Лекции по физической оптике. Часть 2 - Сивухин Д.В.

Автор: Сивухин Д.В.

Теги: физика оптика оптические явления физические явления волновая оптика

Год: 1969

Похожие

Лекции по физической оптике. Часть 1

Физическая оптика

Общий курс физики. Для вузов. В 5 томах. Том IV. Оптика.

Физический практикум. Электричество и оптика

Текст

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ивухин Д. В.
ПО ФИЗИЧЕСКОЙ
ОПТИКЕ
Новосибирск
Н0В0СИН1РСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Сжвухжн Д.В.
"ЕКЦИИ ПО «И8ИЧВСК0Й О П ГI К В
Ч.П
Новосибирск
1969 г.
Сивухин Дмитрий Васильевич
" Лекции по физической. оптике
ч. II.
Ответственный ва выпуск - профессор Раутиан С.Г.
Подписано д печати . 2e/2-ieeor. mhooiso
Формат бумаги 60 х 84 тираи воо,«3.
Вакав К *84 Пепа 90 коп.
Отпечатано на ротапринте ИГУ. Новосибирск - 90
Глава У
ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ оптики
§ 41. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ОТ ВОЛНОВОЙ ОПТИКИ К
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ДЛЯ СКАЛЯРНОГО ВОЛНОВОГО ПОЛЯ.
I. Геометрическая или лучевая оптика является предельным
приближенным случаем, в который переходит волновал оптика, когда
длина волны етремитсл к нулю. Ввиду малости длин световых волн
это приближение для многих целей является достаточным. Так, в
теории оптических инструментов большинство вопросов решается
в приближении геометрической оптики. Отступления от геометричес-
кой оптики рассматриваются в теории дифракции.
Во всем дальнейшем предполагается, что среда, в которой
распространяется свет, прозрачна и изотропна, но может быть неод-
нородной. Длн вывода полной системы уравнений геометрической оп-
тики надо исходить из векторных уравнений Максвелла. Однако, если
отвлечься от поляризации волн, то уравнения геометрической опти-
ки могут быть получены значительно проще. Причина этого состоит
в том, что основные уравнения геометрической оптики описывают
распространение не только электромагнитных, i значительно более
широкого класса волн. При выполнении уоловий их применимости
уравнения геометрической оптики .действительны, например, для акус-
тических волн или волн де-Бройля в квантовой механике. Вот поче-
му имеет смыол рассмотреть сначала какое-то волновое поле, харак-
теризующееся скалярной величиной . Предположим, что удов-
летворяет волновому уравнению
^--^-^'0. («.!)
в котором скорооть распространения 1Г предполагается иввеотиОЙ
функцией координат. Конкретный физический смысл величины не
имеет значения.
Еоли срещ однородна, то в .оптике под V можно понимать
либо вектор Е , либо вектор В , либо одну из о оставляющих
этих векторов. В неоднородных средах с о подчиняются более
сложным уравнениям (см.задачу I л конце втого параграфа).Поэто-
му пользоваться уравнением (41.I) для электромагнитного
поля в неоднородной
-3-
среде, utporo говоря, нельзя. Однако в § 44 на основе уравнений
Наковелла будет показано, что в приближении геометрической оптики
оноприводит к верным результатам. Там же будут рассмотрены вопросы,
связанные .о поляризацией волн*
2. В общем случае скалярное монохроматическое поле может быть
представлено в виде
Г - , (41.2)
Ф(Т) - вещественные функции координат. Волновое
удобства, как большой
введено сода для
чиоло в вакууме
размерный параметр.
Подставляя (41.2) в (41.1), получим:
гдеПя— - показатель преломления. Приравнивая нулю вещественную
и мнимую части, найдем:
(дъа.с£ ср^ = п
ьа
к* а.
(41.3)
(41.4)
Переход к геометрической оптике производится отбрасыванием
в (41.8) последнего члена. Если зто сделать, то (41.3) перейдет в
( fltad (f))* = И2' . (41.5)
Приближенные уравнения (41.5) и (41.4) и составляют систему
уравнений геометрической оптики. Из способа их получения ясно, что
условием их применимости является выполнение соотношения
Зто будет иметь место, если соблюдаются условия;
|Лда|« 1#1
для любого направления осн А • Действительно, так как
« условия (41.7) дают
(41.6)
(41.7)
ла^>
что эквивалентно (41.6), так как
1'акиы образом, условней применимости гоометричосиой оптики
является малость изменения амплитуды волны и ео первых пространст-
венных производных на протяжении длины волны. Если это условие но
соблюдается, то могут гметь место заметные отступления от геомет-
рической оптики. Это происходит, например, в следующих случаях:
I) На границе геометричесиой тени.
2) Вблизи фокуса геоиетрического схождения лучеЧ.
3) При распространении света в сре«е с розно меняющимся пока-
зателе преломления (например, в мутной среде).
4) При распространении света в сильно поглощающих средах,
например, в металлах.
Приведенный вывод уравнений геометрической оптиии, разумеется,
не является строгим. Строгим был бы такой вывод, в котором отбра-
сываются малые члены не в дифференциальном уравнении (41.I), а в
его ранении. Однако таким путем уравнения геометрической оптиии
во всей их полноте не выводились.
3. Величину ф Клаузиус низыал эйконалом, а уравнение (41.5)
- уравнением эйконала. По своему содержанию это уравнение эквивалент-
но построению Гюйгенса, основанному на ого принципе.
В оиыоы деле, поскольиу аыплдтуда (Х.(ъ) вещественна, величина
wt ~кяф является фазой волны. Поверхности равных фаз, называе-
мые также волновыми фронтами, представляются уравнением у
“ conj/j (41.9)
или в дифференциальной форме
writ ~кл(£ф - О.
Если cLZ - расстояние вдоль нормали между двумя положениями
волнового фронта в ыомен: времени f я t +d-t »т0 > силу опре-
деления градиента с£ф**\^гае1 Ф\М или яа основании уравнения
эйконала (£ф ~ ndt . Следовательно, ,
u>cU -k9nctt-о, 1
откуда для нормальной скорости распространения волнового фронта
получкем
- 5 -
тайны образом, V есть нормальная скорость распространения
волнового фронта. На атом основании можно сведущим образом пост-
роить волновое фронт в момент времени t + c£t , если известно
его положение в момент времени t .
Пусть (рис. 72) - положение волнового фронта в мо-
мент времени t , Из каждой точки поверхности Р onнаем сферу
радиусом isdt. Огибащан всех атих сфер и будет волновым фронтом
рл в момент времени t+dt . Это построение в точности сов-
падает о построением Гюйгенса.
Рис.72
4. Уравнении (41.4) и (41.5) приводят к основному представле-
нию геометрическое оптики - к представлению о распространении анер-
гии вдоль лучей. В математическом смысле луч есть линия, касатель-
ная к которой в каждой точке имеет направление Ф • Из опре-
делении градиента следует, что световые лучи перпендикулярны к поверх-
- 6 -
ноетям равных эйконалов, а следовательно, и к поверхностям равных
фаз. Поэтому лучи можно определить как ортогональные траектории
к семейству поверхностей равных эйконалов или к семейству поверх-
ностей равных фав.
Пусть 3" означает единичный вектор касательной и лучу,
проведенный в сторону возрастания эйконала Ф . (Это направле-
ние совпадает с направлением распространении волнового фронта).
Тогда уравнение (41.5) можно аалиоать в виде
ср -nt: («.и)
Подставляя (4I.II) а (41.4), подучим
да алф<-2п^-0, («•»)
где - производная амплитуды в направлении луча. Этин урав-
нением определяетсн изменение амплитуды вдоль луча. Интеграции
его дает л
а-а.е , <«•“>
где О, - амплитуда в "начальной" точке луча. Для определения
поля во всех точках луча достаточно эиать его значение в какой-
либо одной точке того не луча. Но уравнения геометрической оптики
кичего не говорят об иаиенении амплитуды поли при переходе от Од-
ного луча к соседнему. С втяни уравнениями совместим любой аакон
иэмеиеняя амплитуды от луча к лучу. Разумеется, необходима достаточ-
ная медленность такого маиенеиин, чтобы волна, удовлетворяацая урав-
нениям геометрической оптики, могла быть реализована в действитель-
ности.
Таким обрааои, в приближении геометрической оптики световое
поле на каком-либо дуче совериеино ко зависит от нолей других кучей.
Отсюда непосредственно вытекает представление*о распространении
световой анергии вдоль лучей или, точнее, вдоль "лучевых трубок",
образованных лучами. )
5. К этому представлению мокко прийти Танка олэдуицш образом.
Переписав уравнение (41.4) в виде
a.diu(nf] +2ns~ gvada »О
- 7
и умножив его на О. , получим
div (пагТ) ~о. (4I.I4)
По форме это уравнение совпадает с уравнением непрерывности
несжимаемо!! жидкости. Роль плотности потока жидкости играет вектор
па1 Л • Так как ° течением времени ^юриа лучей не меняется,
то движение жидкости, которому соответствует распространение волны
(41.2), должно быть стационарным. Уравнение (41.14) выражает закон
сохранения энергии. Вектор па‘б пропорционален вектору плотности
потока энергии х\
Рассмотрим трубчатую поверхность, образованную лучами. Назовем
еа лучевой трубкой. Площадь поперечного сечения трубки обозначим
буквой 6“ . Допустим, что трубка настолько узка, что величина
nd может считаться постоянной в пределах поперечного ссченин
трубки. Тогда из (41.14) следует, что величина па'6~ постоянна
вдоль всей трубки. Значит, световая энергия течет вдоль трубки, не
входя и не выходя через ее боковую поверхность. Такую трубку можно
назвать световым лучом в (физическом смысле.
6. Поставив на пути распространяющейся волны диафрагму, можно
выделить из светового поля отдельную лучевую трубку. Пусть ЛВ
(рис.73) - фронт волны. Если закрыть участки ЯС и В$) » ®о в
приближении геометрической оптики ато эквивалентно распространению
волны в свободном от препятствий пространстве, у которой амплитуды
на участках АС и BD обращаются в нуль. При строгой справедли-
вости геометрической оптики закон распределения амплитуд по волново-
му фронту может быть каким угодно. Позтому неприкрытый участок
водны CD будет распространяться совершенно одинаково, независимо
от того, есть ли оветовое поле на участках ЯС и RD , или его там
нет. Ото ода следует, что после экранирования частей ЯС и BD све-
товое поле сосредоточится только внутри лучевой трубки САГ/} •
В этом состоит объяснение теней, отбрасываемых препятствиями,постав-
ленными иа пути распространяющейся волны.
х) Это можно уяснить на примере электромагнитной волцы. В § 44
будет показано, что под а следует понимать модуль амплитуды
электрического поля волны. В таком случае плотность энергии
будет пропорциональна е-а* * -пг а* . Плотность потока энергии
в недиспергирующей среде найдется умножением этого выражения
на • Таки» образом, она будет пропорциональна
• пга* ж спа1
- 8 -
Рис, 43
В действительности на краях диафрагмы, а также вблизи грани-
цы лучевой трубки амплитуда резко меняется. В этих местах условия
применимости геометрической оптики нарушаются: на краях диафрагмы
происходит дифракция света. Однако, если отверстие диафрагмы не
слииком мало, а лучевая трубка не слииком длинна, краевыми аффек-
тами мокко пренебречь. Но они всегда скажутся ин больиих расстоя-
ниях от диафрагмы. В теории диффракции будет,показано, что необ-
ходимым условием, при выполнении которого можно говорить о распрост-
ранении света вдоль луча, является неравенство
/«Г -у- , (41.15)
где D - минимальный линейный размер диафрагмы, a £ - рас-
стояние от диафрагмы, измеренное вдоль луча.
7. Мы определили лучи нак ортогональные траектории ч: поверх-
- 9 -
иоотям равных фаз волн- (41.2), амплитуда которой медленно меняет-
аи л пространстве. Иа определения ясно, что такие лучи перпенди-
кулярны к некоторому семейству поверхностей. Про них говорят, что
оси образует ортотомнув систему лучей. Но может представиться
более сложный случай. Свет вое поле мояет состоять на нескольиих
воля типа (41.2), накладывающихся друг на друга. Ввиду принципа
оуперпозыц и такие волны распространится независимо друг от друга.
Каждой из них соответствует своя мрчогомная система лучей. Но со-
вокупность всех лучей, соответствующих всем волнам, вообще говоря,
уже ие будет составлять ортотомнув систему.
ЗАДАЧИ.
1. Найти ^яЗДгренциалыше уравнения, которым удовлетворяют век-
торы Е и 3 в непоглощающей инотропной неоднородной среде.
ОТВЕТ. —
С*1-17)
- /. (41.18)
2. Найти эйконал Ф , зависящий только от расстояния Z-
от нача-а координат и определить закон изменения амплитуды cl в
зависимости от 2 , если п - const.
ответ. ф « ± пг ., а = .
z г
Получает*'!: офергчебиар вечна
иоторая является точным ранением уравнения (41.I). Причина этого в
точ, что в гассмнтриьаеыом случае И.а.г-Лй (~J = O т.е.
уравнение (41.5) становится точным.
- 10 -
§ 42. КРИВИЗНА ЛУЧА. АСТРОНОМИЧЕСКАЯ РЕФРАКЦИЯ.
I. Если известно положение одного из волновых фронтов, то
уравнение эйконала позволяет построить и все остальные волновые
фронты. Тем саыыы определится и форма световых лучей, как орто-
гональных траекторий к волновым фронтам. В частности^ив уравнения
эйконала можно получить выражение для кривизны луча. Действитель-
но, из (41.II) следует
zot (пТ)^О, (42.1)
или motj’+ [Qzad п-Т] -О,
ИЛИ,
наконец, ,
го1л +
[ cpad dn п -3~] = О.
Умножая обе чаоти итого уравнения векторно на d , получим
д
[Тгс£Т] + угас! -tn п
(du nj4~=*o.
Воспользуемся векторным тождеством
[ Г tot т] = у- Т* - (Т vjd".
Так как вектор ЕГ единичный, то оно дадт
[4 20ti] ~ - (з v)T = - yf" •
Следовательно, о?
f-я»'л*-я-
По определению радиуса кривизны
\ дз" к/
(4г.<,
А/ os J
где /V - единичный вектор главной нормали к лучу. Сравнение
1вй показывает, что вектор g*act (п п ле-
, т.е. в соприкасающейся плоокооти., Иными
бинормали о к лучу
этой формулы с npeJ
жит в плоскости (Л
словами, зтот вектор не имеет составляющей по
Следовательно А. ((пп]=~^=О , а поэтому
ав * J *• 06 —*• э s I
Отсюда и из выражения для производной .££ подучаем

- II -
Сравнение этой формулы с (42.2) дает
7- = ^^") *,<«•’>
Проведем плоскость, перпендикулярную к лучу. Так как-т^- “О ,
то показатель преломления в этой плоскости меняется наиболее
быстро в направлении,..Перпендикулярном к € , т.е. в направле-
нии главкой нормали . Отсюда следует, что луч загибается в
сторону наибольшего возрастания показателя преломления. ,
Если среда однородна ( П~ const) , то (42.3) дает .
Зто значит, что в однородней среде светсвые лучи прямолинейны.
2. Формула (42.3) имеет валные применения н оптическим явлениям
в атмосфере. Плотность* воздуха, а с ней и показатель преломления
меняются с высотой над земной поверхностью. Зтс ведет к искривлению
световых лучей в атмосфера. Рассмотрим некоторые оптические явления,
связанные с таким искривлением.
Прежде всего рассмотрим важную для астрономии и геодезии зада-
чу о вычислении астрономической рефракции. Так называется кажущееся
поднятие небесного светила над горизонтом, вызванное искривлением
светошк. лучей в атмосфере. Еслй светило находится высоко над гори-
зонтом, то мы не сделаем заметней ошибки, считая поверхность Земли
плосксй. Однако такая идеализация не годится, когда надо вычислить
рефракцию для светила, находящегося вблизи горизента. Поэтому мы бу-
дем считать Землю шаром радиуса ?о . Кроме того предположим, что
показатель преломления воздуха зависит только от высоты над земной
поверхностью или, что то же, от расстояния Z от центра Земли О :
П ~п(г). В таком случав путь светового луча JUU. (Рис.74) будет
плоская кривая, лежащая в вертикальной плоскости, проходящей через
светило и глаз наблюдателя. Обозначим буквой ос переменный угол,
составляемый касательной к лучу с вертикалью OZ (этот угол ^назы-
вается зенитным расстоянием), а буквой i — длину луча, отсчиты-
ваемую от точки JU , На основании (42.3)
_ •/* с£г dN ' /
Очевидно 1
(Сп п) = glad (tn nJ----------------
- 12
4»
Из рисунка 74
или
Рис.74
cla
откуда
dot j
dz <
da
далае
зг
Поэтоыу
(42.5)'
Вычитан (42.5) ив (42.4) и принимая во внимание, чтополучим
(42.4)
» - cl^n п - - с/^п (п г
2
т 18 -
Интеграция этого уравнения дает
msinJb = cons/.
В точке JU г=га. П =ПО , =Ji =<Х„ Поэтому
TVZSinf = ПагоИп<Л0 . (42.7)
Вычислив отсюда Ji и подотавив его значение в (42.4), получим
с£г
(42.6)
П
(42.8)
о( - оС = - по го sin «к
г. аг l/n2zz-nisBsin2^o
Здесь otoo - угол, образуемый асимптотой луча с вертикалью мес-
та; сХо - видимое эенитное расстояние светила. Разность о(о<1-<Х0
называется рефракцией.
Формула (42.8) используется для составления таблиц рефракции.
Для этого надо знать функцию 7? =п(г). На практике исходят из
определенной зависимости плотности воздуха J3 от высоты над земной
поверхностью и по плотности определяют показатель преломления. В
старых расчетах принималось, что TZ2-/= Cf , где С постоянная.
Более поздние исследования показали, что соотношение n-f=Cj> точ-
нее соответствует измерениям. Первые таблицы рефракции были состав-
лены Бесселем, который пользовался соотношением 77*-/ = Cf .
Таблицы Бесселя преимущественно применялись в 19 веке, пока во вто-
рой половине их не заменили Пулковские таблицы, составленные Гиль-
деном, который также принял закон nz-f = Cf . В настоящее время
во всех странах почти исключительно применяются Пулковские таблицы.
Если светило находится не слишком близко от горизонта, то
рефракция практически не зависит от закона изменения показателя
преломления воздуха с высотой. В самом деле
77~гг-л* г2sinЧ, = л2г2 cos*<s0 + (п‘г‘-п5г2) . .
Если угол о( не слишком близок к 90°, то членом пггг - п?г2
можно пренебречь по сравнению с n2?JcoslcS . В этом приближе- .
нии _________________
2г4 -п2г*Ипга

Далее, поскольку 77 лишь незначительно превосходит единицу,
&; П. = Поэтому формула (42.8) дает
oU~<Xe ₽ . (42.ff)
- 14 -
Для больших зенитных расстояний зта формула совсем не пригодна.
Впрочем ошибка, даваемая ей, быстро убывает с уменьшением сКо
Так, при я•80° она не превосходит 3%. При (X < 7 5° формула
(42.9) обычно дает достаточную точность.
Если небеоное светило находится на горизонте ( ОС — 90°), то
средняя рефракция при Ю°С и 760 мм ртутного столба составляет
35'24." Она быотро уменьшается по мере поднятия светила над гори-
зонтом. Так, уже при <Хв =89° средняя рефракция уменьшается до
24' 37." Этим объясняется сплюснутая форма Сслнца при егс восходе
или заходе.
С рефракцией связано некоторое удлинение дяя по сравнению с
днем, каким он был бы при отсутствии атмосферы. Для средних ши-
рот это удлинение составляет в среднем Э-4 минуты.
Рефракция зависит от длины волны. Вследствие этого при захо-
де Солнца сначала должны исчезать красные и желтые лучи, а остав-
шийся сегмент солнечного диска должен скрашиваться на одну-две
секунды в зеленый или даже синий цвет. При восходе Солнца, наобо-
рот, должна сначала появляться кратковременная зеленая вспышка.
Это явление "зеленого луча" наблюдается на море, да и то крайне
редко, так как необходима исключительно спокойная атмосфера и яс-
ная пегода.
3. Иногда вблизи земной поверхности из-за сильного нагрева-
ния или охлаждения, возникают большие градиенты показателя пре^
ломления воздуха. Тогда кривизна земной поверхности становится не
существенной. Рассмотрим идеализированный случай, когда воздух
можно считать плооко-слсистсй средой, показатель преломления кото-
рой является непрерывной функцией высоты Z над земной поверхностью
В этом случае в формуле (42.7) следует положить ^3=^ р =4. и
мы получим
П Sinai •= noSincso = const .
(42.10)
Допустим ради определенности, что световой луч распростра-
няется вверх под малым углем к горизонту, а показатель преломле-
ния П =n(z) убывает с высотой. Может случиться, что на некоторой
высоте угол (X обратится в 90°. Тогда касательная к лучу отанет
горизонтальной. Выоста Z -h , на которой может произойти это
явление, очевидно, определится из соотношения
15 -
п (к) = rtosin а„ .
Так как показатель преломления возрастает вниз, то достигнув
высоты Z- А , луч в дальнейшем должен загнуться книзу. На ука-
занной высоте происходит нечто аналогичное полному внутреннему
отражению (рио.?5).
Такое явление "полного внутреннего отражения" может возник-
нуть при сильно аномальном распределении плотнооти воздуха по
Рис.?5 »
высоте в является причиной различного рода миражей, наблюдаемых
в атмосфере. Обычно наблюдается верхний или нижний мираж. При верх-
нем мираже, помимо самих предметов, видны их изооражения, располо-
женные сверху; при иижнем мираже изображение получается ниже самого
предмета. Нижннй мираж наблюдается в пустынях и степях в теплое
греия года, когда прилегапций_к поверхности Земли слой воздуха
J6 -
сильно нагрет, а его плотность и показатель преломления быстро ~~~
возрастают с высотой. Из каждой точки предмета в глаз наблюда-
теля всегда попадают лучи, не испытавшие полного внутреннего от-
ражения в воздухе; им соответствует обычное - прямое - изображение
предмета. Нс при больших градиентах показателя преломления могут
также пспаоть лучи, испытавшие полнее внутреннее отражение на не-
которой высоте. Они дают обратнее изображение предмета как в зер-
кале (рис.76). При этом лучи, выходящие из различных точек пред-
мета,' претерпевают полное внутреннее-отражение на несколько разных
высотах. Точка , в которой отражается луч, выходящий ив Л ,
лежит несколько выше точки /V , в которой отражается луч, выхо-
дящий из В * Таким образом, наблюдатель видит два изображения:
пряное и обратное. Создается иллюзия водной поверхности, в которой,
как в зеркале, наблюдатель видит изображение неба.
В
Рис.76
- 17 -
Аналогично объясняется и верхний мираж. Он наблюдается зимой
в холодных странах, когда вблизи земной поверхности образуется
холодный слой воздуха, в котором показатель преломления быстро убы-
вает о высотой. В горах, хотя и очень редко, наблюдается боковой
мираж, связанный с изменением показателя преломления воздуха в
боковом направлении. Вообще, в зависимости от характера распреде-
ления показателя преломления воздуха, мираж проявляется в весьма
разнообразных и сложных формах.
ЗАДАЧИ.
I. Пусть 2 =z’j^<Tj - уравнение луча в параметрической
форме; Производная есть вектор, направленный по касательной
к лучу. Поэтому на основании определения луча можно написать
<Р , («,п>
где jU- - скаляр, смысл которого определяется выбором параметра
6~ . Показать, что
7 d ( / сСг
JU oL(T ( JU. d6~
Решение. В прямоугольных координатах уравнение (42.11) при-
у = • <42.12)
нимает вид _
✓ dxt дФ
d6~
Дифференцируя это соотношение по 6~ ,получим
d ( < ) - Г7
скг \ju d^)
или на основании предыдущего соотношения
7 d 7 J dxj I _ г-7 дФ д*ф
Z4 d6"\ji d^J~ZLj dxj dXjd-Zi
—1. dL~ (otad ф)£ = —-----— •
2. dXi ' dXi 2
Записав этот результат в векторной форме, получим (42.12).
dxj dxi
2. Пользуясь соотношением (42.12), вывести формулу для кри-
визны луча. j
РЕШЕНИЕ. Положим JU. - . Тогда, как следует из (41.II)
и (42.11), f*Z = f . Отсюда видно, что параметр 6~ имеет смысл
длины луча, отсчитываемой от к.-л. произвольной точки на нем:
- 18 -
б~'= J . Уравнение (42.12) принимает вид
(пб)^дгссс1г.^
или _/ ~ дп п д/
92adn
откуда видно, что вектор gzacLn не имеет слагающей по бинор-
мали £> , а следовательно, может быть представлен в форме
Сравнение этой формулы с предыдущей приводит к формуле (42.3).
8. Положить в соотношении (42.12) jU-=i и сравнить получен-
ный результат с уравнением движения материальной ‘точки в консер-
вативном поле сил.
РЕШЕНИЕ. Полагая обозначим параметр б~ новой буквой
t . Тогда из (42.И) и (42.12) получим
dz~ 2/*2*" / П1
-^=Hi , • (42.13)
Зти уравнения формально тождественны с уравнениями движения
материальной точки с массой т = £ в консервативном поле с потен-
циалом пг
U = уу ~~2~ *
где -произвольная постонннан. Роль времени играет параметр
£ . Скорость точки 1г= rts" , а ее кинетическнн энергии/
_ 25*
~ 2 ~ 2 ‘
Полная энергии W . Роль показателя преломления игрнет
скорость частицы или любая, величина, ей пропорциональная
П -1Г = \/2^ = l/2(U/££(42.14)
4. Определить при каких градиентах температуры воздуха возмо-
жен иижний мирад. J
РЕШЕНИЕ. Необходимо, чтобы показатель преломления воздуха
увеличивался с возрастанием высоты h . Показатель преломления
воздуха зависит только от его плотности «увеличиваясь вместе с
ней. Поэтому должно быть
^>Г?. <42*.15?
- 19 -
Согласно уравнению состояния длн идеальных газов
Для
n J .г яг >
где п универсальная газовая постоянная,^- молекулярный вес
— давление, Т~ абсолютная температура воздуха. Отсюда
получаем у dT
J3 dh dh T dh
механического равновесия «оздуха должно быть
- -оа
юде
Q - ускорение силы тяжести. Неравенство (45.15) переходит в
-IL --L.
Р т dh •
~Ih <" R (4гао
Используя известное соотношение Роберта Майера,-ему можно придать
вид . — л
или
г _ . zi— О 025граЗ-м"'
dh. Cp~Cv ’ (42Л'1
Такое распределение температуры конвективно неустойчиво. Для кон-
вективной устойчивости, как известно, должно быть
dh.
СР
§ 48. ТЕОРЕМА ЯКОБИ.
•
I. Совокупность всевозможных лучей в среде есть семейство
кривых, зависящее от четырех параметров. Действительно, для того,
чтобы полностью определить луч, достаточно задать начальную точку
ф , через которую он проходит, и его направление’в этой точке.
Пусть начальные точки всевозможных лучей расположены на некото-
рой поверхности F , Тогда положение кавдой точки определится
заданием двух параметров - координат точки Ф нн поверхности F .
Чтобы однозначно определить луч, проходящий через точку F3 «надо
задать еще его направление в этой точке. Для этого требуется еще
два параметра, например Зх и - две проекции единичного век-
тора касательной 5” к лучу в точке РР . Теорема Якоби сводит за-
дачу отыскания такого четырехпараметричного семейства лучей к интег-
рированию уравнения эйконала (41.5).
2. Пусть Ф(г\ а>6) - полный интеграл уравнения эйконала
(41.5), т.е. решение этого уравнения, зависящее от двух произволь-
ных параметров СИ и 6 и притом такое, что не все детерминанты вто-
рого порядка матрицы
/ дгФ эгФ дяФ \
/ да дх да ду да дг I
I д*ф дгФ дгФ J (4<М)
\ 38 дх 38 ду 86 8г /
обращаются в нуль. Тогда световые лучи в среде определятся урав-
нениями ~ а а у
да ~-°<J дВ ~' (43.2)
где с< и J3 - произвольные постоянные. Они, как и постоянные
Ct я 8 определяются граничными условиями. •
В этом и состоит теорема Якоби. Уравнение (43.2) содержат
четыре независимых параметра: а, 6} &, > т.е, ровно
столько, сколько требуется для представления семейства всевозмож-
ных лучей в ореде.
Для доказательства теоремы Якоби возьмем произвольную кривую
семейства (43.2), выделяемую значениями параметров Qt 8, /з
Представим ее в параметрической форме 7
~ 21 -
О- (43.3)
jf » ^(б~, а, •*»/*)' (•&)
Введя ату вектор-функцию в (43.2), получим два тождества относи-
тельно параметра 6~ . Дифференцируя их по 6~ , найден
Так как не все детерминанты второго порядка матрицы (43.1) равны
нулю, то векторы иУга“са1/ линейно независимы.
Поэтому они определяют некоторую плоокость П . Уравнения (43.3)
устанавливают, что вектор перпендикулярен к зтсй плоскости.Из
Уравнения эйконала (41.5) дифференцированием по а и 8 получим
ф giad(-&)=О и fiad ф gzad) =0 , т.е,
вектор угла Ф также перпендикулярен к той же плоскости П
Таким образом, векторы ngia.d ф коллинеарны. Это значит
что кривая (Л) еоть луч, что и доказывает теорему Якоби.
ЗАДАЧИ.
I. Найти уравнение светового луча в слоисто-неоднородной сре-
де, в которой п. = п (г).
РЕШЕНИЕ. Полный интеграл уравнения (41.5) может быть в этом
олучае предотавлен в виде
г^а.г-вг d-Z
а уравнение
иди
светового луча - в виде
ЭФ
дв
г Л?
дФ
да
ctjf
произвольные постоянные. Решение гсдит-
случая, когда 7?4 >аг +8*. Исключая входящий сюда
, пока-
что световой луч в слоисто неоднородней среде - плоская
где а, В,
ся для того
интеграл, подучим линейное соотношения между х
бывающее
кривая.
- 22 -
2. Найти уравнение светового луча в среде, обладающей иаро-
вой симметрией, в которой показатель преломления П есть функция
только расстояния 2 от неподвижного центра О j П — пСг) •
РЕШЕНИЕ. Ввиду шаровой симметрии световой луч должен быть
плоской кривой, лежащей в плоскости, проходящей через центр О ,
Поэтому достаточно ограничиться рассмотрением одной из таких плос-
костей. Примем эту плоскость за координатную плоскость ХУ к
введем полярные координаты:
Х=гсо;^ , у = г • tin if\
Тогда уравнение эйконала (41.5) примет вид
Будем иснать полный интеграл этого уравнения в виде
Подставляя Si*0 выражение в (43.4), получим
г п
от гГ , т.е. является
С . Тогда 6 = С&г
постоянную
откуда получаем, что
постоянной. Обозначим эту
cLR . //гЪ^-С*
(4в.5)
По теореме Якоби световой $ч определится уравнением
в сол^в^ >
иС -
или г
с*
(Поскольку С . проигвольная постоянная, двойной знак первд
мы опустили). Обозначим буквой JI угол между касательной
и радиусом-вектором 2 (рио.74). Тогда
-- •
Подставляя сюда значение для из (43.6), получим
"сНё
(43.4)
(43.6)
корнем
к лучу
- 23 -
~ ’ (43.?)
откуда
пг Sin fi = С - const . (43.8)
Этот результат был yse получен в § 42 [си. формулу (42.7^.
Постоянная С определится если известно направление касательной
к лучу в начальной точке: С = 77О Sin д .
- 24 -
§ 44. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД К ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПТИКЕ ДЛЯ
ВЕКТОРНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ.
I. Предельный переход к геометрической оптике, выполненный
в § 41, недостаточен в двух отношениях. Во-перввд, он основан
на волновом уравнении (41.1), которому векторы Е и £ Удов-
летворяют, вообще говори, лишь в тех случаях, когда ореда однородна.
Во-вторых, он выполнен для скалярного поля, а потому не отвечает
на вопрос, как меняются направления векторов Е и В при переме-
щении вдоль луча. Поэтому необходимо повторить предельный переход
к геометрической оптике, положив в основу уравнения Максвелла для
неоднородных оред: - Ас
(МЛ)
ditr(et:]- dHrB =0.
Здесь £ считаетсн известной функцией координат.
Произвольное монохроматическое электромагнитное поле может
быть записано в виде „ к ф)
Е=Ео(*)е ° '
„ ~ l“-2’
где Е.&) *B.(z) - амплитуды поля, вообще говоря, комплексные.
Что касается <Ф , то без ущерба для общности эта величина может
считаться вещественной, Действительно^, «если бы‘0 была комплзксна
с мнимой чаотью^ 0^т^множителье"2 * можно было бы включись
в амплитуды Ев « В. •
Подставляя выражение (44.2) д уравнение ££4.1), получим
zot 1кл[гФ В.) = iek.E
tot Е~Н<о[чФ'ёв] =
div(^)-ikeE.(Eav$}-0 (
dilr -ik, (В, V<P)=O.
2. В предельном олучае коротких волн волновое число ко очень
велико. Поэтому в уравнениях (44.3) можно пренебречь членами, не_*
содержащими множителя ка . Это допустимо, когда амплитуды сё л В
на протяжении длины волны меняются мало. В указанном приближении
- 25 -
= - [уФ Bj,
BD = [гФ Ео]._^ (44.4)
Исключая из этих уравнений вектор В ° получим
(ЕоуФ)уф - (уф)гЕо =~ сЕа .
Ввиду (44.4) первый член в последнем уравнении обращается в нуль,
а потому
(уФ) =£=Пг (44.5)
Таким образом, функция Ф должна удовлетворять уравнению
эйконала.Клаузиуоа. Его можно рассматривать как точное уравнение
для определения эйконала Ф , так как поля Е и R всегда
могут быть представлены в форме (44.2) какова бы ни была функция
Ф . Требование медленности изменения амплитуд и Д, .
однако, может быть выполнено только в том случае, когда эйконал
Ф удовлетворяет уравнению (44.5).
Теперь можно ввести понятие луча как линии, касательная к ко-
торой в каждой точке пространства направлена вдоль, вектора $гае/Ф.
Тогда мы снова придем к уравнению (41.II), и соотношения (44.4)
можнс записать в виде:
пЕ=-[ГВ1
г- г - Е1 (44,б)
Таким образом, векторы Е, 3 и J взаимно перпендикуляр-
ны.
3. Уравнении (Jj4.4) или (44.6) устанавливают связь между амп-
литудами Е„ и 3, в одной и той же точке. Но они ничего не го-
ворят, как меняются зти амплитуды в пространстве. Поэтому с их
помощью нельзя обосновать основное представление геометрической
оптики - предотавление о распространении света вдоль лучей. Для
этого надо провести вычисления более точно. Исключим из первых
двух уравнений (44.3) вектор Зо . Учтя уравнения (44.5),(41.11),
а также третье уравнение (44.3), получим
zot zot Ео- ikn ?ot[ris £o ]~ikj>nszotEj+l^ ~ °
- - 26 -
— — — —
В приближении геометрической оптики первый член в этом урав-
нении оледует отбросить. Тогда _
tot [ns Eo]+[ds zotEo]~ 77 divfrfEjs. (44Л)
Аналогично,исключение вектора Ео из тех же уравнений
(44.3) приводит к соотношению .
tot [-п Вв] + [£ г0^ %>] “ "~Л J • (44.8)
Если ввести вектор
Е " ~П~ * С*4-9)
то этому соотношению можно придать вид
tot [nsFj*[ns zotE]+([s)vn-) S.
Но в приближении геометрической оптики (Es'j-o , как
это оледует из формул (44.6). Поэтому
tot [ns F.]+[riS totF. 1 -JT div (п‘Е)Т. (44.10)
Это уравнение в точности совпадает с уравнением (44.7).
Поэтому достаточно наследовать как меняетон вдоль луча только /
один из векторов Еа или 71
4. Уравнения (41.11), (44.6), (44.7) и (44.1U) составляют/
полную систему уравнений геометрической птики. Для исследова-
ния их удобно преобразовать последние два уравнения. Воспользуем-
ся формулами векторного аналиаа:
tot [aS] ~(S v)a- (s v^S+adorS~S dura, (**.ii)
$zad(dS]~$v)&*[dv)S +[Ftotd]+[dzot6]. (44.12)
Полагая в них Л = ns~, s-z и учтя, ЧТО tot nsmO
ТУЧИ“ -* ____________________
zof [ris EJ " (Eov']nT-n(sv)Eai-rCsdiirEa-[^‘t/(ns) f
[ns zotEj=-(Eovjrtf-n(sv)E0
- 27
Подставляя эти значения в формулу^('<4.7), найдем: —
-2п (Тv)Eo +nf- diuEo -E^cUv(nTс11ц-(пгЕоJs~г
или _»
<?л-~ =-2(Eovn}s-Eackis (ns).
(44.13)
или, наконец,
2n~? - -2(f0Vn)s-FoAiP. (44.14)
as 1 '
В точности такому же уравнению удовлетворяет и вектор гв •
Уравнения геометрической оптики линейны и однородны отно-
сительно Еа и Л ,а коэффициенты при этих векторах веществен-
ны. Отсюда непосредственно следует, чтс вещественные и мнимые час-
ти векторов Еа и Е удовлетворяют тем же самым уравнениям.
Волна о комплексными амплитудами распадается на две независимые
волны, у одной иэ которых амплитуды вещественны, а у другой чис-
то мнимые- Эти волны распространяются независимо друг от друга,
поэтому,, не нарушая общности, можно считать амплитуды и Е
вещественными, чтс и делается в дальнейшем. -»
5. Сначала исследуем как меняется модуль вектора Ео , а.
затем егс направление. Умножив уравнение (44.14) скалярно на Ея ,

подучим
Так как_ /у р I _ J 2 )
^•о ds ds \ / ds (2 Ео у t.o $$
то
Ео Д Ф +2п =0. (*4.15)
Этс уравнение совпадает с (41.12), если положить Ct = Е„ . Тем
самым показано, что в приближении геометрической оптики волновое
уравнение (41.I) приводит к правильным результатам, хотя вектор
Е в неоднородной среде и не удовлетворяет этому уравнению.
Для исследования изменения направления вектора Д ПРИ
смещении вдоль луча введем единичный вектор 6 , параллельный
- 28 —
е = (44.16)
Дифференцируй этот вектор^по 5 , , найдем:
де _ дЕ. _ Ео дЕо
НЕ ~ Е„ d s Е ‘ ds
или на основании (44.14) и (44,15)
^--(evhn)s.
Так как вектор VCn П не имеет слагающей по бинормали v к
лучу, то
vfnns~sr ((nrE W (1пп'Е'Е(1ппУ^
Таким образом,
Если известно значение вектора 2_о в какой-либо точка
луча, то по формулам (44.15) и (44.17) можно определить длину и
направление этого вектора в произвольной точке того же луча. Од-
нако на основании уравнений геометрической оптики ничего нельзя
сказать о значениях вектора Е на других лучах. Это значит, что
в приближении геометрической оптики световые лучи независимы, а
энергия распространяется вдоль лучей.
К представлению о распространении света вдоль лучей можно
прийти такие следующим образом. Заменив в уравнении (44.7)
[riS Ео] на В > умножим это уравнение скалярно ка Ео .
Получим Г-' ° ТГ 7? г 7» т
£ z°t Е + Ео [nE zoiE0 ] = О.
Так как
E0lnEzotEJ=[EDns]zotE0 = ~Вв zotEo,
EazotB - В zotEa = о
° о ° ° >
ИЛИ
ciiu- Е Ео ВJ ^о. с^-18)
- 29 -
Подобно формуле (41.14) это уравнение выражает постоянство
потока электромагнитной энергии вдоль лучевой трубки.
6. Так как длина вектора е* должна оставаться постоянной
то вое его иэменения при перемещении вдоль луча сводятся к
повороту вокруг некоторой "мгновенной" оси. Поэтоиу можно напи-
оать: _
(44.19)
Вектор ^Гс. называется вектором тирании. Он в рассматриваемом
вопросе играет ту же роль, что и вектор мгновенной угловой ско-
рости при вращении твердого, тела. Направление вектора Q aSc. оп-
ределяет положение мгновенной оои вращения, величина cts
дает угол поворота вектора 6 при смещении вдоль луча на cis.
8№ачои "абс" указывает, что речь идет о вращении относительно
"неподвижной" оиотемы координат (т.е. системы, неподвижной отно-
сительно ореды, в которой распространяется овет).
Веитор тирании определен не однозначно. К нему
можно прибавить любую составляющую, параллельную е , так как
эта составляющая вращает вектор е” вокруг оси, вдоль которой
он направлен, т.е. не меняет направление .
Сравнением формулы (44.17) о (44.19) находим
/А. ё
Умножим обе части этого равенства векторно на
(44.20)
Так как
то таким путем получим
_*Еоли t то ато уравнение можно поделить почленно
на^УёГ) . Отбрасывая при гтом несущественный член, параллельный
। е , найдем:
4
(44.21)
Эта формула справедлива и в том случае, когда (N$)=D. Дей-
ствительно, так как воегда (^<?)=0 » то в этом случае вектор
ё" перпендикулярен н и , т.е. параллелен бянорма-
-- 30 -
ли i . Уравнение (44.20) в этом случае дает ^г^откуда
. “ -А£ '. Значит, вектор е" не испытывает ника-,
кого вращения. Скаляр Л можно выбрать каким угодно, напри-
мер положить Ля -jf •
Рассмотрим теперь как меняется при перемещении вдоль луча
направление вектора Во . Введем единичный вектор
г & _ JL.
Д ~ £ (*4.22)
Тогда по аналогии с формулой (44.17) можно написать
Я? — J
Отсюда следует, что вращение векторов е и А определяется
одним и тем же вектором тирании (44.21).
7. В связи с изложенным остановился на вопросе о непротиво-
речивости уравнений геометрической оптики. Согласно уравнениям
(44.6) векторы е~ , Д ил взаимно перпендикулярны,при-
чем
r = fe4J. _ (44.24)
С другой стороны, изменение векторов е и Z- вдоль луча
однозначно определяется уравнениями (44.17) и (44.23). Возникает
вопрос, если соотношение (44.24) выполняется в какой-либо течке
луча, то не будет лидно нарушено при перемещении вдоль луча,ког-
да векторы е и Д повернутся в соответствии с уравнениями
(44.17) и (44.23)? Легко видеть, что такого нарушения не будет.
Действительно, изменение векторов е и Д7 при перемещении
вдоль луча сводится к их вращению вокруг бинормали, с ‘вектором
тирании, длина которого равна кривизне луча. Но изменение вектора
5 при том же перемещении также сводится к вращению вокруг
бинормали с тем же самым вектором тирании. Следовательно, при .пе-
ремещении вдоль луча тройка векторов S , е , Д вращается
как твердое тело, а поэтому соотношение (44.24), если оио выпол-
няется в одной из точек луча, должно сохраняться и во всех осталь-
ных точках того же луча.
8. При перемещении вдоль луча естественный трехгранник
- 31 -
( S’ , /V , 6J также^испытывает вращение, характеризуемое
другим вектором гирации . Для нахождения этого вектора
рассмотрим вращения единичных векторов £ и /и . Имеем
Сравнивании формулы с формулами Френе-Серре
дб / гт dff__________________LT+-LT
Ss j,S т{.
где У - радиус кручения луча, получим
ГЛг/7—.
Гу«^'Л(7 *г"£
Первое уравнение дает \”4nVJ=O • Поэтому, умножая второе убав-
ив иие векторно на N и принимая во внимание, что Es~n1 =
[&#]•* s’ найдем
7Г <7 1 ~
3n*f> J3 + Т S' (44.25)
Если речь идет о вращении только вектора 5 , то второе
слагаемое в формуле (44.25) можно отбросить* Тогда эта формула
переходит в формулу (44.21) в согласии с тем, что говорилось в
пункте 7. '
Вращение векторов е и Л относительно неподвижной системы
отсчета складывается иа вращения отнооительно естественного трех-
гранника (характеризуемого вектором гирации ) и вра-
щения самого еотеотвенного трехгранника относительно неподвижной
системы:
Уа$с. ~ 'пер. (44.26)
Отсада о учетом формул (44.21) и'(44.25) получаем
(44.27)
Таким образом, относительно естественного трехгранника плоскость
поляризации вращается вокруг направления луча. Длина вектора
гирация, характеризующего это вращение, равна кручению луча.
Этот результат впервые был получен С.М.Рытовым иным путем.
- - 32 -
9. Согласно формула (44.21), векторы С и А- не испы-
тывают- никакого мгновенного вращения вокруг направлении луча. Од-
нако, если луч является кривой двоякой кривизны, плоскость поляри-
зации не будет возвращаться к своему исходному положению, когда
при перемещении вдоль луча касательная к нему принимает свое ис-
ходное направление. Это происходит потому, что плоскость поляри-
зации вращаетоя вокруг бинормали, а направление последней при пе-
ремещении вдоль луча, обладающего кручением, также изменяется.
Угол поворота плоскости поляризации вокруг направления луча мож-
но найти с помощью следующего изящного построения, предложенного
В.В.Владимирским.
Будем откладывать касательные векторы, соответствующие раз-
личным точкам луча, из общего начала О (рис.77). Тогда по мере
продвижения вдоль луча конец единичного вектора 5
единичной сфере некоторую кривую Г . Вектор е
как перпендикулярный к ЗГ , может быть отложен в касательной
плоскости к этой сфере. Ввиду формулы (44.17) дифференциал а®"
этого,вектора направлен параллельно л" по нормали к сфере
опишез^ на
(или А. )
Вис.77
Если из полного дифференциала de >тнятв его нормальную соста»-
- ЭЗ -
л яйцу ю, ю оставшаяся часть называется абсолютным дифференциа-
лом м обознается Z)e . Таким образен,при перевесе вектсра
S по кривой Г , лежащей на поверхности единичной сферы,
абсолютный дифференциал D е равен нулю. Такой перенос в диффе-
ренциальной геометрии называется псевдопараллельным переносом.
Итак, изменение вектсра «F при перешещенин вдель луча
соответствует псевдопараллельному переносу зтого вектсра по еди-
ничной сфере вдоль некоторой кривой Л , Если касательная к
лучу в его начальной и конечной точках имеет одно ш тс же направ-
ление, то кривая Г будет замкнутой. В дифференциальной геомет-
рии доказывается, что при псевдопараллельнсм переносе вектора по
поверхности вдель замкнутой кршвой вектор поворачивается на угол
Q • равный поверхностному интегралу от гауссовой кривизны
по области, ограниченной зтой кривой. В случае сферы радиуса
R гауссова кривизна равна , а для единичной оферы
она равна единице. Поэтому интересующий нас интеграл равен телес-
ному углу Л , заключенному внутри конуса, описанного векто-
ром е . Следовательно,
причем направление поворота вектора G совпадает с направле-
нием обхода контура Р . Если луч обладает кручением, то в
общем случае ^0 . Поэтому плоскость поляризации луча, когда
си принимает свое исходное направление, окажется повернутой на
угол Q =Q, • Если же луч - плоская кривая, то <2=0, и
никакого поворота плоскости поляризации не будет.
10. Дифференциальные законы вращения плоскости поляризации
луча в неоднородных средах можно получить более строгим методом,
позволяющим дать нм уточненную формулировку. По-прежнему будем
предполагать, что свойства среды в пространстве меняются непрерыв-
но. Если В среде распространяется квазиплоская электромагнитная
волна, то приближенно можно считать, что векторы £ и Н
связаны теми же соотношениями, что и в случае плоской волны в
однородной среде, т.е. у ,
. (w.29)
Для общности учтем нагнитную проницаемость вещества LL . Еди-
- 34 -
ничный вектор £ указывает направление вектора Пойнлинва.
Геометрический луч определяетоя как кривая, касательная к кото-
рой совпадает по направлению с вектором .5 . Это все, что
нужно для вывода закона вращения плоскости поляризации электро-
магнитной волны в неоднородных средах. Уравнение эйконала не
будет использовано. Более того, не обязательно, чтобы лучи
были ортогональны к поверхностям равных фаз.
Выведем сначала одну формулу дифференциальной геометрии.
Единичные векторы главной нормали и бинормали £ связа-
ны о вектором / ’ соотношениями , __
. iT=/37v7 , г=М .
TzotS
Так как (
Вычислив роторы этих векторов по формуле (44.П), нетрудно полу-
I __== о, то
~7Г =
или °
/\/zot N ~ ~'г •
(44.80)
Это и' есть искомое соотношение. По его смыслу необходимо оделау
следующее замечание. Для вычисления роторов векторов , /у ,
© недостаточно задания одного луча. Заданием луча указавши
векторы определяются только на самом луче. А они должны быть
определены также и в бесконечно малой окрестности луча. Поэтому
соотношение (44.30) относится не к единичному геометрическому
лучу, а к пучку таких лучей.
Ооратимся теперь к выводу дифференциальных законов вращения
плоскости поляризации в неоднородных изотропных средах. Нектс-
ры /у и Е лежат в плоскости, перпендикулярной к 5 .
Так^м же свойствен обладают взаимно перпендикулярные векторы
Е * Я . Поэтому векторы Д/ и Е могут быть раз-
ложены по векторам Е и д . Если
, —»>
N = аЕ +рН ,
то векторным умножением на S с использованием соотношений
Коэффициенты (У и Ji могут зависеть ст координат. Взяв ро-
торы ос обоих векторов дГ и S и воспользовавшись урав-
нениями Максвелла, найдем _
N?otN +6zot£ =
= [ЕН]{г(р?а - «гл! -<у(№
Очевидно ' *
У3 #
Далее, ввиду (44.29), ।/ё~ J ,а
= П
/ /№•“ Г“ %
а потому F & £"
Следовательно, , •»
ffz0lN+6zott-2[rh№v%-^7Г7е/ ’
NwtN^ivrfj'
Пусть if’ означает угол, отсчитываемый в положительном направ-
лении от главной нормали Д/ к вектору Е (За положите"т—
ное принимается такое вращение, вектор гирации которого совпада-
ет по направлению в вектором 5* )• Тогда
- 36 -
COS&
Е
’’ А
’ Г н
NwtN^6iott= +
+sin&a%&jj-(s ?)£-] =? (s v)& =2js
Сравнивая зто соотношение о соотношением (44.30), получим
57=-7- *Т Slots. («.но
Зтой формулой и определяется вращение плоскости поляризации вол-
ны относительно естественного трехгранника 5 , /у , о •
Оно совершается вокруг направления луча, а потому может быть оха-
рактеризовано вектором гирации,
3* = (- тХ- +~s’zots]s’. . (44.32)
(Jot^h. \ Т 2 /
Вращение в неподвижной системе отсчета определяется вектором
гирации
jU “ <„.33)
Формулы (44.32) и (44.33) являются обобщениями соответствую-
щих формул (44.27) и (44.21). При их выводе не был использован
результат геометрической оптики об ортогональности лучей к семей-
ству поверхностей равных фаз. Не было использовано и уравнение
эйконала (41.II). Поэтому (формулы (44.32) и (44.33) справедливы
в любом приближении, в котором локальная связь между векторами
£ и // определяется соотношениями (44.29). Учтем теперь
уравнение эйконала (41.11). Из него следует
го/(тт-Т^^пгоЕГ+[vn -Т] ~О.
Скалярное умножение на Л1 даёт Slots' »О .В результате
мы возвращаемся к прежним простым формулам (44.21) и (44.27).
оАДАЧл
—
Зная направление вектора Е в начальной точке луча О
- 37 -
аайта его направленна в произвольной точке того же луча. Най-
та также направление магнитного вектора.
РЕШЕНИЕ. Поскольку вектор перпендекулярен направ-
лению луча, его можно разложить по единичным векторам Д/ и
6 • —•“ -*
е = cos& ft + sin& в ,
где угол между вектором G и направлением главной нор-
мали Д/ . Ввиду соотношения (44.27), изменение угла & опре-
деляется уравнением
с/гУ /
~cLs т
откуда
где ' / .
а - значение угла $ в начальной точке луча. Таким обра-
зом,
6 » СО$(&0 -0+ Sin ($о-в}& (44.34)
Направление магнитного вектора определяется единичным вектором
4 = [Те]= COS . (44.35)
- 38 -
§ 45. ФОРМАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ
СТЕПЕНЯМ ВОЛНОВОГО ЧИСЛА
I. Уравнения предыдущего параграфа могут быть введены бо-
лее систематическим, но формальным методом. Представив алектро-
магнитнсе поле в форме (44.2) и замечая, что геометрическая оп-
тика соответствует предмьному переходу ЛО или, что то хе
£е-»-о<о , представим ЕО(Л) и ВОС^-) Б виде бесконечных ря-
дов по обратным степеням ко :
Е^10ё}+ТкоЛ,Сг)+
Во = СО(Ю + 1k " (45.1)
Подставив ати выражения в (44.3) и сравнивая члены о первой
и нулевой степенями волнового числа , получим
~[уф-Со] 1
(45-2)
?о1с.-[уФс,2-^Т 1
го/ Л - I
d<w(nz<Jo) =^П2(.Л.?Ф) С
dafCo = (С^Ф) J • J*5.8)
Уравнения (4^2) по форме совпадают с (44.4): рол^> и
играют Ла и Сс > Из них немедленно следует уравнение
эйконала (44.5); При атом вторые два уравнения системы (45.2)
являются следствиями первых двух.
' Подставим С из второго уравнения (45,3) в первое. Тогда,
принимая во внимание третье уравнение (45.3), а также уравнения
(45.2) и (41.II), получим
?ot [ns Ло]+[пТzotjlj- п diV^Jl^S (45.4)
-* 39 -
Диалогично
tot[w 'Cj*[n ZotCj^d^C, T. (45.5)
Эти уравнения совпадают с (44.7) и (44.8) в нулевом приближении.
Таким образом, если оборвать разложения (45.1) на членах нулевой
степени, то получатся уравнения геометрической оптики (44.7) и
(44.8). Из вывода видно, что зти уравнения верны в нулевом, а
не в первом приближении. Условия их применимости могут быть полу-
чены путем оценки отброшенных в (45.1) членов первого порядка.
Таким путем мы снова придем к условиям, полученным в предыдущем
параграфе.
2. Изложенный метод, разумеется, применим и к скалярному вол-
новому уравнению (41.I). Он является в такой же мере нестрогим,
что и метод, применявшийся в § § 41 и 44. Дело в том, что ряды
типа (45.2), вообще говоря, расходятся. Это можно показать на
следующем примере. В § 19 рассматривалась плоская электромагнит-
ная волна в слоистой среде с непрерывно меняющимся показателем
преломления. Было показано, что если функция представляется
степенным рядом по положительным степеням ка , то поля Е и
Ь могут быть разложены в сходящиеся степенные ряды по положи-
тельным степеням волнового числа к„ . Если эти поля представить
в форме (44.2) и принять во внимание, что при любом Ф показатель-
ней функции разлагается в сходящийся ряд _по положитель-
ным степеням ко , то будет ясно, что амплитуды Ес(?) и
должны разлагаться в сходящиеся ряды также по положительным степе-
ням ко • ^ак как разложение в степенной ряд единственное, то
отсюда следует, что в рассматриваемом случае разложение амплитуд
Е и 3 в сходящиеся степенные ряды по отрицательным
степеням к ’невозможно. Вообще говоря, ряды типа (45.1) являют-
ся асимптотическими. Эти ряды расходятся, но если их оборвать
в надлежащем месте, то они могут достаточно точно аппроксимировать
функции Ejty &в(г) в ограниченной области простраиства.Вопрос
- 40 -
о том, где следует оборвать такие ряды, чтобы в заданной области
пространства получить наилучшую аппроксимацию, не исследован.
Геометрическая оптика оорывает эти асимптотические ряды уже на
первых членах.
§ 46. УРАВНЕНИИ ГЕРМЕГРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ КАК УРАВНЕНИЯ
ДВИЖЕНИИ ПОВЕРХНОСТИ РАЗРЫВА.
I. Выведем уравнения движения передового фронта волны в сре-
де, показатель преломления которой является непрерывной функцией
координат. Для этого воспользуемся математической теорией характе-
ристик. Исходными являются уравнения Максвелла (44.1), в которых
диэлектрическая проницаемость £ рассматривается как функция
координат, не зависящая от частоты CU . Таким образом, вводит-
ся ограничение, что среда не обладает дисперсией. Это ограниче-
ние придает последующим рассуждениям несколько формальный мате-
матический харантер, поскольку все реальные среды за исключением
вакуума принципиально являются диспергирующими. Передовой фронт
распространяющегося возмущения характеризуется тем, что впереди
него поле равно нулю, а позади отлично от нуля. Следовательно,
на передовом фронте по крайней мере некоторые из компонентов век-
торов Е и $ или их производные могут претерпевать разрыв
непрерывности. Исследуем поэтому какие разрывы допускаются урав-
нениями Максвелла на произвольно движущейся математической поверх-
ности в неподвижной среде. Запишем уравнение произвольной движу-
щейся поверхности в виде Л
t (46.1)
Найдем граничные условия, которым должны удовлетворять
векторы £ и $ на 3'10й поверхности. Для этой цели лучше
всего подходят уравнения Максвелла в интегральной форме. Пусть
Ф - положение движущейся поверхности в к.-л. момент време-
ни t (рис.78). Проведем неподвижныйдв пространстве бесконеч-
но узкий контур . Пусть уу - единичный ректор
•1 -
нормали к поверхности, натянутой на этот контур. На основании
одного нв уравнений Максвелла можно написать
diftw ’
где едишщный вектор касательной к контуру, а П -
поток вектора Z) , пронизывающий этот контур. По истечении
времени dt поверхность разрыва займет положение Ф , обоз-
наченное на рно. 78 пунктиром. Время dt можно взять настолько
малым, что поверхность Ф' не выйдет за пределы контура Л,В,ВгЛг
Если V нормальная скорость движения поверхности Ф , то
площадь контура, лежащая со стороны I от этой движущейся поверх-
ности, увеличится на dttrdt , а со стороны 2 уменьшится на '
ту же величину. Повтому приращение потока dfl за время dt
будет
dn - ,
где интегрирование ведется вдоль,кривой лв> . Таким образен,
Приравнивая зто выражение интегралу
-иг -
ввиду произвольности пути интегрирования ДВ , находим
Из вывода нсно, что это уравнение верно для произвольного нап-
равления единичного вектора касательной Z" к движущейся
поверхности разрыва ф . Если ввести единичный вектор ?
нормали к поверхности ф , то 3~J • Подставляя это
выражение в предыдущую формулу, получим
(X -
откуда ввиду произвольности 7~
Таким образом, на всякой движущейся поверхности (46.1)
вектор п~с[^] непрерывен. Единичный вектор J Ложно
представить в виде cjzacl Ф
1ф I
Найдем выражение для нормальной скорости V . Дифференцируя соот-
ношение (46.1) вдоль нормали , получим
dt = +-\^acLcP\ ds,
где aS перемещение поверхности (46.1) в направлении нормали
за время сП. . Отсюда получаем следующее выражение для нормаль-
ной скорости
, = ds ~ с
dt ~\gzdd$\ •
Используя полученные выражения, приходим к заключению, что на
движущ-.йся поверхности (46.1) -•
LJ
вектор /У“ непрерывен (4о.2)
Аналогично, исходя из второго уравнения Максвелла
таким же путем найдем, что
[gza.d<P^]
вектор д- + непрерывен (46.3)
4-С -
Наконец, если воспользоваться двумя оставшимися уравнения-
ми Максвелла: <£d?—О , то легко получить.
что нормальные компоненты
баг)
и (6s)
непрерывны .
(46.4)
Л. Выведенные соотношении должны соблюдаться на любой поверх-
ности, движущейся в неподвижной среде с произвольной скоростью
V , которая может меняться вдоль этой поверхности. Возь-
мем теперь в качестве движущейся поверхности передовой фронт
возмущения. Воспользуемся результатами (46.2), (46^3) и (46Л)
и присоединим к ним материальные уравнения: S=cE и
Значения векторов £*" и В на передовом фронте обозначим
и Д, Поскольку впереди передового фронта возмущение
отсутствует, на основании граничных услотий (46.4) можно заклю-
чить, что на передовом фронте векторы Ев и Д но могут
иметь составляющих вдоль нормали 4 :
(= (&о^)=0. (46.5)
На основании же граничных условий (46.2) и (46.3) заключаем, что
векторы £ и В„ должны быть.» связаны соотношениями
Во]
~~]ozael (46.6)
_ Сз^Ф-Е.]
C^aol Ф)г *
Отсюда видно, что векторы Ев и Д, взаимно перпендикулярны.
Условием совместности уравнений (46.6), как легко видеть, являет-
ся
т*е. уравнение вйконала. Записав его в форме Qzad Ф- rit , из
(46.6) найдем
пЕв=-[ Л] ; Вв -[nsEJ (46.8)
- ч4
Эти уравнения совпадают с (44.6).
' 3. Для получения недостающих уравнений будем исходить ив '
дифференциальных уравнений Максвелла (44.1), устраняя искусствен-
но поверхности разрыва. Именно, для того чтобы можнр было приме-
нять эти уравнения, будем рассматривать векторы Еу^У^ fa) и
В fa,У>2fa) и их производные всюду непрерывными, но резко меняю-
щимися при переходе через передовой фронт (46.1). Предельным пе-
реходом можно перейти к случаю, когда электромагнитное поле ме- •
няется на этой поверхности скачком. В виду соотношения (46.1)
векторы и на передовом фронте (46.1) звяза-
ны с функциями Е fa, ул fa) ABfa,yt,i) соотношениями:
—**" ✓ 1 ' I
мм определяются не зависящие от времени две вектор-функ-
fx.yt] и оо(х,у,Е\ во всех точках пространства, через
Тем а
ЦИИ 2
которые проходит передовой'фронт (46.1). В отличие от’функций
Efa.y.z, I) и Efa,y,i,t) , которые могут претерпевать разрыв на
передовом фронте, будем считать функции ЕЛСХ,У,^) и Eofa,yfa
непрерывными вместе с их производными первого порядка. .
Дифференцируя (46.9), найдем
дФ
*^“04 aw •f' — р—~ I - I
дх дх C dt dx
дЕ^дЪ+Л
~w:. . T.c.
С помощью этих формул нетрудно получить
(46.10)
формул нетрудно получить ЙД\
div Вс = divB+c '
2otlo = го^±[^ф-^] ' (^п)
и аналогично для векторов еЕо и Е„ . Следовательно, урав-
нениям Максвелла (44.1) можно придать вид
zot Eo=--f 7
(46.12)
- 45 -
div B>D =/ (^acl
Умножим первые два уравнения (46.12) векторно w.gvxd<f3#
Тогда, принимая во внимание остальные два уравнения (46.12),
нетрудно получить
[gzcidф го1Вв]-£ Z&tEo ~divEE$za-d$=>
[$zadФ zotEj+dlv^E^vtd
Если бы выражение £-(^гас1ф^г было отличн^от нуля^то
из этих уравнений определились бы производные -~Е и на
_ « t 0L-
передовом фронте, как непрерывные функции координат. Тогда с по-
мощью уравнений'(46.10) можно было бы найти и пространственные
производные причем они оказались бы также непре-
рывными функциями координат. Следовательно, если вя£.-^1яФФ^р,
то все производные ЕЕ и $ по времени и координатам оказа-
лись бы непрерывными функциями координат. Вместе о ними были бы
непрерывными и самые поля Е(ф,у,g, tj v.B>(r,ytz,i), Для того чтобы
по крайней мере одна иэ этих величин претерпевала разрыв на пере-
довом фронте, необходимо, чтобы£~($га.с/фр^о. Мы снова пришли
к заключению, что распространение передового фронта подчиняется
уравнению эйконала. Если принять во внимание зто уравнение, а так-
же соотношения (46.8), то уравнение (46.13) нетрудно преобразо-
вать к виду_^
[n$dotEj+zot[ris Ео]~-^~ div(nlEjs ,
d^K $ . (46.14)
Эти уравнения в точности совпадают с (44.?) и (44.8). Таким об-
разом, распространение передового фронта возмущений подчиняется
уравнениям геометрической оптики. Разумеется, то же справедливо
и для "тыла" распространяющегося возмущения.
4. Изложенное как будто бы находится, в противоречии с тем,
что было оназано о распространении передового фронта в §§ 10 и II.
Однако там речь шла о предельной скорости распространения фронта
- 46 -
• Последовательно учитывая дисперсию, мы пришли к заключению, что.в
любых материальных средах эта предельная скорость равна С .
Передовой фронт, идущим с этой предельной скоростью, неоет, од-,
нако, слишком мало зкергии и не регистрируется приемниками свето-
вых сигналов, которыми располагает современная техника измерений.
Здес^рёчь идет о практической скорости распроотраненин передового
фронта, которая может быть измерена практически. Для представления
реального возмущения с резко оборванным передовым фронтом в виде
суперпозиции монохроматических волн требуется бесконечно много
частот, заполняющих широкий спектр. Материальное уравнение
для таких волновых возмущений, вообще говоря, не применимо. Надо
учитывать зависимость £ от частоты. Однако, если в существен-
ной области частот дисперсия мала, то ей можно пренебречь. Тогда
становится приближенно применимым метод рассуждений настоящего
параграфа, и для скорости распространения передового фронта полу-
чится величина У~= ~-
ЗАДАЧА.
Написать уравнение распространения передового фронта, задан-
ного в форме
=о.
ОТВЕТ
<«.и>
- 47 -
§ 47. ЗАКОНЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ. ТЕОРЕМА МАЛЮСА.
I. Одним иг условий применимости геометрической оптики явля-
ется медленность изменения показателя преломления в пространстве.
Однакс в одном частном случае резкого изменения показателя пре-
ломления геометрическая оптика также применима. Это - случай,
когда две среды с постоянными или медленно меняющимися показате-
лями преломления граничат друг с другом вдоль резкой границы или
отделены одна от другой переходным слоем, толщина которого очень
мала по сравнению с длиной волны. Радиус кривизны поверхности
раздела должен быть велик пс сравнению с Л Внутри пере-
ходного слоя уравнения геометрической оптики, конечно, не при-
менимы. Но они применимы в каждой из сред в отдельности, и их
надо дополнить только законами отражения и преломления. Послед-
ние пс существу ничем не отличаются ст таких же законов для плос-
ких волн на плоской границе раздела.
В самом деле, пусть из первой среды на границу раздала пада-
ет волна вида
(47.1)
амплитуда которой медленно меняется в пространстве. Скалярная
волна взята только для сокращения записи. Последующие рассужде-
ния в неизменном виде относятся и к векторным волнам. Граничным
условиям можно удовлетворить с помощью отраженной и преломлен-
ной волн:
t с(ы±-коФ')
% = а'е с ' > w-v
амплитуды которых вблизи границы раздела меняются в пространстве
также медление. Граничные условия можно записать в виде
г 1 -it- <£>' г
fta,e °* (47.4)
Коэффициенты f-t , £ , £ характеризуют свойства обеих
сред вблизи границы раздела. Их значения определяются выбором
функции , с помощью которой представляется световое поле.
- 48 -
Например, если в качестве Ц/ взять касательную составляющую
электрического вектсра, то -//=/;>_ =i . Коэффици-
енты , вообще говоря, медленно меняются
вдоль границы раздела. При перемещении вдоль этой границы на
несколько длин волн они практически остаются постоянными. Напро-
тив, показатели коФ, , к^Ф' и квФг изменяются очень
быстро. Поэтому на границе раздела должно быть
Следовательно, если d Z - бесконечно малый вектор смеще-
ния
вдоль поверхности раздела, то
^ICLct = $га.с1 Ф
' 8ъ -угас/ Фг 8'г1
или на основании уравнения эйконала (41.II)
(n,Tt - —о t
(п$ -пгТ* ) 8г~о .
Так как бесконечно малый вектор смещения вдоль гранты раздела
oft произволен, то из этих уравнений следует, чтс векторы
nS^-n,^' и n,$,-nzst перпендикулярны к границе
раздела. Поэтому, обозначив /V единичный вектор нормали к
поверхности раздела, мощно написать
Л,$* -п,Т/ — А-М
Z ,л7 ’ (^.5)
Л, 4 -ntsz = vN ,
где и Р - скаляры. В уравнениях (47.5) содержатся вое
геометрические законы отражения и преломления световых лучей.
Чтобы завершить доказательство, надо еще показать, что
граничное условие (47.4) может быть удовлетворено подходящим
выбором амплитуд 6Z// и . Вто действительно можно сде-
лать, так как условий (47.4) по существу не отличается от гранич-
ных условий, которые были использованы при выводе уормул Френеля.
Различие состоит только в том, что коэффициенты уравнения (47.4)
не постоянны, а медленно меняются при перемещении по поверхнос-
ти раздела. Но это обстоятельство не имеет никакого значения
для вывода локальной связи мевду амплитудами падающей, отраженной
и преломленной волн. В случае электромагнитных волн по-прежнему
получатся формула Френеля. Однако коэффициенты Френеля могут
медленно меняться при перемещении вдоль границы раздела.
2. При выводе необходимо предположить, что кривизна поверх-
ности раздела невелика. Иначе амплитуды волн вблизи границы раз-
дела изменялись бы настолько резко, что геометрическая оптика
оказалась бы ке применимой. И действительно, не получается пра-
вильного отражения от зеркала, размеры которого сравнимы с дли-
ной световой волны. Не получается правильного отражения и пре-
ломления и от шероховатых поверхностей, когда размеры неровнос-
тей также сравнимы с длиной световой волны. Правда, при сколь-
зящем падении наблюдается частичное правильное отражение даже
тогда, когда размеры неровностей значительно превосходят длину
волны. Однако такое отражение всегда сопровождается диффузным
рассеянием света.
3. Лучи, соответствующие падающей волне (47.1), образуют
ортотомную систему. Как видно из выражений (47.2) и (47.3), отра-
женные и преломленные лучи также образуют ортотомные системы.
Отсюда вытекает следующая теорема Малюса. Ортотомная система
лучей остается ортстомяой после любого числа отражений и пре-
ломлений.
Зная направления отраженных и преломленных лучей в точках
падения, можно построить и самые отраженные и преломленные лучи.
Поверхности, к яим перпендикулярные, суть поверхности равных фаз
или равных эйконалов, Чтобы найти эйконалы 9^/ И 9^ ,
надо вычислить интеграл , взятый вдоль любого луча,
проведенного от какого-либо фронта падающей волны к фронтам от-
раженной и преломленной волн. Интеграл /Пй'у , взятый вдоль
произвольной линии, называется оптической длиной этой линии. Та-
ким образом, оптические длины всех лучей от одного положения
волнового фронта до другого одинаковы независимо от того, сколько
отражений и преломлений эти лучи испытали,
i Задача
Показать, что луч света, последовательно отражающийся от
трех взаимно перпендикулярных зеркал, меняет свое направление на
противоположное.
- 50 -
РЕШЕНИЕ.
Пусть S„ '3. , S, , S, -
> * * » * «э —» *
единичные векторы вдоль падающего и отраженных лучей;
/у — единичные векторы к отражающим плоскостям. Тогда из
формул (47.5) получаем для первого отражения
4-г - JU.N,
Так как речь идет об отражении, то
Учиты-
кая это, находим -*•
sl = sZ~2(saMi)N< .
Аналогично _ _ Г7 » Г7
Так как векторы Nf , Nt t fy, взаимно перпендикулярны, то из
этих равенств скалярным умножением получаем
аХЫ\^-
(ZN,)=(iN3)^ (zN3).
Учитывая эти соотношения, путем сложения предыдущих трех равенств
находим t > t- .,
= £ -2.^,
откуда
=~5о.
- 51 -
§ 48. ПРИНЦИП ФЕРМА
I. Форму светового луча можно определить с помощью уравне-
ния эйконала и геометрических законов отражении и преломления
световых лучей. Этот же вопрос можно решить с помощью принципа
ферма, формулировка и доказательство которого является целью нас-
тоящего параграфа.
Допустим сначала, что показатель преломления среды меняется
в пространстве непрерывно, а условия применимости геометрической
оптики выполнены. Пусть в среде распространяется волна вида
(41.2). Ей соответствует ортотемная система лучей, изображенная
на рис. 79. Из уравнения (41.II) следует, что циркуляция векто-
ра гйГ по любому замкнутому контуру равна нулю:
'Р П (S > (W.I)
т Рис.79
где сее - вектор элементарного смещения вдоль этого контура.
Возьмем две произвольные точки А и В , лежащие на одном из
лучей нашей ертотомней системы. Соединим их произвольной линией
АДВ. В виду (48.1) ,
JrisdA — JnsdA.
„ Лей — АПЁ
На луче АСВ векторы 5 и ц£ направлены одинаково, еле до-
вательно, *= d.B . На линии же ADB : ^d£ =
- 52 -
cLtcos (sdtyidt Поэтому
(48.2)
лев лав
Знак равенства имеет место только в том случае, когда кривая АДВ
сама является лучом.
Таким образом, если показатель преломления меняется В прост-
ранстве непрерывно, то оптическая длина луча между любыми дПуМя
точками меньше оптической длины любой линии, соединяющей Фё жё
точки. В этом состоит принцип ферма. Так как с f-~ , а
интеграл J ~ дает время распространения овета по пути,
вдоль которого производится интегрирование, то этому принципу мож-
но дать также следующую формулировку. При распространении в среде
с непрерывно меняющимся показателем преломления свет выбирает
такой путь, который характеризуется минимальным временем распрост-
ранения.
2. При наличии поверхностей раздела сред, на которых свето-
вые лучи могут испытывать отражение или преломление, оптическая
длина пути света, вообще воворн не минимальна, В этом случае прин-
ципу ферма можно дать следующую расширенную формулировку.
Я
>3 -
Пусть световой луч, м.йдч чга точки
дает в течку Ё , испытав несколько отражений или преломлений
в точках С , Д , Е и т.д. Назовем виртуальным путем
света любую линию АС'1)'£' крайними точками А и В,
которая бесконечно мало отличается ст действительного светового
луча по положению и направлению. Согласно принципу ферма оптичес-
кая длина действительного светового пути между точками А и В ста-
ционарна пс сравнению с оптической длиной любого воображаемого
пути между теми-же двумя точками. Это значит, что разность опти-
ческих длин действительного и виртуального путей есть величина
бесконечнс малая более высокого Порядка, чем боковое смещение
виртуального пути относительно действительного. В другой форму-
лировке принцип фэрма гласит. Из всех воображаемых путей дейст-
вительный путь света характеризуется стационарным временем
распроотране ния.
При доказательстве принципа ферма достаточно ограничиться
случаем однократного преломления, так как отражение формально мож-
но свести к преломлению, взяв в качестве показателя преломления
минус единицу. Пусть АСВ (рис.81) - истинный путь св< тсвого луча,
АС* В - виртуальный. Докажем, чтб вариация интеграла friers при
переходе от действительного пути АСВ к виртуальному АС.'В обращает-
сн в нуль.
Сначала докажем это утверждение для того случая, когда кри-
вые АС* и С*В являются отрезками световых лучей, пересекающихсн
в точке С* .
Если в первой среде взять пучок лучей, исходящих из точки А, а во
второй среде пучок лучей, сходящихся к точке В, то кривые АС'
и С'В будут лучами,входящими в состав этих пучков. В эти же пуч-
ки входят и действительные лучи АС и СВ. Пока лучи Не пересекают
границу раздела, между действительными и виртуальными лучами нет
разницы.'Различие между ними проявляется только При пересечении
указанной границы. Действительный луч АС при преломлении по за-
кону Снеллиуса переходит в действительный луч СВ. Но виртуальный
луч АС1 при таком преломлении не переходит в виртуальный луч
С'В. Исключением является только случай, когда точка В является
оптическим изображением точки А. Пусть ®f, и Ф2 означают эйконалы,
- 54 -
соответствующие рассматриваемый пучкам лучей. За положительные
направления лучей примем направления от А и В. Произвольные
постоянные, входящие в выражения 4>f, и Qg, определим так, чтобы
в точке А =0 , а в точке В qb =0 . Тогда
=Jnd$ +pids *Jnd$ Cfy (C) ~ Q fc)
АСе AC C6 AC 6c
Вариация интеграла fads при смещении точки С в произволь-
ную бесконечно близкую точку точку С' границы раздела равна
Sjrids = (№? ~ <^Фг
Если обозначить вектор смещения СС' , то
=giccd ф>
= ^tad S'г = n^-S'z.
Следовательно,
Рис.81
так как правая часть этого равенства обращается в нуль ввиду
(47.5).
Остается распространить полученный результат на случай,
когда виртуальный путь АС'в не состоит из отрезков лучей АС и
СВ . Пусть АДС'ЕВ - произвольный виртуальный путь, соединяющий
точки А и В (рис.82). Соединим точку С' с точками А и В лучами
AFC' и С'НВ. Вариацию интеграла Jncls при переходе от
действительного пути АСВ к виртуальному АДС'ЕВ можно разбить
ds + SJnds,
на две части
У
где О - знак вариации при переходе от пути АСВ к кривой
AFC'HB , a S' - вариации при переходе от кривой AFC'HB к
кривой АДС'ЕВ. Первая вариация, как здесь доказано, обращается
в нуль. Вторая также равна нулю. В самом деле, в этом случае все
- 56 -
рассматриваемые нами пути, соединяющие точки А и С* , проходят
в первой среде, в которой показатель преломления меняется
непрерывно. По доказанному среди всех этих путей луч АТС’ имеет
минимальную оптическую длину. Отсюда следует, что вариация интег-
рала Jnafc при переходе от луча AFC’ к кривой АДО* равна
нулю. То же справедливо и относительно вариации этого интеграла
при переходе от луча С1 НВ к кривой, С'ЕВ, а потому
Следовательно, ojncls ~О' . Тем самым принцип ферма доказан.
8. В производимых ниже примерах'рассматриваются однородные
среды, граничащие друг о другом вдоль гладких поверхностей.
В каждой ореде свет распространяется прямолинейно, испытывая
резкие изменения направления при отражениях и преломлениях на
границах оред. Поэтому нет необходимости вводить криволинейные
виртуальные пути. Достаточно ограничиться такими виртуальными
путями, которые состоят из прямолинейных отрезков, примыкающих
друг к другу на границах раздела сред. Задача сводится к опре-
делению положения точек, в которых лу” встречает границы мевду
средами.
Рассмотрим эллипсоидальное зеркало, получающееся от вращения
эллипса вокруг его большой оси (рис.83). Пусть f и
- - 57 -
7$ - фокусы эллипсоида. Если А зечка на егс поверхности,
то 7-Л +РгЛ =2а , где 2а - длина большой оси эллипсоида.
Псверхнссть эеркала делит все пространстве на две части: внут-
реннюю, сумма расстояний каждой точки кстсрой ст фскуссв 7; и '
Ft меньше 2 а , и внешнюю, длн которой эта сумма больше
2а •
Пусть световой луч выходит иэ фокуса Ft . Тогда после
отражения ст эллипссидальнсгс эеркала в точке А он пройдет
через второй фскус 7\ , так как по известному свойству эллип-
са прямые 7\ А и J-A образуют одинаковые углы с нормалью к
поверхности эеркала. При смещении вдель поверхности эеркала сумма
£Л+РгЛ , а с ней и время распространения света из 7; в
не изменяются. Вариация времени распространении при та-
ком смещении равна нулю. Однако это время ни минимально, ни мак-
симально - оно постоянно. Поэтому любой луч, вышедший из F, ,
обязательно прейдет через 7? , в какой бы течке зеркала он ни
стразилен.
Вообразим теперь зеркало S , касающееся эллипсоида- в теч-
ке А, обращенное вогнутостью-в ту же сторону, что и эллипсоид, но
имеющее большую кривизну. Световой луч 7; А после отражения от
этого зеркала онсва попадает в точку 7^ • Однако при смещении
точки А по поверхности зеркала «S' длина ломаной F,AJ±
уменьшается. Следовательно, время распространения света из 7;
в 7? вдоль действительного пути максимально.
Наоборот, если взнть зеркало S' , имеющее в точке каса-
ния меньшую кривизну, чем эллипсоид, или обращенное вогнутостью
в противоположную сторону, то время распространения света вдоль
действительного пути будет минимально. В частности, оно минималь-
но при отражении от плссксгс эеркала.
Допустим, наконец, что зеркало SAS' имеет в А то>Гку
перегиба. Тогда при смещеаии течки падении луча по поверхности
этого зеркала время распространения либо увеличится, либо умень-
шится, "’’б с останется неизменным, в зависимости от направлении
смещении.
4. Чтобы разобрать случай преломления, введем понятие апла-
натической поверхности. Пусть течка находится в однородной
- 58 -
среде с показателем преломления п , а точка 5®- / однород-4
ной среде о показателем преломления 72' (рис.84). Поверхность
Л Л' , вдоль которой ореды граничат друг'о другом, называется
апланатической, если любая точка А этой поверхности удовлетво-
ряет условию
п-ФА +п.'ЛФ'~ С const
Для случая преломления апланатическан поверхность имеет
форму так называемого картезианского овала (см. § 50). Он обра-
щен вогнутостью в сторону более преломляющей ореды ( n'^rj ).
Апланатическая Поверхность делит пространство на две частй, об-
ладающие следующим свойством. Если точка Л1 расположена сле-
ва от апланатической поверхности, то сумма п !PJU+n''JU&>'
больше С , если же точка Л1 расположена оправа от апланати-
ческой поверхности, то зта сумма меньше С ,
- 59 -
Докажем следующую теорему. Луч света, вышедший из точки
ф , после преломления на апланатической поверхности, обяза-
тельно пройдет через точку Ф . Действительно, пусть ФЛ -
падающий луч, а 5 единичный вектор, направленный вдоль
него. Соединим точку Я с точкой и обозначим S' единич-
ный вектор, направленный вдоль прямой Л?'. По определению
апланатической поверхности оптическая длина ломаной ?ЛФ не
будет изменяться при смещении точки Я по апланатической поверх-
ности, т.е. вариация этой оптической длины при таком смещении
равна нулю. Поэтому, применяя такие же рассуждения, какие были
проведены в пункте 2 этого параграфа, найдем, что вектор ns-n's".
перпендикулярен к апланатической поверхности в точке Я . От-
сюда следует, что ЯФ дает направление преломленного луча.
Доказанной теореме можно дать также следующую формулиров-
ку. Если ЛЯ - апланатичеокая поверхность относительно пары
точек 5° и Ф' , то каждая из этих точек является оптическим
изображением другой при преломлении лучей на апланатической по-
верхности Л Л' . При этом на апертуру лучей не накладывается
никаких ограничений.
Дальнейшие рассуждения ничем не отличаются от рассуждений,
которые были проведены для эллипсоидального зеркала. Допустим,
например, что среды граничат друг с другом вдоль поверхности/S'
(рис.84), касающийся апланатической поверхности в точке Я .
Тогда падающий луч после преломления в точке Л пройдет через
точку <Л' . Пусть поверхность .S обращена вогнутостью в ту же
сторону, что и апланатическая поверхность и имеет в точке каса-
нии большую кривизну. Тогда при смещении точки падения вдоль
она окажется справа от апланатической поверхности. Следователь-
но, смещенный путь будет иметь меньшую оптическую длину,, чем
действительный: время распространения света вдоль действитель-
ного пути максимально. Напротив, когда кривизна поверхности /S'
в точке касании Я меньше кривизны апланатической поверхности,
а также тогда, когда поверхность *$ обращена вогнутостью в
противоположную сторону, то время распространения вдоль действи-
тельного пути минимально. В частности, оно минимально при пре-
ломлении на плоской поверхности.
. - oU
5. Выдвигая свой принцип» Ферма руководствовался телеоло-
гическими соображениями. Телеология исходит из положения, что
природе свойственны определенные заранее поставленные цели. Сто-
ронники телеологической точки зрения считали, что природа не мо-
жет быть расточительной и должна достигать своих целей кратчай-
шими средствами. Свободное тело движется по прямой линии потому,
что при таком движении путь, проходимый телом из начального по-
ложения в конечное, имеет наименьшую длину. Но путь овета при
переходе из одной точки в другую не ’прямолинеен, если свет на
этом пути должен отражаться или преломляться. Чтобы согласовать
этот факт с телеологией, Ферма считал, что В вюм случае длину
пути следует заменить временем, затрачиваемым светом на прохожде-
ние этого пути. Аналогичными соображениями руководствовался и
Мопертюи при формулировке принципа наименьшего действия в меха-
нике. В действительности телеологические соображения чувды науке
и не имеют никакой доказательной силы. Это иллюстрируется при-
веденными примерами, в которых свет избирает путь не наименьшего,
а наибольшего времени распространения. Принцип Фермы, как и все
вариационные принципы механики, не имеют никаксгб глубокого фило-
софского смысла. Они являются только правилами, правда весьма
полезными, для нахождения формы световых лучей или движения ме-
ханических систем. От других правил вариационные принципы отлича-
ются только выразительностью формы, кажущейся привлекательной /
людям, склонным к мистическому образу мышления.
Все применения принципа Ферма основаны только на обращении
в нуль.вариации оптической длины луча при переходе от действи-
тельного пути овета к виртуальному. Будет ли при этом минимум
оптической длины, максимум или промежуточный олучай - не имеет
никакого значения.
6. В применениях часто удобно пользоваться следующей теоре-
мой, являющейся непосредственным следствием принципа ферма»
Пусть А и В - произвольные точки луча АСВ (рис.85). Проведем
через точку В произвольную гладкую поверхность 8Е, ортогональ-
ную к лучу АСВ в точке В. Пусть ВД - бесконечно малое смещение
вдоль этой поверхности. Соединим начальную точку луча А с точ-
кой Д произвольной линией АНД, бесконечно мало отличающейся
по направлению от луча АСВ. Тогда вариация оптической длины '
при переходе от истинного пути света АСВ к виртуальному АНД
будет равна нулю.
- 61 -
Рис.85
Для доказательства возьмем ортотомную систему лучей, исходя-
щих из точки А. Все зти лучи ортогональны к волновому фронту£/*,
а их оптические длины от точки А до волнового фронта одинаковы.
В частности, (АСВ) = (АМК). Но по принципу ферма с точностью до
бесконечно малых выошего порядка (АЖ) = (АНК). далее, поскольку
поверхности ВДЕ и BKF касаютоя друг друга в точке В, длина
КД будет бесконечно малой выошего порядка по сравнению с ВД.
Поэтому оптическая длина АНД отличается от оптической длины
АСВ также на величину высшего порядка малости, чем боковое смеще-
ние ВД, что и требовалось доказать.
7. В качестве примера' на применение принципа ферма рассмот-
рим вопрос об увеличении зрительных труб. Будем предполагать, что
зрительная труба "установлена на бесконечность". В таком случае
плоская волна после прохождения через трубу остается плоскойi
(телескопическая система).
Пусть АВ (рис.86) - плоский участок волнового фронта перед
трубой. После'прохождении через трубу (не изображенную на рисунке)
он переходит в плоский участок Л'Ъ' . Продолжением луча АС
является луч С'Я' , а луча ВД - луч Z)'B' Таким образом,
(АСС'А') - (Ы>й'В)
- 62 -
Возьмем другой плоский участок волнового фронта ЛЕ, наклонен*
ный к АВ под бесконечно малым углом .За трубой волновой
фронт АЕ перейдет в волновой фронт А“ Е* , образующий сопрел- •
ним волновым фронтом А*В' угол СХ' . Отношение назы-
ваетоя увеличением или точнее угловым увеличением трубы. Возьмем
тот волновой фронт А*е', который проходит через точку А'. На ос-
новании теоремы, доказанной в пункте 6 этого параграфа, оптичес-
кие длины лучей Ай" и ЕЕ* при смещении вдоль волнового фронта
А*Е1 будут меняться во втором или высшем порядке малости. В
этом порядке указанные оптические длины останутся неизменными.
если заменить их оптическими
Рис.86
длинами (АСС'а') и (ЕДД'В'К). Таким образом,
(АСС'А') • ( ЕДД'в'К). ,
Сравнивая это соотношение с Предыдущим, получим
(ВЕДД'В') = (ЕДД'В'К),
откуда
(BE) = (В'К),
или
п/гсИ - n'h'cL', (48.3)
- 63 -
где П -показатель преломления среды перед трубой, п -затру-
бой, А -поперечное сечение падающего пука лучей, a /г' —
выходящего. Если, как обычно бывает, п' -п то
/V я оГ ~ТГ ’ (48.4)
т.е. увеличение трубы равно отношению ширин световых пучков
до и после прохождения через зрительную трубу.
8. Полученные результаты имеют общий характер и не зависят
от конкретного устройства оптической системы. Они применимы к
любым телескопическим системам. Телескопической называется опти-
ческая система, обладающая следующим свойством. Всякий параллель-
ный пучок света после прохождения через оптическую систему оста-
ется параллельным.
Увеличение может и не быть одинаковым по всем направлениям.
Рассмотрим, например, призму, преломляющее ребро которой верти-
кально. Вертикальные размеры параллельного светового пучка после
прохождения через призму не изменяются, тогда как горизонтальные
размеры, вообще говори, меняются. Призма будет давать увеличение
в горизонтальном направлении, но не будет увеличивать в вертикаль-
ном направлении. Изображение, даваемое призмой, получится вытяну-
тым или сплюснутым в горизонтальном направлении, в зависимости от
того, уменьшаются или увеличиваются поперечные размеры светового
пучка в этом направлении. Искажении не получится, если держать
призму под углом наименьшего отклонения, но в этом случае не бу-
дет и увеличении. Комбинацией двух призм, преломляющие ребра ко-
торых взаимно перпендикулярны, можно произвольно увеличивать или
уменьшать поперечное сечение светового пучка и притом одинаково
по всем направлениям. Такая комбинация действует как обыкновенная
зрительная труба. Вращая каждую из призм вокруг своего преломля-
ющего ребра, можно получить произвольное увеличение. Недосаатками
такого оптического прибора являются большие геометрические и
хроматические аберрации, вносимые им. Практического значении он
не имеет.
ЗАДАЧА.
Пользуясь принципом фэрма, доказать теорему Малиса: орто-
томная система лучей остается ортотомноп после произвольного
- ал -
числа отражений и преломлений
РЕШЕНИЕ. По определению сртотомной системы лучей они перпен-
дикулярны к некоторой поверхности /•’ (рис.87). Проведем через
каждую точку этой поверхности луч и отложим на нем отрезок пос-
тоянной (но произвольной) оптической длины 2. . Геометричес-
кое место концов таких отрезков будет какая-то поверхность
Докажем, что все лучи рассматриваемой системы перпендикулярны ,
к поверхности F* , каково бы ни было значение величины 2, .
Малые отрезки одного из лучей АС и С*могут считаться прямо-
линейными. Возьмем соседний бесконечно близкий луч и притом
такой, что длины АВ и А*в’ бесконечно малы по сравнению о АС и
С'А'. Соединим В о С и С*"о В1 прямолинейными отрезками. По
принципу Ферма,с точностью до бесконечно малых второго или
высшего порядков (ВЕВ’ ) (BCC'BZ), а по построению (ВЕВ')
(АСС'А1). Таким образом, (ВСС'В') (АСС'Л'). Вычитая отсюда ’
общую часть (CCZ), получим (AC) ♦ (‘С’а’) (ВС) + (C'B')J Так
как по условию отрезок АС перпендикулярен к АВ, тб о точностью
до второго порядка малости АС ВС, а следовательно (АС) (ВС).
Поэтому о той же точностью (С'А') » (С'в'), или С'а'=> с'в' , от-
куда заключаем, что C'A'-L а'в'.
- 65 -
§ 49. АНАЛОГИЯ МЕВДУ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКОЙ.
I. В 182? году началась публикация работ Гамильтона, в ко-
торых было установлено формальное сходство между законами дви-
жения материальных точек в консервативных силовых полях и зако-
нами распроотраненин световых лучей в средах с непрерывно меняю-
цимоя показателем преломления.
Мы не будем излагать относящиеся сюда вопросы во всех их полно-
те. Остановимся только на тех моментах, которые могут представ-
лять интерес при расчетах оптических или электронно-оптических
систем. Для этих целей достаточно ограничиться рассмотрением
механических систем о тремя степенями свободы (материальными
точками).
Рассмотрим частицу в потенциальном поле сил. Ее полная
анергия
при движении частицы остается -постоянной ( Ц - потенциаль-
ная энергия). Если вообразить, что частица может занимать все-
возможные положения в пространстве, а ее скорость принимать все-
возможные направления, однако так, что полная энергия частицы
остается той же самой, то каждой точке пространства будет соответ-
ствовать определенное значение импульоа
/>=
(49.2)
подобно тому, как каждой точке ореды в оптике соответствует оп-
ределенное значение показателя преломления. Формула (49.2) опре-
деляет, таким образом, величину р как однозначную функцию
пространственных координат.
Для того чтобы определить траекторию частицы, проходящую
через заданные точки А и В, можно воспользоваться известным из
механики принципом Мопертюи: Из воех кривых, соединяющих фикси-
рованные точки А и В, по которым частица с заданной полной энер-
гией V1T может попасть из одной точки в другую, истинная транто-
рия отличается тем, что для нее интеграл Гр0^ имеет отационар-
- 66 -
ное значение. Этот принцип формально аналогичен принципу ферма.
Таким образом, мевду распространением оветовых лучей в среде и
движением частиц в консервативных полях имеется формальная ана-
логии. Роль показателя преломления играет импульс частицы, опрел ।
деляемый формулой (49.2), или любая величина, ему пропорциональ-
ная, например, скорость частицы.
По существу этот результат был получен еще Ньютоном в
его теории истечения света. Как известно, закон преломления ове-
та на плоокой границе раздела двух однородных сред Ньютон выво-
дил из условия, что тангенциальная составляюща&^£ветовой корпус-
кулы при переходе через границу раздела не должна уменьшаться.
Он пришел к закону преломления Снеллиуса и установил, что пока-
затель преломлении среды пропорционален скорости световой кор-
пускулы в ней. Но законом преломления сднозначно определяется
путь оветового луча. Поэтому, какова бы ни была физическая при-
рода света, траектории частицы воспроизведет форму светового
луча, если за показатель преломления принять величину, пропорци-
ональную окорости частицы. Результат тривиальным образом сбоб-
щаетон на случай плоскослоистой ореды с непрерывно меняющимся по-
казателем преломления, так как такую среду можно расоматривать
как предельный случай системы плоскопараллельных однородных сло^в,
примыкающих друг к другу. Наконец, этот результат распространя-
ется и на общий случай сред с непрерывно и медленно меняющимися
псказателями преломления, так как физически бесконечно малые
объемы таких неоднородных сред могут рассматриваться как плоско-
слоистые среды.
2. Эйконалу геометрической оптики в механике соответствует
аналогичная функция, называемая действием частицы. Возьмем в
пространстве произвольную гладкую поверхность, F . Пусть из каж-
дой точки этой поверхности перпендикулярно к ней вылетают тождест-
венные невзаимсдейотвующие частицы, имеющие одну и ту же цолную
энергию. По аналогии с оптикой траектории таких частиц можно наз-
вать пучком траекторий. Действием частицы называется интеграл
-S' ds, (ю.8)
взятый вдоль траектории частицы, причем за начальную точку при-
67 -
нимается точка ее пересечении с поверхностью f . Теи самым
действие «S' определено для всех точек пространства, черва
которые проходят траектории пучка. Отыетив яа траекториях пучка
точки, который соответствует одно и то же значение «S' , мы
получии так называемую поверхность равного действия. Иа прин-
ципа Иопертюи непосредственно оледует, что поверхности равного
действия перпендикулярны к троекторияы лучка. Эта теорема ана-
логична соответствующей теореме Малюса в геометрической оптике
и доказывается совершенно так же (см. задачу к § 48). Из нее
следует, что вектор импульса чаотицы р связан с функцией
S соотношением
^ad S (49.4)
которое аналогично уравнению (41.И). Возведя это соотношение
в квадрат, получим
-2m(W-U) - („.5)
- так называемое уравнение Гамильтона-Якоби, формальным цналогом
которого является уравнение, (41.5).
Значение уравнения Гамильтона-Якоби в механике состоит
в том, что о его помощью можно находить траектории частицы. Для
этой цели служит теорема Якоби, совершенно аналогичная соответ-
ствующей теореме в геометрической оптике (см. § 43).Она формули-
руется следующим образом.
Пусть £ (К °-, g) - полный интеграл уравнения Гамиль-
тона-Якоби (49.5), т.е. решение этого уравнения, зависящее от
двух произвольных параметров «, и £ и притом такое, что не
все детерминанты второго порядка матрицы
/ dsS дг$ \
I дадх Заду Задг I i
I /
\ дВ Зх дГЗу дГдг /
обращаются в нуль. Тогда траектории частицы в силовом поле опре-
делится уравнениями
д$(г,а,6) _ д$(г,а.в) _
да ’ дв 'Г’
- 68 -
где СХ и уЗ произвольные постоянные. Они, как И постоянные
ОГи в, определяются граничными условиями.
Из уравнения Гамильтона-Якоби можно обратно вывести прин-
цип Мопертюи совершенно так же, как мы вывели принцип ферма из
уравнения эйконала. Из этого вывода вытекает, между прочим,
что интеграл действия |О Д4 • ° котором говорится в прин-
ципе Мопертюи, не просто стационарен, а минимален, если толь-,
кс не вводить искусственно поверхностей разрыва потенциальной
функции •
3. Таким образом, законы движения частицы в консерватив-
ном поле оил формально тождественны о законами распространения
лучей в геометрической оптике. Каждую задачу, раненную в механи-
ке, можно перевести на язык геометрической оптики и наоборот. '
Для такого перевода может служить следующий "словарь".
Геометрическан оптика
Классическая механика
Показатель преломлении П
Луч
Эйконал ЧР
Вектор п
Импульс частицы р-
Траектории частицы
Действие
Вектор уо" ,

