4,6). Одна из них
образована лучами 5, 4, отразившимися т раз в эталоне Фабри —
Перо в интерферометре Майкельсона зеркалами Мх и Мг;
вторая— образована лучами 1, 2, отраженными в интерферометре
JVIaйкeльcoнa зеркалами Мх и М^. Первая интерференционная
М, S)
Pi Pi
Рис. 3.8.4. Схема использования концевой меры с длиной эталона (а)
и вид интерференционной картины (б)
картина локализована на поверхности зеркала Мз и
соответствует разности хода Ai = 2(X —т/), а вторая локализована
на поверхности зеркала Мз и соответствует разности хода
А2^2(Х — L). По смещению одной системы полос
относительно другой легко определить разность А ^ Ai — А2 ^
^ 2(L — ml), а значит, и вычислить длину концевой меры
J _ 2ml+ &■
Измерение показателя преломления и дисперсии вещества.
Показатель преломления и дисперсия являются важной
оптической характеристикой вещества, связанной во многих
случаях однозначно с его физическими свойствами: составом,
строением, плотностью и т. д. В прикладной оптике знание
показателя преломления необходимо для расчета различных
систем, содержащих как оптическое стекло, так и
кристаллические материалы.
Под показателем преломления п вещества понимают
отношение синуса угла падения а к синусу угла преломления Р,
т. е. величину, определяемую из закона Снеллиуса — Декарта.
Под дисперсией обычно понимают частную производную
показателя преломления до длине волны или волновому числу.
Эту величину иногда характеризуют частными дисперсиями
{по — Пс), {пр — Пс), {пр — По) и т. д., а также их
отношениями или з.ависимостью п ^ f{X).
216
Для измерения показателя преломления и дисперсии стекла
в настоящее время применяют следующие методы:
метод наименьшего отклонения и метод автоколлимации,,
осуществляемые на гониометре-спектрометре;
метод измерения предельного угла выхода лучей из призмы
на рефрактометре (полное внутреннее отражение);
разнообразные методы отражательной рефрактометрии;
иммерсионно-интерференционный метод И. В. Обреимова,,
модифицированный А. Н. Захарьевским;
интерференционный метод.
На ряд этих методов имеются государственные стандарты.
В этом параграфе рассмотрим интерференционные методы,,
которые позволяют получить наибольшую точность, а в ряде
случаев являются единственно возможными. Сущность
интерференционных методов состоит в определении разности хода,
вносимой образцом, когда его помещают в интерферометр.
Все интерференционные методы измерения показателя
преломления можно разделить на две группы: абсолютные и
относительные. К абсолютным относятся методы измерения
относительно вакуума или воздуха; к относительным — методы
измерения разности показателя преломления между исследуемым
и стандартным образцами.
Рассмотрим сначала относительные методы. Наиболее
распространенным из них является метод И. В. Обреимова. Этот
метод относится к числу иммерсионных, основанных на
использовании явления исчезновения видимой границы раздела стекла
и жидкости, в которую он погружен. Это исчезновение
происходит при равенстве показателей преломления образца и
жидкости для некоторой длины волны. Основное отличие метода
И. В. Обреимова от других иммерсионных методов состоит
в том, что момент исчезновения границы раздела
устанавливается с высокой точностью в результате наблюдения
интерференционных явлений, возникающих на границе стекло —
жидкость. Рассмотрим эти явления подробнее.
Система образец — жидкость является интерферометром
с делением фронта падающей волны подобно тому, как это-
происходит в интерферометре Релея. Эта интерференционная
система отличается от интерферометра Релея тем, что две-
щели (каждая шириной а) непосредственно примыкают друг
к другу, а разность хода возникает вследствие того, что одна
из щелей перекрыта пластинкой-образцом с показателем
преломления По (рис. 3.8.5). В том случае, когда л» ^ «о ^ 1,
распределение интенсивности в картине описывается обычное
формулой для дифракции от одной щели шириной 2а, т. е.
■^a^-^osin^—т-—/(2яааД)2, где а — угол дифракции. Если
перекрыть половину щели пластинкой с показателем
преломления «о и двойную щель поместить в иммерсионную среду
217
с показателем преломления л», то разность хода между
интерферирующими лучами будет равна А ^ (Ло — nx)t. Пусть
толщина слоя пластинки (или ее показатель преломления)
непрерывно меняется. В результате изменения А распределение
интенсивности в дифракционной картине меняется, что показано
на рис. 3.8.5,6. По графикам рис. 3.8.5,6 мы можем
проследить сдвиг нулевого максимухма вправо и постепенное его
замещение максимумов первого порядка. Граница раздела
образец— жидкость исчезает при A^kX, т. е. при k^=0, 1, 2
и т. д. Для исключения неопределенности в значении По
используют образец переменной
толщины. При этом условии граница
раздела будет полностью невидима только
при По = Пх. Для четкой фиксации
этого момента наблюдают
интерференционные полосы, возникающие в зоне
дифракции Френеля, т. е. вблизи
границы образец — жидкость.
Кроме того, кювету с
иммерсионной жидкостью и образцом освещают
монохроматическим светом, длину
волны которого можно изменять.
Граница раздела при этом будет
невидимой для некоторой длины волны X =
^Ко, при которой кривые дисперсии
образца и жидкости пересекаются
(рис. 3.8.6).
Тем не менее такой принципиально
простой процесс определения
показателя преломления не обеспечивает
необходимой точности в силу целого
ряда чисто технических причин.
В частности, полного исчезновения
границы раздела не наблюдается
4 = ^А/(У из-за ббльшей прозрачности стекла по
а)
S)
-г 2я ,
1
46 »
П-ж
-ю
'/ у"' У^Щ'/' ,
0
'
h
2К/6
ЗЛ/(У
сравнению с жидкостью.
д,= 5к/6
A=ffK/e
Рис. 3.8.5. Пояснение
метода И. В. Обреимова
Рис. 3.8.6. Кривые дисперсии
образца и иммерсионной
жидкости
518
из-за неоднородности стекла и загрязненности его поверхностей:
и т д Для исключения влияния этих причин используют
сравнение показателя преломления образца По с показателем
преломления эталона п^. Следует отметить, что в этом случае
жидкость является лишь некоторым репером, позволяющим
сравнить По и Пэ, что существенно повышает точность
измерений Размещение эталона и образца в кювете с иммерсионной
жидкостью изображено на рис. 3.8.7,а. Кювета с жидкостью К
Ю
Рис. 3.8.7. Пояснение иммерсионного метода сравнения
эталоном 2 и образцом 3 освещается монохроматическим
светом с переменной длиной волны. Лупа 4 позволяет наблюдать
интерференционные полосы в зоне дифракции Френеля. В
качестве эталона используется плоскопараллельная пластинка
с фаской Ф ориентированной наклонно к границе раздела
эталон —жидкость (рис. 3.8.7,6). Наличие фаски обеспечивает
переменную толщину эталона, что позволяет фиксировать
момент равенства По = «ж-
При изменении длины волны освещающего излучения
наблюдают периодическое исчезновение интерференционных
полос на фоне граней эталона. Однако область фаски
периодически не исчезает, так как толщина эталона в разных ее сечениях
неодинакова. При длине волны X = %э, для которой
показатели преломления иммерсионной жидкости и эталона равны,-
эталон станет невидимым во всех сечениях. Аналогичным
образом наблюдают момент исчезновения границы образец
—жидкость и соответствующую длину волны X = Хо. Чтобы
определить разность хода лучей в иммерсионной жидкости и в
эталоне для длины волны Хо, необходимо подсчитать число N
периодических исчезновений края эталона при изменении длины
волны от Хэ ДО Хо. Показатель преломления образца
вычисляется по формуле По = п,±ЫХо/1, где Пэ —показатель
преломления эталона при длине волны Хо, а / — толщина эталона.
219
Рис. 3.8.8. Кривые дисперсии
Результат расчета следует уточнить, определив дробную часть
N, которая находится в простейшем случае линейной
интерполяцией между длинами волн, соответствующими соседним
целочисленным значениям N. Следует отметить также
необходимость учета дисперсии показателя преломления жидкости, что
требует дополнительных измерений и расчетов, которые тем не
менее осуществляются в рамках основной идеи метода.
Дисперсионные кривые образца, эталона и жидкости
иллюстрируются на рис. 3.8.8. Диспер-
л \ Пд\.\п^ сионная кривая жидкости
должна пересекать
дисперсионные кривые образца и эталона.
Рассмотрим теперь
некоторые абсолютные методы.
Прежде всего остановимся на
методе, использующем полосы
равной толщины.
Пусть исследуемый образец
с показателем преломления п
помещен, например, в
интерферометр Майкельсона. Если
толщина t образца является переменной, то порядок
интерференции полосы, проходящей через некоторую точку с
координатами X, у, будет
k,=2{n-l)i{x,y)/K. (3.8.8)
Порядок интерференции ki зависит от координат х, у, и
совокупность точек с различными ki образует некоторую
интерференционную картину полос равной толщины.
Пусть теперь тот же самый образец используется в
качестве интерферометра, т. е. наблюдают интерференционные
полосы равной толщины, образовавшиеся при интерференции
лучей, отраженных его поверхностями. Порядок интерференции
в зависимости от координат х, у будет определяться формулой
ko = 2nt{x, у)/Х. (3.8.9)
Сравнивая формулы (3.8.8) и (3.8.9), найдем, что
интерференционные картины в первом и во втором случае подобны,
т. е. путем геометрических преобразований могут быть
полностью наложены друг на друга. Такими преобразованиями
в данном случае являются поворот, смещение и равномерное
растяжение или сжатие в плоскости х, у. Если путем поворота
и смещения координатные системы в соотношениях (3.8.8) и
(3.8.9) будут совмещены, то увеличение картины, описываемой
уравнением (3.8.8), в Т^п/{п—1) раз преобразует эту
картину в картину, описываемую уравнением (3.8.9). Таким
образом, зная величину Г, можно найти показатель
преломления п из соотношения л ^ Г/(Г— 1).
220
в случае правильных (идеальных) клиновидных образцов
коэффициент увеличения (а соответственно и показатель
преломления) может быть определен по отношению ширин полос
в интерференционных картинах, соответствуюш,их уравнениям
(3.8.8) и (3.8.9)'. Наглядно процесс определения показателя
преломления в этом варианте можно представить следуюш,им
образом. Поместим исследуемый образец в одну из ветвей
интерферометра Майкельсона и перекроем, например, нижние по-
Рис. 3.8.9. Оптическая схема с использованием
интерферометра Майкельсона (а) и вид
интерференционной картины (б)
ловины каждого из зеркал (рис. 3.8.9). В этом случае
полученная совмеш,енная интерференционная картина будет состоять
из двух: в нижней части, полученная при интерференции
лучей, отраженных поверхностями образца; в верхней — при
интерференции лучей в интерферометре с образцом. Ширина
полос в нижней картине равна bo = Х/ао = Х/2пу, а в верхней
bi ^ X/cii ^ 'к/2(п—1)7, где у — клиновидность образца.
Найдя отношение Ьо/Ъи можно рассчитать показатель прелом-
■ления по формуле п^ 1/(1 — bo/bi).
Отметим, что изложенный способ пригоден также для
измерения углов стеклянных клиньев при малых 7-
Рассмотрим теперь возможность использования для
измерения показателя преломления полос равного наклона. Из
изложенного выше следует, что для этого также целесообразно
использовать две картины полос равного наклона: при
интерференции лучей, отраженных поверхностями плоскопараллельного
образца и при помеш,ении того же образца в интерферометр.
Выведем уравнение для полос равного наклона при
помещении пластинки в интерферометр Майкельсона.
Эквивалентную схему представим в виде, изображенном на рис. 3.8.10.
А. С. № 1213398 (СССР).
221
в ветви с плоскопараллельной пластинкой луч проходит путь
ABC, а в ветви без нее — путь АВ'С. Толщина
плоскопараллельной пластинки i, а ее показатель преломления п. Одно из
отражающих зеркал М' интерферометра для простоты
рассмотрения совмещено с задней поверностью пластинки, а
изображение другого М" сдвинуто относительно М' на величину
разности хода в интерферометре А. Результат интерференции
определяется разностью хода между лучами СО и С'О'. Эту
разность хода проще всего вычислить, введя вспомогательный
луч АО", совпадающий с лучом, отраженным передней
поверхностью пластинки. Очевидно, что искомая разность хода будет
равна разности хода при ин-
' У/////////////////////////////л М'
'Ь^/^//////////////// М "
о
Рис. 3.8.10. Эквивалентная схема при
использовании интерферометра Май-
кельсона
терференции в стеклянной
пластинке толщиной t за вычетом
разности хода при
интерференции в воздушной пластинке
толщиной t — А. Эти разности
хода вычислим по отношению'
к вспомогательному лучу АО",
Используя известные
соотношения, получим
Аа = Itn COS р — 2 (^ — А) cos а.
(3.8.10)
В соотношении (3.8.10)
первое слагаемое — это разность
хода в стеклянной плоскопараллельной пластинке толщиной t
и с показателем преломления п, а второе — разность хода
в воздушной пластинке толщиной {t — А). Проанализируем
соотношение (3.8.10).
Прежде всего отметим, что при А ^ ^ картина полос
равного наклона в интерферометре с пластинкой полностью
тождественна аналогичной картине в самой пластинке. При этом
луч, отраженный от зеркала М", совпадает с лучом АО'". Это
дает возможность определить толщину пластинки t. Определить
момент равенства А ^ ^ можно, сравнивая вид картин в
интерферометре с пластинкой и в самой пластинке. Для этого,
например, перекрывают одну из половин зеркал в обеих ветвях
интерферометра, как и в предыдущем случае. Разность хода А при
этом определяется по картине полос, равного наклона в
интерферометре без пластинки. Используя теперь зависимость k =
= 2tna cos г ^ 2tna—taa^/n, определяют величину ta/n, а
затем при известных а = 1Д и t определяют коэффициент
преломления п.
Рассмотрим теперь еще одну особенность картины полос
равного наклона, вытекающую из соотношения (3.8.10). Если
луч СО совпадает с лучом СО', то при этом видимые расстоя-
222
иия до зеркал М' и М" совпадают, т. е. выполняется равенство
Л ^ (л—1)^/л. Используя это равенство в (3.8.10), получим
Д„ = 2/(/гсозр —соза//г). (3.8.11)
Вычислив производную d^/da, найдем
Ж = 2'--е-т)- Р.8.12)
Поскольку в приближении малых углов d^/da «—, то,
как следует из формулы (3.8.12), dA/da^O. Это означает, что
центральное кольцо в картине полос равного наклона при
А ^ (п—l)t/n имеет максимально большой размер при
данных условиях из-за весьма слабой зависимости А от угла а.
Это дает еще одно соотношение для определения коэффициента
преломления, а именно n^{t — А)^. Момент минимальной
зависимости А от а можно зафиксировать известными способами,
например, модуляционным, а толщину образца t и разность
хода А определить так же, как и в предыдущем случае.
Перейдем теперь к использованию полос равного
хроматического порядка для измерения коэффициента преломления.
Известно, что положение интерференционных максимумов
в картине полос равного хроматического порядка определяется
соотношениями:
2{nk~l)t = klk; (3.8.13)
2nkt = klk, (3.8.14)
где k — порядок интерференции; kk — длина волны,
соответствующая максимуму, а Пк — коэффициент преломления для
этой длины волны.
Соотношение (3.8.13) справедливо при помещении образца
в интерферометр Майкельсона, а (3.8.14) — при наблюдении
интерференционной картины непосредственно от образца.
Рассмотрим несколько вариантов использования полос равного
хроматического порядка.
Прежде всего покажем, что используя интерференционные
картины, описываемые уравнениями (3.8.13) и (3.8.14), можно
определить толщину образца t. Пусть для длины волны X'
порядок интерференции с учетом дробной части в формуле
(3.8.13) будет равен /', а в формуле (3.8.14) будет равен т'.
Тогда из этих соотношений имеем
2t = {t' — m')X'. (3.8.15)
Аналогично для длины волны X" получим
2t = {I" ~ т") I". (3.8.16)
223
Обозначив через М ^ 1' — /" и через Ат^т'—т", из
формул (3.8.15) и (3.8.16) имеем
2^__(дГ-^^0^_ (3.8.17)
Таким образом, сосчитав число полос А/ между длинами
волн V и %" в картине полос (3.8.13) и Am в картине полос
(3.8.14) по формуле (3.8.17), находим толщину образца t.
Измеряемые величины, входящие в формулу (3.8.17),
наглядно представлены на рис. 3.8.11. На рисунке представлены
две системы полос равного хроматического порядка,
полученных разверткой их в спектр с по-
к-
ль
Am
мощью спектрального прибора.
Верхняя система полос
соответствует соотношению (3.8.13),
а нижняя—соотношению (3.8.14).
Остальные обозначения понятны
из рисунка.
л' Л' Предположим теперь, что ко-
Рис. 3.8.11. Процесс измерения по- эффициент преломления образ-
казателя преломления ца нам известен для одной из
длин волн А,о. Он может быть
измерен одним из абсолютных методов, описанных выше. Тогда
для Ло порядок интерференции рассчитывается, например, из
формулы (3.8.14), т. е. ^о ^ 2^Ло0о, так как 2t также известно.
Для других длин волн порядки интерференции k определяются
подсчетом интерференционных полос в спектре с учетом того,
что величина k в области прозрачности исследуемого вещества
увеличивается при уменьшении длины волны. Затем по
известным порядкам интерференции рассчитываются показатели
преломления для всех интересующих длин волн по формуле
(3.8.14). Поскольку коэффициент преломления для длины
волны А,о известен с ограниченной точностью, а соответственно
и значение k^ рассчитывается приближенно, то целесообразно
выполнить контрольное измерение. Для этого необходимо
знать показатель преломления еще для одной длины волны А,],
отстоящей достаточно далеко от А,о. Зная коэффициенты
преломления для длин волн А,1 и А,о, рассчитаем 2t с учетом
соотношения (3.8.14). В результате получим формулу
2^^_0fej^-MM£_. (3.8.18)
Сравнив значения толщин, полученные из (3.8.17) и (3.8.18),
можно оценить достоверность измерений.
Точность интерференционных измерений. Явление
интерференции широко применяется в измерительной технике при
физических исследованиях параметров прозрачных или
отражающих сред. Непосредственно измерения сводятся к определению
разности фаз интерферирующих пучков, которая возникла
224
Рис. 3.8.12. Визуальные методы
измерений
в результате взаимодействия части пучков с исследуемым
объектом. Точность интерференционных измерений определяется
точностью определения малых изменений разности фаз Аб.
Чувствительность интерференционных измерений
ограничивается флуктуационными явлениями в измерительной
установке. На результаты измерений влияет много мешающих
факторов случайного характера, т. е. таких, как изменение
температуры и давления окружающего воздуха, вибрации,
электрические помехи и наводки, нестабильность работы отдельных
оптико-механических и
электрических звеньев. Но эти факторы
принципиально не ограничивают
чувствительность, так как
специальными мерами можно
свести их мешающее
воздействие к допустимой величине.
Принципиальное ограничение
вносят лишь шумовые
флуктуации потока излучения и
внутренние шумы приемника лучистой
энергии, которые не удается
устранить никакими конструктивными мерами. Рассмотрим
методы измерения малых изменений разности фаз при
визуальном и фотоэлектрическом способах регистрации.
Визуальные методы. Рассмотрим метод измерения
смещения полос. Этот метод заключается в том, что измеряют
смещение р интерференционных полос в поле зрения прибора
относительно неподвижной визирной линии (рис. 3.8.12, а) или
идентичной картины полос (рис. 3.8.12,6). Он чаще всего
применяется при наблюдении полос равной толщины и равного
хроматического порядка. При оц'енке относительного
расположения интерференционных полос и визирной линии
(рис. 3.8.12,а), которая возможна с точностью 0,1 полосы,
погрешность измерения сдвига фаз равна приблизительно Аб ^
^ 2я/10. Однако погрешность установки совмещения центров
интерференционной полосы и визирной линии, а также двух
систем полос значительно меньше. Погрешность совмещения
определяется нониальным эффектом и составляет
приблизительно 1/10 часть видимой ширины полосы. Вследствие
нелинейности процесса реагирования глаза на световое воздействие
видимая шиирна черных полос в случае двухлучевой
интерференционной картины равна трети расстояния между полосами.
Значит погрешность совмещения полос равна теперь 1/30, а
погрешность определения сдвига фаз равна Аб ^ 2я/30.
Принципиально иные возможности повышения
чувствительности открываются при использовании многолучевой
интерференции. Вследствие интерференции большого количества
пучков в распределении интенсивности в поле интерференции воз-
15 Зак. № 167
225
пикают узкие максимумы и широкие минимумы. В этом:
случае из-за сужения интерференционной полосы можно
достичь более высокой точности измерений по сравнению с двух-
лучевой интерференцией. Современные многолучевые
интерферометры обладают большим эффективным числом Л'эфф
интерферирующих пучков. Ширина полосы интерферометра Фабри —
Перо соответствует интервалу разности фаз буг ^ 2я/Л'эфф.
Известно, что Л^эФФ ^ 1 _ о ' где R — коэффициент отражения
зеркал. Для интерферометра Фабри — Перо погрешность
измерения разности фаз А6 ^ 2я/10Л'эфф. Таким образом, для
повышения чувствительности измерений следует увеличивать
Л'эфф, т. е. увеличивать коэффициент отражения R. Однако
увеличение коэффициента отражения R неизбежно вызывает
увеличение коэффициента поглощения а отражающего слоя и
соответствующее уменьшение пропускания интерферометра в
максимуме [формула (3.7.19)]. Многослойные высокоотражающие
диэлектрические покрытия дают возможность получить R та
!5i 0,97-^ 0,99. Но здесь следует учитывать и другие факторы,
ограничивающие увеличение R; к ним относятся:
несовершенство изготовления отражающих поверхностей зеркал и
погрешность в установке параллельности этих поверхностей. Эти
факторы становятся существенными, когда наблюдают «бесконечно
широкую» полосу равной толщины или кольца равного
наклона. Для интерферометра Фабри — Перо с плоскими
зеркалами увеличение R больше 0,94 не имеет смысла, и реально
достижимые значения Л'эфф не превышают 30—40. В
многолучевых интерферометрах с конфокальной геометрией хода лучей
рабочие размеры зеркал существенно уменьшаются, в
результате чего можно получить значения Л'эфф ^ 100 Ч-150.
Рассмотрим метод равномерного поля. Он заключается
в регистрации яркости равномерно освещенного поля,
представляющего собой интерференционную полосу «бесконечной
ширины». По изменению яркости поля судят об изменении
разности фаз.
Очень высокая чувствительность измерений получается при
использовании полутеневого устройства. Способ измерения
с полутеневым устройством основан на принципе уравнения
яркостей двух соприкасающихся частей поля зрения с
помощью компенсатора. В момент уравнения яркостей граница
между половинами поля пропадает. Этот способ использует
высокую чувствительность глаза к контрасту, т. е. способность
глаза улавливать минимальную разность AL яркостей половин
поля. Контрастная чувствительность AL/L является
индивидуальной характеристикой глаза и зависит от внешних
факторов. При оптимальных условиях наблюдения AL/L^0,024-0,05.
В двухлучевых интерферометрах с полутеневым устройством
226
при видности V «J 1 отношение AL/L == 0,05. Тогда по
формуле (3:6.4) и при АД ^ 0,2 может быть обнаружено
изменение разности фаз А6 ^ 2я/800.
Для многолучевого интерферометра типа Фабри — Перо
А6 = 2л/100Л'эфф при AL/L = 0,05. Если i? = 0,92, то Л'эФф =
= 38. Тогда А6 = 2я/3800.
Рассмотрим метод уравнения яркости соседних полос. Этот
метод применим к таким интерферометрам, в которых
изменение разности фаз вызывает перераспределение интенсивности
в соседних полосах. Это относится, например, к трехлучевым
интерферометрам.
В трехлучевом интерферометре распределение
интенсивности в интерференционной картине зависит от разности фаз
между центральным и внешним пучками (§ 3.4).
Интерференционные полосы имеют одинаковую интенсивность, когда
разность фаз между центральным и внешним пучками 6 = 2nk 4г
± я/2. В этом случае очень небольшие изменения фазы
центрального пучка приводят к ощутимой разнице в яркостях
соседних полос. Погрешность установки момента, когда 6 ^
^ 2я^ ± я/2, т. е. равенства яркости соседних полос,
определит погрешность в оценке разности фаз А6 ^ 2я/100-=-2я/200.
В четырехлучевых интерферометрах погрешность установки
равенства яркостей соседних полос меньше, чем в предыдущем
случае, поэтому погрешность измерения разности фаз меньше,
теоретически — это А6 ^ 2я/500.
Фотоэлектрические методы
интерференционных измерений. Эти методы имеют значительные
преимущества по сравнению с визуальными, выражающиеся в
более высокой чувствительности и отсутствии субъективных
систематических ошибок. Порог чувствительности
фотоэлектрических методов определяется только шумами фотоприемника
и электронного устройства. Эти методы обладают малой
инерционностью, позволяющей значительно сократить время
измерения и исключить медленное смещение полос из-за
температурных воздействий. Фотоэлектрические методы можно
автоматизировать.
При измерении малых изменений разности фаз можно
воспользоваться измерением изменения фототока фотоумножителя,
установленного на выходе интерферометра. Но работа на
постоянном токе сопровождается погрешностями измерения из-за
искажений электрического сигнала, вносимых различными
шумами и помехами. Увеличение же числа измерений увеличивает
время измерений, что приводит к увеличению погрешностей,
связанных с медленным смещением полос. Экспериментальные
данные показывают, что за 1—2 с погрешность измерения
сигнала при благоприятных условиях составляет 3—5 % от его
величины.
15* 227
Распределение интенсивности в двухлучевой
интерференционной картине, согласно формуле (3.1.3), выражается
формулой / = 2/о(1+C0S6), где 6 —разность фаз. Из этой
формулы можно определить значение фототока приемника,
установленного за диафрагмой с узкой щелью, ширина которой
значительно меньше ширины интерференционной полосы. При
изменении разности фаз на Аб изменение тока равно А/=
= 2/osin6A6. Максимальное значение А/ будет при sin 6 =
= 1, т. е. при b = 2nk + n/2, где ^ —целое число. В этом слу-
s
-?
\~У \
1
1
1
-^^
А
L
/
:
V.1
t
1
ff
'
/X ,
__v
t
Рис. 3.8.13. Пояснение модуляционного
измерений
метода
чае / = 2/о и А/// = Аб, полагая, что А/// = 0,03, находим, что
изменение разности фаз Аб, которое может быть измерено,
равно Аб = 0,03 = 2я/200.
Значительно большей чувствительностью обладает
модуляционный метод, предложенный Г. С. Гореликом и И. И. Берн-
штейном. Сущность этого метода заключается в том, что
каким-либо способом меняют в небольших пределах разность
фаз интерферирующих колебаний по периодическому закону
и тем самым осуществляют модуляцию потока излучения на
выходе интерферометра. При помощи фотоприемника
регистрируют поток от небольшой области поля интерференции и
производят гармонический анализ электрического сигнала.
На рис. 3.8.13 дано качественное пояснение модуляционного
метода. Зависимость интенсивности / в двухлучевой
интерференционной картине от разности фаз б представлена кривой 1;
кривая 2 показывает зависимость изменения разности фаз 6i
от времени t при периодических колебаниях полосы около
неподвижной щели А; кривая 3 представляет переменную
составляющую фототока /. Эта составляющая имеет сложную форму,
но может быть разложена в ряд Фурье, причем в случае
кривой 3 она может быть с большой степенью точности выражена
228
первой гармоникой разложения Фурье. Если с помощью
узкополосного электрического фильтра выделить первую
гармонику, то по амплитуде переменного фототока можно измерить
изменение разности фаз А6.
Чувствительность модуляционного метода может быть как
угодно велика, так как с помощью узкополосного фильтра
можно выделить на фоне собственного шума аппаратуры сколь
угодно малый периодический сигнал. Наименьшее значение
изменения разности фаз А6, которое может быть обнаружено
модуляционным методом, определяется только дробовым шумом
фотоумножителя. Теоретические расчеты показали, что А6 ^
= 2я/10б.
§ 3.9. Применение интерференционных методов
для измерения некоторых
оптико-физических характеристик
В этом параграфе будет рассмотрена сущность способов
исследования дисперсии фазовых объектов с помощью методов
классической интерферометрии.
Такие исследования дают
возможность проводить измерения
дисперсии вещества и
важнейших спектроскопических величин
и констант.
Неоднородность оптической
•среды, в частности, связана
'С неоднородностью показателя
преломления исследуемого
объекта. В гл. 2 речь шла о рас-
лространении электромагнитной
волны через изотропную среду,
которая характеризуется
полосами поглощения в
определенном интервале частот или длин
волн. На рис. 3.9.1 приведена зависимость показателя
преломления от длины волны n^fCk) при наличии двух линий
поглощения в исследуемом диапазоне. Из предыдущего
рассмотрения следует, что кривые дисперсии имеют характерный вид,
зависящий от расположения в спектре линий поглощения
вещества. Здесь центры контуров полос поглощения обозначены
через А,о1 и А,о2. Внутри полос поглощения наблюдается
аномальный ход дисперсии, т. е. имеет место резкое увеличение
показателя преломления с увеличением длины волны. Эта
область длин волн в настоящем рассмотрении нас интересовать
не будет. Для нормальной дисперсии вдали от линии
поглощения имеет место достаточно слабая и обратно
пропорциональная зависимость показателя преломления от длины волны.
Рис. 3.9.1. Зависимость
показателя преломления от длины волны
в случае двух полос поглощения
в рассматриваемом диапазоне
229
Вблизи полосы поглощения наблюдаем значительное
уменьшение показателя преломления при подходе к ней со стоооТы
коротких волн и, наоборот, резкое увеличение показателяХе
ломления при подходе к линии поглощения со стоГоны ляЕн
них волн. Эта область дисперсии является наиболее ?ру™й
для экспериментальных исследований из-за слишком большого
?веннГ ZZi " ^^^'^- ^"^ экспериментальных колТче
ственных измерении дисперсии вблизи линий поглощения
обычно используют интерференционные методы, позволяющие'
что ясно из предыдущего
^2 ,к Pi у /^ -7 рассмотрения, измерить.
-0 °ч^иь небольшие
изменения показатели
преломления. Эти методы, что^
будет показано далее,,
имеют принципиальное'
_ значение для оптико-фи-
Т W '^Pf '^^''Рз зических исследований,
так как позволяют опре-
Рис. 3.9.2. Оптическая схема Рождествен- Делять важнейшие физи-
ского для исследования аномальной диспер- ческие
спектроскопические характеристики объ-
лить на две группы. К первой группе отнесем методы в кото
рых непосредственно может быть измерена спектральная за"
висимость показателя преломления nJfMKomo^ou-Z'
тоды, в которых измеряется дисперсия вещества dn/dx = f(x)
Отличительной особенностью второй группы методов яв1;яется
возникновение в интерференционной картине области ахро
матизации вблизи полосы поглощения, т. е. области в котолпй
фаза результирующей интенсивности не зависит о/Д™нь1
волны. Область ахроматизации проявляется в в де хаоактеп
ного изменения в интерференционной картине, например' в 7е:
тоде д. с. Рождественского — это изгиб интерференционных
^яГкГГтГп'о'/ ' ""'Т' "°-''°^ Р^^"^''^ хроматического по
рядка-это появление более широкой, чем другие ахпомати
ческой полосы в некоторой области спектра ахромати-
Подробно рассмотрим фотографические методы
исследования, а затем фотоэлектрические исследова-
Методы Пуччианти и Д. С. Рождественского. На рис 392
изображена экспериментальная установка на базе четырех
зеркального интерферометра Рождественского (см § 3) и шек-
slZlTp ,^"J^P*^P°-^^P ^-^-ош из двух полупрозрачнь1Х
зеркал Р, и Р^ и двух отражательных Р, и Рз и освещается
230
параллельным пучком лучей от источника /, излучающего
•сплошной спектр. Объектив 0^ проектирует полосы равного
наклона в плоскости входной щели S спектрального аппарата.
Интерферометр юстируется таким образом, чтобы полосы были
ориентированы перпендикулярно щели спектрографа. Щель
вертикальна и, следовательно, интерференционные полосы
будут горизонтальными. При отсутствии кювет Г] и Гг в
фокальной плоскости спектрального прибора будут наблюдаться ин-
Рис. 3.9.3. Вид интерференционных картин в фокальной
плоскости спектрографа: а — в отсутствии исследуемых паров;
б — в присутствии паров натрия; в — при введенной
компенсационной пластинке; г — картина «крюков»
терференционные полосы, вытянутые в направлении дисперсии
спектрографа. Нулевая полоса, т. е. полоса, для которой
разность хода равна нулю (А^О), займет горизонтальное
положение. Интерференционные полосы других порядков k^l,
2, 3 ... будут расположены по обе стороны (вверх и вниз)
относительно нулевой полосы (рис. 3.9.3,а). Здесь мы выбрали
оси координат таким образом, чтобы по оси X располагалась
нулевая полоса, для которой координата У ^ 0. Уравнение
полосы ^-го порядка можно записать в виде
By, = kl, (3.9.1)
где В — некоторый коэффициент пропорциональности; г/^ —
ордината любой точки к-й полосы; k — порядок интерференции.
Расстояние между соседними порядками будет определяться
разностью координат i/k+i и i/k при изменении k на единицу.
Тогда из формулы (3.9.1) получим
Ау^ = 11В. (3.9.2)
Из этого равенства следует, что чем больше X, тем
расстояние между полосами Ау^ больше, т. е. полосы веером бу-
231
дут расходиться в сторону больших длин волн. Если участок
спектра не слишком велик, то визуально это искривление
может быть незаметно.
Для исследования аномальной дисперсии в одну из ветвей
интерферометра помеш,ается кювета Ti с исследуемым веш,е-
ством. Кювета Гг ставится для компенсации оптической
разности хода, вносимой окнами кюветы Ти
В присутствии паров веш,ества интерференционная картина
вблизи линии поглош,ения изменится. Это произойдет потому,
что появится добавочная разность хода Ai, вызванная
присутствием паров
Д, = rf, (л_1), (3.9.3)
где di — длина столба паров; п — показатель преломления
паров исследуемого веш,ества.
Тогда при учете формулы (3.9.1) уравнение полосы может
быть записало в следуюш,ем виде;
By'k — di{n—l) = kl. (3.9.4)
Для полосы нулевого порядка надо принять в формуле
(3.9.4) k ^ О и тогда
yo = d,{n — l)/B. (3.9.5)
Из формулы (3.9.5) следует, что нулевая полоса в
некотором масштабе будет повторять ход показателя преломления ве-
ш,ества, заполняющего кювету Ti. На рис. 3.9.3,6 показан вид
интерференционной картины вблизи линий поглощения в поле
зрения спектрографа в случае присутствия паров исследуемого
вещества.
Описанный метод был предложен Пуччианти.
Преимуществом этого метода является его наглядность, недостатком —
малая точность, так как измерения координат
интерференционной полосы для соответствующих длин волн по
интерференционной спектрограмме затруднены.
Более точным методом исследования дисперсии в областях,
близких к линиям поглощения, является метод «крюков»,
предложенный академиком Д. С. Рождественским. Он ввел в ветвь
интерферометра, где расположена кювета Tz, стеклянную
пластинку М (см. рис. 3.9.2). Она также внесет добавочную
разность хода, которая, однако, будет иметь противоположный
знак
A' = rf'(«'—1), (3.9.6)
где п' — показатель преломления стекла; d' — толщина
стеклянной пластинки.
Допустим, что кювета Ti отсутствует, а компенсационная
пластинка М присутствует и расположена во второй ветви
интерферометра. Тогда из-за действия пластинки интерферен-
232
ционные полосы станут наклонными по отношению к
направлению дисперсии и будут иметь вид, показанный на рис. 3.9.3, е.
Большой наклон интерференционных полос к горизонтальной
оси объясняется тем, что пластинка вводит большую разность
хода и, следовательно, порядок k и тангенс угла наклона
прямой в соответствии с формулой (3.9.1) велик tgy ^ k/B.
Пластинка дает наклон полос, противоположный тому, который
получится из-за действия исследуемых паров, так как она рас
положена в другой ветви интерферометра и величина k
отрицательна.
Теперь проанализируем результат одновременного действия
паров и пластинки. Напишем уравнение интерференционной
полосы с учетом (3.9.6) в виде
By"k — dy{n— \) + d'{n'— \) = kX, (3.9.7)
ггде ук — результируюш,ая координата интерференционной
полосы.
Так как наклон интерференционных полос, задаваемый
парами и пластинкой, противоположный, то интерференционная
полоса будет иметь перегиб — «крюк» — для той длины волны,
где dyK/dX ^0 (рис. 3.9.3, г). Продифференцируем выражение
(3.9.7). Тогда
d(n—1) d, [, d'd in' — 1)
dX I dX
(3.9.8)
Величины, входящие в квадратные скобки формулы (3.9.8),
являются постоянными для данных условий опыта и потому
могут быть объединены обш,ей постоянной М. Так как
показатель преломления компенсационной пластинки мало
меняется с длиной волны, то можно записать
d(n-l) М
dX di
(3.9.9)
Из формулы (3.9.9) следует, что в месте расположения
«крюка» для данной длины волны можно получить значение
для dn/dX — дисперсию веш,ества исследуемого объекта, если
известны величины М и di. Заметим, что положение «крюка»
относительно линии поглош,ения может быть изменено в ту или
другую сторону в зависимости от разности хода (порядка
интерференции), которую вносит компенсационная пластинка.
Для этой цели необходимо изменять толщину пластинки d\
т. е. иметь набор таких пластинок.
Физический смысл действия пластинки заключается в том,
что в точке, где имеет место перегиб интерференционной
полосы, скорость изменения фазы из-за действия пластинки равна
скорости изменения фазы из-за действия столба паров.
Увеличение толщины пластинки будет означать введение более
высоких порядков интерференции и это даст большой наклон ин-
233
терференционных полос, вызванный действием пластинки.
Следовательно, и компенсация изменения фазы произойдет ближе
к линии поглощения, так как здесь скорость изменения фазы
из-за действия паров больше. «Крюк» приблизится к линии
поглощения.
Заметим, что метод «крюков» не позволяет измерить
собственное значение показателя преломления; он дает
возможность измерить только его производную по длине волны, т. е.
дисперсию вещества dn/dX, что следует из формулы (3.9.9).
С помощью этого метода стало возможным проверить
правильность теоретической формулы дисперсии, что и было
блестяще выполнено Д. С. Рождественским.
Необходимо отметить также, что этот метод дал
возможность решать ряд задач, связанных также с измерением
важных физических и спектроскопических величин.
Для пояснения сущности измерений некоторых физических,
величин преобразуем формулу дисперсии. Извлечем
квадратный корень из (2.2.6) с точностью до первых двух членов
разложения. Учтем также, что измерения будут проводиться
вблизи линии поглощения газообразного вещества; поэтому
будем считать, что константа Л ^ 1 и А, ^ Яоь Тогда при
наличии одной полосы поглощения в спектре по формуле (2.2.6)
напишем
га = 1+1/'^°' . (3.9.10)
Дифференцируя (3.9.10) по длине волны и подставляя
результат вместо левой части выражения (3.9.9), получим
|-0Й^ = ^- (3-9.11)
Теперь, учитывая значение для bi в формуле (2.2.7) и
заменяя Ni эквивалентным числом нейтральных атомов Ni =
^ iVo/, можно окончательно написать
1 NJe^>2., 1 b' М
° °' =--г-. (3.9.12)
4 тпс^ (Х — Хо)^ 4 (X — Xoi)^ di '
Здесь No — число атомов в единице объема; / — сила
осциллятора; di — длина столба паров.
Таким образом, из выражения (3.9.12) видно, что измеряя
расстояние (А, — A,oi) от линии поглощения до местоположения
«крюка», можно определить произведение Nof. Постоянная
метода М может быть определена из эксперимента, а длину
столба паров надо полагать известной. Таким образом,
определение величины Nof по формуле (3.9.12) сводится к простым
линейным измерениям расстояния р ^ А, — Aoi от центра
полосы поглощения до «крюка». Однако измерение этого
расстояния трудно выполнить с большой точностью из-за того, что
полоса поглощения может быть широкой.
234
Целесообразно вести измерение расстояния меладу
вершинами «крюков», расположенных по обеим сторонам от линии
поглощения (рис. 3.9.3, г). Пусть расстояние до «крюка» слева
от линии поглощения будет Pi ^ А,' — A,oi, а справа от этой же
линии Рг ^ Я" — А,о1. Тогда расстояние'б ^ Pi + Рг ^ 2(?^^ A,oi).
Из формулы (3.9.12) с учетом значения для b'l получим
выражение для
iVj = i^£^. (3.9.13)
d^e Яо1
Произведение Nof представляет большой интерес для
экспериментальной спектроскопии и астрофизики. Зная No —
концентрацию атомов исследуемого вещества, можно определить
абсолютное значение силы осциллятора /. Эта величина
характеризует поглощательную и излучательную способность
атома. Сила осциллятора / определенным образом связана
с коэффициентом Эйнштейна Ам, так как известно, что Аы =
^0,67 ——2" fiky где gi и gk — статистические веса соответ-
8k hk
ствующих уровней.
Точность метода «крюков» различна для разных величин
Nof. В среднем считается, что точность метода составляет
1—2%- Чем меньше Nof, тем ближе к полосе поглощения
должен образоваться перегиб интерференционной полосы. Точность
метода при этом уменьшается. При очень малых величинах
Nof (малых концентрациях паров) «крюк» сливается с линией
поглощения и измерения вести невозможно. Считается, что
метод дает возможность надежно измерять Nof ^ 10'^^ 10'^ см-^.
Повышение чувствительности метода «крюков», а также
развитие объективных фотоэлектрических вариантов метода имело
существенное значение.
Рассмотрим возможность осуществления метода «крюков»
при использовании интерферометра последовательного типа
с целью увеличения чувствительности измерений и
эффективности эксперимента.
На рис. 3.9.4 изображена оптическая схема установки с
интерферометром последовательного типа. Источник света L
проектируется с помощью конденсатора К на входную диафрагму
D интерферометра. Объектив Oi направляет параллельный
пучок на пластины Pi, Pz, Рз интерферометра последовательного
типа. Интерференционная картина, локализованная в
пространстве между пластинами Pi и Рг, проектируется на щель
спектрального аппарата S с помощью объективов Ог, Оз и
поворотного зеркала М.
В одну из ветвей интерферометра помещается трубка Т
■с исследуемым веществом. Интерферометр последовательного
типа дает возможность осуществить кратность р = dz/di.
235
Предположим, что р ^ 2 и объект помещается в короткую'
ветвь PiPz- Для получения «крюка» в описываемой установке
не требуется наличия компенсационной пластинки.
Необходимая разность хода может быть введена путем перемещения,
например, пластины Рг вдоль оси системы. Это дает
определенное преимущество, так как не требует набора стеклянных
пластин для изменения вводимой разности хода.
Рис. 3.9.4. Использование интерферометра последовательного типа для
исследования аномальной дисперсии
Увеличение чувствительности метода «крюков» произойдет,,
во-первых, из-за удлинения пути, проходимого светом в
короткой ветви интерферометра, и, во-вторых, потому, что разность
хода в рассматриваемом интерферометре A = 2{di — dz).
Результирующая разность хода при кратности р будет
равна
A = 2(pdi —йг).
Таким образом, чувствительность метода увеличится в 2р
раз. Увеличение чувствительности метода экспериментально
выразится в удалении «крюка» от линии поглощения при данном
фиксированном значении Nof- Действительно, из формулы
(3.9.13) следует, что увеличение эффективной длины объекта
в р раз приведет к увеличению расстояния 6 в Vp Р^з.
Одновременно с увеличением чувствительности будет
улучшаться и точность измерений, что особенно важно для малых
концентраций, когда «крюк» практически сливается с линией
поглощения. Для концентраций порядка 2-10" см-^ точность
метода «крюков» с интерферометром Д. С. Рождественского
оценивается в 10—15 %. При прочих равных условиях в
рассматриваемом случае она может быть доведена до 2—3%.
Применение трехлучевой интерференции для исследования
аномальной дисперсии. Для исследования аномальной
дисперсии и измерения сил осцилляторов можно использовать по-
236
■>д
'в
лосы, получающиеся при применении интерференции трех
лучей.
Принципиальные вопросы, касающиеся трехлучевой
интерференции, ранее обсуждены'. Обратимся к оптической схеме
трехлучевого интерферометра (рис. 3.9.5). Для получения ин-
терферограммы, которая позволила бы исследовать ход
дисперсии вблизи линиий поглощения вещества, необходимо, как
и в предыдущих методах, использовать источник света,
дающий сплошной спектр. Тогда в фокальной плоскости
спектрографа, который «растянет» картину
вдоль направления дисперсии, будет р ь р,
наблюдаться картина интерференцион- *^Ч^ " •'J.'
ных полос. Они будут прерываться ' ^-^
с меньшей или большей частотой по р^ "^ *"+;] ^^ч^"
мере приближения к полосе поглоще- ^ ^i
ния. Такая картина получится из-за 'р'щ- ' ^S"
того, что вблизи линии поглощения "
показатель преломления быстро ме- '
няется и результат интерференции бу- Рис 3.9.5. Трехлучевой ин-
дет разным для разных порядков ин- терферометр:
терференции — разных горизонталь- ^1' ^f„/!?• i"'"Г"d''''"S!^'"'^™^
г^t'f'~^ f f пластины; Яг и Р^ — полностью
НЫХ интерференционных полос. В ин- отражающие пластины; О — ис-
, о ^ следуемый объект
терференционнои картине
наблюдаются характерные вертикальные полосы
для тех длин волн, для которых интенсивности разных порядков
интерференционных полос будут равны; эти места
интерференционной картины и называются «разрывами».
В соответствии с (3.4.7) «разрывы» появятся при разности
фаз 6 ^ {2k— 1) у, где k— номер «разрыва», и А ^ {2k—1)~4'
где k^\, 2, ...; к — длина волны. Для добавочной разности
хода Адоб, которая возникает в интерферометре из-за наличия
в одной из его ветвей паров исследуемого вещества, напишем
условие «разрывов», т. е. участков равной интенсивности в виде
л J / 14 (2fe— 1) ,
Адоб ^ di{n — 1) ^ ^—— %oi, где п — показатель преломления
исследуемого вещества.
Этот метод приводит к результату, аналогичному
использованию (3.9.13), а именно
6,- rf, 2k —
PtA
X. (3.9.14)
В формуле (3.9.14) bl ^ Nofe4Joi/4mnc^; ^ik — расстояние от
«разрыва» до полосы поглощения; di—длина столба паров.
Трехлучевая интерференционная картина позволяет
определить положения разрывов, соответствующие формуле (3.9.14),
I См. § 3.4.
237
с большей точностью, чем смещение 6 интерференционной
полосы, необходимое для применения формулы (3.9.3).
Из формулы (3.9.14) следует, что если по оси абсцисс
откладывать величины l/Pi/j, а по оси ординат — номер k, то
получим прямую линию с угловым коэффициентом (углом
наклона at) tga,-^ (l/p,)/^i. При наличии нескольких
спектральных линий соответствующие прямые пересекут ось абсцисс
в точке k = 1/2, которая соответствует нулевой разности хода.
Если известна толщина слоя паров di, то по известной
величине tg а,- можем вычислить 6,, а соответственно и силу
осциллятора.
Представление соотношения (3.9.14) в виде прямой линии
имеет ряд преимуществ в вычислительном отношении. По
набору экспериментальных точек прямая линия может быть
проведена по методу наименьших квадратов, что позволяет
оценить погрешность определения силы осциллятора. Кроме того,
прямая может быть построена графически, обеспечивая
наглядность результатов.
Обсудим теперь возможность измерения относительных сил
осцилляторов. По углам а,-, например, для двух спектральных
линий по формуле (3.9.14) получим
f 2 tg аз \ Яо2 1 Р2
/ Яо2 V
\ Яо, j
Из формулы (3.9.14) следует, что этот метод (также, как
и метод Пуччианти) дает возможность измерять величины Nof
и собственно показатель преломления п, а не его производную,
как в методе «крюков». Для определения показателя
преломления необходимо в этом случае знать номер «разрыва».
Номер разрыва k возрастает по мере приближения к линии
поглощения.
Аналогичные результаты можно получить, используя вместо
трехлучевых интерференционных полос полосы равного
хроматического порядка. Кроме того, картина полос равного
хроматического порядка может быть зарегистрирована
фотоэлектрически.
Для проведения объективного фотометрирования
интерференционной картины (фотоэлектрические методы) необходимо
иметь постояннную фазу вдоль щели спектрального прибора.
Это означает, что интерференционные полосы должны быть
ориентированы перпендикулярно дисперсии спектрального
аппарата, а не параллельно, как это имело место в
рассмотренных выше методах. При этом целесообразно использовать
интерференционные полосы равного хроматического порядка
(см. § 3.3).
Проанализируем особенности применения полос равного
хроматического порядка. Без введения компенсирующей
разности хода интерференционная картина обрабатывается так же,
238
как и в случае трехлучевой интерференции, т. е. используются
соотношения, аналогичные (3.9.14).
Введение дополнительно разности фаз в ту или иную ветвь
интерферометра приведет к тому, что вертикальные
интерференционные полосы будут иметь различную частоту
расположения в фокальной плоскости спектрального аппарата и будут
Рис. 3.9.6. К рассмотрению формирования
интерференционной картины
либо сгущаться, либо разреживаться при подходе к линии
поглощения (рнс. 3.9.6).
Введение дополнительной разности хода в ветвь
интерферометра, в которой помещена кювета с исследуемым веществом,
приводит к сгущению интерференционных полос по мере
приближения к линии поглощения, что позволяет измерить п =
^/(А,). Если же дополнительная разность хода введена в
противоположную ветвь, то при приближении к линии поглощения
возникает в некоторой небольшой области спектра разрежение
интерференционных полос: это так называемая область ахро-
матизации, которая соответствует «крюку» в методе Д. С.
Рождественского (dn/dK ^ f{X)).
Запишем выражение для разности фаз в интерферометре,
когда в одну ветвь введено исследуемое вещество, показатель
преломления которого есть функция длины волны, а некоторая
разность хода, слабо зависящая от длины волны, может
вводиться в одну и другую ветвь
: ^ К - 1) rf ± 4^ А = 6, (1) ± 6, (1).
(3.9.15)
239
в формуле (3.9.15): 6 — разность фаз в интерферометре;
А — разность хода, существующая в интерферометре, когда
пары вещества отсутствуют; п^ и d — показатель преломления
н длина паров исследуемого вещества. Будем считать, что п^
может быть так же, как и прежде, представлен выражением
(3.9.10).
Рассмотрим случай компенсации разности фаз, т. е. когда
исследуемое вещество и дополнительная разность хода
находятся в разных ветвях. Очевидно, что в выражении (3.9.15)
следует выбрать знак «—». Имеем
6 = ^(«,-1)-^А,
где А — разность хода, существующая в интерферометре без
паров исследуемого вещества; п^ — показатель преломления
исследуемого вещества.
В некоторых точках по оси К будут возникать
ахроматические полосы, которые соответствуют условию д8{'к)/дК ^ 0.
Как и в методе «крюков», ширина и положение области ахро-
матизации зависят от вносимой А. На рис. 3.9.6 дано
пояснение образования области ахроматизации. Введем обозначения:
.6,(А,) = ^А; 6i'(A,)=-^ А', причем А'> А; 82(1) ^ 2п(пу,—
— l)d/l; 6(1) = 6, (А,)+ 62(А,) и 6'(A,) = 6i(A,)+6'2(A,).
На рис. 3.9.6 изображен ход функций 6i(A,), 61 (А,), 62(1) и
суммарных функций 6(1) и 6'(А,) в области длин волн,
близких к линии поглощения А; исследуемого вещества.
Функции 6i(A.), 61 (А) убывают с увеличением длины волны.
Они определяют разность фаз в интерферометре в отсутствии
паров поглощающего вещества или вдали от линии
поглощения, где 62(A) л; 0. Производная функция 6i(A) по А,
характеризующая скорость изменения фазы в интерферометре в
отсутствии паров, меняется с длиной волны, однако вблизи
линии поглощения А,- ее можно считать постоянной. С увеличением
порядка интерференции скорость изменения фазы в
интерферометре возрастает (для 6i >- 61, где А' >- А).
Из рис. 3.9.6 следует, что характер функции 62(A) вблизи
линии поглощения А,,: такой, что производная от этой функции
по длине волны резко меняется при приближении к линии
поглощения.
Функция разности фаз 6(A) или 6'(А) вдали от линии
поглощения определяется в основном первым слагаемым (3.9.15),
и в спектре наблюдаются вертикальные полосы с постоянным
расстоянием между ними. При приближении к линии
поглощения начнет существенно сказываться влияние второго
слагаемого формулы (3.9.15), скорость изменения функции 6(A) или
б'(А) с длиной волны при этом уменьшится и окажется равна
240
Рис. 3.9.7. Области ахроматизации
при фотоэлектрической записи
нулю для длин волн А,1 и А,2 или А,1 и А,2 расположенных по
обе стороны от линии поглощения А,,-. Следовательно, для
некоторого участка длин волн разность фаз очень слабо будет
зависеть от К, интерференционная картина будет
ахроматизирована и появится разрежение интерференционных полос.
Положение длин волн А,1 и А,2 (А,1 и 'kz) можно получить из
формулы (3.9.15); дифференцируя по К, приравняв дб/дК^О и
учитывая формулу
(3.9.12),получим
(3.9.16)
где k ^ А/к — порядок
интерференции, bi — физическая
постоянная, как и в формуле
(3.9.12).
Таким образом, центр
ахроматизации совпадает с
положением вершины «крюка».
Если разность фаз для центра
ахроматической полосы будет равна 2лй, то она окажется
светлой. Чем выше порядок интерференции k, тем уже область
ахроматизации и тем она ближе к линии поглощения. Описанный
способ дает возможность осуществить фотоэлектрическую запись
спектра и более точно определить положение изгиба «крюка»
полосы.
Запись интерферограммы приведена на рис. 3.9.7.
Интерференционная лазерная спектроскопия. В последнее
время успешно развивается интерференционная внутрирезона-
торная лазерная спектроскопия (ВРЛС), которая дает
возможность значительно увеличить точность и чувствительность
диагностики фазовых объектов, в том числе и измерений Nof. При
этом используется лазер на красителях. Метод исследования
основан на многократном прохождении излучения через двух-
лучевой интерферометр Майкельсона, который является
резонатором. Схема внутрирезонаторного интерферометра
представлена на рис. 3.9.8, а. Здесь интерферометр Майкельсона с
зеркалами 1, 3 дополнен зеркалом 2, перед которым расположен
исследуемый объект О. Кювета с красителем 5 находится
между зеркалом 1 и светоделителем 4. Последний имеет
пропускание 50 %.
Фокусирующая оптика на рисунке не представлена, так как
поясняется лишь принцип работы установки. Излучение после
системы попадает на входную щель спектрального аппарата.
Лазер на красителях излучает сплошной спектр и совместно
с резонатором обеспечивает многократное прохождение через
16
Зак. № 167
241
ветви интерферометра. Можно себе представить, что
многократное прохождение излучения через интерферометр Май-
кельсона соответствует как бы последовательному
расположению многих таких двухлучевых интерферометров. Поэтому
результирующее распределение интенсивности даст значительно
суженную ширину максим.ума. Таким образом, получается су-
~
^7
/^
м
L
/^
-pj
1°
^
Рис. 3.9.8. Внутрирезонаторный интерферометр; а — установка
с поляризационными элементами Pi и Р^; б — установка с
поляризационной призмой Франка—Рихтера 4
жение контура примерно в Vp, где р — число проходов
генерируемого излучения через резонатор Майкельсона.
В фокальной плоскости резонатора наблюдается
развернутая в спектр интерференционная картина в виде вертикально
ориентированных полос, перпендикулярных направлению
дисперсии спектрографа. Многократные проходы света через
интерферометр Майкельсона, который можно рассматривать как
фильтр со спектральным пропусканием, пропорциональным
соз^яаД (а — волновое число, Д —разность хода в
интерферометре), формируют спектр генерации лазера в виде узких
полос. Применение поляризационных элементов Pi, Р2 я Рз в
описываемой установке необходимо вследствие того, что лазеры
на красителях часто не обладают поляризационной
когерентностью. Поэтому и необходимо преобразовать излучение в две
242
компоненты с ортогональными поляризациями (поляризаторы
Pi и Рд скрещены), а затем свести векторы напряженности
этих волн в одну плоскость.
Оценки показывают, что предельно целесообразное
сужение интерференционных полос ограничивается межмодовым
интервалом в спектре лазерного излучения, конечной
разрешающей силой спектрального прибора, минимальным числом
интерференционных полос в спектральном диапазоне генерации
(достаточным еще для проведения спектроинтерференционных
измерений) и составляет величину порядка 10^, что соответствует
числу проходов излучения через внутрирезонаторный лазерный
интерферометр 10* и длительности непрерывной генерации
импульсного лазера на красителях примерно 50—100 мкс.
Высокочувствительная установка может быть создана на
основе эффекта внутрирезонаторного накопления разности фаз
в поляризационно-когерентном лазере на красителях с
поляризационным резонатором Майкельсона и последующей
внерезонаторной интерференцией генерируемого излучения
(рис. 3.9.8,6). Здесь (наряду с аналогичными на рис. 3.9.8, а
обозначениями) через 4 обозначен поляризационный
светоделитель—двухлучевая поляризационно разводящая призма
типа Франка — Риттера. При многократных проходах
излучения через резонатор будет происходить внутрилазерное
накопление разности фаз между двумя
ортогонально-поляризованными волнами, независимо распространяющимися каждая
в своем плече интерферометра Майкельсона. Для наблюдения
развернутой в спектр интерференционной картины вне
резонатора перед входной щелью спектрального прибора под углом
45° по отношению к направлениям пропускания
поляризационного светоделителя 4 устанавливается дополнительный
поляризатор Р, сводящий в одну плоскость исходно
ортогонально-поляризованные волны, в которой и происходит интерференция
света. При этом эффективная длина исследуемого фазового
объекта увеличивается в р раз, где р — число проходов
излучения через лазерный резонатор. Следовательно, и
чувствительность такой установки во столько же раз будет выше.
Для обеспечения когерентности излучения двух
ортогональных линейных состояний поляризации, в схеме на рис. 3.9.8, б
начало генерации лазера инициируется коротким импульсом
циркулярно поляризованного излучения 6 от дополнительного
(задающего) лазера на аналогичном красителе. Этим
исключается возможность развития генерации исполняющего лазера
от излучаемых его активной средой нескоррелированных по
фазе спонтанных фотонов.
Выделение интерференционной картины определенного
прохода можно осуществить с помощью электрооптического
затвора, расположенного перед входной щелью спектрального
прибора.
16* '' 243
Глава 4
ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
В ОПТИЧЕСКОМ ЭКСПЕРИМЕНТЕ
Применения поляризованного света чрезвычайно широки.
Для поляризационных методов исследования характерно то,
что они позволяют выполнять прецизионные измерения,
которые не могут быть выполнены другими методами. В некоторых
случаях поляризационные методы оказываются
нетривиальными или более простыми.
В данной главе рассматриваются основные свойства
поляризованного излучения, поляризационные устройства, а также
ряд практических применений поляризованного света в
технике оптико-физического эксперимента.
§ 4.1. Описание состояния поляризации
плоских световых волн
Из предыдущего рассмотрения (гл. 2) следует, что световые
волны имеют векторный характер, т. е. для их полного
описания кроме амплитуды, фазы и частоты (длины волны)
необходимо указать еще состояние поляризации (ориентацию
электрического Е или магнитного Н векторов). Для плоской волны
нужно знать ориентацию Е я Н в плоскости волнового фронта.
Пусть направление плоской монохроматической волны
совпадает с осью Z. Разложим вектор Е в плоскости х, у по двум
взаимно перпендикулярным направлениям (рис. 4.1.1):
Ех = А^ cos (сот + ф;,) = Re Л ехр {Ш — гф J; |
Еу ^ Ау cos {ат:-{-(ру) ^ Яе Ау ехтр {imt — Щу).-)
В формуле (4.1.1) x^t—z/v, где t—текущее время, z-—
координата, v — скорость распространения волны; А^, Ау, фх.
Фу — постоянные действительные амплитуды и фазы
ортогональных проекций вектора Е. Определим изменение
положения вектора Е в плоскости ху при условии выполнения
соотношения (4.1.1).
Исключая из соотношения (4.1.1) временной множитель,
получим уравнение эллипса, соответствующее эллиптически
поляризованному свету, в виде
[aJ
2 / Ей Y ^ЕхЕп
где б^фх — Фг/ — разность фаз между ортогональными
составляющими.
244
Рис. 4.1.1. Распространение электромагнитной
волны
-©■-■
Если б^±я/2, то уравнение (4.1.2) переходит в следующее:
.Ах ,
В этом случае оси эллипса совпадают с осями координат.
При б^±я/2 и Ах^=Ау эллипс превращается в окружность, что
соответствует циркулярной поляризации.
В случае б^^я при k^O, 1, 2... из уравнения (4.1.2)
следует
^ ~ ~А^1 ~
Это уравнение двух прямых, углы наклона которых к оси
определяются отношением AyjAx, а тангенс этого угла tgx^
'^AyjAx-
Отметим еще случай, когда А^^Ау^А^ при произвольном
значении б. При этом уравнение (4.1.2) приобретает вид
е1 + е1 — 2ЕхЕу cos 6 = Л^ siп^ 6.
(4.1.3)
Известно, что уравнение (4.1.3) представляет собой эллипс,.
ориентированный главными осями под углом 45° к осям
координат X я у. При tg)^^l и при б=Ая получим две прямые,
ориентированные под углом 45° и 135°, а при б ^ ±я/2 имеем
окружность.
После рассмотрения частных случаев приведем полный
анализ уравнения (4.1.2). Если ввести обозначения (рис. 4.1.2):
Ах = Ао cos 1; Ay = AosmX; tgX = Ay/А^,
то уравнение эллипса (4.1.2) примет вид
А'
е1 sin^ г + Е\ cos^ Х — Е^Еу sin 2)С cos 6
sin" 2Х sin" 6.
(4.1.4)
245
Эллипс поляризации (рис. 4.1.2,6) вписан в прямоугольник
со сторонами 2Ах и 2Ау; Aq представляет собой половину
диагонали этого прямоугольника, а i — угол наклона диагонали
к оси X.
Как следует из формулы (4.1.4), эллипс поляризации
однозначно определяется углом i и разностью фаз б. Кроме того,
лри рассмотрении состояния поляризации следует учесть также
. V'"
с)
Рис. 4.1.2. Поляризационный эллипс и его параметры
направление вращения электрического вектора. Если б<;0
(А^О, 1, 2...), то направление вращения будет правым, если
б>0,— то левым. Направление вращения принято считать
правым или левым, если электрический вектор вращается
соответственно по часовой стрелке или против нее для наблюдателя,
обращенного лицом к приближающейся волне.
В ряде случаев при оптических измерениях
предпочтительнее пользоваться следующими параметрами эллипса
поляризации: азимут большой оси а и эллиптичность b/a^tg^, где р —
угол эллиптичности (рис. 4.1.2, а). Найдем связь между %, Ь с
одной стороны и параметрами а, р с другой.
В собственных координатах х', у' (рис. 4.1.2, а) эллипс
поляризации описывается уравнением
а
+
(4.1.5)
следует из
Связь между координатами х, у я х', у', как
рис. 4.1.2, а, дается соотношениями:
Ех'^ ExCosa-\-EyS'ma; Еу'^ — Ех sin а-\-Еу cos а, (4.1.6)
Кроме того, имеем связь а'^-{-Ь^^Ах + Ау ^Ао,гак как поЛ'
пая энергия эллиптически поляризованной волны не зависит от
системы координат, в которой записан эллипс поляризации.
Из рис. 4.1.2, а, б следует, что:
Ао^а + b --
:A^cos^P + Лosin^P;
Л5 = Л6COS^5C + ЛoSin^5C.
.-246
Таким образом, а^ЛоСозр и б^Ло sin р, A^^Aq cos % я
Ау=Ао sin х-
Подставим соотношения (4.1.6) в уравнение эллипса (4.1.5)..
В результате получим
Ex{cos а sin р + sin а cos р) — £^:£(,sin2a cos 2р +
2/2 2 2 2\ 22 2
-\-Ey(s\n а sin Р + cos а cos pj^Asin р cos Р^
= ^^osin-2p. (4.1.7)
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях Е^, Еу^
в уравнениях (4.1.7) и (4.1.4), а также их правые части,
получим четыре соотношения:
sin^ 1 = cos^ а sin^ р + sin^ а cos^ Р; -^
cos^ 1 = s\v? а sin^ р + cos^ а cos^ Р;
sin2p ^ sin 2Х sin 6;
sin 2а cos 2р ^ sin 21 cos 6.
(4.1.8)
Выполнив алгебраические и тригонометрические
преобразования (4.1.8), получим связь между углами аир (рис. 4.1.2,а)
и параметрами % я 8, характеризующими эллипс поляризации::
cos 2 Х ^ cos 2а cos 2Р; ^
tg6 = tg2psin2a; I (4.1.9)
tg2a = tg2)Ccos6. J
Наиболее простая связь между рассматриваемыми
параметрами имеет место, когда а ^ 45°. При этом (6 ^ 2р.
Отметим, что уравнение эллипса (4.1.4) однозначно
определяется следующими величинами: So ^ 1 (множитель при Ао)
Si = cos2X\ Sj =:: sin 2)С cos 6; S3 = sin 2)Csin6.
Величины So==l, Si, S2, S3 называют компонентами
нормированного вектора Стокса для полностью поляризованного
излучения.
Между этими величинами в этом случае существует простая
связь
Si + Sg + Sa ^ So ^ 1.
Используя приведенное выражение и соотношения (4.1.9),
можно получить выражения для элементов векторов Стокса
через параметры эллипса а и р в виде:
S, = cos2p cosa; "1
52 = cos2psin2a; i (4.1.10)
53 = sin2p. J
247'
Поскольку совокупность компонент вектора Стокса
однозначно определяет эллипс поляризации, то параметры Стокса
могут быть использованы для количественной характеристики
состояния поляризации. Компоненты вектора Стокса можно
выразить также через амплитуды А^ и Ау.
Если использовать не нормированный, а полный вектор
•Стокса, т. е. принять So^Ao, то имеем:
S, = aI = aI + aI;
Si = So COS 25C = So (cos^ 1 — sin^ %) = aI~ Aty,
52 = So sin 25C cos 6 ^ 2So sin 5C cos 1 cos 6 = 2AxAy cos 6;
53 ^ So sin 2)C sin 6 ^ 2So sin 5C cos X sin 6 ^ 2AxAy sin 6.
(4.1.11)
Используя соотношения (4.1.11), можно пояснить
физический смысл параметров Стокса. Параметр So представляет
собой интенсивность поляризованной волны; Si — параметр
преимущественной горизонтальной поляризации, так как он
увеличивается с возрастанием А^ и уменьшением Ау; Sg —
параметр преимущественной диагональной поляризации, так как Sg
максимален при 6^0 и А^^Ау] Ss — параметр
преимущественно правой циркулярной поляризации,- так как он максимален
при б^я/2 и Ах^Ау.
Применение вектора Стокса дает возможность эффективно
рассчитывать преобразование излучения поляризационными
системами, обеспечивая при этом достаточную наглядность
путем интерпретации нормированного вектора Стокса как точки
на единичной сфере. Это возможно благодаря тому, что три
компоненты Si, S2 и Ss вектора Стокса можно рассматривать
как координаты в декартовой системе, а So — как единичный
радиус сферы. Сфера, на которой расположен конец вектора
Стокса, соответствующий любой форме поляризации,
называется сферой Пуанкаре. Таким образом, каждая точка на
сфере однозначно сопоставляется с определенной поляризацией
(рис. 4.1.3). При описании положения точки на сфере обычно
используют географическую терминологию, т. е. верхняя Pi и
нижняя Pi точки сферы называют полюсами, а различные
окружности в сечении сферы — меридианами, параллелями и
экватором.
На рис. 4.1.3 представлены некоторые виды поляризации
с различным использованием сферы Пуанкаре. Верхний полюс
соответствует левоциркулярно поляризованному свету,
нижний—правоциркулярно поляризованному свету. Точки на
экваторе соответствуют линейной поляризации с плавно
меняющимся от точки к точке азимутом. Точку Н на экваторе,
соответствующую горизонтальной поляризации, выбирают за начало
отсчета. Диаметрально противоположная точка V экватора
будет определять вертикальную линейную поляризацию. Все
248
остальные точки поверхности сферы представляют различные
формы эллиптической поляризации. При этом по долготе
меняется эллиптичность, а по широте ориентация эллипса
поляризации. Если передвигаться по одному выбранному
меридиану от верхнего полюса к нижнему, то в верхнем полушарии
мы пройдем последовательно через все более вытянутые
эллипсы с левым вращением электрического вектора и на экваторе
попадем в точку, характеризующую линейную поляризацию'
с азимутом, равным
большой полуоси всех
эллипсов данного меридиана.
Следуя далее по этому
же меридиану в нижнее
полушарие, мы
постепенно пройдем через все воз-
мол<ные эллипсы с
правым вращением с тем же
азимутом большей
полуоси и постепенно
уменьшающейся
эллиптичностью вплоть до право-
циркулярно
поляризованного света на нижнем
полюсе. Перемещаясь по
любой из параллелей, мы
пройдем через все
возможные ориентации
эллипса с одной и той же
эллиптичностью и, замкнув круг, вернемся к исходной
ориентации эллипса поляризации.
На сфере Пуанкаре для количественной характеристики
положения точки, т. е. состояния поляризации, вводят
полярные координаты — долготу а (—180°^а^180°) и широту р
(—90° ^ Р ^ 90°). Точка Ро, имеющая долготу 2а и широту 2р
(рис. 4.1.3), изображает эллипс поляризации с азимутом
большой оси а и с углом эллиптичности р (см. рис. 4.1.2, а). Как
мы видели, тот же эллипс определяется отношением амплитуд
компонентов по осям х я у (угол %) и относительной разностью
фаз 6 этих компонентов. На сфере Пуанкаре дуга хРо равна
2^, а угол между экватором и дугой хРо равен б.
Отметим, что эллипсы поляризации, соответствующие
противоположным концам произвольного диаметра сферы, имеют
одинаковые эксцентриситеты, перпендикулярные друг другу
одноименные оси и противоположное направление вращения
электрического вектора.
Таким образом, различные возможные состояния полностью
поляризованного света можно представить набором четырех
действительных величин — компонентами вектора Стокса ОР —
Рис. 4.1.3. Сфера Пуанкаре
249'
и наглядно изобразить их на сфере Пуанкаре. Существенно,
что параметры Стокса имеют размерность интенсивности и
могут быть непосредственно определены экспериментально, что
будет показано далее.
Более того, с помощью вектора Стокса возможно
представление неполностью поляризованного излучения. Для такого
излучения So > Si + S2 + 5з,так как полная интенсивность пучка
больше ее поляризованной части. В общем случае неполностью
поляризованное излучение можно разложить на две
компоненты: полностью поляризованную и неполяризованную, т. е. S^
—'-'пол +S непол! ГДе1
S„eпoл = {[5o-(S?+S^ + S^У'^], О, О, 0};1 (4.1.12)
5„ол = {(S? + Sl + St)''', S„ S„ S3}. J
Из соотношений (4.1.12) следует, что каждый параметр
Стокса исходного пучка S равен сумме соответствующих
параметров составляющих пучков Sнeпoл и Sпoл.
при описании неполностью поляризованного излучения
вводят понятие о степени поляризации, которая определяется как
отношение интенсивности полностью поляризованной
компоненты к общей интенсивности пучка
p = {Sl + Sl + Siy"/S. (4.1.13)
Степень поляризации р изменяется от нуля (для неполяри-
зованного излучения) до единицы (для поляризованного) и
принимает промел<уточное значение для неполностью
поляризованного света.
Азимут а и угол эллиптичности р эллипса поляризации
полностью поляризованной компоненты рассчитываются по
формулам, вытекающим из соотношений (4.1.10), и с учетом
(4.1.9):
а = 1 arctg iS,/S,); Р = ^arc sin [S3/(S? + Sl + Slf'}
В некоторых случаях удобно использовать представление
неполностью поляризованного света как некогерентную
суперпозицию двух полностью поляризованных пучков. При этом
можно рассматривать прохождение каждой поляризованной
компоненты через поляризационную систему, а результат
взаимодействия исходного неполностью поляризованного
излучения и этой системы получить как сумму интенсивностей
преобразованных системой поляризованных компонент. Таким
образом имеем:
S ^ S| + Sj",
Si = [(l+p)/2p]{pSo, S„S„S3}; ;> (4.1.14)
S2 = [(1 - p)/2p] {pS„, - S„ - S„ - S3}.
250
Из формул (4.1.14) сумма Si и Sg дает исходный вектор
Стокса S. Соотношения (4.1.14) справедливы при рфО.
Если р^О, то свет полностью неполяризован и его можно
рассматривать как некогерентную суперпозицию двух пучков
равной интенсивности с произвольными ортогональными
состояниями поляризации.
На сфере Пуанкаре можно наглядно изобразить не только
полностью поляризованный свет, но и неполностью
поляризованный. Существуют следующие три случая, перечисленные
ниже.
Неполяризованный свет соответствует «случайным
блужданиям» точки Р (рис. 4.1.3) по поверхности сферы. Такую точку
с равной вероятностью в каждый момент времени можно
обнаружить в любом месте сферы. Траектория, описываемая
точкой Р, также совершенно случайна.
Для частично поляризованного света точка Р большую-
часть времени находится вблизи особой точки Ро, которая
соответствует преимущественной поляризации. Вероятность
нахождения точки Р уже неодинакова в различных точках на
поверхности сферы, а имеет максимум в точке Ро- Преимущественное
состояние поляризации может быть линейным, циркулярным
или эллиптическим в зависимости от того, где расположена
точка Ро — на экваторе, в верхнем или нижнем полюсе, т. е. в
любом месте сферы.
Для случая полностью поляризованного пучка точка Ро не
движется и вероятность ее нахождения равна единице в точке
Ро поверхности сферы и нулю в других точках.
Наряду с эллипсом поляризации и вектором Стокса для
описания полностью поляризованного излучения применяют
вектор Максвелла — Джонса. При этом каждому эллипсу
поляризации соответствует матрица-столбец. Исходя из
представления поляризованной волны, можно записать соотношения;
(4.1.1) в виде:
Бх = Лх cos \co\t
) + (Рх = Re {л ехр i [t—^) + ф^,]};
Еу = Ау cos
•^ (^ ~ т) + "^у] = ^^ {^у ^^Р'" ["" (^ ~ т) + 'Р J)-
Можно рассматривать электрическое поле волны как
действительную часть комплексного вектора-столбца
Ах ехр i
"^V- т +Ф
Ау ехр i [со (^ _ -1) -f фу]
25Г
в большинстве случаев зависимость от времени и
координаты можно вынести из столбца в качестве скалярного
множителя, т. е.
Ей
Ах ехр (г'ф J
_ Ay ехр {i(fy)
ехр[/ш(;-|)]. (4.1.15)
Вектор-столбец вида (4.1.15) и называют вектором
Максвелла— Джонса (вектор М—^Д).
Для определения параметров эллипса поляризации
применяется процедура, приведенная ниже.
Вычисляют углы X и б:
% = \aTctgiAy/Ax)\; 6 = ц>у-(рх.
Затем находят азимут а главной оси эллипса из формулы
<4.1.9)
a = i-arctg(tg2)Ccos6) (4.1.16а)
и эллиптичность b/a=tg р
p = larc3in(sin2)Csin6). (4.1.166)
Причем, если sin б>0, то имеем эллипс с правым
вращением, если sin б < О,— соответственно эллипс с левым
вращением.
В поляризационных расчетах используют обычно не полный
вектор М — Д вида (4.1.15), а его стандартную
нормированную форму. Нормировка состоит в преобразовании вектора
таким образом, чтобы его интенсивность была равна единице.
Так, например, полный вектор {Луб"''*, Л^е"''^} при
действительных Ах и Ау имеет интенсивность J^Ax+A у. Лля нормировки
введем замену Ах^Ао cos х и Ау^Ао sin % и поделим исходный
вектор на Ао. Нормированный вектор, следовательно, имеет
вид
{cos 5С ехр (/фх), sin 5С ехр (г'фу)} или {cos5C, sin5C ехр (г'б)}.
Последний вектор получается из предыдущего в результате
умножения на комплексное число ехр(—г'фх)-
При решении многих задач необходимо вектор Джонса,
заданный в одной системе координат, записать в другой,
повернутой относительно исходной на некоторый угол а.
Рассмотрим, какие операции над исходным вектором
необходимо при этом выполнить. Пусть оси новой системы
координат х', у' получаются поворотом осей х я у против часовой
стрелки на угол а (рис. 4.1.4). Исходный вектор Джонса (в
системе координат X, у) имеет вид {cos х, sin ^ ехр (гб)}, т. е.
имеет проекции Ex^cos% и Ey^sin%exp{i8).
252
Одноименные проекции в новой системе х', у', как следует
зиз рис. 4.1.4, равны:
Ех' = Ех cos а-\- Еу sin а;
Еу' ^ — fx sin а + Еу cos а.
Соотношения удобно записать в компактной матричной
•форме
Ех
Е
у
или, более кратко Ех', y'^Ria
cos а sin а "
cos а sin а
— sin а cos а
)Е
■у
(4.1.17)
Здесь R (а) ^
sma cos а
X, у-
матрица поворота.
Рис. 4.1.4. Схема преобразования
системы координат
Чтобы осуществить обратный переход, т. е. выразить вектор
.Джонса в системе координат {х, у) через его компоненты в
•(-'^'i у') системе координат, необходимо очевидно умножить Ех',у'
ла R{—а), т. е. Ex,y='R{—а)Ех',у'. При этом должен
естественно получиться исходный вектор. Для этого должно выполняться
соотношение
R{~a)R (а) ^
cos а
sin а
sin а
cos а
cos а sin а
sin а cos а
о ij'
TtoTopoe легко доказать, используя правила матричной алгебры.
Покажем теперь, что интенсивности волны, записанной в
координатах (х, у) и {х', у'), равны друг другу и равны единице.
Выполнив матричное умножение R{a)Ex,y, получим
(4.1.18)
Ех' 1 Г cos а cos X + sin 5С sin а ехр (г6)
Еу J L — sin а cos X + cos а sin X ехр (/6)
Для интенсивности из формулы (4.1.18) запишем
J ^ЕхЕх +ЕуЕу ^ cos 5Ccos^a + sin а sin 5С+
+ 2sin а cos а sin 5С cos X cos 6 —
— 2 sin а cos а sin X cos X cos 6 + sin^ a sin^ X -{- cos^ a sin^ X ^ 1.
