/
Автор: Дитчберн Р.
Теги: физика электромагнетизм оптика квантовая физика физические явления
Год: 1965
Текст
LIGHT
by
R. W. Ditchbum, F. R. S.
Professor of Physics,
University of Reading
BLACKIE & SON LIMITED
LONDON, GLASGOvV
Р. ДИТЧБЕРН
ФИЗИЧЕСКАЯ
ОПТИКА
Перевод с английского
Л. А. ВАЙНШТЕЙНА и О. А. ШУСТИНА
под редакцией
II. А. ЯКОВЛЕВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 196 5
535
Д 5t
АННОТАЦИЯ
Книга представляет собой современный курс
физической оптики. Характерной его особенностью
является удачное сочетание свежести изложения
экспериментального материала с его глубокой
теоретической трактовкой. Изучение физической
оптики в объеме этой книги вплотную подводит
читателя к пониманию принципов работы совре-
современных генераторов электромагнитного излуче-
излучения — мазеров и лазеров.
Рассчитана на студентов старших курсов,
аспирантов и преподавателей физических и физи-
физико-математических факультетов университетов
и педагогических институтов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 15
Глава 1 Введение 17
Свет и физика 17
Волны или корпускулы 17
Лучи света 17
Интерференция и дифракция 18
Развитие волновой теории 19
Длина волны света B0) Скорость света B0) Поляризация света B0)
Электромагнитная теория света 21
Электромагнитный спектр 22
Фотоны 23
Теория относительности 24
Современная теория 24
Глава 2 Введение в волновую теорию света 26
Основные положения 26
Простой гармонический осциллятор 26
Экспериментальные данные B7) Уравнения движения B8)
Произвольные постоянные C0) Общие уравнения движении C1)
Векторное представление гармонического движения 31
Уравнение распространения возмущения в одном измерении 32
Длина волны и волновое число C4) Фаза волны C4)
Распространение волн в трех измерениях 35
Плоские волны 35
Волновое уравнение 36
Скорость распространения волн 37
Волны в стержне C7)
Перенос волной энергии и импульса (количества движения) 38
Сферические волны Закон обратных квадратов 39
Фотометрия Определение фотометрических величин 40
Явление Допплера — Физо 41
Представление волнового движения комплексными величинами 43
Литература 45
Глава 3. Волновая теория. Суперпозиция волн ... 46
Принцпп суперпозиции 4ь
Сложение гармонических колебаний 4"
Алгебраический метод D7) Векторный метод D9) Расчет npi п
мощи комплексных величин E1)
Принцип Гюйгенса оЗ
Отражение и преломление волн на плоских поверхностях о4
Волновая теория отражения и преломления E6)
Отражение и преломление на сферической поверхности З^рьача
и линзы э7
Дисперсия 59
Стоячие волны 61
Опыт Винера 62
Коэффициент отражения Нормальное падение света 64
Оптическая разность хода 66
Корпускулярная теория отражения и прелом 1енпя 66
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
Г ч а в а 4 Волновые импульсы конечной длины 69
Источники света Типы спектров 69
Линейчатые и непрерывные спектры F9) Полосатые спектры F9)
Инфракрасное и ультрафиолетовое излучение G0) Спектры погло
щения G0) Атомные осцилляторы G1)
Интерферометр Майкельсона 72
Видимость колец G4)
Волны несинусоидальной формы 77
Ряды Фурье 79
Интеграл Фурье 81
Группа волн с гауссовым распределением амдлиауды 82
Ширина спектральных линий 84
Распространение группы волн в диспергирующей среде 87
Групповая скорость 88
Представление света группами волн 89
Белый свет 89
Литература 92
Приложение 4А Юстировка интерферометра Майкельсона 92
Приложение 4Б Теорема Фурье Ряды и интегралы Фурье 94
Разложение резко ограниченного цуга волн 99
Форма резко ограниченной полосы частот 99
Распределение энергии в затухающей гармонической волне 100
Группа волн с гауссовым распределением 101
Распространение группы волн в диспергирующей среде 101
Глава 5 Интерференция света 103
Закон фотометрического сложения 103
Взаимодействие волн, излучаемых независимыми источниками света 103
Когерентные и некогерентные пучки света 104
Образование интерференционных полос 105
Интерференция света от двух когерентных источников 106
Интерференция в тонких пленках 110
Видимость интерференционных полос 112
Интерференционные полосы как области постоянной разности хода 113
Полосы равного наклона 114
Полосы равной толщины 114
Кольца Ньютона 115
Локализация интерференционных полос 116
Неотражающие слои 118
Высоко отражающие слои 120
Многолучевая интерференция 121
Интерферометр Фабри — Перо 123
Пластинка Люммера — Герке 124
«Канавчатый» спектр 124
Интерференционный метод калибровки шкалы спектрометра 125
Последовательное расположение двух интерферометров 126
Ахроматические полосы 127
Ахроматическая система полос 129
Интерференционные светофильтры 130
Литература 132
I л а в а 6 Дифракция света 133
Введение 133
Дифракция Френеля и дифракция Фраунгофера 134
Развитие принципа Гюйгенса 136
Методы Френеля 137
Зоны Френеля 137
Дифракция Френеля на круглом отверстии 138
Дифракция Френеля на круговом экране 139
Дифракция Фраунгофера 141
Дифракционная решетка 141
Двумерные решетки 144
Муаровые полосы 145
Трехмерные решетки 145
Фактор рассеяния 147
Распределение интенсивности между главными максимумами 150
ОГЛАВЛЕНИЕ /
Решетки, нарезанные на стекле тп на металле 151
Эшелетты 152
Изготовление дифракционных решеток 154
Амплитудные и фазовые решетки 156
Эшелон и эшель 156
Теория эшелона и эшели 157
Теория дифракции Общие вопросы 1з9
Исследования Кирхгофа 1о9
Гипотеза Сен-Венана 160
Дальнейшее развитие концепции группы both 160
Пучок конечной ширины Одномерный cij^au 162
Дифракция на двумерном экране 103
Дифракция на круглом отверстии 164
Дифракция на большом числе одинаковых диафрагм 1о6
Хаотическое расположение дифракционных элементов 167
Теорема Бабине 168
Дифракция на большом числе кр^ говых диафрагм или экранов 169
Эриометр Юнга 169
Дифракция света на ультразвуковых волнах 170
Прямолинейное распространенпе света 171
Принцип Ферма 172
Связь между волновой и лучевой оптикой 175
Лучи и нормали к волновому фронту 176
Лучи и группы волн 177
Принцип Ферма как общая формулировка законов лучевой оптики 177
Литература 177
Приложение 6А Дифракционная формула Кирхгофа 178
Приближенная форма уравнения Кирхгофа 180
Приложение 6Б Вогнутая дифракционная решетка 180
Приложение 6В Зонная пластинка 1ьЗ
П иложение 6Г Дифракция Френеля 184
Интегралы Френеля 184
Спираль Корню 185
Дифракция на прямолинейном крае непрозрачного экрана 186
Глава 7. Оптические приборы. Коаксиальные системы линз и зеркал 187
Образование изображений 187
Коаксиальные системы сферических поверхностей 188
Параксиальные лучи 189
Правило знаков и обозначения 189
Преломление на сферической поверхности 190
Увеличение 191
Условия Максвелла 1(J2
Кардинальные точки 1°2
Фокальные точки и главные точки 1(*3
Построение изображений ^4
Расчет положения изображения и его размера 195
Узловые точки 196
Системы, работающие на пропускание, с одинаковыми средами по обеим
сторонам 198
Катодпоптрические, или отражательные, системы 199
Расчет положения кардинальных точек 199
Формулы для оптической сты системы 200
Положенпе фокусов -01
Телескопические системы 201
Общее замечание по поводу расчета коаксиальных систем 203
Хроматическая аберрация ~03
Ахроматические системы -04
Диафрагмы 205
Апертурная диафрагма 2U6
Диафрагма поля зрения 206
Полевая линза -07
Глаз 208
Увеличители и окуляры 209
Микроскоп 210
Отражательный телескоп 10
5 ОГ ХАВЛЕНИЕ
3<^ haia и призмы, используемые в качестве зеркал 211
М ыочроматор постоянного отклонения 212
Тнчеобъектлвы и объективы с переменным фокусным расстоянием 213
Проекционные системы . . 214
Литература 214
Притожение 7А. Волокнистая оптика 215
Светопровод 215
Образование изображения 215
Г 1 а в а 8. Точность оптических измерений и волновые свойства света 216
Несовершенство изображений, связанное с дифракцией 216
Критерий Рэлея 216
Предел разрешения для телескопа 218
Предел разрешения для глаза 219
Полезное и бесполезное увеличение, даваемое оптическим прибором 220
Разрешающая сила призменного спектроскопа 220
Разрешающая сила спектроскопа с дифракционной решеткой 222
Волновой критерий Рэчея для качества изображения 223
Точность измерений при использовании зеркального отсчет г 224
Развитие теории разрешающей силы 225
Разрешающая сила эталона Фабри — Перо 227
Разрешающая сила микроскопа 228
Разрешение при некогерентном освещении 229
Расчет разрешающей способности микроскопа при когерентном освещении
объекта Теория Аббе 230
Воспроизведение микроскопом деталей наблюдаемы^ объектов 234
Применение ряда Ф^рье 236
Фазо-контрастная микроскопия 237
Оптимальное увеличение микроскопа 239
Монохроматичность изучения, выдетенногэ спектральным прибором
из непрерывного (сплошного) спектра 239
Полосы Тальбота 241
Литература 244
Глава 9. Измерения при помощи интерферометров 245
Классификация по типам интерференции 245
Классификация применений интерферометров 246
Проверка качества оптических деталей 246
Интерферометр Тваймана — Грина 247
Метод Физо 250
Многолучевая интерференция 252
Проверка концевых мер 252
Двойной интерферометр 255
Измерение механических смещений 256
Измерение показателя преломления и малых различий в показателях
преломления 257
Рефрактометр Жамена 261
Измерение длин волн 263
Сравнение длин волн методом совпадений интерференционных картин 263
Сравнение длин волн методом совпадения дробных частей порядка 264
Сравнение оптических и механических эталонов длины 268
Современные работы по установлению стандарта длины 271
Исследование сверхтонкой структуры спектральных линий 274
Вспомогательные приборы B75)
Литература 27Ь
Г 1 а в а 10. Приемники излучения 277
Селективные и неселективные приемники 277
Относительная чувств ительность 278
Тепловые приемники 278
Постоянная времени тепловых приемников 280
Селективные приемники 281
Фотоэлементы с внешним фотоэффектом 282
Фотоэлементы с внутренним фотоэффектом и фотоэлементы с запи-
запирающим слоем 283
Минимальный регистрируемый поток % 284
ОГЛАВЛЕНИЕ У
Фотографическая пластинка 285
Калибровка селективных приемников 286
Физическая фотометрия 287
Спектрофотометры 289
Абсорбционная спектрофотометрия 290
Глаз как приемник излучения 291
Фотометрическая шкала Международной осветительной комиссии 291
Темновая адаптация 293
Фотометрия Определенпе фотометрических величин 293
Фотометрические единицы 296
Фотометрические измерения 297
Вопросы освещения 298
Характеристика цвета . 298
Трихроматизм 299
Аддитивность 301
Литература 302
Глава 11 Скорость света и релятивистская оптика 303
Исторический обзор 303
Общий обзор методов измерения скорости света 303
Косвенные методы 304
Метод Ремера 304
Метод Физо 304
Метод вращающегося зеркала 305
Измерение скорости света в обсерватории Маунт Вильсон C07)
Измерение скорости света в вакууме C08)
Метод с использованием затвора Керра 308
Обсуждение результатов 310
Групповая скорость или фазовая скорость волны 310
Сравнение скорости света со значением отношения электромагнитных
и электростатических единиц 311
Современные данные измерения скорости света 311
Предполагаемое изменение скорости света с течением времени 312
Зависимость скорости света от показателя преломления среды 312
Релятивистская оптика 313
Относительная скорость движения Земли п эфира 314
Опыт Майкельсона — Морлея 315
Контракционная гипотеза Фитцджеральда— Лорентца 318
Специальная теория относительности 319
Замедление времени и сокращение длины отрезков 322
Опыты, в которых источник и наблюдатель находятся в относительном
движении 324
Продольный допплер-эффект 326
Поперечный доппл ер эффект 326
Отражение света от движущегося зеркаяа 328
Опыты с аберрацией 329
Опыты по определению скорости света в двплчлщепся среде 330
Некоторые применения общей теории относительности к оптическим яв!е
ниям Искривление светового луча в гравитационном поле 331
Смещение спектральных линий в гравитационном попе 331
Интерференция во вращающейся системе 332
Соотношение между массой и энергией 334
Масса и энергия фотона 335
Литература 335
Глава 12. Поляризованный свет . 337
Скалярная и векторная волновые теории света 337
Опыты Малюса 338
Определение плоскости поляризации 338
Закон Брюстера 339
Поляризация света при прохождении сквозь прозрачную изотропную
пластинку 340
Двойное лучепреломление 340
Закон Малюса 344
Методы получения линейно поляризованного света 345
Призмы Никол я, Фуко, Глана — Томпсона 346
10 ОГЛАВЛЕНИЕ
Использование анизотропии поглощения света для его поляризации : . 347
Использование поляризующих устройств. . . . . . .'■■. ... .... 347
Интерферещия пучков линейно поляризованного света . . . . . . . . 348
Свет, поляризованный по кругу, и эллиптически поляризованный свет 350
Волновые поверхности Гюйгенса в кристалле .. . . . . . . . . . . v.. 353
Экспериментальное исследование волновых^ поверхностей Гюйгенса
в случае одноосных кристаллов ... . . ... ... ... • •. • 354
Прохождение поляризованного света через тонкую анизотропную пла-
пластинку . . . ... . . . . .. . . . 355
Пластинка в четверть волны .*. . • • • • • • • : • • • 357
Последовательность двух или нескольких пластинок . . . . . . . . . 359
Анализ поляризованного света . . . . .-.. . ..... . . ... . , 360
Представление естественного света . . . '... . ... . . . . . . / . 361
Компенсатор Бабине ? ............... 363
Оптическая активность ....................... Л64
Дисперсия двойного лучепреломления и оптическая активность . . . 367
Бикварц ................ ... .... ...... 371
Сахариметрия ... . . . . \ ... . . . •'.- . . . . . 371
Световые биения . . . . i .... 373
Поляризационные светофильтры . . . . . . . . . . . 375
Литература , . . 377
Глава 13. Электромагнитная теория света . . . . . . . . . 373
Развитие теории ....'... v . i 373
Математические методы ......... ^ ............. 370
Уравнения Максвелла* . . . . . . . . . 3SI
Волны в непроводящей среде 382
Скорость света ..... 383
Свойства электромагнитных волн .... . ■..;.■ 384
Суперпозиция электромагнитных волн 386
Описание поляризованного света . . . . . . . . . . * . . . . . . . . ;-&6
Энергия электромагнитного поля . . ... . . .. . . .. . . . . . . - 337
Теорема Пойнтинга ............ i 387
Импульс электромагнитных волн . . \ ■ 388
Литература 389
Приложение 13А. Описание электромагнитного поля при помощи
потенциала 389
Представление электромагнитного поля в замкнутой полости в виде систе-
системы стоячих волн . . . . . . 390
Число стоячих волн с частотами, лежащими между ю и (ю -+- </©) .. ■■. . 391
Приложение 13Б. Излучение диполя ............... 392
Рассеяние электромагнитных волн свободными электронами . .■ ■ ; . . - 395
Рассеяние электромагнитных, волн связанными электронами .... . . 396
.■ Мультипольное излучение . . .... . . ; . .'". . . . ... • • • • 396
Глава 14. Электромагнитная теория отражения и преломления света . . 397
Граничные условия . . ... . . . . , . . . . . . . . . , . . . . . .397
Законы отражения и преломления "... ... 398
Коэффициент отражения -;. . 402
Степень поляризации ... \ .............. ... • ■ • 402
Вращение плоскости поляризации 403
Изменение фазы при отражении , . . . ... . . . . . .... . . . 403
Стоячие волны . . . . . . . . . . . ....;.. . . . 404
Полное внутреннее отражение . ... . . ; . . ... ■■;. . . . .." . - 406
Возмущения во второй среде при полном внутреннем отражении . ... 408
Экспериментальная проверка теории отражения и преломления света . • 409
Литература 411
Глава 15. Электромагнитная теория поглощения и дисперсии света . . • '412
Распространение света в поглощающей среде. . - * ... . . . • • • 413
Отражение света от поглощающей среды . ...,;.. 414
Отражение при нормальном падении . . . . ... • • ■ • ... • • 415
Отражение при наклонном падении .'"...;• 416
Главный угол падения . . . ... . . . . . . . . ..■■. ... . - , . 417
Главный азимут . . . . . . . . .... . . . ... .418
Сравнение теории и эксперимента . . . ... . . ^ . . 419
ОГЛАВЛЕНИЕ 11
Оптические характеристики металлов 419
Теория дисперсии Диэлектрики 423
Дисперсия в областях спектра с малым поглощением 426
Дисперсия газов в областях спектра, далеких от линпй поглощения 427
Молекулярная рефракция 427
Область поглощения 428
Измерение сил осцилляторов 430
Поглощение в жидкостях и твердых телах 432
Остаточные лучи 432
Дисперсия в металлах 433
Связь между дисперсией и молек\лярным рассеянием света 438
Соотношение между к и п 440
Другие типы рассеяния 442
Л итерагу ра 443
Приложение 15А Преломленная волна в поглощающей среде 443
Глава 16 Оптика анизотропных сред 445
Оптическая и электрическая анизотропия 445
Луч в анизотропной среде 447
Распространение плоских волн 448
Угловые соотношения между D, E, H, s и q 451
Два возможных направления D для определенного направления вол
новой нормали взаимно перпендикулярны 452
Скорость распространения энергии, или лучевая скорость 453
Свойства лучей 454
Угол между лучом и волновой нормалью D56)
Направление луча 457
Поверхность волны, или лучевая поверхность 458
Доказательство идентичности лучевой поверхности и поверхности волны 461
Поверхность нормальных скоростей 461
Разность фазовых скоростей для заданного направления волновой нор
мали 462
Волновые (лучевые) поверхности одноосного кристалла 463
Двойное лучепреломление 464
Двойное лучепреломление в одноосных кристаллах 465
Преломление в двуосных кристаллах 465
Коническая рефракция 467
Внешняя коническая рефракция 468
Внутренняя коническая рефракция 469
Прохождение сходящегося пучка линейно поляризованного света через
тонкую кристаллическую пластинку 472
Изохроматические поверхности 474
Изохроматические интерференционные фигуры 476
Одноосный кристалл, вырезанный перпендикулярно оптической оси 477
Ахроматические интерференционные полосы для одноосного кристалла,
наблюдаемого в сходящихся лучах 477
Двуосный кристалл, вырезанный перпендпм лярно биссектрисе угла
между оптическими осями 479
Ахроматические интерференционные полосы Двуосный кристалл, выре
занный перпендикулярно биссектрисе угла межд> оптическими осями 479
Прохождение через кристалл света, поляризованного по кругу 480
Оптически активные кристаллы в сходящемся п>чке поляризованного
света 48^
Измерение оптических постоянных кристаллов ^ 482
Связь между оптической анизотропией и кристаллической структурой 483
Дисперсия 484
Молекулярная структура кристалла и его оптическая анизотропия 48э
Расчет двойного лучепреломления анизотропной среды, исходя из ее
кристаллической структуры 486
Оптическая активность 486
Эффект Фарадея 4»7
Эффект Керра 488
Электрооптпческий затвор Керра 489
Теория эффекта Керра 490
Эффект Коттона — Мутона 490
Фотоупругость 49
12 ОГЛАВЛЕНИЕ
Анизотропия в жидкостях 49$
Заключение 493
Литература 495
Глава 17. Взаимодействие излучения с веществом 496
Фотоэффект . 497
Линейчатые спектры атомов 499
Атом Резерфорда — Бора 501
Стационарные состояния 501
Соотношение между спектрами поглощения и испускания газов 502
Возбуждение спектра медленными электронами 503
Критические потенциалы . 504
Границы серий в спектрах поглощения одноатомных газов 505
Фотоэффект в газах 505
Резонансное излучение 506
Столкновения второго рода 507
Фотохимический закон Эйнштейна 508
Теория фотонов Эйнштейна 508
Рентгеновское излучение и элементарный фотоэффект 509
Давление света 510
Волновая теория давления света 513
Эффект Комптона 513
Момент количества движения света, поляризованного по кругу 514
Тепловое излучение 515
Закон Планка 519
Принцип детального равновесия 522
Вывод формулы для распределения энергии в спектре равновесного излу-
излучения по Эйнштейну 523
Время жизни возбужденного атома 524
Прямое измерение т 525
Соотношение между величинами /их 526
Связь между естественной шириной линии и вероятностью перехода 527
Вычисление вероятности перехода 528
Литература 529
Приложение 17А Теория эффекта Комптона 529
Глава 18 Квантовая теория излучения 531
Связь между теорией излучения и теорией строения атомов 531
Дифракция электронов 531
Соотношение неопределенности 533
Волновая механика 536
Применение волнового уравнения к движению свободных частиц 539
Частица в ящике 540
Простой гармонический осциллятор 540
Полное волновое уравнение 542
Вероятности переходов 544
Соотношение между классическим и квантовым осцилляторами 545
Квантование электромагнитного поля 548
Импульс электромагнитного поля 551
Связь соотношения неопределенности с волновым уравнением 552
Квантовое состояние 554
Квантовая статистика 555
Сопоставление свойств фотонов и других частиц 558
Литература 559
Глава 19. Процессы взаимодействия в квантовой теории . 560
Поглощение и испускание излучения 560
Правила отбора 561
Запрещенные линии 562
Теория запрещенных линий 563
Мультипольное излучение 563
Взаимодействие излучения и вещества с участием двух квантов в каждом
элементарном процессе 564
Квантовая теория дисперсии 565
Наблюденные и вычисленные значения / 566
Резонансное излучение 567
ОГЛАВЛЕНИЕ 13
Эффект Зеемана 567
Векторная модель 569
Эффект Штарка 569
Поляризация резонансного излучения 570
Влияние примесей постороннего газа на резонансное излечение 572
Комбинационное рассеяние света 572
Квантовая теория поляризованного света 574
Суперпозиция состояний 575
Корпл скулярные и волновые свойства света и постановка некоторых экс-
экспериментов 578
История развития квантовой теории 579
Литерат} ра • 5^1
Приложение 19А Квантовая теория дисперсии 531
Взаимодействие излучения с веществом 531
Изл\ченпе как возмущение 531
Вычисление энергии взаимодействия 533
Поглощение излучения из непрерывного спектра 584
Теория испускания и поглощения (второй этап) 535
Рассеяние света 588
Рэлеевское рассеяние света 589
Относительные порядки ветчин вероятностей переходов 591
Рассеяние свободными электронами 591
Приложение 19Б Когерентные генераторы света Лазеры 593
Глава 20. Ограничения измерительных возможностей оптических инстру-
инструментов 598
Назначение оптических инструментов 593
Случайные и принципиальные ограничения 598
Понятие о теории информации 599
Ш> мы 601
Флуктуации 602
Анализ непрерывной записи сигнала 603
Теорема о пробных точках 604
Спектр шумов 607
Белый шум 607
Отношение сигнала к шум> 608
Предел чувствительности 609
Источники шумов 610
Тепловые флуктуации 610
Преде 1 чувствительности для пдеачьного тепчовою приемника 612
Пределы чувствительности для фотоэчементов 613
Фотонный шум 615
Спектрофотометрия 616
Анализ излучения 618
Многоканальные устройства 618
Ограничения измерительных возможностей интерференционных методов 619
Многолучевые интерферометры 620
Оптический рычаг высокой точности 620
Прохождение информации через оптическую систему 621
Фотографическое воспроизведение 622
Передача информации в телевизионной системе 623
Зрительное восприятие 624
Заключение 625
Литература 625
Приложение 20А 626
Количество информации в белом пг$ме 626
Предметный указатель 627
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Учебников оптики, тем более таких, которые с успехом и продол-
продолжительное время используются в системе университетского преподавания
физики, известно очень немного. Многолетний просмотр учебной литера-
литературы по физике показывает, что тем более невелико число учебников
промежуточного научного уровня, подготавляющих переход читателя от
использования руководства по общей физике к изучению курсов теорети-
теоретической оптики.
Книга такого назначения, не будучи чрезмерно математичной, должна
содержать глубокий и современный теоретический анализ принципиаль-
принципиальных экспериментальных результатов как прошлого, так и настоящего
времени. Учебник должен включать в себя достаточное число вопросов
и задач, обеспечивающих читателя материалом для активной самостоя-
самостоятельной работы над курсом. Наконец, систематически указывая исполь-
использованные автором оригинальные научные исследования, книга должна
воспитать у читателя сознание необходимости изучать важнейшие пробле-
проблемы физики по первоисточникам, в особенности в тех случаях, когда
доступны работы классиков.
Изложенным требованиям к учебнику оптики во многом удовлетворя-
удовлетворяет книга Дитчберна, что и определило целесообразность ее перевода на
русский язык. Учебник Дитчберна был впервые опубликован в 1952 г.
и перепечатывался с тех пор уже семь раз. Эта книга, наряду с курсами
Борна ♦) и Абрагама-Беккера, входит в ту современную оксфордскую
серию руководств по курсу физики повышенного уровня, из которой
раньше уже был переведен на русский язык учебник термодинамики
Робертса**).
Учебник Дитчберна, носящий в оригинале краткое названые «Свет»,
является основательным и разносторонним введением в физическую опти-
оптику. Содержание книги охватывает закономерности распространения света
в изотропных и анизотропных средах, волновые и квантовые свойства
света, законы его излучения и поглощения, элементы спектроскопии
и квантовой механики атома, описания целого ряда важнейших методов
оптических исследований. Наиболее сложные математические расчеты
вынесены автором в отдельные параграфы, не нарушающие основной
линии изложения материала. Изложение книги, по возможности, не
отрывается от оригинальных научных работ по оптике и удовлетворитель-
удовлетворительные библиографические справки о них приведены в конце каждой главы.
Правда, содержащиеся в книге сведения о фундаментальных работах
русских и советских ученых нельзя признать исчерпывающими для руко-
руководства такого объема, и мы их пополнили в ряде примечаний к пере-
переводу учебника.
*) М. Боры, Атомная физика, Мир, в печати.
**) Дж. Роберте, Теплота и термодинамика, Перевод с англинск »гн. Гис-
техпздат, М., 1950.
16 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Основным достоинством книги является обилие и разнообразие содер-
содержащегося в ней и тщательно изложенного фактического материала, как
экспериментального так и теоретического характера. Несомненно, что
читатель, внимательно проработавший весь этот материал, сможет сде-
сделать крупный шаг вперед на пути изучения основ физической оптики.
В 1963 г., когда русский перевод книги Дитчберна был уже закон-
закончен, в Англии вышло в свет новое издание этого учебника. Для него автор
написал ряд дополнительных глав: Оптические приборы. Система коак-
коаксиальных линз и зеркал, Приемники излучения, Ограничения измеритель-
измерительных возможностей оптических инструментов.
Кроме того, автор переработал главу о дифракции света и несколько
развил изложение основ квантовой теории излучения. Последнее было
сделано для того, чтобы получить возможность коснуться теории лазе-
лазеров. В остальных частях книги изменения ее, по сравнению с предшеству-
предшествующим изданием, несущественны.
Теперь новые главы учебника переведены на русский язык, так же
как и переработанная глава о дифракции. Таким образом, выходящий
сейчас в свет перевод книги Дитчберна соответствует, в основном, ее
изданию 1963 г.
Однако, учитывая возрастающую с каждым днем роль лазеров в опти-
оптических исследованиях, нецелесообразно было сохранять описание прин-
принципа их работы в том сокращенном виде, в каком его привел автор, тем
более, что он совершенно не коснулся экспериментальной стороны дела.
В русском издании книги Дитчберна этот пробел восполнен особым
параграфом о лазерах, написанным И. И. Собельманом. Надеемся, что
книга Дитчберна будет полезным учебным пособием для студентов физи-
физических и физико-математических факультетов университетов и педагоги-
педагогических институтов, для аспирантов и для всех молодых научных работни-
работников физиков и инженеров, которым в процессе своих занятий приходится
входить в широкий круг проблем современной физической оптики.
И. А. Яковлев
I Л А В А I
ВВЕДЕНИЕ
Свет и физика*)
1.1. Оптика исторически начала развиваться как учение о зрении,
однако для физика этот предмет не является наиболее важной отраслью
оптики. Физик может обнаружить свет по его тепловому эффекту (при
помощи термопары) или по его электрическому действию (при помощи
фотоэлемента). Он может также регистрировать световые лучи по вызывае-
вызываемой ими химической реакции или по их воздействию на фотографическую
пластинку.
Световая энергия может взаимодействовать с веществом и может
превращаться в тепловую, электрическую или химическую энергию.
Поэтому для физика действие света на сетчатку глаза является лишь
одним из примеров его фотохимического действия. Передача и превраще-
превращения световой энергии подчиняются закону сохранения энергии, что должно
всегда учитываться в уравнениях, описывающих эти процессы.
Волны или корпускулы
1.2. Если световая энергия может передаваться из одного места
в другое, то при описании процесса ее переноса целесообразно восполь-
воспользоваться аналогией с каким-либо другим процессом, связанным с переда-
передачей энергии. Так, движущиеся тела обладают кинетической энергией. Эта
энергия связана с движущимся телом и таким образом передается из
одного места в другое. Другой способ передачи механической энергии —
передача энергии при распространении волн. Этот способ передачи
энергии в общем случае не связан с движением среды как целого. Многие
физики XVII и XVIII веков пытались объяснить распространение света
с помощью представлений или о частицах, или о волнах. В то время для
физиков эти две формы движения энергии были совершенно различными,
так как считалось, что подавляющая часть энергии локализуется в части-
частицах. Они исходили примерно из следующих соображений: кинетическая
энергия ружейной пули переходит из одной определенной небольшой
области пространства в другую и не рассеивается во время движения
пули. Если же возникают волны — например, при падении камня
в пруд,— то энергия быстро распространяется по всей поверхности воды
п обычно ни одна малая часть поверхности не получает значительной
доли энергии.
Лучи света
1.3. В XVII веке было известно, что распространение свега можно
представить при помощи лучей. Если между маленьким источником
*) Из текста настоящей главы исключены материалы, не относящиеся непосреа-
ственно к курсу оптики. (Прим. ред.)
2 р. Дитчберн
18
ГЛ 1 ВВЕДЕНИЕ
света и экраном поместить непрозрачное тело, то на экране образуется
резкая тень (рис. 1.1, а). Если размеры источника света не очень малы,
то края тени будут не очень резкими. Темное пятно называется полной
тенью, а размытый край — полутенью (рис. 1.1, б). Эти опыты являются
простыми примерами многочисленных экспериментов, результаты кото-
которых позволяют утверждать, что свет распространяется от источника света
вюль лучей, представляющих собой прямые линии *). С этой точки зре-
зрения изменение освещенности в области полутени связано с тем, что каждая
точка полутени получает свет только от части поверхности источника
света. В таком случае нет ника-
никаких данных, указывающих на то,
что световая энергия может рас-
распространиться за пределы обла-
области, ограниченной лучами. Луч,
таким образом, может быть опре-
определен как путь, вдоль которого
энергия распространяется от ис-
источника к приемнику. Распрост-
Распространение энергии вдоль этого пути
становится невозможным, если луч
пересекается в любой точке не-
непрозрачным предметом. Если все
лучи, идущие от данного источ-
источника к приемнику, пересекаются
непрозрачными предметами, то
А'
б)
Рис. 1.1. Образование тени точечным (а)
и протяженным (б) источниками света
Предполагается, что свет распространяется
пр ямо линейно.
никакая энергия от источника не
может достичь приемника.
Сделаем на основе этих наблю-
наблюдений два вывода: первый — свет
распространяется в виде лучей,
и второй — лучи являются пря-
прямыми линиями. В отсутствие внеш-
внешних сил частицы движутся по пря-
прямым линиям в соответствии с зако-
законами движения Ньютона. Поэтому Ньютон считал, что свет можно пред-
представить в виде системы частиц, которые движутся по траекториям, соот-
соответствующим законам движения обычных частиц. Конечно, благодаря
действию гравитационного поля Земли, траектории частиц не являются
прямыми линиями. Таким образом, прямолинейное распространение
света требует введения следующего дополнительного предположения:
либо частицы света не имеют веса, либо они обладают такой большой
скоростью, что искривление их траектории под действием гравитацион-
гравитационного поля мало, и поэтому его нельзя заметить.
Интерференция и дифракция
1.4. Хотя Ньютон имел мало данных о распространении световой
энергии, он первый изучил то, что позже стало называться интерферен-
интерференционными явлениями. Ньютон привел выпуклую линзу большого радиуса
кривизны (около 14 м) в контакт с плоским стеклом и наблюдал получаю-
х) В этом предварительном обзоре свойств света автор, конечно, имеет в виду
* ппоетранение света в оптически однородной среде. В неоднородной среде световые
г чи не всегда будут прямыми линиями. (Прим. ред.)
РАЗВИТИЕ ВОЛНОВОЙ ТЕОРИИ 19
щуюся картину в отраженном свете (рис. 1.2). Он увидел систему чередую-
чередующихся темных и светлых окрашенных колец (см. рис. I, д) ♦). Эти кольца
называются кольцами Ньютона.
Ньютон пришел к выводу, что эти кольца указывают на известную
периодичность, которая наводит на мысль о волновой природе света. Он
считал, что представление о прямолинейном распространении света совер-
совершенно несовместимо с простой волновой теорией. Поэтому Ньютон пред-
предположил, что свет состоит из корпускул, причем они либо должны обла-
обладать собственной внутренней частотой колебаний, либо на их движение
должны оказывать известное
действие волны или колебания
среды, в которой они распрост-
распространяются.
Трудности волновой теории
света уменьшились, когда было
обнаружено, что распростране-
распространение света не строго прямоли-
прямолинейно. Встречая препятствие _
на своем пути, свет, хотя и в W///////////m^
очень малой степени, выходит Рис. 1.2. Схема устройства для наблюдения
за пределы первоначального колец Ньютона,
пучка, ограниченного лучами
(см. рис. III). Например, тень от экрана с прямолинейным краем, обра-
образованная с помощью источника света очень маленького размера, не бывает
идеально резкой. Это можйо увидеть, рассматривая тень при очень боль-
большом увеличении. Некоторое количество света попадает в область, кото-
которая должна была бы быть совершенно темной, если бы свет распростра-
распространялся строго прямолинейно. Кроме того, наблюдается серия тонких свет-
светлых и темных полос на краю этой области, вне тени. Некоторые наблюде-
наблюдения такого рода были выполнены Гримальди еще при жизни Ньютона,
но прошло почти 150 лет, прежде чем это явление (известное как диф-
дифракция света) стало полностью понятным. Открытие явления дифракции
показало, что распространение света не строго прямолинейно. Пред-
Представление о световых лучах не полностью соответствует результатам
наблюдений. Оно обеспечивает лишь некоторое приближение к действи-
действительности.
Развитие волновое теории
1.5. Позже мы увидим (см. гл. 6 и 7), что, хотя волновая теория не
дает удовлетворительного объяснения строго прямолинейному распро-
распространению света, она вполне пригодна для описания его приблизительно
прямолинейного распространения при условии, что длина волны света
мала по сравнению с размерами приборов.
В XIX веке существенное развитие получила техника эксперимен-
экспериментальной физики, значительно увеличилось число проведенных оптиче-
оптических экспериментов и возросла их точность. Полученные результаты
хорошо объяснены на основе волновой теории. "которая приобрела
более строгую формулировку. Мы укажем на три важных результата
наблюдений.
*) Все рисунки, обозначенные римскими цифрами, помещены на вклейках
{Прим. ред.)
20
ГЛ 1 ВВЕДЕНИЕ
Длина волны света
Было проведено много тщательных экспериментов по интерференции
и дифракции. Эти опыты дали возможность определить длину волны света.
Было показано, что в оптическом спектре длина волны, соответствующая
каждому его участку, связана с цветом этого участка. Длина волны,
примерно равная 6,5-10 см, соответствует красному цвету, 5,6 -Ю см —
зеленому и 4,5-10~5 см — синему. При этом различные методы измерений
длин волн дают одинаковые результаты.
Скорость света
В 1676 г. датский астроном Рёмер сделал фундаментальное открытие;
он нашел, что скорость распространения света конечна, и определил
ее из астрономических наблюдений. Приблизительно через 200 лет ско-
скорость света была измерена в лаборатории и оказалась очень близкоп
к З-Ю10 смIсек.
Поляризация света
В 1670 г. Бартолинус обнаружил, что, когда пучок обычного света
проходит через некоторые кристаллы (например, через кальцит), он
расщепляется на два пучка. При прохождении этих двух пучков через
у,
Рис 1 3 Двойное лучепреломление в кри- Рис 1 4 Схема, иллюстрирую-
стал л ах. щая эксперимент Мал юса
а — два кристалла с одинаковой ориентацией Отметим что зеркала Mi и Мг не
кристаллографических осей, б — два кристал- посеребрены
% ла с различной ориентацией осей
второй кристалл, наблюдаемое явление зависит от ориентации кристалла
по отношению к пучку. При определенных ориентациях второго кристалла
оба пучка распространяются в нем без всяких изменений. При других
ориентациях второго кристалла каждый из пучков вновь расщепляется
на два (рис. 1.3). Это явление известно как двойное лучепреломление. Оно
показывает, что пучок света, прошедший через кристалл, приобретает
различные свойства в разных плоскостях, проведенных через прямую,
: вдоль которой он распространяется.
Наиболее простой опыт, в котором проявляются эти свойства света,
был сделан гораздо позже Малюсом. В его опыте пучок света последова-
последовательно отражался от двух непосеребренных стеклянных пластинок
(рис. 1.4). Малюс показал, что, если при обоих отражениях пучок лежит
: в одной плоскости, большая доля света, падающего на второе зеркало
(Л/о), испытывает отражение. Если зеркало М2 повернуто так, что луч
1 тосте второго отражения покидает плоскость рисунка, отраженный пучок
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ СВЕТА 21
становится менее интенсивным. Если оба отраженных пучка лежат в пло-
плоскостях, расположенных перпендикулярно друг другу, то интенсивность
дважды отраженного пучка становится почти равной нулю. Этот Опыт
показывает, что пучок света, испытавший первое отражение, уже при-
приобрел какое-то особое свойство в плоскости падения. Он сильно отражается
от стеклянной поверхности, лежащей в этой плоскости, и почти не отра-
отражается в плоскости, расположенной под прямым углом к плоскости чер-
чертежа. Пучок света, обладающий таким свойством, называется линейно
поляризованным.
Найденное новое свойство светового пучка не находит никакого объяс-
объяснения в теории продольных волн. Поэтому, по мнению Ньютона, который
рассматривал только такпе волны, это свойство света является еще одним
важным дополнительным возражением против волновой теории. Оно,
однако, находит адекватное объяснение в теории поперечных волн.
Это было осознано Гюйгенсом A690), но до XIX века не было про-
произведено достаточно подробных исследований по отражению и прелом-
преломлению света.
В случае продольных волн направление колебаний всегда совпадает
с направлением их распространения, и поэтому волновое движение может
быть представлено как изменение скалярной величины Движение в попе-
поперечной волне должно характеризоваться вектором, направление которого
определяет плоскость поляризации.
Электромагнитная теория света
1.6. Волновая теория света возникла до установления основных
законов электромагнетизма. Предполагалось, что существует некоторая
среда, которая обладает свойствами, сходными со свойствами упругих
тел. Эта среда заполняет все пространство, но ее свойства могут изменять-
изменяться внутри отдельных веществ, которые она пронизывает. Теория попе-
поперечных волн в такой среде дала качественное описание основных явлений
интерференции, дифракции и поляризации света. Для построения деталь-
детальной волновой теории было необходимо сделать специальные предположе
ния относительно плотности и упругости этой среды, а также относительно
условий на границе раздела двух сред, например таких, как стекю и воз
дух. При обсуждении деталей волновой теории обнарл/ки шсь опредечен-
ные трудности, которые указывали на известилю непосчедоватетьность
теории. Все эти трудности были разрешены в максвеповской Э1ектро-
магнитной теории света.
Максвелл сформулировал уравнения электромагнетизма в общей
форме и показал, что они предусматривают возможность распространения
поперечных электромагнитных волн. Скорость распространения этих
волн может быть вычислена с помощью других величин, измеренных
в лабораторных опытах по электричеству и магнетизму. Рассчитанная
таким образом скорость распространения электромагнитных волн нахо-
находится в хорошем согласии с результатами непосредственного измерения
скорости света. Теория Максвелла позволяет ответить на вопросы свя-
связанные с распространением электромагнитных волн в различных средах
например в стекле. Максвелл показал, что его теория описывает яв!ения
отражения и преломления света Важно отметить, что все эги резмьтаты
были получены без введения каких-либо дополнительных предпою/кений
в исходные положения теории В руках Максвелла теория света стала
частью учения об электричестве и магнетизме.
22
ГЛ 1 ВВЕДЕНИЕ
Электромагнитный спектр
1.7. Теория света, построенная на основе представлений об упругой
среде, не могла объяснить, почему длины волн всего наблюдаемого нами
спектра изменяются лишь от 7-10 до 4-10 см. Электромагнитная
теория указала на возможность создания волн с другой длиной волны
при помощи электрических средств. Впервые успех был достигнут Герцем,
КМ -
и
м -
см -
\ мм -
\
\
\
\
А
Длинные долны
Средние долны
Короткие волны
Санти-ц милли-
миллиме тробые домны
трасте
'ение
Видимый едет
Ультрсирижт
ЖяШГр&ттчоЬ
ское излучение
ое рент ее
шское^мучение.
Гамма-лучи
Космические
лучи
К
-5
-4
-3
-2
-1
-О
-7
-1
-6
-7
--9
-/7
-/г
У-
J-
7-
0-
/-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
11-
12-
13-
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
-14
-15
-W
-17
-18
-19
-20
-21
-22
-23
23-
F9-
Г8-
17-
Гб-
15-
Л-
Го-
Г2-
11-
W-
9-
7-
6-
1-
У-
-7
-I
-5
-ч
-5
-6
-7
-8
-9
Рис 1 5 Спектр электромагнитных волн
На основной диаграмме указаны названия электромагнитных волн различной
длины Вправо от нее приведены логарифмы (десятичные) длин волн, выраженных
в сантиметрах, влево — единицы измерения длин волн, что позволяет легко
установить соотношение между различными единицами измерения (например,
1\= ю-8 си) Эти данные позволяют переходить от одних единиц к другим
(например, для красно-оранжевого излучения % — 6 10-5 см = 6000 А = 0 6 \х)
В левой части рисунка в увеличенном масштабе представлена область
ИH0 —10 000 А В правой части рисунка приведены следующие шкалы lg v, где
v — волновое число т е величина, обратная %, выраженной в сантиметрах, lg v,
где \ — частота, выраженная в сек i, lg Е, где Е = hv — энергия кванта с ча-
сготой v, выраженная в эргах, lg У, где У— энергия выраженная в электронволь-
тах (см упражнение 1 3)
которому в 1887 г. удалось получить и исследовать распространяющиеся
электромагнитные волны длиной около 10 м. С тех пор прогресс в разви-
развитии экспериментальной физики в большой степени связан с разработкой
лхетодов получения электромагнитных волн различной длины. Некоторые
свойства этих волн зависят от их длины, но все они распространяются
в пустоте с одной и той же скоростью и все они описываются уравнениями
Максвелла. Рис. 1.5 дает представление об электромагнитных волнах
разтичной длины. Современное развитие техники и атомной физики сде-
гато возможным получение и детектирование почти всех электромагнит-
электромагнитных во1н в диапазоне от нескольких тысяч метров до 10~и см.
фотоны 23
Существуют определенные области спектра, в которых возбуждение
волн еще продолжает оставаться затруднительным. Эти области еще
полностью не изучены, но тем не менее они не являются «белыми пятнами»
в спектре. Длинноволновый и коротковолновый концы спектра определены
не вполне строго. В области больших длин волн эффективность методов
возбуждения и детектирования излучения тем меньше, чем больше длина
волны. В области коротких волн необходима чрезвычайно высокая сте-
степень концентрации энергии для получения колебаний очень высокой
частоты. Детектирование этого излучения также затруднено в связи
с весьма незначительным поглощением коротковолнового излучения. Как
видно из рис. 1.5, область длин волн, которую глаз в состоянии
воспринимать и которая носит название «свет», является только частью
гораздо более широкого спектра. Электромагнитная теория света уста-
установила связь между световым излучением и другими типами электро-
электромагнитного излучения, а также связала оптику с общим учением об
электричестве и магнетизме.
Фотоны
1.8. Вернемся теперь к основному противоречию между волновой
и корпускулярной теориями света.
При объяснении приблизительно прямолинейного распространения
света казалось, что волновая теория лучше соответствует опытным данным,
чем корпускулярная, и все экспериментальные результаты, полученные
в XIX веке, можно правильно описать с точки зрения волновой теории.
В начале XX века результаты изучения фотоэлектрических явлений созда-
создали существенные затруднения для волновой теории *). Было найдено, что
свет может заставить атомы испускать электроны и что энергия вырван-
вырванного из атома электрона значительно превосходит то значение энергии,
которым он мог бы обладать в соответствии с волновой теорией. Для того
чтобы объяснить эти результаты, Эйнштейн выдвинул предположение, что
энергия светового пучка не равномерно распределена по всему пучку,
а как бы сконцентрирована в определенных областях. Эти области концен-
концентрации энергии он назвал фотонами **). Фотоны распространяются как
частицы. Предполагалось, что в световом пучке содержится огромное
количество фотонов, причем каждый из них обладает весьма малой энер-
энергией. Таким образом, для многих опытов можно считать, что энергия
равномерно распределена в световом пучке, точно так ле как газ оказы-
оказывает почти одинаковое давление на стенки сосуда, поскольку каждая его
молекула очень мала, а число их велико. Когда же мы рассматриваем
очень незначительные области (например, при наблюдении движения
микроскопических частиц), хаотичность броуновского движения показы-
показывает, что газ уже нельзя считать непрерывной средой. Аналогичным обра-
образом, атом имеет для пучка света настолько малое сечение, что в этом
случае обнаруживаются отдельные «молекулы света», или фотоны. Для
детального описания опытных данных необходимо предположить, что
все фотоны, соответствующие свету одной длины волны, обладают одина-
одинаковой энергией.
*) Явление внешнего фотоэффекта было впервые экспериментально излчено
Д.. Г. Столетовым. (Прим. ред.)
**) Подобное представление о фотонах является, конечно, очень схематичным.
Подробнее см. гл. 17 и 18. (Прим. ред.)
24 ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
Незадолго до того, как Эйнштейн предложил концепцию фотонов,
Планк пришел к выводу, что для объяснения совсем другого явления
необходимо привлечение аналогичной гипотезы. Он занимался вопросами,
связанными с излучением света нагретыми телами, и обнаружил, что
энергия, излучаемая атомами, всегда кратна некоторой порции энергии.
Излучение части этой порции энергии невозможно. Величина такой пор-
порции энергии, которую он назвал квантом, зависит от длины волны (Я)
излучения и равна
E = hcl%, A.1)
где h — универсальная постоянная, известная как постоянная Планка>
с — скорость света. Значение постоянной Планка h = 6,6 -107 эрг -сек.
Если v — частота излучения, то с = vA, и, следовательно,
E = hv. A.2)
Гипотеза Планка не требует, чтобы энергия излучалась в виде лока-
локализованных «сгустков», и ее можно, хотя и с некоторыми трудностями,
согласовать с электромагнитной волновой теорией света. Когда же Эйн-
Эйнштейн показал, что необходимо предположить существование «сгустков»
энергии, распространяющихся в вакууме, такое согласование стало
невозможным. Таким образом представление о световых частицах должно
было возродиться, конечно, на новой основе.
Теория относительности
1.9. Анализируя результаты экспериментов по распространению све-
света в движущихся средах, Эйнштейн рассмотрел вопросы, связанные
с принципами динамики. В 1905 г. он опубликовал работу, в которой
излагается теория, известная под названием частной теории относи-
относительности. Эта теория представляет собой новую систему динамики,
модифицирующую и в некотором смысле заменяющую динамику Ньютона.
Различие между релятивистской динамикой и динамикой Ньютона
особенно существенно при рассмотрении частиц, движущихся со скоро-
скоростью, близкой к скорости света. Поэтому любая удовлетворительная тео-
теория света должна находиться в согласии с представлениями релятивист-
релятивистской динамики.
После того, как теория света была приведена в соответствие с теорией
относительности, стало возможным найти объяснение результатам опытов
по излучению света источником, движущимся по отношению к наблю-
наблюдателю, или опытов по распространению света в среде, движущейся
относительно источника или наблюдателя. В 1915 г. теория относитель-
относительности была расширена и включила в себя динамику тел, движущихся
в силовых полях. Эта теория сделала определенные предсказания относи-
относительно результатов распространения света, проходящего через сильные
гравитационные поля. Проверка этих предсказаний астрономическими
опытами подтвердила правильность общей теории относительности и вы-
выявила воздействие гравитации на свет.
Современная теория
1.10. К современной теоретической физике предъявляется требование
дать единое описание двух различных типов экспериментов. С одной
стороны, явления интерференции, дифракции п поляризации хорошо
объясняет волновая теория. С другой стороны, опыты последнего времени
СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ 25
значительно увеличили число и расширили область экспериментов, кото-
которые можно легко описать с точки зрения представления о фотонах.
В электромагнитной классической волновой теории света нет места для
фотонов, а первоначальная теория квантов не оставляет места для волн,
но тем не менее обе эти теории должны дать полное описание рассматри-
рассматриваемого явления. В аналогичной ситуации Ньютон предположил возмож-
возможность существования частиц, обладающих периодическими свойствами
или управляемых волнами. В течение первой четверти XX века было сдела-
сделано много предположений такого типа, но ни одно из них не было вполне
удачным.
1.11. Решение, которое теперь достигнуто, более радикально. Сов-
Современная квантовая механика представляет собой единую теорию, описы-
описывающую как свойства света, так и свойства атомов. Все элементы теории
настолько тесно связаны друг с другом, что невозможно выделить из нее
какую-то часть и назвать ее «теорией света». Теория не проста для пони-
понимания, однако, принимая во внимание широкий круг явлений, которые
она объясняет, ее нельзя считать и чрезмерно сложной. Эта теория может
быть полно сформулирована в математической форме. Однако не следует
думать, что теория полностью закончена и новые эксперименты не потребу-
потребуют дальнейших ее усовершенствований. С этими оговорками можно счи-
считать, что в основном конфликт между волновой и корпускулярной теория-
теориями разрешен и что создана действительно единая теория. В этой единой
теории свойства частиц и волн выступают скорее как дополняющие друг
друга, а не как конкурирующие между собой. Теория систематически
и последовательно показывает, что каждое из этих свойств может про-
проявиться в соответствующих условиях и указывает на связь между ними.
Упражнения
1.1. Какова энергия кванта красного света с длиной волны 6,6*10~5сж? Чему
равна соответствующая частота света?
[Е = 3-10-12 9рг; v = 4,5-1014 гц.]
1.2. Чему равна частота и длина волны излучения, энергия кванта которого
равна энергии электрона, прошедшего разность потенциалов 1.24 в? Напомним, что
заряд электрона равен 4,8« 10—ю единиц СГСЭ.
[v = 3,0-1014 гц\ % = 10-4 см = 1 J.I.]
1.3. Один электронвольт соответствует энергии, которой иблалает эльктрпн.
прошедший разность потенциалов 1 в. Какому числу электронвольт соответств\ет
энергия кванта рентгеновских лучей, частота излучения которого равна 3- 10iq ^°
[123 8Э0э*.]
1.4. Какова размерность постоянной Планка?
[ML2 7-1.]
1.5. Пусть каждый атом некоторой совокупности из N атомов излучает 1 квант
света частоты v. Какой общей энергией (в джоулях) обладает поток излученных кван-
квантов? Напомним, что 1 дж = 107 эрг.
[6,6-10-34 Nv дж.]
ГЛАВА 2
ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ ТЕОРИЮ СВЕТА
Основные положения
2Л. Теория волнового движения представляет собой феноменологи-
феноменологическую теорию, применимую с незначительными изменениями к широкой
области звуковых и световых явлений, а также к волнам, распространяю-
распространяющимся по поверхности жидкости. При этом используется одна и та же
система уравнений, так как названные явления имеют много общих черт
и именно эти их общие черты описываются уравнениями волнового дви-
движения. При общем рассмотрении волновой теории и всех ее приложений,
обсуждаемых в гл. 3—9, нет необходимости подробно определять физи-
физические свойства того вида возмущения, каковым является свет. Не имеет
значения даже то, описывается ли рассматриваемое возмущение скаляр-
скалярной величиной, аналогичной, например, давлению газа, или величиной
векторной, аналогичной напряженностям электрического и магнитно-
магнитного полей.
2.2. Теория волнового движения содержит три положения.
1) Существует некоторая физическая величина, которая в каждый
момент времени имеет в каждой точке пространства определенное и изме-
измеримое значение.
2) Значение этой величины в какой-либо точке может с течением
времени испытывать периодические изменения или возмущения.
3) Возмущение, существующее в некоторой точке пространства
в данный момент времени, производит аналогичное возмущение в соседней
точке в несколько более поздний момент времени, так что область возму-
возмущения непрерывно перемещается из одного места в другое.
Изучение волнового движения удобно начинать с простого гармони-
гармонического осциллятора. Подобный осциллятор — это простейший и наиболее
важный из многочисленных источников колебаний, которые могут созда-
создавать волны. Кроме того, движение такого осциллятора во многом схоже
с движением точек среды, через которую проходят излучаемые им волны.
Общую картину распространения волн можно описать с помощью сочета-
сочетания уравнений простого гармонического движения с некоторыми общими
уравнениями распространения возмущений.
Простой гармонический осциллятор
2.3. Незатухающий простой гармонический осциллятор является
такой же математической абстракцией, как, например, блок без трения.
Хотя совершенно незатухающий осциллятор не существует в природе,
происходящие в нем процессы воспроизводят в первом приближении дви-
движения многих физических систем. С его помощью удается легко получить
ряд важных результатов. В следующем приближении решения задачи
_ движении осциллятора нетрудно учесть эффекты затухания.
ПРОСТОЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
27
А
Рис.
М **Г
2 1 Крутильный
маятник.
При изучении простого гармонического осциллятора удобно иметь
в виду некоторую определенную его модель. Поэтому мы начнем с рас-
рассмотрения крутильного маятника (рис. 2.1). Этот
маятник состоит из двух равных масс А и А\
связанных невесомым жестким стержнем. Стер-
Стержень М в своей средней точке подвешен на тон-
тонкой проволоке, верхний конец Е которой непод-
неподвижно закреплен. Предположим, что данная си-
система первоначально находилась в покое, затем
стержень был повернут в горизонтальной пло-
плоскости на малый угол относительно вертикальной
линии ЕМ и отпущен. Последующее движение
системы можно изучать, рассматривая изменение
величины q, которая определяется как линейное
перемещение А (или А') от своего среднего поло-
положения. При этом подразумевается, что координа-
координата q измеряется по дуге горизонтальной окружности, вдоль которой пере-
перемещаются массы А п А'. Тогда
? = /(*), B.1)
де t — время, отсчитываемое от какого-либо начального момента.
Эпспер именпгалъные данные
2.4. Наблюдая за движением маятника, можно установить следующее:
1. Маятник колеблется в горизонтальной плоскости. При этом про-
промежуток времени между двумя моментами, в которые маятник проходит
через положение равновесия, сохра-
сохраняется постоянным. Интервал времени
между двумя последовательными про-
прохождениями шаром А любой точки его
траектории в одном и том же направ-
направлении называется периодом маятника.
2. Значение координаты q изме-
изменяется в пределах ± а. Величина а на-
называется амплитудой колебаний В дей-
действительности амплитуда колебании по-
постепенно уменьшается, однако при над-
надлежащем выборе материала проволоки
(ЕМ) уменьшение амплитуды за один
период мало. Как указывалось выше,
мы цока пренебрежем этим уменьше-
уменьшением амплитуды.
t
t
Рис. 2.2. Зависимость смещения (а),
скорости (б) и ускорения (в) от вре-
времени для гармонического осцилля-
осциллятора.
3. Зависимость q от t можно представить графиком, изображенным на
рис. 2.2, а. Этот график описывается уравнением
q = a sin (at + 6) = a sin ф, B.2)
где со, равное 2я/7\ называется угловой, или круговой, частотой. 6 —
постоянная, называемая начальной фазой колебания. Величина ц носит
название фазы колебания; по определению, она равна со£ —- 6. Угловая
частота непосредственно связана с частотой v, или числом колебаний
в секунду, соотношением
1
28 ГЛ 2. ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ ТЕОРИЮ СВЕТА
Величина 6 определяется из значения q при t = 0, т. е. q0 = a sin б. Если начала
отсчета времени выбрано так, что при значении t = О, q = 0, то 6 = 0 и B.2) при-
принимает вид
q=a sin со*. B 4)
Такой выбор начала отсчета времени t удобен, когда рассматривается одна колеба-
колебательная система. Если же рассматриваются две системы, то они, вообще говоря,
не имеют одинаковых начальных фаз. Колебания одной системы могут быть записаны
в виде B.4), но для описания колебаний другой должно быть использовано более
общее выражение B.2). Хотя сейчас мы рассматриваем только одну систему, мы сохра-
сохраним, имея в виду дальнейшие применения, более общую форму записи ее колебаний
в виде соотношения B.2).
4. Опыт показывает, что сила, необходимая для такого поворота
стержня А А', при котором его массы А и А' продвинутся вдоль дуги q,
пропорциональна величине q. Отсюда следует, что эту силу можно запи-
записать в виде F = kq. Ниже (см. B.9)) мы уточним это выражение.
Работа Fo, производимая при квазистатическом повороте маятника
на угол д, равна следующей величине:
V = ±kq\ B.5)
5. Период колебаний маятника при этом оказывается равным
Г = 2я ]/■£ , B.6)
где -у ш — масса А, или масса А'.
Уравнения движения
2.5. Дифференцируя выражение B.2) по времени, мы получим
q = (oa cos (cor + 6) = ша cos cp = ± ш (а2 - q2I/2 B.7)
и
q = — со2а sin (cut + б) = — со2а sin ф = — со2д. B.8)
Эти уравнения графически иллюстрированы рис. 2.2, б и 2.2, в. В соотно-
соотношении B.7) должны быть использованы оба знака, положительный и отри-
отрицательный, так как каждому значению q соответствуют два равных по
величине, но противоположных по знаку значения д. За один период
система дважды проходит через каждую точку своей траектории. При
этом значения q оба раза одинаковы по абсолютной величине, но алгебраи-
алгебраические знаки q в этих двух случаях противоположны.
Уравнение B.8) можно также получить непосредственно из динами-
динамических законов движения. Кручение проволоки вызывает вращающий
момент к или пару сил, каждая из которых равна у kq и приложена
к массе у/п.
Таким образом,
?=-—?• B-9)
ПРОСТОЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 29
В правой части последнего выражения стоит знак минус, так как
сила, приложенная к маятнику со стороны проволоки, всегда действует
в направлении, противоположном отклонению маятника q, т. е. является
возвращающей силой, стремящейся вернуть систему в положение равно-
равновесия. Уравнение динамики B.9) эквивалентно B.8) при условии, что
С0 =
и
Г 'г . B.106)
Последнее соотношение проверяется прямыми наблюдениями за колеба-
колебаниями маятника (см. § 2.4). Таким образом, период (или угловая частота)
маятника зависит от значения отношения возвращающей силы (на единицу
отклонения) к массе маятника.
Из B.7) следует, что кинетическая энергия колеблющейся массы
т Гт. е. у mq2 j равна -к- та) (a2— q2); используя B.5), можно показать,
что полная энергия этой массы W равна следующей величине:
таа2. B.11)
Эта энергия остается неизменной во все моменты движения.
Упражнения
2.1. Записать основные положения предыдущего вывода, используя в качестве
переменной координаты маятника л гол, на который поворачивается стержень А А1'.
Если обозначить этот угол через 6, то надо показать, что 0 = —со28, и найти решение
этого уравнения
2.2. Какова размерность константы Р Показать, что в уравнениях B 5), B 6)
и B 9) правильно выдержаны размерности
[Размерность обеих частей уравнения B 5) [М12Т~2] уравнения B f») \LT~2] ]
2.3. Какова размерность величин со, v, ф и 6° Показать что в \ равнении B 10)
правильно выдержаны размерности
[Размерность со и v есть Г", ф и б — уггы, и поэтому они явгяютсч беоразчер-
ными величинами ]
2.4. Показать, что мачые колебания в поле тяжести простого маятника (в виде
тяжелого шарика, подвешенного на тонкой нити) являются гармоническими, и найти
их угловую частоту со
Т-/* ]
2.5. Найти период Т малых колебаний тяжеюго маятника, свободно вращаю-
вращающегося вокруг горизонтальной оси, проходящей на расстоянии h от центра тяжести
маятника
У=2я; у —-^г— , где К — так называемый радиус инерции маятника от-
относительно оси, проходящей через его центр тяжести ]
2.6. Перечислить физические системы, движение которых можно считать при-
приблизительно гармоническим
[Это будут все системы, у которых возвращающая сила пропорциональна сме
щению, например обычные весы, магнит, подвешенный в магнитном поле, подвижная
катушна гальванометра и т д ]
30 ГЛ 2 ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ ТЕОРИЮ СВЕТА
Произвольные постоянные
2.6, Уравнение B.8) является основным дифференциальным уравне-
уравнением движения. Его решения содержат две произвольные постоянные и мо-
могут быть записаны следующим образом:
q = a sin (со* -гЬ) = а sin <p, B.2)
или
q= —a cos (tot-f 6)= —#cos(p', B.12)
или
q = A sin (dt-\-B cos cot. B.13)
В уравнении B.2) произвольными постоянными являются а и б, в B.12)
а и б' и в B.13) — А и В.
Эти произвольные постоянные определяются начальными условиями.
Так, произвольные постоянные могут быть определены, если заданы
значения q л q в некоторый момент времени t0. Например, если мы поло-
положим q = 0 и q = и при £ = 0, то б = 0 и а = и/со и, следовательно,
q = (и/а>) sin coZ. Если уравнениям B.2), B.12) и B.IS) соответствуют
те же начальные условия, то должны выполняться следующие соотношения:
A = acos6 и 2? = a sin б,
так что
Начальные условия могут быть заданы различными способами; например,
могут быть заданы q и q (или q и q) для определенного значения t, или
одна из этих переменных для двух значений t. В общем случае, должны
быть заданы два независимых значения величины q (или ее производных).
Заметим, что со и связанные с ней величины v и Т не являются произволь-
произвольными постоянными. Они зависят от физических свойств осциллятора, а не
от начальных условий его движения.
Упражнения
2.7. Определить произвольные постоянные и написать уравнения, соответст
вующие уравнениям B 2), B 12) и B 13), в С1едлющих случаях
а) д = 0 и q = и при t = пТ (где п — цеюе число), б) q = q0 при t = О, и
q = и0 при t = *4, в) q = qt при I = ^, и q = q2 при t = t2.
[a) q = — smco*.
б) q = \ ——— — У- sin G>t 4- qQ cos со/
^ со cos co^i J
B) g=z f ffi cos «t2-?2 cos (o^ I bm юг J g2sin atf j-gl sin шг \ cog ю< "I
(, sin со (^i —12) J I sino)(^—^2) J J
ВЕКТОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
31
2.8. Почему для определения произвольных постоянных недостаточно условий
q = Я\ при t = 0 и q = <7Х при t = пТ?
[Из уравнений движения следует, что q имеет одно и то же значение при t — О
и при t = пТ. Следовательно, при таком выборе значений t дано лишь одно начальное
rweue движения.]
Общие уравнения движения
2.7. Ко всем простым гармоническим осцилляторам применимо общее уравне-
уравнение B.5). Из него вытекает уравнение
где р — обобщенный импульс осциллятора; Н—его полная энергия, выраженная
как функция р и q. Уравнение B.9) может быть тогда получено из одного из урав-
уравнений Гамильтона
дН
dp_
dt
Векторное представление гармонического движения
2.8. Отрезок прямой линии, соединяющий две точки, характеризует-
характеризуется своим направлением и длиной. Такой отрезок называется вектором.
Если мы ограничиваемся рассмотрением отрезка прямой, лежащего
в определенной плоскости, то для задания век-
вектора нужны две величины. Так, можно задать
длину вектора и угол, который этот вектор об-
образует с какой-либо фиксированной осью. Век-
Вектор можно также определить, задавая вели-
величины его проекций на две фиксированные оси
координат, и различными другими способами.
Вектор, лежащий в какой-либо данной пло-
плоскости, всегда определяется двумя величинами,
и поэтому он в свою очередь пригоден для одно-
одновременного представления двух величин. Если
задан вектор, то можно определить две вели-
величины, и обратно, если даны две величины,
можно построить вектор. Для векторного
представления гармонического движения мо^ч-
но воспользоваться одним из двух способов:
1. Использование вращающегося вектора. Отрезок ОР (рпс. 2.3)
изображает такой вектор. Его длина равна амплитуде а; угол, который он
образует с осью ОХ, равен ср (см. уравнение B.2)). Проекция вектора на
направление OY равна a sin ф и, следовательно, равна q. При увеличе-
увеличении ф с течением времени t вектор ОР вращается с постоянной угловой
скоростью (о, измеряемой в радианах в 1 сек. Вращение вектора передает
процесс гармонического движения. Читатель может убедиться в том. что
компоненты скорости и ускорения точки Р в направлении О У равны q
и q в соответствии с уравнениями B.7) и B.8).
2. Неподвижный вектор может быть использован для графического
представления двух произвольных постоянных величин. Неподвижный
вектор можно рассматривать как «мгновенный» снимок вектора ОР
в момент времени, для которого заданы начальные условия.
Рпс 2 3 Предстазленпр
гармониче» ког<« кнлепанпя
вращак щпмгя в^ктлром
32
ГЛ. 2 ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ ТЕОРИЮ СВЕТА
Предположим, что длина OQ (рис. 2.4) равна а и угол QOX с фикси-
фиксированной осью X равен б. Тогда вектор OQ задает начальные условия.
Вектор не нужно вращать для описания
процесса движения, но если дано OQ, то,
пользуясь уравнением B.2), мы можем
определить последующее движение си-
системы.
Необходимо подчеркнуть, что вектор-
векторное представление гармонического движе-
движения не связано с какими-либо возможными
векторными свойствами описываемого воз-
возмущения. Описанное иллюстративное век-
векторное представление применимо, незави-
независимо от того, является ли колеблющаяся
величина скалярной или векторной пере-
переменной.
На рис. 2.4 показана связь между
уравнениями B.2), B.12) и B.13). В урав-
уравнении B.2) вектор OQ определен через свою величину а и угол б
с осью ОХ. В B.12) вместо угла б задается угол б'. В уравнении B.13)
задаются компоненты OQ по двум осям: ОЕ = a sin 6 = Ви OF = a cos б =. А.
Рис 2 4 Представление мгновен-
мгновенного состояния гармоническо-
гармонического колебания неподвижным
вектором
Уравнение распространения возмущения в одном измерении
2.9. Рассмотрим распространение возмущения £, которое имеет опре-
определенное значение в любой момент времени t в любой точке данной прямой
линии; последняя используется в качестве оси X. Мы имеем тогда
= /(*,*)■
B.16)
Если рассматриваемое возмущение представляет собой волну, бегу-
бегущую вдоль натянутой струны, то £ есть смещение элементов струны
(в точке х в момент времени t) от ее положения равновесия. | может
также представлять возмущение в виде волн на поверхности жидкости,
при условии, что гребни этих волн образуют систему параллельных линий,
перпендикулярных оси X. Подобным же образом £ может описывать воз-
возмущения в очень широком параллельном пучке света, распространяющем-
распространяющемся в направлении оси X.
Значения | в определенный момент времени t{ являются функциями
только х. График зависимости £ от х в определенный момент времени
называется формой возмущения. Если возмущение распространяется без
изменения в направлении ОХ, то за определенный промежуток времени t'
все значения £ переносятся на определенное расстояние х' вдоль оси х.
Если возмущение распространяется со скоростью Ъ в положительном
направлении оси х, то х = bt, т. е. прирост времени на f и перемещение
начала отсчета по оси х в отрицательном направлении на величину Ыг
приводит к равным по величине и противоположным по знаку изменениям
величины \. Отсюда
так как перемещение начала координат в отрицательном направлении
эквивалентно увеличению значений х.
УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЯ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ 33
Уравнение B.17) справедливо при всех значениях х и t в том и только
в том случае, когда
l = f(bt-x), B.18)
так как
= bt — x.
Подобным же образом возмущение, распространяющееся по оси х в отри-
отрицательном направлении, описывается уравнением
), B.19)
где fug — любые непрерывные функции. Если скорость распространения
Ъ остается неизменной при всех значениях х и t, то, дифференцируя урав-
уравнение B.18), получаем
B.20)
где штрихи означают дифференцирование по (bt — #)•
Из уравнений B.20) получаем
B.21)
Это — основное дифференциальное уравнение распространения воз-
возмущения с постоянной скоростью и без изменения формы. Оно называется
волновым уравнением.
Дифференцированием легко показать, что B.19) есть решение этого
уравнения и что любая линейная комбинация B.18) и B.19) вида
*• YT -£/£,+ \ | ТТ г* (Т- 4" I /у,\ /О О О \
(где Hi и Н2 — константы) также есть решение нашего дифференциального
уравнения. Выражение B.22) описывает одно возмущение, распространяю-
распространяющееся в положительном направлении, и
второе возмущение (не обязательно той же
формы), распространяющееся в отрица-
отрицательном направлении.
2.10. Рассмотрим возмущение, опи-
описываемое выражением
\ = a sin -г- (bt 4- х),
B.23)
Рис. 2.5. Графическое представ-
представление распределения смещений
в простой суяусоидальнои волне.
где а, Ь и со — постоянные величины при
всех значениях х и t. Такое возмущение
имеет следующие три свойства:
1. Оно имеет ту же форму, что и воз-
возмущение, описываемое уравнением B.19),
и не меняя формы, распространяется со скоростью b в отрицательном
направлении оси х.
2. В любой заданной точке возмущение является гармоническим;
так, если мы подставим в B.23) х = х0 и б = (ох0/Ь, то полученное выра-
выражение совпадает с уравнением B.2). со по-прежнему есть угловая частота.
3 Р Дитчберн
34 ГЛ. 2. ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ ТЕОРИЮ СВЕТА
3. В любой заданный момент времени форма возмущения является
простой синусоидальной функцией аргумента х -\- bt0, так как если
полошить t = t0, то
l = asm-^-(x-bt0). B.24)
Вид этой кривой показан на рис. 2.5. Она имеет ту же форму, что и кривая,
изображенная на рис. 2.2, а, но переменными здесь являются I и х вме-
вместо gut.
Длина волны и волновое число
2.11. Кривая, изображенная на рис. 2.5, обладает пространственной
периодичностью. Ординаты кривой принимают одинаковые значения при
изменениях х на величину 2пЬЫ. Длину таких отрезков (т.е. приращений
величины х) называют длиной волны и обозначают буквой Я. Обратная дли-
длине волны величина х называется волновым числом и, по определению,
равна 2я/Я.
Пользуясь этими определениями и уравнением B.3), можно получить
следующие соотношения:
B.25)
Фаза волны
2.12. Возмущение, задаваемое уравнением B.23), можно записать
в виде
\ = a sin (о)£ + ш) = a sin qr, B.26)
отсюда следует, что фаза волны ф = (ot + кх есть'функция к и t. Фаза
увеличивается на 2я, если t увеличивается на Т или х увеличивается на К.
При увеличении ф на 2я все тригонометрические функции, определяющие £
и ее производные, принимают свои первоначальные значения.
Уравнение B.26) описывает волну, фаза которой равна нулю при
t = 0 и х = 0. Несколько более общей формой записи уравнения волны
является выражение
| = a sin (Ы -\-кх-\-61) = а sin ф1в B.27)
Если рассматривается одиночная волна, то ее обычно можно приве-
привести к виду B.26), если же рассматриваются совместно несколько волн, то,
как правило, нужно пользоваться уравнением B.27).
Упражнения
2.9. Показать, что содержащиеся в §§ 2.10—2.12 определения волновых пара-
параметров применимы к возмущениям:
\=а cos ((at—хя+62), B.28)
£=asin ((x>t—nx+63), B.29)
Ъ=а cos ((о* + хя+64). B.30)
Какого типа волны описывают эти выражения? Каково соотношение фаз между вол-
волнами, описываемыми выражениями B.29) и B.28)?
[83-62 = я/2.]
ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ 35
2.10. Продифференцировать уравнение B.27) дважды по t и дважды по х. Прове-
Проверить непосредственно, что найденные вторые производные £ по t и g по х удовлетво-
удовлетворяют уравнению B.21).
2.11. Показать, что сумма нескольких выражений, подобных B.27), B.28),
B 29) и B.30), всегда является решением волнового уравнения.
Распространение волн в трех измерениях
2.13. При распространении возмущения в пространстве трех измере-
измерений величина \ в каждой его точке испытывает периодические изменения.
Для волн простейшего типа изменение \ с t в данной точке является про-
простой гармонической функцией. Фаза ф изменяется от точки к точке
и является непрерывной функцией величин х, у, z и t. Изменение ф таково,
что в любой данный момент времени фаза имеет одно и то же значение на
некоторых замкнутых поверхностях, называемых волновыми поверхно-
поверхностями. Они определяются соотношением
<Pto = g(x, У, z)=xo, B.31)
где %0 — величина фазы на некоторой волновой поверхности в момент
времени t0. В общем случае волновые поверхности образуют семейство
поверхностей, и % является переменным параметром, который определяет
отдельные поверхности этого семейства. Волновые поверхности могут
образовывать семейство концентрических сфер, семейство параллельных
плоскостей и принимать любые другие формы. Различают сферические,
плоские и иные волны соответственно форме их волновых поверхностей.
Плоские волны
2.14. Если ф имеет вид
Ф = ю*-х(оя4-Рк + у*) + *, B.32)
где а, Р, у — действительные числа, связанные соотношением
= l, B.33)
то волновые поверхности образуют семейство плоскостей, нормали к кото-
которым имеют направляющие косинусы a, P, у.
Дифференцируя соотношение B.32) по t, поллчнм
ф = ю —х(ах-г-ру-г^). B 34)
Точка наблюдения, движущаяся в пространстве с такой скоростью, что
<j = 0 всегда сопутствует одной и той же фазе колебания, всегда остается
на одной и той же волновой поверхности. Из соотношения B.34) следует,
что такая точка должна иметь скорость 6, равную со/к. Компоненты
последней по координатным осям равны afc, рй и yb, а направление скорости
перпендикулярно волновым поверхностям. Приведенное рассуждение
справедливо для любой точки любой волновой поверхности, п поэтому
каждая волновая поверхность перемещается перпендикулярно самой
себе со скоростью Ъ = со/х. Плоская волна в пространстве трех измере-
измерений подобна волнам, описанным выше (см. §§ 2.10—2.12). Ее уравнение
можно привести к виду B.26) путем соответствующего изменения направ-
направления осей координат. Более общий вид записи уравнения волны требует-
требуется в тех случаях, когда рассматриваются сразу несколько волн, как,
например, при их отражении и преломлении.
3*
36 ГЛ. 2. ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ ТЕОРИЮ СВЕТА
Волновое уравнение
2.15. Волну, фаза которой имеет вид B.32), можно описать соотно-
соотношением
I = a sin ф = a sin [со* — х (ах + $у + \z) + б]. B.35)
Двукратное дифференцирование B.35) по времени и координате х дает
Ь уч2£ /О ОС\
-^2~= — 0У% (Z.OO)
э -,2~2t /О О7\
_=_x2a2g B-37)
и еще два уравнения, подобных последнему.
Объединяя B.36) и B.37) и используя B.33), получим
_^_+-!i_4--^--^-^--i--^- Г2 38>
дх* ^ ду2 ^ dz* -~ 0J ^2"~" 62 0*2 • \*.оо)
Это есть общее дифференциальное уравнение распространения волн
в пространстве трех измерений (так называемое волновое уравнение).
Выражение B.35) есть его частное решение, которое описывает плоскую
волну с угловой частотой (о.
Более общим решением *) волнового уравнения является функция
1 = 1(Ы-ах-$у-уг)ч B-39)
где а, Р и y определяются соотношением B.33).
Это решение описывает плоскую волну, которая, вообще говоря, не
имеет простой синусоидальной формы.
Упражнения
2.12. Проверить дифференцированием, что выражения B.39) и
B.40)
оба являются решениями волнового уравнения B.38).
Показать, что любая линейная комбинация этих решений вида
l=Hf(bt-ax-$y-yz) + Kg(lt + ax+$y+yz) B.41)
также есть решение B.38). Какие волны описывает это решение?
Показать, что соответствующие этим решениям волновые поверхности есть пло-
плоскости; определить скорость и направление движения этих плоскостей.
2.13. Какие волновые возмущения описывает решение вида
B.42)
Написать более общее решение того же вида.
[Выражение B.42) описывает две плоские волны, распространяющиеся в напра-
направлениях, заданных косинусами alT Pi, Yi и а2, Р2» Y2- Более общей формой записи
решения волнового уравнения будет сумма
1= 2 Hnfn (bt-anx-$ny-ynz), B.43)
описывающая систему плоских волн, распространяющихся в разных направгениях,]
2.14. Написать уравнения, подобные B.32) —B.39), для волн, распространяю-
распространяющихся в пространстве двух измерений. Заметим, что теперь волновые поверхности
стягиваются в прямые линии. Строго говоря, здесь мы имеем уже не плоские волны,
а «прямолинейные волны», которые часто называют плоскими, рассматривая их как
сечения трехмерных плоских волн плоскостями, перпендикулярными направлению
распространения последних.
*) Обсуждение других решений см. в книге Кулсона [2.1].
СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН
37
2.15. Показать, что выражение
£=/ (Ы—х cos б — у sin 0)
B.44)
описывает линейную волну, движущуюся под углом 9 к оси х. Написать выражение
для волн, линии постоянной фазы которых определяются выражением у=тх-\-С
{С — переменный параметр).
[lf(bt—атх+ау), где а2=( 1
Скорость распространения волн
2.16. Выше было показано, что циклическая частота колебаний
осциллятора со определяется не начальными условиями его движения,
но физическими свойствами осциллятора; так, например, для крутильного
маятника о равно У к/т, а для простого тяжелого маятника о = V^g/l.
Аналогично скорость распространения волны определяется физическими
свойствами среды. Вычисление
скорости света будет приведено О А А' в В'
в гл. 13. Пока в качестве при-
примера мы ограничимся расчетом ско- г
рости распространения продоль- >
ных волн вдоль упругого стержня >
(рис. 2.6). г
Рис. 2.6. Распространение
стержня.
волн вдоль
Волны в стержне
2.17. Положим, что площадь
сечения стержня равна а, плот-
плотность материала — ij и величина мо-
модуля Юнга — д. Пусть х есть рас-
расстояние от плоскости А до плоскости О в отсутствие возмущений,
а (х + дх) — расстояние от О до плоскости В* Предположим, что стержень
испытывает линейную деформацию £, являющуюся непрерывной функ-
функцией х и t. Соответственно в данный момент времени сечение стержня А
перемещается на расстояние £ в А\ & В — в положение В' на расстояние
\ + б£. Тогда относительная деформация участка стержня, который
вначале имел длину АВ, равна
А'В'—АВ __ Ь\
АВ ~~ Ьх '
Упругое напряжение Q в каждом сечении стержня запишется в виде
(} = ОAЖ. B.45)
при условии, что б^/дх достаточно мало и выполняется закон Гука. Напря-
Напряжение Q есть также непрерывная функция х и t. Сила, приложенная
к элементу длины стержня, равна разности напряжений в сечениях Аг
п 5'. Эту силу можно записать в виде
6Q о _ д*1
дх " дх2
B.4G)
Приравнивая силу произведению массы элемента стержня на его
ускорение, получим
38 Г Л 2. ВВЕДЕНИЕ _В ВОЛНОВУЮ ТЕОРИЮ СВЕТА
ЧТО СВОДИТСЯ К
Это волновое уравнение эквивалентно B.21), если
^ B-48)
Таким образом, скорость распространения продольной волны опре-
определяется величинами плотности и модуля Юнга материала, из которого
изготовлен стержень *).
Перенос волной энергии и импульса (количества движения)
2.18. Выше было показано, что колеблющаяся система обладает как
кинетической, так и потенциальной энергией. При простом гармони-
гармоническом движении энергия непрерывно переходит из кинетической в потен-
потенциальную и обратно, но полная энергия замкнутой системы остается
постоянной и пропорциональна со2а2.
Упругие волны, рассмотренные в предыдущем параграфе, обладают
как кинетической энергией (поскольку среда находится в движении),
так и потенциальной энергией (поскольку упругая среда деформирована).
Можно показать, что полная энергия, приходящаяся на единицу объема
среды, пропорциональна со2а2 (см. упражнение 2.16). Таким образом, при
волновом движении среда обладает определенной плотностью энергии 2),
которая пропорциональна квадрату амплитуды волны.
Поэтому в дальнейшем во всех случаях, когда это не сможет при-
привести к количественным недоразумениям, мы будем говорить о квадрате
амплитуды волны, как о плотности энергии в среде, участвующей в волно-
волновом движении.
Вместе с изменениями во времени деформаций и скоростей элементов
среды, в которой распространяются волны, изменяется и плотность энер-
энергии в каждой точке среды.
2.19. Если возмущение точно описывается выражением B.26) в каж-
каждой точке и в любой момент времени, то последовательность волн — так
называемый цуг волн — должен простираться от — оо до + оо. Цуги
световых волн никогда не бывают бесконечно длинными, и в гл. 4 мы
покажем, как нужно модифицировать уравнение B.26), чтобы учесть
конечную длину цуга волн. При общем рассмотрении процесса переноса
энергии нет необходимости допускать конечность длины цуга волн, но
нужно предположить, что где-либо имеется источник (пусть даже на
бесконечно большом расстоянии в отрицательном направлении оси х)
и что либо волна поглощается (в весьма удаленной точке в положительном
направлении оси х), либо фронт волны перемещается в еще невозмущен-
невозмущенные участки среды. В любом из этих случаев имеет место перенос
энергии.
В простых условиях, которые мы до сих пор рассматривали, количе-
количество энергии, переносимой в 1 сек через единичную площадку, параллель-
параллельную волновой поверхности (поток энергии), равно bD, так как за 1 сек
вся энергия, заключенная в трубке длиной Ъ с основанием 1 см2, пересечет
*) В этом расчете скорости распространения в стержне продольной волны не учи-
учитывается зависимость поперечного сжатия стержня от его продольных деформаций.
(ITfU4. ред.)
СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ. ЗАКОН ОБРАТНЫХ КВАДРАТОВ 39
поверхность, расположенную под прямым углом к направлению распро-
распространения *).
Можно показать [2.2], что при распространении упругих волн про-
происходит перенос импульса и, следовательно, группа волн производит
давление на тело, которое их поглощает или отражает. Ниже мы докажем,
что в аналогичных условиях свет также производит давление и что давле-
давление параллельного пучка света численно равно плотности энергии в све-
световом пучке.
Детальный расчет переноса энергии и импульса в световом пучке
нельзя провести до тех пор, пока не уточнены свойства световых волн.
Пока можно принять в качестве рабочей гипотезы (по аналогии с упруги-
упругими волнами), что плотность световой энергии в среде ^ поток энергии
пропорциональны квадрату амплитуды световой волны.
Сферические волны. Закон обратных квадратов
2.20. На опыте было установлено, что в непоглощающей среде свет от
малого источника распространяется таким образом, что поток энергии
через единицу площади обратно пропорционален квадрату расстояния
между этой площадкой и источником. Естественно было бы попытаться
описать распространение света от малого источника при помощи системы
сферических волн и посмотреть, точно ли выполняется закон обратных
квадратов.
Вернемся к уравнению B.38) и перепишем его в сферических коорди-
координатах. Если предположить, что его решение сферически симметрично, то
можно поступить следующим образом.
Пусть г есть радиус-вектор, проведенный в данную точку из начала
координат. Тогда
г2 = х2 + у2Л.22 B.49)
и, следовательно,
д% д% дг х д\ л ((у гПч
дх* ~~ дг ч г ' дг ) дх ~ г \ г ' дг* ~*~ дг ' дг \ г ' J *~~
— IL д2~* — [ — /24 /о ~\\
~~ г- дг1 г /* or \~- )
Подобные выражения получатся и для производных по у п по z.
Используя эти выражения, а также B.49), получим, что B.38) принимает
вид
Qr2 * г дг Ъ* dt*
ПЛИ
д* (rn = lf_/rt|
Общим решением этого уравнения, соответствующим B.22), служит
* А
«2.33)
B.54)
*) Рассмотрение потока энергии в упруго-деформированной среде было впервые
произведено Н. А. Умовым. (Прим. ред.)
40 ГЛ. 2. ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ ТЕОРИЮ СВЕТА
Выражение
£ = — sin (cat—кг) = — sin ф B.55)
является частным случаем B.54) и, следовательно, также служит реше-
решением волнового уравнения. Оно описывает сферическую волну, так как
в любой момент времени фаза волны имеет одно и то же значение на всей
поверхности сферы с центром в начале координат. Значение фазы, имев-
имевшееся на сфере радиуса г0, через время t0 переносится на большую сферу
радиуса (г0 + bt0) и, следовательно, выражение B.55) описывает сфери-
сферическую волну, распространяющуюся из начала координат. Амплитуда
этой волны не постоянна, а обратно пропорциональна г. Отсюда следует,
что количество энергии, протекающей через единицу волновой поверхно-
поверхности, пропорционально 1/г2 и, следовательно, закон обратных квадратов
содержится в использованном описании распространения света. Полная
энергия, проходящая через любую концентрическую сферу с центром
в начале координат, не зависит от г, так как поверхность сферы радиуса г
равна 4лт2. При стационарных волнах полное количество энергии, при-
приносимой в пространстве между двумя сферами с центром в начале коор-
координат, равно количеству энергии, уносимой из этого пространства за то
же время.
Выражение
^ B.56)
описывает волну, сходящуюся к началу координат и по своим свойствам
аналогичную волне *), представляемой B.55). Выражения B.55) и B.56)
описывают идеализированные волны. В действительности свет никогда не
выходит и никогда не сходится к математической точке, а волновые поверх-
поверхности не бывают строго сферическими.
Фотометрия. Определение фотометрических величин
2.21. Задачей фотометрии является измерение количеств света, глав-
главным образом при его применении (особенно при использовании искус-
искусственного света) для осветительных целей, например при чтении. Закон
обратных квадратов, описывающий перенос энергии излучения через
единицу площади сферической поверхности, окружающей точечный источ-
источник, является основным положением в большинстве фотометрических
расчетов. При таких расчетах реальный источник света мысленно разби-
разбивают на малые участки, каждый из которых достаточно мал для того,
чтобы его можно было считать точечным источником. Техника фотометри-
фотометрических измерений не рассматривается в этой книге, но здесь мы введем
некоторые фотометрические определения. Ограничиваясь рассмотрением
света одной длины волны, введем следующие определения:
1. Световой поток (через данную поверхность) пропорционален количеству
энергии, протекающему через эту поверхность. В отсутствие поглощения и других
аналогичных эффектов поток, проходящий через любую поверхность, окружающую
источник, пропорционален количеству энергии, испускаемой источником. Поток
принято обозначать буквой F.
2. Освещенность (в данной точке поверхности) пропорциональна световому
потоку на единицу площади, пересекающему малый элемент поверхности, включаю-
включающий рассматриваемую точку. Освещенность обозначается обычно буквой Е.
*) Сферические волны других типов рассматриваются в теории звука [2.1, 2.2].
ЯВЛЕНИЕ ДОППЛЕРА-ФИЗО 41
3. Сила света источника в данном направлении равна световому потоку, заклю-
заключенному в единице телесного угла, построенного в этом направлении. Сила света
источника обозначается буквой /.
4. Яркость (источника в данном направлении) равна силе света, излучаемой
единицей площади источника в данном направлении. Яркость обычно обозначается
буквой В.
При рассмотрении вопросов интерференции и дифракции света наи-
наиболее важной величиной является освещенность. Когда мы наблюдаем
на экране интерференционные полосы, нас интересует распределение
освещенности на экране. Если мы их видим непосредственно глазом или
при помощи какого-либо прибора, нас интересует изменение освещенности
в плоскости, на которую наведен прибор. Если мы наблюдаем полосы
при помощи лупы, то можно рассматривать освещенные полосы как источ-
источники света, расположенные в фокальной плоскости лупы. Мы можем тогда
говорить о распределении яркости в этой плоскости.
Ниже мы увидим, что если принять введенные выше фотометрические
определения, то нельзя уже строго говорить о распределении интенсив-
интенсивности в системе интерференционных полос или применять без оговорок
термин интенсивность к квадрату амплитуды световой волны. Мы можем,
однако, ввести термин «относительная интенсивность спектральной линии»,
понимая под этим отношение количества энергии, испускаемой источником
в данной спектральной области, к полной энергии, испускаемой тем же
источником.
В практической фотометрии освещенность, яркость и другие фото-
фотометрические характеристики цветных источников света измеряют в едини-
единицах, учитывающих эффективность разных длин волн при их воздействии
на человеческий глаз. Так как здесь рассматриваются только физические
измерения, то мы будем применять введенные выше обозначения для пото-
потока, освещенности и т. д., измеренных в энергетических единицах. Исполь-
Используемые нами значения этих величин нужно умножать на фактор видности
(зависящий от цвета), чтобы привести их к единицам, применяемым
в практической фотометрии (например, к свече как к единице силы света).
Явление Допплера—Физо
2.22. Звук, производимый каким-либо источников типа камертона,
может быть обнаружен прибором, и его частота можрт быть измерена.
Но частоту колебаний источника звука можно измерить п независимо.
Было найдено, что если источник и прпемнлк не движутся друг отно-
относительно друга, то частота регистрируемого звука равна частоте колебаний
источника. Если же источник и приемник приближаются друг к другу, то
частота регистрируемого приемником звука выше частоты колебаний
источника. При удалении источника звука от приемника частота звука,
зарегистрированного приемником, ниже частоты колебаний источника.
Описанный эффект воспринимается на слух как внезапное изменение
высоты звука, когда быстро движущийся источник звука проходит мимо
наблюдателя. Это явление можно объяснить с точки зрения волновой
теории следующим образом.
Пусть источник и приемник в момент временп t0 находятся на рас-
расстоянии L друг от друга, и пусть они приближаются друг к другу со
скоростью v, которая значительно меньше Ъ. В момент времени (t0 —
+ Llv) источник звука и приемник встречаются. В таком случае за время
приближения приемник зарегистрирует как волны, которые первоначаль-
первоначально находились между ним и источником, так и волны, испущенные
42 ГЛ. 2. ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ ТЕОРИЮ СВЕТА
источником за время Llv. Волны, находившиеся первоначально между
источником и приемником, были испущены в течение промежутка
времени Lib. Следовательно, за время Llv приемник зарегистрирует все
волны, испущенные источником за время Llv + Lib. Тогда, обозначив
через v частоту волн, зарегистрированных приемником, и через v0 —
частоту волн, испущенных источником звука, можем написать
B.57)
2.23. Этот эффект был впервые открыт Допплером в акустике; позже
он был найден независимо и другими исследователями, в том числе Физо.
Последний, по-видимому, впервые строго применил приведенные рас-
рассуждения к свету.
Было известно, что свет некоторых газообразных источников можно
достаточно точно представить в виде простых цугов волн, подобных рас-
рассмотренным нами выше. Длины световых волн можно точно измерить
методами, которые будут описаны ниже. Так как скорость света не зави-
зависит ни от движения источника, ни от движения наблюдателя (см. гл. 11),
то из соотношений B.57) и B.55) вытекает, что при v, малом по сравне-
сравнению с Ь, справедливо соотношение *)
) B.58)
Это значит, что следует ожидать изменения длины волны света, когда
источник и наблюдатель приближаются или удаляются друг от друга.
Эффект, предсказанный Физо, нельзя было в его время проверить в лабо-
лаборатории из-за технических трудностей, связанных с созданием источника
света, движущегося со скоростью, составляющей заметную долю скорости
света. Позже эти трудности были преодолены двумя различными путями
и наблюдавшееся изменение длины волны хорошо совпало с предска-
предсказанным.
2.24. Впервые ряд нужных экспериментов был проведен Белополь-
ским; позже они были продолжены Голициным и Вилипом. Последние
использовали отражение света во вращающемся зеркале для создания
виртуального источника света, движущегося со скоростью 400 м/сек.
Изменение длины волны должно было составить одну миллионную ее
часть; однако, используя специальные тонкие методы наблюдения, описан-
описанные в гл. 9, эти авторы смогли измерить такое изменение X. Оказалось,
что наблюдавшееся изменение длины волны совпало с вычисленным по
B.58) с точностью до 5%.
Описанный эффект наблюдался также в опытах с каналовыми лучами.
Применявшаяся установка показана на рис. 2.7. Положительно заряжен-
заряженные атомы или молекулы ускорялись электрическим полем в разрядной
трубке при низком давлении газа. Приобретенная ионами скорость движе-
движения связана с разностью потенциалов, которую они прошли, соотношением
±-mv* = Ve, B.59)
где т — масса и е — заряд.
*) О точном количественном выражении для изменения длины волны света при
яз1енип Допплера см. гл. 11. [Здесь упрощенно рассмотрен случай сближения источ-
света и приемника. (Прим. ред.)]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВОЛНОВОГО ДВИЖЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ 43
Для атома водорода т = 1,67-Ю4 г, а е = 4,8- Ю'10 ед СГСЭ.
Атом, прошедший разность потенциалов 30 000 в (или 100 ед. СГСЭ),
приобретает скорость 2-Ю8 см1сек. Быстро движущиеся ионы нейтрали-
нейтрализуются, проходя трубку Т без заметной потери скорости, и высвечиваются
в правой части трубки.
Свечение газа наблюдается сначала из О4, а затем из О2- Разность
длин волн X и Хо (которую в настоящее время за счет большой скорости
ионов можно довести до 1/150 X) легко измерить даже при помощи неболь-
небольшого спектроскопа.
Полый катод
Рис 2 7. Установка для наблюдения явления Допплера
2.25. Явление Допплера — Физо интересно с двух точек зрения.
1. Это — важный экспериментальный факт, который удовлетвори-
удовлетворительно описывается волновой теорией света и не имеет столь же нагляд-
наглядного истолкования в корпускулярной теории света.
2. Теоретический расчет явления проверен на опыте, и поэтому этот
расчет в сочетании с соответствующим экспериментом можно в свою
очередь использовать для определения скорости источников света в тех
случаях, когда другие методы слишком сложны или вообще неприменимы
(например, для определения скорости звезд или скорости атомов в газо-
газовом разряде).
Необходимо отметить, что формула, приведенная выше для расчета
явления Допплера — Физо, справедлива только, когда скорость источ-
источника относительно наблюдателя значительно меньше &. Уравнение B.58)
справедливо, когда можно пренебречь членами порядка г2 Ь2. В гл. 11
будет показано, как нужно исправить уравнение B.58) при учете членов
такого порядка.
Представление волнового движения комплексными величинами
2.26. Векторное представление движения простого гармонического
осциллятора, изображенное на рис. 2.3, можно применить к простому
волновому движению при условии, что ф есть функция как х, так и t.
Другой метод представления простого гармонического движения имеет
особые преимущества именно для распространения волн, так как он
позволяет удобным образом отделить часть ф, которая зависит от хч от
части, зависящей от t. Решение волнового уравнения B.21) можно запи-
записать в виде
£ = аехр*(со* — кх + 8) = аег*. B.60)
Перемещение в пространстве и времени есть действите гъная, а отнюдь
не комплексная величина. Тем не менее, при соблюдении некоторых
44 ГЛ. 2. ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ ТЕОРИЮ СВЕТА
условий мы можем использовать B.60) для описания результатов наблю-
наблюдений. В дальнейшем мы будем считать, что выражение типа B.60) описы-
описывает вектор, компоненты которого равны действительной и мнимой частям
комплексной величины. Это — вектор, длина которого равна амплитуде
волны, а угол, который он образует с фиксированной осью координат,
соответствует фазе волны. Действительная часть величины £, которая
сама по себе является решением волнового уравнения, дает фактическое
перемещение колеблющихся частиц среды в зависимости от х и t. Сумма
квадратов действительной и мнимой частей комплексной величины дает
квадрат амплитуды (т. е. энергию) волны. Уравнение B.60) можно запи-
записать в виде
B.61)
или
g = />**«**-***, B.62)
где
Р = аег\ B.63)
Комплексная величина Р содержит обе константы а и б. Если мы
обозначим через Р* величину, сопряженную с Р, то произведение РР *
равно а2 и пропорционально освещенности. Величину Р иногда называют
комплексной амплитудой.
2.27. Представим две простые гармонические волны в виде
li = Pt exp i (cot — xx) B.64)
и
£2 = Р2 exp i (со* — хж), B.65)
где Pi л Р2 — комплексные величины. Тогда разность фаз б этих двух
волн определяется из соотношения
tg6 = -|, B.66)
где
^ B.67)
Этот результат можно получить непосредственно, если записать
Pi = Cie16*- hj P2 = C2ei6a, гДе Cj и С2 — действительные числа.
Упражнения
2.16. Найти решение уравнения B.47) и написать выражение для объемной
плотности кинетической энергии в стержне, в котором распространяются упругие
волны. Используя уравнение B.45), получить выражение для объемной плотнос!и
потенциальной энергии стержня и найти полную энергию единицы объема.
2.17. Показать, что при Р = А + Ш соотношение B.62) можно записать в виде
) cos (®t—
^дн л и В имеют значения, задаваемые B.14).
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВОЛНОВОГО ДВИЖЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ 45
2.18. Показать, что если |4 = Р± ехр г (со* -г из) и £2 = Р2 ехР * (©* — ^х)
являются решения vfи B 21), то 5з = Si + 5г также есть решение этого уравнения,
причем £з можно записать в виде
(pi + Р2) еш cos их +1 (Pi—Р2) еш* sin кх.
Литература
21 Coulson, Wa\es, Oliver and Boyd.
2 2 Wood, \coustics, Blackie
2 3 Green, The Theory and Use of the Complex Variable, Pitmann.
Дополнительная литература
2.4. Горелик Г. С, Колебания и волны, Физматгиз, М., 1959
ГЛАВА 3
ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ. СУПЕРПОЗИЦИЯ ВОЛН
Принцип суперпозиции *)
3.1. В гл. 2 мы рассмотрели движение волн, образующихся при
колебаниях одного простого гармонического осциллятора. Теперь рассмот-
рассмотрим возмущение, возникающее при одновременном действии двух или
нескольких осцилляторов. Простейшая гипотеза, которую можно принять
в отношении их совместного действия, заключается в следующем: если
£i» £2» £з и т. д. — возмущения, производимые каждым отдельным осцил-
осциллятором в какой-либо точке пространства в данный момент времени,
а ^ — результирующее возмущение, то
5 = ?1 + ^2 + 1з+... C.1)
Если результирующее движение описывается волновым уравнением,
т. е. уравнением B.38), то необходимо, чтобы £ тоже было решением этого
уравнения. Решения волнового уравнения аддитивны (см.*§ 2.9 и упраж-
упражнения 2.11, 2.12, 2.18), и следовательно, C.1) есть решение волнового
уравнения. Здесь следует подчеркнуть, что этот математический результат
сам по себе не гарантирует, что C.1) точно описывает эффект одновремен-
одновременного действия нескольких волн в данной точке. Принцип суперпозиции
есть физическая гипотеза, согласно которой для световых волн возмуще-
возмущение (в данной точке и в данный момент времени), создающееся при про-
прохождении ряда волн, равно алгебраической сумме возмущений, произво-
производимых каждой волной в отдельности. Уравнение C.1) является математи-
математической формулировкой этого принципа. Высказанная гипотеза справедли-
справедлива в той мере, в какой основанные на ней вычисления удовлетворительно
описывают соответствующие оптические эксперименты.
3.2. При исследовании звуковых волн было найдено, что для волн
большой амплитуды скорость распространения зависит от их амплитуды.
Было также установлено, что при одновременной работе двух громких
источников звука разной частоты слышны их суммовой и разностный
тона [2.2]. Для описания таких явлений необходимо предположить, что
простая форма волн, обсуждавшихся в гл. 2, не точно передает свойства
звуковых волн конечной амплитуды и что возмущение £, возникающее
при одновременном действии двух источников звука, дается соотношением
6 = £i^b + a1^a2g + a1251ga+..., C.2)
где cti, а2 и а12 — константы, малые по сравнению с l/£t.
Подобные гипотезы потребовалось бы ввести, если бы соответствую-
соответствующие явления наблюдались и при исследовании света; однако до сих пор все
*) При чтении настоящей главы в качестве дополнительной литературы следует
использовать книгу Г. С. Горелика, Колебания и волны, Физматгпз, 1959.
ред.)
СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 47
попытки обнаружить такие эффекты давали отрицательные результаты.
Щредингер рассмотрел результаты, получающиеся при введении некото-
некоторых нелинейных членов (вида, предложенного Борном) в уравнения
распространения электромагнитных волн. Расчеты показали, что при
очень больших интенсивностях скорость света должна зависеть от ампли-
амплитуды, но в практически осуществимых условиях эффект слишком мал,
чтобы его можно было наблюдать на опыте.
Сложение гармонических колебаний
3.3. В волновой теории света приходится выполнять множество
расчетов результирующей волны, образующейся при наложении двух
или нескольких гармонических колебаний одинаковой частоты. Для этого
применяют три различных метода. В каждом отдельном случае выбор
метода определяется математическими удобствами его использования, так
как любой метод при правильном его применении должен привести к одно-
одному и тому же результату.
Чтобы пояснить применение всех трех методов, решим две простые
задачи каждым из них. Этими задачами будут: 1) сложение двух гармони-
гармонических колебаний с разными амплитудами и разными фазами и 2) сложение
нескольких гармонических колебаний, амплитуды которых равны, а фазо-
фазовые углы находятся в арифметической прогрессии. Последний результат
мы будем неоднократно применять при рассмотрении важных вопросов
многолучевой интерференции.
Алгебраический метод
3.4. Рассмотрим два простых гармонических колебания, описываемых
выражениями
%t = at sin (at — кх + bi) C.3)
и
g2 = «2 sin (co£ — KX + 62). C.4)
Тогда
S = li -г I2 = «1 sin (at —-KZ + 6±) + a2 sin (co£ — xx — 62) =■
= (ai cos 64 — a2 cos 62) sin ((ot — %x) + (# 1 sin 6{ — a2 sin 62) cos (со/ — kj ). C.5)
Это можно записать в виде
i = asin((dt — nx + d) C.6)
при условии, что
а2 = (at cos бА -Ь a2 cos б2J + (ах sin б4 + а2 sin 62J '
и
t g __ uj sin 6j + a2 sin 62
C.7)
Расчеты можно несколько упростить, выбрав начало отсчета х и t
таким образом, чтобы 6t = 0, и положив (at — кх) = %. Тогда вместо C.5)
получим
I = a, sin % + а2 sin (% + б2), C.8)
48
ГЛ. 3. ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ. СУПЕРПОЗИЦИЯ ВОЛН
или
где
a2 = (ai + a2 cos 62J
62 =
\ + 2aia2 cos 62
6=
cos 62
C.9)
C.10)
В практических расчетах обычно используют более простую форму урав-
уравнений C.9) и C.10); уравнение C.7) мы привели здесь, чтобы показать
симметричный характер решения. Его удобно использовать также при
сравнении с расчетами, основанными на векторном представлении колеба-
колебаний. Вид уравнений C.6) и C.9) показывает, что результирующая двух
гармонических колебаний одинаковой частоты есть также гармоническое
колебание. Частота результирующего колебания равна частоте складыва-
складываемых колебаний.
Повторным проведением операции сложения колебаний можно пока-
показать, что результирующая любого числа гармонических колебаний одина-
одинаковой частоты есть гармоническое колебание той же частоты. В общем
случае сумму гармонических колебаний одинаковой частоты, но с разны-
разными амплитудами и фазами можно записать в виде
т m
г=1 г=1
C.11)
Поскольку £ представляет собой гармоническое колебание с угловой
частотой а), последнее выражение эквивалентно следующему:
где
r=i
arsin6rJ
arsin6r
tg6:
2
ar cos &r
2
C.12)
Если амплитуды всех колебаний равны между собой, а их фазы
находятся в арифметической прогрессии, т. е. если
т
аТ cos бг = а0 (cos б0 + cos 2б0 + ... + cos m80).
г==1
Но
и
iny б0 cos 6r = sin^- Br +1) 60—sin |- Br — 1) 60
lN0:
sin
sin
sin
СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 49
следовательно,
т
sin у б0 2 cos ^ = sin у
т
2 sin у б0 2 cos ^г = sin у Bт +1) б0 — sin у 60.
г=1
Отсюда
1 1
«о Ssiny BlN i
a7 cos бг =5
2j j
r= i 2 sin у 60
a sin -«- m60
= я0 cos у (m- 1) 60 \ . C.13)
sin у 60
Подобным же образом можно показать, что
™ л sin -к- тд0
2 «/ sin бг = а0 sin у (m +1) б0 \ . C.14)
r=l sin у б0
Подставляя это выражение в C.12), мы получим для квадрата амплитуды
результирующего колебания
C.15)
и для его фазы
Векторный метод
3.5. Выше мы указывали (см. § 2.8), что £i и £2 можно представить
векторами, и поэтому сумма | = |4 + £2 должна равняться векторной
сумме этих векторов. Используя векторное представление второго типа
(рис. 3.1) и/рассматривая получающийся треугольник, мы видим, что
закон векторного сложения дает тот же результат, что и уравнения C.7).
Алгебраический расчет эквивалентен нахождению проекции каждого
вектора на оси ОХ и ОУ, сложению их и вычислению с>ммы квадратов
результирующих компонент. На рис. 3.1 OP1 = ai, OAi = aiCO^6i
и ^i^2 = a2cosS2. Отсюда O^2-=aiCos61 + a2cos62 и, аналогично.
OB2 = «i eindi — а2£in62. Поскольку ОР\ = ОА1~\-ОВ1, результирующая
амплитуда совпадает с амплитудой, определяемой C.7). Подобным же
образом находят и фазу результирующего колебания.
Использование векторного многоугольника для сложения несколь-
нескольких гармонических колебаний эквивалентно расчету по уравнениям
C.11) и C.12). На рис. 3.2, а изображено несколько колебаний одинако-
одинаковой амплитуды с фазами, находящимися в арифметической прогрессии.
Изображающие векторы ОАи А^Ач, А2А3 и т. д., соответствующие склады-
складываемым колебаниям, расположены так, что точки О, А±, А2 и т. д. лежат
на одной окружности (с центром в точке С) и каждый вектор стягивает
центральный угол б0. Результирующий вектор стягивает угол тдОу
4 Р Дитчберн
50
ГЛ 3 ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ. СУПЕРПОЗИЦИЯ ВОЛН
и если R есть радиус окружности, то а0 = 2Л sin 1/2 60 и а = 27?
что сразу же приводит к соотношению C.15) между а0 и а.
1/2
Рис 3.1. Векторныи лхетод определения результирующей двух
гармонических колебаний
При бесконечном увеличении числа сторон правильного много-
многоугольника он приближается к дуге окружности (ель рис. 3.2, б). Тогда
6)
Рис. 3 2 Векторная диаграмма, иллюстрирующая сложе-
сложение гармонических колебаний с равными амплшудами.
а — сложение конечного числа колебаний, фазовые углы кото-
которых находятся в арифметической прогрессии, б — предельный
сллчай непрерывно изменяющейся фазы
если т->оо, а0 ->■ 0 и бо->О, но произведения та0 и mb0 стремятся
к конечным пределам А и б, то результирующая амплитуда а равна следу-
следующей величине:
A sin -77 б
4
где 6 — разность фаз между колебаниями, изображаемыми первым
и последним бесконечно малыми элементами дуги окружности, получен-
полученной при суммировании всех колебаний.
СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 51
Расчет при помощи комплексных величин
3.6. Используя развитые выше соображения, мы можем представить
гармоническое колебание с угловой частотой со в виде
|4 = (ц exp i (cot — кх — 6i) = Pi exp i (<dt — кх),
где
Тогда сумма любого числа гармонических колебаний одинаковой
частоты определяется соотношением
Е= 2 Sr = (Pi--P2
где
Таким образом, мы получаем простое правило сложения колебаний:
комплексная амплитуда результирующего колебания равна сумме ком-
комплексных амплитуд отдельных колебании. Необходимый для расчета
энергии суммарного колебания квадрат действительной части суммарной
амплитуды равен квадрату модуля величины Р.
Если все гармонические колебания имеют одну и ту же амплитуду аОг
но начальные фазы их соответственно равны б0, 2б0? Зб0 и т. д., то
и
Р = а0 (егб<> -, ег2*о г ... — егт6<>) C.17)
Сумма такой геометрической прогрессии равна следующей величине:
Р = ао^^^ = 27Т2^)(е^о_1)((?-.ао_1); C.18)
здесь мы воспользовались соотношением
Аналогично,
Снова используя C.19), получим
[2Aos6o)](l-coS60). C 21)
Отсюда
/ 1 я \2
/sin — тдо\
E = a* = al[ ? , C 22)
что совпадает с C.15).
4*.
52
ГЛ 3 ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ. СУПЕРПОЗИЦИЯ ВОЛН
3.7. Из сказанного выше ясно, что все три метода эквивалентны.
Векторный метод, по-видимому, наиболее изящен и дает особенно ясную
физическую картину явления. Из векторной диаграммы обычно сразу
видно, какие слагаемые векторной суммы находятся в противофазе, а какие
в фазе с результирующим вектором. Часто оказывается удобным находить
результирующее колебание алгебраически или пользуясь методом ком-
комплексных амплитуд При этом, однако, для наглядности также целесо-
целесообразно построить одновременно векторную диаграмму.
Упражнения
3 1. Показать, что квадрат результирующей амплитуды бесконечной последова-
последовательности гармонических колебаний с амплитудами ее членов соответственно а, -^ а,
1
-г о- и т д п фазами 0, я/2, я, Зя 2
и т д равен Аа2/5
Указание Расчет прово-
проводится аналогично вычислениям выра-
выражений C 15)—C 22) Соответствую-
Соответствующая этому расчету векторная диаг-
диаграмма показана на рис 3 3, а
3.2. Вычислить квадрат резуль-
тир^ющей амплитуды А пяти гармо-
гармонических колебаний одинаковой ам-
амплитуды, если их фазы соответствен-
113
но равны 0, —я, —я, -7-я, я и
если их фазы соответственно равны
О, —я, —я, я, 2я Начертить со-
соответствующие векторные диаграм-
диаграммы и сравнить их с диаграммами,
изображенными на рис 3 3, б и 3 3, в
[В обоих случаях А2=а2 X
Й
h)]
3.3. Найти результирующую
ампштуду п гармонических колеба-
колебаний равной амплитуды, если их фа-
сложения зы равны соответственно я/м, 2я л,
Зя п и т д и если их фазы равны
2я и, 4я/д, бя/ге и т д
[В первом случае a cosec (я/2п),
во втором случае — нуль ]
3 4. Найти квадрат резучьтирующей амплитуды Bм + 1) гармонических коле-
колебании с одинаковыми амплитудами и с фазами, равными соответственно
я__1 п—2
0
Рис 3 3 Векторные диаграммы
различных колебаний
См упражнения 3 1 п 3 2
я ~ я 2я - п — 1
я'—1Г-ч>—п—п; "' 1Г'0' Т' "X' ■ '-7Г-Я'Я
3 5. Увеличится или уменьшится квадрат результирующей амплитуды в примере,
рассмотренном в упражнении 3 4, если искчючить первый или последний, или цент-
центральный члены ряда рассматриваемых колебаний?
[В первых двух случаях квадрат результирующей амплитуды уменьшится, в
последнем сгучае — увеличится ]
3.6. Вычисчить квадрат результирующей амплитуды в примере, рассмотренном
в упражнении 3 1 при условии, что второй ччен ряда отс>тствует
[Искомый квадрат амплитуды равен 0,65 а2 Расчет сгедует проводить, вычитая
колебание, соответствующее второму чгену, из результирующего колебания Но при
этом надо считаться с фазами каждого слагаемого нашей суммы Это можно сделать,
вычитая комплексную амплитуду второго чгена из комплексной амплитуды результи-
результирующего колебания ]
ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА
53
А'
О
Принцип Гюйгенса
3.8. Пытаясь создать феноменологическую картину распространения
волн, Гюйгенс предположил, что каждую точку волнового фронта можно
рассматривать как малый источник новых волн. Волны, создаваемые
этими малыми источниками, называются вторичными волнами, и пред-
предполагается, что положение основной (или первичной) волны в более
поздний момент времени определяется огибающей вторичных волн.
Мы можем проиллюстрировать применение принципа Гюйгенса на
примере плоской волны (рис. 3.4). Пусть ОХ есть направление распро-
распространения волны, а положение волно-
волновой поверхности в момент времени t0
изображается плоскостью, проходящей
через АВ перпендикулярно плоскости
.рисунка. Проведем ряд сфер радиуса
btt с центрами в различных точках АВ.
Очевидно, что плоскость, проходящая
через А 'В' (на расстоянии Ы± и парал-
параллельно АВ), является огибающей этих
сфер, а при t = ti + t0 фаза в дан-
данной плоскости совпадает с фазой на
АВ при t = t0. Итак, в этом простом
случае построение, основанное на прин-
принципе Гюйгенса, позволило совершенно
правильно определить положение одной
волновой поверхности по положению
другой. Нетрудно показать, что такое
построение дает точный результат и
в случае неплоских волновых поверх-
поверхностей.
Хотя в некоторых отношениях
принцип Гюйгенса позволяет получить
правильные результаты, он порождает затруднения, которые требуют
более детального рассмотрения. Гюйгенс постулировал, что действие
вторичных волн ограничено точками их касания с огибающей, и рассмат-
рассматривал только те части огибающей, которые лежат в направлении распро-
распространения колебаний. При этом не дается ни
физического, ни математического обоснова-
обоснования столь произвольному пренебрежению
действиями других частей вторичных волн.
3.9. Френель позднее пытался дать физи-
физическое обоснование модифицированной форме
принципа Гюйгенса. Он предположил, что
волновую поверхность можно разбить на
мйожество малых элементов, каждый из ко-
которых является источником вторичных волн.
По предположению Френеля эти вторичные
волны распространяются во всех направле-
направлениях, но в некоторой точке Q амплитуда возмущения, создаваемого вторич-
вторичной волной от элемента dS волновой поверхности (расположенного в точке
Р), зависит как от расстояния QP, так и от угла 0 между линией QP и нор-
нормалью к элементу dS (рис. 3.5). Эта зависимость амплитуды возмущения
от угла 0 была названа функцией направления, или множителем наклона.
В
в'
Рис. 3.4. Применение принципа
Гюйгенса при рассмотрении плоской
волны, распространяющейся в одно-
однородной среде.
Рис. 3 5.
54
ГЛ 3 ВОЛНОВ\Я ТЕОРИЯ СУПЕРПОЗИЦИЯ ВОЛН
Френель, а затем и другие исследователи стремились так задать функцию
направления, чтобы результирующее возмущение, создаваемое вторичны-
вторичными волнами, было равно нулю всюду, кроме точек их касания с огибаю-
огибающей. Такие попытки, насколько нам известно, никогда не приносили
полного успеха.
3.10. Более строгая теория распространения волн, которая будет
рассмотрена в гл. 6, показывает, что по возмущению, заданному на одной
волновой поверхности, можно определить амплитуду и фазу возмущения
в последующие моменты времени и в точках, лежащих впереди по направ-
направлению распространения волны. Распределение световой энергии, вычис-
вычисленное таким образом, совпадает с наблюдаемым на опыте. Этот более
фундаментальный метод (в основном созданный Кирхгофом) определяет
функцию направления из волнового уравнения, вместо того, чтобы вводить
ее как новую гипотезу. Здесь также требуется специальный подбор значе-
значений фаз вторичных волн. Точный расчет подтверждает скорее метод Фре-
Френеля, чем принцип Гюйгенса. Он показывает также, что построение огиба-
огибающих по методу Гюйгенса удовлетворительно описывает процесс распро-
распространения волн. Поэтому мы будем пользоваться этим построением
и в дальнейшем.
Отражение и преломление волн
на плоских поверхностях
3.11. На опыте было обнаружено, что при падении параллельного
пучка света на поверхность, разделяющую две прозрачные среды (напри-
(например, воздух и стекло), часть света отражается обратно в ту среду, из
которой свет пришел, а другая часть света проходит во вторую среду.
Направление распространения этой второй части света не совпадает
с первоначальным направлением его распространения; такое явление назы-
называют преломлением света. Результаты
изучения соотношений между углами,
определяющими направления распро-
распространения падающего, отраженного и
преломленного лучей, можно обобщить
в виде следующих законов:
1. Луч падающий, луч отраженный
и нормаль к поверхности раздела двух
сред лежат в одной плоскости *). Угол
между отраженным лучом и нормалью
к поверхности (угол отражения) равен
углу между падающим лучом и нормалью
(угол падения). Отраженный и падаю-
падающий лучи лежат по разные стороны
нормали.
2. Луч падающий, луч преломлен-
преломленный и нормаль к поверхности раздела
двух сред лежат в одной плоскости. Отношение синуса угла падения
света к синусу угла преломления для данной пары оптически изотропных
веществ постоянно, т. е. не зависит от значения угла падения.
Рис. 3 6
Отражение и прелом-
преломление света
*) Применяемый автором здесь термин луч следует понимать как направ-
направление нормали к во*шовому фронту соответственно падающего или отраженного света.
(Прим. ред.)
ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ВОЛН НА ПЛОСКИХ ПОВЕРХНОСТЯХ 55
Таким образом, обозначив угол падения через 9i, угол отражения
через 6А и угол преломления через 82, можно записать (рис. 3.6)
ei = e;, C.23)
Ш=^- <3-24)
Значение величины jii2 индивидуально для данного сочетания грани-
граничащих сред *).
Было найдено, что величины \xik для различных пар сред находятся
в соотношении
His = И12Ц23 • • • C.25)
Величина 4iii2 называется показателем преломления двух сред; при
этом имеется в виду, что свет проходит из среды 1 в среду 2. Значение
этой величины при прохождении света из вакуума в какую-либо среду на-
называют показателем преломления этой среди и обозначают символом п
(в случае необходимости эту букву снабжают индексом). Показатель
преломления при прохождении света из воздуха в какую-либо среду
обозначается через \л (с одним индексом, если нужно указать среду). Так
как показатель преломления воздуха близок к единице, то значения |хс
и пс для стекла приблизительно равны друг другу, и только в редких
случаях их нужно различать.
Из C.25) следует, что C.24) можно записать в симметричной форме
nt sin 0! = п2 sin 92 C.26)
и, следовательно,
■■if-Ни. C-27)
Показатели преломления обычных газов (при нормальных температу-
температуре и давлении) имеют значения в пределах от 1,000035 для гелия до
1,00030 для азота. Приведем значения показателей преломления для
некоторых жидких и твердых тел: для воды п = 1,33, для натриевого
стекла п = 1,48 и для тяжелого флинта п = 1,7. Лишь немногие вещества
имеют значительно больший показатель преломления. Среды с высокими
значениями показателей преломления называют оптически более плотны-
ми по сравнению со средами с низкими значениями показателей прелом-
преломления.
3.12. Закон отражения был несомненно известен греческим философам и, вероят-
вероятно, он был открыт независимо многими исследователями. Птоломей и другие авторы
составляли таблицы, связывающие углы падения и преломления. Делалось много
попыток сформулировать закон преломления, но все они оказывались безуспешными,
отчасти потому, что необходимый математический аппарат не был достаточно развит.
В приведенной выше форлш закон был впервые сформулирован Снеллиусом A621),
хотя и был опубликован после его смерти. В изложенной формулировке закон прело-
преломления применим только к изотропным средам. (Вещество называется изотропным,
если физические свойства тонкого среза этого вещества не зависят от ориентации
этого среза в массивном куске вещества.) Если по одну сторону от поверхности раз-
раздела находится анизотропная среда, то законы преломления становятся сложнее.
Такие среды будут изучаться в гл. 12 и 16; здесь мы будем рассматривать только пзо-
гропные среды. В этой главе мы пренебрегаем также дифракционными эффектами,
возникающими при конечной протяженности границ раздела соприкасающихся сред.
*) В приведенных здесь объяснениях закона преломления пока не обсуждается
важная зависимость показателя преломления от длины волны (или от частоты) света.
Об этом см. § 3.17 и гл. 15. (Прим. ред.)
56
ГЛ 3. ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ. СУПЕРПОЗИЦИЯ ВОЛН
Волновая теория отражения и преломления
3.13. Построение Гюйгенса позволяет следующим образом описать
явления отражения и преломления света на языке волновой теории. Пред-
Предполагается, что скорость распространения волн в первой среде отличается
от их скорости во второй и что в этом и заключается основное различие
между средами. Пусть величина скорости света в первой среде равна Ъи
а во второй Ъ2. Плоская волна АВ, соответствующая падающему парал-
параллельному пучку света, падает на плоскую поверхность ОР (рис. 3.7).
Линия NON' есть нормаль к этой поверхности. Когда волна достигает
точки О на поверхности раздела двух сред, эта точка становится источни-
источником вторичных волн, который их излучает как в первую, так и во вторую
Рис. 3.7. Применение принципа Гюйгенса к отражению
и преломлению света на плоской поверхности.
среду. Предположим, что волновая поверхность АВ достигает линии ООГ
в момент времени t = О и что в отсутствие отражения и преломления
она достигала бы в момент времени t линии РР'. Тогда
О'Р = b±t = OP sin 9t = OP'.
C.28)
В момент времени t вторичные волны, исходящие из точки О, образуют
полусферу радиуса bit(= OPsinQi = OPt) в среде 1 и полусферу радиуса
b2t (=*(b2/bi) OPsinQi = OP2) в среде 2. Именно в этот момент времени
из точки Р начинают распространяться вторичные волны, и легко видеть,
что плоскости PPi и РР2, проходящие через точку Р и касательные
к упомянутым выше полусферам, касаются также полусфер, образованных
вторичными волнами, исходящими из промежуточных точек Q и R, рас-
расположенных между точками О и Р. Новые волновые фронты А'В' и А"В"
параллельны плоскости PPi и РР2. Новые направления распространения
волн образуют углы 9J и 82 с нормалью к поверхности ОР, причем
C.29)
ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ НА СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 57
C.30)
Таким образом, C.29) согласуется с C.23), а C.30) с C.24) и C.27)
при условии, что
Справедливость соотношения C.31) подтверждается непосредственными
измерениями скорости света в различных средах (см. гл. 11).
Волновая теория отражения и преломления света дает простое истол-
истолкование наблюдениям по соотношению величин [л для различных пар
сред; так,
что совпадает с C.25).
Отражение и преломление на сферической поверхности.
Зеркала и линзы
3.14. Если расходящийся световой пучок выходит из точки О, распо-
ложенной на оси сферического зеркала,
то образуется действительное или мни-
мнимое изображение точки О в некоторой
точке /, расположенной также на оси
зеркала. Иными словами, после отраже-
отражения пучок сходится в точку / или
кажется выходящим из нее (рис. 3.8, а).
Можно показать, что если расстояния
точек О и / от зеркала равны и и v со-
соответственно, а г — радиус кривизны
зеркала, то
и отражается от этого зеркала,
4-+-
C.32)
Величина / называется фокусным рас-
расстоянием, а обратная ей величина
F — оптической силой зеркала.
Расстояния всегда измеряют от зер-
зеркала, и направление падения света на
зеркало считают положительным.
Для линзы со сферическими по-
поверхностями радиуса кривизны rt и г2
было найдено, что
C.33)
6)
Рис. 3.8. Применение принципа Гюй-
Гюйгенса к отражению света от сфери-
сферической поверхности.
где |ы — показатель преломления при
переходе света из среды, окружающей
линзу (как правило, воздух), в вещество, из которого изготовлена
линза (как правило, стекло). Эти формулы для зеркала и линзы следует
считать приближенными; они применимы, если диаметр зеркала или
58 ГЛ. 3. ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ. СУПЕРПОЗИЦИЯ ВОЛН
линзы мал по сравнению с их радиусом кривизны и для световых
пучков, составляющих малые углы с прямыми ОС и ОР на рис. 3.8. Кроме
того, линза предполагается тонкой.
3.15. Волновая теория следующим образом объясняет эти результаты.
Световой пучок, падающий на зеркало, можно представить в виде сфери-
сферической волны, выходящей из точки О (см. рис. 3.8, а). По мере того, как
участки волны достигают зеркала, они создают системы вторичных волн,
и, воспользовавшись принципом Гюйгенса, можно найти положение
волнового фронта после отражения. Таким способом было найдено, что
в первом приближении отраженная волна представляет собой сферическую
волну с центром в точке /, а расстояния от точек О и J до зеркала связаны
между собой соотношением C.32).
Покажем, что применение принципа Гюйгенса приводит к уравне-
уравнению C.32). Для этого воспользуемся хорошо известным геометрическим
соотношением между высотой сегмента и кривизной малой дуги окружно-
окружности. Если обозначить А0Р (рис. 3.8, б) через sr и A0Q через 6, то в доста-
достаточно хорошем приближении, при условии, что Ъ < г, мы получим
или
5г=1&2/?, C.34)
где R = у — кривизна поверхности зеркала. Высота сегмента sr пропор-
пропорциональна б2 и кривизне зеркала. Волновой фронт, идущий к зеркалу из
точки О (см. рис. 3.8, а и б), имеет кривизну U (U = Ни). Одна часть
волнового фронта достигает точки Q, в то время как другая находится
в А', причем
Таким образом, когда центральная часть волнового фронта достигает
зеркала и создает цуг волн, выходящий из точки Р, соответствующий
цуг волн из Q уже прошел расстояние А'Р от Q. Поэтому вторичные волны,
выходящие из Р и Q, одновременно касаются кривой, высота сегмента
которой sD превышает sr на величину А 'Р. Для этой кривой
sv = sr -г А'Р = 1 Ь2 BR — U).
Поскольку высота данного сегмента пропорциональна Ь'2, рассматриваемая
кривая представляет собой окружность, кривизна которой V выражается
соотношением
V =2R — U,
откуда
что совпадает с C.32). Необходимо помнить, что этот результат справед-
тив только, если PQ мало по сравнению с г, v и и.
дисперсия 59
Упражнения
3.7. Способом, подобным приведенному в § 3.15, показать, что если плоская
волна падает на параболическое зеркало, распространяясь вдоль его осп, то отражен-
отраженная волна есть строго сферическая с центром в фок>се параболы *).
Указание. Следует воспользоваться уравнением параболы в полярных
координатах.
3.8. Показать, что волновой фронт, полученный в предыдущем примере, есть
огибающая волн, испускаемых параболическим зеркалом.
[Следует записать уравнение семейства поверхностей, образованных отражен-
отраженными волнами, с постоянной параболы в качестве параметра. Продифференцировать
это уравнение по параметру и, исключив параметр из полученного уравнения и из исход-
исходного, найти огибаюшую отраженных волн.]
3.16. Путем применения построении Гюйгенса волновая теория может
дать общее описание свойств зеркал и линз. С этой точки зрения явление
преломления света на сферической поверхности сводится к изменению
кривизны поверхностей падающих на нее волн. Для данной линзы это
изменение кривизны постоянно и равно обратной величине фокусного
расстояния линзы. Такое постоянное изменение кривизны называется
оптической силой линзы. Явление отражения состоит как в изменении
кривизны волновых поверхностей, так и в обращении направления
распространения волн. Последнее проявляется различием алгебраических
знаков в соотношениях C.32) и C.33). Это соответствует тому опытному
факту, что линза, оптическая сила которой равна нулю (т. е. очень тонкая
стеклянная пластинка), не оказывает никакого действия на световой
пучок, тогда как зеркало с оптической силой, равной нулю (т. е. плоское
зеркало), изменяет направление распространения света, не изменяя
кривизны его волновых поверхностей. Для линзы с оптической силой,
равной нулю, соотношение C.33) дает v = и, т. е. изображение и объект
совпадают. Для зеркала с оптической силой, равной нулю, C.32) дает
v = — и, т. е. изображение и объект находятся с противоположных
сторон от зеркала.
Дисперсия
3.17. Ньютон показал, что приблизительно параллельный п\чоь
белого света, проходя через стеклянную призму, развертывается в цвет-
цветную полосу, которую он назвал спектром. Это явление называется оис-
Персией. Из наличия дисперсии следует, что показатель преломления на
границе воздух — стекло различен для разных участков видимого спект-
спектра и, следовательно, отношение скоростей распространения света в воз-
воздухе и в стекле зависит от цвета излучения. Это подтверждается непосред-
непосредственными измерениями скорости света в различных средах. Было найдено,
что в вакууме скорость света любого цвета одна и та же, но в веществе,
например в воде, синий свет распространяется медленнее, чем красный
(см. § 11.18). Эксперименты по интерференции и дифракции света застав-
заставляют предположить, что различные цвета спектра представляют собой
волны с различными значениями X и соотвеаственно с различными значени-
значениями х, (о и v. Частота имеет наибольшее значение для синего и наименьшее
для красного конца спектра. Дисперсия света означает, следовательно, что
Ь = /(Я) C.35)
*) Поверхность параболического зеркала представляет собой параболоид вра-
вращения. (Прим. ред.)
60 ГЛ. 3 ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ. СУПЕРПОЗИЦИЯ ВОЛН
C.36)
При выводе волнового уравнения нигде не использовалось то, что
Ъ не зависит ни от со, ни от %. Поэтому наличие дисперсии оставляет в силе
утверждение, что синусоидальная волна (описываемая уравнением B.2))
распространяется без изменения формы. Однако это означает, что сложная
волна, состоящая из двух или нескольких синусоидальных волн различной
частоты, изменяет свою форму, так как каждая компонента ее распро-
распространяется со своей собственной скоростью, и разность фаз между раз-
различными компонентами изменяется по мере продвижения волны. Эти
эффекты будут рассматриваться в гл. 4.
Скорость света в вакууме есть одна из фундаментальных физических
величин; обычно ее обозначают буквой с. Численное значение скорости
света очень близко к 3,00-1010 см/сек (см. § 11.12). Так как скорость
света в воздухе (при нормальных температуре и давлении) только на одну
тысячную долю меньше скорости света в вакууме, значение с часто исполь-
используют в качестве величины скорости света также и в воздухе, но следует
иметь в виду, что это верно лишь приблизительно. Среда, в которой Ь
зависит от X, называется диспергирующей средой. Для световых волн
единственной недиспергирующей средой является вакуум.
3.18. Вид функций b = f(X) и п = F(X) имеет большое практическое
значение. Коши дал следующую эмпирическую формулу:
n-.i=A(i+£ + -%- + ...), C.37)
где А, В, С и т. д. — константы, величины которых таковы, что каждый
член написанного ряда значительно меньше предыдущего. Величина
(п — 1) называется рефракцией. В случае нормальной дисперсии показа-
показатель преломления монотонно возрастает вдоль спектра от красной его
части к синей, т. е. постоянные А и В положительны. Для некоторых
веществ формула дисперсии очень сильно отличается от формулы C.37)t
и возможны случаи, когда на коротком участке спектра показатель пре-
преломления увеличивается с ростом длины волны. Такое явление называется
аномальной дисперсией. Для большинства газов изменение показателя
преломления с длиной волны вполне удовлетворительно описывается
формулой, содержащей первые два члена C.37). Формулы такого типа
довольно хорошо описывают также свойства оптических стекол. Гарт-
ман дал следующую формулу для показателя преломления стекол:
Эта формула дает лучшее согласие с экспериментом, чем трехчленная
формула вида, предложенного Коши.
3.19. Влияние дисперсии стекол на работу линз можно видеть иа
уравнения C.33). Для синего света фокусное расстояние линзы меньше,
а следовательно, ее оптическая сила больше, чем для красного. Это
означает, что изображение, образованное синим светом, не совпадает па
размеру и по положению с изображением, образованным красным светом.
Поэтому изображение предмета в белом свете окрашено по краям и менее
четко, чем изображение в монохроматическом свете. Это явление называет-
называется хроматической аберрацией.
СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ
61
Стоячие волны
3.20. Если плоская световая волна, описываемая выражением
£4 = a sin (tot — кх), C.39)
отражается от идеального плоского зеркала, то отраженная волна запи-
запишется в виде
£2 = a sin (at + KZ-T-S), C.40)
где постоянная б зависит от положения зеркала. Возможно также, что
сам процесс отражения сопровождается изменением фазы волны. Будем
считать, что это изменение фазы включено в б.
Если начало отсчета х и t сдвинуть в положительном направлении на
величины б/2х и б/2ш соответственно, то выражение C.39) останется
неизменным, а C.40) перейдет в
£2 = a sin (tot -j- кх). C.41)
Мы сдвинули начало отсчета таким
образом, что точка х = 0, t — 0
соответствует одинаковой фазе для
обеих волн.
Применяя принцип суперпо-
суперпозиции, мы получим
Рис 3 9 Смещения колеблющихся точек
в стоячей волне в различные моменты
времени
+ a sin (tot -f кх), C.42)
что можно записать также в виде
£ = 2а cos кх sin tot. C.43)
Волна такого типа изображена на
рис. 3.9. В каждой точке колеба-
колебание является гармоническим, но его амплитуда меняется от точки к точке.
Профиль волны то поднимается, то сглаживается, как показано на рисун-
рисунке, но не перемещается ни вперед, ни назад. Волны такого типа назы-
называются стоячими волнами.
3.21. В стоячей волне нет непрерывного потока энергии в каком-
либо направлении, но в среде заключена определенная энергия, плот-
плотность которой пропорциональна а2 в каждоп точке среды. Эта энергия
распределена неравномерно. Она максимальна в точках, где cos2x.r = 1.
т. е. при #=0, г = -^,# = -^-ит.д. Точки, в которых энергия колебании
максимальна, называются пучностями, точки, в которых она минималь-
минимальна, — узлами *). Если какой-либо приемник излучения движется вдоль
оси х, он дает максимальное показание в пучности и нулевое показание
в узле (рис. 3.10). Расстояние от узла до ближайшей пучности равно
—- = А,/4, а расстояние между соседними узлами — К/2.
*) В результате приведенного автором схематического описания стоячих волн
у читателя может создаться впечатление, что в стоячей волне почностью отсутствует
обмен энергией между колеблющимися точками среды. На самом дече это не совсем
так. Как легко понять (например, используя случай стоячих волн на струне), энергия
дважды за один период колебаний перетекает в каждом участке среды, расположенном
между узлами стоячей волны, от концов участка к его середине и обратно. Равен
нулю лишь результирующий поток энергии вдоль стоячей волны. (Прим. ред.)
62
ГЛ 3. ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ. СУПЕРПОЗИЦИЯ ВОЛН
Рассмотрим теперь случай, когда отражение не идеально. Определим
коэффициент отражения q как отношение энергии отраженного пучка
к энергии падающего. Это означает, что отношение соответствующих
амплитуд равно q1^.
Уравнение C.41) можно тогда записать в виде
12 =. uq1^ sin (at — хх), C.44)
а C.43) в виде
I = 2aQ^2 соь их sin at - а A — q1^) sin (at 4- xx). C.45)
Такая волна имеет как стоячую, так и бегущую компоненты. Приемник
энергии, движущийся вдоль оси х, по-прежнему будет регистрировать
максимумы и минимумы. Однако его минимальные показания теперь не
будут равны нулю, так как в тех точ-
точках, в которых первый член C.45)
равен нулю, показания приемника
будут пропорциональны квадрату
амплитуды второго члена.
Волны, преимущественно стоя-
стоячие, но имеющие бегущую компонен-
*~х ту, встречаются в акустике, в част-
Рис 3.10 Распределение энергии в среде ности в органных трубах.
при наличии в ней стоячей волны Результаты наблюдений стоячих
электромагнитных волн, образовав-
образовавшихся при отражении излучения маленького высокочастотного осцил-
осциллятора 01 большого металлического экрана, расположенного в точке #= О,
представлены на рис. 3.11. Измерения проводились при помощи приемного
t
и 2 4 68 W1214161820222426283032?4363840424446485052545658606264666870727^5™?
Paccrro* ue до отражающей плоскости, см
Рис 3 11 Экспериментальные наблюдения стоячих эчектромагнитных
ВО1Н
диполя с маленьким кристаллическим детектором, соединенным в даль-
дальнейшем с усилителем. Металл имеет высокий коэффициент отражения
для таких волн, и поэтому наблюдались стоячие волны со слабой бегущей
компонентой. По расстоянию между узлами была определена длина волны
излучения, которая оказалась равной 11,6 см.
Опыт Винера
3.22. Наблюдать стоячие световые волны трудно, так как расстояние
между пучностями и узлами очень мало (порядка 10~5 см). Впервые эти
экспериментальные трудности были преодолены Винером A890). Прежде*
ОПЫТ ВИНЕРА
63
Стекло
Эмульсия
Ртуть
Рис. 3 12. Опыт Айвса.
чем обсуждать его работу, мы опишем опыт Айвса, который в принципе
проще, хотя и несколько сложнее в экспериментальном отношении.
Айве приготовил специальные фотографические пластинки с тонким слоем
мелкозернистой эмульсии. Со стороны эмульсии пластинка прижималась
к поверхности ртути, а со стороны стекла на нее направлялся параллель-
параллельный пучок монохроматического света
(рис. 3.12). Свет проходит через стекло
и эмульсию и отражается от поверх-
поверхности ртути, причем в эмульсии обра-
образуются стоячие волны. Система узлов
и пучностей создает в эмульсии по-
последовательности слоев почернения
эмульсии, расположенных на расстоя-
расстоянии Я/2 друг от друга. В опыте Айвса
стоячие волны наблюдались при помо-
помощи сильного микроскопа в поперечном
срезе эмульсионного слоя. При этом
были отчетливо видны и сфотографи-
сфотографированы слои почернения эмульсии; в одном из экспериментов наблю-
наблюдалось 250 последовательных слоев *).
3.23. Винер использовал для наблюдения стоячих волн фотографи-
фотографические пластинки со слоем фоточувствительной эмульсии толщиной
около 2-Ю см. Он помещал такую фотопластинку под очень малым
углом к горизонтальному зеркалу (рис. 3.13). Система стоячих волн
формировалась при отражении света от этого зеркала с наружным серебре-
серебрением, так что пластинка пересе-
Пластита кала последовательность пучно-
пучностей и узлов. Фотографическая
эмульсия чернела вдоль линий
своих пересечений со слоями пуч-
пучностей. Углу а (рис. 3.13) прида-
придавали значение около 10~3 радиан;
поэтому расстояние между сосед-
соседними полосами почернения фото-
фотоэмульсии было в 1000 раз больше расстояния лхе,к1у пучностями по
вертикали. Из этих опытов, в частности, можно бьпо отгнить длину
волны света: для зеленой части спектра получаюсь значение 5.5-10"" см.
Удалось также показать, что длина волны красного света приблизительно
в два раза больше длины волны синего света.
Опыт Винера был подвергнут критике на том основании, что надо принимать
во внимание но только свет, отраженный от зеркала, но и свет, отраженный от поверх-
поверхности фотографического слоя. Винер показал, что это возражение несущеегвенно.
Он заполнил пространство между фотографическим слоем и зеркалом бензолом, пока-
показатель преломления которого близок к показателю преломления желатины, и тем
самым исключил отражение от фотографического слоя. При этом интерференционные
полосы имели прежний вид.
3.24. Интересным дополнением к опытам Винера послужили экспе-
эксперименты, проведенные Друде и Нернстом. Сначала они повторили опыт
Винера, использовав, однако, для наблюдения стоячих волн флуоресци-
флуоресцирующую пленку вместо фотографической пластинки. Они посеребрили
Зеркало
Рис 3.13 Опыт Винера
*) Фотографии Айвса напечатаны в книгах: Р. В у д, Физическая оптика, ОНТИ,
М.—Л., 1936, и Кл. Шефер, Теоретическая физика, т. III, Оптика, ОНТИ, М.—Л..
1938. (Прим. ред.)
64 ГЛ 3 ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ СУПЕРПОЗИЦИЯ ВОЛН
половину стеклянной пластинки и покрыли всю пластинку очень тонким
слоем-флуоресцирующего материала. Параллельный пучок света (т. е.
плоскую волну) направляли на всю пластинку перпендикулярно ей,
и на непосеребренной части пластинки наблюдалась сильная флуоресцен-
флуоресценция; на посеребренной же ее части свечения не было. Отсюда следует, что
на поверхности зеркала образуется узел стоячей волны. Это указывает
на то, что отражение света от поверхности серебра приводит к изменению
фазы волны приблизительно на п. Таким образом, если начало отсчета х
поместить на поверхность зеркала и представить падающую волну в виде
C.39), то отраженную волну нужно записать в виде
£2 _= — a sin (of -4- кх), C.46)
а систему стоячих волн в виде
I = — 2а sin хх cos со£ C.47)
и, следовательно, при х = 0 смещение всегда равно нулю.
3.25. Опыт Винера был позднее повторен Айвсом, использовавшим
фотоэлектрический метод для регистрации пучностей и узлов. Хотя опыт
Винера и не может служить для точного измерения длин волн, он имеет
большое принципиальное значение. Образование стоячих световых волн
является, пожалуй, самым простым примером применения принципа
суперпозиции, и факт их образования дает прямое, хотя и не очень точное
подтверждение этого принципа. Формирование стоячих световых волн
составляет основу одного из методов цветной фотографии *). Стоячие
световые волны находят себе также применение при исследовании фото-
фотоэлементов и в теории поляризованного света.
Объемные стоячие световые волны мы рассмотрим ниже в связи
с теорией теплового излучения.
Коэффициент отражения. Нормальное падение света
3.26. Коэффициент отражения света от границы раздела двух проз-
прозрачных сред можно рассчитать, если известны граничные условия. Рас-
Рассмотрим параллельный пучок света, распространяющийся в направле-
направлении ОХ, и границу раздела в виде плоскости, перпендикулярной направ-
направлению распространения. Для всех волн обычного типа величина £ в любых
двух точках, расположенных бесконечно близко друг к другу, но с раз-
разных сторон от границы раздела, имеет в любой момент времени одно
и то же значение. В этом состоит одно граничное условие.
Второе граничное условие зависит от типа рассматриваемых волн
и от различия между двумя средами. Используя теорию света, основанную
на представлении о его распространении в твердом эфире, Френель вывел
я?
условие, что производная -~- должна принимать одинаковые значения
по обе стороны от границы раздела. Отсюда он вычислил коэффициент
отражения при нормальном падении и получил значение, определяемое
соотношением C.56). Ниже мы используем это граничное условие. Его
можно будет считать обоснованным, если полученная с его помощью
формула для коэффициента отражения будет подтверждена эксперимен-
экспериментальными данными. Мы вернемся к этому вопросу, когда будем рассмат-
рассматривать отражение электромагнитных волн.
*) См , например, книгу Г С Ландсберга, Оптика, Гостехиздат, М , 1957
' П1 им ред )
КОЭФФИЦИЕНТ ОТРАЖЕНИЯ. НОРМАЛЬНОЕ ПАДЕНИЕ СВЕТА 65
3.27. Предположим, что плоская волна, описываемая выражением
£4 = а± sin (со£ — х^), C.48)
падает перпендикулярно на плоскую поверхность раздела двух сред.
Пусть показатель преломления при переходе света из среды 1 в среду 2
равен |л12. Тогда, если 1[ описывает отраженную, а £2 преломленную вол-
волны, граничные условия для любого момента времени t имеют вид
Ei+ £ = &*, C.49)
*к + 4г1 = 4г_. C.50)
дх ' дх дх х '
Уравнения C.49) и C.50) удовлетворяются на границе раздела, за которую
мы приняли плоскость х = 0.
Уравнение C.49) требует, чтобы отраженная и преломленная волны
имели ту же частоту, что и падающая волна. Так как скорость распростра-
распространения света в двух средах различна, то к и х в преломленной и падающей
волнах должны иметь различные значения, чтобы удовлетворить соотно-
соотношениям B.25). Следовательно, мы можем написать
%[ = а[ sin (coJ + ^i#) C.51)
и
l2 = а2 sin (со* — И2#), C.52)
где
^2 = ^12^1- C.53)
В соотношениях C.51) и C.52) мы предполагаем, что разность фаз
между падающей волной и отраженной и преломленной волнами равна
нулю или п. Применив граничные условия, получим
ai-Ta'1 = a2 C.54а)
и
х^ — х^ = x2a2. C.546)
Используя соотношение C.53), найдем
1
Отсюда
Й <3-55>
m C.56)
Если отражение происходит на границе воздух — стекло, то из
соотношения C.56) мы находим, что для стекла с показателем преломле-
преломления 1,5 энергетический коэффициент отражения равен 4%.
3.28. Из уравнения C.55) следует, что отражение света сопровождает-
сопровождается обращением фазы волны (т. е. изменением ее величины на я), если
отражение происходит в среде оптически менее плотной *). Фаза волны
не изменяется, если отражение происходит в среде, оптически более плот-
плотной. Эти фазовые условия на границе раздела двух сред подтверждаются
прямыми экспериментами (см. § 5.10).
*) То есть если отражение происходит от границы оптически более плотной
среды, например при отражении света, распространяющегося в воздухе, от поверх-
поверхности стекла. (Прим. ред.)
5 р. Дитчберн
66 ГЛ. 3 ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ. СУПЕРПОЗИЦИЯ ВОЛН
Из формулы C.56) следует, что энергетический коэффициент отраже-
отражения света имеет одно и то же значение, независимо от того, с какой стороны
падает пучок света на поверхность раздела двух сред, так как величина q
не изменяется при замене fi2i на (li12. Если бы коэффициенты отражения
света по разные стороны поверхности раздела не были бы равны друг
другу, оказался бы возможным термодинамический цикл, противореча-
противоречащий второму закону термодинамики.
3.29. При выводе формулы C.56) предполагалось, что граница раздела $вух сред
представляет собой математическую плоскость. В большинстве случаев реальные
поверхности не бывают совершенно чистыми. На поверхности стекла обычно остаются
следы полировочного материала и окклюдированного воздуха. Тем не менее, на прак-
практике оказывается, что обычные чистые поверхности достаточно гладки и, пользуясь
ими, можно получить результаты, в основном согласующиеся с соотношением C.56).
Размеры шероховатостей, вероятно, немногим больше диаметров атомов и молекул
(т. е. имеют величину всего лишь около 1/100 длины волны света). Но присутствие
на стеклах тонких пленок жира и других веществ или наличие каких-либо небольших
дефектов поверхности сильно искажает отражение света.
Оптическая разность хода
3.30. При рассмотрении ряда оптических задач необходимо вычислять
разность фаз между волнами, входящими в состав пучков света, которые
испускаются одним источником, но достигают одной и той же точки
пространства различными путями, испытывая по дороге отражение
и преломление в системах призм и зеркал (см., например, рис. 4.1).
Разность фаз между такими пучками слагается из двух частей. Первую
мы уже рассматривали — она равна изменениям фазы при отражениях
света; вторая обусловлена возможной разницей в длине двух оптических
путей. Фаза синусоидальной волны изменяется на 2я при перемещении
волны на расстояние, равное ее длине. Отсюда изменение фазы бф при
перемещении волны на расстояние 6s в среде с показателем преломле-
преломления щ равно
6Ф = -?^8*, C.57)
где %i — длина волны света в данной среде.
Обозначив через ^их длину и волновое число волны той же частоты
в вакууме, получим
бф = -«— niSs = nriids. C.58)
Разность фаз пропорциональна, таким образом, величине nLbs, и опти-
оптическая длина пути между двумя точками определяется как интеграл этой
функции вдоль пройденного волной пути.
Оптическая разность хода есть разность значений таких интегралов,
взятых вдоль двух рассматриваемых путей. Разность фаз получается
умножением оптической разности хода на волновое число х. Если один
пучок света проходит через стеклянную пластинку толщины е, а второй
проходит тот же путь в воздухе, то оптическая разность хода равна
(щ — l)e, хотя в геометрической длине путей разницы нет.
Корпускулярная теория отражения и преломления
3.31. Рассмотрим явления отражения и преломления света в рамках примитивной
корпускулярной теории света.
В подобной корпускулярной теории света закон отражения (уравнение C.23))
тегко получается из рассмотрения явлений упругого отражения. Когда световые
КОРПУСКУЛЯРНАЯ ТЕОРИЯ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ 67
корпуск>лы падают на совершенно гладкую и идеально упругую поверхность, соста
вляющая их скорости, перпендикулярная поверхности, меняет свое направление
на противоположное, тогда как тангенциальная составляющая остается неиз
менной
Для того чтобы объяснить преломление света в корпускулярной теории, следует
предположить, что некоторые корпускулы — но не все — способны проникать через
границу среды Это создает принципиальную трудность, так как естественным пред
положением была бы неразличимость частиц, представляющих свет определенного
спектрального состава Если такое предположение верно, то можно объяснить, почему
только некоторые частицы проникают через поверхность, допустив, что сама поверх
ность вещества имеет какую то стр}кт}ру, обусловленную, скажем, атомной струк-
структурой вещества С этой точки зрения корпускулы должны отражаться, если они испы-
испытывают прямое столкновение с одним из атомов поверхности (рис 3 14), и преломляться,
если они попадают на боковую поверхность атома, точно так
же, как некоторые частицы проходят через тонкую пленку Aie-
талла, в то время как другие не проходят через нее
В корпускулярной теории такого типа встречается много
трудностей Если бы она была верной, то, вероятно, все кор
пускулы рассеивались бы на поверхности, и вместо правильного
мы получали бы диффузное отражение и преломление Было бы
также очень трудно объяснить прямолинейное распростране
ние света в среде, атомы которой оказывают столь сильное
воздействие на световые корпускулы Следовательно,
необходимо рассмотреть гипотезу о том, что корпускулы не
идентичны
3 32. Если пучок монохроматического света падает нор
мально на прозрачную стеклянную пластинку, то некоторая
часть света проходит через нее Если прошедший свет падает на
вторую стеклянную пластинку, подобную первой, то через нее
пройдет та же часть свеаа В данном случае прошедший свет рис з 14 К кор
не отличается существенно от падающего — п в том и в другом пускулярной тео
в одинаковых пропорциях содержатся корпускулы, способные рИИ отражения
пройти через вещество Отсюда следует, что нет корпускул, и прохождения
всегда способных проходить через вещество, и других, которые света
непременно должны отразиться Напротив, все корпускулы
могут как проходить, так и отражаться Как предположил
Ньютон, они должны находиться «в приступе отражения» или «в приступе прохожде-
прохождения» и периодически переходить из одного состояния в другое Итак, нет способа
заранее предсказать, когда та или пная корпускула будет «в приступе отражения»
Следовательно, подобная корпускулярная теория, по видимому, должна включать
в себя некоторый элемент неопределенности, т е она допускает, что поведение кор
пускул нельзя ни проследить в деталях, ни описать, исходя из причинной связи
явлений Кроме того, поведению корпускул должны быть приписаны какие то свой
ства периодичности, характерные для волновых процессов
3.33. Если бы в рамках корпускулярной теории и сдаюсь бы объяснить, что
часть света отражается, а часть преломляется, нужно было бы еще дать способ расчета
количества прошедшего света и соотношения между углом падения и углом преломле
ния (закон Сне л ли} са)
В корп}ск} лярной теории еще никогда не удавалось хоть сколько нибудь
успешно решить эту задачу Делалась хорошо известная попытка объяснить закон
Снеллиуса при помощп специального предположения о том, что скорость корпускул
возрастает в определенном отношении при переходе из разреженной среды в плотную,
причем компоненты скорости, параллельные поверхности раздела, остаются неиз
менными Такое предположение весьма искусственно, так как для увеличения ско
рости корпускул необходима энергия Кроме того, это требование находится в прямом
противоречии с результатами измерения скорости света в вак}уме и в веще
ствах
3.34. В то время как волновая теория может дать четкую и простую картин}
основных явлений отражения и преломления света, корпускулярная теория в состоя
нии дать лишь отрывочные и неудовлетворительные описания И для того чтобы сделать
даже это, в корп}ск}лярную теорию приходится вводить специальные предположения,
которые ведут к волновой теории Отмечая большое преимущество волнового опи-
описания свойств света, следует помнить, что позднее мы встретимся с группой явле-
явлений, для описания которых наиболее пригодна существенно измененная корпуску
лярная теория, тогда как волновая теория встречается в этом случае с большими
трудностями
5*
68 ГЛ. 3. ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ. СУПЕРПОЗИЦИЯ ВОЛН
Упражнения
3.9. Показать, что если бы показатель преломления точно описывался первыми
двумя членами выражения C.37), то можно было бы создать линзу, свободную от хро-
хроматической аберрации, соединив собирательную и рассеивающую линзы, изготовлен-
изготовленные из различных стекол.
[По условию задачи показатели преломления имеют следующий вид:
п" —1 = 4" +Л" Б" А2.
Обозначим оптические силы линз через F' и F" соответственно, и пусть о/ = ( 1 )
для первой линзы, a q" — такая же функция для второй линзы. Тогда
=(,г'-1) о/ +К-1)о/'=Л'о/ + Л///+ А п * ^ D
и если A'B'q' | А"В"q" = 0, то F не зависит от К.]
3.10. Показагь, что предложенную в предыдущем примере задачу не удается
решить, если А'/В' =- А" В".
3.11. Показатели преломления стекла двух сортов — флинта и крона — равны
следующим величинам:
Красный свет Синий свет
Флинт ... 1,644 1,664
Крон . . . 1,514 1,524
Найти фокусные расстояния таких двух линз (одна из них изготовлена из флинта,
а др> гая из крона), что при их соединении получается линза с фокусным расстоянием
10 м для света любой длины волны.
[—5,784 и 3,664 м для синего света.]
3.12. Вычислить отношение количества света, прошедшего через пластинку
стекла с показателем преломления 1,5 перпендикулярно ее поверхности, к количеству
света, прошедшего через пластинку плавленого кварца с показателем преломления 1,55.
[1,019. Учесть отражение света от обеих поверхностей.]
3.13. Ввести фазовые углы 6^ и б2 в выражения C.51) и C.52) и, использовав
граничные условия C.49) и C.50), показать, что б[ и 62 равны нулю или целому числу я.
3.14. В опыте, подобном опыту Винера, длина фотопластинки равнялась 1 см.
Один ее конец соприкасается с отражающей поверхностью, а другой отделен от нес
прокладкой из слюды толщиной 10~3 см. Расстояние между образовавшимися на
пластинке соседними темными полосами равнялось 0,025 см. Найти длину волны
использованного света.
[5000 А.]
ГЛАВА 4
ВОЛНОВЫЕ ИМПУЛЬСЫ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
Источники света. Типы спектров
4.1. Классификация источников света может быть произведена на
основе волновой теории света С точки зрения последней наиболее важную
классификацию источников света можно провести, исходя из излучаемых
ими спектров. Современные приборы, появившиеся в результате усовер-
усовершенствования простых инструментов, при помощи которых Ньютон
впервые открыл дпсперсию света, позволяют детально изучить спектры,
даваемые различными источниками Эти приборы называются спектро-
спектроскопами, если они предназначены для визуального наблюдения спектров г
и спектрографами, если они позволяют сфотографировать спектр При
помощи такой аппаратуры были открыты три основных типа спектров
Они получили название линейчатого, полосатого и непрерывного спектров
Каждый тип спектра может наблюдаться и как эмиссионный спектр
(спектр испускания), и как абсорбционный (спектр поглощения) На
рис, I и II приведены некоторые типичные спектры
Линейчатые и непрерывные спектры
4.2. Эмиссионный линейчатый спектр состоит из ряда довольно
узких линий с темными промежутками между ними (см рис I, а, б, в)
В спектре может быть всего лишь небольшое число линий, но их может
также насчитываться и несколько тысяч Узкие линии наблюдаются в тех
случаях, когда атомы, излучающие свет, не подвергаются сильному
воздействию из-за столкновений с другими атомами йзкие шнпп обычно
появляются при электрическом разряде в газах при низком давлении
Каждая линия характерна для того вида атомов, который ее пзллчают
Атомы натрия излучают всего ярче две линии, расположенные очень
близко друг к другу в желтой области спектра (см рпс I, а); кадмий
излучает сильную красную п сильную зеленую линии, а также много
более слабых линий (см рис I, б); ртуть излучает несколько сильных
линий (см рис I, в) Если электрический разряд происходит в газе при
давлении нескольких атмосфер, то линии становятся менее узкими (см
рис. I, г), а если давление увеличивается еще больше, то линии сливаются,
образуя сплошной спектр Спектры излечения нагретых твердых тел так
же непрерывны Спектр этого типа обычно излучается в таких условиях,
когда каждый атом находится под сильным воздействием соседних атомов
Полосатые спектры
4.3. Полосатый спектр состоит из очень большого числа линий,
которые сосредоточены группами в определенных участках спектра,
образуя характерные канты (см рис II, а) Спектры такого типа
70 ГЛ 4 ВОЛНОВЫЕ ИМПУЛЬСЫ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
излучаются молекулами, и данная система полос характерна для молекулы,
которая ее испускает. Теоретическое описание этих спектров сложнее
соответствующего описания линейчатых спектров, но не содержит в себе
каких-либо существенно иных принципов.
Инфракрасное и ультрафиолетовое излучение
4.4. Используя соответствующие фотографические пластинки, можно
сфотографировать линии, полосы и т. д., лежащие далеко за пределами
видимого спектра. Это означает, что есть некоторые типы излучения,
к которым пластинка чувствительна, а глаз нечувствителен.
Наглядное подтверждение последнего положения можно получить
при помощи чувствительного термостолбика, движущегося вдоль спектра.
Гальванометр, включенный в цепь термостолбика, дает показания, когда
столбик находится в видимой области; эти показания сильно возрастают
при перемещении термостолбика в область, в которой видна яркая линия.
Показания гальванометра, однако,*не падают до нуля на концах видимого
спектра. За красным концом спектра показания нередко возрастают; за
фиолетовым концом они обычно малы но достаточны для того, чтобы
отметить наличие определенной энергии излучения. Излучение, располо-
расположенное за красным концом спектра, называется инфракрасным, за фиоле-
фиолетовым концом спектра — ультрафиолетовым (см. рис. II, б, а также
рис. 1.5).
Спектры поглощения
4.5. Было найдено, что при прохождении света от источника, обычно
дающего непрерывный спектр, через какие-либо пары или газы в спектре
появляются темные линии (см. рис. II, в, г). Пары, газы и жидкости могут
давать и непрерывный спектр поглощения. Однако линии или полосы
поглощения характерны для поглощающего газа или пара, и было уста-
установлено, что их положение в спектре совпадает с положением некоторых
линий или полос в спектре этого газа или пара, излучаемом под действием
электрического разряда (см. рис. II, в, г, д). Такие линии или полосы
поглощения позволяют установить наличие соответствующих атомов
или молекул в газе или паре. Спектр подобного типа был впервые открыт
Фраунгофером A784—1826), который показал, что непрерывный спектр
излучения Солнца пересечен рядом темных линий. Их положение в спектре
совпадает с положением некоторых эмиссионных линий в спектрах, полу-
полученных в лабораторных условиях (см. рис. II, я, д). Происхождение этих
линии таково. Центр Солнца представляет собой массу очень горячего
газа большой плотности, излучающего непрерывный спектр. Этот свет
проходит через более холодные и менее плотные внешние слои Солнца,
где часть света поглощается, в результате чего в спектре Солнца появляют-
появляются темные линии. Эти линии указывают на присутствие определенных
химических элементов во внешних слоях Солнца *). Центральная область
Солнца называется фотосферой, основная поглощающая область —
хромосферой. Корона представляет собой менее плотную часть Солнца,
которая простирается далеко за пределы хромосферы. Корону можно
видеть только во время солнечного затмения, когда основной свет солнеч-
солнечного диска экранирован Луной. В спектре короны наблюдается ряд сла-
слабых, но очень узких эмиссионных линий.
х) Некоторые линии поглощения, наблюдаемые на Земле в спектре Солнца,
оояшны своим происхождением поглощению света газами земной атмосферы. Эти
гшш поглощения называются теллурическими (Прим. ред.)
ИСТОЧНИКИ СВЕТА ТИПЫ СПЕКТРОВ 71
Атомные осцилляторы
4.6, Основываясь на ряде экспериментов, которые мы опишем позд-
позднее, мы можем считать, что каждая линия в спектре соответствует опре-
определенной длине волны. Она соответствует также определенной частоте
излучения; напомним, что соотношение между длиной волны и частотой
задается уравнением B.25). Длины волн и частоты для различных участ-
участков спектра приведены на рис. 1.5. Испускание и поглощение спектров,
состоящих из узких линий, позволяет предположить, что атом можно
рассматривать как систему гармонических осцилляторов. Каждый
осциллятор излучает свет с длиной волны, соответствующей его собствен-
собственной частоте, и, следовательно, создает линию в спектре. Когда белый свет
проходит через газ или пар, осцилляторы в различных атомах резонируют
и поглощают свет той длины волны, которая соответствует их собственной
частоте колебаний. Таким образом, линии поглощения совпадают с лини-
линиями испускания. Когда на атомы сильно воздействуют соседние частицы
(например, в газе при высоком давлении, в твердом теле или в жидкости),
осцилляторы подвергаются непрерывному возмущению. Они излучают
нерегулярные импульсы вместо гармонических волн, и эти импульсы
(которые не имеют какой-либо определенной частоты) создают непрерывный
спектр. Некоторые собственные частоты атомов или молекул соответ-
соответствуют длинам волн, большим или меньшим тех, к которым чувстви-
чувствителен глаз; такие собственные частоты принадлежат линиям инфра-
инфракрасной или ультрафиолетовой областей спектра.
4.7, В такую общую картину испускания и поглощения излучения
атомами и молекулами укладываются многие наблюдения, но при этом
возникает также ряд трудностей. Нелегко понять, почему некоторые атомы
испускают так много линий, если считать, что каждая линия соответ-
соответствует собственной частоте осциллятора. Мы оказываемся в еще большем
затруднении, когда вспоминаем, что даже молекула водорода, состоящая
всего из четырех частиц, испускает чрезвычайно сложный спектр, насчи-
насчитывающий десятки тысяч линий. Было также найдено, что, как правило,
в спектре поглощения появляются только некоторые эмиссионные
линии.
В эмиссионном спектре атомов некоторые линии появляются только
в искровом спектре и отсутствуют в луговом. Другие появляются только
в спектре тлеющего газового разряда. Яти наблюдения говорят о том. что
при определенных условиях некоторые осцилляторы не возбуждаются,
и теория не может предложить какого-либо простого объяснения данному
явлению. Несмотря на наличие многих трудностей, представление атома
рядом гармонических осцилляторов оказывается все же очень плодотвор-
плодотворным. Позднее оно будет введено в более детальную теорию излучения
и поглощения света. В настоящем виде указанное представление об атоме
как излучающей системе следует считать рабочей гипотезой, которую
придется усовершенствовать после того, как будут накоплены более
подробные экспериментальные данные. Желательно было бы выяснить:
все ли свойства света, образующего узкие линии спектра, соответствуют
длинным цугам синусоидальных волн, излучаемым гармоническими
осцилляторами. Для этой цели необходимо выделить какую-нибудь одну
линию спектра, что можно сделать, закрыв спектр экраном со щелью,
расположенной так, чтобы через нее проходила узкая область спектра,
содержащая эту линию. Такое устройство называется монохроматором.
Иногда тот же результат можно получить более простым путем, используя
72
ГЛ. 4. ВОЛНОВЫЕ ИМПУЛЬСЫ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
цветные фильтры, которые пропускают только часть спектра. Подобрав
нужную комбинацию фильтров, можно добиться того, чтобы при работе
с источником, дающим не очень сложный спектр, через фильтры проходила
только одна линия. После выделения света, соответствующего одной линии
спектра, его свойства могут быть детально изучены при помощи описывае-
описываемого ниже прибора.
Интерферометр Майкельсона
4.8. Прибор, схема которого изображена на рис. 4.1, был разработан
Майкельсоном A852—1931). Здесь Se — протяженный источник света,
например газоразрядная трубка или натриевое пламя. Световой пучок от
источника Se проходит через фильтр F и превращается в приблизительно
параллельный при помощи линзы L. Затем он падает на зеркало Ми
Рис. 4.1. Схема интерферометра Майкельсона.
которое представляет собой стеклянную пластинку, покрытую полупроз-
полупрозрачным слоем серебра или алюминия со стороны, противоположной Sc.
М2 и М3 — зеркала, покрытые с наружной стороны сплошным слоем
серебра. Часть света от Se проходит через М± и, отражаясь сначала от М3
и затем от Ми попадает в зрительную трубу Т. Другая часть света сначала
отражается от Ми затем от М, и, наконец, проходя через Ми попадает
в Т. Наблюдение ведется через окуляр Е. Компенсатор С состоит из
непосеребренной стеклянной пластинки той же толщины, что и Ми Свет,
отраженный от М3, дважды проходит через С и, таким образом, проходит
ту же толщу стекла, что и свет, отраженный от М2, который трижды
проходит через зеркало Mi. Зеркало М2 укреплено на салазках, которые
могут перемещаться при помощи винта вдоль оси зрительной трубы.
Зеркало движется вдоль тщательно изготовленных направляющих и поэто-
поэтому при его перемещении оно не испытывает никакого вращения. Пусть R
« ть плоскость, положение которой совпадает с мнимым изображением
г икала М3, отраженного от Ми Эта плоскость называется референтной.
Г чость фаз между световым пучком, отраженным от М2, и пучком, отра-
ИНТЕРФЕРОМЕТР М\ЙКЕЛЬСОНА 73
женным от М3, такая же, как если бы последний отражался от R *).
В обычных конструкциях прибора зеркала М2 и М3 можно располагать
перпендикулярно друг другу. Тогда плоскость R параллельна М2. Рас-
Расстояние между R и М2 можно изменять за счет перемещений зеркала М3.
В этом случае в наведенный на бесконечность телескоп Т видны кольцевые
интерференционные полосы **).
4.9. Появление интерференционных полос в виде колец объясняется
следующим образом Так как пучок света, входящий в прибор, не являет-
является строго параллельным, то одни лучи достигают Т после отражения от
М2 и М3 по нормали, а другие —после отражения от них под небольши-
небольшими углами. Еслп е — расстояние от М2 до плоскости i?, то разность хода
(см. § 5.13) между пучками, отраженными от М2 и М3 по нормали и под
углом 9 к нормали, равна 2е cos 6, а разность фаз б равна следующей
величине:
б = -г- Bе cos 8) = v-
Если амплитуды обоих пучков одинаковы, то интенсивность суммарного
света обоих пучков в направлении 0 пропорциональна
2а\ - 2а\ cos б = 4aJ cos2 -|- б. D.1)
Интенсивность света максимальна, когда б/я равно четному числу, т. е.
когда разность хода 2е cos 8 равна целому кратному длины волны X. Интен-
Интенсивность равна нулю, если б/я есть нечетное число, т. е. если 2ecos0
равно нечетному числу полуволн.
Как известно, всякий параллельный пучок света, попадающий в зри-
зрительную трубу, сходится в точку, расположенную в фокальной плоскости
объектива. Поэтому полый световой конус, образованный всеми лучами,
распространяющимися под углом 0 к оси системы, дает в фокальной
плоскости объектива светящееся кольцо. Разность фаз для всех его точек
одинакова; если эта разность фаз равна целому кратному 2я, то мы увидим
яркое кольцо.
Порядком интерференции двух пучков света с разностью фаз 2пр
(соответствующая разность хода равна рХ) называется величина р Мак-
Максимум интенсивности, соответствующий целочисленному значению р, рав-
равному pi9 называется максимумом порядка pi4 или светлым кольцом
порядка р±.
Пусть р0 (не обязательно целое число) есть порядок интерференции
в центре интерференционной картины, а 6Р — у г новой радиус светлого
кольца порядка pt (где р* — целое число). Тогда
2е = РоХ D.2а)
и
2е cos 9Pl = piX. D.26)
Заметим, что порядок интерференции в центре (р0) всегда больше
порядка интерференции любого кольца (pi). При постоянном е направле-
*) Для изучения взаимодействия между двумя пучками света интерферометр
Майкельсона по своим возможностям превосходит простое устройство из тонких
отражающих слоев (которое получтось, если бы мы поместили в R полупрозрачное
зеркало), потому что в нем отсутствуют многократно отраженные пучки (например,
пучки, отраженные от М2 к R, затем опять к М2 и от М2 к телескопической системе).
Кроме того, М2 можно совместить с Л, и наконец, в этом приборе получаются два
интерференционных п>^ка света равной ампяитуды.
**) Инструкция по юстировке интерферометра Майкельсона дана в приложении 4А.
74
ГЛ 4 ВОЛНОВЫЕ ИМПУЛЬСЫ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
ния максимумов интенсивности зависят только от 0, и поэтому интерфе-
интерференционная картина имеет вид ряда колец *). Если М2 удалять от R, то
в центре картины появляются новые кольца. При этом расширяется
каждое кольцо, но центральные кольца расширяются быстрее; поэтому
в любой заданной точке интерференционной картины угловое расстояние
между кольцами уменьшается.
Видимость колец
4.10. Уменьшение расстояния между кольцами с увеличением разно-
разности хода затрудняет их наблюдение, если используется одна и та же
зрительная труба (т. е. при работе при постоянном увеличении). Майкель-
сон нашел, что независимо от этого
изменение четкости колец характери-
характеризует используемый источник света.
Он ввел следующее определение ей-
а' димости колец V:
0,5
1/
—
0,5
10 20
Разность хода, см
'fg где £max — интенсивность светлого
кольца, а £тш — интенсивность со-
соседних с ним темных колец**). Опре-
Определенная таким образом видимость
колец не зависит от их углового ди-
диаметра. Майкельсон предложил остро-
остроумный метод [4.1, 4.2] измерения V
_ в зависимости от е. Результаты изме-
измерения значений V для колец, распо-
расположенных близ центра, показаны на
рис. 4.2.
4Л1. Если излучение источника
Se представляет собой строго сину-
синусоидальную волну, то значение V
можно найти из D.1). Из этого урав-
уравнения получаем Ети* = О, так что
V = 1 при любой разности хода. Та-
Такой расчет не согласуется ни с одним из экспериментальных результатов
и, следовательно, свет этих источников нельзя описать чисто синусоидаль-
синусоидальной волной. Следующее наиболее простое предположение заключается
в том, что свет представляет собой совокупность двух синусоидальных
волн с несколько различными длинами волн Я и Я'. Кольца, образованные
светом с длиной волны Я', подобны кольцам, образованным светом с длиной
волны Я, и если 8^ — угловой диаметр кольца порядка pt для длины
волны Я', то
и 1 2 3
Разность хода, мм
Рис. 4.2. Изменения видимости полос
с разностью хода для красной линии
кадмия к 6438 А (а) и желтых линий
натрия X 5890 и 5896 А (б).
cos GD
*) В гл. 5 мы покажем, что это положение остается справедливым и для источ-
источников конечных размеров.
♦*) Если говорить не о распределении интенсивности света по направлениям,
а о распределении света и тени в интерференционной картине, наблюдаемой в фокаль-
фокальной плоскости объектива, то #тах и #min пропорциональны освещенности светлых
v темных колец. (Прим. ред.)
ИНТЕРФЕРОМЕТР МАЙКЕЛЬСОНА 75
Для некоторых направлений два набора колец совпадают и усили-
усиливают друг друга. В- других направлениях один набор колец постепенно
«обгоняет» другой. Некоторые значения 6 соответствуют максимуму
интенсивности для одной длины волны и минимуму для другой, так что
кольца размываются. Поэтому видимость колец в разных участках поля
различна. Точно так же, как отношение периодов колебаний двух маят-
маятников можно определить по частоте совпадений, отношение длин волн
можно найти, наблюдая периодические изменения видимости колец
в фокальной плоскости объектива трубы Т.
4,12. По изменению видимости колец можно также определить отно-
отношение амплитуд двух волн и, следовательно, отношение их интенсивно-
стей. При интерференции двух синусоидальных волн равной амплитуды
видимость колец равна нулю, если данное значение 9 точно соответствует
максимуму интенсивности для одной длины волны и минимуму для дру-
другой. Если амплитуды волн не равны, то видимость никогда не становится
равной нулю, так как слабые кольца, даже располагаясь между яркими,
не могут полностью выровнять освещенность поля зрения трубы. Если
амплитуды двух синусоидальных волн равны соответственно а± и а2, то
максимальная видимость Fmax равна единице, а минимальная Vmin —
следующей величине:
' mm —
2 „2
■«г-«г
Таким образом, измеряя расстояние между максимумами и отношение
интенсивностей максимумов и минимумов на кривой видимости, можно
определить как разность длин волн, так и отношение их амплитуд. Про-
Проанализируем таким способом данные, приведенные на рис. 4.2, б, не
обращая пока внимания на общее уменьшение видимости с ростом е
и рассматривая только ее колебания. Мы найдем, что желтый свет натрия
состоит из двух компонент, длины волн которых отличаются приблизи-
приблизительно на 1/1000. Интенсивность одной из них примерно в два раза боль-
больше интенсивности другой.
Метод Майкельсона оказался очень мощным средством исследования даже неболь
шой немонохроматичности излучения источника. Майкельсону удалось показать,
что красная линия серии Бальмера в спектре водорода содержит две компоненты,
удаленные друг от друга на 0,14 А или на 1 : 40 000 часть длины волны. Современные
методы показали наличие у красной линии водорода еще дв^х слабых компонент,
а расстояние между сильными компонентами оказалось равным 0,1358 А *). Как метод
анализа излучения источников света метод Майкельсона страдает двумя недостатками.
Рэлей теоретически показал, что анализ кривых видимости не всегда дает однознач-
однозначный результат. В сложных случаях различные наборы компонент спектральной линии
могут давать одинаковые кривые видимости. На практике метод Майкельсона весьма
трудоемок и требует большого экспериментального искусства. Точность результата,
полученного Майкельсоном для линии водорода, свидетельствует прежде всего
о таланте самого автора как ученого-экспериментатора и о его необычайной настой-
настойчивости. Анализ излучения источников света проводится теперь более прямыми мето-
методами, которые позволяют прийти к определенным результатам (см. гл. 5 и 9). Интер
ферометр Майкельсона не применяется больше для этой цели **).
*) См. Зоммерфельд, Строение атомов п спектры, I, Гостехиздат, М.,
1956, а также сборник статей «Сдвиг уровней атомных электронов», ИЛ, М., 1956.
(Прим, ред.)
**) В настоящее время в связи с развитием фотоэлектрических методов реги-
регистрации спектров интерферометр Майкельсона вновь получил применение как спект-
спектрометр (см. П. Ж а к и н о, Новые взгляды на технику спектроскопии, УФН 72, 799
(I960), а также П. Ж а к и н о, Последние достижения интерференционной спектро-
спектроскопии, УФН 78, 123 A962)). (Прим. перев )
76
ГЛ 4 ВОЛНОВЫЕ ИМПУЛЬСЫ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
4.13. Кривая видимости, полученная для красной линии кадмия,
не соответствует простому чередованию светлых и темных полос: види-
видимость уменьшается с повышением порядка интерференции приблизительно
по экспоненциальному закону (рис. 4.2, а). Такой же спад видимости
(налагающийся на ее периодические колебания) имеет место и для интер-
интерференционной картины, полученной с двумя желтыми линиями натрия.
Можно ушагать две иртжчшнд. такого постепенного уменьшения втвдшоста.
В первую очередь предположим, что красная линия кадмия представляет
собой набор очень большого числа синусоидальных волн слегка различной
длины, причем их интенсивности падают очень круто по обе стороны от
некоторой длины волны, имеющей максимальную интенсивность
(рис. 4.3) *) При нулевой разности хода максимум интерференционной
картины совпадает для всех длин волн. Поскольку наибольшая часть
света имеет примерно одну и ту же длину волны, при малых разностях
хода интерференционные кольца оста-
остаются резкими. Они становятся менее
резкими, когда разность хода увеличи-
увеличивается, так как положение максимумов
интерференции для волн, соответствую-
соответствующих краям линии (т. е. для длин волн,
которые относительно сильно отличают-
отличаются от длины центральной волны), не
совпадает с положением максимумов
для этой центральной волны. По мере
дальнейшего увеличения разности хода
все большая и большая часть света об-
образует кольца, не совпадающие ни
с кольцом, создаваемым центральной
волной, ни друг с другом Таким об-
образом, кольца посгепеяно становятся
все менее и менее четкими, и колебаний освещенности интерференцион-
интерференционной картины не наблюдается. Видимость стремится к нулю.
Изложенное описание интерференционной картины при наличии
набора длин волн в интерферирующем излучении можно проиллюстриро-
проиллюстрировать следующим простым примером. Если мы будем смотреть на свет через
две наложенные друг на друга гребенки для волос с разным расстоянием
между зубцами, то мы увидим вдоль гребенок периодические затемнения
и просветления. Если же разность расстоянии межд> зубцами гребенок
будет бесконечно малой, а число наложенных друг на друга гребенок
достаточно велико, то за исключением единственного места, где зубцы
всех гребенок приведены в точное совпадение, они уже нигде не совпадут,
а ширина просветов будет постепенно уменьшаться от места совпадения
зубцов **).
Как показал Майкельсон, результаты для красной линии кадмия
можно объяснить, допустив такое распределение энергии по длинам
0,03 0,02 0Of 001 002 0JJ3 А
Рис 4 3 Распределение анергии
в красной линии кадмия (лампа низ
кого давления)
*) В насюящее время установлено, что красная линия кадмия имеет изотопиче-
изотопическую тонкую структуру Поэтому приведенные ниже соображения о кривой видимости
для этой линии имеют лишь исторический интерес Они сохранены в тексте также
п потому, что в них затрагиваются общие вопросы связи монохроматичности спект-
спектральных линий с видимостью интерференционной картины (Прич ред )
**) Приведенная автором механическая иллюстрация причин понижения види-
iociu интерференционной картины заменена другой, так как автор пользовался кине-
кинематической механической моделью, содержащей ненужное здесь рассмотрение про-
u смв, прогекающих во времени (Прим ред )
ВОЛНЫ НЕСИНУСОИДАЛЬНОЙ ФОРМЫ 77
волн, при котором интенсивность линии падает до половины своего
максимального значения на расстоянии ± 0,0065 А от центра линии.
Соответствующее изменение длины волны или удвоенное его значение
принято называть полушириной спектральной линии *). Определенная
таким образом ширина спектральной линии является важной характери-
характеристикой линий любого спектра. Майкельсон подтвердил также, что желтый
свет натрия состоит из двух спектральных линий, причем ни одна из них
не является строго монохроматической **).
4.14. Уменьшение видимости интерференционной картины можно
объяснять и иначе, предположив, например, что красная линия кадмия
представляет собой не непрерывную последовательность волн, а набор
волновых цугов конечной длины. Каждый из них делится зеркалом Мг
(см. рис. 4.1) на два цуга равной длины. Отразившись от М2 и М3, эти
цуги попадают в зрительную трубу. Если разность хода в плечах интер-
интерферометра мала, то отраженные цуги волн приходят в точку наблюдения
почти одновременно и могут интерферировать. Если же М2 находится
достаточно далеко от R, то цуг волн, отраженных от М2, придет в точку
наблюдения после того, как пришел цуг волн, отраженных от М3. Это
равносильно тому, что свет идет от двух независимых источников. Лучи
не могут интерферировать и интерференционная картина отсутствует.
При промежуточных значениях разности хода цуги волн частично пере-
перекрываются и образуются интерференционные полосы низшей видимости.
Таким образом, полученные Майкельсоном результаты можно объяснить,
хотя бы качественно, постулируя наличие в составе интерферирующего
излучения либо группы волн со слегка различными частотами, либо
цугов волн конечной длины.
Для более подробного обсуждения этого вопроса нужно изучить
свойства групп волн и использовать специальные математические методы
анализа таких групп. В полной теории необходимо произвести довольно
сложные математические вычисления. Ниже приводятся результаты таких
вычислений без их доказательства. Последние вынесены в приложение 4Б.
Волны несинусоидальной формы
4.15. Отправной точкой нашего рассмотрения служит математическая
теорема, доказанная Фурье A768—1830), который показал, что волну
несинусоидальной формы всегда можно представить суммой гармониче-
гармонических волн. Такой анализ помогает решать различные задачи, связанные
с волнами несинусоидальной формы, которые сводятся к сумме простых
гармонических воля. Этот анализ очень полезен также и тем, что
мы можем иногда доказать сначала какую-либо теорему для простого
гармонического колебания, и затем, используя принцип суперпозиции,
показать, что она применима и для суммы ряда простых гармонических
колебаний.
Здесь следует напомнить, что при использовании математического
уравнения в общем виде мы предполагаем, что оно справедливо для всех
значений переменных. В случае гармонического колебания смещение опре-
определяется соотношением C.3), которое справедливо в любой точке для всех
моментов времени. Волна, изображенная на рис. 4.4, не является чисто
*) Обычно полушириной линии называют удвоенную величину.
**) Как было установлено позже, желтые линии натрия обладают тонкой струк-
структурой. (Прим. ред.)
78 ГЛ. 4. ВОЛНОВЫЕ ИМПУЛЬСЫ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
гармонической. На некотором участке форма колебания совпадает с сину-
синусоидальной, но справа и слева от него смещение равно нулю. Поэтому
колебания в целом не являются гармоническими. Мы называем цугом волн
колебания такого вида, которые на определенном участке описываются
простой синусоидальной кривой (с постоянной или слегка переменной
амплитудой) и имеют вне этого участка амплитуду, всюду равную нулю.
Если длина синусоидальной части велика по сравнению с длиной волны г
мы говорим о длинном цуге волн,
хотя по нашим обычным пред-
представлениям эта длина может
быть и очень малой. Цуг свето-
световых волн длиной в миллиметр
содержит 2000 волн и является
очень длинным.
Рис. 4.4. Короткий цуг волн, 4.16. В гл. 3 мы рассматри-
рассматривали методы расчета результи-
результирующей ряда гармонических волн одинаковой частоты. Математический ме-
метод Фурье позволяет вычислять результирующую большого числа гармо-
гармонических волн не обязательно одинаковой частоты при условии, что заданы
их амплитуды и фазы. Метод Фурье был применен к очень важному слу-
случаю, а именно к случаю групп волн. Ограничиваясь одномерной задачей,
мы можем определить группу волн как результирующую ряда гармониче-
гармонических волн, частоты которых сгруппированы около некоторой основной
частоты. Если частоты некоторых членов группы отличаются от основной
больше, чем на малую долю последней, то их амплитуды значительно
меньше амплитуд тех волн, частоты которых близки к основной. Поэтому
почти вся энергия концентрируется на частотах, близких основной частоте
группы волн.
Мы определили понятие цуга волн, исходя из формы волны, и понятие
группы волн, исходя из распределения энергии по частотам. Далее мы
покажем, что длинному цугу волн с постоянной или слегка переменной
амплитудой соответствует узкая область частот. Длинный цуг волн — это
тоже группа волн. Если цуг волн очень длинен, то частотный интервал
соответствующей ему группы волн узок. Обратное соотношение также
верно; группа волн, частоты которых заключены в узком интервале,
представляет собой длинный цуг волн.
Мы можем качественно получить тот же результат, исходя из очень
простых соображений. В очень коротком цуге волн нет преобладающей
частоты. Следует ожидать, что при разложении такого цуга на простые
гармонические волны мы получим широкое распределение по частотам.
Известно, что для нерегулярных звуков характерно именно такое распре-
распределение. Если цуг волн длинен, то одна частота приобретает преобладаю-
преобладающее значение. Чем цуг длиннее, тем меньше он отличается от чисто гармо-
гармонической волны, и при его анализе должен получаться постепенно сужаю-
сужающийся интервал частот. В пределе этот частотный интервал стремится
к нулю, если длина цуга волн стремится к бесконечности. При рассмот-
рассмотрении как частотного распределения, так и формы колебаний в пределе
мы получим гармоническую волну со строго постоянной амплитудой, про-
простирающуюся по всему пространству*).
*) В этой главе мы применяем метод Фурье к одномерным задачам. Ниже мы
' 'шим понятие групп волн (или импульса) на задачи в пространстве двух и трех
л черении.
РЯДЫ ФУРЬЕ
79
t(X)
А
-у
Л
В другом крайнем случае можно себе представить цуг волн настолько
коротким или настолько неправильной формы, что ни одну частоту нельзя
считать преобладающей. Колебания такого вида называют волновым
импульсом.
Ряды Фурье
4.17. Метод Фурье позволяет представлять известный класс функ-
функций одной переменной либо в виде суммы ряда косинусоидальных функ-
функций, периоды которых находятся в кратном отношении к некоторому выб-
выбранному периоду, либо в виде интеграла
от косинусоидальных функций, периоды
которых меняются непрерывно от 0 до оо.
Представление в виде ряда справедливо
только в конечном интервале значений
переменной, представление в виде инте-
интеграла справедливо во всей области ее
значений. В общем случае теорема при-
применима к любым функциям, которые
могут быть изображены графически, и не
ограничивается функциями, которые за-
задаются одним алгебраическим выраже-
выражением. Как непрерывные функции, так
и функции, имеющие разрывы непрерыв-
непрерывности или разрывы производной, можно
представить рядами Фурье при условии,
что число разрывов на ограниченном участке конечно. Ряды Фурье осо-
особенно удобны для представления функций, которые нельзя описать
каким-либо одним простым алгебраическим выражением, но которые
можно разбить на части, допускающие такое описание *). Примеры по-
подобных функций показаны на рис. 4.5
и 4.6.
Попытаемся представить функцию
I = f (x) рядом синусоидальных функций,
причем это представление должно быть
применимо в интервале от —хъ оо — s0.
Если X = л or х0, то ряд Флрье флнкшш
/ (X) имеет след\ ющии вид
a0 — aicob\- a2 cos 2 \
. — biSinX- bo^mlX— D.5)
Рис 4 5 Непериодическая функ-
функция (а) и сумма членов соответ-
соответствующего ей ряда Фурье (б)
f(x)
2Х,
Т
i_
Рис. 4 6 Последовательность пря-
прямоугольных импульсов.
Можно показать ([4.3], см. также приложение 4Б), что
я
am = 4" J/(XI)cosmXdX, J
D.6)
—я
я
=-_L f f(X)sinmXdX.
*) Совокупность требований, которым должна j довчетворять функция, допускаю-
допускающая ее разложение в ряд Фурье, носит общее название условий Дирихле. (Прим. ред.)
80
ГЛ 4. ВОЛНОВЫЕ ИМПУЛЬСЫ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
Введя новые постоянные Ло, Аи ••* и 6i, б2,
шениями
определяемые соотно-
соотноА0 = а
0,
^&i и т. д.;
D.7)
мы можем записать D.5) в виде
b2)-^... D.8)
Каждый член уравнения D.8), кроме первого, представляет чисто сину-
синусоидальную волну. Подобным же об-
образом D.5) можно записать в виде
суммы ряда комплексных экспонент
(см. § 2.26 и приложение 4Б).
4.18. Функции вида sin тХ и cos тХ
принимают одно и то же значение при
X =*= Хо + 2я и при X = Хо. Пусть
fs (X) есть сумма ряда D.5) при каком-
либо значении X. Так как члены этого
ряда имеют вид sin тХ и соь тХ, по-
получаем
т. е. сумма ряда должна быть функ-
функцией, сохраняющей свое значение при
изменении Хо на 2я. Сумма ряда fs(X)
всегда совпадает с исходной функцией
/ (X) в пределах от —я до -г л , но не
должна с ней совпадать вне этой об-
области, если только сама функция / (X)
не является периодической функцией,
для которой / (X + 2л:) = / (X).
На рис. 4.5, а изображена функ-
функция, значения которой пропорциональ-
пропорциональны X на участке от —я до —я и равны
нулю всюду вне этого участка. Сумма
ряда Фурье
Рис
Представление
рядом Фурье
о — сумма трех членов ряда, б — сумма
6 членов, в — сумма 9 членов Во всех
трех случаях пунктирные линии соот-
вегствуют исходной функции / (X) = X.
емой в ряд функцией
4 2 и рис. 4.8).
изображенная на рис. 4.5, б, совпадает
с соответствующей ф^ нкцией в пределах
01 —я до +я, но не совпадает с ней
вне этой области. Вместе с тем кривую
прямоугольных импульсов, приведен-
приведенную на рис. 4.6, можно представить
соответствующим рядом Фурье (см. уп-
упражнение 4.3) при всех значениях Хо,
так как она является периодической.
Соответствие между суммами различно-
различного числа членов ряда Фурье и разлага-
показано на рис. 4.7 (см. также упражнение
функции
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 81
Интеграл Фурье
4.19. В предыдущем параграфе мы рассмотрели разложение волны
заданной формы на некоторое число гармонических волн. Это — процесс,
обратный сложению нескольких гармонических волн с известными часто-
частотами и амплитудами, которое мы рассматривали в гл. 3. Пользуясь прин-
принципом суперпозиции, можно найти результирующую множества простых
гармонических волн, амплитуды которых равны аь а2, . . ., ап, а кру-
круговые частоты (о1ч о2, . . ., (оп. Теорема об интеграле Фурье, которую
мы сейчас сформулируем, позволяет переходить к пределу, т. е. рассмат-
рассматривать случаи, когда число складываемых гармонических волн бесконеч-
бесконечно велико, а разница амплитуд и частот соседних членов ряда бесконечно
мала. Эта теорема дает также в изящной и симметричной форме связь
между процессами разложения в ряд и сложения его членов.
Рассмотрим сначала сложение п простых гармонических колебаний,
одно из которых описывается выражением
£г = ат exp i (о)гг — кгх) -р а_т ехр [ — i (сог£ — кгх)\.
По принципу суперпозиции результирующая равна *)
п
1= ^ аРехрi(©r* — xrz), D.9)
г=—п
где (о_г = —wr. Введем некоторую функцию а (х), определяемую соот-
соотношением
аг = а (х) (хг+1 — хг),
где х принимает значения, заключенные между хг и хг+1.
Пусть теперь число волн беспредельно возрастает, а различие между
их периодами становится бесконечно малым. Положим теперь xr+i —
— хг = d% и запишем
-г-оо
l = f(x, t)= \ а (х) exp i (со* — xz)dx, D.10)
— со
т. е. перейдем от суммы большого, но конечного числа членов к опреде-
определенному интегралу **). В общем случае а (х) будет комплексной величи-
величиной вида
а (х) = a' (x) exp ix,
где б* — фаза колебания (см. стр. 27 и 44). Форма волны в момент
времени t = 0 дается действительной частью выражения
+ ОО
£ = /0(я)= J a(х)*-****«. D.11)
— оо
Отсюда можно определить форму колебания, если известно а (х);
это эквивалентно заданию распределения энергии по частотам (см. при-
приложение 4Б).
*) Понятие «отрицательных гармоник» обсуждается на стр. 95.
**) Условия, при которых такой переход возможен, обсуждаются во всех учеб-
учебниках по интегральному исчислению. Физическая интерпретация «отрицательных
значении %» в соотношении D.10) излагается в приложении 4Б.
6 р. Дптчберн
82 ГЛ 4 ВОЛНОВЫЕ ИМПУЛЬСЫ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
Обратная задача нахождения распределения энергии по спектру
частот при заданной форме колебаний решается при помощи интеграль-
интегральной теоремы Фурье, которую он получил как обобщение изложенного
выше метода разложения (см. §§ 4.17 и 4.18). Согласно этой теореме
{*)e+iyixdx. D.12)
Это уравнение справедливо при всех значениях х и х. Как мы видим,
D.11) и D.12) отличаются друг от друга не только множителем 1/2я (что
несущественно), но также и тем, что D.12) содержит экспоненту с поло-
положительным показателем, а D.11) — с отрицательным*).
4.20. Метод Фурье позволяет разложить волну неправильной формы
в дискретный набор гармонических слагающих с длинами волн, равными
частному от деления основной длины волны на ряд натуральных чисел.
Такое разложение справедливо в интервале от —х0 до -\-х0, равном
основной длине волны. Если мы выберем другой интервал, скажем, от —х^
до +#i, то исходная сложная волна представится в виде другого набора
гармонических волн (см. упралчнение 4.4). Если мы расширим наш hhiер-
вал разложения от —оо до -^оо, то последовательность гармонических
составляющих будет иметь непрерывный спектр.
Следует подчеркнуть, что нет никакого несоответствия в том, что при
разных способах разложения одной и той же группы волны получаются
различные результаты. Если хх больше х0, то разложение Фурье в ряд
по волнам с основной длиной волны, задаваемой значениями х, справедли-
справедливо также в интервале от —х0 до -\-х0. Внутри этой области обе суммы
гармонических волн эквивалентны друг другу. Они дают различные резуль-
результирующие на участках от —xt до —х0 и от х0 до xi4 но здесь неприменимо
разложение с основной длиной волны, задаваемой значением х0. Экви-
Эквивалентность двух результатов разложения точно соответствует резуль-
результатам эксперимента.
Группа волн с гауссовым распределением амплитуды [4.4]**)
4.21. Применим теперь метод Фурье к рассмотрению свойств группы
волн специального вида, для которой
а(х) = Л'ехр{ — а(х — х0J}, D.13)
где 4', а и х0 — константы. Группа волн с распределением такого вида
получается, если излучающий ее осциллятор подвергается нерегулярным
возмущениям, вызывающим множество малых и случайных изменений
его периода. Она называется группой с гауссовым распределением, так
как Гаусс исследовал целый ряд физических задач, связанных со случай-
случайными изменениями тех или иных величин. Форма вольы при t -= 0 (полу-
(полученная с использованием уравнения D.11)) описывается функцией
4-оо
— а(х — х0J — ixz} d*. D.14)
= \
*) Функция g (x), применяемая в приложении, равна ак}^2л. При использовании
этой функции множители перед интегралами становятся одинаковыми [см. уравне-
уравнения D.60) и D.61) J. Легко показать также, что D.11) можно заменить выражением,
содержащим е^г7<х, и тогда экспонента с отрицательным показателем появится в выра-
выражении, соответствующем D.12).
**) См. также приложение 4Б.
ГРУППА ВОЛН С ГАУССОВЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ АМПЛИТУДЫ
83
Из приложения 4Б мы увидим *), что
JC2
D.15)
Такая форма волны приведена на рис. 4.8, а, б и в для случа-
случаев осх* = 2000; ахо = 200иах£ = 20. Амплитуда волны пропорциональ-
пропорциональна величине е~х2^а. Ход послед-
последней функции показан пунктир- *о№^
ной огибающей графика (см. ЛАААА/кЛАААА*
рис. 4.8, б), \J \/ \J \j \j \j\\J \J \J \J \J \J
Если axl очень велико по
сравнению с единицей, выраже-
выражение D.15) служит хорошим при-
приближением к чисто синусо-
синусоидальной волне с длиной волны
2ji/x0. Амплитуда остается при-
приблизительно постоянной в об-
области, простирающейся на мно-
много длин волн, и начинает спа-
спадать только на таком расстоянии
от начала отсчета, когда х ста-
становится сравнимым с У а. Од-
Однако и в этой области спад ам-
амплитуды в пределах одной дли-
длины волны невелик. Таким обра-
образом, когда У<х/Х велико по
сравнению с единицей, т. е.
когда axl велико, выражение
D.15) описывает волну с вполне
определенной частотой. Когда
ах* становится меньше, цуг волн
становится все короче и короче,
и когда значение axl прибли-
приближается к единице, он превра-
превращается в одиночный импульс.
4.22. На рис. 4.9, а, б и в
показаны графики функции а (х)
в)
Рис. 4.8. Группа волн с гауссовым распре-
распределением амплитуды вдоль осп х.
а) ахо= 2000, б) ах§= 200,Ув) ах?)= 20 'Максиму-
'Максимумы функций нормированы из условия равенства
полной энергии всех импульсов Изображены дей-
действительные части функции fo(x), соответствующие
изменению какой-либо физической величины
при различных значениях ак\,
соответствующих рис. 4.8, а, б
и в. Из этих рисунков или из сравнения уравнения D.15) и D.13) можно
видеть, что в коротком цуге волн энергия распределена в широкой области
частот; однако чем длиннее цуг волн, тем уже область*.частот, в которой
концентрируется вся энергия волнового импульса. В предельном случае,
когда цуг волн становится бесконечно длинным, вся энергия сосредоточи-
сосредоточивается в бесконечно узкой области частот. Тогда и только тогда мы полу-
получаем чисто синусоидальную волну. Если мы рассмотрим волну другой
формы, задаваемую некоторой функцией а (х), то детали расчета ока-
окажутся иными, но конечный результат качественно останется тем же.
Когда параметры функции а (х) таковы, что частотное распределение
*) Здесь следует воспользоваться уравнениями D.99) п D.103). Постоянная А
равна 2А\
6*
84
ГЛ 4 ВОЛНОВЫЕ ИМПУЛЬСЫ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
а(х)
становится все более узким, длина волнового цуга возрастает, и ампли-
амплитуда приближается к постоянной. В предельном случае получится
чисто синусоидальная волна. Некото-
Некоторые типы функции а (к) рассматривают-
рассматриваются в приложении 4Б.
4.23. В § 4.14 мы рассмотрели два
возможных теоретических объяснения
постепенного уменьшения видимости
интерференционной картины с увели-
увеличением разности хода. В одном из них
предполагается, что свет, излучаемый
атомами кадмия, представляет собой
цуги волн конечной длины, в другом —
что свет описывается набором беско-
бесконечно длинных цугов волн с не вполне
одинаковыми частотами. Изложенное
выше рассмотрение показало, чго дан-
данные объяснения не исключают друг
друга, но являются двумя способами
рассмотрения вопроса в одной и той же
теории.
Если мы рассмотрим короткий све-
световой импульс, то анализ распределе-
распределения энергии колебаний по гармониче-
гармоническим составляющим, на которые им-
импульс может быть разложен, покажет,
что чем короче импульс, тем шире его
спектр по частоте. С другой стороны,
если мы захотим представить световой
импульс суммой непрерывной последо-
последовательности (интегралом) бесконечно
длинных синусоидальных волн с не-
немного различными частотами, то ока-
окажется, что результирующее возмущение
отлично от нуля только в ограниченной области пространства. Другими
словами, результирующее возмущение окажется коротким волновым
импульсом. х
4.24. Обработав результаты своих данных о видимости интерферен-
интерференционных'пол ос, полученных с красной линией кадмия, Майкельсон нашел,
что это излучение адекватно описывается распределением Гаусса с таким
значением параметра а, что полуширина линии оказывается равной
О 0065 Л. Он получил величины того же порядка для линий, испускаемых
натриевой лампой и другими источниками, работающими при низком
давлении Длина соответствующего цуга волн примерно равна полуметру
или миллиону длин волн. Таким образом, хотя рассмотренное выше излу-
излучение и не идеально монохроматично, оно может достигать высокой сте-
степени монохроматичности.
Ширина спектральных линий
4.25. Эксперименты типа опыта Майкельсона могут в лучшем слу-
слушан да ^распределение энергии света по длинам волн, но не могут дать
на вопрос, почему атомы излучают спектральные линии конечной
Рис 4 9 Группа волн с гауссовым
распределением
Распределение энергии по волновым
числам, a) а 4 = 2000,6) а%% = 200,
€\ ау$ = 20 Масштаб а(х) выбран так,
чтобы полечить одинаковые величины
ГМоУтношенииК?0ВЬ3Х l' MacSnSSf^
изволен, но одинаков для всех кривых
ШИРИНА СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ
85
ширины. Общая теория атома >называет три причины уширения спект-
спектральных линий, а именно естественное затухание, эффект Допплера и
уширение, обусловленное столкновениями между атомами.
а) Естественное затухание
Теория испускания света, развитая Дираком (см гл 19), показывает, что атом
следует рассматривать как затухающий осцилчятор Излучение энергии приводит
к уменьшению амплитуды колебаний осцилчятора, и амплитуда испускаемой волны
падает по мере излечения В простейшем случае излучаемый атомом цуг волн можно
представить выражением
г- Л -I
D 16)
где т — постоянная Излучаемая энергия пропорциональна ||*, а постоянная зату-
затухания у равна — . Выражение D 16) описывает волн}, излучаемую осциллятором,
распоюженным в точке х = х0, который начинает осциллировать с единичной амили
тудой в момент времени t = -^- Форма этой волны (при *=0) описывается соотно-
с
шением
fo(x) =
D 17)
Такая волна изображена на рис 4 10 Она распространяется слева направо и пред-
представляет собой затухающую волну Метод Фурье (см приложение 4Б) показывает,
что в данном случае распределение энер-
энергии по частотам пропорционально величине
[а (/)Р, где V*)
А' „Ч2 , D 18)
причем А' — постоянная
Полуширина соответствующей линии
(см § 4 13) равна
Г\
XJ
Рис 4 10 График затухающей
волны (ход действительной части
функции fo(x))
типа т имеет вешчинл порядка
Она обратно пропорциональна величине т
Значение т можно рассчитать из теории Ди-
рака Получаемые величины могут сильно
зависеть от состояния излучающего осцил-
осциллятора Дт1я 1пний рассмотренного выше
10~8 сек Оно редко много меньше этой величины, но иногда значитечьно превышает
ее Так как в 1 сек испускается около 1015 boih затз \ание очень мало Длина цугов
этих волн примерно равна 107 длин волн Ест известно *\, то можно вычислить полу-
полуширину шипи, она оказывается равной (пли меньше) 0,0005 А Поэтому естественное
затухание позволяет объяснить, как правило, лишь малую часть наблюдаемой ширины
шний
б) Эффект Допплера
Вследствие теплового движения излучающие атомы движется в различных
направлениях относительно измерительных приборов^ Даже есчи бы неподвижный
атом изллчал совершенно монохроматический свет, набчюдаемый свет оказывался бы
при этих лс1овиях немонохромашческим Наблюдаемая частота v света, испущенного
громом, который приближается к наблюдателю со скоростью у, определяется соотно-
соотношением
D.20)
где v0 — частота излучения неподвижного атома (см уравнение B 57)), или
v
-*о=—'
D 21)
86
ГЛ 4. ВОЛНОВЫЕ ИМПУЛЬСЫ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
Можно показать, что число атомов, компоненты скорости которых в данном напра-
направлении лежат между и и ь — dv, пропорционально следующей величине *)
' D22)
пе т — масса атома, Т — температура и к — постоянная Больцмана (см [4.5],
п III, § 11) Следовааельно, в данном случае распределение энергии по частотам
( писывается распределением Гаусса с параметром, равным следующей величине
При комнатной температуре для полуширины красной линии кадмия получается
величина 0,0038 А Заметим, что 2а есть параметр в гауссовом распределении энергии
но частотам.
У ш прение, обусловленное столкновениями
Нр1рудно с^бе представить, что столкновения с другими атомами мог^т нарушать
колебания излучающего атома таким образом, что будет излучаться волна неправиль-
неправильной формы (т. е не строго синусоидальная волна) Полная теория этого явтения очень
(_ южна, особенно для двух одинаковых атомов, когда во время столкновения между
ними возникаот нечто вроде резонанса колебании Детальный расчет показывает, что
распределение энергии дается выражением, подобным D 18), но величина \ оказы-
оказывается пропорциональной давлению. Значения у сильно варьируют от газа к газу.
В присутствии аргона при давлении 10 атм полуширина линии ртути (X 2537 А) уве-
чичивается на 0,12 А Столкновения приводят также к некоторой асимметрии, в рас-
распределении энергии, и центр линии смещается, как правило, в сторон} коротких
волн [4.6]
4.26. Из вышеизложенного видно, что при низких давлениях основ-
основной причиноп немонохроматичности света является эффект Допплера.
Измерения Майкельсона дали полуширину
линий, лишь немногим превышающую вели-
величину, рассчитанную из эффекта Допплера.
Хотя изменение видимости интерференцион-
интерференционных полос согласуется с распределением
Гаусса, которое можно рассчитать из эффек-
эффекта Допплера, не следует придавать этому
факту слишком большого значения, так как
измерения видимости не настолько ючны,
чтобы можно было заметить отклонение о г
гауссового распределения. Естественную ши-
ширину линии можно наблюдать, только при-
применив специальные методы для устранения
эффекта Допплера D.8].
4.27. Интересно сравнить распределение, за-
заданное выражением D.18), с гауссовым распределе-
распределением, заданным D.13). Если к приблизительно
равно %0, то они оба принимают вид
а(х) = Л—#(х-х0J, D 24)
где А и В — константы; иными словами, при заданном значении а можно найти такое
значение у, которое дает одинаковое распределение для длин волн, близких к длинам
иочн, соответствующим максимуму интенсивности Поэтому, измеряя распределение
интенсивности вблизи центра линии, нельзя непосредственно различить кривые, опи-
*) См параграф, посвященный максвелловскому распределению молекул по
коростп их движения, в любом курсе статистической физики, например, в книге
\т \ Л е о и г о в и ч а, Статистическая физика, Гостехиздат, 1944. (JJpu.v. ред )
Е(х)
Рис 4 И Распределен е энер-
нии в спектральной линии
Г — естественная форма линии
IT — допплеровская форма линии
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ГРУППЫ ВОЛН В ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ 87
сываемые D.18; и D.13) На участках, удаленных от центра линии, интенсивность
линии, описываемая D.13), значительно меньше интенсивности, описываемой D 18).
Так, если линия имеет полуширину 0,005 А, то по D.13) ее интенсивность на расстоя-
расстоянии 0,02А от центра линии должна составлять 1,5-10~5 от интенсивности в максимуме,
а по (^18) — 6«10~2(рис. 4 11) Точные измерения распределения интенсивности
на краях линии и в ее центре позволяют отличить уширение вследствие эффекта Доп-
плера от уширения, вызванного естественным затлханием, пли от уширения, обусло-
вчен±±ого столкновениями. Некоторые наблюдения формы линий поглощения в спектре
Солнца показывают, что вблизи центра она в основном обусловлена эффектом Доп-
плера, но на «тсрыльях» линии распреде!енпе интенсивности определяется естествен-
естественным заауханием [4.8].
Распространение группы волн в диспергирующей среде
4.28. В диспергирующей среде отдельные составляющие группы волн
двилч^тся с различными скоростями, и соотношение фаз между ними нару-
нарушается. Мы покажем сейчас, что если группа золн охватывает лишь срав-
сравнительно узкую область частот, то изменение ее формы вследствие диспер-
дисперсии довольно мало. На значительном участке группа волн распростра-
распространяется как целое, так что положение в пределах группы какой-либо ее
характерной особенности, например максимальной амплитуды группы,
ociaeici вполне определенным. При этих условиях группа волн имеет
определенную скорость, которая называется групповой скоростью. Послед-
Последняя, вообще говоря, не равна фазовой скорости распространения волн.
Рассмотрим сначала группу волн с гауссовым распределением Смещение |
в мочеят времени t получим, подставляя в D 10) выражение для а (х), определяемое
D 13) Тогда
оо
1= С л'ехр{—<х(х—*0J-1 (<«>*—xx)}dx. D.25)
—оо
При интегрировании необходимо помнить, чго со — это, вообще говоря, функция х
и притом довольно сложная. Предположим, что в области длин волн, входящих в рас-
садатриваедт} ю гчупп>, соотношение между со и х дается первыми тремя членами ряда
Тейлора, т е положим, что
(о = соо -U (к—xoL-TF(x—x0J, D.26)
где (оо—величина со при х = х0, a U и W равны -у—и -т- Vr соответственно В при-
ложенип 4Б б>дет показано, что если такое выражение для со подставить в D 25)
и провести интегрирование, то | примет счед^ющии вид (см D 104) и D 105)):
D 27)
В этом уравнение ф' — довольно сложная функция от х и t, указывающая на тот
факт, что фаза теперь сложным образом меняется с х и t Величина а' имеет следующее
значение:
Таким образом, огибающая волн (показанная пунктирноп линией на рис 4 8,6)
остается кривой Гаусса, но ширина ее увеличивается в отношении, определяемом
D 28). Если группа волн ограничена узкой областью частот, а вешко, а Ц t мало
itj сравнению с а, то группа расплывается очень слабо Однако она все же расты-
ьгется и за достаточный промежуток времени а' неограниченно возрастает Из соот-
соотношения D.27) видно, что группа в целом перемещается со скоростью U=——
88
ГЛ 4 ВОЛНОВЫЕ ИМПУЛЬСЫ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
Групповая скорость
4.29. Расплывание группы волн по мере ее передвижения зависит
от формы группы. Как будет показано ниже, скорость движения группы —
до тех пор, пока она еще сохраняет свою форму — не зависит от распре-
распределения энергии между различными составляющими группы при условии,
что группа ограничена достаточно узкой областью частот. Рассмо-
Рассмотрим сначала две компоненты группы, волновые числа которых равны
(к—2^к) и \%Л~~2^%) ^ а амплитУДы одинаковы. Тогда
= а4 sin Г Г g> — -у do j t — fn —g-dx ) x
t—
= 2aA cos ^-(J
| =
— x d%) sin (co£— кх). D.29)
Рис 4 12 Волна, имеющая форму акустиче-
акустических биений.
График возмущения такого типа приведен на рис. 4.12. Распространяю-
Распространяющаяся группа заключена внутри «огибающей» волны, показанной пунк-
пунктирной линией. Эта огибающая описывается в D.29) косинусоидальнои
функцией и перемещается со
f(x) | скоростью
и = -^. D.30)
Такую же величину скорости
мы уже получили для переме-
перемещения огибающей группы волн
с гауссовым распределением.
4.30. В общем случае фаза
какой-либо составляющей слож-
сложной группы волн имеет вид
ф = (о£ — кх-\-6, D.31)
где б — постоянная.
Величина ф зависит от х, t, со и х. Рассматривая изменение ф с х и t
(сохраняя х и о постоянными), получим
d(fi = (&dt — x dx, D.32)
если же ф изменяется с со и х (х и t постоянны), то
d(p2 = td(u — xd%. D.33)
Точки, в которых йф! = 0, движется со скоростью о)/х. Это — скорость
отдельных составляющих группы синусоидальных монохроматических
волн, т. е. фазовая скорость Ъ. Точки, в которых йф2 = 0, движутся
со скоростью С/. Это — скорость тех точек, в которых соотношение фаз
различных компонент группы постоянно. В частности, это скорость точки
с максимальным согласованием фаз.