В качестве примера ййдем формулу для кривизны луча,, в опти-
чески неоднородной среде. Для радиуоа кривизны траектории частицы
J3 в потенциальном силсво^jione механика дает
Р 7^ = ~Tn ’
скорость частицы. Дифференцируя уравнение (49.1) по
/V » получим
где У=
а потому
После замены р
4. Аналогии
аи________р_ эр
dN т 9N *
1 _ 1 др _ d_ffi ) !
на Л эта формула переходит в (42.3).
между механикой и геометрической оптикой имеет
практическое значение. Она позволяет, например, перенести в
электронную оптику результаты хорошо разработанной в световой
69 -
гике геометрической теории оптических изображений. В электрон-
ной микроскопии функции линз выполняют электрические и магнитные
поля надлежащей конфигурации, искривляющие траектории электро-
нов и изменяющие их скорости. К электростатическим полям, пос-
кольку они являются полями потенциальными, изложенная выше анало-
гия применима полностью. Однако ее можно распространить и на
случай магнитных полей с осевой симметрией, если ограничиться
параксиальными пучками лучей и траекторий частиц (см. § 58).
Но аналогия между классической механикой и геометрической
оптикой сыграла более важную роль в истории науки. Ею руковод-
ствовались де-Бройль и Шредингер при установлении основных поло-
жений волновой механики. Было хорошо известно, что законы геомет-
рической оптики являются приближенными законами, в которые пере-
ходят более точные законы волновой оптики в предельном случае
бесконечно коротких волн. Естественно напрашивалась мысль, не
существует ли аналогичная ситуация в механике? Не является ли
классическая механика Ньютона предельным приближенным случаем
какой - то более общей теории, аналогичной волновой оптике?'
Развивая эту мысль, Шредингер-пришел к своему волновому уравне-
нию, являющемуся основным уравнением квантовой механики. Волно-
вые свойства частицы характеризуются длиной волны, определяе-
мой формулой де-Бройля ,
р ' (^.6)
где А постоянная Планка. Исходя из уравнения Шредингера,
можно выполнить предельный переход к бесконечно коротким длинам
волн совершенно так же, как это было сделано в § 41. Таким пу-
тем можно прийти к уравнениям механики Ньютона. Если бы это было
не так, то теория Шредингера была бы неверна. Классическая меха-
ника Ньютона в облаоти своей применимости надежно обоснована
экспериментально, и всякая более общая теория должна содержать
ее как предельный олучай. Но это, разумеется, не может служить
доказательством справедливости такой более общей теории вне об-
ласти применимости классической механики. Ее доказательством,
как и всякой принципиально новой теории, здесь может быть толь-
ко опыт. Аналогия может сыграть важную роль при отыскании новых
принципов, но доказательной силы она не имеет.
- 70 -
Глава У1
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ
ИЗОБРАЖЕНИЙ
§ 50. ОПТИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ В ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКЕ.
I. Если пучок световых лучей, исходящих из точки 9 , в
результате отражений, преломлений ’или изгибаний в неоднородной
среде оходится в точке 9' , то называется оптическим
изображением или просто изображением точки 9 . Точку назы-
вают также фокусом геометрического схождения лучей. В нем нахо-
дится максимум светового действия лучей, вышедших из {Р . Ес-
ли желают подчеркнуть, что лучи строго пересекаются в 9' ,
то говорит, что изображение являетсн стигматическим. На практике
случаи стигматических изображений, как правило, являются исклю-
чениями. Обычно лучи пересекаются не точно в одной точке 9>‘ ,
а в некоторой окрестности ее, которая может быть весьма малой,*
Изображение 9' называется действительным, если оветовые
лучи действительно пересекаются в точке 9 . Если же в 9'
пересенаютсн продолжения лучей, проведенные направлении, обрат-
ном распространению света, то изображение называется мнимым. При
помощи оптических приспособлений мнимые изображения могут быть
преобразованы в действительные. Например, в нашем глазу мнимое
изображение преобразуется в действительное, освещающее определен-
ный участок сетчатки.
Непрерывная совокупность течек, изображаемых оптической сис-
темой, ноейт название пространства предметов. Непрерывная же со-
вокупность точек, являющихся их изображениями, называетоя прост-
ранством изображений. Показатель преломления пространства пред-
метов условимся обозначить п. , а пространства изображений
п' «В световой оптике практический интерео представляет
только случай, когда П и пе постоянны. Случай, когда пока-
затель преломления непрерывно меняется в пространстве, имеет прак-
тическое значение только в электронной оптике. Теория электронно-
оптических изображений, как уже стмечалооь, является аналогом
теории оптических изображений, получаемых в результате искривле-
нии световых лучей в неоднородных средах.
- 71 -
Если в некоторый момент времени.изменить на противоположное
направление магнитного или электрического вектора, то согласно
принципу обратимости форма лучей останется без изменения, яс
направление распространения света изменится на противополож-
ное. Точка !Р* будет играть роль источника света, а Р
- его изображения. Поэтому точки ф и $°z называются взаимно
сопряженными или просто сопряженными точками. Аналогично, две
линии или две поверхности называются сопряженными, если одяа
из них является оптическим изсбражением другой.
Если пространства предметов и изображений однородны, то сфе-
рическая волна, вышедшая из , после прохождения через опти-
ческую систему превращается в сферическую волну с центром в Ф* .
Это имеет место, например, при преломлении на апланатической по-
верхности, когда точечный источник света помещен в одну из сопря-
женных точек или 9i> (рис.84).
Применяя геометрическую теорию оптических изображений, не-
обходимо постоянно иметь в виду границы применимости геометрической
оптики. Иначе эта теория превратится в сборник чисто математичес-
ких упражнений, лишенных всякого физического и практического ин-
тереса. В частности геометрическая оптика становится не примени-
мой вблизи фокуса геометрического схождения лучей. В окрестности
фокуса получается слсжное распределение световсго поля, не имеющее
ничего общего с тем, что предсказывает геометрическая оптика. Это
распределение будет исследовано в главе о дифракции света.
В согласии с опытом теории дифракции показывает, что изоб-
ражением светящейся точки является не точка, а некоторая окрест-
ность ее, имеющая конечные размеры. Эти размеры тем меньше, чем
больше угол раствора конуоа лучей, сходящихся в ^z . Беско-
нечно узкий пучок лучей, исходящий из точки 9^ , никогда не
может дать оптического изображения. Длн получении такового необ-
ходимо, чтобы пучок лучей был конечным, т.е. заполнял конус конеч-
ного раствора. Полная теория оптических изображений должна основы-
ваться на волновой теории света.
2. В основу геометрической теории оптических изображений мы
положим следующее положение. Оптические длины всех лучей, соеди-
няющих сопряженные точки 9^ и 9^', одинаковы. Это непосредст-
- 72
пенно очевидно, когда изображение ff3' действительное, так как
тогда сферическая волна, вышедшая из Я3 , превращается в
сферическую волну, сходящуюся в Я3' . Оптические же длины
всех лучей от одного положения волнового фронта до другого оди-
наковы .
Нс вто положение можно распространить и на тот случай,ког-
да изображение мнимое. В этом случае не существует лучей, сое-
диняющих Я3 с Я3' . Роль луча играет егс продолжение в сто-
рону изображения Я3 .По аналогйи с мнимым изображением
такое продолжение можно назвать мнимым лучом. В связи с этим
необходио оптической длине луча приписать определенный знак.
Условимся считать оптическую длину луча положительней, если сн
преходится в направлении распространения света и отрицательной
в противоположном случае. Какой показатель преломления следует
приписать точкам пространства, через которые проходит мнимый
луч? Чтобы избежать неопределенности, будем предполагать, что
в случае мнимых изображений пространство изображений однородно,
т.е. световые лучи в нем прямолинейны. Это не значит, что изобра-
жение Я3* должно обязательно получаться в том месте, где среда
однородна. Треоуется только, чтобы действительные световые лучи,
продолжения которых сходятся в Я3' , были прямолинейны. За по-
казатель преломления в точке Я3' , когда она рассматривается
как точка пространства изображений, следует считать не показа*
тель преломления среды в точке Я3' , а показатель- преломления
той части ореды, где действительные световые лучи, продолжения
которых сходятон в Я3' , прямолинейны. Такой же показатель
преломления следует приписывать любой точке, через которую прохо-
дит мнимый луч.
После этих предварительных замечаний можно обратиться к до-
казательству наиего утверждения» Пуоть лучи РАС и РВД (рис.88),
вышедшие из течки Я3 , на участках АС и ВД прямолинейны. Их
продолжения пересекаются в точке Я3 ' , являющейся мнимым изоб-
ражением точки Я3 . Волновой фронт в однородном пространства
изображений будет иметь форму сферы СД о центром в Р ,а Очевид-
- 78 -
Почленное вычитание дает
(9А)-(^А) ~(?В)- (Р'В).
Но согласно нашему правилу знаков
(9>Л)-(<Р'Л) - :
(М)-(РЪ) ° ffi) (РВФ).
Рис.88
Следовательно, ( ФАФ — )t что и требовалось доказать.
Наряду с мнимыми изображениями следует ввести и мнимые источ-
ники света или мнимые объекты. Точечный'объект называется мни-
мым, если он нвляетоя не источником света, а точкой пересечения
продолжений действительных лучей, проведенных в обратных направ-
лениях. Мнимый объект можно рассматривать как источник мнимых?'
лучей. Из множества точечных мнимых объектов составляются мни-
мые объекты конечных размеров. Введение мнимых объектов и мнимых
лучей освобождает теорию от необходимости разедльного рассмот-
рении действительных и мнимых изображений.
ЗАДАЧИ.
I. Две однородные среды с показателями преломления п и
- 74 -
п1 граничат друг с другом вдоль поверхности F (рис.89),
являющейся поверхностью вращения вокруг оси (оптической
оси). Найти форму поверхности F , при которой она является
апланатической для пары точек ф и ф' , лежащих на опти-
ческой оси, иа которых точка ф находится в бесконечности, а
ф1 может занимать любое положение на оптической оси.
Рио. 89
РЕШЕНИЕ. Примем оптическую ооь за координатную ось Л , нача-
ло координат поместим в тбчке ее пересечения с поверхностью F t
ось У направим вверх перпендикулярно к оптической оси. Так как
оптические длины лучей от бесконечно удаленной точки @ до плос-
кости OJL одинаковы, то условие апланатизма поверхности F
гласит (JLR{P*.)^(OP') пши
ПХ+п'щх-оХ+у*
где X и и - текущие косрдинатыУПоверхнооти Г , а Л
абсцисса точки , Перенеся пх в правую часть и возведя в
квадрат, находим уравнение искомой поверхности
- 75 -
(п,1-пг)хг+т1*уг-2n'(n'-Tl^fy'x. •О (50.1)
Допустим сначала, что Ti'i-nt>0. Тогда уравнение (50.1)
представляет эллипсоид вращения с полуосями
п +п г 1 v ' Л '
Эллипсоид вытянут в направлении оси / . Его эксцентриси-
тет равен _ _ Уа.г-£1 _ П
Изображение ~г действительное.
Пусть теперь п'г-П*<0 . Тогда (50.1) есть уравнение
двуполостного гиперболоида вращения с полуосями
п' р \/п-п' 1
CS- ~ П' + П. • V - У rt> + n Я'
Рис.90
?6 -
Рассмотрим,наконец, случаи, когда П>а-пг »О. Ьт° может
быть либо при п'-п^о, либо при n'tn*O » Первая вовможнооть
не представляет интереса, хак как она соответствует тривиально-
му олучаю, когда обе граничащие среды в оптическом отношении
тождественны. Вторая возможность п'»-я может быть реализова-
на при отражении света (ом. § 48). В этом случае уравнение
(50,1) переходит в
у2 » • (50.2)
и представляет параболоид вращения о вершиной в точке О •
с параметром Ps2fy (параболическое зеркало). Если а >о
(рио.91).
то фокуо PZ мнимый. Если ^<0 (рио.92), то он действи-
тельный.
Результаты решения етой задачи указывают способ построении
-77 —
•идеальной линзы для пары сопряженных точек, из которых одна
бесконечно удаленная. Рассмотрим сначала линзу, ограниченную
поверхностью эллипсоида вращения ОВ и сферической поверх-
ностью с центром в 9>> . (на рио. 89 зта поверхность изобра-
жена пунктирои). Эксцентриситет эллипсоида должен быть равен
, где П - показатель преломления линзы относительно
окружающей ореды. Параллельный пучок лучей, падая на поверхность
аллипооида, после преломления на ней превращается в пучок, схо-
дящийся в точке . Задняя - сферическая - поверхность линзы
не меняет направления лучей, поскольку ее центр
находится в точке сховдения пучка . Таким образом, рассматри-
ваемая линза собирает параллельный пучок лучей отрого в одной
точке SP' . Если точечный источник поместить в ф' , то после
прохождения через линзу пучок лучей станет строго параллельным
оптической оси.
-78-
Рассмотрим далее линзу, ограниченную плосксй поверхностью
(на рио.90, она изображена пунктиром) и гиперболоидом вращении
с эксцентриситетом п • Параллельный пучск лучей, падающих
на плоскую поверхность линзы, после прохождении через эту по-
верхность не изменит направления, а после преломления на по-
верхности гиперболоида превратится в расходящийся пучок лучей,
продолжения которых пересекаются строго в одисй точна S0'.
2. Найти уравнение картезианского рвала (см. § 48). Иссле-
довать в каких случаях сн переходит в кривую второго порядка.
РЕШЕНИЕ. Пусть - сопряженные точки,
для которых поверхность, получающаяся от вращения картезианского
овала относительно оси симметрии , являетси апланатичес-
кой. Поместим начале координат в точку пересечения овала с пря-
мей !?&' , Тогда пс определению рпланатической поверхности
п * п> \S(x~fyT+yi' ~
Освобождаясь ст радикалов, пслучим
(п>-п“)(^)^ ♦
nn/n-n^n^ «О.
Если Пг-п'г*О , то это уравнение переходит в уравнение
второго порядка. Это может быть либо при п-п;«=0 , либо при
п + п'хго • Первая возможность,как уже было отмечено выше,
не представляет интереса. Рассмотрим вторую возможность: л'ж-п ,
реализующуюся при отражении света. Уравнение (50.8) переходит в
атом случав в ,
4^? 'х1 + уО.
Преобразуем его к новой системе координат. За начало координат
примем середину отрезка , Обозначив координаты в новой
счетами буквами >•: найдем
; _У=^-
-?9—
Уравнение кри|ой примах вид
CW + '<nr~i'
Если ^£'*О , то это уравнение представляет эллипс с фокуса-
ми в сопряженных точках и Ф' (эллипсоидальное зеркало).
Если же ^'<0 , ю (50.4) есть уравнение гиперболоида, фо-
кусы которого также находятся в сопряженных точках ф и fr
(гиперболическое, зеркало).
Уравнение (50.3) переходит в уравнение второго порядка
также в том олучае, когда одна иэ сопряженных точек Ф или
Ф' удалена в бесконечнооть. Если, например, , то
сохраняя в (50.3) только старшие члены по и сокращая на
j получим
(п'2-пг}х* +Т1,гул-2п'(п'-п^'х я>о
- уравнение, совпадающее с (50.1). Ьтот случай подробно рассмот
рен в предыдущей задаче. Случай совершенно аналогичен.
Если фп = у'п' , то уравнение (50.3) приводится к
[(т1'+п)(хг*уг) - 2ггу,х]2 <*О
и представляет две совпадающие сферы. Уравнение одной сферы:
(n+n'j^a^+yij-ZnfyX^O. (50.5)
Ее радиус
Г> = = Щ .
Л П + ТГ ~ П-гп' (50.6)
Случай этот имеет важные практические применения в микроскопии
(см. § 64).
Еоть еще один, тривиальный, случай, когда уравнение (50.3)
должно сводиться к уравнениям второго порадка. Если то
обе -сопряженные точки и Р' совпадают. Зто значит, что
на апланатической поверхности световые лучи не должны преломлять-
ся, т.е. при п^п', зга поверхность должна быть сферой с цент-
ром в точке . Действительно полагая в (50.3) ^. = ^' находим
(Ха+уг-2^зс)[(п + п')2(хг+у*-2 yxj+jnrt’y*]= б>?
что является уравнением совокупности двух сфер. Центры обеих
сфер, как и следовало ожидать, совпадают с точкой ф .
— 80—
§ 5I.ЭЙКОНАЛЫ
I. Законы отражения и преломления света достаточны для рас-
чета любых оптических систем в геометрической оптике, так как
они позволяют в любом конкретном случае точно вычислить форму
световых лучей, проходящих через оптическую систему. Практичес-
кие расчеты оптических систем производятся именно таким методом.
Использование машинной математики освобождает вычислителя от
длинных и утомительных расчетов. Однако такой прямой метод мало
пригоден для общей ориентировки в основных свойствах и закономер-
ностях оптических систем. Для этой последней цели более подходя-
щим является метод характеристических функций или эйконалов. Он
позволяет исследовать оптические системы единообразным примене -
нием математических операций. Метод особенно полезен при рассмот-
рении общих вопросов, например, при классификации геометричеких
аберраций. Простые задачи, как правило, решаются легче с помощью
законов отражения и преломления без использования метода эйкона-
лов.
Первая характеристическая функция была введена Гамильтоном.
Она получила название точечного эйконала или характеристической
функции Гамильтона. Рассмотрим какие-либо две точки fP и 5®,/с
координатами X , у ,? и X', у' ,2' , лежащие в поле опти-
ческого инструмента. Вообще говоря, через эти две точи можно/про-
вести только один луч. Алгебраическое значение оптической длины
этого луча, рассматриваемое как функция координат точек {Р и ,
называется характернотической функцией Гамильтона или точечным
эйконалом оптической системы.
Фиксировав точку и заставляя точку 1Р перемещаться в
пространстве, получим сртотомную систему лучей, исходящих из точ-
ки SP (рис.93). Ей соответствуют волновые поверхности Н(х,,у>,21)*
я const . Характеристическая функция Гамильтона // j , рас-
сматриваемая как функция координат точки , еоть не что иное
как эйконал Клаузиуса, введенный в § 41. Поэтому на основании
формулы (41.II) мсжн . написать
{pad (siЛ)
Штрих над знаком градиента указывает, что дифференцирование
производится по координатаи конечной точки <Р' при фиксирован-
ном положении точки . Аналогично, фиксировав точку $*'. и
заставляя перемещаться точку , получим ортотомную систему
лучей, сходящихся в рис.94). Вместо формулы (51.1) в этом
случае оледует писать
pad Ц = -л Г. (51>2)
При одновременном смещении точки * на , а точки
на dT' функции // получает приращение
dH - -nrdt+nT'dz". (5i.3)
Характеристическая функция » когда она известна, поз-
воляет определить направления луча в точках и воли он
соединяет эти'точки. Однако зто возможно только тогда, когда
-твг-
рис.94.
точка не является оптическим изображением точки У?
Если точка является оптичеоким изображением точки У* ,
то каждый луч, выходящий из , проходит через $ . Суще-
ствует бесконечная совокупность лучей, соединяющих точки * и 5?
(рис.95). Оптические.длины всех таких лучей одинаковы; поэтому
понятие характеристической функции сохраняет смысл. Однако те -
перь задайия положения точек 5° и 9 недостаточно для опреде-
ления направления соединяющего их луча. Боли вблизи точек 9и5®'
взять бесконечно близкие х яим и не сопряженные дру^ о другом
точки (Ц и Q , то ж таким точкам формулы (51.I) ж (51.2) бу-|
дут применимы. Если заставить точку О. стремиться к точке JP ,
а точку Q' - к точке 9' , то Н и giadH1
либо не будут стремиться ни к каким пределам, либо эти пределы
будут зависеть от способа приближения точек Q и Q. к точкам^*
и Следовательно, если точки 9 и ^©'являются взаимно
-55-
Рис.95.
сопряженными, то в поведении первых производных точечного эйкона-
ла // должна наблюдаться особенность: первые производные //
должны быть неопределенными в сопряженных точках Ф и
То же самое можно выразить иначе. Точки трехмерного прост -
ранства jP и ф' можно объединить в одну точку R шестимер-
ного пространства X , у , Z s X' , у' , Z' . Тогда
айкснал // можно рассматривать как функцию точки такого шести-
ыерного пространства. Первые производные функции // по коорди-
натам всегда конечны. Но в шестимерном пространстве могут сущест-
вовать особые точки, в которых значения этих производных становят-
ся неопределенными. Это будет тогда и только тогда, когда две
точки трехмерного пространства Ф и Ф ', на которые распадается
точка R шестимерного пространства^являются оптически сопряжен-
ными точками. Тем самым вопрос об изображениях в оптической сис-
теме сводится к исследованию особых точек первых производных

1'очечного эйконала // в шестимерном пространстве X, у? Z- f
г' (см.задачу к этому параграфу).
Заметим, наконец, что формула (51.3) сохраняет силу и для
пары оптически сопряженных точек 5е и 9 f если только под
<Г и 8^' понимать единичные векторы касательной к одному и
тому же лучу, соединяющему эти точки. В самом деле, возьмем на
одном и том же луче точки^и^беоконечно близкие к 9 и 9'
и не сопряженные друг с другом (рис.95). Для них формула (51.3)
справедлива. Заставляя точки и Qua' приближаться к 9 и
9' таким образом, чтобы они находились все время на одном и
том же луче, в пределе получим формулу (51.3). Это важное замеча-
ние будет использовано в дальнейшем.
2. Введением новых независимых переменных о помощью преоб-
разования Лежандра из точечного эйконала можно получить ряд .
новых эйконалов. Важнейшим из них являетен угловой эйконал.^вве-
денный .Брунсом. Для простоты предположим, что пространства пред-
метов и изображений однородны, т.е. показатели преломления их
постоянны. Обобщение на случай неоднородных пространств не пред-
ставляет затруднений. (>-
Введём в пространстве предметов и изображений прямоугольные
системы координат. Они могут быть выбраны как угодно и независи-
мо друг от друга. Уравнение (51.3), можно переписать в виде
d (Ц+risz -» nzdT-
Условимся при дифференцирования абсциссы точек ff> *9’
очитать постоянными. Тогда *
d (пж^-п'х'^Х^ nxcis^-rix.' •
Введем функцию
V=Н-^ . (51,4>
Ее дифференциал будет равен
cLld = (yds^zds^-n'^d^z’ds^. (5Ь5) .
-BS--
3W
3s,
aw
8s’.
= nz ;
(51.6)
-n’z'.
Отсюда
V 5у» Y у
Величина W , рассматриваемая
косинусов луча в точках и
сеть от абсцисс X и х' точек 9 и 9
При дифференцировании функции W
как функция направляющих
_____„__________---- „ .. „у ,т.е. переменных Зу , S
Sg, , называется угловым эйконалом. Угловой эйконал может зави-^
---------------------,- ~ .. — ' - ~ , как 01 параметрОВ<
эти параметры должны оставать-
ся постоянными. Если углвой эйконал при заданных параметрах X и
stz известен, то, эная направлении луча, соединяющего точки и
ф' , можно по формулам (51.6) найти координаты этих точек.
Выясним геометрический смысл углового эйконала. Пусть ?&'-
луч, соединяющий точки 5® и ф' (рис.96). Опустим из этих
точек перпендикуляры <?Я И Ф'Л' не оси абсцисс. Из точек Л
ж Л' в свою очередь опустим перпендикуляры на луч ,
Оптическая длина луча, соединяющего, основания этих перпендикуля-
ров Я я JL' , если ее выразить в функции аргументов Sy , St ,
Зу, и S', , и будет угловым эйконалом. В самом деле, введем
обозначения: И-Я9 И F-Ж' . Тогда на основании (51Л)
(51.7)
С другой стороны,
(JUJU’) JU1);
, то отсюда непосредственно
Так кек по определению h
.следует, что
Теперь легко найти явную зависимость углового эйконала от
параметров X я X1 . Опустим из начал координат О и О
перпендикуляры ON и C/N' на луч (рис.96). Тогда

W‘(MNp(NN')+(N'M').
Рис.96.
у I—
Введем обозначения: ОЛ —и О Л . Очевидно
(JUN] = -n(fs^=-nxsx ;
’ (N'Jll^~ ri(f's')= n'x's'x-
Оптическая длина (NN') не зависит ст X к х' • Она яв -
ляется функцией только , 52 , Sy, > S1?, • Обозначим
зту функцию р . Тогда
W-F-nxs* + rix's*, - <5I’8>
Остается исключить отсюда, и Sx, • Так как S и ? «•
-ВГ-
единичные векторы, то
5Х « (4-5/-5/ ; S' = i/T-s'" -s? . (51.9,
J c л J t
Поэтому окончательно
i------- . r---------- (51.10
VV =F -7?т1//-5/-5/ +n’x'Vl -S^-S^.
где функция F не зависит от параметров X и х' .
Если точки ф и !Р' оптически сопряженные, то сущест-
вует бесконечно много лучей, соединяющих их. Каждому лучу соот -
ветотвует определенное значение углового эйконала. На рис.96 не-
посредственно видно, что эти значения, вообще говоря, различны
за исключением тех случаев, когда точки и лежат на осях
абсцисо, т.е. совпадают с точками Л и Л' . Производные уг-
лового эйконала W , как видно из уравнений (51.6), будут иметь
определенные конечные значения за исключением тех случаев, когда
одна из точек и или обе вместе удаляются в бесконечность.
Однако согласно тем же уравнениям значения этих производных не
могут зависеть от значений аргументов Sy , S£ , S', и $£, .
Иными словами, если точки 5® и оптически сопряженные, то
система уравнений (51.6) должна иметь бесконечно много решений
относительно , Sl , Sy, , S£, • На этом свойстве угло-
вото.эйконала и основаны его применения к исследованию изображе-
»ий. даваемых оптическими системами.
Задача.
С помощью характеристической функции Н решить задачу об
«возражении точки в плоском зеркале.
Решение. Не теряя общности, можно ограничиться ходом лучей
в одной плоскости. Примем ее за координатную плоскость ХУ .
Координатные оси ОХ и ОУ выберем так, как указано на рис.
97. Пуоть - произвольная точка перед зеркалом, а <Р - произ-
“сльнея точка за зеркалом. Соединим вти точки лучом 0ЛФ'.
Тогда _________
-88-
Рис.9?.
где У" - ордината точки Л . Её надо исключить о помощью аако1-
на отражения, из которого следует
у"-у = У”-у'
-X х1
Исключая у" ,-находим характеристическую функцию Гамильтона
Для того чтобы это выражение стало неопределенным, необходимо
3C+X'=0t у-у'=О. (51.II)
При выполнении этого условия становятся неопределенными и осталь-
ные производные функции // .. Таким образом, в четырехмерном
пространстве X , у , X' , у' существует двухмерное подпро-
странство (51.II), в точках которого первые производные функции
// Неопределенны. На обычном языке это означает, что тонка (р*
с координатами - X , у' =у является изображением точ-
ки {Р . Этот пример приведен не для того, чтобы решать триви-
альную задачу об изображении в плоском зеркале, а для того, что-
бы на нем проиллюстрировать идею метода.
§ 52. УГЛОВОЙ ЭЙКОНАЛ ЦЕНТРИРОВАННОЙ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.
I. Центрированной оптической системой называется система,
обладающая осевой симметрией. Она может состоять, например, из
ряда линз или сферических зеркал, центры кривизны поверхностей
которых находятся на одной прямой, называемой главной оптической
осью системы. Более общей является осесимметрическая система с
непрерывно меняющимся показателем преломления. Аналогом такой
системы может служить электронный микроскоп.
Примем главную оптическую ссь за общую ось X координат -
ных систем в пространствах предметов и изображений. За положи -
тельное направление оси X примем направление распространения
падающего света.( В дальнейшем предполагается, что свет падает
на систему слева направо). Начала координатных систем в простран-
ствах предметов и изображений помещаются , вообще говоря, в раз-
личных точках оси X ' . Произвол в выборе начал можно использо-
вать длй упрощения формул. Оси У и z одной координатной
системы предполагаются параллельными одноименным осям другой
координатной системы.
Обозначим Z" и слагающие единичных векторов Т и ?,
перпендикулярные к главной оптической оси системы. Очевидно,
угловой эйконал W можно рассматривать как функцию векторов
t и Г' , зависящую от параметров X и X' . Ввиду
осевой симметрии значения функции не должны изменяться при
одновременном повороте векторов ? и вокруг главной опти-
ческой оси на произвольный, но один и тот же угол. Отсюда еле -
дует, что зйконал может зависеть только от длин векторов
Г и "7 и от угла между ними. Вмеото угла удобно ввести
скалярное произведение^ТТ' — , а вмеото
длин векторов 2" и Т’/ - их квадраты: ? -3* + S* и
+ S'. . Таким образом, угловой эйконал центрирован-
ной системы является функцией только инвариантов вращения:
Sy + S* , *Sy и • Поэтому для
центрированной системы выражение (51.10) принимает вид
,-----------. , <52-»
-77ХИ ,
где функция F от параметров X и х' не зависит. .
2. В следующем параграфе исследуются изображения, даваемые
центрированными системами. Случай отражения света от зеркала
формально сводится к случаю преломления. В самом деле, пусть луч
9Л (рис.98) испытывает отражение от зеркала. В соответствии
с нашим правилом знаков ( § 50) характеристическая функция Н
для точек 9 и Р' равна //•= П-9Я. -п , Неформально
можно смотреть на отрезок J9' как на преломленный л^ч, если
пространству изображений приписать отрицательный показатель пре-
ломления п'~-п . Тогда за положительное направление луча сле-
дует взять направление от Л к 9 , и характеристическая
функция //=л- примет такой же вид, как и в слу-
чае преломления. В целесообразности такой формальной точки зре-
ния можно убедиться на примерах, рассмотренных в,задачах § § 50
и 51.
Если оптическая система содержит несколько отражающих по -
верхностей, то ее также можно формально свести к системе- с од-
ними только преломляющими поверхностями. Наде только условиться,
-9f -
Рис.98.
что при переходе через отражающую поверхность показатель прелом-
ления меняет знак. В этой главе мы всюду будем следовать этому
соглашению. Это избавит нас от необходимости рассматривать отдель-
но системы с преломляющими и отражающими поверхностями.
Если число отражений в системе четное, то показатели прелом-
ления в указанном смысле для пространства предметов и пространст-
ва изображений имейт одинаковые знаки. Такая система называется
диоптрической. Если хе число отражений нечетное, то эти показа -
тели преломления противоположны по знаку. Такая система называет-
ся катоптрической. В диоптрических системах направления распрост-
ранения света в пространствах предметов и изображений одинаковы,
в катпотрических - противоположны.
-92-
§ 53. ПАРАКСИАЛЬНАЯ ОПТИКА ЦЕНТРИРОВАННЫХ СИСТЕМ.
I. Если применять широкие пучки лучей, то центрированная
оптическая система, вообще говоря, не будет давать резких изоб-
ражений произвольно расположенных предметов. Это возможно, да и
то не для всякой оптической системы только при вполне определен-
ных положениях предмета. Однако, еоли с помощью диафрагм ограни-
чить пучки проходящих лучей таким образом, чтобы они образовыва-
ли очень малые углы с главной оптической осью, то изображение по-
лучается при любом положении предмета. Такие лучи называются па-у
раксиальными. Изображения с помощью параксиальных лучей система-
тически исследовались Гауссом. Поэтому параксиальную оптику назы-
вают также гауссовой оптикой, а соответствующие изображения -
гауссовыми изображениями. Получим все основные формулы параксиаль-
ной оптики путем разложения углового эйконала в ряд по степеням
малых величин Sy , $г , 5^ , SJ • Как следует из выражении
(52.1) это разложение имеет вид
. (ад
где К л,к...............- члены нулевой, второй, четвертой и
пр.степеней. В параксиальной оптике пренебрегают членами четвер-
той и высших степеней, т.е. полагают . Из (52.1)
получаем
X = п 'х' - ПХ + , (53,2J
X* («), (S5.J)
где - постоянная, а 6 и Ji - линейные функции параметров X
и X* • Именно, как следует из (52.1),
(53Л
' S3-
где О- и 6 - постоянные. Формулы (51.6) дают
«У =Л5У +Г^,
(53.5/
и такие же соотношения для И и Zf . При этом у , 2 и у' ,g'
означают координаты произвольных точек Ф тл , а $у ,
Sj и Sy , Sf - направляющие косинусы соединяющего их луча.
Если является оптическим изображением точки !Р , то систе-
ма уравнений (53.5) при одних и тех же значениях у и у’ долж-
на иметь бесконечное множество решений относительно Sy и 5#'
Этс может быть тогда и только тогда, когда одно из уравнений
(53.5) является следствием другого, т.е. когда
(X = Г пу
Г fi п'У
Принимая во внимание (53.4), отсюда находим
х.в__г2
пп'(х+а)
(53.6)
(53.7)
J п'/х+а)
Аналогично ' '
пп'(х'1-6)
У п (Lt) У
Эти формулы связывают координаты точки-предмета
ее изображения. Ввиду симметрии формулы для Z
ти такие же, что и для у и у', а поэтому нет
(53.8)
с координатами
и Z ' в точнсс-
смысла их выпи-
сывать.
2. Устанавливаемое формулами (53.7) и (53.8) соответствие
между точками пространства предметов и точками пространства изоб-
ражений есть частный случай так называемого коллинеарного соот -
ветствия и обладает следующими свойствами.
-94 -
I) . Каждая плоскость пространства предметов изображается if
виде плоскости.
Действительно, уравнение плоскости в пространстве предметов
Ах +Ву +Cz +2) =о
после замены X , у ,2 их выражениями через бГ’.у' , g1
по формулам (53.8) переходит в уравнение вида
Ах'+Е>у'+Сz'+D -о,
представляющее плоскость в пространстве изображений.
2) . Каждая прямая пространства предметов изображается в ви-
де прямой, так как прямую можно рассматривать как линию Пересе -
чения двух плоскостей.
3) . Каждая точка пространства предметов изображается в виде
точки, так как всякую точку можно рассматривать как точку пересе-
чения двух прямых.
3. Исследуем сначала случай, когда коэффициент не обра-
щается в бесконечность. Из формул (53.7) следует, что конечным
значениям X , у ,2 соответствуют, вообще говоря, конечные
значения X' , у' , Z1 . Исключение составляет плоскость
ЭС+а^О, ' (55.9)
каждой точке которой в качестве изображения соответствует беско-
нечно удаленная точка. Это означает, что лучи, вышедшие из про -
невольной точки плоскости (53.9) после прохождения через оптичес-
кую систему становятся параллельными. Плоскость (53.9У называет-
ся фокальной плоскостью пространства предметов или передней фо -
калькой плоскостью.
Аналогично, плоскость
x'-t-fa-o (95.10)
называется фокальной плоскостью пространства изображений или
задней фокальной плоскостью. Изображением бесконечно удаленной
точки пространства предметов является одна из точек плоскости
(53.10). Это означает, что параллельные луч/ после прохождения
-96-
через оптическую систему сходятся в одной из точек задней фокаль-
ной плоскости (53.10).
Точки пересечения фокальных плоскостей о главной оптической
осью называются фокальными точками или главными фокусами системы.
Главный фокуо пространства предметов или передний главный фокус
будем обозначать буквой F , а главный фокус пространства изобра-
жений или задний главный фокуо - буквой F . Согласно (53.9)
и (53.10) абсциссы главных фокусов равны
a? =-£Z ; х' =-6. (53.ii
г / F'
4. Отношение у называется поперечным увеличением или
просто увеличением системы. Согласно (53.7) или (53.8) оно не
зависит от у . Отсюда следует, что изображение плоского пред-
мета, перпендикулярного к главной оптической оси, подобно самому
предо эту. Если увеличение положительное, то изображение прямое;
если отрицательное, то обратное .
Найден положение предмета, при котором поперечное увеличе-
нье равно плюс единице. Согласно (53.7) и (53.8) в этом случае
должно быть _
__________ - г—
ri(x+a.) п(х'+6)
Отсюда находим две сопряженных плоскости:
n'T + cm'+F =о,
, о . Л (53.12
nx + vn -f = 0,
отображающиеся друг в друга с поперечным увеличением +1 .
Первая плоскость называется главной плоскостью пространства пред-
метов или.передней главной плоскостью, а вторая - главной плос -
костью пространства изображений или задней главной плоскостью.
Точки пересечения этих плоскостей с главной оптической осью назы-
ваются главными точками оптической системы. Главную точку прост-
ранства предметов или переднюю главную плоскость будем обозна -
чать буквой // , а пространства изображений - буквой //

Согласно (53.12) абсциссы главных-точек равны
~ _ Г+ап’. г> _ Г'бп
---------~ п
(53.13)
Расстояния главных фокусов от соответствующих главных точек
называются фокусными расстояниями системы. В соответствии о при-
нятым нами правилом знаков фокусное расстояние считается положж-
тельным, если фокальная плоскость лежит правее соответствующего
главной точки; в противоположном случае фокусное расстояние счи-
тается отрицательным. Таким образом, для переднего £ я заднего
фокусных расстояний получаем
/ ’ = -Jp (55-в)
Р;' <Я-Е)
Отсюда Г
=-----— (53.16)
/ П‘ ,
5. Надлежащим выбором начал координат О и О можно упрос-
тить формулы (53.7) и (53.6). Важнейшими являются два часто
встречающихся случая.
I случай. Начала координат помещены в главные точки систе-
мы. Абсциссы предмета и его изображения относительно этих начал
будем обозначать . В зтом случае по определению
Ь = t*=> О . т-е. на основании (53.13)
Л н' о
f-ban'-r-An -О.
Отсюда, принимая-во внимание (53.14) и (53.15), находим
После подстановки этих значений в формулы (53.7) и (53.8) они
принимают вид - ,
у- + = 1 . (53.17)
-57 -
y'_J _ X'-i'. X< _ nil. <«•“’
3 ~f-t~ X' f’i- n'i
Допустим, как это обычно бывает, что пространства предметов
и изображений заполнены одной и той же средой - воздухом. Тогда
. Если система диоптрическая, то п'=тг=+У .В этом
случае / в, и формула (53.17) переходит в "формулу линзы":
/ t - '
Т~Т~Т <53Л”
Если же система катоптрическая, то п'--п == -1 .в этом слу _
чае У =У/ , и формула (53.17) переходит в "формулу зеркала":
2 случай. Начала координат помещены в главные фокусы систе-
мы. Координаты относительно этих начал будем обозначать большими
буквами X и У . В этом случае xF=x;.~o , т.е. вей-
ду (53.11) Я- 6 , Формулы (53.7) и (53.8) принимают вид
ичг,
У _J_ _У_.
У X ' У С53-22)
Эти простые формулы были известны еще .Ньютону, правда для част-
ных случаев.
6. Коллинеарное соответствие (53.7) с осевой симметрией
полностью характеризуется заданием четырех параметров, например
♦ /Я7’ . В соответствии с этим и свойства
центрированной оптической системы полностью определяются также
четырьмя параметрами. Например, можно задать координаты главных
точек и фокусные расстояния. Главные и фокальные точки а также
узловые и обратные узловые точки ( см.ниже) называются карди -
нальными точками центрированной системы. Они полностью характе-
ризуют оптическую систему в том смысле, что, зная их положение,

а также положение объекта , можно найти его изображение.
Это можно сделать следующим геометрическим построением.
Рио.99.
Допустим оначала, что точка 9 не лежит на главной оптичес-
кой оси (рис.99) Опустим из 9 перпендикуляр fPQ на главную
оптическую ось. Луч 9А , параллельный этой оои, если его про?
должить в сторону пространства изображений, встретит главные
плоскости в сопряженных точках Л. и Л . Поэтому после прохож-
дения через, оптическую систему луч ФЛ. или его продолжение
пройдет через точку Л ' . Кроме того он должен пройти через
фокус F . Двумя точками А' и F положение луча в простран-
стве изображений определяется полностью. Проведем второй луч
проходящий через фокус Р . Он встретит первую главную плос -
кость в некоторой точке В . Проведя через В прямую ,
параллельную главной оптической оси, найдем сопряженный ему луч
В'Ф' . Точка 9' , в которой пересекаются лучи А'?' И W,
и будет изображением точки ф . При этом точка О. , лежащая
на главной оптической оси, изооразится точкой Q.' . Таким обра-
зом, попутно получен способ построения изображения и для того
случая, когда объект лежит на главной оптической оси.
-95 ~
Рис.100.
7. Цусть отрезок , перпендикулярный к главней опти-
ческой оси (ри-.|00), является изображением отрезке 4PQ —у
Проведем через точку луч ФЛ , образующий с главной опти-
ческой осью какой-то угол И . Угол, образуемый с тей же осью
сопряженным лучом Я'Ф' , обозначим U.' . (На рис.100 угол и
положителен, а и'- отрицателен). Так как по определению главных
плоокостей нл*нц\ то
где $ i' - абсциссы точек относительно главных
точек Н и Ц* • Ввиду (53.18)
X. ..X
S "У
Поатому
nytyu ^п'уЧуи’ (53.23)
Таким образом, при прохождении параксиальных лучей через любую
центрированную оптическую систему Величина пу tyu остается
неизменной* Это положения называется теоремой Лагранка-Гельмголь-
ца, а величина nytyil •n'y'iyu.'- инвариантом Лагранжа-Гельм -
гольца. Оптическую оистему можно разбить на несколько подсистем,
ЧМ~
соединенных вместе. В частности,'каждую преломляющую или отражаю*1*
щую поверхность можно рассматривать как подсистему. Ив теоремы
Лагранжа-Гельмгольца непосредственно следует, что при прохохде -
нии луча через такие подсистемы величина nytgu не меняет
своего значения.
В кажущемся противоречии с формулой (53.23) находится следую-
щий результат. Для точек Q и имеем у^у'-о , поэтому
уравнения (53.5) дают
сХ5у + fS? =0
А так как по формулам (53.6) — = , то
Г "'У'
nySy =п'у
или
(53.24)
(53.25)
nysin. и = п‘'у\'sinи'.
В действительности между формулами (53.23) и (53.24) нет противо-
речия, так как в пределах точности, с которой верно параксиаль -
ная оптика, . Таким образом, наряду с формулами
(53.23) и (53.24) можно также написать
пуи — ri'y'u
tqu' U'
8. Отношение называется угловым увеличением сис-
темы. Две сопряиеншле точки главной оптической оси Л^иЗГ' ,
отображающиеся друг в друга с угловым увеличением + £ , называ-
ются узловыми. Из приведенного определения следует, что всякий
луч, проходящий через узловую точку ‘JC , после прохождении че-
рез оптическую систему остается параллельным своему /сходному
направлению и проходит через вторую узловую точку УС' . 8то
свойство узловых точек позволяет также использовать их для пост
роения изображений.
Для определения координат узловых точек надо в (53.23) по-
ложить U-U1 , что даетпу=п'у' , или на основании (53.1ь)
j£'j_
У С
-/Of -
Сравнивая эту формулу о (53.22), получаем абсциссы узловых то-
чен относительно фокальных точек:
Хя=/' Х>/‘ <«•«>
Таким образом, для нахождения положения узловых точек надо взять
фокальные отрезки HP « HP' . Закрепив неподвижно един из
отрезков, следует передвигать другой вдоль главней оптической
оси с сохранением ориентации, пока его главная точка не совмес -
тится с фокальной точкой закрепленного отрезка. Тогда фокальная
точка сдвинутого отрезка укажет положение уэлвой точки в том про-
странстве ( предметов или изображений), к которому принадлежит
закрепленный фокальный отрезок (рис.99). Для запоминания этого
правила полезны следующие соображения. I. Для указания положения
узловой точки в том или ином пространстве ( предметов или изоб -
ражеяий) передвигаемый фокальный отрезок берется из другого про-
странства. 2. Положение узловой точки всегда указывает фскаль -
ная точка передвигаемого отрезка. 3. Фокальные отрезки совмещают-
ся концами с различными наименованиями.
Если п = п' , тс , и узловые точки совпадают с
главными.
Иногда к числу кардинальных течек системы относят обратные
главные и обратные узловые течки. Первые характеризуются линей -
ным увеличением, равным минус единипе; вторые - углевым увеличе-
нием, равным также минуо единице.
9. Отношение длины Ол изображения бесконечно малого от-
резка, параллельного хчавней оптической сси, к длине самого
отрезка называется соевым или продольным увеличением. Для неге
формула (53.21) дает .
i (53,7)
<5Х X х! и
Сравнение зтих формул с (53.22) показывает, что соевое увеличе -
ние, вообще говоря, не равно поперечному увеличению. Отсюда
следует, что изображение в центрированной системе бесконечно
малого объемного предмета, вообще говоря, не подобно самому
-Ю1-
предмету. Исключение составляет случай, когда предмет помещен
в одну из угловых или обратных узловых точек системы. В самом
деле, для изображения бесконечно малого объемного предмета о
сохранением подобия необходиио и достаточно, чтобы ооевое уве-
личение по абсолютной величине было равно поперечному увеличе-
нию. Это требование дает
X1
том же нап -
при первые -
перемещается
в диоптричес-
X
-.„лмм .. ! Ji гГ СлеД°БательН0« на основании (53.22) и
(53.16) у- уТ = * 7Р • Отсюла» принимая во внимание (53.23)
заключаем ^LL=±u.‘ , что и требовалось доказать.
Если система диоптрическая, то знаки / и /' противополож-
ны. В этом случае, как видно из (53.27), <ГХ и /ГХ’ имеют
одинаковые знаки. Отсюда следует, чтс при перемещении предмета
вдоль оптической оси его изображение перемещается в
равлении. Напротив, если система катоптрическая, то
щении предмета вдоль оптической оси его изображение
в противоположном направлении. А так как ( см.§ 52)
ких системах направления распространения света в пространствах
предметов и изображений оданаковы, а в катоптрических противопо-
ложны, то для всех систем справедливо такое правило: Если пред -
мет перемещается вдоль оптической сси в направлении распростра -
нения света, то его изображение перемещается также в направлении
распространения света и наоборот.
10. Рассмотрим теперь предельный случай, кЪгда коэффициент
f стремится к бесконечности. В этсм случав, как показывают фор-
мулы (53.14) и (53.15), оба фокусных расстояния f и f обращают-
ся в бесконечность, хотя их отношение продолжает оставаться рав -
ным конечной величине - п/п' . Таким образом, обе фокальные
плоскости удаляются в бесконечность. Отсюда следует, что пучок
параллельных лучей после прохождения через оптическую систему
остается параллельным. Такая система называется телескопической
или афокальной. Примером телескопической системы может служить
зрительная труба, установленная на бесконечность.
Интерес представляет только случай, когда при стремлении £
к бесконечности поперечное увеличение Ц'/у стремится к
- юз-
определенному конечному пределу. Согласно (53.6) для этого необ-
ходимо, чтобы и Ji , а с ними Ct и 6 также обращались в
бесконечность. Таким образом, иа (53.6) и (53.4) получаем
у'-By.
где £5 - постоянная: _
п Гп____________г.
° ап' ап'
X
Разложим первое из выражений (53.7) по степеням
(53.28)
(53.29)
. Сохраняя
в пределе только первые степени этого разложения, получим
х'-Лх^С, (53-М)
где Л и С - постоянные, из которых Л равна
/ = -Г— . (53.31)
л ппа1
Если эа начала координат принять любую пару сопряженных точек,
то формулы (53.28) и (53.30) принимают вид
<53-32)
Отсюда видно, что поперечное и осевое увеличения телескопичес-
кой системы постоянны. Постоянно также и угловое увеличение,
так как согласно (53.23)
=d_2L. = А . (53.33)
tyu п'у' В п' Л
Для зрительных труб, равно как для любых систем, у которых
получаем
iSu> _ У . (53.34)
У'
В этом случае угловое увеличение называют просто увеличением
тсубы. Таким образом, угловое увеличение зрительной трубы равно
обратному значению ее поперечного увеличения. Иными словами,
увеличение зрительной трубы равно отношению ширины падающего
пучка лучей к ширине соответствующего выходящего пучка. Этот
-/(?< -
результат является частным случаем более общего соитаоаеаи*»*»
казанного в § 48. Поясним его на примерах кеплеровой и галилее-
вой зрительных труб (рис. 101 и 102). Если трубы "установлены
на бесконечность", то задний фокус объектива и передний фокус
Рис. 101
Рис.1и2
- <05 -
I
окуляра совмещаютоя в общей точке р , В общей фокальной плос-
кости, проходящей через вту точку, получается изображение FA
бесконечно удаленного предмета. Соединив точку £ с
оптическими центрами объектива и окуляра, найдем углы зрения
и ли' , под которыми предмет виден невооруженным глазом
и в трубу. Ив риоунков непосредственно видно, что угловое увели-
чение трубы даетон выражением
и'
(53.35)
где /, -заднее фокусное расстояние объектива,
переднее фокусное расстояние окуляра. Отсюда нетрудно получить
формулу (53.34).
-106-
§ 54. СЛОЖЕНИЕ ДВУХ ЦЕНТРИРОВАННЫХ СИСТЕМ,
I. Пусть две центрированные системы соединены вместе таким
образом, что их оптические оси совпадают. Если извеотиы парамет-
ры каждой из зтих систем, а также их взаимное расположение, то
геометрическим построением или аналитическим расчетом можно оп-
ределить положение всех кардинальных точек составной оптической
системы.
Обозначим фокусные расстояния первой системы буквами и
У*/ , а второй системы - буквами и . Пусть S озна-
чает расстояние от заднего главного фокуса первой системы
до переднего главного фокуса второй системы (рис.103).
Рис.ЮЗ.
Такое расстояние называется оптическим интервалом двух систем.
Оно считается положительным, когда точка £ лежит правев
точки и отрицательным в противоположном'Случае. Заданием
оптического интервала полностью определяется взаимное расположе-
ние складываемых систем. *
'счала координат для каждой из складываемых систем поместим
в ее фокальные тгж;и. Пусть • Уу ~ координаты предмета,
а 1 X' _ его изображения в первой системе. В таком случав
Примем
второй
будут
Х,Х, -J.f. ; — <»•»
. У -Л-f
изображение, даваемое первой системой, за "предмет" для
системы. Координаты этого "предмета" относительно точки
-/07-
Х^Х!-Г; Х=Х'- (*•*>
Если х; , х - координаты изображения, даваемого второй
системой ( относительно точки ), то
XX'-Л/Л
Исключим из уравнений (54.1), (54.2) и (54.3) промежуточные коор-
динаты х;. у*. х,. х , Получим
X1 Ы*' у . VL /Л (54.4)
«’лг-я Л" м-ж,
Как и следовало ожидать, координаты предмета X > X
связаны с координатами X/ > "Уг его изображения в состав -
ной оптической системе формулами коллинеарного соответствия.
При этом за начало координат в пространстве предметов составной
системы взята точка р , а в пространстве изображений -
точка . Ез формул (54.4) известным способом легко найти
координаты фокальных точек и фокусные расстояния составной сис-
темы. Для координат фокальных точек (относительно начал р и )
получаем t
<5“>
а для фокуоных расстояний
Г м . f-JLfL. (Ч6)
У = ~r~ - j - f ( '
Может случиться, что оптический интервал обращается в
нуль. Тогда фокусные расстояния / и /' станут бесконечно
большими, т.е. сложная система будет телескопической. В этом
случае уравнения (54.4) переходят в (53.32) с постоянными
-/OS-
Угловое увеличение системы будет равно
fyu _ £ _ (54.8)
Л ~ £
Такой случай осуществляется в зрительной трубе, установленной
на бесконечность. При такой установке задняя фокальная точка
объектива совпадает с передней фокальной точкой окуляра (см.ко-
нец предыдущего параграфа). Кроме того в зрительной трубе п.*п'.
Поэтому, принимая во внимание (53.16), вместо (54.8$ можно также
написать J. 1
= 'ТГ ’ (54-9)
что совпадает с формулой (53.35).
2. Если обе складываемые системы телескопические, то в ре -
зультате их сложения получится также телескопическая система.
Ее угловое увеличение равно произведению угловых увеличений скла-
дываемых систем,
Наконец, соединение телескопической системы и системы с кс -
вечными фокусными расстояниями образует систему с конечными фс -
кусными расстояниями при всякой последовательности расположения
складываемых сист ч.
-fos -
Пусть Л (рис.104) - телескопическая система, В - системе
с конечными фокусными расстояниями. Луч ЗЯ. ., параллельный
главной оптической оси, после прохождения через телескопическую
систему идет также параллельно главной оптической оси по пути
/У7ИХ . Выйдя из второй системы, луч или его продолжение
пройдет через ее второй фокуо Ft . Последний является поэто-
му задним фокусом составной системы. Продолжение луча t\ до
пересечения с продолжением луча ЗЯ в точке я определит
вторую главную Плоскость ня, составной системы; длина отредка
Н'Н равна ее фокусному расстоянию .Отношение^ =^*7
ыяъ линейное увеличение телескопической системы. Поэтому из по-
добия треугольников Т±Я,Н и находим
/' - £ (54.10)
f Л
Передним фокусом составной системы служит изображение фокальной
течки Ji в телескопической системе. Его положение легко найти
с помощью формул (53.32), если известно положение точки ^от-
носительно какой-либо пары оптически сопряженных точек телескопи-
ческой системы.
Задача.
Для определения увеличения зрительной трубы методом Рамсде-
на трубу устанавливают не бесконечность. Вывернув объектив, ус -
танавливают на его меото предмет определенной величины (экран с
вырезом). Окуляр трубы дает действительное изображение взятого
предмета. Пусть С - величина этого изображения. Показать, что
увеличение зрительной трубы равно .
Реиение. Примем зе начала координатных систем фокальные
точки окуляра. Тогда в формуле (53.22) следует положить Х= -f, ,
£ , . Это дает
/ _ X
l ~ '
т.е. согласно (54.9) величину, обратную увеличению трубы.
-ffD-
§ 55. УГЛОВОЙ ЭЙКОНАЛ ДЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
ВРАЩЕНИЯ.
I. Пусть две среди с постоянными показателями прелоылении/7
и П' граничат друг с другом вдоль какой-то поверхности враще-
ния. Ось вращения примем эа ось X . Сечение поверхности коор-
динатной плоскостью ХУ есть кривая ОВ , уравнение кото -
рой можно записать в виде
4 -/6?).
где | и I - текущие координаты точек этой кривой (рис.105).
Разлоаим функцию по степеням £ . В разложение вой-
дут только четные степени i , так как в виду симметрии
Поиесгим иачал0 координат О в вершину кривой.
Тогда
£ = Cj/ ?**•••
Если кривая ОВ является окружностью радиуса R с центром С
то

-///-
Следовательно, для окружности
сг 8R3 >
Для всякой иной кривой выражение Ct остается бег изменения,
если под R поникать радиус кривизны в точке О . Он счи-
тается положительным, когда центр кривизны С лежит правее
вершины О и отрицательным в противоположное случае. Коэффи -
циенты , С3 , . . . уже не могут быть выражены через один
только радиус кривизны R . Однано можно положить
У
где и - постоянная, характеризующая отклонение рассматриваемой
поверхности вращения от соприкасающейся с ней сферы. Она наэы -
вается деформацией поверхности. Чтобы перейти от уравнения кри-
вой ЙВ к уравнению соответствующей поверхности вращения, сле-
дует заменить на ? • Это Двет

В приближении параксиальной оптики это разложение следует обор-
вать на втором члене. Однако, имея в виду приложения к геометри-
ческой теории ошибок изображений, мы проведем вычисления с уче -
том члена четвертой степени по £ и J7 .
2. Пусть лв - падающий луч, BJU.' - преломленный. Возь-
мем на главной оптической оси произвольные точки Л и и
опустим из них перпендикуляры ЛЛ и Л.'Л на направления этих
лучей. Тогда для углового эйконала можно написать
W = (МЛ‘) ’n(f-T)r -nfi -x)Sj. t
~/1Л~
Исключим и с помощью соотношений
s> /-£ ....
Получим
будем пренебрегать.
Остается с помощью закона преломления исключить из (55.2)
' координаты и . Запишем закон преломления в виде
пГ-п'У - ,
где % - неизвестный скаляр. В координатной форме
ns- - ris' ~ Л
%
П5у ~ n'Sy = -.л-R-+ • • ’
-n'^ =-J £-+ • • •
Отсюда (
. у.дъ J
<» 71 -п’ I (55.3)
Слагаемые и AY объединяют члены третьего и высвих поряд-
ков. В посяедяих двух строках выражения (55.2) влияние этих чле-
нов, очевидно, скажется самое больнее в иестом порядке. Но то же*
-Н9-
справедливо и для всего выражения (55.2) в целом. Действительно,
еоли в первых трех строках этого выражения пренебречь членами
Д^ « Д/ , го получится ошибка порядка
п -
- n'fyq +з'2л? + ] =
=^-[(n^-r7\)R+^~rL‘^ *
^[(nst-n‘^bn^n'j'] г
к
млн на основании (55.3)
Вто ошибка шестого порядка, и ей следует пренебречь. После подс-
тановки выражений (55.3) в формулу (55.2) найдем угловой эйконал,
каи функцию аргументов Sy , S, , S? , S* . Сравнив его с
формулами (53.1) - (53.4), получим
Wo ~ri'x—nx. (55.4)
Следовательно, на основании (53.13)
Хн = Х„, ~О , (55.7)
,.е. обе главные плоскости совпадают между собой и проходят
через вершину О - точку пересечения преломляющей псверхности
с главной оптической осью.
- ///-
Для фокусных расстояний £ и формулы (53.14) и
(53.15) дают
Г 1?П . Г %п' (55.8)
Случай отражения от сферического зеркала содержится в этих
формулах и соответствует.??'=-77 . Для зеркала
/ _ /• ' _ _Л_‘. (55.9)
т J- г.
3. Формулы (55.7) и (55.8) могут быть выведены проле непос-
редственно не закона преломления. Луч ФА (рис.106) после
преломления на сферической поверхности идет по пути АФ' .
Обозначим и и V длины отрезков ЛФ и ЛФ'. Отрезки отсчитыза
юте я от точки А и считаются положительными« если направление
отсчета совпадает о направлением распространения света отрица-
тельными в противоположном случае. Из чертежа видно f
площадь ФАС + площадь С А Ф' « площадь ФАФ' .
Для этих площадей имеем
площадь ФАС -£&A ACKn¥=-£u1lsinf> f
площадь САФ'= £ Ir R МГ,'Р1
площадь ФАФ'^-j
—its—.
Таким обравом,
-U.Rsin<p+vRstnij' = -ШТ (sin<peo&y>-Sinyct>Sf)t
(55.10)
П_____
- абсциссы точек
приближении
(55.11)
П
точка О отобра-
ылм на основании закона преломления
-uRn'+vRn =uv(ncos<f~ п
Отсюда
П п_‘ ncostj) -n'c-Oi'f
и - у = —~R
Для параксиальных лучей можно положить cos <р=coif =j .
Точно также Use , tr=- £> , где £ и £
и относительно вершины О . В этом
п-п'
R ‘
Если £ ~0 , то £ = О . Следовательно,
кается сама в себя. То же справедливо относительно любой точки
сферической границы раздела. Поскольку малый элемент последней
в окрестности точки О можно принять за плоскость, ясно, что
ата плоскость является главной плоскостью в пространствах пред-
метов и изображений. Фокусные расстоянии / и J найдутся из
формулы (55.11), если сначала положить 4 ” °*0 , а затеи
Таким путем мн вновь приходим к формулам (55.8).
В случае отражения от зеркала
мула (55.10) переходит в
П'=-П , V = {Р , И фор-
/ _ / _ 2со$У>
и ~ V * R
(55.12)
Задача.
Доказать, что изображение точки в сферическое зеркале иожно
построить следующем опособои. Из произвольной точки А право -
дим прямые АО и АС , соединяющие эту точку с вершиной О
и центром кривизны зеркала С (рис.107). Из точки Ф проводам
прямую > пересекающую прямые АО и АС в точках D и А .

Прямая , соединяющая точку Я с точкой пересечения диаго-
налей Р!< н , пересечет оптическую ось в точ, з , являю-
тся i ' jCpaмсдыни точки Р .
Решение. Рассмотрим полный четырехвершинник, оор. зованный
четырьмя вершинами 0 , С , В и шестью прямы—., соединяю-
щими эти вершины попарно. Течки пересечения противоположных сто-
рон У* , Л и <£ называются диагональными точками четырехвершин-
ника, а прямые 9>£ , М и л& - его диагоналями.
Из проективной геометрии известно, что две стороны и две
диагонали четырехвершинника, проходящие через одну и ту же вер -
шину, образуют гармонический ।/чок прямых. Любая прямая пересе-
кает гармонический пучок в четырех точках, образующих гармоничес-
кий ряд. Отсюда следует, что точки 5° ф' j С., О образуют
гармонический ряд, т.е.
_рс ’ро - /
ср7' ‘ ор' 1 ’
или
РО
СР' ~ ор'
Но к такому же соотношению мы придем, проведя через точку Р
произвольный параксиальный луч и построив по эакмг.т отражения
отраженный луч. Написанное соотношение выражает те.оему элемен -
тарной геометрии о биссектрисе внутреннего или внечдего угла
треугольника. Требуемое доказано.
- 1f8 -

§ 56. ЛИНЗЫ.
I. Используя результаты предыдущего параграфа, а также фор-
мулы сложения двух центрированных систем (54.5) и (54.6), можно
рассчитать оптические параметры любой центрированной системы.
Для втого каждую отражающую и преломляющую сферическую пбверх -
ность надо рассматривать как подсистему. В качестве примера рас-
снотрмм линзу. Обозначим -буквами R, и" R2 радиусы кривизны
преломляющих сферических поверхностей линзы; буквами Ч, , ,
7?j - показатели преломления первой среды, вещества линзы и
второй среды (рис.108). Пусть ~ фокусные расстояния
при преломлении на передней поверхности линзы, a и - на
задней. Тогда п ./л
/* = 71, К, • / _ _ "-г •
J‘ nt-nt * J' n,~nt
(56.1)
f~ f'- .
-2 пг Пг-пл
Будем рассматривать преломляющие поверхности линзы как ,
центрированные подсистемы, 'а самую линзу как составную систему.
?ис.1О8.
Если с/ - толщина линзы, то для оптического интервала можем на-
X, писать .
-X S-F;'Ft‘F'0*00 ★()£--
~ 116-~
млн на основании (56.1)
2)
“ (л-”з)
где
D г ct(n-
(56.2)
(56.3)
Для фокусных расстояний линзы / “ j формулы (54.6) дают
/44#; (56-”
Примем точку ь за начало координат в пространстве пред-
метов линзы, а течку f - за начале координат в ее пространст-
ве изображений. Тогда координаты фокальных точек линзы пожне вы-
числить
пс формулам (54.5), которые ^ают
Г = - П П Л* ~Л» .. .
' г п~П»
п,-пг
Найдем расстоянии к и к.
вершин О и О . Имеем
О » О' . Имеем
1$ (56.5)
D
главных плоскостей линзы.ст

k = OH-OF,<FF<-FH~f,*xF-f ;

Отсюда
I / / )
к ^-П3(п,-п3)-^-
(56.6)
Обычно показатели преломления крайних сред п, и П3 одинако-
вы. Полагая в атом случае , п£<*п , получим
-/гя-
. (»•»>
A', J
e = HH'= d-к *<' <«•“>
где e - расстояние главной плоскости от главной плоскости//

2. Если линза не очень толста, а разность п, ""*1 не
слишком мала, то в (56.9) членом d(n-<) можно пренебречь. В
этом приближении / / )
(56.11)
I (56.12)
l'= **_____-d | /
_А_____R, (56.13)
A' Rt
е = -?£* el. (56.14)
“• «
Таким образом, в рассматриваемом приближении расстояние в меж-
ду главными плоскостями линзы зависит только, от ее толщины и
показателя преломления, но не зависит от ее формы. Для стекла с.
показателем преломления г10 расстояние равно 6» .
На рис.109 показано положение главных плоскостей типичных стек -
лянных линз (п "1,5) .
Для тонких линэ можно вообще пренебречь толщиной d и счи-
тать, что обе главные плоскости совпадают между собой и проходят
через центр линзы.