(4.1.19)
253
Из изложенного можно сделать вывод, что интенсивность
волны инвариантна относительно преобразованной системы
координат, что и следовало ожидать.
§ 4.2. Способы получения различных видов поляризации
Для проведения поляризационных измерений нужно создать
необходимую поляризацию светового потока, т. е. получить ли-
Рис. 4.2.1. Варианты линейных поляризаторов
неино поляризованный свет, эллиптическую или циркулярную-
поляризации. Из предыдущего следует, что изменение
состояния поляризации световой волны можно получить при
прохождении света через кристаллические (анизотропные) среды или
при использовании явления отражения от границы двух или
нескольких сред.
Для получения поляризованного света используют
специальные устройства, которые преобразуют проходящее через
него (или отраженное) излучение в поляризованное. Такие
устройства называются поляризаторами.
Принцип действия кристаллических поляризаторов основан
на разделении неполяризованного света на две ортогонально
поляризованные компоненты,одну из которых поляризатор
пропускает, а другую — поглощает, или поляризатор пропускает
обе разделенные компоненты, отличающиеся по направлениям
распространения.
В зависимости от типа создаваемой поляризации
поляризаторы делят соответственно на линейные, циркулярные и
эллиптические. Циркулярные и эллиптические поляризаторы, как
правило, содержат линейный поляризатор и фазовый элемент.
Рассмотрим линейные поляризаторы. По способу получения
линейно поляризованного излучения линейные поляризаторы
разделяют на двулучепреломляющие (рис. 4.2.1, а,б), дихроич-
ные (рис. 4.2.1,е) и отражательные (рис. 4.2Л,г,д).
254
Двулучепреломляющие поляризаторы, как правило,
изготовляют в виде двух кристаллических призм. В основе их
действия лежит свойство анизотропных сред разлагать неполяри-
зованное излучение на две линейно поляризованные взаимно
перпендикулярные компоненты. Различают одно- и двухлуче-
вые поляризаторы. В однолучевых поляризаторах одна из
компонент проходит через призму, а другая с ортогональной
поляризацией полностью отражается внутренней гранью призмы и
выводится из призмы или поглощается ее гранью (рис. 4.2.1,а).
Рис. 4.2.2. Схема получения линейно поляризованного света с помощью
поляризационной призмы
Двухлучевые поляризаторы пропускают два ортогонально
поляризованных луча, которые выходят из поляризатора под
некоторым углом друг к другу (рис. 4.2.1,6). Принцип работы
таких двухлучевых поляризаторов состоит в следующем
(рис. 4.2.2). Если параллельный пучок света от источника /,
пройдя объектив Оь падает на плоскую поверхность
поляризационной призмы Р перпендикулярно ее входной грани, то на
выходе получим в общем случае два преломленных
пространственно разделенных луча 1 и 2, имеющих ортогональные
линейные поляризации. Если выделить диафрагмой,
расположенной в фокальной плоскости объектива Ог, любой из этих лучей,
то получим один пучок, поляризованный в определенной
плоскости. На этом принципе основано действие многих призм —
поляризаторов.
Одна из наиболее распространенных поляризационных
призм изображена на рис. 4.2.3. Из рисунка 4.2.3, а, б следует,
что поляризатор состоит из двух (например, кальцитовых)
призм, которые либо склеены оптически прозрачным
изотропным клеем, либо разделены малым воздушным зазором.
Оптические оси каледой призмы параллельны друг другу и
плоскостям входной и выходной граней. Свет, падающий на входную
грань перпендикулярно, проходит до границы двух призм, не
испытывая преломления. Этот луч можно разложить на две
компоненты, электрические векторы которых ориентированы па-
255
раллельно и перпендикулярно оптической оси (рис. 4.2.3, а, е).
Для двух ортогонально поляризованных компонент изменение
показателя преломления на границе кальцит—зазор или
кальцит— клей с показателем преломления п имеет разную
величину (для воздушного зазора п^\). Для линейной
поляризации, параллельной оптической оси (необыкновенный луч),
скачок показателей преломления равен Пе — п, а для поляризации,,
перпендикулярной оси (обыкновенный луч), он равен По — п.
Если Пе и По больше, чем п, а угол падения а на границу (ко-
Оптическая ось
С^
Рис. 4.2.3. Типовая, поляризационная призма
торый определяется в основном геометрией призмы) таков, что
n/no<isina<zn/ne, то обыкновенная компонента луча
испытывает полное внутреннее отражение, а необыкновенная
проходит.
Из однолучевых поляризаторов рассмотрим призму типа
Глава, которая наиболее распространена в оптико-физических
устройствах. Эта призма имеет прямоугольную форму; ось
кристалла, из которого она изготовлена, ориентирована
параллельно входной поверхности и разделительной грани (рис. 4.2.4,а).
При такой ориентации числовая характеристика двойного
лучепреломления максимальна и равна Пе — По, что позволяет
получить значительное поле зрения, более равномерную
поляризацию по полю и относительно небольшое отношение длины
призмы / к поперечному сечению а. На рис. 4.2.4, а представлена
призма с воздушным зазором (призма Глана — Фуко). Эту
призму изготовляют из кальцита. Угол 6 = 38°30' и отношение
1/а определяют в обш,ем случае из выражения
tg е = {aJhI — п^ у\]п1 — n)l2n = all. (4.2.1)
Величины //а выбирают из технологических соображений в
пределах 0,5^//а^1. От конкретного значения //а зависит
показатель преломления склейки п. Величина Ija определяет также
угол поля зрения (апертурный угол), т. е. предельную величину
сходимости падаюш,его пучка, при которой на выходе призмы
свет полностью поляризован. Этот угол представляет собой
256
сумму двух предельных углов ai и аг. При падении луча на
входную грань призмы под углом ai оба луча испытывают
полное внутреннее отражение на гипотенузной грани, а при
падении под углом аг оба луча проходят призму. В данном случае
апертурный угол симметричен относительно оси призмы и
равен 2атах, где sin Omax^cos 9 V"е— «2 — п sin 9. Для призм
с воздушным зазором п^\. Для призмы Глана — Фуко с воз-
■ ^^ иГзо'
в)
а>
00,
"^
\
Vi'j
®''ЛЛХ'
.-*>л ®
Рис. 4.2.4. Однолучевые поляризационные призмы
душным зазором при //а^0,85 для Я^589 нм угол 2а^8°,
Призма прозрачна в диапазоне 0,214—2,3 мкм. В УФ-области
0,214—0,355 мкм, если угол ащах превышает 5°, то оба луча на
границе среза кальцит — воздух испытывают полное
внутреннее отражение. При Я>0,355 мкм, если угол падения
превышает атах^5°, то через границу среза проходят оба луча.
Основной недостаток рассмотренной призмы — малое
пропускание из-за френелевских потерь на отражение на гипотенузной
грани призмы. Этого недостатка в значительной степени
лишена призма Глана — Тейлора (рис. 4.2.4,6). В ней оптическая
ось ориентирована в плоскости, перпендикулярной границе
среза, и свет падает почти под углом Брюстера на границу
кальцит — воздух. Вследствие этого для необыкновенного луча,
прошедшего призму, пропускание близко к единице. Отечественной
промышленностью выпускаются призмы Глана — Тейлора с
9^41,5°, //а^1,1 (для работы в ближней ИК-области). Поле
зрения призм 2атах^8°. Для работы с мош,ными лазерными
пучками в ближней ИК-области призмы Глана — Фуко и
Глана—Тейлора изготовляют из ортованата иттрия.
Если в призме Глана — Фуко воздушный зазор заменить
склейкой, то получим призму, известную под названием призмы
17 Зак. № 167
257
Глана — Томпсона (рис. 4.2.4, е). Она имеет повышенное
пропускание вследствие отсутствия френелевских потерь на гипо-
тенузных гранях призм. Такая призма используется в
высокоточных поляризационных приборах преимущественно для
видимой и близкой ИК-областей (до 2,7 мкм). Используя для
склейки вещества, которые прозрачны в УФ-области (глицерин,
минеральные масла и
другие), можно расширить
спектральный диапазон
до Я ^ 0,214 мкм.
Для увеличения апер-
турного угла
изготовляют сдвоенный вариант
призмы Глана —
Томпсона— призму Аренса
(рис. 4.2.4,г). Призма
состоит из трех кальцито-
вых элементов,
склеенных в форме
прямоугольника бальзамом.
Отечественная
промышленность выпускает призмы
Аренса с отношением
IIа ^ 2 и апертурным
углом 2атах = 35°.
Кроме рассмотренных,
существуют также и
другие модификации одно-
лучевых поляризационных призм. Их конструкции
совершенствуются либо с целью улучшения технологических
характеристик (экономии материала, простоты изготовления),
либо с целью улучшения их оптических свойств (светосилы,
поляризационных характеристик). Ранее отмечалось, что
световые потери можно уменьшить, направляя свет на грани призмы
под углом Брюстера, Реальные поляризационные
характеристики призм зависят от погрешностей в ориентации оптической
оси кристалла, несовпадения оптических осей элементов с
расчетным положением, погрешностями изготовления и т. д.
Вследствие этого возникает неравномерность поляризующей
способности по полю зрения, уменьшается реальный апертурный угол,
призма становится неэквивалентной плоскопараллельной
пластинке и т. д. Характеристики поляризационных однолучевых
призм на основании литературных данных приведены в табл. 5.
Типичный вариант двулучепреломляющей призмы приведен
на рис. 4.2.5. Призма имеет прямоугольную форму и состоит из
двух клиновидных двулучепреломляющих деталей, склеенных
или находящихся в оптическом контакте. Оптические оси
клиновидных составляющих ориентированы параллельной входной
Рис. 4.2.5. Призма Волластона: а — общий
вид призмы; б — образование
обыкновенного и необыкновенного лучей, в —
волновые поверхности для обыкновенного и
необыкновенного лучей
258
Таблица 5
Характеристики однолучевых поляризаторов
1/а
1
1,1
0,85
3,75
2,35
3
2,5
4,57
2
1,75
1,5
1,25
0,85
г^'тах' °
ДЯ, мкм
Призмы Глана — Тейлора
8
0,34—2,3
0,3—2,3
0,214—2,3
Призмы Глана — Томпсона
35
25—28
14—16
12
0,34—2,3
•0,35—2,3
0,32—2,3
0,3-1,4
Призмы Аренса
35
38
32
30
8
0,34—2,3
0,32—2,3
0,3—2,3
0,214—2,3
Материал
Кальцит
Кальцит
"
"
АДР
Кальцит
И выходной граням и взаимно перпендикулярны друг другу.
Вследствие различных условий преломления на границе
раздела клиновидных деталей для ортогонально поляризованных
составляющих обыкновенный и необыкновенный лучи
отклоняются по-разному в зависимости от направления линейной
поляризации.
Наибольшее распространение получили кальцитовые
призмы Рошона, Сенармона и Волластона (рис. 4.2.6, а, б, в). Эти
призмы состоят из двух кристаллических склеенных
клиновидных элементов и различаются ориентацией их оптических осей.
В призме Рошона (рис. 4.2.6, а) оптическая ось первого
элемента ориентирована перпендикулярно входной грани, а у
второго — перпендикулярно плоскости чертежа. Неполяризованный
свет в первом элементе распространяется со скоростью
обыкновенного луча. Во втором элементе обыкновенный луч сохраняет
скорость и направление, а необыкновенный луч отклоняется.
Рассчитаем отклонение необыкновенного луча. На границе
раздела и на выходной грани соответственно имеем
соотношения:
/2„ sin а ^Ле sin (а + р,); «gSin Pi ^sinP,
где Pi — угол падения на выходную грань.
17* 259
Исключая из этих соотношений sin pi и полагая cospi=l,
найдем
sin р = (п, — «о) tg а. (4.2.2)
Для положительного кристалла Пе — ПоХ) и
необыкновенный луч отклоняется к основанию первой по ходу луча призмы,
а для отрицательного — к основанию второй.
Расположение оптических осей у призмы Сенармона
представлено на рис. 4.2.6, б. По конструкции она идентична приз-
а) 5) В)
S Рис. 4.2.6. Двухлучевые
поляризационные призмы
ме Рошона, а угол отклонения рассчитывается также по
формуле (4.2.2). Призмы Рошона и Сенармона ахроматичны для
обыкновенного луча, так как действуют в этом случае как
плоскопараллельная пластинка. Призмы хроматичны для
необыкновенного луча. Тип склейки для них несущественен, так
как лучи проходят через границу раздела практически без
отражения. При использовании в качестве источника мощных
лазеров, а также в УФ-области спектра составляющие
элементы соединяют оптическим контактом. Обе рассмотренные
призмы могут быть использованы как однолучевые поляризаторы,
если их поместить в оптическую схему, изображенную на
рис. 4.2.2.
Призма Волластона (рис. 4.2.6, в и рис. 4.2.5) отличается от
призм Рошона и Сенармона тем, что оптическая ось ее первого
элемента параллельна входной грани и лежит в плоскости
рисунка. Призма отклоняет оба ортогонально поляризованных
луча почти симметрично падающему пучку на угол в два раза
больший, чем у призм Рошона и Сенармона. Можно показать,
что некоторая асимметрия расхождения лучей
пропорциональна двулучепреломлению {пе — По) и квадрату угла а.
Расхождение лучей хроматично, поэтому эта призма чаще всего
используется для определения отношения интенсивностей
ортогональных компонент света, а не в качестве поляризационной
призмы. В наклонных пучках призма обладает значительной
260
Таблица 6
Характеристики двухлучевых поляризаторов
/, мм
14
20
25
9
10 .
12
15
—
—
14
20
25
10
12
15
20
!/а
1.1
0,45
0,25
5
5
2,2
1,1
0,45
0,25
1,1
0,45
0,25
2,2
2io, °
Призмы Рошона
9,8
2,6
0,9
(А, = 0,589 мкм)
3,6 (А, = 0,546 мкм)
4,5(А, = 0,2 мкм)
4,6(А, = 0,14 мкм)
5
10
15
(К = 0,6 мкм)
5.5
(А, = 0.546 мкм)
Призмы Сенармона
9,8
2,6
0.9
{). = 0,589 мкм)
Призмы Волластона
19,6
5,2
1,8
(>1 = 0,589 мкм)
5
10
15
20
(А = 0,6 мкм)
11,0
{). = 0,546 мкм)
Рабочая
область
спектра Д?^,
мкм
0,3—2,4
0,14—7
0,35—2,2
0,3—1,4
0,3—2,2
0,3—2,2
0,3—1,4
Материал
Кальцит
Флорид
магния
Стекло-
кальцит
АДР
Кальцит
Кальцит
АДР
261
дисторсией и астигматизмом. Аберрации можно существенно^
уменьшить, используя трехкомпонентную призму Волластона
(рис. 4.2.6,г).
В табл. 6 приведены характеристики двухлучевых призм,
выпускаемых в нашей стране и за рубежом.
Для работы в УФ-области спектра используют призмы из
кристаллов фтористого магния MgFa, диапазон прозрачности
которого равен 0,13—7 мкм. Высокая твердость и малый
коэффициент расширения этого материала позволяют заменить
склейку оптическим контактом.
Для видимой и ИК-областей спектра призмы изготовляют
из ортованата иттрия. Он обладает большим двулучепреломле-
нием и прозрачен в диапазоне 0,3—5 мкм. Этот материал в
3,5 раза тверже кальцита, поэтому призмы хорошо соединяются
оптическим контактом.
В табл. 7 приведены характеристики кристаллов с большим
двулучепреломлением, которые можно использовать для
изготовления поляризаторов.
Таблица Т
Двулучепреломляющие кристаллы
Кристалл
Кальцит
(исландский
шпат)
Ортовонат
иттрия
Азотнокислый натрий
Флюорид
магния
Дигидро-
фосфат
аммония (АДР)
Тип
Одноосный
отрицательный
Одноосный
положительный
Одноосный
отрицательный
Одноосный
положительный
Одноосный
отрицательный
Диапазон
прозрачности,
мкм
0,214—2,3
0,3-5
0,4—2
0,13—7
0,3-1,4
Длина
волны,
мкм
0,242
0,4861
0,5893
0,6663
1,0417
1,4972
0.5893
0,434
0,501
0,578
0,589
0,668
0,178
0,1849
0,2536
0,2893
0,7065
0,4047
0,5461
0,6328
1,1523
"о
1,78111
1,66784
1,65835
1 65439
1,64247
1,63456
2,0
1,6125
1,5968
1,5860
1,5848
1,5783
1,43975
1,43424
1,40208
1,39485
1,37599
1,53969
1,52662
1,52166
1,50364
е
1,53782
1,48982
1,48645
1,48465
1 ,47985
1,47744
2,226
1 ,3404
1,3379
1,3369
1,3360
1,3345
1,45368
1,44797
1,41483
1,4073
1,38771
1,49152
1,48079
1,47685
1,46665
262
^
Линейно поляризованный свет можно также получить с
помощью дихроичных кристаллов, в которых поглощение,
испытываемое линейно поляризованным светом, зависит от
ориентации линейной поляризации относительно оптической оси
(рис. 4.2.7). Такую среду называют линейно-дихроичной.
Поглощение имеет максимальную или минимальную величину
в тех случаях, когда направление колебаний электрического
поля совпадает с двумя взаимно перпендикулярными
направлениями среды,
называемыми главными осями
дихроизма. Дихроич-
ные кристаллы
естественного и
искусственного происхождения
достаточно больших
размеров, пригодные
для изготовления
поляризаторов,
отсутствуют в природе и не
могут быть
изготовлены. В настоящее время
используются
пленочные дихроичные
поляризаторы, называемые
поляроидами, или
поляризационными
светофильтрами.
Существует несколько видовр
поляроидов,
отличающихся материалом или
способом изготовления. Для создания поляроидов требуются
вещества, молекулы которых наряду с сильным поглощением
должны обладать высоким дихроизмом в широком диапазоне длин
волн. Как правило, эти молекулы имеют вытянутую форму.
Первые поляроиды представляли собой пленку,
приготовленную из суспензии герапатита в растворе с близким
показателем преломления (нитро- или ацетилцеллюлозы). Область
прозрачности таких поляризаторов от 0,4 до 0,7 мкм.
Пропускание одиночного поляризатора в неполяризованном свете
составляет величину (28±5)%, а скрещенных поляризаторов — ме-
лее 0,1%.
Герапатитовые поляроиды иногда называют
поляризаторами /-типа. В настоящее время их заменили более совершенные
и дешевые поляроиды: йодно-поливиниловые (Н-типа), поли-
виниленовые (К-типа) и йодно-поливиниленовые (НР-типа).
Типичные кривые пропускания поляроидов НК- и HR-типов
для ортогональных поляризаций представлены на рис. 4.2.8,
4.2.9, 4.2.10.
4.2.7. Принцип работы
поляризатора
дихроичного
263
Для поляризации излучения в ИК-области спектра
применяют поляризаторы-решетки, представляющие собой структуру
чередующихся металлических и диэлектрических полосок. Под-
'
Д8
II V
0,5
Од
о'2
0,1
0,01
0,001
IC
-1(1"
^
/
^—
,^
'^
/
t '
'макс
--^
'мин
У
^
ttOO
500 600 100к,нм
Рис. 4.2.8. Кривые пропускания
герапатитового поляроида
0,9
0.8
0.7
О В
0.5
(J,>t
0.2
0.1
0.01
0.001
10-^
^
'макс
'мин
/
wo
500
600 700Л.НМ-
Рис. 4.2.9. Кривые пропускания
поливинилового поляроида
ложку обычно выполняют в виде плоскопараллельной
пластины из полиэтилена, лавсана, кремния, германия и других
материалов, прозрачных в заданной области спектра. Такие
поляризаторы пропускают излучение с составляющей электрического
вектора, перпендикулярной штрихам. Излучение с
составляющей электрического вектора,,
параллельной штрихам,
полностью отражается.
Оптимальные характеристики имеют
поляризаторы-решетки для длин
волн, больших двух периодов,
и при малом показателе
преломления подложек.
Отечественной
промышленностью выпускаются
поляризаторы-решетки с числом
штрихов 1200 и 1400 на 1 мм на
подложке из фторопласта и
полиэтилена. Рабочая область
спектра в ИК-области этих
поляризаторов от 3 мкм до границы прозрачности подложки. Они
обеспечивают 100 % поляризации при угле поля зрения до 90°
и пропускании от 60 до 90%. Характеристики некоторых поля-
ризаторных решеток приведены в табл. 8.
На явлениях отражения и пропускания света на границе
раздела основано действие отражательных или пропускающих
поляризаторов. Поляризатор, работающий на пропускание и
состоящий из набора диэлектрических пластин, называется
стопой (рис. 4.2.11). Свет направляется на стопу под углом паде-
1'64
",5
0,8
0,1
ОЛ
а. 5
0,if
О.д
0,2
0,1
0.01
0.001
О 0001
0,70,80,91.0 1,5 2.0 2,5 ВДЛ,М№
Рис. 4.2.10. Кривые пропускания ИК-
поляроида
/'
\ 'мин
'макс
шия а, равным углу Брюстера. Вследствие многократного
преломления в пластинах вышедший из стопы свет оказывается
практически полностью поляризованным. Количество пластин
ъ стопе, необходимое для получения достаточной поляризации,
зависит от показателя преломления материала пластин.
Например, стопа из пяти селеновых пластин (п^2,54) поляризует
свет на 99%, имеет пропускание 20% и апертуру 10°.
Такая стопа находит применение в ИК-области спектра.
Многократные отражения-между пластинами ухудшают поля-
ризуюш:ие свойства стопы и для исключения их влияния при-
Рис. 4.2.11. Стопа Брюстера
меняют веерообразное расположение пластин и делают их
'Слегка клиновидными (рис. 4.2.11,6).
Отражательные поляризаторы представляют собой
пластины из диэлектрика с плоской полированной поверхностью,
на которую свет направляют также под углом Брюстера
(рис. 4.2.12). Они поляризуют свет на 97 — 99,5% при угле
поля зрения до 5—10°. Их выполняют в виде одной пластины
или набора пластин, которые располагают параллельно или
под углом (рис. 4.2.12, а, б). Для исключения смеш:ения луча
при враш:ении поляризатора используют три пластины при
трехкратном отражении (рис. 4^2.12, в, г).
Таблица 8
Характеристики поляризаторов-решеток
Шаг решетки,
мкм
0,463
1,67
1,67
2
4
5,1
10
25,4
Материал реш
Алюминий
Хром
Алюминий
гтки
Материал подложки
Напыление
Полиметилмета-
крилат
Иртран-2
Полиэтилен
Кремний
Фототравление
Полиэтилен
Кремний
Полиэтилен
Кремний
Диапазон длин
воли, мкм
1—4000
8—19
2,9—200
10,6
16
54,6
16
54,6
265
Отражательные
поляризаторы в ИК-об-
ласти изготовляют из
Ge, AgCl, Se, PbS, Si„
a в УФ-области из LiF,
СаРа.'АЬОз.МеРгИт.д.
Селеновый
поляризатор с двукратным
отражением
обеспечивает поляризационную
способность 98 % в
диапазоне длин волн
от 0,7 до 20 мкм и
угол поля зрения 9°.
Однако интенсивность,
отраженного света не превышает 18 % от падающего. Для
германиевого поляризатора (вследствие высокого показателя
преломления материала) интенсивность отраженного света
достигает 40 % •
Рис. 4.2.12. Отражательные поляризаторы
§ 4.3. Интерференция поляризованных лучей
Под интерференцией поляризованных лучей понимают
сложение ортогонально поляризованных световых колебаний при
условии их согласованного
взаимодействия во времени и
в пространстве, т. е.
когерентных между .собой. В
результате такой интерференции
возникают различные формы
поляризации.
Рассмотрим прохождение
неполяризованного излучения
через тонкую
плоскопараллельную анизотропную
пластину, вырезанную параллельно
оптической оси (рис. 4.3.1).
Такая пластинка делит
падающий неполяризованный
пучок на два некогерентных
линейно поляризованных во
взаимно перпендикулярных
плоскостях гг и //. Сечения
пластинки этими плоскостями
называют главными сечениями, а оси х и у — главными
направлениями или нейтральными линиями пластинки (рис. 4.3.1).
Наблюдаемая на выходе в проходящем или в отраженном неполя-
ризованном свете такая пластинка не обнаруживает признаков;
Рис. 4.3,1. Характерные плоскости
анизотропной пластинки
266
.-анизотропии. Наличие анизотропии (двойного
лучепреломления) можно обнаружить, наблюдая отраженный от двух
поверхностей пластинки свет через спектральный прибор,
например, по схеме, представленной на рис. 3.3.7. В этом случае
в спектре сплошного излучения существуют две
интерференционные картины полос равного хроматического порядка,
соответствующие обеим ортогональным поляризациям. Распределение
интенсивности в одной из них будет /i^/o(l+cos 4яст^Пж), а
3 другой /2^/o(l + cos 4яст^%), где а — волновое число; t —
толщина пластинки; Пх и Пу — показатели преломления для
1Ц
Х-О
^
а
~^\
J
т
,зп
Рис. 4.3.2. Зависимости вида поляризации от азимута а.
ортогональных поляризации, причем п^ — Пу^Пе —
По—двойное лучепреломление материала. Интенсивности этих картин
вследствие некогерентности складываются.
В результате имеем
/^2/о[1 + со5 2яа^ (Ид; — Пу) cos 4яаПср], (4.3.1)
где Пср=(.Пж —%)/2.
Второй косинусоидальный множитель определяет частоту
интерференционных полос, а первый — контраст полос равного
хроматического порядка. Контраст становится нулевым при
t(nx — Пу)^{2к-\~ 1)V4, т. е. для тех длин волн, при которых
анизотропная пластинка становится четвертьволновой'. Если
кристаллическую (рис. 4.3.1) пластинку Я./4 осветить линейно
поляризованным светом длины волны Я. и с азимутом а (а —
угол, который составляет вектор Е с главным направлением х),
то на выходе получим эллиптически поляризованный свет
различных форм (рис. 4.3.2), что следует из (4.1.2). Подставив
в (4.1.2) Ax^AoCos%; Ay^Aosinx и б^я/2, получим
уравнение эллипса поляризации в виде
I cos X / "*" \,
= а1
(4.3.2)
\ cos X / \ sin X
Т. е. имеем уравнение эллипса в канонической форме.
' Такую схему можно использовать для контроля и подбора пластинок
.7-/4 иа заданную длину волны.
267
Оси эллипса поляризации ориентированы по главным осям
X и у, г отношение его осей равно tg%. Таким образом, при по-
стояннои разности фаз б=-^--4 =2 > но при различных углах х
можно получить различные формы поляризации от линейной
поляризации до циркулярной.
Система, состоящая из поляризатора Р и анизотропной
пластинки К, представляет собой эллиптический поляризатор
(рис. 4.3.3). В частности можно иметь циркулярный
поляризатор для четвертьволновой пластинки и угла а^45°.
Рис. 4.3,3. Эллиптический
поляризатор
Рис. 4.3.4, Ориентация оптических
осей в слюдяной пластинке
В качестве пластинок Х/4 часто используют пластинки из
слюды, полученные расщеплением по плоскостям спайности.
Слюда является двуосным отрицательным кристаллом.
Плоскость спайности перпендикулярна биссектрисе 0Z острого
угла между оптическими осями 2V (рис. 4.3.4). Главное
направление ОХ соответствует наибольшему показателю
преломления Пх ^ rig, главное направление 0Y соответствует Пу ^ Пт,.
т. е. среднему показателю преломления. Для слюды ng^ 1,5977;
Пт= 1,5936; Пр = 1,5601; rig—Пт=0,0041.
Пластинка Х/4 по определению является хроматической, т. е.
свет только одной (или нескольких) длин волн она преобразует
в циркулярно поляризованный. Отметим, что пластинка
обладает хроматизмом дал^е при условии постоянства (Пх—Пу).
Для создания ахроматической пластинки используют
сочетание из двух пластинок, изготовленных из кристаллов разных
знаков, имеющих различные значения двулучепреломления
(Пх—Пу), например из шпата и кварца. Выполним расчет такой
пластинки. Разность хода образуется вносимой составной
пластинкой из положительного и отрицательного материалов,
ориентированных на вычитание. Ориентировка на вычитание
означает, что луч, идущий с большей (меньшей) скоростью в
первой пластинке, во второй идет с меньшей (большей) скоростью..
268
Разность хода для длины волны X' равна b[ti — b'it2 = X'/4,
а для длины волны к" — bbi —b'2t2 = l"/4. Решая эту систему
уравнений, находим ti и tz:
Л =
Я бо — X Ьо
А{ь[ь1-Ьф'[)
t.=
X bi — я б)
b,b^-b,b,)
(4.3.3)
В формулах (4.3.3) Ь\ = Пе — п'о, &i = п^ — nj —двулучепре-
ломление кварца для длин волн %' и %", а &2 = п^ —по и 62 =
/Г
0,30
Рис. 4.3.5. Зависимость порядка
интерференции от длины волны
для ахроматической пластинки Я/4:-
/ — изменение порядка интерференции
для неахроматизированной пластинки:
2—3 — изменение порядка иитерферен-
цни двух вариантов
ахроматизированной пластинки
0Л5'
0,20
0,151
\
-^j-Ч^
- /
-/
f
-Г^^ю^^ -
ir::::;.^
2
7*
^00 500
600 Л,нм
Пе — по — двулучепреломление шпата для тех же длин волн.
Составная пластинка, рассчитанная по формулам (4.3.3),
полностью ахроматизирована для длин волн %' и X" и почти
ахроматизирована для Г ^ Я ^ X", а также в некоторой
окрестности при Ж Г и X > X" (рис. 4.3.5). Для длин волн X' и X"
величина k = MX равна 0,25.
Можно использовать также пластинки с большим числом
компонентов. При этом область ахроматизации расширяется,
но соответственно уменьшается светопропускание системы.
^ Пл^астинку, ахроматизированную только для двух длин волн
X и V, можно получить также из одного материала, если учесть
изменение- двупреломления материала для этих длин волн. При
этом решают систему уравнений tb' = {k+\1А)Х' м tb" =
= {k+ 1/4) Г'.
Толщина пластинки рассчитывается по формуле
t (п, - По) = {k + 1/4) X.
(4.3.4)
Величину/fe в формуле (4.3.4) принимают равной k =
= 4{N~\)+Nk' {k'=\,2,3, ...), где N = X"b'IX'b".
269
в табл. 9 приведены примеры параметров четвертьволновых
пластин, ахроматизированных для линий спектра 632,8 нм и
1,15 мкм излучения Не — Ne-лазера.
Для получения циркулярной поляризации можно
использовать также интерференцию поляризованных лучей,
возникающую при полном внутреннем отражении. Для этой цели
применяют ромб Френеля, двойной ромб Френеля и ромб Муни
(рис. 4.3.6, а—в). Из предыдущего (гл. 2) следует, что при
полном внутреннем отражении между ортогональными компонен-
S)
'A:^Y^^^^
Рис. 4.3.6. Циркулярные поляризаторы при полном
внутреннем отражении
тами линейно поляризованного света, колеблющимися в
плоскости падения и перпендикулярно к ней, возникает разность
фаз бо, соответствующая однократному отражению.
Рассчитывая угол падения на грань, на которой происходит полное
внутреннее отражение, можно получить заданную разность фаз.
В ромбе Френеля изменение разности фаз достигается путем
отражения от двух граней ромба (рис. 4.3.6,а). Относительный
фазовый сдвиг я/2 для стекла К-8 (пп = 1,5163) можно
получить при углах падения на грани 54,6°. Погрешность ахромати-
зации для области спектра 0,365—0,768 мкм составляет ±2,5°.
Ромб Френеля, обладает значительно меньшей хроматич-
ностью, чем пластинка Я./4 из анизотропного материала. В ряде
Таблица 9
Ахроматические четвертьволновые
Материал
Кальцит
АДР
КДР
Кварц
кристаллический
К = 0,6328 мкм
Ие= 1,65404
Ио= 1,4890
и^= 1,52166
«0=1,47685
и^= 1,50737
Ио= 1,46685
и^= 1,54265
«0=1,55170
Л = 1,15 мкм
и^= 1,64051
«0 = 1,47910
и^= 1,50364
«0 = 1,46666
и^= 1,49135
«0=1,45893
и^= 1,53281
«0 = 1,54153
пластинки
t, мкм
1,1241
1,4439
1,5657
0,3082
Погрешность
ахроматизации
для Я = 1,15 мкм,
%
0,07
0,06
0,07
0,4
270
случаев недостатком действия ромба Френеля является
смещение луча. Этого смещения можно избежать, используя двойной
ромб Френеля (рис. 4.3.6,6). В некоторых случаях из
конструктивных соображений удобно использовать ромб Муни
(рис. 4.3.6,0).
Отметим, что в автоматизированных поляризационных
приборах функции пластинки Я./4 обычно выполняет
электрооптический или акустико-оптический модуляторы, принцип работы
которых будет рассмотрен далее.
В практике поляризационных исследований в ряде случаев
необходимо осуществлять поворот плоскости поляризации. Для
этих целей часто используют анизотропную полуволновую
пластинку V2- Линейно поляризованное излучение после
прохождения через нее остается линейно поляризованным, так как она
вносит разность фаз я. Однако, если плоскость поляризации
падающего света составляет угол а с одним из главных
направлений пластинки, то плоскость поляризации выходящего света
составляет угол — а с этим направлением, т. е. плоскость
поляризации поворачивается на угол 180° — 2а.
До сих пор мы рассматривали поляризационные элементьи
создающие одну определенную форму поляризации. В
практике поляризационных измерений часто применяются или
исследуются анизотропные элементы, дающие одновременно
различные формы поляризации. Например, для клиновидного
анизотропного образца форма поляризации зависит от
пространственных координат, для образца в виде плоскопараллельной
пластинки, работающей в сходящихся пучках, от угла
наблюдения, а в параллельных пучках — от длины волны. Если
создать условия, при которых наблюдается интерференция
поляризованных лучей, то так же, как и при рассмотрении
интерференции неполяризованных лучей, можно различать полосы
равной толщины (изохромы), равного наклона (коноскопиче-
ские фигуры) и равного хроматического порядка. Кроме того,
при определенных условиях в интерференционной картине
поляризованных лучей можно наблюдать специфические
изолинии с одинаковой ориентацией главных направлений
анизотропного элемента (изоклины).
Начнем с рассмотрения полос равной толщины. Пусть
пластинка К, вырезанная из анизотропного материала
параллельно оптической оси, освещается параллельным пучком линейно
поляризованного излучения, образовавшимся после
прохождения коллиматора О и поляризатора Р, ориентированного
вертикально (рис. 4.3.7). При изменении толщины пластинки К
будут возникать различные формы поляризации (см. рис. 4.3.2),
анализатор А сведет колебания взаимно перпендикулярных
составляющих в одну плоскость и в результате интерференции
преобразует переменные формы поляризации в изменение ин-
271
тенсивности. Получим, таким образом, полосы равной
толщины.
Свяжем с пластинкой координатную систему ху, направив
ось X параллельно главному направлению пластинки,
содержащему луч и оптическую ось. Будем считать кристалл
отрицательным. Зададим ориентацию линейной поляризации
падающего пучка углом %, отсчитываемым по часовой стрелке от
вертикали.
Нормированный вектор Джонса линейно поляризованного
падающего света (б = О, см. с. 254) в координатах ху имеет
Рис. 4.3.7. Схема для наблюдения интерференции
поляризованных лучей в параллельных пучках
ВИД {cos X, sin^}. Напомним, что он получается в результате
умножения исходного вектора при х^0{1> 0} на матрицу
поворота R{—у), т. е. вычислением матричного произведения
в соответствии с формулой (4.1.17)
cos X — sin X
[со
sir
1Г11 fcosXl
JLoJ LsinX ]•
sinX cosX
После прохождения пластинки К вектор Джонса будет
равным {cosxe'*, sin^}, так как между компонентами х w у
будет введена разность фаз б, определяемая из соотношения
&^-—{Пу — Пх)1^-^{Пг — Пе)1, где t — толщина пластинки.
В связи с тем, что оси координат х м у совпадают с
главными направлениями кристаллической пластинки, на выходе из
пластинки эллиптически поляризованный свет можно
представить как сумму двух векторов Джонса {е"''г', О} и (О, е"''*}, где
Фх и фу — фазы компонент, линейно поляризованных по осям х
и у. Эту сумму можно записать в виде матрицы
L о е""^ J ^ [о 1 J"
Нас интересует относительная разность фаз б = фу — фж и
поэтому матрицу пластинки в собственных осях, т. е. в направ-
272
дениях, совпадающих с главными направлениями, можно
представить в виде пластинки
е'б О 1
О 1 J-
Таким образом, вектор Джонса, который получится после
прохождения светом пластинки К, можно вычислить, выполнив
матричное умножение, в виде
Г е'в О 1 Г cos Xl Г cos Хе'^ "1
[о 1 JLsinX J^L sinX J"
По полученному вектору Джонса вычисляются параметры
возникшего эллипса поляризации с использованием формул
(4.1.16) для азимута главной оси а^ [arctg(tg 2х cos б)]/2 и
эллиптичности ^= [arcsin (sin 2x|sin б| )]/2. Эти параметры
определяются экспериментально путем анализа состояния
поляризации.
Интерференция поляризованных лучей в параллельных
пучках.
Для наблюдения интерференционной картины
необходимо преобразовать изменение формы поляризации в
изменение интенсивности. Такое преобразование осуществляется
анализатором, пропускающим линейно поляризованный свет
(рис. 4.3.7). Ориентируем плоскость пропускания анализатора
под углом 6 к вертикальной оси. Запишем вектор Джонса
{cos X ехр (гб) sin^} в координатах, связанных с главными на-
Бравлениями анализатора. Для этого умножим его сначала на
матрицу поворота R(—i) у т- е. вернемся к исходной системе
координат, а затем на R{e).
В результате получим
— r,in 6 1 Г cos X sin X "1 Г cos X exp (гб) 1
cosOjl — sinX cosXj! sinX
[cosX sin XI Г
— sinX cosxJL
[cosOcosX —sin6sinXexp(t6)1 \
sin6cosX+cos6sinXexp(i6) J' ^
Анализатор действует таким образом, что полностью
пропускает только одну из составляющих вектора Джонса,
параллельную плоскости его пропускания, направленную по оси у,
а именно
[ Ип 6 cos X-[-cos 6 sin X ехр (гб)].
Поясним это. После анализатора поляризованный свет
можно представить как сумму двух векторов Джонса {О, 0} и
{О, 1}. Первый вектор соответствует направлению, в котором
анализатор не пропускает свет, а второй — направлению
полного пропускания. Матрицу Джонса таким образом можно
18 Зак. № 167 273
записать в виде
О О
О 1
Следовательно, результат действия
анализатора можно получить, выполнив матричное умножение
выражения (4.3.5) на матрицу Джонса анализатора
О 0 1
О 1
COS 6 cos X — sin 6 sin X exp (г6)
cos 6 cos X + cos 6 sin X exp (г6)
= [sin e cos X + cos e sin X exp (г6)]. (4.3.6)
Этот вектор пр'едставляет собой вектор Джонса,
соответствующий прохождению света через анализатор.
Интенсивность света получим, умножив (4.3.6) на
комплексно-сопряженное выражение, в виде
/ = cos^ е cos^ X -f sin^ е sin^ X -f 2 sin 6 cos 6 cos X sin X cos 6. (4.3.7)
После тригонометрических преобразований формулы (4.3.7)
выражение для интенсивности окончательно примет вид
/ = cos^ (6 — X) — sin 26 sin 2Х sin^6/2. (4.3.8>
Здесь (6 — %)—угол меладу направлением плоскости
поляризации падающего света и плоскостью пропускания анализато-
ра; 6 = -j-t {Пе — По).
В соответствии с формулой (4.3.8) интенсивность / зависит
от нескольких параметров: является функцией углов Q и %, их
разности (6—%), геометрических и оптических характеристик
материала пластинки (t, Пе — По) и длины волны "к.
Проанализируем формулу (4.3.8), учитывая зависимость /
от указанных параметров. Первый член в формуле (4.3.8)
ответственен за нейтральный фон в интерференционной картине,,
не зависящей от длины волны. Он меняется при изменении б
в пределах от cos^ (6 — %) до cos^ (6 + х)- Поскольку фон не
зависит от длины волны, то его иногда на'зывают белой
компонентой. Он остается неизменным и при б ^ О, т. е. в отсутствии
пластинки. Фон имеет максимальное значение при
параллельных поляризаторе и анализаторе (6 ^ х) ^ равен нулю, если
они скрещены (6 — %^п/2). Второй член в формуле (4.3.8)
sin26 sin 2х sin^ 6/2 зависит от углов 6 и Xi а также от разности
фаз б, т. е. толщины пластинки t, величины двойного
лучепреломления Пе — По и длины ВОЛНЫ X.
Определим интенсивность прошедшего света для двух
ортогональных направлени?! (поляризатор и анализатор скрещены
или параллельны). Рассмотрим эти случаи.
1. Анализатор и поляризатор взаимно перпендикулярны, т. е.,
6 — %^п/2. В этом случае общее выражение для
интенсивности прошедшего света имеет вид
/_L = 5in2 2Xsin=6/2. (4.3.9)
274
2; Анализатор и поляризатор параллельны, т. е. 6 ^ Х- При
этом имеем
/|1=1 — sin^2Xsin^6/2. (4.3.10)
Из выражений (4.3.9) и (4.3.10) следует, что интенсивности
проходящего света /х и /ц дают в сумме единицу. Это означает,
что они дополнительны как по интенсивности, так и по цветовой
окраске. Это соответствует тому, что сумма интенсивностей
двух интерференционных картин для взаимно
перпендикулярного и параллельного расположения поляризатора и
анализатора не зависит от длины волны. Поворот на я/2 поляризатора
относительно анализатора вносит как бы разность фаз в я.
Рассмотрим зависимость интенсивности для любого
значения при изменении азимута пластинки % в случае 1 и в
случае 2.
1. /j_ обращается в нуль для sin х ^ О или cos х ^ О, т. е. для
X ^ О, я/2, я, Зя/2. Эти азимуты соответствуют расположению
главных направлений кристаллической пластинки
параллельно плоскостям пропускания поляризатора и анализатора
(рис. 4.3.7). В этом случае разложение падающего колебания
на две компоненты не происходит и гашение света будет
наблюдаться для всех длин волн, так как состояние поляризации
света, вышедшего из поляризатора, не изменяется в результате
прохождения через пластинку.
Для азимутов пластинки, отличающихся от х ^ 0> "/2. л и
Зя/2, в пластинке образуются две компоненты и интенсивность
прошедшего света зависит от б и периодически меняется. Эти
изменения максимальны для sln2 2x^l, т. е. для х^п/А,
Зя/4, 5я/4 и т. д. Интенсивность в минимумах при этом равна
нулю, а в максимумах — единице.
Условия возникновения максимумов и минимумов при х =
= const зависят от длины волны. При использовании белого
света интерференционная картина будет окрашена. Это
обстоятельство можно использовать для определения разности хода,
вносимой кристаллической пластинкой. Так же, как по шкале
интерференционных цветов, определяется разность хода в
интерферометрии.
2. Анализатор и поляризатор параллельны, т. е.
интенсивность прошедшего света определяется выражением (4.3.10).
Здесь условия интерференции дополнительны к условиям,
выведенным для случая 1. При наблюдении в белом свете
интерференционные цвета при параллельных поляризаторе и
анализаторе являются дополнительными к цветам, наблюдаемым при
скрещенных поляризаторе и анализаторе.
Рассмотрим теперь детально матричный метод расчета
поляризационной системы.
Элементы расчета мы уже использовали при выводе
формулы (4.3.7). Для этого случая совокупность операций, выполняе-
18* 275
мых над входным вектором Джонса {cos Xi sin)^}, можно
представить в виде матричного произведения
cost
sln£
— smt
— cos I
0
cosX
sinX
= [cos 6 cos X + cos 6 sin Xe'*].
(4.3.11)
В выражении (4.3.11) действие фазовой пластинки и
анализатора описывается матрицами:
О
В предыдущем расчете, исходя из физических соображений,,
результат действия фазовой пластинки мы представили путем
умножения составляющей вектора Джонса cos х на множитель
ехр(гб), а составляющей sinx на множитель, равный 1. Вектор
Джонса при этом принимает вид {cos х ехр (гб), sinx}.
Результат матричного умножения в формуле (4.3.11) приводит к
такому же соотношению. Из физических же соображений
действие анализатора мы ранее представили как полное
пропускание только одной из компонент вектора Джонса, приведенного-
к системе координат, согласованных с ориентацией
анализатора. Это эквивалентно умножению вектора на соответствующую
матрицу анализатора.
Таким образом, матричное произведение (4.3.11)
математически формализует физические соображения, положенные в
основу расчета, результатом которого является формула (4.3.6).
Соотношение (4.3.11) не является оптимальным с точки зрения
метода расчета. Этот расчет целесообразно выполнить с
помощью компонент вектора Джонса, отнесенных к единой
системе координат. В соотношении же с формулой (4.3.11) на
каждом из этапов расчета используется запись вектора в
различных системах координат. Схематически это представлено на
рис. 4.3.8.
На схеме представлен вектор Джонса, выходящий после
поляризатора, матрица поворота, преобразующая исходный
вектор к координатам, связанным с главными направлениями ху
кристаллической пластинки /С, и матрица пластинки К-
Действие пластинки К представлено соответствующей матрицей;
затем поляризованный свет с помощью матрицы обратного
поворота преобразуется к исходной системе координат, а после
этого с помощью матрицы поворота на угол 6 приводится к
системе координат, связанной с анализатором А. Анализатор при
этом характеризуется матрицей в собственных осях.
Для того чтобы осуществить расчет в единой системе
координат, вектор Джонса после анализатора следует представить
в координатах х, у, умножив его на матрицу R{—6). В резуль-
276
R(-Q)
тате получим (с учетом сказанного выше) матричное
соотношение
А sine
А cos 6
(4.3.12).
где Л ^ sin 6 cos % + cos 6 sin % exp (16).
В матричном соотношении (4.3.12) целесообразно выделить,
две группы матриц, связанных с углами ^ и 9.
Г 1 01
0 0_
R{Q)R{-X)
Ге'б 0'
0 1 _
R(%)
Г1
0
Рис. 4.3.8. Матричное представление прохождения
электромагнитной волны в линейном полярископе
Первая группа представит собой матрицу анизотропной
пластинки, ориентированной произвольным образом.
R{-X)
R{%) =
cos' % + sin=Xe'6 — sin X cosX(l — e'^)'
sin X cos X (1 — e'«) sin= X + cos= Xe''«
(4.3.13)
Вторая группа — матрица анализатора, ориентированного
под углом 6 к оси X,
R{-Q)
1 О
О О
R{B) =
cos t)
sin 6 COS I
sm t) cos I
sin-' e
(4.3.14)
Анализ формулы (4.3.8), проведенный ранее, показывает,
что характер интерференционной картины зависит как от
разности фаз б, так и от азимута пластинки %. Это связано с тем,
что анизотропная пластинка расположена между линейными
поляризатором и анализатором. Такая система называется
линейным полярископом. В ряде случаев зависимость
интенсивности света от % при экспериментальных исследованиях
целесообразно исключить. Можно предположить, что для этого сле-
277
дует пластинку осветить циркулярно поляризованным светом,
а линейный анализатор заменить циркулярным.
На рис. 4.3.9 для наглядности представлены как
линейный полярископ, так и циркулярный. Линейный полярископ
(рис. 4.3.9, а) состоит из поляризатора Р и анализатора А,
которые чаще всего ортогонально ориентированы. Между ними
располагается объект М с наведенной анизотропией (или кри-
Рис. 4.3.9. Схема линейного и циркулярного полярископов
•сталлическая пластинка). Циркулярный полярископ состоит из
(рис. 4.3.9,6) поляризатора Р, анализатора А и двух
пластинок А,/4. Сочетание поляризатора и первой пластинки А,/4
образуют циркулярный поляризатор, а сочетание пластинки Х/А и
анализатора А—циркулярный анализатор. Проанализируем
эту систему. Вектор Джонса на выходе из циркулярного
полярископа получим, выполнив соответствующее матричное
умножение, представленное ниже:
IV 111
О О
О 1
V2
2
1
— I
1
X
X
cos 6/2 + i cos 2Х sin 6/2 i sin 2X sin 6/2
i sin 2X sin 6/2 cos 6/2 — i cos 2X iin 6/2
I
A 2
1 i
i 1
X
(4.3.15)
:278
в формуле (4.3.15) матрица 1, на которую умножается
вектор Джонса {1, 0}, соответствующий свету, выходящему из
поляризатора Р, представляет собой действие пластинки Х/4
(6^ я/2), ориентированной под углом +45° (5^^45°). Эта
матрица получается из формулы (4.3.13) путем подстановки
соответствующих б и х- Матрица II соответствует действию
анизотропного объекта, помещаемого между двумя
пластинками А,/4. Затем представлена матрица III пластинки Х/4 с
азимутом х^—45° и, наконец, матрица анализатора IV с
пропусканием горизонтальной составляющей, получаемая из
формулы (4.3.14) при 6 = я/2.
При выполнении всех матричных операций в (4.3.15)
окончательно получим вектор Джонса в виде
{О, sin6/2(cos2X-f isin2X)} = {0, sin6/2e'2x}. (4.3.16)
Вектор Джонса (4.3.16) соответствует свету с горизонтальной
линейной поляризацией и амплитудой, зависящей от разности
фаз б, и фазовым сдвигом, определяемым азимутом х
исследуемого объекта. Интенсивность на выходе системы не зависит от
X и пропорциональна sin^ 6/2.
Следовательно, как и следует из физических соображений,
интенсивность на выходе циркулярного полярископа не зависит
от ориентации исследуемого объекта.
Итак, мы рассмотрели явления, возникающие при
интерференции поляризованных лучей в параллельных пучках.
Результат интерференции в общем случае зависит как от разности
фаз б, вносимой анизотропной средой, так и от ориентации ее
главных направлений относительно плоскости поляризации
падающего излучения. В первом случае возникают изохромы—
линии равных разностей хода, во втором — изоклины — линии
одинаковых главных направлений анизотропного объекта.
При помещении пластинки в циркулярный полярископ
наблюдаются только изохромы, т. е. результат интерференции не
зависит от ориентации главных направлений анизотропной
пластинки.
Интерференция в сходящихся пучках — коноскопические
картины. Для анализа анизотропных свойств объектов
необходимо кроме наблюдения интерференционных явлений в
параллельных пучках использовать коноскопические картины, т. е.
результаты интерференции в сходящихся пучках. Кроме того,
для расчета многих поляризационных устройств необходимо
знать зависимость результата интерференции от угла падения
луча на анизотропную пластинку. В частности, вид коноскопи-
ческой картины определяет форму и.размер источника света
в поляризационных интерферометрах, например, в
интерференционно-поляризационном фильтре. Рассмотрим формирование
коноскопической картины при интерференции в пластинке
одноосного кристалла, вырезанной произвольным образом по
279
•отношению к оптической оси. Оптическая схема для
наблюдения коноскопической картины представлена на рис. 4.3.10.
Пластинка К освещается сходящимся пучком лучей, одно из
сечений которого представлено кругом Q. Коноскопическая картина
образуется в фокальной плоскости объектива О с фокусным
расстоянием /. Она представляет собой картину полос равного
наклона.
Рис. 4.3.10. Оптическая схема для наблюдения коноскопической картины
Рассчитаем разность хода между обыкновенным и
необыкновенным лучами на выходе из пластинки К-
Для расчета результата интерференции необходимо
определять разность хода между волновыми фронтами, т. е.
рассматривать преломление волновых нормалей. Напомним, что
волновые нормали после преломления лежат в плоскости падения и
для них справедлив закон преломления в виде sin а ^ «е sin р^;
sin а ^ «о sin Ро, где а — угол падения; Ро и Ре — углы
преломления обыкновенного и необыкновенного лучей; По —
показатель преломления обыкновенного луча; Пе—переменный
показатель преломления необыкновенного луча.
Показатель преломления для волновой нормали
необыкновенного луча Пе меняется от По до Пе в зависимости от
ориентации преломленной волновой нормали в кристалле относительно
оптической оси. В соответствии с гл. 2, § 5 имеем
'' 1-^1 -1 = а= - (а^ - 6=) cos= е. (4.3.17)
= -^sin"
-|—5" cos^
«о
Здесь а= 1/«е, Ь= l/tio] Q — как и ранее, угол между
волновой нормалью и оптической осью.
-280
Пусть луч света падает на кристаллическую пластинку под
углом а (рис. 4.3.11). Разность хода вычислили как разность
оптических путей между волновыми фронтами 00' и ОЕ. Она,
очевидно, равна отрезку ЕВ.
В соответствии с рис. 4.3.11 имеем EB^EO'sma.
Отрезок ЕО' ^ t{cig^e — ctgPo). Следовательно, разность
хода равна
A = /sina(ctgPe-ctgPo). (4.3.18)
В общем случае, когда оптическая ось образует
произвольный угол -ф с нормалью к пластинке (см. рис. 4.3.10) и плс-
/ /
' /
/
Рис. 4.3.11. К расчету разности хода в анизотропной
пластинке
скость падения образует угол ш с главным сечением РР'
(см. § 5 гл. 2), угол Ре определяется из выражения
^2 _ §2
Ctg Ре ^ 2 sin -ф COS -ф COS 0) +
с sin а
X
X л/1 — asin'a[iin=(u + (67c')cos=(u]. (4.3.19)
Здесь введено обозначение с^ ^ а^ sin^ -ф -1- 6^ cos^ -ф. Для
обыкновенного луча а^ = Ъ'^^с^ и соответственно для ctg Ро получим
ctgPo = -
sin а
д/1-6'
Sin а-
(4.3.20)
Подставив (4.3.19) и (4.3.20) в соотношение (4.3.18),
находим разность хода между о и е на выходе пластинки. Если
ограничиться малыми углами падения а, то радикалы в (4.3.19)
и (4.3.20) можно разложить в ряд по малому параметру а.
281
в результате из (4.3.18) получим для разности хода
А = ^ sin а (ctg Ре - ctg Р„) = (1- -1) ^ +
, , а^ — 6^ . , , . , t . ,
+ t —-J— Sin "ф cos "ф cos 0) sin a + -о sin a
-^)sin'(u +
+ Ь
a?b^\
3- COSTCO
]•
(4.3.21)
Для анализа вида кривых одинаковой разности фаз (изо-
-хром) в зависимости от угла падения а используем в фокаль-
Рис. 4.3.12. Иллюстрация формы коноскопических фигур
НОЙ ПЛОСКОСТИ объектива О (см. рис. 4.3.10) декартовы
координаты xyz, выразив их через полярные а, ш и р (р ^ /), т. е.
л; ^f sin а sin О), (/^/sin а COS О), / ^ д/л;^ + ^^ + 2^-
Тогда из (4.3.21) получим
Д = ^(л+В^ + С-^ + 0|1), (4.3.22)
•где А ■■
В
2с?
■sin2X;
C=i(*-^)„D = |(6
0=6=
Форма изохроматических линий получается из выражения
(4.3.22) при А ^ const и для максимальных значений
интенсивности А ^ Ш.. Для того чтобы наглядно представить форму
изохром, целесообразно уравнение (4.3.22) трактовать как
трехмерную поверхность A^f( х, у), вид которой
представлен на рис. 4.3.12,0. Это параболоид вращения.
Изохромы являются линиями пересечения этой поверхности
плоскостями, положение которых в пространстве зависит от
угла -ф (см. гл. 2). В общем случае эти линии являются
кривыми второго порядка.
При изменении угла "ф меняется соотношение между
коэффициентами А, В, С я D.
282
Если оптическая ось перпендикулярна плоскости пластинки:
(■ф^О), то коноскопическая картина представляет собой
семейство окружностей, центрированных относительно нормали
к поверхности пластинки. Эти окружности образуются при
сечении трехмерной поверхности (рис. 4.3.12, а) плоскостями,
перпендикулярными оптической оси 00'. Вид коноскопической
картины изображен на рис. 4.3.12,6. Окружности сгущаются
к периферии вследствие квадратичности зависимости А^
= F{x, у).
Если -ф л; О (пластинка вырезана почти перпендикулярно
ц2 ^2 1 ^2 д2
оси кристалла, т. е. -ф мало), то В^—р—-ф, а C^D-^ т—
и коэффициент Л ^ 0.
Изохромы при этом имеют вид окружностей, но смещенных
относительно нормали к плоскости пластинки. Отметим также,
что для положительного кристалла разность хода с
увеличением угла падения на пластинку увеличивается, так как С^
^ D >> О, поскольку b > а. Для отрицательного кристалла
С ^ D < О, так как b << а. Разность хода при этом с
увеличением угла падения уменьшается.
Если "ф = п/2 (пластинка вырезана параллельно оптической
оси), то В ^ О, а С и D имеют разные знаки и их отношение
равно \по/Пе\. Изохромы в этом случае имеют вид гипербол
с асимптотами АА и РР, образующими угол т = arctg--^c глав-
ным сечением (рис. 4.3.12, в), так как уравнения асимптот
имеют вид у = По/ПеХ, что следует КЗ анализа уравнения (4.3.22).
Точка пересечения асимптот (центр картины) расположена на
продолжении нормали к поверхности пластинки.
Изохромы являются линиями пересечения поверхности,
изображенной на рис. 4.3.12, а, плоскостями, параллельными
оптической оси 00'.
Особенность анализируемой коноскопической картины
состоит в том, что на линиях, совпадающих с асимптотами,
разность хода не зависит от угла падения и равна разности хода
в центре картины. Кроме того, при переходе через асимптоты
разность хода в зависимости от угла а меняет знак. Таким
образом, в квадрантах, совпадающих с главным сечением РР,
разность хода при удалении от центра увеличивается или
уменьшается в зависимости от знака кристалла, а в двух
других квадрантах изменение разности хода в зависимости от
угла а имеет противоположный знак.
Если -ф отлично от О и я/2, то основное значение
приобретает коэффициент при первой степени у (4.3.22). Он
максимален при "ф = 45°. В этом случае изохроматические линии
вблизи нормали имеют вид прямых, перпендикулярных плоскости,
содержащей оптическую ось и нормаль к поверхности пластин-
28а
ки (см. рис. 4.3.10). При больших углах а линии искривляются,
т. е. начинает сказываться влияние коэффициентов при х^ и if-.
Своеобразные интерференционные явления в наклонных
пучках наблюдаются при прохождении света через составные
кристаллические пластинки.
Составные кристаллические пластинки находят в оптико-
физических исследованиях как самостоятельное применение,
например, в качестве поляризационных компенсаторов, так и
Рис. 4.3.13. Пластинка Савара
в виде поляризационных интерферометров. Рассмотрим
некоторые из составных пластинок. Начнем рассмотрение с
полярископа Савара. В полярископе Савара используются две
пластинки, вырезанные наклонно к оптической оси кристалла
(■ф = 45°). Для получения нулевой разности хода при
нормальном падении постоянный член (1/с—\lb)t в выражении
(4.3.21) может быть скомпенсирован при использовании двух
скрещенных пластинок (рис. 4.3.13, а). Результат
интерференции поляризованных лучей в этом случае можно наблюдать
в белом свете.
Лучи / и 2 (рис. 4.3.13,6) смещены относительно друг друга
в поперечном направлении в плоскости, образующей 45° с
главным сечением, и разность хода между ними равна нулю.
Величина поперечного смещения с определяет угловую ширину по-
284
лос в коноскопической картине. Интерференционные полосы
ориентированы перпендикулярно плоскости, в которой смещены
лучи, т. е. под углом 45° к главной плоскости. Разность хода,
вводимая второй пластинкой полярископа Савара,
рассчитывается по формуле (4.3.21) при замене угла и (см. рис. 4.3.10) на
угол и + Ji/2, так как вторая пластинка повернута
относительно первой на 90°.
Суммарная разность хода А для двух скрещенных пластинок
будет равна
2(,2
аЧ
А (м) -|- А (м + л/2) =
ц2 ^2
(cos м + sin м) sin а -\ -^ V
X (~^ (cos'' м — sin^ со) sin'' а
W2
(4.3.23)
Вследствие того, что член в формуле (4.3.23), содержащий
sin^ а, отличен от нуля, интерференционные полосы будут
прямолинейны только в центре поля при малых а.
Разность хода при угле падения на пластинку а^О может
быть скомпенсирована и при другой ориентации двулучепре-
ломляющих пластинок (рис. 4.3.13,в). Оптические оси
пластинок, образующие угол 45° с нормалью, ориентируются в одном
направлении; между ними помещается пластинка А,/2, главные
направления которой развернуты на 45° относительно главных
плоскостей пластинок. Разности хода, вносимые пластинками,
при этом вычитаются. Используя выражение (4.3.21) для
расчета суммарной разности хода, найдем, что разность хода не
зависит от угла падения, по крайней мере, с точностью до sin* а.
Таким образом, в рассматриваемой системе коноскопическая
картина представляет собой бесконечно широкую полосу с
нулевой разностью хода. Рассмотренное сочетание двулучепре-
ломляющих пластинок используется в поляризационном
интерферометре А. А. Лебедева.
Для получения прямолинейных полос в коноскопической
картине на большом угловом поле используют
модифицированный полярископ Савара (рис. 4.3.13, г). В этом полярископе
используются такие же пластинки, как и в классическом
полярископе Савара, но с иной взаимной ориентацией оптических осей.
Оптическая ось второй пластинки располагается в той же
плоскости, что и в первой, но образует с оптической осью первой
пластинки угол 90°. Разность хода, вводимая второй
пластинкой, может быть получена из формулы (4.3.21) заменой угла и
на м + Л- При этом коэффициент при sin а меняет знак, а все
остальные члены в формуле (4.3.21) остаются неизменными.
Для того чтобы разности хода, вводимые пластинками,
вычитались, между пластинами помещается пластинка Х/2, ориен-
285
тированная под углом 45° к главной плоскости. Расчет
суммарной разности хода с использованием (4.3.21) дает выражение
^2 _ ^2
А ^ 2^-^2-т752'sin а cos м. (4.3.24)-
Из формулы (4.3.24) следует, что интерференционные
полосы прямолинейны, так как разность хода зависит только от
первой степени угла а. Модифицированный полярископ Савара
может быть использован в качестве поворотного
поляризационного компенсатора.
Для комбинации двух пластинок, вырезанных параллельно
оптической оси, можно получить коноскопическую картину
в виде концентрических окружностей. Две пластинки при этом
ориентируются на вычитание, между ними помещается
пластинка А,/2, главные плоскости которой ориентированы под
углом 45° к оптическим осям пластинок.
Суммарная разность хода рассчитывается так же, как и
в предыдущем случае, но с учетом наличия полуволновой
пластинки. Вследствие присутствия пластинки А,/2 разности хода
складываются, несмотря на то, что пластинки ориентированы
на вычитание. В результате получим
A = ^
аЬ
l + ~b{a-b)sin'a\. (4.3.25)
Из этого выражения следует, что коэффициент при sin^'a
оказывается малым (мало двулучепреломление) и центральное
кольцо коноскопической картины имеет большой угловой
размер. Рассмотренная составная пластинка находит применениа
в интерференционно-поляризационных фильтрах.
§ 4.4. Анализ состояния поляризации
В практике поляризационных измерений важное место
занимает анализ состояния поляризации. Исследуемое излучение
может характеризоваться следующим образом: неполяризован-
ное излучение; излучение частично (линейно, циркулярно или
эллиптически) поляризованное; полностью поляризованное
(линейно, циркулярно или эллиптически) излучение.
Принципы анализа состояния поляризации. При анализе
состояния поляризации необходимо определить, какой из
поляризационных структур характеризуется исследуемое
излучение, и измерить степень поляризации. Процедуру анализа
целесообразно построить в соответствии со схемой, представленной
на рис. 4.4.1. Вначале на первом этапе на пути исследуемого
излучения помещают анализатор А^ (поляризационную призму,
поляроид) и вращают его. При этом могут иметь место случаи,,
приведенные ниже.
286
1. Интенсивность излучения, прошедшего через анализатор,
не меняется в зависимости от ориентации последнего. Это
может иметь место в одном из трех случаев: а) исследуемое
излучение неполяризовано; б) исследуемое излучение поляри-
.зовано циркулярно; в) оно является смесью неполяризованного
Интенсивность J
не меняется
Интенсивность-]
обращается в нуль
Интенсивность J
меняется, но не
раВна нулю
Линейно попяоиъо-
банное излучение
J=cons t
J=0
■J^O
He ПОЛЯ
рисованное
излучение
а)
Циркуляр -
но попяри-
ъоВанное
излучение
5)
Смесь
ляризованного и цнр-
кулярно
ляризованного
излучения
7 =const
Эллиптически
поляризованное
излучение
«)
Неполяризо-
ванное
излучение всме-
CV с
эллиптически
поляризованным
Непопяри-
зованное
излучение
8 смеси с
линейно
поляризованным
5)
Рис. 4.4.1. Структурная схема анализа состояния поляризации в общем
случае
и циркулярно поляризованного излучения. Следовательно,
необходимо выполнить дополнительный этап с тем, чтобы
определить, присутствует ли в излучении циркулярно
поляризованный свет.
2. При определенной ориентации анализатора интенсивность
излучения обраш,ается в нуль. В этом случае имеем линейно
поляризованный свет. По положению анализатора можно
определить азимут плоскости поляризации.
3. Интенсивность света, прошедшего через анализатор, ни
при какой ориентации последнего в нуль не обращается, хотя
имеет место изменение интенсивности. При этом, как и в
первом варианте, возможны три случая: а) исследуемое излучение
эллиптически поляризовано; б) исследуемое излучение
является смесью неполяризованного и поляризованного по эллипсу;
287
в) излучение является смесью неполяризованного и линейна
поляризованного света. При этом опять необходим
дополнительный этап исследования с тем, чтобы определить
присутствие в излучении либо эллиптической, либо линейной
поляризации.
Для выполнения дополнительных этапов в первом и третьем
случаях анализатор Ai выводится из хода лучей, а на пути
распространения излучения вводят дополнительно
четвертьволновую фазовую пластинку и анализатор Лг.
В первом случае (рис. 4.4.1) при введении пластинки у>^/4 и
при вращении анализатора Лг возможны три варианта. Если
интенсивность обращается в нуль, то излучение циркулярно
поляризовано, так как пластинка ^/4 превращает циркулярно
поляризованное излучение в линейно поляризованное, которое не
будет пропущено анализатором Лг- Если интенсивность при
вращении анализатора не меняется, то излучение неполяризо-
ванное, поскольку пластинка Х/4 преобразует все
составляющие излучения одинаковым образом, оставляя исходное
излучение неизменным. Если же при вращении анализатора
интенсивность изменяется, то имеем смесь циркулярной поляризации
с неполяризованным излучением. Этот результат объясняется
тем, что четвертьволновая пластинка превращает циркулярную
составляющую в линейно поляризованный свет, оставляя непо-
ляризованную составляющую неизменной. В результате после
пластинки Х/4 имеем смесь линейно поляризованного
излучения с неполяризованным. Линейно поляризованная
составляющая может быть при соответствующей ориентации погашена.
В результате на выходе из анализатора имеем наименьшую
интенсивность, равную половине неполяризованной
составляющей.
В третьем случае (рис. 4.4.1) осуществляют как изменение
ориентации пластинки i/4, так и поворот анализатора. При
изменении ориентации пластинки V4 изменяется амплитуда
колебаний интенсивности при вращении анализатора. Если при
некоторой ориентации пластинки V4 амплитуда колебаний
интенсивности приобретает максимальное значение, а
минимальное значение равно нулю, то исследуемое излучение
эллиптически поляризовано, так как четвертьволновая пластинка,
ориентированная главными направлениями по осям эллипса
поляризации, превращает эллиптически поляризованное излучение
в линейно поляризованное.
Если амплитуда колебаний интенсивности при вращении
анализатора и при некотором положении пластинки 1/4
максимальна, а интенсивность в минимуме не равна нулю, то свет
частично эллиптически поляризован, т. е. представляет смесь
неполяризованного излучения с эллиптически поляризованным.
При этом после пластинки V4 имеем смесь неполяризованного
излучения с линейно поляризованным, поскольку четвертьвол-
288
новая пластинка превратила эллиптическую поляризацию в
линейную.
И, наконец, если при некотором положении пластинки А,/4
вращение анализатора не влияет на интенсивность, то исходное
излучение частично линейно поляризованное, так как
четвертьволновая пластинка превращает линейную поляризацию в
циркулярную.
Описанная выше методика позволяет выполнить не только
качественный анализ состояния поляризации, но и
количественно характеризовать поляризационную структуру
исследуемого излучения. Вследствие того, что эллиптически
поляризованный свет является наиболее общим случаем упорядоченного
состояния поляризации, при количественном анализе полностью*
поляризованного излучения необходимо определить отношение
полуосей эллипса поляризации и ориентацию его большой оси.
Для этой цели необходимо определить азимуты (ориентацию)
пластинки А,/4 и анализатора. На этом принципе основаны
методы анализа состояния поляризации с помощью
азимутальных компенсаторов. Эти методы будут подробно рассмотрены
ниже.
Для неполностью поляризованного излучения наряду с
вышеуказанными характеристиками поляризованной
составляющей необходимо определить соотношение неполяризованной и
поляризованной частей излучения, т. е. степень поляризации.
Это соотношение определяется следующим образом: учитывая,
что пластинка V4 при определенной ориентации превращает
поляризованную составляющую (эллиптически
поляризованную) в линейно поляризованный свет, а анализатор гасит эту
составляющую, то на выходе системы имеем интенсивность,
равную половине неполяризованной составляющей.
Следовательно, при измеренной полной интенсивности излучения
однозначно определяется степень поляризации.
Описанная выше методика определения поляризационных
характеристик излучения представляет собой принципиальную
схему, на базе которой создаются реальные частные методики,
так, например, методика определения параметров Стокса,
компенсационные методы и др.
Полную характеристику состояния поляризации можно
получить, определяя составляющие вектора Стокса. Для этой цели
используют четыре поляризационных фильтра, а измерения
выполняются по схеме, приведенной на рис. 4.4.2. Фильтры имеют
следующие свойства:
каждый из фильтров пропускает половинную интенсивность
неполяризованной составляющей исследуемого излучения;
фильтр Fo — нейтральный; он одинаково влияет на
излучение любой поляризации и пропускает 1/27о;
фильтр Fi — линейный поляризатор; он пропускает только
горизонтально поляризованный свет, т. е. выявляет преимуще-
19 Зак. № 167 289
ственную горизонтальную поляризацию; обозначим
соответствующую интенсивность через l/27i;
фильтр р2 пропускает свет, поляризованный под углом 45°
к горизонту, т. е. выявляет преимущественную диагональную
поляризацию; после него
имеем интенсивность 1/2/2;
фильтр Рг представляет
собой сочетание пластинки
А,/4 и анализатора; такой
циркулярный анализатор не
пропускает левоциркуляр-
ную поляризацию; для
интенсивности получим
величину 1/27з.
Присутствие множителя
1/2 при /о, J\, /г и 7з
соответствует тому, что каждый
фильтр пропускает
половину неполяризованной части
излучения.
Формы поляризации,
создаваемые этими
фильтрами, изображены на рис. 4.4.2;
фильтр Fo дает неполяризо-
ванный пучок; F\ —
линейно поляризованный
горизонтально, р2 — линейно
поляризованный диагонально,
Fz — правоциркулярно
поляризованный пучок.
Пропустим исследуемое
излучение последовательно
через каждый из этих
фильтров и измерим интенсивность на выходе. Полученные значения
удвоим с целью нормирования. Четыре параметра Стокса
выражаются через эти величины следующим образом:
о = J а', Si = J \ — Joi '^2 ^ ■'2 ■'о! '^3 = J 3 ■'о-
Полученные четыре составляющие вектора Стокса полностью
определяют состояние поляризации излучения, что было
рассмотрено ранее в § 4.1.
Компенсационные методы анализа состояния поляризации.
Рассмотренные выше методы анализа состояния поляризации
применяются тогда, когда о поляризационной структуре
исходного излучения нет никаких предварительных сведений. В
практике поляризационных измерений такие случаи встречаются
крайне редко. Чаще всего качественный характер
поляризационной структуры известен либо из теоретического анализа, ли-
Рис. 4.4.2. Схема для определения
составляющих вектора Стокса
290
бо из постановки эксперимента. В этих случаях применять
полный анализ нецелесообразно. При этом, как правило,
используется какой-либо из компенсационных методов.
Компенсационные методы чаще всего применяют для измерения разности
фаз, вносимой анизотропной средой, или возникающей при
отражении от поверхностей.
Эти методы обычно используются тогда, когда оптическая
разность фаз составляет величину менее 2я. В этих случаях
Рис. 4.4.3. Принципиальная, оптическая схема использования
компенсатора
измерения проводятся во всех интересующих нас точках
образца при помощи специального устройства — компенсатора.
Обычно компенсатор К устанавливается между образцом О
и анализатором А (рис. 4.4.3). Если ориентировать главные
направления образца и компенсатора согласованно, то
электромагнитные волны, пройдя через образец, получают в
компенсаторе дополнительную разность фаз, которую можно изменять.
Наблюдатель изменяет эту разность фаз до тех пор, пока не
отметит наступление темноты (или минимума освещенности).
Если главные направления в исследуемой точке образца и
компенсатора совпадают, то в момент наступления темноты сумма
разности фаз в образце и компенсаторе равна нулю или целому
числу длин волн. В момент компенсации свет после
прохождения компенсатора станет снова линейно поляризованным и
может быть полностью погашен анализатором. В этом положении
наблюдатель берет отсчет по шкале компенсатора и таким
образом определяет оптическую разность хода лучей в образце.
Очевидно, что при таких измерениях плоскость колебаний
падающего излучения не должна совпадать с главными направ-
19*
29!
лениями анизотропной среды. В противном случае будет
наблюдаться темнота независимо от величины разности фаз лучей,
вносимой компенсатором. Обычно прежде всего, вращая
синхронно поляризатор и анализатор, находят ориентацию
главных направлений образца под углом 45° к ним (при этом
освещенность будет максимальной) и только после этого измеряют
разность хода путем компенсации ^ Имеются и некоторые
другие схемы, в которых для регулировки на темноту использует-
Рис. 4.4.4. Поляризационные клиновые компенсаторы: а —
компенсатор Бабине; б — компенсатор Бабине—Солейля
ся взаимный поворот плоскостей пропускания поляризатора и
анализатора и специальной фазовой пластинки (методы Тарди,
Сенармона).
В зависимости от принципа работы различают оптические
и электрооптические компенсаторы.
Оптические компенсаторы состоят из одной или нескольких
пластинок или клиньев, изготовленных из оптически
анизотропных материалов (кварц, шпат, слюда и др.)- Путем
перемещения или поворота этих элементов изменяется величина
создаваемой ими оптической разности хода.
Компенсатор Бабине (рис. 4.4.4, а) состоит из двух клиньев
1 VI 2, вырезанных из кристалла кварца так, что их оптические
оси взаимно перпендикулярны. Направление этих осей
показано линиями штриховки, а направление распространения
исследуемого излучения—стрелкой. Изменение оптической разности
хода создается смещением а одного клина по отношению к
другому. Очевидно, что оптическая разность хода пропорциональна
разности толщин обоих клиньев в рассматриваемой точке
{hi — /12) и, следовательно, линейно связана с величиной сме-
06 этом подробно см. описание компенсатора.
292
щения а клина. На рис. 4.4.4, а внизу показана эпюра
распределения оптической разности фаз б по полю компенсатора,
6^^ b{h\ — hz), где b — коэффициент пропорциональности;
Ь= {пе — По) — показатель двойного лучепреломления. При
скрещенных поляризаторе и анализаторе компенсатор
устанавливается так, чтобы его главные оси совпадали с одним из
главных направлений образца. Плоскость пропускания
поляризатора устанавливается под углом 45° к одному из главных
направлений образца для того, чтобы амплитуды
интерферирующих волн были одинаковы.
Компенсатор Бабине используют в тех случаях, когда
необходимо измерить разность фаз по полю образца, так как
каждому сечению компенсатора соответствует определенная
разность фаз.
В компенсаторе Бабине—Солейля (рис. 4.4.4, б) по полю
компенсатора обеспечивается равномерная разность фаз.
Компенсатор состоит из двух кварцевых клиньев 1 и 2, оптические оси
которых параллельны друг другу, и дополнительной
плоскопараллельной пластинки 3. При перемещении одного из клиньев
по отношению к другому на величину а оптическая разность
•фаз изменяется пропорционально суммарной толщине клиньев
h = hi + h2. Пластинка 3 имеет постоянную толщину ho, а
оптическая ось ее перпендикулярна оптической оси клиньев (см.
штриховку). Это позволяет получить равномерную по полю
2я ,
компенсатора оптическую разность хода б =—т—(Пе — По)Х
л
X (/ii — /12) (см. эпюру рис. 4.4.4,6), причем б может иметь
разные знаки.
Отдельную группу представляют поворотные компенсаторы.
Они выполняются в виде одиночной или составной
плоскопараллельной пластинки из анизотропного материала. Изменение
разности хода осуществляется поворотом вокруг оси 00
лежащей в плоскости пластинки (рис. 4.4.5). Здесь представлены
два возможных варианта такого компенсатора. Компенсатор
в виде одиночной пластинки (компенсатор Берека)
представляет собой плоскопараллельную пластинку, вырезанную
перпендикулярно оптической оси (рис. 4.4.5, а). При нормальном
падении света (а=0) разность хода равна нулю, так как луч
света идет параллельно оптической оси и показатели
преломления для ортогональных компонент (параллельной и
перпендикулярной оси вращения) равны между собой. При наклонном
падении разность хода вычисляется по формуле (4.3.18) с
учетом соотношений (4.3.19) и (4.3.20), которую запишем в виде
A = ti-!^ Jni —sin а—^Jnl —sin а ]. (4.4.1)
293
Компенсатор, изображенный на рис. 4,4.5, б, составляется:
из двух одинаковой толщины пластинок так, чтобы их
одноименные главные направления были взаимно
перпендикулярны, а одна из них (вторая) совпадала с осью вращения. При
нормальном падении луча (а = 0) оптические разности хода
в первой и во второй пластинке будут равны и
противоположны по знаку. При а^^О суммарная разность хода в первой и во
второй пластинке будет различна вследствие различной
ориентации главных направлений первой и второй пластинок отно-
Рис. 4.4.5. Поворотные компенсаторы
сительно направления падающего излучения. Поэтому
суммарная оптическая разность хода будет отлична от нуля. При
повороте пластинки, т. е. при изменении угла а, оптическая
разность хода будет изменяться в соответствии с выражением
А = А, — А„ (4.4.2>
где
А, = 11— — 1J /уПо — sin^ а; Aj = t\'\Jne — sin^ а — ^п\ — sin^ а).