4.31. Выражению D.30) для групповой скорости U можно придать
другие формы, большая часть которых понадобится нам в дальнейшем
Так как со = 2jcv и х = 2лД, то
U =-»%-, D.34)
БЕЛЫЙ СВЕТ 89
и так как (о = Ьх, то
и=ь+к-^ D.36)
и
£7 = Ь-Х-^. D.37)
Вводя показатель преломления п = cjb, получим
-—^Р). D.38)
п dky v '
Иногда оказывается удобным пользоваться выражением для 1/U
1 Id (/ко) r (о (/я , / oq\
т. е.
U b с day
Соотношение D.37) показывает, что в недиспергирующей среде U = Ъ.
В диспергирующей среде U может быть больше или меньше Ь. Заметим,
что в уравнениях D.29) — D.40) X и х означают длину волны и волновое
число для волн в среде с показателем преломления п (см. упражнение 4.9).
Представление света группами волн
4.32. На опыте мы никогда не имеем дела со светом в виде бесконечно
длинного цуга волн или со светом одной длины волны. Тем не менее,
удается дать общее объяснение результатам многих экспериментов, пред-
представляя узкие спектральные линии синусоидальными волнами одной часто-
частоты, а белый свет — набором таких волн. Концепция простых гармониче-
гармонических волн имеет большое значение, так как она дает возможность выразить
многие результаты в удобной форме; однако обычно необходимо предста-
представлять даже «монохроматический» свет группой волн, чтобы дать удовлет-
удовлетворительное объяснение деталям какого-либо эксперимента. Например,
в опыте Майкельсона представление о чисто синусоидальной волне доста-
ючно для объяснения образования интерференционных колец и соотно-
соотношения их диаметров. Этого, однако, недостаточно для объяснения изме-
изменения видимости интерференционных полос с изменением разности хода.
Белый свет
4.33. В конце прошлого столетия существовали весьма противоречи-
противоречивые мнения по вопросу о природе белого света. Одни считали, что белый
свет «действительно состоит» из набора цугов чисто синусоидальных волн,
другие — что он «действительно состоит» из нерегулярных импульсов
(групп волн), которые можно превратить в цуги волн при помощи соответ-
соответствующих экспериментальных приспособлений. Так, по мнению одних
ученых, знаменитый опыт Ньютона показал, что белый свет «складывается»
из различных цветов, а по мнению других — разные цвета создаются
ггризмой. Делались многочисленные попытки найти experimentum crucis,
90 ГЛ 4 ВОЛНОВЫЕ ИМПУЛЬСЫ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
который показал бы, какая точка зрения правильна. Все эти попытки
потерпели несдачи — как только какой-либо эксперимент «объясняли»
с одной точки зрения, ее противникам удавалось найти ему столь же хоро
шее «объяснение». Иногда одно объяснение было более сложным, чем
друюе, но это более сложное оказывалось столь же логичным*).
4.34. Рэлеч и Шустер показали, что оба способа представления света
эквивалентны При помощи теоремы Фурье импульс можно разложить
(математически) на ряд простых гармонических волн Поэтому белый свет
можно адекватно представить как в виде импульсов, гак и в виде набора
синусоидальных золн Следовательно, нет двух теорий, а есть два раз-
различных способа описания в одной и той же теории. Различна лишь мате-
математическая форма записи Соответственно невозможен и experiment щи
ciucis, который признал бы одну точку зрения правильной, а другую —
неправильной
Пользуясь представлением белого света в виде набора гармонических
волн, необходимо помнить, что наши экспериментальные установки ни
когда не могут создавай ь бесконечно длинный цуг воли одной частоты
На практике мы всегда разлагаем свет на группы волн а не на бесконечно
длинные ц>ги волн При помощи специальных экспериментальных при-
приспособления можно создать цуги волн, длина которых превышает мил-
таон длин волн, но эти цуги не бесконечно длинны, т е свет никогда не
бывает строго монохроматическим **).
Как пример тех трудностеи, которые возникают при отказе от кон-
концепции групп волн, мы можем привести парадокс, предложенный Кар-
валло Он говорил, что если белый свет «состочт» из набора бесконечно
длинных цугов волн, то их можно разделить при помощи спекароскопа,
и спектр можно будет видеть и до того, как источник света зажжен, и после
того, как он погашен Его ошибка состоит в следующем он предполагал,
что спектроскоп выделяет свеа только одной длины волны При работе
с самой узкой щелью мы выделяем из спектра группу волн, охватываю-
охватывающую малую, но все же конечщ ю область частот Можно считать, чю такая
группа состоит из бесконечною ряда чисто гармонических воля. Они взаи-
модейс1вуют друг с другом таким образом, что полное ьоличесаво энер-
энергии, проходящее через щель до того, как источник зажжен, и сразу же
после его выключения, равно нулю Итак, представление о «разложении»
вполне правильно, если только мы помним о том, что практически при
разложении получаются группы волн, а не чисто синусоидальные волны
Мы не будем входить в детали различных аргументов, приводившихся
в течение этого спора В §§ 8 3?—8 36 будет показано, как можно рассчи-
рассчитать разложение белого света призмой и дифракционной решеткой, поль-
пользуясь обоими представлениями С нашей точки зрения, эти два расчета
представляют собой просто различные математические приемы Хотя
противоречия, касающиеся «природы белого света», имеют в настоящее
время в основном исторический ишерсс, они важны тем, что привлекли
в свое время внимание к необходимости представления реальных пучков
света группами волн, а не бесконечно длинными цугами. Мы увидим позже,
что такая концепция играет важную роль в современной квантовой теории
излучения
*) См также Г С Горелик, Колебания и волны, Oi оматшз, М , 1959,
и С М Рыто в, О некоторых «парадоксах», связанных со спектрачьными разложе
нич щ, ^ФН 29, 147 A946) (Прим ред)
**) Дополнительно об этом см приложение 19Б (Прич ред )
БЕЛЫЙ СВЕТ
91
Упражнения
4.1. Показать, что при е, значительно большем Я, угловые диаметры колец вблизи
центра интерференционной картины (см § 4 9) даются выражением
29Pl=[
Указание Положить cos 0Pl равным [ 1—— 6* J
4.2. Показать, что в пределах от — xt до —х0 ф\нкцию / (х) = х2 можно пред-
ставить рядом, в котором
а°=т:
На рис 4 13 сравниваются с>м-
мы дв^х, четырех и восьми членов
этого ряда с самой функцией
4.3. Показать, что при все\
значениях х кривую, приведенную
на рис 4 Ь, можно представить рядом
лх
°° cos Bm—1) —
-хп
2m — 1
4.4. Показать чтоегли/ (х) = х
в интервале от — хх до— х{ (рис 4 14), о)
а / (х) = 0 при х2 > х\, то в интер-
ваие от —-л:0 до х0 (где хд < ^) ее _
можно представить рядом
sin . f!!™L\
v Хр /
m
=23_ у (-
771=1
Показать, что ряд, коэффициенты
которого задаются выражениями
2
я2
х2
\
х2 J
в)
Рис 4 13 Представление флнчцпп рядом
Фурье
а — сумма двух членов ряда б — с\мма четырех
членов в — гумма восьми членов Во в« е\ С1\чая\
пунктирная линия соответствует ис\едн и <^ньции
f(x) = Х2
описывает ту же функцию в интервале
от — х2 до -*-х2, где 2а?! >• х2 > а?4
4.5. Для волн на поверхности слоя жидкости (см [4.4], гл \ \равнение C2))
толщиной h
Показать, что при маюм h групповая скорость приблизительно равна фазовой ско-
скорости, а при большом h половине фазовой скорости волны с частотой, соответствующей
средней частоте группы
4.6. Показать, что если соотношение между величинами пи / имеет вид п2 = Л' —
+ В'у2 - CV*, то
А'-С* .
и —A'+B'JCW
92
ГЛ 4 ВОЛНОВЫЕ ИМПУЛЬСЫ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
4.7. Найти групповую скорость при -^-=--г- и при Ъ=А + ВХ, где А и В
константы
[17=0, U = A]
4 8. Показать, что в среде с нормальной дисперсией U меньше Ъ.
Рис 4 14 Представление функции рядом Фурье
Пунктирная линия изображает представляемую функцию сплош-
сплош/() [С 4 4 ]
ная соответствует сумме ряда
у фуц
[См упражнение 4 4 ]
4.9. Показать, что если }v = 2лс со есть длина волны в вакууме, то
1 J Я^ cfa
Ь Ъ с dXr>
D 41)
Литература к гл. 4
41 Майкельсон Световые волны и их применение, ГТТИ М —Л , 1934
42 Майкельсон Исследования по оптике ГИЗ, М —Л , б/г
43 С а г s 1 о w , Introduction to the theory of Fourier series and Fourier integrals,
Mac Millan
44 Goulson, Waves, Oliver and Boyd
45 Роберте Тепчота и термодинамика, Гостехиздат, М , 1950
4 6 Reviews of Modern Physics 8, pp 22, 398
47 Толанский, Спектроскопия высокой разрешающей силы, ИЛ, М , 1955.
48 Гайтлер Квантовая теория излучения, ИЛ, М 1956
49 Campbell Foster, Fourier integrals for practical application, Bell Sys-
System Technical Publication Monograph В 584, 1931
ПРИЛОЖЕНИЕ 4А
ЮСТИРОВКА ИНТЕРФЕРОМЕТРА МАЙКЕЛЬСОНА *)
Разместив зеркала (М2и М3) светоразделитечьн>ю(зеркало М4) и компенсацион-
компенсационную пластины интерферометра сопасно принципиальной схеме прибора (рис 4 1),
выравнивают длину плеч прибора с точностью примерно 1 мм, пользуясь обычной
линейкой
Перед маленьким круглым отверстием, > становяенным на входе коллиматора
прибора, располагают натриевую ши ртутную idMnv и формируют близкий к парал-
параллельному пучок света, равнол!ерно заполняющий объектив коллиматора Помещая
поочередно перед зеркатами и трубой бел>ю бумагу, убеждаются в правильном ходе
световых пучков в приборе и в попадании их после отражения от зеркал в зрительную
труб\ Прикрывают объектив копиматора металлической фольгой с булавочным
*) Больше подробностей можно найти в следующих книгах А Н Захарьев-
с к и й, Интерферометры, Оборонгиз, М , 1952, Р В у д, Физическая оптика, ОНТИ,
М-Л, 1936
ПРИЛОЖЕНИЕ 4А 93
проколом против центра объектива Фокусируют зрительную трубу на плоскость
фольги, прикрыв черной бумагой зеркало М3 интерферометра Тогда в зрительную
трубу будет видно два изображения прокола в фольге, прикрывающей объектив
коллиматора Кроме неяркого изображения, соответствующего отражению света
от несеребренной поверхности светораздечительной пластины, выделится одно яркое
изображение, соответствующее отражению от серебренной поверхности светораз-
делительной пластины и зеркала М2 Затем, прикрыв черной бумагой зеркало М2,
отыскивают такое же яркое изображение отверстия посче отражения света от зер-
зеркала М3 Открыв оба зеркача, находят в поле зрения трубы оба вышеуказанных ярких
изображения отверстия в фольге, прикрывающей объектив коллиматора Если они
расположены достаточно близко друг к другу, то сводят их вместе, изменяя наклон
зеркала М3 Если это не удается сделать за счет предусмотренной свободы изменения
положения зеркала М3, то прибегают к изменениям ориентации светоразделительной
пластинки и зеркача М2, оставляя окончательную точную доводку (до совпадения
ярких изображений) на долю изменения наклона зеркала М3
Точное совпадение ярких изображений, полученных с помощью обоих зеркал,
может обеспечить перпендикулярность последних с ошибкой, не превышающей одной
угловой минуты, и с этой же точностью параллельность плоскости зеркала М2 рефе-
референтной плоскости R
Убирают фольгу, прикрывавшую объектив коллиматора Фокусируют на беско-
бесконечность зрительную трубу и помещают на входе коллиматора круглую диафрагму
(диаметром до 10 мм), прикрытую матовым стеклом Эта диафрагма и матовое стекло
обеспечивают выход из колчиматора широкого набора световых пучков, падающих
на зеркала под разными углами, что необходимо для наблюдения полос равного
наклона (колец), получающихся при строгой перпендикулярности зеркал интерферо-
интерферометра Вводят узкопочосный светофильтр перед входным отверстием (диафрагмой)
коллиматора В этом случае в зритечьную трубу должна быть видна система кольцевых
интерференционных колец Несимметрия или недостаточная четкость колец испра
вляется изменениями наклона зеркала М3
Дчя того чтобы сделать кольца бочее резкими и более крупными, перемещают
зеркало М2 с помощью сачазок так, чтобы уменьшить разность длин плеч интерферо
метра
Для наблюдения системы парачлельных полос равной толщины надо установить
на входе коллиматора диафрагму с диаметром отверстия 1—2 мм и сохранить свето-
светофильтр перед лампой Трубу следует перефокусировать на плоскость зеркала М2,
что всегда можно сделать, используя какие либо дефекты на его поверхности или
помещая кусок бумаги почти вплотную к поверхности этого зеркала Затем, производя
малое изменение наклона зеркала М3 (обеспечивавшего перед тем получение колец),
можно увидеть систему параллельных интерференционных полос равной толщины
Ширина этих полос и их видимость (при данном источнике света) определяется накло
нами зеркала М3 п перемещениями зеркала М2
Для наблюдения интерференции в бечом свете, испускаемом чачпой накачивания,
необходимо предварительно свести к минимуму разность дчин теч интерферометра
Это можно сделать следующим образом Вернувшись к кольцевым лотосам равного
наклона, почученным со светофильтром, перемещают зеркачо М2 так, чтобы кочьца
были расположены не очень близко др>г от друга Это б>дет соответствовать процесс}
выравнивания плеч интерферометра Когда в поче зрения интерферометра останется
несколько редких, но широких колец, длины плеч прибора почти выровняются После
этого, немного изменяя наклон зеркала М3, можно увидеть четкую картину полос рав-
равной толщины, полученных в свете одной из линий линейчатого спектра ртутной лампы
при близкой к нулю разности длин плеч интерферометра Регулируя наклон зеркала
М3, можно придать интерференционным полосам подходящую для наблюдении ширину
и более удобную вертикальною ориентацию После этого можно заменить ртутную
лампу лампой накаливания, сохраняя перед ней узкополосный светофильтр Теперь,
весьма медленно перемещая зеркало М3, можно найти интерференционную картину
в монохроматическом свете, выделенном светофильтром Добившись наилучшей види
мости этой картины, убирают светофильтр В поле зрения будет заметна (с плохой
видимостью полос) цветная картина интерференции в белом свете лампы накаливания
Очень медленно перемещая зеркало М2, можно почучить в поле зрения центральную
полосу этой картины, окаймленную цветными интерференционными полосами, сохра
няющими хорошую видимость на протяжении 5—6 порядков Центральная интер
ференционная полоса может быть белой (нулевой) или черной, в зависимости от зна
чения скачка фазы световых волн при отражении на поверхности светораздечптечьной
пластинки Если центральная полоса окаймлена справа и слева несимметричным
набором цветных полос, то надо осторожно изменить (в очень малых предечах), ориен-
ориентацию компенсационной пластины С, вращая ее на малые углы вокруг вертикальной
94 ГЛ 4 ВОЛНОВЫЕ ИМПУЛЬСЫ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
оси Дело в том, что асимметрия окраски интерференционных полос вокруг централь
ной полосы бывает связана с недостаточной компенсацией дисперсии света в пластине
Mi, тес непара!ле^ьностью пластин М^ и С Надо иметь в вид>, что полосы равного
накюна (кольца) наблюдать в белом свеге практически невозможно
ПРИЛОЖЕНИЕ 4Б
ТЕОРЕМА ФУРЬЕ. РЯДЫ П ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
1. Ночное математическое исследование методов Фурье, при помощи которых
находят границы их применимости, очень с южно и длинно Этот процесс отыскания
границ применимости существен Д1Я формального логического доказательства теоремы
об интеграле Фурье, а их исстедованге необходимо дтя полного понимания теории
рядов Ф>рье Читатель, интересующийся математической стороной вопроса, может
обратиться к любом} лчебнику математики [4 3, 4 9] Другие читатели, возможно,
поже!ают ознакомиться с общими результатами этих исследовании, в частности,
с тем, что разложение Фурье в том виде, в каком мы его здесь приводим, применимо
к широкой области математических функций, в том числе ко всем интересующим нас
функциям Приводимый ниже вывод шшь обосновывает метод Фурье и до!жен помочь
читателю правильно понять и лрилгенять его Этот вывод нельзя считать строгим
доказательством теоремы Фурье
2. Предположим, что в пределах от — ч до + я функцию / (X) можно представить
рядом синусов и косинусов, т е
оэ оо
f(X) = ao4- 2 ancosnX+ 2 bnsinnX D 42)
71=1 П=1
Интегрируя обе части уравнения, находим
я
4=4^ \ fWdX D 43)
—Я
Умножая обе части на cos nX и интегрируя, получим
я
ап=— \ f(X) cos nX dX, D 44)
—я
я
так как \ cos nX cos mX dX равен 0 при т ф п и равен л; при т = п, а
—я
cos nX sin nX dX равен 0 при всех значениях тип Аналогично,
-я
я
Ьп = — \ f(X)smnXdX D.4э)
—Я
Разложение в ряд можно также записать в виде
f(X) = A0+ § Аг sin (пХ + дп), D 46)
?i=l
где
А0 = а0, Ansiv дп=аП1 Ancos6n=bn D 47)
Подобным же образом функцию / (х) можно представить в виде ряда, состоящего
из постоянного члена и ряда по косинусам По существу в разложение входит кон-
константа и набор гармонических волн, каждая из которых описывается двумя членами
в соотношении D 42) и одним членом в соотношении D 46) Две постоянные — ап
и Ъп в D 42) и Ап и Ьп в D 46) — связаны с каждой гармонической волной. Интен-
Интенсивность п й гармоники равна а% -J- &п> если мы пользуемся соотношением D.42),
и 4Д — если мы пользуемся соотношением D 46)
ПРИЛОЖЕНИЕ 4Б 95
3. Сделав замену
2 cos nX = (einX4- е~гьХ) D.48а)
и
2smnX=i(e"iriX — exrkXz), D.486)
запишем наш ряд в виде
оо
/(Х)= 2 спегпХ> D.49а)
п=—оо
где
2сп=ап-гЪ |
причем
Из этих соотношений следует, что
сп=с1п D.50)
Выражение D 51) справедливо как при и, равном нулю или отрицательному числу,
так и при положительном тг.
4. До сих пор мы рассматривали / (X) лишь как некую математическую функцию.
Если мы предположим теперь, что она описывает форму волны, то эта функция стано-
становится вполне реальной, п мы можем придать определенный смысл ее n-й гармонике
при положительном я, но не при отрицательном его значении. В § 2.26 мы условились
представлять волновое движение комплексными величинами, причем действительная
их часть соответствует фактическим изменениям какой-нибудь физической величины
Следовательно, интерпретпруя выражения D.49), мы должны помнить, что каждый
отрицательный член в разложении нужно сочетать с соответствующим положительным.
Согласно D.50) оба вместе дают действительное число, которое соответствует паре
членов в выражении D.42) или одному члену в выражении D.46). Этот член (или пара
членов) соответствует п-ж гармонике, где п всегда положительно. Интенсивность п-ж
1 армоники равна
222Ъ 4с_пс-<п. D.52)
5. Мы можем следующим образом расширить пределы, в которых данный тип
IX
функций представим рядами Фурье. Пусть х— ; тогда
где
4 I (i^)<te\ D 54)
Отсюда
П=—ОО —I
В уравнении D.54) мы написали х' вместо х, чтобы отличить переменную, по кото-
которой проводится интегрирование в D.55). Выражение D.55) определяет функцию / (х)
в пределах от —-I до+ /. Так как значение I можно сделать сколь угодно большим, такое
представление пригодно в любых конечных пределах. Пользуясь определенными
правилами предельных переходов, мы можем расширить предельные значения I до
21
-^ оо. Рассмотрим п-ю гармонику ряда, для которой длина волны ЯЛ равна — >
96 ГЛ 4 ВОЛНОВЫЕ ИМПУЛЬСЫ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
а соответствующее волновое число кп равно 2л/Хп = пп/1 Анаюгично, для (п +
+ 1) й гармоники получим
Отсюда
*п+1 — хп=л/1 = Ак D 56)
Уравнение D 55) можно теперь записать в виде
п=—оо — I
Понятие определенного интеграла вводится обычно из рассмотрения суммы пло
щадей узких полос Интеграл есть предельное значение этой площади при бесконечно
узких полосках Таким образом получаем
xi N
G (x) tfx = hm У, G (яДх) Ах, D 58)
Дх-*0 ^^
—Их п=—N
где
lim
Это и есть определение интеграла Теперь мы можем переписать соотношение D 57)
в виде
4 со -{-со
1 С ' С f(x')ejpix(x-x')dx' D 59)
—оо —оо
Если
1 +Г
gQ^^-J— V /(x)<rtwcd;r, D 60)
— оо
ТО
В выражении D 60) штрих у ж опущен, так как больше нет необходимости выделять
часть этого выражения Возвращаясь к D 53) и заменяя сп на с_л, а ехр (гпях/1) на
ехр (—игЛх/Г), получаем
— 00
+ОО
?1(x)e-tK*dx D 63)
—оо
Если две функции связаны между собой соотношениями D 60) и D 61) ичи D 62) и D 63),
то каждая из них называется преобразованием Фурье другой функции Здесь следует
обратить внимание на то, что в одном из этих двух выражении всегда имеется экспо
нента с положительным показателем, а в другом — с отрицательным
6. Уравнение D 63) можно записать в виде
оо оо
/ (*) = -4= Г gi (х)е-™*d% + -4= \ gl(-y.) e+l*xd%=
D 64)
; 7^1= \ {gi(x) — gi (—x)} smxardx, D 65)
ПРИЛОЖЕНИЕ 4Б 97
и подобным же образом получаем
со оо
*i(x)=-4= [ {/ W-rfl-z)} cos Kxdx ^--Д= ^ {/(*)-/(-*),emx*<tef D66)
-*)} cos x»
7^= f {/(*)-/(-*)} em x*tf* D67)
g1(x) = 7L. f {/(») + /(-*)} cos x»d* 7^=
I' 2я J у 2л J
Отсюда вытекают следующие утверждения
а) Если функция / (я) действительна при всех значениях я, то
Si (*) = *?(-*) D.68)
нк
69)
б) Если функция / (х) всюду действительна и, кроме того, является четной функ
циеи [т е / (х) = + / (—*)], то
и £i (х) — действительная функция
Тогда соотношения D 65) и D 66) принимают вид
оо
/ (*) = V -i- \ ft (*)cos *x d* D 7°)
(*)=}/ -|- J ft (к)
) = у 4 J
о
cos xs <fe D 71)
в) Если функция / (х) всюду действительна и является нечетной функцией
[т е f(x) = —/(—*)!, то
Л(х)=-л(-х) D.72)
и £i (х) — чисто мнимая функция
Тогда уравнения D 65) и D 66) принимают вид
/ (*)= -I ]/^- J gi (х) sin хя: rfx D 73)
о
и
оо
gi (х) = i у A J / (х) ып xrr rfx D 74)
о
7. При одном способе оптических измерений мы помещаем приемник в систему
интерференционных полос и регистрируем его показания в различных точках интер-
интерференционной картины На основе этих показаний можно «построить волну», т е рас-
счигать ту ее форму, которая обеспечивала бы наблюдаемое распределение энергии
в системе интерференционных полос при данной геометрической схеме опыта Типич-
Типичным экспериментом подобного рода является измерение видимости полос, получаемых
в интерферометре Майкельсона
В экспериментах другого типа мы помещаем приемник в фокальную плоскость
камеры спектрографа и наблюдаем за изменением его показаний при перемещении
вдоль спектра В этом случае мы стремимся выразить результат измерений в вит;е
распределения энергии по длинам волн
Целью многих применений анализа Фурье к оптическим задачам является уста
новление корреляции между результатами измерений в экспериментах этих двлх
типов Иногда задается форма волны, т е пространственная функция / (х), и н\жно
напти такую энергетическую функцию Е (х), для которой энергия, соответств\ ющая
06 части от ( у — dK J до ( х + -у dK \ равна Е (у) dy, Напротив, иногда
7 р Диачберн
98 ГЛ. 4. ВОЛНОВЫЕ ИМПУЛЬСЫ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
задается Е (х) и нужно найти / (х). В анализе Ф>рье мы работаем непосредственно не
с величинами Е (х), а с g (х), и нам н^жно теперь установить соотношение между
этими функциями. Рассмотрим BHa^aie случай, когда / (х) действительна. Вос-
Воспользовавшись уравнением D.62), л ы получим функцию g (х), коюрая удовлетво-
удовлетворяет D.68) и имеет значения, cootb°tctbj ющие отрицательны i значениям х, но не
обязательно действительна. Фпзччески мы можем считать, что об^ функции g (х)
и g (—х) определены в интервале от Г % ЛлЛ до ( у— у а/. ) так же, как
в D.52) коэффициенты сп п с_л соответствуют п-й гармонике. По аналогии с выраже-
выражением D.52) [так как g (х) соответствует }г2я сп] получи \i для функции Е (?)
Е (х) <&=-£- g (*) Й \*) **• DЛ5)
Это соотношение определяет энергпю, связанною с частотным интервалом dx, и в нем
х есть существенно положительная величина. Строго проведанный переход от выраже-
выражения для энергии, основанного на D 52), к интегральной форме также приводит к выра-
выражению D.75).
8. Рассмотрим волну, описываемою функцией
f(x) = k(r)cosK0x, D.76)
где h (х)—д*истэд тельная флнтдия х.
Представал! / (х) з виде
/ (ж)=i- h (х) егу*х 4- -1 h (x) e~iyQX. D 77)
Тогда
1С 1 ^
) = -j \ A(a?)expi(x-t-xo)«(/a; + — V /г (<;) е\р i (х—х0) a? dx
где
+СО
^ J Л <*) «'***;. D.79)
Иными словами, g[ (к) есть преобразование Ф>рье функции h (x). Функции типа функ-
функции, стоящей в правой части D.77), встречаются во многих физических задачах. Часто
оказывается удобным сначала найти g\ (x), пользуясь D.79), а затем определить g^ (x)
из D.78). Подставив эту функцию в D.75), получаем интенсивность. Часто первый член
в правой части выражения D.78) численно мал по сравнению со вторым, и при окон-
окончательных вычислениях им можно пренебречь.
9. Иногда используют описываемый ниже метод расчета, но в принципе он
неправилен, хотя и приводит к правильному результату в некоторых практически
важных случаях *). В соответствии с рассмотренным выше условием (сч. § 2.26) пра-
правую часть соотношения D.76) можно заменить выражением h (x) е~гкох-1 при этом под-
подразумевается, что действительная часть комплексной функции описывает физическую
величину. Тогда, воспользовавшись уравнением D.62), получаем
(JtJ
If
V2n J -o i о »
т. е. удвоенный второй член выражения D.78). Если, как упоминалось выше, этот
член имеет наибольшее значение, то функция g\ (x) отличается от gi (x) только
постоянным множителем, равным 2. Подставив эт> функцию в A.75), мы получим
с достаточно хорошим приближением значение интенсивности. Однако если принять,
что f (х) есть действительная часть функции h (x) e~*~l>ioX4 то мы получим первый член
правой части соотношения D 78^, т. е. член, который обычно пренебречишо мат
*) При первом чтении этот параграф можно опустить.
ПРИЛОЖЕНИЕ 4Б 99
« Описываемый здесь метод заключается в умножении комплексной функции h (х)
) на комплексную функцию eiyiX, интегрировании и, наконец, в выделении действитель-
] ной части результата. При таком расчете мы не получаем преобразование Фурье
действительной части функции h (х) егщх, и хотя подобным методом можно иногда
: пользоваться для упрощевпя расчета, строго говоря, следует всегда применять метод,
описанный в пункте 8.
Разложение резко ограниченного цуга волн
10. Рассмотрим сначала частную задачу, настолько простую, что ее можно
решить элементарными методами, а затем решим ее методом, описанным в пункте 8.
Предположим, что в момент времени t — 0 волна онисываэтся функцией
f(x) — AcosK0x в пределах от — xi до -\-х{ D.81)
п / (х) = 0 вне этого интервала (см. рис. 4.4). Так как / (х) есть действительная и четная
функция, то, пользуясь D.71), получаем
xi xi
Л \ cos х0 х cos xs tfar=- . _ \ {cos (хо + х) x + cos (х0—х) х} dx,
Л о У2Л 0
D 82)
т. е.
„ /~\ A Г sinfop+x)*! , sin
gi {к)=Тъг X—+
Распределение энергии находим, подставляя gt (к) из соотношения D.83) в D.75).
Здесь следует рассматривать только положительные значения и. Теперь воспользуемся
методом, описанным в пункте 8. Мы видим, что выражение D.81) имеет тот же вид,
что и D.76), если h (х) равно А в интервале от —xi до + хх и нулю всюду вне этого
интервала. Мы имеем
Использовав теперь D.78), получим gt (x); как мы видим, найденный результат совпа-
совпадет с D.83). Легко показать, что если бы мы применили неправильный метод, иэло-
жрнный в пункте 8, то получили бы или первый, или второй член соотношения
{4 83), но не оба. Кроме того, они имели бы неправильный множитель 2.
11. Как правило, вас интересуют случаи, когда в цуге содержится довольно
много длин волн, т. е. когда щх^ велико по сравнению с 2я. Отметим, что при x=s=x0
второй член в скобках соотношения D.83) равен х^ Так как % может принимать только
положительные значения, первый член никогда не достигнет сравнимой со вторым
величины и может быть опущен. Мы можем написать
t-f" -т
где
2Д = И0—и.
Соответствующее распределение энергии изображено на рис. 6.16. а (см. стр. 148).
Большая часть энергии заключена в интервале от к = х0 — п*х{ до х = х0 + zilx\,
т. е. между двумя минимумами, расположенными по обе стороны от центрального
максимума. Ширина этого интервала обратно пропорциональна х{щ и, как мы видим,
для такой волны длинный цуг означает, что энергия концентрируется в узкой области
значений х.
Форма резко ограниченной полосы частот
12. Пусть к0 и щ есть два фиксированных значения х, причем >q > щ.
Предположим, что g (х) = 1 при х0 < х < щ и g (х) = 0 вне этой области.
Тогда, пользуясь D.61), получим
7*
100 ГЛ 4 ВОЛНОВЫЕ ИМПУЛЬСЫ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
и для действительной части
/(O!" =
/1
X
и ш
1 1
— sin -- (щ — к0) х cos -z-
2 2 2 D.87,
где 2Д = /^ — /q и 2xm = /t -1- л/0 Если А мало по сравнению с xmt то первый ччен
в числителе D 88) изменяется очень мало, и мы получаем цуг волн, форма которых
„ -. / 2 sin As ,-v -
)иисывается кривой 1/ . Эффективная длина цуга волн увеличивается
с уменьшением А, т е с уменьшением эффективного интервала значений х.
Распределение энергии в затухающей гармонической волне
13. Иногда удобно рассматривать возмущение как функцию *, а распределение
энергии как функцию со Математически соотношение между / (t) и g (со) подобно
оотношению между / (х) и g (/). Для примера рассмотрим волну, возмущение которой
при х = 0 задается следующим образом:
/(г)=0 в пределах от *=— оо до t=0
f(l) = Ae 2 cos cooJ в пределах от ^=0 до *=+оо. D 89)
Такую волну нз!учает осцилчятор, который начал излучать в момент времени t = 0
и экспоненциально затухает с постоянной у Это выражение совпадает с D.76) при
h (t) = Ае 2 от 0 до оо и при h (t) = 0 от —оо до 0. Мы имеем
) = -4=- J ехр ^ -X +«©) Л, D 90)
тчи
Воспользовавшись D 78), пои>чим выражение с двумя членами: один из нпх содержит
в знаменателе (со + соо), другой (со — со0) В большинстве практически важных случаев
первым членом можно пренебречь, и следовательно, мы имеем право написать
/ ч А i
2i(co—coo) — у
Интенсивность испускаемого в атом случае излучения равна
Гели затухание мало, энергия концентрируется в узкой области частот вокруг со0*
1 аким образом, и в этом случае длинный цуг вотщ соответствует узкой области частот.
В настоящем примере мы по!ьзовались величинами t и со с тем же успехом можно
пользоваться величинами х и у При рассмотрении ряда задач желательно вводить
постоянную А%, равную полной энергии излучения по всем частотам В данном случае
ПРИЛОЖЕНИЕ 4Б 101
МЫ ПОЛ>ЧИМ •
f a w *- J4 i(.-S^v г£ (т 1-и* т) D 93>
EciH у мало по сравнению с соо, то arctg Bco0 \)= уЯп 1ч\А1~А2 Мы получим тогда
Группа волн с гауссовым распределением
14. Рассмотрим волну, форма которой в момент времени t = 0 имеет вид
е 4а cos /cG* D 95
Это выражение тоже совпадает с выражением D 76) при h (х) — А у — е 4а
Тогда
со
£1(х)=—— \ ехр I —( 1yix I \ dx D 96
у2а J L \ 4а J \
— со
Далее,
а* со
i — bu*)du = J* { ехр[ -bfu—^ JJ du=^
= /" J «-*«*,= j/jLe«» D 97.
Положив « = jy и 6=1 4а, найдем
Й (х)=гЛу Bя) е~ах2 D
Пренебрегая той частью ^ (х), которая содержит ехр [—а (/0 /J], поучим
j- я^ ехр [-а {щ-к)*\ D 986»
Интенсивность испускаемого излучения в интервале dx, пропорциональна [gx (/с)]2 б?/
Рис 4 8 и 4 9 иллюстрирует соответствие между длиной волнового цуга и распре
делением энергии по значениям волнового вектора у
Распространение группы волн в диспергирующей среде
15. Рассмотрим систему волн, для которых смещение относительно положение
равновесия задается действительной частью выражения
со
С»
где g\ (у) определяется соотношением D 986) Для физической задачи слщественна
только область значений функции g (к) в пределах изменения у от 0 до со, но так как
102 ГЛ 4 ВОЛНОВЫЕ ИМПУЛЬСЫ^КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
на участке от — оо до 0 эта функция ничтожно мала, мы можем рассматривать весь
интервал изменения аргумента, чю мы и делаем для упрощения вычислений.
В диспергирующей среде со есть функция х, и для малой области х вблизи х0
мы можем написать
o) = o)o-J-^(x— xo)-p»F(x— x0J=(o0+2U\+AW^, D 100)
где
2Л=х_х01 *-£. *,|<£ D 101)
и взяты Величины U и W при 0
Тогда соотношение D 99) принимает вид
оо
— кох) [ ехр{2*(£Л — х) \ —Da—4iWt)A*s ^Д D.102)
В качестве первого приближения мы рассмотрим только первые два члена соотноше-
соотношения D 100), т е положим W = 0 В выражении D 97) мы положим а = 2i (Ut — х)
и Ъ = 4а Мы получим
5=4" l/ir Рхр [ - (Х~ыJ ] ехр £ (шо«-
т е в этом приближении форма волны не меняется, но огибающая двил ется вперед
со скоростью U=—j- Во BTopovi приближении мы интегрируем, положив в D 97)
иХ
а = 2i (Ut — х) и 6 = 4 (а — iWt) Разница между поучаемыми в этих двух ел}
чаях результатами состоит в том, что а в D 103) заменяется на (а — iWt) ч мы подучаем
Я Й Г — (X — Ut)*(a+lWt) . . ч // 4А/Ч
-bWt) J exp L 4(^+^12) J expt <^-^)- D 104)
Мнимую часть можно отделить, получив выражение для фазы, которое медленно
меняется со временем Здесь для нас важно, что огибающая rpjnn волн остается гауссо-
гауссовой кривой, но параметр а заменяется выражением
D.105)
т. е полуширина группы увеличивается во времени и группа медленно расплывается
по мере своего продвижения вперед.
ГЛАВА 5
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
Закон фотометрического сложения
5.1. Интерферометр Майкельсона, который мы рассматривали в пре-
предыдущей главе, является одним из многих экспериментальных устройств,
позволяющих получать интерференционные полосы. В более общем смысле
интерференционные полосы есть стационарное пространственно-перио-
пространственно-периодическое изменение результирующей амплитуды нескольких волн (и, сле-
следовательно, освещенности) в световом поле. Это изменение суммарной
интенсивности происходит вследствие изменения разности хода между
интерферирующими пучками света. Последнее приводит к различию
в разности фаз, в результате чего волны усиливают друг друга в одних
точках и ослабляют в других. Распределение освещенности в световом
поле можно вычислить, применив принцип суперпозиции. В дальней-
дальнейшем нам придется проводить также расчеты для различных интерферен-
интерференционных картин, но прежде мы остановимся на следующем важном вопросе.
Из многочисленных экспериментов известно, что при взаимодействии
света двух различных источников (например, дневного света и света
настольной лампы) интерференционные полосы не наблюдаются. Фото-
Фотометрические измерения показывают, что для таких источников света
результирующая освещенность в любой точке равна сумме освещенностей,
создаваемых каждым источником в отдельности. Этот эмпирический закон,
который мы будем называть законом фотометрического сложения, приме-
применим также к излучению различных участков протяженного источника
света. Любая удовлетворительная волновая теория должна содержать
объяснение и вывод этого закона, который несомненно имеет большое
практическое значение. Такая теория должна показать, какие условия
необходимы для получения интерференционных полос, объяснить, почему
при обычных условиях освещения интерференционные полосы не наблю-
наблюдаются.
Взаимодействие волн, излучаемых независимыми источниками света
5.2. Рассмотрим свет, приходящий в некоторую точку Q (рис. 5.1)
от протяженного источника света Se. Часть этого света испущена атомом,
расположенным в А±, другая — атомом, расположенным в А2, и т. д.
В любой момент времени возмущение в точке Q равно сумме возмущений,
создаваемых независимо излучающими атомами. Если бы каждый атом
испускал бесконечно длинный цуг чисто синусоидальных волн, то сум-
суммарная освещенность в каждой точке, куда попадает свет, определялась
бы непосредственно из уравнения C.12), основанного на принципе супер-
суперпозиции. Эксперименты, описанные в гл. 4, показывают, что свет, излу-
излучаемый данным атомом, можно представить цугами волн, длина которых
редко превышает 106 длин волн, причем для их прохождения через
104
ГЛ о ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
заданную точку требуется время, примерно равное 10 9 сек. Практически
наиболее кратковременное наблюдение длится около нескольких микро-
микросекунд. За это время цуги волн, испускаемых данным атомом, многократно
обрываются, и каждое их прерывание приводит к произвольному изме-
изменению соотношения между фазой волны от данного атома и фазами волн
от других атомов. Освещенность в точке Q, создаваемую многими источ-
источниками, можно вычислить, предположив, что разности фаз излучаемых
ими волн меняются во времени чисто случайным образом.
Из соотношения C.12) получаем
2
r=l
m
arsinerJ =
2 ar + 2 2
r=i r=l s=l
m mm
2 *?+ 2 2 arascos(8r-es).
(
8Г ЧП 8S) =
EЛ)
Если разносги фаз изменяются так, как только что было предположено,
то среднее значение второй суммы равно нулю, ибо каждому возможному
положительному значению какого-либо ее
Se члена соответствует равное ему отрицатель-
отрицательное значение. Поэтому для среднего по вре-
времени значения ER можно написать
т т
7=1 Г=1
Результирующая освещенность в точке Q
равна сумме освещенностей, создаваемых
каждым отдельным источником.
рис> 5 1 Важно помнить, что выражение E 2) справед-
справедливо только, если среднее берется за достаточно
большой промежуток времени, включающий много
случайных 'изменении фазы Если бы удалось осуществить серию чрезвычайно быст-
быстрых измерении освещенности в точке Q, то наблюдались бы сильные флуктуации осве-
освещенности Рэлей показал, что при этих условиях вероятность наблюдения значе-
значений, сильно отличающихся от среднего, не очень мала
Когерентные и некогеректные пучки света
5.3. Два пучка света называют когерентными, если разность фаз
между волнами, образующими эти пучки, остается постоянной за время
наблюдения. Два пучка называют некогерентными, если разность фаз
между образующими эти пучки волнами многократно и нерегулярным
образом изменяется в течение самого корогкого промежутка времени
наблюдения.
Термины «когерентный» и «некогерентный» описывают идеализированные состоя
ния, которые никогда строго не осуществляются в практических условиях. Из мате-
материала, изложенного в гл 4, следует, что идеально монохроматические волны точно
одинаковой частоты, т е бесконечно длинные цуги волн, всегда полностью когерентны
Никакие другие волны не являются когерентными в самом строгом смысле этого
слова Имеет смысл применять термин когерентность к группам волн геометрически
одинаковой формы, ибо такие группы можно рассматривать как суммы когерентных
монохроматических волн На практике мы идем еще дальше и применяем данный термин
ОБРАЗОВАНИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ПОЛОС 105
к группе волн, формы которых не полностью совпадают; при этом мы считаем, что
разница между ними не столь велика, чтобы при обычных условиях наблюдения при-
привести к заметным эффектам. Некогерентность, т.е. совершенно произвольное изменение
фаз в статистическом смысле, также встречается редко, но на практике любые два
пучка, приходящие от двух разных ламп, фактически независимы. Источники света
принято называть «когерентными» или «некогерентными» в зависимости от свойств
испускаемого ими излучения. Виртуальными когерентными источниками света всегда
являются оптические изображения одного и того же источника.
5.4. Выше мы показали (см. § 5.2), что при освещении некоторой
точки рядом некогерентных источников, освещенность в ней равна сумме
освещенностей, которые создавали бы в этой точке каждый источник в
отдельности. Результирующая освещенность от п одинаковых некогерент-
некогерентных источников, каждый из которых создает освещенность Ег, равна пЕг.
Если некоторая площадка освещается одновременно несколькими
когерентными источниками, то освещенность обычно меняется от точки
к точке, что приводит к образованию интерференционных полос. В гл, 3
было показано, что освещенность, создаваемая рядом когерентных источ-
источников, пропорциональна B апJ, если все волны находятся в одинаковой
фазе. Было показано также, что если при векторном сложении колебаний
векторы образуют замкнутый многоугольник, то результирующая
освещенность равна нулю (см. § 3.5). Таким образом, п когерентных источ-
источников, каждый из которых создает освещенность Ег ■= а2, действуя
совместно, создают освещенность
во всех точках, где приходящие от них волны находятся в фазе. В другой
точке результирующая освещенность может быть равна нулю. Взаимодей-
Взаимодействие когерентных источников изменяет распределение энергии в свето-
световом поле, но не влияет на ее полное количество. Независимо от когерент-
когерентности источников результирующая освещенность, проинтегрированная
по всей области, на которую падают световые волны, равна сумме осве-
освещенностей, создаваемых каждым отдельным источником. Очевидно также,
что полная энергия, попадающая в данную точку от двух некогерентных
источников, равна энергии, которая была бы в той же точке, если бы она
освещалась двумя когерентными источниками, действующими во времени
поочередно, т. е. так, чтобы цуги их волн не перекрывались. На этом
основании некогерентные источники света называют независимыми. Как
отмечалось выше (см. § 5.2), нельзя говорить, что их излучение не взаи-
взаимодействует. .
Образование интерференционных полос
5.5. Покажем теперь, что как интерференция, так и фотометрическое
суммирование участвуют в теоретическом описании полос интерференции,
образующихся, например, в интерферометре Майкельсона.
Рассмотрим свет, попадающий в зрительную трубу интерферометра
под малым телесным углом. Этот свет испущен целым рядом различных
атомов Аи Л2,... протяженного источника Se (см. рис. 5.1) и содержит
много пар цугов волн *). Если зеркало Мг (см. рис. 4.1) находится близко
к плоскости R, разность фаз между двумя цугами волн, составляющими
пары, постоянна и они когерентны. Освещенность, создаваемая такой
*) В последние годы благодаря созданию протяженных когерентных источников
света, так называемых лазеров (подробности см. в приложении 19Б), вопрос о получении
когерентного излучения от различных точек протяженного источника света нашел свое
теоретическое и практическое решение. (Прим. ред.)
106 ГЛ 5 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
парой, дается выражением D.1). Разность фаз между составляющими
пары, пришедшей от атома Аи такая же, как и между составляющими
пары, пришедшей от А2.
Пусть 0 есть угол между заданным направлением света, попадающего
в зрительную трубу, и осью прибора. Тогда, если в направлении, зада-
задаваемом углом 0, световой поток от источника Аг максимален, то световой
поток от источника А2 тоже максимален. Точно так же, если в направлении
0' световой поток от источника At равен нулю, то световой поток от источ-
источника А2 в этом направлении также равен нулю. Результирующая двух
цугов волн из At имеет фазу, которая зависит от фазы волны, испущенной
в А1. Фаза результирующей двух цугов волн из А2 зависит от фазы волны,
испущенной А 2. Так как испускание света источниками Ai и А2 происхо-
происходит независимо, то соотношение фаз между результирующими пар цугов
волн из 4i и из А2 не постоянно, т. е. результирующие некогерентны.
Поэтому свеювой поток в данном направлении мы получим, вычислив
сначала результирующую двух цугов волн, испущенных одним атомом,
при помоши соотношения D.1), а затем сложив потоки всех результирую-
результирующих по формуле E.2). Итерференционные полосы видны только потому,
что все результирующие имеют максимумы в одних и тех же направлениях
(например, 0) и минимумы в других, также для всех одинаковых, направле-
направлениях (например, 0'). Когда разность хода световых пучков в интерферомет-
интерферометре возрастает насточько, что становится значительно больше средней
длины цугов волн, испускаемых 44 и т. д., пары цугов от каждой точки
источника света не попадают одновременно в зрительную трубу. Тогда
весь свет, попадающий в данный момент в зрительную трубу, некогерентен
и интерференционные полосы не наблюдаются. Ясно, что эти условия
имеют место ив оптической системе, в которой свет от источника приходит
в данную точку не только двумя, но и тремя, четырьмя и т. д. путями.
5.6. Общие условия наблюдения интерференционных полос заклю-
заключаются в следующем:
I. Свет, досгигающий данной точки пространства, должен предста-
представлять собой совокупность цугов волн, пришедших разными путями,
но от одного и того же атома.
II. Разность длин этих путей должна быть достаточно малой, чтобы
эти цуги волн были хотя бы частично когерентными.
III. Интерференционные полосы, создаваемые светом различных
участков источника, должны быть локализованы в одном и том же
(или приблизительно в одном и том же) месте.
Последнее условие автоматически выполняется, если два источника являются
изображением одного очень малого источника. Условия II и III не очень жестки. Оче-
Очевидно, что максимальная видимость получается, если разность хода очень мала, так
что интерферирующие пучки строго когерентны, и если полосы, образованные светом
разных участков одного и того же источника, точно совпадают. При не строгом соблю-
соблюдении этих условии видимость полос сильно зависит от условий их наблюдения При
визуальном наблюдении большую роль играет яркость поля зрения. Полосы обычно
не наблюдаются, если максимумы, образуемые светом от концов протяженного источ-
источника, отстоят от максимумов, образованных светом центральных его участков, больше
чем на 1/4 ширины полосы.
Интерференция света от двух когерентных источников
5.7. Одним из первых пытался наблюдать интерференцию света
Гримальди в опытах, в которых свет от источника Se проходпл через две
щели at и а2 в экране В (рис. 5.2, а). Он наблюдал полосы на экране С.
Позже Юнг показал, что интерференционные полосы могут появляться,
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА ОТ ДВУХ КОГЕРЕНТНЫХ ИСТОЧНИКОВ
107
только если источник Se достаточно мал *). Юнг использовал дополни-
дополнительный экран А с одной щелью ад1 чтобы сократить эффективный раз-
размер источника, и получил интерференционные полосы на экране С
(рис. 5.2, б). Опыт Юнга считается первым истинным наблюдением интер-
интерференционных полос. Установить сейчас точно, какие именно полосы
Рис 5 2 Схемы опыта Гримальди (а) и опыта Юнга (б)
В опыте Юнга полосы образуются при интерференции почти
сферических волн, идущих от at и а2. В опыте Гримальди
волновые фронты размазаны, так как на экран В падает бес-
беспорядочный набор волн от источника Se Практически разма-
размазывание еще сильнее, чем это показано на рисунке, и полосы
размыты
наблюдал Гримальди, уже трудно; возможно, что они объясняются явле-
явлением дифракции на щелях (см. гл. 6), так как весьма похожие полосы
можно получить и с одной щелью. В современных вариантах опытов Юнга
или Гримальди для наблюдения полос обычно применяют окуляр со сред-
средним увеличением.
5.8. Максимальный размер щелп, при котором еще можно наблюдать полосы,
рассчитывают следующим образом.
*) См. примечание редактора на сгр. 105, а также статью А. Шавлова (Ъ ФН 75,
вып. 3 A961). (Прим. ред.)
108
ГЛ 5 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА.
Рассмотрим интерференцию света, приходящего в точк> Q экрана С от точки Р
источника (рис 5 3) Пусть Х'ОХ есть нормаль к экран}, проведенная посередине
ме/хсцу щелями на расстоянии h от середины каждой из них П>сть Р находится на рас
стоянли у', a Q — на расстоянии у от этой нормали П>сть, наконец, Х'О = I , ХО = /,
а X — длина волны используемого света Тогда разность хода межд> двумя пучками,
идущими из Р в Q равна
s = (Pai-UaiQ)-(Pa2-a2Q)
E 3)
Кроме того,
Отсюда абсолютная величина разноси хода равна
или приближенно
(PaL-Pa2) = -
2hy'
2V
Всличин} (a^Q — a2Q) определяем таким же п>тем, и тогда E 3) принимает следующий
вид
E 4)
V
I
Положения максимумов мы найдем, положив As = rik Из соотношения E 4) следует,
что полосы, образованные светом из точки Рч находятся на одинаковом расстоянии
Рис 5 3
друг от друга, равном lX/2h При изменении у' система полос смещается как целое без
изменения расстояния между отдельными полосами Изменение величины у на Ьу при
изменении у' на 6у' определяется соотношением
V
E 5)
Для того чтобы Ьу не превышало величины IX/Sh, что обеспечивает выполнение условия,
сформулированного в § 5 6, необходимо, чтобы
V
Sh
Таким образом, если щели ах и а2 находятся на расстоянии 1 им друг от друга
(т е h = 0,5 мм) и длина волны используемого света равна 6 10~4 мм, то угол, под
которым виден источник из точки О, не должен превышать 1,5 10~4 рао Если экран Л
находится на расстоянии 2 м от экрана В, то ширина отверстия в Л не должна превы-
превышать 0,3 мч
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА ОТ ДВУХ КОГЕРЕНТНЫХ ИСТОЧНИКОВ
109
друг к другу
рГ _ — —
а)
б)
5.9. Перечислим другие устройства для наблюдения интерференции
излучения двух источников.
а) Зеркала Френеля.
Два мнимых изображения S' и S" щелевого источника S образуются
при отражении от двух плоских зеркал М' и М", расположенных под
малым углом
(рис. 5.4, а).
б) Бипризма Френеля.
Два мнимых изображе-
изображения S' и S" щелевого источ-
источника S образуются при пре-
преломлении света в двух приз-
призмах Р' и Р" с малыми прело-
преломляющими углами (рис. 5.4, б
и рис. III, б) *).
в) Зеркало Ллойда.
Одно мнимое изображе-
изображение S' образуется при отра-
отражении от плоского зеркала
М, п этот пучок интерфери-
интерферирует с пучком, идущим непо-
непосредственно из S (рис. 5.4, в).
г) Билинза Бийе.
Два мнимых изображе-
изображения образуются двумя частя-
частями линзы; последняя разре-
разрезана на две части, обе ее
половинки немного раздви- д " — т\ - ~"Н#
нуты (рис. 5.4, г). Такое
устройство эквивалентно од-
одной линзе и двум маленьким
призмам. Во всех случаях
полосы наблюдают при по-
помощи окуляра с малым уве-
увеличением **).
В устройстве, изображенном на рис. 5 2, б, прямые 1\чи света не достигают
центра экрана С (где видны интерференционные полосы) В устройствах, представлен-
представленных на рис. 5 4, свет, распространяясь прямо (по законам геометрической оптики),
попадает в область, в которой происходит интерференция. Считается, что полосы Юнга
обязаны своим происхождением явлениям дифракции и интерференции, тогда как
в опытах Френеля и Ллойда имеет место только интерференция. Эта разница не очень
существенна. Центральные полосы в опыте Юнга исчезают, если щели а± или а2 закрыты,
и следовательно, они являются полосами интерференции; однако распределение света
в системе полос нельзя правильно рассчитать без применения теории дифракции к про-
прохождению света через все три отверстия. В устройствах Френеля, Ллойда и др. диф-
дифракция происходит на краях призм или зеркал.
5.10. Из всех этих устройств наибольший интерес представляет зер-
зеркало Ллойда. При положении зеркала, показанном на рис. 5.4, в, видна
только половина интерференционной картины. Внося тонкую прозрачною
*) Интерференционную картину, полученную с бипризмой Френеля, легко
сделать доступной для наблюдения невооруженным глазом в большой аудитории.
(Прим. ред.)
**) При удалении источника света S от билинзы на расстояние, превышающее
ее фокусное расстояние, можно получить два действительных изображения источ-
источника. (Прим. ред.)
Рис 5 4 Устройства для наблюдения интерфе-
интерференции
а — зеркала Френеля, б — бипризма Френеля,
в — зеркало Ллойда, г — билинза Бийе
110 ГЛ. 5. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
пластинку в прямой пучок света, можно сдвпнуть полосы таким образом,
что будет видна центральная часть получающейся картины. При работе
с не строго монохроматическим светом, например со светом натриевого
пламени, полосы с нулевой разностью хода не отличаются от остальных
полос. При использовании белого света центральные полосы отчетливо
видны, несколько полос по обе стороны от центра окрашены, а дальше
полосы перекрываются настолько сильно, что их уже нельзя различить.
Полосы, соответствующие нулевой разности хода, достаточно четки, так
как при этом разность фаз имеет одно и то же значение (я) для всех длин
волн. Как правило, расстояние между соседними яркими полосами зави-
зависит от длины волны. Например, в опыте Юнга оно пропорционально длине
волны. По мере того, как мы отходим от центра, полосы разных цветов
все больше смещаются одна относительно другой.
При малых, но не равных нулю разностях хода появляются окрашен-
окрашенные полосы, но при больших разностях хода они становятся полностью
размытыми. Если при отражении не происходит изменения фазы, то
центр интерференционной картины должен быть светлым, так как нуле-
нулевая разность хода приводит к нулевой разности фаз для всех длин волн.
Ллойд получил темное пятно в центре, что указывает на изменение фазы
волны на я при отражении света от оптически более плотной среды (зер-
(зеркала). Этот результат (подтвержденный опытами Френеля и других) нахо-
находится в согласии с изложенной выше теорией (см. § 3.27) и указывает
на правильность выбора в ней граничных условий.
5.11. Распределение света в рассмотренных выше интерференционных картинах
не может быть вычислено без учета дифракции света на щели (см. гл. 6). Здесь следует
отметить один из эффектов, связанный с шириной щели. В опытах Френеля и Бийе
мнимые источники являются изображениями самого источника, и они образованы
так, что верхняя часть одного мнимого источника (рис. 5.4, а, б ж г) соответствует
верхней части другого. При конечной ширине источника S расстояние между различ-
различными соответственными точками S' и S" постоянно. Ширина полос одинакова для
всех частей источника, но системы полос, образованные светом от разных участков
источника, смещены друг относительно друга. В опыте Ллойда центры интерферен-
интерференционных картин, образованных светом разных участков источника, совпадают, но
наружные полосы размыты, так как ширина полос, создаваемых различными участ-
участками источника, не одинакова. Поэтому метод Ллойда больше пригоден для изучения
центральных ахроматических полос. В других методах при использовании монохро-
монохроматического света более четкими получаются полосы во внешних участках поля
наблюдения.
Интерференция в тонких пленках
5.12. Окрашенные полосы часто видны при рассмотрении в отра-
отраженном свете тонкой пленки прозрачного материала, например слоя масла
на воде или на поверхности асфальта. Такие же цвета видны на стенке
мыльного пузыря или очень тонкостенного стеклянного пузырька. Подоб-
Подобные пленки могут иметь меньший показатель преломления, чем окружаю-
окружающая среда (например, слой воздуха или жидкости между двумя стеклян-
стеклянными пластинками). Цветные узоры можно видеть в месте склейки двух
линз старого объектива, в котором канадский бальзам местами разошелся
п между линзами появилась тонкая прослойка воздуха. Эти цвета появ-
появляются вследствие интерференции между лучами, которые, отразившись
хотя бы один раз в пленке, приходят к наблюдателю по путям различной
длины (рис. 5.5).
Если поверхности пленки имеют низкий коэффициент отражения,
то интерференционные полосы лучше видны с той стороны, с которой свет
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ В ТОНКИХ ПЛЕНКАХ
111
\
падает на пленку, т. е. в отраженном свете (лучи а, Ь, с на рис. 5.5).
О полосах, образующихся при интерференции лучей, выходящих с про-
противоположной стороны пленки (лучп а', Ъ\ с на рис. 5.5), говорят, что
они видимы в проходящем свете. Они очень мало контрастны, если коэф-
коэффициент отражения пленки мал, но становятся резкими и четкими, если
пленка имеет высокий коэффи-
коэффициент отражения.
Интерференционные полосы мо/ьно
получить, взяв две тщательно очищен-
очищенные пластины хорошего полированного
стекла и плотно надвинув скользящим
движением их поверхности друг на дру-
друга «(посадив на контакт»). Тогда между
пластинами останется слой воздуха пе-
переменной толщины. При удовлетвори-
удовлетворительном качестве поверхностей стекла а'
этот слой нигде не будет толще несколь- ^
ких длин волн. Если положить пла- Рис °5 Пучки света, отраженные от
стинки на темную поверхность и рас- тонкой пленки
сматривать их в отраженном свете у Каждый световой пучок представлен только
оып, то получатся ярко окрашенные свош1 осевьш лучом
интерференционные полосы. Нежела-
Нежелательно, чтобы такой эксперимент с хорошим оптическим стеклом проводил неопытный
человек, так как недостаточно чистое стекло легко поцарапать. Если опыт прово-
проводится с очень хорошо полированными пластинками, то слой воздуха между ними
может оказаться слишком тонким, чтобы образовались отчетливые интерференцион-
интерференционные полосы.
5.13. В пленке постоянной толщины разность хода можно рассчи-
рассчитать следующим образом. Пусть е — толщина пленки и \х — показатель
преломления на границе воздух—материал пленки. Тогда из рис. 5.6 мы
находим, что разность оптических
путей равна jli (АВ + ВС) — AD,
несли вх — угол падения, Э —угол
преломления, то АЕ = АВ sin 8 и
AD = 2AB bin 0 sin 0! = 2\iAB sin2 0.
Разность хода I равна тогда
2[х АВ A — sin2 0), что дарт
Z = 2tu?co^0. E.6)
Легко показать, что разности хода
между лучами Ъ и с, а' и Ъ', Ъ' же
(см. рис. 5.5) все равны Z. Можно
также показать, что для пленки в
виде клина с малым углом а разность хода приблизительно равна 2\ле (cos 0—
— sin 0 tg а), где е—толщина клина в точке, лежащей посередине между
тучами а и Ъ. Эту разность можно считать равной 2\ie cos 0 при любом
угле падения света, за исключением случая скользящего падения.
Изменение фазы на я происходит при отражении от верхней поверх-
поверхности, если оптическая плотность материала пленки больше, чем у окру-
окружающей среды, и на нижней поверхности, если она меньше. Таким образом,
разность фаз между первыми двумя лучами равна следующей величине:
Так как разность фаз 2я можно не учитывать, важно, какой именно знак
использовать в выражении E.7), и в дальнейшем мы всегда б^дел! ставить
з 1с\к плюс. При расчете расстояния между полосами второй член в E.7)
Рис 5 6
К расчету разности хода между
соседними пучками.
112
ГЛ 5 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
обычно опускают. Однако если опустить его при расчете количества света,
отраженного от бесконечно тонкой пленки, то мы получим, что такая
пленка должна давать сильное отражение. Если учитывать изменение
фазы на одной и только на одной поверхности пленки, то мы получим,
что для пленки, толщина которой стремится к нулю, вычисленная таким
способом отраженная энергия тоже стремится к нулю. Примером этого
может служить почернение тонкой мыльной пленки, наблюдаемой в отра-
отраженном свете, перед ее разрывом, когда она становится уже тоньше Х/2.
Видимость интерференционных полос
5.14. Когда поверхности не посеребрены, коэффициент отражения
мал при всех углах падения, за исключением очень больших. Мы можем
~^ Амплитуда и
Интеисив/focmA
Рис 5 7 Изменение амплитуды и интенсивности
в проходящем (вверху) и отраженном (внизу) свете
Непосеребренные пластинки, г2 = 0 05 Отрицательная
амплитуда соответствует результирующей, фаза которой
противоположна фазе в падающем пучке
положить коэффициент отражения равным 0,05 на каждой поверхности
и вычислить долю падающей энергии, приходящуюся на каждый луч,
показанный на рис. 5.5. Мы найдем,
что для лучей а, Ь, с, выходящих с
верхней поверхности пленки, интенсив-
интенсивности лучей равны 0,05; 0,045 и 0,0001
соответственно. Амплитуды волн, рас-
распространяющихся по а и 6, почти равны
и значительно больше амплитуды всех
других волн, выходящих через верхнюю
поверхность пленки. Поэтому в при-
приближенном расчете распределения света
в интерференционной картине, види-
видимой в отраженном свете, мы должны
учитывать только волны, распростра-
распространяющиеся по а и Ь. Более того, следует
ожидать, что эти два почти одинаковых
луча дадут полосы с хорошей видимо-
видимостью, так как их разность хода мала.
Приближенные значения интенсивности
лучей а', Ъ'и с равны соответственно
0,90; 0,002 и 0,000006. Мы снова можем принять во внимание только
два луча, но так как эти лучи соответствуют волнам с далеко не оди-
Рис 5 8 Толстая пластинка, рас-
рассматриваемая при почти нормальном
падении
Зеркалом М может служить непосереб-
ренная стеклянная пластинка
ПОЛОСЫ КАК ОБЛАСТИ ПОСТОЯННОЙ РАЗНОСТИ ХОДА ИЗ
наковыми амплитудами, видимость полос будет очень мала. На рис. 5.7
показана зависимость результирующих амплитуды и интенсивности от
разности фаз для полос, наблюдаемых как в отраженном, так и в прохо-
проходящем свете (см. также рис. II, ж, з).
5.15. Интерференционные полосы наблюдаются только тогда, когда
хотя бы два луча попадают в глаз наблюдателя. При средних углах паде-
падения смещение луча Ь относительно луча а того же порядка величины,
что и толщина пленки. Если эта толщина существенно меньше диаметра
зрачка (т. е. не превышает 3—5 мм), то нетрудно установить глаз так,
чтобы увидеть оба луча. Для пленок большей толщины необходимо исполь-
использовать оптические инструменты, чтобы собрать лучи или как-либо иначе
сделать возможным наблюдение интерференции в лучах, приблизительно
перпендикулярных поверхности пленки (рис. 5.8). Приведенное выше
условие наблюдения полос необходимо, цо оно не является единственным.
Если используется белый свет, то окрашенные полосы получаются
только с пленками, толщина которых не превышает нескольких длин
волн, тогда как с более толстыми пленками при обычных условиях наблю-
наблюдения полосы вообще не видны *). В монохроматическом свете полосы
можно получить при толщине пластинки до нескольких сантиметров при
условии, что глаз или оптический прибор наведен на нужную плоскость
(см. § 5.20).
Интерференционные полосы как области постоянной
разности хода
5.16. Интерференционная полоса, видимая в какой-нибудь плоскости,
есть геометрическое место точек, для которых разность фаз >с[х е cos 0
имеет некоторое постоянное значение, на-
например ф! для одной полосы, ф2 для сле-
следующей и так далее.
Разность фаз может изменяться при
изменении любой из трех величин**) |х, е
и 0. Рассмотрим случай, изображенный
на рис. 5.9, в котором тонкая пленка рас-
рассматривается невооруженным глазом и
используется протяженный источник све-
света, например небо или натриевое пламя.
Пленка может иметь либо постоянную оп-
оптическую толщину, либо величина \хе
может немного меняться от точки к точке
вследствие изменения (г или е. Если тол-
толщина пленки равна нескольким длинам Рис. 5.9.
волн, то полосы видны, когда глаз акко-
аккомодирован на пленку. Они видны потому, что от каждого элемента по-
поверхности пленки в маленький зрачок глаза попадает только узкий конус
лучей, в пределах которого угол падения света на пленку изменяется
мало.
Для примера положим, что пленка наблюдается под углом 30° к нор-
нормали, причем зрачок диаметром 3 мм расположен на расстоянии 50 см
*) Ниже (см. § 5.34) мы рассмотрим специальные методы получения ахромати-
ахроматических полос.
**) Позже мы увидим, что изменение одной величины может компенсироваться изме-
изменением другой.
В р. Дитчберн
114 ГЛ. 5. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
от пленки. Углы падения на пленку света, попадающего в крайние точки
зрачка, равны соответственно 30,17° и 29,83°. Разность значений соот-
соответствующих косинусов равна всего лишь 0,003. Следовательно, величина
cos 9 практически постоянна.
Работая с желтым светом натрия, можно увидеть полосы, когда тол-
толщина пленки больше нескольких длин волн при условии, что эта толщина
меняется не слишком быстро. Если она меняется больше чем на 5 Я на 1 мм
вдоль поверхности пленки, то полосы становятся слишком частыми и их
уже нельзя увидеть невооруженным глазом.
Полосы равного наклона
5.17, Точные выводы из наблюдений с описанным выше устройством
иногда затруднительны, так как условия образования различных интер-
интерференционных полос определяются отчасти изменениями 9 и отчасти
изменениями оптической толщины пленки. В лабораторных опытах мы,
как правило, сохраняем постоянной либо оптическую толщину, либо
угол падения. Полосы, наблюдающиеся со строго плоско-параллельными
пленками постоянной толщины, соответствуют постоянному значению 9
и называются полосами равного наклона. Такие полосы получаются в интер-
интерферометре Майкельсона, если зеркало М2 установлено строго параллельно
плоскости R* Они могут также наблюдаться с плоско параллельной стек-
стеклянной пластинкой хорошего качества толщиной в несколько миллиметров
при использовании устройства, изображенного на рис. 5.8, для получения
приблизительно нормального падения. С более толстыми пластинками
или при больших углах падения нужно применять зрительную трубу,
чтобы перехватить широкие пучки света и свести их в фокальной плоско-
плоскости объектива трубы. Так как интенсивность света в какой-либо данной
полосе соответствует определенному значению угла 9, то зрительная
труба должна быть наведена на бесконечность. Если ось трубы нормальна
поверхности пластинки, равномерно освещенной однородным конусом
световых лучей, полосы в фокальной плоскости объектива имеют вид
круговых колец. Если полосы равного наклона рассматривают невоору-
невооруженным глазом, то желательно аккомодировать глаз на бесконечность;
однако полосы еще видны, даже если глаз наведен на плоскость вблизи
пленки при условии, что пленка очень тонка.
Полосы равной толщины
5.18. Если поверхности тонкой пленки не строго параллельны друг
другу, то можно применить метод наблюдения, при котором угол 9 остается
приблизительно постоянным во всем поле зрения и наблюдаемые полосы
соответствуют постоянному значению \хе. Такие полосы называют полосами
постоянной оптической толщины, или просто полосами равной толщины.
Рассмотрим в качестве примера клин с углом 1 : 1000, на который
свет падает под приблизительно прямым углом (см. рис. 5.8). Темные
полосы появятся при условии 2е = пк, и расстояние между соседними
полосами будет равно 1000 К/2 или около 1/4 мм. Если глаз расположен
даже на расстоянии нескольких сантиметров от такого клина, то изме-
изменение 9 при переходе от одной полосы к следующей (и даже при переходе
через десять полос) очень мало. Интерференционные полосы хорошо видны
через увеличительное стекло или микроскоп с малым увеличением при
условии, что угол клина очень мал. Полосы такого типа можно получить
КОЛЬЦА НЬЮТОНА
115
в интерферометре Майкельсона, установив зеркало М2 под малым углом
к плоскости R (см. рис. 4.1). Если толщина клина превышает несколько
длин волн, нужно использовать достаточно монохроматический свет.
В свете натриевой лампы и при угле клина 1 : 100 можно наблюдать
на нем периодические изменения видимости полос. Полосы четки, когда е
мало, исчезают при 2е ъ 500 X п снова становятся очень четкими при
2е ъ* 1000 Я. Причина этих периодических изменений видимости заклю-
заключается в наложении интерференционных картин от двух спектральных
линий натрия. В гл. 4 уже рассматривались соответствующие эффекты,
наблюдаемые в интерферометре Майкельсона.
Кольца Ньютона
5.19. Полосы равной толщины получаются также при освещении
двух сферических поверхностей неодинаковой кривизны, наложенных
друг на друга (см. рис. I, д). В этом случае области равной толщины
представляют собой окружности. Соответствующие им полосы наблюдал
впервые Гук A635—1703), но исследовал их Ньютон, и называются они
кольцами Ньютона. Их можно на-
наблюдать также, поместив выпук-
выпуклую линзу на плоскую поверхность
и используя показанное на рис. 5.8
устройство для наблюдения полос
в отраженном свете. Кольца хоро-
хорошо видны через микроскоп с малым
увеличением, если радиус кривиз-
кривизны линзы примерно равен 1 м.
Из геометрических соображений
(рис. 5.10) получим, что
и приближенно
E.8)
Рис. 5.10. К расчету колец Ньютона.
где dn— диаметр п-то темного кольца, R — радиус кривизны линзы. Вслед-
Вследствие изменения фазы на я при отражении от нижней поверхности центр
интерференционной картины оказывается темным. Радиус кольца про-
пропорционален квадратному корню из номера кольца, а расстояние между
соседними кольцами уменьшается с увеличением п. При наблюдении
в белом свете видно только несколько'колец вблизи точки соприкоснове-
соприкосновения поверхностей.
Упражнения
5.1. Пусть г — есть отношение амплитуды отраженной волны к амплитуде
падающей (последнюю мы принимаем равной единице). Найти амплитуды в лучах,
изображенных на рис. 5.5, а также амплитуду в w-м луче, выходящем из верхней
поверхности пленки, и в n-м луче, выходящем из нижней ее поверхности, предпо-
предположив, что пленка совершенно прозрачна. Напомним, что коэффициент отражения
энергии равен г2.
[Амплитуда колебаний в луче а равна г, в луче Ъ равна г A — г2), в луче с равна
r \\ r)» в п~м луче, выходящем из верхней поверхности пленки, она равна
г<->г-з> A —г2). Амплитуда в луче а' равна A — г2), в луче Ь' равна г2 A — г*), в луче с'
равна г* A —- г ); в п-м луче, вышедшем из нижней поверхности пленки, она равна
гк-п > (i__r )# Первая формула неприменима при п = 1. Заметим, что интенсивность
в луче, прошедшем через одну поверхность, равна A — г2), а амплитуда соответствую-
соответствующей волны равна A — г2I/2.]
116 ГЛ. 5. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
5.2. Найти выражение для результирующей амплитуды всех лучей Ь, с и т. д.
до п-то луча, если разность фаз кратна 2я. К какому пределу стремится это выраже-
выражение, если п становится бесконечно большим? Какова разность фаз между этой резуль-
результирующей волной и волной, соответствующей лучу а?
[Результирующая амплитуда равна г{1 — г<2п"~1>} (кроме случая п = 1); она
стремится к г при п —>- сю, так как г < 1. Фаза результирующей отличается от фазы
луча а на Л.]
5.3. Пусть при данной толщине и заданном угле падения пленка поглощает при
однократном прохождении через нее света долю энергии /. Найти выражения, соот-
соответствующие соотношениям, получающимся в упражнении 5.1. Предположив, что
нужно учитывать только два луча, вычислить видимость полос в отраженном свете
при г2 = 0,05, когда / = 0 и когда / = 0,8.
[Амплитуда в луче а равна г, в луче Ь она равна г A — г2)A — /), в луче с равна
г3A — г2)A —/J; в п-м луче, выходящем из верхней поверхности пленки, она равна
г<2п-3) A — r2)(i _ /)<w-D. Амплитуда в луче а' равна A — г2)A — /I/2, в луче Ъ' она
равна г2A — г2)A — /K/2, в луче с' равна И A — г2)A — /M/2; в п-м луче, выходящем
из нижней поверхности пленки, она равна г<2п-2> A— г2) A —/)<2п-1)/2# в отсутствие
поглощения видимость полос (определенная в § 4.10) практически равна единице. При
f = 0,8 видимость приблизительно равна 0,36.]
5.4. Показать, что при наложении двух поверхностей радиусом гг и г2 друг
на друга диаметры получающихся колец Ньютона будут связаны соотношением
i_ 4- -1 — АпХ
Найти, при каких условиях слева должен стоять знак плюс.
5.5. Три поверхности А, В, и С попарно накладывают друг на друга; тогда
при длине волны 5000 А диаметры 25-го кольца окажутся равными следующим вели-
величинам:
20 мм при наложении А на* 2?,
26 мм при наложении В на С,
16 мм при наложении А на С.
Найти радиусы кривизны этих поверхностей. Дать ответ с двумя значащими
цифрами.
[8,3 л, 560 м, 14 м.]
5.6. Пленка масла с показателем преломления 1,7 помещена между двояко-
двояковыпуклой линзой и плоской пластинкой. Показатель преломления стекла равен 1,5,
фокусное расстояние линзы 1 м. Найти радиус 10-го темного кольца, если длина волны
света равна 6000 А. Радиусы кривизны поверхностей двояковыпуклой линзы оди-
одинаковы.
[Радиус 10-го кольца равен 1,88 мм. См. уравнение C.32).]
5.7. Почему кольца^труднее наблюдать в условиях, указанных в упражнении 5.6,
чем в случае воздушной прослойки?
[Яркость полос уменьшается в 10 раз, так как коэффициент отражения на гра-
границе масло — стекло меньше, чем на границе стекло — воздух. Часть света отра-
отражается от первой поверхности линзы и «заливает» кольца. Последнее имеет место
в обоих случаях. ]
5.8. Показать, что эллиптические интерференционные кольца можно получать
при наложении выпуклой цилиндрической поверхности радиуса гс на выпуклую сфе-
сферическую линзу радиуса rs.
[Если ось цилиндра направлена по оси х, то толщина слоя воздуха в точке
2 2+2 1
[ ц
(х, у) равна — + 2г^ • J
5.9. Показать, что геометрическое место точек постоянной разности хода лучей
от двух точечных источников есть гиперболоид вращения относительно линии, прохо-
проходящей через источники.
Локализация интерференционных полос
5.20. Полосы, образующиеся при интерференции света от двух малых
источников (как, например, в опыте Юнга), можно наблюдать на экране,
расположенном на некотором расстоянии от источников. Если экран нахо-
находится слишком близко к источникам, полосы очень узки и их неудобно
ЛОКАЛИЗАЦИЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ПОЛОС 117
наблюдать. Если же экран находится слишком далеко от интерференцион-
интерференционной картины, то ее освещенность оказывается слишком малой. Однако
даже при широких вариациях расстояний до экрана полосы можно фото-
фотографировать или наблюдать при помощи окуляра. Другими словами,
существует бесконечная последовательность поверхностей постоянной
разности фаз. Можно показать, что в случае точечных источников эти
поверхности являются гиперболоидами. Полосы наблюдаются в любом
пересечении такого гиперболоида с плоскостью наблюдения. Поэтому
наблюдаемая в этих случаях интерференционная картина называется
нелокализованной.
Лучи света, идущие от источников к некоторой точке плоскости
наблюдения, расходятся между собой на очень малые углы, и для образо-
образования интерференционных полос не требуется никакого фокусирующего
устройства.
Если происходит интерференция света от протяженных источников,
то необходимо какое-то фокусирующее устройство. Четкие полосы будут
наблюдаться только в том случае, если разность фаз для всех пар лучей,
приходящих в данную точку из различных участков источника света,
одинакова или приблизительно одинакова *). В общем случае это
условие удовлетворяется только, если точка наблюдения лежит на
некоторой определенной поверхности, т. е. кольца видны только тогда,
когда глаз наблюдателя (или оптический прибор) наведен на эту
поверхность. Такие интерференционные полосы называют локали-
локализованными.
Было найдено, что полосы равного наклона лучше видны при работе
с прибором, наведенным на бесконечность. Полосы равной толщины лока-
локализованы вблизи поверхности той пленки, с помощью которой осуществ-
осуществляется интерференция, и при нормальном падении они лучше всего
видны, если микроскоп сфокусирован на пленку. Если полосы образованы
очень узкими пучками света, то диапазон фокусировки микроскопа (глу-
(глубина резкости изображения) может оказаться значительным.
5.21. В системе полос равного наклона данная разность фаз соответ-
соответствует определенному направлению наблюдения независимо от того, от какой
части источника приходит свет. Поэтому световые волны, пришедшие
в каждую точку фокальной плоскости объектива зрительной трубы, обла-
обладают определенной разностью фаз, и полосы отчетливо видны через оку-
окуляр, наведенный на фокальную плоскость объектива.
Локализацию полос равной толщины, образующихся при отражении
света на границах воздушного слоя, заключенного между двумя стек-
стеклянными пластинками, можно исследовать по методу, предложенному
Сирлем [5.11.
Пусть две отражающие поверхности, образующие воздушный клин,
представляют собой плоскости, перпендикулярные плоскости рисунка
(рис. 5.11), которую они пересекают по линиям MN и RS, и пусть эти
линии сходятся в точке О. Рассмотрим луч, идущий из точки Р протяжен-
протяженного источника Se, который отражается от верхней поверхности в точке А
и от нижней поверхности в точке В. Пусть эти два луча встретятся в точке Е.
Тогда Е есть изображение (образованное при отражении от поверх-
поверхности MN) некоторой точки С и одновременно изображение (образованное
*) Это условие было впервые сформулировано А. Майкельсоном, отчетливо ска-
сказавшим, что проблема локализации интерференционных полос осложняется именно
использованием источников света конечного размера. (Прим. ред.)
118
ГЛ 5 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
при отражении от поверхности RS) некоторой точки Z), причем обе точки
С is. D лежат на первоначальном направлении луча РАВ. Так как MN пер-
перпендикулярно хорде СЕ и пересекает ее точно посередине, a RS перпен-
перпендикулярно DE и тоже пересекает ее посередине, то отсюда следует, что
точки Е, С и D лежат на окружности с центром в точке О. Разность хода
двух лучей, приходящих в Е, равна АВ -1- BE — АЕ или AD — АС,
т. е. CD. Если 0 — угол между отражающими поверхностями, г — радиус
окружности, то CD равно 2r sin 9. В самом деле, углы DEC и 6 равны как
углы с перпендикулярными сторонами. Кроме того, угол DOC (как цент-
центральный) равен удвоенной величине вписанного угла DEC (т. е. 20),
поскольку оба угла опираются на общую дугу окружности CD. Из равно-
равнобедренного треугольника DOC
легко найти приведенное выше
значение длины отрезка CD.
Таким образом, разность
фаз волн, отраженных от по-
поверхностей клина, одинакова
для любой пары лучей, прихо-
приходящей из некоторой точки ис-
источника в точку окружности.
Пусть микроскоп наведен
на точку Е и его ось направле-
направлена по касательной к нашей
окружности. Свет, фокусирую-
фокусирующийся в центре поля зрения
микроскопа, приходит от точки
Е и, кроме того, благодаря конечной глубине фокуса объектива микро-
микроскопа, от точек окружности, близких к Е. Для всех этих пучков света
разность фаз одинакова, и если 2r sin 0 = rik, то в точке Е наблюдается
максимум света. Можно наблюдать всю систему интерференционных по-
полос, перемещая микроскоп перпендикулярно его оси (т. е. параллельно
радиусу ОЕ).
Одно из преимуществ такой постановки вопроса заключается в том, что вывод
наиболее важного соотношения основан на рассмотрении изображений, создаваемых
отражающими поверхностями Это рассмотрение задачи применимо даже в том случае,
когда интересующий нас луч не лежит в плоскости рисунка. Интересно также отме-
отметить, что расстояние между полосами равно %/Br sin 0) и не зависит от угла падения
света. Этот результат 1егко проверить на опыте. Положение полос можно определить,
рассматривая интерференционную картину невооруженным глазом и перемещая какую-
нибудь иглу до тех пор, пока она не совместится с полосами. Совмещение конца иглы
с интерференционными полосами контролируется по отсутствию параллакса между
ними Таким путем можно начертить окружность, соответствующую данной полосе.
Более детальное обсуждение вопроса о локализации полос равной толщины можно
найти в литературе [5 1 — 5 3]
Рис 5 11
К расчету локализации интерфе-
интерференционных полос
Неотражающие слои
5.22. Отражение света на границе воздух—стекло есть очень нежела-
нежелательное явление в объективах фотоаппаратов и других оптических систе-
системах. В сложной линзе с четырьмя граничными поверхностями стекло —
воздух около 20% света теряется на отражение, что уменьшает светосилу
линз. Кроме того, часть света достигает плоскости изображения после
многократных отражений, что уменьшает контраст изображения. Отра-
Отражение света можно уменьшить, покрыв поверхности линзы пленкой про-
НЕОТРАЖАЮЩИЕ СЛОИ
119
зрачного вещества, показатель преломления которого меньше показателя
преломления стекла (рис. 5.12). Свет, отраженный на границе воздух —
пленка, интерферирует со светом, отраженным на границе стекло — плен-
пленка. Если должным образом подобрать показатель преломления и толщину
пленки, то при данной длине волны и данном угле падения такие две
отраженные волны могут полностью погасить друг друга.
Для того чтобы два пучка света погасили друг друга, должны быть
выполнены два условия: а) их амплитуды должны быть равны и б) раз-
разность фаз между ними должна равняться п. Рассмотрим нормальное
Рис. 5.12. Неотражающая пленка.
падение~света. Если \ig — показатель преломления на границе воздух —
стекло и \ic — показатель преломления на границе воздух — пленка, то
/ и из C.55) условие равенства амплитуд запишется в виде
Последнее соотношение удовлетворяется при
E.9)
Оба отражения происходят на границах среды с меньшей плотностью,
и поэтому изменение фазы при отражении одинаково для обоих пучков.
Следовательно, для получения между ними разности фаз, равной я, необ-
необходимо, чтобы
2р* = Bп + 1)±Х. E.10)
Щ Помимо подчинения требованию E.9) вещество пленки должно быть
твердым, не должно бояться влажности и т. д. и должно прочно прилегать
к поверхности стекла. Ни одно вещество не отвечает полностью всем этим
требованиям. Обычно применяют MgF2 или криолит CNaF-AlF3). Их
показатели преломления равны соответственно 1,38 и 1,36. При нанесении
этих веществ на тяжелый флинт (\i = 1,7) соотношение E.9) приблизи-
приблизительно выполняется, но при нанесении на крон (\х = 1,51) их показатели
преломления слишком высоки, чтобы дать наилучший эффект.
Обычно оптическую толщину слоя делают равной х/4 длины волны
зеленого света (к = 5500 А). Тогда для зеленого света отражение очень
мало, но для коротких и длинных волн оптического спектра отражение
120 ГЛ 5 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
возрастает Если на такую сложную поверхность падает белый свет, то
отраженный свет имеет сине-красный оттенок. Оптические системы с подоб-
подобными поверхностями получили название «голубой», или «просветленной
оптики» В настоящее время описанным выше способом удается умень-
уменьшить отражение видимого света с 5 до 1% и менее *).
5.23. Просветляющие слои обычно наносят на поверхность стекла напылением
в вакууме Для этого необходимо иметь достаточно высокий вакуум и располагать
специальными способами очистки поверхности стекла, чтобы получить хорошее сце-
сцепление просветляющего слоя со стеклом Толщину сжоя определяют обычно по наблю-
наблюдению отраженного света, добиваясь характерной фиолетовой окраски Если ампли
туды волн, отраженных от двух границ просветляющего слоя, равны, то интенсив
ность отраженного света получим, подставив в соотношении D 1) выражение
9тг
6i = -г- B\*>се cos G)
Тогда находим
^^L^) E 11)
Дифференцируя E 11), мы видим, что если условие E 10) выполнено, то при 0 = 0
дЕ дЕ дЕ
все производные -^g-, -^- и -z— равны нулю В случае нормального падения и моно-
монохроматического света эффективность просветляющего слоя падает не сильно, даже если
толщина слоя выдержана неточно Точно так же, если для нормального падения и моно
хроматического света толщина слоя выбрана правильно, то просветляющий слой
работает удовлетворительно в значительном интервале >глов падения и для довольно
широкого спектрального интервала
Высоко отражающие слои
5 24. В оптических приборах иногда приходится разделять пучок света на два
пучка примерно равной интенсивности Есчи полупрозрачное зеркало изготовляют
нанесением на стекло тонкого слоя алюминия, то значительная часть света погло-
поглощается металлом (чаще всего в используемых слоях 35% света пропускается, 35 °о
отражается и 30% поглощается) **) Высокоэффективные отражающие слои можно
получить, нанося на стекло последовательно тонкую пленку вещества с низким пока
зателем преломления, а затем тонкую пленку вещества с высоким показателем пре
ломления Если толщины слоев подобраны правильно, то волны, отраженные от всех
трех поверхностей, находятся в фазе Можно получить общий коэффициент отражения,
примерно равный 50%, причем почти весь неотраженный свет проходит без потерь
на поглощение Дчя получения больших коэффициентов отражения следует исполь
зовать много слоев В случае многослойных покрытий, однако, пленки становятся
в отраженном свете окрашенными, так как условие, обеспечивающее сильное отраже
ние, выполняется точно только для какой-нибудь одной длины волны оптического
спектра
5 25. Предпринимались попытки создать неотражающие слои путем обработки
поверхности стекла химическими реагентами, растворяющими часть стекла При этом
получались слои с меньшим показателем преломления, чем в основной толще стекла
Процесс такой обработки очень трудно контролировать На старых стеклянных или
металлических поверхностях часто образуются пленки, что вызывает иногда умень
шение отражения а иногда его увеличение Происходит это из-за случайного обра
зования тонких поверхностных слоев с аномальным показателем преломления при
обработке поверхности или при последующем воздействии на нее воздуха или очи-
очищающих веществ
*) Подробнее см сборник И В Гребенщиков идр, Просветление
оптики, Гостехиздат, М — Л , 1946 (Прим ред )
**) При данной отражающей способности свеженанесенные слои серебра имеют
значительно меньший коэффициент поглощения Однако в отсутствие специального
защитного покрытия они быстро тускнеют
МНОГОЛУЧЕВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
121
Упражнения
5.10. Пусть на стекло с показателем преломления 1,5 нанесен слой вещества
с показателем преломления 2,0. Рассчитать толщину слоя, который давал бы а) макси-
максимум и б) минимум отражения для света длины волны 5000 А. Рассмотреть случай
нормального падения.
[а) 6,25-10~6 см; б) 12,5• 10"~6 см. Напомним, что отражение на границе слой —
стекло происходит в более плотной среде.]
5.11. Пусть на стекло с показателем преломления 1,6 нанесен слой вещества
с показателем преломления 1,4, причем его толщина выбрана так, что минимум отра-
отражения получается для X = 5000 А при нормальном падении. Вычислить эффективный
коэффициент отражения для следующих случаев: а) X = 5000 А, 0 = 0°; б) X = 6000 А,
6 = 0°; в) X = 5000 А, 0 = 30°; г) А, = 6000 А, 0 = 30°; д) Х = 4000 А, 0=30°. Дать
ответ с точностью до второй значащей цифры. Предположить, что при требуемой точ-
точности коэффициенты отражения от одной поверхности одинаковы как при нормальном
падении, так и при падении под углом 30°.
[а) 1,0%; б) 1,3%; в) 1,2%; г) 1,8%; д) 1,1%.]
5.12. Показать, что коэффициент отражения белого света от стеклянной поверх-
поверхности^ покрытой слоем толщиной, равной большому числу длин волн, приблизительно
в два раза меньше, чем при его отражении от чистой поверхности.
[При переходе от одного конца спектра к другому косинус в выражении E.11)
проходит много периодов. Среднее значение квадрата косинуса равно 0,5.]
Многолучевая интерференция
5.26. Если поверхности, ограничивающие некоторый слой, имеют
достаточно высокий коэффициент отражения, то в проходящем свете
можно получить очень резкие и яркие максимумы на темном фоне (см.
рис. I, е). Эти полосы образуются при интерференции нескольких свето-
световых пучков, которые испытали различное число отражений. Рассмотрим
Рис. 5.13. Многолучевая интерференция.
сначала слой воздуха, заключенный между двумя плоскими параллель-
параллельными полупрозрачными поверхностями. Исходный луч, падающий на слой
под углом 0, расщепится на несколько параллельных лучей (рис. 5.13).
Прошедшие лучи собираются линзой L в точку Q ее фокальной плоско-
плоскости. В эту точку лучи приходят с той разностью фаз, которую они имели
при пересечении плоскости АВ, перпендикулярной OQ. Предположим, что
оба отражающие слоя одинаковы и что каждый раз доля света а прохо-
проходит через слой, а доля света q отражается. Пусть изменение фазы при отра-
отражении равно е. Для металлических слоев из-за наличия поглощения
Q + а не равно единице. Кроме того, 8 также не равно точно 0 или я.
Отношение амплитуд прошедшей и отраженной волн к амплитуде падаю-
падающей равно Ql/2 и ах/2 соответственно.
122 ГЛ 5 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
Разность фаз между двумя соседними лучами б равна
6 = ^_2ecos9 f2e. E.12)
Если падающий пучок света описывается выражением
at exp г (at — их) = а^,
то результирующая прошедшая волна будет иметь вид
Пусть Р — комплексная амплитуда результирующей волны (см. § 2.26),
тогда
e-™+ .. .} = _М-_ . EЛЗ)
Сопряженная ей величина Р* равна
р*_ flier
и, проведя расчет, подобный приведенному в § 3.6, получаем
^ 1 + q2_2qcos6 '
или
"~* z^ г-- E-14)
Эта функция имеет максимум при cos б = 1 (т. е. при б = 2пп), а ее
минимумы расположены посередине между максимумами. Положение
максимумов и минимумов не зависит от величин q и а.
Зрительная труба
Рис 5 14 К получению интерференции с помощью плоско-
плоскопараллельной пластинки, помещенной в сходящийся све-
световой пучок
Зрительная труба наведена на бесконечность.
Максимальная интенсивность Етах равна aja2/(l — qJ, минималь-
минимальная Етт равна a\o2l{l + qJ. Пользуясь соотношением E.12), найдем,
что максимумы образуются при
( — £N). E.15а)
Последнее сводится к
2ecos0 = ttX, E.156)
если можно пренебречь изменением фазы при отражении.
Оптическая схема установки, на которой можно наблюдать круговые
интерференционные полосы, показана на рис. 5.14. Порядок интерферен-
ИНТЕРФЕРОМЕТР ФАБРИ-ПЕРО 123
ции уменьшается от центра к краям интерференционной картины, так
как разность хода меньше при падении лучей под некоторым углом к пла-
пластинке, чем при нормальном их падении. Полосы локализованы в беско-
бесконечности и наблюдаются обычно в зрительную трубу. Свет, достигающий
определенной точки фокальной плоскости объектива, соответствует одному
определенному направлению падения лучей на отражающие слои. Лучи
этого направления приходят в одну кольцевую интерференционную полосу
от всех участков отражающей поверхности, на которые они падают под
нужным углом.
5.27. Из уравнения E.14) можно видеть, что при большом коэффи-
коэффициенте отражения получаются острые интерференционные максимумы.
Если б немного отличается от пп и, следовательно, sin2-^ имеет
некоторое значение х\, то
где
A —QJ '
Если q примерно равно 0,05, что соответствует непосеребренной пластин-
пластинке, то L = 0,2. Если же q равно 0,8, что соответствует сильно посереб-
посеребренной пластинке, то L = 80. Таким образом, при использовании сильно
посеребренной пластинки освещенность в направлениях, даже немного
отличающихся от направлений максимумов света, очень мала, и полосы
имеют вид четких ярких колец на темном фоне. При выборе нужного
значения q исходят из необходимости сочетать увеличение резкости полос
при увеличении q с уменьшением общей освещенности, обусловленной
соответствующим уменьшением а. Образование острых максимумов при
интерференции многих лучей обсуждается в §§ 9.15 и 9.50.
Интерферометр Фабри — Перо
5.28. Можно указать несколько различных способов использования
полос, образующихся при многократном отражении в пластинках постоян-
постоянной толщины. Интерферометр Фабри — Перо состоит из двух стеклянных
пластин, одна из которых неподвижна, а вторая установлена на салазках,
как в интерферометре Майкельсона. Эту пластину можно перемещать
в направлении, ей перпендикулярном. Направляющие изготавливают
настолько хорошо, что подвижная пластина остается параллельной непо-
неподвижной с точностью, превышающей 1". Пластины покрывают пленкой
серебра или другого металла с высоким коэффициентом отражения *).
В эталоне Фабри — Перо две пластины находятся на фиксированном
расстоянии друг от друга. Это расстояние задается специальной проклад-
прокладкой, изготовленной с такой точностью, чтобы обеспечить параллельность
пластин. Применение интерферометра и эталона Фабри — Перо будет
описано в гл. 9. Примеры интерференционных картин, получающихся
с эталоном Фабри — Перо показаны на рис. I, е% ж.
*) В последнее время и в интерферометрах Фабри — Перо используются много-
многослойные диэлектрические покрытия, дающие высокий коэффициент отражения
при минимальное поглощении (см. §§ 5.22—5.24). (Прим. ред.)
124 ГЛ. 5 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
Пластинка Люммера — Герке
5.29. Интерференционное устройство, показанное на рис. 5.15, было
предложено Люммером и разработано им совместно с Герке. Свет от про-
протяженного источника полностью отражается от соответствующей грани
поворотной призмы и падает на нижнюю поверхность пластинки под углом*
немного меньшим угла полного внутреннего отражения. Малая доля света
преломляется и выходит из пластинки (луч 2). Остальной свет отражается
и попадает на верхнюю поверхность, где он снова частично преломляется
(луч 2) и частично отражается вниз. Таким образом, свет идет внутри
пластинки, и при каждом падении на ее поверхность часть света выходит
наружу. Свет, вышедший после преломления через нижнюю поверхность
пластинки, образует ряд параллельных пучков с постоянной разностью
фаз. Амплитуды этих пучков уменьшаются в геометрической прогрессии.
/ 3 5
Рис. 5.13 Пластинка Люммера—Герке
В фокальной плоскости собирающей линзы образуются интерференцион-
интерференционные полосы. Такой же набор полос образуют лучи 2, 4, 6 и т. д., выходя-
выходящие через верхнюю поверхность пластинки.
В интерферометре Фабри — Перо (при приблизительно нормальном
падении) все лучи, имеющие заметную интенсивность, собирают линзой
(см. рис. 5.13). В пластинке Люммера число эффективных пучков, как
правило, лимитируется ее длиной. Результирующая амплитуда вычис-
вычисляется как сумма ряда, подобного приведенному в уравнении E.13),
но содержащего конечное число членов. Отчасти по этой причине формулы,
дающие для пластинки Люммера — Герке положение светлых полос
и изменение освещенности в интерференционной картине, намного слож-
сложнее, чем для эталона с двумя посеребренными пластинками ♦).
«Канавчатый» спектр
5.30. Если параллельный пучок белого света падает на эталон
Фабри — Перо и прошедший через него свет наблюдается в спектроскоп
(рис. 5.16), то сплошной спектр оказывается пересеченным слегка изогну-
изогнутыми темными полосами (ем. рис. II, е). Такой спектр получил название
«канавчатого», или полосатого, хотя, конечно, он не имеет ничего общего
с полосатыми спектрами молекул (см. § 4.3). Из уравнения E.14) следует,
что максимальная яркость получается для тех длин волн, для*которых
sin - 6 = 0, т. е. когда б — целое число, кратное 2я. Если изменением фазы
при отражении (см. уравнение E.12)), можно пренебречь, то максимумы
света соответствуют длинам волн Яо, А,4, Я2 и т. д., которые удовлетворяют
соотношению ♦
2е cos 6 = рК0 = (р +1) ^ = (р + 2) Х2, E.17)
где р — целое число.
*) Детали этой теории см. в книге Вилльямса [9.1].
ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЙ МЕТОД КАЛИБРОВКИ ШКАЛЫ СПЕКТРОМЕТРА 125
Повторив в несколько расширенном виде изложенные выше рассу-
рассуждения (см. § 5.27), можно показать, что резкие максимумы получаются
при высоком коэффициенте отражения, но при очень большой величине
этого коэффициента система пропускает мало света, что затрудняет наблю-
наблюдение полос. Ярактически очень резкие полосы получаются только, если
пучок света хорошо коллимирован, а пластины эталона достаточно плоски
и параллельны друг другу.
Канавчатые спектры можно наблюдать также, рассматривая в спек-
спектрально разложенном свете внешние участки интерференционных картин,
Спектроскоп
Рис 5 16 Схема интерференционного метода калибровки спектроскопа.
получаемых с одним из описанных выше приспособлений (см. §§ 5.9 и 5.10).
Полученные таким способом полосы не столь резки, так как они образо-
образованы всего лишь двумя интерферирующими пучками света.
Интерференционный метод калибровки шкалы спектрометра
5.31. Если толщина эталона измерена (одним из способов, описанных
в гл. 9), то интерференционные полосы в сплошном спектре можно исполь-
использовать для определения кривой дисперсии спектрального прибора. Этот
метод весьма удобен, так как полосы дают серию калибровочных марок
(длин световых волн) по всему спектру. Правильно выбрав толщину эта-
эталона, можно так сблизить полосы, как это требуется для конкретного
прибора, который нужно калибровать. Полосы такого вида были открыты
Физо и Фуко A850); впервые их использовал для калибровки спектро-
спектрометра Эссельбах A856). Этот метод калибровки, однако, не получил широ-
широкого распространения и был вновь открыт в 1896 г. Эдсером и Батлером.
Канавчатый спектр в сочетании с двумя спектральными линиями известной
длины волны может быть также использован для определения толщины эталона.
При помощи маленького зеркала на канавчатый спектр сверху или снизу налагают
спектр с известными линиями Kt и Я2 Затем подсчитывают число максимумов между
этими двумя линиями. Если число максимумов равно т, то приближенно можно
написать
2е = pfa = (р1 + т) %2 E 18)
и отсюда
2e = i
Соотношение E.19) выполняется строго только в том случае, когда две свепые полосы
канавчатого спектра совпадают с выбранными двумя линиями. Ecin это не так, то
следует измерить положение максимумов с каждой стороны от^п/о. Линейной
интерполяцией полученных данных можно затем определить дробное число, которое
должно быть прибавлено к т, и тогда применить соотношение (о 19) Подобным
методом определения толщины эталона хорошо проводить учебные эксперименты, но
в оощем он менее точен и менее удобен, чем метод, описанный в § 9.32.
Упражнения
5.13. Что общего и в чем различие между полосами, образуемыми эталоном
Фабри — Перо в сходящемся свеге, и кольцами Ньютона?
5.14. Показать, что при использовании интерференционного метода калибровки
шкалы спектрометра получается ряд калибровочных марок, эквидистантных в
шкале волновых чисел.
126
ГЛ. 5. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
5.15. Показать, что при данном угле падения изменение фазы при отражении
эквивалентно малой поправке в толщине эталона Фабри — Перо.
5.16. Пронумеруем круговые кольца, образуемые эталоном Фабри—Перо, начи-
начиная с центрального кольца 1, 2, 3, . . ., р. Показать, что если расстояние между
пластинами равно числу длин волн, умноженному на большое целое число, то угловой
диаметр р-то кольца приблизительно пропорционален величине У р—1, если р доста-
достаточно мало.
Последовательное расположение двух интерферометров
5.32. Рассмотрим пучок света, проходящий последовательно через
два эталона (рис. 5.17). На выходе мы получим много пучков, соответ-
соответствующих разному числу внутренних отражений. При определенных усло-
условиях некоторые наборы лу-
лучей могут иметь малую раз-
разность хода и образовать ин-
интерференционные полосы в бе-
белом свете. Рассмотрим для
примера два эталона толщи-
толщиной et и е2, расположенные
под малым углом а друг
к другу. Пусть наблюдение
проходящего через них света
проводится при помощи зри-
Рис. 5 17 Последовательное расположение двух тельной трубы. Рассмотрим
эталонов. свет, который падает под уг-
углом 0 к нормали первого эта-
эталона. Разность хода между пучком света, который испытал два отраже-
отражения в первом эталоне и четыре во втором, и пучком, который претерпел
шесть отражений в первом эталоне и два во втором, равна следующей
величине:
бе* cos 9 -f 2е2 cos @ + ex) — 2е± cos 0 — 4е2 cos @ + а) =
= 4^ cos 0 — 2е2 cos @ + а) =
= D^ — 2е2 cos а) cos 0 -j- 2e2 sin 0 sin а. E.20)
Если толщина второго эталона немного больше удвоенной толщины пер-
первого, то уже при некоторых достаточно малых значениях угла 0 разность
хода будет равна нулю. Пусть угол а выбран так, чтобы разность хода
равнялась нулю при 0=0. Тогда
или приближенно
t = e2 cos a
E.21)
E.22)
и светлые полосы получатся при
пХ = 2е2 sin 0 sin a. E.23)
Образующиеся максимумы соответствуют определенному значению 0,
и поэтому полосы локализованы в бесконечности и видны в зрительную
трубу. Если ось зрительной трубы перпендикулярна первому эталону,
то центральное ахроматическое кольцо находится^ центре ее поля зрения
и угловое расстояние между кольцами 0' приблизительно равно следующей
АХРОМАТИЧЕСКИЕ ПОЛОСЫ
127
величине:
0' =
E.24)
Измеряя угловое расстояние между кольцами, можно определить а
и из соотношения E.22) — величину (е2 — 2^), если известно прибли-
приближенное значение ег. Полосы такого типа называют иногда «полосами
переналожения». Изложенный выше метод получения и наблюдения интер-
интерференционных колец может быть применен для сравнения толщин тех
эталонов, с помощью которых они были получены.
5.33. В другом способе использования интерференционных колец
для сравнения толщин двух эталонов последние устанавливают так, что
а = 0; кроме того, свет пропускают еще через тонкий клин*. При этом
получаются полосы, локализованные на клине. Центр интерференционной
картины помещается в той точке, где оптическая длина пути света в клине
точно компенсируется разностью хода, создаваемой эталонами. Такой
метод сравнения двух эталонов применяли Бенуа, Фабри и Перо (см.
§ 9.41).
Оба описанных метода можно использовать для сравнения эталонов, отношение
толщин которых приблизительно равно р : q, где р я q — малые целые числа.
Фабри и Бюиссон нашли, что можно сравнивать эталоны с отношением толщин 10 : 1.
Если числа р и q не малы, то происходит много внутренних отражений с соответствую-
соответствующей потерей света. Полосы становятся тогда неразличимыми, так как они образуются
на более ярком фоне, создаваемом лучами, которые не испытали числа отражений,
необходимого для появления полос. Хотя выше мы рассматривали только два луча,
в сложном эталоне при использовании посеребренных пластин имеет место много-
многолучевая интерференция. При большом коэффициенте отражения резкость полос уве-
увеличивается так же, как и в случае круговых колец.
Ахроматические полосы
5.34. Если геометрическая разность хода двух путей от источника
света до точки наблюдения одинакова для всех длин волн, то разность
фаз интерферирующих волн зависит от длины волны. Полосы видны
Рис. 5 18. Устройство Ллойда для наблюдения ахроматических полос
BV - короткий спектр, полученный при помощи решетки G,
R'V—мнимое изображение спектра RV в зеркале Ллойда.
в белом свете только при малой разности хода. Если, однако, геометриче-
геометрическая разность хода различна для разных длин волн, то ее можно сделать
пропорциональной длине волны, и разность фаз будет тогда одинакова
для всех длин волн. Если это условие выполнено, то ахроматические
полосы получаются в белом свете даже тогда, когда разность хода доволь-
довольно велика. Простое устройство для получения таких полос показано
на рис. 5.18. Вместо параллельной зеркалу и освещенной белым светом
щели, применявшейся в опыте Ллойда (см. рис. 5.4), используется спект-
спектрально разложенный свет. Короткий непрерывный спектр RV, полученный
128 ГЛ. 5. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
с помощью призмы G или дифракционной решетки (не показана на рис. 5.18),
проектируется на плоскость, перпендикулярную зеркалу. Теперь мы
имеем набор источников света разной длины волны, расположенных в пло-
плоскости, перпендикулярной зеркалу. Удобнее работать со спектром RV,
полученным с помощью дифракционной решетки 6?, так как в этом случае
расстояние между «источниками» в опыте с зеркалом Ллойда пропорцио-
пропорционально их длинам волн, и расстояния между интерференционными поло-
полосами оказываются одинаковыми для всех длин волн спектра (см. E.4)).
5.35. Пример, который мы только что рассматривали, указывает
на возможность образования системы ахроматических полос, но не может
дать общих условий, необходимых для их наблюдения. Обсуждая этот
вопрос более широко, начнем с рассмотрения двух предельных случаев.
В интерферометре Майкельсона в свете красной линии кадмия можно
получить полосы, соответствующие порядку интерференции, почти дости-
достигающему миллиона. В высоких порядках происходит весьма постепенное
уменьшение видимости полос вслед-
ствие недостаточной монохроматич-
монохроматичности света, но за исключением дан-
данного эффекта все полосы идентичны.
Это, как мы увидим позже, иногда
приводит к практическим затрудне-
Расстояние от центра ниям? например, когда нужно иден-
Рис. 3.19. Распределение энергии, из- тифицировать полосу определенного
меренное болометром. порядка интерференции (см. § 9.32).
Другим предельным случаем являют-
являются полосы, образующиеся в опыте Юнга в белом свете. Центр интерфе-
интерференционной картины соответствует нулевой разности хода для всех длин
волн, но нельзя найти участков, где бы разность хода равнялась jt для
всех длин волн. Поэтому нет ни одной полосы совершенно белой или
вполне черной. Глазом можно видеть около полудюжины цветных полос.
Если при помощи болометра измерить энергию, приходящую на раз-
различные участки экрана, то получится кривая типа показанной на рис. 5.19.
Болометр представляет собой неселективный приемник излучения: он
измеряет энергию излучения и одинаково чувствителен ко всем длинам
волн. Два минимума, расположенные по обе стороны от максимума, появ-
появляются потому, что в обычном белом свете энергия, приходящаяся на
различные участки длин волн, различна (см. гл. 17). Источник света
с равномерным распределением энергии в спектре не дает никаких следов
интерференционных полос. Если, однако, поместить перед болометром
светофильтр, пропускающий небольшую область спектра, то появляются
такие же полосы, как и в том случае, когда фильтр установлен перед
источником света. Если свет какой-то узкой области спектра разлагается
спектроскопом, то в образовавшемся спектре наблюдаются полосы
(см. § 5.30). Таким образом, интерференция наблюдается, если
а) источник испускает излучение с неоднородным распределением
энергии по спектру.
б) приемник излучения может каким-то образом разложить энергию
по спектру, или, другими словами, если приемник селективен по отно-
отношению к спектральному составу падающего на него излучения.
Чтобы наблюдать высокие порядки интерференции, необходимо иметь
источник света высокой степени монохроматичности или очень селектив-
селективный приемник излучения. Селективный приемник (как, например, боло-
болометр с фильтром) производит очень простой анализ света, отличая свет,
АХРОМАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ПОЛОС
129
к которому он чувствителен, от света, к которому он нечувствителен.
Глаз способен различать три основных цвета, и поэтому он может увидеть
несколько интерференционных полос там, где неселективный болометр
не обнаружит ни одной.
Ахроматическая система^полос
5.36. В опыте Юнга в поле зрения имеется один участок, где разность
фаз одинакова для всех длин волн. Это одна ахроматическая полоса.
В опыте, описанном в § 5.34, где зеркало Ллойда применяется вместе
с дифракционной решеткой, разность фаз не зависит от длины волны
во всем световом поле. В таком опыте мы получаем ахроматическую систе-
систему полос. Важно различать эти два случая. В одном случае имеется лишь
одно место, где полосы всех длин волн совпадают, но расстояние между
полосами зависит от длины волны, и поэтому система ахроматична только
в одной полосе. Во втором случае расстояние между полосами не зависит
от длины волны, и следовательно, если полосы совпадают в какой-либо
одной точке, они совпадают всюду.
5.37. При аналитическом решении задачи мы можем положить, что порядок
интерференции р есть функция X и координаты х, которая указывает положение полосы
в поле зрения, р не обязательно должно
равняться целому числу (см. § 4.9). Для
появления ахроматической полосы в неко-
некоторой точке должно выполняться условие
JH-
E.25)
I
Для появления ахроматической си-
системы полос требуется выполнение E.25),
а также условия
д
дх
д% J дх д%
= 0.
E.26)
5000 6000 .
Длина болны, А
Рис. 5.20. Зависимость фокусного рас-
расстояния ахроматической сложной лин-
линзы от длины волны.
При идеальной ахроматичности E.25)
должно быть справедливым для всех значе-
значений X, а E.26) — для всех значений X и х.
Практически мы называем линзу ахрома-
ахроматической, если изменение фокусного рас-
расстояния с длиной волны имеет максимум
или минимум для некоторой длины волны вблизи середины видимой части спектра
(рис. 5.20). Подобным же образом, мы называем интерференционную полосу ахромати-
ахроматической, если соотношение E.25) выполняется для некоторого значения X в середине
интересующей нас области, и систему полос ахроматической, если соотношения E.25)
и E.26) выполняются для одной длины волны в одной точке. Центральная полоса
в опыте Юнга идеально ахроматична в тех пределах, в которых можно пренебречь
вторичными эффектами, связанными с конечной шириной щели и т. д. С такими же
ограничениями ахроматична и описанная выше система (см. § 5.34) в случае примене-
применения дифракционной решетки. При использовании призмы ахроматичность полос
в опыте Ллойда хуже.
5.38. Центр интерференционной картины, получаемой в опытах Юнга,
Френеля или Ллойда, можно сместить, поместив пластинку из оптически
плотного материала перед одним из действительных или мнимых источ-
источников света (например, справа от щели at на рис. 5.2, б). Если этот мате-
материал не диспергирующий, то центральная полоса сместится в положение,
при котором разность оптического хода равна нулю, т. е. пути от двух
источников до точки наблюдения, измеренные в длинах волн, одинаковы.
8 общем случае материал пластинки имеет некоторую дисперсию. Один
9 р. Дитчберн
130 ГЛ. 5. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
из оптических путей оказывается функцией длины волны, тогда как дру-
другой не зависит от нее Таким образом, разность хода есть функция длины
волны, и не существует такой точки, где бы она равнялась нулю для всех
длин волн В этом случае центральная полоса находится в точке, в которой
выполняется условие E 25), т е в точке максимального согласования
разности фаз. В общем случае эта точка не совпадает с той точкой, где
разность хода равна нулю для центральной или вообще для какой-либо
длины волны.
5 39 Выше было показано (см § 4 29), что при прохождении п>чка немонохро
матического света через диспергирующую среду точка, в которой фазы возмущения
для различных длин волн совпадают наилучшим образом, движется с групповой
скоростью В рассматриваемом нами опыте максимальное совпадение разности фаз
имеет место в точке Р, причем время, необходимое для прохождения света из S в Р
в недиспергирующей среде, должно равняться времени прохождения группы вочн
из S в Р в диспергирующей среде Мы покажем сейчас, что если это условие выполнено,
то выполняется и условие E 25)
Щсть путь от S до Р в недиспергирующей среде имеет длину, равною I, а другой
путь между этими точками состоит из пути длиной (L — tg) в недиспергирующей
среде (которою для простоты мы будем считать вакуумом) и пути tg в диспергирующей
среде Тогда разность фаз р между световыми волнами, пришедшими из S в Р по двум
путям, равна
{£* + <"-1)**}. E 27)
где Я — длина волны в вакууме Дифференцируя это выражение по X и применив уело
вие E 25), получим
(ijIL)-=O E 28)
E 29)
Это уравнение определяет положение новой ахроматической полосы
Условие перемещения группы волн как целого имеет вид
где U — групповая скорость Подставляя сюда значение U из соотношения D 41),
получим
(L_l)+(n_X*i_l)te=Ot E 30)
что согласуется с соотношением E 28)
Одно время считали, что ахроматическая полоса находится в точке, где разность
хода равна нулю (по крайней мере для средней длины вочны) Найденное в таком
предположении условие отличается от E 28) тем, что оно не содержит члена X dnjdX
Основы правильной теории были впервые развиты Эири A801 — 1892) в ответ на кри
тику, которая, основываясь на неправильной формуле приходила к выводу, что
волновая теория не может дать правильного значения для смещения полос В совре
менном виде эта теория была развита Рэчеем [5 4]
Интерференционные светофильтры
5.40. При помощи цветных стекол или окрашенных желатиновых
пленок можно выделить участок спектра шириной около 500 А, но для
экспериментальной фотохимии и для других целей часто желательно
выделить спектральную полосу шириной в 50 А с центром полосы с задан
ным значением длины волны Иногда требуется выделить и значительно
более узкие участки спектра В таких случаях с успехом можно исполь-
использовать интерференционные фильтры Выше мы показали (см § 5 30),
ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ СВЕТОФИЛЬТРЫ
131
что спектр прошедшего через эталон Фабри — Перо параллельного пучка
света состоит из ряда резких полос, разделенных широкими темными
областями (см. рис. II, е). В проходящем свете при уменьшении расстоя-
расстояния между отражающими поверхностями эталона различие в длинах волн
максимумов пропускания света увеличивается. Из уравнения E.17) сле-
следует, что при оптической толщине Х0/2 и при нормальном падении света
на эталон максимумы в проходящем свете получаются на длине волны Хо,
Я0/2, Я0/3 и т. д. Если Хо находится в видимой области спектра, то все
Стекло
Серебро
иэлектри
Сере
Серебр
Диэлектрик
Серебро-
Длина Оолны, А
5100
Рис 5 21 Интерференционные светофильтры
Типичные кривые пропускания для фильтра, состоящего из двух слоев
серебра (коэффициент отражения 94%), разделенных слоем диэлектрика
с оптической толщиной 2500 А, (а) и для фильтра, состоящего из двух от-
отражающих покрытий Rx и R2, разделенных таким же слоем диэлектрика (б)
Отражающие покрытия состоят из слоев диэлектрика с высоким (В) и низ-
низким (Я) показателями преломления, оптическая толщина каждого слоя
равна 1250 А
максимумы, кроме первого, находятся в ультрафиолеювой области и по-
поглощаются стеклом. Если коэффициент отражения слоя серебра равен 94°о
и Хо = 5000А, то ширина полосы пропускания (измеренная между дли-
длинами волн, для которых пропускание равно половине максимального)
равна 50 А (рис. 5.21, а).
При использовании серебряных покрытий высокое отражение можно
получить только за счет увеличения толщины слоя, что приводит к умень-
уменьшению максимального пропускания (см. § 5.30). Эту трудность можно
преодолеть, используя вместо серебряных слоев сильно отражающие
покрытия, нанесенные способом, описанным в § 5.24. Такие покрытия
состоят из диэлектрических слоев. Они имеют одинаковую оптическую
толщину, и в покрытии чередуются слои с высоким и низким показателем
преломления. Так как высокий коэффициент отражения требуется лишь
в узкой области длин волн, то следует использовать покрытия, состоящие
из многих слоев; при этом можно получить коэффициент отражения, рав-
равный 98%. Потери света на поглощение очень малы. Слои получают напы-
напылением в вакууме; в них происходят небольшие потери света вследствие
рассеяния, так как идеально однородных пленок получить не удается.
Подобным способом можно получить фильтр с шириной полосы
9*
132 ГЛ 5 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
пропускания 25 А и с максимальным пропусканием 75% (рис. 5.21, б).
Комбинацией слоев с высоким и низким показателем преломления
можно получить много других приспособлений, обеспечивающих селек-
селективное пропускание или отражение в видимой области спектра [5.5].
Упражнения
5.17. Два эталона имеют толщины 19,9990 и 40,000 мм Найти угловое расстоя-
расстояние между интерференционными кольцами, образование которых описано выше
(см § 5 32), есчи длина волны света равна 5000 А.
[6,25 10-4 рад.]
5.18. Рассмотреть ахроматпзацию полос, получаемых с зеркалом Ллойда и с приз
мой из материала, дисперсия которого подчиняется закону Коши (см § 3 18)
5.19. Какие эффекты наблюдаются при рассмотрении через призму полос, обра-
образующихся в тонком слое между двумя плоскими поверхностями?
[Полосы смещаются, но не становятся ахроматическими Положение новой
центральной полосы опредегяется по способу, описанному в § 5 39 ]
Литература
5.1. Searle, Phil Mag, 37, 361 A946).
5.2 \ г п о t, Proc Camb Phil Soc , 24, 150 A938).
5 3 Guild, Proc Phys Soc , 33, 40
54 Rayleigh, Scientific Papers, vol III, p. 228.
55 Heavens, Optical Properties of Thm Solid Films, Butterworth.
ГЛАВА 6
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
Введение
6.1. При прохождении пучка света вблизи края какого-либо непро-
непрозрачного экрана путь пучка не остается строго прямолинейным. При
выполнении некоторых условий (которые мы обсудим позже) наблюдаются
полосы у края геометрической тени экрана и часть света проникает в
область тени. Типичные случаи огибания препятствия показаны на
рис. III. Такие явления впервые были отмечены Гримальди A618—1663)
и Гуком A635—1703). В 1802 г. Юнг A773—1829) считал, что эти полосы
образуются вследствие интерференции световой волны, идущей от края
экрана, с прямым пучком. Френель A788—1827) показал, что независимо
от того, имеет ли препятствие острый или закругленный край, полосы
получаются примерно одинаковыми. Это обстоятельство, по мнению
Френеля, опровергало идею Юнга, так как предполагалось, что закруг-
закругленный край должен давать более интенсивную волну, чем острый. Фре-
Френель рассчитал положение полос, исходя из взаимной интерференции
вторичных волн, постулированных Гюйгенсом, приняв во внимание, что
часть волнового фронта обрезается экраном. При этом он получил резуль-
результаты, хорошо согласующиеся с опытом. Кирхгоф A824—1887) подтвердил
расчеты Френеля, исходя из анализа, основанного на волновом уравнении.
Было показано (см. § 6.10 и [6.4]), что дифрагировавший свет можно пред-
представить в виде суммы компонент, одна из которых, по-видимому, исходит
из области, вплотную примыкающей к препятствию. Таким образом,
представления Юнга нельзя считать абсолютно несовместимыми с пред-
представлениями Френеля. В некоторых случаях удобнее пользоваться мето-
методом Юнга, хотя метод Френеля обладает значительно большей общ-
общностью.
6.2. Дифракцией называют все отклонения от прямолинейного рас-
распространения света. Наиболее отчетливые дифракционные эффекты воз-
возникают при распространении света близ непрозрачных препятствий, хотя
дифракция происходит и на прозрачных объектах. Например, дифрак-
дифракционные полосы могут образовываться в результате присутствия пузырька
воздуха в стекле линзы. Дифракция происходит во всех случаях, когда
изменение амплитуды или фазы не одинаково на всей поверхности волно-
волнового фронта. Поэтому она возникает при любом — амплитудном или
фазовом — локальном нарушении волнового фронта. Во всех оптических
опытах апертура пучка ограничена размерами прибора и, следовательно,
в известной мере дифракция происходит во всех приборах. Дифракцион
ные эффекты часто маскируются несовершенством оптических изображе-
изображений, обусловленным аберрациями линз, а также другими аналогичными
причинами. Только в тех случаях, когда все другие эффекты уменьшены
соответствующим подбором аппаратуры, дифракция приобретает первен-
первенствующее значение. Тогда именно она определяет пределы возможного
улучшения качества оптических изображений и точности измерений
определенного типа.
134
ГЛ. 6. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
Дифракция Френеля и дифракция Фраунгофера
6.3, На рис. 6.1 изображено устройство, в котором параллельный
пучок света проходит через щель в экране Si (так называемый дифращион-
Рис. 6 1 Дифракция параллельного пучка света на щели.
ный экран) и попадает на второй экран S2. На рис. 6.2 показано изменение
освещенности на экране S2 при различных расстояниях между Si и S2.
р Если экраны находятся очень близко
друг к другу (рис. 6.2, а), то осве-
освещенность экрана S 2 постоянна в пре-
пределах геометрического изображения
щели в экране Si и равна нулю во
всех остальных точках S2. В этом
случае, в пределах точности наблюде-
наблюдений, свет распространяется прямоли-
прямолинейно. Если экран S 2 отделяют от эк-
экрана Si, то появляется область, где
*)
Of 0f05 90 0,05 Of мм
б)
Of 0,05 Qo 0JJ5 Of мм
200
WO мм
Рис. 6.2. Изменение освещенности поперек экрана S2, показанного на рис. 6.1, в
случае щели шириной 0,05 мм.
а — экран 82 касается экрана Si; б — расстояние между экранами равно нескольким санти-
сантиметрам, в — расстояние между экранами равно 20 м (аналогичная картина создается системой,
приведенной на рис. 6.3).
геометрическое изображение щели еще легко узнать, кхотя на его краях
и возникают светлые и темные полосы (рис. 6.2, б). Это явление называется
дифракцией Френеля. Рассмотрим теперь установку, схема которой изо-
изображена на рис. 6.3. Щель Lp, освещаемую источником света, помещают
в фокусе линзы Lt, а экран S2 — в фокусе линзы L2. В отсутствие дифрак-
дифракции света на отверстии в экране S t изображение щели Lp находилось бы
на экране 52. Если дифракционный эффект мал, то на S2 наблюдается
ДИФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ II ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРА
135
изображение Lp, окруженное полосами. Распределение света на S2 опре-
определяется формой и размером отверстий в *54 (а также формой и размером
Lp), но не воспроизводит их по форме. Дифракция такого типа называется
Рис. 6.3. Схема системы, в которой наблюдается дифракция Фраунгофера.
дифракцией Фраунгофера A787—1826). Отметим, что распределение
освещенности, показанное на рис. 6.4, не связано непосредственно с гео-
геометрической формой двух щелей.
400
400 мм
Рис. 6.4. Распределение освещенности в картине дифракции Фраунгофе-
Фраунгофера, создаваемой двумя одинаковыми щелями.
6.4. Таким образом, для классификации дифракционных явлений
следует различать три области образования изображения препятствия
или источника света.
1. Резкое изображение препятствия, соответствующее фактически
прямолинейному распространению света и отсутствию дифракции.
2. Дифракционное изображение препятствия — дифракция Френеля.
3. Дифракционное изображение источника света — дифракция Фраун-
Фраунгофера.
136 ГЛ. 6. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
Дифракция Френеля была детально изучена раньше, чем дифракция
Фраунгофера. Дифракционные явления важны для понимания волновой
теории и имеют ряд интересных применений. Дифракция Фраунгофера
имеет большую практическую ценность для общей теории оптических
приборов и теории дифракционных решеток.
В следующих параграфах (§§ 6.5—6.30) мы рассмотрим дифракцию
Френеля и Фраунгофера, используя простые методы, основанные на прин-
принципе Гюйгенса. Эти методы дают приближенные решения многих практи-
практических вопросов и являются введением к более общей теории, связанной
с понятием групп волн, изложенным в гл. 4. Такое общее рассмотрение
существенно для волновой и квантовой теорий.
Развитие принципа Гюйгенса
6.5. В гл. 3 было показано, что принцип Гюйгенса в его первоначаль-
первоначальной форме давал удовлетворительное объяснение законам преломления
и отражения света. Он позволял построить последовательность волновых
поверхностей по одной задан-
заданной волновой поверхности. Но,
пользуясь принципом Гюйгенса,
нельзя вычислить распределе-
распределение освещенности в дифракцион-
дифракционной картине. Френель и его по-
последователи дополнили теорию
Гюйгенса, задавая более деталь-
детально свойства вторичных эле-
элементарных волн. При выборе
свойств вторичных волн Гюй-
гене руководствовался требова-
р 6 5 нием, чтобы в отсутствие пре-
препятствий интерференция вто-
вторичных волн обеспечивала вос-
воспроизведение бегущей вперед волны не только по положению волнового
фронта, но и по ее амплитуде. Позднее Кирхгоф показал, что нет необ-
необходимости пользоваться специальными предположениями относительно
свойств элементарных волн. Полный расчет распространения волны можно
выполнить непосредственно путем решения волнового уравнения. Итак,
вопрос о распространении света прошел три стадии.
1) Гюйгенс высказал скорее интуитивное, чем логическое утверждение,
что, зная возмущение, производимое волной во всех точках произвольно
расположенной поверхности S в момент времени t0, можно определить
возмущение в точке Q в более поздний момент времени t (рис. 6.5).
2) Френель сделал специальные предположения относительно амп-
амплитуды вторичной волны, приходящей в точку Q от элемента площа-
площади dS. Он смог рассчитать распределение освещенности в дифрак-
дифракционной картине. Его результаты совпадали с экспериментальными
данными.
3) Кирхгоф показал, что возмущение, приходящее от элемента пло-
площади, можно найти из волнового уравнения без каких-либо специальных
предположений. Он показал также, что предположения, сделанные Фре-
Френелем, справедливы лишь в тех случаях, когда ни источник, ни точка Q
не находятся очень близко к поверхности S и когда принята гипотеза
Сен-Венана (см. § 6.33).
ЗОНЫ ФРЕНЕЛЯ
137
Методы Френеля
6.6. Френель и его последователи предполагали, что амплитуда вто-
вторичных волн, приходящих в точку Q (рис. 6.5) от бесконечно малого эле-
элемента площади dS, находящегося в точке М, пропорциональна AdSIr
(где А — амплитуда в точке М) и некоторой функции {функция направле-
направления), которая зависит от угла между радиус-вектором г и нормалью п
к волновой поверхности. Полная амплитуда в Q равна
__, Г ф (и, г) Ае~
■dS,
F.1)
где ф {п, г) — функция направления. Точный вид функции ф {п~г)
несуществен; важно, что ее величина уменьшается при возрастании угла
между п и г. В множителе е~%ш учтена фаза волны, соответствующая опти-
оптическому пути MQ. Амплитуда ^>q в общем случае комплексна, к — коэф-
коэффициент пропорциональности (см. § 6.8).
Кроме того, что Френель придал теории Гюйгенса строгую математи-
математическую форму, он разработал два метода суммирования действия всех
элементов dS и получил результаты, согласующиеся с экспериментом.
Первый метод зон Френеля—геометрический метод, применимый к зада-
задачам с осевой симметрией (см. §§ 6.7—6.10 и приложение 6В), второй —
метод, использующий интегралы Френе-
Френеля— общий аналитический метод, особен-
особенно полезный для решения задач с дифрак-
дифракционными экранами с прямыми краями,
например для прямоугольной щели (см.
приложение 6Г).
Зоны Френеля
6.7. Предположим, что источник света
находится на большом расстоянии от
плоскости LOM и, следовательно, слева
на нее падает плоская волна (рис. 6.6).
Пусть требуется рассчитать освещенность
в точке Q, а точка О есть ближайшая к ней Рис 6 6
точка волнового фронта. Пусть OQ = г0.
Разобьем мысленно фронт волны на ряд кольцевых зон, ограниченных
окружностями. На приведенном рисунке Mi и М[ — точки на противо-
противоположных концах диаметра наименьшей из этих окружностей, М2 и М'2 —
такие же точки на следующей окружности и т. д. Радиусы окружно-
окружностей выбирают так, чтобы
и т. д.
Тогда радиус gm = ОМт т-й окружности определяется из соотношения
F.2)
или, при условии, что тХ мало по сравнению г0,
Площадь m-й кольцевой зоны равна (яр^ — fi>Qm-i) = яХг0, т. е. не
висит от г, и следовательно, все зоны имеют одинаковую площадь.
за-
за138 ГЛ. 6. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
6.8. Рассчитаем сначала амплитуду в точке Q, создаваемую только
одной зоной. Для этого разделим эту зону системой концентрических
окружностей на ряд очень малых и равных между собой элементов поверх-
поверхности. Так как величина ф (тг, г)/г приблизительно постоянна для всей
зоны, то амплитуды, создаваемые отдельными элементами зоны, будут рав-
равны между собой, а фазы будут меняться от 0 до п. Результирующая ампли-
амплитуда (см. § 3.5) будет отличаться множителем 2/я от значения, которое
получилось бы, если бы все слагаемые имели одинаковую фазу. Фаза
результирующей волны совпадает с фазой волны от средней части зоны,
т. е. отстает на четверть периода от фазы волны, приходящей от внутрен-
внутреннего края зоны. Фазы результирующих волн от последовательных зон
отличаются друг от друга, таким образом, на половину периода, и поэто-
поэтому построенные зоны называются полупериодными *). Так как площади
зон равны иф(«, г)/г медленно меняется при удалении от центра нашего
построения, вклады последовательных зон в интеграл уравнения F.1)
образуют знакопеременный ряд, члены которого медленно уменьшаются
по абсолютной величине. Сумма такого ряда равна половине его первого
члена. Таким образом, возмущение, создаваемое всей волной, равно воз-
возмущению, которое произвели бы все элементы первой зоны, если бы излу-
излучаемые ими волны приходили в точку наблюдения в одинаковой фазе,
умноженному на 1/2-2/jt, т. е. на 1/я. Так как г ^ г0, то
1Г/^ = ЫяЯг0 F3)
Y я J г зтг0 v '
Фаза результирующего возмущения отстает на четверть периода
от фазы волны, приходящей в Q от точки О. Следовательно, результирую-
результирующее возмущение равно
r0— у я j\ = ikXA exp(—^кг0). F.4)
Но мы знаем, что результирующее возмущение, создаваемое не
ограниченной диафрагмами плоской волной, равно Л ехр (— *хг0),
и поэтому Френель положил к = i/X, т. е. допустил, что величина к равна
1А и что вторичные волны опережают на четверть периода волну, которая
ими заменяется. Эти предположения были введены без специального
обоснования, с тем чтобы получить правильный результат для неограни-
неограниченного фронта плоской волны. Сделав такие предположения, Френель
мог рассчитать дифракционные картины для дифракционных экранов мно-
многих типов, и согласие его расчетов с экспериментом оказалось очень
существенным для развития волновой теории.
Дифракция Френеля на круглом отверстии
6.9. Некоторые данные о распределении освещенности в дифракционной картине
можно получить очень простым и изящным путем, используя свойства зон Френеля.
В качестве примера проведем расчет изменения освещенности вдоль оси некоторого
круглого отверстия при дифракции плоской волны на краях этого маленького круг-
круглого отверстия в непрозрачном экране (диафрагма) **).
Когда точка наблюдения находится на большом расстоянии от отверстия, зоны
Френеля очень велики, и через отверстие проходят только вторичные волны от малой
части центральной зоны. Эти волны согласованы по фазам, но их амплитуда убывает
*) Их называют также зонами Френеля, реже — зонами Гюйгенса.
**) Другой пример рассматривается в приложении 6В.
ДИФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ НА КРУГОВОМ ЭКРАНЕ
139
с расстоянием, как 1/г, п следовательно, их результирующий эффект мал. Если точка
наблюдения приближается к диафрагме, то зоны сжимаются, и освещенность посте-
постепенно возрастает; она растет до тех пор, пока первая зона не заполнит все отверстие,
на котором происходит дифракция. В этом случае амплитуда результирующей волны
вдвое больше амплитуды в той же точке в отсутствие дифракционного экрана (т. е. при
прохождении всей волны), а освещенность в четыре раза больше освещенности, созда-
создаваемой полностью открытым волновым фронтом. Если точка наблюдения продолжает
приближаться к диафрагме, то освещенность в ней снова начинает падать и становится
равной нулю, когда отверстие в экране заполнено двумя зонами. При дальнейшем
сближении экрана и точки наблюдения освещенность в ней проходит через ряд мак-
максимумов и минимумов. Минимумы появляются, когда четное число зон Френеля,
построенных из точки наблюдения, заполняет отверстие в экране. Максимумы появ-
появляются в положениях, очень близких к тем, при которых это отверстие заполняет
нечетное число зон. Освещенность достигает постоянного значения в точках, столь
близких к экрану, что размеры маленьких неправильностей в форме отверстия стано-
становятся сравнимыми с шириной наружной зоны, пропускаемой этим отверстием. Поло-
Положения максимумов п минимумов рассчитывают при помощи уравнения F.2).
Для вычисления амплитуды результирующей волны в каких-либо точках на оси
диафрагмы, промежуточных между максимумами и минимумами освещенности, необ-
необходимо оценивать вклад в величину этой амплитуды результирующей волны от послед-
последней открытой зоны. При этом недостаточно предположить, что он просто пропорциона-
пропорционален площади дробной части, вписавшейся в отверстие высшей зоны. Необходимо учи-
учитывать изменения фазы излучения, приходящего от разных частей зоны (см. упраж-
упражнения 6.3 и 6.4).
Дифракция Френеля на круговом экране
6.10. Применяя метод Френеля, можно показать, что при помещении
круглого экрана, или диска, на небольшом расстоянии от точечного источ-
источника освещенность в центре геометрической тени диска остается такой же,
как и в отсутствие диска. Следующие простые рассуждения показывают
правильность подобного
утверждения.
Пусть SAO — путь
луча, который как раз
касается края диска,
SAiO — путь, который
длиннее S А О на V2 Я,
SA2O — путь, который
длиннее на Я, и т. д. Тогда
первая зона Френеля будет
лежать между краем дис-
диска и окружностью, прохо-
проходящей через точку А{
(рис. 6.7), вторая — ме-
между этой окружностью и окружностью, проходящей через точку Л2,
и т. д. Таким способом мы строим серию зон Френеля, начинающихся
от края диска. Результирующая амплитуда волны, создаваемой всеми
зонами, равна половине той амплитуды, которая получалась бы при дей-
действии только первой из построенных нами зон. Если точка наблюдения
находится не слишком близко от диска, то множителем наклона можно
пренебречь, и получающаяся амплитуда практически совпадает с той, кото-
которую давал бы полностью открытый волновой фронт. Когда работа Френе-
Френеля по дифракции света была представлена во Французскую Академию
наук, Пуассон вывел из теории Френеля найденный выше результат. Он
считал, что этим он опроверг всю развитую Френелем теорию, ввиду аб-
абсурдности сделанного ею в этом случае предсказания. Центральное яркое
пятно в тени экрана наблюдал Делиль примерно за 100 лет до появления
Рис. 6.7. Дифракция Френеля на круглом экране.
140 ГЛ 6. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
работы Френеля, но его наблюдения не привлекли внимания, так как они
не были связаны с какой-либо теорией. Опыт Делиля был успешно повто-
повторен Френелем и Араго, что позволило отвергнуть возражения Пуассона.
Действительно, наблюдаемое в центре геометрической тени светлое пятно
получило название пятна Пуассона.
Центральное светлое пятно наблюдается только в том случае, если край круг-
круглого предмета не имеет неровностей, размеры которых сравнимы с шириной первой
зоны в невозмущенной части волны. Если экран виден под довольно большим телес-
телесным углом или из точки наблюдения, или из источника, то ширина первой зоны оказы-
оказывается очень малой, и размер неровностей, которыми можно пренебречь, в свою очередь
становится очень малым. Описанное выше явление удобно наблюдать, применяя
в качестве источника света прокол в фольге, освещенной дуговой лампой, а в каче-
качестве экрана — маленький шарик из шарикоподшипника (диаметром около 3—6 мм).
Шарик можно прикрепить к стеклянной пластинке кусочком воска. Источник света
удобно помещать рядом с экраном, но освещать его светом, предварительно отражен-
отраженным от зеркала, удаленного примерно на 4 ж. Вблизи шарика его тень будет темной
из-за неровностей краев, но при расстоянии 2—3 м центральное светлое пятно внутри
тени уже отчетливо видно. Даже в отсутствие неровностей освещенность в непосред-
непосредственной близости от шарика будет близка к нулю вследствие влияния на действие
зон упомянутого выше множителя наклона.
В проведенном выше рассмотрении дифракции Френеля мы полагали, что полосы
наблюдают на экране или фокусируют окуляром. Если поместить глаз в плоскость
экрана и аккомодировать его на препятствие, то вокруг края последнего появится
светящееся кольцо. Для его наблюдения необходимо поставить перед глазом искус-
искусственный зрачок в виде маленького отверстия. В опыте Делиля этот эффект наблю-
наблюдался очень хорошо. Подобное явление можно увидеть иногда незадолго до зари. Если
атмосферный воздух очень чист и спокоен, края ветвей деревьев и т. д. кажутся ярко
освещенными вследствие дифракции света Солнца, которое находится еще ниже линии
горизонта. Этот эффект легко наблюдать при помощи установки, схема которой при-
приведена на рис. 6.7. Глаз, находящийся в точке О, аккомодируют на плоскость АА^А^.
Тогда виден узкий светлый круг, окружающий препятствие. Результат легко объ-
объяснить, допустив существование краевой волны, постулированной Юнгом (см. § 6.1
и [6.4]). Метод Френеля не дает простого истолкования наблюдаемому явлению.
Упражнения
6.1. Пусть точечный источник света расположен на расстоянии г' от некоторой
плоскости S; показать, что для наблюдателя, находящегося в точке А на расстоянии г0
с противоположной стороны от данной плоскости, радиусы окружностей, ограничи-
ограничивающих зоны Френеля, построенные на этой плоскости из точки А, даются соотно-
соотношением
[Указание. Предположить, что дт мало по сравнению с г0 и г'.]
6.2. Показать, что в общем случае кривые, ограничивающие зоны Френеля,
являются пересечениями эллипсоида с поверхностью S (не обязательно плоской).
Показать, что источник и точка Q служат фокусами эллипсоидов, и вывести уравнение
для m-го эллипсоида, считая, что начало координат помещается посередине между
источником Lp и точкой Q.
Г х2 . у2 t z2
Уравнение эллипсоида имеет вид ~~Д2~Т дъ 72"т дъ 72 = ^» г^е %А =
и 2l=LPQ.
6.3. Пусть Qi — радиус первой зоны Френеля; найти амплитуду и фазу резуль-
результирующей волны, создаваемой частью зоны, выделяемой окружностью радиусом /q4,
где /<1. Выразшь амплитуду в долях амплитуды результирующей, создаваемой
всей первой зоной.
[Амплитуда результирующей равна sin2/2ft/2; ее фаза равна /2Я/2.]
6.4. Вывести общую формулу для результирующей волны, создаваемой в точке Q
кольцом с радиусами qh q', которое находится внутри одной зоны. Выразить ампли-
ТУДУ в долях амплитуды результирующей от всей первой зоны.
г f/V2 —Q2N\ I 1
I Амплитуда результирующей равна sin i ( —gjj—— ) nr. I
ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКА 141
6.5. Пусть плоская волна падает на экран с круглой диафрагмой диаметром 1 мм.
Вывести выражение для положений максимумов освещенности вдоль оси диафрагмы
(см § 6 9) и найти численный результат для трех максимумов, наиболее удаленных
от экрана Считать длину волны света равной 5000 А.
[Эти максимумы находятся на расстоянии 50/B/1+1) см от экрана, где п —
цегое чисго ]
6.6. Пользуясь данными предыдущего примера, найти освещенность в точке,
которая находится вдвое дальше (от диафрагмы) самого удаленного максимума
[Искомая освещенность равна произведению (8/я2) на освещенность, создаваемую
невозмущенной препятствием волной ]
6.7. Пусть точечный источник света распоюжен на расстоянии 50 см от экрана
с кр^пым отверстием диаметром 0,5 мм Найти положение максимума освещенности
{на оси,) наиболее удаленного от экрана Считать длину волны света равной 5000 А
[17 см ]
6 8. Пусть диск диаметром 0,5 см имеет на краях неровности размером порядка
10 мн и расположен на расстоянии 1 % от точечного источника Предположив, что
пятно Пуассона видно, если неровности края длска перекрывают зону Френеля
не ботыпе, чем на одну четверть ее ширины, вычислить минимальное расстояние
от экрана, на котором можно видеть это пятно
[67 см ]
Дифракция Фраушофера
6.11. Если расстояние от дифракционного экрана до точки наблюде-
наблюдения очень велико по сравнению с его размерами, то в точке наблюдения
вторичные волны можно считать плоскими. Если на пути волны стоит
линза (см. рис. 6.3), то плотность энергии в точке Q в фокальной пло-
плоскости линзы пропорциональна энергии, дифрагировавшей в пределах
малого телесного угла вблизи направления DQ. Рассматривая в окуляр
фокальную плоскость линзы, мы будем наблюдать дифракционную кар-
картину, каждая точка которой соответствует определенному направлению
дифрагировавшей волны. Вторичные волны, приходящие в точку Q, будут
иметь такую же разность фаз, какую они имели в плоскости EDA, перпен-
перпендикулярной DQ. Освещенность в точке Q можно определить, если вычис-
вычислить эти разности фаз и затем образовать сумму, аналогичную инте
гралу F.1).
Дифракционная решетка
6.12. Совокупность одинаковых дифракционных элементов, распо-
расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга, образует дифракцион-
дифракционную решетку. Мы рассмотрим сначала линейную решетку, в которой дифрак-
дифракционными элементами являются параллельные штрихи, нанесенные
на стекло или металл. Решетками такого типа мсжно пользоваться либо
в проходящем (рис. 6 8, а), либо в отраженном свете (рис. 6 8, б). Нач-
Начнем рассмотрение с решеток, в которых ширина дифракционных эле-
элементов (прозрачные полоски) мала по сравнению с расстояниями межд\
ними. В таких решетках разность фаз между вторичными волнами, при-
приходящими в данную точку от одного и того же элемента, очень мала Это
дает возможность сначала рассмотреть те свойства дифракционной
решетки, которые определяются взаимным расположением этементов
друг относительно друга, т. е. взаимодействием волн, исходящих от раз-
различных ее элементов Мы пока отложим исследование дифракционной
картины, создаваемой одним элементом решетки, хотя, как мы покажем
позже, от этого существенно зависит качество работы реальной решетки.
Кроме того, мы предположим, что волны, исходящие от различных точек
142
ГЛ 6 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
дифракционной решетки, взаимно когерентны (см. § 5.3). Это условие
очень важно для излагаемой ниже теории.
6.13. Пусть дифракционная решетка со штрихами, параллельными
оси ОХ (перпендикулярной плоскости рис. 6.8), находится в плоскости
XY. Пусть расстояние между штрихами равно 2е и общее число штрихов N.
а)
о z
Рис 6 8 Одномерная решетка, состоящая из малых элементов.
а — дифракция в направлении падения света (вперед), б — дифракция
в обратном направлении (назад)
Рассмотрим решетку, работающую на пропускание (см. рис. 6.8, а), на ко-
которую падает свет под углом 6i. Разность хода от двух соседних штрихов
для света, дифрагировавшего под углом 92, равна
As = 2e (sin 62 — sin 6^ = 2е ф2 — Pi),
F.5)
где Pi = sin 8i и р2 = sin 62. Разность фаз для света с длиной волны X
и соответствующим волновым числом х равна
= 2nAs/X = 2ж (р2 —
F.6)
Пусть А (Я, 02) — амплитуда световых колебаний с длиной волны Я,
дифрагировавших в направлении 62 от одного элемента решетки. Пред-
Предположим (в соответствии с §6.36), что функция А приблизительно посто-
постоянна. Волны, исходящие из различных элементов решетки, находятся
в фазе, если
As = mX или 6я = 2тя, F.7а)
т. е.
Рл ТПЛ
2Г
F.76)
где т — целое число (положительное, отрицательное или равное нулю).
Для этих углов дифракции интенсивность дифрагированного света будет
максимальной и равной N2A2, так как волны, идущие от всех элементов,
находятся в фазе. Числу т = 0 соответствует свет, прошедший без
отклонения.
Если для освещения решетки используется белый свет, то направле-
направления на максимумы с т Ф 0 для различных длин волн будут соответство-
ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКА
143
вать разным углам (92), т. е. будет наблюдаться разложение белого света
в спектр.
Это важное обстоятельство лежит в основе применений дифракционной
решетки для спектрального разложения света. Число т, соответствующее
данному спектру, называется порядком спектра. Спектры белого света
разных порядков могут до некоторой степени налагаться друг на друга;
* !
з !
1
1
*
1
3-й лорядоя
2-й лорядон
7-й лоряЗа/f
IS * 3 о2
Дли/fa болш, J000A
Рис. 6.9. Перекрывание интерференционных порядков.
На рисунке спектры разных порядков смещены по вертикали;
в действительности же они налагаются друг на друга. Например,
1-й порядок для X 5400 А будет совпадать со 2-м порядком для
Я 2700 А и 3-м порядком для % 1800 А.
действительно, если ХХ' = т/п, то спектр тг-го порядка для длины вол-
волны X" совпадает со спектром m-го порядка для длины волны X' (рис. 6.9).
6.14. Учитывая правило знаков, установленное в § 7.4, мы должны считать
угол 02 на рис. 6.8, б отрицательным и, следовательно,
6х=2х<? (sin 92+sin Gj). F.8)
Тогда для спектра нулевого порядка 62 = — 01э т. е. мы получим обычный закон
отражения.
Если по обе стороны решетки, работающей на пропускание, разные среды (и, сле-
следовательно, длины световых волн различны), то
д\—2е (щ sin 04—и2 sin 92)
и для спектра нулевого порядка
x1sin01=x2sin02.
Учитывая, что к2/у^ = bi/b2 = Hi2 (см. §§ 3.13 и 14.3), получаем закон пре-
преломления Снеллиуса.
6.15. Для того чтобы определить распределение интенсивности дифра-
дифрагированного света по разным направлениям, применим формулу C.22)
для суммы N синусоидальных волн, фазы которых образуют арифметиче-
арифметическую прогрессию. Тогда получим
(Р2—Pl)>
F.9)
В этом выражении Е принимает значение N2A2, когда sin yte (fj2— р4) = 0.
При таких значениях р2 наблюдаются главные максимумы. Интенсивность
света равна нулю, если числитель в формуле для Е равен нулю, а знаме-
знаменатель отличен от нуля. Это происходит в тех случаях, когда iVxe (Р2— Pi)
кратно я, а ке (р2 — р^ не кратно я, т. е. когда разность хода для край-
крайних элементов решетки кратна я, но не Nn. Таким образом, между напра-
направлениями на два главных максимума существует (N — 1) направление
на минимумы света. Приблизительно на середине расстояния между
каждыми двумя соседними минимумами существует один побочный
144 ГЛ 6 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
максимум; он наблюдается при углах, для которых N%e ((i2 — РО прибли-
зительно равно ( т-\-~^ ) я (где т — целое число, не кратное N). График
для распределения Е в зависимости от значения величины {Nae (E2 — Pi)}
приведен на рис. 6.17, а. Если N очень велико, то главные максимумы
оказываются чрезвычайно резкими. Например, при N = 100 000 глав-
главный максимум для длины волны 5000 А не сливается с главным макси-
максимумом для длины волны 5000,1 А,
Если отдельные элементы решетки излучают по всем направлениям
одинаково (т. е. А — постоянная величина), то все главные максимумы
имеют одинаковую интенсивность. Практически А не постоянно, и поэто-
поэтому одни максимумы могут быть гораздо интенсивней других. Метод опре-
определения функции А (Я, 02) в зависимости от формы и размеров штриха
будет рассмотрен ниже (см. §§ 6.19 и 6.36).
Двумерные решетки
6.16. Совокупность одинаковых отверстий или препятствий, распо-
расположенных регулярно в двух измерениях (рис. 6.10), образует двумерную
решетку. Такое расположение дифракционных элементов можно получить,
если нанести две системы штрихов под углом
# Друг к другу. Приблизительно тот же эффект
# наблюдается при прохождении света через две
• * пересекающиеся решетки, т. е. решетки, рас-
• • * положенные почти вплотную друг к другу,
• • • • штрихи которых пересекаются под некоторым
углом.
Рис 6 10 Двумерная ре- Рассмотрим сначала случай, когда штрихи
шетка взаимно перпендикулярны и параллельны осям
ОХ и OY. Пусть расстояния между соседними
штрихами равны 2ех и 2еу. Через ос4 и E4 обозначим направляющие косинусы
падающего пучка света, через ос2 и [}2 — направляющие косинусы дифра-
дифрагированного пучка *). Тогда, проводя суммирование сначала для штри-
штрихов, параллельных ОХ, а затем для всех остальных штрихов, получим
выражение для комплексной амплитуды волны, дифрагировавшей в напра-
направлении ос2, р2:
а («2» р2) = Л( 2 ехрш1б1)( 2 ехрт2б2), F.10)
П1=1 712=1
где
б1 = 2хех(а2-а1), 62 = 2x^(^2-^0, F И)
a Ni и N2 — общее число щелей в обоих направлениях. Для вычисления
каждой суммы необходимо проделать расчеты, которые приведут к урав-
уравнению C.22), и мы получим
^2-Pi) J ' {ЬЛА)
А является функцией а2 и р2.
Если и 6i и 62 кратны 2я, то интенсивность света, распространяюще-
распространяющегося в данном направлении, достигает максимума, равного N\N\A2.
*) Здесь следует представить себе, что дифракционная решетка расположена
между двумя объективами так, как расположена диафрагма на рис 6 3 (Прим ред )
ТРЕХМЕРНЫЕ РЕШЕТКИ
145
Если же только 8i или только б2 кратно 2я, то будут наблюдаться гораздо
более слабые максимумы. Таким образом, главные максимумы появляются
в том случае, когда и б4 и б2 кратны 2я. Одна система максимумов (соот-
(соответствующая б2 = 0) располагается вдоль ОХ, а вторая F1 = 0) — вдоль
OY. Остальные спектры располагаются по диагонали; в центре картины
находится максимум нулевого порядка, который лежит в направлении а4, р4.
Муаровые полосы
6.17. Предположим теперь, что две одинаковые решетки расположены
вплотную друг к другу, так что их штрихи пересекаются под малым углом г|)
(рис. 6.11). При таком расположении они почти
эквивалетны двумерной решетке, описанной в пре-
предыдущем параграфе. Расстояние между элементами
решетки в направлении оси я' очень мало (=2e/cos\p),
тогда как в направлении оси у' оно значительно
больше (= 2e/sin г|)). (Отметим, что направления осей
х и у приблизительно, но не точно, взаимно перпен-
перпендикулярны.) Расстояния между максимумами раз-
различных порядков в направлении х велики, а в на-
направлении у1 очень малы и, следовательно, все глав-
главные максимумы располагаются приблизительно
параллельно оси у'. Если условия таковы, что спект-
спектры разных порядков вытянуты в линии, то наблю-
наблюдаются резкие полосы, приблизительно параллель-
параллельные оси у'. Эти полосы известны как муаровые
полосы. Резкость полос зависит от формы штрихов,
а их направление — от расположения решеток друг
относительно друга (см. [6.3]). Описанные выше по-
полосы появляются при условиях, соответствующих
наблюдению дифракции Фраунгофера.
Муаровые полосы, возникающие при наложении двух
несовершенных решеток (штрихи не строго прямы или рас-
сгояния между штрихами не равны друг другу), до некото-
некоторой степени искажены Это дает возможность исследовать качество изготовления
решетки, налагая ее на совершенною решетку и наблюдая муаровые полосы.
Если две решетки наложены друг на друга так, что наблюдаются муаровые
полосы, то смещение одной решетки (перпендикулярно штрихам) на расстояние х
приводит к смещению муаровых полос на расстояние у = x/ty. Подбирая угол if, можно
получить смещение полос, в 100—1000 раз превосходящее смещение решетки. Поме-
Помещая одну решетку на станину измерительного микроскопа, а вторую на его каретку
и наблюдая смещение муаровых поюс при помощи вспомогательного микроскопа,
можно очень точно измерять перемещение каретки. Счет числа прошедших муаровых
полос можно проводить автоматически при помощи фотоэлемента. Так как смещение
на одну полосу соответствует смещению каретки на одно расстояние между штрихами
решетки, то смещение каретки будет равно числу прошедших полос, умноженному
на расстояние между соседними штрихами решетки Различные методы измерения
и контроля, основанные на этом принципе, были разработаны Гюлдом и его сотруд-
сотрудниками [6.21].
Трехмерные решетки
6.18. Лауэ обратил внимание на то, что атомы в кристалле образуют трехмернлю
решетку, причем расстояние мржду атомами (порядка нескольких ангстрем) таково
что на ней можно наблюдать дифракцию рентгеновских лучей. Получающеюся дифрак-
дифракционную картину можно применить и для исследования структуры кристалла и для
изучения рентгеновских лучей Рассмотрим орторомбический кристалл со взаимно
перпендикулярными ребрами (OX, OY и ОЪ), который состоит из атомов точько
Ю р. Дитчберн
0
Рис 611
ные под малым углом
дифракционные ре-
решетки дают муаровые
полосы
146
ГЛ 6 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
одного сорта (рис 6 12) Пусть а1,р1 и yi — направляющие косинусы падающего пучка,
а а2, C2 n Y2 "~ направляющие косян\сы дифрагированного п\чка Если общее число
атомов вдоль каждого из трех взаимно перпендикулярных направлений равно Ni9 N2
и N3, то в направлениях, для которых dt, 62 и б3 кратны 2зт F4 = 2уех (a2 — aj
и т д ), буд>т наблюдаться дифракционные максимумы, интенсивность которых про
порциональна N\NIN$A2 Эти направления определяются соотношениями
„ nl* ft ft
— «1 — -9— , P2— Pl = "
2е
Y2—\i =
2ez
F 13)
где 2еХ1 2ey 11 2^ — расстояния лгеждз соседними атомами в направлениях О\, OY
и OZ, а Л4, Д2 и h3 — целые числа Распределение интенсивности по j глам опреде шется
соотношением, аналогичным уравнению F 12).
Величина А, которая характеризует амплитуду
волны, рассеянной одним атомоъ называется
атомным фактором рассеяния
Рис 6 12 Простая трех
мерная решетка (орто
ромбический кристалл)
Рис b 13 Отражение от системы экви
дистантных шоскос^ец
Приведенные выше соотношения надо еще дополнить уравнением
ai-r-pi + Yi=l F 14)
Гаким образом мы имеем четыре уравнения и только три неизвестных, и следо
вателыю если X фысспоовано, т i обычно не наблюдается сильной дифракции*) Если
же используется «белое > рентгеновское излучение, содержащее некоторый интервал
длин волн, то возникают «пятна Лауэ> в направлениях, соответствующих различным
значениям hx, h2 и h3 В образовании какдого пятна обычно участвуют излучения
различных длин волн
Если X фиксировано, то уравнения F 13) и F 14) также могут быть удовлетво
рены при соответствующем выборе угла падения Это обстоятельство используется
в методе Брэгга который при рассмотрении дифракции рентгеновских лучей исходил
из предположения, что система параллельных сетчатых плоскостей содержит большое
число атомов и ее можно считать эквивалентной системе зеркально отражающих
ил ось осте! (рис 6 13) Для того чтобы волны, отраженные различными плоскостями,
усишваш друг друга, необходимо, чтобы
4^0 sin % =
F 15)
где х — >гол ^ежд} направлением падающего пучка и рассеивающей плоскостью,
а 2,е0 — расстояние между соседними плоскостями Из рис 6 13 видно, что каждую
ато\ш\ю плоскость можно рассматривать как линейную решетку **)
*) Здесь речь идет о так называемом характеристическом излучении атомов,
имеющем спектр, состоящий из небольшого числа рентгеновских спектральных линий,
характерных для атомов каждого химического элемента «Белое» рентгеновское
излучение — это участок спгошного спектра в рентгеновской области, генерируемый
электродами в рентгеновской трубке при их торможении на аноде трубки Поэтому
«белое» излучение называется также тормозным Спектр тормозного излучения прак-
практически не связан с природой атомов анода (Прим ред )
**) Уравнение E 156), описывающее последовательные отражения от парап
лельных тонких пленок, аналогично уравнению F 15), но в E 156) 6 означает угол
между нормалью к отражающим плоскостям и направлением падающего пучка [Это
ФАКТОР РАССЕЯНИЯ
147
Отражение под углом, определяемым соотношением F.15), можно получить,
покачивая монокристалл так, чтобы различные кристаллические плоскости последо-
последовательно попадали в положение, соответст-
соответствующее максимальному отражению. В дру-
другом методе используются кристаллические ^г**"***»»***..
порошки (рис. 6.14, а). В этом случае
в столбике прессованного порошка всегда
найдутся кристаллики, ориентированные
по отношению г к падающему п>чку так,
что выполняется условие F.15). Каждая
б)
Рис 6 14 Дифракция на кристаллическом порошке (а) и вид дифрак-
дифракционной рентгенограммы (б) серебряной фольги (поликристалл).
система одинаковых сетчатых плоскостей, расположенных под разными азимутами^
образует конус лучей, который изображается в виде кольца на фотопластинке,
помещенной в S2. Дифракционная картина такого типа показана на рис. 6.14, б.
Фактор рассеяния
6.19. Угловое распределение интенсивности света, дифрагирован-
дифрагированного на одном элементе решетки, будет подробно рассмотрено ниже.
Сейчас мы наиболее элементарным способом выясним только
некоторые вопросы, существенные при изучении действия ди-
дифракционных решеток. Удобнее всего начать с рассмотрения
одномерной решетки, состоящей из последовательно чередую-
чередующихся прозрачных и непрозрачных штрихов (рис. 6.15). Пусть
ширина прозрачного участка равна 2d. Этот участок можно
разделить воображаемой системой линий, параллельных штриху
решетки, на бесконечное множество бесконечно малых элемен-
элементов. Волны, исходящие из этих элементов, имеют одинаковую
амплитуду, а их разность фаз меняется от 0 до 2xd (р2— Р0-
В данном случае, используя уравнение C.16), получим для
одного элемента решетки
л -
xrfffe-p!) -12
d(p2-Pj) J '
F.16)
где Ао равно А при р2 — Pi = 0, т. е. для того направления I
дифракции, в котором волны от всех частей щели идут в фазе. |
Распределение интенсивности дифрагированного света по рис g 15.
углам для решетки, состоящей из Л* элементов с шириной
штриха 2d и с расстоянием между центрами штрихов 2е (см. рис. 6.15)г
получим, подставляя F.16) в F.9):
„_A,s^Usin>NW^F{U)nNW)t F17)
U*
уравнение носит название условия Вульфа — Брэгга, так как оно было получена
первоначально профессором Московского государственного университета Ю. В. Буль-
фом. (Прил. ред.)]
148
ГЛ 6. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
где
и
j-sine,) F.18a)
Вид функции sin2 U/U2 показан на рис. 6.16, а. Она имеет один глав-
главный максимум, равный 1, и значительно меньшие побочные макси-
максимумы, равные B/ЗлJ, B/5яJ и т. д., т. е. приблизительно рав-
равные 0,04, 0,016 и т. д. Вид функции / (NW) мы рассматривали в § 6.15.
<д
6)
Рис. 6.16. График функции F(L) и векторные диаграммы, соответствующие точкам,
указанным на графике.
Она изображена на рис. 6.17, а, б. Произведение этих функций (Е) пока-
показано на рис. 6.18.
6.20. Рассмотрим сначала, как влияет на интенсивность света, дифра-
дифрагированного на решетке, разность фаз между волнами, прошедшими
по].определенному направлению сквозь соседние щели решетки.
Для конечного числа складывающихся колебаний (т. е. волн, про-
прошедших сквозь щели решетки), фазы которых образуют арифметическую
прогрессию, результирующая интенсивность уменьшается по мере того,
как разность фаз между каждой парой колебаний растет от нулевого
значения. Интенсивность дифрагировавшего света обращается в нуль,
когда векторные диаграммы, изображающие сумму колебаний, замыкаются
(рис. 6,17, б, случаи С и D), но значение интенсивности достигает ее вели-
величины в побочном максимуме в случае В. Если же разность фаз двух бли-
ближайших по фазе колебаний (разность упомянутой выше арифметической
прогрессии) достигает значения, равного 2я, то все колебания оказываются
фактически вновь в одинаковой фазе, и в соответствующем направлении
дифракции наблюдается следующий главный максимум.
Теперь обратимся к фазовым соотношениям между волнами, вышед-
вышедшими из одной щели решетки. Разность фаз у волн, исходящих от двух
краев одной щели решетки, имеет конечное значение. В пределах этой
разности фаз непрерывно изменяется фаза колебаний, выходящих из всех
промежуточных элементов данной щели. Разобьем мысленно поверхность
.щели на бесконечную последовательность бесконечно узких полосок.
ФАКТОР РАССЕЯНИЯ
149
а
6)
Рис. 6.17. График функции /(NW) и векторные многоугольники,
соответствующие точкам, указанным [на графике.
Отметим, что для точек А', В' и т. д. получаются такие же векторные
многоугольники, как и для точек А, В и т. д.
W
Рис. 6.18. Распределение света при дифракции на решетке с шири-
ширинами щелей, равными ширинам непрозрачных промежутков
(е = 2 d).
150
Г I 6 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
Очевидно, что разность фаз между волнами, излученными двумя такими
соседними полосками, будет бесконечно мала. (В частности, если она
равна нулю, то по соответствующему направлению распололчен интенсив-
интенсивный дифракционный максимум нулевого порядка от отдельноп щели.)
Но разнос!ь фаз между волнами, излученными соседними бесконечно
узкими полосками, на которые мы мысленно разбили одну щель, никогда
не может иметь конечного значения 2я. Это значит, что для света, дифра-
дифрагированного на отдельной щели, других главных максимумов (кроме
уже указанного максимума ш левого порядка) не б>дет. Если Лхе разность
фаз волн, излученных двумя краями щели, краша 2я, то результирующая
интенсивность света, дифрагированного всей щелью, равна нулю (см.
рис. 6.16, б, случаи D и F). Если же Э1 а разность фаз равна нечетному чис-
числу, умноженному на я, возникает побочный максимум (см. рис. 6.16,
случай Е, и табл. 6.1).
Таблица 61
F(U)
Главный максимум При U =0
Побочные максимлмы При V ;
Минимумы
2m-t-l
2
При U =
2га-
У
1 лавные максимумы
Побочные максимумы
Минимумы
( т
( за искиочеяием -д—
f(NW)
При W=0 или
f{NW) = l
тт w ~ С *^т
1
При W = -д-г я
, равного целому
Здесь т - целое число, отшчное от
\N J
С 2 J
f(NW)=0
числу )
нуля
Распределение интенсивности между главными максимумами
6.21. т й главный максимум наблюдается в том случае, когда ке ф2 — Pi) =
и гак как при этом / (NVi) = 1, то его интенсивность будет равна
sin zim d/e 2
nmd/e
F 19)
В центре дифракционной картины разность фаз ме/ьд> различными волнами
равна нулю так >ке, как и в отсутствие решетки, но их амплитуда уменьшена в d/e раз,
так как часть фронта вотны закрыта непрозрачными частями решетки Следовательно,
обозначая через Еу интенсивность света в отсутствие решетки, получим А\ = (d2 ^) Е\
Еш
F.20)
РЕШЕТКИ, НАРЕЗАННЫЕ НА СТЕКЛЕ ИЛИ НА МЕТАЛЛЕ
151
Так как слнус не может достигать значении, больших единицы, то максимальная
интенсивность в спектре первого порядка равна 1/я2пли приблизительно 1/10, в спектре
второго порядка — приблизительно 1/4U и т. д Гаким образом, интенсивность всех
этих максимумов мача по сравнению с интенсивностью нулевого максимума и быстро
убывает с возрастанием т.
Решетки, нарезанные на стекле или на металле
6.22. Для измерения длин волн спектральных линий желательно при-
применять приборы с большой дисперсией. Так как некоторые линии спектра
очень слабы, желательно также, чтобы большая часть света, выходящего
из спектроскопа или спектрографа, была сосредоточена в спектре одного
порядка. Если свет разлагается призмой, то он весь попадает в один
спектр, но очень большую дисперсию таким способом получить нельзя.
Решетки с очень частыми штрихами (с периодом порядка нескольких
длин волн) обладают очень большой дисперсией, но если такая решетка
состоит из чередующихся непрозрачных и прозрачных штрихов, то на
спектр одного порядка приходится только малая часть падающего света.
Единственный практический способ повысить долю света в спектре какого-
либо порядка заключается в том, чтобы отказаться от простой решетки
из чередующихся прозрачных и непрозрачных полосок и так изменить
вид единичного элемента решетки, чтобы максимум функции F (U) совпал
с одним из боковых макси-
максимумов функции / (NW).
В случае отражатель-
отражательной решетки это можно
сделать, изменив форму
штриха, наносимого на
плоскость решетки при ее
изготовлении.
6.23. С точки зрения
дальнейшего развития
вопроса чрезвычайно интересна следующая выдержка из статьи Рэлея
«Волновая теория света» [6.5] *):
«. . Если бы можно было ввести в каждой части отверстия решетки произвольное
запаздывание, то весь свет можно было бы сконцентрировать в тюбом из спектров,
по желанию. Предположив, что запаздывание изменяется равномерно и непрерывно,
мы приходим к сличаю обыкновенной призмы но тогда нет дифракционного спектра
в обычном смысле. Чтобы его получить, нл/кно бык» бы сделать так, чтобы запаздыва-
запаздывание изменялось постепенно на длин} вошы при прохождении каждого элемента
решетки, а возвращалось затем к своем} предыдущему значению, перескакивая, таким
образом, внезапно на длину волны. Маювероятно, чтобы можно было когда-либо
полностью этого достигнуть на практике, однако случай этот стоит отметить для того,
чтобы показать, что нет теоретического предела концентрации света заданной длины
волны в спектре одного порядка».
На рис. 6.19 изображена часть отражательной решетки типа, предло-
предложенного Рэлеем. Предположим, что каждая элементарная грань штриха
(бороздки) образует угол а с плоскостью, определяемой макроскопиче-
макроскопической поверхностью решетки. Когда свет падает по нормали к этой плоско-
плоскости, максимум освещенности для одного элемента решетки, рассматри-
рассматриваемого отдельно, находится в направлении, составляющем угол 2сс с нор-
нормалью. Если для данной длины волны X главный максимум функции / (Х\\ )
Рис 6 19 Отражательная решетка по Рэлею
*) См. Дж. В. Стрэт (Рэлей), Волновая теория света, Гостехнздат, 1940.
{Прим. ред.)
152
ГЛ. 6. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
находится в том же направлении, то большая часть света такой длины
волны будет сосредоточена в этом максимуме. Соотношение между Е (UW)
и F (U) окажется уже не таким, как на рис. 6.18, и примет вид, показан-
показанный на рис. 6.20.
6.24. Решетка, изготовленная самим Фраунгофером, состояла из тон-
тонких параллельных проволочек. Он также изготовлял решетки, нанося
параллельные штрихи на закопченное стекло. В обоих случаях решетка
состояла из последовательно чередующихся прозрачных и непрозрачных
областей. В те годы, когда Рэлей писал приведенные выше слова, Роу-
ланду удалось добиться большого успеха в нарезании решеток на металле
и стекле при помощи алмазного резца и прецизионной делительной машины.
Рис 6 20 Распределение света, дифрагировавшего на ре-
решетке, показанной на рис 6.19.
Когда решетки нарезали на металлическом зеркале, удавалось наносить
до 100 000 штрихов до того, как снашивалось острие резца, причем их мож-
можно было наносить очень близко друг от друга, так что на 1 еле помещалось
до 6000 штрихов. Ширина каждого элемента решетки составляла около
3 длин волн. Профиль штриха (т. е. бороздки, оставляемой резцом) кон-
контролировать не удавалось, и он менялся от решетки к решетке в зависимо-
зависимости от формы режущей грани алмазного резца. Некоторые решетки давали
довольно высокую концентрацию света в спектрах одного или двух поряд-
порядков, но всегда значительная доля света приходилась на спектрально
неразложенное центральное изображение входной щели спектрографа.
Исследования показали, что алмазные резцы, работая в наилучшем режиме,
не вырезают металл, а выдавливают в нем углубления и возвышения, кото-
которые и обеспечивают приближение — хотя и не очень близкое, — к карти-
картине, описанной Рэлеем. Единственный эффективный контроль мог осущест-
осуществляться в отношении глубины штриха, так как считалось, что грани
алмазного резца не поддаются обработке.
Эшелетты
6.25. В 1910 г. Буду удалось изготовить решетки с контролируемым
профилем штриха. Штрихи наносили на медную пластинку, покрытую
слоем золота, используя в качестве резца естественную грань специально
отобранного кристалла карборунда. Угол между плоскостями, образую-
образующими эту грань, составлял 120°. В следующем году Вуд и Троубридж изго-
изготовили такие же решетки, пользуясь алмазным резцом с режущей гранью,
ЭШЕЛЕТТЫ 153*
отшлифованной Брэккетом до нужной формы. Эти решетки были грубее
решеток Роуланда. Они годились для исследования инфракрасной обла-
ти спектра и для практического изучения влияния различных профилей
резцов. При работе с излучением с длиной волны около 30 000 А почти
весь свет оказывался сосредоточенным в одном или двух порядках с одной
стороны от центрального изображения. Такие решетки были названы
эшелеттами, так как их считали промежуточным звеном между обычными
решетками и эшелоном, созданным Майкельсоном (см. § 6.28). Копии
с исходных решеток, так называемые реплики, получают, нанося на решет-
решетки слой коллодия. Коллодию дают застьиь, а затем образовавшуюся плен-
пленку помещают на стеклянную пластинку и наносят на нее испарением
в вакууме тонкий слой золота, воспроизводящий форму бороздок на кол-
коллодии. Полученные таким способом реплики оказывались лучше ориги-
оригиналов, так как исходные медные пластинки не были идеально плоскими г
а реплики становились плоскими, когда коллодий прижимали к оптиче-
оптически плоской стеклянной пластинке.
Проблему изготовления оптических дифракционных решеток напра-
направленного действия, концентрирующих максимум света в спектре одного
порядка, не удавалось решить вплоть до 1935 г. Затем был разработан
способ нанесения прочных высокоотражающих слоев алюминия на стек-
стеклянные пластинки напылением его в вакууме. При достаточно высоком
вакууме и при соблюдении других технических условий пленки получают-
получаются очень прочными и настолько сильно пристают к стеклу, что резец дефор-
деформирует их, но не снимает. Используя специальную форму алмазного резца
и ориентируя его под соответствующим углом, Вуд [6.6, 6.7] смог полу-
получить решетки с 6000 штрихов на 1 см, причем 80% излучения зеленой
линии ртути E461 А) сосредотачивалось в дифракционном максимуме
первого порядка. Процесс изготовления решеток удается контролировать
настолько хорошо, что можно по желанию создавать концентрацию света
в первом, втором или более высоком порядках. Такие решетки были успеш-
успешно испытаны при получении спектров слабых звезд и туманностей.
При нормальном падении света на решетку сосредоточение энергии в спектре
одного порядка получается только для какой-то одной длины волны. Изменяя угол
падения, можно осуществить то же условие для света другой длины волны. Для обосно-
обоснования этого положения выведем следующие соотношения.
Пусть а — угол между гранью штриха и макроскопической поверхностью
решетки, а 6 — угол между падающим пучком и нормалью к той же поверхности,
тогда максимальная концентрация света получается в направлении Р, определяемом
соотношением
В самом деле, направление на максимум т-то порядка (под углом Р к нормали
решетки) записывается, очевидно, в виде
2е (sin 0m—sin Q) = m%.
Вместе с тем условие правильного геометрического отражения света от грани
штриха под тем же углом 0т = р (а это и есть условие концентрации света в дифрак-
дифракционном максимуме то-го порядка) требует, чтобы выполнялось равенство
0т=Р=0+2а. F.21)
Объединяя два последних соотношения, находим
2е [sin Bа+ 6) —sin 0] = тЯ. F.22)
Отсюда, задавая значения 2е, 0, ши1, можно найти нужный угол а между
гранью борозды и макроскопической поверхностью решетки.
154 ГЛ 6 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
Ьсчч 0т = р когда 9 = 0 (т е при норматьном падении света на решетку),
то концентрация энергии нз^з чения с дишои вотны Я блдет иметь чесю в максимуме
тп го порядка Изменяя немного 6 можно добиться равенства 0т = Р дчя бшзкои
к к длины волны К'
Изготовление дифракционных решеток
6.26. В делительных машинах, сконструированных Роуландом,
заготовка дифракционной решетки закреплялась на каретке, которая
могла перемещаться при помощи винтовой подачи Резец двигался пер-
перпендикулярно направлению движения каретки. После того как резец
прочерчивал один штрих, его приподнимали и возвращали в исходное
положение, а каретка за это время перемещалась на некоторое расстояние,
соответствующее вращению подающего винта на определенную долю
полного оборота Таким способом расстояние между соседними штрихамг
можно было сделааь гораздо меньше шага винта
В идеальной дифракционной решетке все штрихи должны быть иден-
идентичны по глубине и форме и расстояния между ними должны быть оди-
одинаковы с ючностью до малых долей этого расстояния Так как дчя изго-
изготовления такои решетки требуется точность, значительно превосходящая
ючность винторезных станков, то у всех решеток, нарезанных этим спо-
способом, обнаруживаются заметные дефекты, в некоторых случаях очень
существенные К основным дефектам решетки относятся следующие
1 Недостаточная резкость спектральных линий, связанная с раз-
различными причинами, в том числе с постепенным изменением постоянной
решетки по ее длине (возможно вызываемым несовершенной регулировкой
температуры), а также с несовершенством оптических свойств заготовки
решетки
2 Духи Роуланда — ложные слабые линии, появляющиеся в спектре
на небольших расстояниях от инюнсивных линий Возникновение линий
связано с периодической нерегулярностью в расположении штрихов
с большим периодом Подобный дефект обычно вызывается недостатками
подающего винта
3 Духи Лаймана — ложные линии, появляющиеся при длинах волн,
равных тХ/п (где тип — малые целые числа и т < п) Эти духи связаны
с периодической нерегулярностью в расположении штрихов с малым перио-
периодом (например, если каждый пятый штрих решетки слегка смещен отно-
относительно своего идеального положения, то это соответствует появлению
периодичности, в пять раз превышающей периодичность решетки, что
в свою очередь приводит к появлению «духа», кажущаяся длина волны
которого равна Я/5) Такой недостаток решетки можег быть связан с регу-
регулярной вибрацией делительной машины, нарезающей решетки
Много попыток было сделано для исключения или уменьшения влия-
влияния несовершенства подающего винта делительной машины В одном
из методов одну пластину интерферометра закрепляли на каретке дели-
1ельной машины, а вторую — на ее станине Нанесение штрихов контро-
контролировалось фотоэлектрическим приспособлением, которое определяло
положение каретки по сдвигу интерференционных полос
Решетку, содержащею 6000 штрихов на 1 см, можно изготовить, есчи каждый
штрих наносить после смещения интерференционной картины на 6 по юс Положение
максимума интерференционной полосы контролируется с точностью до нескольких
сотых долей ширины полосы при помощи фотоэлектрического устройства К сожале-
*ыю, в этом методе не устранены ошибки, связанные с непостоянством температуры
и недостаточной жесткостью > злов делительной машины При этом даже возникают
дополнительные ошибки, связанные с зависимостью расстояния чеждз интерферен
ИЗГОТОВЛЕНИЕ ДИФРАКЦИОННЫХ РЕШЕТОК
155
ционнымп полосами от атмосферного давления. Поэтому некоторые попытки исполь-
использовать описанный метод для изготовления хороших решеток окончились неудачей.
Гаррисон и его сотрудники разработали метод, позволивший получать дифракционные
решетки с большой заштрихованной областью, значительно превосходящие по своим
качествам решетки, изготовленные на хороших делительных машинах [6.13, 6.14].
В другом методе, в котором устранены периодические ошибки подаю-
подающего винта, используется устройство, предложенное Мертоном. На пре-
прецизионном токарном станке на строго цилиндрическую заготовку наносит-
наносится очень точная винтовая резьба. Затем цилиндр с резьбой устанавливается
Рис 6 21 Приспособление для нанесения резьбы.
1 — привод, 2 — первичная нарезка, 3 — Ллестьая млфтя,
4 — алмазный резец, 5 — давление, е 9 — годшшныьн,
7 — точная резьба, 8 — упругая муфта
коаксиально со вторым цилиндром и оба цилиндра приводятся в мед-
медленное вращение. Движение упругой муфты, связанной с резьбой пер-
первого цилиндра, передается алмазному резцу, который наносит резьбу
на второй цилиндр (рис. 6.21). Резьба второго цилиндра свободна от перио-
периодических ошибок первой резьбы благодаря усредняющему действию упру-
упругой муфты.
После этого второй цилиндр покрывают тонким слоем пластичного
материала, который после затвердевания разрезается вдоль образующей
цилиндра и снимается с него. Затем эта пленка с отпечатанной резьбой
накладывается на тонкий слой мягкой желатины, нанесенной на оптиче-
оптически гладкую плоскую поверхность. После затвердевания желатины пленка
удаляется и таким образом получается плоская копия резьбы второго ци-
цилиндра. Эту копию в свою очередь используют для получения последую-
последующих копии, на которые затем' можно нанести испарением в вакууме алю-
алюминий и применять в качестве отражательных дифракционных решеток.
156 ГЛ. 6. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
Таким способом можно получить решетки, имеющие до 3000 штрихов
на 1 см. Они пригодны для работы в инфракрасной области спектра,
а также в качестве шкал в системах, в которых применяются муаровые
полосы.
Амплитудные и фазовые решетки
6.27. При прохождении света через решетку, состоящую из чередую-
чередующихся прозрачных и непрозрачных полосок, возникает периодическое
изменение амплитуды падающей волны вдоль направления, перпендику-
перпендикулярного штрихам решетки. Идеальная отражательная решетка создает
периодическое изменение фазы (т. е. периодическое изменение формы вол-
волнового фронта) и не вызывает изменений амплитуды. Решетку, работаю-
работающую на пропускание и создающую изменение фазы, можно изготовить,
если одной поверхности пластинки из прозрачного пластичного материала
придать форму, изображенную на рис. 6.19, а вторую поверхность оста-
оставить плоской.
В теории дифракции и при обсуждении вопросов формирования опти-
оптических изображений (см. гл. 8) удобно рассматривать амплитудные решет-
решетки, которые вызывают только изменения амплитуды, и фазовые решетки,
вызывающие только изменения фазы. Надо, конечно, помнить, что реаль-
реальные решетки, изготовленные путем нанесения штрихов на стекло или
металл, дают одновременно и изменение амплитуды и изменение фазы.
Удобно также ввести понятие решетки с синусоидальным смещением,
или синусоидальной решетки. Могут существовать как амплитудные,
так и фазовые синусоидальные решетки. Если на амплитудную синусои-
синусоидальную решетку падает плоская волна, то прошедшую сквозь нее или
отраженную ею волну можно описать уравнением § @) = 2а sin (куу) sin со t.
Аналогичным образом фазовая синусоидальная решетка вызывает сину-
синусоидальное изменение фазы волны.
Для того чтобы получить распределение, описываемое этим урав-
уравнением, необходимо иметь синусоидальное изменение пропускания и изме-
изменение знака амплитуды в точках, где sin %уу проходит через нуль. Распре-
Распределение интенсивности, соответствующее приведенному уравнению, запи-
записывается в виде Е2 = 4а2 sin2 куу = 2а2 A — cos 2куу). Таким образом,
распределение интенсивности описывается разностью между постоянным
членом и синусоидальным членом, пространственная частота которого
равна 2ку.
Эшелон и эшель
6.28. Если угол падения света на решетку фиксирован (т. е. 9А =
— const), то dQ2/dX можно назвать угловой дисперсией. Из уравнения
F.76) следует, что
cose*t = f -TF« <6-23)
где W — ширина заштрихованной части решетки.
Таким образом, для данной ширины заштрихованной области угловая
дисперсия пропорциональна произведению mN (если не учитывать незна-
незначительные изменения cos 02). Ниже будет показано, что резкость главных
максимумов (и, следовательно, способность решетки разделять близкие
длины воля) также пропорциональна mN. Поэтому это произведение
должно быть сделано как можно большим.
ТЕОРИЯ ЭШЕЛОНА И ЭШЕЛИ
157
Рассмотренные выше дифракционные решетки имеют N порядка 10б
и используются их максимумы первого, второго или третьего порядков *);
следовательно, mN равно приблизительно 3-Ю5. Эшелон, изображенный
на рис. 6.22, а, состоит из 30 элементов (N = 30) к работает в очень высо-
высоких порядках (т = 35 000); у эшели (рис. 6.22, б) и N и т примерно рав-
равны 103. Таким образом, для всех этих приборов mN приблизительно равно
одному миллиону. Если обычная дифракционная решетка может работать
б)
Рис. 6.22. Ход лучей в отражательном эшелоне Майкельсона — Вильямса (а)
и в эшели (б).
сама по себе, то при работе эшелона или эшели требуется вспомогатель-
вспомогательное устройство для разделения интерференционных порядков, соответ-
соответствующих разным длинам волн; исключением служат случаи исследования
структуры одной спектральной линии, предварительно выделенной свето-
светофильтром (см. § 9.50).
6.29. Эшелон, впервые сконструированный Майкельсоном в 1898 г., работал
в проходящем свете. На рис. 6.22, а представлен отражательный эшелон, предложен-
предложенный Вильямсом [6.8] в 1933 г. Он состоит из системы строго плоскопараллельных
пластин из плавленого кварца, толщины которых равны друг другу с точностью
до 0,1 Я. Поверхности пластин тщательно очищают и пластины сажают на оптический
контакт. После нагревания пластин до температуры, много меньшей температуры
плавления кварца, поверхности пластин прилипают друг к другу и после охлаждения
их можно отделить друг от друга, только приложив значительные усилия. При таком
соединении пластин отражение света от их плоскостей очень мало, и поэтому можио
считать, что пластины посажены на оптический контакт. Подобное устройство дейст-
действует так же, как если бы весь эшелон был вырезан из одного куска плавленого кварца.
Поверхности образовавшихся ступенек покрывают алюминием напылением в вакууме.
Необходимость изготовления большого числа пластин, одинаковых по юлщине
с точностью до 0,1 Я, сильно увеличивает стоимость эшелона. Эшель (см. рис. 6.22, б),
предложенная Гаррисоном в 1949 г., изготовляется на специальной делительной
малыше, и стоимость ее изготовления гораздо меньше стоимости эшелона.
Теория эшелона и эшели
6.30. Рассмотрим сначала отражательный эшелон. Предположим, что
свет падает нормально, и рассмотрим его дифракцию на одной из ступе-
ступенек в направлении 6. Если t — толщина пластин, из которых сделан эше-
эшелон, 2е — ширина каждой его ступеньки, то разность фаз между пучка-
пучками, отраженными от соседних ступенек, равна следующей величине
(см. рис. 6.22, а):
b = 2?Lna(t +tcosQ — 2(?sin9),
где па — показатель преломления воздуха.
*) В настоящее время часто используются более высокие порядки A0—15).
158 ГЛ 6 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
Если 9 очень мало, то мы дюжем написать
Изменение освещенности в зависимости от 9 дается выражением, которое
представляет собой произведение двух введенных выше множителей,
соответствующих функциям /(ЛГТФ) и F (U) (см. § 6.19). Главный макси-
максимум функции, соответствующей f(NW), получается при
гак = па Bt — 2ед),
а угловое расстояние между максимумами порядка т и (т— 1) прибли-
приблизительно равно %'2е (так как па близко к единице).
Функция, соответствующая F (U), имеет вид
Она равна нулю при 9 — ±V2e, и почти весь свет концентрируется внутри
этого углового интервала. Если 2nat = тК, то главные максимумы функ-
функции, соответствующей f(Nl\), получаются при 9 = 0, ±%/2ещ ±2"к/2е
и т. д. Освещенное!ь велика в центральном максимуме и равна нулю
(или мало отличается от нуля) во всех других максимумах. Если 2nat
не равно целому числу длин волн, то видны два максимума с угловым рас-
расстоянием Х/2е, расположенные между 9 = -*-к/2е и 6 = —к/2е. В этих
максимумах освещенность одинакова, если они получаются при 9 = dzh/4e,
т. е. расположены симметрично по отношению к максимуму функции F (U).
Итаь, осуществимы ориентация эшелона, при которой получается
только один интерференционный максимум, и ориентация, дающая два
одинаковых симметричных максимума.
Для того чюбы перейти от одной ориентации к другой, обычно поме-
помещают эшелон в герметичную камеру и изменяют в ней давление и, следо-
следовательно, па до тех пор, пока не будут достигнуты требуемые для работы
условия.
Эшель (см. рис. 6.22, б), по сути дела, является эшелоном с очень
большим числом малых ступенек. Так как при нанесении этих ступенек
их поверхности не получаются вполне плоскими, концентрация света
в эшели не столь велика, как в эшелоне; в лучшем случае удается скон-
сконцентрировать в одном порядке около 1/3 полной интенсивности. Для
многих целей такая концентрация вполне достаточна.
Упражнения
6.9. Вывести уравнение, определяющее точное положение побочных максимумов
функции F (U)
[tgU = U ]
6.10. Решить графическим методом трансцендентное уравнение из упралчнения 6 9
и определить значение U, при котором появляется первый побочный максимум функ-
функции F (U) Сравнить значения F (U) в этом максимуме с ее значением при U — Зл/2.
[Максимум F (U) получается при £/ = 2,86 Я/2, при этом F (U) = 0,0472
Если U = Зя/2, то F (U) = 0,0451 ]
6.11. Показать, что при N ->оо вид функций / (NW) становится идентичным
с видом функции F (U) Исследовать, что происходит при этом с различными макси
мумами функции / (NW), если произведение NW конечно.
Указание Положить
(sin W)iW J
и устремить N —>■ oo, считая произведение NW конечным.
ИССЛЕДОВАНИЯ КИРХГОФА 159
6.12. Скочько побочных максшхумов функции / (ЛИ7) лежи! между главными
максимумами порядка т и (т -*- 1)?
[ V - 2 ]
6.13. Начертить графики функций Fq (Ь) = sin U/Unfa (NW) = sm frWI(N sin W)
(при Л = 4) и сравнить их с графиками функций F (U) и / (NW) Функции Fa(U)
и /О(ЛТТ) представляют амплитуды
6.14. Показать, что при таком соотношении челд> / и е, что наибольшее возможное
количество света приходится на первый порядок, освещенность во всех четных поряд-
порядках равна н>лю
6.15. При какой ветчине отношения е к d освещенность в максимуме /га-го порядка
становится а) наиботыпей и б) нулевой?
[а) 2т б) т \
6.16. Показать, что при <7, матом по сравнению с е, освещенность во всех макси-
млма\ низких порядков стремится к одинаковой величине
, /т _ <Р sin^ (nmd e) d* md П
17г~е2 (vnd/e)* ~^е*' вС'Ш ~ <<C 1# J
6.17. П^сть показатель преломления воздуха в камере, в которой расположен
эшеюн, равен 1,00029 дтя длины волны 5893 А при нормальных условиях Вычислить
изменение давления, необходимое для перехода от одиночного интерференционного
максимума к двум симметричным максимумам Толщина ступенек эшелона 2 мм
[193 мч ]
Теория дифракции. Общие вопросы
6.31. Распределение освещенности в дифракционных картинах
в принципе люжно пол\чить, найдя решение волнового уравнения, удов-
удовлетворяющее граничным условиям на тех препятствиях, на которых про-
происходит дифракция. К сожалению, математически эта задача настолько
сложна, что точное ее решение удалось получить только в одном специаль-
специальном случае. Зоммерфельд (см. [6.1, 6.2]) вычислил распределение свето-
световой энергии при прохождении пучка света мимо края очень тонкого
и идеально отражающего экрана в условиях, обеспечивающих дифракцию
Френеля. Его результаты согласуются с экспериментальными данными.
Математический мегод, использованный Зоммерфельдом, пригоден не во
всех случаях. Для решения некоторых частных задач применялись другие
математические методы, дающие менее строгие решения [6.1].
Исследования Кирхгофа
6.32. Кирхгоф применил теорем> Грина для решения скалярного
волнового уравнения. Он показал, чю возмущение в точке Q (см. рис. 6.5)
можно рассчитать, если известны возмущения во всех точках поверхности
S (которая полностью окружает Q). Это решение приведено в приложении
6А, где получена следующая формула:
♦в =- Ъ J А'^[-;Г(Г-Г')] [cos (», г) - cos (n, г')] dS, F.24)
где А' — сила света источника Lp, n — внешняя нормаль к поверхности
Эта формула справедлива в тех случаях, когда гиг' велики по сравнению
с длиной волны. Поверхность S должна полностью окружать или источ-
источник света, или точку Q. Приведенный результат подтверждает точьл зре-
зрения Гюйгенса, согласно которой световое возмущение в точке Q опре-
определяется возмущением на фронте волны, распространяющейся к точке Q,
устанавливает связь принципа Гюйгенса с волновым уравнением и делает
этот принцип более определенным, давая формулу для вычисления \|;q.
160 ГЛ. б. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
Можно показать, что более детальные предположения Френеля (иногда
эмпирические) также подтверждаются этим расчетом.
Для сферической волны величину A'einr /r' можно положить равной некоторой
новой постоянной Л, так как все точки волнового фронта характеризуются одной
и той же амплитудой. Множитель [cos (я, г) — cos (тг, г')] соответствует функции
направления, которая медленно уменьшается от значения 2, когда угол наклона (п, г)
возрастает от нуля. Множитель i эквивалентен опережению по фазе на четверть периода,
постулированному Френелем. Таким образом, при условиях, рассмотренных в § 6.6,
уравнение F.24) превращается в уравнение F.1).
Гипотеза Сен-Венапа
6.33. Метод Кирхгофа применим в том случае, когда интеграл берется
по всей поверхности, окружающей точку Q, т. е. когда рассчитывается
возмущение, создаваемое всей неограниченной волной. Однако из этого
метода не следует, что при наличии препятствий можно находить возму-
возмущения в точке Q, беря интеграл только по не ограниченной препятствиями
части волнового фронта.
Сен-Венан считал, что такое предположение справедливо на том
основании, что оно приводит к результатам, согласующимся с экспери-
экспериментом.
Гипотеза Сен-Венана не может быть вполне корректна, так как если
она верна, то величины d\ldy и т. д. на краях непрозрачных препятствий
должны обращаться в бесконечность, что несовместимо с волновым урав-
уравнением. Однако это предположение приводит к неправильным результатам
только в том случае, когда ширина дифракционного отверстия меньше
длины волны.
Дальнейшее развитие концепции группы волн
6.34. Выше было показано, что цуг волн конечной длины не является
чисго гармонической волной, но при помощи теоремы Фурье его можно
разложить на ряд гармонических волн различной длины. При достаточно
длинном цуге эффективный интервал значений длин подобных волн очень
мал, п такая система называется группой волн. Аналогичным образом
мы покажем теперь, что пучок света конечной ширины нельзя представить
одной плоской волной, и он должен рассматриваться как результат
сложения ряда плоских волн, распространяющихся в различных на-
направлениях.
Если ширина пучка очень велика по сравнению с длиной волны, то его
угловое расхождение (апертура) мало и образуется группа плоских волн
в указанном выше новом смысле этого слова. Все световые пучки, которые
встречаются на практике, ограничены как в направлении их распростра-
распространения, так и в обоих поперечных направлениях. Существует целый ряд
задач, в которых эффекты, связанные с ограничением цугов волн в напра-
направлении их распространения, несущественны. Тогда достаточно предполо-
предположить, что в данньш момент времени цуг волн имеет бесконечную длину
в направлении оси z, причем последнюю мы считаем осью конуса с малым
телесным углом при вершине, в котором заключен рассматриваемый нами
пучок. Это означает, что мы имеем дело с гармонической волной одной
строго определенной частоты. Для дальнейшего упрощения нашего расче-
расчета мы рассмотрим сначала световой пучок, который ограничен в напра-
направлении оси у и не ограничен в направлении оси х.
ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ КОНЦЕПЦИИ ГРУПП ВОЛН 161
6.35. Неограниченную плоскую волну, распространяющуюся в на-
направлении, перпендикулярном оси х и под углом G оси z, можно описать
выражением
а ехр i (at — ху sin 6 — xz cos 0),
или, что то же самое,
а ехр i (о* — хуу — xzz), F.25)
где
ху = и sin 6 и xz = х cos 0. F.26)
Рассмотрим группу волн, направления распространения которых
лежат в интервале углов, соответствующих значениям ху от (ху —s- dxy)
до {ху +-Q" dxy). Амплитуда этой группы волн равна а (ху) dxy (см.
§ 4.19). Тогда если d\ — результирующее возмущение для бесконечно
малой группы волн, то
с?£ = а (ху) ехр i (tot — хуу — xzz) dxy. F.27)
Рассмотрим систему волн, основное йаправление распространения
которых совпадает с осью z в пределах угла 0, соответствующего значе-
значениям ху от —Д до + Д.
Результирующее возмущение при t = 0 и z = 0 имеет вид
А
1о (у) = [а (Ку) ехР (-ЩУ) d*y. F.28)
Л
Если полагать, что функция а (ху) равна нулю для всех значений ху
вне интервала ±Д, что соответствует угловой апертуре, то мы можем рас-
распространить пределы интегрирования до бесконечности; тогда получим
lo{y)= J «K)exp( — ixvy)dxv. F.29)
— оо
Пользуясь теоремой Фурье, можно написать
F.30)
Для строго параллельного пучка света, распространяющегося вдоль
оси z, функция а (ху) равна нулю всюду, кроме ху = 0; из соотношения
F.29) следует, что в этом случае £0 (у) не зависит от у. Тогда смещение
одинаково для всех точек на оси у, и пучок бесконечно широк в направле-
направлении у. Если пучок не строго параллелен, но а (ху) задано, то возмущение
в различных точках оси у в момент времени t = 0 можно рассчитать
по формуле F.29).
Если, например, а (ху) = А при значениях ху, заключенных в интер-
интервале ±Д, и равно нулю всюду вне этого интервала *), то
F.31)
*) См. уравнение D.88) приложения 4Б. Следует помнить, что среднее значение у.уу
соответствующее хт, равно нулю*
И Р. Дитчберн
162 ГЛ. 6. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
Отсюда мы видим, что £0 (у) имеет заметную величину только при значе-
значениях у, заключенных между л/А и —я/А; если А очень мало, то пучок
должен быть очень широким. Если А достаточно велико, то основная
энергия пучка сосредоточена в узкой области значений у.
Пучок конечной ширины. Одномерный случай
6.36. Пусть 10 (у) = А при значениях у, лежащих между — d и -4- dy
и пусть £0 (у) = 0 всюду вне этого интервала. Амплитуда в пучке постоян-
постоянна на линии у = О и в некотором физически малом интервале вокруг нее,
который все же велик по сравнению с длиной волны. Из уравнения F.30)
тогда получаем
A F.32)
a(xy) = .
Если Е — отношение энергии пучка в направлении, определяемом хуу
к его энергии в направлении оси z (для которой ху = 0 и (sin Kyd)/Ky =
= d), то
г, Г sin Kud \ 2 Г sin [Bл d sin 0)/Х] 1 2 /А Qo\
l~M J I Bnd sin в) A J ' (Ь'**>
Из соотношения F.33) мы видим, что если d велико по сравнению с Л,
то величина Е мала всюду, кроме области малых значений 0. В этом слу-
случае пучок мало отличается от параллельного. По мере уменьшения d энер-
энергия распространяется во все большем и большем интервале углов. Ширина
пучка и угловое распределение направлений распространения энергии
связаны друг с другом определенным математическим соотношением *).
Отметим, что уравнение F.16) согласуется с уравнением F.33) в слу-
случае нормального падения.
6.37. В предыдущих параграфах мы рассматривали дифракцию
на одиночном отверстии в бесконечном экране. Обратимся теперь к более
общему случаю и предположим, что пучок когерентного света единичной
амплитуды падает на экран, расположенный на поверхности равной фазы
(эту фазу мы будем считать нулевой). Для того чтобы охарактеризовать
действие экрана, будем считать, что световое возмущение за экраном
описывается функцией £0 (у) exp i (со* — xzz). Если экран вызывает
только изменение амплитуды световой волны, а не фазы, то £0 (у) должно
быть действительной величиной. Если же он создает изменение только фазы,
но не амплитуды, то £0 (у) будет комплексной величиной, модуль которой
не зависит от у. В общем случае экран вызывает изменение и амплитуды,
и фазы и тогда можно написать g0 (у) = А ехр £б, где А и б являются
функциями у. Если А — периодическая функция у, а б — постоянно,
то мы получаем синусоидальную амплитудную решетку (см. § 6.27).
Если же б — периодическая функция, а i — константа, то получается
синусоидальная фазовая решетка. Пользуясь преобразованием Фурье,
любую реальную решетку можно представить в виде суммы некоторого
числа синусоидальных амплитудных и фазовых решеток.
Расчет дифракционной картины можно производить следующим
образом. Распределение £0 (у) в плоскости, находящейся вправо от диф-
*) Соотношение, которое мы вывели, справедливо в тех случаях, когда на щель
падает плоская волна. При этом получается минимальное угловое расхождение напра-
направлений распространения волн, прошедших сквозь щель. Значительно большее угловое
расхождение получается при падении на щель сходящейся или расходящейся волны.
ДИФРАКЦИЯ НА ДВУМЕРНОМ ЭКРАНЕ 163
ракционной решетки и вплотную к ней, определяется влиянием дифрак-
дифракционной решетки на плоскую волну, падающую слева. Однако то же рас-
распределение можно получить без всякого экрана при помощи системы
плоских волн, падающих слева на рассматриваемую плоскость и распро-
распространяющихся в различных направлениях. Наблюдатель, находящийся
справа от решетки, наблюдая только дифракционную картину, не может
установить, каким образом создалось распределение £0 (*/)• Таким обра-
образом, он наблюдает ту систему плоских волн, которая дала бы распределе-
распределение £о (у) j если бы она свободно проходила через плоскость у = 0.
Отметим, что эта система волн не может содержать волны, соответ-
соответствующей ку >х. Если же структура дифракционного экрана такова,
что среди фурье-компонент, описывающих £0 (*/)> существуют такие не рав-
равные нулю значения а (ху), для которых ку >х, то приведенное выше рас-
рассмотрение неприменимо.
6.38. Фурье-компоненты, описывающие синусоидальную амплитуд-
амплитудную решетку, простирающуюся от у = — оо до у = + оо, соответствуют
двум пучкам света, распространяющимся в направлениях, для которых
sin 0= dzx^/x. Таким образом, бесконечная синусоидальная амплитудная
решетка дает только два боковых спектра, каждый из которых пред-
представлен параллельным пучком света. Если решетка простирается от
у = —D до у = -j-Z> (где KyD настолько велико, что ширина дифрак-
дифракционной решетки велика по сравнению с ее периодом), то также существу-
существуют только два боковых спектра, однако соответствующие световые пучки
не строго параллельны. Если считается, что распределение в плоскости
z = 0 обусловлено взаимодействием пучков конечной ширины, то следует
учитывать расхождение этих пучков, описываемое соотношением F.16).
В этом случае боковые спектры не будут бесконечно резкими, а будут
покрывать некоторый интервал углов.
Если дифракционная апертура имеет конечную ширину, то для представления
дифрагированного света часто удобнее пользоваться рядом Фурье, а не интегралом
Фурье. Таким способом можно определить направления на главные максимумы и их
полную интенсивность. Для определения остроты максимума необходимо использовать
фурье-преобразование для учета ширины апертуры.
Дифракция на двумерном экране
6.39. Применяя теорему Фурье для двумерного экрана, получим
со со
^ J l(x)exvi(K + K)ddy, F.34)
где кх = ах и ху = |3х, а а и |3 — направляющие косинусы. Если поло-
положить
a(Kx,ny) = C + iS, F.35)
где С и S — действительные функции кх и ху, то отношение потока энер-
энергии в направлении, определяемом значениями кх и ку, к потоку в напра-
направлении на центр дифракционной картины (кх = ху = 0) будет равно
F>36)
11*
164 ГЛ. 6. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
Если дифракционный экран симметричен относительно осей х ж у (£0—
четная функция х и у), то S = 0 и уравнение F.34) примет вид
сг> ос
а (х*, кд) = JL I I lo cos (кхх) cos (xyy) dx dy, F.37)
—ос —со
и в этом случае Е = Сг1С\,
Распределение интенсивности для дифракции на прямоугольном
отверстии с размерами 2dx и 2dy можно получить, подставляя в соотно-
соотношение F.37) £0 = А в области от 0 до dx и от 0 до dy и интегрируя. Таким
образом, будем иметь
Е = Г sin (*xd*)sin (Xi^/L 12 F 38)
Распределение освещенности по экрану S2 (см. рис. 6.3), при освещении точечным
источником прямоугольной щели в экране Siy дается уравнением F.38). Если экран S2
находится на расстоянии zY от линзы Lt, a xi и yt задаются соотношениями
2л xi _ 2я ух _
-у— -** и т- —_ху,
то все участки волны, направление распространения которых определяется величи-
величинами кх и %у, собираются в точку Q с координатами^иу±. Распределение освещенности
на экране описывается выражением
E(xit Vi) =
F.39)
Освещенность равна нулю всюду, где величина dxxi/B'kzi) (или dyyi/B'kzj)) есть целое
число, отличное от нуля. Таким образом, дифракционная картина содержит два ряда
взаимно перпендикулярных линий, на которых освещенность равна нулю. Области
максимальной освещенности находятся между этими линиями.
Такая дифракционная картина изображена на рис. III, н. Следует отметить, что
длинная сторона прямоугольника в дифракционной картине соответствует короткой
стороне диафрагмы. Если диафрагма имеет форму очень длинной вертикальной щели,
то горизонтальные линии в дифракционной картине располагаются так тесно, что
они сливаются. Наблюдаемая картина аналогична картине, изображенной на рис. III, д.
6.40. Выше мы рассматривали дифракционную картину, получаю-
получающуюся при освещении щели точечным источником света. Теперь пред-
предположим, что щель, на которой происходит дифракция, освещается
источником, которым также служит освещенная щель. Рассмотрим диф-
дифракционные картины, образованные двумя малыми областями источника
А ж В. Если обе щели строго параллельны друг другу, то дифракционные
картины, создаваемые светом, исходящим из областей А и В, будут почти
точно одинаковыми. Так как световые пучки, выходящие из А и из 5,
некогерентны, то они интерферировать между собой не будут и в любой
точке дифракционной картины будут складываться интенсивности волн
от А и от В. Таким образом, вид дифракционной картины в этом случае
будет таким же, как и в случае точечного источника, но интенсивность
картины существенно возрастет. Если же щели не строго параллельны,
то дифракционная картина будет размыта.
Дифракция на круглом отверстии
6.41. Круглое отверстие имеет симметричную форму, и поэтому можно восполь-
воспользоваться уравнением F.37). Интеграл берется по площади круга, радиус которого
мы примем равным R. В данном случае достаточно исследовать изменение освещен-
освещенности вдоль какого-либо радиуса, выходящего из точки наблюдения Qq\ выберем
ДИФРАКЦИЯ НА КРУГЛОМ ОТВЕРСТИИ
165
радиус, проходящий через* Qo параллельно оси х, для него уу = О Уравнение F 37)
следует проинтегрировать по области, ограниченной отверстием, причем предепы
интегрирования по у равны ^ (R2 — х2I^2
с =
R (H2-a,2)V
\ \
R
dy cos (кхх) dx
F 40)
или
C = И I (R2~ж2)/2 cos (**x) dx
-R
F 41)
Если мы положим х = R cos % и q = rxRi то
\ sin2 X cos (q cos X) <
C =
F 42)
Функция Бесселя первого порядка определяется соотношением
я
h (Q) = -jf \ sin2 % cos (q cos X) c?X
F 43)
Эту функцию нельзя проинтегрировать аналитически и представить в виде конечного
алгебраического выражения, но ее можно вычислить при помощи рядов, численные
значения ее протабучированы Из со
отношений F 42) и F 43) получаем
^Д2 /i(Q)
2я q
F 44)
Используя то обстоятельство, что при
q -> 0 величина J1 (q)/q стремится к 1/2
получим
#(q)^
Q У
2л
J
2к_
F 45)
F 46)
Рис 6 23 Распределение освещенности
в дифракционной картине, создаваемой
крупой диафрагмой
2? (#i) есть освещенность на расстоянии xt
от Qo Мы можем найти ее, выразив р
через o?i, Zi и i?, и затем воспользо-
воспользоваться таблицами дчя функции Бесселя
Результат расчета приведен на рис 6 23, а соответствующая дифракционная картина
показана на рис III, л Она представляет собой яркое пятно, окруженное чередлю
щимися темными и светлыми кольцами Радиусы светлых и темных колец приведены
в табл 6 2, где указаны также ветчины максимальной освещенности Как мы видим,
все кольца, за исключением центрального, очень счабы Расчет показывает, что
84% всего света сосредоточено в центральном пятне Такое пятно называют круж
ком Эйри A801—1892), который впервые исследовал эту задачу в общем виде
166
ГЛ 6 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
Таблица 6.2
Номер
кольца
1
2
3
4
5
Радикс, в единицах ziX/2R
темйое
кольцо
1,22
2,23
3,24
4,24
5.24
светлое
кольцо
1,64
2,69
3,72
4,72
5,72
Освещенность в макси-
максимуме по отношению
к освещенности в цент-
центральном пятне
0,0174
0,0041
0,0016
0,0008
0,0004
Дифракция на большом числе одинаковых диафрагм
6.42. В §§ 6.12—6.30 мы рассматривали дифракционную картину,
которая получается от большого числа одинаковых дифракционных эле-
элементов, расположенных регулярным образом. Мы показали, что интен-
интенсивность в любой точке дифракционной картины можно выразить в виде
произведения двух функций, одна из которых {F) описывает действие
одного элемента дифракционного экрана (щели), а вторая (/) учитывает
взаимное расположение отдельных элементов. Теперь мы покажем, что
это справедливо и для любой системы одинаковых дифракционных эле-
элементов (ориентированных одинаковым образом), даже если они располо-
расположены нерегулярным образом.
Кроме того, будет показано, что для полностью хаотического распо-
расположения дифракционных элементов множитель / просто равен числу эле-
элементов. Таким ^образом,
У f >v можно ожидать, что рас-
распределение освещенности
в дифракционной карти-
картина, полученной от набора
хаотически расположен-
расположенных отверстий, будет ана-
аналогично картине от одно-
одного отверстия.
6.43. Пусть Ои 02, Oz
и т. д. (рис. 6.24) — ряд
точек, расположенных
одинаковым образом по
одной в каждой диафраг-
диафрагме. Поместим в каждой из
этих точек свои начала ко-
Ряс. 6.24 ординат и обозначим ко-
координаты некоторой точки
какой-либо диафрагмы в этой системе через (х', у'). Координаты самих
точек Ои О2, О3 и т. д. в основной системе отсчета, связанной со всем
экраном, обозначим через (Хи У4), (Х2, У2) и т. д. Пусть (я,^ у) есть
координаты некоторой точки какой-либо диафрагмы в основной системе
отсчета. Для некоторой диафрагмы номера / получим
x = Xf + x' и 2/ = У/ + ?//. F-47)
Пусть £0(#', у') — распределение светового возмущения на какой-либо
ХАОТИЧЕСКОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДИФРАКЦИОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 167
одной диафрагме. Подставляя эти значения в F.34), получим
—v-O —CO
F.48)
Множители, содержащие Xg и Yg, можно вынести за знак интеграла»
Тогда получим
Лг оо оэ
а (кх, %v) = JL 2 exp {i (%xXg + %vYg)} \ \%л (*', у') X
i
—оо —оо
у ехр {I (кхх' + *уУ')} dx' dy'. F.49)
Если
оэ со
Л = 4i5 \ \ ?о (*', у') ехр {* (х«а;' 4- хуу')} ^' ^' F.50)
N N
В = 2 ехР {г' (х^ т *Л)} = S ехр **^ F.51)
то относительная интенсивность будет равна
Е = АА*ВВ*. F.52)
Таким образом, относительная интенсивность определяется произведением
множителя F = АА*, зависящего только от свойств отдельного элемента,
на котором происходит дифракция (щель, экран и т. п.), и множителя
/ = ВВ*, который зависит только от расположения дифракционных эле-
элементов друг относительно друга. При рассмотрении дифракции рентге-
рентгеновских лучей на кристаллической решетке эти множители называются
фактором рассеяния и структурным фактором соответственно. Величины
F (U) и / (NW), рассчитанные в § 6.19, относятся к частному случаю
одномерной решетки.
Хаотическое расположение дифракционных элементов
6.44. Множитель / определяет результирующее колебание для суммы
простых гармонических колебаний, амплитуды которых равны, а фазы
определяются значениями б1? б2 и т. д. Имеем
N N
/= ВВ* = [ 2 ехр (id,)] [ 2 ехр (-Й,)] . F.53)
Это выражение можно представить в виде суммы N членов, каждый из
которых равен единице, плюс двойная сумма членов вида ехр [i Fr — б8)]-
Если дифракционные элементы расположены хаотически, эти члены двой-
двойной суммы могут быть как положительными, так и отрицательными,
и если N очень велико, то их сумма равна нулю. Таким образом, наиболее
вероятное значение/ равно ЛГ. Следовательно, распределение интенсивности
света в этом случае аналогично его распределению от одного элемента,
но интенсивность в Л^ раз больше.
168 ГЛ. 6. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
6.45. Рэлей [6.5] детально рассмотрел вопрос о результирующем действии N
колебаний с произвольной разностью фаз между ними. Если мы представим, что сделано
р проб с различными, случайно выбранными фазами, то среднее значение / в уравне-
уравнении F.53) будет тем ближе к N, чем больше р. Однако вероятность получить в одиночном
опыте значение /, заметно отличающееся от N, не зависит от Л' и не является малой.