- / «У -
- т.-
3. В заключение рассмотрим систему двух тонких дина, нахо-
дящихся на расстоянии друг от друга (рис.НО). Если толщи -
ной аднэы пренебречь нельзя, то под £. следует понимать расстоя-
ние равной плоскости Нг от главней плоскости Н, • Оптичес-
кий интервал в рассматриваемом случае равен
<г-op,-otFt =/,
Подотавляя это выражение в (54.6), получим
±,±+J_+JL .
f А А АА
В частном случае, когда линзы сложены вплотную, £—0
формула (56.15) переходит в
(56.15)
(56.16)
-«3-
Величина, обратная фокусному расстоянию, называется опти-
ческой силой оптической системы. Таким образом, оптическая сила
сложенных вплотную нескольких тонких линз равна сумме лтичес-
ких сил этих линз. За единицу оптической силы принимается опти-
ческая сила такой линзы, фокусное расстояние которой равно одно-
му метру. Она называется диоптрией.
Задача.
Для определения фокусного расстояния собирательной линзы
Вессель предложил следующий метод.
С помощью линзы на экране получается действительное изобра-
жение предмета. Пусть Л - расстояние от предмета до его изоб -
ражения. Тогда Л = ^'+е- £ . Исключая с помощью этого соот-
ношения из (53.19), получим
+ (Л<56-17>
Если
Л-е > 4/' , .(56.18)
то уравнение (56.17) имеет два вещественных корня
В этом случае существуют два положения линзы, при которых на эк-
ране получаются действительные изображения предмета ( при неиз -
менном расстоянии между предметом и экраном). Чтобы перейти от
одного изображения к другому, надо сместить линзу на расстояние
откуда
(56.19)
4(Л-е)
Величины л и CL можно измерить. Величина же е - расстояние
между главными плоскостями - неизвестна. Для ее определения мож-
но взять другое расстояние Л, между предметом и экраном и изме-
рить соответствующее смещение линзы а, . Получится
вида (56.19), в котором Л и Ct заменены на Л, и
Сравнивая эти два выражения, можно вычислить е, .Для
расчета можно пренебречь в* п. .
-»«-
выражение
а, •
__________________ ...... упрощения
по сравнению р Л • Это дает
(56.20)
§ 57. ЛИНЗЫ С НЕПРЕРЫВНО ИЗМЕНЯЮЩИМСЯ ПОКАЗАТЕЛЕМ
ПРЕЛОМЛЕНИЯ. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЛИНЗЫ.
I..Изложенная в параграфе § 53 геометрическая теория опти-
ческих изображений в параксиальных лучах полностью применима и
в тех случаях» когда показатель преломления линзы меняется неп-
рерывно от точки к точки. Необходимо только, чтобы система об-
ладала осевой симметрией. В этом случае Показатель преломления
П зависит только от абсциссы X и расстояния Z до глав-
ной оптической оси системы. Возможность получения изображений в
системах с непрерывно изменяющимся показателем преломления можнб
уяснить также иэ следующих соображений. Разобьем мысленно все
пространство поверхностями равных показателей преломления. Они
являются поверхности вращения и вблизи оптической оси могут быть
аппроксимированы сферами. Если фкие поверхности провести доста-
точно часто, то непрерывное изменение показателя преломления
можно заменить скачкообразным таким образом, чтобы показатель
преломления между двумя соседними поверхностями оставался посто-
янным. Тогда получится центрированная система сложенных вплотную
сферических линз с постоянными показателями преломления. Такая
система, как.было выяснено в § 53, способна давать оптический
изображения в параксиальных пучках. Увеличивая число поверхнос-
тей раздела до бесконечности и устремляя расстояния между сосед-
ними псверхностями к нулю, получим в пределе систему с непрерыв-
но изменяющимся показателем преломления. Следовательно, и акси -
ально симметричная система с непрерывно изменяющимся показателем
преломления в параксиальных пучках также способна давать оптичес-
кие изображения.
2. Чтобы определить положение изображения точечного объекта,
достаточно иоследовать ход лучей в меридиональной плоскости,!.о.
в плоскости, преходящей через главную оптическую ось системы.
Угсл наклона Ц луча с оптической осью (рис.III) в любой точке
луча зависит только от абсциссы X той же точки: U .
Ограничиваясь параксиальными пучками лучей, можно пренебречь
квадратами И . В зтом приближении для кривизны луча в точке Л
можно написать I
- I2S-
j_ _ du .
/> dx
«
(Знак минус взят потому, что радиус кривизны j> считается суще-
ственно положительным, тогда как на чертеже угол и с возраста-
нием Д* убывает). Кривизна луча может быть выражена через пока-
затель преломления по формуле (42.3). Для производной по главной
нормали П имеем
дп _ дп дх { дп дг_ _ t и дп
дм дх dN dz dN дг дх
так как в пределах точности параксиальной оптики
- COSUZ*-i Sirius и.
dN - J dN -
„ дп ап
В выражении для частная производная может
быть заменена производной , т.е. производной показателя
преломления П вдоль направления луча. Действительно,
dn = дп. +_дп, _dz_ _ дп +идц .
dx дх дг dx дх dz
-
dn dn
Отсюда видно, что производные и отличаются друг
от друга на величину первого порядка мал* зти по и . Поэтому
аамена, указанная выше, вносит ошибку второго порядка малости.
Таким образом,
du е J_
dx, п
~uSi
или
dx
(57.1)
Разложим П в ряд по степеням 2 ш оборвем разложение на
члене второй степени. Так как ввиду осевой симметрии п(г)=п(-г),
то член первой степени должен отсутствовать. Таким образом,
П »П * 7“/"3ZF" )
••о « 02 ft. •о '
откуда
Js - г
дг I 92*- J*-° *
Индене " О " означает, что производная берётся рри
г «О , т.е. на оптической оси системы . В результате урав-
нение (57.1) принимает вид /
Рис.пг.
-/27- '
3. Применим уравнение (57,2) к выводу формул для фокусных
расстояний тонкой линзы с непрерывно изменяющимся показателем
преломления. Пусть v.ty - оптически сопряженные точки на
оптической сси линзы (рис.112). Отрезки соединяющего их луча вне
рациу по
линзы прямолинейны. Проинтегрируем уравнение (57.2) по Jt в
пределах от до + оо . Фактически это сводится к интег-
отреэку ЯВ , так как вне этого отрезка производная
обращается в нуль. Поскольку линза тонкая, можно счи -
тать? что в ее пределах расстояние 2 остается постоянным. Выно-
ся 2 из-под знака интеграла и интегрируя, получим
гдё п, - показатель преломления в пространстве предметов, а пг-
- в пространстве изображений. Подставляя сюда
(57.3)
(57.4)
4. Линзы с непрерывно изменяющимся показателями преломления
практически осуществляются в электронной и ионной оптике в виде
конфигурации заряженных электродов и обтекаемых токсм катушек,
создающих электрические и магнитные поля, отклоняющие пучки
электронов или иояов. Применим полученные результаты к электро-
статической линзе. В этом случае показатель преломления Л? следует
-М-
заменить скоростью электрона или любой величиной, ей пропорцио-
нальной. Введем потенциал электростатического поля V по фор-
“Улв . . -
Л»
(т - масса, е - эаряд электрона). В формуле (57.4) п оледует
эаменить на \fv . Имеем
З‘п //7 ' / А 1
gi‘ ~ дг1 ~ ztfy Зг‘ \ Яг /
Так как это
то »О
дг
выражение следует ваять на оси оптической системы,
,. При отсутствии свободных иарядов
div dlv ~ д*у
ду1 ~ дг*- дг*
Поэтому
+пЛ
~дх* 2 дг*
= Q
и подстановка в (57.4) дает
у / Т < d'v
J 4/к" J дх* (^-5)
— , J
Интегрируя по частям и принимая во внимание, что иа пределах
Рис. 113.
120-
где V - потенциал пространства предметов, Х£ ~ пространства
изображений, Ех в ~ ~ напряженность электрического поля
на оптической оси системы.
Потенциал V , как он определен выше, является величиной
существенно положительной. Поэтому для тонких электростатических'
линэ переднее фокусное расстояние f всегда отрицательно, а
заднее фокусное расстояние всегда положительно. Значит,
тонкая электростатическая линза всегда является линзой собиратель-
ной. Между тем линза с непрерывно изменяющимся показателем прелом-
лении может быть как собирательной, так и рассеивающей. Это свя -
эано о тем, что функция пС^) может быть какой угодно, тогда
как не всякое распределение потенциала допустимо. В отсут-
ствие пространственных зарядов потенциал V должен удовлетво -
рять уравнению Лапласа.
Толстые электростатические линзы могут быть и собирательны-
ми, и рассеивающими. В этом нетрудно убедиться, рассмотрев сис-
тему из двух тонких электростатических линз. Формулы (54.6) пока-
зывают, что такая система будет собирательной, когда оптический
интервал S' отрицателен и рассеивающий, когда он положителен.
5. Мы объяснили фокусировку частиц в электрических лйнзах о
помощью ателогии со световой оптикой. Сделаем теперь то же самое,
рассматриван силы, действующие на частицу. На рисунке ИЗ пред -
ставлена линза, состоящая из трех сросных металлических цилиндров
одинакового диаметра. Крайние цилиндры заземлены, на средний по-
дан положительный или отрицательный потенциал. Линзы такого типа
используются в электронно-лучевых трубках и некоторых электрон -
ных микроскопах. На рио-унке изображены электрические силовые ли-
нии с указанием направлений сил, действующих на частицу. Допус-
тим; что частица влетает в линзу, двигаясь .параллельно ее оси.
В области Л действующая на нее сила имеет составляющую, нап -
равлнющую, направленную вверх. Эта сила будет смещать частицу
вверх. В области ’ направление вертикальной составляющей силы
изменится на противоположное. Однако, так как под действием
электрического полн скорость частицы непрерывно воэраотает, на
прохождение области В чаотица затрачивает меньше времени,чем
на прохождение облаоти А . Поэтому поперечная скорость.
-W -
приобретенная частицей в области Л , не может быть скомпенсж
рована скоростью противоположного направления, которую она полу-
чает в области В . В результате в областях Л и В и по вы-
ходе ив них частица будет двигаться вверх, приближаясь к оси ли!
аы. Аналогично, в области С на частицу действует сила, стремя'
цаяся удалить ее от оси лиазы, а в области Z) - приблизить. НС
в атих областях частица замедляется, а потому проводит в облает?
£' больнее время, чем в С . Поэтому при прохождении обеих
областей С н D вертикальная скорость частицы, направленная
вверх, возрастет. Эти рассуждения объясняют почему частицы приб-
лижаются к оси линзы. Конечно, оаи недостаточны, так как из них
не следует, что все частицы пучка соберутся в одной и той же
точке на оси линзы.
- 1&&-
§ 58. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ
ЛИНЗ.
I. Наряду с электрическими в электронной оптике применяются
магнитные линзы, а также системы электрических и магнитных линз.
Электрические и магнитные поля в таких системах обладают осевой
симметрией. Будем характеризовать электрическое поле скалярным
потенциалом V , а магнитное - векторным потенциалом Л :
£*= -ytacL V ; ' В = го€Л (58.1)
Примем ось симметрии эа ось X и введем цилиндрические коорди-
наты: X , t , . Составляющие вектора В в этой сис -
д __ ^Лг _ ^Лх.
f дх дъ
Ввиду осевой симметрии вектор В не может зависеть от ,
причем В=О . Значит,
м ал,
дх дг ’
а поэтому проекция вектора JL на любую меридиональную плос-
кость (х, г) является потенциальным вектором. А так как век -
торный потенциал Л -определен с точностью до градиента скаляр-
ной функции, то не теряя общности можно положить = 0 .
Таким образом, векторный потенциал можно выбрать так
содержал только одну составляющую Л\
как ненужный, т.е. полагая
« дЛ
дх i
чтобы он
значок ,
(58,2)
-у . Опуская у Нее
S Л* » получим
- /33 -
Отсюда
(58-з)
Входящий сюда интеграл не зависит от пути интегрирования, а толь-
ко от егс начальной и конечной точек. Действительно, для того что-
бы ато имело место, необходимо и достаточно, чтобы соблюдалось
условие
s"
“ at. s < ЭМ.) .
~а2 г эг -°
а это условие выполняется, так как оно является уравнением diu$=O
записанным в цилиндрической системе координат. Поскольку интеграл
в формуле (58.3) зависит от выбора начальной точки пути интегри -
рования, он определен с точностью до аддитивной постоянной, а
функция лм - с точностью до слагаемого вида £/г . Для то-
го чтобы эта функция оставалась конечной на оси системы, необхо-
димо положить С-О , т.е. помещать начальную точку пути ин -
тегрирования на оси системы. Значение функции не зави-
сит от того, в какой точке оси помещена эта начальная точка.
Действительно, воли путь интегрирования проходит вдоль оси сис-
темы, то Z:*e.onst=O , и выражение (58.3) переходит k-J^cLx. ,
т.е. обращается в нуль, так как на оси системы - ° . Условим-
ся поэтому помещать начальную точку на оси системы. Тогда выра -
жением (58.3) функция ЛМ определится однозначно.
2. Движение заряженной частицы с зарядом в в электромагнит-
ном поле в нерелятивистской механике может быть описано с помощью
функции Лагранжа
<-)
С. Ь*
В цилиндрической системе координат при нашем выборе векторного
потенциала /Ле ВО / /функция L равна
-ГЗ*-
L = -у (г1+хг+ z2<f2) + -£-Azj>-
Она не зависит явно от . Эначит, координата JP является
циклической и может быть исключена иа Z . Соответствующее
уравнение Эйлера-Лагранжа:
d 3L 3L
di ду df
в рассматриваемом случае принимает ид
(тг*ф + ^ Аг)^о.
Из него получаем
тг1у + ~ Аг ~ const.
Это уравнение выражает закон сохранения момента обобщенного
• импульса частицы Р » тгР + £ А . Входящая в него лоо -
тоянная должна обращаться в нуль. Иначе из уравнения
. д _ . 1
\ ' тс тг
при 2»0 получилось бы 2^=00 , что невозможно, т.к. t/
есть линейная скорость ваотицы в ее вращении вокруг оси X .
Таким образом, л
с'п е А
СР=-^с ~Г' ' J <58*5>
Используя эта выражение, преобразуем лагранжиан (58.4) к виду
/ = S- еv- Л*. <5в-6>
2 ( / 2тс*
ч Тем самым из функции Лагранжа исключена обобщенная координата vp
и соответствующая ей обобщенная скорость • Задача о
- d3S-
движении частицы распалась па две независимые задачи: определе-
ние угловой координаты Jp и определение координат Хаг . Для
решения первой задачи имеется уравнение (58.5). Вторая задача
может решаться о помощью функции Лагранжа (58.6). Формально вто-
рая задача идентична о задачей определения' траектории заряда в
в плоском электростатическом пол^ с потенциалом
= V * 2тсг (58.7)
К этой задаче полностью применимы результаты параграфа § 57. Её
формальным аналогом в оптике является задача о раопространении
светового луча в изотропной среде с показателем преломления
п =]/2m(W-eVj-~t4z = , (58.8)
где - полная анергии частицы, а
” показатель преломления'* при отсутствии магнитного поля. Для
получения окончательной формы траектории частицы надо наложить
на этот “луч" дополнительное вращение, выражаемое формулой (58.5).
3. Учтем теперь условие параксиадьаости, которое до сих пер
ещё не было иопользовано. Поскольку выражение (58.3) не зависит
от выбора начальной точки пути интегрирования на оси системы, при-
мем за путь интегрирования перпендикуляр, опущенный на эту ось из
точки, в которой вычисляется функция Л . Тогда а'х =0 , и сле-
довательно,
Разложим поле (х-г) в ряд по степеням г . Ввиду осевой
симметрии это разложение может содержать только четные степени Z t
Оборвем разложение на члене нулевой степени - в этом приближении
поле не зависит от Z . Вынося 1>х из-под знака интеграла и
интегрируя, получим •
1 гВ, .
Пооле подстановки в формулу (58.5) :
G9 — „
J 2гп.с
Таки образом в приближении параксиальной оптики угловая ско-
ромь вращения частицы <jP не зависит от наклона ее траектории к
оси системы. Так как в том же приближении 9 то
- 156 -
Следовательно,
<&> =,
dx dt dx
d'f _ _ eBx
dx 2mcv
(56.9)
Одинаковым значениям х соответствуют одинаковые углы поворота
траекторий частиц, независимо от их наклона к оси системы,. Отсю-
да следует, что произвольная система электрических и магнитных
линз с осевой симметрией способна давать изображения в параксиаль-
ных пучках. Ее отличие от центрированной системы линз световой
оптики или от системы электростатических линз состоит в том, что
изображение испытывает несущественный поворот вокруг оси системы
на-угол, определяемый формулой (58.9).
4. Выведем в заключение формулу для фокусного расстояния
тонкой магнитной линзы. Она может быть получена из (57.4), ер ли
п заменить выражением (58.8). На практике всегда .
Поэтому, разлагая (58.8) в ряд и отбрасывая члены высших степе -
ней, можно написать
С?2* 4п„с1
В рассматриваемом случае электрическое поле отсутствует, так
что V=0, „.=п = . Таким образом,
Выразим энергию частицы через потенциал V» по формуле W=e V0.
- «7-
'Тогда
J- О*»
/ ° ^С'И,.Д'3ж‘Д:' <5В.10>
Как и электростатическая, тонкая магнитная линза всегда являет-
ся линзой собирательной.
Заметим, что формулу для фокусного расстояния тонкой маг-
нитной линзы нельзя получить из соответствующих формул (57.5)
или (57.6) для тонкой электрической линзы, так как эти формулы
получены в предположении, что объемных зарядов нет, т.е. в
предположении, что V удовлетворяет уравнению ЛапдасаДУ=Р.
Величина же U. , на которую следует заменить V , урав-
нению Лапласа, вообще говоря, не удовлетворяет.
ЗАДАЧА.
Вычислить фокусное расстояние кругового витка тонкой про-
волоки, по которой течет тон силы 3 .
РЕШЕНИЕ. Магнитное поле в вакууме на оси кругового тока
дается выражением „ -v
“ с (х1+а+)У* *
где CL - радиус витка. Подставляя это выражение в формулу
йбе _ З.гле (7г
CL (58.11)
Здесь все величины должны.выражаться в аосолютной гауссовой сис-
<58.10), получим о
8mc*Ve J(
теме единиц. Подставляя значения входящих в (58.11) констант и
переходя к практическим единицам, находим для электронов
f г' IV. |а
J = “ f = “ ~~rji----------- * (58.12)
где выражается в амперах, Уо - в вольтах, а / и
сантиметрах. Из формулы (58.12) получаетоя формула для фокусного
расстояния короткой катушки с числом витков , по которой
течет ток :
•2
(58.13)
-13В -
<в
§ 59. О разрешающей способности электронного и
автоионного микроскопа
I. Предельное разрешение светового микроскопа лимитируется
дифракцией света. Предел разрешения не может быть меньше при-
мерно половины длины световой волны. В принципе предельное раз-
решение электронного микроскопа также определяется дифракцией
электронов; разрешаемое расстояние принципиально не может быть
меньше половины длины волны де-Бройля. Для длины волны де-Бройля
выше была приведена формула (49.6). Подставив в нее численные
значения соответствующих в знстант для электрона, легко получить
выражение ______
\П5СГ
Д = |/ -у ангстрем, (59.1)
где V -ускоряющий потенциал в вольтах. При V 150 вольт
получаем Л I R, при V = 15000 вольт Л я’0,1 R. В
лучших современных электронных'микроскопах ускоряющйе напряжения
достигают нескольких десятков, а иногда и сотен тысяч вольт. Поэ-
тому в принципе разрешающая способность электронного микроскопа
могла бы превосходить разрешающую способность светового микроокопа
в сотни тысяч раз. Однако практически это не так. Причина Заклю-
чается в том, что современные электрические и магнитные линзы об-
ладают большими геометрическими аберрациями. Устранение Таких
аберракций в электронном микроскопе достигается уменьшением аиер-
тур электронных пучков. Разрешаемое расстояние, обусловленное
дифракцией, обратно пропорционально синусу половины апертурного
угла. В лучших современных световых микроскопах апертурный
угол практически достиг своего теоретического предела Я*
В электронных микроскопах просвечивающего типа апертурный угол
не превосходит 0,01-0,001 радиана. Поэтому по сравнению о тео-
ретическим пределом разрешаемое расстояние в таких микроскопах
увеличивается'в 100-1000 раз. Для лучших современных электронных
микроскопов просвечивающего типа оно составляет примерно (Г К.
Значительно меньше разрешающая способность змиссионных
электронных микроскопов. В них изучаемый объект сам является
- Г39-
источником электронов. Электроны могут возникать в результате
нагревания объекта (термоэлектронная эмиссия), освещения (фото-
электронная эмиссия), бомбардировки электронами и ионами (вто-
ричная электронная эмиссия), а также под действием сильного элект-
рического поля (автоэлектронная эмиссия). Во всех случаях апер-
турный угол практически достигает 180°. Поэтому разрешающая
способность эмиссионных электронных микроскопов определяется иск-
лючительно.' геометрическими аберрациями. Дифракция электронов
не оказывает никакого влияния на разрешающую способность. При
оценке разрешающей способности мы пренебрежем различием в ско-
ростях эмитированных электронов, т.е. хроматической аберрацией.
В дальнейшем для упрощения расчета принимается, что все электроны
испускаются объектом с одной и той же скоростью 1ГО ,но в раз-
личных направлениях. Кроме того из различных геометрических абер-
раций учитывается лишь наиболее существенная для разрешающей
опособнооти, а именно сферическая аберрация. Сначала рассмотрим
олучай плоского объекта, плоскость которого перпендикулярна к
оптической оси микроскопа.
2. Пуоть пучок электронов вылетает из точки О объекта,
которую примем за начало координат (рис.114). Поскольку электроны
вылетают иэ точки О по всевозможным направлениям, пучок элект-
ронов вблизи этой точки не будет параксиальным. Однако, если
приложить очень сильное ускоряющее поле, параллельное оси X ,
то уже на очень малых расстояниях от О пучок электронов сде-
лается параксиальны». Пусть90. - плоскость, за которой элек-1-
тронный пучок может считаться параксиальным. Разобьем мысленно
всю электронно-оптическую систему на две подсистемы: подсистему
I между объектом и плоскостью 90 и подсистему 11, расположен-
ную за плоскостью . Подсистема 11 в дальнейшем рассматри-
вается как идеальная система, дающая строго точечные изображения
точечных объектов по законам параксиальной оптики. В подсистеме
I электрическое поле может считаться однородным и параллельным
Оси X • Плоскость 9а является одной из эквипотенциальных
поверхностей, а поэтому все электроны, достигшие этой плоскости,
будут иметь одну и ту же скорость, обозначаемую в дальнейшем бук-
вой V .В пределах подсистемы I электрон движется по параболе
~146~
Рис. 414
X. Sty ,
J ° 2m lC$inlcHa (59.2)
- jiOA наклона траектории электрона к оси X
то'&е 0 (рис.114). Ось параболы FB
, Ио смещена вниэ на. отрезок
i * ов = -Птё $in <*- c^rt-»
i Л »e’^ n
Jt смещена относительно U влево на
, mtrt 1-Г
1?’«--7W"'4 a
Проведем касательную к параболе в течке У .
у - составляющая скорости электрона в пределах подсистемы
где СХ*
начальной
оси X
а вершина
в
параллельна
отрезок
Так как
I постоянна, ,tq tro апал = ггапл , где сК - угол наклона
касательной ЕМФ к оси X .По условию угол <Х мал,
так что Л‘пс(о«с( « tfyd. .в силу известного свойства
касательной к параболе ТЛ =ЛЛ , откуда FB = £. +2с ,
где Z -расстояние меиду гоп
бия треугольников FBE и
NO = .
или
CL
t+2c
где О. - длина отрезка Л
а = t+2c - — 1
или после подстановки значе,
л пик* , тлгггс
а = Е + iej£ cos “ |е(F се>зоС*'
Так как 1Г„<с.1Г 1 , то вторым членом в этой формуле можно пре-
эскостями yz
МОЕ :
ОЕ
BE
а. t$<*
£ + аЛу<А. '
'О . Отсюда
g Mnd.
1ий б и е
и
Из подо-
tQ Sinci
небречь и написать
а -Е
ТП1Г1Гп
COSet,.
Если вращать рассматриваемую траекторию вокруг оси
то получится пучок траекторий, наклонных к оси X л°Д
и тем же углом О(в . Касательные к таким траекториям в
X ,
одним
точках
«2-
пересечения их с плоскостью будут пересекать оптическую
ось в одной и той же точке /У , смещенной влево от О на
расстояние а . При изменении угла СХв точка N будет
перемещаться вдоль оптической оси. Угол О(в может меняться
в пределах от О до J * Однако в целях оОщности не будем
фиксировать верхний предел угла (Хв , считая его, равным
произвольной величине U . Практически это может ййь достиг-
нуто диафрагмированием. Угол 2 и есть апертура электронного
пучка. Минимальному значению ск,— ^соответствует минимальное
значение длины отрезка ON :
amtn ~ ' ~ je|£ ’
а максимальному о(= U :
Л о muva
le\fCojU-
Таким образом, при изменении угла схо от до U точка
/V перемещается в пределах отрезка N,N^ (рис.115), длина
которого равна «
rniriTo ,)
= Olmctx ~ OLmin = cos J-
Итак, подсистема I дает мнимое изображение точки О в виде
отрезка оптической оси NtNz . Каждой точке этого отрезка
соответствуют траектории электронов, наклоненные к оптической оси
под одним и тем же углом (Хо : для точки » для
точки угол с(о принимает максимальное значение
о(о "U . Изображение отрезка NtN2 , даваемое подсистемой
II, очевидно, совпадает с изображением точки О , которое дает
вся система I + Л . Ввиду осевой сэдр^трии каждая точка от-
резка N, изобразится подсистемой В. в виде окружности опре-
деленного радиуса с центром на оси О . Совокупность таких
окружностей есть кружок, который и является изображением точки .
О , даваемым всей системой I +]1 . Размеры кружка зави-
сят от фокусировки. Расчет показывает (см.задачу к этому параг-
рафу), что минимальный кружок при малых апертурах 2 И полу-
чается тогда, когда цдоскость установки подсистемы II проходит
между точками N, и /V, на расстоянии от точки
-АЗ -
/V, , а при широкой апертуре 2 и = 7l - на расстоя-
нии приблизительно ® • Оба расстояния практически
не отличаются друг от друга. В пределах точности, на которую
может претендовать наш расчет, это различие нет смысла учитывать.
Можно принять, что независимо от величины кружок минимален при
такой фокусировке подсистемы П, когда ее плоскость установки
проходит на расстоянии Л а от точки . Этого еще
недостаточно длн-получения наилучшей четкости изображения. Пос-
ледняя зависит не только от размеров кружка, но и от распределе-
ния освещенности в нем. Однако мы не сделаем существенной ошибки,
если примем, что наилучшая четкость изображения достигается при
такой фокусировке подсистемы П, когда кружок рассеяния минимален
Таким образом, при наилучшей фокусировке плоскость установки
проходит приблизительно на расстоянии % ла от точки /V,
1усть фокусировка наилучшая. Плоскость установки проходит через
точку /у (рис.П5). Точка N изобразится точкой, точка
окружностью максимального радиуса и . Он и будет радиусом
кружка (в плоскости объекта), которым изображается точка О
Как видно из рисунка 115,
$in<*
-/44-
Подставив сюда значение Д СС и учтя соотношение
irsznc* = iro апи • » пол^чим
/ * г|ёмг fi-wujsou, (59.а)
где ^о=2' Гп^?‘ ~ среднее значение начальной кинети-
ческой энергии электрона. В частности, при отсутствии диафрагми-
рования
S = —• (59.4)
г|е|£
3. Если под микроскопом помещены два точечных объекта, то
микроскоп не всегда разрешит их, т.е. даст раздельные изобра-
жения этих объектов, по которым можно судить, имеем ли мы дело
с двумя точечными объектами, или только с одним. Для разрешения
нужно, чтооы расстояние между центрами кружков, являющихся изоб-
ражениями точечных объектов, было не меньше известного предела.
Ориентировочно можно принять тот же критерий разрешения, который
принимается в световой оптике. В световой оптике считается, что
для разрешения необходимо, чтобы расстояние между центрами круж-
ков было не меньше радиуса одного кружка. Согласно этому крите-
рию величина £ , определяемая выражениями (59.3) и (59.4),
является пределом разрешения эмиссионного электронного микроскопа
т.е. наименьшим расстоянием, разрешаемым им.
Допустим, что объектом является нагретый термокатод, испус-
кающий электроны. Как известно, электроны, вылетевшие из металла
в результате термоэлектронной эмиссии, подчиняются классичеокой
статистике Максвелла-Больцмана. Поэтому в рассматриваемом случае
£e=~j>“£7’ где к = 1,о8" Ю-К эрг.град постоянная
Больцмана, а J"’ -температура катода в градусах Кельвина.
Подставив в формулу (59.4) численные значения входящих в нее
постоянных, получим практическую формулу
б — 6500-^- ангстрем, (59.5)
где напряженность электрического поля Е вблизи катода изме-
ряется в вольтах на сантиметр. При ‘I = 3000°К И £ = 10^
в/см формула дает cT~2UU0 8, При более сильном поле £ = 10"
в/см предел разрешения понижается в десять раз и составлйет
- «5 -
сА» 200 8.
4. Для вывода формулы (59.3) происхождение электронов, ле-
тящих ст объекта, не имеет никакого значения. Поэтому формула
остается справедливой и длн электронных микроскопов просвечиваю-
щего типа. Вся разница в том, что в таких микроскопах апертура
2ц мала, в то время как в эмиссионных микроскопах она состав-
ляет 2jT . Кроме того напряженность поля в месте на-
хождения объекта в^микроокопах просвечивающего типа не может
быть отоль большой, как в эмиссионных микроскопах. При малых
апертурах формула (59.3) упрсщаетоя и переходит в
-Л . ,3
° ” 77ё/Г" U ' (59’б)
Удобно выразить энергию £• через ускоряющий потенциал
У , пробегаемый злектронсм: £e8/e/V . Тогда
у (59.7)
Отношение *£~ имеет размерность длины. Его значение не зави-
сит от того, какая применяется система единиц: практическая, или
С уменьшением угла и уменьшаются геометрические ошибки
изображения (сферическая аберрация). Но диффракционные ошибки рас-
тут. Минимальное разрешаемое расстояние, определяемое дифракцией
электронов, дается формулой -3
. А - l/sT
и V V U
Угол U имеет смысл уменьшать до тех пор, пока геометрические
сшибки не сравняются с дифракционными. Поэтому наивыгоднейшая
апертура, при которой достигается максимальное разрешение, опре-
делится иэ условия «С «s . Подставляя сюда значения
и , легко получить формулу
U*. 0,026- Е V t (59.8)
в которой ускоряющий потенциал выражается в вольтах. При V =
» 10^ в, £‘Ю3 в/см формула дает W* 0,0026 рад.
-5. Электронные микроскопы характеризуются большой глубиной
фокуса. Если плоскость установки подсистемы П проходит через
- /46-
средину отрезка л(Ч (рио.115), то'из-за сферической аберра-
ции радиуо изображения возрастет вдвое по сравнению с наименьшим.
Поэтому за меру глубины фокуса hf можно принять половину дли-
ны отрезка N , т.е.
Для эмиссионного микроскопа И = . Здесь большая глу-
бина фокуса обусловлена малостью скорости tQ пс сравнению с
V . Действительно, формулу (59.9) можно преобразовать к ви-
ДУ Л/ у _ п п
2/е/£ vo “ d iro (59.Ю)
В микроскопах просвечивающего типа скорости V и 1ГО прак-
тически одинаковы, и формула (59.9) преобразуется в
./ ,,i if
V * 'ЭД? “ = ~ ‘59Л1)
Здесь большая глубина фокуса достигается за очет малсоти апер-
турного угла 2и .
6. В настоящее время наибольшее разрешение достигается с
помощью автоионного микроскопа (или ионного проектора). Автои-
онный микроскоп позволяет "видеть" отдельные атсмы. Принцип уст-
ройства и действие этого прибора очень прост. Объектом является
полусферическая поверхность конца игловидного электрически заря-
женного металлического предмета. Она же выполняет функции микро-
скопа. Чем меньше радиус кривизны поверхности, тем большее раз-
решение может быть достигнуто. При подходящих режимах травления
тонких проволок могут быть получены иглы с радиусом кривизны
кончика значительно меньше 1000 8. Изображение кончика проекти-
руется на экран с помощью заряженных частиц, образующихся на са-
мом кончике. Частицы ускоряются под действием сильного электри-
ческого поля кончика иглы и летят к экрану практически радиально.
Экран удален от кончика иглы на расстояние порядка 10 см. Уве-
личение, даваемое ионным проектиром, равно отношению расстояния
от кончика до экрана к радиусу кривизны кончика и может состав-
лять несколько миллионов. Первоначально частицами, дававшими
изображение, служили автоэлектроны, вырываемые из иглы сильным
-«7-
электрическим полем. С помощью электронов удавалось достигнуть
разрешения примерно до 20 8. Дальнейшему продвижению мешали
главным образом большие тангенциальные скорости автоэлектронов
.(из-за высокой энергии ферми для электронов металла), а также
дифракция электронов, связанная с относительно большой длиной
волн де-Бройлн.,
Прогресс был достигнут, когда для изображения поверхности
иглы стали применять ионы водорода и гелия. Тангенциальные ско-
рости ионов,'дававших изображении, снижались путем охлаждения
жидким водородом. Влияние дифракции из-за относительно больших
масс ионов пренебрежимо мало. Автоионный микроскоп работает при
газовом наполнении, обычно гелием, при давлении I.I0-5- 3.10~’мм
ртутного столба. Нейтральные молекулы газа поляризуются и устрем-
ляются к кончику иглы под действием сильного неоднородного поля.
Последнее сообщает нейтральным молекулам скорости, превышающие
тепловые скорости в 10-100 раз. Приобретенную энергию молекулы
теряют при столкновениях с металлом кончика иглы. Скорость их
движения уже после одного столкновения может оказаться настолько
малой, что они не смогут преодолеть силы притяжения и окажутся
захваченными вблиэи острия иглы. Захваченная молекула прыгает
вблизи острия туда и сюда, продолжая терять приобретенную кине-
тическую энергию. Этот процесс продолжается до тех пор, пока замед-
лившаяся после сотен столкновений молекула не потеряет электрон
в результате туннельного перехода его в металл. Молекула превратит-
ся в положительный ион и устремитсн к экрану под действием сил
отталкивания положительно заряженного кончика иглы. При типичных
рабочих условиях отдельные атомы поверхности металла производят
ot до 10б ионов в секунду.
7. Для того, чтобы найти теоретический предел разрешения
ЙВТОЙонного микроскопа, надо рассчитать движение иона в электри-
ческом поле заряженной иглы. Основное значение для формирования
изображения имеет поле вблиэи кончика иглы. Поэтому мы не сделаем
существенной ошибки, если в расчетах заменим иглу равномерно заря-
женным шариком радиуса ? . Каждый ион, вылетевший с поверхности
шарика, будет двигаться к экрану по гиперболической траектории.
При рассмотрении этого движения экран может считаться бесконечно
- /4# -
удаленным. Пусть частица вылетает с поверхности шарика танген-
циально со скоростью Vo . Из теории кеплерова движения (см.
классический вывод формулы Резерфорда для рассеяния (X -частиц
в кулоновом поле ядра) извеетно, что угол 2 Л. между асимпто-
тами гиперболической траектории определяется формулой
. ТП1Г„ 1Г„,
*9*- |е|г£
где Е ~ напряженность электрического поля у поверхности шарика*
а 1Г„ - скорость частицы в бесконечности. Если пренебречь
скоростью 1ГЛ по сравнению с , то
mtrL
Q г 2.
Найдя отсюда и
-HV,
( (J заряд шарика). Следовательнс,
фд=|е|г£.
подставив полученное значение в предыдущую
формулу, получим
о( =

(59.12)
(Угол (X считается малым). Этой формулой определяется углевой
радиус кружка на поверхности экрана, который является изображе-
нием точечного объекта, расположенного на псверхнссти шарика.
Чтобы центр кружка сместить на угол СК , надо сместить точеч-г
иый объект по поверхности шарика на расстояние О =><!.&. . Величина
и может служить мерой разрешаемого расстояния. Таким об-
разом, /т , ' *
с’' • £ / ie-JT- • . (59.IS)
Выражая кинетическую энергию £«. через температуру шарика пс
формуле = 2" к jT получим
л IА1ЕЁЕГ
d = I/ lelE ‘ (59.14)
Нееле подстановки численных значений;
(Гs • /0 ангстрем. (59,15)
В последней формуле напряженность поля Е выражаетоя в вольтах
~ /4$ -
на сантиметр, радиус кривизны Ъ - в сантиметрах, темпера-
тура I - в градусах Кельвина. Высокое разрешение достигается за
счет больший напряженностей электрических полей (доходящих до
5.10® в/см), а также за счет охлаждения объекта. Температура
затвердевания жидкого водорода Т - 14°К. Для таких температур
ppg £*s 5.10® в/см и 8» 10“5 см формула (59.15) дает
' Задача
||дя эмиссионного злектронного микроскопа найти положение
плос; рЪти наводки подсистемы Л, при котором получается наимень-
ший кружок рассеяния.
' ... Решение. Пусть лв - плоскость навсдки (рис. 115). Если
отражаемые точки лежат левее ЛВ , то наибольшей окружностью
изобразится точка Aft . Радиус соответствующей ей окружности
в плоскости наводки равен (Aa-i)fyd ,
где i означает длину отрезка ' . Так как угол с(
рал, то можно принять “ Sin Л и воспользоваться
соотноиениеи tfcSinu ^VSintl . Тогда
г, » J Sin и. (59.16)
Коли же изображаемая точка лежит правее плоскости Jto (в поло-
жении ), то соответствующий радиус окружности будет
Здесь Л* означает угол В#3М , связанный с углом <Хе
соотноиениеи V~Sin= IQ Sin .
Очевидно
= а. -
Для воех точек, лежащих правее
и без существенной погрешности
mtrui /. )
= lelf j;
плоскости лв , угол </„ невелик
можно принять есго(в =/-jf 0<в .
Тогда
(=2le]F *• ;

Полагая Sin&a 2: de
, получим
-150-
Оставляя координату £ неизменной, найдем значение £ , при
котором радиус 2г максимален. Это будет при
Соответствующее значение 2г равно
Радиус изображении определится наибольшей из величин и % .
Минимальный радиуо получится при таком £ , когда .
Это приводит к уравнению
f Р’-ВД
При малых апертурах
mtrui г.
sin Ц ~ U : А а - -2 — и .
' Zleit
Уравнение (59.18) переходит в
= 2?
и имеет решение м54дй •
При максимально возможной апертуре 2и -JT получается
-2?(ла-ьУ.
Корень этого уравнения Д _ 622 да 0,68882 Д Л ~ II ддг .
903 ' 16
Остается оценить точность приближения Sinао=? <ЛО
использованного выше. В случае максимальной апертуры 2и =*
= 180° нетрудно получить
а - amin = № (1- cosa0).
При £ = 0,6888ДС имеем “ °»2296 ДА! •
Очевидно' £ « а. - а,щг, .
Поэтому
i - cosc(1>= 0,22%; са$ rte= 0,7704;
О(и = 0,6912 рад; 0,6374.
Ошибка не превосходит 8^. Поэтому для всех апертур допустимо
пользоваться значением 4 ~^/^г • как Э5?о и было сде-
лано е тексте.
- /61 -
§ 60. ограничение лучей при помощи диафрагм
I. Для получения четких изображений на практике выделяют
параксиальные лучи с помощью диафрагм. Роль диафрагм могут
играть также оправы линз или зеркал.
Пусть j£) (рис. 116) какая-либо диафрагма, a - ее
изображение впереди стоящими линзами. Если диафрагму h заме-
нить диафрагмой J)t , то будет так же ограничивать лучи,
как и 2) . В самом деле, в приближении параксиальной оптики,
всякий луч, проходящий через крои отверстия диафрагмы J), ,
Проходит и через край отверстия диафрагмы JD . Следовательно,
все реальные диафрагмы можно заменить их изображениями, получае-
мыми с помощью впереди стоящих линз. Тем самым все диафрагмы
йысЛЬНно как бы переносятся в пространство предметов. Этим дости-
гается то упрощение, что при исследовании действия диафрагм можно
бтвйеФься от преломления лучей.
Точно также все реальные диафрагмы можно мысленно перенести
в пространство изображений, если заменить эти диафрагмы их изоб-
ражениями, получаемыми с помощью позади стоящих линз.
Рис.116
2. Указанным способом мысленно перенесем все диафрагмы в
- «2-
Рис.117
л
пространство предметов (рис.117). Воображаемая диафрагма ,
которая видна под наименьшим углом из точки предмета , ле-
жащей на главной оптической оси сиотемы, всего более ограничивает
лучи, исходяцие из . Она называется входным зрачком или
входным отверстием системы. Реальная диафрагма, изображением
которой является входной зрачок, носит название апертурной или
действующей диафрагмы. Если апертурная диафрагма находится
перед передней'линзой, то она совпадает с входным зрачком.Таким
образом, апертурная диафрагма всего более диафрагмирует лучи,
исходящие из точки предмета, лежащей на главной оптической оаи
системы. Поэтому от размеров апертурной диафрагмы зависит яр-
кость изображения. При изменении апертурной диафрагмы меняется
светосила прибора. Угол 2 и , под которым виден входной значок
из точки предмета , называется апертурным углом со стороны
-ЛГ5 -
предмета или углом раскрытия. Его называют также апертурой сис-
темы.
. Изображение апертурной диафрагмы, получаемое с помощью по-
зади стоящих линз, называется выходным зрачком или выходным от-
верстием системы. Можно также оказать, что выходной зрачок есть
изображение входного зрачка, даваемое воей системой. Выходной
зрачок, очевидно, всего более диафрагмирует лучи, проведенные
из точки {Р1 , являющейся изображением точки предмета !Р , ко-
торая лежит на главной, оптической оси. Угол 2и' , под кото-
рым выходной зрачок виден из Ф' , называется апертурным углом
оо отороны изображения или углом проекции системы.
В зрительных трубах апертурной диафрагмой часто служит край
объектива. В таком случае этот край играет роль и входного зрачка,
а его изображение, даваемое окуляром, нвляетсн выходным зрачком.
Если держать трубу на некотором расстоянии от глаза против свет-
лого фона, то выходной зрачок будет виден как действительное или
мнимое изображение.
В некоторых случаях апертурной диафрагмой может олужить ра-
дужная оболочка глаза. Ее изображение, даваемое роговой оболочкой
и водянистым телом глаза, называется зрачком глаза.
Лучи, проходящие через центр апертурной диафрагмы, называются
главными лучами. В приближении параксиальной оптики главный луч
проходит также через центры входного и выходного зрачков.
Если предмет находится на бесконечности, то входным зрачком
является то изображение диафрагмы в пространстве предметов, ко-
торое имеет наименьший диаметр. Аналогично, если изображение по-
лучается в бесконечности, то выходным зрачком является то изобра-
жение диафрагмы в пространстве изображений, которое имеет наимень-
ший диаметр.
' 3.-Если точка предмета лежит на главной оптической оси сис-
темы, то всякий луч, проходящий через входной зрачок, пройдет и
Через оптическую систему. Но еоли луч исходит из точки предмета,
не лежащей на главной оптической оси, то этот луч может и не
пройти через оптическую систему даже в том случае, когда он про-
вел через входной зрачок. Он может быть задержан другими диафраг-
мами. Чтобы разобрать этот вопрос, рассмотрим сначала только
главные лучи.
- /5- 4-
‘Га диафрагма, которая всего больше ограничивает главные лу-
чи, называется диафрагмой поля арения. Коли бы входной зрачок был
бесконечно малым, то все лучи, проходящие через систему, могли бы
считаться главными. Поэтому при бесконечно малом входном арачке
поле зрения было бы резко ограничено и определялось размерами
диафрагмы поля зрения. Изображение диафрагмы поля зрения, давае-
мое впереди стоящими линзами, называется входным окном или вход-
ным люком системы. Изображение диафрагмы поля зрения, даваемое
сзади стоящими линзами, называется выходным окном или выходным
люком. Можно также сказать, что выходной люк еоть изображение
входного люка, даваемое всей системой. На рис.II? входной люк изоб-
ражен диафрагмой . При бесконечно малом входном зрачке
угол поля зрения со стороны предмета равен углу 2.Vt , под
которым входной люк виден из центра входного зрачка. Аналогично
определяется угол поля зрения 2W со стороны изображения.
В действительности входной зрачок имеет конечные размеры.
Это может повести к нарушению резкости границы поля зрения. В
самом деде, из рисунка II7 видно, что любой луч, исходящий из то-
чек, лежащих между Л и А’ 'и прошедший через входной зра-
чок, пройдет и через оптическую систему. Лучи из точки В
пройдут через оптическую систему, если они попадают в нижнюю по- -
ловину входного зрачка; лучи, попадающие в верхнюю половину вход-
ного зрачка, задерживаются диафрагмой поля зрения и через опти-
ческую систему не проходят. Для лучей, выходящих из В' . верх-
няя половина входного зрачка оказывается как бы закрытой диафраг-
мой поля зрения. Наконец, лучи, исходящие из тоуек, лежащих даль-
ше С И С , через оптическую систему вообще не пройдут.
Таким образом, на краю поля зрения будет наблюдаться непрерывное
ослаоление освещенности. Оно называется затенением или виньетиро-
ванием. При наличии виньетирования поле зрения ограничено не рез-
ко. Для того чтобы виньетирования не было, необходимо, чтобы вход-
ной люк системы лежал в плоскости предмета. Поэтому почти во всех
визуальных оптических системах для устранения виньетирования
применяют диафрагмы поля зрения, помещяемые обычно в передней
фокальной плоскости окуляра.
4. В оптических инструментах изображение обычно восирини-
- /33-
мается на какую-нибудь поверхность, например, матовое отекло,
фотографическую пластинку, сетчатку глаза и т.п. эта поверхность
перпендикулярна к главней оптической оси системы и в первом приб-
лижении может быть принята за плоскость (плоскость изображения;.
Между тем в большинстве случаев предмет, изображение которого
надо получить, бывает пространственным, а не представляет собой
плоскости или какой-либо прсстой поверхности. Возникает вопрос,
изображением чего яйляетсн картина, получаемая в плоскооти изоб-
ражения оптической системы? Найдем в пространстве предметов
плоскость, оптически сопряженную с плоскостью изображении.Она
называетоя плоскостью установки или плоскостью наводки. Спроеци-
руем предмет из центра входного зрачка на плоскость установки.
Эта проекции и является тем объектом, изображение которого более
или менее резко передает оптическая система. Действителльно,
главный луч, исходящий из любой точки предмета, проходит также
через ее проекцию на плоскооть установки. Он является центром
пучка лучей, исходящих из зтой точки. Коли точка предмета лежит
в плоскости установки, т.е. совпадает оо своей проекцией, то ее
изображение получится резким. Если же она не лежит в плоскости
установки, то ее изображение получится в виде кружка рассеяния,
центр которого является изображением проекций этой точки на
плоокооть установки. Чем больше апертурная диафрагма, тем шире .
пучки, исходящие из точек предмета, а следовательно, тем больше
размеры соответствующих кружков рассеяния. Если бы пучки не были
совсем ограничены диафрагмами или краями линз, то кружки рассея-
нии занимали бы всю плоскость изображении, и изображение не мог-
ло бы вообще быть получено. Отсюда нсно, насколько важную роль
играет диафрагмирование при получении изображений объемных пред-
метов.
5. Длн того, чтобы изображение было достаточно резким, необ-
ходимо, чтобы диаметр кружка раосеяния не превосходил известного
предела d (например, 0,1 мм). Этим определяется глубина резко
изображаемого пространства. Найдем выражение для зтой величины
в приближении параксиальной оптики. Пусть (рис.118) -
входной, ДД - выходной зрачки; Ф - точка предмета на
оптической сои; <Р‘ - ее изображение; ЕЕ - плоскооть
- 1SS-
Рис.118
изображения.
Опишем из , как из центра, кружок Диаметра I .Сое-
диним диаметрально противоположные крайние 'точки Л и Л' атого
кружка с краями D, и •£/ выходного зража. В пересечении
с оптической осью получатся точки « 3' . Пусть 9? и
- сопряженные им точки в пространстве предметов. Расстоя-
ние ' <ГХ = 5?^ и определит глубину рбзко изображаемого
пространства. Пусть X и X - координаты сопряженных то-
чек Р и Ф' относительно главных фокусов системы*. Из урав-
нении (58.21) с. точностью до членов второго порядка получаем
х’<гх*х<гх'-д.
С той же точностью, как видно из рисунка 118,
луd _d_
° Л ~ toil' ~ и‘
Следовательно, а .
»-Н
- 157 -
Комбинация этой формулы с формулами (53.16), (53.22), (53.23)
приводит к результату v
лу АД
0 Л /и (60.1)
Если р - расстояние от предиета до входного зрачка, а 8 -
- радиуо последнего, то 11 = . Для объектива фотоаппара-
та можно принять X. ~ р • Тогда
бЛХ в (60.2)
Каждому фотографу известно, что при недостатке глубины изобра-
жения надо либо уменьшить апертурную диафрагму, либо удалиться
от фотографируемого объекта.
6. Положение входного зрачка по отношению к плоскости ус-
тановки определяет перспективу, в которой виден предмет. Если
входной зрачок расположен за предметом в направлении лучей, то
при проецировании предмета из центра входного зрачка на плоскость
установки ближние к оптической системе части предмета получат
большее увеличение, чем дальние. При таком расположении близкие
предметы на изображении будут получаться больше, чем равные им
более далекие предметы (нормальная или энтоцентрическая пер-
спектива). Напротив, если входной зрачок лежит перед предметом,
то на изображении близкие предметы получатся меньше, чем рав-
ные им более далекие предметы (гиперцентрическая перспектива).
Наконец, в промежуточном случае, когда входной зрачок удален
в бесконечность, величина изображения не зависит от расстояния
предмета до оптичеокой системы (телецентричесИая перспектива).
Изменение расстояния до предмета оказывается в этом случае не
на величине изображения, а на его резкооти. Поэтому такая пер- -
спектива применяется в измерительных микроскопах, так как
результат измерения при этом не зависит от точной установки
измеряемого предмета. Чтобы ее осуществить, достаточно поместить
апертурную диафрагму в задний фокус линзы Lt (рис.116),
-158-
В зрительных трубах, когда-предмет практически находится'
в бесконечности, необходимо, чтобы величина изображения, проеци-
рующегося на шкалу с делениями, не зависела от точной установки
шкалы. Этого можно достигнуть, поместив апертурную диафрагму в
передний фокус линзы (рис.116). Тогда выходной зрачок уда-
лится в бесконечность, главный луч будет параллелен оптической
оои и встретит плоокость шкалы на одном и том же удалении от оп-
тической оси. Следовательно, величина изображения на шкале не
будет зависеть от ее положения.
-159-
§ 61. Эйконал Зейделя
I. Перейдем к изложению геометричеокой теории аберраций.
Геометрическими аберрациями называют отступления от гауооовой
параксиальной оптики, обусловленные тем, что в образовании изоб-
Ё«гений принимают участие непаракоиальные пучки лучей. Теорию
ерраций можно было бы построить, учтя в выражении для углово-
. го эйконала высшие члены разложения: W,, W.
фднако дифференцирование углового эйконала дает не сами абер-
рации, а координаты точек пересечения луча с предметной плоско-
стью и ° плоскостью изображений. Удобнее ввести новые перемен-
ные и новую характеристическую функцию, производные которой не-
посредственно дают аберрации оптической системы.
Произвольный луч в пространстве предметов можно задать
моугольными координатами точек пересечения его с предметной
костью и плоскостью входного зрачка. Обозначим эти координаты
соответственно черва У ’ 2 и I . 7, . Им соответ-
ствуют в пространстве изображений координаты < , 2* и £ ,7
точек пересеченна сопряженного луча с плоскостью изображений и
плоскостью выходцрго зрачка.
Направляющее косинусы , Sy, 5г луча
в пространстве предметов связаны о координатами У, г,?, 7 соот-
ножвниями К .,
пря-
плоо-
где X - расстояние
Аналогична* если х'
кости изображений, то
!Ы
“ 7 с . * (6I.I)
5у *г
входного зрачка от предметной плоскости.
' - расстояние выходного зрачка от плоо- -
5.
(61.2)
связаны со старыми переменными
нелинейными соотношениями. Вместо них
* ~z* *,/* 7* • опреде-
Коор;
удобно ввеоти переменные г> 7*, ч
ляемые соотношениями:
~160-
(61.3)
(61Л)
s3f ---.---fi *
В гауссовом приближении Vi-Sy-S' =1 , а потому Г-7.
7* - 7 и
Для .упрощения вычислений введем разные единицы длины в
предметной плоскости и в плоскости изображений, а также в плос-
костях входного и выходного зрачков. За единицу длины в пред-
метной плоскости примем произвольный отрезок с , а в плос-
кости изображений - отрезок , являющийся изображением *
в параксиальных лучах. Аналогично, в плоскости входного зрачка
примем за единицу длины произвольный отрезок Л , а ею
изображение Л в параксиальных лучах - за единицу длины в
плоскости выходного зрачка. В гауссовом приближении
У _ У7 . г e & •
7Г ~ V * С * *
* у* J*
-=“Г ‘ л = "У * ‘61-б>
у Z 1! г
т.е. отношении > ~£~ ’ д ’ "д” инварианты относительно
преломления лучей в оптической системе. Отношения (61.5),
(61.6) или их произведения на какую-либо постоянную удобно
принять за новые переменные. Отношения (61.5) принято умножать
на инвариант параксиальной оптики Лагранжа-Гельмгольца (53.23),
т.е.
на величину
Я SX — -«и—
С X
зс‘
(61.7)
Отношения (61.6) принято брать без изменений. В резуль-
тате получается следующая система переменных: ,,
(61.8)

(61.9)
Л
Эти переменные носят название, переменных Зейделя, так как они
лишь несущественно отличаются от переменных, которыми пользо-
вался сам Зейдель, когда он в 1856 году впервые построил систе-
матическую геометрическую теорию аберраций третьего порядка.
Переменные Зейделя удобны-тем, что в гауссовом приближении они
инвариантны относительнс преломления лучей в оптической систе-
ме, т.е. в этом приближении ~ Уо ’ в ?в и т,д"
Мы не ограничились формальным введением переменных Зейделя,
но указали также наиболее естественный путь, каким к ним можно
прийти. Для построения теории это не обязательно. Пожне было бы
без всякой мотивировки формально ввести.новые переменные по фор-
мулам (61.8) (61.9), определив
ниями (61.3) и (61.4). Читатель
ния и опустить все рассуждения,
(61.3), (61.4), (61.8), (61.9)
разования: , .
соотноше-
может встать на такую точку зре-
приведенные выше. Ms соотношений
находим формулы обратного преоб-
$
4
(61.10)
2. Пользуясь формулами (61.10), преобразуем дифференциал
(51.5) к виду
Коли ввести функцию:
(6I.II)
то предыдущая формула примет вид
& = 6?.'-?.)^.* <7.-7.)*.- (61.U,
- (*.'-л)^7.'-
Выражение ё> , рассматриваемое как пункция переменных 5^,2.,^.,?’
называется эйконалом Зейделя. Этот эйконал не имеет какого-либо
Простого геометрического смысла. Его частные производные даются
формулами: пе, 1
h'-b - 7 '-7 = /
дуп ’ /в Л ’ (, (61.13)
Так как в гауссовом приближении г-'t.
то этими простыми и симметричными формулами оразу определяются
отклонения от гауссовой параксиальной оптики. В частности, выра-
жения &УВ'= УВ~УВ к s дают проек-
ции на оси У и Z отклонении точки пересечения луча о плос-
костью изображения от точки, в которой ее пересекают параксиаль-
ные лучи. Разумеется, эти отклонении выражены в специальных еди-
ницах. Переход к обычным единицам производится с помощью формул
(61.8), которые дают
, х' / де' 3S
~ nW щ
8S
(61.14)
Д2" =» AZO z j, л _
п'Л п'Л d?o
§62. Аберрации третьего порядка
Разложим эйконал Зейделя в степенной ряд по аргументам:
Ув»*®, £о, Л . Ввиду осевой симметрии в
разложение могут войти лишь.члены с четными степенями. Если
ограничиться членами второй степени, т.о получится приближение
параксиальной оптики. Но в приближении параксиальной оптики
левые части уравнений (61.13) обращаются в нуль, а потому в
этом приближении — О . Отсюда оледует, что члены второй
отепени должны отсутствовать, и разложение может начаться толь-
ко с членов четвертой или высших степеней. При осевой симметрии
оптической системы эйконал Зейделя может быть функцией только
инвариантов вращения:
(б2л)
Следующее пооле параксиальной оптики приближение получится,
воли в разложении зйконала Зейделя сохранить только члены чет-
вертого порядка. В атом, приближении общее выражение зйконала
Зейделя для центрированной оптичеокой системы имеет вид
$ в ~ ** - " Със. * - у- +/г«+^ав(62.2)
где А в, с - постоянные. Аберрации &УояУё~Уо и
Л? 'и?, найдутся дифференцированием этого выражения по
' • Они будут выражаться оумйами членов третьей
степени по аргументам ув> ’
^апе аберрации называются аберрациями третьего порядка. Если
бы в’разложении сохранить члены шестой степени, то к аберрациям
третьего добавились бы аберрации пятого порядка и т.д.
Теория аберраций третьего порядка на основе разложения
зМгоиала Зейделя в степенной ряд была построена известным немец-
ким аотрономом Карлом Шварцшильдом. В дальнейшем Кольшуттер
дополнил ее аберрациями пятого порядка. Мы ограничимся рассмот-
рением только аберраций третьего порядка.
Без потери общности координатную плоскость XV можно

цровести через рассматриваемую точку.предмета и главную опти-
ческую ось. Тогда Z, = О , и формулы (6I.I3J, (62.2)
дадут
ду.' = Й£ *Z*)~Fy„ + 1 (й.а)
+ 6гс^уД'-£у/;' !
Член, содержащий коэффициент Л,не оказывает влияния на аберра-
ции третьего порядка. Они зависят только от пяти коэффициентов:
В, С, D, Е, F . Прежде чем их классифицировать заме-
тим, что переменные ?'* и Z* отличаются от координат
2* и у членами третьего порядка, в чем нетрудно убе-
диться почленным вычитанием формул (61.2) И (61.4). Как пока-
зывают формулы переменные Зейделя отли“
чаются от (/д' к также членами третьего порядка. Замена
в (ь2.3) переменных К > переменными^^' ,3^д» скажется
лишь на членах пятого порядка, которыми мы уже пренебрегли.Та-
ким образом, в теории аберраций третьего порядка можно считать,
что переменные Зейделя {?' и 7 определяются формулами
ь' 7' 7‘
L=~ir > X
т.е. являются просто прямоугольными координатами точки пересече-
ния луча с плоскостью выходного зрачка, измеренными в специальных’
единицах. С той же точностью в формулах (62.3) Переменные^
можно заменить переменными . Таким образом,
+ (2С+п)£?а~Еу* ; >
лг' ~В?а 2F&Z.T* + DyJ л J
При этом о точностью до членов третьего порядка справедливы
соотношения
(62.6)
-/£S~
Теперь можно перейти к классификации различных аберраций
третьего порядка. С зтой целью введем понятие аберрационной
кривой. Так называется кривая, по которой гауссова плоскооть
Изображения пересекает пучок лучей, проведенных из рассматрива-
емой точки предмета через окружность входного зрачка. Часть
плоскости, ограниченная аберрационной кривой, и будет изобра-
жением зтой точки предмета. Запишем уравнение окружности вход-
ного зрачка в виде
(62.7)
Подотавив эти значении в формулы (62.5), получим
Ду/ «5 6'ia>S'p-F6''tye (i+2cosс ^Ey^cosf-Eyэ]
AZe'= B6^iny-2F<f*ye&nfeosf+DO'y*sinf. j
м
Тем самым аберрации третьего порядка разложены по степеням ра-
диуса вхсц нф га б" . Реальный смысл, конечно, имеют сами
суммы (6?^9Г^,^ а* слагаемые, из которых они состоят. Однако в
целях "часкяi*“jm или имеет смысл рассматривать отдельно слагав-
шие одинаковых степеней по б~ . Связанные с ними аберрации
получили специальные названия.
Рассмотрим их в отдельности.
2. Сферическая аберрация. Эта аберрация происходит от
членов третьей степени по СТ” . Аберрационная кривая выражает-
ся уравнением
Az'-B^Sinf (б29)
м представляет окружность с центром в гауссовом фокусе. Радиус
окружности пропорционален кубу входного зрачка и не зависит от
положение изображаемой точки. Таким образом, при наличии одной
только сферической аберрации каждая точка предмета изображается
в виде кружка рассеянии, радиус которого не зависит от положе-
нии зтой точки. Освещенность кружка рассеяния быстро убывает от
центра к краям. Длн иллюстрации на рисунке 119 олева входной
зрачок равделен на пять колец одинаковой площади. На каждое из
колец приходится 20% падающей энергии. Рядом начерчены сопряжен-
ные кольца в гауссовой плоскоститгаображений. На маленький кружок
- «в-
в центре, согласно геометрической'оптике, приходитсн такая хе
анергия, как и на каждое иа окружающих его колец. Это наглядно
показывает, несколько быстро освещенность спадает от центра к ..
.краны.___________ __________________________________
Происхождение сферической аберрации можно наглядно пояс-
нить на чертеже (рис.120). Пусть,точечный объект лежит на глав-
ной оптической сси системы. Выходящие иа неге параксиальные
лучи встречают гауссову плоскость изображений в точке 9 .
Лучи, проходящие через окружность выходного зрачка DD ,
сойдутся на оптической сси в точке Л1 , которая может лежать
как ближе, так и дальше 9 . Лучи, проходящие через какую-
либо окружность в плоскости выходного зрачка, концентрическую
с окружностью -4U)’ , оойдутоя на оптической оси между
Л и 9 . Расстояние JU9 называется продольной сферичес-
кой аберрацией. Если в 9 поместить экран, то на нем получится
светлый кружок радиуса 9 А . Радиус 9А называется попереч-
ной сферической аберрацией. С точностью до членов третьего по-
рядка включительно поперечная аберрация пропорциональна кубу
апертуры 2и . Отсюда следует, что продольная аберрация про-
порциональна квадрату апертуры. Если экран перемещать от гауссо-
-/67-
Рис.120
вой плоскости по направлению к Л , то радиус кружка рассея-
ния сначала будет уменьиаться, а затем начнет увеличиваться. Наи-
меньший кружок рассеяния получится на экране ВВ' , расстонние
которого от гауссовой плоскости лл составляет три четверти про-
дольной аберрации М9 (см. задачу к § 59)., Радиус этого круж-
ка в четыре раза меньше радиуса соответствующего кружка в гаус-
совой плоскости. Освещенность минвдадыього кружка рассеяния
практически постоянна по всей его,,площади. Поэтому плоскость
вв' •, строго говоря, не даляетсн плоскостью наилучшей отчет-
ливости изображения. В теории дифракции доказывается, что при
наличии одной только сферической аберрации третьего порядка
плоскость наилучшей отчетливости изображения лежит посередине
между точками 9 » . Практически, однако, плоскость
вв' можно фрицядь за плоскость наилучшей отчетливости
изображения, '^акммычиоступили в..§ 59 при рассмотрении вопроса о
-ff<B —
разрешающей способности электронного микроскопа.
8. Койа» Если из ?оех коэффициентов В, C,D,E, 1г
только коэффициент р отличен от нуля, то соответствующая
аберрация называется комой. В этом случае
(* +2cos‘f) ,
AZO' = ~2p6'iya SinfcOSY ,
1 (б2Л0)
Д2а' - -F6*y, ап2у>, ]
Аберрационная кривая представляет окружность радиуса J •
центр которой смещен относительно гауссова фокуса на
в направлении оси У ( Диаметр этой окружности пропорциона-
лен квадрату радиуса входного зрачка и расстоянию точки - объек-
та от оптической оси. Он равен расстоянию центра окружности от
гауссова фокуса. Используя это, легко составить представление о
характере изображения точечного объекта при наличии одной толь-
ко комы и отсутствии других аберраций. Проведем в плоскости
входного зрачка произвольную окружность, центр которой совпадает
о центром зрачка. Лучи, исходящие из точечного объекта и проходя-
щие через эту окружность, пересекут .плоскость изображения также
по окружности. Совокупность таких окружностей и даст изображение
рассматриваемого точечного объекта. Окружности имеют две прямо-
линейные огибающие пересекающиеся в гауссовом фокусе и составляю-
щие меаду собой угол 60°. Ось У является биссектрисой угла
между огибающими (рис.121). Изображение точки, таким образом,напо-
минает комету. Отсюда и произошло название /'кома'.' Происхожде -
ние комы ясно из рисунка 122.
4. Астигматизм косых пучков и искривление фокальной
поверхности. Астигматизм косых пучков и искривление поверхнос-
ти изображения удобно рассматривать совместно, так как обе эти
аберрации обусловлены членами первой степени по б* и второй
степени по ув . Они возникают, когда оба коэффициента С и
X) или один из них отличны от нуля. Еоли все прочие коэффици-
- /69-
виты равны нули, то формулы (62.3) и (62.8) переходят в
ду.'=(гс 1 (ы
д?; = л/?; - j
Отсюда видно, что аберрационная кривая представляет эллипс с
Рис.121
Рис.122
центром в гауссовом фокуое. Поэтому при наличии только рассматри-
ваемых аберраций точечный объект изображается в гауссовой плоскос-
ти в виде пятнышка, имеющего форму эллипса. Одна ось эллипса до-
жит в меридиональной плоскости ХУ • другая в перпендикуляр-
ной к ней плоскости, параллельной плоскости ZX . Такая плос-
кость, называется экваториальной или тангенциальной. Длины осей
эллипса пропорциональны радиусу входного зрачка и квадрату рас-
стояния изображаемой точки от главной оптической оси.
Когда экран, на котором получается изображение, смещается
из гауссовой плоокости параллельно самому себе, точка по-прежнему
изображается эллипсом, но форма эллипса зависит от положения эк-
рана» При двух положениях экрана эллипс вырождается в прямоли-
-'70-
нейный отрезок. В одной положении отрезок лежит в меридиональной,
в другом - в экваториальной плоскости. Длн исследования вопроса
перейдем от переменных Зейделя к обычным координатам. Используя ,
формулы (61.8) и (62.4), получим
= X7 , I (62.12)
л?'-% ьу*?'. I
Примем за начало координат центр О' выходного зрачка (рио.123).
Рис.123
Координаты точки £7^ пересечения какого-либо луча, исходящего из
точечного объекта, с плоскостью выходного зрачка .£> будут
О, . Этот луч пересечет гауссову плоскооть в точке
Q с координатами Xх, у'+Ьу' , hZ1 . ..Обозначим
Х,ХИ координаты точки пересечения R рассматриваемого луча
с плоскостью экрана Э • Условие того, что три точки Q
лежат на одной прямой, выражается уравнениями
JL _ У-?1 _
х' . у'+ьу'-f AZ-J"
- ГМ ~
Если в этих уравнениях положить £
них находим
то получатся значения координат Хв,^ точки пересечения
параксиального луча с плоскостью экрана Э • Поэтому
У-Х=?’+•£
Z-Z.-zvX fa'-?'),
или после подстановки значений (62.12)
y-y.-p-J-S'fiMHi'.
Если
1 'X • т\ ./^ z>
2 ~-J7 + ~^7Г=0 л (62.14)
ТО z-л =<? независимо от того, каковы значения
jfa и . Эллипс вырождается в прямолинейным отрезок, ле-
жащий в меридиональной плоскости ХУ . Такой отрезок называет-
ся меридиональным или сагиттальным изображением этой точки. Ког-
да диаметр входного (а следовательно, и выходного) зрачка беско-
нечно мал, отрезок вырождается в точку, .и уравнение (62.14) опре-
деляет меридиональное сечение так называемой сагиттальной фокаль-
ной поверхности. Сама фокальнан поверхность являетсн поверхностью
вращения вокруг главной оптической оси и в рассматриваемом нами
приближении может считаться сферой. Радиус кривизны сагитталь-
ной фокальной поверхности найдется из уравнения (62.14). Так как
второй член этого уравнении второго порядка малости по у' ,то
в этом члене можно положить X У' — У • В резуль-
тате получается следующее уравнение меридионального сечения сагит-
тальной фокальной поверхности:
-т-
Х-х'-п'ЯУ1.
(62J5)
Из него находим
± ~2п'Ь.
Радиус кривизны yj считается положительным, если свет прохо-
дит через фокальную поверхность ст выпуклой стороны к вогнутой.
Аналогично, если обращается в нуль выражение в фигурных
скобках первой формулы (62.13), то изображением течки будет
прямолинейный отрезок, лежащий в экваториальной плоскости. Такой
отреэск называется тангенциальным изображением рассматриваемой
точки. Если входной зрачок бесконечно мал, то отрезок вырождает-
ся в точку. Геометрическое место таких точек есть поверхность
вращения вокруг главной оптической оси, называемая тангенциальной
фокальной поверхностью. Ее радиус кривизны, очевидно, определяет-
ся выражением
~ =2п
(62.16)
Сагиттальная и тангенциальная вокальные поверхности касаются
друг друга в общей точке их пересечения с главней оптической
осью системы.
Величина называется тангенциальным, а Е) -сагит-
тальным изгибом вокальной поверхности. Полуразнооть обеих кри-
визн , , , ч
(62.17)
называется астигматизмом, а их полусумма
= (62Л8)
- искривлением поля.
5. Дисторсия. Коэффициент Е не равен нулю, все прочие
коэффициенты равны нулю, йз формулы (62.5) или (62.8) получаем
±ак как уо и yj имеют смысл расстояний 2О и 2О‘
точечного объекта и его изображения от главной оптической оси,
то обе формулы можно объединить в одну
дг/ Р-£го3.
Отсюда видно, что при наличии только рассматриваемой аберрации
каждая точка изображаемся резко в . идо точки, каков^ бы ни были
размеры диафрагмы. Однако отклонение изосражения тонки от соот-
ветствующего гауссова фокуса пропорционально кубу расстояния
. Поэтому нроидходит искажение (дисторсия) изображения.
Прямые линии, проходящие черев главную оптическую ось, изобража-
ются в виде прямых. Все прочие прямые при изображении искрив-
ляются. При отрицательном Е изображения точек смещаются отно-
сительно соответствующих гауссовых фокусов наружу, т.е. от глав-
ной оптической оси. Такая дисторсия называется подушкообразной
(рис.1246). При положительном Е смещения происходят внутрь -
к главной оптической оси. Соответствующая дисторсия называется
бочкообразной (рис. 124в).
Рис.124 •
6. Полное устранение всех аберраций третьего порядка невоз-
можно. На практике речь может-идти только об определенном опти-
муме, зависящем от задач, которые должна решать оптический при-
бор, Наиболее вредными из всех аберраций третьего порядка яв-
ляются сферическая аберрация и кома. В большинстве случаев
их надо как можно больше ослаблять. Уменьшая диафрагму, мож-
но практически полностью устранить обе эти аберрации. После этого
подбором линз надо устранить дисторси»| а затем астигматизм и
изгиб фокальной поверхности. Но уменьшение диафрагмы идет за
счет светосилы прибора и увеличивает дифракционные ошибки. Дис-
торсия вредна в фотографических объективах. В астрономических
приборах ее можно допускать, так как она не влияет на ревкооть
изображена^, а вызывает только искажение его, которое можно
учесть вычислением.
-17S~
§ 63. Эйконал Зейделя для составной оптической системы
I. Фактическое вычисление геометрических ошибок изображе-
ний по методу эйконала сводится к нахождении эйконала Зейделя
для данной оптической системы. Чтобы показать как это может
быть сделано, рассмотрим две центрированные подсистемы, образую-
щие при сложении одну составную центрированную систему. Плос-
кость изображений первой подсистемы является предметной плос-
костью для второй подсистемы. Предметная плоскость первой подси-
стемы н плоскость изображений второй подсистемы совпадают с
одноименными плоскостями всей системы. Аналогичное высказывание
относится к входным и выходным.зрачкам. Пусть известен эйконал
Зейделя для каждой из подсистем. Требуется найти тот же эйконал
для всей составной системы.
Из геометрического смысла углового эйконала W , как опти-
ческой длины луча между основаниями перпендикуляров jll и jl['
(рис. 96), непосредственно следует аддитивность такого эйкона-
ла. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять на луче про-
извольную пром; жуточную точку (Р" , лежащую в пространстве изоб-
ражений первой подсистемы и в пространстве предметов второй под-
системы. Тогда угловой эйконал W разобьется на два слагаемых:

из которых первое
(63»1)
является угловым эйконалом одной подсистемы, а второе
- угловым эйконалом другой подсистемы. Все промежуточные величины,
относящиеся к пространству изображений первой подсистемы (прост-
ранству предметов второй подсистемы) в дальнейшем снабжаются Дву-
мя штрихами. В соотношении (63.1) промежуточные переменные Sy" S-,"
должны быть выражены через начальные и конечные переменные
Sy, И Sy , £г . Задача сводится именно к исключению
этих промежуточных переменных. Вешим ее не для углового эйконала
W , а для эйконала Зойделя, что сделать легче, так как раз-
ложение эйконала Зейделя начинается с чле-юв чеrjwpTQi. степени,
- /76“ ~
тогда как для углового эйконала оно начинается уже с членов вто-
рой степени. Ограничимся при этом точностью, которая необхо-
дима в теории аберраций третьего порядка.
2. Эйконал Зейделя длн составной системы даетсн выражением
(61.II).‘ Из Того же выражения находим эйконалы Зейделя для обеих
подсистем -у. _ и
2п%
2п"Л
Найдя из этих формул W = Ww+Ww и подставив получен-
,ный результат в выражение (61.II), получим
т /Г*) X ”
-S =V +2n^"2
или на основании соотношений (61.13)
л ~(.>+ \a>+_ss^asM+^,J^>. (6В 2)
* 15 s\ + 9ц Ы э?; зг;
Это совершенно точное соотношение. Разложим теперь эйконалы /5
11 ® степенные ряда и оборвем разложения на первых членах ~
членах четвертой степени. Ясно, что слагаемые, содержащие про-
изводные в выражении (63.2), будут по меньшей мере шестого по-
рядка малости, а потому в принятом нами приближении долины быть
отброшены.йто дает
В каждом слагаемом выписаны аргументы, функцией которых оно
является. Если ети аргументы вычислить в гауссовом приближении,
то все слагаемые изменятся на члены высшего порядка малости, ко-
торыми мн уже пренебрегли. Но *• гауссовом приближении значения
переменных Зейделя не меняются при произвольном числе преломлен i
ний ^см. § 61, пункт I), Поэтому в предыдущем соотношении можно

-/77-
сделать замену
?>?.' . .
В результате промежуточные переменные исключаются, и мы приходим
к соотношению
0)(УоА,?о .7., (бз.з)
которое и решает поставленную задачу.
Окончательный результат можно сформулировать следующим
образом. Для нахождения эйкснала Зейделя составной системы надо
сложить эйконалы Зейделя всех подсистем, заменив в них проме-
жуточные аргументы одноименными аргументами, функцией которых
должен быть эйконал Зейделя составной системы.
3. Общее выражение эйконала Зейделя центрированной системы
в принятом* нами приближении дается формулой (62.2). Из нее по-
лучаем для подсистем:
S а) --£е‘-
где использованы обозначения (62.1)"и введены новые:

(63?4)
Согласно доказанному правилу, в теории аберраций третьего по-
рядка эти величины могут быть заменены соответственно нау’.^^эг.
В результате получитоя.
_Ata
2
т.е. аберрации третьего порядка составной системы являются ал-
гебраической суммой соответствующих»аберраций составляющих под-
систем. Столь простой результат получился благодаря использова-
нию переменных Зейделя. В нем проявляется преимущество этих
-/78 -
переменных перед другими переменными.
4. Результаты этого параграфа сводят задачу расчета оши-
бок третьего порядка центрированной оптической системы к вычисле-
нию ошибок, возникающих при преломлении на сдной поверхности раз-
дела. Угловой эйконал для преломления на однсй границе раздела
о точностью до членов четвертого порядка включительно был вычис-
лен в § 55. Пользуясь полученными там результатами, легко найти
и эйконал Зейделя. Таким Ъбразом, задача-может считаться принци-
пиально решенной. Фактическое проведение дальнейших расчетов и
получение из них различных следствий завале бы нас слииком да-
леко, и мы не будем этим заниматься.
-179 -
§ Условие синусов Аббе
I. Пусть точечный объект Р лежит на главной оптической
оси центрированной сиотелы и изображается в приближении геометри-
ческой оптики в виде точки Р' #с помощью сколь угодно широ -
ких пучков лучей. Точки Р и Р' называются анаберационными.
В этом случае при изображении точек предметной плоскости, прохо-
дящей через Р перпендикулярно к главной оптической оси, от -
сутствует сферическая аберрация. Однако могут сохраняться кома и
другие аберрации. Поэтому всякая другая точка предметной плоскос-
ти, вообще говоря, не будет изображаться точкой. В микроскопе
очень существенно, чтобы апертура световых пучков, дающих изобра-
жение, была как можно больше, так как при увеличении апертуры
уменьшаются дифракционные ошибки изображения и увеличивается све-
тосила. Практически речь идет о получении безаберрационных иаоб -
ранений малых объектов. Объектив микроскопа должен давать с по -
мощью широких пучков безаберрационные изображения всех точек ма -
лых элементов предметной плоскости, перпендикулярных к главной
оптической оси, в виде точек елементов плоскости, также перпенди-
кулярных к главной оптической оси. Условие, при выполнении которо
го это имеет меото, было установлено Аббе и носит название уело -
вия сияуоов или условия апланатизма. Практически речь идет об уст
ранении комы и сферической аберрации. Анаберрациояные точки Р и
Р главной оптической оси, удовлетворяющие условию синусов,
называются апланатическими точками. Ввиду осевой симметрии при вы
воде условия синуоов достаточно рассмотреть изображения малых пря
молинейных отрезков, перпендикулярных к главной оптической оси.
2. Итак, предположим, что малый‘прямолинейный отрезок ра ,
перпендикулярный к главной оптической оси, изображается широкими
пучками лучей прямолинейным отрезком Р Q , также перпендику -
лярным к главной оптической оси ( рис,125). Все лучи, вышедшие из
точки Р и собравшиеся в ее изображении Р , имеют одну и ту
же оптическую длину. Все лучи, вышедшие из другой произвольной
точки отрезка Q ' и собравшиеся в ее изображении Q.' , также
имеют одинаковые оптические длины. Докажем, что оптическая длина
любого луча РР равна оптической длине любого луча ,
каковы бы ни были направления этих лучей и положение точки $
Рис.125.
на отрезке PQ . Иными словами, оптические длины лучей,
соединяющих сопряженные точки, одинаковы для всех пар сопряженных
Точек.
Ввиду независимости оптической длины луча между точечным
объектом и его изображением от угла наклона луча достаточно дока-
зать это утверждение для параксиальных лучей, наклоненных к оп-
тической оси как угодно мало. Но в этом случае утверждение почтя
самоочевидно. В параксиальных лучах прямолинейный отрезок Ра
изображается в виде прямолинейного отрезка Р CL . МаЛый
плоский участок волнового фронта PQ после прохождения
через объектив по законам Параксиальной оптики превращает-
ся в сферический участок фронта, который ввиду его малости может
рассматриваться как плоский. Поэтому можно считать, что отрезок
Р Q' целиком лежит в. плоскости вышедшего фронта волны. Но
оптические длины всех лучей между двумя положениями волнового
фронта одинаковы. Отсюда непосредственно оледует доказываемое
утверждение. '
Проведем через точки отрезка PQ. пучок параллельных
лучей под произвольным углом И к главной оптической оои
(рис.126). Так как лучи лежат в одной плоскости, то соответствую-
щий им волновой фронт представится прямолинейным отрезком ал ,
перпендикулярным к лучам. После прохождения черев объектив
-/W-
параллельность лучей нарушится. Однако-ввиду малости объекта ра
будет мал и угол расхождения прошедших лучей. Им можно пренебречь
и считать, что все прошедшие лучи наклонены к оптической оси прак-
тически под одним и тем же углом U1 . Соответствующий участок
волнового фронта представится прямолинейным отрезком о.'л .
Ввиду одинаковости оптических длин всех лучей между волновыми
фронтами.
(яр'л') =(аа'\
Круглые скобки означают, что речь идет не о геометрических, а об
сптичеоких длинах соответствующих линий. По доказанной только что
теореме (рлр')~ (ая) , и предыдущее соотношение переходит в
(РЯР') = (ЯР'Я')
Вычитая иа обеих частей этого равенства общую часть (ЛР) , по -
лучим
(рл)-(р'л'),
-i8i~
или
T1J?Sin U »n'l'iinu' (64.1)
где г и г - длины отрезков PQ. и Р'О! , а п и п'
-показатели преломления пространств предметов и изображений.
Равенство (64.1) и выражает условие синусов Аббе. Оно должно вы-
полняться для любых значений угла раскрытия U и для любых ма -
лых значений длины отрезка . t .В, следующем параграфе приводит-
ся более строгий вывод условия синусов, основанный на теореме
косинусов. '
3. В качестве примера рассмотрим апланатические точки при
преломлении на поверхности шара. Пусть R - радиус шара, п
- его показатель преломления относительно окружающей ореды(рис.
127). Для построения преломленного луча по Вейерштрассу можно пос-
тупить следующим образом. Построим две концентрические с шаровой
поверхностью сферы G" и (Г с радиуоами nJt и R/n
Продолжим падающий луч ЛВ до пересечения в точке Р со
сферой б" и соединим точку Р с центром шара О . Прямая ЙР
пересечет сферу б в точке Р . Прямая, соединяющая, течку
падения £ с точкой Р , дает направление преломленного луча.
Действительно, из подобия треугольников ОВР ш ОВР заклю-
чаем, что угол Ор‘В равен углу падения р , а потому
sinp _ ОВ п
Sin? ~ OP1 ~ ’
что и доказывает наше утверждение.
Из построения видно, что падающий пучок лучей, сходящийся в
точке Р , после преломления на шаровой поверхности будет схо-
диться в точке Р . Обратно, если точечный источник поместить
в Р , то после преломления получится пучок лучей, расходящихся
из Р . Следовательно, Р n Р' являются сопряженными анаберра-
ционными точками и притом апланатичеокимих Дейотвительно, ввиду
шаровой симметрии не только точки Р и Р', но и сферы б и б1
отображаются друг в друга с помощью широких пучков лучей. Так как
обе сферы нормальны к прямой РР' , то точки Р и Р должны
удовлетворять условию синусов, в чем легко убедиться и непосред-
ственно. Точки *5 и Д , очевидно, также апланатичеокие.
-<вз-
1&Ч-
l^C-.
Наконец, центр сферы О можно рассматривать кек пару совпада-
ющих апланатических точек, являющихся одновременно узловыми
точками системы. Итак, на оптической оси QR имеется три пары
изолированных апланатических точек: р и ? , а и а' и
двойная апланатическая точка О
4. Апланатические точки шара используются для построения
иммерсионных объективов микроскопов с очень большими увеличения-
ми. Иммерсионным называют такой объектив, когда между покровным
стеклом объекта и фронтальной линзой Ьбъектива находится олой
жидкости (иммерсия)). Иммерсия была впервые предложена Амичи в 1
1840 году.
С целью уменьшения вреднего для качества изображения прелом-
ления на поверхности покровного стекла он заполнял водой промежу-
ток между покровным стеклом и фронтальной линзой объектива. Аббе
в 1878 году стал применять однородную иммерсию с показателем
преломления, почти равным показателю преломления покровного стек-
ла и фронтальной линзы. В такой системе лучи, исходящие из каж -
дой точки предмета, распространяются практически прямолинейно до
выхода из фронтальной линзы объектива. В качестве однородной
иммерсии применяется кедровое масло /Л = 1,515 /. В однородной
иммерсионной системе Аббе фронтальная линза объектива сострит из
стеклянного полушария, плоокая сторона которого обращена к пред-
мету (рис.128). Предмет помещается на расстоянии ОР = -ft от
центра ( R - радиус полушария). Так как лучи до выхода из фрон-
тальной линзы не испытывают преломления, то Р является аплана-
ти4еской точкой. Изображение предмета получается в сопряженной
апланатической точке Рг -на расстоянии OP'— Rn от центра
О . Так как линейное увеличение равно Л* , то угол нак -
лона луча к оптической оси уменьшается ( X* П U1 = .
По Амичи можно добиться большего увеличения изображения и
дальнейшего уменьшения углов наклона лучей к оптической оси, по-
местив за фронтальной линзой вогнутовыпуклую линзу. Точка Р'
должна находиться в центре кривизны вогнутой поверхности линзы.
По отношению к преломлению на этой поверхности f является ап-
ланатической точкой, совпадающей со своей сопряженной точкой.
Точка Р' должна одновременно находиться на расстоянии ^>/п, от
- /55-
центра кривизны выпуклой поверхности второй линзы / п, - показа-
тель преломления этой линзы, - радиус кривизны ее выпуклой
поверхности/. Тогда по отношению к преломлению на этой поверхнос-
ти Р будет апланатической точкой; ее изображение получится в
сопряженной апланатической точке р . Применив метод Амичи
несколько раз, можно добиться какого угодно уменьшения углов нак-
лона лучей к оптической оси. При этом для всей системы в целом
будет выполнено условие синусов. Метод Амичи часто применяют при
конструкции объективов микроскопов. Однако таким методом конст -
руируются в лучшем случав первые две'линзы, так как иначе возни-
кает очень сильная, ничем не компенсируемая хроматическая аберра-
ция.
5. Аббе принадлежит простой способ испытания обмжтивов на
выполнение условия синусов. Допустим, что во второй апланатичеп-
кой точке объектива Р (рис.129) помещена малая диафрагма, че
реа которою производится наблюдение. Её уменьшенное изображение,
получающееся в сопряженной апланатической точке Р , будет
входным зрачком системы. Рассмотрим изображение плоскости ЛК ,
- /86-
даваемое объективом, когда расстояние О. атой плоскости от точ-
ки Р очень велико по сравнению с диаметром входного зрачка.
Из каждой точки плоскости ЛВ через оптическую систему может
пройти конус лучей только очень малого раствора. Благодаря это-
му сферическая аберрация и кома будут практически устранены.
Но астигмятизм и искривление плоскости изображения останутся,
так как объект ЛВ не предполагается малым. Однако эти абер-
рации в рассматриваемом нами вопросе не играют существенной ро -
ли, от них можно отвлечься и сосредоточить все внимание на дис у
торсии ( искажении) изображения. В такой постановке задачи плос-
кость ЛВ изобразится в виде сопряженной плоскости лк , пер-
пендикулярна к оптической оси. Поэтому изображение точки можно
построить следующим образом. Из рассматриваемой точки 3 плос -
кости ЛВ проводим луч ЪР через центр входного эрачха, об -
разующий с оптической осью какой-то угол U . Сопряженный с
ним луч Ь'Р' пройдет через вторую апланатическую точку Р' под
углом U1 , значение которого определяется условием синусов
(64.1). Точка пересечения этого луча с плоскостью J:*B' и будет
изображением точки В' . Пусть у и 2 - координаты точки
в плоскости ЛВ , а у' и 2' - координаты течки В' •
таком случае —-----------
В
в
f уг + Z*
Sin U ~
о.'* +у'
>