Ориентировка главных направлений в схеме при
использовании этих оптических компенсаторов производится
аналогично тому, как это описано ранее. Выражения (4.4.1) и (4.4.2)
можно несколько упростить, если принять во внимание, что>
угол а, как правило, мал. Раскладывая радикалы в ряд по
малому параметру, получим:
1 2
A = f "'., ""sin'a (4.4.3)-
2 2
А ^ Г 5— sin^ а.
(4.4.4>
294
Как следует из формул (4.4.3) и (4.4.4), шкала поворотного
компенсатора нелинейна по углу а, а линейна по параметру
■.sin2 а.
Рассмотренные способы позволяют проводить компенсацию
Жак в белом, так и в монохроматическом свете. Так как дис-
Рис. 4.4.6. Пояснение метода компенсации по Сенармону: а —
оптическая схема; б — изменение состояния поляризации
Персия двойного лучепреломления в образце и в компенсаторе,
изготовленных из разных материалов, в общем случае
различна, то компенсация в белом свете может приводить к ошибкам.
Азимутальные компенсаторы. Рассмотрим способы
измерения оптической разности хода при помощи пластинок Я/4.
В практике применяются метод Сенармона и метод Тарди.
При измерении разности хода методом Сенармона
используется одна пластинка Я/4 (рис. 4.4.6,а). Пластинка (Я/4) 3
устанавливается после образца 2 так, чтобы ее главные
направления совпадали с плоскостями пропускания поляризатора / и
анализатора 4 и составляли угол 45° с главными направления-
тии образца.
Рассмотрим этот метод. Поскольку плоскость поляризации
света, падающего на образец, составляет угол 45° с его глав-
295
ными направлениями, то амплитуды ортогональных
составляющих равны. При этих условиях уравнение эллипса поляризации
(4.1.2) на выходе из образца имеет вид
El + El-2E>:EyC0sb = EUmb, (4.4.5)
где Ех и Еу — составляющие электрического вектора fo по
направлению пропускания поляризатора и анализатора, а б —
разность фаз, которую вносит образец.
Записав уравнение эллипса поляризации в системе
координат х'у', повернутой на 45° и совпадающей с главными
направлениями образца, можно убедиться в том, что в новой системе
координат уравнение эллипса приобретает каноническую форму
^+^^=l. (4.4.6)
при этом a2 = £'2pSin2 б (1—cos б); б^^^г gin^ б (1-bcos б).
Вычислив отношение полуосей ajb, найдем, что
-^=tg6/2. (4.4.7)
Таким образом, измерив отношение ajb, мы тем самым
определим и разность фаз б. В методе Сенармона для определения
отношения ajb используется четвертьволновая пластинка. Она
устанавливается в ход лучей так, чтобы ее главные
направления совпадали с осями эллипса поляризации (рис. 4.4.6,6).
Пластинка Я/4 компенсирует разность фаз я/2 между
колебаниями по осям а и 6 эллипса поляризации, и мы получим после
нее линейно поляризованный свет, так как выходящие
колебания будут синфазны. Если главные направления образца
повернуты на 90° по отношению к тем, которые изображены на
рисунке, то пластинка Я/4 не скомпенсирует разность фаз я/2,
а сделает ее равной я. При этом плоскость поляризации
полученного линейно поляризованного света окажется зеркально
повернутой по отношению к большой оси эллипса поляризации
(рис. 4.4.6,6). Как следует из рисунка, угол между большой
полуосью эллипса и плоскостью восстановленной линейной
поляризации связан с отношением полуосей эллипса формулой
tgij5 = a/6. Сравнивая это соотношение с формулой (4.4.7),
найдем, что б =2г]5.
Перечислим последовательность операций, необходимых для
измерения угла if (см. рис. 4.4.6,а).
1. В отсутствие анизотропного исследуемого образца 2 и
пластинки Я/4 поляризатор / и анализатор 4 устанавливают
в скрещенное положение.
2. Вводят четвертьволновую пластинку и ориентируют ее
так, чтобы ее главные направления совпадали с плоскостями
пропускания поляризатора и анализатора. При этом интенсивность,
на выходе анализатора будет равна нулю.
296
к, число погасании
10
S).
10 20
-о-о-оЛ='^/}'^,7
. ■ « К=5к6,1
30 Njen.
N,den
13
12
^Х
РобО
120
180
3. Устанавливают образец 2 так, чтобы интенсивность после
анализатора оставалась равной нулю. Тем самым ориентируют
главные направления
образца параллельно плоскостям а)
пропускания поляризатора
и анализатора.
4. Синхронным
поворотом пластинки Я/4,
поляризатора и анализатора
устанавливают их в
диагональное положение.
5. Вращением
анализатора восстанавливают
темноту на выходе. Тогда угол
поворота анализатора
убудет связан с разностью
фаз б выражением б ^ 2^.
Рассмотрим теперь
процесс калибровки компенса- ^2 5
торов на примере компенса-
■тора типа Бабине—Солейля.
Калибровка
компенсатора может осуществляться
с применением оптического
устройства, аналогичного
приведенному на рис. 4.4.3.
Здесь вместо
кристаллической пластинки
устанавливается компенсатор,
который располагается
диагонально (азимут 45°)
относительно Р и Л. Шкала ^- ^^ ,^^ ^д ^ д^^
микрометрического
компенсатора К устанавливается P«<:- ^■4.7. Пояснения к калибровке ком-
,„f„ •' т-т пенсатора Бабине—Солейля; а — графи-
в нулевое положение. При ^^ калибровки без полутеневого устрой-
монохроматическом освеще- ства; б—график для определения оп-
нии барабан шкалы ново- тимального азимута пластинки; s —гра-
рачивается так чтобы по- ^^™ калибровки с полутеневым устрой-
' ством
явилось темное поле — это
начало отсчета, затем
снимается отсчет при появлении следующего поля. Процесс
повторяется до тех пор, пока не будет достигнут конец шкалы. По
результатам измерений строится график числа погасаний k
в зависимости от отсчетов Л^ по барабану. Это должна быть
прямая линия, наклон которой даст разность фаз на одно
деление барабана. Благодаря тому, что глаз недостаточно
чувствителен к фиксации наступления темноты, весь процесс
измерений должен быть повторен при положении компенсатора К
К, число погасаний
10
297
также при азимуте 135°, 225°, 315° и данные усреднены.
Например, графики калибровки для трех различных длин волн
показаны на рис. 4.4.7, а. Разность фаз на одно деление барабана-
равна 2,35- 10^%; 1,85- 10~% и 1,70- 10~% соответственно для
фиолетовой, зеленой и желтой линий спектра ртути. Пользуясь
выполненной калибровкой, определяем неизвестную разность
фаз исследуемого объекта.
Большую точность можно получить, используя полутеневые
устройства. Наиболее удобным полутеневым устройством для
выполнения калибровки компенсатора Солейля является
устройство с переменной чувствительностью, представляющее
собой плоскопараллельную пластинку из мускавитной слюды,
с небольшой разностью фаз т), закрывающую половину поля,
зрения и установленную во вращающейся оправе,
расположенной вблизи анализатора. При использовании этого устройства
отсчет по шкале компенсатора производится при равных
яркостях полей сравнения. Если Р является азимутом полутеневой
пластинки, тогда для двух половин поля зрения, освещенных
одинаково ярко, разность фаз б компенсатора должна
удовлетворять соотношению tg б =sin 2р tgTi/2, которое при малом
Г] может быть записано в виде
6 = sin2p(ri/2). (4.4.8)
В зависимости от азимута р равномерное поле зрения
может быть большой и малой яркости. Обычно используется
полутень малой яркости, так как глаз в этом случае более
чувствителен к изменению яркости. Для любого данного значения т)
имеется оптимальный полутеневой азимут, который дает
максимальную чувствительность. Этот азимут может быть вычислен,
если не принимать во внимание физиологические свойства
глаза. Но так как эти свойства важны и всегда индивидуальны, то
наиболее удобный азимут лучше выбрать для данного
наблюдателя экспериментально, причем необходимо принять меры,
для исключения рассеянного света.
Компенсатор помещается между Р и А, которые скрещены.
Наблюдают разделительную линию полутеневой пластинки.
Компенсатор и полутеневая пластинка вращаются отдельно до
тех пор, пока всё поле зрения не станет темным. Далее
компенсатор поворачивается на 45°. Барабан компенсатора затем
вращается до тех пор, пока поле зрения снова не станет темным.
Это соответствует на рис. 4.4.7,6 точке р = 0 и Л^=12,5.
Снимается отсчет по шкале барабана. Полутеневая пластинка затем
поворачивается, например, на угол 10°, и микрометренный винт
движется до получения равенства двух половин поля зрения.
Это соответствует точке на кривой р=10 и Л^= 12,4. Та же
самая процедура осуществляется для полутеневой пластинки при
азимутах 20°, 30°, т. е. с интервалом 10° до 180°. Теперь строится»
график отсчетов барабана в зависимости от азимута полутене-
298
вой пластинки. Этот график должен дать симметричную
кривую, как это следует из уравнения (4.4.8). Любая асимметрия
кривой означает отсутствие точности наблюдения. Азимут Ро
(минимум кривой) является наиболее удобным, так как при
этом полутеневое поле наиболее ярко. В примере значение
J3o = 48''. Чтобы закончить калибровку, полутеневая пластинка
устанавливается в азимуте Ро и осуществляется та же
процедура, что и в случае без полутеневой пластинки, за
исключением того, что производится регулировка на полутень, а не на
темноту. Строится график зависимости полутеневых
положений от отсчетов барабана.
Графики калибровки для тех же трех различных длин волн
.показаны на рис. 4.4.7, е. Во всех трех случаях полутеневая
пластинка установлена под углом 48°. Полутеневое устройство
обычно не используют в белом свете, так как эти прямые
{рис. 4.4.7, в) не имеют общей точки пересечения. Аналогичная
:калибровка проводится и для поворотных компенсаторов.
§ 4.5. Установки и приборы
для измерения состояния поляризации
Приборы, предназначенные для измерения оптической
активности сред и для измерения параметров поляризованного
•света, называются поляриметрами. Рационально
поляризационный измерительный прибор можно классифицировать по трем
следующим признакам: по типу исследуемой поляризации, по
назначению и по способу измерения.
По первому признаку приборы можно разделить на
следующие группы — поляриметры для измерения угла вращения
плоскости поляризации линейно поляризованного света, эллипсомет-
ры для определения параметров эллиптически поляризованного
света и приборы для определения степени поляризации.
По назначению приборы можно разделить на две группы —
.для непосредственного исследования поляризованного
излучения, падающего на поляриметр, и для исследования изменений
в состоянии поляризации в результате взаимодействия с
веществом. Основное отличие приборов первой группы от приборов
второй состоит в том, что приборы первой группы имеют
только анализирующее устройство, в то время как у приборов
второй группы имеется и поляризующее устройство. Наиболее
широко применяются приборы второй группы.
По способу измерения приборы можно разделить на две
группы — визуальные и фитоэлектрические. Поляриметрические
методы исследования получили широкое распространение
благодаря своей простоте и высокой производительности.
Дадим определение или назначение наиболее распространен-
иых устройств и приборов. Полярископ предназначен для об-
299
наружения и исследования вида поляризации падающего
излучения.
Полярископом — поляриметром называется прибор,,
предназначенный для количественного и качественного визуального
анализа двулучепреломления. Фазовый поляриметр
предназначен для измерения разности фаз и азимута главных
направлений при двулучепреломлении.
Дихрометром и спектродихрометром называются приборы,,
предназначенные для измерения разности значений
коэффициентов поглощения для ортогональных линейно поляризованных
Оптических излучений определенной длины волны или
зависимостей этих коэффициентов от Я в заданном интервале длин
волн. Если исследуемое вещество помещено в магнитное поле,,
то для соответствующих измерений используют магнитодихро-
метры и спектромагнитодихрометры.
Поляриметр предназначен для измерения угла вращения
плоскости поляризации оптически активным веществом для
данной длины волны. Для подобных измерений применяют
также спектрополяриметры, магнитополяриметры и спектромаг-
нитополяриметры.
Сахариметром называется прибор, предназначенный для
определения процентного содержания сахара в продукте, не
содержащем других оптически активных веществ.
Поляризационный микроскоп предназначен для качественного и
количественного исследования оптических характеристик анизотропных
микрообъектов.
Эллипсометром называется прибор, предназначенный для
измерения азимута и эллиптичности поляризованного оптического
излучения определенной длины волны или определения этих
характеристик в зависимости от Я в заданном интервале длин
волн (спектроэллипсометр). Если исследуемое вещество
помещено в магнитное или электрическое поле, то для
соответствующих измерений используют магнитоэллипсометр и спектромаг-
нитоэллипсометр, электроэллипсометр и спектроэлектроэллип-
сометр. Под термином «эллипсометрия» чаще всего понимают
исследование изменения состояния поляризации излучения,
отраженного от исследуемого объекта.
Рассмотрим некоторые распространенные при научных
исследованиях поляризационные приборы.
Исследование анизотропных свойств кристаллов на
поляризационном микроскопе. Поляризационный микроскоп является
одним из наиболее распространенных поляризационных
устройств. Он предназначен в основном для диагностики
минералов, а именно: для определения силы двойного
лучепреломления Ь = Пе — По, знака кристалла, угла между оптическими
осями и т. д. Оптическая схема поляризационного микроскопа
предусматривает возможность как ортоскопического, так и ко-
носкопического способов изучения кристаллического объекта..
300
в первом случае поляризационные явления наблюдают в
параллельном пучке лучей, во втором — в сходящихся пучках.
Это дает возможность наиболее полно исследовать оптические
свойства кристаллов.
В поляризованном свете при ортоскопическом способе
определяют силу двойного лучепреломления Ь=Пе — «о и
ориентировку сечения кристалла относительно кристаллографических
направлений.
При коноскопическом способе исследования
соответствующих интерференционных картин (коноскопических фигур) опре-
а)
1 2 д Ч 5 В 1 8
Рис. 4.5.1. Ход лучей в поляризационном микроскопе:
/ — поляризатор; 2 — диафрагма; 3 — объектив; 4 — предметный столик;
5 — микрообъектив; 6 — диафрагма; 7 — компенсатор; S — анализатор;
9 —линза Амичи—Бертрана; /О — диафрагма; // —окуляр
деляют осность кристалла, наличие или отсутствие
вращательной способности, угол между оптическими осями, оптический
знак кристалла.
Ход лучей в микроскопе при ортоскопическом и
коноскопическом способах наблюдения представлен на рис. 4.5.1, а и б
соответственно.
В отличие от обычного микроскопа в осветительной системе
поляризационного микроскопа установлен поляризатор 1, а
после микрообъектива 5 анализатор 8 (рис. 4.5.1).
Для реализации коноскопического способа наблюдения
в ход лучей в микроскопе вводится вспомогательная линза
Амичи—Бертрана 9 (рис. 4.5.1), которая вместе с окуляром II
образует вспомогательный микроскоп малого увеличения,
позволяющий наблюдать интерференционную картину в задней
фокальной плоскости объектива 5 основного микроскопа. Это
обеспечивает возможность исследования характеристик коно-
скопической фигуры (картины полос равного наклона),
соответствующей различным углам прохождения лучей через
объект наблюдения. Для возможности фокусировки
вспомогательного микроскопа на заднюю фокальную плоскость основного
301
Рис. 4.5.2.
Интерференционная картина в клиновидной
кристаллической пластинке
микроскопа линза Амичи—Бертрана имеет подвижку в
направлении оси микроскопа.
При коноскопическом наблюдении исследуемый кристалл
освещается сходящимся пучком, причем точка схождения
лучей находится внутри кристалла.
При ортоскопическом наблюдении с объективами малой
апертуры интерференционная картина соответствует картине,
наблюдаемой в параллельных лучах (рис. 4.5.1,а). Для
образцов, имеющих вид плоскопараллельной пластинки, разность
фаз между ортогональными компонентами постоянна по всему
полю. Этот способ наблюдения
реализуется при выведенной из хода лучей
линзе Амичи—Бертрана 9. Тогда
наблюдение ведется, как в обычном
микроскопе.
В поляризационную систему
микроскопа входят также различного типа
компенсаторы (пластинка Я/4,
клиповый компенсатор и т. д.), с помощью
которых производятся количественные
и качественные исследования двулуче-
преломляющих свойств кристаллов.
Компенсатор 7 устанавливается в ход лучей перед
анализатором 8.
Обычно микроскоп снабжают тремя компенсаторами:
пластинками Я/4 и А,/2 и кварцевым клином. Пластинка К/4 обычно
изготовляется из слюды, а Я/2 — из кварца. При скрещенных
поляризаторе и анализаторе при наблюдении в белом свете
поле зрения имеет окраску на границе красного и синего цвета.
Получающийся пурпурный цвет называют «чувствительным
оттенком», так как уже небольшая разность хода, создаваемая
в объекте, сильно изменяет цвет поля в красный или в синий
-оттенок. Следовательно, кварцевая пластинка Я/2 может быть
использована для обнаружения очень слабого двойного
лучепреломления.
Пластинка Я/4 используется в качестве компенсатора Сенар-
мона и позволяет измерять разность хода в пределах от нуля
до одной длины волны.
Кварцевый клин, вырезанный параллельно оптической оси,
дает интерференционные цвета (плавное изменение разности
хода) до трех-четырех порядков. Вид интерференционной
картины при диагональном расположении клина между
поляризатором и анализатором представлен на рис. 4.5.2. Расстояние b
между интерференционными полосами определяется по
формуле Ь = 'к/{пе — По)СО, где со — угол клина.
Зная угол клина, можно грубо определить длину волны.
Кварцевый клин используется в качестве простейшего поляри-
302
зационного компенсатора для измерения разности хода до трех-
четырех длин волн.
Наиболее совершенные поляризационные микроскопы
снабжают поворотными компенсаторами типа Берека или Эрин-
хауза.
Рассмотрим, каким образом производят различные
измерения с помощью поляризационного микроскопа.
Для определения разности хода, возникающей в
исследуемом объекте, с помощью кварцевого клина выполняют
следующие операции: в ортоскопическом ходе лучей (рис. 4.5.1, а)
с объективом малого увеличения устанавливают поляризатор /
и анализатор 8 в скрещенное положение и при отсутствии
кварцевого клина на предметный столик микроскопа 4
помещают (плоскопараллельную пластину) объект; затем
поворотом предметного столика добиваются темного поля. В этом
случае главные направления анизотропного объекта будут
ориентированы параллельно направлениям пропускания
поляризатора и анализатора.
Поворотом предметного столика на 45° устанавливают
объект в диагональное положение; вводят кварцевый клин 7 до
получения в поле зрения темной полосы. В этом случае разность
хода в соответствующем сечении клина компенсирует разность
хода, создаваемую объектом. Если темная полоса не появляется
(нет компенсации), то это означает, что разность хода,
вносимая клином, складывается с разностью хода объекта. Для
получения компенсации разности хода (положения вычитания)
необходимо предметный столик развернуть на 90°; после
выполнения предыдущей операции объект выводят из хода
лучей и по наблюдению интерференционной картины в клине
с помощью шкалы интерференционных цветов определяют
разность хода, введенную клином. Так как вследствие
периодического повторения интерференционных цветов различных
порядков возникает неоднозначность, то измерение следует
выполнять как при скрещенных поляризаторе и анализаторе, так и
при параллельных.
Для расчета значения двойного лучепреломления (пе—По)
по измеренной разности хода Д ^ (п^ — По)й необходимо знать
толщину анизотропной пластинки. Если известен средний
показатель преломления {пе+По)/2, то толщину пластинки можно
измерить также на микроскопе. Для этого, используя объектив
большого увеличения, производят фокусировку микроскопа
последовательно на нижнюю и верхнюю поверхности пластинки,^
наблюдая пылинки или царапины на этих поверхностях. По
шкале микрометренного устройства тубуса микроскопа
определяют величину перемещения тубуса di. Величина di
соответствует так называемой видимой толщине пластинки, которая
связана с геометрической d соотношением d ^ di{ne-\- По) /2
(рис. 4.5.3).
303
Для определения знака кристалла используют картину
в сходящихся пучках и наблюдают коноскопические картины
(см. рис. 4.5.1,6).
Определение знака кристалла. Наблюдение в сходящемся
пучке позволяет определить знак как одноосного так и двуос-
ного кристалла, т. е. выяснить, является он положительным или
отрицательным. Опишем сначала метод для случая одноосного
кристалла. Образец представляет собой пластинку, вырезанную
перпендикулярно оптической оси. При помещении пластинки
в линейный полярископ наблюдаемая коноскопическая карти-
Рис. 4.5.3. Определение
видимой толщины пластинки
Рис. 4.5.4. Вид коноскопических фигур
для одноосного (а) и двуосного (б)
кристаллов
на имеет вид, изображенный на рис. 4.5.4. Одним из возможных
способов изучения этой картины является следующий. На
исследуемую пластинку накладывают пластинку Я/4 с известным
главным направлением г—г, соответствующим большему
показателю преломления. Четвертьволновую пластинку ориентируют
так, чтобы направление г—г располагалось диагонально
относительно креста в коноскопической картине (рис. 4.5.4, а).
Коноскопическая картина при этом видоизменяется. Центр
картины просветляется и появляются два черных пятна,
расположенных диагонально относительно креста. Если пятна
расположены на диагонали, совпадающей с направлением г—г, то
кристалл отрицательный, если же на перпендикулярной
диагонали— кристалл положительный (рис. 4.5.4,6).
Поясним сущность метода. Как мы показали ранее,
электрический вектор колебаний необыкновенного луча
ориентирован радиально к изохромам, а для обыкновенного — касателен
к ним. Если кристалл отрицательный, то Пе < По и
необыкновенный луч опережает обыкновенный. После наложения
пластинки Я/4 разность хода А между необыкновенным и
обыкновенным лучом уменьшается на четверть волны. В центре она
соответственно будет — Я/4, и центр просветляется. Для точек,
в которых разность хода была равна 1/4, она становится
равной нулю и для отрицательного кристалла появляются два чер-
304
Направление
движения клина
Рис. 4.5.5. Принцип определения знака
кристалла с использованием
компенсатора
ных пятна, расположенных на диагонали, совпадающей с
направлением г — г.
Возможен также другой способ определения знака
кристалла с использованием какого-либо поляризационного
компенсатора, например, кварцевого клина.
Если кристалл вырезан перпендикулярно оптической оси,
то в центре коноскопической картины разность хода равна
нулю. Для положительного кристалла Пе> По и разность хода
при удалении от центра увеличивается, но имеет
отрицательный знак, а для
отрицательного — наоборот. о)
Будем вводить клин
компенсатора в диагональном
направлении так, чтобы
разность хода в центре
увеличивалась (рис. 4.5.5).
Тогда для периферийных
колец, расположенных
перпендикулярно направлению
движения клина, для поло-
л<:ительного кристалла
разность хода увеличивается,
а для колец,
расположенных параллельно
направлению движения клина,
разность хода уменьшается. Следовательно, кольца в
квадрантах 1 и 3 (рис. 4.5.5, а) будут сбегаться к центру, а в
квадрантах 2 и 4 — перемещаться от центра. Для отрицательного
кристалла наблюдается обратная картина (рис. 4.5.5,6).
При наблюдении картин в белом свете можно
сформулировать следующее правило. Знак двулучепреломления для
одноосных кристаллов будет положителен, если при введении
компенсатора интерференционные цвета в направлении движения
клина повышаются (от красного к синему) и одновременно
понижаются в перпендикулярном направлении. Для
отрицательного кристалла все будет происходить наоборот.
Для двуосных кристаллов можно использовать
вышеприведенное правило, если в качестве компенсатора использовать
пластинку Я/4. В этом случае наблюдают коноскопическую
картину со следами выхода оптических осей кристалла U' и U"
(рис. 4.5.6). Вращением предметного столика с объектом
добиваются коноскопической картины, изображенной на
рис. 4.5.6, а. Она соответствует положению, при котором
плоскость оптических осей совпадает с плоскостью колебаний,
пропускаемых анализатором. При этом знак двулучепреломления
будет положительным или отрицательным в зависимости от того,
будет ли в коноскопической интерференционной картине
интерференционная окраска понижаться в вогнутой или выпуклой
20 Зак. № 167
305
стороне изогир при введении пластинки V4 в диагональнолг
положении. Кроме того, при этом в случае положительного
кристалла при введении пластинки V4 вблизи выхода левой оси
над плоскостью осей и вблизи правой оси под плоскостью осей
появляются места компенсации, что и приводит к понижению^
окраски.
Следует иметь в виду, что вид коноскопической картины
двуосного кристалла при скрещенных поляризаторе и анализа-
а)
Л
Ю \
ш
Рис. 4.5.6. Определение знака двуосного кристалла с
использованием пластинки Я/4
торе зависит от того, находится ли кристалл в положении
погасания (плоскость поляризации света, пропускаемого
анализатором, совпадает с плоскостью оптических осей или
перпендикулярна ей) или в диагональном положении.
В первом случае (рис. 4.5.6, а) наблюдается черный крест
с неодинаковыми ветвями, пересекающий темные и светлые
интерференционные полосы. Ветвь креста, совпадающая с
плоскостью оптических осей кристалла, — более узкая.
Коноскопическая картина изменяет свой вид при повороте
предметного столика с образцом на 45° от положения
погасания, В диагональном положении ветви креста
распадаются на две ветви гиперболы (рис. 4.5.6,6), вершины которых
соответствуют местам выхода следов оптических осей. Линия^
соединяющая вершины гипербол, является следом плоскости,,
содержащей оптические оси.
После получения отчетливой коноскопической картины
можно приступать к измерению угла между оптическими осями.
Для этого используют окуляр-микрометр и апертометр.
Апертометр предназначен для перевода измеренного линейного
расстояния между выходами оптических осей в угловую меру.
В простейшем случае апертометр представляет собой
координатную сетку 1 с известной ценой делений (рис. 4.5.7),
находящуюся на известном расстоянии от микрообъектива
микроскопа 2 так, чтобы это расстояние соответствовало для него
бесконечности. В этом случае изображение сетки будет в той
306
же плоскости 3, где и коноскопическая картина. Как следует
из рис. 4.5.7, для расчета угловой цены делений
окуляр-микрометра необходимо определить количество делений сетки 1,
умещающееся в известном числе делений сетки
окуляр-микрометра. Расчет угловой меры ясен из рисунка. Очевидно, что «0 =
^ ао//^(//L)//', где ао — цена деления микрометра в
радианах; / — число делений сетки апертометра; а /' — число
делений сетки окуляр-микрометра. Измеренный таким образом угол
между оптическими осями является кажущимся, так как
необходимо учесть преломление на границе образец — воздух. Учет
поправки производится по формуле sinV" = rtsiny (рис. 4.5.8),
где V' — половина измеренного угла; V — половина истинного
угла между оптическими осями, в направлении которых
показатели преломления rig и Пр, an — средний показатель прелом-
.ления образца.
Полярископы. Из предыдущего следует, что при
прохождении света через анизотропную пластинку и анализатор
наблюдаются интерференционные явления, характер которых
меняется при вращении анализатора или пластинки. В
монохроматическом свете при этом происходит изменение яркости, а при
освещении белым светом наблюдается очень заметное измене-
;ние окраски.
Комбинация двулучепреломляющей пластинки и
анализатора образует интерференционный полярископ. Простейшим
полярископом является сочетание пластинки Х/4 и анализатора.
Модель такого полярископа мы использовали в разделе,
посвященном анализу состояния поляризации.
Рассмотрим применение этого полярископа в оптических уст-
Т)ойствах стокс-поляриметрии. Анализ состояния поляризации
путем измерения элементов вектора Стокса связан с
регистрацией интенсивности света, прошедшего через полярископ.
Интенсивность света, прошедшего через фазовую пластинку,
главная ось которой ориентирована под
углом р к горизонтальной оси х
(рис. 4.5,9), и линейный анализатор,
плоскость пропускания которого
образует с осью X угол е,
определяется путем
Рис. 4.5.7. Ход лучей в
апертометре
Рис. 4.5.8. Схема расчета
поправки на угол V с учетом
преломления луча в пластинке
20*
307
Рис. 4.5,9. Схема полярископа
с пластинкой Я/4
умножения матриц фазовой пластинки /(2р, бо/2)
анализатора 7(6) на вектор Джонса (cos ае'*''^, sinae'*''^} исследуемого
полностью поляризованного излучения. Далее проводятся
вычисления интенсивности полученного вектора.
Для фазовой пластинки Я/4 и 6 = 0 получим
/„ (р, я/2) = ■
1 + -^ cos 2ip + -5- cos 2ip cos 4p +
-|--2-sin2ipcos6sin4p + у sin 2ip3in6 2pj. (4.5.1)
Учитывая, что нормированные параметры Стокса имеют
вид: 5о = 1, 5i = sin2i|>, 52 = sin2i|>cos б, 53 = sin 2i|>sin б,
выражение (4.5.1) будет иметь вид
/„ (р, я/2) = 1 (s„ + 4- 5, + 1 S, cos 4р +
-I- 2" Sa sin 4р + 2" S3 Sin 2р
(4.5.2а)
Соотношение (4.5.1) представляет собой тригонометрический
полином с коэффициентами, пропорциональными элементам
вектора Стокса. При достаточном количестве азимутов р эти
коэффициенты могут быть рассчитаны методом наименьших
квадратов, а соответственно и определены элементы вектора
Стокса. Для контроля правильности и точности расчетов
целесообразно выполнить измерения при ориентации анализатора,
отличающегося от предыдущего на я/2. В этом случае
/„/2 (р, Я/2) = у S,
■ S, cos 4р — -5- S2 sin 4р +
Ч-у5з51п2р). (4.5.26)
В соотношениях (4.5.2а) и (4.5.26) гармоники находятся
в противофазе, а разность постоянных составляющих равна
(l/2)5i.
В настоящее время в стокс-поляриметрах чаще всего
используют не пассивные фазовые элементы (типа пластинок
V4), а активные — элементы с параметрами, изменяющимися
308
под действием внешних полей: электрических, магнитных,
механических и т. д.
Другая возможность анализа состояния поляризации
реализуется не путем изменения ориентации фазовой пластинки,,
а путем изменения вводимой ею разности фаз. Рассмотрим эту
возможность. Схема такого полярископа представлена на
рис. 4.5.10. Он состоит из двухлучепреломляющего элемента К
(типа поляризационного компенсатора) и анализатора А, ори-
Рис. 4.5.10. Схема полярископа для анализа полностью
поляризованного излучения
ентированного диагонально относительно главных направлений
гг и // двулучепреломляющего элемента.
Пусть на полярископ падает полностью поляризованное
излучение, описываемое в координатах х, у вектором Джонса
{cos 1|>е~'*/^, sini|>e'*/^}. Система координат выбрана таким
образом, что ось X параллельна плоскости пропускания
анализатора. Умножив вектор Джонса на матрицу фазовой пластинки.
/(бо/2, 45°), ориентированную под углом 45° к оси х, и
матрицу анализатора с плоскостью пропускания, совпадающую
с осью X — /(0), и вычислив интенсивность, получим
/=: у (1 -|- COS 2ipcos6o -\- sin2ipsin5sin5o). (4.5.3)
Из формулы (4.5.3) следует, что для линейно
поляризованного света с ориентацией г|) ^ О—/^—(1+cos бо).
Следовательно, интенсивность максимальна при 6o = 4yfen {k — целое
число). Для линейно поляризованного света при г|) = я/2
значение /=—— (1—cos бо) и имеем максимумы при 6o=(2fe+l)X
Хя/2. Для линейно поляризованного света с диагональной
ориентацией плоскости колебаний (г|) = я/4, 6=0) интенсивность по
формуле (4.5.3) не зависит от бо. И, наконец, для циркулярно-
309
поляризованного света с правым или левым вращением (г|) =
= л/4, 8 = ±л/2, /=—(l±sin бо), т. е. максимумы
соответствуют бо=2^я+я/2.
Таким образом, рассматриваемый полярископ позволяет
различать путем анализа зависимости интенсивности от бо
разнообразные состояния поляризованного излучения. Для
частично поляризованного излучения зависимость интенсивности от бо
имеет более сложный характер. В случае неполяризованного
излучения интенсивность не зависит от разности фаз бо.
Рис. 4.5.11. Схема для определения степени поляризации
излучения
Для количественных измерений степени поляризации
целесообразно использовать компенсационный метод, поместив
между источником и полярископом, состоящим из компенсатора
К и анализатора А, стопу Брюстера Б, угол поворота которой
-а может быть измерен (рис. 4.5.11). При повороте стопы свет
деполяризуется. При двух симметричных положениях стопы
зависимость интенсивности от бо исчезает, так как
деполяризующее действие стопы становится равным степени поляризации
исследуемого излучения и на полярископ падает неполяризован-
ное излучение. Таким образом, половина измеренного угла
между указанными положениями стопы, или угол деполяризации,
является мерой степени поляризации исследуемого света.
Деполяризация, соответствующая определенному углу
поворота стопы, может быть вычислена по формулам Френеля
-с учетом возможных многократных отражений между
пластинами стопы. Однако вычисления чрезвычайно громоздки при
большом числе пластинок в стопе, поэтому практически удоб-
яее калибровать полярископ, используя пучок света с известной
■степенью поляризации, получаемой, например, при отражении
от черного стекла.
.310
Выше уже указывалось, что в качестве анизотропного
элемента в рассматриваемом полярископе можно использовать
любой поляризационный компенсатор, в частности, Бабине, Солей-
ля, Берека и т. д. Предпочтительнее использование пластинке
Савара.
Полярископы — поляриметры. Одним из важных
применений поляризационных приборов является исследование
механических напряжений в оптических деталях при их производстве
и в прозрачных моделях.
Рассмотрим основные требования к поляризационным
элементам и устройствам, входящим в приборы, применяемые
в поляризационно-оптическом методе.
Поляризующие элементы — поляризаторы — желательно
устанавливать после системы линз непосредственно перед ис-
следуемой деталью или моделью с тем, чтобы возможные
остаточные напряжения в объектах не сказывались на точности
измерений. В настоящее время освоен промышленный выпуск
пленочных поляроидов большого формата и выполнение этога
требования обычно не вызывает затруднений. Поляризатор и
анализатор монтируют в круглых поворотных оправах,
снабженных лимбами. Цена деления лимба соответствует
чувствительности глаза или фотоприемника к изменению
интенсивности света при повороте лимбов и колеблется в пределах
0,5—2°.
Анализатор часто снабжают двумя рукоятками: одна — для
грубой, а другая (с микрометрическим винтом) —для точной
установки. В простейших поляриметрах при измерении
поворотом анализатора добиваются полного затемнения поля зрения.
Анализаторная часть установки включает в себя
анализатор, который также желательно располагать сразу же после
модели, систему линз, экран или фотоаппарат. Обычно
анализаторная и поляризаторная части установки собираются на
отдельных оптических скамьях, что облегчает установку и за-
гружение модели, однако часто затрудняет юстировку
прибора.
Приборы для исследования методом полос обычно имеют
большое поле и снабжаются устройствами для
фотографирования или зарисовки картин полос и изоклин. Оптическая схема
одной из таких установок приведена на рис. 4.5.12 (поляриза-
ционно-проекционная установка ППУ-7).
Поясним ход лучей в оптической схеме. Свет от источника 1
проходит через теплофильтр 2 и конденсатор 3, проектируется
светящееся тело источника на поляризатор П. Между
конденсатором и поляризатором установлен светофильтр 4. Источник
света / сменный (ртутно-кадмиевая лампа или лампа
накаливания). Набор светофильтров 4 из спектра ртутно-кадмиевой
лампы выделяет длины волн А, = 436, 546, 578 и 644 нм.
Изображение источника света расположено в фокальной плоскости
311
1 Ъ Ч
12 5^^^S13
Рис. 4.5.12. Оптическая схема поляризационно-проекционной установки
ППУ-7
■объектива 12. Параллельный пучок проходит через
четвертьволновую пластинку 5, исследуемый образец М, вторую
четвертьволновую пластинку 6 и объектив ]3. Объектив ]3
образует изображение источника в плоскости, где расположен
анализатор А, аналогичный поляризатору П. Вспомогательный
объектив 7 проектирует объект на фотопластинку 10 или на
экран //. Интерференционно-поляризационная картина (изо-
хромы и изоклины) может фотографироваться или
исследоваться визуально.
Для реализации синхронного поворота поляризатора и
анализатора их оправы вращаются с помощью сельсинов, отсчет по
лимбу осуществляется с точностью до 30'.
С помощью установки ППУ-7 разность хода (двулучепре-
ломление) измеряется в основном методом счета полос.
Для измерения разности хода компенсационным методом по
Сенармону используют координатно-синхронный поляриметр
КСП-7. Оптическая схема его представлена на рис. 4.5.13.
Источник света / (ртутная лампа) с помощью конденсора 2
проектируется на диафрагму 4. Между конденсором и диафрагмой
расположен сменный светофильтр 3. Он выделяет из спектра
источника 1 длины волн 546 и 578 нм. Диафрагма 4
расположена в фокальной плоскости объектива 5. Параллельный пучок
проходит поляризатор Я, первую пластинку 6 Х/4, модель М,
вторую пластинку 7 К/А и анализатор А. Объектив 8 образует
в плоскости 9 изображение участка модели М, которое
наблюдают через окуляр 10. Оптическая часть установки смонтиро-
Рис. 4.5.13. Оптическая схема координатно-синхронного
поляризационного поляриметра
312
вана на координатном устройстве с вертикальным и
горизонтальным перемещением. Точность отсчета линейных
перемещений 0,1 мм.
Рассмотрим теоретические основы поляризационно-оптиче-
ского метода исследования напряженного состояния объектов..
Исследования проводятся, как правило, на модели объекта.
Экспериментальные данные, полученные на модели, с
использованием коэффициентов геометрического и силового подобия
переносятся на объект.
Известно, что под термином «напряжение» подразумевается
сила AF, отнесенная к единице площади AS. Напряжение Р
будет определяться выражением
Напряжение Р можно разложить на нормальную о и
касательную т составляющие (соответственно перпендикулярные н
параллельные, площадке AS). В свою очередь, а и т можно'
разложить на составляющие Ох, Оу, Гху, lyx в прямоугольной
системе координат х, у. Система напряжений, являющихся
функцией координат х, у, характеризует двумерное или
плоское напряженное состояние. Площадки, свободные от действия
касательных напряжений, называют главными, а
соответственно действующие на эти площадки нормальные напряжения cji
и аг — также главными напряжениями. Состояние величин Ot
и аг и их направления в каждой точке характеризуют
напряженное состояние объекта.
Поляризационно-оптический метод основан на явлении пье-
зоэффекта, т. е. возникновением двулучепреломления под
действием силового поля (нагрузки). Разность хода, возникающая
при этом, в пределах действия закона Гука прямо
пропорциональна приложенным нагрузкам и определяется выражением
A = /j(ai — ог)1, где k — некоторая постоянная, / — толщина
образца.
При одностороннем сжатии (растяжении) направление
сжатия (растяжения) является выделенным и играет роль
оптической оси; возникающая при этом анизотропия соответствует
одноосному кристаллу. При более сложных деформациях,
например, двустороннем растяжении, образец становится как бы дву-
осным кристаллом.
В поляризационно-оптическом методе исследуется система
изохром и изоклин. Изохромы являются линиями равных
величин главных напряжений и с оптической точки зрения
представляют собой геометрическое место точек с одинаковым
значением двулучепреломления. Изоклины являются
геометрическим местом точек, направления главных напряжений в которых
параллельны и соответствуют местам с одинаковой
ориентацией наведенной оптической оси.
31$
Для определения A = k(Oi—02)1 по изохромам модель
размещают в линейном или циркулярном полярископе (см.
рис. 4.3.9). Линейный полярископ в установках ППУ-7 и КСП-7
образуется при выведенных из системы пластинках К/4. Как
было показано ранее, при скрещенных поляризаторе и
анализаторе интенсивность на выходе линейного полярископа
определяется формулой / = /osin2 2р sin^ 6/2. Интенсивность
обращается в нуль при sin2p = 0, что соответствует изоклинам, и при
sin 6/2 ^ О, что соответствует изохромам. Осуществляя
синхронный поворот поляризатора и анализатора, определяют
ориентацию изоклин в различных точках модели.
Если необходимо проводить измерения разности хода в
отсутствие изоклин, используют циркулярный полярископ.
Интенсивность в этом случае определяется выражением / = /osin2 §/2
и не зависит от ориентации модели.
Выше уже упоминалось, что при измерении разности хода
на установке КСП-7 в монохроматическом свете можно
определить разность хода, соответствующую только одному порядку
интерференции, т. е. А ^ А,. Для расширения пределов
измерения разности хода до нескольких порядков используют
монохроматические излучения двух длин волн. Если известны
дробные части порядков интерференции для длин волн Ki и ^2, то
имеем А=(пе — По)1= {k + ei)Ki и А = (пе — По)/= (/г-Ь62)^12.
.Используя эти соотношения, получим:
Х\ — Яа Xi — Х2
Поляризационно-оптический метод используют также для
определения остаточных напряжений в оптических деталях,
в изделиях из бесцветного или слабо окрашенного стекла
(оптического, химико-лабораторного и электровакуумного).
Качественная оценка разности хода лучей из-за двулучепреломления
в этих средах производится по интерференционной окраске
наблюдаемой картины. Количественная оценка производится
измерением разности хода с помощью метода Сенармона,
изложенного на ее. 296—298.
Оптическая схема одного из приборов для этих целей
(прибора ПКС-250) приведена на рис. 4.5.14. Конструктивно
прибор состоит из следующих узлов: осветителя, измерительной
головки и предметного столика.
Узел осветителя состоит из источника света и конденсора.
Измерительная головка содержит фазовые пластинки и
вращающийся анализатор, образующие фазовый компенсатор
Сенармона, а также механизм переключения пластин К и К/4:,
вводимых поочередно в ход лучей. Предметный столик
содержит матовое стекло и механизм для поворота матового стекла
и установленного на нем исследуемого образца для получения
максимально четкой интерференционной картины.
314
Приведем основные технические характеристики прибора.
Предел измерения разности хода с помощью фазовой
пластинки Я,/4, нм 540
Погрешность измерения разности хода компенсатором
Сенармона, нм +10
Цена деления шкалы лимба измерительной головки, град 1
Цена деления шкалы нониуса, град 0,1
Диаметр матового стекла, мм 300
Диаметр анализатора, мм 250
Диаметр шкалы измерительной головки, мм 125
Рабочая длина волны, мкм 0,54
При качественной оценке разности хода применяют
дополнительное устройство—ступенчатый клин, состоящий из ряда
ступенек различной толщины, вносящих различную разность
хода. В этом случае разность хода лучей в исследуемом
образце определяют сравнением цвета испытуемого участка образца
с цветом различных ступеней
клина или компенсацией
разности хода (при сопоставлении
окраски, создаваемой
совместно цветом клина и цветом
образца, с окраской
свободного поля полярископа).
Используют ступенчатые
клинья из полиметилметакри-
лата с пределами измерения
15—90, 25—130 и 25—250 нм
соответственно. Погрешность
определения разности хода с
применением ступенчатых
клиньев составляет ±15 нм при
максимальной разности хода до
140 нм и ±25 нм при
максимальной разности хода до
250 нм.
При количественной оценке
разности хода лимб
анализатора устанавливают на нулевую
отметку, вводят пластинку
А,/4 и светофильтр. Затем
лимб поворачивают до тех пор,
пока испытуемый участок
образца не станет темным, и
определяют угол поворота
лимба, являющийся мерой разно- Рис 4.5.14. Оптическая схема по-
сти хода. Погрешность оп- лярископа ПКС-250:
ределеНИЯ разности хода в /-источник света; 2-конденсор; 3 —
"^ ^ '^ поворотное зеркало; 4 — поляризатор;
ЭТОМ случае не превышает 5 — светофильтр: в —лимб со шкалой-,
_1_ 1 п Г11Ч 7; 8 — компенсаторы; 9 — анализатор;
~ ^^ НМ. /О-окуляр
5^
'f-
2 3
1 _wvr-
1
i
t
31S
Значительное снижение погрешности измерений достигается
лри использовании объективных фазовых поляриметров, т. е.
поляризационных приборов, содержащих объективные
первичные измерительные преобразователи. Рассмотрим одну из схем
таких приборов.
Фотоэлектрический модуляционный фазовый поляриметр
(рис. 4.5.15) предназначен для измерения разности фаз лучей
о и е, меняющейся во времени. Его работа основана на
электрооптическом эффекте Поккельса.
Рис. 4.5.15. Оптическая схема модуляционного фазового
поляриметра
Поток излучения от источника света 1 (ртутная лампа
•сверхвысокого давления) после конденсора 13 и диафрагмы 12
проходит через сменный светофильтр 2 (максимумы
пропускания при 0,436 и 0,546 мкм), поляризатор 3 и исследуемый
объект 4. Последний ориентирован так, что направления
колебаний в лучах о и е составляют углы 45° с направлением
плоскости поляризации поляризатора 3. Выходящий из объекта 4
эллиптически поляризованный свет попадает на пластинку 5,
изготовленную из кристалла ADP. Пластина 5 вырезана
перпендикулярно оптической оси. Свет, падающий по нормали к ее
поверхности, не испытывает затем двойного лучепреломления.
При приложении к пластинке 5 переменного электрического
поля в направлении, параллельном направлению
распространения лучистого потока и оптической оси кристалла ADP,
последний становится двухосным; новые оптические оси образуют
углы 45°, симметричные прежним направлениям оптической
оси; следовательно, проходящий через пластину 5 свет
претерпевает двулучепреломление. Возникающая при этом разность
фаз (или разность хода) зависит линейно от напряженности
электрического поля. После прохождения объекта 4 свет
становится эллиптически поляризованным (рис. 4.5.15,/). При
прохождении пластины 5, вследствие колебаний приложенного
316
к ней напряжения, эллиптичность вышедшего света
периодически меняется (рис. 4.5.15,//).
После компенсатора Сенармона (четвертьволновая
пластина) 6 плоскость колебаний линейно поляризованного света
будет качаться относительно своего среднего положения
(рис. 4.5.15,///). Пройдя Браш,аюш,ийся анализатор //,
модулированный лучистый поток попадает на фотоумножитель 10.
После фотоумножителя ток с основной частотой,
соответствующей первой гармонике сигнала, поступает в усилитель 8 и
приводит в действие сервомотор 9, поворачиваюш,ий анализатор //
до тех пор, пока в сигнале сохраняется первая гармоника.
Остановка анализатора соответствует положению, при котором
он находится под углом 90° к среднему положению колебаний,
Быходяш,их из компенсатора. Углы поворота анализатора //
фиксируются на самописце 7. Измеряемая разность фаз равна
удвоенному углу поворота анализатора. Погрешность
измерения угла не превышает 20'.
Поляриметры. Эти приборы предназначены для измерения
Браш,ения плоскости поляризации. В настояш,ее время имеют
применение визуальные и фотоэлектрические поляриметры.
В простейших визуальных поляриметрах поток излучения,
выходяш,ий из источника, проходит через светофильтр или мо-
нохроматор, затем через собственно поляриметр и фиксируется
глазом. Поворачивая анализатор, наблюдатель добивается
получения минимальной яркости ,поля зрения. Для измерения
угла враш,ения, производимого оптически активным веш,еством,
дважды устанавливают анализатор на минимальную яркость
поля зрения и дважды выполняют соответствующие отсчеты по
угломерному устройству: в отсутствии исследуемого вещества
и с исследуемым веществом. Угол вращения равен разности
результатов двух отсчетов.
Погрешность измерения углов зависит от того, насколько
точно может оценить глаз яркость поля зрения, которая
соответствует моменту измерения, а также от погрешности
угломерного устройства. В поляриметрах угломерные устройства
выбирают таким образом, чтобы погрешность измерения угла была
меньше погрешности установки анализатора, определяемой
визуальной чувствительностью. Контрастная чувствительность
глаза характеризуется отношением AL/L, где L — яркость поля
зрения и AL — минимальное изменение яркости, замечаемое
глазом. У тренированных наблюдателей, при непосредственном
сравнении двух значительных по величине яркостей и хорошей
адаптации глаза AL/L = 0,5-^ 1 %.
С увеличением яркости L чувствительность установки
анализатора растет. Значительному увеличению чувствительности
мешает рассеянный свет, возникающий в оптической системе
поляриметра. Количество рассеянного света прямо
пропорционально потоку излучения. Чтобы установить анализатор в по-
317
ложение, при котором яркость поля зрения минимальна,
наблюдатель должен запоминать и сравнивать малые яркости. Это
довольно трудно, поэтому точность измерений обычно
составляет угол от 30' до 1°.
Для повышения точности измерения в поляриметрах
анализатор устанавливают так, что малые яркости двух (или трех)
полей сравнения, на которые разделено поле зрения прибора,,
были бы одинаковы. С этой целью поляриметр снабжают
полутеневыми устройствами—поляризаторами особой конструкции.
2 '
\1
■f
Рис. 4.5.16. Оптическая схема визуального поляриметра П-161М
В качестве примера рассмотрим оптическую схему
визуального поляриметра П-161М (рис. 4.5.16). Оптическая схема
включает зеркало 1 для освещения от внешнего источника,,
оранжевый светофильтр 2, поляризатор 3, кварцевую
пластинку 4, кювету для раствора 5, анализатор 6 с градусной шкалой
7, объектив 8 и окуляр 9. Градусная шкала нанесена на лимб,,
на котором нанесены деления с ценой 1°. Лимб неподвижен,
а анализатор снабжен двумя нониусами левым и правым.
Точность отсчета с использованием нониусов 0,1°.
Поляризационное устройство состоит из поляризатора 3 ш
кварцевой пластинки 4, расположенной симметрично
относительно центра анализатора 6. В результате образуется тройное
полутеневое поле.
Измерения вращения плоскости поляризации проводятся
следующим образом: сначала определяют начальный нулевой
отсчет с кюветой, заполненной растворителем, например, водой.
При этом вращением анализатора добиваются равномерно
затемненного тройного поля. Далее устанавливают кювету с
исследуемым раствором и затем вновь поворотом анализатора
добиваются равномерного затемнения тройного поля. Разность
между полученным и нулевым отсчетом и составляет угол
вращения плоскости поляризации.
Рассмотрим, какими факторами определяется
чувствительность измерений в визуальных поляриметрах.
Поворот анализатора относительно положения полутеневого
равенства вызывает затемнение одного поля, в то время как
другое становится светлее. Благодаря этому чувствительность
установки анализатора при тонкой границе раздела
сравнительно высока.
318
Яркость полей сравнения при полутеневом равенстве L =
= Losin2T, где Lo — яркость поля; т — угол вращения
плоскости поляризации пластинкой.
Применяя формулу, определяют чувствительность установки
анализатора, характеризуемую углом 60, в зависимости от
минимального приращения яркости, замечаемой глазом, т. е.
60=4-—-
Очевидно, что чем меньше угол т, тем меньше 60, т. е.
больше чувствительность.
Объективные поляриметры. Использование
фотоэлектрических приемников излучения в поляриметрах позволяет
значительно повысить их чувствительность и скорость выполнения
измерений, проводить измерения в ультрафиолетовой и
инфракрасной областях спектра и исследовать вещества,
обладающие большой оптической плотностью. Измерения с помощью
объективных поляриметров подобны измерениям с помощью
визуальных приборов.
Наиболее простой метод измерения — установка
анализатора на минимум сигнала — метод гашения. В этом случае на
приемник падает минимальный потОк излучения. Его
регистрация возможна только в случае, если приемник обладает
высокой чувствительностью и стабильностью. При этом источник
излучения должен иметь также достаточную стабильность во
времени.
Если потоки излучения, выходящие из поляризатора Фо и
анализатора Ф, то согласно закону Малюса Ф = Фосо520, рд£
■8 — угол между плоскостями колебаний света, падающего на
анализатор и пропускаемого им. Для чувствительности dO/dQ
имеем
^=Фо8ш2е. (4.5.4)
Поскольку при значениях угла 0, близких к я/2, малые
изменения 0 вызывают незначительные изменения потока Ф, то
при применении метода гашения велик порог чувствительности,
т. е. имеем минимальный угол отклонения анализатора от
скрещенного положения, который может быть обнаружен приемным
устройством. Погрешности таких поляриметров велики и
составляют 0,02—0,03°; вследствие этого метод гашения применяется
сравнительно редко.
Большую чувствительность можно получить при применении
метода симметричных углов. Этот метод отличается тем, что
для более точного определения положения анализатора,
соответствующего минимуму сигнала, дважды устанавливают
анализатор симметрично этому положению. В обоих случаях
стрелка регистрирующего прибора отклоняется одинаково. Два
положения анализатора, соответствующие минимуму сигнала
319
(при наличии оптически активного объекта в приборе и без
него), определяют как средние арифметические двух значений
симметричных углов для каждого из наблюдений.
Из формулы (4.5.4) следует, что максимальная
чувствительность измерений получается при симметричном угле, равном
я/4. Однако при этом поток излучения, падающий на
приемник, слишком велик, вследствие чего возрастают шумы и
работать при таких условиях нецелесообразно. Углы выбирают от
2 до 10° в зависимости от оптической плотности исследуемого
веш,ества (чем больше плотность, тем больше симметричные
углы). Для достижения высокой точности при работе этим
методом необходима стабилизация потока излучения
используемого источника света до 0,1 %, и тогда для веш,ества с малой
оптической плотностью погрешность измерения составляет
несколько тысячных градуса.
В большинстве объективных поляриметров фотоприемник
принимает модулированный поток излучения, выходяш,ий из
оптического модулятора света. Оптический модулятор состоит из
устройства, изменяюш,его по определенному закону азимут
колебаний линейно поляризованного света, выходяш,его из
поляризатора и анализатора. При наличии модулятора поток
излучения, выходяш,ий из анализатора, периодически меняется и
в каждый момент (в соответствии с законом Малюса)
определяется выражением
ф = ф„со5^(е —т), (4.5.5)
где Фо — поток излучения, выходяш,ий из поляризатора; т —
угол, на который отклоняется плоскость колебаний света, па-
даюш,его на анализатор, под действием модулятора
относительно положения, определяемого углом 6; величина угла т обычно
не превышает 5°.
В обш,ем виде схема объективного поляриметра приведена
на рис. 4.5.17, а. Поток излучения выходит из источника света
1, проходит через объектив 2, поляризатор-модулятор 3,
исследуемое веш,ество 4 и анализатор 5. Выйдя из анализатора,
поток падает на фотоэлектрический приемник 6. Возникший
в приемнике фототок направляется в усилитель 7. Сигнал
с усилителя поступает на реверсивный двигатель РД,
кинематически связанный с анализатором 5, снабженным отсчетным
устройством.
Модуляторы, используемые в поляриметрах, можно
разделить на два типа. В модуляторах первого типа азимут
колебаний меняется плавно, по синусоидальному закону.
Работа таких модуляторов основана на использовании
анизотропии веш,ества, возникаюш,ей под действием переменного
магнитного или электрического полей (эффекты Фарадея и
Поккельса).
320
Магнитооптический модулятор (рис. 4.5.17,6), работа
которого основана на эффекте Фарадея, состоит из
катушки-соленоида М с прозрачным сердечником из вещества со
значительной постоянной Верде.
Для магнитооптического модулятора весьма существенно,
чтобы сердечник не имел остаточных напряжений. Во время
Рис. 4.5.17. Пояснение принципа работы объективных поляриметров
работы модулятора сердечник нагревается, вследствие чего
может произойти перераспределение в нем остаточных
напряжений, обусловливающих возникновение трудноучитываемых
дополнительных погрешностей измерений. Так как сердечник из
твердого материала без напряжений получить трудно, то в
точных поляриметрах иногда применяют сердечники в виде кювет
с жидкостями.
В модуляторах второго типа покачивание плоскости
поляризации осуществляется механическим путем. Чаще всего
используются электромеханические модуляторы. В таких модуляторах
положение плоскости поляризации определяется законом,
близким к синусоидальному.
В электромеханическом модуляторе объединены функции
поляризатора и модулятора. Периодический поворот
поляризатора в обе стороны от среднего положения на малый угол (его
качательные движения относительно оптической оси прибора)
осуществляется электромагнитным возбудителем колебаний.
Переменный ток,, проходящий по обмотке электромагнита
21 Зак. ^f• 167
321
(рис. 4.5.17,0), возбуждает колебания упругой системы
крепления поляризатора. Колебания поляризатора синхронны
колебаниям напряжения V, питающего электромагнит.
Для получения высокой точности измерений в приборах
с электромеханическим модулятором необходима
стабилизация напряжения питания электромагнитного возбудителя
колебаний, так как колебания напряжения питания вызывают
изменения частоты колебаний модулятора.
Рассмотрим принцип изме1]ений в поляриметрах с
модулятором. После анализатора получается свет, модулированный по
потоку. Величина этого потока имеет вид ряда Фурье, если
т=То sin (ot, где то — амплитуда колебаний.
Преобразуем теперь выражение (4.5.5) и в результате
получим
ф = -^ [1 _(- cos 26 cos (2то sin at) — sin 26 sin (2То sin at)].
Упрощая это выражение с учетом того, что амплитуда то
мала и, значит, членами с то в степенях выше второй можно
пренебречь, получим
ф = -2l (1 _(_ cos 26 — То cos 26 + То cos 26 cos 2u>t — 2т„ sin 26 sin co^).
(4.5.6)
Из выражения (4.5.6) следует, что поток излучения,
выходящий из анализатора, состоит из двух составляющих —
постоянной и переменной.
При повороте анализатора угол 6 меняется, и по мере
приближения к я/2 доля второй составляющей, имеющей частоту
изменений азимута, т. е. первой гармоники, уменьшается, а
доля первой составляющей с удвоенной частотой (вторая
гармоника) увеличивается. Угол 6, равный я/2, соответствует
моменту измерения. В этот момент из сигнала исчезнет первая
гармоника и, следовательно, частота изменения потока излучения,
выходящего из анализатора, удвоится. Поскольку при
приближении к этому моменту первая гармоника уменьшается
быстрее, чем нарастает вторая, наибольшую чувствительность
получают при измерении по первой гармонике. Поэтому в
поляриметрах обычно применяют фотоэлектрический приемник с
узкополосным усилителем, настроенным в резонанс с частотой тока,
питающего модулятор.
При измерениях с помощью объективных поляриметров и
сахариметров вначале без исследуемого вещества в приборе,
а затем с исследуемым веществом, изменяя угол 6, добиваются
такого показания регистрирующего прибора, которое
соответствовало бы исчезновению в сигнале первой гармоники. Отсчеты
по угломерному устройству снимают после каждой установки
анализатора.
322
Рассмотрим оптическую схему поляриметра ФЭП с
электромеханическим модулятором.
Оптическая часть фотоэлектрического поляриметра-
(рис. 4.5.18) состоит из источника света / с конденсором 2,
поворотной призмы 3, электромеханического
поляризатора-модулятора 4, кюветы 5 и анализатора 6 со шкалой 14. В
качестве приемника используется фотоумножитель 8. Перед
фотоумножителем установлен фильтр 7.
ie 15 1413
Рис. 4.5.18. Оптическая схема фотоэлектрического поляриметра
При действии на фотоумножитель модулированного
лучистого потока в его цепи возникает переменный фототок, который
усиливается усилителем 9. С усилителя сигнал поступает на
реверсивный двигатель 10, который кинематически через
редуктор // связан со шкалой анализатора 6.
Усилитель 9 настроен на частоту ш. При положении
анализатора, соответствующем нулевому отсчету в отсутствие
исследуемого вещества, как было показано выше, сигнал с
частотой (В отсутствует. При введении кюветы 5 с веществом
произойдет поворот плоскости поляризации и появится сигнал с
частотой 0). Усиленный сигнал подается на двигатель //,
который вращает анализатор до тех пор, пока сигнал вновь не
станет равным нулю. Угол поворота анализатора 6 равен и
противоположен углу поворота плоскости поляризации,
который дает кювета с веществом.
Дополнительная оптическая система, состоящая из
осветителя 12, 13 и проектирующей оптики 16, 17, служит для
получения изображения шкалы 14 и нониуса 15 на экране 18.
Поляризационные интерферометры. В поляризационных
интерферометрах, как правило, используется поляризационное де-
21*
323
ление первичного пучка с помощью анизотропного элемента.
В ряде случаев интерференцию поляризованных лучей можно
получить, размещая поляризационные элементы в обычном
интерферометре. Рассмотрим эти два типа поляризационных
интерферометров.
Классическим поляризационным интерферометром первого
типа является интерферометр по схеме А. А. Лебедева. Этот
интерферометр предназначен для измерения показателей пре-
а)
В,
к/2
-е-
-(Еь
\
л/2 А
--ф--
Рис. 4.5.19. Поляризационный интерферометр А. А. Лебедева: а —
схема интерферометра; б — схема, поясняющая действие пластинки V2
ломления биологических объектов, а также для исследования
отдельных зерен в минералогических шлифах. Его
принципиальная оптическая схема приведена на рис. 4.5.19, а.
Интерферирующие пучки разделяются толстой двулучепреломляющей
пластинкой 6i, оптическая ось в которой ориентирована под
углом 45° к ее поверхностям и расположена в плоскости
разведения лучей (в плоскости рисунка). Обыкновенный и
необыкновенный лучи линейно поляризованы во взаимно
перпендикулярных плоскостях. Для того чтобы они были когерентны,
пластина 6i освещается линейно поляризованным светом,
получаемым с помощью поляризатора Р. Плоскость колебаний
вышедшего из него света должна составлять угол 45° с плоскостью,
в которой происходит разделение лучей, что обеспечивает
равенство интенсивностей этих лучей.
Вторая двулучепреломляющая пластина бг совмещает
обыкновенный и необыкновенный лучи. Для этого необходимо,
чтобы обыкновенный луч стал для пластины бг необыкновенным,
324
a необыкновенный—обыкновенным. С этой целью в схему
интерферометра вводят фазовую пластинку Х/2, ориентированную
под углом 45° к плоскостям колебаний обоих лучей. Действие
пластинки Х/2 сводится к повороту плоскостей колебаний
лучей о и е на 90° (рис. 4.5.17,6). В пластине бз лучи проходят
путь, симметричный пути в пластине 6i. Если пластины 6i и бг
идентичны и ориентированы одинаковым образом, то лучи
на выходе из пластины Qz имеют нулевую разность фаз. При
их сложении образуется линейно поляризованный свет,
плоскость поляризации которого такая же, как у света, вышедшего
зиз поляризатора Р. Если в один из лучей между пластинами 6i
Рис. 4.5.20. Принципиальная, оптическая схема
поляризационного интерферометра
И бз поместить какую-либо неоднородность, то по выходе из
пластины свет будет эллиптически поляризованным, так как
между обыкновенным и необыкновенным лучами создается
некоторая разность фаз. Эллипс поляризации после пластины бг
ориентирован своими осями всегда под углом 45° к
направлениям колебаний лучей о и е. Эллиптичность света связана с
внесенной разностью фаз б соотношением tg 8/2 = b/a, где а и b —
полуоси эллипса поляризации. Для измерения эллиптичности
и разности фаз используется компенсатор Сенармона,
состоящий из пластинки Я,/4 и вращающегося анализатора с лимбом.
Используя соотношение (4.3.21), можно определить также
допуск на разнотолщинность пластин ti и tz. Величина б^ =
= ti — tz связана с 6A = Ai — Аз соотношением
6 А^б^п,
i^/'4+nl О
61'
По
Рассмотрим поляризационные интерферометры второго
типа, в которых для деления и объединения пучков используются
различного вида зеркальные элементы.
На рис. 4.5.20 представлена принципиальная оптическая
схема поляризационного интерферометра, который
предназначен для контроля больших линейных размеров. Поляризатор Р
.и анализатор А находятся на входе и выходе интерферометра.
325
Пластинка Х/4 ориентирована диагонально по отношению к
поляризатору Р.
В схеме имеется делительная призма FIi и подвижная
призма 772, перемещение которой измеряется. В качестве
источника света использован лазер L.
После прохождения пластинки Х/4 линейно поляризованный
свет превращается в циркулярно поляризованный, например^
с левым направлением вращения электрического вектора.
Далее луч делится призмой Fli на два луча 1 и 2. Один из них 2
t=0
t=0
ЪФО
of П12 П дЯ/2 Ъ О %11 % ^Л12 в
Анализатор братается Анализатор вращается
t = 0,if=0 ЬФО ,\{)Ф О
Рис. 4.5.21. Принцип измерения разности фаз
направляется на выход интерферометра, а другой 1 на призму
Яг. В результате двукратного отражения на гранях призмы Яг
левоциркулярно поляризованный свет превращается в право-
циркулярно поляризованный. После отражения на второй грани
призмы П^ лучи 7 и 2 накладываются. Поскольку лучи имеют
противоположное направление вращения электрического
вектора, то при сложении они дают линейно поляризованный свет.
Луч 2, отраженный призмой Яг, проходит путь, отличный от
пути, который прошел луч 7. Пусть разность путей при
начальном положении призмы такова, что при сложении право- и ле-
воциркулярных поляризованных колебаний образовалась
линейная поляризация с вертикальной ориентацией. При
вращении анализатора А выходящий поток будет промодулирован
по гармоническому закону (рис. 4.5.21,6) и его интенсивность
определяется выражением / = /oCos2 6, где 6 = (о^ угол,
отсчитываемый от вертикали. Этот сигнал может быть
зарегистрирован фотоэлектрически, и фазометром измерена его фаза, в дан-
326
ном случае равная нулю. При перемещении призмы Яг
разность путей для лучей 1 и 2 изменится на величину t. В
результате сложения циркулярных колебаний этих лучей
образуется линейно поляризованный свет с повернутой плоскостью
поляризации. Поворот плоскости колебаний определяется из
соотношения (p = 2nt/k (рис. 4.5.21, а). Интенсивность на
выходе будет меняться по закону / = /о cos^ (6-Ьф) (рис. 4.5.21,6).
Измерив фазометром фазу ф, можно определить величину t =
= фХ/2я. Здесь t—удвоенная величина перемещения призмы
Pi Ki Pz К2 Рз 1^3
» -i * -к >
А X
Рис. 4.5.22. Схема расположения
элементов в
интерференционно-поляризационном фильтре
Рис. 4.5.23. К расчету
интенсивности на выходе
ступени ИПФ
Пг. Фаза ф однозначно определяется, если О ^ ф ^ 2я. В том
случае, когда фаза содержит целое число 2я, т. е. равна ф =
= 2пк + ц>, необходимо дополнительно определить значение k =
= 1, 2, 3, ..., а фазометром измерить ф. Для определения
направления перемещения призмы используют фазометр,
позволяющий определять знак фазы ф.
Рассмотрим многолучевой поляризационный интерферометр.
Таким интерферометром является
интерференционно-поляризационный фильтр (ИПФ). Он применяется для выделения узких
спектральных участков с большим спектральным интервалом
между ними. Практическое использование ИПФ в основном
аналогично использованию интерферометра Фабри—Перо.
Рассмотрим принцип работы ИПФ.
Фильтр представляет собой набор поляризаторов и
кристаллических пластинок, вырезанных параллельно оптической оси
(рис. 4.5.22). Все поляризаторы Pi, Ра и т. д. ориентированы
параллельно друг другу, а пластинки находятся в
диагональном положении. Иначе говоря, главные сечения пластинок
ориентированы под 45° относительно плоскостей колебаний,
пропускаемых поляризаторами. На рис. 4.5.22 изображен фильтр,
состоящий из четырех каскадов-ячеек. Реально их может быть
и больше. Толщины кристаллических пластинок /Ci, К2 и т. д,
находятся в кратном отношении.
Пусть на такую систему падает параллельный пучок лучей,
содержащий непрерывную последовательность длин волн. Пер-
327
вый поляризатор Pi направляет плоско поляризованный свет
на кристаллическую пластинку Ki. Далее имеет место
разложение вошедшего колебания АО на две взаимно
перпендикулярные составляюш,ие ОС и ОВ в соответствии с характером
^прохождения света в анизотропной среде (рис. 4.5.23). Второй
поляризатор Рг, сводит эти колебания в одну плоскость. На
рис. 4.5.23 векторы D и D' изображают колебания после
анализатора. Таким образом, имеет место явление интерференции
поляризованных лучей.
Используем формулу пропускания (4.3.8) для объяснения
действия интерференционно-поляризационного фильтра. При
"1
5)
•JЛТП '
AAA
л? л
Лг Аз л
Рис. 4.5.24. Распределение
интенсивности на выходе
двухступенчатого ИПФ: а —
первая ступень; б — вторая
ступень; в —
результирующая интенсивность
параллельном расположении поляризаторов для первой ячейки
фильтра получим
/ = Л^COS^6,/2=/oCOS^6,/2; Г = ^ = COS= 6,/2 • (4.5.7)
*'О
В формуле (4.5.7): А — амплитуда колебания, прошедшего
первый поляризатор; 6i = 2n|j,diA — разность фаз
обыкновенного и необыкновенного лучей, если А — толщина первой
пластинки, причем |х = Пе —По —показатель двойного
лучепреломления кристалла.
Пропускание света будет изменяться в зависимости от
создаваемой разности фаз для данной длины волны (рис. 4.5.24).
Действительно, для длин волн Xi, Хг, '^г для которых
будет выполняться условие целочисленности ki = \idil'k, разность
фаз б составит четное число я(б=2Й1я). В этом случае
наблюдается максимальное пропускание. Для других длин волн, для
которых б=2Й2Я, где ki = ki+\l2, наоборот, свет не будет
пропущен ячейкой фильтра —получаются минимумы. Расстоянию
между соседними максимумами двух длин волн будет
соответствовать изменение разности фаз 2я.
Теперь определим действие второй ступени ИПФ. Толщина
кристаллической пластинки /Сг (см. рис. 4.5.24) в два раза
больше, чем в первой (при прочих равных условиях). Поэтому
период функции пропускания в шкале волновых чисел будет
в два раза меньше, чем в первом случае, и в связи с этим мак-
328
симумы пропускания для длин волн Х^, к'^, Х^ будут
расположены чаще, так что на месте прежнего минимума
расположится максимум.
На рис. 4.5.24 показано совместное действие обеих
ступеней, которое получилось в результате перемножения
пропусканий, принадлежащих одинаковым длинам волн. Таким образом,
на выходе двухступенной системы будут наблюдаться
достаточно редкие и узкие максимумы и широкие минимумы.
Мешающие максимумы могут быть удалены дополнительными
срезающими фильтрами.
Распределение интенсивности от двух ступеней фильтра
будет определяться выражением
Г, = COS^(6,/2)cOS^(62/2).
Напишем общую формулу для пропускания в случае р-сту-
пеней
Т = COS^ (6,/2) COS^ (62/2) COS^ (6з/2) . . . COS^ (6р/2),
где 8р = nyidp/K.
Интерференционно-поляризационный фильтр можно
рассматривать как устройство, в котором взаимодействует
определенное число колебаний, равных по амплитуде. Фазы этих
колебаний различны и возрастают по закону арифметической
прогрессии
6„ = 6,2«-',
где п меняется от О до р (число ступеней).
Для последней ступени
6р = 6,2Р-'.
В итоге имеет место сложение колебаний, одинаковых по
амплитуде, но возрастающих по фазе. Они обладают
одинаковой разностью фаз между соседними интерферирующими
лучами. Такое взаимодействие колебаний может быть описано
обычной интерференционной формулой
' (2Р5/2)
2^Р sin^ (6/2)
/p = ^^l£^^T^f^- (4.5.8)
Здесь А — амплитуда падающего света; р — число ступеней
фильтра; б — разность фаз между лучами первой ступени.
Формула (4.5.8) совпадает с формулой (3.4.23),
описывающей результат интерференции конечного числа пучков,
возникающих при дифракции на решетке.
Фазовая ширина главных максимумов А б может быть
определена из (4.5.8) путем анализа этого выражения на максимум
-И соседний с ним минимум.
Максимум функции (4.5.8) будет иметь место при 2^(6/2) =
^й2ря, где k — целое число; минимум — соответственно при
329
ЛААЖуаЛУУ^1УЪЛ>ЛАуЛ>аЛуЛА/Л/%ИУЛ/\А
/WWvJ^MAЛЛJM[/\MAЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛлAЛ/Wi)ywWV^
<Лп.
В37,0
К. им
В5В,3
Рис. 4.5.25. Распределение интенсивности на
выходе элементов многоступенчатого ИПФ
2^(6/2) = (Й2Р+1)я. Тогда разность фаз, соответствующая
половине фазовой ширины максимума, получится вычитанием
этих значений Аб = бтах—6niiii = 2n/2P, а ширина 2Аб
соответственно равна 2Аб =4я/2р.
Результат действия большого числа ступеней в реальном
фильтре дан на рис. 4.5.25. Чем больше ступеней, тем меньшую
ширину полосы пропускания дает фильтр. При этом часто дл»
различных ступеней используются разные кристаллы.
Глава 5
ДИФРАКЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ
В ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Под дифракцией следует понимать любое отклонение от
прямолинейного распространения лучей, если только это
отклонение не является причиной обычных законов геометрической
оптики — отражения или преломления.
Явления дифракции играют важнейшую роль в работе
оптических инструментов. Изображение, получаемое в любом
оптическом приборе, имеет дифракционное происхождение, так как
пучки лучей, проходящие оптику прибора, ограничены
конечными размерами этой оптики. Дифракционная структура
изображения определяет одну из важнейших характеристик
оптического прибора — его теоретическую разрешающую
способность.
В обыденной жизни невооруженному глазу, как правило,
дифракционные явления не доступны из-за слишком малой
интенсивности дифракционных полос и малого масштаба
картины. Однако иногда мы наблюдаем эти явления, не подозревая,
что имеем дело с эффектом дифракции. Если, прищурив глаз,
смотреть на какой-либо далекий источник света, то можно
отчетливо видеть цветную дифракционную картину — наши
ресницы представляют собой грубую дифракционную решетку,
•способную разложить белый свет в спектр.
Элементарная теория дифракции вытекает из рассмотрения
волновой природы света. Известно, что Френель, пользуясь
принципом Гюйгенса, дал так называемую теорию зон,
объясняющую результат взаимодействия световых волн при
прохождении их через преграду. Он также рассмотрел случай
распространения свободной волны, объяснив прямолинейное
направление распространения света.
^ 5.1. Решение дифракционной задачи в общем виде
Классическая теория дифракции основана на принципе
Гюйгенса, согласно которому можно определить в последующий
момент времени форму любой заданной ранее волновой
поверхности, если представить, что из каждой ее точки исходят
сферические волны. Тогда, построив огибающую всех этих
сферических волн, получим волновой фронт в любой более поздний
момент времени.
Исходя из этого принципа, можно построить
последовательность волновых поверхностей от одной заданной волновой по-
I 331
верхности. Он позволяет решить задачу о направлении
распространения волнового фронта, но не затрагивает вопроса об
интенсивности волн, идущих по различным направлениям.
Френель дополнил принцип Гюйгенса идеей интерференции,
задавая более детально свойства вторичных элементарных
волн, на которые налагалось требование, что в отсутствии
преграды интерференция вторичных волн должна обеспечивать
воспроизведение распространяющейся вперед волны и по
положению волнового фронта, и по амплитуде. Таким образом,
огибающая поверхность элементарных волн приобрела физический
смысл как поверхность, где результирующая волна имеет
определенную амплитуду из-за
интерференции волн от вторичных источников. В-
этом случае становится возможным
определение интенсивности световой
волны за преградой, т. е. возможно реше--
ние дифракционной задачи.
■^ Рассмотрим принцип Гюйгенса, до-
полненный идеей Френеля об интер-
ципа^'Уюйгенса-Тренеля" Ференции элементарных когерентных
волн.
Окружим источник L (рис. 5.1.1)
воображаемой замкнутой поверхностью S, имеющей
произвольную форму. Для получения интенсивности в любой точке Р за
пределами S, согласно принципу Гюйгенса—Френеля,
необходимо рассматривать результат совокупного действия излучений,
приходящих от элементарных участков поверхности в заданную
точку Р. Излучения этих элементарных участков dS когерентны^
поэтому интенсивность в точке Р от источника L определяется
теперь интерференцией всех колебаний, излучаемых каждым
элементом dS.
Излучение каждого элементарного участка dS поверхности
можно представить как сферическую волну, которую в точке Р
определим уравнением
£ ^ -^ sin (сог; — kr — ф),
где Go—амплитуда вспомогательного источника,
пропорциональная dS; ф — фаза колебания в точке Р.
Причем, так как dS мало, то л и ф одинаковы для любого
участка dS.
Выбор поверхности, заменяющей источник, произволен,
зависит от данной конкретной задачи и производится из
соображения простоты решения. При совпадении поверхности с
фронтом волны, исходящей от источника, фазы вспомогательных
источников одинаковы. При ином выборе поверхности фазы
могут различаться, но вторичные источники всегда остаются
когерентными.
332
Для решения дифракционных задач Френель предложил два
метода. Один из них — метод зон Френеля — геометрический
метод, пригодный для решения задач дифракции на объектах,
имеюш,их осевую симметрию. Второй метод — аналитический,
используюш,ий интегралы Френеля и полезный при решении
задач дифракции, в частности, на прямоугольных экранах.
При решении задачи по методу зон Френеля волновой фронт
разбивается на кольцевые зоны, причем радиус предыдущей
зоны отличается от радиуса последующей таким образом, что
Рис. 5.1.2. Пояснение к получению
формулы Кирхгофа
изменение фазы излучаемых соседними зонами волн равно п.
Дальнейшие шаги в развитии теории дифракции были
сделаны Кирхгофом.
Решение дифракционной задачи, предложенное Кирхгофом,
основано на интегральной теореме, которая выражает решение
однородного волнового уравнения в произвольной точке
пространства через значения этого решения и его первой
производной на произвольной замкнутой поверхности, окружающей
рассматриваемую точку.
Обозначим выбранную точку Ро, а окружающую ее
произвольную замкнутую поверхность S (рис. 5.1.2). Световое поле на
поверхности S задано волной вида Е{х, у, z, t) =e«"*ij3(x, у, z).
Определим действие, производимое этой волной в точке Pq,
находящейся внутри объема, ограниченного поверхностью S.
Не будем вначале задавать вид функции ijj, чтобы не
ограничивать решение задачи определенным видом волнового фронта.
При подстановке Е в волновое уравнение, получим, что
функция ij3 должна удовлетворять уравнению Гельмгольца V^ijj-(-
2я
+ k^ = 0, где k=—г волновое число.
л
Для дальнейшего решения поставленной задачи
воспользуемся теоремой Грина, по которой две функции
пространственных координат ij3i и ijja однозначные и непрерывные (как и их
первые и вторые производные) внутри некоторой
пространственной области, включая ее границу, связаны между собой
соотношением
\ (% v^^. ~ ^^ ^'^.) dV=\[^,^-^,^]dS, (5.1.1)
V S
333
где V — объем, ограниченный поверхностью S; —
производная, по направлению внешней нормали к поверхности S.
Эта теорема справедлива при отсутствии особых точек
внутри рассматриваемого объема.