Например, вероятность получения /, меньшего 0,6 N, равна 0,45, а большего 1,5 iV —
равна 0,22. При фотометрическом суммировании (см. § 5.1) самый короткий интервал
времени наблюдения покрывает очень большое число случайных изменений фазы,
и поэтому вероятность получить значение /, существенно отличающееся от среднего,
очень мала. В вопросе, рассмотренном в § 6.44, мы имели дело с одним набором фаз
слагаемых колебаний, и поэтому существует значительная вероятность получить значе-
значение, отличающееся от среднего. Эти соображения применимы также при рассмотрении
дифракции рентгеновских лучей в жидкостях и аморфных твердых телах, хотя рас-
расположение атомов в этих веществах не вполне хаотично. В стеклах, например, суще-
существуют мелкие упорядоченные области. Даже в жидкостях расстояния между атомами
изменяются только в очень узких пределах.
Теорема Бабине *)
6.46. Теорема Бабине связывает между собой явления дифракции света на так
называемых дополнительных дифракционных экранах.
Дополнительными экранами принято называть такие экраны, которые совместно
полностью перекрывают волновой фронт. Например, круглое отверстие в непрозрач-
непрозрачном бесконечном плоском экране и непрозрачный диск одного диаметра с вышеупомя-
вышеупомянутым отверстием будут дополнительными экранами. Оба эти экрана в совокупности
могут полностью закрыть фронт плоской волны. Две амплитудные дифракционные
решетки, состоящие из прозрачных и непрозрачных элементов равной ширины, будут
также дополнительными экранами.
Теорема Бабине, которую мы ниже сформулируем и докажем математически,
говорит, что при фраунгоферовой дифракции плоской волны на каждом из дополни-
дополнительных экранов распределение освещенностей в дифракционных картинах, полученных
в этих двух случаях, одинаково всюду, кроме того места, где расположено идеальное
оптическое изображение источника света.
Поясним содержание теоремы на примере оптической системы, изображенной
на рис. 6.3. Пусть линзы Li и L2 имеют очень большие апертуры и пусть сначала диф-
дифракционный экран #! отсутствует. Тогда на экране S2 мы получим в точке Qo изо-
изображение точечного источника света Lp. Теорема Бабине утверждает, что если на
место экрана S^ помещать поочередно два дополнительных экрана, то на экране #2
будут наблюдаться в обоих случаях одинаковые дифракционные картины всюду,
кроме точки Qo, гДе находится изображение источника света Lp.
Это утверждение можно доказать следующим образом. Пусть щ есть значение
волнового смещения в некоторой точке Q экрана S2, созданное всеми элементами вол-
волнового фронта, вписавшимися в отверстие диафрагмы первого из двух дополнитель-
дополнительных экранов. Пусть и2 есть аналогичная величина, создаваемая всеми элементами
волнового фронта, неприкрытыми непрозрачным диском, играющим роль второго
дополнительного экрана. Обозначим, наконец, через и волновое смещение, создавае-
создаваемое в точке Q всеми элементами полностью открытого волнового фронта. Тогда при
полностью открытом волновом фронте должно иметь место равенство
и± + и2 = и, F.54)
Но в точке Q в отсутствие обоих дифракционных экранов освещенность равна нулю,
а следовательно, и и равно нулю. Поэтому и± = —и2. Последнее равенство состав-
составляет математическую формулировку доказанной теоремы Бабине. Из доказанного
равенства следует, что освещенности /4 и /2 в точке Q в случае дифракции на допол-
дополнительных экранах также равны, так как /4 s ttj и /2 s u].
В приведенном доказательстве использовано условие, что в точке Q в отсутствие
дифракционных экранов освещенность равна нулю. Последнее (а следовательно,
и приведенная формулировка теоремы Бабине) справедливо, если мы имеем случай
фраунгоферовой дифракции в системе, аналогичной изображенной на рис. 6.3, и, кроме
того, если можно пренебречь дифракцией на краях идеальных линз Lx и L2. Второе
ограничение справедливо практически в том случае, когда точка Q, к которой мы при-
применяем теорему Бабине, выбрана достаточно далеко от Qo и окружающих эту точку
ближайших дифракционных колец. Это значит, что оба дополнительных экрана должны
*) Эту теорему часто называют принципом Бабине.
ЭРИОМЕТР ЮНГА 169
создавать дифракционные картины, превосходящие по своим размерам картину вокруг
Qo, обусловленную конечными размерами апертур линз Lt и L2.
В случае френелевой дифракции на дополнительных экранах опять получаем
щ -\- и2—и, но теперь и Ф 0 ж теорема Бабине теряет свое практическое значение,
так как для отыскания, например, и2 надо знать не только uv'no и и.
Для случая фраунгоферовой дифракции теорема Бабине полезна, так как она
позволяет находить дифракционные картины от дополнительных экранов, вычислив
их только для одного экрана.
Упражнения
6.18. Найти функцию, описывающую распределение интенсивности в дифрак-
дифракционной картине, полученной при дифракции света а) на широкой щели шириной 4Z>
(D порядка 1 см), б) на проволочке шириной Ы (с? порядка 0,1 мм), помещенной посе-
посередине широкой щели, в) на экране, дополнительном к б). Определить отношение
интенсивностей для случаев б) и в) и показать, что при 2xyD = Jt это отношение равно
единице
sin 2xuD n 2 r sin ки (D — d) cos 2ки ф + с?Ь 2 /sin 2xyd\2
^) 6) 4{— *T^ 1 ; в) НИ
См. уравнения F.9.) и F.32). 1
6.19. Пусть широкая щель, описанная в предыдущем упражнении, закрыта
решеткой, состоящей из N щелей шириной 2с? (d порядка 0,01 мм) с расстоянием между
центрами соседних щелей, равным 2е. Найти отношение интенсивностей для такой
решетки и для дополнительной.
6.20. Определить радиус диска Эйри, если % = 5000 А. и 1) R = 1 см, z± = 1 м;
2) R = 3 мм, z1 = 50 см; 3) # = 1 мк, zt = l м.
[1) 3,05-Ю-з см; 2) 5,08-Ю-з см; 3) 30,5 см.]
Дифракция на большом числе круговых диафрагм или экранов
6.47. Выше было показано (см. §§ 6.42—6.44), что дифракционная
картина, создаваемая большим числом беспорядочно распределенных кру-
круговых диафрагм, совпадает с дифракционной картиной, найденной для
одной круглой диафрагмы, и состоит из яркого центрального пятна, окру-
окруженного рядом чередующихся светлых и темных колец. По принципу
Бабине такой же вид имеет (за исключением очень малой области в центре)
дифракционная картина, создаваемая рядом беспорядочно распределен-
распределенных темных экранов. Дифракционные кольца такого типа можно увидеть
иногда вокруг уличных фонарей, когда в воздухе взвешены мелкие капли
воды. При подходящих метеорологических условиях вокруг Луны видно
гало, образующееся вследствие дифракции на многочисленных мелких
кристалликах льда в верхних слоях атмосферы. Однако надо иметь в ви-
виду, что лунные и солнечные гало не всегда образуются таким образом *).
Эриометр Юнга
6.48. Полученный выше результат можно использовать для измере-
измерения диаметра маленьких частиц, например кровяных шариков. Простое
приспособление для проведения такого опыта легео изготовить из металли-
металлической пластинки, просверлив в ней, например, 12 дырочек диаметром
1 мм каждая; дырочки располагают по окружности диаметром 15 см
на равных расстояниях друг от друга. В центре круга просверливают
отверстие диаметром 3 мм (рис. 6.25). Источник примерно монохромати-
монохроматического света (например, натриевая лампа или лампа накаливания с зеле-
зеленым фильтром) располагают позади такого экрана. Предметное стекло
*) Подробнее см. [6.2] (Прим. ред.)
170
ГЛ. 6. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
с изучаемыми частицами или стеклянную пластинку, покрытую ликопо-
ликоподием, помещают непосредственно перед глазом наблюдателя. Глядя по
направлению экрана, наблюдатель видит
° центральное отверстие, окруженное ря-
о о дом светлых и темных колец. Изменяя
расстояние между глазом и экраном, можно
совместить одно из этих колец с окруж-
° о ностью, заданной маленькими отверсти-
ями. Если измерить затем расстояние до
О экрана, то можно определить диаметр
о частиц на предметном стекле при помощи
табл. 6.2. Такое устройство называется
эриометром Юнга.
о
° Диаметры кровяных шариков каждого че-
о ловека не вполне одинаковы, а распределены
около некоторого среднего значения, что умень-
уменьшает резкость дифракционных колец. Однако,
даже с учетом этого обстоятельства, результа-
результаты измерения диаметра данного кольца при
работе с одним препаратом воспроизводимы с точностью до 3%, и легко заметить
отклонение от нормы, достаточно большое, чтобы оно имело клиническое значение.
Рис. 6.25. Эриометр Юнга.
Дифракция света на ультразвуковых волнах
6.49. Если звуковая волна распространяется в какой-либо среде
(рис. 6.26), то в этой среде образуются последовательные сжатия и разря-
разряжения, которые в свою очередь приводят к периодическому изменению
Щ&гь
Jfcmowu/t
НН
/ГРОШ
Рис. 6.26. Дифракция света на ультразвуковых волнах.
оптической плотности среды. Бегущая звуковая волна производит на
световой пучок (падающий перпендикулярно направлению распростра-
распространения звуковой волны) тот же эффект, что и движущаяся фазовая дифрак-
дифракционная решетка. Период решетки равен длине звуковой волны Xs. Если
к$ сравнима с длиной световой волны X, то будут наблюдаться дифракцион-
дифракционные максимумы в направлениях 0т, для которых
sinem = m~-, F.55)
где т — целое число (положительное, отрицательное или нуль). Так как
при частоте порядка 107 гц, Я5>Я, то sin 0m^Gm. Возможность дифракции
света на звуковых волнах была предсказана Бриллюэном в 1921 г., но
ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА 171
экспериментально это явление не наблюдалось вплоть до 1932 г. [6.1]*).
Длины слышимых звуковых волн очень велики для дифракционных
опытов, и поэтому для наблюдения дифракции были использованы ультра-
ультразвуковые волны частотой порядка 107 щ и с длиной волны 10~2 см. Для
таких длин волн отношение Ks/k приблизительно равно 2-Ю2,и дифракци-
дифракционный максимум первого порядка наблюдается при угле дифракции
около 10'. Звуковая решетка проходит расстояние, равное периоду решет-
решетки, за время, равное l/vs, где v8— частота звуковой волны. Фаза дифрак-
дифракционного спектра т-то порядка изменяется на величину 2nmvs за 1 сек,
и следовательно, частота света в m-м максимуме равна v + wivs. Это
изменение частоты, которое можно объяснить с точки зрения эффекта
Допплера, очень мало, так как отношение vs/v равно величине порядка 10~8.
Если свет падает на ультразвуковую волну не под прямым углом
к направлению ее распространения, то звуковую дифракционную решетку
нельзя считать одномерной. В этом случае надо рассмотреть общий вопрос
о распространении света в среде, показатель преломления которой зависит
от координат и от времени. Направления на главные максимумы при
таком рассмотрении почти совпадают с направлениями, определяемыми
из элементарной теории, однако вычисления интенсивностей весьма слож-
сложны [6.1]. Дифракция света может наблюдаться также на стоячих звуко-
звуковых волнах.
Прямолинейное распространение света
6.50. Теперь мы рассмотрим распространение света в том случае,,
когда отношение длины световой волны к размеру дифракционного отвер*
стия или препятствия становится бесконечно малым (например, щель, для
которой nd > 1). Мы увидим, что при достижении этого предела (в усло-
условиях наблюдения дифракции Фраунгофера или дифракции Френеля)
распространение света можно описать в терминах лучевой оптики и лучи
в однородной среде являются прямыми линиями.
Рассмотрим дифракционную решетку, у которой размер дифракцион-
дифракционных элементов гораздо больше расстояния между ними. Тогда почти вся
энергия концентрируется в спектре нулевого порядка. Если отношение
XI е становится очень малым (не > 1), то дифракционные максимумы ста-
становятся все более резкими и в пределе при Х/е -> 0 вся энергия распро-
распространяется в пределах бесконечно малого угла, биссектриса которого
совпадает с направлением на нулевой максимум. В § 6.14 мы видели, что
это направление соответствует закону отражения для отражающего эле-
элемента и закону преломления в случае решетки, работающей на пропуска-
пропускание. Таким образом, в пределе, в случае бесконечно широкой щели, свет
распространяется в направлении, соответствующем законам геометри-
геометрической оптики.
Предыдущее рассмотрение показало, что для таких объектов, как
щель или прямой край экрана, дифракционные эффекты локализованы
в малой области вблизи края геометрической тени. Мы покажем сейчас,
что это имеет место для любого предмета неправильной формы. На рис.
6.27 показана система зон Френеля, частично закрытых экраном. В отсут-
отсутствие экрана амплитуда в точке Q, из которой построены эти зоны, равна
сумме членов знакопеременного ряда, постепенно уменьшающихся по
*) Подробности о дифракции света на ультразвуковых волнах см. в книге
Л. Бергмана, Ультразвук и его применение в науке и технике, ИЛ, М., 1956.
Полная теория явления разработана С. М. Рытовым (Изв. АН СССР, №2, 223 A937)).
(Прим. ред.)
172
ГЛ б ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
величине. Мы видели, что сумма такого ряда равна приблизительно поло-
половине его первого члена и мало зависит от закона уменьшения членов ряда
высших порядков. Когда экран находится в положении, показанном на
рис. 6.27, а, точка Q находится вне геометрической тени на расстоянии,
примерно равном утроенному радиусу первой зоны. Единственный эффект,
который создает экран, сводится к тому, что члены ряда высших порядков
уменьшаются быстрее, чем прежде. Результирующая амплитуда остается
почти такой же, как и в отсутствие экрана. Если экран перемещен в поло-
положение, показанное на рис. 6 27,6, точка (Сбудет находиться внутри тени
на том же расстоянии от края, что и прежде. Результирующая амплитуда
равна сумме членов знакопеременного ряда. Но из этого ряда полностью
выпадают члены, соответствующие зонам Френеля с низшими номерами,
Рис 6 27
а значение многих высших членов также уменьшено. Сумма членов такого
ряда мало отличается ог нуля. Таким образом, при обоих положениях
экрана рассчитанная освещенность совпадает с той, которая получается
по законам геометрической оптики.
^ Дифракционные эффекты проявляются только в двух случаях, а именно: а) если
край экрана находится внутри центральной зоны или близ нее и б) если экран имеет
такую форму, что его границы совпадают с краями какой-либо зоны. В любом из этих
случаев ряд внезапно обрывается на одном из членов, и результирующая амплитуда
существенно зависит от того, оборвался ли он на члене с четным или нечетным номером.
Круглый экран или диафрагма являются единственными простыми устройствами,
границы которых могут совпадать с краем какой-либо круговой зоны.
Принцип Ферма
6.51. Ферма A601—1665) предположил, что время, за которое луч
света проходит от одной точки к другой по своему действительному пути,
меньше времени, которое потребовалось бы свету для прохождения между
теми же точками любым другим путем. Ферма показал, что его утвержде-
утверждение справедливо для лучей, отражающихся или преломляющихся на
плоских поверхностях *). Последующие исследования показали, что этот
принцип в той форме, в какой его высказал Ферма, не всегда выполняется
для лучей, преломляющихся или отражающихся от изогнутых поверхно-
поверхностей. Он был модифицирован и сейчас формулируется следующим обра-
образом: «Время, которое требуется свету для прохождения вдоль луча (т. е.
*) Ту же идею относительно отражения от плоской поверхности высказал Герон
Александрийский A50 г. до н. э ).
ПРИНЦИП ФЕРМА
173
по действительному пути), отличается только на величины второго поряд-
порядка малости от времени, которое потребовалось бы свету для прохожде-
прохождения вдоль любого соседнего пути». Другая его формулировка гласит:
«Для действительного пути первая вариация длины пути (измеренная
в длинах волн) равна нулю». На языке вариационного исчисления его
можно записать следующим образом:
F.56)
или
F.57)
Третья форма записи имеет вид
F.58)
Здесь ds — элемент длины пути, b — скорость света и п — показатель
преломления в том месте, где находится элемент ds. Обращаясь к уравне-
уравнениям B.25) и C.31), мы видим, что все три формы записи эквивалентны.
Принцип Ферма, сформулированный одним из этих способов, применим
к лучам, которые отражаются или преломляются на плоской или изогну-
изогнутой поверхности, линейные размеры которой велики по сравнению с дли-
длиной световой волны. Он применим также к лучам, распространяющимся
в среде с показателем преломления, непрерывно изменяющимся от точки
к точке. Однако применимость принципа Ферма теперь ограничена теми
случаями, когда можно считать плоским каждый малый участок волновой
поверхности, линейные размеры которого еще могут быть выбраны боль-
большими по сравнению с длиной волны света.
6.52. Мы покажем сейчас, что принцип Ферма выполняется в двух простых слу-
случаях, а именно в случае прямолинейного распространения света в однородной среде
и в случае преломления света
на плоской границе раздела
двух сред.
Распространение света
в однородной среде
Мы знаем, что луч, иду-
идущий от Л к С, есть отрезок пря-
прямой ABC, соединяющей эти
точки (рис. 6.28). Соседний
с ним путь А В 'С отличается
от действительного пути на ве-
величину АВ' A — cos 04) -t-
+В'С A—cos 92). (Если углы 9t
и 92 малы, то разница между
этими путями приблизительно равна — (АВ • 6f
Рис. 6 28
ВС-Щ). Если углы Qt и
62 —
бесконечно малые величины, то эта разница есть величина второго порядка малости.
Заметим, что подобное рассуждение неприменимо к такому пути, как АВ^.
174 ГЛ. 6. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
Если АВ\С есть путь, близкий к АВ±С, то их разность приближенно равна следую-
следующей величине:
As = f AD , DC 1 f AD [ DC \ (Q 5g
Х ' cosqJJ t cos (ф4 -{- <%) cos (ф2-f- dq>2) J
d+DC tgto d F>60)
Y1 ' СОЭфз Y2 V ;
ф4 и ф2 имеют одинаковые знаки и As — величина первого порядка малости, если только
° и ^^2 сами по себе не являются бесконечно малыми. Они обращаются в нуль
СОЭф! СОЭф2
ф! ф2
только для луча ABC. Таким образом, этот путь обладает специфическим свойством
(зафиксированным в уравнении F.56)), которое не свойственно никакому другому пути.
Преломление на плоской поверхности
Рассмотрим разницу путей PQR — PQ'R (рис. 6.29), где PQR и PQ'R предста-
представляют собой два соседних прямолинейных пути от Р к R при слегка различных углах
преломления на поверхности раздела двух сред с показателями преломления nt и п2.
Для пути PQR интеграл в уравнении F.58) равен следующей величине:
для пути PQ'R он равен
, n2(QM)
' cos(92 + tfe2) ■
Разность между ними As равна
Но
(<?<?') cos 6, = (PQ) dQt = ^p- . F.64)
Отсюда
и подобным же образом
Таким образом, разность этих путей равна
As = QQ' (щ sin Qi — n2 sin 02), F.67)
и она исчезает тогда и только тогда, когда
щ sin 6i = n2 sin 92, F.68)
т. е. когда выполняется закон Снеллиуса.
6.53. При отражении или преломлении лучей света, испускаемых
точечным источником, на некоторой изогнутой поверхности они образуют
действительное или мнимое изображение. В общем случае линзы или
зеркала со сферическими поверхностями не дают идеальных изображений.
Преломленные и отраженные лучи от точечного источника проходят
вблизи некоторой точки, и в результате подобных отклонений возникают
так называемые аберрации. Можно, однако, рассчитать такие поверхности,
для которых все лучи от некоторой точки объекта Р будут проходить
СВЯЗЬ МЕЖДУ ВОЛНОВОЙ Я ЛУЧЕВОЙ ОПТИКОЙ
175
через точку изображения Q. Поверхность подобного типа обладает тем
свойством, что сумма оптических путей от Р до R и от R до Q постоянна,
где R — какая-либо точка на этой поверхности.
Так, если точки Р и Q находятся в среде с постоянным показателем
преломления, то при отражении всех лучей, исходящих из одного фокуса
Рис. 6.29.
Рис. 6 30.
эллипсоида (образуемого вращением эллипса с полюсами Р и Q около
линии PQ), от внутренней поверхности этого эллипсоида они соберутся
во втором его фокусе (рис. 6.30). Сумма (PR + RQ) постоянна. Если
поверхность S' большего радиуса кривизны касается правильной асфе-
асферической поверхности S в точке R (рис. 6.31), то луч из Р, который попа-
попадает на S' в точке i?, отра-
отражается в Q, так как направ- . s'
ление луча, отраженного S-
в точке R, зависит только
от угла между падающим лу-
лучом PR и RN, т. е. нормалью
к плоскости, касательной
ко всем трем поверхностям.
Если радиус кривизны по-
поверхности *S" больше, чем по- *£ N Q
верхности S, то сумма опти-
оптических путей от Р к R и от R
к Q меньше пути, проходя-
проходящего через точку R', расположенную на 5" вблизи R. Если радиус кривиз-
кривизны поверхности S" меньше, чем поверхности S, то путь от Р к Q через R
оказывается максимальным. В любом случае уравнение F.56) удовлетво-
удовлетворяется.
Связь между волновой и лучевой оптикой
6.54. Принцип Ферма относится как к волновой, так и к лучевой оптике и пояс-
поясняет связь между ними. Предположим, что уравнение F.56) справедливо для данного
пути между двумя точками А и В. Тогда разность фаз между волнами, идущими
из А в В этим путем и соседними путями, пренебрежимо мала. Такие волны согласо-
согласованы по фазе в точке В и энергия из А в В будет распространяться в отсутствие пре-
препятствий по пути, определяемом соотношением F.56), или вблизи него. Это и есть
определение луча, принятое в гл. 1. Его можно сформулировать несколько иначе,
используя построение зон Френеля.
Предположим, что плоская волна распространяется по некоторому направле-
направлению АВ, перпендикулярному фронту волны. Построим зоны Френеля (рис. 6.32)
Рис 6 31.
176
ГЛ. 6. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
на этой волновой поверхности. Пусть поверхность проходит через точку А, а полюс,
из которого построены зоны (точка Q на рис. 6.6), будем считать лежащим в плоскости,
проходящей через точку В. При этом не будем предполагать, что построение зон выпол-
выполнено непременно вокруг прямой АВ. Зоны могут быть построены вокруг любой прямой,
параллельной АВ, но не совпадающей с ней.
Вообразим себе цилиндрическую трубку с осью, совпадающей с АВ, и площадью
сечения, меньшей площади центральной зоны. Эта трубка пересечет построенную нами
систему зон. Если зоны построены не
вокруг прямой АВ, то трубка вырежет
из поверхности многих построенных зон
заштрихованный диск, показанный
в правой части рис. 6.32. Если зоны
построены вокруг прямой АВ, то труб-
трубка вырежет заштрихованный кружок,
лежащий симметрично в центре цен-
центральной зоны Френеля.
Пусть внутренность нашей цилин-
цилиндрической трубки есть единственный
свободный канал для потока энергии от
А к В. Ясно, что при первом располо-
расположении прямой А В относительно по-
построенной системы зон вдоль цилиндри-
цилиндрической трубки пойдет малый поток энер-
энергии, так как волны, излучаемые частя-
частями разных зон, лежащих в основании
трубки, будут в разных фазах. При
втором расположении прямой А В отно-
относительно построенных зон в основании
цилиндра будет лежать часть одной
центральной зоны, практически синфаз-
Рис 6 32 но излУчаюш.ая вдоль цилиндрической
трубки. Теперь по трубке пойдет боль-
большой поток энергии.
Исходя из подобных соображений, можно сказать, что световой луч геометриче-
геометрической оптики (вдоль которого прямолинейно распространяется свет в однородной среде)
есть геометрическое место центров зон Френеля, построенных для всех последователь-
последовательных положений перемещающегося волнового фронта.
Лучи и нормали к волновому фронту
6.55. В наиболее общем виде можно показать, что уравнение F.56)
справедливо и для путей вдоль нормалей к волновому фронту. Это можно
сделать при условии, что среда изотропна; она не должна быть к тому же
обязательно однородной, т. е. скорость света может меняться от точки к точ-
точке, но в любой данной точке она не должна зависеть от направления
распространения и состояния поляризации света. Волновую поверхность
можно задать, положив фазу (в данный момент времени) ф (х, у, z) равной
некоторому параметру % (см. § 2.13). Предположим, что свет распростра-
распространяется от источника, расположенного в точке Л на волновой поверхно-
поверхности, определяемой ф = %и к приемнику, находящему в точке В на волно-
волновой поверхности с ф = %2- Вообразим себе бесконечный ряд промежуточ-
промежуточных волновых поверхностей. Если волновые поверхности непрерывны,
то их соседние положения приблизительно параллельны друг другу, и лег-
легко определить путь, задаваемый нормалью к волновой поверхности *).
Для такого пути интеграл в уравнении F.58) принимает вид
ids = %2 — Xi- F-69)
*) Здесь автор почти дословно излагает § 5 книги Дж. Стретта (Рэлея),
Волновая теория света, Гостехиздат, М., 1940. (Прим. ред.)
ПРИНЦИП ФЕРМА К4К ОБЩАЯ ФОРМ* ЛИРОВКА ЗАКОНОВ ЛУЧЕВОЙ ОПТИКИ 177
Другой путь, близкий к заданному F.69), параллелен последнему
на некоторых участках, но содержит и другие элементы dS, образующие
малые углы с элементами пути, входящими под знак интеграла F.69).
Каждый такой участок вносит в интеграл вклад, равный п ds/cos и, где
а — малый угол между элементом, заданным F 58), и элементом варьиро-
варьированного пути. Эти вклады отличаются от соответствующих членов в F 69)
на величины второго порядка малости Таким образом, принцип Ферма
применим к пути, определяемому нормалью к волновому фронту.
Лучи и гр\ппы волн
6.56. В п 4 быю показано, что даже «монохроматический» свет следует предста-
пять гр\ппой волн Дчя обоснования применимосаи принципа Ферма в реальных
5СЮВИЯХ н>жно, следовательно, показать, что приведенные выше рез\льтаты приме-
применимы и к группам волн Этот вопрос подвергался специальному иссчедованию [6 18],
п были порчены следующие результаты
1 В диспергирующей среде энергия группы вочн переносится вдоль луча, опре-
определяемого люавнением F 58), в которое подставчен показатель преломления и, соот-
соответствующий средней длине волны группы
2 Группа волн перемещается вдоль луча с групповой скоростью, определяемой
уравнением D 34), в которое подставлена средняя длина волны группы
Принцип Ферма как общая формулировка
законов лучевой оптики
6.57. Принцип Ферма содержит в себе и обобщает следующие поло-
положения лучевой оптики.
1. Закон прямолинейного распространения света в среде с постоянным
показателем преломления.
2. Законы отражения и преломления лучей на тех поверхностях, где
показатель преломления меняется скачком.
3 Позволяет рассчитать путь света в среде с показателем преломле-
преломления, непрерывно изменяющимся вдоль пути, для которого справедливо
уравнение F 58).
4 Устанавливает закон обратимости светового пути, в соответствии
с которым линия, представляющая собой возможный путь течения свето-
световой энергии, распространяющейся в одном направлении, есть также воз-
возможный путь ее течения в обратном направлении.
Последнее из этих утверждений заключено в уравнениях F 56) —
F 58); действительно, если вариация интеграла равна нулю, когда он берет-
берется в пределах от А до В, то она также равна нулю при перемене пределов
местами (т е. в пределах от В до А). Следует помнить, что все приведен-
приведенные выше утверждения применимы только в пределах тех границ, в кото-
которых справедливы законы лучевой оптики.
Литература
61 Born М , W о 1 f E, Principles of Optics, Pergamon Press, 2 ed
62 Зоммерфельд А, Оптика, ИЛ, М , 1952
6 3 Guild J , The Interference of Crossed Gratings, Oxford University Рге^ь
6 4 Rubinowicz ISature 180, 160 A957)
65 Rayleigh, Scientific Papers \ol III, 52, 108, 112, 128
6 6 W о о d, J О S A 34, p 509 A944)
67 Babcock, J О S A 34, 1 A944)
6 8 Williams, Applications of Interferometry, Methuen
69 Booker Ratcliffe, Shmn, Phil Trans Ro> Soc 242, 579 A950)
b 10 Сойер, Экспериментальная спектроскопия, ИЛ, М, 1953
^2 з Дитчберн
178 Г Л 6 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
6 11 Hanson AW Lipson H, Taylor С А, Ргос Ro> Soc A218,
Oil
6 12 Rice S О Bell System Technical Journal 23, 282 A944), 24, 46 A945)
6 13 Harrison G R,SturgisN, Baker S G StrokeG W,J О S A.
47 15 A957)
6 14 Harrison G R Davis S P Robertson H J, J. О S. A 45,
835 A953)
6.15 Lipson H Cochran W A, The Determination of Cnstal Structures,
Bell
6 16 Hall R. G N SayceLA Proc Roy Soc A215 536A952)
6.17 G о uy, Ann de Chim et de Phjs Ser VI 24, 145 A891)
6.18 К e m b 1 e, Foundations of Quantum Mechanics, McGraT\ Hill
6.19 Dyson J, Prcc Roy Soc. A248 93 A958)
6.20 G a b о r D , Prcc Ph\s Sec 64, 449 A951)
6.21 Guild J , Diffraction Gratings as Measuring Scales, Oxford Unrversit} Press
6 22 Baker Copson, The Mathematical Theory of Hujgens Principle, Oxford
University Press
ПРИЛОЖЕНИЕ 6А
ДИФРАКЦИОННАЯ ФОРМУЛА КИРХГОФА [2 1,6 22]
1. Рассмотрим гармоническую волну, представленную в виде
£=^(аг, у, z)e™\ F 70)
где if — функция пространственных координат (но не времени), которая задает форму
волновой поверхности Для плоских волн она имеет вид
о|)=ехр in (lx + my + nz). F 71)
Соответствующая формула для сферических волн имеет вид B 56) Мы не будем зада-
задавать сейчас вид функции of, чтобы не ограничивать задачу специальным видом волно
вой поверхности Подставляя значение | из F 70)
fit в волновое уравнение B 38) и помня, что %Ь = <о,
мы получим, что i|) должна удовлетворять урав-
нению
tf>=0 F 72)
По теореме Грина две функции пространственных
координат % и г|?2, однозначные и непрерывные
(так же как их первые и вторые производные) внутри
некоторой пространственной области, включая ее
границу, связаны между собой соотношением
Рис 6 33. ^(^-^йр)^. F73)
причем интеграл, стоящий слева, берется по объему области пространства, ограни-
ограниченному поверхностью Sx (рис 6 33), а интеграл, стоящий справа,— по самой этой
поверхности В F 73) п обозначает внешнюю нормаль к поверхности St Эта теорема
справедлива при условии отсутствия особых точек внутри рассматриваемого объема
2, Если г)?! и tf2 ~ Два решения уравнения F 72), то
(г|>2 Ath-ih А-ф2)= -i[>2*2^i + %>K2*2=0, F 74)
и следовательно, левая часть уравнения F 73) равна нулю Положим теперь t|?4 равным
г|? (т е некоторому неопределенному решению уравнения F 72)), а 42 равным е~гхг/г.
Легко проверить, что последняя функция, описывающая сферическую волну, рас-
распространяющуюся от начала координат, есть решение уравнения F 72) Подставляя
эти выражения для функций % nty2 B Ф 7^)» получим
ПРИЛОЖЕНИЕ 6А 179
при >словии, что нпгр , ни е~гкг/г не имеют особенностей внутри объема, ограниченного
поверхностью St Такое условие не позволяет нам непосредственно применить уравне-
уравнение F 75) к поверхности, внутри которой находится начало координат, так как в нем
функция е~гкт г имеет особенность Поскольку мы хотим работать с поверхностью,
окружающей начало координат, разобьем поверхность Si на две части, а именно
на поверхность S, которая представляет для нас основной интерес, и на поверхность
чалой сферы £0, окружающую начато координат, которую мы помещаем в точку Р
(рис 6 34) Теорему Грина можно применить к объему, заключенному между поверх-
поверхностями S и SQi так как начало координат исключается из области интегрирования.
На поверхности So внешняя нормаль направлена к Р, т е д/дп = — д/дг Ту часть
интеграла, которая относится к поверхности So, можно записать в виде
F 76)
где dQ — элемент телесного угла с вершиной в точке Р При г -* О правая часть F.76)
стремится к —4яг|?р, и уравнение F 75) принимает вид
(Л^ F77)
Отсюда, если известны значения г|? и dtyldn на поверхности £, внутри которой лежит Р,
то можно вычислить значение^ р Выше мы рассматривали поверхность, окружающую
интересующею нас точку Можно показать
также, что если значения г|> и dty/дп заданы на
поверхности, окружающей все источники
света, но не точку Р, то все равно можно вы-
вычислить г|?р Уравнение F 77) по прежнему
остается справедливым, но в этом случае п
является внутренней нормалью
3. Гюйгенс предположил, что, зная воз-
возмущение на некоторой поверхности, можно
вычислить возмущение в любой точке, нахо-
находящейся перед этой поверхностью Проведен-
Проведенное выше рассмотрение только отчасти под-
подтверждает эту точку зрения Прежде всего
оказывается, что мы должны знать не только
возмущение на данной поверхности, но и р у^
dty/dn (т е должны знать возмущение на со-
соседней поверхности) Кроме того, поскольку
мы предположили, чю частота волны задана, то неявно задаются и значения ty/
Следует отметить, однако, что функции dip/дп и dip/dt не полностью независимы,
поэтому мы сможем вывести позже приближенную форм} чу F 81), в которою б>дет
входить только\|? и структура которой больше соответствует первоначальным идеям
Гюйгенса
4. Другой способ рассмотрения связи формулы Кирхгофа F 77) с принципом
Гюйгенса заключается в том, чтобы ввести понятие двойного источника П\ сть в точке
Р амплитуда световой волны от точечного источника, расположенного в точке О (на рас-
расстоянии г от Р), равна Ae-wrlr Рассмотрим теперь два источника вочн одинаковой
интенсивности, находящихся на малом расстоянии друг от друга, в ьоторы\ колебания
происходят в противофазе Пусть источники лежат на прямой п, а расстояние между
ними равно дп Направление п, вообще говоря, не совпадает с ОР Тогда амплитуда
световой волны в точке Р при совместном действии- обоих источников равна
Если расстояние dn бесконечно уменьшается, но произведение Adn остается конечной
и постоянной величиной, равной J?, то мы приходим к концепции двойного источ-
источника — очень близкого аналога электрического или магнитного диполя Гюйгенс
(а позже и Френель), рассматривая действие в некоторой точке Р распространяющейся
волны, достигающей поверхности S, заменял его действием набора элементарных
источников, распределенных по S Формула Кирхгофа F 77) позвочяет выразить
действие элемента волновой поверхности dS через эквивалентное действие единичного
источника с амплитудой -^- dS и двойного источника с амплитудой ibdS.
on
12*
180 Г Л 6 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
5. Следует напомнить, что принцип Гюйгенса применим к распространяющейся
волне. До сих пор мы предполагали наличие одной частоты, т. е. наличие стационарного
состояния (бесконечный цуг волн). Чтобы применить формулу Кирхгофа к группе
волн, перемещающейся в недиспергирующей среде, мы можем использовать формулу
F.77) и просуммировать1 в точке Р возмущение от набора волн различных частот.
Поскольку любой волновой импульс, или несинусоидальную волну, можно разложить
по методу Фурье в ряд гармонических волн, метод Кирхгофа должен оставаться при-
применимым и к импульсу.
Приближенная форма уравнения Кирхгофа
6. Рассмотрим теперь случай, изображенный на рис. 6.35. Здесь О — точечный
источник, излучающий сферические волны, a S — замкнутая поверхность, окружаю-
окружающая точку Р. Рассмотрим элемент поверхности dS, расположенный в точке М, и поло-
положим ОМ = г4 и РМ — г. Внешняя нормаль
к S есть п. Приближение, которое мы сейчас
будем обс>ждать, справедливо для г и ги
больших по сравнению с длиной волны,т.е.
для хг и хг4, значительно больших еди-
единиц. Возмущение в точке М можно пред-
представить в виде
£д/ = — exp i (<ut — xrj) F.78)
и, следовательно,
Рис 6 35 q>xl = JLe-iKrim F#79)
Подставляя это значение \|)до вместо г|? в F.77), получим
Дифференцируя почленно и пренебрегая всеми членами порядка а/r^2 или alr\r,
находим
я|)Р = ^ ix С |^- e-*H<r-rri) [cos {n, r)~cos (n, /4)]} dS. F 81)
Члены, которыми мы пренебрегли, меньше оставшихся членов на множитель хг или
хг1? т. е. на множитель порядка Я/г. Поэтому выражением F.81) можно пользоваться,
когда обе точки (как О, так и Р) удалены от поверхности S на расстояния, значительно
превышающие длину волны.
ПРИЛОЖЕНИЕ 6Б
ВОГНУТАЯ ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКА
1. Свойства дифракционной решетки, нанесенной на поверхность вогнутого сфе^-
рического зеркала, были исследованы Роуландом. Он показал, что свет, падающий
на решетку от соответствующим образом расположенного щелевого источника, дает
спектры, которые фокусируются на некоторой кривой. Мы сначала рассмотрим, как
образуются и фокусируются в этом случае дифракционные спектры, а затем расскажем,
как используются вогнутые решетки.
Пусть АО А' (рис. 6.36) — часть сечения сферы с центром в С. На участок
между А ж А' нанесены штрихи, которые расположены в местах пересечения сферы
с семейством параллельных равноотстоящих плоскостей, перпендикулярных плоскости
рисунка. Расстояние между штрихами решетки равно 2е и А А' = iNe (где N — боль-
большое целое число). Построим окружность диаметром СО, и пусть Q и Q' есть точки,
лежащие на этой окружности. Найдем теперь разность двух оптических путей из Q в Q',
т. е. (QA + Q'A) — (QO — Q'O) = As.
ПРИЛОЖЕНИР 6Б 181
2. Пусть QO = и, Q'O = v, CO = 2а
/.COQ=Oy -CO(
Тогда из треугольника QOA получаем
--2OA OQ cos QOA F 82)
На рис 6 37 точка М делит пополам отрезок О А, и из этого рисунка мы видим, что
угол QOA = Г— я — а) + 9 и что О А = 4л sm а Тогда соотношение F 82) принимает
(?Л2=и2+ 16а2 sin2 а—8<ш sm а sm (а—G), (в 83)
или, после перегруппировки,
2
F 84)
Эквивалентность F 83) и F 84) можно проверить, раскрыв скобки в обоих выражениях
Рис 6 36 Рис 6 37
Предположим, что угол а настолько мал, что можно пренебречь членами порядка
а* Положим sin* 2а=4 sin2 а и с тем же приближением получим, что соотношение F 84)
принимает вид
QA2 = (u + 2a sin 2а sm 9J—2а (и—2а cos 9) sm2 2а cos 9 F 85)
Q есть точка на окружности диаметром 2а, так что и - 2а cos 9, и из F 85) получаем
QА — и=2а sin 2a sin 9 F 86)
Такое же выражение мы можем получить для Q'A - v и, следовательно,
As=(QA — и) + «?'А — v) = 2а sin 2a (sin 0—sin 0m) F 87)
Однако из треугольника А'С А
4iVe == А А'=4а sin 2а
Следовательно, мы получим для разности хода As = NmX, если
2е (sin 9 — sin 9m)=тк F 88)
Это соотношение эквивалентно F 22), поскольку т может быть как положительным
так и отрицательным целым числом ы п
3. Мы показали, что разность хода двух лучей идущих разными путями из Ц
в <?', пропорциональна числу штрихов между А и О Если справедливо соотноше-
соотношение F 88), то при переходе от одного штриха к соседнему разность фаз ДОЯ света с дли-
длиной волны К увеличивается на 2шл Следовательно, т и максимум ffl* W« ^™ *•
фокусируется в <?' Максимум того же порядка для длины волны I б> дет Ф?кусиро
ваться в некоторой точке Q\ лежащей на той же окружности вблизи точки Q . Таким
образом, если точечный источник света помещен в точке Q на окружности с диаметром
182
ГЛ. 6. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
равным радиусу решетки, причем эта окружность касается середины решетки, то на той
же окружности будут фокусироваться и дифракционные спектры. Эта окружность
иногда называется «кругом Роуланда».
4. Проведенное выше рассуждение применимо только к лучам, лежащим в плос-
плоскости чертежа. Эти лучи фокусируются без астигматизма, так как для них члены
третьего порядка по а равны нулю. Дальнейшее рассмотрение показывает, что лучи,
проходящие над (или под) плоскостью чертежа, дают астигматическое изображение,
т. е. точечный источник, помещенный в точке <?, изображается отрезком, перпендику-
перпендикулярным плоскости чертежа и проходящим через Q'. Длина этого отрезка возрастает
по мере увеличения угла падения.
5. Метод установки вогнутой решетки по Роуланду показан на рис. 6.38. Этот
метод обеспечивает фотографирование спектров различных порядков и разных участ-
участков одного спектра без перемещения щели S или источника света L. Решетку G и фото-
фотопластинку Р помещают на салазках, которые движутся по взаимяоперпендикулярным
Рис. 6.38.
Рис. 6.39.
направляющим SX и SY. Салазки соединены между собой жестким стержнем, так что
решетка и фотопластинка всегда обращены навстречу друг другу, а расстояние от сере-
середины решетки до центра фотопластинки всегда равно диаметру круга Роуланда
(т. е. радиусу кривизны решетки). Следовательно, 6W всегда равно нулю, а 0 изме-
изменяют, перемещая салазки. При этом на пластинку попадают спектры различных
порядков, и если дифракционная решетка хорошего качества и правильно устано-
установлена, то вся установка всегда отъюстирована.
6. Большая решетка имеет разрешающую силу порядка 250 000. Чтобы полу-
получить дисперсию, достаточную для эффективного использования этой разрешающей
силы, радиус кривизны решетки должен достигать примерно 6 м. У меньших решеток
этот радиус не превышает 1 м. Решетки с еще меньшим радиусом кривизны обычно
не делают, отчасти потому, что фотопластинку тоже следует изгибать по окружности.
При установке по Роуланду объем, занимаемый прибором, так велик, что в нем трудно
поддерживать постоянную температуру в течение длительных экспозиций, которыми
часто приходится пользоваться. Установка по Роуланду, кроме того, довольно дорога.
По этой причине, а также по ряду других разрабатывались и другие методы установки
вогнутых решеток. В одном из них, предложенном Иглом, Q' и Q располагают как
можно ближе друг к другу, т. е. щель помещают рядом с пластинкой (рис. 6.39).
Иногда щель помещают ниже плоскости чертежа, а пластинку — немного выше пло-
плоскости чертежа. При этом участок между пунктирными линиями (см. рис. 6.39) можно
поместить в камеру не слишком большого размера. Тогда довольно легко осущест-
осуществляется стабилизация температуры. При такой установке углы 0т и 0 становятся
небольшими (углы имеют противоположные знаки), что уменьшает астигматизм всей
системы.
Подробное описание методов установки решетки приведено в книге Сойера [6.10].
В приборах подобного типа удается обеспечить автоматическую установку на рез-
резкость, но механические узль! (шарниры, рычаги или кулачки) становятся значительно
сложнее, чем в простой установке, предложенной Роуландом.
ПРИЛОЖЕНИЕ 6В
183
ПРИЛОЖЕНИЕ 6В *)
ЗОННАЯ ПЛАСТИНКА
1. Выше было показано, что результирующая амплитуда в данной точке, обу-
обусловленная всей волной, идущей от малого источника, приблизительно равна половине
амплитуды, обусловленной первой зоной Френеля, так как действие нечетных зон
противоположно действию четных. Амплитуда результирующей волны, создаваемой
действием только четных или только нечетных зон, конечно, будет значительно больше
амплитуды полностью открытой волны. Это утверждение можно проверить, изготовив
дифракционный экран, в котором нечетные зоны покрыты непрозрачным материалом,
а четные оставлены прозрачными, или наоборот (рис. 6.40). Такой экран, называемый
зонной пластинкой, можно изготовить, сфотографировав на пластинку (в уменьшенном
масштабе) начерченный на бумаге ряд концентрических окружностей; их радиусы
должны быть обратно пропорциональны корню квад-
квадратному из ряда натуральных чисел, а образовавшиеся
кольца следует зачернить через одно. Число таких
колец практически ограничено тем, что наружные
кольца располагаются очень близко друг к другу.
Удавалось создать пластинки, имеющие 250 колец. Еще
большее увеличение освещенности удается получить,
если для света, проходящего через четные (пли не-
нечетные) зоны, создать запаздывание по фазе на поло-
половину периода, так что действие всех зон окажется
в одной фазе. Эти зонные пластинки называют зонными
пластинками с обращением фазы, или фазовыми зон-
зонными пластинками **). Вуд достиг большого успеха
в изготовлении таких пластинок ***).
2. Зонная пластинка может создавать изображе-
изображение подобно линзе или зеркалу. Точная теория обра-
образования этих изображений сложна н не имеет большого
практического значения. Общее рассмотрение, однако,
представляет интерес и может помочь понять действие
линз и решеток. Идеальная линза преобразует плоскую волну в сферическую, центр
кривизны которой находится в фокусе линзы. Линза создает такио разности фаз,
которые необходимы, чтобы вторичные волны от всех участков падающего на нее
волнового фронта приходили в фокус в одинаковой фазе. Зонная пластинка с обра-
обращением фазы не может дать столь хорошего эффекта, так как не все участки каж-
каждой зоны действуют в фазе. Результирующая амплитуда от всей зоны в 2/я раз
меньше той, которая получалась бы, если бы все участки зоны действовали синфазно.
3. Линза имеет только один фокус (с каждой стороны), тогда как зонная пла-
пластинка имеет ряд фокусов и соответственно ряд фокусных расстояний. Если радиус
внутреннего края m-й зоны равен Qm и если источник расположен очень далеко от зон-
зонной пластинки, то первый фокус находится на расстоянии /4
h=^ ■ F-89)
(см. уравнение F.2)), и на этом расстоянии мы обнаружим яркое пятно. В обычной
зонной пластинке из чередующихся прозрачных и непрозрачных колец разность хода
между возмущениями, пришедшими от двух соседних прозрачных колец в точку,
удаленную от пластинки на расстояние /4, равна Я.
Для той же пластинки разность хода между возмущениями, пришедшими
от соседних прозрачных колец в точку, находящуюся на расстоянии /4/2, равна \же 2/..
Результирующие возмущения согласованы по фазе, но каждое из них очень мало,
так как каждое прозрачное кольцо пропускает теперь две смежные зоны Френеля.
Результирующие возмущения, приходящие в точку, находящуюся на расстоянии ft 3,
согласованы по фазе, и разность хода между ними равна ЗХ. Каждое прозрачное кольцо
Рис. 6.40. Зонная пла-
пластинка.
*) Это приложение является продолжением §§ 6.7—6.10.
**) Подробности об изготовлении и работе зонных пластинок см. в статье
С. М. Райского, Зонная пластинка, УФН 47, 515 A952). (Прим. ped.)
***) Вуд разработал также интересный способ изготовления обычных пластинок
путем прямой гравировки. Положение резца, наносящего на пластинку кольца, уста-
устанавливалось по кольцам Ньютона, радиусы которых пропорциональны корням квад-
квадратным из ряда натуральных чисел. (Прим. ред.)
184
ГЛ 6 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
пропускает теперь три зоны Две из них оказывают противоположное действие,
но третья, нескомпенсированная зона дает заметный эффект и интенсивность в рас-
рассматриваемой нами точке примерно равна 1/9 интенсивности в первом фокусе Подоб-
Подобным же образом можно показать, что зонная пластинка имеет ряд фокусов в точках,
отстоящих от экрана на ^/5, /А/7 и т д Имеется также ряд фокусов и с другой сто-
стороны пластинки, так что она может служить рассеивающей линзой Если источник
расположен не очень далеко от пластинки, соотношение межд> расстояниями от источ
ника и его изображения до зонной пластинки аналогично соотношению, полученном}
для линзы (см уравнение C 33))
4. Выше мы рассмотрели сходство между зонной пластинкой и линзой Суще-
Существует также сходство между зонной пластинкой и дифракционной решеткой Любой
малый участок пластинки фактически представляет собой дифракционную решетку
Расстояние между штрихами в маленьких решетках, которые образуют зонную пла
стинку, закономерно изменяется от точки к точке Фокусы зонной пластинки можно
рассматривать как точки, в которых пересекаются прямые, идущие в направлениях,
соответствующих спектрам фраунгоферовой дифракции от различных участков пла
стинки Первый фокус соответствует совпадению спектров первого порядка, второй —
совпадению спектров второго порядка и т д Для решетки, состоящей из одинаковых
светлых и темных штрихов, спектры четного порядка имеют нулевую яркость, и, ана
логичным образом, изображения, соответствующие фокусам /4/2, /^4 и т д , имеют
нулевую яркость Поскольку зонная пластинка образует резкое изображение, следует
предположить, что решетка, у которой расстояния между штрихами увеличиваются
по определенному закону от центра к краям или от одного конца к другому, должна
иметь аналогичные фокусирующие свойства Подобные эффекты наблюдались Масьаром
A837—1908) и были исследованы Корню и Рэлеем [6 5]
Теория кольцевых дифракционных решеток (с постоянной разницей радиусов
соседних элементов) была разработана Дайсояом, который использовал такие решетки
для точной юстировки [6 19].
ПРИЛОЖЕНИЕ 6Г
ДИФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ
Интегралы Френеля
1. Метод, который мы сейчас рассмотрим, имеет общее применение Он особенно
удобен в тех случаях, когда препятствие или отверстие ограничены двумя парами
взаимно перпендикулярных линий (щели, проволока и т д ) Мы ограничимся здесь
рассмотрением падения на препятствие или щель
плоских волн
£ <*л 2. Возвращаясь к уравнению F 3) и положив
dS = dxodyo, получим
4еХРG'*Г)^о F.90)
I
Q
Рис 6 41
при условии, что рассматриваемые углы малы и мно-
множителем наклона можно пренебречь Пусть отвер-
отверстия диафрагмы находятся на экране 54, а точка Q
лежит на экране S2 (рис 6 41) Тогда координаты
точки Q есть (хи yi9 zj), а координаты некоторой
точки диафрагмы (#0, у0, 0) Расстояние от точки Q
до этой точки диафрагмы определяется
r2=zf + (xi — #оJ + (У1 — 2/оJ» F 91)
откуда,
F 92)
приближенно,
_ , 1 (si — aTpJ
Предположим теперь, что мы можем подставить вместо г постоянное значение zx
в знаменатель F 90), но должны пользоваться приближенным значением г из соотно
шения F 92) в экспоненциальном члене Это эквивалентно предположению, что при
расчеге амплитуды вторичных волн по закону обратных квадратов можно пренебречь
разностью расстояний от различных точек диафрагмы до точки Q, но при вычислении
разности фаз эту разность нужно >честь, воспользовавшись приближенным выраже-
ПРИЛОЖЕНИЕ 6Г 185
нием F.92). Оправдание такой постановки вопроса заключается в том, что zi всегда
имеет величину, равную по крайней мере нескольким миллиметрам (т. е. по крайней
мере нескольким тысячам длин волн), и разница в несколько длин волн практически
не сказывается на амплитуде, но разница, равная Я/2, достаточна для изменения знака
члена, зависящего от разности фаз. Если нас интересует относительная освещенность
в разных точках экрана S2, мы можем опустить постоянные множители F.91) и написать
yQ= J J ехр [ -g- {(х-хоJ + (у-уоJ} ] dx0 dy0. F.93)
Интеграл следует брать по всей площади диафрагм в экране. Здесь предполагается,
что применима гипотеза Сен-Венана (см. § 6.33). В случае дифракции на щелевой
диафрагме правая часть F.93) представляет собой произведение двух интегралов,
один из которых имеет вид
а2
%Х= J ехр [ -^-(*-*оJ ] dx0, F.94)
где линии х0 = at и х0 = а2 представляют собой края щели. Введем новую перемен-
переменную v, определяемую соотношением
lsr/£ /tv- F-95)
Тогда
[ (*) Vf F*96)
и изменение освещенности в направлении оси х имеет вид
Е (x)=^Qx^QX = C2F + Sh F.97)
где
г>2
= \ cos С-?
l>2
= \ sin f — яу2 j dv.
dv
F.98)
Функции Ср и Sp известны под названием интегралов Френеля.
Чтобы проинтегрировать эти выражения в конечных пределах, нужно произвести
их разложение в специальные ряды *). Если пределами интегрирования сл\жат ~ оо,
то величина каждого интеграла равна ^ 1/2. Вследствие частого изменения знаьа
та часть промежутка интегрирования, где и превышает сравнительно небольшое целое
число (например, 10), мало влияет на величину интеграла Френеля
Спираль Корню
3. Корню предложил следующий геометрический метод вычисления приведен-
приведенных выше интегралов. Предположим, что в прямоугольной системе координат
построена зависимость w = Sp от и — Ср, причем интегрирование проводится в пре-
пределах от 0 до v (рис. 6.42). Квадрат длины отрезка, соединяющего две точки, опре-
определяемые значениями ui и v2, равен сумме квадратов интегралов и, следовательно,
пропорционален интенсивности света, дифрагировавшего в соответствующем напра-
направлении. Направление этого отрезка дает также фаз> резмьтир\ющего колебания.
*) Методы оценки этих интегралов разрабатывали Френель, Нокенхауэр,
Коши, Струве, Умов, Гильберт и Ломмель. Сводка полученных результатов приведена
в книге Рэлея [6.5].
186
ГЛ 6 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
П} сть s — длина данного отрезка, измеренная вдоль кривой от 0 до данной точки А,
а сг — угол между касательной к кривой в точке А и осью и Тогда
ш
Отсюда
A s=v F.99)
(постоянная интегрирования равна нулю, так
как 5 = 0 при v = 0). Как легко видеть,
w dw ли2
т. е.
F.100)
Далее, кривизна нашей кривой равна
ds
F.101)
Рис 6 42 Спираль Корню
Последние два уравнения доказывают, что
при 5 = 0как<2^, так и д& Ids равны нулю,
и следовательно, кривая касается оси и в начале координат. От этой точки в на-
направлении положительных значений s кривизна кривой непрерывно возрастет, т. е.
образуется спираль, последовательные витки которой заходят один внутрь другого.
Кривая непрерывно приближается к асимптотической точке А± ( w=—, w=-^- J ,
которая соответствует v = со. Такая же ветвь в отрицательном направлении за-
закручивается вокруг точки А2( —-£ » —9") (см. рис. 6.42).
Дифракция на прямолинейном крае непрозрачного экрана
4. Спираль Корню можно использовать для определения изменения освещен-
освещенности вблизи границы тени от края прямолинейного экрана. Представим себе, что
точка Q находится сначала в освещенной области и удалена от края геометрической
тени Пределы интегрирования при этом столь широки, что отрезок прямой, квадрат
которого соответствует освещенности, следует проводить между двумя точками, пре-
предельно близкими к асимптотическим точкам спирали. Если точка Q перемещается
по направлению к геометрической тени, то один конец этого отрезка остается фикси-
фиксированным в точке, очень близкой к асимптотической, так как с одной стороны волновой
фронт не ограничен. Другой конец отрезка перемещается вдоль спирали от асимпто-
асимптотической точки к точке О. Вначале это очень мало сказывается на результирующей
освещенности, так как витки спирали имеют очень небольшой радиус. Затем, когда
Q подходит к краю геометрической тени, точка на спирали движется по кривой боль-
большого радиуса; величина освещенности осциллирует между значениями, большими
и меньшими тех, которые получались бы в отсутствие экрана. Когда Q находится
очень близко от края геометрической тени, освещенность резко падает, так как точка
на спирали проходит последнюю половину оборота перед точкой О. Теперь простран-
пространственные осцилляции освещенности прекращаются: она плавно спадает и довольно
быстро достигает незначительной величины. Таким образом, последняя дифракцион-
дифракционная полоса находится вне границы геометрической тени, а внутри тени полосы отсут-
отсутствуют. Общий вид системы дифракционных полос показан на рис. III, а.
Проведенное выше рассмотрение имеет тот недостаток, что мы учитывали часть
волнового фронта, соответствующую большим углам дифракции, тогда как уравнения,
на основе которых строилась спираль, строго справедливы только для малых углов
дифракции. Действие зон, удаленных от центра их построения, мало. Множители,
которые мы опустили, только деформировали бы немного спираль в области, близ-
близкой к асимптотической точке. Для устранения формального несоответствия можно
предположить, что рассматривается дифракция на одном крае очень широкой щели.
ГЛАВА 7
ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ.
КОАКСИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЗ И ЗЕРКАЛ
Образование изображений
7.1. Рассмотрим образование изображения предмета, расположен-
расположенного в плоскости OPQ, при помощи оптической системы S (рис. 7.1).
Свет, исходящий из элемента предмета, который находится в точке Р,
можно представить сферической волной с центром в точке Р (Wu W2 и т. д.—
последовательные положения фронта волны). Оптическая система окажет
двойное действие на эту
Олтичес- /
хая сие-
тема
S
Р'
Рис 7 1 Образование изображения
На рисунке показаны волновые поверхности и лучи
волну: а) изменит форму
волны, как было описано
в §§ 3.14—3.15, и б) огра-
ограничит ее фронт. Изменение
формы волны соответствует
фокусирующему свойству
системы, так как волна,
выходящая из точки Р,
более или менее точно со-
соберется в некоторой точке
Р\ Ограничение фронта
волны краями диафрагм или оптических элементов системы приводит
к дифракции. Дифракция накладывает основное ограничение на качество
работы оптических приборов. В высококачественных приборах это ограни-
ограничение преимущественно определяет качество прибора. Это явление будет
подробно рассмотрено в гл. 8.
В изотропной среде лучи совпадают с нормалями к волне (§ 6.55).
Если не принимать во внимание дифракцию, то надо считать, что каждый
элемент волнового фронта движется вдоль нормали к волне с фазовой
скоростью Ъ. Изменение формы волнового фронта, вызванное действием
оптической системы, можно представить как результат изменения напра-
направления лучей при преломлении или отражении света на поверхностях
оптической системы. Оба эти представления эквивалентны. Если сфери-
сферическая волна Wt выходит из точки Р, проходит сквозь систему п превра-
превращается в сферическую волну W с центром в точке Р', то мы говорим, что
точки Р и Р' сопряженные, или что точка Р' есть идеальное геометри-
геометрическое изображение точки Р. Все лучи, выходящие из точки Р% пройдет
через точку Р', служащую центром сферы, для которой л\чп являются
нормалями к фронту волны. При обсуждении фок\сир\ющих свойств
оптических систем удобно пользоваться терминологией лучевой тео-
теории, однако всегда надо помнить и о соответствующих волновых
фронтах.
В волновой оптике всегда надо полагать, что источник света име-
имеет конечную площадь, даже если эта площадь очень мала. Излучае-
Излучаемая источником света энергия пропорциональна площади источника и
188 ГЛ 7. ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ. КОАКСИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЗ И ЗЕРКАЛ
стремится к нулю, если его площадь стремится к нулю. Однако лучи света
можно считать выходящими из точки в математическом смысле или схо-
сходящимися к ней. В этом случае мы говорим о точечном источнике или
точечном изображении. В приближении лучевой оптики реальный источ-
источник света можно считать точечным, если его размер мал по сравнению
с расстоянием от источника до оптической системы. Например, звезды
могут считаться в лучевой оптике точечными источниками света.
Коаксиальные системы сферических поверхностей
7.2. Большинство линз и зеркал имеют точно (или почти точно) сфе-
сферические поверхности. Коаксиальная оптическая система — это система,
составленная из таких элементов, причем центры кривизны всех поверхно-
В
Рис. 7.2. Система линз.
Сц и т д — центры кривизны соответствующих поверхностей.
Линзы Li, L2 и Ls образуют коаксиальную систему (центры кривизны
их преломляющих поверхностей находятся на прямой АВ). Линза L4
смещена с оси, линза L5 наклонена.
стей лежат на одной прямой линии (рис. 7.2). Система не будет коаксиаль-
коаксиальной, если хотя бы одна из линз смещена перпендикулярно оси системы
или наклонена по отношению к этой оси,
или одновременно и смещена и наклонена.
Термин «коаксиальные системы» также при-
применяется к оптическим системам, элементы кото-
которых ограничены несферическими поверхностями,
симметричными относительно оси системы. Однако
мы будем иметь дело только с системами, огра-
ограниченными сферическими поверхностями. Систе-
Системы, в которых происходит отражение от плоского
зеркала, также считаются коаксиальными. В этом
случае ось системы состоит из двух прямых ли-
линий, которые становятся коллинеарными, если
одна из них претерпела отражение от плоского
зеркала.
При изготовлении оптических приборов от-
отдельным оптическим элементам придается форма,
облегчающая сборку коаксиальных систем. На
рис. 7.3, а изображена линза с цилиндрической
боковой поверхностью; осью этого цилиндра служит линия, соединяющая центры
кривизны преломляющих поверхностей. На рис. 7.3, б показана та же линза, поме-
помещенная в оправу, которая может ввинчиваться в трубу и в совокупности с другими
элементами образовывать коаксиальную оптическую систему. Если линзы, составляю-
составляющие оптическую систему, очень малы (например, в объективах микроскопов, дающих
очень большое увеличение), то юстировка системы должна быть особенно тщательной.
Такие системы не рекомендуется разбирать. Хороший метод юстировки оптических
систем описан в работе [7.5].
а)
Рис. 7.3. Линза после центриров-
центрировки (а) и линза в оправе (б).
ПРАВИЛО ЗНАКОВ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
189
Параксиальные лучи
7.3. Когда сферическая волна падает на коаксиальную оптическую
систему, то фронт выходящей волны представляет собой гладкую, но в об-
общем случае не точно сферическую поверхность Поэтому выходящие из
системы лучи не пересекутся строго в одной точке. Удобно сначала рас-
рассмотреть поведение частей волнового фронта, расположенных близ оси
системы, что соответствует лучам, составляющим малые углы с осью.
Такие лучи называются параксиальными. Фронт выходящей волны являет-
является гладким, и поэтому достаточно малую его область близ оси системы
можно заменить касательной сферой равной кривизны. Волновые норма-
нормали этого сферического фронта сходятся в одну точку и, следовательно,
параксиальные лучи, выходящие из точки Р (см рис. 7 1), соберутся
в точку Р\ которая называется параксиальным *) изображением точки Р.
Мы начнем с рассмотрения л>чей, образ\ющих мапые углы с оптической осью
(и с рассмотрения соответствующей части волнового фронта), потому, что эти л>чи
дают «идеачьное» геометрическое изображение Геометрическое изображение, noiy
ченное таким способом, имело бы очень мачую практическую ценность, если бы реаль
ные вочновые фронты сшьно отличачись от сферы Однако в действительности они
настолько близки к сфере, что замена всего фронта касательной сферой и исс 1едова
нне фокусирующих свойств системы на основе такого представления оказывается
вполне хорошим приближением Отклонения волнового фронта от сферического
(аберрации) рассматриваются в гл 8
Может показаться, что такое приближение справедливо только для однократ
ного отражения или преломления на сферической поверхности, а для большего числа
сферических поверхностей отклонение фронта от сферы окажется слишком большим
Это не так, потому что элементы хорошей оптической системы подбираются таким
образом, чтобы аберрации, вносимые одной сферической поверхностью, частично ком
пенсировачись аберрациями другой Таким образом, волна, выходящая из системы,
может оказаться ближе к сферической, чем волна, прошедшая через одну сферическую
поверхность
Правило знаков и обозначения
7.4. В настоящей книге мы будем считать, что направление распро-
распространения падающего на систему света положительно. На всех рисунках
свет падает на систему
слева, и знаки по гори- Я Я'
зонтали и по вертикали
совпадают со знаками в
прямоугольной системе ко-
координат. Направление лу-
луча А В считается от А к В,
и если I — расстояние АВ,
то расстояние В А будет
равно — Z. Радиус кривиз-
кривизны поверхностей отсчиты-
вается от вершины поверхности к ее центру кривизны, и следовательно,
поверхность, выпуклая по отношению к падающему свету, имеет положи-
положительный радиус кривизны.
Для того чтобы определить знак угла между лучом и осью, построим
треугольник PRH (рис. 7.4). Угол считается положительным, если его
тангенс положителен, причем расстояние отсчитывается от прямого угла
треугольника. Таким образом, на рис. 7 4 HR положительно, a HP
*) Первое систематическое и сравнительно полное обсуждение вопросов образо
вания изображения параксиальными лучами принадлежит Гауссу A777 —1855)
Поэтому оптику параксиальных лучей иногда называют оптикой Гаусса
р'
мщега лс/wa
Рис 7 4 Схема, иллюстрирующая правшо знаков
190 ГЛ. 7. ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ. КОАКСИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЗ И ЗЕРК\Л
отрицательно, и следовательно, угол RPH отрицателен (знаки других
углов тоже обозначены на рисунке). Длины, углы и т. д., относящиеся
к изображению, отмечаются штрихом; буквы, не снабженные штрихами,
относятся к пространству объекта.
7.5. Пусть а — угол между каким-либо лучом и выбранной осью.
Тогда для малых углов можно написать
g = a и cosa = l. G.1)
Предполагается, что в случае параксиальных лучей это справедливо
для всех углов, включая углы падения, отражения и преломления на сфе-
сферической поверхности *). Таким образом,
закон преломления
G.2)
п' sin Г = n sin г
заменяется соотношением
G.3)
Рис. 7.5. Отражение от плоской -Принимая во внимание правило
поверхности. знаков (см. рис. 7.4 и 7.5), закон отра-
отражения для лучей, составляющих малый
угол с осью, можно получить, полагая в уравнении G.3) тг'= — /г. Тогда
найдем
*•'=-*, G.4)
т. е. отражение можно считать эквивалентным преломлению на границе
раздела сред с показателями преломления п и —п.
Преломление на сферическо.й поверхности
7.6. Пусть луч MNP падает на сферическую поверхность NA, центр
кривизны которой находится в С, и пусть NP' — преломленный луч
(рис. 7.6). Тогда, принимая во внима-
внимание обозначения, приведенные на ри-
рисунке, из G.3) получим
п(е-а) = л'(в-а'). G.5)
Следовательно,
п'а' — па = (п'—п) 0, G.6)
или
тг'а'—па= ( п ~~~п j h = Fh, G.7) Рис. 7.6. Преломление на сферической
^ г ' поверхности.
Где F—(n'—п) /г—постоянная, имею- Все расстояния и все углы положительны.
щая размерность обратной длины.
Эта величина называется оптической силой поверхности. Уравнение G.7)
можно также написать в виде
£_ZL=^L = jP. G.8)
Теперь уравнение G.8) не содержит i или h. Поэтому все лучи, которые
до преломления были направлены к Р, после преломления пройдут через
Р'. Таким образом, точку Р' можно считать «идеальным» изображением
точки Р.
*) Для наглядности углы на рисунках значительно больше тех, для которых
применима теория параксиальных лучей.
УВЕЛИЧЕНИЕ
191
Все предшествующее рассмотрение можно провести с точки зрения волновых
фронтов; это приведет нас к выводу, что пучок света, который до пересечения со сфе-
сферической поверхностью являлся сферической волной с центром в точке Р, после пре-
преломления становится приблизительно сферической волной с центром в Р'. Более
точно мы должны были бы сказать, что волновой фронт во второй среде не вполне
сферический, но что на границе раздела сред сфера, касательная к волновому фронту,
имеет центр в точке Р'.
Упражнение
7.1. Доказать, что все углы и расстояния на рис. 7.6 положительны. Определить
знаки всех расстояний и углов на рис. 7.7 и показать, что соотношения G.7) и G.8)
справедливы и для этого случая.
Пусть на рис. 7.8 точки Р и Р' являются сопряженными по отноше-
отношению к сферической поверхности АВ, центр которой находится в С. Если
77
^f----. *
в
-^ с
\ A
Рис. 7.7. Преломление на сферической Рис. 7.8. Сопряженные плоскости,
поверхности.
Расстояние от предмета до поверхности отри-
отрицательно.
прямую РСРГ повернуть вокруг оси, проходящей через точку С, в поло-
положение QCQ', то все, что было справедливо для точек Р и Р\ теперь будет
справедливо для точек Q и Q'. Таким образом, точки Q и Q' будут сопря-
сопряженными, и элементы сфер в пространстве предмета и пространстве изо-
изображения будут обладать тем свойством, что каждой точке на одной сфере
соответствует сопряженная точка на другой. В принятом здесь прибли-
приближении эти элементы сфер можно заменить касательными плоскостями.
Такие плоскости называются сопряженными. Когда рассматривается пре-
преломление только на одной сферической поверхности, то сопряженные
плоскости могут касаться сфер в любой паре сопряженных точек. Если
же оптическая система содержит больше одной преломляющей поверхно-
поверхности, то касательные плоскости должны быть перпендикулярны оси системы.
Увеличение
7.7. Пусть на рис. 7.9 у обозначает высоту объекта PQ, а у'— высоту
его изображения P'Q'. Пусть PNP'—луч, идущий от Р кР'. До прелом-
преломления этот луч составляет с осью угол а, а после преломления — угол
а'. Закон преломления для параксиальных лучей имеет вид ni = n'i'
и, следовательно,
пу п'у'
или
nyh
V
n'y'h
' V
G.9)
значит,
G.10)
G.11)
Если луч пересекает ряд поверхностей 1, 2, 3, . . ., /, то это соотноше-
соотношение можно применить последовательно к каждой поверхности. Тогда
192 ГЛ 7 ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ КОАКСИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЗ И ЗЕРК\Л
Рис 7 9 К вывода соотношения для >ве
получим
пуа = п'у'а' = п"у"аГ... G12)
Уравнение G 11) можно написать также и для всей системы в целом,
понимая под п, у, а величины, относящиеся к первой среде, а под п', у',
а — величины, относящиеся к
последней среде *)
Если ввести величины
Мт = ^- иЛ/а = ~, G 13)
где Мт — линейное увеличение,
a Ma — угловое увеличение, то
уравнение G 12) примет вид
1 п'Ма v '
Из рис 7 9 видно, что уг пропорционально у, т. е Мт не зависит
от у. Если объектом служит геометрическая фигура, расположенная
в плоскости, проходящей через Р перпендикулярно оси, то в изображении
получится геометрически подобная фигура в параллельной плоскости,
проходящей через Р'.
Условия Максвелла
7.8. Максвелл A831—1879) установит три условия, которым должна
удовлетворять оптическая система, чтобы ее можно было считать «идеаль-
«идеальной» с точки зрения лучевой оптики Перечислим их
1 Все лучи, выходящие из одной точки объекта и попадающие в опти-
оптическую систему, должны проходить (действительным или мнимым обра-
образом) через одну точку изображения
2 Если объект находится в плоскости, перпендикулярной оси систе-
системы, то изображение должно лежать в параллельной плоскости
3 Изображение должно быть геометрически подобно объекту, т. е.
увеличение должно быть постоянно для любой пары сопряженных плос-
плоскостей.
Выше мы показали, что эти условия выполняются при преломлении
на одной сферической поверхности Рассматривая преломление на после-
последовательности коаксиальных поверхностей, можно считать, что изобра-
изображение, даваемое п-& поверхностью, служит объектом для п + 1-й поверх-
поверхности Так как преломление на одной поверхности идеально в указанном
выше смысле, то и изображение, даваемое всей системой, также идеаль-
идеально Можно показать также, что если условия Максвелла справедливы для
двух пар сопряженных плоскостей, то они справедливы для всех пар
сопряженных плоскостей.
Кардинальные точки
7.9. Ниже будет показано, что коаксиальные системы (пусть даже
весьма сложные) можно охарактеризовать четырьмя параметрами (или
тремя параметрами и отношением показателей преломления первой
и последней сред). Если эти параметры известны, то можно рассчитать
положение сопряженной плоскости для любой плоскости предмета, а так-
*) Уравнение G 12) было получено независимо несколькими авторами, в том
числе Гюйгенсом A690) и Смитом A738) Часто его называют теоремой Лагранжа —
Гельмгольца
ФОКАЛЬНЫЕ ТОЧКИ И ГЛАВНЫЕ ТОЧКИ
193
же увеличение, даваемое системой. В большинстве случаев в качестве
этих параметров удобно выбрать положения двух фокальных и двух глав-
главных точек, определения которых будут даны ниже.
Начнем с рассмотрения таких диоптрических систем линз (т. е. сис-
систем, работающих на пропускание), для которых падающий на систему
параллельный пучок света по выходе из системы становится сходящимся
или расходящимся. Для общности положим, что среды по обе стороны
системы различны. Теорию, развитую для систем этого класса, с незна-
незначительными изменениями можно использовать также для изучения сле-
следующих классов систем:
1. Диоптрические системы с одинаковыми средами по обе стороны
от системы (см. § 7.15).
2. Катодиоптрические (или отражательные) системы (см. § 7.16).
3. Телескопические системы, для которых параллельный пучок падаю-
падающего света выходит из системы также параллельным (см. § 7.20), т. е.
фокальные плоскости таких систем находятся в бесконечности.
Фокальные точки и главные точки
7.10. Плоскость, сопряженная бесконечно удаленной в положитель-
положительном направлении плоскости, называется первой фокальной плоскостью,
а точка ее пересечения с оптической осью называется первой фокальной
точкой, или первым фокусом. Ана-
Аналогично, второй фокальной пло-
плоскостью называется плоскость,
сопряженная бесконечно удален-
удаленной в отрицательном направлении
плоскости.
Свет, идущий от бесконечно
удаленного объекта, можно пред-
представить плоской волной или пуч-
пучком параллельных лучей. Если
объект находится на оси системы,
то лучи параллельны оси системы
и после прохождения системы соберутся в фокальной точке. Если же
бесконечно удаленный объект расположен не на оси системы, то пучок
параллельных лучей составляет угол с оптической осью и собирается
в некоторой точке Q' в фокальной
плоскости (рис. 7.10).
Рассмотрим систему с фокуса-
фокусами в точках F и F' (рис. 7.11).
Пусть FG — луч, который попа-
попадает в оптическую систему в точке
G и выходит из нее в точке G'. По
выходе из системы этот луч должен
идти параллельно оси системы, так
как F — фокус. Пусть продолже-
продолжения падающего и выходящего лучей пересекаются в точке R. Рассмотрим
также второй луч, падающий в направлении AR параллельно оси систе-
системы. Этот луч по выходе из системы должен пройти через точку F; пусть
#'— точка пересечения этих падающего и выходящего лучей.
Таким образом, два луча, которые проходят через точку R, затем
пересекаются в точке R', а так как двух лучей достаточно для построения
13 Р Питчбеон
Рис. 7 10 Фокальные плоскости
I — первая
и J — последняя поверхности,
оптической системы
/ J
Рис 7.11 Главные плоскости
194 ГЛ. 7. ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ. КОАКСИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЗ И ЗЕРКАЛ
изображения точки, то, следовательно, точки R' и R — сопряженные.
Плоскости ЛЯ и R'H' (перпендикулярные оси системы) являются сопря-
сопряженными плоскостями и, так как RH = R'H', увеличение в данных пло-
плоскостях равно-\-1. Эти плоскости называются главными плоскостями,
а точки их пересечения с оптической осью — главными точками (Н и Н').
Точка пересечения луча, идущего из F (или его продолжения), с лучом,
выходящим из системы (или его продолжением), лежит в первой главной
плоскости. Аналогично, точка пересечения луча, идущего в точку F',
с его первоначальным направлением лежит во второй главной плоскости.
Расстояние HF между первой главной плоскостью и первым фокусом
называется первым фокусным расстоянием (/). Отрезок H'F' равен второму
фокусному расстоянию (/'). Существенно, что эти расстояния отсчиты-
ваются от главных точек до соответствующих фокусов. Для случая, изо-
изображенного на рис. 7.11, / отрицательно, а /' положительно.
Построение изображений
7.11, Если для оптической системы определены положения фокусов
и главных точек (опытом или расчетом), то можно найти положение и раз-
размер изображения объекта, даже в том случае, когда неизвестны радиусы
кривизны преломляющих поверхно-
поверхностей. Пусть на рис. 7.12 PQ является
предметом. Проведем луч из точки Q
параллельно оси оптической системы
г=£ £=
l'
9'
Рис 7. 12. Построение изображения.
Кардинальные точьи расположены в следую-
следующем порядье — FHHT'.
Рис. 7 13. Построение изображения.
Точка Н' находится мезьду точками F и Я.
до его пересечения со второй главной плоскостью в точке R'. Луч, выхо-
выходящий из системы (или его продолжение), должен проходить через точку
R', так как падающий луч проходит через точку R. Кроме того, он должен
проходить через F\ так как направление падающего луча параллельно
оси системы. Следовательно, по выходе из системы этот луч должен иметь
направление R'F'. Аналогично проведем луч QF до пересечения его с пер-
первой главной плоскостью в точке S. При выходе из системы он должен
проходить через точку S' и быть параллельным оси системы. Продолжим
оба луча до их пересечения в точке Q\ которая, таким образом, служит
изображением точки Q. Изображение точки Р можно получить, опуская
перпендикуляр из Q' до его пересечения с осью в точке Р'9 которая и дает
изображение точки Р.
Обычно через точки R и R' проходят не реальные, а воображаемые лучи, так как
истинное преломление или отражение происходит в каких-то других точках. Кроме
того, если поместить точечный источник света в точку R (как, например, на рис. 7.11),
то в точке R' мы не получим изображения источника. Изображение источника света
в точке R' получится только в том случае, если лучи, выходящие из точки Д, где
расположен источник, пройдут через всю систему, т. е. если ни одна из линз системы
СТТРЯ .TTPRPft R.
РАСЧЕТ ПОЛОЖЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ И ЕГО РАЗМЕРА 195
Для получения формул, приведенных ниже, удобно рассматривать систему,
в которой кардинальные точки расположены так, как показано на рис. 7.11 и 7 12
Однако надо нметь в виду, что это расположение не является единственно возможный
На рис 7.13 показано построение изображения предмета в случае, когда кардинальные
точки расположены в последовательности FH'EF'
Расчет положения изображения и его размера
7.12. Геометрический способ построения изображения, описанные
в предыдущем параграфе, аналогичен способу, применяемому в элемен-
элементарной геометрической оптике для построения изображения тонкой лин-
линзой. Главные плоскости тонкой линзы совпадают с самой линзой. Мы
покажем, что формулы для расчета положения и размера изображения для
сложной оптической системы аналогичны известным формулам для тонкой
линзы при условии, что все расстояния отсчитываются не от линзы, а от
соответствующих главных точек (от Н для расстояний до предмета или
до F и от Нг для расстояний до изображения или до F').
Используя обозначения рис. 7.12 и рассматривая подобные треуголь-
треугольники HSF и RSQ, получим
/ HS _ у'
I ~~ RS ~ у1-у
или
■f—s*r- <7-15>
Аналогичным образом
4=+—1Lr. G.16)
i у—у
(Здесь следует обратить внимание на знаки: /, I и у1 отрицательны, /', V
и у положительны.)
Из G.15) и G.16) получим
4+-f = 1 G.17)
и
Луч, идущий от точки Р к точке R (пунктир на рис. 7.12), выходит
из системы в направлении R'P' и HR = H'R' = PQ. Следовательно,
Ja = J'a' = y. G.186)
Используя G.18а) и G.186) вместе с G.12), получим
F называется оптической силой системы.
Из G.14) и G.186) находим
Соотношения G.17) и G.20) определяют положение и размер изобра-
изображения, если известны положения главных точек и фокусов. Если х и
х1 — расстояния двух сопряженных плоскостей от соответствующих
13*
196 ГЛ. 7. ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ. КОАКСИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЗ И ЗЕРКАЛ
фокальных плоскостей, то, рассматривая подобные треугольники FHS
к FPQ и аналогичные треугольники справа от системы, получим
^т = -£=—£=—f • G.21)
Отсюда
xx' = ff, G.22а)
**'=--7Т- G-226)
Соотношение G.22а) известно как формула Ньютона. Полученное соотно-
соотношение является одним из важнейших уравнений геометрической оптики.
Упражнения
7.2. Система линз с оптической силой F находится в воздухе. Расстояние НН'
равно а. Определить расстояние между сопряженными плоскостями, для которых
линейное увеличение равно —1 (Мт= — 1).
+]
.3. Система линз с оптической силой F, находящаяся в воздухе, образует изобра-
изображение предмета с линейным увеличением ЛГ1# После перемещения системы вдоль оси
на расстояние х в направлении падающего света и такого перемещения предмета,
при котором его изображение остается в прежней плоскости, линейное увеличение
изображения становится равным М2. Найти выражение для оптической силы системы.
§,
7.4. Тонкая линза с оптической силой F образует в плоскости х = g изображе-
изображение предмета, находящегося в плоскости х = 0. Найти связь между увеличением
системы Mj> и заданными величинами.
7.5. Используя результат предыдущего упражнения, показать, что g/T,
если F выбрано таким, что Му= 1. Если F равно 0,03 см~~1, то чему равны максималь-
максимальное и минимальное значения величины g при таком перемещении линзы, что М?
изменяется от 2/3 до 3/2.
[В обоих экстремальных случаях # = 83 см. При М?=1 g = 80 см.]
Узловые точки
7.13. Две сопряженные точки на оси системы, для которых угловое
увеличение равно + 1, называются узловыми точками. Любой луч, кото-
который до попадания в систему, был на-
направлен в первую узловую точку (N),
выйдет из системы параллельно своему
первоначальному направлению и прой-
пройдет через вторую узловую точку (N').
На рис. 7.14 RN — падающий луч
и R'N'— направление выходящего лу-
луча. Так как направления этих двух
Рис. 7.14. Узловые точки. лучей параллельны и Я'Л' = ЯЛ, то
расстояния lN и Zjv узловых точек от
соответствующих главных точек одинаковы. Уравнение G.17) дает
lN = lN.=j + f, G.23а)
и если xN и #Л"— расстояния узловых точек от соответствующих фоку-
фокусов, то
XN = lN-f = f и xN- = f G.236)
в соответствии с G.22а)«
УЗЛОВЫЕ ТОЧКИ
197
Пусть z и z— расстояния от соответствующих узловых точек до двух
сопряженных плоскостей; тогда
Л/т = -^-=—. G.24)
1 у z v '
Рассмотрим предмет, находящийся на очень большом расстоянии от
оптической системы, лучи от которого падают на оптическую систему
под углом со = y/z к оси системы. Тогда изображение этого предмета
получится во второй фокальной плоскости, удаленной от соответствую-
соответствующей узловой точки на расстояние
т. е.
/'-(/+/')=-/,
=--£- пли
G.25)
Это уравнение иногда используется для определения оптической силы
системы. Если длина измеряется в сантиметрах, то размерность оптической
силы будет см'1. Если длина измеряется в метрах, то оптическая сила
выражается в диоптриях (D).
Из выведенных выше соотношений следует, что если известны поло-
положения фокусов и фокусные расстояния системы, то можно рассчитать
положения узловых п главных точек. Таким образом, система определяет-
определяется четырьмя независимыми параметрами.
Упражнения
7.6. Показать, что линейное увеличение в плоскостях, проходящих через узло-
узловые точки, и угловое увеличение в главных точках равны п'/п.
7.7. Показать, что
О G.26а)
1
1
nz
1
1
G.266)
Г
nf n'f
Указание. Подставить z = х — /' и т. д. в уравнение Ньютона.
7.14. Пусть параллельный пучок света падает слева на систему парал-
параллельно оптической оси (рис. 7.15, а) и собирается во втором фокусе систе-
системы F'. Теперь предположим,
что система повернулась вокруг > ,
точки О на оси на малый угол 0. F
Тогда падающий пучок соберет-
соберется в точке G' (рис. 7.15, б), ко-
которая лежит в фокальной пло-
плоскости, так как падающий пу-
пучок параллелен. Луч AN, па-
падающий в точку N, тоже должен
выйти из системы параллельно
первоначальному направлению
и пройти через точки N' и G'.
Следовательно, точка схожде-
схождения пучка будет находиться на
£'
Рис. 7.15 Построение изображения.
а — падающий свет параллелен оси системы;
б — оптическая система повернута вокруг точки О.
расстоянии g0 от точки схождения пучка до поворота системы, где
g = N'O — расстояние оси вращения от второй узловой точки.
198 ГЛ 7 ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ КОАКСИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЗ И ЗЕРКАЛ
Таким образом, если ось вращения проходит через вторую (заднюю)
узловую точку системы, то при повороте системы изображение не сдви-
сдвинется. Таким свойством обладают только узловые точки; другие точки,
расположенные на оси системы или находящиеся в плоскостях, проходя-
проходящих через узловые точки, этих свойств не имеют. Указанное свойство
узловых точек используется для экспериментального нахождения их
положения в сложных оптических системах. Этот метод весьма важен, так
как в случае совпадения главных точек с узловыми (когда п = тг'), он дает
сразу и положение главных точек системы *).
Упражнение
7.8. Определить положения главных и >зловых точек и фокуса преломляющей
поверхности радиусом 20 см (см. рис. 7.9}, разделяющей воздух и стекло с показагелем
преломления 1,5
[Главные точки совпадают друг с другом и с преломляющей поверхностью, узловые
точки находятся в центре кривизны поверхности. Фокусные расстояния можно опре-
определить, подставляя в уравнении G.8) сначала I = оо, а затем V = оо. Они равны —40
и +60 см.]
Системы, работающие на пропускание, с одинаковыми средами
по обеим сторонам
7.15. Эти системы (в том числе, конечно, системы линз, находящиеся
в воздухе) обладают следующими специальными свойствами, которые
можно получить, подставляя п' = п в предыдущие уравнения:
I.
_-/ = /' = -£-, G.27а)
или
— / = /' = — (для систем, находящихся в воздухе). G.276)
II.
—=Л, G.28а)
а у1 ' v '
или
Ма = 4~. G.286)
III. Узловые точки совпадают с соответствующими главными точками
(см. уравнения G.23) и G.27)).
IV. Уравнения G.17) и G.22) можно записать в виде
-ТГ — -Г = Г =-77-= 7 (<-Щ
хх'=-.р=—р. G.30)
Для очень тонкой линзы обе главные и обе узловые точки совпадают
друг с другом и с самой линзой.
*) Подробно этот метод изложен, например, в книге «Физический практикум»,
под ред В. И. Ивероновой, Физматгиз, 1962. (Прим. ред.)
РАСЧЕТ ПОЛОЖЕНИЯ КАРДИНАЛЬНЫХ ТОЧЕК 199
Катодиоптрические, или отражательные, системы
7.16. Оптические системы, которые посылают луч, идущий по оси
системы, тоже по ее оси, но в обратном направлении, называются като-
диоптрическими. Наиболее простая система такого типа — вогнутое
зеркало (рис. 7.16). Оно обладает одним фокусом F, сопряженным
плоскости, удаленной на — оо. Обе
главные точки совпадают друг
с другом и с зеркалом. Обе узло-
узловые точки совпадают с центром
кривизны зеркала, что можно
показать способом, описанным
в § 7.14.
Имеем
HF— +/==~у (/.31а) рпс 7 16 Главные, фокальные и узловые
точки катодиоптрической системы (простое
и зеркало).
=+2/ = -§-. G.316)
Подставляя /г'= — п в G.19), G.25) и т. д., можно убедиться, что эти
свойства вытекают из общих соотношений. Из G.19) получаем также, что
/' = /■
4-+4=т=^ G*32)
хх* = р. G.33)
Различие знаков в уравнениях G.32) и G.33) по сравнению с уравне-
уравнениями G.29) и G.30), соответствует физическому явлению, состоящему
в том, что система линз с нулевой оптической силой (например, плоско-
параллельная стеклянная пластинка) не отклоняет световые лучи, тогда
как зеркальная система с нулевой оптической силой (например, плоское
зеркало, перпендикулярное оси) поворачивает луч, идущий вдоль оси,
на угол я.
Если оптическая система состоит из линз и плоского или сферическо-
сферического зеркала, то расчет можно провести описанными выше способами для
луча, который пересекает каждую преломляющую поверхность дважды.
Например, если часть линз системы и зеркало расположены под поверхно-
поверхностью жидкости так, что образуется коаксиальная система с осью, направ-
направленной вертикально, то можно применять формулы, полученные для того
случая, когда и предмет и его изображение находятся в воздухе. Если
предмет и изображение находятся в разных средах, то соответствующие
формулы окажутся более сложными.
Расчет положения кардинальных точек
7.17. Расчет положения кардинальных точек удобно проводить в два
этапа: 1) определение оптической силы всей системы и 2) расчет поло-
положения фокусов относительно какого-либо элемента системы, например
поверхности одной из линз. Если известна оптическая сила системы, то
соотношение G.19) позволяет найти фокусные расстояния и, следователь-
следовательно, определить положения главных точек относительно фокусов. Поло-
Положения узловых точек можно найти, использовав уравнение G.23).
200 ГЛ 7 ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ. КОАКСИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЗ И ЗЕРКАЛ
Формулы для оптической силы системы
7.18. Пусть луч пересекает преломляющие поверхности, образующие
систему, на расстояниях 1ги h2 и т. д. от оси. Тогда последовательное при-
применение уравнения G.7) дает
/гV — па=У\рь G 34)
S
где п' и а' — величины, относящиеся к изображению, а гс и а — к предмету.
Если падающий луч параллелен оси системы, т. е. а = 0, то уравне-
уравнение G.34) примет вид
\hB. G.35а)
Но из § 7.13 и из рис. 7.17 следует, что
где F — оптическая сила всей системы.
Комбинация уравнений G.35а) и G.356) дает
G.356)
G.36)
Применим теперь это уравнение к некоторым частным случаям,
1. Для тонкой линзы с радиусами кривизны преломляющих поверх-
поверхностей raii Г5, которая изготовлена из стекла с показателем преломления п
а)
Рис 7.17. Ход лучен в системе из двух тонких линз (а) и в однои
толстой линзе с показателем преломления п (б)
Слева и справа от линзы показатель преломление равен единице
и помещена в среду с показателем преломления 1, будем иметь /гх = /г2*
Применение уравнений G.18) и G.36) дает
= (тг —l)fc, G.37)
где к — алгебраическая сумма кривизн преломляющих поверхностей.
2. Для системы, состоящей из двух тонких линз с оптическими
силами Ft и F2, помещенных в воздухе на расстоянии t друг от друга
ТЕЛЕСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 201
(см. рис. 7.17, а), будем иметь
h2 = hi^-Fithi = hi(l-Fit), G.38)
и уравнение G.36) дает
F1F2t. G.39)
3. Для толстой линзы (см. рис. 7.17, б), используя соотношение G.7)
для определения угла а', будем иметь
J) G-40)
Тогда из уравнения G.36) следует
Z& G.41а)
где Fi и F2 — оптические силы преломляющих поверхностей.
Подставляя выражения для оптических сил из соотношения G.17),
получим для толстой линзы, ограниченной сферическими поверхностями
с радиусами кривизны га и гь,
L ILY G.416)
rb ^ n rarb
Положение фокусов
7.19. 1. Для тонкой линзы главные плоскости совпадают с самой
линзой, и поэтому фокальные точки находятся на расстояниях / и —/
от линзы.
2. Для системы двух тонких линз получим, рассматривая подобные
треугольники F'R'H' и F'M2L2 (L2—центр линзы L2) на рис. 7.17,а,
a' —n'p — hi—h2
H'F' -а г — hi f
где F=\IH'Fr— оптическая сила всей системы и а! = H'L2.
Из уравнения G.38) следует
а' = ^М. G.42)
3. Аналогичным образом для толстой линзы
*'«#. <7-43>
где F — оптическая сила линзы; Fi — оптическая сила первой прелом-
преломляющей поверхности.
Соотношение G.42) определяет расстояние от Нг до L2 на рис. 7.17, а,
а соотношение G.43) — расстояние от Н' до D на рис. 7.17, б. Ана-
Аналогичным образом можно определить расстояние от Н до L4 на рис. 7.17, а
и расстояние от Н до А на рис. 7.17, б.
Телескопические системы
7.20. Из соотношения G.39) следует, что при расстоянии между тонки-
тонкими линзами, равном fi + f2 = 1/Fi + 1/F2, оптическая сила всей системы
равна нулю. Фокусные расстояния такой системы бесконечно велики.
Астрономический телескоп (рис. 7.18, а) и труба Галилея (рис. 7.18, б)
202 Г Л 7 ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ. КОАКСИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЗ И ЗЕРКАЛ
являются оптическими системами такого типа. Параллельный пучок све-
света, падающий на эту систему, по выходе из нее остается параллельным,
но ширина его в общем случае изменяется. Все сопряженные плоскости,
включая бесконечно удаленные, характеризуются одинаковым линейным
увеличением Мт. Параллельный пучок счета, падающий под углом к оси
системы, выйдет из системы также параллельным, но будет составлять дру-
другой угол с осью (см. рис. 7.18). Формулы, в которые входят фокусные рас-
расстояния и оптические силы, непригодны для рассматриваемого случая;
однако соотношение для увеличения (уравнение G.12)) остается при-
применимым и для телескопических систем, и поэтому соотношение Мт =
= 1Ша справедливо для телескопов, работающих на пропускание, для
Рис. 7.18 Астрономический телескоп (а) и труба
Галилея (б)
которых среды по обе стороны системы одинаковы. Для отражательных
телескопов применимо соотношение Мт = — 1/Ма-
Телескопическую систему можно получить, располагая на одной оси
две нетелескопические системы таким образом, чтобы первый фокус одной
из них совпадал со вторым фокусом второй. Из рис. 7.18, а следует, что
ма—£--£. G-44>
Где р± __ оптическая сила первой линзы (объектива); F2 — оптическая
сила окуляра.
7.21. Нетелескопическая система, на которую падают световые пучки
от двух звезд, образует изображения последних в своей фокальной плоско-
плоскости. Расстояние между этими изображениями пропорционально углово-
угловому расстоянию между звездами. Коэффициент пропорциональности, харак-
характеризующий систему, имеет размерность длины и равен /' = ri IF. Теле-
Телескопическая система, получающая свет от двух звезд, образует их изобра-
изображения в бесконечности. Угол между направлениями на изображения звезд
пропорционален угловому расстоянию между звездами. Отношение вели-
величин этих углов, как следует из формулы G.44), равно отношению фокус-
фокусных расстояний линз, образующих телескопическую систему. Полученная
величина является характеристикой телескопической системы. Любую
телескопическую систему можно разделить на две нетелескопические.
Существуют тривиальные исключения из этого правила, например плоское
зеркало, расположенное перпендикулярно оси. Его можно рассматривать
как телескоп с увеличением —1.
ХРОМАТИЧЕСКАЯ АБЕРРАЦИЯ 203
Общее замечание по поводу расчета коаксиальных систем
7.22. Если оптическая система состоит только из двух элементов,
то положение и размер изображения проще определить элементарными
способами без применения общей теории. Для этой цели очень полезна
формула Ньютона (см. уравнение G.22)), а также соотношения G.7)
и G.39). Часто удобно рассматривать луч, который на какой-либо стадии
параллелен оси системы.
Упражнения
7.9. Линза с оптической силой 10 диоптрий находится на оси в точке х = 0, а вто-
вторая линза с оптической силой — 8 диоптрий — в точке х = 5 см. Определить оптиче-
оптическую силу системы и положения ее кардинальных точек. Вычислить соответствующее
телескопическое увеличение Мте (см. ниже § 7.37).
[Оптическая сила равна 6 диоптриям. F, Н, II' и F' находятся соответственно
в точках — 23,3, — 6,6, — 3,3 и +13. МТе = 2,0.]
7.10. Окуляр (см. § 7.32) состоит из двух одинаковых линз с фокусным расстоя-
расстоянием 6 см каждая. Одна линза находится в точке х = 0, вторая — в точке х = 4 см.
Определить фокусное расстояние окуляра и положения его кардинальных точек.
[/' = 4,5 см. F, Н, Н' и F' находятся соответственно в точках —1,5, +3, + 1
и -р5,5.]
7.11. Чему равно увеличение окуляра, если расстояние наилучшего зрения
составляет 30 см (см. § 7.31)? Если окуляр используется в телескопе, то где должна
располагаться фокальная плоскость объектива и где должен находиться крест нитей?
[Оба должны совпадать с F.]
7.12. Окуляр состоит из двух линз с фокусными расстояниями 6 и 3 см, находя-
находящимися в точках х = 0 и х = 4 соответственно. Последняя линза расположена ближе
к глазу. Определить фокусное расстояние системы и положения ее главных точек
и фокусов.
[/' = 3,6 см. F, И', Н, F' находятся соответственно в точках 1,2, 1,6, 4,8 и 5,2.]
7.13. Где должны находиться крест нитей и фокальная плоскость объектива,
если окуляр, описанный в упражнении G.12), используется в телескопе?
[Так как окуляр отрицательный, то крест нитей должен рассматриваться
только через глазную линзу и он должен находиться в фокусе последней в точке х = 1.
Фокальная плоскость объектива должна совпадать с F, т. е. находиться в точке
х= 1,2.]
7.14. С помощью формулы Ньютона проверить решения к упражнениям 7.9,
7.10 и 7.12.
[Обратить внимание, что в окуляре, описанном в упражнении 7.10, лучи, выхо-
выходящие из фокуса первой линзы, между линзами окуляра идут параллельно оптической
оси, и поэтому собираются во втором фокусе глазной линзы.]
7.15. Показать, что фокусное расстояние микроскопа, изображенного на рис. 7.27,
равно —fefo'g- Где должен располагаться предмет, чтобы его изображение находи-
находилось в бесконечности?
[На расстоянии —/о'(/(/ + £)/£ от объектива. Использовать формулу G.39)
с t = je+f0 + g.]
Хроматическая аберрация
7.23. Все оптические стекла обладают, дисперсией, и поэтому угол
отклонения луча при преломлении на поверхности линзы зависит от дли-
длины волны. В рамках оптики параксиальных лучей оптическая система
в каждой длине волны дает идеальное изображение; однако изображения,
соответствующие разным длинам волн, не совпадают друг с другом ни по
положению, ни по размерам. В связи с этим при использовании белого
света на границах темных и светлых областей изображения образуются
окрашенные полосы. Смещение изображения вдоль оси в зависимости
от длины волны называется продольной хроматической аберрацией, а изме-
изменение размеров изображения — поперечной хроматической аберрацией,
или хроматической разностью увеличений. В основных чертах хромати-
хроматическую аберрацию можно описать в рамках параксиальной оптики.
204 ГЛ. 7. ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ. КОАКСИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЗ И ЗЕРКАЛ
Из двух линз можно составить систему, для которой dFJdk = О
(Fc — оптическая сила системы) вблизи некоторой длины волны Яа
(рис. 7.19).
Системы, обладающие таким свойством, называются ахроматически-
ахроматическими. В следующем параграфе будет показано, что две тонкие линзы, изго-
изготовленные из одного и того же сорта стекла, образуют ахроматическую
систему, если расстояние между ними равно полусумме их фокусных
Л
SS00 5000 т
Длина 0оты, А
4£00 4000
Рис. 7.19. Зависимость фокусного расстояния от длины
волны для простой линзы (/) и ахроматического объек-
объектива (//).
расстояний. Если линзы сделаны из разного материала, то можно полу-
получить ахроматическую их комбинацию, располагая линзы вплотную друг
к другу.
Используя более двух оптических материалов, можно изготовить систему, для
которой условие dFc/dX = О будет выполняться для нескольких длин волн. Исправлен-
Исправленные таким образом объективы микроскопа (у которых, кроме того, для двух длин
волн исправлена сферическая аберрация) называются апохроматами. К условию
апохроматичности можно подойти довольно близко, используя только два материала,
если оба они обладают подходящими дисперсионными характеристиками. Такие
полуапохроматические объективы можно изготовить, комбинируя линзы из стекла
и флуорита.
Ахроматические системы
7.24. Прежде чем перейти к рассмотрению ахроматических систем,
отметим, что системы зеркал совершенно свободны от хроматической
аберрации. Применение таких систем особенно целесообразно в инфра-
инфракрасной области, где потери на отражение малы и где часто приходится
работать с широкой областью спектра. Большие телескопы обычно дела-
делают отражательными. Объективы микроскопов для видимой области спект-
спектра, как правило, состоят из систем линз, но в последнее время находят
широкое применение высококачественные отражательные микроскопы для
ультрафиолетовой, видимой и инфракрасной областей спектра.
Для двух тонких линз, расположенных вплотную друг к другу (t = 0), из G.37)
и G.39) получим
Fc = (ni — 1)&1 + (л2—1)&2. G.45)
Следовательно, dFc/dX = 0, если
*х4^=-*2^ G 46)
ДИАФРАГМЫ 205
Соотношения G 45) п G 46) можно рассматривать как уравнения для определе-
определения Л-! и А2, если задано Fc и выбраны стекла для изготовления линз
Подставляя выражение для А2 из G 46) в G 45), полечим
-Т") А*' G 47)
где
1 dn\ I dfio
nt — 1 ак п2 — \л ак
Если бы vx и л2 были одинаковыми для всех материалов (как предполагал Ньютон),
то изготовить ахроматическую систему таким способом было бы невозможно В дей-
действительности же оптические материалы, для которых л меняется от 1 до 2, легко
поллчить, и поэтому возможно создание ахроматических систем с не очень большими
значениями At и к2 (т е с небольшими кривизнами поверхностей линз) Из уравнения
G 46) следует, что kt и к% должны иметь разные знаки, т е что одна линза должна
быть положительной, а вторая отрицательной
Так как линзы, составляющие систему, характериз} ются четырьмя радиусами
кривизны, то выбор значений Аг4 и к2 еще не полностью определяет конструкцию
системы Эта свобода выбора радиксов кривизны обычно используется для уменьше-
уменьшения других аберраций (особенно сферической аберрации и комы) Можно также
сделать так, чтобы соприкасающиеся поверхности линз имели одинаковый ради>с
кривизны В этом случае линзы можно склеивать, что уменьшит потери на отражение
7 25. Для двух линз, изготовленных из одного и того же материала и находя
щихся на расстоянии t друг от др>га, уравнения G 37) и G 39) дают
Fc—(n — l)(ki + k2)—(n — lJkik2t G 48)
и dFJdX = 0, если A^-f-к2=2 (п — lJAjA^*. Воспользовавшись соотношением 1/ =
= (п — 1) к, получим
G 49)
Это соотношение строго выполняется только для одной длины волны, так как /4 и f%
зависят от длины волны
Равенство фокусных расстояний для двух длин волн еще не означает, что изобра
жения в разных длинах волн будут совпадать по положению или по размерам, так как
кардинальные точки для разных длин волн могут не совпадать Для двух тонких
линз, расположенных вплотную друг к другу, главные плоскости приблизительно
совпадают с центром системы и их положение весьма слабо зависит от длины волны
Поэтому равенство фокусных расстояний для различных длин волн приведет к \стра
нению и продольной и поперечной хроматической аберрации Для двл\ разнесенных
линз, изготовленных из одного и того же стекла продольная хроматическая аберрация
остается и в том случае, когда справедливо соотношение G 49), хотя хроматическая
разность увеличений отсутствует.
Диафрагмы
7.26. Диафрагмы часто используются в оптических системах дтя устра-
устранения рассеянного света, лучи которого обычно не совпадают по направле-
направлению с лучами, участвующими в образовании изображения Применение
диафрагм особенно существенно в спектрографах с дифракционной решет-
решеткой, так как в этом случае в место расположения на фотопластинке спектра
изучаемого интерференционного порядка может попадать рассеянный
свет, соответствующий другим порядкам интерференции Применение диа-
диафрагм имеет существенный практический интерес, но принцип их действия
прост, и поэтому мы на этом больше останавливаться не будем
Теперь мы рассмотрим вопрос об ограничении световых пучков, обра-
образующих изображение, диафрагмами, введенными в оптическую систему,
или оправами оптических деталей, составляющих систему
206 ГЛ. 7. ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ. КОАКСИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЗ И ЗЕРКАЛ
Апертурная диафрагма
7.27. Для данной пары сопряженных точек (Р и Р' на рис. 7.20) угло-
угловой диаметр 2а0 конуса лучей, участвующих в образовании изображения,
ограничен размерами одной из компонент системы или диафрагмой £0,
показанной на рисунке. Здесь изображена сравнительно простая система,
но все изложенное ниже применимо и к более сложным системам, если
под ^ понимать все линзы, расположенные до диафрагмы So, а под,
L2 — все линзы, расположенные за ней. Приводимые нами соображения
применимы также (с небольшим изменением) к системам, в которых конус
лучей, проходящих через диафрагму So, сразу же проходит сквозь вторую
диафрагму.
Диафрагма So, ограничивающая пучок лучей, образующих изобра-
изображение, называется апертпурной диафрагмой. Ее изображение S, созда-
создаваемое системой линз Lu называется входным зрачком, а изображение
sf
Рис. 7.20. Апертурная диафрагма.
S — входной зрачок; So—апертурная диафрагма; S'— вы-
выходной зрачок.
£', создаваемое системой линз L2 — выходным зрачком. S л S' являются
сопряженными по отношению ко всей системе в целом. Лучи, идущие от
Р к Р' через центр апертурной диафрагмы (и, следовательно, через центры
S и S'), носят название главных лучей. В телескопах сам объектив обычно
служит апертурной диафрагмой, н так как перед ним нет никаких линз,
то он же является и входным зрачком системы. Выходной зрачок астро-
астрономического телескопа показан на рис. 7.18, а. В оптических инструмен-
инструментах, предназначенных для визуального наблюдения, размер выходного
зрачка должен приблизительно совпадать с размером входного зрачка
глаза. Последний находится вблизи радужной оболочки, служащей апер-
апертурной диафрагмой глаза. Для телескопов и фотоаппаратов, предназна-
предназначенных для съемки удаленных предметов, отношение диаметра входного
зрачка к фокусному расстоянию объектива называется относительным
отверстием. В микроскопах угловой диаметр конуса лучей, участвующих
в образовании изображения, определяется первой линзой объектива.
Диафрагма поля зрения
7.28. Если диафрагма 20 помещена в телескопе, как показано на
рис. 7.21, ее края, рассматриваемые через окуляр, ограничивают видимое
поле зрения. Все лучи (проходящие через объектив) от точек рредмета, изо-
изображения которых, создаваемые объективом, находятся в пределах отвер-
отверстия диафрагмы 20, пройдут также и через окуляр. Если же их изображения
будут находиться вне отверстия диафрагму, то такие лучи будут задержа-
задержаны диафрагмой. 20 называется диафрагмой поля зрения; ее изображение
Z частями системы, расположенными перед 20, носит название входного
ПОЛЕВАЯ ЛИНЗА
207
окна, а изображение 2', образованное частями системы, расположенными
за диафрагмой поля зрения — выходным окном, В показанных выше
телескопических системах входное и выходное окна находятся на беско-
бесконечности; угловой диаметр входного окна носит название угла поля зрения.
В случае систр ш, изображенной на рис. 7.21, угол при вершине конуса лучей,
участвующих в изображении предмета, будет уменьшаться при удалении предмета
от системы вт;оль ее оптической оси. Этот эффект называется виньетированием. Обычно
Рис. 7.21. Диафрагма поля зрения
Лучи iw, 1L, и 2u, 2L исходят от звезд, первичные изображения кото-
которых точно вписываются в диафрагму поля зрения
считают, что точка находится в пределах поля зрения, если основная часть испускае-
испускаемых ею л^чей проходит через оптическую систему. Для данной пары сопряженных
плоскостей диафрагма или оправа линзы ограничивает это поле зрения, и поэтому
их можно считать диафрагмами
поля зрения. Отметилх, что
в таком сл>чае в глаз наблю-
наблюдателя попадает некоторое ко-
количество света о г точек, ле-
лежащих вне поля зрения.
Полевая линза
7.29. В телескопе, изо-
изображенном на рис. 7.22, а,
поле зрения ограничено
оправой окуляра Е. Вве-
Введение в систему линзы Lp
увеличивает поле зрения ^
(рис. 7.22, б), и при пра-
правильном выборе фокусного
расстояния этой линзы ее
оправа будет служить ди-
диафрагмой поля зрения.
Линза, действующая таким
образом, называется поле-
полевой линзой. Она не изме-
изменяет ни апертуру, которая по-прежнему определяется диаметром объек-
объектива ни увеличения системы, но изменяет положение и размер выходного
зрачка системы.
В некоторых оптических системах, например в цистоскопах *), угловой'размер
пучка, участвующего в образовании изображения, сильно ограничен, так как свет
должен проходить через узкую длинную трубу или систему малых диафрагм. В таких
случаях полевые линзы и линзы, дающие изображение, чередуются, как показано
на рис. 7.23. Здесь линзы L4, L3, L5 дают последовательные изображения предмета О,
а линзы L2i £4 служат полевыми линзами. Совокупность линз L3, L4, Lb образлет
Рис 7 22 Полевая линза
а — лучи lwn 2L не попадают в окуляр, б — линза Lp от-
отклоняет эти лучи так, что они попадают в окуляр
*) Цистоскоп — медицинский оптический прибор, предназначенный для осмотра
мочевого пузыря. (Прим. ред.)
208 ГЛ 7. ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ. КОАКСИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЗ И ЗЕРКАЛ
телескоп, увеличение которого равно 1. В перископах и цистоскопах используются
системы такого типа. Увеличение изображения Ijq, рассматриваемого через окуляр,
гораздо меньше, чем в случае телескопа с объективом диаметром d и расстоянием
между объективом и окуляром, равным t. Но так как световая энергия, исходящая
из какой-либо маюй области предмета и приходящая в соответствующую область
изображения, в обоих случаях одинакова, то для системы, показанной на рис. 7.23,
Рис 7 23. Ход лучей в цистоскопе.
яркость изображения оказывается гораздо большей. Поле зрения в этом случае также
значительно больше. Для таких систем особенно существенно использование про-
просветляющих покрытий. Другой способ получения изображения в длинных трубках
описан в приложении 7А.
Глаз
7.30. Оптическая система глаза (рис. 7.24) состоит из роговицы, водя-
водянистой влаги, хрусталика и стекловидного тела. Показатели преломления
водянистой влаги и стекловидного тела мало отличаются от показателя
преломления воды, равно-
равного 1,33. Показатель пре-
преломления хрусталика из-
изменяется от 1,38 на его по-
поверхности до 1,41 в центре.
Наибольшей преломляю-
преломляющей способностью обла-
обладает роговица D0 диопт-
диоптрий); оптическая сила хру-
хрусталика примерно равна
23 диоптрии. В первом
приближении оптическая
система неаккомодирован-
ного глаза соответствует
одной сферической прелом-
преломляющей поверхности с оп-
оптической силой 60 диопт-
диоптрий, которая разделяет
воздух и среду с показа-
показателем преломления 1,33.
Глаз не является строго
коаксиальной системой, но
в первом приближении (что вполне достаточно для многих целей) его можно
считать коаксиальной системой [7.3].
Оптическая сила глаза молодых людей может изменяться в пределах
4 диоптрий, что позволяет фокусировать предметы, находящиеся на рас-
расстоянии 25 см. Это свойство глаза называется аккомодацией. Аккомода-
Аккомодация связана главным образом с изменением формы первой поверхности
хрусталика. Апертурной диафрагмой служит радужная оболочка, обла-
обладающая отверстием переменного диаметра (от 2,5 до 8 мм), который самопро-
7см
Рис 7 24 Схема глаза.
1 — зрительный нерв, 2 — сетчатка, 3 — центральная
чмка. 4 — стекловидное тело (п = 1,33), 5 — хрусталик
(п = 1 38—1,44), 6 — ирис, 7 — роговица, 8 — водяни-
водянистая влага (п = 1,33).
УВЕЛИЧИТЕЛИ И ОКУЛЯРЫ
209
пзвольно меняется в зависимости от освещенности. Сетчатка, или ретина,
представляет собой сложную мозаику тонких нервных волокон зритель-
зрительного нерва, исходящих из головного мозга. Фотохимические процессы
в этих приемниках глаза, происходящие при изменении освещенности,
вызывают появление электрических импульсов, которые по соответствую-
соответствующим нервным волокнам поступают в кору головного мозга.
Увеличители и окуляры
7.31. Размер изображения на сетчатке пропорционален углу, под
которым виден объект (вершина угла совпадает с первой узловой точкой
глаза). Улучшение условий наблюдения при использовании увеличиваю-
увеличивающих приспособлений определяется отношением величин этих углов при
рассматривании объекта через увеличительную систему и невооруженным
глазом. Если объектами являются удаленные звезды, а увеличивающей
системой — телескоп, то это отношение просто равно угловому увеличе-
увеличению телескопа. Если увеличивающей системой служит короткофокусная
линза, то угол, под которым виден предмет высотой г/, помещенный в ее
фокусе, равен ylf. Для невооруженного глаза этот угол равен y/d, где
d — расстояние наилучшего зрения (отсчитываемое от узловой точки).
Следовательно, увеличение будет равно dlf. Для молодых людей с нормаль-
нормальным зрением d равно приблизительно 25 см.
При конструировании увеличивающих систем их параметры выбирают
таким образом, чтобы как можно лучше исправить аберрации, получить
достаточно большое увеличение,
хорошую светосилу и т. д. Описа-
Описание некоторых таких систем, име-
имеющих широкое применение, чита-
читатель может найти в книге [7.6].
7.32. Окуляры используются
для увеличения промежуточного
изображения, даваемого объекти-
объективом микроскопа или телескопа.
В отрицательном окуляре проме-
промежуточное изображение находится
внутри окуляра (рис. 7.25, а),
Рис. 7.25. Отрицательный окуляр Гюйген-
Гюйгенса (а) и положительный окуляр Кельне-
Кельнера (б).
а в положительном — перед оку-
окуляром (рис. 7.25, б). Окуляр такого
типа можно использовать для уве-
увеличения реальных объектов.
Окуляр Рамсдена состоит из двух
линз Lf и Le с одинаковыми фокусными
расстояниями, отстоящих друг от друга
на расстояние / (рис. 7.26). Промежу-
Промежуточное изображение должно совпадать
с линзой Lf, которая играет роль поле-
полевой линзы. Увеличение обеспечивается
только линзой Le. Крест нитей или
сетка должны располагаться вплотную
к Lf Это неудобно механически и, кроме того, пылинки, находящиеся на поверх-
поверхности линзы Lb фокусируются одновременно с изображением. Поэтому обычно умень-
уменьшают расстояние между компонентами системы, чтобы окуляр в целом был положи-
положительный (см. рис. 7.25, б). При этом несколько увеличивается хроматическая аберра-
аберрация, но в окуляре Кельнера ее увеличение компенсируется при помощи ахромати-
ахроматического дублета, играющего роль глазной линзы. В этом окуляре линза Lf вносит
некоторый вклад в увеличение, но по-прежнему остается полевой линзой [7.2,7.6].
14 р. Дитчберн
Рис. 7.26. Окуляр Рамсдена
210 ГЛ. 7. ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ. КОАКСИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЗ И ЗЕРКАЛ
Микроскоп
7.33. Микроскоп состоит из сложного объектива с очень малым фокус-
фокусным расстоянием /0 и окуляра с фокусным расстоянием fe (рис. 7.27).
Расстояние g между задним фокусом объектива и передним фокусом окуля-
окуляра всегда положительно. Оно называется длиной тубуса и обычно равно
Объел/nuff
Рис. 7.27. Микроскоп.
160 мм. Можно показать (см. упражнение 7.15), что фокусное расстояние
такой системы равно fjolg и, следовательно, ее увеличение равно
*-(*)(£>•
G.50)
Первый множитель определяет увеличение промежуточного изобра-
изображения, а второй — увеличение окуляра.
Отражательный телескоп
7.34. Почти все современные большие телескопы являются отража-
отражательными, потому что изготовить хорошее зеркало значительно легче,
чем отлить большую линзу из вполне однородного стекла и обеспечить
Рис. 7.28. Рефлектор Ньютона.
такую ее установку, чтобы она не деформировалась под действием собствен-
собственного веса. Кроме того, для зеркального объектива хроматическая аберра-
аберрация полностью исключена, а другие аберрации легче исправить, чем в слу-
случае линзовых объективов. Обычно главным зеркалом телескопа служит
параболическое зеркало и свет от звезды, находящейся на его оси, попадает
в фокус F (рис. 7.28). В телескопе Ньютона на пути сходящегося пучка
помещается маленькое зеркало, как показано на рисунке, что позволяет
рассматривать изображение через окуляр, экранируя лишь очень малую
часть главного зеркала.
Самый крупный из существующих ныне телескопов находится в Ма-
унт-Паломаре (Калифорния). Диаметр его зеркала примерно равен 500 си,
а фокусное расстояние — около 1691 см (//3,33). Телескоп почти всегда
ЗЕРКАЛА И ПРИЗМЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В КАЧЕСТВЕ ЗЕРКАЛ
211
применяется в сочетании с фотографической камерой; пластинка поме-
помещается в фокус главного зеркала. Пятикратное увеличение можно
Рис. 7.29. Установки для получения пятикратного (а) и девяти-
девятикратного (б) увеличений.
получить в установке, изображенной на рис. 7.29, а, а девятикрат-
девятикратное — в установке, показанной на рис. 7.29, б.
Зеркала и призмы, используемые в качестве зеркал
7.35, Если луч света падает на зеркало под углом £, то после от-
отражения он отклоняется на угол 2г. Если луч испытывает два отраже-
Рис. 7.30. Призма Порро (а), пента-призма (б) и ромбоидальная призма (в).
ния (оставаясь все время в той же плоскости) от двух зеркал, нормали
которых пересекаются под углом а, то угол падения на второе зеркало
14*
212 ГЛ. 7. ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ. КОАКСИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЗ И ЗЕРКАЛ
равен (i — а) и, следовательно, полный угол отклонения луча равен
6 = 2i — 2 (i — а) = 2а и не зависит от угла падения. В некоторых оптиче-
оптических системах для отклонения всех лучей на один и тот же угол (неза-
(независимо от угла падения) используются стеклянные призмы, в которых
происходит два полных внутренних отражения.
На рис. 7.30 изображены призма Порро (а = я/2; б = я), пента-
призма (а = я/4; б = jt/2) и ромбоидальная призма (а = 0), которая
не изменяет направления луча.
z
Рис. 7 31. Призма Дове.
Призма Порро переворачивает изображение только в плоскости, содержащей
падающий и отраженный лучи. В бпноклях часто устанавливают две призмы Порро,
которые дважды переворачивают изображение, и наблюдатель видит прямое изобра-
изображение. Призма Дове (рис. 7.31) переворачивает
изображение, как показано на рисунке, без от-
отклонения светового луча.
Использование призм в качестве зеркал
имеет определенные преимущества, так как такие
призменные устройства механически более ста-
стабильны, чем системы зеркал, и, кроме того,
легче предохранить их отражающие поверхности
от повреждения. Недостатками призм является
хроматическая аберрация для лучей, которые
входят в призму и покидают ее не под прямым
углом к поверхности призмы, и некоторое ухуд-
ухудшение качества изображения, связанное с неод-
неоднородностью стекла призмы. Для некоторых ла-
лабораторных применений часто лучше использо-
использовать зеркала с внешним покрытием.
Монохроматор постоянного отклонения
7.36. При изучении флуоресценции
(а также для многих других целей) необхо-
необходимо последовательно освещать исследуе-
исследуемый образец светом различных длин волн,
причем переход от одной длины волны
к другой должен производиться без пере-
перемещения источника света или образца. Это
можно осуществить при помощи монохро-
матора постоянного отклонения (рис. 7.32).
В таком монохроматоре спектральное раз-
разложение и поворот пучка света осуществляется одной призмой (призма
Пеллина — Брока), которая по своему действию эквивалентна двум дис-
диспергирующим 30°-ным призмам (ABE и BCD) и зеркалу AD. При
повороте призмы через щель 52 последовательно выходят лучи разной
[* Рис 7 32 Монохроматор (а)
"и призма Пеллина — Брока (б).
ОБЪЕКТИВЫ С ПЕРЕМЕННЫМ ФОКУСНЫМ РАССТОЯНИЕМ
213
длины волны. При повороте призмы углы падения лучей на призму
и углы выхода из призмы остаются равными друг другу. По своим диспер-
диспергирующим свойствам такая призма эквивалентна 60°-ной призме, уста-
установленной в положение минимального отклонения.
Телеобъективы и объективы с переменным фокусным расстоянием
7.37. Простейшая фотографическая камера состоит из простой лин-
линзы, к которой вплотную примыкают диафрагма с переменным диаметром
отверстия и затвор (рис. 7.33, а). Фотографическая пластинка (или плен-
пленка) образует диафрагму поля зрения и выходное окно системы. Для устра-
устранения аберраций и уве-
увеличения апертуры и уг-
угла поля зрения применя-
применяются сложные объекти-
объективы. У хороших совре-
современных камер угол
поля зрения равен 80°
и апертура //3,5. Для
камеры, изображенной
на рис. 7.33, а, вели-
величина изображения уда-
удаленного предмета про-
пропорциональна фокусно-
фокусному расстоянию объек-
объектива. Полученное в ка-
мзре изображение затем
можно увеличить при
помощи увеличителя,
но только до определен-
определенных пределов. Поэтому
для получения хоро-
хорошего достаточно увели-
увеличенного изображения
*)
Рис 7 33. Фотокамера (а) и телеобъектив (б)
1 — затвор, 2 — диафрагма, з — меха, 4 *— фокус, б — пла-
приходится переходить стинка или пленка
к объективам с большими фокусными расстояниями, что должно вы-
вызывать увеличение размеров камеры. Для того чтобы по возможности
избежать этого, используются телеобъективы (рис. 7.33, б), кото-
которые состоят из положительной системы линз и слабой отрицатель-
отрицательной системы, расположенной вблизи фотопластинки. Для такой системы
главная точка Н' находится с той ее стороны, которая больше удалена
от пластинки. Расстояние fb от L2 до фотопластинки значительно меньше
фокусного расстояния системы (/с). Отношение /с//& называется теле-
телескопическим увеличением (МТе). Телеобъективы с Мте = 2 находят широ-
широкое применение. Для хороших телеобъективов величина МТе достигает 5.
Положительная и отрицательная компоненты телеобъектива исправлены
на хроматическую аберрацию, а вся система в целом исправлена и на
другие виды аберрации.
7.38. В кино- и телевизионных камерах часто необходимо иметь возможность
непрерывно переходить от общих планов к крупным без расфокусировки изображе-
изображения. Для этой цели служат объективы с переменным фокусным расстоянием Непре-
Непрерывное изменение фокусного расстояния объектива достигается таким перемещением
некоторых компонент системы, что расстояние от изображения до неподвижных ком
понент остается постоянным, а М^е меняется от 1 до гораздо бопее высоких значений
214 ГЛ 7 ОПТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ. КОАКСИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЗ И ЗЕРКАЛ
Проекционные системы
7.39. Проекционный фонарь и фотоувеличитель отличаются от опти-
оптических систем, описанных выше, тем, что они не только дают увеличенное
изображение предмета, но и обеспечивают достаточно интенсивное и равно-
Рис 7 34 Проекционный фонарь (а) и отсчетное устройство
с гальванометром (б).
Расстояние LS должно быть примерно в 30 раз больше, чем показано
на схеме 1 — эеркало, 2 — источник света, з —позитив, 4 — экран
S, б — зайчик, б — изображение креста нитей, 7 — крест нитей;
7 — зеркальце гальванометра
мерное освещение полупрозрачного предмета (рис. 7.34, а). Конденсор С
образует изображение предмета в пределах проекционной линзы L.
Это позволяет наиболее эффективно использовать свет источника, так
как весь свет, прошедший сквозь объект, будет участвовать в образова-
образовании изображения (не считая небольших потерь на отражение и т. д.).
Зеркало гальванометра и шкала образуют катодиоптрическую проекцион-
проекционную систему (рис. 7.34, б). Здесь источник счета фокусируется на зеркало
гальванометра, которое служит апертурной диафрагмой системы.
Литература
7.1. Conrad у, Applied Optics and Optical Design Dover.
7 2. Longhurst, Geometrical and Physical Optics, Longmans Green.
7 3. Emsley, Visual Optics, Hatton.
7.4. Strong J., Concepts of Classical Optic.
7 5. T а у 1 о г С. A., Thompson B. J , J. Sci. Instr , 34, 439 A957).
7.6. Jenkins F. A, White H. E., Fundamentals in Optics, McGraw-Hill.
Дополнительная литература
7.7. Слюсарев Г. Г., Геометрическая оптика, Изд. АН СССР (послед, издание).
7.8. Слюсарев Г. Г, О возможном и невозможном в оптике, Гостехиздат, М.,
1960
ПРИЛОЖЕНИЕ 7А 215
ПРИЛОЖЕНИЕ 7А
ВОЛОКНИСТАЯ ОПТИКА
Светопровод
1. Пучок света может распространяться без больших потерь вдоль цилиндриче-
цилиндрического прозрачного стержня, испытывая ряд последовательных полных внутренних
отражений (рис 7 35) Если показатель преломления материала стержня достигает
значения^ 2 (что соответствует критическому углу, превышающему 45°), то весь свет,
Рис. 7 35 Ход лучей в изогнутом стеклянном стержне
падающий на один тоский торец стержня, будет выходить из другого конца, при
этом необходимо, чтобы стержень был прямым, его материал абсолютно однородным
и прозрачным и поверхность гладкой и чистой. Следы жира на поверхности цилиндра
приводят к существенным потерям света. Бели стержень сильно изогнут, то наблю
дается известная потеря света, так как некоторые лучи падают на поверхность под
упами, меньшими критического Эту потерю света можно рассчитать, но практически
она оказывается существенно больше рассчитанной, вследствие неоднородности мате-
материала стержня Потери становятся очень большими, если отношение радиуса кри
визны стержня к его диаметру меньше 20 Изогнутые прозрачные стержни можно
использовать для передачи световой энергии к приемнику в тех случаях, когда непо
средственное наблюдение сложно или опасно (например, в случае сильно радиоактив-
радиоактивного тела, которое со всех сторон должно быть окружено защитой)
Образование изображения
2. Если один конец системы параллельных волокон, изготовленных из про
мрачного пластика, привести в контакт с самосветящимся предметом (например, экран
электроннолучевой трубки), то на другом его конце можно пол\чить изображение
этого предмета Так как в этом случае все лучи, лежащие в пределах 180°, пройдет
через систему волокон, то яркость изображения будет значительно превосходить
яркость изображения, полученного при помощи какой либо системы лпнз При этом,
конечно, предполагается, что волокна однородны и вполне прозрачны Аналогично
с помощью такой системы волокон можно передавать изображение, спроектированное
на один торец системы При этом волокна могут быть изогнуты и как л годно располо-
расположены друг относительно друга, лишь бы их расположение на концах было одинаково
Различимость деталей изображения зависит от диаметра волокон, если его величина
не сравнима с длиной волны Если же диаметр имеет порядок длины волны, то система
волокон работает как волновод Если свет проникает из одного волокна в другое в точ-
точках их соприкосновения, то контраст изображения уменьшается Для устранения
этого эффекта волокна, изготовленные из материала с большим показателем преломле-
преломления, покрываются тонким слоем вещества, имеющего малый показатель преломления
Применение этого метода описано в книге Стронга (см [7 4], приложение N)
ГЛАВА 8
ТОЧНОСТЬ ОПТИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
И ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА
Несовершенство изображений, связанное с дифракцией
8.1. Как было показано выше (см. § 6.53), в идеальной оптической
системе существует набор оптически равных путей от любой точки предме-
предмета до изображения этой точки. В соответствии с принципом Ферма любой
набор равных оптических путей можно представить системой лучей,
которые выходят из точки объекта, проходят через оптическую систему
и снова собираются в точку изображения. В этом случае изображение
совершенно с точки зрения геометрической оптики. Однако в действитель-
действительности изображение не точно соответствует объекту. Изображение точки
не является точкой, а представляет собой некоторую дифракционную
картину. Идеальная оптическая система обладает тем свойством, что все
отдельные элементы волны, проходящие через оптическую систему, при-
приходят в точку изображения в фазе. Однако для получения совершенного
изображения необходимо также, чтобы в любой другой точке плоскости
изображений интерференция волн, пришедших от данной точки объекта,
обеспечивала бы освещенность, равную нулю. Теория фраунгоферовой
дифракции является выражением того факта, что это не может быть дости-
достигнуто ни в какой оптической системе, обладающей конечной апертурой.
Ни одна оптическая система не пропускает полностью волны, излучаемые
объектом, и поэтому всегда наблюдается дифракция. В случае круглой
диафрагмы изображение точечного источника представляет собой диск
Эйри, окруженный системой дифракционных колец (см. § 6.41). Если
угловое расстояние между двумя точечными источниками (например,
между двумя звездами, наблюдаемыми в телескоп) достаточно велико, то
дифракционные картины, представляющие собой изображения источни-
источников, налагаются друг на друга лишь в небольшой степени. О таких изо-
изображениях говорят, что они разрешены. С другой стороны, если угловое
расстояние между двумя объектами значительно меньше углового радиу-
радиуса диска Эйри, два изображения налагаются друг на друга в такой степени,
что становится невозможным отличить эту картину от изображения, соот-
соответствующего только одному из объектов. Такие изображения называют
пер азр ешенными.
Критерий Рэлея
8.2. Из рассуждений, приведенных выше, следует, что нельзя точно
сформулировать условие, при котором изображения видны раздельно.
Если две точки объекта, расположенные вначале на очень малом расстоя-
расстоянии, медленно движутся друг от друга, то при каком-то одном условии
наблюдатель будет видеть только одну точку, а при каком-то другом —
две точки раздельно. Эти два условия не строго отделены друг от друга
и существует промежуточная область, в которой наблюдатель предпола-
КРИТЕРИЙ РЭЛЕЯ
217
гает наличие двух точек, но не уверен в том, что их действительно две, и не
может определить их взаимное расположение. На первых этапах изучения
этого явления целесообразно ввести некоторый вспомогательный крите-
критерий, который математически определит границу между условиями разре-
разрешения и неразрешения изображений.
Для установления нижнего предела разрешения двух изображений
Рэлей [8.1] предложил следующий критерий. Изображения двух одина-
одинаковых точечных источников света считаются разрешенными, если цен-
центральный максимум дифракционной картины от одного источника совпа-
совпадает с первым минимумом дифракционной картины от другого (рис. 8.1
и рис. III, л). Изображе-
Изображения, расположенные на
меньшем расстоянии друг
от друга, не разрешаются.
Данный критерий позво-
позволяет количественно опре-
определить разрешающую силу
оптических приборов. Осо-
Особое достоинство этого кри-
критерия заключается в том,
что он применим к самым
разнообразным оптическим
приборам, в том числе
к телескопам, микроско-
микроскопам и спектральным при-
приборам*).
/
/
/
1
1
1
1
f
i
i
•
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
\
\
j
у
А
/\
1-'/
/
/
V
•f
i
\
\
\
\
\
Рис. 8.1. Распределение энергии в дифракционной
картине при расстоянии междз двумя одинаковыми
точечными источниками света, соответствующем
рэлеевскому критерию разрешения.
Сплошные кривые показывают распределение освещенно-
освещенности в каждом дифракционном изображении; пунктирная
линия соответствует суммарному распределению.
8.3. Вплоть до опреде-
определенного периода в развитии
оптического приборостроения
дифракционные эффекты не имели никакого практического значения. Несовершенство
изображения, вызванное другими причинами, такими, как аберрация линз и дефекты
их изготовления, было настолько велико, что дополнительная нерезкость изображе-
изображения, связанная с дифракцией, была пренебрежимо мала. В XIX столетии техника
настолько продвинулась вперед, что дифракция стала важным, а часто и лпмптпрую-
щим фактором при определении характеристик прибора. Во многих современных
спектрографах, телескопах и микроскопах несовершенство изображения, связанное
с причинами, отличными от дифракции, можно уменьшить в такой степени, что при
эксплуатации прибора строго при тех условиях, для которых он предназначен, пменно
дифракция кладет как практический, так и теоретический, предел его применимости.
Разрешающая сила прибора является одной из его наиболее важных характеристик.
В §§ 8.5—8.13 выведены формулы, позволяющие рассчитать разрешающею сплу при-
приборов, если задана их геометрия. Важность этих результатов для общей теории физиче-
физических измерений станет ясной из дальнейшего (см. гл. 18).
8.4. Выше мы рассматривали диск Эйри, который получается при
использовании круглой диафрагмы и точечного источника света. Изме-
Изменение формы диафрагмы влияет на детали дифракционной картины, но-
обычно лишь в небольшой степени. В этом случае также можно применить
критерий Рэлея и получить соответствующее значение для разрешающей
*) Критерий Рэлея не является, разумеется, единственно возможным. Его боль-
большими достоинствами служат простота и наглядность. На рис. 8.1 надо обратить особое
внимание на то, что в применении к распределению освещенности в дифракционном
изображении двух точечных источников критерий Рэлея соответствует 20-процентному
падению освещенности в плоскости изображения между двумя максимумами осве-
освещенности. Согласно критерию Рэлея меньшая «глубина седла» освещенности препят-
препятствует раздельному наблюдению изображений двух объектов. (Прим. ред.)
218 ГЛ. 8. ТОЧНОСТЬ ОПТИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ И ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА
силы. Разрешающая сила телескопа или микроскопа для линейных объек-
объектов отличается от их разрешающей силы для точечных источников, но и
здесь можно пользоваться критерием Рэлея. Когда возникает вопрос
о разрешении деталей в объекте конечного размера, проблема становится
более сложной. В таком случае обычно невозможно использовать крите-
критерий Рэлея непосредственно; однако остаются применимыми физические
принципы его выбора. Дифракционное размывание краев каждой детали
кладет неизбежный предел разрешающей способности. Это обстоятельство
прямо или косвенно ограничивает точность измерений на любом опти-
оптическом приборе. Например, при совмещении креста нитей в окуляре теле-
телескопа с изображением звезды наблюдатель не видит точечного изображения
звезды и математических линий нитей. Он видит дифракционные изобра-
изображения звезды и креста нитей и пытается совместить центры этих дифракци-
дифракционных картин. Если все остальные источники погрешностей устранены, то
точность, с которой он может выполнить это совмещение, лимитируется
размытием дифракционных картин.
Важно помнить, что если предел разрешения ограничивается дифрак-
дифракцией, повышение увеличения прибора не дает никакой выгоды. При уве-
увеличении геометрических размеров изображения пропорционально уве-
увеличиваются и размеры дифракционной картины с сохранением неизменно-
неизменного относительного распределения освещенности в ней, так как располо-
расположение деталей в фраунгоферовой дифракционной картине определяется
только углами дифракции. В общем случае существует некоторое оптималь-
оптимальное увеличение (см. §§ 8.8 и 8.31).
Предел разрешения для телескопа
8.5. Предел разрешения для телескопа можно определить, если вос-
воспользоваться результатами Эйри для дифракции на круглом отверстии.
Выше было показано (см. § 6.41), что угловой радиус 0 первого темного
кольца в дифракционной картине определяется соотношением
sine = 1,22^, (8.1)
где d — диаметр линзы.
Обычно угол 0 мал и синус угла можно заменить самим углом. Таким
образом, угловое расстояние между двумя звездами, видимыми раздельно,
равно 1,22 K/d. Для % = 5500 А (что соответствует середине видимого
спектра) мы получим
= — , (O.Z)
d
где d выражено в сантиметрах, а 0 — в минутах. Следовательно, теле-
телескоп с диаметром объектива, равным 10 см, может разрешить две звезды
с угловым расстоянием между ними 0,023'= 1,4". Угловые диаметры
звезд обычно не превышают 0,05". Таким образом, диаметр изображения
звезд составляет малую часть диаметра диска Эйри, и звезды можно счи-
считать точечными источниками света *).
8.6. Приближенное значение предела разрешения для линзы с прямоугольной
апертурой можно получить, непосредственно применяя критерий Рэлея. Пусть А В
*) Подробнее о практическом значении разрешающей способности телескопов
см. книгу Д. Д. Максутова, Астрономическая оптика, Гостехиздат, М.— Л.,
1945. (Прим. ред.)
ПРЕДЕЛ РАЗРЕШЕНИЯ ДЛЯ ГЛАЗА
219
и АВ' представляют два фронта волн, пришедших от очень удаленных объектов О и О'
'(рис. 8.2). Угол а = А ВАВ' равен угловому расстоянию между объектами. Все
участки волнового фронта АВ достигают в одинаковой фазе определенной точки Р
в фокальной плоскости линзы. Эта точка
является центром дифракционной кар-
картины от точечного источника О.
Если ВВ' = X, то фазы волн, при-
приходящих в точку Р от другого объекта
О\ будут непрерывно изменяться в пре-
пределах от 0 до 2я. Результирующая амп-
амплитуда этих волн в точке Р будет равна
нулю (см. § 3.5). Таким образом, при-
применение критерия Рэлея дает для пре-
предела разрешения величину XId. Произ-
Производя эти расчеты, мы полагали, что
линия раздела между двумя дифракци- рис. 8.2. К определению предела разре-
онными картинами параллельна одной шения для объектива телескопа,
стороне апертурного отверстия, и пре-
пренебрегли некоторыми незначительными
эффектами, связанными с конечной длиной другой его стороны. Отметим, что полу-
полученный результат а = XI d отличается от результата, даваемого формулой (8.1) для
круглого отверстия, только отсутствием множителя 1,22.
Упражнения
8.1. Определить предельный угол разрешения для а) телескопа с диаметром
зеркала 5 м, и б) для хрусталика глаза при диаметре зрачка 3 мм. Положить Х= 5500 А.
[а) 0,00045'; б) 0,77'.]
8.2. Найти расстояние между центрами изображений двух звезд, которые еще
можно разрешить при помощи объектива с фокусным расстоянием 3 л* и диаметром
10 см. Считать X = 5500 А.
[0,02 мм.]
8.3. Считая, что продолжительность экспозиции несущественна, найти выражение
для оптимального размера отверстия в камере обскура.
Указание. Диаметр изображения точечного источника, определенный
по законам геометрической оптики, увеличивается с увеличением диаметра отверстия.
Однако, если отверстие очень мало, размер изображения определяется диаметром
диска Эйрп, величина которого обратно пропорциональна диаметру отверстия. Опти-
Оптимальное условие соответствует равенству действия обеих причин «нерезкости». Если
d — диаметр отверстия, то его оптимальная величина определяется соотношением
d/2 = 1,22 (X/d) /, где / — расстояние от отверстия до фотопластинки, а объект
находится в бесконечности. Показать, что если объект расположен на расстоянии м,
то оптимальный диаметр отверстия равен [2,44Ям//(и+/)]1;'2. Эта задача была детально
рассмотрена Рэлеем [8.1].
Предел разрешения для глаза
8.7. Теоретический предел разрешения для глаза можно найти,
подставив диаметр зрачка в выражение (8.1). Среднее значение диаметра
зрачка в дневное время приблизительно равно 2,5 мм, что соответствует
предельному углу разрешения (для света с длиной волны 5500 А), равному
2,7 «10~4рад или 56". Опыты показывают, что при наиболее благоприятных
условиях наблюдения люди с хорошим зрением могут различить два
точечных источника света, если угловое расстояние между ними немного
меньше 1'. Таким образом, при этих условиях способность глаза разли-
различать детали объекта почти полностью определяется дифракцией. Если
увеличить диаметр зрачка глаза (при помощи лекарств или уменьшив
освещенность), то практический предел разрешения уже не будет опре-
определяться теоретической величиной, даваемой соотношением (8.1). Это
связано с аберрациями хрусталика и структурой сетчатки. Средние
220 гл. 8. точность оптических измерений и волновые свойства света
лабораторные условия наблюдения не являются идеальными, и поэтому
в лабораторных условиях целесообразно принять для предела разреше-
разрешения глаза величину 3,4-10~4рад или 1,25'. Если точечные объекты распо-
расположены на расстоянии наилучшего зрения B5 см), линейный предел
разрешения составляет немного менее 0,1 мм. Объекты, разделенные
расстоянием 0,2 мм, разрешаются уже вполне отчетливо.
Полезное и бесполезное увеличение, даваемое оптическим прибором
8.8. Если изображение, создаваемое телескопом или микроскопом,
недостаточно увеличено, то некоторые детали объекта, разрешенные при-
прибором, могут остаться невидимыми для глаза. Эти детали могут быть пра-
правильно представлены в изображении, образованном прибором; однако
величина изображения может оказаться настолько малой, что они не будут
разрешаться глазом. По этой причине желательно получать изображение
такого размера, чтобы в картине, рассматриваемой глазом, величина
мельчайших деталей, разрешенных прибором, примерно равнялась 0,2 мм.
Увеличение, соответствующее этому условию, называется полезным уве-
увеличением. Большее увеличение называется бесполезным увеличением, так
как оно не выявляет никаких новых деталей объекта. Бесполезное увели-
увеличение нежелательно, так как оно обычно сопровождается увеличением
аберраций линз и уменьшением освещенности поля зрения. Поэтому
максимальное полезное увеличение является обычно оптимальным.
Если изображение создается простой линзой, разрешающая сила
зависит от ее диаметра, а размеры изображения определяются ее фокусным
расстоянием. Выше мы видели (см. § 8.5), что, пользуясь линзой диаметром
10 см, можно разрешить две звезды с угловым расстоянием между ними,
равным 1,4". Расстояние между изображениями этих звезд будет равно
6,7-10, умноженному на фокусное расстояние линзы. Таким образом,
если не пользоваться окуляром, то для получения оптимальных условий
наблюдения необходимо иметь линзу с фокусным расстоянием 30 м. Такое
фокусное расстояние слишком велико, и поэтому целесообразно исполь-
использовать объектив с гораздо меньшим фокусным расстоянием (например,
3 м) и рассматривать изображение через увеличивающий окуляр.
При фотографировании объекта все детали будут представлены на фотографии
только в том случае, если расстояние между еще разрешаемыми точками на изобра-
изображении превосходит размер зерен фотографической эмульсии. Для чувствительных
крупнозернистых эмульсий необходимая величина изображения приблизительно совпа-
совпадает с приведенной выше величиной. В случае применения мелкозернистых эмульсий
достаточно значительно меньшее увеличение. Такую фотографию, однако, следует
рассматривать с увеличением для того, чтобы глаз смог уловить все получившиеся
на ней детали.
Разрешающая сила призменного спектроскопа
8.9. При получении линейчатого спектра с помощью спектроскопа
или спектрографа диспергирующая система (призма или дифракционная
решетка) образует изображения щели, соответствующие каждой моно-
монохроматической спектральной линии. Близкие спектральные линии дают
изображения щели с малым угловым расстоянием между ними. Разрешаю-
Разрешающая сила спектрального прибора определяется как отношение Я/ДА,, где
X и (Я + ДЯ)— длины волн спектральных линий, которые еще можно
разрешить.
РАЗРЕШАЮЩАЯ СИЛА ПРИЗМЕННОГО СПЕКТРОСКОПА 221
На рис. 8.3 изображен простой призменнын спектроскоп. Свет от
источника S проходит через ахроматический коллиматорный объектив
Li и плоская волна (с волновым фронтом, параллельным АВ) падает
на призму LMN. Проходя через призму, лучи преломляются в разной
степени в зависимости от их длины волны и фронт волны, вышедшей из
призмы, параллелен А^В^ для длины волны X и А2В2 для длины волны
X'. В силу различия в направлении фронтов волн ахроматический объектив
L2 фокусирует первую и вторую волны в разные точки своей фокальной
плоскости. Длина основания призмы равна tp; показатель преломления
материала призмы равен ц для X и ц/ для X'.
N
Рис 8.3 К определению разрешающей силы призменного спектрографа.
Разница в положении фронтов волн для излучения с длинами волн
X и X' после призмы вызвана разным для них значением длин оптических
путей в призме. Эта разница оптических путей связана с различными зна-
значениями показателей преломления (ы и [г' соответственно для излучений
с длинами волн А- и X'. Как видно из рис. 8.3,
A2Ai = l2(ix-Vif) = l2^ (8.3)
B2B^h^-W) = h^ (8.4)
Из этого рисунка видно также, что tgcp (где ф — угол между фронтами
болн ALBt и А2В2) определяется следующим образом:
(85)
где /г — высота сечения светового пучка. Если световой пучок ограничен
-самой призмой, то lt — l2 = tp и тогда
Ф = -^. (8.6)
G другой стороны, при распространении световых пучков ограничен-
ограниченного сечения будут иметь место дифракционные эффекты, ведущие к дифрак-
дифракционному уширению световых пучков. Именно, ограничение высоты све-
световых пучков значением h (заданным либо до призмы, либо самой прц.з-
мой) приведет к тому, что либо через призму, либо уже после призмы
{для каждой длины волны) будут распространяться дифракционные набо-
наборы световых пучков, как при дифракции плоских волн на щели шнрннон
h (см. рис. 6.16, а). Это обстоятельство приведет к дифракционному уши-
уширению изображений (в фокальной плоскости камерного объектива L2
спектрографа) бесконечно узкой входной щели коллиматора. Угловая
ширина г|) центрального дифракционного максимума для излучения с дли-
длиной в олны X определится выражением -ф = у .
222 ГЛ. 8. ТОЧНОСТЬ ОПТИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ И ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА.
Для того чтобы в фокальной плоскости камерного объектива L2r
несмотря на описанную дифракцию на призме, получились разрешимые-
изображения щели коллиматора в двух длинах волн, необходимо, чтобы
перекрытие их дифракционных картин (см. рис. 8.1) не было бы чрезмер-
чрезмерным. Согласно Рэлею разрешение двух дифракционных картин еще
возможно, если положение центрального максимума для излучения одной
длины волны совпадает с положением первого минимума соседней дифрак-
дифракционной картины для излучения другой длины волны. Очевидно, что
в нашем случае, это предельное допустимое наложение двух дифракцион-
дифракционных картин будет соответствовать равенству cp = ij), или -^т— = у-. Отсюда
находим для разрешающей способности призмы
Отсюда мы видим, что длина основания призмы является единственным геометри-
геометрическим параметром, входящим в окончательный результат, если призма целиком запол-
заполнена светом. Это связано с тем, что разрешающая сила частично определяется аперту-
апертурой и частично дисперсией материала призмы. Если призма не полностью заполнена
светом, tp надо считать разностью путей в призме для крайних проходящих сквозь
нее лучей. Разрешающая сила призмы немного изменяется при ограничении светового
пучка круглой диафрагмой. Этот случай был рассчитан Струве, который исследовал
также влияние конечной высоты щели. На практике иногда пользуются диафрагмой
приблизительно эллиптической формы.
Разрешающая сила спектроскопа с дифракционной решеткой
8.10. Пусть свет, имеющий в своем составе только излучение одина-
одинаковой интенсивности с длинами волн X и (Я-{-ДЯ), дифрагирует в опре-
определенном направлении 0 на решетке шириной Z), содержащей N штрихов.
Тогда направление на дифракционный максимум т-го порядка для света
с длиной волны Я+АЯ должно удовлетворять условию -rrsin cp=m (Х-\-АХ).
Ближайшее к нему направление на минимум света с длиной волны X
запишется в таком случае в виде
Согласно Рэлею разрешение двух дифракционных картин в фокаль-
фокальной плоскости спектрографа возможно только в том случае, если макси-
максимум одной дифракционной картины не перекрывает ближайшего минимума
другой картины *). Следовательно, из условия Ф = Ф1 вытекает, что
минимальный интервал длин волн АХ, разрешаемый спектрографом
с дифракционной решеткой, определяется из условия т{Х-\- ДА,) =
= Гт + -у ) X. Отсюда, для разрешающей силы дифракционной решетки
находим
Rg = ~ = mN. (8.8)
Тот же результат может быть получен непосредственно из табл. 6.1. Под-
Подробнее этот вопрос обсуждается в § 8.15.
*) Рис. 8.1, хотя он и относится к иному случаю, может служить иллюстрацией
и для данного рассуждения автора. Если ординаты двух максимумов, показанные
на рис. 8.1 пунктиром, расположены ближе, чем на этом рисунке, то спектральные
линии не будут разрешены. (Прим. ред.)
ВОЛНОВОЙ КРИТЕРИЙ РЭЛЕЯ ДЛЯ КАЧЕСТВА ИЗОБРАЖЕНИЯ 223
Обратим внимание, что разрешающая сила решетки определяется
порядком используемого спектра и общим числом штрихов, но не постоян-
постоянной решетки D/N, от которой зависит дисперсия, даваемая решеткой.
8.11. Удавалось изготовлять дифракционные решетки размером до
250 мм, содержащие 600 штрихов на 1 мм *). Таким образом, большие
решетки имеют разрешающую силу, равную 150 000 в первом порядке.
Часто целесообразно использовать спектр третьего порядка, в котором
разрешающая сила равна примерно 500 000.
При помощи отражательного эшелона с 40 ступеньками при высоте
каждой ступеньки 15 мм можно получить спектр, порядок которого равен
30 000. Разрешающая сила такого эшелона составляет примерно 1 250 000.
Разрешающая сила призм удобного размера значительно меньше. Она
в большой степени зависит от длины волны света и от сорта стекла, из
которого сделана призма, а также от размера основания призмы. Призма
из стекла типа флинт с длиной основания 5 см имеет разрешающую силу,
примерно равную 5000 в области спектра 6000 А и 12 000 в области 4500 А.
Кварцевая призма с длиной основания 5 см дает разрешающую силу,
равную 2000 в области спектра 6000 А и 75 000 в области 2000 А. Благодаря
очень большой дисперсии кварца в ультрафиолетовой области спектра
большие кварцевые призмы в этом случае обладают разрешающей силой,
лишь немного уступающей разрешающей силе решеток в области
2500—1850 А. Призменный прибор имеет то преимущество, что он дает
только один спектр, не содержащий перекрывающихся порядков. Для
работ определенного типа это преимущество оказывается очень
существенным.
Волновой критерий Рэлея для качества изображения [8.1]
8.12. При вычислении предела разрешения мы не учитывали недо-
недостатки изображения, связанные с несовершенством прибора. При расчете
предполагалось, что все лучи от точек объекта фокусируются в соответ-
соответствующих точках изображения и, следовательно, оптические длины пути
для всех лучей, выходящих из какой-либо точки предмета и собирающихся
в соответствующей точке изображения, равны между собой. Однако на
практике это условие выполняется не вполне строго. Потому необходимо
оценить, насколько велико должно быть отклонение от этого условия, что-
чтобы оно заметно повлияло на резкость изображения.
Рэлей считал, что несовершенство изображения, вызванное разностью
хода, не превышающей четверти длины волны между разными лучами,
образующими изображение данной точки, еще мало по сравнению с неиз-
неизбежной нерезкостью изображения, связанной с дифракцией. Он считал
также, что если фазы вторичных волн, приходящих из какой-либо части
волнового фронта в точку изображения, отличаются от среднего значения
фазы больше, чем на л/2, то изображение можно существенно улучшить
путем исправления соответствующей части оптической системы.
Этот критерий можно применить для расчета допустимых сферической
и хроматической аберраций объективов. Его можно, кроме того, исполь-
использовать для оценки качества обработки поверхностей и степени однородно-
однородности оптических материалов (см. §§ 9.11 и 9.12). В настоящее время извест-
известно, что допустимые отклонения от оптимума не одинаковы для всех частей
*) В настоящее время изготовляют решетки, содержащие до 1800 штрихов
на 1 мм. (Прим. ред.)
224 ГЛ 8 ТОЧНОСТЬ ОПТИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ И ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА
линзы и что они могут оказаться как больше, так и меньше величины,
определяемой критерием Рэлея. Однако критерий Рэлея все же служит
неплохой исходной оценкой допустимых погрешностей.
Точность измерений при использовании зеркального отсчета
8.13. Предельную точность отсчета с помощью зеркального устройства (рис 8 4)
можно рассчитать таким же способом Пусть точка Q шкалы находится в центре изобра-
изображения освещенной щеш («зайчика)), когда зеркало находится в определенном поло-
положении Тогда если зеркало поворачи-
поворачивается так, что один его край прибли-
приближается к шкале на Я/4, а другой уда-
удаляется на А,/4, то фазы волн, приходя-
приходящих в Q от различных частей зеркала,
отличаются друг от друга в пределах от
О до 2я (так как смещение края зеркала
на Я/4 удлиняет п>ть света, отраженного
от этого края, на л/2) После такого
поворота зеркала точка Q совпадает
с первым минимумом дифракционнон
Рис 8 4 картины Поэтому минимальный yroi
вращения, который можно обнаружить
при помощи зеркала диаметром d, равен
k/2d Однако экспериментаторы не всегда отчетливо представляют себе, что этот пре-
предел иногда достигается на практике (см упражнение 8 10) л датьнеишие попытки
повышения точности зеркатьного отсчета нецелесообразны.
Упражнения
8.4. Рассчитать разрешающую силу призмы из каменной сочи с дшной основа
ния 4 сч для дчин вочн 4000, 5000 и 6000 А, исходя из счедмощих данных
X, А \л
6708 1,5400
6438 1,5412
5461 1,5477
4861 1,5537
4047 1,5665
3034 1,5988
2144 1,6737
[8600 4400 2500 ]
8.5. Вывести выражение для разрешающей сита призмы, изготовленной из мате-
материала, зависимость показателя преломления которого от дчины волны описывается
формулой Коши (см § 3 18) Приняв А = 27 10~5 и В = 5 0 Ю1, построить график
зависимости разрешающей силы призмы с длиной основания 6 см от длины вочны
_2tpAB-]
8.6. Используя данные упражнения (8 4), вычислить значения А и В для области
4000—6000 А Затем при помощи формупы, выведенной в упражнении 8 5, проверить
результаты, полученные в упражнении 8 4
[Л = 0,525, В = 1,30 10-ю ]
8 7. Ширина заштрихованной части дифракционной решетки равна длине осно
вания призмы из каменной соли с преломляющим \пом 60 Разрешающая сила
решетки в первом порядке равна разрешающей сиче призмы при 5000 А Определить
период решетки
[9,1-10-4 сч ]
8 8. Показать, что при диаметре объектива тетескопа, равном диаметру цент
ральной зоны Френеля, использование линзы дает мачый выигрыш, так как телескоп
работает как камера обскура Показать, что полезная длина тр>бы «дырочного теле
скопа» возрастает пропорционально квадрату диаметра «объектива> Показать, что
для отверстия диаметром 2,5 чч полезная длина трубы равна —300 см, а дчя отверстия
диаметром 10 чч соответствующее фокусное расстояние равно 4,8 кч
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СИЛЫ 225
Указание. Полезная длина трубы соответствует максимальному полезному
увеличению (см. § 8.9).
8.9. Используя приведенный выше критерий Рэлея для аберраций (см. § 8.12),
показать, что при бесконечно далеком объекте глубина фокуса линзы диаметром d
равна
Указание. Предположить что все оптические пути до истинного фокуса
линзы равны друг другу. Рассчитать разность путей для луча, проходящего через
центр линзы, и луча, идущего от ее края, для точки, находящейся на оси линзы на рас-
расстоянии б/ от истинного фокуса. Этот расчет был проведен Рэлеем [8.2].
8.10. Короткопериодный гальванометр имеет зеркало шириной 2 мм. Если край
светового зайчика, отраженного от зеркала, резкий, то можно регистрировать смеще-
смещения на шкале, равные 0,1 мм. Чему равно максимальное расстояние от шкалы до зер-
зеркала, при котором можно использовать максимальную точность отсчета, если осве-
освещение производится светом со средней длиной волны, равной 5600 А?
[70 см.]
8.11. Показать, что результат, полученный в § 8.13, можно вывести, если считать
зеркало диафрагмой, ограничивающей апертуру телескопа, через который рассмат-
рассматриваются два удаленных предмета при угловом расстоянии между ними, равном удвоен-
удвоенному углу поворота зеркала.
Развитие теории разрешающей силы [8.1, 8.3]
8.14. Некоторые современные приборы, например интерферометр
Фабри — Перо, дают интерференционные полосы, в которых распределе-
распределение света существенно отличается от его распределения в дифракционных
картинах, рассмотренных Рэлеем. Поэтому не удивительно, что критерий
Рэлея неприменим к таким приборам. Для того чтобы дать логичное опре-
определение разрешающей силы, необходимо более детально рассмотреть, что
именно мы понимаем под разрешением двух объектов. Это исследование
имеет практический интерес и в другой связи. Ниже мы рассмотрим
разрешение двух спектральных линий, хотя используемые при этом основ-
основные идеи имеют гораздо более широкое применение. Мы начнем с рассмо-
рассмотрения обычного призменного или дифракционного спектроскопа и обо-
обозначим через AXR разность длин волн двух спектральных линий, которые
еще могут быть разрешены в соответствии с критерием Рэлея.
8.15. Дифракционная картина, получающаяся при совместном действии
двух монохроматических спектральных линий равной интенсивности с раз-
разностью длин волн между ними ДЯН, изображена на рис. 8.5, в. Дифракци-
Дифракционная картина от одной линии представлена в увеличенном масштабе
на рис. 6.16, а; на рис. 8.5 такие картины показаны пунктирными линия-
линиями. Суммарные дифракционные картины при разных значениях ДА, между
линиями (от 0,6 до 1,2 AXR) изображены на рис. 8.5, а, б, в, г. Кроме того,
на рис. 8.5 приведены суммарные дифракционные картины для двух линий
с отношением интенсивностей Q, равным 2 : 1 и 5 : 1 при различных зна-
значениях разности длин волн между линиями. При увеличении этой разно-
разности могут наблюдаться следующие картины:
а) Линии расположены настолько близко друг к другу, что суммарная дифрак-
дифракционная картина имеет такой же вид, как и картина от одиночной линии. В этом случае
линии полностью неразрешены.
б) Линии расположены настолько близко, что наблюдается только одно изобра-
изображение, но оно уширено, что указывает на присутствие в изучаемом участке спектра
не только одной линии. Однако установить число компонент линии и их расположение
невозможно.
в) Линии разделены в такой степени, что можно увидеть две компоненты, но недо-
недостаточно для их разделения и для измерения их относительной интенсивности. В этом
случае мы говорим о частичном разрешении.
15 р. Дитчбевн
226 ГЛ. 8. ТОЧНОСТЬ ОПТИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИИ И ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА
г) Линии полностью разделены. Интенсивность каждой линии можно измерить
так же, как если бы вторая отсутствовала. В этом случае линии полностью разрешены.
Q'2-l
Q'5-1
а)
6)
v
л
в)
8.16. Если интенсивности двух монохроматических линий одинаковы
и их длины волн отличаются друг от друга на ДЯЛ, то интенсивность в точ-
точке, расположенной на поло-
половине расстояния между ма-
максимумами, составляет 80%
интенсивности в максимуме.
В таком случае часто говорят
о 20-процентном провале (сед-
(седловине); мы будем пользо-
пользоваться этим выражением,
имея в виду, однако, что для
линий, отличающихся по ин-
интенсивности , интенсивность
в минимуме должна равнять-
равняться 80% интенсивности слабей-
слабейшего дифракционного макси-
максимума. Из приведенного ри-
рисунка (и из более детального
рассмотрения, которое мы не
можем здесь изложить) следу-
следует, что 20-процентный провал
соответствует частичному
разрешению, а 60-процент-
60-процентный —- полному разрешению.
Этот критерий обычно при-
применим к приборам всех типов;
он годится при рассмотрении
разрешения компонент как
равной, так и не равной
интенсивности. Наиболее ва-
важен случай, который мы на-
назвали частичным разреше-
разрешением. Под этим надо пони-
понимать такое положение, когда
о двух линиях или двух пред-
предметах можно сказать, что
разрешены», без дальнейшего описания
*)
Y
\—
X
Рис. 8.5. Зависимость разрешения от относитель-
относительной интенсивности двух спектральных линий.
они «разрешены», или «как раз
состояния разрешения.
8.17. Для приборов, которые дают дифракционные картины типа при-
приведенной на рис. 8.5, справедливо следующее положение: при одинаковой
интенсивности компонент «расстояние между ними» (в длинах волн), рав-
равное ДЯН, соответствует частичному разрешению, а «расстояние» 1,25ДЯЛ —
полному разрешению. При отношении интенсивностей 5 : 1 «расстояние»
1,25 ДЯЛ обеспечивает частичное разрешение, а «расстояние» 1,5ДЯН —
полное. При некоторых исследованиях (например, при изучении эффекта
Зеемана) необходимо обнаруживать слабые сателлиты, интенсивность
которых может составлять менее 0,001 доли интенсивности основной
линии. Такие сателлиты можно разрешить только в том случае, если
их «расстояние» до основной линии в несколько раз больше «расстояния»,
необходимого для разрешения компонент равной интенсивности.
РАЗРЕШАЮЩАЯ СИЛА ЭТАЛОНА ФАБРИ-ПЕРО 227
Разрешающая сила эталона Фабри — Перо
8.18. Распределение энергии в интерференционной картине, давае-
даваемой этим прибором, описывается уравнением E.14) и представлено гра-
графически на рис. 8.6. Это распределение отличается от распределения,
получаемого с помощью дифракционной решетки; в частности, это разли-
различие проявляется в отсутствие на графике, изображенном на рис. 8.6,
вторичных максимумов интенсивно-
интенсивности света (ср. с рис. 6.18). Теорети-
Теоретически (см. § 5.26) это обстоятельство
объясняется тем, что в случае этало-
эталона интерферирующие световые пучки
имеют постепенно уменьшающиеся
амплитуды, тогда как в случае ре-
решетки их амплитуды одинаковы. Из
уравнения E.14) можно рассчитать Рис. 8.6. Распределение энергии в интер-
интерразность длин волн двух линий, при ференционной картине, полученной при
которой их результирующая интер- помощй эталона Фабри~ Перо'
ференционная картина будет иметь
20-процентный провал. Из выражения E.12) следует, что ширина интерфе-
интерференционных максимумов, так же как и минимальный разрешаемый этало-
эталоном интервал длин волн, пропорциональна К/е, где е — расстояние между
пластинами интерферометра. Отсюда разрешающая сила К/АХ тоже про-
пропорциональна е, или, иначе говоря, порядку интерференции. Но разре-
разрешающая сила существенно зависит также от коэффициента отражения
пластин *). Систему пучков, даваемых эталоном, можно считать эквива-
эквивалентной системе, состоящей из некоторого эффективного числа пучков
равной амплитуды. Это эффективное число пучков 7УЭф определяется из
соотношения -/УЭф Be/X) = R, где R — разрешающая сила эталона. N^ рав-
равно числу ступенек отражательного эшелона, который имеет такую же
разрешающую силу и дает тот же порядок интерференции. Это число пуч-
пучков NЭф является функцией коэффициента отражения. Его можно опреде-
определить из уравнения E.12), но соответствующие вычисления довольно слож-
сложны и целесообразно прибегать к графическому методу расчета **). Резуль-
Результаты, полученные Хансеном, приведены на рис. 8.7. Теоретическая вели-
величина разрешающей силы может быть достигнута на практике только в юм
случае, если отклонение поверхности пластин от плоскости приблизитель-
приблизительно равно X/N, что для нанесенных на пластины пленок с высоким коэф-
коэффициентом отражения соответствует величине Я/50.
*) Приведем приближенное выражение для разрешающей cm еоиностн эталона
Фабри — Перо с воздушной прослойкой между его зеркалами
D к 2е пУг
где г — коэффициент отражения света от зеркал эталона, if — угол между нормалью
к эталону и направлением, в котором наблюдается интерференционный максимум.
(Прим. ред.)
**) Как легко видеть из приведенного в предыдущем примечании значения
Л, эффективное число интерферирующих световых пучков ЛгОф равно * .
(Прим. ред.)
15*
228 ГЛ 8 ТОЧНОСТЬ ОПТИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ И ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА
На рис. 8 8 приведены некоторые результаты измерений для пленок
с различной пропускающей способностью [8.6]. Эти результаты нельзя
непосредственно сопоставлять с результатами теоретических расчетов,
так как коэффициент поглощения пленок точно не известен. Они, однако,
показывают, что можно получить очень резкие полосы (т. е. очень боль-
большой эффективный коэффициент отражения) и, если считать коэффициент
поглощения равным 4%, согласуются с рассчитанным значением N. Легко
видеть, что разрешающая сила эталона быстро возрастает с увеличением
коэффициента отражения его покрытий. Однако, если с целью увеличения
коэффициента отражения пленки ее толщину делают больше некоторой
50
W
30
20
10
\
\
\
\
\
ч
60
50
V
40
30
20
10
л
\
\
ч
ч
1,0 0,9 0,8
Коэффициент отражения
07
Рис 8 7 Разрешающая сила эталона
Фабри — Перо
Теоретическая кривая
U 0,1 02 0,3
Коэффициент пропускания
Рис 8 8 Разрешающая сила эталона
Фабри — Перо.
Крестики — экспериментальные данные
сплошная линия — теоретическая кривая
рассчитанная для коэффициента поглощения
равного 4%
величины, количество проходящего света ^неизбежно становится очень
малым. Таким образом, существует некоторая оптимальная толщина плен-
пленки. На практике для измерений в видимой области спектра применяются
пленки с коэффициентом отражения, примерно равным 0,85 ♦).
Разрешающая сила микроскопа
8.19. В приведенном выше обсуждении вопросов, связанных с разре-
разрешающей силой, предполагалось, что световые пучки, исходящие из двух
точек объекта, некогерентны, и поэтому в любой точке освещенность, созда-
создаваемая двумя источниками, равна сумме освещенностей, создаваемых
каждым источником (см. § 5.2). Такое предположение, безусловно, спра-
справедливо в том случае, если эти два объекта представляют собой звезды,
или если они являются двумя изображениями щели, причем длины волн
образующего эти изображения света слегка различны. Если микроскоп
сфокусирован на самосветящийся объект (например, на нить лампы нака-
накаливания), то пучки света от различных частей объекта также некогерентны.
*) В настоящее время возможно осуществление эталонов Фабри — Перо с
диэлектрическими многослойными отражательными покрытиями поверхностей его
пластин (Прим ред)
РАЗРЕШЕНИЕ ПРИ НЕКОГЕРЕНТНОМ ОСВЕЩЕНИИ
229
Рис 8 9 Освещение объекта с использованием
конденсора
Несамосветящийся объект должен быть освещен каким-либо источни-
источником света, а реальный источник никогда не является математической
точкой. Конденсор применяют для создания более или менее резкого изо-
изображения источника света в плоскости объекта. Вследствие дифракции
на конденсоре точка Р объекта получает свет от определенной области
А источника (рис. 8.9). Амплитуда световой волны в точке Р является
результирующей амплитудой различных волн, исходящих из области А.
Аналогично амплитуда света
в точке Р' равна .сумме амп-
амплитуд пучков света, исходя-
исходящих из области А'.
Если источник света рез-
резко сфокусирован на объект
и если Р ж Р' далеко отстоят
друг от друга, то световые
пучки из областей А и А'
не перекрываются и соот-
соответственно пучки света в
точках Р' и Р некогерентны.
При рассмотрении работы микроскопа мы обычно имеем дело с точками,
расположенными близко друг к другу. Поэтому области А и А' в зна-
значительной степени перекрываются и пучки света по крайней мере час-
частично когерентны. Если Р и Р' расположены на очень малом расстоя-
расстоянии друг от друга, соответствующем пределу разрешения, то свет
практически полностью когерентен. Мы рассмотрим вопрос о разрешении
двух объектов для полностью некогерентного и полностью когерентного
света. Первый случай имеет место для самосветящихся объектов. Пучки
света, освещающие обычные микроскопические объекты, не вполне коге-
когерентны, но для практических целей можно считать, что точки, располо-
расположенные на пределе разрешения, освещены когерентными пучками.
Разрешение при некогерентном освещении
8.20. В случае некогерентного освещения расчет минимального рас-
расстояния между точками, которые еще можно разрешить, очень мало
отличается от соответствующего расчета для телескопа. Для прямоуголь-
прямоугольной апертуры объектива результат можно получить следующим образом.
Рис 8 10 К определению разрешающей силы микроскопа
Пусть А и В (рис. 8.10) — две точки в поле зрения микроскопа, коюрый
схематически представлен в виде линзы CD. Точки А' ж В' соответс!вуют
изображениям точек А и В и находятся на одинаковом расстоянии от оси
линзы CD. Поскольку линза считается свободной от аберраций, все опти-
оптические пути от А до А' равны между собой, а максимальная разность
путей от А до В' равна 2(AC — AD). Из рисунка следует, что эта раз-
разность хода равна 2АВ sin а, где а — половина угла, под которым объектив
230 ГЛ 8 ТОЧНОСТЬ ОПТИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ И ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА
микроскопа виден из точки А. Когда расстояние между точками объекта
Л и В равно А//2 sin а, разность хода равна V, где А/ —длина волны света в
среде, находящейся между объективом и объектом. Пусть \х—коэффициент
преломления этой среды относительно воздуха и X — длина волны света
в воздухе. Тогда минимальное расстояние между точками объекта, кото-
которые еще могут быть разрешены (в соответствии с критерием Рэлея), опре-
определяется выражением
^ (8Л0>
В случае круглого входного отверстия объектива микроскопа размер
диска Эйри должен быть рассчитан с учетом того обстоятельства, что
объект расположен близко к объективу. Если произвести нужный расчет *),
то оказывается, что минимальное расстояние между еще разрешимыми
1 очками объекта примерно на 20% больше расстояния, определяемого
последней формулой.
Расчет разрешающей способности микроскопа
при когерентном освещении объекта. Теория Аббе
8.21. Теория разрешающей силы в случае когерентного освещения
была развита Эрнстом Аббе A840—1905). Эта теория в своем первоначаль-
первоначальном виде была не вполне ясна, что иногда приводило к противоречиям,
связанным с неправильным пониманием идей Аббе **). Это тем более
о* ""•-* к' /'
Рис 8 11 Образование изображений в микроскопе.
Для упрощения картины показаны световые пучки, прошедшие только через одну щель.
досадно, что Аббе созданием своей теории, а также своими другими рабо-
тами][сделал больше, чем кто-либо другой для развития современной микро-
микроскопии с высокой разрешающей силой.
Прежде чем перейти к вопросу о разрешающей силе, рассмотрим
образование изображения с помощью линзы. Пусть объект представляет
собой плоскую решетку, состоящую из чередующихся прозрачных и непро-
*) См. R а у 1 е i g h. J. Roy. Microsc. Soc. 23, 460 A903). Рэлей не довел
расчет до конца, но результат следует из выведенных им уравнений 17—21. [См. также
М. Born, E. Wolf, Principles of Optics, Lnd., 1959. (Прим. ред.)]
**) См. Л.И.Мандельштам, Полное собрание трудов, т. I, Изд. АН СССР,
1948. (Прим. ред.)
РАСЧЕТ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ МИКРОСКОПА. ТЕОРИЯ АББЕ 231
зрачных полосок. На рис. 8.11 решетка расположена в плоскости 00', а ее
изображение в плоскости //'. Слева на решетку падает параллельный
пучок света. Свет от различных щелей решетки когерентен, и линза дает
фраунгоферову дифракционную картину в своей фокальной плоскости
FF'. Тот же свет, который участвует в образовании дифракционной карти-
картины в плоскости FF', дает изображение решетки в плоскости //'. На
Or F' r
Рис 8 12 Образование изображений в микроскопе.
Для упрощения картины показаны световые пучки, прошедшие
только через две щели
рис. 8.11 и 8.12 показаны лучи, образующие главный максимум дифрак-
дифракционной картины. Для простоты на рис. 8.11 показаны лучи только
от одной щели дифракционной решетки, а на рис. 8.12 — от двух щелей.
На рис. 8.13 предполага-
предполагается, что решетка состоит
из большого числа щелей
и дифрагировавшие лучи
представлены в виде вол-
волновых фронтов Ро, Р_1?
Р+1 и т. д. Эти плоские
волны после прохождения
линзы L преобразуются
в приблизительно сфериче-
сферические волны, сходящиеся
в точки 1?0, £_!, S+i. Сфе-
Сферические волны интерфе-
интерферируют и образуют изо-
изображение решетки в пло-
плоскости//'. Рис. 8.11, 8.12
и 8.13 могут быть полезны
для гого, чтобы наглядно Рис- 8 13 Образование изображений в микроскопе
представить себе, каким Показаны Результаты Дифракции на множестве щелей
образом линза формирует
фраунгоферову дифракционную картину в плоскости FF' и изображение ре-
решетки в плоскости //'. Однако надо иметь в виду, что здесь показаны только
наиболее важные лучи и волновые фронты. Весь дифрагированный свет
не ограничивается лучами, указанными на рисунках, и не весь он прохо-
проходит через точки So, S_ь S+t. Однако, так как большая часть энергии
проходит вблизи этих точек, можно считать весь дифрагировавший свет
Л##8Г+
232 ГЛ. 8, ТОЧНОСТЬ ОПТИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ И ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТ\
распределенным на ряд дифракционных спектров, представленных плоски-
плоскими волнами, и полагать, что спектр каждого порядка включает всю энер-
энергию, проходящую соответственно вблизи точек So, S_4, S+i и т. д.
8.22. В основе теории Аббе лежит тот факт, что изображение в плоско-
плоскости //' объекта, расположенного в плоскости 00', формируется только
световыми пучками, проходящими через плоскость FF', т. е. пучками,
образующими дифракционные спектры. Согласно этой теории, если неко-
некоторые спектры, соответствующие, например, волнам Ро, P-t, P+i и т. д.,
не проходят через прибор, то наблюдаемое изображение тоже соответству-
соответствует дифракционной решетке, но уже такой, которая не дает этих спектров.
Рассмотрим крайний случай и предположим, что через прибор прохо-
проходит только спектр нулевого порядка. Этот максимум получался бы в том
случае, если бы в плоскости 00' находилось равномерно освещенное
широкое отверстие. Соответственно наблюдатель видит плоскость изобра-
изображения равномерно освещенной. Использование только одного централь-
центрального максимума не позволяет разрешить ни одной детали объекта.
Следуя этому представлению, Аббе считал, что если апертура микро-
микроскопа недостаточно велика и в нее не попадают все дифракционные спектры
от объекта, его детали могут оказаться невидимыми, а при определен-
определенных условиях могут появляться даже ложные структуры. Против послед-
последнего предположения категорически возражали микроскописты. Аббе под-
подтвердил выводы своей теории целой серией опытов, в которых он помещал
в микроскоп различные диафрагмы, исключающие определенные спектры,
и наблюдал появление ложных структур. Например, предположим, что
объект представляет собой решетку с периодом в несколько длин волн и с
очень малой шириной щелей. Тогда только в нескольких спектрах будет
сосредоточена заметная энергия и экраны легко поместить, например,
так, чтобы они закрыли спектры нечетных порядков. Оставшиеся спектры
будут соответствовать решетке с вдвое меньшим периодом, и на изобра-
изображении решетки получится вдвое больше штрихов, чем их имеет истинная
решетка.
Если микроскоп обладает большой числовой апертурой, незначитель-
незначительная ошибка в фокусировке может привести к тому, что некоторые спектры
будут задержаны диафрагмами. Это может вызвать не только потерю
некоторых деталей, но и появление ложных деталей, что имеет практи-
практический интерес, так как для некоторых объектов невозможно точно уста-
установить положение, при котором они хорошо сфокусированы. Предполо-
Предположение, согласно которому наилучшая фокусировка соответствует макси-
максимальному числу наблюдаемых деталей, не всегда справедливо.
8.23. Опыты Аббе подвергались критике на том основании, что он
использовал диафрагмы специальной формы и располагал их специаль-
специальным образом, но Портер показал, что аналогичные эффекты можно полу-
получить при помощи круглых диафрагм, обычно применяемых в микроскопии.
Он осуществил также убедительный опыт, используя проволочную сетку
с расстоянием между проволочками около 0,3 мм. Сетка G (рис. 8.14)
дает двумерную систему спектров. Наибольшей интенсивностью будут
при этом обладать две системы спектров, расположенных на двух взаимно
перпендикулярных прямых. Эти спектры образуются на экране Si очень
близко друг к другу, и просверливая в нем маленькие отверстия, можно
выделять тот или иной набор спектров. Изображение сетки образуется
при помощи линзы L2 на экране S2-
Если в качестве диафрагмы, ограничивающей число дифракционных
спектров, пропущенных для последующего участия в формировании изо-
РАСЧЕТ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ МИКРОСКОПА. ТЕОРИЯ АББЕ 235
бражений, используется щель, пропускающая только горизонтально рас-
расположенные спектры, то видны лишь вертикальные проволочки сетки.
При повороте этой щели на 90° появляются только горизонтальные про-
проволочки. Наиболее разительный эффект дает использование в качестве
ограничивающей диафрагмы двух скрещенных под прямым углом щелей.
Ртитная
лампа
1-Н 1-й
Рис 8 14. Установка для иллюстрации дифракцион-
дифракционной природы оптического изображения
Li служит конденсором, Ьг дает изображение спектра в пло-
плоскости Si и изображение предмета в плоскости S2
При расположении щелей под углом 45° к направлению проволочек сетки
щелями выделяются только диагональные спектры. В этом случае в пло-
плоскости изображения наблюдается сетка, повернутая на 45°.
8.24. Мы рассмотрели применение теории Аббе к объектам, обладаю-
обладающим периодической структурой. Теперь мы найдем предельно разрешаемое
расстояние, исследуя угловое разделение «спектров», даваемых решеткой
с чередующимися прозрачными и непрозрачными полосками. Направле-
Направления на главные дифракционные максимумы определяются выражением
smt) = —, если освещение производится параллельным пучком света,
у
распространяющимся вдоль оси микроскопа; здесь у — период решетки,
Я' — длина волны света в среде, заполняющей пространство между решет-
решеткой и объективом, и X — соответствующая длина волны в вакууме. Мы счи-
считаем, что штрихи решетки будут разрешены лишь тогда, когда по край-
крайней мере два спектра попадут в микроскоп. Условие разрешения будет
выполняться только в том случае, если
у > •
sin a
или
(8.11)
где 2а — апертурный угол объектива микроскопа. Если решетка осве-
освещается под углом 0', направления на главные максимумы определяются
следующим выражением (см. § 6.12):
sine — sin 6' = —.
При освещении решетки под таким углом, что в микроскоп попадает пря-
прямой свет (спектр нулевого порядка) и один спектр первого порядка,
е 9'
= е= —9' и
sin a
(8.12)
Таким образом, из теории Аббе в ее наиболее простой форме следует, что
минимальное разрешимое расстояние при косом освещении в два раза
234 ГЛ. 8. ТОЧНОСТЬ ОПТИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ И ВОЛНОВЫЕ_СВОЙСТВА СВЕТА
меньше, чем при освещении нормально падающим пучком *). Этот вывод
приблизительно оправдывается на опыте. Следуя Аббе, величину fxsina
называют числовой апертурой иммерсионного объектива (ч. а).
8.25. Дальнейшее рассмотрение вопроса о разрешении деталей в микро-
микроскопическом изображении было проведено в работе [8.4] при разъяснении
теории Аббе. Мы можем представить объект в виде определенной сово-
совокупности решеток, расположенных под различными углами друг к другу.
Световые потоки, пропускаемые различными решетками, распределены
при этом так, чтобы совокупность всех потоков воспроизводила в плоско-
плоскости объекта даваемое им распределение интенсивности. Каждая решетка
воспроизводится (в увеличенном масштабе) в плоскости изображения, если
в создании изображения участвуют спектры, соответствующие этой решет-
решетке. Наиболее мелкая решетка, которая еще будет изображаться, имеет
период, определяемый в зависимости от типа освещения формулами (8.11)
или (8.12). Следовательно, в изображении объекта будут видны только
те детали, которые могут проявляться при наложении решеток, имеющих
указанный выше или больший период. Очевидно, что порядок величины
размеров деталей, которые будут отчетливо видны, определяется (8.11)
или (8.12). В случае мало контрастного объекта разрешение будет хуже,
чем для черно-белого объекта.
Легко видеть, что сказанное не относится к минимальным размерам
предмета, присутствие которого еще можно заметить, если используется
достаточно много света. Объекты, размеры которых меньше предела разре-
разрешения, можно заметить по рассеянному ими свету, но они будут иметь
вид круглых светлых пятен. При этом никаких деталей объекта увидеть
нельзя, а размеры вызванных ими светлых пятен в поле зрения будут опре-
определяться дифракционными условиями (8.11) или (8.12), а не размерами
самих объектов.
Воспроизведение микроскопом деталей наблюдаемых объектов
8.26. Теперь перейдем к более общему рассмотрению принципа дей-
действия микроскопа. Свет, падающий на объект, может поглощаться, отра-
отражаться, рассеиваться или проходить через объект, что сопровождается
изменением фазы волны. При рассмотрении несамосветящегося объекта
простым глазом или при помощи какого-либо физического прибора мы
непосредственно воспринимаем те изменения, которые вносит объект
в падающий на него световой пучок. Мы делаем вывод о свойствах объекта
по этим изменениям светового пучка. В наиболее общем случае объект
является трехмерным и его оптические свойства произвольным образом
меняются от точки к точке. Основная задача микроскопип заключается
в создании изображения весьма малого объекта, обеспечивающего воспро-
воспроизведение в увеличенном масштабе малых изменений любых оптических
свойств объекта. Идеальное решение этой задачи невозможно, и основные
усилия конструкторов должны быть направлены на разработку приборов,
которые смогут наилучшим образом воспроизводить те или иные особен4-
ности объекта, имеющие практическое значение. Очевидно, что для изу-
изучения объектов различных типов нужны самые различные приборы. Кон-
Конструирование таких приборов и изучение наилучших способов их при-
применения представляет собой самостоятельный предмет, а не отрасль оптики.
*) Детальное рассмотрение вопроса о влиянии угла падения света на разрешаю-
разрешающую силу изложено в литературе [8.11].
ТВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ МИКРОСКОПОМ ДЕТАЛЕЙ НАБЛЮДАЕМЫХ ОБЪЕКТОВ 235
Мы познакомимся только с некоторыми основными принципами и для их
обсуждения рассмотрим идеализированные объекты, гораздо более про-
простые, чем реальные.
Выше мы говорили о разрешении изображений двух самосветящихся
точек и изучали решетки различного типа. Перейдем теперь к более обще-
общему рассмотрению вопроса. Пусть плоская монохроматическая волна еди-
единичной амплитуды падает на плоскость 00' (см. рис. 8.11—8.13) и микро-
микроскоп сфокусирован на эту плоскость. Фаза и амплитуда светового возму-
возмущения, прошедшего через объект (или отраженного объектом), изменяют-
изменяются от точки к точке в плоскости 00'. Мы можем описать это световое
возмущение некоторой функцией £0 (х, у), где хну — две координаты
в плоскости объекта. Для упрощения будем считать £о функцией только
ог у. Тогда, в соответствии с приведенными выше соображениями (см.
§ 6 35), угловое распределение света, распространяющегося после плоско-
<С1И 00', определяется выражением
+ ОО
а (х^ = i I ?0 М ехр (l
где а (ху)—амплитуда волны с волновым вектором ху. В свою очередь для
к у имеем
ку = х sin 9 =- Ц- sin 0. (8.14)
Каждая точка плоскости FF' соответствует определенному напра-
направлению распространения света, т. е. определенному значению ку. Следо-
Следовательно, распределение света в плоскости FF' определяется фурье-раз-
ложением функции £0 (у) по плоским волнам. Каждая точка плоскости
изображения //' соответствует определенной точке объекта, т. е. опре-
определенному значению координаты у. Если линза свободна от аберраций,
все волны, исходящие из определенной точки плоскости ОО', приходят
в соответствующую точку плоскости //' в фазе. Пусть геометрическое
увеличение нашей линзы равно М. Уменьшим масштаб в плоскости
изображения в М раз, т. е. введем в этой плоскости новые координаты Y
всех точек изображения, которые равны фактическим координатам точек
изображения, умноженным на 1/М.
Тогда изображение можно описать интегралом Фурье
J (8.15)
-XI
(см. уравнение F.29).
Проводимое нами суммирование (интегрирование) действия волн
с различными значениями амплитуд a (xY) и волновых векторов хг, не даст,
однако, точного воспроизведения объекта, так как мы должны ввести
в (8.15) для Ху пределы ±х4, коюрые определяются числовой апертурой
микроскопа. Заметим также, что ky не может превосходить 2яД' ни при
какой геометрии прибора и, следовательно, полное воспроизведение объек-
объекта невозможно даже в том случае, когда апертурный угол а = я/2. В самом
деле, любая деталь объекта, которая соответствует резкому изменению
амплитуды или фазы волны на расстоянии Я'/2, представлена в соотноше-
соотношении (8.13) той частью интеграла, для которой xY по абсолютной ветчине
больше, чем 2яМ/. Это как раз те значения xY, которые не входят в выра-
выражение (8.15), и поэтому соответствующие детали объекта не б^длт пред-
предоставлены в его изображении.
236 ГЛ. 8. ТОЧНОСТЬ ОПТИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ И ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА
Последний результат был получен Рэлеем несколько другим путем. Он рассма-
рассматривал распространение плоской волны с небольшими локальными изменениями ампли-
амплитуды или фазы и ввел термин «сморщивания» (пространственной модуляции) волн,
означающий изменение их амплитуд и фаз, занимающее область пространства, значи-
значительно меньшую длины волны. Он показал, что при распространении пространственно
модулированной волны глубина ее модуляции убывает экспоненциально. После того
как волна проходит расстояние, равное нескольким длинам волн, эта модуляция будет
полностью сглажена и волна снова становится пло-
плоской (рис. 8.15). Таким образом, волна, проходя-
проходящая через объект, размеры которого много меньше X,
не может «сохранить на себе отпечатка» свойств
объекта и передать сведения о его структуре [8.2].
Применение ряда Фурье
8.27. Выше мы представляли свет, про-
прошедший сквозь объект, пользуясь интегра-
интегралом Фурье. Но, как известно, при рассмотре-
рассмотрении изменений какой-либо переменной, про-
происходящих в конечном интервале, математи-
математически часто удобнее пользоваться рядом
Фурье, а не интегралом Фурье (см. §§ 4.17 и
4.19). Воспользуемся этим приемом и сейчас.
Пусть поле зрения микроскопа простирается от у = — d до у = + d.
Тогда, переходя от координаты у к другой безразмерной координате г/' =
= ^ , мы можем перейти от интеграла (8.15) к ряду Фурье, написав
Рис. 8.15. Сглаживание про-
пространственных модуляций
в плоской волне.
+0О
S
(8.16)
Коэффициенты членов ряда будут иметь вид
Сп = *Г \ £° W*ехр *""iny">dy''
причем п — целое число, положительное, отрицательное или нуль (см.
уравнение D.51)). При таком рассмотрении мы заменяем действие на
проходящий свет реального объекта действием набора периодических
структур, каждая из которых соответствует двум членам ряда с коэффи-
коэффициентами сп и с-п в (8.16). Эти периодические структуры мы называем
«синусоидальными решетками». На практике довольно трудно осуществить
совершенную синусоидальную решетку, но тем не менее нет никаких
причин, по которым мы не могли бы для удобства математических рассу-
рассуждений заменить действие реального объекта действием набора синусо-
синусоидальных решеток. Член с0 в разложении (8.16) соответствует равномерно-
равномерному распределению света в плоскости 00', и можно считать, что он при-
принадлежит синусоидальной решетке с бесконечно большим периодом.
8.28. Как и прежде, мы ожидаем, что распределение света в фокаль-
фокальной плоскости будет определяться фурье-разложением света от объекта
наблюдения. В этом можно убедиться, рассмотрев гг-ю дифракционную
решетку из числа тех решеток, суперпозиция которых представляет рас-
рассматриваемый объект. Ее период вдоль оси у равен 2d/n; для безразмерной
переменной у\ которую мы используем в разложении (8,16), период будет
равен 2п/п. Далее, мы знаем, что первый главный максимум для решетки
ФАЗО-КОНТРАСТНАЯ МИКРОСКОПИЯ 237
<с периодом 2d/n лежит в направлении, определяемом соотношением
откуда можем найти
= —г. E.15)
Подставляя это значение в (8.13) и переходя от переменной у к перемен-
переменной г/', мы можем показать, что сп н с_п пропорциональны амплитудам
главных дифракционных максимумов первого порядка для синусоидаль-
синусоидальной решетки с периодом 2d/n.
Таким образом, каждая синусоидальная решетка, совокупность кото-
которых представляет исследуемый объект, дает.в плоскости FF' две осве-
освещенные точки, соответствующие главным максимумам первого порядка,
полученным от этой решетки. Как известно, идеальная линза собирает
в некоторой точке изображения все лучи, исходящие из определенной
точки объекта без изменения их амплитуды или фазы. Поэтому из выра-
выражения (8.16) следует, что полная амплитуда света, приходящего в некото-
некоторую точку изображения Y = А (которой соответствует значение у'= а
в плоскости объекта), определяется выражением
Ъо(У)= 2 сдехр(ша). (8.19)
П=—711
Предельное значение щ, как и раньше, определяется апертурным
углом линзы. Итак, свет, прошедший сквозь объект, можно представить
бесконечным рядом Фурье, но свет, формирующий изображение, соответ-
соответствует только ограниченному числу членов этого ряда. Изображение соот-
соответствует суперпозиции только тех синусоидальных решеток, главные
дифракционные максимумы которых вошли в оптическую систему. Поэто-
Поэтому изображение, даваемое системой, несовершенно.
Фазо-контрастная микроскопия
8.29. Глаз и другие физические приемники света могут отмечать толь-
только различие энергий, но не различие фаз падающих на них световых пуч-
пучков. Для того чтобы видеть прозрачные объекты, недостаточно только
увеличить их. Мы должны создать изображение, в котором различия
в фазах световых пучков, прошедших через различные точки объекта,
будут превращены в различия освещенностей изображения тех же точек
объекта. Для облегчения интерпретации структуры объекта желательно,
чтобы указанные фазовые изменения были простейшим образом связаны
с изменениями освещенности в плоскости изображения.
Опишем предложенный Цернпке метод, при помощи которого малые
«фазовые различия» в отдельных точках объекта превращаются в про-
пропорциональные различия в амплитудах световых колебаний в соответ-
соответствующих точках изображения *).
Рассмотрим объекты двух типов, а именно:
1) «амплитудные объекты», для которых |0 (у) имеет действительные
значения при любом у, и 2) «фазовьге объекты», для которых |0 (у) — ком-
комплексная величина, но модуль ее равен единице при любом у.
О Сущность метода фазового контраста с весьма общей точки зрения рассмот-
рассмотрена С. М. Рытовым, УФН 41, 425 A950). (Прим. ped.)
238 ГЛ. 8. ТОЧНОСТЬ ОПТИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИИ И ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА
Для фазового объекта мы можем считать, что
в« (8.20)
где 6 — функция у. Если б мало, то
SoO/) = l-W6. (8.21)
Рассмотрим теперь трп объекта, для которых распределение прошедшего
через них света описывается следующим образом:
а) Ер =14-«/(У), (8.22а)
б) g+ = l+/(*,), (8.226)
(8.22в>
где / (у) < 1 и имеет действительные значения при любом у. 1Р соответ-
соответствует прозрачному объекту (фазовый объект), а |+ и £_ — объектам,
неравномерно поглощающим свет, но не вносящим никакой разности фаз
в проходящие через них волны. Объекты б ж в являются дополнительными„
так как более светлые части объекта б соответствуют более темным местам
объекта в и наоборот. Из (8.17) следует, что если / (у) мало по сравнению
с я (при всех значениях у), то в разложении Фурье (8.19) с0 приблизитель-
приблизительно равно единице для всех трех объектов и мнимая компонента пренебре-
пренебрежимо мала. Значения сп для всех трех объектов удовлетворяют условию
i(cn)p = (Cn)+=-(Cn)-. (8.23)
Энергия в соответствующей точке плоскости FF' равна спс*п и одинакова
для всех трех решеток. Однако разность фаз между световыми волнамг,
создающими центральную и нецентральную части дифракционных картин,
неодинакова для разных решеток. Благодаря различным соотношениям
между фазами в плоскости FF' распределение энергии в плоскости //'
неодинаково для всех объектов; так, для объекта а мы получим в плоско-
плоскости 77' равномерную освещенность.
Предположим теперь, что в плоскость FF' введена тонкая пластинка,
вызывающая отставание фазы в центре дифракционной картины на я/2.
Тогда распределение фаз в плоскости FF" для объекта а при наличии
пластинки будет таким же, как и для объекта б без пластинки. Следова-
Следовательно, в присутствии пластинки объект а становится видимым (положи-
(положительный фазовый контраст).
Если в центре картины мы создадим опережение фазы на я/2, то объект
а также будет видим, но области, которые раньше были темными, теперь
станут светлыми (отрицательный фазовый контраст). Фотографии, демон-
демонстрирующие положительный и отрицательный фазовый контраст в случае
прозрачных объектов, приведены в статье Тейлора [8.7] *). На практике
для получения высокого разрешения объект освещают полым конусолг
света **). Тогда центральный максимум в плоскости FFf имеет вид коль-
кольца. В это место обычно помещают пластинку с нанесенным на нее коль-
кольцом из прозрачного материала, оптическая толщина которого немного
меньше Я/4. Кольцо наносят методом напыления в вакууме. При этом
необходимо, чтобы конденсор и фазовая пластинка подходили друг к другу.
*) См. также Г. Г. С л ю с а р е в, О возможном и невозможном в оптике, Го<_-
техиздат, М., 1957. (Прим. ред.)
**) См. также К. М и х е л ь, Основы теории микроскопа, Гостехиздат, М., 1953..
(Прим. ред.)
МОНОХРОМАТИЧНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ 239
8.30. Метод фазового контраста не является единственным методом, позволяю-
позволяющим видеть прозрачные объекты. Если нулевой порядок закрыт непрозрачным экраном
(метод темного поля) или если закрыты все интерференционные максимумы, располо-
расположенные по одну сторону от центра картины (метод свилей), то прозрачные объекты
становятся видимыми. Несколько устройств такого типа было известно еще до раз-
разработки метода фазового контраста. Цернике впервые дал вполне удовлетворительную
теорию этих методов, а его метод фазового контраста является единственным методом,
при использовании которого контраст изображения оказывается прямо пропорцио-
пропорциональным разностям фаз в плоскости объекта. Однако он применим только в случае
малых разностей фаз. Для того чтобы убедиться в неприменимости этого метода при
больших разностях фаз, рассмотрим объект, состоящий из чередующихся полосок
одинаковой ширины, создающих сдвиг фаз для света, прошедшего через смежные
полоски, равный я. Тогда энергия в нулевом максимуме равна нулю и применение
фазовой пластинки бесполезно. Если разность фаз велика (но не равна я), имеет смысл
изменять не только фазу, но и амплитуду в нулевом максимуме. Недавно были разра-
разработаны приборы, основанные на этом принципе [8.7, 8.8].
Оптимальное увеличение микроскопа
8.31. В случае использования безиммерсионных («сухих») объективов
максимально возможная числовая апертура равна 1,0, а на практике
достигнуто ее значение, равное 0,95. Применение масляной иммерсии
позволяет получить числовую апертуру объективов, равную 1,65. Мини-
Минимальное разрешимое расстояние между двумя точками объекта составляет
2,7-10~5 см для «сухих» объективов и 1,6-10~5 см для иммерсионных объек-
объективов при использовании наклонного падения и освещении светом с длиной
волны 5500 А. Максимальное полезное увеличение (см. § 8.8) равно 800
для «сухих» объективов и 1200 для иммерсионных.
Предел разрешения можно улучшить, фотографируя объект в ультрафиолетовых
лучах с длиной волны около 2200 А. В этом случае предел разрешения равен 1000 А
или 0,1 мк. Оптическая система микроскопа и предметные стекла должны быть изго-
изготовлены из материалов, прозрачных в этой области спектра, и оптическая система
должна быть исправлена для длин волн используемого излучения. Фотографии можно
еще увеличить и получить общее увеличение, примерно равное 3000. Значительно
большее увеличение достигается при помощи электронного микроскопа. В этом приборе
длину дебройлевской волны можно довести до 0,1 А, но числовая апертура всех имею-
имеющихся в настоящее время моделей очень невелика (приблизительно 0,01). Таким обра-
образом, теоретический предел разрешения составляет 10 А. Практический предел не столь
мал, и полезное увеличение примерно равно 100 000. При использовании этих приборов
возникают значительные трудности, п еще не решено множество технических проблем,
связанных с изготовлением образцов и интерпретацией полученных результатов.
Дальнейшее обсуждение этих вопросов выходит за рамки настоящей книги [8.9].
Монохроматичность излучения, выделенного спектральным прибором
из непрерывного (сплошного) спектра
8.32. Поместим вертикальную щель в плоскость, в которую спроекти-
спроектирован непрерывный спектр соответствующего источника света, полученный
с помощью призменного спектрографа или спектрографа с дифракционной
решеткой. Будем исследовать проходящий через эту щель свет вторым
спектрографом, обладающим более высокой дисперсией и большей разре-
разрешающей силой, чем первый. Тогда окажется, что свет, пропущенный
выходной щелью первого прибора, содержит целую область длин ьч«лн.
Если щель достаточно широка, этот интервал длин волн пргблизьтельно
пропорционален ширине щели. При уменьшении ширины щели пропу-
пропускаемый интервал длин волн достигает некоторого постоянного значенья,
не зависящего от ширины щели. Ширина щель определяет только обшее
240 ГЛ. 8. ТОЧНОСТЬ ОПТИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ И ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА
количество пропущенного света. Чистотой спектра называется величина,
обратная протяженности этого минимального спектрального интервала *).
Если используемый прибор свободен от аберраций, то чистота спектра
определяется разрешающей силой этого прибора. Излучение каждой
длины волны, попадающее на первый спектрограф, образует фраунгоферо-
во дифракционное изображение щели. Таким образом, свет какой-либо
определенной длины волны распространяется на какой-то конечный отре-
отрезок длины в плоскости изображения спектра. Следовательно, в любой точке
изображения спектра присутствует излучение не одной длины волны,
а некоторого интервала длин волн. Этот интервал длин волн, приходящих
(с заметной энергией) в данную точку изображения спектра, равен по
порядку величины 2ДХН, где АЯЛ — минимальная разрешимая разность
двух длин волн. Чистота спектра обратно пропорциональна AXR и, следо-
следовательно, прямо пропорциональна разрешающей силе. Чистый спектр,
в котором в каждой точке изображения спектра присутствует излучение
одной и только одной длины волны, можно получить, таким образом, лишь
в идеальном случае, неосуществимом на практике. Для получения такого
спектра был бы необходим прибор, обладающий бесконечно большой разре-
разрешающей силой. В реальном изображении спектра излучение, попадающее
в определенную его точку, представляет собой группу волн, а не простую
бесконечную длинную гармоническую волну. Условно можно сказать, что
некоторое эффективное число монохроматических световых пучков, при-
присутствующих в подобной волновой группе, выделяемой очень узкой
щелью, помещенной в плоскость спектра, приблизительно равно h/A%R,
т. е. равно разрешающей силе прибора, осуществившего спектральное
разложение.
8.33. Выше предполагали, что белый свет можно «разложить» в ряд Фурье,
содержащий «набор различных длин волн». Вместе с тем раньше (см. § 4.33) мы утвер-
утверждали, что белый св^т «состоит» из последовательности нерегулярных импульсов,
и обсуждали обоснованность такого разложения. С исторической точки зрения инте-
интересно выяснить, как можно объяснить «образование спектра из белого света», не при-
прибегая к понятию о гармоническом анализе.
Получение монохроматического излучения из нерегулярного светового импульса
с помощью дифракционной решетки можно объяснить, предположив, что каждая щель
решетки пропускает'одиночный короткий импульс. В определенную точку спектра
импульсы от разных щелей будут приходить через регулярные интервалы времени
Т = d sin 6/с. Последние определяются разностью хода от различных щелей решетки
до данной точки спектра, и для спектра первого порядка разность хода от соседних
щелей d sin 9 = Я, т. е. равна длине волны того излучения, максимум которого нахо-
находится в данной точке спектра. Таким образом, возникает возмущение с частотой, соот-
соответствующей этой длине волны. Число волн в рассматриваемой группе равно числу
штрихов решетки, т. е. равно разрешающей силе решетки в спектре первого порядка**).
Образование приблизительно гармонической волны таким способом Гюйгенс
сравнил с отражением нерегулярного шума, например рукоплесканий от ступенек
лестницы. Наблюдатель, находящийся в определенном месте, будет слышать не перво-
первоначальный звук рукоплесканий, а определенный тон, соответствующий последова-
последовательным отражениям звука аплодисментов от различных ступенек лестницы.
8.34. В рассмотренном выше примере, в результате влияния периодической
структуры решетки на нерегулярный импульс, образовалась приблизительно гармо-
гармоническая волна с определенной частотой. С первого взгляда может показаться, что
призма, которая не обладает собственной периодической структурой, не может пре-
преобразовать нерегулярные импульсы в регулярные цуги волн.
*) Степень монохроматичности света (иногда называемая чистотой спектра)
может быть определена по-разному (см. А. С. Т о п о р е ц, Монохроматоры, Гостех-
издат, М., 1955). (Прим. ред.)
**) Подробнее см. Г. С. Горелик, Колебания и волны, гл. XI, Физматгиз,
М., 1959. (Прим. ред.)
ПОЛОСЫ ТАЛЬБОТА " 241
Рэлею [8.10] принадлежит изящный способ рассмотрения этого вопроса путем
использования аналогии с возникновением волны при ударе воздушной струи о поверх-
поверхность жидкости. Мы кратко рассмотрим применение этой аналогии к преломлению
в призме. Пусть импульс проходит путь tp в среде, в которой групповая скорость
равна U, но волна с частотой v движется с большей скоростью Ь. За время прохождения
группы через диспергирующую среду волны с частотой v будут все время опережать
фронт группы. Первая волна сэтойчастотой пройдет весь путь в диспергирующей среде
за время tp/b. За время прохождения группой всего пути tp перед ее фронтом ока-
окажется цуг из N волн частотой v, причем
Подставляя в это соотношение значения X = c/v и \i — c/b, а также значение U из
выражения D.41), получим
"='„$• (8-25)
Таким образом, из наиболее широкой части призмы выйдет цуг из N волн длиной X.
Из более узких частей призмы выйдут более короткие цуги, но фазовые соотношения
между ними будут такими, что в некоторой точке Р фокальной плоскости объектива
будет наблюдаться взаимное усиление света с длиной волны X. В других точках интер-
интерференция цугов волн этой длины приведет к их взаимному погашению. В точке Р
спектра присутствует свет с длиной волны X, п число волн в цуге равно разрешающей
силе прибора.
8.35. В гл. 5 мы установили, что в общем случае интерференционные полосы
в белом свете могут наблюдаться только при низких порядках интерференции (или при
использовании специального ахроматизирующего устройства).
Там же было показано, что хотя интерференционная картина в высоких порядках
интерференции не будет видна, однако в спектре света, направленного в спектроскоп из
тех точек светового поля, где должны быть расположены интерференционные максимумы
высокого порядка, появится определенная особенность. Именно, в спектре кажущегося
белым света, пришедшего в спектроскоп от таких точек светового поля, обнаружатся
темные полосы. Вместо сплошного спектра мы увидим в спектроскоп так называемый
канавчатый спектр. Очевидно, что темные «канавки» в спектре будут видны только
в том случае, если разность длин волн между светлыми полосами канавчатого спектра
будет больше минимального интервала длин волн, разрешаемого спектроскопом.
Из уравнений E.17) и E.18) вытекает, что эта разность длин волн равна Х/п, где
п — порядок интерференции в области спектра, попадающей на щель спектроскопа.
Отсюда следует, что полосы будут наблюдаться только в том случае, если разрешаю-
разрешающая сила спектроскопа больше, чем порядок интерференции.
Полосы Тальбота
8.36. Тальбот установил, что если в призменный спектрограф или в спектрограф
с дифракционной решеткой ввести стеклянную пластинку, прикрывающую половину
апертуры камерного объектива, так как это показано на рис. 8.16, то в спектре белого
света, разлагаемого этим спектрографом, появится система темных полос.
Полосы возникают только прп прикрывании пластинкой определенной части
объектива. В случае спектрографа с решеткой нужное расположение пластинки
непосредственно показано на рис. 8.16. Но если бы на месте решетки была призма
с вершиной преломляющего угла в точке Л, то для получения в спектре темных полис
стеклянной пластинкой надо было бы прикрыть ту часть объектива, через которую
проходит свет пучка, ограниченного сечением АВ. Далее, в случае спектрографа
с решеткой темные полосы возникают только в спектрах, расположенных с одн«»и
стороны от спектра нулевого порядка, а именно с той стороны от него, где помнена
пластинка *).
*) Пластинка может находиться и перед дифракционной решеткой плп перед
призмой, но при этом должны соблюдаться указанные выше условия ее расположения.
В случае жидкой призмы пластинка может находиться и внутри призмы. Наконец,
ее можно расположить непосредственно перед глазом наблюдателя, закрывая поло-
половину зрачка глаза. Тогда пластинку следует вводить так, чтобы она прикрывала спнюю
часть спектра, видимого глазом. Для целей проводимого нами рассмотрения происхо-
происхождения полос Тальбота все возможные положения пластинки эквивалентны изобра-
изображенному на рис. 8.16.
16 р. Дитчберн
242 ГЛ. 8. ТОЧНОСТЬ ОПТИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ И ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА
Полосы видны наиболее отчетливо при некоторой оптимальной толщине пла-
пластинки, и если толщина последней в два раза превосходит это значение, то полосы
Тальбота вообще не наблюдаются ни при какой разрешающей силе спектроскопа.
Вначале предполагали, что появление полос вызвано простой интерференцией световых
пучков, прошедших через различные половинки объектива. Это объяснение нельзя
считать правильным, так как введение пластинки не приводит к появлению двух
когерентных мнимых источников света, нужных для этого объяснения. Пластинка
лишь смещает часть волнового фронта. Таким образом, решение вопроса надо искать
Коллиматор
Рис. 8.16. К образованию полос Тальбота.
в дифракционных явлениях. Кроме того, предположение об интерференции не позво-
позволяет объяснить, почему полосы возникают только при закрывании одной определен-
определенной половинки объектива, а также почему существует оптимальная толщина пла-
пластинки.
8.37. Простое объяснение полос Тальбота можно дать на основе представлений
о белом свете, как о совокупности «нерегулярных импульсов». Выше мы предполагали
(см. § 8.33), что решетка, имеющая N щелей, посылает через них последовательность
из N волновых импульсов, которые приходят друг за другом в точку наблюдения
и дают колебание, соответствующее длине волны X, в некоторой точке Р спектра. При
введении пластинки в эту точку будут приходить уже два цуга волн, каждый из кото-
которых имеет длину NX/2. Один из них приходит прямо от верхней части решетки
(см. рис. 8.16). Второй проходит через нижнюю часть решетки и через пластинку,
толщину которой мы обозначим через tg. Если оба цуга полностью совпадают друг
с другом в точке Р, т. е. приходят в эту точку одновременно, то будет наблюдаться
интерференционный максимум. При отсутствии пластинки один цуг приходит на
NX/2c сек раньше, чем другой. Благодаря присутствию пластинки этот цуг волн npoj
ходит путь tg в диспергирующей среде с групповой скоростью U, тогда как другой
проходит тот же путь в воздухе. Мы пренебрежем дисперсией воздуха и положим его
показатель преломления равным 1. Тогда, согласно D.41), разница во времени про-
прохождения пути tg этими двумя цугами, вызванная введением пластинки, будет равна
-jj : : v г■-'• а\ i • (8-26>
Следовательно, интерференционный максимум будет наблюдаться для тех длин
волн, для которых справедливо соотношение
(8.27)
Если это соотношение выполняется достаточно строго, то два цуга волн, интерфери-
интерферируя, дадут максимум в точке Р. Если же для некоторой длины волны V величина,
стоящая в левой части уравнения (8.27), будет равна л//2, то этой длине волны будет
соответствовать амплитуда, равная нулю. Таким образом, соотношение между дли-
длинами воли, для которых амплитуда максимальна и минимальна, записывается следую-
следующим образом:
^ /7n. V4 у _ у/7п V ' Ч
3.28)
ПОЛОСЫ ТАЛЬБОТА 243
где fi' и ( ■£ ) — соответствующие величины для X'. Для узкой области спектра
можно пренебречь различием между ц и \i , и тогда для разности длин волн, соответ-
соответствующих максимуму и минимуму, получим соотношение
Если tg имеет значение между нулем и величиной, вдвое превышающей величину,
определяемую уравнением (8.27), то цуги волн будут частично перекрываться,
и в спектре будут наблюдаться несколько полос, однако при значении tg, близком
к одному из этих крайних значений, видимость полосы будет очень низка.
Если же tg больше чем вдвое превосходит толщину пластинки, определяемую»
соотношением (8.27), то цуг волн от участка АВ решетки пройдет через точку Р раньше,
чем ее достигнет цуг волн от участка ВС, и полосы не будут наблюдаться. Они не воз-
возникнут и в том случае, когда введенная в спектроскоп пластинка вызывает отставание
цуга, идущего от участка решетки АВ, от цуга, полученного с помощью участка
решетки ВС (см. рис. 8.16). Первый цуг уже отстает от цуга, соответствующего-
участку ВС, и очевидно, что при дальнейшем его отставании интерференционная
картина получаться не будет. Именно это обстоятельство объясняет, почему пластинка
должна прикрывать определенную половину объектива или призмы.
8.38. Для исследования вопроса с помощью разложения Фурье следует проин-
проинтегрировать уравнение F.30) в пределах, соответствующих обеим половинам решетки,
учитывая вносимое пластинкой отставание фазы. Интегрирование производят для
одной длины волны, а затем полученное выражение снова интегрируют по всем длинам
волн. Этот расчет сравнительно трудоемок, но он позволяет получить полное решениеу
в том числе распределение энергии как для простого случая, рассмотренного в преды-
предыдущем параграфе, так и для случая, когда пластинка закрывает больше или меньше*
половины линзы. Детальное рассмотрение этого вопроса было проведено Эйри, Сток-
сом и Струве *).
Проведем краткое аналитическое рассмотрение вопроса для того случая, когда
пластинка закрывает половину прямоугольной диафрагмы. Разность хода для волн
от двух краев решетки до точки Р равна NX, а разность хода между результирующими
волнами, приходящими в точку Р от участков А В и ВС решетки, равна в отсутствие?