где Ct' - расстояние точки Р' от плоскости Л'В' . Подставив
эти эначения в формулу (64.1) и введя обозначение
получим
(64.2)
Так как точки В и В лежат в плоскости, проходящей через
оптическую ось, то
z‘ _ Z
У У
Исключив z' , найдем
Рассмотрим в плоскости изображений ЛВ прямую у'=*/° •
параллельную оси Z . В предметной плоскости ЛВ ей соот-
ветствует кривая
изображением’которой является рассматриваемая прямая. Так как
для объективов микроскопов величина оС мала, то пренебрегая
ее квадратом по сравнению с единицей и вводя обозначение ;
*
П'п‘
= a'In *
(64.3)
получим
У*
(64.4)
- 1М-
ЦО
-1В6-
При й/ — О уравнение (64.4) переходам в У*=0
и представляет ось Z . Если О< <Je< / , то уравне -
ние (64.4) изображает семейство гипербол, осью которого являет-
ся координатная ось У \ рис.130). Случай не
представляет интереса, так как в этом случае уравнение (64.4)
представляет семейство мнимых эллипсов, и никакого оптического
семейству прямых Z'—i.p
соответствует семейство
изображения не получается. Аналогично,
параллельных оси У , при
гипербол 2
Z _ j
7 + ~ ’
1-и?
(64.5)
получающееся из семейства (64.4) пут'ем поворота на 90° вокруг
начала координат 0 (рис.130). Если фигуру 130 поместить на
расстоянии Л перед передней апланатической точкой объектива,
то объектив даст ее изображение в виде сетки квадратов. При 4)= ^'
уравнение (64.4) переходит в (Хг , а уравнение (64.5;
в — СС1, . Обе эти гиперболы имеют асимптотами биссект-
рисы координатных углов. Следовательно, Ct есть расстояние от
начала координат до вершины той из гипербол, асимптоты которой
совпадают о биссектрисами координатных углов.
Рисунок 131 воспроизводит оригинальный рисунок Аббе, кото-
рым он пользовался при практических применениях своего.метода.
Удалив окуляр микроскопа, следует поместить такой рисунок на
расстоянии Ct перед передней апланатической точкой. Глаз
наблюдателя помещается во вторую из апланатических точек. Зрачок
глаза играет роль выходного, а его изображение, даваемое объек-
тивом,-входного зрачка системы. Если получается изображение в
виде сетки квадратов, то объектив удовлетворяет условию сийу -
сев. Если изображение получается слишком мелким, то можно при -
менить вспомогательный микроскоп небольшого увеличения, перед
объективом которого помещена малая диафрагма, расположенная во
второй апланатической точке Р . При испытании описанным
способом большого числа объективов микроскопов, изготовленных
старыми мастерами без всяких расчетов путем последовательных
проб и подбора линз, Аббе обнаружил. что все хороший объективы
всаг;а удов атъ-ч ялв условию синусов.
-/SO-
Рис.131.
§ 65. СТИГМАтаЧЕСКИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ШИРОКИМИ ПУЧКАМИ ЛУЧЕЙ.
ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ.
I. Задачу, рассмотренную в предыдущем параграфе, можно обоб-
щить, не вводя никаких специальных предположений о конструкции
систем, дающих оптические иаображения. Примем только, что среды,
в которых распространяется свет, изотропны, но могут быть неодно-
родными. Таким образом, в общем случае мы будем иметь дело с
криволинейными лучами. Световая волна, исходящая из какой-либо
точки Р ' , в бесконечно малой окрестности зтой точки нвляется
сферической. Если все световые лучи точно сходятся в точке Р ,
то волновой фронт будет сферическим и в бесконечно малой окрест-
ности точки р' .В этом случае говорят, что Р‘ является
стигматическим изображением точки Р . Разумеется, при этом
мы отвлекаемся от дифракции волн. В атом и следующем параграфе
дается общее исследование стигматических изображений широкими
пучками лучей. Начнем со стигматических изображений бесконечно
коротких отрезков. Докажем следующую теорему, называемую теоремой
косинусов. ,
Пусть точка Р (рис.132) является стигматическим изобра -
жением точки Р . Соединим эти точки произвольным лучом, нап-
равления которого в Р и Р опрэделяются единичными вектора-
ми <Г и Т . Пусть О. и О. - две точки’, бесконечно близ-
кие к Р и Р . Для того чтобы точка Q.' была стигматичес -
ким изображением точки Q. в широких пучках лучей, необходимо
и достаточно, чтобы разность
ris df-rCs'ctt'
где , d£ , не зависела от 3” , т.е.
от направления луча, соединяющего Р с Р f
•Для доказательства необходимости теоремы допустим, что Q.
нвляется стигматическим изображением точки Q. . Обозначим Н .
оптическую длину какого-либо луча, соединяющего сопряженные
точки Р я Р* .а Н' - оптическую длину луча, соединяюще-
го сопряженные точки О. и Q/ ~ . В силу известного свойства

*Рыс.{
сопряженных точек величины Н и Н* не зависят от направле-
ний лучей, соединяющих Р С Р' И Gi С Q1 . Не зависит
от зтих направлений и разность dH~U'-H . Но эта раз -
ность выражается формулой (51.3), т.е. равна величине (65.1),
взятой с противоположным знаком. Таким образом, выражение (65.1)
не может зависеть от ЗГ , и необходимость теоремы доказана.
Докажем теперь ее достаточность. Соединим точки О. я О.
лучом QQ.' . Кроме тогб через О. проведем произвольный луч
OCL" и отметим на нем такую точку ЛЯ* , чтобы оптическая
длина rQCt ' была равна оптической длине(0.0.') . Так как по
условию теоремы Р является стипма-гическим изображением точней
Р , то из соображений непрерывности оледует, что вектор/
бесконечно мал. В таком случае подформуле (51.3)
С другой стороны, по той же формуле
(а а') -(рр')- nTtd-nTM.
Так как по построение
(аа')=(аа")
то
-s'ciT
причем по условие теоремы это соотношение должно выполняться
для всех направлений^ектора 3 . Это возможно тогда н толь-
ко тогда, когда eLt ‘‘=clT‘ , т.е. когда точка С совпада-
ет с а' • Таким образом, любой луч, исходящий из Q. , прой-
дет черев Q.f , что и доказывает достаточность теоремы.
Чтобы конечная кривая изображалась стигматически в виде ко -
вечной кривой широкими пучками лучей, необходимо и достаточно,
чтобы условия теоремы косинусов выполнялись для каждой пары соп -
рякенных бесконечно малых отрезков этих кривых.
2. Условие синусов является следствием теоремы косинусов.
Согласно этой теореме разность n/sT-n'/ $* '= ntsiniL-ritiinu.'
не должна зависеть от направления луча, соединяющего сопряженные
точки Р И Р* (рис.133)
Рис.133.
Но, если луч идет вдоль оптической оси, то указанная разность
обращается в нуль. Таким образом, мн снова получаем соотношение
(64.1).
- /9Ь~
Допустим теперь, что отрезок с -РВ хяяа ла оптичес-
кой оси. Найдем условие, при котором он изображается стигмати-
чески широкими пучками лучей в виде отрезка t ~Р’В , также
лежащего на оптической оси. В рассматриваемом t уад цри и
разнооть nti- tlC sn(cosu.-niteoitf^w& nl~n'?' ,
Поэтому на основании теоремы косинусов должно бить
ntcosu.-n'tcosu.' = nt-n't„ 9 (65.2)
или (
nfan*~ = n't Sin? — , (65.3) ।
i Z
каковы бы ни были s ия углов и и и . Это соотношение на-
зывается условием Гершеля.
Пусть Р и Р - сопряженные апланатические точки. Если
в бесконечно малых окрестностях этих точек сумеет ,м другая па-
ра апланатических точек & и 62' /а следовательно, и бесконеч-
ное множество таких пар/, то оптическая длина бесконечно малого
линейного объекта, лежащего в окрестности точки Р , будет рав-
на оптической длине его изображения, получающегося в окрестности
течки Р' . Действительно, так как Р iF - плат .тические
1чки, то по условию синусов отношение
и и
Sin U _ C°ST~ gjn —
' Sin и' cos ~ (tn £
£ £
не должно зависеть от U .С другой стороны, так как Q и й
-также апланатические течки, то бесконечно малый отрезрк РЛ
оптической оси изображается в виде отрезка Р Q той жё оси.
Поэтому должно соблюдаться также условие Гериеля: отношение
. ж Ч
—
Sin1
z
- MS -
не должно еависеть от угла U . Оба условия могут быть выпол-
нены одновременно тогда и только тогда, когда ,т.е.
когда апланатические точки Р и Р* являются узловыии или об-
ратными узловыми точками системы. Но в таком случае, если отре -
зон •£ перпендикулярен к оптической оси, из (64.1) следует
| “ jn't'l . Если же отрезок £ лежит на оптической оси,
то из (65.3) также следует . Таким образом,
теорема доказана для двух частных случаев: когда отрезок
лежит на оптической оси и когда он перпендикулярен к ней. Тем са-
мым она доказана для отрезка t произвольного направления.
Во всех центрированных системах, применяющихся на практике,
линейное увеличение, как правило, отлично от п/п' . Поэтому из
доказанной теоремы следует, что для таких систем апланатические
пары точек, если ояи существуют, иогут быть лишь изолированными
точками оптической оси. Это значит, что для каждой пары аплана -
тических точек можно указать конечные интервалы оптической оси,
содержащие эти точки,, внутри которых нет другой пары апланатичес-
ких точек.
Заметии, что в приближении параксиальной оптики между уело -
виеы синусов и условием Гершеля нет противооечия. Первое из этих
условий в указанном приближении совпадает с теоремой Лагранжа-
Гельмгольца. Второе также всегда выполняется. В самом деле, из
(53.27),(53.22), (53.16) и (53.25) следует
что при малых углах U и и' совпадает с условием Гершеля»(65.3).
Таким образом, при малых углах и и и‘ совместность уело -
вий синусов и Гериеля не предопределяет равенство углов и и и. ,
а следовательно, и равенство оптических длин nt и n't' .
Благодаря этому в параксиальной оптике поперечное и продольное
увеличения могут принимать любые значения, не обязательно равные
п/п1 .
- /96 ~
3. Перейдем теперь к стигматическим изображениям бесконеч-
но малых площадок. Докажем следующую твирему.
Пусть р' является стигматическим изображением точки Р .
Для того чтобы бесконечно иалый элемент плоскости ff" , прохо-
дящей через Р , изображался стигматически в виде бесконеч -
но малого элемента плоскости О' , проходящей черев Р ,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие косинуссв для
двух бесконечно малых непараллельных отрезков, лежащих в плоскос-
ти ff* и проходящих через точку Р
Необходимость теоремы очевидна. Докажем ее достаточность,
Соединим Р ср' произвольным лучом. Пусть dct и аи* -
два бесконечно малых не коллинеарных вектора, проходящих черев
точку Р , для которых удовлетворяется условие теоремы косину-
сов. Таким образом, по условию разности
n'f'dlt -n-Tolt, = cLHt 1
п'Г' d?t' - nTd£t = dHt J
не зависят от направления луча, соединяющего Р^с Р' .
Но они могут зависеть от направлений векторов ctf, л d/g .
Произвольный вектор df , проходящий через точку и леща^
щий в плоскости предмета, можно разложить, по векторам d£, и :
М
причем коэффициенты CL и & не зависят от S Введем век-
тор ->/ -»/ -»-z •
dt = adEt +&d£z
умножим соотношения (65.4) на CL и £ и сложим. Получим
rzs’W/’ nTd-fc =• dHt (65,5)
- L97-
где
M-a.dH,+6dHl.
Отсюда видно, что разность (6$.5) не зависит от 5Г , т.е.
условие теоремы косинусов выполняется для произвольного вектора
de • проходящего через точку Р и лежащего в плоскости
предмета. Следовательно, предает изобразится оптической систе -
мой стигматически, вообще говоря, изображение не будет подобно
самому предмету. ,
Направления произвольных не коллинеарных векторов и
d£t можно принять за координатные оси У и 2 в плос -
кости предмета, направления оптически сопряженных с ними отрез-
ков etc, и d£t * - за координатные оси У и Z ‘ в плоско-
сти изображении, а сами точки Р и Р - за начала координат
соответствующих координатных систем. Тогда в окрестностях точек
Р и Р' координатные оси У и Z изобразится оптичес -
кой системой координатными осями У’ и Z* . Координаты соп -
ряженных точек, бесконечно близких к р и Р' , будут связаны
линейными соотноиениями:
S
Ay , Z'=P)Z. (65.6) .
Координатная система У 2 , вообще говоря, будет косоу -
гольной, даже в том случае, когда система yZ прямоугольна.
Однако, если в плоскостях предмета и его изображения ввести
прямоугольные системы координат, то из соотношений (65.6 )и из
формул преобразовании коордаяат непосредственно следует, что
прямоугольные координаты сопряженных точек будут связаны форму-
лами афинного преобразования:
(65-7)
Из свойств афинного преобразования следует, что существует пара
взаимно перпендикулярных прямых, которая изображается парой
также взаимно перпендикулярных прямых. Если эти прямые принять
за координатные оси, то формулы преобразования снова примут
-/98 -
вид (65.6) с т ч отличием, что теперь обе координатные системы
прямоугольны. обще говоря, . Поэтому изображение бес-
конечно малой площадки прЬисходит с нарушением подобия: беско -
нечно малый круг изображается в виде эллипса. Только в частном
случае, когда J , система дает подобные изображения
бесконечно малых площадок, находящихся в окрестности точки Р .
4. Следуя Каратеодори, говорят, что световой луч лежит в
поле инструмента, если он действительно проходит через диафраг-
мы из пространства предметов в пространство изображений. Гово-
рят также, что отрезок кривой лежит тангенциально в поле инстру-
мента, если все лучи, касающиеся этого отрезка, лежат в поле ин-
струмента.
Пусть бесконечно малая площадка^изображается оптической сис
темой стигматически. Пусть далее и cl(!z - бесконечно малые
не параллельные отрезки, пересекающиеся в пределах площадки и
лежащие в ее плоскости. Если эти отрезки лежат тангенциально в
поле инструмента, то рассматриваемая' площадка изображается оп -
тической системой с сохранением подобия. При этом оптическая
длина любого отрезка , лежащего на площадке, равна оптической
длине сопряженного с ним отрезка.
- /SS -
По условие теоремы лучи, выходящие иг Р (рис.134) в
направлениях dt, и £ , лежат в поле инструмента. В прост -
ранстве изображений ^ни пройдут в направлениях оптически сопря-
женных отрезков dt,'и , / . Рассмотрим сначала изображение
отрезка dt^'. Возьмем два луча* исходящих из Р в направив -
ниях dC ж t* • На основании теоремы косинусов
ndt, cost*. ~ti'dt*cos a'-ndt, -n'dtt . (€5.8)
Аналогично, рассматривая изображение отрезка dt* ,
ndt^ cosa. -n'dtt cos*'- ndt£ - n'dtz . (65.9)
Допустим, что . Докажем, что тогда
самом деле, почленное вычитание (65.9) из (65.8) дает
n'dtf'(<- cos А')-n'dtt Qi- cos*'), (65 ло)
откуда , что и требовалось доказать. Из доказан-
ного следует, что отрезки dtf и dt^ изображаются оптиче-
ской системой с одинаковым увеличением. Следовательно, в рас - -
сматриваемом случае в формулах (65.6) JL = В , т.е. увели -
чение любого отрезка в плоскости предмета не зависит от его
направления. Отсюда следует, что изображение происходит с сох -
ранением подобия, т.е. является конформным.
Но изображение с сохранением подобия характеризуется так-
же сохранением углов. Следовательно, сК —<*' , и формула
(65.8) дает ndt,^n'dt,, Вообще, для всякого отрезка dt ,
лежащего в плоскости предмета
ndt = n'dC (65.ii)
= — > (65.12)
dt n'
щ вторая часть теоремы доказана.
-200-
Итак, стигматические изображения площадок, тангенциально
лежащих в поле инструмента, могут происходить только с вполне
определенным увеличением п/п' • В частности, когда показатели
преломления пространств предметов и изображений одинаковы, уве-
личение равно единице. Это утверждение перестает быть справед -
ливым для площадок, не лежащих тангенциально в поле инструмен-
та.
Примером может служить преломление на сферической поверх -
ности (рис.127). Сфера б" отображается на сферу б"1 стигмати -
чески широкими пучками лучей. Однако линейное увеличение, как
видно из построения, равно отношению квадратов показателей пре-
ломления, а не их первых степеней. Причина этого в том, что ни
одна из сфер б* и б4 не лежит тангенциально в поле инстру-
мента. Напротив, если линейный объект поместить в точку^то по-
скольку последняя является парой совпадающих узловых точек, ли-
нейное1 увеличение будет равно просто отношению показателей пре-
ломления в согласии с обсуждаемой наци общей теоремой. Дей-
ствительно, ввиду шародой симметрии любой линейный объект . поме-
щенный в центре 0, лежи? тангенциально в поле инотрумента.
Бесконечно малую часть конечной поверхности можно рассмат-
ривать как бесконечно малую плоскую площадку. Поэтому для стиг-
матического изображения конечной поверхности необходимо и дос -
гаточно, чтобы стигматически изображалась каждая бесконечно ма-
лая площадка, на которые можно разбить эту поверхность.
5. Рассмотрим, наконец, стигматические изображения объем -
них объектов широкими пучками лучей. Этот вопрос может быть ис-
следован в точности так же, как и аналогичный вопрос для поверх-
ностных объектов. В частности, может быть доказана следующая
фрорема: . f
Пусть точка Р является стигматическим изображением
точки Р . Для того, чтобы бесконечно малый элемент объема в .
окрестности точки Р изображался стигматически, необходимо
и достаточно, чтооы выполнялось условие теоремы косинусов для
трех бесконечно малых отрезков, проходящих через точку Р И
не лежащих в одной плоскости.
Новым по сравнению с изображениями элементов поверхностей
- iol—
ринется то, что в случае стигматического^изображения элементов
объема всегда существуют три отрезка de, , det , не
находящиеся в одной плоскости и лежащие тангенциально в поле
инструмента. Поэтому, повторяя рассуждения, приведенные примени-
тельно к иаображенияи элементов поверхности, приходим к заклю-
чению, что ати три отреака изображаются с одним и тем хе увели-
чением. Как следствие этого, получаем следующую теорему.
Стигматические изображение элементов объема, если оно осу-
ществляется иирокими пучками лучей,всегда конформно,т.е. проис-
ходит с сохранением подобия. При этом линейное увеличение равно
п/п' > так что оптическая длина предмета всегда равна оптичес-
кой длине изображения.
V>2.~
§66. ОБ кБССлЮТНЫХ ОПТИЧЕСКИХ ИНСТРУ'ЕНТлХ
I. С точки зрения геометрической оптики идеалом являет,
оптический инструмент, иэобра_алщий стигматически широкими пуч-
ками лучей каждую точку пространства предметов в виде точки
пространства изображений. Такой инструмент называется аосолют -
ным. Обсудим вопрос о принципиальной возможности абсолютных оп-
тических инструментов и исследуем их свойства.
Как доказано в предыдущем параграфе, изображения бесконеч-
но малых объектов, даваемые абсолютным оптическим инструментом,
всегда конформны. При этом оптическая длина любой линии равна
оптической длине ее изображения. Отсюда следует, что в абсолют-
ном оптическом инструменте оптическая длина луча между двуия
сопряженными точками является инвариантом, т.е. она одна и та
же для всех пар оптически сопряженных точек. Это положение на-
зывается теоремой Каратеодори.
Для доказательства возьмем две пары оптически сопряженных
точек: Рг Р' и & U (рис.134). Через точку Р проведем
пучок лучей во всевозможных направлениях. Все эти лучи Пересе -
кутся в точке р' . Один из них пройдет через точку О.
Возьмем другой произвольный луч , .Так как оптиче* кие
длины всех лучей, соединяющих сопряженные точки Р и Р' ,
одинаковы, то
(РЛР')~(РОР').
Луч РйР , поскольку он проходит через точку Л , дол -
жен пройти и через сопря :енную ей точку QL . При ртом кри-
вая р'ст будет оптическим изосражением кривой Ра , а
потому (PQ)=(P'Q') . Отсюда следует
(ар’а')-(рар')
Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем (PAP'H&ti) ,
что и требовалось доказать.
2. допустим теперь, что пространстве, предметов и изображе-
ний однородны, т.е. показатели преломления Л и п1 не зависят
- 203 -
от координат. В атом случае любая прямая пространства предметов
изобразится абсолютным инструментом в виде прямой пространства
изображений. В самом деле, проведем через произвольную точкуО
пространства предметов три луча, лежащих в поле инструмента и
не находящихся в одной плоскооГИ» В пространстве изображений
сопряженные с ними лучи пересекуГСЙ В сопряженной точке О
Примем эти лучи за координатные оси В Пространствах АрйДиетов
и изображений. Ясцо, что координатные оби оДЙбЙ КоорДИЯНтной
системы будут изображаться координатными осяйи другой координат-
ной системы. При этом беэ потери общности можно принять, что
одноименные оси являются сопряженными. Так как изображение про-
исходит с постоянным увеличением п[п‘ • то при надлежащем вы-
боре положительных направлений координатных осей координаты
сопряженных точек будут связаны соотношениями
справедливыми для всего пространства предметов и всего прост -
ранства изображений, а не только для окрестностей сопряженных
точек О и О* .Из них непосредственно следует, что лю-
бая прямая изображается прямой. Таким образом, при постоянныхп
и Л' абсолютный инотрумент является телескопической системой.
Докажем теперь, что при постоянных л и Л1 абсолютный оп-
тический инструмент возможен только при п=п' . Для доказа-
тельства заметим, что линейное увеличение п /п' не зависит
от положения объекта. Чтобы определить это увеличение, поместим
бесконечно малый объект на границе раздела сред. Тогда его изоб-
ражение, возникающее как при преломлении, так и при отражении,
совместится с самим объектом. Отсюда следует, что ^/п' >
и наше утверждение доказано. Таким образом, все среды в оптичес-
ком отношении одинаковы, и никакого преломления не возникнет.
Остается исследовать только отражение. По теореме Каратео-
дорш оптическая длина луча между сопряженными точками является
инвариантом - она не зависит от положения объекта. Поместим
точечный объект на границе раздела сред. Его изображение полу-
чится в той же точке. Поэтому оптическая длина луча между
-20 4-
объектом и его изображением должна равняться нулю независимо от
положения объекта. При преломлении, когда оптические длины лучей
на всех участках сохраняют знаки, зто было бы возможно только
тогда, когда изображение совпадает с самим объектом. Но в этом
случае, как мы уже видели, никакого преломления нет, и об изоб-
ражении можно говорить лишь в условном смысле. Однако при отра-
жения, если изображение является мнимым, оптические длины лучей
на разных участках могут иметь противоположные знаки. Б зтом
случае возможен и не тривиальный случай, когда объект и его
изображение находятся в разных местах, хотя оптические длины
лучей между ними и обращаются в нуль. При этом формулы (66.1)
переходят в
Х'=Х, = (66.2)
Такой случай осуществляется в плоском зеркале или в системе
плоских зеркал. Это единственный абсолютный оптический инстру-
мент, возможный при постоянных и п7 .
3. Нетривиальные абсолютные оптические инструменты, дающие
увеличении, отличные от единицы,'возможны только тогда, когда
пространства предметов и изображений оптически неоднородны.
Первый пример такого рода был приведен Максвеллом. Он назвал
свой абсолютный оптический инструмент "рыбьим глазом".
- 205 -
"Рыбий глаз" Максвелле представляет собой сферически Сим-
метричную неограниченную среду с непрерывно ыеняюцжмся показа-
телей прелсмленмя. Световой луч имеет форму окружности, незави-
симо от того, из какой точки и по какому направлению он вывел.
Найдем закон иаменения показателя преломления в пространстве,
при котором это будет иметь место. Покажем также, что световые
лучи, выйдя из произвольной точки Р , описав окружности,все.
сксва соберутся в некоторой точке Р' .
Так как среда Должна обладать сферической симметрией, то
ее показатель преломления п может зависеть только от расстоя-
ния 2 до центра сииметрии О (рис.135). Пусть окружность
Л. о цектром в Л и с радиусом р есть один из путей све-
тового луча в среде. Тогда по формуле (42.3)
л. . sL (in п)=- 4- (&
f dN 1 ! d* '
Обозначим буквой R ыжкз отреака ОЛ . Очевидно
В imr *>
£ at z*-t-J)1-2zj>cos&
Определив отсюда cos г. и подставив полученное выражение в
предыдущее
уравнение,
2гск
откуда
Л-
(66.3)
п =
где м. - произвольная постоянная.
Возьмем на окружности “X произвольную точку Р и прове-
дай прямую PQi до пересечения ее с окружностью X в точке
Р . (рис.136). В середине отрезка РР восставим к
нему перпендикуляр CJD . Из произвольной точки Л, этого
перпендикуляра, как из центра, опиием окружность 0?^ радиу-
са А , проходящую через точку р /а следовательно, и
- 206 -
Рис. 136.
через точку Р' /. Для того чтобц световой луч описал окруж-
ность 2А, , необходимо, чтобы показатель преломления среда ме-
нялся по закону
П=------' (66.4).
где Vf - длина отрезка Л,0 , a JUt - произвольная посто-
янная. Лекажем, -что формулы (66.3) и (66.4) тождественны. Из
прямоугольных треугольников ЯМ, и Я$„ находим
; А‘-А.О^ЛЛ',
откуда
Аналогично,
получаем
р'-1‘=РЛ‘-Л.О1
из прямоугольник треугольников
№=ра0‘-а.о1
АРА.
и AM.
-207-
Следовательно,
=«f
где Ct - новая постоянная. Пусть пв - показатель преломле-
ния среды в точке О , т.е. при 2 = 0 . Тогда, полагая в
(66.3) и (66.4) Ъ=О , П = Я„ , получаем JU = JU=naCtl.
Таким образом, выражения (66.3) и (66.4) тождественны, и их
можно переписать в виде
П ’ . -%*------------ • (66-5)
1 гГ*
Если показатель преломления среды изменяется по закону
(66.5), то луч света, выйдя из точки Р , опишет окружность,
центр которой лежит на прямой CD . Положение центра на этой
прямой, а также радиус окружности зависят от направления луча
в точке Р .Но каково бы ни было направление луча в точке
Р , он всегда пройдет через точку Р . Все лучи, вышед-
шие из Р , пересекутся в Р’ . Следовательно, Р' явля -
ется стигматическим изображением точки Р . Таким свойством
обладает произвольная точка среды. Действительно, в качестве
окружности 38^ можно взять любую окружность из семейства ок -
ружностей, проходящих через точку Р и имеющих центры на
прямой СВ . Самая же точка Р на окружности ЗЧГ может
быть выбрана где угодно. Следовательно, под Р можно понимать
произвольйую точку среды. Если Р совпадает с центром среды,
О , то световые лучи прямолинейны - изображение точки Р
совпадает с самой точкой Р . «
Очевидно, минимальное значение v равно нулю. В этом
случае центр окружности Я совпадает с точкой О и р — Ct ,
Это - минимальное значение, которое может принять^ . Таким
образом, постоянная С1 равна радиусу того кругового пути
света, центр которого совпадает с точкой О
4. К идее "рыбьего глаза" можно подойти с другой точки
зрения. Согласно принципу Ферма задача о форме светового луча
формально тождественна с задачей отыскания геодезических линий
в пространстве, в котором квадрат элемента длины дается выраже-
нием . Пусть имеется сфера радиуса Ct
~ 20В -
х1+у1+г1 *al.
(66.6)
Будем проектировать каждую точку этой сферы От(Х,У,^) на
координатную ПЛОСКОСТЬ ХУ С ПОМОЩЬЮ прямых ЛИНИЙ ЦК I
исходящих нз полюса Н , в котором сфера S пересекается
осью Z (рис.137). Такая проекция называется стереографиче-
ской. Онаустанавливает взаимно однозначное соответствие между
точками От (л, у, i) сферы и точками Р плоскости ХУ .
Легко найти связь между координатами этих точек:
(66.7)
Гис.137.
— 20» -
Стереографическая проекция обладает следующим свойством.
Каждая окружность сферы £ преобразуется в окружность плос-
кости ХУ и обратно. В самом деле, плоскость £х+Ъу+Сг+А=О
пересекает сферу X по окружности. Если в уравнение этой
плоскости подставить значения координат (66.В), то получится
уравнение второй степени, в котором будет отсутствовать член
с произведением | £ , а квадраты и войдут толь-
ко в комбинации , £*+£* . Такое уравнение есть уравнение
окружности.
Найдем квадрат элемента длины на сфере & :
Нб'1 = dxl+ dy+ dzz. (66.9)
Используя формулы (66.8), получим
ci? -
(66.10)
где
, a d$ - элемент длины в плоскости ХУ :
. Отыскание геодезической линии на сфере
на экстремум интеграла f сйГ , взятого
, лежащей на сфере и Уединяющей две непод-
и В . Геодезическими линиями сферы являют-
геодезическая линия сферы S
проекцией на окружность в плоско-
зта окружность есть кривая, вдоль
сводится к задаче
вдоль кривой лв
вижные точки Л
ся дуги большие кругов. Каждая
отображается стереографической
сти ХУ • Согласно (66.10),
которой интеграл
экстремален. Отыскание такой кривой формально тождественно с
задачей нахождения формы светового луча в среде с показателем
преломления (66.5). Таким образом, если показатель преломления
в плоскости ХУ меняется пс закону (66.5), тс световые
лучи в этой плоскости будут окружностями, которые получаются из
больших кругов сферы £ с помощью стереографической проекции
на плоскость ХУ
-210 -
Возьмем на сфере /5 диаметрально противоположные точки
Р.(х.у.з) и Qo(-*-y,-z) . Через них можно провести
бесконечное множество геодезических, получающихся от сечения
сферы $ диаметральной плоскостью, проходящей через диаметр
Ро Qo . Стереографическая проекция этих больших кругов
даст на плоскости ХУ семейство окружностей, проходящих че-
рез точки Р и Q. с координатами:
4 =а-г- , y-a-Л- .
Ъ> а-g ср о-г
4 =-а — ,
s<a а.+2
Прямая, соединяющая точки Р
координат
нанта
’а
и Q. , проходит через аачало
это следует из обращения в нуль детерми -
О
как
1
<3
О
образом,
, описав ___________
в формуле (66.5)
Я ПЛОСКОСТИ ХУ
Таким
точки Р
нив теперь
О
все лучи
окружности, сойдутся в точке 6Z
исходящие из •
Заме -
получим среду с шаровой симметрией. Распределение показателя
преломления в любой плоскости П , проходящей через прямую PQ
будет такое же, что и в плоскости ХУ » а потому лучи в
плоскости П будут обладать точно такими же свойствами, что
и в плоскости ХУ . Следовательно, луч, вышедший из Р в
любом направлении, пройдет через сопряженную точку Q4
Указанным свойством обладает любая точка среды Р , посколь-
ку она может рассматриваться как стереографическая проекция
соответствующей точки J' на сфере
Задачи
I. Пусть лучи могут распространяться только в координат-
ной плоскости ХУ / двухмерная среда/, показатель преломле-
ния в которой определяется выражением
где - аналитическая функция комплексной переменной
1^x.+iy , а и а - постоянные. Показать, что
каждая точка плоскости ХУ изображается стигматически
ирокммж пучками лучей в виде' точки той же плоскости.
Ренение. Если показатель преломления в плоскости а,?) опреде-
ляется выражением
Ло
Пт/1
то, как показано в конце этого параграфа, среда будет обладать
свойством изображать абсолютно каждую точку плоскости
в виде точки той же плоскости. Рассмотрим конформное изображение
плоскости (4,>) саму в себя с помощью аналитической функции
7=//*) • Тогда
Луч в плоскости преобразуется в кривые плоскости ХУ ,
вдоль которых последний интеграл экстремален. Эти кривые могут
поэтому рассматриваться как светские лучи в плоскости ХУ ,
в которой показатель преломления определяется выражением (66.11).
При этом, поскольку лучи в плоскости ХУ получаются из лу -
чей плоскости ,£) конформным преобразованием, они сохра -
няют свойство последних давать абсолютное изображение каждой
точки плоскости в виде точки той же плоскости.
2. Показать, что ореда с показателем преломления
п = П.У —£----------------
(66.12)
где 2 - расстояние от неподвижного центра, а Пе , V ,
CL ~ постоянные, обладает свойствами абсолютного оптического
инструмента.
Реяение. Доказательство этого утверждения можно получить,
•ели в (66.11) положить . Тогда получится
-2 ft-
2V~f
n-n„V
a
а
При атом, поскольку среда обладает шаровой симметрией, свой-
ством давать абсолютные изображения будут обладать не тслько
лучи в к.-л. определенной плоскости, но и лучи во всем трехмер-
ном ( X , у ,2 ) пространстве.
3. Найти распределение потенциала и зарядов в электроста-
тическом поле, являющемся электронно-оптическим аналогом "рыбье-
го глаза" Максвелла.
Решение. Заменив в (66.5) показатель преломления П на
‘ получим
(66.13)
Отсюда на основании уравнения'Пуассона

находим для плотности электрического заряда
(66.14)
Из этой формулы следует, что с помощью электростатического поля
в вакууме осуществить "рыбий глаз" Максвелла нельзя. Для этого
необходимо наличие пространственных зарядов, распределенных в
соответствии с формулой (£6.14).
-213 -
ГЛАВА УП
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
§ 67. Принцип Гюйгенса
I. Под дифракцией света понимают всякое уклонения от прямо-
линейного распространения света, если оно не может быть истолко-
вано как результат отражения, преломления или изгибания световых
лучей в оредах с непрерывно меняющимся показателем преломления.
Если в среде имеются мельчайшие частицы постороннего вещества
(туман) или показатель преломления заметно меняется на расстоя-
ниях порядка длины волны, то в этих случаях говорят о рассеянии
света, и термин "дифракция" не употребляется. Явления дифракции
для своего использования и количественного рассмотрения не тре-
буют никаких новых принципов. Всякая дифракционная задача, если
ее рассматривать строго, сводится к нахождению реиения уравнений
Максвелла, удовлеть ряющему соответствующим граничным условиям.
Однако в такой строгой постановке дифракционные задачи, ввиду их
сложности, допускают решения лишь в простейших идеализированных
случаях. В оптике значительно большее значение имеют нестрогие
методы решения дифракционных задач, основанные на принципе Гюй-
гекса в сообщенной формулировке ФреЬеля или Кирхгофа.
2. Принцип Гюйгенса был выдвину! его знаменитым автором для
объяонен»я законов распространения, отражения и преломления света
в оптически однородных средах. Позднее Гюйгенс использовал этот
принцип для установления законов распространения света в одноос-
ных кристаллах и объяснения двойного преломления. Согласно прин-
ципу Гюйгенса всякая точка, до которой дошло волновое возмущение,
становится источником новых - вторичных или элементарных - волн.
Идея о вторичных волнах подсказывалась повседневными наблюдениями.
Камень, брошенный в воду, вызывает на ее поверхности появление кру-
говых волн, распространяющихся из точки падения во все стороны.
Непосредственной причиной возникновения таких волн является, не-
видно, не сам камень, а вызванное им возмущение движения воды
в месте падении. Если в том же месте любым способом создать такое
же возмущение, то из него побезвт в точности такая . и> круговая
-214 -
волна. Но волновой фронт, распространяющийся в среде, вызывает
подобные возмущения в каждой точке на пути своего распростране-
ния. Естественно поэтому ожидать, что к»этих течек дслжны рас-
пространяться новые сферические волны, взаимодействующие между
собой. Это и есть вторичные волны Гюйгенса. Отдельная вторич-
ная волна очень слаба, и заметное световое действие получается
только на огибающей вторичных волн. Гипотеза об огибающей позво-
лила Гюйгенсу объяснить прямолинейное распространение света в
оптически однородных средах.
Пусть свет исходит из точечного источника Q. , и на пути
его распространении поставлен экран с отверстием (рис.
188). Будем рассматривать все точки в плоскости отверстия
Рис.138
как новые центры возбуждения, от которых вторичные волны могут
распространиться в пространство за экраном. В изотропной среде
такие волны будут сферическими поверхностями. Так как свет.
-2/5-
вышедший иа Q , раньше всего достигает точки Л, i позже
всего точкш , тс радиусы вторичных волн, распространшвших-
ся к точкам, до которых свет из источника Q доходит в одина-
ковые времена, будут иметь разные длины. Очевидце сумма радиуса
вторичной волны и расстояния ее центра до источника Q. будет
одна и та хе для всех вторичных волн. Поэтому огибающая вторичных
волн, или волновой фронт, представляет собой участок шаровой ло-
ве рхностш внутрш конуса с вершиной в Q. и образую-
щими, проходящими через края отверстия Л^Л.^ • Внутрш зтсгс
конуса свет от 6} распространяется так, как если бы экрана
вообще не было; в пространстве за экраном вне конуса свет совсем
не проникает.
Если среда оптически неоднородна, то рассуждение Гюйгенса
остается в силе. Только вторичные сферические волны будут рас-
пространяться из различных течек среды с различными скоростями.
Вместо прямолинейных лучей псстрсение Гюйгенса в неоднородной
среде приведет к лучам криволинейны^ (см. § 41).
Нельзя не отметить крайне формальный характер объяснения
прямолинейного распространения света по Гюйгенсу. Кроме того, в
приведенной формулировке принцип Гюйгенса вызывает возражения.
Во-первых, огибающая С* элементарных волн, исходящих из то-
чек отверстия , может быть приведена также и в пространст-
ве между экраном и источником света. Поэтому непонятно, почему
свет должен распространяться только вперед, но не назад. Во-вто-
рых, согласно объяснению Гюйгенса, прямолинейное распространение
света должно было бы происходить всегда, как бы мало ни было
отверстие в экране. Между тем опыт показывает, 4то при малых отвер-
стиях закон прямолинейного распространения света нарушается из-за
дифракции. В-третьчх, не ясно, почему рассуждение Гюйгенса не при-
менимо, например, к звуковым волнам, для которых дифракция всегда
заметна илй, по крайней мере, звуковая тень всегда размыта.
Таким образом, принцип Гюйгенса в его первоначальной форму-
лировке оставляет в стороне обширный класс явлений дифракции. Он
является принципом геометрической Оптики и применим только тогда,
когда длина световой волны очень мала по сравнению с размерами
диафрагм, экранов и прочих неоднородасстей, которые могут встре-
титься на пути распространения Световой волны. Для истолкования

явлений дифракции необходимо дать принципу Гюйгеноа углублен-
ную формулировку с учетом конечных размеров длины волны. Впер-
вые это было оделано Френелем.
3. Иокуственную гипотезу об огибающей вторичных волн
Френель авменил физически ясным положением, согласно которому
вторичные волны при наложении интерферируют друг о другом. Свет
должен наблюдаться во всех местах пространства, где при интерфе-
ренции вторичные волны усиливаются; в тех же местах, где они вза-
имно гасят друг друга, должна наблюдаться темнота. Тем самым выяо-
няется и физический- смысл огибающей. К огибающей все вторичные
волны приходят в одинаковых фазах, и их интерференция приводит к
большой интенсивности света. Становится ясным, по крайней мере
качественно, и отсутствие обратной волны. Вторичные волны, идущие
от волнового фронта вперед, вступают в свободное от возмущений
пространство. Они интерферируют только друг с другом. Напротив,
вторичные волны, идущие назад, вступают в пространство, где уже
есть волновое возмущение - прямая волна. При интерференции вто-
ричные волны гасят прямую волну, так что после прохождения волны
пространство за ней оказывается невозыущенным.
Френель дал следующую формулировку принцйпа Гюйгенса, несколь-
ко сообщенную Релеем. Окружим все источники света произвольной
замкнутой поверхностью f (рис. 139). Каждую точку такой поверх-
ности можно рассматривать как источник вторичных волн, раопростра-
няюшихся в> всех направлениях и интерферирующих друг с другом та-
ким образом, что световое поле, возникающее в результате этой
интерференции, в пространстве вне поверхности г совпадает с
полем реальных источников света.
В такой формулировке принцип Гюйгенса-Френеля выражает весь-
ма общее положение. Он означает, что волна, отделившаяся от своих
источников, в дальнейшем ведет автономное с^ду^ц^ванив, совер-
шенно не зависящее от наличия источников. Длу. лрсчвнения прин-
ципа Гюйгенса к решению конкретных задач необходимо решить воп-
рос об амплитудах и фазах волн, испускаемых вторичными источника-
ми, распредели иными на поверхности р . Френель не дал удовлет-
ворительного и иооснованного решения зтею вопроса, сто было сде-
лано значительно позме Кир.со.см, кэте.оуу нри.-ыллса-йт сюогая
-2f7-
формулировка принципа Гюйгеноа.
4. Всякая полная теория овета не нуждается ни в каком до-
полнительном -принципе типа принципа Гюйгенса. Волновое поле она
опиоывает дифференциальными уравнениями, каковыми в электромаг-
нитной теории являются уравнения Максвелла. Любая дифракционная
задача в принципе может быть реиена о помощью таких дифференци-
альных уравнений и граничных условий к ним. Однако, как уже
указывалось выше, ртег строгий путь решении дифракционных задач
очень сложен. Его у? лется провести крайне, редко. В громадном
большинстве случаев приходится довольствоваться более простым
приближенным способом, основанном на принципе Гюйгенса. Но сам •
принцип Гюйгенса, если он верен, должен быть следствием основных
дифференциальных уравнений теории света. Уравнения Максвелла очень
сложны, чтобы из них выводить принцип Гюйгенса. Кирхгоф помел _
по более простому пути. Он положил в основу вывода волновое урав-
нение, являкцееся в однородных средах следствием уравнений Макс-
велла. Реиая этс уравнение, Кирхгоф в 1883 году дал строгую
математическую формулировку принципа Гюйгенса. Ниже приводится
&вод формулы Кирхгофа, выражающей этот принцип.
Допустим, что ореда, в которой распространяется свет, одно-
1#Ьдна. Будем характеризовать световое поле какой-т" величиной
4’ . Под Ц можно понимать либо вектор , либо вектоп
-21В-
В । либо одну из их проекций на декартовы оси коорди- -
нат. Если, сверх того, псле монохроматическое, то оно долж-
но удовлетворить уравнению
А У7 + к1 у7 = О (67.1)
Найдем значение в произвольной точке пространства Р
(рис.ТчО). Обозначим 2 переменное расстояние какой-лиоо точки
F
(67.2)
рассматриваемая как функция точки , также удовлетворяет
волновому уравнению:
aX>4'X«=p. 4 (67,3)
Окружим точку Р произвольной замкнутой поверхностью F и
при том такой, что в окружаемом ею пространстве нет источников
овета. Функция X оорацается в оесконечность в точке Р . Иск-
лючим эту точку, окружив ее сферор J достаточно малого радиу-
са с центром в Р Тогда во всем пространстве между сферойJ
и поверхностью F функции У и X , а также их производные
будут конечны и непрерывны. Поэтому к ним можно применить форму-
лу Грина*
-219-
где V - объем пространства между поверхностями / в F , а
п - внутренняя по отношению к этому пространству нормаль. Тач
как в указанном пространстве источники света отсутствуют, то в нем
справедливы уравнении (67.1) и (t7.3). Следовательно,
ГАХ - ХдУ/= - Х^ =0 ,
а потому
Перейдем в этом равенстве к пределу, устремляя радиус сферы R,
к
нулю. Правая часть равенства при этом не будет меняться. Что касает-
ся левой, то, взяв ра^.лус >? настолько малым, чтобы kR / ,
можно заменить зкспояен ‘иальный множитель е-<*^ единицей» Тог-
Так как величины и
Р конечны
да левая часть примет вид
(± I _ JL 1а'гг
( Я ) К PR] J ’
в окрестности точки
/гт-D иг
то интеграл от второго слагаемого буц^ет порядка , т.е.
при R О обратится в нуль. Интеграл же от первого слагаемого
в пределе перейдет в . Окончательно
V =_L £[ш_д_ е"кг
ГР ( г Г~.
где fRp - значение функции в точке Р
(6™)
On I ’
5. Формула (67.4) по виду напоминает принцип Гюйгенса в форму-
лировке Френеля. И тут и там поле в точке Р выражается интегралом
по замкнутой поверхности Г . Однако у Френеля источники света ле-
жат внутри замкнутой поверхности F , а точка Р вне этой
поверхности. Формула же (67.4), наоборот, предполагает, что точка
Р лежит внутри поверхности F , а источники вне её. Легко,
однако, преобразовать формулу (67.4) таким образом, чтобы указанное
различие исчезло. Для этого предположим, что все источники света
лежат в конечной области пространства. Окружим эту область замкнутой
поверхностью F (рис. 141). Пусть точка Р находится в прост-
ранстве вне поверхности F . Опишем ив Р , как иэ центра,
-220-
Ьфвру J- настолько большого радиуса,'чтобы она целиком окружа-i
ла поверхность Р , Тогда в пространстве между J- Р не бу
дет источников света, а потому можно для вычислении в точке Р
применить формулу (£7.4):
Рис.141
Докажем, что интеграл по сфере у стремится к нули, когда
ее радиус стремится к бесконечности. Для этого необходимо выяс-
нить поведение функции У на бесконечности. Предположим, что в
пространстве, ограниченном р , находится один "йли несколько то-
чечных источников света; Qf , Qz ,... Тогда поле этих источ-
ников представится в виде
т _
где Ст - постоянные коэффициенты. Воли 2 стремится к о*3 ,
то 2т также стремится к с><3 , однако разность -Рт~г будет
оставаться конечной. Представим в виц<
-22/-
где dtm - новые постоянные. Раз агая внражение под диакон
суммы в ряд по степеням , получим
или *- _^г J
V-—1—(Л^ФрЦ^Ф}*- .
где - постоянная, а Ф стремится к нулю не медленнее, чем
. Подставляя ато значение ф в интеграл по сфере J
J f
Подынтегральное выражение в последнем интеграле стремится
к нулю не медленнее, чем 1/ z3 • Т0ГДа как поверхность сферы
обращается в бесконечность как г2 . Поэтому при2-^о° весь
интеграл стремится к нуга. Такил образом, если сферу у удалить
в бесконечность, то получится
F
Эти рассуддения приводят также к следутцеиу важному результату.
Если некоторый участок поверхности Г удаляется в бесконечность,
.о часть интеграла (67.5) по этому участку стремится к нулю. При
атом предполагается, чхо все источники света находятся в конечной
области пространства.
6.1 Формулы (67.4) и (67.5) и выракают принцип Гюйгенса в
формулировке Кирхгофа. Об-3 они одинаковы по виду. В обеих формулах
И* означает внутреннюю нормаль по отношению к точу пространст-
ву, в котором находится точка наблюдения л .
Выполнив дифференцирование по п и приняв во внимание, что
dz =-cos<* • гДв d ~ угол **евду нормалью п и натравле-
нном из площадки dF на точку Р , получим
-222 —
«Здесь введено обозначение
Л(*, 2;- [^-^cos* -^]. .67.7)
Тг «л. 4-
Тем саг'чм установлена связь формулы Кирхгофа с принц тем
Гюйгенса: подинтегральное выражение в формуле (67.6) может рас-
сматриваться как вторичная волна, распространяющаяся из площадки
dp « точке Р , Множитель j( , однакс, зависит яе только
ст угла с< , как предполагал Френель, яо также и от расстояния
г , Так и дол шо быть. Если бы величина А являлась функцией __
только угла d и не завясила от расстояния Z , то вторичнаи
волна не могла бы удовлетворять волновому уравнению. тшлм обра-
зом вторичные волны не обладают шаровой симметрией. Они являют-
ся сферическими только в том смысле, что соответствуй|ие им вол-
новые фронты имен форму сфер. Однако их ампллгуды зависят ст
направления распространения и менются с расстоянием иначе, чем
Уг . Тольке в "волновой зоне”, когда расстояние Точки Р от
излучающего центра d.p очень велико пс сравнению с длиной волны,
можно в выражении (67.7) пренебречь по сравнению с lk .
Тогда
% * f т— & (ет-в)
Такая упрощенная форма принципа Гюйгенса применима только в
том случае, когда расстояния точки Р до всех точек поверхности
F очень велики по сравнению с длиной вс ины. Благодаря малооти
длин световых волн ато условие в оптической ооласти спектре, соб-
людается вс всех дифракционных задачах, представлявших практи-
ческий интерес. Поэтому прг решении конкретных задач в оптике пох-
но пользоваться упрощенной формой принципа Гюйгенса (67.3).
Наконец, необходимо ответить, что реальный смысл имеет весь
интеграл (67.5) или (67.8). а не отдельный элемент, стоящий под
знаком интеграла. Можно было бы, не меняя физических результатов,
добавить под интегралом произвольное слагаемое, инте: рал от ко-
торого по поверхности Г обращается в нуль. Поэтому иа формулы
КгрхпхЬа отнюдь не оледует, что каждая течка пространства, до
-223-
которой делло волновое визмуденче, "становился центром вторич-
ных воли". Яр нее следует линь, Ч'_о волновое голе в пространст-
во, где не? источников, можно предстагить в виде суперпозици
таких вторичных волн, опускаемых воо«1радаемы1«" источниками, *
ртспрехелечнымг по поверхности F , окружавшей все реальные
источники.
7. Чтобы составила на примере более конкретное представле-
ние о вторичны?* волнах, рассмотрим свободное распространение
суеричеокой волны'от точечного источником. В качества поверхнос-
ти F возьмем сферу радгуоа ?о о центром в истсчнике Q. (рис.
142). Поле на поверхнее. i F можно нредотавить выражением
i(ai± -к'г.)
~~
очень велик по срагнзцию с длиной
Й' = О.—
Предполагая, что радиус
вечны, ив него найдем
дп. дго
Подставляя вт о аачение в формулу (67.8), получим
dF
Сравнение этой формулы о формулой (67.6) дает
(i+coiO.) .
(67.9)
Множитель jl fa) чисто мнимый. Фигочески ато означает, что
у08М вторичных источников должны Опережать приходящие к ним коле-
бании на *^/2 * По абсолютной величине множитель Л fa) моно-
тонно убтвает при возрастании угла <Х . Он обраушетсн в нуль
при сХ- ЛГ , т.е. в точи Э сферы, диаметрально противопо-
ложной точке наблдцвнин Р . Ослабляющий множитель jiL fa) быь
введен в принцип Гюйгенса Френелем длн устранения неопределе шес-
той, к которым пр г».* (1 ю сумм1 шова вторичных волн. Однако Фре-
с ней не дал явного ьыраления для л &)• Кроме того ок оиибочно
иагал, что функция A fa) обращается в нуль не только пм (Х = 5Г,
а на всей задней поверхности волнового фронта при ОС . Это
неправильное допущение Френеля не-отразилось на верности полученных
-22+-
Рис.142
им результатов лишь потому, что Френель имел дело с малыми уг-
лами дифракции. В таких случаях явный вад функции не играет
роли; существенно лишь, чтофы по абсолютной величине она медлен-
но и монотонно убывала.
8. В некоторых задачах, йапример при рассмотрении дифракции
плоской или цилиндрической волны на бесконечно длинной щели, поле
У зависит только от двух координат, например х а И ,
но не зависит от у . При решении такой "плоской" или "двух-
мерной” задачи удобнее пользоваться принципом Гюйгенса, в кото-
ром вместо сферических используются цилиндрические вторичные волны.'
Чтобы прийти к такой форме принципа Гюйгенса, найдем цилиндричео-
ки-симыетричное решение двухмерного волнового уравнения
d2Z + + L*7 = 0.- (67,10)
По предположению функция % должна зависеть только от расстоя-
ния г до некоторой прямой, которая далее принимается за коор-
динатную ось У
вад ,17
В таком случае предыдущее уравнение примет
/ dZ . ! 1>7
-225-
Ecu ввести новую переменную £ = kz , то
^Z,±^z\+Z -0 .
dt‘ t dt j Z
Это - уравнение Бесселя. Его общее решение:
(67.11)
— — 'о V / Z о ’
///%)- 1Ш - функции Ганкеля первого и второго рода
, - произвольные постоянные.
£ эти функции.имеют вид
где
нулевого порядка, а С, и
При больших значениях аргумента
(ь7.12)
Отовда видно, что решение (67.11) есть суперпозиция двух цилинд-
рических волн, из которых Первая распространяется от инейного
источника (т.е. от оси У ), а вторая сходится к нему. Для
наших целей подходит только уходящая волна, в соответствии с чем
иы положим Ct =0 . Постоянную Сg возьмем равной Сг~ -i •
Тогда
Z (i) ? - i -f
Z(^) = Z(kz) = \^е *[i+O(ki)] (07.14
Теперь можно повторить рассуждения, которые применялись
при выводе формул (67.4) и (67.5). Роль X будет играть'функция
7 .В результате получим
Эдесь интегрирование ведется по замкнутому контуру S
. Последний делит все пространство на две части, к одной
из которых принадлежит точка Р . Единичной нрктор иормплн к
-226 -
контуpysпроведен в сторону того пространства, в котором нахо-
дится точка Р . Предполагаемой, что в этой частя простран-
ства нет истошиков света. Предполагается также, что нет источ-
ников в бесконечности.
Дифференцируя (67.14) по п и пренебрегая членами порядка
1/кг .по»,™. 4^ = ^|Же,7*г*^а,
яп ТСКС.
где <Х - угол между нормалью п и направлением иэ элемента
ds на точку Р , Подставиг это значение в (67.15). Тогда
Как и формула (67.8), эта формула применима в том случае, когда
расстояния точки Р до всех точек контура 5 очень велики по
сравнению с длиной волны. Она показывает, что возмущение в точке
Р может рассматриваться как результат интерференции цилинд-
рических волн, исходящих иа точек контура 3 .
227-
§ 68. МЕТОД ФРЕНЕЛЯ-КИРХГОфА РЕШЕНИЯ ДИФРАКЦИОННЫХ ВАДАЧ.
ДИФРАКЦИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ БОАНЫ НА БЕСКОНЕЧНО
ДЛИННО.! ЦЕЛИ.
I. Формулы (67.4), (67.5) и (ь7.15) совершенно точны. Од-
нако они не являются решением дифракционной задачи. Чтобы по
атим формулам вычислить^ необходимо знать W и ЭУ на поверх-
п Р „ дп
ности / или на контуре 6 .Но эти значения можно получить
лишь после полного решения всей дифракционной задачи. Следуя
Френелю,Кирхгоф следующим образом ооходит указанную трудность.
Допустим, что поверхность F состоит из непрозрачной час-
ти F и отверстии Ji . Кирхгоф принимает, что и на
поверхности отверстия имеют такие же значения, что и при свобод-
ном распространении волн, т.е. при отсутствии экранов и отверстии.
На задней же стероне поверхности F » т«е« на стороне, обращен-
ной к точке наблюдения Р , зти значения равны нулю. Тогда
интегрирование в (67.5) надо проводить только по поверхности от-
верстия % , на которой р и i предполагаются известны-
ми.
В рамках применимости предположений Кирхгофа дифракцион-
ная картина, наблюдаемая в проходящем свете, в широких пределах
не зависит от материала экрана. Идеально отражающим экраном
является математический акран с бесконечной электропроводностью.
На поверхности такого экрана должна обращаться в нуль тангенци-
альная составляющая вектора £ • П° поверхности экрана в бес-
конечно тонком олое течет ток, экранирующий внешнее магнитное
поле. Позтому, отвлекаясь от процессов, происходящих в таком бес-
конечно тонком слое, можно считать, что на поверхности экрана
тангенциальные составляющие векторов £ и £ стращаются в,
нуль. В теории дифракции обычно пользуются другой идеализацией -
абсолютно черным экраном. Рассуждают так, что по другую сторон,,
черной поверхности поле равно нулю. На самом деле это, конечно
не так. Такое предположение находится в противоречии с гранич-
ными условиями электродинамики. На поверхности тела имеется пере-
ходный слой конечной толщины, в котором электромагнитное поле за-
тухает и на задней поверхности обращается в нуль. Если отвлечься
-22В-
от процессов, происходящих в таком слое, то по Френелю - Кирхгофу
в проходящем свете должна получиться одна и та же дифракционная
картина как от абсолютно черного, так и от абсолютно зеркально-
го экранов.
Вводя свои предположения, Кирхгоф понимал, что они матема-
тически противоречивы. Из математики известно, что если двумер-
ный потенциал вместе со своей производной пр нормали обращается
в нуль вдоль конечного отрезка кривой, то он тождественнг равен
нуда во всей плоскости. Эта теорема распространяется на решения
двумерного волнового уравнения (67.10). Она справедлива также
для трехмерного уравнения Лапласа = 0 и трехмерного волново-
го уравнения (67.1): решение этих уравнений тождественно равно
нулю во всем пространстве, если и ± обращаются в нуль
на каком-либо конечном участке повврхнмти.
Из этих теорем непосредственно следует математическая проти-
воречивость предположений Кирхгофа. С одной стероны, из обраще-
ния в нуль F и % на jf* следует, что функция равна
нулю во всем пространстве. С другой стороны, отличие от нуля и
°Ч/дп на поверхности Рг- не совместимо с этим результатом.
Противоречивость предположений Кррхгофа проявляется также в сле-
дующем. Если решить задачу пс методу Кирхгофа и затем вычислить
У на и £ , тс они не будут совпадать со своими
исходными значениями, принятыми при' интегрировании по поверхнос-
ти рг .
И тем не менее предположения Кирхгофа могут быть оправданы
' как основа для приближенного метода реиения дифракционных задач.
Ими можно пользоваться, когда размеры экранов и отверстий, на ко-
торых происходит дифракция, очень велики по сравнению с длиной
волны. В этих олучаях светсвое поле на поверхности отверстия или
на задней стороне экрана можно вычислить с‘ помощью геометрической
оптики. Отступления от нее будут заметны линь в пределах узкой
полоски на поверхности Р вблизи края отверстия. Ширина этой
полоски порядка длины волны, а ее площадь мала по сравнению с
площадью отверстии Ft , Поэтому в формуле (67.5) ату полооку
можно выбросить из области интегрирования. Но тогда получится
решение Кирхгофа. '

ириведенное рассуждение показывает, что метод Кирхгофа при-
меним не только к черный экрана» И отверстиям. Им можно пользо-
ваться всякий раз, когда зак ни геометрической оптики позволяют
приближенно рассчитать волновое поле на произвольной замкнутой
поверхности, окружающей источники света. Примером mi зт служить
задача о дифракции плоской или сферической волны на отверстии
в тонкой стеклянной пластинке, когда размеры отверстия очень ве-
лики по сравнению с длиной волны, йспользуя геометрическую опти-
ку и формулы Френеля, можно в этом случае рассчитать поле в плос-
кости отверстия и на задней поверхности пластинки, а затем по. фор-
муле Кирхгофа вычислить поле'в интересующей области пространства.
Жалость длины волны по сравнению с размерами отверстий, эк-
ранов и прочих оптических неоднородностей, являющаяся"необходи- ,
мым условием применимости метода Кирхгофа, означает, что свет бу-
дет отклоняться от прямолинейного распространения-лишь на малые
углы. Поэтому можно оказать, что метод Френеля-Кирхгофа применим
в тех случаях, когда углы дифракции малы. метод
д* С учетом векторного характера электромагнитного поля^бГйрх-
года приводит и новым трудностям и противоречиям. Разумеется, фор-
- мулы (67.4), (67,5) и (67,15) остаются справедливыми независимо
от того, является ли величина. скаляром или вектором. Противо-
речия возникают от того, какие предположения вводятся относитель-
но значений и на поверхности Г ..Рассмотрим, напри-
мер, плоский экран с отверстие^ «Z5 , на' который нормально пада-
ет плоская волна, (рис.143).Согласно предположению Киргофа поле
на задней поверхности экрана равно нулю, а в плоскости Отверстия
ЛВ ogo твдре же, как.если бы экрана не было. В частности, век-
торы t я S на отверстии параллельны плоскости экрана. Поэтому,
если вычислить вектор t (или £ ) по формуле Кирхгофа, то во
воем пространстве он окажется также параллельным плоскости экрана.
Но это противоречит поперечнооти световых волн: на достаточно боль-
ном расстоянии от отверстия малый участок дифрагированной световой
волны ведет себя как плоский, и следовательно, электрический век-
тор в точке С должен быть перпендикулярен к направлению АС ,
Однако во многих задачах нужно знать не направление вектора Ё ,
а только его длину. В таких одучаях при малых углах дифравции метод
-230-
КирхгОфе Ив приведет к существенной ошибке. Действительно, каж-
дая иа Проекций вектора [Г удовлетворяет волновому уравнению.
Применяя метод Кирхгофа, ми очевидно получив приближенно верное
вначение ДЛЯ той проекции алекТрАческого вектора, которая парал-
лельна плоскости вкрана. Искомый вектор найдется тогда по
значении втой проекции ив условия его перпендикулярности к нап-
равлению АС . Разница в длинах самого вектора и найденной про-
екции, очевидно, будет величиной порядка (X* . Ей можно пренеб-
речь. Таким образом,при малых углах дифракции векторный характер
электромагнитного поля не существен.
3. Есть случаи, когда затруднения, связанные с векторным
характером волнового поля, отпадают н могут быть правильно рас-
смотрены с помощью скалярного волнового уравнения. Примером мо-
жет служить случай бесконечно длинной щелк, на которую нормально
падает плоская волна с электрическим иля магнитным вектором, па- 1
раллельным оси щели. Рассмотрим атот случай, чтобы на нем проил-
люстрировать условия применимости метода Киргофа. Для определен-
ности будем считать, что алектрический вектор падающей волям

параллелен оси щели. Очевидно этот вектор будет параллелен оси
щели и в поле дифрагированной волны.
Поместим начало координат в середине щели. Ось У направим
параллельно оси цели, оси X и И выберем так, как указано на
рисунке 1чч. J Вычислим по методу Кирхгофа электрический вектор
на больших расстояниях от цели. Падающая волна имеет вид
Е„=Е-Ле‘Сы* кг'
отсюда находим
Подставляя эти значения в *ормулу (о7,1ь), получим
/— Е(ыЕ-кг-£ }
E=iysk Л J .
r “Л v г
где d -ширина щели. Если 2 очень венике», io cos if и 8 в
РИС.144
янаменателе можно считать величинами постоянными и вшшети их из-
под внака интеграла. Расстояние же S , входящее в азу, но»но
юни Ь на В *Po-XSin& . Это дает
— 232-
а
г
Выполнив интегрирование, получим
* 2
Это - цилиндрическая волна о амплитудой, зависящей от угла
<? . Магнитное поле найдется из условия, что оно перпендику-
лярно к Е и Z, * а длина вектора 2Г равна длине вектора
Ё . Таким образом, формула (68.1) верна и для магнитного
поля.
Зависимость амплитуды цилиндрической волны (68.1) от направ-
лении в основном определяется множителем , где о(= —— '.
ос «
График втой функции, а также ее квадрата, которым определяется
интенсивность волны, представлен на рис. 145. Функция имеет макси-
мум при <Х = О , т.е. при -О . Это значит, что интенсив-
ность волны за щелью максимально в направлении распространения
падающей волны. Имеются побочные максимумы интенсивности, убываю-
щие по величине. Между ними расположены минимумы о нулевыми ампли-
тудами. Положение минимумов определяется условием
kasinf „+тТ
2
где т - целое число. Это условие можно предотавить в виде
aund =± mA . ( (68.2)
Оно имеет проотой физический омыолк Если щель разбить на бесконеч-
ное множество беоконечно узких полосок одинаковой ширины, то
цилиндрические волны Гюйгенса от зтих полосок будут приходить в
точку наблюдения о одинаковыми амплитудами, но о разными фазами.
Если выполнено.условие (68.2), то фазы вторичных волн будут рав-
номерно распределены внутри интервала от О до 25Ст . в атом
случае указанные вторичные волны Гюйгенса при интерференции
взаимно погасят друг друга, каково бы ии было целое число т. Так
-233-
Рис.145
как 1 , то при условии Of < Л минимумы с нуле-
вой интенсивностью появиться не могут.
4. Если полученное решение верно, то ввиду закона сохранения
внергии должно выполниться следующее требование. Средний поток анер-
гии через плоскость щели дслжен быть равен потоку анергии черев
поверхность полуцилиндра эа щелью о осью О . Проверим ато.
Средний поток анергии черва единицу длины щели равен
С П!* сЛ
— (68.8)
Вычислим теперь, пользуясь решением (68.1), поток анергии черев
единицу длины бесконечного полуцилиндра о осью. О . Рассмотрим
сначала случай, когда иирина щели а велика пс сравнению с дли-
ной волны ( ka.&'i ). в этом случае заметные значения амплитуда
-234—
поля будет иметь л»ыь при малых углах . В выражени» (68.1)
мо__но заменить созд на It a Sind на д «В этом приближении
Г _/l JC a
Lp-Ly^oJt-a—-----------------е
2
Сре.няя плотность потока вне 'ии на поверхности полуцилиндра
радиуса ?<> равна
С г Ц*у =JL р Ё*
1(>% LPnr Л- С. ST
Умножая это выражение на элемент площади и интегрируя по
$ • найдем интересучцик нас средний поток энергии через
Так как по предположению , то, не внося существенной
ошибки, можно заменить конечные пределы интегрирования яа беско-
нечные. Это дает
чт совпадает о результатом (68.S).
Рассмотрим теперь противоположный случай, когда
В это'; случае о шошенде oi нуссх в выражении (68.1) можно заменить
на единицу и написать
Ее = i Ла
В результате для полного потока найдем
ск/га1
Z
-23S-
Получилось грубое нарушение накона сохранения энергии. Это дона-
вывает, что в рассматриваемой случае решение (68.1) не применимо.
Приведенный пример подтверждает высказанное ранее утвержде-
ние, что методом Кирхгофа можно пользоваться только в тех случаях
когда размеры диафрагм, экранов и прочих неоднородностей велики
по сравнению о длиной волны. В противоположном случае метод Кирх-
гофа не применим.
-236-
§ 69. ФУНКЦИЯ ГРАНА. ДЛфРЛКцИЯ ФРАУНГОФЕРА И ФРЕНЕЛЯ.
I. Метод Кирхгофа можно усовершенствовать и избежать мате-
матических противоречий, заменив при выводе формул (67.4) и (67.5)
функцию X функцией Грина. Так называется функция 3 • которая
во всем пространстве, ограниченном замкнутой поверхностью F ,
удовлетворяет волновому уравнении tf+k’d- о за исключением
единственной точки Р , в окрестности которой она ведет себя
как ^/г , а на поверхности F .эта функция равна нулю. Ясно,
что при такой замене сохранятся без изменений все рассуждения,
которые применялись при выводе формулы (67.4). Однако, так как на
поверхности Р функция 9 равна нулю, теперь пропадет второй
член под интегралом в (67.4), а потому
<69’1)
Если точка Р лежит вне замкнутой поверхности р' , окружаю-
щей вое источники овета, то указанные свойства функции $ относят-
ся к пространству вне р . Однако теперь их необходимо дополнить
требованием, чтобы обращался в нуль интеграл по бесконечно уда-
ленной сфере:
Так как по предположению все источники света лежат в конеч-
ной области пространства, то на бесконечности ведет себя
как -L Q~lks , а предыдущий интеграл как
для того чтобы он обращался в нуль, достаточно потребовать, что-
бы
Lky}-^0 при ё—~о<л (69.2)
При выполнении этого условия мы снова приходим к формуле (69.1).
Преимущество формулы ((2.1) по сравнению с соответствующей
формулой Кирхгофа (67,5) сдстоит_д том, что при вычислениях по
-237--
формуле (69.1) надо знать граничные условия только для оамой
функции , а не для ее нормальной производной. Разумеется,
значения у на F остаются неизвестными, пока не найдено пол-
ное решение всей дифракционной задачи. В этом отношении метод
функции Грина обладает теми же принципиальными недостатками, что
и метод Кирхгофа. Как и в последнем, приходится вводить предполо-
жение, что поле на задней поверхности экрана обращается в
нуль, а на отверстиях принимает такие же значения, что и при
свободно!* распространении волны. Но теперь это предположение не
ведет к математическим противоречиям, пссксльку относительно гра-
ничных значений ^/дп не вводится никаких предположений. Если,
задавшись определенным значением на поверхности
F , вычислить интеграл (69.1), то можно показать, что так
вычисленная функция на поверхности F переходит в исходную
функцию (за исключением, быть может, множества точек
меры нуль)Г
Вместо рассмотренной функции Грина можно также ввести функ-
цию Грина второго рода 9 . она обладает теми же свойствами,
что и функция . Однако на поверхности F обращается в нуль
не сама функция 9' , а ее производная по нормали. Вместо (69.1)
получается формула
и задача сводится к нахождению на поверхности F
2. Для того чтобы предыдущим рассуждениям придать полную ма-
тематическую строгость, необходимо доказать, что функция Грина
существует для произвольной замкнутой поверхности F , Такая
теорема дейотвительнс существует, но мы не можем останавливаться
на ее доказательстве, а сосредоточим внимание на конкретных диф-
ракционных задачах. Для их решения нужны явные выражения функций
Грина. Функция Грина может быть найдена элементарно только в слу-
чае плоской поверхности F . В случае кривых поверхностей F
нахождение функций Грина есть сложная математическая задача. Уже
в простейшем случае шара отыскание аналитических выоапений 9 и
9 ' приводит к сложным разложениям по собственным функциям шара
Мы ограничимся только случаем плоской поверхности F
-233-
В атом случае функции S и легко найти методом зеркаль-
ных изображений. Пусть Pf является зеркальным изображением течки
наблюдения Р в плоскости F (рис.146). Пусть 2 означает рас-
стояние точки Р до произвольной точки плоскости отверстия или
экрана, a 2f - расстояние ст точки , до той же точки зкрана
или отверстия. Тогда функции
Л е'"г _ е
J г- г{ - ' (69.4)
е*г еЛкг'
г + г,
удовлетворяют всем требованиям, предъявляемым к функциям Грина.
Из (69.4) находим
-2^. = C.osa(ik + ~
on *
или, принимая во внимание, что 2 , и пренебрегая /%
сравнению с th , ..
д9 9 ./ е'!*1
-Zca^ Lk----------- -
an s
г
ПО
-Р49-
Подставляя это значение в формулу (69.1), получим
•/ Г с>~1кг
f СО5оС (р ------oLF (69.6)
1 р гх J 'г
о. Воспользуемся формулой (69.6) для решения следующей диф-
ракционной задачи. Из точечного источника света Q. исходит сфе-
рическая волна
= FL е1С^'кг-)
(рис. 147), на пути которой поставлен плоски-i экран с отверстиями.
Требуется найти волновое поле эа экраном. Подставляя значение
в формулу (69.6) и предполагая, что 2О очень велико по сравнению
с длиной волны, получим
= -i—• а еLU (cosct —------------ dF, С69*7)
'р 2Х J гго
интегрирование должно производиться по площади всех отверстий.
Если бы вместо (69.6) воспользоваться принципом Гюйгенса в
форме (67.8), то получилось бы
У = ае1^ f(cosdi+ СО5с(в)—----------------- dF. (69.8)
р JfX J t ' гга
Когда отверстие МЬло по сравнению с расстояниями Z и ,
углы Л и 0Со зависят от положения точек Q и Р и практически
не зависят ст положения точки . В этом случае обе формулы
(69.7) и (69.8) приводят практически к одинаковым результатам,
так как справедливость их ограничена малыми углами дифракции;
следовательно, углы <Х и сС, должны мало отличаться друг от друга
и можно принять COSO. = COSCt.,
В другом предельном случае, когда экрана оовсем нет, обе фор-
мулы (69.7) и (69.8), очевидно, в точности дают один и тот же ре-
зультат.
4. Прежде чем исследовать решение (69.7), уместно сделать
следующее замечание. Метод функциит^разумеется, применим и к дву-
мерному волновому уравнению (67.10). Функцию Грина первого рода
здесь следует определить как функцию ' Q , которая во всем прост-
-2#О-
Рис.147
ранстве, ограниченней замкнутым контуром , удовлетворяет дву-
мерному волновому уравнение t^+kzg=O за исключением единст-
венной точки Р , в окрестности которой она ведет себя как ~/п г,
а на контуре Л эта функция обращается в Нуль. Очевидно.
К = ’ (69,9)
Если течка наблюденияР лежит вне замкнутого контура <5 .
окружающего все источники света, то сформулированные свойства
функции относятся к пространству вне $ • Но в этом случае
их необходимо дополнить требованием, чтобы обращался в нуль ин-
теграл по бесконечнс удаленной окружности:
Поскольку все источники пс предположению ле; сат в конечной об-
ласти пространства, на бесконечности функция ведет себя как
— е1кг • а предыдущий интеграл как
Для тсгс чтобы обеспечить обращение егс в нуль, дсстаточно потре-
бовать, чтобы
-240
И? г- - . (69.10)
При выполнении этого условия снова получился формула (69.9).
Функция Грина второго рода J)' обладает всеми свойствами
функции у , нс на контуре 3 обращается в нуль не сама а' ,
а ее производная по нормали 1 . Очевидно.
дп.
Ф = __2_ (£ п'-~ ds . (69.11)
' р 2Т J <3 дп
Если контуром З является бесконечная прямая (рис.146),
то в качестве функций £ и можно взять
§ - Z(.кг)~ Z(k?,
(69.12)
§'=Z^)±Z(l<l,). <69ЛЗ>
Подставляя функцию (69.12) в формулу (69.9) и воспользовав-

шись асимптотическим выражением (67.14), получим
-i(kz+£)
cosa.------—------- ds . (69.14)
14
С помощью этой формулы можно написать решение дифракционной
задачи, являющейся аналогом предыдущей задачи. Допустим, что
очником света является светящаяся линия, из которой исходит
цилиндрическая вслна. На расстояниях ?о , очень больших по
сравнению с длиной волны, сна имеет вид
= Ji.
На пути распространения такой вслны поставлен плоский экран с
отверстиями, имеющими форму бескснечно длинных щелей с краями,
параллельными светящейся линии. Подставляя эначение в форму-
лу (69.14), пслучим для вслнсвого поля за экраном:
ае *у<ра>зл ----- а'л. <69Л5>
3
-242-
Прямая -S , вдоль которой берется интеграл, перпендикуляр-
на к целям ц лежит в плоскости экрана. Фактически интегрирование
производится по отрезкам прямой 5 * лёжащим в пределах откры-
тых талей.
5. Обратимся теперь к раэбору ренения (69.7). Допустим,
что расстояния н ? (рис. 147) очень велики по сравнению с
линейными размерами отверстия. Тогда можно считать, что угол
не зависм г от пслсления точки Л1 в отверстии н пренебречь изме-
нениями знаменателя в формуле (69.7) -при смещениях этой точки.
В этен приближении
z/. ikcoScL iutf-Uifa-l) ,г
y --------------ае е си • (бэ.хб)
‘р 2хгог J
Вся сложность задачи в вычислении входящего сюда интеграла.
Обычно вычисление производится разложением фазы волны в ряд, об-
рываемый на оп, «деленной месте. Возьмем одну нз точек отверстия
0^ эа начало координат (рио. 148). Обозначим буквами ft ,
ft К радиусы - векторы Qu , ОР и ОЛ , где Ж
любая точка отверстия. Тогда
‘ 4

Извлекая квадратный корень и отбрасывая члены третьей и высиих
степеней по R .получим
,.B-UL+ &
г-р ----гр
Аналогично
где
Вставляя эти значения в формулу (69.16), найдем

(69.17)
-243-
сЬ/КХ-ЛА у
Ф(Х/-^~+т1л 7) '(б9Л8)
л Д ikcQSd. a e i (ut~kf kf°) (69.19)
2T?O г
Если расстояния J>„ и yo очень велики, то разложение
(69.18) можно оборвать ухе нн линейных членах. Оценим, в каких
случаях допустимо такое приближение Квадратичные члены, входя-
щие в выражение (69.18), порядка /р и &/р„ , где X) - ли-
нейный размер отверстии. Такими величинами можно пренебречь, если
вносимый имя вклад в фазу кф (к ) мал по сравнению о .
Практически линейным приближением можно пользоваться, когда мак-
симальная овпбка в фазе не превосходит » т»®» при выпол-
-244-
нении условий:
AZ/ JF AD . Т
Г 2 ’ fa 2 ’
Безразмерные отношения (и9.20) называются волаовими параметрами
со стороны источника свита и сс стороны дифракционной картины.
Возникающие дифракционные картины мохнс классифт.ирсвать
по значениям волновых параметров. Если волновые параметры удов-
летворяют условиям (69.20), то соответствующая ди.ракцня назы-
вается дифракцией Фраунгофора. При очень малых значениях волно-
вых параметров ( рл, р £ ) справедлива геометрическая
опт1ка. Промежуточный случай наиболее сложен, ин соответствует
так называемой дифракции Френеля. 0
Например, если Z) •* fan или, Л = эииб Д , то диф-
ракция Фраунгофера наступает при
р } > Л • ' °
Экспериментально дифракция Фраунгофера осуществляется путем
помещения точечного источника свёта в фокусе собирающей линзы.
Из линзы выходит пучок параллельных лучей, которые и испытывают
дифракцию на отверстиях поставленного на их пу-и экрана. На пут i
дифрагированного света ставится вторая линзн. Д:гфракционная кар-
тина Фраунгофера наблюдается в фокальной плоскости этой линвы.
При субъеки вном способе наблюдения вместо второй линзы исполь-
зуется зрительная труба, установленная "на бесконечнее?ь”.
При расчете дифракционной картины Френеля обычно пользуются
приближенным выражением (69.18). Допустимость такого приближе-
ния легко установить, оцёяив отброшенные члены т етьей степени.
Эти члены имеют порядок Z) Л и 2г
fT ' 1? ffa ’
т.е. получаются из членов второй степени путем умножения на малые
отношения .•&. ,, .5. . . Потребовав снова, чтобы