Если iJJi и ij32 ^— решения уравнения V2ij3-f-jfe^ = 0, то
(-фг V^'ФI — ti V^'Ф2) = — ■ф2^^■ф^ + ■фl^^'Ф2 = О
И левая часть уравнения (5.1.1) обращается в нуль, тогда
S
Пользуясь полученным выражением, определим световое
поле в точке Рй. Примем для этого, что ij3i=ij3 — функция,
задающая поле на поверхности S, а ■^г = г'^^''ir — сферическая
волна, распространяющаяся от начала координат,
находящегося в точке Рй. Тогда в точке Ро функция ij32 имеет особенность,
так как при л-^О она обращается в бесконечность и мы не
сможем воспользоваться выражением (5.1.2). Чтобы избежать
этого, окружим точку Рй вспомогательной поверхностью So и
применим теорему Грина к объему между поверхностями S и So,
так как начало координат исключается из области
интегрирования. На поверхности So внешняя нормаль направлена к
точке Рй, поэтому —г—= г—. Тогда интеграл (5.1.2) разобьется
дп or
на два — по поверхности S и So. Обозначая S'=S + So, можем
записать используя уравнение 5.1.2, следующее выражение:
S'
или
So
(5.1.3)
Для произвольной точки Pi на поверхности S' функции
42(^1) =е' '""'/''01, где /-01—вектор, соединяющий точки Рй и Pi-
При г, стремящемся к нулю, имеем
H*^-*S''^='"-'H
(Ро)
So
- t. (Л) V (у - ^Ч
334
дп дп
Подстановка этого результата в выражение (5.1.3)
позволяет получить
expiikr)-] _ д Г ехр (ikr) ll ^^
♦.(«=жИ^
Умножая на фазовый множитель ехр {mt), окончательно
получаем
T^(D\ ^ Г \дЕ Г ехр (lkr)-\
-E
д I ехр (ikr)
дп. \ r
])
dS. (5.1.4)
45-
\
\
\
V.
I
Это выражение называется формулой или интегралом
Кирхгофа. С ее помощью можно рассчитать световое поле в
произвольной точке пространства, если поле
световой волны Е{х, у, z, t) задано '^
на произвольной замкнутой
поверхности, окружающей эту точку.
Формула Кирхгофа применима к
решению различных дифракционных
задач, например, при прохождении
излучения через отверстие
произвольной величины и формы в непрозрачном
экране (рис. 5.1.3). Предположим, что
излучение попадает на экран,
отверстие которого А затянуто плоской
прозрачной пленкой Sa- Если дополнить
пленку сферической поверхностью S,
то получим замкнутую поверхность, к
которой можно применить формулу
Кирхгофа при бесконечном увеличении радиуса сферической
поверхности. В этом случае интеграл Кирхгофа, взятый по этой
части поверхности, стремится к нулю. Интеграл Кирхгофа
применяем лишь к той части поверхности Sa, которая совпадает с
отверстием А в непрозрачном экране, так как на поверхности
пленки, закрытой непрозрачным экраном от прямого излучения,
амплитуда световой волны равна нулю. Обозначим 6 угол,
образованный радиусом г, исходящим из произвольной точки М
отверстия А к точке наблюдения Pq, с нормалью п,
восстановленной в точке М, внутри поверхности S. Исходя из этого, можно
показать, что в этом случае интеграл (5.1.4) принимает более
простой вид
Рис. 5.1.3. Пояснение к
решению дифракционной
задачи на отверстии А
с помощью формулы
Кирхгофа
Е{Р,) = -^\ Е {\ + cos Q)^^^^dS А.
(5.1.5):
Исследование дифракционных явлений, имеющих место
в оптической системах, лежит в основе теории образования
оптического изображения. Развитию и формированию теории
образования изображения способствовало применение преобразо-
335
вания Фурье, которое переводит на математический язык
природу явления дифракции. Применение преобразования Фурье
позволяет перейти от распределения амплитуд на зрачке
оптической системы к распределению амплитуд в изображении в
результате решения задачи гармонического анализа.
Если рассмотреть одну из синусоидальных составляющих
амплитуд на зрачке, то распределение амплитуд в
изображении можно представить как результат интерференции двух
волн, расходящихся под малым углом друг к другу. Этим двум
волнам в изображении соответствуют два вторичных точечных
источника. Иначе говоря, одной синусоидальной составляющей
на зрачке соответствуют в изображении два сигнала,
расположенные симметрично относительно начала координат и
находящихся на расстоянии, пропорциональном «пространственной
частоте» синусоидальной составляющей на зрачке, т. е.
величине, обратной периоду рассматриваемой синусоиды.
Итак, процессу образования изображения в оптическом
приборе сопутствует явление дифракции на апертурах прибора.
Расчет явления дифракции можно осуществить с помощью
интеграла Кирхгофа (5.1.4).
Обозначим координаты произвольной точки М в плоскости
апертуры Sa оптической системы (рис. 5.1.3) через х и у,
а амплитуду световых колебаний — через а{х, у). Координаты
произвольной точки наблюдения Pq запишем в виде | = ^sin6,
т) = )%51пф, где й = 2я/А,; 6 и ф — углы, образованные отрезком
MPq с двумя плоскостями системы координат (х, у, z), причем
2 перпендикулярна плоскости экрана с отверстием А. При
таких координатах и соответствующем подборе числового
коэффициента интеграл (5.1.4) можно привести к виду,
соответствующему интегралу Фурье, т. е.
оо
Е{1,ц)=-2^ S а{х,у)е:ир[—1{1>с + цу]с1хёу. (5.1.6)
— оо
Таким образом, функция распределения амплитуды в
плоскости наблюдения дифракционной картины находится с
помощью преобразования Фурье (5.1.6).
Явления дифракции принято классифицировать в
зависимости от расстояния источника и плоскости наблюдения от
препятствия, поставленного на пути распространения света. Если
эти расстояния очень велики, то дифракция называется
дифракцией в параллельных лучах или дифракцией Фраунгофера.
В противоположном случае говорят о дифракции в
непараллельных лучах или дифракции Френеля.
Практически для наблюдения дифракции Фраунгофера
достаточно источник света поместить в фокальной плоскости
линзы Li. Образовавшийся параллельный пучок дифрагирует на
каком-либо препятствии / (рис. 5.1.4), а дифракционная карти-
336
на наблюдается в плоскости изображения источника излучения,
расположенной в фокальной плоскости линзы La, или на
бесконечности в отсутствии линзы L2.
Наблюдать дифракцию Френеля можно используя схему
представленную на рис. 5.1.5. Параллельный пучок света про-
Рис. 5.1.4. Оптическая схема на- Рис. 5.1.5. Оптическая схе-
блюдения дифракции Фраунгофера ма наблюдения дифракции
Френеля
ходит, например, через узкую щель, прорезанную в экране /.
Дифракционная картина наблюдается на экране 2,
распределение освещенности вдоль которого представлено на рис. 5.1.6.
Случай а соответствует малому расстоянию между экранами,
при котором освещенность постоянна в пределах
геометрического изображения щели. Случай б показывает распределение
, I Еотн.ед.
а)
1
/
1 ^отн.ед.
1
0,05
0,05 1,мм ^00 200
200 4001,ш
Рис. 5.1.6. Распределение освещенности на экране при
наблюдении дифракции Френеля от щели шириной 0,05 мм:
а — расстояние между экранами 7 и 2 несколько
миллиметров; б — расстояние между экранами 20 м
освещенности при значительном удалении экрана 2 от щели,
например, на расстояние 20 м, и размере щели 0,05 мм. В этом
случае наблюдается дифракционное изображение препятствия,
находящегося на пути светового пучка.
Ниже рассмотрим дифракцию Фраунгофера на различной
форме входных зрачков оптических систем и приборов.
§ 5.2. Дифракция Фраунгофера
на входных зрачках различной формы
Исследуем распределение интенсивности в дифракционных
картинах от щели, прямоугольного отверстия, двух щелей,
многих щелей и круглого отверстия.
22 Зак. №
less/
Рис. 5.2.1. Оптическая. схема
наблюдения дифракции Фраун-
гофера на щели: а — источник
точечный; б — источник с
шириной щели 2 а
Щель и прямоугольное отверстие. На щель /,
представляющую собой прямоугольное отверстие, одна из сторон которого [
много больше другой Ь, например, /=l-f-10 мм, 6 = 0,01-^
~- 0,02 мм, падает параллельный пучок света, полученный от
точечного источника, помещенного в фокальной плоскости
линзы Li (рис. 5,2.1, а). Дифракционная картина наблюдается на
экране, расположенном в фокальной плоскости линзы L^. Решая
дифракционную задачу, можем определить амплитуду А^
световой волны в произвольной точке Р^ экрана, соответствующей
направлению дифрагированных лучей под углом ф. В
результате имеем
-^ф -^0
bk .
sin \—^ sin ф
— sin ф
=л-
Ьл .
— sin ф
(5.2.1>
где Aq — амплитуда падающей световой волны; b — ширина
щели; k = 2n/X; ф — угол дифракции.
При малых углах ф вместо (5.2.1) получим
'Ьл
sin I
^q> -^0
Ьл
-ф
Выражение для А^ показывает, что с изменением угла
дифракции ф освещенность вдоль экрана изменяется, проходя
через максимумы и минимумы.
338
bn
A,
Лф обращается в нуль для углов, удовлетворяющих условию
sin ц) = тп при т=±1, 2, 3, ..., т. е. в направлениях, для
которых 51пф = т—. Максимумы имеют место при некоторых
промежуточных значениях. Наибольший максимум образуется
при —г—51Пф=0, т. е, в направлении ф = 0. с)то центральный
л
максимум, в котором A^=Aq.
Ъ
Рис. 5.2.2. Графики распределения амплитуды (сплошная
кривая), интенсивности (штриховая кривая) в фокальной
плоскости объектива, расположенной за узкой щелью при
наблюдении дифракции Фраунгофера
Вторичные максимумы располагаются в направлениях,
для которых величина угла дифракции находится при решении
УР
авнения tg j—— sin ф I =—— sin ф. Например, sin ф1
= 1,43Я/6я, sin ф2 = 2,46А,/&л, sin фз = 3,47А,/Ья и т, д.
Графически ход кривой Лср в зависимости от ф представлен на
рис. 5.2.2 сплошной кривой. Интенсивность в дифракционной
картине определяется как квадрат амплитуды
■ Ьл
Т
sin ф
I Ь-п.- .
(5.2.2)
График функции (5.2.2) представлен на рис. 5.2.2 штриховой
кривой. Интенсивности вторичных максимумов быстро
убывают. Численно значения относительных интенсивностей главного
и последующих максимумов можно записать как 1 : 0,045 :
: 0,016:....
22*
339
Из полученных выражений для амплитуды (5,2.1) и
интенсивности (5,2,2) видно, что положение максимумов и
минимумов зависит от длины волны. Поэтому четкая дифракционная
картина будет наблюдаться лишь в монохроматическом свете.
В белом свете мы имеем наложение картин, полученных для
различных длин волн. Очевидно, что вторичные максимумы для
больших длин волн отстоят дальше от центрального, чем
коротковолновые.
Оценим допустимую немонохроматичность источника, при
которой можно наблюдать дифракционную картину. Пусть
источник представляет собой две спектральные линии A,i и А,2^
причем А,1 > А,2. Положение минимумов в картине для A,i
определяется соотношением b sin (p = mA,i, Положение максимумов
в картине для А,2 приближенно можно определить из
соотношения 6 sin ф = (2т-f-1) А,2/2,
Будем считать, что допустима немонохроматичность, при
которой минимум порядка т для A,i совпадает с максимумом со-
ответствуюш,его порядка для А,2, После несложных
математических преобразований получим AA,/A,cp = 2/(4m-f-l). Если считать
ненаблюдаемой картину, когда накладывается первый минимум
для А,1 на первый максимум для А«, то имеем АА,/''^ср = 2/5, Для
наблюдения в дифракционной картине нескольких побочных
максимумов требования к монохроматичности следует
ужесточить. Так, например, при т=10 АА,/А,ср = 2/41, Расстояние
минимумов от центра картины возрастает с уменьшением ширины
ш,ели; если Ь = 'К, то ф = 90°, т. е, минимум сдвинут на
бесконечно удаленный край экрана, С уменьшением ширины ш,ели осве-
ш,енность стремится стать равномерной по всему экрану.
При расширении ш,ели центральный максимум становится
все более резким, а при b ^ % получаем в центре
изображение источника.
Для получения выражения распределения интенсивности
в случае, когда размеры b и / соизмеримы, нужно учесть
дифракцию и от размера /.
Распределение интенсивности в дифракционной картине от
прямоугольного отверстия определится формулой
. п f Ьл . \ , , / /я . \
sin''1-г—sin фИ sin''1-7—sin фг)
-J- sin ф11 I—— sin ф2
где ф1 и ф2— углы дифракции.
Дифракционная картина шире в том направлении, для
которого сторона прямоугольника меньше.
До сих пор предполагалось, что в фокусе коллиматорной
линзы L\ (рис. 5.2.1, а) находится точечный источник. Если
в качестве источника взять светящуюся линию, параллельную
щели /, то изображение каждой ее точки в фокальной плоско-
340
сти объектива L2 вытянется в линию, перпендикулярную щели^
распределение интенсивности в которой дается соотношением
(5.2.2). Распределение интенсивности вдоль всех этих линий
будет одинаковым, поэтому образуется система дифракционных
полос, параллельных щели /.
В том случае, когда в фокальной плоскости коллиматора
источник имеет конечный размер в направлении, перпендику-
лярном светящейся полоске (щель шириной 2а), распределение
интенсивности в фокальной плоскости объектива 2,2 можно
рассматривать как наложение независимых дифракционных
картин, создаваемых взаимно некогерентными световыми пучками
от отдельных элементов протяженного источника. Характер
дифракционной картины в свете от протяженного источника
можно определить с учетом степени пространственной
когерентности излучения. В соответствии с теоремой Ван Циттерта—
Цернике размер области поперечной пространственной
когерентности зависит от угловых размеров центрального
максимума фиктивной дифракционной картины, которая
рассчитывается путем интегрирования по площади источника, В данном
случае эта картина описывается формулой (5.2.1) при замене:
величины b на 2а, т. е.
. /2ая . \
sm I—г— sin ф
^^ = ^^-\а^. (5,2.3>
г— sin ф
Из приведенного соотношения следует, что угловой размер'
максимума фиктивной дифракционной картины ф = А,/2а.
Критический размер ширины щели 2ан можно найти приравняв ф
углу, под которым видна щель b из фокуса объектива Li, так
как (p = b/fi. Таким образом, получаем 2an = ^fi/b. Критический-
размер щели 2ан в теории спектральных систем называют
нормальной шириной щели.
Физический смысл соображений, положенных в основу
проведенного вывода, состоит в следующем. Как следует из
выражения (5.2.3), амплитуда А^ в пределах центрального
максимума остается положительной, т. е. фаза всех колебаний в его-
пределах одна и та же. За пределами центрального
максимума амплитуда меняет знак, а соответственно и фаза изменяется
на я. Таким образом, если в пределы углового размера (p = b/fi
попадают первые побочные экстремумы, то фаза в пределах;
размера щели b не остается постоянной, что и приводит к
существенным искажениям дифракционной картины от щели
шириной Ь. Отметим еще, что величина 2ан равна линейному
размеру центрального дифракционного максимума от щели Ь.
Фиктивная дифракционная картина, использованная нам1г
для расчета, может реально наблюдаться на объективе Li
341:
ав схеме, представленной на рис. 5.2.1,6 если входную щель 2а
юсветить параллельным пучком. Таким образом, величина
нормальной ширины щели может быть определена эксперименталь-
:но путем наблюдения этой дифракционной картины.
Дифракционная картина от входной щели 2а может быть
использована для измерения ее ширины. С этой целью ее
освещают двумя параллельными пучками, направленными под уг-
.лами ±ф к оптической оси (см. рис. 5.2.1,6). При этом на
■объективе Li образуются две дифракционные картины /ф и /ф'.
JB одной из них положение минимумов определяется из соотно-
Рис. 5,2.3. Пояснение к расчету дифракционной
картины от двух щелей
тиения 2а (sin ф — sinij3)=miA,, а в другой — из соотношения
:2a(sin 9-f-sinij3) =т2А,. Эти картины симметричны относительно
оптической оси. Между центральными максимумами
дифракционных картин располагается т минимумов, количество
которых зависит от ширины щели 2а. Если минимум с номером т'
одной дифракционной картины, соответствующий, например,
углу ф', совпадает с центральным максимумом другой картины
.для угла фо, то имеет место равенство 4а sin ф' = т'А,. В этом
случае между главными максимумами располагается т мини-
мумов, т. е. т =т+\. 1аким образом, имеем 2а=-^-——г-^—.
2 sin ф
Наименьшая ширина щели, которую можно измерить,
соответствует т=\, т. е. 2amin=—р^—^ . Если относительное отвер-
2 sin ф
стие объектива Li невелико, то можно принять 2sinф = 6/fl и
2amin = 2A,fi/6. Следовательно, минимальная ширина щели в два
раза больше нормальной. При этом центральные максимумы
в дифракционных картинах должны располагаться на краях
апертуры Ь.
Две щели. Если в экране прорезаны две одинаковые,
параллельные друг другу щели (рис. 5.2.3), то они дадут две
одинаковые, накладывающиеся друг на друга дифракционные
картины. При некогерентном освещении максимумы будут
усиливать друг друга, так как их положение определяется лишь
направлением дифрагированного света и распределение
интенсивности не будет отличаться от случая одной щели.
342
Если освещение когерентное, то полученная картина
усложняется вследствие взаимной интерференции волн, идущих от
первой и второй щелей. Минимумы будут располагаться на
прежних местах, так как в тех направлениях, куда свет не
посылает ни одна из щелей, света и не будет. Кроме того,
возникнут добавочные минимумы, которые определяются условием
минимума интерференции для колебаний, идущих от
соответствующих точек обеих щелей. И так каждая из щелей даст в
направлении ф колебание с амплитудой А' =^osin«/«, где и =
=——sin ф. Эти колебания когерентны и, следовательно, будут
л
интерферировать. Найдем результаты их интерференции в
направлении ф, считая, что щели создают колебания с
одинаковой амплитудой л;-. ^ = л;Ч < -f 2К^К^ cos б, где б = ^ А.
а А^с?51пф (рис. 5.2.3);
Л|^2Лф (1-f C.0S6), так как 1-f cos б ^ 2 cos^ у, то А^^
^ 4Др cos у; зная, что Лф^Д , окончательно запишем
выражение для квадрата амплитуды в дифракционной картине-
Фраунгофера, возникшей при освещении двух одинаковых
щелей когерентным светом А^ ^= 4Ло ^2 cos^ -^, или принимая;
/ф л; Лф, имеем
sin"' —:— Sin ф
^^ — ^^^ fjlb . \2
— ЗШф
!(^1^5Шф). (5.2.4))
с й /гпил "^з1Пф т лт Sin2 Ы
Если обозначить в (5.2.4) -—-—— = v, то /ф = 4/о— X
л w^
Xcos^u. Сомножитель sin^u/u^ описывает явление дифракции;
на одной щели, сомножитель cos^ v характеризуют двухлучевую-
интерференцию, создаваемую лучами от каждой щели в
результате интерференционного взаимодействия.
Условие возникновения минимумов, задаваемых вторым
яй sin ф 2т+\ , . 2т.+ 1 „
множителем, ——= л или asшф= л, прк
л 2 2
т = 0, 1, 2 А в направлениях, определенных из условия
dsinф = mA., при т = 0, 1, 2, ... возникнут главные максимумы,.
так как в этих направлениях действие одной щели усиливается
действием другой щели.
343;
Таким образом, можно записать условия максимумов и
минимумов в освещенности на экране при наблюдении
дифракции на двух щелях:
главные максимумы dsintp^Q, %, 2%, ...
минимумы одной щели bsinqt^'k, 2%, ЗХ, ...
X 3 5
минимумы ОТ двух щелей dsintp^Y' '2^' Y'^'
Из рассмотрения этих условий видно, что между двумя
первыми минимумами от одной щели располагаются макси-
,мумы и минимумы, полученные от двух щелей. Расстояние меж-
Ua,omH.ed.
Рис. 5.2.4. Распределение интенсив-
-яости в дифракционной картине Фра-
"унгофера, полученной от двух щелей
при когерентном освещении
Рис. 5.2.5. Пояснение к расчету
разности фаз при дифракции на
Л' щелях
ду минимумами от одной щели зависит от ширины щели Ь.
-Если расстояние между щелями значительно больше их
ширины d^b, то между минимумами, определенными из условия
Ьзшф^ тХ, может располагаться значительное количество
минимумов и максимумов.
На рис. 5.2.4 приведено распределение интенсивности при
.дифракции на двух щелях при d = 2b.
Угловая ширина основной дифракционной картины состав-
.ляет 2
т. е. определяется шириной главного максимума, по-
-лученного при дифракции на одной щели. Дополнительные ми-
X 2, X
нимумы располагаются в направлениях 8Шф =
46
4 Ь'
и т. д.
Ъ_'Х_
Следовательно, в пределах центрального максимума появ-
.ляются еще по два симметричных минимума, поэтому
дифракционные максимумы при переходе от одной щели к двум
становятся более узкими. В области центрального максимума
сосредоточена основная часть светового потока, как и в случае
.дифракции на одной щели.
.■344
Дифракция на многих щелях. Для получения формулы,
описывающей распределение интенсивности света при дифракции
на многих щелях одинаковой ширины, отстоящих друг от
друга на равных расстояниях и освещенных когерентным светом,
следует учесть интерференцию колебаний, полученных после
дифракции световой волны на системе этих щелей.
Пусть амплитуда падающей световой волны А; тогда если
число щелей в непрозрачном экране N, то за экраном
образуется N когерентных волн с амплитудами Ao = AjN. Фаза
каждой последующей из N волн,
отличается от предыдущей на
постоянную величину б^-j-A^
2я
с?81пф, зависящую от
Рис. 5.2.6. Пояснение к расчету
амплитуды результирующего
колебания при дифракции на Л' щелях
угла дифракции (рис. 5.2.5).
Определим амплитуду
результирующего колебания для
произвольного направления
распространения дифрагированных волн
графически (рис. 5.2.6).
Воспользуемся геометрическим
способом сложения. При
построении получим часть
правильного многоугольника с N сторонами. Вершины многоугольника
лежат на окружности с центром в точке Q. Тогда угол OQB
равен б, так как радиус QB образует с Лг такой же угол, как
Q0 с .4i. Следовательно, радиус г должен удовлетворять
равенству ^i=2rsin6/2, откуда получаем r=^i/2 sin (6/2).
Большой угол OQM равен Nb, следовательно, Лг = 2г sin (Л/^б/2).
Подставляя вместо г полученные выше значения, имеем
. Nb
sm —^
^R, ф "■^ ■^1ф
где Лцр:
. б
sm-
sm ср
nb
sm ф
С учетом подстановки в формулу для Лл, ф последнего
выражения получаем
' пЬ . \ . I Мл d
X
Ац^ Ф — Ao
sm Ф
sm Ф
nb
sm Ф
я d
(5.2.5)
X -- -r "■■■ у ^ "- ф)
Переходя от Лд, ф к /л, ф, запишем формулу (5.2.5) для
результирующей интенсивности световых волн в фокальной плос-
345
кости объектива, установленного за экраном с N щелями,
в виде
' лЬ . \ . „ / Л^я d
sm ф sin^ —-—sin
^- = '^-^Ж^~^-—77Ш -■ (5.2.6)
in ф|
sin ф sin^ sm ф
Обозначим в (5.2.6) 8Шф = ы, -8Шф = и, тогда
А, А,
J J sin^ и sin^ Mv ,r n 7\
в (5.2.6) /о ^ интенсивность колебания, определяемого
одной щелью; N — число щелей; ф — угол дифракции.
Сомножитель sin^ и/и'^ описывает явление дифракции на
одной щели, а сомножитель sin^ Nv/sin^ v — интерференцию ^V
дифрагированных лучей.
Исследуем полученную формулу (5.27). Определим
положение максимумов и минимумов, их величину.
Исследование сомножителя sin^ и/и^ проведено при
описании дифракции на одной щели, а sitfA/^u/sin^ и — в гл. 3 при
описании многолучевой интерференции. Здесь приведем лишь
результаты этих исследований для того, чтобы представить
картину дифракции на N щелях в целом.
Экстремальные значения sin^ и/и^ принимает при следующих
условиях:
1) главный максимум со значением sin^^ и/и^ = 1 получается
при ы=0, т. е. в направлении, для которого 81пф = 0;
2) вторичные максимумы с интенсивностью sin^ и/и^ ^
^ ^-^, ^ ■ 2т +1 К
^ 0,047/о наблюдаются по направлениям зшфл; —,
где т = ±1, 2, 3, . . .;
3) положение минимумов, для которых sin^ и/и^ = 0, зада-
PL
ется условием sin ф ^ m -j-, где m ^ ± 1, 2, 3,
Экстремальные значения второго сомножителя sin^ A/^u/sin^ и
образуются в случаях:
,, sin^ Nv
1) главные максимумы, для которых г^ = N^, по-
sin^ V
лучаем в направлениях
51Пф = т-^, где т = 0, ±(1,2,3, ...); (5.2.8)
2) вторичные максимумы, заключенные между соседними
главными максимумами, имеют величину sin^ A/^o/sin^ о ^^
^ 0,043Л^; они наблюдаются в направлениях получаемых из
условия:
з1пф?»-^^|^—■-J, где т = 1, 2, 3, ..., (iV — 2);
346
3) положение минимумов sin^ ^Vu/sin^ и=0 получим в слу-
1), (N+1), ...
чае sin ф =—■-—, где т=±1, 2, 3 (Л^
N'Z
IV=3
N=4
N=b
Рис. 5.2.7. Графики распределения:
интенсивности в интерференционной;
картине, получаемой при сложениа
N когерентных колебаний с равныма
амплитудами при N = 2, 3, 4, 5
..., {2N—1), {2N-\-l), ...; иными словами, для всех
значений т, за исключением случая
когда m/N = 1, 2,
Следовательно, при
интерференции N пучков, имеющих
одинаковую амплитуду,
возникает ряд главных максимумов
равной интенсивности. Между
соседними главными
максимумами образуется {N — 2)
вторичных максимума и (Л^—1)
минимумов. На рис. 5.2.7
приведены распределения
интенсивности при интерференции,
получаемой при N ^ 2, 3, 4, 5.
При больших значениях N
распределение интенсивности
показано на рис. 5.2.8.
При увеличении N главные максимумы становятся все
более узкими, а интенсивность вторичных максимумов
уменьшается. Исследование сомножителя, описывающего результат
интерференции N лучей, поясняет причины сужения максимумов
при переходе от двух, к трем и более щелям. Из векторной
диаграммы,
приведенной на рис. 5.2.6,
следует, что для перехода
от максимума к
минимуму необходимо
изменение фазы последнего
колебания по
сравнению с первым на
величину 2я. При числе
складывающихся
колебаний Л^ изменение в
фазе для каждого
должно иметь величину
2n/N, а разность хода
—K/N. Следовательно, положение максимума все больше
приближается к положению соседнего минимума при увеличении числа
щелей. Угловое расстояние между ними можно определить
из изложенного выше условия d{dsin(p) =K/N, и d^p^K/NdX
Хсозф—угловая ширина интерференционного максимума.
Явление дифракции на многих щелях лежит в основе
действия дифракционных решеток. Дифракционные решетки — это
Рис. 5.2.8. Распределение интенсивности в
дифракционной картине, получаемой в фо^-
кальной плоскости линзы, установленной
за системой из Л' щелей, освещаемых
параллельным пучком света
347
оптические устройства, обеспечивающие периодическую
модуляцию падающей световой волны по амплитуде или по фазе
или по амплитуде и фазе одновременно. В соответствии с
данным определением различают соответственно амплитудные
дифракционные решетки и фазовые дифракционные решетки.
Амплитудная решетка представляет собой систему
прозрачных щелей одинакового размера Ь, разделенных между
собой непрозрачными участками а. Распределение интенсивности
за такой системой щелей — дифракционной решеткой — описы-
sin^ и
вается ранее полученным уравнением (5.2.7) / = /о ^ X
X
sin^ Nv
Главный максимум интенсивности располагается в
направлении 81пф = 0 (рис. 5.2.8).
Фазовая дифракционная решетка — непрозрачная решетка,
представляющая собой систему канавок определенного
профиля, имеющих зеркальное покрытие. При отражении света от
идеальной отражательной решетки возникает периодическое
изменение фазы, вызванные тем, что, например, плоская волна
Wi (рис. 5.2.9) достигает отражающей поверхности не
одновременно по всему фронту и, следовательно, в отраженной волне
имеется периодическое изменение фазы, повторяющееся при
переходе от одного отражающего уступ-а к следующему.
Выясним чем определяется распределение интенсивности
в волне, отраженной от такой периодической структуры. Для
этого рассмотрим ход лучей, отражающихся от поверхности
отдельного зеркального элемента (рис. 5.2.10). На рисунке
показаны N — нормаль к поверхности решетки, N' — нормаль к
поверхности отдельного штриха решетки, 6 — угол падения
света на отдельный элемент решетки, iSp — угол падения
на поверхность решетки, р — угол отражения от отдельного
элемента решетки, ф — угол
дифракции, а — угол профиля
элемента решетки. Углы,
отсчитываемые по часовой стрелке от нормали,
Рис. 5.2.9. Пояснение возникновения
фазовой модуляции в волне,
отраженной от фазовой дифракционной
решетки
Рис. 5.2.10. К выводу
формулы, определяющей угол
блеска фазовой
отражательной дифракционной решетки
.348
считаем положительными, против часовой стрелки —
отрицательными. В соответствии с законами зеркального отражения
6 = —гР, а по условиям построения лучей т]? — а=—ф + а, откуда
2а='ф-|-ф, или а= ('ф-|-ф)/2. Главный максимум интенсивности
излучения, дифрагированного на одном отдельном элементе,
располагается в направлении р — направлении зеркального
отражения от отдельного элемента решетки. При заданном угле
падения т]?, изменяя угол профиля а, можем изменять направле-
Рис. 5.2.11. Пояснение перераспределения интенсивности
в фазовой отражательной дифракционной решетке
ние, в котором наблюдается максимум интенсивности от
отдельного элемента решетки. Если в направлении ф расположен один
из главных максимумов, определяемых интерференцией N
дифрагированных лучей (например, второй на рис. 5.2.11), то
в этом направлении сосредоточен максимум интенсивности
излучения, отраженного всей решеткой. В связи с этим угол а
называют углом блеска решетки. Условие образования
главных интерференционных максимумов с учетом угла падения г]?
по (5.2.8) будет тК=d{sin Ц) +simp). Его можно переписать
в виде
тА, = сг[з1Пф-Ь sin(2a —ф)]. (5.2.9)
Таким образом, профиль отдельного периодического
элемента фазовой дифракционной решетки (угол а) определяет
распределение интенсивности в излучении, дифрагированном всей
решеткой.
Наряду с плоскими дифракционными решетками
изготовляются и вогнутые дифракционные решетки, объединяющие
в себе два оптических элемента—сферическое зеркало и
решетку, нарезанную на вогнутой поверхности. Такие решетки
обладают свойствами фокусировать дифрагированные лучи.
Постоянная d измеряется по хорде, так как штрихи решетки
образуются в результате пересечения вогнутой поверхности
с равноотстоящими и параллельными друг другу плоскостями.
Получим формулы, определяющие действие вогнутой
дифракционной решетки. На рис. 5.2.12 середина решетки
совпадает с началом системы координат О, а центр кривизны решет-
349
Рис. 5.2.12. Пояснение к выводу формул вогнутой
отражательной дифракционной решетки
ки С находится на оси х; р = ОС — радиус кривизны решетки.
Ось Z направлена вдоль длины штрихов; А — точечный
источник света, имеющий координаты а и Ь, расположен в плоскости
хОу; А' с координатами а', Ь' — изображение точки А.
Расстояние ЛО=г, А'0 = г'. Из рисунка следует, что:
г'' = а" + Ь
cos
sin
'■'■■}
ij) = «//■;■)
\p = b/r. )
(5.2.10)
(5.2.11)
Точки Pi и Pz принадлежат соседним элементам решетки,
поэтому, если координаты Pi — xi, r/i, zi, то координаты Р2 —
xz, г/2, zz, причем y2=yi + d, где d—постоянная решетки.
Уравнение сферической поверхности решетки имеет вид
' + У^ + г^^2рх.
(5.2.12)
Действие решетки (5.2.12) определяется разностью хода,
создаваемой от соседних элементов решетки Pi и Рг в
какой-либо точке изображения щели. Сначала рассмотрим центральную
точку входной щели А (плоскость хОу) и ее изображение в этой
плоскости. Если составить оптическую длину пути от точек Л
к Pi и от Pi к А'^ и ограничиться величинами первого порядка
малости {у и г), то разность хода для двух соседних точек
350
решетки Pi и Рг, отстоящих на постоянную d, будет иметь
вид
^ = d[^ + ^), (5.2.13)
где значения Ь, Ь', гиг' видны из рисунка.
Главные максимумы получатся при А = тА., где ап^
порядок спектра.
Введем углы падения '\^ = Ь/г и дифракции ц> = Ь'1г'. Тогда
из формулы (5.2.13) получим условие максимумов,
аналогичное условию для плоской решетки, в виде:
d (siniJ)-(-51пф) ^тЛ. (5.2.14)
Однако условие (5.2.14) не учитывает члены второго и
четвертого порядков малости, входящие в общее выражение для
разности хода {х и z — величины второго порядка, а х^ —
четвертого). Присутствие этих членов внесет искажения в условие
главного максимума.
Для рассмотрения сущности работы решетки можно
написать разность хода в общем виде, имея в виду нулевой луч
АО + ОА', идущий из центра щели в центр решетки, и другой
произвольный луч ВР+РВ' (рис. 5.2.12). Функция оптического
пути, или характеристическая функция, V{y, z) будет иметь
вид
V {у, z) = {ВР + РВ') — {АО + О А') — тКк, (5.2.15)
где k(y, z) —число штрихов решетки между точками О и Р
вдоль оси Оу.
Это выражение показывает, что изображение точки S в
некоторой произвольной точке В' безаберрационно, если V{y,z)^ 0.
Это будет иметь место в том случае, если разность хода луча,
идущего из точки В в произвольную точку Р{у, z), и нулевого
луча (из точки А в точку О) будет равна целому числу длин
волн.
Запишем характеристическую функцию (5.2.15) с учетом
•формул (5.2.13) и (5.2.14) (даны первые члены разложения)
V {у, г) = — m%k {у, z) + y (sin ij) -f sin ф) -f
г/^ / cos^ il) cos Ф cos ф + cos ф \ _.
Значения гиг' ясны из рис. 5.2.12. В формуле (5.2.16)
для любых значений z k=y/d. При выполнении условия
главных максимумов (5.2.14) сумма первых двух слагаемых
должна быть равна нулю.
Для получения безаберрационного изображения необходимо
^было бы потребовать, чтобы и два других слагаемых в отдель-
351
COS^ lb , COS^ Ф COS lb + COS Ф ,r n 1 TV
—~^ + —-Л= ^ ~. (5.2.17)
НОСТИ были бы равны нулю. Если на время считать, что z-^Q,
то надо приравнять к нулю только член с у^-. Одновременно оба
слагаемых в нуль не обращаются. Это свидетельствует о
наличии астигматизма изображения вогнутой решетки.
Приравняем нулю множитель третьего слагаемого при г/^.
В этом случае
s^ (
г ' г' р
Обозначим r/p^q и r'/p^q'. Тогда условие (5.2.17)
перепишется в виде
--{ ;-!-^C0Slj5-1-СОЗф. (5.2.18)
Выражение (5.2.18) накладывает ограничения на
расположение точек А и А' в плоскости хОу. Условие (5.2.18) будет
выполнено, если q~cos^ и q' ^costp, т. е.:
р cos lb ^ л; ")
[ (5.2.19)
рСОЗф^г'. J
Это означает, что точки Л и А' при этом будут лежать на
окружности, диаметр которой равен радиусу кривизны
решетки (круг Роуланда) (рис. 5.2.12). Если щель спектрального
прибора расположить в произвольной точке А на круге,
диаметр которого равен радиусу кривизны р решетки, то в
меридиональной плоскости такая решетка будет фокусировать
спектр на том же круге. В точке О должен быть расположен
центр решетки. По такой схеме построены установки Пашена—
Рунге и Роуланда.
Наличие слагаемого с г^ в формуле (5.2.16) определяет
астигматизм вогнутой решетки, который в общем случае велик.
Даже узкие пучки лучей вдоль нулевого луча сходятся в
разных точках для меридиональной и сагиттальной плоскостей,
а центральная точка щели в точке А' (рис. 5.2.12)
вытягивается в линию, высота которой определяется следующим
выражением:
S = /(sin>4-sln4^) = P^ (5.2.20)
где / — длина штрихов решетки; р — множитель, объединяющий,
все тригонометрические члены.
В заключение рассмотрим решетки с круговой симметрией
на примере дифракционной решетки, у которой коэффициент
пропускания Т является функцией расстояния р от центра до
произвольного участка решетки.
Примем, что коэффициент пропускания периодически
изменяется с изменением квадрата расстояния так, как в случае
I + а cos 6р^
Т^
1+а
352
где 0<fl:^l; b^-^ 8Шф1, причем ф1 — угол дифракции;
Выражение для коэффициента пропускания Т представим
в виде суммы трех слагаемых
Т = у^ (l + I fle'^P' + \ ае-'"-»^
Если на решетку с таким коэффициентом пропускания
падает плоская волна, то после решетки получим сложную волну»
описываемую выражением
^ [Яо + -^ аЕ.ё" (*'+»') + у а-Бое-'* (^'+у'Л. (5.2.21)
Первый член этого выражения соответствует плоской волне,
распространяющейся в направлении волны, падающей на
решетку; второй — расходящейся сферической волне, а третий —
сходящейся сферической волне. Обе сферические волны имеют
одинаковый радиус волнового фронта
^ ~ — 2Ь ~ ^ 2Ь-к ~ — ЬХ-
Круговая решетка с таким изменением коэффициента
пропускания называется зонной решеткой Френеля. Из выражения
(5.2.21) следует, что она обладает свойствами выпуклой и
вогнутой линз — преобразовывает плоскую волну в расходящуюся
и сходящуюся сферические волны.
Применение дифракционных решеток и их характеристики
как оптических устройств, применяемых для монохроматизации
излучения, будут рассмотрены в гл. 7.
На рис. 5.2.13 представлен общий вид зонной пластинки,
график и схема, поясняющие ее действие. Сходящаяся
сферическая волна имеет центр в точке S', а расходящаяся — в
точке S". Положительная и отрицательная линзы,
соответствующие зонной пластинке, имеют фокусное расстояние f=±b, где
b постоянная зонной пластинки. Если зонную пластинку
освещать не плоской, а сферической волной £0 ехр (inx^/Xp),
точечный источник которой находится на расстоянии р от нее, то
после пластинки будут распространяться три волны:
Ео {Ао — уА) ехр {inx~/Xp);
Е,уА,Аехр [шД (1/f + 1/р) х'];
ЕоуАоАехр[- in/l (1/f - l/p) хЦ,
где Ао—амплитуда прямо прошедшей волны; А — амплитуда
сферических волн; у — коэффициент пропорциональности,
зависящий от метода регистрации.
23 Зак. № 167 35а
Расстояние q от зонной пластинки до действительного
изображения в точке S' определяется из условия 1//—l/p = l/q.
По аналогичной формуле можно определить расстояние до
мнимого изображения в точке S". Следовательно, можно
утверждать, что величины р, q и f связаны между собой так
называемой формулой линзы.
Теория дифракции на зонной пластинке играет
существенную роль в голографии.
О
wvxm
Рис.-5.2.13. Зонная пластинка: а — общий вид зонной
пластинки; б—график амплитудной прозрачности синусоидальной
зонной пластинки; в — дифракционные порядки при
дифракции на пластинке
Круглое отверстие. Значение распределения энергии в
дифракционной картине за круглым отверстием особенно важно
в связи с тем, что и диафрагмы, и оправы линз в оптических
приборах обычно круглые. Дифракционная картина
представляет собой светлый диск в центре, окруженный максимумами
и минимумами интенсивности в виде концентрических колец.
Характер распределения интенсивности описывается функцией
Таблица 10
Параметры дифракционной картины
1
X
0
1,220л
1,635зг
2,233зг
2,679л
3,238л
Р
0
0,610Х/а
0,817Х/а
1,116?./а
1,339?./а
1,619Х/а
/, отн. ед.
1
0
0,0175
0
0,0042
0
354
Бесселя: / = /с
2/, (х)
где х^2пар/Х; а — радиус отверстия,
на котором рассматривается дифракция; р — радиус, задающий
положение произвольной точки в дифракционной картине.
В табл. 10 приведены результаты расчетов относительных ин-
тенсивностей и радиусы колец, соответствующих нескольким
первым максимумам и минимумам.
Из таблицы следует, что (так же, как и в предыдущих
случаях) эффективные размеры дифракционной картины обратно
пропорциональны линейным размерам отверстия, а в пределах
центрального максимума заключено приблизительно 84 % всей
энергии.
smp.
Рис. 5.3.1. Пояснение критерия Рэлея
§ 5.3. Разрешающая способность оптических приборов
В любом оптическом приборе вследствие ограничения
световых пучков, как было сказано выше, имеет место дифракция.
В результате этого явления
каждая точка объекта
изображается в виде
дифракционного кружка. Это
обстоятельство ограничивает
число деталей, которые
могут быть разрешены в
изображении, и дает предел
для имеющего практический
смысл увеличения.
Условие возможности
раздельного наблюдения
изображения двух точек сформулировать однозначно нельзя. Один из
критериев, предложенных Рэлеем, заключается в том, что
изображения двух одинаковых точечных источников света
считаются разрешенными, если центральный максимум
дифракционного изображения от одного источника совпадает с первым
минимумом дифракционного изображения другого источника
(рис. 5.3.1).
Изображения, расположенные на меньшем расстоянии друг
от друга, считаются не разрешенными. При указанном
расположении изображений двух точек минимум составляет 80 %
максимального значения освещенности. В другом случае
изображения считаются разрешенными, если минимальное
значение освещенности между ними составляет, например, 50 % от
максимума.
Существуют также и другие критерии разрешающей
способности. Все они в значительной степени являются условными
и имеют в своей основе качественные и достаточно легко
обнаруживаемые признаки отличия двух одинаковых объектов
точечной или линейной структуры. Применить тот или иной кри-
23*
355
терий разрешения к объектам другой структуры бывает
затруднительно. Разумеется, это не свидетельствует о принципиальной
невозможности определить наличие двух объектов на входе
оптического прибора, если они считаются неразрешимыми по
какому-либо критерию.
При определении разрешающей способности спектральных
приборов ее величина является отношением длины волны К,
определяемой как среднее значение длин волн A,i и Xz,
находящихся на пределе разрешения (в соответствии с критерием Рэ-
лея), к величине 6А, = А,2 — A,i, т. е. /?=—i^r. Тем не менее ис-
ол
пользование критериев разрешения целесообразно, так как они
позволяют легко определить качественные отличия оптических
приборов.
Получим математическую формулировку критерия Рэлея.
Решим поставленную задачу на примере какого-либо
спектрального прибора, имеющего призменную диспергирующую
систему. Выражение для разрешающей способности призменного
спектрального прибора считаем известным
R = b^, (5.3.1)
где b — ширина основания призмы; dn/dX — дисперсия вещества
призмы.
Рассчитаем, как изменится оптическая разность хода,
выраженная в длинах волн, для излучения с длиной волны Х+6Х,
идущего по направлению распространения излучения с длиной
волны К. Будем считать, что длины волн А, и Х+8Х разрешены.
Разрешающую способность принято характеризовать
отношением
R = ^. (5.3.2)
Рассмотрим два внешних световых луча, которые идут от
щели спектрографа с одной стороны через вершину призмы,
с другой — вдоль ее основания (рис. 5.3.2).
Вычислим длины оптических путей от волновой поверхности
11' до волновой поверхности 22'. Обозначим оптический путь
луча от точки /' до точки 2' Hi, а оптический путь от точки /
до точки 2 — Яг. Разность оптических путей Яг — Hi = H,
причем Hi = l, H2 = nb.
Для излучения с длиной волны X оптическая разность хода
этих лучей, выраженная в длинах волн, равна нулю, т. е.
Я = п^-4==0. (5.3.3)
Оптическая разность хода равна нулю и для излучения
с длиной волны К+бХ, имеющего волновую поверхность,
наклоненную относительно поверхности 22' на некоторый угол.
356
Если же будет рассматриваться разность хода при измененной
длине волны не вдоль измененного, а по первоначальному на-
лравлению излучения, то получим следующий результат:
bH__dri_ b_
так как по (5.3.3) п— --=Я = 0,
л л
то
,8Н^Ь
dn 81
dl
+ {п^-^
1\ dX
X X) X
8JI__dn_ b_
8Х dX X
или
Рис. 5.3.2. Пояснение к получению
математической формулировки
критерия Рэлея
Рис. 5.3.3. Пояснение к
расчету разрешающей
способности дифракционной
решетки
Величина 8Х является по условию предельно разрешимой
м, согласно (5.3.1) и (5.3.2), 6Я = /?-—■ = !. Тогда математиче-
R
екая формулировка критерия Рэлея будет
6Я=1. (5.3.4)
Из (5.3.4) следует, что изменение оптической разности хода
(выраженной в длинах волн) для излучения с длиной волны X,
равное нулю, должно составлять для излучения с длиной
волны 'к+8Х одну длину волны, чтобы эти длины волн X и A,-f бл
были разрешены. Иными словами, направление, по которому
для излучения с длиной волны К имеет место максимум
дифракционной картины, излучение с длиной волны X-f6A, имеет
дифракционный минимум.
Пользуясь приведенными выше рассуждениями, получим
выражения для разрешающей способности некоторых
оптических приборов.
Дифракционная решетка. Пусть линия 1'2 представляет
собой проекцию решетки (рис. 5.3.3); линия //' — фронт
падающей световой волны, фаза колебания вдоль //' постоянна;
линия 22' — фронт дифрагированной волны; г|з и ф — углы
падения и дифракции. Зная величины г|з и ф, а также размер
решетки, определяемый произведением величины постоянной
решетки на число штрихов, можно вычислить разность хода край-
357
■ ' ' г, Nd .
них лучей между фронтами равных фаз: ni=——sin г|з, Й2 =
л
Nd .
~ sin ф, откуда разность хода, выраженная в длинах волн^
%
Nd
Н~—7—(sin г|з — sinm). Возьмем дифференциал по А,:бЯ =
л
Nd
А/
Из (5.2.8) при 1J3 =7^ О имеем d{sin^ — sin ф) ^ mA,, где т —
порядок спектра.
Тогда по (5.3.4) ——— 6А,= 1 и, следовательно,
R = -^ = mN- (5.3.5)'
Разрешающая способность дифракционной решетки
определяется общим числом штрихов и порядком спектра. Величина
разрешающей способности может составлять сотни тысяч:
единиц.
Интерферометр Фабри—Перо. В интерферометре Фабри—
Перо оптическая разность хода между соседними лучами
составляет величину kX, где k — порядок интерференции, а межд^г
первым и лучом с номером N соответственно NkX, поэтому^
H=^=Nk.
X
Тогда
— =М —
Из (3.3.4) 2/ cos р ^ ЙА, ^ const; выразим dk через dX : dkX -f--
-f- kdX = 0, отсюда | dA | = kdl/K.
Используя критерий (5.3.4), получим:
Номер луча N — последнего луча, который учитывается при:
многолучевой интерференции — определяется числом
эффективных интерферирующих лучей Л^эфф; тогда окончательное
выражение для разрешающей способности интерферометра Фабри—
Перо имеет вид
R = N,ффk. (5.3.6)
Телескоп. Для определения разрешающей способности
телескопа рассчитаем пути от источников / и 2 до их изображений
в фокальной плоскости объектива телескопа. Воспользовавшись
358
обозначениями, приведенными на рис. 5.3.4, запишем разность
хода для лучей, идущих от источника /
СВ + ВР,—АР, = 0
и для лучей, идущих от источника 2:
ДВ + ВР^ — АР,=Н; ВР,-АР, = -СВ,
т. е. Н=ДВ — СВ, если AB = D — диаметр объектива
телескопа, то для разности хода, выраженной в длинах волн, будем
иметь
Я =
D ( sin а — sin ао)
К
Рассмотрим изменение Я в
зависимости от а, получим
бЯ ^ ^ б (sin а
sm а,,
1.
Разрешающая способность
зрительной трубы определяется
величиной, обратной
предельному углу между предметами,
которые можно еще наблюдать;
раздельно:
/? = - =
1
D
б (а —ао)
D
R =
,22 X
1,22Л '
(5.3.7)
Угол ф определяет
направление на первый дифракционный
Рис. 5,3.4. Пояснение к расчету
разрешающей способности
телескопа
Поэтому,
минимум, и в случае кругового отверстия ф=1,22—.
когда рассматриваем разрешающую способность приборов,
имеющих круглую диафрагму, критерий Релея правильнее
записать следующим образом;
6Я=1,22. (5.3.8)
Глаз. Разрешающую способность глаза можно рассчитать,
■если принять среднее значение диаметра зрачка глаза в
дневное время D = 2,5 мм, а длину волны излучения А, = 550 нм.
Тогда по (5.3.7)
D 2,5 . 10^ мкм
R
1,22Х
,22 . 0,55 мк^
37- 10^ .
Полученное значение разрешающей способности
соответствует углу 2,7 • 10~^ радиан, или 56"» Г.
Разрешающая способность микроскопа при некогерентном
освещении. Пусть самосветящийся предмет рассматривается
с помощью микроскопа. Так как изображение в фокальной
359
плоскости объектива создается некогерентными колебаниями^
испускаемыми каждой точкой предмета, то соответствующие-
освещенности просто суммируются.
Предмет находится на небольшом расстоянии от объектива,,
поэтому учет дифракции будет более сложным, чем в случае
телескопа. Для простоты рассуждений предположим, что
каждая точка предмета, являющаяся самостоятельным источником
света, дает в фокальной плоскости объектива дифракционный
кружок примерно такой же величины, как и при дифракции
параллельного пучка лучей. Тогда соседние точки объекта будут;
Рис. 5.3,5. Пояснение к расчету разрешающей
способности микроскопа при некогерентном освещении
разрешены, если расстояние между ними определится из
формулы
бг/':
1,22-^S',
(5.3.9>
где D — диаметр объектива микроскопа; S'—расстояние от
объектива до изображения (рис. 5.3.5).
Обозначим Ьу расстояние между точками объекта,
находящимися на пределе разрешения. Для объективов
микроскопов выполняется условие синусов, следовательно, имеем
п sin иЬу = п' sin и'Ьу',
где п и п' — показатели преломления соответствующих сред.
Из рассмотрения (рис. 5.3.5) имеем sin «'«D/25', тогда
для Ьу' запишем
2S
Ьу' ^ ~п~" ^'" "^^•
(5.3.10)
Приравняем формулы (5.3.9) и (5.3.10) и применив (5.3.7),.
определим величину б г/, которая по условию может быть
разрешена:
-jr-п sin иЬу^ 1,22-^ S';
бг/^0,61-4—.
(5.3.11),
360
Если принять, что и^п/2, а п= 1, то
6у = Х/2.
Разрешающая способность, как следует из формулы (5.3.11),
возрастает, если объект погружен в среду с п > 1
(иммерсионные системы).
Увеличение окуляра подбирается таким образом, чтобы
детали, разрешенные микроскопом, глаз видел под углом 1'.
Разрешающая способность микроскопа при когерентном
освещении. Прежде чем определить разрешающую способность, рас-
Рис. 5.3.6. Оптическая схема получения когерентного освещения в
микроскопе
«смотрим процесс образования изображения в микроскопе
в случае когерентного освещения объекта.
Теория образования изображения при когерентном освеще-
лии объекта была предложена Эрнстом Аббе. Схема когерент-
лого освещения приведена на рис. 5.3.6.
Свет от источника излучения 1 проектируется с помощью
лсонденсора 2 на точечную диафрагму 3. Конденсор 4
формирует параллельный пучок лучей, проходящий через объект 5 и
падающий на объектив микроскопа 6. На малом элементе
объекта А излучение дифрагирует и рассеивается в некотором
угле 0, зависящем от размера элемента. Прямые лучи,
прошедшие через объект, собираются объективом 6 в фокальной
плоскости F и создают когерентный фон в плоскости образования
изображения //'. Часть излучения, дифрагированного на
объекте в пределах апертуры объектива, собирается объективом
и проецируется в А'. Дифрагированное излучение и фон
когерентны и поэтому образование изображения в плоскости //'
следует рассматривать как результат интерференции этих
излучений. Чтобы нагляднее учесть интерференцию лучей от
отдельных точек, освещенных когерентным светом, рассмотрим
образование изображения амплитудной дифракционной
решетки— системы прозрачных щелей одинакового размера в
непрозрачном экране. На решетку АВ, имеющую постоянную d,
падает параллельный .пучок когерентных лучей (рис. 5.3.7).
Изображение решетки создается объективом микроскопа 6
т плоскости Л'В'. Это происходит следующим образом.
361
После дифракции световой волны на решетке АВ в
фокальной плоскости F объектива 6 (см. рис. 5.3.6) возникает
дифракционная картина, состоящая из ряда максимумов спектра
различных порядков So, Si, 52, ... и т. д. Поэтому каждый
дифракционный максимум в плоскости F можно рассматривать как
вторичный источник когерентных колебаний. Световые волны,
распространяющиеся от этих вторичных источников,
интерферируют между собой, образуя изображение предмета (решетки
АВ) в плоскости изображения объектива А В'. Чтобы полу-
Рис. 5,3.7. Пояснение к расчету разрешающей
способности при когерентном освещении в
микроскопе
чить точное изображение предмета, необходимо участие в
создании изображения спектров всех порядков. Это условие
невыполнимо, вследствие ограниченности размеров диаметра-
объектива. В реальных случаях достаточно иметь диаметр
объектива такой, чтобы были пропущены все порядки спектров
{So, Si, S2, .. . и т. д.), несущие достаточно большое количества
энергии.
Допустим вначале, что через объектив проходит лишь спектр'
нулевого порядка So, тогда в плоскости Л'5' он создаст
равномерную освещенность и изображения решетки не будет. Если,
кроме максимума нулевого порядка So проходит свет от
максимума 1-го порядка Si, то уже имеет место интерференция двух
когерентных колебании и в плоскости А'В' создается система
чередующихся максимумов и минимумов.
Покажем, что возникшая система интерференционных полос
есть изображение решетки.
Если / — расстояние между источниками когерентных
колебаний, а S' — расстояние от плоскости, в которой находятся
эти источники, до плоскости, в которой мы наблюдали
интерференционную картину, то расстояние между полосами Д/
определится соотношением
362
Из рассмотренного рисунка 5.3.7 можно записать:
з'тц)'^t/S' и тогда А/^Я/з1пф'.
С другой стороны, обозначая через Ау' расстояние между
•штрихами решетки в пространстве изображений, можем
записать
п d sin ф = п' Ау' sin-ф',
где Ау' =nd sin ф/я' sin ф';
условие образования интерференционных максимумов
.fid sin (р = т'к и, следовательно,
Ау' ^'k/s'mqi' ^А1,
т. е. мы получаем изображение решетки.
При увеличении числа порядков спектра, проходяш:их
через прибор, изображение становится все более и более подобно
предмету, т. е. решетке, так как контраст наблюдаемой
картины возрастает с увеличением числа интерферирующих лучей.
Из приведенных рассуждений понятно, что штрихи решетки
■разрешены в плоскости А'В', если открыты центральный
максимум и хотя бы максимум 1-го порядка.
Таким образом, условие разрешения при когерентном
освещении
sin U ^ sin ф ^ Я/л d,
т. е. микроскоп может разрешить штрихи решетки, если они на-
^содятся на расстоянии
d>-4 .
Разрешаюш:ая способность при когерентном освеш:ении
мало отличается от разрешающей способности при некогерентном
освещении.
В заключение отметим, что разрешающая способность
может быть увеличена и при уменьшении длины волны
излучения, в котором рассматривается объект. Это послужило
основанием для создания ультрафиолетового микроскопа.
Изменение дифракционной картины при аподизации. Из
теории дифракции следует, что примерно 20 % световой энергии
в дифракционном изображении приходится на вторичные
максимумы. Эта значительная часть энергии, распределенная вне
главного дифракционного максимума, снижает контраст опти-
-ческого изображения и, в ряде случаев, препятствует
разрешению объектов. Теория дифракции показывает, что большая
'часть энергии, содержащаяся в побочных максимумах,
определяется энергией элементарных волн на краях волновой
поверхности, дифрагирующей на входном зрачке оптической системы.
•Следовательно, для уменьшения интенсивности вторичных
дифракционных максимумов следует уменьшить интенсивность
363
световой волны именно на этих участках. Просто уничтожить,
эти колебания (в результате уменьшения размера входного'
зрачка) нельзя, так как это приведет лишь к расширению
дифракционной картины без изменения структуры. Требуется
создать уменьшение амплитуд колебаний на краях волновой
поверхности, но не уничтожить их полностью. Уменьшение
должно быть непрерывным, равным нулю в центре волновой
поверхности и возрастать к ее краям. Частичное подавление
вторичных максимумов в дифракционной картине с помощьЮ'
(выбранной определенным обра-^
зом) функции пропускания
зрачка оптической системы
называется аподизацией.
Проиллюстрируем аподиза-
цию двумя примерами. Для
щелевого отверстия первый
побочный максимум в соответствии^
с формулой (5.2.2) равен 0,045.,
Для круглого отверстия
интенсивность аналогичного
максимума равна 0,0175. Это
уменьшение связано с тем, что амплитуда
в зависимости от радиуса на
круглом отверстии уменьшается от центра к краю. В тоже
самое время наряду с уменьшением интенсивности увеличивается
ширина центрального максимума. Для щелевого отверстия
угловая его ширина Ц) = 'к/Ь, а для круглого отверстия диаметром.
О - sinp
Рис. 5.3.8. Графики распределения
интенсивности в дифракционной
картине при ее аподизации
D ширина равна ф= 1,22 ■
D'
Один из способов аподизации предполагает изменение
коэффициента пропускания по экспоненциальному закону Т =
= Гое~2А''', где То — коэффициент пропускания в центре зрачка^
оптической системы; А — постоянная; г — радиус зрачка.
Результаты аподизации при различных значениях
постоянной А приведены на рис. 5.3.8. При Л = 0 получаем обычную
дифракционную картину (кривая 1); при А = 1 центральный
максимум несколько расширяется, но интенсивность вторичных,
максимумов падает (кривая 2); при Л =4 вторичные
максимумы практически исчезли, однако нулевой максимум заметно
расширился (кривая 5).
Практически аподизацию можно осуществить, нанося на
поверхность объектива поглощающую пленку переменной
толщины.
Аподизация позволяет улучшить видимость малых, слабо
освещенных объектов, расположенных рядом с объектами,
освещенность которых во много раз большие. На рис. 5.3.9
показан вид дифракционных картин таких объектов без аподизации-
364
Изображение объекта меньшей интенсивности (кривая 2)
тонет в дифракционной картине более интенсивного источника
(картина 1). На рис. 5.3.10 показана та же картина, но с апо-
дизацией.
Аподизация облегчает обнаружение сателлитов
спектральных линий, разрешение двойных звезд с сильно различающейся
яркостью, микроскопические исследования малых деталей
объекта, расположенных рядом с более крупными и яркими
деталями.
JfflA
Рис. 5.3.9. Графики распределения
интенсивностей, полученные от
объектов с различной
освещенностью без аподизации
Рис. 5.3.10. Графики
распределения интенсивностей, полученные
от объектов с различной
освещенностью при аподизации
§ 5.4. Фильтрация спектра пространственных частот
в оптических системах
Для введения понятия пространственных частот рассмотрим
предварительно дифракцию параллельного пучка света на
амплитудной решетке, коэффициент пропускания которой
изменяется по закону Т(х) =ToCos^X (рис; 5.4.1). Такая решетка
называется синусоидальной. Как показывают теория и опыт, в
результате дифракции света в фокальной плоскости объектива^
расположенного за такой решеткой, возникают лишь три
дифракционных максимума — нулевой So и максимумы первого
порядка Si и S'^ (рис. 5.4.2).
Если же взять амплитудную дифракционную решетку с
постоянной d, у которой коэффициент пропускания
скачкообразно изменяется при переходе от непрозрачного участка к
прозрачному (рис. 5.4.3), то (как было показано выше) в
фокальной плоскости объектива, расположенного за решеткой,
возникнет система максимумов и минимумов освеш:енности
(рис. 5.4.4), число которых зависит от значения апертуры
объектива.
365
в соответствии с теорией Аббе изображение в плоскости 11
формируется в результате интерференции вторичных
источников света, образовавшихся в фокальной плоскости объектива.
Рис. 5.4.1. График коэффициента
пропускания амплитудной
синусоидальной решетки
Рис. 5.4.2. Распределение
интенсивности в фокальной плоскости
объектива, расположенного за
амплитудной синусоидальной решеткой
Поместим в фокальную плоскость экран с отверстием,
которое пропустит излучение только от So, Si, S',' тогда в плоскости
11 получим изображение синусоидальной решетки с
определенной постоянной di. Если пропустим излучение от So, S2, 5^,
то вновь получим изображение синусоидальной решетки, од-
Т(х)к
О ^d
Рис. 5.4.3. График коэффициента
пропускания амплитудной
дифракционной решетки со скачкообразным
изменением коэффициента пропускания
Рис. 5.4.4. Пояснение к образованию
системы вторичных когерентных
источников света в фокальной
плоскости объектива, расположенного за
амплитудной дифракционной
решеткой
нако ее период & будет меньше периода решетки, изображение
которой было в предыдущем случае. Если экран пропустит
излучение от So, Si, S'y то период решетки в изображении будет
еще меньше. Продолжая опыт, приходим к выводу, что
решетку-объект можно представить как суперпозицию бесконечного
366
числа синусоидальных решеток с различными постоянными d.
Величину, обратную постоянной решетки, называют
пространственной частотой. Если постоянная мала, то пространственная
частота велика и, наоборот, большему значению d соответствует
низкая (малая) пространственная частота. Для лучшего вос^
произведения предмета объектив должен пропустить излучение,
соответствующее как можно более высоким пространственным
частотам.
При замене амплитудной решетки каким-нибудь
непериодическим объектом дифрагированное излучение непрерывно
распределится в фокальной плоскости объектива. Крупным
деталям объекта соответствуют низкие частоты, так как излучение,,
дифрагированное на них, мало отклонится от прямолинейного
распространяющегося пучка. Малые детали объекта, которым
соответствуют высокие пространственные частоты, дадут
дифрагированные лучи, сильно отклоненные от направления
распространения параллельного пучка света.
С помощью экрана, имеющего отверстия различной формы
и размера, можно пропускать или задерживать излучение
соответствующее высоким или низким пространственным
частотам. Таким образом, экран, помещенный в фокальной
плоскости объектива, осуществляет фильтрацию пространственных
частот объекта.
Метод фильтрации пространственных частот, или
пространственная фильтрация, позволяет вести оптическую обработку
информации. На принципах пространственной фильтрации
основан метод фазового контраста наблюдения прозрачных
объектов, предложенный Ф. Цернике.
Рассмотрим метод фазового контраста. Существует большое
число объектов, которые отличаются от окружающей их среды
лишь показателем преломления. Прохождение света через них
ке сопровождается изменением интенсивности и поле
наблюдения кажется однородным.
Для возможности наблюдения их был разработан метод
фазового контраста, использующий различие показателей
преломления объекта и окружающей среды. Рассмотрим, в чем
состоит суть названного метода.
Допустим, что исследуемый прозрачный объект, имеющий
показатель преломления я, находится в среде с показателем
преломления п'. Если п> п', то свет, проходящий через
объект, несколько запаздывает по отношению к свету,
проходящему через окружающую среду. Колебание, прошедшее через
. 2я
среду с показателем я, запишем в виде у2^= asm——х; тогда
л
колебание, прошедшее через объект, имеет вид У\ ^'
= asin(——X—б ). Графически соотношение между этими
367
колебаниями представлено на рис. 5.4.5. Колебание 1,
прошедшее через объект, можно представить как сумму двух
колебаний: колебания 2 и колебания 3, имеющее малую амплитуду ai
и сдвинутое на я/2 по отношению ко второму. Из рис. 5.4.5
следует, что сумма ординат этих двух колебаний вновь создаст
колебание 1, прошедшее через объект. Величина амплитуды ai
зависит от разности п — я', и можно показать, что колебание
•с амплитудой ai определяется дифракцией на исследуемом
объекте. Синусоида 2 определяет колебания, участвующие в
образовании изображения.
п'
у
^^
ko
1
г/.^
2
Рис. 5.4.5. Пояснение к определению световых колебаний,
прошедших среды с различными коэффициентами преломления
Таким образом, мы приходим к заключению, что волна,
прошедшая через исследуемый объект, может быть разложена
на две: одну такую же, как и в остальных участках поля
зрения, другую, — дифрагированную объектом с амплитудой,
зависящей от п — я'. Интенсивность изображения объекта
можно определить следующим образом: Ji = a^±a^^. При очень
малом отличии я от я' ai-^ О и Ji = a^, т. е. объект становится
неразличимым.
Предположим, что с помощью какого-либо приспособления
можно было бы сдвинуть кривую 3 еще на я/2. Рассмотрим
образование изображения объекта в этом случае.
Расположение колебаний 2 и 3, которые прошли через объект и пришли
в плоскость изображения, будет соответствовать или рис. 5.4.6, а,
или рис. 5.4.6,6.
Случай, изображенный на рис. 5.4.6, а, соответствует
опережению колебаниями 3 колебаний 2. Колебания находятся в
фазе. Результирующая амплитуда as = a + ai, интенсивность / =
= (a + ai)2=a2 + 2aai, так как а\<^а^, то а^ не учитывается.
Амплитуда поля вокруг изображения объекта равна а,
интенсивность соответственно /2=а^ и, следовательно, отличается от
интенсивности, характеризующей изображение объекта.
Во втором случае, проведенном на рис. 5.4.6,6, колебания
находятся в противофазе, а следовательно, /i=(a — ai)^ = a^ —
— 2aai. При /i > /2 объект светлее окружающего поля, а при
Ji < /2 — темнее.
368
Таким образом, дополнительное смещение кривой 3 на л/2
Бо отношению к ее первоначальному положению, т. е. фазовый
сдвиг прямых колебаний на я/2 по сравнению с
дифрагированными объектом, позволяет превратить маленькую разность фаз,
приобретаемую в объекте, в заметную разность интенсивностей
света в изображении. В этом заключается сущность метода
фазового контраста.
Рис. 5.4.6. Графики сложения колебаний при
отрицательном (а) и положительном (б) фазовом контрасте
На рис. 5.4.7, на котором приведена оптическая схема
осветителя и микроскопа, соответствующая рис. 5.3.6, видно, что
прямой свет от источника в плоскости F полностью отделяется
от света, дифрагированного малым элементом объекта А с из-
Рис. 5.4.7. Оптическая схема получения фазового контраста
в микроскопе:
/ — источник; 2 — конденсор; 3 — диафрагма; 4 — объектив; 5 — предмет
{элемент А); 5 —объектив; 7 — пластинка; S — плоскость изображения
лучением, определяемым высокими пространственными
частотами. В этой плоскости прямой световой пучок освещает лишь
малую область, тогда как дифрагированный свет охватывает
большую часть поверхности.
Именно в точке, в которой собирается недифрагированный
€вет, можно поместить прозрачную пластинку 7, с помощью
которой осуществляется сдвиг фазы на я/2. Через нее должен
проходить весь недифрагированный свет от источника, причем
величина дифрагированного света, прошедшего через эту же
пластинку 7, незначительна.
24 Зак. № 167
369
с помощью такой фазовой пластинки можно внести
дополнительную разность фаз я/2 в прямое колебание и создать
условие для наблюдения объекта.
В этом случае, если внесение пластинки приводит к
сложению колебаний такому же, как и на рис. 5.4.6, а, то имеет
место отрицательный фазовый контраст, если же — как на
рис. 5.4.6,6, то фазовый контраст называется положительным..
В случае наблюдения методом фазового контраста,
изменение фазы, вносимое объектом, превращается в изменение
интенсивности, а последняя в любой точке плоскости
изображений прямо пропорциональна изменению фазы, вызываемому
соответствующим элементом объекта.
В заключение рассмотрим, как может увеличиться контраст
изображения при применении фазовой пластинки,
поглощающей свет.
Введем обозначения: /i — интенсивность света, прошедшего
через объект; /г—интенсивность света, характеризующая поле,,
окружающее объект. Предположим, что /i > -/2.
Контраст полей К= } так как Jl = a^■ + 2aai и /2 =
= а^, то
/:
2
А = -9^ "~
W а
Если фазовая пластинка поглощает свет, то амплитуда
колебания не изменится, так как дифрагированный свет в
основном проходит мимо фазовой пластинки. Следовательно, при
неизменном ui уменьшается а, а следовательно, контраст
возрастает.
Так, например, если толщина объекта 10 мкм, а показатель
преломления его отличается от показателя преломления ср.еды
на 0,001, то применение прозрачной фазовой пластинки с Т=\
позволяет получить контраст 0,20.
При применении фазовой пластинки с Г = 0,2 контраст /( =
= 0,4, а пластинка с Г = 0,02 даст контраст /( = 1. Дальнейшее
увеличение поглощения в фазовой пластинке не имеет смысла,,
так как в микроскопе всегда есть рассеянный свет.
В заключение следует отметить, что метод фазового
контраста— один из методов перехода пространственной фазовой
модуляции в пространственную модуляцию интенсивности.
Глава 6
ГОЛОГРАФИЯ
И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Голография — способ регистрации и последующего восста-
ловления волнового поля объекта. Существенную роль при
этом играют явления интерференции и дифракции,
рассмотренные в предыдущих главах учебника. Уникальной особенностью
голографического метода является сохранение информации не
только об амплитуде, но' и о фазе световых волн,
характеризующих объект. В этом ее принципиальное отличие от
фотографии.
При фотографировании объекта плотность почернения
фотографической эмульсии пропорциональна квадрату амплитуды
световой волны, падающей на рассматриваемый участок.
Фазовые соотношения световой волны не могут быть
зарегистрированы, так как время экспозиции, обычно превышающее
тысячную долю секунды (при обычных способах), во много раз
больше периода колебания световой волны.
Основным принципом голографии является осуществление
записи произвольного волнового поля объекта на
светочувствительном материале при взаимодействии его с заданной опорной
волной. Голографический способ двухступенчатый: сначала
осуществляется запись, а затем восстановление волнового поля
объекта.
При записи осуществляется регистрация
интерференционной картины, образованной объектной (предметной)
волной и когерентной с ней опорной волной (волной сравнения).
Зарегистрированная таким образом структура получила
название голограммы.
Основателем голографии признан английский физик Денис
Габор, который в 1947 г. изобрел голографию, работая над
усовершенствованием качества изображения электронного
микроскопа.
Дальнейшее развитие и практические применения этого
метода были развиты в начале шестидесятых годов
американцами Э. Лейтом и Ю. Упатниексом после появления первых
лазеров, которые использовались ими в качестве
монохроматических источников излучения высокой когерентности.
В семидесятые годы значительный вклад в теорию
голографии внес Ю. Н. Денисюк, который предложил в 1970 г. способ
образования объемных отражательных голограмм,
восстанавливаемых в белом свете.
24* 371
§ 6.1. Физические принципы голографии
Выше уже упоминалось, что физические принципы гологра-
фии основываются на явлениях интерференции и дифракции
света. Возможность регистрации фазы волнового фронта
видна, например, при рассмотрении явлений двухлучевой
интерференции. Известно, что результат интерференции зависит от
разности фаз интерферирующих колебаний, и амплитуда резуль-
W
[*" г
^-^
\
S
^ ;
/
0
Рис. 6.1.1. Схема записи
голограммы точечного источника
Рис. 6.1.2. Схема восстановления
поля световой волны, точечного объекта
тирующего колебания А в этом случае определяется
выражением
.Д^ ^ аI + «2 + 2а,«2 cos 6,
где ai и аг — амплитуды интерферирующих волн; б—разность
фаз между ними, причем б =i|)i —1|)2 = --7—Д, i|)i и
ij)2—начальные значения фазы соответствующих колебаний, А —
приобретенная разность хода.
Следовательно, если в поле интерференции поместить
фотографическую эмульсию, то плотность почернения каждого ее
участка будет содержать информацию о фазовых соотношениях
интерферирующих колебаний.
Обычный фотоснимок не дает представления об объемности,,
глубине пространства, параллаксе объекта. В отличие от этого
голографический способ позволяет записать и восстановить
световое поле объекта во всех подробностях.
Рассмотрим голографический процесс записи и
восстановления изображения в простейшем случае, когда объект точечный.
Точечный объект М помещен на некотором расстоянии I от
фотографической пластинки I (рис. 6.1.1). Объект освещен
когерентным светом, фронт падающей волны W плоский. Часть
падающей волны пройдет вне объекта без изменения волнового
фронта, образуя так называемую опорную волну IFi, создаю-
372
щую в плоскости фотографической эмульсии когерентный фон.
Часть волны дифрагирует на объекте М, образуя предметную
объектную волну W2. Форма волнового фронта зависит от
условий дифракции. Волны Wi и W2 когерентны и образуют в
плоскости фотографической эмульсии интерференционную картину,,
вид которой определяется разностью фаз интерферирующих
колебаний. Если объект расположен на оптической оси
светового пучка, то интерференционная картина получается в виде
систем концентрических колец. Радиусы колец с максимальной
интенсивностью можно вычислить из соотношения (рис. 6.1.1)
г^ = (Z + mlY — Р = 2т1Х + т'1\
где Гт = ОК; 1+т'к^МК; т — порядок интерференции, т =
= 0, 1,2, ...
После соответствующей химической обработки
фотографической пластинки на месте максимумов и минимумов
интенсивности образуются максимумы и минимумы плотности
почернения. Коэффициент пропускания такой пластинки, измеренный
вдоль радиуса колец, изменяется по синусоидальному закону.
Получаем так называемую зонную пластинку (решетку)
Френеля. Следовательно, голограмма точечного объекта
представляет собой зонную решетку Френеля с коэффициентом
пропускания, изменяющимся по радиусу по синусоидальному закону..
Для восстановления фронта световой волны W2, а
следовательно, изображения объекта М осветим голограмму такой
же волной Wi, которая использовалась при образовании
голограммы. В результате дифракции света на каждом малом
участке зонной решетки получим три световые волны О, +1, —1
порядков (рис. 6.1.2), синусоидальная решетка не имеет
других порядков дифракции. Часть световой волны пройдет в
направлении падающей волны, другая часть отклонится из-за
дифракции по направлениям рассчитанным из условия 81Пфт =
= ±'к/АГт, где фт — угол дифракции; Агт — расстояние между
соседними кольцами.
Как было показано ранее, г1^=2т1Х + тЧ\ поэтому
расстояние между соседними максимумами А.Гт=={1'^ + т'к^) 1гт-
С увеличением номера кольца т Агщ уменьшается, фт
возрастает и дифрагирующие лучи образуют сходящуюся и
расходящуюся волны.
Можно показать, что лучи, образующие сходящуюся волну,,
пересекаются в точке О, находящейся на расстоянии x = /,
образуя действительное изображение объекта М. Лучи,
соответствующие расходящейся волне, исходят из точки О', находящейся
на том же расстоянии /, и следовательно, точка О' представляет
собой мнимое изображение объекта М. Действительно, х^
= Гт Ctg фт = rmV 1 — sitl2 ф„,/51П фт И С уЧСТОМ ПрИВеДСННЫХ ВЫ-
373.
w
p^
Q
\w^
u
Рис. 6.1.3. Пояснения к выводу
уравнения голограммы
те соотношений х= ■\JP-^2lm'k + m^'h?- — г^ =/. Так
осуществляется процесс восстановления световой волны,
зарегистрированной голограммой.
Результат, полученный для точечного предмета, можно
распространить на предмет любой формы, рассматривая его как
совокупность точечных объектов. Голограмма такого предмета
представляет собой наложение большого количества зонных
решеток, соответствуюш,их
каждому элементарному участку
предмета.
Уравнение голограммы.
Выше уже отмечалось, что для
регистрации на
светочувствительном материале не только
амплитуды, но и фазы
световой волны необходимо создать
интерференционную картину,
образуюш,уюся при сложении
волны рассеянной объектом и
опорной волной, т. е. получить
голограмму.
Под действием света регистрируюш,ая среда изменяет свои
■оптические свойства. Эти изменения зависят от интенсивности
излучения. В результате облучения после химической
обработки в светочувствительной среде может измениться или
коэффициент пропускания (отражения), или коэффициент
преломления. В первом случае голограмма называется амплитудной,
а во втором — фазовой. При прохождении световой волны
через голограммы в первом случае возникает амплитудная
модуляция излучения, а во втором случае — фазовая модуляция
проходящей через голограмму световой волны. Рассмотрим
принцип образования голограммы предмета О сложной формы.
Осветим его широкой плоской волной IF, часть которой
одновременно с предметом освещает и прямоугольную
призму, предназначенную для изменения хода лучей и
образования опорной волны Wi (рис. 6.1.3). Призма отклоняет
световой пучок на некоторый угол 6, который создает
в плоскости фотографической эмульсии поле с постоянной
амплитудой flo и фазой, меняющейся вдоль голограммы
линейно с координатой х. Тогда комплексная амплитуда
опорной волны записывается в виде Ло^аоехр(—tax), где а^
= (2яД)5те.
Излучение, рассеянное предметом, создает поле Wi с
амплитудой а-а{х, у) и фазой Ф{х, у), где х я у координаты
произвольного малого участка фотоэмульсии. Комплексная
амплитуда предметной волны определяется выражением Лп =
= ап(х, у) ехр [1Ф{х,у)].
.374
t(x,yf
H(x,y)
Рис. 6.1.4. Характеристическая кривая (a) и
амплитудное пропускание (б) фотоэмульсии
Таким образом, суммарная комплексная амплитуда
светового поля в плоскости фотоэмульсии определяется следующим
выражением:
Л = Ло + Лп = Со ехр (— iax) + an {х, у) ехр [гФ (х, у)\.
Результирующая интенсивность в произвольной точке с
координатами X, у, зарегистрированная фотографической
эмульсией, определится формулой J{х, ^)'~ЛЛ*= (Ло+Лп) (Л*+
+ Л*), где символом Л* обозначены комплексно-сопряженные
с Ло и Лп значения амплитуд. Результирующее распределение
/ {х, у)^ al-\- а\ {х, у) + а^ ехр [iax) а^ {х,у) ехр [гФ (х, у)] +
+ йо ехр (— iax) а„ (х, у) ехр [— гФ {х, у)] =
= al + al{x, у){х, y) + -s/2aoa„{x, у) cos[ax+ Ф{х, у)]. (6ЛЛ)
Из-за наличия опорной волны, имеющей амплитуду Сот^О,
сохраняется информация о фазе волны, рассеянной объектом.