пластинки NX/2. После введения пластинки эта разность хода становится равной
Максимальная освещенность в точке Р будет наблюдаться в том случае, если разность
фаз, соответствующая значению 6, кратна 2я не только для волн длиной X, но и для
других волн, длина которых очень мало отличаются от X и поэтому вносят заметный
вклад в освещенность в точке Р. Выше было показано (см. § 8.32), что эта область
длин волн невелика, но имеет определенное значение, приблизительно равное удвоен-
удвоенной величине предела разрешения. Разность фаз для излучения с длиной волны
(X + АХ), приходящего в точку Р, равна
-т-
Эта разность фаз должна оставаться постоянной для области длин волн вблизи Хг
т. е. для области, задаваемой условием ДА, А «с 1. Пренебрегая членом второго порядка
малости в (8.30), мы видим, что данное условие выполняется, если коэффициент при АХ
равен нулю. Таким образом,
в согласии с (8.27).
8.39. Таким образом, условие максимальной резкости полос остается неизменным
независимо от того, считаем ли мы белый свет последовательностью «нерегулярных
*) Краткое изложение работ Эйри, а также полная библиография вопроса при-
приведены в книге Рэлея [8.2].
16*
244 гл. 8. точность оптических измерений и волновые свойства света
импульсов» или набором монохроматических излучений различной длины волны.
В обоих случаях данное условие соответствует тому, что две группы волн от'обеих
половинок решетки приходят в точку Р одновременно. Этот вопрос во многих отно-
отношениях аналогичен рассмотренному в гл. 5 вопросу об ахроматических полосах. Его
решение еще раз показывает, что обе «теории» белого света по существу имеют один
и тот же смысл. Представление о группах волн поясняет обе теории и доказывает
их согласие друг с другом.
Литература
8.1. R а у 1 е i g h, Scientific Papers, т. I, 415, 436, 513.
8.2. Rayleigh, Scientific Papers, т. HI, 103, 117, 123.
8.3. Ditchburn, Proc. Roy. Irish. Ac. A39, 58 A930).
8.4. Johnstone Stone y, Phil. Mag. 43, 332 A896).
8.5. Williams W. E., Applications of Interferometry, Methuen.
8.6. Bright R. L, Jackson D. А., К u h n H., Proc. Phys. Soc. A62, 225
A949).
8.7. Taylor E. W., Proc. Roy. Soc. A190, 422 A947).
8.8. О s t e г b e r g H., J. 0. S. A. 37, 726 A947).
8.9. Gosslett, The Electron Microscope, Oxford Univ. Press.
8.10. Rayleigh, Scientific Papers, т. V, 272.
8.11. Hopkins H. H., В a r h a m P. M., Proc. Phys. Soc. B63, 737 A950).
ГЛАВА 9
ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕРФЕРОМЕТРОВ
9.1. В целом ряде экспериментов интерференционные методы измере-
измерений позволяют получить весьма точные результаты очень простым путем,
не предъявляя особых требований к искусству наблюдателя. Высокая
точность результата становится возможной благодаря хорошей постанов-
постановке опыта и точности в изготовлении приборов. В начальной стадии наблю-
наблюдений обычно измеряют смещение в системе интерференционных полос.
Из этого смещения определяют разность фаз между двумя интерферирую-
интерферирующими пучками и затем рассчитывают изменение разности оптических пу-
путей, связанное или с механическим смещением, или с изменением показа-
показателя преломления.
Классификация по типам интерференции*)
9.2. Различные интерферометры можно разделить на следующие две
группы:
а) Приборы, в которых фронт волны разделяется на две или большее
число частей. Это разделение может быть достигнуто или при помощи
непрозрачного экрана с некоторым количеством отверстий в нем (как,
например, в опыте Юнга, см. § 5.7), или при помощи призм или зеркал
(как, например, в опытах Френеля, см. § 5.9). •
б) Приборы, в которых разделение пучка света достигается приме-
применением полупрозрачных поверхностей. Часть света отражается, а часть
проходит через такую поверхность. Затем оба эти пучка снова соединяются
при помощи некоторой системы зеркал и призм и, будучи когерентными,
интерферируют. Интерферометр Майкельсона является типичным прибо-
прибором такого типа.
Зеркала могут применяться в интерферометрах обоих типов в каче-
качестве отражательных устройств. Типичная особенность ишерферометров
типа б) заключается в следующем: в этих приборах по крайней мере одно
зеркало является полупрозрачным, что обеспечивает разделение первич-
первичного светового пучка; отраженный и прошедший пучки затем снова соеди-
соединяются.
9.3. Возможен также совершенно другой принцип классификации
интерферометров. Все их можно разделить на приборы, в которых исполь-
используется интерференция двух пучков, и приборы, в которых интерфери-
интерферирует большее число световых пучков. Бипризма Френеля и интерферо-
интерферометр Рэлея относятся к приборам типа а), в которых используются два
пучка. Эшелон тоже относится к приборам типа а), но в нем имеет место
интерференция более чем двух пучков. Интерферометр Майкельсона
относится к приборам типа б) с двумя интерферирующими пучками.
*) Подробности о работе и расчете интерферометров см. в книге: А. Н. 3 а-
харьевский, Интерферометр^, Оборонгиз, М., 1952. (Прим. ред.)
246 ГЛ. 9. ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕРФЕРОМЕТРОВ
t
Эталон Фабри — Перо и пластинка Люммера — Герка также относятся
к приборам типа б), но в них используется большое число интерферирую-
интерферирующих пучков.
В приборах типа а) получаются дифракционные полосы, и поэтому было бы
правильно называть приборы этого типа «дифрактометрами». Дифракционная решетка
тоже относится к таким приборам. На практике, однако, интерферометрами называют
многие приборы как типа а), так и типа б). Это связано с тем, что методы изготовления
и использования многих приборов обоих типов аналогичны. Поэтому они все назы-
называются интерферометрами; однако этот термин не применяется к дифракционной
решетке, которая с чисто технической точки зрения может считаться диспергирующей
системой, в какой-то степени родственной призме.
Классификация применений интерферометров
9.4. Наблюдения и измерения, проведенные при помощи интерферо-
интерферометров, можно разделить на пять основных типов:
1. Геометрические измерения.
2. Измерения показателей преломления.
3. Измерения отношения длины световой волны, испускаемой стан-
стандартным источником света, к длине механического образца.
4. Сравнение двух длин волн.
5. Исследования, имеющие теоретическое значение.
К геометрическим измерениям относятся исследование оптических
деталей, например линз и призм, сравнение механических калибров,
применяемых в машиностроении, и измерение малых механических сме-
смещений. В исследования четвертого типа входят наблюдение тонкой струк-
структуры спектральных линий, а также сравнение спектральных линий раз-
различной интенсивности. К исследованиям пятого типа относятся экспе-
эксперименты, подобные опыту Майкельсона, а также другие эксперименты,
которые будут описаны ниже (в частности, в гл. 11).
Проверка качества оптических деталей
9.5. С точки зрения волновой теории действие оптических деталей
сводится к изменению направления или формы волнового фронта. Если
параллельный пучок света падает на плоское зеркало, фронт волны изме-
изменяет направление, но остается плоским. При падении такого же пучка
света на идеальную*линзу плоский фронт волны превращается в сфериче-
сферический, сходящийся к некоторой точке, расположенной в фокальной пло-
плоскости линзы. На практике большинство оптических деталей не вполне
точно выполняет свои функции. Эти детали в какой-то степени деформи-
деформируют волновой фронт. Если пучок света отражается от плоского зер-
зеркала, содержащего небольшие локальные отклонения от плоскости, то
последние вызывают соответствующие искажения в волновом фронте
отраженной волны. Линза также может обладать локальными нерегуляр-
ностями, что приводит к различным ошибкам. Фронт преобразованной
волны может оказаться «гладким», но может не иметь желаемой формы.
Все эти ошибки могут привести к тому, что оптические пути всех прохо-
проходящих через линзу лучей, соединяющих точку предмета с соответствующей
точкой изображения, окажутся не равными друг другу. Поэтому и воз-
возникает необходимость в приборе, который мог бы выявлять влияние
оптической детали или их совокупности на волновую поверхность. Такой
контроль является в то же время проверкой равенства оптических путей
от точки предмета до точки изображения.
ИНТЕРФЕРОМЕТР ТВАЙМАНА--ГРИНА
247
Интерферометр Тваймана—Грина
9.6. Прибор, изображенный на рис. 9.1, был сконструирован Твай-
маном и Грином для проверки качества призм. Свет от источника моно-
монохроматического излучения фокусируется с помощью вспомогательной
А J
а)
\МЯ
Рис. 9.1. Интерферометр Тваймана — Грина.
а — установка для проверки призм; б — установка для исследования линз;
в — установка для • исследования объективов микроскопа; г — установка
для исследования стеклянных пластинок.
линзы на маленьком отверстии в экране Я. Это отверстие, служащее
точечным источником света, располагается в фокусе линзы L4. Плоская
волна Wu выходящая из линзы Lu частично отражается (W2) и частично
проходит через полупрозрачное зеркало М± (W'2). Отраженный свет испы-
испытывает еще одно отражение на зеркале М2 (W3) и фокусируется линзой
248
9. ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕРФЕРОМЕТРОВ
Рис. 9.2. Контурная картина,
образованная полосами равной
толщины.
L2 на диафрагму Е (PF4). Второй пучок света (W'2) проходит через приз-
призму Р, отражается от зеркала М3, снова проходит через призму (W3)
п также фокусируется на диафрагму Е {W'A). Глаз наблюдателя поме-
помещают непосредственно за этой диафрагмой. Если призма свободна от
недостатков, наблюдатель видит равномерно
освещенное поле. Освещенность будет мак-
максимальна в том случае, если зеркало М2 за-
занимает такое положение, при котором раз-
разность хода обоих световых пучков TF4 и W\
кратна целому числу длин волн. Если приз-
призма не совершенна, то фронт волны, пада-
падающей на линзу L2 после отражения от зер-
зеркала М3, окажется не плоским. Эта волна
интерферирует с плоской волной, приходя-
приходящей от М2, в результате чего возникает си-
система интерференционных полос, которую
можно считать контурной картой дефектов
призмы. На рис. 9.2 приведена типичная
карта такого типа. Область Q является как бы
вершиной «холма». Линии, образующие кар-
карту, отмечают краской на поверхности приз-
призмы. Лишний материал можно сошлифовать сначала с области, соответ-
соответствующей Q, а затем, постепенно увеличивая область шлифовки, и с ос-
остальных участков призмы.
9.7, Если неясно, является ли участок, соответствующий Q, вершиной «холма»
или, наоборот, центром впадины, поступают следующим образом. Слегка смещают
зеркало М3 так, чтобы увеличить длину соответствующего оптического пути. Тогда,
если площадь, ограниченная данной линией на интерферограмме, увеличивается,
то это означает, что на призме имеется выпуклость, и наоборот. Интерференционная
картина отражает общее влияние двойного прохождения плоской волны через призму
и показывает (в длинах волн) отклонения фронта волны от плоского. Полосы могут
появляться при отклонении одной или обеих поверхностей призмы от плоскости,
а также при локальных неоднородностях показателя преломления материала призмы.
Прибор не позволяет установить, какая именно причина (поверхностный или объемный
дефект) вызвала появление полос *). В оптически совершенной призме величина
(ц — 1) t линейно растет от вершины призмы к ее основанию. Для получения совер-
совершенной призмы ее поверхности шлифуют так, чтобы малые нарушения в ее геометри-
геометрических размерах компенсировали неоднородности материала призмы. Этот процесс
называется ретушью.
9.8. Необходимо отметить, что форма интерференционных полос может изме-
изменяться при изменении наклона «плоскости сравнения» (называемой также референтной
плоскостью). Небольшой наклон зеркал М2 или М3 может изменить интерференцион-
интерференционную картину от вида, изображенного на рис. 9.3, до вида, представленного на рис. 9.4.
Форма исследуемой поверхности одинакова в обоих случаях (ее сечение изображено
в верхних частях рисунков), но плоскости сравнения и соответственно интерферен-
интерференционные картины различны. Если мастер, изготовляющий призму, будет основываться
при шлифовке на любой из картин, он в обоих случаях получит совершенную призму,
но углы призмы в этих двух случаях окажутся слегка различными. Опытный мастер
прежде, чем маркировать поверхность, отъюстирует прибор таким образом, чтобы
совершенная призма могла быть изготовлена при минимальной шлифовке.
9.9. Хотя на первый взгляд интерферометр * Тваймана — Грина
весьма напоминает интерферометр Майкельсона, его изобретение открыло
новую область в интерферометрии и оптическом контроле. Этот интерферо-
интерферометр отличается от интерферометра Майкельсона тем, что в нем для срав-
сравнения используется точечный источник света, который вместе с линзой
*) Для разделения повзрхностных и объемных дефектов требуется дополнитель-
дополнительное испытание поверхностей с использованием оптических пробных стекол. {Прим. ред.)
ИНТЕРФЕРОМЕТР ТВАЙМАНА-ГРИНА
249'
Li создает плоскую волну, остающуюся плоской и после отражения от
М2; его отличительной чертой является также применение линзы L2f
благодаря которой все лучи обоих пучков попадают в глаз наблюдателя.
Необходимо отметить, что линза L2 не действует как объектив телескопа
и не дает в своей фокальной плоскости изображения интерференционных
Рис. 9.3. Вид интерференционных полос
при локальном искажении формы по-
поверхности.
Сечение поверхности приведено в верхней
части рисунка.
Рис. 9.4. Изменение вида интерферен-
интерференционной картины при наклоне рефе-
референтной плоскости, показанном в верх-
верхней части рисунка.
полос равного наклона, локализованных в бесконечности. Глаз наблю-
наблюдателя помещен в фокусе L2, но не рассматривает фокальную плоскость
этой линзы.
Функция линзы L2 состоит в том, что она заставляет все лучи попа-
попадать в глаз наблюдателя. Интерферирующие лучи приблизительно парал-
параллельны, т. е. мы имеем дело только с узким конусом лучей. Это приводит
к большой глубине фокуса, и интерференционные полосы не являются
строго локализованными. Если наблюдатель поместит кисточку с кра-
краской вблизи любой поверхности призмы и сфокусирует глаз на эту
поверхность, то полосы он также увидит резкими п сможет пометить те
участки поверхности, которые требуют дальнейшей обработки.
9.10, Интерферометр Тваймана — Грина можно приспособить для
проверки качества линз или систем линз (см. рис. 9.1, б). Если исследуе-
исследуемая линза Lz превращает падающую на нее плоскую волну в строго сфе-
сферическую, то помещенное в соответствующем месте выпуклое зеркало
М'3 обратит назад ход всех лучей и поле зрения будет освещено равномер-
равномерно. Метод обнаружения и устранения недостатков линз аналогичен
методу, применяемому в случае призм.
При проверке объективов микроскопа с большим увеличением возникают
трудности, связанные с изготовлением сферических зеркал достаточно малого радиуса
кривизны. Эти трудности можно преодолеть, применяя в качестве отражающих поверх-
поверхностен маленькие капельки ртути. Для капелек диаметром порядка 1 мм силы поверх-
поверхностного натяжения значительно превосходят силу тяжести, и поэтому капелька
практически будет иметь сферическую форму. Другой метод заключается в том, что
вместе с исследуемым объективом О2 использовать объектив 03 заведомо хорошего
качества (рис. 9.1 в). Эти два объектива вместе образуют телескопическую систему.
250
ГЛ. 9. ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕРФЕРОМЕТРОВ
Интерферометр можно использовать также для проверки плоскопараллельных
пластинок (см. рис. 9.1, г). Если интерференционные полосы не возникают, то вели-
величина (ц — 1) t одинакова во всех точках пластинки, но поверхности последней при
этом не обязательно плоские.
Метод Физо
9.11. Прибор, изображенный на рис. 9.5, можно использовать для
определения постоянства произведения \it для приблизительно плоско-
плоскопараллельных стеклянных пластинок. В нижней части прибора нахо-
находится черная ткань и между пучками света, отраженными от верхней
и от нижней поверхностей исследуемой пластин-
пластинки Г, наблюдается интерференция. Амплитуды
этих двух пучков приблизительно равны. Лин-
Линза L создает плоскую волну, которая падает на
исследуемую пластинку приблизительно перпен-
перпендикулярно ее поверхности. Таким образом, све-
световые лучи, попадающие в глаз наблюдателя от
любых участков пластинки, проходят через пла-
пластинку приблизительно нормально ее поверх-
поверхности. Наблюдаемые полосы являются полосами
равной толщины. Они локализованы на поверх-
поверхности пластинки (см. § 5.20), но вследствие ма-
малости размеров ^источника света область их ло-
локализации ограничена не вполне точно. Этот при-
прибор во многом напоминает упрощенный вариант
интерферометра Тваймана — Грина. Линза этого
прибора выполняет функции обоих линз Lt и L2
прибора, представленного на рис. 9.1. Так же как
и там, она не служит объективом телескопа, фоку-
фокусирующим интерференционные полосы в своей
фокальной плоскости. Принципиальная схема
прибора была впервые предложена Физо, но схе-
схема, изображенная на рис. 9.5, представляет более
современный вариант прибора.
Однородность оптического материала можно
исследовать, изготовив образец в виде плоскопа-
плоскопараллельной пластинки. При помощи интерферо-
интерферометра Тваймана — Грина определяют изменение
величины ((л — 1) t, а при помощи прибора Физо — изменение величины \хt.
Если обе эти величины известны, то можно определить изменения \i и t.
9.12. Оптическим калибром (или пробным стеклом) называется пла-
пластинка вещества, у которой одна поверхность отличается от плоской
не более чем на 0,1 длины волны *). Качество поверхности можно прове-
проверить, наблюдая полосы равной толщины (см. § 5.18), образующиеся
при наложении на исследуемую поверхность стеклянного оптического
калибра**). Цля наблюдения интерференционной картины обычно при-
Рис. 9.5. Схема интер-
интерферометра Физо.
*) У оптических поверхностей наиболее высокого класса отступления от плос-
плоскости доведены примерно до 0,01 длины волны.
**) Для проверки с помощью калибра качества поверхности с точностью до долей
длины волны (долей интерференционной полосы) между контролируемой поверх-
поверхностью и калибром искусственно создают воздушный клин (например, неравномерным
нажимом на соприкасающиеся поверхности). Тогда нарушения прямолинейности
и параллельности полос равной толщины наглядно указывают локализацию дефектов
поверхности. (Прим. ред.)
МЕТОД ФИЗО
251
меняются протяженные источники света, например свет неба или мато-
матовое стекло, освещенное светом ртутной лампы. Для выделения узкой
спектральной области используются светофильтры. При помощи такой
е)
д)
Рис. 9.6. Системы полос, полученные на интерферометре
Физо.
а — плоскопараллельные поверхности; б — плоские поверхности,
составляющие небольшой угол друг с другом; в — центральный
«холм»; г — центральная «впадина» на вершине «холма»; д — не-
небольшой «холм» или «впадина» на краю пластинки; е — «холм»
или «впадина», расположенные по диагонали пластинки.
установки легко зафиксировать отступления от плоскости, составляю-
составляющие примерно 1/20 длины волны. Некоторые типичные интерференцион-
интерференционные картины приведены на рис. 9.6.
9.13. Прибором Физо можно пользоваться и в тех случаях, когда
неудобно создавать контакт между исследуемой.и контрольной поверхно-
поверхностями. Так как полосы наблюдаются в приблизительно параллельных
лучах, эти поверхности могут отстоять на значительном расстоянии друг
от друга. Если в приборе Физо оптическим калибром служит прозрачная
стеклянная пластинка, могут наблюдаться дополнительные интерферен-
интерференционные полосы, обусловленные отражением от обеих ее поверхностей.
Эти полосы можно устранить, изготовив оптический калибр в виде клина
(тогда расстояние между дополнительными полосами будет очень мало)
или, наоборот, сделавшего строго плоскопараллельным.
9.14. Интересно рассмотреть вопрос об изготовлении оптически плоской поверх-
поверхности в отсутствие стандартного калибра. Если две стеклянные пластинкп пришлифо-
пришлифовываются и притираются друг к другу с помощью соответствующих вращательных
движений, то обычно получаются сферические поверхности, одна из которых выпукла,
а другая вогнута. Если их радиусы кривизны велики, то испытание интерференцион-
интерференционными методами покажет только, насколько хорошо обе поверхности подогнаны друг
к ДРУГУ» но не выявит их отклонения от плоскости. Поэтому обычно трп поверхности
попарно пришлифовывают друг к другу до тех пор, пока проверка интерференционным
методом не покажет, что все три возможные пары хорошо подогнаны,друг к другу.
В этом случае все три поверхности окажутся плоскими.
252 ГЛ. 9. ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕРФЕРОМЕТРОВ
Многолучевая интерференция
9.15. Метод исследования структуры поверхностей кристаллов,,
использующий многолучевую интерференцию, был сравнительно недавно
применен Толанским [9.11]. Его прибор в основном аналогичен прибору,
изображенному на рис. 9.5, но в нем обе отражающие поверхности
покрыты полупрозрачным слоем серебра. Серебро наносилось методом
напыления в вакууме. Были приняты специальные меры, обеспечиваю-
обеспечивающие строгую параллельность пучка света и его перпендикулярность
отражающим поверхностям. Одна из поверхностей является чрезвычайно
точным оптическим калибром, а вторая представляет собой естествен-
естественную поверхность кристалла, например кварца или слюды. Благодаря много-
многократным отражениям от этих поверхностей светлые интерференционные
полосы получаются более резкими, чем при обычном методе Физо. При
помощи описанной установки можно выявить отступления от плоскости,
составляющие только 30 А, причем в лучшем случае ошибка измерений
не превосходит нескольких ангстрем. Межплоскостное расстояние для
слюды составляет 20 А, и при помощи описанного выше прибора удается
обнаружить области на поверхности кристалла слюды, которые припод-
приподняты относительно основной его поверхности на высоту от 40 до 20 000 А.
Эти расстояния всегда кратны межплоскостному расстоянию. Следует
отметить, что такая высокая точность измерений возможна только в вер-
вертикальном направлении и она достигается за счет увеличения эффективной
длины пути световых лучей вследствие многократных отражений. Неко-
Некоторые картины полос, возникающих при интерференции многих пучков,
приведены на рис. И, и, к, л, м. Для сравнения там же (см. рис. II, ж, з)
приведены интерференционные полосы, полученные при использовании
обычного метода Физо (см. § 9.11).
Проверка концевых мер
9.16. Точные стандарты длины необходимы для прецизиоцного
машиностроения. Стандарты длины обычно представляют собой стальные
цилиндры, торцовые поверхности которых отполированы так, чтобы они
были строго плоскими и-параллельными друг друг. Расстояние между
торцами (концами) такого калибра должно быть известным с большой
точностью. Отсюда и их название концевые меры (плитки Иогансена),
в отличие от штриховых мер, у которых точно известно расстояние
между штрихами на их боковых поверхностях. Два или большее число
таких концевых мер можно соединить вместе при помощи процесса, назы-
называемого притиркой. Притираемые торцовые поверхности тщательно
очищают, между ними помещают тонкий слой парафина и затем их при-
прижимают друг к другу. Парафин выжимается, и поверхности приходят
в хороший контакт. Точность такого инструмента как винтовой калибр
можно проверить, измеряя им образец точно известной длины. При по-
постоянном употреблении калибры изнашиваются, и поэтому необходимо
иметь особенно точные стандарты, которые используются только для
проверки рабочих калибров. Для сравнения рабочих концевых мер со
стандартами, хранящимися в метрологических учреждениях, применяют
следующий метод, позволяющий проводить сравнение быстро и точно.
9.17. Поверхности концевых мер сначала проверяют на плоскост-
плоскостность методом, описанным в § 9.12. Если они недостаточно плоски, то
ПРОВЕРКА КОНЦЕВЫХ МЕР
253
длина концевой меры не имеет определенного значения. Если торцы кон-
концевой меры плоски, то один торец рабочей меры Т и один торец стандарта G
притирают к оптически плоской стальной плите. На их верхние торцы
накладывают оптически плоскую стеклянную пластинку (так называемое
пробное стекло) (рис. 9.7,а)*). Эта пластинка обычно опирается только
на одно ребро каждого калибра, и между ее поверхностью и поверхностью
стандарта G образуется воздушный клин. В этом случае будут наблю-
наблюдаться интерференционные полосы **), и по расстоянию между ними
можно рассчитать разность длин рабочей концевой меры и стандарта 6h.
"О*
б)
W»*
в)
Рис. 9 7. К проверке концевых мер.
Пусть число полос на единицу длины равно п, а расстояние по горизон-
горизонтали между ребрами, на которые опирается пластинка, равно L. Тогда
(9.1)
Обычно интерференционные полосы наблюдают через фильтр, который
пропускает узкую спектральную область вблизи длины волны***) 5100 А.
Если L выбрано равным 1 см, то расстояние между полосами, равное 1 см,
соответствует разности высот, составляющей приблизительно 0,00001 см.
Расстояние между полосами, меньшее 1/16 см, трудно измерять, и по-
поэтому максимальная разность высот, которую можно определить этим
методом, равна
SA=A6L) х Ю-5 = 1,6 х 10-4Z. (9.2)
Таким образом, при помощи стеклянного диска диаметром 6 см можно
определить разность высот двух концевых мер до одной 0,002 см. Боль-
Большие разности можно удобно измерять при помощи микрометрического
винтового калибра. Впрочем, современные оптиметры со щупом позво-
позволяют легко измерять длину с точностью до 0,1 мк.
*) На рис. 9.7 это стекло имеет форму диска. (Прим. ред.)
**) Интерференционные полосы будут появляться и на поверхности рабочего
калибра, но они определяют разность высот обоих калибров лишь тогда, когда поверх-
поверхности рабочего калибра строго параллельны друг другу (см. упражнение 9.2).
***) В качестве источника света обычно применяется газоразрядная трубка (напри-
fop, криптоновая) низкого давления. (Прим. ред.)
254
ГЛ. 9. ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕРФЕРОМЕТРОВ
Упражнения
9.1. Какойвид будут иметь интерференционные полосы, полученные на уста-
установке, описанной в §§ 9.16 и 9.17, если торцовые (концевые) поверхности рабочей
концевой меры плоски, но не вполне параллельны друг другу? Как будут изменяться
интерференционные полосы при вращении рабочей меры вокруг вертикальной оси?
[Полосы всегда будут иметь вид прямых линий, перпендикулярных линии макси-
максимального наклона воздушного клина. При вращении рабочей меры расстояние между
полосами будет изменяться. См. рис. 9.7, бив.]
9.2. Пусть площадь поперечного сечения стандарта и площадь рабочей концевой
меры равны 6,5 см2. Торцовые поверхности стандарта плоски и парал л ел ыш друг
ДРУГУ» а его длина равна 5 см. Торцовые поверхности рабочей концевой меры также
плоски, но не вполне параллельны друг другу, и ее максимальная длина немного
меньше длины стандарта. Оба блока притерты к оптически плоской опорной поверх-
поверхности, и расстояние между их центрами равно 5 см. На их верхние поверхности нало-
наложена плоская стеклянная пластинка. При одной ориентации рабочей меры на ее поверх-
поверхности наблюдается 8 полос на 4 см. При ее повороте на 180° на 1 см укладывается
2 полосы. В обоих случаях полосы на поверхности рабочей меры параллельны полосам
на поверхности стандарта. Какие выводы относительно рабочей меры можно сделать
из этих наблюдений? Какие дополнительные данные можно получить на основе наблю-
наблюдения полос на поверхности стандарта?
[Возможны два случая, при которых на концах рабочей меры будет наблюдаться
одинаковое число полос. В одном случае стеклянная пластинка при обоих ориентациях *
рабочей меры опирается на одно и то же ее ребро. При этом максимальная высота меры
равна 0,79996 см, а минимальная — 0,79990 см. В другом случае соответствующие-
величины равны 0,79992 и 0,79988 см. Какой именно из этих случаев наблюдается
реально, можно определить на основе наблюдения полос на поверхности стандарта.]
9.3. Плоская стеклянная пластинка помещена на верхнюю часть стальной поли-
полированной полоски, изогнутой под действием грузов, как показано на рис. 9.8, а„
4'
Рис. 9 8. Метод Корню для измерения модуля Юнга и коэффи-
коэффициента Пуассона,
о — схема установки; б — интерференционная картина.
В этом случае наблюдаются интерференционные полосы, изображенные на рис. 9.8, б.
Качественно выяснить вопрос о форме стальной поверхности и объяснить в общих:
чертах полученные результаты.
[См. решение к упражнению 9.4.]
9.4. Показать, что, измеряя число интерференционных полос (см. упражнение 9.3),
можно рассчитать модуль Юнга и коэффициент Пуассона для стали. Вывести соот-
соответствующие формулы.
ДВОЙНОЙ ИНТЕРФЕРОМЕТР
255
Указание. См. Champion, Davy, Properties of Matter (Blackie), 2 ed.,
стр. 76—78.
9.5. Как при помощи интерференционных методов определить отношение объемов
двух образцов, имеющих форму куба с ребром, равным приблизительно 1 см? Оценить
достижимую точность.
[0,003%, даже если измерения выполнены без специальных предосторожностей.]
9.6. Рассмотрим два блока, имеющих форму куба с длиной ребра, приблизи-
приблизительно равной 1 см, и две оптически плоские пластинки высокого качества. Диаметр
пластинок примерно равен 6 см. Как, пользуясь этими элементами, исследовать на
параллельность круглую стеклянную пластинку диаметром 2,5 см и толщиной при-
приблизительно 0,1 см?
[Сначала, применив метод, описанный в § 9.12, проверить, насколько плоска
поверхность исследуемой пластинки. Затем притереть ее и оба куба на одну оптическую
плоскость и сверху наложить вторую плоскую пластинку. Наблюдать интерферен-
интерференционные полосы в системе вторая пластинка — кубы и в системе вторая пластинка —
исследуемый образец.]
9.7. Как использовать интерференционный метод для сравнения концевой меры
длиной приблизительно 2,5 см со стандартом длиной 5 см?
[Сначала изготовить с невысокой точностью вспомогательный блок длиной 2,5 см.
Затем измерить его при помощи концевой меры длиной 2,5 см. После этого притереть
вспомогательный блок к концевой мере и сравнить получившийся (суммарный) блок
со стандартом длиной 5 см.]
Двойное интерферометр
9.18. Описанный выше метод сравнения рабочей концевой меры со стандартом
имеет тот недостаток, что для измерений необходимо притереть стандарт к опорной
плоской (обычно кварцевой) поверхности. Трудно быть уверенным, что поверхности
6)
Рис. 9.9. Двойной интерферометр.
—схема установки; б — интерференционная картина.
вполне чистые, а если это не так, то в процессе притирки могут повреждаться и стан-
стандарт, и опорная плоскость. Если даже поверхности совершенно чисты, то прп каждом
измерении неизбежен некоторый износ стандарта. Степень износа варьирует в широких
пределах, но даже при хороших условиях измерения она составляет 2,*5« 10" сие при
каждом измерении. Отсюда следует, что стандарт будет заметно поврежден после
256 ГЛ. 9. ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕРФЕРОМЕТРОВ
иятидесятикратного употребления. Это не существенно при использовании стандарта
один раз в год, но еженедельное его употребление приводит к существенному износу.
Несколько усовершенствованная модель интерферометра Тваимана — Грина позволяет
производить сравнение рабочей меры и стандарта без всякого износа их торцовых
поверхностей. Эта модифицированная схема изображена на рис. 9.9, а. Рассматривая
левую половину схемы, легко заметить, что она в основном аналогична схеме, пред-
представленной на рис. 9.1, только место призмы занимают концы рабочей меры и стан-
стандарта Jx и J&. Полосы, видимые наблюдателем, глаз которого находится в точке £,
воспроизводят рельеф торцевых поверхностей обеих мер. Торцовые плоскости при
юстировке располагают приблизительно в одной плоскости, но слегка наклоняют
друг относительно друга так, чтобы наблюдалась система параллельных полос. Для
измерений используется источник белого света, и при правильной установке компен-
компенсатора Н центральную полосу, соответствующую нулевой разности хода, можно
отличить от остальных полос. Эта полоса будет черной, так как изменения фазы при
отражении от стальной поверхности и от поверхности М2 различны. Типичный вид
полос показан на рис. 9 9, б. Относительное смещение центральных полос для обеих
мер (рабочей и стандартной) определяет расстояние между плоскостями, в которых
лежат их торцовые поверхности. Смещение на одну полосу соответствует расстоянию,
равному 1/2 X или около 2,5«10"бсл, и таким образом можно измерять смещение,
не меньшее 1/10 ширины полосы. Те же измерения повторяют для других концов
мер, не перемещая их. Разность длин мер будет равна алгебраической сумме обоих
отклонений их торцов от компланарности. На рис. 9.9 изображена модель интерферо-
интерферометра, предложенная в 1932 г. В более усовершенствованной модели используется
только один источник света, и наблюдения производятся в одной точке. Введение
дополнительных зеркал позволяет наблюдать полосы, соответствующие обоим концам
концевых мер без их перемещения. Такая модель интерферометра более компактна
и более удобна *).
9.19. Описанные выше методы позволяют исследовать качество
поверхностей и определять расстояния между плоскими поверхностями.
Однако часто приходится измерять углы между двумя поверхностями,
которые не являются приблизительно параллельными (например, углы,
приблизительно равные 90° или 45°). Углы куба можно измерить, если
притереть исследуемый куб к оптической опорной плоскости рядом со
стеклянным кубом заведомо хорошего качества и наблюдать интерферен-
интерференционные полосы. Имея в распоряжении два куба, можно провести их
взаимную проверку, приводя в контакт с оптической опорной плоскостью
соответствующие поверхности кубов. Метод измерения углов восьми-
восьмигранных призм с точностью до 0,05" описан Майкельсоном [9.2] **). Интер-
Интерференционные методы обычно не применяют для измерения углов потому,
что часто достаточная точность достигается при использовании автокол-
автоколлимационных методов. Тем не менее в лабораториях, где производится
калибровка стандартов, интерферометры находят постоянное приме-
применение.
Измерение механических смещений
9.20. Интерференционные методы применяются для измерения малых
механических смещений при изучении упругости, а также во многих
других областях физики. Одно из наиболее простых применений интер-
интерференционных методов к измерениям такого типа было предложено Физо,
который использовал прибор, изображенный на рис. 9.10, для измерения
теплового расширения очень малых образцов кристаллов. Интерферен-
Интерференционные полосы создавались в воздушном слое, образованном верхней
поверхностью исследуемого кристалла и пластинкой Р. Смещение интер-
*) Для сравнения концевых мер широко применяется также интерференционный
компаратор Кестерса (см., например, М. Ф. Романова, Интерференция света
и ее применение, ОНТИ, М.— Л., 1937). (Прим. ред.) .
**) Этими призмами пользовался Майкельсон в своих известных опытах по изме-
измерению скорости света. (Прим. ред.)
ИЗМЕРЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ И МАЛЫХ ЕГО РАЗЛИЧИЙ 257
ференционных полос при нагревании определялось разницей теплового
расширения кристалла и материала, из которого был изготовлен держа-
держатель кристалла. Если известно тепловое расширение материала держа-
держателя, то можно рассчитать расширение кристалла. Если воздушный слой
имеет форму клина, изменение длины кристалла можно определить,
наблюдая полосы в микроскоп, сфокусированный на клин, и подсчиты-
подсчитывая число полос, проходящих через крест нитей в окуляре микроскопа
при изменении температуры исследуемого образца. Иногда удобно поль-
пользоваться пластинкой со слегка сфериче-
сферической верхней поверхностью и наблюдать
кольца Ньютона. Расширение кристалла
в этом случае вызывает появление или
исчезновение колец в центре картины,
число которых может быть сосчитано.
Рис. 9.10. Метод Физо для изме-
измерения теплового расширения кри-
кристаллов.
Применение интерференционных методов
для измерения механических смещений целесооб-
целесообразно только в тех случаях, когда желаемой
точности нельзя достичь более прямыми метода-
методами. Интерференционные методы не заменяют ме-
методов, использующих зеркальные отсчетные ус-
устройства при измерении малых угловых смеще-
смещений, так как эти методы более удобны и в боль-
большинстве случаев дают достаточную точность
и чувствительность. Применение высокочувстви-
высокочувствительных методов на одном этапе эксперимента
не оправдано, если соответствующая точность не
обеспечена и на других его этапах. При исполь-
использовании интерференционных методов надо иметь уверенность, что их преимущества
не теряются вследствие нерегулярных изменений, связанных с колебаниями темпера-
температуры, вследствие механических колебаний и т. д. Обычно наиболее простые интер-
интерференционные методы имеют сравнительно узкую область применения и становятся
мало эффективными, если разность хода превосходит несколько десятков длин волн.
Например, метод сравнения концевых мер, описанный в § 9.16, становится
неприменимым, если разность их длин в 50 раз больше используемой длины волны.
Область применения интерференционных методов можно расширить за счет исполь-
использования компенсаторов (см. § 9.25), что, однако, приводит к усложнению установки.
Таким образом, интерференционные методы следует применять только в тех случаях,
когда вся установка в целом позволяет полностью использовать точность интерферен-
интерференционного метода.
Измерение показателя преломления и малых
различий в показателях преломления
9.21. Было разработано несколько интерференционных методов для
измерения показателя преломления газов и малых различий в показате-
показателях преломления жидкостей и твердых тел. Наиболее удобным и точным
прибором такого рода является рефрактометр Рэлея. На рис. 9.11, а
приведена схема этого прибора (вид сверху). Свет, выходящий из вер-
вертикальной щели Q, коллимируется линзой Lt и проходит через вертикаль-
вертикальные щелн St и 52 и труб эк Т± и Т2. В фокальной плоскости линзы L2
образуется дифракционная картина, которая наблюдается при помощи
окуляра Е.
Пусть длина каждой трубки равна t. Тогда, если между показателями
преломления веществ, заполняющих обе трубки, существует некоторая
разность Дц, то появляется разность хода As = tA\i, приводящая к сме-
смещению интерференционных полос от исходного положения, соответст-
соответствующего Aja = 0. Разность показателей преломления можно измерить
17 р. Дитчберн
258
ГЛ 9 ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕРФЕРОМЕТРОВ
или непосредственно по сдвигу полос, или, что более удобно, компенса-
компенсационным методом.
9.22. В рефрактометре Рэлея появляются дифракционные полосы
от решетки, состоящей из двух щелей. Если 2d — ширина каждой щели,
а 2е — расстояние между центрами щелей, то распределение освещенно-
освещенности в дифракционной картине можно получить, подставив в уравнение
б)
Рис. 9 И Схема рефрактометра Рэлея.
а — вид сверху, б — вид сбоку, в — компенсатор.
F.17) N = 2, 94 = 0 и 02 = 0. Интенсивность в направлении 9 опреде-
определяется следующим выражением:
(9.3)
ИЛИ
sin
( -т—^ sin 9 J
В рефрактометре, выпускаемом фирмой «Хильгер и Уаттс Лтд.» каждая
щель имеет ширину 2,5 мм, а расстояние между их центрами равно 11 мм *).
♦) В приборах, выпускаемых нашей промышленностью, расстояние между
щелями составляет 25 мм, что существенно обл^гча<т возможность раздельного введе-
введения в каждый световой пучок исследуемых веществ. (Прим. ред.)
ИЗМЕРЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ И МАЛЫХ ЕГО РАЗЛИЧИЙ 259
На рис. 9.12 показано распределение освещенности в фокальной пло-
плоскости линзы L2.
9.23. Этот прибор надежен и удобен только потому, что при его
конструировании было тщательно продумано множество вариантов деталей.
Полосы, образующиеся в фокальной плоскости L2, очень тонки. Они
рассматриваются через цилиндрическую линзу, которая представляет
собой стеклянный цилиндр диаметром 2 мм, изготовленный с высокой
степенью точности. Линза дает эффективное увеличение (в направлении,
перпендикулярном полосам), примерно равное 150. Яркость поля зрения
-2,0 -1,5 -1,0
Рис. 9.12.
при этом уменьшается в 150 раз. Но все же поле зрения остается значи-
значительно ярче, чем при использовании сферической линзы того же увеличе-
увеличения, так как в последнем случае освещенность уменьшилась бы в 22 500 раз
(т. е. в 1502 раз), но возникло бы ненужное нам увеличение интерферен-
интерференционных полос в вертикальном направлении. Это обстоятельство весьма
важно, так как количество света, проходящего через трубки, очень неве-
невелико. В приборе простой конструкции, описанной выше, используется
монохроматический свет. Показатель преломления газа можно измерить
следующим образом. Сначала откачивают обе трубки, затем постепенно
наполняют одну из них исследуемым газом и подсчитывают число интер-
интерференционных полос, проходящих через тонкую нить, помещенную в фо-
фокальной плоскости линзы L2. Этот метод держит наблюдателя в постоян-
постоянном напряжении, так как очень легко пропустить одну или несколько
тонких интерференционных полос. Кроме того, данный метод неприме-
неприменим для определения различий в показателях преломления жидкостей.
9.24. Удобство и точность измерений можно увеличить, если про-
производить подсчет полос не с помощью креста нитей, а с помощью такой
же системы интерференционных полос, как и интерференционные полосы,
образованные светом, прошедшим через трубки Tt и Т2. Схема прибора,
в котором используется этот метод, показана на рис. 9.11,6 (вид сбоку).
Два пучка света проходят ниже трубок Ti и Т2, и образуется независи-
независимая система полос. Изменяя наклон пластинки Н, можно сместить эту
систему полос в вертикальном направлении так, чтобы ее верхняя гра-
граница пришла в соприкосновение с нижней границей системы полос, обра-
образованных в результате интерференции световых пучков, прошедших
через Ti и Т2. В этом случае в полной мере используется способность
глаза фиксировать совпадение полос.
Таким образом, при измерениях показателей преломления веществ,
заполняющих трубки Ti и Т2, можно зафиксировать горизонталь-
горизонтальное смещение одной системы полос относительно другой с точностью
до 1/40 интерференционной полосы, тогда как установить крест нитей
на одну из интерференционных полос с точностью, лучшей 1/10 полосы,
невозможно.
17*
2оО ГЛ 9 ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕРФЕРОМЕТРОВ
9.25. Точность и удобство измерений возрастают при использова-
использовании компенсационного метода. В этом случае совпадение обеих систем
интерференционных полос используется в качестве нуль-индикатора
равенства оптических путей (см. ниже). Схема компенсатора в той форме,
в какой он был предложен Жаменом, представлена на рис. 9.11, в. Ком-
Компенсатор состоит из двух стеклянных пластинок, расположенных под
небольшим углом друг к другу и связанных стержнем /?, при помощи
которого вся система может вращаться как целое. При повороте стержня
вокруг его оси толщина проходимого слоя стекла для каждого пучка
изменяется, но благодаря тому, что пластинки расположены под
углом друг к другу, изменение длины оптического пути для одного пучка
несколько больше, чем для другого. Таким образом, поворот стержня
на заметный угол вызывает небольшое смещение систем полос.
Поворот компенсатора приводит также к небольшому наклону одной системы
полос относительно другой Это обстоятельство не играет роли в рефрактометре
Жамена (см § 9 29), где полосы сравнительно широки и наблюдаются с помощью
обычного окучяра В современной модели рефрактометра Рэлея ось цилиндрической
линзы расположена строго параллельно интерференционным полосам Компенсатор же
следует видоизменить таким образом, чтобы наклон полос был незаметным.
В приборе, выпускаемом фирмой Хильгер, обе пластинки очень тонки Одна
пз них неподвижна, а вторая вращается вместе со стержнем R. При небольшом пово-
повороте одной пластинки возникают достаточные разность хода и смещение полос без их
наклона Небольшой и точно воспроизводимый поворот компенсатора достигается
микрометрическим винтом, который давит на радиальный рычаг, жестко связанный
со стержнем R,
9.26. Если требуется определить показатель преломления для какой-
либо определенной длины волны, необходимо пользоваться монохромати-
монохроматическим светом. Однако в интерференционной картине, полученной в моно-
монохроматическом свете, центральную полосу нельзя отличить от соседних
полос. Поэтому, если разность хода (£Д|х) изменится на целое число длин
волн, наблюдатель может не заметить сдвига полос. В этом случае при-
применяют следующий метод. Трубки Т± и Т2 откачивают (или наполняют
известным веществом) и наблюдают интерференционную картину в белом
свете, когда видна центральная и единственная ахроматическая полоса
в каждой системе полос. Компенсатор поворачивают до тех пор, пока не
совпадут обе системы интерференционных полос в верхней и нижней
частях поля зрения. Затем белый свет заменяют монохроматическим, и
спова устраняют компенсатором небольшое расхождение в положении
обеих систем интерференционных полос. Отмечают показания на микро-
микрометрической шкале компенсатора. После этого одну из трубок заполняют
исследуемым веществом и снова производят установку компенсатора
сначала с белым, а затем с монохроматическим светом. Отмечают конеч-
конечное показание на шкале компенсатора. Разность этих двух показаний
дает величину tA\i и, следовательно, Д|л. Компенсатор градуируют при
помощи монохроматического света, отмечая изменение показаний при
смещении интерференционной картины на 1, 2, 3 и т. д. полосы. Градуи-
Градуировку можно выполнить для нескольких длин волн, расположенных
в соответствующих областях спектра.
9.27. Минимальная обнаруживаемая разность хода приблизительно
равна 1/40 X, а максимальная, еще удобная для работы разность хода —
около 200 X. Этим значениям разности хода соответствуют следующие
лредельные значения А|х:
А IX А 20(П
ДЦмин = 40 Т И ДИ'макс = —j~ •
РЕФРАКТОМЕТР ЖАМЕНА 261
При длине трубки 100 см этот прибор позволяет обнаружить разность
показателей преломления, равную 10~8; максимальная их разность, кото-
которую еще можно измерить, равна 10~4. Для трубки длиной 1 см соответст-
соответствующие величины равны 10~6 и 10~2. Описанным выше прибором пользо-
пользовался Рэлей для измерения показателей преломления благородных газов
(гелия и аргона). Минимальное измеренное отличие показателя прелом-
преломления от единицы наблюдалось у гелия. Оно составляло 3,5 «10~5 при
нормальных температуре и давлении, т. е. для Не п = 1,000035. Вели-,
чина 3,5 «10~5 лежала в рабочей области прибора.
Измерение показателя преломления можно также использовать для определения
примесей в газах, и компенсационный прибор может зафиксировать присутствие 0,01 %
водорода и 0,03% окиси углерода в воздухе. Модифицированная портативная модель
этого прибора была использована для определения содержания рудничного газа
в шахтах. Рефрактометр применяется также для измерения малых разностей показа
телей преломления растворов, что дает возможность определять различия в составах
растворов, представляющих интерес для химии или биологии. Основным фактором,
лимитирующим точность (и удобство) измерений, является трудность контроля тем-
температуры. При работе с жидкостями часто приходится ждать час или даже больше
для того, чтобы установилось температурное равновесие. Поэтому всегда желательно
выбирать наиболее короткие трубки, обеспечивающие необходимую чувствительность
9.28. Рассмотрим теперь случай, когда дисперсия исследуемого вещества отли-
отличается от дисперсии материала компенсирующих пластинок. Пусть в одной трубке
создан вакуум, а вторая заполнена веществом с показателем преломления |л; предполо-
предположим также, что разность эффективных толщин пластинок компенсатора в двух пучках
равна *', а показатель преломления пластинок равен \i'. Тогда центры систем полос,
полученных в белом свете, будут совпадать, если две группы волн, исходящие из St
и S2 соответственно, будут проходить дополнительные пути в равные отрезки времени
Это будет выполняться в том случае, если
Если
1 dp I d|i' 96
1ГЖ~^~лГ-0> (9Ь)
то соотношение (9.5) превращается в [it = \i't\ и следовательно, прибор измеряет Дц,
как и следует из простой теории. Если же левая часть (9.6) превышает kt/2, то при
измерениях в белом свете соответствующие пары полос совпадать но будут. Даже
в случае меньшей дисперсии довольно трудно с полной определенностью идентифици-
идентифицировать нулевые полосы, полученные в белом свете. Эту трудность можно преодолеть,
используя короткие трубки для определения ориентировочной величины показателя
преломления, что дает возможность установить, какие полосы, полученные в моно-
монохроматическом свете, следует привести в совпадение при использовании более длинных
трубок.
Рефрактометр Жамена
9.29. Одна из первых моделей рефрактометра Жамена представлена
на рис. 9.13. Исследуемое вещество помещают в трубку 7\, а стандарт—
в трубку Г2« Интерференционные полосы, полученные в результате нало-
наложения световых пучков, проходящих через обе трубки, наблюдают в на-
наведенную на бесконечность зрительную трубу Т. Эти полосы по существу
аналогичны полосам, описанным в § 5.32. Стеклянные пластины G{ и G2
поворачивают до совпадения направлений пучков, идущих в зрительную
тРУбу. Небольшой поворот одной из пластин вокруг горизонтальной осп
вызывает появление нужных для измерения горизонтальных интерферен-
интерференционных полос. В приборе можно использовать также компенсатор К,
описанный в § 9.25. На этом приборе можно получить более широкие
262
ГЛ 9 ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕРФЕРОМЕТРОВ
полосы, чем на рефрактометре Рэлея. Однако он дает меньшую точность,
так как в нем смещение измеряется относительно креста нитей, а не отно-
относительно другой системы интерференционных полос. Кроме того, некото-
некоторую ошибку могут вносить небольшие механические деформации деталей
прибора. В рефрактометре Рэлея почти все ошибки этого типа устранены.
6)
Рис 9 13 Схема рефрактометра Жамена
а — вид сбоку б — вид сверху
Несмотря на то, что рефрактометр Жамена уступает современным моде-
моделям рефрактометра Рэлея, на нем было получено много ценных резуль-
результатов в самых различных областях.
Упражнения
9.8. Для гелия (|х—1) = 3,5-10~5, а Д1Я аргона эта величина равна 2,8* 10~4
Как использовать рефрактометр Рэлея для определения количества гелия в смеси
аргона с гелием, содержащей от 50 до 100% аргона? Полагая, что газ находится при
нормальных давлении и температуре и что шкапа компенсатора соответствует смеще-
смещению на 200 полос, рассчитать необходимую длину трубок Оценить точность измерений
для оптимальных условий Принять X = 5000 А
[Оптимальная длина трубок равна 80 см, так как при большей ее длине невоз-
невозможно производить измерения во всей области показателей преломления Точность
измерении такова, что можно зафиксировать изменение содержания аргона в смеси
па 0,006% ]
9.9. Каково будет решение предыдущей задачи если экспериментатор распола
1<лет только 1 см3 газа при нормальных условиях?
[Так ь.ал невыгодно работать с трубкой с сечением, меньшим 0,2 см2, длину тру-
трубок следует уменьшить до 5 см При этом чувствите гъность прибора уменьшится
и можно будет определять изменение содержания аргона, примерно равное 0,1% J
9.10. Для воздуха (|х — 1) равно 2,92«10"*4, а дчя гелия эта величина равна
5,5* 10~5 Предполагается, что исследуемая проба гелия может содержать примесь
воздуха Какое минимальное количество воздуха в гелии можно определить по изме-
измерению показателя преломления«>
[Используя трубки длиной 100 см, можно обнаружить присутствие 0,005%
воздуха в гелии ]
9.11. Как можно использовать рефрактометр Рэлея для проверки пропорцио-
пропорциональности между (jji — 1) и давлением для воздуха? В какой области давлений удобно
производить измерения? Трубки какой длины целесообразно использовать?
СРАВНЕНИЕ ДЛИН ВОЛН МЕТОДОМ СОВПАДЕНИЯ 263
[ Трубка длиной 1 м обеспечит точность 0,1 % при давлении 0,05 атм; при трубке
длиной 0,5 см увеличение давления до 70 атм вызовет смещение на 200 полос. Следова-
Следовательно, такие измерения можно производить в области от 0,05 до 70 атм.]
9.12. Показатель преломления 4-процентного раствора некоторой соли равен
1,3388, а 6-процентного раствора — 1,3418; (jli — 1) изменяется в этих пределах
линейно. Необходимо определить процентное содержание растворенного вещества
с точностью ^0,001%. Как использовать для этих целей рефрактометр Рэлея и какова
должна быть длина трубки?
[Длина трубки должна равняться 1 или 2 см.]
9.13. В компенсаторе Жамена имеются две пластины каждая толщиной t, повер-
повернутые на 30' друг относительно друга. Чему равна вносимая ими разность хода, если
биссектриса угла между пластинками составляет угол 0 с направлением рабочих
световых пучков между пластинами прибора?
Измерение длин волн
9.30. Измерение длин волн спектральных линий при помощи интер-
интерферометров является таким же развитием методов, использующих для
этой цели спектрографы с дифракционной решеткой, как и применение
интерферометров для измерения концевых мер по сравнению с использо-
использованием приборов типа винтового калибра. Нетрудно измерять длины
волн большинства спектральных линий с точностью 0,05 А (Ы0~5), поль-
пользуясь спектрографом с дифракционной решеткой. Диффузные линии, слиш-
слишком размытые для того, чтобы их длину волны можно было измерить с такой
точностью на спектрограмме, полученной при помощи спектрографа с ре-
решеткой, обычно непригодны для интерферометрических измерений. Точно
так же нет никакого смысла пытаться измерить длину концевой меры
при помощи интерферометра, если микрометрические измерения показали,
что торцовые поверхности существенно непараллельны. В тех случаях,
когда следует выполнить большое число сравнительно точных измерений
длин волн спектральных линий, спектрограф с решеткой служит вполне
подходящим прибором. Интерферометры используются в следующих
случаях:
I. Для определения отношения между длиной волны некоторой спек-
спектральной линии, служащей стандартом, и длиной стандартного метра.
Сравнение можно проводить с точностью 2«10~7.
II. Для сравнения длин волн, что позволяет составить набор из
нескольких тысяч спектральных линий, служащих в качестве вторичных
стандартов. Таким способом было проведено сравнение длин волн боль-
большого числа спектральных линий железа. Результаты спектрографиче-
спектрографических измерений можно тогда относить к линиям, служащим вторичными
стандартами и расположенным вблизи неизвестной линии.
III. Для исследования тонкой структуры спектральных линий и для
измерения разности между длинами волн, равной сотым и тысячным
долям ангстрема.
Целесообразно отложить рассмотрение вопроса о сравнении стандарт-
стандартного метра с длиной волны до тех пор, пока не будут описаны технические
методы, применяемые при исследованиях, описанных в пункте II.
Сравнение длин волн методом совпадений интерференционных картин
9.31. Этот метод аналогичен известному методу сравнения периодов
двух маятников по измерению промежутка времени между последова-
последовательными моментами совпадения фаз колебаний обоих маятников. Прин-
Принцип метода уже был описан в § 4.11 в связи с вопросом о видимости полос
264 ГЛ. 9. ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕРФЕРОМЕТРОВ
интерференции в интерферометре Майкельсона, полученных с натрие-
натриевым источником света. В настоящее время для этой цели обычно исполь-
используют интерферометр Фабри — Перо и наблюдают интерференционные
полосы, соответствующие двум длинам волн. Расстояние между пласти-
пластинами интерферометра изменяют и отмечают те расстояния (еи е2 и т. д.),
которые соответствуют наиболее отчетливой интерференционной картине.
Предположим, что нам нужно определить отношение длины волны Х^
к длине волны Х2 (Х2 известно) и что интерференционная полоса т-то
порядка для %i совпадает с полосой (т + /г)-го порядка для Х2. Пусть
следующее совпадение наблюдается после прохождения через поле зре-
зрения р полос для Xt и (р + 1) полос для Х2. Измерения дают нам только
число р, а не т или п. Однако мы можем вычислить отношение Xt : Х2у
так как
= mXi = (т + ) 2, |
и, следовательно,
Х1 = *±Ц2 (9.8)
ИЛИ
Иногда подсчитывают число полос между двумя совпадениями и пользуют-
пользуются формулой (9.8). Можно также применять формулу (9.9). Тогда вместо
Xi и Х2 подставляют приближенные значения длин волн, полученные
из спектроскопических измерений. Величину (е2 — et) определяют при
помощи микрометрического устройства. При этом получается более точ-
точное значение (Xt — Х2), чем значение, принятое для расчетов. Обычно
при измерениях можно наблюдать значительное число совпадений.
В этом случае метод становится очень точным. Однако измерения весьма
трудоемки, особенно если учесть, что сравнение каждой пары длин волн
приходится производить независимо.
Сравнение длин волн методом совпадения дробных
частей порядка
9.32. Данный метод, предложенный Бенуа, основан на том же прин-
принципе, что и метод совпадений, но здесь этот принцип использован более
остроумно и изящно. Метод Бенуа основан на том обстоятельстве, что
расстояние между двумя ближайшими совпадающими штрихами на шка-
шкалах линеек, разделенных на различные отрезки, равно наименьшему
общему кратному цен делений различных шкал. Так, например, если на
трех линейках нанесены соответственно деления через 2, 3 и 5 еле и нуле-
нулевые деления линеек совмещены, то совпадения между штрихами первых
двух линеек будут наблюдаться через каждые 6 см, а между штрихами
всех трех линеек сразу только через каждые 30 см. Таким образом, совпа-
совпадения штрихов всех трех линеек будут иметь место на расстоянии 30 см
от их общего нуля, на расстоянии 60, 90, 120 см и т. д.
Пусть нам известно, что длина какого-нибудь бруска, который мы
хотим измерить, на 1 см больше, чем одна из тех длин, на которых деления
СРАВНЕНИЕ ДЛИН ВОЛН МЕТОДОМ СОВПАДЕНИЯ 265
всех трех упомянутых линеек одновременно совпадают. Но неизвестно,
какая именно эта длина. Мы должны сделать выбор между значениями
длины бруска 31, 61, 91, 121 см. Однако, если грубые измерения длины
бруска показали, что его длина равна (96±12) см, мы можем немедленно
заключить, что длина бруска равна 91 см, так как никакие другие ее
значения не будут согласовываться и с результатами грубых измерений,
и с требованием отличия длины на 1 см от значений 30, 60, 90, 120 см
и т. д.
В оптическом случае мы определяем некоторое расстояние, измеряя
величину, на которую это расстояние превосходит целое число длин
волн. Такие измерения выполняются для трех или большего числа раз-
различных длин волн, и величина оптического пути Bе) определяется из
выражения
2е = (ni + fi)Xi = (n2-U)Ъ = (изт /з)*8, (9-10)
где щ, п2 и п3 — целые числа, точные значения которых неизвестны.
Доли порядка (Д, /2 и /3) известны с точностью 2—3% от единицы. Если
значение е совершенно неизвестно, то знание величин / в уравнении (9.10)
дает нам возможность только сказать, что искомое значение е является
одним из целого ряда точно известных величин. Однако лишь одна из
этих величин достаточно хорошо согласуется с известным приближенным
значением е, и только этот выбор его возможного значения является
правильным.
9.33. Теперь опишем метод определения долей порядка интерферен-
интерференции с помощью эталона Фабри — Перо. Пусть соотношение, связываю-
связывающее расстояние между зеркалами эталона (толщину эталона) и длиной
волны Xin задается уравнением (9.10). Тогда светлые интерференционные
кольца будут наблюдаться при углах падения света на зеркала 04, 02
и т. д., определяемых соотношениями
n^i = 2е cos 04 = (nt -г /i) ^i cos 04;
(щ — 1) Xt = 2e cos 02 = (ni -f ft) Xt cos 02; (9.11)
(щ — m +1) Xt = 2e cos 0m = {ni -\ ft) Xt cos 0m. ^
Если dm — угловой диаметр т-то кольца, то для малых Qm
и следовательно,
1__L/7* _ m — m-4-l _,
Щ-tfi nl-r7l
или
(9.13)
Величину дробной доли /4 можно определить, измеряя угловые диаметры
нескольких колец (например, с т от 3 до 7) и строя график зависимости
йгш от (т — 1). Пересечение полученного графика с осью, где отложено
d^, дает величину ft *). В случае применения этого метода необходимо
прямыми вычислениями убедиться в том, что углы достаточно малы
и предположенное выше приближение для cos 0 законно.
*) Для увеличения точности значение /4 может быть рассчитано по методу наи-
наименьших квадратов.
266
ГЛ 9 ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕРФЕРОМЕТРОВ
9.34. После того, как определены величины /1? /2, /з, нужно произ-
произвести ряд измерений В качестве примера рассмотрим следующую задачу,
предложенную Чайлдсом [9.3].
При измерениях с некоторым эталоном Фабри — Перо были определены следую-
следующие доли порядков
0,20±0,03 для линии неона А, = 6096,163 А,
0,90 ±0,03 » » » ^ = 5852,488 А,
0,35 ±0,03 » » гелия Х = 5015,675 А
Измерения с микрометром дали для расстояния е значение 10,040 ± 0,005 мм Это
означает, что щ может иметь значение между числами 32 922 и 32 955 Каждое из этих
значений щ по очереди складывается с измеренным значением доли порядка /4 = 0,20
Соответствующие значения (гс2 ~^~ /г) п (пз т /з) представлены в виде таблички
Предполагаемый
порядок для
Я=6096 163 \
32922,20
32923,20
32924,20
32943,20
32944,20
32945,20
32946,20
32953,20
32954,20
32955,20
Соответствующие порядки рассчитаны для
Я,=5852 488 А
34292,95
34293,99
34295,03
34314,82
34315,87
34316,91
34317,95
34325,24
34326,28
34327,32
Я=5015 675 А
40014,37
40015,58
40016,80
40039,90
40041,11
40042,32
40043,54
40052,04
40053,26
40054,47
Среди всех значений, приведенных в таблице, только одно значение (щ ^ /4) соот-
соответствует правильным величинам всех трех долей порядков, а именно 32945,20±0,03
Соответствующая величина е равна 10,04197 ± 0,00001 чч Ближайшее значение е,
для которого в пределах ошибки получаются доли порядков 0,20, 0,90 и 0,35, равно
приблизительно 10,049 мм, что соответствует тг± = 32 968 Но это значение щ исклю-
исключено результатами «грубых» измерениями искомой длины, полученных при помощи
микрометра Есш измерения с микрометром менее точны, то необходимо определять
дробные доли порядков для 4 или 5 длин волн.
9.35. После того, как толщина эталона точно измерена этим методом,
некоторую неизвестную длину волны Хх можно найти, измеряя соответ-
соответствующую ей долю порядка fx Порядок интерференции в центре системы
колец равен приблизительно 30 000—40 000, и длина волны Кх должна
быть предварительно определена (при помощи спектрографа с решеткой)
с точностью 10 9 см и может давать целое число порядка интерференции
без всякой неопределенности. Если предварительное значение Хх опре-
определено с меньшей точностью, то необходимо начать измерения с более тон-
тонким эталоном (например, с эталоном толщиной 2 мм) и использовать полу-
полученное таким образом значение в качестве предварительного для измере-
измерений с эталоном толщиной 10 мм.
9 36. Метод совпадения дробных долей порядка позволит увечичить точность
определения длины волны с ±0,05 А до ±0,005 А Если спектра чьная гиния достаточно
узка, дальнейшего увеличения точности (до ±0,0002 А) можно достичь, применяя
эталон толщиной 100 мч Необходимо иметь в виду, что такая точность достижима
только в том случае, если поверхности эталонной пластины строго плоски и парал-
параллельны друг другу Длины волн большого числа спектральных линий можно изме-
СРАВНЕНИЕ ДЛИН ВОЛН МЕТОДОМ СОВПАДЕНИЯ
267
рить в одном опыте, если с помощью ахроматического объектива сфокусировать интер-
интерференционную картину на щель спектрографа При широкой щели спектрографа
каждая спектральная линия на спектрограмме будет представлена в виде сисъемы
коротких д>г, расстояние между которыми определяет угловой диаметр интерферен
ционных колец для различных длин волн (рис 9 14) Несколько линий известной длины
используется для определения толщины эталона а остальные можно считать неизве
стными *)
л-
Рис 9 14 Схематическое представление спектрограммы для не
скольких длин волн при фокусировке интерференционных полос,
полученных на эталоне Фабри — Перо, на щель спектрографа.
9 37. Обычно в таких опытах требуется измерить длины волн в вакууме, так как
именно эти величины представляют собой постоянные, имеющие теоретический интерес,
тогда как длины волн в воздухе мог>т изменяться от дня к дню При использовании
метода, описанного в предыдущем параграфе, измеряется отношение длин волн,
не зависящее от атмосферных условий и равное отношению длин волн в вакууме при
этом линия сравнения и измеряемая линия должны лежать в сравнительно узкой
области спектра Если же они расположены далеко друг от друга, необходимо вводить
поправку на дисперсию воздуха в условиях эксперимента Кроме того, необходимо
учесть небольшую поправку, связанную с зависимостью между изменением фазы
июи отражении и длиной световой волны (см § 5 26) Описание метода определения
этого изменения фазы было дано Чайлдсом [9 3]
Упражнения
9 14. Пусть требуется сравнить неизвестную длину волны, короче 6000 А, с дли
ной волны, точно равной 6000 А Совпадения наблюдаются при толщинах эталона
Фабри — Перо, равных 1 5, 3 и 4,5 мм Найти неизвестную длину волны
[5998 8 А ]
9 15. Известно, что длина волны некоторой спектральной линии лежит между
5990 и 5992 А Совпадения с известной длиной волны, равной 6000 А, наблюдаются
при толщинах эталона 6 и 6,4 чч однако неизвестно, являются ли эти совпадения
ближайшими Определить неизвестною длину волны
Период совпадений лежит в пределах чежду 600 и 750 2 (et — е2)-= 0,8 мм =
= 1333 длин волн Таким образоч, между двумя совпадениями, приведенными в yew-
вии, находилось еще одно совпадение Точный период совпадений равен 667 м, сгедова-
тегъно, 12~=Ш 6000 = 5991 А 1
boo J
*) Этот метод подробно обсуждался Мейснером [9 4], в статье которого содер-
содержится много интересных фотографий интерференционных колец
268 ГЛ 9 ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕРФЕРОМЕТРОВ
9.16. Известно, что длина некоторой спектральной линии лежит между 5000,0
и 5000,1 А Интерференционные полосы наблюдаются с помощью эталона Фабри —
Перо толщиной 5,0000мм Доля порядка равна 0,7 ± 0,05 Найти неизвестною длину
волны с максимальной точностью, обеспечиваемой интерферометром
[5000,07 А ]
9.17. Известно, что длины трех волн точно равны 4200, 4800 и 5000 А Толщина
некоторого эталона равна 10,000 ± 0,001 мч Доли порядков составляют 0,20, 0,0Ь
и 0,46 соответственно и определены с ошибкой ±0,05. Определить толщин} эталона
более точно
[9,99961 ± 0,00002 мч ]
В упражнениях 9 14—9 17 использованы «круглые» числа для того, чтобы чита
тель обращал основное внимание на применение методов, а не на арифметические-
расчеты, которые, однако, станет неизбежными в случае испо!ьзования реальные
чисел.
Сравнение оптических и механических эталонов длины
9.38. В настоящее время в соответствии с международным соглаше-
соглашением за эталон длины принято расстояние между двумя тонкими штри
хами, нанесенными на платиново-иридиевый стержень Х-образного сече-
сечения, температура которого равна 0° С Этот стержень называется «стан-
«стандартным метром», или просто «метром», и хранится во Франции. В различ-
различных метрологических лабораториях хранятся копии этого эталона Копии
сравнивают с эталоном при помощи высококачественных измерительных
микроскопов, и разность длин между копиями и эталоном известна с точ-
точностью до 2,5-10~5 см (см. § 9 47). После того, как стали возможны точные
интерферометрические измерения, появилась идея о сравнении длины
волны некоторой определенной спектральной линии с длиной стандарт-
стандартного метра. Первая попытка провести такое сравнение была сделана
в 1892—1895 гг Майкельсоном и Бенуа [9 5], которые использовали
для этой цели несколько видоизмененный интерферометр Маикельсона.
Они обнаружили, что отношение длины стандартного метра к длине
волны красной линии кадмия (в воздухе при аемпературе 15° С и давле-
давлении 760 мм рт ст.) равно 1 553 163,5 *) Точность этих измерении
составляла 0,5-10~6. Следующее измерение было выполнено Бенуа, Фабри
и Перо [9 6] приблизительно через 14 лет после первой попытки Для
этой цели они применили систему эаалонов Фабри — Перо Использова-
Использование многолучевого интерференционного метода, а также введение различ-
различных других технических усовершенствований позволили довести точ-
точность измерении до 0,2 -10~6. Результаты первого измерения представ-
представляют большой исторический интерес, но для практических целей более
удобен второй метод, к описанию которого мы сейчас перейдем **).
9.39. Бенуа, Фабри и Перо использовали пять эталонов Фабри —
Перо толщиной приблизительно 6,25, 12,5, 25,50 и 100 см. Разделите-
Разделителями, определяющими расстояния между пластинами интерферометров,
являлись стержни из инвара V-образного сечения. Эксперимент включал
в себя три вида измерений:
1) определение толщины самого тонкого эталона непосредственным
сравнением с длиной волны красной линии кадмия;
*) В 1957 г Генеральная конференция по мерам и весам предложила утвердить
в качестве основной спектроскопической нормали красную линию изотопа криптона
Кг§£ ХКт = 6057,8021 А, так как она имеет меньшую ширину, чем красная линия
кадмия Длина нормального метра равна теперь 1 650 763,73 А,Кг86 (Прим ред )
**) Подробное описание опыта Майкельсоиа — Бенуа приведено в статье [9 5]
(см также [9 1], стр 51) Последующие измерения описаны в других статьях
{9 7—9 9]
СРАВНЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ И МЕХАНИЧЕСКИХ ЭТАЛОНОВ ДЛИНЫ 269
2) сравнение эталонов между собой;
3) определение разности между длиной наиболее толстого эталона
и длиной стандартного метра.
Опыт проводился таким образом, чтобы заключительная серия
экспериментов выполнялась быстро и чтобы при этом не трогали уста-
установку, что существенно уменьшало ошибки, связанные с изменением тем-
температуры и атмосферного давления. Схема использованной установки
представлена на рис. 9.15. L — источник белого света, Led — кадмиевый
источник. А, В, С, D п Е — эталоны. Шестнадцать зеркал (все они обо-
обозначены номерами) обеспечивают направление светового пучка вдоль
желаемого пути. Имелась возможность удалять или вставлять любое
Рис. 9.15. Установка Бенуа, Фабри и Перо для сравнения оптических
и механических эталонов длины.
из этих зеркал без воздействий на остальные части установки и без изме-
изменения температуры. W4 и W2 — клинья (призмы) с малыми углами, Т —
зрительная труба, Af4 и М2 — микроскопы небольшого увеличения, сфо-
сфокусированные на Wi и W2. Зеркало 13 служит для направления света
от кадмиевого источника через самый тонкий эталон на зрительную
трубу; зеркала 14 и 16 направляют этот свет через W^ на Ми а зеркала
14 и 15 —- через W2 на Мг.
9.40. Сначала проводят два предварительных эксперимента. В пер-
первом из них измеряется толщина наиболее тонкого эталона в единицах длин
волн красной линии кадмия методом совпадения дробных долей порядка.
Толщина, измеренная таким образом, может оказаться отличной от тол-
толщины того же эталона во время окончательного эксперимента, так как
температуры в день предварительного и в день заключительного экспе-
экспериментов могут быть различными. Однако это изменение не превосходит
одной длины волны, и, таким образом, во время заключительного экспе-
эксперимента придется только измерить долю порядка. В другом предвари-
предварительном опыте определяют углы клиньев W^ и W2, измеряя расстояния
между интерференционными полосами, полученными в кадмиевом свете.
Оба эти опыта можно провести непосредственно на описанной установке.
но при удаленных неработающих зеркалах.
9.41. В заключительном эксперименте каждый эталон срарнивается
с соседним при помощи соответствующей системы зеркал Например,
пучок белого света может быть направлен через А, В и ТТ\, вводя зер-
зеркала 2, 2 и 3. Тогда, наблюдая интерференционные полосы (полосы
270 ГЛ 9 ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕРФЕРОМЕТРОВ
переналожения) (см. §§ 5 32 и 5.33) с помощью М4 и измеряя положение
центральной полосы, можно определить разность между толщинами А
и 2В. Таким же методом определяется разность между толщинами А
и 162?. Наблюдение интерференционных колец, полученных в кадмиевом
свете, дает розможность определить с точностью до 0,01 длины волны,
какому числу длин волн раБна толщина эталона Е. Тогда отношение
толщины эталона к длине волны будет известно с немного меньшей точ-
точностью. Заключительная операция состоит в сравнении расстояния между
пластинами эталона А с расстоянием между двумя штрихами, нанесен-
нанесенными на бросок F, изготовленный из инвара. Расстояние между штри-
штрихами предварительно сравнивают с длиной стандартного метра обычным
методом (при помощи измерительных микроскопов). Каждый из двух
микроскопов устанавливают на один из штрихов стандартного метра
и отмечают показания на шкалах микроскопов. Затем, не трогая никаких
других частей установки, метр замещают бруском F. Алгебраическая сум-
сумма расстояний, на которые необходимо передвинуть микроскопы, чтобы
установить их на штрихи на F, равна разности длин стандартного метра
и бруска F.
9.42. Сравнение F \\А при котором микроскопы сначала устанавливают на штри-
штрихи на/7, азателг на торцовые поверхности шастин эталона А, недостаточно точно из за
разяичия меток на сравниваемых объектах Поэтому при помощи измерительных
микроскопов определяют разности расстояний между штрихами на F и тонкими
линиями, нанесенными на боковые поверхности пластин эталона А Эти поверхности
отполированы и посеребрены, что дает возможность получить достаточно тонкие
линии Таким образом, этатюн А характеризуется, во-первых, «оптической длиной»,
г е расстоянием межд> его посеребренными поверхностями, а во-вторых, «механи
ческой длиной», т е расстоянием между штрихами на боковых поверхностях пластин
Разность между этими длинами определяется в вспомогательном эксперименте, в кото-
котором между пластинами этаюна сначала устанавливаются такие разделители, чтобы
расстояние между штрихами равнялось приблизительно 1 сч, а затем—приблизительно
2 сч Оптические длины ^тих двух эталонов измеряют с использованием кадмиевого
источника света П\сть оказалось, что эти длины равны N{k и N2X и что неизвестная
сумма расстояний межд\ штрихами и поверхностями равна XX На каждую пластину
наносят три метки Р, Q и R так, чтобы расстояния PQ и QR приблизительно равнялись
1 сч Малые разности
(N2+X)X-PR=a3
измеряют с помощью измерительного микроскопа
Так как PQ + QR = PR, мы имеем
2—a3 (9 14)
9.43. Таким образом, окончательный результаа дает соотношение
между длиной стандартного метра и длиной волны красной линии кад-
кадмия, излучаемой источником LCa- Ошибка интерференционного измере-
измерения соста1 ляет несколько единиц на 10~7 от измеряемой величины для
одиночного измерения. Если же окончательный результат определяется
как среднее вз нескольких измерений, то ошибку можно уменьшить до
1-Ю от измеряемой величины. Длина волны линии кадмия в сухом воз-
воздухе при нормальных условиях оказалась равной 6,4384696-Ю стан-
стандартного метра.
Разлкч1 е между результатами Бену а, Фабри и Перо и результатами
Майкельсона иБенуа состагляет4-10~7. Более ранние измерения произво-
дитгсь в Еоздухе, содержащем неопределенное количество водяного пара
Кроме того, не была достаточно точно известна температура. Обе эти
причины вполне могут объяснить различие в полученных результатах.
СОВРЕМЕННЫЕ РАБОТЫ ПО УСТАНОВЛЕНИЮ СТАНДАРТА ДЛИНЫ 271
Современные работы по установлению стандарта длины
9.44. В дальнейшем были выполнены два определения соотношения
между длиной волны красной линии кадмия и длиной стандартного метра.
белый
Штпрдтебой
лампы
Рис 9.16. Установка Сирса и Баррелла.
а — общий вид схемы, б — эталон.
Измерения были проведены Ватанабе и Имайзуми [9.7] в Японии и Сир-
сом и Барреллом [9.8, 9.9] в Англии в Национальной физической лабора-
лаборатории. Все четыре эксперимента дали следующие значения для длины
волны красной линии кадмия (в сухом воздухе при 15° С и 760 мм рт. ст.):
Майкельсон и Бенуа A895)*) .... 6448,4691-.10~ю м
Бенуа, Фабри и Перо A906) 6438,4703- 10-ю м
Ватанабе и Имайзуми A928) 6438,4682- 10-ю м
Сире и Баррелл A934) 6438,4708- 10-ю м
Среднее
6438,4696.10-ю м
*) Значение, полученное Майкельсоном, было исправлено путем \ ч* та наиболее
точной оценки содержания в воздухе паров воды и СО2.
272 ГЛ 9 ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕРФЕРОМЕТРОВ
Максимальное отклонение результатов всех четырех независимых
определений от среднего составляет только 2,2-10 от измеряемой вели-
величины. Эти отклонения лежат в пределах различий длин существующих
копий эталонного метра.
9.45. Измерения, проведенные японскими учеными, были выполнены
на установке, в основных чертах совпадающей с установкой Бенуа, Фабри
и Неро. Эксперимент, проделанный в Национальной физической лабора-
лаборатории, был основан на аналогичном принципе, но было введено значитель-
значительное число технических усовершенствований (особенно в оптической части
установки), что дало возможность существенно повысить точность изме-
измерении. Сире и Баррелл использовали только три последовательных срав-
сравнения. Толщины их вспомогательных эталонов составляли 1/9 и 1/3
толщины эталона, который сравнивали со стандартным метром *). Срав-
Сравнение эталонов, толщины которых относились, как 3:1, производились
с помощью интерференционных полос переналожение методом, описан-
описанным в § 5 32 и не требующим использования калиброванных клиньев.
Применяемая Сирсоми Баррелл ом установка более компактна (рис. 9.16, а)
и допускает более строгий контроль темпера-
температуры (до 0,001° С). Разделители для эталонов
были изготовлены из инвара и их концы были
хромированны. Кварцевые пластины притира-
притирались к торцам разделителей, которые были
сделаны оптически плоскими. Места их соеди-
соединения не пропускали воздуха, что позволяло
создать в эталонах вакуум. Установка на па-
параллельное! ь, а также грубая регулировка
юлщины эталона, производилась с помощью
напряженных проволок из инвара, соединяю-
Рис 9 17 Х-обюазная кон ЩИХ ДВа $лаш<а «а концах 1рубки (рис. 9.16, б).
ттряя^ мрля Такие эталоны были весьма жесткими.
9.4о. Концевую меру с сечением в виде
прямоугольного креста можно было поместить
внутрь эталона наибольшей толщины (рис. 9.17). Разность между длиной
этой концевой меры и расстоянием между пластинами эталона определя-
определяли, наблюдая кольцевые интерференционные полосы в отраженном свете.
Разность между длиной измеряемой концевой меры и расстоянием между га^ри -
хами на стандартном метре определяли при помощи вспомогательной составной кон-
концевой меры Она состоит из бруска кругового сечения со строго плоскими и парал-
параллельными др\г др>гу торцами Диша бруска приблизительно на 12,5 мм меньше
длины стандартного метра Кроме того, используется два плоскопараллельных блока
толщиной 12,5 им каждый, со сторонами равными радиусу и диаметру ^бруска круго-
кругового сечения На середину грани с одной стороной 12,5 мм каждого блока наносят
тонкую черточку, параллельную длинной его стороне Затем оба блока притираются
к двум торцам брлска так, чтобы помеченные грани оказались параллельными дрлг
другу Посче этого под микроскопом несколько раз сравнивают длины полеченной
таким образом концрвои меры с длиной стандартного метра Измерения производятся
также при такой перестановке б юков, при которой их противоположные грани пооче-
реди соприкасаются с бруском Среднее из этих измерений да*т разность между длиной
стандартного метра и длиной бруска плюс почусумма толщин блоков Затем брусок
с притертым к нем> одним блоком сравнивается с измеряемой концевой мерой при
помощи прибора, в принципе эквивачентного описанному в § 9 18 Среднее из этих
измерений дает разность между длиной бруска плюс почусумма точщин блоков и дли-
длиной измеряемой концевой меры Вычитая эти результаты, получаем соотношение
*) Эталон толщиной приблизительно 1/12 м был использован в некоторых изме-
измерениях для независимого контроля.
СОВРЕМЕННЫЕ РАБОТЫ ПО УСТАНОВЛЕНИЮ СТАНДАРТА ДЛИНЫ 273
между длиной измеряемой концевой меры и длиной метра Необходимо отметить, что
в данном методе нет необходимости точно знать длины вспомогательных бруска и блока,
так как эти величины не входят в окончательный результат
9.47. Помимо определения соотношения между длиной волны в воз-
воздухе и длиной метра, Сире и Баррелл измерили также соотношение между
длиной волны в вакууме и длиной метра. Кроме того, они произвели непо-
непосредственные измерения соотношения между длиной волны и длиной
стандартного ярда. Сравнивая их результаты, можно получить очень
точное значение показателя преломления воздуха для красной линии
кадмия. Анализ найденных ими результатов показал, что основная ошиб-
ошибка при сравнении длины волны с длиной метра связана с измерениями
при помощи измерительного микроскопа. Для того чтобы провести опре-
определение метра с точностью 10~7 от измеряемой величины, необходимо
определить положение штрихов на нем с точностью до 0,25 -10~4 мм или
±0,5 X. Однако ширина штриха значительно превосходит эту величину.
При большом увеличении штрихи имеют вид широких расплывчатых
царапин. Наблюдатель стремится совместить крест нитей с точкой, кото-
которая, по его мнению, соответствует центру царапины. Такое определение
центра царапины весьма субъективно и может оказаться существенно
различным для разных групп исследователей. В опытах Сирса и Баррел-
ла определение соотношения между длиной исследуемой концевой меры
и длиной волны в вакууме производилось тремя наблюдателями. Для
этого отношения были получены следующие значения:
1552808,930
1552808,897
1552808,944
Среднее 1552808,917
Стандартное отклонение одного результата какого-либо наблюдателя
от среднего составляло 4«10"8 от измеряемой величины, а стандартное
отклонение серии оказалось меньше, чем 1»10"8 от измеряемой величины.
При сравнении длин эталонов достигнута точность такого же порядка *).
9.48. Учитывая эти результаты, следует предложить использовать
в качестве стандарта длины длину волны (в вакууме), излучаемую лампой
стандартной конструкции. Если в качестве стандарта выбрать красную
линию кадмия **), то можно применить лампу довольно простой кон-
конструкции. Лампы, изготовленные определенным стандартным образом
(с довольно широкими допусками), излучают одну и ту же длину волны
с точностью до нескольких единиц на 10~8 от измеряемой величины. Воз-
Возможно, дальнейшие исследования условий возбуждения позволят изго-
изготовлять стандартные лампы, в которых излучаемая длина волны в
*) В таком кратком обзоре можно дать читателю лишь общее представление
о той изобретательности и тех предосторожностях, которые дали возможность полу-
получить такой результат Оригинальные работы заслуживают специального изучения
Большой интерес представляет как изложенный в них фактический материал, так
и метод его изложения (см [9 8])
**) Выбранная линия не должна обладать сверхтонкой структурой (см § 9 50)
и должна иметь незначительное допплеровское уширение (см § 4 25) Посчеднее
условие наводит на мысль об использовании для этой цели такого тяжелого эчемента
как рт>ть (см уравнение D 23)), но природная ртуть состоит из нескольких изотопов
и ее спектральные линии обладают весьма сложной сверхтонкой структлрон Л1ожно
использовать изотоп ртути Hg198, полученный из золота в результате ядерных превра-
превращений Он дает очень узкие линии, одна из которых, возможно, б>дет испочьзована
в качестве стандарта длины
18 р Дитчберн
2/4 ГЛ. 9. ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕРФЕРОМЕТРОВ
вакууме будет постоянной для различных образцов с точностью, не меньшей
1-10"8 от измеряемой величины. В этом случае «метр» будет определен
как 1 552 734,52 (или некоторое другое аналогичное число) длин волн
света, а не как расстояние между двумя штрихами, нанесенными на
бруске.
9.49. Даже в том случае, если длина световой волны будет выбрана
в качестве первичного стандарта длины, все равно останется необходи-
необходимость в вспомогательных механических стандартах. Очевидно, жела-
желательно иметь в качестве таких стандартов концевые меры, а не штриховые
стандарты.
С исторической точки зрения интересно отметить, что первые эталоны длины
были концевыми мерами. Когда были введены современный «стандартный ярд»
и «международный прототип метра», штриховые стандарты можно было изготовлять
более точно, чем концевые стандарты, и их было легче сравнивать. Современная тех-
техника позволила усовершенствовать изготовление концевых мер, и в настоящее время
мы в состоянии изготовлять их с высокой точностью, а точность сравнения концевых
мер интерференционным методом значительно превосходит точность сравнения штри-
штриховых стандартов. Концевые меры более удобны в производственной практике, а также
для непосредственного сравнения с длиной световой волны. Все эти соображения
заставляют отдать предпочтение концевым мерам.
Исследование сверхтонкой структуры спектральных линий
9.50. Применение интерферометров показало, что большинство спек-
спектральных линий, которые кажутся одиночными при их исследовании
с помощью призменных спектрографов или спектрографов с дифракцион-
дифракционными решетками, можно разрешить на несколько компонент с расстоя-
расстоянием между ними, равными нескольким сотым или тысячным ангстрема.
Эта, так называемая сверхтонкая структура представляет большой
интерес для физика-теоретика, который на основе точных данных о числе
и интенсивности компонент, а также о разности между их длинами волн
может получить важную информацию об атомных ядрах. Практическая
сторона вопроса включает в себя два важных аспекта: а) изготовление
интерферометров, обладающих достаточной разрешающей силой для
разрешения компонент, и б) изготовление вспомогательных приборов,
устраняющих ошибки, которые могут возникнуть вследствие перекры-
перекрывания порядков интерференции.
Изготовление интерферометров, обладающих достаточной разрешаю-
разрешающей силой, не встречает серьезных трудностей. Увеличивая расстояние
между зеркалами в интерферометрах Майкельсона или Фабри — Перо,
можно достичь любой разрешающей силы. Однако при увеличении раз-
разрешающей силы только за счет увеличения разности хода пропорцио-
пропорционально увеличивается перекрывание порядков интерференции. Если
АКА — максимальный интервал длин волн, при работе с которым еще
не происходит перекрывание порядков, a AXR — разность длин волн двух
еще разрешаемых компонент, то величина AKA/AkR должна быть сделана
максимально большой.
9.51. Эшелон, имеющий N ступенек, дает N пучков света равной
интенсивности, фазы которых изменяются в арифметической прогрессии.
Векторная диаграмма для расчета результирующей амплитуды приведена
на рис. 3.2, а. Предположим, что для нормального падения и отражения
света эшелон дает максимальную амплитуду для некоторой длины волны Я.
Для этой длины волны векторная диаграмма представляет собой прямую
линию. Рассмотрим, что произойдет, если длина волны немного увели-
ИССЛЕДОВАНИЕ СВЕРХТОНКОЙ СТРУКТУРЫ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ 275
чится. В этом случае каждый элемент векторной диаграммы повернется
по отношению к соседнему, образуя векторный многоугольник. Для
длины волны, которая будет находиться на пределе разрешения по отно-
отношению к Я, векторная диаграмма будет иметь вид замкнутого правиль-
правильного многоугольника. Каждый элемент диаграммы будет повернут на
угол 2л IN по отношению к соседнему. При дальнейшем увеличении длины
волны наступит такой момент, когда каждый элемент повернется на угол
2я по отношению к соседнему. Векторная диаграмма опять превратится
в прямую линию, что будет соответствовать главному максимуму на
единицу меньшего порядка, чем для меньшей длины волны Я. Если раз-
разность длин волн мала, то отношение двух разностей длин волн будет
равно отношению углов поворота векторов на векторной диаграмме, т. е.
9.52. Выше было показано (см. § 8.10), что разрешающая сила при-
приборов этого типа пропорциональна произведению порядка интерферен-
интерференции (т) на число пучков (N). Только что мы убедились, что отношение
области дисперсии к пределу разрешения определяется только числом
пучков. Аналогичные соображения применимы также к эталону Фабри —
Перо и к пластинке Люммера — Герке, хотя в этом случае вопрос не-
несколько сложнее ввиду различия амплитуд в пучках. В § 8.18 было пока-
показано, что для эталона Фабри — Перо и пластинки Люммера — Герке
можно рассчитать «эквивалентное число» пучков равной интенсивности.
Оно оказалось приблизительно равным 30—50. Таким образом, величины
отношения AXA/KXR для этих приборов и для эшелона с 40 ступеньками
примерно одинаковы. В интерферометре Майкельсона интерферирует
всего два пучка, и поэтому его применение с этой точки зрения невыгодно.
У дифракционной решетки это отношение гораздо больше, чем у любого
интерферометра, но ее нельзя применить для описанной выше цели ввиду
недостаточной разрешающей силы.
Хаустон [9.10] использовал систему из двух эталонов Фабри — Перо
для того, чтобы получить высокую разрешающую силу при хорошем раз-
разделении порядков интерференции. В одном из эталонов расстояние между
зеркалами равнялось 3 мм, во втором 9 мм. Каждый третий максимум,
создаваемый вторым эталоном, совпадал с максимумом первого эталона.
Только эти максимумы имели достаточную интенсивность в общей интер-
интерференционной картине. Хаустон показал, что в такой установке разрешаю-
разрешающая сила несколько выше, чем у второго эталона, а область дисперсии
равна области дисперсии меньшего эталона. Однако такая установка
обладает двумя недостатками: а) большая потеря света из-за прохожде-
прохождения светового пучка через 4 серебряные пленки и б) мешающие макси-
максимумы не полностью устранены, а только весьма ослаблены. Последнее
обстоятельство может замаскировать присутствие слабых сателлитов.
Вспомогательные приборы
9.53. Иногда можно выделить изучаемую линию с помощью светофильтра. Наи-
Наиболее сильные линии многих элементов выделяются именно этим путем. Обычно при-
приходится использовать такие диспергирующие устройства, как призма или дифракцион-
дифракционная решетка. При этом дополнительное диспергирующее устройство можно располагать
или до, или после интерферометра. Часто применяется установка, описанная в § 9.36,
в которой интерференционная картина фокусируется на щель диспергирующего при-
прибора. Можно также поместить интерферометр внутрь спектрографа так, чтобы на него
18*
276 ГЛ 9 ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕРФЕРОМЕТРОВ
попадал приблизительно параллельный пучок света, формируемый коллиматором.
8 этой установке, обладающей специальными преимуществами при решении некоторых
вопросов, можно использовать эталон Фабри — Перо или отражательный эшелон
9.54. Выбор интерферометра для выполнения той или иной задачи частично
определяется соображениями удобства его использования и его стоимостью Стоимость
интерферометра является мерой трудности его изготовления
Во всех случаях, где это возможно, стремятся использовать эталон Фабри —
Перо Набор из трех эталонов подходящих размеров (например, 5, 20 и 50 мм) не чрез
мерно дорог Таким набором можно пользоваться для самых разнообразных задач.
Одно время казалось, что пластинка Люммера — Герке может конкурировать с этало-
эталоном Фабри — Перо, но она менее удобна, требует тщательной установки и очень
строгого температурного контроля Для слабых источников света отражательный
-эшелон обладает некоторыми преимуществами, однако процесс изготовления боль-
большого числа пластинок одинаковой толщины очень трудоемок и дорог
9.55. Интересно рассмотреть вопрос о той максимальной разрешающей силе,
которая может оказаться необходимой при решении тех или иных вопросов Ширины
всех компонент спектральной линии определяются а) естественным затуханием,
■б) эффектом Допплера и в) уширением, обусловленным столкновениями При обычных
условиях последние два эффекта гораздо больше влияют на ширину линии, чем есте-
естественное затухание Однако в специальных источниках света можно добиться того,
чтобы эти эффекты вызывали примерно такое же уширение, как и первый эффект
Эффект Допплера можно уменьшить, помещая источник света в жидкий воздух или
используя атомные пучки Соударения в атомном пучке весьма редки, и поэтому основ-
основной причиной уширения линий остается естественное затухание Оно соответствует
ширине линии, примерно равной 0,0005 А, и, следовательно, максимальная полезная
разрешающая сила достигает 107 Эталон Фабри — Перо с расстоянием между зерка-
зеркалами 20 сч обладает приблизительно такой же разрешающей силой Однако ни один
из существующих источников света не дает настолько узких линий, чтобы потребова-
потребовалась большая разрешающая сила
Литература
91 Williams, Applications of Interferometry, Methuen
92 Майкельсон, Исследования по оптике, ГИЗ, М —Л , б г
9 3 С h 11 d s J Sci Instr 3, 97 219 A926)
94 Meissner J О S A 31, 405 A941)
95 Michelson Benoit, Trav et Mem Bur Int des Poids et Mesures 11
A895)
9 6. Benoit, Fabry, Perot Trav et Mem Bur Int des Poids et Mesures
15 A913)
97 Watanabe, Imaizumi Proc Imp Acad (Tokio) 4 3, 51 A928)
98 Sears, Barrell, Phil Trans Roy Soc 231 75 A932)
99 Sears Barrell, Phil Trans Roy Soc 233, 143 A934)
9 10 Houston W V Phys Rev 29 478 A927)
9 11 Tolansky, Proc Roy Soc 184, 41 A945)
ГЛАВА 10
ПРИЕМНИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ
10.1. Человеческий глаз способен воспринимать электромагнитное
излучение с длинами волн, лежащими в пределах 4000—7000 А. Физиче-
Физические приборы чувствительны к электромагнитному излучению значитель-
значительно более широкого диапазона от у-лучей до радиоволн (см. рис. 1.5);
они способны также регистрировать звуковые волны и материальные ча-
частицы. Некоторые общие понятия (базирующиеся на законе сохранения
энергии и втором начале термодинамики) применимы ко всем источникам
излучения и ко всем вопросам радиационного переноса энергии. В настоя-
настоящей главе мы рассмотрим эти общие понятия в применении к обнаруже-
обнаружению излучений, лежащих в ультрафиолетовой, видимой и инфракрасной
областях электромагнитного спектра. Затем будут описаны некоторые
свойства человеческого глаза как прибора для обнаружения и анализа
световых волн. Мы рассмотрим примене-
применение физических измерений для сравнения /
различных видов освещения, а также
обсудим некоторые вопросы колориметрии.
Селективные и неселективные приемники
10.2. Пучок лучей вызывает поток
энергии через любую поверхность, пере-
пересекающую пучок. Поток энергии имеет
размерность энергия/время, т. е. размер-
размерность мощности, и поэтому он может
измеряться в ваттах. Приемником излу-
излучения называется прибор, помещаемый
в пучок излучения, который поглощает
всю или часть падающей на него энергии
п дает определенную реакцию, называе-
называемую сигналом. Если величина сигнала
зависит только от потока энергии и не за-
зависит от длины волны, то такие приемники
называются неселективными. Для примера
рассмотрим тонкую зачерненную металлическую полоску, помещенную в
пучок света (рис. 10.1). Ее температура будет расти до тех пор, пока погло-
поглощаемая из пучка энергия не станет равной энергии, теряемой вследствие
теплопроводности, конвекции и излучения. Это увеличение температуры
можно использовать для получения электрического тока, который в свою
очередь вызовет отклонение S рамки гальванометра, т. е. сигнал. Нетруд-
Нетрудно показать, что отклонение с большой степенью точности пропорцио-
пропорционально потоку энергии Р в пучке. В таком случае приемник называется
линейным, и его чувствительность г можно определить соотношением
S = rP. A0.1)
термопары
Рис 10 1 Схема
Шварца.
Размеры деталей, изображенных на
рисунке, более чем в 10 раз превосхо-
превосходят истинные 1 — зачерненная золо-
золотая фольга, 2 — спай, з — брусок Bt
из положительного термоэлектриче-
термоэлектрического материала М1} 4 — брусок В»
из отрицательного термоэлектрическо-
термоэлектрического материала М2
278 ГЛ. 10. ПРИЕМНИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ
Если площадь полоски меньше площади поперечного сечения пучка,
то Р — поток, падающий на полоску. Поэтому в некоторых случаях удобно ввести
понятие потока, приходящегося на единицу поверхности (вт/см2). Однако выше бук-
буквой Р мы обозначили полный поток энергии, который имеет размерность мощности.
10.3. Чувствительность многих приемников сильно зависит от длины
волны. Например, чувствительность фотоэлемента равна нулю для длин
волн, больших некоторой предельной длины волны (см. § 17.2), затем
достигает максимума при некоторой меньшей длине волны, а потом при
дальнейшем уменьшении длины волны снова падает вплоть до величины,
меньшей 1% от максимальной чувствительности (см. рис. 10.8). Такие
приемники называются селективными. Пусть чувствительность приемника
для длины волны X равна гя. Если приемник помещен в пучок излучения
с таким спектральным распределением, что tyxdX — поток энергии для
* 1 1
длин волн, лежащих в области от X—т>- ей, до Х+-^- dX, то общая чувстви-
чувствительность приемника г определится соотношением
Таким образом, мы определили г как сигнал на единицу потока энер-
энергии для данного приемника при заданном распределении энергии по дли-
длинам волн. $х — поток энергии в единичном интервале длин волн.
Пусть в пучок излучения помещена поверхность, коэффициент отра-
отражения которой для длины волны X равен Qk. Тогда полный коэффициент
отражения, измеренный данным приемником (т. е. отношение сигнала,
полученного от отраженного излучения, к сигналу, даваемому излуче-
излучением, падающим на отражающую поверхность), будет равен
A0.3)
Аналогичные выражения можно написать для полных коэффициентов
пропускания и рассеяния, измеренных данным приемником.
Все эти полные коэффициенты зависят от спектрального распределе-
распределения энергии в пучке излучения, от свойств фильтра или исследуемого
материала и от свойств приемника излучения*
Относительная чувствительность
10.4. Если все значения г^ умножить на постоянную величину, то
значение Q, определяемое уравнением A0.3), не изменится. То же отно-
относится и к другим коэффициентам (например, коэффициент рассеяния и
пропускания). Поэтому в приведенных выше соотношениях можно исполь-
использовать вместо гх относительную чувствительность rj, = г^/гт, где гт —
чувствительность для некоторой выбранной длины волны. Эту длину
волны удобно выбрать так, что бы она отвечала максимуму чувствитель-
чувствительности. Обычно чувствительность для этой длины волны полагают равной 1.
Тогда чувствительность для других длин волн будет выражаться дробными
числами, меньшими единицы (см. рис. 10.8).
Тепловые приемники
10.5. Тепловой приемник состоит из чувствительного элемента
(которым обычно служит зачерненная металлическая полоска, поглощаю-
поглощающая излучение) и устройства для измерения в относительных единицах
ТЕПЛОВЫЕ ПРИЕМНИКИ
279
изменения температуры этого элемента. Чувствительность теплового
приемника приблизительно постоянна в широком интервале длин волн,
и поэтому такие приемники практически неселективны. Радиационная
термопара изображена на рис. 10.1. Излучение, поглощенное зачернен-
зачерненной золотой фольгой, вызывает появление термоэлектродвижущих сил
в местах ее соединения с двумя брусочками из различных материалов
Mi и М2, которые в свою очередь в точках Bt и В2 соединены с массив-
массивными медными проволоками. Эти два соединения являются холодными
спаями термопары, и их температура практически не зависит от падаю-
падающего на термопару излучения. Теплоемкость полоски фольги должна
быть как можно меньше для того, чтобы термопара достаточно быстро
реагировала на излучение (см. § 10.9). Если брусочки коротки и толсты,
то увеличение температуры, вызванное излучением, уменьшается из-за
теплопроводности; если же они длинны и тонки, то величина электри-
электрического тока ограничена их сопротивлением. Для выбора наиболее подхо-
подходящих материалов и их оптимальных размеров были проведены многочис-
многочисленные теоретические и экспериментальные исследования.
В термопаре Шварца, изображенной на рис. 10.1, полоска фольги имела толщину
0,3 мк. Бруски были сделаны из двух различных полупроводников. Один из них был
положителен по отношению к золоту, а второй отрицателен. Поэтому их термоэлектро-
движущиеся силы суммировались. Такая термопара давала значительно большую
термо-э. д. с, чем при использовании металлических проволок. Ее недостатком
является малая стабильность полупроводниковых материалов, что требует особой
осторожности при изготовлении спаев. Все устройство было помещено в эвакуирован-
эвакуированный стеклянный кожух, снабженный флуоритовым окошком, прозрачным для излу-
излучения с длинами волн от 0,13 до 9 мк.
10.6. В болометре, впервые предложенном Ланглеем, две зачернен-
зачерненные металлические полоски включены в два соседних плеча мостика
Уитстона. Обе полоски расположены близко
друг к другу и их температуры до измерений
приблизительно равны и не подвержены влия-
влиянию конвекции. Измеряемое излучение попа-
попадает на одну полоску, но не на вторую. Изме-
Изменение сопротивления одной полоски в резуль-
результате ее нагрева вызывает разбалансировку
моста, что в свою очередь ведет к отклонению
рамки гальванометра. Очень чувствительные
устройства такого типа были изготовлены
с использованием сплава, температура кото-
которого в начале измерений была немного ниже
точки перехода сплава в сверхпроводящее со-
состояние [10.1].
10.7. Третий тип теплового приемника,
известного как приемник Голея, показан на
рис. 10.2. Излучение, поглощенное в пленке А,
вызывает повышение температуры в простран-
пространстве S. Возникающее при этом изменение да-
давления газа, заполняющего это пространство,
приводит к искривлению мембраны М и к расфокусировке отраженного
от нее пучка света. Тогда пучок света проходит мимо экрана (на который
он вначале был сфокусирован) и попадает на фотоэлемент, который дает
электрический ток. Это устройство довольно хрупко, имеет простую
конструкцию и обладает высокой чувствительностью.
Рис. 10.2. Приемник Голея.
280 ГЛ. 10. ПРИЕМНИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ
Постоянная времени тепловых приемников
10.8. Усиление малой постоянной разности потенциалов, получае-
получаемой от радиационной термопары или болометра, помещенных в слабый
пучок излучения, является очень трудной задачей. Кроме того, при
работе с такими приборами трудно отделить медленные изменения темпе-
температуры от случайных шумов приемника (см. § 10.13 и гл. 20). Поэтому,
несмотря на существование усилительных устройств для усиления по-
постоянной разности потенциалов, часто удобнее модулировать измеряе-
измеряемое излучение при помощи механических прерывателей. Тогда излучение,
прошедшее через прерыватель, можно считать суммой двух компо-
компонент — постоянной и переменной (см. рис. 4.6). Основная частота
переменной компоненты будет равна удвоенной частоте прерывания
[10.1]. Периодическое изменение температуры зачерненной полоски,
на которую попадает измеряемое излучение, вызовет переменную раз-
разность потенциалов. Эта разность потенциалов затем поступает на вход
электронного усилителя *), настроенного на основную частоту. Более
высокие гармоники не дают существенного вклада в энергию модулиро-
модулированного пучка, и мы можем ими пренебречь, т. е. можем считать, что
прерыватель вызывает синусоидальное изменение энергии пучка.
10.9. Пусть 95Т — теплоемкость зачерненной полоски, которая слу-
служит чувствительным элементом теплового приемника. Предположим,
что температура полоски превышает температуру окружающей среды Т
на величину Те (Те < Т). Тогда потеря тепловой энергии полоски в еди-
единицу времени будет равна ®Те, где & — постоянная, характеризующая
теплообмен между чувствительным элементом и окружающей средой.
Величина Ш = 1/@ называется тепловым сопротивлением. В отсутствие
внешних источников тепла «избыточная» температура Те с течением вре-
времени уменьшится в соответствии с уравнением
Это уравнение аналогично уравнению, описывающему разряд кон-
конденсатора. Его решение записывается в виде
(Ю.5)
где Те @) — разность между температурой чувствительного элемента
и температурой окружающей среды в момент времени t = 0. Величина
т = Щ\ называется постоянной времени теплового приемника.
Пусть на чувствительную полоску падает излучение, в котором
поток энергии меняется по синусоидальному закону
%(t) = %oexV(iQt). A0.6)
Тогда уравнение A0.4) примет вид
Решение этого уравнения содержит экспоненциально затухающий
член, которым можно пренебречь, и синусоидальный член, равный
Тй77ехРда- A0-8а>
*) Приемник Голея имеет собственную резонансную частоту, на которую настраи-
настраивается прерыватель.
СЕЛЕКТИВНЫЕ ПРИЕМНИКИ
281
Действительная часть амплитуды равна
T I-
l eo I —
eo
T2Q2)l/2
A0.86)
При низких частотах прерывания | Тео | пропорционально 31, а при
высоких частотах пропорционально 81/тй = 1/95Й.
В табл. 10.1 приведены постоянная времени, предел чувствитель-
чувствительности (см. § 10.13) и минимальные регистрируемые мощность и поток
для различных тепловых приемников.
Таблица 10.1
Некоторые характеристики тепловых приемников
Приемник
Болометр (никеле-
(никелевая полоска)
Болометр (сверх-
(сверхпроводящий)
Термопара Швар-
Шварца
Приемник Голея
Пло-
Площадь,
6,0
1,0
1,5
10
Постоян-
Постоянная
времени,
мсек
4
0,5
8
10
Минималь-
Минимальная
регистри-
регистрируемая
мощность,
10-9 em
3,3
0,02
2
1
Минималь-
Минимальный
регистри-
регистрируемый
поток,
10-8 вт'см*
50
2
12
10
Предел
чувстви-
тель-
тельности
108 em-i
3
500
5
10
Значения, приведенные для минимальной регистрируемой мощности и чувстви-
чувствительности, соответствуют полосе пропускания шириной 1 гц (см.§ 20.21). Если
удастся использовать ширину полосы пропускания, равную 0,1 гц, то минимальная
регистрируемая мощность окажется в 3 раза меньше величин, приведенных в третьей
колонке.
Селективные приемники
10.10. В приемниках, рассмотренных выше, поглощение излучения
приводит к повышению температуры, т. е. поглощенная энергия распре-
распределяется между большим числом атомов и молекул. В селективных прием-
приемниках, к рассмотрению которых мы сейчас перейдем, поглощение одного
фотона излучения каждый раз вызывает увеличение энергии только
одного электрона. Поглощенная энергия вызывает электрический (ино-
(иногда химический) эффект, который приводит к появлению сигнала *).
Такое более прямое преобразование световой энергии в электрическую
или химическую гораздо эффективнее ее преобразования, сопровождаю-
сопровождающегося тепловыми процессами. Постоянная времени для таких приемни-
приемников не превышает 10~9 сек. По этой причине, а также по некоторым другим
чувствительность хороших селективных приемников (в области макси-
максимальной чувствительности) обычно во много раз больше чувствительно-
чувствительности тепловых приемников. Глаз, фотоэлементы с внешним фотоэффектом
и фотографическая пластинка являются селективными приемниками.
В табл. 10.2 приведены некоторые характеристики фотоэлементов.
*) Та часть поглощенной энергии, которая переходит в тепловою (например,
в результате электронных соударений), не вызывает появления сигнала.
282
ГЛ 10 ПРИЕМНИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ
Таблица 10 2
Некоторые характеристики селективных приемников
Приемник
Фотоэ1емент с внешним фото-
фотоэффектом
При 300° К
При 90° К
Фотоэлемент с внутренним
фотоэффектом
PbS при 300° К
PbS при 90° К
PbSe при 20° К
Красная
граница,
0,6
0,6
4
5
10
Темновой
ток, а
Ю-16
Ю-17
Минимальная
регистрируемая
мощность
за период, вт
Ю-15—10-16
(при 5000 А)
Ю-17
2-10-12
6-10-14
2-10-п
Чувствитель-
Чувствительность
1015 — Ю16
101?
5-ЮН
1,6-1013
5.10Ю
Примечания: 1) фотоэлементы с внутренним фотоэффектом не имеют достаточно
резкой красной границы; 2) приведенные данные относятся к площади 1 см2 и к длинам
волн, соответствующим для каждого приемника максимальной чувствительности;
3) другие характеристики приемников приведены в книге [10.1].
Фотоэлементы с внешним фотоэффектом
10.11. Простейшим селективным приемником является вакуумный
фотоэлемент (рис. 10.3). Пучок света падает на находящуюся в вакууме
поверхность из соответствующего металла и выбивает из нее электроны.
Фотона/под
Фотоэшмеш
п
II
Рис 10 3 Фотоэлемент, включен-
включенный в электрическую схему
Рис 10.4 Фотоэлектронный умножитель
Пунктиром показан путь освобожденных элект-
электронов.
Между этой поверхностью, которая является катодом, и анодом прило-
приложена разность потенциалов. Ток, текущий через фотоэлемент, усиливает-
усиливается триодом, включенным в схему, приведенную на рис. 10.3. Пучок света,
падающий на фотоэлемент, модулирован с определенной частотой.
Величина минимального регистрируемого потока ограничена в основ-
основном усилительным устройством, а не самим фотоэлементом (см. § 20.28).
В фотоэлектронных умножителях (рис. 10.4) фотоэлемент и усили-
усилительное устройство заключены в одном приборе. Электроны, выбиваемые
из фотокатода, ускоряются и попадают на металлическую пластинку. Вто-
Вторичных электронов, выбитых из этой пластинки, больше, чем падающих
ФОТОЭЛЕМЕНТЫ С ВНУТРЕННИМ ФОТОЭФФЕКТОМ 283
на нее, и возникший ток усиливают. Затем эти электроны снова уско-
ускоряют, и они снова попадают на металлическую пластинку и т. д. Ускоряю-
Ускоряющий потенциал можно подобрать таким образом, чтобы коэффициент усиле-
усиления на одном каскаде фотоумножителя приблизительно равнялся 5.
Следовательно, фотоумножитель с 10 каскадами будет иметь полный
коэффициент усиления около миллиона. Если этого усиления недоста-
недостаточно, то можно воспользоваться внешним усилительным устройством.
Единственная существенная трудность при работе с фотоумножителями
заключается в необходимости поддерживать ускоряющий потенциал
строго постоянным. График относительной чувствительности некоторых
фотоумножителей показан на рис. 10.8. Такие приборы называются
эмиссионными.
Фотоэлементы с внутренним фотоэффектом
и фотоэлементы с запирающим слоем
10.12. Внутренний фотоэффект состоит в том, что некоторые веще-
вещества под действием поглощенной энергии меняют свое электрическое
сопротивление. Это связано с тем, что, поглощая фотон, электрон пере-
переходит в свободное состояние и начи-
начинает участвовать в переносе тока.
И
Изменение сопротивления, связанное /(У) | mf-J
с этим процессом, намного больше,
чем при изменении температуры тела.
Фотопроводимостью при облучении Рис. 10.5. Фотоэлемент с запирающим
светом соответствующих длин волн слоем.
обладают многие диэлектрики и полу- £ ~а]
ПРОВОДНИКИ, Однако ЭТОТ Эффект Очень "" "водникаГГ— основание.
мал, и поэтому в видимой и ультра-
ультрафиолетовой областях спектра описанные выше фотоэлементы с внеш-
внешним фотоэффектом более эффективны. В инфракрасной области для длин
волн, больших 1,3 мк, фотоэлементы с внешним фотоэффектом практиче-
практически неприменимы (см. табл. 17.1). Тонкие пленки некоторых веществ
(особенно PbS, PbSe и РЬТе) обладают значительным внутренним фото-
фотоэффектом в области от 1 до 8 мк. Фотоэлементы с внутренним фотоэффек-
фотоэффектом, изготовленные из таких веществ, гораздо более чувствительны в этой
области спектра, чем термопары и болометры (кроме сверхпроводящего
болометра). Для наиболее эффективного использования подобных фото-
фотоэлементов их необходимо охлаждать, чтобы уменьшить темновой ток
и шумы. В настоящее время разрабатываются фотоэлементы, применимые
в области больших длин волн [10.1, 10.9].
На рис. 10.5 изображен фотоэлемент с запирающим слоем. Падаю-
Падающее на фотоэлемент излучение проходит сквозь прозрачную металличе-
металлическую пленку и попадает в слой полупроводника, нанесенный на метал-
металлическую пластинку. В качестве полупроводника часто применяется
селен. Электроны, выбитые излучением из поверхности металлической
пластинки и из полупроводника, попадают на металлическую пленку.
Между поверхностью пленки и полупроводником образуется запирающиц
слой, который легко пропускает электроны из полупроводника в пленку
и не пропускает их обратно. Поэтому между пленкой и металлической
пластинкой (основанием) возникает разность потенциалов, которая изме-
измеряется прибором, присоединенным так, как показано на рисунке. Прием-
Приемники такого типа значительно менее чувствительны, чем приемники
284 ГЛ. 10. ПРИЕМНИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ
с внешним фотоэффектом, но они прочны и не требуют никакой вспомо-
вспомогательной аппаратуры, кроме измерительного прибора. При включении
приемника в простую схему, описанную выше, показания измерительного
прибора не будут прямо пропорциональны потоку излучения. Однако
при использовании таких приемников в экспонометрах, в которых они
применяются чаще всего, нелинейность характеристики приемника дает
даже некоторые преимущества. Линейную зависимость между потоком и
сигналом можно получить, если включить приемник в специальную схему.
Минимальный регистрируемый поток
10.13. Применимость физических измерительных приборов, в том
числе приемников излучения, лимитируется небольшими случайными
флуктуациями в выходном сигнале. Некоторые из этих флуктуации
связаны с техническим несовершенством прибора. Например, неболь-
небольшие непостоянные утечки по поверхности стекла колбы фотоумножителя
могут вызвать нерегулярные движения стрелки измерительного прибора.
Такие флуктуации можно практически устранить, если приемник выпол-
выполнить достаточно тщательно и принять необходимые меры предосторожно-
предосторожности при его эксплуатации. Однако даже в этом случае чувствительный
прибор покажет наличие небольших флуктуации, называемых шумом.
Появление флуктуации этого типа, представляющих собой частный слу-
случай броуновского движения, можно объяснить, исходя из общих термо-
термодинамических соображений. Термодинамика позволяет также рассчи-
рассчитать величину связанного с ним шума в любом устройстве.
Ситуация в этом случае аналогична той, с которой мы сталкивались
в гл. 8, где было показано, что качество работы хороших оптических
приборов (свободных от аберраций) ограничено дифракцией. Точно так
же как эффект дифракции, ограничивающий полезное увеличение прибора,
уменьшается при переходе к более коротким длинам волн (например,
в электронном микроскопе), влияние флуктуации уменьшается при охлаж-
охлаждении приемника. Кроме того, конечная точность измерений возрастает
при усреднении результатов за значительный промежуток времени.
Если различение деталей изображения, полученного в оптической
системе, лимитируется дифракцией, то переход к большему увеличению
не улучшает разрешающей способности системы. Аналогично, если харак-
характеристика работы приемника ограничена тепловыми флуктуациями,
одновременное усиление сигнала и шума не даст никакой выгоды. Уве-
Увеличение чувствительности полезно только в том случае, когда при этом
возрастает отношение сигнала к шуму. Поэтому необходимо различать
два понятия: а) чувствительность, т. е. отношение сигнала к измеряе-
измеряемому потоку энергии, и б) предел чувствительности, т. е. величину, об-
обратную минимальному потоку, который можно зарегистрировать при опре-
определенных стандартных условиях наблюдения. Последняя величина в ос-
основном определяет погрешность измерений и в том случае, когда вели-
величина потока значительно превосходит предел чувствительности.
Анализ различных шумов и пределы, налагаемые ими на возможно-
возможности приемников излучения, обсуждаются в гл. 20. Эти вопросы имеют
большой теоретический интерес и очень существенны при измерениях
в инфракрасной области и в ряде других исследований. В настоящей
главе мы в основном будем иметь дело с измерениями потоков, значительно
превосходящих предел чувствительности приемника. Например, поток
излучения от 100-ваттной лампы на расстоянии 1 м от нее в 105 раз пре-
ФОТОГРАФИЧЕСКАЯ ПЛАСТИНКА
285
восходит минимальный поток, обнаруживаемый приемником Голея. Боль-
Большая часть измерений проводится с потоками энергии, значительно
превосходящими предел чувствительности.
Фотографическая пластинка
10.14. Светочувствительный слой неэкспонированной фотографиче-
фотографической пластинки содержит прозрачные зерна хлористого серебра. Дей-
Действие света на фотопластинку и последующее ее проявление приводит
к выделению металлического серебра, и поэтому некоторые зерна ста-
становятся черными. В современных мелкозернистых эмульсиях отдельные
зерна нельзя видеть невооруженным глазом, и поэтому части пластинки,
освещенные равномерно, после проявления кажутся равномерно черными.
Почернение фотопластинки можно определить количественно, измерив
отношение светового потока, прошедшего через непочерневшую часть
пластинки (/о), к световому потоку, прошедшему через ее экспонирован-
экспонированную часть (/). Величина D = \g(I0/I) называется почернением, или
оптической плотностью.
При заданном спектральном составе падающего на фотопластинку
света (например, дневной свет) почернение является функцией светового
потока Р и времени экспозиции t. Раньше
считали, что оптическая плотность пропор-
пропорциональна произведению tP (закон взаим-
взаимности). В настоящее время установлено,
что это предположение не вполне спра-
справедливо, хотя для большинства фотогра-
фотографических материалов при определенных
условиях закон взаимности выполняется
с достаточной степенью точности. Предпо-
Предположим, что D является функцией экспо-
экспозиции Е, которая в первом приближении
равна £Р,хотя, вообще говоря, она являет-
является некоторой более сложной функцией
t и Р *).
Зависимость между D и lg E в общем
случае изображается графиком, показан-
показанным на рис. 10.6. На этом графике разли-
различают три области: 1) область недодержек,
в которой свет производит очень малое
фотографическое действие, 2) прямолиней-
прямолинейный участок, или область нормальных
почернений, и 3) область передержек, в которой дальнейшее увеличение
длительности экспозиции дает малое изменение почернения или совсем
не изменяет его. В линейной области фотографическая пластинка обла-
обладает некоторыми свойствами линейного приемника излучения. Угол
наклона этого участка кривой (обычно обозначаемый через у) соответствует
чувствительности теплового приемника.
Определение минимальной экспозиции, необходимой для образова-
образования изображения, которое можно отличить от фона пластинки, во многих
случаях имеет большой практический интерес. Для измерения скоро-
скорости почернения, которая является величиной, обратной экспозиции,
V
Рис 10 6 Зависимость оптиче-
оптической плотности от экспозиции
для двух сортов фотопластинок
(а и б)
По оси абсцисс отложен логарифм
экспозиции в относительных едини-
единицах
*) Точный вид этой функции можно определить, изменяя Р н подбирая t таким
образом, чтобы D оставалось постоянным.
286 ГЛ. 10. ПРИЕМНИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ
предложено много различных методов. Скорость почернения зависит от
инерции фотоматериала i (инерцией называется отрезок, отсекаемый на
оси абсцисс продолжением прямолинейного участка кривой, выража-
выражающей зависимость почернения от \g E) и от у.
На рис. 10.7 представлен график зависимости относительной скоро-
скорости почернения от длины волны. Специально приготовленные фотографи-
фотографические пластинки могут обладать чувствительностью к излучению с дли-
длинами волн до 12 000 А в инфракрасной об-
области и с любыми длинами волн в ультра-
ультрафиолетовой области (вплоть до рентгенов-
рентгеновской области).
10.15. Нерегулярное распределение
зерен в фотографической эмульсии приво-
приводит к эффекту, аналогичному шуму в дру-
других приемниках излучения. Под действием
проявителя происходит почернение неко-
Длит бот/, А торого числа зерен даже в неэкспониро-
неэкспонированных областях пластинки. Число по-
Рис. 10.7. Зависимость скорости черневших зерен на данной площади пла-
почернения изохроматических (a) r r „
и панхроматических (б) фотопла- стинки и при данной экспозиции зависит
стинок от длины волны. от статистических флуктуации, которые
По оси ординат отложена скорость СТанОВЯТСЯ ОЧвНЬ боЛЫПИМИ При уМвНЬ-
почернения в произвольных единицах шешш площади рассматриваемых областей
пластинки. Этот «шум» ограничивает воз-
возможность фотографического воспроизведения высоких пространственных
частот, т. е. мелких деталей изображения. Он ограничивает также
предел чувствительности для фотографической пластинки как приемника
излучения. Основным преимуществом фотографической пластинки явля-
является ее способность суммировать слабое излучение в течение достаточно
большого промежутка времени (вплоть до нескольких дней).
Калибровка селективных приемников
10.16. Калибровку селективных детекторов можно проводить сле-
следующим образом. С помощью монохроматора выделяется пучок излуче-
излучения в узкой спектральной области вблизи некоторой длины волны А,.
Селективный приемник помещается на пути этого пучка, и ширина
выходной щели монохроматора (или какой-либо другой параметр, опреде-
определяющий поток энергии) регулируется таким образом, чтобы на измери-
измерительном приборе приемника получить некоторый наперед заданный от-
отсчет So. Затем поток энергии в пучке измеряется неселективным детек-
детектором. Пусть Р (А,)— общий поток энергии излучения с длиной волны А,,
дающий сигнал So. Те же процедуры повторяют для других длин волн.
Если Рт — минимальный поток энергии, дающий сигнал 50, то относи-
относительная чувствительность определится соотношением
Таким способом чувствительность для любой длины волны измеряет-
измеряется долей чувствительности для длины волны Хт, при которой чувстви-
чувствительность максимальна. Зависимости такого типа приведены на рис. 10.8
и 10.9. Если необходимо знать абсолютную чувствительность, то надо
проградуировать неселективнын приемник, посылая на него известную
ФИЗИЧЕСКАЯ ФОТОМЕТРИЯ
287
долю полного излучения тела, находящегося при данной температуре 110.1].
Для линейных приемников относительная чувствительность одинакова *)
при различных значениях So.
Описанная методика может потребовать некоторых изменений, если
селективный приемник обладает значительно большей чувствительностью*
W
0J9
Q7
2
0,7
О
100
90
80
70
60
50
40
30
20
70
0,7 QP QS
Длина боты, м/с
IP V 12
О SOOO
63Щ
Длина 0олш, А
Рис 10 8 Относительная чувствительность
фотоэлементов с внешним фотоэффектом
1 — фотокатод из Sb-Cs, II — фотокатод из
Ag-0-Cs По оси ординат отложена чувстви-
чувствительность фотоэлементов в относительных единицах
Рис 10 9 Относительная чувстви-
чувствительность фотоэлемента с запираю-
запирающим слоем
По оси ординат отложена чувствитель-
чувствительность фотоэлемента в относительных
единицах I — фотоэлемент, II — фото-
фотоэлемент со светофильтром, III — глаз
А
чем тепловой, при помощи которого он градуируется. Существует также
много иных способов градуировки фотоэлементов и других приемников.
Описанный выше метод аналогичен методу градуировки глаза человека
для целей оптических измерений.
Физическая фотометрия
10.17. При многих физических исследованиях возникает необходи-
необходимость сравнивать потоки энергии в двух пучках (Pi и jP2) с одинаковым
распределением энергии по спектру. Такие измерения можно выполнить
с точностью 1 — 2%, последовательно
определяя величины каждого потока при
помощи калиброванного приемника.
Если же необходимо знать только отно- ^~ ^Зштрмес-
шение PilPz, то подобные измерения В к ми моет
можно провести с большей точностью
одним из описанных ниже методов.
1. Каждый из пучков попадает на
один из двух одинаковых приемников
излучения, и его выходные сигналы
(в случае необходимости усиленные) поступают в электрическую мости-
ковую схему. Два сопротивления моста регулируются до балансировки
моста, и их отношение дает величину PJPz- Небольшое различие междл
приемниками легко учесть при помощи соответствующего автоматического
устройства (рис. 10.10).
Рис 10 10 Физический фотометр
с двумя приемниками А и В
*) Если кривая зависимости чувствительности приемника от ветчины сигнала
имеет одинаковую форму для рсех длин волн, то кривая зависимости относительной
чувствительности от длины волны для различных значений So одинакова
288
ГЛ 10 ПРИЕМНИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ
2. При помощи вращающегося зеркала (или какого-либо эквивалент-
эквивалентного устройства) оба пучка последовательно посылаются на один и тот
же приемник (рис. 10.11, а). Тогда даваемый приемником электрический
сигнал будет иметь постоянную компоненту и переменную составляющую,
амплитуда которой пропорциональна разности (Р4 — Р2). Затем сигнал
проходит через остро настроенный усилитель. При этом постоянную
компоненту усилитель не пропустит, а усиленная переменная компо-
компонента будет пропорциональна (Pt — P2). Затем один из пучков ослабляют
л
Рис 10 11. Схемы, иллюстрирующие методы сравнения
потоков энергии.
а — свет от источников света Si и S2 при вращении диска D
попеременно попадает на фотоэлемент, б — клин А может
перемещаться при помощи винта в направлении CD, в ре-
результате чего будет изменяться длина оптического пути пучка
света в стекле Отметим, что длина п^ти в стекле для всех
лучей пучка одинакова, и поэтому лучи не отклоняются
в известное число раз до тех пор, пока усиленный сигнал не станет мини-
минимальным. В этом случае потоки энергии в обоих пучках считаются рав-
равными, а из известного коэффициента ослабления одного из пучков нахо-
находят отношение Pi/P2.
10.18. Метод 2 более эффективен при сравнении двух слабых пучков.
Его точность лимитируется тем, что разностный сигнал регистрируется
в присутствии шумов трех типов: а) фотонного шума, связанного
с флуктуациями постоянной компоненты излучения, б) «электрического»
шума в электронной схеме и в) «случайного» шума, связанного с труд-
трудностью перехода от одного пучка к другому без их перекрывания или,
наоборот, без паузы между посылками обоих пучков на приемник *).
Влияние перечисленных выше шумов уменьшается при использова-
использовании схемы, показанной на рис. 10.11. Здесь вспомогательный пучок света,
проходя через то же прерывающее устройство, попадает на второй фото-
*) Поляризационный метод, применимый только для видимой и близкой ультра-
ультрафиолетовой областях, описан в гл. 12.
СПЕКТРОФОТОМЕТРЫ
289
элемент. Возникающие электрические импульсы так управляют усили-
усилительным устройством, что оно работает только в определенные периоды
цикла прерывания. Это дает увеличение остроты настройки и ведет к
уменьшению электрического и фотонного шумов. Используя ту же схему,
можно сделать так, чтобы усилитель не работал во время перехода от
одного пучка к другому, и тем самым устранить «случайный» шум.
Вторая практическая трудность применения метода 2 заключается
в необходимости точно изменять интенсивность одного из пучков в опре-
определенное число раз. Это можно выполнить при помощи диафрагмы с пере-
переменным отверстием, помещенной на пути параллельного пучка света,
если величина потока на единицу площади поперечного сечения пучка
постоянна по всему сечению. Другой способ состоит в применении фото-
фотометрического клина (рис. 10.11, б). Фотометрическим клином может слу-
служить клин с малым углом при вершине, изготовленный из поглощающего
стекла. Интенсивность пучка света, прошедшего через такой клин, умень-
уменьшается, причем оптическая плотность клина (см. § 10.14) линейно меняет-
меняется от одного края к другому. Удобно использовать два клина, располо-
расположенных, как показано на рис. 10.11, б, для того, чтобы устранить откло-
отклонение пучка света и получить одинаковое ослабление пучка на значитель-
значительной площади. Тогда изменение пропускания достигается перемещением
клиньев в направлениях, указанных стрелкой CD. При колориметриче-
колориметрических измерениях следует применять нейтральные фильтры, пропуска-
пропускание которых одинаково для всех длин волн видимого спектра.
Спектрофотометры
10.19. Спектральное распределение энергии в пучке излучения мож-
можно исследовать, посылая пучок на входную щель монохроматора,
на выходе которого находится неселективный приемник излучения
(рис. 10.12). Поворот диспер-
диспергирующей системы, благода-
благодаря которому последовательно
выделяются разные участки
спектра, осуществляется мо-
мотором. Тот же мотор сооб-
сообщает движение бумажной
ленте регистрирующего уст-
устройства. Таким образом,
автоматически получается
Рис 10 12 Спектрофотометр.
1 — источник света, 2 — маленькое плоское верк ало
„ Х„ ~Л— Л Л.Л 1 — источник ивета, z — маленькие шшидие «ерка.ш
График Зависимости ПОТОКа 3 __ диспергирующая призма, 4 — кювета для иссле
Энергии ОТ ДЛИНЫ ВОЛНЫ. ЭТОТ дуемого вещества, 5 — фотоэлемент
график должен быть исправ-
исправлен на различия в пропускаемости монохроматора для разных длин
волн и на зависимость чувствительности приемника от длины волны.
В видимой и ультрафиолетовой областях спектра в качестве приемника
излучения можно использовать фотоумножитель, обладающий очень
высокой чувствительностью. Тогда разрешающая способность прибора
будет в основном определяться дифракционными эффектами, рассмо-
рассмотренными в гл. 8. В инфракрасной области разрешающая способность
лимитируется тем обстоятельством, что щели монохроматора должны
быть достаточно широкими для получения сигнала заметной величины.
Поэтому для инфракрасной спектроскопии и спектрофотометрип очень
существенно иметь приемники, обладающие высокой чувствительностью.
19 р Питчбетш
290 гл. ю. приемники излучения
Абсорбционная спектрофотометрия
10.20. Спектр поглощения различных веществ (например, окрашен-
окрашенного стекла) можно исследовать при помощи установки, изображенной
на рис. 10.12. Если Ро — поток энергии в отсутствие исследуемого образца,
а Р- поток при наличии образца, то коэффициент пропускания т
определяется соотношением
т=-£. A0.10)
Эта величина удобна для характеристики свойств фильтра, но для
описания свойств вещества целесообразнее пользоваться коэффициентом
поглощения (см. § 15.5). Если q — коэффициент отражения, 2а — коэф-
коэффициент поглощения и d — толщина образца, то
т = A — eJe-2«d. A0.11)
Эта формула справедлива, если q мало или а велико, так что можно
пренебречь прошедшим излучением, испытавшим более одного отражения.
Из формулы A0.11) следует, что
2a = 4-[21og(l-Q)-logT]. A0.12)
В тех случаях, когда нельзя пренебречь светом, испытавшим два или более
отражений, результат учета многократных отражений зависит от степени плоско-
параллельности исследуемой пластинки. Если вариации толщины пластинки соста-
составляют доли длины волны, то применимы расчеты, проведенные в § 5.26, и в этом случае
будет наблюдаться полосатый спектр. Такие полосы часто наблюдаются в инфракрасной
области спектра. Для меньших длин волн видимой части спектра (если не приняты
специальные меры при изготовлении пластинки) изменения толщины пластинки по ее
площади обычно равны нескольким длинам волн. В этом случае отраженные пучки
некогерентны друг другу и основному пучку, и поэтому будут складываться их интен-
интенсивности. Полагая t = e-2adt получим
Р = Р0 A -
Следовательно, зная q и измеряя т, можно определить г и а, если графически
решить уравнение A0.13).
Большинство современных спектрофотометров является двухлучевыми приборами.
Излучение, выходящее из монохроматора, разделяется на два пучка, интенсивность
которых сравнивается с помощью двух приемников, включенных в мостовую схему,
или посредством одного приемника, на который попеременно падают оба пучка
(см. § 10.17). Затем добиваются одинаковой интенсивности обоих пучков и в один
из них вставляют исследуемый образец. При включении прибора его сервомеханизм
перемещает калиброванный фотометрический клин до тех пор, пока снова не урав-
уравняются интенсивности обоих пучков. Мотор, вращающий диспергирующую систему
монохроматора, одновременно поворачивает барабан регистрирующего устройства,
а положение пера самописца связано с положением фотометрического клина таким
образом, что на ленте самописца автоматически получается зависимость пропускания
(или логарифма пропускания) от длины волны. В настоящее время существуют при-
приборы, в которых коэффициенты пропускания для разных длин волн кодируются и нано-
наносятся на перфокарту. Затем перфокарта вкладывается в небольшой электронный при-
прибор, рассчитывающий коэффициенты поглощения и другие величины для отдельных
длин волн или строящий кривые для всего спектра. Аналогичные методы применяются
для измерения коэффициента отражения поверхности в функции длины волны.
Двухлучевые приборы имеют то преимущество, что они не требуют стабильного
источника света. Кроме того, в них автоматически устраняется влияние сильного
инфракрасного поглощения парами воды и углекислым газом атмосферы. Точность
ФОТОМЕТРИЧЕСКАЯ ШКАЛА МЕЖДУНАРОДНОЙ ОСВЕТИТЕЛЬНОЙ КОМИССИИ 291
автоматических приборов обычно хуже точности приборов с ручным управлением.
Поэтому старые методы по-прежнему используются. Однако автоматические приборы
в десять или даже в сто раз увеличивают скорость анализа, что очень существенно для
целого ряда областей исследования.
Глаз как приемник излучения
10.21. Свет, попадающий в глаз, возбуждает приемники (рецепторы),
расположенные на сетчатке; электрические импульсы по волокнам зри-
зрительного нерва поступают в мозг, где они преобразуются в зрительное
восприятие. Таким образом, глаз способен реагировать на излучение,
находящееся в определенной области спектра, и обладает некоторыми, хотя
и не всеми, свойствами физиче-
физического приемника. Пусть в про-
простом фотометре, изображенном на
рис. 10.13, две половины поля зре-
зрения освещены двумя источниками
белого света «Si и S% (каждая поло-
половина освещается одним источни-
источником); тогда, перемещая один из
источников, можно получить оди-
одинаковую освещенность обеих по-
половин поля зрения. Устанавливая
визуально равенство освещенно- - /Txts
стей несколько раз, можно у бе- РиСв 10 13. Схема визуального фотометра.
ДИТЬСЯ В ВОСПРОИЗВОДИМОСТИ ПОЛу- глаз находится на расстоянии 50 см.
чающихся результатов. При этом
равенство освещенностей полей подтвердят с точностью 1—2% и измерения,
произведенные при помощи какого-либо физического приемника. Исполь-
Используя физический приемник, так же легко найти положение одного из источ-
источников, при котором освещенность одного поля будет, например, вдвое боль-
больше освещенности другого. Выполняя такие измерения и используя в каче-
качестве приемника глаз, можно убедиться, что результаты различных опре-
определений, выполненных одним наблюдателем, или результаты, полученные
разными наблюдателями, будут очень сильно отличаться друг от друга.
Таким образом, глаз способен определять равенство освещенностей двух
полей с точностью, равной точности современных физических приемников,
но не может со сколько-нибудь хорошей точностью определять отноше-
отношение освещенностей.
Если одна половина поля зрения освещена синим светом, а вторая —
желтым, то, используя соответствующий физический приемник, можно
получить равенство сигналов. Глаз же ни при каком положении источ-
источников света не зафиксирует равенство освещенностей.
Фотометрическая шкала Международной
осветительной комиссии
10.22. Считается возможным получить кривую зависимости отно-
относительной чувствительности глаза от длины волны, основываясь только
на измерениях, связанных с установлением равенства освещенности
поля зрения. Эти измерения можно выполнить различными способами;
перечислим наиболее важные из них.
а) Одна половина фотометрического поля освещается светом с длиной
волны к, а вторая — светом с длиной волны X + ДА,, где ДА, — малая раз-
разность длин волн. В этом случае наблюдатель в состоянии фиксировать
19*
292
ГЛ. 10. ПРИЕМНИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ
равенство освещенностей полей, причем измерения разных наблюдателей
хорошо согласуются друг с другом. Потоки излучения с этими двумя
длинами волн измеряются при помощи физического приемника, и таким
образом определяется относительная чувствительность глаза для всех
длин волн. Повторяя такие измерения для других пар длин волн, можно
получить всю кривую зависимости относительной чувствительности
глаза от длины волны. Глаз обладает максимальной чувствительностью
к излучению с длиной волны 5500 А, и поэтому чувствительность для
других длин волн выражается в долях этой максимальной чувствитель-
чувствительности .
б) При помощи устройства, описанного в § 10.18, можно попере-
попеременно посылать в глаз излучение двух источников света. Если частота
замены одного излучения другим дости-
достигает достаточного значения (около 10 гц),
то глаз перестает фиксировать различие
в их цвете, даже при большой разнице
в длинах волн. При этом будет только
наблюдаться мелькание, которое исчезнет,
если источники установлены в положение,
соответствующее одинаковой субъектив-
субъективной яркости. Затем физическим приемни-
приемником измеряются потоки излучения от каж-
каждого источника и определяется относитель-
относительная чувствительность глаза для иссле-
исследуемых длин волн. Так как в этом способе
можно использовать излучения с большим
различием в длинах волн, то ошибки здесь
меньше и возможно большее число пере-
крестных измерений.
Международная осветительная комис-
сия (МОК), проанализировав результаты
многочисленных измерений, установила
стандартную кривую относительной чувствительности среднего нормаль-
нормального глаза. Эта кривая, аналогичная кривой относительной чувствитель-
чувствительности физического приемника, называется кривой видности (рис. 10.14).
Видность для малой области длин волн, лежащей вблизи длины волны Я,
обозначается Vx- Если принять такую кривую видности, то можно скон-
сконструировать физический приемник, который реагировал бы на излуче-
излучение разных длин волн так же, как и средний глаз человека. Например,
помещая перед фотоэлементом с запирающим слоем (см. рис. 10.9)
соответствующий набор цветных светофильтров, можно получить при-
прибор, для которого кривая относительной чувствительности хорошо со-
согласуется с кривой видности. Данные спектрофотометрических изме-
измерений можно использовать следующим образом.
10.23, Пусть распределение энергии по спектру двух источников
описывается функциями ^ (А,) и $2 (^)- Тогда отношение зрительных
ощущений будет равно
**(ХO** . A0.14)
Ofi tfi 0,6 0,7
Длина 00лш, м/f
Рис. 10.14. Кривая видности для
дневного (/) и сумеречного (//)
зрения.
Если коэффициент отражения некоторой поверхности для длины
волны X равен дя, то полный коэффициент отражения поверхности C,
определенный визуально для источника с распределением энергии по
ФОТОМЕТРИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОТОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 293
спектру $я» равен
J'W^fl. A0.15)
Эффективный коэффициент отражения зависит от спектрального
распределения излучения источника $я и от свойств глаза. Отметим
сходство выражений A0.15) и A0.3). Визуальный коэффициент отраже-
отражения можно получить из однократного измерения физическим приемником,
если его кривая относительной чувствительности совпадает с кривой
видности глаза.
10.24. Целесообразность введения понятия кривой видности (V%)
определяется тем, что полученные с ее помощью данные отвечают резуль-
результатам практических испытаний. Предположим, что измерения опреде-
определенным образом подобранных освещенностей, создаваемых бледно-зеле-
бледно-зеленым и бледно-желтым светом, проведенные на основе кривой видности,
показали, что эти освещенности равны. Тогда окажется, что они обеспе-
обеспечивают приблизительно одинаковый комфорт при чтении мелких текстов
или при выполнении каких-либо других операций. Определения удобства
чтения и т. д. не обладают высокой точностью, но, производя достаточно
большое число отдельных измерений, можно убедиться в их определен-
определенной достоверности. Было установлено, что кривая видности хорошо харак-
характеризует свойства глаза в широком диапазоне изменений условий наблю-
наблюдения.
Темновая адаптация
10.25. Кривая видности имеет вид, изображенный на рис. 10.14, только в опре-
определенном интервале освещенностей — от освещенности, создаваемой дневным светом,
и до освещенности, несколько превышающей создаваемую полной Луной. При очень
низких уровнях освещенности (например, освещенности, создаваемой светом звезд)
кривая видности существенно изменяется: глаз становится относительно более чув-
чувствительным к синему цвету и менее чувствительным к красному (эффект Пуркинье).
В этом случае кривая видности меняется и приобретает вид, характерный для так назы-
называемого сумеречного зрения (см. кривую//, рис. 10.14). При таких уровнях освещен-
освещенности наилучшие условия наблюдения соответствуют фиксированию глаза немного
в сторону от рассматриваемого объекта, тогда как при более высоких ее уровнях
выгоднее прямое зрение. Этот опыт, а также ряд других указывают на то, что в сет-
сетчатке глаза имеется два вида рецепторов, или приемников. Одни приемники опреде-
определяют способность глаза к различению малых различий в цвете и форме предметов при
высоких уровнях освещенности (колбочки), а вторые обеспечивают чрезвычайно боль-
большую чувствительность глаза при очень низких уровнях освещенности (палочки).
Колбочки преобладают в центре сетчатки, а палочки — на периферии.
Если глаз сразу оказывается в темноте, то его чувствительность невелика.
Однако после пребывания в темноте приблизительно в течение 10 мин чувствительность
глаза увеличивается примерно в 103 раз. Эта первая фаза адаптации связана в основном
с увеличением чувствительности колбочек. После 15 мин начинает преобладать суме-
сумеречное зрение, и после 30 мин чувствительность глаза возрастает еще в 103 раз. Глаз
способен зафиксировать очень малый поток энергии G-10~10 эрг/сек) в форме корот-
короткой вспышки зеленого света, попадающей на самую чувствительную часть сетчатки *).
Фотометрия. Определение фотометрических величин
10.26. Дадим определение четырем величинам, наиболее часто
используемым в фотометрии: потоку энергии, силе света, освещенности
и яркости источника. Эти величины уже были качественно определены
в § 2.21. Теперь определим их математически.
*) См. С. И. Вавилов, Микроструктура света, Изд-во АН СССР, 1950.
(Прим. ред.)
294 ГЛ 10 ПРИЕМНИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ
1. Поток световой энергии. Обозначение F. Единица измерения —
люмен (лм). Поток энергии в пучке света со спектральным распределе-
распределением $ а, определяется соотношением
KVxdk. A0.16)
Поюк энергии пропорционален показаниям физического приемника,
если его кривая относительной чувствительности совпадает с кривой
видности. Постоянную к мы рассмотрим ниже (см. § 10.28).
2. Сила света. Обозначение /. Единица измерения — международ-
международная свеча (ев). Сила света источника в данном направлении определяется
отношением величины потока внутри малого
телесного угла вблизи этого направления
к величине телесного угла.
Таким образом,
7-g., A0.17а)
гДе Q — телесный угол.
Если источник излучает во все стороны
равномерно, то
Рис 10 15 Ш=Г, A0.176)
где F — полный поток. Таким образом, ис-
источник, излучающий 4л лм, имеет силу света, равную 1 св.
3. Освещенность. Обозначение Е. Единица измерения — 1 лм/см2.
Освещенность в данноп точке Q измеряется величиной потока, приходя-
приходящегося на единицу поверхности, т. е.
где dS — площадь элемента поверхности вблизи точки Q.
4. Яркость источника. Обозначение В или L. Единица измерения —
1 eel см2. Яркость источника служит мерой количества света, излучае-
излучаемого поверхностью в данном направлении. Рассматривая направление,
которое составляет угол 6 с нормалью к плоской поверхности, получим
й 1 dI(Q)
где dS — площадь элемента поверхности, включающая точку Q. Таким
образом, яркостью в данном направлении называется сила света, посы-
посылаемого единицей видимой поверхности в данном направлении (рис. 10.15).
Если поверхность не плоская, то ее малый элемент можно заменить эле-
элементом касательной плоскости.
Пусть наблюдатель рассматривает точку поверхности Q (см. рис 10 15) с рас-
расстояния R, которое велико по сравнению с фокусным расстоянием глаза. Тогда пло-
площадь изображения на сетчатке малого элемента поверхности AS пропорциональна
cos 0AiS/i?2. Световой поток, поступающий в глаз, пропорционален А/ (9) a/R2, где
а — площадь зрачка глаза и Д/ @) — сила света, испускаемого элементом поверх-
поверхности AS. Следовательно, освещенность единицы поверхности изображения пропор-
пропорциональна величине
1 А/(9)
cos 9 AS
и при стремлении AS и А/ к нулю становится пропорциональной В.
ФОТОМЕТРИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОТОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
295
Субъективная яркость поверхности (вблизи точки Q) характеризует зрительное
восприятие поверхности наблюдателем. Это восприятие зависит от состояния адаптации
глаза, яркости окружающего пространства и т. д. Если иметь в виду только свет,
получаемый из ближайшей окрестности точки Q, то мерой субъективной яркости
будет яркость источника. При постоянной адаптации и одинаковых прочих условиях
две поверхности одинаковой яркости будут иметь одинаковую субъективную яркость.
Субъективная яркость поверхности не зависит от расстояния (если окружающая среда
полностью прозрачна).
10.27. Диффузно излучающей, или отражающей, поверхностью назы-
называется поверхность, для которой / @) пропорциональна cos G и, следова-
следовательно, В не зависит от направления. Такие источники называются
источниками, подчиняющимися закону Ламберта.
Поток, излучаемый элементом dS поверхности (для которой справед-
справедлив закон Ламберта), внутри конуса, ограниченного углами 0 и 8 + dQ
(см. рис. 10.15), равен
dF = 2nB sin 0 cos QdQdS.
A0.20)
Полный поток в интервале углов от 0 до 0, получаемый интегрирова-
интегрированием этого выражения, записывается в виде
FQ = 7tBds sin2 0. A0.21)
Полный поток внутри полусферы равен
F = nBds.
A0.22)
При определении силы света и яркости источника мы исходили из
того, что поток энергии внутри узкого пучка лучей пропорционален его
телесному углу и что поток, исходящий из некоторого элемента поверх-
поверхности, пропорционален площади этого элемента. Таким образом, если
телесный угол или площадь элемента равны нулю, то поток также равен
нулю; строго параллельный пучок лучей не переносит никакой энергии
и математически точечный источник не излучает никакой энергии.
В табл. 10.3 приведены соотношения двух типов — соотношения между
Таблица 10.3
Фотометрические единицы и коэффициенты пересчета
А. Единицы освещенности
Единицы
1 лм/м2 (люкс)
1 лм/см2 (фот)
1 лм/фут (фут-свеча)
1 ЛМ/М%
1,0
104
10,76
1 лм/см%
1,0
1,076-Ю-з
1 лм/футЪ
9,3-10-2
9,3-102
1,0
Б.
Единицы
*1'св/сл*2 (стильб)
1* ев/фут2
\1\лм/см2 (ламберт)
~1 [лм/фут2 (фут-ламберт)
Единицы яркости
1 св/см*
1,0
1,0-Ю-з
3,18-10-1
3,42-10-4
1 св/фут*
9,3-102
1,0
3,42-102
2,92-10-1
1 ЛМ/СМ2
3,142
3,4-Ю-з
1,0
1,1-Ю-з
1 лм/фут^
2,919-103
3,14
9,29-102
1,0
296
ГЛ. 10. ПРИЕМНИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ
различными единицами измерения освещенности и соотношения между
различными единицами измерения яркости источника. В таблице при-
приведены также названия этих единиц, так как они часто встречаются
в технической литературе, хотя многие из них уже устарели. Мы сове-
советуем читателю не пользоваться ими при расчетах, а применять их опре-
определения, смысл которых вполне очевиден (например, говорить лм/м2, а не
люкс). Для перевода единиц, стоящих в первом столбце таблицы, в еди-
единицы, указанные в первой строке, надо умножить первые на число,
стоящее на пересечении соответствующих столбца и строки (например,
I лм/м2 = 10~4 лм/см2).
Фотометрические единицы
10.28. Все четыре введенных выше определения фотометрических
величин связаны друг с другом, и следовательно, определяя единицы изме-
измерения одной из величин, мы тем самым определяем единицы измерения
других. Первоначально основной фото-
фотометрической единицей являлась единица
силы света — свеча (рис. 10.16). В настоя-
настоящее время за основную единицу прини-
принимается единица яркости источника. Свеча
определяется следующим образом: яр-
яркость полого излучателя или абсолютно
черного тела (см. § 17.27), находящегося
при температуре плавления платины, рав-
равна 60 ев/см2.
Это определение принято Междуна-
Международной осветительной комиссией (МОК),
и в принципе любая фотометрическая ла-
лаборатория может изготовить стандартный
источник *) и использовать его для срав-
сравнения с другими источниками (методом,
иллюстрируемым рис. 10.17). Для измере-
измерений, не требующих высокой точности, вмес-
вместо стандартных источников удобнее исполь-
использовать специальные электрические лампы,
служащие вторичными стандартами.
Определив свечу, можно с помощью уравнений A0.17) определить
люмен.
Если, обратившись к стандартному источнику, мы измерили поток
энергии в пучке в люменах, а ^ (в ваттах) измерено методом спектрофо-
тометрии, то можно экспериментально определить постоянную к в урав-
уравнении A0.16). Эта постоянная оказалась равной 692 лм/вт. Так как
для X = 5550 A V% = 1, то поток энергии этой длины волны, равный
1 вт, соответствует световому потоку в 692 лм. Световую эффективность
пучка излучения можно определить соотношением
Рис 10 16. Стандартный источ-
источник, применяемый при определе-
определении единицы силы света — свечи
лм em.
A0.23)
Из этого определения следует, что световой эффективностью пучка света назы-
называется отношение светового потока к излучаемой мощности Световой эффективностью 8
*) Изготовление стандартных источников представляет собой довольно слож-
сложную задачу и требует оборудования специализированных лабораторий.
ФОТОМЕТРИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
297
электрических ламп называется отношение полного светового потока к дющности,
подводимой к лампе Часть этой мощности теряется вследствие проводимости^ и кон-
конвекции, а также из за инфракрасного излучения Вольфрамовые лампы обладают
3
т
а
Рис 10 17 Сравнение вторичного стандарта с эталонным
источником света
1 — эталонный источник света, 2 — оптическая скамья з — фо-
фотометрическая головка, 4 — сравнительная лампа (вторичный
стандарт ST)
эффективностью от 12 до 20 гм/вт Более эффективны низковольтные лампы большей
мощности Эффективность люминесцентных ламп лежит в пределах от 40 до 60 лм/вт9
а натриевых ламп — от 60 до 90 лм/вт
Фотометрические измерения
10.29. Если принять введенные выше определения, то фотометриче-
фотометрические измерения и расчеты не требуют введения каких-либо новых физиче-
физических принципов. Фотометрические расчеты основаны обычно на законе
обратных квадратов. Для определения эффектив-
эффективности электрической лампы надо измерить ее пол-
полный световой поток. Это можно сделать, измерив
ее силу света по разным направлениям и проин-
проинтегрировав по всем углам. Однако более удоб-
удобно воспользоваться фотометрическим шаром
(рис. 10.18).
Фотометрический шар представляет собой
большую сферу, внутренняя поверхность которой
покрыта белой матовой краской. Исследуемый
источник света Si помещается внутрь сферы и
измеряется (в условных единицах) яркость пла-
пластинки из молочного стекла, закрывающей малое
отверстие W. После этого исследуемый источник
заменяется субстандартом ST и снова определяет-
определяется яркость. Отношение этих двух яркостей дает
отношение эффективностей источников.
Прибор, изображенный на рис. 10.19, является одним из приборов
для измерения яркости. Наблюдатель рассматривает исследуемую
поверхность (яркость которой измеряется) сквозь отверстие в экране S.
Экран освещается лампой L, свет от которой проходит сквозь окошко
из молочного стекла G. Яркость экрана S изменяется при помощи сектор-
секторного диска, меняющего площадь окошка G до тех пор, пока она не стано-
становится равной яркости исследуемой поверхности. Положение диска опре-
определяется по круговой шкале, связанной со стержнем R. Прибор калибр\ет-
ся при помощи белой поверхности, помещенной на известном расстоянии
от стандартного источника. Шкала рассчитана на диапазон 80 1
Нейтральные фильтры, помещаемые в А или (?, позволяют расширить
область измерений. При работе с цветными источниками света
Рис 10 18 Фотометри-
Фотометрический шар
Внутренняя поверхность
сферы и обе стороны по-
поверхности S покрыты бе-
белым, диффузно отражаю-
отражающим слоем
_ +0 ГЛ 10 ПРИЕМНИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ
использовать светофильтры с известным коэффициентом пропускания,
помещаемые в G.
Этот прибор позволяет непосредственно определять яркость. Если
же необходимо измерить освещенность, то поверх исследуемой поверх-
поверхности накладывают стандартную белую матовую пластинку (с точно
известным коэффициентом отражения около 97%). Затем измеряют поток,
излучаемый этой пластинкой (т. е. ее яркость). Разделив полученное
Рис 10 19 Прибор для измерения яркости.
1 — белая поверхность (экран) S, 2 — сектор, 3 — нейтральный
фильтр А 4 — нейтральные или цветные фильтры, 5 — молочное
стекло G, б — лампа L
значение яркости на коэффициент отражения пластинки, определяют
световой поток, падающий на единицу поверхности пластинки, т. е. ее
освещенность.
Вопросы освещения [10.7]
10.30. Определение фотометрических величин является существенным вопросом
при конструировании осветительных систем, но это только одна сторона всей про-
проблемы в целом Уровень освещенности, требуемый для данного вида работы, можно
найти только на основе психофизических испытаний, проведенных на большом числе
наблюдателей При освещении дорог наиболее существенно создать достаточно равно-
равномерную освещенность без излишнего слепящего действия источников света Здесь
определенное преимущество имеют ртутные лампы, которые обладают высокой эффек-
эффективностью, поэтому их можно располагать высоко над дорогой Но даже при освеще-
освещении дорог надо принимать во внимание неприятный для некоторых людей желтый
оттенок света ртутных ламп Эстетические соображения еще более существенны при
освещении цехов фабрик и заводов и жилых помещений. Слишком сильные контрасты
неприятны для глаза, однако совершенно равномерное бестеневое освещение настолько
скучно и однообразно, что его можно применять только в некоторых особых случаях
Обычно рекомендуются следующие уровни освещенности [10 7] для чтения —
160 лм/м2, дчя выполнения особенно тонких работ — около 1000 лм/и2.
Характеристика цвета
10.31. Наблюдатель с нормальным цветным зрением может фикси-
фиксировать постепенное изменение цвета от красного до фиолетового при
продвижении по спектру от 7000 до 4000 А. Для монохроматического
излучения наблюдается согласие между физической шкалой длин волн
и субъективной шкалой цветов, основанной на равенстве освещенности
полей. По ощущению два пучка света одной и той же длины волны имеют
ТРИХРОМАТИЗМ
299
одинаковый цвет, а два пучка, обладающие по субъективной оценке одним
цветом, имеют приблизительно равные длины волн.
Такое простое соответствие не наблюдается для пучков света, содер-
содержащих излучение нескольких длин волн. По ощущению два пучка света
с одинаковым спектральным распределением $я имеют один и тот же
цвет. Однако цвета двух пучков света различного спектрального состава
также могут казаться одинаковыми. Например, смесь определенных долей
зеленого и красного цветов может дать то же зрительное ощущение, что
и желтый цвет с небольшой примесью синего. Таким образом, очевидно,
что необходимо иметь какой-то иной способ характеристики цвета, кроме
указания спектрального состава. Теперь мы перейдем к описанию коли-
количественной системы характеристики цвета, основанной на измерениях
при помощи физических приемников света. Количественные характери-
характеристики двух пучков света (имеющих, вообще говоря, различный спектраль-
спектральный состав) будут равны в том и только в том случае, если для наблюда-
наблюдателя с нормальным цветным зрением их цвета одинаковы.
Трихроматизм
10.32. На рис. 10.20 схематически изображена установка для срав-
сравнения цветов. Наблюдатель рассматривает две половины поля зрения,
окруженного темным фоном. Левая половина поля зрения освещена источ-
источником света £0, а правая — двумя или несколькими источниками света
/
/лаз
Рис. 10.20. Схема колориметра для сравнения цветов.
Грани призмы ABC белые и матированные. Освещенность поверх-
поверхности ВС, создаваемая источниками Si, S* и Бз> можно варьировать
при помощи фотометрических клиньев Wu W2 и Wq. Мгтя. М2 — по-
полупрозрачные зеркала.
Si, 52,5з, ... Наблюдатель может регулировать световые потоки источ-
источников, освещающих правую часть поля зрения, до тех пор, пока освещен-
освещенности полей не станут точно одинаковыми.
Пусть правая половина поля зрения освещается светом двух источ-
источников: 1) источником белого света SE (т. е. с равномерным распределе-
распределением энергии по спектру, $я = const) и 2) источником Sm, излучение
которого проходит через монохроматор, выделяющий узкий участок
спектра (рис. 10.21). Наблюдатель имеет возможность менять световой
поток от источников Se и Sm при помощи нейтральных фотометрических
300
ГЛ. 10. ПРИЕМНИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ
клиньев (см. § 10.18 и рис. 10.11,6) We и Wm и изменять длину волны
излучения, выходящего из монохроматора. Установлено, что, располагая
этими тремя степенями свободы, наблюдатель может установить цвето-
цветовое равенство полей для большого числа цветов. Для пурпурного и неко-
некоторых других цветов добиться цветового равенства таким путем невоз-
невозможно, однако это можно сделать, добавляя в левую часть поля зрения
свет от источника Sm• Таким образом, имеем
(So) ss e (SE) + m (SM) A0.24а)
i'(SM) = e(SE), A0.246)
или
где знак «=» означает цветовое равенство полей, а символы (SE) и (Sm)
означают единичные количества света от источников SE и SM. Единицы
Монохроматор
/лаз
Рис. 10.21. Схема колориметра, в котором используется смесь
белого света с монохроматическим излучением.
измерения для SE и SM могут быть выбраны различными способами.
Если используются энергетические единицы, то уравнение A0.24а) озна-
означает: «при действии на левое поле излучения источника aSq, а на правое —
потока е вт/см2 излучения источника SE и т вт/см2 излучения ^источ-
ника SM наблюдается цветовое равенство полей».
Уравнение A0.24а) включает в себя уравнение A0.246), если счи-
считать, что т может принимать как положительные, так и отрицательные
значения.
10.33. Экспериментальные результаты, устанавливающие возмож-
возможность получения цветового равенства полей изложенным выше способом,
указывают на то, что цвет левого поля зрения можно количественно опи-
описать, производя физические измерения на правом поле зрения. Цвет мож-
можно описать следующими тремя характеристиками: 1) Яркостью, которая
равна сумме яркостей источника SE, равной е вт/см2, источника Sm,
равной т вт/см2, и рассчитана методом, описанным в § 10.22. 2) Преобла-
Преобладающей длиной волны, т. е. той длиной волны Ям, выходящей из моно-
монохроматора, при которой достигнуто цветовое равенство. 3) Колориметри-
Колориметрической чистотой, которая равна отношению яркости источника SM
АДДИТИВНОСТЬ 301
к полной яркости. Преобладающая длина волны и колориметрическая
чистота вместе создают понятие хроматичности.
Приведенные выше определения относятся к физическим измерениям,
основанным на установлении равенства цветовых ощущений. Они не вы-
выражают эстетические и эмоциональные впечатления, связанные с цветом.
Приводимые ниже определения, описывающие зрительные впечатления,
тесно связаны с соответствующими физическими измерениями. Так,
субъективная яркость связана с яркостью, оттенок связан с преобладаю-
преобладающей длиной волны, насыщенность связана с колориметрической чистотой.
Некоторые понятия (например, тон и т. д.), часто используемые худож-
художниками для выражения эстетических впечатлений, не связаны логически
друг с другом и с физическими измерениями. Слово цвет иногда приме-
применяют для характеристики оттенка или оттенка и насыщенности или
в каком-либо другом смысле.
10.34. Рассмотрим теперь несколько видоизмененный эксперимент,
в котором Si, S2nS3 (см. рис. 10.20) служат основными стимулами, причем
каждый из них характеризуется определенным спектральным распределе-
распределением. Наблюдатель может регулировать световые потоки от всех трех
источников при помощи фотометрических клиньев. Основные стимулы
могут быть различными, но один из них обязательно должен быть крас-
красным, второй синим и третий зеленым. Установлено, что равенство полей
всегда можно получить, изменяя соотношение основных стимулов в пра-
правой половине поля зрения, добавляя один из стимулов в левую половину
поля зрения и затем подбирая соотношение всех трех стимулов. Этот
результат можно записать в виде соотношения
(S) = г (SR) + g (SG) + b (SB), A0.25)
где (SR), (Sq) и (Sb) — энергетические единицы для основных стимулов,
а г, g и Ъ — числа. Одно из этих чисел может быть отрицательным.
Согласно трихроматической теории, впервые выдвинутой Юнгом,
для определения цвета необходимо и достаточно три стимула. Это являет-
является логическим следствием того экспериментального факта, что в общем
случае наблюдателю с нормальным цветным зрением требуется три сти-
стимула, взятые в определенной пропорции, чтобы получить равенство цве-
цветовых ощущений. Если цвет характеризуется тремя основными стиму-
стимулами, то описывающие его числа зависят от выбора стимулов точно так же,
как координаты точки в пространстве зависят от выбора осей координат.
Представление характеристики цвета через яркость, преобладающую
длину волны и спектральную чистоту аналогично выбору другой системы
координат (например, полярных координат) для описания положения
точки в пространстве. Никакое изменение способа характеристики цвета
не может устранить необходимость трех степеней свободы при проведе-
проведении экспериментов.
Аддитивность
10.35. Эксперименты по сравнению цветов показали, что в широком
интервале условий опыта цветовые свойства приблизительно аддитивны.
Если два случая цветового равенства описываются уравнениями типа
A0.25), то уравнения, полученные при их сложении или вычитании,
также соответствуют цветовому равенству. Умножение уравнения A0.25)
на некоторый постоянный множитель тоже дает уравнение, соответствую-
соответствующее цветовому равенству. Если два предмета имеют одинаковый цвет при
освещении стандартным источником белого света (SE) при некотором
302 ГЛ. 10. ПРИЕМНИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ
уровне яркости, то при неизменном спектральном составе освещающего
излучения их цвета остаются одинаковыми и при другом уровне ярко-
яркости. Это положение справедливо при яркостях, меняющихся в пределах
от 10 000 до 1 лм/м2. Некоторые отклонения от него наблюдаются при
очень малых или очень больших яркостях, а также при рассматривании
поверхностей, угловой размер которых очень велик.
Литература
10.1. Smith R. A., Jones P. E., Chasmar R. P., The Detection and Mea-
Measurement of Infra-red Radiation, Oxford University Press.
10.2. Walsh J. W. Т., Photometry, Constable, 2nd ed.
10.3. Yves le Grand, Light, Colour and Vision (translation published by Chap-
Chapman and Hall).
10.4. Wright W. D., The Measurement of Colour, Hilger and Watts.
10.5. Wright W. D., Researches on Normal and Defective Colour Vision, Kimpton.
10.6. Rushton W. A. H., Progress in Biophysics and Biophysical Chemistry, 9,
p. 240, 1959.
10.7. W e s t о n H. C, Light, Sight and Efficiency, H. K. Lewis, London.
10.8. Stiles W., В urch L. M., Opt. Acta, 6, 1 A959).
10.9. Braddick H. J. J., Reports on Progress in Physics, Phys. Soc, London,
33, 154 A960).
ГЛАВА 11
СКОРОСТЬ СВЕТА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ОПТИКА
Исторический обзор
11.1. В 1676 г. астроном Рёмер измерил скорость распространения
света, хотя она очень велика по сравнению с теми скоростями, с которыми
приходится иметь дело в лабораторной практике. Спустя значительный
промежуток времени, в первой половине XIX века, опыты по измерению
скорости света были выполнены также Физо, Фуко и другими физиками.
В этот период времени было признано, что скорость света является инте-
интересной и важной физической величиной, но оставалось неясным, как
можно связать экспериментальные данные о ней с какой-либо теорией
света. Электромагнитная теория Максвелла, которая требует, чтобы ско-
скорость света в вакууме была в точности равна отношению определенных
электрических единиц, послужила важным стимулом к проведению экспе-
экспериментов по определению обеих этих величин. Очевидно, что стало необ-
необходимым убедиться, насколько удовлетворительно согласуются резуль-
результаты измерения этих величин и их отношение со значением скорости
света. Теория Максвелла была опубликована в 1873 г., а в 1879 г. Май-
кельсон выполнил свое первое измерение скорости света. Измерения скоро-
скорости света естественно сопровождались попытками найти зависимость ее
величины от различных физических условий. Результаты этих опытов
послужили одной из причин создания теории относительности A905).
Мы увидим, что в теории относительности скорость света в вакууме счи-
считается одной из наиболее важных физических величин. Она входит в фор-
формулу, выражающую связь между массой и энергией.
Общий обзор методов измерения скорости света
11.2. Непосредственное определение скорости света включает в себя
измерения расстояний и времени распространения света. Так как ско-
скорость света очень велика, необходимо иметь большие расстояния и (в боль-
большинстве методов) измерять очень короткие промежутки времени. Невоз-
Невозможно наблюдать распространение пучка света, не маркируя или не
«модулируя» его каким-либо способом. Применяют три основных метода
модуляции: а) метод зубчатого колеса, б) метод вращающегося зеркала
и в) метод электрического «затвора». Во всех этих методах время распро-
распространения определяют из измерений частоты модудяции. Измерение
расстояний производят при помощи обычных метрологических приемов.
Первые измерения не обладали достаточной точностью для того, чтобы
уловить различие в скорости распространения света в воздухе и в вакууме,
но с повышением точности измерений стало необходимым знать даже тем-
температуру и давление воздуха на пути светового пучка. По этой причине
современные эксперименты проводят или в вакууме, или в таких условиях,
когда можно точно определить показатель преломления воздуха.
304 Г Л 11 СКОРОСТЬ СВЕТА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ОПТИКА
Косвенные методы
11.3. Есш принять во внимание некоторые теоретические соображения, то опыты
над источниками света, движущимися относительно наблюдатетя, дают возможность
определить скорость света Так, опыты, связанные с астрономическим явлением абер-
аберрации света, дают возможность косвенного определения скорости света Аналогично
эксперименты по исследованию распространения света в среде, движущейся относи-
относительно источника и наблюдатечя, позволяют сравнивать скорость света со скоростью
среды Такого рода опыты интересны, в основном, с теоретической точки зрения,
а не с точки зрения определения скорости света Что же касается определения скорости
света, то результаты этих опытов менее точны, чем данные, полученные прямым методом
11.4. После того, как было установлено, что скорость света, скорость
электромагнитных волн и отношение определенных электрических единиц
равны между собой, стало естественным собрать воедино весь эксперимен-
экспериментальный материал, связанный с этими измерениями, для того, чтобы полу-
получить наиболее точное значение для данной величины. В дальнейшем
будет показано, что точность определения скорости распространения элек-
электромагнитных волн по проводам и точность измерения отношения элек-
электрических единиц примерно равны точности прямого определения скорости
света, и полученные экспериментальные результаты хорошо согласуются
друг с другом. В дальнейшем, при описании прямых методов, мы кратко
рассмотрим четыре наиболее интересных. Детали этих методов читатель
может найти в оригинальной литературе, приведенной в конце настоящей
главы.
Метод Рёмера
11.5. Планета Юпитер имеет несколько спутников, орбиты которых
настолько близко расположены к плоскости орбиты планеты, что при
каждом обороте спутники проходят область тени от планеты и испытывают
затмение. Спутники вращаются гораздо быстрее Луны, и три из них
имеют времена обращения 13/4, 31/2 и 7 дней. Первый из этих спутни-
спутников проходит рассгояние, равное его диаметру, за 31/2 мин. Момент начала
затмения можно определить с большой точностью. Ремер проводил тща-
тщательные наблюдения над затмениями в течение длительного времени и об-
обнаружил отклонения от строгой периодичности в моментах начала затме-
затмения, достигавшие 10 мин. Эти нерегулярности были связаны с изменением
расстояния между Землей и Юпитером, и их можно объяснить изменением
промежутка времени, необходимого для того, чтобы свет успел достичь
Земли. Ремер получил для скорости света значение 3,5-1010 см/сек. Совре-
Современные измерения, проведенные тем же методом, дают значение
2,98-1010 см/сек, т. е. на 0,5% меньше, чем наиболее точные измерения,
выполненные в земных условиях. Проходимый светом путь приблизи-
приблизительно равен 1,5-1013 см; время распространения 500 сек»
Метод Физо
11.6. Установка, применяемая в методе Физо, изображена на рис. 11.1.
Здесь Q — вертикальная щель, служащая источником света, Mi —
плоскопараллельная стеклянная пластинка (полупрозрачных зеркал в то
время не было). Пучок света собирается в фокусе F линзы, где он преры-
прерывается зубчатым колесом W, которое может вращаться при помощи часо-
часового механизма, приводимого в движение падающим грузом. Точка F
расположена в фокальной плоскости линзы L4, от которой свет распро-
распространяется в виде приблизительно параллельного пучка до линзы L2
МЕТОД ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ЗЕРКАЛА
305
и далее до вогнутого зеркала М2. Если зубчатое колесо неподвижно,
часть света, возвратившегося от зеркала М2, проходит через Mi и наблю-
наблюдается через окуляр Е. Если начать вращать колесо и постепенно увели-
увеличивать скорость его вращения, то при некоторой скорости свет, прошед-
прошедший через свободный промежуток между зубцами, на обратном пути
попадет на зубец, который передвинется в соответствующее положение
за время распространения света. При большей скорости вращения воз-
возвратившийся свет пройдет через следующее свободное пространство между
зубцами, а при еще большей скорости снова будет задержан следующим
W
Рис. 11.1. Схема установки для определения скорости света
методом Физо.
зубцом. Физо A849) применил зубчатое колесо с 720 зубцами и обна-
обнаружил, что первое затемнение в окуляре Е получается при скорости
вращения, равной 12,6 об/сек. Отсюда время распространения света
равно 5,5-10~5 сек. Длина двойного пути светового пучка составляла
1,7266-106 см, и соответственно для скорости света было получено значе-
значение 3,15-1010 см/сек. Основная ошибка в методе Физо связана с трудностью
фиксирования момента затемнения, т. е. с ошибкой в измерении времени.
Тот же метод был применен Корню A874), который л величия длину
пути и мог наблюдать затемнения 30-го порядка. Этот метод применяли
также Юнг и Форбс A881) и Перротен и Прим A9<>3). Они внесли значи-
значительные технические усовершенствования и поьазали, что скорость света
имеет значение, лежащее в пределах междл 2.99 и 3,01 -1010 см/сек. Однако
метод прерывания значительно менее точен, чем методы, которые будут
описаны ниже.
Метод вращающегося зеркала
11.7. Этот метод был впервые предложен Уитстоном в 1834 г.,
а Фуко впервые применил его в 1860 г. Схема использованной установки
изображена на рис. 11.2. Свет от источника Q (щель) коллимируется лин-
линзой L; затем он отражается зеркалами М4 и М2 и непосеребренным зер-
зеркалом М3- Зеркало Mi можно вращать с большой скоростью. Когда это
зеркало неподвижно и расположено под соответствующим углом, в точке /
образуется изображение, которое наблюдается через окуляр. Если быстро
вращать зеркало Д/4, световой пучок попадет на Мч только в течение
времени, равного небольшой части периода вращения. Следовательно,
этот свет становится прерывистым. За время распространения света от
Л/t до Мг и обратно, зеркало Mi поворачивается на небольшой угол
20 р. Дитчберн
306 ГЛ. 11. СКОРОСТЬ СВЕТА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ОПТИКА
и соответственно изображение слегка смещается от/ к/i. Измеряя рас-
расстояния между/ и/t, мы получаем угол, на который поворачивается зер-
зеркало Mi за время распространения света, и если известна скорость вра-
вращения, то можно рассчитать время распространения.
Скорость вращения определяется стробоскопическим методом. Вспо-
Вспомогательное вращающееся зубчатое колесо (с очень малыми зубцами)
наблюдается с помощью микроскопа. Колесо освещается прерывистым
светом (так как возвращающийся пучок прерывается). Если за время
между двумя последовательными вспышками света один зубец точно
замещается другим, то колесо кажется неподвижным. Если колесо имеет п
зубцов, то скорость его вращения в п раз меньше скорости вращения
зеркала. При угловой скорости вращения, приблизительно (но не точно)
Рис 112 Схема установки с вращающимся зеркалом для оп-
определения скорости света методом Фуко
равной 1/п от скорости вращения зеркала, кажется, что колесо медленно
вращается, и мы получаем следующее соотношение:
где N — число оборотов зеркала в 1 сек, М и т — действительное и ка-
кажущееся число оборотов колеса в 1 сек. Легче измерить М и т для того,
чтобы определить N, чем непосредственно измерять большую угловую
скорость. В своем последнем эксперименте Фуко вместо зеркала М% ис-
использовал 5 зеркал, что позволяло световому пучку до возвращения его
на вращающееся зеркало проходить больший путь. Таким способом
полный путь распространения света был сделан равным 20 м. Найденное
им значение скорости света оказалось равным 2,98-1010 см/сек. Расстоя-
Расстояние между / и Ii было равно только 0,7 мм, и основной источник ошибок
лежит в неточности измерения этого расстояния.
11.8. Метод вращающегося зеркала был применен Майкельсоном
A879, 1882, 1927 и 1935) и Ньюкомбом A882). Постепенно в этот метод
были введены следующие технические усовершенствования:
а) усовершенствование оптической системы для получения более
яркого изображения, что в свою очередь позволило использовать более
длинные пути распространения света;
б) применение компенсационного метода с зеркалом, имеющим 4, 8
или 32 грани;
в) приспособление для определения показателя преломления среды,
позволившее рассчитать скорость света в вакууме.
МЕТОД ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ЗЕРКАЛА 307
Мы кратко опишем две последние установки, созданные Майкельсо-
ном, хотя надо заметить, что многие усовершенствования, использован-
использованные им, были впервые предложены другими исследователями. Фуко и Нью-
комб усовершенствовали оптическую систему, а Ньюкомб первый исполь-
использовал многогранные зеркала.
Измерение скорости света в обсерватории
Маунт-Вилъсон A927)
11.9. Схема использованной установки приведена на рис. 11.3. Свет
от щелевого источника Q отражается от восьмигранного зеркала Mi и по-
попадает на плоское зеркало М2 и затем на зеркало М3, несколько сдвинутое
относительно зеркала М'8 (М3 расположено немного выше, а М'ь немного
Рис ИЗ Измерение скорости света Майкельсоном на горе
Вильсон
ниже плоскости чертежа). От М3 свет попадает на вогнутое зеркало М4т
затем на вогнутое зеркало Д/5 и, наконец, на плоское зеркало М6. Далее
свет возвращается через М$, М4, Мг и М2 на восьмигранное зеркало Mi
и оттуда попадает в окуляр Е, через который наблюдается изображение
щели((). Правая часть установки находилась на обсерватории Маунт-
Вильсон, а левая — в 35,3 км от нее на горе Сан-Антонио *) Восьмигран-
Восьмигранное зеркало вращалось со скоростью, приблизительно равной 528 об/сек,
и поворачивалось почти точно на Ve оборота за время прохождения света
туда и обратно. Если бы зеркало поворачивалось точно на V8 оборота,
изображение источника Q в окуляре Е не смещалось бы. Скорость вра-
вращения зеркала регулировалась так, чтобы изображение Q в окуляре Е
не смещалось. Если изображение оказывалось несколько смещенным по
сравнению с первоначальным, то это смещение можно было измерять
микрометром. Скорость вращения зеркала измерялась стробоскопически.
Стробоскоп представлял собой электрокамертон с зеркалом, отражающим
вспомогательный световой пучок, предназначенный для прерывистого
освещения вращающейся призмы. Частота камертона равнялась 132 гц\
ее определяли сравнением с частотой стандартного маятника. Расстояние
между точками Bt и В2 было измерено геодезическими методами.
При выполнении измерений были приняты все возможные меры предосторож
ности, и можно считать, что точность полученных данных является наибольшей для
всех опытов такого типа Вероятная ошибка измерения расстояния BiB2 (см рис 11 В),
оцененная из разброса результатов измерении, равнялась 1 6 000 000 ти 6 w при
*) Расстояние (базис), на котором измерялась скорость света, равнялось всему
пути, проходимому светом между отражениями от двух поверхностей (на рис 11 3
соответственно нижней и верхней) восьмигранного зеркала (Прим ред)
20*
308 г л п. скорость света и релятивистская оптика
расстоянии 35,3 км. Окончательная точность не так высока из-за неточности стальной
рулетки, применявшейся для измерения длины базисной линии, а также из-за ошибки
при измерении расстояния от отметок на скамье Bi и В2 (см. рис. 11.3) до соответст-
соответствующих зеркал. Майкельсон считал, что окончательная ошибка составляет 1: 1 000 000.
По мнению Дорсея [11.9], Майкельсон неправильно оценил точность изготовления
рулетки по паспорту Бюро стандартов, и поэтому общая ошибка, допущенная при
измерении длины оптического пути, равна 1 : 200 000. Однако даже эта ошибка меньше
ошибки в определении частоты колебаний камертона (т. е. ошибки в определении вре-
времени распространения света) и ошибки в определении температуры и давления воздуха
вдоль пути светового луча (т. е. показателя преломления воздуха и, следовательно,
поправки, которую необходимо учесть, чтобы получить скорость света в вакууме).
Окончательное значение скорости света (полученное Дорсеем и содержащее некоторые
поправки, не введенные Майкельсоном) равно B,9980 ^ 0,0002)-1010 см/сек.
Измерение скорости света в вакууме
11.10. Для того чтобы избежать ошибок, связанных с определением
показателя преломления воздуха, Майкельсон собирался провести экспе-
эксперимент, в котором пучок света распространялся бы в эвакуированной
трубе. Однако он не смог принять участие в измерениях, и опыт был закон-
закончен после его смерти его коллегами Пирсоном и Пизе. Длина трубы рав-
равнялась 1,6 км, ив результате многократных отражений светового пучка
от двух плоских зеркал общая длина пути была доведена примерно до
13 км. Вместо ранее применявшегося восьмигранного зеркала было
использовано зеркало с 32 гранями; кроме того, оптическая система
несколько отличалась от той, которая изображена на рис. 11.3. Был введен
также целый ряд других технических усовершенствований, но методы
измерения расстояния и времени остались теми же, что и в 1927 г.
Давление в трубе варьировало в различных опытах в пределах
0,5—5,5 мм рт. ст.; кроме того, вводили поправку на показатель пре-
преломления остаточного воздуха. Окончательный результат для скорости
света в вакууме оказывался равным B,99774+0,00011) -1010 см/сек.
Метод с использованием затвора Керра
11.11. В этом методе световой пучок «маркируется», проходя через
затвор Керра, к которому приложено высокочастотное напряжение *).
В простейшем случае пучок света, прошедший затвор Керра, становится
синусоидально модулированным по интенсивности. Аналогично излуче-
излучение радиовещательной станции представляет собой несущую радиоволну,
модулированную звуковой частотой. Для света, прошедшего затвор Керра,
частота переменного напряжения на конденсаторе Керра определяет
частоту модуляции света по интенсивности, а частота света является
несущей частотой **). Этот метод был впервые применен Каролусом и Мит-
телыптетом, а в дальнейшем независимо друг от друга — Хюттелем и
Андерсоном.
Различные эксперименты несколько отличались друг от друга тех-
техническими деталями и, хотя некоторые из этих деталей следует считать
существенными, мы опишем здесь только второй опыт, выполненный
Андерсоном.
*) Теория затвора Керра изложена в гл. 16.
**) Частота модуляции света затвором Керра определяется не всегда только
частотой приложенного к конденсатору Керра напряжения, но и амплитудой послед-
последнего. Подробнее см. теорию эффекта Керра. (Прим. ред.)
МЕТОД С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЗАТВОРА КЕРРА
309
Применявшаяся им установка *) изображена на рис. 11.4. Свет от
ртутной лампы () проходит через затвор Керра (К); часть света отражается
полупрозрачным зеркалом Mi и зеркалом М2 и попадает на фотоэлемент R.
Вторая часть света проходит через Мi и затем отражается от зеркал М3у
Д/4, Мь и М6- Затем этот пучок возвращается по тому же пути к Mt и,
отражаясь от него, попадает на фотоэлемент. Фототок, вызванный совмест-
совместным действием обоих пучков, усиливается усилителем, настроенным на
частоту модулятора. Результирующее напряжение зависит от соотно-
соотношения фаз модуляции световых пучков. Если оба световых пучка приходят
-\м2
Рис. 114. Схема установки с затвором Керра, использо-
использованная Андерсоном.
на фотоэлемент при одинаковой фазе модуляции, то результирующий ток
содержит интенсивную компоненту, частота которой равна частоте, на
которую настроен усилитель. Если же они приходят не в фазе, то общий
фототок остается таким же, но его усиливаемая компонента мала, и ток
после усилителя минимален. Зеркало М4 можно заменить другим зерка-
зеркалом М\ (имеющим другое фокусное расстояние), которое ориентировано
таким образом, что возвращает пучок света прямо на зеркало Л/с. Была
принята следующая методика. Заменив зеркало Л/4 зеркалом М\, устанав-
устанавливают зеркало М2 (при помощи микрометрической подачи вдоль точно
выполненных направляющих) так, чтобы усиленный ток стал минималь-
минимальным. Затем вместо М^ снова ставят зеркало М4 и опять устанавливают
зеркало Мъ так, чтобы усиленный ток был минимальным. Тогда время,
необходимое для прохождения светом основного расстояния от М4 до М5
и далее до М6 и обратно плюс расстояние между двумя положениями
зеркала М2, равно целому числу периодов модулятора. Нет необходимости
измерять расстояния MiM2, М1Д/3, МъМк и т. д. ♦♦). Длину основного пути
определяют, измеряя расстояние между двумя отметками на стальной
рулетке, проложенной вдоль всего светового пути. Расстояние между
двумя положениями Мг определяют по разности отсчетов на барабане
микрометра. Общая относительная точность измерения расстояния
*) Отметим, что на схеме не показаны поляризатор и анализатор, необходимые
наряду с ячейкой Керра для работы затвора Керра. (Прим. ред.)
***) Следует все же вводить небольшую поправку, так как нельзя считать, что Л/4
точно раменяет М\.
310 ГЛ. 11. СКОРОСТЬ СВЕТА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ОПТИКА
приблизительно равна 1 : 200 000. Частота модулятора составляла
19,2-106 гц. Ее строго контролировали и измеряли обычными методами,
принятыми для измерения радиочастот. Относительная точность измере-
измерения частоты достигала 1 : 1 000 000. Значение, полученное для скорости
света, оказалось равным B,99776 ± 0,00014). 1010 см/сек.
Обсуждение результатов
11.12. Теперь надо выяснить, не содержат ли все описанные выше
методы, несмотря на их различие, одних и тех же систематических оши-
ошибок. Можно предположить, что основные ошибки, общие для всех экспе-
экспериментов, сводятся к следующим: а) запаздывание при отражении
и б) ошибки, связанные с тем, что световой пучок отражается неперпенди-
неперпендикулярно поверхности зеркала, как при его вращении, так и в том случае,
когда пучок с большой скоростью пробегает по поверхности зеркала.
Ошибки, связанные с заметным запаздыванием при отражении,
можно было бы обнаружить, поскольку в различных установках исполь-
используется разное число отражений. Ошибки второго типа должны были бы
обнаружить, сравнивая результаты измерений скорости света, получен-
полученные методом вращающегося зеркала и методом с использованием затвора
Керра. Однако эти результаты хорошо согласуются друг с другом. Нет
никаких теоретических оснований предполагать запаздывание при отра-
отражении. Вопросы, связанные с отражением светового пучка, скользящего
с большой скоростью, были теоретически исследованы Лорентцем, кото-
который показал, что, если и возможны некоторые аномалии, то они, по-види-
по-видимому, слишком малы, чтобы их можно было обнаружить эксперимен-
экспериментально. Поэтому казалось разумным предположить, что взвешенное
среднее последних точных результатов измерения скорости света можно
принять за наиболее точную величину этой скорости и что ошибку
следует определять по разбросу экспериментальных данных. Исхо-
Исходя из этих соображений, Дорсей, проанализировав все эксперимен-
экспериментальные результаты, пришел к выводу, что скорость света равна
B,99773 ±£0,00001) «1010 смIсек *). Интересно заметить, что четыре опыта
с использованием затвора Керра дали именно это значение; та же величина
была получена методом вращающегося зеркала с применением эвакуиро-
эвакуированной трубы. Опыт на Маунт-Вильсон дает несколько большее значе-
значение, но, очевидно, он менее точен, чем опыты, проведенные позже.
Групповая скорость или фазовая скорость волны
11.13. Общепризнано, что методы, подобные методу Физо, в которых световой
пучок прерывается, позволяют определить групповую скорость света. Менее очевидно,
что в методе с вращающимся зеркалом также измеряется групповая скорость; однако
можно показать, что дело обстоит именно так, если учесть эффект Допплера на двух
частях зеркала, одна из которых приближается, а вторая удаляется от наблюдателя.
Вряд ли целесообразно воспроизводить здесь эти рассуждения, так как очевидно, что
вращающееся зеркало разрывает световой пучок на цуги конечной длины. Аналогичным
образом синусоидальная модуляция интенсивности света, примененная Андерсоном
в описанном выше опыте, приводит к созданию волновых групп. Дорсей считает, что
первый метод Андерсона (в котором амплитуда светового пучка оставалась постоян-
постоянной, а маркировка производилась путем периодического изменения степени эллиптич-
эллиптичности поляризации светового пучка) позволит измерять фазовую скорость. По нашему
*) Бирдж [11.10], приписав другие веса различным экспериментальным резуль-
результатам, получил значение скорости света, равное B,99776 ± 0,00004)* 1010 см/сек.
СОВРЕМЕННЫЕ ДАННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ СКОРОСТИ СВЕТА 311
мнению, Дорсей ошибается, так как компоненты светового пучка, поляризованные
в любой плоскости, модулированны точно так же, как в его втором методе, п поэтому
здесь мы тоже имеем дело с группами волн. Даже в отсутствие какой бы то ни было
модуляции вряд ли какое-либо измерение скорости может дать скорость, отличную
от групповой скорости, так как цуги волн, испускаемые атомами, следует считать
группами волн. Приведенные выше значения скорости света соответствуют его
скорости в вакууме. В результаты измерений была введена поправка, учитывающая
разницу между групповой скоростью в воздухе и в вакууме. Различие между грл п-
повои скоростью и фазовой скоростью в воздухе при нормальных условиях равно
0,00006 хЮ10 см/сек или 1/50 000 часть скорости света.
Сравнение скорости света со значением отношения электромагнитных
и электростатических единиц
11.14. В соответствии с электромагнитной теорией, измеренная
величина скорости света должна совпадать а) со значением скорости
распространения электромагнитных волн по проводам и б) с величиной
отношения электромагнитных единиц к электростатическим. Ниже при-
приведены наиболее точные значения этих величин:
а) B,99782 ± 0,0003). 1010 см /сек (данные Мерсье),
б) B,99784 ± 0,0001). 1010 см/сек (данные Роза и Дорсея). Эти вели-
величины *) хорошо согласуются со значением 2,99773-1010 см/сек. получен-
полученным для скорости света.
Современные данные измерения скорости света
11.15. Теперь мы приведем результаты некоторых последних изме-
измерений скорости света и скорости распространения радиоволн. Обзорная
статья Эссена [11.12] дает общее представление об этих работах и содер-
содержит ссылки на оригинальные статьи. Радиолокационная аппаратура,
применявшаяся во время войны, содержит элементы, которые в своем
простейшем виде позволяют определять расстояния путем измерения
времени распространения сигнала от прибора до цели и обратно. Точ-
Точность этих приборов проверяли, пользуясь целями, расстояние до кото-
которых можно было измерить обычными методами. Вначале предполагали,
что скорость распространения радиоволн в вакууме равна принятому
значению с (см. [11.12]). Их скорость в воздухе рассчитывали, пользуясь
сравнительно точными данными о показателе преломления воздуха.
Кроме того, учитывали и устраняли ошибки, связанные с отражением
или рассеянием радиоволн поверхностью Земли. После введения этих по-
поправок было установлено, что расстояния, измеренные радиолокационным
методом, меньше действительных приблизительно на 1/20 000. Это расхож-
расхождение можно уменьшить, принимая более высокое значение для с. После вой-
войны радиолокационные методы применяли для систематических измерений
скорости радиоволн. Было получено значение, равное 299 792 ± 3 км/сек.
Эссен и Гордон-Смит провели очень точные измерения резонансной
частоты полого резонатора с точно известными размерами. Резонатор
был эвакуирован с целью устранения ошибок, связанных с некоторой
неопределенностью в значении показателя преломления воздуха для
радиоволн. Фазовая скорость в резонаторе не равна этой скорости в сво-
свободном пространстве, однако последнюю можно вычислить из получен-
полученных результатов. Найденное значение скорости совпадает со значением,
получающимся в радиолокационных измерениях.
*) Приведенные величины содержат некоторые небольшие поправки, предложен-
предложенные Бирджем [11.10].
312 ГЛ. 11. СКОРОСТЬ СВЕТА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ОПТИКА
11.16. Недавно были выполнены два измерения скорости распро-
распространения видимого света. Бергстранд, применяя модулированный пучок
света и методы, аналогичные радиолокационным, получил результат,
согласующийся с данными радиолокационных измерений. Вместе с тем,
Хустон, используя новый тип электрооптического затвора, получил
меньшую величину, совпадающую с величиной, найденной ранее мето-
методами, описанными в §§ 11.7—11.12. Все эти измерения с видимым светом
(кроме измерений Бергстранда) дали значение скорости, равное 299 773 ±
± 3 км /сек; все измерения на радиочастотах — значение 299 792 ±
± 3 км/сек. Косвенный метод, описанный в § 11.14, дал величину, лежа-
лежащую между этими двумя значениями. Таким образом, создается впечат-
впечатление, что существует расхождение, несколько превосходящее найденные
ошибки измерений *). Все результаты, кроме результата Бергстранда,
указывают на различие между скоростью света в вакууме и скоростью
радиоволн в вакууме. Если это различие подтвердится, то потребуются
существенные изменения в теории, однако следует провести дальнейшие
экспериментальные работы, прежде чем такое расхождение можно будет
считать реальным. Современное общепринятое значение скорости света
с = B99792,5±0,4) км/сек.
Предполагаемое изменение скорости света с течением времени
И. 17. Некоторые авторы предполагали, что скорость света умень-
уменьшается или, возможно, претерпевает периодические изменения. Действи-
Действительно, «наилучшие» экспериментальные значения обнаруживают общую
тенденцию к уменьшению по сравнению с данными первого опыта. Деталь-
Детальные исследования показывают, однако, что все эти расхождения лежат
в пределах экспериментальных ошибок, соответствующих каждому дан-
данному опыту. Нет никаких систематических различий между последними
шестью измерениями. Существует также достоверное косвенное подтвер-
подтверждение отсутствия измеримых временных вариаций скорости света [11.10].
Полученное значение скорости света определяется через длину стандартного
метра и продолжительность среднего солнечного дня. Предположим, что справедливо
основное соотношение с = v"k, где v — частота атомного осциллятора, испускающего
свет с длиной волны К. Мы можем также предположить, что вакуум является недиспер-
гирующей средой, и следовательно, значения волновой и групповой скоростей в ваку-
вакууме совпадают. Тогда, если с изменяется, должно изменяться или v, или X. Невероятно,
чтобы частота v (которою можно вычислить из констант е, т, К) изменялась, хотя мы
и не можем доказать этого прямыми измерениями. Сравнение различных результатов
определения отношения дшны волны спектральной линии кадмия к длине метра
показывает, что за посчедние 50 лет это отношение изменилось не больше чем на
2—3- К) (см § 9 44) Маловероятно, чтобы с изменилось на величину, которую можно
было бы обнаружить прямыми методами. Другое косвенное подтверждение постоянства
скорости света дают опыты по измерению отношения электрических единиц.
Зависимость скорости света от показателя преломления среды
11.18. Сравнение групповых скоростей света в воде и в воздухе
было проведено Фуко при помощи установки, изображенной на рис. 11.5.
Принцип ее работы вполне аналогичен принципу работы установки, опи-
описанной в § 11.7. Зеркало М± вращается. Теперь при введении в трубу Т
*) Очень трудно определить истинное значение экспериментальных ошибок.
Приведенные выше величины ошибок являются верхним пределом случайных ошибок
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ОПТИКА
313
поочередно жидкости и воздуха получаются различные изображения
источника света 1^ и 1[, смещенные по сравнению с изображением /,
наблюдаемым при неподвижном зеркале Мх. Отношение величин откло-
отклонений 1± и Гх от 7 приблизительно обратно пропорционально отношению
скоростей света в воздухе и в жидкости. Фуко смог только показать,
что свет быстрее распространяется в воздухе, чем в воде, но он не опре-
определил численного значения этого отношения. Эксперимент был повторен
Майкельсоном, который нашел, что отношение скоростей света в воз-
воздухе и в воде равно 1,33. Он получил также значение 1,758 для отноше-
отношения скоростей света в воздухе и в сероуглероде.
Рис. 11.5. Схема установки для сравнения скоростей света
в воздухе и в жидкости
Отношение групповых скоростей света вч разных средах можно рас-
рассчитать, зная показатель преломления и дисперсию этих сред. Для воды
вычисленное отношение групповых скоростей приблизительно совпадает
с вычисленным отношением фазовых скоростей (т. е. обратно пропор-
пропорционально отношению показателей преломления). Наблюдаемое зна-
значение согласуется в пределах экспериментальных ошибок с вычислен-
вычисленными величинами. Для воздуха и сероуглерода вычисченное отношение
фазовых скоростей равно 1,64, а групповых скоростей — 1,745 (для длины
волны 5800 А). Длина волны, использованная Майкельсоном, не была
строго определена, но, по-видимому она была больше 5500 А. Таким обра-
образом, значение, полученное им экспериментально A,758), хорошо согла-
согласуется со значением отношения групповых скоростей, но, безуслов-
безусловно, не согласуется с величиной, рассчитанной для фазовых скоростей.
Майкельсон смог показать, что скорость распространения красного
света немного больше скорости распространения сине-зеленого; это-
этого и следовало ожидать вследствие различия их показателей пре-
преломления.
Релятивистская оптика
11.19. Теория относительности возникла в значительной степени
на основе результатов ряда опытов по измерению скорости света. Для
того чтобы получить удовлетворительное объяснение этих опытов, ока-
оказалось необходимым пересмотреть определения таких основных поня-
понятий, как время, длина, масса. В дальнейшем было показано, что ряд
общих трудностей в теоретической физике естественным образом устра-
314 ГЛ. 11 СКОРОСТЬ СВЕТА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ОПТИКА
няется, если дать этим понятиям новые определения, находящиеся в тес-
тесной связи с результатами экспериментов. Концепции, первоначально
разработанные для более специальных целей, оказались весьма полез-
полезными во многих вопросах оптики и динамики, и новые определения
прочно вошли в основы современной теоретической физики. В данной
главе мы коснемся вывода некоторых основных положений теории отно-
относительности из оптических экспериментов и применения этих положе-
положений для рассмотрения других оптических экспериментов. Для более под-
подробного ознакомления с теорией относительности и ее применениями
в динамике читателю следует обратиться к специальным учебникам
[11.13-11.17].
Относительная скорость движения Земли и эфира
11.20. Пусть некий наблюдатель на Земле измеряет скорость звука.
В спокойном воздухе он получит скорость, которую мы обозначим через V.
При наличии ветра результатом измерений будет величина V + г?, где
v — составляющая скорости ветра в направлении распространения звука.
Скорость волн относительно наблюдателя равна векторной сумме ско-
скорости ветра и скорости звука относительно воздуха. Если бы наблюда-
наблюдатель не имел другого способа для измерения скорости ветра, он мог бы
определить эту величину, измеряя скорость звука в различных направ-
направлениях. Он заметил бы, что в определенном направлении скорость звука
максимальна; это дало бы направление ветра. Разность скоростей звука
в направлении ветра и в противоположном направлении равна удвоенной
скорости ветра. Предполагалось, что этим методом можно воспользо-
воспользоваться для измерения скорости движения Земли относительно эфира.
Если свет представляет собой волны, распространяющиеся в эфире,
а Земля движется в этом эфире, то должен, казалось бы, существовать
«эфирный ветер». Измерение скорости света в различных направлениях
должно было бы давать скорость «эфирного ветра», или, как обычно
говорят, скорость Земли относительно эфира. Этот вывод справедлив
независимо от того, рассматриваем ли мы эфир как упругую твердую
среду или как некую среду, в которой происходят электромагнитные
явления.
11.21. Обнаружить возможную зависимость скорости света от направ-
направления значительно труднее, так как по крайней мере в земных экспери-
экспериментах мы можем измерить не время прохождения света от одной данной
точки до другой, а лишь время его прохождения туда и обратно. Как
доказал Лорентц (в предположении движения Земли в неподвижном
эфире), время Т распространения света на замкнутом пути изменится
на величину Т ^ , где v ( < с) — скорость движения Земли относительно
эфира. Покажем это для частного случая.
Найдем сначала, в предположении неподвижного эфира и справед-
справедливости галилеевых преобразований координат и скоростей, полное время
прохождения светом пути туда и обратно между двумя точками на Земле,
расположенными на прямой, параллельной направлению относительного
движения Земли в эфире. Считаем, что скорость света в эфире с, не зави-
зависит от направления распространения света. Пусть d — расстояние между
этими точками; тогда
т d , d2dc ж n
ОПЫТ МАЙКЕЛЬСОНА-МОРЛЕЯ 315
и если v мало по сравнению с с, то
+^ с точностью до E~)\ (И-2)
где То = 2d/c — время, необходимое для прохождения того же пути
туда и обратно в полностью увлекаемом Землей эфире. В случае направ-
направления, перпендикулярного только что рассмотренному, скорость света
относительно Земли равна (с2 — v2I/*, и полное время его распростра-
распространения вперед и назад вдоль отрезка d равно
Если v < с, то
Можно показать, что для всех возможных направлений Т± соответ-
соответствует наибольшему, а Т2 — наименьшему времени. Поэтому макси-
максимальная возможная разность времен равна
АТм = Т1-Т2 = ^Т0^. A1.5)
Наиболее прямой способ определения скорости Земли относительно
эфира должен включать измерение времени, за которое свет проходит
туда и обратно определенный отрезок, ограниченный жесткими стерж-
стержнями, при различных ориентациях аппаратуры. Направление, соответ-
соответствующее максимальному времени, совпадало бы с направлением отно-
относительной скорости Земли в эфире, а по разности между временами про-
прохождения света в этом направлении и в перпендикулярном ему направ-
направлении можно было бы вычислить величину скорости v с помощью A1.5).
Наименьшее отличие во времени, которое еще можно обнаружить мето-
методами, описанными выше, примерно равно 1/100 000 То. Это соответствует
относительной скорости 0,003 с, т. е. 108 см/сек. Но скорость движения
Земли вокруг Солнца составляет только 3-Ю6 см /сек. Относительная
скорость Земли и эфира того же порядка величины, и следовательно,
ее нельзя обнаружить прямыми экспериментами. К счастью, существуют
косвенные, но значительно более чувствительные методы.
Опыт Майкельсона—Морлея *)
11.22. В 1887 г. Майкельсон и Морлей воспользовались для реше-
решения поставленной задачи несколько видоизмененным интерферометром
Майкельсона (см. рис. 4.1). Пусть зеркало М2 расположено под малым
углом к плоскости R (см. рис. 4.1 и 11.6) и перемещается до тех пор,
пока полоса, соответствующая нулевому порядку интерференции, не
появится в центре поля зрения трубы О. Допустим далее, что пластинка С
полностью компенсирует троекратное прохождение луча, идущего к Л/2.
через пластину М± (см. рис. 4.1); в дальнейшем (в частности, на рис. 11.6)
мы будем опускать пластинку С, т. е. считать полупрозрачное зеркало Л/А
*) Описание опыта Майкельсона — Морлея приведено в книгах А. Майкель-
Майкельсона [11.3]; С. И. Вавилова [11.34], а также в книге Кл. Ш е ф е р,
Теоретическая физика, т. III, ч. II, ГОНТИ, М., 1938. (Прим. ред.)
316
Г Л 11 СКОРОСТЬ СВЕТА II РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ОПТИКА
бесконечно тонким. Тогда оптические пути от МА до М3 и от Mt до М2
равны; иными словами, обозначив геометрическую длину пути от М4
до Мз через d1? а путь от Mi до М2 через d2» мы можем написать
= n2d2, A1.6)
или, так как Пл = — и п2 = т- ,
A1.7)
где с — скорость света в вакууме для тела, покоящегося в эфире, a bt и Ь2 —
скорости на пути М^М3 и Мф12 соответственно *). Члены в скобках
в соотношении A1.7) как раз равны временам прохождения света вдоль
плеч интерферометра.
Допустим, что плечо М±М2 расположено в направлении скорости
движения Земли в эфире. Тогда при одинаковых длинах плеч прибора
время прохождения света от Mi к М2 и об-
обратно будет больше времени его прохожде-
прохождения от Mi к Мз и обратно. Приводя полосу
нулевого порядка в центр поля зрения за счет
небольшого уменьшения d2 сравнительно
с di, мы уравниваем оба промежутка време-
времени **). Если теперь повернуть весь интерфе-
интерферометр на 90°, то плечо MiMz окажется
расположенным вдоль направления скорости
движения Земли в эфире. Согласно A1.2)
и A1 3) время распространения света в этом
плече будет больше, чем в плече М±М2, даже
при одинаковой длине плеч прибора. Но если
длины di и d2 оставались неизменными при
повороте интерферометра, то при выведении
в центр поля зрения нулевой полосы dt уже
было сделано длиннее d2. Теперь поворот
прибора еще больше увеличит время прохождения света вдоль плеча
MiM3. Разность времен Т± — Т2 станет, таким образом, равной удвоен-
удвоенной величине, выражаемой A1 5), что вызовет смещение полос на вели-
величину, соотве-гствующую разности путей As, определяемой соотношением
Рис 11 6 Опыт Майкеibco
на — Морлея
A1.8)
где
11.23. Ход опыта во времени таков. Когда опыт начинается, направ-
направление скорости Земли относительно эфира считается неизвестным. После
того, как нулевая интерференционная полоса выведена в центр поля зре-
зрения, прибор начинают медленно поворачивать, регистрируя положение
*) Расчет ведется в предположении неподвижного эфира (Прим ред )
**) Здесь и далее расс\жденля проводят относительно нулевой полосы интер-
интерференционной картины, но все они, конечно, остаются в силе и по отношению к любой
по юсе (Прим ред )
ОПЫТ МАЙКЕЛЬСОНА—МОРЛЕЯ
317
этой полосы через каждую шестнадцатую часть оборота. Если бы изло-
изложенные выше соображения были правильны, полоса должна была бы
периодически уходить в сторону из центра поля зрения трубы. Период
смещения полос будет вдвое меньше периода вращения прибора. При
положениях нулевой полосы, соответствующих максимальному времени
распространения света вдоль плеча М^МЪ, направление этого плеча
совпадает с направлением скорости Земли в эфире. По величине макси-
максимального смещения нулевой полосы можно было бы с помощью A1.8)
определить скорость движения Земли в эфире. В действительности,
однако, никакого смещения полосы обнаружено не было.
Было подсчитано, что скорость даже порядка 3-Ю с, т. е. около
106 см/сек, еще можно было бы заметить. Далее, рассматривалась воз-
возможность того, что в день проведения опыта Земля двигалась относи-
относительно эфира чрезвычайно медленно. Поэтому эксперименты повторяли
несколько раз в течение года, но они всегда давали нулевой результат.
Тот же результат был в дальнейшем подтвержден с еще более чувст-
чувствительной аппаратурой, которая позволила бы обнаружить скорость
Земли относительно эфира порядка 105 см/сек, т. е. 3-10~6 с.
11.24. Установка Майкельсона — Морлея схематически показана
на рис. 11.7. Каждое плечо интерферометра искусственно удлиняли
Рис. 11.7. Опыт Майкельсона — Морлея.
Для удлинения пути света в плечах интерферометра использу-
используются многократные отражения света от системы зеркал.
за счет последовательных отражений от нескольких противостоящих
зеркал (в действительности число отражений было вдвое больше, чем
показано на рисунке). Такой метод увеличения пути луча значительно
лучше, чем прямое удлинение плеча, так как при его использовании
проще осуществить постоянство температуры прибора и обеспечить его
318 ГЛ. 11. СКОРОСТЬ СВЕТА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ОПТИКА
механическую устойчивость. Эффективный путь каждого светового пучка
составлял 11 м, и было установлено, что можно было бы обнаружить
изменение его длины на Я/4, т. е. на 12,5-10~6 см. Следовательно, мини-
минимальное значение v/cr которое еще можно было заметить, согласно A1.8)
равно 10~4 с. Впоследствии этот опыт был повторен Г. Иосом [11.21],
а также Кеннеди [11.19] и Иллингвортом [11.20]. Они так изменили
оптическую схему, увеличив длины плеч прибора до — 30 м, что могли
бы заметить разность хода, равную 0,001 X. Тем не менее никакого сме-
смещения интерференционных полос при повороте прибора обнаружено
не было. Перед наиболее точными опытами Иоса A930) Миллер пытался
повысить чувствительность прибора, увеличив длины плеч интерферо-
интерферометра. Это, однако, привело к сравнительно большим беспорядочным
смещениям полосы, вызванным температурными колебаниями и другими
причинами. Он считал, что на эти нерегулярные смещения накладывается
небольшое регулярное смещение полос, но в настоящее время считают,
что его «положительные» результаты лежат в пределах ошибок изме-
измерений *).
Контракционная гипотеза Фитцджеральда—Лорентца
11.25. Фитцджеральд A851—1901), а позднее Лорентц предполо-
предположили, что отрицательный результат опыта Майкельсона — Морлея может
объясняться особым эффектом компенсации: сокращением того плеча
интерферометра, которое направлено вдоль движения Земли относительно
эфира. Из формул A1.1) и A1.3) нетрудно видеть, что если отношение
длины плеча, ориентированного вдоль скорости движения Земли отно-
относительно эфира, к длине плеча, ориентированного перпендикулярно этой
скорости, равно A — г2 с2I з, то при любых значениях v никакой раз-
разности хода лучей не возникнет. Лорентц, основываясь на теории элек-
электронов, указал причины, по которым такое сокращение длин можно счи-
считать универсальным свойством материи. Позднее делались попытки
измерить v путем обнаружения сокращения Фитцджеральда — Лорентца
или каким-либо иным косвенным способом. Общим для всех этих экспе-
экспериментов было стремление обнаружить анизотропию электрических
или оптических свойств свободного пространства. Наблюдатели стре-
стремились обнаружить те или иные различия в физических явлениях, обу-
обусловленные простым изменением ориентации аппаратуры, но все опыты
давали отрицательный результат. В дальнейшем мы увидим, что согласно
теории относительности все эти опыты были по существу одинаковыми
и должны были дать одинаковый результат. Здесь нет необходимости
обсуждать детали всех экспериментов, и мы ограничимся лишь сле-
следующими краткими замечаниями об опытах, давших отрицательные
результаты.
а) Рэлей (а позднее Брэйс) пытался обнаружить эффект двойного
лучепреломления в изотропном веществе, обусловленный сокращением
отрезков, постулированным Фитцджеральдом и Лорентцем.
б) Рэлей пытался обнаружить изменение вращательной способности
кристалла кварца при изменениях его ориентации в пространстве.
в) Нордмайер помещал две включенные навстречу друг другу чув-
чувствительные термопары с двух сторон от малого источника света. Ток
*) Недавно было показано, что ошибочные результаты Миллера обязаны своим
происхождением периодическому нагреву стен лаборатории Солнцем. (Прим. ред.)
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 319
в цепи термопар при одном их расположении относительно источника
света был скомпенсирован до нуля; затем всю установку поворачивали
на 90°. Ожидалось, что когда ось прибора будет параллельна движению
Земли относительно эфира, оптическая длина пути до одной термопары
окажется меньше, чем до другой. Получаемый каждой термопарой поток
излучения обратно пропорционален квадрату длины пути света от источ-
источника. Поэтому ожидалось, что баланс токов при повороте прибора дол-
должен нарушиться.
г) Было проделано также много электрических экспериментов.
Предполагалось, что благодаря сокращению длины сопротивление про-
проволоки будет зависеть от ее ориентации. Аналогичным образом, ожида-
ожидалось, что частота кварцевого вибратора будет зависеть от его ориентации.
Эти не давшие положительного эффекта электрические эксперименты
были поставлены также с весьма чувствительными приборами.
Специальная теория относительности
11.26, Отрицательный результат каждого отдельного эксперимента
нетрудно объяснить с помощью гипотезы о каком-то компенсирующем
эффекте типа сокращения Фитцджеральда — Лорентца. Но необходи-
необходимость выдвижения все новых и довольно искусственных гипотез для
объяснения очередных опытов представляется совершенно неудовлет-
неудовлетворительным решением проблемы. Эйнштейн решил принять результаты
всех экспериментов как доказательство постоянства скорости света
в вакууме во всех инерциальных системах и на этой основе пересмотреть
основные выводы кинематики. Каждая кинематическая задача прямо
или косвенно связывается с определенной системой координат и с часами.
Пусть для данной задачи выбрана одна такая система (х, у, z, t) и выпи-
выписаны уравнения движения. Для той же задачи можно выбрать и другую
систему координат (х\ у', z', f), если известны алгебраические урав-
уравнения, связывающие ее с системой (х, у, z, t). Совокупность таких урав-
уравнений называется группой преобразования. В простейшем случае, когда
две системы отличаются лишь тем, что начало второй системы располо-
расположено на расстоянии а вдоль оси х от первой, получим
х' = #-La;
у' = у\ z' = z;
t' = t.
Другим геометрическим преобразованиям (например, вращению осей
координат) соответствуют более сложные соотношения между штрихо-
штрихованными и нештрихованными координатами.
11.27. Можно рассматривать также системы координат, движущиеся
друг по отношению к другу. Такие системы рассматривают в механике
Ньютона, и легко получить их группу преобразований *), носящую
название группы преобразований Галилея:
х' =
y' = z/, z' = z, } A1.9)
*' = *, J
*) Обратим особое внимание на то, что в этой группе преобразований время
t' = t считается независящим от системы отсчета и одинаковым во все\ системах
отсчета. (Прим. ред.)
320 ГЛ. 11. СКОРОСТЬ СВЕТА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ОПТИКА
причем оси Ох и Ох' выбраны так, что они совпадают с направлением
относительного движения. Используя это преобразование, можно пока-
показать, что законы механики (заключенные в уравнениях движения Нью-
Ньютона) остаются одинаковыми как в штрихованной, так и в нештрихован-
ной системе, если только эти системы не испытывают относительного
ускорения. Для частицы, движущейся со скоростью U (не обязательно
постоянной) вдоль оси х в нештрихованной системе, имеем
4ь )
а > * • (НЛО)
Отсюда
dU' d»*' d>z М1 ш
Скорости частиц в этих двух системах координат различны, и соот-
соотношение между скоростями дается формулами A1.10). Однако ускорения
оказываются одинаковыми, и основной закон динамики, гласящий, что
«сила равна массе, умноженной на ускорение»,— остается неизменным.
Формулы A1.10) находятся в хорошем согласии с экспериментальными
данными, если только их использовать в области обычных скоростей.