ошибка в фазе, возникающая в результате отбрасывания членов
третьей степени, была мала по сравнении с > получим сле-
дующие условия применимости рассматриваемого приближения
Qd3
'ЫУ
(69.21)
или
Так как геочетрические параметры и уд велики,
то зти условия могут соблюдаться на значительно меньаих расстоя-
ниях у>в и J3 , чем условия (69.20). Так
выше числовом примере должно быть
в приведенном
6. Совершенно аналогично проводятся выячисленип и для дву-
мерного случая. Исходной является формула (69.15). Сна также
приводит к выражению (69.17). Функция Ф(%) в точности совпада-
ет с (69.18), а величина А дается выражением
й . iZET
JL=tcos^V2T^0
(f9.23)

§ 70. ТЕОРЕМА brU.u.h
I. Два дифракционных устройства I и 2, состоящие из непроз-
рачных экранов с отверстиями, называются дополнительными,если
отверстия устройства I совпадают с экранами устройства 2 и наобо-
рот. Допустим, что оса устройства совещаются одним и тем же источ-
ником света, помещенным с одной стороны ст экранов и отверстий.
Рассистрим световое поле пс другую стерону ст них. Согласно форму-
ле (69.1) в первом случав поле в какой-либо точке Р определяете0
выражением
1 ЬХ V. ' дп
где интегрирование производится пс поверхности всех отверстий $
первого устройства. Во второй случае световое поле в
педебн. расположенной течке будет
Ч> --L U-3/- dF
1 4Т дп >
нс интегрирование производится по поверхности всех отверстий
.второго устройства или, что то'же, по поверхности всех экране!
первого устройства. В соответствии с приближением Кирхгофа под
<Р следует понимать значение функции на поверхности интегри-
ровании, которое -па приняла бы npi; свободном распространении
волны, т.е. при отсутствии препятствий на пути ее распространения.
Функция Грина S , входящая в оба выражения, очевидно, одна
и та гю, поскольку она зависит только от формы я расположения
всей поверхности G] + 6^ и от пслсыенин точки Р . Складывая
оба выражения, получим
(р +Ф________dF
Ч +>1 ~ № Л (Г дп
Но интеграл, стоящий справг. ео{ь не что инее как значение функция
р в течке Р , кстсрсе сна приняла бы при свободном расп-
ространении волны. Таким образом,
= V. (».Х)
Эта формула выражает теорему Бабине в ее наиболее общей ферме.
-247-
2. Обычно теорема Бабине понимается в более узком смысле
применительно к случаи фраунгоферовой дифракции. Пусть фраунгофе-
рова дифракционная картина наблюдается в фокальной плоскости лин-
зы. Если бы на пути параллельных лучей ке было препятствий, то
световое поле в этой плоскости было бы всюду равно нулю, ва исклю-
чением ^окуса линаы. Таким образом, согласно (70.1), во воякой
точке фокальной плоскости, ва исключением фокуса, должно быть
Так как интенсивность света С/ пропорциональна |^| , то
Оте «•« (.обучаем
= ^2 * (70,2)
Следовательно, поскольку наблюдении доступна "’лько интен-
сивность светового поля, а не его фаза, фраунгофе дифракци-
онные картины от дополнительных дифракционных устройств, полу-
чаемые в фокальной плоскости линаы, войду одинаковы ва исключе-
нием самого-фокуоа.
8. Теорему Бабине можно распространить на более общий случай.
Допустим, что имеется какая-то плоская или поверхностная струкиу-
ра, освещаемая светом (например, тонкая плоскопараллельная плас-
тинка с переменной прозрачностью); Пусть означает волновое
поле падающей волны при свободном раопространении на передней
поверхности структуры, т.е. поверхности, обращенной к источни-
кам света. Поле на задней поверхности (на выходе) структуры мож-
но представить в виде в ОС .где функция d зависит
только от самой структуры (и от длины волны), но не от интенсив-
ности и фазы падающего излучения. Функция сХ. называется пропус-
каемостыо структуры. Если взять другую структуру, ограниченную
теми хе поверхностями, то волновое поле на ее выходе представит-
ся аналогичным выражением (I • н0 с ДРУгии значением
пропускаемости уЗ • Две структуры называются дополнительными,,
если о(Ууд =/ . Для них, очевидно, по-прежнему справедли-
ва теорема Бабине в общем случае в форме (70.1), а в случае
фраунгоферовой дифракции - в форме (70.2)i
-2+0
ЗАДАЧА,
На черный экран падает плоская световая волна. Вследствие
дифракции эа экраном, наряду с неотклоненной волной, появятся
волны всевозможных направлений (рассеянный свет). Показать, что
количестве рассеянной световой энергии равно количеству энергии.
поглощенному экраном.
РЕШЕНИЕ. Заменим экран дополнительным-дифракционным устрой-
ством, т.е. отверстием. От этого, по те’ореме Бабине, интенсивность
светового поля в бесконечности сохранится неизменной во всех
направлениях, эа исклпчением направления первичной волны. Но на
любое строго фиксированное направление эа отверси.дм приходится
нулевая интенсивность света, так как отверстие рассеивает весь
падающий на него свет. С другой стороны, экран по предположению
полностью поглощает весь падающий овет. Отсюда непосредственно
подучается требуемый результат. Разумеется, он применим только
в тех случаях, когда размеры экрана очень велики по сравнению с
длиной волны.
-JM5-
§ 71. ПРОЕДЕНА ТЕНИ В ВОЛНОВОЙ ОНГИКЕ
X. В свете наложенных соображений рассмотрим снова проблему
прямолинейного распространения света. Сущность проблемы состоит
в выяснении условий, при выполнении которых непрозрачные тела при
освещении точечными источниками отбрасывают резкие тени, геометри-
чески подобные самим телам. Допустим, что Q - точечный источ-
ник света, иа которого исходит сферическая волна. На пути ее раса
ространения поставлен плоский непрозрачный экран с отверстием
(рис.149). Поле в точке Р по другую сторону экрана определяется
Рис.149
выражением (69.7). Вообразим систему эллипсоидом эацепия с фи-
кусами в точках Q и Р . вллипссиды вырежут иа пл<скости экране
ли отверстия сиотему эллипсов.
Каждый эллипсоид однозначно олреди-
ляется заданием длины его большой оси, равной сумме расстояний 2О
и Z любой точки поверхности эллипсоида до Л и Р , этим па
раметром одноаначно определяется также ^орма и расположение соот-
ветствующего эллипса, получающегося от пересечении поверхности „л
линсоида с плоскостью экране или отверстия. Вместо не о удобнее,
взять параметр (s + ?aj- Дэ+aJ , где р. я п - длины
-250-
отрезков Ci О и РО . Если р=О , то эллипс вырождается в
точку О . Выберем в качестве элемента площади cLf в плоскос-
ти отверстия площадь эллиптического кольца между эллипсами с па-
раметрами р я р+ dp . Если такое кольцо только частично ле-
жит в плоскости отверстия, а остальная часть erj приходится на
экран, то в качестве cLF надо брать площадь только той части
кольца, которая лежит в плоскости отверстия. Рассматриваемый эле*
мент площади, очев 1дно,мо.сн.) представить в виде ctF~yfp)cip.
Подставив это выражение в формулу (69.7) и введя обозначение
’ пслучим
= ае1<^ Р<£Р> (М
А
где pt - минимальное, а pi - максимальное значения параметра
р . Интегрируя по частям, найдем
р. л ж ' ft Pldp
Если снова проинтегрировать по частяи и повторить эту операцию
неограниченно, то получится раэложениё функции в ряд по об-
ратным степеням к . Такой ряд, вообще говоря, не сходится, а
является асимптотическим. Если оборвать его иа первом члене, то
благодаря большим значениям к отброшенный "остаточный член",
вообще говоря, будет мал. В этом приближении
Р lfi • (71.2)
2. Рассмотрим теперь два случая.
I случай. Точка О лежит на экране. В этом олучае У’^/^и
вообще говоря, обращаются в нуль, так как контур отверс-
тии касается крайних эллипсов, вообще говоря, в одной или несколь- ,
ких точках (рис.150). Если же крайние зллипоы имеют общие участки I
с контуром отверстия, то Pfa)могут быть и не равными'
нулю. Однако -акой случай, в котором отверстие имеет правильную
-25/-
Рис.150
форму, нвляется совершенно специальным. Подобный случай будет
рааобран в следующем параграфе. Здесь же мы будем предполагать,
что форма отверстия совершенно неправильная, а потому в подав-
ляющем большинстве случаев У’ (р,) = </>(& ) =О • При соблю-
дении этого условия формула (71.2) дает О (тень). По
волновой теории тень получается там, где вторичные волны Гюйген-
са гаоят друг друга при интерференции.
2 случай. Точка О лежи? в плоскости отверстия в этом
случае выражение (71.2) на верхнем пределе, вообще говоря, также
обращается в нуль (рио. 151). Остается вычислить его значение на
нижнем пределе, которые теперь равен р,^О. СгцЙью найдем
явный вид функции р(р) при малых внечениях р . Прове-
дем черев точку О плоскость, перпендикулярнув ж QP ;
она пересечет вллипоиод по кругу радиуса л , (рио. 152).
нломадь атого круга Si1 , а плоцадь соответствувцего вллин-
Рис. 152 - .
са * — , поскольку эллипсоид очень вытянут и в вредней
части мело отличается от цилиндра. Как следует из рис. 152}
Р*Р*Р-- * PaS? ~
Сл щеательно.
-253-
Откуда
oLF д
Подставляя это значение в (71,2)''1Голучии
ш = -а _ £[ut~k6е-
ГР /оЛР ~
Но ато есть поле свободно распространяющейся волны на расстоя -
нииуэ +J> от источника. Основная идея приведенного доказатель-
ства прямолинейного распространения света принадлежит Кирхгофу.
-254-
§ 72. ДИФРАКЦИОННАЯ КАРТИНА НА ОСИ КРУГЛОГО ЭКРАНА
И КРУГЛОГО ОТВЕРСТИЯ.
I. Рассуждения предыдущего параграфа неприменимы, если
один из крайних эллипсов: р, = const и fa-const или оба вмес-
те совпадают с конечной частью края экрана. В этом олучае PC fa)
vmtpCfy) не обращается в нуль: происходит загибание овета в об-
ласть геометрической тени, отбрасываемой краем экрана. Наиболее
просто поддается теоретическому рассмотрению случай, когда источ-
ник света Q и точка наблюдения Р лежат на оси круглого эк-
рана или круглого отверстия.
2. Рассмотрим сначала случай круглого экрана. Исходной яв-
ляется формула (69.7). Как и в предыдущем параграфе, введем в ка-
честве переменной интегрирования величину £ = 2i>-?o. Иа рисун-
ка 153 находим
откуда для элемента площади находим ,
dF = SLXxdx. =Т-------------' d$. (72.i)
Подставляя это значение в«(69.7) и замечая, что cosa-%, найдем
dt t _ (?г.г>
-------F— ’ (72-3)
R. и R - расстояния от точек Q м Р до края экрана.
ifcryiiaH так же, кш в предыдущем параграфе, интегрируем по чао-
тяг: и жиодпи
-255 -
J»® iejt _
f, + (72,,
. К+1Л *+Ъ ,
Так как к. очень велико, то, благодаря наличию множителя ik в
Q
Рис.153
знаменателе, последним интегралом можно пренебречь. Первый же
член в правой части на верхнем пределе обращается в нуль. Пог-
'г 7Г e
или .
ш / 6WJ - б’-Х) м-цыЛ
rt (it.t.f -Огл)
Это выражение можно упростить, когда R и %о мало отли-
чаются от f> и . В этом случае формула (72.5) переходит в
приближенную формулу
ш=_а
-256 ~
Выражение (72.3) ханже упрощается:
1Ск) = -у2 • <7г-7)
Танин образом, н" оси круглого экрана должна получаться та-
кая же интенсивность га, как и при свободном распространении
волны. Этот парадоксальный вывод, впервые полученный Пуассо-
ном иа френелевой теории тени,сначала показался настолько аб-
сурдным, что Пуассон выдвинул его в качестве возражения против
волновой теории света. Однако опыт, поставленный Араго, подтвер-
дил атс предсказание. Впрочем, явление Араго-Пуассона наблюда-
лось задолго до Френеля, нс было оставлено без внимания и забы-
то. Светлое пятнышко в центре геометрической тени, отбрасываемой
шариками разного размера, наблюдал Делиль еще в 1715 г. Эффектная
демонстрация явлении Араго-Пуассона принадлежит Полю. Он заменил
фотографический объектив стальным шаром и получил фотографии, на
которых довольно отчетливо выступали основные детали ярко освещен-
ного объекта. Ангерер повторил опыт, ваяв вместе иара диск и так-
же получил положительный результат. ' Необходимо отметить, что
просветление имеет место только в непосредственной близи от цент-
ра геометрической тени, так как только здесь линии ^=сол«#оо»-
падают о краем круга. Уже на малом расстоянии от центра мы всту-
паем в область геометрической тени, отбрасываемой круглым зкраном.
3. Рассмотрим теперь случай круглого.отверстия. Вое оаосуаде-
ния остаются без изменения, но интегрирование надо проводить по
площади стверотия. Вместо выражения (72'^0, если также пренебречь
последним интегралом, получится .
у .
Ik 'f*f. ’ ‘
или, пользуясь приближенным выражением (72.7),
4>f = е , (И;9)
где по-прежнему р = (R+Rj-ffif»)
1) См. соответствующие фотографии в "Оптике и атомной физике"
Поля и "Оптике" Зоммерфельда. —
-257^
Если диаметр отверстии равен диаметру круглого экрана, то,
сложив (72.6) и (72.9), найдем
a t[сЛ-к (f>
г*г-е
Вто есть волновое поле при свободном распространении волны, как
и должно быть согласно теореме Бабине (70.1).
Для интенсивности из (72.9) находим
= I vi Г= d *«*кр) <7гл<»
Если, оставляя источник $ неподвижным, перемещать вдоль оси
точку наблюдения Р , то интенсивность света будет последовательно
проходить через минимумы и максимумы. В местах минимумов интенсив-
ность обращается в нуль; в местах максимумов она в четыре раза
превосходит интенсивность, которая получилась бы при свободном
распространении волны. Тс же явление можно наблюдать, оставив точ-
ки Q иР неподвижными и меняя диаметр стверстия. Минимумы по-
лучаются при
кр ~ 2гпТ
а максимумы при
кр = (2 т ,
или р = гп. Л f (72.11)
или р = (л
(72.12)
где т - целое число (/т? = 0,1,2,3,...)» Наглядный геометричес-
кий смысл этих условий дается с помощью кольцевых зон Френеля (см.
§-73).
4. Оценим сшибку, которая вносится отбрасыванием в выражении
(72.4) . сследнего интеграла. Рассмотрим случай отверстия, когда
длина р мала по сравнению с 2 и ?. . Тогда применима приближен-
ная формула (72.7). Пользуясь ей, найдем, что отброшенный член
порядка R+Ro .. .
lUtf e'L^ /
£ = « е / —-г—
J Ъ
-258-
Поскольку уже сделана замена и « величину
в знаменателе можно считать постоянно* и заменить ее на
В таком приближении
или на основании (?2.9)
V,____________iJL.jL.
С - 2Т fj>.
Величинами такого порядка следует пренебречь, поскольку ето ужа
делалось при выводе исходной формулы (69.7). Так же, хотя и нес-
колько длиннее, можно показать, что пренебрежение последним чле-
ном в (72.4) допустимо и в случае экрана.
-25Г9
§ 78. ЗОНЫ ФРЕНЕЛЯ.
I. Применение аон Френеля для качественного приближенного
решения дифракционных задач общеизвестно. Однако в теории зон
Френеля вводятся некоторые предположения, который не дается впод-
йе убедительного обоснования. Теория дифракции, основанная на
принципе Гюйгенса в формулировке Кирхгофа, позволяет избежать
втого недостатка. Пусть
чающий сферическую волну
ьс - точечный источник света, излу-
£(cJt - кгв)
К
Подставляя 8то выражение в (67.8), найдс-к г' гозое поле в точке
р 1 -аг
V dF . (78.1)
р J J 2
В случае свободного распространении волны интегрирование
должно производиться но всему сферическому волновому фронту F
радиуса 2 (рис.142). Если на пути распрострененин волны пос-
тавлен экран с круглым отверстием В В , то область интегрирова-
ния сведется к задней поверхнос*.: и участку сферы ДСВ .
В приближении Кирхгофе? подынтегральное выражение не задней по-
верхности экрана равно нулю; поэтому остане гея только интеграл
по уч ютку сферы ЛСВ . Если вместо отверстия взять круглый эк-
ран того же размера, то область интегрирования сведетсн к участ-
ку сферы WB .
Возьмем в качестве переменной интегрирования расстояние Z .
Из рисунка 142 находим
г = (f+po)cos&Г
а потому
zdz - ?e sin $ d&
dF = sintfd# = 2z~~-~ dz.
-260-
Подставив это значение в формулу (73.1), найдем
(78.2)
(73.8)
?, и 2г - наибольшее и наименьшее значения & . Следуя
§ 71, проинтегрируем (73.2) по частям:
U1 =_ f^ e Lkz dz (73.4)
? ik ’ ik J dz
Z! I
Оценим последний интеграл. В выражении (73.4) единственной
величиной, зависящей от 2 , является cos& , Найдем производ-
ную зтой величины пс г . Из’рисунка (142)
+ = г2+г/ + 2 г^> ,
Взяв ст выражения (73.3) логарифмическую производную го г
и воспользовавшись предыдущей формулой найдем
Числа и кг велики, и последней величиной по ci-авнению о
JlQe.) следует пренебречь, так как это уже было сдельно при вы-
воде исходной формулы (67.8). Интегралом в (73.4) по сравнению с
интегралом С?3.2) следует также пренебречь. 5яо дает
-26 (-
ik I Тк
ИЛИ 2/
(73.5)
-Пег.
- е
(73.6)
Преимущество приведенного рассмотрения перед обычным состоит
в тем, что оно приводит к явному выражению для волнового поля
в течке Р в проинтегрированной форме. Это обстоятельство пс
существу делает излишним раебиение волнового фронта на кольцевые
воны Френеля. Однако такое раебиение обладает преимуществом наг-
лядности, а потому имеет омыод остановиться на нем и дать более
строгое обоонование метода вон Френеля.
2. Из точки Р , как ив Центра, опишем сферические поверх-
ности с радиусами PC , PC * % ♦ РС+2 */> и т.д. (рис.
142). Они разобьют сферу Р на кольцевые облаоти, которые и на-
"ываютоя зонами Френеля. Интеграл (73.1) или (73.2) представится
оуммой интегралов по отдельным зонам Френеля. Пусть неприкрытая
часть сферы р содержит п полш& зон и некоторый остаток -f ,
составляющий неполную эону. Тогда
* К + ь? ,
где - вклад, вносимый к -той воной, а - остатком
/ • Для вычисления этих слагаемых воспользуемся формулой
-262-
е
(73.8)
Последовательные зоны приносят в точку Р возмущения в противо-
положных фазах. Действие всех п полных зон, очевидно, равно
г,+п
Ч'.-'Рг -..★Ч’.-ъ
Так как функции J.(z) для двух соседних зон отличается друг от
друга очень
получаем
иало, то, пренебрегая этим различием, из (73.7)
/Л _ 2 Л (г,) .-1^,
Г' ~ ~й< е
Складывая
ношенив
сравнивая с предыдущим результатом, приходим к ооот-
' 'г ,п 2
полных зон Френеля равно половине действия двух
(73.9)
(73.10)
распространяется в
F (а не только в
как делал Френель) на
Действие п
крайних зон. Это основной результат, используемый в методе зон
Френеля. Здесь приведено егс строгое доказательство. Если послед-
няя вона Френеля неполная, то
2 '
3. Допустим теперьусферическая волна
свободном пространстве. Разобьем всв сферу
переднюю часть, обращенную к точке Р ,
зоны Френеля. Действие псследней зоны практически обратится в
нуль, поскольку на задней поверхности сферы F угол (X весьма
близок к Г , а величина к нулю. По той же причине обра-
тится в нуль и добавочный член Д^ . Формула (73.10) дает
-i63 -
п с
я
К
* Ф - JL - ^г‘)~£кг> OL ifa* kfay)]
i f ~~ • / — G ~~ “ C7
P 2. Lk Z>+f '
как и должно быть для свободно распространяющейся волны.
Если на пути волны поставить круглый зкрая, то в рассужде-
нии ничего не изменится; надо только начать построение не о
центральной, а с кольцевой зоны, начинающейся от кран экрана.
Действие волны на оси круглого вкрана сведется к половине дейст-
вии первой не прикрытой френелевой зоны: на оси всегда будет
свет (явление Араго-Пуасоона, уже рассмотренное в предыдущем параг-
рафе)^
Пусть теперь на пути волны стоит круглая диафрагма. Когда
она открывает только одну первую зону Френели, интенсивность в
точке Р максимальна и в четыре раза превосходит интенсивность,
которая наблюдалась бы при свободном распространении волны. По
мере увеличения размеров диафрагмы, интенсивность в точке Р нач-
нет убывать. Она почти полностью обратится в нуль, когда диафраг-
ма откроет две зоны Френеля, так как две соседние зоны практически
полностью гасят друг'друга. Когда в отверстии диафрагмы уложатся
три зоны, интенсивность будет снова максимальной и т.д. Вообще,
интенсивность максимальна, когда диафрагма пропускает нечетное
число зон и минимальна,• когда она‘пропускает четное число их. В
этом геометрический смысл условий (72.11) и (72.12), установлен-
ных формально в предыдущем параграфе. Опытное подтверждение полу-
ченных результатов в первой четверти прошлого столетия рассматри-
валось как одно из убедительнейших доказательств волновой природы
света и обеспечило в то время победу волновой теории над корпус-
кулярной.
Если прикрыть вое четные (или все нечетные) зоны Френеля,
то оставшиеся неприкрытыми зоны будут усиливать друг друга: в тсч-
ве Р получится особенно сильное световое действие, как в фокусе
собиоа щей линзы. На зтом основано действие хорошо известной зон-
ной пластпикт, впервые изготовленной Релеем. Зонную пластинку
можно изготовить,если на большем листе бумаги начертить ряд кон-
центрических “кругностей, радиусы которых пропорциональны квад-

ратным корням ив последовательных натуральных чисел, зачернить
полученные кольца черев одно, а затем сфотографировать на стек-
лянной пластинке. Релей указал, что фокусирующее действие вой-
ной пластинки можно усилить. Для этого все воны пластинки долж-
ны быть прозрачными,* Но свет, проходящий, например, черев чет-
ные зоны, должен получить дополнительное отставание или опереже-
ние по фазе на SJl . Тогда вторичные возмущения от всех вон, как
четных, так и нечетных, достигнут фокуса в одной и той хе фазе ж
интенсивность в фокусе увеличится в четыре раза. Результата можно
достигнуть, нанеся на поверхности прозрачной плоскопараллельной
пластинки надлежащие концентрические углубления в местах, занимае-
мых, например, нечетными зонами Френеля. Подобные "зонные пластин-
ки с обращением фазы" были изготовлены Вудом.
ЗАДАЧИ
I. Если в опыте по фотографированию с помощью непроизрачно-
го тара поверхность шара испещрена множеством неправильных цара-
пин, то изображение может не получиться. Оценить максимальную
глубину царапин, при которой еще можно рассчитывать на получение
изображения.
Решение. Царапины не портят изображение, если их глубина
мала по сравнению с шириной крайней зоны Френеля А . Максималь-
но допустимая глубина царапин порядка А . Простой расчет дает
/ А аб
А ~ Z) (а+в) ’ <73*п>
где а и 6 - расстояния шара от предмета и его изображения,
D - диаметр пара. В опыте Поля было <2=12 м, 18 м,
Ц см. Это дает А. т Ог {мл.
2. Оценить максимальные угловые размеры предмета, который
иожно сфотографировать с поиощьс непрозрачного диска о идеально
гладкими краями.
Рейенге. Если «очечный объект сместить с главной оптической
оси в стерону, то диск ив нового пслокения объекта представится
елг -псом. Смааение не скажется существенно на изображении, если
рячне гь ьг-иц- ргди'-ссм диска к мело’1 полуосью иллкпеа будет мала
~255~
по сравнение с ииринсй крайней зоны Френеля к. . Максимально
допустимая разность будет порядка к. . Для нее можно напи-
сать г (1- СО&^-) = Zzsirt1^. где г -
* 2. ' q »
радиус диока, % - угловое смещение объекта с оптической осн.
Приравнивая зту разность величине h. , использун обозначение
предыдущей задачи и считая угол ОС малым, получим
4 iZw’
а “ -д <’«•“>
Угол ос и определяет максимальный порядок искомых угловых разме-
ров. Воли подставить числовые данные из предыдущей задачи, то
ОС 0,2 рад ~ 10°.
3. Зонная пластинка применяется для фотографирования предме-
та, который виден из меота нахождения пластинки под углом (X .
Оценить оптимальное число зон пластинки для получения наиболь-
шей яркости и отчетливости изображения.
Ответ» 1 / /6
/V ~ ~^Г • (73.18)
-set-
§ 74. ДИФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ ОТ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ЦЕЛИ И
ПРЯМОУГОЛЬНОГО ВКРАНА.
I. Продолжим исследование дифракции Френеля, прерванное в
§ 69. В качестве начала координат О удобно выбрать точку пере-
сечении прямой QP о плоскостью вк^ана иля отверст m (рио.154)<
При такой выборе векторы JZ и у> совпадают по направление,
благодаря чему в выражении (69.18) яочевнут линейные члены. Сле-
дует, однако, заметить, что при указанном выборе не всегда можно
польвоватьоя приближенным^вырахением (69.18), так
ведливо лишь при малых
жах оно оира-
олучаями, когда
R . Ограничимся позтому
точка О попадает либо в область отверстия, либо‘лежит недалеко
от его край. Такое ограничение, в сущности, ие являетон новым,
так как метод Кирхгофа или метод функции Грина, котсрн»мы будем
здесь польвоватьоя, применимы лишь тогда, когда овет дифрагирует
на малые углы.
В качестве оои X удобно выбрать' проекцию прямой QP на
плоскость экрана. Тогда выражание(69.18) перейдет в
(74.1)
где О( - углом между ооью Z и прямой QP , а £
£ -пря-
-267-
моугольные координаты точек отверстия. В двумерном случае ос-
тается только одна координата £ , и вместо (74.1) следует
ввить
Ф(я)= Ф($)= 1г('р'о )^озга. .
2. Рассмотрим сначала двумерный случай как более простой.
В качестве отверстия возьмем бесконечно длинную щель, края кото-
рой параллельны оси V • Источником света служит бесконечно
у,
длинная нить, параллельная оои щели. В атом случав формула (69.17)
переходит в
= ,
где и - абсцжхш левого и правого краев щели,
новую переменную интеграции по формуле
<р&) = (j?o + ,
или
(74.3)
Введем.
(74.4)
> = Х 1/УЛ
* casa |/ (7*«5)
тогда г
у .J_ l/SZZ [e-‘^dU.
'p cos a V2(P+P<>) J
Множитель перед интегралом можно опустить, поскольку он не
влияет на относительное распределение амплитуд и интеноивноотей.
Это означает, что используется специальный выбор единиц для нап-
ряженности я интенсивности волнового поля, при котором
* f е ~1 dw.
(74.6)
Для представлении волнового поля одинаково удобны как функ-
ция , так и функция р* , комплексно сопряженная с ней.
Обычно применяется функции Не уступая от традиции, введем
функцию _ . » р* i -^Г—
(74.7)
-~2Б8~
Тогда
^^М’-ГМ- (74.8)
Для интенсивности получим
= 1^М~ГМ1 . (74.9)
Задача о дифракции цилиндрической волны на цели сведена
к вычислению интеграла (74.7), который мы будем называть интег-
ралом Френеля. В литературе интегралами Френеля обычно называют
не интеграл (74.7), а его вещественную и мнимую части:
С/**') = /
(’4ло
Очевидно
F (w)~C(w) + iS (w). (74Л1
3. Исследование функции (74*7) начнем о выяснения поведения
ее в бесконечности. При стремлении М к ско (аргумент к' ве-
щественный!) интеграл (74.7) стремится к определенному конечному
пределу, хотя модуль подынтегрального выражения все время остает-
ся равным единице. Сходимость интеграла обусловлена осцилляциями
подынтегральных функций. Частота этих осцилляций быстро увеличи-
вается по мере возрастания Д' . Промежуток, в* котором подынтег-
хльная функция сохраняет знак, стремится к нулю при ст — »<=> .
Проведем биссектрису координатного угла ХОУ , *а также
.’У окружности fib с центром в точке О (рис.155). В области,,
^раниченной контуром ОЛЕО и на самом контуре функция 6?**
аналитична ( Z=x + iy ). По теореме Коии интеграл по замкну-
тому контуру ОЯВО от этой функции равен нулю. Будем стремить
радиус дуги ЯВ к бесконечности. Тогда в пределе интеграл по
дуге ЛВ исчезнет, и мы получим
-269~
Рис.I55
На луче OB Z. =ЭС (1 +1) • а потому
оо . zx* v
J dx = (i*i)Jе IXrfx = dtL
Таким образом, о
(74.12)
(74.18)
Повторяя ату операцию неограниченно, приходим к разложения
сходящемуся при любых (вещественных) значениях W . Найденное
разложение, однако, ввиду медленной охсдимоот , может иметь прак-
тическое применение лишь при малых значениях И/ .Волее важно
разложение пс обратный степеням ,так как оно приводит к
выражениям, удобным д..я вычисления функции F(w) при больших
значениях аргумента И/
чено интегрированием по частям из формулы.(74а.7). Рассмотрим сна-
чала случай й/>0 . Преобразовав формулу (74.7) к виду
. XX* '» Гх1
Это выражение также может быть полу-
е

Г G cLx
и интегрируя по частям, получим
? Хх*
[е1 г dr = -^~e г <
W
' /
. хх‘
е
-l?f-
Повторяя эту операции, приходим к разложению
E(w) -Г(< -) . £ [b ,-'л„' i 3(^/3 ,
справедливому при IV* О • Еоли W<0 , то таким же рассужде-
нием легко получить
Эти ряды расходятся при любых значениях W . Они являются
асимптотическими. При больших значениях И' указанные ряды, еоли
их оборвать в надлежащем месте, дают доотаточно трчное приближе-
ние для функции F'(d). Для многих целей достаточная точность
достигаетоя при обрыве ряда уж * на первом члене.
4. Остановимся на геометрической интерпретации интегралов
Френеля, предложенной Корню. Будем рассматривать X как
йбоцицсу, a y=iS (w) как ординату точки на плоскости. При из-
менении параметра W такая точка опишет плоскую кривую. Она назы-
вается спиралью Корню. Если ввести комплексную переменнуюТ’-Х'тУ,
то уравнение опирали Корню представится в виде (74.7).
Спираль Корню проходит через начало координат, так как F-0
при W-0 . Она симметрична относительно этого начала, поскольку
злемента дл^ры дуги спирали Корню равен
= dwl
F(w)=-F(-W) • КваДР*1
dd =1^&Л2~1е
откуда
И/ =5'.
(74.17)
Таким образом, параметр V! еоть не что иное как длина дуги
спирали Корню, отсчитываемая от начала координат.
Пусть Г - угол между касательной к опирали Корню и осью
X . Тогда
А поэтому Q.A

При IV =О угол 7* обращается в нуль, т.е. кривая в начале
координа. касается оси X • При W-1 касательная становит-
ся вертикальной и идет вье-рх. При W^» получаем t = - ка-
сательная снова горизонтальна, но идет в отрицательном направле-
нии оси X . При W=^ она вертикальна и идет вниз. Ирл
И/=|/^ = 2 касательная принимает исходное - горизонтальное-нап-
равлении и т.д.
для радиуса кривизны спирали Корны получаем
„ _ ds dw_______________________/_
dr cfc Я-W (/4.19)
мер» возрастания абсолютное! значения W кривизна кривой
непрерывно увеличивается. При гер-.ходе через то“ну W О кривиз-
на пеняет знак. Если W =*О , то л ч °* . Начало координат
является, таким ооразоь,точкой перегибе спирали Корню. Кривая
ясилнтотлчески обвивается вокруг двух точек Н и Н (рис.1>е),
-273*
при приближении к который ее кривизна стремится к бесконечности.
Эти точки, называемые фокусами спирали, симметрично расположены
относительно начала координат. Координаты фокуса Н :
. y„=^~W -
Полная длина спирали Корню меаду фокусами Н и Н бесконеч-
на.
Для того чтобы с помощью спирали Корню определить волновое
поле <р* , надо отметить на ней две точки Л, и Лг (рис.156),
которым соответствуют значения и параметра W . Тогда
комплексное число, изображающееся отрезком Л,Лг , и будет
равно . Разность - V/( равна длине- дуги спирали
Корню между точками / и Л. • Ввиду (74.5) эта разность
пропорциональна ширине щели и не зависит от положения
точки Р . Чтобы исследовать волновое поле в зависимости от по-
ложения точки Р , надо перемещать точки и Л1 по спира-
ли Корню таким образом, чтобы длина дуги, заключенной между ними,
оставалась неизменной.
5. Наиболее простая и важная дифракционная кар-тина, получа-
ется в случае, когда один край щели, например левый, неподвижен,
а другой удален в бесконечность. Тогда говорят о дифракции на
прямолинейном крае экрана. Прежде* чем исследовать такое явление,
необходимо, однако, рассеять сомнение в отношении применимости
метода опирали Корнб к рассматриваемому случаю. При бесконечно
широкой цели условия (69.21) не могут выполняться для всех точек
цели. Аргументация, позволившая оборвать разложение (69.Id) на
членах второй степени, отпадает. Тем не менее, метод спирали Корню
остается в силе, так как условия (69.21) являются достаточными,
но не необходимыми. Следующие рассуждения могут служить обосно-
ванием этого утверждения.
Проведем семейство эллиптических цилиндров с фокусами в <2
и Р (рис.149), длины больших осей которых равны соответс;вен-
HoPQ+j- ,PQ+£-£ , PQ+3j- и т.д., т.е. Boat »с-
тают в арифметической прогрессии с разностью ~g • мили- цры
пересекут ось X в точках Л1, , , Л13 ,..., и вся коор-
динатная плоскость ХУ- разобьется на нрниоугольнке полосы.
-274 -
Эти подлог навиваются вонами Шустера и в рассматриваемом воп-
росе мгрсс? Тпкул же роль, чтс и
Лфреицви на круглых отвеостиях
ВЫЧИСЛИ!' ширину воны . Пусть Л,
цпосн точек . Q и Р , а
рисунка 157:
кольцевые воны Френеля при
и вкранах ,
- або-
~ расстояние QM„ . Ие
Q
Отсвда
Р
Рис.157
Пусть. 'Л1п^ - точка, лежащая посредине между JUn и
Её абсциссу обозначим буквой , а расстояние of О.
буквой е* , . Тогда
или
г_ -г
г.
где
о(° , - угол между прллой ОМ , и нормалью к плоскости
-275-
зжранж. Аналогично,
Zn+,~ гп ~ (Хп„~Хп) sen ал^ >
где 2Я - расстояние точки «/Zn от Р , угол 0(п#у ука-
зан на рисунке 157. Если последнее выражение сложить о предыду-
щим^ учесть правило построения вон, то в левой части получится
/г . Таким путем для ширины воны найдем
Л
X ~ хп =-тг-----------:---------------7 ' (74.20)
2[sindn^t + Sina„^]
MeiwmmaMjW ширину имеет первая вона. По мере удаления от точки
О вправо, знаменатель в (74.2 j) монотонно растет, а ширина
воны монотонно убывает. При ширина зоны стремится к
пределу •*/$ .
Рассмотрим, например, случай, когда прямая QP перпендику-
лярна к плоскости акрана. В этом случае формулы сильно упрощают-
ся. Ради простоты при вычислении Sind ° и Sin а заменим г“ и
Z на уз. и уэ , что допустимо для не слишком больших
п . Имеем
Sin а =--------—
Подставляя вти значения в
ние:
Sin а
(74.20), получим рекуррентное соотноше-
случае
Так как в рассматриваемом
, то отсюда находим
2 пЛ _
A f / */»
Ширины последовательных зон относятся как
1 ... =
(74.21)
100: 41,4: 31,8: 26,8: 23,8: 21,3: 19,5:...
Из изложенного сл дует, что формулы, выведенные для узкой
ц»ли, применимы и в случае сколь угодно широкой цели. Дейсгви-
-2Z6-
тельно, в выражении (69.15) на ширину цели не было наложено
никаких ограничений. Но заметный вклад в интеграл (69.15) вно-
сит лишь узкая полоса, расположенная около центральной зоны.
Влиянием остальных областей можно пренебречь. Для доказательства
возьмем точку JUn правее основания перпендикуляра N , опу-
щенного из Р на плоскость экрана. Рассмотрим интеграл типа
(69.15), взятый по отрезку, расположенному правее точки Л1п .
С возрастанием п величина будет убывать. А так как
ширина зон также убывает, то оудет убывать и абсолютная величи-
на интеграла типа (69.15), взятого в пределах одной зоны. Кро-
ме того, из самого способа построения зон следует, что две со-
седние зоны, если только их номера не слишком малы, посылают в
точку Р колебания в противоположных фазах. Интегрирование по
отрезку, расположенному правее точки *Л1п , свелось к суммирова-
нию знакопеременного рнда, отдельный член которого представляет
цилиндрическую волну, посылаемую одной зоной. Сумма такого ряда,
как известно, не превосходит его первого члена. А так как для
больших л действие одной зоны пренебрежимо мало, то интеграл
по бесконечному отрезку с левым концом в точке мп также пре-
небрежимо мал.
Итак, заметный вклад в интеграл (69.15) вносит лишь полоса,
содержащая центральную зону и несколько десятков примыкающих к
ней соседних зон. Волны, исходящие из всех остальных зон, гасят
ДРУГ друга практически Полностью. А так как для рассматриваемой
полосы условия (69.21) собдодаются, то при интегрировании допус-
тимо пользоваться приближенным выражением (69.18). Существенно,
что интеграл по отрезку, расположенному правее. JLL
п. ,'вычисленный
с помощью яе применимого таи выражения (69.18), также Пренебрежи-
мо мал.
6. Доказанное утверждение, как легко убедиться справедливо
и в случае точечного источника. Существенный вклад в интеграл
(69.7) вносит узнан полоса, расположенная вблизи точки О и
параллельная краю экрана. Сферические волны, исходящие из точек
вне этой узкой Полосы, интерферируя, гасят друг друга практичес-
ки полностью. При расчете дифракции, иа щели от точечного источ-
ника надо пользоваться формулами (69.17) и (7'».1). Если наряду
с К ввести нов ч переменную интеграции W по формуле
-277-
к (±
T ( A P/( ~ 2
и отбросить несущественный множитель, не влияющий на относитель-
ное распределение амплитуд и интенсивностей, то из этих формул
легко найти
}dwdw'.
W', -о*
Интегрирование по w'вносит новый несущественный множитель.
Опуская его, получим
. г г
% = Je‘ fw dU ,
т.е. прежнюю формулу (74.6). Таким образом, задачи о дифракции
на щели от точечного и линейного источников математически тож-
дественны.
7. После этих отступлений можно вернуться к иоследованию
дифракционной картины, возникающей при дифракции световсй волны
на прямолинейном крае бесконечного экрана от точечного или ли-
нейного источника, параллельного краю экрана. Пусть свет после
дифракции на крае экрана JUM падает на второй экран N N. /
(рис. 158). Исследуем распределен^ освещенности на экране НН-
Если точка наблюдения Р лежит вне геометрической тени,т.е.
правее точки , то начало координат О находится правее края
экрана. Координата £, , а с ней и параметр отрицательны.
Верхний предел =+ 00 .На спирали Корню верхнему пределу
lijs+oo соответствует верхний фокус Н . Нижнему пределу I/ , .
соответствует точка Л , находящаяся на нижней ветви спирали
Корню. Световое поле изобразится в комплексной плсскссти
стреэком НА . При перемещении точки наблюдения Р вправо от
& соответствующая точка Л будет описывать нижнюю ветвь спи-
рали Корню, двигаясь от О по направлению к Н . Как видно
из рисунка, длина отрезка НА =|j^*| при этом будет периоди-
чески проходить через максимумы и минимумы, асимптотически приб-
лижаясь к своему предельному значению, равному расстоянию мевду
фокусами Н'иН. Это расстояние изображает поле волны при
свободном распространении. Когда течка Р находится в X
-278-
- 279 -
изображающая точка А приходит в О , и длина отрезка нл
составляет половину длины отрезка НН , а интенсивность све-
та - одну четверть от интенсивности при свободном распростра-
нении волны. Таким образом, вне области геометрической тени долж-
ны наблюдаться периодические изменения освещенности экрана -
дифракционные полосы.
Рассмотрим теперь случай, когда точка Р находится олёва
от «Sf , т.е; в области геометрической тени. В этом случае на-
чало координат 0 лежит левее кран экрана JIL , т.е. аргумент
W, положителен. По мере продвижения точки Р от в об-
ласть геометрической тени, соответствующая точка А движется
по верхней части спирали Корню по направлению к фокусу Н .
При этом длина отрезка НД монотонно убывает и стремится к нулю.
Интенсивность света непрерывно уменьшается и не получается ника-
ких дифракционных полос. Распределение интенсивности света Э на
экране Nn представлено на рисунке 158 волнистой кривой.
Положение макоимуиов и минимумов освещенности вне геометричес-
кой тени можно найти, приравняв к нулю производную от .
Однакс этот путь приводит к сложному трасцендентному уравнению
для определения нижнего предела . Значительно проще следую-
щий приближенный способ, дающий достаточную точность. Как видно
из рисунка, максимумам и минимумам интенсивности приближенно соот-
ветствуют точки пересечения нижней ветви спирали Корню с биссект-
рисой Н'Н координатного угла Х®У . В этих точках касательные
к спирали Корню почти перпендикулнрны к направлению НН • Следо-
вательно, максимумам интенсивности соответствуют следующие приб-
лиженные значения угла наклона касательных к оси X :
6 4 ’ 4 " • • ’ ~ ST , • ,
а минимумам Г
г~ 4 J 4 ' ' ’ ’ 4 з: ; .
Если по формуле (74.18) перейти от Г к параметру W , то
для максимума п -го порядка
(74.22)
w =
-2В0-
а для минимума r-z--р
I / ~*
W, = - И —2 • (74.23)
Обозначим буквой а расстояние точки Р от границы гео-
метрической тени *?> ( CL положительно, если Р левит правее «S' )<
Как видно из рисунка 158, J3 *
Т = Л~
Поэтому с помощью формулы (74.5) находим_*
К, = - a cos Л |/лу>^у,.у '
Воспользовавшись формулами (74.22) и (74.23), находим расстояние
Q для п -го максимума:
а для П -го минимума:
CLn = ~(74.25)
2cos<*. V
Если источник бесконечно удалей ( уэ= °<= ) и псоылаеэ
плоские волны, почти перпендикулярные к плоскости экрана ( <Х = ^)
то эти формулы переходят в более простые:
CLn yA^CBn-S) (максимумы) t (76,26)
an=i]/^XfCBn-1) (-инимумы) . (76.27)
8. Итак, вмеото резкой границы тени, предсказываемой геомет-
рической оптикой, теория дифракции приводит к выводу, что граница
тени не резкая, а распадается на дифракционные полосы. Может пока-
заться, что этот вывод находится в противоречии с повседневным
опытом: в обычных условиях дифракционные полосы вблизи границы
тени не наблюдаются. На самом деле противоречия нет, так как те-
ория отнооитоя к идеальному олучаю, когда источник света точеч-
ный. В реальных условиях, благодаря малости длины световой волны,
источники света лишь в редких случаях могут вчитаться точечными.
f-
Каждая точка протяженного источника света дает свою дифракцион-
ную картину, состоящую из светлых и темных полос. Если разиеры
источника достаточно велики, то эти дифракционные картины будут
настолько сильно сдвинуты друг относительно друга, чтс в резуль-
тате их наложения дифракционные полосы пропадут.
Допустим, например, что протяженный источник света беско-
нечно удален. Согласно формулам (76.26) и (76.27), ширина дифрак-
ционных полос порядна » а ее угловая ширина, если смотреть
от края экрана, порядка <Гф= ’=1/-^ . Для того, чтобы
“ if
получились резкие дифракционные полосы, необходимо, чтобы угло-
вые разиеры источника были малы но сравнению с о . Если зто
условие не соблюдается, то дифракционные полосы либо не получат-
ся, либо будут размытыми.
По резкости дифракционных полос можно судить об угловых раз-
мерах источника света. Иа этом основаны прямые способы измерения
угловых диаметров авезд. Один иа них заключается в следующем.
Если свет от звезды во время новолуния проходит около края Луны
и затем попадает на Землю, то должны появиться дифракционные по-
лосы. Среднее расстояние от Земли до Луны уэ = 380000 км. Если
в качестве аффективной длины волны ваять Л-5500 К., то рас-
стояние п -го максимума от края геометрической тени, согласно
формуле (74,26), будет равно 7,23 lfen-5 мееррв,1 Отсюда находим
следующие значения для расстояний между последовательными максиму-
мами (ширины полос) в метрах: 11,4; 7,56: 6,05; 5,20; 4,63;
4,22 й т.д. Дифракционные полосы, как легко подсчитать должны пе-
ремещаться по земной поверхнооти со окоростью порядка 500 м/сек.
Для их наблюдения Уайтфорд (1946) воспользовался стодюйиовым
рефлектором Маунт-ВильсоновсКой обсерватории, в фокусе которого
помещался фотоэлемент. Когда по объективу телескопа проходил^
дифракционные полосы, интеноивность света, падающего на фотоэле-
мент, последовательно проходила через макоимуыы и минимумы. Сила
возбуждаемого фототока также колебалась от максимума к минимуму.
Фототок усиливался и с помощью осциллографа записывался на движу-
щейся ленте. Резкость максимумов и минимумов на осциллограмме за-
висит от углового диаметра звезды. Сравнивая полученную осциллог-
рамму с теоретической, вычисленной в предположении, что звезда
-282-
излучает как равномерно свесжиися диск, ыо..ко било наити угло-
вой диаметр такого диска.
Приведен результаты, полученные Уаит*срд>-ы:
Звезда Звездн. величи на Угловой диаглетр Радиус : звезды I (Солнце= I): Радиус,найденный по сгекгральным и .оюиетрическим да l .и.и.
V Девы 4,2 0,008" 86 104
эе Девы 4,3 0,005" 27 22
191В Офиуха 6,3 0,002" 27 26
44В Офиуха 4,3 0,0008 " 3,0 2,2
Точность
метода
оцениваемая
самим Уайтворэи, порядка 10%.
Несомненно она завышена. Действительно, дифракционные полосы дол-
жны начать исчезать, когда угловой диаметр звезды будет порядка
, что для Луны составляет около 0,008" Измерение
угловых диаметров, много меньших 0,и08* указанном методом не-
возможно. (Для этого надо было бы воспользоваться другим небеоным
оветилом, значительно дальше удаленным от Земли, чем Луна. Од-
нако ни одна из планет или их спутников не годится для этой цели.)
Поэтому приводимый Уайтвордом результат для 44В Офнуха сомнителен.
Кроме того,чтобы резкие дифракционные полосы вообще получились,
необходимо, чтобы неровности лунной поверхности были заметно мань-
ие ширины полосы. Последнее, несомненно, не выполняется.
Другое применение дифракция от края Луны нашла в радиоастро-
номии. Главным препятствием при установлении точного положения
космических радиоисточников и отождествлении их о видимыми объек-
тами является малая разрешающая способность радиотелескопов. Так,
однопораболичеокая антенна о диаметром -#=60 м, принимающая
радиоизлучение о длиной волны Л = 21 см, может указать поло-
жение радиоисточйика о точностью порядке -g- rs - рад % Ot2\
Еоли взять две такие антенны, разведенные на расстояние в I км или
больше, то разрешающая опоообность может быть повышена в 20 раз
и более. В области с такими угловыми размерами астрономические
фотографии содержат десятки и оотяи объектов. Используя дифракции
от края Луны, можно на той же длине волны достигнуть разрешении
порядка 5' •
~2вЗ~~
§ 75.ПОДОБИЕ В ДИФРАКЦИОННЫХ ЯВЛЕНИЯХ ФРЕНЕЛЯ
I. Рассмотрим два экрана с диафрагмами, которые могут быть
переведены один в другой преобразованием подобия
? • (75.1)
Соответствующие им точечные источники света Q. и Q находятся
на расстояниях у>о и уо„' , а точки наблюдения Р и Р - на
расстояниях и у>‘ от начал координат О и О' .За на-
чала координат О и О , как и в § 74, примем точки пересечения
прямых Q.P и Q'P' с плоскостный экранов. Угол О( , образуе-
мый прямыми QP и Q'P о осями Z и Z , в обоих случаях
должен быть одним и тем же. В целях общности будем предполагать,
что длины волн Л и Л * различны. Для того чтобы дифракцион-
ные картины в обоих случаях были подобны, необходимо и достаточ-
но, чтобы величина к Ср , входящая в формулу (69.17), в подобно
расположенных течках принимала одно и то же значение. В первом слу-
чае, согласно формуле (74.1), она определяется выражением
*() <”-2)
Во втором олучае она равна
?)--£ (£ . <75-3)
Пусть
~ (75.4)
Тогда, принимая вс внимание (75.1) и (75.2), нетрудно получит*
- у7 Т * (75.5)
Необходимое и достаточное услсвие подобия принимает вид
* U* л
Л О- э Л X____________-4 (75.6)
л1 Т л' V f

Смысл этого условия легко уяснить, если обратиться к Рис«д
>9. Построив эллипсоиды с большими полуосями, равными Pl?2 ,
мы разобьем всю плоскость экрана на эллиптические зоны Френеля.
Две соседние зоны будут посылать возмущения в точку Р в про-
тивоположных фазах. При выполнении уоловия (75.6), как легко
показать, в обоих случаях получится одно и то же число зон.
При А = А условие (75.6) переходит в
г' (f г
р = (Т) ‘ <75-7>
Если размеры экранов и диафрагм увеличить (уменьшить) в к,
раз, то для получения подобной дифракционной картины соответст-
вующие расе сояния А, и р следует увеличить (уменьшить) в
Пг раз. J
2. На этих соображениях основаны интересные модельные опы-
ты В.К.Аркадьева. Он располагал источник света на расстоянии
yi*J3 = 40 метров от плоскости экрана, яа котором наблюдалась
(фотографировалась) тень от тарелки или ее уменьшенных моделей,
изготовленных из жести. В случае самой тарелки не было заметно
никаких дифракционных явлений: ручалась редкая тень в полном
соответствии с геометрической оптикой. При увеличении расстояния
« например до 7 км, тень от тарелки должна распадаться
в дифракционные полосы. Чтобы сфотографировать это явление в
лаборатории, можно по-прежнему оставить расстояние равным
40 и но взять модель тарелки, линейные размеры которой уменьше-
ны в *1/7000 ~ 13 раз. Зтс и было сделано Аркадьевым. На фотог-
рафии * ^°ткзчяв№аъ тень модели с светлым центром (пятно Пуассона)
и с белым краем; по запястью модели руки проэсодили светлые диф-
ракционные полосы; рукав под запястьем имел вид бахромы.
Были сфотографированы так» ч картины тенй для ро+р = 29 ки
и 235 км. Для этсгс применялись модели, уменьшенные в отношении
± и LOE: « -L .
V 29000 27 V 235000 77
В первом случае дифракционные пслосы проходили го всей, руке, но
->на еще сохраняла сходство с оригиналом. Вс втором случае сход-
стве было уже утрачено: пятно Пуассона в середине тарелки увели-
чилось и появилось второе светлое пнтно яа рукаве.
-205-
§ 76. ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРА НА ПРн.дОУГОЛЬНОМ И КРУГЛОМ
ОТВЕРСТИЯХ
I. Дифракционные явления Фраунгофера имеют в оптике значи-
тельна большее практическое значение, чем дифракционные явления
Френеля. Сначала мы рассмотрим дифракцию Фраунгофера на отверс-
тиях различно!, форш в плоской экране. Источник света Q пред-
полагается точечный. В этой случае, согласно формулам (69.17) и
(69.18)} решение задачи представляется в виде
Ф = dF (76Л)
• * J
где
~X)R , (76.2)
3° и 3” - единичные векторы в направлениях Q.0 и QP
(рис.148): .А , ;f= . Ради простоты в формуле
* /в л
(69.17) постоянная Я принята равной единице, так как это не
влияет на относительное распределение освещенности, которое нас
только и интересует.
2. Рассмотрим сначала прямоугольное отверстие со сторонами
а и 6 . Поместим начало координат О- в его центре,
координатные оси X и У направим параллельно сторонам CL и
4 . Введем обозначения: х
- 286 -
Для интенсивности получаем
Максимальная интенсивность %_ - (at) получается при
CH.=Jb =0 « т-е* в первоначальном направлении волны.
Нулевая интенсивность получается в тех направлениях, в которых
либо s<na»o , либо sinji^o , т.е. при
па = + т А о/> = ± nA
Г • Г (76.7)
( т и п целые числа, не равные нуле). Дифракционная
картина, если ее наблюдать в фокальной плоскости линзы, состоит
из светлых прямоугольников, вытянутых в направлении более корот-
кой стороны а , разделенных темными линиями.
Когда длиннан сторона 6 очень велика, дифракционная кар-
тина стягивается в узкую полоску, перпендикулярную к длинной
стороне{получается предельный случай ф>раунгоч«розой ди.ракции
на бесконечно длинной щели, уже рассмотренный в § <>8 для ли-
нейного источника света. Чтобы наити распределение а лтлитуды
вдоль полоски, надо выражение (.7644) проинтегрировать по всей
возможным значениям в предположен::;:, что о-оо .Лмеем
В результате -о°
(/> , sina sin* \г
^=Aa~O-; (76.8)
Отличие от случая, разобранного в § 68, состоит в том, что
здесь источник света точечный, а там - линейный. В случае точечно-
го источника дифракционная картина, наблюдаемая в фокальной плос-
кости, состоит из системы светлых и темных те эк, расположенных
вдоль прямой, перпендикулярной к щели. В случае линейного источ-
ника вместо точек получаются дифракционные полооы, параллель-
ные щели.
3. На примере фраунгоферовой дифракции на щели легко уяс-
нить влияние размеров источника на резкость дифракционных полоо.
-287-
Допустим сначала, что щель освещается бесконечно удаленным то-
чечным или линейным источником, расположенным в плоскости, про-
ходящей через середину щели перпендикулярно к плоскости экрана
(рис.159). Угол на первый дифракционный минимум удовлетворяет
Рис. 159
условию <2 =Л f или $ = — t так как метод Кирх-
гофа применим только для широких щелей. Допустим теперь, что
щель освещается вторым таким же источником, сдвинутым относительно
первого на угол <9 .В таком случае получится вторая система
дифракционных полос, сдвинутая относительно первой и притом так,
что максимумы одной системы накладываются на минимумы другой.
Если источники света независимы, а следовательно и некогерентны,
то для получения результирующей освещенности надо сложить осве-
щенности, даваемые каждым ша них. С помощью формулы (76.8) легко
убедиться, что таким образом получитоя равномерная оовещеннооть
всего зкрана: дифракционные полооы пропадут. Итак, если щель ос-
вещается двумя одинаковыми точечными или линейными некогерент-
ными источниками, угловое расстояние между которыми равно 10= ~,
то дифракционных полос не получится. То хе произойдет при угло-
вых расстояниях 2 £ , 3# и т.д.
-288 -
Допустим теперь, что бесконечно удаленный источник имеет
форму полосы, длина которой параллельна щели. Пусть угловая
ширина полосы равна *р**~ = 2& • Тогда дифракционных полос не
получится. В самом деле,в рассматриваемом случае источник света
можно мысленно рагбить на пары одинаковых бесконечно угких поло-
сок, угловое расстояние мевду которыми равно ~ .От каж-
дой из таких пар, а следовательно и ст источника в целом, дифрак-
ционных полос получиться не может.Они не получатся также при уг-
ловом размере источника в 2 р , Зу> и т.д.
Приведенное рассуждение показывает, что четкие дифракцион-
ные полосы должны получаться при освещении точечными источника-
ми света. Под точечным следует понимать такие источники, угловые
размеры которых великй по сравнении с углом = */а . При уве-
личении угловых размеров источника дифракционные полосы становят-
ся нерезкими и в конце концов исчезают. Видимость дифракционных
полос не всегда уменьшается монотонно. При правильной форме источ-
ника света и дифракционного отверстия видимость пслсс может перио-
дически ухудшаться и улучшаться. По отчетливости дифракционных
полос можно судить об угловых размерах источника.
При акспериментальном осуществлении дифракции на щели в ка-
честве источника света обычно Применяется узкая щель, помещаемая
в фокусе коллиматорной линзы. На щель концентрируется свет от
яркого источника, например, электрической дуги. Если ширина
Коллиматорной щели равна к , то она действует как бесконечно
удаленный линейный источник, поперечный угловой размер которого
равен •*// г где / - фокусное расстояние коллиматорной линзы.
При = уа дифракционные полосы исчезают. Резкие диф-
ракционные полосы наблюдаются при соблюдении условия.
h (76.9)
3. Рассмотрим теперь фраунгоферову дифракцию на круглом
отверстии радиуса Р . Допустим, что свет падает перепнедику-
лярно к плоскости отверстия. Ясно, что дифракционная картина
будет симметрична относительно оси Q.0 , проходящей через
источник Q и центр отверстия О (рис.159). Световое поле
ка экране будет зависеть только'от угла дифракции &
Без потери общности плоскость ZX. можно провести через точку
Р . Тогда

У ~ ° г Р “ =“ Sind.
Если в плоскости отверстия ввести полярные координаты
( & , У» ), то
формула (76.1) да»?
Им теории бесселевых функции известны след^'лцие формулы:
(76.10)
(76.11)
где (2J и (zj бесселевы функции нулевого и первого порядков
Еояи воспользоваться втими формулами, то пслучится
= 2 ST fzJo (kzsaiifaz = lRl —
„ о
Так как вто решение годится только при больших
можно ограничиться малыми углами <9
Что дает 7 /,)
к Rand
и ваменить &п &
• 1С
на гЯ
где
'/> . о(
(76.12)
(76.13)
о( = =
2 3Г.6-)
(76. Ь)
Функция —
гоч*е единице. Ома обрекается
Л
достигает максимума при с<шо и равна в этой
в нуль при
е
г
-Л9О-
Cl » 1,гг I ; 2,2j3T ; o,2j8 Г ; '»,2'_>ОГ ; . . .
Дифракционная картина состоит иа системы концентрических
светлых и генных колец с светлим центром посредине. Угловые
радиусы те:'н»х колод р-<вни
(9 == 0.61 ; 1,12 j- j 1.62 у- ; 2,12 -4- ; . . .
Распределение интенсивности в зависимости от угла & показано
на рис. 160.
Качественно, картина напоминает Фраунгоферову дифракционную
картину от цели. Вмеото прямолинейных дифракционных полос пслучи
лаоь система концентрических кругов с светлым центром. И даже
количественно обе картины очень мало отличаются одна от другой.
Угловой радиус первого темного ; фракционного кольца равен
0,61 -А. . Остальные темные кольца следуют за ним через Лфг"
-29/-
расстояния 0,5 у- . Но таково же угловое расстояние мевду
дифракционными полосами при дифракции на прямолинейной щели,ши-
рина которой равна диаметру круглого отверстия 2И .
=•232 -
§ 77. ДЙФРЛ.ЩИЯ ФРАУНГОФЕРА НА ОТВЕРСТИЯХ ДРУГОЙ ФОРШ
I. Поступая как в параграфе 76, можно разобрать бесчислен -
ное множество дифракционных отверстий другой формы. Можно, нап-
ример, взять криволинейную систему координат, в которой контур
отверстия является одной из координатных линий. Мы не будем, од-
нако, останавливаться на примерах такого рода. Отметим только
один пункт, который не требует никаких новых вычислений. Речь
идет о равномерной деформации отверстия в каком-либо одном нап -
равлении, которое в дальнейшем принимается за направление оои X.
Волновое поле дифракционной картины Фраунгофера на отверстии
произвольной формы представляется выражением
в котором интегрирование ведется по области Р , занимаемой
отверстием. Параметры Р и ? даются формулами (76.3). Они оп-
ределяют направление на точку наблюдения Р . Введем новые
координаты
> У'=У- ,
Область F плоскости ХУ преобразуется в область F плоскос-
ти ХУ . Она получается из F равномерным растяжением вJU
раз в направлении оси X . Интеграл (77.1) преобразуется в
F'
где введены обозначения:
Р'=~~ > * (77’3)
Но интеграл в правой Части предыдущей формулы представляет волно-
вое поле дифракционной картины Фраунгофера в "штрихованной” сис-
теме координат в направлении, определяемом параметрами р' и о\
-233
Введя для него обозначение Q>'t j 7 , полу««ч
Если известна картина Фраунгоферовой дифракции на каком-либо
отверстии, то с помощью этой формулы можно рассчитать такую же
картину на линейно деформированном отверстии. Дифракционная кар-
тина деформируется также линейно, но в противоположном смысле:
дог да дифракционное отверстие растягивается в каком-либо направ-
лении в отношении , то дифракционная картина в этом направ-
лении сжимается в тем не отношении. Например, дифракционные кар-
тины на параллограмме или эллиптическом отверстии могут быть по-
лучены растяжением или сжатием дифракционных картин на прямоуголь-
ном и круглом отверстиях. При дафракции на эллиптическом отверс-
тии дифракционные полосы ийеют форму эллипсов, большие оси кото-
рых перпендикулярны к большой оси дифракционного отверстия.
2. Рассмотрим теперь важный случай, когда в экране имеется
большое число /у совершенно одинаковых и одинаково ориентиро-
ванных отверстий. По теореме Бабине эти отверстия можно было бы
заменить дополнительными экранами. От этого дифракционная нарти-
- на Фраунгофера осталась бы без изменения за исключением единст-
. венного направления, в котором распространяется падающая волна.
Обозначим ^9. волновое поле, которое возникло бы при наличии
одного только L -го отверстия. В приближении Френеля-Кирхгофа
результирующее поле представится суммой
Д'
а его интенсивность - суммой
или
^=4*^^
- 294-
Сле [ует различать два особо важных случая: I) отверстия
расположены совершенно хаотически; 2) отверстия расположены
согласно некоторому правильному закону. В первом случае среди
членов двойней суммы с I ФJ в среднем найдется столько
же положительных членов, сколько и отрицательных. При сложении
таких членов в среднем получится нуль. Поэтому
<=/
Получается _,акаг. же дафракционг >я картина, что и от одного от-
верстия. Однако ее интенсивность в /у Р83 больше. Интенсивнос-
ти отдельных картин арифметически складываются, но самые картины
не интерферирует между собой* Во втором случае, напротив, члены
с I =Л / не компенсируются. Они могут интерферировать и су -
щественно глиять на дифракционную картину. Этот случай будет
рассмотрен в следующем параграфе на примере дифракционной решет-
ки.
Первый случай легко демонстрировать в аудитории, взяв стек-
лянную пластинку, запыленную спорами ликоподия. Последние имеют
форму шариков практически одинаковых размеров. Поэтому при осве-
щении пластинки параллельным пучком лучей на удаленном экране
появляется дифракционная картина, состоящая иэ концентрических
колец. При освещении белым светом внешние края колец окрашены в
красный, а внутренние - в фиолетовый цвет. Это указывает на диф-
ракционную природу явления, так как длины волн красных лучей
больше,, чем фиолетовых.
3. такова te природа венцов. Так называются светлые туман-
ные кольца на небесном своде вокруг Солнца или Луны. Иногда вен-
ци наблюдаются вокруг ярких звезд или планет, а также вокруг вен-
ных источников света. Венцы возникают в результате дифракций све-
та на водяных капельках ( или кристалликах льда), когда перед
светилом проходит полупрозрачное облако ( чаще всего высоко-куче-
вое) или туман. Угловые радиусы венцов обычно не превосходят 5°.
Дифракционная природа колец в явлении венцов подтверждается тем,
что наружные края колец имеют красноватый цвет, а внутренние -
синеватый. При наличии в атмосфере-водяных капель всевозможных
-MS—
размеров кольца венцов налагаются друг на друга и образуют об-
щее белое сияние вокруг диска светила, называемое околосолнеч-
ным ореолом.
От венцов следует отличать гало. Тек называется группа оп-
ТИЧССКИХ явлений в атмосфере, возникающая при преломлении или
Отражении лучей Солнца или Луны на плавающих в воздухе кристал-
ликах льда, образующих перистые облака. Угловые радиусы гало
значительно больше угловых радиусов венцов и составляют 22° или
46°, Наружный край колец гало имеет синеватую, а внутренний -
красноватую окраску. Это указывает на не дифракционную, а рефрак-
ционную природу явления ( дисперсия!). В отличие от венцов, уг-
ловые размеры которых могут меняться о изменением радиусов во -
дйных капелек, угловые размеры колец гало строго постоянны.
Это также подтверждает исходное положение теории, согласно кото-
рому гало вызывается преломлением в твердых кристалликах льда.
Действительно, при изменении размеров кристалликов углы между
их гранями, а оледовательно, и соответствующие углы отклонения,
вызванные.преломлением, остаются неизменными.

§ 78. ДИФРАКЦИЯ НА ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКЕ
I. Дифракционная решетка является важнейшим спектральным
прибором, предназначенным для разложения света в спектр и изме-
рения длин волн. Она представляет собой плоскую стеклянную или
металлическую поверхность, на которой делительной машиной наре-
зано очень много ( до сотен тысяч) прямых равноотстоящих штри -
хов. На стеклянных решетках наблюдения можно производить как в
проходящем, так и в отраженном свете, на металлических - только
в отраженном. Применяются вогнутые металлические решетки, в ко -
торых штрихи наносятся на вогнутой сферической поверхности. Сна-
чала рассмотрим простейшую идеализированную решетку, состоящую
из одинаковых равноотстоящих параллельных щелей, сделанных в
непрозрачном экране. Ширину щели будем обозначать буквой Ct ,
ширину непрозрачной части экрана между двумя соседними щелями -
буквой о , Величина + называется периодом решетки.
Если на решетку падает световая волна, то она. дифрагирует
на щелях решетки. От щелей будут распространяться вторичные ко-
рерентные волны и интерферировать между собой. Таким образом,
дифракционную решетку можно рассматривать как сложный излуча -
тель, состоящий из множества элементарных излучателей. Роль эле-
ментарного излучателя играет каждая щель решетки. Как и всякая
дифракционная картина Фраунгофера, дифракционная картина от ре -
шетки наблюдается, либо на бесконечно удаленном экране, либо в
фокальной плоскости линзы, поставленной на пути дифрагированного
света.
—297 - Рис.161
Пусть на решетку перпендикулярно ж ее поверхности падает
плоская монохроматическая волна (рис.161). Рассмотрим вторичные
волны, исходящие из щелей решетки под углом $ к ее нормали.
Разность хода между вторичными волнами, излучаемыми соседними
щелями решетки в указанном направлении, равна ct Sin&
Ей соответствует разность фаз бЛ =kcl$ind ?=A%i.ctsin& .
Обозначим буквой поле в точке наблюдения, излучаемое пер-
вой щелью. Оно определяется формулой (76.8) . Тогда поля, излу-
чаемые остальными щелнми>представятся выражениями:
е'^, % = e“*t ....
где Л/ - общее число щелей. Полное поле, излучаемое всеми ще-
лями, представится суммой
откуда
‘ Л4Г
4<Х •
Множители типа 6 не влияют на амплитуду. Поэтому из пре-
дыдущего выражения получаем следующее соотношение между вещест-
венными амплитудами
МГ
/ _ П Stri 2
Л, г. > (78.1)
Л/? f
где А, - амплитуда волны от одной щели, А - амплитуда от
всей решетки. Соответствующее соотношение для интенсивностей
будет
-206-
/ 25^ \2
''У 'V / $in 2 I (78.2)
1 ( Sin ~ j .
' 2 /
Формулы (78.1) и (78.2) являются основными в теории дифракцион-
ной решетки.
2. Когда &=0 , то О = О .в этом случае выраже-
ния (78.1) и (78.2) принимают неопределенный вид . Раскрыв
неопределенность, получим
. <78-5)
Тот же результат получается в случае = m, т.е.
при
/ Л . (78.4)
CLSin.& = mA (.т "О,±{.
В направлениях, определяемых эти^ условием, получаются максиму-
мы, интенсивность которых в N раз превосходит интенсивность
волны от одной щели в том же направлении. Они называются главны-
ми максимумами. Целое число т называют порядком главного мак-
симума или порядком спектра. Физический смысл условия (78.4)
очень прост. Оно определяет направления, в которых излучения от
всех щелей решетки приходят в точку наблюдения в одинаковых фа-
зах, а потому усиливают друг друга. В таких направлениях при
отдельных значениях т могут и не возникнуть главные максимумы.
Это будет в направлениях, Для которых CLt ш - О , т.е.
в направлениях на дифракционные минимумы от одной щели. Напри-
мер, если а = 6 , то все главные максимумы четных поряд -
ков не появятся. Действительно, условие появления главного мак-
симума порядка 2п имеет вид ctsin&-2nA. .
При cL~2cl оно переходит в a•Sind = п.Л , т.е.
в условие дифракционного минимума на щели. Таким образом, в
рассматриваемом направлении ни одна щель, а потому и решетка в
целом не излучают.
3. Выражения (78.1) и (78.2) обращаются в нуль, если
-299 -
ИЛИ
Sin f ±0
, т.е.
(7S.5)
В соответствующих направлениях получаются дифракционные миниму-
мы, в которых интенсивность света . равна нулю. Между двумя со-
седними минимумами получается максимум. Такие максимумы называют-
ся второстепенными или добавочными. Между двумя соседними главны-
ми максимумами располагается ( М—ij минимумов идо-
бавочных максимумов. На эти максимумы й минимумы накладываются
минимумы, возникающие при дифракции от отдельной щели, в которых
функция обращается в нуль.
Второстепенные максимумы находятся примерно посередане меж-
ду соответствующим дифракционными минимумами. Величину о ,
определяющую направление иа какой-либо из второстепенных макси-
мумов, можно поэтому вычислить по приближенней формуле
Д/ £ = (Nm+p}+(/\/mi-p-r{) ,
или
(78.6)
Пользуясь этой формулой, найдем приближенное-выражение для
интенсивности второстепенных максимумов в окрестности срответст-
ствующего главного максимума ( т.е. при малых р ).
-300-
Рис.163. „
-30 f-
В положениях второстепенных максимумов числители в формуле
(78.2) равны единице. Если число щелей решетки /V очень вели-
ко, а номер второстепенного максимума уЭ невелик, то угол
будет мал, и можно положить ,
Это дает 2. . !
rf=-2*(ibL\=___________£_____- (78'?)
U (2p<-tfzl гА
Таким ооразом, интенсивности главного максимума и ближайших к
нему второстепенных максимумов находятся в отношении
4
/--5b : • ••*= ГЦ045:0,0Ю:0ШЬ„.
9я* 25я* 4-9 яг
Второстепенные-максимумы слабы по сравнению с главными максиму-
мами. При большом числе щелей они обычно не играют роли. Второ-
степенные максимумы создают более и-ли менее равномерный слабый
фон, на нем выступают узкие и резкие главные максимумы, в кото-
рых концентрируется практически весь дифрагированный свет.
Распределение интенсивности в дифрагированном свете представле-
но на схематическом рисунке 162, для /V ~ 8 • Величина
множителя Qff , входящего в формулу (78.2), не указана.
Между соседними главными максимумами находится N-2. =6
второстепенных максимумов. Относительные интенсивности главных
и второстепенных максимумов представляются числами 100; 5,0;
2,25; 1,6; 1,6; 2,25; 5,0; 100.
4. Происхождение второстепенных или добавочных максимумов
и минимумов легко уяснить с помощью векторной диаграммы. На *
векторной диаграмме колебания От отделе ых щелей решетки предс-
тавляются векторами равной длины. Из-за сдвига фаа такие векторы
довернуты один относительно другого на один и тот же угол
302- ~
(P а d Sin & (рис.163), образуя звенья правильной ло-
маной Линии. Замыкающая этой ломаной ОЛ изображает колебание
возбуждаемое всей решеткой. Если ломаная замкнутая, то р —О „
т.е. получается дифракционный минимум. Первый раз это произой -
дет при = -^г , второй - при сГ=> и т.д. Легко
видеть,! что таким путем получается условие дифракционного мини-
мума с/8.5). Все это проиллюстрировано на рисунке 164 для V=J
-JO3-
э. ьсли волна падает на решетку наклонно под углом
(рис,166), то разность хода между соседними пучками становится
равной AD-СВ » d (sin & . Характер дифракцион-
ной картины в основном сохраняется. Положение главных максиму -
ков определяется условием
б/ (sin# - sini$o)
(78,8)
положение дифракционных минимумов - условием
По положению главных максимумов можно вычислить длину вол-
ны. Для этого служит формула (78.4) или (78.8). Таким образом,
решетка есть прибор для измерения длины волны. Часто встречаю-
щееся утверждение, что решетка измеряет частоту или период коле-
баний волны неверно. Для определения частоты и периода колебаний
световой волны требуется дополнительное измерение фазовой скорос-
ти.
6. Основные результаты, полученные выше, сохраняют силу
для любых дифракционных решеток. Форма штрихов, нанесенных на
решетку, материал из которого она изготовлена и т.п. , сказыва-
ются лишь на виде волны и ее интенсивности
304—
Для справедливости всех остальных результатов существенна лишь
периодами! сть решетки. Рассмотрим, например, плоскопараллельную
стеклянну! пластинку о нанесенными на нее равноотстоящими штри-
хами одинаковой формы ( рис. 167 n 168).
Рис.167.
Рис.168.
Пусть ма такую пластинку нормально падает световая волна. Поле
на выходе ( т.е. на задней поверхности пластинки), будет менять-
ся периодически о периодом, равным периоду структуры а . Вад-
нюю поверхность пластинки можно принять за вспомогательную по -
верхность F , по которой производится интегрирование в форму-
ле, выражающей принцип Гюйгенса, Вту поверхность можно разбить
непрямоугольные полоски ширины d . Исходящие из них вторим -
ные волны Гюйгенса будут обладать той же периодичностью, что м
рассмотренные выше оветовые пучки, исходящие от щелей простей-
шей дифракционной решетки. К таким вторичным волнам полностью
применимы использованные выше интерференционные соображения об|
усилении и гашении волн. Поэтому остаются справедливыми вое ре*''
зультаты эа исключением формулы (76,8), определяющей волновое
-JOST
поле отдельного "элементарного излучателя". При этом предположе-
ние Френеля-Кирхгофа нигде не используется, а потому на период
решетки и величину углов дифракции не накладывается никаких ог-
раничений. I
Под дифракционной решеткой в широком смыоле слова понима-
ется всякая структура, обладающая пространственной периодично-
стью. Если свойства структуры периодически меняются только в
одном направлении, то решетка называется одномерной или линей -
ной. Если же периодичность решетки имеет место в двух или трех
направлениях, то решетка называется соответственно двух- или
трехмерной. В последнем случае’ ее называют также пространствен -
ной. В этом и следующих параграфах рассматриваются только линей-
ные решетки.
7. Не обязательно, чтобы при прохождении через решетку ме-
нялась амплитуда волны. Существенно толико, чтобы на выходе ре-
шетки периодически менялось волновое поле в целом. Можно разли-
чать два крайних случая. I) Решетка вносит периодические измене-
ния в амплитуду волны, не влияя на ее фазу. Такая решетка назы -
вается амплитудной. 2) Решетка вносит периодические изменения в
фазу волны, но не влияет на ее амплитуду. Такую решетку называют
фазовой. Оба эти случая являются идеализированными. Всякая реаль-
ная решетка, строго говоря, не является чисто амплитудной, или
чиото фазовой. Она периодически меняет на выходе как амплитуду,
так и фазу волнового поля. Приблизительно амплитудной решеткой
является рассмотренная выше совокупность равноотстоящих щелей в
непрозрачном экране (рис.161). Приближением фазовой решетки мо-
жет служить стеклянная пластинка, представленная на рисунке 167.
В обоих случаях период решетки должен быть велик по сравнению с
длиной волны. Примером фазовой отражательной решетки «ижет слу-
жить решетка, изготовленная С.М.Рытовым и И.Л.Фабелинским.’ Она
Представляет собой равнобочную стеклянную призму с преломляющий
углом 90° ( рис.169). На гипотенузной поверхности /5 напылен#
узкие равноотстоящие полоски серебра, параллельные преломляющей1-
ребру призмы. Свет падает нормально на одну из боковых граней
призмы. Попадая на гипотенузную грань , он испытает либд
полное отражение от нэпосеребренных полосок, либо отразится от
-306-
посеребренных полосок. В последнем случае отражение также прак-
тически полное благодаря высокому коэффициенту отражения сереб-
ра. Но сдвиги фаз в обоих случаях разные. Таким образом, ампли-
туда волны при отражении не меняется, а в фазу вносятся периоди-
ческие изменения.
8. Не рее целые числа ТП , входящие в формулы (78.4) и
78.8), допустимы. Так как Sin & по абсолютной величине не
может превз'рйти единицу, то на тп должно быть наложено ограни-
чение i
тп ~ + Sind
а.
В частности,1 при нормальном падении
i . (78.10)
При и < Л может возникнуть только главный максимум нулевого
порядка. Плоская волна после прохождения через рещетку продолжа-
ет* оставаться плоской, и никаких волн, распространяющихся в бо-
ковых направлениях, не возникает. Решетка ведет себя подобно
плоскопараллельной пластинке. Но этот вывод относится только к
волновому полю вдали от решетки. Он не применим к тонкому по-
верхностному слою вблизи решетки,
решетки будет исследовано в § 84.
Поле в непосредственной близи j
-JO7-
9. Допустим, что решетка грубая , и ьват па-
дает на нее под неболышм углом £ . Тогда углы дифракции
будут малы. Формула (78.8), определяющая направления да глалине
дифракционные максимумы, может быть заменена приближенной фор-
мулой !
d • = ТТ1К . (78.12)
В случае очень грубых решеток обнаружить дифракцию трудно
из-за малости углов дифракции if - 2?о . Для этого требуются
источники света очень м.алых угловых размеров. Допустим, однако,
что применяется скользящее падение света, т.е. угол .'падения
близок к 90°. При малом угле flf ~£) левую часть в/формуле
(78.8) можно апроксимировать выражением olcosfi, (&-&)
й переписать зту формулу в виде
^«4 птА.
По виду формула (78.13) совпадает с формулой (78.12). Роль пери-
ода а играет величина d COSl£ , которая чожрт быть оделена
очень малой. Следовательно, применение скользящего падения как"
бы уменьшает период решетки и увеличивает углы дифракции. Таким
путем удаетоя подучать отчетливые дифракционные спектры даже от
очень грубых решеток. Для демонстрации в большей аудитории, нап-
ример, вполне пригодна грамофонная плаотинка. / От нее при сколь-
зящем падении белого ове'та получаются красивы^ дифракционные
спектры разных порядков. Роль штрихов играют бороздки на поверх-
ности плаотинки.
Большое значение метод скользящего падения имеет в рентге-
новской спектроскопии. Построение дифракционной решетки для рент-
геновской области спектра встретило большие трудности, связанные
о исключительной малостью длины волны рентгеновского излучений
( порядка I А и меньше). Они были преодолены с помощью метода
скользящего падения. Он позволяет получать великолепные дифрак-
ционные картины в рентгеновском свете от обычных отражательных
оптических реиеток. вадача облегчается тем, что показатель
—308 -
преломления рентгеновских лучей меньше единицы. Поэтому можно
работать при таких углах падения, при которых рентгеновские лу-
чи испытывают полное внутреннее отражение. Таким путем можно
точно намерить длину волны какого-либо монохроматического рент-
геновского излучения. Изучая далее дифракцию этого излучения на
естественном кристалле, можно измерить в абсолютных единицах
постоянную реиетки этого кристалла. После атого такой кристалл
может быть использован в рентгеновском спектрографе для измере-
ния длин волн рентгеновских лучей в абсолютных единицах.
§ 79. ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕНА КАК СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИБОР.
ДИСПЕРСИОННАЯ ОБЛАСТЬ И РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ.
I. Положение главных максимумов, определяемое формулами
(78.4) и (78.8), зависит от длины волны А . Исключение состав-
ляют только главные максимумы нулевого порядка (т=о) , поло-
жении которых от длины волны не зависят. Белый и всякий другой
немонохроматический свет можно рассматривать как суперпозицию
монохроматических волн с различными длинами .А . Эти волны
при дифракции на решетке ведут себя независимо. Поэтому решетка
в каждом порядке mfo разложит падающий свет в спектор, в кото- '
ром отдельные монохроматические компоненты скажутся пространствен-
но разделенными. Главные дифракционные максимумы, соответствующие
т « / , образуют спектр первого порядка. За ним идет спектр
второго (т=2.) « третьего (т -л J и высших порядков. Если
падающий свет белый, тс спектр каждого порядка имеет вид цветней
полосы, в которой встречаются все цвета радуги. В такой полосе
наиболее отклоненными являются красные лучи, наименее отклонен-
ными - фиолетовые. Спектры, получаемые с помощью дифракционной
решетки, характеризуются тем, чтс положение спектральных линий
в них спределяется особе простыми соотношениями (78.4) или (78.8).
В этом отношении дифракционные спектры выгодно отличаются, напри-
мер, от спектров призматических, получаемых разложением света
призмами из прозрачного вещества. В призматических спектрах поло-
жение спектральной линии связано с длиной волны сложными ссстнс-
шениями, зависящими к тему *в от материала нризмы. Спектр назы-
вается нормальным, если координата X , коей спределяется по-
ложение спектральной линии в спектре, является линейной функцией
длины Волны. При малых углах дифракции, когда изменением косинуса
угла & можно пренебречь, дифракционная решетка дает нормальный
спектр/
Рассмотрим основные характеристики дифракционной реиетки
как спектрального аппарата. К ним относятся углевая дисперсия,
дисперсионная область и разрежающая способность.
2. Угловая дисперсия. Угловой дисперсией называется произ-
водная . Чем больив-угловая дисперсия, тем больше рассто-