Из (6ЛЛ) следует, что мы имеем полную информацию как об
амплитуде, так и о фазе волны, рассеянной предметом.
Фотографическую пластинку, на которой создано
распределение интенсивности J(х, у), желательно проэкспонировать и
проявить таким образом, чтобы диапазон оптических
плотностей почернения фотоэмульсии не выходил бы за пределы
линейного участка характеристической кривой фотоэмульсии, т. е.
зависимости D = f{\gH) (рис. 6.1.4,а). По оси ординат здесь
обозначена плотность почернения D = \g(io/i), а по оси
абсцисс— количество освещения lgЯ^Ig(£'т), где
E^J—соответственно освещенность фотоэмульсии, т — время экспозиции.
Для описания голографического процесса удобно записать
прямолинейный участок характеристической кривой в виде сле-
375
дующей зависимости: D = y\gH или через энергетическое
пропускание Ig(-y) =Ylg^-
Таким образом, Т{х, y)=J^{x, у), где J{х, у) —
интенсивность излучения на участке фотопластинки с координатами х
и У, У—фактор контрастности фотоэмульсии; Т{х,
у)—коэффициент пропускания.
Для амплитудного коэффициента пропускания зависимость
от пропускания и интенсивности излучения запишется
следующим образом:
t{x,y) = -^r{^)^[J{x,y)r''". (6.1.2)
Следует отметить, что Y > 0> где большей интенсивности
соответствует более плотный негатив (меньший коэффициент
пропускания). Для голографического процесса свойства
фотоэмульсии удобно представлять в виде кривой зависимости
Н^, у) =/(^). что и изображено на рис. 6.1.4,6.
В пределах Я' — Н" имеем
t = to + kJ{x,y)T:, (6,1.3)
где т — время экспозиции.
Здесь, в (6.1.3) коэффициент k определяет наклон
прямолинейного участка (для негативной записи, которой соответствует
рисунок 6.1.4,6, коэффициент ^ < 0).
Подставим в (6.1.2) выражение для J{х, у), учитывая
(6.1.1). При выводе предполагается, что ап{х, у) <^ао\ это
неравенство позволит нам при возведении (6.1.1) в степень—у12
применить соотношение-(1+2)~™= 1 — mz, если z<^\. Тогда по-
•лучим
t {х, у) ~ {al + al {х, у) + 2аоа^ {х, у) cos [ах: + Ф (х, у)]]^^'"^ ~
~ (ао) ^М 1 + -^ h 2 cos [ах + Ф (х, у)] \ ~
~ Со ^ U '^ Y -^2 COS [ах + Ф (х, у)\ \.
Вынося за скобку (1/2)0^ и опуская постоянный
множитель (1/2)а~('>'+2), можно записать
о
t (х, у) ~ 2а1 — yal (х, у) —
—у йойп (х, у) ехр (— tax) ехр [— гФ (;:, у)] —
— уаойп (х, у) ехр (wx) ехр [гФ (х, у}]. (6.1.4)
Выражение (6.1.4) является уравнением голограммы.
376
Вид полученного выражения для t{x, у) показывает, что»
изменения значений у, зависящие от типа фотоэмульсии или
условий ее проявления, одинаково и линейно изменяют
значения трех членов в уравнении голограммы (6.1.4) по отношению
к первому члену. Удобно использовать у = —2. Тогда имеем
по (6.1.2)
t{x,y) = лЩ^) = [] {X, у)]-""'.
Предположение у = —2 физически соответствует тому, что
с голограммы, полученной на оптически однородной пленке-
с коэффициентом
контрастности 7^2, еде- /а(х,у)&р[1ф(х,у)]
лан контактный
отпечаток на такую же
фотоэмульсию.
Теперь
предположим, что на этапе
восстановления
голограмма освещается
плоской
монохроматической волной W
вида Е ^ Ео ехр (ikz)
(рис. 6.1.5). Эта
монохроматическая волна
идентична волне,
освещающей
фотоэмульсию при регистрации голограммы. Для нахождения светового
поля за голограммой необходимо напряженность поля ^о
плоской световой волны умножить на t{x,y), характеризующий
амплитудный коэффициент пропускания в каждой точке
голограммы.
Проделав такую операцию, т. е. просвечивая голограмму,
получим, что волновое поле за голограммой описывается
следующим выражением:
/ ~ Еа2а1 — Еоуа1 {х, у) —
— Еоупойп {х, у) ехр (iax) ехр [гФ {х, у)] —
— Еойойп {х, у) ехр (— tax) ехр [— гФ (х, у)]. (6.1.5)
Найденный результат описывает преобразование плоской
волны, прошедшей через голограмму. Выражение (6.1.5)
содержит четыре аддитивных члена и это означает, что в результате
дифракции света на неоднородных структурах голограммы,
отличающихся друг от друга оптической плотностью почернения,
возникают четыре световые волны. Они различаются
направлением распространения и пространственным изменением их
фазы и амплитуды.
а{к,и)ъхь[-1Ф(ху)]
Рис. 6.1.5. Геометрическая иллюстрация
волновых полей за голограммой при
восстановлении поля, световой волны,
рассеянной объектом
377
Первый член анализируемого выражения 2Еоа?
соответствует плоской световой волне, распространяющейся после
голограммы в направлении падающей волны. Информации об
объекте она не несет.
Второй член уЕоо?' {х, у) соответствует волновому полю,
промодулированному по амплитуде объектом наблюдения.
Такая модуляция незначительно изменяет плоский фронт
падающей волны и лишь немного изменяет направление
распространения излучения. Информации о фазовых соотношениях она
также не несет.
Третий член EoaoCinix, y)exp{iax)exp\iO(x, у)] с точностью
до множителя Eoyaoexp(iax) описывает распределение
амплитуд и фаз в волновом поле, распространяющемся от
объекта. Это означает, что в отсутствии объекта за голограммой,
освещенной плоской волной, воспроизводится то же волновое
поле, которое распространялось от объекта наблюдения при его
освещении такой же плоской волной. Получаем, таким
образом, мнимое изображение объекта.
Четвертый член Еоуаоап(х,у)ехр{—iax)exp[—1Ф{х,у)]
отличается от третьего знаком в экспоненциальном члене,
описывающем фазовую модуляцию световой волны. Это указывает на
то, что кривизна волновых фронтов в световом поле обратна
кривизне волновых фронтов световых волн, исходящих от
объекта. Следовательно, рассматриваемое выражение
соответствует волне, сходящейся к объекту и формирующей его
действительное изображение. Геометрическая иллюстрация картины
волнового поля за голограммой показана на рис. 6.1.5.
Напишем уравнение голограммы в более компактном виде
для использования его в дальнейшем при рассмотрении
вопросов голографической интерферометрии. Учтем при этом связь
t{x, у) =f{H) (см. рис. 6.1.4,6) и напишем выражение для
комплексных амплитуд предметной и опорной волн в виде Лп=
= апехр (г'фп) и Ло = аоехр (гфо), где фп и фо — фазы волн.
Если эти колебания когерентны, то в плоскости
фотоэмульсии получим выражение для интенсивности
J {х, у) = (Л + Aof = (an + Со) (а* + а*) =
= al + al + А^/С + AoAl (6.1.6)
Далее, учтем что нас интересует амплитудная зависимость
этого распределения. Подставим в выражение (6.1.3) значе-
"ние J{x, у) из (6.1.6). Тогда для амплитудного пропускания
голограммы получим
^ = ^0 + kr{al + йо) + k-vAnAl + kxAlAo.
Здесь k — соответствует наклону прямого участка рис. 6.1.4,6.
На этапе восстановления, осветив голограмму опорной волной
378
л о, за плоскостью голограммы имеем следующее распределение
комплексных амплитуд:
Aot = [to + kxial + al)] Ао + kxalA^ + kxAlK- (6.1.7)
Как и ранее, имеем первое слагаемое в правой части,
соответствующее опорной волне, второй член суммы отличается от
комплексной амплитуды предметной волны только множителем
kxa^^.' Эта восстановленная волна +1-го порядка дает мнимое
трехмерное изображение. Третье слагаемое отличается
комплексным множителем kiA^. Оно описывает волну —1-го
порядка, которая дает искаженное
действительное изображение. Для ^
того чтобы получить
правильное неискаженное действительное [^
изображение, необходимо
осветить голограмму волной,
сопряженной с опорной.
Некоторые свойства
голограмм. Из предыдущего
рассмотрения следует, что голограмма
представляет собой сложную ин- рис. 6.1.6. К пояснению возмож-
терференционную структуру, ности восстановления изображе-
в которой каждая точка объекта ння предмета по части голо-
любой формы дает свою зонную граммы
решетку. При восстановлении
каждая решетка в результате дифракционных явлений
восстановит соответствующую точку объекта.
Одним из интересных свойств голограммы является то
обстоятельство, что каждый (даже небольшой) участок
голограммы, освещенный опорной волной W, восстановит изображение
всего объекта. Действительно, при регистрации голограммы на
каждый малый участок фотоэмульсии попадает излучение,
рассеянное различными точками предмета, например А\, Лг, ...
.. ., An (рис. 6.1.6).
Таким образом, каждый участок голограммы содержит
информацию обо всем объекте, но полученную под
соответствующим углом зрения. Последнее приводит к тому, что при
наличии достаточно большой голограммы мы можем наблюдать
стереоскопическое изображение объекта. Следует отметить, что
с уменьшением участка голограммы, по которому
восстанавливается световая волна, изображение объекта содержит все
меньшее число деталей, т. е. качество изображения
ухудшается.
Голограмму сложного предмета (объекта) можно
рассматривать как интерференционное (когерентное) наложение
голограмм от отдельных точек сложного объекта: происходит
суммирование амплитуд с учетом фазовых соотношений. Можно
представить голограмму как некогерентное наложение отдель-
379
вых голограмм, зарегистрированных последовательно. Тогда
фотоэмульсия откликнется на освещенность от каждого объекта
или от различных частей этого объекта и на второй стадии
будет восстанавливать несколько объектов или различные
состояния одного объекта во времени.
Если в процессе образования и восстановления голограммы
использовалось излучение различных длин волн, то
восстановленное изображение можно получить с определенным
увеличением Г=-
Рис. 6.1.7. Пояснения к пониманию структуры
голограммы
^1 di
где А,1 и Яо — длины волн в процессе
восстало do
новления и записи голограммы; di и do —расстояния от
изображения до голограммы и от объекта до фотоэмульсии при
соответствующих стадиях голографирования. Возможность
получения увеличения с помощью голограммы связана с тем, что
излучения различных длин волн отклоняются голограммой на
различные углы на одной и той же структуре и, следовательно,
угловые и линейные размеры изображения объекта зависят от
длины волны излучения при восстановлении изображения.
Структура голограммы. Рассмотрим процесс образования
интерференционной картины в слое фотоэмульсии с
показателем преломления п (рис. 6.1.7). Пусть на слой эмульсии
толщиной h падают под одинаковыми углами две плоские волны.
Направления /—/ и //—//—нормали к волновым фронтам Wi, Wi,
указывающие направления распространения волн. Предполагая,
что волны плоские, покажем на рисунке распределение ампли-
380
тгуд и фаз. Точки постоянной фазы лежат в одной плоскости.
Линии /—/, 2—2, 3—3, I'—V, 2'—2', 5'—5' —следы
максимумов амплитуд соответствующих волновых фронтов.
Расстояние между ними соответствует длине волны излучения "К.
Точки А\, Лг, Лз, . .., Bi, Вг, Вз, ..., Ci, Сг, Сз, ... — следы
линий пересечения волновых фронтов. На этих линиях,
расположенных перпендикулярно плоскости чертежа, происходит
сложение колебаний. На рисунке указано положение волновых
фронтов для определенного момента времени. При движении
волн вместо линий, соответствующих максимумам
интерференции, образуются плоскости, также перпендикулярные плоскости
чертежа, следами которых являются совокупности точек А. . .
... А, В... В, С... С. Эти плоскости делят угол между волновыми
нормалями пополам. Если учесть другие результаты
интерференции, то интенсивность изменяется по синусоидальному
закону, который можно получить из рассмотрения треугольника
A2C2D : A2C2=2d, AiD^d и
d = V2rasine. (6.1.8)
Выражение (6.1.8) представляет собой условие Брегга,
полученное при исследовании дифракции рентгеновских лучей
в кристаллах.
При увеличении угла между нормалями период d
уменьшается. Величина d определяет необходимую разрешающую
способность фотографической эмульсии при получении
голограммы, которая должна быть не менее \jd линий на миллиметр.
В зависимости от соотношения толщины h слоя
фотоэмульсии и периода d голограммы по своей структуре различают на
двумерные и трехмерные. Выше уже отмечалось, что величина
d определяет расстояние между плоскостями максимальной
интенсивности, возникшими при двухлучевой интерференции.
После процесса проявления фотографической пластинки в этих
участках эмульсии возникают полупрозрачные отражающие
слои. Если расстояние d между слоями сравнимо с h, то
голограмму можно рассматривать как некоторую структуру на
плоскости и такая голограмма считается двухмерной. Свет,
проходя через нее, взаимодействует лишь с одной из
отражающих поверхностей (рис. 6.1.8,а). Голограмму такого вида
можно сравнить с двумерной дифракционной решеткой.
Если ftS>d и луч света, проходя голограмму, встречается
с несколькими отражающими поверхностями, то голограмма
считается трехмерной и ее можно сравнить с трехмерной
дифракционной решеткой (рис. 6.1.8,6).
Из соотношения (6.1.8) видно, что для получения
трехмерной голограммы на слое небольшой толщины следует увеличить
угол 9. В результате будет иметь место система стоячих волн.
На рис. 6.1.8,0 и 6.1.8,2 наглядно показаны расположения пуч-
:ностей и узлов при перпендикулярном и наклонном падении лу-
381
чей. В первом случае плоскости максимумов почернений
(после обработки фотоэмульсией) будут располагаться
параллельно поверхности фотопластинки. Если угол 6 составляет я/2,
а фотоэмульсия имеет показатель преломления п, то
расстояние между пучностями по (6.1.8) будет d^X/2n. При
наклонном падении интерферирующих лучей расстояние между сло-
Wo
^
Рис. 6.1.8. Прохождение излучения через
двумерную (а) и трехмерную голограммы (б, е, г)
ями наибольшей плотности почернений будет
увеличиваться. Условием появления максимумов плотности почернений
является разность фаз 2тя, где т = 0, 1, 2, .... Поверхности,
в которых имеет место равенство разности фаз, являются
синфазными. Свет, зеркально отраженный от слоев, будет
восстанавливать волну от предмета. Создается только одно
изображение объекта.
В объемной голограмме синфазным поверхностям будут
соответствовать поверхности равных плотностей почернения.
Сведения о фазе волны в этой структуре будут зарегистрированы
в виде изгибов поверхностей пучностей стоячих волн, а
сведения о спектре — зашифрованы в различных расстояниях между
поверхностями максимальных плотностей почернения. Поэтому
изображение можно реконструировать с помош,ью белого
света— голограмма при восстановлении выделит ту спектральную
составляюш,ую, которая использовалась при записи.
Классификация голограмм. Голограммы можно различить
по методам формирования объектной и опорной волн, а также
382
ло способу записи интерференционной картины. Различные
типы голограмм соответствуют разному взаимному расположению
объекта и голограммы (рис. 6.1.9). Если объект 1 находится
в той же плоскости, в которой помещается фотоэмульсия 3, или
сфокусирован на эту плоскость (рис. 6.1.9, а), то полученные
таким образом голограммы называют голограммами
сфокусированных изображений. Амплитудно-фазовое распределение на
голограмме будет таким же, как ив плоскости объекта, имеет
часто точечное соответствие голограммы и объекта.
Рис. 6.1.9. Оптические
с-хемы, поясняющие клас-
J сификацию голограмм
Если голограмма освещается параллельным пучком,
который формируется объективом 2, т. е. предмет находится в
бесконечности, то наблюдается результат дифракции в дальней
зоне. Такая голограмма носит название голограммы Фраунго-
фера (рис. 6.1.9,6). В этом случае каждая точка предмета
посылает на голограмму параллельный пучок, а связь между
амплитудно-фазовым распределением объектной волны в
плоскости голограммы и в плоскости предмета дается
преобразованием Фурье.
Наиболее часто формируются голограммы Френеля. Тогда
фотопластинка 3 располагается в ближней зоне и от каждой
точки объекта распространяется соответствующая волна
(сферическая, например) (рис. 6.1.9, в). Форма опорной волны
может быть различной, например, плоской. Можно также назвать
способ получения Фурье-голограмм (рис. 6.1.9,г). В этих
случаях и объект, и точечный источник могут находиться в
бесконечности (в фокусе 2). Распределение комплексной амплитуды
каждой из волн в плоскости голограммы совпадет с Фурье-
образом распределения амплитуд для предмета и источника.
383
При расположении объекта и опорной волны на конечном и
одинаковом расстояниях от фотопластинки получится
безлинзовая Фурье-голограмма (рис. 6.1.9,(3).
Основные схемы записи голограмм. Различные способы
записи голограмм можно описать в зависимости от расположения
регистрирующей среды относительно объекта. На рис. 6.1.10
показаны четыре различных положения фотографической
пластинки (регистрирующей среды), позволяющие получить голограммы,
отличающиеся структу-
Г I 1и/, рой и дифракционными
* ^ » свойствами. Опорная
волна Wi — плоская, объект
А — точечный, исходящая
от него волна —
сферическая. В результате
взаимодействия плоской
опорной волны и сферической
предметной волны
возникает система
интерференционных полос. На
рисунке показано семейство
интерференционных
максимумов в плоскости,
содержащей объект А и
нормаль N к опорной
волне. Следами
поверхностей максимальной
интенсивности являются параболы. Если выделить любую малую
часть сферической волны, интерферирующей с плоской волной,
то результирующая интерференционная картина будет подобна
картине, изображенной на рис. 6.1.7, и для нее также
справедливо выражение 2d sin 9 = Я.
В первом случае фотографическая пластинка располагается
за предметом А, ее- поверхность перпендикулярна оси AN.
Среднее направление излучения от предмета А и опорной
волны Wi коллинеарны. Поэтому голограммы, полученные таким
образом, называются осевыми голограммами, или
голограммами с осевым опорным пучком. Разность хода между
интерферирующими опорной и предметной волнами в этой схеме
минимальны, что позволяет использовать источники света с
малой когерентностью. Достаточно большое расстояние между
поверхностями интерференционных максимумов уменьшает
требования к разрешающей способности фотографической
эмульсии. Такая схема была предложена Табором. Однако она
обладает тем недостатком, что при восстановлении и
действительное А, и мнимое А' изображения объекта находятся на
одной оси (рис. 6.1.11, а), что затрудняет их рассмотрение и
использование.
Рис. 6.1.10. Расположение голограмм при
записи
384
Расположение фотографической пластинки в положениях 2
и 3 (см. рис. 6.1.10) соответствует схеме на рис. 6.1.11,6,
предложенной Лейтом и Упатниексом. Так как разность хода
между интерферирующими волнами в этих схемах возрастает по
сравнению с предыдущей схемой, то повышаются требования
к когерентности опорной волны. Внеосевое расположение
фотографической пластинки позволяет исключить недостатки осевых
голограмм Габора, При восстановлении действительное О" и
мнимое О' изображения объекта (рис. 6.1.11, в)
пространственно разделены.
Рис. 6.1.11. Пояснения к
получению голограммы и к
образованию изображения по схеме
Габора (а) и Лейта и Упат-
ниекса (б, в)
Различие в образовании голограмм в положениях 2 и J
(см. рис. 6.1.10) определяется изменением угла, образованного
направлением излучения от точечного источника с
направлением распространения опорной волны. В положении 2 этот
угол острый, и при небольших толщинах слоя фотоэмульсии
получаем двумерную голограмму.
В положении 3 угол между интерферирующими лучами
возрастает, расстояние между соседними плоскостями максимумов
уменьшается (d=X/2sin9), а если толщина слоя
фотоэмульсии /i >• d, то образуется трехмерная голограмма.
Показанное на рис. 6.1.10 расположение фотографической
пластинки 4 соответствует схеме, предложенной Ю. Н. Дени-
сюком (рис. 6.1.12), когда голограмма образуется в достаточно
толстом слое фотоэмульсии в результате интерференции (что
показано на рисунке) встречных пучков. При этом возникает
большое число поверхностей, соответствующих
интерференционным максимумам. Эти поверхности после химической
обработки фотослоя превращаются в высокоотражающие
полупрозрачные слои. Выше уже говорилось, что структура голограммы
позволяет восстановить изображение при освещении ее белым
25 Зак. № 167
385
светом. Следовательно, голограмма сохраняет информацию
о спектральном составе излучения.
Последнее можно дополнительно пояснить, рассматривая
метод цветной фотографии, предложенный Липпманом.
Предположим, что на зеркально отражающую плоскую поверхность
М падает плоская монохроматическая волна с длиной волны Я
(рис. 6.1.13). При отражении этой волны от поверхности М
возникает интерференция.
W,
Ь±:^
Рис. 6.1.12. Образование структуры
голограммы по схеме Денисюка
И/,
Г
«г
,
"
/1, /1г
0. :
4 '
\, \
\
о\
,
>
'
,
'
'ШШШШШШ^/.
м
Рис. 6.1.13. Узлы и пучности при
перпендикулярном и наклонном
падении пучка
В точках Ai, Лг, . . ., Лд', для которых оптическая разность
хода l^ = 20iAi=20iA%= .. . =20N^N = mK, образуются
интерференционные максимумы. Плоскости, содержащие
интерференционные максимумы, параллельны поверхности М. Если для
других точек, расположенных на других расстояниях по
поверхности, Д=(2т+1)Я/2, то образуются интерференционные
минимумы. Плоскости, содержащие их, также параллельны
поверхности М. Расстояние между соседними плоскостями
максимумов или минимумов равно Я/2. Если на поверхность М нанести
достаточно толстый фоточувствительный слой толщиной h, то
после химической обработки его во всех плоскостях,
содержащих интерференционные максимумы, образуются высокоотра-
жающие полупрозрачные слои, отстоящие друг от друга на
расстоянии Я/2. При освещении этого слоя белым светом лишь
излучение с длиной волны Я отразится от высокоотражающих
поверхностей с разностью хода А = тЯ, и в отраженном свете
наблюдаем максимум излучения. Для других длин волн Д =
= m\i и результируюихая интенсивность будет уменьшаться
в зависимости от соотношения разности хода и длины волны.
Таким образом, пластинка будет окрашена в цвет излучения,
которым она освещалась в процессе образования
интерференционной картины. Интерференционный принцип был
использован Г. Липпманом для получения цветной фотографии.
Для трехмерной голограммы, как уже было показано, имеет
место соотношение (6.1.8). Если фотоэмульсия будет иметь
.386
толщину 12—15 мкм, то в зависимости от длины волны
лазерного излучения образуются 50—100 высокоотражающих
полупрозрачных слоев. Направление волны, восстанавливающей
голограмму, должно, в соответствии с условием Брегга,
соответствовать направлению волны при образовании голограммы,
Рассмотренные выше структуры голограмм определялись
изменением значений оптической плотности почернения для
различных участков фотографической эмульсии. Если
подвергнуть слой фотоэмульсии отбеливанию, при котором (в
результате химической реакции) почерненные места становятся
прозрачными, то получаем фазовую голограмму. В этом случае
дифракция света в процессе восстановления голограммы
определяется лишь различием толщины слоя эмульсии, который
будет тем меньше, чем значительнее была плотность
почернения этого участка. Изменения толщины слоя вызывают
соответствующие изменения фазы волнового фронта
восстанавливающей волны, Такие голограммы обладают большим
коэффициентом пропускания.
Разрешающая способность и дифракционная эффективность.
Качество голографического изображения определяется видно-
стью картины, разрешающей способностью голограммы,
глубиной резкости. Важнейшей характеристикой является
дифракционная эффективность голограммы.
Разрешимый интервал (предел разрешения) может быть
определен по аналогии с дифракционной решеткой по формуле
ду^к/а, где а — угловая ширина голограммы, а угловое
разрешение— по формуле d<f) = 'k/L, где L — линейный размер
голограммы.
Следовательно, для уменьшения 6ф следует использовать
голограмму больших размеров. По мере увеличения ее
размеров увеличивается и максимальная пространственная частота
ее структуры при использовании плоского фронта опорной
волны. При равенстве частоты голограммы с предельными
возможностями фотоэмульсии дальнейшее увеличение размеров
голограммы не имеет смысла.
Важнейшей характеристикой является дифракционная
эффективность голограммы. Под дифракционной эффективностью
понимается отношение интенсивности первого дифракционного
максимума в восстановленной волне к интенсивности
падающего пучка т1 = (/о//) 100%. Различают следующие типы
голограмм; плоские амплитудные и фазовые голограммы, объемные
фазовые и амплитудные голограммы. Те или иные типы
голограмм могут быть получены на различных светочувствительных
материалах. Дифракционная эффективность зависит не только
от типа голограммы, но и от свойств светочувствительного
материала. Если светочувствительный материал имеет линейные
характеристики зависимости коэффициента пропускания t от
экспозиции Я, то при контрасте, равном единице, плоская ам-
25* 387
плптудная голограмма теоретически имеет дифракционную
эффективность т] л; 6,25 %. Если использовать нелинейный
фотоматериал, то Т1л;10 %.
Плоскую фазовую голограмму можно получить путем
изменения показателя преломления в тонком светочувствительном
слое или путем образования поверхностного рельефа.
Изменение фазы происходит из-за изменения показателя преломления
или длины пути в соответствующих точках. Оказывается, что
в этом случае амплитуда дифрагированной волны для
синусоидальной фазовой решетки имеет экстремум для некоторого
аргумента г|3) функции Бесселя /i и достигает максимума при
ij!i=0,94, что соответствует дифракционной эффективности
Г] =34 %.
Значительно большую дифракционную эффективность
можно получить для объемных фазовых голограмм. Здесь могут
иметь место как голограммы, работающие на пропускание, так
и на отражение. Можно рассмотреть эти два частных случая.
В первом случае пусть интерференционные полосы будут
перпендикулярны поверхности слоя, интерферирующие волны
образуют одинаковые углы 9, а при реконструкции выполняется
условие Брэгга. В этом случае амплитуда дифрагированной
волны зависит от амплитуды изменения показателя
преломления ад = з1п (nmd/KcosQ), где d — толщина слоя; 9 — угол,
образованный направлением распространения
реконструированной волны и перпендикуляром к поверхности слоя; амплитуда
изменения п определяется зависимостью n = no + nicos Q, где
Q — пространственная частота; т — амплитуда изменения п.
В силу того, что п имеет косинусоидальную зависимость,
максимальное значение Timax-= 100 %.
Эффективность амплитудных объемных голограмм
значительно ниже фазовых и определяется примерно в 7—8%.
§ 6.2. Техника голографического эксперимента
Осуществление голографического эксперимента требует
применения когерентных источников света. Используемая
оптическая система должна обеспечивать получение на слое
фотографической эмульсии устойчивой интерференционной картины,
обладающей достаточной видностью (контрастом).
Из этих соображений рассмотрим требования к оптическим
схемам и их элементам, применяемым в процессе образования
и восстановления голограмм.
Принципы построения оптических схем. В качестве
источников излучения в голографии применяются лазеры
непрерывного и импульсивного действия, излучение которых
характеризуется высокой степенью временной и пространственной
когерентности и значительной мощностью. Развитие голографических
388
методов связано с применением лазеров, работающих в
различных режимах.
Голограмму образуют два разных пучка света — опорный
и предметный. Следовательно, в голографической установке
должна быть предусмотрена возможность разделения
излучения от лазера на два пучка. Разделение осуществляется либо
делением световой волны W по амплитуде (рис. 6.2.1), либо
делением фронта W световой волны (рис. 6.2.2). Первый способ
предпочтительнее, так как при этом достигается большая рав-
F
Рис. 6.2.1. Схема образования
опорной волны Ц7| и
предметной волны W2 делением
световой волны W по амплитуде:
О — объект: F — фотоэмульсия:
Мх — полупрозрачное зеркало; М^ —
отражательное зеркало
Рис. 6.2.2. Схема образования
опорной волны Wi и предметной волны
Wi делением световой волны W по
фронту
номерность освещенности по сечению пучка и требуется
меньшее его расширение.
При разделении на опорный и предметный пучки следует
добиваться определенного соотношения их интенсивности для
получения высокой видности V интерференционной картины,
определяемой выражением
' ^= (.•'max J min)l\J max ~Г •'minj-
Значения результирующей / максимальной и минимальной
интенсивностей, как известно, рассчитывается по формуле / =
= /i + /2+2V/i/2Cos 6, где в нашем случае /i и /г
интенсивности опорного и предметного пучков соответственно. Вид-
ность интерференционной картины увеличивается с увеличением
различия между /max и /niin, что соответствует приближению
значения интенсивности предметного пучка к интенсивности
опорного пучка. При этом значение интерференционного члена
2 л/J J 2 c<is Ь сравнимо с суммой /i + Ja; чем больше 2^1 hh,
тем больше амплитуда волны, дифрагированной на голограмме
в процессе восстановления. Следовательно, от видности
интерференционной картины зависит яркость изображения,
получаемого при восстановлении голограммы. Кроме того, при выборе
соотношений интенсивностей опорного и предметного пучков
389
Рис. 6.2.3. Оптическая схема
расширения лазерного пучка
необходимо задать интенсивность опорного пучка такой, чтобы
плотность получаемых почернений на голограмме укладывалась
в область нормальных почернений, соответствующих
прямолинейному участку характеристической кривой.
Как показывает опыт, оптимальный результат получается,
когда интенсивность опорного пучка в 5—10 раз больше
интенсивности предметного пучка. Видность интерференционных
полос при этом будет несколько ниже, чем в случае равенства
/i и /г. Но так как время экспозиции будет определяться
освещенностью, создаваемой опорным пучком, то уменьшается
опасность выхода из
линейного участка
характеристической кривой
фотографической эмульсии. Уменьшение
интенсивности предметного
пучка можно осуществить,
используя нейтральные
светофильтры или
поляризационные элементы.
Расширение лазерного
пучка. Диаметр сечения
светового пучка,
излучаемого лазером, составляет
малую величину (узкий
пучок). Поэтому, чтобы осветить фотографические пластинки
площадью в несколько десятков или сотен квадратных
сантиметров, необходимо расширить лазерный пучок. Расширение
пучка можно осуществить, применяя системы зеркал или линз
(рис. 6.2.3).
Точечная диафрагма D, расположенная в фокальной
плоскости микрообъектива, обеспечивает за счет пространственной
фильтрации высших дифракционных порядков равномерность
освещенности, создаваемой лазерным пучком. Диаметр такой
диафрагмы можно рассчитать по формуле D = l,22(l/d)fi, где
d — диаметр частиц, рассеивающих излучение; /i — фокусное
расстояние микрообъектива. Если /) = 1 мм, то для Я = 633 нм
при d=lOO мкм получаем D=15 мкм. Диафрагма с таким
диаметром задерживает излучение, дифрагированное на
пылинках диаметром 100 мкм, а также многократно отраженное
линзами. Диафрагму обычно выполняют из тонкой
металлической фольги, отверстие в которой делают либо механическим
путем, либо самим лазерным лучом.
Расширение лазерного пучка осуществляют или до деления
излучения на опорную и предметную волны, или после такого
разделения. В первом случае требуется лишь один комплект
оптических элементов, расширяющих пучок. Однако во втором
случае светоделитель имеет меньшую апертуру:
недостаточность по сечению пучка, обусловленная дифракцией на пылин-
390
ках и дефектами разделительного устройства, устраняется
пространственной фильтрацией в схеме с уширением пучка.
Требования к пространственной и временной когерентности
лазера, используемого при восстановлении голограмм, могут
быть значительно меньше, если при получении голограммы
объект был на нее сфокусирован (см. рис. 6.1.9, а). В этом
случае мы имеем соответствие между точками предмета и
точками голограммы, а не так как в других схемах записи.
Изображение, даваемое голограммами сс|)окусированных изображений,
как бы «привязано» к голограмме, а поэтому не будет менять
своих характеристик при другой длине волны или положения
точек источника света.
Механическая устойчивость голографической установки.
Известно, что интерференция наблюдается, если во время
эксперимента разность фаз интерферирующих колебаний в
рассматриваемом участке светового поля остается практически
постоянной. Достаточная видность интерференционной картины
может быть обеспечена лишь в случае, если смещения элементов
голографической установки, вносящих изменение в длину пути
опорного и предметного пучков, не превышают Я/8 за время
экспонирования, т. е. требования к виброустойчивости жесткие.
Изменения разности фаз (разности хода) могут вызываться
тепловыми или акустическими флуктуациями воздуха,
недостаточной конструктивной жесткостью установки, влиянием
вибраций. Поэтому основным механическим элементом
голографической установки является массивная металлическая или
каменная плита, расположенная на амортизаторах.
Механическая устойчивость всей голографической схемы
обеспечивается также тяжелыми и кинематически правильно
расположенными подставками под оптические элементы,
которые можно перемещать и надежно фиксировать. Оптические
элементы необходимо располагать так, чтобы разность хода
опорного и предметного пучков не превышала длины
когерентности лазерного излучения.
Регистрирующие среды. Требования, предъявляемые к
фотоматериалу при образовании голограммы, гораздо выше, чем
при обычном фотографировании объектов. При
фотографическом процессе разрешающая способность фотоэмульсии должна
быть такой же, как и требуемое разрешение в изображении.
Если обычное фотографическое изображение наблюдать
визуально, то достаточно разрешение 10—20 линий на миллиметр.
При регистрации голограммы необходимо обеспечить
разрешение структуры интерференционной картины систем высоко-
отражающих слоев, отстоящих друг от друга на расстояниях,
сравнимых с Я. Поэтому разрешающая способность эмульсии
должна составлять 2000—6000 линий на 1 мм.
Светочувствительные слои с высокой разрешающей способностью обладают
меньшей чувствительностью, что необходимо иметь в виду при
391
выборе мощности излучения источника. Таким образом, для го-
лографического эксперимента требования к разрешающей
способности фотоэмульсии или другого регистрирующего
материала значительно более жесткие. Обычно регистрирующие среды
для голографии характеризуются частотно-когерентной харак
теристикой, т. е. функцией пространственной частоты, опнсы
вающей преобразование контраста объекта в контраст
изображения. В практике наиболее часто применяются фотоэмульсии
типа ПЛ, ВРЛ, ПЭ, ФП—ГТ и другие, Кодак 649-F, 8Е Агфа
с разрешением 2000—5000 линий/мм.
Наряду с фотографическими материалами, которые
наиболее распространены в голографическом эксперименте,
используют фотохромные среды, которые меняют цвет под действием
света, т. е. обладают фотохромизмом — обратимым изменением
поглощения в видимой области спектра при облучении
коротковолновым излучением. В результате происходит потемнение
или окрашивание вещества. К этим материалам относятся
фотохромные стекла, органические красители и др. Кроме того,
в голографии в качестве регистрирующих материалов
используют бихромированную желатину, тонкие поглощающие слои,
нелинейные кристаллы и термопластические материалы.
Оптические системы для записи волновых полей объектов.
Здесь мы рассмотрим примеры оптических систем для записи
плоских и объемных голограмм и получение изображения
объектов. На рис. 6.2.4, а, б представлены примеры реальных схем
записи и восстановления трехмерного объекта. Для
осуществления первого этапа свет от лазера 1 падает на полупрозрачное
зеркало 2, расщепляется на два пучка и после системы 3 идет
на зеркало 4 и фотоэмульсию 8. Другая часть пучка после
зеркала 5 с помощью системы 6 освещает объект 7, который
дает рассеянную волну.
Второй этап (рис. 6.2.4, б) состоит в восстановлении
изображения. Это осуществляется с помощью лазера 1, системы 2
и зеркала 3, освещающего голограмму 4. Наблюдатель 5 видит
мнимое изображение 6 объекта со всеми присущими ему
свойствами: объемностью, параллаксом и др.
Объектная волна восстанавливается в том же направлении,
в котором она распространялась от различных точек объекта
при произвольном расположении опорного пучка и объекта.
Обсудим этот вопрос: сначала для простоты рассмотрения будем
иметь в виду, что на пластинку сходятся два (опорный и
объективный) параллельных пучка, имеющие углы падения на
фотоэмульсию а и р, т. е. имеем точечный объект (рис. 6.2.4, в).
Тогда расстояние между двумя соседними максимумами
образующейся решетки будет
d = y(<ma + sm^), (6.2.1)
так как A=Ai+A2, Ai = d sin а, A2 = d sin p.
392
После обработки на полученную голограмму — решетку,
имеющую «постоянную» d, направляем лазерное излучение по
одному из направлений 1, убрав фронт волны 2. Решетка дает
в соответствии с (6.2.1) максимум в направлении
з1пф = (Л/сг) —3ini|). (6.2.2)
Если в рассматриваемом случае угол а^1|з, то с учетом
(6.2.1) и (6.2.2) имеем
sin|3 = {Kjd) — sina = з!пф -|- sinij) — sini|) = з1пф,
т. е. ф = р.
Таким образом, при сохранении пучка лучей, падающих на
голограмму под углом а, мы восстановим пучок, который падал
при записи под углом р. Аналогично можно было бы получить,
Рис. 6.2.4. Оптические
системы голографических
установок для записи
(а) и восстановления
изображений (б) в
параллельных пучках и
образование
дифракционной решетки —
голограммы (в)
393
что '»|з = а, т. е. опорный и предметный пучки обладают
свойством взаимной обратимости.
Этот частный случай двух плоских волн можно обобщить,
введя следующие рассуждения; вместо параллельного опорного
пучка можно рассмотреть множество тонких пучков какого-то
источника, находящегося на конечном расстоянии. Если
предмет сложный, то каждый тонкий пучок даст свою решетку и
в целом будем иметь сложное интерференционное наложение
таких решеток, создаваемых отдельными точками объекта.
Рис. 6.2.5. Оптические схемы установок для получения (а) и
восстановления (б) объемных голограмм
Теперь приведем для примера оптическую схему получения
(а) и восстановления (б) трехмерной объемной голограммы
(рис. 6.2.5, а,б).
Лазерный пучок света 1 после линзовой системы 2—3
формирует расширенный параллельный пучок на полупрозрачную
пластинку 4. После пластины часть потока падает на
предмет 7, а другая часть, отражаясь от зеркала 5, падает на
регистрирующую среду 6. В среде зафиксируется результат
интерференции двух пучков — опорного и предметного. На второй
стадии — восстановления (рис. 6.2.5,6) —обработанная и
помещенная на то же место голограмма 3 может быть освещена
источником монохроматического или белого света (лампа
накаливания 1). Объектив 2 дает параллельный пучок, падающий
на голограмму. Впрочем объектив может и отсутствовать;
наблюдая глазом получим восстановленное объемное
изображение 4. Структура световых волн, отраженных от синфазных
поверхностей, будет идентична структуре света, рассеянного
объектом. Глаз воспримет предмет точно таким, каков он есть
в действительности. Голограмму иногда определяют как
оптический эквивалент объекта, так как она формирует полное его
изображение.
394
§ 6.3. Некоторые применения голографии.
Голографическая интерферометрия
Применения голографии можно разделить на два
направления: изобразительная голография и применение голографии
в науке и технике. Возможность наблюдения трехмерных
окрашенных изображений предметов при освещении отражательных
голограмм дневным светом или светом от обычных ламп
накаливания позволяет создавать выставки изображений предметов
прикладного искусства, скульптуры и других экспонатов,
записанных голограммой. Получаемые изображения отличаются
яркостью, объемностью, хорошо передают игру бликов на
металле, позволяют рассматривать предмет как бы с различных
сторон. Наряду с получением отдельных голографических
изображений объектов, ведутся работы по созданию голографического
кино и телевидения.
Применения голографии в технике и для научных
исследований весьма разнообразны. К ним относятся методы гологра-
фической интерферометрии, применения в технологии
нанесения сложных микроизображений и исследовании неоднородно-
стей материалов, создание голографических оптических
элементов, голографическая микроскопия, голографическая обработка
информации и др.
Уникальные возможности трехмерной голограммы состоят
в том, что она позволяет создать оптическую память
сверхвысокой емкости (10^° ячеек/см^). Это обстоятельство может быть
использовано при разработке ЭВМ новых поколений с гологра-
фической памятью.
В учебнике рассматриваются лишь некоторые применения,
непосредственно связанные с ее содержанием. Наиболее
широкое практическое применение нашли методы голографической
интерферометрии.
Принцип голографической интерферометрии.
Голографическая интерферометрия — метод измерения амплитудных и
фазовых изменений фронта одной или большего числа световых
волн по интерференционной картине, в образовании которой
участвует одна или большее число волн, восстановленных
с помощью голограммы.
На рис. 6.3.1, а показан один из вариантов формирования
интерферограммы: на фотоэмульсии образуется голограмма
в результате интерференции волны Wu, характеризующей
предмет, и когерентной с ней опорной волны Wo. Прежде чем
проявить фотографическую пластинку, сделаем на ней еще один
■снимок (рис. 6.3.1,6) результата интерференции такой же
опорной волны и предметной волны W'^, отличающейся от Wn
амплитудой и фазой. Таким образом, после соответствующей
обработки фотографической эмульсии получим голограмму, в ко-
395
торой зарегистрированы две интерференционные картины. При
освещении этой голограммы опорной волной Wo восстановим
волновые фронты Wn и W (рис. 6.3.1,в), которые будут
когерентны между собой, так как восстановлены одной и той же
когерентной волной. Поэтому при наложении волновых
фронтов Wa и W'^ наблюдается интерференционная картина, вид
которой определяется соотношением амплитуд волн и разности
фаз этих волн. Поясним это иначе: из предыдущего рассмотре-
7) /<ЧИ&
.У\ \
\
\
\
\
_л
^w„
Ю /<*А ^'"о
У^ \
\\ \
г \
\ \
/ \
\
^w'„
■w„w;.
Рис. 6.3.1. Пояснения к образованию голографической
интерферограммы
ния ясно, что если предмет убрать, а голограмму возвратить на
прежнее место, где она экспонировалась, то получим
восстановление волны, рассеянной объектом. Если объект не убирать, то
можно наблюдать интерференцию когерентных волн от объекта
и волны, восстановленной голограммой. Если после первой
операции (записи голограммы) с объектом произошли какие-
либо изменения, например деформация, то это отразится на
интерференционной картине.
Поскольку длина волны излучения мала, то так же, как и
в классической интерференции, можно зафиксировать, а затем
и измерить очень малые изменения волновых фронтов с
большой точностью, выражающейся в долях длины волны
излучения. По точности измерений метод голографической
интерферометрии не отличается от классической интерферометрии.
В ряде случаев голографическая интерферометрия
позволяет осуществить то, что было невозможно сделать
классическими методами. Например, в классической интерферометрии
волна сравнения и исследуемая волна должны существовать
одновременно (см. гл. 3). Как правило, в одно плечо
интерферометра помещается эталон, а в другое—исследуемый объект; при
этом обе волны, например, в четырехзеркальных
интерферометрах, распространяются по разным путям — они
пространственно раздельны. Максимальная разность хода, при которой
наблюдается удовлетворительная картина, жестко связана
с временной когерентностью источника излучения. Оптические
элементы, через которые проходят обе волны, должны иметь
высокое оптическое качество и быть строго тождественны.
396
в методах голографической интерферометрии реализуется
сравнение волн, существующих в разное время. Сравниваемые
волны распространяются, как ясно из предыдущего, по одному
и тому же пути. Обе волны искажаются оптическими
элементами одинаковым образом. Поэтому требования к качеству
оптики значительно снижаются. Понижение требований к
качеству оптических элементов определяет еще одну особенность
голографической интерферометрии — теоретически можно
проводить исследования объектов неограниченных размеров.
Кроме того, с помощью голографического экспонирования можно
обеспечить большой угол охвата объекта и таким образом
получить картину распределения пространственных неоднородно-
стей объекта или деформации. Для этого необходимо
восстанавливать картину интерференции с одной и той же
голограммы, но под разными углами. Однако большой размер объекта
определит и большой угол между опорным и объектным
пучком, что приведет к значительному увеличению
пространственной частоты интерференционной структуры и, следовательно,
к дополнительным требованиям к регистрирующим материалам.
Уникальной особенностью голографической интерферометрии
является возможность исследовать диффузно отражающие
объекты с интерферометрической точностью. Это объясняется
тем, что волна сравнения повторяет во всех подробностях
волну, рассеянную объектом в исходном состоянии. Отсюда и
возможность исследования объектов любой формы, любой
шероховатости. Необходимо, однако, чтобы микроструктура объекта
между двумя экспозициями не менялась. В методах
классической интерферометрии, как правило, используются объекты
простой формы, имеющие оптическую полированную
поверхность.
Следующим существенным преимуществом голографической
интерферометрии является возможность непрерывно записывать
изменения, происходящие с объектом. Оставляя объект на
месте после первого экспонирования и подвергая его деформации
или смещению, мы можем наблюдать изменения, происходящие
в интерференционной картине в реальном масштабе времени.
Возможность непрерывной записи особенно важна при
изучении быстро протекающих процессов. При использовании
импульсных лазеров скважность экспозиции может быть очень
мала.
Характерной особенностью голографической
интерферометрии является высокая информативность, которая
обеспечивается тем, что на голограмме мы имеем запись и восстановление
тонких деталей световой волны сложной формы с высокой
достоверностью. Именно это свойство и позволяет исследовать
диффузно отражающие объекты любой формы.
Природа и вид интерференционных полос диффузно
рассеянных волн отличается от световых волн, формирующих изо-
397
бражение в классических интерферометрах. Сами
интерференционные полосы чаще всего имеют структуру в виде маленьких
светлых и темных пятнышек неправильной формы, которые
называются спеклами. Их возникновение связано с
использованием высококогерентного света. Эти спеклы возникают при
рассеянии отраженного лазерного излучения от шероховатой
поверхности. Такая поверхность имеет случайные
микроскопические отклонения от общего рельефа, которые по размеру
больше длины волны. Спеклы возникают также и при
прохождении света через рассеивающие поверхности. В чем причина
возникновения спеклов? Каждая точка объекта рассеивает свет
в направлении наблюдения. Из-за высокой временной и
пространственной когерентности свет лазера от данной точки
объекта интерферирует со светом от любой другой точки объекта.
В результате будет иметь место хаотическая
интерференционная структура — пятнистость поля. Интерференционное
взаимодействие хаотично, потому что фаза рассеянного света является
случайной, вследствие нерегулярной шероховатости объекта.
При изменении микроструктуры интерференционные полосы
не будут зафиксированы, так как разность хода от точки к
точке будет меняться хаотически и в целом интерференционная
картина дает нерегулярную структуру и имеет высокую
пространственную частоту. Регулярная интерференционная
картина соответствует макроскопическим изменениям параметров
объекта (формы, координаты и т. д.).
Методы голографической интерферометрии. Способы
получения голографических интерферограмм делятся по принципу
записи и восстановления взаимодействующих волновых полей,
одно из которых образуется с помощью голограммы. Можно
выделить следующие методы: метод наблюдения изменений,
происходящих с объектом в реальном времени; метод двух
экспозиций; метод усреднения во времени. В последнее время
успешно развивается голографическая спектроскопия и
динамическая голография. Вначале рассмотрим различные методы
интерферометрии.
Метод в реальном времени. В случае
осуществления этого метода вначале регистрируется волновое поле,
рассеянное объектом в исходном состоянии. Это поле,
зарегистрированное на голограмме, затем восстанавливается с помощью
лазера. Оно интерферирует с переменным полем, которое
непосредственно рассеивается исследуемым объектом во время
происходящих с ним каких-либо изменений. Таким образом,
результирующее интерференционное поле формируется в
присутствии исследуемого объекта. Этот метод называют также
методом одной голограммы, так как имея одну голограмму,
зарегистрированную в начальном состоянии, можно получить
интерференционные картины, соответствующие различным
состояниям объекта в различные моменты времени.
398
Амплитудное пропускание голограммы задано уравнением
(6.1.7) при освещении ее волной с комплексной амплитудой
Ао = аоехр{— /фо).
Еще раз запишем (6.1.7) для первой экспозиции
/ (х, у) Ао = [to -\- kx (оо Н- al)\ Ао Н- kxalAn, + kxA^A^.
(6.3.1)
В (6.3.1) комплексная амплитуда волны за голограммой,
описываемая выражением A\, = kxa^ А-а,, характеризует первую
из интересующих волн и соответствует волне, рассеянной
объектом во время экспонирования голограммы. После
фотохимической обработки голограмма должна быть возвращена на
прежнее место. Вторая интерферирующая волна будет
формироваться объектом при изменении его состояния, при
экспонировании в реальном времени, и комплексная амплитуда Лп2
может быть записана в виде А-^^ = Р^пг, где р — коэффициент,
учитывающий ослабление объектной волны при прохождении
через голограмму. Если с объектом не происходит никаких
изменений, ю Ащ и А^^ будут отличаться только
постоянными множителями, если й > О, то волны синфазны и будут
усиливать друг друга. При негативной записи (к < 0)
комплексные амплитуды Ащ и Лп, окажутся в противофазе, т. е.
будут ослаблять друг друга, и при равенстве амплитуд дадут
минимум освещенности.
Если с объектом происходят какие-либо изменения во
времени (например, он подвергается деформации), то будет иметь
место интерференционная картина, так как возникает разность
фаз, изменяющаяся во времени, и получим «живую»
интерференционную картину.
Как и в классической интерферометрии, контраст полос
будет определяться соотношением интенсивное! ей
интерферирующих волн. Наибольший контраст будет иметь место при
равенстве интенсивностей интерферирующих волн, что можно
достичь с помощью введения фильтров. К таким фильтрам
предъявляются высокие требования, так как они не должны
искажать волновой фронт.
Одной из особенностей метода голографической
интерферометрии в реальном времени является необходимость при втором
экспонировании возвращать голограмму в прежнее ее
положение с высокой точностью, чтобы совместить до долей периода
структуру интерференционных полей. Иногда прибегают к
фотохимической обработке фотопластинки на месте, где она
находилась при первом экспонировании; применяют так
называемую жидкостную кассету.
399
Можно иначе рассмотреть получение интерференционной
картины, которая возникает из-за изменений, происходящих
с объектом во время эксперимента. Запишем комплексную
амплитуду для восстановленной с голограммы волны в виде
Лп, = Сп, ехр [/Ф {X, у, Z)]. (6.3.2)
В формуле (6.3.2) Оп,— амплитуда предметной волны при
экспозиции. При изменении состояния объекта или условий
освещения его распространяющаяся за голограммой волна имеет
комплексную амплитуду
Лп, = ^а„, ехр [/Ф (;..', у, z) -\- id (х, у, z)]. (6.3.3)
В формуле (6.3.3) б — приобретенная фазовая
составляющая объектной волны, обусловленная происшедшими
изменениями (разность фаз); р — коэффициент, характеризующий
ослабление амплитуды объектной волны при прохождении ее
через голограмму.
Как и в классическом варианте, для результата
интерференции комплексных амплитуд окончательно получим
/ (х, у, z) = On, Н- РОп, И- 25а„,а„^ cos д (х, у, z). (6.3.4)
Далее можно интерпретировать (6.3.4) как обычное
представление результата интерференции двух лучей.
Метод двух экспозиций. Наиболее простым в
осуществлении является метод двух экспозиций. В этом случае
экспериментатора интересует результат изменений,
происшедших с объектом через некоторый интервал времени после
первой экспозиции, например, если произошли деформация
объекта, его перемещение, поворот и др. Тогда на одном
регистрирующем материале (чаще всего фотографической пластинке)
записывается сначала голограмма данного состояния объекта
при заданном направлении опорного лазерного пучка, а затем
на ту же фотопластинку — голограмма второго состояния
объекта.
После фотохимической обработки такую дважды
экспонированную голограмму освещают опорным пучком. Тогда
одновременно восстановятся оба изображения. При этом обе
восстановленные волны будут когерентны и дадут
интерференционную картину, которая будет содержать количественную
информацию о происшедших с объектом изменениях.
Если при первом и втором экспонировании условия
освещения были идентичны, то амплитуды восстановленных волн
будут иметь близкие значения и видность интерференционной
картины должна быть хорошей. Простота этого метода
заключается в том, что не требуется столь точного возвращения
голограммы на то место, где она располагалась на стадии
экспонирования. Если с объектом никаких изменений в интервале
времени между экспозициями не произошло, а направление
освещения при второй экспозиции будет другим, то также
получим интерференционную картину.
400
Интерферометром в данном случае является сама
голограмма. Кроме того, если условия записи голограмм двух
состояний объекта идентичны, то на этапе восстановления
восстановленные волны будут иметь одинаковую интенсивность.
Следовательно, контраст наблюдаемой интерференционной картины
будет близок к единице.
В методе двух экспозиций интерференционная картина
может наблюдаться в полосах бесконечной ширины. Для
получения полос конечной ширины перед второй экспозицией
изменяется угол между предметным и опорным пучками. Интересным
видоизменением метода двух экспозиций является способ, в
котором голограммы для двух состояний объекта
зарегистрированы на отдельных фотопластинках. При изменении взаимного
расположения двух голограмм на этапе восстановления
изменяется частота и ориентация интерференционных полос.
Метод последовательной регистрации на голограмме
волновых полей, рассеянных объектов в двух состояниях может быть
распространен на случай многих экспозиций. Таким образом,
реализуется многоэкспозиционная голографическая
интерферометрия. Основываясь на принципе когерентного сложения
восстановленных волновых полей, получим результирующее поле
за апертурой голограммы
N
и (х, у, z) = CYj к {х, у, z),
n=l
где С — коэффициент, характеризующий ослабление каждой
из восстановленных волн; An{Ai, ..., А^)—комплексные
амплитуды интерферирующих волн.
Метод многоэкспозиционной интерферометрии используется
далее при рассмотрении метода с усреднением по времени.
Отметим, что метод двух экспозиций в настоящее время получил
широкое распространение при изучении быстропротекающих
процессов, при исследовании топографии, деформаций
объектов и фазовых неоднородностей.
Интерференционное поле в случае использования метода
двух экспозиций будет стационарно: его можно использовать
в любое время после получения голограммы. Если в этом
методе можно применить лазеры с двумя близкими по времени
импульсами, то получим картину двух состояний объекта
через короткий промежуток времени, т. е. можно исследовать
динамический процесс. С помощью методов классической
интерферометрии эту задачу выполнить сложно.
Метод двух экспозиций может быть использован для
получения топографической контурной карты поверхности любого
объекта, в том числе и диффузно отражающего.
В экспериментальной практике весьма распространенным
является метод двух длин волн: сначала осуществляется запись
26 Зак. № 167 401
интерференционной структуры на фотоэмульсии с помощью
перестраиваемого лазера, излучение которого соответствует длине
волны Яь Восстановление изображения идет на длине волны Хо;
оно будет иметь увеличение из-за разницы в длинах волн. При
использовании схемы (рис. 6.3.2) лазер излучает несколько
длин волн, но с помощью светофильтра выделяются только
две длины волны. Голограмма регистрируется при длине
волны Xi, а восстановление происходит при использовании длины
волны Яа и одновременном освещении объекта. Голограмма
получается во встречных пучках, а объект располагается
вблизи голограммы. Такое расположение объекта не вызывает
поперечного смещения восстановленного изображения. Для
этого метода расстояние между эквидистантными плоскостями
будет соответствовать
2 (Я,-Яг)'
где h — шаг интерференционной полосы.
В иммерсионном методе (рис. 6.3.3) смысл работы
оптической системы такой же, как и в предыдущих случаях. Теперь
на фотопластинке регистрируются две интерференционные
структуры объекта в присутствии двух сред в кювете 10,
имеющих показатели преломления ni и Пг. После обработки дважды
экспонированная голограмма возвращается на прежнее место
и освещается опорным пучком. Геометрическое рассмотрение
показывает, что величина шага полос h при освещении,
перпендикулярном окну кюветы и совпадающем с направлением
наблюдения, равна
/z = V2(rti—«2). (6.3.5)
Для осуществления этого метода лучше использовать
телескопическую систему при
получении голограмм и при
наблюдении интерференционной
картины, так как при замене
rti на «2 может иметь место
смещение изображения в
продольном и поперечном
направлениях.
/
Р'^'^^к^
Рис. 6.3.2. Оптическая схема,
поясняющая метод двух длин волн:
I — лазер; 2 — светофильтр; 3 — расширитель
пучка; 4 — фотоэмульсия; 5 — объект
Рис. 6.3.3. Оптическая схема
иммерсионного метода получения го-
лографических интерферограмм;
/ — лазер; 2 — разделитель пучка; 3, 4,
8 — отрал^ательные зеркала; 5 — линза;
6 — диафрагма; 7 — фотоэмульсия (го-
лограмма); 9 — расширитель; Ю —
кювета; и — объект
402
Практическое использование того или иного метода зависит
'ОТ постановки задачи и способа расшифровки интерферограмм.
Интерферометрия с усреднением по време-
н и. Принцип метода можно рассмотреть с позиций
многоэкспозиционной интерферометрии. При этом непрерывную
регистрацию объектного поля представим как экспозицию бесконечного
множества дискретных состояний объекта. Зарегистрированная
таким образом голограмма на этапе восстановления
формирует множество изображений, которые суммируются с учетом
амплитудно-фазовых соотношений и образуют
интерференционную картину. Метод интерферометрии с усреднением по
времени был предложен Пауэлом и Стетсоном для изучения виб-
рируюш,их объектов.
Было показано, что при голографической регистрации виб-
брирующего объекта распределение интенсивности в
изображении, восстановленного с голограммы, определяется выражением
Г 2л; ~1
/ {х, у) = с J а {х, у) /о -J- а (.V, у) (cos О, + cos О2) • (6.3.6)
В формуле (6.3.6): С—некоторая константа; 1й{х, у) —рас-
лределение интенсивности по объекту; /о — функция Бесселя
нулевого порядка; а{х, у)—амплитуда смещения точек
объекта; Oi и Ог — углы между нормалью к поверхности объекта
и направлениями освещения и наблюдения соответственно.
Из (6.3.6) следует, что темные полосы в наблюдаемой
интерференционной картине соответствуют нулевым значениям
функции /о, а светлые — максимумам этой функции. Для больших
амплитуд функция Бесселя периодически осциллирует с
уменьшением размаха колебаний. Каждый максимум н минимум
полосы соответствует эквивалентному колебанию функции
Бесселя.
Увеличение аргумента а{х,у), т. е. амплитуды колебания
объекта, приводит к резкому падению интенсивности в
максимумах полос. Уменьшение интенсивности в максимумах полос
при заданных значениях /mm равноценно уменьшению видности
интерференционной картины. Это ограничивает возможности
практического использования данного метода при
исследовании больших амплитуд вибраций.
Оптические схемы голографических интерференционных
установок. В практике физического эксперимента имеется большое
разнообразие оптических систем для проведения голографиче-
ского эксперимента. В качестве источников света в этих
установках используются главным образом одномодовые лазеры
непрерывного действия или импульсные лазеры. Последние
необходимы, если ставится задача исследования быстропротекаю-
щих процессов, происходящих с объектом.
Голографические интерферометры, например, могут быть
построены на основе схемы Лейта и Упатниекса. Восстановле-
26* 403
ние объектного поля с голограммы приводит к образованию-
картины, которая позволяет осуществить интерферометрический
контроль изменений положения объекта в пространстве,
состояния объекта и др. Полученная информация идентична той,
которую дает неголографический интерферометр, т. е. будет
зарегистрирован результат взаимодействия амплитуд и разности
фаз двух состояний объекта.
Любой классический интерферометр может иметь гологра-
фический аналог. Однако при создании голографических интер-
Рис. 6,3.4, Оптическая схема голографического
интерферометра для исследования прозрачных
объектов
ферометров к качеству оптики предъявляются значительно
меньшие требования, поскольку интерферирующие поля
распространяются по одному и тому же оптическому пути и
претерпевают одинаковые искажения. В качестве примеров
приведем некоторые реальные оптические схемы установок.
На рис. 6.3.4 изображена схема получения голограмм в
проходящем свете, которая является типовой в методах гологра-
фической интерферометрии при исследовании, например,
напряжений в прозрачных моделях.
Луч от лазера 1, отразившись от зеркала 2, падает через
диафрагму на светоделитель 4. Часть света, прошедшая через
него, отражаясь от зеркала 5, направляется на микрообъектив
с диафрагмой 7 и линзу 8, которые формируют широкий
параллельный пучок для просвечивания исследуемого объекта 9.
Другая часть пучка, пройдя через нейтральный фильтр 10 и
микрообъектив с диафрагмой И, направляется зеркалом 12
на фотопластинку 13. Таким образом, на фотопластинке
формируется интерференционное поле объектной и опорной волн.
Интенсивности интерферирующих пучков выравниваются с
помощью светофильтров 6. Время экспонирования задается
затвором 3. Фотографирование двух состояний объекта до дефор-
404
мации и после нее даст интерференционную картину — гологра-
фическую интерферограмму.
В качестве примера на рис. 6.3.5 изображена оптическая
схема голографического интерферометра, позволяющая
получить голограммы в отраженном свете. Луч лазера 1,
отразившись от зеркала 2, проходит через фотозатвор 3, отражается
от зеркала 4 и попадает на светоделитель 5. Часть света,
пройдя светоделитель 5, нейтральный фильтр 6, микрообъектив
с диафрагмой 7, после
отражения от зеркала 8
освещает объект 9.
Другая часть света,
отразившись от светоделителя
5, проходит нейтральный
фильтр 13 и после зеркала
10 проходит через
микрообъектив с диафрагмой 11
и, интерферируя с
рассеянной от объекта волной,
создает интерференционную
структуру на фотоэмульсии
12 — гологр амму.
Поворотом зеркала 8
можно менять положение
источника, изменяя
направление предметного пучка.
В случае метода двух длин
волн используется лазер, способный генерировать две длины
волны.
При восстановлении голограмм под разными углами могут
быть получены сведения о пространственной неоднородности
или о форме исследуемых объектов, т. е. может быть получена
голографическая интерферограмма.
Значительный интерес представляют схемы голографических
интерферометров, в которых регистрация голограммы,
осуществляется по методу Ю. Н. Денисюка. Такие интерферометры
достаточно, компактны, имеют более простые оптические схемы.
Кроме того, голографические интерферограммы можно
использовать при восстановлении интерферирующих полей пучком
белого света. Принципиальная оптическая схема интерферометра
с регистрацией голограммы по методу Ю. Н. Денисюка
изображена на рис. 6.3.6. Излучение лазера 1 с помощью зеркал 2,
4 направляется в коллимирующую систему, которая состоит
из микрообъектива с диафрагмой 5 и объектива 6.
Сформированная плоская волна проходит через фотопластинку 7 и
освещает исследуемый объект 8. Результат интерференции
объектного поля с падающей плоской волной записывается на
фотопластинке 7. Фотозатвор 3 определяет время экспозиции.
Рис, 6,3.5. Оптическая схема
голографического интерферометра для
исследования отражающих объектов
405
Рассмотренная схема интерферометра может быть
использована при изучении топографии и деформаций объектов, если
выгодно расположить объект близко к голограмме.
Метод голографической спектроскопии. Этот метод может
быть назван также методом полихроматической голографии.
Все описанные выше методы и схемы, как правило,
осуществляются на одной или двух длинах волн. Однако сложная
структура, характерная для дисперсной среды, твердых тел,
биологических объектов, проявляется и в сложной спектраль-
ЭН^
Рис. 6.3,6. Оптическая схема регистрации интерферо-
граммы во встречных пучках в отраженном свете
НОЙ зависимости показателя преломления, поглощения,
рассеяния объекта от длины волны. Это требует разработки методов
голографической диагностики, осуществляемых во многих
длинах волн одновременно.
Суть метода полихроматической голографии состоит в том
(рис. 6.3.7), что голографическая система с исследуемым
объектом в одном из плечей освещается излучением со специально
выбранным спектром ^. Последний формируется с помощью
лазеров или при использовании газоразрядных источников света
в зависимости от конкретного исследуемого объекта. На
рис. 6.3.7, а показана оптическая схема установки для
получения спектров-голограмм. Свет от источника / проходит два
пути: через светоделитель Мо один пучок попадает на зеркало
Ml и, проходя фазовый объект О, проектируется линзами Li и
La на широкую входную щель спектрографа СП. Другой пучок
является опорным. Он идет по пути от источника /, через
светоделитель Мо, отражается от зеркал Мз, М^ и собирается
линзами L2, Ьз. В фокальной плоскости спектрографа
регистрируются голограммы G. На рисунке схематически показан ход
лучей в спектрографе.
' Жиглинскин А. Г., Кунд Г. Г., Морозов А. О. О получении и
возможностях применения спектров-голограмм/Оптика и спектроскопия, — 1979.—
Т. 46. — Вып, 6.— С, 1196—1200.
406
Совокупность голограмм, соответствующих каждой линии
зондирующего излучения, регистрируется в выходной
плоскости спектрографа, образуя спектроголограмму (рис. 6.3.7,6).
Спектрограф необходим для пространственного разделения
голограмм от каждой линии зондирующего излучения. Входная
щель спектрографа широко раскрыта; она определяет
поперечные размеры каждой элементарной голограммы.
(Г)
DDDD
Рис. 6.3.7. Схема установки для получения спектроголограммы (а)
и вид спектроголограммы (б)
Таким образом, восстановленная со спектроголограммы
волна несет информацию как о пространственной, так и
о спектральной зависимости амплитудных и фазовых
изменений, вносимых объектом, что и необходимо при изучении
пространственно неоднородных объектов сложного состава.
Следует подчеркнуть, что при спектральной ширине
входной щели спектрографа, меньшей расстояния между линиями
в спектре источника света, отдельные линии-голограммы в
выходной плоскости спектрографа не перекрываются и потери
дифракционной эффективности спектроголограммы отсутствуют.
Методом полихроматической голографии при диагностике,
например, сложной системы многокомпонентной плазмы, можно
определить такие физические параметры, как пространственные
распределения концентраций молекул газа, атомов и ионов
металлов, температуры, рефракции плазмы и др.
Динамическая голография. В настоящее время весьма
интенсивно начала развиваться так называемая динамическая голо-
407
графия. Под этим понятием подразумевается запись
трехмерной картины стоячих волн в такой среде, которая реагирует на
излучение в процессе его воздействия; это явление по существу
соответствует синтезу принципов голографии в трехмерной
среде и нелинейной оптики. Закономерности нелинейной оптики
проявляются в описании характера взаимодействия
регистрирующей среды в процессе воздействия на нее излучения. В
качестве регистрирующих сред при этом используют такие среды
как ннобат лития, реоксан.
Напомним, что трехмерную голограмму можно восстановить
излучением сферической волны, которая сходится в точку, где
Щ Щ
й^ЛгЛ},---
Рис. 6.3.8. Пояснение метода динамической
голографии
расположен источник, т. е. волной комплексно-сопряженной по
отношению к волне источника. В этом случае будем наблюдать
восстановленное изображение объекта как бы «изнутри».
На практике метод обращения волновых фронтов
используется с успехом при решении проблем компенсации влияния
оптических неоднородностей, так как обращенная волна
приобретает искажения обратного знака. На рис. 6.3.8 изображен
принцип использования обращенной волны для компенсации
неоднородностей прозрачных сред. Исходная плоская волна IFo
искажается оптически неоднородной средой V и преобразуется
в сложную волну Wu.
Динамическая голограмма получается при взаимодействии
волны IFu, плоской опорной волны R и встречной по
отношению к последней волны R* (волна R* получается при
отражении света от плоского зеркала М).
На рисунке изображена система изофазных поверхностей di,
di, из, ... в регистрирующей среде Н. При считывании этой
структуры волной R* формируется волна W*^ сопряженная
с падающей, в результате чего и образуется обращенная вол-
408
на Wu, которая, пройдя через неоднородную среду, снова
трансформируется в плоскую волну IFo.
Таким образом, для динамических голограмм процесс
регистрации и восстановления волновых фронтов происходят как
бы одновременно. Получается, что восстановление изображения
в этом случае происходит с помощью тех же двух пучков, что
и запись.
Описанный способ весьма перспективен для коррекции
волновых фронтов в оптических системах. Динамическая гологра-
'^ -V^-
Рис. 6.3,9. Работа голограммы с использованием
обращенной волны
фия открывает новые возможности для коррекции волновых;
фронтов, для создания усилителей изображения, устройств
управления лазерным излучением.
Обращение волнового фронта может быть использовано для
исправления неоднородностей или аберраций оптических
элементов. При этом может быть, использована голограмма,
работающая, в частности, в динамическом режиме. На рис. 6.3.9
приведена оптическая схема при использовании голограммы,
в которой происходит превращение мнимого голографического
изображения в действительное при обращении
распространения пучка лучей для компенсации аберраций линзы.
Линза L является простой и поэтому дает изображение
предмета Р — несовершенное. Принцип получения идеального
изображения предмета Р с помощью неидеальной линзы и
голограммы G показан на рисунке 6.3.9. Сначала с помощью
линзы L, как и в первом случае, формируется голограмма G,
которая при восстановлении освещается когерентным светом
в направлении С; волна R — обращенная. Несмотря на то, что
при реконструкции образуется несовершенное мнимое
изображение Р', линза переносит изображение в первоначальное
положение и дает действительное изображение Ро. Компенсация
аберраций происходит вследствие обращения хода лучей через
оптическую систему.
409
§ 6.4. Голографические оптические элементы
В настоящее время в качестве оптических элементов
широко используются голографические оптические элементы (ГОЭ).
Однако принцип работы этих элементов существенно
отличается от действия классических оптических элементов — призм,
зеркал, линз и тому подобных. Голографический оптический
элемент представляет собой голограмму, на которой записаны
волновые фронты специальной формы.
Голографический, или голограммный оптический, элемент
преобразует волновой фронт как и оптическая деталь, т. е.
фокусирует, отклоняет, расщепляет лучи. Однако в основе этих
явлений лежит дифракция света на периодической или
квазипериодической структурах. Эта структура формируется на
основе тех принципов, которые уже были рассмотрены.
Дифракционная структура голографического элемента получается
в результате образования на высокоотражающем
светочувствительном материале интерференционной картины от двух или
большего числа когерентных волн. Голографические
(дифракционные) элементы могут быть использованы как линзы,
решетки, мультипликаторы и др. Они также применяются для
фильтрации изображений и коррекции волнового фронта.
Простейшим голографическим оптическим элементом
является зонная пластинка с косинусоидальным распределением
почернения в радиальном направлении, которая является
голограммой точки. Эта голограмма обладает фокусирующим
действием и играет роль линзы. Рассмотрим только некоторые
применения ГОЭ.
Голограмма-линза, Такую голограмму можно сравнить
•с классической зонной пластинкой Френеля. Известно, что эта
пластинка имеет прямоугольное радиальное распределение
пропускания. Она состоит из чередующихся светлых и темных
колец, которые ограничены окружностями с радиусами р =
= '\/m'kz, где т — целое число, а z — расстояние от пластинки
до изображения точки; при этом tnk-^z (см. гл. 5). В отличие
от линзы после зонной пластинки возникает большое число
изображений, расположенных по оси, совпадающей с лучом
нулевого дифракционного порядка.
Зонная пластинка с косинусоидальным распределением
почернения соответствует голограмме, на которой записан
результат интерференции плоской и сферической волн. Тогда, как
было показано, будем иметь только ±1 дифракционные порядки
и, следовательно, всего два фокуса. При использовании схем
с наклонными пучками эти изображения будут
пространственно разделены.
На рис. 6.4.1, а показана схема записи голографической
линзы. Сферическая волна формируется системой D, L, где
410
D — точечная диафрагма. На расстоянии h расположена
фотоэмульсия F, которая одновременно освещается опорной
плоской волной Р. После фотообработки полученную голограмму
можно отбеливать и получить не амплитудную, а фазовую
голограмму. Такая голографическая линза может одновременно
выполнять функции двух линз — положительной и
отрицательной (вогнутой). Если восстанавливающая волна будет
направлена в сторону, противоположную опорной (при записи), то
сходящаяся сферическая волна будет фокусироваться на опти-
Рис. 6.4.1. Схема записи голографической линзы (а) и
пример построения изображения прозрачного предмета (б)
ческой оси голограммы (рис. 6.4.1,6), а расходящаяся также-
сферическая волна будет иметь наклонное расположение и
даст второе изображение.
На рис. 6.4.1,6 изображен пример построения изображения
прозрачного предмета. Плоская восстанавливающая волна W
падает на предмет Т и голограмму-линзу G. Тогда возникают
два изображения Т' (действительное изображение) и Т"
(вторичное, мнимое). Расстояния /, на которых получаются
изображения по оси основного и вторичного изображений, могут
быть определены по формуле простой линзы. Такая
голографическая линза является оптическим элементом с двумя
фокусными расстояниями для основного изображения fi и
сопряженного /г изображения. Можно записать
1//г"+1//г'=2/;г.
Это соотношение не зависит от положения источника при
записи и определяется только положением предмета Т
относительно голограммы.
Голограмма — компенсатор аберраций. Для коррекции
оптических изображений могут быть применены голографические
компенсаторы, основанные на использовании сопряженной
волны. Компенсационные свойства голограммы основаны на
принципе «взаимообратимости» предметной и опорной волн.
411:
Метод коррекции основан на использовании сопряженной
волны, образующей действительное изображение объекта. Для
компенсации неоднородностей среды может быть использовано
явление обращения волнового фронта, описанное в § 6.3 данной
главы.
На рис. 6.4.2, а, б показаны схемы коррекции изображения
простой линзы с помощью голографического компенсатора.
Вначале (рис. 6.4.2, а) получают голограмму аберрационной
линзы L на фотоэмульсии F. Если затем после фотохимической
Рис. 6.4.2. Схемы получения голограммы и
коррекции изображения
обработки голограмму осветить объектной волной (от
монохроматического источника /), искаженной линзой L, то
восстановится изображение Р опорного источника. Для компенсации
искажений, даваемых линзой, голограмму G располагают
(рис. 6.4.2, б) также, помещают предмет О перед линзой L и
через голограмму наблюдают уже неискаженное линзой L
изображение предмета, так как в восстановленную волну будут
внесены такие же искажения, какие дает линза L, но с
обратным знаком.
Объемные решетки. Голографические дифракционные
решетки получаются как результат регистрации
высокоразрешающим светочувствительным материалом картины интерференции
двух когерентных плоских или сферических волн. В области
пересечения волн создается синусоидальное распределение
интенсивности, которое в зависимости от используемого
материала будет регистрироваться либо в виде изменения пропускания
светочувствительного слоя (в этом случае будет
образовываться амплитудная голографнческая решетка), либо в виде
периодически изменяющегося показателя преломления (в этом
случае будет образовываться фазовая решетка). Могут иметь
место и рельефно-фазовые решетки с модуляцией глубины
рельефа.
Если толщина светочувствительного слоя намного
превышает период регистрируемой интерференционной картины, то
412
получим объемную голографическую решетку, которая имеет
большое применение. На практике могут быть созданы
отражающие решетки и решетки, работающие на пропускание. Тип
решетки зависит от взаимного расположения при записи
когерентных источников, а следовательно, и от этого же зависит
результат — пространственное расположение узлов и пучностей
стоячих волн. Такие решетки, как ясно из предыдущего
рассмотрения, будут селективны по отношению к освещающему
их пучку лучей (см. § 6.2).
Уже в первых работах по голографии Ю. Н. Денисюком
была выдвинута идея применения голографической методики
для получения голографических дифракционных решеток.
Спектральные голографические решетки. Голографические
решетки могут играть ту же роль, что и классические нарезные
решетки (см. гл. 5), которые дают разложение сложного
излучения в спектр.
Они получили наибольшее распространение из всех
голографических оптических элементов. Голографические решетки
представляют собой зарегистрированную на
светочувствительном материале картину интерференции двух световых пучков.
Сущность работы голографических отражательных
спектральных решеток сводится к тем же явлениям, что и
классических решеток. В результате интерференционно-дифракционных
явлений происходит разложение сложного излучения в спектр.
После соответствующей обработки регистрирующей среды
можно получить рельефную структуру. Если осветить решетку
одним из параллельных пучков с прежним его направлением,
то она восстановит другой пучок.
На практике применяют такие отражающие среды, как,
например, фотозист, в котором поверхность материала при
обработке приобретает рельефную структуру. На поверхность такой
решетки наносится зеркальное покрытие. Нужна специальная
технология, чтобы создать заданную форму рельефа для
повышения дифракционной эффективности решетки в заданном
направлении.
В настоящее время могут быть изготовлены как плоские,
так и вогнутые спектральные голографические решетки. Схемы
записи и последующего использования этих решеток могут быть
различными.
Технологический процесс изготовления голографических
спектральных решеток включает в себя следующие основные
операции: изготовление заготовки, приготовление и нанесение
слоев светочувствительных материалов (иногда задубливание
слоев), запись интерференционной картины на специально
созданных установках, химическую обработку. Как правило,
решетка работает на отражение. Тогда необходимо нанесение
отражающих слоев (алюминирование) и контроль
характеристик решеток. Оказалось, что на шеллаке с хромированными
413
слоями и на халькогенидных материалах (фоторезистах)
удается получить голографические решетки высокого качества и
больших размеров шириной до 500 мм. Расстояние между ин-
а)
Рис. 6.4.3. Оптические схемы получения голографических решеток: а-
в параллельных пучках:
/ — лазер: 2. 3, 4, 8 — отражательные зеркала: 5, 7 — расширители пучков; 6-
фотоматериал:
б — в СХОДЯЩИХСЯ пучках:
/ — лазер: 2, 4, 8 — отражательные зеркала: 3 — полупрозрачное зеркало: 5, 9 -
линзы; 6, 10 — диафрагмы; 7 — фотоматериал
терференционными полосами может широко варьироваться при
изменении угла между интерферирующими лучами. Это
приведет к изменению шага полос. Если позволят разрешающая
способность светочувствительного материала и конструкция
установки, то можно получить 6000 штр/мм. В качестве
примера на рис. 6.4.3, а, б приведены схемы записи плоских голо-
414
графических решеток. Их функциональные особенности ясны
из подписей к рисункам. Частота штрихов зависит от угла
между падающими пучками и расположения подложки.
Технология изготовления этого типа решеток приводит к различной
глубине профиля решетки в зависимости от различных
факторов, присутствуюш;их при изготовлении решеток. Форма
штриха (канавки) голографической решетки может быть изменена
в процессе химической обработки, однако этот профиль не мо-
д<ет быть точно рассчитан, как это имеет место при изготов-
.лении классических решеток. В процессе обработки материала.