Например, этими формулами можно воспользоваться для определения
скорости самолета относительно Земли, если известны его скорость отно-
относительно воздуха и скорость ветра.
Эксперимент Майкельсона — Морлея и другие аналогичные опыты
показывают, что для света
с' = с, A1.12)
т. е. формула A1.10) для света неприменима.
11.28. Исходя из последнего факта, Эйнштейн выдвинул два поло-
положения:
1. Принцип относительности. «Если К' есть система отсчета, дви-
движущаяся равномерно и прямолинейно относительно системы К, то яв-
явления протекают по отношению к системе К' по совершенно тем же за-
законам, что и по отношению к системе К *)».
2. В пустоте скорость света постоянна во всех инерциальных сис-
системах координат.
11.29. Используя два сформулированных выше положения, можно
найти группу преобразований, которая заменит формулы A1.9). Вывод
очень упрощается, если сделать следующие два допущения: а) уравнения
преобразования должны быть линейными и однородными; б) координаты,
перпендикулярные направлению относительной скорости и обеих систем,
одинаковы в обеих системах** ).
Рассмотрим две системы 5и5'и выберем оси Ох и Ох' таким обра-
образом, чтобы они обе были параллельны относительной скорости обеих сис-
*) Приведенные автором основные принципы специальной теории относительно-
относительности заменены непосредственными формулировками самого А. Эйнштейна (см. [11.13],
а также А. Эйнштейн, Специальная теория относительности, ГИЗ, М., 1922;
А. Эйнштейн, Основы теории относительности, ОНТИ, М., 1935.) (Прим. ред.)
**) Вывод, не зависящий от этих допущений, см. в статье Айвса и Стилуэлла
[11.27].
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 321
тем и чтобы в момент t = О точки О и О' совпадали. Начало отсчета вре-
времени выберем так, чтобы V = 0, когда t = 0. Пусть в момент t = 0 испу-
испускается световой сигнал. В системе S он достигнет сферы #2+i/2 + z2 =
= c2t2 в момент t. Тот же сигнал в системе S' в момент V (соответствую-
(соответствующий t) достигнет сферы x'2-\-y'2j-z'2 = с2?2. Таким образом, если квад-
квадратичное выражение x2-\-y2-\-z2—Л2, называемое интервалом, обращается
в нуль в системе 5, то оно равно нулю и в системе S'. Это означает,
что интервал преобразуется следующим образом:
(X2+y2 + z2_cV) = Y^2+^2j.^2-C2^ A1.13)
где у — некоторая постоянная. Это соотношение получено из предполо-
предположения о постоянстве с в обеих системах. Из условия однородности и изо-
изотропности пространства следует, что y = 1 [11.36]. Кроме того, в соот-
соответствии со сделанными допущениями, у' = у и z' = z, так что
х* — сЧ2 == х'2 — сЧ'2. A1.14)
Пусть относительная скорость такова, что точка О' движется в системе S
со скоростью v, а точка О в системе S' — со скоростью — v. Тогда х' = 0
при х = vt и х = 0 при #' = — vt'. Следовательно,
х' = к{х — vt) A1.15)
где кик' — два коэффициента, зависящие от v. Подставляя в соотно-
соотношение A1.16) х', определяемое A1.15), получим
В формулах A1.15) и A1.17) х' и f выражены через х и t. Подставим эти
значения в правую часть A1.14) и приравняем коэффициенты при ж2,
t2, xt. Получим три уравнения для неизвестных кик'. Все они удовлет-
удовлетворяются при к = к' = A ■— v2lc2)-xl*. Таким образом, уравнения пре-
преобразования Лорентца (полученные из A1.15), A1.16), A1.17) после под-
подстановки найденных значений к и к') имеют вид
, х — vt x' + vt'
A1.18)
В нашем случае
Преобразования Лорентца обладают должной симметрией по отношению
к штрихованным и нештрихованным координатам, вытекающей из прин-
принципа относительности, с учетом лишь того, что знак относительной ско-
скорости в системе S противоположен ее знаку в системе S'. Непосредствен-
Непосредственной подстановкой A1.18) в A1.4) можно убедиться, что скорость света
в обеих системах одинакова, как это и было положено в основу наших
расчетов.
21 р. Дитчберн
322 ГЛ. 11. СКОРОСТЬ СВЕТА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ОПТИКА
Замедление времени и сокращение длины отрезков
11.30. Рассмотрим теперь четыре следствия, вытекающие из урав-
уравнений преобразования A1.18).
Относительность одновременности
Из формул A1.18) видно, что два события, происходящие в системе S
одновременно, но в разных точках пространства, оказываются неодно-
неодновременными в системе S', движущейся относительно S со скоростью v. Дей-
Действительно, если ti = t2, то
t = —- ( t —— X ) И
где
Следовательно, если х± Ф х2, то t[ Ф t'2.
Замедление времени
Точно так же легко видеть, что промежуток времени между двумя
событиями, происходящими в моменты ti и t2 в одной и той же точке х1
в системе S, не равен этому промежутку времени, измеренному в системе S':
At = tt-t2, Atf = ti-t'a = -^. A1.21)
Поскольку а меньше единицы, At' больше чем At.
Сокращение длины отрезков
Наблюдатель, покоящийся в системе S, может измерить длину неко-
некоторого стержня, также покоящегося в этой системе, прикладывая к нему
измерительный масштаб и отмечая на нем координаты концов стержня.
Пусть эти координаты равны xt и х2. Наблюдатель в системе *S" также
может измерить длину того же стержня, прикладывая к нему измери-
измерительный масштаб, покоящийся в системе S'. Однако в этом случае мас-
масштаб движется относительно стержня со скоростью г?, и наблюдатель
должен позаботиться, чтобы отсчеты координат концов стержня были
выполнены одновременно, т. е. в один и тот же момент в его системе S\
Измеренная им длина будет равна
причем, если наблюдения концов были выполнены в один и тот же момент V
в его системе, то он должен положить
Подставляя A1.23) в A1.22), получим
ЗАМЕДЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ И СОКРАЩЕНИЕ ДЛИНЫ ОТРЕЗКОВ 323
ИЛИ
и так как
то
«;—ж; = а(«2—«i). A1.24)
Таким образом, длина, измеренная в системе 6", меньше длины, измерен-
измеренной в системе «S, в отношении а : 1.
Сложение скоростей
Пусть частица движется вдоль совпадающих направлений осей х
и х1'. Пусть ее скорость, измеренная в системе S, равна G, а в системе
S' — соответственно U'. Тогда, если относительная скорость систем
координат S и S' равна v, то
n-dx v,tt-M- tj ■ d('+t')
Следовательно,
Это релятивистское правило сложения скоростей заменяет соответствую-
соответствующее соотношение A1.10) Ньютона — Галилея. Формула A1.25), разу-
разумеется, требует при ее применениях учета знаков скоростей U и v. Она
находится в согласии с постулатом о постоянстве скорости света, так
как при U' = с
Таким образом, при добавлении любой скорости (положительной или
отрицательной) к скорости света, последняя остается неизменной.
11.31. Приведенные выше выводы, указывающие, что результаты
измерений пространства и времени зависят от скорости наблюдателя,
казалось бы, противоречат нашим «интуитивным» представлениям о про-
пространстве и времени. Но эти представления основаны на опыте, в котором
наблюдатель либо находится в покое относительно наблюдаемого объекта,
либо движется со скоростью, значительно меньшей скорости света. Замед-
Замедление хода времени и сокращение длины при этом слишком малы, чтобы
их можно было заметить *). Поэтому «естественно» думать, что длины
и промежутки времени одинаковы для всех наблюдателей, т. е. считать
их фиксированными величинами, имеющими смысл независимо от какого-
либо наблюдателя. Так и было принято делать в механике Ньютона, что
приводило к формуле Галилея A1.10) для закона сложения скоростей.
Согласно этому закону все скорости меняются в соответствии с движе-
движением наблюдателя. Эйнштейн исходит из допущения, что в физике мы
имеем дело только с измеренной длиной и измеренным временем. Эти
*) Для наблюдателя, движущегося со скоростью 96 км/час мимо каких-либо
объектов, а отличается от единицы приблизительно на 10~14.
324 Г Л 11. СКОРОСТЬ СВЕТА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ОПТИКА
величины имеют определенный смысл только тогда, когда точно опре-
определен процесс их измерения.
Пусть в системе S в моменты t± и t2 испущены световые сигналы.
Наблюдатель в системе S' может отметить разность между моментами
времени, в которые они прибыли. Но он не считает ее совпадающей с про-
межутком времени между этими событиями, так как ему известно, что
между моментами испускания световых импульсов источник двигался.
Поэтому он должен учесть разницу во времени прохождения сигналов.
Согласно механике Ньютона это делается так, чтобы промежутки вре-
времени, измеренные в системе S и в системе S', были одинаковыми. Такой
метод учета разности хода несовместим с постоянством скорости света.
Согласно теории относительности необходимо прежде всего обеспечить
условие постоянства скорости света для обоих наблюдателей. Тогда рас-
рассматриваемые нами промежутки времени окажутся неодинаковыми.
Удовлетворить одновременно обоим требованиям — постоянству про-
промежутков времени и постоянству скорости света — невозможно. Опыт
Майкельсона — Морлея, а также другие опыты, которые мы рассмотрим
позднее, с большой достоверностью свидетельствуют в пользу принятия
постоянства скорости света. Мы увидим, что имеется также прямое под-
подтверждение как неравенства промежутков времени, так и закона сло-
сложения скоростей (см. уравнение A1.25)). Если же принять неравенство
промежутков времени (и соответствующее неравенство длин), то стано-
становится очевидным, что никакое утверждение относительно длины и вре-
времени не может быть полным без указания на определенную систему отсчета.
Если в какой-либо задаче исходные данные относятся к разным систе-
системам координат. и\ надо привести к одной системе при помощи формул
A1.18) или при помощи какого-нибудь другого эквивалентного приема.
Опыты, в которых источник и наблюдатель
находятся в относительном движении
11.32. Выведем теперь соотношения, определяющие наблюдаемые
частоту и направление света, испущенного источником, движущимся
относительно наблюдателя. Показатель преломления среды между источ-
источником и наблюдателем положим равным единице. Наблюдатель находится
в покое в точке Q в системе 5, а источник неподвижен в системе *S'
(рис. 11.8). Система координат S' дви-
движется относительно системы S со скоро-
скоростью v вдоль общего для обеих систем
положительного направления оси х. Для
наблюдателя в системе S сферическая
волна, испущенная в направлении Q
источником света, когда он находился в
точке Р, описывается соотношением
£ = — exp [i (со* — кх cos 9 —
— xysin9-t-e)], A1.27)
р х
так как (см. рис. 11.18)
Рис- и-8- кг = к(х cos G - у sin 9). A1.28)
Та же волна в системе S' описывается выражением
£' = 4^exp£{coV--KVcos9'--- xysinG'-e'}. A1.29)
ДВИЖЕНИЕ ИСТОЧНИКА И НАБЛЮДАТЕЛЯ 325
Однако то же выражение должно получаться из A1.27), если использо-
использовать уравнения преобразования A1.18). Отсюда
<ot — кх cos 8 — щ sin 0 + 8 =
^'-х'увшв' + е'. A1.30)
Это равенство должно выполняться при любых х и t. Приравнивая коэф-
коэффициенты при х и t и вспоминая, что ю/х = со'/и' = с, получим
со = — (со' 4- k'v cos 9'),
или
A1.31)
X COS 9
= i- (V COS в' + '-£) ,
т. е.
COS0'+—
cos 9 = — . A1.32а)
l+l-cos0'
Частота света, наблюдаемого в системе S, дается выражением A1.31),
а значения углов 9 и 9' связаны формулой A1.32а). Было установле-
установлено, что оба выражения A1.31) и A1.32а) подтверждаются данными
эксперимента (ср. §§ 11.33, 11.34 и 11.37).
Упражнения
11.1. Показать, что полное время прохождения луча (туда и обратно) в направле-
направлении, образующем угол 0 с направлением относительной скорости, дается формулой
Tq = —s 2~ [С2 —У2 A—COS2
При помощи этого выражения показать, что 2\ и Т2, получаемые из соотношении A1.2)
и A1.4), соответствуют частным случаям применения последнего выражения для Tq
к расчету опыта Майкельсона.
11.2. Показать, что формулу A1.32а) можно представить в виде
sin 8= aSln6 . A1326)
l+iLCos6'
[Из A1.32а) следует, что A + cos 6) = A + cos6') (*+тЛ /f 1 + 7"СО5в0 "f
аналогичное выражение получается и дгя A —cos 8) Форчугу A1 326) чся-nj погу-
читъ, заменив sin2 0 на A — cos 0) A — cos 0) ]
326 ГЛ. И. СКОРОСТЬ СВЕТА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ОПТИКА
11.3. Показать, что из A1.326) следует
зт0'=—asin6 , A1.32b)
1___E_cos0
с
и найти выражение для cos 0\
[Формула A1.32в) и соответствующее выражение для cos 8' получаются из
A1.326) и A1.32а) при помощи принципа относительности. Их можно вывести и непо-
непосредственно алгебраическим путем.]
11.4. Показать, что A1.32а) согласуется с требованием равенства коэффициентов
при у в соотношении A1.30). (Напомним, что со/х = &'/к' = с.)
11.5. Пучок света (испущенного источником в системе S") ограничен диафраг-
диафрагмами в пределах телесного угла dQ' (измеренного в S'). Показать, что телесный угол
dQ, измеренный наблюдателем в системе S (приближающейся к источнику со ско-
скоростью v), дается соотношением
dQ _ 1—v/c (Н ооч
[Дифференцируя A1.326), получаем
При 0 = 0' =0 получим dQ=^-r-.—— c?0'; поскольку -77^7= ( -^7 ) , отсюда следует,
l-f-v/c aid \cU у
что = ax , » m- e- соотношение A1.33).]
Продольный допплер-эффект
11.33. Из формул A1.32) видно, что если 9' = 0, то 9 также равно
нулю. При этом источник и наблюдатель сближаются вдоль соединяющей
их прямой со скоростью v. Соотношение между наблюдаемыми частотами
имеет вид
acD = G)'(l + *Vc), A1.34а)
или
aX'. A1.346)
Эти соотношения отличаются от нерелятивистского соотношения B.58)
множителем а. Опыты, описанные в § 2.24, недостаточно точны, чтобы
можно было обнаружить разницу в формулах B.58) и A1.346). Трудность
состоит не в оптической части эксперимента. В первых опытах по доп-
плер-эффекту не все атомы двигались точно в одном направлении, и поэтому
угол 9' в формуле A1.31) не был точно известен, а точность измерения v
была весьма ограниченной. Это не позволяло вычислить член в скобках
с ошибкой, меньшей 0,001. Кроме того, используемая для наблюдений
спектральная линия оказывалась уширенной вследствие вариаций ком-
компоненты скорости атомов вдоль луча зрения.
Поперечный допплер-эффект
11.34. Если пучок атомов наблюдается под прямым углом к направ-
направлению относительной скорости атомов, то cos 9 = 0 и, согласно A1.32а),
cos 9' = — vie. Подставляя это значение в A1.31), получаем
, 1—V2/C2 / /Л л ОС \
со = со /—ТТ-= о) а, A1.35а)
(l2/2)V2 ' V '
ПОПЕРЕЧНЫЙ ДОППЛЕР-ЭФФЕКТ 327
или
A1.356)
где X — длина волны, излучаемая движущимися атомами и измеренная
в системе S, а V — длина волны, которую зафиксировал бы наблюдатель,
покоящийся относительно источника излучения (атомов). Такое изме-
изменение частоты и длины волны называется поперечным допплер-эффектом,
не имеющим места по классической теории. Этот эффект наблюдали срав-
сравнительно недавно Айве и Стилуэлл и независимо от них Оттинг. Для
достижения необходимой точности им пришлось решить три технические
проблемы:
а) Создать строго параллельный пучок излучающих атомов.
б) Спектрограф должен принимать излучение атомов в направлении,
строго перпендикулярном их скорости.
в) Скорость атомов должна быть очень большой (порядка 10~2 с)
и должна быть известна, хотя и с умеренной точностью.
Ошибка из-за недостаточной параллельности пучка атомов пропор-
пропорциональна v/c, тогда как основной эффект пропорционален г?2/с2. Поэтому
роль этой ошибки значительно снижается при использовании очень
большой скорости атомов. В опыте Айвса заряженные атомы или моле-
молекулы собирались в параллельный пучок при помощи соответствующих
полей (в основе фокусировки ионных пучков лежат те же принципы, что
и в известных методах фокусировки электронов). При использовавшихся
скоростях ион может захватывать электрон и превращаться в возбужден-
возбужденный атом (или молекулу), не испытав заметного отклонения от перво-
первоначального направления своего движения. В плоскости, строго перпен-
перпендикулярной направлению наблюдения, располагалось зеркало. Затем
направление наблюдения изменялось до тех пор, пока в прямом и в отра-
отраженном свете не регистрировались одинаковые длины волн. Когда раз-
различие между ними (обусловленное малой компонентой скорости атомов
вдоль направления наблюдения) становилось очень малым, среднее зна-
значение длин волн можно было считать длиной волны света, испущенного
атомами, движущимися перпендикулярно направлению наблюдения *).
Найденная в опыте зависимость X от скорости v совпадала с зависимо-
зависимостью, даваемой формулой A1.356). Описанный выше опыт служит также
удовлетворительным и очень непосредственным подтверждением изме-
изменения хода времени при переходе от одной системы отсчета к другой.
Соответствующее прямое подтверждение сокращения длин отрезков
отсутствует. Эта часть теории косвенно подтверждается опытами, опи-
описанными в § 11.38.
Упражнения
11.6. Вычислить различие в допплеровском смещении по формулам B.58)
и A1.346) для частиц, скорости которых равны: а) 0,1 с; б) 0,01 с; в) 0,003 с. Длину
волны принять равной 6000 А.
[а) 27 А; б) 0,30 А; в) 0,027 А.]
11.7. Источник света испускает излучение с длиной волны 6000 А (измеренной
наблюдателем, по отношению к которому источник покоится). Найти смещение спект-
спектральной линии при следующих условиях: а) источник движется относительно наблю-
наблюдателя перпендикулярно линии наблюдения, б) источник удаляется от наблюдателя
под углом 89° 55' к линии наблюдения. В обоих случаях скорость источника считать
равной 0,0031 с.
*) В этих опытах использовались скорости атомов от 4-10~3 с до 7-10~3 с.
328 ГЛ. 11. СКОРОСТЬ СВЕТА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ОПТИКА
[а) АЯ = 0,03 А согласно формуле A1.356), б) ДА, = 0,06 А. Чтобы получить
последний результат, надо воспользоваться формулой ю/=— ( 1 cos 0 ) , полу-
а \ е J
ценной из A1.31) путем использования принципа относительности; подставлять следует
скорость v = —0,0031 с, так как источник света удаляется.]
11.35. Иногда считают, что сокращение длины отрезков, даваемое формулой A1.24),
является лишь сокращением, постулированным Фитцджеральдом и Лорентцем, и что
оно подтверждается опытом Майкельсона — Морлея. Эта интерпретация не согласуется
с теорией относительности, так как гипотеза Фитцджеральда — Лорентца была выдви-
выдвинута в качестве альтернативы гипотезы о постоянстве скорости света. На самом деле
отрицательный результат опыта Майкельсона нашел полное объяснение лишь в
единой концепции теории относительности, охватывающей и принцип постоянства
скорости света, и вытекающие из него законы преобразования координат и време-
времени (формула Лореятца).
Кроме того, выдвигалось утверждение, что поскольку в опыте Майкельсона —
Морлея наблюдалось распространение света туда и обратно, он не может подтверждать
какие-либо суждения о скорости света в одном направлении. Фактически этот опыт
показывает, что если с (8) — скорость в направлении, образующем угол 0 с осью, фик-
фиксированной относительно Земли, то
+ *Л=const»
т. е. не зависит от 0.
Повторение опыта в разное время года показывает, что подобное соотношение
имеет место при различных скоростях движения Земли относительно Солнца, хотя
постоянная Л может и изменяться. Эддингтон [11.15] проанализировал это соотно-
соотношение более подробно и пришел к выводу, что на основании результатов опыта Май-
Майкельсона — Морлея и других опытов следует счи-
считать скорость света постоянной во всех направле-
направлениях и для всех наблюдателей. Однако, строго гово-
говоря, нельзя утверждать, что сам по себе опыт Май-
Майкельсона — Морлея доказывает это положение.
Отражение света от движущегося зеркала
—*~ 11.36. Здесь мы займемся выводом зако-
закона отражения света от плоского зеркала,
которое движется относительно наблюдателя
и источника вдоль своей нормали (рис.
11.9). Пусть S — система координат, в ко-
которой зеркало покоится, a S' — система ко-
Рис. 11.9. Отражение света от ординат наблюдателя. Обозначим через х
движущегося зеркала. угол падения, измеренный в системе S*
Тогда угол отражения, измеренный в Sr
будет равен — %, так как в этой системе справедлив обычный закон отра-
отражения. Углы падения и отражения в £' обозначим через %\ и — %г-
Теперь мы можем воспользоваться формулой A1.326) для получения
соотношений, во-первых, между % и %1 и, во-вторых, между — % и — %'г.
В последнем случае нужно изменить знак v, так как падающий луч
движется в направлении зеркала, а отраженный — от зеркала. Тогда
мы получим
asinXJ . , ч asinXj.
sinx= _ _и sm(—5С)=
— cosXj 1-T
Отсюда вытекает следующий закон отражения:
sin г\ sin x;
l+-fcosx; 1—fcosx;
A1.36)
ОПЫТЫ С АБЕРРАЦИЕЙ 329
Упражнения
11.8. Показать, что если он и (Or — круговые частоты падающего и отраженного
света соответственно, то
)^) (из?)
[В системе S частоты падающего и отраженного света одинаковы. Пусть эта
частота равна о; тогда из A1.31) мы получим соотношение между ouoj u между о>
и о>;.]
11.9. Точечный источник света помещен в фокусе линзы с фокусным расстоя-
расстоянием /. Перпендикулярно оси линзы помещено плоское зеркало так, что, если оно
неподвижно, изображение оказывается совмещенным с источником света. Показать,
что при движении зеркала со скоростью и в направлении, перпендикулярном к его
нормали, изображение смещается приблизительно на 2fv/c.
Указание. Воспользоваться формулами A1.32).
11.10. Показать, что в опыте, описанном в предыдущем упражнении, происходит
также изменение длины волны, пропорциональное v2/c2.
[Пусть со — круговая частота для наблюдателя в системе S, связанной с зерка-
зеркалами, а 0)^ — частота, измеренная в системе S'. Тогда, согласно A1.31), coj = соа.
Для отраженного луча имеем приближенно cos 6' = 2 у/с и из A1.31) получаем
(д'г A + 2v2/c2) = соа = cot. Следовательно, длина волны отраженного луча возрастает
на АХ = 2Xv*/c2.]
Опыты с аберрацией
11.37. Вернемся к формуле A1.32а) и к рис. 11.8. Мы видим, что
наблюдатель в системе S видит под углом 0 предмет, который в системе 5"
расположен под углом 8'. В простейшем случае, когда 0" = я/2, разность
между 0 и 0' дается соотношением
= 8тЛ| —б) = cos 9 = -^-. A1.38)
Угол А0 называется углом аберрации. Впервые аберрацию наблюдал
Брэдли, который установил кажущееся различие в положении звезд
в различные времена года. Явление аберрации является следствием
обращения направления скорости Земли при ее движении по орбите
вокруг Солнца. Брэдли воспользовался своими опытами для определе-
определения скорости света. В настоящее время, по-видимому, более целесообразно
считать скорость света известной и использовать явление аберрации
для определения орбитальной скорости Земли *).
Эйри и Хок наблюдали аберрацию при помощи обычного телескопа и телескопа,
заполненного водой. Ожидалось, что углы аберрации в этих двух случаях окажутся
различными и что различие между ними позволит определить скорость Земли отно-
относительно эфира. Однако никакого различия обнаружено не было. Позднее было дано
довольно сложное объяснение этого результата, основанное на френелевской теории
частичного увлечения эфира (см. § 11.38). Теория относительности дает значительно
более простое объяснение.
Пусть, когда труба заполнена воздухом, наблюдатель в системе S направляет
свой телескоп так, что звезда находится в центре поля зрения. В его системе свет,
приходящий от звезды, представляется системой почти плоских волн, нормали кото-
которых направлены вдоль оси инструмента. Заполнение трубы водой, естественно, не при-
приводит ни к каким изменениям этого угла, и звезда по-прежнему видна в том же напра-
направлении. Конечно, совершенно иное положение создалось бы в том случае, если бы
вещество заполняло все пространство между источником и наблюдателем.
*) Совершенно недостаточное здесь описание явления аберрации следует допол-
дополнить чтением другой литературы. См., например, А. Зоммерфельд, Оптика,
ИЛ, М., 1953, или Г. С. Л а н д с б е р г, Оптика, Гостехиздат, М., 1957. (Прим. ред.)
.330
ГЛ. 11 СКОРОСТЬ СВЕТА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ОПТИКА
Опыты по определению скорости света
в движущейся среде
11.38. В 1818 г. Френель предложил измерять скорость света в дви-
движущейся среде путем измерения оптической толщины движущейся плас-
пластинки. Этот опыт был выполнен Физо. Его установка представляла собой
'фактически несколько видоизмененный рефрактометр Рэлея (рис. 11.10).
-== —— #
Рис. 11.10. Распространение света в движущейся среде.
В точке О наблюдается интерференция между пучком света, прошедшим
из М2 в М± по верхнему пути и вернувшимся по нижнему, и пучком света,
прошедшим из М2 в М± по нижнему пути и вернувшимся по верхнему.
Измеряется смещение интерференционных полос вблизи точки О при
изменении направления течения жидкости по трубам прибора. Это сме-
смещение пропорционально скорости жидкости. Изменение скорости света
можно было бы вычислить по изменению оптического пути, используя
соотношение A1.6). Оказалось, что скорость света в движущейся среде
Ь' равна следующей величине:
b' = b + v(l— -^Л , A1.39)
хотя в соответствии с законом сложения скоростей в ньютоновой меха-
механике A1.10) ожидалось, что эта скорость будет равна (Ъ -+- v). По Фре-
Френелю результат Физо объяснялся тем, что эфир увлекается движущейся
•средой, но приобретает лишь часть ее скорости. Множитель Г 1 — "р")
был назван коэффициентом увлечения эфира Френеля. Это довольно
искусственное допущение нельзя было сколько-нибудь удовлетворитель-
удовлетворительным образом обосновать теоретически. В теории относительности резуль-
результат, выраженный в A1.39), получается без введения каких-либо спе-
специальных предположений. Воспользовавшись законом сложения ско-
скоростей A1.25) и подставляя Ъ и V вместо U и U\ получаем
Если v мало по сравнению с с, то можно написать
V « (b + v) (l~) « b + v (i-i-) ,
что согласуется с соотношением A1.39).
Этот опыт очень важен, так как он дает прямое доказательство теоремы сложе-
сложения скоростей. Отсюда вытекает также, что отрицательный результат опыта Майкель-
сона — Морлея уже нельзя объяснять по Герцу полным увлечением эфира Землей.
Так как опыт Майкельсона ведется в атмосфере воздуха, коэффициент увлечения в этом
случае должен мало отличаться от нуля, тогда как для объяснения отрицательного
результата опыта нужно положить его равным единице. Опыт Физо был повторен
СМЕЩЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ 331
ТИайкельсоном и Морлеем, а также Зееманом. Дополнительной целью этп\ п зднеи-
1пих экспериментов являлось изучение малой поправки к значению скор» стп • зкга
связанной с дисперсией вещества. Основной результат, даваемый формулой 11 *
^полностью подтвердился.
Некоторые применения общей теории относительности
к оптическим явлениям. Искривление светового луча
в гравитационном поле
11.39. Согласно теории тяготения Ньютона материальная частица,
находящаяся на расстоянии г от центра тяжести сферического тела мас-
•сы т, испытывает гравитационное ускорение, пропорциональное т/г2.
Поэтому уже в нерелятивистской теории световые корпускулы должны
двигаться вблизи больших масс по искривленным траекториям. Однако
теория Ньютона не предсказывает отклонения электромагнитных волн.
Общая теория относительности приводит к выводу об искривлении све-
световых лучей в неоднородном поле тяготения независимо от корпуску-
корпускулярной или волновой природы света. Величина искривления примерно
вдвое больше величины, предсказываемой нерелятивистской теорией
для световых корпускул. Кривизна луча в гравитационном поле Земли
слишком мала для того, чтобы ее можно было заметить [11.15]. Изме-
Изменение направления светового луча от звезды, проходящего вблизи края
солнечного диска, составляет 1,75". Это изменение направления было
измерено путем фотографирования звезд, наблюдаемых вблизи солнеч-
солнечного диска во время затмения. Полученную фотографию сопоставляли
затем с фотографией той же области неба, сделанной ночью 6 месяцами
ранее. Внешние звезды на обеих фотографиях образуют как бы систему
отсчета. Свет от них проходит недостаточно близко от солнечного диска,
чтобы испытать заметное отклонение. Далее, на обеих фотографиях фик-
фиксируется положение звезд, свет от которых во время затмения проходит
вблизи Солнца. Было обнаружено, что изображения таких звезд на фото-
фотографии, сделанной во время затмения, слегка смещены по направлению
к Солнцу. По этим смещениям можно рассчитать отклонение луча. По
наблюдениям затмения 1919 г. [11.15] были найдены отклонения, равные
1,98 ± 0,12" и 1,61 ± 0,30". Более поздние наблюдения 1923 г.
и 1928 г. [11.23, 11.24] дали 1,72 ± 0,11" и 1,82 ± 0,15". Все четыре
измерения, вместе взятые, служат достаточно хорошим подтверждением
рассматриваемого эффекта.
Смещение спектральных линий в гравитационном поле
11.40. Можно показать, что длина волны света, испущенного атомом,
находящимся в сильном гравитационном поле, больше длины волны
света, испущенного атомом вне поля. Отношение этих длин волн равно
где к — постоянная. Величина к такова, что в гравитационном поле
Земли эффект крайне мал, а изменение длины волны у поверхности Солнца
«составляет всего 2-10~6, т. е. равно 0,01 А для длины волны 5000 А. Вообще
говоря, измерение таких изменений длин волн не представляет серьез-
серьезных трудностей, но в наблюденные значения надо ввести поправку на
эффект Допплера и другие эффекты (обусловленные возможными
электрическими и магнитными полями, а также столкновениями). Этп
332 Г Л 11 СКОРОСТЬ СВЕТА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ОПТИКА
побочные эффекты изменяются от точки к точке на поверхности Солнца
и в какой-то мере их можно исключить, проводя наблюдения в разных
точках. После того, как это было сделано, были получены смещения,
свидетельствующие в пользу существования указанного гравитационного
эффекта [11.24].
Значительно большие смещения спектральных линий наблюдались в спектре
спутника Сириуса. В спектре самого Сириуса столь сильное смещение не обнаружива-
обнаруживалось, и поэтому его нельзя отнести за счет допплер-эффекта. Если наблюдавшееся
смещение объяснять гравитационным эффектом, то надо приписать спутнику Сириуса
плотность порядка 104 г/см9. Существование карликовых звезд с плотностью вещества
такого порядка предсказывалось теорией эволюции звезд. Поэтому представляется
разумным рассматривать наблюдавшиеся смещения как важное подтверждение общей
теории относительности *).
Интерференция во вращающейся системе
11.41. Иногда считают, что явление, наблюдаемое при вращении,
трудно объяснить с помощью теории относительности. В большей части
обычно встречающихся условий предсказания релятивисткой теории
в отношении вращения согласуются с пред-
предсказаниями нерелятивистской механики, если
не считать очень малых поправок, не под-
поддающихся экспериментальному обнаруже-
обнаружению. Мы опишем здесь два эксперимента по
интерференции света. Один из них, опыт
Саньяка, можно рассматривать как аналогию
механических опытов с вращающимся телом.
Другой, опыт Майкельсона,— как аналогию
опытов с маятником Фуко, так как его ре-
результаты зависят от вращения Земли.
11.42. Схема опыта Саньяка показана
на рис. 11.11. Интерферирующие лучи обхо-
обходят периметр квадрата в двух противопо-
противоположных направлениях, и интерференционная
" картина фотографируется в точке Q. Вся
Рис 11 11. Опыт Саньяка. установка, включая источник света S и фото-
фотокамеру, поворачивается примерно один раз.
в секунду. Интерференционные полосы оказываются смещенными отно-
относительно их положения при покоящейся установке. Согласно нереля-
нерелятивистской теории скорость света в одном направлении обхода пери-
периметра квадрата равна с + v, а в другом направлении с — v, где
v — компонента скорости одного из зеркал в направлении распро-
распространения света. Если при покоящемся зеркале длина пути для каждого
луча равна s, то разность времен обхода во вращающейся установке
будет равна следующей величине:
с—v с-\-и
*) В последнее время удалось измерить гравитационное смещение спектральных
линий в поле Земли с помощью так называемого эффекта Мессбауэра при резонансном
рассеянии у-лучей. Измерялось относительное смещение линий источника и детектора,
отстоящих друг от друга на 20 м по вертикали. Эффект, предсказываемый общей тео-
теорией относительности, был подтвержден с точностью до 5%. См. статью Р. П а у н д а,
УФН 72, вып. 4 A961); дискуссию вопроса см. в статье В. Л. Гинзбурга, УФН
81, вып. 4 A963). (Прим. ред.)
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЕ 333
Если v мало по сравнению с с, то соответствующая разность хода лучей
As записывается в виде
As= — s. A1.42)
с
Наблюдаемое смещение полос удовлетворяет этому соотношению *).
11.43. В своем опыте по обнаружению влияния вращения на ско-
скорость распространения света Майкельсон использовал суточное враще-
вращение Земли. Ввиду малого значения угловой скорости Земли ему пришлось
применять для обхода света очень большой контур. Кроме того, поскольку
невозможно изменять скорость вращения Земли, он использовал два
контура—один большой F0x33 м2)
и другой — малой площади. Схема
установки Майкельсона показана на
рис. 11.12. Одна последовательность
полос получалась при интерферен-
интерференции пучков, обходивших основной
контур ABCD в направлении часо-
часовой стрелки и в обратном направ-
направлении. Дополнительная система
полос получалась при обходе ма-
малого контура ABEF также в обоих
направлениях. Источником света
служила узкая щель, и если изо- Рис. 11.12.
бражения источника, получающиеся
лри обходе двух контуров, точно совпадали друг с другом, то, если бы
не сказывалось вращение, должны были бы совпадать и системы полос.
При длине волны 5700 А эффект вращения Земли на широте 41°40' должен
<5ыл вызвать смещение, равное 0,236 ширины полосы. Наблюдаемое сме-
смещение составляло 0,230 ширины полосы. Для получения этого резуль-
результата оказалось необходимым уменьшить влияние изменений температуры
и давления, для чего свет заставляли проходить по трубам, из которых
был откачен воздух.
Упражнения
11.11. Показать, что для прямоугольного вращающегося контура эффективная
разность хода лучей (см. рпс. 11.12) приближенно равна
/ л
As=—Q, A1.43)
с
где А — площадь, ограниченная контуром, a Q — угловая скорость вращения.
11.44. Часто утверждают, что опыты по вращению можно «одинаково
хорошо» объяснить на основе нерелятивистской теории, специальной тео-
теории относительности и общей теории относительности. Однако это неверно.
Объяснение, даваемое нерелятивистской теорией (см. § 11.41), предпола-
предполагает, что эфир не увлекается вместе с вращающейся установкой. Это,
однако, совершенно не согласуется с нерелятивистским объяснением
опыта, описанного в § 11.38. Специальная теория относптельности
*) Отметим, что опыт Саньяка относится к числу опытов первого порядка по отно-
отношению к v/c. Подробности см. в [11.34]. (Прим. ред.)
334 ГЛ. 11. СКОРОСТЬ СВЕТА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ОПТИКА
вообще неприменима к вращающимся системам, и поэтому не дает им:
никакого объяснения. Ланжевен [11.22] показал, что общая теория отно-
относительности удовлетворительно описывает рассмотренные выше явления^
Это — единственная теория, которая может дать объяснение полученных
в опытах результатов, не вступая в противоречие с другими фактами.
Соотношение между массой и энергией
11.45. Мы уже видели, что время и длина являются относитель-
относительными величинами, т. е. их значения могут изменяться в соответствии
с движением системы отсчета, в которой они измеряются. Естественна
допустить, что и большинство других величин, например импульс, энер-
энергия, сила и т. п., являются относительными и что лишь некоторые спе-
специальные функции длины и времени остаются инвариантными (т. е. оди-
одинаковыми для всех наблюдателей). В учебниках по теории относитель-
относительности [11.15, 11.17] показано, что общие методы решения динамических
задач, сформулированные Гамильтоном на основе законов Ньютона,
можно сохранить, если считать массу тела функцией его скорости. В этом
случае
т = ^-, A1.44)
где т0 — масса тела в системе координат, в которой оно покоится; т0 назы-
называют массой покоя, а т — релятивистской массой, или просто массой*
Количество движения, или импульс (Р), тела и его энергия (Е) ока-
оказываются равными:
p=rmv = т°и 17 A1.45)
A1.46)
Если v значительно меньше с, энергию можно представить в виде
± ± A1.47)
Таким образом, энергия состоит из постоянной части, соответствующей
массе покоя тела (так называемая энергия покоя), и части, соответствую-
соответствующей кинетической энергии.
11.46. В условиях, характерных для обычных задач механики, когда
тела движутся со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света,
масса остается практически постоянной. В этом случае теория относи-
относительности дает те же предсказания, что и ньютонова механика, поскольку
постоянный член Ео в формуле A1.47) появляется в обеих частях любого-
энергетического уравнения и взаимно уничтожается. Можно, однако,
ускорить электроны и другие частицы до таких энергий, что они начнут
двигаться со скоростями, сравнимыми со скоростью света. При этом
масса начинает сильно изменяться со скоростью. Было обнаружено*
также, что при ядерных реакциях масса покоя продуктов реакции далека
не всегда совпадает с массой покоя исходных компонент. Изменения
энергии при этом оказываются в согласии с соотношением A1.46).
ЛИТЕРАТУРА 335
Масса и энергия фотона
11.47. Из выражений A1.45) и A1.46) можно получить соотношение»
Е2 = т1с* + с2Р*. A1.48)
Однако для света имеются непосредственные экспериментальные данные
(см. § 17.21), указывающие, что
Е = сР. A1.49)
Это соотношение совместимо с соотношением A1.48) тогда и только тогда,
когда масса покоя светового кванта равна нулю. Необходимость введе-
введения такого допущения следует также прямо из формул A1.45) и A1.46).
Из них видно, что частица должна была бы иметь бесконечный импульс
и бесконечную энергию, чтобы она могла двигаться со скоростью света.
Мы можем, однако, представить себе частицу, масса которой бесконечно
мала, а скорость неограниченно приближается к с. Выбрав соответствую-
щее соотношение между скоростью и массой покоя, мы получим конеч-
конечные значения ее импульса и энергии. Фотон можно рассматривать как
предельный случай частицы, когда масса покоя обращается в нуль, а ско-
скорость становится равной с. В этом смысле о фотоне можно говорить, как
о частице с нулевой массой покоя.
11.48. Масса, соответствующая кванту видимого света, равна по
порядку величины 10~33 г. Следовательно, атом, масса которого равна
Ю~24 — Ю~23 г, теряет при испускании кванта лишь ничтожную долю
своей энергии. Масса, соответствующая энергии, получаемой Землей
от Солнца в течение года, составляет 6«1010 г, а полная масса, испускае-
испускаемая Солнцем за год в виде излучения, равна 1,4-1020 г. Таким образом,
в течение миллиона лет при той же интенсивности излучения Солнце
потеряет 1,4-1026 г, т. е. 10% своей теперешней массы. Потеря массы
в результате излучения играет очень важную роль в процессе звездной
эволюции. Мы еще не знаем подробно всех стадий процесса, в котором
масса звезд уменьшается в результате излучения, хотя для их объясне-
объяснения был создан целый ряд теорий. Можно считать почти твердо установ-
установленным, что в результате ядерных реакций, происходящих внутри звезд,
возникает излучение высокой частоты. Большая часть его энергии за
счет рассеяния, поглощения и реэмиссии переходит в более длинновол-
длинноволновое излучение по мере продвижения излучения к внешним частям
звезды. В конце концов она испускается в виде ультрафиолетового,,
видимого и инфракрасного излучений.
Литература
11.1. Michel son, Astrophysical J. 65, 1 A927).
11.2. M ichelson, Pease, Pearson, Astrophysical J. 82, 26 A936).
11.3. Майкельсон, Исследование по оптике, ГИЗ, М. (б/г).
11.4. Karolus, Mittelstaedt, Phys. Zeits. 29, 698 A928).
11.5. Mittelstaedt, Annalen d. Physik 2, 285 A929).
11.6. Huttel, Annalen d. Physik 37, 365 A940).
11.7. Anderson, Rev. Sci. Instr. 8, 239 A937).
11.8. Anderson, J. 0. S. A. 31, 187 A941).
11.9. Dorsey, Trans. Amer. Phil. Soc. 34, 1 A944).
11.10. В irge, Reports on Progress in Physics 8, 92, 1941.
11.11. Lorentz, Ach. Neerlandaises der Sci. 6, 303 A901).
11.12. Essen, Nature 165, 582 A950).
11.13. Эйнштейн, Сущность теории относительности, ИЛ, 1955.
336 ГЛ. 11. СКОРОСТЬ СВЕТА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ОПТИКА
11.14. И о с Г., Курс теоретической физики, Учпедгиз, М., 1963.
11.15. Эддингтон, Теория относительности, ГТТИ, Л.—М., 1934.
11.16. Tolman, Relativity, Thermodynamics and Cosmology, Oxford Univ. Press.
11.17. McCrae, Relativity Physics, Methuen.
11.18. Michelson, Morley, Phil. Mag. 24, 449 A887).
11.19. Kennedy, Proc. Nat. Acad. Sci. 12, 621 A926).
11.20. I 11 ing worth, Phys. Rev. 30, 692 A927).
11.21. Joos, Annalen d. Physik 7, 385 A930).
11.22. Langevin, C. R. Acad. Sci. 173, 831 A921).
11.23. Lick Observatory Bull. 11, 141 A923); 13, 130 A928).
11.24. St. John, Asfrophys. J. 67, 195 A925).
11.25. Adams, Proc. Nat. Acad. Sci. 11, 382 A925).
11.26. Hubble, The Observational Approach to Cosmology, Oxford Univ. Press.
11.27. I ves, Stilwell, J. 0. S. A. 31, 369 A941).
11.28. Otting, Phys. Zeits. 40, 681 A939).
11.29. M с V i t t i e, Cosmological Theory, Methuen.
Дополнительная литература
11.30. Лорентц Г. А., Пуанкаре А., Эйнштейн А., Минков-
ский Г., сб. «Принцип относительности», ОНТИ, М., 1935.
11.31. Паули В., Теория относительности, ИЛ, М., 1947.
11.32. Бергман В., Введение в теорию относительности, ИЛ, М., 1947.
11.33. Фок В. А., Теория пространства, времени и тяготения, Гостехиздат, М.,
1955.
11.34. Вавилов С. И., Собрание сочинений, т. IV, Изд. АН СССР, М., 1956.
11.35. Мандельштам Л. И., Полное собрание трудов, т. V, Изд. АН СССР,
М., 1950.
11.36. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория поля, Физматгиз, М., 1960.
11.37. Б о р н М., Эйнштейновская теория относительности, Изд. «Мир», М., 1964.
11.38. Т о н н е л а М. А., Основы электромагнетизма и теории относительности,
ИЛ, М., 1962.
ГЛАВА 12
ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ
Скалярная и векторная волновые теории света
12.1. В опытах, описанных в гл. 2—9, все плоскости, проходящие
через волновую нормаль, были эквивалентными. Если, например, вол-
волновой фронт расположен в горизонтальной плоскости, то все, что можно
сказать относительно световых колебаний в вертикальной плоскости, про-
проходящей с севера на юг, в равной мере относилось и к колебаниям в вер-
вертикальной плоскости, проходящей с запада на восток. Описанные выше
явления интерференции и дифракции привели к созданию волновой тео-
теории света, но величины, периодические изменения которых составляют
волну, не обязательно должны быть векторными величинами. Если бы
эти опыты были единственно возможными, допустимо было бы принять
скалярную волновую теорию света.
Теперь мы перейдем к рассмотрению экспериментов, результаты
которых зависят от ориентации различных частей аппаратуры относи-
относительно той или иной плоскости, проходящей через волновую нормаль.
Эти результаты нельзя понять, исходя из скалярной волновой теории,
но они хорошо описываются теорией, в которой свет представляется
периодическими изменениями ^величины, характеризуемой как числен-
численным значением, так и направлением. Световые возмущения в любой
момент времени задаются тогда вектором *), определяющим как направ-
направление светового возмущения, так и его величину. В изотропном веществе
этот вектор всегда лежит в плоскости волнового фронта, и луч света
перпендикулярен волновому фронту. Результаты экспериментов, к опи-
описанию которых мы теперь перейдем, заставляют предположить существо-
существование двух состояний света: так называемого поляризованного света и непо-
ляризованного света.
Мы увидим, что первый из них следует представлять вектором, вели-
величина и направление которого в данной точке пространства закономерно
меняются с течением времени. Если направление светового вектора
остается постоянным, а меняется во времени только его величина, то
говорят о линейно поляризованном, или плоско-поляризованном, свете.
Если величина вектора остается постоянной во времени, а направление
его меняется так, что конец вектора описывает окружность, то свет назы-
называют поляризованным по кругу. Иногда меняются как величина, так
и направление вектора, причем его конец описывает эллипс. Тогда гово-
говорят об эллиптически поляризованном свете.
Пучок неполяризованного света можно рассматривать как «смесь»
двух пучков, поляризованных в двух взаимно перпендикулярных пло-
плоскостях и не обладающих постоянным соотношением фаз (см. §§ 12.17
и 12.31). Изменение направления суммарного светового вектора обеих
*) Нужно ясно понимать, что это представление совершенно отлично от нашего
прежнего, в котором направление вектора условно определяло фазу колебания.
22 р. Дитчберн
338 ГЛ 12. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ
волн не связано сколько-нибудь регулярным образом с изменением его
величины. Большая часть поляризационных явлений сопровождается
дисперсией (т. е. они изменяются с длиной волны света). Некоторые
эффекты, обусловленные дисперсией, рассмотрены в §§ 12.38—12.44.
В начале настоящей главы мы будем предполагать, что свет монохрома-
тичен.
Опыты Малюса
12.2. Естественный свет может стать плоскополяризованным
в результате отражения от непосеребренной поверхности прозрачного
вещества, например стекла. Это явление было от-
открыто Малюсом, который заставлял свет после-
последовательно отражаться от двух стеклянных пла-
пластин. Если поверхности пластин Gt и G2 распо-
расположены, как показано на рис. 12.1, то происходит
сильное отражение света от обеих поверхностей.
Если же вторую пластину G2 повернуть таким обра-
образом, чтобы отраженный луч выходил из плоскости
чертежа, то количество отраженного от нее света
сильно уменьшится. Следовательно, первое отраже-
отражение сопровождается таким изменением состояния
колебаний световой волны, что она может хорошо
отражаться в плоскости чертежа, но лишь очень
,9 , г^мжл л„„ слабо отражается в перпендикулярной к нему пло-
та Малюса скости, оти результаты можно объяснить, полагая,
посчедователыше отра- что первое зеркало поляризует свет, а второе обна-
HHx^epKTG; руяотает эту поляризацию.
и g2 Устройство, создающее плоскополяризованный
пучок из неполяризованного, называется поляриза-
поляризатором. Устройство, обнаруживающее наличие плоской поляризации света,
называется анализатором. Любая часть аппаратуры, способная служить
поляризатором, может работать также как анализатор и наоборот.
В опытах Малюса первое непосеребренное зеркало рассматривается
как поляризатор, а второе — как анализатор, однако этот опыт можно-
с равным успехом повторить, обратив направление распространения
светового луча. Если поляризатор и анализатор ориентированы так,
что при совместном их действии они пропускают максимальное количе-
количество света, то говорят, что они параллельны. Если же их относительная
ориентация такова, что система пропускает минимальное количество
света, то говорят, что они скрещены. Два непосеребренных зеркала парал-
параллельны (в указанном смысле), если оба отражения от них происходят
в одной плоскости, и скрещены, если отражения от них происходят во
взаимно перпендикулярных плоскостях.
Определение плоскости поляризации
12.3. Описание параллельного пучка неполяризованного света будет
полным, если указаны направление его распространения, амплитуда
и частота. Для полного описания пучка плоскополяризованного света
необходимо задать дополнительную характеристику — азимут его пло-
плоскости поляризации. Обычно указывают плоскость, в которой пучок
наилучшим образом отражается от непосеребренной стеклянной плас-
ЗАКОН БРЮСТЕРА 339
тинки. Эту плоскость называют плоскостью поляризации. Необходимо
отметить, что такой выбор является в известной мере условным (см. ниже).
Нет специальных причин, по которым за плоскость поляризации нельзя
было бы принять, скажем, плоскость наименьшего отражения. Кстати,
некоторые авторы используют последнее определение. Важно только,
чтобы при наличии плоскополяризованного пучка наше определение
позволяло установить плоскость поляризации простым физическим опы-
опытом. Наиболее простой способ состоит в измерении количества света у
отраженного при разных плоскостях его падения на пластинку.
На определенных стадиях развития теории упругого светового эфира
важно было знать, является ли направление колебаний (которое обычно
называли направлением «светового вектора») параллельным или пер-
перпендикулярным плоскости поляризации. Для вопросов, рассматриваемых
в данной главе, это обстоятельство не играет роли, но для удобства мы
предположим, что световой вектор перпендикулярен плоскости поляри-
поляризации. В гл. 13 будет показано, что электромагнитная природа световых
волн приводит к тому, что плоскополяризованный пучок в изотропной
среде представлен магнитным вектором, лежащим в плоскости поля-
поляризации, и электрическим вектором, перпендикулярным ей. Это обстоя-
обстоятельство и определяет известную условность в выборе плоскости поля-
поляризации света. Для описания экспериментов, обсуждаемых в настоящей
главе, достаточно одного «светового вектора», который, таким образом,
следует сопоставлять электрическому вектору в теории Максвелла.
Закон Брюстера
12.4. Выше мы не занимались количественным рассмотрением отно-
отношения максимальной интенсивности отраженного света, когда поляри-
поляризатор и анализатор параллельны, к минимальному, получаемому при
скрещенных пластинках. Зависимость этой величины от угла падения 9
исследовалась Брюстером, который показал, что данное отношение осо-
особенно велико для угла 0Р, удовлетворяющего соотношению
Это соотношение называется законом Брюстера, а угол 9Р — поляризую-
поляризующим углом, или углом Брюстера. Иными словами, закон Брюстера можно
сформулировать следующим образом: если естественный свет падает
на диэлектрик с показателем преломления \х под углом, удовлетворяю-
удовлетворяющим соотношению A2.1), то отраженный свет будет линейно поляри-
поляризованным.
Практически категоричность этого утверждения нуждается в неко-
некоторых оговорках, излагаемых в конце настоящего параграфа. Кроме
того, отметим, что при падении света на отражающую плоскость под
углом Брюстера луч преломленный и луч отраженный взаимно перпен-
перпендикулярны. Это вытекает из соотношения A2.1) и из закона преломления.
Вопрос об интенсивности света, отраженного под углом Брюстера, будет
рассматриваться ниже. Возвращаясь к общим вопросам о состоянии
поляризации света, укажем, что пучок света, который совершенно не
отражается при определенной ориентации анализатора (или, как говорят,
не пропускается анализатором), называют полностью линейно, или плоско,
поляризованным.
Если линейно поляризованный пучок света смешать с неполяри-
зованным, то результирующий пучок будет частично поляризованным.
22*
340 ГЛ. 12. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ
Когда пучок частично поляризованного света проходит через анализатор,
то при одной ориентации имеет место максимальное его пропускание,
а при другой — минимальное, но не равное нулю.
Путем такого испытания можно установить *), что при Э = 8Р свет,
отраженный от непосеребренного зеркала, почти полностью поляризован,
а при других углах (кроме 8 = 0)— частично поляризован. Одно время
считалось, что свет, отраженный под углом Брюстера, полностью поля-
поляризован, но более тщательные эксперименты, которые мы рассмотрим
ниже (см. § 14.17), показывают, что это практически не совсем так по при-
причинам, связанным с второстепенными молекулярными явлениями на отра-
отражающих поверхностях.
Поляризация света при прохождении сквозь прозрачную
изотропную пластинку
12.5. Если свет, прошедший под косым углом (т. е. при 0 Ф 0)
через стеклянную пластинку, направить на анализатор, то он окажется
частично поляризованным. При одно-
однократном прохождении света через пла-
пластинку степень его поляризации неве-
невелика. Если проанализировать этот свет
при помощи стеклянной пластинки, то
отношение максимального коэффициен-
коэффициента его отражения при данной ориен-
ориентации пластинки (анализатора) к мини-
минимальному (при ориентации пластинки,
перпендикулярной первой) оказывается
наибольшим, когда свет падает на ис-
исходную пластинку под углом Брюстера,
Рис. 12.2. Поляризация света при но и это максимальное отношение равно
пропускании его через стопу пла- всего 1,1.
стинок. Когда световой пучок падает под
углом Брюстера на целую стопу пло-
плоскопараллельных пластинок (рйс. 12.2), степень поляризации про-
прошедшего света увеличивается с ростом числа пластинок. Стопа в двад-
двадцать пять пластинок приводит уже к сильной поляризации **). Пропу-
Пропущенный свет поляризован в плоскости, перпендикулярной плоскости
поляризации отраженного пучка.
Двойное лучепреломление
12.6. Кристаллы с кубической решеткой являются оптически изо-
изотропными. Каждый такой кристалл характеризуется единственным пока-
показателем преломления и кристаллические вещества этого типа ведут себя
так же, как и некристаллические тела, подобные стеклу. Кристаллы
иной симметрии оказываются оптически анизотропными. Явления, на-
наблюдаемые при прохождении неполяризованного светового пучка через
такие кристаллы, зависят от угла между направлением пучка и осью
симметрии кристалла. Если световой пучок плоско поляризован, то играет
*) Мы предполагаем, что какое-то вспомогательное испытание (например, одно
из испытаний, описанных в § 12.28) указало на отсутствие эллиптической поляризации.
**) Использование стопы стеклянных пластинок для поляризации света было
впервые предложено и осуществлено А. Г. Столетовым. (Прим. ред.)
ДВОЙНОЕ ЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЕ 341
роль также и угол между осью симметрии кристалла и плоскостью поля-
поляризации. В общем случае при вхождении светового пучка в анизотроп-
анизотропное вещество он делится на два пучка, которые преломляются в разных
направлениях. Это явление носит название двойного лучепреломления.
Позднее мы изложим теорию, при помощи которой, на основе опытных
данных, можно вывести законы двойного лучепреломления. Однако
вывести эти законы в общем виде сколько-нибудь простым путем нельзя.
Для наших целей достаточно ограничиться рассмотрением некоторых
частных случаев *).
12.7. Углекислый кальций СаСО3 кристаллизуется в виде ромбо-
ромбоэдров, образуя минерал, который называется кальцитом, или исландским
шпатом. Форма естественного кри-
кристалла показана на рис. 12.3, где А,
В, С, D, А\ B\ С", D' — вершины
кристалла. В вершинах А ж А' схо-
сходятся по три тупых угла. Направление
линии, составляющей равные углы
с каждым из трех ребер кристалла, пе-
пересекающихся в точке А, называется
главной осью кристалла. В идеальном
кристалле все шесть его граней одина-
одинаковы, и линия АА' совпадает с направ-
направлением главной оси. Проходящая через
оптическую ось плоскость АС А'С на-
зывается главной плоскостью, или пло- Рис 12 3 Кристаллическая ячейка
скостъю главного сечения кристалла. исландского шпата
Таких плоскостей через ось можно про-
провести множество. Обычно имеет смысл рассматривать плоскость глав-
главного сечения, проходящую через оптическую ось и световой луч в
кристалле.
Главная ось и главная плоскость определяются в кристалле лишь
своими направлениями. Любую линию, параллельную АА\ можно
называть главной осью и любую плоскость, параллельную АСА'С,
можно называть главной плоскостью. Другими словами, главную ось
и главную плоскость можно провести через любую точку кристалла.
Эти определения главной оси и главной плоскости кристалла связаны
с симметрией кристалла, а не с его оптическими свойствами. В дальней-
дальнейшем мы увидим, что в кристалле существует, вообще говоря, два направ-
направления, в которых его оптические свойства имеют важные особенности.
Эти направления называются оптическими осями кристалла. Оптические
оси не всегда совпадают с какой-либо из осей симметрии кристалла,
хотя обычно имеет место простая геометрическая связь между их направ-
направлениями. В исландском шпате обе оптические оси совпадают, и поэтому
кристалл называется одноосным. Кроме того, единственная оптическая
ось этого кристалла совпадает с определенной выше главной осью кри-
кристалла. Благодаря этому законы двойного лучепреломления в исланд-
исландском шпате не столь сложны, как общие законы, приложимые к кристал-
кристаллам других типов.
*) По ходу изложения материала настоящей главы и гл. 16 нам придется рас-
рассказать о свойствах симметрии некоторых кристаллов Читатель, который захочет
связать эти положения с общей систематической классификацией кристачлов, до1/кен
обратиться к работам Брэгга [12 1] и Вустера [12.2].
Гл 12 ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ
12.8. Остановимся теперь на экспериментах, которые можно выпол-
выполнить с двумя плоскопараллельными пластинками из исландского шпата,
вырезанными таким образом, что угол между оптической осью и нормалью
Рис 12 4 Преломление света в пластинке исландского
шпата
а — преломление в одной пластинке исландского' пшата,
б — преломление в двух одинаково ориентированных пласти-
пластинах, в — преломление в двух пластинках, одна из которых
повернута на угол я относительно направления падающего
луча, г — преломление в двух пластинках, одна из которых
повернута на >гол я/2, д — преломление в двух пластинках,
одна из которых повернута на угол я/4 Точки в пра-
правой части рисунка показывают относительное положение
изображений лучей на экране, перпендикулярном направле-
направлению падения Пунктирные линии показывают ход лучей
идущих вне плоскости чертежа
к полированной поверхности пластинок одинаков у обеих пластинок»
Точная величина этого угла не играет существенной роли, но он не дол-
должен быть слишком близок к нулю или к л/2, т. е. оптическая ось не должна
ДВОЙНОЕ ЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЕ 343
совпадать с нормалью к полированным поверхностям пластинок пли
лежать в плоскости этой поверхности. Для простоты мы рассмотрим
случай, когда нормаль к поверхности лежит в главной плоскости, а опти-
оптическая ось проходит под углом 'около 45° к поверхности пластпнкн
(рис. 12.4, а).
Как мы видим, узкий пучок неполяризованного света, нормально
падающий на одну из пластинок, делится на два пучка. Один из них,
называемый обыкновенным лучом, проходит прямо сквозь пластинку без
смещения. Другой называется необыкновенным лучом; он отклоняется
при вступлении в кристалл, но выходит из него параллельно своему
первоначальному направлению *). Необыкновенный луч всегда лежит
в главной плоскости, проходящей через точку, в которой пучок входит
в кристалл. Если поворачивать пластинку вокруг ее нормали, то необык-
необыкновенный луч будет вращаться вместе с нею. Расстояние между двумя
выходящими лучами пропорционально толщине пластинки.
Если вышедшие пучки направить на вторую пластинку с тем же
направлением оптической оси, что и в первой, то из второй пластинки
снова выйдут два луча (рис. 12.4, б). Они лежат в той же плоскости,
в которой они находились по выходе из первой пластинки, но раздвинуты
сильнее. Тот же результат можно получить, пропуская пучок через одну
пластинку, толщина которой равна сумме толщин обеих пластинок.
Если теперь повернуть вторую пластинку на угол л, то лучи будут
отклоняться в противоположные стороны и совокупность двух пластинок
будет вести себя так же, как одна пластинка с толщиной, равной раз-
разности исходных толщин (рис. 12.4, в). Если же повернуть вторую плас-
пластинку на угол л:/2, то мы по-прежнему получим два пучка, но пучок,
прошедший без отклонения через первую пластинку, испытает откло-
отклонение во второй, а пучок, отклонившийся в первой пластинке, пройдет
вторую без отклонения. Следовательно, обыкновенный луч, вышедший
из первой пластинки, ведет себя как необыкновенный во второй и наобо-
наоборот (рис. 12.4, г).
Если вторую пластинку повернуть относительно первой на проме-
промежуточный угол (лежащий между л/2 и я), то из нее выйдет четыре свето-
световых пучка (рис. 12,4, д). Обозначим через ОА обыкновенный луч, выхо-
выходящий из первой пластинки, и через Е± — выходящий из нее необыкно-
необыкновенный луч. Тогда четыре луча, выходящие из второй пластинки, можно
обозначить через OiO2, О^Е2, Efi2 и EJL*. Интенсивность луча О$г
всегда равна интенсивности луча EiE2, а интенсивность луча OJL2 равна
интенсивности луча Е±О2.
Если поворачивать вторую пластинку так, что ее ось перестает быть
параллельной оси первой пластинки, то происходят следующие изменения.
Когда оси пластинок совпадают, лучи OYE2 и EtO2 имеют нулевую интен-
интенсивность, т. е. из второй пластинки выходят всего два луча. По мере
вращения пластинки интенсивность лучей О±Е2 и Е±О2 увеличивается,
а интенсивность лучей О±О2 и EVE2 убывает. Когда пластинка повернута
на угол л/4, все четыре луча имеют одинаковую интенсивность. При
повороте на л/2 интенсивность О±О2 и EtE2 равна нулю и снова остается
всего два луча. При дальнейшем повороте на прямой угол все изменения
происходят в обратном порядке. Когда угол поворота равен л, снова
остаются два луча равной интенсивности. Смещение лучей в двух
*) Этот эффект особенно хорошо наблюдать в исландском шпате невысокого
качества, так как такой кристалл рассеивает небольшое количество света п тем самым
позволяет наблюдать сбоку ход луча внутри кристалла.
344 ГЛ. 12. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ
пластинках происходит в одной плоскости, но в противоположных
направлениях (рис. 12.4, в). Если обе пластинки имеют одинаковую
толщину, то оба луча сливаются.
12.9. Описанные выше наблюдения двойного лучепреломления уже
сами по себе указывают на поляризацию света, так как преломление
во второй пластинке любого из двух пучков, выходящих из первой, зави-
зависит от ориентации пучка относительно оси кристалла. Все эти явления
хорошо согласуются с допущением о том, что обыкновенный и необыкно-
необыкновенный лучи поляризованы в двух взаимно перпендикулярных плоско-
плоскостях. Эти данные о существовании поляризации света получены совер-
совершенно независимо от результатов описанных выше опытов Малюса.
Фактически именно они и привели Гюйгенса к основной идее о попереч-
ности световых волн, высказанной им более чем за 150 лет до того, как
были выполнены опыты Малюса.
Опыты по поляризации при отражении и пропускании света были
описаны независимо, чтобы показать, что и те, и другие, взятые сами
по себе, приводят к концепции о поляризации света. После принятия
этой концепции удобно обсуждать результаты всех опытов вместе.
Если два пучка, выходящие из одной пластинки исландского шпата,
исследовать при помощи отражения от плоской стеклянной пластинки,
то оказывается, что обыкновенный луч поляризован в главной плоскости
кристалла, а необыкновенный луч — в перпендикулярной плоскости. Даль-
Дальнейшие эксперименты показывают, что если пучок, поляризованный
в результате отражений света, падает нормально на поверхность пластинки
из исландского шпата, то поведение пучка зависит от взаимной ориен-
ориентации плоскости поляризации и главной плоскости кристалла. Если
плоскость поляризации параллельна главной плоскости кристалла,
то из кристалла выходит лишь один обыкновенный луч, т. е. свет про-
проходит через кристалл без преломления. Если же плоскость поляризации
и главная плоскость кристалла взаимно перпендикулярны, то имеется
лишь необыкновенный луч, который при прохождении через кристалли-
кристаллическую пластинку испытывает смещение. При промежуточных ориента-
циях плоскости поляризации падающего света внутри кристалла рас-
распространяются два луча.
Закон Малюса
12.10. Опыт показывает, что если г|э — угол между плоскостью
поляризации линейно поляризованного света и главной плоскостью
кристалла, на который он падает, то интенсивности обыкновенного
и необыкновенного лучей пропорциональны соответственно cos2 г|) и sin2 i|).
Если пренебречь малыми потерями на отражение и рассеяние, то сум-
суммарная интенсивность обоих лучей всегда равна интенсивности исход-
исходного пучка света в отсутствие кристалла. Кроме того, опыт показал, что*
при угле между главными осями двух кристаллов исландского шпата,
равном i|/, интенсивность лучей OtO2 и Е^Е2 пропорциональна cos2 i|/,
а интенсивность лучей ОХЕ2 и Е±О2 пропорциональна sin2 t}/.
Наконец, если пучок света последовательно отражается от двух
стеклянных пластинок под углом Брюстера, то интенсивность светового
пучка оказывается пропорциональной cos2 if", где о|)" — угол между двумя
плоскостями отражения. Последнее правило называется законом Малюса.
Все эти наблюдения согласуются с описанием линейно поляризо-
поляризованного света при помощи светового вектора, который, как и всякий
МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ ЛИНЕЙНО ПОЛЯРИЗОВАННОГО СВЕТА
345
вектор, можно разложить на компоненты. Предполагается, что при паде-
падении света на стеклянную поверхность под углом Брюстера отражается
только та компонента светового вектора, которая поляризована в пло-
плоскости падения. Если падающий свет уже был поляризован в этой пло-
плоскости, он полностью отразится. Если же он был поляризован в пло-
плоскости, составляющей угол г|/' с плоскостью падения, то амплитуда
отраженной волны пропорциональна cos г|)'\ а ее интенсивность пропор-
пропорциональна cos2 о])". Аналогично, если световой пучок падает на кристалл
исландского шпата, то компонента светового вектора, поляризованная
параллельно главной плоскости, образует обыкновенный луч, а его ком-
компонента, поляризованная в перпендикулярной плоскости, образует
необыкновенный луч. Детальный анализ показывает, что эти допущения
согласуются со всеми опытами по изменению яркости образовавшихся
световых пучков в описанных опытах. Тот факт, что результаты расче-
расчетов, основанных на разложении и сложении векторов, находятся в согла-
согласии с экспериментом, оправдывает использование векторного описания
световых волн.
Методы получения линейно поляризованного света
12.11. Как мы уже видели в § 12.2, плоско-поляризованный свет
можно получить путем его отражения под углом Брюстера или при про-
пропускании света через стопу стеклянных пластинок. Первый метод связан
с большими потерями, так как отражается лишь небольшая доля света,.
Рис 12 5 Призма Ро-
шона
Точки показывают оптиче-
оптические оси перпендикуляр-
перпендикулярные плоскости чертежа
Рис 12 6 Призма Вол-
ластона
Точки показывают опти-
оптические оси, перпендику-
перпендикулярные плоскости чертежа
равная нескольким процентам. Второй способ не дает полной поляри-
поляризации и для получения высокой степени поляризации необходимо исполь-
использовать слишком большое число пластинок. По этой причине было раз-
разработано множество методов получения плоско-поляризованного света
при помощи двойного лучепреломления. Простейший метод состоит
в использовании небольшого кристалла исландского шпата, причем один
из лучей — обыкновенный или необыкновенный — устраняют при помощи
какого-либо экрана. Так как угловое разделение лучей невелико, следует
использовать очень узкие пучки. Призмы Рошона (рис. 12.5) и Воллас-
тона (рис. 12.6) позволяют получить из естественного света два пучка,
поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях и распро-
распространяющихся в разных направлениях. Ориентации оптических осей
кристалла, использованного в этих призмах, показаны на рисунках.
Следует отметить, что призма Волластона дает большее разделение пуч-
пучков, зато призма Рошона оставляет один из пучков неотклоненным.
И то и другое свойство этих призм может оказаться полезным в опре-
определенных случаях. Обычно такие призмы изготовляют из кварца пли
из исландского шпата. Последний обеспечивает большее разделение-
пучков, тогда как первый легче получить с необходимой степенью чистоты.
346
ГЛ. 12. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ
Призмы Николя, Фуко, Глана — Томпсона
12.12. Различие в коэффициентах преломления обыкновенного
и необыкновенного лучен позволяет в известных условиях полностью
Рис. 12.7. Призма Николя.
разделить их. Для этого два куска исландского шпата склеивают друг
«с другом тонким слоем прозрачного вещества таким образом, чтобы один
из лучей испытал полное внутреннее отражение на границе этого слоя,
Рис. 12.8. К разъяснению понятия апертуры поляризацион-
поляризационной призмы Николя.
Лучи Б и С ограничивают полезную область углов. Вне этой области
для лучей типа А и обыкновенный и необыкновенный лучи полностью
отражаются от слоя бальзама, склеивающего обе половинки николя,
а для лучей типа D оба луча проходят через этот слой.
а второй оказался пропущенным. Такое устройство впервые было создано
Николем, который разрезал кристалл исландского шпата, как показано
на рис. 12.7, и склеил обе его части канадским бальзамом. Необыкновен-
Необыкновенный луч проходил сквозь такую призму, причем плоскость его поляри-
поляризации была перпендикулярна плоскости рисунка.
Обыкновенный луч, испытав полное отражение на
границе склейки, уходил в сторону. Обычно приз-
призму Николя называют просто николем.
Большая призма из исландского шпата очень дорога.
Поэтому для получения яркого пучка поляризованного
света желательно сконцентрировать свет на николе. Ра-
Раствор конуса, который еще можно использовать, ограни-
ограничен разностью углов полного отражения обыкновенного
и необыкновенного лучей на месте склейки николя. Изо-
Изображая крайние лучп, как это показано на рис. 12.8, можно найти максимальный
допустимый угол раствора — апертуру падающего пучка, при которой выходящий
из николя свет оказывается еще линейно поляризованным. Она составляет 24°. Недо-
Недостатком призмы Николя служит незначительная эллиптическая поляризация прошед-
прошедшего света, обусловленная вторичными эффектами на скошенных гранях призмы.
Призма Глана — Томпсона (рис. 12.9) позволяет получить более широкое поле
зрения и более совершенную плоскую поляризацию. Точные значения углов, по кото-
которым вырезается кристалл, могут меняться в зависимости от предполагаемого назначе-
назначения призмы. Показанную на рисунке призму можно считать типичной. В работе Томп-
Томпсона [12.3] подробно рассмотрены вопросы, связанные с изготовлением призм такого
типа. Использование в качестве разделяющего слоя канадского бальзама не обяза-
обязательно, но в призмах, предназначенных для видимой области спектра, он /по-
/потребляется почти всегда. Фуко использовал призму Николя с воздушной прослойкой
для поляризации ультрафиолетового излучения. Такая призма пропускает излуче-
излучение вплоть до длин волн 2300 А.
Рис. 12.9. Призма Гла-
Глана — Томпсона.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОЛЯРИЗУЮЩИХ УСТРОЙСТВ 347
Использование анизотропии поглощения света
для его поляризации
12.13. Давно известно, что при прохождении неполяризованного
света через турмалин вышедший пучок оказывается частично плоско-
поляризованным. Кристалл турмалина обладает двойным лучепреломле-
лучепреломлением, и, кроме того, обыкновенный луч поглощается в нем значительно
«сильнее, чем необыкновенный *). Естественный кристалл турмалина
сильно окрашен, и для большей части оптического спектра интенсив-
интенсивности необыкновенного и обыкновенного лучей значительно уменьшаются.
Поэтому турмалин малопригоден для использования в качестве
поляризатора и его свойства представляют в основном теоретический
интерес.
В последние десятилетия был создан целый ряд искусственных мате-
материалов, поляризующих свет в результате анизотропии поглощения. Один
из видов поляроидной пленки содержит йод, введенный в первоначально
прозрачную поливиниловую пленку. Поляризующим веществом является
йодвиниловый комплекс, ориентированный в пленке путем ее вытяги-
вытягивания. Это вещество пропускает почти 80% света, поляризованного
в одной плоскости, и менее 1 % света, поляризованного в перпендикуляр-
перпендикулярной плоскости. В случае излучения с длиной волны 5500 А два куска
пленки пропускают до 40% падающего неполяризованного света, если
они параллельны, и менее 0,01 % — если они скрещены. Для дальней
синей области спектра поляризующее действие этих пленок несколько
меньше, и в скрещенном состоянии они пропускают около 0,1% падаю-
падающего света. Поэтому при работе с очень сильным источником остаточный
свет, прошедший через две скрещенные поляроидные пленки, оказы-
оказывается синеватым. В прежних образцах поляроидных пленок остаточ-
остаточный свет был красным. Можно изготовлять большие листы этого мате-
материала (до 50 X 125 см2). Пользуясь поляроидной пленкой, можно наи-
наиболее удобным и дешевым способом получать интенсивные пучки почти
полностью плоско-поляризованного света **). Призмами Глана — Томп-
Томпсона следует пользоваться в тех приборах, в которых требуется очень
высокая степень поляризации для всех длин волн.
Использование поляризующих устройств
12.14. Поляризующие устройства находят очень широкое и разно-
разнообразное применение как в лабораторных установках, так и в промыш-
промышленности. Например, во многих оптических экспериментах возникает
необходимость уменьшить интенсивность источника света в точно задан-
заданное число раз. Это можно сделать, поместив между источником света
и местом его использования поляризатор и анализатор. Интенсивность
пропущенного ими света будет пропорциональна cos2 6, где 0 — угол
поворота анализатора относительно его «параллельного» положения
по отношению к поляризатору. Такой метод ослабления света достаточно
*) Различие в поглощении света в зависимости от его состояния поляризации
носит название дихроизма. (Прим. ред.)
**) Первоначально поляроидные стенки изготовлялись путем введения в жела-
желатину ориентированных кристалликов герапатита, обладающего сильным дихроизмом.
\(Прим. ред.)
348 ГЛ. 12. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ
точен и чувствителен, если требуемое ослабление не превосходит 1 : 10
(см. упражнение 12.2).
Фотометр, основанный на этом принципе, показан на рис. 12.10.
Свет от двух источников Si и S2 поляризуется в двух взаимно перпен-
перпендикулярных направлениях призмой Волластона W. Световое поле рас-
рассматривается через анализатор -4, который поворачивают до тех пор,
W
^Зрительная
•-— труба
Рис. 12.10. Поляризационный фотометр.
пока обе половины поля не окажутся одинаково освещенными. Отноше-
Отношение освещенностей окошек И^ и W2 равно tg2 9. Если отношение интен-
сивностей источников меньше, чем 1 : 5, то перед одним из окошек поме-
помещают поглощающий ослабитель с известным коэффициентом пропуска-
пропускания света.
Поляризующие устройства используются в промышленности для обнаружения
натяжений в стеклянных изделиях. Стекло помещают между скрещенными поляриза-
поляризатором и анализатором. При этом световое поле окажется темным всюду, кроме областей
натяжения, которые обладают двойным лучепреломлением. Очки, снабженные поля-
поляроидами, служат для уменьшения видимого блеска освещенной Солнцем поверхности
моря. Точно так же перед настольной лампой иногда помещают экран с поляроидной
пленкой для уменьшения прямого отражения света от глянцевой бумаги. В обоих
указанных случаях поляризующее устройство дает лишь частичный эффект, так как
только часть света отражается под углом Брюстера. Было выдвинуто предложение
закрывать передние фары автомобилей поляроидной пленкой, ориентированной под
углом 45° квертикали; кроме того, нужно покрывать ветровые стекла каждой машины
аналогичной пленкой, ориентированной параллельно пленке, закрывающей ее фары
и, следовательно, скрещенной с покрытием фар встречных автомобилей. При этом
шофер видел бы фары встречных машин в виде неярких голубых дисков. Шофер мог бы
видеть дорогу, освещенную светом его собственных фар потому, что через ветровое
стекло к нему бы возвращался свет фар, отраженный от дороги. Преимущества такой
схемы очевидны. Ее недостаток состоит в значительной потере света. Чтобы компен-
компенсировать ее, предлагалось использовать в фарах лампочки на 125 вт. Общие достоинства
этого устройства и перспективы его повсеместного применения зависят не только
от оптических вопросов и явно выходят за рамки настоящей книги.
Интерференция пучков линейно поляризованного света
12.15. Условия, при которых два пучка поляризованного света
могут интерферировать, исследовались Френелем и Араго. Их резуль-
результаты можно суммировать следующим образом:
A. Два световых пучка, плоско-поляризованных во взаимно пер-
перпендикулярных плоскостях, ни при каких условиях не дают интерферен-
интерференционной картины.
Б. Два световых пучка, поляризованных в одной плоскости, интер-
интерферируют при тех же условиях, что и неполяризованные пучки, если
они были получены из одного и того же плоско-поляризованного пучка или
из одной и той же компоненты неполяризованного пучка.
B. Два плоско-поляризованных пучка, полученные из взаимно пер-
перпендикулярных компонент неполяризованного света, не могут интерфери-
интерферировать даже после совмещения каким-либо образом плоскостей колеба-
колебаний в обоих пучках.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ПУЧКОВ ЛИНЕЙНО ПОЛЯРИЗОВАННОГО СВЕТА 349
I
I
Рис. 12.11.
Ра С
12.16. Общие выводы, сформулированные в предыдущем параграфе, были полу-
получены на основании довольно длинной и сложной серии экспериментов. Основные идеи
этих экспериментов можно проиллюстрировать следующим образом.
Рассмотрим установку, аналогичную использованной Юнгом в его первых опытах
шо интерференции. Перед каждой из щелей помещается поляроид (рис. 12.11). Факти-
Фактически для этого использовалась стопа из листков слюды; однако в современных демон-
демонстрационных опытах удобнее применять
искусственную поляроидную пленку. Были „ ,?
получены следующие результаты:
1. Если убрать поляризатор Pqi а РА
и Рв расположить параллельно друг дру-
другу, возникает интерференционная картина.
Если же РА и Рв ориентированы так,
что они поляризуют два пучка во взаимно
перпендикулярных плоскостях, то интер-
интерференция отсутствует.
2. Если присутствуют все три поля-
поляризатора и РА и Рв поляризуют пучки
в параллельных плоскостях, то ориентация Pq влияет лишь на общую освещенность
экрана S, но не на распределение освещенности на нем. При наличии какой бы то ни
было, отличной от нуля освещенности экрана получаются интерференционные полосы.
В этом случае оба интерферирующих пучка получаются из одного и того же плоско-
поляризованного пучка и оба поляризованы в одной плоскости. Плоскость поляриза-
поляризации интерферирующих пучков не совпадает с плоскостью поляризации исходного
пучка, если только Pq не параллелен РА и Рв.
3. За каждой щелью помещают двоякопреломляющую пластинку исландского
шпата. Обе пластинки имеют одинаковую толщину. Их главные оси расположены
перпендикулярно друг другу, так что обык-
обыкновенный луч, выходящий из одной пла-
пластинки, поляризован в той же плоскости, что
и необыкновенный луч, выходящий из дру-
другой пластинки. В результате получаются
две системы интерференционных полос,
которые смещены вправо и влево относи-
относительно системы, получающейся в отсутствие
пластинок. Дальнейшее исследование пока-
показывает, что одна система образуется за счет
интерференции обыкновенного луча, выхо-
выходящего из верхней пластинки, и необыкно-
необыкновенного луча, выходящего из нижней пла-
пластинки. Другая система интерференционных
полос образуется за счет интерференции второй пары лучей. Направление смещения
интерференционных картин показывает, что для пеландского шпата обыкновенный
луч запаздывает по сравнению с необыкновенным, так как оптическая толщина кри-
кристалла (и, следовательно, его показатель преломления) для обыкновенного луча
больше, чем для необыкновенного.
4. Два поляризатора и двоякопреломляющий кристалл помещены за щелью
(рис. 12.12). Главные плоскости поляризаторов перпендикулярны друг другу п соста-
составляют угол я/4 с главной плоскостью кристалла С. Никаких пнтерференппонных полос
не наблюдается. При таком расположении через каждую щель проходят как обыкно-
обыкновенный, так и необыкновенный лучи. Все четыре луча имеют одинаковую амплитуду
и, так же как в опыте 3, мы получаем две пары лучей, поляризованных в одной пло-
плоскости.
Нетрудно однако видеть, что в каждой паре оба ее члена получены пз взаимно
перпендикулярных компонент естественного излучения. Отсутствие интерференции
указывает на некогерентность этих компонент.
Аналогичные результаты можно получить, помещая поляризатор в соответст-
соответствующие места в других приборах, обычно используемых для получения интерферен-
интерференционной картины в неполяризованном свете. Нужно однако помнить, что поляризую-
поляризующие устройства могут создавать запаздывание по фазе. Если оно слишком велико,
то интерференция не наблюдается даже в случае выполнения условий А и Б, сформу-
сформулированных в § 12.15. Кроме того, поляризация может сопровождаться изменением
относительных амплитуд в отраженных пучках и, следовательно, может повлиять
на распределение освещенности в интерференционной картине. Может даже случиться,
что один из интерферирующих пучков вообще будет погашен и интерференционная
картина исчезнет.
о
о
Рис. 12.12.
350 ГЛ 12. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ
12.17. Векторное представление поляризованного света находится
в согласии с тем фактом, что пучки, поляризованные во взаимно пер-
перпендикулярных плоскостях, не интерферируют друг с другом. Два век-
вектора, расположенные во взаимно перпендикулярных плоскостях, не могут
гасить друг друга, так как ни один из них не имеет компоненты в пло-
плоскости, в которой лежит другой.
Исходя из векторного представления, следовало бы также ожидать,
что при разложении длинного цуга волн, поляризованных в данной пло-
плоскости, на два цуга (например, при помощи призмы Рошона), в полу-
полученных пучках фазовое соотношение должно сохраняться постоянным.
Пучки не могут интерферировать друг с другом, так как они расположены
во взаимно перпендикулярных плоскостях, но можно выделить компоненту
каждого пучка, поляризованную в некоторой промежуточной плоскости.
Эти две компоненты должны интерферировать, если их свести вместе,
не вводя слишком большой разности хода. Так как на самом деле пучки,
полученные из взаимно перпендикулярных компонент неполяризован-
ного света, не интерферируют друг с другом, мы приходим к следующему
выводу: если неполяризованный свет представляется одним поперечным
вектором, то следует считать, что плоскость колебаний этого вектора
меняется во времени нерегулярным образом, что и проявляется в непо-
непостоянстве фазовых соотношений взаимно перпендикулярных компонент
его колебаний *).
Свет, поляризованный по кругу, и эллиптически
поляризованный свет
12.18. Как указывалось выше, два возмущения во взаимно пер-
перпендикулярных плоскостях не могут давать интерференционной кар-
картины, даже при наличии постоянного фазового соотношения; тем не
менее при наложении световых колебаний такого типа возникают коле-
колебания, которые сами по себе обладают своеобразными свойствами. Рас-
Рассмотрим два возмущения — одно в плоскости xz, а другое в плоскости
yz,— распространяющиеся вдоль оси oz. Их можно представить выра-
выражениями
£х = a cos (<ot — kz) = a cos ф A2.2а)
и
ly = b sin (cot — %z + е) = Ъ cos (ф + е). A2.26)
Эти колебания имеют одинаковую частоту и скорость распространения,
но различные амплитуды и, кроме того, постоянную разность фаз 8. Рас-
Рассмотрим сначала частный случай, когда 8 = 0. Результирующее коле-
колебание представляется тогда вектором длиной (а2 + Ь2I/2, лежащим в пло-
плоскости, проходящей через ось oz и составляющей угол %, равный arctg Ыаг
с осью х. Таким образом, в этом частном случае результирующее двух
возмущений имеет вид линейного возмущения, представленного векто-
вектором, лежащим в плоскости, расположенной между плоскостями, в кото-
которых находятся исходные возмущения.
Рассмотрим далее второй частный случай, когда е=— я/2. Для него
можно написать
\у = Ъ sin (®t — kz) = Ъ sin ф. A2.3)
х) Подробнее об этом см. в § 12.31.
КРУГОВАЯ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИ ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТ\
351
В каждый данный момент времени результирующее возмущение пред-
представляется вектором. Его изменение в зависимости от ф удобно проиллю-
проиллюстрировать, откладывая |ж и \у вдоль двух осей, как это показано на
рис. 12.13. Как мы видим,
1) при ф=0 1х=а, Ъу=0;
2) при ф = зт/4 ^x=za/\ 2,
3) при ф=я/2 5^=0, 5у = ^«
На рисунке показана результирующая для этих трех значений ф; ее вели-
величина и направление периодически меняются с ф. Вектор поворачивается,
совершая полный оборот при изменении
Ф на 2я и меняя постепенно свою величину.
Эти изменения можно представить анали-
аналитически, отмечая, что координаты конца
результирующего вектора по осям хну
равны 1Х и \у. Комбинируя A2.2а) и A2.3),
получаем
# + -§■=1 A2.4)
A2.5)
Ъу
Соотношение A2.4) показывает, что ко-
конец результирующего вектора описывает
эллипс. Световые колебания такого типа
называют эллиптически поляризованным
светом. Если а = Ь, то эллипс превра-
превращается в круг и свет называется поляри-
поляризованным по кругу.
Для понимания свойств света с эллип-
эллиптической или круговой поляризацией
важно помнить, что ф может меняться
с изменением t или z. В каждой данной
точке результирующий вектор вращается,
п в общем случае era величина изменяет-
изменяется с периодом 2я/со. Изменение модуля
вектора не подчиняется простому гармони- »
ческому закону, а следует изменению радиуса-вектора эллипса. В каж-
каждый данный момент времени направление вектора меняется от точки к
точке вдоль линии распространения волны. Это изменение имеет про-
пространственную периодичность X = 2л;Ы. С изменением z на А вектор
описыйает полный поворот, а его модуль следует за изменением радиуса-
вектора эллипса, заданного соотношением A2.4). Если свет поляризован
по кругу, модуль вектора остается постоянным. Каждая его компонента
вдоль оси, перпендикулярной направлению распространения, изменяет-
изменяется по закону синуса.
12.19. До сих пор мы рассматривали два частных случая, а именно
случаи 8 = 0и8=—я/2. Прежде чем перейти к рассмотрению общего
случая, остановимся еще на двух частных, а именно на в = я п в = л/2.
Легко видеть, что при г = п результирующее возмущение пред-
представляет собой линейные колебания в плоскости, угол которой с
Рис 12 13 Векторное представ-
представление эллиптически поляризован-
поляризованного света
352 ГЛ. 12. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ
плоскостью xz дается выражением tg % =—Ь/а. При е = д/2 имеем
вместо A2.3)
£у= —&sin(co£ — xz). A2.6)
Объединяя A2.6) с A2.2а), снова получим формулу A2.4), но A2.5) заме-
заменяется соотношением
tg%=«— = tg(p. A2./)
Следовательно, с увеличением <р конец результирующего вектора дви-
движется по эллипсу в направлении часовой стрелки. В этом случае принято
говорить о поляризации света по правому эллипсу, или о правой поля-
поляризации, тогда как в случае, рассмотренном выше (см. § 12.18), говорят
о поляризации света по левому эллипсу, или о левой поляризации. Если
наблюдатель смотрит навстречу световому пучку, то при правой поля-
поляризации (эллиптической или круговой) результирующий вектор в каждой
данной точке вращается в направлении часовой стрелки.
Покажем теперь, что, если 8 принимает значение, отличное от рассмотренных
выше, свет по-прежнему остается эллиптически поляризованным, но оси эллипса,
описываемого результирующим вектором, не совпадают с осями хну. Мы должны
исключить ф из уравнений A2.2), чтобы получить соотношение между %х и 1у, неза-
независящее то этой переменной. Из A2.2а) получаем
-^- = созф, A2.8)
а из A2.26) —
J^L = cos^ cos 8—sin ф sin 8.
Возводя последнее равенство в квадрат, получаем
—-—2 —■ cos ф cos 8 + cos2 ф cos2 e == sin2 ф sin2 е.
Воспользовавшись A2.8), можем написать
б2 аЪ
или
■ COS i
Это — уравнение эллипса, одна из осей которого составляет угол 9 с осью х, причем
*»~ТОГ. A2.10)
Упражнения
12.1. Пусть интенсивность света, испускаемого некоторым источником, умень-
уменьшается путем введения поляризатора и анализатора, главные плоскости которых соста-
составляют между собой угол G. Показать, что относительная (процентная) ошибка в опре-
определении интенсивности за счет неточности в определении угла Д0 составляет —2tg 8» АО.
12.2 Используя результаты предыдущего упражнения, показать, что если угол
поворота анализатора можно определить с точностью до 0,1°, то при десятикратном
уменьшении интенсивности достижима точность, равная 1%.
12.3. Найти отношение^интенсивностей лучей OtO2 и OtE2 (см. § 12.8) при ориен-
ориентации кристаллов под углом 0 друг к другу
[ctg20.]
12.4. Показать, что при наложении двух когерентных световых пучков равной
амплитуды с правой и левой круговой поляризацией результирующая волна плоско-
поляризована. Чем определяется ориентация плоскости поляризцаии в этом случае?
ВОЛНОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ГЮЙГЕНСА В КРИСТАЛЛЕ
353
[Плоскость поляризации результирующей волны совпадает с плоскостью, в кото-
которой лежат световые векторы составляющих волн в тот момент, когда они находятся
в фазе.]
12.5. Показать, что в общем случае результирующая волна двух когерентных
пучков эллиптически поляризованного света также эллиптически поляризована.
12.6. Написать условия, при которых результирующая волна, описанная в пре-
предыдущем упражнении, будет а) плоско-поляризованной, б) поляризованной по кр\ г\.
[а) Компоненты светового вектора результирующей волны вдоль любых neix
направлений колебаний должны иметь одинаковые фазы, б) Компоненты светового ьек-
тора результирующей волны вдоль любой пары взаимно перпендикулярных осей должны
иметь одинаковые амплитуды и разность фаз Л/2.]
Волновые поверхности Гюйгенса в кристалле
12.20. Явление двойного лучепреломления показывает, что скорость
распространения света в кристалле зависит от угла между направлением
распространения света и осью кристалла. Кроме того, для данного направ-
направления распространения скорость света зависит
от ориентации плоскости поляризации по отно-
отношению к оси кристалла. После того как двой-
двойное лучепреломление было открыто Бартоли-
ном, Гюйгенс понял, что для использования
его метода построения лучей (см. § 3.8) необ-
необходимо догадаться о том, какую специальную
форму имеет волновая поверхность в кристалле.
Под волновой, или лучевой, поверхностью
мы будем понимать здесь ту поверхность, ко-
которой достигнет световое возбуждение в какой-то
момент времени, если оно начало распростра-
распространяться одновременно во все стороны из точеч-
точечного источника света, расположенного внутри
кристалла. Если представить себе точечный
источник света у поверхности ограниченного
кристалла, то тогда мы получим внутри кри-
кристалла fie полные, замкнутые волновые поверх-
hoctiIj а лишь их части, ограниченные поверх-
поверхностью кристалла. Волновая поверхность —
это поверхность равной фазы. В изотропноп
среде волновая поверхность всегда имеет сфе-
сферическую форму. Поскольку имеются два луча,
необходимо, чтобы волновые поверхности были
двуполостными (двуслойными). Как показали
наблюдения, один из лучей всегда подчиняется
законам преломления и, следовательно, одна
из волновых поверхностей представляет собой
сферу. Гюйгенс сделал простейшее допущение, что вторая поверхность
представляет собой эллипсоид вращения. Кроме того, он предположил,
что эллипсоид касается сферы либо изнутри (рис. 12.14, а), либо снаружи
(рис. 12.14,6). В обоих случаях волновую поверхность можно получить
вращением изображенных кривых относительно оси, проходящей через
две их точки касания. В направлении этой оси имеется всего одна ско-
скорость распространения света, независящая от его состояния поляриза-
поляризации, и такое направление называется оптической осью кристалла.
Гюйгенс полагал, что все кристаллы одноосны и что описан-
описанные поверхности являются единственно возможными. Позднее более
23 Р. Дитчберн
Рис. 12 14. Сечение волно-
волновых поверхностей положи-
положительного (а) и отрицатель-
отрицательного (б) одноосных кри-
кристаллов.
354
ГЛ 12. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ
детальные исследования показали, что в общем случае вид волновой поверх-
поверхности значительно сложнее (см. рис. 16.7). Она по-прежнему оказывается
двуслойной, но ни одна из ее оболочек не имеет сферической формы, и обе
поверхности весьма сложным образом пересекаются. Наиболее распро-
распространенный тип кристалла характеризуется двумя оптическими осями
(т. е. двумя направлениями, в которых имеется лишь одна скорость рас-
распространения). Одноосный кристалл можно считать частным случаем
двуосного, у которого обе оптические оси совпадают.
Экспериментальное исследование волновых поверхностей Гюйгенса
в случае одноосных кристаллов
12.21. Вид волновой поверхности экспериментально изучали Стоке
и другие, измеряя углы преломления света в кристалле при различных
направлениях падения луча на поверхность кристалла. Их результаты
показывают, что для одноосных кристаллов часть волновой поверхности,
соответствующая необыкновенному лучу, является эллипсоидом вращения.
Представляют интерес также ранние опыты, выполненные в основном Малюсом.
Ниже следует их краткое описание.
I. Для того чтобы показать, что одна из волновых поверхностей является сфери-
сферической, изготовляют сложную призму, состоящую из пластин, вырезанных в различных
направлениях из куска исландского шпата (рис. 12.15). При пропускании через эту
Рис 12 15. Преломление в сложной призме из исландского шпата
сложную призму параллельного пучка света получается один обыкновенный спектр,
одинаковый для всех пластин, и ряд необыкновенных спектров, большая часть которых
смещена относительно плоскости падения. Измерения обыкновенного спектра позво-
позволяют находить значения показателя преломления \io для любой длины волны.
II. Для того чтобы показать, что одно из сечений другой волновой поверхности
является кругом, из кристалла исландского шпата вырезают призму, преломляющая
грань которой параллельна оптической оси. При пропускании через эту призму парал-
параллельного пучка света получаются два спектра. Оба они расположены в плоскости
падения. Один поляризован в главной плоскости кристалла, другой — в перпендику-
перпендикулярной плоскости. Для данной длины волны показатель преломления обыкновенного
луча равен, как и прежде, \i0, тогда как для необыкновенного луча найден другой
показатель преломления \ie. В этом опыте необыкновенный луч подчиняется обоим
законам преломления и отличается от обыкновенного луча лишь иным значением
показателя преломления. Для этого необходимо, чтобы его полная волновая, поверх-
поверхность была поверхностью вращения. На рис. 12,16 а показано построение Гюйгенса
для двух волновых фронтов после преломления плоской волны на границе кристалла
ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ ТОНКУЮ АНИЗОТРОПНУЮ ПЛАСТИНКУ 355
Поскольку оба луча подчиняются закону синусов, измерение двух критических
углов полного отражения дает непосредственно величины ц0 и це. Эти измерения
можно выполнить при помощи рефрактометров Абе или Пульфриха, снабженных
поляризатором. Таким образом, исполь-
используя монохроматический свет, легко из-
измерить показатель преломления с точ-
точностью 10~5 (т. е. до четвертого деся-
десятичного знака).
III. Изучение преломления в кри-
кристалле, оптическая ось которого парал-
параллельна граничной плоскости кристалла
и плоскости падения. Построение Гюй-
Гюйгенса для этого случая показано на
рис. 12.16, б. Рассматриваемое сечение
двуслойной волновой поверхности пред-
представляет собой круг и эллипс, которые
соприкасаются в двух точках (см. ниже
упражнение 12.8).
На рис. 12.16, в приводим еще
один случай построения волновых по-
поверхностей в кристалле, когда оптиче-
оптическая ось кристалла нормальна к той по-
поверхности, на которую падает свет.
Прохождение поляризованного
света через тонкую анизотропную
пластинку
12.22. Пусть параллельный
пучок плоско-поляризованного
света нормально падает на тонкую
анизотропную пластинку, выре-
вырезанную параллельно оптической
оси кристалла, и путем вращения
кристалла вокруг его нормали из-
изменяют угол между плоскостью по-
поляризации света и осью пластин-
пластинки. Оказывается, что в общем слу-
случае имеется две ориентации пла-
пластинки, при которых прошедший
сквозь пластинку свет остается
плоско-поляризованным. Если
кристалл не вращает плоскость
поляризации (это особое свойство
некоторых кристаллов будет рассмотрено в § 12.35), то при этих ори-
ентациях пластинки плоскости поляризации падающего и выходящего
пучков совпадают. На поверхности пластинки можно нанести две пер-
перпендикулярные прямые. Одна из них совпадает по направлению с опти-
оптической осью. Очевидно, что эти линии будут следом пересечения пло-
плоскости главного сечения кристалла с поверхностью пластинки и следом
пересечения с ней плоскости, ему перпендикулярной. Если плоскость
поляризации падающего на пластинку света совпадает с ее плоскостью
главного сечения, то прошедший сквозь пластинку свет остается плоско-
поляризованным, и притом в той же плоскости, что и падающий на
пластинку.
Выше мы уже видели (см. § 12.20), что закономерности такого рода справедливы
для одноосных кристаллов типа исландского шпата. Опыты показывают, что анало-
аналогичные результаты получаются и в общем случае для пластинок любого кристалла,
23*
Рис. 12.16. Построение Гюйгенса
а — Оптическая ось параллельна поверхности
и перпендикулярна плоскости падения; б — оп-
оптическая ось параллельна поверхности и пло-
плоскости падения, в — оптическая ось перпенди-
перпендикулярна поверхности. Чтобы более отчетливо
показать структуру волновой поверхности,
эллиптичность второй полости преувеличена
В кальците отношение осей эллипса примерно
равно 1,1 : 1.
356 ГЛ. 12. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ
вырезанных в любом направлении. Наличие двух и только двух главных направлений
связано с тем, что волновая поверхность является двуслойной. В простом одноосном
кристалле имеется одно направление (оптическая ось), в котором плоско-поляризован-
плоско-поляризованный пучок пропускается без изменения поляризации независимо от ориентации пло-
плоскости колебаний светового вектора. В этом направлении имеется лишь одна скорость
распространения волны. В случае оптически активных кристаллов (т. е. кристаллов,
вращающих плоскость поляризации) имеют место более сложные эффекты (см. § 12.37).
12.23. Оптическую толщину анизотропной пластинки можно изме-
измерить при помощи интерферометра, используя свет, поляризованный
в различных плоскостях. Простой результат получается только в том
случае, если плоскость поляризации проходящего света параллельна
одному из главных направлений кристаллической пластинки. Оказы-
Оказывается, что оптическая толщина для света, поляризованного параллельно
одному из главных направлений, больше, чем оптическая толщина для
света, поляризованного параллельно другому главному направлению.
Это означает различие в фазовых скоростях волн разной поляризации,
которого и следовало ожидать из рассмотрения формы волновых поверх-
поверхностей Гюйгенса. Главное направление колебаний светового вектора,
соответствующее большей скорости распространения волны (т. е. мень-
меньшему показателю преломления кристалла) называют быстрым направле-
направлением, а второе главное направление — медленным направлением.
Рассмотрим теперь пучок плоско-поляризованного света, для кото-
которого плоскость поляризации не совпадает ни с одним из главных направ-
направлений. Пусть этот пучок света падает нормально на плоскопараллельную
кристаллическую пластинку, вырезанную параллельно оптической оси
кристалла. Выше мы видели (см. § 12.6), что при этом имеется два выхо-
выходящих из кристалла луча, параллельных друг другу. Тогда следует
ожидать, что наложение двух ьыходящих пучков приведет к появлению
эллиптической или круговой поляризации света, так как внутри плас-
пластинки каждый пучок распространяется с различной фазовой скоростью
и между колебаниями световых секторов в этих пучках должна появиться
разность фаз. В следующем параграфе мы покажем, что это действительно
имеет место.
12.24. Выберем оси ОХ и OY так, чтобы они совпадали с быстрым
и медленным направлениями. Тогда ось OZ совпадает с направлением
распространения света. Поверхность, на которую падает свет, можно
принять за плоскость XOY. Тогда падающий пучок света будет описы-
описываться выражением
I0 = acostot. A2.11)
Если его плоскость поляризации составляет угол "ф с осью ОХ, компо-
компоненты |зс и \у (поляризованные параллельно ОХ и OY) можно предста-
представить в виде *)
gxo = a sin г|? cos ($t A2.12)
и
lyQ = a cos \|) cos at. A2.13)
После того, как свет пройдет путь z в пластинке, эти компоненты запи-
запишутся следующим образом:
= a sin ij) cos j со ft—f-jl i A2.14)
*) Напомним, что по определению плоскость, в которой лежит колеблющийся
вектор £о> перпендикулярна плоскости поляризации.
ПЛАСТИНКА В ЧЕТВЕРТЬ ВОЛНЫ 357
и
f^Л ] A2.15)
где &i и b2 — большая и меньшая скорости распространения.
Записывая формулы A2.14) и A2.15), мы предполагали, что направ-
направление распространения света перпендикулярно пластинке.
Если толщина кристалла равна е, то при выходе из пластинки две
компоненты пучка будут иметь разность фаз ер, равную следующей вели-
величине:
^(^^) ^^ <12Л6>
где X — длина волны в воздухе. Компоненты выходящего пучка описы-
описываются выражениями
lx = Acos(at—ул — 6), A2.17)
1У == В cos (ait — kz — б — 8Р), A2.18)
где
А • i Т~» ■ / /I О Л Г\\
Х\ ^zz (J, oljl ш. £j ^^ Ci (ЗОЪ li/ I X/и • lt/1
H
6 = ^-e. A2.20)
Можно изменить начало отсчета времени таким образом, чтобы исклю-
исключить 6. Тогда вместо A2.17) и A2.18) получим
lx = Acos(<x>t—kz), A2.21)
-kz-ep). A2.22)
Эти соотношения имеют тот же вид, что A2.2а) и A2.26). Отсюда следует,
что в общем случае выходящий свет эллиптически поляризован. При
некоторых частных условиях эллипс может превратиться в окружность
или в прямую.
Пластинка в четверть волны
12.25., Анизотропная пластинка, для которой разность оптических
толщин для двух взаимно перпендикулярно поляризованных волн сос-
составляет четверть длины волны, называется пластинкой в четверть волны.
Пластинка такой толщины создает разность фаз л/2 между компонен-
компонентами взаимно перпендикулярных колебаний светового вектора падающей
нормально на пластинку световой волны. Соответственно пластинка,
создающая разность фаз jt между двумя перпендикулярными компо-
компонентами светового вектора, называется пластинкой в полволны. Анало-
Аналогичные условные названия употребляются и для пластинок другой тол-
толщины.
Таким образом, если плоско-поляризованный свет падает на анизо-
анизотропную пластинку, то состояние поляризации выходящего света зави-
зависит от разности оптических толщин и от углов между плоскостью поля-
поляризации света и главными направлениями в пластинке. Расчеты для
358
ГЛ. 12 ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ
любых конкретных условий можно провести при помощи соотношений
A2.16), A2.19), A2.21) и A2.22). Особенно важны следующие случаи:
1. Если плоско-поляризованный свет нормально падает на пластинку
«в одну волну», то выходящий свет плоско-поляризован в той же пло-
плоскости, что и падающий.
2. Если плоско-поляризованный свет падает на пластинку в пол-
полволны, то выходящий свет плоско-поляризован. Однако если плоскость
поляризации падающего света составляет угол г|э с одним из главных
направлений, то плоскость поляризации выходящего пучка составляет
угол —г|) с этим направлением, т. е. плоскость поляризации поворачи-
поворачивается на угол я — 2г|э (рис. 12.17).
3. Если плоско-поляризованный свет падает на пластинку в чет-
четверть волны, то в общем случае выходящий свет эллиптически поляри-
поляризован. Оси эллипса параллельны главным направлениям пластинки.
Рис ii i7 Поворот плоскости поляризации пластинкой
в полволны.
а соотношение длин осей дается формулой A2.19). Если плоскость поля-
поляризации падающего луча делит пополам угол между главными направле-
направлениями, то свет, выходящий из пластинки в четверть волны, поляризован
по кругу.
Все указанные выше свойства пучка света, выходящего из пластинки,
определяются разностью оптических толщин пластинки для волн с раз-
разными состояниями поляризации. Интересно рассмотреть состояние поля-
поляризации света внутри кристалла. Из соотношений A2.14) и A2.15) сле-
следует, что при выборе определенных значений z (т. е. при рассмотрении
отдельных точек на пути света в кристалле) каждой точке будет соответ-
соответствовать свое состояние поляризации света. Таким образом, в одной
точке свет будет эллиптически поляризован, а в другой —плоско-поля-
—плоско-поляризован и т. д. Распространение возмущения в анизотропном веществе
отличается от распространения возмущения любого типа в изотропном
веществе. Поэтому не имеет смысла говорить о распространении в кри-
кристалле света, поляризованного эллиптически, по кругу и т. д., но сле-
следует рассматривать распространение по каждому направлению с раз-
разными скоростями двух плоско-поляризованных волн с перпендикуляр-
перпендикулярными направлениями колебаний. В анизотропной среде разность фаз
между этими волнами, а следовательно, и состояние поляризации резуль-
результирующего колебания изменяются по мере распространения волны.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ДВУХ ИЛИ НЕСКОЛЬКИХ ПЛАСТИНОК 359
Последовательность двух или нескольких пластинок
12.26. Из проведенного выше обсуждения можно заключить, что
при прохождении света через две одинаковым образом ориентированные
пластинки наблюдаемые эффекты окажутся аддитивными. Это действи-
действительно так. Например, сложив две пластинки в четверть волны так, чтобы
их «быстрые» направления совпадали, мы получим точно такой же эффект
как и от пластинки в полволны. Если две пластинки в четверть волны
сложить так, чтобы «быстрое» направление одной пластинки совпадало
с «медленным» направлением другой, то полный оптический путь для
обеих волн окажется одинаковым. Пластинки не окажут никакого влия-
влияния на состояние поляризации падающего света. Обычно действия тон-
тонких пластинок, сложенных так, что их главные направления совпадают,
алгебраически складываются. Если эти направления не совпадают,
то следует последовательно рассчитывать действие каждой пластинки.
Результирующее состояние поляризации, создаваемое первой пластин-
пластинкой, вычисляется, как показано выше. Затем вышедший пучок рассмат-
рассматривают как падающий на вторую пластинку и световые колебания в нем
разлагают по двум новым направлениям (т. е. по главным направлениям
второй пластинки).
Упражнения
12.7. Узкий пучок свеаа падает под скользящим углом на кристалл фосфата аммо-
аммония перпендикулярно оптической оси кристалла. (Оптическая ось параллельна поверх-
поверхности кристалла ) Обыкновенный и необыкновенный лучи по выходе из кристалла
смещены друг относительно друга на 2,5 мм Вычислить толщину кристалла, если
fi0 = 1,525 и \ie= 1,479
[5,1 сч ]
12.8. Показать, что при касании эллипса и круга, показанном на рис 12 14, б,
линия, соединяющая точки касания касательных, проведенных к эллипсу и кругу
из какой либо точки на пх общей оси, перпендикулярна этой оси Показать, что отсюда
следует равенство tg re/tg ro= \xel\ko
12.9. Пусть одноосный кристалл вырезан так, что его оптическая ось перпенди-
перпендикулярна преломляющей поверхности (см рис 12.16, в) Показать, что преломленные
лучи и оптическая ось лежат в одной плоскости и что
tgre= £
Как проверить это соотношение экспериментально?
12.10. Показать, что поляризованный по кругу свет можно создать при помощи
шастинки в три четверти волны, а также при помоши некоторых пластинок большей
толщины
12.11. Как нужно расположить пластинку в четверть волны, чтобы получить свет
с правой и с левой круговой поляризацией
[Пусть «медленное» направление пластинки в четверть волны принято за ось ОХ,
а «быстрое» напиавгение — за ось OY. Направление распространения света примем
за осо OZ Тогда при падении на пластинку плоско-поляризованного света, направление
когебаний которого составляет угог я/4 с осью ОХ, выходящий свет будет поляризован
по погвочу квугу ]
12.12. Описать устройство для получения вертикального пучка эллиптически
поляризованного зеленого света Отношение осей элшпса должно равняться 3 1,
причем большая ось должна быть направлена с севера на юг
[Пучок света от ртутной лачпы с зеленым фильтром направить на по гяризую-
щую призму, которая расположена так, чтобы проходящий свет был поляризован в п ю-
скости, составляющей угол arctg 3 с направлением С — Ю Затем пропустить пучок
света через пластинку в четверть волны, «быстрое» и «медленное» направ гения которой
совпадают соответственно с направлениями С — Ю и В — 3 ]
12.13. Какая анизотропная пластинка может превратить свет, потярпзованиый
по правому эллипсу, в свет, поляризованный по левому эллипс}.
360 ГЛ 12 ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ
[Воспользоваться ориентированной доъжным образом пгастинкой в погвогны
В частной случае круговой погяризации ее ориентация не играет роли ]
12 14. Две пластинки толщиной ei и е2 сложены вместе так, что «быстрое» напра
вление одной совпадает с «лхедленным» направчением другой Пластинки сделаны
из различных материалов Их показатечп преломления равны |л4 и цг для «быстрого >
и «медленного» направлений первой пластинки и j*2» И^ — Для второй пластинки
Известно, что первая — тастинка в цел^ю вочну, комбинация из дв>х пластинок дей-
действует как пластинка в четверть волны, и что ei = 2e2 Найти соотношение между пока
затетгями преломчения пластинок
1 — Ц1) = 2(\12 — Ц2) или 3(и,±—|Х1)=2(Ц2—\i'2)]
Анализ поляризованного света
12.27. Для обнаружения и исследования состояния поляризации
света можно поступать следующим образом Рассмотрим, например,
каким образом можно отличить свет, поляризованный по кругу, от есте-
естественного света Если поместить николь в пучок исследуемого света
и вращать его, то в обоих случаях количество прошедшего через николь
света не будет зависеть от ориентации этого анализатора Если же свет
сначала проходит через пластинку в четверть длины волны, а лишь затем
через анализатор, то положение существенно изменяется Пластинка Я/4
превратит свет, поляризованный по кругу, в плоско-поляризованный
свет, сосюяние поляризации которого можно установить при помощи
николя. Если же через пластинку V4 проходит естественный свет, то
интенсивность света, прошедшего потом через николь, по-прежнему
не будет зависеть от ориентации николя Аналогичные методы можно
применить и в других случаях
12.28. Для анализа поляризованного света можно рекомендовать
следующую последовательность операций *)
Испытание I
В гучок исследуемого света поместить николь и вращать его
При этом испытании могут получаться следующие результаты
а) При некоторой ориентации николя интенсивность прошедшего света стано
вится равной нулю Следовательно, свет линейно поляризован
б) Интенсивность прошедшего света не зависит от ориентации николя Отсюда
можно сделать один из следующих выводов
1) анализируемый свет не поляризован,
2) анализируемый свет поляризован по кругу,
3) анализируемый свет представляет собой смесь света, поляризованного по
КРУГУ» и естественного света
В этом случае необходимо применить испытание II
в) Интенсивность прошедшего света зависит от ориентации николя, но не обра
щается в нуль ни при каком его положении Отсюда можно сделать один из С1ед>ющих
выводов
1) свет поляризован эллиптически,
2) свет представляет собой смесь эллиптически поляризованного и естественного
света,
3) свет представляет собой смесь плоско поляризованного п естественного света
В этом случае необходимо применить испытание III
Испытание II
Перед николем поместить пластинку А,/4 Вращать никоть При этом испытании
могут получаться следующие результаты
а) Интенсивность прошедшего света равна нулю при одной ориентации николя
Следовательно, анализируемый свет поляризован по кругу
б) Интенсивность прошедшего света одинакова при всех поюжениях яиколя
Следовательно, анализируемый свет не поляризован
*) Более чувствительный метод обнаружения малых количеств поляризованного
света з смеси с естественным описан в § 12 44
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЕСТЕСТВЕННОГО СВЕТА 361
в) Интенсивность прошедшего света зависит от ориентации николя, но ни при
каком его положении не обращается в нуль. Следовательно, анализируемый свет
представляет собой смесь света, поляризованного по кругу, и естественного.
Испытание III
Перед николем поместить пластинку Х/А. Независимо поворачивать пластинку
и николь. При этом испытании могут получаться следующие результаты:
а) Интенсивность света обращается в нуль при одном положении николя и пла-
пластинки. Отсюда следует, что исследуемый свет эллиптически поляризован и оси эллипса
параллельны главным направлениям пластинки.
б) Интенсивность прошедшего света зависит от положения николя и пластинки,
но ни при каких их положениях не обращается в нуль. Следовательно, исследуемый
свет представляет собой смесь естественно и эллиптически поляризованного света.
Главные направления пластинки параллельны осям эллипса для такого ее положения,
при котором наблюдается минимум интенсивности. Положение николя определяет
отношение осей этого эллипса. Если николь параллелен одному из главных направле-
направлений, то анализируемый свет является смесью плоско-поляризованного и естественного
света.
Представление естественного света
12.29. При рассмотрении вопросов, связанных с анализом поляри-
поляризованного света, мы видели, что возможны семь различных состоянии
поляризации пучка света:
1) естественный свет,
2) плоско-поляризованный свет,
3) свет, поляризованный по кругу,
4) эллиптически поляризованный свет,
5) естественный свет + плоско-поляризованный свет,
6) естественный свет + свет, поляризованный по кругу,
7) естественный свет + эллиптически поляризованный свет.
Из теоремы Стокса [12.4] следует, что возможны только эти состоя-
состояния, т. е. смесь плоско-поляризованного, эллиптически поляризован-
поляризованного и естественного света эквивалентна смеси естественного и эллипти-
эллиптически поляризованного света. В последующем изложении мы обсудим
общую проблему математического представления совокупности световых
волн с различными состояниями поляризации.
12.30. В гл. 4 было показано, что строго монохроматический пучок
света можно представить в виде бесконечной синусоиды. Отсюда следует,
что строго монохроматический пучок света должен быть полностью
поляризованным.
Если световое возмущение нельзя представить одним вектором, лежащим ь неко-
некоторой плоскости, то его следует представить результирующим двух векторов, лежа-
лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях. Изменение каждого из всктэров опи-
описывается синусоидальной волной в интервале от —оо до +оо. Поэтому между этими
двумя волнами должна существовать постоянная разность фаз, и если она будет кратна
я, то результирующая волна будет плоско-поляризована. В других случаях результи-
результирующая волна окажется эллиптически поляризованной или поляризованной по кругу.
Представим себе источник света с очень малым затуханием, который излучает
цуги волн с различной поляризацией, причем длительность каждого цуга составляет
— 100 сек (т. е. значительно больше, чем в случае лабораторных источников света).
Предположим, что результирующая волна анализируется при помощи прибора, кото-
который воспроизводит форму эллипса, описываемого концом результирующего светового
вектора, на экране электронно-лучевой трубкп. В общем случае на моментальной фото-
фотографии экрана мы увидим некоторый эллипс. Наблюдатель, смотрящий на экран
электроно-лучевой трубки, увидит, что параметры этого эллипса медленно изме-
изменяются по мере того, как одни цуги волн кончаются, а другие появляются. Эти изме-
изменения совершенно нерегулярны в том смысле, что из наблюдения формы и ориентации
эллипса в данный момент времени нельзя сделать никаких заключений о дальнейших
его изменениях.
362 ГЛ. 12 ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ
Предположим теперь, что длительность цугов волн становится все меньше
и меньше. Наблюдатель увидит, что эти нерегулярные изменения становятся все более
быстрыми, и при средней длительности цугов порядка 10~2 сек или меньше *) он будет
наблюдать только круглую освещенную область, граница которой является огибающей
всех появлявшихся ранее эллипсов. Устойчивая картина будет наблюдаться в том
и только в том случае, если все цуги волн, излучаемых различными атомами, поляризо-
поляризованы одинаково. Если это условие выполняется, то компоненты, поляризованные
во взаимно перпендикулярных плоскостях, будут когерентны даже в том случае, когда
цуги волн не бесконечны **).
12.31. При рассмотрении естественного света мы будем учитывать следующие
экспериментальные результаты ***):
1) В случае естественного света интенсивность прошедшего через николь пучка
не зависит от ориентации николя.
2) Это свойство не изменяется при изменении фазы взаимно перпендикулярных
компонент, результирующая которых представляет собой исследуемую волну (иными
словами, если пучок света проходит сначала через тонкую кристаллическую пластинку,
а затем через николь, то интенсивность прошедшего света не зависит ни от ориентации
пластинки, ни от ориентации николя).
3) Интерференционные полосы можно получить с естественным светом.
Пусть а и b — мгновенные значения амплитуд двух взаимно перпендикулярных
световых колебаний, а 8 — разность фаз между этими колебаниями. Определим вели-
величины А, В, С, D следующим образом:
А=~а*, #=Р, A2.23)
C=a6cose, D=ab sine A2.24)
^черточки означают, что берутся средние по времени значения соответствующих вели-
величин). Свет, представляющий смесь волн любой поляризации, можно описать, задавая
соответствующие значения А, В, С, D. Легко показать [12.4], что для выполнения
условий 1) и 2) необходимо и достаточно, чтобы
Л=2В'_ } A2.25)
Таким образом, если эти условия выполняются, мы имеем дело с естественным
светом. Если АВ = С2 + D2, то свет эллиптически поляризован. Если, кроме того,
А = В и С = О, то свет поляризован по кругу, а в том случае, когда D = О, свет
плоско-поляризован. В общем случае для любых значений А, В, С и D пучок, света
можно представить в виде двух: для одного из них выполняются условия, соответст-
соответствующие естественному свету, а для другого — одно из условий, соответствующее свету,
каким-либо образом поляризованному. Интенсивность любого из этих пучков может
оказаться равной нулю, и следовательно, возможны лишь перечисленные выше семь
состояний поляризации.
12.32. Тот факт, что интерференционные полосы можно получить
в естественном, неполяризованном, свете, находится в согласии с изло-
изложенными выше соображениями. Неполяризованный свет можно пред-
представить в виде двух компонент, каждая из которых образует свою систему
интерференционных полос. Если распространение света происходит
в изотропной среде, то положения этих двух систем полос совпадают.
Средняя по времени освещенность в любой точке интерференционной
картины в одинаковой степени задается обеими перпендикулярными
компонентами колебаний светового вектора. Если же свет хотя бы часть
своего пути проходит в двоякопреломляющей среде, то обе системы
интерференционных полос не будут совпадать друг с другом (см. при-
примечание редактора к § 12.31).
■*) Длительность цугов для обычных источников света значительно меньше этой
величины и не превышает 10 сек.
**) Детальное обсуждение этого вопроса было проведено Гурвитцем [12.5].
***) Принципиальное рассмотрение вопроса о поляризации естественного света
было проведено С. И. Вавиловым, см. Микроструктура света, Изд-во АН СССР, М.,
1950. {Прим. ред.)
КОМПЕНСАТОР БАБЯНЕ 363
Упражнения
12.15. Как при помощи николя и пластинки Я/4 можно отличить свет с правой
круговой поляризацией от света с левой круговой поляризацией?
[См. решение упражнения 12.11.]
12.16. Как использовать описанный выше метод анализа света (см. § 12.28) для
определения количества естественного света в смеси естественного света и света с правой
круговой поляризацией?
[Поместить в пучок света пластинку Я/4 и сравнить максимальную и минималь-
минимальную интенсивности света, проходящего при вращении анализатора.]
Компенсатор Бабине
12.33. Описанный выше метод (см. § 12.28) удобен для общего ана-
анализа поляризованного света. Более чувствительные методы (некоторые
из них используют цветовые эффекты, к рассмотрению которых мы перей-
перейдем позже) были разработаны для определения малых примесей поля-
поляризованного света в смеси естественного и по-
поляризованного света. Кроме того, был предло-
предложен ряд специальных устройств для более точ-
точного анализа эллиптически поляризованного
света. Наиболее употребительным устройством
служит компенсатор Бабине*). Он состоит из нижнего клина
двух кварцевых клиньев, вырезанных так, что Рис. 12.18. Компенсатор
их оптические оси перпендикулярны друг другу, Бабине.
и ориентированных друг относительно друга,
как показано на рис. 12.18. Это устройство напоминает призму Рошона, но
в компенсаторе углы клиньев настолько малы, что практически не про-
происходит разделения луча. Нижний клин может перемещаться относительно
оправы (в которой закреплен верхний клин) при помощи микрометриче-
микрометрического устройства, что приводит к изменению общей толщины компенса-
компенсатора. Оптическая разность хода, вносимая компенсатором, изменяется
линейно от одного его конца к другому. Разность хода в центральной
части компенсатора можно изменить на известную величину поворотом
микрометрического винта. Компенсатор используется в сочетании с нико-
лем или с поляроидом. Наблюдение ведется через микроскоп с неболь-
небольшим увеличением.
12.34. Прежде всего необходимо провести калибровку компенсатора,
используя для этой цели плоско-поляризованный свет. Анализатор
и поляризатор скрещивают, и компенсатор ориентируют между ними
таким образом, чтобы плоскость колебаний, пропускаемых анализатором,
делила пополам угол между главными направлениями клиньев (рис. 12.19).
Тогда в поле зрения микроскопа, наведенного на поверхность компен-
компенсатора, будет наблюдаться система темных полос. Эти полосы соответ-
соответствуют тем участкам компенсатора, которые вносят между двумя пер-
перпендикулярными направлениями колебаний светового вектора разность
фаз, кратную 2я. Свет, выходящий из этих участков компенсатора, линейно
поляризован, причем плоскость его поляризации совпадает с плоско-
плоскостью поляризации падающего на компенсатор света, и следовательно,
последний не пройдет через анализатор. В точках поверхности компен-
компенсатора, находящихся посередине между темными полосами, свет также
плоско-поляризован, но его плоскость поляризации перпендикулярна
*) Другие типы компенсаторов, часто более чувствительные, но имеющие более
ограниченное применение, описаны в статье Джерарда [12.6].
364
ГЛ. 12. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ
ч<> О/с
.1
1
плоскости поляризации падающего света, и он будет проходить через
анализатор. В точках, расположенных между точками, соответствующими
плоско-поляризованному свету, свет эллиптически поляризован. При
вращении анализатора полосы вначале будут становиться менее чет-
четкими, а затем четкость полос будет восстанавливаться, но темные и свет-
светлые полосы поменяются местами.
Пусть разность положений микрометрического винта (смещающего
нижний клин компенсатора), соответствующих совпадению креста нитей
в окуляре микроскопа с двумя соседними полосами (что соответствует
изменению разности фаз в центре картины на 2я), равна d. Предположим
далее, что мы используем пло-
ско-поляризованкый свет и что
компенсатор установлен таким
образом, что какая-либо темная
полоса находится в центре поля
зрения, а затем сместим микро-
микрометрический винт на d/4. Тогда
разность фаз в центре картины
будет равна ( 2пп ± -у л ) .
Для нас она эквивалентна раз-
разности фаз, равной -у я.
Теперь удалим поляриза-
поляризатор, и пусть на компенсатор
падает уже не плоско-поляри-
плоско-поляризованный, а какой-то эллипти-
эллиптически поляризованный свет.
Будем независимо вращать ком-
компенсатор и анализатор до тех
Компен-
Компенсатор
Шине
Рис. 12.19 Образование темных полос при по-
помощи компенсатора Бабине, помещенного
между скрещенными николями.
пор, пока центр темной полосы
снова не совпадет с крестом ни-
нитей. В этом случае свет, про-
прошедший через центральную часть компенсатора, должен быть плоско-
поляризованным. Так как в этой точке компенсатор вносит разность
фаз, равную -|- я, то оси эллипса поляризации исследуемого света должны
быть параллельны главным направлениям компенсатора, и следователь-
следовательно, мы знаем направление осей эллипса.
Для определения отношения осей эллипса анализатор вращают
до тех пор, пока полосы не станут возможно более четкими, а темная
полоса не окажется в центре картины. При этом плоскость анализатора
перпендикулярна направлению результирующей двух компонент коле-
колебаний эллиптически поляризованного света, для которых разность фаз
скомпенсирована. Поэтому тангенсы углов между плоскостью колебаний,
пропускаемых анализатором, и главными направлениями компенсатора
дадут отношение осей эллипса.
Оптическая активность
12.35. Если пучок плоско-поляризованного света проходит через
некоторые вещества, то свет остается плоско-поляризованным, но плос-
плоскость его поляризации поворачивается по мере продвижения пучка в веще-
веществе. Этим свойством обладает кварц и ряд других кристаллов, а также
ОПТИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ 365
некоторые жидкости и пары*). К таким жидкостям относятся определенные
масла, скипидар и растворы некоторых веществ, особенно Сахаров. Подоб-
Подобные вещества называют оптически активными. Для растворов этих веществ
угол поворота плоскости поляризации пропорционален их концентрации
и толщине слоя. Таким образом, он пропорционален числу молекул на
пути луча. Это явление называется естественной оптической активностью,
и его следует отличать от магнитного вращения, плоскости поляризации
(см. § 16.50).
Естественное вращение плоскости поляризации может иметь различ-
различные направления. Правое вращение (называемое также положительным
вращением) происходит по часовой стрелке для наблюдателя, смотрящего
вдоль направления распространения пучка света **). Вещества, которые
обнаруживают правое вращение, называют правовращающими, а веще-
вещества, обладающие левым вращением, левовращающими. Удельное вращение
растворов равно вращению, осуществляемому слоем толщиной 10 см,
деленному на концентрацию оптически активного вещества, выражен-
выраженную в граммах этого вещества на 1 см3 раствора.
Молекулярным вращением называется произведение удельного вра-
вращения на молекулярный вес.
Следующие числа дают представление о порядке величины описан-
описанного эффекта:
Угол поворота плос-
плоскости поляризации
Раствор тростникового сахара (толщина слоя J0 см концент-
концентрация 0,1 г/см*) 6,67°
Скипидар (толщина слоя 10 см) —29,6°
Кварц (толщина пластинки 1 мм) ±21,7°
12.36. Плоско-поляризованный свет можно представить как сово-
совокупность двух поляризованных по кругу волн, правой и левой, с одина-
одинаковыми периодами и амплитудами. Пусть компоненты волны, поляри-
поляризованной по правому кругу, определяются следующими выражениями:
%хг= —a cos со (t — z/b)= — acoscp A2.26)
и
lyr = a sin со (t—z/b) = a sin ср. A2.27)
Аналогичные выражения для компоненты с левой поляризацией имеют вид
%xl = a cos со (t—z/b) = a cos ф A2.28)
и
lyl = a sin со (t—z/b) = a sin <p. A2.29)
Тогда результирующая волна будет плоско-поляризованной. Плоскость xz
служит плоскостью поляризации и вектор, представляющий результи-
результирующую волну
l = 2asm(x>(t—z/b) = 2asmq>, A2.30)
лежит в плоскости yz.
*) Речь идет о распространении света вдоль оптической осп кварца, когда
линейно поляризованный свет не превращается в кварце в эллиптически по7ярп-
зованный. (Прим. ред.)
**) Ясно, что праве направление вращения плоскости пелярпзаччи изменится
на левое при перемене направления наблюдения. К солча^етыю, в этой терминологии
нет единообразия у всех авторов, что и надо учитывать, сопоставляя термины правое
и левое, употребляемые в разных книгах. (Прим. ред.)
366
ГЛ 12 ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ
Явление оптической активности можно объяснить по Френелю,
предположив, что в оптически активных средах свет, каждая поляризо-
поляризованная по кругу волна, распространяется в веществе без изменений,
но скорости волн с правой и левой поляризацией различны. После того
как пучок света прошел в оптически активной среде расстояние е, чти ком-
компоненты будут иметь разность фаз
ес. определяемую соотношением
* " '
Рис 12 20 Опыт Френеля по демонстра-
ции кругового двойного лучепреломления
где bl и bj. _ скорости распростра-
распространения лево- и правополяризован-
ных волн; \ii и \ir — соответсавующие показатели преломления и К — длина
волны в воздухе. По выходе пучка света из оптически активной среды
при z = 0 соответствующие компоненты будут описываться соотноше-
соотношениями
т, = —acoscp',
>' — ec),
где
A2.32)
A2.33)
Результирующая волна будет иметь плоско-поляризованные компоненты
в плоскостях xz и г/", описываемые соотношениями
1х=— acosq/- a
ty = a sin q/ + a sin (ф' + ес) = 2а cos -^- ec sin Гф' -1- -^- гс j .
A2.34)
Эти две компоненты находятся в фазе, и результирующее колебание
происходит в плоскости, составляющей угол г|) с плоскостью yz, где
4-=tg4-8c. A2.35)
A2.36)
Следовательно, плоскость поляризации повернулась на угол
* ( 0
Угол поворота пропорционален е и разности показателей преломления
двух циркулярно поляризованных компонент.
Френель непосредственно показал существование этой разности показателей
преломления, использовав систему двух призм, изготовленных из правовращающего
и левовращающего кварца (рис 12 20). Благодаря разности показателей преломления
пучок света расщепляется на два; один из них поляризован по правому, а второй
по левому кругу Если на кварцевые призмы падает естественный свет, то эти два
пучка не имеют постоянной разности фаз и поэтом} не могут интерферировать. Если же
падающий свет плоско-поляризован, то пучки когерентны. Если при помощи пла-
пластинки Я/4 превратить их в плоско-поляризованные (с одинаковой плоскостью поля-
поляризации), то они дадут интерференционную картину.
ДИСПЕРСИЯ ДВОЙНОГО ЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЯ И ОПТИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ 367
12.37. Растворы Сахаров и некоторые другие жидкости оптически активны,
но изотропны Они обладают только описанным выше двойным круговым лучепре-
лучепреломлением, но не обнаруживают обычного двойного лучепреломления В веществах,
подобных кварцу, оптическая активность сочетается с обычным двойным лучепреломле-
лучепреломлением Мы видели, что пластинка оптически неактивного кристалла пропускает без
изменения поляризации свет, распространяющийся перпендикулярно плоскости та
стинки и поляризованный в одном из двух главных направлений кристалла Линейно
поляризованный свет с любой ориентацией плоскости поляризации проходит без изме
нений только при распространении вдоль оптической оси Через оптически активные
(но изотропные) вещества, подобные раствору сахара, свет, поляризованный по кр>г>,
проходит, оставаясь поляризованным, по кругу В кварце свет, поляризованный по
кр>гу, проходит, оставаясь поляризованным, по кругу в том случае, если направление
волновой нормали совпадает с направлением оптической оси При распространении
света в оптически активном двоякопреломляющем кристалле по другим направлениям
дело обстоит значительно сложнее и нет возможности это убедительно обсудить
в уместной для настоящей книги краткой форме Поэтому рекомендуем читателю здесь
сразу же обратиться к специальной литературе [12 2, 12 8, 12 9] Отметим только,
что в кристаллах кварца существу ег направление, составляющее угол 56° с оптиче-
оптической осью, вдоль которого эффект вращрния плоскости поляризации отсутствует,
но двойное лучепреломление, разумеется, имеет место
Дисперсия двойного лучепреломления и оптическая активность
12.38. При рассмотрении методов получения и иссчедования потя-
ризованного света надо иметь в виду влияние дисперсии, которое в одних
опытах более существенно, чем в других. Например, это влияние сказы-
сказывается в явлении поляризации света при Отражении, так как угол Брюс-
тера является функцией показателя преломления, зависящего от длины
световой волны. Однако эта функция для видимой области спектра не
сильно меняется с изменением показателя преломления *), и поэтому
при угле падения света, близком к углу Брюстера, степень поляризации
отраженного света всех длин волн довольно высока (см § 14 9). Следо-
Следовательно, если параллельный пучок белого света падает на стеклянную
пластинку под углом Брюстера, соответствующим длине волны середины
видимой области спектра, то отраженный свет будет почти полностью
поляризован. При его исследовании анализатором можно отметить лишь
незначительные цветовые эффекты. Однако влияние дисперсии проявляв!ся
значительно сильнее при исследовании прохождения поляризованного
света через пластинки анизотропного вещества
12.39. Пусть параллельный пучок белого света проходит через поля-
поляризатор, кварцевую пластинку, вырезаннлю перпендикулярно оптиче-
оптической оси кристалла, и анализатор (рис 12 21) Вследствие дисперсии вра-
вращения плоскости поляризации угол поворота уменьшается при увеличе-
увеличении длины волны света Для некоторых длин волн угол поворота пло-
плоскости поляризации принимает такие значения, что свет этих длин волн
не пройдет через анализатор. Для промежуточных длин волн некоторое
количество света пройдет через нашу систему. При исследовании вышед-
вышедшего из анализатора света с помощью спектроскопа будет наблюдаться
канавчатый спектр Если толщина пластинки достаточно велика, то угол
поворота плоскости поляризации сильно зависит от длины волны
и в спектре наблюдается большое число темных и светлых полос, близко
расположенных друг к другу. Если пластинка тонка, то в спектре мы
увидим небольшое число широких полос При прохождении света сквозь
очень тонкую пластинку он будет окрашен в некоторый цвет, завися- ♦
щий от толщины пластинки и от взаимной ориентации поляризатора и
4) Напомним, что tg ср = j^pi. (Прим ред )
368
ГЛ. 12. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ
анализатора. Пусть, например, поляризатор и анализатор скрещены, а тол-
толщина пластинки такова, что угол поворота плоскости поляризации равен
5я/2 для длины волны 5500 A, 2jt для длины волны 6900 А и Зя для 4600А.
В этом случае прошедший свет будет иметь зеленый оттенок *).
Если установить анализатор параллельно поляризатору, то свет
приобретет пурпурный оттенок. Для очень тонкой пластинки вращение
плоскости поляризации невелико, и его изменение с длиной волны
пренебрежимо мало и, следовательно, прошедший свет будет почти белым.
Если толщина пластинки очень велика, то прошедший свет также не
Спектроскоп
Рис 12.21 Схема установки для изучения дисперсии вращения
плоскости поляризации.
окрашен, так как в этом случае его спектр состоит из большого числа
равно отстоящих полос и в прошедшем свете различные длины волн при-
присутствуют в равной степени.
12.40. Угол поворота ij) не будет зависеть от длины волны, если гс
не зависит от длины волны. Как показывает соотношение A2.38), для
этого необходимо, чтобы разность показателей преломления (\ir — \ii)
была пропорциональна длине волны. Это условие обычно не выполняется.
Пусть а — угол, на который необходимо повернуть поляризатор
в направлении вращения плоскости поляризации света оптически актив-
активным веществом для того, чтобы установить его параллельно анализатору.
Тогда интенсивность прошедшего света максимальна для длины волны,
при которой
A2 37)
A2.38)
и минимальна для длины волны, при которой
Упражнения
12.17. Компенсатор Бабине установлен и используется по методу, описанному
в § 12.34. Какую мы увидим картину, если «неизвестный» пучок света окажется поля-
поляризованным по кругу?
[В исходном положении крест нитей будет совпадать с центром светлой или
темной полосы. (О причине двух этих возможностей см. упражнения 12.15 и 12.11.)
Одновременное вращение анализатора и компенсатора как целого не изменит картины.
Вращение только одного анализатора приведет к изменению видимости полос. При
четырех ориентациях анализатора полосы исчезнут и, когда они снова появятся, тем-
темная полоса заместится светлой. Полосы видны наиболее отчетливо, когда направление
анализатора составляет угол я/4 с главными направлениями компенсатора.]
•") Окраску любого пучка света можно представить как сумму или разность
некоторого количества белого света и света какой-то определенной длины волны. Эта
длина волны определяет наблюдаемый оттенок света. Белый свет плюс свет некоторого
определенного цвета является дополнительным по отношению к белому свету минус
овет этого цвета. Детальное рассмотрение этого вопроса можно найти в литературе [12.7].
ДИСПЕРСИЯ ДВОЙНОГО ЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЯ И ОПТИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ 369
12.18. При использовании пластинки кварца толщиной 4,374 см, помещенной
между скрещенными николями, темные полосы наблюдаются при длинах волн 5990,
5510, 5130, 4820, 4560, 4340 А. Приняв, что при толщине пластинки, равной 1 мм,
угол поворота плоскости поляризации для D-линии натрия (к = 5893 А) равен 21,34 А,
и использовав приведенные выше данные, построить график, выражающий зависи-
зависимость вращения от длины волны. Показать, что вращение на 1 мм (q) определяется
соотношением
где q выражено в градусах, а X — в микронах.
12.19. Используя соотношение, приведенное в упражнении 12.18, найти наи-
наименьшую толщину кварцевой пластинки, которая даст максимальное пропускание
света для длины волны 5460 А. Рассмотреть случай скрещенных поляризатора и ана-
анализатора и случай, когда угол между поляризатором и анализатором составляет 45°.
[В первом случае толщина пластинки равна 3,57 мм, во втором — 1,78 мм.]
12.20. Рассчитать поляризационное устройство, не пропускающее свет с длиной
волны 6870 А и имеющее максимальное пропускание для длины волны 6563 А. Опре-
Определить толщину соответствующей кварцевой пластинки.
[5,45 см.]
12.21. Пусть положение плоскости поляризации можно определить с точностью
±10'. Чему в таком случае будет равна соответствующая ошибка в определении раз-
разности (jxr — \ii), если измерения проводятся на пластинке толщиной 1 см и исполь-
используется свет с длиной волны 5000 А?
[±4,6-10-8.]
12.41. Если пдастинку из анизотропного вещества поместить между
анализатором и поляризатором в параллельный пучок света (см. рис. 12.21),
то при небольшой толщине пластинки будут наблюдаться цветовые
эффекты. Если белый свет, прошедший через толстую кристаллическую
пластинку, проходит через спектроскоп, то полу-
получится канавчатый спектр. Интенсивность прошед-
прошедшего света данной длины волны можно рассчи-
рассчитать следующим образом.
Пусть оси ОХ и OY соответствуют главным
направлениям кристаллической пластинки, а ОР
и О А — направлениям колебаний, пропускаемых
поляризатором и анализатором (рис. 12.22). Све-
Световой вектор, падающий на пластинку, имеет сле-
следующие компоненты колебаний:
a cos a cos ф — компонента вдоль ОХ \
и ) A2.39)
a sin a cos ф—компонента вдоль ОУ. J
Световой вектор, выходящий из пластинки,
ненты
a cos a cos ф'— компонента вдоль ОХ Л
и ) A2.40)
a sin a cos (ф' -i-bp) — компонента вдоль OY, J
где фиф' — фазы колебаний светового вектора, а ер определяется соотно-
соотношением A2.16). Свет, - ропущенный анализатором, будет иметь следую-
следующие компоненты:
a cos a cos p cos ф' >
и A2.41)
a sin а sin p cos (ф' -f ep). >
24 р. Дитчберн
0
Рис. 12.22.
имеет следующие компо-
370 ГЛ. 12. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ
Можно считать, что пучок света, выходящий из анализатора, состоит
из двух пучков, имеющих одну и ту же плоскость поляризации и полу-
полученных из одного и того же пучка плоско-поляризованного света. Следо-
Следовательно, эти два пучка могут интерферировать друг с другом. Резуль-
Результирующая интенсивность Е будет равна сумме квадратов коэффициентов
при cos q/ и sin q/ (см. § 3.4), т. е.
Е = (a cos а cos р + а sin а sin (J cos epJ + (а sin а sin |J sin epJ. A2.42)
Это соотношение удобно переписать таким образом, чтобы выделить
часть, зависящую от ер. Тогда получим
Е = a2 cos2 (а—р)—а2 sin 2а sin 2£ sin2--- ep. A2.43)
Первый член зависит только от взаимного расположения анализатора
и поляризатора. Он имеет максимальное значение при параллельных
анализаторе и поляризаторе и равен нулю, если они скрещены. Этот
член не зависит от длины волны. Второй член в правой части соотноше-
соотношения A2.43) зависит от ер (и, следовательно, от X), а также от а и р. Он
равен нулю, если поляризатор или анализатор параллелен одному из
главных направлений кристаллической пластинки. При повороте поля-
поляризатора или анализатора на 90° (без изменения ориентации остальных
элементов установки) знак этого члена изменяется.
12.42. Первый член в правой части соотношения A2.43) определяет интенсив-
интенсивность света, прошедшего через анализатор и поляризатор, в отсутствие кристалличе-
кристаллической пластинки. Этот свет должен быть белым и действие кристаллической пластинки
сводиться к дополнительному пропусканию (или при определенных ориентациях ана-
анализатора и поляризатора к задержке) некоторого количества окрашенного света.
Добавка окрашенного света сообщает прошедшему свету некоторый оттенок, задержка
такого света сообщает ему дополнительный цветовой оттенок*). Таким образом,
при внесении пластинки определенной толщины, изготовленной из данного материала,
могут появиться два характерных оттенка. Эти оттенки наблюдаются только в том
случае, если параллельный пучок света нормально падает на пластинку. Небольшой
наклон пластинки изменяет оттенок прошедшего света. Наиболее насыщенный цвет
наблюдается в том случае, когда а = +я/4 и Р = —л/4. При этом первый член в пра-
правой части уравнения A2.43) равен нулю, а второй член имеет максимальное значение.
Если вращать анализатор и поляризатор (как целое) относительно этого положения,
то цвет остается насыщенным, но интенсивность прошедшего пучка изменяется. При
фиксированном положении поляризатора (а = я/4) и повороте анализатора цвет
становится все менее насыщенным и наконец второй член обращается в нуль при
Р = —я/2 или E = 0. Дальнейший поворот анализатора вызывает появление допол-
дополнительного цветового оттенка. Описанные цветовые явления удобно наблюдать при
помощи тонкой слюдяной пластинки или пластинки из какого-либо прозрачного пла-
пластика. «Хамелеон», изображенный на рис. IV, получен при помощи двух пластинок
слюды различной толщины. Каждая часть хамелеона имеет свой определенный оттенок
(рис. IV, д) и при вращении анализатора оттенок меняется на дополнительный
(рис. IV, е). Канавчатый спектр, получающийся с более толстыми пластинками,
удобно наблюдать, внося между поляризатором и анализатором пластинку селенита
толщиной 1 мм.
12.43. Вследствие дисперсии пластинка Х/4 из анизотропного мате-
материала дает разность хода, точно равную Я/4 только для одной длины
волны. Часто эти пластинки делают так, что бы они обеспечивали раз-
разность хода в Я/4 для желтой области спектра. Если на такую пластинку
падает плоско-поляризованный белый свет, плоскость поляризации кото-
которого составляет угол 45° с главными направлениями пластинки, то выхо-
выходящий из пластинки свет будет поляризован по кругу только для желтой
*) См. примечание к § 12.39.
САХАРИМЕТРИЯ
371
Рис. 12.23.
области спектра, а для других длин волн он будет иметь эллиптическую
поляризацию. Аналогично, если плоско-поляризованный свет падает
на пластинку, вносящую разность хода К/2 для желтой области спектра,
то выходящий свет не будет полностью плоско-поляризованным. Призма
николя, гасящая желтый свет, пропустит некоторое количество света
близких длин волн и много света, существенно отличающегося от желто-
желтого. В проходящем свете преобладает синий и красный свет, и поэтому
прошедшее излучение имеет легко запоминающийся красновато-фиоле-
красновато-фиолетовый оттенок.
Бикварц
12.44. Цветовые эффекты, аналогичные описанным выше, могут наблю-
наблюдаться также вследствие дисперсии оптической активности. Это свойство
используется в чувствительном методе определения ориентации плоско-
плоскости поляризации пучка света. Две пластинки
кварца, каждая из которых вызывает поворот
плоскости поляризации для желтого света
на я/2 (но в противоположные стороны), скла-
складывают вместе (рис. 12.23). Это устройство
называется бикварцем. Если пучок плоско-
поляризованного белого света проходит через
бикварц, то плоскость поляризации желтого
света повернется на прямой угол в каждой части
поля зрения и этот свет полностью погасится
николем, плоскость которого параллельна пло-
плоскости поляризации исходного пучка. Одина-
Одинаковая доля света других длин волн пройдет
через обе половинки бикварца, и они окрасятся
в одинаковый цвет. Если повернуть николь на малый угол, то одна поло-
половина поля зрения становится более синей, а вторая более красной. Глаз
очень чувствителен к малому различию оттенков двух больших одно-
однородно освещенных полей, расположенных рядом, и следовательно, ни-
николь легко весьма точно установить в правильное положение.
Этот метод можно несколько видоизменить, направив свет на щель
спектрографа так, чтобы получить два спектра один над другим. В каж-
каждом из них будет присутствовать темная полоса. При правильной ориен-
ориентировке николя эти полосы занимают одно и то же положение в спектре.
При повороте николя на небольшой угол одна из полос сдвинется в сто-
сторону более длинных, а другая — в сторону более коротких волн. Измене-
Изменение оттенка при вращении николя можно использовать для обнаружения
малых примесей поляризованного света в пучке белого света.
Сахариметрия
12.45. Точное определение концентрации сахара в растворе мож-
можно сделать, измеряя удельную вращательную способность раствора.
Для этой цели используются приборы, называемые сахариметрами.
Наиболее простой сахариметр состоит из поляризатора, кюветы для
помещения оптически активного вещества, анализатора и линз, создаю-
создающих параллельный пучок света, который проходит через раствор и попа-
попадает в глаз наблюдателя.
Кювету сначала наполняют водой и поворачивают анализатор
до полного погасания света. Затем кювету наполняют исследуемым
24*
372
ГЛ 12 ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ
веществом и поворотом анализатора снова добиваются полного затемнения
поля зрения. Угол поворота анализатора а отсчитывают по круговой
шкале. Так как угол поворота плоскости поляризации г|) обычно не пре-
превосходит я, то ij? = а или г|) = я — а. Для выяснения вопроса о том,
какой из этих двух случаев имеет место, вдвое уменьшают концентрацию
раствора и снова измеряют угол а.
12.46. Точность измерений при помощи такого прибора невелика
по двум причинам. Во-первых, глаз наблюдателя должен работать в весь-
весьма невыгодном для фотометрирования режиме и, во-вторых, в значитель-
значительном интервале углов освещенность поля зрения очень близка к нулю*).
Значительно более точные результаты можно получить при помощи
устройства типа бикварца. Поэтому разработан ряд приспособлений,
с помощью которых наблюдатель видит поле зрение сахариметра разде-
разделенным на две равные части. При правильной
установке анализатора обе половины поля зрения
имеют равную освещенность. Устройство такого
рода состоит из призмы Николя (или Глана —
Томпсона), у которой удалена центральная часть,
имеющая форму клина. Обе половинки соеди-
соединяют вместе; их главные плоскости составляют
малый угол б (называемый полутеневым углом)
друг с другом (рис. 12.24). Если пучок линейно
поляризованного света падает на эту призму
таким образом, что плоскость поляризации делит
пополам полутеневой угол, то обе половинки поля
зрения будут освещены одинаково.
Человеческий глаз очень чувствителен к не-
небольшим различиям в освещенности двух, рядом
расположенных полей, если их освещенность не
очень мала. Если равенство освещенностей полей
сахариметра достигнуто путем совмещения биссектрисы угла б с пло-
плоскостью поляризации падающего на призму света, то поворот призмы
на угол 6/2 от этого положения приводит к тому, что одна половина
поля зрения становится совершенно темной. Таким образом, поворот
призмы на малый угол вызывает очень большие изменения в относи-
относительной освещенности двух полей, и следовательно, можно достичь очень
большой точности установки.
12.47. При использовании полутеневого метода существует некоторое оптималь-
оптимальное значение угла 6 Если угол 6 очень мал, то изменение относительной освещенности
двух полей при повороте призмы происходит очень быстро, но при равенстве освещен-
освещенностей абсолютная их величина очень мала [см упражнение 12 25] Оптимальное
значение угла 6 зависит от интенсивности источника света, от прозрачности раствора
и от длины волны используемого света В научно-исследовательских лабораториях
удобно иметь возможность изменять величину этого угла В сахариметрах, предназна-
предназначенных для промышленных измерений, выполняемых не вполне опытными наблю-
наблюдателями, величина угла 6 фиксирована Измерения обычно производят в натриевом
свете Удобнее пользоваться натриевой газоразрядной лампой (которая является
интенсивным и стабильным источником света), а не применявшимся ранее «натриевым
пламенем» В качестве стандарта используется раствор, содержащий 26 г исследуе-
исследуемого вещества на 100 см3 растворителя Длина кюветы точно равна 20,00 см Шкала
прибора разделена на 100 «сахарных градусов» Максимальное показание на его шкале
Рис 12 24 Призма
Корню
*) Освещенность Е пропорциональна sin- (a — 9) и при а, мало отличающемся
о dE
от в, величина —^ очень мала
аи
СВЕТОВЫЕ БИЕНИЯ 373
соответствует чистой сахарозе Растворы, содержащие смесь тростникового сахара
и других оптически активных веществ, анализируют до и после нагревания с соляной
кислотой После нагревания тростниковый сахар (который является правовращающим)
превращается в инвертированный сахар, который представляет собой смесь двл\ лево-
вращающих компонент Удельное вращение инвертированного сахара равно —19 7°
Точные измерения необходимо выполнять при стандартной температуре или вводить
поправку на ее изменение Кроме того, надо учитывать, что вращение не точно про
порционально концентрации
Световые биения
12.48. Известно, что звуковые волны от двух источников звука слегка различной
частоты взаимодействуют друг с другом таким образом, что наблюдатель слышит
звук, амплитуда которого меняется с частотой, равной разности частот источников
зв^ка Со светом такой эффект получить трудно, так как независимые источники
света не когерентны Поэтому необходимо получить от одного источника два пучка
света, имеющих небольшое различие по частоте Для этой цели можно использовать
пучок света, отраженный от движущегося зеркала Частота колебаний в таком пучке
будет отличаться от частоты в падающем пучке вследствие эффекта Допплера Если
этот пучок света будет интерферировать с пучком, полученным непосредственно
от источника света, или с пучком, отраженным от неподвижного зеркала, то возникнут
биения, аналогичные биениям в случае звуковых волн Подобный опыт можно выпол-
выполнить при помощи интерферометра Майкельсона
Пусть наблюдатель видит приблизительно прямые интерференционные полосы,
полученные в том случае, когда зеркало М2 (см рис 4 1) составляет небольшой угол
с плоскостью Л, и пусть зеркало М2 движется к наблюдателю со скоростью v Тогда
длина пути в этом плече интерферометра будет изменяться со скоростью 2 v см/сек,
и в каждую секунду перед наблюдателем будет проходить 2и/Х полос Изображение
источника света в движущемся зеркале будет перемещаться со скоростью 2 у, что в соот-
соответствии с эффектом Допплера приводит к изменению частоты на vo2v/c = 2v/K
Следовательно, изменение освещенности в любой точке поля зрения будет происходить
с частотой, равной изменению частоты света вследствие эффекта Допплера Это явле
ние можно описать также, исходя из изменения длины пути в плече интерферометра
При этом положение полос в любой момент времени определяется разностью хода
в этот момент времени Оба метода рассуждения могут применяться для различных
систем, в которых происходит смещение интерференционных полос *)
12.49. Несколько отличный метод получения двух световых источников с не вполне
одинаковой частотой принадлежит Риги Пусть пучок света проходит сначала через
вращающийся николь, а затем через пластинку Я/4 и через второй николь Положения
пластинки Я/4 и второго николя фиксированы и в плоскости второго николя лежит
биссектриса угла между главными направлениями пластинки / 4 П\сть в момент
времени t плоскость первого николя составляет лгол а = pt с медленным главным
направлением пластинки Предполагается, что николь вращается с постоянной >гловои
скоростью и, следовательно, р постоянно Тогда компоненты прошедшего пучка
в направлении меньшей и большей скоростей распространения можно записать в виде
lx=a cos a cos (co£—кг) A2 44)
и
Ъ,у = — a sin а sin (сог — xz) A2 45)
Каждая из этих компонент составляет угол я/4 с направлением второго николя, из кото-
которого, следовательно, выйдет световая волна, которую можно представить в виде
\=—гг- {cos a cos (at — xz)—sin a sin (a>t—xz)}=—— cos{(co + p) t — xz}. A2 46)
Таким образом, частота выходящего пучка равна (со + р) Если повернуть пластинк\
Я/4 на угол я/2 (так, чтобы ее главные направления поменялись местами), то знак
в выражении A2 46) изменится на противоположный и частота выходящей волны
будет равна (со — р)
*) Подробнее см Кл Ш е ф е р, Теоретическая физика, т III, часть 2, Оптика,
ГОНТИ, М — Л , 1938 (Прим ред )
374 ГЛ. 12. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ
12.50. В опыте Риги свет сначала проходит через вращающийся николь, а затем
разделяется на два пучка бизеркалами Френеля. После этого каждый из пучков про-
проходит через пластинку Я/4 и неподвижный николь. Обе пластинки ориентированы друг
относительно друга таким образом, что быстрое главное направление одной пластинки
перпендикулярно медленному главному направлению другой. Главная плоскость
неподвижного николя делит пополам угол между главными направлениями пластинок
Я/4. При вращении первого николя интерференционные полосы смещаются, и осве-
освещенность в какой-либо фиксированной точке картины меняется с частотой 2р/2л.
Этого следовало ожидать, так как частоты вторичных источников света равны
(о + р)/2л и (со — р)/2л. В таком опыте, как и в опыте с движущимся зеркалом, воз-
возможно и «статическое» объяснение наблюдаемой картины. Освещенность в любой точке
картины в любой момент времени определяется положением вращающегося николя
в этот момент времени.
Упражнения
12.22. Показать, что если анализатор и поляризатор скрещены, то второй член
в уравнении A2.43) всегда положителен. Следовательно, в этом случае может наблю-
наблюдаться только один оттенок света.
12.23. С пластинкой селенита толщиной 0,913 мм при скрещенных поляризаторе
и анализаторе темные полосы наблюдаются при 6543, 6167, 5830, 5540, 5266, 5030, 4810,
4590, 4405 А. Предполагая, что разность показателей преломления для быстрого
и медленного главных направлений пластинки в исследуемой области спектра не зави-
зависит от длины волны, вычислить эту разность.
[Если последовательные темные полосы появляются приК0, Я4, . . ., Яд, то можно
написать (п + к) Яд = е (а — у), где е — толщина пластинки, а а и у — показатели
преломления кристалла. Из наклона прямой линии, выражающей зависимость 1/Яд
от к, можно определить значение (а — у). В данном случае оно оказывается равным
0,012.]
12.24. Удельное вращение плоскости поляризации тростникового сахара равно
€6,5°. Обнаружено, что раствор сахара обладает вращением, равным t\. Пусть иссле-
исследуемый раствор смешали с соляной кислотой, объем которой равен 0,1 объема иссле-
исследуемого раствора, и нагрели. После этого вращение смеси оказалось равным Щ. Опре-
Определить число граммов тростникового сахара в 1 л исследуемого раствора (см. § 12.47).
[Ю00 (*! - 1,1*2)/86,2 г/л.)
12.25. Поляризационная призма, описанная в § 12.46, имеет полутеневой угол,
равный 6. Найти выражение для освещенности в каждой половине поля зрения, если
на анализатор падает пучок света, плоскость поляризации которого составляет угол 0
с биссектрисой полутеневого угла. Показать также, что при изменении угла 0 измене-
изменение контраста происходит быстро, если 0 = л/2, и значительно медленнее, если 0 = 0.
(Контрастом мы называем отношение разности освещенностей к средней освещенности.)
>-46)«
12.26. Показать, что если в опыте Риги повернуть второй николь на я/2, то напра-
направление смещения полос меняется на противоположное.
12.27. Показать, что пучок света, прошедший через вращающийся николь, можно
представить в виде результирующей двух пучков, поляризованных по кругу и имею-
имеющих разные частоты. Показать также, что опыт Риги можно объяснить, предполагая,
что пластинки Я/4 превращают затем эти пучки в плоско-поляризованные.
12.28. Каким образом можно воспроизвести опыт Риги при помощи неподвиж-
неподвижного николя и вращающейся пластинки Я/4?
12.29. Обсудить вопрос об интерференции пучков, поляризованных по кругу.
Найти условия, аналогичные условиям наблюдения интерференционной картины
в случае плоско-поляризованных пучков (см. § 12.15).
[1) Два пучка света с круговой поляризацией, у которых направления вращения
противоположны, не интерферируют ни при каких условиях.
2) Два пучка света с круговой поляризацией, у которых направления вращения
одинаковы, дают интерференционную картину при тех же условиях, что и два пучка
естественного света, если они получены из одного и того же исходного пучка поляризо-
поляризованного света. Этот исходный пучок может быть плоско-поляризованным или поля-
поляризованным по кругу.
3) Два пучка света с круговой поляризацией, имеющие одинаковые направления
вращения, но полученные из двух взаимно перпендикулярных плоско-поляризованных
компонент естественного света, не интерферируют. Если эти пучки получены из двух
поляризованных по кругу компонент естественного света, имеющих разные направле-
направления вращения, то они также не интерферируют.)
ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ СВЕТОФИЛЬТРЫ 375
12.30. Каковы соответствующие условия для эллиптически поляризованного
света?
[Некоторый интерференционный эффект наблюдается при тех же условиях,
что и в случае света, поляризованного по кругу. Совершенно темные полосы появляются
только тогда, когда эллипсы одинаковы и ориентированы одинаковым образом.]
Поляризационные светофильтры
12*51. Белый свет с непрерывным спектром, прошедший через двояко-
преломляющую прозрачную бесцветную кристаллическую пластинку,
помещенную между поляризатором и анализатором, можно затем иссле-
исследовать при помощи спектрографа, как показано, например, на рис. 12.21.
На выходе спектрографа, вместо сплошного спектра белого света, будет
наблюдаться так называемый канавчатый спектр (см. рис. II, е). Рас-
Распределение энергии в этом спектре (если считать однородным распреде-
распределение энергии в первичном световом пучке, т. е. до кристаллической
пластинки и анализатора) описывается соотношением A2.43). При
cos (a— P) = 0 интенсивность света падает до нуля; она также равна нулю
при а= E = -5-. Выражение A2.43) можно теперь записать следующим
образом:
f |) A2.47)
Максимумы интенсивности в канавчатом спектре имеют место для
тех длин волн, для которых ер = 2ия, где п — целое число. Воспользо-
Воспользовавшись A2.16) и обозначая |л2— Щ= Мчх» находим, что длина волны Яп,
соответствующая n-му максимуму, определяется выражением
£*- = -. A2.48)
Длины волн, соответствующие минимумам интенсивности прошед-
прошедшего света, находим, заменяя в A2.48) п величиной п + -^. Если мы пре-
пренебрежем зависимостью \ia от длины волны (см. упражнение 12.23), то
получим, что длины волн Хп и %п-\, соответствующие двум соседним
максимумам интенсивности, связаны соотношением
111
K—KT^l^- <12-49>
Таким образом, написанная выше разность -* -т— обратно пропор-
пропорол ^71-1
циональна e\ia. При возрастании вдвое толщины кристаллической пла-
пластины расстояние между минимумами, выраженное в длинах волн, умень-
уменьшается в два раза (рис. 12.25). Поэтому набор из N двоякопреломляю-
щих пластин с толщинами соответственно е, 2e, ie . . . 2N~ е, разделен-
разделенных вставленными между пластинами поляризаторами Ри Р2, ^з» • • •>
пропустит лишь отдельные участки исходного непрерывного спектра
белого света, входящего в эту систему. Спектральный состав света, про-
прошедшего соответственно через одну лишь первую кристаллическую пла-
пластинку, одну вторую пластинку и т. д., показан на кривых 1 —б рис. 12.25.
Нижний график на этом рисунке показывает спектральный состав света,
прошедшего через всю комбинацию двоякопреломляющих кристалличе-
кристаллических пластин и поляризаторов. Главные сечения всех поляризаторов
параллельны и составляют угол 45° с главными сечениями кварцевых
пластин 1, 2, . . ., вырезанных параллельно оптической оси кристалла.
376
ГЛ 12 ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ
При повороте на 90° всей системы поляризаторов темные полосы
в канавчатых спектрах (см. 1—6 рис. 12.25) сменяются светлыми.
Отдельные редкие и узкие спектральные полосы, пропущенные всей
системой кристаллических пластин и поляризаторов (см. нижний график
на рис. 12.25) легко отделить друг от друга цветными стеклами или жела-
желатиновыми светофильтрами.
12 3
ЛАААААААААААААААААААААА
. ААААААДАААААААААААААААЛААЛАААППАААЛПАЛДАПАААА
Рис 12 25 Поляризационный светофильтр Лио
12.52. Поляризационный светофильтр был сконструирован Лио,
который использовал набор из шести кварцевых пластин толщиной
от 1,2 до 71 мм. Поляризаторами служили призмы из исландского шпата
и стекла, подобранные таким образом, что они пропускали необыкновен-
необыкновенный луч, не отклоняя его в сторону. Позже Лио применял в качестве
поляризаторов высококачественные поляроиды. Склеивая между собой
кварцевые пластины и призмы (или применяя имперсию), удавалось
полностью избавиться от потерь на паразитные отражения света на гра-
границах пластин и поляроидов. В этом случае интенсивность прошедшего
света в полосе пропускания фильтра составляла до 40% от падающего.
Первоначально спектральная полуширина пропускания свето-
светофильтра Лио составляла 3 А, но позже, применив 10 кварцевых пластин
толщиной от 1,2 до 500 мм, удавалось уменьшить полуширину до 0,5 А.
Пользуясь этими фильтрами, приспособленными для выделения опре-
определенных спектральных линий (главным образом спектральной линии
На водорода), Лио смог сфотографировать солнечную корону, не ожидая,
как это делается обычно, наступления полного солнечного затмения.
Лио удалось получить не только статические фотографии короны, но, при-
прибегая к киносъемке, и проследить за эволюцией облаков водорода, выбра-
выбрасываемых с поверхности Солнца на высоты в сотни тысяч километров.
Местоположение в спектре полосы пропускания фильтра определяется,
очевидно, подбором толщин кварцевых пластин. Но тонкая доводка
положения полосы пропускания до нужной спектральной линии осуще-
осуществляется изменением температуры светофильтра, помещаемого для этого
в специальный термостат. Изменением температуры светофильтра можно
изменять толщину кварцевых пластин.
ЛИТЕРАТУРА 377
Расстояние между максимумами полос пропускания фильтра 6Х опре-
определяется толщиной самой тонкой кварцевой пластины, а ширина полосы
пропускания АХ — толщиной самой толстой кварцевой пластины. Поэто-
му приближенно можно написать -ту- ъ* 2N. Ширину полосы пропуска-
пропускания светофильтра можно рассчитать следующим образом. Свет, выходя-
выходящий из поляризатора Р2, можно считать двумя волнами, распространяю-
распространяющимися вместе, но обладающими некоторой разностью фаз, приобретен-
приобретенной при прохождении ими первой кварцевой пластины. Пусть фаза одной
волны будет равна 0, а другой е4. Во второй, вдвое более толстой кварце-
кварцевой пластине каждая из этих двух волн в свою очередь расщепится еще
раз на две волны с разностью фаз между ними 0 и 2ei. Таким образом,
свет, проходящий через поляроид Р3, можно рассматривать как четыре
линейно поляризованные волны с фазами, соответственно равными
О, 8i, 2еь 3&1. Развивая эти рассуждения дальше, мы легко находим, что
свет, проходящий через поляроид Р N + i> будет представлен 2^ волнами
с прогрессивно нарастающей разностью фаз гг между каждой парой
этих волн.
Легко увидеть, что формула, описывающая результирующую интен-
интенсивность Е всех этих волн, будет такой же, как и для дифракционной
решетки, имеющей 2N щелей, у которой разность фаз между волнами,
прошедшими через две смежные щели, равна е4. Поэтому
Разность длин волн АХ между максимумом интенсивности и смежным
к нему минимумом интенсивности определяется выражением для разре-
разрешающей способности дифракционной решетки, если пренебречь в случае
нашего светофильтра дисперсией величины \ia. Таким образом,
A
АЯ-25"- — ' A
где еп = 2Ne — толщина самой толстой кварцевой пластины. Для перво-
первоначального устройства Лио формула A2.51) дает АХ = 6 А, вблизи зна-
значения X = 6000 А.
Литература
12.1. Bragg W. L., The Crystalline State, Bell.
12.2. W о о s t e г, Crystal Physics, Cambridge University Press.
12.3. Thompson, Silvanus P. Trans. Optical Convention, 1905.
12.4. Rayleigh, Scientific Papers, vol. Ill, pp. 140—147.
12.5. Hurwitz, J. O. S. A. 35, 525 A945).
12.6. Jerrard, J. O. S. A. 38, 35 A948).
12.7. Wright, The Measurement of Colour, Adam Hilger.
Дополнительная литература
12.8. Шубников А. А., Основы оптической кристаллографии, Пзд-во АН СССР,
М., 1958.
12.9. Най Дж., Физические свойства кристаллов, ИЛ., М., 1960.
ГЛАВА 13
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ СВЕТА
Развитие теории
13.1. В ранних опытах по электричеству и магнетизму имели дело
с полями, которые или оставались постоянными, или очень медленно
менялись как во времени, так и в пространстве. Эти эксперименты при-
привели к установлению таких законов, как закон Кулона, закон Ампера
и закон индукции Фарадея. Первый экспериментальный результат,
устанавливающий связь света с магнетизмом (см. § 16.50), был получен
Фарадеем; он предполагал, что свет может иметь электромагнитную
природу, но не смог дать количественную теорию света. Это было сдела-
сделано позже Дж. К. Максвеллом. Он начал с представления существующих
в то время законов электромагнетизма в виде системы простых и изящных
соотношений, известных теперь как уравнения Максвелла. Он развил
свою теорию дальше и показал, что она допускает возможность существо-
существования электромагнитных волн, скорость распространения которых
в вакууме равна электродинамической постоянной с, получаемой из элект-
электрических измерений. Так как эта постоянная оказалась равной измерен-
измеренному значению скорости света, Максвелл предположил, что свет пред-
представляет собой электромагнитные волны высокой частоты. Он показал,
что эта теория дает адекватное объяснение явлениям отражения и прелом-
преломления света такими средами, как стекло, и что ее можно применить для
расчета отражения света металлами. Максвелл начал разрабатывать воп-
вопрос о применении своей теории к дисперсии света, но из-за ранней его
смерти завершение этого исследования было выполнено другими. Важный
шаг в проверке теории Максвелла — получение электромагнитных волн
при помощи осциллирующего диполя — принадлежит Герцу.
13.2. Математическая сторона теории не очень сложна, но несколь-
несколько громоздка. Для того чтобы читатель не потерял из виду основную
идею, рассматривая отдельные детали, мы сначала изложим основные
положения, а затем перейдем к систематическому обсуждению и доказа-
доказательствам. В первую очередь определим наиболее важные электромаг-
электромагнитные величины и выпишем уравнения Максвелла. Мы предположим,
что эти уравнения справедливы, т. е. что они образуют систему совме-
совместных уравнений и что их предсказания, относящиеся к случаю стати-
статических или медленно меняющихся полей, согласуются с эксперименталь-
экспериментальными данными ♦). С этих позиций мы продолжим наше рассмотрение
и покажем, что уравнения Максвелла естественным образом приводят
к гипотезе о существовании электромагнитных волн, распространяющихся
с конечной скоростью, значение которой может быть получено из изме-
измерений электрических и магнитных величин и равно измеренному значе-
*) Систематический вывод этих уравнений изложен в гл. ХНиХШ книги [13.1 ]
Более детальное и общее их рассмотрение можно найти в монографиях Джинса [13.2]
Максвелла [13.3] и Томсона [13.41.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
379
нию скорости света. Затем мы исследуем свойства этих волн и покажем,
что они являются поперечными волнами и могут быть поляризованы,
как это описано в гл. 12. Отражение электромагнитных волн на границе
раздела двух изотропных непроводящих сред рассматривается в гл. 14.
Оказалось, что электромагнитная теория света дает не только соотно-
соотношение между углами падения, отражения и преломления, но и позволяет
получить вполне определенные данные об интенсивности отраженного
и преломленного света, а также о его состоянии поляризации. Эти дан-
данные находятся в хорошем согласии с экспериментальными результатами.
Кроме того, теория дает вполне удовлетворительные результаты при
ее применении к вопросам распространения света в металлах и диспер-
диспергирующих средах. Выводы теории в этих случаях не так строги, так как
они базируются не только на уравнениях Максвелла, но и на гипотезе
о молекулярной структуре исследуемых сред. В гл. 16 изложено приме-
применение теории к анизотропным средам и показано, что она дает изящное
объяснение результатам исследования распространения света в кристал-
кристаллах. В гл. 17 мы перейдем к описанию некоторых экспериментов по взаи-
взаимодействию света с атомами и молекулами. Мы увидим, что сама по себе
электромагнитная теория не в состоянии объяснить эти эксперименталь-
экспериментальные результаты и для их истолкования необходимо привлечение кван-
квантовых представлений. В гл. 18 мы покажем, как электромагнитная теория
может быть формально согласована с квантовой теорией при помощи кван-
квантования энергии и импульса электромагнитного поля.
Математические методы
13.3. Уравнения Максвелла и последующую теорию лучше всего
излагать в векторной форме. Описание в декартовых координатах, конеч-
конечно, также вполне законно,
но не очень удобно. Мы обыч-
обычно будем использовать век-
векторный метод, но вначале бу-
будем также пользоваться и ска-
скалярным представлением; в тех
случаях, когда векторный
метод не дает существенных
математических преимуществ,
мы будем применять уравне-
уравнения в скалярной форме *).
В настоящей книге приняты
следующие обозначения и
условия:
1) Всегда используется
правая система декартовых
координат, т. е. .вращение от
положительного направления оси X к положительному направлению оси Y
происходит по часовой стрелке, если наблюдатель смотрит вдоль поло-
положительного направления оси Z (рис. 13.1).
2) Векторы обозначают буквами, набранными жирным шрифтом.
Символ Е обозначает вектор, а £ — его модуль, е — единичный вектор
Рис. 13.1. Правые системы координат.
Если оси X п Z, лежащие в плоскости рисунка, ориен-
ориентированы так, как это показано на а, то ось У (У.)
уходит за плоскость рисунка. Если оси X и У также
лежат в плоскости рисунка, но ориентированы
так, как это показано на 6, то ось Z (Zq) выходит из
плоскости.
*) Все необходимые положения векторной теории приведены в книге Иоса [13.1].
Более полное изложение, пригодное для студентов, специализирующихся в области
математической физики, можно найти в книге Резерфорда [13.5].
380 ГЛ 13 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ СВЕТА
в направлении вектора Е. Амплитуда вектора, который изменяется
по синусоиде, обозначается соответствующим символом, снабженным
индексом, например,
= еЕ
и
i (cor —
A3.1)
3) Произведение двух векторов, например Е и Н, записывается
следующим образом: Е-Н для скалярного произведения, модуль которого
равен EH cos Э, и Е X Н для векторного произведения, которое является
вектором (с модулем EH sin 6), направленным перпендикулярно плоско-
плоскости, содержащей векторы Е и Н. Вращение от Е к Н происходит по часо-
часовой стрелке для наблюдателя, смотрящего по направлению векторного
произведения.
4) Символами i, j,k обозначаются единичные векторы, направленные
в положительном направлении осей OX, OY и OZ соответственно. Диф-
Дифференциальный векторный оператор, называемый набла, записывается
в виде
5) Градиент скалярной функции (например, V) определяется следую-
следующим образом:
gradF = VF=i^+if-|fef-. A3.3)
V — скалярная величина, значение которой может меняться от точки
к точке; grad V — вектор, который может меняться от точки к точке
как по величине, так и по направлению.
6) Компоненты вектора Е по осям координат обозначаются через
Ех, Еу, Ег, так что
A3.4)
7) Дивергенция векторной функции Е определяется как
дЕ
г
Векторная функция, дивергенция которой всюду равна нулю, называется
соленоидалъной.
8) Ротор векторной функции определяется следующим образом:
Обратить внимание на циклическую перестановку индексов. Ротор —
это векторная функция, компоненты которой по осям х, у и z равны соот-
соответственно
f
ду dz ) ' \ dz дх J \дх ' ду J #
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА 381
9) Применение оператора V2 к скаляру V означает
V2F есть скаляр.
10) Применение оператора V2 к вектору Е означает
- («.в)
Приведенные выше операции могут повторяться несколько раз или при-
применяться последовательно. Для справки мы приводим следующие поло-
положения [13.1]:
I) Дивергенция ротора любого вектора всегда равна нулю.
II) Ротор градиента любого скаляра всегда равен нулю.
III) Ротор ротора некоторого вектора Е означает следующую опера-
операцию:
Vx(Vx£) = rot (rot Е) =■ grad (div E) - V2_E. A3.9)
IV) div (E X H) = V • (E X H) = H rot E- Erot H. A3.10)
Уравнения Максвелла
13.4. Совокупность экспериментальных результатов, полученных
при работе с электрическими и магнитными полями в немагнитных и изо-
изотропных средах, можно представить в виде следующей системы уравне-
уравнений:
A3.11)
A3.12)
rot 227=-i-^ f A3.13)
-fj --'f A3.14a)
или
votH = — oE--d-i-. A3.146)
С С Ot
В этой системе уравнений использованы общепринятые обозначения:
Е и Н соответственно для векторов напряженности электрического и маг-
магнитного полей, 2) = Е + 4яР для вектора электрической индукции,
Р для вектора поляризации среды, j для плотности электрического тока
проводимости, q для плотности объемных зарядов [13.7] *). В этих уравне-
уравнениях электрические величины выражены в электростатических единицах,
а магнитные — в электромагнитных. Уравнение A3.14а) без второго сла-
слагаемого в правой части может быть найдено из рассмотрения магнитного
поля тока проводимости. Второе слагаемое было добавлено Максвеллом.
*) См. также С. Г. Калашников, Электричество, Наука, М., 1964.
(Прим. ред.)
382 ГЛ. 13. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ СВЕТА
Оно связано с так называемым током смещения. Магнитное поле тока
смещения эквивалентно магнитному полю тока проводимости *). Вели-
Величина тока смещения jd равна следующей величине:
* <1315>
Волны в непроводящей среде
13.5. Рассмотрим теперь распространение волн в среде, которая
характеризуется следующими особенностями:
а) она однородна и, следовательно, 8 имеет одно и то же значение
во всех точках;
б) изотропна и, следовательно, е не зависит от направления распро-
распространения поля;
в) проводимость среды а = 0 и, следовательно, j = gE = 0;
г) плотность объемных зарядов q в среде равна нулю.
При этих условиях уравнения A3.11) — A3.14) переходят в следую-
следующие **):
0, A3.16)
0, A3.12)
±=rotJE, A3.13)
± = votH. A3.17)
Теперь исключим по очереди Е и Н из уравнений A3.13) и A3.17),
пользуясь теоремой III векторного анализа:
rot (rot JE) = grad (div E) - V*E = ~i -^ (rot H) = -■£ ^f
*) Здесь автор считает магнитную проницаемость р, рассматриваемых сред рав-
равной единице. Это действительно справедливо во многих случаях для оптических частот.
Далее будет учитываться отличная от единицы магнитная проницаемость. (Прим. ред.}
**) Эти уравнения в скалярной форме имеют следующий вид:
' с dt \ду dz
°Jl2-[^-dA±\ A3 13a)
1 dHz_(dEy aE n
с ^ "I, ^ aj/У'
л Л С /Я ТТ оТТ N. ^
> A3.17a)
с dt \ dz dx
~c~dT=\~dx~ ~dy j ' ')
38а
A3.18)
A3.19)
уравнения имеют вид обычных волновых уравнений B.38). Отсюда
следует, что изменения JE или Н должны распространяться со скоростью
СКОРОСТЬ СВЕТА
Таким образом, используя A3.16), получим
и, аналогично,
Скорость света
13.6. Для вакуума е = 1, и поэтому скорость электромагнитных
волн должна равняться постоянной с. Эту постоянную легко определить
экспериментально, сравнивая результаты измерения силы тока в электро-
электростатических и электромагнитных системах единиц [13.8] ♦). Было уста-
установлено, что эта величина согласуется с измеренным значением скорости
света с точностью 1/30 000, т. е. в пределах экспериментальных ошибок
(см. гл. 11). Если бы поляризация среды не зависела от частоты волн,
можно было бы ожидать, что отношение скорости света в вакууме с к ско-
скорости света в непроводящей среде Ъ (например, в воде) равнялось бы отно-
отношению
п= т- =
A3.20)
где п — показатель преломления. Значения |/*е и п для ряда веществ при-
приведены в табл. 13.1.
Таблица 13.1
Вещество
Воздух
Гелий
Парафин
Толуол
Бензол
Вода
Метиловый спирт .
Этиловый спирт . .
VI
1,000295
1,000037
1,405
1,549
1,511
9,0
5,7
5,1
п
1,000292
1,000035
1,422
1,499
1,501
1,33
1,34
1,36
Как мы видим, для некоторых веществ п приблизительно равно
Для других веществ ]/е значительно больше п. Большая диэлектриче-
диэлектрическая проницаемость в медленно изменяющихся во времени полях связана
с ориентацией постоянных диполей полярных молекул. Этот вклад
в поляризацию, который ничтожен при оптических частотах, иногда
все же существен при низких частотах. Например, для воды ] 8 = 9.0;
показатель преломления для низких частот действительно равен 8.9Г
а для оптических частот — лишь 1,33.
*) См. также С. Г. Калашников, Электричество, Налка, М., 1964.
(Прим. ред.)
384 ГЛ. 13. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ СВЕТА
Свойства электромагнитных волн
13.7. Рассмотрим теперь плоскую волну, распространяющуюся вдоль
положительного направления оси z. Каждую компоненту поля волны
можно представить выражением следующего вида:
Ex = EOxexvi(<dt — kz). A3.21)
Так как фронт волны параллелен плоскости ху, то эти выражения не зави-
зависят от х и у. Покажем, что электромагнитные волны обладают следующи-
следующими свойствами *):
1) Электромагнитные волны поперечны.
Так как Е зависит только от z, то
f* = 0; ^ = 0; ^ = 0и^ = 0. A3.22)
дх ' ду ' дх ду v '
Рассматривая первые два соотношения совместно с уравнением A3.16а),
получим
^ = 0. A3.23)
Это соотношение вместе с двумя последними соотношениями A3.22)
показывает, что Ег не зависит ни от х, ни от у, ни от z.
Нас не интересует электрическое поле, величина которого одинакова
во всех точках. Поэтому положим компоненту поля Ег равной нулю.
Следовательно, распространяющееся вдоль оси z поле Е будет иметь
только компоненты электрического вектора Ех и Еу. Таким образом,
поле волны в изотропной среде не имеет компоненты вдоль направления
распространения и, следовательно, вектор Е перпендикулярен направле-
направлению распространения волны. Аналогичным образом можно показать,
что вектор Н также перпендикулярен направлению распространения
и, следовательно, волны поперечны.
2) Электрический и магнитный векторы взаимно перпендикулярны.
Теперь будем считать, что электрический вектор направлен вдоль
оси х. Тогда Еу= 0 во всех точках поля. Из первого уравнения A3.13а)
имеем
_J_aj^ =(дЕг_Щ[\ =0 A3.24)
с dt V ду dz ) и# \ы.**)
Первый член в скобках равен нулю, так как Ez не зависит от у (см. урав-
уравнение A3.22)), второй член также равен нулю, поскольку Еу= 0 во всех
точках поля. Так как мы считаем, что Нх соответствует переменной
составляющей магнитного поля, то из уравнения A3.24) следует, что
Нх = 0. Следовательно, вектор Н перпендикулярен вектору Е.
3) Электрический и магнитный векторы колеблются в фазе.
Пусть изменения Ех с течением времени следуют соотношению A3.21),
а компоненту Ну можно представить выражением
Hv = НОу exp i (cat - kz). A3.25)
Теперь найдем отношение НОу к ЕОх. Если это отношение окажется дей-
действительным и положительным, то векторы находятся в фазе. Если же оно
действительно и отрицательно, то между векторами существует сдвиг
*) Нам придется пересмотреть эти свойства, когда мы обратимся к анизотроп-
анизотропным или поглощающим средам.
СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
385
фаз, равный я. Любая разность фаз, не кратная Jt, будет соответствовать
комплексному отношению амплитуд векторов (см. §§ 2.26 и 15.9). Испоть-
зуя уравнение A3.13), получим
дНу
~~~дГ
дЕх 3EZ
dz дх
поскольку Ег = 0, то
(О
с
'Ох,
ИЛИ
— -г Ео% = пЕОх = у г Е{
Оя?
A3.»
A3.27)
A3.28)
так как —=6=с|/е. Таким образом, искомое отношение амплитуд
Направление
i ^ распространения
действительно и положитель-
положительно. Следовательно, векторы
Е и Н колеблются в фазе.
Если вектор Е имеет макси-
максимальное значение (и направ-
направлен в положительном направ-
направлении оси х), то вектор Н
также имеет максимальное
значение (и направлен вдоль
положительного направле-
направления оси у). Для наблюдателя,
смотрящего вдоль распрост-
распространения волны, поворот от
направления вектора JE к направлению вектора II должен происходить
по часовой стрелке, т. е. эти два вектора образуют с направлением вол-
волновой нормали п правую тройку векторов (рис. 13.2).
Рис 13 2. Соотношения между _Е7, Н и направ-
направлением распространения волны.
Упражнения
13.1. Показать, что скалярные произведения векторов п-Н, п*Е и 2£«.Н"(где
п — единичный вектор нормали к фронту волны) равны нулю.
13.2. Показать, что если оси координат х1', у' и z' выбраны так, что zf совпадает
с направлением распространения волны, а направления векторов Е и Н не совпадают
с направлениями осей ОХ' и ОУ, то компоненты векторов связаны соотношением
Ех<Нх>+Яу,Ну>=0. A3.29)
13.3. Показать, что следующие соотношения являются решениями уравнений
Максвелла*
а)
б)
Еу=0; Я2=
A3 30)
£^0; Еу = Ае^; Ez=0; )
Hx = -YlAei{»; Hy=0; #z-0, J
A3 31)
где
ф = <Di — kz и А — постоянная величина.
[Решение A3.30) было получено выше в более простых обозначениях', реш
A3.31) совпадает с ним, если оси х и у повернуты на 90°.]
13.4. Показать, что приводимое ниже решение уравнений Максвелла to »т
ствует волне, распространяющейся в отрицательном направлении оси z.
Ey=0; Ez=0\
25 p. Дитчберн
386 ГЛ 13 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ СВЕТА
Написать решение, аналогичное A3 31)
[Ех=0, Ey=Aexvi((Dt + Kz), Ez=0, tfx=}/*eexpi(o>*+ttz), Hy=0, HZ=Q.}
13.5. Исходя из уравнений Максвелла в скалярной форме A3 16а) и далее, вывести
волновое уравнение A3 18)
13.6. Показать, что система A3 33) является решением волнового уравнения
Суперпозиция электромагнитных волн
13.8. На опыте установлено, что в случае статических и квазистати-
квазистатических полей результирующее поле, создаваемое двумя системами зарядов,
является векторной суммой двух полей, каждое из которых обусловлено
своей системой зарядов. Это соотношение, сформулированное для вакуума,
нарушается в веществе только при очень сильных полях или в присут-
присутствии ферромагнитных веществ. Таким образом, при обычных условиях
электромагнитные волны должны подчиняться принципу суперпозиции
и скорость их распространения не должна зависеть от амплитуды. Если
бы это было не так, электромагнитная теория была бы не в состоянии дать
простое объяснение явлениям интерференции, дифракции и поляризации.
Только приняв приведенное выше положение, электромагнитная теория
смогла перенять основную структуру общей волновой теории, развитой
Френелем, Рэлеем, Кирхгофом и другими. Детали теории дифракции
электромагнитных волн требуют специального рассмотрения. Этот вопрос
изучался многими авторами [13.6].
На первый взгляд может показаться, что электромагнитная теория
усложнила волновую теорию света введением двух векторов вместо одно-
одного. Однако надо иметь в виду, что компоненты электромагнитной волны
не являются независимыми. Соотношение между Е и Н таково, что если
нам известен один из векторов (а также параметры, характеризующие
среду, и направление распространения), то можно определить второй
вектор. Это соотношение зависит от свойств среды, что используется
при выводе из уравнений Максвелла граничных условий для Е и Н, необ-
необходимых для построения полной теории отражения и преломления. Кро-
Кроме того, соотношения между Е и Н для изотропных и анизотропных сред
не одинаковы, и это обстоятельство дает возможность построить теорию
распространения света в анизотропной среде. Таким образом, обосно-
обоснованная опытными данными и проверенная на опыте теория электромаг-
электромагнитных волн обладает достаточной, но не излишней «гибкостью» для
описания оптических явлений.
Описание поляризованного света
13.9. Волна, описываемая уравнениями A3.21) и A3.28) или, в более
простой форме, системой A3.30), представляет собой плоско-поляризован-
плоско-поляризованную волну. Электрический вектор перпендикулярен направлению рас-
распространения и остается в той же плоскости по мере продвижения волны.
Магнитный вектор ведет себя аналогичным образом. Он все время лежит
в плоскости, параллельной YZ, тогда как электрический — в плоскости,
параллельной XZ. Позже (см. § 14.12) будет показано, что плоскость
колебания магнитного вектора совпадает с определенной выше плоскостью
поляризации. Приняв принцип суперпозиции, мы можем представить
свет, поляризованный по кругу, и эллиптически поляризованный свет
как результат наложения плоско-поляризованных волн, плоскости поля-
поляризации которых взаимно перпендикулярны, а разности фаз постоянны.
ТЕОРЕМА ПОЙНТИНГА 387
Эллиптически поляризованный свет можно описать следующей системой:
\ — xz), Нх= —У г В sin (at — xz),
оЗ)
= В sin (at — xz), Яу = У^е Л cos (<ot — xz),
Если Л = -В, то A3.33) представляет свет, поляризованный по кр\гу.
Если А или В равно нулю, эта система соответствует плоско-поляризо-
плоско-поляризованному свету. Неполяризованный свет можно представить (см. § 12.17)
как результат наложения волн, разность фаз между которыми не остает-
остается постоянной.
Энергия электромагнитного поля
13.10. Электромагнитное поле обладает энергией W, определяемой
соотношением [13.1 ]
где bW — энергия элемента объема поля бт. В этом выражении учтено
влияние электрической поляризации. При высоких частотах влияние
магнитной поляризации пренебрежимо мало, и поэтому здесь не учиты-
учитывается.
В вакууме D = JE, и первый член в правой части уравнения A3.34а)
становится равным Е2/8я. Для волн, описываемых соотношением A3.21),
среднее значение Е2 рдвно х1гЩ-> а среднее значение Н2 равно г1гЩ.
В вакууме Но= Ео (см. соотношение A3.28)), и поэтому
6т ==~8лГ==1$лГ '
Теорема Пойнтинга
13.11. В 1884 г. Шйнтинг A852—1914) показал, что в переменном
электромагнитном поле существует в общем случае поток энергии. Этот
поток полностью описывается вектором (известным как вектор Пойнтин-
Пойнтинга) , направление которого определяет направление потока энергии,
а величина равна количеству энергии, проходящей через единицу поверх-
поверхности (перпендикулярной направлению потока) в 1 сек *). Покажем
теперь, что этот вектор G равен с/4я, умноженному на векторное произ-
произведение JE и J3T, т. е.
G = -^-±JxH. A3.35)
Отсюда следует, что если направления векторов JEnH совпадают, то поток
равен нулю. Для недиспергирующей среды можно написать
ИЛИ
-L[ СрТ дЕ
*) Важное понятие потока энергии в упругой среде и его описание при пом» щи
вектора было впервые введено Н. А. Умовым. (Прим. ред.)
25*
388 ГЛ 13 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ СВ ТА
Мы считаем здесь 8 не зависящим от со, что верно для недиспергирующей
среды. Используя уравнения Максвелла A3.13) и A3.14), получим
x A3.38)
и, используя A3.10), имеем
d\V
—£ \ V(£xfl)A- \ Ejdx. A3.39)
at
Второй член в правой части этого уравнения соответствует расходу энер-
энергии на джоулево тепло. Для непроводящих сред он равен нулю, и следо-
следовательно, в этом случае
dW_
~дГ
где G определяется соотношением A3.35).
Воспользуемся известной теоремой векторного анализа (теоремой
Гаусса), выражаемой соотношением
=-\ divGdx, A3.40)
\ div а dx = <£ ап dS,
где в правой части написан интегральный поток вектора а через замкну-
замкнутую поверхность 5, охватывающую объем интегрирования Г. Преобра-
Преобразуем при помощи теоремы Гаусса выражение A3.40) к виду
Это соотношение выражает закон сохранения энергии для электро-
электромагнитного поля в непроводящей среде. Оно выражает утверждение, что
скорость изменения энергии поля в объеме, охваченном поверхностью S,
определяется потоком вектора Пойнтинга G = -4- ЕхН через эту поверх-
поверхность, что и требовалось доказать. Таким образом, в недиспергирующей
среде скорость потока энергии равна фазовой скорости волны Ъ. Из оп-
определения вектора Пойнтинга следует, что в изотропной среде направле-
направление потока энергии совпадает с направлением распространения волны *).
Импульс электромагнитных волн
13.12, Качественно легко показать, что электромагнитные волны
должны обладать импульсом, направление которого совпадает с направ-
направлением распространения волны. Пусть пучок света падает на проводник,
частично поглощающий световую энергию. Электрическое поле волны
вызывает электрический ток, направление которого перпендикулярно
магнитному вектору поля волны. Следовательно, на проводник будет
действовать эмперова сила. Так как электрическое и магнитное поля
меняют знак одновременно, эта сила всегда имеет одно и то же направле-
направление, совпадающее с направлением распространения волны. Детальный
расчет величины этой силы с учетом того, что фаза тока в проводнике
не точно совпадает с фазой волны, довольно сложен. Наиболее удовлетво-
*) О направлении течения энергии и скорости ее распространения см. гл. 16.
(Прим. ррд.)
ПРИЛОЖЕНИЕ 13 V 389
рительный общий метод расчета дает теория относительности Из этой
теории следует, что электромагнитной энергии И соответствует масса,
равная We2 (см уравнение A1 46)), и импульс, равный W/c (см урав-
уравнение (И 49)) Мы вернемся к этому вопросу позже, в связи с опытами
по давлению света В дальнейшем будет также показано, что электромаг-
электромагнитная волна обладает моментом количества движения относительно
направления ее распространения (см § 17 23)
Упражнения
1Д 7 Каков о направление вращения в поляризованной вотае, описываемой систе-
мон A3 33),— вправо или влево?
[Влево ]
13 8 Вычпсшть плотность энергии и поток энергии д хя э i шптически поляризо
ванной волны, определяемой системой A3 33)
13 9 Качественно рассмотреть вопрос о распространении энергии в сферической
электромагнитной волне (т е обсудить вопросы изложенные в п 2, в рамках электро
магнитной теории)
Литератора
13 I И о с Г , Курс теоретической физики Учпедгиз Ч 1963
13 2 Jeans Theory of Electricity and Magnetism Cambridge University Press
13 3 Max-well Electromagnetic Theory, Oxford Lnrversity Press
J34 Thomson J J Elements of Llectncit} and Magnetism Cambridge Uni
versity Press
135 Rutherford Vector methods Olrver and Boyd
13 6 Baker Copson, The Mathematical Theory of Huygens Principle, Oxford
Lmrversity Press
Дополните!ьная литература
13 7 Тамм И Ь Основы теории электричества Гостехиздат М 1954
13 8 Эйхенвальд А А Теоретическая физика ч VI, Электромагнитное
поле, ГНТИ, Ч —Л 1931
13 Э ЗоммерфельдА Электродинамика IT 1 М 19)8
13 10 Зоммерфечьд А Оптика П I M Wio
13 11 Ландау Л Д, Лифшиц L М Теэрня п п Фи матп 1 о-_
13 12 Ландау Л Д, Лифшиц L М Электродинамны im шных сред,
Гостехиздат, М , 1957
13 13 БорнМ, Оптика, ОНТИЪ, Харьков, 1937
ПРИЛОЖЕНИЕ 13А
ОПИСАЬИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ПРИ ПОМОЩИ
ПОТЕНЦИАЛА
1 В гл 13 электромагнитное поле описывалось двумя ве^т рами Е и Н, которые
удовлетворяют уравнениям A3 11)—A3 14) Для некоторых пелен удобно выразить
векторы Е и Н через скалярный потенциал <ри векторный пг тенциал Л Так как
div (rot) любой функции равна нулю и div Н = 0, мы мол е i положить
JT=rot A A3 41)
Кроме того, поскольку rot (grad) любой функции равен нл iio мы можем вместо A3 13)
написать
1 •
JE7+ —^1=— gradcp, A3 42)
в чем чегко убедиться применяя оператор rot к зрарнению A3 42)
390 ГЛ. 13. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ СВЕТА
Предположил!, что векторная функция Ао и скалярная функция q>0 удовлетво-
удовлетворяют написанным выше уравнениям. Тогда, если Ф — некоторая другая скалярная
функция, то функции
А = А0— gradO A3.43)
и
ф=ф0 + ±ф A3.44)
с
также будут удовлетворять уравнениям A3.41) и A3.42), так как rot (grad Ф) = 0.
Следовательно, уравнения A3.41) и A3.42) не полностью определяют А и (р. Мы можем
ввести любую дифференцируемую функцию Ф точно так же, как мы можем прибавить
одну или несколько постоянных интегрирования к решению дифференциального
уравнения. Для того чтобы упростить последующие уравнения, выберем функцию Ф
следующим образом. Пусть
—i_ <D=div ^o+4 Vo- A3-45)
Применив к обеим частям уравнения A3.43) операцию div и к обеим частям уравне-
уравнения A3.44) операцию ^- и сложив эти уравнения, получим
с at
div A +— q>=div Ao—div (grad Ф)+ — ф0 + -4-Ф A3 46)
с с с
Используя A3.45) и A3.7), находим
сЦУЛ + ~ф=0. A3.47)
Если 8 = 1, то из уравнения A3 14) и из известного соотношения J = qv следует, что
rot!
а уравнение A3.11) притыает вид
div.E=4jtQ. A3 49)
Подставляя выражения для Ни Е из A3.41) и A3.42) и используя A3.9) и A3.47),
получим
^A—^qv A3.50)
rot H=r — Е + — qv, A3 48)
с с
У2Ф=-А- ф—4jiq A3 51)
Если q = 0, то оба потенциала удовлетворяют волновому уравнению и изменения
потенциалов распространяются со скоростью с. Даже в том случае, когда удовлетво-
удовлетворяется соотношение A3 45), остается некоторая свобода выбора функции Ф, и при
q = 0 мы можем выбрать Ф такпм образом, чтобы ф = 0. Тогда при q = 0 имеем
(для распространяющихся составляющих Е и Н)
H=rot A A3.52)
и
J57= — ~i. A3.53)
с
Представление электромагнитного поля в замкнутой полости
в виде системы стоячих волн
2. Выше было показано (см. § 3.20), что при падении пучка света на частично
отражающую поверхность результирующее поле вблизи поверхности образов ано как
бегущими, так и стоячими волнами. Рассмотрим теперь электромагнитное поле в замк-
замкнутом кубе с частично отражающими внутренними стенками. Поле одинаково (но не обя-
обязательно равно нулю) на любых двух противоположных гранях куба. Предположим,
ПРИЛОЖЕНИЕ 13А ' 391
что ребро куба L велико по сравнению с любой интересующей нас длиной волны.
Пусть q$ — функция t (но не я, у, z), удовлетворяющая уравнению
*i + »&.=0f A3.54)
а А8 — векторная функция х, г/, z (но не t), удовлетворяющая уравнениям
V2A,+-^-Aa=0 A3.55)
div ^s=0. A3.56)
Тогда если
A = ^qsAs, A3.57)
S
то А удовлетворяет волновому уравнению. Возможное решение уравнения A3.55)
имеет следующий вид:
A8=AOs (Ksxx+Ksyy + Kszz), A3.58)
где
^§-. A3.59)
Из граничных условий следует, что
*«*=-£-**. щу = — пу, ytsz=—nz, A3.60)
где пХ1 пу, п2 — целые числа.
Таким образом, поле можно представить в виде набора волн, распространяю-
распространяющихся в различных направлениях. Для каждого направления распространения волны
существует два возможных направления ее поляризации. В соотношениях A3.54)—
{13.57) это соответствует двум значениям s для каждого направления распространения
света. При рассмотрении соотношения A3.58) надо иметь в виду, что каждому вектору
AOs соответствует другой вектор той же величины, но ориентированный перпендику-
перпендикулярно первому. Вместо A3.58) можно, конечно, воспользоваться косинусами пли
комплексными экспонентами, но для наших целей наиболее удобно именно это выра-
выражение.
Число стоячих волн с частотами, лежащими между о и (о + е?ю) *)
3. Выберем в качестве координатных осей оси хх, ху, кг и отметим все точки
в этом пространстве волновых векторов, удовлетворяющие A3.58). Число таких точек
в единице объема пространства наших координат (для кубического объема, содержа-
содержащего большое количество точек) равно £8/8я3. Число точек между сферами радиусами >с
и (х -1- d%) равно Dях2с?х) L3/8ji3. Так как ск = со, то число возможных собственных
частот между © и (со + dсо) равно
*3- <«•«>
Мы показали, что электромагнитное поле можно описать вектором А. Каждая волна
в этом поле может иметь два различных состояния поляризации. Таким образом,
для кубика единичного объема полное число возможных собственных колебаний поля
с частотами, лежащими между со и (со + с?со), равно со2с?со/я2с3. Это соответствует числу
колебаний между v ( = J и (v+rfv), равному
8-^. A3.62)
Можно показать, что если все линейные размеры объема, в котором рассматриваются
собственные электромагнитные колебания, велики по сравнению с длиной волны,
то это число возможных колебаний не зависит от формы объема.
*) Число стоячпх волн, осуществляющихся в некотором объеме — это то же, что
и число собственных, или нормальных, колебаний поля в том же объеме. (Прим. ред.)
392
ГЛ. 13. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ СВЕТА
ПРИЛОЖЕНИЕ 13Б
ИЗЛУЧЕНИЕ ДИПОЛЯ
1. В электростатике диполем называется система из двух равных по величине*
и противоположных по знаку электрических зарядов, находящихся на малом рас-
расстоянии друг от друга. Дипольный момент диполя равен произведению величины
одного из зарядов на расстояние между ними. Он считается положительным, если
положительный заряд находится с положительной стороны от общего центра, при-
принятого за начало координат. Рассмотрим теперь
z колеблющийся диполь, дипольный момент которого»
р можно записать в комплексной форме
M(t)=M0ei(ot. A3.63)
Амплитуда колебаний электронов, излучающих свет,
не бесконечно мала, но мы здесь будем рассматри-
рассматривать идеальный диполь, у которого расстояние ме-
между зарядами бесконечно мало, а дипольный момент
конечен. В одной части расчетов удобно пользо-
^^7 ваться декартовыми координатами, а в другой —
У1 сферическими координатами г, 6, % (рис. 13.3). Бу-
Будем считать, что ось диполя совпадает с осью z. Поле
должно быть симметрично относительно этой оси, л
поэтому ни одна компонента векторов поля не зави-
зависит от х- Рассмотрим вектор
П@=^=-, A3.64)
Рис. 13.3.
где J/__ равно значению М в момент времени
{t—г/с). Вектор П (называемый вектором Герца)
является решением нашего волнового уравнения.
2. Нам необходимо найти два вектора 1<J и 2Г, которые описывают поле диполя.
Мы знаем, что решение волнового уравнения должно удовлетворять следующим усло-
условиям:
1) Если г мало, то поле Е должно сводиться к полю диполя в электростатике.
•
Аналогично Н должно сводиться к полю элемента тока М = ШМ0.
2) В момент времени t поле в точке Р должно определяться состоянием диполя
в момент времени (t — г/с).
3) На больших расстояниях от диполя переменная часть поля должна соот-
соответствовать распространяющейся из центра диполя сферической электромагнитной
волне с векторами Е и Н, перпендикулярными друг другу и г. Амплитуды этих век-
векторов должны быть обратно пропорциональны г*). Выберем пробное решение в виде-
1 •
= — U
с
A3.65)
Ф= —
3. Мы имеем Их = Ну = 0, а следовательно, Ах = Ау = 0 п
1 ' ко ,.
A3.66>
A3 67>
дъ
дг дъ
т. е.
—
дг
-шг/с
A3.68)
Так как Ах = Ау = 0 во всех точках, то их производные также равны нулю, и из
A3.41) следует, что Hz = 0. Таким образом, в точке Р вектор Н лежит в плоскости,
проходящей через Р и перпендикулярной Oz.
*) Автор ищет выражения, описывающие электромагнитную волну, излучаемую
диполем, вблизи диполя и вдали от него в так называемой волновой зоне. {Прим. ред.)
ПРИЛОЖЕНИЕ 13Б
393
Предположим, что координата у точки Р равна нулю (рис. 13.4). Так как
компонента Аг одинакова во всех точках окружности, проходящей через Р, то в этой
точке
т. е.
A3.69а)
Мы показали, что в точке Р вектор Н направлен по касательной к проведенное
нами окружности и его величина определяется выражением A3.69). Симметрия задачи
требует, чтобы вектор Н всегда был касателен к
окружности и имел найденную выше величину. у
Иными словами, Н = Н% даже в том случае, когда
координата у точки Р не равна нулю.
Если г велико по сравнению с с/ш (т. е. по
сравнению с длиной волны), то
Нг= -у- sin 6,
Из A3.42) пол>чаем
Ет = cos 6
_ @2
г с*
2*со , 2 у
sinG
№Г
J
A3 696)
A3 70а)
Рис. 13.4
Если г велико по сравнению с с/о, компонента Ег становится пренебрежимо малой
по сравнению с компонентой Е$у которая принимает следующий вид:
- 0J
re2
sin 0.
A3.706)
4. Если г велико, то Н% (см. A3.696)) является единственной, не равной нулю
компонентной Н, а Е$ —единственной, не равной нулю компонентой Е. Поле, опре
деляемое выражениями A3.696) и A3.706), соответствует поперечной сферической
электромагнитной волне и, следовательно, условия 2 и 3 оказываются выполненными
Поле, описываемое выражениями A3.69а) и A3.70а), в которые входят только
члены с высшими степенями 1/г (при малом г они приобретают наибольшее значение),
удовлетворяет условию 1. Таким образом, мы будем считать, что выражения A3.69)
и A3.70) служат решением соответствующих уравнений *).
5. Энергию, излучаемую диполем, можно найти, рассчитав вектор Пойнтинга
(см. § 13.11) в поле диполя. Величина вектора Пойнтинга равна
A3.71)
Среднее по времени значение М£. равно l/2ik/|, и следовательно, средний по времен и
поток энергии через единичную поверхность, перпендикулярную направлению 0
равен
*) Дальнейшее обсуждение вопросов, связанных с особенностями решении
в начале координат, читатель может найти в книгеГайтлера [18.4]. (См. также ука-
указанные в дополнительном списке литературы курсы электродинамики на русском
языке.—Прим. ред.)
394 ГЛ. 13. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ СВЕТА
Т ак как среднее значение sin2 0 по сфере равно 2/3, полная энергия, излучаемая
диполем в единицу времени, равна следующей величине *):
—5Г="Збз-=—зР~ • A3ЛЗ)
6. Рассмотрим теперь излучение электрона с массой т, совершающего свобод-
свободные колебания вдоль оси х. Уравнение этих колебаний имеет вид
О. A3.74)
При малом затухании, когда у < со, его решение записывается в виде
х = х*-*'2еш. A3.75)
Энергия колебания диполя W в момент времени t равна
\ A3 76)
где
PF0=i.G>2mz2. A3.77)
Скорость уменьшения энергии равна yW или приближенно yWo, если t мало. Колеб-
Колеблющийся электрон эквивалентен осциллирующему диполю (плюс статический заряд,
который не дает вклада в поле излучения). Эквивалентное значение Мо равно ех0.
Подставляя в A3.77) Мо вместо х0, получим для скорости уменьшения энергии сле-
следующее выражение:
dW тгг 1 со2 ,,9 ,,о 7Оч
Y^ y Y-^г mM*- A3-78)
.г>то выражение согласуется с A3.73) при условии, что
Промежуток времени т0, по истечении которого энергия уменьшается в е раз (где
' — основание натуральных логарифмов), определяется соотношением
7. В приведенных выше рассуждениях можно заметить некоторую непоследо-
непоследовательность. В уравнении A3.63) мы считали, что амплитуда колебаний диполя
остается постоянной, а при рассмотрении колебаний электрона мы видели, что его
энергия непрерывно уменьшается, т. е. уменьшается амплитуда колебаний эквива-
эквивалентного диполя. Потеря электроном энергии на излучение вызывает затухание его
колебаний; этот эффект эквивалентен наличию силы, вызывающей затухание колеба-
колебаний электрона. Для того чтобы учесть это обстоятельство, мы должны были бы срав-
сравнить A3.78) не с A3.73), а с выражением, которое получится, если считать М равным
3/0e~Y*/2ei£D', а не MoeiGit (см. A3.63)), и затем рассчитать поле. Приведенный выше
метод расчета удовлетворителен только потому, что излучение и соответственно зату-
затухание мале. В случаях, представляющих практический интерес, у по порядку вели-
величины не превышает 10~6 со. Поэтому при расчете излучения можно не учитывать
вызванного им затухания.
8. Для системы зарядов, которая в целом является нейтральной, ее эквива-
эквивалентный момент равен следующей величине:
М0=%ег0. A3.81)
Сели с течением времени смещение электрона изменяется по синусоидальному закону,
ю
М= 2 его ехР (**>*)• A3-82)
*) Автор обходит интегрирование потока вектора Пойнтинга по поверхности
<?феры, окружающей диполь. (Прим. ред.)
ПРИЛОЖЕНИЕ 13В 395
Средний квадрат величины момента равен
М2=у2бГо' " A3*83)
т. е.
Если рассматриваемая нами система сферически симметрична, то
vl A3 84)
Необходимо различать формулы, получающиеся в том случае, когда х0 — коорди-
координата, выбранная параллельно оси диполя, и в том, когда х0 — координата, фикси-
фиксированная относительно принимающего прибора, а ориентация диполя произвольна.
В гл. 15 мы рассмотрим диполи, появление которых связано с депствпем внешнего
поля. В изотропных средах эти диполи обязательно параллельны электрическому
вектору индуцирующего их поля.
9. Так как величина электрического вектора излученной электроном волны
пропорциональна эквивалентному моменту, то излучаемая осциллятором световая
волна описывается выражением
Е = Е&-*'2еш. A3 85)
Это — типичная затухающая гармоническая волна. Распределение энергии в такой
волне было рассмотрено в приложении 4В (см. уравнение D.92)).
Рассеяние электромагнитных волн свободными электронами
10. Пусть электромагнитная волна Е = Ео ехр (мм) падает на свободный элект-
электрон (заряд которого равен е). Тогда, пренебрегая силами магнитного поля и не учиты-
учитывая радиационного затухания, мы пол\чим уравнение движения электрона в виде
тх = еЕ0 ехр («©«)• A3.86)
Если в момент времени t = 0 х = 0, то решение этого уравнения имеет вид
*=--^exp(H»Q. A3 87)
Так как е — величина отрицательная, то из A3.87) следует, что электрон совершает
гармоническое колебание с частотой и фазой падающей волны Следовательно, элект-
электрон эквивалентен осциллирующему диполю, у которого
°- A388)
Используя A3.72) и A3.73), получим, что энергия, рассеиваемая в направлении 0,
пропорциональна sin2 6, а полная энергия, рассеиваемая в единицу времени, равна
Формула A3.346) дает плотность энергии. Следовательно, энергия, протекающая через
единицу поверхности в единицу времени, равна сЕ%/8я, и поэтому доля энергии,
рассеянной на единице пути, равна
или, используя соотношение г0 = е2/тс2,
* = -^-rJ. A3 91)
Отметим, что эта величина является универсальной постоянной и не зависит от частоты
падающего света. Она имеет размерность площади, так как равна отношению полной
энергии, рассеянной электроном, к энергии, падающей на едпнпцл площади.
39Ь ГЛ. 13 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ СВЕТА
Рассеяние электромагнитных волн связанными электронами
11. Если электромагнитная волна падает на связанный электрон, свободные
колебания которого описываются уравнением A3.74), то уравнение движения этого
электрона можно записать в виде
lx=~ Eo exp (ml) A3 92>
Здесь индексом s снабжены константы свободных колебаний. Полное решение уравне-
уравнения A3.92) состоит из двух частей: а) собственных колебаний с частотой cos, которые
быстро затухают, и б) установившихся колебаний с частотой со. Нас интересуют толька
колебания последнего типа, и для того чтобы их исследовать, положим х = х0 exp (i(dt)
и подставим это выражение для х в уравнение A3.92). Тогда
0 т
т со
?—o
Это решение соответствует комплексному эквивалентному дппольном> моменту.
Легко показать, что М% в A3.73) будет соответствовать квадрат модуля этого выраже-
выражения. Тогда, следуя методу, описанному выше, получим
В теории дисперсии мы часто интерес} емся случаем, когда в единице объема имеется Л"
рассеивающих центров, причем сила осциллятора каждого из нпх равна fs *). Тогда,
пренебрегая затуханием, получим
Так как в A3.73) входит вторая степень Л/о, то в A3.95) fs также входит во второй
степени.
Мультипольное излучение
12. Иногда оказывается, что дипольнык момент, определяемый выраже-
выражением A3.82), близок к нулю, и, следовательно, излучение весьма слабо. В этих случаях
необходимо принимать во внимание другие малые эффекты. Колеблющийся электрон
не вполне эквивалентен математическому диполю, так как амплитуда колебании
всегда конечна. Время запаздывания (t — г/с) необходимо измерять, принимая во вни-
внимание истинное положение электрона в данный момент времени, а не его среднее
положение, как мы это делали выше. Другими словами, мы должны учитывать, что
время, в течение которого свет проходит расстояние, равное амплитуде колебаний
электрона, конечно. Этот эффект более высокого порядка приводит к такому выраже-
выражению для дополнительного излучения, в которое входят более высокие степени смеще-
смещения; иными словами, скорость уменьшения энергии электрона пропорциональна
ах% + Ъх§ + . . . Так как х0 всегда очень мало, второй член становится сущесгвенным
только в том случае, когда коэффициент при первом члене близок к нулю и т. д. Можно
считать, что это излучение связано с наличием двух диполей, расположенных очень
близко друг к другу, с разностью фаз между колебаниями, равной я. Тогда вследст-
вследствие интерференции первый член исчезает. Такая система диполей называется квад-
руполем. Некоторые слабые линии в спектрах связаны с квадрупольным излучением.