яние в спектре меаду двумя спектральными линиями о фиксирован-1
ными длинами волн. Дифференцируя формулу (78.8) при постоянном
$ , находим для решетки
о1& т _ Sind - sind
dj al-cosd Л costf
Это выражение показывает, чтс угловая дисперсия для данной дли-
ны волны не зависит от параметров реиетки, а определяется только
углами гЯ и «Я , причем она возрастает с увеличением угла диф-
ракции z£ . Наличие косинуоа в знаменателе объясняет выгоду
скользящего падения (см. конец предыдущего параграфа).
3. Дисперсионная область. Если спектры соседних порядков,
даваемые спектральным аппаратом перекрываются, тс спектральный
аппнрат становится непригодным для. иоследования соответствующего
участка спектра. Максимальная ширина спектрального интервала
дЛ , при которой еще нет перекрытия, называется дисперси-
онной областью спектрального аппарата. Найдем дисперсионную об-
ласть для дифракционной решетки. Пусть длины волн падающего из-
лучения лежат в спектральном интервале от А до А«А*ДА . j
На рисунке 170 схематически изображены соответствующие спектры
тп -го й -го порядков. В случае а) спектры перекрыва-
ются, в случаях б) и в) перекрытия нет. Максимальная ширина ДА ,
при которой перекрытия еще нет, соответствует случаю б). Она и
определяет дисперсионную область дифракционной решетки. Запишем
условие, при котором максимум тп -го порядка для длины волны
А*дА получается в том же месте, что и максимум (т*//-го по-
рядка для длины волны А • Оба максимума должны получаться при
одном и том же угле дифракции <Я • Заметив это/ на основании
формулы (78.8) можем написать
d (sin&-т (А+лА), .»
d (sintf - sini^j »
Отсюда m /А*дЛ) = (тп+ЛА ,a потому
A A - A (7S>-2)
ДА = —
При заданной длине волны А дисперсионная область определяется
~3>Н~
только порядком спектра т , Чем больше т , тем ухе дисперсной-
Л m Д+дА Л т
A
Л т А+дА
....... 1 'I

I
А I
5

Л (т-н) ЩД
6
Рис.170
пая область. В дифракционных решетках используются спектры низ-
ких порядков (обычно второго или третьего). Позтому дифракцион-
ные решетки характеризуются широкими областями дисперсии и при-
годны для исследования широких участков спектра. В атом основ-
ное преимущество дифракционных решеток перед интерференионными
спектральными аппаратами* у которых из-за высоких порядков пу
диоперсшонные области очень узкие.
4. Разрешающая способность. Большая дисперсия еще не озна-
чает* что две спектральные линии о близким длинами волн Л И
А'- Л +<^Л разрешаются спектральным аппаратом* т.е. при их
наблюдении воспринимаются как раздельные спектральные линии. Каж-
дая спектральная линия, как бы узка ока ни была* изображается
спектральным аппаратом яе в виде -линии* а в виде более или менее
размытой дифракционной картины с максимумами и минимумами интен-
сивности. Дисперсия определяет расстояние* на которое спектраль-
ный аппарат разводит центры. дифракционных картин* возникающих
ст двух спектральных линий о различными длинами волн. Воли сами
картины размыты и имеют значительную иирину, то даже при сравни-
тельно большом разведении их результирующадшартина, возникающая
от их наложения, не отличима от дифракционной картины, возникаю-
щей ст одиночной спектральной линии.’ Чем ухе дифракционные карти-
ны ст двух близких спектральных линий* тем наименьшее расстояний
требуетск развес-и их центры* чтобы разрешить эти спектральные
линии. Наименьиая разность длин волн двух спектральных линий .
-3/2-
, при которой спектральный аппарат разрешает эти линии,
называется спектральным разрешаемым расстоянием, а величина
D = —- разрешающей способностью аппарата.
ЛА Л
Разрешаемое спектральное расстояние о Л относится к числу
не вполне точно, определенных понятий. Величина зависит от
приемника излучения. Тем не менее, можно указать рациональный
критерий разрешении, которым можно.польаоватьсндля ориентировоч-
ной оценки сГ.А во всех случаях. Такой критерий был установлен
Релеем ш носит его имя. Чтобы прийти к атому критерию, будем ис-
ходить из формулы (78.2), которая дает распределение интенсивнос-
ти свера в дифракционной картине от одной спектральной линии.
Если имеются две спектральные линии о различными длинами волн
Л и Л' , то ввиду их некогерентноотш результирующая интен-
сивность, возникающая при наложении обеих дифракционных картин,
будет равна арифметической сумме интенсивностей этих картин. Если
интенсивности обех линий одинаковы, то, отвлекаясь от числовых
множителей, результирующую интенсивность можно представить форму-
лой / Л4Г V / • A4r’’V
с/ I *п Т + ( Stn
szrt £ / у sin у
где
a. 2.Xdsin& HTdsind
Л 1 Л'
Для исследования интеноивности $ в. зависимости от аргумента
МГ , введем параметр ж. - МР - ЛАГ . Главный максимум
m -го порядка, для длины волны Л подучается при ,
т.е. при Д4Г = 2%rnN ,а для длины волны X' -при
ЛУ*' = 2XmN , т.е. при //J1 - 2xmN - л . Найдем
результирующую интенсивность посередине между этими двумя Главны-
ми максимумами, т.е.ири /7<Г2xmN. Она равна
' iinw) >
или ввиду малости аргумента
-з/з-
Если интенсивность в центре картины от одной спектральной линии
Принять за единицу, то при значениях параметра х = О , Зё ,
&Т > J5T » • • • интенсивности в центре результирующей кар-
тины будут
а. ; £ = °-8' • & ~ “-"Ч
В первом случае интенсивность просто удваивается. Три других олучан
представлены на рис.171. Пунктирными линиями представлены кривые
Рис.171
распределения интенсивности от отдельных спектральных линий,
сплошной - результирующая интенсивность. Второстепенные максимумы
на рисунке не изображены. При гг кривая результирующей
интенсивности напоминает кривую от одиночной спектральной линии,
и ни о каком разрешении спектральных линий не может быть речи.
При 4С = 2!Г на кривой результирующей интенсивности появляется
минимум, в котором интенсивности составляет примерно 80% т>т макси-

мальвой интенсивности. При X ® Jjf .интенсивность в минимуме
снижается до 18% и т.д. Согласно Релвю значению X - щг соот-
ветствует наименьшее расстояние Л вежду спектральными линиями,
при котором их еще можно разрешить. При большем расстоянии разре-
шение*невозможно. Предельный случай, в котором разрешение еще
всзмсжно, соответствует такому расположению дифракционных картин,
когда главный максимум одной картины накладывается на первый
X = = 2Г.
, получим
дифракционный минимум другой картины.
Таким образом, по Релею спектральное разрешаемое расстояние
(ГЛ определяется условием
Так как cP ~ -j- , тпо
и это условие принимает вид
ляя сюда сГ =
Подстав-
Зто и есть
шетки, Она
хода между
—л——
ж Nm.
формула для разрешающей способности дифракционной ре-
пскаэывает, что разрешающая способность равна разности
крайними интерферирующими лучами, выраженной в длинах
волн.
5. Для повышения разрешающей способности можно либо увеличи-
вать число шт^хов Д/ , либо повышать порядок интерференции
т . Первый путь используется в дифракционных решетках, второй
в интерференционных спектральных приборах. В Советском Союзе
изготовляются плоские и вогнутые дифракционные решетки различных
размеров и с различным числом штрихов на мм. Для ультрафиолето-
вой и видимой области изготовляются дифракционные решетки, имеющие
1200 и 600 штрихов на миллиметр при размерах 100x100 мм2 и 150 х
150 мм2, а для инфракрасной области-сТ 300 до I штриха на милли-
метр при размерах от 15ft х 150 мм2 до 300 х 300 мм2. Таким образом
общее число штрихов доходит приблизительно до 200.000, а *раэрешаю-
щая способность во втором порядке до 400.000. Важным достоинством
дифракционной решетки является малый порядок спектра т '.Благо-
даря этом . ^акционные решетки обладают широкими дисперсиснвыми,
областями = и пригодны для исследования широких интерва-
лов спектра. Недостатками дифракционных решеток являются малая .
светосила и сложность в обращении,-
'HS-
В интерференционных спектральных приборах число интерферен-
ционных пучков N относительно невелико (несколько десятков, в
интерферометре Майкельссна /И 2), тогда как порядки спектров
т очень высеки (сколе 10.000 и больше). Поэтому интерферон-,
ционные спектральные приборы имеют малые дисперсионные области.
Они могут применяться для исследования только очень узких участ-
ков опектра, например для изучения структуры отдельных спектраль-
ных линий, выделенных каким-либо другим спектральным аппаратом
о большей дисперсионной областью, но с недсстатсчной разрешающей
способность.' нако эти приборы белее просты в обращении и имеют
большую светосилу, чем дифракционные решетки.
6. К.реиетке, как точному спектральному прибору, предъяв -
ляются очень высокие требования. Надо нанести десятки или сотни
тысяч совершенно идентичных штрихов с идеальней перисдичнсстью.
Поэтому техника изготовления дифракционных решеток совершенство-
валась довольно медленно. Первая дифракционная решетка, пс-види-
мому, была изготовлена в 1785 году американским астрономом Ритте-
нгаузом. Но ни самим Риттёнгаузом и ни кем другим сна не исполь-
зовалась для получения и .изучения спектров^ Решетка была вновь
открыта в 1821 году Фраунгофером, который заложил основы дифрак-
ции в параллельных лучах и выполнил первые исследован^! с помощью
дифракционного спектроскопа (в частности, открыл темные линии в.
спектре оолнечнего излучения). Фраунгофер построил решетки с чис-
лом итрихов. ст 15 дс 130 на сантиметр, наматывая тонкую проволоку
на два параллельных винта. Дс недавнего времени подобные проволоч-
ные решетки применялись в области длинных (инфракрасных) волн.
Затем Фраунгофер стал изготовлять более совершенные решетки штри-
ховкой'слоя золота на поверхности стекла и, вконец,штриховкой
самого отекла алмазным острием. Наилучщие решетки были получены
последним методом. Лучшая решетка имела ширину около 12 мм и
период 3*10~3 мм (3300 штрихов на сантиметр).
После Фраунгофера многие искусные механики уделяли много
внимания итриховке решеток. Особо следует отметить астронома -
любителя Л.М. Резерфорда, большая часть решеток которого была
изготовлена в 1880 году. Его решетки значительно превосходили
все предшествующие. Резерфорд ввел в практику отражательные решет-
ки, нанося делительной машиной итрихи на зеркальней поверхности
-З/б-
металла. Махалл более мягок, чем стекло и поэтому значительно
меньше иааашйвает алмазное острие, от постоянства которого так
сильно зависит качество решетки.
. Нонаибблеё значительные усовершенствований были сделаны.
Роуландом. Он усовершенствовал способы изготовления винтов для
делительной машины я первый стал изготовлять вогнутые отражатель-
ные решетки, выполняющие одновременно функции решетки и собираю-
щей линзы. Решетки Роулэнда имеют до 8000 штрихов на сантиметр
при ширине до 10 см и превосходном качестве. Они сделали возмож-
ным выполнение важнейших спектроскопических исследований в конце
Iy-го и начале 20-го веков.
дальнейшие улучшения в машины Роулэнда ввели Андерсон м Вуд,
которые после смерти Роулэнда заменили его в его лаборатории.
‘Из этой лаборатории и поныне выходят наиболее совершенные решетки,
имеющие до 120и0 штрихов на см. О .таких гравированных решеток
получают дешевые копии -(реплики) путем изготовления отпечатков
на желатине или специальных пластмассах. В СССР налажено произ- -
во^втво дифракционных решеток, а также реплик высокого качества.
ИХ-параметры были указаны выше.
-3/7-
§ 80. ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ,
I. Из спектральных приборов, характеризующихся высокими
порядками интерференции т , рассмотрим три ирибора: ступен-
чатую решетку или эшелон Майкельсона, пластинку Луммера-Герке
и интерферометр Фабри-Перок. Подобно дифракционной решетке эти
приборы могут рассматриваться как сложные излучатели, испускаю-
щие тождественные цуги волн, интерферирующие между ообой. К ним
полностью применимы формулы (79.4) и (78,2), определяющие раз-
реиающую способность и дисперсионную область. Отличие от решетки
состоит в тош, чтс для интерференционных спектральных приборов
порядок интерференции т очень велик, а число интерферирующих
пучков N относительно невелико.
2. Ступенчатая решетка или эшелон Майкельсона состоит из
нескольких (30-40) толстых пластин из очень однородного стекла
совершенно одинаковой толщины А (порядка I или 2 см). Пластины
сложены уступом в виде леотницы (рис.172). Ширина уступа OL долж-
на быть одной и той же на протяжении всей "лестницы". Чтобы
изготовить пластины совершенно одинаковой толщины, они вырезаются
-3/8 ~
из одной и той же плоскопараллельной пластины. Постоянство тол-
щины последней контролируется интерференционными методами. Та-
ким образом, эшелон Ыайкельоона состоит как бы из сплоиного
куока совершенно однородного стекла, одна из поверхностей кото-
рого имеет ступенчатую форму.
Еоли на эшелон падает пучок параллельных лучей, то от усту-
пов эиелона будут исходить вторичные волны Гюйгенса. Мевду вол-
нами, исходящими в определенном направлении от соседних уступов,
существует разность фаз и соответствующая ей разность хода
Д .
ГИС.173
Поэтому эшелон действует как дифракционная решетка. Его отличие
от обычной дифракционной решетки состоит в том,* что разность фаз
и соответствующий ей порядок интерференции т очень вели-
ки. Как видно иэ рисунка 173, разность хода А между двумя
соседними пучками, исходящими под углом & , равна
( BDF)-/l£ = riRDi-DF.-Ле , или
A — пЬ. -t- a Sin if - /г cos if (80.1)
Главные максимумы получатся в направлениях, удовлетворяющих
условию
n/i 1- asin$-kcos& = 77? Л Г (80.2)
где тп - целое число.
- 319 -
т
Дифференцируя последнее соотношение,' получаем угловую дис-
персию эшелона:
d$________________________
clA ~ Q.COS& +h.sin& (80.3)
Ввиду малости угла и членом h sin & можно пренебречь. В
том же приближении т = А . В результате для угловой
дисперсии получается следующее выражение
(4? А (п-f)
7л----------7л~ ' t80-’>
Тай как А ~ а. , то угловая дисперсия относительно велика,.
Поэтому при незначительных изменениях длины волны А получа-
ются заметные изменения угла дифракции t?
Дисперсионная область эшелона определяется выражением
. д „ -Л _ #
ал~ т ’ h(n-f) * (80.5)
Она очень мала, и это является недостатком эшелона. Например,
при А в I см, П а 1,5, Л « 6000А получаем ЛЛ=е0,7 А,
что примерно в 10 раз меньше расстояния между компонентами желтой
7) -линии натрия.
Разрешающая способность дается формулой
л ыт Nk(n-1)
7Г - ’ (80-6)
в которой N означает число пластин. Используя параметры пре-
дыдущего примера и полагая N 40, получим 3,3.10 .
Со штриховой решеткой в спектре'первого порядка такой разрешаю-
щей способности можно было бы достигнуть при числе штрихов по-
рядка трехсот тысяч.
8. При выводе выражений (80.4), (80.5), (80.6) не учитыва-
лась дисперсия, т.е. зависимость показателя преломления стекла
от длины волны. Учет дисперсии может внести заметные поправки
к этим выражениям. Уточним, например, выражение для разрешающей
способности. Пусть при угле дифракции (? получается дифракцион-
ный максимум т. -го яорадка для длины волны Л?= Л
хиГ кп '+asintf~kcosif=mA'~m/A+#A),
—320 —
где П ' -показатель преломления стекла для той хе длины ложны.
Для того чтобы величина была равна разрешаемому спектраль-
ному расстоянию, надо в соответствии с критерием Релея потребо-
вать, чтобы для длины волны Л в том хе направлении получался
первый дифракционный минимум, т.е.
hn t a sin & - h.cos& = + — •
Вычитая это соотношение из предыдущего, получим 7
А ~ '
Отсюда для разрешающей способности эшелона находим
(00.7)
или после подстановки тп a Atга-/)
Л- = Г(п-. (80-8)
Za At* '
Так как в прозрачной области спектра <о (нормальная
диспорсия), то дисперсия показателя преломления повышает разре-
шающую способность ешелона.
Рассуждая аналогично, легко получить следующие выражения
для дисперсионной области и угловой дисперсии эжелонат
4А ’ m -А «! ’ (ш.9)
М <“•“»
dЛ a cosd 4- A sind
дисперсия показателя преломления увеличивает угловую дйоперсию
эшелона, нс уменьшает его дисперсионную область.
Ь. Интенсивность света в дифракционной картине, рааумеетоя,
определяется общей формулой (78.2). Здесь Ц (d) означает
интенсивность, которая получилась бы при дифракции на отдельной
ступэньке эшелона ширины Л . Функция ц (d) такая же, что
и при дифракции на щели. Поэтому весь дифрагированный свет прак-
тически концентрируется в интервале углов d между dt "• ~ -5-
и = + -д- . Заметную интенсивность будут иметь только также
главные максимумы, которые попадают в указанный интервал, йордуя)
-32?-
(u0.2), ввиду малости углов дифракции, можно упростить и пред-
ставить в виде (п - fjh. + CL& =*тЛ , или
(80 П)
Если числитель в втой формуле обращается в Нуль, то в указанные
интервал попадают только три главных максимума, порядки которых
равны |/п -// , т , ( т +/) . Крайние кв них приходятся на
концы интервала, их интенсивность равна нулю. Поэтому дифраги-
рованный свет будет состоять только из спектра одного порядка
т , Если же числитель в формуле (80.И) не равен нулю, то
будут видны опектры двух соседних порядков, вообще говоря, разной
интенсивности. Их интенсивности будут одинаковы, когда числитель
в формуле (80.11) по абсолютной величине равен A/g . Такны
образом, можно осуществить такие ориентаций вивлона, при одной
ив которых получается только один дифракционный максимум, а при дру
гой - два одинаковых симметричных максимума. Для того, чтобы
перейти от одной ориентации к другой, эиелон обычно помещают
в герметическую камеру и изменяют в ней давление, а с ним и отно-
сительный показатель прелом юння П , пока не будут достигнуты
требуемые для работы условия»
5. Майкельеоном были построены три виелона с пластинами тол-
щиною 7,18 н 80 мм н с равремающимн способностями 210 000, 540000
н 900000. Майкельсону такие принадлежит идея использования виело-
ва как отражательного прибора. Однако при сборке эиелсна пс методу
Ыайкельоона практическое осуществление этой идеи встретило труд-
ности ив-за непостоянства толщины воздуиной прослойки между плас-
тинами.
Отражательный виелок был построен Вильямсом в 1933 году. Он
состоит ив строго плоскопараллельных плаоткк, наготовленных ив
плавленого кварца. Толщины пластин равны между собой с точностью
до 0,1 Л • Пластины после тщательного очищения их поверхностей
оажаюТ на оптический контакт и нагревают до температуры, вначн-
телыю меньаей температуры плавлении кварца. В ревультате пластины
прилипают друг к другу настолько прочно, что после охлаждения
их удается отделить одну от другой только при значительном усилим.
При таком соединении пластин прибор практически действует так же,
~322-
как если бы весь эшелон был вырезан иа одного куска ллавлеаого
кварца. Отражение света на границах мевду пластинами пренебрежи-
мо мало. Поверхности ступенек эшелона покрывают алюминием напы-
лением в вакууме.
6. Пластинка Луммсра-Гецке представляет собой плоскопарал-
лельную плаотинку из очень однородного стекла или кварца толщиной
ст 3 до 10 нм и длиной до 30 см. Для направления световых лучей
в пластинку на одном конце ее сбоку пссаюна на оптический кснтак*.
добавочная призмочка (рис.1/4). При другой способе един конец
пластинки скошен (рис. 175). В сооих случаях падающие лучи нор-
Рис. 174
Рис.175
- 323-
мальны к поверхности стекла, чем достигается уменьшение потерь
света.на отражение. Направление падающих лучей подбирается та-
ким, чтобы угол падения на границу стекло-воздух был близок к
предельному углу полного внутреннего отражения. Тогда коэффи-
циент отражения мало отличается от единицы. Пучки испытывают мно-
гократные отражения от плоскостей пластинки и выходят ив нее
С почти одинаковыми интенсивностями* Можно получить до 10-15
Таких пучков с каждой стороны пластинки.
В пластинке Луыыера-Герке. наблюдаются интерференционные по-
лосы равного наклеив» Поэтому пластинка должна совещаться не
параллельными, а расходящимися лучами. Условие интерференцион-
ного максимума -го порядка имеет вид
ghneosy =тЛ, (80.12)
где А - толщина пластинки, а - угол преломления.
Точная теория должка учитывать ослабление интенсивностей
пучков с возрастанием их номеров. Так как это ослабление проис-
ходит в геометрической прогрессии, то учесть его совсем легко.
Однако мы не будем этим заниматься. Правильней оценка разре-
шающей способности пластинки луымера-Герке может быть дана и без
учета такого ослабления. Полное число
одну сторону пластинки равно /V
пластинки,
получим
интерферирующих пучков по
. W L - длина
С учетом формулы (80.12) для разрешающей способности
А _ Lncos*<p
ЗТ ~ Л Si пер
<р - предельный, то rtsirip , а потому
Если угол
(80.18)
#Л л
Для дисперсшонной области из формулы (80.12) получаем
1 А* U
Д / = Л = —------------- = —/L-—. (80.14)
т 2hncosp
7. В этих вычислениях не учитывалась дисперсия показателя
преломления стекла. Учтем теперь это обстоятельство. Условие
-32+-
интерференционного максимума т -го порядка для длины водны Л'
имеет вид
2kn,c.os^/' - тЛ ' - тп .
Чтобы величина (Гл давала спектральное разрешаемое расстояние
надо в соответствии с критерием Релей потребовать, чтобы вне
пластинки в том же направлении подучился первый дифракционный
минимум, для длины волны Л , Бели - соответствующий угол
преломления внутри пластинки, то должно быть
2 к ncos<f> = m Л + jg-
Вычитая ато соотношение из предыдущего, получим
2^ - тп<?Л - -~т- •
Пусть JP - угол падения вне пластинки. Тогда п
Так как угол должен быть одним и тем же для обеих длин воли*
то
Ji- (nun^^Sin^^+ncof^-^ ~О.
Используя ато соотношение, находим
d fnCOSiL>]=—L------- .
«Л * *' со$1^ с1Л
После этого для разрешающей, способности легко подучить, следующее
выражение , \ Z \
Л i L {псо$гФ dn\ г [пг-1 ndn\
<Гл ( л </А/ { А - у-(80«15)
Аналогичным путем выводится выражение для дисперсионной области:
Д* А* *
А1 s--------л-------------------£—,—-48046) .
2hncos<p(l-
Из-за дисперсии показателя преломления отекла раармшй|йи
способность пластинки Лумыера-Герке возрастает, а дислерсмнМ* <
область уменьшается. •
8. Интерферометр или эталон Фабри-Пеоо является наиболее
распространенным из интерференционных спектральных приборов. Ом
(.остеит из двух стеклянных или кварцевых пластинок Pf
-325-
между которыми обычно находится воздух (рис.176). Плоские поверх-
ности пластинок, обращенные друг к другу, тщательно отшлифованы
Рис.176
и покрыты высокоотранающими слоями (серебро, алюминий, многослой-
ные диэлектрические покрытия). В хороших приборах отступления
внутренних поверхностей пластинок от идеальных плоскостей не пре-
вышают 0,01 Л . Отражательная способность зеркальных поверхнос-
тей Пластинок при металлическом покрытии может быть доведена до
95%, а при диэлектрических - до 98%. Параллельность зеркальных
поверхностей достигается с помощью распорного кольца из инвара
пли плавленого кварца, помещаемого мещду пластинами. Кольцо снаб-
жено тремя выступами о каждой стороны, к которым пластинки прижи-
маются при помощи трех пружин. Выступы подилифованы так, что
зеркальные поверхности устанавливаются параллельно друг другу.
Небольшие отступлении от параллельности устраняются нажимом соот-
ветствующей пружины. Располагая набором эталонов с кольцами разной
толщины, можно производить измерения при различных расстояниях
между .зркальными поверхностями. Наружные поверхности пластиной
обычно образуют небольшие утлы о внутренними, чтобы отраженный от
их светлый блп не мешал наблюдения основной интерференционной
картины.
Таким образом, интерферометр Фабри-Перо можно рассматривать
иак плоскопараллельную воздушную пйастинку, на жоторой происходят
многократные отражения падапдих световых лучей и последующая
интерференция их. Как и в плаошке Куммера-Герке, разность хода
-3«б-
мещиу двумя соседними интерферирующими пучкам* определяется вы-
ражением (Ви.12), в котором под П оледует понимать показатель
преломленья воздуха. Интерференционная картина состоит иа концент-
рических колец, являющихся интерференционными линиями равного
наклона. Интерференционные максимумы тем уже, чем больше отража-
тельная способность зеркальных поверхностей плаотикох интер-
ферометра. Точная теория должна учитывать убывание мнтеиоявноотя
интерферирующих пучков с возрастанием их номера. Но оценка раз-
решающей способности может быть произведена по обычной формуле,
в которой это обстоятельство не принимается во внимание. Под Л/
следует понимать число интерферирующих пучков. Его можно оценить
по приближенной формуле . /
/-г ’
где 2 -коэффициент отражения зеркальной поверхности плаотинки.
Порядок интерференции определяется выражением т^£ ,
где А -расстояние между отражающими плоскостями.
Ввиду малости угла ip условие главного интерференционного
максимума 2h.cos(p = т Л можно записать в виде
= ТП Л . Отсюда находим выражение для уг-
ловой дисперсии интерферометра Фабри-Неро:
t/0 тп 4
=------ГТ ----------- (80.17)
а А 2кр , -г
При рабочих условиях ( ip % 10 рад) угловая дисперсия ин-
терферометра Фабри-Перо значительно превышает дисперсию других
спектральных аппаратов. Это является основным преимуществом интер-
ферометра Фабри-Перо. Другим важным преимуществом этого интерферо-
метра является его большая светосила. Благодаря этии преимущест-
вам, а также своей дешевизне интерферометр Фабри-Перс получил ии-
роксе распространение для спектральных исследований в оптической
области спектра. Он нашел также важные применения в качестве
объемного резонатора в оптических квантовых генераторах.

-327-
$ 81. РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ПРИЗЫ
I. Действие призмы хак спектрального прибора основано на
зажснмосп показателя преломления вежеотва от длины волны.
Однако для определения разреиаюжей способности призмы необхо-
димо учесть дифракцию света на краях диафрагмы или краях самой
приемы, огракичиваюжих нирину падаюжего светового пучка. Допус-
тим сначала, что на призму падает моаохроматячеокий параллель-
ный пучок лучей, ограниченный диафрагмой JU' (рис.177).
Рис.177.
Пусть волновой фронт падвюцей волнУ совпадает с плоскостью диаф-
рагмы М . Возьмем аа призмой произвольный волновой фронт
ВВ • По оаиому определению волнового фронта должно иметь
место равенство оптических длин (JCDB) и (/Ш) ,т.е.
ДС+ па ЛС'+пВ+В'В'f (81.1)
где С1 и 6 означают геометрические длины путей CD и C'D* %
-318-
проходимые светом в веществе приемы. z
Если крайние точки В и В' сместить вдоль плоскости ВВ
на бесконечно малые расстсяния и соединить их с исходными точка-
ми Л и J. бесконечно близкими виртуальными лучами, то в силу
принципа Ферма равенство (8I.I) сохранится с точностью до членов
высших порядков относительно этих боковых смещений. В результате
получается следующее правило построения волнового фронта. Надо
от точек исходного волнового фронта провести действительные или
бесконечно близкие к ним виртуальные лучи и отложить на них от -
резки одинаковой оптической длины. Геометричесное место концов
таких отрезвев и даст нсвое положение волнового фронта, Правило
этс, разумеется , имеет всеобщее значение. В случае призмы и
плоских волновых фронтов достаточно ограничиться построением
крайних лучей ЛСВВ и Л CD В . Из изложенного ясно,
чтс при построении волновых фронтов, отличающихся оесконечно ма-
ло своими направлениями, можно пользования одними и теми же све-
товыми путями, хотя истинные пути света и отличаются друг от дру-
га. То же справедливо для световых пучков, бесконечно мало отли-
чающихся длинами волн. Это используется ниже для упрощения вычис-
лении. z
Учтем теперь дифракцию овета на краях диафрагмы ЛЛ и оп-
ределим за призмой направление яа нулевой дифракционный максимум
и дифракционные минимумы. Проведем крайние лучи левв иут;
котсрые могут быть либо действительными, либо бесконечно близки-
ми к ним виртуальными, и пересечен их произвольной плоскостью
ВВ . (мы не предполагаем теперь, что плоскость ВВ' перпен-
дикулярна к световым лучам). Если разность оптических ДЛИН(36ЭД2
и (A’C’D'B') равна нулю, то плоскость ВВ' будет бдним из
волновых фронтов. Нормаль к ней укажет направление на главный
максимум, т.е. максимум нулевого порядка. Если же эти оптические
длины отличаются на целое число длин волн, то, как и при дифраку
ции на щели, нормаль н плоскости ВВ' укажет направление на
дифракционный минимум соответствующего порядка. В частности, ес-
ли оптические длины отличаются яе А , то получится дифракцион-
ный минимум первого порядка.
2. После этих вводных еамечаний не представляет труда вы-
вести формулу для разреиающей способности призмы. Условие
-329 -
разрешения по-прежнему определяется критерием Белая. ПредпЬло-
жим, чю на диафрагму падает параллельный пучок света одвумя
длинами волн Л и Л'. Допустим для определенности, что
Л '> Л и дисперсия показателя преломления приемы нормаль-
ная. Пусть плоскость В В есть волновой фроят для длины вол-
ны Д ' . Нормаль к этой плоскости определяет направление на
нулевой максимум для длины волны Л' . Пусть то же направление
есть направление на дифракционный минимум первого порядка для
длины волны Л . Согласно критерию Белея разность оД^Д'-Д
еоть минимальное расстояние, разрешаемое призмой. На основании
сказанного выше
М + п(Х']а + Ш= А?+п(К)6*№,
ЛС + п а + [)Ъ =Л'С'^п(Л)^В'^Л.
Вычитая почленно* получим
(а-6)[п (Л’)-п А,
о
ОтсйДё для разрешающей способности призмы получаем
_А_ = - (a-g)~ <в1-г>
<Гл 1 7 Лк
ЙЙ вывода ясно, что под Л следует понимать длину волны в
Йкууме. А-
Базреиающая способность призмы зависит только от дисперсии
Йоказателя преломления c^n/dh и разности путей О! и о ,
йрбходимых в призме крайними лучами пучка. Поэтому для полного
использования разрешающей способности необходимо, чтобы световой
пучок покрывал всю боковую поверхность призмы, на которую ок
падает. В этом случае $ —О , a CL означает длину основа-
ния призмы. Например, для стеклянной призмы из тяжелого флинта
-330-
в желтой области спектра с£п~ см . Разрешающая
способность призмы при Cl = I см в указанной области спектра
будет ^/S\ 25 956. Это минимальная разрешающая способность,
при которой может быть разрешена двойная J)- линия натрия
( X=5890Af Л' = 5896^)
Для сложной призмы, состоящей из нескольких простых призм,
поставленных одна за другой, формула (81.2), очевидно, должна
быть заменена формулой
Л г-’ z /> i
^--4.(44/^ > <81.з)
в которой суммирование производится по всем призмам, составляю-
щим систему.
3. Призму можно рассматривать как предельный случай эшелона
Майкельсона ( рис. 172 и 173). Допустим, что ширина и высота сту-
пеньки эшелона стремятся к нулю, а общее числе ступенек к беско-
нечности. При этом последовательно будут исчезать спектры высших
порядков, пока не останется только спектр нулевого порядка.
ная с этого момента, эшелон будет действовать как призма,
формула (80.7) перейдет в формулу (81.2), так как Nh ерц
длина основания призмы. Для дисперсионной области в этом сдунар
формула (80.9) дает А А = 0-0 . Этого и следовало ожидать, так
как весь свет, выходящий из призмы, концентрируется в спектре ну-
левого порядка, и вопрос о наложении спектров разных порядков
просто не возникает. Для получения угловой дисперсии в формуле
(80.10) следует положить А = /л о( , где об - преломляющий
угол призмы. а °
Задачи
I.. Оценить ширину коллиматорной щели, при которой практичес-
ки полностью используется теоретическая разрешающая способность
призмы.
Решение, Предельная разрешающая способность призмы найдемся
из формулы (81.2), если положить ~О . Пусть на призму пада-
ет плоскопараллельная волна с длинами волн А и А' .
33 < -
Разность показателей преломления для этих длин волн ОП.
По выходе из призмы первоначально параллельный пучок света из-за
дисперсии сделается расходящимся. Рассчитаем угловое расхождение
выяедиего пучка. Как видно из рисунка 178;
Sin^f = rising
Дифференцируя при постоянном * отсюда находим
сГИ Sin fl 1- ПС.05^ О.
Так как = Л*согщ , и следовательно, О
то <Гл sinqf = ncosf -ty. ' ,
Из закона преломления Sin fl rising находим искомое угло-
вое расхождение вышедшего пучка:
сГ(Р % Л?/ ncospt SgJsirdL + nCOS£ Mik
'i~ cosflU cos fl г I rieosfl -
При работе призма должна быть установлена на угол наименьшего
отклонения, а потому Р, ,
-3S2-
<N> •
'г cosf cos<p о
Если к - ширина щели, J - фокусное расстояние коллиматора,
то угловая ширина щели будет ОС => . Для полного исполь-
зования разрешающей способности призмы угол (X должен быть мал
по сравнению с углом бГ. Практически достаточно, чтобы угол
d. был меньше приблизительно половины угла бГ^ , Вто дает
А < . (81Л)
cosf а
, то
д sin ~Г /л (М»5)
« 60°, П = 1,73, / - 25 ом, Л -5000 А
дает А < 1,2 1O'3JUJU .
в
Так как = ~
При Ct» Ю см, fi-
последняя формула
2. Сравнить разрешающую способность призмы с максимальной
разрешающей способностью дифракционной реметки, длина которой
равна длине основания призмы.
Решение. Разрешающая способность призмы равна
V
Ппр dx
Разрешающая способность решетки:
Число штрихов решетки
d
спектра тп = -д—
решетки
D
Р;
. Максимальная
максимальный порядок
разрешающая способность
а
л/=^-
реш.
d Л
Л
-ш-
Таким образом
lipeui.
L J**.
Л dn
fan тяжелого флинта, о котором шла речь в пункте 2,
4 О С
При длине волны Л «5000 Д = 5.10- см это дает
4^ = 20.
Ппр
Приведенный пример нокавывает, что при одних и
(81.6)
~~-доо/с„
dn
тех же гео-
метрических равмерах решетка, вообще говоря, обладает значитель-
но большей разрешающей способностью, чем приема.
-за*-
§ иг. ДвИСТВИК СПЕКТРАЛЬНОГО АППАРАТА на ивктовык
ИмПУЛЬ&
I. в предыдущих параграфах анализ работы спектрального ап-
парата сводился к научению воздействия ва него новохроматической
волны. В основе такого подхода лежит принцип суперпозиции и мате-
матическая теорема Фурье, с помощь» которой всякое волновое воз -
мущение можно представить в виде суперпозиции монохроматических
волн разных частот. При таком подходе работа спектрального аппа-
рата сводится к пространственному разделении монохроматических
волн, ухе содержащихся в падающем излучении. Но возможен и другой
подход, в котором исследуется воздействие на спектральный апла -
рат возмущения в целом без предварительного разложения его на мо-
нохроматические составляющие,. Такие возмущения, независимо от их
формы, в дальнейшем называются импульсами. Второй подход более
отчетливо выявляет роль спектрального аппарата, как прибора,
преобразующего непериодические ммпульсы в периодические возмуще-
ния.
2. Этот подход проще всего может быть разъяснен на примере
дифракционной решетки. Рассмотрим сначала неграииченную дифрак-
ционную решетку, состоящую из бесконечного числа равноотстоящих
щелей в непрозрачной экране. Пусть на нее нормально падает ка -
кое-либс плоское непериодическое возмущение, достигающее решетки
в момент времени to . Для наглядности такое возмущение будем
изображать в виде бесконечно короткого прямоугольного импульса
(рис.179), хотя форма возмущения для последующих рассуждений
t
Рио.179.
— 335 -
ииоущественна. Достигнув в момент to всех точен реиетга, им-
пульо возбудит вторичные цилиндрические волны, исходящие от ще-
не! решетки. В результате одиночны! импульс после прохождения
через реметку распадется на бесконечное множество следующих друг
иа другом пространственно разделенных импульсов с цилиндрически-
ми волновыми фронтами ( рис.180). Сечения волновых фронтов
Рис.180.
плоскостью чертежа в какой-либо момент времени t представляет
собой окружности одного и того же радиуса С (t ~to) , описан-
ные из щелей реиетки, как из центров ( рис.181).
-356-
-- ЯК -
На больших расстояниях от решетки малые учаотки волновых фронтов
могут рассматриваться как плоские, следующие друг за другом че -
рез разные промежутки времени
d $irv&
г в ------------ . (82.1)
Таким образом, на больших расстояниях от решетки возмущение
представляется периодической функцией tytt) , период которой
Ъ зависит от угла & , т.е. от направления излучения. Решет-
ка разлагает непериодический импульс на пространственно разделен-
ные периодические возмущения различных периодов. Исключение сое -
тавляет случай, кегда импульсы за решеткой распространяются под
углом .В атом случае разложения не будет. Эти периодиче-
ские возмущения, вообще говоря, не будут синусоидальными. Но,
как и всякие периодические функции, они могут быть разложены в
ряд Фурье о основным периодом Т . Для понимания действия ре -
шетки такое разложение ае обязательно. Но оно целесообразно, ког-
да приемниками излучения в спектроскопах и спектрографах являют -
ся глаз и фотографическая пластинка. Такие приемники действуют
подобно набору гармонических социлляторов с различными собствен -
%ыми частотами. Они селективны и воспринимают только такие моно-
хроматические излучения, частоты которых лежат во вполне опреде-
ленном интервале. Так,оглаз человека воспринимает длины волн при-
мерно от 4000 до 7600 А и не чувствителен к волнам, лежащим вне
этого интервала.
Ряд Фурье, в который может быть разложено периодическое воз-
мущение (t) • вообще говоря, будет содержать монохромати -
ческу» волну о основным периодом Т” . Наряду о ней могут войти
гармоники о периодами , -у- . Не'все эти гармоники вбе -
принимаются приемником, в простейшем случае только одна иэ них,
наьример гармоника о периодом ^/т • действует на приемник.
Обозначим ее период буквой Т • Тогда
j,_____ dsintf
' тп “ cm ’
или\ вводя длину волны,
d-sin# srnA . (82.2*
-337-
Это - основная формула дафракциннно“ решена. •
Но может быть к такой случай* когда разложение Фурье содер-
жат две или больше гармоник, действующих ла приемник* Тогда име-
ет место пере! рытие спектров равных пс^ядков. Это ^даожно толь-
ко тогда* когда падаыда . излучение заполняет сча шл1 интер-
вал, ширина которого превосходит дисперсисфую «ы оть решетки.
>. в свнзи с этим возникает вопрос о швисимос i между гар-
мониками в Фурье-ра» жении функции (t) и спектральным
составом падающего излучения. Для выяснения вопроса рассмотрим :
воздействие на решетку единичной монохроиатической волны с пери-
одом Т . Вторичные волны, выходящие в этом случае из щелей ре - '
метки, а потому И их суперпс ЦП' буи*т Монохроматическими с
тем же периодом Г : <p(±+T)-<p(t).
С другой стороны, из предыдущего рассмотрения следует, что время
Т также является периодом функции р : р (t +т) - р (±),
Очевидно Г не может быть основным периодом функции р ,т.е.
Тт , Иначе в фурье-разложении функции р содержалась
бы гармоника о периодом меньие Т , что невозможно. Значит, ос-
новным периодом ивляется время Т , а потому должно быть Т- .
Это привода! к формуле (82.2). Итак, монохроматическая волна
после прохождения через спектральный аппарат продолжает оставать-
ся монохроматической о тем же периодом. Отсюда и из принципа су-
перпозиции оледует, что в опектре решетки не могут появиться мо-
нохроматические составляющие с частотами, которые отсутствуют в
опектре падающего излучения. Если спектральная область, занимае-
мая падающим излучением, не превосходит дисперсионную область ДЛ ,
то фурье-разложение будет содержать всего одну гармонику, и ре-
шетка разложит ато излучение на монохроматические составляющие.
Во всем дальнейшей предполагается, ч$о реализуется именно такой
случай.
4. Рассмотрим спектр какого-либо порядка ТП О , Вели
решетка неограниченна, то каждому направлению, характеризующему-,
ся углом д , в атом опектре будет соответствовать строго оп-
ределенная длина волны Я . Наложения волн различных частот
йовсем не будет. Это значит, что неограниченная реиетка обладает
бесконечно больной разрешающей способностью. Допустим теперь,что
-338-
d на Mk*i hi L конечна, и решеЦка содержит штрихов. Тог-
да периодические возмущения,формирующиеся решеткой, будут сое -
тоять из /V импульсов, следующих один за другим черев время
т - sin&
1 с '
Время
g = = № sin.f = ^Sirtd (82.3)
с ' с
приблизительно равно времени от момента появления первого до мо-
мента появления N-ю импульсов. Оно называется временем затяги-
вания импульса или временем установления спектрального аппарата,
так как по прошествии такого времени начинают действовать все Д'
штрихов решетки.
Волновое возмущение в точке наблюдения мскет быть представ-
лено в виде
УМ-f.(*)★/, М</,(*>.
’ где слагаемые в правой части представляют импульсы, приходящие
О? отдельных штрихов. Так как эти импульсы запаздывают один от-
носительно другого на время Г , а в остальном совершенно тож-
дественны, то , если t' .
Следовательно, ft(* ~2f)
и т.п. Результирующее возмущение представится в виде
* t •
Разложим его в шнтеграл Фурье: 1
¥-00
где -оо
-tyj
-339-
и приняв во внимание,что
Подставив сюда выражение для (i)
получим

sm "" g •"
sin
Здесь введено обозначение
(82.4)
7-7 х \ С- , । -iui
г(и)=-^Ге ]^е м- ч
5. Величина |Г6>)| cLgJ С ТОЧНОСТЬ!) до постоянно-
го множителя представляет интенсивность падающего импульоа, при-
ходящуюся на интервал частот (ь>, co+dw) . Такой же смысл
имеет Величина |л?6ы)| du для излучения, выходящего из
решетки под углом . Теперь дифрагированное излучение, рас-
пространяющееся от решетки в определенном направлении, состоит
не из одной монохроматической волны, как было в случае неограни-
ченной решетки, а непрерывно распределено по спектру частот.
Главные максимумы в этом распределении- приходятся на частоты,при
которых знаменатель в выражении (82.4) обращается в нуль, т.е.
-ST = . Вто приводах к соотношению (82.2). Конечно, глав-
ные максимумы иа появятся', если F(b-')-0 , т.е. когда в па-
дающем импульсе ие представлено излучение соответствующей часто-
ты. Ближайший минимум в распределении интенсивности по частотам
приходится на частоту, определяемую условием
-340-
так как при такой частоте числитель в формуле (82.4) обраввется
в нуль. Величина jy
_ 2Т 2т (82.5)
‘"X’ Nr в
Определяет порядок ширина спектральном области, которую заполня-
ют частота ноли, выходящих из решетки в одном и том же направле-
нии. Соотношение (82.>) уже оило получено ранее в j 7 в предполо-
жении, что возмущение имеет вид оборванной синусоида. Проведен -
пай здесь вывод показывает, что оно енраведлмво дли более общего
случая, когда возмущение состоит из N тождественных импульсов
произвольном формы, ^следующих одно за другим Через равные проме-
жутки времени.- " -
ь. допустим теперь, .что возмужание, падающее на роиетку,
состовт из однди-Только неограниченной синусоиды. Тогда частота
Ы в формуле (82.-») будет фиксирована. Но угол может ме -
^ятьсн, и формула (82.4) определит зависимость амплитуды дифра-
гированного света от этого угла. Так как о)Г *> cl tin &
то эта зависимость представится формулой
./ fcttin#
' ... *•»* ' 1 д,-
тождаетвенжой с формулой (78.1),, Поэтому отпадает надобность в
дальнейших-рас суждениях. Заметим только, что разрежающая способ-
ность R связана с временем установления Q соотношением
.V 4?-у- •. ’ <«•”
т^. Таким образом, действие решетки сводится к тому, что
оде разбивает падающий импульс на N тождественных импульсов.
Кода», фиксировать определенное направление распространения, то »
вдали от ре метки эти импульсыбудут следовать друг за другом 4
через, равные промежутки времени, так что результирующее возмуще-
ние, распространяющееся в этом направлении, станет периодическим

(точное, квазипериодическим). По той же схеме действует всякий
спектральный прибор. Это совершенно очевидно для интерференцион-
ных спектральных приборов, но не столь очевидно для призмы.
Трудность понимания работы призмы с изложенной точки зрения
связана с тем, что время распространения света от волнового фрон-
та ЛЬ ( рис. 182) до другого волнового фронта Л'Ь одно и то
же для всех лучей. Казалось бы, что на основании этого следует
сделать заключение, что световой импульс придет в точку наблюде-
ния целиком, а не разобьется на ряд следующих друг за другом
тождественных импульоов. Однако это заключение неправильно. Оно
было бы верным, если бы вещество призмы не обладало дисперсией.
Равенство времен распространения относится к фазе волны. Импульс
хе в диспергирующей среде распространяется со скоростью, отлич -
ной от фазовой. Поэтому импульсы, вышедшие одновременно от раз-
личных точек волнового фронта ЛЬ , придут в соответствующие
точки волнового фронта Л'Ь не одновременно. Импульс рабтянеГ
ся .во времени , и можно говорить о времени затягивания 6 .
Наиболее просто работу призмы можно проанализировать, когда
падающий на нее импульс представляет группу волн. Как известке’
(•ем. § 9), при распространении в диспергирующей среде группа (
непрерывно деформируется, периодически восстанавливая свою
-342-
черва время .
7- _
du ' (8г,&л
называемое временем восстановления. 4
Разобьем падающий пучок на ряд пучков 1,П,Е,... равноотстоя-
щими плоскостями, параллельными лучам самого пучка. Каждый из
этих пучков будет приходить в фокус F с некоторым запаздыва -
нием по сравнению с предыдущим пучком. Произведем это разбиение
так, чтобы запаздывание равнялось времени восстановления 7* .
Тогда волновые импульсы, связанные с пучками 1,П,ы,... ,
по выходе из призмы будут иметь одну и ту хе форму. Следователь-
но, через фокус F последовательно будут проходить тождествен-
ные световые импульсы, следующие друг за другой через одно и то
же время Т , Решетка преобразовала падающий на нее импульс в
последовательность равноотстоящих импульсов, т.е. в периодичес-
кое возмущение. Тем самым показано, что подход к работе спектраль-
ного аппарата, изложенный выше применительно к дифракционной ре-
шетке, годится и для призмы.
8. Легко получить и выражение для разрешающей способности
призмы. Для этого, согласно формуле (82.7), надо вычислить время
затягивания Q . Очевидно оно равно
л s ЛЛ' ВСВ'
& и ~ с
По определению волнового фронта
ВСВ' _ ЛА' а
С If If
В этих формулах V означает фазовую, а и. - групповую скорос-
ти светла в веществе призмы. Таким образом,
/П / 1 < 1 _ zv Lr~U
0 — а ( и If / UIT
По известной формуле
/. л dn \
dA/>
-343 -
так что
Л_ л- й~ ~^Г , а. Л dn . (82.9)
У u(i’7,Tj) V d(n^
Поделав ато выражение на Т , найдем формулу для разрешающей
способности призмы
D С^П
К = -а - — («2.I0J
с1(пЛ)
При сравнении этой формулы с формулой (81.2) надо иметь в виду,
что вдесь Л овначает длину волны в призме, тогда как в форму-
ле (81.2) той же буквой обозначена длина волны в вакууме. Обоз-
начив ее здесь буквой , получим
что по содержание совпадает с формулой (81.2).
-344
§ 83. ВОГНУТАЯ ОТРАЖАТЕЛЬНАЯ РЕшЕТКА
.1. Свет, дифрагировавший на обычной плоской решетке с рав-
номерно нанесенными штрихами,. должен,направляться на линзу или
другое фокусирующее устройство, чтобы в фокальцой плоскости по-
лучилась картина резких спектральных линий, однако можно обой -
тись и без линзы, если штрихи на плоской поверхности нанести не-
равномерно или воспользоваться сферической отражающей поверхно-
стью с равномерно нанесенными штрихами. Фокусирующее действие
многих решеток было замечено давно, но до работ Роулэнда оно
рассматривалось как недостаток решетки. Роулэнд превратил это
свойство в достоинство решетки, построив вогнутые отражательные
решетки. Наряду с интерференционными приборами такие решетки до
настоящего времени являются основными спектральными аппаратами.
широко используемыми в точных спектроскопических исследованиях.
Спектральные линии, получаемые с помощью вогнутых отражательных
решеток, по своей резкости значительно превосходят те же линии
в реветках, где фокусировка осуществляется с помощью линз.
2. Теоретически на любой поьерхности можно нанести систему
втрсхов так, чтобы свет от точечного монохроматического источни-
ка Ло после дифракции на решетке сфокусировался в любой задан-
ной точке Л (рис.183). Вообразим, например, семейство аллип-
соидов вращения с фокусами в Ло и Л» большие оси которых вов-
растают в арифметической прогрессии с разностью А .
Рис.183.
-345-
•ересечем ато семейство эллипсоидов произвольной поверхностью
С/ § . Она разобьется эллипсоидами на эллиптические эоны Френе-
ля.0 Световые колебания от соседних зон приходят в точку в
противоположных фазах и поэтому гасят друг друга. Никакого уси-
ления или ослабления света в точке Л наолюдаться не будет. Ес-
ли, однако, уничтожить или ослаоить в определенное число раз
колебания от всех зон через одну, то гашение сменится усилением
- в точке Л появится максимум светового действия. Чтобы достиг-
нуть этого, можно нанести алмазом на поверхности 9в9 штрихи
вдоль всех четных ( или нечетных) линий пересечения ее с поверх-
ностями эллипсоидов. Тогда в точке Л появится дифракционный >
максимум первого порядка. Так как размеры эллипсоидов и соответ-
ствующих им эон Френеля меняются с изменением длины волны, то
в точке Л будет сфокусирован свет лишь определенной длины
волны. Волны со смежными длинами сооерутся в других фокусах,близ-
ких к Л . Можно сфокусировать и спектр любого порядка тп .
Для этого надо построить семейство софокусных эллипсоидов, боль-
шие оси которых по-прежнему возрастают в арифметической прогрес-
сии, но с разностью mA . Затем надо в каждой из образовавших-
ся таким образом зон нанести подобно расположенные штрихи, парал-
лельные краям зон. По изложенному принципу действует и известная
зонная пластинка ( § 73). Предельным случаем ее является плоская
решетка, в которой заштрихованы через одну полосатые зоны Шусте-
ра ( § 74). Решетки, действующие по изложенному принципу, изго -
товлялись многократно. Однако все они имеют только демонстрацион-
ное, но не практическое значение. Поэтому мы обратимся к разбору
действия вогнутой отражательной решетки Роулэнда. В основных
чертах наше изложение следует Рунге, давшему полную теорию вог -
нутой отражательной решетки.
3. Пусть 9О9 ( рис.184) - сферическая поверхность ра -
диуса J3 с центром в точке С , на которой нанесены штрихи
равноотстоящими плоскостями, перпенди' улярными к плоскости ри -
сунка и параллельными диаматру ОС . Расстояние между этими
плоскостями ( период решетки) обозначим буквой d . Предпола-
гая; что источник света помещен в точке Ло , выясним, можно
ли и при каких условиях сфокусировать спектр т - го порядка в
-346-
заданной точке Л , лежащей в плоскости Л О С . При исследо-
вании этого вопроса ограничимся рассмотрением лучей , лежащих
в той же плоскости, приняв ее за координатную плоскость ХУ .
Начало координат поместим в центре^ решетки О , ось X нап-
* м вдоль диаметра ОС , ось У - по касательной к сфере,
лежащей в рассматриваемой плоскости.
Рис.184.
Пусть Р - точка с координатами X , у на поверхности ре-
шетки, находящаяся у какого-либо штриха, номер которого обозна -
чим П . Введем обозначения: Ло0~г, , ЛОа1% ЛоР^Иа ,
ЯР ~ . Для того, чтобы в точке сфокусировался спектр
т -го порядка, необходимо и достаточно выполнение условия .
-347-
иа*-и = го + г± тл t
каков оы ни был номер штриха п . При описанном ваше спосоое
нанесения штрихов п = ± Л , а потому написанное условие
принимает вид
тЛ ;
г4*г/=гв*г*—— У 185.1)
а
и должно выполняться при люоых значениях у .
Пусть ао , Оо - координаты точки Ло ' СИ, & - коорди-
наты точки Л . Тогда
^ = (у-^)^(х-а.у^^х^уг-2^у-2асх. (83#2)
Уравнение окружности, по которой поверхность решетки пересекает-
ся с плоскостью рисунка, имеет вид
Хг+у9 =2рх.
Однако мы обобщим последующие рассуждения, заменив, сферическую
поверхность решетки произвольной вогнутой поверхностью вращения
вокруг оси X • Сечение плоскостью рисунка малого участка та -
кой поверхности ( размеры которого порядка размеров самой решет-
ки) может быть представлено уравнением
+уг =2рх , <85«3>
где р - радиус соприкасающейся сферы в точке О , а Ji - псс -
тоянная, которая в случае сферы обращается в единицу. Заменив
множитель 2Х в последнем члене уравнения (85.2) выражением,
полученным из (85.3), найдем
Второй член является величиной второго, а последний - четвертого
порядка малости по у , Сохраняя только члены второго порядка,
отлучим
Аналогично
Подставим эти приближенные выражения в формулу (85.1) и прирав -
няем нулю члены с первыми и вторыми степенями у . Тогда полу-
чим два условия: л ,
бо О _ ГПЛ
ге г * d (85.7)
Y>
при выполнении которых, по крайней мере с раооматриваемой степенью
точности, решетка будет обладать требуемыми фокусирующими свойст-
вами.
4. Условие («3.7) определяет направления на дифракционные
максимумы П? -го порядка. Действительно, если d„ - угол паде-
ния центрального луча на решетку, a - угол между соответст-
вующим дифрагированным лучом и нормалью к решетке ( рис.184), то
S & •
= j Sind-— , м уравнение (83.5) принимает
виду
с/-(sind+sirid^^ ±тЛ t (вз.9)
г 44$ . С? ч чд • ч
т.е. такой же, что и при дифракции н* плоской отражательной ре-
шетке.
-349-
Уравнение (83.8) определяет расстояние ? точки Л от
центра реиетки О . Вместе с уравнением (83.9) оно, таким об-
разом, однозначно определяет положение это!! точки, если известно
положение источника света Ло . Используя соотношения
И Ct = ZCOS<9 , уравнение (83.8) можно представить в виде
С03г1$о _ COSl% + COS if (83.10)
го г " р
При малых углах и if это уравнение переходит в общеиз-
вестное соотношение между расстояниями предмета и его изображе
ния в вогнутом зеркале радиуса . Таким образом, каково бы
ни было положение источника света Ло , всегда существует та-
кая точка Л , в которой приближенно собираются дифрагирован
ные лучи.
Однако можно достигнуть больией точности и простоты в уста-
новке решетки, а также лучшей ре:
отказаться от произвола в выборе
рядимся выбором точки Ла так,
чезли члены второго порядка. Для
Тогда, ввиду соотношения (83.8),
Эти соотношения можно записать в
sf - CtoJ> или
ег - а р или
шости спектральных линий, если
положения точки Ло . Распо-
чтобы в выражении (83.4) ис -
этого должно быть — = п .
а / ** J3
будет ^7-—=0.
виде
Zo=J>cosif„ (83.11)
г = JJCOS& (83.12)
Соотношение (83.11) означает, что источник света должен^ле-
жать на окружности диаметра , касающейся поверхности решет-
ки в точке О .Ив соотношения (83.х2) тогда следует, что диф-
рагированные лучи соберутся в точке Л , лежащей на той хе ок-
ружности. Эта окружность называется кругом Роулэнда. На рис.184
она" изображена пунктиром.
-350-
cte _ m
Угловая дисперсия решетки CCSiy не будет
зависеть от угла $ , если спектры получаются при малых «Я
вблизи & = О . Тогда COSl^—1 , угол гЯ будет
линейной функцией длины волны, т.е. получится нормальный спектр.
Поэтому в обычных условиях решетка устанавливается так, чтобы
изучаемый спектр получался вблизи ее главной оптической оси.
5. Исследуем теперь, в какой мере можно избавиться от абер-
раций. Предположим, что источник света помещен на круге Роулэнда,
Тогда член второго порядка в формуле (85.4) выпадет. Ограничь -
ваясь точностью до членов четвертого порядка включительно, из
формулы (85.4) получим
Аналогично
и -s + —
г
Таким образом,
член четвертого порядка в выражении (85.1) равен
При обычном опособе
КИ, 2 = CL =J>
- JP> COS £ ,
в этом случае
(83.13)
работы, когда спектр получается на оси решет-
. Используя кроме того соотношения
ао =гв Сб>5бЯ = рс.08г&о t , получим

Таким образом, в общем случае от членов четвертого порядка
избавиться нельзя. Однако для сферических решеток fl —1 ,
и второй множитель в выражении (83.14) мал, если мал сам угол /.Я
Поэтому для спектров низких порядков аберрации не играют роли.
Можно было бы совсем избавиться от аберраций, сделав fl~ cosi9-
—Л51~
Но такой способ означал бы отказ от сферических поверхностей.
Роулэнд указал, что можно также избавиться от аберраций, сохра-
няя сферическую поверхность решетки, но слегка менял величи-
ну d к ее краям. Для сферической решетки fi = 1 , и выра-
жение (83.14) легко преобразуется к виду
, .,4
= • <85Л5);
Максимальная погрешность оптической длины может достигать при -
мерно четверти длины волны без значительного ущерба для отчетли-
вости изображения. Наибольшего значения величина Д* достигает,
когда у равно длине решетки Nd. Подставляя это значение
в формулу (83.15), получаем следующее условие хорошей отчетливос-
ти изображения
Nd'-P <“5'К)
Большие решетки в первом порядке имеют разрешающую способ-
ность около 200 000. Угловое расстояние между спектральными ли-
ниями, еще разрешаемыми решеткой, составляет—2-^= ,
а линейное
d cos# Л
Для аффективного использования разрешающей способности решетки
необходимо, чтобы величина ДЛ“ была не меньше определенного
предела. Положим ДХ 0,01 мм, ТП =1, R =200 000, Л = 5000 А
* I
d —5----мм, COS&* I. Тогда, пользуясь предыдущей форму -
“600
ЛОЙ, найдем, что радиус кривизны решетки должен быть не меньше
/ = —т~
-35"2-
Приведенный пример показывает, что радиус кривизны вогнутой по-
верхности решетки должен быть очень велик.
Допустим, что при радиусе кривизны /«5м решетка имеет
600 штрихов на миллиметр. Тогда И - мм . Если л ж5000 ?
„ Л ьии
то в первом порядке Sin = —р =0,3 , а потому
3 . Следовательно, при по формуле (83.16)
должно быть Л/d < 20 см. Как ухе указывалось в § 79, вогнутые
дифракционные решетки с таким периодом, выпускаемые в Советском
Союзе, имеют размер 15 х 15 см?.
6. Вычисления, приведенные выше, применимы только к лучам,
лежащим в плоскости рисунка. Более подробное исследование пока -
змвает, что лучи, выходящие из этой плоскости, даьт астигматичес-
кие изображения: точечный источник, помещенный в Ло , изобража-
ется в виде отрезка, перпендикулярного к плоскости рисунка и про-
ходящего через точку Л . Астигматизм увеличивается по море
возрастания угла падения d? , т.е. с увеличением порядка
спектра. Когда источником света является щель, то наличие астиг-
.матизма ведет к уменьшению резкости изображения и понижению раз-
решающей способности, если щель установлена не совсем параллель-
но штрихам решетки. Поэтому необходимо добиваться тщательной ус-
тановки щели на параллельность штрихам решетки. По той же причи-
не нельзя делать штрихи решетки очень длинными. Обычно наносят
короткие штрихи вдоль широких участков, а не стремятся покрыть
ими большую площадь, как в случае плоской решетки, не обладающей
астигматизмом.
7. Роуланду принадлежит и теоретически наиболее совершенный
метод установки дифракционной решетки, показанный на схематичес-
ком рисунке 185. Решетка 9а9 и фотографическая камера устанав-
ливаются на противоположных концах твердого стержня ОА ,длина
котор го равна радиусу (фивизны решетки J3 . Они могут сколь -
зить вдоль взаимно перпендикулярных рельсов Л.о и Л.Л на
салазках, шарнирно соединенных со стержнем ОЛ . Для достиже -
ния лучшей отчетливости изображения фотопластинку Р.Р изгиба-
ют по окружности, совпадающей с кругом Роулэнда. Щель помещается
в точке пересечения Л. направляющих рельсов. При фотографи-
ровании спектров разных порядков, а также различных участков *
-353-
Рис.ТбЬ.
одного и того же спектра щель Ло и источник света L оста-
ются неподвижными. Так как точки О, Ле , А лежат на круге
Роулэнда, то при надлежащем положении стержня ОЛ изображение
щели Л„ получится в точке Л . при перемещении концов стерж-
ни- вдоль направляющих рельсов через точку Л будут последова-
тельно прбходить фокусы различных длин-волн в спектре рассматри-
ваемого порядка. Так как в установке Роулэнда & =0 , то
d Sin = mA .с другой стороны, 0Jlo=J)sm&a *,
Комбинируя эти две формулы, находим
рт
оа-"£^Г 71 • 1“ЗЛ7)
На стержне, связанном с рельсом 0Яо , можно нанести равно-
лцрмдо мкалу длин волн. Тогда длина волны, попадающей в центр
-354-
поля зрения Л , может быть отсчитана непосредственно по зтой
шкале.
«„ ИРи установке решетки по методу Роулэнда объем, занимаемый
пфмС&рами, настолько велик, что 1-»неы трудно поддерживать посто-
янство температуры, необходимое при длительных экспозициях.
Кроме того установка Роулэнда довольно дорога. По этим и по ряду
других причин она применяется редко. Были разработаны другие ме-
тоды установки (Пашеном, Иглом и др.). С ними можно ознакомиться
по квиГе Вуда "Физическая оптика11, а также по специальным руко -
водстваы по технике спектроскопии.
-355-
§ 84. ДИФРАКЦИЯ НА РЕШЕТКЕ КАК КРАЕВАЯ ЗАДАЧА.-
I. Волновое поло, возникающее при дифракции на решетке, мы
находили путем суммирования волн, исходящих от отдельных щелей
решетки. Возможен, однако, другой подход к решении задачи, кото-
рый для некоторых целей является предпочтительным. Рассмотрим
сначала бесконечную одномерную плоскую решетку.
Примем плоскость решетки за координатную плоскость ХУ •
Ось Z направим нормально к плоскости решетки. За положительное;
направление оси Z примем направление от передней поверхности
решетки к задней. Направление, перпендикулярное к штрихам, примем
Пусть на решетку падает плоская монохроматическая волна
= J[e (84.1)
Мы представляем ее в скалярной форме, отвлекаясь тем самым от
исследования-поляризации света. Это не вызывает осложнений,
когда плоскость падения совпадает с плоскостью ZX . Тогда
достаточно разложить падающий овет на волну, поляризованную в
плоскости падения, и волну, поляризованную перпендикулярно к
ней. Каждую из этих составляющих" можно трактовать как скалярную
Ъ6-
волну, совершение не зависящую ст”другсй составляющей.
Если в формуле (84.1) положить г =О , то получится вы-
ражение для поля падающей велны, называемое в дальнейшем полем
на входе:
Ygx = Jle' (84.2)
Поле на прстивопслсжной поверхности решетки при Z*=O называ-
ется полем на выходе ^gttx • рассуждаем так, как если бы
решетка была бесконечнс тенкей. Этс не лишает рассуждения общ-
ности, Все исследующее изложение применимо и к дифракционным
решеткам конечной толщины, а также к отражательным решеткам. Дос-
таточно взять различные системы координат в пространстве перед
решеткей и в прсстранстве за ней так, чтобы^ередняя плоскость
решетки представлялась уравнением Z =0?, а задняя - уравнением
Я'=о • Штрихи у координат можно опустить, так как пс смыс-
лу выражений будет видно, о каких координатах идет
В линейной оптике в общем случае поля
ваны соотношением
речь.
« овя~

(84.3)
Коэффициент D определяется только свойствами решетки и называет-
ся ее пропускаемсстыо. Пропускаемость есть периодическая функ-
ция кссрдинаты X и является оснсвной характеристикой решетки.
Наиболее трудная чаоть задачи о дифракции овета на решетке состо-
ит в вычислении ее пропуокаемссти. В настоящем параграфе речь
идет об общих свойствах дифракционной решетки, поэтому явный вид
функции DM не играет роли. Используется только ее периодич-
ность.
2. Если известно велневое псле и его нормальная производная
’ на выходе реиетки, то о помощью формулы Кирхгофа можно вычислить
волновое поле в любой точке за решеткой. Проще, однако, непосред-
ственно воспользоваться волновым уравнением
-О, (84.4)
рассматривая соотношение (84.3) как Граничное условие, которому
должно удовлетворять решение зтопгуравнения. Такой подход в
-3S1-
литературе известен под названием метода Релея, хотя последний
является только частным случаем общего метода решении краевых
задач математической физики. Частным решением уравнения (84.4)
является плоская волна
-/'<? г
= ае
в которой волновой вектор удовлетворяет условию^ =к.
(Временной множитель (Е здесь и в дальнейшем опущен).
Волна может быть как однородной, так и неоднородной. Общее ре-
шение может быть получено путем суперпозиции частных решений
такого типа, т.е.
.. (»-5)
Не все волны, входящие в суперпозицию (84.5), допустимы.
Из однородных волн за решеткой могут существовать только уходя-
щие волны. Неоднородные же волны должны затухать при удалении
от решетки. Поэтому составляющая должна быть положительной
(для однородных волн) или чисто мнимой о отрицательным коэффИт
циентом (для неоднородных волн):
£ = * , (84.6)
ИЛИ г
Только по таким волнам должно производиться суммирование в вы-
ражении (84.5). Этим ограничением обеспечивается однозначность
решения.’ *
Само решение легче всего Получить следующим способом. Про-
пускаемость D есть периодическая функция координаты X ,
период которой равен периоду решетки d , Разложим эту функ-
цию в ряд Фурье;
D-E^e1^

/огда по формуле (84.3)
Ч^Е
ГОз-сю
С другой стороны, из разложения (84.5) непосредственно получаем
Че-E
т*е-
Сравнение этого выражения о предыдущим дает
ат - М)т , (84.9)
%Kak+rnP;
В отношении квадратного корня (84.10) следует сделать те se за-
мечания, что и в отношении квадратных корней (84.6) и (84.7).
Формулами (84.5), (84.9), (84.10) и решается задача о дифракции
плоской монохроматической волны на решетке.
В приведенных вычислениях на ориентацию плоскости падения
относительно штрихов решетки не накладывалось никаких ограниче-
ний. Рассмотрим теперь частный случай, когда плоскость падения
перпендикулярна к штрихам решетки. Тогда
к=О к = -~&пЗ, Q
где 3 и - угол падения и угол' дифракции на максимум
m -гс порядка. Подставляя эти значения в первую формулу
(84.10), придадим ей вид
, t/-(strut (84.П)
Это - основная формула в теории дифракционной решетки* Она отли-
чается от формулы (78.8) только обозначениями.
3. Таким образом, поле за решеткой соотсит из ряда плоских .
волн, распространяющихся в различных направлениях, определяемых
формулами (84.10) или в частном случае формулой (84.11). По
сравнению с ранее выведенными результатами имеются, однако, два
-35Э-
отличия. Во-первых, весь спектр за решеткой ««иг только из
главных максимумов различных порядков, никаких второстепенных ’
максимумов не имеется. Это является следствием предположения о
неограниченности решетки. Во-вторых, в дифрагированном свете
присутствуют не трлько однородные, но и неоднородные волны.'
Однородными будут вслны сравнительно низких порядков тп , для
которых квадратный корень в (84.10) веществен. Все волны более
высоких порядков неоднородны. Это различие связано с тем, что
формулами настоящего параграфа световое поле определяется на лю-
бых расстсяниях ст решетки вплсть до самой поверхности ее, тогда
как во всех предшествующих параграфах имелся в виду случай фра-
унгоферовой дифракции.
Чтобы составить представление о быстроте затухания неодно-
родных волн, рассмотрим частный случай нормального падения. В
этом случае наивысший порядок однородных волн определяется усло-
вием тп -j- . Если же ' т > ' то
Таким образом, при удалении от решетки амплитуды неоднородных.
волн убывают по зксппненциальнсму закону
e
т.е. тем быстрее, чем выше порядок т . На'расстояниях

(84.12)
неоднородные волны не проявляются. Так как наибольшее из этих
расстояний порядка d , тс при Z d поле за решеткой состо-
ит только из однородных волн. :
В частости, если d<h , тс при нормальном падении
поле за решеткой осстсит только из однсй плссксй вслны нулевого
порядка (^п - о) , Никаких боковых дифракционных максимумов
не появляется. Исследование прешедшей вслны на расстсяниях
zs>л?
не даст никакой информации с структуре решетки. Рассматривая ре-
-зев-
шетку в микроокоп, мы не обнаружим на ней штрихов. По той ко при-
чине свет, распространяющийся в прозрачной среде, например крис-
талле, не отклоняется в стороны, хотя среда и построена из диск-
ретных атомов или молекул - кристалл является периодической струк-
турой и в этом смысле монет рассматри.г.ться как дифракционная
решетка (фактически наблюдаемое рассеяние света вызывается по-
бочными причинами). В оптическом отношении кристалл ведет себя
как однородная сплошная среда. Причина этого в том, что период
молекулярной структуры кристалла меньше длина волны. Но лак только
нарушится это условие, появятся дифракционные максимумы. Возникнет
интерференционное рассеяние волн. Такой случай реализуется в
рентгеновской области спектра.
4. Если в разложении пропускаемом и -D в ряд Фурье отсутст-
вует какой-либо член, то будет отсутствовать и главный ме.;с:;цуш
соответствующего порядка в волновом поле за решеткой. Рассмотрим
в качестве примера синусоидальную решетку или решетку Релея. Так
называется решетка, пропускаеыость которой определяется выраже-
нием
D = а + jicospx
с постоянными
<Х , и р .
D= a+f>
Представив это выражение в виде
‘Рх ^-‘Рх
е +е
2 •
заключаем, что световое поле за решеткой будет состоять из трех
плоских однородных волн: неотклоненной волны (максимум нулевого
порядка) с амплитудой ао-(хЛ и двух боковых максимумов пер-
вого порядка с амплитудами at = Ct_t =* — ft JI . Других
главных максимумов не будет. Если поверхности тела придать форму-
синусоиды, амплитуда которой мала по сравнению с длиной волны.
то такая поверхность приближенно будет вести себя как решетка
Релея. Это удалось оделять Вуду путем травления (примерно в тече-
ние Ю сек) поверхности стеклянной дифракционной решетки слабым
раствором фтористоводородной кислоты. Обычные стеклянные решетки
дают оФ'ень слабые спектры, так как штрихи, нанесенные алмазом,
узки по сравнению со светлыми промежутками между ними. Однако шт-
рихи легко расширить, омочив поверхность решетки олабой фтористо-
водородной кислотой. Таким путей удаетоя достигнуть увеличения
интенсивности спектров •€ несколько раз (до десяти).
•36<-
возможны-и.такие структуры, которые нормально могут рас-
сматриваться как дифракционные решетки, дающие только один макси-
мум; Примером может служить призма. дели на одну из боковьрс гра-
ней призмы падает плоская монохроматическая волна, то фаза,волно-
вого поля на выходе (на второй грани призмы) будет ношйЬся с
координатой по линейному закону. Соответственнее граничное усло-
вие удовлетворяется только одной уходящей плоской волной. Это и
есть волна, прошедшая через призму и отклоненная ею. Проблема от-
ражения й преломления света на плоской границе раздела двух сред
может решаться как краевая задача по методу* Ръяе-я. Цри таком под-
ходе плоская граница раздела формально может рассматриваться как
дифракционная решетка, дающая только один максимум.
б. Ограниченная решетка может быть рассмотрена тем же мето-
дом, что и решетка неограниченная,. Она также может характеризо-
ваться пропускаемостью D , как функцией абсциссы X . в пре-
делах решетки пропускаемость периодична, а вне решетки обращает-
ся в нуль. Поэтому вместо рада надо пользоваться интегралом Фурье.
Разложение пропускаемое™ интеграл Фурье имеет вид
(84.18)
df ,
«*о
где
C(f) = -~ ^D(x)ei/xdx . .
Поле на выходе решетки представится выражением
Решение, удовлетворяющее этому граничному условию и
условиям задачи, имеет вид
(84.14)
Ф df г
всем прочим
(84.15)
(84.16)

Относительно выбора знака у квадратного корня следует повторить
все, чтс ранее было сказано в связи с формулами (84.6) и (84.7).
Конкретизируем теперь вид пропуокаеыости ; DM . Зададим
эту функцию выражением
f П если -«х> < -d
~‘тР* г т
если -L < Ж+L
Вычислив по формуле (84.14) коэффициент «урье
(84.17)
, получим
m*-o° . z >*
В результате поле за решетной представитсн в виде
‘ (84-18>
..где .... ,
.. <ь wА Тд e^f _
" f-"P f (».I9)
' _ Id f Л sinN (fd-2zrn)
Д «/ m fd г2тт >
По-прежнему волновое поле за решеткой складывается из волн
различных порядков ТП . Однакс волна уже не сводится к
единственной плоской волне определенного направления, а состоит из
суперпозиции непрерывного множества плоских волн, интенсивности
кстсрь® являются непрерывными функциями направления распростра-
нения. ;, -,ъ , ,
Распределение интенсивности по направлениям в отдельной *
волне ^рт определяется той же кривой, что и в волне, дифраги-
рованнсй на щели (см.рис.145). Интенсивнсзть достигает максимума,'
-363-
когда знаменательу -тр обращается б нуль, т.е. когда
У^кх+тпр
. ото условие совпадает с условием
(84.10) и определяет направление на главны!; максимум тп -го порад
ка. В рассматриваемом случае
Sin/\j (fd -2X171)
./d ~ 2ХГП 'V г
а потому интенсивность волны в главном максимуме пропорци-
ональна Д/ • Z
Когда sinl\l(jd-2Xm) = О , но -fd.-2xrn ^0 ,
интенсивность волны обращается в нуль. Этим определяются направ-
ления на дифракционные минимумы, число которых мезду двумя
соседними главными максимумами равно N~1 .
При большом числе штрихов /V практически все поле волны
концентрируется в узкой окрестности главного максимума.
Ширина этой окрестности определяется условием, чтобы аргумент
под знаком синуса L (/ - ™f>) лежал между -X и +5Г (
т.е. L'df 2Х , или ввиду (84.16)
. Z • 3s 2^. (84.20)
Это - известное соотношение, определяющее макошальную степень
коллимации волнового пучка. 'Гак как = к Sind ,
то kcosd-dd , и соотношение (84.20) может быть
записано в виде
iLs . <м-21)
• ; - 7. Таким образом, все' результаты, найденные методом сумми-
рования волн, могут быть получены решением краевой задачи и
притом с большей общностью. Остановимся еще на двух вопросах.
, Во-Первых, рассмотрим предельный переход к неограниченней
решетке'. Он может быть выполнен с помощью известной формулы
1рихле:
X (х.), (84.22)
а
-36+-
в которой предполагается, что функция J- (х) непрерывна, а точка
ха лежит внутри интервала (а-,6) , т.е. а < хо<. в •
Применяя эту формулу к выражению (84.19), получим
£im Z' = ADm G %"
где волновой вектор определяется формулами (84.10). Таким
образом, мы возвращаемся к прежним результатам (84.9) и (84.10).
8. Во-втсрых, остановимся на структуре волнового поля эа
решеткой. В непосредственной близи от решетки волновое поле
имеет очень сложный вид. На расстояниях, удовлетворяющих условии»
(84.12), поле становится более простым, так как из него выпадают
неоднородные волны.Однако картина поля все еще довольно слежка,
так как однородные волны, из которых оно состоит, накладываются
друг на друга. При удалении от решетки на некоторое минимальнее
расстояние плоские волны различных порядков пространственно раз-
деляются. отст случай легко демонстрируется в аудитории. На плос-
кую пропускающую решетку направляется узкий мощный пучок монохро-
матического света от лазера. Пыльный воздух делает возможным ви-
деть дифрагированные пучки лучей, расходящиеся веерссбразно ст
решетки.
На сравнительно малых расстояниях ст решетки пространствен-
но разделенные волны различных порядков можно исследовать метода-
ми геометрической оптики. Направления на главные максимумы излу-
чения определяются из требования, чтобы вСе волны, исходящие из
различных щелей решетки, при интерференции усиливали друг друга.
При этом явно или неявно всегда имеется в виду, что интерференция
происходит либо в фокусе собирающей линзы, либо* на бесконечном
расстоянии ст решетки. Однако, поскольку дифрагированное поле всю-
ду представляется суперпозицией плоских волн, условие 'интерферен-
ционного усиления определяет танке направление распространения
таких плоских волн на любых расстояниях ст решетки.
Если бы падающее излучение было строго монохроматичным, тс
пространственного разделения плоских дифрагированных волн различ-
ных порядков было бы достаточно дли ответа на любой ьспрос, кото-
рый может быть решен путем дифракции света на решетке. Немснохро-
матичность излучения осложняет положение. Если требуется разрешить
-365-
две близкие волны с длинами Л и Д1 A + , то
соответствующие им дифракционные пучки не должны перекрываться.
Для этого необходимо, чтобы дифракционная картина ст решетки
наблюдалась на расстояниях от нее, превышающих некоторый опреде-
ленный предел. Условие максимума дифракционной картины
d(sini? — Sint9aJ = mЛ одновременно, определяет
направление соответствующей плоской дифрагированной вслны во
всем пространстве за решеткой. Таким образом, разность углов,
определяющих направление распространения соответствующих волн,
найдется из условия d cos& = m<fA , Наименьшее раз-
решаемое расстояние , Для этого случая
dtos^-t^A « • С другой стороны, угловая шири-
на волнового фронта, распространяющегося под углом & , если
ее оценить по законам геометрической оптики, будет Л,
где с - расстояние от точкИ наблюдения до решетки вдоль
нормали к ней. Для возможности разрешения необходимо, чтобы такая
угловая ширина была меньше dtf . Полагая со$г?=/ , получим
. Это значит, что разрешающая способность может быть
л
полностью использована только при наблюдении фраунгоферовой диф-
ракционной картины.
9. Конечно, можно наблюдать дифракционные картины и измерять
длины волн и на значительно меньших расстояниях ст дифракционной
решетки. Только в этих случаях не может быть полностью использо-
вана разрешающая способность решетки. Типичным примером может
служить дифракции рентгеновского излучения на кристалле. Для
рентгеновского излучений не существует линз. Пучок падает на крис- .
талл, и дифракционная картина наблюдается на фотопластинке на раз-
личных расстояниях от него. Направления на дифракционные максимумы
выводятся из требования интерференционного усиления соответствую-
щих Доли на очень больших расстояниях от кристалла. Реальная диф-
ракционная картина наблюдается на значительно иеньших расстояни-
ях. Например, если ширина падающего пучка 2) = 0,1 мм, а длина
волны Л = I 8 = IO-® см, то дифракционная йартина Фроунгофера
может наблюдаться йа расстояниях - I06 см = 10 км*
Л
-366~
На самом дело фотопластинка ставится от кристалла.в нескольких
десятках сантиметров. Отоюда ясно, чтс ни о каком интерференцион-
ной усилении волн не может бить речи. Условия интерференционного
усиления волн имеют к вопросу лишь косвенное отношение. Они могут
быть попользованы только потому, что направлении на главные
дифракционные максимумы одновременно являются направлениями плос-
ких волн, иг которых состоит иалучение после дифракции на кристал-
ле.
-is? -
§ 85. ЛАШЕРЫ НА ПРИМЕНЕНИЕ ШГГОДА РЕДЕЯ
I. Для того чтобы по методу предыдущего параграфа рассчи-
тать дифрагированное поле не •; шетне, надо найти ее пропускае-
мое» D(x). Приведем три простейших примера. При этом будем
предполагать, что период решетки очень велик по сравнению с дли-
ной световой волны, так что пропускаемость D(x]можно вычислить
в приближении геометрической оптики.
Начнем с плоской амплитудной решетки, состоящей нз прозрач-
ных щелей пирипы CL я непрозрачных промежутков между ними шири-
ны <5 . В приближении геометрической оптики пропускаемость
“DCx^) равна единице на щели и нулю в промежутках медду ними.
Следуя методу предыдущего параграфа, разложим пункции D(x) в
ряд Фурье.Для удобства вычислений начало координат лучше всего
поместить в середине цели. Тогда коэффициент шурье Dm предста-
вится выражением o'
ima
При
(85.1)