5) /^ д
jr%z
Рис. 6.4.4. Профиль голо-
графической решетки: а —
симметричный; б —
несимметричный
V
10
0,5
1
2 . ^"^^^-^^~~^"-^^
ОА
0,5
0,6
0,7 К,мкм
Рис. 6.4.5. Экспериментальные кривые
эффективности для решеток 1800 мм~' с
синусоидальным (У) и треугольным (2) профилем
штриха
ла котором может быть зарегистрирована решетка,
поверхность голограммы приобретает рельефную структуру,
например, такую, как показано на рис. 6.4.4, а. Профиль реальной
голографической решетки может представить собой
промежуточный вид между синусоидальной и прямоугольной формами
(рис. 6.4.4,6).
Вопрос о дифракционной эффективности голографических
решеток и о параметрах решеток должен быть рассмотрен
отдельно. Здесь отметим, что только в коротковолновой области
спектра дифракционная эффективность голографических
решеток сравнима с этой характеристикой нарезных решеток.
Эффективность решеток для заданной области спектра может
быть повышена путем изменения величины экспозиции и
режима обработки светочувствительного материала. В качестве
примера на рис. 6.4.5 представлена зависимость дифракционной
эффективности т] металлизированной решетки на фоторезисте
с 1800 штр/мм от длины волны. Дифракционная эффективность
металлизированных решеток достигает величины ti = 0,7h-0,8.
415
Аппаратура для записи голографических решеток
представляет собой устройства, использующие прецизионную оптику.
Она должна обеспечить очень хорошую виброустойчивость и
стационарность интерференционной записи не хуже А,/8 (одной
восьмой доли полосы) за время экспонирования.
Для записи необходимы лазерные источники света высокой
мощности (3—5 Вт) для длины волны, лежащей в полосе
поглощения используемого светочувствительного материала. Это,
например, аргоновые ионные лазеры.
Основными отличительными характеристиками
голографических решеток является возможность варьировать параметры
записи с целью улучшения аберрационных данных; голографи-
ческие решетки реально не имеют ложных линий — «духов»
в отличие от решеток, полученных с помощью делительных
машин. Они обеспечивают при соответствующем качестве
регистрирующего материала малый уровень рассеянного света —
фона.
Наибольший интерес для спектральных систем
представляют вогнутые голографические решетки. Существенными
недостатками вогнутой нарезной решетки являются присущий ей
астигматизм и ограниченный размер нарезанной части.
Изготовление вогнутой решетки на тороидальной поверхности
позволяет исправить астигматизм, но ограничивает размер
нарезанной части. Это обычно ухудшает оптические и
эксплуатационные характеристики приборов. Изготовление вогнутой
решетки на тороидальной поверхности позволяет исправить
астигматизм в одной точке на круге Роуланда (см. гл. 7).
Однако для скользящего падения (для коротковолновой области
спектра) астигматизм очень велик, поэтому тороид будет иметь
большое отношение радиусов кривизны. Такую поверхность
получить весьма трудно. Решетку можно изготовить на
эллипсоидальной поверхности; тогда можно исправить астигматизм
и аберрации второго порядка в небольшом спектральном
интервале. Другая возможность улучшения свойства решеток
состоит в нарезании штрихов решетки с переменным шагом или
криволинейными штрихами. Например, применение решетки
с шагом, изменяющимся по линейному закону, позволяет
исправить астигматизм даже при достаточно больших углах
дифракции. Однако и в этом, случае астигматизм исправляется в узкой
спектральной области.
Перспективной и особенно эффективной задачей является
разработка голографических вогнутых решеток, оптические и
аберрационные свойства которых могут быть заданы схемой
записи интерференционной картины на поверхности заготовки.
При регистрации вогнутой голографической решетки
экспериментатор располагает четырьмя параметрами записи
(рис. 6.4.6). К ним относятся координаты точек А и А' я
расстояния h и h этих точек от начала координат. Источники А и
416
A' дают волновые поверхности в виде семейства гиперболоидов
вращения. При пересечении гиперболоидов со сферической
поверхностью получаются в общем случае криволинейные
штрихи с переменным шагом.
Анализ свойств такой решетки следует вести также путем
рассмотрения оптической длины пути от источника света
(щели) до изображения. В отличие от обычной вогнутой решетки
{§ 5.2) характеристическая функция голографической решетки
Рис. 6.4.6. Схема записи вогнутой
решетки
Рис. 6.4.7. Круг Роуланда и
фокальная кривая вогнутой
решетки типа III
будет содержать дополнительные слагаемые и может быть
представлена в виде*
V(y,z) = ^
у^ /cos ^ 'ф
COS^ ф
COS 'ф + COS ф тХ
I
I'
НЛ +
+ Т- т + -
1 cos \|) + COS ф
тХ
Н:
(6.4.1)
р Хо
В формуле (6.4.1) / и /' — расстояния от источника до
центра решетки и от центра до изображения в плоскости XOY
(при работе решетки, расположенной на круге Роуланда); г|з
и ф — углы падения и дифракции; Ао—длина волны лазерного
излучения; р — радиус кривизны заготовки.
Коэффициенты Hi и Яг определяются положением
источников А я А' при записи решетки:
Я,=
cos I
h
и
я, = 4- +
cos I — COS I
h ' h p
где /i и k—расстояния от Л и Л' до центра координат при
записи решетки; углы i и i' обозначены на рисунке; р — радиус
кривизны сферической заготовки.
• Пейсахсон И. В. Оптика спектральных приборов.
1970.— 270 с.
Машиностроение,
27 Зак. № 167
417
Выбирая Hi и Нг, можно менять характеристическую
функцию, минимизировать аберрации и дефокусировку спектра при
повороте решетки.
Из геометрического построения следует, что расстояние
между штрихами голографической решетки.
d = -. ^V ., . (6.4.2)
sm I — sin г
Тогда с учетом (6.4.2) условие максимумов запишется
в виде
sin I — sin г
77- (5in\|j+ з1пф) ^ гаЯ.
Если осветить решетку параллельными пучками лучей /i =
^ h =^оо_лх/ при i = —Я] ^ Яг ^ О, т. е. решетка не будет
отличаться от нарезанной вогнутой решетки и вместо (6.4.2)
будем иметь
Ло
^0—о .-.. (6.4.3)
2 sin г ^ '
Такие решетки в соответствии с классификацией,
предложенной французской фирмой «Жобен-Ивон», относятся к
решеткам типа I.
Если расположить источники А я А' (при записи) на круге
Роуланда так, чтобы /i = pcosJ, /2 = pcosi', то далее (в
приборе) решетка и щели также должны быть расположены на этом
же круге.
В зависимости от размещения точек А и А' в главной
плоскости при работе решетки в рабочем режиме будут
исправлены те или другие аберрации. Можно, например, точку А'
поместить в центре кривизны круга, тогда /2 = р и г'=0. В этом
случае для К = 2Ко/т в автоколлимации ■\p = (p = i, а также для
К = 'ко/т при ф = г и 113 = 0 исправляются астигматизм и
аберрации второго порядка.
Такая установка будет стигматичной для соответствующих
длин волн, но мало применимой в короткой ультрафиолетовой
области. Это обусловлено тем, что длина волны лазера во
много раз больше длины волны в вакуумной области спектра, что
определит необходимость работы в высоких порядках спектра.
Такие решетки относятся к типу II.
Рассмотрим решетки типа III: здесь требуется, чтобы Я2 =
= 0. Тогда прямая АА' должна быть перпендикулярна нормали
00' (рис. 6.4.6) и проходить через центр кривизны так, чтобы
li = p/cosi и k = p/cos i'. Для такой решетки при определенных
углах дифракции будет отсутствовать астигматизм. Эти
решетки исправляют астигматизм подобно тому, как это получается
при применении решетки с переменным шагом. На рис. 6.4.7
показаны стигматические точки такой решетки А, А' и А" и
ход фокальных кривых в меридиональной плоскости 1 (плос-
418
Таблица II
Некоторые характеристики нарезанных и голографических решеток
Характеристика
Дифракционная
эффективность
«Духи»
Рассеянный свет
Длина решетки
(максимальная)
Число штрихов
на 1 мм (максимальное)
Решетки
нарезанные
60—90 %
10-4—10-5
10-5—10-6
(на расстоянии 0,5 нм
от Л лазера)
300 мм
3600 штр/мм
голографические
50-85 %
Отсутствуют
10-6-10-8
(на расстоянии 0,5 нм
от Я лазера)
Несколько метров
До 6000 штр/мм
кость чертежа) и сагиттальной 2 плоскости при условии, что
/i = p (5—круг Роуланда). Кроме астигматизма уменьшаются
и другие аберрации. При другом расположении точек А или
А' можно получать астигматические точки для других длин
волн.
Здесь можно отметить еще один тип решеток, запись
которых осуществляется из условия минимизации аберраций,
необходимых при сканировании спектра. Смысл этой минимизации
заключается в нахождении геометрических параметров записи,
при которых будут минимальными расфокусировка,
астигматизм и меридиональная кома при повороте решетки вокруг ее
центра. Как правило, такие решетки имеют переменный шаг„
изменяющийся, например, по закону
где do — расстояние между штрихами у вершины решетки; у —
координата точки на поверхности решетки; \х.— коэффициент
неравномерности шага.
Выбор [Л определит конкретные аберрационные
характеристики прибора. Возможна также минимизация аббераций при
условии получения плоской фокальной поверхности. На базе
такой голографической вогнутой решетки могут быть созданы
малогабаритные спектрографы и монохроматоры высокой
светосилы.
В табл. 11 приведены некоторые характеристики
классических (нарезных) решеток, рассмотренных в главах 5 и 7, и
голографических решеток.
Из таблицы следует, что голографические решетки могут
конкурировать с нарезными дифракционными решетками по
ряду количественных характеристик: они могут иметь
значительно большие размеры и давать минимальный рассеянный свет.
27*
41Э
Глава 7
СПЕКТРАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
И ОСНОВЫ ТЕХНИКИ СПЕКТРОМЕТРИИ
В настоящее время в технике спектроскопии используются
различные физические принципы преобразования сложного
излучения с целью получения данных о спектральном составе
этого излучения, т. е. о «спектре». Понятие «спектр» можно
интерпретировать как зависимость энергии излучения,
приходящейся на некоторый малый спектральный интервал, от длины
волны Я, частоты v или волнового числа о. Частота излучения,
волновое число, длина волны и скорость распространения
световой волны связаны известными соотношениями:
с V ^ 1
Ло Л Яо '
где Яо — длина волны в вакууме; Я и v — длина волны и
скорость распространения волны в среде.
Запишем соотношения, связывающие спектральные
интервалы, выраженные в частотах, волновых числах или длинах
волн. После дифференцирования предыдущих выражений
получим:
\М; Аа = -^
И ДЛЯ относительных значении имеем
Ау Аа АЯ С? 1 П
V а Я ■ \ ■ ■ )
В технике измерений пользуются спектральными
координатами Я, V и а в зависимости от спектроаналитической задачи
и области спектра. Казалось бы, характеризовать излучение
спектральной координатой Я менее удобно, так как длина
волны зависит от показателя преломления (см. гл. 1), в то время
как спектральные координаты v и а определяются только
свойствами источника. Однако в ультрафиолетовом и видимом
диапазоне излучения измерения традиционно ведутся в длинах
волн до сих пор, так как все табличные данные в литературе
приведены в длинах волн. Изучение инфракрасного диапазона
излучения развивалось позднее, поэтому обычно при
исследовании инфракрасных спектров пользуются волновыми числами а.
Наиболее употребляемыми единицами измерения длины волны
являются нанометр (10~^ м) и микрометр (10"^ м). Волновые
числа обычно измеряют в обратных сантиметрах (см-'), что
соответствует числу длин волн, укладывающихся на 1 см.
420
Способы получения спектра в настоящее время стали
весьма разнообразными. В спектральных системах по-прежнему
наиболее широко используется пространственное разложение
изучаемого излучения в спектр с последующей селективной
фильтрацией излучения. Это первая группа спектральных
систем. Она представляет собой классические системы
преобразования излучения, в которых используются' в качестве
диспергирующих элементов призменные системы и дифракционные
решетки (классические и голографические).
Второй группой являются спектральные устройства,
построенные или на базе интерферометра Фабри—Перо, или с
использованием явлений поляризации — интерференционные и
интерференционно-поляризационные фильтры.
В последние десятилетия развиваются способы получения
спектра путем интерференционной и растровой селективной
модуляции исследуемого излучения. Это третья группа
спектральных систем. Для получения интерференционной селективной
модуляции используются в основном двухлучевые
интерферометры.
Значительное увеличение информативности спектральных
систем в настоящее время достигается с помощью
использования интегрально-кодовых преобразований. Кодирование
исследуемого излучения осуществляется, как правило, путем
представления спектра в виде интеграла по системе ортогональных
функций. Такими функциями являются Фурье-ряд
(Фурье-спектроскопия), функции Уолша (Адамар-спектроскопия) и др.
•Спектральные приборы, в которых использован принцип
интегрально-кодовых преобразований для получения спектра
излучения, относятся к четвертой группе.
Принципы работы различных спектральных систем, их
характеристики и применение будут рассмотрены в данной главе.
§ 7.1. Дисперсионные спектральные элементы
и системы
Прежде чем рассмотреть основы работы классических
диспергирующих элементов, таких, как призма и дифракционная
решетка, приведем общую принципиальную схему спектральной
системы, в которой входным отверстием является щель
(рис. 7.1.1).
Излучение от источника света /, возбуждаемого
генератором Г, через осветительный конденсор О попадает на входную
щель прибора 5. После узкой входной щели объектив Oi
направляет параллельный пучок лучей на диспергирующий
элемент G, который преобразует его в веер параллельных пучков
для разных длин волн. После пространственного разделения
лучей диспергирующим элементом G выходной объектив Ог
образует монохроматические изображения входной щели в излу-
421
чении различных длин волн на фокальной плоскости, которые
в своей совокупности составляют спектр излучения. Таким
образом, каждый узкий спектральный интервал в случае
эмиссионного спектра излучения представляет собой изображение
входной щели прибора, т. е. спектральную линию. Если Oi и
Ог работают в параллельном ходе лучей, то линейное
увеличение спектральной системы V^filfi, где fi и /г — фокусные
расстояния объективов Oi и Ог. В видимой области спектр может
рассматриваться визуально с помощью окуляра Оз. Такой при-
Рис. 7.1.1. Принципиальная схема спектральной установки
бор называют спектроскопом. Оптический спектр можно
регистрировать на фотопластинку или фотопленку Р. В этом
случае спектральный прибор, называется спектрографом. Он
снабжается измерительным комплексом, состоящим из
измерительного микроскопа, спектропроектора и микрофотометра.
При фотоэлектрической регистрации в фокальной плоскости
располагается одна или несколько выходных щелей,
выделяющих заданные спектральные интервалы, и далее фотоэлемент
или фотоумножитель Q. Если на выходе системы мы имеем
одну выходную щель, то путем поворота диспергирующего
элемента можно сканировать (перемещать) спектр относительно
выходной щели, чтобы осуществить регистрацию спектра. Такой
прибор называется монохроматором. Если в фокальной
плоскости располагается несколько щелей, выделяющие из
спектра аналитические линии, а вся система соединена с оптико-
электронным регистрирующим устройством, то такие приборы
называются квантометра;у[и. Квантометры в настоящее время
играют основную роль в экспрессном анализе металлов и
сплавов.
Не менее важное значение имеет спектральная аппаратура
для исследования спектров поглощения. В настоящее время
выпускаются инфракрасные спектрофотометры, спектрометры
различного назначения, а также приборные комплексы с
соответствующей вычислительной техникой. Оптическая часть этих
приборов строится на базе монохроматоров.
422
Несмотря на то, что в спектральных приборах применяются
два типа диспергирующих элементов: призма и решетка,
которые обладают существенным различием в принципе
осуществления дисперсии, оба типа приборов имеют некоторые общие
свойства.
Рассмотрим основные характеристики этих двух типов
спектральных приборов без детализации оптической схемы.
Обобщенная схема спектрального прибора изображена на рис. 7.1.2.
Рис. 7.1.2. Оптическая схема щелевого спектрального прибора
Угловая и линейная дисперсия. Диспергирующая система
спектрального прибора характеризуется угловой дисперсией,
т. е. скоростью изменения угла отклонения О при изменении
длины волны К, т. е. De = de/dK, где dQ — угловое расстояние
между двумя близкими длинами волн, отличающимися на dK.
Угловая дисперсия может зависеть от длины волны.
Линейная дисперсия Di характеризует прибор в целом. Если
диспергирующим элементом лучи длин волн К и K+dK
разведены на угол dQ, то линейное расстояние между эими линиями
в спектре будет dl = def2/sin г (рис. 7.1.2). Линейная дисперсия
Di = 4^^^f,-^ = D42-^- (7.1.2)
' dX dX ' sin e "''' sin e ^ '
В формуле (7.1.2) dl — расстояние в плоскости спектра;
/г — фокусное расстояние объектива Ог; е —угол между следом
плоскости спектра и осью сходящегося монохроматического
пучка лучей.
«Нормальная» ширина входной щели. Вследствие
дифракции на действующем отверстии D изображение входной щели
в фокальной плоскости объектива О2 (рис. 7.1.2) будет по
сравнению с геометрическими размерами уширено. При
уменьшении входной щели ее изображение также уменьшается только
до определенного предела, который можно считать равным
ширине дифракционного максимума. «Нормальной» шириной
входной щели 5н называется такая ширина, при которой
геометрическое изображение равно полуширине дифракционного макси-
423
X 1
мума. Для S' =f2 — —. . Ширина геометрического
изображения щели равна 5"= (S/o/fi)—: и таким образом
sin 8
(5н/2//1)—L=f2 ^ ^
sine D sine
Тогда
5н = /,^. (7.1.3)
Чтобы получить как можно более узкие линии в спектре,
необходимо уменьшать ширину входной щели, однако
нецелесообразно делать ее меньше «нормальной» ширины вследствие
существенных потерь энергии. При «нормальной» ширине щели
максимально реализуются разрешающая способность
спектрального прибора и светосила.
Разрешающая способность спектрального прибора. Она
характеризует способность давать раздельно две близкие
спектральные линии. Количественно она определяется как
отношение
R = ^. (7.1.4)
В формуле (7.1.4) Я — длина волны, ^6К—разность длин
волн двух спектральных линий, находящихся на пределе
разрешения.
Каждый спектральный прибор может быть оценен
некоторой теоретической разрешающей способностью, которая
достигается при бесконечно узкой входной щели и безаберрационной
оптике. В этом случае изображения входной щели, полученные
для длин волн Xi и Яг, благодаря дифракции на прямоугольном
отверстии диспергирующей системы в фокальной плоскости Ог
будут иметь распределения интенсивности согласно (5.2.2).
На рис. 7.1.3 показано взаимное расположение
распределений для ^1 и ^2 — разрешенных по критерию Рэлея. В этом
случае две линии одинаковой интенсивности должны
находиться на таком расстоянии друг от друга, что главный максимум
одной линии располагается над первым дифракционным
минимумом второй линии. При таком расположении провал в
середине суммарного контура составляет примерно 20 %
максимальной интенсивности. Как отмечалось (в гл. 5, § 5.2), критерий
Релея является условной мерой разрешающей способности, так
как возможно обнаружение более близких линий с провалом
интенсивности менее 20 %.
Если ширина действующего отверстия диспергирующей
системы равна D (см. рис. 7.1.2), то угловое расстояние между
линиями ^1 и ^2, расположенными на пределе разрешения по
Рэлею, будет 6Q = 'k/D. Тогда, используя угловую дисперсию
424
Рис. 7.1.3. Графическое представление критерия
Рэлея
диспергирующей системы прибора De, можно определить
предельно разрешимый интервал в длинах волн
6К =
D,
DD,
Отсюда находим величину теоретической разрешающей
способности по (7.1.4)
Rt =
6Х
DD,= Df^.
(7.1.5)
Согласно формуле (7.1.5), разрешающая способность
спектрального прибора определяется действующим отверстием D
и угловой дисперсией Dq диспергирующей системы. Обе эти
величины по-разному влияют на разрешающую способность.
При увеличении угловой дисперсии De растет угловое
расстояние между линиями ^i и 'кг. Это значит, что при той же
ширине контура линии в спектре окажутся на большем расстоянии
(рис. 7.1.4, а). При увеличении действующего отверстия D
уменьшается ширина главного дифракционного максимума,
т. е. изображения линий ki и ^2 сужаются и они становятся
разрешимы (рис. 7.1.4,6).
Выражение (7.1.5) имеет общий характер — оно применимо
и для призменных систем, и для систем с дифракционными
решетками.
В реальных спектральных приборах разрешающая
способность определяется шириной так называемого
инструментального контура спектральной линии, или аппаратной функцией
спектрального прибора.
425
Выше мы рассмотрели случай, когда строго
монохроматическое излучение, направленное в спектральный прибор через:
бесконечно узкую щель, передается прибором в искаженном
виде, т. е. на выходе прибора получается не бесконечно узкая
спектральная линия, а некоторое распределение потока
излучения, определяемого дифракцией на действующем отверстии
прибора. В реальном спектральном приборе ширина
инструментального контура идеализированной монохроматической линии
Я,Я^
Рис. 7.1.4. Влияние угловой дисперсии и действующего от-
верстия на разрешающую способность: а -тт— ^ ,, ,
б —D2>Di
определяется не только дифракционными явлениями в приборе^
но и шириной изображения входной щели, которая имеет
конечную ширину, аберрациями и дефектами оптической
системы, приводящими к уширению изображения щели. Кроме этого,
искажения вносит приемно-регистрирующая система. Таким
образом, реальные приборы даже строго монохроматическое
излучение передают в фокальную плоскость объектива Ог
в виде распределения энергии конечной ширины.
Искажающее действие спектрального прибора можно
охарактеризовать аппаратной функцией, которая свойственна
данному типу прибора. Аппаратная функция описывает характер
распределения потока излучения на выходе спектрального
прибора, когда входная щель его освещается монохроматическим
излучением с длиной волны К. Ширина аппаратной функции
бКр характеризует способность спектрального прибора
выделять из потока излучения узкие участки спектра в
окрестности каждой длины волны X', т. е. реальную разрешающую
способность
бХа
(7.1.6)
426
Чем меньше ширина аппаратной функции 8Кр, тем точнее
прибор передает истинное распределение энергии в спектре, и
только при бесконечно узкой аппаратной функции
распределение энергии в спектре было бы тождественно спектру
излучения, поданному на вход спектрального прибора.
Обозначим аппаратную функцию спектрального прибора
А{К — К'). Аргумент функции {X — X') —переменная
спектральная координата, причем X' — значение длины волны на
выходе прибора, для которой измеряется энергия излучения.
При X—X'=0, т. е. в измеряемой точке Х = Х', аппаратная
функция принимает максимальное значение. Для всех других
значений аргумента {X — X'), т. е. для других X, в точке X'
аппаратная функция убывает, причем чем больше X отличается
от X', тем меньше энергетический вклад соседних спектральных
участков в измеряемый сигнал.
Пусть теперь на вход реального прибора,
характеризующегося аппаратной функцией А{Х—X'), подается исследуемое
излучение, имеющее распределение энергии, определяемое
функцией Фя,(^). Каждая монохроматическая компонента
функции Ф>:,{Х) получит распределение на выходе в соответствии
с аппаратной функцией А{Х — X') и полная интенсивность
в каждой точке спектра будет зависеть от вклада всех
монохроматических составляющих. Результат измерения
исследуемого спектра Ф'^(Х') будет описываться интегралом
Ф^{Х')= \ A(X~X')Oi{X)dX. (7.1.7)
— оо
Интеграл (7.1.7) называется свеоткой функций Фк{Х) и
Л{Х — X'). Он связывает истинное Ф>.(^) и наблюдаемое Ф'^ {X')
с помощью спектральных приборов распределения энергии
в спектре исследуемого излучения.
Спектральные призмы. В спектральных системах, работаю-
ш,их на принципе пространственного разложения излучения
в спектр, используются призмы и призменные системы.
Спектральные призмы работают на принципе одномерной
дисперсии. Призма, выполненная из оптического материала, который
прозрачен для данной области спектра, пространственно
разделяет излучение различных длин волн в результате явления
дисперсии света, т. е. зависимости показателя преломления п
материала призмы от длины волны X — n — f{X). Эта зависимость
может быть описана, например, формулой Коши п — Л + В/Х^+
+ С/Х^+ .. ., где А, В, С — постоянные вещества призмы.
На рис. 7.1.5 показан ход лучей для пучка света,
падающего на призму под произвольным углом cci и проходящего
в плоскости главного сечения призмы, т. е. сечения,
перпендикулярного ребру призмы и проходящего через его середину.
427
Зависимость между углами падения cci, ссг и углами
преломления Pi, Р2 на входной и выходной гранях призмы дается
законом преломления Снелля:
sinoi ^п sinPii
^ (7.1.8>
sin 02 = — sinP2.
Из геометрических соотношений углов напишем выражение
для угла 9 — угла отклонения луча призмой
е = а,+ P2-Y- (7.1.9).
А
Рис. 7.1.5. Ход лучей в призме
Рис. 7.1.6. Призма, расположенная
в минимуме отклонения луча
На рис. 7.1.5 и в (7.1.9) у — преломляющий угол призмы;
углы cci, «2, Рь Р2 — углы падения и преломления
соответственно на первой и второй гранях призмы.
Из формул (7.1.8) и (7.1.9) можно получить выражение для
максимального преломляющего угла призмы ушах. Следует
положить, что sin ai = sin Р2= 1, тогда
Ymax ■
: 2arc5in —.
я
(7.1.10)
Если угол преломления призмы будет больше угла,
рассчитанного по формуле (7.1.10), то любой луч, вошедший в
призму, попадет на вторую преломляющую грань под углом а2,.
большем угла полного внутреннего отражения. Такой луч из
призмы не выйдет. Наиболее часто используются призмы с
углом у IV 60'^.
Наиболее распространена установка призмы в оптической
схеме в положение минимума отклонения. При этом в призме
осуществляется такой ход лучей, при котором угол
отклонения 9 принимает минимальное значение, т. е. выполняется
условие de/dai ^ 0. Тогда из формул (7.1.8), (7.1.9) вытекают
следующие соотношения: d^s/dai = 1 и, следовательно, d^2 =
= —dai. Так как призма всегда освещается параллельным
пучком лучей (см. рис. 7.1.2), то углам doci и rfp2 можно придать
смысл расходимости параллельных пучков на входе и выходе
428
призмы, возникшей вследствие конечной ширины входной щели.
В общем случае при установке не в минимуме отклонения эти
параметры пучка до призмы и после нее не одинаковы и
говорят о наличии углового увеличения призмы Г = d^2/da\. При
постановке призмы в минимуме отклонения угловое увеличение
очевидно равно единице.
Можно показать, что при постановке призмы в минимуме
отклонения имеет место симметричный ход лучей, проходящих
в призму, а именно ai = P2 и Pi = a2. При этом в призме лучи
идут перпендикулярно биссектрисе преломляющего угла
призмы Y (рис. 7.1.6), а ширина входящего пучка в призму D и
выходящего из нее пучка D' будут равны.
Основной спектральной характеристикой призмы является
угловая дисперсия Dq. Выше уже отмечалось, что эта величина
характеризует изменение угла отклонения луча dQ (в
результате дисперсии) при изменении длины волны на й%, т. е. De =
= de/dK Выражение для Dg получим, дифференцируя
соотношение (7.1.8) по углам и показателю преломления и принимая
во внимание, что при расположении призмы в минимуме
отклонения, будем иметь следующие сооотношения для углов
(рис. 7.1.6):
Pi ^02^^; —Y^^"i'> sina, ^«sin y/2. (7.1.11)
Для De = dQ/d^^ d^2/dK имеем с учетом (7.1.11) выражение
2 , dn
tg 0,-77-
n ° ' dX
De = 4tg«.^ (7-1.12)
или
2sin(Y/2) d^
Vl — «^ sin2 (y/2) dX
где Y — преломляющий угол призмы.
Угловая дисперсия зависит, как следует из '(7.1.12) и
(7.1.13), от преломляющего угла y и дисперсии материала
призмы dn/dX. Для увеличения De следует увеличивать Y>
которое ограничено соотношением (7.1.10), а материал призмы,
играющий основную роль, целесообразно выбирать с большой
дисперсией dn/dX. Увеличить угловую дисперсию можно еще,
увеличив число диспергирующих призм.
Разрешающая способность Rt спектральной призмы
определяется по (7.1.5) размером действующего отверстия и
угловой дисперсией. Для призмы, стоящей в минимуме
отклонения, определим действующее отверстие D через
параметры призмы (рис. 7.1.6): D =fiC cos P2=fiCVl — sin2p2 =
429
= fiC-\/l—n2sin2(Y/2). Подставим полученные D и De из
(7.1.13) в (7.1.5):
Rt
2 sin (y/2)
dn
d«
Vl — я2 sin2 (y/2) d^
BC^/\~n' sin^ (y/2) = ЛС —;
d^
'^Г"Ж
(7.1.14)
Из (7.1.14) следует, что разрешающая способность призмы
прямо пропорциональна длине ее основания t и дисперсии
вещества призмы dn/dK. Вместе с тем надо помнить, что соотно-
Входная щель
Спектр
Рис. 7.1.7. Прохождение наклонных пучков-через призму
шение (7.1.14) будет правильным, если призма полностью
заполнена потоком излучения, входящим в прибор. Только тогда
действующее отверстие D соответствует полному размеру
призмы. Любая другая установка призмы приводит к
уменьшению ее разрешающей способности.
Рассмотрим вопрос о кривизне спектральных линий. Так
как входная щель имеет конечную высоту, то через призменную
систему пройдут пучки лучей, наклоненные к плоскости
главного сечения призмы. Это приведет к искривлению изображения
входной щели. Поясним это с помощью рисунка 7.1.7. Пучок
лучей, выходящий из центральной точки входной щели 5о,
проходит через призму в плоскости главного сечения ВАС. Лучи,
идущие из верхней точки щели 5i, образуют параллельный
пучок, наклонный и пересекающий призму в плоскостях,
непараллельных плоскости главного сечения, например, в
плоскости В'А'С. Преломляющий угол ZB'A'C' больше угла /.ВАС
в плоскости главного сечения призмы. В результате этого лучи,
пересекающие призму вне плоскости главного сечения
отклоняются больше. Это приводит к тому, что изображение входной
щели искривляется, выпуклость изображения направлена в
сторону больших длин волн. В ряде случаев это искривление мало
430
заметно, в других можно принять меры для учета или
устранения этого искривления.
В первом приближении спектральная линия представляет
собой отрезок параболы с радиусом р при вершине. Для приз-
менного спектрального прибора (одна призма) радиус
кривизны может быть представлен в виде формулы
_М cosp.cosfe _
^ «2 — 1 sm Y
При использовании формулы (7.1.15) надо учесть угол it
(рис. 7.1.7), соответствующий угловой высоте щели и
определяющийся лучом, наклонно падающим на призму в сечении,
перпендикулярном главному сечению; cci — угол падения
проекции наклонного луча в плоскости главного сечения призмы,
углы Pi и Рг соответствуют углам преломления на гранях
призмы в плоскости главного сечения проекции наклонного луча.
Из формулы (7.1.15) следует, что кривизна спектральных
линий в большой степени зависит от фокусного расстояния
второго объектива Ог — /г и тригонометрического множителя Dy =
= cos Pi cos P2/s'in у. В соответствии с определением угловой
дисперсии для призмы вне минимума отклонения De =
= sin y/cos Pi cos Рг. Тогда тригонометрический множитель
в (7.1.15) может быть написан в следующем виде:
cos Bi cos Р2 dn/dX
sin Y Dfi
Подставив его в формулу (7.1.15), получим радиус
кривизны
Ья dn 1
Р =
«2—1 dX D„ '
Т. е. р обратно пропорционально угловой дисперсии призмы.
При фотоэлектрической регистрации сигнала от
спектральной линии чаще всего применяется прямая щель. Очевидно, что
кривизна линии является одним из факторов, влияющих на
выбор высоты и ширины выходной щели, которая не должна
экранировать линию. Чтобы выполнить это условие, необходимо
иметь ширину выходной щели равной или больше стрелки
прогиба линии. При определении стрелки прогиба приближенно
можно считать, что спектральная линия совпадает с дугой
окружности радиуса р, а стрелка прогиба Ар связана с
высотой спектра h. Тогда
д h^ h^ (п^ — I) sin Y
^ 8р Sfin cos Pi cos P2 '
При наличии кривизны изображения спектральных линий
(и особенно сплошного спектра) возникает необходимость
ограничить высоту входной щели, чтобы не ухудшить разрешающую
способность прибора. В этом случае высота входной щели не
должна быть больше величины Л, при которой имеет место
431
^5
Рис. 7.1.8. Оптическая, схема монохрома-
тора УМ-2:
Sj^ — входная щель; О, — объектив входного
коллиматора; Р{, Рг, Ръ — призма Аббе; Oj —
объектив коллиматора; S у^ — выходная щель
Фотопластинка
Рис. 7.1.9. Оптическая схема
спектрографа ИСП-30:
S — входная щель; О, — зеркальный
объектив коллиматора; Р — призма
Корню; Оз — объектив камеры; М —
поворотное зеркало
равенство стрелки прогиба Ар изображению нормальной
ширины щели. Из этой формулы с учетом (7.1.3а) получим для
высоты входной щели
- f . / 8п Л cos Pi cos Pa
«ВХ — Uy 7^2-1ГТ Д- ^^ ■
Диспергирующая система призменного спектрального
прибора может состоять из одной или нескольких призм. Угловая
дисперсия призмы, как следует из (7.1.13), возрастает при
увеличении преломляющего угла призмы, который ограничивается
определенным пределом (7.1.10), и дисперсии dn/dK вещества,
из которого выполнена призма. Кроме того, угловая дисперсия
возрастает при увеличении числа призм.
Весьма удобной в использовании является призменная
система постоянного угла отклонения. Например, в монохромато-
ре УМ-2, оптическая схема которого представлена на рис. 7.1.8,
применена призма Аббе. Она состоит из трех призм Pi, Рг и Рз.
Призмы Pi и Рз являются спектральными, с преломляющими
углами Y = 30°, приклеенными к граням равнобедренной
прямоугольной отражательной призмы. Такая система обеспечивает
угол отклонения 6 = 90° для лучей, проходящих призму в
минимуме отклонения. Призма Аббе поворачивается с помощью
винта, связанного с барабаном, на котором нанесена шкала
в градусах. Эта шкала должна быть отградуирована в длинах
волн.
432
в спектрографе для ультрафиолетовой области ИСП-30
используется призма Корню (рис. 7.1.9). Она состоит из двух
прямоугольных призм, поставленных на оптический контакт,
имеющих преломляющий угол у = 30° и вырезанных из лево- и
правовращающего кварца, так что кристаллические оси
параллельны основанию призм. Благодаря последнему в призме
Корню компенсируется двойное преломление и вращение
плоскости поляризации, что улучшает качество спектра.
Спектральные дифракционные решетки'. Дифракционные
отражательные решетки используются в качестве
диспергирующих элементов в спектральных
системах с 80-х годов прошлого
столетия.
Принцип действия плоской
амплитудной решетки был
рассмотрен в § 5.2. Прозрачные
амплитудные решетки используются
главным образом для
измерительных целей, например,
измерений перемещений. Решетки,
используемые в спектральных
системах, являются фазовыми. Рис." 7.1.10. Отражательная ди-
Они представляют собой регу- фракционная решетка
лярную последовательность
зеркальных канавок треугольного профиля (рис. 7.1.10).
Рабочая зеркальная грань обычно более широкая, чем
нерабочая. Она играет главную роль в работе решетки. Световая
волна дифрагирует на каждом зеркальном элементе шириной а
и в отраженном свете дает пространственное дифракционное
распределение интенсивности. Дифракционный максимум от
каждого зеркального элемента расположен в направлении
зеркального отражения луча. В этом же направлении,
следовательно, имеет место максимум энергии, отраженной от решетки.
Положение этого максимума будет зависеть от угла профиля
решетки /. При этом положение максимума можно смещать
по спектру, изменяя угол i профиля решетки. Такие решетки
с концентрацией энергии в определенном порядке спектра
получили название эшелеттов.
Наиболее распространенными для ультрафиолетовой и
видимой областей спектра являются решетки, имеющие 600, 1200,
1800 и 2400 штрихов на 1 мм длины; для ближней и средней
инфракрасной области спектра используются решетки,
имеющие 300, 200 и 100 штр./мм. Общее число штрихов решетки N
велико. Если решетка имеет длину L = 100 мм, то при
600 штр./мм yV = 600x 100 = 60 000 и постоянная решетки d =
' Перед проработкой этого параграфа необходимо повторить материал
гл. 5.
28 "ак. № 1G7 433
Таблица 12
Характеристики дифракционных решеток
Вид решетки
На стекле
На слоях
алюминия
Эшелетты на
металлических
заготовках
Размеры заштр!1ховаиной
поверхности, мм
40 X 30, 50 X 40, 60 X 50,
80 X 70, 100 X 90
100 X 45
120 X 60
150 X 100, 200 X 120
250 X 200, 300 X 200
130 X 120
150 X 140
300 X 180
50 X 50, 70 X 70,
100 X 100, 150 X 150,
200 X 200, 250 х 250,
300 X 300
Штрихов/мм
100—2400
300—2400
75—2400
75—300
75—600
100—1800
100—1200
100—600
2—100
(, °
0,5-3
2—60
5—40
= 1/600=1,67 мкм. Общие сведения об отечественых решетках
даны в табл. 12. Решетки, имеюш,ие сравнительно небольшое
число штрихов на миллиметр и работаюш,ие в высоких
порядках спектра, называют эшелле. Такие решетки обычно
применяются в сочетании с другим диспергирующим элементом
(призмой или решеткой) для того, чтобы пространственно
разделить спектры разных порядков, имеющие один и тот же
угол дифракции.
Рассмотрим действие фазовой профилированной решетки,
изображенной на рис. 7.1.10. Постоянная решетки d
определяется отрезком, измеренным в направлении GG' касательной
к профилю решетки; угол падения if и угол дифракции ф отсчи-
тываются от нормали к этой касательной до падающего и
дифрагированного лучей. Параллельный пучок, падающий под
углом if, дифрагирует на штрихах решетки и в некотором
направлении, соответствующем углу дифракции ф, наблюдается
главный максимум некоторого порядка. Условие для
возникновения главных максимумов вытекает из формул (5.2.7),
(5.2.8), которые справедливы не только для прозрачной, но и
для отражательной решетки.
В выражении для интенсивности необходимо уточнить вид
_ г Л sin^ и s'm^ Nv
функции и и V. В этом случае J =-д^'
где:
яа (sin i|) + sin ф) _ nd {s'm \p-\- sin ф)
(7.1.16)
434
Знаки для углов if и ф должны быть выбраны по следующе-
1иу правилу: они одинаковы, если расположены по одну сторону
от нормали, и разные, если расположены по обе стороны от
нормали, т. е. так, как изображено на рис. 7.1.10.
Положительными можно считать углы, измеренные от нормали по
направлению движения часовой стрелки. Порядки спектра тоже
положительны, если они расположены от нулевого порядка по ходу
часовой стрелки.
Так же как и для прозрачной решетки, условие главных
дифракционных максимумов соответствует и = тл, где т = 0,
1, 2, 3, ... Перепишем это условие через постоянную решетки
■4 и углы падения if и дифракции ф, учитывая (7.1.16), т. е.
d{sin'\p~\-sintp) ^ml. (7.1,17)
В формуле (7.1.17) т — порядок спектра.
Рассмотрим спектральные характеристики решетки.
Определим угловую ширину главного дифракционного максимума,
приравняв его равным углу между главным максимумом и
первым минимумом. Перепишем условие главных максимумов,
умножив обе части равенства (7.1.17) на N. Тогда получим
N d (з1п i|5 -\- sin ф) = NmK.
Условие для соседнего с главным максимумом минимума
получим для угла ф+бф и k = mN+\ (гл. 5). Тогда
Л^й[з1пя|5-|-51п(ф-|-6ф)] = (Л^т-Ь 1)Я.
После вычитания и упрощения разности этих выражений
лолучим, что угловой размер главного дифракционного
максимума очень мал и равен
6ф = ^^^-^^^ = -7-^—. (7.1.18)
^ Ыйсоъ^ L cos ф
где L —длина нарезанной части решетки.
Для решетки среднего размера (например, L = 100 мм) и
1 = 500 нм величина бф = 5-10~^ рад, что составляет 1,6".
Линейная ширина б/ спектральной линии будет также мала.
Приняв, что объектив, расположенный после решетки, не
вносит искажения и имеет фокусное расстояние /2=1000 мм,
получим б/= бф/2 = 0,005 мм.
Формулу для угловой дисперсии дифракционной решетки
получим, продифференцировав условие главных максимумов
(7.1.17) по углу ф при if = const (на решетку падает плоский
фронт волны). Тогда угловая дисперсия D^ равна
D^ = ^ = -Jn—. (7.1.19)
"' dX d cos ф ^
Выражение (7.1.19) показывает, что одно и то же значение
Лф можно получить при использовании различных параметров
28* 435
d решетки. Однако порядки спектров, в которых будет
получено заданное значение D^, будут резко различаться.
Если порядок спектра заменить через углы i|5 и ф и длину
волны X по формуле (7.1.17), то
" А. COS ф \ ■ I
Таким образом, в формуле (7.1.20) угловая дисперсия
решетки не зависит от ее постоянной d, а определяется
выбранной оптической схемой, т. е.
углами i|5 и ф. Зависимость
в (7.1.19) D^ от порядка спектра
заменяется зависимостью от
углов г|з и ф.
На практике часто удобно
использовать
автоколлимационную схему (рис. 7.1.11). Для нее
характерно равенство углов г|з =
^ Ф = г. В этом случае формула
(7.1.19) пишется в виде
Рис.
7.1,11. Автоколлимационная
схема
^Ф = тtgФ=|-tgг.
(7.1.21)
Формулу для линейной дисперсии спектральной системы
с дифракционной решеткой получим, умножив D^ в (7.1.19),
(7.1.20), или (7.1.21) на фокусное расстояние /г второго
объектива. Для (7.1.19) имеем
dl
dx
Df-
_ d({> f
'-4x1'
m
d cos Ф
h
Теоретическая разрешающая способность дифракционной
решетки определяется общей формулой для щелевой
спектральной системы (7.1.5). Эта характеристика может быть выражена
через порядок спектра и общее число интерферирую.щих лучей
Rt = D'D^ = N dcos(p-r^— = mN. (7.1.22)
' ^ ^ d cos ф '• '
Это совпадает с (5.3.5), что и следовало ожидать. В (7.1.22)
Ndcoscp = D — действующее сечение решетки в направлении
некоторого угла ф.
Обычно спектральные дифракционные решетки работают
в небольших порядках спектра, но имеют большое общее число
штрихов Л^. Вследствие этого их разрешающая способность
определяется большим числом (безразмерная величина).
Например, если как прежде W = 60 000, то для т = 2 7?т = 120 000.
Так же, как в призменных системах, здесь имеет место
кривизна спектральных линий из-за наклонных лучей, идущих вне
436
главной плоскости сечения решетки. Если р — угол наклона
лучей относительно меридиональной плоскости, то для наклонных
лучей условие максимума будет d cos р (sin if + sin ф) =тЯ. Из
этого соотношения видно, что лучи, наклоненные к главной
плоскости, дифрагируют на решетке по тому же закону, что и
лучи, лежаш,ие в главной плоскости, но эффективная величина
постоянной решетки уменьшается и имеет значение dcosф.
Поэтому для данной длины волны наклонные лучи отклоняются
на больший угол ф, а это обстоятельство приведет к
искривлению спектральной линии, причем выпуклость спектральных
линий обраш,ена в коротковолновую область спектра.
1ф Пф Шф Р/ф Уф У1ф УПф УШф
L1 1
порЯ'
1кр , I
док
*-| 2-й поря00к
ПНР
I*-
Iflxpj
J-й порядок
Пкр
Ч-й порядок
Рис. 7.1.12. Переналожение спектральных
участков различных порядков
Радиус кривизны линии будет равен
f ^ cos ф
Р =
sin i|) -f- sin ф
Стрелка прогиба при этом будет определяться выражением
Др = Pof2 (sin i|5 -f sin ф)/(2 cos ф).
(7.1.23).
В (7.1.23) Po—половинная угловая высота щели.
Из общей теории интерференции вытекает, что свободный
спектральный интервал АХ, который может иметь место в
интерференционных устройствах, определяется величиной АХ =
= 'klm, где т — порядок интерференции; X — средняя длина
волны для заданного диапазона АХ. Это соотношение
справедливо и для дифракционной решетки. Обычно решетки
работают в малых порядках спектра т, где свободный спектральный
интервал АЯ большой. В противном случае различные длины
волн, принадлежащие разным порядкам, будут соответствовать
одним и тем же углам дифракции [см. формулу (7.1.17)], т. е.
произойдет переложение спектральных участков. На рис. 7.1.12
для наглядности показан простой случай для видимого
диапазона длин волн 400 нм (ф) —800 нм (кр) при работе
решетки в первом, втором, третьем и четвертом порядках. Если ^ =
= 0, из (7.1.17) получим dsinф = mЯ. Легко определить
положение крайних длин волн для различных углов дифракции, т. е.
для различных порядков спектра.
437-
в самом деле для sin ^i^mK/d будем наблюдать
спектральную линию первого порядка для Х = 800 нм и втрого
порядка спектра для Х = 400 нм, а для sin щгу будем иметь
наложение Хф четвертого порядка и Хкр второго порядка. Уже во
втором порядке спектра в этом случае имеет место
переложение спектральных участков. Для получения чистого спектра
необходимо устранить линии мешающих порядков. Это можно
выполнить, например, с помощью светофильтров или
предварительного монохроматора небольшой дисперсии.
800
200
600
300
200
100 800l,HM
350 400 -
233 267
Рис. 7.1.13. Вид спектра с системой решетка — призма
Для увеличения линейной дисперсии и разрешающей
способности целесообразно использовать решетки — эшелле. Эти
решетки имеют профиль с углом г, близким к прямому, и
сравнительно небольшое число штрихов на миллиметр — например,
100—300 штр./мм. Для видимой области спектра при ф = 30°
это будет означать работу в 6—7-х порядках спектра и АЯ =
= 500 нм/6л:80 нм. Вне этой области одному и тому же углу
дифракции будет соответствовать несколько длин волн
заданного диапазона.
Для того чтобы избежать при использовании эшелле
наложения спектральных линий, применяют комбинацию двух
диспергирующих элементов, имеющих взаимно перпендикулярные
направления дисперсий. Такие системы называют системами со
скрещенными дисперсиями. При этом, как уже говорилось,
достигается увеличение линейной дисперсии и разрешающей
способности. Увеличения линейной дисперсии можно добиться
путем последовательного расположения нескольких
диспергирующих элементов. Однако спектр при этом будет иметь слишком
большую протяженность.
В случае скрещенных дисперсий в качестве
вспомогательного диспергирующего элемента могут быть использованы
плоская дифракционная решетка, работающая в первом порядке
-спектра, или призма-клин с небольшим преломляющим
углом Y- На рис. 7.1.13 и 7.1.14 показано расположение спектров
для обоих случаев.
438
Для простоты рисунка здесь показана работа эшелле в
низких порядках. Три ряда цифр на оси абсцисс (направление
дисперсии основной решетки) показывают наложение линий при
отсутствии вспомогательной дисперсии. Они удовлетворяют
условию mi%i = тгЯг = тзХз-
При скрещенной дисперсии переналагающиеся первоначально
длины волн растянутся по вертикали. При этом для системы
решетка— решетка спектры разных порядков будут прямыми r
я,нм
800
100
600
500
400
300
200
-
ишпшии
^^
ртшшпя
ггтГГТТТШШ
щтгашшппшшш
т=1
100 300 400 500 600 700 800 Я.т
200 250 300 350 400
200 233 267
Рис. 7.1.14. Вид спектра с системой решетка — решетка
расходиться веером с увеличением в сторону длинных волн_
Для системы решетка — призма они будут искривленными и
сходящимися при увеличении длины волны.
Рассмотрим этот вопрос подробнее. Пусть основная решетка
работает в автоколлимационной схеме, когда 'ф = ф и,
следовательно, справедливо условие главных максимумов 2й51пф =
= тЯ, что следует из (7.1.17).
Найдем расстояние между строчками-спектрами для
системы решетка — решетка. Область свободной дисперсии
определим по формуле
т ш sin ф
(7.1.24)
Учитывая, что угол дифракции вспомогательной решетки ф
мал и т=\, по (7.1.19) можно записать /)ф, всп= 1/rf', где d' —
ее постоянная. Тогда с учетом (7.1.24) расстояние между
строчками, выраженное в линейной мере, будет
М' = MD^ всп/г = X'f2l{2dd' iin ф).
(7.1.25)
Из (7.1.25) ясно, что расстояние А/' изменяется
пропорционально Я^, т. е. строчки веерообразно расходятся в сторону
больших длин волн.
Обратимся теперь к призме-клину (угол у — мал), которая
используется вместо решетки как вспомогательный элемент.
439
Ввиду малости преломляющего угла можно принять Q = y{n— 1)
^ dQ dn
ii для угловой дисперсии выражение De=—7~ = Y^r^-
ал ал
В этом случае расстояние между строчками будет
АГ = АЩ.зспЬ = ^|^. (7.1.26)
В (7.1.26) расстояние А/' изменяется обратно
пропорционально первой степени Я.
Длина строчки спектра равна ; = АЯДф, всп/г в обоих
случаях.
Из (7.1.16) следует, что угловое распределение энергии по
порядкам дифракционной решетки определяется множителем
sin^ «/«2 Для отражательной решетки с углом профиля штриха
i аргумент этой функции и перепишется в виде
и = [па cos (■ф — i) sin (i|5 — 2f + ф)]/А,. (7.1.27)
В (7.1.27) в а cos (i|5—i)—проекция рабочей грани
зеркального элемента на поверхность волнового фронта; она
соответствует прозрачной части амплитудной решетки. Главный
максимум функции распределения имеет место при ?,\п^и1и^ =
= 1, т. е. когда ы=0. Иначе говоря, при таком угле дифрации
Ф = —(ij5—21), который соответствует зеркальному отражению
от зеркального элемента а.
Рассмотрим вопрос о том, как рассчитать угол профиля
решетки i при заданном режиме ее работы. Физический смысл
такого расчета заключается в следуюш,ем: необходимо
пространственно распределить отраженную решеткой энергию
таким образом, чтобы в направлении нулевого максимума при
дифракции света на каждом зеркальном элементе а
образовался бы заданный главный дифракционный максимум,
определяемый условием (7.1.17) для т = \, 2, ..., однако главный
максимум нулевого порядка (/п = 0) при этом совпал бы по
направлению с первым минимумом при дифракции света на отдельном
зеркальном элементе а. Для этой цели надо правильно выбрать
угол i и размер а зеркального элемента. Первое требование
означает, что луч, дифрагируюш,ий под заданным углом ф,
должен зеркально отразиться от элемента а.
Из рис. 7.1.10 следует, что Р=ф + г или ф = Р — i и при
условии равенства углов |Р| = |—ос] имеем:
Ф^г—а и i|5^i-|-a. (7.1.28)
Войдем с этими соотношениями в условие главных
максимумов (7.1.17).
Тогда
sin (г -fa) — sin (г — а) ^ 2 cos а sin i^mX/d. (7.1.29)
Последнее условие позволяет вычислить угол i при
заданных i|5 и X.
440
Для автоколлимационной схемы (см. рис. 7.1.11) '\p = (p = t
и а = 0.
Тогда
2 sin i = mk/d.
(7.1.30)
Аналогичное рассмотрение будет иметь место для второго
требования. Здесь следует учесть то, что для спектра нулевого
порядка —'ф = ф и что с этим направлением должно совпасть
направление на первый минимум при дифракции от отдельнога
f
0,8
0,6
0,k
0,2
/1
ll
1
1
'!?''
1
1
V
\
\
\
Л
V
, m-
Л
=2
Lot=
<J^
=J
= 7
0,6 0,8 1,0 1,2 7,4' 1,6 1,8 2,0Я,/Лщах
Рис. 7.1.15. Распределение энергии
в спектре дифракционной решетки
Рис. 7.1.16. Оптическая схема
монохроматора МДР-2
зеркального элемента шириной а: a(sin а + sin Р) ^ ЙХ, где
й= + 1.
Тогда с учетом (7.1.28) имеем
sin(\|; — г) — sin(\|; + г) ^2 sin г cos г]; ^ Я/^^^- (7.1.31)
Выражение (7.1.31) дает возможность при теперь уже
известном i вычислить размер зеркального элемента а. В соответ-
вии с рассчитанными значениями г и а может быть заточен
алмазный резец для получения заданного профиля штрихов
решетки и выбран шаг движения резца.
Распределение интенсивности в спектре дифракционной
решетки обычно рассчитывают для автоколлимационной схемы
(ф = 'ф = г). Тогда по формуле (7.1.30) можно вычислить длину
волны, которой соответствует максимум энергии, отраженной
от решетки. Кривая распределения энергии для различных
порядков спектра дана на рис. 7.1.15.
В оптических схемах спектральных приборов применяются
плоские и вогнутые отражательные фазовые решетки, т. е.
решетки, обеспечивающие концентрацию энергии
дифрагированного излучения в заданном направлении. В схемах с
дифракционными решетками обычно применяется фокусирующая оптика
со сферическими или параболическими зеркалами. На
рис. 7.1.16 показана оптическая схема монохроматора МДР-2.
Объективами служат сферические зеркала Oi и Ог, М^ •& Мг —
441
ловоротные плоские зеркала, G — плоская отражательная
решетка.
Спектральные вогнутые дифракционные решетки. Вогнутая
отражательная решетка является диспергирующим и
фокусирующим элементом одновременно. Это определяет простоту
оптической схемы спектрального прибора, в котором
фокусирующая оптика не нужна, и применение таких решеток в тех
областях спектра, для которых отсутствуют прозрачные материалы
для изготовления линз объективов.
Вогнутые дифракционные решетки
часто используются в
спектральных приборах, предназначенных для
космоса.
Чаще всего штрихи решетки
наносятся на сферическую вогнутую
зеркальную поверхность, так что
ее постоянная d измеряется по
хорде. Штрихи решетки являются
результатом пересечения вогнутой
поверхности с равноотстоящими
параллельными плоскостями.
Основным свойством
сферической вогнутой дифракционной
решетки, отличающим ее от плоской, является фокусирующее
действие. Если поместить вогнутую решетку G, имеющую
радиус кривизны р, на окружности радиусом вдвое меньшим, чем
радиус кривизны решетки, то спектр фокусируется на той же
■окружности (рис. 7.1.17). Эту окружность называют кругом
Роуланда, по имени ученого, предложившего такую схему.
Для вогнутых дифракционных решеток справедливо
уравнение главных максимумов (7.1.17), в котором постоянная
решетки d отсчитывается по хорде. Вместе с тем выражения для
угловой дисперсии, области свободной дисперсии, разрешающей
способности аналогичны соотношениям (7.1.19), (7.1.24),
(7.1.22) для плоской решетки.
Рассмотрим некоторые общие свойства вогнутых решеток,
установленных на круге Роуланда (рис. 7.1,17).
Угловая дисперсия вогнутой решетки выражается теми же
•формулами (7.1.19), что были получены для плоской решетки.
Учитывая, что cos ф = /'2/р, получим
Рис. 7.1.17. Круг Роуланда
D,
rfcp
тр
dl
d cos ф dr2'
(7.1.32)
Из (7.1.32) следует, что угловая дисперсия зависит от
расстояния решетки до спектра /-2 и минимальна при го = р, т. е.
при наблюдении спектра по нормали к решетке. В этом случае
442
Линейная дисперсия может быть выражена двояко
(рис. 7.1.17). В случае монохроматора выходная щель в точке
Р устанавливается перпендикулярно дифрагированному лучу
и тогда линейная дисперсия
т. е. является постоянной величиной, не зависящей от
положения выходной щели, и равной линейной дисперсии в центре
кривизны решетки.
В случае спектрографа фотографическая пленка
располагается по кругу Роуланда. Здесь необходимо учесть угол ф
наклона нормали к касательной в точке Р к направлению луча.
Тогда для линейной дисперсии получаем
D, = ^ = JL_. (7.1.34)
dX dcosq) ^ '
Выражение (7.1.34) показывает, что линейная дисперсия
для спектрографа зависит от угла дифракции. Однако при ф^
не превышающих 45—50°, дисперсия изменяется слабо.
Линейная дисперсия около нормали решетки практически постоянна;
этот участок спектра носит название нормального спектра.
Угловое увеличение вогнутой решетки. Из (7.1.17) для
углового увеличения в меридиональной плоскости получим
4f =S21±. (7.1.35>
д-ф cos ф '^ '
Пусть а — ширина входной щели; а' — ширина ее
изображения в направлении, перпендикулярном п. Тогда имеем d'^ = a/ri
и с1ц> = а /г2 (рис. 7.1.17). Учитывая, что ri = p/cosiJ3 и Г2 =
= р/со8ф, получаем а = а'. Этот результат означает, что в
направлении, перпендикулярном дис|)рагированному лучу, ширина
изображения щели равна ширине самой щели, т. е. в плоскости
круга Роуланда вогнутая решетка не дает линейного
увеличения (У=1). В этом она существенно отличается от
спектральных приборов с плоской решеткой. Если учесть выражение для
линейной дисперсии Di, то придем к выводу, что изображение
щели занимает один и тот же спектральный интервал в
пределах одного порядка спектра.
Ширина изображения на фотографической пленке будет
иная, так как надо учесть угол ф, как и в формуле (7.1.34).
В этом случае а' = a/cos ц>, т. е. эта ширина изображения щели
будет заметно расти с увеличением угла дифракции.
Теоретическая разрешающая способность вогнутой
дифракционной решетки определяется так же, как и плоской решетки
[формула (7.1.22)], т. е. порядком спектра т и общим числом
ш
штрихов jV; Рт = тМ = ^ L, где L — ширина нарезанной части.
а
443
Однако для вогнутой решетки ширина L должна быть
ограничена из-за возникаюш,его с ее увеличением искажения
изображения спектральной линии. Это объясняется тем, что на круге
Роуланда лежит только центр решетки С, так как радиус
кривизны круга Роуланда вдвое меньше радиуса кривизны
решетки, и для лучей, дифрагировавших от периферийных частей
решетки, возникает дополнительная разность хода. Согласно
критерию Рэлея, эта добавочная разность хода не должна пре-
Рис. 7.1.18. Установка
Роуланда
Рис. 7.1.19. Установка Па-
шена—Рунге
вышать А,/4, чтобы изображение не получило суш,ественных
искажений. Оптимальные размеры вогнутых решеток обычно не
превышают 100—150 мм.
Недостатком вогнутой решетки является астигматизм. Эта
аберрация проявляется в том, что точка на входной ш,ели
изображается на круге Роуланда в виде отрезка прямой,
параллельного штрихам решетки. Следствием этого является
уменьшение освеш,енности изображения спектральной линии. Из-за
астигматизма повышаются требования к точности установки
входной ш,ели спектрографа параллельно штрихам решетки,
ибо небольшой наклон ш,ели относительно штрихов приводит
к размытию линий, в то время как в спектрографах с
плоскими решетками это приведет лишь к наклону спектральных
линий, т. е. качество спектра не ухудшится. Для уменьшения
астигматизма вогнутые' дифракционные решетки иногда
выполняют с переменным шагом или их нарезают на асферической
поверхности — тороидальной, эллиптической и др.
На рис. 7.1.18, 7.1.19 и 7.1.20 приведены оптические схемы
приборов с вогнутыми дифракционными решетками. Все эти
схемы построены на круге Роуланда. В установке Роуланда
(рис. 7.1.18) решетка G и кассета Р с фотопленкой укреплены
444
на противоположных концах подвижного стержня, длина
которого равна радиусу кривизны решетки. Концы стержня
двигаются по неподвижным направляющим, которые составляют
прямой угол. В вершине этого угла установлена входная
щель S. Очевидно, что щель S располагается на круге Роулан-
да с диаметром PG. Область спектра, фиксирующаяся на
пластинке, зависит от положения стержня PG.
Установка Пашена (рис. 7.1.19) отличается большой
стабильностью, так как лишена подвижных частей. Входная щель
S, вогнутая решетка G и ряд кассет
Р\, Рг, ..., Рь установлены неподвижно
на круге Роуланда. Различные
области спектра фотографируются на
кассетах Рь Рг, ..., Ръ.
Схема Игля (рис. 7.1.20)
является автоколлимационной, вследствие
равенства углов падения и дифракции
(■ф = ф). Все элементы схемы —
вогнутая решетка G, входная щель S,
кассета Р — располагаются компактно
с конструктивной точки зрения. Для
наблюдения различных участков
спектра необходимо сдвигать решетку и
в то же время поворачивать кассету Р
и решетку G так, чтобы их
поверхности всегда были касательны к кругу
Роуланда.
Светосила щелевых спектральных приборов. Светосила
спектральной системы определяется освещенностью или потоком,
создаваемым на выходе прибора.
В случае фотографической регистрации спектра
светосила определяется освещенностью, создаваемой в
фокальной плоскости объектива камеры. Светосила
спектрального прибора с фотоэлектрической регистрацией
определяется лучистым потоком, проходящим через выходное отверстие
прибора.
Пусть входная щель прибора имеет высоту h и ширину а.
Следовательно, площадь входной щели s = ah. Щель может
рассматриваться как источник света для спектральной
системы, имеющий яркость L. Пусть поток, входящий в прибор,
полностью заполнит действующее отверстие прибора, площадь
которого S, а Q — телесный угол, под которым видно
действующее отверстие прибора со стороны входной щели, т. е. Q =
= S/p- Гя—спектральный коэффициент пропускания прибора,
который определяется всеми оптическими элементами системы.
Запишем выражение для потока, достигшего выходной щели
(фокальной плоскости). Пусть входная щель освещается источ-
Рис. 7.1.20. Установка Игля
445
НИКОМ линейчатого спектра. Тогда поток излучения отдельной
спектральной линии Флин определится
Флин = /-лин^Л -1^Тх = Lj,„„sQTx. (7.1.36)
/1
В формуле (7.1.36) L ЛИН — = L — яркость щели
при
освещении ее монохроматическим излучением в узком
спектральном интервале, т. е. излучением спектральной линии; fi —
фокусное расстояние первого объектива (рис. 7.1.2). Заметим,
что спектральный интервал потока на выходе при ширине
выходной щели, большей изображения спектральной линии,
определяется только шириной спектрального интервала,
излучаемого этой линией. В этом случае весь лучистый поток Флин
(7.1.36) полностью попадает на приемник (фотоэлемент,
фотоумножитель) и светосила прибора по потоку определяется как
отношение этого потока к монохроматической яркости входной
щели
Рф. ЛИН = -^^ = ah^Tx = sQTx = coSr,. (7.1.37).
в формуле (7.1.37) (o=s/P^—телесный угол, под которым
видна входная щель из центра объектива входного коллима-^
тора.
Если входная щель освещается немонохроматическим
светом— источник излучает сплошной спектр, — то надо принять-
во внимание, что теперь ширина интервала длин волн на
выходе прибора определяется шириной интервала спектра АА,,
выделяемого выходной щелью. Тогда яркость входной щели
соответственно в этом интервале будет L = LxAX, если считать,
что спектральная плотность яркости Lx постоянна в интервале
АА,. Тогда аналогично (7.1.36) имеем для потока излучения Фспл
в случае сплошного спектра
0,n^ = LxA}^ah^Tx==LxA}^sQTx. (7.1.38)
'1
Для светосилы по потоку для сплошного спектра принимают
отношение лучистого потока в спектральном интервале АА,.
к спектральной плотности яркости щели
Рф_ ,„^ = ^ = AXsQTx = АЪ^ЗТх- (7.1.39)
^х
При сравнении формул (7.1.37) и (7.1.39) видно, что
размерности Рф, спл и Рф, ЛИН отличаются на размерность АА.
Произведение coS в (7.1.37) и (7.1.39) называется
геометрической светосилой, или геометрическим фактором прибора. Для
446
увеличения потока необходимо увеличивать площадь входного
отверстия S и телесный угол Q коллиматорной части прибора.
Следовательно, с точки зрения увеличения светосилы выгодно
выбирать высокие щели. Однако из-за кривизны спектральных
линий высоту щели приходится ограничивать. Понятие
геометрического фактора вводится для сравнения различных
спектральных приборов по светосиле.
Для нахождения светосилы по освещенности определим
освещенность в фокальной плоскости второго объектива (см.
рис. 7.1.2). Выражение для освещенности ^лин найдем,
разделив поток Флин на площадь, на которую он распределился.
Допустим для простоты, что эта площадь равна S' = a'h', где а'
и h' — ширина и высота изображения входной щели. Тогда
можно написать:
а' = аГУ; h' = hV. (7.1.40)
В формуле (7.1.40) Г — угловое увеличение диспергирующе-
J0 элемента; V = f2/fi — линейное увеличение оптической
системы. Если фокальная поверхность наклонена к оптической оси
пучка на угол е, то а' = aVV/^sim и s'= а'h'= ahTV^/sin е.
■С учетом этих соотношений и (7.1.36) выражение для освещен-
лости
£л„„ = ^^ = /.л„„-|^Г,зше. (7.1.41)
Отсюда светосила по освещенности
Рв,л.и=-у^^4-Тх^тЕ. (7.1.42)
В формуле (7.1.42) S/T=S' — площадь сечения светового пуч-
ха со стороны выходного коллиматора. Тогда Q'=S'/P—те-
.лесный угол пучка лучей камерной части прибора и
Р£, ЛИН = О'Т'л sin е. (7.1.43)
Из формулы (7.1.43) следует, что светосила по
освещенности не зависит ни от площади входной щели, ни от fi. Для
увеличения освещенности необходимо увеличивать телесный
угол Q' камерной части прибора.
Освещенность в случае сплошного спектра получим
аналогичным образом:
£епл = %^ = ^,ЙТ,АЯ5ше. '■ (7.1.44)
Из формулы (7.1.44) следует, что освещенность в сплошном
спектре зависит от ширины, интервала АА,, выделяемого входной
щелью, т. е. от спектральной ширины входной щели. Светоси-
447
ла по освещенности в сплошном спектре определяется
выражением
Рв епл = Щ^ = TkQ' ал sin е. (7.1.45)
Светосила спектрального прибора, как следует из (7.1.39),.
(7.1.42) и (7.1.45), характеризует его фотометрические
свойства и равна коэффициенту пропорциональности между
яркостью и измеряемой энергетической величиной Ф или Е. Для
потока излучения, например, можно написать Ф = РфЬ.
Измерение потока излучения, очевидно, может быть произведено
с некоторой погрешностью бФ, предельное значение которой
является индивидуальной характеристикой измерительной части
каждого спектрального прибора. Отсюда следует, что
светосила прибора влияет на относительную погрешность измерения
бФ/Ф.
С другой стороны, каждый спектральный прибор обладает
разрешающей способностью R = Я/бЯ, где разрешимый
спектральный интервал бЯ. При регистрации участка спектра от ^i
до А,2 число минимально разрешимых спектральных интервалов
будет равно (A,i — Яг)/6А, = AA,/6?w Если при этом средний
регистрируемый поток излучения равен Ф, то число
регистрируемых энергетических интервалов будет Ф/бФ. Произведение ве-
АА, Ф
личины —77-7-7: можно считать характеристикой
информационной способности спектрального прибора. Тогда
Из формулы (7.1.46) следует, что информационная
способность спектрального прибора пропорциональна произведению
PR для данного источника излучения с яркостью L, участка
спектра АА, в области длин волн А, при заданной погрешности
измерения бФ. Таким образом, произведение PR есть величина
постоянная для данного прибора, поэтому независимое
увеличение Р или R невозможно, т. е. увеличение разрешающей
способности приведет к уменьшению светосилы, что не изменит
качество прибора, т. е. его информационную способность.
Действительно, реальная разрешающая способность и
светосила щелевой спектральной системы должны быть связаны и
находятся в обратном соотношении. Это очевидно из следующих
рассуждений: пусть при ширине щели а система дает
разрешимый спектральный интервал 6А,. При увеличении размера
входной щели а разрешающая способность будет уменьшаться, так
как увеличится и ширина изображения а' = аГУ, а поток,
выходящий из прибора, будет расти. Получим количественные
соотношения для фотоэлектрической регистрации спектра. В (7.1.39)
448
спектральный интервал А А, приравняем реально разрешимому
б А, и с учетом (7.1.6) получим
Рф. спл = sQT}. А\ = sQTx (V^p) = «ЬТя (X/R^),
где i?p— реальная разрешающая способность.
Тогда
Pф.cn.R, = ^ySTxl, (7.1.47)
где со — угловая величина входной щели.
Для фотографической регистрации аналогично получим
Pв,caлRp = TxQ'k-imг. (7.1.48)
Так как информационная способность спектрального прибора
является характеристикой его качества, то именно по этому
параметру целесообразно проводить сравнение различных типов
спектральных приборов, имеющих одинаковые^.
При фотоэлектрической регистрации в (7.1.47) величиной,
влияющей на информационную способность, является угловой
размер входной щели со. Следовательно, можно считать
произведение Pф,cnлR'^(i^R■ Фактор aR является фундаментальной
величиной, характеризующей качество спектрального прибора.
§ 7.2. Спектральные системы с интегральными
и интегрально-кодовыми преобразованиями
В отличие от спектральных систем, рассмотренных в
предыдущем параграфе, в системах с интегральными и
интегрально-кодовыми преобразованиями исследуемое излучение
не обязательно разлагается в пространственный спектр.
Принцип работы таких систем состоит в следующем.
Зависимость спектральной мощности излучения от волнового числа ст
представляется в виде линейной комбинации некоторых
простых, заранее известных и линейно независимых функций, т. е.
/(о)=Еа„ФЛо). (7.2.1)
п
Физически соотношение (7.2.1) можно трактовать как
конструирование /(а) из известных функций ц>п(о). Если
коэффициенты an предположить известными, то любое значение
J (а) мол^ет быть рассчитано как сумма значений ц)п(о) в
точке а с соответствующими весовыми коэффициентами. Процесс
измерения спектрального состава излучения в рассматриваемых
спектральных системах состоит в определении коэфс^ициентов
а„. Такой процесс измерения называют многофакторным, или
мультиплексным, так как на каждом этапе измерений
учитываются интенсивности всех спектральных компонент
исследуемого излучения.
Вид функций фп(<7) зависит от типа спектральной системы.
Наибольшее распространение в настоящее время получили
29 Зак. № 167 443
Фурье-спектрометры, где функциями ц>п{о) являются косину-
соидальные с кратными частотами. Соотношение (7.2.1) в этом
случае приобретает вид ряда Фурье
/(a) = f+ |;a„cos^. (7.2.2)
где 02 — максимальное волновое число, при котором
спектральная мощность излучения обращается в нуль.
Ряд Фурье в виде (7.2.2) имеет период 2а2.
В качестве Фурье-спектрометра может быть использован
любой двухлучевой интерферометр. Набор базисных функций
cos пла/а2 формируется при изменении разности хода от нуля
до некоторого максимального значения Атах. Действительно,
рассмотрим уравнение интерференции в полихроматическом
свете, спектральный состав которого сосредоточен в интервале
от ai до 02, т. е.
02 Ог
/(А) = {j(a)da-{-\j (а) cos 2яа А da. (7.2.3)
Oi Oi
при А = 0 имеем
/ (0) = 2 5 / (а) u?a, (7.2.4)
Oil
а при Ап = п/2а2
0_>
/ (А„) = ^ + 5 / (а) cos ^ da. (7.2.5)
Ol
Коэффициенты ряда Фурье (7.2.2) рассчитываются по
известным формулам
Ог
a, = -L\^j (а) COS ~da. (7.2.6)
Ol
сравнивая (7.2.6) с (7.2.4) и (7.2.5), найдем, что:
/(0). ^ 2/(Д„)-/(0)
2 ' ^''~ 202
(7.2.7)
Таким образом, измерив интенсивности в интерферограмме
(7.2.3) при А„ = п/2а2 (рис. 7.2.1), найдем коэффициенты ряда
Фурье (7.2.2) из соотношений (7.2.7). Следовательно,
спектральный состав излучения может быть теперь рассчитан по
формуле (7.2.2) для любого а. Этот расчет в настоящее время
выполняется на ЭВМ по специальным алгоритмам путем
применения так называемого быстрого преобразования Фурье
(БПФ).
450
На рис. 7.2.1 представлена интерферограмма излучения по-
лихроматрического источника в виде сплошной линии 2 и ее
огибающая 1 — штриховой линией. Для расчета спектра
источника по формуле (7.2.2) необходимо измерить интенсивности
на выходе интерферометра при разности хода Ai = l/2a2, А2 =
= 2/2а2 и т. д. до An = n/2a2. Коэффициент ао = /(0)/а2 может
быть получен как из измерений при А=0, так и при А = оо,
поскольку очевидно, что /(оо) = /(0)/2.
Рис. 7.2.1. Фурье-интерферограмма
Основной особенностью измерения спектрального состава
излучения в Фурье-спектрометрии является то, что
коэффициенты а-п определяются по результату действия jV+1
спектральных компонент. Конечное число спектральных компонент
связано с тем, что разрешаюш,ая способность Фурье-спектрометра
определяется наименьшим периодом косинусоиды в ряде (7.2.2),
т. е. Aa = a2/jV= 1/Атах- Очевидно, что расчет спектра по ряду
(7.2.2) следует проводить только в jV+1 точке с интервалом
Аа. Отметим, что величина Аа определяет разрешаюш,ую
способность i? = A,/AA, = Amax/A,. Можно показать, что в
Фурье-спектроскопии измерение отдельной спектральной компоненты
эквивалентно N+1 измерению каждой спектральной компоненты
при последовательной регистрации спектра в спектрометрах
с пространственным разложением излучения в спектр. При
этом погрешность измерения уменьшается в -^/N+1 раз по
сравнению с единичным измерением. Этот выигрыш в точности на-
29*
451
зывают выигрышем мультиплексности. Он реализуется в том
случае, когда погрешность измерений (шум приемника) не
зависит от величины потока излучения. Это имеет место для
тепловых приемников, например, болометров, и отчасти для
фотосопротивлений. Необходимо отметить также, что время
измерения всех jV+1 спектральных компонент должно быть равно
времени измерения одной при последовательной регистрации
спектра.
Остановимся теперь на особенностях Фурье-спектрометра
с повышенной светосилой, реализованного на базе
интерферометра Майкельсона.
Как было показано в гл. 3, допустимый критический размер
радиуса источника в виде круга определяется из соотношения
ro = fV2A-/A. Преобразуем его, введя телесный угол Q, под
которым источник виден из центра объектива с фокусным
расстоянием /. Так как Q = лг^/Р, то Qo = n,r^/pg = 2nX/A.
Последнее соотношение определяет такл<е возможную для данного
размера источника максимальную разность хода, т. е.
разрешающую способность R Фурье-спектрометра. Таким образом,
имеем
0„;?==2л. (7.2.8)
Формулу (7.2.8) называют критерием Жакино. Сравнивая
(7.2.8) с фактором wR (с. 451), получаем, что
Фурье-спектрометр на базе интерферометра Майкельсона обладает
существенно большим геометрическим фактором, чем спектрометры
с пространственным разделением длин волн.
Наглядное представление о процессе получения спектра
с помощью Фурье-спектрометра дает рис. 7.2.2.
Фурье-спектрометр, изображенный на рис. 7.2.2, представляет собой
интерферометр Майкельсона с подвижным зеркалом В', в
результате перемещения которого изменяется разность хода А. Разность
хода может меняться дискретно с шагом 1/2о2. При этом
измеряются интенсивности в интерференционной картине для
значений разности хода А„=п/2о2. Далее по измеренным интен-
сивностям /(А„) рассчитывается исследуемый спектр J (о)
излучения с использованием формулы (7.2.2).
Отметим, что интерференционный Фурье-спектрометр,
обладая высокой светосилой, пропорциональной '\/R, а также муль-
типлекс-фактором V^V-f 1 ?» V-'V^; V-'?. дает общий выигрыш
в отношении сигнал/шум, равный R.
Таким образом, системой базисных функций в
интерференционной Фурье-спектроскопии является система
тригонометрических функций, образующихся естественным путем в
интерферометре Майкельсона в результате зависимости интенсивности
в интерференционной картине от длины волны. На спектр как
452
€ы наложены маски, пропускающие различные участки
спектра в соответствии с законом распределения интенсивности
в полосах равного хроматического порядка, но без
пространственного разложения излучения. Кроме интерференции
неизвестны другие явления, которые позволили бы получить систему
базисных функций, подобную тригонометрическим. Затрудни-
Рис. 7.2.2. Принципиальная схема
Фурье-спектрометра:
в 1 — входная диафрагма; Oi — объектив входного
коллиматора; А — полупрозрачное зеркало-делитель; В п В' —
неподвижное и подвижное зеркала; Os — объектив выходного
коллиматора; D2 — выходная диафрагма
тельно и создание таких функций-фильтров искусственным
путем.
В настоящее время известно лишь одно такое техническое
решение—мокинтерференция (псевдоинтерференция). Для
создания базисных функций фя(а) здесь используется
«механическая» интерференция (полосы Муара).
Результат, аналогичный использованию масок с косинусо-
идальной зависимостью пропускания, можно получить,
используя маски с более простой зависимостью пропускания от
длины волны, например с участками полного пропускания и
полного непропускания. Использование масок подобного типа
составляет принцип адамар-спектроскопии.
Функции, задающие положение участков пропускания и
непропускания этих масок, очевидно, должны быть аналогичны
тригонометрическим и представлять собой прямоугольную вол-
453
ну (рис. 7.2.3). Система таких функций носит название
функций Уолша. На базе этих функций и осуществляется
преобразование спектра в адамар-спектроскопии. На рис. 7.2.3 дано
сопоставление тригонометрических функций, функций Уолша
и представление последних в виде матрицы. Поскольку
функции Уолша принимают только два значения +\ и —1, то
представление в виде матрицы не влечет потери информации.
sin 2!^t
'■—<:—1 C0S23Ci
'•<,, ..л
-^iz\
1^5>т:-| sin4xt
COSlt^t
^%_J^liJ^.
2^^d2Sl^
" siaSxt
cosSTTt
2И '
^yq<24^jP-
stnSsci
q^^^FW
0
1
1
z
г
3
J
k
"
. f 1
. f 1
. 1 1
. 1
■ 1 -
■ 1 -
. 1 -
■ 7 -
/ -
-/ -
' -f
' -1
f f -
' t -
-1
r -
1 -
r -
■ /
-1
-1
f -1
' -
■
-/ -/
-/ -/
-f 1
r 1 -1
-1 1
' 1 ~1
Рис. 7.2.3. Функции Уолша
Процедура измерения спектрального состава излучения
в адамар-спектроскопии состоит в следующем. По закону,
определяемому строчками матрицы (матрицы Адамара), строятся
фильтры-маски. Каждая маска состоит из прозрачных и
непрозрачных полосок с пропусканием 1 и О соответственно
(например, в матрице на рис. 7.2.3 для этого достаточно заменить —1
на 0). Если ширина каждой полоски соответствует
разрешаемому интервалу бХ, а измеряемый спектральный
интервал ДХ = Х2—Xi, то в маске должно быть Л?=ДХ/бХ полос.