Часть величины члена, пропорционального х$, можно приписать магнитному дипо на
[см. 18.4].
*) Термин «сила осциллятора» — установившийся, но неудачный перевод немец-
немецкого выражения Oszillatoren Starke, не имеющего ничего общего с механической
силой (mechanisches Kraft). В классической теории дисперсии сила осциллятора есть
коэффициент пропорциональности между эффективным числом осцилляторов, опре-
определяемым в дисперсионном опыте, и числом атомов в единице объема. В квантовой
теории дисперсии показывается, что сила осциллятора пропорциональна вероятности
электронного перехода между энергетическими электронными уровнями, соответ-
соответствующими излучению спектральной линии с данной частотой. (См., например, Г а и т-
л е р, Квантовая теория излучения, ИЛ, М., 1956.) (Прим. ред.)
ГЛАВА 14
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ОТРАЖЕНИЯ
И ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА
Граничные условия
14.1. Уравнения электромагнитного поля можно применить к каждой
<:реде с учетом значений, характеризующих эту среду электрических
и магни!ных параметров. Полная теория должна быть в состоянии опи-
описывать также явления, происходящие на границе раздела двух сред.
Математически это означает, что необходимо иметь систему граничных
условий, которые связывали бы на границе раздела двух сред два решения
волнового уравнения, каждое из которых справедливо в отдельности
по одну сторону от границы раздела. Как показывается в электродинамике
и в теоретической оптике (см., например, [14.7]), с помощью уравнении
Максвелла A3.13) и A3.14а) и соотношений A3.11) и A3.12) векторы
напряженности электрического и магнитного полей JE и Н и векторы
электрической и магнитной индукции D и В должны удовлетворяв сле-
следующим граничным условиям:
1. Тангенциальные компоненты напряженности электрического поля
непрерывны Etx = Et2 на границе раздела двух сред, где физиче-
физические свойства среды, характеризуемые значениями е и fi, изменяются
чжачком *).
2. Нормальные компоненты вектора электрической индукции непре-
непрерывны Dni = Dn2 в отсутствие поверхностных зарядов на границе разде-
раздела сред.
3. Тангенциальные компоненты вектора напряженности магнитного
поля непрерывны Htx = Ht2 в отсутствие поверхностных токов на грани-
границе раздела.
4. Нормальные компоненты вектора магнитной индукции непрерыв-
непрерывны ВП1 = В„2.
Для оптических частот большинство сред практически немагнитно,
и поэтому В равно Н.
Перейдем теперь к практическому применению выраженных в общей
форме граничных условий к конкретным частным случаям. Пусть гра-
граница раздела между средами 1 и 2 параллельна плоскости ху; тогда
Е\х = Еох, Eiy = Ечу,
где Lla и т. д. относятся к точке, находящейся вблизи границы раздела
в первой среде, а Е2х и т. д.— к соответствующей точке во второй среде.
•Эти условия не являются независимыми, так как если выполняются
*) Величина называется непрерывной, если ее значения в дв\х соседних точках
по разные стороны от границы раздела равны друг другу.
398 ГЛ. 14. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА
первые два, то соотношение между Hiz и H2z следует из того, что урав-
уравнение
дх
ду
дИг
dt
A4.2)
должно быть справедливым в обеих средах. Аналогично соотношение
между Diz и D2z вытекает из второй пары уравнений. Таким образом,
мы имеем только четыре независимых уравнения, и обычно в качестве
граничных условий используются первые четыре уравнения A4.1).
Законы отражения и преломления
14.2. Все реально существующие среды обладают дисперсией, и по-
поэтому любое рассмотрение вопросов отражения и преломления света без
учета этого обстоятельства в какой-то мере искусственно. Тем не менее,
можно считать, что для данной частоты диэлектрическая проницаемость
каждой среды имеет вполне определенное значение, равное п2 (см. урав-
уравнение A3.20)). Применим теперь граничные условия.
Выберем систему координат таким образом, чтобы плоскость XY
служила плоскостью раздела двух сред, а плоскость XZ плоскостью
падения (рис. 14.1). Пусть угол падения ра-
вен 94. Мы будем считать, что падающая
волна плоско-поляризована, но положение
плоскости поляризации может быть произ-
произвольным. Пусть ^-компоненты электрических
векторов падающей, отраженной и прелом-
преломленной волн определяются следующими вы-
выражениями:
Падающая волна
. A4.3)
Отраженная волна
A4.4)
Рис 14 l
Преломленная волна
Предполагается, что Aiy действительно и положительно. Если фаза
отраженной или преломленной волны отличается от фазы падающей волны
на я, то Air или А2у действительны и отрицательны. Разность фаз, отлич-
отличная от я, соответствует комплексным значениям этих амплитуд (см. § 2.27).
В выбранной системе координат
A4,6)
= 0 и ^=—
14.3. Из второго уравнения системы A4.1) следует, что при z = О
E2y A4.7)
для любых значений х, у и t. Следовательно, в показателях экспонент
в соотношениях A4.3), A4.4) и A4.5) коэффициенты при х, у и t должны
быть одинаковыми. Выпишем получающиеся результаты,
а) Приравнивая коэффициенты при t, получим
co1 = (Oi = (o2, A4.8)
ЗАКОНЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ 399
т. е. частоты отраженной и преломленной волн совпадают с частотой
падающей волны. Поэтому мы опустим индексы при частотах, и все кру-
круговые частоты будем обозначать через со.
б) Падающая и отраженная волны распространяются в одной и тон
же среде, и поэтому
*[ = *,. A4.9)
в) Для преломленной волны
/л / лг\\
г) Приравнивая коэффициенты при у и используя A4.6), получим
0 = ™; = w2, A4.11)
т. е. все три пучка света лежат в одной плоскости, содержащей нормаль
к поверхности и падающий пучок.
д) Приравнивая коэффициенты при х и принимая во внимание, что
z;=sine; и z2=sme2, A4.12)
получим
81119! = sine;, . A4.13)
Ki sin 0i = %2 sin 02> A4.14)
или
sin 0J = nl2 sin 02. A4.15)
Таким образом, электромагнитные волны подчиняются эксперимен-
экспериментально установленным законам отражения и преломления на границе
раздела двух изотропных сред.
14.4. Однако, несмотря на то, что выводы электромагнитной теории подтвер-
подтверждаются экспериментальными результатами, это обстоятельство пока еще не сооб-
сообщает электромагнитной теории преимуществ перед другими волновыми теориями
света. В гл. 3 мы показали, что приведенные соотношения можно получить на основе
любой непротиворечивой волновой теории. Они зависят не от конкретной формы гра-
граничных условий, а только от самого факта их существования п от того условия, что
скорости распространения света по разные стороны от границы различны. Отметим
также, что пока мы использовали только одно граничное условие. Расчет коэффи-
коэффициента отражения для разных углов падения и различных состояний поляризации
требует использования всех граничных условий и, таким образом, является важной
проверкой правильности электромагнитной теории.
14.5. Рассчитаем теперь, какая часть падающей энергии отражается
при различных углах падения и различных плоскостях поляризации
падающей волны. Мы будем интересоваться главным образом компонен-
компонентами электрического вектора, параллельными или перпендикулярными
плоскости падения, а не его составляющими по координатным осям.
Однако нам придется воспользоваться ими при применении граничных
условий. Ось OY, перпендикулярная плоскости падения, является
общей для всех трех пучков. Введем новые оси w^ Щ и w^ которые
лежат в плоскости падения и перпендикулярны направлениям распро-
распространения соответственно падающего, отраженного и преломленного пуч-
пучков. Положительные направления осей wu w[ и w2 показаны на рпс. 14.2.
Они выбраны таким образом, что для наблюдателя, смотрящего в направ-
направлении распространения пучка, вращение от положительного направления
оси го к положительному направлению оси у происходит по часовой
iUU ГЛ 14 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТ\
стрелке, т. е. оси w, у, и направление распространения, взятые в этом
порядке,, образуют правую систему координат.
Тогда падающую волну можно определить следующим образом:
Eiw = A1W exp i {cot — Xi (х sin Qt — z cos 0Х)},
Eiy = Aiy exp i {(dt — Xi (x sin 9i — z cos Qt)}.
A4.16)
A4.17)
Lm
Отраженную и преломленную волны определяют аналогичным образом.
Гак как направление распространения отраженной волны имеет состав-
, ляющую вдоль положитель-
yw ного направления оси z, то
\ Е;у п[ = + cos 0! (см. 14.4) и
A4.6)). Нам необходимо най-
найти амплитуды Aiv)', Aiy>, A2w
и А2у, если амплитуды Aiw
и Aiy заданы. Из A3.28)
(см. также упражнения 13.3
и 13.4) получим
w/
Рис 14 2
натных осей являются правыми.
Hix =
Hix> =
H2x =
1у, A4.18)
w A4.19)
и аналогичные выражения
для других пучков. Знаки
будут такими же, как и в со-
соответствующих выражениях
для HiW', H2w и т. д., так
как все три системы коорди-
Мы можем написать также
A4.20)
A4.21)
A4.22)
A4.23)
A4.24)
A4.25)
A4.26)
A4.27)
A4.28)
Eix>= +Elw>cosQb
Z?2x = —E2w COS 027
Hlw cos 0i =+ V ^iEiy cos 01?
HiW' cos 0A = — > 8i Eiy' cos 0b
H2w cos 02 = + V^2 E2y cos 02,
= -\- V 82 E2W
Каждое пз этих уравнений содержит в обеих частях экспоненты (см.
A4.16) и A4.17)). Однако при 2 = 0 этп экспоненты одинаковы, и поэто-
поэтому мы можем записать граничные условия для амплитуд, а не для
векторов.
14.6. Применяя граничное условие для Е2у, получим
*A2y. A4.29)
ЗАКОНЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ 401
Граничное условие для Нх с использованием A4.23), A4.24) и A4.25) дает
Yzi{AXy — i4ly')cos01 = Vre2^2yCos82 A4.30a)
и
(А1у — Aiy>) cos 0! = n12A2y cos 02. A4.306)
Аналогично, из условия для Ех следует, что
(Aiw — Л1Ш') cos Gt = A2w cos 02, A4.31)
а условие для Ну> принимая во внимание A4.26), A4.27) и A4.28), дает
VTi(Aiw + Aiw.) = Уъ A2W. A4.32)
Следовательно,
(Alw + Alw>) = ni2A2w. A4.33)
Умножая обе части уравнения A4.33) на cos 02, а уравнения A4.31) —
на ni2 и вычитая одно из другого, получим
Используя закон преломления (см. уравнение A4.15)), получим
!—-sin 292
А*»' = Л"» Sin281+sm292 '
ИЛИ
Ш <14-34в>
Аналогично, из A4.29) и A4.306) следует, что
л __ л w12cose2—cos9i
Aiy-- - Aiy n
Используя закон преломления, получим
Подставляя A4.34а) в A4.33) и упрощая, получим
* j 2sin92cos9i
cos (в1_в2)'
Используя A4.35а) и A4.29), находим
л -л 2sine2cos91
Аъ-Aiy sin(e1+e2) •
14.7, При нормальном падении света на границу раздела двух сред
выражения A4.34) — A4.37) становятся неопределенными. Однако из урав-
уравнений A4.29) и т. д. для этого случая следует
<14-3S>
A4-39)
A4.4U)
26 р. Дитчберн
402 ГЛ. 14. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ^СВЕТА
Соотношения A4.34)—A4.37) известны как формулы Френеля. Они были полу-
получены Френелем на основе упругой теории света. Однако следует помнить, что эта
теория не могла дать последовательного и удовлетворительного описания явлений
отражения и преломления света, даже при использовании искусственных граничных
условий, приводящих к желаемому результату. Для получения таких результатов
в электромагнитной теории не нужно вводить никаких специальных гипотез. Она
использует обычные граничные условия, которые следуют из опытов по электричеству
и магнетизму.
Коэффициент отражения
14.8. Плотности энергии в падающей и отраженной волнах пропор-
пропорциональны квадратам соответствующих амплитуд. Таким образом, коэф-
коэффициент отражения можно получить непосредственно из соотношений
1,0
швшт
■К
—в.
■«»
=
•
■шва
■май
и
/
/
/
/
1 к
А \
/1/
/
/
/
/
_
10 20 30 40 50 60 70
Рис. 14.3. Зависимость коэффициента отражения от
угла падения для компонент _Е7, лежащих в плоскости
падения (/), и перпендикулярно плоскости падения
(//). 7li2=l»5.
A4.34), A4.35), A4.38) и A4.39). Например, для компоненты электри-
электрического вектора, лежащей в плоскости падения, получим
Qw = (AuelY = ^(е1-°2) ш A4.42)
Значения коэффициента отражения для различных компонент в] зави-
зависимости от угла падения показаны на рис. 14.3 для п12 = 1,5.
Из этого графика или непосредственно из соотношения A4.42) сле-
следует, что, если 0! + 02 = я/2, т. е. когда tg Qt = ni2, компонента электри-
электрического вектора отраженной волны, лежащая в плоскости падения, рав-
равна нулю. Таким образом, явление полной поляризации света при отра-
отражении под углом Брюстера находит объяснение в электромагнитной
теории света.
Степень поляризации
14.9. В смеси плоско-поляризованного и естественного, неполяризо-
ванного, света степень поляризации *) Q можно определить следующим
образом:
A4.43)
— Дм
-4 макс + Л мин
*) Обратить внимание на то, что это определение неприменимо для смеси есте-
естественного света с эллиптически поляризованным светом или со светом, поляризован-
поляризованным по кругу.
ИЗМЕНЕНИЕ ФАЗЫ ПРИ ОТРАЖЕНИИ 403
где ^4Макс — максимальная амплитуда электрического вектора при разных
его ориентациях относительно направления распространения, а Лмин —
его минимальная амплитуда в плоскости, перпендикулярной направле-
направлению распространения света. Если от границы раздела двух диэлектриков
отражается естественный свет, то отраженный свет оказывается частично
или полностью поляризованным в плоскости падения. Преломленный
пучок при этом всегда частично поляризован в плоскости, перпендику-
перпендикулярной плоскости падения, за исключением предельного случая нормаль-
нормального падения. Степень поляризации отраженного света можно рассчитать,
подставив в A4 43) значения Ау> и Aw> вместо -АМакс и AMjm. Аналогично
при расчете степени поляризации преломленного света -4Макс следует
заменить на A2Wi & АМ1Ш — на А2у.
Проведенные таким способом расчеты степени поляризации показывают, что
полная поляризация происходит только при отражении под углом Брюстера При
отражении под этим углом компонента электрического вектора отраженной волны,
параллельная плоскости падения, равна нулю, но компонента, перпендикулярная
плоскости падения, отражается не полностью Таким образом, в прошедшем свете
всегда присутствуют обе компоненты и никогда нельзя пол\чить по1ностью почяризо
ванную прошедшую волну Повторные преломления на границе раздета ooiee тотной
и менее плотной сред (или наоборот) увешчпвают степе! ь по хярпзашш преюмченнои
волны в плоскости, перпендикулярной к тоскоси падения *) Аналогично много
кратные отражения под углами, отличными от \па Брюстера приводят к лвелпче
нию степени поляризации отраженной волны в плоскости, параллельной плоскости
падения
Вращение плоскости поляризации
14.10. Если падающий свет плоско поляризован, то отражения или преломления
не могут увеличить степень его поляризации Однако они могут повернуть плоскость
поляризации Направление поворота плоскости поляризации таково, что для отра-
отраженной волны плоскость поляризации приближается к плоскости падения, а для
преломленной волны — она отдаляется от плоскости падения
Изменение фазы при отражении
14.11. Из уравнения A4 356) следует, что при отражении пучка
света от границы раздела более плотной среды Qt > 02 компонента элек-
электрического вектора, перпендикулярная плоскости падения, меняет знак.
Компонента AilL имеет тот же знак, что и AilL, есш }гот падения мень-
меньше угла Брюстера (см. уравнение A4 34в)) Направления AiW' и Aiw
противоположны, и из того, что они имеют одинаковые знаки, следует,
что знак А1х> противоположен знаку А1х а знаки Aiz, и Aiz одинаковы
(см. рис. 14 2). Таким образом, любая компонента электрического векто-
вектора, параллельная границе раздела, при отражении меняет свой знак,
если угол падения меньше угла Брюстера. Компонента электрического
вектора, перпендикулярная границе раздела, не меняет знака. Из A4.18)
следует, что знак Hlw зависит от знака Eiy и изменяется при изменении
последнего. Таким образом, Hz меняет знак, а Нх не меняет его. Анало-
Аналогично из A4.19) следует, что знак Ну определяется знаком Ew, т. е. знак
Ну не изменяется.
Легко видеть, что это изменение знаков компонент вектора Н как раз
необходимо для того, чтобы векторы 2?, Н и направление вектора Пойн-
тинга для отраженного пучка составляли правую систему координат
*) Это обстоятельство используется в поляризационном приборе, состоящем
из расположенных параллельно друг другу стеклянных пластинок Этот прибор,
предложенный А Г Столетовым, носит название стопы Столетова (Прим ред )
26*
404 ГЛ. 14 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА
в соответствии с основными уравнениями, описывающими свойства элек-
электромагнитных волн (см. § 13.7).
Если отражение происходит при углах падения, больших чем угол
Брюстера, то tg (9X + 02) отрицателен и AW' имеет знак, противоположный
знаку Aw. При увеличении угла падения компонента электрического
вектора, лежащая в плоскости падения, уменьшается до нуля, а затем
снова растет по абсолютной величине, но имеет уже отрицательный знак.
Упражнения
14.1. Обозначив через %, %[ и Хг углы между плоскостями поляризации падающей,
отраженной и преломленной волн и плоскостью падения, показать, что
| tg %2 |=tg % sec (Эа—92). A4.45)
Затем проверить утверждение о повороте плоскости поляризации.
14.2. Показать, что при падении естественного света на пластинку степень поля-
поляризации прошедшего через нее света будет максимальной при скользящем падении
света на пластинку.
14.3. Рассматривая свет, поляризованный в плоскости падения, доказать, что
поток энергии падающей волны равен сумме потоков энергий отраженной и прело-
преломленной волн. (При расчете потока энергии преломленной волны обратить внимание
на то, что плотность энергии пропорциональна гЕ2, что площадь поперечного сечения
светового пучка изменяется при преломлении и, наконец, что скорость света изме-
изменяется.)
14.4. Рассмотреть фазовые соотношения между компонентами векторов Е и Н
при падении пучка света под малым углом к нормали и его отражении в более плот-
плотную среду.
Стоячие волны
14.12. Электромагнитная волна, отраженная от плоской поверхности,
может интерферировать с падающей волной. Так как амплитуда падаю-
падающей волны обычно значительно превосходит амплитуду отраженной,
то результирующее возмущение состоит из стоячей и бегущей волн (§ 3.21).
В дальнейшем мы не будем интересоваться бегущей волной и рассмотрим
возмущение, которое создавалось бы при равных амплитудах обеих
волн, т. е. когда коэффициент отражения поверхности близок к единице.
Сначала рассмотрим случай нормального падения света на поверхность
и будем считать тг12>1. Тогда электрические векторы падающей и отра-
отраженной волн параллельны границе раздела, но направлены в противо-
противоположные стороны. Поэтому на границе раздела электрический вектор
суммарного поля стоячей волны должен иметь узел. Следующие узлы
электрического поля будут расположены на расстояниях Л/2, А,, ЗА72
и т. д. от границы раздела.
Как было показано выше, компоненты магнитного вектора, лежащие
в плоскости раздела, не меняют знака. Поэтому в плоскости раздела
магнитные векторы падающей и отраженной волн имеют одинаковые
направления. Следовательно, в стоячей волне пучности магнитного век-
вектора совпадают с узлами электрического.
Опыт Винера с флуоресцирующими веществами показал, что непо-
непосредственно на отражающей поверхности имеется минимум свечения,
стоячие волны 405
а максимум флуоресценции совпадает с максимумом электрического
вектора *).
14.13. Рассмотрим теперь пучок света, для которого 01 = 45°. В этом
случае направления w' и ш взаимно перпендикулярны и для компонент
электрического вектора, лежащих в плоскости падения, интерференция
невозможна **). Используя определение плоскости поляризации, данное
в § 12.3, можно показать, что в этом случае стоячие волны образуются
при условии совпадения плоскости поляризации с плоскостью падения
пучка. Если же плоскость поляризации перпендикулярна плоскости
падения, то возникновение стоячих волн невозможно. Если мы предпо-
предположим, что магнитный вектор лежит в плоскости поляризации (см. § 14.8),
то отсюда будет следовать, что фотохимическое действие света связано
с электрическим вектором, а не с магнитным.
Из элементарных соображений следует ожидать, что электрический вектор све-
световой волны оказывает непосредственное действие на атомы и молекулы, поляризуя
их. В этом смысле электрический вектор иногда называют световым вектором. Однако
отсюда не следует, что магнитный вектор играт в оптике второстепенную роль. Элек-
Электрический и магнитный векторы оба описывают переменное электромагнитное поле;
они тесно связаны друг с другом и в поле волны не могут существовать раздельно.
14.14. Приведенные выше качественные рассуждения можно подтвердить сле-
следующим расчетом.
Рассмотрим падающую волну, поляризованную в плоскости падения. Тогда
для падающей волны можно написать
Eiw=Eix=Eiz=0, A4.46)
Eiy=Aiy exp i {cot—Hi (x sin 9i — z cos 0i)}. A4.47)
Для отраженной волны
Eiw,=Eix,=Eiz,=0, A4.48)
Eiy,=A\y, exp i {tot — щ (x sin 9A + z cos 9i)}. A4.49)
Введем следующие обозначения: % = со* — щх sin Bi9 r\ = щг cos Qlnf= —Aiy,/Aiy.
Тогда результирующий электрический вектор можно записать в виде
-%\ A4.50)
Из уравнения A4.356) следует, что / положительно, если п12 > 1. Отсюда
Eiy+Eiy, = e^Aiyi(l-f)e^ + f(e^-e-^)}. A4.51)
Второй член в A4.51) представляет собой стоячую волну (см. § 3.20). Компоненту
Еу для этой волны можно записать в виде
Ey=2ifAiy sin (щг cos9i)exp i (Ш—щхsin9i). A4.52)
Компоненты EWi Ez и Ех стоячей волны равны нулю. Для магнитного вектора
Яц = 0 и
Hiw=-ViEiy, A4.53)
и
i/'o F. l\L *\L\
Компонента Я в направлении х равна
—Hiw cos 9!+Я1ш, cos 91=^8 cos 94 (Ely—Eiy,). A4 55)
*) В приведенных выше рассуждениях мы полагали, что при отражении от метал-
металлической поверхности фаза изменяется так же, как и при отражении от поверхности
диэлектрика. Ниже будет показано, что в условиях описанного опыта это предаоложе-
ние справедливо (см. уравнение A5.18)).
**) Здесь автор вкладывает в термин интерференция следующий смысл:
образование участков пространства, в которых противоположно направленные векто-
векторы электрического поля двух волн могут дать равное нулю результирующее поле.
(Прим. ред.)
406 ГЛ. 14. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА
Пользуясь рассуждениями, которые привели нас к соотношению A4.52), получим
для стоячей волны
Hx=2f У г cos QiAiy cos (щг cos 0А) exp i (a>t—щх sin 9i) A4.56)
и
#z=2i/ Ye sin QiAiy sin faz cos 0!) exp i (Ы — щх sin 6i). A4.57)
В случае падения, близкого к нормальному, положения узлов Е и Н совпадают с опи-
описанными выше (см. § 14.13). Если 0А = 45°, то Нх и Hz не находятся в фазе и, следо-
следовательно, магнитный вектор не будет образовывать стоячих волн.
Упражнения
14.5. Показать, что соотношение между векторами Е и Н для стоячей волны,
образовавшейся при нормальном падении, находится в согласии с основными урав-
уравнениями A3.13) и A3.17).
14.6. Рассмотреть интерференцию падающей и отраженной волн, если падающая
волна поляризована перпендикулярно плоскости падения. Получить формулы, ана-
аналогичные приведенным выше. (Удобно начинать с рассмотрения магнитного поля.)
Полное внутреннее отражение
14.15. Если пучок света падает на границу раздела двух сред из более
плотной среды *) и синус угла падения больше тг12, то синус угла прелом-
преломления, определяемый соотношением A4.15), больше единицы. В этом
случае косинус угла преломления оказывается мнимым. Действительно,
Sin92 = —sinBi A4.58)
И
COS 02 = У1 — Sin2 02 ,
следовательно,
cos 02 = ^Lvrsm201-wJ2. A4.59)
Подставляя выражение A4.59) в соотношения A4.34) — A4.37), можно
получить интересный результат, подтверждаемый опытом. Из A4.34а)
получаем
тг12 cos 61 j^sin2 0i — п\2
Aw, = Alw nf . A4.60)
wcos0Hl/sin20 nf
ni2
Комплексная величина (р — iq)/(p + iq) равна e~2i6, где tg б = q/p.
Таким образом, мы можем написать
EiW' = Aiw exp i {at — Xi (x sin 0A + 2 cos 0t) — 2бш}, A4.62)
где
*) Более плотная среда находится с отрицательной стороны оси z относительно
плоскости OXY (см. рис. 14.5). (Прим, ред.)
ПОЛНОЕ ВНУТРЕННЕЕ ОТРАЖЕНИЕ
407
Аналогично можно показать, что
Eiy> = Aiy exp i {Ы — Xi (x sin 9A + z cos 9А) —
где
A4.64)
(i4-65)
Следовательно, отраженная волна имеет ту же энергию, что и падающая.
Компонента электрического вектора отраженной волны, лежащая в пло-
плоскости падения, отстает по фазе от соответствующей компоненты падаю-
падающей волны на 2бю, а компонента, перпендикулярная плоскости падения,—
на 26у. Если падающая волна плоско-поляризована, то
при отражении она становится эллиптически поляризо-
поляризованной. Разность фаз б между компонентами отражен-
отраженной волны, лежащими в плоскости падения и перпенди-
перпендикулярно плоскости падения, определяется соотношением
1
i+tga^tga^,
«12
tg2au
т. e.
. J_ А _ COS 9t
2 ~"
n\2
A4.66)
Полное внутреннее отражение позволяет очень удобным
образом получать эллиптически поляризованный свет.
Используя одно или несколько отражений, можно полу-
получить между взаимно перпендикулярными компонентами
вектора JE любую разность фаз от 0 до я/2. Свет, поляри-
поляризованный по кругу, можно получить при помощи двух
отражений в стекле с показателем преломления 1,5 (т. е.
с ni2 = 0,667) при углах падения*), приблизительно
Рис 14 4 Ромб
Френеля
равных 53°. При этом падающий свет должен быть пло-
плоско-поляризован в плоскости, составляющей угол я/4 с плоскостью
падения. Стеклянная пластинка, изображенная на рис. 14.4, обеспечивает
нужные углы падения **). Такая пластинка называется ромбом Френеля.
Упражнения
14.7. Показать, что при достаточно большом показателе преломления существуют
два угла падения, при которых разность фаз между компонентами отраженной волны,
лежащими в плоскости падения и перпендикулярно ей, будет равна я/4. Найти эти
углы, если jli = 1,6.
[58,5° и 42,5°.]
14.8. Используя результаты предыдущего упражнения, показать, что скорость
изменения б с изменением угла падения больше при малых углах падения. (Следова-
(Следовательно, при изготовлении ромба для получения света, поляризованного по кругу,
желательно пользоваться большим углом.)
14.9. Показать, что если в падающей волне поворот от плоскости поляризации
к плоскости падения происходит по часовой стрелке (для наблюдателя, смотрящего
*) Существуют два возможных угла падения (см. упражнения 14.7 п 14.8).
**) Небольшие напряжения на поверхности стекла (вызванные шлифовкой)
оказывают заметное влияние на эллиптичность отраженного света. Эти напряжения
следует уменьшить отжигом, а затем методом проб и ошибок подобрать такие углы
ромба, которые обеспечивают получение света с круговой поляризацией (см. § 14.18).
40S ГЛ. 14. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА
в направлении распространения света), то свет, выходящий из ромба Френеля, поля-
поляризован по правому кругу.
14.10. Написать соотношения, аналогичные A4.63) и A4.65), для магнитного
вектора. Показать, что изменение фаз для него таковы, что магнитный вектор всегда
перпендикулярен электрическому.
Возмущения во второй среде при полном внутреннем отражении *)
14.16. В рассматриваемом случае падающая и отраженная волны
не имеют разности фаз, равной тс, и поэтому для удовлетворения гранич-
граничных условий необходимо предположить существование возмущений
во второй среде. Уравнения, описывающие эти возмущения, можно полу-
получить, подставляя значения sin 82 и cos 02 из A4.58) и A4.59) в выражения
Среда 2
Рис. 14.5. Зависимость амплитуды стоячей волны
от координаты z для угла падения, превышающего
предельный.
Отметим, что на границе раздела амплитуды волны не-
непрерывна.
для преломленной волны. Для компоненты электрического вектора,
перпендикулярной плоскости падения, получим
Е2у = А2у exp i {&t — (к2х sin 02 — x2z cos 82)}. A4.67)
А2у выражается комплексной величиной, и, что особенно важно, коэф-
коэффициент при z является действительной величиной. Из A4.29) и A4.64)
получим
А2у = АХу {1 + e~2ibv} = 2Aive-% cos Ьу A4.68)
и, следовательно,
Е2у = 2Aly cos 8y exp {— Xiz У sin2Qt — n\2 + i (cot — щх sin Qt — by)}. A4.69)
Возмущение во второй среде обладает, таким образом, довольно своеоб-
своеобразными свойствами. Оно периодично по х, но не по z. Интересно сопо-
сопоставить это выражение с выражением для результирующего возмущения
в первой среде. Используя A4.47) и A4.65), получим
Eiy + Е1у> = 2Aiy cos (XiZ cos 8i + 8y) exp i (wt — щх sin Qt — by). A4.70)
Таким образом, в первой среде существует стоячая волна (с / = 1). Эта
волна проникает и во вторую среду, но на очень небольшое расстояние.
Подставляя z = 0 в A4.69) и A4.70), мы видим, что амплитуда стоячей
*) Задача о проникновении поля во вторую среду при полном внутреннем отра-
отражении была впервые рассмотрена А. А. Эйхенвальдом (см., например, А. А. Э и х е н-
в а л ь д, Теоретическая физика, ч. VI, ГНТИ, М., 1931). (Прим. ред.)
ПРОВЕРКА ТЕОРИИ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА 409
волны не претерпевает разрыва на границе раздела. Если бы она имела
разрыв на этой границе, то непрерывность Еу также была бы нарушена.
Амплитуда стоячей волны в среде 1 изменяется периодически по z, а в сре-
среде 2 экспоненциально затухает (рис. 14.5).
Соображения, изложенные выше, относились к пучку света, не ограниченному
ни во времени, ни в пространстве. При строгом решении задачи для цуга волн света
конечной длины необходимо принять во внимание условия, возникающие в тот момент,
когда световые волны^ только доходят до границы раздела. Кроме того, следует
детально рассмотреть условия на краях пучка конечной ширины. В установившемся
режиме вектор Пойнтинга параллелен границе раздела и результирующий поток
энергии через границу раздела равен нулю всюду, кроме краев пучка. В обеих средах
существует поток энергии, параллельный границе раздела. Более подробное рассмот-
рассмотрение этого вопроса можно найти в книге Мюллера-Пуйе [14.1].
Экспериментальная проверка теории отражения
и преломления света
14.17. Полученные выше результаты были проверены следующими
способами:
1) путем измерения коэффициента отражения для различных компо-
компонент вектора JE и для разных углов падения;
2) путем определения состояния поляризации пучка, отраженного
в менее плотной среде;
3) путем измерения разности фаз между колебаниями двух компонент
вектора Е в отраженной волне при полном внутреннем отражении;
4) путем исследования возмущения во второй среде при полном
внутреннем отражении.
Измерения первого типа были выполнены Рэлеем [14.2] и Мерфи
[14.3]. Их результаты находятся в хорошем согласии с величинами,
определяемыми формулами A4.34) и A4.35). Однако с точки зрения про-
проверки теории измерения коэффициента отражения менее чувствительны,
чем определения состояния поляризации. На первый взгляд казалось,
что экспериментальные результаты, полученные последним методом,
не согласуются с теорией. Для большинства поверхностей свет, отражен-
отраженный под углом Брюстера, оказывается эллиптически поляризованным.
Малая ось эллипса значительно меньше большой, но, тем не менее, отра-
отраженный свет определенно не остается плоско-поляризованным, что проти-
противоречит теоретическим выводам. Дальнейшие исследования показали, что
при использовании свежих поверхностей жидкостей результаты опытов
гораздо лучше согласуются с теоретическими предсказаниями. В этом
случае незначительную эллиптичность поляризации отраженного света
можно приписать влиянию поверхностного натяжения на молекулы
в поверхностном слое. Изучение поляризации света, отраженного под
углом Брюстера, было использовано при исследовании свойств поверх-
поверхностных пленок *) [14.3].
14.18. Разность фаз между компонентами отраженной волны при
полном внутреннем отражении исследовал Кинаст [14.5], пользуясь ком-
компенсатором Бабине (см. § 12.33). Он применял строго параллельный
пучок монохроматического света (к = 5461 А) и обнаружил, что в стекле
с большим показателем преломления и в кварце разность фаз компонент
вектора JE оказывается больше предсказываемой разности. Различие
*) Обзор экспериментальных результатов приведен в книге Мюллера-Пуйе
{14.1]. Последующие работы изложены в работе Буэ [14.4].
410 ГЛ. 14. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА
между ними возрастает с увеличением угла падения. Данные Кинаста
были подтверждены опытами Фольке [14.6]. Предполагалось, что шли-
шлифовка может вызвать появление поверхностных двоякопреломляющих
пленок, благодаря которым разность фаз увеличивается. Однако пока нет
независимых данных, подтверждающих это предположение. Вместе с тем
метод дифракции электронов показал, что
пленки, "образующиеся при шлифовке, обычно
аморфны. Последние опыты, проведенные на
жидких поверхностях, дают разность фаз,
согласующуюся с величиной, определяемой
формулой A4.66).
14.19. Были предприняты различные по-
попытки исследовать проникновение света
во вторую среду при полном внутреннем от-
отражении *). В одном опыте маленькие части-
частицы сажи напыляли на поверхность стеклян-
стеклянной призмы, на которой происходило полное
внутреннее отражение (рис. 14.6). Эти части-
частицы, наблюдавшиеся в микроскоп, казались
освещенными. Предполагалось, что свет, по-
попадающий в микроскоп, как раз и является
светом, проникшим во вторую среду в со-
соответствии с уравнением A4.69). Этот опыт
подвергся критике на том основании, что
частички сажи изменяют граничные условия
в тех областях, где они находятся, и поэто-
поэтому отражение не будет полным. Другой
метод исследования проникновения света
во вторую среду более интересен, так как он позволяет получить коли-
количественные результаты. Ньютон установил, что отражение становится
Рис. 14.6. Схема устройства
для наблюдения рассеяния све-
света частицами, расположенны-
расположенными на границе раздела, при
угле падения, превышающем
предельный.
Рис. 14.7. Прохождение света через тонкую пленку
при угле падения, превышающем предельный.
неполным, если свет падает (под углом, большим угла полного внут-
внутреннего отражения) на тонкую пленку менее плотной среды (рис. 14.7).
Если свет падает с левой стороны, то наблюдатель, смотрящий справа,
*) Убедительное доказательство проникновения света во вторую среду в усло-
условиях полного внутреннего отражения на ее границе было дано в опытах Л. И. Ман-
Мандельштама, располагавшего за границей раздела флуоресцирующее вещество. Под-
Подробнее об этом см. Г. С. Л а н д с б е р г, Оптика, Физматгиз, М., 1958. (Прим. ред.)
ЛИТЕРАТУРА 411
видит светлый центральный диск; окруженный более слабо освещенным
кольцом. Центральный диск соответствует области контакта между поверх-
поверхностями, а менее освещенное кольцо — области, в которой толщина воздуш-
воздушного слоя очень мала. Количество света, проходящего через слой данной
толщины, зависит от длины волны и от угла падения. Прохождение света
наблюдалось при толщине воздушного слоя, равной ЗА,, и при толщине
водного слоя, равной 5Х. Поток энергии через границу раздела теорети-
теоретически исследовал Эйхенвальд (см. [14.1]).
Литература
14.1. Muller-Pouillets, Lehrbuch der Physik, т. II, Ch. 28, Vieweg.
14.2. Rayleigh, Scientific Papers, т. Ill, 496.
14.3. Murphy, Ann. d. Phys. 57, 593 A896).
14.4. В о u h e t, Annales de Physique 15, 1 A931).
14.5. К у n a s t, Ann. d. Phys. 22, 726 A907).
14.6. Volke, Ann. d. Phys. 31, 609 A910).
14.7. Б о р н М., Оптика, ОНТИУ, 1935.
ГЛАВА 15
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ
И ДИСПЕРСИИ СВЕТА
15.1. В гл. 13 и 14 мы показали, что электромагнитная теория может
удовлетворительно описать распространение света в прозрачных средах»
а также его отражение и преломление на границе раздела таких сред.
Однако ни одна среда, кроме вакуума, не является вполне прозрачной
для любой области спектра, и все вещества обнаруживают сильное погло-
поглощение в некоторых областях электромагнитного спектра. Например,
кварц, который почти полностью прозрачен для видимой области спектра,
обладает сильным селективным поглощением для некоторых длин волн
в инфракрасной области спектра. Поглощение света является общим
свойством; прозрачные среды соответствуют предельному случаю.
15.2. Металлы образуют один из наиболее важных классов поглощаю-
поглощающих сред. Их поглощение настолько сильно, что через металлические
пленки толщиной в несколько длин волн измеримые количества света
не проходят *). Нас будет интересовать не распространение света в метал-
металлах, а главным образом вопросы, связанные с сильным отражением света
металлами. Металлы характеризуются сильным поглощением для широкой
области спектра, включая весь видимый спектр, но, кроме этого, они
обладают и селективным поглощением; так, цвета таких металлов, как
золото или медь, определяются именно селективным поглощением. Другие
металлы обладают селективным поглощением вне видимой области
спектра.
15.3. Большинство диэлектриков имеет гораздо меньшее поглощение
в видимой области спектра, чем металлы, за исключением узких областей
селективного поглощедия. В этих областях диэлектрики могут обнару-
обнаруживать поглощение и отражение, сравнимое с поглощением и отражением
в металлах. Диэлектрики, которые почти полностью прозрачны в види-
видимой области спектра, начинают сильно поглощать в ультрафиолетовой
области. Например, поглощение света в стекле начинает резко возрастать
при длинах волн около 3500 А, кварц сильно поглощает при 1900 А,
флуорит—при 1300 А. Для большинства веществ сплошное поглощение
света имеет максимум **) для длин волн примерно 1000 А. При дальнейшем
уменьшении длины волны наблюдается общая тенденция уменьшения
поглощения электромагнитного излучения, особенно при приближении
к области рентгеновских лучей. Селективное поглощение электромагнит-
электромагнитных волн в диэлектриках связано с сильным изменением их показателя
преломления при изменении длины волны и с аномальной дисперсией.
15.4. Из приведенного выше общего обзора экспериментальных дан-
данных следует, что область оптики, к изучению которой мы переходим,
*) Алюминиевая пленка толщиной в одну длину волны пропускает менее 1%
падающего па нее света.
**) При этой длине волны пленка целлофана толщиной в одну длину волны про-
пропускает около 20% падающего на нее излучения.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЕ 413
весьма обширна. Поэтому приходится преодолевать трудности одну
за другой, а не все сразу. По этой причине мы сначала рассмотрим тео-
теорию распространения монохроматических электромагнитных волн в по-
поглощающих средах, не учитывая дисперсию, хотя более поздние иссле-
исследования обнаружили тесную связь между поглощением, дисперсией
и рассеянием излучения.
Прежде всего рассмотрим с экспериментальной точки зрения разли-
различие между поглощением и рассеянием. Оба эти процесса уменьшают
энергию распространяющегося параллельного пучка света. Рассеяние
изменяет направление распространения света, но не влияет непосред-
непосредственно на общее количество энергии световых волн. При истинном
поглощении энергия излучения уменьшается и обычно возрастает тем-
температура среды *). Таким образом, истинное поглощение связано с дис-
диссипацией энергии. Мы знакомы с диссипацией электрической энергии
в металлах, связанной с их электрической проводимостью, и поэтому
естественно связать и поглощение света металлами с их электрическим
сопротивлением. В диэлектриках причина диссипации энергии не столь
очевидна. Мы будем исходить из наличия в диэлектриках упруго связан-
связанных электронов, которые обычно ведут себя как гармонические осцилля-
осцилляторы. Исключение составляют те случаи, когда частота внешней возбуж-
возбуждающей силы* близка к их собственным частотам. В последнем случае
они ведут себя приблизительно так же, как слабо затухающие осциллято-
осцилляторы, и превращение энергии световой волны в другие формы энергии
происходит в результате действия сил, вызывающих затухание. Таким
образом, электромагнитная теория в состоянии описать основные явления
дисперсии и поглощения света в диэлектриках на основе представления
о затухающих осцилляторах, но вопросы, связанные с расчетом соб-
собственных частот осцилляторов и их коэффициентов затухания, выходят
за пределы этой теории.
Распространение света в поглощающей среде
15.5. Рассмотрим параллельный пучок монохроматического света,
распространяющийся в положительном направлении оси z. Обозначим
через L (z) интенсивность пучка и через Lo — значение L (z) при z = 0.
Предположим, что пучок входит в среду через плоскую поверхность,
перпендикулярную направлению распространения. Экспериментальные
результаты по распространению света в однородных, поглощающих,
но не рассеивающих средах можно описать законом Ламберта:
L(z) = Loe-2"z. A5.1)
Постоянная 2а называется коэффициентом поглощения. Если A (z) —
амплитуда одного из векторов электромагнитной волны, то
A{z) = AQe~™ A5.2)
и
4г—«4. A3.3)
или
Щ^ -а. A5.4)
*) Поглощенная энергия может также производить химическое или электриче-
электрическое действия.
414 ГЛ 15. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ И ДИСПЕРСИИ СВЕТА
Волна может быть представлена выражением
Ех = Ао ехр {— az + i (со* — nz)}. A5.5)
Если обозначить через % величину а/х, то A5.5) можно записать в виде
Ех = Ао ехр i {(ot — х A — i%) z), A5.6)
или
^ — — A — *%) z\ » A5-7)
где
» = ■?• A5.8)
Уравнение A5.7) можно представить в виде
^ A5.9)
где
n' = n{l-ix). • A5.10)
Уравнение A5.9) аналогично соответствующему выражению для волны
в непоглощающей среде, и поэтому п' часто называют «комплексным
показателем преломления». Это название не вполне удачно, так как
в приложении 15А будет показано, что действительная часть п' лишь
косвенным образом связана с углом преломления. % называется коэффи-
коэффициентом экстинкции.
Упражнения
15.1. Найти изменение log А при прохождении волной в поглощающей среде-
расстояния, равного одной длине волны в вакууме.
[-2пп%.]
15.2. Показать подстановкой, что A5.9) удовлетворяет уравнению
д*Ех ^
15.3. Показать, что в поглощающей среде векторы Е и Н взаимно перпендику-
перпендикулярны.
Указание. Использовать метод, описанный в § 13.7.
15.4. Показать, что в случае поглощающей среды вектор Нотстает по фазе от век-
вектора Е на угол у, определяемый соотношением tg у = %.
[См. § 13.7. Если вектор Е направлен вдоль ОХ, а Н — вдоль OY, то Ну = п'Е^
(см. A3.28)); используя A5.10), мы получим сдвиг 'фаз между векторами, записав?
^1
Отражение света от поглощающей среды
15.6. Рассмотрим параллельный пучок света, падающий из вакуума *)
на плоскую границу поглощающей среды. Граничные условия, при-
приведенные в § 14.1, формально могут быть удовлетворены, если, следуя
*) Или из воздуха, так как при нормальном давлении показатель преломления
воздуха очень близок к 1.
ОТРАЖЕНИЕ ПРИ НОРМАЛЬНОМ ПАДЕНИИ 415
§§ 14.2 и 14.3, мы запишем
Eiy = Aiyex\)i(dU -(#sin 0! — zcosOiH , A5.12a)
Eiy> = Aiy> exp i(d U — i- (x sin 0A + z cos 0!)} , A5.126)
E2y = A2y exp id) lt — — {x sin 02 — z cos 02)|. A5.12b)
Уравнение A4.7) будет удовлетворяться, если
sin 02 = -^-8^0! A5.13)
и если А1У',А2у и т. д. будут иметь значения, получающиеся при подста-
подстановке п' вместо п в уравнения A4.34) — A4.42). Угол 02 оказывается
комплексным, за исключением случая нормального падения @1 = 0).
В приложении 15А будет показано, что существует действительный угол
преломления и что электромагнитная теория дает* правильное описание
некоторых свойств преломленной волны. Пока мы предположим, что
значение sin 02, определяемое соотношением A5.13), можно использовать
в уравнениях A4.34) и далее для расчета Aiy> и AiW'. Поэтому положим,
что
^ A5.14)
и
tg92= f101 =-. A5.45)
Отражение при нормальном падении
15.7. Коэффициент отражения q определяется как отношение интен-
интенсивности отраженной волны к интенсивности падающей для угла паде-
падения, равного нулю. Подставляя п' вместо п в уравнение A4.39) илп A4.40)
(и помня, что интенсивность равна произведению комплексной амплитуды
на сопряженную ей величину), получим
Aiw'A*\W _ Aiy'A*ly' _ n' — i n'* — l
тг+1 ' п'*+1
Из A5.17) следует, что если п% велико по сравнению с (п + 1), то коэф-
коэффициент отражения близок к 1. Таким образом, при нормальном падении
сильное отражение связано с сильным поглощением. Этот результат
находится в согласии с экспериментальными данными. Свет, который
проникает в металл, испытывает сильное поглощение, но большая доля
света, попадающего на поверхность металла, отражается. Вещества,
подобные твердому йоду, которые обладают сильным поглощением,
имеют также высокий коэффициент отражения и внешне напоминают
металл. Пары ртути сильно поглощают излучение с длиной волны, рав-
равной 2537 А (§ 15.31), и соответственно сильно отражают излучение этой
длины волны.
416 ГЛ. 15. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ И ДИСПЕРСИИ СВЕТА
Упражнение
15.5. Показать, что в случае нормального падения изменение фазы световой
волны при ее отражении определяется соотношением
A5.18)
[Для того чтобы получить искомое изменение фазы, комплексную величину AiyJA iy
надо представить в виде е1^, где у — действительная величина. Тогда сдвиг фазы
равен arctg у (см. § 2.27).]
Обратить внимание на то обстоятельство, что tg бп—>-0, если %-*-0, а также
если % велико по сравнению с единицей. Из соотношения tg 6п = 0 следует, что
6„ = О или бп = л. Мы видели, что если % = 0, то Ьп = 0 при д<1ибд = я при
п > 1 (см. §§ 5.10 и 14.11). Используя A4.39) и считая п' = —in%, т. в., пренебрегая п
по сравнению с n%t получим, что, если х~>оэ, то Aiy,/Aiy -*- — 1 и разность фаз
равна я.
Отражение при наклонном падении
15.8. Количество отраженного света и его состояние поляризации
при наклонном падении можно рассчитать, если подставить п' вместо п
в A4.34) и A4.36). Детальный расчет очень длинен. Строгий расчет и неко-
некоторые приближенные формулы читатель может найти в работах (|15.1],
стр. 1595, [15.2], гл. VI, [15.3], стр. 242).
Если n?-\-riz%2 велико по сравнению с единицей, то справедливы
следующие соотношения:
п2 A + Х2) cos2 е1—2/г cos 9i +1
Qir =
Л1го
Aiy,A*y,
n2 A + X2) + 2M
A5.19а)
A5.196)
На рис. 15.1 изображена зависимость Qw n Qy от угла падения при п =
= 1,5 и х = 1,00, т. е. для случая сильного поглощения. Этот график
можно сравнить с соответствующим
графиком для прозрачных сред (см.
рис. 14.3). В обоих случаях компонен-
компонента электрического вектора, лежащая в
плоскости падения, достигает миниму-
минимума при некотором определенном угле
падения. Этот минимум равен нулю
для прозрачных сред, но не равен нулю
для поглощающих. Иными словами,
в случае поглощающих сред не суще-
существует такого угла падения, при кото-
котором отраженная волна оказывается пол-
полностью поляризованной.
15.9. Если падающий свет плоско-
поляризован, то отраженная волна ста-
становится эллиптически поляризованной.
Рассмотрим теперь вопрос о поляриза-
поляризации отраженной волны для одного слу-
случая, имеющего практическое значение.
Начнем с точных формул и выведем
соотношения A5.20) —A5.24). Для получения окончательного результата
будем считать, что (п2-\-п2%) >sin29i. Пусть отношение амплитуд ком-
-»
/
/
'
/
/
А/
/
1
Л
/
/
/
/
W 20'
W 50' 60° 70° 80' 90'
$
Рис. 15 1.
ГЛАВНЫЙ УГОЛ ПАДЕНИЯ
417
понент электрического вектора, лежащих в плоскости падения и пер-
перпендикулярно этой плоскости, равно а, а разность фаз между ними
равна б. Тогда из A4.34в) и A4.356) получим
1У
cos(eA + e2)
cos @1—62) '
A5 20)
или, подставляя 92 из A5.15), получим
Рассмотрим случай, когда падающий свет плоско-поляризован в плос-
плоскости, составляющей угол 45° с плоскостью падения, т. е. Aiw=Aiy.
a^=-2^№-%S№&=&, A5.21)
A5.22)
г . A5.23)
\—аехЬ ]/и'2—sii^
Это соотношение определяет интенсивность и состояние поляризации
отраженного света при заданных п' и угле падения.
Главный >гол падения
15.10. При нормальном и при скользящем падении (т. е. когда 01 = О
и 61-=я/2) б равно 0 или я и отраженный свет оказывается плоско-поля-
плоско-поляризованным. В общем случае б может иметь произвольное значение. Тогда
Естестбен*
пый едет
] Эллиптически^
поляризобщшьш
Поглощающая среда
Рис 15 2 Отражение света на границе поглощающей среды
В правой части рисунка представлен эллипс поляризации для
наблюдателя, смотрящего навстречу отраженному пучку
Плоскость
падения
Поглощающая среда
Рис 15 3. Отражение света при главном угле падения.
отраженная волна эллиптически поляризована, и оси эллипса распола-
располагаются произвольным образом относительно плоскости падения
27 Р Дитчберн
iib Г Л 15 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ И ДИСПЕРСИИ СВЕТА
(рис. 15.2). Однако существует такой угол падения, при котором б = я/2.
В этом случае отраженный свет эллиптически поляризован, причем одна
из осей эллипса лежит в плоскости падения (рис. 15.3). Этот угол паде-
падения, который мы обозначим через 64, иногда называют главным углом
падения. Так как ег6 = i, если 6 = я/2, то из A5.23) получим
1 + га _ tg Pi sine! /K0/.
^- • A5-24)
Главный азимут
15.11. При любом угле падения можно превратить отраженный эллип-
эллиптически поляризованный свет в плоско-поляризованный, помещая на пути
отраженного пучка кристаллическую пластинку соответствующей тол-
толщины и ориентации. Для этой цели удобно воспользоваться компенсато-
компенсатором Бабине (см. § 12.33). Направление плоскости поляризации получен-
полученного таким образом света можно определить при помощи николя. Угол
между плоскостью падения и плоскостью поляризации отраженного света
(превращенного в плоско-поляризованный введением разности фаз, рав-
равной —6) называется азимутом *). Можно сказать, что главный азимут "*¥
соответствует главному углу падения (см. рис. 15.2 и 15.3). Так как для
главного угла падения б = я/2, то компенсатором может служить пла-
пластинка Я/4, у которой медленное направление лежит в плоскости паде-
падения. Для падения под главным углом мы можем написать
a=tgY. A5.25)
Для большинства случаев, имеющих практическое значение, (п2-гп2%2) >
> sin2 04. Тогда знаменатель выражения A5.24) можно положить рав-
равным п' и, следовательно,
т. е.
tg в, sin в» = n' CZlZ.i:Zl= n'e^. A5.26)
Так как величина, стоящая в левой части этого соотношения, действитель-
действительна, мнимая часть, стоящая в правой его части, должна обратиться
в нуль, т. е.
% = tg2Y. A5.27)
Подставляя это значение в A5.26), получим
п cos 2W -[■ п sin 2W tg 2¥ = tg в4 sin ви
т. е.
» = tg в4 sin et cos 2¥. A5.28)
*) Иногда азимутом называют дополнительный угол, т е угол между плоско-
плоскостью электрического вектора и плоскостью падения [Иногда рассматриваемый угол
называют «азимутом восстановленной поляризации» (Прим ред )]
ОПТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МЕТАЛЛОВ
Сравнение теории и эксперимента
419
15.12. Для проверки совпадения теории и эксперимента следует
измерить углы в4 и Ч*, вычислить из A5.27) и A5 28) п и %, а затем, вос-
воспользовавшись A5.17), определить q. Найденную таким способом вет-
ветчину коэффициента отражения q можно затем сравнить с величиной q,
определенной из опыта. Некоторые экспериментальные результаты при-
приведены в табл 15 1. Значения, приведенные в двух последних колонках,
Таблица 151
Металл
Медь
Золото
Никель
Платина
Серебро
Сталь
п
0,64
0,366
1,79
2,06
0,181
2,41
X
4,08
7,70
1,86
2,06
20,2
1,38
Р % (Рас-
(Рассчитано
из п и эс)
73,2
85,1
62,0
70,1
95,3
57,5
р, % (непо-
(непосредственно
измерено)
89,0
88,2
65,9
66,3
93,5
58,4
согласуются между собой в разумных пределах Значения п и % были
получены Друде [15 4], который не использовал при измерениях точно
определенных значений длин волн. Измерения q были выполнены Хаге-
ном и Рубенсом [15 5], которые работали с совершенно другим набором
образцов Большое различие рассчитанных и измеренных значений q
в случае меди может быть приписано быстрому изменению коэффициента
отражения с длиной волны в спектральной области, использованной
Друде. Кроме того, оптические свойства металлов в значительной сте-
степени зависят от метода полировки, который оказывает влияние на рас-
распределение атомов в поверхностном слое. Поэтому более точного согла-
согласия результатов теории и опыта нельзя ожидать.
Можно также определять % и п при помощи опытов с тонкими метаппческими
пленками и призмами с очень малыми преломляющими упамп В этом счлчае опре
деление п довольно не точно, и, кроме того нечьзя ожидать что свойства тонких
пленок совпадают со свойствами массивных четатшческнх образцов Поэтому дт
проверки теории нельзя сопоставлять почлченные таким способом значения п и /
с их значениями, найденными по методу отражения
Упражнение
15.6. Показать, что при приближении / к н>лю главный угол падения прибли
жается к углу Брюстера
[Здесь нельзя использовать соотношение A5 26), так как оно справедливо толы о
в том случае, когда (п2-\- п2%2) > 1 С гедует воспользоваться формулой A5 24) Еслип —
действительная величина, то а = 0м отраженный свет пгоско-поляризован в плоско
сти падения Тогда можно написать п2—sin2 ei = tg26i sin26i, m e n=tg 64 ]
Оптические характеристики металлов
15.13. Будем считать, что металл представляет собой совокупность
атомов и свободных электронов. Сначала мы будем рассматривать его
как непрерывную среду с большой проводимостью и диэлектрической
проницаемостью, мало отличающейся от единицы. Применим уравнения
Максвелла к этой среде и покажем, что для металлов показатель прелом-
преломления должен быть комплексной величиной После этого мы сможем
27*
420 Г Л 15 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ И ДИСПЕРСИИ СВЕТА
сравнить рассчитанные значения п и % с их значениями, полученными
экспериментально методами, описанными в предыдущих параграфах.
15.14. Обратимся к уравнениям Максвелла A3.11) — A3.14) и запи-
запишем уравнение A3.14) в форме
rot IT =(i5-а+ 1-£) Я. A5.29)
Отсюда
т. е.
dt2 ^ с2 dt '
Проверим, является ли решением этого уравнения выражение
A5.31)
Мы не предполагаем, что п'— обязательно комплексное число, но оно
может быть таковым. Дифференцируя A5.31) и подставляя в A5.30),
получим
О^) <15-32>
Таким образом, уравнение A5.32) требует, чтобы показатель преломле-
преломления был комплексной величиной. Вычисляя действительные и мнимые
части последнего выражения, находим
п«A_х«) = 8, A5.33а)
*2Х = ^* = <^ = ^, A5.336)
где Т — период колебаний, а Я, — длина волны в вакууме. Отсюда сле-
следует, что
A5.34а)
— г. A5.346)
Действительно, перемножая эти уравнения, получим
п2х = оТ. A5.35)
Если s мало по сравнению с аТ, то уравнения A5.34) сводятся к
п = /гх = /оТ. A5.36)
Если аТ велико по сравнению с единицей, то коэффициент отражения q
(уравнение A5.17)) принимает вид
5Г • <15-37)
15.15. Величины пиЦ, рассчитанные из электрических постоянных,
даже приблизительно не согласуются с результатами измерений, выпол-
выполненных для видимого света. Для всех металлов, приведенных в табл. 15.1,
ОПТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МЕТАЛЛОВ
421
X больше 1. Отсюда следует, что если уравнение A5.33а) справедливо,
то е должно быть отрицательной величиной. Изменение п2% с длиной
волны или при переходе от одного металла к другому не находится в со-
согласии с уравнением A5.336). Эти уравнения основываются на соотноше-
соотношениях, которые справедливы для низких частот и даже для радиочастот
A08 гц), но они не выполняются при оптических частотах A015 гц). Позже
мы рассмотрим вопрос об оптических частотах более подробно. А пока
выясним, применимы ли уравнения A5.33) — A5.37) в области частот
1013— 1,5-1014 гц, т. е. в инфракрасной области.
15.16. Измерения коэффициентов отражения различных металлов
в области частот 1,5-1014—1013 гц (т. е. в спектральном интервале от % =
= 2 мк до К ъ* 30 мк) были выполнены Хагеном и Рубенсом [15.5]
Рис. 15.4.
а также другими авторами. Эти опыты показали, что коэффициент отра-
отражения большинства металлов быстро возрастает с увеличением длины
волны и достигает значения, определяемого соотношением A5.37). Этот
коэффициент настолько велик, что прямые методы не позволяют выявить
ни различие коэффициентов отражения у разных металлов, ни их изме-
изменения с температурой. Более точный метод заключается в измерении
испускательной способности Z?, которая в соответствии с законом Кирх-
Кирхгофа связана с коэффициентом отражения соотношением
£ = -^- = 1 — q, A5.38)
где А — энергия, испускаемая поверхностью исследуемого металла,
а В — энергия, испускаемая равной по величине поверхностью черного
тела при той же температуре.
Установка, при помощи которой производились измерения, показана
на рис. 15.4. Узкую область частот выделяли из излучения черного
тела В путем трехкратного отражения света от флуоритовых поверхно-
поверхностей Fi, F2, Fs. Отражение от флуорита мало всюду, за исключением
узких областей спектра, и только в одной из них (близ 25,5 мк) излучение
имело достаточную интенсивность после трех отражений. Излучение
фокусировали при помощи металлического зеркала М на термопару Т.
В этом опыте можно измерить либо излучение, выходящее из маленького
отверстия в стенке печи, которое соответствовало излучению черного
тела, либо излучение, исходящее от металлического образца, помещенного
422 ГЛ. 15. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ И ДИСПЕРСИИ СВЕТА
в печь. Отношение этих двух величин давало довольно точное зна-
значение Е *).
15.17. Результаты этих измерений приведены в табл. 15.2. Из урав-
уравнения A5.37) следует, что для разных металлов произведение A — q) ^g
должно оставаться постоянным. Последняя колонка табл. 15.2 показы-
показывает, что этот закон достаточно точно выполняется для большинства
Таблица 15.2
Металл
Серебро ....
Медь
Золото
Алюминий . . .
Цинк
Кадмий ....
Платина ....
Никель
Олово
Сталь
Ртуть
Висмут
A—р) для температуры 170° С и длины
волны 25,5 мк
измеренное
1,13-10-2
1,17-10-2
1,56-10-2
1,97-10-2
2,27-10-2
2,55-10-2
2,82-10-2
3,20.10-2
3,27-10-2
3,66-10-2
7,66-10-2
25,6-10-2
вычисленное
из A5.37)
1,15-10-2
1,27-10-2
1,39-10-2
1,60-10-2
2,27-10-2
2,53-10-2
2,96-10-2
3,16-10-2
3,23-10-2
3,99-10-2
7,55-10-2
10,09-10-2
<l-p)aV2
6,71-106
6,19-106
7,69-106
8,46-106
6,87-106
6,92-106
6,53-106
6,96-106
6,95-106
6,28-106
6,96-106
17,4-106
металлов, кроме висмута. Среднее значение этого произведения **) для
металлов, приведенных в таблице (кроме висмута), равно 6,96-106.
Та же величина, рассчитанная из уравнения A5.37) для X = 25,5 ц,
равна 6,86-106. Заметим также, что зависимость коэффициента отражения
от температуры удовлетворительно согласуется с расчетами, основанными
на температурной зависимости а.
Результаты измерений для различных длин волн приведены в табл.15.3.
Согласие очень хорошее до длин волн не короче 8 мк. При 4 мк оно
несколько хуже и быстро ухудшается при приближении к частотам
видимого спектра. Результаты этих опытов показывают, что теория
Максвелла в наиболее простой форме справедлива вплоть до частот
~ 6«1013 гц (т. е. до длин волн, примерно равных 5 мк).
Таблица 15.3
Значения A —
Длина волны
Измеренное среднее значе-
значение
Значение, рассчитанное
из уравнения A5.37) . .
4 мк
18,4
17,3
8 мк
12,3
12,2
12 мк
10,4
9,96
25,5 мк
6,96
6,86
*) Мы привели описание этого эксперимента, принимая во внимание его боль-
большое историческое значение. Описание современных методов инфракрасных измерений
читатель может найти в книге Сезерланда [15.6]. Теория отражения света от кристал-
кристаллов, подобных флуориту, обсуждается в § 15.32.
**) Если а выражено в электростатических единицах.
ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ. ДИЭЛЕКТРИКИ 423
Теория дисперсии. Диэлектрики
15.18. Теперь выведем соотношения, определяющие изменение п'
с частотой для диэлектриков. Мы покажем, что в общем случае п' —
комплексная величина и что как ее действительная, так и ее мнимая
части зависят от частоты. Вообще говоря, всегда имеется поглощение,
зависящее от частоты и достигающее в центре линий поглощения очень
высоких значений, иногда сравнимых с поглощением в металле.
Кроме поглощения в этих узких спектральных областях, поглоще-
поглощение в диэлектриках значительно меньше, чем в металлах. Даже уголь,
который мы считаем непрозрачным, обнаруживает почти полную прозрач-
прозрачность в слоях толщиной *) 10—50 мк, тогда как пленка металла толщи-
толщиной 1 мп пропускает менее 1% падающего на нее света. В видимой области
поглощение в чистой воде настолько мало, что для точных измерений
поглощения необходимы слои воды толщиной в несколько метров.
15.19. Для расчета величины пг прежде всего необходимо установить
соотношение между поляризацией диэлектрика JP и величиной электри-
электрического вектора падающей световой волны, т. е. необходимо определить
PIE как функцию со. Вектор индукции 2> по определению связан с напря-
напряженностью поля J2 соотношением 1> = .Е+4я2>. С другой стороны,
в изотропной среде и при условии, что поляризация диэлектрика про-
пропорциональна полю, D = eJE. Согласно волновому уравнению для напря-
напряженности поля JE показатель преломления в немагнитной среде п2= е.
Поэтому, можно написать
4я4 = е-1 = тг'2-1. A5.39)
В соответствии с соображениями, изложенными в § 2.27, то обстоя-
обстоятельство, что отношение PIE является комплексным, означает наличие
разности фаз между этими векторами.
В молекулярной теории диэлектриков предполагается, что поле,
обусловленное поляризацией диэлектрика, является результирующим
полем множества диполей. Локальная напряженность этого поля быстро
меняется на расстояниях, сравнимых с межмолекулярными расстояниями.
Вектор _Р (электрический момент единицы объема диэлектрика — вектор-
векторная величина, имеющая размерность напряженности поля) соответствует
среднему значению напряженности результирующего поля, действующе-
действующего в диэлектрике, причем среднее вычисляется по объему, содержащему
достаточно большое число молекул, но малому по сравнению с тем, для
которого мы хотим определить 8 или какую-либо другую характеристику.
Для наших расчетов объем, равный @,1 ЯK, содержит достаточно большое
число молекул.
Вектор JE поля волны не очень сильно меняется на расстоянии, срав-
сравнимом с межмолек^лярным расстоянием, и мы имеем право подставить
среднее значение Рв уравнение A5.39) для расчета е и п'. Но при расче-
расчете силы, действующей на отдельный электрон, необходимо учитывать,
наряду с полем волны, локальное поле, создаваемое молекулярнымп
диполями, которое мы обозначим через X.
15.20. Пусть в единице объема находится М осцилляторов, причем
каждый можно представить отдельным электроном, на который действуют
*) Слои такой толщины применяют для микроскопических исследований струк-
структуры угля.
424 ГЛ. 15. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ И ДИСПЕРСИИ СВЕТА
упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, и небольшая
сила, вызывающая затухание колебаний. Предположим также, что
последняя пропорциональна скорости электрона. Тогда уравнение дви-
движения электрона имеет вид
mr + gr + kr = Xe + JBe, A5.40)
где т — масса электрона, е — его заряд, g и к — постоянные, которые
рассчитывают из молекулярной теории, иг — смещение относительно
положения равновесия.
Для решения уравнения вынужденных колебаний электрона A5.40)
надо прежде всего подставить в правую его часть значение результирую-
результирующей силы е (JE+X), действующей на электрон. Таким образом, возни-
возникает важная в теории дисперсии задача об отыскании действующего
поля, обусловленного полем проходящей волны и ею же вызванной поля-
поляризацией среды. Как показывается в электродинамике *), действующее
поле равно сумме JE + y^^» причем в изотропной среде векторы JE и JP
совпадают по направлению. Следовательно, A5.40) можно записать теперь
так:
y; ( ^^. A5.41)
15.21. Рассмотрим сначала свободное колебание электрона в отсут-
отсутствие поля. Положив Е (а следовательно, и Р) равным нулю, мы получим
уравнение, решение которого записывается в виде
г = гоехр ( -4"^+ "°о*) , A5.42)
где
Y = -L и ш20 = А._^. A5.43)
Если затухание мало, можно считать, что со* = к/т, т. е. что наблюдае-
наблюдаемая частота колебаний равна частоте незатухающих колебаний. Подстав-
Подставляя постоянные у и о)о в уравнение A5.41), получим
V+YH-fflSr- (е +Щ- Р) -£■ • A5.44)
Поляризация Р равна дипольному моменту единицы объема, т. е.
Р = Мег. A5.45)
Умножая обе части уравнения A5.44) на Me и используя A5.45), получим
A5.46)
Р изменяется во времени с той же частотой, что и Е, но не обязательно
в фазе с ним. Тогда можно записать
A5.47)
A5.48)
*) См., например, И. Е. Т а м м, Основы теории электричества, Гостехиздатч
М„ 1954. (Прим. ред.)
ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ. ДИЭЛЕКТРИКИ 425
где а —■ в общем случае комплексная величина. Подставляя A^.47)
и A5.48) в A5.46), получим
и следовательно, используя A5.39),
4ят = — 4я Me*
откуда
Ы ше~ 1 г. A5.51)
~4яа + 3 *" 3 m '©jj—
15.22. Рассмотрим теперь среду, содержащую в единице объема N
молекул, причем в каждой из них /А осцилляторов имеют частоту 6)!
и коэффициент затухания Yi> /2 осцилляторов со значениями
и Y2> и т« Д- Тогда Р, входящее в A5.45), будет равно 2
Р8 = Nefsr8 = asi?o exp (Ш) A5.52а)
a = ^-=2«s. A5.526)
8
В этом случае в левой части уравнения A5.44) г надо заменить на инди-
индивидуальное для каждого электрона смещение rs, но Р, разумеется,
не заменяется на Р8, так как осцилляторы всех типов оказывают дей-
действие на любой электрон. Уравнение A5.49) заменится уравнением
°5~ т С14" 3 а) ©«-©»+i
Суммируя действие всех осцилляторов, получим вместо A5.51) соотно-
соотношение
тг'2-1 _ 4я Ne* у f9
т ^ ©2 —©a + iYs® " l ;
Введем новую величину <д'8, определяемую следующим образом:
o)s2 = o)| g——/а. A5.54)
Тогда вместо A5.50) получим
Обратим внимание, что в A5.55) стоит <o'si а в A5.53) со8« Положив (о =
= 0 в A5.55), получим для диэлектрической проницаемости в случае
статических или медленно меняющихся полей соотношение
Исходя из классической теории, мы должны были бы ожидать, что fs
являются целыми числами. Однако было обнаружено, что значения
426 ГЛ 15 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ И ДИСПЕРСИИ СВЕТА
этих величин, которые следует подставить в A5 55), чтобы получить
согласие с экспериментальными данными, почти всегда меньше единицы,
а иногда даже малы по сравнению с единицей (см. табл. 18.1). Это обстоя-
обстоятельство требует изменить интерпретацию величин fs Мы будем считать
рассмотренный выше электронный осциллятор осциллятором единичной
«силы» *). Тогда следует допустить, что каждая молекула состоит из одно-
одного осциллятора силы /1? одного осциллятора силы /2 и т. д. Сила осцил-
осциллятора пропорциональна его дипольному моменту (см. приложение 13Б).
Это изменение интерпретации величин f8 не вызывает изменения в уравнениях
теории дисперсии (см уравнение A5 58) и далее), так как /s и N входят во все урав-
уравнения только в виде произведения Nfs В теории рассеяния света (см §§15 41—15 46)
требуется знать действительное число осцилляторов, и для того чтобы получить согла-
сче с экспериментальными данными, необходимо предположить, что каждая молекула
содержит по одному осциллятору каждого типа. Представление об осцилляторе, сила
которого равна доле силы классического осциллятора, играет важную роль в обсу-
обсуждении соотношения между классической и квантовой теориями дисперсии Оно суще-
существенно также при обсуждении некоторых смежных вопросов, в том числе вопросов
излучения, поглощения и рассеяния света
15.23. Выражение A5 55) следует считать основным математическим результатом
классической теории дисперсии При введении ряда приближений или при небольших
изменениях исходных предположений это выражение приобретает несколько другую
форму. Так, например, некоторые авторы считают внутреннее поле равным 4яаР,
где а — некоторая постоянная Обычно в конце расчетов они полагают эту постоян-
постоянную все же равной 1/3 В классической электромагнитной теории электрон, движу-
движущийся с ускорением, излучает энергию и соответственно испытывает тормозящую
силу Исходя из этих соображений, оказывается возможным рассчитать величину y
для осциллятора, собственная частота колебаний которого равна cos (см приложе-
приложение 13Б) В оТом случае
?. = -з"^ю" A5'57)
Значение ^ч опреде!яемое этой формуюп, не согласуется с ее значением, найденным
из абсорбционных измерений Следовательно, классическое рассмотрение вопросов
затухания приводит к рез>1ьтату, не согласующемуся с экспериментальными дан-
данными Расчет частот и постоянных затухания методами квантовой механики изла-
излагается в гл 19
Дисперсия в областях спектра с малым поглощением
15.24. Рассмотрим дисперсию в тех областях спектра, для которых
величина о)§2— со2 велика по сравнению с у8ы. В этом случае поглоще-
поглощением можно пренебречь, и соотношение A5.55) даст действительное зна-
значение показателя преломления
Перепишем выражение следующим образом:
где
A
*) Мы сохраняем здесь исторически установившийся, но неудачный в данном
случае термин «силы» Разумеется, величины / не имеют ничего общего с механиче-
механическими силами См также примечание на стр. 396 (Прим ред )
МОЛЕКУЛЯРНАЯ РЕФРАКЦИЯ 427
Если мы положим
то получим
Эта формула известна как дисперсионная формула Зельмейера. Ее можно
записать в виде
»2=со+2тг=я?-' <15-62)
8
где
и
Дисперсия газов в областях спектра, далеких
от линий поглощения
15.25. Для газов N достаточно мало, и следовательно, (й'8 приблизительно равна
cos. Если п только немногим больше 1, то можно положить п2 — 1 = 2 (тг — 1). Тогда
A5.58) приобретает следующий вид:
откуда следует, что при низких давлениях (п — 1) пропорционально N, т. е. плот-
плотности газа. Этот результат подтверждается опытом. Кроме того, было установлено,
что в случае инертных газов дисперсионная кривая, полученная на опыте, описы-
описывается формулой A5.63), содержащей только один член. Отсюда, по-видимому, сле-
♦дует, что в этом случае существует только один тип осцилляторов и что %s, определен-
определенная из опытов по дисперсии, должна совпадать с длиной волны одной из основных
линий спектра. Однако было обнаружено, что длины волн всех лпнпй главной серии
больше, чем Х$. Это расхождение не находит объяснения в классической теории дис-
дисперсии *).
Как и следовало ожидать, величина /г2—1, полученная при подстановке
*<о=О в формулу дисперсии, хорошо согласуется с экспериментальным значе-
значением е—1.
Молекулярная рефракция
15.26. Вернемся снова к уравнению A5.53) и выразим N в виде
N = N0^-, A5.64)
где No-— число Авогадро F,02-1023), М — молекулярный вес и q — плот-
плотность. Для области спектра, в которой поглощением можно пренебречь,
«молекулярная рефракция» [п] определяется следующим выражением:
A5.65)
*) Обсуждение этого вопроса с квантовой точки зрения изложено в § 19.11.
428 ГЛ. 15. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ И ДИСПЕРСИИ СВЕТА
Из A5.65) следует, что рефракция смеси нескольких невзаимодействующих
между собой веществ определяется соотношением
T+rT-te^feh-" A5'66>
где А — масса смеси, которая содержит А4 граммов вещества с плотно-
плотностью Qi и показателем преломления п^ и т. д. Это правило подтверждается
многочисленными опытными данными.
Если вещество образуется в результате соединения атомов, молекул
или ионов, то естественно ожидать появления в дисперсионной формуле,,
содержащей члены, соответствующие отдельным составным частям, неко-
некоторых дополнительных членов, обусловленных наличием электронов
связи. Это второе, не вполне определенное правило также подтверждает-
подтверждается на опыте, и было обнаружено, что для некоторых групп органических
соединений рефракцию можно рассчитать, приписывая каждому типу
связи определенную рефракцию и прибавляя ее к сумме рефракций отдель-
отдельных компонент [15.8]. Однако существуют другие классы соединений
в которых перераспределение электронов в результате соединения ком-
компонент вещества настолько сильно изменяет структуры отдельных ком-
компонент, что расчет по такой аддитивной схеме невозможен.
Область поглощения
15.27. При рассмотрении области, близкой к одной из собственных
частот осциллятора, вернемся к уравнению A5.55) и запишем его в виде
п'* = nl + 4я — -=—f-h-- • A5.67)
При написании этого выражения мы предполагали, что все осцилляторыf
кроме 5-го, никак не влияют на поглощение, а вносят только некоторый
постоянный вклад, включенный в тг0, в действительную часть комплекс-
комплексного показателя преломления. Следует ожидать, что выражение такого
типа будет справедливым в узкой области частот вблизи собственной
частоты s-ro осциллятора. Это соотношение полезно при рассмотрении
типичных узких линий поглощения паров, например линий натрия или
ртути при низких давлениях. В узкой области частот вблизи ©з можно
считать, что
0)s2 —CO2 = 2@s (©i — CD).
Тогда уравнение A5.67) примет вид
n'*~nl= ™Г 2^-.)^. ' <15-68>
так как со приблизительно равно а>'8. Приравнивая действительные
и мнимые части, получим
%СТ A5.69а>
ОБЛАСТЬ ПОГЛОЩЕНИЯ
429
Если (п — тг0) и п% малы по сравнению с тг0, то левая часть уравнения
A5.696) приблизительно равна 2по(п — п0), и мы получим
П-П° '
AnNe* fs К—о)
A5.70)
На рис. 15.5 показана зависимость п и п% от о для со$ = 7,4-1015 сект1;
ys = 3,3-1011 сект1 и iVs/s = 9,2-1016 см. Мы видим, что п изменяется
от 1,03 до 0,97, это типично для области поглощения в газе при низком
давлении *). На рисунке показано изменение п% в зависимости от со, хотя
1,02
0,09
0,08
<£"*
0,05
0,0k
0,03 '
0,02
0,01
-15 -10 -5
10
15, 20*10"
Рис. 15.5. Изменение п и их вблизи слабой линии по-
поглощения.
-формула A5.69а) 1дает изменение п2%. Поскольку п изменяется мало
и изменение п% (в основном определяется изменением %, различие меж-
между п% и п2% очень невелико.
Здесь следует обратить внимание на то, что в области поглощения
п уменьшается с увеличением со. Это явление носит название «аномаль-
«аномальной 'дисперсии».
Коэффициент поглощения 2а (см. § 15.5) равен 2ат%/с, и следова-
следовательно, мы можем написать
2а =
A5.71)
В большинстве случаев, имеющих практическое значение, линия погло-
поглощения настолько узка, что в этом выражении можно положить со = (д'8;
поскольку, кроме того, она обычно очень слаба, можно считать, что
п = 1. Тогда
A5.72)
и
A5.73а)
*) В областях, далеких от линий поглощения, коэффициенты поглощения газов
лри давлении 1 атпм отличаются от единицы только на несколько тысячных.
430 ГЛ. 15. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ И ДИСПЕРСИИ СВЕТА
Отметим, что пределы интегрирования от 0 до оо для о соответствуют
пределам от — оо до + °о для (о8 — о, так как @81у8 велико. Итак„
A5.73б>
J тс
15.28. Поглощение в максимуме пропорционально f8 и обратно про-
пропорционально ys, а полуширина линии поглощения пропорциональна у8.
Интегральное поглощение не зависит от у8 и пропорционально f8. Из тех
предположений, на основе которых было получено выражение A5.70),
следует, что соотношения A5.71) и A5.72) справедливы только для слабых
линий поглощения. Для сильных линий поглощения соответствующиег
более сложные формулы были получены из A5.67) с учетом более высо-
высоких степеней приближения. В этом случае максимум поглощения не точно
совпадает с <о'8. Кроме того, при сильном поглощении ни (п — тг0), ни п%
не являются симметричными функциями от (со'8 — ю).
Измерение сил осцилляторов4)
15.29. Определение значений /s, соответствующих определенным собственным
частотам, представляет значительный теоретический интерес (см. § 17.40). Если можно»
определить зависимость коэффициента поглощения газа или пара при определенном
давлении от длины волны, то из A5.73) можно рассчитать fs. На практике линии погло-
поглощения уширены вследствие эффекта Допплера и соударений (см. § 4.25). В случае
уширения, обусловленного только эффектом Допплера, поглощение будет таким же,
как и для совокупности неподвижных атомов, со слегка различными значениями cosr
но одинаковыми fs. Интегральный коэффициент поглощения для каждого из этих
атомов одинаков, и поэтому значения /s, рассчитанные из этого коэффициента для
уширенной линии, окажутся такими же, как и для любой узкой линии. Исследования
показали, чтоуширение линии ртути 2537 А, обусловленное столкновениями с моле-
молекулами инертных газов (например, аргона), соответствует увеличению Ys ПРИ низких
давлениях (не превышающих 1/4 атм). При увеличении давления до нескольких
атмосфер величина /8 увеличивается на несколько процентов. Измерения коэффи-
коэффициентов поглощения линий, уширенных вследствие столкновений, можно использовать
оо
для расчета величины /s, если измерять J 2a dv для нескольких давлений, а 'затем*
о"
провести экстраполяцию к нулевому давлению.
15.30. Измерения дисперсии в области длин волн, близкой к области
сильного поглощения, также можно использовать для расчета сил осцил-
осцилляторов. Наиболее изящный и точный метод, известный как метод «крю-
«крюков», был предложен Рождественским [15.9]. В этом методе используется
видоизмененный интерферометр Жамена, и интерференционные полосы
проектируются на щель спектрографа. При отсутствии компенсационной
пластинки в фокальной плоскости спектрографа появится интерферен-
интерференционная картина, изображенная на рис. 15.6, а. При введении в одно»
из плеч интерферометра компенсационной пластинки картина приобретает
вид, показанный на рис. 15.6, б. Силу осциллятора можно определить^
измеряя в шкале длин волн расстояния между вершинами крюков.
Мы предполагаем, что крюки образуются достаточно далеко от центра линии
поглощения, чтобы для показателя преломления можно было воспользоваться форму-
формулой A5.59), а не A5.70). Вместе с тем, полагаем, что они расположены достаточно»
близко от центра линии, чтобы можно было учитывать только один член суммы, стоя-
стоящей в правой части соотношения A5.59). Последнее предположение не подтверждаетсяу
если линии поглощения расположены очень близко друг к другу (как, например„
*) См. примечание на стр. 396. (Прим. ред.)
ИЗМЕРЕНИЕ СИЛ ОСЦИЛЛЯТОРОВ
431
D-линии натрия). В этом случае в приводимую ниже формулу A5.75) необходима
внести некоторую поправку. Пренебрегая этой поправкой, мы получим из A5.59)
выражение
1 Ne* f8№k?
1+
и, следовательно,
A5 74)
A5 75)
Пусть I — длина столба газа, а V и п\ — толщина и показатель преломления
компенсационной пластинки. Каждая полоса соответствует определенной разности
фаз между двумя пучками, т. е. определенному порядку интерференции Рассмотрим
полосу &-го порядка. Разность хода между пучками определяется тремя величинами:
1) величиной (п—1) I, обусловленной столбом газа, 2) величиной (п[ — 1) V, обусло-
обусловленной компенсационной пластинкой и 3) разностью
хода, вызванной неравенством путей в окошках тру-
трубок и в пластинках, на которых происходит отраже-
отражение В отсутствие трубки с газом и компенсатора по-
полосы располагаются перпендикулярно щели спектро-
спектрографа на равных расстояниях друг от друга Поэтом}
можно считать координату полосы у вдоль щели спек-
спектрографа (в данной точке спектра) пропорциональной
разности хода, вызванной неравенством путей. Сле-
Следовательно, можно написать
су — (п—1I + (п[—1)У=к% A5 76)
Обычно значение у, соответствующее нулевой разности
хода (в отсутствие трубки с газом и компенсатора),
находится вне щели, но это несущественно, так как мы
имеем дело только с разностями у. Вершины крюков
соответствуют тем точкам полос, для которых у дости-
достигает минимума или максимума *) Из A5 76) можно
определить dyldX и, следовательно, значения длин
волн, соответствующие вершинам крюков. Обозначая
эти длины волн через Я+ hL, получим
яте2 К(Х+—А,_J
/з = 7-^-з 1 > A5 77)
где
K=zk—l'
dn\
~Ж~
A5 78)
Рис 15 6 Вид интерферен-
интерференционных полос в отсутствие
компенсационной пластин-
пластинки (а) и при ее введении (б)
Видны две D-линии поглоще-
поглощения натрия
При выводе A5.77) мы считали, что dn'JdX остается постоянной в области
между крюками. Величину К можно определить, удаляя газ из трубки
интерферометра. Тогда положение полос определяется соотношением
су + (п[ — 1) V = кХ A5.79)
и, если у фиксировано, к и К изменяются таким образом, что
ХЛХ=—А,Д& или К=—X -7г-. A5.80)
Итак, К можно определить, подсчитывая число полос (пересекающих
горизонтальную линию, совмещенную со спектром) в определенном
интервале длин волн.
*) Физический смысл образования крюка на интерференционных полосах заклю-
заключается в компенсации для соответствующей длины волны дисперсии интерферометра,
зависящей от порядка интерференции и дисперсии газа (пара), наполняющего трубку
Подробности метода Рождественского описаны в книге самого Д С Рождест-
Рождественского, Аномальная дисперсия в парах натрия, Изд-во АН СССР М , 1950.
См также книгу «Физический практикум», Физматгиз, М , 1962 (Прим ред )
432 ГЛ. 15. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ И ДИСПЕРСИИ СВЕТА
Поглощение в жидкостях и твердых телах
15.31. Молекулы жидкости постоянно испытывают столкновения
с окружающими молекулами. Поэтому мы должны ожидать, что погло-
поглощение и дисперсия в жидкостях аналогичны поглощению и дисперсии
в газах при очень высоких давлениях, т. е. должны ожидать, что их линии
поглощения очень уширены и соответственно изменены дисперсионные
кривые.
Можно считать, что полосы поглощения и дисперсионные кривые
для жидкостей обусловлены ярко выраженным искажением группы
«линий» поглощения; последние настолько сильно уширены, что нала-
налагаются друг на друга. Окрашенные стекла и аналогичные аморфные
вещества обычно можно рассматривать как переохлажденные растворы
3,0
2,0
1,0
е
у
/
/
/
\
/7
пХ
4000
то боооо
Длина долны% А
0,0
Рис 15 7 Поглощение и аномальная дисперсия в твердом цианине
поглощающих веществ. Поглощение света обусловлено молекулами,
которые находятся на различных расстояниях от соседних молекул,
и поэтому испытывают различное возмущение со стороны этих последних.
Аналогичные эффекты наблюдаются и в кристаллических телах (рис. 15.7).
В кристаллах расположение атомов регулярно, и поэтому возникает
возможность появления другого эффекта, а именно резко очерченных
областей поглощения, характеризующих определенные структурные груп-
группы. Поглощение этого типа обычно наблюдается в инфракрасной области
спектра.
Остаточные лучи
15.32. Из соображений, изложенных в § 15.7, и из уравнения A5.17) следует,
что большому коэффициенту поглощения соответствует высокий коэффициент отра-
отражения. Наличие этого эффекта было обнаружено Вудом, который показал, что пары
ртути сильно отражают свет с длиной волны 2537 А, соответствующей центру линии
поглощения. Аналогичное явление наблюдалось также в некоторых, сильно погло
щающих красителях, например в фуксине. В кристаллах это явление было детально
исследовано Рубенсом и Никольсом, а затем и другими авторами [15 2]. Типичные
спектр отражения приведен на рис. 15.8. Используемое* вещество обладало очею
высоким коэффициентом отражения для определенных, резко ограниченных областел
спектра. Использование тонких пластинок и пленок этого вещества позволило пока
зать, что в некоторых спектральных областях поглощение и дисперсия связаны с отра
жением в соответствии с теоретическими выводами. В других областях поглощение
настолько велико, что определение дисперсии весьма затруднительно, хотя резонанс
ные частоты удается определить из опытов по отражению. Соотношение между резо
ДИСПЕРСИЯ В МЕТАЛЛАХ
433
0,2
6 7 8
Длина болны, мк
Рис 15 8
наысными частотами и молекулярной структурой будет рассмотрено позже. Селек-
Селективным отражением можно воспользоваться для выделения излучения определенных
частот при помощи установки, показанной на рис. 15.4. Остаточные лучи, получен-
полученные в результате трех или четы-
четырех отражений от одинаковых 1,0
кристаллов, содержат излучение
нескольких строго определенных
частот Излучение одной из этих
частот можно выделить, пропу-
пропуская отраженный пучок через со-
соответствующий фильтр *)
Дисперсия в металлах
15.33. В §§ 15.13-15.17
мы вывели формулы, опреде-
определяющие комплексный пока-
показатель преломления в метал-
металлах как функцию круговой
частоты. При этом мы счита-
считали металл непрерывной сре-
средой с некоторой диэлектри-
диэлектрической проницаемостью 8 и
проводимостью а. Получен-
Полученные формулы согласуются с экспериментальными результатами по измере-
измерению коэффициентов отражения металлов в инфракрасной области спектра,
но не согласуются с измерениями п и % в видимой области. Мы сейчас
попытаемся усовершенствовать теорию на основе представления о металле
как о совокупности атомов, положения которых фиксированы, и электро-
электронов, свободно движущихся между атомами. Это представление было
развито Лорентцем, Друде и другими вскоре после открытия электрона.
Рассмотрим сначала случай статического поля. Пусть в единице объема
находится N атомов и на каждый атом приходится fe свободных электронов.
Можно предположить, что fe равно по порядку величин единице. В отсут-
отсутствие внешнего поля электроны совершают беспорядочное движение.
При приложении внешнего' поля Е каждый свободный электрон приоб-
приобретает ускорение, равное Ее 1т При этом упорядоченное движение накла-
накладывается на хаотическое движение электронов. Скорость упорядоченного
движения электрона возрастает до тех пор, пока он не испытает столкно-
столкновения с каким-либо атомом. При столкновении изменяется скорость
упорядоченного движения в направлении поля, но хаотическое движение
останется прежним. Если время между двумя последовательными столкно-
столкновениями равно 2т, то непосредственно перед столкновением компонента
скорости электрона, обусловленная внешним полем, будет равна 2хЕе1т.
Средняя скорость в промежуток времени между двумя столкновениями
имеет значение xEelm. Ток равен произведению этой скорости на Nfee,
т. е. Nfee2xElm. Таким образом, из теоретических соображений следует,
что ток должен быть пропорционален приложенному электрическому
полю, причем коэффициент пропорциональности между током и напря-
напряженностью поля равен следующей величине:
Nfe^X
A5.81)
*) Подробнее об остаточных лучах см , например, К. Шефер пФ. Матосси,
Инфракрасные спектры, ОНТИ, М — Л., 1935 {Прим. ред.)
28 р. Дитчберн
434 ГЛ. 15. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ И ДИСПЕРСИИ СВЕТА
Постоянная т называется временем релаксации *). Естественно пред-
предположить, что если период падающей электромагнитной волны Т велик
по сравнению с т, то соударения будут вызывать такой же эффект, как
и в статическом поле, и, следовательно, в обоих случаях эффективная
проводимость окажется одинаковой. Поэтому следует ожидать, что соот-
соотношение A5.81) остается справедливым при низких частотах, но должно
изменяться, если Т по порядку величины не превышает т.
15.34. Подойдем теперь к исследованию этого вопроса с другой точки
зрения. Предположим, что металл представляет собой совокупность
электронов, причем некоторые из них удерживаются в положении равно-
равновесия упругими силами, как в диэлектриках, а другие свободны. Приме-
Применим теорию дисперсии, развитую для диэлектриков, к связанным элек-
электронам и учтем свободные электроны, добавив в наши формулы член,
соответствующий электронам с «собственными частотами», равными нулю.
Сделаем еще одно важное предположение, а именно, будем считать **),
что благодаря присутствию свободных электронов локальная напряжен-
напряженность электрического поля в металлах равна Е, а не [Е -*- Dл/3)Р],
как в случае диэлектриков *♦♦). Подставляя Nfe вместо М в уравнение
A5.50), получим, учитывая только свободные электроны,
/2_1=4яЛ^ 1 A582)
В знаменателе отсутствует член Dл;/3) (Ме2/т), так как мы считаем,
что локальная напряженность поля равна Е. Полное уравнение содержит,
кроме того, член, соответствующий связанным электронам, т. е.
,2 , __ AnNe* Г /в . У! f
15.35. Рассмотрим теперь дисперсию при низких частотах и для
этого случая пренебрежем влиянием связанных электронов. Если со мало
по сравнению с уеу то уравнение A5.82) приобретает вид
A584a)
Вместе с тем, если в уравнении A5.32) мы положим 8 = 1 (что соответ-
соответствует пренебрежению влиянием связанных электронов), то
n,2_1=4gL_ A584б)
Эти два уравнения согласуются друг с другом, если
^ A5.85)
или, используя A5.81), если
Ye=4- A5.86)
*) Обычно, так же как и в кинетической теории газов, т называют временем сво-
свободного пробега. (Прим. ред.)
**) Это предположение нельзя считать общепринятым, но его обсуждение выхо-
выходит за рамки настоящей книги.
***) По вопросам электронной теории металлов см., например, книгу Г. Бете,
А. Зоммерфельд, Электронная теория металлов, ОНТИ, М.—Л., 1938.
(Прим. ред.)
ДИСПЕРСИЯ В МЕТАЛЛАХ
435
Для того чтобы понять это соотношение, мы должны иметь в виду, что
в теории дисперсии вводится некоторая константа затухания уе, учиты-
учитывающая диссипацию энергии, причем природа этой диссипации неизве-
неизвестна. В рассуждениях, приведших нас к соотношению A5.81), мы пред-
предполагали, что соотношение между током и напряженностью электрическо-
электрического поля не отличается от этого соотношения в случае статического поля.
Мы знаем, что при таких условиях сопротивление металлов вызывает
появление джоулева тепла. Из уравнений A5.84а) и A5.846) следует,
что если мы придадим уе определенное значение, то диссипация энергии
при низких частотах будет равна оЕ2, т. е. теория дисперсии в предель-
предельном случае низких частот приводит к результатам, которые согласуются
с обычными уравнениями, учитывающими эффект Джоуля. Это значе-
значение Ye определяется соотношением A5.85). В простой электронной теории
проводимости металлов именно соударения электронов с атомами приво-
приводят к превращению электрической энергии в тепловую. Для того чтобы
скорость превращения электрической энергии в тепловую согласовыва-
согласовывалась с результатами опытов, значение т должно определяться соотноше-
соотношением A5.81) и, следовательно, связь между т и уе должна определять-
определяться A5.86).
15.36. В предыдущем параграфе мы применили уравнение дисперсии
A5.82) к случаю очень низких частот и получили соотношение, согласую-
согласующееся для этих частот с опытными данными. Рассмотрим теперь другой
предельный случай и предположим, что для высоких частот можно пре-
пренебречь у«»(=1/т) по сравнению с со. Это предположение означает, что
период падающей волны настолько мал, что между двумя столкновениями
электроны успевают совершить огромное число колебаний. В данном
предельном случае энергия высокочастотного поля не превращается
в тепло. Мы, конечно, не можем ожидать, что такое упрощенное пред-
представление даст совершен-
совершенно правильный результат
при каких бы то ни бы-
было условиях, но вместе
с тем мы получим одно
очень важное предсказа-
предсказание, которое оправдывает-
оправдывается на опыте. Если в A5.82)
мы положим уе = О, то
получим
Воздух
/wwv
Металл
б)
15.37. В соответствии
с последним уравнением
должна существовать неко-
некоторая длина волны, для
которой п'= 0. Для более
коротких длин волн п' дей-
действительно, но меньше еди-
единицы. В этом случае металл
прозрачен, пменьше единицы, и следовательно, при углах падения, больших
некоторого критического угла, имеет место полное внутреннее отражение.
Для длин волн, превышающих длину волны, соответствующую
п — 0, п' оказывается чисто мнимым. Это означает, что в металле
28*
Рис 15.9. Отражение света от поверхности метал-
металла при нормальном падении
а — смещение в некоторый момент времени (сплошная
кривая) и через половину периода (пунктирная кривая)
б — распределение интенсивности
436 ГЛ. 15 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ И ДИСПЕРСИИ СВЕТА
никакие периодические волны распространяться не могут, и следова-
следовательно, начиная с поверхности металла, возмущение экспоненциально
затухает. Излучение полностью отра-
отражается при любом угле падения, в том
числе при нормальном падении (рис.
15.9 сравнить с рис. 14.5). При крити-
критической длине волны, соответствующей
п = О, коэффициент отражения при
нормальном падении скачком меняется
от нуля до единицы. На опыте такой
резкий скачок обнаружить не удава-
удавалось, но для щелочных металлов наблю-
наблюдалось весьма быстрое изменение коэф-
коэффициента отражения (рис. 15.10). В табл.
15.4 приведены эти критические длины
волн, наблюдаемые на опыте и полу-
полученные расчетом по формуле A5.87)
в предположении, что fe = 1. Эти дли-
длины волн находятся на значительном расстоянии от той области спектра,
для которой справедливы уравнения A5.37) и A5.84).
Таблица 15 4
Рис 15 10
Металл
Наблюдаемые зна-
значения ^о» А . .
Рассчитанные зна-
значения ^о» А . .
Cs
4400
3 600
Rb
3 600
3200
к
3150
2 900
Na
2100
2100
Li
2 050
1500
Упражнение
15.7. Рассчитать значения /е, которые соответствуют наблюдаемым на опыте
значениям критической длины волны, приведенным в табл 15 4
[Для Cs 0,68, для Rb 0,79, дгя К 0,85, для Na 1,00, дня Li 0,54 Обратить внима-
внимание на то, что все эти значения близки к единице *) ]
15.38. В § 15.35 мы вывели приближенное выражение для соотно-
соотношения A5.82), справедливое при очень больших длинах волн, а в §§ 15.36
и 15.37 рассмотрели другое приближение, применимое для очень корот-
коротких длин волн. Вернемся теперь опять к основному соотношению A5 82);
заменив уе на 1/т, получим
Разделяя действительные и мнимые части, можем написать
<15-89б>
*) При этом расчете не принималась во внимание поляризация атомных ядер.
Если учесть ее (см [15 10], стр 122), то соответствующие значения будут равны
для Cs 0,85, для Rb 0,94, для К 0,97, для Na 1,1 и для Ы 0,55
ДИСПЕРСИЯ В МЕТАЛЛАХ
437
Упражнения
15.8. Показать, что если Яо — критическая длина волны, определенная в § 15.37,
то уравнения
• Л V О
A5.90а)
2ехЦ
A5.906)
соответствуют приближениям уравнений A5.89). При каких условиях это приближе-
приближение справедливо?
[Приближение справедливо, если можно пренебречь y! ио сравнению с о2. Это
требование менее жестко, чем условие уе = 0, введенное в § 15.36. Таким образом, это
приближение справедливо при умеренно коротких длинах волн.]
15.9. Обозначим через Хх — длину волны, для которой © = 2л/х = 2пуе\ рас-
рассчитать Ят для следующих металлов: а) серебро при 0° С; б) платина при 0° С; в) пла-
платина при 1000° С. Пусть N = 1,475-1022 и 0 = 6,13-10" для Ag; N = 1,667-1022
и а = 0,821-101? для Pt при 0° С; N = 1,534-1022 и а = 0,191-101? для Pt при 1000° С.
Во всех случаях считать fe= 1. or выражено в электростатических единицах.
[а) 49 мк, б) 5,8 мк, в) 1,5 мк.]
15.39. Соотношения A5.89) являются точными соотношениями, учи-
учитывающими вклад свободных электронов в поглощение и дисперсию
в металлах. Они очень хорошо согласуются с экспериментальными резуль-
результатами для ртути в видимой об-
области спектра (рис. 15.11). Для
большинства других металлов
поглощение, рассчитанное по
A5.89), значительно меньше эк-
экспериментально наблюдаемых
значений. Кроме того, измене-
изменение поглощения с температурой
не согласуется с температурным
коэффициентом электропровод-
электропроводности ст. Это указывает на то,
что основное поглощение в ви-
видимой области спектра для та-
таких металлов, как серебро и
медь, определяется связанными
электронами. Было установле-
установлено, что результаты измерений
для большинства металлов хо-
хорошо согласуются с соотноше-
соотношением A5.83), в которое входят четыре члена суммы и член, соответ-
соответствующий свободным электронам. В этом уравнении содержатся три
постоянные для каждого связанного электрона (/s, ш$ и ys) и две для
свободных электронов, т. е. всего 14 постоянных, которые должны быть
подобраны для каждого металла. Поэтому нет ничего удивительного,
что при такой свободе выбора постоянных экспериментальные данные
хорошо согласуются с теорией. Действительная проверка согласия тео-
теории и эксперимента может быть выполнена только в том случае, если
теория может предсказать значения собственных частот и другие постоян-
постоянные для связанных электронов.
15.40. Необходимо также упомянуть еще об одном недостатке теории
свободных электронов. Даже в инфракрасной области, где влиянием
свободных электронов можно пренебречь, возникают определенные
Длина болны, А
Рис. 15.11. Поглощение света в жидкой ртути.
Сплошные кривые рассчитаны из уравнения A5.89);
точки представляют экспериментальные результаты.
438 ГЛ. 15. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ И ДИСПЕРСИИ СВЕТА
трудности. Можно ожидать, что в дальней инфракрасной области спектра
справедливо соотношение A5.84), а при приближении длины волны света
к значению длины свободного пробега электрона Ят = сх необходимо
пользоваться формулой A5.89); для волн короче Хх должно быть справед-
справедливо приближение A5.90).
Качественно экспериментальные результаты удовлетворительно согла-
согласуются с этим предположением, но значения Ят, а следовательно,
и уе(=1/х), полученные из измерений в близкой инфракрасной области,
оказываются меньше предсказанных теорий (см. уравнение A5.85)). Это
расхождение можно объяснить, предположив, что проводимость на поверх-
поверхности металла меньше проводимости внутри металла или что число
свободных электронов на один атом заметно отличается от единицы.
Однако всякое предположение такого типа устраняет трудности в одном
месте и одновременно вызывает их появление в другом. Например, если
мы введем специальное предположение о проводимости поверхностных
слоев, то нарушится согласие между теорией и опытом в вопросах, рас-
рассмотренных в § 15.17. Это затруднение является принципиальным и при-
присущим классической электронной теории. Отмечая успехи последней
в объяснении опытных данных, полученных для далекой инфракрасной
области и для области критических длин волн, мы должны признать,
что классическая электронная теория неприменима для объяснения
всего комплекса вопросов, относящихся к дисперсии в металлах.
15.41. Квантовую теорию дисперсии мы рассмотрим позже, но так как мы не будем
возвращаться к дисперсии в металлах, то укажем теперь на некоторые важные выводы
из этой теории. В квантовой теории предполагается, что металл должен вести себя
как совокупность свободных электронов и атомов, обладающих связанными электро-
электронами. Эта теория принимает в качестве основного уравнения дисперсии уравне-
уравнение A5.83), но допускает возможность существования некоторых специальных типов
поглощения (например, фотоэлектрическое поглощение и внутренние переходы между
зонами Бриллюэна). В квантовой теории эффективное число свободных электронов
не обязательно одинаково при всех частотах. Это дает возможность устранить обсуждав-
обсуждавшиеся выше трудности. В принципе квантовая теория в состоянии определить вели-
величины постоянных fs, y8 и т. д. Однако на практике вычисления очень сложны, хотя
и наблюдается некоторый прогресс в этой области. При использовании квантовой
теории не возникает никаких принципиальных трудностей, но детальное количествен-
количественное сравнение теории и опыта невозможно [15.10].
Связь между дисперсией и молекулярным рассеянием света*)
15.42. Взаимодействия света с веществом можно разделить на два типа:
а) взаимодействия, определяемые средним числом атомов в единице
объема (среднее вычисляется по объему, достаточно большому, чтобы
он содержал много атомов, но вместе с тем настолько малому, чтобы
его линейные размеры были значительно меньше длины волны), и
б) взаимодействия, зависящие от локальных отклонений от среднего.
Отражение, преломление и дисперсия относятся к взаимодействиям
первого типа. Их можно описать при помощи определенных соотношений
*) Чтобы не нарушать целостности книги в этом месте, мы сочли возможным
оставить в ее тексте § 15.42 и следующие параграфы. Однако необходимо заметить,
что его изложение не соответствует современной постановке вопросов. Рекомендуем
для первоначального ознакомления с сущностью молекулярного рассеяния света
обратиться к вступительной статье Г. С. Ландсберга в книге К. Кольрауша,
Спектры комбинационного рассеяния, ИЛ, М., 1952, а для дальнейшего изучения
вопроса — к книгам Л. И. Мандельштама, Полное собрание трудов, т. I,
Изд-во АН СССР, М., 1948, иМ. А. Леонтовича, Статистическая физика, Гос-
техиздат, М.— Л., 1944. (Прим. ред.)
СВЯЗЬ МЕЖДУ ДИСПЕРСИЕЙ И МОЛЕКУЛЯРНЫМ РАССЕЯНИЕМ СВЕТА 439
между векторами Р, Е, D и т. д., которые по определению соответствуют
своим средним значениям. Расчеты, основанные на использовании век-
векторов Р, i?, D, доказывают непрерывность перехода от электромагнитной
теории света к электромагнитной теории статических и медленно меняю-
меняющихся полей. Эти расчеты не могут предсказать рассеяние света, так
как локальные отклонения от среднего исключены из рассмотрения
с самого начала. Теперь мы рассмотрим метод расчета, в котором атомы
считаются рассеивающими центрами, и получим соотношения, опреде-
определяющие количество рассеянного света. После этого, проведя усредне-
усреднение, мы получим основные уравнения, относящиеся к явлениям первого
типа. Существенно отметить, что здесь мы только используем другой мате-
математический метод расчета, а не новые физические предположения. Если
мы применим усреднение с самого начала, то получим уравнения, описы-
описывающие явления типа а), наиболее простым путем, но исключим из рас-
рассмотрения явления второго типа. Сейчас мы начнем с рассмотрения явле-
явлений типа б) до применения усреднения, которое затем даст нам уравне-
уравнения для явлений типа а).
15.43, Пусть параллельный пучок света нормально падает из вакуу-
вакуума на границу некоторой среды (рис. 15.12). Запишем падающую волну
в виде
Ех = А ехр i (at—xz), A5.91)
где (о/х = с. Вектор Е направлен параллельно оси ОХ. Будем считать
среду системой электрических зарядов, которые под действием света
образуют систему излучающих диполей ♦).
Предположим, что волна, описываемая уравне-
уравнением A5.91), продолжает распространяться
в среде, но изменяется в результате появле-
появления сферических волн, излучаемых диполями.
Ограничимся пока рассмотрением прозрачной
изотропной среды, состоящей из изотропных
частиц. Будем считать, что диполи беспорядоч-
беспорядочно распределены в пространстве, но векторы
их электрических моментов параллельны элек-
электрическому вектору поля волны, которая ин-
индуцирует эти диполи. Предположим также, что
амплитуда поля в точке Q пропорциональна Л
и sin % (см. рис. 15.12) и что существует по-
Среда
Вакуум
% ( р ) уу
стоянная разность фаз 6 между фазой падаю-
Падающий
щей волны в точке Р и фазой излученной ди- ст
полем волны.
Эти предположения естественны для вол- Рис. 15 12.
новой теории. Их справедливость в случае элек-
электромагнитных волн доказана в приложении 13Б. Волну, излучаемую
диполем, находящимся в точке Р, можно представить в точке Q со-
соотношением
Е(г, %) = ——sin % ехр i (со* — kz0—кг-— 6), A5.92)
где Р — действительная постоянная, z0— координата данного излучаю-
излучающего диполя, г — расстояние PQ их — угол между ОХ (направлением
оси диполя) и PQ.
*) Свойства таких диполей обсуждались в приложении 13Б, и мы воспользуемся
полученными там результатами.
440 ГЛ 15 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ И ДИСПЕРСИИ СВЕТА
15.44. Рассмотрим теперь свет, рассеянный в некотором направле-
направлении, для которого % не равно нулю или я. Для разреженных газов, в ко-
которых расстояния между молекулами велики по сравнению с длиной
световой волны Я, излучения отдельных молекул можно считать некоге-
некогерентными между собой, так как любые значения фаз рассеянных волн
будут одинаково вероятны Если среднее число диполей в единице объе-
объема равно N, то энергия £0, рассеиваемая в направлении % в единичном
телесном угле для единицы поперечного сечения падающего пучка и на
единице пути, равна следующей величине *):
Здесь N предполагается достаточно малым, чтобы можно было пренебречь
вторичными эффектами рассеяния (т е рассеянием на одном атоме излу-
излучения, испускаемого другим атомом). Энергия, рассеянная единицей
объема газа во всех направлениях (см приложение 13Б), равна
*:=*LpW A5 94)
о
на единицу плотности энергии в падающей волне, к называется коэффи-
коэффициентом рассеяния.
Соотношение между кип
15.45* Рассмотрим теперь возмущение в некоторой точке Q', располо-
расположенной на пути падающего пучка, которое создается волнами, рассеян-
рассеянными слоем, расположенным между z и z + Az
I внутри среды, но вблизи от ее поверхности
(рис 15 13) Предположим, что Az мало по
сравнению с X, но что в объеме (AzK содер-
содержится большое число диполей. Тогда мы
можем применить к волнам, излучаемым ди-
mmZ полями, метод расчета, аналогичный мето-
ду Гюйгенса, которым мы пользовались
в §§ 7 1—7 6 для построения волнового фрон-
фронта Разделив фронт волны на зоны, получим,
^иии что действие всех диполей равно половине
Вакуум действия диполей, расположенных в первой
зоне, площадью л (zf— z0) Я; следовательно,
эта зона содержит л (z'— zo)XNAz диполей
В соответствии с выводами § 7 3 мы должны
умножить эту величину на 1/я и ввести
Рис is 13 разность фаз я/2 межд> излучением первой
зоны и падающей волной Кроме того, по-
положим z'— *о= г. так как мы рассматриваем направление, совпадающее
с направлением падающей волны Тогда из A5 92) получим
(t — Kz'-~6-™ я) A5 95)
I
Если думало, то в точке Q эта волна отстает по фазе на я/2 от падающей
волны (описываемой уравнением A5 91)). Если интенсивность рассеянной
♦) Обоснование этого пункта вывода составляет важный этап теории рассеяния
света оптически неоднородной средой Постановка вопроса, указания на неточность
первоначального решения Рэлея и строгое решение задачи принадлежат Л. и Ман-
Мандельштаму, М Смолуховскому и А Эйнштейну (Прим ред)
СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ k и п
441
волны мала по сравнению с интенсивностью падающей, то результирую-
результирующая волна отстает по фазе от падающей на угол (JJtiVAz. Но мы знаем,
что слой толщиной Az и с показателем преломления п должен вызывать
отставание по фазе, равное % (п — 1) Az, и, следовательно,
2я (п — 1) = pA/W, A5.96)
или, используя A5.94),
A5.97)
ln 1) •
Упражнения
15.10. Рассчитать значения к (для Л==5000 А) для воздуха при нормальных дав-
давлении и температуре и для гелия при 100 атм, приняв, что при нормальных условиях
(п—1) для воздуха равно 2,93» 10~4, а для гелия 3,6- 10"~б и что при нормальных
условиях число молекул в 1 см* равно 2,7-10*9. Какова размерность А;?
[Для воздуха А: = 1,7-10—7; для гелия к = 2,5-10~9; [к] = Ir*l.]
15.11. Показать, что при заданной плотности количество света, рассеянного
объемом газа, пропорционально величине этого объема.
15*46. Соотношение A5.97) было получено Рэлеем, который пока-
показал, что оно может быть выведено и на основе электромагнитной теории
Рис. 15.14.
света и на основе упругой теории. Он установил также, что яркость
голубого неба совпадает по порядку величины с той, которую следовало
бы ожидать, если бы она обусловливалась молекулярным рассеянием
света атмосферой. При этом нет необходимости принимать в расчет рас-
рассеяние на частичках пыли. Множитель Я в соотношении A5.97) ответ-
ответствен за голубой цвет неба. Указанное соотношение было также прове-
проверено для газов в лабораторных условиях. Применяемое устройство изобра-
изображено на рис. 15.14. Параллельный пучок света проходит через трубку Т.
На пути пучка помещено несколько диафрагм (причем каждая после-
последующая несколько больше предыдущей) для того, чтобы свет, отраженный
442 ГЛ. 15. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ И ДИСПЕРСИИ СВЕТА
от краев трубки, не попадал на окошко W. Для этой же цели сделаны
загнутые отростки Hi п Н2- Попадающий в них свет испытывает много-
многократные отражения и поглощается внутри отростка. При использовании
такого устройства получается темный фон, на котором наблюдается рас-
рассеянный свет. Эти предосторожности, а также тщательная очистка газа
от пыли совершенно необходимы, так как рассеяние чистыми газами
очень мало (см. упражнение 15.10). Отметим, что поскольку N и (п — 1)
в A5.97) пропорциональны плотности газа, то к также должно быть про-
пропорционально ей.
Поляризацию рассеянного света можно измерять, пропуская его
через двоякопреломляющую призму Р и определяя относительную
интенсивность двух пучков, соответствующих разной поляризации. На-
Наблюдения такого типа были выполнены Рэлеем (младшим), Кабанном,
Раманом и др. *). Было установлено, что свет, рассеянный инертными
газами, поляризован по крайней мере на 99,5%, но при рассеянии дру-
другими газами степень поляризации оказывается значительно меньшей
(96% для N2 и 90% для СО2). Этот результат можно объяснить, если пред-
предположить, что молекулы обладают анизотропной поляризуемостью
[15.2] **).
15.47. Результаты, полученные в приложении 13Б, позволяют рас-
рассчитать постоянную к в уравнении A5.97). Подставляя ее значение
из A3.95), получим
m of — со2 '
что согласуется с A5.63). Таким образом, метод расчета, который был
использован в § 15.42, приводит к основному уравнению теории дис-
дисперсии.
Упражнение
15.12. Если атомы среды расположены достаточно близко друг к другу, то волны,
рассеянные различными атомами в направлении, противоположном падающей волне,
будут когерентны между собой. Используя A5.95), рассчитать количество света, отра-
отраженного плоскоиараллельным слоем толщиной t, и показать, что найденные резуль-
результаты согласуются с формулами Френеля (см. § 14.7).
[Волна, рассеянная слоем толщиной Az в обратном направлении, будет такой же,
как и в прямом направлении. Интегрируя по z от О до t, получим, что амплитуда
обратной волны равна нулю, если 2t = пК (этого следовало ожидать вследствие изме-
изменения фазы на поверхности) и имеет максимальное значение (п — 1) А, которое согла-
согласуется с уравнением A4.39); напомним, что (п — 1) мало, и следовательно, (п + 1)
приблизительно равно 2. Кроме того, следует помнить, что отражения от обеих
поверхностей одинаковы.]
Другие типы рассеяния
15.48. В приведенное выше рассмотрение не включены два типа рассеяния, обу-
обусловленные атомами и молекулами. Речь идет о резонансном излучении газа и о ком-
комбинационном рассеянии. Резонансное излучение, которое будет подробно описано
ниже (см. § 17.14), при обычных условиях некогерентно по отношению к падающей
волне (см. § 19.13). При комбинационном рассеянии рассеянный свет имеет другую
длину волны, чем падающий свет *♦♦). Поэтому эти две волны некогерентны между
*) В книге Б о р н а, Оптика [15.2] приведены таблица результатов различных
авторов и ссылки на оригинальные работы.
**) См. также М. В. Волькенштейн, Молекулярная оптика, Гостех-
издат, М., 1951. (Прим. ред.)
***) Комбинационное рассеяние света впервые наблюдалось Г. С. Ландсбергом
и Л. И. Мандельштамом. Открытие комбинационного рассеяния света привело к созда-
созданию целой новой области молекулярной спектроскопии. См. Г. С. Ландсберг,
Избранные труды, Изд-во АН СССР, М., 1959. (Прим. ред.)
ПРИЛОЖЕНИЕ 15А
443
собой, хотя возможно, что излучение, рассеянное одним атомом, когерентно с излуче-
излучением, рассеянным другим.
Кроме рассеяния на атомах и молекулах существует рассеяние на больших части-
частицах. Рассеяние этого типа называется эффектом Тиндалля. Дж. Дж. Томсон показал
(сначала в связи с рассеянием рентгеновских лучей), что, если размеры рассеивающих
частиц велики по сравнению с длиной волны, то рассеяние не зависит от X. К более
детальной теории приходится прибегать при исследовании рассеяния на частицах
с диаметром, сравнимым с длиной волны. В общем случае было показано, что для дан-
данного сорта частиц зависимость рассеяния от длины волны описывается кривой, общий
вид которой представлен на рис. 15.15; при ^« г кривая имеет горизонтальный уча-
участок, при г ^ X наблюдается максимум и при X 2> г — уменьшение рассеяния, про-
пропорциональное Я". Теория рассеяния света частицами, размеры которых приблизи-
приблизительно равны или превосходят длину
волны, существенна при рассмотре-
рассмотрении вопросов о распространении света
в атмосферной дымке и в коллоидных
растворах. Среды, обнаруживающие
сильное рассеяние этого типа, назы-
называют мутными. Мутность фотографи-
фотографических эмульсий является важным
фактором, определяющим качество
фотографических изображений. Прак-
Практический расчет прохождения излу-
излучения через мутные среды очень сло-
сложен в тех случаях, когда надо при-
принимать во внимание многократное
рассеяние. Размер частиц, образую-
образующих атмосферную дымку, приблизи-
приблизительно того же порядка, что и дли-
длины волн света. Инфракрасное излу-
излучение проходит через дымку лучше,
чем видимый свет, и поэтому при до-
днергия
рассеянного
сбета
Рис. 15.15. Зависимость энергии рассеянно-
рассеянного света от длины волны для частиц ра-
радиуса г.
Кривая дает качественное представление о явле-
явлении рассеяния, но не выражает свойства какого-
либо конкретного вещества.
вольно ясной атмосфере (при видимо-
видимости 8—16 км) качество фотографий удаленных объектов в инфракрасных лучах значи-
значительно выше, чем в видимом свете. Густой туман состоит из частиц, размеры которых
значительно превосходят длину волны близкого инфракрасного излучения, и в этом
случае рассеяние инфракрасного и видимого излучений приблизительно одинаково.
Пропускание инфракрасного излучения густым туманом не намного превосходит
пропускание видимого света *).
Литература
15.1. Muller-Pouillets, Lehrbuch der Physik, II, Optik, Vieweg.
15.2. Боря М., Оптика, ОНТИУ, 1937.
15.3. Handbuch der Physik, 1928, т. XX, Springer.
15.4. Drude, Wied. Ann. 39, 481 A890).
15.5. Hagen, Rubens, Ann. der Phys. 11, 873 A903).
15.6. Sutherland, Infra-red and Roman Spectra, Methuen.
15.7. Иос Г., Курс теоретической физики, Учпедгиз, М., 1963.
15.8. Denbigh, Trans Faraday Soc. 36, 936 A940).
15.9. К о г 11, В г е i t, Rev. Mod. Phys. 4, 482 A932).
15.10. M о 11, J о n e s, The Theory of the Properties of Metals and Alloys, Oxford
Univ. Press, 1936.
15.11. Darwin, Trans Cambr. Phil. Soc. 23, 137.
ПРИЛОЖЕНИЕ 15А
ПРЕЛОМЛЕННАЯ ВОЛНА В ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЕ
Пусть Р1Р2Р3 — плоская волна, падающая из вакуума на плоскую границу
поглощающей среды. Обозначим через Э4 угол падения и, как и прежде, будем считать
плоскость падения плоскостью XZ, а плоскость раздела — плоскостью XY (рпс. 15.16).
Пусть Ъ — фазовая скорость в рассматриваемой нами среде. Фронт преломленной
*) См. подробнее, например, К. С. Ш и ф р и н, Рассеяние света в мутной среде,
Гостехиздат, М.— Л., 1951. (Прим. ред.)
444 ГЛ. 15. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ И ДИСПЕРСИИ СВЕТА
волны QiQ2Qz можно определить по методу Гюйгенса. Угол преломления 92 опреде-
определяется соотношением
sin91 = c
sin е2 Ъ
A5 98)
Этот угол действительный и, следовательно, п" — тоже действительное число. Позже
мы увидим, что оно не равно действительной части п комплексного показателя пре-
преломления. Поверхность QiQ2Qz представляет собой поверхность постоянной фазы.
Ранее при рассмотрении боль-
большинства вопросов поверхность
одинаковой фазы одновременно
считалась поверхностью одина-
одинаковой амплитуды, но в данном
случае это не так. В точке <?3
волна только вошла в среду и
еще не испытала поглощения.
Волна, которая достигла точки
<?!, прошла значительное рас-
расстояние в поглощающей среде,
и следовательно, ее амплитуда
уменьшилась. Мы примем в ка-
качестве рабочей гипотезы, что
ослабление волны в различных
точках определяется расстоя-
расстоянием (измеряемым вдоль лу-
лучей), проходимым волной в по-
поглощающей среде. Отсюда сле-
следует, что поверхности постоян-
постоянной амплитуды расположены
параллельно границе среды,
т. е. что амплитуда волны в
%' — коэффициент экстинкции.
Мы знаем, что %' связано с %, но не можем положить его равным %, так как волна
не падает нормально на границу раздела *). Таким образом, можно записать
Рис 15.16.
любой точке пропорциональна ехр (—n"%'z), где
o 11— — (ж sin 92—z cos 92) —J- .
Это выражение должно удовлетворять волновому уравнению A5.11), т. е.
и sin* 92+ п (cos 92—1Х'J=и/2
Приравнивая действительные и мнимые части, получим
A5 99)
A5.100)
A5.101)
A5.102)
Уравнения A5.98), A5.101) и A5.102) следует считать совместными уравнениями,
из которых можно определить и", %' и 92, если известны пж%.В этом случае уравнение
типа A5.99) должно удовлетворять нашему волновому уравнению. Поскольку, кроме
того, удовлетворяется уравнение A5.98), то граничные условия также удовлетворены.
Из уравнений A5.98), A5.101) и A5.102) следует, что п" зависит от 91? т. е. закон пре-
преломления не выполняется. В поглощающей среде фазовая скорость зависит от угла
между поверхностью постоянной фазы и поверхностью постоянной амплитуды. Следо-
Следовательно, фазовая скорость зависит от направления распространения даже в изотроп^
ной среде. В принципе можно измерить 92, а значит и п", при помощи металлической
призмы с малым преломляющим углом. ^Однако этот метод очень неточен, так как
измеряемый угол весьма мал.
*) См. определение X в § 15.5. Обратить внимание, что последний член в A5.99)
отрицателен, так как волна распространяется в отрицательном направлении оси Z.
ГЛАВА 16
ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
Оптическая и электрическая анизотропия
16.1. В гл. 12 было показано, что основные свойства поляризован-
поляризованного света, в том числе целый ряд явлений, связанных с его распростране-
распространением в кристаллах, могут быть описаны на основе общей теории попереч-
поперечных волн. Так как электромагнитная теория света является теориец
поперечных волн, то мы сможем, с небольшими изменениями, использо-
использовать результаты, полученные в гл. 12. Сейчас мы перейдем к более
детальному рассмотрению вопросов о распространении света в анизотроп-
анизотропных средах и покажем, что электромагнитная теория в состоянии объяс-
объяснить более широкий круг наблюдаемых явлений. Мы применим уравне-
уравнения Максвелла к среде, которую будем считать электрически анизотроп-
анизотропной, и, следовательно, получим уравнения, описывающие оптическую
анизотропию. Мы увидим, что электромагнитная теория света дает
детальное описание наблюдаемых на опыте явлений, связанных с есте-
естественной оптической анизотропией. Кроме того, она позволяет рассмотреть
вопросы искусственной анизотропии, т. е. анизотропии среды, возни-
возникающей под действием электрических и магнитных полей и при механи-
механических напряжениях. Наконец, эта теория может связать электрическую,
а следовательно и оптическую, анизотропию с молекулярным строением
вещества, т. е. с расположением атомов и молекул в кристаллической
решетке, а иногда и с анизотропными свойствами самих молекул.
16.2. При рассмотрении изотропных сред мы считали, что вектор ин-
индукции D связан с вектором Е соотношением D = гЕ, где е — скаляр-
скалярная величина и, следовательно, D и Е имеют одинаковое направление.
Было обнаружено, что в общем случае направления векторов D и Е в оп-
оптически анизотропных средах не совпадают друг с другом. Соотношение
между D и Е можно записать следующим образом:
Dx = гххЕх + гхуЕу - exzEz,
|
Dy = гухЕх -UfiyyEy + гугЕг, A6.1)
Dz = г2ХЕх л. ezyEy + bzzEz. )
Эти три соотношения можно представить в виде одйого:
О = гЕ, A6.2)
причем здесь 8 — математическая величина, называемая тензором. Ум-
Умножение вектора на тензор изменяет как направление вектора, так и его
величину. Тензор 8 имеет девять компонент*). Из уравнений A6.1)
*) Тензор 8 представляется матрицей 8 =
матрицу вектора Е дает вектор индукции D. (Прим. ред.)
Умножение на эту
446 ГЛ. 16. ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
следует, что соотношение между DnEостается линейным, и следовательно,
должен оставаться справедливым принцип суперпозиции. Так же, как
и в случае изотропных сред, мы будем считать, что магнитная проницае-
проницаемость вещества при оптических частотах равна единице, и следовательно,
магнитная анизотропия, наблюдаемая в случае статических полей, не
дает никакого вклада в оптическую анизотропию. Мы должны также
предположить, что значения гхх и т. д. зависят от частоты, и поэтому для
количественного сопоставления оптической анизотропии с анизотропией,
измеренной в статических или медленно меняющихся полях, необходимо
пользоваться полной теорией дисперсии. В общем случае зависимость
гхх и т. д. от частоты имеет такой вид, что отношения гхх/гуу и т. д.,
а следовательно, и отношения показателей преломления сами являются
функциями частоты. Таким образом, не только величина двойного луче-
лучепреломления, но и направления оптических осей в общем случае зависят
от частоты. Мы вначале пренебрежем влиянием дисперсии и будем рас-
рассматривать такую область частот, для которой можно считать 8** и т. д.
независящими от частоты.
16.3. Как показано в общем виде из термодинамических соображе-
соображений в [16.101, тензор е симметричен, т. е.
&ху== &ух-> &yz — bzyi &xz== &zx* (lu.o)
При этом остаются справедливыми для анизотропных сред определения
A3.34) и A3.37) для плотности энергии электромагнитного поля и для
потока энергии. Мы запишем для плотности энергии
^^-H\ A6.4)
или
W = lk 2 ЕхгхуЕу + ±-1Р. A6.5)
я, у, z
Симметричный тензор имеет шесть независимых компонент. Таким обра-
образом, электрическая энергия поля волны определяется следующим соот-
соотношением:
8nV = Е • D = гххЕ\ -l zyyE\ -l гггЕ\ - 2гхуЕхЕу +
- 2еугЕуЕг + 2szxEzEx. A6.6)
16.4. Соотношение A6.6) позволяет осуществить простую геометри-
геометрическую интерпретацию тензорных свойств диэлектрической проницае-
проницаемости е в кристаллах. Именно, если в соотношении A6.6) положить
х = ЕХ1 у = Еу ж z = Ez, то получим~уравнение поверхности эллипсои-
эллипсоида, описывающей свойства симметричного тензора диэлектрической про-
проницаемости е [16.1]. Если оси координат ориентированы по главным
осям этого эллипсоида, то члены, содержащие гху, гу2 и ezx, исчезают,
т. е. в матрице, приведенной в примечании к стр. 445, остаются только
диагональные члены и уравнение A6.6) принимает вид
^ ^^. A6.7)
ех гу 8z
В A6.7) мы заменили 8^ на ех и т. д., так как в этом случае при е доста-
достаточно одного индекса. Необходимо подчеркнуть, что гх, еуп sz не являются
компонентами вектора.
ЛУЧ В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
447
Как видно из A6.7), величины ех, гу, ez теперь пропорцпонатьны
обратным величинам квадратов соответствующих осей эллипсоида Мы
будем называть величины ех, гу, гг главными значениями диэлектрической
проницаемости кристалла. Ориентация осей эллипсоида е по отношению
к кристаллографическим осям симметрии кристаллической решетки
может быть различной; в некоторых случаях эти оси совпадают. На
рис. 16.1 приведено два примера расположения осей эллипсоида 8 по
отношению к кристаллу. Подробнее этот вопрос обсуждается в § 16.45.
В дальнейшем в этой главе мы всегда будем считать, что главные
оси эллипсоида индексов служат осями координат, кроме тех случаев,
J>\
*)
*Ось
второго
порядка
Рис 16 1 Расположение осей эллипсоида диэлектрической про-
проницаемости
а — оргоромбический кристалл, б — моноклинный кристалл В первом
случае оси эллипсоида параллельны кристаллографическим осям, во вто-
втором — одна из осей параллельна оси симметрии второго порядка
когда специально отмечено, что оси координат выбраны каким-либо дру-
другим образом *). Так как рассматриваемая нами среда однородна, то лю-
любую ее точку можно выбрать за начало координат. Как было показано
в § 12.7, кристаллографические оси определяют только некоторые, выде-
выделенные в кристалле направления, и поэтому любую линию, параллельную
этому направлению, также можно считать соответствующей осью
Рассмотрение вопроса о тензорных свойствах е в кристаллах позво-
позволяет нам сейчас же сделать некоторые замечания о возможных значениях
скорости света по разным направлениям в кристалле. Здесь мы ограни-
ограничимся лишь введением так называемых главных скоростей света Ьх =
= с/Угх, by = с/у гу, bz = c/y~ez и соответствующих им главных показа-
показателей преломления пх = |/"еж = с/Ьх, пу = |/е^ = с/Ъу, nz = Vez = c/bz.
Смысл этих обозначений будет подробно рассмотрен в § 16.6. Здесь
только предостережем от возможного неправильного истолкования
этих обозначений. Именно, Ъх, Ъу, Ьъ отнюдь не являются компонентами
вектора скорости света по произвольному направлению в кристалле
или скоростями света вдоль координатных осей х, у, z.
Луч в анизотропной среде
16.5. Если мы будем называть лучом света направление распростра-
распространения энергии световой волны (§ 6.54), то оно определяется векнор^ч
Пойптинга G A3.35), как и в случае изотропной среды. Так как мы
*) Упомянутый выше эллипсоид с полуосями, равными 1/Увх = 1 лг»п т д ,
называют иногда поверхностью индексов (т. е. показателей преломления)
448 ГЛ. 16. ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
рассматриваем однородные среды, лучи должны быть прямыми линиями,
если выполняются условия, при которых справедливы законы лучевой
оптики. По определению вектор G перпендикулярен векторам Е и Н,
и следовательно, эти вектрры перпендикулярны лучу.
Так как в общем случае направления векторов Е и D не совпадают,
то направление луча может не быть перпендикулярным D. В гл. 6 было
показано, что луч можно рассматривать как линию, соединяющую центры
последовательных построений зон Френеля, или как путь света, опреде-
определяемый принципом Ферма. Можно показать, что даже в случае анизо-
анизотропных сред луч, заданный при помощи соотношения A3.35), удовле-
удовлетворяет обоим этим определениям:. Позже мы увидим, что в общем слу-
случае лучевая скорость не равна скорости распространения волны (т. е.
фазовой скорости) ни по величине, ни по направлению.
Обозначим через s единичный вектор, совпадающий по направлению
с нормалью к волне, через q — единичный вектор в направлении луча,
а через а — угол между волновой нормалью и лучом. Через d, e и Л обо-
обозначим единичные векторы, имеющие направления векторов D, Е и Н
соответственно. Компоненты векторов d, e и Л обозначим соответственно
U>Xi dyi (*Zi £#» &yi &z\ ^Х* "*УУ ^Z'
Распространение плоских волн
16.6. Теперь приступим к выводу выражения для скорости распро-
распространения плоской волны (т. е. фазовой скорости) в произвольном на-
направлении ^ в анизотропной среде. Будем предполагать, что справедливы
уравнения Максвелла A3.11) — A3.14). Тогда мы можем написать
crotJEJ=—JT A6.8)
и
с rot jff = 2>, A6.9)
div2> = diVjff = 0, A6.10)
но div Е в анизотропной среде не равна нулю. Используя A6.2), получим
с2 rot (rot E) = — гЁ,
или
A6.11а)
Второй член в левой части этого уравнения не равен нулю, как в случае
изотропных сред, и мы будем решать уравнение A6.11а) следующим
образом. Одну компоненту уравнения A6.11а) можно записать в виде
_ .№*_ д ( 0Ех Жу dEz\_ вх
"Г dz2 dxrrj
Испытаем в качестве решения этого уравнения плоскую волну
D = ad exp iaft — -^Л = ad exp г<р, A6.12а)
где а — амплитуда волны, г — радиус-вектор, проведенный из начала
координат в точку (х, у, z), и Ъ — модуль фазовой скорости, направле-
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН 449
ние которой совпадает с направлением волновой нормали s. В декартовых
координатах получим
(SX+Sf+SZ^ A6.126)
и два аналогичных соотношения для осей у и z. Подставляя Dx/sx вместо
Ех н т. д. в A6.116), получим
sxDx syDy $zDz n D
+ + J A613)
й два аналогичных уравнения для других направлений.
Воспользуемся следующими обозначениями:
— =Ы, — = Ц, — = Ы; A6.14)
и
х
bXJ by n bz называются главными фазовыми скоростями волны. Обратить
внимание на то, что эти скорости—константы данного кристалла
и не равны компонентам фазовой скорости волны. Смысл величин глав-
главных скоростей короче всего можно пояснить с помощью рис. 16.2. Как
видно из этого рисунка, например, Ьх есть скорость волны, распростра-
распространяющейся перпендикулярно оси х по осям у или z, причем ее вектор Х>
направлен по оси х. Ясно, что в обоих случаях скорость волны опреде-
определяется именно диэлектрической проницаемостью гх.
Умножая A6.13) на Ъ2с2 и упрощая, получим
Dx= ^-P2. A6.16а)
О ~~ их
Аналогично можно получить
Dy= ^-тР2 A6.166)
и
Dz= ^-2-^2. A6.16в)
Из A6.12а) следует, что
divD= — -у- (sxDx + syDy + szDz)= —-^(s-D). A6.17)
Так как div D равна нулю, то
_^ + _^ + _1_==0. A6.18)
Таким образом, плоская волна, описываемая соотношениями A6.12),
является решением уравнений Максвелла, а величина фазовой скорости
этой волны, распространяющейся в направлении s, определяется соотно-
соотношением A6.18).
Весьма важное в кристаллооптике уравнение A6.18) известно под
названием уравнения Френеля. Уравнение A6.18) является квадратным
29 р. Дитчберн
450
ГЛ. 16. ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
уравнением относительно Ь2, что легко увидеть, умножая его на произ-
произведение знаменателей всех членов. Таким образом, каждому направле-
направлению волновой нормали s соответствуют две фазовые скорости Ъ. (Два
значения ± й, соответствующие одному значению Ь2, принимаются за
одно значение, потому что, как легко понять, отрицательное значение
b соответствует просто распространению волны в направлении — s*)
Как будет показано ниже (см. § 16.8) каждое из двух возможных зна-
значений фазовой скорости соответствует одной из двух линейно поляризо-
поляризованных плоских волн, кото-
У рые могут распространяться
по данному направлению s.
Волны эти поляризованы пер-
перпендикулярно друг другу.
Для некоторого определенного
направления волновой норма-
нормали существует только одно
решение A6.18), что соответ-
соответствует только одному значе-
значению фазовой скорости (см. уп-
упражнение 16.4). Это направ-
^ ление называется оптической
*" осью кристалла*). Таких на-
направлений в кристалле может
быть два (двуосный кристалл)
или одно (одноосный кри-
кристалл).
Уравнение A6.18) помо-
помогает, в частности, еще раз
выяснить смысл величин ЬХУ
byi bz — так называемых глав-
главных скоростей света в кри-
кристалле. Приводя все члены
уравнения к общему знаменателю и полагая, поочередно, что волновая
нормаль параллельна осям координат (главным диэлектрическим осям)
х, у или z, мы можем легко подтвердить те утверждения, которые были
высказаны относительно величин bx, by, bz. Обсуждение одного из этих
случаев составляет содержание упражнения 16.1.
\ Д
V V
Рис. 16.2.
Упражнения
16.1. Чему равны возможные значения фазовых скоростей, если нормаль к фронту
волны параллельна оси OZ?
[Ьх и Ъу ]
*) Направление в кристалле, по которому световые волны, независимо от их
состояний поляризации, распространяются с одинаковой скоростью, называется
также осью единственной фазовой скорости, а иногда — оптической осью второго
рода. О термине оптическая ось первого рода см. стр. 456.
Вообще, к сожалению, в вопросе о названиях оптических осей нет единой тер-
терминологии и существуют книги, в которых оси единственной фазовой скорости называют
оптическими осями первого рода, а оптические оси единственной лучевой скорости —
осями второго рода. Наконец, иногда пользуются терминами оси нормалей (волновых)
и оси лучей. В большинстве руководств под термином оптическая ось, употребленным
без дальнейших пояснений, понимают оси единственных фазовых скоростей (оси
волновых нормалей). (Прим. ред.)
УГЛОВЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ 2>, Et JJ, а и р 451
16.2. Найти выражения для dxi dy, dzi т. е. определить направление D при
заданном направлении волновой нормали s.
[dx= Sj4fQ2 и т. 0., где Q* = I>b%sxdx 1 A6 19)
L Ь2 — bx J
16.3. Пусть
n = c/b; пх=с/Ьх-=е]B и т. д. A6 20)
Найти уравнение, связывающее п с sXi пх и т. д.
X
16.4. Пусть оси координат выбраны так, что
A6 21а
и следовательно,
Ъх>Ъу>Ъг\ A6 216)
показать, что при
ь2 ъ2 -\
с2 =_
°Х —Т2 72 •
z— I2 к2
bx— bz
A6 22)
для данного направления s существует только одно значение фазовой
скорости.
Указание. Считая A6.18) квадратным уравнением относительно Ь2, пока-
показать, что если условие A6.22) соблюдается, то дискриминант A6.18) равен нулю. Это
и есть условие совпадения значений обоих корней квадратного уравнения.
Угловые соотношения между D, _EJ, H^ s и q
16.7. Для плоской волны в изотропной среде фазы векторов D, 22
и Н имеют одно и то же значение в любой плоскости, перпендикулярной
волновой нормали. Из уравнений Максвелла, примененных к плоской
волне в анизотропной среде, следует, что векторы Е и Н определяются
выражениями, содержащими тот же фазовый множитель ег(Р, что и D
(см. A6.12а)) [16.3, 16.10]. Мы покажем, что, исходя из этого положения,
можно сделать определенный вывод об угловых соотношениях между
векторами Е, Н, JD, s и q.
Применение оператора dldt к выражениям для Е, Н и D эквива-
эквивалентно умножению их на ш, а применение операторов вида д/дх и т. д.
соответствует умножению на— -^— sx и т. д. Таким образом, получим
A6.23)
и
, _j l(O -g-j /А (К О/\
ГОГ» Лб = —г— Jjj /*\ ^, A0.^-4)
divjB= —^-(E'S). A6.25)
Аналогичные соотношения могут быть получены для rot H и т. д. *).
*) Соотношение A6.24) можно доказать, записав его компоненты в декартовых
координатах.
29*
452
ГЛ. 16. ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
Используя A6.8) и A6.9), получим
n{Exs)=—H A6.26)
и
й(Яхв) = Д A6.27)
где п — скаляр, величина которого определяется соотношением A6.20).
Таким образом, И перпендикулярен плоскости, в которой лежат
векторы Е и 8, а также вектору 2>. Вектор q по определению перпендику-
перпендикулярен Е и Н. Следовательно, векторы Е, X), 8 и q лежат в одной плоскости,
Рис. 16.3.
Рис. 16.4.
а вектор Н перпендикулярен этой плоскости. Кроме того, поскольку век-
вектор D перпендикулярен s, а вектор Е перпендикулярен q, угол между
i> и 2? равен а (углу между 8 и q). Эти угловые соотношения изображены
на рис. 16.3 и 16.4 *).
Отметим, что вектор Е имеет одно и то же значение во всех точках
плоскости, перпендикулярной 8, хотя в общем случае анизотропной среды
сам вектор Е и не лежит в этой плоскости.
Два возможных направления D для определенного направления
волновой нормали взаимно перпендикулярны
16.8. Пусть Ъ' и Ь" — два решения уравнения A6.18), соответствующие задан-
заданному направлению волновой нормали s. Тогда, подставив последовательно эти значе-
значения в A6.19), мы получим два значения df и d"\ характеризующих два направления
вектора D. Имеем
_ Q4 V
:_й)-F-'а_&'2) 2л
**
x,y,z
*) Не показанный на рис. 16.3 вектор Н перпендикулярен плоскости чертежа
ж направлен вперед, на читателя.
СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ, ИЛИ ЛУЧЕВАЯ СКОРОСТЬ 453
в силу того, что Ь' и Ь" удовлетворяют соотношению A6 18). Таким образом, два воз-
возможных направления вектора D взаимно перпендикулярны (рис 16 5, а).
У: Нормаль /
Луч
fНормаль 2
а) б)
Рис 16 5 Возможные расположения векторов s q, D и Е.
а — дВа возможных направления векторов Q, D и Ж при данном направлении волновой
нормали «, векторы Q', 2>' и Е' лежат в одной плоскости, векторы Q", X)" и Е— в дру-
другой плоскости, перпендикулярной первой, линия пересечения плоскостей совпадает с векто-
вектором «, б — два возможных направления векторов s, E и •*>, соответствующие определенному на-
направлению луча Q, векторы «', Е' и !>' и векторы s", Е" и 2>" лежат во взаимно перпен-
перпендикулярных плоскостях, пересекающихся по Q
Упражнения
16.5. Показать, что для каждого заданного направления D существует только
одно возможное значение фазовой скорости.
[Из уравнений A6 18) и A6 19) следует, что Zj (Ь2—Ьх) <$=0 и, следовательно,
x,y,z
так как d — единичный вектор.]
16.6. Показать, что
bxdx,
x,v,z
A6 28)
A6 29)
Указание. Обозначение Q введено в выражение A6 19) Используя A6.16),
вычислить сумму квадратов компонент единичного вектора d
16.7. Найти выражение для dx/ex (Обозначения см. в § 16 5 )
[Dx = £>• dx, где D — модуль D Таким образом, dx/ex = (E/D) гх ]
16.8. Показать, что компоненты е равны следующим величинам:
М2 и т д ,
где
М-4=
'bxsx у
Ь2_Й ) '
A6 30)
A6 31)
Указание Используя A6 16), определить компоненты вектора напряжен-
напряженности поля Е Компоненты вектора е пропорциональны компонентам Е, а их сумма
равна единице
Скорость распространения энергии, или лучевая скорость
16.9. Пусть фаза волны в момент времени t = 0 равна ф в плоско
сти АВ (рис. 16.4 и 16.6) и имеет то же значение в плоскости А 'В' в более
поздний момент времени t. Тогда кратчайшее расстояние между этими
плоскостями АА' по волновой нормали будет равно Ы. Рассмотрим теперь
454
ГЛ. 16 ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
область пространства, ограниченную цилиндром лучей, из которых лучи
ММ' и NN' лежат в плоскости чертежа. Пусть площадь поперечного
сечения пучка плоскостями АВ и А'В' равна S. Предположим, что
в какой-то момент времени имело место небольшое изменение ампли-
амплитуды волны, которое вызвало появление на волне некоторой «метки».
Эта «метка» пройдет основание цилиндра в момент времени t = О, а его
крышку — в момент времени tt. В течение этого промежутка времени
через основание цилиндра должно войти количество энергии, равное
SGt cos а, и такое же ее количество должно выйти через его крышку *).
Вместе с тем энергия, заключенная в выделенном отрезке цилиндра,
j в любой момент времени равна WSbt. Оче-
М1 / N' д' видно, что поток энергии через основание
(или крышку) цилиндра за время t должен
как раз равняться энергии в объеме ци-
цилиндра. На основании этого можно записать
SGt cos a = WSbt,
Л М/ff N В
Таким образом, количество энергии, вошедшей и покинувшей рассматри-
рассматриваемый цилиндр, будет таким же, как если бы вся энергия перемещалась
со скоростью g, определяемой соотношением
b=w- A6-32)
Эта скорость распространения энергии называется лучевой скоростью.
Из сказанного и из рис. 16 4 и 16.6 следует, что
gcosa = b, или g = -^-. A6.33)
Таким образом, скорость волны по нормали к волновому фронту равна
проекции скорости энергии по лучу на волновую нормаль.
Отношение с к лучевой скорости g иногда называют показателем
преломления луча ng. Он подчиняется соотношению
A6.34)
Свойства л>чей
16.10. Кроме соотношений, определяющих скорость волны и ее
направление, можно вывести соответствующие соотношения для луче-
лучевой скорости и направления луча. Для этого следует использовать метод,
аналогичный методу, описанному в § 16.6. Оказалось, что между резуль-
результатами, полученными для волновой нормали, и результатами, описываю-
описывающими световые лучи, существует определенное соответствие, которое
позволяет сформулировать следующее правило.
Выпишем все интересующие нас величины в два ряда
Е, JD, s, q, Ъ, п, гх, еу, гг, Ьх, Ъу, Ъг, с,
11 1 1 1JLJ__i_JL
D, Е, —q, —s, --, —, —, —, , ь , ь * ъг* с т
J
Ьу
A6.35)
*) Определение вектора Пойнтинга G, параллельного Q, и плотности энергии
электромагнитного поля W см. на стр. 387.
СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ, ИЛИ ЛУЧЕВАЯ СКОРОСТЬ 455
Тогда любое соотношение, справедливое для членов одного ряда, остается
справедливым и для соответствующих членов другого ряда.
Если мы покажем, что это правило справедливо для всех основ-
основных уравнений, то, естественно, оно останется справедливым и для урав-
уравнений, являющихся следствием основных уравнений.
Полное доказательство этого положения можно получить только на основе
анализа эллипсоида диэлектрической проницаемости. Наиболее важными соотноше-
соотношениями являются угловые соотношения (см. рис. 16.3), которые были выведены выше,
а также векторное уравнение A6.366) и соответствующее ему уравнение A6.39). Исклю-
Исключая Н из A6.26) и A6.27), получим
Х>= —n2 (Ех s) хs. A6 36а)
В этом уравнении вектор D выражен через вектор, совпадающий по направлению с Е,
и через вектор, имеющий направление вектора s. Перемножая векторы, стоящие в пра-
правой части A6.36а), получим
D = n2 {Е — s(E-s)}. A6 366)
Умножая скалярно обе части уравнения A6.366) на q, найдем
Dq = — n2(E-s) cos a A6.37)
(напомним, что Eq = 0). Так как векторы Z>, E и q лежат в одной плоскости, между
ними должно существовать линейное соотношение вида
Q=lD + mE, A6 38)
где I и т — скалярные множители. Умножая это уравнение скалярно один раз на Q,
а другой раз на s, получим
ID-Q=1 и mE-8 = Q-s= cos a.
Таким образом, уравнение A6.38) можно переписать в виде
т
Подставляя в правую часть уравнения значение Е из A6.37), находим
Е== 9D'% (о ^— ^)=-4- W-q(D-q)]. A6 39)
п2 cos2 а \ #*Q J ng
Таким образом, мы получили уравнение, соответствующее уравнению A6 366).
16.11. Для того чтобы получить соотношения, определяющие направление Е,
если задано направление луча, применим правшо A6 35) к A6.18). Тогда получим
2 ,1Ql 1 ч°°-
V ~1* „2 )
ч Ьх ь У
или, сокращая на g2,
V х х2 =0 A6 40)
Это соотношение определяет лучевую скорость, если известно направление л^ча.
Из A6.16) и A6.15) следует, что
Применяя правило A6.35), получим
456 ГЛ. 16. ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
В общем случае существует два возможных направления Е, соответ-
соответствующие двум возможным значениям лучевой скорости (найденным из
A6.41) путем подстановки в него двух значений скорости из A6.40))
для данного направления луча. Методом, аналогичным описанному в § 16.8,
можно показать, что эти направления Е взаимно перпендикулярны.
Кроме того, можно показать, что если направление Е известно, то тем
самым полностью определяются величина и направление лучевой ско-
скорости (см. упражнение 16.5). Соотношение между двумя возможными на-
направлениями вектора Е и направлением луча показано на рис. 16.5, б.
Упражнения
16.9. Показать, что можно получить соотношение A6.40), используя A6.41)
и то обстоятельство, что Е перпендикулярно Q.
16.10. Показать, что при совпадении направления распространения луча с напра-
направлением одной из главных диэлектрических осей лучевые и фазовые скорости для волн
соответствующих поляризаций попарно равны друг другу. Определить обе скорости
для луча, направление распространения которого совпадает с направлением оси х:
[by и bz ]
16.11. Показать, что если направление луча q определяется соотношениями
,2 ,2
ох — by
Qy=O, J> A6 42)
то обе лучевые скорости равны друг другу. Эти направления называют осями един-
единственной лучевой скорости *).
Угол между лучом и волновой нормалью
16.12. Из геометрических соотношений (см. рис. 16.3) следует, что
sina=e-s и cosa=e-d. A6 43)
Компоненты d определяются соотношениями A6.19), а компоненты е пропорциональны
dxlzx и т. д., т. е. b%dx и т. д. Здесь следует отметить, что dx ф гхех (см. упражне-
упражнение 16.7).
Таким образом, поскольку коэффициент пропорциональности сокращается,
получим
02уг\ —slb%
Используя A6.18), находим
*) Эти направления называют также оптическими осями лучей или оптическими
осями первого рода. В последнем случае направления, вдоль которых волновые ско-
скорости не зависят от поляризации волн, называют оптическими осями второго рода.
В дальнейшем автор пользуется введенным им в этой задаче термином оси един-
единственной лучевой скорости. В оптически одноосных кристаллах оси первого и второго
рода совпадают. (Прим. ред.)
НАПРАВЛЕНИЕ ЛУЧА 457
и аналогично, используя A6.18) и A6.29), получим
Л^-4, A645б)
^2
Л (Ь2-*-Ь%J ^ Ъ2-Ъ%
и следовательно,
tga=|J-. A6 46)
При распространении света вдоль главных диэлектрических осей кристалла tg a = 0,
т. е. направления лучей совпадают с направлениями волновых нормалей. Для опти-
оптически одноосного кристалла одним из таких направлений является оптическая ось
кристалла.
Упражнения
16.12. При помощи соотношений A6.19) и A6.30) проверить A6.46), т. е. пока-
показать, что
та
cosa= -—гг. A6.47)
16.13. Показать, что
<24=&2(g2—&2). A648)
Указание. Использовать A6.33) и A6.47).
Направление луча
16.13. Иногда возникает необходимость рассчитать направление луча (вектора
Пойнтинга) (г. е. определить компоненты q), если известно направление волновой
нормали. Так как b%Dx = с2ЕХУ то из уравнений A6.16) и A6.41) следует, что
\ = ^D.Q. A6.49)
2b% V
Ь2-Ъх g*-
Используя A6.37) и A6.33), получим
sxb ___ gQx
A6.50)
или
п —« СПа „ ( S bx Л Mfi 51Ъ
vx * \b2-bxJ
Исключая g и используя A6.33), находим
/ b2 tg2 a \
\ J2_gy
или
Yfe2_|—^-j-Y A6.52)
Упражнение
16.14. Показать, что
2Ц*&* ^q A6 53)
^2 —Й
Указание. Использовать A6.50) и A6.18).
ГЛ 16 ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
Поверхность волны, или лучевая поверхность
16.14, Рассмотрим плоскую волну, изображенную на рис. 16 4. Рас-
Расстояние между двумя волновыми поверхностями, измеренное вдоль луча,
равно dr, а расстояние, измеренное вдоль нормали, равно dn = dr cos a.
Разность фаз б колебаний в двух точках на луче пропорциональна рас-
расстоянию между этими точками, деленному на лучевую скорость. В самом
деле,
я 2я , о , со ,
A6 54)
Рассмотрим теперь систему прямых, исходящих из точки О
(рис. 16.7, а). На каждой прямой отметим две такие точки (например,
i?x и R±), что расстояния ORX и OR[ равны gxt и g]t, где gx и g[ — значения
Рис 16 7 Построение волновой (или лучевой) поверхности (а)
и вид волновой поверхности двуосного кристалла (б)
Прямая OR определяет направление одной из осей единственной луче-
лучевой скорости (см § 16 15)
двух лучевых скоростей в направлении ORXR'V Геометрическое место
точек] R' и R" представляет собой двухполостную «самопересекающуюся»
поверхность, называемую лучевой поверхностью (рис. 16 7, б) *) Обсу-
Обсудим физический смысл лучевой поверхности еще с другой точки зрения.
Рассмотрим сначала только одну ее оболочку. Фаза колебаний в лю-
любом луче, выходящем из точки О, имеет на этой поверхности одно и то же
значение. Таким образом, лучевая поверхность представляет собой поверх-
поверхность равной фазы для волн, выходящих из точечного источника, располо-
расположенного в О. Вместе с тем эта поверхность является волновой поверхностью
в том смысле, в котором мы определили ее по Гюйгенсу в гл. 3 и исполь-
использовали в гл. 12.
Если мы рассмотрим плоскую волну, проходящую через точку О
в момент времени t = О, то ее положение в момент времени t должно
быть таким, что ее фронт будет касаться рассматриваемой лучевой
поверхности в одной точке, т е. она будет касательной к лучевой поверх-
поверхности. Так как это утверждение справедливо для любого направления
*) Форма волновой поверхности на рис 16 7, б неизбежно сильно схематизи-
схематизирована — ни одна из ее оболочек не является сферой, как это может показаться на
приведенном рисунке (Прим ред )
ПОВЕРХНОСТЬ ВОЛНЫ, ИЛИ ЛУЧЕВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ 459
волновой нормали, то лучевую поверхность можно определить как огибаю-
огибающую поверхность всех плоских волн в момент времени t. Это свойство
лучевой поверхности используется для ее определения в анизотропных
средах.
Если мы учтем, что для произвольного направления существует два
значения лучевой скорости, то рассматриваемый выше вопрос несколько
усложнится, но основное утверждение останется неизменным. В этом
случае нам придется связать каждую плоскую волну с той полостью
лучевой поверхности, к которой ее нужно отнести, учитывая состояние
поляризации данной волны. Принимая во внимание это обстоятельство,
мы по-прежнему можем утверждать, что лучевая поверхность и поверх-
поверхность волны совпадают друг с другом. Каждая плоская волна (ее фронт)
касательна к своей полости лучевой поверхности, хотя другую полость
лучевой поверхности она может пересекать. В дальнейшем мы покажем,
что идентичность лучевой поверхности и поверхности волны легко дока-
доказать аналитически. Лучевую поверхность можно построить для любого
момента времени, следующего за t = 0. В тех случаях, когда этот момент
времени не определен, предполагается, что построение выполнено для
момента времени t = 1.
16.15. Уравнение лучевой поверхности для момента времени t = 1 можно полу-
получить, если в соотношение A6.40) подставить г вместо g, х/r вместо Qx и т. д. Тогда
после умножения на г2 получим
2 г*—*Ь* ==°- A6.55а)
Это уравнение можно переписать в виде
ЪхЧ%{г% — bl) (г2 — б|)=0, A6.556)
или
=O. A6.55в)
Уравнение A6.55а) является уравнением четвертой степени относительно координат.
Пересечения соответствующей ему поверхности с координатными тоскостями пред-
представлены на рис. 16.8. Уравнение кривой, соответствующей пересечению поверхности
с плоскостью у = 0, имеет вид
blb2z)=0. A6.56)
Это уравнение распадается на два: на уравнение окружности
X2 + Z2==r2=b2, A6.57а)
и уравнение эллипса
bh* + bh* — bxbl=O. A6.576)
Эллипс и окружность пересекаются в точках, удовлетворяющих соотношению, кото-
которое получается при умножении A6.576) на by и подстановке в последний член этого
уравнения значения Ьу из A6.57а):
Так как bx > by > bz, то* существуют четыре точки пересечения эллипса и окруж-
окружности. Легко показать, что при пересечении рассматриваемой поверхности плоскостью
х = 0 также образуются окружность и эллипс, которые, однако, не пересекаются
и вообще имеют другие размеры, чем в сечении у = 0. При этом эллипс находится
внутри окружности (см. рис. 16.8, в). Пересечение поверхности плоскостью z =■ 0
460
ГЛ. 16. ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
Рис. 16.8. Пересечения лучевой поверхности с различными коорди-
координатными плоскости.
Рис. 16.9. Оптические оси единственной лучевой скорости
(ORi и OB.2I и оси единственной волновой скорости (О А ± и О А £.
Последние нормальны касательным плоскостям.
ПОВЕРХНОСТЬ НОРМАЛЬНЫХ СКОРОСТЕЙ 461
также дает окружность и эллипс, но окружность находится внутри эллипса
{см. рис. 16.8, г). Уравнение A6.58) определяет два направления, вдоль которых суще-
существует только одна лучевая скорость *). Это уравнение согласуется со значениями
направляющих косинусов, полученными выше (см. упражнение 16.11 п уравне-
уравнение A6.42)). Одна из двух осей единственной лучевой скорости показана на рпс. 16.7, б
радиусом-вектором OR.
После обсуждения сечения волновой поверхности различными координатными
плоскостями приведем еще раз наиболее интересное ее сечение XZ с нанесенными
на нем направлениями осей единственной лучевой скорости (рис. 16.9). На этом
рисунке для наглядности сильно изменены пропорции рис. 16.8, б.
Доказательство идентичности лучевой поверхности
и поверхности волны
16.16. Для того чтобы доказать, что поверхность волны идентична лучевой
поверхности, мы покажем, что направление нормали к лучевой поверхности совпадает
с направлением волновой нормали.
Удобное выражение для уравнения лучевой поверхности можно получить, если
записать A6.55) в виде
или, так как 2х2 = г2, в виде
Если обозначить левую часть уравнения через F, то направляющие косинусы нормали
к поверхности в точке х, у, z пропорциональны производным dF/dxt дР/ду и dF/dz
в этой точке.
Таким образом,
2T[ X1
дх ZXL^ A
Полагая г = g и х = Qxg (см. § 16.15) и воспользовавшись A6.50), получим
Используя A6.456) и A6.48), находим
или
_9„Л г Ь2_А„ -1 (МЩ
Воспользовавшись снова A6.50), получим
A6.61)
dF 2bsx
т. е. dF/dx и т. д. пропорциональны направляющим косинусам sx и т. д. волновой
нормали, и направление нормали к лучевой поверхности совпадает с направлением
волновой нормали.
Поверхность нормальных скоростей
16.17. Можно построить еще одну поверхность, рассмотрев систему прямых
линий, выходящих из точки О, где мы мысленно располагаем точечный источник света
(см. рис. 16.7), и отмечая на них расстояния, равные соответств\ющпм фазоеым
*) В дальнейшем автор называет эти направления осями единственных лучевых
скоростей. См. также примечание на стр. 450. (Прим. ред.)
462 ГЛ. 16. ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
скоростям. Поверхность, полученная таким образом, называется поверхностью
нормальных скоростей. Эта поверхность имеет меньшее практическое значение,
чем лучевая поверхность, но зато она весьма удобна для определения оптических
осей второго рода (т. е. направлений, вдоль которых фазовая скорость имеет един-
единственное значение, независящее от того, в какой плоскости поляризована распро-
распространяющаяся волна). Подставляя в A6.18) г вместо Ь и х/r вместо sx, получим
2^2 (r* — bl) (г2— Ь|)=О. A6.62)
Действуя так же, как и в случае анализа свойств лучевых поверхностей, можно пока-
показать, что пересечение этой поверхности с координатными плоскостями дает овал
и окружность. В плоскости х = 0 овал лежит внутри окружности, а в плоскости
z = 0 окружность находится внутри овала. В плоскости у = О обе кривые пересе-
пересекаются в точках, координаты которых удовлетворяют соотношению
2 t
A6.63)
by —
~2 .2 ,2 *
Х Ъх — Ъу
Это соотношение определяет направления, вдоль которых скорость волны в соответ-
соответствии с A6.22) имеет одно-единственное значение. Это будут оптические оси кристалла
второго рода.
Разность фазовых скоростей для заданного направления
волновой нормали
16.18. Теперь мы покажем, что, обозначив через Ь' и Ь" значения двухфазовых
скоростей, соответствующих одной волновой нормали, которая составляет углы %i
и %2 с ДВУМЯ оптическими осями, можно написать
Ь'2_Ъ"*=(Ь%—b\) sinXi sin %2. A6.64)
Если разность между Ьх и bz мала, то приближенно справедливо соотношение
Ъ' + Ъ" = ЬХ+Ъ2
и, следовательно, уравнение A6.64) приобретает вид
6'- Ъ"=(ЪХ- bz) sin Xi sin X2. A6.65)
Уравнение A6.18) можно представить следующим образом:
или
_ 62 s si (by + bl) + 2sWyb2z=0.
Квадрат разности корней этого уравнения равен
Обозначив
л 2 о 2 l2\ т> 2 /| 2 12\ /1 2 / »2 i2\
A:=Sx \Oy—Oz)t Jj:==:Sy\Oz — Ox) И ls = Sz\Ox — uy)*
получим
(b'2_b'/2J==^2 + JB2 + c'2—2AB — 2BC—2CA=(A—B + C)*—ЫС. A6.666)
Из A6.22) следует, что
/bx —
/bx by , -. / by — bz
й+*у i
ВОЛНОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ОДНООСНОГО КРИСТАЛЛА
Учитывая, что sin2 х= 1 — cos2 %t= s%-\-s%-{-si —cos2 %u получим
463
-s\ (b2y-b\)-sxsz
i = ^ — B + C+2VAC.
или
(b
Аналогично
(b
Следовательно,
(b$-
и соотношение A6.64) можно доказать сравнением A6.666) и A6.67).
Волновые (лучевые) поверхности одноосного кристалла
16.19. Если мы положим
ЪХ = ЪУ=ЪО и bz = be,
то уравнение A6.556) примет вид
A6.67)
A6.68)
0. A6.69)
Это уравнение двуполостной поверхности, состоящей из а) сферы, радиус
которой равен Ьо, и б) поверхности, образованной вращением эллипса
с полуосями Ъо и Ъе вокруг направления оси OZ.
Сфера и эллипсоид вращения соприкасаются друг с другом, как
показано на рис. 16.10. Если Ъо больше Ье, то эллипсоид находится
Рис. 16.10. Сечения лучевых поверхностей одноосного
кристалла.
— положительный кристалл (bQ > be); б — отрицательный
кристалл (Ь < Ье)
р (Q e
кристалл (Ьо < Ье).
внутри сферы *). Этот случай соответствует так называемому положитель-
положительному одноосному кристаллу.
Если Ъо < Ье, то мы получим волновые поверхности, соответствую-
соответствующие так называемому отрицательному одноосному кристаллу. Эти выводы
теории о характере волновых поверхностей в одноосных кристаллах
подтверждаются на опыте. Таким образом, электромагнитная теория
*) В этих обозначениях Ьо имеет смысл фазовой скорости обыкновенной волны
и Ье — фазовой скорости необыкновенной волны (см. § 16.20). (Прим. ред.)
464
ГЛ. 16. ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
дает возможность сделать правильные выводы о форме волновой поверх-
поверхности в случае одноосного кристалла.
Одноосный кристалл можно считать предельным случаем двуосного,
в котором две оси кристалла образуют бесконечно малый угол между
собой. Непрерывность перехода от двуосного кристалла к одноосному
можно продемонстрировать на примере кристалла сульфата натрия.
Этот кристалл является двуосным при комнатной температуре, но при
повышении температуры угол между его оптическими осями уменьшается.
Для фиолетового света оси совпадают примерно при 40° С и кристалл
становится одноосным. При дальнейшем повышении температуры на-
направления осей снова становятся различными и кристалл опять превра-
превращается в двуосный.
Двойное лучепреломление
16.20. Рассмотрим плоскую волну, падающую из вакуума на плоскую
поверхность анизотропной среды. Выберем оси координат таким образом,
чтобы плоскость х = 0 совпадала с границей анизотропной среды, а пло-
плоскость z = 0 являлась плоскостью падения, т. е. плоскостью, в которой
лежит нормаль падающей волны и нормаль к поверхности раздела сред.
Мы будем рассматривать общий случай и не будем предполагать,
что выбранные нами оси совпадают с направлениями главных скоростей
в кристалле. Обозначим угол падения через 0i (рис. 16.11). Мы будем
предполагать, что существуют две пре-
преломленные волны и их волновые нормали
(а не лучи) составляют углы 0g и Q с нор-
нормалью к поверхности раздела анизотроп-
анизотропной среды и вакуума. Кроме того, будет
существовать отраженная волна, которой
мы пока не будем интересоваться. Выра-
жение для падающей волны будет содер-
У жать множитель
Вакуум
Анизотропная
среда
Нормали
х
Рис. 16.11.
ехр т U — — (х cos Qi + y sin 9A)}.
Соответствующие множители для прелом-
преломленных волн будут иметь вид
ехр ко I* — jj (sxx + syy + s'zz)j
и
ехр гш I* — ^
s'yV +
где s us" — единичные векторы, направления которых совпадают с на-
направлением волновых нормалей для преломленных волн. Так как в дан-
данном случае выполняются обычные граничные условия (§ 14.2), то все
три экспоненты должны быть равны друг другу при х = 0 и при любых
у и z. Следовательно,
$; = 0 и s"z = 0 A6.70)
и
sin Gi
■*■
Ъ" '
A6.71а)
ПРЕЛОМЛЕНИЕ В ДВУОСНЫХ КРИСТАЛЛАХ
или
sin 61 sin 80 sin 82 4. -1 -.
-г1=-5^=-И- ^ 'Ь)
Из уравнений A6.70) следует, что волновые нормали к преломлен-
преломленным волнам лежат в плоскости падения, а уравнения A6.71) дают с «♦от-
«♦отношения между направлениями и скоростями преломленных волн, сиит-
ветствующие закону преломления.
Таким образом, первая часть закона преломления (см. § 3.11) спра-
справедлива для волновых нормалей даже на границе анизотропных сред,
но не выполняется в общем случае для лучей.
Построение Гюйгенса показывает, что при падении пучка света на
границу раздела из анизотропной среды в общем случае образуется два
отраженных пучка. При этом существуют два угла полного внутреннего
отражения. Данное свойство используется в призме Николя, а также
при измерениях главных показателей преломления (§ 16.44).
Двойное лучепреломление в одноосных кристаллах
16.21. В одноосном кристалле одна из преломленных волн имеет
сферическую волновую поверхность, и для этой волны направление луча
совпадает с направлением волновой нормали *). Таким образом, ход
этого луча подчиняется обоим законам преломления, и поэтому для него
оправдано название обыкновенного луча. Его направление можно опреде-
определить, если положить Ъ' = Ъо в соотношениях A6.71).
Фазовая скорость второй волны (соответствующей необыкновенному
лучу) зависит от направления. Соотношения A6.71) дают направление
волновой нормали преломленной волны. Однако это направление надо
отыскивать, пользуясь методом проб и ошибок.
На практике направление волновой нормали второй волны получают
при помощи построения Гюйгенса (см. § 12.21), или эквивалентным ана-
аналитическим методом. Это построение позволяет также определить на-
направление луча, который по своему определению является радиусом-
вектором, проведенным из начала координат в точку касания волнового
фронта с волновой поверхностью.
Определим теперь главную плоскость как плоскость, содержащую
нормаль падающей волны и оптическую ось кристалла, т. е. ось z, если
мы используем обозначения, принятые в A6.68). Направление вектора
индукции D для обыкновенной волны нельзя непосредственно получить
из A6.19), так как при Q = 0 оно становится неопределенным. Можно
показать косвенным методом [16.1], что направление!) для обыкновенной
волны перпендикулярно главной плоскости. Из определений, изложен-
изложенных в § 12.3, следует, что обыкновенная волна поляризована в главной
плоскости. Аналогично можно показать, что необыкновенная волна
поляризована перпендикулярно главной плоскости, т. е. ее вектор D
лежит в плоскости главного сечения. Эти результаты согласуются с опыт-
опытными данными.
Преломление в двуосных кристаллах
16.22. Рассмотрим теперь вопрос о преломлении пучка света, падаю-
падающего на плоскую границу двуосного кристалла. Удобно начать с рассмо-
рассмотрения некоторых частных случаев преломления света в этих условиях.
*) Это почти очевидно из соображений симметрии. Аналитически это можно
показать, принимая во внимание соотношение A6.29), из которлх» следует, что
Q = 0 при b = by, и следовательно, из A6.46) получаем <х=0
30 р. Дитчберн
466
ГЛ. 16. ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
а) Две главные оси эллипсоида диэлектрической проницаемости лежат
в плоскости падения, а третья перпендикулярна этой плоскости (рис. 16.12
и 16.13, а, б).
Так как в данном случае волновая поверхность симметрична относи-
относительно плоскости падения, то оба преломленных луча лежат в этой пло-
плоскости. Направление необыкновен-
необыкновенного луча (OR2) можно определить,
если провести из точки Р касатель-
касательную к эллиптическому сечению соот-
соответствующей волновой поверхности
и соединить точку 0 с точкой каса-
касания. Направление новой нормали
этой волны задается ^соотношением
| A67Ь)
где Ъ" — один из корней уравнения
Френеля A6.18). Отношение синусов
0! и 0* не является постоянным (т. е.
зависит от значений углов 04 и 0'^),
так как Ь" зависит от QI. Вектор D
Рис. 16.12. Преломление на поверх-
поверхности двуосного кристалла.
У
Рис. 16.13. Преломление на поверх-
поверхности двуосного кристалла.
Объяснение в тексте.
этой волны лежит в плоскости падения, так как и волновая нормаль ON2f
и луч OR2 лежат в этой плоскости и не совпадают друг с другом. Сле-
Следовательно, этот луч поляризован в плоскости, перпендикулярной пло-
плоскости падения.
Направление обыкновенного луча ORX можно определить, если про-
провести касательную из точки Р к круговому сечению волновой поверх-
поверхности. Направление этого луча совпадает с направлением соответствую-
соответствующей волновой нормали, которая поэтому не показана на рис. 16.12,
и следовательно, луч и нормаль не определяют направления D этой вол-
волны. Однако, используя тензорный эллипсоид для е, можно показать, что
КОНИЧЕСКАЯ РЕФРАКЦИЯ 467
вектор D перпендикулярен плоскости падения, т. е. луч OR± поляризо-
поляризован в плоскости падения. Для этого луча отношение синусов углов паде-
падения и преломления является величиной постоянной для данного частного
случая. Это нужно понимать следующим образом. Это отношение равно
пх для плоскости, представленной на рис. 16.12, пу— для плоскости,
изображенной на рис. 16.13, а, и пг—для плоскости, показанной на
рис. 16.13, б.
б) Падающий луч перпендикулярен плоскости раздела, расположен-
расположенной произвольным образом относительно главных осей эллипсоида ди-
диэлектрической проницаемости.
В этом случае, как до, так и после преломления, существует только
одна волновая нормаль для всех волн, так как из A6.716) следует, что
sin 02= sin 02= 0. Но два преломленных луча не коллинеарны с падаю-
падающим лучом. Все три луча (один падающий и два преломленных) не ком-
компланарны. Однако, поскольку оба преломленных луча имеют общую нор-
нормаль, они поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях
(§ 16.8).
в) Общий случай.
В общем случае, после преломления существует два преломленных
луча и две волновые нормали. Все четыре направления можно определить,
если провести касательные плоскости к двум полостям соответствующей
волновой (лучевой) поверхности. Тогда перпендикуляры к волновой
поверхности в точках касания определят направления волновых
нормалей, а прямые, проведенные из точки О (см. рис. 16.12) в точку
касания,— направления лучей *). Каждый луч и соответствующая вол-
волновая нормаль определяют плоскость поляризации одной из волн.
16.23. Можно показать [16.3], что два направления D, соответствующие задан-
заданному направлению волновой нормали, совпадают с направлениями внутренней и внеш-
внешней биссектрис угла между двумя плоскостями, каждая из которых содержит волно-
волновую нормаль и одну из оптических осей. Отсюда не следует, что два преломленных
луча в двуосных кристаллах поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях,
так как, в общем случае, они имеют различные волновые нормали. Однако ввиду
того, что разность между максимальной Ьх и минимальной Ъг скоростями всегда мала
по сравнению с величинами самих скоростей, угол между обеими волновыми нормалями
весьма мал. Таким образом, этим двум лучам соответствуют нормали, близко распо-
расположенные друг к другу, и следовательно, лучи поляризованы в плоскостях, прибли-
приблизительно перпендикулярных друг другу.
Коническая рефракция
16.24. Гамильтон обратил внимание на два особых свойства волно-
волновых поверхностей.
а) Оптические оси первого рода (т. е. направления единственной
лучевой скорости) пересекают волновую (лучевую) поверхность в четырех
точках. В этих четырех точках, помещающихся в «воронках» волновой
поверхности (см. рис. 16.7, б и 16.9,а), последняя имеет бесконечное мно-
множество касательных плоскостей, «выстилающих» поверхности воронок.
Каждая из этих плоскостей, очевидно, соответствует определенному вол-
волновому фронту. Нормали к каждой касательной плоскости являются, та-
таким образом, волновыми нормалями этих волновых фронтов. Другими
словами, в этом случае одному лучу соответствует целый конус волновых
нормалей.
*) Разумеется, линии, параллельные названным перпендикулярад! п прямым,
но не проходящие через точку О, также определят направления волновых нормалей
и лучей для преломленной в этом случае плоской волны. (Прим. ред.)
30*
468
ГЛ. 16. ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
б) Плоскость, касательная к волновой поверхности и перпендику-
перпендикулярная оптической оси второго рода О А (оси единственной волновой ско-
скорости), касается волновой поверхности по окружности *) (см. рис. 16.15).
Диаметром этой окружности служит отрезок АВ. Физически это соот-
соответствует тому, что одной волновой нормали, направленной по оптической
оси второго рода, соответствует целый конус лучей, опирающихся на
упомянутую выше окружность касания.
Исходя из первого свойства волновых поверхностей, Гамильтон пред-
предсказал, что при определенных условиях один луч, распространяющийся
внутри кристалла, может вызвать появление полого конуса световых лучей
на выходе из кристалла, соответственно образующемуся конусу волновых
нормалей**). Из второго условия, по мнению Гамильтона, следовал вывод,
что при некоторых условиях один луч, входящий в кристалл, вызывает
появление полого конуса лучей внутри кристалла.
Оба предсказанных Гамильтоном явления, известных теперь под
названиями внешней конической рефракции и внутренней конической
рефракции, действительно наблюдались Ллойдом. Эти теоретические
и экспериментальные результаты представляют большой интерес с исто-
исторической точки зрения, хотя их значение с практической и теоретиче-
теоретической точки зрения не очень существенно. Для студента, изучающего
оптику анизотропных сред, рассмотрение этих явлений очень полезно
и может служить хорошей проверкой его понимания соотношения между
лучом и волновой нормалью в анизотропных средах.
Внешняя коническая рефракция
16.25. Опыт Ллойда, демонстрирующий явление внешней конической рефракции,
схематически представлен на рис. 16.14. Рассмотрим его простейший вариант. Полый.
Рис. 16 14 Схема опыта Ллойда, демонстрирующего
внешнюю коническую рефракцию.
Внутри кристалла свет идет параллельно одной из оптических
осей единственной лучевой скорости Этому световому пучку
(лучу) соответствует целый конус волновых нормалей, каж-
каждой из которых отвечает свой луч вне кристалла.
конус лучей естественного света нормально падает на плоскопараллельную кристал-
кристаллическую пластинку, вырезанную перпендикулярно одной из оптических осей первого
рода. Внутри кристалла конус света свертывается в узкий пучок и распростра-
распространяется по направлению оси единственной лучевой скорости (оптической оси первого
*) Речь идет о тех четырех касательных плоскостях, которые «накрывают»
воронки (см. рис. 16.7) волновой поверхности и нормальны к оптическим осям второго
рода. (Прим. ред.)
**) Напомним, что вне кристалла волновые нормали совпадают с лучами.
(Прим. ред.)
ВНУТРЕННЯЯ КОНИЧЕСКАЯ РЕФРАКЦИЯ
469
рода) с очень незначительными отклонениями от этого направления. Направление оси
полого конуса падающих лучей и угол раствора этого конуса выбраны так, чтобы для
всех направлений падающего света направление преломленного луча, соответствую-
соответствующего каждой возможной волновой нормали, совпадало с направлением оси единствен-
единственной лучевой скорости *). Иными словами, конусу лучей (и нормалей) вне кристалла
должен теперь соответствовать один-единственный луч внутри кристалла. Это! луч
идет по оптической оси первого рода.
Когда узкий пучок света достигает второй поверхности кристалла, он прелом-
преломляется на ней и, в соответствии с законом преломления волновых нормалей, вновь
образует конус различно поляризованных лучей, соответствующий конусу лучей,
входящих в первую поверхность кристалла. Последнее явление называется внеш-
внешней конической рефракцией. При этом каждый луч, выходящий из кристалла,
параллелен соответствующему лучу, входящему в кристалл. Выходящий из кристал-
кристалла конус лучей образует на экране, расположенном за кристаллом, освещен-
освещенное кольцо, радиус которого пропорционален расстоянию от кристалла до
экрана.
Внутренняя коническая рефракция
16.26. Вторым особым свойством волновой поверхности (см. § 16.24 и рис. 16.7
и 16.15) является наличие у нее четырех особенных касательных плоскостей, сопри-
соприкасающихся с волновой поверхностью по окружности. Диаметр А В одной из таких
окружностей показан на рис. 16.15.
Нормаль О А к каждой такой каса- д
тельной плоскости (см. рис. 16.15)
является оптической осью второго
рода (осью единственной волновой
скорости).
Если пучок неполяризованного
света нормально падает на поверх-
поверхность плоскопараллельной пластин-
пластинки двуосного кристалла (см. рис.
16.15), вырезанной перпендикулярно
оптической оси второго рода (оси
единственной волновой скорости),
то существует только одна волно-
волновая нормаль преломленной волны,
и направление этой нормали сов-
совпадает с направлением оптиче-
оптической оси.
Геометрически существование
только одной нормали означает, что
при данном направлении падающей
волны через точку А (см. рис. 16.15)
можно провести только одну пло-
плоскость, касательную к волновой по-
поверхности. Алгебраически это означа-
означает, что для данного направления два
решения уравнения Френеля A6.18)
совпадают между собой, и следова-
следовательно, уравнению A6.71) удовлетво-
удовлетворяет только одно значение угла 60.
Если нормаль к преломленной волне совпадает с оптической осью второго рода,
то вектор индукции D в распространяющейся волне может иметь любое направленпе,
перпендикулярное направлению волновой нормали. Тогда из уравнения A6.52) сле-
следует, что для каждого возможного направления D существует свой луч. Вся совокуп-
совокупность этих лучей образует внутри кристалла полый конус различно поляризован-
поляризованных лучей. Лучи этого конуса проходят через точки той окружности, по которой каса
тельная плоскость соприкасается с волновой поверхностью (см. рис. 16.15). Луч О А
(из числа таких лучей) совпадает с волновой нормалью, т. е. в данном случае с опти-
оптической осью второго рода.
Рис. 16.15. Внутренняя коническая реф-
рефракция.
PQRS — сечение кристаллической пластинки;
О А — оптическая ось второго рода (единственной
волновой скорости); АВ — диаметр окружности,
по которой касательная плоскость (нормальная
к О А) касается волновой поверхности; ОВ — луч,
составляющий наибольший угол с ОА (см. также
рис. 16.9).
*) Практически на кристалл направляется не полый, а сплошной конус лучей
из которого диафрагмы Hi и Н2 вырезают луч, распространяющийся по оптической
оси первого рода (см., например, [16.7]). (Прим. ред.)
470
Г Л 16. ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
16.27. На основе изложенных выше соображений можно предположить, что
если на кристаллическую пластинку, вырезанную перпендикулярно оптической оси
второго рода, нормально падает узкий пучок неполярпзованного света, то внутри
кристалла образуется целый конус лучей разной поляризации. Это явление называется
внутренней конической рефракцией. Каж-
Каждый луч этого конуса после преломления
на второй поверхности кристалла выйдет
параллельно падающему лучу, так как
общая волновая нормаль всех этих лучей
не изменит своего направления. Поэтому
лучи различно поляризованного света, вы-
выходящие из кристалла, образуют полый
цилиндр, который при пересечении с соот-
соответствующим образом расположенным экра-
экраном S даст след в виде освещенного кольца
(рис. 16.16). Диаметр этого кольца не зави-
зависит от расстояния между кристаллом и эк-
экраном, так как формирующие цилиндр лу-
лучи параллельны.
В первых опытах Ллойда действи-
действительно наблюдалось на экране одно кольцо.
Однако более поздние наблюдения Погген-
дорфа и Хайдингера, которые применяли
более совершенные методы эксперимента,
показали, что светлое кольцо разделено
на два кольца тонкой темной полоской *).
Положение этой темной полоски совпадает
с положением кольца, рассчитанным для
внутренней конической рефракции, и ее
появление говорит о том, что проведенное выше рассмотрение не вполне точно. Ниже
мы приводим обсуждение этого вопроса Фойгтом.
16.28. Никакое экспериментальное устройство не позволяет получить идеально
тонкий световой пучок даже в тех случаях, когда мы можем пренебречь эффектами,
обусловленными дифракцией. Рассмотрим поэтому узкий сплошной конус лучей,
Рис 16 16 Внутренняя коническая
рефракция.
Горизонтальная образующая светового ко-
конуса в кристалле является оптической осью
единственной волновой скорости. Волновой
нормали входящего в кристалл параллельно-
параллельного пучка света соответствует целый конус
лучей внутри кристалла. Отрезок ОА ука-
указывает направление оптической оси кри-
кристалла.
о) б)
Рис. 16.17. Образование двойного светлого кольца в случае
внутренней конической рефракции.
Показана окружность диаметром АВ, по которой нормальная к оп-
оптической оси О А касательная плоскость соприкасается с волновой
поверхностью Имеется в виду касательная плоскость, накрывающая
«воронку» волновой поверхности (см. рис. 16 7) а — Э значительно
больше у, б — р лишь немногим больше Y-
падающих на кристалл так, что ось конуса близка к направлению, соответствующему
внутренней конической рефракции. Обозначим через y половину малого, но конеч-
конечного угла раствора конуса, а через Р — угол между осью конуса и направлением,
соответствующим конической рефракции. Предположим сначала, что р значительно
больше Y- В этом случае коническая рефракция в указанном выше^ смысле наблю-
наблюдаться не будет. Внутри кристалла получим два узких конуса лучей. По выходе из
кристалла также будут наблюдаться два конуса лучей, которые дадут на экране два
светлых пятна. Два конуса лучей внутри кристалла соответствуют двум малым
*) Хороший снимок приведен на стр. 322 книги Борна [16.3]. (Прим. ред.)
ВНУТРЕННЯЯ КОНИЧЕСКАЯ РЕФРАКЦИЯ
471
областям волновой поверхности. При приближении оси падающего пучка к направле-
направлению, соответствующему внутренней конической рефракции, обе области волновой
поверхности приблизятся к границе ее «кратера»— одна изнутри, другая — снаружи
(рис. 16.17,а). Если ($ лишь немногим больше у, то эти области принимают форму,
изображенную на рис. 16.17, б. При Р = 0 каждое светлое пятно превращается
в светлое кольцо с толщиной, пропорциональной у. Но эти светлые кольца остаются
разделенными тонкой темной полоской.
Представим теперь наши узкие конические пучки света в виде совокупности
бесконечно узких полых конусов и рассмотрим один из таких конусов, у которого
половина угла раствора лежит между у и (у + dy). Количество световой энергии
в таком конусе пропорционально 2nydy и образующие его лучи дадут два светлых
кольца по обе стороны от кольца, соответствующего конической рефракции. Ширины
этих колец будут пропорциональны dy, а площадь каждого из них — 2nRdy, где
R — радиус кольца, соответствующего конической рефракции. Таким образом, коли-
количество энергии, проходящей через единицу площади, пропорционально y/R, и следо-
следовательно, при y = 0 оно тоже равно нулю. Итак, освещенность равна нулю вдоль
окружности, соответствующей у = 0, т. е. для луча, направление которого соответ-
соответствует конической рефракции. По мере удаления от этой окружности освещенность
возрастает приблизительно линейно до края кольца, определяемого у.
16.29. Из предыдущего параграфа следует, что появление темного кольца свя-
связано с тем обстоятельством, что количество энергии, заключенной в бесконечно малом
угле dy вблизи оптической оси, пропорционально (dyJ, тогда как для полого конуса
лучей с углом раствора от y до (Y+^Y) соответствующее количество энергии про-
пропорционально dy. Первая величина бесконечно мала по сравнению со второй. До тех
пор, пока одно из пятен на волновой поверхности, соответствующее узкому конусу
лучей, значительно отстоит от края кратера, его площадь пропорциональна половине
угла раствора конуса. Когда оно приближается к краю кратера, один его размер
определяется радиусом кратера (и является конечным), а второй становится беско-
бесконечно малым. Иными словами, площадь, на которую приходится данное количество
света, становится бесконечно малой величиной первого порядка, тогда как количество
энергии остается бесконечно малой второго порядка. Таким образом, освещенность
(количество энергии, приходящееся на единицу площади) оказывается бесконечно
малой.
16.30. Направление вектора D для любого луча при конической рефракции
можно определить из того условия, что вектор D должен лежать в одной плоскости
Рис. 16.18. Направления вектора D для лучей при внутрен-
внутренней (а) и внешней (б) конической рефракции.
с этим лучом и с волновой нормалью. Как указано в конце § 16.26, один луч из внут-
внутреннего конуса лучей совпадает с оптической осью второго рода. Направления D
для остальных лучей показаны на рис. 16.18, а. Эти направления можно определить
экспериментально, имея в виду, что плоскость поляризации всегда перпендикулярна
плоскости, в которой лежит вектор D. Аналогично, в случае внешней конической
рефракции всегда существует внутренний конус волновых нормалей. Одна волновая
нормаль (перпендикулярная круговому сечению волновой поверхности) совпадает
со своим лучом, т. е. с осью единственной лучевой скорости (оптической осью первого
рода). Направления D для других нормалей показаны на рис. 16.18, б. Каждый
выходящий из кристалла луч поляризован в соответствии с направлением его
волновой нормали.
472
ГЛ. 16. ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
Прохождение сходящегося пучка линейно поляризованного света
через тонкую кристаллическую пластинку
16.31. В § 12.41 мы рассматривали цвета, возникающие при про-
прохождении параллельного пучка света сначала через поляризатор, затем
через тонкую кристаллическую пластинку перпендикулярно ее поверх-
поверхности и, наконец, через анализатор. При этом использовалась установка,
изображенная на рис. 12.21. С помощью этой установки можно детально
исследовать это явление, немного поворачивая пластинку вокруг оси,
перпендикулярной направлению распространения света, и наблюдая изме-
изменение цветов. Однако удобнее наблюдать картины, получающиеся при
наличии всех направлений распространения света одновременно, с по-
помощью установки, изображенной на рис. 16.19. Параллельный пучок
света, полученный при помощи линзы Lu проходит через поляризатор
и затем через собирающую линзу L2. После кристаллической пластинки
X свет проходит через линзы L3 и Lk. Анализатор помещают между этими
Рис. 16.19. Установка для демонстрации изохроматических линий.
линзами в том месте, где пучок приблизительно параллелен *). Линзы
L3 и L4 образуют телескопическую систему. Лучи, достигающие опреде-
определенной точки экрана, проходят через различные участки кристаллической
пластинки, но все имеют одно и то же направление по отношению к кри-
кристаллической пластинке. Если освещенную поверхность кристаллической
пластинки прикрыть частично маленькой непрозрачной шторкой, то ее
изображение не появится на экране S, но освещенность всех частей экра-
экрана уменьшится пропорционально закрытой площади пластинки. Так как
все части кристаллической пластинки участвуют в освещении любой
точки экрана, четкая картина будет наблюдаться только в том случае,
когда кристалл свободен от посторонних включений и когда толщина
пластинки везде приблизительно одинакова.
Картина на экране S не является изображением кристаллической
пластинки. Освещенность в каждой точке этой картины характеризует
цвет и количество света, прошедшего через кристалл и анализатор в дан-
данном направлении. Ясно, что количество света, прошедшее по данному
направлению через анализатор, зависит от того, в каком состоянии поля-
поляризации вышедший из кристалла свет попадает на анализатор.
Для того чтобы получить полное представление об этом явлении,
необходимо иметь картины, соответствующие различным толщинам пла-
пластинок, вырезанных под различными углами относительно осей кристалла.
В качестве примера приведем картины, показанные на рис. IV. Типичная
картина состоит из системы интерференционных полос одного цвета
*) Это необходимо только в том случае, когда анализатор и поляризатор пред-
представляют собой поляризационные призмы (призмы Николя и т. д.), имеющие сра-
сравнительно небольшую рабочую апертуру. Поляроиды не нуждаются в установке
в параллельном пучке. (Прим. ред.)
СХОДЯЩИЙСЯ ПУЧОК В ТОНКОЙ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ ПЛАСТИНКЕ 473
(изохроматические линии или кольца) и системы неокрашенных полос
(ахроматические линии). Последние обычно менее четки и иногда их назы-
называют «кистями».
16.32. В § 12.41 мы получили соотношение для количества света,
прошедшего через систему, состоящую из поляризатора, кристалличе-
кристаллической пластинки и анализатора, в том случае, когда параллельный пучок
света нормален к поверхности пластинки, вырезанной параллельно
оптической оси кристалла. Напомним его:
E = a2jcos2(a-P)-sm2asin2psin2-i6| A6.T2)
(см. рис. 12.22).
В этом соотношении аир зависят от ориентации поляризатора и ана-
анализатора по отношению к кристаллической пластинке. 6 — разность
фаз между двумя световыми пучками, каждый из которых линейно поля-
поляризован в одном из двух направлений, возможных при прохождении
пучков перпендикулярно пластинке. Эта разность фаз равна
d = x(|i*—|*')d, A6.73)
где к = -у- (А, — длина волны в воздухе) и d — толщина кристалличе-
кристаллической пластинки. Мы покажем, что изохроматические линии (интерферен-
(интерференционные полосы одного цвета) соединяют точки, соответствующие тем
направлениям лучей, для которых б постоянна. Ахроматические линии
(т. е. белые или черные интерференционные полосы) соответствуют на-
направлениям, для которых sin 2a«sin 2p равно нулю, т. е. направлениям,
при которых второй член A6.72) исчезает независимо от значения б.
16.33. Рассмотрим параллельный пучок неполяризованного света,
падающий снизу на поверхность тонкой кристаллической пластинки под
углом 0! (рис. 16.20). Пусть
А±В± — положение волнового
фронта в момент времени t = 0,
и пусть в кристалле падающий
пучок расщепляется на два, при-
причем АгА\ и В2В"Ъ — волновые
нормали для одного пучка,
а МА'г и В2В'3 —для другого.
A"zAl и А'гА\ —- две волновые
нормали выходящих из пластин-
пластинки пучков. По обе стороны от
кристалла, в воздухе, волновые
Рис. 16.20.
нормали совпадают с лучами,
но внутри кристалла лучи и нор-
нормали имеют различные направ-
направления. Необходимо подчерк-
подчеркнуть, что А2А и т. д. не лучи,
а волновые нормали. В общем
случае лучи не будут лежать
в плоскости чертежа, а волно-
волновые нормали всегда должны находиться в плоскости падения, которая
является плоскостью чертежа. Волновые нормали выходящей из кри-
кристалла волны параллельны волновым нормалям падающей волны (н, сле-
следовательно, параллельны друг другу). Фронт падающей волны так-
также будет параллелен фронту выходящей. Волны, прошедшие череа
474 ГЛ. 16. ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
пластинку, можно собрать линзой. Тогда в некоторой точке фокальной
плоскости можно наблюдать интерференцию волн, прошедших через ана-
анализатор. Очевидно, что через анализатор пройдут и будут интерфериро-
интерферировать лишь пропущенные им компоненты электрического вектора каждой
волны. Разность их фаз в фокальной плоскости линзы L4 (см. рис. 16.19)
должна совпадать с разностью фаз в плоскости В\А\. Для разности
фаз двух волн, выходящих из пластинки из анизотропного материала,
можно написать
6=xe(^cose;—[j/cose;), A6.74)
где 9' и 0" — углы между волновыми нормалями преломленных волн
и нормалью к пластинке соответственно *). Соотношение A6.74) выра-
выражает тот факт, что разность фаз двух выходящих пучков зависит от раз-
разности показателей преломления и от небольшого различия путей в пла-
пластинке, связанного с тем, что волновые нормали двух пучков образуют
не вполне одинаковые углы с нормалью к поверхности пластинки.
Мы покажем, что если двойное лучепреломление мало, то второй
эффект очень мал по сравнению с первым. В этом случае получим
где cos 82 — среднее между cos Q'2 и cos б^.
Если двойное лучепреломление мало, то
Ь=ш (цЛ—\i') -J- ([х cos 62),
т. е.
s:e2—\i sin 82 -^Л . A6.76)
aft J
Дифференцируя соотношение
H,sin62=sin0i,
находим
sin 92+ja cos82 ^=0. A6.77)
Соотношение A6.75) получается подстановкой значения c?92/c?fi из A6.77) в A6.76).
Изохроматические поверхности
16.34. Рассмотрим теперь не отдельную кристаллическую пластин-
пластинку, а анизотропную среду неограниченных размеров. Проведем из неко-
некоторой ее точки О волновую нормаль OR в каком-либо направлении
(рис. 16.21). Пусть две плоские волны, соответствующие этой волновой
нормали, имеют одинаковые фазы, когда они проходят точку О. Тогда
разность их фаз в точке R будет равна следующей величине **):
а = х(п" —л')л A6.78)
где г = OR.
Если из точки О провести в различных направлениях радиусы-век-
радиусы-векторы, длины которых обратно пропорциональны разностям показателей
*) Этот расчет приводится, например, в [16.3]. (Прим. ред.)
**) Здесь следует отметить, что п — показатель преломления по отношению
к вакууму — приблизительно равен [i — показателю преломления по отношению
к воздуху.
ИЗОХРОМАТИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
475
преломления, то мы получим некоторую поверхность, которая является
геометрическим местом точек, характеризуемых определенным значением
£ (например, 6i). Придавая различные значения параметру б, можно
построить семейство таких поверхностей Эти поверхности называют изо-
изохроматическими поверхностями. Если выбранные направления определять
углами, которые волновая нормаль образует с оптическими осями, то из
A6.65) можно получить приближенное соотношение *), которое будет
уравнением изохроматической по-
поверхности
nr(\iz — |xa)sinx1sinx2 = 61 A6.79)
Типичная изохроматическая поверх-
поверхность двуосного кристалла предста-
представлена на рис. 16.21, одноосного
Рис 16 21 Изохроматическая поверх-
поверхность в случае двуосного кристалла.
Рис 16 22 Изохроматическая поверх-
поверхность в случае одноосного кристалла
кристалла — на рис. 16.22. Можно показать, что уравнение изохрома-
изохроматической поверхности в декартовых координатах имеет вид
A6.80)
Из соотношения A6.78) следует, что
или
•n'g)y. A6.81а)
так как углы между лучами и соответствующими волновыми нормалями малы Раз-
Разность между показателями преломления n"g и п^ легко найти из уравнения A6.40),
«которое можно записать в виде
V_^_- о
/\ „л _о
Из этого уравнения второй степени относительно п| получим
n'2+n?=J\QUnl+nl) A6.816)
Из A6 81а) имеем
Отсюда, пользуясь A6 816), а также учитывая, что qx — х/r и т. д. и заменяя пх
и т. д на [ix и т. д , получим A6.80).
*) При получении этого соотношения мы считали, что Ъ'Ъ" = bxbz, а пх и пг
.заменили на \ix и цг
476
ГЛ. 16 ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
Изохроматические интерференционные фигуры
16.35. Пусть точка О является точкой на поверхности тонкой кри-
кристаллической пластинки (рис. 16.23). Изобразим на том же рисунке изо-
изохроматическую поверхность, соответствующим образом ориентирован-
ориентированную по отношению к оптическим осям кристалла. Тогда любая прямая ORy
проведенная из точки О в точку пересечения изохроматической поверх-
поверхности со второй поверхностью кристалла, служит волновой нормалью,
для которой разность фаз равна д±.
Лучи (уже вне кристалла), соответствующие этим направлениям вол-
волновых нормалей, проектируются линзой L на экран S (см. рис. 16.23)
и образуют на нем систему линий. Эти линии называют изохроматиче-
изохроматическими линиями (интерференционными полосами), так как для любой точ-
точки каждой из них зависящий от длины волны член в уравнении A6.72)
о
Рис. 16.23.
имеет одну и ту же величину, но не обязательно один и тот же знак
(см. § 12.42).
Таким образом, вдоль этой линии наблюдается только один цвет
(или его дополнительный), так как разность фаз двух интерферирую-
интерферирующих пучков для некоторой определенной длины волны будет иметь одно
и то же значение.
При использовании монохроматического света светлые полосы наблю-
наблюдаются для 6i= 2тю1, а темные — для 6i = Bт + 1) я, где т — целое
число. Изохроматические линии нельзя считать увеличенным изображе-
изображением картины, соответствующей пересечению поверхности кристалла
с изохроматической поверхностью. Метод, описанный выше, служит
только для определения соответствующих направлений, и любую точку
первой поверхности кристалла можно выбрать в качестве точки О. Изо-
Изохроматические кривые не определяют непосредственно направления вол-
волновых нормалей внутри кристалла. Однако 62 является простой функцией
8i (см. рис. 16.20), и поэтому изохроматические линии имеют тот же общий
вид, что и сечения изохроматической поверхности некоторой плоскостью.
Это обстоятельство позволяет при общих качественных обсужде-
обсуждениях наблюдаемых изохроматических линий исходить из формы этих
сечений.
Сложная форма изохроматических поверхностей (см. рис. 16.21 и 16.22}
показывает, что вид изохроматических интерференционных фигур может
быть весьма разнообразен. Рассмотрим несколько наиболее важных при-
примеров.
АХРОМАТИЧЕСКИЕ ПОЛОСЫ. ОДНООСНЫЙ КРИСТАЛЛ 477
Одноосный кристалл, вырезанный перпендикулярно
оптической оси
16.36. Для одноосного кристалла уравнение изохроматической
поверхности A6.79) имеет вид
где х — угол между волновой нормалью и оптической осью. Рассмотрим
течение кристалла, перпендикулярное оптической оси. Очевидно, что
в этом случае сечение изохроматической поверхности обладает круговой
симметрией. Сохраняя обозначения, принятые на рис. 16.20, получим,
что % = 02 и sin 0i = [x sin %, где \i — средний показатель преломления
света для двух волновых нормалей. Радиус изохроматического кольца Я,
соответствующего разности фаз 2тк, определяется соотношением R =
= / sin 0! = \if sin %m, где / — постоянная величина, пропорциональная
фокусному расстоянию линзы Lk на рис. 16.19, а значение sin %m полу-
получается подстановкой 2пт вместо б* в A6.82), т. е.
где
Л2== ^2/2 A6.83)
А не зависит от 0Ь если пренебречь небольшими изменениями \i в зави-
зависимости от направления. Следовательно, радиусы наблюдаемых колец
пропорциональны квадратным корням из натурального ряда чисел, т. е.
они по внешнему виду напоминают кодьца Ньютона. Для данного значе-
значения т радиус колец является функцией длины волны, так как X входит
непосредственно в A6.83), и, кроме того, показатели преломления зависят
от длины волны. Таким образом, кольца будут окрашены, и для больших
значений т кольца различных цветов перекрываются настолько, что
картина становится не вполне отчетливой (рис. IV, а, б).
Ахроматические интерференционные полосы для одноосного кристалла,
наблюдаемого в сходящихся лучах
16.37. Продолжим рассмотрение интерференционной картины для
одноосного кристалла, вырезанного перпендикулярно оптической оси
и расположенного в оптической системе, изображенной на рис. 16.19.
Как следует из вышеизложенного, каждая точка системы интерференцион-
интерференционных колец, образующихся в фокальной плоскости объектива £4> соответ-
соответствует определенному направлению падения света на кристалл.
Однако интерференционная картина в этом случае не исчерпывается
системой светлых и темных колец (для монохроматического света) (см.
рис. IV, а и б). Помимо того, что для каждоц длины волны белого света,
падающего на кристалл, будет своя система колец, интерференционная
картина будет еще рассечена черным или светлым (ахроматическим)
крестом, похожим по форме на мальтийский крест. Первый случай (чер-
(черный крест) соответствует скрещенным николям АлРв оптической схеме,
изображенной на рис. 16.19; второй случай (светлый крест) — парал-
параллельным николям.
Рассмотрим причины образования этих крестов. Падающий на кри-
кристалл свет линейно поляризован. Плоскости падения всех световых лучей,
478
ГЛ. 16. ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
формирующих световой конус, сходящийся на пластинке, различны.
Эти плоскости образуют целый веер плоскостей, наподобие листов раскры-
раскрытой книги, корешок которой (ось конуса лучей) поставлен нормально
к пластинке. Вектор электрической индукции D линейно поляризо-
поляризованного света, формирующего конус лучей, может, разумеется, лежать
только в одной из этих плоскостей. Со всеми другими плоскостями вектор
D будет составлять различные углы. Максимальный угол (90°) вектор JD
будет составлять с плоскостью, перпендикулярной той, в которой он
лежит полностью.
Внутри кристалла рассматриваемые плоскости падения будут пло-
плоскостями главного сечения для соответствующих лучей. Следовательно,
для всех вообще лучей светового конуса вектор индукции Z) не будет
лежать в плоскости главных сечений своих лу-
лучей. Только для одного главного сечения он ока-
окажется лежащим в плоскости этого сечения и толь-
только для одного главного сечения он окажется нор-
нормальным к нему. Отсюда следуют важные выводы,
которые можно иллюстрировать рис. 16.24. На
рисунке изображено несколько плоскостей глав-
главного сечения кристаллической пластинки и единое
направление проекции вектора D падающей на
кристалл линейно поляризованной волны. Для
одного случая проекция на поверхность кристалла
вектора D разложена на две компоненты: компо-
компоненту, лежащую в плоскости главного сечения, и
компоненту, перпендикулярную к нему. Наличие
двух таких компонент означает, что падающий на
кристалл под данным азимутом Q луч порождает
внутри кристалла две волны: обыкновенную и
необыкновенную. Эти волны приобретают в пла-
пластинке разность хода и на выходе из пластинки
в результате их интерференции получается, в общем
случае, эллиптически поляризованный свет. Такой
свет может быть частично пропущен (в зависимости
от ориентации осей эллипса поляризации) ана-
анализатором А (см. рис. 16.19), даже если он
скрещен с николем Р.
На выходе из пластинки свет останется линейно поляризованным
только для лучей, плоскости главных сечений которых лежат под азиму-
азимутами Ni и iV2. Совокупность первых лучей будет распространяться внутри
кристалла как необыкновенные лучи, совокупность вторых —как обык-
обыкновенные лучи. Эллиптической поляризации на выходе из пластинки
они не приобретут. Ясно, что поскольку они выйдут из пластинки, остав-
оставшись в состоянии исходной линейной поляризации (независимо от тол-
толщины пластинки и длины световой волны), они не будут пропущены ана-
анализатором А, скрещенным с поляризатором Р. Таково происхождение
двух взаимно перпендикулярных ветвей черного креста на рис. IV, а.
При параллельных николях А и Р рассуждение, вполне аналогичное про-
проведенному, объясняет происхождение ахроматического светлого (белого)
креста.
Изложенные качественные соображения о происхождении темных
и светлых крестов на интерференционных картинах, полученных с по-
помощью одноосного кристалла, легко подкрепить количественным анали-
Рис 16 24. Проекции
вектора D и его компо-
компонент на плоскость чер-
чертежа, совпадающую с
поверхностью кристал-
кристаллической пластинки
Радиальные линии соответ-
соответствуют пересечениям не-
нескольких плоскостей глав-
главных сечений с поверхностью
пластинки. Ось светового
конуса проходит через точ-
точку О и нормальна плоскости
чертежа Роль главных се-
сечений OiVi и ON2 объясне-
объяснена в тексте.
АХРОМАТИЧЕСКИЕ ПОЛОСЫ. ДВУОСНЫЙ КРИСТАЛЛ
479
зом явления, основанным на исследовании соотношения A6 72). Эта
формула может даже описать распределение интенсивности в интерферен-
интерференционной картине, а не только ее общую геометрию.
Двуосный кристалл, вырезанный перпендикулярно
биссектрисе угла между оптическими осями
16.38. Вернемся вновь к содержанию §§ 16 35 и 16 36 Сечения изохроматической
поверхности двуосного кристалла (см. рис 16 21) плоскостями, перпендикулярными
биссектрисе >гла между оптическими осями и расположенными на разных расстоя
ниях от точки О, показаны на рис 16 25 Форма сечения этих поверхностей зависит
от расположения секущей плоскости по отношению к «седлу» М изохроматическое
Рис 16 25 Сечения изохроматической поверхности дву-
двуосного кристалла плоскостями, перпендикулярными
биссектрисе угла между оптическими осями.
поверхности Если секущая плоскость проходит ниже М, то сечение имеет вид, изобра-
изображенный на рис 16 25, а и б Если секущая плоскость касается М, то получается сече-
сечение, показанное на рис 16 25, в И, наконец, для плоскости, проходящей выше М,
мы получим сечение вида 16 25, г Как было указано в § 16 35, можно приближенно
судить о форме интерференционных фигур, наблюдаемых на поверхности кристал-
кристаллической пластинки, по форме этих сечений Рассмотрим картину, соответствующую
только одной длине волны. Тогда для тонкой кристаллической пластинки даже изо-
изохроматическая поверхность, соответствующая 6 = 2л (т е т = 1), будет пересечена
выходной плоскостью кристаллической пластинки ниже точки М, и мы получим
на пластинке или на экране S (см. рис. 16 23) изохроматические линии типа приве-
приведенных на рис 16 25, а, б Для более толстой пластинки будет наблюдаться полный
набор различных фигур (см. рис IV, в).
Ахроматические интерференционные полосы. Двуосный кристалл,
вырезанный перпендикулярно биссектрисе угла
между оптическими осями
16.39. Покажем теперь, что ахроматические полосы для двуосного кристалла
представляют собой ветви гипербол В общем случае мы почучим две гиперболы
Асимптоты одной из них параллельны и перпендикулярны направлению поляриза
тора, а асимптоты второй аналогичным образом расположены относительно направ
ления анатазатора Если анализатор и поляризатор параллельны, то наблюдается
только одна белая гнпербола, если же они перпендикулярны,— то одна черная гипер-
гипербола Если направление поляризатора или анализатора параллельно или перпен
дикулярно плоскости, проходящей через оптические оси кристалла, то соответствлю
щая гипербола совпадает со своими асимптотами и наблюдается темный крест Когда
и поляризатор, и анализатор параллельны или перпендикулярны плоскости, в кото
рой лежат оптические оси, появляется белый крест, если направления почяризатора
и анализатора параллельны друг другу, и черный крест, если они взаимно перпен-
перпендикулярны
480
ГЛ. 16. ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
16.40. Пусть^ точка R (рис. 16.26) является точкой на ахроматической полосе,
асимптоты которой определяются направлением поляризатора, и пусть ОХ и OY —
направления, одно из которых параллельно, а второе перпендикулярно плоскости
анализатора. Пусть, наконец, точки Р' и Р* являются точками, соответствующими
выходам оптических осей. Направления колебаний в точке R определяются направ-
направлениями внутренней и внешней биссектрис
угла между P'R и P"R. Ахроматическая ли-
линия является геометрическим местом точек,
для которых эти биссектрисы остаются парал-
параллельными ОХ и OY. Если координаты точки R
равны х и у, а координаты точки Р' равны
X и У, то координаты точки Р* будут рав-
равны — X и —У. Треугольник RAB является
равнобедренным, и поэтому
tgRBO = tgRP'N'=-
Аналогичным образом,
tgRP'N* =
У+Y
X+x
Рис. 16.26.
и, следовательно,
xy=XY,
т. е. геометрическое место точек R является гиперболой, одна из асимптот которой
параллельна, а вторая перпендикулярна направлению поляризатора.
Прохождение через кристалл света, поляризованного по кругу
16.41. Если между Р и Ьг (рис. 16.19) поместить соответствующим
образом ориентированную пластинку в четверть длины волны, то свет,
падающий на кристалл, будет поляризован по кругу. Свет, выходящий из
кристалла, можно проанализировать либо с помощью обычного линей-
линейного анализатора (например, николя), либо с помощью кругового анали-
анализатора, состоящего из пластинки в четверть волны и линейного анализа-
анализатора, направление которого совпадает с биссектрисой угла между главными
направлениями пластинки Я/4. В первом случае линейный анализатор
разложит падающий на него пучок света на два линейно поляризованных,
но пропустит только один из этих пучков.
Иначе работает анализатор, состоящий из пластинки в четверть волны
и николя. При любой ориентации пластинка в четверть волны превра-
превращает свет, поляризованный по кругу, в линейно поляризованный. Однако
плоскость колебаний в этом линейно поляризованном свете будет зави-
зависеть от того, по какому кругу (правому или левому) поляризован свет,
падающий на пластинку в четверть волны. Плоскости поляризации
линейно поляризованного света в этих двух различных случаях будут
составлять между собой угол 90°. Поэтому линейный анализатор, стоящий
за пластинкой в четверть волны, может быть ориентирован так, чтобы
пропускать свет, который до пластинки в четверть волны был поляризо-
поляризован либо по правому, либо по левому кругу. Поэтому круговой анализа-
анализатор можно рассматривать как анализатор, разделяющий падающий на
него световой пучок на правополяризованный и на левополяризованный,
из которых пропущен будет только один. Но благодаря использованию
пластинки в четверть волны в обоих случаях анализатор пропустит обе
компоненты колебаний исходного циркулярно поляризованного света.
Это существенно иметь в виду для понимания нижеследующего утвер-
утверждения.
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ КРИСТАЛЛ СВЕТА, ПОЛЯРИЗОВАННОГО ПО КРУГУ 481
Можно показать, что при использовании линейного анализатора будут
наблюдаться и изохроматические и ахроматические интерференционные
полосы, но появляющиеся картины окажутся проще описанных выше
(см. §§ 16.35—16.40). В разбираемом случае при использовании анали-
анализатора, состоящего из пластинки в четверть волны и линейного анали-
анализатора, ахроматические полосы, видимые на поверхности кристалла
в линейно поляризованном свете, не возникают. Изохроматические же
полосы аналогичны описанным выше. Возможность раздельного наблю-
наблюдения ахроматических и изохроматических полос путем использования
разных анализаторов иногда составляет удобный экспериментальный
прием.