вычислении интенсивности дифрагированного пучка следо-
вало бы учесть изменение его поперечного сечеиия из-за наклона
к плоскости решетки.* Однако такое уточнение является иллюзорным,
так кам нами*вычисления применимы лишь при малых углах дифрак-
ции, когда cosfi можно заменить единицей. В этой приближении
относительная интенсивность tn-го•дифракционного пучка дается
квадратом коэффициента Dn ‘ = Ц*т • (Интенсив-
ность пйдаодбй вЪдны принята за единицу). Для спектра нулевого
порядка ZT = -—j , Cfa — ) .С другой стороны,
по вакону сохранения анергии полная интенсивность, пропускаемая
регеткой, 'равна -& . Разность этих величин дает суммарную
MHTQ^cMBHbcijk света, приходящуюся на спектры прочих порядков:
+ JL у J_ sin‘ тта (85.2)
rn=<
~3$8т
8то - чисто математическое соотношение, доказываемое ж теи>жи
рядов Фурье. а
Если 3 ~ -g- - полная интенсивность пропущенного
света, то относительная доля дифрагированного света представится
выражением
- J_______— . (85.3)
У 1 d
Cl _
Она максимальна и стремится к единице, когда -у "* О • . Одна-
ко в атом случае сама интенсивность (7 также стремится к ну-
лю.
4
Интенсивность т -го дифракционного пучка равна
z , тта.
Тта
(85.4)
а _
Когда “* О , интенсивности всех дифракционных пучков
становятся одинаковыми и равными, . Однако, как уже отме-
чено выше, в этом случае каждая из этих интенсивностей сама стре-
мится к нулю. ап
ЕСЛИ
целое число.
, 7 m • ГДОЛ**
меньшее т и взаимно простое о пи, то обращают-
ся В нуль интенсивности спектров с порядками тг 2т,3т,...
Так, при -—г = — пропадают все спектры четных порядков. Смысл
этого результата, как уже отмечалось в § 78 станет очевидным, ес-
ли заметить, что условие тп-то главного максимума dund^mA
умножением на преобразуется в О sin if « nA,
т.е. в условие П -гс дифракционного минимума при дифракции на
отдельной щели. Таким образом, в направлении угла и каждая щель.
а петому и реиетка в целсм света не посылают.
2. Рассмотрим более общий случай. Допустим, что на участках
длины а пропускаемоеть решетки равна (X , а на участках
длины 6 она равна J3 . Величины сх н уЗ постоянны, но
могут быть комплексными. Таким образом, рассматриваемая решетка
является амплитудно-фазовой. Когда (Хи уб - числа вещественные,
то решетка будет амплитудной. Если хе ОС и уЗ представ-
ляются числами вида ( J3 - вещественно), то реиетка
-369-
становится чисто фазовой. Рассматриваемая амплитудно-фазовая
решетка эквивалентна системе, состоящей из плоскопараллельной
платинки с пропускаемоетью и наложенной на нее дифракцион-
ной решетки. Процускаемость последней на участках сх равна
, а на участках 6 - нулю. Разумеется, величины Д и
Ji , ал 6 можно поменять местами и получить вторую экви -
валентную систему. Математически сбе системы отличаются одна ст
другой только обозначениями, а петому достаточно рассмотреть
лишь одну из них, например, первую. Вычисления коэффициентов
Фурье сведено к предыдущей задаче. Для плоскопараллельной
пластинки все коэффициенты Фурье обращаются в нуль за исключени-
ем нулевого, который равен . Поэтому, поместив начало коор-
динат в центре одного из отрезков Ct и воспользовавшись форму-
лой (85.1), получим
1та
+f,^rn , (85л5)
где £=/ при m =о и = О При т
При сС=/ , j!>=O получаются результаты предыдущей задачи.
3. Рассмотрим теперь частные случаи чисто амплитудной и чис-
то фазовой решеток. В первом случае величины СХ и J3 веществен-
ны и положительны. Все коэффициенты также вещественны. Зна-
ки этих коэффициентов, начиная с m в+ I, чередуются. Коэфф! -
циенты нулевого и первого порядков могут иметь одинаковые или
противоположные знаки в зависимости от соотношения между пропус-
каемостями бХ и уЗ .В случае, чисто фазовой решетки пропуо-
каемости сХ и Ji имеют вид е‘^ , Так как ииеет значение
только разность фаз между (X и А , то без ущерба для общности
можно положить сХ=е^ « A=i • Тогда иэ формулы (85.5)
находи
-370-
D. +/. <S5’”
Как и в случае амплитудной решетки коэффициенты Фурье Dm ,
начиная с т = + I, попеременно меняют знаки. Никакого дополни-
тельного сдвига фаз между этими коэффициентами нет. Качественное
отличие, фазовой решетки от амплитудной состоит в том, что имеет-
ся дополнительный сдвиг фаз У7 между спектр^ч нулевого и спект-
рами всех прочих порядков. Чтобы его вычис?.. из формул (85.6)
и (85.7) найдем комплексное отношение ^т/£) . Аргумент этого
комплексного числа и будет У7 . Простое вычисление дает

£-COSJ)
(65.8)
Сдвиг фаз У7 один и тот же для всех порядков т . Так
как после дифракции на решетке спектры различных порядков прост-
ранственно разделяются на независимые пучки, то можно оказывать
воздействие на каждый из них, не меняя при этом амплитуды и фа-
зы всех остальных пучков. Например, если на пути нулевого пучка
поставить прозрачную пластинку, которая изменила бы его фазу на
У7 , то фазовые соотношения между дифрагированными пучками бу-
дут такими же, как и у амплитудной решетки. С введением такой
пластинки фазовая решетка действует как амплитудная. На этом ос-
нован метод фазового контраста, используемый в микроскопии ( см.
§ 93 ).
Отметим два частных олучая. Во-первых, рассмотрим случай
CL = O . В этом случае формула (85.8) дает У У — ,т.е,
У* = у- . При этом, кроме спектра нулевого порядка,- будут
присутствовать только спектры нечетных порядков. Интенсивности
спектров четных порядков обращаются в нуль. Во-вторых, жсследу-.
ем случай малых значений .Тогда формула (85.8) переходит
в приближенную формулу
а+6 2
------------------------------- ' • -- г
а-6 р
—371—
Тангенс угла У’ очень велик, а самый угол практически равен
.В обоих случаях для превращения фаговой решетки в амп-
литудную на пути нулевого пучка или на пути воех прочих дифраги-
рованных пучков достаточно ввести пластинку, вносящую дсполнитель-
Рис.187.
4. В качестве последнего примера рассмотрим фаговую решетку,
профиль штрихов которой покаган на рисунке 187. Поперечное' сече-
ние штриха имеет форму треугольника, одна сторона которого длин-
и пологая, а другая - короткая и крутая. Такая решетка заме-
чательна тем, что при определенных условиях она может концентри-
ровать основную чаоть света в спектре одного порядка. Решетка
может действовать и как пропускающая, и как отражательная. Ради
определенности разберем действие пропускающей решетки. .
Поместим начало координат О в* середине длинной стороны
ЛВ * Пусть Ct означает длину проекции этой отороны на
ось X • а В - длину проекции короткой отороны на то же Нап -
равление. Если выполнено условие v С1 , то в интеграле
(85.1) можно пренебречь вкладом , вносимым короткой стороной. В
'этом приближении можно положить а = d . и вычислить цропуо-
каеиость решетки только на участке Ct . Значение процускаемсс-
ти на участке О практически не отразится иа результатах.
-372-
Пусть волна падает перпендикулярно к плоскости д У в
воздухе представляется выражением- (р = Q .На вхо-
де, т.е. в плоскости 2 =-А , поле представляется выраже -
нием е/ЛА ♦ Чтобы вычислить поле на выходе при
2 = +h , можно, ввиду малости угла наклона OL , пренеб -
речь преломлением. Если 2О ~ координата произвольной точки
на прямой ЛВ , то поле на выходе в лежащей под ней точкам бу-
дет равно

где О - некоторая постоянная. Постоянный фазовый множитель в1
ие играет роли и может быть отброшея. Таким образом, процускае-
мость решетки равна
D=eik(n:')!- ,
или после подстановки 2о = а X аг о(Х
7Л / I ik (n-f)cLX
D(x)=e
Коэффициенты Фурье Dm вычисляем по формуле (85.1) и находив
Если знаменатель этого выражения обращается в нуль, то поч-
ти весь свет сконцентрируется в спектре порядка т . Для этого
должно быть
-373-
С другой стороны, CCSin<9 = mA , или ввиду малости уг-
ла дифракции d 0 = mA . Исключая т , подучаем
. (85.10)
Условие это имеет простой смысл. Формула (85.10) показывает, что
угол I? равен углу отклонения луча при преломлении в приаме с
малым преломляющим углом (X . Таким образом, почти весь свет
монет сконцентрироваться в одном направлении, если это направле-
ние совпадает с направлением преломленных лучей. Для концентрации
необходимо, чтобы разность хода между пучками, преломленными на
соседних ступеньках решетки, составляла целое число волн. С по -
добной концентрацией дифрагированного света в спектре одного по-
рядка мы отомкнулись также в § ИО при изучении эиелона Ыайкельсо-
на.
-374 -
§ 86. ГОЛОГРАФИЯ
I. Применим метод Релен, изложенный в § 84, для унснения
принципа безлинзового получения оптических изображений путем так
называемого восстановления волнового фронта. Принцип был предло-
жен в 1уч7 году английским инженером Габором и подучил название
голографии. Однако понадобилось лет, чтооы стало возможно его
практическое осуществление. причина столь длительной задержки
заключается в том, что в голографии требуются источники света вы-
сокой степени монохроматичности и когерентности. Таких источни-
ков, обладающих достаточной модностью, в 1947 году еще не сущест-
вовало. Положение изменилось с изобретением лазеров и проникно-
вением их в лабораторную технику. Первые изображения по методу
голографии были получены американцами Лейтом и Упатниексом в
1962 году.
При освещении предмета от него распространяется рассеянная
волна. Отделившись от предмета, она сохраняет в дальнейшем неза-
висимое существование и несет полную информацию о форме о прочих
свойствах предмета, какая может быть получена путем освещения его
световыми лучами. Попадая в глаз или объектив фотоаппарата, рас-
сеянная волна образует на сетчатке или на фотопластинке изображе-
ние предмета. Если любым путей создать такую же волну, то очевид-
но она сможет вызнать в точности такие же эффекты, что и исходная
волна, рассеянная предметом. Эта идея о используется в голографт.
Процесс получения изображения в голографии распадается па
две стадии. На первой стадии изготовляется так называемая голо -
грамма, т.е. фотопластинка, с помощью которой можно восстанавли-
вать световую волну, рассеянную телом. Вторую стадию составляет
само восстановление рассеянной волны и получение оптического изоб-
ражения.
2. Пусть какой то предмет Л (рис.188) освещается пучком
параллельных лучей от лазера. Отраженные лучи попадают на фото* .
пластинку Г . По степени почернении пластинки после проявле-
ния можно судить об амплитуде волны во всех меотах пластинки,
которых эта волна достигла. В этом смысле зкопоншрованная и
-37У-
X
Рис.18«.
проявленная пластинка сохраняет информацию об амплитуде волново-
го поля. Для восстановления волнового поля такой информации, ко-
нечно, недостаточно. Нужна еще дополнительная информация о фазе,
которой пластинка не содержит, так как степень почернения зави -
сит только от интенсивности, но не от фазы волны.
Габор указал, что необходимую информацию о фазе можно полу-
чить и записать на той же фотопластинке Г , если осветить ее
вторым пучком от того же лазера и заставить его интерферировать
с пучком, рассеянным предметом. Практически это достигается тем,
что пучок от лазера разбивается на два пучка. Один из них (рабо-
чий) направляется на предмет Л , другой ( опорный) отражается
от плоского зеркала • Оба пучка направляются на фотоплас -
тинку Г и там интерферируют между собой. Интерференционная
картина фотографируется. Так полученная фотография и называется
голограммой.
-376 -
Рис.189.
Например, если на фотопластинку под разными углами падают
два пучка параллельных лучей ( рис. 189),- то голограмма будет
состоять из системы параллельных интерференционных полос. Если
угол между пучками не мал, то расстояния между интерференцион-
ными полосами будут очень малы - порядка длины световой волны.
Последнее условие всегда соблюдается при изготовлении реальных
голограмм. Поэтому реальная голограмма, возникающая при интер-
ференции опорного пучка с пучком, рассеянным предметом, предс-
тавляет собой очень сложную и запутанную интерференционную кар-
тину с очень мелкими деталями, которые невозможно различить
невооруженным глазом. Эта картина не имеет ни малейшего сходст-
ва с предметом. При рассматривании ее в микроскоп в ней трудно
усмотреть следы каких-либо закономерностей. И тем .не менее рас-
положение, форма и интенсивность дифракционных пятен голограммы
полностью определяются геометрической формой и физическими свой-
ствами отражающей поверхности объекта. Голограмма содержит пол -
ную информацию об амплитудах и фазах рассеянной волны, которая
достаточна для ее восстановления и получения оптического изобра-
жения.
3. Представим поле волны, рассеянной телом Л , в виде
и = а(г)е f (86л)
-377-
а поле волны, отраженной плоским зеркалом £ • *• виде
и =6 е
i (ut -кг)
(86.2)
( и и к - постоянные). Оба поля записаны в скалярной форме.
Это упрощение не существенно, так как изменением поляризации
волн в интересующих нас процессах можно пренебречь. В соответст-
вии с этим величины Ct(^) , Ф (?) и S могут считать-
ся вещественными. Интенсивность результирующего поля представит-
ся выражением
2
tz+z/J =и*и.+ии.*+и*и+и*ц.
Начало координат поместим в какой-либо точке О , находя-
щейся в плоскости пластинки Г .С той же плоскостью совместим
координатную плоскость ХУ , направив ссь Z перпендикуляр-
но к нек. не теряя общности, можно считать, что кд = О ,
Интенсивность светового поля в плоскости пластинки Г
найдется из предыдущего выражении, если все входящие в него
функции заменить их значениями при Z -О . Обозначим эти зна-
чения буквами Uo , Ua , Ct и т.д. Тогда
(*-3)
k. Допустим теперь, что изготовлен позитив голограммы при
таком режиме проявления, что пропускаемое» D позитиве ока-
залась пропорциональной . В целях сокращения записи формул
коэффициент пропорциональности можно принять равным единице,т.е.
положить D . Этого всегда можно достигнуть надлежащим
выбором единиц. Такая позитивная голограмма может быть использо-
вана для восстановления рассеянной волны и. (?, t) .Для
этого голограмму оовещают таким же опорным пучком и(?, i) >
какой применялся при ее изготовлении. ( Разумеется, теперь перед
-378-
голограммой объекта JI нет). Этот пучок будет испытывать диф-
ракцию на голограмме подобно тому как дифрагирует свет на диф-
ракционной решетке. Задача сводится к расчету дифракционной кар-
тины га голограммой. Для ее решения можно применить метод Релея.
Обозначим (р волновое поле за голограммой. Его значе-
ние на выходе голограммы представится выражением
Й (в6л)
Вых. ° °
Надо найти решение волнового уравнения (67.1) , удовлетво-
ряющее краевому условию (86.4). Ввиду линейности и однородности
волнового уравнения и условия (86.4) эту задачу можно расчленить
на четыре независимые задачи. Представим функцию <р в виде
суммы
= (86.5)
и потребуем, чтобы слагаемые являлись
решениями волнового уравнения и удовлетворяли следующим гранич-
ным условиям:
а°(х'У}е (86-6)
ш = $га (*.?)
(D * (86.8)
О С 1 * -
Сюда необходимо добавить физическое условие, чтобы волны, диф-
рагированные на голограмме, были уходящими. Этим обеспечивается
единственность решения.
5. Основной интерес в голографии представляат решение
первой краевой задачи Щ . Это ранение можно написать
Сразу.
-37.3-
Оно будет
= 8 га(?)е‘[“1~Ф№К g‘u (jrf), (*-ВД
Действительно, функция удовлетворяет волновому уравнению
и представляет волну, уходящую от голограммы, которая при 1=0
переходит в выражение (86.6). Но эта волна с точностью до несу-
щественного постоянного множителя тождественна с волной U. ,
рассеянной объектом. Она, таким образом, точно воспроизводит
рассеянную волну и дает мнимое изображение объекта, преобразую-
щееся в действительное на сетчатке глаза или пластинке фотоаппа-
рата. Тем самым разъяснен основной принцип голографии. Остается я
исследовать решения остальных трех краевых задач, чтобы выяснить,
не могут ли волны при наложении на волну
существенно исказить поле этой волны и даже полностью уничтожить
даваеиое ею мнимое изображение. Наложение таких волн не сводит-
ся к созданию только светлого фона, на котором получается изоб -
раженше. Влияние его более вредное, так каи накладывающиеся вол-
ны когерентны с волной и интерферируют с ней. Поэтому для
возможности изображения необходимо, чтобы наложения волн не было.
Как правило, на достаточно далеких расстояниях от голограммы это
всегда имеет место.
6. Проще всего найти функцию . Она равна
т.е. представляет собой опорную волну, распространивиуюся за го-
лограмму. Очевидно, такая волна не портит изображения, даваемого
волной •
7. Исследуем влияние волны . Начнем с частного случая,
когда опорная волна If (г, t) падает нормально к плоскости
голограммы Г • Тогда — О , и краевое условие (86.7)
переходит в
Гг.у)е1^ф-(х*П
(86.7a)
-380-
Легко указать решение волнового уравнения, удовлетворяющее тако-
му краевому условию. Функция
иfat)=u(x,y,z,t)= а(х.у,z)el£!u* ф(х‘*г)]
является решением волнового уравнения. Так как волновое уравне-
ние не меняется при изменении знака 2 , то очевидно решением
будет и функция
и C^,t)=u(z>t) = a(x,yt-z)e
f
где радиус-вектор Z* зеркально симметричен радиусу-вектору ?
относительно плоскости голограммы Г . Последняя волна также
зеркально симметрична рассеянной волне u . Можно пред-
ставить себе, что она возникает в результате рассеяния на теле Л
которое является зеркальным изображением тела Л в плоскости го-
лограммы. иднако волна t) не может быть иопользована
при решении нашей задачи, так как она распространяется к голог -
рзмме, но не от нее. do можно взять волну, распространяющуюся в
противоположном направлении:
~, 1 х 1 л ifut +Ф(х.у. -г)]
и (2.t)= a(x.y,-z)e
которая также удовлетворяет волновому уравненир. При г-о
она переходит в выражение Cl»(x,y)ei'^u,t
поэтому функция
удовлетворяет всем условиям задачи и является ее решением. Волна,
р дает действительное изображение предмета в положении^.
Как и мнимое изображение, это изображение полностью подобно само-
му предмету. Однако полное подобие между предметом и его действи-
тельным изображением сохраняется только при условии, что опорный
-381-
пучок падает перпендикулярно к плоскости голограммы как при ее
изготовлении, так и при получении самого изображения. При нару-
шении этого условия действительное изображение ухудшается и да-
же может совсем исчезнуть.
8. Можно получить строгое подобие между предметом и его
действительным изображением и при наклоннон падении опорных пуч-
ков. Для этого надо только при воспроизведении волнового поля
брать опорный пучок иного направления, чем при изготовлении го-
лограммы. Если голограмма изготовлялась с опорным пучкой (86.2),
то при получении действительного изображения надо пользоваться
опорным пучком
, . 1[ы1+клХ-кя2.1
и =бе
1
волновая нормаль которого лежит в плоскости падения первого пуч-
ка по другую сторону нормали к плоскости голограммы-. Тогда при
воспроизведении волны сложное граничное условие (86.7) по-преж-
нему примет простой вид (86.7а), и получится действительное изоб-
ражение, полностью подобное предмету. Мнимое изображение при этом
будет либо искажено, либо полностью исчезнет, в зависимости от
угла наклона опорного пучка с плоскостью голограммы.
9. В общем случае решение , удовлетворяющее краевому
условию (86.7), представляется в сложной форме, из которой труд-
но извлечь физические выводы.»Однако рассмотренные частные слу -
чаи позволяют высказать общие качественные соображения, вполне
достаточные для целей голографии. При нормальном падении опорных
пучков волна воспроизводит действительное изображение пред-
мета. При увеличении угла падения действительное изображение сна-
чала искажается мало, затем искажение становится все больше и
больше и, наконец, изображение совсем исчезает. Существенно, од-
нако, что на больших расстояниях от голограммы волна практи-
чески не перекрывается с волной , дающей мнимое изображе -
ние. Поэтому качество последнего не затрагивается наличиеи вол-
ны .
Последнее замечание относится и к волне . Если бы
функция была постоянной, то граничному условию
~А82-
(86.9) можно было бы удовлетворить волной . Для
отыскания волны в общем случае следует разложить функцию
Qj (х,у) в интеграл Фурье, а затем стандартным способом
представить волну в виде суперпозиции плоских волн, рас-
пространяющихся в различных направлениях. Среди зтсго множества
волн будет и оперная волна U (г, t) , проникшая за голограмму.
Все эти волны не будут портить мнимое изображение предмета,если
на больших расстояниях от голограммы они не перекрываются с вол-
ной . Последнее в принципе возможно и указывает на то,что
получение гологреммы и воспроизведение волнового фронта были
произведены неправильно. Это может произойти, например, когда
опорный и рабочий пучки, падая на голограмму, образуют между со-
бой очень малый угол. При правильной работе такая возможность
практически исключена. Таким образом, углы между рабочим и опор-
ным пучками не должны быть малыми. Но тогда интерференционные
полосы и пятна на голограмме получатся очень мелкими; их размеры
порядка длины световой волны. По этой причине для получения хо -
роших голограмм требуются мелкозернистые фотографические пластин- I
ки.
10. Проведенный анализ показывает, что для получения изоб -
ранения нет необходимости изготовлять позитивную голограмму. Не-
гатив столь же хорош, что и позитив. Это непосредственно следует
из теоремы сабине. Различие в дифракционных картинах за голограм-
мой касается только направления опорного пучка и совсем не зат -
рагивает волновое псле . Поэтому в обоих случаях при вое -
становлении волнового фронта получается одно и то же изображение.
Режим проявления голограммы не обязательно должен быть
столь строго выдержан, как это предполагалось при теоретическом
изложении. При отклонении от условия D = изменится относи-
тельное распределение яркости в изображении, но само изображение
и его подобие предмету’сохранятся, солее того, для получения
оолыией яркости изооражения применяют так называемые отбеленные
голограммы. Они получаются из соычных голограмм растворением ка-
ким-либо химическим реактивом металлического серебра, отложивше-
гося в эмульсии гологреммы. После этого голограмма становится
совершенно прозрачной. Тем не менее сна сохраняет способность
—383 —
давать оптические изображения. Дело в том, что отбеленная голо-
грамма не является оптически однородной средой. Места, где ранее
выделилось металлическое серебро, отличаются от остальных мест
показателем преломления. На такой голограмме свет по-прежнему
может претерпевать дифракцию.
В какой степени отбелка голограммы и отступления от условия
$Э = сказываются на получаемых изображениях, эти вопросы
представляют громадный интерес в практической голографии. Одна-
ко они трудно поддаются теоретическому изучению и по своему со-
держанию вряд ли могут быть включены в курс теоретической физи-
ческой оптики.
По сравнению с обычными фотографиями изображения, получае-
мые по методу голографии, обладают тем преимуществом, что они
трехмерны. Они полностью воспроизводят без каких бы то ни было
искажений взаимное расположение реальных предметов в пространст-
ве. Если при рассматривании голограммы одни предметы заслоняют-
ся другими, то достаточно сместить в сторону глаз наблюдателя,
чтобы увидеть и заслоненные предметы. Часть.голограммы действу-
ет как целая голограмма. Например, для воспроизведения изобра -
женин годится каждый кусочек разбитой голограммы. При этом умень-
шается только разрешающая способность.
II. В заключение иллюстрируем изложенные здесь соображения
простейшим примером, в котором вычисления злементарны и легко
доводятся до конца. Допустим, что рабочий и опорный пучки равной
интенсивности оба плоские и падают на фотопластинку под углами (X,
и' ( рис.189). В плоскости пластинки Т - О результирующее
волновое поле представится выражением
~ cos (cot-kxsina.')+ cos(u>t-AxsinaJ =
= 2 cos(vi-kx
а его интенсивность - выражением
.» sinck,-sinot 4 4 Ггхх/ \1
cos'kx------f---------------cos-~{sina- s>na]
i-o 2 2 2 LA \ >
-384-
Интерференционная картина состоит из параллельных интерференщон-
ных полос, расстояние между которыми равно
d =--------------- • (ее.п)
sin а,- sinat
Сфотографировав эту картину, получим голограмму в виде дифрак -
ционноИ решетки с периодом о[ .
Рассмотрим теперь восстановление волнового фронта. Для общ-
ности предположим, что при восстановлении на пластинку падает
плоский пучок под углом 1?в . Подставив в формулу (78.8) вы-
ражение (86.11), найдем угол & , определяющий направления 1 а
главные максимумы за решеткой:
sm гЯ- sin i9„~m (sin а, - sin аг). (86.12)
Воле за решеткой состоит из плоскопараллельных цучков разных
порядков ( тп *о , ... ). Рассмотрим три частных
случая.
Рис.190.
-385-
I случай. Опорный пучок, как при изготовлении голограммы,
так и при восстановлении волнового фронта, падает перпендикуляр-
но к плоскости голограммы ( рис. 190). В этом случае <Хг=1^=О,
и уравнение (86.12) переходит в
Sin# - т sin а, .
При тп=о и т »♦! последнее уравнение всегда имеет ре-
нение. При т -О получается опорный пучок, проникший за голог-
рамму. Значению тп = соответствует пучок, являющийся про -
должением рабочего пучка. На рис.190 направление рабочего пучка
указано пунктирными стрелками. Пучку m а + I соответствует мни-
мое изображение предмета. Симметричный ему пучок т « - I дает
действительное изображение. Таким образом, при нормальном падении
опорных пучков возникают оба изображения: действительное и мнимое.
ТП--1 т-о
т=-1
Рис.191.
-386“
2 случаи. Опорные пучки при изготовлении голограммы и вое-
становлении волнового фронта падают наклонно под одним и тем хе
углом сХх = {£ ( рис.191). В этом случае уравненме (86.12)
при т=О всегда имеет ременме if , которому соответ-
ствует опорный пучок, распространивиийся за голограмму. При
т~+£ также всегда есть ременме . Оно дает восстанов-
ленную рассеянную волну, которой соответствует мнимое мзображе -
ние предмете. Пучок с ТП - - I, которому в предыдущем едучае
соответствовало действительное изображение, может и не существо-
вать.
3 случай. Опорные пучкм при изготовлении голограммы и вос-
становлении волнового фронта падают наклонно. Углы падения ода -
каковы, но отличаются знаками: . Пучок с т-о
существует. Существует также пучок ст--/ . Это есть г9=-а, .
Таким образом, в этом случае всегда есть действительное изображе-
ние. Пучок с ТП ж+1, дающий мнимое изображение, может и не су-
ществовать. .
Если режим проявления таков, что выполняется условие f) - Je
или более общее условие D=const £ Зо , то пучками с
и т=±1 исчерпывается все волновое поле за голограммой.
Если же это условие не соблюдается, то появятся пучки более вы -
соких порядков. Вдали от голограммы пучки не накладываются друг
на друга. Поэтому наличие добавочных пучков с |т \ >£ не
портит дело. Это замечание в какой то степени делает понятной
возможность получения изображений и в тех случаях, когда идеаль-
ное условие D = const - не соблюдается.
— 38? ~
М?» Прсхоцонме______часком волры ччч
QfWiV* Л949 РРДИ9И <<>&!*».
I. Рассмотрим оходяжуюся сферическую волну. По геометрической
опмке световое ноле в точке схождения лучей ( фокусе) отра-
жается в бесконечность. Этот физически недопустимый резуль-
тат указывает на то, что вблизи фокуса геометрическая оптике
неприменима. Для исследования поведения волны в окрестности
фокуса надо пользоваться волновой оптикой.
Допустим, что на пути дрлны поставлена диафрагма с круг-
лым отверстием АВ (рис. 192).
Рис. 192
Будем считать волну скалярной и вычислим по методу Кирхгофа
световое поле в произвольной точке Р . в качестве вело -
могательной ьэверхности У возьмем часть 4Л1В
сферического волнового фронте, не прикрытую экраном. Лоле на
поверхности JLJJ-Ъ в приближении Кирхгофа пре^ставляетсв
выражением -
-мв-
где г„ - радиус сферы ш . Подотавляя это выражение
в формулу (67.8) и принимая во внимание, что ев>» Л (
получим ,
5? <e’J’
Предположим, что расстояние]? между фокусом О
м точкой наблюдении Р мало по сравнению с 2О и 2 .
В таком случае в формуле (87.1) можно положить СОЗЛ !
и,кроме того,в ниаменатдлезаменить g на Z^. ьКак видно'
из рисунка 192, , , а потому
г1-?/ .
Пренебрегай квадратом л , получим
г(&)
го+г

(87.2)
Поэтому
ш _ Лк.
'р ~ 2Т
^P=i^Je & ,
где aQ - телесный угол, под которым ин точки
видна площадка dp г/ с/Г.
(87.3)
О
.Допущенная при выводе максимальная ошибка в фане порядка
Максимальная ошибка в фазе в ^/4, мало сказы-
вается на результате i .1 . “ ” . "
интерференции волн. Понтону достаточное
условие применимости решения (87.3) мощно записать в виде
. Т V'
4
или
<в,л>
-ses-
Когда диафрагма удалена в бесконечность (3 а 00 ),
ограничение (87,4) перестает действовать, и формула (87.3)
переходит в точное решение задачи, хотя при её выводе
н были использованы приближенные выражения. Это видно и
ии структуры оа^ой формулы. В самом деле, подинтегральная
функция е1Сы представляет плоскую волну,
распространяющуюся в направлении единичного вектора гГ ,
а потому она является решением волнового уравнения (67.1).
Этому уравнению удовлетворяет и любая суперпозиция таких
волн, в частности (87,3). Таким образом, выражение (87.3)
является точным решением волнового уравнениям потому оно
позволяет точно исследовать все явления, связанные о прохожде-
нием сферической волны через фокуо.
I Сам фокус не является какой - то особой точкой в-,
вого поля. Формула (87.3) дает для волнового поля в этой
точке конечное выражение
ik Q iut
——— е

где jc - телесный угол, под которым ив фокусе О
вц»а отверстие ( беокояечяо удаленной ) диафрагмы.
2. Введем полярную систему координат с началом в фокусе О
За полярную ocb'Z примем продолжение вправо прямой J10t
соединяющей центр< диафрагмы с фокуоом 0 . Световое
поле обладает-осевой симметрией отнооительно оси 2 .
Поэтому, не теряя общнооти, можно предположить, что точка
наблюдения лепт в координатной плоскости [ • В таком
случае прямоугольные координаты точкиРбудут:
ffiin#', 4=0 > ? *Rcos£ ,
где - полярный угол, определяющий направление ОР
Проекции единичного вектора тГ на координатные оси
представятся выражениями
-390-
пх » Sin $ CoS у) « Sinfisin^ TI^COS#
где i? и iP - полярный и азимутальный углы направления
ГО _ , Поэтому
(fit) * R(cos&„cosif+ Sln^a sin&costp),
il( tot CC -HX^osilcos^Knifsin^eoff)
2T & Sin#dk>dy>
(87 5)
В таком виде формула справедлива для отверстий произвольной*
формы. Если отверстие круглое с угловым радиусом Ji « то
интегрирование по & надо производить от О до js.
Выполнив элементарное интегрирование по У> и используя
формулу (76.10 У, получим
о
Последуем сначала световое поле в фокальной плоскости.
В этом случае г£ ^/2 . Предполагая апертурный угол
2J5 малым ( sin&ss& получим
Ч> - tke‘uiJj, (kW)fidt,.
о
или ввиду формулы (76.10)
%= 2 kRf е " * 6 (^)
В фокальной плоскости получается такая же система концентри-
ческих дифракционных колец с светлым центром, что н при
дифракции на круглом отверстии. Радиусы темных крлнц представ-
ляются выражениями:
-39Z-
- (e7.e>
С точностьв до численного коэффициента результат (87.8)
легко получить из качественных соображений. С зтой целью
рамемм круглое отверстие прямоугольным и предположим, что
точка наблюденияР лежит в фокальной плоскости на прямой
ОР , перпендикулярной к одной из сторон отверстия.
Используя формулу (87.2), легко найти, что разность хода между
крайними лучами, приходящими из Л И в в точку Р ,
в принятом приближении равна и ПР” дифракции на щели,
минимум интенсивности получается при разности хода ллА .
Вто дает
Л , („.(г\ «"•’>
1 ’ mi П 2Ji ' * /
что отличается от результата (87.8) лишь несущественным изме-
нением числовых коэффициентов.
3. В прикладных вопросах дифракционная картина в фокальной
плоокооти представляет наибольшей интерес. Поэтому имеет
смысл преобразовать достаточное условие (87.4) применительно
к этому случаю, чтобы придать ему более ощутимую форму.
Согласно формуле (87.8) дифрагировашный свет концентрируется
в пределах круга, радиуо которого порядка ^/ji • Подстав-
ляя это значение в условие (87.4), придадим ему вид
fi>2VT .
За впомогательную поверхность Г в наших рассуждениях мож-
но принять фронт волны непосредственно после её прохождении
череэ линзу или отражения от сферического зеркала. Позтому
под емкзп понимать расстояние от линзы или
зеркала до точки геометрического схождения лучей. Например,
•оли лучи сходятся в главном фокусе, то ?в равно фокусному
расстоянию линзы или зеркала f . Ввиду малости длины
волны условия (87.10) очень хорошо выполняется во всех 4
оппчеокжх системах. Например, при f >10 см, А -5000 А
-392-
м «его получаем JJ> 4-io'j рад =* Иоаким образом,
прммепмость выведенных здесь формул для вычисления све-
тового ноля в окрестности фокуса реальных оптических сио -
том ко вызывает сомнений» ,
<» Найдем теперь поле на оси оптической системы. Если
точка наблюдения Р лежит перед фокусом О , то^^^”,
В атом случае формула (87.5) или (87.6) переходит в
/ tot fitfcosfi4/4
ж ike е =
i(*t*kt) Г -ikR(l-COS/)J
« —— ----------J (87.11)
Если же точкаРлежит за фокусом 0 , то -О .следова-
тельно
ifat-Ht) г ikR (t-cosp)']
Vt- —-------------//"в 1 J . (87.12)
При R*O оба выражения принимают неопределенный видлг.
Раскрытие неопределенности дает и
Ч> -ie‘ut&m -*-п
»о И—О К \ J ! >
что совпадает с ранее полученным выражением для р ,
так как 52
Амплитуду колебаний на оси оптической системы легко
найти с помоям, выражений (8?.П) и (87.12). Она, как
легко видеть, равна
’• a-^-s‘n ..М('-сар) (в,.и)
Л 2
Эта формула применияа как для случая, когда точка Р
лепт перед фокусом, так и для случая когда ока расположена
за фокусом . Амплитуда^периодически обрацаетоя в нуль,
когда аргумент под знаком оинуоа принимает значении лаг, т.е.
при
-39J-
Р= -------—---------, (87.14)
1-COSJi
Расстояние между двумя ближайшими минимумами амплитуды , рас-
положенными по разные стороны от фокуса, равно
<£= — =-----4?— - ~^Т- * (87.15)
U 1-COSf Sin*fy JT
Оно нонет служить мерок продольных размеров области, в кото-
рой концентрируется свет волиэи фокуса.
5. Периодические прохождения амплитуды колебании через мини-
мумы я расположенные между ними максимумы легко истолковать
наглядно, если разбить волновод фронт на кольцевые зоны
Френеля. Особенность по сравнению с обычно разбираемым
случаен состоит в том, что дслнсьо;. фронт в рассматриваемом
здесь случае не выпуклый, а вогнуты!. Но это обстоятельство,
очевидно, не полет служить препятствием для применимости
метода зон Френеля, хотя оно и определяет специфику явлении,
происходящих при прохождении сферической волны через фокус.
Когда точка наблюдения Р совпадает о фокусами О , вое
колебания от волнового фронта приходят в эту точку в одинаковых
фазах. В этсм случае весь волновой фронт всегда является частью
центральной зоны Френеля. Пои смещении точки наблюдения в
сторону ст фокуса возникает разность в фазах волн, приходящих
от различных точек волнового фронта, и пеявляетоя возможность
разбиения его на кольцевые зоны Френеля.
Когда число аон в волновом фронте четное, происходит взаим-
ное гаиение волн, т.е. появляется минимум интенсивности
колебании. Напротив, если волновой фронт разбивается на не-
четное число аон Френеля, то имеет место приблизительно
максимум интенсивности.
б.' Впрочем, строго регулярное чередование максимумов и миниму-
мов интенсивности вдоль всей оси оптической системы может иметь
место лишь в идеальном олучае, когда диафрагма идеально круг-
лая, а волна - идеально сферическая. При нарушении этих условий
когда точка наблюдения находится очень далеко от фокуса, а по-
-394-
тому число зон Френеля, укладывающихся в волновом фронте,
. очень велико, крайние зоны перестают
быть цельными кольцами. Части псри^ери-ных кольцевых., зон сре-
зается; коаями диафрагмы, та;.- что* понвлнетен иного неполных
чон убывающей площади. В такой случае действие волнового
фронта,как хорошо известно,сводится к половине дейстьла централь-
ной зоны Френеля. Формально зто означает, что в интеграле
(87.11) верхний предел ничего не вносит в результат. Таким
образом, на больших расстояниях от фокуса, когда число зон
Френеля, укладывающихся в волновом дронте,очень велико, поле
на оои оптической оиотемы представляется выражениями:
(ifat+kR)
—------, если Р перед фокусом,
(87.16)
_ , если за фокусом.
R
Втю выражения справедливы не только на оптической оои.* Они
определяют световое поле на больших расстояниях от u-oigoa «
во ввей зоне, которая в омыоле геометрической оптик^сходя-”***
цейон сферической волной. В затекненой ( также в омыоле
геометрической оптики) зоне, находящейся далеко от фокуса,
световое поле обращается в нуль. 8то очевидно для тех
областей пространства, которые находятся перед фокуоом , и
непооредотвенно следует из доказательства образования теней,
которое было приведено в §71. Оотаетоя только показать, что
утверждения справедливы и для удаленных областей пространства,
расположенных за фокусом. Но зто непооредотвенно следует на
обдего выражения ( 87.3), которое справедливо во воем проот-
равотве. Действительно, рассмотрим две точки: точку I о
радиусом - вектором “ Л , расположенную
пжрад^окуом» и точку 2 о радиусом - вектором
~ " г раоположеную за фокуоом • Согласно формуле
(87.3) волновые поля в этих точках представляются выражения-
ми
~39S"~
Выражение получается иа выражения простым измене-*
х нием знака » R .Но еоли точка 1 расположена далеко„от
от фокуса освещенной облаоти, то ооглаоно сказанному выше
волновое поле в этой точке представляется выражением
i(vt+kR)
(р - -Н----------------- . (87.16а)
• R
Изменив знак У R , найдем волновое поле в точке 2:
i (еЛ-к%)
Ф Ж------£--------------- . (87.166)
Ti к
л
Утверждение доказано.
Как выяснено в §71 , приведенные там рассуждения,
относящиеся к образованию теней , не применимы в тех случаях,
- когда диафрагма идеально круглая,кточка наблюдения Р
лежит на оои оптической системы. С этим и связаны регулярные
колебания интенсивности овета при перемещении вдоль оси снотемы,
о которых говорилось выше.
?•' Сходящаяся сферическая волна (87.16а) пооле прохождения
черва фокус переходит в расходящуюся сферическую волну(87.1ф)
Внак минус перед выражением (87.166) означает, что переход
через фокуо сопровождается дополнительным изменением фазы
колебания на Я* j Происхождение этого изменения фазы
легко*уяснить, разбив волновой фронт на кольцевые эоны
Френеля, Как известно, действие всего волнового фоонта в точ-
-396 -
in наблюдения на оси системы сводится к половине действия
нервоМ (центральной)эоны Френеля. Но (аза колебания,посылое-
НОНО > точку наблюдения Р первой зоной, существенно зависит
оя-того, находится ли точка Р 'слева, suui справа от фокуса
Q . Когда точка Р расположена левое О , центр первой
у>ны Л является ближайшей точкой к точке Р . Колеба-
ния, приходящие из центра эоны Л , опережают по фазе колеба-
ния, приходящие от ее периферии, на ЗГ . Результирующее коле'
банив от всей первой зоны, таким образом, отстает ни tyg от
колебания, приходящего от центра зоны Л1 • Напротив, когда
точка наблюдения Р расположена правее фокуса О , отстава-
ние по фазе сменяется опрехением на ту же величину, так как
в этом случае центр JU является наиболее удаленной точ-
кой первой эоны. С этим оостоятельством и связано дополнитель-
ное изменение фазы на JF , испытываемое волной в результате
прохождения через фокус. Разумеется , речь идет о фазах коле-
баний вдели от фокуса, так как вблизи фокуса формулы (87.
16) не применимы. Никакого скачкообразного изменения фазы
при ^переходе через фокус не происходит , так что о скачке фазы
на JT можно говорить лишь условно. Вблизи фокуоа фаза,
как и амплитуда, колебаний меняются непрерывно. В этом можно
убедиться о помощью формул (87.11), (87.12) и (87.7), рас-
смотрев частные случаи, когда точка наблюдения лежит
либо оси системы, либо я фокальной плоскости.
В» Явление " скачка фазы" при прохождении волны черев
наблюдалось экспериментально. При теоретическом раэборе
явления величие диафрагмы линь усложняет дело. Сущность явле-
ния проще уяонить в его чистом виде, устранив диафрагму и
аереНдщ к рассмотрению строго иаровых волн; сходящихся или
раад^ддщкхоя в полном телесном угле 4 ST • Еста волна обладает
attRWOKOl симметрией отяосительнс центра 0 ,' 10 в общем
ЖЖ;МЩ. представляется выражением .
-397-
где J м /t - проиввольные функции, а V - скорость
распростронения. Функция <~р должна удовлетворять волново-
му уравнению (1.22) всюду, в том числе и в центре (начале
координат) О , Поэтому в точке О она должна оставаться
конечной, т.е. выражение в квадратных скобках при г *0
должно обращаться в нуль, каково бы ни было время £ :
/ f+irt} * / = Заменив здесь -tft на
г-И 7» "олучим 7 (г-vtj^o »а
потому
. (87Л7)
Таково наиболее общее сферически симметричное решение волновогс
'уравнения, остающееся конечным при Z-o . Оно состоит ив (
двух сферических волн, иэ которых волна _/ (z+vt)
сходится к центру О , а волна /(vt-zj расходится
иэ неге. '
В общем случае присутствуют обе волны: сходящаяся и,
расходящаяся. Для уяснения скачка фазы надо рассмотреть частный
случай, когда в начальный момент t * О имеется* только схо-
дящаяся вона. Для второ достаточно предположить, что при £=о
функция /(г) отлична от нуля в каком - то интервале
и обращается в нуль вне втого интервала. Начало отсчета
времени можно выбрать так, чтобы f)*=O , Таким образом,
будем предполагать, что функция f(z) отлична от нуля только
для положительных значений аргумента, заключенных внутри ин-
тервала О Воли -£<~О , то тем более '
ui -е <0 ,а потому расходящаяся волна в (87.17)
отсутствует. Она начинает появляться в точке О при t
Происходит своеобразное отражение сходящейся волны от центра
схождения О . Волна , распространяющаяся к центру О $
непрерывно исчезает в этой точке
раопроотронявщейся от этой точки
что в центре О волна как бы
В момент / = сходящаяся волна
/В и
и появляется в виде волны,
уже наружу. Можно сказать,
проходит сама сквозь себя,
полностью исчезает, и при
поле представляется одной только волной
-398-
ф = / (irf-г) , (87.18)
рьопространяюцейся иа точки 0 • Овязь этой формулы с
пакетам скачка фазы на ST при прохождении воьны через
фокус не нуждается в разъяснениях. Природа прибегает к
скачку фаз на ЗГ , чтобы не допустить бесконечно боль-
шх напряженностей полей при прохождении волны через фокус.
~399~
§88. Разрешающая способность и нормальное увеличение
телескопа и микроскопа, Самосветящиеся объекты.
I.Будем предполагать, что системы, дающие оптические изоб-
ражения, идеальны в смысле геометрической оптики. Если
строить изображение по правилам геометрической оптики, то в
таких системах каждая точка объекта изобразится в виде точ-
ки. По волновой оптике ато не так. Как показано в предыдущем
параграфе, изображением светящейся точки в сопряженной плос-
кости является дифракционная картина, состоящая из концентри-
ческих колец, окружающих центральный светлый дифракционный
кружок. Распределение интенсивности в такой дифракционной
картине представляется сплошной кривой на рисунке 160.
Основная доля анергии света (около 84%) приходится на цент-
ральный дифракционный кружок. Этот крухож и является изобра-
жением светящейся точки, если пренебречь энергией, приходя-
щейся на окружающие его дифракционные кольца. Он называется
кружком Эйри по имени ученого, впервые расчитавшего дифрак-
ционную картину Фраунгофера от круглого отверстия.
Конечный объект можно рассматривать как совокупность
точечных источников, каждый из которых изображается в плоо-
кости изображения кружком Эйри с окружающими его дифракцион-
ными кольцами . Оптическое изображение объекта есть дифрак-
ционная картина, возникающей в результате наложения таких
кружков и дифракционных колец. Задача дифракционной теории
оптических изображений сводится к раочету распределения интен-
сивности овета в такой картине. Следует различать два
предельных случая: I) точечные источники иекогерентны,
2) .точечные источники когерентны- В первом случае задача
сводится к сложению интенсивностей волновых полей, во втором
-к сложению их напряженностей. Первый случай_реализуется ,
когда объекты самосветящиеся, второй - , когда они освещают-
ся посторонним источником.-
2«В вопросе о разрешающей способности имеет значение простей-
-400-
йм задача, когда объект состоит всего иа двух точечных
атомников Д и д (рис.193). Если расстояние между цент-
рами кружков Эйри от этих точечных источников мало пс срав-
нению о размерами самих кружков, , тс распределение интенсив-
ности света в изображении будет мало отличаться ст тсгс, ко-
торое получилось бы тслькс ст сднсгс точечного источника.
Рис.193
Глаз не в состоянии решить, является ли объект точечным источ-
ником свети, *ли состоит из нескольких близко расположенных
светядихсЙ точек. В этом случав гсворят,что прибор рассматри-
ваемые источники не разрешает* При увеличении расстояния .
между источниками и будет увеличиваться и расстоя-
ние между центрами соответствующих им дифракционных картин,
тогда как размеры самих этих картин сстанутоя неизменными.
Начиная с не которого минимального расстояния £ s£min
па ..рмвой распределения интенсивности в центре появится
провал, который может быть егиотрирован глазом или другим
воспринимающим аппаратом. Наличие этого; провала свидетельст-
вует о том, что источником является не одна, а две бливко
расположенные светящиеся точки. Величина Emin называется
разрешаемым расстоянием прибора (объектива), а обратная ему
—401—
, величина -р- - разрешающей способностью. Точно указать
, величину^^^ невозможно Она в значительной степени
' зависит от индивидуальных особенностей глаза или друго-
го приемника излучения. Речь может идти об оценке величи-
ны £m.in । содержащей некоторый произвол.' Рациональная
оценка была указана Релеем. По Релею величина ^min. ПРИ“
нимается равной такому расстоянию между Д и » когда'
расстояние между центрами дифракционных картин равно
радиусу кружка Эйри.
Если расстояние между источниками и меньше этого
предела, то принимается, что разрешение невозможно. Таким
образом, в предельном олучае Z я центр дифракцион-
ной картины от одного точечного источника накладывается
на первый дифракционный минимум дифракционной картины от
второго источника. Этот критерий по своему содержанию сов-
падает с критерием спектрального разрешения, который был
сформулирован также Релеем. Другой подход к проблеме раз-
решающей способности оптических и спектральных приборов
был дан Д.С«Рождественским. С ним можно ознакомиться но
оригинальным весьма глубоким и содержательным работам само-
' го Рождественского. (См. Д.С.Рождественский, Избранные
труды. Издательство "Наука", М -Л, 1964). Ниже излагается
теория разрешающей опособности на основе критерия Релея.
Проведем сначала некоторые раочеты, позволяющие судить с
том, насколько этот критерий может считаться обоснованным.
3«’ Ради простоты предположим, что точки Д и расположе-
ны по разные стороны.от главной оптичеокой оси объектива
и находятся от нее на равных расстояниях (рио.193) Пусть
и 1 - изображения этих точек, построенные по прави-
лам геометрической оптики. Удобно ввеоти специальную еди-
ницу длины для измерения расстояний в плоскости изображения
которая в дальнейшем в целях краткости называется оптичес-
кой единицей. Ва оптическую единицу длины мы примем
расстояние между центрами двух ооседних темных дифрак-
ционных колец. Согласно формулам (87.8) оно практически не
вависих от выбора колец и равно -^/з/З • Расстояние от
-402 -»
tf тря дифракционных колец>иэмеренное в оптических единицах*
будем обозначать буквой £ * снабжая её индексами I или 2 *
* мжоииооти от того, о каких кольцах идет речь. Радиус круж-
ка Эйри, измеренный в оптических единицах, равен 1,22. Най-
дем световое поле в произвольной точке Р , лежащей на пря-
мой *S£Z«SfcZ на расстояниях и от точек g* и^\
Согласно формуле (87.7) волновые поля и , возбуждае-
мые в точкеРточечными источниками и £ ,будут
2 "jf, (хк) . ф * 2 (х£г)
% ~ ’ (88.1)
Мы опустили в этих выражениях множитель , поскольку
в вопросе о разрешающей способности достаточно знать не
абсолютное, а лишь относительное распределение интенсивности
в плоскости изображения.
В этом параграфе исследуется случай, когда источники
&, и оамооветящиеоя и излучают некогерентные волны.
Складываются интенсивности волновых полей. Результирующая
интенсивность в точке Р представляется выражением

точки наблюдения от центра дифракцион-
ной картины, а также параметр Д£ , равный раостоя
нию между центрами кружков Эйри £' и tg .
В бтих'сбоэначениях
г . 1г Г т*
' ^.Характер распределения интенсивности существенно зависит
-403-
от величины параметра Д£ . По Релею(как говорилось выше,
в качестве критерия разрешения принимается условие >
> ДО. Распределение интенсивности для предельного случая
ДЛ s Z22 показано на рисунке 194.
Пунктирные кривые, смещенные друг относительно друга на 1,22
дают распределения интенсивностей от отдельных точечных
источников и . Сложением ординат этих кривых полу-
чается сплошная кривая, изображающая результирующую интенсив-
ность вдоль прямой • На кривой имеются два максиму-
ма Л и 3 о провалом С между ними: интенсивность в центре
составляет приблизительно 74% от максимальной интенсивности.
Средний глаз,как правило, способен заметить наличие такого
и даже меньшего провала, т.е. может разрешить источники S, и
£>г • Это оправдывает достаточность критерия Релея. Но крите-
рий Релея, если отвлечься от мало существенных небольших
неточностей, в какой то мере является и необходимым. В самом
деле, интенсивность в центре дифракционной картины найдет-
ся по формуле (88.3), воли в ней положить *О .Она рав-
на Г
-404
Рис. £94.
-405-
На пределе разрешения, согласно критерию Релея,
и распределение интенсивности дается, сплошной кривой
на рис. 194. При налах отклонениях от этого предельно-
го значения интенсивности в максимумах JL и В практически
остаются неизменными. С помощью таблиц функций Бесселя легко
убедиться, что выражение (88.4) обращается в единицу при
М-Л Начиная с такого расстояния, при уненыиении на
кривой распределения интенсивности вместо двух появляется
всего один центральный максимум. Провал исчезает, и разре-
шение становится невозможным. Однако уточненное зна-
чение Д£=_£ почти не отличается от релеевского значения 1,22
и практически не затрагивает критерий Релея.
К этому надо добавить, что наличие провала С на кри-
вой интенсивности еще недостаточно для получения раздельных
изображений светящихся точек •&, и . Необходимо, что-
бы интенсивность в минимуме С заметно отличалаоь от
интенсивностей в максимумах / и В . Необходимая для раз-
решения относительная разнооть интенсивностей в максимуме и
минимуме меняется с освещением и о изменением некоторых
других факторов.1 Она различна для равных людей и зависит
от состояния глава. Тренировка глаза также может оказывать
заметное влияние. Как показывает опыт, можно принять, что для
среднего глава при нормальных условиях разрешение дости-
гается, когда интенсивность в минимуме составляет приблизи-
тельно не более 85% интенсивности в одном из максимумов./;#.
5, В случае телескопа рассматриваемые объекты, например •
компоненты двойной звезды, всегда излучают некогерентно,
а потому изложенным выше вопрос о критерии разрешения ре-
нается полностью. В этом случае интерес представляет не ли-
нейное, а угловое разрешаемое расстояние. Если $ - угло-
-406 ~
вое расстояние между рассматриваемыми звездами (рис.195),"
то расстояние между центрами соответствующих яружков
Эйри в фокальной а плоскости будет X ,
где / - фокусное расстояние объектива. В оптических единицах
яте расстояние равно X ; ут- = ,
где D=2fjb - диаметр ббъектива (угол уз предполагается
малым). Критерий разрешения принимает вид
f, 22' (88.5)
Разрешаемое угловое расстояние равно
&,л = ‘ (88.6)
Обратная ему величина называется разрешающей способностью
объектива телескопа.
Глаз, когда он рассматривает удаленные предметы,
действует принципиально так же, как объектив телескопа.
Поэтому формулы (88.5) и (88.6) применимы и к глазу. Коль
диаметра объектива 2) играет диаметр зрачка глаза d .
Величина d меняется о изменении освещенности сетчаткк
Флаза. Полагая для нормального человеческого глаза мм
и принимая А=5500A , находим для разрешаемого расстояния
глаза
= #2 = *.67 • Ю~4рад = 35 ". (88.7)
6. К определению разрешающей способности глаза можно подойти
также о физиологической точки зрения. Изображения предметов
получаются на сетчатой оболочке глаза. Световосприкимающими
элементами являются нервные окончания, состоящие из палочек и
колбочек. В человеческом глазе число палочек достигает 130 мил-*
лионов, а колбочек - 7 миллионов. Палочки значительно более
чувствительны ж свету, и в темноте (сумерках) зрительное
ощущение получается за счет раздражения палочек. Колбочки
менее чувствительны д свету. Вате они способны различать
цвета, тогда как палочки этой способностью не обладают.
Плотность распределения колбочек на сетчатке возрастает
по мере приближения к центру' глаза. Она достигает мак-
симума в так называемом желтом пятне и особенно в его центре,
- 407-
где имеется небольшое, так называемое центральное углубление.
Поле врения центрального углубления , когда глав неподвижен,
составляет всего I - 1,5 градуса по горизонтальному и по
вертикальному направлениям. Для того чтобы глав мог разрешить
две блиекие светящиеся точки, необходимо, чтобы их изображе-
ния приходились на различные колбочки сетчатки. 8то-физиоло-
гический критерий разрешения. Согласно атому критерию раз-
решаемое расстояние 1}т;п определяется расстоянием между
, двумя соседними колбочками центрального углубления .
Число колбочек на нем Л/ » 13000,'15000. Принимая для поля зрения
зрения центрального углубления значение <Х *1,2° «4320,
получим
. СХ и
^гл. = >
что удивительно хорошо сргласуетоя о оценкой (66.7).
Втот пример может служить хорошей иллюстрацией способ-
ности живого организма приспосабливаться к окружающим*
условиям и в процессе эволюции достигать максимума того,
что принципиально возможно по законам природы.
7. Таким образом , разрешаяющая способность телескопа про-
порциональна диаметру его объектива. Крупнейший в мире дейст-
вующий телескоп - рефлектор в обсерватории Маунт -
- Паломар имеет параболическое зеркало о диаметром D «5м.
Разрешающая опоообность его превосходит разрешающую способ-
ность глава в — 1250 pas • Разрешаемое рас- -
Рис {95
-408-
В Советском Союзе сооружается еще более гигантский телескоп
О диаметром зеджала $) 6 н , Он будет установлен в
Специальной астрофизической обсерватории на северных отрогах
Кавказского хребта, в Карачаево Черкесии, вблизи станции Зелеи-
чунекая, на высоте 2070 м над уравнен моря. Разрешаемое рас**
стояние этого телескопа будет 0,023. Разрешающей силы таких
телескопов - гигантов достаточно, чтобы изображение звезд о
наибольшими угловыми размерами получались ухе в виде дисков,
подобно изображениям планет. Однако наличие земной атмосферы
на позволяет полностью использовать разрешающую способность те-
лескопа. Нерегулярные процессы в атмосфере, сопровождавшиеся
изменениями показателя преломления на пути световых лучей, пор-
тят изоорахения и снижают реальную разрешающую способность
’телескопов до величин порядка / -Q5", причем особенно силь-
но это снижение сказывается на больших телескопах. Такая раз-
решающая способность может быть достигнута с помощью много мень-*
их объективов. Большие телескопы строятся не с целью повышения
разрешающей способности, а для увеличения количества света,
поступающего в телескоп от наблюдаемых небесных объектов. Коли-
чество поступающего света пропорционально площади отверстия
объектива. Поэтому с помощью больших телескопов можно обнару-
жить и сфотографировать более слабые небесные объекты, чем с
помощью малых. Для повышения хе разрешающей способности астро-
номических телескопов необходимо исключить вредное влияние
атмосферы. Идеалом была бы асторономическая обсерватория на
Луне. Сооружение такой обсерватории, по - видимому , дело не
очень отдаленного будущего. В настоящее время приходится идти
по другому пути. Современная техника воздухюплавония и техно-
логия, производства тонких высокопрочных полимерных пленок сде-
лали возможным создание стратостатов, способных поднять груз
весом в несколько тонн не высоты более 20 км и удержать его там
в течение нескольких часов. Первые условные полеты на стратос-
тате с солнечным телескопом были произведены в США (1957- 1959г)
В Советском Союзе была создана автоматическая станция ,
предназначенная для наблюдения Солнца из стратосферы, первый
запуск которой состоялся в 1966 г.
- 409
Она оборудована телескопов - рефлекторов с диаметром главного
аеркала I в к с фокусный расстоянием 24 в.
8. Увеличение телескопа должно оыть согласовано с разрешаю-
щей способностью его объектива. Напомнив, что речь идет об
угловов увеличении. Увеличением телескопа ( или зрительной
трубы) называется отношение угла, под которым предмет
виден в телескоп* к тому углу, под которым он был виден нево-
оруженным глазом. Допустим, что угловой размер предмета ра-
вен минимальному углу &„,in • разрешаемому объктивом те-
талеокопа. Если увеличение телескопа равно N , то в теле-
окоп предмет будет виден под углом N&min • Аля полно-
ного использования разрешавшей способности телеокопа необходи-
мо( чтобыуугол разрешался глазом, т.е. должно быть
МЯ > Подставляя сюда значения А..» « из
УПеЯ fnln 1Л
(8я.8)
формул (88,6)м (88.?), получим
Увеличение
нерп
(88.9)
называется нормальным. Это наименьшее увеличение, при кото-
ром полностьв используется раэремавщея способность объек-
тива телескопа.
Чтобы выяснить вопрос о целесообразности увеличений боль-
ших нормального, напомним сначала две формулы геометрической
оптики, относядиеоя к телескопу.
— МО~
Изображение удаленных предметов объектив дает в задней фокаль-
ной плоскости. Когда телескоп установлен на бесконечность,
задняя фокальная плоскость ооъоктива совпадает с передней
фокальной плоскостью окуляра. Поэтому, как видно из рисунка
196, для увеличения телескопа получаем
д/, -А . -А , (бело)
где f ~ Ф0КУсныс расстояния ооъектива и окуляра.
Используя это соотношение, из рисунка 197 найдем
(88.И)
т.е., увеличение равно отношению ширины JJ падающего пара-
ллельного пучка лучей к ширине А выходящего пучка.
Рис. 197
Когда увеличение меньше нормального ~£~ < •
то А => cl Эю значит, что не весь лучок параллельных лучей,
падаюдмй на объектив, попадает в зрачок глаза, а только
часть его. Таким образом, действующей является только цент-
ральна». часть объектива, диаметр которой меньше .
Явление протекает так, как если бы объектив стал менме,
а потому его разрежающая способность уменышлась. При нормаль-
ном увеличении , разрешающая способность объектива
согласована с разрешающей способностью глаза. Наконец, ког-
да увеличение больше нормального, т.е. ,
го А < с£ .в этом случав глаз действует так,

как если бы его зрачок сузился , а разрешавшая способность
понизилась.
Эти рассуждения показывают, что применение увеличений
больших нормального не может выявить новые детали в строе-
нии рассматриваемого объекта. Применение увеличений, зна-
чительно превосходящих нормальное, вредно, поскольку чрез-
мерное сужение выходящего из окуляра пучка может внести
в изображение значительные дифракционные искажения. К
целесообразности работать при нормальном увеличении легко .
прийти и из простых фотометрических соображений. Легко пока-
зать, что при увеличениях, меньших или равных нормальному,
яркость изображения ие зависит от увеличения. Если же уве-
личение превосходит нормальное, то яркость изображения
уменьшается обратно пропорционально квадрату увеличения.
Однако по физиологическим соображениям иногда бывает по-
лезно брать увеличение , превосходящее нормальное в 2 - 4
' раза. Рассматривая детали на пределе разреиающей способ-
ности , глаз работает с напряжением и быстро утомляется,
его чувствительность и разрешающая способность понижаются.
Применение увеличений, несколько превышающих нормальное,
не выявляет новых подробностей в строении рассматривае-
мых объектов, не позволяет рассматривать их о меньшим напря-
жением.
На пражтике при конструировании зрительных труб, бинок-
лей и пр. часто•принимают зрачок глаза равным 5 мм. При
этом условии нормальное увеличение равно удвоенному чис-
лу сантиметров в диаметре объектива.
9, Вопроо о разреиающй способности микроокопа решается так
не, как ш для телескопа. Если объект самосветяшийся, то
критерий разреиения Релея по - прежнему запииется в виде
1,22 . в микроскопии представляют инт&рео
не угловые , а линейные размеры объекта С и соответ-
ствующие им лилейные размеры изображения . Вы-
. раженные в оптических единицах , последние представляются вы-
-ажением Г: -А = , так что критерий при-
-4/2-
нимает вид
о,б/у . (М-Е)
Разумеется* мы предполагаем у что аперт/рный угол оо стороны
изображения 2Ji мал. Чтобы перейти к линейным-размерам
самого объекта,следует воспользоваться условием синусов Аббе*
которое должно выполняться для объектива воякогр микроскопа.
При малых углах J3 (рис.196) оно может
быть написано в виде
где П - показатель преломления пространства объектов-*
а 2Л - апертурный угол со стороны атого пространства.
Исключая J3 н приходим к соотношению
коим н определяется предел разрешения микроскопа. Минималь-
ное разрежаемое расстояние равно
£„ -061----------------- • (88.15)
. 1 rt- Ьгга.
Этот предел разрешения определяется волновой природой
света и не может быть превзойден никакими техническими
усовершенствованиями микроскопа При прочих равных условиях
предел разрешения тем меньше, чем меньше длина волны. К
зависимости разрешения от длины волны сводится и зависимость
от показателя преломления П . Наличие в знаменателе п
объеснявтсн тем, что разрешаемое расстояние может непосред-
ственно зависеть нс от длины волны в вакууме, а от длины
волны в тон среде, где находится объект, т.е. от величины
^/п При малых апертурах формула (Б8.15) переходит в фор-
мулу (88.6), определяющую разрешавшую спосооность телескопа.
В этом случае обе формулы отличаются одна от другой только
по форме, в формуле (88.15) разрешаемое расстояние выражено
в линейных единицах, а в формуле (88. 6) - в угловых. Будем
измерять угловые резмеры предмета из центра объектива,
предполагая, что расстояние до ооъекта^очень велико по срав-
нению с тол- иной объектива. -Минимальное линейное расстояние,
разрешаемое объективом, определяется формулой (88.15) Из нее
при rt =
получаем
&
v пип
. для углового разрешаемого расстояния
0,61 л o.s/л _ уЛ.
dL \ П D
что совпадает с формулой (88.6). Разумеется, при больших апер-
турах эквивалентность обех формул нарушается, так как формула
(88.6) справедлива лишь для малых апертур.
Для повышения разрешающей способности микроскопа можно
идти двумя путями: I) уменьшать длину волны (переход к ультра-
фиолету), 2) увеличивать величину nsind , названную Аббе
числовой апертурой объектива микроскопа. Таким образом, угола
должен быть как можно больше. В лучших современных объекти-
вах он практически достиг своего теоретического предела
. Для повышения числовой апертуры применя-
ет также иммерсию., т.е. жидкость с возможно высоким пока-
эателем преломления, заполняющую пространство между объек-
те «Разрешающую опоообноеть можно невколько повысить за очет
рационального освещения объекта. Однако здесь разбирает-
ся случай оамосветящихся объектов и преполагается , что
экспериментатор лииен возможности воздействовать на их излу-
чение.
том и объективом микроскопа. В качестве имморссии в мик-
роскопии» ооычнс применяют кедровое масло ( п st 1,5 ).
Каждый иммерсионный объектив рассчитывается на иммерсию с
вполне определенным показателем прелбмления. Использование
в качестве иммерсии жидкостей с другими показателями прелом-
ления не допускается. В частности, сухие, т.е. безичмерсион-
ные объективы не могут быть использованы как иммерсионные.
Бели принять П та 1,5 , то максимальное значение
числовой апертуры будет . п siпа -1,5 .Применение
иммерсии, таким образом,позволяет снизить разрешаемый предел
примерно в полтора раза, т.е. довести его до величины
— ’ Детали объекта, размеры которых меньше
примерно Q4A, принципиально на могут быть выявлены с помощью
микроскопа. Ни при каком увеличении нельзя определить форму
объекта, рассматривая его в микроскоп, если размеры самого
объекта меньше приблизительно О,А-Л , Разумеется, это н^
означает, что о помощью микроскопа нельзя обнаружить объекты
таких и даже меньших размеров. В этом отношении волновая при-
роду света не накладывает на размеры объектов никаких ограни-*
чений.
10. Рассмотрим в заключение вопрос о рациональном увеличении
микроскопа. Четкое изображение предмета может получиться на
сетчатке глаза только тогда , когда предмет удален от глаза
на расстояние, не меньшее определенного предела, называемого
расстоянием ясного зрения. Нормальный глаз не испытывает
напряжения, когд^Лккомодирован на расстояние, меньнее рас-
стояния ясного зрения. Когда предмет находиться на рас-
стоянии ясного зрения, глаз способен выявить наибольшее чис-
ло деталей объекта, так как при этом изображение иа
только сохраняет отчетливость, но и имеет наибольшие размеры.
Понятно, что расстояние ясного зрения не одинаково у разных
людей и даже может варьироваться для одного и того же глаза
(например, в результате утомления). Длг нормального глаза
расстояние ясного зрения принимается равным L и25сп
У близоруких людей оно меньне , у дальнозорких - больно.

Близоруким глаз может поэтому выявить оолее мелкие детали,
чем дальнозоркий или нормальный глаз.
Увеличением микроскопа (лупы) называется отношение
угла, под которым виден объект в микроскоп, к тому углу,
под которым он был бы виден невооруженным глазом, еоли бы
был помещен на расстоянии ясного зрения. Пусть/г^минимальное
расстояние, разрешаемое микроскопом. Невооруженным глазом с
расстояния ясного зрения Z. оно видно под углом
• *
В микроскоп то же расстояние видно под углом , где
N - увеличение микроскопа, для разрешения необходимо,
чтобы угол d оыл не меньше минимального угла,
разрешаемого глазом, т.е. &'=Nd& du .Отсюда,
используя выражения (68.7) и (88.15), найдем
Д/д, 21П tints (88.16)
Знаку равенства соответствует так называемое нормальное уве-
личение
л / 21 п sin а.
(88.17)
Как и в случав телескопа, нормальное увеличение микроскопа
еоть наименьшее увеличение, при котором может быть использо-
вана вся разрешающая способность его объектива. О целесо-
образности работать • при увеличениях больше нормального
для микроскопа можно повторить без всяких изменений все, что
выше было сказано для телескопа.
Максимальная числовая апертура, как указывалось выше,
для сухих систем имеет своим пределом единицу. Для иммер-
сионных систем этот предел равен примерно 1,5. Диаметр зрач-
ка глаза d примем равным 2мм. Тогда для нормального глаза
A L -25^ ) получатся следующие предельные
значения нормальных увеличений:
-4/6-
для сухих систем
для иммерсионных систем ^но/>м - 375 .
По фивиологическим соображениям имеет смысл переходить к ие
сколько болыим увеличениям. Однако бессмысленно строить
микроскопы о увеличением больие, чей в 1000-1500 рав.
-4/7-
§89.Критерий разрешения в случае освещаемых объектов.
Влияние наклона падающих лучей на разрешающую способ-
ность микроскопа.
I. Случай освещаемых объектов представляет основной интерес в
микроскопии. Исоледуем его на простойном примере двух одинако-
вых бесконечно малых отверстий в непрозрачном экране, освещае-
мых монохроматическими лучами.* Такие отверстия ведут себя как
точечные когерентные источники jS> и излучающие вторичные
волны Гюйгенса. При вычислении результирующей интенсивности
необходимо учесть разность фаз между этими волнами.
Рассмотрим сначала случай, когда освещение осуществляется
пучком параллельных лучей, наклоненных под углом & к нормали
Если V - расстояние между центрами отверстий, то разность
фаз между волнами, приходящими в эти отверстия, будет
А = k£stn& = (89.1)
1акова же будет и разность фан между соответствующими вторич -
выми источниками Гюйгенса. Нас интересует относительная интен-
сивность света ZZ в фокальной плоскости объектива микроско-
па. Она предотавлветоя выражением
В котором i-t и имеют тот же смысл ? что и в предыдущем

параграфе. Принципиальное отличие от случая самоеветящихси
(некогерентнцх) источников состоит в появлении дополнитель-
ного - интерференционного - члена. Его наличие сказывается
на критерии разрешения и на разрешающей способности микрос-
копа. Величина интерференционного члена зависит от угла нак-
лона падающих лучей. Меняя угол наклона, можно повы-
сить разрешающую способность микроскопа.
В центре дифракционной картины =
для интенсивности в центре формула (89.2) дает
а потому
(69.3)
где, как и в предыдущем параграфе,
2 )
, «»•*>
означает расстояние
в оптических единицах между центрами дифракционных кружков
Эйри, являющихся изображениями светящихся точек £> и Se •
2? Допустим сначала, что свет, освещающий отверстия Д и^ f
падает нормально к плоскости экрана. ТЬгда Д = О , и
формула (89.2) переходит в формулу
jJzZfa.) ( (юл)
L J
На рисунке 200 предотавлено распределение интенсивности
для случая, когда расстояние между центрами дифракционных
кружков Эйри находится по Релею на пределе раареиения, т.е.
когда = 1,22 . Как и на рисунке 194, . пунктирные
кривые представляют распределение интенсивностей от
каждого из источников и в отдельности. Интенсивность
в центре картины превосходит в четыре раза интенсивность в
той же точке, которая получилась бы только от одного
отверстия : ^нли Она равна 1,48, если эа единицу
-4/S-
один максимум С Поэтому никакого раздельного изображе-
ния светящихся точек в рассматриваемом случае получиться не
может.
Таким образом, критерий разрешения Релен при нормальном
освещении экрана оказывается недостаточным. Для разрешения
необходимо несколько больше развести центры дифракционных
картин, чем в случае самосветящихся точек. Для грубой
- 4-io -
оценки минимального расстояния между центрами дифракционных
картин, при котором доотигается разрешение, можно исполь-
зовать следующее замечание. При разведении дифракционных
картин на кривой результирующей интенсивности появятся два
максимума Л * В, величины которых очень мало меняются
при дальнейших небольших разведениях. Интенсивность в каж-
дом из этих максимумов практически будет оставаться равной
единице. Напротив, интенсивность в центре картины, где появит
ся минимум, будет при этом меняться очень резке. Поэтому,
не внося существенной ошибки, можно пренебречь изменениями
интенсивностей в максимумах Л и В • Интенсивность в
центре картины при нормальном падении лучей согласно форму-
ле (89.4) дается выражением
t I /f J
С другой стороны, как показано в предыдущем параграфе, в
случае самосветящихоя источников интенсивность в той же
точке составляет 0,74. Найдем расстояние At , при кото-
рой получается та же интенсивность и при поведении отверстий
нормально падающими
и используя предыдущее выражение для
нению _ -у /%_ At л
лучами. Полагая
, приходим к урав-
= 0,4-3 .
At
По таблицам беоселевых функций находим, что оно удовлетворяет-
ся при ~ , т.е. п₽и — — i,5 •
что превосходит релеевский предел примерно в 1,2 раза. В та-
кое же число раз разрешающая способность микроскопа при осве-
щении лучами, параллельными оптинеской оси, меньше разрежающей
способности в случае самосветяшихся объектов.
3. Перейдем теперь к рассмотрению наклонного освещения. Еоли
A=-j- , т.е. разность хода между лучами, осве-
щающими отверстия и , равна %, тосом-ОИнтерферен-
ционный член пропадает, и получается в точности такое хе рас-
-4-21-
пределение интенсивнооти света, а с ним и тот же критерий
разрешения, что и в случае самосветящихоя объектов,
Если Л = Т , то »
(89.6)
L
В атом случае в центре дифракционной картины всегда полу-
чается нулевая интенсивнооть, а потому разделение максиму-
мов выражено особенно отчетливо. Воспользовавшись выра-
жением (89.1), найдем , что в рассматриваемом случае *
что возможно лишь тогда, когда расстояние между отверстия-
ми и не меньше половины длины волны. Для
£ = ^2 рассматриваемый случай осуществляется при
(скользящем падении ( &= ^/г,)- На рисунке 201 представлено
распределение интенсивностей для рассматриваемого случая.
Рис. 201