Соответствующая матрица Адамара содержит М строк и М
столбцов. Такие многоцелевые растры (маски-матрицы
Адамара) устанавливаются вместо щели в спектрометре и могут
циклически сменяться, что дает возможность накладывать на
спектр последовательно М масок и измерять при каждой
матрице суммарный лучистый поток на выходе спектрометра.
В результате получим систему уравнений для определения
интенсивности М спектральных компонентов h- Для наглядности
рассмотрим эту процедуру для четырех спектральных компо-
454
нентов (t=l, 2, 3, 4). Соответствующая матрица Адамара для
кодирования этих четырех компонентов имеет вид
1111
1
1
1
1
1
1 1
1 - 1
— 1
— 1
1
(7.2.9)
Закон построения масок определяется матрицей
1111
0 1 О
1 О о
о о 1
(7.2.10)
При наложении масок, построенных
с (7.2.10), получим систему уравнений
/> + /2 + /3 + /4 = /i;
/, + 0 + /з + 0 = /,;
/1 + /2 + 0 + 0 = /з;
/. + 0 + 0 + /, = /,;
соответствии
(7.2.11)
Здесь /i, /2, /3, /4 — интенсивности определяемых спектральных
компонентов; А, /г, /з, h — сигналы приемника излучения,
подлежащие декодированию. Покажем, как это делается в
рассматриваемом случае.
Если из всех строк системы (7.2.11) вычесть первую,
поделенную на два, то получим эквивалентную систему:
/.+ /2 + /з + /4 = /,;
' \ J 2 ~\~ ■> Ъ ' i ^ 2/2 1\'.
' \ +/2 ^ 3 /4 ^ 2/з 1 \',
J\ — J2 — /3 + /4 ^ 2/, — I\.
(7.2.12)
Система уравнений (7.2.12), записанная в матричной форме,
имеет вид
1
1
1
1
1
1
— 1
— 1
1
— 1
— 1
1_
~1Г
/2
/г
_/4_
" /,
2/2 - /.
2/з - /,
_ 2/4 - /,
(7.2.13)
Для решения полученной системы используем свойство
ортогональности матриц Адамара. Оно состоит в том, что произве-
455
дение этих матриц дает единичную. В рассматриваемом случае
имеем
1
1
1
1
- 1
— 1
1
= 4
"1 1
1 — 1
1 1
_1 -1
10 0 0-
0 10 0
0 0 10
0
0 0 1
1
1
— 1
— 1
1
— 1
— 1
1
Используем свойство ортогональности для решения системы
уравнений (7.2.13). Умножим левую и правую части (7.2.13)
на матрицу Адамара (7.2.9). В результате найдем
10 0 0"
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1§
'J^'
J,
/з
/4_
"1
1
1
1
1
— 1
1
— 1
1 -1
— 1
i 2/3 — /,
1 _ J 2/4
(7.2.14)
Из (7.2.14) получим интенсивности искомых спектральных
компонентов, т. е. измерим спектр
/,=/,/2 + /з/2-Л/4;
/, = /,/2-/.,/2-/3/2-/4/2;
/з = /,/2 + h/2 - /3/2 - /4/2;
/4 = /,/2-/,/2-/3/2+ /4/2.
Отметим, что вычитание половины первой строчки при
преобразовании системы уравнений (7.2.11) соответствует
вычитанию интенсивности среднего уровня интерферограммы /(0)/2
при получении коэффициентов ряда Фурье по интенсивностям
интерферограммы в отсчетных точках (7.2.7). Вследствие того
что матрица Адамара является ортогональной, в адамар-спек-
троскопии реализуется выигрыш мультиплексности. Очевидно,
что светосила адамар-спектрометра такая же, как у
соответствующего щелевого дисперсионного спектрометра.
Изготовление и применение большого числа масок
затруднительно. Однако эта задача технически легко решается, если
матрицу построить так, что она будет удовлетворять условию
цикличности. Новая матрица получается из матрицы Адамара
путем замены —1 на 1, +1 на О, вычеркиванием первой строки
456
a)
В) Я,
t t t О О 1 О
110 0 10 1
10 0 10 11
0010 11 1
010 1110
10 11 1 0 0
01110 0 1
III
1110010
II
'1110 01
Рис. 7.2.4. Циклическая матрица (а) и
кодирующая маска (б)
н первого столбца, состоящих из нулей, и перестановкой
столбцов. Эта матрица представлена на рис. 7.2.4, а. Для получения
масок, соответствующих строкам этой матрицы, достаточно
обойтись одной маской, состоящей из 2М—1 элементов,
причем М первых элементов соответствуют первой строке матрицы,
а последующие М—1 являются повторением начальных
элементов той же строки (рис. 7.2.4,6). Каждая последующая
строка матрицы образуется сдвигом исходной маски на один
элемент.
§ 7.3. Спектральные системы
с применением интерферометра Фабри—Перо
и интерференционно-поляризационных фильтров
Принципы интерференции нескольких лучей и многолучевой
интерференции успешно используются для выделения малых
спектральных интервалов или разделения этих интервалов
(отдельных спектральных линий). Последовательно рассмотрим
принципы работы таких спектральных устройств и систем.
Интерферометр Фабри—Перо (ИФП) как спектральная
система. В гл. 3 были уже рассмотрены количественные
характеристики многолучевого двухзеркального интерферометра.
В конце сороковых годов нашего столетия такой интерферометр
был использован в качестве монохроматора для тонкого
спектроскопического эксперимента. Полосы равного наклона,
получаемые в фокальной плоскости объектива, расположенного
после ИФП, совмещались с металлической маской
(диафрагмой). Маска имела узкие кольцевые прорезы, положения
которых точно совпадали с положениями интерференционных
максимумов различных порядков. Также можно было бы иметь
в маске только одно круглое отверстие, совпадающее с
центральным максимумом. Если ширина кольцевой или диаметр
круглой диафрагмы таковы, что будут выделять определенную
долю интерференционного максимума, то на выходе такого
устройства получим излучение, имеющее весьма узкий
спектральный интервал в соответствии с характеристиками по
457
(3.7.23). Изменение длины волны на выходе устройства можно
осуществить путем смены маски или смещения
интерференционных колец относительно неподвижной маски К
Интерферометр Фабри—Перо в настоящее время
используется как спектральный прибор высокой разрешающей
способности. Некоторые характеристики интерферометров Фабри—
Перо, выпускаемых отечественной промышленностью,
приведены в табл. 13. Рассмотрим спектральные характеристики интер-
Таблица 13
Характеристики интерферометров Фабри—Перо
Рабочий диапазон
ит-зо
Вариант I
222—360 нм
ИТ-ЗО
Вариант II
340—600 нм
ИТ-51
400—700 нм
Характеристика пластин
Кристаллический кварц
Алюминиевое покрытие
Плавленый кварц
Комбинированное металло-
диэлектрическое покрытие
Стекло. Комбинированное
металлодиэлектрическое
покрытие
Коэффициент
отражения, %
80—86
85—90
87—92
ферометра Фабри—Перо. Условие максимумов для случая
многолучевой интерференции, имеющей место в воздушном слое
без учета изменения фазы при отражении по (3.3.4),
запишется в виде
2/созф = йЯ. (7.3.1)
Это условие показывает, что для k-то порядка
интерференции ф = /(^). Поэтому имеет место разложение падающего
излучения в спектр внутри каждого порядка интерференции,
каждого интерференционного кольца. Однако это разложение
будет происходить без переналожения в пределах малого
спектрального интервала.
Одной из главных спектральных характеристик ИФП (как
спектрального прибора) является угловая дисперсия,
выражаемая, как известно, в рад/нм. Напишем выражение для угловой
дисперсии, используя условие (7.3.1). Дифференцирование
этого условия по углу интерференции ф и длине волны дает Оф =
= d(pld}^ = —k/(2dsm (р); заменяя порядок интерференции k по
(7.3.1), окончательно получим формулу угловой дисперсии
спектральной системы интерферометра
dff I 1
dX I Я 1дф
D„
(7.3.2)
О методах сканирования см. ниже.
458
Из (7.3.2) следует, что угловая дисперсия интерферометра
Фабри—Перо не зависит от расстояния между пластинами,
а определяется только углом интерференции ф. Это
обстоятельство позволяет, как будет ясно из дальнейшего рассмотрения,
использовать сложные системы ИФП.
Важной характеристикой интерферометра как спектрального
прибора является величина свободного спектрального
интервала, или свободная область дисперсии. Эта величина уже
фигурировала при рассмотрении интерференционных явлений.
Свободный спектральный интервал определяется одинаковым
образом для любой
интерференционной системы, т. е. АЯ =
= X/k. Свободный
спектральный интервал можно получить,
помножив величину, обратную
угловой дисперсии по (7.3.2),
на угловое расстояние между
соседними
интерференционными максимумами в
соответствии с (3.7.22). Тогда при
.ф « О имеем
Д^ = ^АФ
2t
ея/2
i
У
/
■л »
\
\ 1
л.'
' V.
,
>§
_L
' '
,
'
. 1
^
(7.3.3)
Рис. 7.3.1. Разрешимые контуры
двух линий
Это соотношение определяет расстояние в длинах волн
между соседними максимумами, т. е. область дисперсии, через
основной параметр ^ — расстояние между пластинами
интерферометра. Так как t несравнимо больше 1, то интервал ДЯ-
весьма мал и для получения спектра с помощью
интерферометра необходима дополнительная монохроматизация
излучения.
Теперь рассмотрим другую главнейшую спектральную
характеристику ИФП —теоретическую разрешающую
способность ^г, реально разрешимый спектральный интервал бХр и
соответствующую ему реальную разрешающую способность Rp.
На рис. 7.3.1 изображены два контура близких
спектральных линий, принадлежащих данному порядку k. В качестве
критерия разрешения двух линий ^i и %2 принимается условие
пересечения их распределений в точках 0,5/тах. При этом
получается, что суммарная кривая имеет в середине провал
интенсивности глубиной примерно 0,2/тах. в соответствии с
характером распределения интенсивности при многолучевой
интерференции в этом случае надо прибавить к интенсивности в
максимуме одной линии интенсивность другой линии, определяемую
величиной /бя,. Тогда из рис. 7.3.1 и при том, что суммарный
контур двух линий посередине должен иметь провал, состав-
459
ляющий 0,2 от максимальной интенсивности контура, можно
написать условие разрешения двух линий в виде
2/бя/2 = 0,8(/п,ах + /бя)- (7.3.4)
Решение этого уравнения дает точную формулу для
теоретической разрешаюш,ей способности интерферометра
А _ 2,98^ 2Vfi
^^ — ж—^т^^^' '^'•■^•^'
В этом случае, как следует из рис. 7.3.1, разрешимый
спектральный интервал бХ равен ширине контура
интерференционной полосы на уровне /тах/2. Очевидно, что для бХ
справедливо аналогичное выражение для интерференционного фильтра
(3.7.11), так как это оптическое устройство работает также на
принципе многолучевой интерференции. Заменим фактор
резкости F числом эффективных интерферирующих пучков Л^эфф,
тогда
дт я V^ 3 14-/? /-7 о с\
^эФФ=-утг^^УТ=Т' ('^•^•^^
Так как число эффективных пучков по (7.3.6) зависит
только от коэффициента отражения зеркал R, то объединяя (3.7.11)
и (7.3.6), получим
6Яд= ,^"-' =4^- (7-3.7>
« тЛ^эфф Л^эфф ^ '
Здесь (как и прежде) АХ' — область дисперсии ИФП.
Соотношение (7.3.7) показывает, что бХл тем меньше, чем меньше АХ',.
т. е. чем выше порядок интерференции k. Величина 6Xr
определяет теоретическое значение ширины аппаратного контура
ИФП.
Окончательно из (7.3.7) можно написать формулу для
теоретической разрешающей способности интерферометра Фабри—
Перо как спектрального прибора
^т = ^=кМ,фф. (7.3.8)
Подставив в (7.3.8) (7.3.1) и (7.3.6), получим формулу для
разрешающей способности ИФП через его параметры
RT = kN,^^= . ___^____. (7.3.9)
Из формулы (7.3.9) следует, что она практически совпадает
с выражением (7.3.5).
Для повышения Rt необходимо работать с большими
расстояниями t между зеркалами и использовать высокий
коэффициент отражения зеркальных покрытий. Однако слишком
большие значения t неизбежно потребуют высокой монохрома-
460
тичности изучаемого излучения, так как мала область
дисперсии АХ'.
Реальная разрешающая способность /?р всегда будет
меньше, чем теоретическая, а реально разрешимый спектральный
интервал шире, чем 8Xr. Это будет происходить оттого, что
реальное распределение интенсивности в интерференционной
картине отличается от функции (3.7.17), которая выведена для
идельного интерферометра, имеющего зеркала, обладающие
идеально плоскими поверхностями бесконечной протяженности
и расположенные строго параллельно друг относительно друга.
В действительности зеркала имеют конечные размеры,
поверхности их приближаются к плоскостям с точностью,
определяемой технологией изготовления, и устанавливаются они не
строго параллельно, а с некоторым допуском, определяемым
конструктивными возможностями.
Рассмотрим, как могут влиять эти факторы на реальную
ширину разрешимого спектрального интервала АЯр.
На зеркалах конечного размера световые волны будут
дифрагировать. При обычных спектроскопических исследованиях
влиянием дифракции на бХр можно пренебречь, так как
зеркала имеют большие размеры (диаметр зеркала приблизительно
50 мм) и отклонения лучей невелики. В случае применения
ИФП в качестве открытого резонатора для лазера влияние
дифракции следует учитывать.
Из-за конечности размера зеркал в ИФП наблюдается
виньетирование наклонных пучков после некоторого числа
отражений. Это приводит к тому, что уменьшается эффективное
число лучей #эфФ, а значит, согласно (7.3.8) и разрешающая
способность ИФП. Влияние виньетирования особенно
существенно для ИФП, работающих с большим расстоянием t между
зеркалами.
При отклонении поверхности зеркал от плоскости
происходит уширение интерференционной полосы вследствие того, что
условие интерференции (7.3.1) будет зависеть от величины
этого отклонения в месте падения лучей. В этом случае каждый
дефектный участочек ИФП образует свою систему колец, не
совпадающую с основной. При этом интенсивность,
сосредоточенная в полосе, остается та же, но только размазывается,
максимум уменьшается, полоса уширяется. Если дефекты
поверхности сосредоточены на небольшой площади по сравнению
с площадью поверхности зеркала, то их искажающее действие
мало.
- Качество обработки поверхности зеркал необходимо
связывать с выбором оптимального коэффициента отражения
зеркальных покрытий. Очевидно нанесение большого
коэффициента отражения на поверхности невысокого качества приведет
только к энергетическим потерям. В настоящее время
коэффициент отражения зеркал при применении диэлектрических по-
461
крытий может быть доведен до 97—98 %, и главной причиной,
ограничивающей реальную разрешающую способность ИФП,
являются технологические требования к качеству изготовления
поверхности зеркал.
Непараллельность установки зеркал друг относительно
друга приводит к тому же результату, что и отступление
поверхности зеркал от идеальной плоскостности. Практически
достижимая точность изготовления поверхностей, как и точность
установки зеркал параллельно друг другу, равна Я/50.
При фотографической регистрации с большими
экспозициями или фотоэлектрической записи, которая может
продолжаться некоторый длительный отрезок времени, необходимо
учитывать изменение температуры и атмосферного давления. При
изменении температуры вследствие линейного расширения
изменяется толщина распорного кольца между зеркалами ИФП,
а также показатель преломления воздуха в связи с
колебаниями атмосферного давления. Это приведет к изменению разности
хода (7.3.1), а значит, и смещению интерференционной
картины. Если нестабильность температуры и давления
наблюдается в процессе регистрации интерференционной картины, то
это скажется в уширении аппаратного контура (в уширении
бХр). Применение термостатирования ИФП может уменьшить
или полностью исключить влияние колебания температуры.
Целесообразно использовать фотоэлектрическую
регистрацию интерференционной картины. При этом в фокальную
плоскость выходного объектива, в которой локализуется
интерференционная картина в виде концентрических колец,
устанавливается кольцевая или круглая диафрагма, совпадающая или
с интерференционным кольцом, или с центральным
максимумом. Поток излучения, проходящий через диафрагму, попадает
на приемник и регистрируется. Диафрагма выделяет некоторый
интервал длин волн бХв, зависящий от ее ширины.
Определим размер кольцевой диафрагмы, ширина которой
равна полуширине интерференционной полосы ИФП бХд ^ 8Кц.
Пусть использована кольцевая диафрагма с внутренним
радиусом Г}, и внешним гя._бя.д. Тогда площадь этой диафрагмы
Радиусы можно выразить через фокусное расстояние f
проекционного объектива и углы интерференции ф формулой г =
= /(ф). Учитывая условие максимума А = 2^со5ф = йХ и
считая ф малым, имеем со5ф=1—ф2/2 или ф2 = 2 — k^^/t, а
площадь диафрагмы
з = 1р-ЬХо = !'^ЬХо = Г ^^ (7.3.11)
где Rp — реальная разрешающая способность ИФП.
462
Из последнего равенства (7.3.11) видно, что выделяемый
диафрагмой спектральный интервал зависит только от
площади диафрагмы и не зависит от радиусов. Поэтому можно
применить и круглую диафрагму. Телесный угол со, под которым
она видна из центра выходного объектива, будет
cu = s/f = 2л//?р. (7.3.12)
При оптимальных условиях, когда 6Xd = бЯд, диаметр
круглой диафрагмы
DonT = 2r = 2fV2/^p- (7.3.13)
Ширина выделяемого спектрального интервала при
фотоэлектрической регистрации бЯрез будет определяться
6V3 = V(^M^TT6?^'=.V2l6^'= 1,416?.R. (7.3.14)
Результирующая разрешающая способность ИФП с диа-
фрагмой i?pe3 = V6Ape3= , .,Д1 """i !i будет составлять 70 %
1,41 оЛд 1,41
от реальной разрешающей способности Rp самого ИФП.
Обозначим через бЯ/ спектральный интервал,
характеризующий уширяющее действие реального ИФП. Целесообразно
иметь равенство 6Xr= 8Kt= 8Xd. Тогда можно написать для
ширины результирующего реально разрешимого интервала
бЯр == л/(6^й)' + i^hY + {ЫоУ = V3 б^й- (7.3.15)
Из полученного выражения выводим соотношение между
реальной и теоретической разрешающей способностями /?р«
xOfiRr.
Запишем выражение для потока Ф, выходящего из
диаграммы радиуса г,
Ф = 15ЙГлГифп = Ь5сйГлГиФп- (7.3.16)
В формуле (7.3.16): L — яркость источника; s — площадь
диафрагмы; Q — телесный угол, под которым видно
действующее отверстие ИФП из центра выходной диафрагмы; Гл —
коэффициент пропускания фокусирующей оптики; Гифп —
функция пропускания ИФП; S — площадь действующего отверстия;
to=s/P—телесный угол, под которым видна диафаграма.
Гифп следует заменить средним пропусканием Гифп на
участке, который выделяет диафрагма.
Светосила ИФП по определению равна
ЯиФП =-^ = 5соГлГиФп- (7.3.17)
Подставив в (7.3.17) выражение для со из (7.3.12), получим
ЯиФП = -п~'^^лТ'иФП- (7.3.18)
Кр
463
Заметим, что в (7.3.17) произведение Sco есть
геометрический фактор.
Параметр качества ИФП — информационная способность —
будет иметь вид
■РиФп^^р = 2л5ГлГиФп- (7.3.19)
Сферический интерферометр, как было показано ранее (см.
гл. 3, § 3.7), характеризуется точно таким же распределением
интенсивности в интерференционной картине, как и ИФП
с плоскими зеркалами при вдвое большем расстоянии между
ними t = 2r. Это объясняется тем, что каждый последующий луч
испытывает на четыре отражения больше, чем предыдущий, и
разность хода А = 4г. Из этого следует, что спектральные
характеристики сферического интерферометра определяются
так же, как и для плоского ИФП. Например, теоретическая
разрешающая способность 7?сф сферического интерферометра
дается формулой
^Л^эФФ = 4^Л^эФф. (7.3.20)
<сф
я
Очевидно, что при равном числе эффективных пучков
разрешающие способности сферического и плоского ИФП равны,
если расстояние между зеркалами последнего t = 2r.
При фотоэлектрической регистрации из интерференционной
картины колец выделяют центральное пятно, обрезая с
помощью круглой диафрагмы наклонные пучки с разностью хода,
отличной от 4г. Можно показать, что оптимальный размер
диаметра круглой диафрагмы будет
0 = 2(-^У'\ (7.3.21)
При такой диафрагме разрешающая способность
сферического интерферометра с фотоэлектрической регистрацией
составляет примерно 70 % от теоретической.
Светосила сферического интерферометра, как и в (7.3.17),
определится аналогичным выражением
Реф = 5й)Г,Теф. (7.3.22)
Подставив S = kD^I4 и co=nD74r2 в (7.3.22), получим
Л^эфф
Из (7.3.20) и (7.3.23) следует, что при увеличении
расстояния между зеркалами г увеличивается как разрешающая
способность, так и светосила.
Информационную способность сферического
интерферометра получим, учтя (7.3.20) и (7.3.23), в виде
Ясф^?сф = 4л^ГлГсф. (7.3.24)
464
Pcф = 4^TJ,ф. (7.3.23)
Сравним светосилы сферического и плоского
интерферометров при условии, что /?ИФП = -/^сф и ГлГиФП =
имея в виду (7.3.19) и (7.3.21), получим
■Рсф/ЯиФп = 4лг72л5.
В формуле (7.3.25) 5 = п1)ифп—площадь
го ИФП. Если положить, что t = 2r, имеем
Рф1РиФи = 2 (^/£>иФп)^-
Рис. 7.3.2. Принцип работы сложного
интерферометра «мультиплекса»
В)
■' л-* сф*
Тогда,
(7.3.25)
зеркал плоско-
(7.3.26)
Рис 7.3,3. Распределение
интенсивности; а — «тонкий»
интерферометр; б —
«толстый» интерферометр; в —
мультиплекс-интерферо-
метр
Из (7.3.26) можно сделать вывод, что светосила
сферического интерферометра существенно больше светосилы плоского
ИФП только в том случае, если его толщина больше диаметра
зеркал. Таким образом, только при большой разрешающей
способности (большие расстояния между зеркалами) сферический
интерферометр дает выигрыш в светосиле.
Сложный интерферометр Фабри—Перо — «мультиплекс».
Одиночный интерферометр Фабри—Перо не может обеспечить
большую область дисперсии и одновременно высокую
разрешающую способность. Это утверждение вытекает из
соотношения (3.7.23). Чем меньше величина бЯ, и следовательно,
больше разрешающая способность прибора, тем меньше область
дисперсии АЯ.
Рассмотрим способ увеличения области дисперсии, в
котором используется дополнительный ИФП. Это так называемый
сложный интерферометр, состоящий из двух последовательно
расположенных интерферометров, толщины которых находятся
в кратном отношении (рис. 7.3.2). Такой сложный прибор
называют «мультиплексом». В фокальной плоскости объектива 0^
30 Зак. Ш 167
4б5
можно наблюдать интерференционную картину, даваемую муль-
типлексом-интерферометром. Сложный интерферометр Фабри^—-
Перо позволяет увеличить свободный спектральный интервал
АХ при сохранении или некотором даже сужении полуширины
интерференционной полосы бХ.
Пусть воздушные промежутки между пластинами S'—S'^
и Si—S2 имеют кратное отношение p = t'jt, где f—толщ,ина
воздушной прослойки «толстого» интерферометра; t — толщ,ина
воздушной прослойки «тонкого» интерферометра. Суммарное
пропускание системы, наблюдаемое в фокальной плоскости
объектива, определится следующ,им выражением, которое
вытекает из (3.4.15),
l+Z'f sin2 6,/2 l + Z'aS'n V2
Отюда следует, что характеристики прибора с учетом
выражений (3.7.18), (3.7.23) и рассмотренных ранее соотношений
для ИФП, будут:
Возможность последовательного расположения двух
интерферометров следует из того, что их угловая дисперсия не
зависит от параметра t, а определяется только углом
интерференции ф. На рис. 7,3.3 дано распределение интенсивности для
«тонкого», «толстого» интерферометров и суммарное
распределение при отношении толщин 1 : 4. Максимумы «тонкого»
интерферометра совпадают с каждым четвертым максимумом
«толстого» интерферометра. В результате совместной работы
двух интерферометров Фабри—Перо получим узкие
интерференционные максимумы, ширина которых будет определяться
шириной максимумов «толстого» интерферометра. Расстояние
между ними, выраженное в длинах волн, определится толщиной
«тонкого» интерферометра.
Сложный интерферометр Фабри—Перо применяется для
исследования сверхтонкой структуры спектральных линий,
которые состоят из большого числа отдельных компонент. Такая
система дает возможность получить одновременно очень малое
значение б А (для тесно расположенных компонент) и
значительную величину АЯ (для далеко расположенных компонент).
Примером такой структуры может служить, например, зеленая
линия ртути, которая имеет семь изотопов — пять четных и два
нечетных. Нечетные изотопы дают линии, расположенные на
расстоянии около 0,0002 нм; четные изотопы имеют, наоборот,
линии, отстоящие друг от друга на 0,03—0,04 нм. При
соответствующей кратности толщин Р можно получить полную
картину сверхтонкой структуры исследуемой спектральной линии
в пределах данного порядка интерференции.
466
Интерференционно-поляризационные фильтры. В настоящее
Бремя широкое распространение в спектроскопии, астрофизике
и лазерной технике имеют интерференционно-поляризационные
светофильтры ИПФ. Эти спектрально-селективные устройства
с перестраиваемой длиной волны пропускания имеют ряд
преимуществ перед такими диспергирующими устройствами, как
призмы и дифракционные решетки. Они имеют и другой
принцип действия. Для построения ИПФ используется явление
интерференции поляризованных лучей (см. гл. 4). Такие фильтры
могут иметь широкую или узкую полосы пропускания (от
тысячных до сотых долей нанометров). При очень малой ширине
полосы пропускания (приблизительно 0,05 нм) угловой размер
поля зрения составляет еще около Г. Такие фильтры в отличие
от узкополосных интерференционных фильтров поддаются
точному расчету.
Большим достоинством интерференционно-поляризационных
фильтров является их высокое пропускание. Для не слишком
сложного фильтра пропускание составляет примерно 50 %,
вследствие выделения из падающего неполяризованного
излучения только одной линейно поляризованной составляющей.
Отличительной особенностью
интерференционно-поляризационных фильтров с небольшим числом ступеней является то
обстоятельство, что световые потери определяются в основном
только теми потерями, которые имеют место в первом
поляризаторе. Эти потери составляют около 50 % от падающего
естественного света. Далее надо принять во внимание только
небольшие потери на отражение и поглощение внутри
кристаллических пластин. Только при большом числе ступеней, т. е.
в случае выделения очень узкой полосы, пропускание фильтра
будет значительно меньше 50 %•
Найдем спектральную ширину полосы пропускания фильтра,
обозначив ее через б Я. Для этой цели продифференцируем
выражение для 6i = 2n|xdi/^ по Я и приравняем его 2Аб. Тогда
для полной ширины максимума 6Х = 2ЬХ; fx = «е — «о
6\= /' , л N • (7.3.28)
Напишем в (7.3.28) толщину последней кристаллической
пластинки фильтра dp = di2P~^. Окончательно будем иметь для
спектральной ширины полосы пропускания фильтра
6^ = ^\ ■ ■ (7.3.29)
Выражение (7.3.29) показывает, что ширина полосы
пропускания ИПФ в основном определяется толщиной последней
кристаллической пластинки. Другие величины, входящие в форму-
30* 467
лу (7.3.29), мало меняются в пределах ширины максимума, так
как двойное лучепреломление fx очень слабо зависит от длины
волны.
Расстояние АХ между соседними максимумами,
пропускаемыми фильтром, и выраженное в длинах волн, будет
определяться первой ступенью фильтра. Фазовый сдвиг между
соседними максимумами составит 2п. Тогда для свободного
спектрального интервала напишем:
A^:
.,.р-1)-
Величина АЯ зависит от реальных значений fx и di и, как
правило, составляет десятки и сотни нанометров.
Прежде чем приступить к расчету ИПФ, необходимо знать^
какая длина волны будет для фильтра рабочей, какая должна
быть ширина полосы пропускания бЯ и на каком расстоянии
могут находиться соседние максимумы. В этом случае можно
приступить к выбору материалов для кристаллических
пластинок и соответствующ,ему расчету (числа ступеней, соотношений
толщ,ин пластинок и др.). Далее определяют допустимые
температурные колебания.
ИПФ могут, например, изготавливаться из кристаллического
кварца и исландского шпата. Двойное лучепреломление
исландского шпата для ?\- = 656,28 нм ц = Пе — По = 0,169 при 19 °С,
для кристаллического кварца fx = 0,009.
Пусть требуется получить ширину пропускания 6?i = 0,06 нм
для указанной длины волны. Толщ,ина кварцевой пластинки
в этом случае для последней ступени должна была бы быть
равна 380 мм. Это практически трудно осущ,ествимо. Поэтому
в этом случае лучше всего взять пластинку из исландского
шпата. При прочих равных условиях ее толщ,ина будет равна
20 мм. Наоборот, для обеспечения достаточно большой
величины ЛЯ (например, приблизительно 65,0 нм) при
использовании исландского шпата толщ,ину первой пластинки следует
взять равной 0,04 мм. Это практически также не реально. Для
первой кристаллической пластинки пригоден кварц; толщ,ина
пластинки из кварца будет равна 0,7 мм, что вполне
осуществимо.
Сущ,ественным является вопрос о том, с какого номера
ступени следует переходить от кварца к исландскому шпату.
Здесь играют роль не только технологические ограничения, но
и различные температ^фные коэффициенты двойного
лучепреломления кварца и исландского шпата. Для кристаллического
кварца вблизи линии На смещ,ение максимума пропускания
составляет 0,08 нм на ] °С, а для исландского шпата — 0,04 нм
на 1 °С.
Если ИПФ выполнен из разных кристаллов, то из-за
отклонения температуры от расчетной произойдет его разъюстировка.
Зададимся возможной величиной разъюстировки между
кварцевой и шпатовой частями фильтра, равной 0,1; расстояние
между соседними максимумами последней кварцевой ступени
должно быть равным 4 нм.
Порядок интерференции k, в котором должна работать эта
ступень, для Я = 656,3 нм равен 178. Следовательно, толщина
пластины последней ступени равна 11,5 мм.
Максимум пропускания может быть установлен на любуЮ'
длину волны путем изменения дополнительной разности фаз
2пъг до тех пор, пока все {ki + &i) не станут целыми.
Величина ег должна меняться в интервале от —0,5 до 4-0,5.
В ИПФ сканирование возможно путем изменения одного
или нескольких параметров, от которых зависит величина
разности фаз, вносимой различными ступенями. Очевидно, этими
параметрами будут толщины кристаллических пластин и
показатели двойного лучепреломления.
Сканирование при изменении толщины кристаллических
пластин можно осуществить, если все или только самые толстые
пластины выполнить в виде клиновидных компенсаторов.
Смещение одного из клиньев плавно меняет величину разности
фаз. Этот способ позволяет получить ИФП с максимальной
областью смещения полосы пропускания, равной расстоянию
между соседними полосами пропускания ступени с наименьшей
разностью хода.
Смещение полосы пропускания ИПФ возможно посредством
изменения температуры. Возможность такого способа
сканирования объясняется зависимостью величины двойного
лучепреломления и толщины кристаллических пластин от температуры.
При этом способе сканирования область сдвига ограничена,
поэтому удобно использовать изменение температуры для
сканирования полосы в окрестности Хщ&х- Недостатком этого способа
является существенная его инерционность.
Наиболее распространенный способ сканирования
осуществляется с помощью введения в ступени ИПФ устройств,
которые изменяют разность фаз. Таким фазоизменяющими з'строй-
ством является, например, пластинка «Я/4», если ее ввести
в каждую ступень вместо второго поляризатора, а в последней
ступени оставить только один поляризатор. Сканирование
полосы пропускания по спектру происходит при вращении
блоков (ступеней); причем углы поворота должны удовлетворять
условию ai = 2*~'ai, где i — номер ступени.
Известно, что под действием электрических и магнитных
полей изменяются оптические свойства кристаллов
(электрооптический эффект Поккельса и магнитооптический эффект Фара-
дея). Эти явления с успехом используются для сканирования
полосы пропускания ИПФ по спектру; причем электрооптиче-
469
ский способ имеет ряд преимуществ, так как обеспечивает
большую скорость смещения полосы пропускания и позволяет
автоматизировать измерения.
В лазерной технике широкое применение получили внутри-
резонаторные ИПФ брюстеровского типа, предназначенные для
селекции, стабилизации и перестройки частоты генерации
лазерного излучения. В таких фильтрах перестройка полосы
пропускания (смещения по спектру) осуществляется синхронным
поворотом кристаллических пластин вокруг нормали к их
поверхностям. При этом все пластины установлены под углом
Брюстера к падающему излучению.
§ 7.4. Дисперсионные спектральные системы
повышенной светосилы
Ранее было показано, что светосила дисперсионной системы
зависит от размера входного зрачка (щели). Ограничения на
геометрическую величину щели связаны с пространственной
когерентностью излучения, освещающего диспергирующий
элемент. Этими соображениями, в частности, определяется размер
нормальной ширины щели.
Нормальная ширина щели, как известно, рассчитывается по
формуле a^^XfjD, где Х — длина волны; DIf — относительное
отверстие коллиматора, освещающего диспергирующий
элемент. С другой стороны, угловая ширина главного
дифракционного максимума, соответствующего дифракции света на щели
шириной а, равна Xja. Приравняв его линейную величину,
равную fkla, диаметру объектива, получим размер нормальной
ширины щели. Этот результат является следствием теоремы Ван
Циттерта—Цернике, которая определяет размер области
когерентности как область, лежащую в пределах центрального
дифракционного максимума, так как в этой области все
составляющие излучения действуют синфазно. Другими словами
величина пространственной когерентности определяется
эффективной угловой шириной спектра пространственных частот
источника излучения. Чем меньше геометрические размеры
источника, тем шире его пространственный спектр и тем более он
когерентен. Однако существуют источники специальной
структуры, имеющие широкий спектр пространственных частот при
больших геометрических размерах. Примером такого источника
является щелевая решетка шириной L и с периодом d, равным
нормальной ширине щели.
В результате интерференционного взаимодействия между
дифрагированными лучами, зависящего от периода решетки,
область когерентности определяется не шириной решетки, а ее
периодом. Однако излучение такого источника когерентно лишь
в дифракционных максимумах, определяемых из уравнения
470
ds'm(f = kX. Используя вместо входной щели спектрального
прибора набор решеток с различным периодом, можно
последовательно заполнить все относительное отверстие объектива
коллиматора дискретными зонами когерентности. Каждая из таких
операций осуществляется, очевидно, при условии большой
светосилы, поскольку в каждом отдельном случае используется как
минимум половина площади решетки. Эту принципиальную
возможность можно реализовать практически, используя двумерность
входного зрачка спект-
а)
1И
1
*^%i^it
I
т
"-ШШ
Рис. 7,4.1. Гиперболический растр: а —
принцип построения; б — двумерный растр
рального прибора. Раз
делив высоту зрачка на
равные части,
расположим одну над другой
множество
периодических структур
(решеток) с разным
периодом (рис. 7.4.1, fl).
Бесконечно увеличивая
число таких структур
для получения
непрерывного набора
периодов, получим входной зрачок, состоящий из прозрачных и
непрозрачных участков в виде равносторонних гипербол (рис. 7.4.1,6).
Эти гиперболы образуются в результате предельного перехода,,
условно обозначенного штриховыми линиями на рис. 7.4.1, а.
Все гиперболы имеют одни и те же асимптоты-—оси х я у.
Закон пропускания такого растра, образованного гиперболами,
при нормировке максимума к единице имеет вид М{х, у) =
= sin (Алху/Не), где е — период растра на прямых х, у= ±Hj2^
параллельных осям, а Н — полный размер растра (рис. 7.4.1,6).
Коэффициент пропускания растра в зависимости от координат
X, у имеет вид
Г (X, у)=С (X, у) [1 + М {X, у)]12, (7.4.1)
где —1 ^ М ^ 1; С {х, у) ■—функция контура, равная единице
внутри растра (х, у ^ Я/2) и нулю вне растра.
Растр с аналогичными свойствами можно образовать в
виде зонной пластинки Френеля (рис. 7.4.2,а).
Схема, иллюстрирующая принцип работы растрового
спектрального прибора, показана на рис. 7.4.2,6. Растр,
представляющий собой зонную пластинку, используется в качестве
входной диафрагмы прибора (рис. 7.4.2,6). В задней фокальной
плоскости прибора образуются изображения входного растра
в свете различных длин волн. Совместим с одним из
изображений выходной анализирующий растр, являющийся точной
копией входного. При точном совмещении поток излучения,
прошедший через прибор, достигнет максимума для некоторой
длины волны Рц), на которую настроен прибор. Для других
471,
длин волн изображения растра будут смещены и поток падает,
приближаясь к некоторому среднему значению, определяемому
отношением площадей прозрачных и непрозрачных зон растра.
В свете длин волн, близких к Хо поток будет определяться
пропусканием муаровой картины, возникающей при наложении
смещенных растров (рис. 7.4.2,б).
При точном совмещении растров (А, = А,о) имеем одну
бесконечно широкую муаровую полосу. Если анализирующий растр
aq Xf Xz
Рис. 7.4.2. Схема растрового спектрального прибора:
а — растр; б — оптическая схема;
/ — источник излучения; 0\ — объектив; Р —
диспергирующая призма; Ог — объектив, формирующий изображение
входного отверстия; s — муаровая картина
привести В колебательное движение, то излучение с длиной
волны А,о будеть иметь 100 %-ную глубину модуляции. Для всех
других длин волн глубина модуляции уменьшится вследствие
того, что в пределах контура растра возникнут полосы муара
конечной ширины. При колебательном движении растра одна
из полос муара, например, светлая, будет смещаться за
пределы контура растра, а другая — темная — входить в пределы
контура и общий поток, проходящий через систему растра, не
будет меняться.
Найдем аппаратный контур растрового спектрометра с
гиперболическим растром, ограниченным прямоугольным
контуром со стороной Н. Для этого выполним интегрирование
выражения Т{х — Хо, у)Т{х, у) в пределах —Н/2^х^Н/2,
—Я/2 ^ г/ ^ Я/2 при смещении растра относительно его
изображения на величину Хо. Результат интегрирования d{xo)
можно представить в виде суммы
aix,) = Pix,) + Q{x,). (7.4.2)
472
Для растра с законом пропускания (7.4.1) Р(хо) является
треугольной функцией вида Р{хо) = (1 ^ 2nd/H)/2.
Так как смещение Хо<^Н, то Р{хо) с изменением Хо
практически постоянна и ее можно принять равной 1/2, т. е. слагаемое
Р{хо) создает постоянный некогерентный фон. Функция Q{xo) =
= sin {2пхо/е)/{4пхо/е) является аппаратным контуром
спектрометра. Функция Q{xo) определяет область когерентности с
угловой шириной К/е, т. е. область когерентности,
соответствующую нормальной ширине щели, равной наименьшему периоду
растра е. Следовательно, разрешающая способность
рассматриваемой спектральной системы равна разрешающей
способности дисперсионного спектрометра при ан = е. Таким образом,,
растр с законом пропускания (7.4.1) позволяет создать
расширенную область когерентности при наличии некогерентного
фона. Периодическое смещение анализирующего растра по
существу является выделением расширенной области
когерентности из некогерентного фона, так как некогерентный фон,
определяемый функцией Р(хо), не меняется, а когерентная
составляющая Q{xo) модулируется. Таким образом,
использование растров позволяет существенно расширить область
поперечной пространственной когерентности. Это, в свою очередь,
приводит к значительному увеличению светосилы спектральной
системы.
В гл. 3 было показано, что интерферометры с делением
волнового фронта обладают существенно меньшей светосилой по
сравнению с интерферометрами с делением амплитуды волны.
Дисперсионные спектральные приборы по существу являются
многолучевыми интерференционными системами, в которых мо-
нохроматизация излучения обеспечивается делением волнового
фронта на входном отверстии. Следствием этого является их
малая светосила. ИФП, используемый в качестве спектральной
системы, обладает существенно большей светосилой. Последнее
является результатом того, что ИФП представляет собой
интерференционную систему с делением амплитуды световой волны
и его светосила определяется существенно большей областью
продольной пространственной когерентности по сравнению с
поперечной при одном и том же размере источника. Другими
словами спектральные системы с двумерной дисперсией (ИФП)
более светосильны, чем спектральные системы с одномерной
дисперсией. В ИФП выделение узких спектральных
составляющих возможно благодаря многолучевой интерференции. Двух-
лучевые интерферометры, например, типа Майкельсона
являются, как и ИФП, спектральными системами с двумерной
дисперсией, но не могут быть использованы для выделения узких
спектральных интервалов без использования специальных
приемов регистрации спектра. Одним из таких приемов является
интерфренционная селективная модуляция.
473
Рассмотрим принцип действия спектрального прибора на
базе интерферометра Майкельсона с использованием
временной частотной интерференционной модуляции. Пусть
интерферометр освещается монохроматическим излучением (рис. 7.2.2).
Поток на выходе интерферометра будет равен Ф{А)=кЬ).Х
X (1+C0S 2яА/?1), где Lx — спектральная плотность яркости
источника; а k—коэффициент пропорциональности. При
изменении разности хода с постоянной скоростью так, что A = vt,
переменная составляющая потока будет Ф(А) =k'kcos {2nfxt),
где частота модуляции fx = v/'k.
Если интерферометр освещен полихроматическим
излучением, то каждая монохроматическая составляющая будет промо-
дулирована своей временной частотой fx. Выделяя из
суммарного выходного сигнала соответствующие частоты и измеряя
величину сигнала на этих частотах, можно определить
монохроматическую яркость для каждой длины волны. Определим
сейчас разрешающую способность такой спектральной
системы.
Пусть частотный анализатор выделяет из выходного
сигнала две предельно близкие частоты fx, и fx^, отличающиеся на
6f = fx,— fxr Разрешимый интервал 6f связан с
длительностью наблюдения сигнала t и может быть оценен из известного
соотношения 8ft^^l. Интервалу 8f соответствует разрешимый
спектральный интервал б1. Дифференцируя соотношение f =
= v/}^ по X, найдем
6А, = vbf/f' = Щ/v = X'/vt.
За время t разность хода станет равной Атах = У^ и
поэтому 6К = Х^1Агаа.х И, следовательно, разрешающая способность
1^ = Х1 бХ = Агаах/'Х. Таким образом, как и для других
спектральных систем, разрешающая способность определяется
максимальной разностью хода интерферирующих лучей.
Светосила рассмотренного спектрометра определяется
площадью входного отверстия интерферометра и имеет то же
значение, что и для ИФП. В отличие от ИФП спектр имеет только
один порядок, а соответственно при большой разрешающей
способности (больших Атах) МОЖНО исследовать широкие
спектральные распределения.
В рассмотренной схеме модуляционного прибора
осуществляется фильтрация временных частот. Можно реализовать
также фильтрацию пространственных частот, используя
периодичность интерференционной картины в пространстве.
Приборы такого типа получили название СИСАМов (спектрометры
с селективной амплитудной модуляцией). Их можно назвать
также спектрометрами с пространственной частотной
модуляцией. Рассмотрим принцип работы таких систем.
474
Рис. 7.4.3. Принцип работы СИСАМа: а — ход лучей;
б — расположение дифракционных решеток
Пусть разность хода линейно зависит от координаты х, т. е.
А (х) =2 sin ах(—L ^ х ^ L). При полихроматическом
освещении интенсивность на выходе интерферометра будет
I {х)^[Ь{а) da + [l (а) cos (4я asin а v) da.
Эта интерферограмма имеет такой же вид, что и в
предыдущем случае. Отличие заключается лишь в том, что
спектральные компоненты закодированы теперь не временными, а
пространственными частотами а = 4па5та. Выделив
составляющую с какой-либо фиксированной пространственной частотой
и измерив ее интенсивность, определяем интенсивность в
спектре соответствующей спектральной компоненты.
Последовательно перебирая различные пространственные частоты, можно
построить полный спектр. Выделение составляющих с заданными
пространственными частотами можно реализовать следующим
образом. Заметим, что рассматриваемое периодическое
распределение интенсивности в зависимости от координаты х
представляет собой интерференционную картину полос равной
толщины, образовавшуюся в результате взаимодействия двух
волновых фронтов с углом 2а между ними (рис. 7.4.3, а).
Поместим в плоскость локализации этой первичной картины
решетку с периодом d, штрихи которой параллельны
интерференционным полосам. Если на решетку падают две
монохроматические волны 1 и 2 под углами +а относительно нормали, то
каждая из волн после решетки образует дифрагированные
волны нулевого, первого, второго и т. д. порядков. Углы
распространения этих волн, отсчитанные от нормали, будут
соответственно Ро=±«, Р±1, Р±2, .... Волны различных порядков ди-
475
фракции, образовавшиеся из волн 1 и 2, будут, очевидно,
симметричны относительно нормали к решетке, т. е. Pi = P-i, ^2 =
= Р_2 и т. д.
Рассмотрим взаимодействие волн первого порядка. Это две
плоские когерентные волны, образующие угол ±Pi с нормалью.
Угол р определяется из уравнения дифракционной решетки
£?(sin a + sin Р) =L Дифрагированные волны, интерферируя,
образуют в плоскости решетки вторичную интерференционную
картину с синусоидальным распределением интенсивности
периода Ь = V (2 sin Р), т. е.
/ (х) ^Lo (ст) [1 -+- cos (Алах sinp)].
При выполнении условия dsina^>., р^О период b
становится равным бесконечности. При этом создается
равномерное распределение интенсивности в плоскости решетки.
Величина этой интенсивности, очевидно, зависит также от
начальной разности фаз между интерферирующими пучками, т. е.
в общем случае необходимо рассматривать соотношение
/ (х) = Lo (or) [1 + cos {inaxsm?> + 6)]. (7.4.3)
Величина б определяется фазовыми соотношениями между
волнами 1 и 2. Это приводит к смешению первичной
интерференционной картины относительно характерных точек
дифракционной решетки (экстремумов пропускания или фазы).
Собственно это и является причиной изменения интенсивности
вторичной интерференционной картины. Аналогичного результата
можно достигнуть, смещая решетку относительно первичной
интерференционной картины. Определим теперь суммарный
лучистый поток после анализирующей решетки как интеграл по
площади прямоугольного зрачка в пределах —Н ^ у ^ Н,
—L ^ X ^ L, где 2L—длина решетки. В результате
интегрирования имеем
я L
^ф {a)^[j (х, у) dx dy ^Lo{a) \ dy [[l + cos{4:JKis'm^ + 6)]dx^
= iHLLo (a)
1 , sin (2jxaZ, sin R)
1 -^ 0—f - о COS (
znaL sin p
Из этого выражения следует, что выходящий поток
модулирован множителем cos б с коэффициентом модуляции р =
= sm{2naL sin р)/{2naL sin р). При р^-О, т. е. при d = Vsin а,
коэффициент модуляции достигает единицы. Способ выделения
спектральных составляющих путем модуляции с
использованием интерференционного множителя cos б называют
интерференционной селективной амплитудной модуляцией, а
соответствующие спектрометры СИСАМами.
Оценим разрешающую способность спектрометра, определив
предельно разрешимый спектральный интервал Аст. Выразим
476
sin p через длину волны настройки >.o = dsina и текущую длину
волны A = d(sin a+sin Р). Имеем sinp=(X — h})/d. Таким
образом, для коэффициента селективной модуляции р получим
р = sin (nXoN Аа) I (nXoN Аа), где N — полное число штрихов
анализирующей спектр решетки.
Для аппаратного контура вида sin х/х критерий Рэлея не
применим и поэтому используем критерий Спарроу. В
результате расчетов для величины Да получим А(7 = 2,082/(я>.оЛ^). При
тех же условия^ для решетки имеем Да = 2,606/(nAoiV).
Таким образом, процесс выделения спектральных
составляющих в рассматриваемом случае сводится к регистрации
амплитуды переменной составляющей лучистого потока.
Сканирование спектра можно реализовать меняя либо угол а (sin а),
либо период решетки d.
Сравнивая рассматриваемую схему с предыдущей, в
которой кодирование спектральных составляющих осуществлялось
временными частотами, можно заключить, что аналогом
скорости V является sin а, а аналогом частоты со = 2я/ — величина
4ji/d. Соответственно возможна реализация двух отмеченных
методов сканирования. Отметим также, что анализирующая
дифракционная решетка осуществляет гетеродинирование, т. е.
превращает высокие пространственные частоты первичной
интерференционной картины в низкие — вторичной, на которых и
осуществляется регистрация спектра.
Рассмотренная принципиальная схема селективного
спектрометра не позволяет реализовать значительную
разрешающую способность, которая могла бы быть достигнута при
больших разностях хода. Это связано в основном с трудностями
технического характера. Приведем схему, которая по принципу
действия не отличается от рассмотренной, но позволяет
преодолеть технические затруднения. В схеме на рис. 7.4.3, а с одной
анализирующей решеткой взаимодействовали две когерентные
волны. В схеме на рис. 7.4.3,6 одна волна, расщепленная
делителем D на две (1 и 2) когерентные, взаимодействует с двумя
дифракционными решетками Ri и R2. В этом случае нет
необходимости в создании первичной интерференционной картины
полос равной толщины конечной ширины.
Излучение длины волны X, отражаясь от решеток Ri и Ro,
в условиях автоколлимации (углы падения, дифракции и
поворота решеток соответственно равны а = р=ао, Ho = 2dsinao)
образует два плоских волновых фронта, параллельных друг
другу. При равенстве расстояний от делителя до решеток в
результате интерференции для длины волны Яо образуется
бесконечно широкая светлая полоса, заполняющая всю поверхность
решеток. Поток на выходе при этом будет иметь максимальную
величину. При периодическом введении между волнами 1 и 2
разности хода А=А,/2 поток через интерферометр будет также
периодически изменяться от максимального значения до нуля,
477
т. е. светлая полоса будет заменяться темной. Это
соответствует максимальной глубине модуляции потока. Для длин волн
Я, отличных от Ко, между дифрагированными от решеток Rt и
R2 лучами возникнет угол; в результате этого в плоскости
решеток будет наблюдаться система прямолинейных
интерференционных полос равной толщины. В этом случае глубина
модуляции будет меньшей. Она будет тем
меньше, чем большее число полос
будет содержаться в интерференционной
картине на решетке, т. е. чем больше
будет разность X — Хо- Синхронно
поворачивая решетки, можно обеспечить
условие автоколлимации и,
следовательно, максоимальной глубины
модуляции для другой длины волны, т. е..
осуществлять сканирование спектра.
Рассмотрим вопрос о допустимом
размере источника в спектральных
системах типа СИСАМ, т. е.
требования к его пространственной
когерентности. Анализ проведем на
примере простейшей системы,
изображенной на рис. 7.4.4. В случае конечного
размера источника угол падения
волн 7 и 2 на решетку-анализатор
(рис. 7.4.4) будет меняться в
пределах от а до а ± Аа. Вследствие этого
дифрагированные волны от волн 1
и 2, соответствующие длине волны
настройки Хо, после решетки выйдут
по разным направлениям. В результате между ними
образуется некоторый угол Ар ^ Рг—Рь который приведет к
образованию в плоскости решетки интерференционной полосы.
Это в свою очередь снизит коэффициент селективной
модуляции. Рассчитаем этот угол рассогласования. Из уравнения диф-
фракционной решетки имеем соотношения:
Xo^d[sin (а + Аа) + sinР,];
(7.4.4)
Xo^d[— sin (а — Аа) -f sin Pa],
где Pi и Рг — углы дифракции, соответствующие углам падения;
а + Аа и а — Аа.
Рис. 7.4.4. Схема для
расчета допустимого размера
источника в СИСАМе
Из соотношений (7.4.4) следует, что
^^cosPsin
2Ло - 2
—7-sin -
Да
d "'" ~2"
В приближении малых углов имеем
р1-р2
(Аа)^ = J |& cos р = |- cos р.
478
где р — средний угол распространения дифрагированных волн;
Ь — ширина интерференционной полосы, возникающей при их
интерференции.
Допустимую величину Да определим из условия обращения
в ноль коэффициента модуляции sin (nLao Ap)/(nLao Ар), т. е.
из условия L А^ 1X0=1. При этом ширина интерференционной
полосы во вторичной интерференционной картине Ь=Хо/А^
равна ширине решетки L.
Таким образом, мы определили допустимый угловой
размер источника в плоскости дисперсии. Допустимый угловой
размер источника в направлении, перпендикулярном плоскости
дисперсии, рассчитывается с учетом тех же соображений,
которые были использованы при определении допустимой угловой
высоты щели в дифракционном спектрометре. При этом
необходимо учесть, что дифрагированные волны, соответствующие
длине волны настройки Хо, отклоняются в разные стороны от
среднего угла распространения. В результате расчета получим
iAa)^ = dA^/xo=d/L.
Рассчитаем теперь величину QR. Учтем, что телесный угол
Q связан с линейным углом Да соотношением Q = n(Aa)^,
а разрешающая способность R решетки в данном случае равна
числу штрихов в N = 2L/d. В результате получим, приняв
cosP = l, QR = Jl{Aa)^■ = Jld|L = 2Jl/R, т. е. QR==2n. Это
выражение совпадает с тем, которое было получено нами для интер-
'ферометра Фабри—Перо и Фурье-спектрометра на базе
интерферометра Майкельсона.
§ 7.5. Основы техники спектроскопии
В этом параграфе рассмотрим некоторые наиболее часто
применяемые на практике измерения в области спектральных
исследований. Прежде чем приступить к таким измерениям,
часто необходимо подготовить спектральный прибор, т. е.
провести его градуировку.
Градуировка щелевого спектрального прибора по длинам
волн. Для правильной работы спектрального прибора (монохро-
матора или спектрографа) необходимо иметь точное
соответствие между отсчетом шкалы механизма поворота
диспергирующей системы и длиной волны на выходе монохроматора или
между положением спектральной линии и шкалой на
фотопластинке в спектрографе.
В табл. 14 показана классификация методов градуировки
спектральных приборов.
Расчетный метод позволяет проградуировать прибор для
любой области спектра. Он основан на том, что при известных
параметрах и оптических характеристиках элементов
спектрального прибора рассчитывается положение диспергирующей
479
Таблица 14
Методы градуировки спектральных приборов
Методы градуировки
Расчетный
По эталонным
спектрам
Интерференционно-расчетный
ционно-графический
Спектры
поглощения
Спектры
испускания
Фотоэлектрический
Визуальный
Фотографический
Фотоэлектрический
Визуальный
с применением
люминесцирую-
щего экрана
системы для каждой длины волны. Основным недостатком
расчетного метода является его невысокая точность, так как
данные параметры спектральной системы известны неточно.
Градуировка спектрографа осуществляется путем
отождествления спектральных линий и сопоставления их с
миллиметровой шкалой на фотопластинке. Для градуировки используются
нормали, т. е. такие спектральные линии, длины волн которых
известны, например, удобно использовать линии спектра железа
дугового и искрового разряда. Кроме линейчатого спектра
испускания используются также спектры поглощения веществ.
Одновременно со спектром на фотопластинку контактным
образом впечатывается миллиметровая шкала, предусмотренная
конструкцией прибора.
После отождествления спектральных линий (обычно с
помощью атласа) в соответствии с делениями шкалы строят гра-
480
дуировочный график в координатах N^f{X), где N — отсчет
по шкале (обычно до десятых долей миллиметра). Такой метод
соответствует градуировке по эталонным спектрам.
Особое место при градуировке спектрографа занимает
интерференционно-расчетный метод. Он заключается в
следующем: перед входной щелью спектрального прибора помещается
интерферометр типа эталона Фабри—Перо, освещенный
параллельным пучком лучей от источника непрерывного спектра.
В этом случае спектр в фокальной плоскости будет пересечен
вертикальными интерференционными полосами равного
хроматического порядка. Для интерференционных максимумов, как
ясно из рассмотрения ПРХП (см. ее. 129—132), при условии,что
промежуточный слой — воздух, справедливо равенство 2ta = k,
где t — толщина слоя; а — волновое число; k — порядок
интерференции. Это равенство может быть записано несколько
иначе при условии, что k = ku + k',
k' = 2ta — K. (7.5.1)
В формуле (7.5.1) ко—порядок интерференции, принятый
за начало отсчета и соответствующий k' =Ь. В (7.5.1) ко —
некоторая постоянная величина и поэтому k'=f{a) является
уравнением прямой с тагенсом угла наклона 2t. За счет
изменения К{а) будет иметь место переход от одной
интерференционной полосы к другой. При известных значениях ао и ^
можно рассчитать ко и далее k'=f{a). Имея экспериментальную
зависимость k'^f{N), можно с учетом рассчитанной k'^f{a)
перейти к градуировочной кривой N^f{a). В монохроматорах
определяют зависимость между отсчетом по шкале
барабанчика, связанного с механизмом перемещения диспергирующего
элемента и выводимой длиной волны, соответствующей к'.
Каждый интерференционный максимум связан с определенным
делением а барабанчика микрометренного механизма и таким
образом можно получить однозначную связь между делениями
шкалы а и длиной волны ^ или а.
Недостатком такого способа градуировки является
необходимость измерения толщины слоя t. Поэтому в ряде случаев
применяют интерференционно-графический способ градуировки.
Получив интерференционную картину в определенной области
спектра и установив зависимость к' ^ 'f{N), выбирают
небольшой участок спектра (например, в видимой области) и
градуируют шкалу N^f{X) прибора в этой области спектра по
нормалям спектра излучения или поглощения (рис. 7.5.1,а). По
этим данным в этой же области спектра (аг — oi) строят
зависимость k'=f{a), и, пользуясь тем, что это прямолинейная
функция, интерполируют ее во всю область спектра а, в
которой необходимо провести градуировку (рис. 7.5.1,6). Далее
имея экспериментальную кривую и график k'=f{a), получают
градуировочную кривую N^f{a) или N^f{X) (рис. 7.5.1,s).
31 Зак. №. 167 481
Для монохроматоров чаще всего применяют прямую
градуировку по спектрам излучения или поглощения. Шкала длин
волн монохроматора связана с механизмом поворота
диспергирующего элемента. Шкала барабанчика монохроматора часто
сразу оцифровывается в длинах волн. В этом случае эту
оцифровку необходимо периодически проверять. Если шкала
барабанчика имеет некоторые условные деления или деления в
градусах, то необходима градуировка шкалы в длинах волн па
эталонным спектрам-нормалям.
a]N,.
5) /f'i.
Л,,
Я; Я
б2 б, 5
Рис. 7.5.1.
Интерференционно-графический
метод градуировки моно-
у1 хроматора
Для градуировки в видимой области по линейчатым
спектрам используем газоразрядные спектральные лампы —
ртутные, ртутно-кадмиевые, кадмиевые и др. Для градуировки в
инфракрасной области по полосам поглощения используют
спектры поглощения следующих веществ: полистирола, неодимового
стекла, хлороформа и др.
Измерение линейной дисперсии и реальной разрешающей
способности. При работе с призменным и дифракционным
спектральным прибором необходимо знать величину линейной
дисперсии или реальной разрешающей способности для
заданной конкретной узкой области спектра.
Линейная дисперсия призменного спектрографа может быть-
вычислена по формуле
^'~ dX~ dX '2 sin e
(7.5.2)
В формуле (7.5.2) /г — фокусное расстояние объектива
камеры; 8 — угол наклона фокальной плоскости к оптической оси
объектива; dQ/d}^ — угловая дисперсия призмы. Если использу-
482
ется прибор с дифракционной решеткой, то линейная дисперсия
может быть определена по формуле
D, = ^^-J!i-f, = ^f,. (7.5.3)
' й!Л d cos ф '"^ X '^ ^ '
В формуле (7.5.3) ф — угол дифракции; т — порядок
спектра. По формулам (7.5.1) и (7.5.3) может быть вычислена
линейная дисперсия для заданной области спектра. Рассчитанные
значения дисперсии могут быть сравнены с экспериментально-
измеренными. Для этого необходимо зарегистрировать на
фотоэмульсии линейчатый спектр какого-либо элемента (например,,
спектр железа). После обработки фотографической пластинки
или пленки по атласам необходимо идентифицировать две
близкие спектральные линии, получить Д>, = >,1 — >,2, измерить
расстояние Д/ между ними с помощью измерительного микроскопа и
определить линейную дисперсию dlld'k (мм/нм) или обратную-
линейную дисперсию d'kldl (нм/мм). Именно эта величина
часто используется в практической спектроскопии.
Такие измерения можно осуществить по всему диапазону
спектра, в котором работает прибор, а затем построить (если
это необходимо) кривую дисперсии Di = f{'k).
Реальная разрешающая способность спектрального
прибора всегда меньше ее теоретического значения. Поэтому
соответственно и реально разрешимый спектральный интервал АЯр
окажется большим, чем теоретически разрешимый Ь'к.
Реальное значение 1^'к-р будет определяться не только явлением
дифракции на действующем отверстии прибора, но будут иметь
место и другие уширяющие факторы, а именно: конечная
ширина входной щели, дефекты фокусирующей оптики и
фокусировки прибора, размытие изображения вследствие зернистого
строения эмульсии и др. Это приведет к тому, что
результирующий контур спектральной линии будет представлять собой
свертку функций, каждая из которых описывает контур,
определяемый одним из факторов уширения. Результирующая
ширина наблюдаемого аппаратного контура линии приближенно
может быть определена следующим выражением:
ДХр = ^6^2 + Д4 + Д^аб + АХдеф + ДАзм- (7.5.4)
Возможность обнаружения находящихся на пределе
разрешения спектральных линий будет зависеть от приемника
излучения. Глаз человека при благоприятных условиях может
заметить изменение яркости в 5 %, контрастная фотоэмульсия
изменения освещенности — в 2 %, а фотоэлектронное устройство—-
еще меньшую величину. При определении реальной
разрешающей способности Rp = )^/AKp появление некоторого понижения
яркости (минимума) посередине суммарного контура двух
спектральных линий является критерием разрешения. Для
проведения измерений в спектре какого-либо элемента (например,
31* 483
в спектре железа) необходимо подобрать группу линий (в
разных участках области спектра), отличающихся по длинам волн
на предельно разрешимый спектральный интервал АКр, и
убедиться, разрешаются ли они. Следует предварительно
рассчитать Д;\,р с учетом линейной дисперсии
Ь = л/^о + Ь? + Ьэм- (7.5.5)
В формуле (7.5.5) b — линейная величина на
фотопластинке AV По аналогии с (7.5.4) ширину каждого из уширяюш:их
факторов обозначают буквой b с соответствующем индексом.
При расчете аберрационным уширением вследствие дефектов
оптики и уширением за счет дефокусировки можно пренебречь
из-за их малости по сравнению с другими. Значения bo, Ь\ и
Ььж (мм) соответствуют значениям б Л., ДЯщ и АЯэм в формуле
(7.5.4). Для того чтобы /?р определить правильно, следует
ширину входной щели выбрать равной «нормальной». Так как
«нормальная» ширина по (7.1.3) равна дифракционной, то
в этом случае будем иметь наиболее выгодные условия для
наблюдения двух разрешаемых прибором спектральных линий
и достаточную освещенность в фокальной плоскости. Величина
Z'sM определяется числом N штрихов на 1 мм изображения
абсолютной контрастной миры, разрешаемым фотоэмульсией;
bsM='\./N. Таким образом, зная линейную дисперсию, можно
по (7.5.5) рассчитать
АХр = фь1 + ьио1.
Здесь Ьп — ширина изображения «нормальной» ширины щели,
которая равна ширине дифракционного изображения с учетом
увеличения бдиф = &н= (fa/fi) Г —.—.
Фотографические и фотоэлектрические методы измерения
относительных интенсивностей спектральных линий. Здесь мы
рассмотрим энергетические измерения, связанные с
исследованием спектров излучения, называемых эмиссионными
спектрами.
Для понимания фотографических методов измерений
необходимо иметь представление о свойствах фотографической
эмульсии. Рассмотрим кратко характеристики фотоэмульсии.
Для регистрации спектров используют фотопластинки или
фотопленки. Светочувствительный (эмульсионный) слой
представляет собой специально приготовленный слой желатины
с равномерно распределенными в нем кристалликами
галоидного серебра. Под действием света происходит распад молекул
бромистого серебра, выделяются атомы серебра, которые
образуют скрытое изображение. После проявления на фотоэмульсии
получается негативное изображение спектра. В тех местах
фотоэмульсии, где освещенность оказалась большей, будет иметь
484
место большая оптическая плотность почернения D, а
прозрачность, определяемая коэффициентом пропускания 7 = Ф/Фо,
соответственно будет меньше. Прозрачность определяется
отношением светового потока Ф, прошедшего почерненный
участок, к Фо—потоку, прошедшему через непочерненный участок.
В соответствии с этим оптическая плотность почернения
определяется по формуле
Z)=lg| = lg^. (7.5.6)
П
J
1
По
\ъ\
\С
/
/
/
/ 0
О
;
3 Ig-H
Рис. 7.5.2,
Характеристическая кривая фотоэмульсии
Величина ее обычно
измеряется с помощью специальных
приборов — микрофотометров.
Здесь следует отметить, что
величина D может иметь
различные значения в зависимости от
способа измерения. Дело в том, что
эмульсионный слой имеет зернистое
строение и поэтому частично
рассеивает падаюш,ий на него свет.
Поэтому значение проходящего
потока складывается из
направленной прямо проходящей части и
диффузно рассеянной.
Следовательно, оптическая схема микрофотометра будет определять,
какая часть рассеянного света регистрируется прибором.
Однако чаще всего измерения ведутся в направленном
проходящем свете.
Зависимость плотности почернения D от экспозиции П
называют кривой почернения фотоэмульсии или
характеристической кривой. Экспозиция определяется произведением
освещенности Е на время экспозиции t, т. е. H=^Et. В
спектроскопической практике обычно ^=const и кривую почернения строят
в координатах D = f{E). На рис. 7.5.2 изображена эта кривая.
По оси абсцисс откладывают десятичные логарифмы
относительной освещенности, а по оси ординат —величины
измеренных плотностей почернения D. Из рисунка видно, что в
нижней части кривая идет почти параллельно оси абсцисс и дает
почернение Do, соответствующее фотографической вуали.
Далее следует криволинейный участок кривой почернения АВ —
область недодержек, которая переходит затем в
прямолинейный участок ВС —область нормальных почернений. Этот
участок характеризуется зависимостью
D==y{\gH-\gHi), (7.5.7)
где Яг —инерция пластинки, определяемая абсциссой точки
пересечения продолжения прямолинейного участка с осью
абсцисс.
Если вместо \g Н по оси абсцисс откладывается \g Е то
формула (7.5.7) перепишется в виде
D = y\gE-i, (7.5.8)
где i = y \gEi.
Множитель Y> входящий в (7.5.7) и (7.5.8), называется
коэффициентом контрастности, он равен тангенсу угла наклона
прямолинейного участка кривой почернения. Коэффициент у
зависит от типа эмульсии, режима проявления и области
спектра. Участок кривой CD (рис. 7.5.2) является областью
передержек; она нежелательна для проведения количественных
измерений, хотя иногда этой областью приходится
пользоваться. Характерным свойством фотоэмульсий является отступление
от закона взаимозаменяемости. Это означает, что при условии,
когда Eiti=E2h, равенства плотностей почернения, вообще
говоря, не будет. Это учитывается введением показателя Шварц-
шильда р. Равные плотности почернений получаются, если
Тогда выражение для прямолинейного участка в общем
виде должно быть записано следующим образом:
D = y\g{EtP) — i. (7.5.9)
Показатель р может иметь значения р >- 1 и р < 1 в
зависимости от характера освещения. Выражение (7.5.9) лежит
в основе измерения относительных интенсивностей
спектральных линий.
Характеристическая кривая фотоэмульсии позволяет
переходить от измеряемых плотностей почернения к энергетической
величине излучения, падающего на фотослой. Таким образом,
характеристическая кривая является эмпирической градуиро-
вочной кривой и должна строиться для каждой фотоэмульсии.
Для калибровки фотоэмульсии отдельные ее участки
засвечиваются определенными порциями энергии так, чтобы
освещенность этих участков изменялась бы в известной пропорции.
Располагая достаточным числом таких участков и измерив их
плотности почернения, можно построить эмпирическую зависимость
D = f{E). Кривая почернения фотоэмульсии может быть
построена различными способами:
а) при наличии источника сплошного спектра кривую
можно построить, изменяя ширину входной щели спектрального
прибора;
б) для линейчатых спектров используется девятиступенча-
тый ослабитель. Он представляет собой кварцевую или
стеклянную пластинку с нанесенными на ней тонкими слоями
пластины разной (убывающей) прозрачности — его градуировка
(пропускание в логарифмических координатах) обычно изве-
486
стна. Он помещается непосредственно перед входной щелью
спектрального аппарата.
Рассмотрим теперь фотографические методы измерения (фо-
тометрирования) относительных интенсивностей спектральных
линий. Различают два способа фотографического фотометриро-
вания; монохромное и гетерохромное фотометрирования.
Монохромное фотометрирование соответствует тому случаю,
когда свойства фотоэмульсии не меняются в пределах фотомет-
рируемого участка спектра. При гетерохромном фотометриро-
вании необходимо учитывать изменение свойств фотоэмульсии
при изменении длины волны излучения. В основе первого
метода лежит очевидный принцип: если два световых пучка длин
волн вызывают одинаковые плотности почернений за одно и
то же время экспозиции, то их интенсивности равны.
Монохромное фотометрирование. Сравнение интенсивностей
двух длин волн может быть выполнено визуально или с
помощью объективных измерений. Рассмотрим объективные методы
измерения относительных интенсивностей, предполагая, что
характеристическая "^кривая фотоэмульсии известна. Измерения
можно проводить по одной кривой почернений, построенной для
данной области спектра. Тогда, если плотности почернений
измеряемых линий находятся на прямолинейном участке
характеристической кривой, то можно написать для каждой линии
следующие выражения. Для первой спектральной линии из
^7.5.9) имеем
D, = y,\gh-i^. (7.5.10)
Для второй спектральной линии
D^^yz^ h — h- (7.5.11)
Тогда при условии Yi = Y2 и ji = f2 получим из (7.5.10) и
<7.5.11) для lg(/i//2)
lg(/,//^) = jDi^^^. (7.5.12)
Следовательно, зная коэффициент контрастности
фотоэмульсии и измеряя по шкале микрофотометра Dx и D2, найдем AD
и окончательно по (7.5.12) lg(/i//2). Если плотности
почернения (хотя бы одной линии) не лежат в области нормальных
почернений (на прямолинейном участке), то необходимо
снимать абсциссы точек на кривой для плотностей почернений Di
и D2 (рис. 7.5.3). Для получения большей точности измерений
следует воспользоваться двумя характеристическими кривыми,
но при этом важно, чтобы марки интенсивности, необходимые
для построения характеристической кривой, находились в
исследуемом спектре, т. е. необходимо сфотографировать
измеряемые спектральные линии через девятиступенчатый
ослабитель. Тогда характеристические кривые будут смещены по
шкале интенсивностей (масштаб по оси абсцисс задается градуи-
487
ровкой ослабителя). Оказывается, что расстояние между этими
двумя кривыми по оси абсцисс дает логарифм отношения ин-
тенсивностей исследуемых спектральных линий. В самом деле,„
пусть почернения двух исследуемых линий в какой-либо
ступеньке ослабителя будут равны Di и Ог. Если нанесем D\ и
D2 на соответствующие кривые (рис. 7.5.4), то будем иметь^
точки В и В'. Вместе с тем почернение Dz на первой кривой
даст точку А, т. е. мы пришли к той же схеме определения
Ig (h/Jz) по одной кривой; но в этом случае отрезок АВ^ опре-
/7
0,5
D2
-^
»/
/
/
1
0,5
4h
1,0 i,5lgl
Щ
Рис. 7.5.3. К определению
относительных интенсивно-
стей двух линий по одной
кривой
D
7,5
Di
1,0
Вг
0,5
О
а/
тГ /
1 /
1/
1
1
1
1
0,5 1,0 f,5lffl
Рис. 7.5.4. К определению
относительных интенсивностейг
двух линий по двум кривым
деляет расстояние между двумя кривыми. Этот способ дает
возможность усреднить результаты измерений, так как
измерения можно проводить на любой высоте по оси ординат.
Гетерохромное фотометрирование. Этот способ позволяет
решать задачу измерения относительных интенсивностей
спектральных линий, находящихся в различных областях
спектральной чувствительности фотоэмульсий. Для этой цели
необходимо знать кривую спектральной чувствительности данной
фотоэмульсии. Под спектральной чувствительностью понимается,
величина, обратная экспозиции Я монохроматического
излучения, выраженной в эргах и приходящейся на 1 см'^ поверхности
эмульсии, которая необходима для получения плотности
почернения, на единицу превышающей плотность вуали. Для
определения отношения JijJz спектр исследуемого образца
фотографируется через девятиступенчатый ослабитель, определяются
отношения /i и /г поочередно к энергиям тех же длин волн Ei
и Ez соответственно, которые вызывают почернение £) = 1 над
вуалью и которые могут быть сняты с кривых спектральной
чувствительности; тогда можно определить:
Гх^—т^ и Г,^—=—,
где Ti и Ti — коэффициенты пропускания оптической системы?
прибора.
Однако этот способ не обладает большой точностью
измерений. Лучше при проведении гетерохромного фотометрирования
использовать стандартный источник света, для которого
известно распределение энергии по спектру или его можно
рассчитать. В этом случае для измерения относительных интенсив-
ностей фотографируется спектр стандартного источника,
например, лампа с вольфрамовой нитью с известной яркостной
температурой (яркостную температуру следует перевести
в цветовую). Измерение относительных интенсивностей
производится следующим образом.
Пользуясь характеристической кривой пластинки для
данной спектральной линии, можно определить отношение
интенсивности этой линии (в центре максимума контура линии)
к интенсивности участка сплошного спектра Д>, в окрестности:
той же длины волны. Тогда будем иметь:
Я. А.
7—'— = ^к, и ' = ая„
Л] спл Лг спл
Т. е. hJ{Lx^Al,) = a^,; /я„/(^х,AA-s) = а^,,.
При фотографировании спектра входная щель прибора
имеет определенную величину а; следовательно, интервал длин
волн Д>, сплошного спектра, соответствующий величине
изображения щели спектрального прибора, определится через
линейную дисперсию выражением —А1^ ci'/Di, где а'—ширина
изображения входной щели. В этом случае 1спл^ L^AX^ Lxa'/Di,,
где Lx—спектральная плотность яркости. Тогда:
«я, = •; ГТ- ; «Л:
h/i/^t, 1 ' ' h/2/Dt, 2
Если можно считать, что а'^ = а'.^, то
■^1, ^-K^}.Pi, 2
Уч Lt'i, Qi'i, иI \
Л,2 Л,2 Л,2 1, I
(7.5.13.)
Таким образом, зная L?,, и Lx^ из табличных данных (для
абсолютно черного тела), и измеряя а;^, и а^,, можно
определить отношение интенсивностей исследуемых линий. При этом,
надо иметь в виду, что плотности почернений и
соответствующие им интенсивности, определенные по характеристической
кривой эмульсии, соответствуют максимумам плотности
почернения фотографического изображения линий.
Для правильных измерений следует выбирать малую
ширину измерительной щели микрофотометра. Предполагается, что
ширина линий и участок непрерывного спектра намного
превышают ширину аппаратной функции: в этом случае измеренные
489
ютношения /1//я„спл и 12/1к2спл совпадают с истинными,
соответствующими физическим явлениям в разряде.
В случае фотоэлектрической регистрации спектра
результаты измерений могут фиксироваться либо в цифровом виде, либо
в виде записи, полученной с помощью самописца при
сканировании спектра. Будем считать, что ширина аппаратной функции
спектрального прибора намного меньше измеряемой ширины
спектральной линии 8Х. Если середина выходной щели
приходится на максимальную освещенность от спектральной линии
-Ai, то выходящий поток равен по (7.1.36) 0}„=Lx, ^^iCihQT)^,,
а регистрируемый сигнал
V (1,) = 11 (Я,) ф (Я,) Ufil.ahQT}.,.
•Здесь Гя,,— коэффициент пропускания оптики прибора; t)(/i) —
коэффициент усиления усилителя; 9(^1)—спектральная
чувствительность приемника излучения; L^,,— яркость в максимуме
линии Я,1.
Аналогичное выражение может быть написано для другой
линии ^2 и т. д. Тогда для отношения интенсивностей линий li
"И ^2 получим
■/я. Ч мм ф(^) Ч ^, v{\)' ^ '
Обычно усилительно-регистрирующая система линейна, так
что коэффициент усиления ц не зависит от длины волны, т. е.
T)(>,i) =т)(Я2). Произведение следующих трех сомножителей
в формуле (7.5.14) можно определить экспериментальным
методом, использовав в качестве источника излучения эталонный
источник непрерывного спектра с известным распределением
яркости.
При измерении отношения интенсивностей регистрирующая
часть прибора может либо зарегистрировать максимальный
сигнал для каждой линии при выведении спектральной линии на
выходную щель, либо дать непрерывную запись сигнала на
самописце.
Качественный спектральный анализ состава вещества
основан на получении и изучении его спектра. Задачей
качественного анализа является обнаружение элементов, входящих в
состав исследуемой пробы. Качественный эмиссионный
спектральный анализ базируется на том, что присутствие в спектре
характерных линий того или иного элемента является критерием
наличия этого элемента в анализируемом образце.
Можно различать анализ на заданные элементы и полный
качественный анализ; последний необходим в тех случаях,
когда неизвестно происхождение образца. Для проведения
качественного анализа выбирают характерные самые чувствительные
спектральные линии данного элемента, которые называют «по-
490
следними», так как они исчезают в спектре последними при
уменьшении концентрации элемента в пробе. Обнаружение
в спектре какой-либо одной из «последних» линий элемента еще
не говорит о том, что этот элемент присутствует в пробе, так
как многие линии различных элементов обладают столь
близкими длинами волн, что они в спектрограмме не разрешаются.
Для получения надежных результатов анализа необходимо
убедиться в наличии нескольких характерных линий,
принадлежащих данному элементу и находящихся в различных областях
■спектра.
Наибольшее распространение получили фотографические
методы качественного анализа, так как на фотографической
пластинке регистрируется большая область спектра, которую
можно детально изучить, и, кроме того, спектрограмма является
документом.