16.42. Прохождение через кристалл света, поляризованного по кругу, проще
рассматривать, исходя из основных положений оптики анизотропных сред, а не из соот-
соотношения A6.72). Рассмотрим параллельный пучок света, поляризованного по кругу
и падающего нормально на тонкую кристаллическую пластинку, вырезанную парал-
параллельно оптической оси. Пусть ОХ и OY соответствуют главным направлениям пла-
пластинки. Тогда компоненты падающего пучка можно представить в виде |х = a cos со*
и|у=а sin о*. Компоненты колебаний в световом пучке, прошедшем через кристал-
кристаллическую пластинку, запишутся в виде
a cos ((Ot — kid) и a sin (со* —k2d),
что, смещая начало отсчета времени, можно записать так:
a cos со* и a sin (со* + б). A6.84)
После прохождения через линейный анализатор, расположенный под углом Р к оси OXt
соответствующие компоненты станут равными
a cos P cos со* \
и } A6.85)
a sin p sin (со* + б). J
Количество света, прошедшего через анализатор, определяется соотношением
Е = а2 A _f- Sin 2p sin б). A6.86)
В этом выражении первый член не зависит от длины световой волны, второй зависит
от нее. При данном б знак и величина второго члена определяются углом р.
В сходящемся пучке света будет существовать только одна система ахромати-
ахроматических полос.
Обратимся к случаю кругового анализатора. Смещая начало отсчета времени,
мы можем записать A6.84) следующим образом:
s=acos^co* — уб^ и y=asin((dt+~b\. A6.87)
Эти соотношения можно представить в виде
xt = a cos -тг б cos со*, г/1=я cos -^- б sin со*
А А
И
х2=а sin -jr-б sin со*, у2=а sin ~^д cos со*,
А А
т. е. в виде компонент колебаний света, поляризованных по левому и по правому
кругу. Если круговой анализатор, состоящий из пластинки в четверть волны и линей-
линейного анализатора, пропускает свет, поляризованный по правому кругу, то для интен-
интенсивности прошедшего сквозь пластинку света будем иметь
-i-6, A6.88)
а если он пропускает свет, поляризованный по левому кругу, то получим
£=a2Cos2 -i-6=a2 Г1""sin2 У6) ' A6#89)
31 р. Дитчберн
482 ГЛ 16 ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
Применив эти результаты к сходящемуся пучку, мы находим, что в обоих случаях
ахроматические полосы отсутствуют. Радиусы изохроматических колец зависят от
sm2 6/2, и поэтому кольца аналогичны тем, которые наблюдаются при использовании
линейно поляризованного света В случае применения анализатора, пропускающего
свет, поляризованный по левому кругу, цвета колец получаются дополнительными
по отношению к цветам, наблюдаемым при использовании анализатора, пропускаю-
пропускающего свет, поляризованный по правому кругу.
Оптически активные кристаллы в сходящемся пучке
поляризованного света
16.43. В наиболее общем случае кристалл является анизотропным и оптически
активным В сходящемся п>чке поляризованного света такие кристаллы дают харак-
характерною картину изохроматических и ахроматических кривых. Детальный расчет
этой картины весьма трудоемок, но не требует использования каких-либо новых поло-
положений. Для расчета необходимо применить описанные выше методы к кристаллу,
в котором в каком то определенпом направлении два эллиптически поляризованных
пучка могут проходить без изменений На рис IV, г показана картина, которая наблю-
наблюдается в том случае, когда сходящийся щчок линейно поляризованного света проходит
через кварцевую пластинк}, вырезанную перпендикулярно оптической оси, а анали-
анализатор перпендикулярен поляризатору. Отсутствие креста в средней части картины
приводит к выводу, что в случае оптически активного одноосного кристалла волновые
поверхности обыкновенной и необыкновенной волн не соприкасаются друг с другом.
Одна поверхность полностью охватывает другую. В случае оптически активных дву-
осных кристаллов картина оказывается значительно более сложной Для большинства
таких кристаллов имеются лишь результаты измерений главных показателей прело-
преломления и оптической вращательной способности при распространении света вдоль
оптических осей кристалла В общем случае для разных оптических осей вращательная
способность не одинакова [16 2].
Измерение оптических постоянных кристаллов
16.44. Соответствия между направлением оптической оси (или осей)
и направлением оси (или осей) симметрии кристалла можно определить,
исследуя в сходящемся поляризованном пучке кристаллические пла-
пластинки, вырезанные различным образом. Обычно среди нескольких пла-
пластинок найдется такая, у которой оптическая ось достаточно близка
к нормали пластинки, и поэтому в случае одноосного кристалла можно
наблюдать центр системы колец и, значит, приближенно определить
направление оптической осп. Затем его можно определить более точно,
вырезав пластинку перпендикулярно направлению, предварительно най-
найденному приближенно. Если кольца расположены не вполне симметрично,
когда ось сходящегося светового пучка перпендикулярна поверхности
пластинки, то поворот пластинки на небольшой угол позволяет сделать
систему колец симметричной. Измерив величину этого угла поворота
пластинки, можно рассчитать угол между нормалью к пластинке и опти-
оптической осью.
Если известно направление оптической оси одноосного кристалла, то
значения \io и \ie можно получить, измерив соответствующие критиче-
критические углы полного внутреннего отражения (см. § 12.21).
Дисперсия двойного лучепреломления может быть исследована с по-
помощью измерения критических углов для различных длин волн методом
двойного спектра (§ 12.21) или по измерению канавчатого спектра
(§§ 12.41-—12.42). Аналогичные наблюдения с монохроматическим сходя-
сходящимся поляризованным пучком света позволяют определить плоскость,
в которой лежат оси двуосного кристалла.
Предположим, что пластинка вырезана перпендикулярно одной из
биссектрис угла между осями (при системе осей координат, ранее исполь-
СВЯЗЬ ОПТИЧЕСКОЙ АНИЗОТРОПИИ С КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ 483
зованных в данной главе, это направление может совпадать с ОХ или
OZ). Примем, что оно совпадает с осью OZ. Измеряя критический угол,
соответствующий круговому сечению волновой поверхности при падаю-
падающем луче, лежащем в плоскости осей (т. е. в плоскости XZ), мы непосред-
непосредственно определим \ху. Измерение соответствующего угла для луча, лежа-
лежащего в плоскости YZ, дает значение \хх. Значение \iz легко получить,
вырезав пластинку таким образом, чтобы можно было исследовать падаю-
падающий луч, лежащий в плоскости XY и т. д. Если известны все три значе-
значения показателя преломления, можно рассчитать угол между оптическими
осями единственной волновой скорости. Полученный результат можно под-
подтвердить, измерив угловое расстояние между «глазками», получающимися
в сечении изохроматической поверхности (см. рис- IV, в). При этих изме-
измерениях поворачивают кристалл таким образом, чтобы оба «глазка» по оче-
очереди оказались в центре поля зрения. Разность отсчетов (на лимбе, несу-
несущем пластинку), соответствующих этим двум положениям пластинки, дает
«видимый» угол между осями, т. е. угол между такими пучками света
вне кристалла, которые внутри кристалла имеют нормали, совпадающие
с направлением осей. Истинный угол между осями можно рассчитать,
если известно значение \ху (см. упражнение 16.18).
Дисперсию в случае двуосных кристаллов можно определить, по
очереди измеряя показатели преломления для различных длин волн. Каж-
Каждый главный показатель преломления зависит от длины волны,
и так как эта зависимость различна для разных главных показателей
преломления, то их отношения также будут зависеть от длины волны.
Следовательно, угол между оптическими осями изменяется при измене-
изменении длины волны. Этот угол может оказаться равным нулю для одной
длины волны и отличным от нуля для других длин волн. Следовательно,
кристалл будет одноосным для одной длины волны и двуосным для дру-
других длин волн.
Связь между оптической анизотропией
и кристаллической структурой
16.45. Измерение оптических постоянных большого числа различ-
различных кристаллов позволило установить следующие соотношения между
их оптическими и кристаллографическими свойствами. Перечислим их.
а) Кристаллы кубической системы всегда изотропны; эллипсоид
показателей преломления таких кристаллов обращается в сферу.
б) Кристаллы, имеющие одно выделенное кристаллографическое
направление — ось (т. е. кристаллы тригональной, тетрагональной и гек-
гексагональной систем), являются одноосными; их оптическая ось совпадает
с главной осью симметрии, т. е. с осью симметрии высшего порядка;
эллипсоид показателей преломления представляет собой эллипсоид вра-
вращения.
в) Кристаллы, не имеющие выделенного кристаллографического
направления и с различными ребрами элементарной ячейки (т. е.
кристаллы ромбической, моноклинной и триклинной систем), являются
двуосными; эллипсоид показателей преломления имеет три различные
оси. Если кристалл имеет три оси симметрии второго порядка, то глав-
главные оси эллипсоида совпадают с этими осями. Если кристалл обладает
одной кристаллографической осью симметрии второго порядка (моно-
(моноклинные кристаллы), то одна из главных осей эллипсоида совпадает с ней.
Когда кристалл не имеет осей второго порядка (триклинная система),
484
ГЛ. 16. ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
Таблица 16.1
Кристалличе-
Кристаллическая система
Ориентация
осей эллип-
эллипсоида ди-
электриче-
электрической прони-
проницаемости 8
Форма эллип-
эллипсоида ди-
электриче-
электрической прони-
проницаемости 8
Оптическая
классифика-
классификация кристал-
кристаллов
Триклинная
Произволь-
Произвольная по от-
отношению
к осям
кристалла
и зави-
зависящая от
длины вол-
волны света
Моноклинная
Одна из осей
парал-
параллельна
оси сим-
симметрии
второго
порядка;
направле-
направления ос-
остальных
двух осей
зависят
от длины
волны
света
Ромбическая
Все три оси
фиксиро-
фиксированы и их
положе-
яе нив за-
зависит от
длины
волны
света
Трехосный эллипсоид
Двуосяый
Тригональная,
тетрагональная,
гексагональная
Одна из осей
параллельна
оси симме-
тии третьего,
четвертого
или шестого
порядков; ос-
остальные оси
ориентирова-
ориентированы произ-
произвольным об-
образом по от-
отношению к
осям крис-
кристалла
Эллипсоид вра-
вращения
Одноосный
Кубическая
Все ориен-
ориентации
осей экви-
эквивалентны
Сфера
Изотропный
главные оси эллипсоида могут быть ориентированы произвольным обра-
образом относительно кристаллографических осей кристалла.
Эти результаты можно свести в табл. 16.1 [16.3].
Дисперсия
16.46. Приведенные выше соотношения связаны с определенными ограничениями
дисперсионных свойств кристаллов. В одноосных кристаллах оптическая ось имеет
одно и то же направление для всех длин волн, так как она совпадает с кристаллогра-
кристаллографической осью, высшей для данного кристалла симметрии. Значения цо и \ie вполне
независимы, и, в общем случае, величина ([io — \ie) не пропорциональна среднему
показателю преломления. Кристалл может быть положительным одноосным для одной
длины волны и отрицательным одноосным для другой.
У кристаллов орторомбической системы оси эллипсоида показателей преломле-
преломления (или эллипсоида г) должны иметь одно и то же направление для всех длин волн,
так как они совпадают с кристаллографическими осями. Оптические оси лежат в пло-
плоскости, которая содержит направления, соответствующие максимальной и минималь-
минимальной скоростям. Выше мы полагали, что Ьх > Ьу > bz, и следовательно, оптическце
оси второго рода лежат в плоскости XZ. Если указанное соотношение справедливо
для всех длин волн, то оптические оси всегда лежат в плоскости XZ, и by является
общей биссектрисой угла между оптическими осями при любой длине волны. Это
соответствует нормальной дисперсии. Однако возможен случай, когда для некоторых
длин волн Ъх > Ьг > Ъу> и следовательно, оптические оси лежат в плоскости XY,
или случай, когда Ьу > Ьх > bz, что соответствует расположению этих осей в пло-
плоскости YZ. Таким образом, для кристаллов подобного типа оптические оси, соответ-
МОЛЕКУЛЯРНАЯ СТРУКТУРА КРИСТАЛЛА И ЕГО ОПТИЧЕСКАЯ АНИЗОТРОПИЯ 485
ствующие различным длинам волн, мог\т находиться в одной из трех взаимно пер-
перпендикулярных плоскостей. Если оси дтя двл\ дтин волн лежат в одной плоскости,
то углы между осями имеют общ^ю биссектрису
В кристаллах моноклинной системы направление одной из осей эллипсоида
показателя преломления (или эллипсоида е) фиксировано, и две дрлгие оси дотжны
лежать в плоскости, перпендикулярной этой оси. Они моглт поворачиваться
на любой угол, оставаясь перпендикулярными другу др>гу. Прп этом возможны
следующие случаи:
1) Если фиксированная ось эллипсоида 8 служит биссектрисой угла межд>
оптическими осями для одной длины волпы, то оптические оси для дрлгпх длин
воля могут лежать в различных плоскостях, но углы между ними имеют обпг>ю
биссектрису (угловая дисперсия оптических осей).
2) Оптические оси могут лежать в плоскости, перпендикулярной главной кристал-
кристаллографической оси, для всех длин волн В этом случае общей биссектрисы не будет
Если отношение между величинами главных скоростей меняется в очень широких
пределах, что возможно для кристаллов орторомбической системы, то может оказаться,
что для некоторых длин волн расположение оптических осей соответствует первом}
случаю, а для других длин волн — второму. Однако такие вариации в расположении
оптических осей вряд ли имеют место в моноклинных кристаллах. Если главная кри-
кристаллографическая ось совпадает с направлением максимальной скорости для одной
длины волны, то она обычно совпадает с этим направлением и для других длин волн.
Для кристаллов триклинной системы не существует никаких ограничений такого
типа и дисперсия оптических осей весьма сложна. Различные виды дисперсии можно
распознать по форме изохроматических кривых. Определение вида дисперсии совместно
с измерением видимого угла между осями дает метод идентификации кристаллов
в минералогических образцах. После некоторой модификации прибор, изображенный
на рис. 16.19, может применяться для исследования очень мелких образцов.
Молекулярная структура кристалла и его оптическая анизотропия
16.47. Расчет показателей преломления кристаллических сред предо-
предоставляет собой развитие теории дисперсии, изложенной в гл. 15. При
этом расчете снова возникают уже описанные в ней вопросы — например,
вопрос о рефракции, обусловленной наличием связей между двумя ато-
атомами или ионами. К исследованию дисперсии кристаллов можно подойти
с двух точек зрения, описанных в гл. 15, т. е. 1) можно рассматривать
соотношение между D и Е при наложении высокочастотного поля, или
2) можно рассматривать кристалл как совокупность рассеивающих центров,
считая, что рассеянное излучение когерентно с падающим. Как и в слу-
случае изотропных сред, в анизотропных средах дисперсия и поглощение
тесно связаны друг с другом — сильная дисперсия всегда сопровождается
поглощением.
При рассмотрении вопроса об анизотропных средах возникает, одна-
однако, и существенно новая проблема, связанная с объяснением анизотро-
анизотропии оптических свойств кристаллов: следует ли ее объяснять расположе-
расположением изотропных атомов в кристаллической решетке (Эвальд), или регу-
регулярным расположением электрически анизотропных молекул. Молекулы
могут быть анизотропны сами по себе, или их анизотропия может быть
связана с поляризующим действием соседних молекул. Вустер [16.21
предложил эмпирическую классификацию оптических свойств немолеку-
немолекулярных кристаллов. Из этой классификации следует, что сильное двой-
двойное лучепреломление имеет место в следующих случаях:
а) атомы или молекулы расположены параллельными слоями (напри-
(например, кальцит или РЬО);
б) атомы, образующие ион или группу ионов, расположены в одной
плоскости (например, СО3, NO3 и т. д.; это обстоятельство служит допол-
дополнительной причиной, объясняющей сильное двойное лучепреломление
кальцита);
в) атомы образуют цепочечную решетку (например, NaNO3).
486 ГЛ. 16. ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
Слабое двойное лучепреломление наблюдается в кристаллах, обла-
обладающих трехмерной решеткой с малой геометрической анизотропией
(например, кварц), а также в соединениях, содержащих ионы, подобные
SO4, которые почти изотропны.
Расчет двойного лучепреломления анизотропной
среды, исходя из ее кристаллической структуры
16.48. Непосредственные расчеты двойного лучепреломления, осно-
основанные на теории кристаллической решетки, были выполнены Эвальдом,
Борном и др. Эти расчеты очень сложны и не позволяют прямо получить
все значения показателей преломления. Они только устанавливают неко-
некоторые соотношения между различными
оптическими свойствами исследуемого
вещества. Согласие этих соотношений
с экспериментальными данными служит
важным подтверждением теории кри-
кристаллической структуры, развитой Бор-
Борном и его школой. Другой подход к это-
этому вопросу был предложен Брэггом,
который в качестве основных данных
использовал значения ионных рефрак-
рефракций (см. § 15.26). Затем он показал,
как определенное расположение моле-
кул может привести к тому, что отно-
^ПаВГ ™ние векто/а индуцированного элек-
пунктирные линии изображают силовые трического момента единицы объема
линии поля диполя напряженность по- сред Р (и, следовательно, D) к Е станет
ля, создаваемого диполем, противопо- г х тт '
ложна направлению основного поля в точ- анизотропным. Например, если атомы
ках а и с. некоторой группы молекул лежат в од-
одной плоскости, то при Е, перпендику-
перпендикулярном ей, суммарная электрическая поляризация меньше, чем при Е,
лежащем в плоскости группы. Это объясняется тем, что, когда все атомы
поляризованы в той плоскости, в которой они расположены, поле каж-
каждого диполя стремится уменьшить поляризацию соседних диполей
(рис. 16.27).
Результаты расчета, проведенного данным методом, для кальцита
и для некоторых других веществ находятся в хорошем согласии с опытом
[16.2]. Для этих веществ нет необходимости предполагать, что сами ионы
электрически анизотропны. В общем случае мы должны считать ионы
и молекулы анизотропными, причем анизотропия при оптических часто-
частотах не связана простым и непосредственным образом с анизотропией при
низких частотах.
Оптическая активность
16.49. Формальную теорию оптической активности (т. е. разности скоростей
для света, поляризованного по правому и по левому кругу), построить нетрудно.
Мы можем формально постулировать, что при направлении волновой нормали, сов-
совпадающем с осью OZ, Dx зависит не только от Ех, по и от dEy/dz, т. е. мы можем
написать
Dx=EEx — iyEy; Dy=sEy + iyEx и Dz=eEz,
где 8 и у — постоянные. Легко увидеть [16.3 ], что показатель преломления для волны,
поляризованной по правому кругу, равен nR = У^г-\-у/\^Ъ, а для волны, поляризо-
ЭФФЕКТ ФАРАДЕЯ 487
ванной по левому кругу nL = У~&—у/Уг. Это формальное доказательство нельзя
считать вполне удовлетворительным, так как оно основано на весьма искусственном
предположении. Действительное решение данного вопроса должно заключаться в под-
подтверждении этого предположения на основе молекулярной теории. В изотропных
средах (например, в растворах) оптическую активность следует связать со структурой
самих молекул. Было показано, что «зеркально-симметричные» молекулы (т. е. моле-
молекулы, которые могут существовать в двух формах, одна из которых является зеркаль-
зеркальным изображением другой) должны обладать этим свойством. Более сложный вопрос
о зависимости свойств оптически активных кристаллов (например, кварца) от струк-
структуры отдельных молекул или от расположения молекул в спиральной решетке был
также в принципе решен. Полный расчет оптических постоянных кристаллов, обла-
обладающих сильной оптической активностью и сильным двойным лучепреломлением,
конечно, очень труден.
Эффект Фарадея
16.50, В 1845 г. Фарадей исследовал прохождение линейно поляризо-
поляризованного света через стекло, помещенное в магнитное поле. Он обнаружил,
что в том случае, когда вектор напряженности магнитного поля имеет
компоненту, совпадающую с направлением распространения света, наблю-
наблюдается вращение плоскости поляризации. Если компонента поля в на-
направлении распространения света равна Нр и I — длина пути в стекле,
то угол поворота 8Г плоскости поляризации определяется соотношением
Qr = CHpl, A6.90)
где С — постоянная.
Это явление известно как эффект Фарадея, а постоянная С называется
постоянной Верде. Если С положительна, то направление вращения пло-
плоскости поляризации совпадает с направлением электрического тока, кото-
который создал бы магнитное поле того же направления, что и используемое.
Знак вращения для наблюдателя, смотрящего вдоль поля, не зависит от
направления распространения света. Отсюда следует, что если пучок света
пройдет сначала вдоль поля, а затем противоположно направлению
поля, то угол поворота плоскости поляризации удвоится *). В тех слу-
случаях, когда эффект очень мал, его можно усилить, пропуская пучок
света несколько раз туда и обратно. Угол поворота плоскости поляриза-
поляризации измерен для большого числа различных веществ, в том числе для
жидкостей и газов. Диамагнетики всегда обнаруживают положительное
вращение, пара- и ферромагнетики — отрицательное. Особенно сильный
эффект наблюдается в тонких пленках железа, никеля и кобальта, что
связано с существующими в них очень сильными внутренними магнитны-
магнитными полями. Приводимые ниже углы поворота плоскости поляризации,
полученные в поле напряженностью 104 а, дают представление о порядке
величины наблюдаемого эффекта
Вода 2°10' (/ = 1 см)
Кварц**) 2°46' (/=1 см)
О2 . . ' 0,06' (/ = 1 см)
Fe 130° (г = Ю-з см)
Угол поворота сильно изменяется вблизи линий поглощения. Теория
этого эффекта излагается, например, в книге Борна [16.31. Детальная
теория явления Фарадея описана в книге [16.1].
*) Естественное вращение плоскости поляризации для пучка света, прошедшего
через оптически активное вещество в прямом и в обратном направлении, равно нулю
(см. § 12.35).
**) Дополнительное к естественному вращению кварца.
488
ГЛ. 16. ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
Эффект Керра
16„51. В 1876 г. Керр показал, что многие изотропные вещества,
помещенные в электрическое поле, ведут себя как одноосные кристаллы,
ось которых направлена вдоль силовых линий поля *). Если п — пока-
зааель преломления вещества в отсутствие поля, а пр и ns — показатели
преломления для направлений, параллельного и перпендикулярного
полю, то можно показать, что
а) (np — ns) = 'kBE2 (закон Керра), A6.91)
б) (Ир — n) = 2(ns — n) (закон Хавелока). A6.92)
Постоянная В называется постоянной Керра**). В сильных полях наблю-
наблюдаются небольшие отклонения от закона Керра [16.4]. Закон Хавелока
также не всегда строго выполняется (особенно при наличии сильной дис-
дисперсии). Однако любая удовлетворительная теория должна включать
в себя эти законы в качестве первого приближения. Представление о по-
порядке величины наблюдаемого эффекта можно получить из следующих
данных:
Вещество
fCO2
Газы *) { N2
I CHdGl
Жидкости { 5?!
Твердые тела I n ^
\ втекла
Постоянная Керра
для А,=5890 А
0,25-10-Ю
0,36-10-Ю
8,7-10-Ю
4,7-10-7
3,2-10-7
-3,46-10-7
2,9-10-9 — 1,5-Ю"8
*) При нормальных давлении и температуре
Так как величина двойного лучепреломления пропорциональна Е2, то
ее знак не зависит от направления поля. Большинство веществ ведет
себя в электрическом поле как положительные одноосные кристаллы (т. е.
постоянная Керра положительна), однако некоторые вещества оказались
аналогичными отрицательным кристаллам.
16.52. Постоянную Керра можно измерить, пропуская пучок пло-
плоско-поляризованного света через исследуемое вещество, помещенное между
двумя пластинками конденсатора, а затем компенсируя получающуюся
эллиптичность при помощи компенсатора Бабине или какого-либо дру-
другого более чувствительного компенсатора (см. [12.6]).
Термин ячейка Керра обычно применяют к такому конденсатору,
который используется для исследования электрооптического эффекта
(рис. 16.28, а). Так как эффект пропорционален Е2, а постоянная Керра
мала, следует применять возможно большие значения Е. Искажения
поля на границах можно рассчитать; их можно также исключить, исполь-
используя пластинки различных размеров.
*) Идея постановки такого опыта была впервые высказана М. В. Ломоносовым.
(Прим. ред.)
**) В уравнении [16.91] Е измеряется в системе СГСЭ AСГСЭ = 300 в).
ЭЛЕКТРООПТИЧЕСКИЙ ЗАТВОР КЕРРА
489
Если исследуемое вещество обладает некоторой проводимостью, то
применяется установка, показанная на рис. 16.28, б. Свет последова-
последовательно проходит через две ячейки Керра; направления полей в них
взаимно перпендикулярны. Николи скрещены, и в отсутствие поля свет
через всю систему не проходит. Расстояние между пластпнкамп одного
конденсатора изменяют до тех пор, пока при наложении кратковремен-
кратковременного напряжения свет не пе- д
рестанет проходить через си- юГ\ ess ' 4777^
стему. Тогда **-**■"-—^—^И j2^r-=^^zzi
_|L = 4^, A6.93)
где а! и ZA — расстояние меж-
между пластинками и длина пути
в веществе, постоянная Кер-
Керра которого равна Ви а а2
и /2- соответствующие вели-
величины для вещества с постоян-
постоянной Керра равной В2> Таким
образом, постоянную Керра
для вещества, которое не мо-
может находиться длительное
время в постоянном элек-
электрическом поле, все же уда-
удается выразить как посто-
постоянную Керра для изолятора.
6)
Рис 16 28 Установка для наблюдения эффекта
Керра в средах, не обладающих проводимостью
(а), ив средах со значительной проводимостью (б).
Описанный выше метод дает значение пр — ras, но для проверки
закона Хавелока необходимо измерить (пр — п) и (п8— п). Эти измерения
можно выполнить при помощи интерферометра Жамена ♦). Исследуемое
вещество помещают в оба плеча интерферометра и отмечаются показания
компенсатора в отсутствие поля и при наложении поля на вещество,
помещенное в одно из плеч. Для отделения света, поляризованного
параллельно полю, от света, поляризованного перпендикулярно полю,
используется анализатор и, следовательно, можно определить значения
(пр — /г) и (п8 — п).
Электрооптический затвор Керра
16.53. В своих первых опытах со стеклами Керр обнаружил, что
для возникновения оптической анизотропии при наложении поля
требуется несколько секунд. Соответствующее запаздывание наблюдается
и при выключении поля. Последующие работы подтвердили значитель-
значительное запаздывание эффекта для некоторых твердых тел. Кроме того, было
показано, что вязкие полярные жидкости **) также характеризуются
вполне измеримым, хотя и значительно меньшим временем запаздывания.
Например, было установлено, что для ундецилового спирта время запаз-
запаздывания составляет 10"8—10~9 сек. Конечно, это запаздывание не выра-
выражается строго определенным промежутком времени, так как установ-
установление равновесной ориентации молекул в поле происходит во времени
*) Идея этого опыта принадлежит Л И Мандельштаму. (Прим ред )
**) Полярными жидкостями автор называет жидкости, молекулы которых обла-
обладают постоянным электрическим дипольным моментом. Разумеется, молекулы таких
жидкостей обладают также анизотропией оптической поляризуемости. (Прим. ред.)
490 ГЛ 16 ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
асимптотически. Для неполярных жидкостей, обладающих анизотропны-
анизотропными молекулами малых размеров, время запаздывания слишком мало,
чтобы его можно было измерить (вероятно, оно меньше 10~п сек).
Ячейка Керра, заполненная полярной жидкостью и помещенная
между скрещенными николями, пропускает свет только при наложении
электрического поля. Николи обычно ориентируют так, чтобы их пло-
плоскости составляли углы 45° с направлением электрического поля.
Использование высокочастотного поля позволяет модулировать све-
световой пучок по интенсивности, точно так же как пучок высокочастотных
радиоволн можно промодулировать по амплитуде звуковой частотой.
Частоту модуляции, равную 109 гц, удается достигнуть, но увеличивать
ее трудно. Если на ячейку Керра наложить высоковольтные импульсы
малой длительности, то исходный непрерывный световой поток будет
пространственно разделен на световые импульсы длиной около 10 см
каждый, с темновыми паузами между ними. Устройство, состоящее из
ячейки Керра, помещенной между двумя скрещенными николями, назы-
называется электрооптическим затвором. Он может прерывать свет, так же
как и механический затвор, но частоту прерывания пучка можно сделать
значительно большей, чем в случае механического затвора. Электроопти-
Электрооптический затвор имеет много интересных технических применений [16.5].
Его использование для точного измерения скорости света описано в гл. 11.
Теория эффекта Керра
16.54. В теории дисперсии изотропных сред Лорентца и Лоренца предполагалось,
что электрическое действие световой волны на электрон можно рассчитать, если пола-
полагать, что он находится в центре малой сферической полости, причем поле, создаваемое
удаляемым из погости веществом, равно нуяю (см. § 15 20). Хавелок предположил,
что при наложении внешнего электрического поля эта полость становится эллиптиче-
эллиптической, и отсюда вывел следующие соотношения.
пъ—п=К-^ -1—Е* A6.94а)
д-Яд=:* fo*) д». A6.946)
Из этих соотношений он получил A6.91), A6.92), а также соотношение
B\=K' G12 — 1). A6.95)
Последнее соотношение определяет зависимость В от X в области нормальной диспер-
дисперсии и хорошо согласуется с экспериментальными данными. Более детальная теория
была разработана Борном и Ланжевеном Они считали, что наблюдаемый эффект
обусловлен ориентацией полярных молекул и возникновением электрического момента
у неполярных молекул, а также изменением момента полярных молекул. Влияние
ориентации очень существенно в случае полярных жидкостей и газов. В случае очень
вязких жидкостей изменение ориентации молекул требует, конечно, некоторого про-
промежутка времени, что и объясняет релаксационные эффекты.
Эффект Коттона—Мутона
16.55. Магнитооптический эффект, аналогичный электрооптпческому эффекту
Керра, был обнаружен Коттоном и Мутоном в 1905 г. *). Как и в случае эффекта
Керра, разность показателей преломления (пр — ns) пропорциональна квадрату
напряженности поля, но постоянная Коттона — Мутона мала по сравнению
*) Впервые этот эффект обнаружил Керр A901 г.), но первые систематические
его исследования были проведены Коттоном и Мутоном [16.3].
ФОТОУПРУГОСТЬ
491
с константой Керра. Для чистых жидкостей эта постоянная имеет следующие
значения:
Вода .
Ацетон
4,1.10-1*
Бензол +75-Ю-1*
Хлороформ —660.10-14
Для ее измерения необходимо применять очень сильные магнитные поля. Техниче-
Технические трудности возрастают также потому, что при направлении распространения
света, не перпендикулярном силовым линиям поля, на всем пути светового п>чка,
возникает вращение плоскости поляризации, обусловленное эффектом Фарадея
Поэтому при измерениях необходимо отделить этот сравнительно сильный эффект
от слабой эллиптичности прошедшего света, вызванной двойным лучепреломлением
в магнитном поле. Эффект Коттона — Мутона в газах и аморфных твердых телах очень
мал и обычно измерить его невозможно. Некоторые интересные результаты были
получены при изучении кристаллов, но большинство исследований было выполнено
для жидкостей.
Теория этого эффекта аналогична теории эффекта Керра. Возможно, что и в слу-
случае магнитного двойного лучепреломления справедливы соотношения A6.94) и A6.95),
однако сопоставление этих соотношений с опытом невозможно, ввиду недостаточного
числа экспериментальных данных. Наибольший теоретический интерес представляет
весьма заметное различие значений постоянных Коттона — Мутона у различных
веществ, а также объяснение этих различий с точки зрения соотношения между маг-
магнитной и оптической анизотропией (см. §§ 16.50 и 16.51).
Ц Р
Фотоупругость
16.56. В 1816 г. Брюстер обнаружил, что прозрачные изотропные
вещества становятся анизотропными, если они подвергаются механиче-
механическим напряжениям. Это явление можно исследовать-при помощи уста-
установки, изображенной на рис. 16.29,а. s
Пучок света от источника Lp пре-
превращают в параллельный при помощи
линзы Lt', затем он проходит через
поляризатор Р, образец О, анализа-
анализатор А и попадет на линзу L2. Эта
линза образует изображение образ-
образца О на экране S. Образец обычно
представляет собой тонкую пластин-
пластинку. Изображение образца создается
тонкими пучками лучей, которые при-
приблизительно перпендикулярны пла-
пластинке. Перед началом измерений
удобно скрестить анализатор и поля-
поляризатор; тогда в отсутствие напряже-
напряжений свет не будет проходить через
нашу систему. Если образец подвер-
подвергается напряжению (сжатию или ра-
растяжению), то свет начнет проходить
через нее. Используя образец про-
простой формы (например, образец, изображенный на рис. 16.29, б), можно
исследовать соотношение между напряжением и двойным лучепреломле-
лучепреломлением. Были установлены следующие факты:
а) Под действием механических напряжений оптически изотропная
пластинка1 становится оптически анизотропной (т. е. аналогичной кри-
кристаллу некубической системы).
б) Оси эллипсоида диэлектрической проницаемости 8 в подвергнутом
деформации образце совпадают с направлениями главных напряжений.
о
Рис 16 29 Схема установки для ис-
исследования фотоупругого эффекта (а)
и образец простой формы (б)
Пунктирные линии соответствуют «л>чам>,
образующим изображения (на рисунке >гот
между лучами больше обычно использу-
используемого угла)
492 ГЛ. 16. ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
в) Если Пр и nQ — показатели преломления при направлениях Df
параллельных главным напряжениям Р и Q в любой точке, то
P). A6.96)
В центральной части образца, изображенного на рис. 16.28, б, существует
только одно напряжение Р, которое можно рассчитать из нагрузки и по-
поперечного сечения. Если использовать монохроматический свет и посте-
постепенно увеличивать нагрузку, то интенсивность проходящего через обра-
образец света достигает максимума при (пР — nQ) d = Я/2, падает до нуля
при (пР — Uq) d = % и т. д. Таким образом, можно определить упруго-
оптическую постоянную С. Для полной проверки уравнения A6.96)
необходимо подвергнуть образец переменной деформации сдвига. Уста-
Установлено, что это уравнение справедливо даже за пределом упругости [16.6] •
Упруго-оптическая постоянная имеет размерность, обратную размер-
размерности напряжения. Для стекол величина этой постоянной лежит между
10~13 —10~12 см2/дин, но для пластических масс, например для целлулои-
целлулоида, она составляет 10~12—10~п см2/дин.
16.57. Явление фотоупругости используетсй в технике при исследо-
исследовании напряжений в механических конструкциях, расчет которых очень
сложен. Для этого из какой-либо прозрачной пластмассы изготавливают
модель исследуемой конструкции, которую затем подвергают соответ-
соответствующей механической нагрузке. При использовании белого света изо-
изохроматические линии соответствуют точкам модели, для которых величина
(Р — Q) имеет постоянное значение. Неокрашенные линии соответствуют
точкам, для которых направления главных напряжений параллельны
главным направлениям анализатора и поляризатора *). Эти кривые назы-
называют изоклинами, так как они являются геометрическим местом точек,
для которых главные напряжения образуют одинаковые углы с осями
какой-либо внешней системы координат. Изоклины пересекаются в изотро-
пических точках, в которых разность между главными напряжениями
становится равной нулю **). Измерения, проведенные методом фотоупру-
фотоупругости, непосредственно дают значение величины (Р — Q). Каждое глав-
главное напряжение можно определить методом интегрирования, исходя из
того, что на свободной границе образца существует только одно главное
напряжение. Этот метод не очень точен, и поэтому часто более удобно
измерять механическими тензометрами [16.6] поперечное сжатие (которое
пропорционально Р -\- Q) в различных точках модели. Даже без количе-
количественных измерений метод фотоупругости можно применять для выясне-
выяснения вопроса о том, не превосходят ли напряжения в какой-либо точке
конструкции допускаемый предел. Направления главных напряжений
в любой точке можно определить, вращая образец (оставляя положения
анализатора и поляризатора фиксированными) до тех пор, пока эта точка
не окажется на какой-либо изоклине. Теоретически легко показать, что
анизотропная механическая деформация твердого тела должна вызывать
появление оптической анизотропии, но расчет постоянной С из молеку-
молекулярной структуры оказывается очень сложным.
*) Это легко увидеть из уравнения A6.72) учитывая, что анализатор и поляриза-
поляризатор скрещены, а направления главных напряжений взаимно перпендикулярны.
**) Здесь следует обратить внимание на то обстоятельство, что, хотя система
окрашенных и неокрашенных линиц, вообще говоря, похожа на систему кривых, полу-
полученных с кристаллами в сходящемся пучке поляризованного света, причины, вызы-
вызывающие появление этих полос, совершенно различны. В нашем случае мы используем
приблизительно параллельный пучок света и каждая точка на экране соответствует
какой-то точке образца.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 493
Анизотропия в жидкостях
16.58. Было установлено, что жидкости могут обнаруживать опти-
оптическую анизотропию, если в них присутствуют молекулы определенных
видов, в частности длинные цепочечные молекулы. Подобные молекулы
стремятся расположиться таким образом, чтобы их оси имели одинако-
одинаковое направление. В неподвижных жидкостях этой тенденции к упоря-
упорядочению противостоит беспорядочное тепловое движение молекул. Не-
Несмотря на это в жидкостях могут образовываться некоторые области,
обладающие кристаллическими свойствами. Такие области обычно очень
неустойчивы, за исключением тех случаев, когда жидкость образует тон-
тонкий слой, толщина которого того же порядка, что и длина цепочки.
В этих тонких пленках могут возникать стабильные жидкие кристаллы.
Анизотропия обнаруживается также во всем объеме жидкости при ее
ламинарном течении. Если соседние слои текущей жидкости имеют раз-
разные скорости, то длинные цепочечные молекулы стремятся ориентиро-
ориентироваться перпендикулярно градиенту скорости, что и приводит к появле-
появлению анизотропии. Это явление можно использовать для исследования
потока жидкости при наличии на пути потока различных препятствий.
Измерения двойного лучепреломления позволяют определить направле-
направление и величину градиента скорости в любой точке. Области турбулент-
турбулентности характеризуются отсутствием двойного лучепреломления.
Заключение
16.59. В настоящей главе мы "рассмотрели естественную и искус-
искусственную анизотропию с трех точек зрения:
а) с точки зрения электромагнитной теории света;
б) с точки зрения кристаллической и молекулярной структуры;
в) с точки зрения использования этой анизотропии для исследования
напряжений, градиентов скоростей и т. д.
Наше рассмотрение было довольно сжатым и во многих случаях
мы только наметили основные пути исследования *). Подведем теперь
некоторые итоги.
Прежде всего, электромагнитная теория объясняет основные экспе-
экспериментальные результаты по естественной и искусственной оптической
анизотропии. Никакая другая теория не в состоянии дать правильное
объяснение этих явлений. Упругая теория света сталкивается с боль-
большими трудностями при объяснении естественной анизотродии и совсем
не может объяснить электро- и магнитооптические явления. Интерпре-
Интерпретация явлений, связанных с оптической анизотропией, еще раз демон-
демонстрирует соответствие электромагнитной теории опытным фактом.
16.60. Нашими сведениями о структуре кристаллов мы обязаны
в основном методам дифракции рентгеновских лучей и электронов, а не
изучению оптической анизотропии. Основные оптические свойства боль-
большинства кристаллов были известны еще до того, как начали применяться
методы рентгеновской дифракции, но только использование этих методов
позволило существенно расширить наши знания о расположении атомов
в кристаллах и о структуре больших молекул. Несмотря на то, что опти-
оптические методы изучения кристаллов являются второстепенными, они
*) В качестве иллюстрации сложности рассматриваемого предмета можно ука-
указать на то, что работа Бимса [16.4] снабжена обширным списком литературы, содер-
содержащей другие оригинальные исследования эффектов Керра и Коттона — Мутона.
494 ГЛ. 16. ОПТИКА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
все же имеют очень большое значение. В некоторых случаях рентгено-
структурный анализ дает несколько возможных типов структур кристал-
кристалла, а оптические методы позволяют определить, какая именно структура
характерна для данного кристалла.
Кроме тога, расчет оптических постоянных в том случае, когда струк-
структура кристалла определена рентгеновским методом, является важной
проверкой правильности определения структуры. Вероятно, много допол-
дополнительной информации о молекулярной структуре удастся получить из
изучения электро- и магнитооптических явлений. Широкое применение
этих методов ограничивалось частично техническими трудностями, а час-
частично трудностями теории и расчетов. Однако последние усовершенство-
усовершенствования методов получения и измерения высоких напряжений (особенно
в области высоких частот) существенно уменьшило технические труд-
трудности, а использование счетных машин может устранить многие труд-
трудности, связанные с расчетами. Остается, однако, еще трудность, связан-
связанная с тем обстоятельством, что в общем случае результат отдельного
оптического измерения зависит от нескольких молекулярных постоянных.
Каждую постоянную можно определить только из нескольких оптиче-
оптических измерений. Таким методом очень трудно точно определить молеку-
молекулярные постоянные. Вместе с тем, если эти постоянные определены незави-
независимо, то важно знать, соответствуют ли их значения измеренным значе-
значениям электрооптических и магнитооптических постоянных.
Упражнения
16.15. Выяснить справедливость приближения A6.75) для пучка света, падаю-
падающего под углом 45° на пластинку кальцита толщиной 3 мм, вырезанную параллельно
оптической осн. Плоскость падения перпендикулярна оптической оси. Напомним, что
кальцит является одноосным кристаллом и что для Я = 5893А цх=\1у=1,658, \iz = 1,486.
[Соотношение A6.75) дает 6 = 0,191 ке, а A6.74) — 6 = 0,193 ке.\
16.16. Сходящийся пучок поляризованного света проходит через кристалл,
а затем через поляроид. Показать, что поворот анализатора на угол я/2 приводит
к смене всех цветов интерференционной картины на их дополнительные.
16.17. Сходящийся пучок света, поляризованного по кругу, падает на пла-
пластинку одноосного кристалла, вырезанную перпендикулярно оптической оси. Пока-
Показать, что изохроматические линии, полученные с линейным анализатором, смещены
на 1/4 порядка по отношению к изохроматическим линиям, которые наблюдаются
в плоско-поляризованном падающем свете. Показать, что знак этого смещения изме-
изменяется на противоположный при переходе через ахроматическую линию.
16.18. Найти соотношение между истинным и видимым углами между оптиче-
оптическими осями.
[Если 294 — истинный угол, а 202 — видимый угол, то sin 02=1*3/sin б^.]
16.19. Свет проходит через поляризатор, ячейку Керра и анализатор. Поляри-
Поляризатор и анализатор скрещены. Показать, что для слабых электрических полей мак-
максимум пропускания света получается в том случае, когда плоскость поляризатора
составляет угол я/4 с направлением электрического поля в конденсаторе Керра.
Указание. Использовать уравнение A6.72).
16.20. Пучок света с круговой частотой со проходит через ячейку Керра (конден-
(конденсатор Керра между скрещенными николами), к пластинкам которой приложено пере-
переменное напряжение с круговой частотой р. Получить выражение, описывающее испы-
испытавшую амплитудную модуляцию световую волну. Считать, что двойное лучепреломле-
лучепреломление, возникающее при наложении поля, настолько мало, что разность фаз (пр — ns) 1к
очень мала по сравнению с 2я.
[Разность фаз б пропорциональна Е% cos2 pt, где Еа — амплитуда приложен-
приложенного поля. Если николи скрещены и их направления составляют угол 45° с направлением
поля, то количество прошедшего света можно получить, подставив в A6.72) а = —Р =
= Я/4. Тогда количество прошедшего света будет пропорциональным sin2 6/2,
т. е. при малой б амплитуда будет пропорциональна разности фаз б. Следовательно,
ЛИТЕРАТУРА 495
прошедшая волна будет описываться выражением | = АЕ\ cos2 pt cos со£, где А —
постоянная, а ее амплитуда будет |0 = АЕ\ cos2/)i.]
16.21. Используя данные предыдущего упражнения, провести спектральное
разложение (на три компоненты с различными частотами) света, прошедшего через
ячейку Керра.
ll=1/2AEl {cos ш + 1/2 cos (o>+2p) t + !/2 cos (<о—2р) *}.]
Литература
16.1. И о с Г., Курс теоретической физики, Учпедгиз, М., 1963.
16.2. W о о s t е г, Crystal Physics, Ca abridge Univ. Press.
16.3. Б о р н, Оптика, ОНТИУ, Харьков, 1937
16.4. Beams, Revs. Mod. Phys. 4, 133 A932).
16.5. Lawrence, Beams, Phys. Rev. 32, 478 A928).
16.6. F i 1 о n, Photoelasticity for Engineers, Cambridge Univ. Press.
Дополнительная литература
16.7. Ш е ф е р Кл., Теоретическая физика, т. Ill, ч. II, Оптика, ГОНТИ, М.—Л.,
1938.
16.8. Э д с е р Э., Оптика, изд. «Естествоиспытатель», Петербург, 1914.
16.9. Столетов А. Г., Собрание сочинений, т. III, Гостехиздат, М.—Л., 1947.
16.10. Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Электродинамика сплошных сред,
Гостехиздат, М., 1957.
16.11. Зоммерфе л ьд А., Оптика, ИЛ, М., 1953.
16.12. Друде П., Оптика, ОНТИ, М.— Л., 1935.
16.13. П л а н к М., Введение в теоретическую физику, ч. IV, Оптика, ОНТИ, М.—Л.,
1934.
16.14. Р о с k e I s F., Lehrbuch der Kristalloptik, Teubner, Leipzig und Berlin, 1906.
16.15. Born M., Wolf E., Principles of Optics Pergamon, London — N. Y., 1959.
16.16. Шубников А. В., Основы оптической кристаллографии, Изд-во АН СССР,
М., 1958.
16.17. Лодочников В. И., Основы кристаллооптики, Госгеолиздат, М.— Л.,
1947.
16.18. Шустер А., Введение в теоретическую оптику, ОНТИ, М., 1935.
16.19. Волькенштейн М. В., Молекулярная оптика, Гостехиздат, М.—Л.,
1951.
ГЛАВА 17
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
17.1. В классической волновой теории поглощение света связывается
с ускорением электронов в электромагнитном поле световой волны.
Сообщаемая электрону таким путем энергия может в результате столк-
столкновений с соседними атомами или молекулами превращаться в тепло.
Количество энергии, поглощаемой веществом, невелико, если только
частота поля волны не оказывается близкой к одной из собственных частот
электронов. Поскольку поглощение рассматривается как непрерывный
процесс, энергия, поглощаемая атомом или электроном, может быть сколь
угодно малой.
Теперь мы перейдем к описанию ряда экспериментов, результаты
которых не укладываются в рамки такой схемы. Оказывается необходи-
необходимым допустить, что поглощение и испускание света атомом или молеку-
молекулой не являются непрерывными процессами, причем величина поглощен-
поглощенной или испущенной порции энергии всегда одинакова для данной частоты
излучения. Величина этой порции, или кванта, энергии пропорциональна
частоте, т. е.
W = hv, A7.1)
где h — универсальная постоянная, называемая постоянной Планка. Она
равна 6,62-107 эрг-сек.
Первоначальная теория Планка относилась только к взаимодействию
излучения с веществом. Он надеялся ограничиться внесением лишь не-
небольших изменений в классическую электромагнитную теорию света
и в классическую электронную теорию материи. Однако эти надежды
не оправдались. Оказалось необходимым более глубоко модифицировать
теорию света, включив в нее утверждение, что энергия поля излучения
в световом пучке может изменяться только на целое число квантов. Кроме
того, необходимо допустить, что энергия атома также может меняться
лишь дискретным образом, и следовательно, атомы могут находиться толь-
только в некоторых определенных состояниях, разделенных конечными интер-
интервалами энергии. Подобные эффекты совершенно неожиданны с точки зре-
зрения классических законов электромагнетизма, базирующихся на опы-
опытах со статическими полями или переменными полями низкой частоты.
Таким образом, квантовая теория оказывается общей теорией излу-
излучения и вещества, а не частной гипотезой, касающейся характера их
взаимодействия. Эта теория представляет собой единое целое, и мы не
можем ограничиться частью ее, касающейся излучения, не изучив внима-
внимательно строение атома. В настоящей главе мы рассмотрим эксперимен-
экспериментальные основы квантовой теории, обратив особое внимание на опыты
со светом и с более коротковолновым электромагнитным излучением.
Последовательность изложения не следует историческому ходу событий
и диктуется лишь методическими соображениями.
ФОТОЭФФЕКТ
497
Фотоэффект
17.2. Известно, что при облучении поверхности металла светом или
более коротковолновой радиацией (рентгеновскими или у-лучами) имеет
место испускание электронов *). Если излучение может проникать внутрь
вещества, то оно вызовет смещение внутренних электронов с их равновес-
равновесных положений. В этом парагра-
параграфе мы будем касаться только ис-
испускания электронов с поверх-
поверхности. Мы называем это явление
просто фотоэффектом, хотя,
строго говоря, более правильным
было бы назвать его «внешним
фотоэффектом». Для различных
металлов и различных длин волн
облучения были измерены число
испускаемых электронов и их ско-
скорость. На рис. 17.1 схематически
показана простейшая эксперимен-
экспериментальная установка. На рис. 17.2
приведена схема реального и более точного эксперимента, в котором
исследуемой поверхностью служит свежий срез металла Na, сделанный
в вакууме непосредственно перед выполнением измерений. Ниже при-
приводится перечень основных результатов, полученных при облучении ме-
Рис. 17.1. Фотоэлектрический эффект. Схе-
Схема простого опыта.
Рис. 17.2. Установка Милликена для эксперименталь-
экспериментального обоснования соотношения A7 2).
Фотоэлектрон испускается поверхностью металлического на-
натрия S. Свежий срез этой поверхности получают непосред-
непосредственно перед опытом при помощи ножа К, управляемого
магнитом М.
таллических поверхностей монохроматическим светом при нормальном
его падении.
[J| I. Для каждого металла имеется определенная максимальная длина
волны света (и соответственно минимальная частота), при которой еще
наблюдается испускание электронов.,При больших длинах волн эмис-
эмиссия электронов отсутствует при любой интенсивности облучения. Эта
*) Фотоэффект был замечен Г. Герцем как фактор, облегчающий разряд между
металлическими электродами при их освещении светом электрической дуги. Фото-
Фотоэффект как самостоятельное физическое явление был впервые изучен А. Г. Столетовым.
(Прим. ред.)
32 р. Дитчберн
498
ГЛ 17 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
максимальная длина волны называется порогом, или красной границей,
фотоэффекта. Она зависит от сорта металла, а также от его кристал-
кристаллической структуры, чистоты поверхностного слоя и т. п. Типьчные зна-
значения этой границы приведены в табл. 17.1.
Таблица 17 1
Bi
Cd
Pb
Pt
W
Cs j
Металл
ia Ag *■*)
Красная граница фотоэффекта *)
Яо, А
3250
2980
3140
2980
2570
2300
-12000
*) Данные приведены для чистых
охарактеризовать зависимость красной
сти,
укажем, что для яеобезгажеяяо!
а для обезгаженной —2570 А.
х*) Поверхность, состоящая из Cs
ствительных фотоэлементах
vo, сек-1
9,22-Ю1*
10,1-1014
9,55-101*
10,1-10"
11,7-1014
13,0-1014
2,5.10"
Напряжение, в
V=300 /ivo/e
3,82
4,18
3,95
4,18
4,84
5,38
-1,0
поверхностей. Для того чтобы
границы от
i платины
, CsO n Ag,
чистоты поверхно-
Я0=2840—2780 А,
применяется в чув-
II. При частоте падающего света v скорости испущенных электронов
могут меняться ог самых малых до некоторого максимального значения
vm, определяемого соотношением Эйн-
Эйнштейна A905):
wm
W^ = 4-^m = Mv-v0), A7.2)
где т — масса электрона, v0—частота,
соответствующая границе фотоэффекта,
Wm— кинетическая энергия, соответ-
соответствующая максимальной скорости фото-
фотоэлектронов (рис. 17.3).
III. При заданной частоте излуче-
излучения максимальная скорость испущен-
испущенных электронов не зависит от энергии
падающего светового пучка.
IV. При заданной частоте излучения число испущенных электронов
строго пропорционально падающей энергии.
17.3. Классическая теория не позволяет сколько-нибудь простым
путем объяснить наличие красной границы фотоэффекта, а также соотно-
соотношения A7.2), связывающего максимальную скорость испущенных элек-
электронов с частотой света. Гипотеза Планка дает весьма простую картину
явления, если предположить, что при прохождении через поверхность
металла электрон теряет какую-то минимальную ♦) энергию W, равную
Рис 17 3. Зависимость максималь-
максимальной энергии фотоэлектронов от ча-
частоты
*) Большое число более поздних экспериментов, в том числе опытов по термо-
термоэлектронной эмиссии, подтвердило допущение о существовании определенной (для
данного сорта металла и состояния его поверхности) работы выхода электронов.
ЛИНЕЙЧАТЫЕ СПЕКТРЫ АТОМОВ 499
hv0. Действительно, в соответствии с этой гипотезой электрон или вовсе
не получает энергии от световой волны с частотой v, или получает сразу
энергию, равную hv. Если электрон не покинет металл непосредственно
после поглощения кванта, то он растеряет приобретенную энергию в ре-
результате столкновения прежде, чем успеет поглотить второй квант. Сле-
Следовательно, если электрон получает в одном акте поглощения энергию,
меньшую W, он не может выйти из металла. Отсюда вытекает, что h\
должно быть больше W, т. е. v >v0. Таким образом, существуе! ыеко
торая минимальная частота (или максимальная длина волны) света, при
которой еще возможна эмиссия электронов из металла. Если v >> v,.
то наибольшая кинетическая энергия, которую может иметь электрон
по выходе из металла, дается соотношением A7.2). Однако часть энер-
энергии может быть растрачена за счет взаимодействия с атомами, и поэтому
электроны могут также эмитироваться с энергией, значительно меньшей
максимальной. Максимальная энергия должна зависеть от частоты v,
но не от плотности энергии излучения. Число поглощаемых квантов
света данной частоты пропорционально энергии облучающего светового
пучка. В свою очередь число поглощающих энергию электронов пропор-
пропорционально количеству падающих квантов и, следовательно, пропорцио-
пропорционально энергии падающего пучка. Таким образом, все экспериментальные
факты, изложенные в § 17.2, находятся в согласии с гипотезой о свето-
световых квантах.
Линейчатые спектры атомов
17.4. В XIX веке длины волн очень большого числа спектральных
линий были измерены с точностью порядка одной стотысячной значения
длины волны, что значительно превосходит точность других современ-
современных физических измерений. Было предпринято много попыток найти
какие-либо эмпирические соотношения между известными значениями
длин волн. Ожидалось, что такие соотношения смогут послужить основой
для теории спектров, непосредственно связанной с теорией строения ато-
атомов. Однако никакого прогресса не удавалось достичь до тех пор, пока
не было выяснено, что при формулировке спектральных законов гораздо
проще пользоваться не длинами волн, а волновыми числами (т. е. вели-
величинами, обратными значениям длин волн). Даже в этом случае общий
анализ спектров оказался весьма сложным. Для наших целей достаточно
выяснить лишь основные принципы анализа спектров, которые можно
продемонстрировать на примере спектра атома водорода. Оказалось, что
спектр атома водорода можно разбить на следующие серии.
Серия Лаймана
Эта серия линий находится в крайней ультрафиолетовой области
спектра. Волновые числа спектральных линий, принадлежащих к этой
серии, даются формулой
где R —- постоянная величина, равная 109 667,6 см'1, arc — целое число,
большее единицы *).
*) Величина R носит в спектроскопии название постоянной Риаберга в честь
Р. Ридберга, внесшего большой вклад в анализ спектров. (Прим. ред.)
32*-
500 ГЛ. 17 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
>Серия Балъмера
Эта серия линий расположена в видимой и ближней ультрафиолето-
ультрафиолетовой областях спектра. Волновые числа линий серии Бальмера даются
формулой
где п __ целое число, большее двух. Эта серия появляется в виде сово-
совокупности линий поглощения в спектрах многих звезд. Ее можно также
получить в спектре испускания газового разряда в водороде при низком
Давлении. В этой серии наблюдалось более 40 линий.
Серия Пашена
Эта серия находится в ближней инфракрасной области спектра.
Волновые числа ее линий даются формулой
1 JLe*f* *), A7.5)
X С \ З2 Я2 J
где п — целое число, большее трех.
Серия Брэккета
Эта серия расположена в дальней инфракрасной области спектра.
Волновые числа линий серии Брэккета даются формулой
где п — целое число, большее четырех.
Относительное расположение этих серий показано на рис. 17.4.
17.5. В приведенных выше формулах все волновые числа представ-
представляются в виде разностей между отдельными членами последовательности
долнобое число, см'1
5000 10000 50000 100000
Серия N T^Z ' Мерия Серия
Щтта П шьтра Лаимана
Рис. 17.4. Серии в спектре водорода.
волновых чисел, которые называются спектральными «термами». Вели-
Величина гг-го терма атома водорода равна Rln2. Подобный анализ сначала
по спектральным сериям, а затем по термам можно проделать и для спект-
спектров других атомов как в оптической, так и в . рентгеновской области.
Очень часто, однако, распределение линий по сериям выражено не столь
ясно, как в случае атома водорода. Тогда обычно группируют линии
по их внешнему виду (например, «резкая» серия, «диффузная» серия
и т. п.), а также по их интенсивности при различных условиях возбуж-
возбуждения спектра. В общем случае формулы не столь просты, как A7.4);
например, типичная формула для n-то терма рентгеновского спектра
имеет вид R (Z — аJ/я2, где Z — атомный номер, а а — некоторая
постоянная. Несмотря на существенное усложнение результатов для слож-
сложных атомов, формулы для термов всегда оказываются намного проще, чем
какие-либо соотношения для длин волн или волновых чисел линий спектра.
В дальнейшем мы увидим, как понятие о термах возникает в теории атома.
Впервые представление о термах было введено Ритцем A908), который
сформулировал так называемый «комбинационный принцип». Распростра-
Распространение этого анализа на рентгеновские спектры принадлежит Мозли A913).
СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ 501
Атом Резерфорда — Бора
17.6. К 1912 г. работы Резерфорда и его учеников показали, что
атом следует рассматривать как центральное ядро, окруженное электро-
электронами, обращающимися по орбитам подобно планетам, движущимся вокруг
Солнца. В этой теории была, однако, одна принципиальная трудность.
Расчеты, основанные на классической электромагнитной теории, показа-
показали, что электроны должны при этом быстро излучить всю свою энергию
и, двигаясь по спирали, упасть на ядро. Таким образом, вся энергия
должна передаваться полю излучения. Бор выдвинул предположение,
что поскольку, как показал Планк, классическая теория не дает адекват-
адекватного описания взаимодействия излучения с веществом, естественно допу-
допустить существование определенных стационарных состояний атома,
в которых он вообще не излучает. Каждое такое состояние характери-
характеризуется определенной энергией; уровни энергии отделены друг от друга
конечными интервалами. Испускание и поглощение излучения имеет
место в тех случаях, когда атом переходит из одного состояния в другое.
Если переход из состояния с энергией W2 в состояние с энергией
Wi (W2 > Wi) сопровождается испусканием кванта излучения частотой
V2i, ТО
hv2i = W2-W±. A7.7)
Очевидно, что такая схема сразу приводит к комбинационному принципу
Ритца. Пусть каждый терм соответствует определенному стационарному
состоянию. Для численного согласия теории с экспериментом необхо-
необходимо, чтобы
^ A7.8)
где Wn — энергия гг-го состояния *). Бор сделал также второе допуще-
допущение, основанное на идее квантования: он предположил, что в стационар-
стационарных состояниях момент количества движения электрона должен быть
равен целому кратному от /г/2я. Пользуясь этой гипотезой, можно полу-
получить формулу A7.8) и выразить R через основные физические постоянные.
Полученные результаты оказываются в хорошем согласии со спектроско-
спектроскопическими наблюдениями.
Стационарные состояния
17.7. В результате дальнейшего развития теории атома, в котором
большую роль сыграли работы Бора, от первоначальной формы теории
пришлось отказаться. Боровский метод вычисления энергий, который не
всегда давал значения, согласующиеся с экспериментом, был вытеснен
методами квантовой механики. Однако сама идея использования понятия
термов в анализе спектров значительно важнее конкретных формул, опре-
определяющих значения термов. Точно так же, понятие о стационарных кван-
квантовых состояниях играет значительно большую роль, чем любой конкрет-
конкретный способ расчета энергетических уровней, хотя всякая полная теория,
разумеется, должна приводить к значениям энергии, согласующимся
с экспериментальными данными. Идея о квантовых состояниях вещества
*) Энергия электрона, обращающегося вокруг ядра, состоит из дв\ \ частей —
из потенциальной и из кинетической энергии. Равная нулю потенциальная энергия
соответствует электрону, бесконечно удаленному от ядра.
502 ГЛ. 17 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
всегда остается одной из фундаментальных гипотез во всех новых форму-
формулировках теории атома. Она столь тесно связана с самыми разнообраз-
разнообразными экспериментами, что обязательно должна — явным или косвенным
образом — присутствовать в любой теории, призванной описывать соот-
соответствующие явления. До сих пор мы касались лишь анализа спектров.
Ниже мы рассмотрим ряд других опытов, подтверждающих гипотезу
о стационарных состояниях. Большая часть этих опытов проделана с га-
газами. Атомы газа мало влияют друг на друга, и поэтому процессы взаимо-
взаимодействия излучения с веществом проявляются в газах гораздо проще
и яснее, чем в твердых телах.
Соотношение между спектрами поглощения
и испускания газов
17.8. В обычных лабораторных условиях каждую линию спектра
поглощения одноатомного газа можно обнаружить и в спектре испуска-
испускания, возбуждаемом, например, в газовом разряде при давлениях порядка
0,1 мм рт. ст. Вместе с тем, многие линии спектра испускания отсутст-
отсутствуют в спектре поглощения того же газа. Если, однако, повысить темпе-
температуру газа на несколько сот градусов, то в спектре поглощения обычно
появляется много новых линий. Все это нетрудно понять, если, помимо
гипотезы о стационарных состояниях, принять во внимание один общий
физический закон, впервые установленный Больцманом. Согласно этому
закону, если большое число одинаковых атомов находится в равновесии
друг с другом и с окружающей средой при температуре Г, то
»! : п2 : п3 = е-ц^кт : e-wVM1 : e~w*'hT, A7.9a)
где rii — число атомов в состоянии 1 с энергией Wiy п2 — число атомов
в состоянии 2 с энергией W2 и т. д., a fc — универсальная постоянная,
носящая название постоянной Больцмана. Она равна 1,38-10~16 эрг /град.
До сих пор мы рассматривали состояния атомов, которые однозначно харак-
характеризуются своей энергией. Однако атомы могут находиться и в таких состояниях,
которые, обладая одной и той же энергией, отличаются друг от друга по каким-либо
другим признакам, например по расщеплению спектральной линии в магнитном поле
(см. § 19.14). Такие состояния следует считать различными. Если атом в состояниях
2 и 2' обладает одной и тей же энергией W2i то формула A7.9а) дает число атомов
в каждом из этих состояний, а полное число атомов с энергией W2 равно 2п2. В общем
случае, п^сть gi состояний имеет энергию Wiy N± — полное число атомов с энергией
Wu #2 состояний имеет энергию W2, N2 — полное число атомов с энергией W2 и т. д ,
тогда
Ni : N2 : Nz=gie^^ : g2e-^kT : g#-"VhT. A7.96)
Используя конкретные значения энергий Wu W2 и т. д., полученные
из анализа спектральных термов, легко показать, что при комнатной
температуре почти все атомы находятся в состоянии с наименьшей энер-
энергией (см. упражнение 17.5). Это состояние обычно называют нормальным,
или основным, состоянием, а остальные (которые могут быть достигнуты
лишь путем сообщения атому дополнительной энергии) — возбужденными.
Итак, следует ожидать, что при комнатной температуре атомы могут по-
поглощать лишь кванты таких частот, которые соответствуют переходам
с напнизшего, основного, состояния, показанного на рис. 17.5, а. Если
же некоторые атомы перешли в результате столкновений с электронами
в возбужденные состояния, то, помимо линий, показанных на рис. 17.5, а,
ВОЗБУЖДЕНИЕ СПЕКТРА МЕДЛЕННЫМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
503
в спектре поглощения появляется много новых линий (рис. 17.5, б).
С повышением температуры все большее число атомов переходит в верх-
верхние состояния и, следовательно, появляется больше новых линий. Помимо
влияния температуры, появлению новых линий поглощения может
1
I
i I
L. * '
OcHO&fioe состояние
состояние
ю
Рис. 17.5. Переходы из нормального и возбужденного состоя-
состояний атома.
а — переходы из нормального (основного) состояния; горизонталь-
горизонтальные линии представляют различные состояния атома вдоль верти-
вертикальной энергетической шкалы; нормальное состояние соответствует
наименьшей энергии; б — переходы между возбужденными состоя-
состояниями.
содействовать слабый электрический разряд. Это происходит в результате
переходов атомов на верхние уровни вследствие столкновений с эле-
электронами.
17.9. На зависимости спектра поглощения от температуры основана разрабо-
разработанная Саха теория линий поглощения в спектрах звезд. Согласно существовавшим
ранее воззрениям, интенсивность линий поглощения в спектре данной звезды должна
определяться концентрацией соответствующего элемента в ее атмосфере. Мы однако
видим, что эта интенсивность определяется числом атомов, находящихся в соответст-
соответствующем] стационарном состоянии, которое зависит как от относительной распро-
распространенности данного элемента, так и от температуры атмосферы звезды (в соответ-
соответствии с законом Больцмана). Расчеты Саха показали, что роль температуры чрезвы-
чрезвычайно велика. Наличие или отсутствие некоторых линий поглощения в спектре является
основной характеристикой температуры внешних слоев звезды.
Возбуждение спектра медленными электронами
17.10. Установка, схематически изображенная на рис. 17.6, позво-
позволяет облучать газ электронами заданной скорости. Эмитируемые нитью
накала F электроны ускоряются разностью потенциалов V между нитью
F и сеткой G; затем эти электроны попадают в свободную от поля область
между G и А. Давление предполагается столь малым, что вероятность
столкновения электрона с атомом газа на очень коротком пути от F до G
весьма мала. При помощи соответствующей регулировки тока накала
число электронов, попадающих в область между G и А, поддерживается
постоянным, тогда как их энергия плавно увеличивается, начиная от
какого-либо малого значения. Опыт показывает, что сначала свечение
газа полностью отсутствует, но по мере увеличения энергии электронов
наступает момент, когда возникает излучение одной спектральной линии.
Эта линия соответствует переходу атома из первого возбужденного
состояния в нормальное. Оказалось, что критический потенциал
(т. е. минимальная*разность потенциалов V между F и G, при которой
возникает свечение) связан с частотой излучаемой спектральной линии
504
ГЛ. 17. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
соотношением
Ve^hv. A7.10)
В условиях описанного опыта соотношение A7.10) соблюдается прибли-
приближенно. Это объясняется тем, что электроны испускаются нитью накала
с некоторой, отличной от нуля энергией. Поскольку эта энергия не вполне
одинакова для разных электронов, нельзя точно опре-
определить и их окончательную энергию. Соотношение
A7.10) выполняется с той точностью, с которой можно
оценить энергию электронов. С дальнейшим ростом
потенциала появляется все большее число линий, что
указывает на возбуждение более высоких состояний.
Разность между энергиями четвертого и пятого, пято-
пятого и шестого и т. д. состояний настолько мала, что,
ввиду неизбежного разброса в энергиях электронов,
создается впечатление, что они возбуждаются одно-
одновременно.
Критические потенциалы
17.1 L Описанные в предыдущем параграфе экспе-
эксперименты показывают, что соударения с электронами
могут повысить внутреннюю энергию атома, если
только энергия электрона превосходит определенное
Рис. 17.6. Схема
опыта по возбуж-
возбуждению свечения - гч -
медленными элек- минимальное значение. Это явление можно исследо-
тронами." вать и другим методом, а именно, измеряя потери
энергии электронами при прохождении через газ. Та-
Такого рода эксперименты проделывались неоднократно. Мы не можем
здесь подробно останавливаться на методике этих измерений, с которы-
которыми читатель может ознакомиться по литературе [17.2, 17.3]. Получен-
Полученные результаты наиболее ясно и убедительно подтверждают гипотезу
стационарных состояний. Было показано, что до тех пор, пока энер-
энергия электрона недостаточно велика, чтобы возбудить атом из первого
во второе стационарное состояние, столкновение происходит так же,
как и в случае упругих твердых тел. Поскольку масса атома значительно
больше массы электрона, происходит лишь весьма незначительная пере-
передача кинетической энергии от электрона к атому. Если же энергия элек-
электрона оказывается немного больше минимального критического значе-
значения, то может иметь место не только упругое столкновение с атомомг
но и такое столкновение, при котором почти вся энергия электрона ухо-
уходит на возбуждение второго стационарного состояния атома. Электроны,
обладающие более высокой энергией, могут терять различную долю ее
в зависимости от того, на какой уровень происходит возбуждение атома.
При достаточно большой энергии электрона может происходить также
ионизация атома. Критический потенциал, соответствующий ионизации
атома, называется ионизационным потенциалом. Различным возможным
возбужденным состояниям атома соответствует целый ряд критических
потенциалов *). Во всех случаях разности между энергиями различных
состояний, полученные в результате электрических измерений, согла-
согласуются (в пределах ошибок этих измерений) с наиболее точными значе-
значениями тех же разностей, найденными при анализе спектров и расчете
энергии излученных световых квантов.
*) Критические потенциалы часто называют также потенциалами возбуждения,
(Прим. ред.)
ФОТОЭФФЕКТ В ГАЗАХ 505
Границы серий в спектрах поглощения одноатомных газов
17.12. На рис. II, б показан спектр поглощения паров натрия
в ближней ультрафиолетовой области. Он представляет собой последо-
последовательность линий, расположенных все теснее друг к другу по мере при-
приближения к границе серии (см. рис. V, д). За этой границей начинается
область непрерывного поглощения. Каждая линия образуется в результа-
результате поглощения тех квантов, энергия которых в точности равна энергии,
необходимой для перевода атома из основного состояния в одно из воз-
возбужденных.
Кванты, энергия которых заметно превосходит требуемую величину
(но все еще недостаточна для перевода в следующее возбужденное состоя-
состояние), не могут поглощаться, поскольку нет пути отвода избытка энергии.
Если бы этот избыток мог передаваться атому в виде кинетической энер-
энергии, то нарушился бы закон сохранения количества движения. Если,
однако, энергия кванта достаточна для ионизации атома, то избыток энер-
энергии может распределяться между ионом и электроном таким образом,
что будет выполняться как закон сохранения энергии, так и закон сохра-
сохранения количества движения. При выводе соотношений между передачей
энергии и импульса необходимо учитывать, что свет, наряду с довольно
значительной величиной энергии, обладает и небольшим количеством
движения (см. § 17.19). Существование непрерывного поглощения с корот-
коротковолновой стороны границы серии хорошо согласуется с теорией стацио-
стационарных состояний атомов, если частота vL, соответствующая границе
серии, связана с потенциалом ионизации соотношением
Vte = hvL, A7.11)
где Vt— потенциал ионизации в абсолютных электростатических еди-
единицах. Это соотношение подтверждено экспериментально.
Далеко не для всех элементов спектры поглощения имеют вид, показанный
на рис. II, б. В некоторых случаях это связано с тем, что граница серии (которую
можно вычислить, зная ионизационный потенциал атома) оказывается в дальней
ультрафиолетовой области. Вследствие серьезных технических трудностей эта область
спектра сравнительно мало исследована. Особенности спектров поглощения других
элементов объясняются тем, что их пары состоят из двухатомных или многоатомных
молекул. Молекулы (как в газообразной, так и в жидкой или твердой фазе) могут
давать и непрерывные спектры поглощения, но теория этих спектров чрезвычайно
сложна, и мы не будем здесь на ней останавливаться.
Если атомы водорода находятся в нормальном состоянии, то граница серии
спектра поглощения должна иметь длину волны 912 А. Непрерывное поглощение,
примыкающее к этой границе, недавно удалось наблюдать. Звездные спектры водорода
имеют границу серии спектра поглощения при 3647 А с непрерывным поглощением
в более коротковолновой области. Эта граница соответствует ионизационному потен-
потенциалу 3,4 эв, т. е. энергии, необходимой для освобождения электрона из второго ста-
стационарного состояния (т. е. первого возбужденного уровня водорода). В § 17.8 мы
показали, что при высокой температуре звездных атмосфер в газе следует ожидать
наличия возбужденных атомов.
Фотоэффект в газах
17.13. Если приведенное выше истолкование границы серии погло-
поглощения в газе правильно, то следует ожидать, что длина волны границы
серии совпадет с порогом фотоэффекта в газе. Эта связь была подтверж-
подтверждена для ряда элементов. Более того, поглощение каждого кванта (в обла-
области спектра, расположенной с коротковолновой стороны границы серии)
506
ГЛ. 17. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
Пары Ц
7
\
Рис.
Направления
наймюдешя
17.7. Схема установки для изучения резо-
резонансного излучения.
должно сопровождаться испусканием одного фотоэлектрона. Отсюда мож-
можно найти соотношение, связывающее коэффициент поглощения с числом
электронов, испускаемых газом при определенных условиях облучения.
Это соотношение также было подтверждено экспериментально.
Резонансное излучение
17.14. В спектре ртутной дуги имеется сильная линия с длиной
волны, приблизительно равной 2537 Л. В 1905 г. Вуд показал, что свет
этой длины волны сильно поглощается ртутными парами при низком дав-
давлении. Энергия, поглощенная
из падающего светового пуч-
пучка, вновь излучается с той же
длиной волны (рис. 17.7).
Однако направление этого
излучения (оно называется
резонансным излучением) не
совпадает с направлением
первоначального пучка и его
интенсивность приблизитель-
приблизительно одинакова во всех направ-
направлениях. Согласно электро-
электромагнитной теории света и
электронной теории Лорент-
ца (см. гл. 15), это сильное
поглощение должно быть свя-
связано с явлением аномальной дисперсии (и большим значением коэф-
коэффициента отражения). Квантовая теория позволяет дать простое объяс-
объяснение явлениям поглощения и реэмиссии, если допустить, что свет
с длиной волны 2537 А переводит атом из нормального состояния
с наименьшей энергией на следующий уровень и что даже при низком
давлении паров атом очень быстро испытывает обратный переход, возвра-
возвращаясь в нормальное состояние и вновь испуская световой квант. Было
также показано, что пары натрия поглощают и вновь испускают резо-
резонансное излучение в видеэдвух широко известных желтых линий с дли-
длинами волн 5890 А и 5896 А. Это также связано с аномальной дисперсией,
предсказываемой теорией.
Рэлею удалось показать, что при облучении паров натрия одной из
двух овесьма близких линий с длинами волн, приблизительно равными
3303 А, резонансное излучение лишь частично состоит из света той же
длины волны, что и падающее излучение. Испускаются также и обе жел-
желтые линии натрия. Это явление нельзя считать обычным классическим
резонансом, но оно прямо следует из представлений о последовательности
стационарных энергетических состояний атомов натрия.
Пусть атом натрия может находиться в ряде состояний, доказанных
на рис. 17.8. Поглощение излучения с длиной волны 3303 А переводит
атом в одно из верхних возбужденных состояний. Отсюда атом может
вернуться непосредственно в невозбужденное состояние, вновь излучив
квант с длиной волны 3303 А. Но ой может также вернуться в основное
состояние через промежуточный уровень, испустив линию в инфракрас-
инфракрасной области, которая не наблюдается, и одну из желтых линий.
Поглощение и реэмиссия света с изменением длины волны и направления может
иметь место в твердых телах, в жидкостях и в газах. Это явление называется флуорес-
СТОЛКНОВЕНИЯ ВТОРОГО РОДА
507
10000-
ценцией. В XIX веке оно изучалось целым рядом исследователей, в том числе Стоксом,
установившим эмпирический закон, согласно которому длина волны флуоресценции
не может быть меньше длины волны падающего излучения. Если поглощающий атом
первоначально находился в наинизшем состоянии и если после поглощения он
не может приобрести дополни-
дополнительную энергию, то, очевидно,
излученный квант должен обла-
обладать меньшей частотой (т. е. боль-
большей длиной волны), чем погло-
поглощенный. Таким образом, кванто-
квантовая теория легко объясняет закон
Стокса, но одновременно указы-
указывает на возможные случаи его
нарушения. Если атом в момент
поглощения находился не в наи-
наинизшем состоянии, то он возбуж-
возбуждается на еще более высокий уро-
уровень, а вернуться может на низ-
низший уровень. Частота испущен-
испущенного при этом излучения будет,
очевидно, больше частоты погло-
поглощенного. Прп определенных усло-
условиях это можно наблюдать на
опыте *) .
Столкновения второго рода
17.15. Вуд обнаружил
явление тушения резонансно-
резонансного излучения ртути при до-
добавлении в сосуд с парами
Рис 17 8 Возможные переходы в атоме натрия
после поглощения кванта излучения с длиной
волны 3303 А.
Возвращение в нормальное состояние N может про-
происходить следующими путями 1) А — N 3303 ^,
реэмиссия линии, 2) А — В и В — D — инфракрас-
инфракрасные линии, D — N, 5890 А, 3) А — С и С|— D — ин-
инфракрасные линии, D — N, 5890 А. Но причинам,
изложенным в гл 19, некоторые переходы (напри-
(например, переход 4 — D) не происходят
ртути постороннего газа.
Позднее было показано, что это происходит благодаря следующему
процессу:
Hg< + M->HgnrM*, A7.12)
где звездочка означает возбужденное состояние, а М — символ молекулы
постороннего газа. При таком процессе часть энергии возбуждения ртути
передается молекуле, которая переводится в возбужденное состояние,
причем баланс энергии процесса сводится с учетом кинетической энергии,
переданной при столкновении. Столкновения подобного типа, при кото-
которых часть энергии возбуждения превращается в кинетическую энергию,
называются столкновениями второго рода, в отличие от обычных столкно-
столкновений, или столкновений первого рода, в которых кинетическая энергия
одного атома или электрона затрачивается только на возбуждение другого
атома. Далеко не все столкновения между атомом в возбужденном состоя-
состоянии и другим атомом являются столкновением второго рода. Часть из
них может оказаться просто упругими столкновениями.
Реакция типа A7.12) часто сопровождается процессом
М*
A7.13)
т. е. испусканием молекулой М ее собственного резонансного излучения,
хотя падающее излучение имело совсем другую длину волны. Эту, так на-
называемую сенсибилизированную флуоресценцию вообще нельзя объяснить
*) Подробнее о законе Стокса и отступлениях от него см. в работах В.Л.Лев-
шина, изложенных в его книге «Фотолюминесценция жидких и твердых тел», Гос-
технздат, М.— Л., 1951. Случай газов рассмотрен в книге П. Прингсгейма,
Флуоресценция и фосференцпя, ИЛ, М., 1951. (Прим. ред.)
508 ГЛ. 17. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
в рамках классических теорий. Подробное истолкование опытов по сен-
сенсибилизированной флуоресценции можно найти в литературе [17.3]. Сле-
Следует, однако, отметить, что тушение резонансного излучения не всегда
сопровождается сенсибилизированной флуоресценцией. В случае туше-
тушения резонансного излучения ртути водородом молекулы водорода дис-
диссоциируют. Флуоресценция при этом отсутствует, но образующийся
атомарный водород можно обнаружить химическими методами. При
тушении резонансного излучения кислородом часть атомов ртути всту-
вступает в соединение с активированным кислородом.
Фотохимический закон Эйнштейна
17.16. Эйнштейн выдвинул гипотезу, что все фотохимические реакции начи-
начинаются с поглощения кванта. Поэтому в простейших случаях число вступающих
в реакцию стехеометрических химических единиц *) равно числу поглощенных кван-
квантов. Это положение называется фотохимическим законом Эйнштейна. Однако прак-
практически он редко выполняется для завершенной фотохимической реакции, так как
наличие сопутствующих цепных реакций приводит к увеличению числа прореагиро-
прореагировавших единиц. Кроме того, многие молекулы после поглощения кванта успевают
потерять всю избыточную энергию до вступления в реакцию. Тем не менее, в боль-
большинстве случаев число прореагировавших единиц пропорционально числу поглощен-
поглощенных квантов. Отношение числа прореагировавших единиц к числу поглощенных
квантов называется квантовым выходом реакции. Если имеют место цепные реакции,
то квантовый выход может достигать 30 000, тогда как удары второго рода и другие
процессы дезактивации часто снижают квантовый выход до величин, значительно
меньших единицы. Тем не менее, при обсуждении любых фотохимических реакций
всегда предполагается, что первичные фотохимические процессы описываются законом
Эйнштейна.
Теория фотонов Эйнштейна
17.17. До сих пор мы рассматривали лишь процессы обмена энер-
энергией, происходящие при взаимодействии излучения и вещества. Согласно
принципу относительности, мы должны связать с энергией излучения
некоторую массу. Поэтому естественно допустить, что в процессах излу-
излучения и поглощения одновременно происходит передача импульса атому.
Ниже мы рассмотрим эксперименты, которые подтвердили, что световой
пучок оказывает давление на поглощающее, преломляющее или отра-
отражающее его тело, т. е. что излучение передает телу определенный им-
импульс. Мы опишем также опыты, показавшие, что обмен импульсом между
свободным электроном и излучением происходит примерно так же, как
и при столкновениях между двумя частицами. Из всех этих эксперимен-
экспериментов следует, что световой пучок нужно рассматривать как поток некото-
некоторых частиц с энергией W, импульсом р и массой т, где
W = hv; p = ^; m = ^-. A7.14)
Такие представления о «световых частицах» были введены еще
в 1906 г. Эйнштейном, хотя наиболее важные экспериментальные факты
были получены позднее. В настоящее время эти «частицы» называют фо-
фотонами. В некоторых отношениях теория фотонов напоминает старую
корпускулярную теорию света, но теперь фотонам уже не приписывают
все свойства обычных материальных частиц. Масса покоя фотона равна
нулю. В обычных условиях число материальных частиц, например элек-
*) То есть атомов, молекул, радикалов. (Прим. ред.)
РЕНТГЕНОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ФОТОЭФФЕКТ
509
бе
\
тронов, остается на протяжении опыта постоянным. Если атом захваты-
захватывает дополнительный электрон, он оказывается отрицательно заряжен-
заряженным. Для того чтобы вернуться в нормальное состояние, он должен испус-
стить один (и только один) электрон. Вместе с тем, мы уже видели, что
после поглощения кванта с частотой v (т. е. «присоединения» фотона)
атом может отдать избыточную энергию в результате столкновения, не
испустив ни одного фотона или, наоборот, испустив два фотона с частотой
v' и v", если v' + v" = v.
Рентгеновское излучение и элементарный фотоэффект
17.18. Рассмотрим опыт, схематически изображенный на рис. 17.9.
Пучок электронов ускоряется разностью потенциалов V (порядка
100 000 в) и падает на пластинку Р±. При этом испускаются рентгенов-
рентгеновские лучи, падающие на пластинку Р2
и выбивающие из нее фотоэлектроны
с энергией порядка eV.
Энергия каждого фотоэлектрона
не зависит от расстояния между пла-
пластинками Р± и Р2- Эти результаты мож-
можно объяснить следующим образом.
Часть электронов, падающих на Ри
вызывает эмиссию фотонов с частотой v,
причем hv = eV. Некоторые фотоны
достигают пластинки Р2 и отдают свою
энергию электронам у поверхности ме-
металла. Последние испускаются прибли-
приблизительно с той же энергией eV *). Если
число электронов, падающих на Pi9 не-
невелико, то можно показать, что почти
вся энергия отдельного электрона,
упавшего на Ри может быть передана
отдельному фотоэлектрону, покинув-
покинувшему j?2« Результаты описанного здесь эксперимента несовместимы с
простой волновой теорией, согласно которой рентгеновские лучи, обра-
образовавшиеся при ударе электрона о пластпнку Р±, распределены в прост-
пространстве и не могут, следовательно, передать всю энергию одному элект-
электрону в Ро« Эти результаты легко объяснить, если считать, что энергия
переносится фотонами.
Явление фотоэффекта используется в приборе, называемом счетчиком Гейгера
и позволяющем регистрировать отдельные фотоны. Тонкая проволока помещается
вдоль оси металлического цилиндра (рис. 17.10), наполненного газом при давлении
в несколько мм рт. ст. Между проволокой и цилиндром прикладывается разность
потенциалов в несколько сот вольт, причем цилиндр заряжается положительно.
Сквозь небольшое окно свет может проникать в цилиндр. Если напряжение электри-
электрического поля между проволокой и цилиндром превышает определенное значение,
то в счетчике возникает электрический разряд. Однако фактически на счетчике уста-
устанавливают напряжение, немного меньшее критического. Если фотон попадает внутрь
прибора, он может выбить из проволоки фотоэлектрон. Этот электрон, ускоренный
электрическим полем, двигаясь к стенкам цилиндра, образует дополнительно неко-
некоторое количество электронов и положительных ионов в результате ионизации атомов
газа при столкновениях с ними. Ускоренные полем вторичные электроны продолжают
дальнейшую ионизацию газов. Развитие этого процесса подобно росту снежной лавины
Рис. 17.9. Элементарный фотоэф-
фотоэффект.
*) Равенство энергий лишь приблизительно, поскольку мы пренебрегли вели-
величиной работы выхода и другими эффектами, относительно малыми по сравнению с eV.
510
ГЛ. 17. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
в горах. Возникший таким образом небольшой импульс тока в цепи счетчика можно
усилить и использовать в механическом счетчике. Таким способом можно обнару-
обнаруживать отдельные фотоны и подсчитывать их число. Следует, однако, помнить, что
Рис 17.10. Счетчик фотонов.
это з стройство реагирует не на каждый фотон, а лишь на тот, который освобождает
фотоэлектрон из проволоки или близ нее *).
Давление света
17.19. Измерение давления света в лабораторных условиях связано
с очень большими трудностями, ввиду чрезвычайной его малости **):
всего 10~5 —10~6 дин/см2.
Для практического осуществления измерений необходимо прежде
всего исключить действие газокинетического, радиометрического, эффекта.
Рис 17 11 Схема опыта по измерению давления света.
Схема простейшей установки для измерения светового давления
показана на рис. 17.11. Свет от двух мощных источников Si и S2 падает
на два крылышка А± и А2, укрепленных на концах стерженька, подвешен-
подвешенного на тонкой кварцевой нити. Вращение системы можно измерять
обычным зеркальным методом, а модуль кручения нити определять по
периоду свободных колебаний подвеса.
Однако если излучение нагреет освещенную поверхность крылышка,
то молекулы газа после соударения с ней будут удаляться от этой поверх-
*) Подробнее о работе считчиков см., например, Э. В. Шпольский, Атом-
Атомная физика, Гостехиздат, М.— Л., 1956 [17.9]. (Прим. ред.)
**) Здесь автор описывает постановку и результаты классическпх опытов
П. Н. Лебедева A900—1901) по исследованию светового давления (см. П. Н. Л е б е-
д е в, Избранные сочинения, Гостехиздат, М.— Л., 1949), не упоминая имени П. Н. Ле-
Лебедева. Результаты П. Н. Лебедева явились одним из фундаментальных доказательств
электромагнитной природы света. (Прим. ред.)
ДАВЛЕНИЕ СВЕТА
511
ности с большей скоростью, чем после удара о неосвещенную сторону
крылышка. Освещенная сторона крылышек будет получать больший
импульс, чем теневая. Это называется радиометрическим эффектом. Он
действует в том же направлении, что и давление света, и в большинстве
случаев во много раз превосходит его. Радиометрический эффект зависит от
давления газа и от ряда других факторов, и специальный выбор условии эк-
эксперимента позволяет настолько уменьшить его, что становится возможным
измерение давления света.
В некоторых опытах [17.41
существенного уменьше-
уменьшения радиометрического эф-
эффекта удалось достичь,
применяя специальные
ячейки, показанные на
рис. 17.12. Отражающей
и поглощающей поверхно-
поверхностями служат здесь внут-
внутренние поверхности двух
стеклянных пластинок, од-
одна из которых посеребре-
посеребрена, а другая — зачернена.
Тонкие„
стеклян-'
ные диски
Посеребренная
поверхность
Рис. 17.12. Устройство специальных
ячеек
Зачерненная
поверхность
облучаемых
Радиометрический эффект
на внутренних поверхно-
поверхностях не приводит к появ-
появлению дополнительного
крутящего момента, а на
внешних поверхностях этот эффект мал, поскольку они отражают очень
мало света. Такое устройство позволило измерить давление света с точ-
точностью до нескольких процентов.
Давление р, создаваемое параллельным пучком света, падающим
нормально на полностью поглощающее излучение тело, оказалось рав-
равным следующей величине:
P = Qp, A7.15)
гдз qp — плотность энергии в падающем пучке. Давление на поверх-
поверхность с коэффициентом отражения г больше в A + г) раз.
17.20. Воспользуемся теперь полученным результатом для вычис-
вычисления давления изотропного излучения. Такое излучение осуществляется
в замкнутой полости, стенки которой имеют одинаковую температуру.
В такой полости реализуются условия черного тела.
Рассмотрим пучок почти параллельных световых лучей, заключен-
заключенных в пределах малого телесного угла dQ. Пусть плотность энергии,
распространяющейся внутри dQ, равна QedQ. Свет падает на поверх-
поверхность S (рис. 17.13) под углом 0 с нормалью к этой поверхности. Если
принять сечение пучка за единицу, то облученная площадь будет равна
l/cos0. Нормальная составляющая силы, действующей на поверхность,
равна Qe cos 0 dQ, а давление р (т. е. сила, приходящаяся на единицу
площади) равно р = Qecos20 dQ. Аналогично получаем для тангении-
альной составляющей силы ^е sin 0 cos 0 dQ.
Если излучение падает на поверхность в пределах конечного телес-
телесного угла, то давление при единичной плотности энергии равно
Ie.eos.erfO A?Л6)
512
ГЛ 17. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
Если излучение изотропно, то q9 не зависит от 0 и может быть вынесено
за знак интеграла. Тогда давление равно произведению плотности излуче-
излучения q на среднее по полусфере значение cos2 в, равное 1/3. Таким образом,
давление изотропного излучения на абсолютно поглощающую поверхность
равно
р=-§^*)- A7.17)
Тангенциальная составляющая силы, с которой направленный свето-
световой пучок также действует на препятствие, была измерена Пойнтингом
при помощи прибора, изображенного на рис. 17.14. Световой пучок падает
на крылышко, укрепленное перпендикулярно несущему его стержню.
Угол падения света на крылышко равен 45°. Тангенциальная составляю-
составляющая силы создает вращающий мо-
момент, тогда как радиометрический
эффект и нормальная составля-
составляющая силы не сообщают всему
у'
Рис. 17 13.
S
Рис i7 14 Схема опыта Пойнтинга
по измерению тангенциальной силы,
действующей на препятствие со сто-
стороны направленного пучка света
подвесу вращающего момента. Полученные результаты подтверждают
(с точностью до 10%), что тангенциальная сила равна q cos 0 sin 0.
Хотя в лабораторных условиях давление света чрезвычайно мало, оно играет
весьма важную роль в звездах. Благодаря очень высокой плотности излучения внутри
звезды действует значительное давление, направленное от центра наружу. Это давле-
давление, так же как молекулярно-кинетическое давление частиц вещества, образующего
звезду, противоположно по направлению действию гравитационных сил, сжимающих
звезду **). Кроме того, испускание и поглощение излучения внутри звезды приводит
к быстрому переносу некоторой массы из одной ее области в другую. Выходящее
из центра излучение обладает меньшим моментом количества движения, чем погло-
поглощающее его вещество периферических областей. Это приводит к уменьшению ско-
скорости вращения звезды и к увеличению эффективной вязкости составляющего ее газа.
17.21. Рассмотрим теперь давление параллельного светового пучка,
падающего нормально на поглощающее тело, с точки зрения эйнштейнов-
эйнштейновской теории фотонов. Пусть в единице объема содержится N квантов
с частотой v. Тогда
Qp = Nhv. A7.18)
Все кванты, находящиеся в цилиндре объемом с смг, попадут за единицу
времени на поверхность единичной площади. Создаваемое ими давление р
*) Это имеет место для равновесного (черного) излучения. (Прим. ред.)
**) С этим обстоятельством, в частности, связано наличие верхнего предела
.массы звезд порядка 1027/п. (Прим. ред.)
ЭФФЕКТ КОМПТОНА 513
будет равно следующей величине:
p = NcP, A7.19)
где Р — импульс одного фотона. Воспользовавшись соотношениями
A7.18), A7.19) и A7.15), мы видим, что опыты по давлению света дают
для импульса фотона выражение
p=ML=fe
С К
Результаты, полученные для отражающей поверхности и для изотропного
излучения, также находятся в соответствии с этими представлениями.
Волновая теория давления света
17.22. Поток электромагнитного излучения возбуждает токи в поверх-
поверхностном слое металла, который частично поглощает и частично отражает
это излучение. Магнитное поле излучения должно воздействовать на эти
токи так же, как оно действует на проводник с током. Аналогичным
образом, в диэлектрике излучение, частично отражаемое средой, возбуж-
возбуждает переменную поляризацию молекул, а магнитное поле излучения
воздействует на движущиеся заряды. Отсюда и возникает «давление»
излучения. Непосредственный расчет показывает, что величина этого
давления находится в согласии с результатами экспериментов [17.5] *).
Эффект Комптона
17.23. Мы убедились, что макроскопические эксперименты по давле-
давлению света хорошо объясняются как волновой теорией, так и теорией
фотонов. Последняя отличается большей наглядностью, так как в ней
давление света описывается примерно так же, как давление газа в кинети-
кинетической теории. Правильное значение давления света легко определить
путем элементарного расчета. Однако и волновое описание давления света
естественно, хотя и несколько более сложно, вытекает из общей волновой
теории и не требует каких-либо специальных допущений. Теперь мы перей-
перейдем к описанию экспериментов, результаты которых являются аргументом
в пользу теории фотонов.
В 1923 г. А. Комптон показал, что при рассеянии рентгеновских лучей
имеет место увеличение их длины волны на величину ДА,, которая связана
с углом рассеяния 0 соотношением
М = — A-cosO), A7.21)
ITIqC
где т0 — масса покоя электрона. В приложении 17А будет показано, что
это соотношение можно получить непосредственно из законов сохранения
количества движения и энергии для столкновения фотона с электроном,
если считать, что импульс фотона дается формулой A7.20). В первона-
первоначальных опытах Комптона наблюдался средний эффект, обусловленный
большим числом столкновений. Поэтому они не давали прямых данных
о величине изменения импульса фотона в одном столкновении. Результаты
однократных столкновений удалось наблюдать на фотографиях следов
*) См. также, например, Кл. Ш е ф ф е р, Теоретическая физика, т. III, ч. II,
Оптика, ГТТИ, М,— Л., 1938. (Прим. ред.)
33 р. Дитчберн
514
ГЛ. 17. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
в камере Вильсона. Кроме того, Гейгер и Боте экспериментально показали
[17.6], что рассеянный фотон и рассеянный электрон появляются одно-
одновременно. Столкновений фотонов видимой области спектра с электронами
наблюдать непосредственно не удается из-за сравнительно большой энергии
связи электрона в атоме; фактически фотон испытывает столкновение
с атомом в целом. Однако энергия фотонов рентгеновского излучения
настолько велика, что энергию связи внешнего электрона атома можно
считать пренебрежимо малой.
Изменение длины волны можно также объяснить с волновой точки зрения, если
допустить, что процесс рассеяния происходит в два этапа: сначала свет поглощается,
а потом испускается движущимся электроном. Изменение длины волны происходит
при этом благодаря эффекту Допплера.
И
Четдёртьболно-
*\&де пластин-
уа спдсереб-
Аргннои „
^поверхностью
Поли-
Момент количества движения света,
поляризованного по кругу
17.24. Поляризованный по кругу свет, падая на полуволновую плас-
пластинку, обращающую направление вращения светового вектора (т. е. пре-
превращая, например, свет, поляризованный по левому кругу, в свет, поля-
поляризованный по правому кругу,
или наоборот), воздействует на эту
пластинку с некоторым вращаю-
вращающим моментом *). Схема соответ-
соответствующего опыта показана на
рис. 17.15. Здесь Н — полуволно-
полуволновая пластинка, подвешенная на
тонкой кварцевой нити, проходя-
проходящей через небольшое отверстие
в независимо закрепленной чет-
четвертьволновой пластинке М. Пу-
Пучок поляризованного по кругу све-
света проходит через Н, затем от-
отражается от верхней грани пла-
пластины М (которую он, таким об-
образом, проходит дважды) и, нако-
наконец, снова проходит через Н. В ре-
результате каждого прохождения
света через полуволновую пла-
пластинку направление поляризации
меняется на обратное и возникает
вращающий момент (одинакового
направления в обоих случаях), действующий на подвес. На приведенном
рисунке направления распространения и поляризации падающего света
показаны слева, а отраженного — справа, хотя, разумеется, оба пучка
проходят через всю пластинку. Падающий пучок периодически преры-
прерывается таким образом, чтобы последовательность импульсов попадала
в резонанс с возможными собственными крутильными колебаниями под-
подвеса. Возникающие при этом колебания системы регистрируют с помощью
слабого светового пучка, отражаемого от зеркальца т. Полученные резуль-
результаты легко интерпретировать, если считать, что при поглощении поляри-
} \ пла-
стинка
Рис 17.15. Прибор для измерения враща-
вращательного момента света.
*) Этот эффект был предсказан и теоретически рассчитан впервые А.И.Садов-
А.И.Садовским, ЖРФО 29, 82 A897). (Прим. ред.)
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 515
зованный по кругу свет передает единице поверхности за секунду момент
количества движения Q, причем
2kQ = qX. A7.22)
Практическое осуществление этого эксперимента связано с чрезвы-
чрезвычайно большими трудностями. Возникающий вращающий момент по поряд-
порядку величины равен всего 101 дин-см. При малейшей асимметрии в про-
проходящем через пластинку Н пучке эффект маскируется радиометрическим
вращающим моментом и даже просто давлением света. Однако варьиро-
варьирование некоторых параметров позволяет устранить эти побочные эффекты
[17.7]. Соотношение A7.22) было подтверждено с точностью ± 10%.
17.25. Пусть поляризованный по кругу свет состоит из фотонов, каждый из кото-
которых обладает моментом количества движения h/2л. Если в единице объема находится N
фотонов, то через единицу площади за одну секунду пройдет Nc квантов, полный
момент количества движения которых Q равен N he/2л. Поскольку энергия в единице
объема q = Nhv, то
2nQ=^ c=q%. A7.23)
Если считать, что свет, поляризованный по левому и правому кругу, состоит
из фотонов с противоположными направлениями момента импульса, то при обращении
направления круговой поляризации полный момент их импульса изменится на вдвое
большую величину.
Можно показать, что волновая теория света также приводит к выводу о появле-
появлении вращающего действия света в условиях описанного выше эксперимента. Наиболее
простое объяснение связывает этот эффект с дифракцией на краях циркулярно поляри-
поляризованного светового пучка (или на краях полуволновой пластинки, если она меньше
сечения пучка).
17.26. В описанных выше опытах (см. § 17.19) измерялось давление света на обра-
образец, содержащий большое число атомов. Точно так же в другом опыте (см. § 17.24)
исследовался вращающий момент, возникающий при действии светового пучка на пла-
пластинку, состоящую из большого числа атомов. Мы видели, что как волновая теория,
так и теория фотонов одинаково успешно объясняют макроскопические эксперименты
подобного типа. Более прямое указание на характер взаимодействия излучения
с отдельными атомами дает экспериментальное изучение эффекта Комптона с помощью
рентгеновского спектрометра и особенно — фотографирование следов электронов
отдачи в камере Вильсона *). Эти опыты гораздо легче понять в рамках теории фотонов.
Существует также экспериментальное подтверждение (хотя и не столь непосредствен-
непосредственное) обмена моментом количества движения между излучением и отдельными атомами.
Было установлено, что атомы, ориентированные в магнитном поле, испускают свет,
поляризованный по кругу. Опыты Штерна и Герлаха по изучению поведения атомов
в магнитном поле показывают, что атомы, испустившие поляризованный по кругу
свет, испытывают изменение момента количества движения (в простейшем случае
на величину h/2n). В этом случае теория фотонов снова оказывается более удобной.
Наиболее простое объяснение указанных эффектов следует из допущения, что каждый
переход в атоме сопровождается испусканием фотона и что в каждом элементарном
акте взаимодействия излучения с веществом выполняются законы сохранения энергии,
импульса и его момента.
Тепловое излучение
17.27. Опыт показывает, что в замкнутой полости тела, поддерживае-
поддерживаемого при постоянной температуре, всегда существует электромагнитное
излучение. Это излучение очень быстро достигает равновесного состояния,
как в отношении общей плотности энергии, так и в отношении распределе-
распределения его по длинам волн. Оказывается, что все свойства равновесного
состояния зависят только от температуры полости и не зависят от мате-
материала ее стенок. Излучение, находящееся в равновесии внутри замкнутой
*) См., например, [17.9]. (Прим. ред.)
33*
516
ГЛ 17 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
полости, стенки которой поддерживаются при постоянной температурег
называется равновесным тепловым излучением, или черным излучением
При исследовании теплового изчученпя небольшая часть его выводится из полости
через мапое отверстие в ее стенке Если необходимо измерить интегральную энергию
Тепловое
излучение
j U "О ЧУ
• Термо-
Термопара
Рис. 17 16 Прибор для изучения зависимости энергии излучения
от длины волны
выходящего излучения во всем спектре, то излучение направляется на спай термо-
термопары Можно также при помощи монохроматора предваритечьно выделить излучение
определенной области длин волн, но в этом случае дчя измерения энергии нужен более
чувствительный приемник На рис 17 16 показана установка, применявшаяся для
и 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Длина волны, м/£
Рис 17 17 Зависимость q от X
изучения распределения энергии по длинам волн в спектре теплового излучения Более
детальные сведения о проведении этих экспериментов можно найти в литера
туре [17 8]
Было показано, что полная энергия 1?а, испускаемая в единицу вре-
времени стединицы площади стенок полости, равна следующей величине:
A7.24)
где Т — абсолютная температура. Эта энергия испускается в телесном
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 517
угле 2л. Соотношение A7.24) называется законом Стефана, а коэффи-
коэффициент о — постоянной Стефана — Болъцмана *).
Распределение излучения по длинам волн описывается некоторой
функцией Q (Я). В таком случае энергия, испускаемая в интервале
длин волн от (X — 1/2 dX) до (X + 1/2 dX), запишется в виде q (a) dX.
На рис. 17.17 приведены результаты измерения этой функции при 900,
1000 и 1100° К. Функция q (X) имеет максимум при определенной длине
волны Хш. Величина Хт связана с температурой следующим соотношением:
ХтТ = const. A7.25)
При увеличении температуры максимум энергии излучения смещается
в сторону ультрафиолетовой области спектра, но для каждой данной
длины волны X большим значениям температуры соответствует большее
значение q (X). В 1893 г. Вин показал, что распределение энергии по дли-
длинам волн должно подчиняться следующему закону:
A7.26)
Здесь мы можем рассматривать A7.24) — A7.26) как эмпирические
соотношения, полученные путем обобщения экспериментальных данных.
Вид функции F будет рассмотрен ниже.
Упражнение
17.1. Путем интегрирования и дифференцирования формулы A7.26) показать,
что как A7.24), так и A7.25) можно получить из A7.26).
[а) Интегрируя A7.26), находим
оо оо
о. = J q (X) dX=^ X-bF (^r) А A7 27)
b 6
Полагая XT = х, получаем (для фиксированной температуры)
оо
^АЛ y A7 28)
т е. q пропорционально Т4.
б) Для того чтобы найти Хту приравняем нулю dq (Х)/дХ, т. е.
^ A729)
где F' — производная F по у = i/KT. Перепишем уравнение A7.29) в виде
yF'(y) + 5F(y)=0 A7 30)
Это уравнение с одной переменной ~у. Его решение (еслиу конечно, оно существует)
дает некоторое постоянное значение у, т. е. постоянное значение ХтТ.]
17.28. Поскольку свойства теплового излучения не зависят от мате-
материала полости, в теории этого излучения должны рассматриваться лишь
наиболее общие свойства вещества и излучения. В 1884 г. Больцман
*) Пропорциональность интегральной энергии равновесного теплового излу-
излучения Г4 была также выведена Больцманом термодинамическим п>тем, что автор
делает ниже. Соотношение A7.24) обычно известно под названиелг закона Стефана —
Болъцмана. (Прим. ред )
518 ГЛ 17 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
вывел формулу A7.24), применив к полости, содержащей равновесное
излучение, методы классической термодинамики. При этом, помимо при-
применения первого и второго начал термодинамики, он использовал вывод
электродинамики, что давление равновесного излучения равно q/З (плот-
(плотности энергии излучения) [17.10].
Согласно первому началу термодинамики, приращение количества
тепла, полученного системой, dQ = du-\-p dV. Если рассматривать
внутреннюю энергию и как функцию объема V и температуры Г, то
Но —~£■ = dS есть полный дифференциал функции состояния энтропии S.
Следовательно,
as \ 1 г ди \ г as \ 1 г / аи
) )* V
Теперь, дифференцируя накрест соответственно по V и Т написанные
частные производные для S и приравнивая их, получим
dVdT ~~ дТ dV
Отсюда находим
fdu_\ _Tfdp_
Пусть излучение, к которому мы хотим применить написанное термо-
термодинамическое соотношение, находится в цилиндре под поршнем.
При изотермическом изменении объема цилиндра, заполненного излуче-
излучением, можно написать, что каждому значению V соответствует энергия
излучения U = и (Г) F, где и (Г) — плотность энергии равновесного
излучения, зависящая только от Т. С другой стороны, p=z — u(T).
Подставляя эти значения U и р в наше общее термодинамическое соотно-
соотношение, находим "л77==4-7=г, откуда легко получаем U = аТ*, где, как
следует из опыта,
кал
град*'
:= 1,82-10-22
17.29. Соотношение A7.26) было получено Вином [17.1] методами
термодинамики. Он использовал, кроме того, приведенные в гл. 11 форму-
формулы для эффекта Допплера при отражений света от движущегося зеркала.
Таким образом, до этого момента теорию теплового излучения выводили,
применяя методы термодинамики к системам, подчиняющимся законам,
которые можно было непосредственно проверить опытами по световому
давлению, эффекту Допплера и т. п. Однако для того, чтобы продвинуться
дальше и определить вид функции F в формуле A7.26), необходимо ввести
новые допущения, которые нельзя было непосредственно связать с экс-
экспериментальными данными, известными в конце XIX века. Теперь мы
знаем, что следует принять гипотезу световых квантов, подтвержден-
ЗАКОН ПЛАНКА . 519
ную описанными в настоящей главе опытами. Но прежде, чем переходить
к следствиям квантовой теории, мы остановимся на попытке определить
функцию F на основе законов классической физики.
17.30. Рэлей и Джине предположили, что общие принципы механики,
выраженные в классических уравнениях Гамильтона, применимы и к полю
излучения. Они предположили также, что поведение излучения в энергети-
энергетическом отношении подобно поведению механической системы с определен-
определенным числом степеней свободы. Такое допущение казалось тем более разум-
разумным, что метод Гамильтона был ранее успешно использован в ряде задач
электродинамики. Предполагалось также, что энергия, приходящаяся
на каждую степень свободы, может меняться непрерывно. Поведение
ансамблей систем с очень большим числом степеней свободы было детально
проанализировано Гиббсом и Больцманом, которые показали, что на каж-
каждую степень свободы приходится в среднем энергия, равная кТ, где Т —
абсолютная температура, а. к — постоянная Больцмана. Рэлей и Джине
рассмотрели поведение системы в объеме F, линейные размеры которого
велики по сравнению с Хт. Мы уже видели (см. стр. 391), что число стоячих
поперечных волн с длиной от (X + 1/2 dX) до (X— l/2dX), приходящихся
на единицу объема, равно (-Jj~ )dX. Если предположить, что каждый тип
колебаний (т. е. каждая возможная стоячая волна) соответствует одной
степени свободы поля излучения, то получим
Q(X) = 2±kT. A7.31)
17.31. Это выражение приближенно согласуется с опытными данными
для длинноволнового конца спектра. Однако q (X) не проходит через
максимум при определенной длине волны, а наоборот, неограниченно
оо
возрастает при уменьшении X. Более того, интеграл \ q (X) dX оказы-
оказывается бесконечно большим. Последний результат можно также получить
с помощью совсем простого рассуждения. Если считать, что «свободное
пространство» имеет бесконечное число степеней свободы для электро-
электромагнитных колебаний и что на каждую степень свободы должна прихо-
приходиться одинаковая конечная энергия, то полная энергия излучения ста-
становится неограниченно большой. Поскольку материальные системы обла-
обладают лишь конечным числом степеней свободы, равновесие между веще-
веществом и излучением означает, что вся энергия должна перейти к полю
излучения. Эта трудность является фундаментальной, и ее нельзя преодо-
преодолеть за счет каких-либо незначительных исправлений классической
теории.
Закон Планка
17.32. Введем теперь гипотезу о квантах, которая впервые была пред-
предложена именно с целью объяснения указанной выше трудности. Предпо-
Предположим, что для каждого типа колебаний с частотой v возможны значения
энергии 0, ev, 2ev, ... , где ev = hv. Тогда, согласно теореме Больцмана,
отношение вероятностей того, что данный тип колебаний обладает энер-
энергией 0, ev, 2ev, ... , можно записать в виде
520 ГЛ 17. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
и, следовательно, среднее значение энергии ev равно
<17-32)
n=0
Это выражение можно записать в виде
dz ZJ '
п=0
где z = ev/kT. Используя формулу для суммы геометрической прогрессии,
получаем
^r- A733)
Здесь мы получили результат, существенно отличный от классиче-
классического. Средняя энергия, приходящаяся на долю колебания с частотой v,
оказывается зависящей от частоты этого колебания v. Подставляя это
значение evв A7.31) вместо требуемой классическойтеориейвеличины кТ,
находим
^7^T' A7<34)
или, полагая ev = he /Я,
Эту формулу можно записать в виде
«<*>e-2b-j*n^T. A7-356)
где
с1 = 8л/гс ис2 = р A7.36)
Если на интервал частот от fv-^-^-dvj^o (v—^ dvj приходится
энергия q (v) dv, причем этот интервал соответствует длинам волн от
"9~^)' т0 Q(v)dv= —Q(Я,)с?Я, и так как Xv = c,
= 0, то
Формулы A7.35а) и A7.37) дают две возможные формы записи знамени-
знаменитого закона Планка. Они согласуются с законом Вина (см. соотношение
A7.26)) и, следовательно, с A7.24) и A7.25).
ЗАКОН ПЛАНКА
521
Закон Планка хорошо согласуется также с результатами прямых
измерений зависимости энергии излучения от длины волны или частоты.
На рис. 17.18 показано соответствие между распределением энергии,
вычисленным по формуле Планка, и экспериментом.
т°н
см град. произд.еЪ.
0,2602 ЩВ
У36° 0,2555 Щ2
Щ8° 0,2533 ЩО
V 1ft18° 0,3033 7,333
3W° Of385 7J55
873° 0,2820 Щ7
\*ЩЗ°
0 12 3 4 5 5 ми
Л
Рис. 17.18. Типичные кривые распределения энергии в излучении
абсолютно черного тела.
Заштрихованные площади изображают поглощение в воздухе.'По оси ординат
отложены отклонения гальванометра, пропорциональные плотности энергии и
испускательной способности. Числа справа показывают степень точности,
с которой закон Вина подтверждается опытом.
17.33. Постоянную Планка h и постоянную Больцмана к можно
определить из экспериментов по тепловому излучению, хотя это и не наи-
наиболее точный способ их отыскания. Наиболее удобный способ ее опре-
определения состоит в измерении полной энергии излучения (для всех длин
волн) и длины волны, соответствующей максимуму излучения при одной
и той же температуре. Решая уравнение A7.30), получаем *):
ЯтГ = t-7^f7= 4,9651* • A7.38)
*) Для вывода этих соотношений положим в A7.30)
Р(У)= J. . ; F'(y) = -c2eCi
Тогда соотношение A7.30) принимает вид
оно решается методом последовательных приближений (метод Ньютона) и дает соот-
соотношение A7.38).
522 ГЛ 17. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
Интегрируя A7.356) и используя A7.24), получаем второе соотно-
соотношение ♦):
<17-39>
Из этих двух соотношений можно определить hn к, если измерены значе-
значения Яж, а и Г.
17.34. В приведенном выше выводе закона Планка мы наложили квантовые усло-
условия на совокупность электромагнитных колебаний. Тот же результат можно полу-
получить, рассматривая тепловое излучение как «газ», «молекулами» которого являются
фотоны, и воспользоваться затем законами статистической механики. Если предпо-
предположить, что фотоны обладают всеми свойствами, которые мы приписываем обычным
материальным частицам, то весь вывод будет повторением расчета, выполненного
Максвеллом для молекулярного газа. Естественно, что при этом получается результат
Максвелла. Если, однако, ввести дополнительные допущения, а именно, предполо-
предположить, что: а) число фотонов не фиксировано (хотя полная энергия поля излучения
остается постоянной) и б) отдельные фотоны не отличимы друг от друга, то распре-
распределение энергии по частотам оказывается в точности совпадающим с законом Планка
(см. §§ 18.34—18.39).
Принцип детального равновесия
17.35. Рассмотрим теперь систему из атомов и излучения, находящих-
находящихся в термодинамическом равновесии при одинаковой температуре. Опыт
показывает, что в этих условиях спектральный состав и энергия излучения
не зависят от сорта атомов и целиком определяются температурой. Закон
Планка дает соотношение между q (X) и Т. Распределение атомов по раз-
различным стационарным состояниям также зависит только от температуры
и дается законом Больцмана. Для вывода закона Планка к излучению
применяют законы статистической механики с учетом квантовой теории.
Закон Больцмана получается на основе тех же принципов в применении
к ансамблю из атомов, причем квантовая теория используется для объяс-
объяснения дискретных стационарных состояний. Соотношение между стати-
статистической механикой и термодинамикой таково, что любое отступление
от законов Планка и Больцмана (не считая предсказываемых статистиче-
статистической механикой малых флуктуации) повлекло бы за собой нарушение
второго начала термодинамики. Совершенно ясно, что в любой системе
из атомов и молекул равновесие должно быть не статическим, а динамиче-
динамическим. Все время одни атомы поглощают излучение, а другие испускают
его. Процессы поглощения и испускания сопровождаются изменением
стационарных состояний атомов, в каждом элементарном акте выполняются
все законы сохранения. Распределения Планка и Больцмана поддержи-
поддерживаются благодаря компенсирующему действию различных процессов.
17.36. Установлено, что термодинамическое равновесие наступает
в том и только в том случае, когда каждый элементарный процесс сбалан-
сбалансирован аналогичным обратным процессом. Пусть, например, мы имеем
дело с атомами в стационарных состояниях 1, 2,3 и т. д. В единицу вре-
*) Для выполнения интегрирования положим и = с2'кТ; тогда
о о
Можно показать, что этот интеграл равен я4/15. Следовательно,
ЛсГ л _ 8jiW _ cq _
_ ______ т. е. а--^-
(см. упражнение 17.9).
ВЫВОД ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ ПО ЭЙНШТЕЙНУ 523
мени определенное число атомов в результате поглощения излучения
с частотой Vi3 перейдет из состояния 1 в состояние 3. Эти переходы должны
компенсироваться испусканием такого же числа квантов с частотой Vi3,
сопровождающимся обратными переходами атомов из состояния 3 в состоя-
состояние 1. Испускание кванта с частотой vi2 и затем кванта с частотой v23
будет способствовать установлению равновесия для атомов, но при этом
будет нарушаться равновесие для излучения. Последнее можно было
бы восстановить за счет каких-либо новых процессов, но это в свою оче-
очередь привело бы к нарушению баланса в другом месте и т. д. В лучшем
случае путем такой «косвенной» компенсации можно обеспечить равно-
равновесие при каких-либо определенных значениях температуру, давления
и т. п. Однако при сколь угодно малом изменении этих ^параметров
равновесие оказалось бы нарушенным. В настоящее время можно считать
изложенный выше принцип детального равновесия твердо установленным.
Вывод формулы для распределения энергии в спектре
равновесного излучения по Эйнштейну
17.37. Рассмотрим переходы атома между состояниями 1 и 2 при
поглощении и испускании излучения с частотой v42. Пусть состояние 2
соответствует большей энергии. Обозначим через N± число атомов
в единице объема в состоянии 1 при условии, что система находится
в термодинамическом равновесии при температуре Т. Тогда iV2 — число
атомов в единице объема в состоянии 2 — будет равно
A7.40)
Пусть q (v) dv — плотность энергии изотропного излучения в области
частот от
р р
( v42 + -^ dv j до ( v42 <>■ dv J . Тогда число атомов, перехо-
переходящих за единицу времени из состояния 1 в состояние 2, при поглощении
излучения будет пропорционально q (v42) N±, если только линия погло-
поглощения столь узка, что в пределах спектральной области, в которой погло-
поглощение значительно, функция q (v) практически постоянна. Обозначим
коэффициент пропорциональности через 2?12. За единицу времени часть
атомов перейдет из состояния 2 в состояние 1 в результате спонтанного
излучения. Такие переходы не зависят от наличия излучения. Число
их пропорционально только 7V2; обозначим коэффициент пропорциональ-
пропорциональности через Л21- Если бы это был единственный процесс, переводящий
атомы из состояния 2 в состояние 1, то принцип детального равновесия
можно было бы записать в виде
или, учитывая A7.40), в виде
^(^) A7.42)
Зависимость плотности излучения от температуры, даваемая форму-
формулой A7.42), отличается от закона Планка и, следовательно, не согласуется
с экспериментальными данными.
Это расхождение с экспериментом можно устранить, если допустить,
что, помимо независящего от присутствия излучения спонтанного испу-
испускания света атомами, возможно также и вынужденное его испускание.
524 ГЛ. 17. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
Число переходов с вынужденным, или индуцированным, испусканием
пропорционально плотности излучения; обозначим соответствующий
коэффициент пропорциональности через J?2i- В результате, вместо A7.41),
получаем
Q (v) B12Ni = A21N2 + q (v) B2lN2, A7.43)
отсюда
e(v)=;—fe—• A7-44)
Это выражение совпадает с A7.37) тогда и только тогда, когда
Bi2 = B2l A7.45а)
и
A2l = ^-B2i. A7.456)
Коэффициенты A2i, Bi2 и B2i называются коэффициентами Эйнштейна,
поскольку изложенная здесь теория принадлежит Эйнштейну. Величину
Л 2i называют также вероятностью перехода *). Для плотностей излуче-
излучения, с которыми приходится иметь дело в обычных оптических экспери-
экспериментах по поглощению и испусканию света, второй член в правой части
соотношения A7.43) оказывается весьма малым по сравнению с первым.
Однако при выводе общих законов излучения пренебрегать им нельзя **).
Время жизни возбужденного атома
17.38. Если известен хотя бы один из коэффициентов Эйнштейна,
то из соотношений A7.45а) и A7.456) нетрудно определить остальные.
Наиболее удобно рассматривать в качестве такого «первичного» коэффи-
коэффициента коэффициент спонтанного излучения A2i. Для пояснения возмож-
возможного способа его измерения рассмотрим следующий эксперимент.
Сосуд, содержащий пары натрия при низком давлении, облучают
в течение некоторого времени светом натриевой лампы. Затем источник
облучения удаляют. Во время облучения свет поглощается атомами
натрия, находящимися в нормальном состоянии, и затем вновь испускается
в виде резонансного излучения. Вскоре после начала облучения устанав-
устанавливается равновесие, при котором число атомов в верхнем состоянии
(состоянии 2) становится постоянным, так как число квантов, поглощаемых
в 1 сек, равно числу испущенных за тот же промежуток времени. После
прекращения облучения число атомов в состоянии 2 быстро уменьшается
благодаря продолжающейся эмиссии (поглощение квантов теплового излу-
излучения оказывается очень малым). Число атомов, покидающих верхнее
состояние за малый интервал времени dt, равно
dN2(t)=-A2iN2(t)dt, A7.46)
*) Заметим, что все наше рассмотрение и, в частности, формулы A7.45) отно-
относились к отдельным состояниям. Если даже несколько состояний имеют одну и ту же
энергию, то все соотношения надо применять к каждому из этих состояний в отдель-
отдельности (см. § 17.18 и упражнение 17.10).
**) В последнее время проявляется все больший интерес к так называемым моле-
молекулярным генераторам и молекулярным усилителям в микроволновой и оптической
областях спектра (мазеры и лазеры), в которых вынужденное испускание играет
первостепенную роль (см. приложение 19Б и, например, А. Ш а в л о в, Оптические
мазеры, УФН, 75, вып. 3 A961)). (Прим. ред.)
ПРЯМОЕ ИЗМЕРЕНИЕ Т
525
где N2 (t) — зависящее от времени число атомов в верхнем состоянии
в момент t. Из A7.46) следует, что N2 (t) убывает экспоненциально,
т. е. по тому же закону, по которому происходит радиоактивный распад.
Иными словами, мы можем написать
Введенная здесь постоянная т называется временем жизни возбужден-
возбужденного состояния. За время t число атомов в верхнем состоянии убывает
в е раз. Если из данного состояния возможен только один тип перехода
сопровождаемого испусканием кванта, то
■ — л2и
A7.48а)
где т — время жизни состояния 2. Если же атом находится в таком состоя-
состоянии п, из которого возможны различные переходы (с испусканием раз-
различных спектральных линий), то
^=2^nm, A7.486)
m
т. е. хп определяется суммой вероятностей всех возможных переходов.
Прямое измерение т
17.39. Величина т для перехода, соответствующего испусканию
одной из желтых линий натрия, равна по порядку величины 10~8 сек.
Прямое измерение этой величины было выполнено при помощи установки,
Рис. 17.19. Схема установки для измерения т.
показанной на рис. 17.19. Сосуд V, содержащий пары натрия, облучается
светом, который прерывается электрооптическим затвором Керра Si чаще,
чем 108 раз в 1 сек. Свет, испущенный парами, проходит через второй
затвор S2 и попадает на фотоэлемент Р. При помощи специальной эле-
электрической цепи, управляющей действием затворов, можно добиться
того, чтобы S2 пропускал свет лишь в течение очень короткого промежутка
времени, следующего за прохождением падающего излучения через 54.
Промежуток времени между открыванием затворов 54 и S2 можно менять.
Поскольку интенсивность света, излучаемого из V, пропорциональна
числу атомов в верхнем состоянии, такое измерение позволяет определить
526
ГЛ. 17. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
В другом способе измерения т, предложенном Вином, используется
пучок быстро движущихся возбужденных атомов водорода, выходящих
из отверстия полого катода (см. рис. 2.7). Для определения скорости
движения атомов Вин измерял допплеровское смещение линий. Одновре-
Одновременно определяя убывание интенсивности излучения вдоль пучка, можно
найти величину т. Ни один из изложенных методов не является особенно
точным; тем не менее, их очевидное достоинство состоит в том, что они
прямо и ясно подтверждают закон распада возбужденных состояний
атомов.
Соотношение между величинами / и т
17.40. В упрощенной классической теории дисперсии газ рассматри-
рассматривается как система невзаимодействующих друг с другом дипольных осцил-
осцилляторов. Каждый осциллятор может излучать, поглощать и рассеивать
электромагнитные волны. Интенсивность поглощенного или испущенного
света пропорциональна числу осцилляторов, причем предполагается,
что на каждую молекулу газа приходится / осцилляторов данного типа.
Следовательно, поглощение или испускание пропорционально числу
молекул в 1см3 N и значению /. В квантовой теории испускание и погло-
поглощение излучения связывают с жереходами между стационарными состоя-
состояниями. Интенсивность испущенного или поглощенного света пропорцио-
пропорциональна N и соответствующей постоянной (А или В). Поэтому между вели-
величиной / для данной линии поглощения и коэффициентом Эйнштейна Bi2
должна существовать какая-то связь. Если такая связь установлена, то при
помощи A7.456) нетрудно найти соотношение между величинами / и т
(которое в свою очередь связано с коэффициентом Эйнштейна -42i)«
Введение величины / основано на понятиях, не имеющих непосред-
непосредственного аналога в квантовой теории, по крайней мере в тех рамках,
которыми мы до сих пор ограничивались. Точно так же понятие времени
жизни возбужденного состояния отсутствует
в классической теории. Существование соотно-
соотношения между этими двумя величинами предпо-
предполагает наличие достаточно общих исходных
положений, свойственных обеим теориям. Мы
вернемся к этому важному с точки зрения
теории вопросу в гл. 18 и 19. Пока же будем
— рассматривать связь / и т как формальное
соотношение, которое можно проверить эк-
экспериментально .
17.41. Рассмотрим параллельный свето-
световой пучок с единичным поперечным сечением,
падающий нормально на тонкий слой газа
толщиной Az (рис. 17.20). Пусть давление
газа настолько мало, что скорость света
в нем можно считать равной с. Световую
энергию, приходящуюся на единицу объема
слоя, обозначим q (v) dv. Тогда энергия, проходящая через слой за
1 сек, равна cq (v) dv, а поглощенная за 1 сек энергия равна следующей
величине:
;
'. "' о**
о • ',
*
Щ атомов
на 1 см3
Рис 17.20.
2<xq(v)g?v,
ЕСТЕСТВЕННАЯ ШИРИНА ЛИНИИ И ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕХОДА 527
где 2а — коэффициент поглощения (§ 15.5). Из определения коэффи-
коэффициента Bi2 (§ 17.37) следует, что число поглощенных за 1 сек квантов
составляет 2?i2q (v) iV4Az, а поглощенная за 1 сек энергия равна
#i2Q (v) NihvAz. Приравнивая оба выражения для поглощенной энергии
и полагая q (v) почти постоянной в пределах линии поглощения (т. е. для
тех v, для которых а заметно отлично от нуля), получим
iwW <17-49)
о
Используя A5.736,) получаем
Из A7.456) и A7.49) следует, что
оо
adv A7.51)
о
Значение / для данной спектральной линии можно получить из изме-
измерений поглощения или аномальной дисперсии. Постоянную т легко изме-
измерить одним из описанных выше способов. Таким образом, соотноше-
соотношение A7.51) можно проверить *), сравнивая значения /, полученные из изме-
измерений поглощения или аномальной дисперсии, совеличиной, найденной
из измерений т. Например, для линии ртути 2537 А получается / = 0,027
из измерений поглощения и / = 0,0285 из измерений т (методом Вина).
Для D-линии натрия (без разрешения их на компоненты) имеем / = 0,975
из измерения аномальной дисперсии, / = 1,05 из прямых измерений
т и / = 0,97 из измерений поглощения. Все эти измерения находятся
в удовлетворительном согласии друг с другом**), если учесть трудности
измерения т.
Связь между естественной шириной линии и вероятностью перехода
17.42. В гл. 4 мы уже видели, что распределение частот в световом пучке зависит
от эффективной длины цуга волн. При элементарном изложении квантовой теории
обычно полагают, что каждый атом испускает излучение мгновенно. Если бы это было
так, мы вообще не имели бы узких спектральных линий. Поэтому приходится считать,
что амплитуда каждого атомного осциллятора убывает со временем пропорционально
g-A2i*/2 Тогда интенсивность света спадает как e~~A2lt, что согласуется с эксперимен-
экспериментом. Используя результаты, приведенные на стр. 100, получим следующее распре-
распределение частот в линии:
*) В общем случае вместо формулы A7.52) следует пользоваться соотношением
A9.69).
**) Эксперименты последних лет, выполненные советскими физиками (Кватер,
Пенкпн, Прокофьев) разными методами, дали для D-линии натрия / = 1,08—1,16.
(Прим. перев.)
528 ГЛ 17 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
Полуширина этой линип равна, следовательно, A2i = 1 т. Таким образом, время
жизни возбужденного состояния определяет не только величину полного поглощения,
но и естественную ширину спектральной линии. Здесь мы не принимали во внимание
эффект Допплера и столкновения между атомами (см. §§ 4.25—4.27).
Вычисление вероятности перехода
17.43. Мы уже видели, что постоянная А21 связана со временем
жизни возбужденного состояния, с величиной / и с естественной шириной
спектральной линии, испускаемой атомом при переходе. Интенсивность
линий определяет дисперсию; кроме того, как будет показано ниже, она
связана с рядом других оптических характеристик (магнитное вращение
плоскости поляризации, рассеяние и т. д.). Эта постоянная имеет большое
значение при расчетах переноса энергии в звездах и в нашей атмосфере.
Кроме того, величину A2i необходимо знать при исследовании спектров
газового разряда и происходящих в нем процессов. Любая удовлетвори-
удовлетворительная теория атома должна содержать методы расчета вероятностей
перехода наряду с методами расчета энергетических уровней. Ни класси-
классическая электромагнитная теория, ни старая квантовая теория атома
не смогли указать пути решения этой задачи. Классическая электромаг-
электромагнитная теория позволяет найти соотношение между поглощением, дис-
дисперсией и т. п., но интенсивность линии (величина /) всегда входит в резуль-
результаты как некоторая постоянная, подлежащая измерению на опыте. Расчеты
переходов в старой боровской теории в основном представляли собой попыт-
попытки найти разумную модификацию методов классической теории. Общие
методы расчета дала лишь квантовая механика, к рассмотрению которой
мы перейдем в следующей главе.
> пражнення
17.2. Показать, что энергия, соответствующая красной границе фотоэффекта
для кадмия (см. табл. 17.1), равна 6,3-10~~12 эрг на каждый выбиваемый электрон.
17.3. Определить максимальную энергию фотоэлектрона, если поверхность
с красной границей фотоэффекта, равной 3000 А, облучается светом с длиной волны
2000 А.
[3,3-10~12 эрг.]
17.4. Определить следующие длины волн: а) длину первой линии серии Бальмера
(т. е. линии с наибольшей длиной волны); б) сороковой линии и в) сорок первой линии.
[а) 6565,7 А; б) 3655,3 А; в) 3655,0 А. Заметим, что это — длины волн в вакууме.
В таблицах обычно приводят длины волн в воздухе. Нужно также помнить, что п = 42
в формуле A7.4), соответствует сороковой линии.]
17.5. Показать, что при больших п разность между величинами, обратными зна-
значениям %, для двух соседних членов любой серии в спектре водорода приблизительно
равна 2R/ns.
17.6. Низший критический потенциал цезия равен 1,448 в. Определить отноше-
отношение числа атомов в нормальном и в первом возбужденном состояниях при температурах
27, 327 и 1727° С. Воспользоваться формулой A7.96), полагая, что gt = 2,4 и g2 = 6.
[6,7-1023; 4,7-ЮИ; 1,5-108.]
17.7 Какова тангенциальная составляющая силы, с которой изотропное равно-
равновесное излучение действует на прилегающую к нему стенку?
[Нуль.]
17.8. Показать, что размерности правой и левой частей в соотношении A7.15)
одинаковы.
[Напомним, что Q есть энергия единицы объема; размерность обеих частей
соотношения A7.15) ML-^T~2.]
17.9. Показать, что если q — плотность энергии равновесного излучения внутри
замкнутой полости, то
.--?■"•.
где а — постоянная в законе Стефана — Больцмана.
ПРИЛОЖЕНИЕ 17А 529
17.10. Показать, что если gx состояний имеют энергию И^ и g2 состоянии —энер-
—энергию W2, то
и остается справедливым соотношение A7.456).
[Указание. Воспользоваться соотношением A7.96).]
Литература
17.1. Born, Atomic Physics, Blackie.
17.2. Andrade, Structure of the Atom, Bell.
17.3. Ruark, Urey, Atomes, Molecules and Quanta, Mc-Graw Hill.
17.4. Nichols, Hull, Phys. Rev. 13, 293 A901).
17.5. Maxwell, Treatise on Electricity and Magnetism, v. II, p. 440.
17.6. G e i g e г, В о t h e, Z. Physik 32, 639 A925).
17.7. Beth, Phys. Rev. 50, 115 A936).
17.8 Dictionary of Applied Physics, v. IV, p. 541.
Дополнительная литература
17. 9. Ill по л ь ск и й Э. В., Атомная физика, Гостехиздат, М.—Л., 1956.
17.10. П л а н к М., Теория теплового излучения. ОНТИ, М.—Л., 1935.
17.11. Гайтлер В., Квантовая теория излучения, ИЛ, М., 1956.
17.12. Кондратьев В. И., Структура атомов и молекул, Физматгиз, М., 1959.
17.13. Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики, Изд-во «Высшая школа»,
М., 1961.
17.14. Зоммерфельд А., Строение атома и спектра, т. I и т. II, Гостехиздат,
М., 1956.
ПРИЛОЖЕНИЕ 17А
ТЕОРИЯ ЭФФЕКТА КОМПТОНА
Пусть фотон частоты v сталкивается с электроном с массой покоя т0. Выберем
систему координат, в которой электрон до столкновения покоился. В этой системе
после столкновения фотон будет иметь частоту v', а электрон приобретет скорость и
Рис 17.21.
Обозначим через 0 и ф~углы между направлением падающего излучения и направле-
направлениями движения фотона и электрона соответственно (рис. 17.21). Тогда получим
а) из закона сохранения энергии в релятивистском случае
hv+mocZ=Wp+hv't A7 54)
где Wp = тс2 — релятивистская энергия электрона после столкновения;
б) из закона сохранения импульса
hv hv'
= cos9+Pp cos q>, A7 55a)
hv'
sin0=i\jSin9, (IT
с
где Рр — импульс электрона после столкновения.
Согласно A1.47), энергия и импульс связаны соотношением
p A7 56)
34 р Дитчберн
530 ГЛ. 17. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
откуда, используя A7.54), получаем
A7.57)
или, согласно A7.55а) и A7.556),
C2jp2==fc2[(v_v' cos0J+v/2sin2 9]. A7.58)
Приравнивая правые части A7.57) и A7,58), получим
(V— v')[h(v—v')-4-2moc2]=u[v2— 2vv'cos9 + v'2],
или
2(v—v')//?oc2 = 2/ivv/(l— cosG).
Следовательно,
v —v' _;z(i__Cos9),
vv'
т. e.
l — cos 9). A7.59)
В этом выводе мы пренебрегали силами, связывающими электрон в атоме, так как
энергия связи внешнего электрона составляет всего несколько электронвольт, тогда
как энергия фотона рентгеновских лучей равна по порядку величины 105 эв.
ГЛАВА 18
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Связь между теорией излучения и теорией строения атомов
18.1. В предыдущей главе мы показали, что квантовая теория возник-
возникла как теория взаимодействия излучения с веществом. Однако в даль-
дальнейшем оказалось необходимым распространить основные принципы
квантовой теории как на само излучение (теория фотонов Эйнштейна),
так и на строение атомов (боровская теория стационарных состояний).
Связующее звено между энергией излучения и изменением энергии ато-
атомов — боровское условие частот (см. соотношение A7.7)) выражает закон
сохранения энергии. Применимость закона сохранения энергии к отдель-
отдельным элементарным процессам взаимодействия излучения с веществом
хорошо подтверждается экспериментом. Любое серьезное изменение
в теории излучения неизбежно должно приводить к соответствующим
изменениям в теории строения атома. Поэтому удовлетворительная кван-
квантовая теория должна быть применима как к излучению, так и к материи.
Вплоть до 1924 г. считалось, что общность свойств излучения и вещества
касается, в основном, энергетических соотношений. Существенной труд-
трудностью в построении теории излучения считалось то, что свет обнаружи-
обнаруживал волновые свойства в одних экспериментах и свойства частиц —
в других, тогда как поведение атомов и электронов как будто описыва-
описывалось обычной динамикой частиц.
В 1924 г. Луи де Бройль выдвинул допущение, что с каждой мате-
материальной частицей связана волна, причем ее длина X связана с реляти-
релятивистским импульсом р частицы соотношением
Ь = -у- A8Л>
Это соотношение совпадает с аналогичным соотношением между
длиной волны и импульсом фотона (см. A7.20)). Волны, постулированные
де Бройлем, не являются электромагнитными. Их особые свойства будут
рассмотрены позже. Пока нам достаточно лишь общих характеристик
этих волн (длина волны, частота и т. д.).
Дифракция электронов
18.2. Если подставить в A8.1) соответствующие численные значения,
то оказывается, что длина волны для электрона с энергией 1 эв составляет
около 12 А, а для электрона с энергией 40000 эв — около 0,06 А.
Эти величины сравнимы с длинами волн рентгеновских лучей и значи-
значительно меньше длин волн видимого света. В 1927 г. Томсонполучил дифрак-
дифракционное изображение, пропуская пучок электронов с энергией 15 000 эв
через очень тонкую металлическую фольгу. Но несколько раньше Дэвиссо-
ну и Джермеру уже удалось наблюдать дифракцию медленных электронов
34*
532 ГЛ. 18. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
при их отражении от монокристалла никеля. На рис. V, з, и при-
приведены две дифракционные картины, получающиеся при прохождении
пучка электронов через тонкую фольгу. Вскоре после открытия явления
дифракции электронов были выполнены эксперименты, более похожие
на опыты по оптической дифракции, в результате которых были получены
типичные дифракционные изображения. На рис. V, е, ж показана дифрак-
дифракция электронного пучка на краю небольшого кристалла. Как мы видим,
один из снимков отличается от аналогичной фотографии, полученной
в обычном свете (см. рис. III, а), несколько большей четкостью дифрак-
дифракционных полос, несмотря на большое увеличение. Было найдено, что
длина волны электрона обратно пропорциональна его импульсу; исполь-
используя расстояния между атомами в образце, полученные из опытов с рент-
рентгеновскими лучами, удалось определить коэффициент пропорциональ-
пропорциональности. В пределах ошибок эксперимента он оказался равным h. Все после-
последующие опыты, в том числе непосредственное измерение длины волны
с помощью штриховой дифракционной решетки, подтвердили соотноше-
соотношение A8.1). Было также показано, что при определенных условиях можно
наблюдать дифракцию протонов, атомов Не и молекул Н2. В настоящее
время считается, что соотношение A8.1) справедливо для всех материаль-
материальных частиц.
Упражнения
18.1. Вычислить при помощи A8.1) длины волн электронов со скоростями 105,
108 и 10» см/сек.
G280 А; 7,28 А; 0,728 А.]
18.2. Показать, что длина волны электрона, ускоренного полем Ve, равна
1^0
или приближенно
где X выражено в ангстремах. Здесь предполагается, что скорость электронов еще
достаточно мала, чтобы можно было пренебречь зависимостью их массы от скорости.
18.3. Вычислить при помощи A8.26) длину волны электрона, ускоренного полями
3 и 30 000 в.
[7,1 А; 0,071 А.]
18.4.Вывести выражение для ошибки в величине длины волны, связанной с реля-
релятивистской поправкой. При какой скорости электрона эта ошибка составит 10%?
[1,25-1010 см/сек.]
18.5. Вычислить при помощи A8.1) длину волны протона, энергия которого
равна 105 эв.
[0,00093 А.]
18.3. Для физиков классической школы волновой и корпускулярный
механизмы переноса энергии из одной точки пространства в другую взаим-
взаимно исключали друг друга. В конце XIX века казалось, что корпускуляр-
корпускулярные представления применимы к атомам, электронам и молекулам,
а также к макроскопическим телам, построенным из молекул. Вместе
с тем, волновая теория с успехом применялась для описания свойств света.
Но к 1927 г. стало ясно, что свет обладает некоторыми свойствами
частиц, а вещество — некоторыми волновыми свойствами. Результаты
многих экспериментов со светом значительно проще объяснялись в рам-
рамках корпускулярных представлений, а целый ряд опытов с частицами
СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 533
требовал для своего истолкования привлечения волновой теории. Посколь-
Поскольку, однако, прежние факты, которые привели к появлению волновой
теории света и корпускулярной теории вещества, оставались в силе, было
ясно, что полная теория должна удовлетворительным образом объяснять
как старые, так и новые результаты. Таким образом возникла необходи-
необходимость в создании новой теории, в которой волновые и корпускулярные
представления были бы совмещены, а не исключали бы друг друга. Полное
решение задачи должно охватывать одновременно как излучение, так
и вещество..
Соотношение неопределенности
18.4. Установленный на опыте корпускулярно-волновой дуализм
элементарных частиц приводит к установлению некоторых ограничений
в возможности описания их состояний с помощью величин, используемых
в классической механике. В квантовой механике установлено, что при
описании движения и положения частицы в данный момент времени
с помощью импульса р и координаты g справедливо некоторое новое
соотношение между величинами Ар и Ад. Именно, если положение части-
частицы на оси координат q определено с точностью до некоторого Д д, то импульс
той же частицы в тот же момент времени определен с точностью до Ар,
причем значения Ар и Дд связаны между собой соотношением
h, A8.3)
где h — постоянная Планка.
Это соотношение показывает, что значения координаты и импульса
частицы не могут быть одновременно заданы со сколь угодно большой
точностью. Согласно A8.3), уменьшение величины Дд ведет к возраста-
возрастанию Ар, и наоборот. Соотношение неопределенности является объектив-
объективным выражением свойств частиц и не связано ни со способом измерения
координат или импульса частиц, ни с ролью наблюдателя в этих изме-
измерениях. Если применить соотношение A8.3) к макроскопическим телам,
то легко убедиться в том, что в этом случае оно не накладывает никаких
существенных ограничений на практически достигаемую точность в опре-
определении координат и импульсов исследуемых тел. Обратимся теперь
к некоторым частным иллюстрациям соотношения неопределенности.
Пусть в нашем распоряжении имеется устройство, при помощи кото-
которого можно фокусировать как излучение, так и волны материи любой
длины волны, притом без каких-либо погрешностей, обусловленных
недостатками оптических систем. Другими словами: мы обладаем микро-
микроскопом для рентгеновских лучей, у~лУчей» электронов и т. п. Пусть,
далее, нас интересует элементарная динамическая задача, например,
задача о движении электрона в отсутствие внешнего силового поля.
Для решения поставленной задачи необходимо измерить коорди-
координату g и импульс электрона р в момент времени t = t0. Это дает нам
«начальные условия» для решения дифференциального уравнения
S-0. A8.4)
Затем, зная решение, мы сможем рассчитать положение и импульс
в более поздний момент времени t = tt и проверить, согласуются лп
результаты расчета с измерениями в этот момент. Пусть мы наблюдаем
частицу при помощи света с длиной волны Л. В гл. 8 мы уже видели,
что явление дифракции накладывает предел на точность измерения
534 ГЛ. 18. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
координаты наблюдаемого объекта. Именно,
где Aq — вероятная ошибка в измерении g, a 6 — половина апертуры
пучка лучей, принимаемых микроскопом (рис. 18.1).
С другой стороны, опыты Комптона показывают, что при взаимодей-
взаимодействии фотона с электроном между ними происходит обмен импульсами.
Можно предположить, что импульсы частицы и фо-
фотона (использованного для локализации электрона)
до взаимодействия известны точно. Однако наши
сведения об импульсе электрона после взаимодей-
взаимодействия зависят от того, с какой точностью мы можем
определить величину и направление передаваемого
при взаимодействии импульса. Если мы знаем, что
фотон попал в микроскоп, то нам известно, что он
движется после взаимодействия в пределах угла 20.
Любая попытка уточнить движение фотона, попа-
попадающего в микроскоп (например, вводя дополнитель-
дополнительные диафрагмы), приведет к уменьшению эффектив-
Рис. 18.1. ной апертуры микроскопа, т. е. к увеличению Aq.
Следовательно, если апертура микроскопа равна 28,
то проекция импульса фотона на плоскость, перпендикулярную оси ми-
микроскопа (именно в этой плоскости измеряется координата q), опре-
определяется с ошибкой
Apr^^sinQ. A8.5')
с
В таком случае импульс частицы после столкновения также опре-
определен с точностью до Ар. Объединяя A8.5) и A8.5'), получаем
АЛ 1 2Ь . л
Ар Aq ~ jr—.—Е sin 8,
^ * 2 sin 6 с '
т. е.
ApAq~h. A8.6)
Соотношение A8.6) дает наименьшее возможное значение произве-
произведения ошибок Ар и Aq. Любое отступление от условий эксперимента
(например, не вполне точные сведения об импульсе фотона до взаимодей-
взаимодействия) может лишь увеличить одну из этих ошибок. Заметим, что соотно-
соотношение A8.6) нельзя «обойти», точно измерив импульс частицы в одном
эксперименте, а ее координату — в другом. Во втором эксперименте
импульс частицы изменится настолько сильно, что A8.6) по-прежнему
окажется справедливым. Мы не можем одновременно получить точную
информацию о двух начальных условиях.
18.5. Полученный результат не зависит от конкретных характеристик
рассмотренного метода измерений, в частности от длины волны света
и от апертуры пучка. Анализ экспериментов совершенно иного рода
также приводит к соотношению A8.6).
Проведенное выше рассмотрение можно применить и к описанию
волновых процессов. Пусть некий радиопередатчик испускает плоскую
волну данной частоты со, которая распространяется со скоростью с.
Мы знаем, что такие волны описываются выражениями типа
| = A cos ф = A cos (®t — кх -р г). A8.7)
СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 535
В гл. 2 мы показали, что А я г в этом выражении можно считать
постоянными, которые определяются из начальных условий. Если мы вы-
выполнили необходимые измерения в какой-либо момент времени в опре-
определенной точке пространства, то по A8.7) можно вычислить смещение £
в любой, более удаленной точке и в любой другой момент времени. Теорию
можно проверить, сопоставляя результаты этих вычислений со второй
серией измерений. В задуманном эксперименте начальные условия можно
определить, например, измеряя давление излучения на зеркало, поме-
помещенное в точке х = 0. Это давление будет меняться в течение периода
волны, но в некоторый момент (скажем, t = 0) мы заметим, что давление
максимально, и следовательно, можно утверждать, что при х = 0 и t = 0
Ф равно нулю, а значит, и е = 0. Измерив максимальное давление, опре-
определим А. Теперь, зная А и е, можно из A8.7) найти g в любой момент
и в любой точке пространства.
Рассмотрим, однако, точность проделанных измерений и вытекаю-
вытекающую из нее точность расчетов. Для измерения давления необходимо
определить импульс, который излучение передает зеркалу. Выше было
показано, что положение и импульс зеркала можно определить с точ-
точностью, ограниченной условием A8.6). Пусть мы нашли фазу волны
в точке, положение которой известно с ошибкой Ах. Тогда в нашей системе
координат фаза в этой точке определена лишь с точностью порядка % Ах.
Если, далее, ошибка в определении импульса зеркала составляет Ар,
то полный импульс волны также определен с точностью Ар. Так как
известно, что частота точно равна со/2я, то число квантов в импульсе
известно с точностью до AN, причем
AN-±-^ = Ap. A8.8)
Отсюда
^2л. A8.9)
При заданной частоте число квантов пропорционально энергии, которая
в свою очередь пропорциональна А2. Следовательно, неопределенность
в N означает неопределенность в А, и мы не можем найти Лиф одновре-
одновременно и совершенно точно. Соотношение A8.9) отличается от A8.6) множи-
множителем h в правой части, что связано с выбором переменных, для которых
написано соотношение неопределенности. Оно является столь же общим,
как A8.6), и должно выполняться независимо от выбора конкретных
измерительных устройств, которые мы рассмотрели здесь для его частной
иллюстрации.
Пусть мы хотим определить с высокой степенью точности момент
времени, в который фотон испускается источником света. Мы можем
поместить перед источником затвор и открыть его на очень короткий
промежуток времени А*. Тогда момент испускания фотона будет изве-
известен с ошибкой, равной At. Рассматривая цуги волн конечной длины
(см. гл. 4 и приложение 4Б), мы видели, что при длине цуга, равной с At,
частоты его спектра распределены в интервале Av = 1/At. Это значит,
что энергия каждого фотона в пучке известна с точностью до AW =
= Av'h = hi At и, следовательно,
AWAt~h. A8.10)
536 ГЛ. 18. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Это соотношение, подобное A8.6) и A8.9), является совершенно общим *).
В качестве интересного и важного примера приложения соотноше-
соотношения A8.10) рассмотрим естественную ширину спектральных линий
и ее связь с длительностью возбужденного состояния атома. Именно,
если неопределенность значения энергии верхнего состояния излучаю-
излучающего атома AW, то неопределенность времени жизни этого состояния
At связана с AW соотношением AW At = А, т. е. A8.10). С другой сто-
стороны, как было показано в A7.34), ширина частотного интервала излу-
излучения Av связана с длительностью процесса излучения т соотношением
Av~— • Отождествляя т и At, мы находим, что ширина спектральной
линии Av тем больше, чем короче длительность возбужденного состоя-
состояния атома.
Волновая механика
18.6. В качестве введения в новую теорию остановимся сначала
на соотношении между геометрической и волновой оптикой. В геометри-
геометрической оптике предполагается, что свет распространяется вдоль опре-
определенных линий, которые называются лучами. Направления лучей можно
рассчитать, пользуясь законами отражения и преломления, которые
в свою очередь вытекают из теоремы Ферма
6^=0. A8.11)
Волновая оптика отличается от геометрической не тем, что просто
предсказывает другую совокупность лучей, а тем, что вообще отрицает
распространение световой энергии вдоль каких-либо лучей. Согласно
волновой оптике, возможна дифракция света и всякая попытка строго
ограничить распространение его точными контурами при помощи щелей
или диафрагм обречена на неудачу. По волновой теории почти вся энергия
распространяется вдоль определенных линий, если только длина волны
мала по сравнению с размерами приборов. Показано, что эти линии
совпадают с лучами, определенными в геометрической оптике. Таким
образом, все результаты, которые правильно предсказываются геометри-
геометрической оптикой, могут быть получены также и в рамках волновой оптики.
18.7. Согласно классической механике, частицы движутся вдоль
определенных траекторий. Эти траектории можно рассчитать при помощи
уравнений движения Ньютона, которые мы можем здесь рассматривать
как аналог законов отражения и преломления в геометрической оптике.
Гамильтон показал, что уравнения классической механики можно полу-
получить из вариационного принципа
= 0, A8.12а)
где L — разность кинетической и потенциальной энергии **). В случае
замкнутой системы, в которой выполняются законы сохранения, это
*) Ввиду сложности этого случая, см. также Л. И. Мандельштам и
И. Е. Т а м м, Изв. АН СССР (сер. физ.) 9,122 A945), и В. А. Ф о к, Phys. Rev. 15 may
A962). (Прим. ред.)
**) Функция Лагранжа. (Прим. перев.)
ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА 537
соотношение можно заменить, согласно Мопертюи, уравнением
б Jp*? = O, A8.126)
где р — импульс.
Опыт показывает, что длина волны материальных частиц обратно
пропорциональна их импульсу. Подставляя экспериментальное соотно-
соотношение A8.1) в A8.11), мы получим соотношение A8.126).
Следовательно, траектории материальных частиц, рассчитанные по
A8.126), совпадают с «лучами», рассчитанными по A8.11). В геомет-
геометрической оптике лучи прямолинейны при постоянном показателе пре-
преломления и криволинейны, если среда неоднородна. Аналогично, частицы
движутся по прямым линиям в свободном пространстве, но их траекто-
траектория искривляется, если частица попадает в поле сил. Близкая аналогия
между уравнениями A8.126) и A8.11) заставляет предполагать существо-
существование волнового уравнения механики, а также известного подобия этого
уравнения оптическому волновому уравнению. Ниже мы используем
эту аналогию для вывода основного уравнения волновой механики.
18.8. Волновое уравнение в оптике можно записать следую-
следующим образом:
Если мы положим
Чг = <фег{й<, A8.14)
где г|) — функция #, у, z, но не зависит от t, то получим
уЧр + .£аЛ|> = 0, A8.15а)
или
V2t|) + w2K^ = 0, A8.156)
где х0 — волновое число в вакууме. Волновая теория, основанная на соот-
соотношениях A8.13) и A8.15), приводит к лучам, определенным уравнением
A8.11), если справедливо приближение геометрической оптики. Теперь
нам нужно найти уравнение, аналогичное A8.15), из которого при соот-
соответствующих допущениях можно вывести A8.126). Для определения
постоянных этого уравнения мы потребуем выполнения следующих
условий:
а) все члены уравнения должны иметь одинаковую размерность;
б) длина волны частицы в свободном пространстве должна равнять-
равняться h/p;
в) тгх0 должно быть пропорционально р (поскольку пк0 пропорцио-
пропорционально 1/Я).
Из условия в) получаем
nH\~m*v*com(W-V), A8.1b)
где W — полная энергия, a F — потенциальная энергия.
Всем трем условиям удовлетворяет уравнение, впервые предложен-
предложенное Шредингером,
Это уравнение имеет ту же форму, что и уравнения A8.
538 ГЛ. 18. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
При V = 0 уравнение A8.17) приобретает вид
^ 0; A8.18)
отсюда следует, что длина волны свободной частицы действительно рав-
равна hip. Из A8.17) вытекает, что при х0 = 2nmv/h = 2np/h
и* = ^. A8.19)
Не следует думать, что г|э-волны должны обладать всеми свойствами
оптических волн. В данном случае это не играет особой роли. Постоянный
множитель, входящий во второй член уравнения A8.17), пропорционален
т (W — F), что обеспечивает соблюдение условия в).
18.9. Соответствие между применением волнового уравнения к неоднородной
среде (когда п меняется от точки к точке) и к некоторым задачам классической механики
можно показать следующим образом. Пусть
= 4е*ф = А ехр шх0 (lx + my + nz). A8.20)
Если Ann постоянны, то г|э представляет собой плоскую волну в однородной среде.
Предположим теперь, что п меняется от точки к точке, но столь медленно, что на рас-
расстоянии порядка длины волны это изменение мало. Тогда А становится медленно
меняющейся функцией х, у и z, а производные А малы по сравнению с х0, и мы можем
написать
дх ~ \ дх ^ *л дх J*
или приближенно
д"\Ь д(р
дх дх '
так как по порядку величины -^- и к0 одинаковы. В том же приближении
Теперь уравнение A8.156) приобретает вид
*I
Это — фундаментальное уравнение лучевой оптики. В изотропном (но не обяза-
обязательно однородном) веществе лучи можно рассматривать как траектории, ортогональ-
ортогональные семейству поверхностей ф = с. В некоторых задачах динамики оказывается удоб-
удобным вводить функцию S (ее называют функцией Якоби, или действием), определяемую
соотношениями
^Г = Р* и т. д. A8.22)
Для одной частицы получаем
5У(£?*■
Это уравнение идентично A8.21), если воспользоваться A8.19), причем фазе ф соот-
соответствует функция 2nS/h динамики. Таким образом:
1. Основное уравнение лучевой оптики в неоднородной среде — уравнение
A8.21) — можно вывести из волнового уравнения.
2. Это уравнение аналогично уравнению A8.23), описывающему движение
частицы в поле, меняющемся от точки к точке.
ПРИМЕНЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 539
Следовательно, уравнения движения такой частицы можно вывести из соотно-
соотношения A8.17), приняв приближения, соответствующие приближениям в геометриче-
геометрической оптике *).
18.10. Уравнение A8.17) обычно называют волновым уравнением,
или уравнением Шредингера. Отметим, что это волновое уравнение непол-
неполно, так как в него не входит время. Оно соответствует приведенному вол-
волновому уравнению оптики, которое описывает изменение амплитуды
в пространстве. Функция ty называется волновой функцией, хотя более
правильно было бы назвать ее амплитудой волновой функции.
Мы временно отложим обсуждение интерпретации волновой функ-
функции. Сначала покажем, как при помощи волнового уравнения можно
вычислять энергии стационарных состояний. При этом мы предположим,
что физический смысл имеют лишь такие решения уравнения, которые
непрерывны, однозначны и конечны во всей рассматриваемой области
пространства, включая ее границы. С формальной точки зрения, это новый
постулат, который, однако, представляется весьма естественным. Если
дополнить волновое уравнение данным условием, то оказывается, что
в большинстве случаев допустимы только вполне определенные значения
энергии. Волновое уравнение имеет решение, удовлетворяющее перечис-
перечисленным выше условиям, только тогда, когда величина W принимает
одно из этих значений. Полученное таким образом решение называется
собственной функцией, а соответствующее значение W — собственным
значением.
Возникающая здесь ситуация аналогична той, которая имеет место
в граничных задачах для звуковых и оптических волн. Колебания любой
частоты могут распространяться вдоль неограниченно протяженной
струны. Механические свойства ее материала определяют скорость рас-
распространения волн, но не влияют на их частоту. Если же на струну
наложены граничные условия (например, если конечные точки струны
фиксированы, т. е. их смещение равно нулю), то система может колебаться
лишь со своей основной собственной частотой или с частотой одной или
нескольких из своих гармоник. Аналогичным образом, электромагнитная
теория позволяет вычислить частоты возможных колебаний в замкнутом
объеме. Пока мы не налагаем никаких граничных условий, возможна
любая частота. В ограниченном пространстве возникают стоячие волны,
частоты которых определяются граничными условиями (см. гл. 3 и при-
приложение 13А).
Применение волнового уравнения к движению свободных частиц
18.11. Рассмотрим свободную частицу, на которую не действуют
никакие внешние силы. В волновом уравнении A8.17) мы должны поло-
положить V = 0 и, следовательно,
л -** mV4|). A8.24)
Рассмотрим решение, соответствующее плоским волнам, распространяю-
распространяющимся вдоль оси х,
x, A8 25)
*) Детальное обсуждение соотношения между волновой и геометрической оптп-
кой, с одной стороны, и волновой и классической механикой, с другой, можно найти
в книге де Бройля [18 2]. Заметим, что использованные в ней определения / т и л отли-
отличаются от принятых здесь щ и п Принятый в настоящей книге метод позволяет
наиболее непосредственным образом провести параллель между механикой и оптикой
540 ГЛ. 18. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
где
| ^f mV. A8.26)
Как мы видим, это решение удовлетворяет поставленному условию, если
только х — действительное число (W положительно). Следовательно,,
допустимы любые положительные значения W. Так как W равно кинети-
* 2
mv ♦ 2лти
ческой энергии -^-, х равно —^—, а соответствующая длина волны опре-
определяется формулой A8.1). Выражение A8.25) соответствует плоским
волнам, распространяющемся вдоль оси. Никаких ограничений на длину
волны или скорость частицы не налагается.
Частица в ящике
18.12. Рассмотрим теперь частицу в ящике конечных размеров.
Пусть для точек, расположенных внутри ящика, координата х может
меняться от 0 до аи координата у — от 0 до а2 и координата z — от О
до а3. Функция г|) должна обращаться в нуль, если выполняется хотя бы
одно из неравенств х > аи у > а2, z > a3. Именно это условие мы должны
наложить на оптическую волновую функцию, чтобы определить частоты
стоячих волн в ящике *). Таким граничным условиям |уД°влетв0Ряег
функция
(^(^(^ A8.27)
где Tii, n2, ^3 — произвольные целые числа.
Соответствующие волновые числа равны
. 2лп2 и 2лп3
откуда
а, значит, энергия WT равна следующей величине:
Таким образом, энергия частицы в ящике может принимать некоторые
избранные значения. Поскольку вся энергия является кинетической,
скорость частицы также может принимать лишь некоторые определенные
значения. Проведенные здесь рассуждения применимы к любому числу
невзаимодействующих друг с другом частиц. Это значит, что они всегда
применимы к фотонам, а в тех случаях, когда можно пренебречь грави-
гравитационными и электрическими силами — и к другим частицам.
Простой гармонический осциллятор
18.13. Рассмотрим теперь простой гармонический осциллятор,
т. е. динамическую систему, для которой потенциальная энергия про-
пропорциональна квадрату смещения частицы от положения равновесия
*) В приложении 13А были рассмотрены волны в ящике в виде куба#
ПРОСТОЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 541
<см. § 2.5),
V=-^-(o2Qmx\ A8.31)
Подставив это выражение для потенциальной энергии в волновое уравне-
уравнение, получим
Для упрощения записи введем обозначения
Тогда
-^-4- (р — аУ) г|) = 0. A8.34)
Мы хотим найти решения уравнения A8.34), однозначные, конечные
и непрерывные во всем пространстве (от х = — оо до х = + оо). Можно
ожидать, что такие решения будут существовать только для определенных
значений параметра р. В нашу задачу входит определение этих собствен-
собственных значений р. Вычисления приведены ниже (петитом). Они показы-
показывают, что гармонический осциллятор действительно имеет дискретные
энергетические уровни и что соседние уровни отличаются друг от друга
на hv. Наинизшее состояние имеет энергию -^- hv0.
Нетрудно убедиться, что одно из решений имеет следующий вид:
A8.35а)
только р равно величине Ро = а. Это решение удовлетворяет всем необходимым
условиям, т. е. р0 является одним из собственных значений. Для того чтобы найти
остальные, испытаем соотношение
,1, ,,Л—CWC2/2 t\ о ОК&\
где и — некоторая функция х, которую мы должны определить. Подставляя это выра-
выражение для i|) в A8.34), получим
/72т; /7т;
—_ — 2аа? Мб—a) v=Q. A8.36)
dx2 dx *
Для дальнейшего упрощения записи введем новую переменную £ = # >га и заменим
v (х) на равную ей функцию Н (|). Тогда уравнение A8.36) примет вид
d*H лч. dH
Будем искать его решение в форме ряда
Н(|)=«0+«iS+ • • • + «nl"+ • • • = 2 «ni". A8.38)
Подставим A8.38) в A8.37) и сгруппируем члены с одинаковыми степенями с. Еслп
{18.38) является решением этого уравнения, то коэффициенты при каждом таком
члене должны обращаться в нуль. Отсюда получаем
гыи
542 ГЛ. 18. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Степенной ряд, коэффициенты которого определяются этими соотношениями,
является решением уравнения A8.37). Заменяя | на х и воспользовавшись A8.35),
получим решение волнового уравнения. Это решение не обязательно является прием-
приемлемым (собственным) решением. Для больших значений п отношение п+2 стре-
стремя
мится к 2 In. К тому же значению стремится отношение коэффициентов соседних
членов ряда
2!
A8.41)
для больших п. Если £ велико, Н (£) возрастает приблизительно так же, как е^ , так
как при этом преобладающую роль играют члены с высокими степенями |. Согласно
A8.35) волновая функция пропорциональна е-12/2# (g) и, следовательно, при боль-
больших | она ведет себя как е-12/^е%2, т. е. как е!2/2. Но е12/2 стремится к бесконечности,
так что решение, определяемое соотношением A8.40), в общем случае не является
собственным. Если, однако, р принимает значение
р=аBл-г1), A8.42)
то числитель A8.40) обращается в нуль и при четном п четные члены ряда A8.38)
обрываются на тг-м члене. Еслп, кроме того, at = 0, то нечетные члены вообще отсут-
отсутствуют. При этом ряд оказывается ограниченным п членами и, хотя функция Н (£) рас-
расходится при больших |, волновая функция г|э при больших х обращается в нуль бла-
благодаря наличию в A8.35) множителя е-«*2, который убывает быстрее, чем возрастает
любая конечная степень х. Совершенно аналогично ряд обрывается на и-м члене при
нечетном п и а0 = 0. И в этом случае собственное решение получается, если р при-
принимает одно из значений, даваемых формулой A8.42). Для выполнения этого соотно-
соотношения необходимо, чтобы
т. е.
W ^-^-щСп-^-^Л =^/г + -1-^Лг0. A8.43)
Полное волновое уравнение
18.14. Прежде чем переходить к новым применениям волнового
уравнения, мы должны его дополнить, введя в него время. Воспользуемся
для этого допущением (впервые высказанным де Бройлем), что для мате-
материальных частиц имеет место то же соотношение между энергией и часто-
частотой, как и для фотонов, т. е.
W = mc2 = hv. A8.44)
Здесь т — релятивистская масса частицы. Тогда получаем
» = %W, A8.45)
откуда
V = yexj>(i2j}-Wt} A8.46)
A8.47)
так как -ф не зависит от времени. Из A8.46) следует также, что
= v«tt>expQ^-Wt^j . A8.48)
ПОЛНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 543
Подставляя A8.47) и A8.48) в A8.17), нетрудно получить
^? V2|F + FlF =—— = — — . A8 49)
Ъл^чть 2ль dt 2я dt
Очевидно,
¥* = ф* ехр ( —№ Wt} A8.50)
и, значит,
W* == щ*. A8.51)
Отметим, что в результате введения времени в волновое уравнение
мы получили уравнение, отличное от A8.13), которое послужило нам
отправным пунктом. Уравнение A8.49), строго говоря, является не волно-
волновым уравнением, а уравнением вида уравнений диффузии и теплопровод-
теплопроводности. Однако оно обладает некоторыми волновыми свойствами, посколь-
поскольку коэффициент диффузии оказывается мнимым. Тот факт, что мы не полу-
получили собственно волнового уравнения, не имеет большого значения.
Гораздо важнее выяснить, дают ли его решения такие величины, которые
находятся в согласии с экспериментальными данными. Мы увидим, что
в этом отношении теория оказывается вполне оправданной.
18.15. Пусть получены решения волнового уравнения для какой-
либо конкретной физической задачи (например, для гармонического
осциллятора или для атома водорода). Пусть были определены собствен-
собственные значения, и энергии стационарных состояний равны W±, W2, - . . ,
а соответствующие собственные функции—4S, W21 • • • Форма уравне-
уравнения A8.49) такова, что любое решение, умноженное на постоянный мно-
множитель, также является решением. Более того, решения оказываются
аддитивны, т. е. функция
A8.52)
где ciy с2, . . .— константы, также является решением *). Рассмотрим
теперь решения, относящиеся к какому-нибудь данному стационарному
состоянию, и предположим, что каждое решение нормировано к единице,
т. е. умножено на такой постоянный множитель, что
J VnVUr = I Wdx = 1, A8.53)
где интегрирование проводится по всему пространству.
18.16. Построим таблицу (матрицу) из парных произведений ре-
решений:
A8.54)
или, подставляя f и^*из A8.46) и A8.50),
^ ^ ) .
?£* (W2-Wi) t) гМ>£ Wexp(^<W2-Wb) *)
A8 55)
*)Это положение называется принципом суперпозиции (Прим перев)
544 ГЛ. 18. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Как мы видим, ни один диагональный член второй матрицы не зависит
от времени. Вместе с тем, каждый из них зависит только от одной собствен-
собственной функции. Это наводит на мысль, что они описывают некоторое свой-
свойство соответствующего стационарного состояния. Предположим, что
WiWidx (равное tyitytdi) показывает вероятность нахождения частицы
в малом элементе объема dx и, следовательно, ё*Р№* дает эффективную
плотность заряда в этом объеме. Функции г|э нормированы как раз подхо-
подходящим образом, так как соотношение A8.53) показывает, что полная
вероятность найти частицу в любой точке пространства равна единице.
На основе этого допущения были проведены расчеты, которые должны
были предсказать результаты экспериментов по рассеянию электронов,
структуре кристаллов и др. Полученные данные согласуются с экспе-
экспериментом.
Вероятности переходов
18.17. Если e^nWn равно плотности электрического заряда, то есте-
естественно предположить, что ёфпхфп dx соответствует ^-компоненте эле-
электрического дипольного момента элемента объема dx. Полная величина
проекции вектора электрического дипольного момента на ось хтогда равна
ЧГп*П dx = J *№№ dx. A8.56)
При помощи этой формулы был вычислен дипольный момент некоторых
молекул. Результаты согласуются с экспериментальными данными о вели-
величине диэлектрической проницаемости, что подтверждает сделанное выше
допущение.
Рассмотрим теперь дипольный момент типа
(Мпт)х = е J (WnxWm + WmxW*)dx. A8.57)
Тогда
{Мпш)х = е J %xrfb exp Bnivnmt) dx + e { г|)тжг|й ехр (—2nivnmt) dx. A8.58)
Это выражение можно рассматривать как х-компоненту дипольного
осциллятора с частотой vnm = (Wn — Wm)/h. Поскольку второй член
A8.58) комплексно сопряжен первому, этот момент является действи-
действительной величиной. Если
\ dx A8.59)
(отметим, что хпт = х*тп), то
(Мпт)х = ехтп ехр Bmvnmt) + ex$tn ехр (— 2nivnmt); A8.60а)
если, кроме того, х^п действительно, то
{Мпш)х = 2ехтп cos 2nvnmt. A8.606)
Среднее значение (Мпт)% равно 2е2х^пп. Аналогичные выражения можно
получить для у- и z-компонент. Согласно классической электромагнитной
теории (приложение 13Б, формула A3.73)), диполь с моментом, опреде-
определяемым формулой A8.606), излучает в секунду энергию, равную
3 £Г" V^ (Х™« + У™п + Zmn) = 3
V^ (Х + У + Z) ^з~ УптГтп. A8.61)
СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ КЛАССИЧЕСКИМ И КВАНТОВЫМ ОСЦИЛЛЯТОРАМИ 545
Можно показать, что в случае комплексных xmni ymn, zmn имеет место
аналогичное выражение, но в A8.61) надо подставлять модули хтп, утп
и zmn- Коэффициент Эйнштейна Апт равен энергии излучения в единицу
времени, деленной на hvnm. Следовательно,
1
_5i
з
he*
что соответствует излучению осциллятора с моментом
Мпт = 2ermn cos 2nvnml,
где
Гтп=
Воспользовавшись A7.45), получаем
Я — Я — &™- / * ч
л-'пт — J-Jmn— oz,2 \' тпп' тп)»
A8.62a)
A8.626)
A8.62b)
A8.63)
• Соотношение между классическим и квантовым осцилляторами
18.18. В классической теории дисперсии используется понятие
дипольного осциллятора, который может поглощать, испускать или рас-
рассеивать свет. Величина / есть число осцилляторов, приходящееся на каж-
каждый атом или молекулу. Квантовая теория сопоставляет определенный
«осциллятор» каждому возможному переходу и приписывает переходу
некоторую «силу осциллятора», т. е. значение / *). Эта величина опре-
определяется как число классических осцилляторов на один атом, которые
могли бы поглощать то же количество излучения при освещении парал-
параллельным пучком, причем в области линии поглощения функция Q (v)
почти постоянна. Соотношение между / и В дается формулой A7.50)
и, воспользовавшись A8.63), мы можем выразить / через матричный
элемент rmn:
Результаты вычисления / по этой формуле достаточно хорошо согласуются
с наблюденными величинами (табл. 18.1).
Таблица 18.1
Экспериментальные и теоретические
значения /
Элемент
Na
Na
Na
Na
Li
Li
Li
Длина вол-
волны спек-
спектральной
линии
5893
3303
2853
2680
3233
2741
2563
Эксперимен-
Экспериментальные зна-
значения /
0,9755
0,01403
0,00205
0,00063
0,00549
0,00478
0,00314
Теоретиче-
Теоретические значе-
значения /
0,9796
0,01426
0,00221
0,00073
0,00551
0,00471
0,00253
*) См. примечание к стр. 396. (Прим. ред.)
35 р. Дитчберн
546 ГЛ. 18. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Согласно классической теории, следовало бы ожидать, что / при-
принимает небольшие целые значения. Фактически же экспериментальные
данные показывают, что /, как правило, меньше единицы и часто —
намного меньше. С точки зрения квантовой теории этот результат не вызы-
вызывает удивления. Более того, имеется общее правило, согласно которому
сумма значений / для всех переходов из данного состояния равна единице.
Хотя это «правило /-сумм» справедливо не во всех случаях, его область
применимости очень широка [19.3].
18.19. Атом может поглощать излучение, падающее в виде параллельного пучка,
но испускает его во всех направлениях. В классической теории дисперсии электрон
может двигаться под действием поля в любом направлении. В квантовой механике
осциллятор имеет заданное направление оси, определяемое свойствами волновых
функций. Если параллельный пучок плоско-поляризованного света падает на такой
направленный осциллятор, то индуцированный дипольный момент пропорционален
cos 0, где 6 — угол между направлением поляризации и осью осциллятора. Поглоще-
Поглощение пропорционально квадрату индуцированного момента, т. е. cos2 8. Если парал-
параллельный пучок падает на беспорядочно ориентированные атомы, то поглощение про-
пропорционально среднему по сфере значению cos2 9. Отсюда следует, что в этом случае
поглощение в трп раза слабее, чем для атомов, дипольный момент которых опреде-
определяется формулой A8.626). Оно равно величине, соответствующей осциллятору с
с дипольным моментом, даваемым A8.606), т. е. с моментом, равным компоненте Мпт
в направлении поляризации. Множитель 1/3 включен в формулы A7.50) и A8.64).
Интенсивность излучения соответствует осциллятору с моментом, определяемым
A8.626). В приложении 13Б было показано, что классический осциллятор теряет
за секунду долю своей энергии, равную у0, причем эта величина дается формулой A3.79).
При рассмотрении поглощения в параллельном пучке мы сопоставляем данному
переходу осциллятор силы /. При рассмотрении испускания мы должны сопоставить
тому же переходу осциллятор силы 3/. Интенсивность излучения поэтому равна
З/Yobv™ = % ^J^ rmnr*mn A8.65)
в согласии с A8.61). Это соотношение можно представить в несколько иной форме.
Пусть т0 — время жизни классического осциллятора единичной силы, т. е. время,
за которое его исходная энергия уменьшается в е раз. Тогда т0 = 1/Yo» и в квантовой
теории значение т определяется следующим образом *):
T=i-x0- A8.66)
Все сказанное легче уяснить, если считать, что в квантовой теории каждому
переходу сопоставляется трп осциллятора с моментами, пропорциональными хтпг
Утп и zmn. В излучении участвуют все три осциллятора. При поглощении плоско-
поляризованного света, падающего параллельным пучком, эффективным оказывается
лишь один осциллятор. Такая аналогия полезна при построении квантовой теории
рассеяния и дисперсии, но не нужно злоупотреблять ею.
Поскольку произведение г|>71 X ^п не зависит от времени, интенсивность соот-
соответствующего излучения равна нулю. Отсюда мы делаем вывод, что в низшем стацио-
стационарном состоянии атом не излучает. Тем самым устраняется — по крайней мере фор-
формально — трудность, присущая старой квантовой теории, в которой атом рассмат-
рассматривался как динамическая система с электроном, обращающимся вокруг ядра подобно-
планетам, вращающимся вокруг Солнца. Согласно этой модели, электрон все время
испытывает ускорение, направленное к ядру, и, значит, должен излучать, причем
это излучение столь интенсивно, что стационарное состояние не могло бы существо-
существовать достаточно долгое время, необходимое для его наблюдения. В новой теории точеч-
точечный электрон заменяется заряженным облаком, и если атом находится в низшем ста-
стационарном состоянии, то суммарное излучение всех точек облака равно нулю.
18.20, Изложенный выше метод находится в хорошем согласии с исход-
исходными допущениями, принятыми при интерпретации волновой функции г|).
В дальнейшем мы увидим, что можно дать более детальное описание про-
процесса излучения (см. ниже, § 19.1). Пока же будем рассматривать этот
*) При наличии более чем двух состояний нужно использовать формулу A9.67в),
СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ КЛАССИЧЕСКИМ И КВАНТОВЫМ£ОСЦИЛЛЯТОРАМИ 547
метод как определенное правило расчета и посмотрим, дает ли он пра-
правильный результат в ряде оптических задач. Начнем с рассмотрения
вероятности перехода для простого гармонического осциллятора.
Из соотношений A8.35), A8.37) и A8.42) следует, что собственная функ-
функция имеет вид
% = e-&*NnHn(l), A8.67)
где Нп — решение уравнения
^—26-^+2пЯп = 0, A8.68)
а постоянную Nn выбирают так, чтобы обеспечить нормировку ф-функ-
ции. Уравнение A8.68) получается в результате подстановки собственного
значения Р, определяемого формулой A8.42), в уравнение A8.37).
Поскольку рассматривается одномерная задача, вектор г в A8.62) парал-
параллелен оси х (и |). Из формулы A8.61) видно, что вероятность перехода
пропорциональна квадрату хтп, где
оо
I 69)
так как волновая функция действительна. Множитель 1/а появился
в результате замены переменной интегрирования.
Используя известные свойства функций Нп [18.3], находим
A8.71)
и хпт = 0, если т Ф (п ± 1). Таким образом, вероятность перехода
отлична от нуля только для переходов между соседними уровнями. Если
эта вероятность не равна нулю, то переход называется разрешенным.
Прочие переходы носят название запрещенных.
Вероятность переходов между соседними уровнями дипольного
осциллятора можно получить, подставив значения х, определяемые
A8.70) или A8.71), в соотношение A8.60). Подстановка A8.71) в A8.62)
дает непосредственно вероятность спонтанного перехода с уровня п
на уровень (тг — 1). Спонтанные переходы с уровня п на уровень (тг + 1)
невозможны. Формула A8.70) дает коэффициент Эйнштейна А для пере-
перехода с уровня (п + 1) на уровень тг, а воспользовавшись еще соотноше-
соотношениями A7.45) и A7.49), можно вычислить и вероятность вынужденного
перехода из состояния п в состояние (п + 1) (т. е. коэффициент В)+
а также коэффициент поглощения света. Ни одна реальная атомная систе-
система не ведет себя в точности как простой гармонический осциллятор.
Однако приближенно можно рассматривать двухатомную молекулу как
две точечные массы, соединенные пружиной. При малых колебаниях
восстанавливающая сила пропорциональна смещению, но при большпх
смещениях этот закон нарушается. Поэтому такая система ведет себя
как гармонический осциллятор только при малых смещениях. Было
показано, что в области малых амплитуд колебаний существует последо-
последовательность стационарных энергетических состояний, отделенных друг
от друга почти одинаковыми ступенями. Было установлено также, что
35 s"
548 ГЛ. 18. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
в этой области переходы имеют место лишь между соседними колебатель-
колебательными уровнями. Абсолютные значения вероятностей переходов можно
определить, измеряя коэффициент поглощения. Полученные данные
находятся в согласии с результатами вычислений. Для учета отступления
от линейной зависимости между силой и смещением, а также для учета
эффектов, обусловленных вращением молекул, необходимы более слож-
сложные расчеты. Результаты этих расчетов также согласуются с наблюдае-
наблюдаемыми значениями в широком диапазоне условий [18.3].
Квантование электромагнитного поля *)
18.21. Мы уже видели на примере простого гармонического осцил-
осциллятора, что квантовая механика включает метод расчета как энергий
стационарных состояний, так и вероятностей переходов между ними.
Результаты подобных расчетов, а также аналогичных расчетов частоты
и интенсивности излучения, испускаемого атомами и молекулами, нахо-
находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными. Таким образом,
эта наиболее существенная проблема взаимодействия излучения с веще-
веществом удовлетворительно решается квантовой теорией вплоть до пред-
предсказания количественных характеристик. Посмотрим теперь, что может
дать эта теория для самого излучения. Каким образом она может одно-
одновременно описывать волновые и корпускулярные свойства света? Каким
образом квантуется поле излучения, сохраняя в то же время свои волно-
волновые свойства? Для того чтобы воспользоваться здесь квантовой механи-
механикой, попробуем представить излучение в виде некой механической систе-
системы. Выше мы видели, что Рэлей и Джине получили таким путем класси-
классические законы излучения. Теперь нам нужно вывести выражение для
энергии излучения в форме, использовавшейся Гамильтоном для механи-
механических систем. Оказалось, что выражение, полученное для энергии излу-
излучения, имеет такой же вид, как и для системы гармонических осциллято-
осцилляторов. Поэтому к полю излучения можно применить квантовую теорию
гармонических осцилляторов.
Наиболее удобно анализировать энергию поля, развивая метод,
использованный нами в приложении 13А. Представим поле излучения,
ограниченное кубическим ящиком с ребром L, векторным потенциалом Ау
который удовлетворяет уравнениям A3.52) и A3.53). Скалярный потен-
потенциал поля <р положим равным нулю. Пусть
A = %q8A8, A8.72)
где q$ — функция t (но не пространственных координат), которая удо-
удовлетворяет уравнению
V.f©fc. = 0. > A8.73)
Здесь А8 — не зависящая от времени векторная функция пространствен-
пространственных координат, удовлетворяющая уравнениям A3.55) и A3.56). Выберем
для А8 выражение, соответствующее стоячим волнам
А8 = esc (8nL-3)V2 sin (xsr), A8.74)
где к8 — вектор, модуль которого %8 равен (о8 (с) и направление совпа-
совпадает с нормалью к волне. Компоненты xs подчиняются соотношениям
*) См. также А. А. Соколов и Д. Д. Иваненко, Квантовая теория
поля, Гостехиздат, М., 1951. (Прим. ред.)
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 549
A3.60). е8 — единичный вектор, определяющий плоскость поляризации.
Выражение A8.74) аналогично A3.58). При выборе постоянного множи-
множителя в A8.74) руководствуются соображениями, которые будут изло-
изложены ниже.
Воспользовавшись A3.53), получаем
Е= —\-А = —£- ^ ЯвЛ8 A8 75)
S
и, следовательно,
Е== —
где
Е8 = - esqs (8jtL-3)V2 sin (x.r). A8.76)
Применяя метод, изложенный в § 16.7, к соотношениям A3.52)
и A8.74), получим
Н8 = cq$ (8nL-3)V2 (Xs x e8) cos (>vr). A8.77)
Энергию поля W можно записать в виде
A8.78)
где интеграл берется по объему куба. ОтснУда
(\2 8фГ
2 Es) =2 El+ SS EsEr. A8.79)
8 J S S Г
Подставляя значение Es из A8.76) и используя положение, изложенное
в приложении 4Б (см. стр. 94), получим
A8.80)
и
jj EsEr dx = 0 при s Ф г. A8.81)
Точно так же, вспоминая, что е8 — единичный вектор, перпендикуляр-
перпендикулярный xs, и, следовательно (xs X e8) равно xs, находим
Hldx = 4яс2х1д1 = 4я©5д5, A8.82)
а интеграл от произведения Н8НГ снова равен нулю. Таким образом,
^ . A8.83)
Это выражение для энергии имеет такой же вид, как и для совокупности
гармонических осцилляторов единичной массы. В соответствии с методом
Гамильтона и полагая q8 = ps, получаем
и
так как q8 является решением уравнения A8.73).
550 ГЛ 18 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
18.22. Проведенное выше рассмотрение поля излучения, строго говоря, приме-
применимо только к стоячим волнам. В квантовой теории часто приходится иметь дело
с бегущей волной или даже с наложением стоячей и бегущей волн. В этом случае мы
должны заменить A8.72) более общим выражением вида
A = %(q9A8 + q:A*). A8.85)
А, Е, Н — действительные, но qs, As, Е$, Hs — комплексные величины.
Пусть qSi которое является решением уравнения A8.73), пропорционально е s ,
и пусть As, являющееся решением уравнения A3.55), пропорционально е 8 .
Тогда каждая пара членов суммы в правой части A8.85) пропорциональна cos ((ost —
— xs«r), т. е. описывает бегущую волну. Как и выше, коэффициент пропорциональ-
пропорциональности выбирается так, чтобы обеспечить удобное выражение для энергии; поэтому
полагаем
As=esc DjiL-3)V2^-lHs-r A8.86)
и, вместо A8.76) и A8.77), получаем
Es= -esgs DnL-3)V2e-1 V A8.87)
x es) е"~***'г\ A8.88)
E* теперь равно []P (Es-\- J£*)]2, причем члены типа E\, EsE*nEsEr исчезают при
интегрировании Тогда
= 2 2 ^ ^sE*dx=Sn 2 ©!зд£- A8-89)
Так как модуль (xs X es) равен xs = a>s/c, то J Я2 dx имеет ту же величину и, следо-
следовательно,
W = 2^]@lqsq*. A8.90)
Координаты qs в A8.85) не подчиняются уравнениям Гамильтона A8.83) и A8.84),
но можно ввести новые координаты q's = qs + g*, также описывающие бегущую волну,
которые удовлетворяют этим уравнениям.
18.23. Проведенное выше исследование электромагнитного поля
основано на теории Максвелла. Мы получили выражение для энергии
поля в виде суммы ряда, каждый член которого совпадает по форме
с соответствующим выражением для гармонического осциллятора.
Перейдем теперь к квантовой теории, сделав допущение, что резуль-
результаты квантовомеханического рассмотрения линейного гармонического
осциллятора распространяются и на осцилляторы (или на моды колеба-
колебаний поля), представляющие поле излучения, т. е. что qs подчиняются
волновому уравнению.
Поскольку масса такого эквивалентного осциллятора равна еди-
единице, мы можем написать
¥() = 0. A8.91)
Здесь мы пишем ф вместо *ф для того, чтобы в дальнейшем отличать вол-
волновое уравнение поля излучения от волнового уравнения атома. Уравне-
Уравнение A8.91) означает, что каждой моде колебаний соответствует некоторая
последовательность стационарных состояний. Разность энергий соседних
состояний равна hv; разрешенными являются лишь переходы между
соседними уровнями, т. е. переходы, сопровождаемые испусканием или
ИМПУЛЬС ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 551
поглощением энергии hv. Таким образом, исходный постулат Планка,
согласно которому в каждом акте поглощения или испускания происхо-
происходит обмен одним квантом, получает объяснение без нарушения представ-
представления о волновой природе излучения.
18.24. Энергия поля излучения равна сумме энергий отдельных осцил-
осцилляторов. Различные стационарные состояния соответствуют всевозмож-
всевозможным комбинациям стационарных состояний осцилляторов. В наинизшем
состоянии поля каждый осциллятор находится в своем наинизшем состоя-
состоянии. Если энергия каждого осциллятора равна -^hv, а их число беско-
бесконечно велико, то в наинизшем состоянии поле излучения имеет бесконечно
большую энергию. Хотя этот вывод кажется на первый взгляд абсурд-
абсурдным, он не приводит к сколько-нибудь серьезным трудностям. Почти
в любой задаче динамики энергию можно сделать бесконечно большой
путем соответствующего выбора точки с нулевой потенциальной энергией.
Фактически мы всегда имеем дело с величиной изменения энергии, и бес-
бесконечная энергия, которая никак не может проявиться, не влияет на ре-
результаты расчета, хотя и может существенно усложнить их получение.
Детальное рассмотрение показывает [18.4], что и в данном случае вовсе
не обязательно принимать за наинизшее значение энергии осциллятора
величину, равную -trhv. Можно выбрать такие переменные, что это
состояние будет соответствовать нулевой энергии. Тогда частотное рас-
распределение энергии излучения будет следовать закону Планка (см. соот-
соотношение A7.41)).
На ранних стадиях применения квантовой теории к электромагнитному полю
предполагалось, что в замкнутом пространстве может присутствовать только один
квант с данной частотой и плоскостью поляризации. Другими словами, считалось, что
каждый осциллятор может находиться лишь в двух стационарных состояниях,
а именно, в состояниях с энергией 0 и hv. Современная квантовая механика допускает
для каждого типа колебаний энергию nhv. Прежняя теория находилась в противоре-
противоречии с принципом суперпозиции. Если два световых пучка с одинаковой частотой излу-
излучения оказываются в одной области пространства, то результирующее излучение
имеет ту же частоту и удвоенную энергию. Если в каждом из исходных пучков один
квант имел энергию hv, то в результирующем пучке должно быть два таких кванта.
Предположение о том, что поле может содержать лишь один квант с данной частотой,
противоречит экспериментальным данным для радиоволн, частота которых в 109 раз
меньше частоты света. Энергия каждого кванта радиочастотного излучения оказы-
оказывается чрезвычайно малой. Тем не менее, хорошо известно, что можно создавать пучки
радиоволн значительной энергии в чрезвычайно узком частотном интервале. Здесь
следует воспользоваться представлением о стационарных состояниях, для которых п
настолько велико, что произведение nhv оказывается большим даже при малых зна-
значениях V.
Импульс электромагнитного поля
18.25. В пучке распространяющихся электромагнитных волн за еди-
единицу времени через единичную площадку проходит энергия, равная
плотности энергии в пространстве, умноженной на с. Одновременно через
эту площадку переносится импульс, равный плотности энергии (см. фор-
формулу A7.15)). Следовательно, импульс, приходящийся на единицу объема,
равен плотности энергии, деленной на с, или потоку энергии (за единицу
времени через единичную площадку), деленному на с2. Если Р — полный
импульс, а С? — вектор Пойнтинга, то ^
Р~± I Gdi = -±; J (ExH)dx. A8.92)
552 ГЛ. 18. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Используя формулы A8.87) и A8.88) и вспомнив, что вектор Е8 перпенди-
перпендикулярен Н8, можно записать импульс в виде _Р = 2Р8, где
dx. A8.93)
Учитывая приведенные выше рассуждения, нетрудно видеть, что в правой
части A8.93) отличен от нуля лишь член типа \ (Е8Н% + Е%Н8) dr.
Подставляя значения Е8 и Н8 из A8.87) и A8.88), получим
сР8 = 2cofgsg*. A8.94)
Таким образом, JP8 равно деленной на с энергии колебаний данного
типа, связанного с А8 и ^1*. Можно показать, что направление Р8 совпа-
совпадает с направлением хв, т. е. импульс направлен вдоль нормали к фронту
волны. Если энергия колебаний данного типа равна nshv8, то соот-
соответствующий импульс равен nshvs/c. Каждый тип колебаний ведет себя
как совокупность п частиц с энергией hv и импульсом hv/c, направлен-
направленным вдоль волновой нормали. В каждом элементарном акте испускания
или поглощения п меняется на единицу. Мы можем описать это измене-
изменение, говоря о рождении или уничтожении частиц. Квантованная волна
ведет себя в отношении энергии и импульса подобно совокупности п
фотонов, свойства которых первоначально постулировал Эйнштейн.
Но эта волна сохраняет обычные свойства, т. е. способность интерфе-
интерферировать и дифрагировать.
Импульс фотона, представленного стоячей волной, можно вычислить при помощи
A8.76) и A8.77). Он оказывается равным нулю в согласии с тем экспериментальным
фактом, что давление стоячих волн, заключенных в полости, на ее стенки носит чисто
гидростатический характер, т. е. стенкам не передается никакого импульса. С волно-
волновой точки зрения систему стоячих волн можно рассматривать как результат суперпо-
суперпозиции двух бегущих волн, распространяющихся в противоположных направлениях»
Если энергия, соответствующая колебаниям каждого типа, велика по сравнению с hvf
то аналогичное рассмотрение допустимо и в квантовой теории. Стоячую волну можно
тогда рассматривать как группу фотонов, каждый из которых обладает определенным
импульсом, но полный импульс всей группы равен нулю.
Связь соотношения неопределенности с волновым уравнением
18.26. В гл. 4 и 6 мы рассмотрели теорию групп волн и показали,
что вполне монохроматическая плоская волна должна заполнять все
пространство и быть бесконечной во времени. Если волна ограничена
в направлении своего распространения, то она перестает быть монохрома-
монохроматической — появляется некоторое распределение частот. Если плоская
волна ограничена в направлении, перпендикулярном направлению рас-
распространения, то благодаря дифракции она превратится в^ группу волнг
распространяющихся в несколько различных направлениях. Мы уже
видели, что в квантовой механике импульс пропорционален частоте
(и, следовательно, волновому числу х). Поэтому обсуждавшиеся в гл. 4 и &
соотношения можно теперь рассматривать как выражения соотношения
неопределенности.
Вероятность поглощения кванта атомом в данной точке пропорцио-
пропорциональна квадрату амплитуды *) волны £0 в этой точке. Точно так же квад-
квадрат амплитуды а (х) пропорционален вероятности того, что любой фотон*
*) Или квадрату модуля амплитуды, если она комплексна.
СВЯЗЬ СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ С ВОЛНОВЫМ УРАВНЕНИЕМ 553*
представленный данной системой волн, будет иметь данное волновое чис-
число к и соответствующие значения частоты и импульса. Если £о отлично
от нуля лишь в сравнительно малой области значений координаты
в направлении распространения волны, то цуг волн будет коротким. Это
значит, что полный импульс (который совпадает с проекцией импульса
на направление распространения) окажется определенным не точно.
Аналогично, если волна ограничена в направлении, перпендикулярном
распространению (например, если она пропущена через узкую щель),
то координата в этом направлении определена почти точно. Вместе с тем,
направление распространения волны, прошедшей через узкую щель,
становится почти неопределенным, и следовательно, плохо определена
и компонента импульса в направлении, перпендикулярном распрост-
распространению.
В любом случае произвольный способ ограничения пространственной
протяженности волны в каком-то направлении неизбежно приводит
к неопределенности в соответствующей компоненте импульса. Точно
так же, если пучок света представлен коротким цугом квантованных элек-
электромагнитных волн, момент прохождения энергии через данную точку
можно измерить с хорошей точностью. Однако при этом возникает боль-
большая неопределенность в их частоте, т. е. в энергии. Это согласуется
с A8.10), а также, косвенным образом, с A8.9).
При рассмотрении принципа неопределенности для фотонов можно
допустить, что IJ представляет вероятность найти фотон в данной точке.
Тогда обнаруживается близкая аналогия в описании фотонов и материаль-
материальных частиц. Такой способ рассмотрения оказывается очень удобным
по ряду причин, но в то же время он приводит к серьезным трудностям.
При его использовании приходится делать нежелательное допущение,
что фотон, вообще говоря, можно рассматривать как некую частицу, лока-
локализованную в какой-то точке. В квантовой механике фотон представляет-
представляется квантованной волной. Каждый фотон в системе стоячих волн в ящике
распределен по всему объему ящика, т. е. в равной мере присутствует
во всех его точках. Он ведет себя как частица лишь в том отношении,
что может отдать всю свою энергию и импульс одному атому. В связи
со сказанным мы не будем пользоваться выражением «положение фотона».
18.27. Приведенное выше обсуждение показывает, что соотношение
неопределенности — по крайней мере качественно — содержится в теории
квантованных волн. Это связано с тем, что такая теория, будучи волно-
волновой, дает следующие соотношения между импульсом, длиной волны
и энергией взаимодействия: К = hip, W = hv. Другими|словами, она
содержит три сформулированных выше положения (см. § 18.5).
Воспользуемся теперь квантовой теорией для формулировки соотно-
соотношения неопределенности в более точной форме, чем это было сделано выше»
Рассмотрим функцию g (p)t заданную следующим образом:
оо
g(P)=j; J *(?)ехр (-?£*р/) dq. A8.95)
—ОО
С точностью до постоянного множителя, введенного для удобной нормировки, A8.95)
дает соотношение между g (р) и г|? (д), аналогичное соотношению между а (х) и | (х)
(см. D.60)). По теореме Фурье из A8.95) следует
^p. A8.96>
004 ГЛ. 18. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Это согласуется с произведенным выше рассмотрением, если мы предположим,
что h g(p) g* (p) dp есть вероятность того, что импульс фотона лежит между р
и (р + dp) (множитель h необходим по условию нормировки). Допустим теперь в каче-
качестве примера, что измерения дали для координаты q гауссово распределение
A8.97)
где за начало отсчета q принято наиболее вероятное его значение, a
средняя квадратичная ошибка. Отсюда следует, что
♦ (<?)=ехр ( ~щ) eiQ, A8.98)
где Q — некоторая функция q. В простейшем случае мы можем положить ее пропор-
пропорциональной q, т. е. написать
* (?)=ехр [ _|1+2£.ро9] , A8.99)
где р0 — постоянная, имеющая размерность импульса. Подставляя это выражение
для г|э в A8.95), получим
A8.100)
Эти вычисления совершенно аналогичны расчетам, проведенным при выводе D.98)
(см. приложение 4Б). pjYz есть средняя квадратичная ошибка для р, и мы имеем
-Pi^.J+b. A8.101)
Таким образом, произведение средних квадратичных ошибок равно по порядку вели-
величины h. Дальнейшие расчеты показывают, что когда г|э (q) if>* (q) имеет распределение,
отличное от гауссового, то произведение неопределенностей больше величины, опре-
определяемой A8.101). Таким образом, в общем случае
^, A8.102)
где Ар и Ад — средние квадратичные ошибки в значении величин р и q.
Квантовое состояние
18.28. В классической динамике принято, что измерения дают точные
значения двух величин, которые используются в качестве начальных
условий для последующих расчетов. Теперь мы знаем, что реальные
эксперименты позволяют определить лишь вероятности, а форма волно-
волнового уравнения такова, что эти вероятные значения можно использовать
в качестве начальных условий. В результате вычислений мы получим
новые вероятные значения. При этом вовсе не обязательно, чтобы изме-
измерения давали нам вероятные значения координаты и импульса. Волновое
уравнение можно преобразовать к такому виду, чтобы использовать
вероятные значения любой пары переменных, пригодных для расчетов
в обобщенной механике.
Пусть нам известны общие свойства какой-либо системы. Решая
соответствующее волновое уравнение, мы найдем энергии стационарных
состояний и соответствующие волновые функции. Обычно в результате
эксперимента мы узнаем, что система находится в некотором состоянии,
определяемом решением волнового уравнения в форме A8.52). Иными
словами, опыт позволяет определить коэффициенты си с2 и т. д. этого
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА 555
уравнения, причем с\ — это вероятность того, что система находится
в первом стационарном состоянии, с\ — вероятность того, что она нахо-
находится во втором стационарном состоянии и т. д. В данном случае мы имеем
дело с динамическими переменными: энергией и временем. Если время
велико по сравнению с естественным периодом в данной задаче, то может
случиться, что вероятность нахождения системы в каком-либо определен-
определенном состоянии особенно велика, т. е. что один из коэффициентов почти
равен единице, а остальные близки к нулю. Однако это — особый слу-
случай. Как правило, состояния, определяемые в результате эксперимента,
образуются путем суперпозиции стационарных состояний.
Квантовая статистика
18.29. В классической кинетической теории газ рассматривался как
совокупность частиц, каждая из которых характеризовалась определен-
определенными положением и импульсом. Статистические методы используются
для определения их наиболее вероятного распределения в пространстве
и наиболее вероятного распределения по импульсам. В соответствующих
расчетах в квантовой теории приходится иметь дело не с возможными
положениями и импульсами частиц, а с возможными состояниями их
ансамбля. Соответствующие вычисления состоят в подсчете физически
различимых состояний. Поэтому важно знать, какие состояния, образо-
образованные в результате суперпозиции стационарных состояний, являются
^физически различимыми.
Мы уже знаем, что фотоны неотличимы друг от друга, так как две
волны с одинаковой частотой и фазой, распространяющиеся в одном
направлении, нельзя различить никаким экспериментом. Далее, если
мы имеем два фотона а и Ъ одинаковой частоты, распространяющиеся
в направлениях А и В соответственно, то состояние системы в целом
неотличимо от состояния, в котором фотон а распространяется в напра-
направлении J?, а фотон Ъ — в направлении А. Мы не можем пометить фотоны
каким-либо физически реальным способом. Точно так же известно, что
и электроны физически неразличимы. Эти экспериментальные факты
должны найти свое отражение в теории.
18.30. Рассмотрим if-функцию двух одинаковых частиц. Сначала положим, что
каждая частица находится в своем ящике, и пусть ее координата в первом ящике
равна q, а во втором — q'. Тогда ^ (q) ф? (q) dq — вероятность нахождения частицы 1
в интервале от q до q + dq, а г|?2 (#') ty* W) dq'—вероятность нахождения частицы 2
в интервале от q' до q' + dq'. Вероятность того, что оба события произойдут одно-
одновременно, равна г^ (q) i|?J (q) г|J (я') "Ф* (я') dq dq', так как события независимы. Мы
могли бы получить эту величину, вводя волновую функцию системы в целом в виде
%2(<7<7')=М>2. A8 103)
Этот метод можно распространить и на случай совокупности фотонов, находящихся
в одной и той же области пространства, если только взаимодействие между ними пре-
пренебрежимо мало.
Рассмотрим теперь совокупность частиц и в данный момент будем называть пх
частица 1, частица 2 и т. д. Обозначим волновые функции их стационарных состояний
через if>a, г|?5 и т. д. Тогда если частица 1 находится в состоянии а, частица 2 — в состоя-
состоянии Ъ и т. д., то волновая функция всей системы запишется в виде
Если первую и вторую частицы поменять местами, то получим новое решение волно-
волнового уравнения в виде
- A8 105)
556 ГЛ. 18. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Как уже отмечалось выше (см. § 18.15), можно составить новую волновую функцию*
в виде линейной комбинации этих двух функций
Ч> (Я) = ^а 2^6 З'Фс . .+*Л З^с- -. + .. • A8.106)
Наиболее общая форма ар (д) примет вид
= 2! еР &а 2tt>b &,..., A8.107).
2!
где символ ^ означает суммирование по всем возможным перестановкам левых индек-
р
сов. Результат каждой перестановки берется со своим коэффициентом.
18.31. Введем теперь допущение о том, что все наблюдаемые результаты оста-
останутся неизменными, если одна из частиц поменяется местами с другой. Это означает,
что произведение г|тф* должно оставаться неизменным при любой перестановке, просто
означающей, что две частицы поменялись местами. Отсюда следует, что либо г|? вообще-
не изменяется при перестановке (симметричный случай), либо меняет знак, оставаясь
прежней по абсолютной величине (антисимметричный случай). Для симметричного
случая все коэффициенты в A8.107) одинаковы. В антисимметричном случае они равны
по модулю, но имеют разные знаки. Легко показать, что в отсутствие взаимодействия
вероятность перехода между симметричным и антисимметричным состояниями равна
нулю. Это подтверждается экспериментальными данными об атомных спектрах. Таким
образом, ансамбль может существовать либо в симметричных, либо в антисимметричных
состояниях и не может пребывать то в одном, то в другом состоянии.
Рассмотрим две частицы в ансамбле, представленном антисимметричной волно-
волновой функцией. Каждому положительному члену в сумме A8.107) соответствует отри-
отрицательный, отличающийся лишь тем, что две рассматриваемые нами частицы поменя-
поменялись местами. Если обе частицы имеют одинаковые волновые числа (т. е. одинаковые
волновые функции), то каждый положительный член будет равен по абсолютной
величине одному отрицательному члену и, следовательно, волновая функция обра-
обратится в нуль. Таким образом, антисимметричные состояния ансамбля, в котором две
какие-либо частицы имеют одинаковые квантовые числа, существовать не могут.
Вместе с тем, в симметричном состоянии две частицы могут иметь одинаковые кванто-
квантовые числа. Согласно экспериментальным данным, на основе которых сформулирован
принцип Паули, два электрона в атоме или молекуле не могут иметь одинаковых
квантовых чисел. Отсюда следует, что электроны не только являются неотличимыми
друг от друга, но могут находиться лишь в антисимметричных состояниях. С другой
стороны, мы знаем, что большое число фотонов может одновременно находиться в одном
и том же состоянии и, следовательно, система фотонов может находиться только в сим-
симметричных состояниях.
18.32. Определим теперь распределение энергии между фотонами
различных частот при термодинамическом равновесии. Мы воспользуемся
обычными методами статистики, но примем во внимание неразличимость
фотонов (в смысле § 18.29) и тот факт, что любое их число может нахо-
находиться в одном и том же квантовом состоянии. Рассмотрим излучение
в объеме V. Согласно A3.62), число состояний, соответствующих энергии
между hv и h (v + dv), равно следующей величине:
A8.108)
Пусть на тот же энергетический интервал приходится п8 фотонов. Они
должны распределиться между g8 состояниями. Если бы фотоны и состоя-
состояния были физически различимы, число способов, которыми можно было бы
осуществить это распределение, равнялось бы ♦)
gs(gs + n8-l)l A8.109)
♦) Этот результат можно получить следующим образом [18.5]. Обозначим ячейки
через з1э z2, . . ., а фотоны через ai9 a2, ... Запишем некую последовательность
букв, например, zi9 а1э а2, z2, z3, а3, а4 . . ., полагая, что фотоны, стоящие между
двумя z, находятся в ячейке, обозначенной левой буквой этой пары. Мы получим все
возможные распределения, если перечислим все gs значений z на левом краю и все
перестановки остальных (gs + ns — 1) букв; число этих перестановок равно (gs + ns — 1)!
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА 557
Поскольку, однако, фотоны неразличимы, то надо объединить в одно
все распределения, отличающиеся лишь перестановкой фотонов внутри
-состояния или между состояниями. Тогда полное число распределений
равно
Пусть, например, имеется 100 состояний и 5000 фотонов. Распределе-
Распределение, в котором на каждое из 50 состояний приходится по 100 фотонов,
а остальные состояния не заняты, отличается от распределения, в котором
на каждое из 49 состояний приходится по 100 фотонов, в двух состояниях—
по 50 фотонов и остальные — не заняты. Однако совершенно не существен-
существенно, из каких именно фотонов построены группы по 100 фотонов.
18.33. Используя соотношение A8.110), получаем для вероятности
данного распределения фотонов по всем частотам^ следующую величину:
n(gs + ns — 1)! /lg ллл)
8
Далее воспользуемся обычными приемами статистической теории, в кото-
которой максимум вероятности определяется методом неопределенных множи-
множителей. Наиболее вероятное значение ns оказывается равным
Г- A8Л12)
Эта величина дает число фотонов с частотами от v до v + dv. Полагая
(j (v) = nshvlkv и используя A8.108), получаем для плотности энергии
в единичном диапазоне частот
^Ьг- A8Л13)
Таким образом, если предположить, что фотоны неразличимы и что любое
их число может находиться в этом состоянии, то статистическая теория
фотонов приведет к планковскому закону излучения, находящемуся
в полном согласии с экспериментом.
18.34. Может показаться удивительным, что закон Планка можно вывести двумя
столь различными способами, как это было сделано выше ив § 17.32. В действитель-
действительности же оба способа вывода связаны с общими принципами квантовой механики и ста-
статистической физики. В гл. 17 мы рассматривали распределение энергии по различным
типам электромагнитных колебаний, т. е. между различными стационарными волнами,
образующимися в замкнутой полости. Эти типы колебаний физически различимы.
Каждый данный тип характеризуется своей частотой и направлением распростране-
распространения. Поскольку статистические элементы различимы, мы можем воспользоваться
методами статистики Максвелла — Больцмана, что и имело место при использовании
теоремы Больцмана. В настоящей главе мы имели дело с фотонами, которые в рамках
статистики являются неразличимыми частицами. Видоизменив статистический расчет
так, чтобы можно было принять во внимание эту неразличимость, мы пришли к тому же
результату. Рассмотренная задача представляет пример одной из многих задач, кото-
которые могут быть решены как с волновой, так и с корпускулярной точек зрения. Оба
подхода дают в точности одинаковый результат, так как вся теория внутренне
согласована и достаточно эффективно учитывает и волновые и корпускулярные
свойства света.
18.35. Оба приведенных выше вывода закона Планка основаны на при-
применении квантовой механики к излучению. Можно дать третий вывод,
основанный на детальном квантовомеханическом рассмотрении [18.4]
процессов испускания и поглощения излучения (см. приложение 19А).
558 ГЛ 18 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Таким путем можно установить соотношения A7.45а) кг A7.456) между
коэффициентами Эйнштейна. Используя эти соотношения, а также прин-
принцип детального равновесия, можно вывести закон Планка вместо того,
чтобы на основе закона Планка выводить соотношения между коэффи-
коэффициентами Эйнштейна. Такая возможность показывает, что квантовая
механика самосогласована в описании процессов испускания и поглоще-
поглощения излучения. Независимо от того, исходим ли мы в своих расчетах
из свойств атома или из свойств излучения, результаты оказываются оди-
одинаковыми.
Сопоставление свойств фотонов и других частиц
18.36. В настоящей главе мы подчеркивали сходство в поведении
фотонов и других частиц. Одни и те же идеи квантования, впервые выска-
высказанные Эйнштейном и Планком, используются в квантовой механике
для описания частиц и электромагнитного поля. Результаты расчетов
в тех и других задачах приводят именно к такой степени аналогии, кото-
которая следует из результатов экспериментов. Тем самым оказывается возмож-
возможным формальное описание частиц и излучения как на основе волновых,
так и на основе корпускулярных представлений. Аналогия между свой-
свойствами частиц и излучения оказывается столь тесной, что читатель может
прийти к выводу о полном отсутствии сколько-нибудь существенной раз-
разницы, если не считать различия в масштабе: например, длина волны
электрона обычно значительно меньше оптических длин волн. Поэтому
очень важно, сопоставляя свойства частиц со свойствами излучения,
выявить не только сходства, но и различие между ними и, наконец, пока-
показать, что эти различия также объясняются предложенной теорией.
18.37. Если считать, что фотон представляет собой частицу с нулевой
массой покоя, то соотношения
W = mc2 = hvf A8.114)
рЯ = /г, A8.115)
W* = mlc* + c2p* A8.116)
применимы и к электромагнитному излучению и частицам. В A8Л16)
и далее подразумевается, что мы имеем дело с релятивистской энергией.
Соотношение
v%=b, A8.117)
где Ь — фазовая скорость, справедливо как для яр-волн, так и для эле-
электромагнитных волн. Для фазовой скорости г|)-волны, соответствующей
частице со скоростью г?, оно приводит к соотношению
*> = -£-. A8.118)
Легко показать, что групповая скорость а|)-волны, связанной со свободноп
частицей, равна'г>, т. е., как и следовало ожидать, равна фактически
наблюдаемой скорости. Таким образом, фотон является частицей, для
которой фазовая скорость равна групповой скорости (в вакууме), т. е. ско-
скорости частицы. Во всех этих соотношениях, справедливых как для излу-
излучения, так и для вещества фотон фигурирует как предельный случай.
18.38. Несмотря на указанное сходство, классическая теория излу-
излучения является волновой теорией, а классическая теория вещества —
ЛИТЕРАТУРА 559
теорией частиц. И это не случайно. Для наблюдения частицы необходимо
иметь возможность изменять ее энергию и в соответствии с законами
сохранения — импульс. В обычных лабораторных условиях частицы
меняют энергию за счет изменения скорости, а фотоны — за счет измене-
изменения массы (т. е. частоты). Лишь частицы с очень большой энергией, ско-
скорость которых близка к с, меняют энергию путем изменения массы.
Их поведение очень похоже на поведение фотонов очень большой энергии.
Они очень слабо отклоняются в электрическом, магнитном и гравита-
гравитационном полях и обладают весьма высокой проникающей способностью
в веществе.
Наоборот, при низких энергиях различие между частицами и фото-
фотонами становится чрезвычайно заметным, так как энергия материальной
частицы стремится к ее минимальному значению, определяемому массой
покоя, а энергия фотона может становиться сколь угодно близкой к нулю.