Предполагается, что центры дифракционных картин разведены
до релеевокого предела Д£ = <22 . При скользящем падении
лучей центры дифракционных картин можно сблтзмть примерно
вдвое по сравнению о релеевским пределом, м все же провал
на кривой интенсивности сохранится • Таким образом, применен
ние наклонного освещения приводит к повышению разрешающей
способности. При скользящем падении разрешающая способность
возрастает почти вдвое по сравнению оо случаем оамооветя-
щихся объектов.
4. Легко теперь сообразить, что следует ожидать при осве-
щении объекта лучами всевозможных направлений от протяженно-
го источника света. Нормально падающим лучам соответствует
наименьшая разрешающая способность и наибольшее разрешаемое
расстояние, превосходящее соответствующее расстояние для са-
мооветящихся объектов. При вовраотании угла наклона лучей
разрешаемое расстояние уменьшается. Когда угол наклона
достигает такой величины, что соответствующая ему раз-
ность фаз Д принимает значение , оно становится таким
же, что и для оамооветящихся объектов, ири дальнейшем уве-
личении наклона разрешаемое расстояние продолжает монотонно
уменьшается м при скользящем падению становится почти вдвое
деньше соответствующего расстояния в случае самоове4ения.““
естественно позтому ожидать, что при освещении широкими
пучками лучей о большими апертурами получится такое же распре-
деление интенсивности света в'Дифракционной картине, что
при оамосвечении. При таком способе освещения критерий разре-
шения практически совпадает с соответствующим критерием для
самосветящихся объектов. Приводимое ниже простое вычисление
доказывает и уточняет это утверждение. *
5. Для простоты предположим, что отверстия и .
совещаются бесконечно протяженным и бесконечно удаленным
источником, поверхностная яркость которого не зависит от неправ'
ления испускаемых лучей. Тогда параллельные лучи, освещающие
эти отверстия, когерентны. Разность фаз (89.1) представится
виражекием
-423-
где С - радиус - веадор, проведенный от отверстия^ отверс-
Мю^(рЯс« 199)« в п - единичный вектор в направлении па-
дяощмх лучей. Примем середину отрезка за начало координат-
ной систем! с ОбЬбХ , направленной вдоль этого отрезка. Ось Я
ионрпмп вдоль главкой оптической оси
1 Объектива (т.е. перпендикулярно к плоскости экрана).Введем
полярную систему координат о полярным углом & и азимутом^.
Световой поток, посылаемый черва каждое отверстие в пределах
гелеснога угла cLQ = sin.&<U,cL'P > пропорционален величине
«Того телесного угла н площади проекции отверстия на плоскость,
перпендикулярную к лучан. Иными словами, этот световой
поток пропорционален cos&dQ = cosds£n.^d^df>•
Колн бы отверстия освещались только таким световым потоком,
то относительное распределение интенсивности света в фокаль-
КЬй плоскости объектива представилось бы выражениен •
costfan&dtfaty/T 1 + Г +
IL 11 J
2 S-t ~sir~COS(~jrStndcOSy^ (89.7)
Так как отдельные элененты протяженного источника излучают
негогерентно, тс для получения полней интенсивности выражение
(89,7) надо проинтегрировать по всену телесному углу, занима-
емому источником. Предположим, что источник обладает осевой
симметрией относительно главной оптической оси, напринер,
имеет форму диска, плоскость которого перпендикулярно этой
оси. Пусть Q означает угловой радиус источника. Тог-
да интегрирование по надо выполнить в пределах
-«24
от О до 23Г, а по гЯ от 0 до Q , Имеем
О ix
J j sin i9-aos& d&d<f> = 5Г Sin * Q .
С помощью известной формулы
интеграл
6 21
F= sin^cosff^cos^sin^dddf
о о
преобразуется^ к виду
F- 2 Т sin cos& slnit dif',
О л
Вводя новую переменную интегрирования X = — Sin&
и испсльвуя формулу
получим
rr hSinQ
С помощью условия синусов = и соотношения
2JI? = -Л ЛА. аргумент под знаком бесселевой функции
запишем в виде
гтЕипв .
----у------= ,
где введено обозначение
Sin. &
С=--------------
п Sind
(89.8)
Тогда окончательная формула для интенсивности примет вид
-42S-
+ 4 3?fa.) (89.9)
Я$, s*t С * At, J •
Величину с , определяемую выражением (89.8) , Д.С.Рождественс-
кий назвал коэффициентом некогерентномти. При очень малых угло-
вых размерах источника ( и немалых числовых апертурах объекти-
ва) коэффициент С очень мал. В атом случае . ~ ~S~ ’
и формула (89.9), как и следовало ожидать, переходит в фор-
мулу (89.5) для освещения лучами, параллельными главной опти-
ческой оси. Противоположный случай имеет место при больших
угловых раамерах источника и малых числовых апертурах объек-
тива. Тогда коаффициент некогерентности С велик, а бесоелева
функция £(сТа^) близка к нулю. Третье слагаемое в фигурных
скобках формулы (89.9) пренебрежимо мало, и получается такое
же распределение интенсивности, что и в олучае самосветящихся
источников. Мы видим, что влияние освещения на распределение
интенсивности света, а следовательно, и на разрешающую спо-
собность объектива, существенно мри больших числовых аперту-
рах объектива, т.е. в олучае микроскопа.
-426-
§ 90. Теория и демонстрационные опыты Аббе,
I. Впервые формула, определяющая предел разрешения объек-
тива мшкроскопа, была выведена Гельмгольцем в 1874 году для
самосветящихся объектов. Примерно в то же время вопрос о
разрешающей способности микроокопа был разобран Аббе длн
освещаемых объектов. Сам Аббе не опубликовал свою теорию.
Она была изложена им в лекциу , прочитанной для небольшо-
го чиола слушателей, "ишь спустя 36 лет теории Аббеуппуб-
ликсвана в книге Луммера и Райхе по теории микроскопа в 1910
году на основе лекции, прочитанной Аббе. Метод Аббе отли-
чается от того подхода к вопросу о разрешающей способности
которому мы следовали в предыдущих параграфах. А так как
этот метод часто оказывается удобным для решения некото-
рых других задач, то ниже приводится его подробное изло-
жение. Допустим, что объект (ршо.202)/^освещаетоя пучком 1
лучей, параллельных главной оптической оои объектива.
Рис. 202
Лучи претерпевают дифракцию на оптических неоднородностях
объекта. Волновое поле за объектом можно представить в
виде суперпозиции плсоких волн, распространяющихся в раз-
личных направлениях. Собираясь объективом в точках фокальной
-427-
плоскости, волны создают в этой плоскости дифракционную
картину, харктеризующуюся определенным распределением
'амплитуд и фаз. Такую картину Аббе назвал первичным изоб-
ражением объекта.
Если известно первичное изображение в фокальной плос-
кости, то пс нему с помощью принципа Гюйгенса-Френеля можно
рассчитать световое поле во всем пространстве за фокальной
плоскостью. Это поле нвлнется результатом интерференции
когерентных волн, испускаемых вторичными источниками Гюйген-
са из различных течек фокальной плоскости. В частности,
таким путем можно найти распределение светового поля в плос-
кости ЛВ, сопряженной в смысле геометрической оптики с
Предметней плоскостью ЛВ „Интерференционная картина В
в 'плоскости Л'В и есть изображение, получаемое в практи-
ческой оптике. Аб($е называл зту картину вторичным изображением.
Если объект бесструктурный, например представляет собсй
Идеально прозрачную плсскспараллельную пластинку, то на нем
Не будет никакой дифракции. Если пренебречь дифракций, на
Враях объектива, то первичное изображение в фекальной
Плоскости сведется к одному центральному точечному дифракцион-
гНВМу максимуму. Таким образом, получится линь одна вторич-
ная. сферическая волна, исходящая из итого точечного максиму-
ма, -зторей не с чем будет интерферировать. Поэтому в сопря-
•жбнней плоскости Л'В‘ никакого вторичного изображения получить -
Он не может или. что тс ке самсе, вторичное изображение пс
лучится также бесструктурным .^я появления какой-то струк-
•Уры во вторичном изображении необходимо, чтобы первичное
Изображение состояло пс крайней мере из двух точечных диф-
ракционных максимумов,
2. Для того чтобы убедится в правильности изложенных сообра-
жений и вывести из них количественный критерий разрешения,
вбйймеи, следуя Аббе, такой объект JLB , первич-
нее ’’Изображение которого является возможно более простым.
Наиболее подходящим объектом для этой цели является плоская
одномерная дифракционная решетка . Чтобы не усложнять рассуж-
дения длинными расчетами, ограничимся сначала парнксиальными
-420-
лучами. Тогда в фокальной плоскости FF получатся равноотстоящий
точечные дифракционные максимумы ... C.t , С Св t
Ct г Ct } ... f играющие роль вторичных источников
Гюйгенса. Точечность и правильное расположение таких источников
упрощают рассуждения, чтс и является причиной выбора решетки
в качестве объекта. При заданном периоде решетки d число
максимумов в фокальной плоскости определяется максимальным
углом наклона О. , под кстсрым световой луч еще кокет
пройти через объектив ( 2 сП. - апертурный угол сс стсрсны
объекта).' Если т - максимальный порядок спектра, тс очевидно
dsin Л > т А • Положение главных максимумов зави*
сит только ст периода решетки. Оно не меняется при параллель»*
ном смещении решетки в её плоскости. Однако распределение
амплитуд и фаз зависит также ст структуры решетки. В дальней-
шем предполагается, чтс решетка является амплитудной , причем
центр одной из щелей О лежит на главной оптической
оси объектива. При параллельном смещении решетки в направлению i
ЛЬ распределение амплитуд в фокальной плоскости
остается неизменным, однако фазы претерпевают изменения.'
Зная структуру первичного изображение , определим теперь
интерференционную картину в плоскости /'Дте найдем вторичное
изображение. Точка О' , оптичеоки сопряженная с течкой О ,
выделяется тем, чтс вса лучи , идущие в нее из точки О ,
имеют одинаковые оптические длины. Отсюда следует, чтс вея-
ны от всех вторичных источников приходят в течку О в
одинаковых фазах и при интерференции усиливают друг друга.
Значит, через О ' будет проходить светлая интерференцион-
ная полоса, перпендикулярная плоскости рисунка. Но текие
интерференционные полосы появятся и в других местах-»плсс-
кости ЛЁ' , так как интерференционное усиление вторичных
волн будет иметь место пе только тогда, кегда они интер-
ферирует в одинаковых фазах, но и тсгд$ , когда разность
фаз вторичных волн,приходящих ст соседних источников,
составляет £2%, i 4-Я" , ... Условие появления интер-
ференционной полосылв-го порядка к.чеет вид
- -
- " -^-^-^-^=...=2^
(тп = Ог±/, ±2, • --)
где Ф-,. Ф-, . <й.... - фазы вторичных волн в точ-
ке интерференции, посылаемые в нее соответствующими источни-
ками» Наличие многих интерферирующих источниксв делает интерфе-
ренционные полосы более резкими и контрастными. Однако расстоя-
ние cl между двумя соседними интерференционными полосами
зависит только от углового расстояния между двумя соседними
интерферирующими источниками. Как известно из элементарной
теории интерференции, в принятом нами приближении оно равно
d , где ip - угол, под котором из гсчки^видно
расстояние между соседними вторичными истониками. В линейных
единицах ето расстояние, равно , где J - фокусное
расстояние, $ - угол дифракции на дифракционный максимум
первого порядка. Он определяется формулой о( $irnf-=Л ,
'или в нанем приближении =д ,
Таким образом, если гс. и х.' означают расстояния предме-
та и изображения от объектива, то
и для расстояния между соседними интерференционными полосами
получится . / / , , ।
с/'_ Л - ’Л
Используя формулу ЛИН8Ы
последнюю формулу нетрудно преобразовать к виду
— = — . (90.1)
d X
-430 -
Итак, интерференционная картина в плоскости А* В* состоит п
равноотстоящих интерференционных полос, параллельных итрихам ре-
ветки. Отношение расстояния между соседними полосами к соответ-
ствующему расстоянию между штрихами реиетки определяется той же
Формулой (90.1), по которой вычисляется поперечное увеличение в
геометрической оптике. Таким образом, интерференционные полосы
подучаются той хе ширины, что и изображения штрихов реиетки,
построенные по правилам геометрической оптики. Это подтверждает
основную мысль теории Аббе, ооглаоно которой интерференционные
полосы в плоскости А* В* являются оптическим изображением реиетки.
Это положение иллюстрировано намивпредположении, что лучи парак-
сиальные. Но оно справедливо и в общем случае. Освещение, равно
как и освещаемый объект, могут быть какими угодно. Первичное изоб-
ражение Аббе в общем случае будет состоять из вторичных источни-
ков, непрерывно распределенных в фокальной плоокоотн объектива.
Интерференционная картина от зтих вторичных источников в плоокости
А*В*во всех случаях будет оптическим изображением объекта со вое-1
ми аберациями геометрического и дифракционного происхождении, “о-
торые ему свойственны.
3. Предположим снова, что объектом является дифракционная
решетка. Число дифракционных максимумов в фокальной плоскости FF
определяется апертурным углом ЭоС. Чем больно таких максимумов,
тем дучше интерференционная картина в плоскости изображении А'В*
передает структуру объекта. С уменьшением апертурного угла умень-
шается и число интерферирующих дифракционных макоинумов в фокаль-
ной плоскости. Это приводит к ухудшению качеств^ изображении. Од-
нако расстонния между интерференционными полосами при зтом сох-
раняются неизменными. Изображение портится, но его периодичность
остается неизменной. Наименьшее число максимумов в фокальной плос-
кости, при котором в плоскости А* в'еще могут получаться интерфе-
ренционные полосы, очевидно,равно двум. В зтом случае изображение
весьма несовершенное, но оно правильно передает периодическую
структуру решетки. Когда в объектив попадает только один ди<.^ак-
ционный максимум,интерференционные полосы исчезают.
-431-
(90.2)
Исчезает и периодичность в изображении решетки.
Поэтому по Аббе критерий разрешения сводится к условию, что-
бы первичное изображение содержало не менее двух дифракцион-
ных максимумов. При нормальном падении света на решетку оно
запишется в виде ctsin ос > 'Л . Для иммерсионных
систем длину волны надо брать в среде, где помешается
объект. Поэтому, понимая под / длину волны в вакууме,
условие разрешения можно представить в виде
—-—
. п ап а.
'Ойо отличаетсн от ранее выведенного условия (88.14) мало
Существенным числовым коэффициентом. Не приходится удив-
ляться этому различию в коэффициентах, так как в основе фор-
♦уи >(88.14) ш (90.2) лежат физически разные критерии раз- I
решеник.Кроне того, формула (88.14) получена для оаыооветя-
Жхоя объектов. При освещении лучами, параллельными главной
оптической оси, как было показано в предыдущем параграфе,
коэффициент 0,61 следует увеличить примерно в 1,2 раза. Пос-
ле этого различие в коэффициентах сделается оовсем незначитель-
ным.
4. Практическая ценность теории Аббе состоит, между прочий,
в том, что она указывает реальные пути повышения разрешающей
способности микроскопа. При нормальном падении света на ре-
ветку в условиях предельного разрешения первичное изображение
содержит три дифракционных максимума: нулевой максимум и два
максимума первого порядка. Но интерференционные полосы,
'Мвявциеоя оптическим изображением решетки, сохранятся,
•1. '♦сии убрать один из максимумов первого порядка. Этого
♦окно достигнуть освещая реветку наклонными лучами. Пусть
падающие лучи образуют угол (X о главной оптической осью
объектива (рис. 203).
-432-
Рис.203 , .
Максимально возможное разрешение будет достигнуто тогда, ког-
да в фокальной плоскости, помимо нулевого максимума, получит-
ся симметрично раоположенный о ним максимум первого поряд-
ка. Это произойдет, когда дифрагированный пучок лучей-будет •
составлять с оптической осью угол-ОС . Тогда разнос.ь хода
между дифрагированными и прямыми лучами будет Она
должн j равняться ( т.е. Длине волны в среде, где по-
мещен объект),* чтобы максимум первого порядка получился .
Это приводит к следующему пределу разрешения.
Л
-------------- - (90.3)
dn and
mir;
-433-
Применение наклонного освещения позволят повысить разрешаю-
щую способность микроскопа примерно вдвое. К тому же выводу
мы пришли в предыдущем параграфе из других соображений.
5. Если воздействовать на первичное изображение, например
закрыть некоторые дифракционные максимумы в фокальной плос-
кости, то ато скажется и на вторичном (оптическом) изоб-
ражении. Оно будет искажено. Характер искажения часто можно
предсказать. Этим воспольасвался Аббе для экспериментального
подтверждения своей теории. Объектом служила грубая дифрак-
ционная решетка. Аббе помещал в фокальной плоскости другую
решетку из проволок, которые закрывали дифракционные
максимумы через один. Тем самым расстояния между действующими
(открытыми) максимумами возрастали вдвое. В оптическом изоб-
ражении решетки наблюдалось удвоение штрихов. Явление протекало
так, как если бы экранирования не было, а объект был заме-
нен более мелкой решеткой, расстояния между итрихами которой
вдвое меньше.
Еще болей интересные искажения оптического изображения
наблюдаются тогда, когда в качестве объекта взята двумерная
решетка, например, квадратная прсволочная сетка. Дифракционная
картина в фокальной плоскости соотоит иа светлых пятен,рас-
положенных в углах также квадратной сетки .Поместим в фекаль-
ной плоскости узкую цель, позволяющую открывать прямолиней-
ные ряды из таких пятен, а остальные пятна закрывать.
Если цель горизонтальна ш достаточно узка, то она выделит
прямолиный ряд максимумов, расположенных вдель горизонталь^
шой прямой (рис. 204а).
Ум. 204
-43S-.
Такой ряд максимумов аналогичен дифракционной картине от
одномерной решетки с вертикальными щелями. Поэтому оптическое
изображение квадратной оетки при введении горизонтальной щели
перейдет в систему вертикальных полос.Если щель повернуть на
90° в вертикальнее положение (рис.204б), то полосы сделаются
горизонтальными. Если щель повернуть параллельно диагонали
сетки (рис. 204 в и рис. 204г), то она выделит прямолиней-
ный ряд максимумов, параллельный тсй же диагонали, причем рас-
стояния между максимумами увеличатся в . раз. В резуль-
тате оптическое ивображение сетки перейдет в систему наклонных
полос, перпендикулярных к щели , а самые полосы сделаются
в V? раз уже.
6. Сам Аббе сначала думал, что его демонстрационные опыты
относятся только к освещаемым, но не самосветящимся объектам;
Основанием для такой точки врения является замечание , что
первичное изображение в смысле Аббе существует только в случае
освещаемых объектов. Для самооветящихся объектов это понятие
лишено смысла. К концу жизни Аббе, по - видимому, изменил свою
точку врения. Однако полнее решение вопроса было дано Л.И.
Мандельштамом в I9II году. Мандельштам теоретически показал
и экспериментальне проверил, чтс удвоение полос должно
наблюдаться и в том случае, когда освещаемая дифракционная
решетка заменена самооветящейОя накаленной проволочной сеткой,
состоящей из равноотстоящих параллельных проволок.
Не приводя аргументацию Мандельштама, рассмотрим вопрос
с иней точки зрения, принадлежащей в основном Д.С.Рождественс-
кому.Когда за объективом микрсокспа нет экранирующей сетки, ;
объектив дает геометрически подобное изображение объекта .
Если объектом является система равноотстоящих проволок, тс
изображением будет система также равноотстоящих полос, неза-
висимо от тоге, является ли объект самосветящимся, или сове-
щается посторонним источником света. Если поставить экрани-
рующую сетку, тс падающий на неё овет претерпит дифракцию,
в результате которой появятся дополнительные дифракционные поло-
сы, искажающие изображение.Такой дифракцией и объясняется изме-
нение наблюдаемой картины.' Каков бы ни был период экранирующей
-436 -
сетки, прежние полосы, представляющие изображение системы
проволок, сохранятся на прежних меотах. Однако при надлежа-
щем периоде появятся новые диффракционные полосы, распо-
ложенные посередине между прежними. Произойдет удвоение полос»
и дифракционная картина в плоскости изображения будет похожа
на изображение параллельных проволок, натянутых вдвое чаще^
Дифракция на экранирующей сетке, очевидно, имеет место как в,
случае самосветящихся, так и в случае освещаемых объектов (па-
раллельных проволок). Поэтому эффект удвоения должен наблюдать-
ся в обоих случаях.
7. Следующее простое вычисление иллюстрирует и вместе с тем до-
казывает высказанные утверждения, досмотрим сначала свет, исхо-
дящий от отдельной проволоки реиетки, расположенной на главной
оптической оси объектива в точке О (рис. 205). Пуоть FC - эк-
ранирующая сетка с периодом а. , расположенная за объективом
на расстоянии у , О'Л- плоскость изображения, сопряженная о
плоскостью объекта. Все лучи, вышедше из О , пооле преломле-
ния в объективе, приходят в сопряженную точку О в одинаковых фа-
зах, независимо от того, еоть экранирующая оетка или нет:
-437-
Поэтому в точке О будет дифракционный максимум, являющийся
изображением объекта О . При наличии экранирующей сетки поя-
вится дифрагированный свет и дополнительные дифракционные
максимумы. Если дифрагированный свет от каждой щели экранирую-
щей сетки приходит в точку Д с запаздыванием на Л по сравне-
нию о дифрагированным светом, приходящим от предыдущей щели,
то в точке Я появится дифракционный максимум. Пусть С -одна
из щелей экранирующей сетки, расположенная на расстоянии та
от главной оптической оси .В точке А будет наблюдаться i
дифракционный максимум, если для любого целого числа т
выполнено условие,
(огл) = (ОВСЛ)+тЬ .
Вычитая из этого соотношения предыдущее и меняя порядок слагаемых,
получим
(FA-CA)+ (co'-FO')= mh.
Как видно из рисунка,
со'-го'-го1
Проведем вычисления в предположении, что угол очень мал.
Пренебрегая квадратами зтого угла, получим СО - РО'-О.
Длина отрезка FC равна та , длину О'А обозначим бук-
вой у' . Тогда
-4зв -
Вычитая почленно и пренебрегая квадратом величины та , по-
лучим
ГЛ'-СА* -2тау\
С той же точностью
FA-C1= Jj^-y,>
и условие дифракционного максимума принимает вид
или
Ц*— „к . (90i4) ,
J а. I '
Число т .сократилось. Это указывает на тс, что, дифрагирован-
ные лучи от всех щелей зкранирующей сетки приходят в точку Л
в одинаковых фазах, т.е. в зтой точке действительно должен
появиться дифракционный максимум.
Найдем теперь условие , при котором дифракционный максимум
получитоя в точности посередине между изображениями, соседних
проволок. Такой максимум будет восприниматься, как изображение
какой - то дополнительной проволоки* Еоли d - расстояние
между проволоками решетки, то расстояние между их изображе-
ниями будет cL' = Ag-d . ' .
По условию должно быть у '~ 2
условие принимает вид ,
так что иокомсе
в ЗтпЛ максимум опять будет расположен между
соответствующих проволок и т.д.
положение дифракционных максимумов в предположе-
J Я = — CL
а л 2х. ' *
Если смещением точки .4 разность хода тпк увеличить
до 2 тп Л , то онова получится дифракционный максимум, но
он наложится на изображение соответствующей проволоки.' При
разности хода
изображениями
Мы нашли
НИИ, что свет исходит только от одной проволоки0.
Легко показать,что свет, исходящий от остальных проволок режет-
-43S -
ки, даст дифракционные максимумы на тех же местах. Таким
образом, при выполнении условия (90.5) между каждыми соседни-
ми изображенияш проволоки появится дифракционный максимум.
Такие максимумы* воспринимаемые как дополнительные изображения,
создают иллюзию удвоения числа проволок решетки. Это и есть
эффект , наблюдавшийся Аббе. Из изложенного видно , что
длн существования такого эффекта первично изображение в смыс-
ле Аббе совсем не обязательно . Удвоение . может наблюдаться
как в случае освещаемых, так и в случае самооветящихся объек-
тов^ В принципе таким же путем объясняются и опыты с искажением
изображений квадратной оетки, хотя результаты таких опытов
здесь и не столь очевидны.
До сих пор расстояние £ между линзой и экранирую-
щей сеткой не было фиксировано. Эффект удвоения может наб-
людаться при любом положении экранирующей сетки, если только
соблюдается условие (90.5) . Положение экранирующей сетки
может отразиться лишь на резкости и яркости дифракционных
полос. Для того, чтобы связать наши рассуждения с рассуждения-
ми Аббе, допустим теперь, что экранирующая сетка помещена в
фокальной плоскости линзы. Тогда величина у становится
фокусным расстоянием, и можно воспользоваться формулой
Условие (90.5) преобразуется к виду
(90.6)
Для грубой решетки, освещаемой нормально падающим светом,
отношение Kfcl дает величину! угла дифракции, а
постоянная CL -- удвоенное расстояние между дифракционными
максимумами в фокальной плоскости линзы. Это, в согласии с
Аббе, означает, что проволоки экранирующей сетки должны следо-
вать одна за другой на таких расстояниях, чтобы можно было
прикрыть через один дифракционные максимумы в фокальной плос-
кости, Эффект удвоения сохраняется при любом боковом смещении
-♦♦о-
экранирующей сетки.- Однако наиболее отчетливо он проявляется
именно тогда, когда проволоки экранирующей сетки закрывают
максимумы дифракционной картины;
8. В случае самооветящихся объектов распределение светового
поля в фокальной плоскости, если последняя не является плоское*»
тыо, сопряженной с плоскостью объекта или не находится вблизи
неё, более или менее равномерно. В фокальной плоскости не по-
является никакого отчетливого изображения. Напротив, "ри осве-
щении объекта появляются дифракционно максимумы, особенно отчет-
ливо выраженные, когда освещающие лучи параллельны. Поэтому
практическое значение демонстрационные опыты Аббе могут иметь
именно в .случае освещаемых объектов,так как в этом случае,
помещая на пути дифрагированных пучков прозрачные или непрозрач-
ные плостинки можно вносить желаемые и: контролируема из-
менениявполучаемое оптическое изображение. Эта идея использует-
ся в микроскопии для повышения контрастности изображения
(см. §93).-

§91t Принципиальные замечания о возможностях оптических
методов исследования.
I. БЫло бы неверно утверждать, что оптическими методами
принципиально невозможно обнаружить и исследовать такие
детали в структура изучаемого объекта, размеры которых
много меньше длины волны. Только Для этой цели обычные
микроскопические приборы, применяемые в оптике, например
микроскоп, недостаточны, а требуютоя более тонкие методы
исследования. Возьмем, например, дифракционную решетку с перио-
дом ct 4b. h .и осветим её параллельным пучком света.-
Вдали от решетки возникнет световое поле, состоящее только
ив однородной ограненной или однородной прошедшей волн.
Вблизи решетки на эти волны накладываются еще неоднородные '
волны, быстро затухающие на расстояниях порядка oL
или меньше. Для Torofчтобы по световому полю воспроизвести
детали тонкой структуры решетки, необходимо, разумеется,
исследовать поле всех таких неоднородных волн. Но для
этого нужен какой-то зонд, размеры которого малы по сравнению
с размерами неоднородностей поля. Микроскоп таким зондом не
является. 8то - грубый макроскопический прибор, предназна-
ченный для иоследования только однородных волн.Неоднород-
ные волны, обусловленные деталями тонкой структуры объекта,
в него не попадают. Позтому по изображению объекта в мик-
роскопе и нельзя ничего сказать о таких деталях.
2, Ошибочно также утверждать, что волновая природа света нак-
ладывает какие то принципиальные ограничения на возможность
обнаружения малых объектов с помощью микроскопа или телес-
копа» Ограничения относятся не к возможности обнаруживать
малые объекты, а к возможности различать их форму . Мы ви-
дим, точнее обнаруживаем, звезды, хотя угловые размеры боль-
шинства звезд лежат далеко за пределами разреиающей способное
ти самых больших телескопов. Изображение в телеокопе полу-
чается в виде центрального светлого кружка и окружающих
его концентрических дифракционных колец. По зтему изоб-
ражению кельзя судить о геометрической форме звезды, а

можно определять лишь её положение на небесной сфере.
Мощные телескопы с большими объективами, предназначенные
для изучения звездного неба, строятся не с целью повы-
шения разрешающей способности, а для того, чтобы обна-
ружить как можно больше астрономических объектов. Большой
телескоп в этом отношении имеет большие возможности, так как
количество поступающего света пропорционально площеди отверстия
телескопа.
ЗЛналогично обстоит дело и в случае обнаружения не самоове-
тящихся, а освещаемых объектов. Как бы мал ни был объект, он
всегда рассеивает в стороны падающее излучение. По этому
рассеянному излучению можно судить о наличии объекта и его
положении в пространстве. Именно эта идея испольэуетоя в
ультрамикроскопе.Объект, подлежащий обнаружению, освещается
интенсивным пучком света, направляемым на кего конденсором.
Оптическая ось ультрамикроскопа устанавливается перпендику-
лярно к оси пучка, так что прямой свет в объектив не попадает.
В объектив поступает рассеянный свет и дает дифракционное изоб-
ражение объекта, не имеющее никакого сходства с самим объек-
том, если размеры последнего меньше разрешаемого 'расстояния
микроокопа. При неизменном освещении яркость дифракционного
изображения в поле зрения ультрамикроскопа определяется
апертурой его объектива. Необходимы объективы с большими апер-
турами.В ультрамикроскопе наблюдаются не единичные малые
объекты, а большие совокупности их, например взвешенные колло-
идные чаотицы в жидкости.Разумеется, раздельные дифракционные
изображения частиц могут получиться лишь' прГи достаточно
высокой разрешающей споообнооти объектива. Расстояния между
частицами должны быть больше разрешаемого расстояний объек-
тива. Чтобы в поле арения попадало немного частиц и чтобы
расстояния между соседними изображениями были достаточно
велики, в ультрамикроскопах применяются большие увеличении,
превосходящие нормальное примерно в 10 раз.
-443 ~
§ 92. Телескоп без объектива. Получение изображений
о помощью малых отверстий.
; I. В принципе можно построить телескоп без объектива сколь
угодно высокой разрешающей способности. Роль объектива может иг-
рать круглое отверстие. Следующее рассуждение, принадлежащее Ре-
лею, разъясняет идею такого телескопа. Допустим сначала, что в
отверстие вставлен объектив. Лучи, идущие от какой-либо точки
объекта к ее изображению вдоль оптической оои и по периферии,
имеют различные геометрические длины. При отсутствии объектива
различны и их оптические длины. Объектив должен скомпенсировать
своей толщиной различие оптических длин всех лучей, чтобы они
приходили в точку-изображение в одинаковых фазах. Но небольшое
расхождение в фазах лучей мало сказывается на результате их ин-
терференции. Например, если интерферируют два одинаковых луча в
одинаковых фазах, то результирующая интенсивность превосходит
интенсивность отдельного луча в 4 раза. Если хе разность фаз сос-
тавляет , тс она будет превосходить в 2 tVz 3,42 раза, т.е.
изменится незначительно. Поэтому разности фаз'в или меньше мож-
но не принимать во внимание. Допустим теперь, чтс фокусное расстоя-
ние объектива увеличивается все больше и больше. Различие в геомет-
рических длинах центрального и крайнего периферийного лучей будет
становиться все меньше и меньше. Когда зто различие достигнет при-
мерно л надобность в объективе отпадает. Действительно, в
этом случае максимальная разность фаз между лучами, приходящими в
точку - изобретение от различных точек плоскости отверстия, не бу-
дет превышать , и компенсация ршитиЛ оптических длин стано-
вится практически не нужной. Отверстие будет действовать как объек-
тив телескопа. При увеличении фокусного раостоиния J разрежающая
способность объектива не меняется и все время определяется формулой
(88.6). Она останется неизменной и в предельном случае, когда/- оо ?
т.е. когда объектив совсем удален.
Разность геометрических длин крайнего периферийного
-444-
и центрального лучей составляет ^/8С • где
ТУ - диаметр отверстия, а -С. - длина телескопа,
которую можно считать равной фокусному расстоянию. Для оценки
£ приравняем эту раэнооть^/g и получим
t « -Д- • 02.1)
•Л 1
Эта формула показывает, что о практической реализации телескопа
беэ объектива не может быть и речи ввиду колоссальных разме-
ров, которые должен был быв иметь такой телескоп. Например,
прм ТУ-iju., л = 5000А* 5 16м
формула (Э2.1) дает
=21О6м ж 2000км. '
При гигантских раэмерах телескоп обладал бы ничтожной овето->
2. К идее беэлинэового телеокопа премыкает опособ получе-
ния иэображаний и фотографирования при помощи камеры о ма-
лым отверстием ( камеры- обскуры). Она отличается от беэлин-
зового телескопе только маситабами и возможностью,
практического осуществления. Поэтому приводимые ниже расдум-
дения относятся не только к камере о малым отверстием, нс
дополняют и уточняют теорию беэлинэового телескопа.
При уменьшении раэмеров отверстия четкость изображения в
камере сначала улучшается, а затем начинает ухудшаться
из-за дифракции. Дифракция не сущуственна при больших4
отверстиях, а при малых отверстиях становится основ-
ным фактором, определяющим четкость изображения. Оптимальные
размеры отверстия, при^соторых достигается наибольшая чет-
кость, легко оценить с помощью следующих соображений.
Пусть отверстие имеет форму круга радиуса 7? . Расстояние
до фотографируемого объекта может считаться бесконечно
большим по сравнению с глубиной камеры с . Вели бы была
применима геометрическая оптика, то светящийся точка иэобра-
-445--
вилась бы кружком того же'радиуса R . Ив-ва дифракции
TO’ifca тзобразится дифракционным кружком, радиус которого
йсфядк* • Уменьшать равмеры отверстия имеет
о'йысл лишь дс тех пор, пока дифракционные ошибки не превзой-
дут геометрические. Наилучшая четкость ивображения достигает-
ся при таких раамерах отверстия, когда вти ошибки примерно
одинаковы, т.е. при выполнении условия К ,
или Это значит, что равмер отверстия должен
быть порядка центральной френелевой воны. Релей,более
подробно исследовавший вопрос как теоретически, так и вкспе-
рмментальио, нашел дхя наивыгодяейшего радиуса отверстия
’ (92.2)
где О. и£*расотояния от отверстия предмета и его изображе-
ния.
446 -
§93, Фазовый контраст,
I. В зависимости от ’вида изучаемых объектов при работе
микроскопа следует различать два предельных случая. Одни
объекты, называемые абсорбционными, в различных меотах
обладают различной степенью прозрачности. Такие объекты в >
основном влияют на амплитуду проходящего света. Другие объек-
ты, называемые рефракционными, практически не поглащают света.
Имея в различных местах различные толщины м показатели пре-
ломления, они влияют не на интенсивность, а на фазу прохо-
дящего света. Типичными примерами абсорбционного и рефракцион-
ного объектов могут служить амплитудная и фазовая дифрак-
ционные решетки. Абсорбционные объекты дают контрастные изобра-
жения с хорошо выраженными границами между темными ш свет-
лыми частями. На них можно обнаружить все детали, доступные
разрешению при заданной разрешающей способности микроокопа.
Напротив, изображения рефракционных объектов почти лишены
контраста. В таких изображениях трудно, а часто и практичео-
ки невозможно разрешить детали изучаемого объекта, хотя бы
разрешающей способности микроскопа м было достаточно для втой
цели . u рзфралцилииыни
Причину такого различия между абсорбционнымйУструкту-
рами легко понять. Она состоит в том, что объектив микроскопа
воспроизводит в плоскости изображения то же распределение интен
смвности светового поля, которое существует в плоскости
объекта. Такое же распределение получается и на сетчатке глаза.
лонечно, зто воспроизведение неполное, а сглажено по мелким
деталям, не разрешаемым объективом микроскопа. При больших апер-
турах , когда в объектив попадают все дифрагированные мучки,
достигается наиболее детальное воспроизведение, принципиально
возмохноеири заданной длине световой волны. Если учесть, что
светочу i./'твителъные нервные окончания сетчатки глаза реагиру-
ют па интесивпость световой вслны, а не на её фазу, то
различие в поведении абсорбционных и рефракционных структур
станет вполне понятным.
С рефракционными объектами постояно приходится иметь дело в
биологии при неучении хотя бы микроорганизмов. Биологичес-
кие объекты в подавляющем большинстве случаев практически
оовериенно прозрачны в видимый области спектра. Отсутствие
контраста в изображении затрудняет изучение таких объектов.
Позтому проблема контрастности изображения стоит в биологии
оообенно остро . °дин из методов её решения состоит в
превращении рефракционных объектов в абсорбционные путем
дифференциального окрашивания объекта. Однако такой метод
не всегда возможен. Кроме того, он убивает живые организмы
или по крайней мере нарушает их нормальную жизнедеятельность.
Единственный метод изучения биологических объектов в естествен-
ных условиях состоит в том, чтобы воздействовать не на самый
объект, а на его изображение. Это достигается в методе фазо-
вого контраста, предложенного Цернике в 1934 году.
2. Идею метода фазового контраста проще всего выяснить на
примере периодической структуры - одномерной дифракционной
решетки. Различие между амплитудной и фазовой решетками
с интересующей нас точки зрения по оуществу уже было выяснено
в §85. Остановимся на атом вопросе более подробно.
Отвлекаясь от поляризации волн, будем, рассматривать
овет как окалярное волновое поле и представлять световые коле-
бания векторами на векторной диаграмме. Пусть свет падает
нормально на поверхность решетки. Допустим сначала, что решет-
ка амплитудная и состоит из чередующихся участков различной
прозрачности, причем на участках I прозрачность больше, а
на участках II - меньше. Для простоты (зто несущественно
для выяснения существа вопроса) предположим, что участки
I и II имеют одинаковую ширину. Колебание на выходе участ-
ка I изобразится более длинной стрелкой CLt чем колебание
на выходе участка II, представляемое стрелкой (рис.206).
Так как амплитудная решетка не вносит разности фаз между
волнами, п^оиедлщи через различные учаотки её, то обе
стрелки CL и £ будут направлены одинаково.
-448-
Рис. 206

Допустим теперь, что решетка фазовая -к геометрически
подобна рассмотренной амплитудной решетке, т.е. состоит из
чередующихся участков той же ширины, влияющих на фазу,
но не на амплитуду волны. Колебания на выходе этих участ-
ков изобразятся стрелками Jt и & одинаковой длины, но раз-
лично направленными (рис. 206, положение а). Поскольку сущест-
венна лишь относительная разность фаа между обоими коле-
баниями, стрелки _^*ш можно повернуть на один и тот
же угол, ничего не меняя в физических условиях задачи.
Поэтому не нарушая обцнооти. можно преполоиить, что бцссект-
ри(?аГмежду векторами jf и% горизонтальна, т.е. парал-
лельна поверхности решетки. Разложим каждый из векторов
и % на горизонтальную и вертикальную составляющие:
* С~, (рис. 206, положение
б). Допустим теперь, что оба вектора 2” и-с" повернуты на 90°
в одном и том же направлении в положения 2"' и-сГ^рис. 206,
положение в). Тогда на выходе участков I и II колебания пред-
ставятся векторами ct и ,
параллельными поверхности решетки. Поле на выходе - фазовой
решетки будет иметь такой же вид, что и на выходе амплитудной
решетки. Поворот на 90° означает изменение фаз соответствую-
щих колебаний на такой же угол. Таким образом, изменением
фазы колебании на 90° можно превратить фазовую решетку в амп-
литудную. В зтом и состоит идея метода фазового контраста.
При рассмотренном повороте по часовой стрелке вектор
имеет большую длину, чем вектор о . Это значит, что
светлым местом д изображении амплитудной решетки будут
соответствовать светлые же места в изображении фазовой решет-
ки, а темным- темные (позитивный фазовый контраст). Если векторы
и -С повернуть на 90° в противоположном направ-
лении (рио. 206, положение г), то соотношение меДду длинами
векторов а и 8 , а о ним и соответствие между светлыми
ш темпами частями заменятся на противоположные (негативный
фазовый контраст).
3. Чтобы повернуть векторы С и -7 , сохраняя неизменный
направление вектора _/) , надо прекде всего пространственно
-4УО -
разделить волновые поля, представляемые этими векторами.
Полное колебание на выходе решетки можно разбить на два
колебания. Одно колебание имеет постоянную амплитуду
ва протяжении всей решетки и изображается постоянным век**
тором 2) • Оно дает в фокальной плоскости.объектива централь-
ный максимум нулевого порядна и не влияет на все остальные
максимумы. Другое колебание представляется периодической
функцией, которая равна +7 на одних участках решетки в
-(? на соседних участках. Так как среднее по периоду
решетки значение такой функции равно нулюутакое колебание
будет возбуждать только боновые максимумы, не оказывая
никакого влияния на центральный максимум нулевого порядке»
Таким образом, в фокальной плоскости объектива оба колебания
окажутся пространственно разделенными. Одно концентрируется
в центральном максимуме, другое распределяется по всем осталь-
ным - боковым - максимумам. Поставив на пути либо централь-
ного максимума, .либо всех боковых максимумов прозрачную плос-
ко-параллельную пластинку надлежащей толщины, можно вмести
э необходимую разнооть фаз в 90° и тем самым осуществить фаэовы!
контраст. Такая плаотинка называется фазовой.
4. До внесения фазовой плаотинки энергия на участке I в
условных единицах представляется выражением .
Такова же энергия на участке II. Полная энергия на обоих
участках равна 2. (jD +Сг) . После поворота векторов сГ
и —<Г на 90° энергии на участках I и II будут равны
соответственно (2) *с ) и ( 2) — с )* а нх сумма
2. (D + Сл). • Таким образом, энергия не изменяется ,а
линь перераспределяется между участками "*.* I ж II»'
?тим перераспределением н объясняется просветленна участ-
ков I и потемнение участков II.
-*5f-
§ 94. Измерение углевых диаметров звезд
звездным интерферометром Ыайкельсона.
I. Допустим, что перед объективом телескопа помещен экран
о двумя круглыми отверстиями, расстояние между центрами которых
Закроем сначала правое отверстие.
Свет от звезды после дифракции на открытом - левом - отвер-
стии даст в фокальной плоскости объектива систему дифракционных
.колец. Положение и размеры колец будут зависеть только от разме-
ров отверстия, но не от его положекид в плоскости экрана. Поэто-
му, если ^^рытЬ'левое отверстие и открыть правое, то дифракцион-
ная картинаУмоскости объектива, как она представлпется главу,
не испытает никаких изменений. Если затем открыть оба отверстия,
то одна система дифракциовных колец точно совместится с другой.
При этом не получится, однако, простого усиления яркости дифрак-
ционных колец. Дифракционная картина претерпит качественные из-
менения. Это оияэано с тем, что фаза колебаний, приходящих от
одного отверстия в каждую точку фокальной плоскости, зависит от
положения отверстия. Когда открыты оба отверстия, исходящие из
-452-
них пучки, поскольку они когерентны, будут интерферировать в фо-
кальной плоскости объектива. В результате такой интерференции на
дифракционные кольца наложится система интерференционных полос,
Рис. 208
Уг&вос расстояние между соседними светлыми или темными полосами
равно , если оыотреть из середины экрана.
Допустим, что звезде двойная с угловым расстоянием между ее
компонентами , Тогда максимумы интерференционных полоо от
одной авезды наложатся на минимумы другой: интерференционные по-
лосы либо пропадут, либо их видимоотьсдеЛается ваименьией. На атом
основан интерференционный метод измерения угловых расстояний меж-
ду компонентами двойных звезд, идея которого принадлежит физо .
Надо менять расстояние между отверстиями 01 tO{ до тех пор, пока
не пропадут интерференционные полосы, или пока их видимость иа
сделается наименьшей. Если X) - расстояние между отверстиями в
этот момент, то угловое расстояние между компонентами двойной
звезды найдется по формуле
Л
(94.1)
-453-
Тот жбИЛоД припечии и для измерения угловых диаметров
одиночных звобд. Для того чтобы не затушевывать сущность дела
матаматическийм выкладками, допустим сначела, что звезда излу-
чает как равноценно светящийся квадрат, плоскость которого па-
раллельна фомальЙбЯ плоскости объектива, а одна пара противо-
положных сторон пвДШельна прямой Ot Ог , соединяющей цент-
ры отверстий 0t» Q; Пусть угловой размер стороны квадрата бу-
дет оу - -5- . Тогд^ можно мысленно разбить весь квадрат на па-
ры узких одинаковых полосок, угловое расстояние между которыми
равно ^/gZ)» Согласно формуле(94,1) каждая пара таких полосок
не даст интерференционных полос. Следовательно, интерференцион-
ные полосы не получатся и от всей звезды. Таким образом, уве- f
личивая расстояние между отверстиями Otu Q , можно в этом слу-
чае двоиться исчезновения интерференционных полос* Если
- расстояние между отверстием в момент исчезновения, то
угловой раамер звевды найдется по формуле:
Если предположить, что звезда излучает как равномерно све-
тящийся диск (что ближе соответствует действительности), то вы-
числения, которые будут приведены в пункте 4 этого параграфа, по-
казывают, что интерференционные полосы пропадут, когда
2. Угловые размеры Лу»', даваемые формулами (94.2) и (94.3),
совпадают с разрешаемым расстоянием телеокопа. Может поэтому по-
казаться, что интерференционный метод не имеет преимуществ перед
непосредственным намерением диаметра звезды с помощью телескопа.
В дейотвительности это не так* Еоли угловой размер звезды поряд-
ка (94.2) мхи (94.3), то еа изображение в телескопе настолько,
мало отличается от изображения точечного источника, что непос-
редственный метод становится практически не пригодным. Интер-
ференционный же метод дает в этом случее еще хорошую точность.
Однако применение интерференционного методе нзталкивает-
-454-
y/t, не следующую трудность. Для того, чтобы интерференционные по-
лосы исчезли, е зто необходимо по идее оеыого истоде, нужен те-
лескоп о большим диаметром объектива. Физе укезел способ как
преодолеть эту трудность. Идея фиэо была использована Мейкель-
оонем, соединивши телескоп о интерферометром.
Принципиальная схема устеновки Мейкельсона показана на
рис. 209. Лучи от звезды падеют яа- две круглых отверстия Ot Я
Рис. 209.
-4S5--
Ц м после отражения от зеркел^,*/^ " попадают в
объектив телескопа. Если закрыть отверстие Ог , то из-за дифрак-
ции на краях отверстия Ot в телескоп будут видны дифракционные
кольце. Если открыть Oj, и закрыть Ot , то получится такая же
система колец, но сдвинутая относительно первой. Поворотом зер-
кал JUt и У/^ее можно оовместить с первой системок. Тогда диф-
ракционные кольца снова будут пересечены интерференционными по-
косами ( рис. 206). Изменяя расстояние между отверстиями Oi и
* Ог о одновременным перемощением зеркал JU,и JUt , можно добить-
ся либо полного исчезновения полос (в случае одиночной звезды),
либо их наименьией видимости (в случае двойной звезды, состоя-
щей из двух различных компонентов. Зная расстояние между цент-
рами отверстий Of и Ot в этот момент, можно вычислить угловой
размер звезды.
3. Чтобы понять дейетвие установки Мейкельсона, заметим,
что можно отвлечься от неличия авеады. По принципу Гюйгенса ее
, можно замевить действием вторичных источников света, распреде-
ленных в плоскостях отверстий О, и Q» Не теряя общности, мож-
но для простоты взять отверстия бесконечно мелыми. Тогда
действие авезды сведется К действию вторичных точечных источни-
ков Дм Д. помещенные в центрах отверстий Ot и О* (рис 2Ю
ри£.20[ л
Рис 210.
-454-
Если от звезды идет пучок параллельных лучей, перпендикулярных
к плоокооги зкрвнв О, Q , то фазы вторичных источников я
будут одинаковы. То хе самое справедливо и для ынииых вто-
ричных источников и являющихся изображениями
£ и в плооких зеркалах. Таким образом, зеркала как бы сбли-
жают источники и и гем самым делают интерференционные
полосы шире.
Допустим теперь, что вблизи первой звезды на угловом рас-
стоянии о от нее находится вторая звезда. Волновой фронт от
второй звезды будет достигать отверстий Ot и О* нс одновремен-
но. Ревность ходе макду лучами, приходящими от второй звезды в
Д ш , будег2)-<Гр , где J) - расстояние между Д и
. Если зте разность хода равна , го вторичные источ-
ники Д и , заменяющие действие второй звезды, будут нахо-
диться в противоположных фазах. Следовательно, максимумы интер-
ференционных полос, даваемые второй звездой, наложатся на мини-
мумы интерференционных полос от первой звезды. Интерференционные
полосы либо пропадут, либо их видимость станет наименьвей. Это
произойдет, когда Таким обревом, мы снова приходим и
формуле (94.1), причем2) овнечвет расстояние между центрами
отверстий Q и Ол . Аналогично, в случае одиночной ввезды,
излучающей кек ревномерно светящийся квадрат или диск, полу-
чаются формулы (94.2) и (94.3).
Теиим образом, нет недобнооти в телесиопе с больяим объек-
тивом. Необходимо только иметь возможность достаточно далеко
реэдвигеть отверстия Ot и Q с верквлвыи JU, и . Это
предъявляет весьма жестокие требования к механическим качествам
установки. Случайные колебания зеркал с амплитудами, составляю-
щими незначительные доли длины волны, оделели бы намерения по
этому методу навовможными. Допустим реди простоты, что центр
веривла все время оотеегоя неподвижным, а его концы испытыва-
ют беспорядочные смещения порядка к. . Если бы зеркало было
абсолютно твердым, го такие смещения вызвали бы беспорядочные
вращения плоскости зеркале не углы порядка , гдед^-
диамятр зеркале. Благодаря этому отраженные от заркеле лучи
беспорядочно меняли бы овсе направление иа углы порядка .
-457-
Это повело бы к дрожанию дифракционных колец. Для того чтобы
получились устойчивые интерференционные полосы, необходимо, что-
бы угол был мал по сравнении с угловым расстоянкем между
авеэдами , что дает Л • Если 310 условие на соблю-
дается, то устойчивых интерференционных полос на получится.
Хотя действительные беспорядочные колебании зеркал сложнее рас-
смотренных беспорядочных врацениИ приведенный пример дает пра-
вильное представление о трудностях,которые должны быть преодо-
лены при конструировании прибора. Майкальрон успешно с этой
справнлоя с этой задачей.
4. Найдем теперь условие исчезновения мжер>еронционных
•олоо в предположении, что звезда излучает кек равномерно све-
яцийся диск. Для простоты ресчетв предположим, что отверстия
Ot eOt очень малы, а следовательно, дифракционные кольца
тчень широки. Пусть главная оптическая ось телескопа проходит
черев центр звезды. Каждую плоцадкудТ’на диске звезды будем рас-
-45в-
лярно к пран. <v - в»**нмиifrO'r^eimia*
О и площадку dF. Угол между этой плоскостью и главной опти-
ческой осью объектива обозначим У . Пусть означает интен-
сивность дифрагированного света от источника dF в некотором
фиксированном направлении, когда открыто только отверстие О,,
a d% - интенсивность дифрагированного света в том хе направ-
лении, когда открыто только отверстие Ог • При одинаковых от-
верстиях d^ = d?Jt . Обе интенсивности пропорциональны злемен-
ту площади dF • Коэффициент пропорциональности примеи рав-
ным единице, что не нарушит общности рассуждения, так как в
наией задаче имеет значение только относительное распределенне
интенсивности. Если открыть оба отверстия, то выходящие из них
пучки будут интерферировать, и для результирующей интеноивноотм
от злемента dF в рассматриваемом направлении получится
СОЗ бГ“ 2dF({ f-COS 4
где £ - разность фаз между обоими интерферирующими пучками.
Для её нахождения заметим, что разность фаз между вторичны-
ми источниками 11 (рио. 210), а следовательно и между
мнимыми вторичными источниками 3* и , составляетkDslnp.
Можно отвлечься от наличия зеркал и вести раочет так, как
если бы перед объективом телескопа находились только когерен-
тные источники Д * и , сдвинутые по фазе на kD strip.
Фиксируем в плоскости рисунка некоторое направление OtPt или
параллельное ему направление^рис. 212), составляющее угол
X г с главной оптической осью объектива. Тогда для этого иапра-
вленин
(Г-к (D sin у-asin^ ~(F)y~a^t
-4S9-
Рис.212.
гд« CL- расстояние между источниками Д*и^ • Полученное
выражение приближенно справедливо н в том случае,
когда прямая OtPf выходит иа плоскости рисунка. Только в
атом случае под Д следует понимать угол между главной
оптической осью телескопа и плоскостью, проведенной черев
Qty перпендикулярно к плоскости рисунка.
Так как волны, излучаемые отдельными алиментами све-
тящегося диска, некогерентны, то интенсивность светового
поля в направлении O,ty найдется интегрированием
всей площади диска. Вводом в плоскости диска полярные
координаты "2 и ОС . Выберем такую единицу для Z ,
чтобы 2 численно равнялось углу, под которым видно
ею расстояние о Вемли . Тогда
<Р= X. ^ г,созл;
(1* cos&}c£F' dF’
где Zfe’*2jcLP**2lR ( ft — радиуо звезды ). Подстав-
ляя вместо <Г" её значение, поздачим
+2cos-&t-
° В О gf
+2sin ^SJL Jg<& fc.
о О
-400-
Ввиду четности косинуса и нечетности синуса последний
интеграл обращается в нуль. Поэтому, используя известные
формулы : гх
J cos(x cos<l) Ж*. =
о
получим
ЕслиОц—%-------’ 10 интвнсивЕ0сть будет меняться
с изменением угла Ji : в фокальной плоскости объектива те-
лескоп получатся интерференционные полосы. Угловое расстся -
ние Л между максимумами ( или минимумами) интерферен-
ционных полос определится из условия ' «2Я”, т.е.
равно Л Л~ . Оно зависит только от Л , в согласии
о тем, что было оказано в пункте X» То обстоятельство,
что подучились одни только интерференционные полосы, а
дифракционные круги ие получились, овявано о предположе-
нием о малости отверстия. Это упрощающее предположение на-
бавило нао от громоздкого интегрирования по площадям отвер-
стий Of и О* , В сущности, полученное решение годится
Л , когда дифрак-
центральное пятно,0ма
отверстий вблизи цеит-
кружка •.
для бесконечно малых отверстий О, и Ot
цисннме кольца вырождаются в одно
Годится также и в олучае конечных
ра центрального дифракциониогоь
Если д • 10 согласно (94.4) получится рав-
. номерная освещенность: интерференциоцнш полосы пропадут*
Это проиаойдат , когда аргумент — будет 1,22{Г}'
2,23 ST и т.д, В частности , первое ночевиевенио.интер-
ференционных полос произойдет , когда 2И-(22£.

Поскольку 1 наших единицах 2R равно угловому диаметру
авеэды, этот результат совпадает о (94.3) .
4» В интерферометре Майкельсона зеркала JLL, и JUt могли
быть раздвинуты до расстояния 2) - 6,1 метра. Интерфе-
ренционные полосы от эвезды Бетельгейзе исчезали при
306,5см, хотя при том же расстоянии интерференция от
других эвезд прекрасно наблюдалась. Считая эффективную
длину волны для Бетельгейзе равной^=5,75. 10“^ ом,
получим£у>*0,047? Параллакс для зтой звезды составляет
0,003. Это дает для линейного диаметра звезды около
9‘доВкм, что превосходит диаметр орбиты Мароа . Измере-
ния Майкельсона были выполнены в двадцатых годах наше-
го отолежия, когда астрофизика в современном ев понимании
еще только зарождалась» Результаты этих измерений произвели
сильное впечатление иа современников» Майкельсон начал
отроить интерферометр с баэой 15,24 м, ио смерть
поиеиала оеуцествять это намерение.
- 462 -
§95. Дифракция на двумерных и трехмерных решетках
Дифракция рентгеновских лучей.
1 .Двумерной решеткой называется всякая структура, свойства
которой периодически меняются в двух различных направлениях.
Примером могут служить две одномерные решетки, положенные
одна на другую таким образом, что .штрихи одной решетки пере-
секаются со штрихами другой под некоторым углом. Ди фракцион-
ная картина такой структуры также может быть получена пу-
тем наложения дифракционных картин от соответствующих .
одномерных решеток. Трехмерные или пространственные рсш>тки <
обладают периодичностью в трех различных направлениях.Они
создаются самой природой в виде кристаллов, идея рассмат-
ривать кристалл как дифракционную решетку и использовать
его для осуществления дифракции рентгеновских лучей впервые
была высказана Лауз в 1912 году. По указанию Лауз его
сотрудники Фридрих и Книппинг направили узкий пучок
•плотного рентгеновског^злучения на монокристалл и полу-
мили на фотопластинке картину дискретных, правильно рас-
положенных пятен, возникших в результате дифракции рентге-
новских лучей на кристаллической ренетке. Этот ооновопо-
логающий опыт не только установил волновую природу рентге-
новского излучения. Многие физики считают, что с этого опы-
та начилась современная физика твердого тела. Он впервые
принес экспериментальное докаэательотво давно высказывав-
шейся кристаллографами гипотиэы о структуре кристаллов
из частиц, правильно и периодически расположенных в простран-
стве. Из этого опыта воэникли два вправления в физики :
рентгеновская спектроскопия и рентгене- структурный анализ.
Рентгеновская спектроскопия использует естественные крис-
таллы известной кристаллической структуры для анализа рентге-
новского излучения и измерения длин волн. Реитгеио - струк-
турный анализ, напротив, попользует рентгеиовокое излучение
известной длинны волны для выяснения кристаллической структу-
ры кристаллов и измерения параметров этой структуры.
-4<У -
Кристалл оказался наиболее подходяще 11 дифракционной решет-
кой для получения рентгеновских лучей, так как вхвиду це-
лости длины волны пос- -;их обычные оптические дифракционные
решетки являются для рентгеновских волн слишком грубыми.
По сравнения о оптической дифракцией дифракция рентгенов-
ских лучей обладает той особенностью, что она должно осу-
неотвлятьоя бея линз и зеркал ввиду отсутствия материалов,
ив которых можно было&швготовить эти преслособления.
2 . Ниже приводится качественное рассмотрение явлений диф-
ракции рентгеновских лучей в Кристалах. Разбор вопроса
удобно начать с дифракции на прямолинейной цепочке, состоя-
щей из одинаковых равноототояцих частиц (атомов).Расстояние
обозначим буквой Л . Пусть на.такую цепочку под углом
скольжения СИЛ падает параллельный пучок рентгеновских
лучей (рис* 213). Разность хода между лучами, рассеянными
оообдними атомами под углом ОС , определяется выражением
AD-CB -а (сот- сот*) .Условие интерференционного
усиления этих лучей имеет вид
a (coscu- eosa. )=тЛ (95.1)
(fn*O, t2, ... ) .Оно определяет положе-
ния дифракционных максимумов в фраунгоферовой дифракционной
картине, т.е. на бесконечных расстояниях от цепочки. Бес-
конечными могут считаться такие расстояния Z , которые
удолетворкют условию^
-4*4-
, <’5-г>
где С - длина цепочки. Ввиду ..злости длин рентгеновских
волн, вей расстояния всегда очень велики • Так,
= Ю ? . условие (95.2) дает £> мJU*10им
Таким'образом, для осуществления фраунгоферовой дифрак-
ции потребовались би - очень больше расстояния. В реаль-
ных опытах фотографическая пластинке, регистрирующая диф-
ракционную картину, стаиится на расстоянии в несколько де-
сятков сантиметров от рассеивающего объекта или меиьле,
а потому ш о какой фраунгоферовой дифракции не может быть
речи.
Возникает вопрос, какое отношение имеет формула
(95.1) к реально наблюдаемой дифракционной картине. Воп-
росы такого типа ухе рассматривались в §85. Полный ответ
на поставленный вопрос можно было бы получить,'рассчитав
•гфрагирозэнное поле не только на далеких, но и на блиаких
расстояниях. Это можно сделать по ыетоду Релея • Мы не
будем заниматься такими расчетами, а ограничимся качествен-
ными физически;.!;! соображениями. Но аналогии ° плоской
дифракционной решеткой можно заключить, что поле на любых
расстояниях от цепочки можно представить в виде оупперпозн-
ции цилиндрических волн, амплитуды которых аавиоят от наврав
ления их распространения. Среди этих волн будут представле-
ны и неоднородные волны. Но онн аатухают на расстояниях по-
рядка О , а потому в обсуждаемом наш вопроое могут не
"приниматься во внимание. Чем длинее цепочка, тем реаче
амплитуда волны зависит от направления распрстронешя.
Для бесконечн. длинной цепочки амплитуда отлична от нуля
только дня дискретных значений угла А • Чтобы найти эти
значении, достаточно знать поле в бесконечности, где можно
воспользоваться простыми формулами фраунгоферовой дифракции
Это простое рассуждение показывает, что условие ( 95,1)
определяет направления, вдоль которых могут распроатранятоя
рассеянные цилиндрические однородные волны на любых расотоя-
4W-
детях от цепочки. Наблюдаемые максимумы вовсе не являются
интерференционными максимумами, в которых сходятся волны
а одинаковых фазах. Они возникают в результате пересече-
ния плоокости фотопластинки с рассеянными пучками лучей,
исходящими из цепочки в различных направлениях. Максимумы
могут наблюдаться на всех расстояниях от -• чки, где зти
пучки не перекрываются. Тем самым установлена связь между
условием фраунгоферова дифракционного максимума (95.1) и
реальными опытами .
При фиксированном угле условие (95.1) определяет
дискретный набор углов ОС , удовлетворяющих этому усло-
вию. Оно выделяет в пространстве дискретное семейство кону-
сов, вдоль образующих которых могут распространяться
дифрагированные пучки лучей. В сечении таких конусов
плоскостью фотопластинки получается дискретное семейство
вл'ипоов или гипербол в зависимости от направления этой
пл ькости. В частности, когда плоскость плаотинки перпенди-
кулярна к направлению цепочки, возникает семейство концент-
рических кругов .
Двумерные и трехмерные решетки могут быть простыми и
составными. Мы называем решетку простой , если она поотрое
да из одинаковых атомов. Если же решетка состоит из атомов 2-х
или нескольких типов, то она называется составной .
Составная решетка состоит из нескольких простых решеток,
вставленных друг в-друга. Дифракционная картина , возникаю-
щей при дифракции рентгеновских волн на составной решетке,
получается в результате интерференции дифракционных картшн
от простых решеток,.ив которых опа состоит. Поэтому доста-
точно ограничиться рассмотрением. дифракции на простых решет-
ках.
Если какие -либо два атома простой рещетки соединись
прямой линией, то в периодичности распределения ато-*
нов в пространстве на этой прямой окажетоя беоконечне мно-
го атомов, находящихся на одинаковых расстояниях друг от
друга. Такие прямые цы будем называть атомными прямыми, а
плоокости, в которых располагаются атомы,- атомными плоскос-
-466-
тями. Всю неограниченную решетку можно рассматривать как
бесконечную двояко-периодическую систему параллельных атом-
ных прямых или как бесконечную однократно периодическую
систему параллельных атомных плоскостей. Оба эти предс-
тавления но единственны, а могут быть выполоны босконеч
ным множеством способов. Три произвольные атомные прямые,
но лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в каком — ли-
бо атоме, можно принять за координатные оси Х,У,^ прямо-
линейной ( вообще говоря, косоугольный) системы координат.
Тогда координаты атомов простой решетки представятся! вы-
ражениями
СНП.
(£тп..п = Ottf, +2,
где CL, , CL£ , Oj _ постоянные, называемые периодами ре-
шетки. Элементарной ячейкой такой решетки является паралле-
лепипед с ребрами CL, t аг , а3 } В вершинах которого нахо-
дятся атомы.
Пусть на простую решетку падает параллельных пучок
рентгеновских лучей, образующий углы О(„,^Зв , Л °
координатными осями X,У , Z . Для того чтобы волны,
рассеянные всеми атомами в направлении прямой, составляю-
щей углы <Я,уЗ, с координатными осями, при интерферен-
ции усиливали друг друга, должны выполняться условия
f
a, (cnsа. - cosa0) = , |
z ч l (»•♦)
(cosjb - со^<,) = (
(т, , тл = О, - 1, , ... j } называемые
условиями Лауз. Необходимость первого условии станат оче-
видной, если заметить, что оно является условием интерфе-
ренционного усиления воли, рассеяных под углом о* к осн X
-46?-
атомами каждой атомной прямой, параллельной этой оси.
Аналогичный смысл имеет и остальные два условия. Но
условия (95.4) являются и достаточными для интерференцион-
ного усиления воли, рассеянных в рассматриваемом направле-
нии всеми атомами решетки. Действительно, проведем через
произвольный атом I атомную прямую, параллельную оси X .
При выполнении первого услввия (95.4) в направлении под
углом СС к зтой прямой получится интерференционный макси-
мум. Проведем теперь через тот же атом I атомную прямую,
параллельную оси У • При выполнении второго условия (95.4)
все атомы зтой прямой рассеивают волны в рассматриваемом
направлении в той же фазе, что и атом 1.
Значит, все атомы обеих атомных прямых, а с ними и
все атомы, лежащие в их плоскости, будут посылать волны
в том же направлении также в одииаковыхи фазах . Таким
образом,выполнение первых двух условий (95.4) означает
интерференционное усиление воли, рассеиваемых в рассматри-
ваемом направлении всеми атомами любой атомной плоскости, ,
параллельной координатной плоскости ХУ • Аналогично убе-
димся, что при выполнении еще третьего условия (95.4)
будет иметь место интерференционное усиление волн, рассеян-
ных всеми 'такими атомными плоскостями. Тем самым доста-
точность условий Лауз (95.4) доказана.
4. Дифракционная картина, возникающая на фотопластинке,
поставленной на пути рентгеновских пучков, рассеянных
монокристаллом в опытах типа Лауз, называется лаузграммой.
Как разънсноно при выводе формулы (95.1) , для правильного
понимания формул Лауз надо иметь в виду, что в реальных
опытах они вовсе но являются условиями возникновения
фраунгофоровых дифракционных максимумов. Формулы Лауз ука-
зывают направления пучков, возникающих при дифракции иа
кристалле. Физический смысл лаузграммы хорошо иллюстри-
руется аналогией с отражением светового пучка от мно-
гогранного зеркала. Здесь возникают отраженные пучки, рас-
пространяющиеся в различных направлениях. При падении
-468 —
на экран они дают систему правильно расположенных свет-
лых пятен, аналогичную лауэграмме, возникающей при диф-
ракции рентгеновских лучей.
Рассмотрим сначала лауэграмму от двумерной кристаллы
ческой реиетки. В этом случае три условия Лауз
(95.4) сводятся к двум. Если плоскость реиетки принять
за атомную плоскость ХУ , то останутся тольно два пер-
вых условия (95.4) Первое условие (95.4) означает, что
максимумы лежат на поверхности конуса, образующего угол
d с осью X • а второе-на поверхности другого конуса,
образующего угол с осью У '. Прямые, по которым пере-
секаются поверхности обоих конусов, указывают напра?ле-
ния дифрагированных пучков. При пересечении таких пучков
плоскостью фотопластинки вовникают дискретные дифракцион-
ные максимумы, расположенные вдоль эллипсов, гипербол или ,
кругов в зависимости от направления этой плоскости; Максиму-
мы могут н не получиться,если или cojs , или обе этц
величиныf вычисленные по формуле (95.4), окажутся по мо-
дулю больне единице.
Рассмотрим теперь трехмерную решетку. К двум конусам,
выделяемым первыми двумя условиями (95.4), теперь добавляет-
ся еще третий конус, образующие которого составляют угол
о осью Z . Дифрагированные пучки должны одновременно лежать
на поверхности всех трех конусов, ио три конуса, вообще
говоря, не пересекаются вдоль общей прямой. Отсыда_рледует,
что при падении на монокристалл монохроматического рент-
геновского луча дискретные пучки рассеянного излучения, вообще
говоря, ие возникают, а рассеяние происходит более или мене»
равномерно во все стороны. Исключение состав только
прямой луч, проходящий черев кристалл бев иаменения->направн
ления. Но для определенных длин волн три конуса могут
иметь общие обравующие. Для таких длин волн лаувграмма
может быть получена и от трехмерной кристаллической реиетки.
Поэтому для получения лауэграмм от трехмерных решеток
требуется сплоииов рентгеновское иэлучекие. В сполошном
нвлучении всегда присутствуют такие длины воли, для которых
- 469-
выполняются все три условия Лауз (95.4). Таким образом,
если бы глаз наблюдателя обладал способностью восприни-
мать рентгеновские лучи и различать их цвета, то лауэграмма
представлялась бы для него цветней, т.е. состоящей из
пятен разноге цвета.
Подтвердим полученные результаты простым вычислением.
Предположим , что простая кристаллическая решетка принад-
лежит к ромбической системе, так что элементарная ячейка
будет прямоугольным параллелепипедом. Пусть для некоторой .
длины волны А условия Лауэ (95.4) выполняются. Разрешим
их относительно coy a, coys, cosj~, возведем в квадрат
и сложим почленно. Тогда принимая во внимание соотношения
cos* а. + COS*ji =/ cosld.a+c-os^cosl^i)
после простых преобразований получим
. 2 (тп, cosa„+m2 cosji.+micosj'a) (95*5)
=~ з z i
тп, + mt + тп3
Только при этом условии уравнения (95.4) совместны. Оно одно-
значно определяет длину волны, при которой может получить-
ся дифракционный максимум выделяемый целыми числами
углами
5. Происхождение дифракционных картин, возникающих при диф-
ракции рентгеновских лучей, можно трактовать несколько ина-
че. Такая трактовка была дана английским физиком Вильямом
Брэгом и независимо от него русским кристаллографом Вульфом.
Проведен в кристалле произвольную атомную плоскость ЛИ .
(рис.214а.). Еоли на нее падает рентгеновский луч то
под тен же углом возникнет отраженный луч ON . В том же
направлении возникнут лучи, отраженные атомными плоскостями,
параллельными плоскости ЛЛ . Интенсивность луча, отраженяо-
го отдельной атомней плоскостью, слишком мала, чтобм произ-
вести заметное действие,,, последнее может возникнуть лишь
в результате интерференционного усиления всех лучей , отра-
-470-
женных рассматриваемыми атомными плоскостями. Все лучи дай*
ны отражаться в одинаковых фазах. Разность хода (POQ.
между лучамм , отраженными соседними плоскостями, равна
2.d sin& ♦ r«e d - расстояние между этими плоскоо-
костями. Поэтому для интерференционного усиления должно
выполняться условие
. 2 dsin# = 77? Л ,
называемое условием Брэгга - Вульфа ( т*О, ).
Каков бы ни был угол скольжения & и порядок стражи *я т
всегда найдутся длины волн Л • удовлетворяющие увечию
(95.6). Только волны с такими длинами могут отражаться от
'рассматриваемых атомных плоскостей. е
Таковы, например, плоскости, параллельные а? ъ№ой плос-
кости ^'или атомнэй плоскости^рис214 б). От tcex этих
плоскостей возможно интерференционное отражал е. И диф-
ракционную картину можнс рассматривать как м^хЦкупность
рентгеновских пучков, претерпевших отражения на таких
атомных плоскостях.
Против последнего заключения можно , однако, выдвинуть
следующее возражение. Рентгеновский пучок JUO , падающий
-47f-
на атомную плоскость ЛА ( рис.214 а), дает не только
отраженный пучок ON , но и боковые дифрагированные пуч-
ки, которые при определенных условиях могут усиливаться
пучками того же направления, дифрагировавшими на параллель-
ных атомных плоскостях. Такие пучки не были учтены в на-
них рассуждениях. Поэтому может показаться, что метод
Брзгга - Вульфа дает не все возможные дифракционные пуч-
ки в дифракционной картине. Следующее простое рассуждение,
устанавливающее эквивалентность условий Лауэ и условия Брэг-
га - Вульфа, показывает, что это не так.
6. Примем векторы , ал , ал , . являющиеся
ребрами элементарного параллелепипеда кристаллической решет-
1 ки, эа базисные векторы косоугольной системы координат .
Тогда радиуо - вектор каждого атома решетки представится
выражением
г =* ха, + zaa , (95.7)
в котором координаты х, z могут принимать целочис-
ленные значения. Пусть $7 “ единичный вектор, проведен-
ный в направлении падающего луча, a s' - единичный
вектор, указывающий направление одного иэ дифрагированных
Тогда уолошя Лауз (95.4) можно записать в следующей век-
торной форме

(T-S^a, “ГП.Л
(95.8)
(Г- 1)^“^ -
“* у
Вектор N ~ 5 ~ 5О направлен параллельно биссектри-
се утла, образованного падающим и отраженными лучами.
Введя этот вектор, получим
(Ма^тД, (Naj-nw
Через атом, находящийся в начале координат 0 ( проведем . '
плоскость, перпендикулярную к вектору Д/ . Докажем, что
она является томной плоскостью. Уравнение рассматриваемой
плоскости имеет вид (NTJ “О • Для того чтобы атом
о координатами (95.7) лежал в этой плоскости, необходимо
и достаточно, чтобы его координаты удовлетворяли уравнению
(Na,)x + (Najy+ (ffaA)z ~О,
или ввиду ооотноиений (95.9)
т, х + гпгу+ т^г -о.
Каковы бы ни были целые числа гп, , гпг , mj , сущест-
вует двухпараметричеокое оемейотво целочисленных решений
этого уравнения. Тем самым доказано, что плоскость Аг )-О
является атомной плоскостью. *
Иэ доказанного следует, что для любого дифрагированного
луча ЗГ можно укаэать атомную плоскость, а следователь-»
но и бесконечное оемейотво параллельных атомных плоскостей,
при зеркальном отражении от которых возникают лучи того же
направления, что и рассматриваемый дифрагированный луч.
Тем самым доказано, что условием Брэгга - Вульфа охватывают -
ся все направления, по которым могут распространяться
-4-73-
дифрагированные рентгеновские пучки. Значит,каждый боковой
дифракционный пучок, возникший при дифракции на той или
ной атомной плоскости, совпадает по направлению с пучком,
зеркально отразившимся какой то другой атомной плоскостью.
Направлениями зеркально отраженных лучей исчерпываются все
возможные направления на дифракционные максимумы. Конечно,
не всякие атомные плоскости эффективно отражают и дают
максимумы,действительно наблюдающиеся на опыте. Необходимо,
чтобы атомные плоскости были усеяны атомами достаточно
плотно. Иначе интенсивность отраженных лучей может ока-
1 заться настолько малой, что они не проявят никакого
действия на опыте.
7. В связи о изложенным необходимо уточнить омыол условия
Брэгга - Вульфа. Выделим какое-либо оемейотво параллельных
атомных плоскостей и рассмотрим лучи, возникшие при зеркаль-
ной отражении от каждой из этих плоскостей в отсутствие
остальных. Условие Брэгга - Вульфа вовсе не означает, что
интенсивность результирующего луча, возникшего при
интерференции всех таких лучей, совпадает о интенсивностью
луча, возникшего в том же направлении при диффракцим на
реальном кристалле. Луч, который при выводе и интерпрета-
ции условия Брэгга - Вульфа принято называть лучом,
отраженным отдельной атомной плоскостью, в действительности
не является таковым. Он возникает в результате сложного
цеоса, в котором участвуют атомы всего кристалла, а
не только атомы рассматриваемой атомной плоокости.В чаот-
ности.в формировании этого луча участвуют боковые пучки
того же направления возникающие при дифракции
на других атомных плоскостях. Однако результативно явление
протекает так, как если бы отдельные атомные плоскости
Г'ЛМо зеркально отражали рентгеновские лучи, ие давая
никаких боковых дифракционных пучков.
8. Изложенным по существу завериаетоя доказательство эйгп-
валентносп методов Лауз и Брегга - Вульфа. Не лише^с, однако,
интереса показать, что из формул Лауэ без привлечения ка
них бы то ни было дополнительных соображений вытекает
условие Брэгга - Вульфа.Вычислим прежде всего длину век-
-Ш-
тора N = S -S. (Нормального к плоскости, от которой
происходит рассматриваемое брэгговское отражение. Угол между
единичными векторами X и равен 2& , т.е.
удвоенному углу скольжения. Следовательно,
5)- 2. (1 - , а потому H*2sinit.
Математические выкладки упростятся, если ввести специализиро-
ванную систему координат. Это, разумеется, не лииает
доказательство его общности. Примем атомную плоскость, от
которой происходит рассматриваемое брэгговское отражение,
аа координатную плоскость ХУ • Тогда межплоскостное рас-
стояние ci представится выражением
\ л Щ ) 2.WI&
Используя последнее соотноиение (95.9), получим
2 аш9<
что сопадает с условием Брэгга - Вульфа (95.6).
9. Рассмотрим два примера на применение условия (95.6).
а).Ре.нтгеворокДО спектрограф с вравшимся кристаллом.
Рентгеновский пучок после диафрогмирования на целях направ-
ляется на монокристалл известной кристалической структуры.
Кристалл может вращаться вокруг оси, перпендикулярной к пат-
дающему лучу или совершать вращательные колебания вокруг
этой оси. Дифрагированный пучок попадает на фотопластинку
или в ионизационную камеру. Таким образом, направления* па-
дающего и дифрагированного пучков, а с ними и величина угла
фиксированы. Если падающий пучок мснохроматичен
или состоит иа отдельных монохроматических линий, то при
произвольном положении кристалла условие Брэгга - Вульфа,
вооощ»' говоря, не будет выполняться. Однако, при повороте
кристалл может занять такое положение, при котором это усло-
вие начнет выполняться. Тогда возникнет отраженный максимум,
регистрируемый по почернению фото-

пластинки или по току в ионизационной камере. Найдя такое
положение, можно определить угол скольжения , а за-
тем по формуле (95.6) вычислить длину волны Л . Разумеет-
ся, такой метод дает не абсолютное аначение длины волны, а
только её отношение К постоянной решетки d .Для абсолют-
ных измерений нэдо найти величину . Для этого
достаточно независимым ойоообом измерить длину волны какой-
-либо строго определенной спектральной линии. Это можно
сделать, например, с помощью обычной отражательной диф-
ракционной решетки о известным периодом, измерив угол дифрак-
ции при скользящем падении луча*
(У) .Метод Дебая - Шерера - Хелла, Этот метод применяется в
рентгено - структурном анализе для исследования кристалли-
ческой структуры металлов и других кристаллических материалов
В порошкообразном состоянии. Исследуемый образец состоит
ив множества мельчайших кристалликов, беспорядочно ориенти-
рованных во всевозможных направлениях. На образец направляется
монохроматический рентгеновский луч с известной длиной волны
.Дифракционная картина, называемая дебаеграммой, фо-
тографируется. Среди множества беспорядочно ориентированных
кристалликов найдется еще очень много кристалликов
с такими ориентациями, что при заданной длине
волны Л будет выполнено условие Брэгга-Вульфа. Лучи,
испытавшие брэгговские отражения от таких кристалликов,
образуют поверхность конуса, ось которого направлена вдоль
падающего луча, а угол раствора определяетоя межплоскостным
расстоянием d . Так как зти расстояния образуют диск-
ретный набор, то за образцом возникнет диокретное семейство
конусов, с общими вершиной и осью. Если фотопластинка уста-
новлена перпендикулярно к этой общей оси, то дебаеграмма бу-
дет состоять из концентрических кругов. Измерив радиусы
этих кругов, можно определить все возможные значения угла
$ ,а затеи по формуле Брегга-Вульфа вычислить вса
межплсокостные расстояния и воспользоваться зтими данными
для вспрошаведеиия кристаллической структуры образца. Не лиш-
не подчеркнуть, что в отличие от лауэграмм, для получения ко-
торых требуется сплоиное рентгеновское излучение, дебаег-
-476-
раммы получается в монохроматическом слете. В белом свете,
никаких дебаеграмм с резкими дифракционными кольцами полу-
читься не может.
10. Остановимся в заключение на вопросе о разрешающей
способности дифракционной решетки (одномерной) в рентгеновс-
кой области спектра. Формула (79.4) для разрешающей ипсоос-
ноити решетки относится к случаю, когда решетка дает фраунгс-
ферову дифракционную картину. Как было выяснено, в рентгеноско-
пии реализуется противоположный случай. Фокусирующего устройст-
ва нет, а фотопластинка ставится на малых расстояниях от решетки.
В таких условиях дифракционные пучки подчиняются геометричес-
кой оптике, и формулой (79.4) пользоваться нельзя.
Пусть на решетку падает пучок параллельных лучей с длиной
волны Л под углом скольжения (Уо . Направление распроотране
ния дифрагированного пучка т -го порядка определится из ус-
ловия
d (cos <хо - coso(J = тЛ .
Для такого хе пучка с близкой длиной волны Л '
d (cosaa- cost*.'I = mx'.
Отсюда
cosa. ~ cos d.
или
d sin <x = /т?(Гл ,
где введены обозначения: <5с<= 1оС-о(. <УЛ = |^-л| .дл< спек-
трального разрешения необходимо, чтобы оба пучка разделились
пространственно. Если L. - расстояние до фотопластинки,
измеренное вдоль направления дифрагированного луча, то бо-
ковое смещение одного пучка относительно другого равно
X=L. <5о( . Условие реарешення заключается в том, чтобы
это смещение было не меньше ширины дифрагированного пучка:
Д . Последняя опре’оляется выражением h=fibsintt, где S)
-477-
-длина дифракционной решетки. В результате условие разрешения
примет вид
ctsin ci
Минимальному разрешаемому расстоянии соответствует знак равенст-
ва. Для него получаем (
Л = , (95ЛО)
Lm
а для разрешающей способности
-Л_ - LmA----------- (95.п)
<Гд 2)</л«п*о(
Эта формула легко преобразуется к виду
Л - К!т
75Г /Vzn ’ (95.12)
или -
Л L тЛ
<Гл S kdsina. ‘ • <95-13)
Для повышения разрешающей способности надо применять узкие
пучки, а фотопластинку помещать возможно дальше. По сравнению
с релеевской формулой формула (.95.12) дает меньшее значение
для разрешающей способности, поскольку она относится к области,
в которой 1
-if-*1
- 478 -
Оглавление
Часть II.
Глава У.
Основы геометрической оптики
§41
§42
§43
§44
§45
§46
§47
§48
§49
. Предельный переход от волновой оптики к геометрической
для скалярного волнового поля..............................•
. Кривизна луча. Астрономическая рефракция..........FFy?-//.
. Теорема Якоби!.......................:.............ФР*?.?/...
. Предельный переход к геометрической оптике для ‘‘векторного
электромагнитного поля.. .............................слуЫ?..
. Формальное разложение ч< отрицательным степеням волнового
числа. . -...........................................СЛр-М..
. Уравнения геометрической оптики как уравнения движения
поверхности раврыва....................................... .
. Законы отражения и преломления. Теорема Малюса. ...
. Принцип Ферма......................................ФЛР-.92
. Аналогия между классической механикой и геометрической !•-
оптикой..............................................
Глава У1.
Геометрическая таорин оптически# ивображений.
§50 . Оптическое изображение в геометрической оптике
§51 . Эйконалы..........................................
§52 . Угловой эйконал центрированной оптической системы.
§53 . Параксиальная оптика центрированных систем.......
§54 . Сложение двух центрированных систем................IQ7..
§55 . Угловой эйконал для преломления на поверхности вра-
щения............................................. .cjnpzfft.
§56 . Линзы. _ ..............................crnpfll.
-473-
§57 . Линаы с непрерывно изменяющимся показателем преломле-
ния. Электростатические линзы...........................
§58 . Осесимметричные системы электрических и магнитных
-ЛИНЗ...................................................спу»;^3.
§59 . О разрешающей способности электронного и автомоннсго
. микроскопа............................................
§60 * Ограничение лучей при помощи диафрагм..........e.mp.fS2t
§61* Эйконал Зейделя..................................PtfP.-ФО.
§62 . Аберрации третьего порядка......................MPP-JGb.
§63 . Эйконал Зейделя для составной оптической системы.
§64 . Условие синусов Аббе............................ W-. f8P.
§65* Сигматические изображения широкими пучками лучей.
Твбрема косинусов...............................
§66 . 06 абсолютных оптических инструментах. ... - 2Q3.
i
Глава УН
Дифракция света
§67 . Принцип Гюйгенса . . .........................с™Р-2№.
§68 . Метод Френеля-Кирхгофа решения дифракционных задач. '
Дифракция цилиндрической волны на бесконечно длинной
щели........................................................^8.
§69 . Функция Грина. Дифракция Фраунгофера и Френеля......2Д7.
§70 . Теорема Бабнне......................................£47.
§71 . Проблема тени в волновой оптике.....................8S0.
§72. Дифракционная картина на оси круглого экрана и
круглого отверстия. ’..................................855.
§73« Воны Френеля.................„.......................86.0.
§74* Дифракция Френеля от прямоугольной щели и прямоуголь-
ного экрана............................................867.
§75« Подобие в дифракционных явлениях Френеля.............£84
§76. Дифракция Фраунгофера иа прямоугольном и круглом
отверстиях.............................................£0?.
§77, Дифракция Фраунгофера на отверстиях другой формы . . . 893
-4W-
§78 . Дифракция на дифракционной решетке................
§79 . Дифракционная решетка как спектральный прибор........
§80 . Интерференционные спектральные приборы...............<3/8.
§81 . Разрешающая способность приемы ...................... 328.
§82 . Действие спектрального аппарата на световые импульсы. . .<535
§83* Вогнутая отражательная решетка.........................P4S
§84 . Дифракция на решетке как краевая задача..............354.
§85 . Примеры на применение метода Релея....................399
§86» Голография.............................................9V.
§87 . Прохождение сферической волны через фокус. Световое
поле вблизи фокуса....................-....................3W
§88 . Разрешающая способность и нормальное увеличение теле- ,
скопа и микроскопа.Самосветящиеся объекты..................
§89 . Критерии разрешения в случае освещаемых объектов. Влия-
, нив наклона падающих лучей на разрешающую способность
микроскопа .......................................... ...
Теория и демонстрационные опыты Аббе.................
Принципиальные замечания о возможностях оптических
методов исследования............................т’х.
Телескоп без объектива. Получения изображения о по-
мощью малых отверстий............-.......................
§93 .. Фазовый контраст....................................
т §94. Измерение угловых диаметров звезд звездным интерферо-
метром Майкельсона .......491
§95 . Дифракция на двумерных и трехмерных решетках. Дифракция
рентгеновских лучей............................*...........463
4/9 I
,4>7
§90
§91
§92
-481 -
Сивухин Дмитрий Васильевич
" Лекции по физической. оптике
ч. II.
Ответственный ва выпуск - профессор Раутиан С.Г.
Подписано д печати . 2e/2-ieeor. mhooiso
Формат бумаги 60 х 84 тираи воо,«3.
Вакав К *84 Пепа 90 коп.
Отпечатано на ротапринте ИГУ. Новосибирск - 90