При проведении качественного анализа на фотоэмульсию
фотографируют спектр исследуемого вещества встык со
спектром железа, который является, как правило, эталонным. Для
идентификации линий применяются специальные атласы, в
которых кроме линий железа указаны «последние» линии
элементов.
Чувствительность определения различна для разных
элементов, в среднем она составляет 10~^—10~^%.
Задачей количественного эмиссионного спектрального
анализа является определение количественных соотношений
элементов в изучаемой пробе по спектрам испускания. В основе
количественного анализа лежит эмпирическое соотношение,
связывающее концентрацию С определяемого элемента с
отношением интенсивностей линий определяемой примеси /i и
линии сравнения /г,
JJJ, = aCK (7.5.15)
Из формулы (7.5.15) следует, что логарифмическая
зависимость отношения интенсивностей от С в небольшом интервале
концентраций дает линейную зависимость
Ig (/,//,) = big С+ lg а. (7.5.16)
Формула (7.5.16) представляет собой математическое
выражение для градуировочного графика. Коэффициенты а и b
в формулах (7.5.15) п (7.5.16) зависят от условий эксперимента
л определяются опытным путем.
Коэффициент а характеризует процессы перехода вещества
из твердого состояния в газообразное и представляет собой
функцию состава пробы, а коэффициент b характеризует
процесс самопоглощения излучения. Явление самопоглощения
влияет на наклон градуировочного графика [формула (7.5.16)]:
если оно отсутствует, то 6 = 1 и наклон графика будет 45°.
491
Линия примеси и линия сравнения составляют аналитиче-
скую пару. В качестве линии сравнения может быть
использована линия основы пробы или специально введенного в пробу
элемента. В качестве аналитической пары линий подбирают так
называемые гомологические линии, т. е. линии, относительная
интенсивность которых мало чувствительна к изменению
условий возбуждения, т. е. линии, имеющие одинаковые или
близкие потенциалы возбуждения и ионизации. Кроме того, обе
линии должны быть близкими
по длинам волн. Это особенно-
важно при фотографических
методах анализа, так как
возможно различие в
коэффициентах контрастности
пластинки у; неоднородности
фотоэмульсии и ее
чувствительности для различных X
приведут к ошибкам в измерении
IgrCx IQC2 laCj laC относительной интенсивности..
Для проведения анализа
Рис. 7.5.5. Градуировочный график необходимо иметь комплект
стандартных образцов, в
которых содержание определяемых элементов установлено
с погрешностью значительно меньшей, чем требуется при
выполнении данной методики анализа. Отношение ин-
тенсивностей /1//2 определяется для этих образцов
методом монохромного фотометрирования при фотографической
регистрации или непосредственно путем фотоэлектрических
измерений.
Градуировочный график (7.5.16), построенный с помощью
стандартных образцов (не менее трех), приведен на рис. 7.5.5.
Для определения неизвестной концентрации Сх необходимо
в спектре пробы измерить соответствующее значение Ig {J1/J2}
и по градуировочному графику снять значение Ig Сх и
рассчитать Сх.
Энергетические измерения в спектрах поглощения основаны
на использовании законов поглощения света. Эти законы
действуют во всем оптическом диапазоне спектра, однако в
практической спектроскопии ими особенно широко пользуются при
измерениях в молекулярных спектрах поглощения в видимой и
инфракрасной областях спектра.
Первый закон поглощения был сформулирован на основании
экспериментальных исследований французским ученым П. Бу-
гером (1729 г.) и позднее теоретически выведен немецким
ученым Н. Г. Ламбертом (1760 г.).
Закон Бугера—Ламберта определяет ослабление пучка
монохроматического света при его прохождении через
поглощающее вещество. Пусть параллельный пучок монохроматического
света проходит через поглощающее вещество. Тогда каждый
492
бесконечно тонкий слой dl внутри однородной среды поглощает
определенную долю входящего в него потока излучения,
пропорциональную его толщине, т. е.
^ = -k^dl. (7.5.17)
Интегрируя выражение (7.5.17) от О до /, получим
/ = /оехр(-М). (7.5.18)
В формуле (7.5.18) / — интенсивность пучка, выходящего
из слоя поглощающего вещества, толщиной /; /о —
интенсивность пучка, падающего на слой; /гя,— показатель поглощения,
различный для различных длин волн X, но не зависящий от
интенсивности света.
Позднее немецкий ученый А. Бер (1852 г.) сформулировал
этот закон для растворов и газов, исходя из следующих
предпосылок. Если пучок монохроматического света проходит через
поглощающее вещество, в котором ослабление света
определяется только числом поглощающих молекул, находящихся на
пути лучей, и не зависит от величины потока и от взаимного
влияния молекул, то поглощение тонким слоем однородной среды
пропорционально числу содержащихся в нем поглощающих
молекул, т. е. их концентрации. В этом случае йя, можно
представить следующим образом:
^^. = >ся,С' и / = /оехр (—>cj>,C/). (7.5.19)
В формуле (7.5.19) С — концентрация поглощающего
вещества; хя,— показатель поглощения, рассчитанный на единицу
концентрации вещества и на единицу толщины слоя. Очевидно,
что %к зависит от природы и состояния вещества и от длины
волны X.
Выражение (7.5.19) называют законом Бугера—Ламберта—
Вера. Он справедлив для газов при малом давлении и для
растворов при малой концентрации. При больших давлениях и С
показатель поглощения %к обычно начинает изменяться
вследствие физико-химического взаимодействия молекул.
Закон Бугера—Ламберта—Бера может быть записан в
логарифмическом виде:
1п^=>сяС/ или lgA = y;c/. (7.5.20)
Здесь у/^ есть десятичный показатель поглощения на единицу
концентрации вещества. Величины хя, и к'^ связаны
соотношением хя = 2,303х'^^^. Отношение ///о = Ф/Фо = Г равно
коэффициенту пропускания. Тогда из (7.5.20) получаем, что оптическая
плотность прямо пропорциональна показателю поглощения х',
концентрации поглощающего вещества и толщине слоя, т. е.
D = — \gT = %'Cl. (7.5.21)
493
Таким образом, фотометрической величиной, измеряемой
при молекулярном абсорбционном анализе (исследовании
спектра поглощения), является спектральная оптическая плотность
Чтобы получить оптические характеристики спектра
поглощения вещества, определяют показатель поглощения для ряда
значений длин волн. С этой целью при помощи
спектрофотометра измеряют отношение Фо/Ф и рассчитывают Dx = lg (Фо/Ф)^
а затем по известным значениям С и / вычисляют значение
к^ ^ Dx/Cl. Функция %'^f{K) является спектром поглощения
вещества.
Часто пользуются и другими способами представления спек-
трофотометрических величин. Например, при изучении
красителей пользуются спектральными кривыми пропускания Т —
= Ф/Фо в зависимости от длины волны или волнового числа,,
а также спектральной плотностью D{X).
Молекулярные спектры поглощения веществ являются
однозначной характеристикой их молекулярного состава, поэтому
эти спектры могут быть использованы для проведения
качественного и количественного спектрального анализа сложных
соединений.
Качественный молекулярный анализ основан на том, что
каждое индивидуальное вещество имеет свои полосы
поглощения в спектре. Для проведения качественного молекулярного
анализа по спектру поглощения образца, представляющего
собой смесь веществ, необходимо измерить длины волн
максимумов полос поглощения и идентифицировать их с полосами
известных соединений, пользуясь справочным материалом для
расшифровки спектров. Вследствие того, что известны
молекулярные спектры поглощения огромного числа соединений,
идентификация неизвестных веществ по их спектру вызывает
затруднение. Кроме того, полосы поглощения разных соединений
могут иметь близкие значения длин волн и перекрывать друг
друга, тогда не всегда оказывается возможным различать их
максимумы. Задача определения состава смеси несколько
упрощается, если известно, что исследуемый образец представляет
собой смесь веществ, относящихся к узкому классу соединений.
К качественному спектральному анализу относится также
так называемый структурный молекулярный анализ, который
основан на том, что молекулы, имеющие одинаковые
структурные элементы, имеют в спектрах поглощения общие черты. Эта
особенность спектров позволяет определять структурный тип
вещества. Выводы о структуре молекул, т. е. какие
функциональные группы входят в состав молекул, имеются ли
кратные связи в молекуле, каково взаимное расположение атомных
групп и связей, делают по присутствию характеристических
полос поглощения.
494
Количественный молекулярный анализ по спектрам
поглощения основан на законе Бугера—Ламберта—Бера. В этом
случае пользуются линейной зависимостью D>. = f{C), которая
может быть построена графически, если измерены оптические
плотности для ряда известных концентраций. По полученному
градуировочному графику может быть определена неизвестная
концентрация вещества Сх по измеренному значению его
плотности Dx и градуировочному графику. Такие измерения могут
быть выполнены очень точно. Увеличивая толщину слоя /,
можно определить ничтожно малые концентрации вещества.
Законом Бугера—Ламберта (7.5.18) определяется работа
широкого класса светофильтров — абсорбционных
светофильтров. Эти фильтры ослабляют свет в результате поглощения
веществом фильтра. Наиболее распространенными
абсорбционными светофильтрами являются стеклянные. Цветные стекла, иг
которых делают светофильтры, очень разнообразны, благодаря
чему стеклянные светофильтры в широкой области спектра
позволяют решить задачу предварительной монохроматизации или
срезания части спектра.
В соответствии с законом Бугера—Ламберта для
спектрального коэффициента пропускания светофильтра можно написать.
Г;, = (1—/?)Ч0"'^=^'. (7.5.22)
В формуле (7.5.22): R — коэффициент отражения света
поверхностью светофильтра; kx — десятичный показатель
поглощения; / — толщина светофильтра. Наряду с Гя фильтр частО'
характеризуют оптической плотностью
Dx = ~2\g(l-R)-kJ. (7.5.23).
В выражениях (7.5.22) и (7.5.23) не учитывается
многократное отражение света в слое /. Кроме стеклянных
светофильтров бывают жидкостные и газовые светофильтры, а
также желатиновые и светофильтры из окрашенных органических
пленок.
Измерение контуров и ширины спектральных линий. Для
измерения физической ширины спектральных линий, излучаемой
источником линейчатого спектра, используются спектральные
приборы высокого разрешения. Ранее мы подробно
рассмотрели характеристики и конструкцию интерферометра
Фабри—Перо, который широко используется для такого рода измерений..
При этом можно применять как фотографический, так и
фотоэлектрический способ регистрации интерференционной картины.
Известно, что ИФП является прибором узких спектральных
интервалов и поэтому требует, как правило, дополнительной
монохроматизации.
При фотографической регистрации спектра чаще всего ИФП
располагается перед входной щелью спектрального аппарата
495
■г; м
(Цель спектограсра
Рис. 7.5.6. Оптическая схема
установки для измерения
контуров спектральных линий: а:
1—источник линейчатого спектра;
L\ — конденсор; ИФП —
интерферометр Фабри—Перо; L^ — объектив;
5 — входная щель спектрального
прибора ИСП-30; Ш — зеркальный
коллиматорный объектив;
Р—призма; Oz — камерный объектив; Ц —
поворотное зеркало; Р\р2 —
плоскость спектра;
6 — ВИД интерференционной
картины; в — к объяснению
измерений ширины
интерференционного кольца
(рис. 7.5.6,а). Картина, локализованная в бесконечности,
проектируется на входную щель спектрального аппарата. Тогда
в фокальной плоскости спектрального аппарата в случае
линейчатого спектра и достаточно широкой входной щели мы будем
наблюдать систему спектральных линий, пересеченных
отрезками концентрических колец (рис. 7.5.6,6). Задача заключается
в измерении ширины й'нтерференционных максимумов в
направлении дисперсии интерферометра, т. е. в направлении,
совпадающем с высотой спектральной линии, и последующем
переводе линейной ширины в соответствующий этому интервал
длин волн.
Имеются различные способы измерений. Мы остановимся на
одном из них. Из условия максимумов (7.3.1)
интерференционной картины путем дифференцирования и исключения порядка
интерференции k находим
ДА, ^ — А, tg ф Аф.
(7.5.24)
Знак минус в дальнейшем опускаем, а tg ф и Аф/cos ф
запишем по рис. 7.5.6,6 после дифференцирования следующим
образом:
Лф Лг
tgф = r/f^,/,
cos ф
\l
(7.5.25)
496
Здесь г — радиус измеряемого кольца; /х.^—фокусное
расстояние объектива Lz; ф — угол интерференции. Из выражения
(7.5.24) с учетом (7.5.25) получаем
ДА, = А,-^. (7.5.26)
Формула (7.5.26) справедлива для интерференционной
картины, полученной в плоскости входной щели спектрографа.
Так как измерения производятся в фокальной плоскости
спектрального прибора, то необходимо учесть линейное увеличение
V = hlU- Тогда
^X = XlL^. (7.5.27)
В формуле (7.5.27) Аг' — ширина кольца на фотопластинке;
г' — радиус кольца на фотопластинке; hj{f^^V^) =М —
величина, постоянная для данных условий опыта и данной длины
волны.
Если необходимо учитывать изменение дисперсии ИФП
в пределах одного порядка (для большей точности), то можно
получить ширину линии путем сложения результатов,
соответствующих отдельным участкам контура, т. е.
ДА, = М ^ г' Аг' = М ^ г' dr,
где Ar' — отрезок, соответствующий малой доле ширины
контура; г' — радиус для соответствующих участков контура в
миллиметрах.
Эту обработку при большом числе измерений целесообразно
проводить с помощью ЭВМ.
Для того чтобы осуществить измерения ширины контура
спектральной линии, необходимо правильно найти положение
точки контура, для которой J =—1тах.
Это можно осуществить, построив контур линии в условных
единицах /, пользуясь характеристической кривой
фотоэмульсии. Для измерений могут быть использованы микрофотометры.
Построив характеристическую кривую фотопластинки и
измерив Dmax (плотность почернения в центре) какого-либо
кольца, можно с помощью характеристической кривой найти
соответствующую /max, затем получить значение / = /тах/2 и по той
же характеристической кривой определить почернение D'
в точке контура линии, соответствующее / = /тах/2. Далее,
перемещая столик микрофотометра, измеряют по шкале его
барабанчика расстояние в миллиметрах между точками контура,
для которых / = /тах/2. Эти расстояния дают величину Аг'. Та-
32 Зак. № 167 497
КИМ образом, измерения ширины линии сводятся к двум
отсчетам на шкале барабанчика микрофотометра. Затем необходимо
измерить радиус соответствующего кольца.
Измерения описанным способом довольно длительны, так
как требуют построения характеристической кривой пластинки.
Для упрощения работы можно пользоваться фильтром,
помещаемым на входную щель спектрографа. Принцип работы
такого фильтра заключается в следующем.
Фильтр представляет собой двухступенчатый ослабитель,
одна из ступенек которого полностью прозрачна, а другая
имеет пропускание 50%- Этот ослабитель
располагается непосредственно перед
щелью спектрографа таким образом,
чтобы можно было разделить ее вдоль
(в вертикальном направлении) на две
равные части. Тогда спектральная линия
оказывается разделенной по высоте
также на две части (рис. 7.5.7). В одной из
этих частей в максимуме
интерференционной полосы (кольца) будет почернение,
соответствующее /max, а в другой —
почернение, соответствующее /тах/2. При
наличии такого фильтра-насадки
измерения ширины линии сводятся к двум
отсчетам на барабанчике микрофотометра.
Предварительно на микрофотометре
определяем D' в ослабленной части кольца,
соответствующее /тах/2, а затем
измеряем расстояние в неослабленной
части кольца между точками, имеющими это D'. Это
расстояние соответствует Аг' в формуле (7.5.27).
Такой способ обработки интерференционной картины не
требует наличия марок интенсивностей на фотопластинке и,
следовательно, свободен от построения характеристической
кривой и всех операций, связанных с переводом плотности
почернения в интенсивность. Время обработки картины таким
образом сокращается в пять-шесть раз.
Второй способ измерения ширины спектральных линий по
односторонним кольцам состоит в следующем: измеряется
ширина трех односторонних колец в долях порядка, т. е. Аг/А/.
Для этого так же, как и в описанном ранеее способе,
определяется плотность почернения D', соответствующая /тах/2.
Затем измеряются расстояния A/i и Afc между максимумами трех
соседних колец, а также ширина этих трех колец An, Агг, Агз
в миллиметрах. Зная постоянную эталона, можно получить
ширину линии АА,', выраженную в длинах волн АА,, в виде
АЯ,' = АА,А//Агср,
Рис. 7.5.7. Вид
интерференционной картины при
использовании
двухступенчатого фильтра
498
где
д, ^ _A/i_+_A/2_. д ^ Лг| + Аг2 +А''з
'ср— 3
All—среднее значение для 1-го и 2-го колец, а А/г — для 2-га
и 3-го колец.
Интерференционная картина, полученная с помощью
интерферометра Фабри—Перо, может быть зафиксирована
фотоэлектрическими приемниками излучения — фотоэлементом или
фотоумножителем. При фотоэлектрической записи применяется
принцип сканирования.
Первый способ сканирования основан на изменении
показателя преломления с помощью изменения давления в
герметизированной камере, в которую в этом случае должен быть
помещен интерферометр.
Связь между показателем преломления газа п и его давле-
Р
нием Р дается зависимостью п—1 = (по—1)-^г""-
Ро
Здесь По — показатель преломления газа при нормальном
давлении Ро.
При изменении давления в центре картины будет
наблюдаться изменение порядка интерференции Ak, которое можно
записать в виде
л (, 2^ , 14 АР
А'г = — {по-1)-р-.
Здесь / — толщина интерферометра; АР — изменение давления.
Можно подсчитать, что при изменении давления
приблизительно на 10^ Па при /=10 мм через диафрагму пройдет
около двадцати интерференционных порядков для А, = 0,5 мкм. При
этом желательно обеспечить линейную зависимость
выделяемой длины волны от времени. Дело в том, что если с помощью
форвакуумного насоса выкачать из камеры, в которой
находится интерферометр, воздух, а затем через узкое отверстие
(капилляр) постепенно впускать воздух в камеру, то уменьшение
разности между внешним давлением и давлением в камере
приведет к нелинейности записи.
Для выравнивания скорости изменения давления
пользуются различными приемами. Например, можно создать
большой перепад давлений между камерой, в которой находится
интерферометр, и другим объемом, в котором находится
сжатый до 1,5- 10' Па воздух. В этом случае отступление от
линейности приведет к погрешности в 1—2 %■
Второй способ основан на изменении угла падения света на
интерферометр, от которого в соответствии с условием (7.3.1)
зависит разность хода. Для изменения угла ф интерферометр
поворачивается вокруг вертикальной оси при помощи
электромотора. Интреференционные кольца будут перемещаться отно-
32* 499
сительно входной щели спектрального аппарата. Если щель
ограничена по высоте, то на выходе монохроматора можно
поставить соответственно диафрагму, выделяющую малую часть
интерференционного порядка (полосы). Тогда с помощью
фотоприемника, усилительного устройства и электронного
потенциометра можно записать контур изучаемой спектральной
линии. Этот способ редко применяется, так как в нем
используется только часть интерференционного кольца, т. е. снижается
светосила.
Третий метод сканирования основан на изменении
расстояния между интерференционными пластинами; эту операцию
необходимо осуществлять очень точно. Изменение расстояния
можно производить либо механическим, либо электромагнитным
способами. Механические способы заключаются в перемещении
одной из интерференционных пластин с помощью шарнирного
параллелограммного механизма, микрометренного винта или
посредством пружинного подвеса. Перечисленные способы
перемещения хотя и возможны, но связаны с большими
технологическими трудностями, так как точность перемещения
пластины должна быть очень высока (0,0025—0,0075 мкм).
Существует более простой способ изменения расстояния
между пластинами — температурный нагрев кольцевой трубки,
которая жестко соединена с одной из интерференционных
пластин. Однако термическое расширение трубки может привести
к деформации оправы, в которой крепится интерференционная
пластина. Инерционность системы также является ее
недостатком.
Для сканирования интерференционной картины можно
использовать также магнитострикционный эффект,
заключающийся в изменении линейного размера тела под действием
магнитного поля. Это явление особенно явно выражено для никеля,
кобальта, железа.
Наиболее распространенным способом изменения
расстояния между пластинами интерферометра является
использование пьезоэлектрического эффекта. Пьезоэффект проявляют
такие естественные кристаллы, как кварц и турмалин, а также
синтетические вещества — фосфат аммония, сульфат лития,
титанат бария и др. В интерференционных приборах чаще
всего применяют пьезокерамику — поликристаллическое вещество,
в составе которого в основном содержится титанат бария.
При создании электрического поля в пьезокерамической
пластинке возникают усилия, которые изменяют расстояние между
пластинами интерферометра. Если втулка из пьезокерамики
задает расстояние между интерференционными пластинами, то
подавая переменное напряжение на втулку, можно производить
сканирование интерференционных колец.
Б. А. Киселевым и И. Г. Фришманом был предложен
принципиально новый способ сканирования интерференционной кар-
S00
тины. Поясним его с помощью рис. 7.5.8. Изображение
интерференционной картины колец проектируется с помощью пан-
кратического объектива О в плоскость кольцевой диафрагмы
D с радиусом г и шириной dr, соответствующей полуширине
аппаратной функции ИФП. Сущность способа заключается
в том, что сканирование осуществляется изменением масштаба
изображения интерференционной картины панкратическим
объективом О. При изменении фокусного расстояния fnep
объектива О через кольцевую диафрагму последовательно проходят
Рис. 7.5.8. Принципиальная схема сканирования
интерференционной картины при изменении
масштаба ее изображения
интерференционные полосы, имеющие вид концентрических
колец, т. е., происходит сканирование интерференционной
картины.
Угол интерференции ф, входящий в выражение для разности
хода A=2f cos ф = йА,, можно вычислить из соотношения
СОЗф
1 —
2/2
Тогда порядок интерференции k в любой точке г
интерференционного поля в плоскости диафрагмы D будет равен
Если измерять расстояние от центра интерференционной
картины (г = 0) до точки г в долях порядка интерференции е,
то
111
хр
Из формулы (7.5.28) следует, что в случае фиксированных
значений величин t, г и Х при изменении f осуществляется
сканирование интерференционной картины.
Связь между шириной диафрагмы dr и параметрами ИФП
получим, дифференцируя выражение (7.5.28) и заменяя de ^
= 1/Л^эфф, где de — полуширина аппаратной функции,
выраженная в долях порядка интерференции.
Е /2г = 0 f^r ^ е2 *
(7.5.28)
501
Тогда
dr:
ЗеЛ/эФФ '
Основное достоинство этого метода сканирования в том, что
зеркала интерферометра остаются неподвижными. Для скани-^
рования одного порядка интерференции фокусное расстояние
объектива /пер изменяют на 100 мм и более, что может быть,
легко осуществлено с большой точностью. В аналогичном
случае смещение зеркала интерферометра на А,/2 с высокой
точностью осуществить затруднительно.
Монохроматор
Рис. 7.5.9. Одноканальная оптическая система с ИФП
Применяя тот или другой метод сканирования, можно
создать фотоэлектрическую установку с интерферометром Фабри—
Перо. Для исследования излучения стабильных источников
света применяются одноканальные схемы, состоящие из
интерферометра, механизма сканирования и регистрирующей части.
Если источник недостаточно стабилен или вовсе не дает
устойчивого во времени излучения, то необходима двухканальная:
система регистрации.
В качестве примеров рассмотрим две оптические схемы
установок, предназначенных для записи контуров спектральных
линий. Одна из них однбканальная, другая — двухканальная^
На рис. 7.5.9 изображена оптическая схема спектрометра,,
состоящего из монохроматора и ИФП. Исследуемый источник /
света посылает излучение через конденсор Li на входную щель
монохроматора Si. После прохождения оптической системы
монохроматора 0\—Р—Ог (здесь диспергирующий элемент Р
обозначен условно) предварительно монохроматизированный
световой поток проходит через выходную щель ^2 и направляется
на систему интерферометра-спектрометра Оз—R—Ok. Выходная
диафрагма D выделит нужную часть спектрального интервала,,
проходящего на приемник излучения F.
Для получения наибольшей светосилы установки требуется
согласование оптических систем монохроматора и
интерферометра с тем, чтобы свет в оптическом тракте не
диафрагмировался, а действующее отверстие интерферометра было бы
полностью заполнено.
502
На рис. 7.5.10 представлена схема двухканального
интерференционного спектрометра.
Интерферометр Фабри—Перо R расположен после выходной
щели So дифракционного монохроматора и для получения мак-
симально?! светосилы работает в параллельных лучах. Моно-
хроматор, построенный на основе плоской дифракционной
решетки G, имеющей 1200 щтр-/мм и работающей во втором
порядке, служит для выделения нужного участка спектра.
Дисковый модулятор М расположен непосредственно перед
входной щелью монохроматора Si. При вращении диска моду-
Рис. 7.5.10. Двухканальная. оптическая система с ИФП:
J — источник линейчатого спектра; О — растровый конденсор; АГ — модулятор; S] —
входная щель монохроматора; Oj — коллиматориый объектив; О — дифракционная
решетка; Ог — объектив выходного коллиматора; S2 — выходная щель монохроматора; Р —
призма; ij — линза; Д — ИФП в барокамере; Z5 — диафрагма; ij — линза; Кз —
полупрозрачное зеркало; ia — объектив; 5з — диафрагма; L, — линза; F — фотоумножитель
лятора по очереди открываются верхняя или нижняя часть
щели. Модуляция осуществляется с частотой 100 Гц. После
монохроматора призма Р делит световой поток на два канала:
рабочий / и канал сравнения //.
Световой пучок канала // подается на полупрозрачную
пластинку Ks. и фокусируется объективом Ls одновременно со
световым пучком канала / на диаграмме 5з, которая выделяет
нужную часть спектрального интервала из центрального кольца
интерференционной картины. Линза Li, собирает далее пучок на
катод фотоумножителя F. Диафрагма D переменной величины
регулирует световой поток в канале сравнения. Для правильной
работы электронно-регистрирующей схемы необходимо, чтобы
световой поток в канале сравнения был больше, чем в рабочем
канале. На катод фотоумножителя последовательно поступают
модулированные световые потоки от I я II каналов.
Электронно-регистрирующая схема обеспечивает запись
логарифма отношения интенсивности спектрального интервала АХ
(рабочий канал) к интегральной интенсивности спектральной
линии (канал сравнения).
503
ПРИЛОЖЕНИЯ
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
Настоящее приложение содержит руководства к 15-ти
экспериментальным работам, иллюстрирующим теоретический
материал книги. Каждая практическая задача составлена по
определенному плану. Вначале формулируется цель исследования,
затем приводится рисунок, на котором дана принципиальная
схема лабораторной установки, изображен ход лучей в
оптической схеме, приведен перечень приборов. Далее следует
подробное изложение задания для выполнения
экспериментальной, расчетной и графической частей лабораторной работы.
На основании этого задания экспериментатор должен изучить
по указанным разделам настоящей книги физическую сущность
изучаемых явлений, четко знать работу оптической и
электрической схем, последовательность выполнения измерений и иметь
представление об ожидаемых результатах. Перед началом
измерений необходимо продумать форму записи, например
составить таблицы результатов, в которых с целью исключения
грубых ощибок и для оценки предельных отклонений измеряемых
величин должна быть предусмотрена возможность записи
нескольких значений. Количественную оценку погрещностей
измерений следует проводить с применением элементарной
математической статистики, согласно общепризнанным методам,,
изложенным, например, в литературе [7].
Отчет по каждой лабораторной работе должен содержать:
краткое изложение теоретической сущности изучаемого
вопроса; схему установки и пояснения к ней; результаты измерений,
их обработку в виде таблиц, графиков и т. п.; оценку
погрешностей измерений; выводы в виде обсуждения полученных
результатов, сравнения их с теоретическими и с литературными
данными; список использованной литературы.
Длительность выполнения работы четыре часа.
ПРИЛОЖЕНИЕ П.1
ИССЛЕДОВАНИЕ АБСОРБЦИОННЫХ СВЕТОФИЛЬТРОВ
Цель работы: научиться измерять спектральные
характеристики абсорбционных светофильтров на спектрофотометрической
установке по точкам; рассчитывать характеристики, исходя из
геометрических размеров светофильтра и пользуясь данными
каталога цветного стекла.
Задание. 1. Изучить принцип работы абсорбционных
светофильтров, основные спектральные характеристики
светофильтров— спектральные коэффициент пропускания и оптическую
плотность, их расчет для заданной марки стекла. 2. Собрать и
отладить спектрофотометрическую установку согласно схеме
504
на рис. П.1. 3. Определить спектральный коэффициент
пропускания Ti двух светофильтров с широкой и узкой полосами
пропускания, например, из стекла марок ЗС-3 и ЗС-7 в области
длин волн 410—750 нм через 10 нм. Очевидно, следует
измерить падающий на светофильтр поток Фох и прошедший через
светофильтр поток Фх для каждой длины волны К, тогда Ti =
= Фх/Фох. При измерениях следует разумно выбрать ширину
входной и выходной щелей (обычно их берут равными) так,
чтобы спектральная ширина щели А^^щ составляла бы 1/6—1/10
f 2 J 1^ S 5 ■ S
\
7 в
Рис. П.1. Схема установки для измерения спектральных
характеристик светофильтров:
/ — стабилизатор напряжения; 2 — трансформатор; 3 — лампа накаливания;
4 — конденсор; 5 — конденсор; 6 — монохроматор; 7 — фотоэлемент; 8 —
регистрирующий прибор; 9 и 10 — исследуемый светофильтр
ширины ПОЛОСЫ пропускания светофильтра 6L Вследствие
этого при измерении спектрального коэффициента пропускания
светофильтра ЗС-7 в области длин волн 480—600 нм измерение
следует вести через 5 нм со спектральной шириной щели не
более 5 нм. Напомним, что А'кщ = 2Ь101, где b — ширина
входной и выходной щелей монохроматора; Di — линейная
дисперсия монохроматора. 4. Рассчитать для стекла марки ЗС-7 Г =
= f(?^) и D = f('k) (D = —IgT). 5. По данным измерений
стекла марки ЗС-3 рассчитать десятичный показатель поглощения
ui^=f('k). 6. Построить экспериментальные и расчетные кривые
коэффициента пропускания, оптической плотности и показателя
поглощения. Указать на графиках значение используемой
в опыте спектральной ширины щели для различных участков
спектра. 7. Составить отчет (см. с. 504). Рассмотрение
теоретических вопросов дано на с. 421—427 и 492—495.
ПРИЛОЖЕНИЕ П.2
ДИФРАКЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛУЧАХ
■ОТ одной И ДВУХ щелей
Цель работы: изучить роль, которую играют
дифракционные явления в работе оптических приборов, дифракционную
природу изображения, которая определяет одну из важнейших
характеристик прибора — его разрешающую способность.
505
Задание. 1. Изучить дифракцию Фраунгофера на отверстиях;
различной формы, распределение интенсивности в
дифракционном поле, выраженное в виде интеграла Фурье, влияние
пространственной когерентности источника на вид дифракционной,
картины. 2. Собрать и отъюстировать экспериментальную
установку по схеме рис. П.2,а. 3. Наблюдать дифракционную
картину при дифракции на одной щели 7 в белом и монохромати-
Рис. П,2. Схема установки для изучения дифракции Фраунгофера (а):
1 — блок питания; 2—ртутная лампа; 3 — светофильтр {Х^^^^^ЫёЛ нм); .^ —
конденсор; 5 — спектральная щель (0—0,4 мм; 0.001 мм); б — объектив с фокусным
расстоянием Л; 7 — спектральная щель (0—0,4 мм; 0,01 мм); * —двойная щель; 9 —
объектив с фокусным расстоянием /г; 10 — микроскоп, с окуляр-микрометром;
б — распределение интенсивности в дифракционной картине при
дифракции на одной Ji((f) и двух /гСф) щелях
ческом (А = 546,1 нм) свете. Дать качественные объяснения
наблюдаемых явлений. 4. Измерить углы дифракции,
соответствующие минимумам для трех значений ширины щели а — 0,8;
0,9 и 1,0 мм. Для измерения использовать винтовой окулярный
микрометр. Углы дифракции определяются измерением
расстояния Ах от середины центрального максимума до минимумов.
в дифракционной картине по формуле sin ф=Ах//2, где /г —
фокусное расстояние объектива 9 (рис. 11.2,6). Имея четыре-пять.
измерений, уточнить ширину щели а, построив график прямой
Ах = F(k) =: (Xf2/a)k, где k — номер минимума, 5. Наблюдать,
изменение ди(|)ракционной картины при изменении ширины
щели 5 (рис. П.2, а), которая является источником. Определить
экспериментально ширину щели 5, при которой исчезает
дифракционная картина при дифракции на щели 7 шириной
0,9 мм. Полученный результат сравнить с нормальной шириной
щели, рассчитанной по формуле Ьи= {^/a)fi, где Ьн —
нормальная ширина щели 5; а — ширина щели 7; fi — фокусное
расстояние объектива 6. 6, Наблюдать дифракционную картину
506
при дифракции на двух щелях 8 {d/a = 2, 3, 4 и а = 0,4 мм, а —
ширина каждой щели, d — расстояние между щелями) в белом
и монохроматическом свете.. Наблюдать изменение контраста
в дифракционной картине при изменении ширины щели 5.
7. Рассчитать число минимумов и максимумов функции /2(ф),
укладывающихся в нулевом максимуме при дифракции на
одной щели /1,(ф), сравнить с результатами наблюдений
(рис. П.2,б). 8. Составить отчет (см. с. 504).
Для выполнения работы ознакомиться с теоретическими
сведениями на с. 338—344.
ПРИЛОЖЕНИЕ П.З
ИЗМЕРЕНИЕ ШИРИНЫ ВХОДНОЙ ЩЕЛИ СПЕКТРАЛЬНОГО ПРИБОРА
ПО ДИФРАКЦИОННОЙ КАРТИНЕ
Цель рабйты: овладение методикой измерения ширины
входной щели спектрального прибора по дифракционной картине
■от входной щели, наблюдаемой на объективе коллиматора от
двух когерентных источников света. Научиться проверять
показания микрометренного механизма раскрытия щели, определять
нулевое положение шкалы и мертвый ход. Работа может
выполняться на любом спектральном приборе.
Задание. 1. Изучить образование дифракционной картины на
■объективе коллиматора от двух источников в виде двух щелей,
разнесенных по высоте и расположенных на расстоянии d друг
•от друга (рис. П.З,а). Угол между главными (нулевыми)
дифракционными максимума определится отношением a = dlL,
где L — расстояние от двойной щели до входной щели
спектрального прибора, который очевидно равен углу дифракции
т-го минимума при совпадении 0-го максимума с т-м
минимумом (рис. П.З,б,в). Ширина входной щели ар может быть рас-
•считана по формуле ар=—-—=(2-bl)?^L/a, где z — число
минимумов, расположенных между главными (нулевыми)
максимумами обеих картин; 'к — длина волны излучения. 2. Собрать
и отъюстировать установку по схеме, показанной на рис. П.З, г.
Установить источник линейчатого спектра ртутную лампу 1 и
конденсор 2 так, чтобы осветить входную щель монохроматора
согласно схеме рисунка П.З, б. Настроить монохроматор на
заданную длину волны % (для ртути ?^ = 546,1 нм). Закрепить на
оправе конденсора 2 двойную щель 3. Наблюдать со стороны
выходной щели монохроматора две дифракционные картины
от верхней и нижней щелей 3. Добиться равномерной
освещенности обеих картин. Отрезок L выбрать так, чтобы оба
главных (нулевых) максимума находились в поле зрения. 3.
Провести градуировку шкалы механизма раскрытия входной щели
507
при двух значениях отрезка L, отличающихся не менее чем на
100 мм. Рекомендуется проводить измерения для т от двух до
9—12. Снимать отсчеты по шкале механизма входной щели,
начиная с г=1, увеличивая каждый раз число минимумов на
единицу. Измерения повторить несколько раз. 4. По
полученным данным построить градуировочную кривую ap = f(a), где
ар — ширина щели, рассчитанная по формуле, данной в п. 1;
а]
S)
входная
щель
05ъектиВ
коллиматора
Рис. П.З. Схема установки для измерения ширины входной щели
спектрального прибора; а—двойная щель; б — схема образования
дифракционной картины на входной щели прибора:
У — источник излучения; 2 — конденсор; 3 — диафрагма с двумя щелями;
в — схематическое представление дифракционной картины на объективе
коллиматора; г — схема установки:
у — ртутная лампа; 2 — конденсор; 3 — диафрагма с двумя щелями; ^ — моно-
хроматор; 5 — глаз наблюдателя
а — среднее значение ширины щели, снятое по шкале. 5. По
графику определить отсчет, соответствующий нулевому значению-
ширины щели йй. Кроме того, определить опытным путем
нулевое положение шкалы и сравнить оба эти значения. 6. Оценить
значение мертвого хода механизма раскрытия щели,
устанавливая определенное значение z (например, 2 = 4) при открывании
и закрывании щели. Измерения повторить не менее десяти раз.
7. Установить ширину входной щели по дифракционной
картине, заданной руководителем работ. 8. Составить отчет по
форме на с. 504.
Для выполнения задания следует ознакомиться с
теоретическим материалом на с. 337—342.
ПРИЛОЖЕНИЕ П.4
ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЗРАЧНОЙ
И отражательной дифракционных решеток
Цель работы: научиться собирать установку с плоской
дифракционной решеткой и юстировать спектр, рассчитывать
основные характеристики дифракционных решеток, оценивать
разницу в спектрах амплитудной (прозрачной) и фазовой
(отражательной) решеток.
Задание. 1. Изучить принцип работы амплитудных и
фазовых дифракционных решеток, распределение энергии в плоско-
Рис. П.4. Схема установки для исследования дифракционных решеток:
У — блок питания; i — источник линейчатого спектра (ртутная лампа типа СВД-120);
3 — конденсор; ^ — спектральная щель; 5 — коллиматорный объектив; 6 —
дифракционная решетка; 7—зрительная труба; в — лимб; 9 — полулимб
сти дисперсии, спектроскопические характеристики — область
дисперсии, угловую дисперсию, теоретическую разрешающую
способность. 2. Собрать и отъюстировать установку по схеме
рис. П.4. 3. Для амплитудной решетки выполнить измерения,
приведенные ниже. I. Измерить зависимость smq) = f(X), где
Ф — угол дифракции. Измерение углов дифракции провести при
угле падения на решетку 113 = 0 и для следующих длин волн
ртутного спектра: 404,7; 407,8; 435,8; 491,6; 512,8; 546,1; 577,0;
579,1 нм в 1, 2 и 3-м порядках. Очевидно, что sin ф = (m/d) ?^ и
тангенс угла наклона прямой 51пф = /(?^) равен m/d. П.
Рассчитать угловую дисперсию D,f этой дифракционной решетки
в 1-м и 2-м порядках и линейную дисперсию Di установки.
4. Для фазовой решетки провести измерения, приведенные
ниже. I. Экспериментально проверить основное уравнение
дифракционной решетки. Проверку провести по зеленой линии
ртутного спектра (?^ = 546,1 нм) в спектре шестого порядка (/и = 6),
для чего измерить углы дифракции ф для этой линии шестого
порядка, изменяя углы падения света на решетку от г|)=10° до
^ = 40° через 10°. II. Вычислить положение Лтах и произвести
расчет относительного распределения энергии в спектре
решетки для случая автоколлимационной схемы ('ф = ф). Решетка
503
100 штр./мм имеет угол профиля штриха f = 5°. Расчет сделать
для третьего порядка (т = 3) спектра области спектра от 350
до 850 нм через 50 нм. III. По данным расчета построить
график /отн = /(^). 5. Составить отчет (см. с. 504). Необходимый
для изучения материал см. на с, 345—349, 432—437.
ПРИЛОЖЕНИЕ П.5
ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
Цель работы: научиться получать
пространственно-частотные спектры ряда периодических структур, анализировать
■CZZD
Рис. п.5. Схема установки для изучения формирования изображения
в когерентной системе:
/ — блок питания; ^ — лазер (Не—Ne-лазер с ?, = 632,8 нм); 3 — поляризатор;
4 — микрообъектив; 5 —линза; S — предмет; 7 — объектив; 8 — плоскость Фурье-
спектра предмета; 9 — зеркало; /О —экран; // —фильтр; /^ — микроскоп
Фурье-спектр предмета с целью влияния на его изображения
в оптической системе с когерентным освещением.
Задание. 1. Изучить образование и распределение
интенсивности в пространственно-частотных спектрах периодических
структур: амплитудной решетки, амплитудной сетки, фазовой
прозрачной решетки, а также влияние фильтрации в плоскости
пространственных частот на степень подобия изображения
предмету. 2. Собрать и отъюстировать установку по схеме,
показанной на рис. П.5. Изображение рассматриваемых
предметов можно наблюдать либо увеличенным на экране, либо
уменьшенным с помощью микроскопа. В последнем случае, очевидно,
объектив должен иметь меньший фокус. 3. Наблюдать Фурье-
спектр и оптическое изображение решетки, сетки, фазовой
решетки 4. Измерить постоянную решетки и постоянные сетки,
510
которые находят из соотношения: й5тф = тЛ, где d —
постоянная решетки; ф — угол дифракции соответствуюш,его порядка
т максимума в Фурье-спектре; Л—длина волны излучения
лазера. Можно считать, что 51Пф = Ал;//, где Ах — расстояние
в спектре от нулевого максимума до максимума порядка т;
f — фокусное расстояние объектива 7. 5. Наблюдать
формирование изображения сетки и выбрать фильтры: а) выделяюш,ие
только вертикальные компоненты; б) выделяюш,ие только
горизонтальные компоненты; в) даюш,ие возможность получить
негативное изображение; г) изменяюш,ие период изображения
сетки. 6. Визуализировать фазовую решетку. 7. Составить отчет
(см. с. 504). Теоретический материал к этой работе помеш,ен
на с. 337—348, 365—370.
ПРИЛОЖЕНИЕ П.6
ИЗМЕРЕНИЕ МАЛЫХ ТОЛЩИН
ПО ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫМ ЛИНИЯМ В СПЕКТРЕ
Цель работы: познакомиться с практическим применением
интерференционных полос равного хроматического порядка при
■220
Рис. П.6. Схема установки для измерения малых толщин по
интерференционным полосам в спектре:
/ — трансформатор; 2 — источник сплошного спектра (лампа К-24); 3 —
конденсор; 4 — полупрозрачная пластинка; 5 — кюветы №№ 1, 2, 3 (в схемах
а в б); б — конденсор; 7 — монохроматор; в — окуляр
511
измерении малых толщин плоскопараллельных пластинок или
воздушных слоев, заключенных между двумя плоскопараллель-
яыми пластинами. Непосредственное наблюдение двухлучевой
и многолучевой интерференционных картин позволит сравнить
их качественные характеристики.
Задание. 1. Ознакомиться со свойствами полос равного
хроматического порядка, схемой наблюдения и методом измерения
толщины слоя, клиновидности и стрелки прогиба по
интерференционным полосам в спектре. 2. Отъюстировать установку
согласно схеме рис. П.6, а и получить двухлучевые
интерференционные полосы от кюветы № 1, пластины которой не имеют
высокоотражающего покрытия. 3. Определить толщину
плоскопараллельного слоя (кювета № 1). С помощью монохроматора
измерить по спектру от 680 нм до 480 нм длины волн
минимумов через каждые десять полос по убыванию длин волн.
Построить график р = /(а), где р — номер полосы; а=1/Л, а
тангенс угла наклона полученной прямой равен 2t (t — толщина).
3. Измерить клиновидность слоя (кювета № 2). 4.
Отъюстировать установку согласно схеме рис. П.6,б и получить
многолучевые интерференционные полосы от кюветы № 3, пластины
которой имеют высокоотражающие покрытия. 5. Определить
толщину кюветы № 3 по предыдущей методике. 6. Составить
отчет (см. с. 505).
Необходимый теоретический материал приведен на с. 123—132.
ПРИЛОЖЕНИЕ П.7
ИЗУЧЕНИЕ ИНТЕРФЕРОМЕТРА ФАБРИ—ПЕРО
Цель работы: изучение принципа работы и устройства
многолучевого интерферометра Фабри—Перо, формирование
картины колец равного наклона, изучение юстировки прибора,
способов сканирования интерференционной картины. <^
Задание. 1. Изучить принцип действия интерферометра
Фабри—Перо, характер распределения интенсивности в
интерференционной картине, способы изменения разности хода при
осуществлении сканирования интерференционной картины.
2. Собрать экспериментальную установку по схеме рис. П.7, а.
Провести юстировку интерферометра Фабри—Перо и получить
на экране хорошего качества интерференционную картину
колец равного наклона, 3. Определить оптическую толщину
интерферометра Фабри—Перо. Из рис. П.7, б следует, что
существует следующая связь между радиусом Гр кольца с номером
Лр и параметрами схемы: г^ =L"{2mo/po)—L"(2kplpu), где
L' — расстояние от плоскости экрана до фокальной плоскости
микрообъектива с учетом поправки на преломление в
пластинах интерферометра; то — порядок интерференции ближайшего
512
к центру картины кольца; ро—порядок интерференции в
центре; kp — номер кольца (отсчет от центра). Видно, что г^ есть
линейная функция от номера кольца kp. Построив г^ =f(^kp)
для интерференционной картины, можно определить ро, и,
следовательно, толщину интерферометра. 4. Определить зависи-
Рис. П.7. Схема установки для исследования интерферометра Фабри—
Перо; а:
/ — блок питания лазера; 2 — лазер (Не—Ne-лазер с ?, = 6328 нм); 3 —
микрообъектив; 4 — узел интерферометра Фабрн—Перо с электромагнитным способом
сканирования; 5 — амперметр; 6 — блок питания электромагнита; 7 — экран; 8 —
фотоприемник; 9 — микроамперметр;
б;
1 — лазер; 2 — микрообъектнв; 3 — интерферометр; 4 — интерференционная
картина, наблюдаемая на экране
мость величины перемещения пластин интерферометра от силы
тока в обмотке электромагнита устройства сканирования. 5.
Построить график зависимости А/ = /(/), где At—перемещение
лластины интерферометра; / — сила тока. 6. Составить отчет
(см. с. 505).
Для выполнения работы следует читать теоретический
материал на с. 135—139, 498—502.
33 Заказ № 167
ПРИЛОЖЕНИЕ П.8
ИССЛЕДОВАНИЕ МОНОХРОМАТИЧЕСКОГО
ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОГО СВЕТОФИЛЬТРА
Цель работы: научиться определять основные
характеристики интерференционного светофильтра (ИФ) и практически
применять его в работе.
Задание. 1. Познакомиться с устройством, принципом
работы и основными спектральными характеристиками ИФ,
9 10
Г" 220
Рис. п.8. Схема установки для исследования спектральных характеристик
интерференционного светофильтра:
/ — стабилизатор напряжения; 2 — трансформатор; 5—источник сплошного спектра
(лампа К10); 4 — конденсор; 5 — поляризатор: 6 — интерференционный светофильтр;
7 — угломерное устройство; S—конденсор; Р — моиохроматор; 10—фотоприемннк;
и — регистрирующее устройство
2. Отъюстировать измерительную установку согласно схеме на
рис. П.8. 3. Измерить спектральный коэффициент пропускания
ИФ на участке спектра 410—1050 им через каждые 10 нм при
нормальном падении света. Для указанных длин волн снимаются
отсчеты, пропорциональные падающему Фо;^ (без ИФ) и
прошедшему Ф;^ (с ИФ) потокам, а также 7 = Ф;^/Фо^ 4.
Исследовать смещения максимума пропускания (А,тах) и изменение
полуширины (бЛо,5) полосы пропускания для углов падения
света на ИФ 10°, 25° и 40°. Эти измерения можно провести,
измеряя прошедший через ИФ поток излучения и фиксируя Лщах,
соответствующую Фтах, И Я,1 И Я,2, соответствующие Фтах/2,
по обе стороны от А,тах; тогда бЛо,5 = А,2 — А,1. 5. Исследовать
расщепление полосы пропускания ИФ при угле падения света 40°'
в естественном свете и в свете, поляризованном в плоскости
перпендикулярно, а затем параллельно плоскости падения. В этом
случае следует измерить 7%, как в п. 3 в области полосы
пропускания, и через 5 нм. Требуемую ориентацию поляроида
проводят с помощью черного стекла (п = 1,52), которое
закрепляется на время в угломерном устройстве под углом Брюстерэ'
(tgasp = п). 6. Построить кривые пропускания ИФ Т = f(K) для
углов падения О и 40° при работе в естественном и
поляризованном свете. 7. Составить отчет (см. с. 504).
Необходимый теоретический материал можно смотреть на
с. 196—202.
514
приложение п.9
исследование отражательной способности
стеклянной поверхности
Цель работы: овладеть техникой работы на гониофотометри-
■ческой установке с целью проведения измерений коэффициентов
отражения от диэлектрика (стекла) и проверки соответствия
их с рассчитанными по формулам Френеля.
Рис. П.9. Гониофотометрическая установка:
1 — стабилизатор напряжения; 2 — трансформатор; S — лампа накаливания;
4 — конденсор; 5 — точечная диафрагма; 6 — объектив коллиматора; / —
поляризатор; Я — клин (стекло К-8); S — угломерное устройство; /О —
фотоприемник; //--магазин сопротивления; 12 — регистрнруюш^ее устройство
Задание. 1. Изучить теоретические вопросы, связанные с
отражением света от диэлектрика на границе раздела двух сред
(формулы Френеля). 2. Собрать и отъюстировать гониофото-
метрическую установку по схеме, приведенной на рис. П.9.
Обратить внимание на установку нулевого положения лимба и
заполнение светом площадки приемника излучения. 3.
Рассчитать по формулам Френеля для данной исследуемой
стеклянной поверхности R, R .., R^ — коэффициенты отражения
в естественном и поляризованном параллельно и
перпендикулярно плоскости падения свете в пределах углов падения от О
до 80° через 10°. 4. Измерить R, R\\, Rx в тех же пределах
углов падения и тоже через 10°. Из рис. П.9 следует, что
измерить надо падающий световой поток Фо и отраженные световые
потоки для заданных углов падения Фа, тогда ^? = Фа/Фо;
/?11^Фа1|/Фо||; ^?J_^ФaJ_/ФoJ_.Пpи измерениях в поляризованном
свете для правильной ориентации поляроида следует восполь-
33*
515
зоваться тем свойством, что при угле падения света, равном
углу Брюстера, R\\ = 0. 5. Пользуясь полученными данными^
рассчитать степень поляризации отраженного света Y=(^j^ —
— R ||)/(i? х"^^!!) ^ зависимости от угла падения света а. 6.
Построить графики теоретических и экспериментальных функций
R = f{a), R. = f{a), R^=f{a), y = f{a). 7. Составить отчет (см,
с. 504). Теоретический материал к этой работе смотреть на
с. 56—64.
ПРИЛОЖЕНИЕ П.10
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЯРИЗАТОРОВ
Цель работы: изучить способы получения линейно
поляризованного света, ознакомиться с понятиями неполяризованного,
поляризованного и частично поляризованного излучения и
количественной оценкой этого состояния. Экспериментально
изучить действие закона Малюса при введении в поток излучения
двух и трех поляризаторов, отличающихся взаимным
расположением и поляризующей способностью, ознакомиться с
действием кристаллической пластинки А,/2.
Задание. 1. Ознакомиться со способами получения линейно
поляризованного света, закономерностями его преобразования
в поляризаторах и работой кристаллической пластинки Л/2.
2. Собрать и съюстировать лабораторную установку согласно
рис. П.10, а—в. Установка снабжена призменным
поляризатором Р, обладающим 100 %-ной поляризующей способностью и
дихроичными поляризаторами Pj и Pz, поляризующая
способность Y которых зависит от длины волны падающего излучения
(рис. П.10,г). Очевидно, что для Л = 600 нм дихроичный
поляроид обладает 100%-ной поляризующей способностью у, при
Я = 780 нм его у'СЮО %. Пластинка Л/4 введена для
исключения влияния поляризующей способности источника и монохро-
матора. 3. Провести измерения Ф9 = /(9) для
экспериментальной проверки закона Малюса, когда поток излучения проходит
через два поляризатора. Здесь Фе — измеренный поток; 6 — угол
между осями поляризаторов. Рассмотреть следующие случаи:
а) оба поляризатора имеют у=100% (схема на рис. П.10,й);
измерения Фе провести для Л = 600 нм; б) один поляризатор
имеет Yi=100 %, второй у2=?^100 %; измерения провести по
схеме на рис. П.10, а, но при Л = 780 нм; в) оба поляризатора
имеют Yt>^100%; измерения проводятся по схеме на рис. П.10,б
при Л = 780 нм. 4. Измерить Фе = /(9) при введенных трех
поляризаторах (схема на рис. П.10, s): а) поляризаторы Pi и Рз
установлены так, что их плоскости поляризации параллельны,
поляризатор Pz вращается (Ф9 = —Фо cos* 9); измерить Фе при
516
5) 3 ^
}
/
/
0,5
400 500 500 700 800 Я, m
Рис. П.10. Схемы установок для исследования поляризаторов: а—в:
/ — стабилизатор напряжения; 2 ^ трансформатор; 3-^ источник сплошного
спектра (лампа К10); 4 — конденсор; 5 — поляризатор Р; 5 — конденсор; 7 —
поляризатор Pi и Р^; S — пластинка Я,/2; 9 — монохроматор; /О — фотоприем-
ник; 11 — регистрирующее устройство;
г — зависимость поляризующей способности поляроида от длины
волны подающего излучения.
повороте Ра на угол 9 от О до 180° через 10°; б) поляризаторы
Pi и Рз установлены в скрещенном положении, поляризатор Рг
вр.ащается (Фе = —Фо-
sin^S); 6 изменять так же, как
в п. 4, с. 5. Построить графики полученных экспериментальных
зависимостей Фе = /(6) и сравнить с теоретическими. 6.
Составить отчет по форме, приведенной на с. 504.
Для выполнения этого задания необходимо проработать
теоретический материал на с. 244—265.
ПРИЛОЖЕНИЕ П.П
ИЗМЕРЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ИНТЕРФЕРЕНЦИОННО-
ПОЛЯРИЗАЦИОННОГО СВЕТОФИЛЬТРА
Цель работы; изучение принципа работы интерференционно-
поляризационного светофильтра, его основных спектральных
характеристик и методики работы с ним.
Задание. 1. Изучить устройство и теорию работы простого
и сложного интерференционно-поляризационного светофильтра
и его основные характеристики — коэффициент пропускания Т
в максимуме полосы пропускания, полуширину полосы
пропускания бЛ, свободный спектральный интервал АЛ. 2.
Ознакомиться с работой и отъюстировать экспериментальную
установку по схеме на рис. П.П. При установке в пучок света интер-
517
"ференционно-поляризационного светофильтра в фокальной
плоскости спектроскопа наблюдаются вертикальные полосы
равного хроматического порядка двухлучевого и четырехлуче-
вого типов в случае простого и двухкаскадного светофильтра.
3. Измерить параметры простого и сложного ИПФ: ЬК, АК и
Лп^Пе — По—среднее значение разности показателей
преломления для необыкновенного и обыкновенного лучей. Измерение
провести в области длин волн 480—680 нм. В этой области
«следует измерить последовательно длины волн главных макси-
Рис. П. 11. Схема установки для измерения характеристик
интерференционно-поляризационного светофильтра:
/ — блок питания; 2 — источник сплошного спектра (лампа накаливания); 3 —
конденсор; 4, 6, S—поляризаторы; 5, 7 — кристаллические пластинки; 9 — конденсор;
10 — монохроматор с окуляром
гмумов И центральных минимумов интерференционных полос;
тогда 6?li = ?lmax —'^min; 6I2 = C^max — ^-minVS; Al=^max(;V) —
. лср min fflcp
—/^max (/v-d; An = J , где Лср min — среднее значение из
нескольких соседних длин волн минимумов при скрещенных
поляризаторе и анализаторе; / — толщина кристаллической
пластинки; /Пер — среднее значение порядка интерференции,
который получен из условия минимума для соседних длин волн:
Хо/п = / An; Xi(m-\- 1) = / An; к2{т -{- 2) ^= I An и т. д. Здесь
допустимо пренебречь дисперсией An вследствие ее малости. 4.
Построить графики бК^ЦК) для различных светофильтров. 5.
Составить отчет по форме, приведенной на с. 504.
Для выполнения работы необходимо изучить материал на
с. 466—469.
ПРИЛОЖЕНИЕ П.12
ГРАДУИРОВКА МОНОХРОМАТОРА
Цель работы: овладеть техникой работы на монохроматоре,
научиться отождествлять спектральные линии эталонного
спектра, освоить технику градуировки спектрального прибора по
эталонным эмиссионному спектру и спектру поглощения при
визуальной и фотоэлектрической их регистрации, а также
интерференционно-графического метода градуировки.
,518
Работа состоит из двух последовательных частей: 1)
градуировка монохроматора в видимой области по эталонному
эмиссионному спектру при визуальной регистрации; 2) градуировка
монохроматора в инфракрасной области по спектру
поглощения и интерференционно-графический метод градуировки при
фотоэлектрической регистрации.
Градуировка монохроматора в видимой области спектра
Задание. 1. Изучить устройство, принцип действия и
спектральные характеристики монохроматора, используя техниче-
в)
,й^^^
'^44^
Рис. п.12. Схема установки для градуировки монохроматора в видимогё
области спектра: а:
1 — блок питания; 2 — источник линейчатого спектра; 3 — конденсор; 4 — монохро-
матор: 5 — измерительный микроскоп с окуляр-микрометром;
б — спектр ртутной лампы ПРК-4; в — перекрестие и выходная щель
в поле зрения микроскопа
ское описание и соответствующие разделы данного учебника..
2. Собрать и отъюстировать экспериментальную установку
согласно схеме на рис. П.12, а. 3. Провести градуировку шкалы,
поворота диспергирующего элемента монохроматора по линиям
ртутного спектра (рис. П.12,б). Отсчет по шкале снимать в тот
момент, когда спектральная линия известной длины
располагается посередине выходной щели. Это положение удобно
фиксировать установкой перекрестия сетки окуляра измерительного
микроскопа точно посередине между изображением ножей
выходной щели, наблюдаемой одновременно со спектром с
помощью этого микроскопа (рис. П. 12, s). 4. Построить градуиро-
вочные графики монохроматора N = f{'k) и N = f{a), где N —
среднее значение отсчета по шкале; }ь и а—спектральные
координаты (нм и см~*) соответственно. 5. Составить отчет по-
форме, приведенной на с. 504. Для выполнения этого задания-
необходимо ознакомиться с теоретическими сведениями на
с. 420—427, 479—482.
519-'
Градуировка монохроматора в инфракрасной области
спектра
Задание. 1. Изучить интерференционно-графический метод
градуировки монохроматора. 2. Ознакомиться с работой, отъю-
-стировать экспериментальную установку по схеме рис. П. 13, а.
3. Провести градуировку монохроматора в ближней ИК-обла-
C/g ио Г,5 2,0Х,мкм
Рис. п.13. Схема установки для. градуировки монохроматора
в инфракрасной области спектра: а:
I — стабилизатор напряжения; 2 — трансформатор; 3 — источник сплошного
спектра; 4—конденсор; 5 — дидимовое стекло; 5 — монохроматор; 7 —
фотоприемник; S — регистрирующий прибор; 9 — интерферометр;
б — зависимость регистрируемого сигнала от длины волны при
введенном дидимовом стекле
'сти спектра по полосам спектра поглощения дидимового стекла.
На рис. П.13, б приведена запись по спектру сигнала в
условных единицах при введении в ход лучей дидимового стекла
толщиной 14 мм с источником света (лампой накаливания) и
приемником излучения (германиевым фотодиодом ФД-4), на
которой четко обозначены полосы поглощения. Отсчет по шкале
поворота диспергирующего элемента снимают в момент, когда
регистрирующий сигнал микроамперметра фиксирует максимум
полосы поглощения (минимальный отсчет). 4. Провести
градуировку монохроматора в ИК-области спектра интерференционно-
графическим методом. Систему полос равного хроматического
порядка создает устройство типа интерферометра Фабри^—Перо.
Экспериментально снимается зависимость k = f{N), где k —
относительный порядок интерференции; N — отсчет по шкале.
;520
5. Графическим методом трансформировать зависимость k^
= f{N) h k = f{a) и далее в N = f{a). 6. Построить градуиро-
вочные графики монохроматора N = f{a) и N = f{'k), где а =
= \/к и К — спектральные координаты (см~^ и нм). 7.
Составить отчет по форме, приведенной на с. 504.
Для выполнения задания следует ознакомиться с
теоретическим материалом на с. 420—427, 479—482.
ПРИЛОЖЕНИЕ П.13
ГРАДУИРОВКА СПЕКТРОГРАФА
И ИДЕНТИФИКАЦИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИИ
Цель работы: овладеть техникой работы на спектрографе,,
научиться отождествлять спектральные линии неизвестнога
спектра, освоить технику измерения длин волн.
Работа выполняется на спектрографе ИСП-30 с
использованием спектропроектора ДСП-1, измерительного микроскопа
МИР-12 и атласа спектра железа.
Задание. 1. Ознакомиться с оптической схемой и
конструкцией спектрографа ИСП-30, а также правилами юстировки
осветительной системы по техническому описанию.
Ознакомиться с работой на приборах спектропроектора ДСП-1 и
измерительном микроскопе МИР-12. 2. Отъюстировать осветительную^^
систему и приступить к фотографированию спектров.
Последовательно сфотографировать спектры железа и меди и сразу же
после фотографирования каждого спектра впечатать
миллиметровую шкалу. 3. Осуществить градуировку шкалы: после
обработки фотопластинки провести отождествление спектральных
линий железа по длинам волн, пользуясь спектропроектором
и атласом спектра железа, и определить положение этих линий
относительно миллиметровой шкалы. 4. Построить градуиро-
вочную кривую N = f{K), где N — отсчет по шкале на
фотопластинке; К — длина волны. 5. Определить длины волн некоторых
спектральных линий меди, пользуясь градуировочной кривой
N = f{}b). Сопоставить и уточнить найденные длины волн па
таблицам спектральных линий.
ПРИЛОЖЕНИЕ П.14
ИЗМЕРЕНИЕ линейной ДИСПЕРСИИ
И РЕАЛЬНОЙ разрешающей СПОСОБНОСТИ
СПЕКТРАЛЬНОГО ПРИБОРА
Цель работы: научиться определять основные
количественные характеристики монохроматора и спектрографа. К этим
характеристикам относятся линейная дисперсия, ширина
выделяемого монохроматором спектрального интервала, теоретиче-
521
•екая и реальная разрешающая способность спектрографа.
Предусматривается проведение расчетов угловой и линейной
дисперсии, вычисление теоретической и реальной разрешающей
способности, проведение измерений линейной дисперсии и
реальной разрешающей способности. Приобретение навыков
получения спектрофотограмм. Работа состоит из двух
самостоятельных частей: 1) измерение линейной дисперсии монохрома-
тора; 2) измерение и расчет линейной дисперсии и
разрешающей способности спектрографа.
Измерение линейной дисперсии монохроматора
Задание. 1. Изучить основные спектральные характеристики
монохроматора: угловую и линейную дисперсии призменного и
дифракционного монохроматоров; спектральный интервал,
выделяемый монохроматорами. 2. Экспериментальная установка
работает по схеме на рис. П.12, а. Измерительный микроскоп i>
снабжен окуляр-микрометром. 3. Измерить линейную
дисперсию монохроматора в диапазоне спектра от 400 нм до 600 нм.
С помощью окулярного микрометра измеряется расстояние А/
между близкими линиями ?ii и ?i2 в спектре ртутной лампы
(рис. П.12, б) (10—15 пар линий по спектру) и затем
вычисляется линейная дисперсия Di = Al/AK. 4. Построить график
линейной дисперсии Di = f{'K,). 5. Используя график линейной
дисперсии, рассчитать и построить зависимость ширины входной йвх
и выходной Овых щелей монохроматора (авх = авых) от длины
волны К для получения заданного спектрального интервала АЛ,
выделяемого монохроматором, т. е. a^=f{%). Необходимый АХ
задается преподавателем. Составить отчет по форме на с. 504.
Для выполнения работы необходимо проработать материал
на с. 420—424, 429, 435—438.
Измерение и расчет линейной дисперсии и разрешаюш^ей
способности спектрографа
Работа выполняется на спектрографе ИСП-30,
измерительном микроскопе МИР-12 и спектропроекторе ДСП-1.
Задание. 1. Ознакомиться с принципом работы
спектрографа (например, ИСП-30) и основными характеристиками
оптической схемы по техническому описанию. 2. Провести
вычисление линейной дисперсии спектрографа ИСП-30 в спектральном
диапазоне 400—250 нм через интервалы 10—15 нм. 3. Измерить
линейную дисперсию. Для измерения дисперсии фотографируют
дуговой спектр железа, на фотопластинке отмечают 10—15 пар
близких линий Xi и %2 '=%1-\- А% по изучаемому диапазону
спектра и с помощью измерительного микроскопа МИР-12
измеряют расстояния А/ между ними. Тогда Di = Al/Ak. 4.
Построить теоретический и экспериментальный графики Di = f{'k).
5. Вычислить реальную разрешающую способность Rp
спектрографа, предварительно подсчитав реально разрешимый
предел ААф, для следующих групп спектральных линий спектра
железа: 1-я группа — ?ii = 249,074 нм и ?i2 = 249,116 нм; 2-я груп-
522
па —Xi = 309,997 нм, Х2 = 310,030 нм и ?1з = 310,067 нм; 3-я
группа—Xi= 349,711 нм и ^2 = 349,784 нм. 6. Проверить
экспериментально, разрешаются ли выбранные линии, и определить^
должны ли они разрешаться. Фотографирование спектра
железа производится при нормальной ширине щели. 7. Составить
отчет по форме на с. 504.
Для выполнения работы необходимо изучить материал на
с. 420—427, 482—484.
ПРИЛОЖЕНИЕ П.15
ИССЛЕДОВАНИЕ ГОЛОГРАФИЧЕСКОГО СПОСОБА ЗАПИСИ
И ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ
Цель работы: ознакомиться с основными принципами
голографии, научиться собирать на голографической установке
оптические схемы для получения голограмм различного типа.
а)
5 В
i
7 8
\_
„.^
1 ^
Рис. П.14. Схема Габора: а —схема записи голограммы Габора:
/-ОКГ; 2, ^-плоские зеркала; 3 - затвор; 5 - микрообъектив; 5 -
микродиафрагма; 7 — объект; 8 — голограмма;
б —схема восстановления волновых фронтов с голограммы Габора:
' ~-'^7^^'J;^t~:'"^°S^'^'' зеркала; 3-затвор; 5 - микрообъектив; 5-микродиафраг-
. 7-мнимпри,„бп,^„„. „«..„„..„. . -голограмма; «-действительное изображе-
ма; 7 — мнимое изображение объекта;
иие объекта
ОСВОИТЬ принцип и технику записи голограмм на
фототермопластическом носителе и восстановления голограмм.'
Задание. 1. Изучить основные принципы голографии, типы
голограмм, схемы записи и восстановления, свойства голограмм,,
применяемые в голографии источники света и
светочувствительные материалы. Изучить механизм записи голограммы на
фототермопластическом носителе. 2. Собрать и отъюстировать на
голографической установке типа МГУ-1 следующие схемы для
получения голограмм: схему Габора (рис. П.14,а), двухлуче-
вую схему Лейта Упатниекса (рис. П.15, а) и схему записи
Фурье-голограммы (рис. П. 16). Для обеспечения оптимальных
условий записи голограммы подобрать необходимое
соотношение интенсивностей объектного и опорного пучков. Учитывая,
что регистрация голограмм производится на фотопластическом
носителе (ФТПН), установить в оптической схеме угол между
523
2 1
Рис. П.15. Двухлучевая схема Лейта—Упатниекса: а — схема
записи голограмм; б — схема восстановления изображений:
/ — ОКГ; 2, 4, 5, 6, 7, 8 — плоские зеркала; 3 — затвор: 9 —
микрообъективы; /О—микродиафрагмы; // — объект; /2 — голограмма; /3 — восстаиов-
ленное мнимое изображение
интерферирующими пучками такой, при котором достигается
максимальная дифракционная эффективность. ' Оптимальная
пространственная частота записи голограмм на этом материале
400—500 мм~'. 3. Произвести регистрацию голограммы на
ФТПН. При записи Фурье-голограмм (рис. П.16) ФТПН уста-
Рис. п.16. Схема записи Фурье-голограммы:
/ — ОКГ; 2, 4, 5, 6, 7, 15 — плоские зеркала; 3 — затвор; 8 —
микрообъектив; 9 — микродиафрагма; 10 — коллиматориый объектив;
//, /3—Фурье-объективы; 12 — голограмма; 14 — восстановленное
изображение; 16 — объект
иавливается в задней фокальной плоскости объектива 13.
4. Восстановить изображения записанных на голограммах
объектов. Схемы восстановления приведены на рис. П. 14, б,
рис. П.15, б и рис. П.16. Исследовать свойства полученных
голограмм: влияние изменения положения восстанавливающего
источника и изменения его длины волны Х на восстановленное
мнимое изображение, на его соответствие объекту. 5.
Составить отчет по форме на с. 504.
Для выполнения работы ознакомиться с теоретическими
сведениями на с. 371—394.
-524
«БЗОР РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Литература по оптике, в том числе по прикладной
физической оптике, а также по отдельным специальным ее вопросам,
весьма обширна. Нижеприводимый краткий список литературы
должен помочь читателю более глубоко изучить
заинтересовавшую его тему, воспользовавшись как выбранной книгой, так
и библиографией в ней.
Обш,ие вопросы оптики, в том числе и физической, наиболее
полно и систематично, на наш взгляд, представлены в учебных
пособиях [2, 9, 17, 19]. Вопросам фотометрии, изложенным
достаточно полно и обстоятельно, посвящена книга [6].
Закономерности отражения света с'современной точки зрения
рассмотрены в монографии [10]. В этой книге дается также
сопоставление различных методик измерения оптических констант по
отражению. Вопросы волоконной оптики достаточно полно
освещены в книге [5].
В монографии справочного характера [21] отдельная глава
посвящена оптическим свойствам кристаллов с учетом их
анизотропии. Изложение ведется на современном уровне с
привлечением тензорного аппарата кристаллофизики. В книге [11]
рассмотрены вопросы инженерной теории в основном двухлуче-
вых интерферометров. Описаны также интерферометры для
различных технических измерений. В основном аналогичные
вопросы затрагиваются в монографии [20] применительно
к многолучевым интерферометрам, построенным по схеме
Фабри—Перо. Разнообразные применения различных
интерференционных схем для производственного контроля оптических
элементов и устройств рассмотрены в работе [13]. Следует
отметить единственную в своем роде книгу [8], где излагаются
рефрактометрические методы, в частности, интерференционные.
Особое место в теории интерференции занимает оптика
тонкослойных покрытий, практическим методам расчета которых
посвящена книга [22].
Монография [1] содержит изложение теории, лежащей в
основе поляризационных методов, и описание различных
высокочувствительных измерительных методик на их основе.
Преобразование оптического излучения в оптических
системах с учетом дифракционных явлений излагается в известной
монографии [15]. В этой книге рассмотрены как собственно
теория дифракции, так и методы изменения структуры
оптического изображения с целью оптимизации способов его
регистрации.
Современному разделу оптики — голографии, а также ее
практическим аспектам, в частности, голографической
интерферометрии, посвящены книги [3, 4 и 12].
Современное состояние практической спектроскопии
(эмиссионной и молекулярной) и описание аппаратуры для реализа-
525
ции этих методов содержатся в книгах [14, 18]. Теории
нетрадиционных спектральных приборов, описанию физики их
работы и свойств, влияющих на эксплуатационные
характеристики, посвящена одна из глав учебного пособия [16].
В работе [7] излагается современная теория погрешностей
и даются ее приложения к измерениям физических величин.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аззам Р., Башара Н. Эллипсометрия и поляризованный свет. — М.:
Мир, 1981. —584 с.
2. Бутиков В. И. Оптика. — М.: Высшая школа, 1986. — 512 с.
3. Бутусов М. М., Островский Ю, И., Островская Г. В. Голографическая
интерферометрия.—М.: Наука, 1977. — 336 с.
4. Вест Ч. Голографическая интерферометрия. — М.; Мир, 1982. — 502 с>
5. Волоконная оптика и приборостроение/М. М. Бутусов, С. Л.
Галкин, С. П. Ор о б и н ск ий, Б. П. П а л. Л.: Машиностроение, 1987.—
327 с.
6. Гуревич М. М. Фотометрия: теория, методы и приборы, — Л.:
Машиностроение, 1983. — 268 с.
7. Зайдель А. Н. Погрешности измерений физических величин. — Л.:
Наука, 1985.—112 с.
8. Иоффе Б. В. Рефрактометрические методы химии, — Л.; Химия,
1974.— 400 с.
9. Калнтеевский Н. И. Волновая оптика.—М.: Наука, 1977. — 300 с.
10. Кизель В, А. Отражение света. — М.: Наука, 1973. — 352 с.
11. Коломийцев Ю. В. Интерферометры. — Л.: Машиностроение, 1976.—
296 с.
12. Кольер Р., Берхарт К., Лин Л. Оптическая голография.—М.; Мир,
1973. — 688 с.
13. Малакара Д. Оптический производственный контроль. — М.:
Машиностроение, 1985. — 400 с.
14. Малышев В. И. Введение в экспериментальную спектроскопию.—
М,: Наука, 1979.-478 с.
15. Марешаль А., Франсон М. Структура оптического изображения,—
М.: Мир, 1964.-235 с.
16. Москалев В, А. Теоретические основы оптико-физических
исследований.— Л.: Машиностроение, 1978. — 317 с.
17. Нагибина И. М, Интерференция и дифракция света. — Л.:
Машиностроение, 1985. — 328 с.
18. Нагибина И. М., Михайловский Ю. К. Фотографические и
фотоэлектрические спектральные приборы и техника спектроскопии.—Л.:
Машиностроение, 1981. — 246 с.
19. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Оптика.—М.: Наука, 1985,—
752 с.
20. Скоков И. В. Многолучевые интерферометры в измерительной
технике.— М.: Машиностроение, 1989. — 255 с.
21. Современная кристаллография. Т. 4. Физические свойства
кристаллов.—М.: Наука, 1981.-496 с.
22. Фурман Ш. А. Тонкослойные оптические покрытия. — Л.:
Машиностроение, 1977, — 264 с.
23. Лебедева В. В. Экспериментальная оптика. — М.: Изд.-во Моск. ун-та,
1994. —363 с.
24. Толмачев Ю. А. Новые спектральные приборы. — Л.: Изд-во ЛГУ,
1976. — 126 с.
526
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Бредение 5
Глава 1. Основы фотометрии и колориметрии 9
§ 1.1. Энергетическая и световая системы фотометрических
величин и единицы их измерения Ю
§ 1.2. Принципы построения визуальных и объективных
фотометров 19
§ 1,3. Измерение основных фотометрических величин ... 28
§ 1.4. Основы колориметрии 31
Глава 2. Распространение электромагнитной волны в оптических средах 45
§ 2.1. Описание характеристик световой волны —
§ 2.2. Прохождение света через прозрачный диэлектрик . . 51
§ 2.3. Отражение света на границе раздела прозрачных
диэлектриков 56
§ 2.4. Полное внутреннее отражение 64
§ 2.5. Распространение света в анизотропных средах ... 82
Глава 3. Интерференция света и техника интерферометрии 102
§ 3.1. Общие характеристики интерференционного поля. ... 104
§ 3.2. Характеристики интерференционных полос 115
§ 3.3. Условие образования и наблюдения
интерференционных полос различного типа 123
§ 3.4. Типы интерференционных систем 132
§ 3.5. Принципиальные оптические схемы двухлучевых
интерферометров 1'^'^
§ 3.6. Техника интерферометрии 167
§ 3.7. Оптические устройства и системы, работающие на
принципе многолучевой интерференции 189
§ 3.8. Интерференционная метрология 211
§ 3.9. Применение интерференционных методов для
измерения некоторых оптико-физических характеристик . . . 229
Глава 4. Поляризация света и ее применение в оптическом
эксперименте 244
§ 4.1. Описание состояния поляризации плоских световых
волн —
§ 4.2. Способы получения различных видов поляризации . . 254
§ 4.3. Интерференция поляризованных лучей 266
§ 4.4. Анализ состояния, поляризации
§ 4.5. Установки и приборы для измерения состояния
поляризации 299
Глава 5. Дифракционные явления в оптических системах 331
§ 5.1. Решение дифракционной задачи в общем виде ... —
§ 5.2. Дифракция Фраунгофера на входных зрачках
различной формы 237
§ 5.3. Разрешающая способность оптических приборов . . . 355
§ 5.4. Фильтрация спектра пространственных частот в
оптических системах 365
Глава 6. Голография и некоторые ее применения 371
§ 6.1. Физические принципы голографии 372
§ 6.2. Техншса голографического эксперимента
§ 6.3. Некоторые применения голографии. Голографическая 388
интерферометрия 395
§ 6.4. Голографические оптические элементы '^Ю
Глава 7. Спектральные системы и основы техники спектрометрии . . '^20
§ 7.1. Дисперсионные спектральные элементы и системы . . '^21
§ 7.2. Спектральные системы с интегральными и интегрально-
кодовыми преборазованиями 449
527
§ 7.3. Спектральные системы с применением интерферометра
Фабри—Перо и интерференционно-поляризационных
фильтров 457
§ 7.4. Дисперсионные спектральные системы повышенной
светосилы 470
§ 7.5. Основы техники спектроскопии 47&
Приложения. Лабораторный практикум 504
Приложение П.1. Исследование абсорбционных светофильтров ... —
Приложение П.2 Дифракционные явления в параллельных лучах от
одной и двух щелей 505
Приложение П.З. Измерение ширины входной щели спектрального
прибора по дифракционной картине 507
Приложение ПА. Исследование характеристик прозрачной и
отражательной дифракционной решеток 50&
Приложение П.З. Изучение явления фильтрации пространственных
частот 510
Приложение П.6. Измерение малых толщин по интерференционным
линиям в спектре 511
Приложение П.7. Изучение интерферометра Фабри—Перо 512
Приложение П.8. Исследование монохроматического
интерференционного светофильтра 514
Приложение П.9. Исследование отражательной способности
стеклянной поверхности 515
Приложение П.10. Исследование поляризаторов 51S
Приложение П.11. Измерение характеристик
интерференционно-поляризационного светофильтра 517
Приложение П.12. Градуировка монохроматора 518
Приложение П.13. Градуировка спектрографа и индентифнкация
спектральных линий 521
Приложение П.14. Измерение линейной дисперсии и реальной
разрешающей способности спектрального прибора ... —
Приложение П. 15. Исследование голографического способа записи и
восстановления волнового поля 523
Обзор рекомендуемой литературы 525
Список литературы 52S