Поэтому при низких энергиях материальная частица остается легко
наблюдаемым объектом. Фактически ее даже легче наблюдать при низких
энергиях, чем при высоких, так как скорость частицы невелика и ее изме-
изменение можно определить во время эксперимента. Наблюдение фотона при
низких энергиях становится все более затруднительным, так как один
фотон уже не может воздействовать на наши приборы, а скорость фотона
по-прежнему остается равной с. При больших энергиях следы фотонов
можно сделать видимыми в камере Вильсона, отмечая точки их взаимо-
взаимодействия с электронами. При низких частотах такие эксперименты уже
невозможны и нельзя придать определенный смысл выражениям «положе-
«положение фотона» или «вероятность данного положения фотона». Читатель
должен помнить, что величины д, входящие в A8.73) и в последующие
формулы, являются динамическими координатами, характеризующими
поле излучения, но не «положение фотона в момент t». Теория излучения
низкой частоты представляет собой, следовательно, теорию флуктуации
поля, которая естественно переходит в теорию статистического поля,
когда частота (а следовательно, и энергия фотона) стремится к нулю *).
Таким образом, естественной предельной теорией вещества есть теория
частиц, а предельной теорией излучения — волновая теория.
Литература
18.1. Heisenberg, The Physical Principles of the Quantum Theory, University
of Chicago Press.
18.2. De Broglie, Wave Mechanics, Methuen.
18.3. Pauling, Wilson, Introduction to Quantum.
18.4. Гайтлер В., Квантовая теория излучения, ИЛ., М., 1956.
18.5. Born, Atomic Physics, Blackie.
Дополнительная литература
18.6. Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики, Изд-во «Высшая школа >
М., 1961.
18.7. Соколов А. А., Лоскутов Ю. М., Тернов И. М., Квантовая меха-
механика, Учпедгиз, М., 1962.
*) Можно показать [18.4], что в случае симметричных волновых функции теория
легко переходит в теорию поля при v —>■ 0. В случае же антисимметричных ф\ нкпий.
невозможно осуществить переход к теории поля сколько-нибудь наглядным образом.
ГЛАВА 19
ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
Поглощение и испускание излучения
19.1. В гл. 18 было выведено выражение для интенсивности света,
испускаемого возбужденными атомами; при этом предполагалось, что
возбужденный атом эквивалентен колеблющемуся диполю с моментом,
определяемым формулой A8.57). Эти вычисления непосредственно дают
коэффициент Эйнштейна Апт, а при помощи A7.45) можно найти Впт
(для индуцированного испускания) и Втп (для поглощения). Теперь
перейдем к изложению теории процессов излучения и поглощения.
Углубленная теория обмена энергией между излучением и веществом
была развита Дираком. Он применил основные принципы квантовой
механики к системе, состоящей из атома и поля электромагнитного излу-
излучения. Энергия такой системы состоит из следующих трех частей: а) энер-
энергии $gv, которой обладал бы атом в отсутствие излучения; б) энергии
излучения S£r и в) энергии их взаимодействия Звг* В принципе можно
было бы вычислить собственные значения и вероятности переходов,
решив соответствующее волновое уравнение. Фактически, однако, это
уравнение оказывается слишком сложным и не может быть решено точно.
Поэтому необходимо прибегнуть к приближенным методам, воспользо-
воспользовавшись малостью S6% по сравнению с (S&p+cfflr)* Даже в этом случае
математические выкладки очень сложны. Ниже мы изложим общую схему
расчетов и приведем полученные результаты.
19.2. Рассмотрим систему из атомов и излучения, помещенную
в ящик, и временно пренебрежем энергией их взаимодействия. Тогда
волновое уравнение Шрёдингера A8.42) запишется в виде
Здесь слева стоит сумма всех членов соответствующего уравнения для
атомов и всех членов волнового уравнения поля излучения. Пусть волно-
волновые функции атомов получены при помощи обычных (приближенных)
методов. Волновые функции для излучения рассматривались в § 18.20
и далее и было показано, что они аналогичны соответствующим функциям
системы гармонических осцилляторов. Если размеры полости, в которой
находится излучение, весьма велики по сравнению с длинами волн, харак-
характерными для данной задачи, то соседние частоты осцилляторов столь
близки, что фактически мы имеем дело с непрерывным спектром. С каждым
«осциллятором», т. е. с каждой квантованной волной, связана энергия
nhv (n — целое число). В § 18.30 было показано, что волновая функция
системы, состоящей из двух невзаимодействующих частей, равна произ-
произведению волновых функций первой и второй систем. Следовательно, реше-
решение уравнения A9.1) можно получить, комбинируя решение, полученное
только для атомов с решением, найденным только для поля излучения.
ПРАВИЛА ОТБОРА 561
19.3. Примем теперь во внимание энергию взаимодействия, рассматри-
рассматривая ее как малое «возмущение». При этом оказывается, что система
из атомов и излучения испытывает переходы, в которых атом переходит
с одного стационарного уровня на другой, и, вместе с тем, соответствую-
соответствующая квантованная волна меняет свою энергию на один квант, так что
энергия системы в целом сохраняется (в пределах точности измерения).
Существенно отличную от нуля вероятность перехода имеют лишь такие
процессы, которые удовлетворяют последнему условию. Теория показы-
показывает также, что вероятность поглощения излучения, приводящего к пере-
переходу из состояния т в состояние гс, пропорциональна UmnU^ где
ndx. A9.2)
Вычисление энергии взаимодействия электронов в атоме с высокочастот-
высокочастотным электромагнитным полем весьма сложно. Нетрудно, однако, пока-
показать, что в первом приближении можно воспользоваться выражением, дава-
даваемым элементарной электростатикой, а именно:
<Й?, = Я2еЛ. A9.3)
о
где ej — заряд, а г/ — смещение j-й частицы. Таким образом, S6% про-
пропорционально дипольному моменту системы. Поскольку, согласно A9.2)
и A9.3), UmnUmn пропорционально JS2, теория предсказывает, что вероят-
вероятность перехода пропорциональна плотности энергии излучения. Тот факт,
что энергия взаимодействия пропорциональна дипольному моменту,
означает, что UmnUmn пропорционально МтпМтп (см. § 18.17). Для
нахождения коэффициента пропорциональности необходимо проинте-
проинтегрировать вероятность перехода по всем возможным ориентациям
атома относительно электрического вектора поля излучения. Необходимо,
кроме того, выполнить интегрирование по области энергий, соответ-
соответствующей конечной ширине линии поглощения. Если все это проделать,
то окажется, что теория Дирака дает выражение для вероятности пере-
перехода, эквивалентное A8.61).
На первый взгляд может показаться, что новая теория дает лишь
некий обходный путь для получения результата, который непосредствен-
непосредственно выводится методами, изложенными выше в § 18.17. Не следует, одна-
однако, забывать, что там мы исходили из допущений, основанных на анало-
аналогии с классической теорией дипольного осциллятора Герца. Такую ана-
аналогию необходимо было привлечь для того, чтобы обеспечить возможность
применения квантовой механики — в том виде, в котором она тогда суще-
существовала,— к полю излучения. Дираковская же теория поглощения излу-
излучений представляет собой единую квантовую теорию как вещества, так
и излучения. Пользуясь теорией Дирака, можно независимо вычислить
коэффициенты Эйнштейна и показать, что соотношения A7.45) действи-
действительно выполняются. Можно также получить еще ряд важных результа-
результатов, распространив методы Дирака на задачи рэлеевского рассеяния
теорию дисперсии и т. п.
Правила отбора
19.4. Достаточно точное экспериментальное определение относитель-
относительных интенсивностеи линий в спектрах связано с серьезными техническими
трудностями, особенно при больших различиях в длинах волн. В этом
случае уже нельзя считать, что чувствительность селективного приемника,
36 р Дитчберн
562 ГЛ. 19 ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КВАНТОВОН ТЕОРИИ
такого как глаз, фотоэлемент или фотографическая пластинка, одина-
одинакова для двух линий. Вплоть до последнего времени слабо селектив-
селективные приемники, такие как термопара, обладали очень низкой чувстви
тельностью. Поэтому в годы зарождения квантовой теории было выпол-
выполнено очень небольшое число абсолютных измерений вероятностей пере-
переходов, а относительные измерения проводились главным образом на ком-
компонентах мультиплетов с небольшим расщеплением. Тем не менее, было
хорошо известно, что определенные переходы происходят с большой
вероятностью порядка 108 в 1 сек, тогда как другие переходы либо вообще
не происходят, либо имеют незначительную вероятность (например,
порядка 102 в 1 сек).
Постепенно спектроскописты провели классификацию термов. На пер-
первых порах она носила чисто эмпирический характер, наподобие ранней
ботанической классификации. С развитием теории в классификацию
были введены квантовые числа состояний. Переходы были подразде-
подразделены на «разрешенные» и «запрещенные». Были найдены п равила отбо-
отбора, позволяющие предсказать, будет ли велика вероятность данного
перехода.
Уже на ранней стадии развития квантовой теории оказалось возмож-
возможным получить некоторые из этих правил, показав, что для определенного
типа переходов матрица Umn обращается в нуль. Например, одно из важ-
важных эмпирических правил гласит, что квантовое число / может изменяться
лишь на 0 или ± 1. Теория показывает, что вероятность всех переходов,
не подчиняющихся этому правилу, обращается в первом порядке
в нуль. Она показывает также, что для разрешенных переходов момент
количества движения атома меняется на величину 0 или ± hl2n.
Оказалось также, что на ту же величину может меняться момент
• количества движения поля, и эмпирическое «правило отбора А/» слу-
служит просто выражением закона сохранения момента количества движе-
движения полной системы. Другие правила отбора можно объяснить условия-
условиями симметрии.
Запрещенные линии
19.5. По мере накопления данных спектроскопических наблюдений
выяснилось, что ряд линий, теоретически запрещенных (т. е. таких, для
которых Umn = 0), в действительности наблюдается. Обычно в лаборатор-
лабораторных условиях эти линии довольно слабы. Большая часть их появляется
только в спектре испускания, но некоторые (например, линия ртути
X = 2270 А) наблюдаются и в спектре поглощения при низких давле-
давлениях. Многие линии, наблюдение которых в лаборатории связано с очень
большими трудностями, оказываются весьма яркими в спектрах туман-
туманностей или верхней атмосферы. Зеленая линия в спектре северного сия-
сияния (X = 5577 А) была отождествлена как запрещенная линия кисло-
кислорода *). Появление таких линий в спектрах северного сияния или туман-
туманностей объясняли следующим образом.
Пусть все излучательные переходы вниз с данного уровня имеют
очень малую вероятность. Тогда «радиационное время жизни» соответ-
соответствующего состояния должно быть очень велико. Если атом перешел
на данный уровень в результате столкновения с другим атомом или эле-
*) См., например, Л. Адлер, Астрофизика, ИЛ, М , 1956. (Прим. ред.)
МУЛЬТИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 563
ктроном, или при излучательном переходе с более высокого уровня
и если он затем не подвергается никаким возмущениям, то он останется
в этом состоянии сравнительно долго A0~2 сек или дольше). Такие состоя-
состояния называют метастабильными. В обычных газоразрядных трубках
атомы в метастабильном состоянии теряют свою энергию при столкнове-
столкновениях с другими атомами или со стенками трубки. В туманностях и в верх-
верхних слоях атмосферы давление Ачень мало и среднее время между столкно-
столкновениями очень велико. Поэтому атом успеет высветиться даже в случае
очень малой вероятности излучательного перехода. При столкновениях
с атомами благородных газов безызлучательные переходы маловероятны.
Путем соответствующей обработки стенок разрядной трубки можно сильно
уменьшить вероятность высвечивания на стенках. Таким образом, оказы-
оказывается возможным создание в лаборатории условий для наблюдения за-
запрещенных линий с метастабильных уровней.
Теория запрещенных линий
19.6. Теперь уже зарегистрировано много сот «запрещенных» линий.
Поэтому важно выяснить, каким образом их появление можно обосновать
в рамках существующей теории. Оказалось, что эти линии можно подраз-
подразделить на два важных класса. К первому относятся линии, испускание
которых обусловлено какими-либо вторичными эффектами, возмущающими
атом таким образом, что соответствующий дипольный момент (Мтп)
не точно равен нулю. Например, внешнее электрическое поле может быть
причиной испускания линий, которые в отсутствие поля имели бы вероят-
вероятность перехода, равную нулю. Взаимодействие с электрическим полем
обеспечивает сохранение момента количества движения даже для пере-
переходов с А/ не равным 0 или ± 1. Аналогично, внутренние взаимодействия
между орбитальным магнитным моментом электронов и их собственным
магнитным моментом обусловливают испускание или поглощение некото-
некоторых линий, а взаимодействие магнитных моментов ядра и электронных
орбит — испускание и поглощение других линий. В определенных усло-
условиях образование весьма слабо связанных (и короткоживущих) молекул
может вызвать испускание или поглощение атомных линий, которые
в обычных условиях являются запрещенными. Во всех этих случаях
расчеты вероятностей переходов, выполненные с учетом указанных вто-
вторичных эффектов, показывают, что Umn не равно нулю. Испущенное
излучение остается обычным электрическим дипольным излучением,
соответствующим переходу, вероятность которого равна нулю в первом
приближении, но оказывается отличной от нуля при учете вторичных
эффектов. Происхождение этих линий можно выяснить, изучая изменение
их интенсивности при изменении условий эксперимента. Например,
интенсивность линий, обусловленных внешним электрическим полем,
должна зависеть от напряженности поля; интенсивность линий, связан-
связанных с «промежуточными молекулами», должна зависеть от температуры,
так как концентрация таких молекул очень чувствительна к изменениям
температуры
Мультипольное излучение
19.7. Имеется целый ряд линий, присутствие которых в спектре
нельзя объяснить рассмотренными выше процессами. Для объяснения
их присутствия нужно прибегнуть к приближениям высшего порядка
в теории Дирака. В первом приближении предполагалось, что длина
36*
564 ГЛ. 19. ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
волны излучения намного превосходит размеры атома, и поэтому разность
фаз света, испущенного разными частями атома, пренебрежимо мала.
Другими словами время, необходимое свету для прохождения вдоль
атома, полагалось равным нулю. Аналогичное допущение делается обычно
в классической теории осциллятора Герца (см. приложение 13Б). Если
результирующее дипольное излучение в точности равно нулю, необходи-
необходимо перейти к следующим приближениям. Тогда следует рассматривать
члены более высокого порядка, содержащие (ех2J вместо (ехJ. Этот член
второго порядка был сначала назван «электрическим квадрупольным
излучением», но позднее стало ясно, что часть его следует отнести к так
называемому «магнитному дипольному излучению» *). Когда были рас-
рассчитаны высшие приближения, оказалось, что вероятности переходов
для типичного электрического квадрупольного излучения меньше, чем
вероятности типичного дипольного излучения в (а/Х)~2 раз, где а —
радиус атома, а Я — длина волны света. Так как % примерно равна
6000 А, а а — 2 А; отношение вероятностей порядка 10~7, что хорошо
согласуется с наблюдаемыми вероятностями 107—109 сек'1 для дипольного
и 0,1—102 сек'1 для квадрупольного излучений. Разумеется, может ока-
оказаться, что матричный элемент второго порядка также обращается в нуль,
т. е. что квадрупольное излучение также «запрещено». Это значит, что
квадрупольные переходы также имеют свои правила отбора. Эффект
Зеемана для квадрупольных и для дипольных линий различен. Подобными
способами, а также некоторыми другими удалось показать, что линию
5577 А в спектре северного сияния следует приписать электрическому
квадруполыюму излучению **).
Вероятности магнитных дипольных переходов для излучения в видимой области
спектра меньше вероятностей соответствующих электрических дипольных переходов
в 105 раз. Поэтому магнитное дипольное излучение должно быть сильнее электриче-
электрического квадрупольного. Было установлено, что во многих случаях матричные эле-
элементы, соответствующие магнитному дипольному излучению, обращаются в нуль,
и поэтому удается наблюдать лишь очень небольшое число линий такого типа. Неко-
Некоторые линии появляются в результате совместного магнитного дипольного и электри-
электрического квадрупольного излучений. В принципе должны существовать и члены еще
более высокого порядка (электрический октуполь и т. д.), но в выражении для вероят-
вероятностей переходов возникает при этом множитель (а/ЯL, равный по порядку величины
10~14. Поэтому такие переходы вряд ли можно будет обнаружить в оптической
области ***).
Взаимодействие излучения и вещества с участием
двух квантов в каждом элементарном процессе
19.8. Поглощение света имеет место, если падающее излучение удо-
удовлетворяет боровскому условию частот в пределах точности, допускаемой
принципом неопределенности. В каждом индивидуальном акте поглоще-
поглощения один квант энергии передается от поля излучения атому. Энергия
взаимодействия (Umn в случае дипольного излучения) встречается в выра-
выражении для вероятности перехода во второй степени. Следовательно, в это
выражение входит множитель е2 ****).
*) Это не вполне верно. Выражение для вероятности магнитного дипольного
перехода не содержит матричного элемента от х2, хотя имеет именно такой поря-
порядок величины. (Прим. перев.)
**) См. указанную выше книгу Л. Адлера. (Прим. ред.)
***) Дальнейшие сведения о запрещенных линиях и мультипольном излучении
можно найти в работе [19.1].
****) Та же степень е появляется в выражении для вероятности квадрупольного
перехода.
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ 565
Рассмотрим теперь, какие процессы могут происходить при взаимо-
взаимодействии атома с излучением, частота которого относительно далека от ча-
частоты линии поглощения. Из опыта мы знаем, что свет может рассеиваться
как без изменения длины волны (рэлеевское рассеяние), так и с ее изме-
изменением (комбинационное рассеяние света, см. § 19.21). Кроме того, при-
присутствие атомов приводит к эффективному изменению фазовой скорости
света, причем эта скорость зависит от частоты света, т. е. имеет место
дисперсия. В § 15.45 мы показали, что изменение скорости тесно связано
с рассеянием света.
19.9. Дираковская теория взаимодействия излучения с веществом
следующим образом объясняет рассеяния света. Когда частота излучения
далека от частоты линии поглощения, квант энергии может все же пере-
передаваться от поля излучения атому, который переходит в новое стационар-
стационарное состояние, называемое промежуточным. Вслед за этим атом из про-
промежуточного состояния возвращается в исходное, вновь испуская излуче-
излучение той же длины волны, что и падающее, но не только в том же направле-
направлении (в простейшем случае падающая волна — плоская, а испущенная —
сферическая). Этот фундаментальный процесс лежит в основе как рэлеев-
ского рассеяния, так и дисперсии. При некоторых условиях атом может
из промежуточного состояния перейти в конечное, которое отлично от ис-
исходного состояния. Испущенный свет будет тогда отличаться от падаю-
падающего как по частоте, так и по направлению, что и наблюдается при комби-
комбинационном рассеянии *). Во всех этих процессах полная энергия и импульс
в конечном состоянии те же, что и в начальном.
19.10. Вероятность процессов описанного здесь типа пропорциональ-
пропорциональна произведению вероятностей переходов из начального состояния в про-
промежуточное и из промежуточного в конечное. Поэтому вероятность
процессов рассеяния всегда пропорциональна е4. В вероятность комбина-
комбинационного рассеяния входит квадрат произведения двух энергий взаимо-
взаимодействия. В рэлеевском рассеянии одна и та же энергия взаимодей-
взаимодействия входит дважды, т. е. в результате также получается четвертая
степень *♦). В области чрезвычайно коротких длин волн (у-лучи) можно
наблюдать процессы с участием трех квантов, но в оптической области
они не играют роли.
Квантовая теория дисперсии
19.11. Формула A5.97) дает связь между показателем преломления
и рэлеевским рассеянием света, причем способ вывода этой формулы
является типичным для квантовой механики. Если вычислена вероятность
двухквантового перехода, в котором один из осцилляторов (соответствую-
(соответствующий данному направлению) теряет квант энергии, а другой (соответствую-
(соответствующий той же частоте, но другому направлению) поглощает квант, то, пре-
пренебрегая эффектом затухания, нетрудно получить следующую диспер-
дисперсионную формулу:
*) Аналогичное изменение длины волны наблюдается и при рассеянип рент-
рентгеновских лучей на «свободных» электронах (эффект Комптона). Этот процесс также
является двухквантовым.
**) В окончательной формуле для дисперсии она появляется лишь во второй
степени, но надо учитывать, что коэффициент рассеяния пропорционален (п — IJ
(см. формулу A5.97)).
566
ГЛ 19 ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
Здесь (о — круговая частота падающего света, a cos — собственная часто-
частота атома. Это уравнение совпадает с уравнением A5 63), полученным
на основе классической электромагнитной теории. В обоих случаях
формула справедлива лишь для значений о, не слишком близких к os.
Хотя формулы в обеих теориях одинаковы, их интерпретации существенно
различны. Как отметил впервые Крамере, в классической теории значе-
значения cos соответствуют частотам линий поглощения. В квантовой теории
значения (д8 пропорциональны разностям энергий для возможных пере-
переходов. Если атом находится в воз-
возбужденном состоянии, то необхо-
Истпошк > ^A\ffi\v димо принимать во внимание воз-
с°еш Г\\\Л\\К можность переходов на низшие
уровни. Члены, соответствующие
этим переходам, отрицательны,
так что соотношение A9.4а) при-
приобретает вид
и —1 =
fa
0J-0J
Спектрограф
Рис 19 1 Остановка для исследования ди-
дисперсии газа, возбуждаемого электриче-
электрическим разрядом, при помощи интерферо-
интерферометра Жамена (ср рис 9 13)
где /а, ша соответствуют пере-
переходам на высшие уровни, а /е,
сое — переходам на низшие. Сог-
Согласно квантовой теории, сюда сле-
следует добавить член, учитывающий
переход в состояния, которые соот-
соответствуют непрерывному спектру,
т. е. ионизацию атома. Этот член,
так же как и другой дополнитель-
дополнительный член, вносит лишь весьма не-
незначительный вклад в оптическую
дисперсию. При комнатной темпе-
температуре почти все атомы обычно находятся в нормальном состоянии и,
следовательно, квантовомеханическая формула оказывается идентичной
классической. |Ладенбург с сотрудниками [19.4] измерили дисперсию
газа, атомы [которого возбуждались газовым разрядом, и показали, что
при больших плотностях тока отрицательные члены в дисперсионной
формуле начинают играть заметную роль. Схема их опыта приведена на
рис. 19.1.
Наблюденные и вычисленные значения /
19.12. Квантовая теория дисперсии позволяет вычислить величины /.
Она дает, кроме того, соотношение между величиной /s и соответствующим
коэффициентом затухания (ys в соотношении A5.53)). Как отмечалось
выше, абсолютные измерения / долгое время наталкивались на значи-
значительные трудности, а расчеты методом последовательных приближений
требовали очень больших затрат времени. За последние 20 лет методы
измерения величин / были улучшены и были предложены новые. Исполь-
Использование вычислительных машин позволило сильно сократить трудоем-
трудоемкость выкладок, и было вычислено значительное число величин /. Таким
ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА 567
образом, оказалось возможным сопоставить теоретические данные с экс-
экспериментальными и оказалось, что они хорошо согласуются друг с дру-
другом (см. табл. 18.1). Теория дает также некоторые общие правила для
сумм /-величин для определенных групп линий. Согласно простейшему
правилу сумма /-величин для всех переходов с данного уровня (включая
переходы, приводящие к фотоионизации атома *)) равна единице. Это пра-
правило прекрасно выполняется для переходов валентного электрона в ато-
атомах натрия и лития **).
Резонансное излучение
19.13. В § 17.4 мы установили, что атомы газа (например, паров ртути) могут
поглощать излучение, совершая при этом переход в возбужденное состояние. Воз-
Возбужденный атом может затем вновь испустить излучение, вернувшись в нормальное
состояние. Такое излучение называется резонансным. В квантовой теории это явление
рассматривается как два независимых процесса — поглощение и переизлучение.
Вероятности переходов для обоих процессов вычисляют независимо. Излучение,
поглощенное из параллельного пучка, вновь испускается во всех направлениях,
но мы все же не говорим об этом процессе как о рэлеевском рассеянии. Существенное
отличие состоит в том, что испущенное излучение некогерентно падающему и не может
складываться с падающей волной так, как это описывалось в § 15.45. Может пока-
показаться, что мы используем одну теорию для получения дисперсионной формулы (пере-
(переход в два этапа через промежуточный —«виртуальный»—уровень) и другую — для рас-
рассмотрения «резонанса» (два независимых процесса — поглощение и последующее излу-
излучение). В действительности здесь нет какой-либо несогласованности. В теории дис-
дисперсии нас интересует изменение показателя преломления п с частотой. Мы считаем
при этом, что частота задана точно, т. е. что облучение производится строго монохро-
монохроматическим светом. Для того чтобы измерить зависимость п от оэ вблизи линии погло-
поглощения (т. е. чтобы получить кривую, подобную изображенной на рис. 15.5), мы должны
использовать излучение, сосредоточенное в частотном интервале, который значительно
уже линии поглощения. Это означает непрерывное воздействие чисто синусоидальной
волной с постоянной амплитудой в течение периода времени, большого по сравнению
с естественным временем жизни возбужденного состояния. Тогда двухэтапный про-
процесс имеет место даже в линии поглощения и рассеянное излучение когерентно падаю-
падающей волне. Когда газ облучается светом с более широким распределением частот,
чем в линии поглощения, основным эффектом будет вышеописанный двойной процесс
{резонансное излучение). Вторичное излучение некогерентно с возбуждающим. Иссле-
Исследование процессов в центре линии поглощения и на ее краях представляет весьма
интересную задачу. При расчете поглощения, рассеяния и т. п. внутри или вблизи
линии поглощения уже нельзя пользоваться приближенными формулами, подобны-
подобными A9.4) ***).
Эффект Зеемана
19.14. Уже давно известно, что при помещении источника света
в магнитное поле каждая спектральная линия расщепляется на несколько
компонент. При напряженности поля порядка 20 000 э это расщепление
примерно равно 1 А. Испущенный свет обычно поляризован, причем
его поляризация зависит от соотношения между направлением наблюде-
наблюдения и направлением поля. Аналогичные эффекты наблюдаются в спек-
спектре поглощения и при дисперсии вблизи линии поглощения. Первая
теория этого эффекта была основана на классической электродинамике
и электронной теории Лорентца. Было показано, что электроны стремятся
*) А также переходы на занятые уровни. (Прим. перев.)
**) См., однако, [19.3]. Было предложено несколько объяснении нарушения
этого правила сумм. (Прим. перев.)
4 ***) Подробнее о резонансном излучении см., например, а. Митчелл и
М. 3 е м а н с к и й, Резонансное излучение и возбужденные атомы. ОНТИ, М.— Л.,
1937. (Прим. ред.)
568
ГЛ 19. ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
вращаться вокруг силовых линий магнитного поля (действующие на элек-
электрон силы были описаны в § 13.8). Если в отсутствие поля электрон
совершал простое гармоническое прямолинейное движение, то в магнит-
магнитном поле его орбита будет иметь вид розетки (рис. 19.2). В этом случае
появляются две частоты — исходная частота и частота вращения. Класси-
Классическая теория предсказывает испускание трех линий: линии с исходной
частотой, линии с частотой, равной сумме этих двух частот, и линии
Рис. 19.2.
с частотой, равной их разности. В слабых полях эффекты, предсказывае-
предсказываемые классической теорией, наблюдаются лишь в очень немногих спек-
спектрах. Однако при очень сильных полях во всех спектрах имеет место
простое расположение компонент. Это — так называемый эффект Паше-
на — Бака.
19.15. В квантовой теории задача об атоме в магнитном поле решается
по-иному. В волновое уравнение следует ввести новые члены, чтобы
учесть энергию взаимодействия атома с полем. Как правило, эти члены
достаточно малы и описываемые ими эффекты можно рассматривать как
возмущения. Показано, что при учете возмущения увеличивается число
собственных значений волнового уравнения, т. е. появляется большее
число стационарных состояний п, следовательно, большее число спек-
спектральных термов.
В первоначальной квантовой теории считалось, что состояния*
наблюдаемые в отсутствие поля, «вырождены», а в поле они рас-
расщепляются на ряд «невырожденных» состояний. В настоящей книге мы
полагаем, что состояния не кратны (т. е. полностью определяются
ЭФФЕКТ ШТАРКА 569
набором квантовых чисел). В отсутствие поля несколько состояний могут
иметь одну и ту же энергию, а в поле их энергии оказываются различны.
Полное же число состояний остается одинаковым как в отсутствие поля,,
так и при его наличии.
Векторная модель
19.16. В магнитном поле свет испускается в результате переходов
между стационарными состояниями возмущенного атома. Теория позво-
позволяет правильно предсказать число компонент расщепленной спектральной
линии, их относительные интенсивности, состояние поляризации, а также
зависимость эффекта от напряженности магнитного поля *). Этот раздел
квантовой механики является частью теории атома и выходит за рамки
настоящей книги. Укажем лишь на один важный результат. Было пока-
показано, что во многих случаях (хотя и не всегда) атом ведет себя подобно
магнитному волчку, т. е. так, как если бы он обладал и магнитным момен-
моментом и механическим моментом количества движения. Вектор магнитного
момента, вообще говоря, может быть не параллелен вектору механиче-
механического момента количества движения. Величину последнего можно вычис-
вычислить, пользуясь правилами векторного сложения для: а) орбитального
момента, связанного с движением электрона вокруг ядра атома (если
пользоваться языком классической теории); б) собственного момента элек-
электрона (электронный спин); в) собственного момента ядра (ядерный спин).
Магнитный момент атома в целом получается аналогично в виде
векторной суммы: а) магнитного момента, связанного с орбитальным
движением; б) собственного магнитного момента электрона и в) собствен-
собственного магнитного момента ядра.
В первые годы после появления квантовой теории волновые числа
спектральных термов определялись без учета спина электрона, в связи
с чем теория часто оказывалась в непонятном противоречии с эксперимен-
экспериментом. Спин был введен сначала как специальная гипотеза для объяснения
экспериментальных фактов. В дальнейшем Дирак показал, что наличие
спина электрона вытекает из релятивистского волнового уравнения.
Было показано, что в очень слабых полях волчок прецессирует вокруг силовых
линий поля, но относительная ориентация трех векторов магнитных моментов (а), (б)г
(в) остается неизменной. В очень сильных полях внутренняя связь векторов разру-
разрушается и каждый электрон прецессирует независимо, что приближенно соответствует
классическим условиям. Промежуточный случай, конечно, очень сложен. Связь
между механическим моментом количества движения и магнитным моментом атома
можно исследовать непосредственно в экспериментах типа опытов Штерна — Герлаха.
Пучок атомов пропускают через сильное неоднородное магнитное поле. Согласна
квантовой механике, магнитные моменты атомов должны ориентироваться вдоль
одного из немногих возможных направлений относительно магнитного поля. Из наблю-
наблюдаемого отклонения атомного пучка можно установить связь магнитного момента
с механическим моментом количества движения. Хотя сведения, получаемые в таких
опытах, не особенно полны, возможность прямого установления этой связи предста-
представляется весьма важной.
Эффект Штарка
19.17. Известно, что при помещении источника света в сильное элек-
электрическое поле спектральные линии уширяются и расщепляются (эффект
Штарка). Согласно классической теории постоянное электрическое поле
не влияет на собственную частоту дипольного осциллятора. В квантовой:
*) Для полей средней напряженности расчеты иногда оказываются очень трл д-
ными, и могут быть получены лишь приближенные результаты.
570 ГЛ 19 ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
теории энергия взаимодействия рассматривается как возмущение, а часто-
частота, интенсивность, поляризация и т. п. вычисляются так же, как это
делалось в случае эффекта Зеемана. Теория правильно предсказывает,
что в умеренно сильных полях расщепление обычно пропорционально
квадрату напряженности поля. Вычисления, однако, оказываются более
сложными, чем для эффекта Зеемана, а результаты не столь полезны
в расшифровке спектров. Вместе с тем, экспериментальные методы полу-
получения и измерения сильных электрических полей, действующих на источ-
источник света, связаны с большими техническими трудностями *). По этим
причинам изучению эффекта Штарка посвящено значительно меньше
работ, чем изучению эффекта Зеемана. Тем не менее, имеющийся мате-
материал может служить дополнительной проверкой теории испускания
и поглощения света.
Поляризация резонансного излучения
19.18* Было показано, что резонансное излучение частично поляри-
поляризовано. Характер поляризации зависит от поляризации падающего света
и от направления наблюдения. В присутствии магнитного поля поляриза-
поляризация зависит также от напряженности поля и его направления. Если все
Л 537 А
Рис 19 3
указанные факторы известны, можно найти поляризацию. Соответствую-
Соответствующие расчеты очень сложны. В предварительных расчетах эффекта Зеемана
можно пренебречь ядерным спином. Первые вычисления поляризации
резонансного излучения также проводились без учета ядерного момента
(который в то время был еще плохо изучен), и полученные результаты
не дали удовлетворительного согласия с экспериментом. Современная
теория хорошо согласуется с опытом.
Рассмотрим теперь один эффект, который позволяет определить время
жизни возбужденного атома, т. е. получить данные, которые можно в даль-
дальнейшем сопоставить со значениями, полученными из измерений дисперсии
и поглощения света. Пусть пары ртути облучаются поляризованным
светом с длиной волны 2537 А, так что возбуждается резонансная линия
ртути. Перпендикулярно электрическому вектору световой волны и напра-
направлению облучения приложено магнитное поле (рис. 19.3). Излучаемый
свет оказывается при этом частично поляризованным, и в некоторой
плоскости степень его поляризации оказывается максимальной. При уве-
увеличении напряженности поля от нуля наблюдаются два эффекта. Во-пер-
Во-первых, плоскость максимальной поляризации вращается и, во-вторых,
*) В отличие от условий наблюдения явления Зеемана, когда источник света
помещается во внешнее магнитное поле, необходимые для наблюдения эффекта Штарка
электрические поля создаются в самом источнике света — обычно электрическом
разряде в газах — за счет объемного заряда в самой разрядной трубке (Прим ред )
ПОЛЯРИЗАЦИЯ РЕЗОНАНСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 571
•степень поляризации уменьшается. Теория дает следующее объяснение
этим эффектам.
В крайне слабом поле атомы ориентированы определенным образом
и прецессируют очень медленно; поэтому все они успевают испустить
«свет, прежде чем испытают поворот на заметный угол. В более сильных
полях большая часть атомов за время излучения успевает повернуться
на определенный угол. Этот угол характеризует плоскость максимальной
поляризации. Фактически, однако, промежуток времени между возбуж-
возбуждением и испусканием (а следовательно, и угол поворота) различен для
разных атомов. Плоскость максимальной поляризации определяется
средним углом, а разброс в углах приводит к частичной деполяризации.
Такое описание явления подтверждается опытами Ферми и Разетти.
которые использовали быстро меняющееся магнитцое поле. Они показали,
что, когда частота поля значительно больше частоты прецессии атомов
(так что ориентация атомных осцилляторов лишь осциллирует в пределах
малых углов), поляризация излучения становится такой же, как
и в отсутствие поля.
19.19. Соотношение между временем жизни возбужденного атома и величинами,
которые можно найти экспериментально, выводится следующим образом.
Свет, испускаемый в момент t, идет от атомов, которые были возбуждены в раз-
различные предыдущие моменты времени. Рассмотрим, в частности, группу из iV0 атомов,
возбужденных в момент t = 0. Пусть х — среднее время жизни возбужденного атома,
а Апт (равное 1/т) — вероятность перехода (см. формулу A8.62а)). Число атомов,
которые еще остаются возбужденными в момент t, равно
nmt). A9.5)
Энергия, испущенная за промежуток времени между t и t + dt, есть
dL=hvAnmN dt = hvAnmN0 exp (- Anmt) dt. A9.6)
Пусть g&n — угловая скорость прецессии магнитного «волчка», где g — отношение
полного магнитного момента к полному механическому моменту. Тогда за время
между возбуждением и испусканием каждый атом указанной группы повернется
на угол
A9.7)
Рассмотрим свет, испущенный в направлении оси Z, и предположим, что в отсутствие
поля электрический вектор направлен вдоль оси ОХ *). Тогда при наличии поля
энергия света с электрическим вектором, параллельным ОХ, будет равна
dLx=hvN0 exv( — Anmt) cos2 ф dt = B cos2 cp dt. A9.8)
«Составляющая с электрическим вектором, расположенным под углом G к ОХ, запи-
запишется в виде
A9.9а)
а составляющая, для которой электрический вектор перпендикулярен этому напра-
направлению, в виде
dLs = B sin2 @ — ф) dt. A9.96)
Подставляя ф из A9.7) и В из A9.8) и интегрируя, получим
feii^ A9 1«»)
где Pq — степень поляризации для направления 0 и 1/а = £й)#т. Это выражение
имеет максимум при
A9.11)
*) Для линии ртути 2537 А при Н = 0 электрический вектор резонансного
излучения имеет почти то же направление, что и электрический вектор падающего
света.
572 ГЛ. 19 ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
и если излучение полностью поляризовано в отсутствие поля, то максимальное значе-
значение равно следующей величине:
Когда II и 0 малы, угол максимальной поляризации равен gco#T, т. е. равен углуу
на который поворачивается атом в течение среднего времени его жизни в возбужден-
возбужденном состоянии. Если Н велико, Рт стремится к нулю. Тогда максимальная часть ато-
атомов повернется на угол, значительно больший 2л, прежде чем будет испущена замет-
заметная доля излучения. Величину т можно определить при помощи A9.11) и A9.12) по*
измеренным значениям 9 и Рт.
Влияние примесей постороннего газа на резонансное излучение
19.20. Выше мы уже видели (см. § 17.15), что резонансное излучение
может «гаситься» из-за присутствия постороннего газа. Этот эффект
объясняется столкновениями второго рода. Если бы каждое столкнове-
столкновение (в пределах атомного радиуса, найденного методами кинетической
теории, по измерениям вязкости и т. п.) было ударом второго рода, то из экс-
экспериментов с гашением резонансного излучения можно было бы найти
значение т. Если г — отношение энергии резонансного излучения, испу-
испущенной в присутствии постороннего газа (при таком давлении, что время
между столкновениями равно Г), к энергии, испущенной в отсутствие
этого газа, то следует ожидать, что будет справедливо соотношение
г = е-Тк. A9.13)
Следовательно, зная г и Г, мы можем определить т. Значения т, получен-
полученные таким методом, оказываются существенно разными. Это означает,
что не каждое газокинетическое столкновение является столкновением
второго рода и, следовательно, определять т таким путем нельзя. Наобо-
Наоборот, можно считать т известным из других измерений (см. § 17.41) и вос-
воспользоваться формулой A9.13) для определения частоты столкновений
второго рода. Оказалось, что для возбужденных атомов ртути в присут-
присутствии кислорода число ударов второго рода превосходит полное число
столкновений, даваемое кинетической теорией. Мы, следовательно, долж-
должны допустить, что для столкновений второго рода с атомами кислорода
эффективный радиус возбужденных атомов ртути больше газокинетиче-
газокинетического радиуса нормального атома. Вместе с тем, столкновения второго
рода между атомами ртути и гелия очень редки (их число, во всяком
случае, меньше 1% газокинетических столкновений). Взаимодействие
возбужденного атома с атомом или молекулой постороннего газа исследо-
исследовали теоретически методами квантовой механики. Оказалось, что вероят-
вероятность передачи энергии возбуждения от одного атома к другому велика
только в том случае, когда энергии возбуждения обоих атомов почти оди-
одинаковы. Это согласуется с экспериментальными данными. Энергия воз-
возбуждения ртути (X = 2537 Л) равна 4,9 эв, кислород имеет уровень
с энергией возбуждения 4,86 эв, а ближайший от основного уровень
гелия отстоит от него на 19,75 эв.
Комбинационное рассеяние света
19.21. В 1923 г. Смекаль высказал предположение, что в процессе
рассеяния света может происходить перераспределение энергии между
веществом и излучением. Атом (или молекула) может перейти из состоя-
состояния п в состояние Z, а энергия кванта увеличится или уменьшится на вели-
КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ СВЕТА 573
чину hvni в соответствии с законом сохранения энергии. В 1928 г. такое
рассеяние света (так называемое комбинационное рассеяние) в жидкостях
было обнаружено Раманом *). Излучение с измененной частотой не было
замечено ранее, ввиду его крайне малой интенсивности и наличию одно-
одновременного рассеяния света без изменения длины волны (рэлеевское
рассеяние). Аппаратура для изучения комбинационного рассеяния света
показана на рис. 19.4. Типичные комбинационные спектры приведены
на рис. V, а, б, в, г. В ряде переходов разности частот оказываются доволь-
довольно большими, так что расстояние между комбинационной и рэлеевской
спектральными линиями дости-
достигает нескольких сот ангстрем. ^ ^
В других случаях эти расстоя- с 1^_ ^у ) '
ния составляют всего лишь не-
несколько ангстрем. Если экспо-
экспозиция достаточна для выявле-
выявления линий комбинационного
рассеяния, то для линий, обу-
обусловленных рэлеевским рассе-
рассеянием, она часто оказывается рис i$ 4. Аппаратура для наблюдения спек-
«слишком большой. Поэтому не- тра комбинационного рассеяния.
юбхОДИМО ИСПОЛЬЗОВаТЬ Спектро- Вверху — разрез ртутной лампы, освещающей
ж л ттЛЛ *,л л° „л л л„л° исследуемую жидкость; внизу — разрез содержа-
Граф С ДОСТаТОЧНОИ дисперсией щего ее сосуда. Сосуд заканчивается зачерненным
и rmpptp г* трм о бптттлттой prp- рогом. Справа расположен конденсор, фокусиру-
И, вместе С тем, С ООЛЬШОИ СВе ющий рассеянный свет на входную щеш? сиектро-
ТОСИЛОЙ. Желательно Также При- фотометра.
менять источник монохромати-
монохроматического или почти монохроматического света, чтобы избежать нало-
наложения на комбинационные компоненты других линий рэлеевского
рассеяния.
19.22. Если все атомы или молекулы находятся в нормальном состоя-
состоянии, то возможны только такие комбинационные переходы, при которых
рассеянный свет имеет меньшую частоту, чем падающий. Линии, возни-
возникающие при этих переходах, называют стоксовыми компонентами. Назва-
Название связано с тем, что они подчиняются общему закону флуоресценции,
впервые сформулированному Стоксом, согласно которому частота флуо-
флуоресцентного излучения не может превышать частоту падающего. Даже
при комнатной температуре часть молекул многих веществ (например,
воды) находится в возбужденных состояниях. Поэтому возможно появле-
появление комбинационных линий с большей, чем в падающем свете, частотой
{рис. V, г). Интенсивность этих «антистоксовых» компонент возрастает
с ростом температуры, так как все большее число молекул рассеивающего
вещества попадает на возбужденные уровни. Обмен энергией между излу-
излучением и веществом в процессе комбинационного рассеяния равен разности
энергий двух стационарных состояний рассеивающего атома или моле-
молекулы. Если возможны прямые переходы между этими состояниями, то соот-
соответствующие линии испускания или поглощения приходятся, как пра-
правило, на далекую инфракрасную часть спектра. Было показано, что в ряде
случаев можно наблюдать как линию инфракрасного спектра, так и линию
комбинационного рассеяния с соответствующей разностью частот. Вместе
с тем, известно большое число комбинационных линий, обязанных своим
происхождением таким переходам между энергетическими уровнями
*) В том же году и несколько раньше этот эффект был независимо открыт
Г. С. Ландсбергом и Л. И. Мандельштамом в кристаллах.
574 ГЛ 19 ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
молекулы, для которых прямые переходы с испусканием линии инфра-
инфракрасного спектра запрещены. Наблюдались также инфракрасные линии,,
соответствующие запрещенным комбинационным.
Применение квантовой механики позволяет удовлетворительным
образом объяснить все эти факты. Вероятность прямого перехода между
состояниями п и I зависит от энергии взаимодействия Uni (см. форму-
формулу A9.2)). Комбинационное рассеяние света относится к эффектам второго»
порядка, и его вероятность зависит от произведения UnmUmi, где т —
упоминавшийся выше «промежуточный уровень» (см. § 19.9). Таким
образом, процесс комбинационного рассеяния зависит от двух энергий:
взаимодействия Unm и Umn и ни одна из них не совпадает с величиной Uni,
входящей в вероятность прямого перехода. Следовательно, правила отбо-
отбора для комбинационного рассеяния совершенно иные, чем для соответ-
соответствующего прямого перехода. Первый процесс имеет место, если существу-
существует промежуточный уровень, который комбинирует как с уровнем гс, так
и с уровнем /, причем сами уровни п и I могут и не комбинировать друг
с другом *).
Комбинационное рассеяние света представляет большой теоретиче-
теоретический интерес, так как оно является важным подтверждением общей
теории взаимодействия излучения с веществом. Кроме того, этот эффект-
играет большую роль в исследовании структуры молекул, позволяя
определять энергетические уровни, которые не удается измерить другим
путем. Важные сведения дают также измерения относительных интен-
сивностей комбинационных линий.
Квантовая теория поляризованного света
19.23. Выше при обсуждении принципа Гюйгенса и теории дифракция
мы показали, что одно и то же волновое возмущение можно представить
в виде совокупности плоских волн (обычный метод Фурье) или в виде-
совокупности сферических волн (метод Гюйгенса и Кирхгофа). В кван-
квантовой теории электромагнитного поля мы разлагали его ъ ряд по плоским:
волнам, поляризованным в двух взаимно перпендикулярных направле-
направлениях. Этот метод приводит к квантованию энергии и импульса. Он пока-
показывает, что по отношению к обмену энергией и импульсом электромаг-
электромагнитная волна ведет себя подобно системе частиц с энергией hv и импуль-
импульсом hv/c. Если воспользоваться разложением по сферическим волнам,
то тот же метод приводит к квантованию момента количества движения
поля. Сферические волны обладают сферической симметрией относи-
относительно какой-либо точки. Амплитуда поля определяется выражением типа
РР(со8в)в'«|»ф, A9.14)
т. е. сферическими функциями (гармониками). Первая гармоника дает-
распределение, соответствующее диполю (см. приложение 13Б), две сле-
следующие гармоники входят в распределение квадрупольного излучения
и т. д. Мы уже видели, что квантовомеханическая задача о плоских волнах
в математическом отношении аналогична задаче о простом гармоническом
осцилляторе. Точно так же, применение квантовой механики к сфери-
сферическим волнам аналогично квантованию момента количества движения
в атоме водорода. Установлено, что составляющую момента количества
*) Должен существовать по крайней мере один такой уровень. Очень часто одна
и та же линия образуется за счет нескольких промежуточных состояний.
СУПЕРПОЗИЦИЯ СОСТОЯНИЙ 575
движения фотона вдоль оси z можно представить в виде
М, = т-±, A9.15)
а полный его момент дается выражением
& <19Л6>
где I и т — целые числа.
19.24. На опыте мы можем определить момент количества движения
параллельного пучка света, поляризованного по кругу, макроскопи-
макроскопически. Не столь прямым путем можно показать, что учет приведенного
выше момента количества движения сферической волны необходим для
удовлетворения закона сохранения момента количества движения при
испускании и поглощении света веществом. Все эти результаты приводят
к очень простой картине, в которой фотоны можно подразделить на два
типа — фотоны без спина представляют плоско-поляризованный свет,
а фотоны со спином (правовинтовым или левовинтовым) — свет, поляри-
поляризованный по кругу. Такая картина вполне адекватна проведенному выше
обсуждению ряда задач; однако ей не надо приписывать слишком глубо-
глубокое содержание и она просто обеспечивает удобный способ истолкования
ряда экспериментальных фактов. Представляется весьма полезным обсу-
обсудить и недостатки такой картины, так как это может послужить хорошей
отправной точкой для рассмотрения ряда важных аспектов квантово-
механической теории света.
Суперпозиция состояний
19.25. В гл. 12 мы видели, что поляризованную по кругу волну
можно представить в виде суммы двух плоско-поляризованных во взаимно
перпендикулярных направлениях волн с разностью фаз я/2. Точно
так же пучок плоско-поляризованного света можно рассматривать как
результат наложения двух пучков, поляризованных по кругу, или двух
плоско-поляризованных пучков с разными плоскостями поляризации.
Классическая волновая теория, учитывающая эту «эквивалентность»,
одинаково хорошо описывает все эксперименты по разложению плоско-
поляризованного света и света, поляризованного по кругу или по эллипсу
при помощи комбинации пластинок в четверть волны и призм Николя.
Следовательно, эквивалентность должна вытекать и из любой другой
удовлетворительной теории света. Она содержится и в теории поля излу-
излучения, изложенной в гл. 18. Согласно этой теории, электромагнитное
поле обладает всеми свойствами классических волн как в отношении их
разложения на компоненты поляризаторами, так и в отношении их
интерференции и дифракции. Сформулированное выше положение спра-
справедливо с учетом ограничений, налагаемых принципом неопределенности.
Квантование энергии и импульса не влияет на волновые свойства, если
не считать появления неустранимых ошибок эксперимента. Квантово-
механические правила ограничивают число возможных способов рас-
распределения энергии между различными простыми волнами, на которые
можно было бы разложить поле по чисто классическим правилам.
19.26. Хотя такое «разложение» волн не вызывает каких-либо труд-
трудностей в математической формулировке квантовой механики, оно пока-
показывает недостаточность предложенной выше упрощенной картины. Если
576 ГЛ. 19. ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
поляризованный по кругу свет «состоит» из частиц со спином, то его
нельзя рассматривать как смесь двух совокупностей частиц без спина.
Аналогично, если фотон, соответствующий плоско-поляризованному
свету, является частицей с некоторой осью, определяющей плоскость
его поляризации, его нельзя рассматривать как «результирующую» двух
частиц с различно направленными осями. Эти соображения, а также целый
ряд других показывают, что изложенная выше картина не вполне соот-
соответствует той ситуации, которая вытекает из математических формул.
В гл. 18 мы видели (см. § 18.15), что из нескольких решений волнового
уравнения можно построить новое решение в виде линейной их комбина-
комбинации, т. е.
.. + сп%, A9.17)
где коэффициенты си с2, . . . должны удовлетворять только условию нор-
нормировки новой функции. Мы можем описать это разложение следующим
образом.
Пусть наблюдение показывает, что система находится в состоянии т.
Это значит, что мы можем предсказать вероятные результаты определен-
лых экспериментов. Из соотношения A9.17) следует, что наше предсказа-
предсказание для^состояния т оказывается таким же, каким оно было бы, если бы
система с вероятностью с\ находилась в состоянии 1, с вероятностью с\
в состоянии 2 и т. д. Фактически состояние т означает сумму всех воз-
возможностей, представленных состояниями 1, 2, ... и взятых с соот-
соответствующими весами. В этом смысле состояние т является, как говорят,
суперпозицией состояний 1, 2, . . ., п.
Пусть, например, пучок света пропущен через николь А^ (рис. 19.5)
и поляризован в плоскости 0 = 0. Тогда мы можем сказать, что фотоны
в пучке представляют волны, поляризованные в плоскости 0 = 0. Если
затем пучок проходит через призму Рошона R, он может разделиться
на два пучка. Ставя на их путях два николя В± и В2, мы можем найти
плоскости поляризации каждого пучка. Пусть для одного из положений
призмы R эти плоскости определяются углами а и а + л/2. Тогда по пока-
показаниям термопар Т± и Т2 можно увидеть, что отношение чисел фотонов
в обоих пучках равно отношению cos2aKsin2a. Мы не можем, однако,
принять простую точку зрения, согласно которой одна часть фотонов
пучка, выходящего из А, была поляризована в направлении 0 = а,
а другая — в направлении 0 = a + л/2, и что призма Рошона просто
разделила эти группы. Подобное утверждение немедленно опровергается
опытом, показанным на рис. 19.6, в котором все фотоны проходят через
николь А2 с главной плоскостью, параллельной плоскости 0 = 0, при
условии, что этот николь поставлен перед призмой R. Все эти трудности
не возникли бы, если бы мы сказали, что в результате пропускания света
через николь Л4, создается определенное состояние. Это состояние таково,
что любой фотон имеет единичную вероятность пройти (т. е. наверное
яройдет) через расположенный непосредственно после первого николя
СУПЕРПОЗИЦИЯ СОСТОЯНИЙ 577
второй николь А2 с главной плоскостью, параллельной плоскости 6 = 0.
Такое состояние, которое мы назовем состоянием 0, представляется
определенной волновой функцией i|H. Если обозначить через tya волновую
функцию фотона, который с единичной вероятностью пропускается
никол ем с главной плоскостью, совпадающей с плоскостью 6 = а, то
можно написать
A9.18)
Таким образом, когда мы говорим, что фотон находится в состоянии 0,
мы подразумеваем, что он наверняка пропускается николем с осью 9 = 0
и имеет вероятность, равную cos2 a, пройти через николь, повернутый
на угол а. Иными словами, можно сказать, что он имеет вероятность cos2 a
Рис. 19 6.
оказаться в состоянии а, которое, по определению, есть состояние с еди-
единичной вероятностью прохождения через николь, ориентированный под
углом G = а.
19.27. Следующее рассмотрение показывает внутреннюю согласованность этого
метода. Тем же путем, каким была выведена формула A9.18), мы можем показать, что
A9.19)
/ A9 20)
откуда, нодставляя в A9.18), получим
\|?0 = (cos2 a + sin2 a) i|>0+(sm a cos a—sin a cos a) <фя/2='Фо+О'фя/2« № 21)
Таким образом, если частица имеет вероятность cos2 a оказаться в состоянии а и вероят-
вероятность sin2 a оказаться в состоянии a + я/2, то ее полная вероятность находиться
в состоянии 0 равна 1, а полная вероятность находиться в состоянии я/2 равна 0,
т. е. состояние 0 строится из соответствующим образом взвешенных состояний a
и a 4- л/2.
19.28. Суперпозицию состояний и соответствующую суперпозицию
волновых функций следует ясно отличать от суперпозиции волн, рассмот-
рассмотренной в гл. 2. В результате наложения двух одинаковых волн обра-
образуется волна с удвоенной амплитудой и учетверенной энергией в точках,
в которых волны в фазе, и с нулевой энергией в точках, в которых волны
в противофазе. При наложении же двух одинаковых квантов омеханиче-
ских состояний мы лишь дважды повторяем одно и то же. Мы можем
написать
Уо = ^% + -г%, A9.22)
но это — тривиальное соотношение, которое утверждает: «если система
достоверно находится в состоянии 0, она имеет вероятность 1 2 нахо-
находиться в состоянии 0 плюс вероятность 1/2 находиться в состоянии 0».
В таких случаях условие нормировки всегда обеспечивает формально
правильный ответ, даваемый теорией, но этот ответ не представляет
37 р Дитчберн
578 ГЛ. 19. ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
никакого интереса. Отсюда следует, что абсолютная амплитуда г|)-волны
не дает числа фотонов. Квантовомеханическое уравнение дает относи-
относительные вероятности определенных результатов экспериментов. Полная
энергия определяется числом квантов.
Корпускулярные и волновые свойства света
и постановка некоторых экспериментов
19.29. Рассмотрим постановку некоторых оптических экспериментов
и трактовку их результатов в волновой п квантовой теориях света. Раз-
Разберем два примера.
Прежде всего посмотрим, что произойдет с фотоном поляризованного
по правому кругу света в результате прохождения через полуволновую
пластинку. Мы знаем, что он превратится в фотон света, поляризованного
по левому кругу. Волновая теория может описать распространение соот-
соответствующей этому фотону волны в веществе с двойным лучепреломлением.
Если однако мы попытаемся представить фотон в виде частицы и мысленно
нарисовать картину ее изменения в процессе прохождения пластинки,
то окажется, что этот вопрос лишен смысла. Но квантовая теория света
может предсказать результат определенным образом поставленного
эксперимента. Так, если мы пропустим поляризованный по кругу свет
через пластинку в четверть волны и расположим за ней николь, то теория
предсказывает, что при определенной ориентации николя фотон пройдет
через него. Если николь ориентирован под углом а относительно первой
ориентации, то вероятность прохождения фотона станет равна cos2 a.
Иными словами, при выполнении N последовательных проб с одним
фотоном в каждой можно считать с хорошим приближением, что через
николь пройдет N cos2 а фотонов (при условии, что N очень велико *)).
Точно так же, если в одной пробе участвует большое число N фотонов,
то прошедшая через николь доля их равна N cos2 a IN = cos2 а. Таким
образом, теория предсказывает результат эксперимента с пластинкой
в четверть волны либо как достоверный результат, либо как некоторое
распределение результатов при пробах с большим числом фотонов. Ответ
на поставленный вопрос дается в той мере, в какой его можно свести
к серии экспериментальных проверок.
19.30. В качестве второго примера рассмотрим фотон, падающий
на полупрозрачное зеркало (Af4 на рис. 4.1) интерферометра Майкельсона.
Нас интересует, каким путем данный фотон проходит прибор и достигает
интерференционной картины, в формировании которой он участвует.
Если известно, что в падающем пучке содержится всего один фотон,
то, согласно соотношению неопределенности, записанному в форме A8.9),
мы ничего не можем сказать о фазе в падающем пучке. После того как
фотоны пройдут полупрозрачное зеркало, мы можем узнать относитель-
относительные фазы в двух пучках; как показывает расчет, последние могут интер-
интерферировать, образуя некоторую интерференционную картину. Один
фотон можно, разумеется, обнаружить лишь в одной точке; для получе-
получений всей картины мы должны воспользоваться большим числом фото-
фотонов — либо одновременно, либо один за другим последовательно. Тот
факт, что они могут давать интерференцию даже в тех случаях, когда
они поочередно поступают в интерферометр, подтверждается опытом
*) Теория позволяет также определить статистическую флуктуацию этого числа
при не очень большом JV.
ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ 579
Тейлора. Применив установку для фотографирования дифракционного
изображения, он уменьшал освещенность, вводя темные фильтры, до тех
пор пока дифракционная картина получилась лишь при очень больших
экспозициях (рис. 19.7). Вероятность одновременного прохождения через
Игла
Щель
Темный
фильтр
Фото-
Фотопластида
Рис 19 7 Схема опыта Тейлора, демонстрирующего
образование интерференционной картины последова-
последовательными квантами света.
прибор двух или большего числа фотонов оказывается в этих условиях
очень малой, но дифракционное изображение остается точно таким же,
как и при сильном световом потоке в приборе *).
История развития квантовой теории
19.31. Как уже отмечалось в начале гл. 17, принятая нами последо-
последовательность изложения квантовой теории излучения диктовалась сообра-
соображениями удобства обсуждения и не совпадала с историей развития этой
теории. Остановимся теперь на этой последней, во-первых, для того,
чтобы завершить изложение истории теории света, данное в гл. 1, а во-вто-
во-вторых, для того, чтобы повторить основные гипотезы.
К началу XIX века волновая теория была уже хорошо разработана.
На протяжении этого века было выполнено множество блестящих экспе-
экспериментов по интерференции, дифракции и поляризации света. Наиболь-
Наибольшего совершенства и элегантности изложения теория света достигла
в работах Рэлея. И, по-видимому, было неизбежным, что он, особенно
полно и глубоко понимавший волновую теорию, выявил со всей очевид-
очевидностью и границы ее применения. В 1900 г. Рэлей показал, что класси-
классическая теория не может дать закона распределения энергии в спектре
черного излучения **). Вскоре после этого Планк выдвинул гипотезу
о квантах, согласно которой при взаимодействии атома с полем излучения
может происходить обмен лишь конечными порциями энергии (Е = hv).
Планк хотел сохранить в прежнем виде волновую теорию поля излуче-
излучения и ограничивал область применимости своей гипотезы процессами
взаимодействия. Эйнштейн (приблизительно 1905 г.) показал, что большое
число экспериментальных данных можно чрезвычайно легко описать
в рамках теории фотонов. Фотоны Эйнштейна были по существу части-
частицами света; в них были локализованы масса, импульс и энергия. На про-
протяжении 1905—1925 гг. в теории света не произошло больших сдвигов,
*) Соответствующий опыт с интерферометром был проделан в процессе исследо-
исследований, первоначально предназначавшихся для других целей; например, ночное небо
является крайне слабым источником D-линии натрия, но дает совершенно четкую
интерферограмму. В последние годы целая серия подобных экспериментов была тща-
тщательно выполнена венгерскими физиками Л. Яноши и 3. Нараи.
**) Полное доказательство этого утверждения получено Джннсом в 1909 г.
37*
580 ГЛ. 19. ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
за исключением того, что была развита теория экспериментов, описанных
в гл. 11 (релятивистская оптика). В этот период квантовую теорию пыта-
пытались применять к атому, и наиболее важным успехом являлось введенное
Бором понятие стационарных состояний.
В 1925 г. де Бройль выдвинул идею волновой механики, и в ближай-
ближайшие 5 лет было показано, что эта теория позволяет удовлетворительно
решать большинство задач атомной физики.
Стройной теории света по существу еще не было. Казалось невоз-
невозможным объединить волновую теорию с теорией фотонов Эйнштейна.
И, действительно, примирить эти две точки зрения удалось лишь после
того, как принцип неопределенности (впервые установленный Гейзен-
бергом в 1927 г.) заставил модифицировать как понятие волны, так
и понятие частицы.
Следующий логический шаг в теории излучения в значительной ме-
мере связан с именем Дирака. Перечислим ряд выводов этой теории и
создаваемые ею возможности.
1) Она дает выражение для энергии электромагнитного поля излуче-
излучения в форме, аналогичной функции Гамильтона для системы гармониче-
гармонических осцилляторов.
2) Она позволяет применять к этой функции, а следовательно,
и к полю квантовую теорию осциллятора. Отсюда вытекает теория кван-
квантованных волн. Квантованные волны часто называют фотонами, но они
обладают всеми свойствами электромагнитных волн Максвелла в не мень-
меньшей мере, чем свойствами фотонов Эйнштейна.
3) Она показывает, что фотоны обладают свойством неразличимости
(см. § 18.30). Это свойство весьма тесно связано с фундаментальной кон-
концепцией суперпозиции квантовых состояний и с ограничениями, нала-
налагаемыми принципом неопределенности.
4) После построения теории излучения оказывается возможным рас-
распространить ее на систему из поля излучения и атомов. Так, показано,
что излучение индуцирует переходы, приводящие к испусканию и погло-
поглощению света, а также к различным видам рассеяния. Эту часть теории
можно связать с классической теорией, вводя понятие «эквивалентного
осциллятора» с «силой осциллятора» /. Таким путем квантовая теория
может включить в себя ту часть волновой теории, которая согласуется
с экспериментами по испусканию, поглощению, рассеянию и диспер-
дисперсии света.
19.32. Мы уже говорили, что квантовая механика лежит в основе
полной теории света и, если отвлечься от чисто вычислительных труд-
трудностей, дает ответы на все вопросы. Не следует однако думать, что не оста-
осталось ничего, не укладывающегося в рамки современной теории — это
было бы повторением ошибки некоторых физиков, которые 50 лет назад
верили в совершенство волновой теории. Уже сейчас ясно, что квантовая
механика в ее современной форме сталкивается с трудностями при объяс-
объяснении свойств частиц предельно высокой энергии (и, вероятно, излучения
очень высокой частоты). Автор полагает, что в будущем выявление дефек-
дефектов теории и определение путей ее дальнейшего развития будет опираться
не на лабораторные оптические эксперименты, а на астрономические
наблюдения над эффектами, аналогичными красному смещению в туман-
туманностях, или на эксперименты с фотонами высокой энергии. Однако это
предсказание сделано на основании лишь личного мнения автора. Даль-
Дальнейшие эксперименты могут выявить и чисто оптические явления, совер-
совершенно отличные от всех известных до настоящего времени.
ПРИЛОЖЕНИЕ 19А 581
Литература
19.1. Rubinowicz A., Reports on Progress ш Physics, 1949, т XII, 233.
19.2. Гаптлер, Квантовая теория излучения, ИЛ, М., 1956.
19.3. М о 11, S n e d d о n, Wave Mechanics and its Applications, Oxfoid Lniv Press.
19.4. Ladenburg, Revs. Mod. Phys. 5, 243 A933).
ПРИЛОЖЕНИЕ 19А
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ
Взаимодействие излучения о веществст
1. Это приложение посвящено дираковскои теории взаимодействия излучения
с веществом и применению ее к задачам поглощения, пспл екания и рассеяния свега,
а также к некоторым вопросам теории дисперсии Рассмотрим сначала поглощение
и испускание света Наше рассмотрение будет проведено в два этапа Н г первом этапе
мы будем рассматривать атомы как квантовомеханическую спстемл иодвергнл тую
малому воздействию, которое вызвано взаимодействием атомов с электромагнитным
полем излучения. Такое воздействие называют возмущением, а соответств\юшач
теория является развитием обычной теории возмущений, применявшейся ранее для
расчета стационарных уровней атомов в постоянном магнитном и электрическом полях.
Возмущение, создаваемое полем излучения, меняется во времени с большой частотой.
Можно показать, что возмущение такого рода приводит к переходам между стацио-
стационарными состояниями атома, если выполнено боровское условие частот (соотноше-
(соотношение A7.7)). Теория дает формулы, при помощи которых можно вычислить число пере-
переходов в единицу времени, т е прямо найти значения Впт и Втп и затем, используя
A7.45),— значение Апт Полученные формулы согласуются с формулами, выведен-
выведенными выше (см. § 18.17), можно считать, что эта часть расчетов подтверждает сделан-
сделанные там допущения.
На втором этапе теории Дирака атом и излучение рассматриваются как единая
квантовомеханическая система Тогда переходы связаны с передачей энергии от одной
части системы к другой, но энергия системы в целом не меняется Каждый из коэффи
циентов Апт, Впт, Втп вычисляется независимо. Эту вторую часть теории можно
распространить на многие другие задачи, в том числе на рэлеевское рассеяние, дис-
дисперсию, комбинационное рассеяние. В обеих частях теории предполагается, что воз-
возмущение мало, и вся теория представляет собой приближение, основанное на этом
допущении.
Излучение как возмущение
2. Пусть волновое уравнение для невозмущенного атома имеет вид
■£■■£■• <1923)
где через <^?0^ обозначены все члены, стоящие в левой части уравнения A8 49). Пред-
Предположим, что решения Ч^, ^F2 п т* Д«» соответствующие стационарным состояниям
невозмущенного атома, уже найдены. Выполнив необходимые физические измерения,
мы либо обнаружили бы, что атом находится в одном из стационарных состояний,
либо нашли бы последовательность вероятностей Р±, Р2 и т д , где Рх — вероятность
того, что 1-й атом находится в состоянии ъ. В общем случае, представляя результаты
измерении, мы можем сказагь, что интересующий нас атом описывается решением
волнового уравнения (ср. соотношение A8.52))
i
причем
Pl = cic*. A9 25)
Разложение A9.24) математически всегда возможно, так как Ч^, Т2, образуют
полную ортогональную систему функций [19 3]. Выше мы уже дали физическую
интерпретацию этого разложения, которая согласуется с общими принципами кван-
квантовой механики (см. §§ 18.15, 18 29, 18 31).
582 ГЛ 19 ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
Пусть теперь атом помещен во внешнее поле, тогда волновое уравнение приобре-
приобретает вид
жч=(зе<>^и)ч=—%^г <19 26>
Через U обозначены новые члены в волновом уравнении Они могут содержать q, -^-
и t Предполагается, что все новые члены малы по сравнению с соответствующими
членами волнового уравнения для невозмущенного атома A9 23)
3. Результаты измерений, выполненных над атомом в поле излучения, даются
волновой функцией W, являющейся решением A9 26) Мы можем представить Ч?'
в одном из следующих видов (I) в виде суммы функций Ф^, Ч^, , соответствующих
стационарным состояниям возм\ щенного атома, с постоянными коэффициентами
с1ч с2, , (II) в виде слммы членов, содержащих Ч^, W2, (т е стационарные
состояния невозм\ щенного атома), но с новым набором коэффициентов аь а2, ,
вместо q, c2, Мы увидим, что эти новые коэффициенты должны зависеть от вре-
времени для того, чтобы удовлетворялось волновое \равнение
С математической точки зрения оба метода одинаково правильны, так как и реше-
решения A9 23) и решения A9 26) составляют полною ортогональную последовательность.
Выбор между ними диктуется соображениями удобства применения того или иного
метода к данной задаче Первое разложение удобнее при рассмотрении атома в постоян-
постоянном электрическом шн магнитном поле Вторым л\чше пользоваться в нашей задаче,
поскольку в ней зависимость от времени является центральным вопросом Поэтому
положим
2 <1927>
i
Подставляя A9 27) в A9 26), потучпч
4 2 C4f) A9 28)
Так как Ч^, ¥2, являются решениями уравнения A9 23), формулу A9 28) можно
записать в виде
1"л=т1й№ A929)
I I
Умножая обе части этого равенства на ¥т и интегрируя по всем} пространству
(с учетом условии ортогональности), получим
dx A9 30)
4. Допустим, что измерение, выпочненчое в момент времени t = 0, показаю,
что атом в этот момент находится в состоянии п Тогда при t — 0 ап = 1, а все коэф-
коэффициенты а с другими индексами равны ну но П\сть, далее, поле излучения дейст-
действует на атом с момента t = 0 до t = t' и немедленно 1юсле прекращения возмущения
выполнено второе измерение Вероятность обнаружить атом (при втором измерении)
в момент t' в состоянии т равна
Рт(П = *т lf')a*m{t'). A9 31)
Если t' мало, а поле излучения достаточно слабо, и, следовательно, вероятность пере-
перехода невелика, мы можем положить в A9 30) ап = 1 и а\ = 0 (для всех / Ф п) Тогда
соответствующая сумма сводится к единственному члену
= ?ш С Ч^
dx A9 32)
и, после интегрирования по t, получим
И *^ U^ eXp IT {Wn " Wm) * dt dX A9 33)
ПРИЛОЖЕНИЕ 19А 583
Постоянная интегрирования равна нулю, так как ат = О при t = 0. Вероятность
перехода в единицу времени, равно —, Рт (£'), можно найти, вычислив ат по A9.33),
и подставив результат в A9.31). Однако, прежде чем сделать это, н\/кно вывести
выражение для U.
Вычисление энергии взаимодействия
5. Рассмотрим параллельный пучок плоско-поляризованного света, распро-
распространяющегося вдоль оси z. Направление электрического вектора примем за ось х. При
z = 0 мсжно положить
Е=ЕХ=2ЕОх cos 2лv* == ЕОх (e2mvt + e~2juv'). A9.34)
Среднее по периоду значение Ех равно 2Е\Х, так как среднее значение от cos2 2n\t
равно 1 2. 3 свободном пространстве средние значения Е2 и Я2 одинаковы. Следова
тельно,
<*2+*2>4- Ж2=4се1х~ <19-35)
где qp — энергия в единице объема.
Теперь можно вывести выражение для U, используя предположение о малости
размеров атома по сравнению с длиной волны излучения. Будем рассматривать атом
как совокупность зарядов, смещаемых полем. При этом образуется электрический
дипольный момент, ^-компоненту которого можно записать в виде
mx = ^ejXjy A9 36)
где xj — смещение /-й частицы относительно ее положения в отсутствие поля. Энергия
взаимодействия U равна Ехтх. В этом простом случае U можно рассматривать как
добавок к потенциальной энергии V волнового уравнения A8.17). Используя приня-
принятые выше обозначения (см. § 18.17), напишем
= f ^mmx^n dX A9 37)
exmnz
и, следовательно,
Ехехшп= \ tymUtyn dr. A9 38)
6. Подставляя A9.38) в A9.33), получим
v
ExexV^(Wn-Wm)tdt. A9 39)
Определив частоту vmn соотношением hvmn = Wm — Wn и воспользовавшись выра-
выражением A9 34) для Ех, получим
v
{exv[2m(v-vmn)t) + exv[-2ni(v + vmn)t]}dt A9 40)
о
и, после выполнения интегрирования,
а (tf) = exmn£ox | 1 —ехр[ —2т(у + у
т } hi У + Утп
Из этого выражения видно, что ат (f) осциллирует около значений, бтпзкпх к н\лю,
если только (v — vmn) или (v + vmn) не оказывается очень малым. Ест мы рассмат-
рассматриваем поглощение, то Wm больше Wn и частота vmn положительна Второй член
в A9.41) становится большим в мачом интервале частот вблизи \ = \mn (т. е.
hv = Wm — Wn). Таким образом, вероятность перехода с поглощением излечения
оказывается значительной тогда и только тогда, когда прибшженно выполняется
] 1 —ехр[2яг(у-уту1)^] п 4
v-ym^ J
584 ГЛ 19 ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
боровское условие частот Аналогично, если Wn больше Wm, то первый член в A9 41)
становится большим для частот, близких к v = — vmn, и возникает вынужденное
испускание Отметим, что в каждом случае один из членов в A9 41) играет основ
ную роль, а другой пренебрежимо мал.
Поглощение излучения из непрерывного спектра
7. В непрерывном спектре на область частот dv приходится энергия qp (v) d\
предположим, что qp (v) остается постоянной в интервале частот, в пределах которого
лежит линия поглощения Поскольку vmn положительно, мы можем рассматривать
лишь второй член в A9 41) Дчя заданной частоты
р (t>\-a а* - 4 е2х х* #2 sm2tt(v-vmn)*'
Воспользовавшись A9 35) для всего интервала частот, получпм
Рт(,*)-■%- *w&
Мы уже знаем, что вклад в интеграл от частот, отличающихся от vmn больше, чем
на несколько полуширин линии, пренебрежимо мал и что в этой области qp (v) почти
постоянно Поэтому можно вынести qp (\) за знак интеграла, и тогда мы получим *)
Рт (*0 = Т£Г e2xmnxlnnt'Qp (v) A9 43)
Но BnmQp (v) t' равно вероятности того, что переход произоидет к момент} Vт
и, значит, равно вероятности Рт (tf) обнаружить атом в момент t в состоянии т
Отсюда
Впт = Ъ§еЧтпх*тп A9 44а)
В этом выражении хтпх*гп пропорционально квадрату электрического момента
в направлении электрического вектора световой волны Этот момент можно рассматри-
рассматривать как компоненту момента, пропорционального imnrmn и имеющего произвольное
направление г Это направление фиксировано по отношению к атому Если для дан-
данного атома оно составляет с осью х угол 6, то хтпх^пп = ГщпГ^ cos2 6 В отел тст-
вие постоянного магнитного поля атомы ориентированы хаотически и, так как
среднее значение cos2 0 равно 1/3, можно написать
Впт=^е*гтпг*тп. A9 446)
Коэффициент Втп можно найти аналогично, рассматривая атомы, находящиеся перво
начально в состояпип т (т е в состоянии с большей энергией) Тогда основное значе-
значение приобретает первый член в A9 41), и мы получаем выражения для Втп> совпа-
совпадающие с A9 44) для Впт Для нахождения коэффициента Атп следует воспользо
ваться соотношением A7 45) Полученные формулы согласуются с A8 62) и A8 63)
8. На первый взгляд может показаться, что нет надобности учитывать интервал
частот и достаточно рассматривать поглощение при частоте, в точности удовлетво
ряющей условию Бора Ни в одном реальном эксперименте мы не можем использовать
только одну частоту, так как это означало бы бесконечно большое время облучения
Если пользоваться излучением, ограниченным длинами волн, расстояние между кото
рыми сравнимо с шириной линии поглощения, то время облучения станет сравнимым
со временем жизни возбужденного состояния, и нам пришлось бы принять во внима-
внимание переизлучение и другие процессы второго порядка В проводившихся выше рас-
рассуждениях мы всегда исключали эти процессы путем выбора достаточно малого значе-
оо
*) Напомним, что \ ^— dx = я См замечание после формулы A5 73а)
ПРИЛОЖЕНИЕ 19А 58S
ния t'. Отметим, что выше мы предполагали, что вероятность перехода для набора
частот равна сумме вероятностей перехода для каждой частоты. Это предположение
оказывается правильным, так как волны разных частот не могут быть когерентны
Если допустить, что ат для совокупности частот равно сумме всех ат для отдельных
частот, то в выражении для Рт, помимо члена, даваемого формулой A9.426), появится
ряд дополнительных членов, средние значения которых равны нулю (обсуждение ана-
аналогичных вопросов см. в § 5.2).
Теория испускания и поглощения (второй этап)
9. Изложенная выше теория, хотя и существенно л>чше грубой теории, приве-
приведенной в § 18.17, все же не вполне удовлетворительна, так как квантовая теория при-
применяется только к атомам и не затрагивает самого излучения. Последнее возникает
как чисто классическое поле, «возмущающее» атом, и квантование поля излучения
(обсуждавшееся в гл. 18) здесь не проводится. Теперь мы рассмотрим атомы и излуче-
излучение как единую квантовомеханическую систему.
Рассмотрим совокупность атомов и изотропное поле излучения в замкнутой
полости. Никаких изменений энергии системы в целом не происходит, и система
не взаимодействует ни с какими внешними полями. Однако она не обязательно должна
находиться в термодинамическом равновесии. Будем считать, что в отсутствие поля
излучения атомы описываются волновым уравнением A9.1). Пусть п — одно из кван-
квантовых чисел атомов до перехода, а т — одно из квантовых чисел после перехода *).
Соответствующие числа для поля излучения обозначим а и Ь. Допустим сначала, что
атомы и излучение не взаимодействуют. Тогда волновое уравнение полной системы
имеет вид
ih <W
m0V=(Wp+Wr)V=—^^f . A9 45)
где &0р—члены, обусловленные присутствием атомов, НТ — члены, обусловленные
излучением. Согласно проведенному выше рассмотрению волновая функция ¥па
двух невзаимодействующих систем равна произведению функций ^п и Фа отдельных
систем, т. е.
Чпа = Уп<Ьа. A9 ^б)
Волновая функция полной системы с учетом взаимодействия записывается в виде
-£--5J-. A9 47)
где &Ог — энергия взаимодействия.
10. Прежде всего необходимо выразить &6г через векторный потенциал А, при
помощи которого мы теперь будем описывать поле излучения**). Нерелятивистская
теория электромагнетизма дает для энергии электрона в поле, задаваемом векторным
потенциалом А' и скалярным потенциалом %', следующее выражение:
&е'=-^т-(Р—JA'SJ + eX' A9 48>
(квадрат выражения, стоящего в скобках, означает скалярное произведение вектора
( Р A' J на самого себя). Поле, действующее на электрон, создается частично
атомами и частично излучением. Последнее изменяет только А'', но не %' (см. фор-
МУЛУ A3.52) и A3.53) приложения 13А). Поэтому мы положим
<Жг=— Р- А +7г^-5 ^2- A9 49а >
Поскольку е/с мало, можно приближенно принять
$£,=— ГА=— У PAS cos Ss, U° 4»jt
1 тс тс ^
где 6S—угол между JP и единичным вектором es, определяющим направление
х) Очевидно, что для описания всех атомов необходимо очень много квантовых
чисел, но нам достаточно ограничиться теми, которые претерпевают изменения.
**) См. приложение 13А.
586 ГЛ. 19 ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
поляризации излучения. Подставляя сюда A8.85) и A8.88), получим
s. A9 50)
В общем случае, выражение для энергии взаимодействия содержит ряд членов, ана-
аналогичных правой части A9.50), так как атом содержит много электронов. Для простоты
мы ограничимся рассмотрением одного члена
11. Применим теперь описанную выше процедуру к объединенной системе.
Рассматривая A9.45) как аналог A9 23) и A9.47) — как аналог A9.26), разложим
решение A9.47) в ряд по собственным функциям (решениям) уравнения A9.45). Далее
поступим так же, как и на стр. 582. Если система первоначально находилась в состоя-
состоянии (п, а), то вероятность того, что в момент t она окажется в состоянии (т, Ь), есть
Где
" ___2m f* w* яр w dx da M9 51Ъ
« J
(ср. формулу A9.32)).
В соотношении A9.51) мы заменили элемент объема dx элементом dx dq, что-
чтобы показать, что интегрирование должно выполняться как по пространственным ко-
координатам (х, у, г), так и по g-координатам «осцилляторов», представляющих поле
излучения.
Отделяя временные множители в волновых функциях, получим
'<*ть =~^ Umn ехр [ ?*! (Wna-Wmb) t ] , A9 52)
где
Umn= \ $mb8&iipnadxdQ> № 53)
а &€'х отличается от &€х отсутствием временного множителя. Следовательно,
*«л = Umn щ ргг- A9 54)
"па ''
« (Wna-Wmb)t
A9 55)
Эта формула показывает, что вероятность имеет острый максимум при Wna = Wmb
и больших t. Она указывает также на необходимость учета переходов, для которых
энергия сохраняется не точно, а лишь в пределах точности измерений, допустимой
принципом неопределенности. Далее нужно выполнить суммирование, аналогичное
интегрированию в A9.42). Поскольку энергия атома в конечном состоянии всегда
одинакова, суммировать нужно по всем осцилляторам, частоты которых близки
к значению, обеспечивающему равенство И тъ = Wna (т. е. близки к частоте \тп),
а направления поляризации лежат в пределах телесного угла dQ.
Пусть п (W) dW dQ — число осцилляторов с данным направлением поляризации
и с энергией, лежащей в пределах от W до W -r dW, и пусть a—число переходов
в секунду; тогда
оо
a=~ ^Pmbn(W)dW. A9 56)
Изменением п (W) в пределах малой области энергий, в которой Рть заметно отлично
от нуля, можно пренебречь и вынести n(W) за знак интеграла. Подставляя A9.55)
в A9.56) и интегрируя *), получаем
a=^ UmnUmn dun (W). A9.57)
*) См. примечание на стр. 584.
ПРИЛОЖЕНИЕ 19А 587
Используя A9 50) в A9.53), мы должны отбросить временной множитель
exp Bmvt) в q и ехр (—2mvt) в q*. Как уже было показано, разрешенными оказы-
оказываются только те переходы, при которых приближенно выполняется закон сохранения
энергии Поэтому член, содержащий #*, играет роль лишь при Wm < Wn (т. е когда
атом излучает энергию), а членом, содержащим q, при этом можно пренебречь. Кроме
того, только один осциллятор изменяет свою энергию и, следовательно, в слмме
остается всего лишь один член. Тогда, подставляя первый член соотношения A9 50)
в A9.56) и опуская временной множитель, получим
соьв \ q>aQ*4>bdq \ -фт Р ехр (txs-r) >фп dx. A9 58)
Значение первого интеграла приведено в § 18.20. Он обращается в нуль во всех
случаях, кроме b = а ± 1. Сейчас мы рассматриваем испускание, так что b = а + 1
и интеграл получается из A8.70) заменой т0со0 на 2яvГlm, т. е.
s-r)^ndx. A9 59)
Величина >cs равна 2я/Х, а волновые функции г|^ и \[,п принимают достаточно большие
значения только при г, значительно меньших X (т е. в пределах радиуса атома). Следо-
Следовательно, в первом приближении можно положить экспоненту равной единице *).
В учебниках по квантовой механике показывается, что
2 - - -- гтпг* A9 60)
тде гтп определяется формулой A8.61). Таким образом, в случае испускания
(UmnU^n)e = 2ne^hvnm(a-tl)rmnr^n cos О. A9 61)
Подставляя это выражение в A9.57), получим ае (число квантов, испускаемых в 1 сек)
ae=8n3e*vnm (а+1) п (W) cos* @rmnr^ndu. A9.62)
12. Из формулы A8.108) следует **), что
^dQ. A9 63)
Предположим теперь, что излучение изотропно и в интервале частот от v до v + dv
■плотность его энергии равна q (v) dv. Тогда
A9 64)
причем множитель 2 введен для >чета двух взаимно перпендикулярных возможных
направлений поляризации (Если квантовые числа осцилляторов в рассматриваемой
области неодинаковы, то сюда нужно подставить среднее значение а.) Проинтегрируем
A9.62) по полному телесному углу Dя), учтем оба возможных направления поляриза-
поляризации поперечных электромагнитных волн и отделим друг от друга два члена, получаю-
получающихся при умножении на слагаемые в скобке (а + 1). В первый член подставим A9 64),
а во второй A9.63). В результате получим полное число квантов, испущенных за одн\
секунду во всех направлениях,
8я3 64я4
т. е.
(ае)Т == BnmQ (v) + Anm Aч fro
*) Это эквивалентно разложению экспоненты в степенной ряд и \чет\ только
первого члена ряда. Второй член соответствует квадрупольному излучению а после-
последующие члены — высшим типам мультипольного излучения.
**) Цитированная формула дает число состояний qs (для обоих направлений
поляризации) с энергиями в интервале от v до v + dv и с произвольным направлением
(в пределах всей сферы). Если п (v) dv dQ — число состояний, соответствующих
.заданной поляризации и телесному углу c?Q, то gs = 8лп (v) и hn (ТГ) = п (v).
588 ГЛ 19 ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
Вычисление аа (числа переходов в секунду при поглощении излучения) отли
чается лишь тем, что нужно взять член с q из A9 50) *) и для одного из осцилчяторов
положить Ъ = (а — 1) Следовательно, вместо A8 70) мы должны воспользоваться
A8 71) и вместо (а + 1I/9 в A9 59) получим а1/2, т е
аа = —^-тае A9 66а)
Отсюда при помощи A9 62) находим полное число переходов в 1 сек при поглощении
излучения, оно равно счед^ющей величине
(О»)Т = -Щ- «* Wj,n е (V), A9 666)
т е
(аа)т = BmnQ (v)
Таким образом, теория позволяет независимо полечить все коэффициенты
Эйнштейна, и найденные результаты подтверждают формулы A7 49)
13 Может случиться, что цечая группа состояний б>дет иметь одн> и tj же
энергию Рассмотрим группу ^состоянии, каждое из которых имеет энергию \\ Пг
и Другую группу £тсостояний с энергиями W т Пусть Wn > Wm Нельзя узнать,
с каким именно членом группы мы имеем дело в данный момент Допустим, что числа
ёп и 8т известны нам из других экспериментов (обычно для этой цели используется
эффект Зеемана) Опыт (например, измерение полного поглощения с использованием
формулы A7 49) или непосредственное измеренпе т с использованием A7 486)) дает
вероятности перехода Bmii BMN, Ami Пусть Впт означает вероятность перехода,
вычисленную для данной пары состояний с помощью A9 42а) Тогда Впт дает вероят
ность перехода с одного из верхних уровней на один из нижних, а
Bw=gmBnm. A9 66a)
Bnm есть полная вероятность перехода со всех верхних уровней на все нижние Оче-
Очевидно что чисто верхних состояний gn не играет роли, так как на каждом из них
находится 1 gn атомов \наюгично
A9 67в>
TNM
так что
gnBmi=gmBMN A9 68)
Отметим, что соотношение A9 68) согласуется с соотношениями A7 45), полеченными
из термодинамических соображений
Сила осциллятора / связана с результатами наблюдений формулами A7 51)
и A7 52), и мы можем написать **)
К <1969>
Измеренные значения / можно сопоставить со значениями, вычисценными пз волнового
уравнения Как показано выше, они вполне удовлетворительно согласуются друг
с другом
Рассеяние света
14 Рассмотрим теперь взаимодействие атома с фотоном когда условие Бора
(hv ях Wm — Wn) не выполняется даже приближенно Из опыта мы знаем, что рас
сеяние фотона может происходить следующими тремя способами
а) без изменения длины волны (рэлеевское рассеяние),
б) с малым изменением длины волны (комптон эффект) и
*) Это приводит к замене множителя exp (ins г) на ехр (—ms r), но в испочь
зуемом нами приближении это не имеет значения
**) Определения таким образом величина / соответствует излучению, она отли-
отличается от обычно применяемой величины для поглощения множителем gn/gm
(Прим перев )
ПРИЛОЖЕНИЕ 19А 589
в) со сравнительно большим изменением длины волны (комбинационное рас-
рассеяние).
В процессах а) и б) атом не меняет своего состояния, хотя его кинетическая
энергия или количество движения может слегка увеличиться или уменьшиться. При
комбинационном рассеянии атом изменяет свое состояние, и если \г — частота падаю-
падающего кванта, a ve — частота испущенного, то Wm — Wn = h (vz — \e). Рассеяние
света атомом можно представить в виде процесса, при котором один из осцилляторов
поля излучения теряет квант, а другой осциллятор — приобретает новый квант. При
рэлеевском рассеянии оба эти осциллятора имеют одинаковую частоту, но соответ-
соответствуют волнам, распространяющимся в разных направлениях, т. е. векторы xs и es
(см. § 18.21) различны. При комптоновском и комбинационном рассеянии два осцил-
осциллятора отличаются друг от друга как по частоте, так п по направлениям.
Рэлеевское рассеяние света
15. Рассмотрим теперь рассеяние (без изменения длины волны) параллельного
пучка света с частотой v, распространяющегося вдоль оси OZ, с электрическим векто-
вектором, параллельным оси ОХ. Падающий пучок соответствует осциллятору s (началь-
(начальное значение квантового числа as). Для этого осциллятора ns параллелен OZ, a es парал-
параллелен ОХ. Рассеянный пучок соответствует осциллятору г (квантовое число аг). Для
простоты положим, что вначале излучение в направлении вектора >tr отсутствует
(начальное значение аг равно нулю). Это означает, что мы пренебрегаем вторичным
рассеянием. Процесс рассеяния происходит в две стадии.
1) Осциллятор s теряет энергию hv, и атом переходит из состояния п в состоя-
состояние т (однако vmn не совпадает с v даже приближенно).
2) Осциллятор г поглощает энергию hv, и атом переходит из состояния т
в состояние п.
На каждом этапе расчета энергия даже приближенно не сохраняется, но в пол-
полном процессе она, конечно, сохраняется. Поскольку промежуточное состояние ненаблю-
даемо, этого вполне достаточно. В известном смысле появление в теории переходов
с несохранением энергии является следствием математического аппарата теории воз-
возмущений. Припишем индекс / начальному состоянию системы (атом плюс излучение),
индекс g — ее промежуточному состоянию и индекс h — конечному состоянию. Тогда,
так же как и выше (см. стр. 582), получим
ag = ^- ajUfg exp ^ (Wf — Wg) t, A9.70a)
ак = Щ- agUgh exp ^- (Wg- Wh) t. A9.706)
Если t мало, можно положить af = 1 и проинтегрировать A9.70а), используя началь-
начальное условие (ag = 0 при t = 0). Подставляя результат в A9.706), получим
2m UfgUgh , _ _ /i?r „..,._ ™ |
Интегрируя первый член *) в A9.71), находим
sm* ~(Wf— Wh)t
где
Нас интересует вероятность того, что осциллятор s потеряет квант, а осппллятор г
(направление которого в телесном угле rfQ, а частота лежит в пределах частотного
интервала около частоты, для которой Wh= Wf) поглотит квант. Поскольку A9.72)
*) Поскольку Wf даже приближенно не равно Wg, опущенный член может дать
лишь весьма малый осциллирующий добавок к Р^.
590 ГЛ 19 ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
аналогично A9 55), можно воспользоваться A9.57), и тогда, подставляя п (W)y
определяемое A9 63), получил!
Su*dQ <1974>
16. Вычисление Ufg и Ugh аналогично вычислению Unm (формула A9 61) и пред-
предшествующие ей). Нужно только помнить, что в этом сл>чае падающий пучок плоско-
поляризован, тогда как при выводе A9 61) излучение предполагалось изотропным.
Напомним, что вектор ех параллелен О\, и поэтому в A9.496) мы можем заменить
Р cos Bs на Рх. Производя эту замену, получим для первого произведения
UfgV5g=2jle2hvnmas*mn*?nn A9 75>
Это выражение нужно сравнить с A9 61) Оно содержит as вместо (а + 1), так как
мы рассматриваем процесс поглощения, и хтп вместо гтп по указанной выше причине
При рассмотрении процесса испускания следует помнить, что возбужденный «осцил-
«осциллятор» параллелен ОХ. Если рассеянное излучение испускается под >пом % к ОХ
(т е. к направлению электрического вектора падающего пучка), то энергия взаимо-
взаимодействия, определяемая A9 496), пропорциональна Рх sin % (вместо косинуса сюда
входит синус, так как электрический вектор перпендикулярен направлению рассеян-
рассеянного пучка) Отсюда
g тпт*лп sin* X A9 76)
Полагая «г = 0и подставляя A9 75) и A9 76) в A9 73), получим
Если атомы или молекулы ориентированы хаотически, то
aWU^-з ГтпГтп- <1978>
С учетом A9 77) и A9 78) формула A9 74) приобретает вид
«=V A2c3(v"-vnroJ <Win)» em» X aQ. A9 79)
Это выражение дает число квантов, рассеянных одним атомом за 1 сек, при падении
asc квантов в секунду. Как уже было показано выше, рассеиваемая энергия неко-
некогерентна Поэтому для N атомов отношение рассеиваемой энергии к падающей равно
ift JtV V
k'=i &«c4(v-v)« N<^™>2sm2xdQ- <1980>
17. Кроме рассмотренного выше дв>хэтапного процесса, к тому же результату
приводит процесс, состоящий из следующих двух этапов
1) атом переходит из состояния п в состояние т, и осциллятор г приобретает
квант,
2) атом возвращается в состояние /г, и осциллятор s теряет квант
В этом процессе рассеянный квант появляется до поглощения падающего Такая
последовательность может показаться весьма искусственной, если мы попытаемся
разделить эти два этапа, но рассматривая все формулы дчя процесса в целом, легко
видеть, что его также надо учитывать Все вычисления проводятся так же, как и выше,,
но теперь Wg — Wf = h (v -±- vnm) Дополнительный чтен, об\ словленный этим про
цессом, нужно добавить в выражение для а^ (а не для Р^), поскольку оба перехода
соответствуют одной и той же длине волны (см § 19 8) Тогда мы можем написать
dQ
Интегрируя по всей сфере, получим
ПРИЛОЖЕНИЕ 19А 591
Для наших целей достаточно принять классическое соотношение между дисперсией
и рассеянием. Воспользовавшись A5.97), находим
3Mvtl-vJ^^n) - A9 83)
или, вводя сюда / из A8.64),
7\Г£2_^ A9 84)
Этот результат согласуется с A5.63). Отметим, что при выводе соотношения A5.63)
предполагалось, что п — 1 значительно меньше единицы.
Если возможно несколько переходов атома, то правую часть формулы A9.84)
нужно заменить соответствующей суммой. Соотношение A9.4а) получится, если поло-
положить cos = 2Kvnm, а соотношение A9.46) — если часть переходов будет происходить
на низшие уровни. Связь соотношения A9.84) и классического соотношения A5.63)
обсуждалась выше (см. § 19.11).
18. Из сказанного следует, что квантовая теория рассеяния приводит к такой же
формуле для дисперсии, что и классическая теория. Однако в применениях ее надо
учитывать два существенных отличия: а) в классической теории / — постоянная,
определяемая из опыта, а в квантовой теории ее можно вычислить независимо;
б) квантовая теория приводит к появлению в формуле для дисперсии «отрицательных
членов», обсуждавшихся в § 19.11. Как квантовая, так и классическая теория дают
также дополнительный член, который рассматривается ниже. Для оптической области
этот член мал, но при меньших длинах волн он приобретает очень большое значение.
В знаменателе соотношения A9.84) отсутствует член, учитывающий затухание y2-
Это объясняется тем, что в настоящем приложении мы везде пренебрегали эффектами
затухания, чтобы избежать усложнения математических выкладок. В частности, мы
пренебрегали ими, когда полагали ат равным 1 (см., например, стр. 582). Для полу-
получения более точного результата надо считать, что ат = e"yt^2. Тогда мы получим
формулу дисперсии, точно совпадающую с соответствующей классической формулой
дисперсии при наличии затухания. Классическая теория дает для у выражение A3.79),
которое не согласуется с экспериментом. В квантовой теории у равно коэффициенту
Эйнштейна А, так что эту величину можно выразить через гтпгтп- Результаты таких
расчетов хорошо согласуются с измеренными значениями ширин линий.
Относительные порядки величин вероятностей переходов
19. Входящая в A9.72) функция U равна произведению двух энергий взаимо-
взаимодействия. Каждая из них содержит е2, и поэтому в A9.82) входит множитель е4. Отсюда
следует, что вероятность перехода, даваемая формулой A9.72), по порядку величины
намного меньше обычных вероятностей переходов для поглощения и испускания.
Последние, согласно A9.55), пропорциональны энергии взаимодействия, т. е. содер-
содержат множитель е2, что хорошо согласуется с экспериментальными данными. Так,
поглощение резонансного излучения в столбе ртутных паров толщиной 1 см при давле-
давлении 10~6 атм легко измерить. Рэлеевское же рассеяние (т. е. рассеяние в области
спектра, удаленной от линии поглощения) очень мало даже при атмосферном давле-
давлении *). По аналогичной причине значение п — 1 для газа при давлении 10~~6 атм
вдали от линии поглощения составляет всего лишь 10~10. Таким образом, в веществе,
в котором число атомов на 1 см3 порядка 1013, процессы первого порядка легко наблю-
наблюдаемы, а процессы второго порядка (т. е. идущие в два этапа) практически ненаблю-
даемы.
Рассеяние свободными электронами
20. Как мы видели, вероятности двухквантовых процессов очень малы (т. е. более
высокого порядка по отношению к е2, чем рассмотренные выше); поэтому необходимо
пересмотреть допущения, принятые в развитой выше теории. Член е2А2/2тс2, ранее
опущенный в формуле A9.49), может оказаться существенным, так как теперь мы
рассматриваем величины, содержащие е4. При учете этого члена вероятность прямого
*) Интенсивное рассеяние света с длиной волны, близкой к линии поглощения
(так называемое селективное рассеяние света), в парах ртути было найдено Л. И. Ман-
Мандельштамом и Г. С. Ландсбергом. (Прим. ред.)
592 ГЛ. 19. ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
перехода из состояния п в состояние /, минуя промежуточный уровень, становится
отличной от нуля, что приводит к дополнительному рассеянию. Согласно A8.85),
Отметим, что этот член не содержит Р. Обозначим дополнительный член в выражении
для энергии взаимодействия через &вг, а соответствующую функцию через U'nl. Про-
Процесс, в котором осциллятор s теряет квант, а осциллятор г приобретает его, описы-
описывается в A9.85) членом q8q*- Воспользовавшись A8.86), получаем
A* = eser4nc2qsqf exp [ — i (xs—xr)-r]. A9.86)
Если в — угол рассеяния, а длина волны велика по сравнению с радиусом рассеи-
рассеивающей частицы, то
д* cos 0. A9 87)
Соответствующий вклад в энергию взаимодействия можно записать в виде
&ех = ^- qsq* cos О. A9 88)
Для нахождения функции U'nl (соответствующей прямому переходу из пв I) восполь-
воспользуемся формулой A8.70) для перехода, в котором квантовое число а8 для осциллятора s
уменьшается на 1, а квантовое число аГ возрастает на 1. Если v8 = vr = v, то
^ ^ C°S
Коэффициент 2 введен по соображениям, изложенным в книге Гайтлера [19.2]. В рас-
рассматриваемом процессе состояния атома п и / совпадают, и поэтому интеграл в A9.89)
равен единице. Нас интересует число переходов в 1 сек из данного состояния s (свет
распространяется в заданном направлении) в совокупность состояний г, для которых
частоты лежат в некотором интервале, а направления поляризации — в телесном угле
dQ. Воспользовавшись формулами A9.57) и A9.89), находим искомое число переходов
в 1 сек. Обозначив его а', получаем
^ A9.90)
Положим, как и раньше, аг = 0 и подставим выражение A9.63) для п (W). Тогда
а' = -^-j as cos2 0 dQ. A9.91)
Отношение числа рассеянных за секунду квантов к числу падающих равно
-^т cos2 9 dQ. A9.92)
т*с*
Интегрируя по всей сфере, получаем
* <1993>
21. С квантовомеханической точки зрения рассмотренный процесс может происхо-
происходить на любых электронах, а не только на свободных. Поэтому соответствующий член
необходимо добавить в квадратные скобки в формуле A9.81). Практически этот член
не сказывается на величине рассеяния и дисперсии излучения в видимой области
спектра. Однако рассеяние подобного типа очень важно в рентгеновской области,
и соотношение A9.93) хорошо подтверждается опытами по рассеянию рентгеновских
лучей. Оно согласуется также с соотношением A3.90), полученным на основе классиче-
классической электромагнитной теории.
ПРИЛОЖЕНИЕ 19Б 593
ПРИЛОЖЕНИЕ 19Б
КОГЕРЕНТНЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ СВЕТА. ЛАЗЕРЫ *)
В последние годы начало бурно развиваться новое направление в физике, свя-
связанное с созданием когерентных генераторов световых волн, получивших название
квантовых генераторов, или лазеров. Эти новые источники света характеризуются
рядом уникальных свойств: высокой направленностью, монохроматичностью и коге-
когерентностью излучения.
Направленность излучения источника света очень важна для ряда практических
приложений. Качественно направленность излучения можно характеризовать вели-
величиной телесного угла AQ, в котором сосредоточена основная часть светового потока.
Чем меньше AQ, тем выше направленность излучения. При полной изотропии излу-
излучения угол AQ, очевидно, равен 4л;.
Направленность обычных источников света очень низка, так как угол A Q нельзя
сделать много меньшим 4я. С чем это связано?
Элементарными излучателями в видимой области спектра (а также в инфракрас-
инфракрасной и ультрафиолетовой областях) являются атомы и молекулы. Диаграмма напра-
направленности каждого такого излучателя, в том случае, если он определенным образом
ориентирован в пространстве, определяется формулой A3.72). С помощью этой фор-
формулы нетрудно показать, что угол A Q примерно равен 2л. На этот телесный угол
приходится около 70% потока излучения. Естественно поэтому, что реальные источ-
источники света, представляющие собой громадные совокупности подобных элементарных
излучателей, обладают столь низкой направленностью.
Вместе с тем, хорошо известно, что в радиодиапазоне с помощью системы спе-
специальным образом расположенных антенн, каждая из которых имеет диаграмму
направленности A3.72), можно сконцентрировать большую часть потока в весьма
— ) , где Я—длина волны, D — размер системы. Возмож-
Возможность столь эффективного повышения направленности в радиотехнике, основанная
на интерференции полей излучения различных антенн, связана с тем, что колебания
токов в этих антеннах можно сделать когерентными, питая их от общего генератора.
' В источниках же света, таких как нагретые тела, газоразрядные трубки и т. п.,
возбуждение атомов и молекул происходит в результате их столкновений друг с дру-
другом, а также с электронами и ионами, т. е. совершенно некогерентно. По этой причине
еще 10—15 лет назад задача существенного повышения направленности источников
света представлялась невыполнимой. Эта задача была решена лишь путем создания
когерентных генераторов света.
Для того чтобы сделать понятным принцип работы такого генератора, рас-
рассмотрим прохождение через среду световой волны с частотой v, соответствующей раз-
разности каких-либо двух энергетических уровней Е2, Et атомов или молекул среды,
hv = Е2 — Et. 43 соответствии со сказанным в § 17.37 световая волна вызывает про-
процессы двух типов. Атомы, находящиеся на нижнем энергетическом уровне Ei9 в резуль-
результате поглощения квантов света hv переходят на уровень Е2. Число таких переходов
в 1 сек в 1 см3 равно q (v) Bi2Ni (см. A7.43)), где q (v) — спектральная плотность энер-
энергии в волне, Bi2 — коэффициент Эйнштейна для поглощения, Nt — концентрация
атомов на уровне Е±. Атомы, находящиеся на верхнем энергетическом уровне Е2,
в результате вынужденного излучения квантов hv переходят на уровень Ех. Число
таких переходов равно q (v) B2lN2, где B2l — коэффициент Эйнштейна для вынужден-
вынужденного излучения, N2 — концентрация атомов на уровне Е2. В результате переходов
Ei -> Е2 падающий пучок теряет в I сек в 1 см3 среды q (v) Bi2N± фотонов. В результате
же переходов Е2 -* Ei в световой пучок добавляется q (v) #21^2 фотонов. Поэтому
энергия Q, поглощаемая в 1 сек в 1 см3 среды, определяется выражением
Q = kvQ (v) (#12^1-#21^2). A9.94)
Коэффициенты Эйнштейна Bi2 и J?2i равны между собой и могут быть выражены через
коэффициент Эйнштейна для спонтанного излучения А21 (см. формулы A7.45а) и
*) В 1959 г. советским физикам Н. Г. Басову и А. М. Прохорову за разработку
нового принципа генерации и усиления радиоволн, создание молекулярных генерато-
генераторов и усилителей была присуждена Ленинская премия. В 1964 г. Н. Г. Басову,
А. М. Прохорову и американскому физику Ч. Таунсу за эти работы была присуждена
Нобелевская премия по физике. (Прим. ред.)
38 р. Дитчберн
594 ГЛ. 19. ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
A7.456). После этого
Ari-iV2). A9.95)
В этой формуле предполагается, что линия поглощения, соответствующая переходу
Ех -* E2i достаточно узка, так что q (v) в пределах ширины линии не меняется. Коэф-
Коэффициенты Эйнштейна A2l1 B2i п В12 представляют собой интегральные характеристики.
Так, коэффициент A2i может быть записан в виде
vf A9.96)
где a2i (v) dv есть вероятность спонтанного излученпя в интервале частот dv. Поскольку
a2i (v) dv имеет размерность сек, величина a2i (v) безразмерна. Кроме полного погло-
поглощения в линии Q можно найти также поглощение в интервале частот dv
Q{y) dv=hvq (v) -3^3 (Ni~Nz) «2i (v) dv. A9.97)
Эту же величину можно выразить через коэффициент поглощения 2а, введенный
в § 15.5. Пучку с плотностью энергии q (v) соответствует плотность потока энергии
Lv = q (v) с ( —2 л— ) , причем в соответствии с A5.1) энергия, поглощаемая
\^ СМ • С6К • ЗЦ у
в частотном интервале dv в 1 сек в 1 см3, равна
Q (V) dv = cQ (v) -2а (v) dv. A9.98>
Сравнивая A9.97) и A9.98), получим
2а (v) = g^- (^-J «21 (v) (Nt-N2). A9.99>
Если N2 = 0, то выражение A9.99) снова приводит к формуле A7.51). В общем случае-
при N2 =?= О вторым членом в A9.99) определяется поправка на вынужденное излу-
излучение.
В условиях термодинамического равновесия заселенность нижнего уровня
всегда больше заселенности верхнего, т. е. Л^ > N2 и 2а (v) > 0. Однако в неравно-
неравновесных условиях может осуществиться так называемая инверсная заселенность уров-
уровней, когда N2 > Ni. При этом коэффициент поглощения 2а (v), a также Q (v) стано-
становится отрицательным. Это означает, что при прохождении через вещество световой
пучок не ослабляется, а усиливается — за счет вынужденного излучения (переходы
Е2 ->■ Ej) в пучок поставляется больше энергии, чем теряется в результате переходов
Ei —>- Е2.
Важной особенностью вынужденного излучения является его когерентность
падающей волне. Излучаемые атомами в результате вынужденных переходов волны
по частоте, направлению распространения, поляризации и фазе тождественны падаю-
падающей волне и, следовательно, когерентны друг другу, независимо от того, каким образом
происходило возбуждение атомов на уровень Е2.
В силу этой когерентности вынужденное излучение, в отличие от спонтанного,
обладает рядом специфических свойств и во многом подобно излучению когерентно
возбуждаемых антенн. Так, это излучение может обладать очень высокой степенью
монохроматичности. Проще всего это объясняется аналогией с системой антенн.
Спектральный состав излучения системы антенн (имеется в виду излучение вследствие*
вынужденных колебаний) определяется временной нестабильностью питающего их
генератора и не зависит от диссипации энергии в антеннах. Кроме того, как будет
видно из дальнейшего, вынужденное излучение можно сделать очень направленным.
Из сказанного выше следует, что способностью усиливать излучение обладает
среда с инверсной заселенностью уровней: такую среду часто называют активной
и характеризуют коэффициентом усиления k (v) = — 2а (v).
Рассмотрим теперь, как будет излучать активная среда, помещенная между
двумя параллельными полупрозрачными зеркалами того же типа, что используются
в интерферометре Фабри — Перо. На рис. 19.8 показано, каким образом будут рас-
распространяться и усиливаться волны, излученные одним из атомов среды. Чем больше
путь, проходимый волной в активной среде, тем больше усиление. Для направлений,
перпендикулярных оси интерферометра, усиление будет наименьшим. Другим направ-
направлениям соответствует несколько больший путь и, значит, несколько большее усиление.
ПРИЛОЖЕНИЕ 19Б
595
На рис. 19.8 это схематически показано увеличением числа стрелок. В особенно благо-
благоприятных условиях находится волна, распространяющаяся вдоль осп интерферометра.
Эта волна дойдет до зеркала, отразится от него и пойдет в обратном направленпп,
продолжая усиливаться, затем снова отразится от второго зеркала н т. д. Если усиле-
усиление на длине L больше потерь, испытываемых волной при отражении, то с каждым
ходом волна будет усиливаться все больше и больше. Усиление будет продолжаться
Рис. 19.8. Усиление световой волны, испущенной атомом актив-
активной среды вдоль оси резонатора (интерферометра Фабри — Перо).
до тех пор, пока плотность энергии q (v) в этой волне не достигнет некоторого предель-
предельного значения. Это предельное значение можно оценить из следующих соображений:
инверсная заселенность уровней Еъ Et может иметь место, если к системе постоянно
подводится энергия, необходимая для возбуждения атомов на уровень Е2> Очевидно,
что энергия, выделяемая в результате вынужденных переходов Е2 -> Е± и пропорцио-
пропорциональная q (v), не может стать больше энергии, затрачиваемой на возбуждение атомов.
Иначе инверсная заселенность не сможет поддерживаться и среда перестанет быть
активной. Поэтому предельное значение q (v) практически определяется мощностью
процесса возбуждения атомов. Если эта мощность
достаточно велика, то в интерферометре устанав-
устанавливается стоячая волна с очень большой плот-
плотностью энергии q (v), а сквозь полупрозрачные
зеркала выходит наружу мощный поток излуче-
излучения. Поскольку для направлений, составляющих
с осью интерферометра даже небольшие углы,
условия усиления значительно хуже, чем для
осевого направления, выходящие пучки обладают
очень малой расходимостью. Телесный угол AQ,
в котором сосредоточен поток излучения, может
быть сделан порядка ( тг ) '
зеркал интерферометра. Для X = 1-Ю* см и
г;
г
W
где D—диаметр
1.
рфр
(К \^
-jr- ) ^ 10~"8. (Напомним, что для
обычных источников света A Q «* B -т~ 4) я.)
Для создания активной среды необходимо
селективное возбуждение атомов, обеспечиваю-
обеспечивающее инверсную заселенность какой-либо пары
энергетических уровней. Наиболее простым из
такпх методов (в принципиальном отношении)
П
Рис. 19.9. Схема энергетических
уровней атома, поясняющая ме-
метод оптического возбуждения.
Переход Eft -> Ei используется для
генерации световых волн с частотой
Еь-Е
является оптический
воз-
возд ( рц ) метод
буждения. Пусть система с энергетическими уровнями Ео, . . ., Ей #л, пока-
показанными на рис. 19.9, возбуждается электромагнитным излучением, причем
в спектре этого излучения содержится частота v=-
- и отсутствует частота
■. Тогда уровень Еь будет заселяться в результате переходов Ео
сопровождающихся поглощением квантов hv, а уровень Е% будет заселяться только
в результате спонтанных переходов 2?£-> Е%. Пусть в условиях стационарного воз-
возбуждения концентрация атомов на уровне Eh равна N^. Тогда число переходов
Efr—^Et в 1 сек в 1 см$, очевидно, равно NkAki, где A^i — коэффициент Эйнштейна
для спонтанного излучения. Пусть, далее, W — полная вероятность переходов
с уровня i на все нижележащие уровни и NtW — число таких переходов в 1 сек в 1 см9.
В стационарных условиях число переходов на уровень Ег должно быть равно числу
.38*
596
ГЛ. 19. ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
переходов с этого уровня на нижележащие уровни, т. е.
NkAhi =NtW. A9.100)
Отсюда следует, что отношение -г~=——больше единицы, т. е. обеспечивается инверс-
инверсная заселенность уровней к, i в том случае, если W > Aki. Оказывается, что подо-
подобрать уровни Еь, Е(, удовлетворяющие этому условию, совсем нетрудно. Гораздо
7 Z I
Рис. 19.10. Схема гелий-неонового лазера.
1 — отражающие концевые пластинки; 2 — электроды; 3 — окно,
4 — высокочастотное возбуждение.
труднее обеспечить такую мощность возбуждающего светового пучка, чтобы полу-
получить достаточно большие концентрации возбужденных атомов N2 и, следова-
следовательно, достаточно большие значения коэффициента усиления к (v). Существу-
Существуют и многие другие методы селективного возбуждения атомов и молекул как
Выходящий
пучок
Охлаждение
Рис. 19.11. Схема рубинового лазера.
Лазер получает «подкачивающую» энергию от импульсной лампы. Выходной луч проходит
через частично посеребренный конец рубинового кристалла. Луч образуется при многократном
отражении от концов кристалла рубина. Для охлаждения рубина применяется жидкий азот,
хотя возможна также работа при комнатной температуре. Показана лишь передняя стенка
кожуха лазера справа.
в газах, так и в твердых телах. Это позволило создать когерентные генераторы света,
работающие по описанному выше принципу, в которых в качестве активной среды
используются газы, газоразрядная плазма, твердые тела — диэлектрики и полупро-
полупроводники. Различные типы когерентных генераторов весьма сильно отличаются своими
ПРИЛОЖЕНИЕ 19Б 597
свойствами и основными параметрами, такими как мощность пз-пченпя, направлен-
направленность и монохроматичность, коэффициент полезного действия (кпд) Под к п. д
в данном случае понимается отношение энергии выходного светового п\ чка к анергии
затрачиваемой на возбуждение, т. е. на создание инверсной заселенности
Типичным примером газового генератора является гелий-неоновый генератор
показанный на рис 19.10 Генератор представляет собой кварцевую тр\бк\ дшной
в несколько десятков сантиметров (иногда 1—2 м) и диаметром порядка 1 см, напол-
наполненную смесью гелия и неона, в которой создается высокочастотный разряд На торцах
трубки помещаются полупрозрачные зеркала В результате различных процессов
возбуждения атомов, протекающих в разряде, заселенность ряда уровней неона ока
зывается инверсной Генератор дает излучение различных длин волн в видимой
и инфракрасной областях спектра, начиная от X 6328 А до К 3,913 мк. Излучение харак
теризуется очень высокой направленностью ( AQ<=* ( -=- j « 10"~8 J и очень высо
кой монохроматичностью. Спектральные ширины линий оказываются на много поряд
ков меньше, чем в случае спонтанного излучения Теоретически можно получить
ширины порядка долей герц Однако для этого нужно очень тщательно защитить
генератор от вибраций, изменения температуры, давления и т. п. Практически полу
чить спектральную ширину, меньшую 103 гц, чрезвычайно трудно. (Напомним, что
в случае спонтанного излучения спектральные ширины линий составляют примерно
1010 гц ) Газовые когерентные генераторы, работающие в непрерывном режиме, обла
дают сравнительно невысокой мощностью излучения, порядка 10 мет. Их основное
достоинство — рекордно высокая направленность и монохроматичность.
Значительно большей мощностью обладают генераторы, в которых в качестве
активной среды используется твердое тело. В импульсном режиме работы они позво-
позволяют получить излечение с мощностью вплоть до 109 и даже до 1010 вт Правда,
длительность таких импульсов излучения невелика — порядка 10~8 сек. По таким
характеристикам, как монохроматичность и направленность, они значительно усту-
уступают газовым генераторам
Примером когерентного генератора большой мощности служит рубиновый гене-
генератор, дающий излучение с длиной волны X 6943 А. Роль активной среды играет кри-
кристалл рубина, т е. кристалл А12О3 с примесью Сг. Обычно используются кристаллы
длиной в несколько сантиметров и поперечным сечением порядка 1 ел2. В таком
генераторе применяется оптический метод возбуждения. Ионы хрома, ответственные
за излучение, возбуждаются вспышкой импульсной ксенсновой лампы. Схема рубино
.вого генератора показана на рис 19 И, а его излучение — на рис. VI.
ГЛАВА 20
ОГРАНИЧЕНИЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ
ОПТИЧЕСКИХ ИНСТРУМЕНТОВ
Назначение оптических инструментов
20.1. Научные приборы должны обеспечивать возможность исследо-
исследователю получать полезную информацию, которую нельзя получить непо-
непосредственно при помощи органов чувств. Оптические инструменты и опти-
оптические измерения можно подразделить на два типа в зависимости от вида
предоставляемой ими информации.
1. Фотометрические устройства, предназначенные для обнаружения и измерения
радиации и анализа ее распределения по длинам волн.
2. Инструменты, предназначенные для изучения относительного расположения
объектов; они анализируют (или воспроизводят в увеличенном масштабе) распреде-
распределение освещенности в выбранной плоскости объекта.
Во многих приложениях оптические инструменты используются для
анализа выходного сигнала постоянного источника излучения или для
измерения расположения объектов, которые за время наблюдения не сме-
смещаются заметным образом. Встречаются, однако, и такие задачи, в кото-
которых ход изменения явления во времени весьма существен. Примерами
могут служить исследования излучения в импульсе газового разряда
и измерения скорости быстро движущегося тела.
Глаз может различать пространственно разделенные предметы и сле-
следить за движением, происходящим с умеренной скоростью. Вместе с тем,
глаз мчзжет регистрировать изменения яркости и цвета, так что он одно-
одновременно функционирует как прибор обоих упомянутых выше типов.
Некоторые приборы могут выполнять подобный анализ, но много-
многосторонность и приспособляемость глаза не достигнута пока ни в одном
из них.
Случайные и принципиальные ограничения
20.2. Можно выделить «случайные» ограничения возможностей опти-
оптических инструментов, обусловленные конкретными свойствами оптиче-
оптических материалов, и «принципиальные» их ограничения, вытекающие
из общих свойств излучения и вещества. В учебнике физики слу-
случайным ограничениям неизбежно отводится намного меньше места, чем
принципиальным. Однако об их практической важности ни в коем
случае не следует забывать. К этим ограничениям относятся сле-
следующие:
1. Неполное исправление хроматической аберрации оптических систем, ввиду
практической ограниченности набора показателей преломления и дисперсии доступ-
доступных оптических материалов.
2. Ограничения, связанные с неполной прозрачностью оптических материалов
в инфракрасной и ультрафиолетовой областях.
3. Ограничения за счет неизбежных дефектов в устройстве прибора.
ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ 599
Наиболее важные, принципиальные ограничения следующие:
1 Ограничения, налагаемые первым и вторым нача1амп термодинамики
2 Ограничения, связанные с волновыми свойствами света (особенно с дифрак-
дифракцией)
3 Ограничения, налагаемые квантовыми законами взаимодействия пзллчения
€ веществом
Ни одно из них нельзя рассматривать в полном отрыЕе от дрлгпх.
Имеется определенная связь между волновыми и корпуск> чярными свой-
свойствами, приводящая к своеобразному ограничению, которое мы называем
соотношением неопределенности. Мы увидим также, что, когда измерение
необходимо выполнить за короткое время, имеет место связь межд^ огра-
ограничениями, обусловленными термодинамикой и временнйм разрешением
инструмента
Понятие о теории информации
20.3. Математическая теория передачи и измерения информации
была развита в связи с теорией использования электрических линий
передач как средства связи. Применение этой теории в оптике не приводит
к открытию каких-либо новых физических законов, но обнаруживает
связь между теориями оптических инструментов двух типов, о которых
говорилось в § 20 1. Оно также показывает, каким образом ограниченные
возможности измерений с помощью этих инструментов связаны с огра-
ограничениями других физических измерений. В последующих параграфах
мы сформулируем лишь некоторые основные идеи теории информации.
Для более детального изучения теории можно порекомендовать работы
[20 1—20 3] Ее приложения к оптике рассматриваются в [20.4, 20 5].
20.4. Мы примем в качестве единицы количества информации инфор-
информацию, получаемую при выборе одной из двух равновероятных возмож-
возможностей — ответ на вопрос, допускающий лишь два ответа, например
«да» или «нет» Эту единицу называют двоичной (бинарной) единицей
количества информации (сокращенно «бит» *). Если, например, кидают т
монет, то относительно каждой монеты можно задать вопрос: «выпал ли
орел?», и т ответов дадут полную информацию относительно результатов
бросания. Количество информации в этих т ответах равно т бит.
Поскольку при бросании т монет возможно 2т перестановок орла
и решки **), т бит информации выбирает одно из 2т равновероятных
событий; таким образом, т, равное, очевидно, log2 2m, есть мера неопре-
неопределенности, устраняемой утверждением, что данное конкретное событие
имело место. В более общем случае, если имеется п равновероятных
событий с вероятностью р = 1/л, то количество информации в утвержде-
утверждении, что одно из этих событий имело место, определяется как
H = \ogn= —logp. B0 la)
Если приняты двоичные единицы, то в соотношении B0.1а) логарифм
взят при основании 2
Пусть теперь ряд событий имеет вероятности р4, /?2, . . ., рп п изве-
известно, кроме того, что имело место одно и только одно из этих событий, т е.
2 р.-1.
1=1
*) Слово бит получается в результате сокращения английского названия бинар-
бинарной единицы информации «binary unit» (Прим, ред)
**) Предполагается, что все монеты ничем не отличаются др>г от друга.
600 ГЛ. 20. ОГРАНИЧЕНИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ОПТИЧЕСКИХ ИНСТРУМЕНТОВ
Если выполнить очень много наблюдений, то событие i будет иметь место
в доле общего их числа, равной /?*, и, согласно B0.1а), количество инфор-
информации в наблюдении, что i-e событие произошло, равно — log pt. Поэтому
среднее количество информации в одном наблюдении равно
H=-%iPi\ogPl. B0.16)
Заметим, что рг всегда меньше единицы, так что logj^ отрицателен,
т. е. Н — положительно.
Определенное выше количество информации есть мера устранен-
устраненной неопределенности. В пределе при />*-*1 (при этом другие вероятности
стремятся к нулю) количество информации Н тоже стремится к нулю.
Это соответствует тому, что утверждение, которое просто повторяет нечтог
уже заведомо известное как истинное, не несет никакой информации.
Из определения также следует, что полная информация при бросании т
монет в т раз больше информации, полученной при бросании одной
монеты. В обоих случаях определение информации согласуется с интуи-
интуитивными представлениями, но рассмотренная здесь мера информации
однозначно определяется вероятностями различных событий. Важность
этого обстоятельства часто игнорируется.
20.5. Пусть экспериментатор имеет измерительную линейку длиной L,
разделенную на равные интервалы длиной г), но не располагает никаким
способом для дальнейшего разделения каждого интервала на более мелкие
отрезки. Он измеряет предмет, помещая один конец измерительной
линейки у края предмета, и фиксирует номер интервала (х), на который
приходится другой конец предмета. В данном случае увеличение инфор-
информации равно log2 L/r\, поскольку выбрана одна из L/ц возможностей.
При этом мы предполагаем, что до начала измерения было известно, что
размеры предмета не превышают L. Указанное увеличение информации
бесконечно велико, если г\ = 0, т. е. если выполнено абсолютно точное
измерение в конечной и непрерывной области. Точно так же увеличение
информации бесконечно, если L бесконечно, а т] остается конечным,
т. е. при измерении в неограниченной области с конечной ошибкой. Все
это находится в согласии с повседневным опытом, согласно которому
ни то, ни другое измерение (приводящее к бесконечному возрастанию
информации) невозможно.
20.6. Более правильно допустить, что перед началом измерения неко-
некоторая величина имеет вероятность р0 (х) оказаться в интервале от
( х —-к- dx j до ( х +^ dx ) и что в результате измерения вероятность стано-
становится равной pt (x). Тогда по аналогии с B0.16) увеличение информации
можно записать в виде
оо оо
Д#== \ p0logp0dz — \ /?!log pi dx, B0.2a)
— оо —оо
где р0 и рх удовлетворяют условию нормировки
pdx = i, B0.26)
так что полная вероятность равна единице как, до, так и после измерения.
ШУМЫ
601
Если р0 — медленно меняющаяся функция (этого следует ожидать,
если до измерения мы обладаем небольшой информацией), a pL имеет
острый максимум (соответствующий высокой точности измерения), то АН
велико (см. упражнение 20.1) (рис. 20.1).
Отметим, что полученная в результате
измерения информация должна рас-
рассматриваться по отношению к ранее
известной.
Если р0 постоянно в интервале от 0 до 1
и равно нулю вне него, то соотношение B0.26)
означает, что р0 = i в этом интервале и пер-
первый член в B0.2а) обращается в нуль. Тогда
величина
1_U
Нс= — \ plogpdx
B0.2b)
Рис. 20.1.
дает разность между количеством информа-
информации, полученной в результате измерения и
образования функции распределения р, и информацией о том, что искомая величина
лежит в единичном интервале переменной х. Отметим, что величина Нв B0.16) является
в некотором смысле абсолютной мерой информации, тогда как величина Нс в B0.2в)
дает количество информации относительно «нуля», который зависит от выбора системы
координат.
Шумы
20.7. Под термином шумы понимается любая нерегулярная флуктуа-
флуктуация, которая возмущает измерительную систему, причем это возмущение
не может быть предсказано в деталях и поэтому уменьшает точность
Входной
сигнала;
Информация
Прием-
ни/г
Рис.
Усилитель
20.2.
Выходной
Информация Н(у)
измерения. Общая теория влияния шумов на прием и передачу информа-
информации была впервые развита для электрических линий передач, но мы будем
все время использовать в качестве примера приемники излучения.
На приемную систему (рис. 20.2) поступает входной сигнал х, кото-
который может меняться во времени (непрерывно или скачкообразно).
Поскольку величина входного сигнала в каждый данный момент может
принимать различные значения, определенная последовательность наблю-
наблюдений содержит информацию, количество которой мы обозначим через
Н (х). Пусть выходной сигнал у несет информацию Н (у). Если бы шумов
приемника не было, то каждый раз значению входного сигнала xt соот-
соответствовало бы всегда одно и то же значение у^ на выходе приемника.
Тогда Н (у) было бы равно Н (х). В присутствии шумов различные входные
сигналы могут дать один и тот же выходной и, наоборот, данному вход-
входному сигналу могут соответствовать различные выходные сигналы. Обоз-
Обозначим через Н (х, у) полное количество информации, ко1*да известны как
входной, так и выходной сигналы, т. е.
Н(х, у) =
B0.3)
'602 ГЛ. 20. ОГРАНИЧЕНИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ОПТИЧЕСКИХ ИНСТРУМЕНТОВ
где Нх (у) — мера неопределенности на выходе при известном входном
сигнале, а Ну (х) — неопределенность на входе, когда известен выходной
сигнал. Две эти величины называются
условной информацией.
В присутствии шумов Н (у) может
превосходить Н (х), поскольку шумы
приводят к увеличению числа возмож-
возможных значений выходного сигнала и,
следовательно, к увеличению неопре-
неопределенности, которая устраняется наблю-
дением определенного сигнала на выхо-
Рис. 20 3. Площадь общего участка *е- °«HaK0 на? интересует не полное
представляет инфорхмацию о входном количество информации на выходе (у),
•сигнале, содержащуюся в выходном а информация относительно входа (х),
сигнале. которую можно получить, проводя на-
наблюдение, над у. Эта последняя всегда
уменьшается вследствие наличия шумов. Определенная выше величина
Нх(у) характеризует информацию, не связанную со входом.
Скорость, с которой информация может передаваться вдоль системы
(т. е. скорость, с которой информация относительно х может получаться
в виде отсчетов на у), равна
R = H'(y)-H'x(y), B0.4)
где Н' (у) и Нх (у) — отсчеты, получаемые 'за единицу времени.
Флуктуации*)
20.8. Пусть выходной сигнал у измерительного инструмента подвер-
подвержен нерегулярным флуктуациям, которые имеют место даже при постоян-
постоянном входном сигнале. Пусть у — среднее значение неограниченно боль-
большого числа независимых отсчетов у. В дальнейшем мы увидим, что для
получения независимых отсчетов интервал времени между последова-
последовательными отсчетами должен быть больше некоторого промежутка, завися-
зависящего от постоянной времени прибора. Пусть yt — какой-либо отсчет сиг-
сигнала на выходе приемника. Тогда разность (Ay)i = у% — у между этим
отсчетом и средним значением отсчетов называется флуктуацией вели-
величины отсчета. Из этого определения следует, что среднее значение флук-
флуктуации, найденное из независимых значений Дг/, равно нулю. Для харак-
характеристики величины флуктуации используется значение среднего квад-
квадрата (Aj/J, или дисперсия **). Имеем
= (уг -„)• = (у!) - 2yiV + (уJ = (у\) -(у)\ B0.5)
Влияние флуктуации на точность единичного отсчета и на среднее значе-
значение небольшого числа отсчетов называют ошибкой измерения.
Если измерение основано на анализе непрерывной записи выходного
сигнала или на каком-нибудь эквивалентном способе, то флуктуации
*) Общая теория флуктуации изложена в книге М. А. Леонтовича, Ста-
Статистическая физика, Гостехиздат, 1944. (Прим. ред.)
**) Очевидно, что употребляемый здесь термин дисперсия не имеет ничего общего
с явлением оптической дисперсии. Величину (у — уг)г называют также стандартом у.
(Прим. ред.)
АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНОЙ ЗАПИСИ СИГНАЛА 603
называют «шумами», причем этот термин относят как к хаотическим
флуктуациям, связанным со «случайными» причинами, так и к флуктуа-
циям, обусловленным дискретными свойствами вещества и излучения
(см. ниже § 20.17).
Часто приходится иметь дело с нормальным распределением флук-
флуктуации, когда вероятность флуктуации, равной у, дается выражением
где а — постоянная. Эта гауссова функция распределения показана
еа рис. 4.9.
со
Используя табличные интегралы, получаем \ р (у) dy = 1, в сог-
—с»
ласии с B0.26), и
оо
\ o\ B0.7)
так что а2 равно дисперсии флуктуации, а средняя квадратичная ошибка,
равная о, определяет наиболее вероятное значение ошибки.
20.9. Обозначим через (у)п среднее из п независимых отсчетов у. Тогда
Ку)п — У, т« е- разность между средним из п отсчетов и средним из бесконечно боль-
большего числа отсчетов, можно рассматривать как флуктуацию. В учебниках по статисти-
статистической теории ошибок (см. [20.6]) показывается, что если у следует нормальному
распределению B0.6), то (у)п также следует нормальному распреде-
распределению с дисперсией флуктуации 0Д = о2/п, т. е. можно ожидать, чтв среднее
из п отсчетов будет иметь «ошибку» (в смысле отклонения от среднего из бесконечного
числа отсчетов), которая в У~п раз меньше ошибки отдельного отсчета. Это соотноше-
соотношение остается приближенно справедливым даже тогда, когда распределение р (у) замет-
заметно отлично от B0.6). Поскольку нас интересует скорее порядок величины ошибки, чем
точное ее значение, мы будем предполагать, что B0.6) выполняется во всех предста-
представляющих для нас интерес случаях.
Упражнение
20.1. При помощи B0.2а) вычислить АН, если р0 и pi даются формулой B0.6)
•при а0 = 10 и ot = 1 соответственно.
[log (ao/q) = In 10; см. приложение 20А.]
Анализ непрерывной записи сигнала
20.10. Методы, изложенные в §§ 20.5—20.7, применимы как в случае
дискретной информации (например, выходной сигнал счетчика фотонов),
так и в случае непрерывной информации (например, выходной сигнал
болометра или фотоумножителя).
Ограничимся теперь рассмотрением специального случая информации
в форме непрерывной записи, дающей значения выходного сигнала у
в функции времени у = / (t). Используя преобразование Фурье, можно
найти частотный спектр g (Q) функции / (t) и затем вычислить функцию
B0.8)
604 ГЛ. 20. ОГРАНИЧЕНИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ОПТИЧЕСКИХ ИНСТРУМЕНТОВ
Эту функцию можно также определить из функции корреляции / (t)~
Будем называть функцию G (Q) спектральной мощностью сигнала*)
(рис. 20.4).
20.11. Чувствительность болометра очень мала на частотах, суще-
существенно больших 1/т, где т — постоянная времени прибора (см. § 103
и формулу A0.86)). Фотоэмиссионные устройства чувствительны вплоть
до весьма больших частот и воспроизведение с их помощью очень быстрых
флуктуации обычно лимитируется механической частью записывающего
устройства. Определенные ограничения частотной чувствительности при-
присущи всем физическим измерительным системам. Бесконечно быстрые
Q
Рис. 20.4. Сплошная линия представляет функцию G (Q)
для одной короткой записи; пунктирная линия —
функцию G (Q).
изменения входного сигнала (даже если бы они были возможны) нельзя
точно воспроизвести на регистрирующем устройстве. Хотя обычно чув-
чувствительность большинства систем не обрывается резко до нуля при
какой-то строго определенной частоте, удобно рассматривать систему,
для которой g (Q) и G (Q) пренебрежимо малы, если Q превышает неко-
некоторое предельное значение QL.
Теорема о пробных точках
20.12. Если отсчеты в любых двух точках непрерывной записи сиг-
сигнала совершенно независимы, то эта запись будет содержать такое же
количество информации, как и бесконечное число индивидуальных отсче-
отсчетов значения этого сигнала. Поскольку, как мы уже убедились вышег
отсчет в момент t зависит от входного сигнала в течение конечного
интервала времени, предшествующего моменту t, отсчеты в соседних
точках записи не будут независимы. В последующих разделах мы покажем,
что в пределах интервала, меньшего n/QL, нельзя получить совершенно
независимые отсчеты и что полная информация, содержащаяся в непре-
непрерывной записи длиной £0, не превосходит информации, содержащейся
в QLtQln совершенно независимых отсчетах.
Пусть у = f (t) — записанный выходной сигнал, а функция g (Q) —
фурье-преобразование / (t) — равна нулю для частот, превосходящих QL.
*) Заметим, что функция G (Q) имеет размерность произведения [у2] на единич-
единичный интервал частот. Если у —мощность, измеренная приемником излучения, то G ( Q)
имеет размерность квадрата мощности на единичный интервал частот, т. е. может
не совпадать с размерностью спектральной плотности в теории электрических
передач.
ТЕОРЕМА О ПРОБНЫХ ТОЧКАХ 605
Допустим пока, что запись бесконечно длинна. Так как функция g (Q)
определена в конечной: области, ее можно представить рядом Фурье
<см. D.49))
, B0.9)
п=—оо
т. е. *)
оо оо
/(*)=» 2 Ф^ I expi(nnQ/QL-Qt)dQ. B0.10а)
Выполняя интегрирование, получаем
со
f(t) = QL]/^- 2 Cnsiuc(QLt — nn), B0.106)
п=—оо
где
B0.10b)
Функция F (U) = (sine UJ показана на рис. 6.16. Пусть у0 . . . уп — зна-
значения / (t) в моменты 0, ti, 2tt, . . ., ntu причем ^ = n/QL. При t = ntt
величина sine (QLt — ия) равна единице, а все остальные члены в правой
части формулы B0.106) равны нулю. Следовательно, ^п=|/-^-^
и B0.106) приводится к виду
/(*)= 2 »№sinc(QL*-7irt). B0.11)
Таким образом, функция / (t) полностью определяется ее значениями
в пробных точках уи . . ., уп. Если значения уи . . ., уп нанесены
на график, то имеется одна и только одна кривая, проходящая через эти
точки, фурье-преобразование которой ограничено областью частот 0 — QL»
Фурье-преобразование и спектральная мощность сигнала также пол-
полностью определены формулами B0.9) и B0.8).
20.13. До сих пор мы полагали, что длина записи неограниченно
велика и что можно получить бесконечно большое число пробных точек.
Допустим теперь, что запись простирается от —Nt% до -\-Ntt (т. е. вклю-
включает BN + 1) пробных точек). Из материала, приведенного в § 6.19,
и из графика на рис. 6.16 следует, что функция sine x имеет большой
центральный максимум и серию побочных, величина которых быстро
спадает. Таким образом, если х значительно больше я, величина sine а:
всюду мала. Поэтому, если с помощью формулы B0.11) вычислять у
в некоторой точке А, лежащей между пробными точками п и п + 1, то,
как правило, основной вклад в ряд дадут п-й и (п + 1)-й члены, значи-
значительно меньший — (п — 1)-й и (п -f- 2)-й члены и лишь весьма незначи-
незначительный вклад — все остальные члены. Следовательно, значение у в точке
А можно определить достаточно точно, если известны уп-и Ут Уп+и
*) См. формулу D.63); относительно включения частот от —Q^ до 0 наряду
с частотами от 0 до +Ql см. приложение 4Б.
606 ГЛ. 20 ОГРАНИЧЕНИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ОПТИЧЕСКИХ ИНСТРУМЕНТОВ
г/Л+2*). Всю функцию в области от —Ntt до +Nt% можно определить
по известным ее значениям в пробных точках, лежащих в той же области
(исключение составляют небольшие участки у границ области). В этом
смысле теорема пробных точек применима к записям конечной длины.
20.14. Теорему пробных точек можно применить и к частотному
спектру g (Q), полученному из записи конечной длины. Если на такой
интервал времени приходится 2N + 1 пробных точек, то на частотный
интервал приходится N + 1 точка, так как для описания частотного
спектра до границы QL необходимо знание фаз и амплитуд для N частотт
а также член, соответствующий нулевой частоте. Аналогичную теорему
можно сформулировать для G (Q), но, поскольку эта функция содержит
информацию только об амплитудах (но не о фазах), построить по ней
/ (t) нельзя.
Если относительно функции g (Q) заранее известно лишь то, что
она определена только в области 0 — Qb, то отсчеты в пробных точках
у0 . . . уп независимы, и запись / (t) содержит то же количество инфор-
информации, что BN + 1) независимый отсчет. Если, наоборот, мы распола-
располагаем некоторой информацией о значениях функции внутри этой области г
то новая информация, даваемая записью, оказывается меньшей. Значения
отсчетов в пробных точках тогда не вполне независимы (см. [20.3]).
20.15. Функция у = / (t) полностью определяется своими значениями в пробных
точках, и поэтому следует ожидать, что среднее квадратичное ( \ у2 dtj также
можно вычислить, если заданы у0, . . ., у^. Действительно, имеем
Ntt оо N 2
J y*dt = J | 2 ynSinc(QL* —ля)} dt B0.12a)
оэ
\
\ sine (л? —
sine (а? — тп) sine (х—nn)dx = 0 при п ф т,
х—nri)dx = n при п = т.
Тогда
Мг N N
I ==ik 2 Уп=и 2 vh B0.126)
а среднее значение за интервал времени от —Nt% до +Ntt равно
«• <20Л2в>
т. е. среднее значение функции у2 равно среднему от ее значений в пробных точках.
Справедливо также аналогичное утверждение относительно значений функции
в пробных точках частотного интервала.
20.16. Обе функции / (t) и g (Q) не могут быть одновременно строго определены
в конечной области значений аргументов. Одна из них может быть строго определена
в конечной области, а другая может быть малой вне какой-то заданной области. При-
Приведенное выше рассмотрение справедливо в хорошем приближении, когда / (t) весьма
мало вне области от — Ntt до -f-Ntlf a g (Q) весьма мало вне области от 0 до QL.
*) Конечно, может случиться, что yn-i, yn, yn+i, Уп+2 равны нулю. Тогда необ-
необходимо использовать другие члены, но величина у в точке А во всяком случае мала.
БЕЛЫЙ ШУМ 607
Спектр шумов
20.17. Пусть выходной сигнал измерительного устройства записы-
записывается при постоянном входном сигнале. На записи будут обнаружи-
обнаруживаться флуктуации. Обычно они обусловлены внутренними процессами
в измерительной системе, но удобнее связывать их с некоторым вообра-
воображаемым входным сигналом со спектральной мощностью GN(U). Эту мощ-
мощность называют (эквивалентной входной) спектральной мощностью
шумов *). Анализ записи выходного сигнала дает функцию г2 (Q) GN (Q),
где г (Q) — реакция измерительной системы. Пусть функция r(Q>
известна; тогда GN (Q) может быть
вычислена **). Допустим также,
что запись достаточно длинна,
чтобы включать много пробных
точек. Функция GN (Q) обычно
обнаруживает ряд нерегулярных
изменений. При увеличении длины
записи флуктуации становятся
менее выраженными, и можно*на-
чертить сглаженную кривую фун-
фунаB)
J V
кции 7Г^~Щ) (рис. 20.5). Эта фун-
функция может не иметь ничего об-
общего с одной короткой записью, ~ ол с ^
^ Рис. 20.5. Средняя спектральная мощность
но она характеризует шумы и от- для синусоидально модулированного сиг-
ветственные за них физические нала (i) и для шумов B).
процессы.
Обычно приходится иметь дело не со значением GN (Q) для опреде-
определенной заданной частоты, а со средним значением ее по интервалу
частот AQ. Если этот интервал достаточно велик, чтобы включать много-
пробных точек, GN (Q) можно заменить на GN (Q).
Белый шум
20.18. Шум называется белым, если гистограмма (запись во времени)*
значений у в пробных точках записи приближенно представлена нор-
нормальным распределением B0.6) ***). Согласно § 20.15, средняя квадра-
квадратичная мощность шума равна среднему квадратичному значению отсчетов
в пробных точках, т. е. в соответствии с § 20.8 равна а2. Можно показать,
что для шумов такого типа амплитуда в любой из пробных точек частот-
частотного спектра имеет нормальное распределение и притом одно и то же
во всех точках, за исключением, быть может, окрестности QL. Таким
образом, средняя спектральная мощность шума GN (Q) почти постоянна
в области 0 — QL, и мы можем ввести постоянную величину
G'N = ^G^W, B0.13)
которая называется мощностью шума в единичной полосе частот. Мно-
Множитель 1/2я вводится потому, что Q, в отличие от ширины полосы частот,
является круговой частотой.
*) Сноска на стр. 604 относительно размерности спектральной мощности сиг-
сигнала применима и к мощности шума.
**) Для простоты здесь можно положить г (Q) = const.
***) Здесь предполагается, что у представляет только флуктуации и, следова-
следовательно, р* = 0.
608 ГЛ 20 ОГРАНИЧЕНИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ОПТИЧЕСКИХ ИНСТРУМЕНТОВ
Отметим, что гистограмма значений нашей функции в пробных точках не следует
точно нормальному распределению, поскольку исключены очень высокие частоты
и она получена из записи конечной длины и подвержена статистическим вариациям.
Все рассматриваемые ниже типы шумов (тепловой шум, дробовой шум, фотон-
фотонный шум) с достаточно хорошим приближением можно считать белыми шумами *).
Имеются также другие типы шумов, для которых функция #77^) обратно пропор-
пропорциональна Q везде, за исключением области очень низких частот. Для дальнейшего
нам достаточно допустить, что Gs* (Q) постоянна в небольшой области частот AQ.
Отношение сигнала к шуму
20.19. Пусть о некоторой записи заранее известно, что она является
записью белого шума со средней квадратичной мощностью на выходе,
равной QN. Тогда количество информации в единицу времени можно
подсчитать, подставляя B0.6) в B0.2в) (см. приложение 20А),
H'(N) = %log2neQN. B0.14)
В теории связи каждый входной сигнал рассматривается как «сообщение»
и обычно считается, что средняя квадратичная мощность сигнала Qs
известна. Информация передается отклонениями от этой средней вели-
величины в различных пробных точках. Предполагается, что при оптималь-
оптимальных условиях заранее об этих отклонениях ничего не известно, так что
статистический анализ отклонений от среднего значения в пробных точках
(в очень большом числе сообщений) дал бы нормальное распределение
вида B0.6). При одновременной передаче большого числа сообщений
возникает белый шум. Количество информации, получаемое за 1 сек
приема данного сигнала, находим, подставляя в B0.14) Qs вместо QN.
Можно показать, что полная мощность сигнала и шума равна сумме
мощностей сигнала и шума, взятых в отдельности **). Количество инфор-
информации в секунду И' (у), содержащееся в сигнале, искаженном шумом,
получится, если в B0.14) подставить вместо QN (Qs+Qn)- Скорость
получения информации о входном сигнале находится подстановкой
в B0.4) величины
^Щ^ B0.15)
Информация в расчете на пробную точку (т. е. за один отсчет) равна
Tlg QN ' ( }
т. е. стремится к -j log Qs/Qn при Qs > Qn и к -^Qs/Qn при Qs < Qn-
Таким образом, некоторую информацию можно получить из записи
даже тогда, когда выходной сигнал слабее шума на выходе, но скорость
поступления информации при этом очень мала. Например, в корреля-
корреляционном интерферометре отношение сигнала к шуму может быть очень
мало, и для получения сколько-нибудь существенной информации необхо-
необходимо очень длительное наблюдение.
*) Шумы любого типа, для которых функция Cv (Q) постоянна или мало меняется
в зависимости от Q в интересующей нас области этого аргумента, называются белым
шумом.
**) В справедливости этою утверждения можно убедиться, рассматривая узкий
частотный интервал. Согласно определению шума, сигнал и шум всегда некогерентны
в этом интервале, и поэтому мощности (они соответствуют интенсивности световых
пучков, юассмотвенных в § 5.2^ полжны склапываться.
ПРЕДЕЛ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ 609
20.20. В случае реальных инструментов мы обычно заранее обладаем
значительно большей информацией, чем предполагалось в § 20.19, и сле-
следовательно, количество новой информации, поступающей в результате
измерения, существенно меньше того, что дает формула B0.16). Прибли-
Приближение к рассмотренному выше положению имеет место в том случае,
когда приемник излучения используется для измерения светового потока
от ряда источников, интенсивность которых первоначально пред-
предполагалась совершенно беспорядочно распределенной около некоторого
среднего значения (примером может служить совокупность звезд со зна-
значениями яркости, группирующимися вокруг некоторой звездной вели-
величины). В этом случае Q% представляет собой среднее квадратичное откло-
отклонение от среднего значения. Мы хотим узнать, насколько световой поток
от данной конкретной звезды отличается от среднего потока. Если бы
мы могли выполнить достаточно точное измерение, то нам удалось бы
обнаружить малое отклонение от среднего значения. Приведенное выше
рассмотрение показывает, что если Qs<C QN, то для обнаружения такого
отклонения с большой вероятностью необходимо провести очень дли-
длительное наблюдение. В частности, если требуется «обнаружить» весьма
слабый источник света, необходимо посмотреть, превосходит ли сигнал,
поступающий на приемник с данного направления, некоторую величину,
принятую за предел чувствительности. Проведенное рассмотрение пока-
показывает, что если этот предел меньше, чем корень от среднего квадратич-
квадратичного уровня шумов, то потребуется очень большое время наблюдения.
Предел чувствительности
20.21. Рассмотрим теперь задачу обнаружения и измерения сину-
синусоидально модулированных по амплитуде (см. § 10.9) световых пучков
от слабых источников излучения. Обозначим их амплитуду через Ро>
а частоту модуляции через Q. Если наблюдение проводится в течение
времени t0, то спектр мощности модулированной волны имеет ширину *)
AQ, приближенно равную n/t0 (см. пункт 11 приложения 4Б). Первич-
Первичный выходной сигнал приемника излучения пропускают через электри-
электрическую цепь, которая должна быть настроена на пропускание полосы
частот от (£2 —-^ AQJ до f Q-f-^AQ J. Окончательная мощность выход-
выходного сигнала равна Qs ~ г2Р\, где г — полная чувствительность прием-
приемника и усилителя для частоты Q. Поскольку шумы ограничены полосой
пропускания электрической цепи, выходной сигнал искажен шумом
мощностью t2GtvAQ. Входной сигнал PN, который дал бы на выходе
тот же шум, пропорционален (AQI^, т. е. ^1/2.
Хотя фактически приходится сравнивать сигнал и шум на выходе,
нас интересует не минимальный выходной сигнал, который еще можно
обнаружить, а минимальный входной сигнал. (Выходной сигнал можно
увеличить при помощи дополнительных каскадов усиления.) Следова-
Следовательно, сопоставляя различные приемники, мы должны вычислить поток
P'n падающего излучения, который в отсутствие шумов дал бы средний
квадратичный выходной сигнал, равный мощности шума в единичной
полосе частот, так что
♦) Точное значение коэффициента пропорциональности зависит от того, на-
насколько резко обрывается цуг волн.
*/г 39 р. Дитчберн
610 ГЛ. 20 ОГРАНИЧЕНИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ОПТИЧЕСКИХ ИНСТРУМЕНТОВ
Для характеристики возможностей обнаружения предельно слабых
источников с помощью данной измерительной системы вводят величину Df
называемую пределом чувствительности
P'n иногда называют шумовым эквивалентом входного сигнала на еди-
единичную полосу частот. У некоторых приемников ширина полосы бывает
менее 1 гц. Если, например, полоса частот составляет 0,1 гц (минимальное
время наблюдения 10 сек), то отношение сигнала к шуму в три раза лучше,
чем в случае полосы частот, равной 1 гц. Поэтому было бы неправильно
называть Р'\ минимальной обнаруживаемой мощностью. Минимальная
обнаруживаемая мощность обратно пропорциональна корню квадрат-
квадратному из времени наблюдения при условии соответствующего подбора
ширины полосы пропускания усилителя. Величина предела чувствитель-
чувствительности служит одним из важных, но не единственным критерием качества
приемника излучения. Чрезвычайно существен также выбор соответ-
соответствующей величины постоянной времени т.
Источники шумов
20.22. Шумы в приемниках частично связаны со случайными при-
причинами (например, с нерегулярными электрическими «утечками» вдоль
диэлектрических поверхностей) и, частично, с принципиальными фак-
факторами. Здесь нас интересуют лишь общие ограничения возможностей
измерения, и поэтому мы ограничимся лишь фундаментальными источ-
источниками шумов. Соответствующие флуктуации связаны с атомной струк-
структурой вещества и с квантовой природой взаимодействия излучения с веще-
веществом. Их можно разбить на два типа: а) флуктуации, связанные с постоян-
постоянной Больцмана к, и б) флуктуации, связанные с постоянной Планка h
и зарядом электрона е. Если соответствующая константа обращается
в нуль, флуктуация исчезает *). Все флуктуации вычисляются на основе
статистической механики.
Тепловые флуктуации
20.23. Классическая термодинамика приписывает каждой степени
свободы системы в термодинамическом равновесии кинетическую энер-
энергию **), равную \12кТ. Вращающаяся катушка или магнит гальвано-
гальванометра имеют одну степень свободы и при термическом равновесии совер-
совершают нерегулярные движения с дисперсией угла поворота А02, опреде-
определяемой соотношением
или
A62 = -j-, B0.17)
где G — постоянная кручения, к — постоянная Больцмана.
*) Отметим, что постоянная Больцмана к связана с энергией, приходящейся
на степень свободы. Если масса атома неограниченно уменьшается, то число степеней
свободы на 1 г вещества неограниченно возрастает, т. е. величина к должна стремиться
К нулю, чтобы полная энергия теплового движения оставалась постоянной.
**) В нашем случае квантовыми поправками к закону равного распределения
энергии по степеням свободы можно пренебречь.
ТЕПЛОВЫЕ ФТ:УЬТУАЦИ11 611
Конденсатор емкостью 6, пластины которого соединены через сопротивление Л,
эквивалентен механической систе\е с одной степенью свободы, соответствующие
флуктуации разности потенциалов на пластинах имеют среднее квадратичное значе-
значение *) А у2, определяемое соотношением
1 1
2 CAv ~ 2 *Г>
т. е
— кТ
с B0.18)
Соответствующая фл^кт^ация тока составит
- *г 4£. <2019)
где т = CR — постоянная времени для разрядной цепи Любое сопротивление обла
дает некоторой емкостью и, следовательно, приводит к появлению флуктуационного
тока и напряжения
Упражнения
20.2. Вычислить значение (AG2I^2 для рамки гальванометра, подвешенной на
нити с модулем кручения 10~4 дин см, при температуре 27° С при разомкнутой цепи
рамки
[2 10~5 рад ]
20 3. Рамка гальванометра имеет период колебаний 1,5 сек и момент инерции
подвеса 10~2г см2 Найти среднее значение амплитуды броуновских кр\тильных коле
баний рамки при 27° С.
[8 10~6 рад )
20.4 Пластины конденсатора емкостью 10~3 чкф замкнуты на сопротивление
1000 ом Найти среднюю квадратичною фл>кт^ацыо тока в цепи сопротивления
[10~9а Указание При использовании дня расчета единиц ом и фара
да КТ надо выражать в системе единиц МКС ]
20 24. Колебания, описанные в предыдущем параграфе, имеют большое сходство
с открытым в 1828 г броуновским движением малых коллоидальных частиц Теория
этого движения, а также теория фл>ктлаций напряжения, была построена Эйнштей
ном A905) Колебания в гальванометре набтодашсь Моттем л Бургером A925),
использовавшими усилитель, и Лизингом A932) — без усиления **) Флуктуации
напряжения впервые были продемонстрированы Джонсоном A928) Их часто назы
вают джонсоновскил и uljmumu Важная общая теория ш>мов в цепи была сформули
рована Найквистом ***)
Обнаружение этих флуктуации требует наблюдения параметра,
описывающего какую-либо одну степень свободы Несколько иной тип
флуктуации имеет место, когда наблюдается среднее значение некоторой
величины, зависящей от большого числа степеней свободы Такой харак-
характеристикой является, например, внутренняя энергия термодинамической
системы На основе соошошения, полученного Эйнштепном, можно
показать, что между телом с малой теплоемкостью 83 и телом с большой
теплоемкостью, связанными через термическое сопротивление 31, проис-
происходит флуктуационный обмен энергией Это приводит к флуктуации
АЕ энергии малого тела, причем
Д£2 = &ЗЗГ2 = -^-, B0.20)
где т — тепловая постоянная времени (§ 10 9)
*) Подробно об «электрическом шуме» см [20 7]
**) См А Эйнштейн, М Смолуховский, Броуновское движение
(сборник статей), ОНТИ, 1936 (Прим ред )
***) См С М Р ы т о в, Теория электрических ппмов и теплового излучения
Издво АН СССР, 1953
39*
612 ГЛ. 20. ОГРАНИЧЕНИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ОПТИЧЕСКИХ ИНСТРУМЕНТОВ
Эти флуктуации энергии в свою очередь связаны с флуктуациями других свойств
(например, электрического сопротивления), которые используются для измерения
температуры. Таким образом, возникает неопределенность А Г в температуре, появляю-
появляющаяся при любом измерении по малому телу. В данном случае средняя квадратичная
ошибка составляет
Формулу B0.20) можно получить методом, аналогичным использовавшемуся в § 17.32.
Пусть система с возможными состояниями Ех . . . Еп находится в тепловом равновесии
с большим телом при температуре Т. Тогда по формуле Больцмана вероятность р (Еп)
того, что система окажется в состоянии с энергией Еп, пропорциональна ехр [—Еп/кТ].
Пусть а = j^jr и Z =г 2 еаЕп (суммирование производится по всем возможным состо-
состояниям). Тогда
2Епе"Е»__1 Ь2_
Е~ 1ечЕп ~ Z да ' BОгг)
_ Z£fc__ I d*Z
Е ~~^й*Г ~Т "ЭР"
дЕ 1 d*Z 1 ( dZ
Отсюда, используя формулу B0.5), получаем
или
Ш*=ЪкТ*, B0.256)
и, следовательно,
J№$t. da 1
Предел чувствительности для идеального теплового приемника
20.25. Рассмотрим тепловой приемник одного из типов, описанных
в §§ 10.5—10.10, и допустим, что шумы, обусловленные его электрической
цепью, пренебрежимо малы. Пусть датчиком служит металлическая
полоска болометра, изменение температуры которой под действием моду-
модулированного сигнала описывается выражением A0.8). Пусть на датчик
падает флуктуирующий пучок света. При этом мощность (Р'пJ, приходя-
приходящаяся на единичный интервал частот в пределах полосы чувствитель-
чувствительности приемника, имеет постоянное значение, существенно отличное
от нуля. Мощность на единичный интервал циклической частоты Q равна
(Р]уJ/2я, и, согласно A0.86) *),
Ш^4>2- <20-26>
о
Используя это выражение, находим с помощью B0.20) мощность экви-
эквивалентного шума на входе
^ B0.27)
*) Напомним, что т = S3Jt и dQ = 2я dv.
ПРЕДЕЛЫ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ДЛЯ ФОТОЭЛЕМЕНТОВ 613
где & = 1/Эг — теплопроводность. Далее, D (=l/P/v) имеет вид
B0-28)
Формула B0.28) показывает, что величина D повышается с уменьшением
<$, т. е. при улучшении тепловой изоляции датчика от окружающей
среды. Однако время установления отсчета на приборе обратно пропор-
пропорционально @, и необходимо учитывать, что время отсчета должно огра-
ограничиваться разумными пределами.
Пусть пучок света, модулированный частотой Q, падает на датчик, выходной
сигнал которого попадает в электрическую цепь с полосой пропускания от Q —т>- A Q
до Q + ~2" AQ. В отсутствие облучения в электрической цепи имели место флуктуации
со среднеквадратичной мощностью, пропорциональной AQ. В результате облучения
выходной сигнал сначала увеличится, а затем снова упадет до уровня флуктуации
относительно некоторого среднего значения. Сигнал приемника будет слабым, если
Q » 1/т (см. формулу A0.8)). Время, необходимое для установления отсчета, равно
величине порядка т или 1/AQ в зависимости от того, какая из двух величин больше.
Практически оказывается затруднительным получение в электрических устройствах
AQ меньше, чем 2я/10 (т. е. 0,1 гц). Реальные значения т приведены в табл. 10.1. Они
имеют величину порядка 10 мсек, так что Q/2tt не должно существенно превышать
100 гц.
20.26. Пусть приемником (датчиком) служит металлическая пластинка
площадью А, зачерненная с той стороны, на которую падает излучение
(излучательная способность ei = 1), и зеркальная с обратной стороны
(е2 = 0). Тогда, если температура пластинки превышает температуру
окружающей среды на малую величину Те, скорость отдачи тепла
равна
Ао {(Т + Tef—Г4} = 4аЛГ3Ге,
где а — постоянная Стефана. Эта величина, согласно определению ®
(см. 10.9), равна <ЗТе, так что формула B0.28) принимает вид
B0.29)
Подставляя численные значения, получаем для идеального теплового
приемника с площадью датчика 10 мм2 при температуре 300° С
D = 3-Ю10 впг1. Для ячейки Голея значение D составляет одну треть
от соответствующей величины для идеального приемника. По-видимому,
наиболее важной причиной отклонения от идеальных условий измерения
является отвод тепла от датчика на стенки прибора.
Для болометров и термопар при комнатной температуре значения D несколько
ниже, чем для ячейки Голея. Для идеального теплового приемника при 5° К D при-
примерно равно 7,5-1014 em, но ввиду электрических шумов сверхпроводящие боло-
болометры имеют значение D лишь в 15 раз лучшее (при пересчете на равную площадь),
чем ячейка Голея.
Пределы чувствительности для фотоэлементов
20.27. Катод фотоэлемента характеризуется квантовым выходом
q (Я), т. е. числом электронов, выбиваемых одним падающим квантом.
q (К) равно нулю, если К превышает пороговое значение Яо (см. § 17.2)
и меняется с изменением длины волны при X <£ Хо (см. рис. 10.8). В даль-
дальнейшем мы будем для простоты полагать q (X) постоянным при К < Хо-
614 ГЛ. 20. ОГРАНИЧЕНИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ОПТИЧЕСКИХ ИНСТРУМЕНТОВ
В реальных приборах q обычно лежит в пределах от 10~3 до 3-Ю.
Никакого измеримого промежутка времени между падением излучения
на фотокатод и испусканием электрона с его поверхности не наблюдается,
и поэтому постоянная времени приемника целиком определяется соот-
соответствующей электрической цепью или измерительными приборами.
В большинстве случаев красная граница катода фотоэлементов прихо-
приходится на видимую или ультрафиолетовую область спектра, но можно
изготовить и такие фотокатоды, для которых красная граница лежит
в ближней инфракрасной области A,2 мк). Даже такие фотокатоды чув-
чувствительны лишь к очень небольшой части теплового излучения при ком-
комнатной температуре. Поэтому флуктуации в испускании и поглощении
этого излучения не оказывают на них сколько-нибудь существенного
влияния. Предел чувствительности фотокатода определяется другими
источниками шумов и значительно выше, чем у тепловых детекторов.
Для идеального фотослоя площадью 1 см2 с Хо = 1,2 мк и q = 1 эквивалентный
шум на входе за счет флуктуации в поглощении и исщ екании теплового излучения
должен равняться 5-10~17 вгг. При Х0 = 0,7 .\ч он регистрировал бы лишь один квант
теплового излучения за 108 сек ! Если бы можно было изготовить фотослой с Хо = 10 мкг
он оказался бы чувствительным к большей доле теплового излучения и его предел чувст-
чувствительности не очень существенно отличался бы от предела чувствительности идеаль-
идеальных тепловых детекторов. Охлаждение сместило бы максимум спектра теплового излу-
излучения к большим длинам волн и восстановило бы преимущества фотослоя. При спектро-
фогометрических измерениях удобно использовать фотокатоды, которые нечувстви-
нечувствительны к более длинноволновой области спектра, чем исследуемая. Это позволяет
устранить влияние значительной части излучения, рассеянного в монохроматоре
Удается изготавливать фотослои, в которых Ко сдвинута в синюю сторону до 0,125 мк
A250 А).
20.28. Предел чувствительности фотоэлемента с последующим усили-
усилителем (см. рис. 10.3) определяется обычно джонсоновскими шумами в на-
нагрузочном сопротивлении RL. Это ограничение устраняется в фотоумно-
фотоумножителе, в котором ток с фотокатода усиливается внутри той же трубки
примерно в 10* раз без добавления каких-либо дополнительных шумов
к описываемому ниже дробовому шуму. Выходной сигнал очень чувстви-
чувствительного фотоумножителя в некоторых случаях оказывается все же недо-
недостаточным для измерительного прибора, так что приходится пользоваться
еще внешним усилителем. Джонсоновский шум от нагрузочного сопро-
сопротивления этого умножителя обычно значительно меньше дробового шума
на выходе фотоумножителя.
20.29. Фотоумножитель дает некоторый ток даже в отсутствие излу-
излучения. Часть этого темнового тока связана с электрическими утечками
вдоль поверхности диэлектриков. В достаточно совершенных конструк-
конструкциях эта часть мала и постоянна, так что изменения ее не дают заметного
вклада в шумы на выходе. Имеется, однако, дополнительный темновой
ток, который можно приписать термоэлектронной эмиссии с фотокатода.
Флуктуации числа электронов, испущенных таким образом в какой-то
определенный промежуток времени, составляют так называемый дробовой
шум *). Эти флуктуации можно уменьшить путем охлаждения фотокатода.
Детальный анализ распределения дробового шума по частотам чрез-
чрезвычайно сложен [20.7]. Будем считать, что число электронов Na, испу-
испускаемых за время t, дается функцией Пуассона со средним значе-
значением Ndi равным среднеквадратичной флуктуации, и что спектральная
*) Дробовой шум, или шрот-эффект, наблюдается также на нагретом катоде
электронной лампы, где он был впервые обнаружен Шоттки. (Прим. ред.)
фотонный шум 615
мощность шума постоянна в интересующей нас области частот. Пусть
падающее излучение имеет частоту v и модулировано с круговой частотой
Q. Если амплитуда падающего излучения Ль т° ее среднее квадратичное
значение равно -^Р^, а среднее квадратичное от числа испущенных
за время t фотоэлектронов запишется в виде
Флуктуация от термоэлектронного дробового шума равна •
KN2d = Ad = ndt, B0.31)
где TZd — среднее число электронов за секунду. Если ~Np равно ANd, то
^ nd. B0.32)
Поскольку полоса частот равна AQ/2ji, т. е. величине порядка 1/t, экви-
эквивалентная мощность шума на единичную полосу частот приближенно равна
Р\~Ц-Bпл)у*. B0.33)
В хорошем фотоумножителе с Хо = 6000 А получали темновой ток при
комнатной температуре меньше 10~i4 a (nd = 6-Ю4). Подставляя это
значение в B0.33) и полагая Я = 6000 А и g = 0,1, получим
i>*= 1,4-10-" вт,
Путем охлаждения фотокатода до 100J К удается получить в 100 раз
большее значение D. При этом ^ = 6и фотоумножитель работает как
счетчик фотонов. В соответствии со сказанным в § 20.21, минимальный
регистрируемый поток излучения обратно пропорционален квадратному
корню из времени наблюдения.
Фотонный шум
20.30, Число NP фотоэлектронов,испускаемых за время t, испытывает
флуктуации, среднее квадратичное значение которых в условиях, пред-
представляющих практический интерес, может быть принято равным *) Np.
Если мы имеем дело с сигналами на пределе обнаружения, то NP имеет
тот же порядок величины, что (NdI/2, т. е. значительно меньше Nd9
и флуктуацией числа фотоэлектронов можно пренебречь по сравнению
с дробовым шумом. Иная ситуация возникает, когда фотоумножитель
аспользуется для обнаружения слабого осциллирующего сигнала в при-
присутствии значительно большего постоянного потока, например, когда
он применяется в фотометре или в спектрофотометре для обнаружения
малой разницы в интенсивностях двух пучков света. Тогда может ока-
оказаться, что шумы от флуктуации числа фотоэлектронов столь велики,
*) При расчете флуктуации числа фотонов следует воспользоваться статистикой
Бозе—Эйнштейна. Полученная формула [20.12] отличается от Np множителем, прак-
практически равным единице в наших условиях.
616 ГЛ. 20. ОГРАНИЧЕНИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ОПТИЧЕСКИХ ИНСТРУМЕНТОВ
что уже дробовой шум становится пренебрежимо малым. Если на прием-
приемник падает постоянный поток в ns фотонов в секунду, то среднее число
фотоэлектронов в секунду равно qns> а среднеквадратичная его флуктуа-
флуктуация составит (qnsI/2. Таким образом, минимальная разница, которую
можно обнаружить за время порядка 1 сек, равна (qnsI/2, что составляет
долю от основного сигнала, равную (qns)~1/2.
Если постоянный поток Р вт на 1 см2 падает на детектор площадью А,
то
- МРАд
При облучении потоком в 1 лм на 1 м2 и X = 5550 АР= 10~7 вт. Если
положить А = 0,1 еж2 и g = 0,04, то #ras ^ 1010, т. е. можно обнару-
обнаружить различие в сигналах, равное 10~5 от основного сигнала, при усло-
условии, что именно фотоэлектронные флуктуации ограничивают точность
измерений. «Случайные» ошибки обычно превосходят этот уровень фото-
фотоэлектронных флуктуации, и достпжимая точность составляет 10~3—10~4.
Однако во многих случаях (например, в спектрофотометрах) удается
использовать лишь небольшую часть этого потока и фотоэлектронные
флуктуации могут стать фактором, ограничивающим точность измерении.
Спектрофотометрия *)
20.31. Пусть приемник излучения помещен за выходной щелью
монохроматора (спектрографа) и используется для сканирования (про-
(промера распределения энергии) спектра, а выходной сигнал, соответствую-
соответствующий некоторой области спектра, записывается в виде кривой зависи-
зависимости $а, от длины волны, причем все изменения дисперсии спектрографа
компенсируются записывающим устройством. Верхний частотный предел
фурье-преобразования этой записи будет определяться разрешающей
способностью спектрографа, если щель очень узка, и шириной щели и\
если покрываемый ею спектральный интервал значительно превосходит
разрешающую способность прибора. С помощью теоремы о пробных точ-
точках можно определить число а значении А,, в которых можно выполнить
независимые измерения $*,. Для каждой пробной точки имеется конечное
число т различимых уровней потока, причем это число определяется
собственными шумами приемника или фотоэлектронными шумами. Общее
число спектральных распределений, которые можно отличить друг
от друга, равно та. Если все они равновероятны, то даваемое наблюде-
наблюдением количество информации равно
H = alogm. B0.35)
При спектрофотометрии в видимой области спектра с использованием
инструмента со средней разрешающей сплой в некоторых случаях выгодно
уменьшить ширину щели настолько, чтобы она соответствовала пре-
пределу разрешения. Получаемый при этом поток излучения все еще
значительно превосходит шумы от темнового тока или фотонных
флуктуации. В инфракрасной области при использовании приемников
со значительно более высоким уровнем шумов обычно приходится увели-
увеличивать ширину щели так, чтобы поток был больше, чем эквивалентный
*) Или снектрорадиометрия.
СПЕКТРОФОТОМЕТРИЯ
617
шум на входе. В этих условиях число т различимых уровней потока воз-
возрастает с увеличением ио, но число а пробных точек в спектре убывает.
Если известны зависимости а и т от w, то эти функции можно подставить
в соотношение B0.35). Тогда, дифференцируя его, пайдем оптимальное
значение w, обеспечивающее при данном времени наблюдения наибольшую
информацию. Обычно наибольшая информация получается, когда
II
11
13
II
02
7
7/7
7S
20
2S
SO SS
Рис. 20.6. Спектры различных сигналов.
а — спектр в отсутствие шумов (предполагается, что он изве-
известен); б —наблюдения с узкой щелью с учетом влияния
шумов; в — наблюдения с более широкой щелью. Масштаб для
кривой в выбран так, чтобы в среднем для нее получались
приблизительно те же значения, что и для кривой а. Для
большей ясности кривая в смещена вдоль вертикальной оси
а велико и т мало (например, т = 2 или 3). При этом шумовые флуктуа-
флуктуации хорошо видны на записи сигнала (рис. 20.6). Однако с помощью опре-
определенной вычислительной процедуры можно извлечь из записи всю
информацию, необходимую для данного теоретического анализа.
20.32. Для того чтобы продемонстрировать, каким образом информация связана
с шириной щели, рассмотрим простой случай, когда счетчик фотонов регистрирует
нормальный спектр. Приемник движется вдоль спектра, сдвигаясь каждый раз на
конечный отрезок, равный ширине щели w, и в каждом положении счет фотонов про-
продолжается в течение времени £4. В этом случае а пропорционально 1/w и полное время
эксперимента равно te = atim Средняя скорость счета фотонов при каждом положении
приемника пропорциональна w, т. е. 1/а, но, если te фиксировано, то Ц также про-
пропорционально 1/а. Следовательно, среднее число No фотонов при измерении в каждом
положении пропорционально 1/а2, а средняя квадратичная флуктуация пропорцио-
пропорциональна 1/а. Число т различимых уровней потока приблизительно пропорциональ-
пропорционально 1/а. Подставляя в B0.35), имеем
С
где С — постоянная. Отсюда
dH
B0.36а)
B0
она обращается в нуль при In т = 1, т. е. при т — е. Кривая б на рис. 20.6 построена
по наблюдениям в точках 1, . . ., 36 при ширине щели 1 мм. Кривая в была получена
путем усреднения по шести соответствующим точкам на кривой б. Например, точка
при х = 3 на кривой в представляет среднее значение (равное 2,2) для точек 0 5
кривой б; х = 4 на кривой в есть среднее для точек 1, . . ., 6 на кривой бит д. При
40 р. Дитчберн
618 ГЛ. 20. ОГРАНИЧЕНИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ОПТИЧЕСКИХ ИНСТРУМЕНТОВ
использовании щели шириной 5 мм результирующая кривая была бы менее точной,
чем кривая в, в отношении деталей структуры. Более того, чрезвычайно узкая эмис-
эмиссионная линия при х = 15 и узкая линия поглощения при х = 22, ясно видимые
на кривой б, оказались бы совершенно незаметными.
Анализ излучения
20.33. Фотоны, испущенные источником в течение данного интер-
интервала времени, можно проанализировать различными методами; один
из них обсуждался в § 20.31. К другим методам относятся а) измерение
изменения интенсивности источника со временем и б) анализ распределе-
распределения света по отношению к пространственным координатам. Последним
пользуются, например, когда объект изучается под микроскопом; его
применяют также (несколько косвенным образом) при передаче изображе-
изображения через систему линз. Одну частную задачу пространственного анализа
мы рассмотрим в § 20.39.
Иногда приходится комбинировать два и более типов анализа. При-
Примером может служить изучение спектра переменной звезды: измерения
через последовательные интервалы времени дают поток $ (^» t), который
является функцией как длины волны, так и времени. Наблюдения рас-
распространения световой вспышки от взрывной волны связаны с измерением
потока и в пространстве и во времени.
Каждая задача анализа излучения обладает своей спецификой,
но выводы, сделанные в конце § 20.31, имеют весьма широкую область
применения. Наибольшую информацию обычно удается получить при
максимально допустимом для данного инструмента разбиении излучения
на порции; оно продолжается до тех пор, пока отношение сигнала
к шуму в каждой малой порции не станет примерно равным 2^3. Усред-
Усреднение, или сглаживание, результатов можно получить расчетным путем.
На практике часто оказывается, что разбиение излучения ограничено
свойствами инструмента. Например, при спектрофотометрии в видимой
области оно может быть ограничено разрешающей силой прибора, а не
величиной отношения сигнала к шуму. Могут встретиться и такие случаи,
когда в нашу задачу входит не получение наибольшей информации,
а получение достаточной для определенных целей информации наиболее
простым и быстрым путем. Например, при проверке светофильтров часто
требуется определить с умеренной точностью пропускание полного коли-
количества света или полного количества тепла, или полного количества
фиолетового и ультрафиолетового излучений. Процедура проверки тогда
должна быть такова, чтобы измерять непосредственно эти величины,
а не проводить детальный анализ кривой спектральной пропускаемое™
светофильтра, из которой их можно найти.
Многоканальные устройства
20.34. В хорошо поставленных измерениях изменения светового
потока во времени используются почти все фотоны. В обсуждавшихся
выше методах спектрофотометрии (см. § 20.31) приемник регистрирует
в каждый данный момент времени лишь фотоны из очень малого интер-
интервала длин волн, а остальной свет теряется. В этом случае лучше исполь-
использовать два и более приемников, причем в идеальных условиях количество
информации, полученной за данное время, возрастает пропорционально
числу приемников. При спектрохимическом анализе ограниченного
количества вещества весьма полезно одновременно измерять интенсив-
ОГРАНИЧЕНИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ МЕТОДОВ 619
ность ряда спектральных линий. В полихроматорах и в аналогичных
устройствах одновременно используется до 50 приемников излучения.
Каждый из них является каналом информации.
В § 20.39 мы увидим, что образование изображения при помощи
линзы эквивалентно пропусканию информации по многим каналам.
Среди различных приемников света глаз и фотопластинка выделяются
как существенно многоканальные устройства (см. §§ 20.43 и 20.45).
20.35. Если основным шумом является дробовой шум темнового тока в прием-
приемнике, то различные каналы фактически независимы. Если, однако, преобладает дро-
дробовой шум фотоэлектронов, то каждыд канал подвержен действию флуктуации от всех
фотонов, т. е. шуму всех прочих каналов. Используемое устройство при этом все же
имеет преимущество перед прибором с простым сканированием спектра, так как излу-
излучение используется более эффективно.
Ограничения измерительных возможностей
интерференционных методов
20.36. Измерения с помощью интерферометра состоят в определении
разности фаз колебаний в световых пучках по наблюдаемым разностям
освещенностей в данном месте (если определяется положение интерферен-
интерференционных полос) или в пределах большого
поля (рис. 20.7). Интерферометр Твайма-
на — Грина может служить, в частности,
для измерения малой разницы длин двух
прямоугольных калибров А и В, прижа-
прижатых к зеркалу М2. Монохроматический
свет, выходящий из малого отверстия Я,
коллимируется линзой Ly и предметная
плоскость R отображается линзой L2
в плоскость приемника излучения D.
Пусть ф — разность фаз световых пучков,
идущих от торца калибра А л от зеркала
Mi, а ф + Аф — соответствующая раз-
разность фаз для световых пучков, идущих
от Б и от Mi. Пусть датчик приемника
«захватывает» каждое поле в течение вре-
времени £, а N — число фотонов, приходя-
приходящих к нему за это время при ф = 0.
Тогда разность потоков фотонов AN
при наблюдении последовательно двух
полей равна (см. формулу D.1))
N
(cos2f -
cos2
«рДф,
Рис. 20.7. Схема для интерферен-
интерференционно-фотометрического сравне-
сравнения длин брусков.
Приемник D смещается в направле-
направлении стрелок.
если Аф мало. Оптимальные условия наблюдения имеют место при
sin ф = 1; тогда AN = NAq>. Если измеряется только фотонный шум,
то минимальная наблюдаемая разность потоков равна N/2 и
Дф = ЛГ1/8, B0.37)
АЛГДф = 1. B0.38)
Если приемником излучения служит фотоумножитель с квантовым
выходом q и темновой ток умножителя пренебрежимо мал, то
Дф = 7Vp1/2 = (qN)~1/2. B0.39)
40*
620 ГЛ 20 ОГРАНИЧЕНИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ОПТИЧЕСКИХ ИНСТРУМЕНТОВ
Соответствующая разность длин As равна
<20-40>
При NP = 1010 имеем Аф = 10~5 и As = 10~6 X. При наиболее благо-
благоприятных условиях интерферометры могут измерять разности длин
и смещения именно такого порядка [20.151.
Многолучевые интерферометры
20.37. Если параллельный световой пучок падает на эталон Фабри — Перо
и в это время расстояние между его пластинами (зеркалами) меняется, то проходящий
световой поток в каждой точке интерференционной картины также очень быстро
изменяется во времени (см. рис. 8.6). При данном значении интенсивности проходящего
света наименьшее обнаружимое смещение пластин интерферометра приближенно
равно величине, даваемой формулой B0.4), умноженной на 1/Ft, где Ft — острота
интерференционного максимума, т. е. отношение расстояния между соседними макси-
максимумами к их ширине. При использовании металлических пленок на зеркалах интер-
интерферометра величины Fx нельзя существенно увеличить, не уменьшая проходящий через
прибор световой поток, т. е. не нарушая пропорциональность предельного разрешения
значению 1/FZ. Использование высококачественных диэлектрических покрытий зеркал
позволило бы значительно понизить минимальные изменения расстояния между
зеркалами, которые еще можно обнаружить при данном падающем световом потоке.
В соответствии с принципом неопределенности, уменьшение минимальною
обнаружимого изменения координаты зеркал сопровождается увеличением неопре-
неопределенности в передаваемом им импульсе, поскольку возрастает полная плотность
излучения у поверхности пластин.
В двухлучевом интерферометре точность измерений, определенная согласно
выражению B0 40), обеспечивается в области порядка Я/4. При использовании много-
многолучевой интерферометрии минимальная обнаружимая разность длин и область точ-
точных измерений уменьшаются приблизительно в одинаковой пропорции, так что коли-
количество информации в одном измерении меняется мало.
Оптический рычаг высокой точности
20.38. Применение объективной фотометрии для измерения малых
углов дает метод измерения отрезков, много меньших длины волны света.
Задача в основном сводится к измерению смещения фраунгоферовой
Рис. 20 8
дифракционной картины от щели на величину, значительно меньшую
ширины центрального максимума. На рис. 20.8 показана схема, предло-
предложенная Джонсом [20.16]. Свет, отраженный от небольшого зеркала М,
ПРОХОЖДЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ ЧЕРЕЗ ОПТИЧЕСКУЮ СИСТЕМУ 621
дает изображение решетки Gt на совершенно тождественной ей решетке G2.
Небольшой поворот зеркала М приводит к изменению светового потока
через решетку G2> который поступает на фотоумножитель Р. Если влияние
температурных флуктуации исключено, минимальное обнаружимое изме-
изменение светового потока и соответствующего поворота зеркала опреде-
определяется флуктуациями числа фотонов в световом потоке. Джонс мог обна-
обнаружить изменение угла на 10~10 рад; при помощи специального оптиче-
оптического рычага удалось зарегистрировать линейные смещения, равные
10~12 см, что не только значительно меньше длины световой волны,
но и существенно меньше атомного радиуса. Это соответствует результа-
результатам, полученным в § 20.9, где указывается, что среднее положение боль-
большого числа атомов можно определить со значительно большей точностью,
чем положение одного атома.
Прохождение информации через оптическую систему
20.39. Рассмотрим теперь прохождение информации через оптическую
систему от плоскости объекта до плоскости изображения. Ограничимся
сначала одномерным объектом, для которого поток от каждой его точки
зависит от одной координаты у, т. е. все линии структуры параллельны
оси ОХ. Пусть протяженность объекта от у = 0 до y = L и он освещается
некогерентным светом длины волны Яо. В гл. 8 было показано, что распре-
распределение светового потока можно проанализировать методом Фурье, опре-
определив пространственные частоты (волновые числа) этого разложения
с верхней границей 2х0 = An До. Теорема о пробных точках дает другой
метод анализа распределения светового потока при помощи уравнения,
аналогичного B0.11),
N
Е(у) = 2 Епб\псBк0х — ия), B0.41)
n=-N
где N = щЬЫ = 2Ык0.
Таким образом, имеем М = 2N + 1 пробных точек на длине Ly
и если значения Е (у) в этих точках заданы, то можно вычислить все
распределение в плоскости объекта. Поток в каждой пробной точке испы-
испытывает фотонные флуктуации, так что при заданном времени наблюдения t
можно различить ограниченное число уровней освещенности. Пусть
среднее значение этого числа равно А. Тогда в соответствии с результа-
результатами § 20.31, полное число различимых «картин» равно ЛТА, и если все
они a priori равновероятны, то количество информации, получаемое при
наблюдении одной из них, равно
H = Alog2M, B0.42)
где А приблизительно пропорционально t1^. Формула B0.42) дает наи-
наибольшую информацию, которую можно получить с помощью идеального
инструмента ♦) при использовании света с длиной волны Яо. Идеальный
прибор свободен от аберраций и собирает спектры всех пространствен-
пространственных частот вплоть до 2х0 со всех направлений, т. е. принимает свет
от полусферы ( а = ~?~ в § 8.20 \ Сопоставление результатов §§ 20.12 и
8.2 показывает, что интервал между пробными точками равен предельному
*) При использовании иммерсии вместо Яо и к0 получаем Ко 'ц и xo\i и, следова-
следовательно, количество информации возрастает.
622 ГЛ. 20. ОГРАНИЧЕНИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ОПТИЧЕСКИХ ИНСТРУМЕНТОВ
расстоянию между двумя линиями, как раз разрешаемыми согласно
критерию Рэлея.
20.40. Реальная оптическая система отличается от рассмотренной
выше идеальной в трех отношениях.
а) Пространственные частоты, которые выше некоторого предела 2хс
(где 2хс < 2х0), системой не пропускаются. Если увеличение системы
равно единице, то число пробных точек в плоскости изображения
М' = -^S- M и в области входного зрачка имеет место соответствующее
сокращение числа пробных точек.
б) Пропускание пространственных частот, меньших х0, понижено.
Это уменьшает среднее число различимых уровней светового потока
в пробных точках в той части спектра пространственных частот, которая
проходит через систему.
в) Система вносит дополнительные шумы, помимо фотонных шумов,
что также сокращает число различимых уровней.
Таким образом, количество информации в изображении дается фор-
формулой, аналогичной B0.42), но вместо А и М в нее следует подставить
А1 (< А) и М' (< М).
Можно показать [20.4], что количество переданной информации
пропорционально площади, ограниченной кривой пропускания, построен-
построенной в виде функции пространственной частоты. Этой величиной естест-
естественно воспользоваться как некоторой суммарной характеристикой опти-
оптической системы. Такая характеристика, разумеется, не учитывает, что при
некоторых обстоятельствах пропускание определенных пространствен-
пространственных частот может оказаться предпочтительным.
20.41. Теорему о пробных точках можно обобщить на случай двух измерений.
Двумерная картина может быть тогда проанализирована путем разбиения ее на оди-
одинаковые малые элементы, каждый из которых содержит пробную точку. Весь поток,
попадающий на элементарную площадку, относят к пробной точке в центре ее. Деталь-
Детальный анализ передачи информации был выполнен Фелджетом и Линфутом [20.4]. Отме-
Отметим, что полезная информация уменьшается не только за счет аберраций, но и за счет
«взаимодействия» аберраций и шумов. Это ограничивает возможности настройки
«резкости изображения» в телевизорах и других устройствах, которые основаны на
большем усилении высших пространственных частот по сравнению с более низкими.
Подобные методы не улучшают отношения сигнала к шуму на всех частотах.
20.42ЛШумы, вводимые оптической системой, могут быть обусловлены флуктуа-
циями среды между объектом и изображением или недостаточной механической жест-
жесткостью прибора, что приводит к его нерегулярным вибрациям. Первый из этих источ-
источников шумов очень важен в астрономических наблюдениях, в которых атмосферные
флуктуации приводят к множеству неприятностей. Второй источник пграет сущест-
существенную роль в случае очень сильных увеличений, например в электронных микроско-
микроскопах. Рассеяние света на пузырьках в линзах или другим аналогичным образом экви-
эквивалентно сдвигу нулевой точки и не приводит к шумам. Однако если интенсивность
рассеянного света велика, то фотонные флуктуации в этом свете могут дать заметный
дополнительный шум. В большей части оптических систем шумы в приемнике значи-
значительно превосходят чисто оптические шумы. Если создаваемое системой изображение
сканируется приемником, как, например, в телевизионных камерах, то увеличение
скорости сканирования уменьшает число уровней, различимых на фоне шумов. Этого
можно избежать, либо увеличивая освещенность, либо снижая уровень шумов в при-
приемнике.
Фотографическое воспроизведение
20.43. Фотографическая пластинка принимает излучение от всех
частей поля зрения за одну экспозицию. На 1 смг пластинки приходится
до 104 —106 каналов информации; точное их число определяется величиной
зерен фотослоя. Эти каналы информации не вполне независимы из-за
ПЕРЕДАЧА ИНФОРМАЦИИ В ТЕЛЕВИЗИОННОЙ СИСТЕМЕ
623
небольшого рассеяния света в фотоэмульсии, а также из-за взаимного
влияния соседних участков фотослоя во время проявления пластинки.
Кроме того, происходит потеря контраста особенно на высоких простран-
пространственных частотах. Чтобы получить результирующую функцию про-
пропускания контраста, необходимо умножить функцию пропускания опти-
оптической системы на функцию пропускания фотографического контраста.
Получаемая таким образом характеристика оказывается значительно
хуже функции пропускания одной лишь оптической системы. Квантовая
эффективность пластинки не превосходит 0,01, а обычно она еще ниже
(см. [10.9]).
Нерегулярное распределение зерен в фотоэмульсии приводит к эффекту, экви-
эквивалентному шумам приемника. Эту нерегулярность можно измерить, сканируя одно-
однородно засвеченную пластинку пучком круглого сечения с разными размерами площади
-сечения и регистрируя при этом флуктуации пропускания пластинки. Измеренная
плотность ее почернения определяется числом почерневших зерен в пределах площади
освещенного пятна. Полагая эти числа беспорядочно .распределенными около стати-
статистического среднего значения ~N, можно ожидать, что среднее квадратичное отклоне-
отклонение AD2 пропорционально 1/ЛГ (см. § 20.9), т. е. пропорционально 1/5, где S — пло-
площадь сечения пучка. Тогда
^, B0.43)
где G постоянно для данной эмульсии. В действительности получаемое соотношение
несколько более сложно [20.10].
Передача информации в телевизионной системе
20.44. Один из видов телевизионных иконоскопов показан на рис. 20.9. Фото-
Фоточувствительный слой Si9 служащий фотокатодом иконоскопа, нанесен на внутреннюю
поверхность отклоняющей пластины, которая закрывает входное окно трубки W.
сигнал
Рис. 20.9. Схема телевизионного иконоскопа.
Электроды, необходимые для наложения ускоряющего поля, и фокусиров-
фокусировка электронных пучков на рисунке не показаны.
На левую сторону S2 пластинки из диэлектрика Р нанесен цезий в виде регулярно
распределенных небольших участков, каждый из которых изолирован от соседнего
л от сплошного металлического покрытия М на противоположной стороне Р. Линза L
с большой апертурой образует изображение /4 объекта О на фотокатоде £1# Испущен-
Испущенные Si электроны ускоряются электрическим полем и фокусируются электростати-
электростатической линзой (на рис. 20.9 она не показана), образуя второе, уже «электронное»
изображение /2 объекта О на £2. Эти электроны обладают достаточной скоростью,
чтобы вызвать* вторичную эмиссию с S2 и, следовательно, каждый элемент S2 оказы-
оказывается положительно заряженным. Вместе с металлической пленкой М такой "элемент
образует маленький заряженный конденсатор.
Поверхность S2 сканируется пучком медленных электронов В (которые не
могут вызвать заметную вторичную эмиссию с S2), так что конденсаторы по очереди
624 ГЛ. 20. ОГРАНИЧЕНИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ОПТИЧЕСКИХ ИНСТРУМЕНТОВ
разряжаются, создавая в той цепи, в которую они включены, серию слабых импульсов
напряжения. Эти импульсы усиливаются и затем модулируют ультравысокочастотное
напряжение телевизионного передатчика. Соответствующие модулированные волны
далее излучаются антенной телевизионной станции, принимаются, усиливаются,,
выпрямляются и используются для управления током электронного пучка, пробе-
пробегающего по поверхности экрана приемной трубки, синхронно с электронным пучком В.
В стандартной английской системе телевидения используется развертка изображения
в 405 строк и вся картина сканируется 25 раз в секунду *).
В этом устройстве линза L эквивалентна большому чпслу независимых каналов
информации. Число изолированных металлических участков на S± значительно меньше,
чем число пробных точек в /4. Заряд, накапливаемый на каждом элементе иконоскопа Р
между двумя последовательными прохождениями сканирующего пучка, пропорцио-
пропорционален среднему потоку от большого числа пробных точек на /4 за интервал времени
1/25 сек. Металлический участок на поверхности Р запоминает информацию, так что-
используются все фотоны попадающего на него светового пучка, но процесс усредне-
усреднения объединяет вместе группы фотонов, которые оптическая система могла бы разре-
разрешить. Это приводит к уменьшению количества информации (см. § 20.31). Электриче-
Электрическая система в каждый данный момент получает информацию только от какого-либо-
одного металлического элемента (участка), что неизбежно ограничивает возможности
системы по отношению к передаче информации относительно высоких пространствен-
пространственных частот. Число строк и скорость сканирования можно увеличивать лишь до таких
пределов, пока входные параметры системы соответствуют требуемой емкости для
передачи информации.
Если бы электрическую систему удалось улучшить до необходимого предела,
то разрешающая способность системы в целом ограничивалась бы фотонными шумами.
В отношении пропускания сравнительно низких пространственных частот
электрическая система обычно лучше, чем линза. Скорость сканирования достаточно
высока по отношению к временной разрешающей способности глаза **). Для научных
целей можно использовать более высокие скорости.
Зрительное восприятие
20.45. Было сделано несколько попыток применить теорию приемни-
приемников излучения в присутствии шумов к задачам установления порога
чувствительности глаза к световому потоку. Эти задачи весьма сложны,
и надежно установлено лишь небольшое число выводов. В наиболее
благоприятных условиях короткую вспышку света удается обнаружитьг
если около 50 фотонов достигают сетчатки и поглощается от 5 до 20 фото-
фотонов. Таким образом, квантовая эффективность составляет 0,2—0,5 *♦♦).
Число требуемых фотонов при этом достаточно мало, чтобы фотонные
флуктуации начали играть важную роль. Оказалось, что зрительное вос-
восприятие возможно тогда, когда мала вероятность того, что какая-либо
палочка сетчатки поглотит более одного фотона. Это означает, что отдель-
отдельные рецепторы могут возбуждаться при поглощении одного фотона,
но возникшие сигналы необходимо еще различить на фоне «шумов».
Поэтому для восприятия вспышек нужно возбудить несколько рецеп-
рецепторов.
Зная величину зрачка и фокусное расстояние оптической системы
глаза, можно рассчитать число пробных точек на единицу площади сет-
сетчатки. Оказалось, что в центральном пятне число рецепторов (колбочек)
приблизительно равно числу пробных точек, а количество нервных связей
с мозгом достаточно для передачи независимой информации от каждой
колбочки к коре головного мозга, хотя информация от различных рецеп-
*) Как известно, в СССР принята более совершенная система телевидения —
изображение развертывается в 625 строк. (Прим. ред.)
**) Разрешающая способность глаза во времени несколько меньше 0,1 сек,
(Прим. ред.)
***) См. С. И. В а в и л о в, Микроструктура света, Изд-во АН СССР, М., 1950.
(Прим. ред.)
ЛИТЕРАТУРА 625
торов комбинируется и частично анализируется в сложном переплетении
внутренних связей. В периферических областях сетчатки число рецепто-
рецепторов (палочек) значительно превышает число пробных точек, но внутрен-
внутренние связи таковы, что одна палочка, вообще говоря, не может функцио-
функционировать как независимая рецепторная единица, а эквивалентное число
независимых рецепторных участков меньше числа пробных точек, соот-
соответствующих апертуре линзы. Инерция зрительного восприятия —
весьма ценное свойство в ряде случаев — означает, что глаз не может
разрешать события, разделенные промежутками времени менее 1/15 сек.
Было показано [20.12], что для зрительного восприятия очень важны
небольшие сканирующие движения глаза и возможно, что основная
информация поступает от рецепторов, расположенных вблизи границ
между освещенными и темными участками сетчатки. Возможно, что такой
характер зрительного восприятия обеспечивает увеличение информации
относительно высоких пространственных частот за счет информации
о низких частотах. Глубокое применение теории приемников излучения
к вопросам зрительного восприятия требует тщательного изучения этих
малых движений глаза.
Заключение
20.46, Приведенный в настоящей главе краткий обзор теории опти-
оптических инструментов показывает, что в основе этой теории лежат опреде-
определенные общие принципы. Для их понимания оказываются полезными
понятия теории информации, но нужно всегда помнить об ограничениях
этой теории, изложенных в § 20.4.
Целью каждого физического эксперимента было получение воз-
возможно большей информации и, следовательно, уменьшение ошибок экспе-
эксперимента. Точность современных оптических экспериментов (особенно
интерферометрических) настолько велика, что информация поступает
быстрее, чем экспериментатор ее перерабатывает. При этом становится
предпочтительнее такая постановка опыта, которая обеспечивает не просто
максимум информации, а максимум полезной информации и притом
в наиболее понятной форме.
Литература
20.1. Shannon С, Weaver W., The Mathematical Theory of Communication,
University of Illinois Press.
20.2. Woodward P. M,, Probability and Information Theory, Pergamon Press
London.
20.3. Г о л д м а н С, Теория информации, ИЛ, М., 1957.
20.4. F е 11 g e 11 Р. В., L i n f о о t E. H., Phil. Trans. Roy. Soc. 247, 369 A955).
20.5. Linfoot E. H., J. O. S. A. 45, 808 A955).
20.6. A i t k e n A. C, Statistical Mathematics, Oliver and Boyd.
20.7. Rice S. O., Bell System Telephone J. 23, 282 A944); 24, 46 A945).
20.8. Young J. Z, RobertsF, Nature 167, 231 A951).
20.9. Linfoot E. H., Opt. Acta 5, 1, 1958.
20.10. Selwyn E. W. H., J. Roy. Phot. Soc. 7, 138 A959).
20.11. Mack ay D., Nature 183, 246 A959).
20.12. К i 11 e 1 C, Elementary Statistical Physics, Wiley, New York.
20.13. G 1 a r k e - J о n e s, R. C, J. O. S. A. 37, 879 A947).
20.14. Ditchburn R. W., Thomas Young Oration in Physical Society Year Book^
1960.
20.15. Z e r n i k e F., J. O. S. A. 40, 326 A950).
20.16. Jones R. V., J. Sci. Inst. 36, 90 A959).
20.17. Бриллюэн Л., Наука и теория информации, Физматгиз, М., 1960
626 ГЛ. 20. ОГРАНИЧЕНИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ОПТИЧЕСКИХ ИНСТРУМЕНТОВ
ПРИЛОЖЕНИЕ 20А
КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ В БЕЛОМ ШУМЕ
Важной характеристикой белого шума является то, что по значению у в одной
пробной точке невозможно сделать какие-либо предсказания о значении у в другой
пробной точке. Это условие удовлетворяется, если значения у в большом числе проб-
пробных точек даются распределением B0.6), в котором нужно положить у = 0. Тогда полу-
получаем
(j) B0.44)
л, согласно B0.2в) *),
оо
Я=-
—оо —со —со
Беря первый интеграл из B0.26) и второй ♦♦) из B0.7), получаем
Н=-1 In 2яа2 + 4-=4 ln 2ле°2- Bа46)
Поскольку число пробных точек в 1 сек составляет Qj^/л, количество информации
в 1 сек равно
#' = -^ In 2яев* = -^ In 2neQN, B0.47)
где ^jv = о2 — средняя мощность шума. Как отмечалось в § 20.18, реальные записи
шумов никогда не описываются точно формулой B0.6), так как они ограничены конеч-
конечной областью частот. Область частот дробового и теплового шумов очень широка,
и поэтому область частот записи определяется свойствами регистрирующей аппара-
аппаратуры. Фотонные флуктуации не подчиняются статистическому закону, лежащему
в основе B0.6), и, следовательно, приведенный выше анализ к ним неприменим. Однако
в практически важных случаях применение полученных выше формул к фотонным
шумам не приводит к серьезным ошибкам.
*) Множитель In 2 возникает при переходе к двоичным единицам информации,
битам.
**) Напомним, что у = 0.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аберрации, теория Аббе 8 21—8 26 *)
— углы 11 37
Аберрация астрономическая 11 32, 11 37
— линз 3 19, 8 12
— хроматическая поперечная 7 23
продольная 7 23
Адаптация 10 25
Амплитуда действительная 2 4
— комплексная 2 26, 3 6
Анализ излучения 20 33
Анализатор 12 2
Анизотропия 3 12 и д
— в жидкостях 16 58
— — магнитном поле 16 55
— — электрическом поле 16 51—16 54
— и кристаллическая структура 16 45—
16 48
— — молекулярная структура 16 47, 16.58,
16 60
— оптическая 16 1, 16 5—16 42, 16 44, 16 58
—• оптических свойств 16 47
— при деформации 16 56 16 57
— электрическая 16 1—16 4
Анизотропные пластинки 12 22—12 26
— среды гл 16
Апертура числовая 8 24
Гало 6 47, 6.48
Гармоническое движение 2 3
— —, векторное представление 2 8, 3 5
3 7
Гипотеза Сен-Венана 6 33
Главные значения диэлектрической прони-
проницаемости 16 4
— показатели преломления 16 4
— сечения 16 37
— скорости (фазовые) света 16 4, 16 6
Главный азимут 15 11
— угол падения 15 10
Глаз 7 30, 10 25, 20 48
— как приемник излучения 10 21 —10 26
— предел разрешения 8 7
Гравитационное искривление луча И 39
— смещение спектральных линий 11 40
Граничные условия 6 31, 141—147 180
Группы волн 4 16. 4 21, 4 28, 6 34, 8 32—
8 34, 8 37—8 39, 18 37
— — и соотношение неопределенности 18 26
— — , распространение в диспергирующей
среде 4 28, приложение 4Б
— — с гауссовым распределением ампли-
амплитуд 4 21
Биения световые 12 48—12 50
Бикварц 12 44
Бипризма Френеля 5 9, 5 38, 9 2
Болометр 10 6
Больцмана теория теплового излучения 17 28
Брюстера закон 12 4
— угол 12 4, 12 5, 14 8, 14 17
Вакуумный фотоэлемент 10 11
Вероятность комбинационных переходов
19 22
— переходов 17 37—17 43, 18 17—18 20,
для мультипольного излучения 19 7
— — и ширина линий 17 42
Видимость интерференционных полос 4 10—
4 14 4 23—4 25, 5 14
Виньетирование 7 28
Возбуждение спектров 17 10
Волна гармоническая затухающая прило-
приложение 4 Б
—, представление комплексными величи-
величинами 2 26, 3 6
— сферическая 2 20, 19 23
Волновая механика 18 6 и д
— функция 18 10 ид
Волновое уравнение 2 15, 18 10—18 16
— — полное 18 14
Волновые поверхности 2 13
— — Гюйгенса в кристалле 12 20. 12 21.
16 14 16 15, 16 19—16 30
Волокнистая оптика приложение 7А
Вращения плоскости поляризации, диспер-
дисперсия 12 38, 12 39 12 44
Время жизни возбужденного состояния
17 38—17 40
— релаксации 15 33
*) Числа в предметном указателе озна-
означают номера параграфов
Давление света 17 19—17 23
Двойное лучепреломление 15, 126, 129,
12 20, 12 21, 16 20—16 30
— — в двуосных кристаллах 16 22
— — — одноосных кристаллах 16 21
, дисперсия 12 38, 12 43 16 1, 16 46
— — круговое 12 36
— — , теория 16 48
Диафрагмы 7 26
— апертурные 7 27
— поля зрения 7 28
Диоптрия 7 13
Диполи в квантовой механике 18 17, 19 3
19 6—19 12, 19 23
Дисперсионная формула Зельмейера 15 24
Дисперсия 3 17, 15 24, 16 46
— анизотропии 12 38 16 46
— аномальная 3 18, 15 27, 15 29, 15 31, 17 41
— в газах 15 25
— — диэлектрике 15 18
— — изотропных средах 16 54
кристаллах 12 38, 12 41, 16 31 — 16 43
16 46
металле 15 33 15 39—15 42
— , квантовая теория 19 11, приложение 19А
— оптических осей 12 38, 16 46
— света и молекулярное рассеяние 15 42—
15 47
— электромагнитная теория 15 18—15 47
16 47
Дифракционные максимумы главные 6 28
— решетки 6 12—6 30
— — амплитудные 6 27
— — вогнутые приложение 6Б
— — двумерные 6 16, 6 17
— — , изготовление 6 26
— — плоские 6 12
— — синусоидальные 8 27
— — скрещенные 6 16
— — трехмерные 6 18
— — фазовые 6 27
628
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Дифракция 1 4 гл 6
— на ультразвуковых волнах 6 49
— Фраунгофера 6 3, 6 11, 8 11, 8 21
— — в оптических приборах гл 8
— — и соотношение неопределенности 18 5
— — на круглом отверстии 6 9, 6 41
— — — — экране 6 10, 6 47
— — — одинаковых диафрагмах 6 42 б 47
— — — прямоугольном экране 6 39
— — — решетке 6 12
— — — щели 6 3, 6 36
— Френеля 6.3—6 10, приложение 6Г
— — на круглом отверстии 6 9
— — — — экране 6 10
— — — щели приложение 6Г
— электронов 8 31, 18 2
Диэлектрическая проницаемость 13 4, 15 22
— — , связь с показателем преломления 13 6
Диэлектрической проницаемости тензор
16 2—16 4
Длина волны преобладающая 10 33
— , релятивистское сокращение 11 30
Длины волн измерение 9 30
— — сравнение 9 31, 9 32
Дробные доли порядка 9 32—9 36
Дэвиссона и Джермера опыт 18 2
Закон Больцмана 17 30, 17 35
— Керра 16 51
— Ламберта 10 27, 15 5
— Малюса 12 10
— Планка 17 32—17 37 18 24, 18 34, 18 35
— смещения Вина 17 27—17 29, 17 33
— Стефана 17 27
— Хавелока 16 51
Замедление времени 11 30
Затвор Керра 16 53
— — , применение 11 36, 17 39
Затухание естественное 4 25
Зеркала Френеля 5 9, 9 2
Зонная пластика приложение 6В
Зоны Френеля 6 7 и д , приложение 6В
Зрачок входной 7 27
— выходной 7 27
Излучение дипольное приложение 13Б
— квадрупольное 19 7, 19 23
— мультипольное приложение 13Б, 19 7,
19 23
— резонансное 15 27, 17 14, 19 13, 19 18—
19 20
— рентгеновское 17 18
— тепловое (черного тела) 17 27—17 34
Излучения, квантовая теория гл 17, 18
Изменение фазы при отражении 3 28, 14 И
Измерение длин 9 16—9 18, 9 44—9 46
Изоклины 16 57
Импульс электромагнитных волн 13 12
Индукция 13 4
Интеграл Френеля 7 15
— Фурье приложение 4Б
Интерференции порядок 4 9
— применения гл 9
— условия 5 6, 12 15
Интерференционные полосы 5 5 и д
— — ахроматические 5 34—5 40
~ — Брюстера 5 32
— — в тонких пленках 4 8, 5 15 ид
— — , контурные картины 9 6—9 20
— — , локализация 5 20
— — равного наклона 5 17
— — равной толщины 5 18
— светофильтры 5 40
Интерференция 1 4, гл 5
— во вращающейся системе И 41
— конечных цугов 4 33
— многолучевая 5 26, 9 15, 20 37
— плоскополяризованного излучения 12 5—
— поляризованных пучьов 12 15
Интерферометр Майкельсона 4 8. приложение
4А, 5 18, 9 2, 9 3, 9 31 9 50, 11 12, 19 30
— Тваймана — Грина 9 6, 9 9, 9 10, 20 36
— Фабри—Перо 5 28, 9 31, 9 50
Интерферометры, вспомогательные устрой-
устройства к ним 9 53
— , классификация по типам 9 2—9 4
Калибр оптический 9 12—9 14
Квант 18, 17 1
Квантование поля 18 21
Квантовая теория, история развития 1 8,
19 31
Квантовое состояние 18 28
Когерентное усиление света пригожение 19Б
Когерентность 5 3, 6 12
— и резонансное излучение 19 13
— — рэлеевское рассеяние 1э 44
Кольца Ньютона 5 19, 9 20
Компенсатор Бабине 12 33, 12 34
— Жамена 9 25
Коническая рефракция 16 24—16 30
— — внешняя 16 25
— — внутренняя 16 26, 16 27
Контакт оптический 6 29
Контракционная гипотеза Фитцджеральда—
Лорентца 11 25
Контроль оптической поверхности 9 6, 9 11
Корпускулярная теория 12, 331—334
Корпускулярно-волновой дуализм 12, 3 31,
18 3, 19 29—19 34
Коэффициент отражения 3 26—3 28, 14.8,
15 7, 15 37
— поглощения 15 5
— рассеяния 15 44
— экстинкции 15 5
Коэффициенты Эйнштейна 17 37, 17 38,.
18 20, 19 1—19 3, приложение 19 А.
Кривая видности 10 22—10 25
Кристалла главная ось 12 7
— — плоскость 12 7
— оптические оси 12 7, 12 20, 16 6, 16.17,
16 45, 16 46
Кристаллы двуосные 12 20, 16 22—16 30,
16 38—16 40, 16 45—16 48
— одноосные 12 7, 12 20, 12 21, 16 19,
16 36, 16 37
Круговое лучепреломление 12 36, 12 37
Лазеры приложение 19Б
Линзы 72 и д
— полевые 7 29
Линии ахроматические 1631, 16 37, 16 3^
— запрещенные 19 5, 19 6
— изохроматические 16 31
— поглощения 15 27
— стоксовы и антистоксовы 19 22
— Фраунгофера 4 5
Луч необыкновенный 12 8 16 21
— обыкновенный 12 8, 16 21
— света 13, 6 54
— — в анизотропной среде 16 5, 16 9„
16 10, 16 13
Лучи в гравитационном поле 11 39
Магнитный момент атома 19 16
Майкельсона—Морлея опыт 11 22, 11 25,
11 27, 11 31, 11 35, 11 38
— — установка И 24
Максвелла условия 7 8
Масса и энергия 18, 11 45
фотона 11 47, 11 48, 17 1, 18 33
— покоя 11 45
— релятивистская 11 45
Матричные элементы 18 16—18 20, 19 3
Метод крюков 15 30
— Физо 9 11, 9 20
Микроскоп 7 33, 8 21
— , оптимальное увеличение 8 31
— , разрешающая сила 8 19—8 22
— фазово контрастный 8 28, 8 29
— электронный 8 31
Многоканальные устройства 20 34
Множитель наклона — см Функция направ-
направления
Модель атома векторная 19 16
Момент количества движения света 17 24—
17 26, 19 4, 19 23, 19 24
Монохроматор 4 7, 7 36
Муаровые полосы 6 17
Неразличимость фотонов 1734,1829—1834»
19 31
Ньютона формула 7 12
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
629
Объективы с переменным фокусным расстоя-
расстоянием 7 38
Окно входное 7 28
— выходное 7 28
Окуляры 7 31 7 32
Оптическая активность в магнитном поле
16 50
естественная 12 35—12 40,16 43, 16 49
кварца 12 35—12 38
— плотность 10 14
— сила 7 6, 7 12, 7 18
Оптические постоянные анизотропных сред
16 44
— — поглощающих сред 15 5
— свойства металлов 15 1—15 17, 15 33—
15 41
Оптический контроль концевых мер 9 16—
9 18
— — объективов 9 5
— — плоских поверхностей 9 11—9 13
— — плоскопараллельных пластин 9 И—
9 13
— эталон длины 9 38—9 48
Опыт Майкельсона о вращении Земли 11 41,
11 43
— Малюса 1 5, 12 2 12 9
— Саньяка 11 41, 11 42
— Штерна и Герлаха 17 26, 19 16
Освещение некогерентное 5 3, 8 19, 8 20
Освещенность 221 1026 10 27
Оси единственной лучевой скорости 16 15
— — фазовой скорости 16 6 16 17
— кристаллографические 127, 164, 1645
Остаточные лучи 15 32
Осциллятор атомный 46, 1813 18 17—
18 20, 19 1 19 7
—i простой гармонический гл 2 4 6
— — — в теории излучения приложение 13Б
18 21—18 25 19 1—19 3, приложение 19А
— — — , квантовая теория 18 13, 18 17—
18 20 19 1 19 7 19 31
Осцилляторы в теории дисперсии 15 20 ид
Относительная скорость 11 20
Относительность одновременности 11 30
Отношение сигнал/шум 10 12, 10 13, 10 18
20 19
Отражательная способность 15 7
Отражение и преломление, волновая теория
3 13—3 15 6 14
, законы 3 11—3 17, 6 14, 14 2
— — — , корпускулярная теория 3 31—
О О4
— — —, электромагнитная теория гл 14,15
— от движущегося зеркала 11 36
— поглощающих сред 15 6—15 17
— — прозрачных сред 3 И—3 17
— при наклонном падении 15 8
— — нормальном падении 15 7
Оттенки дополнительные 12 39, 12 42
Парадокс Карвалло 4 34
Параксиальные пучки 7 3
Переходы запрещенные 18 20, 194 и д
— разрешенные 18 20 194 ид
Пластинка в полволны 1225 1226
— — четверть волны 12 25 12 26
Плоскости главные 7 10
— сопряженные 7 6
— фокальные 7 10
(Плоскость поляризации 123, 129 и д
— — естественное вращение 12 35—12 40
14 10, 16 43 16 48
— — , магнитное вращение 16 50
— — , определение 12 3 12 44
Плотность излучения 17 27, 17 37
— объемных зарядов 13 4
Поверхности изохроматические 16 34
Поверхность волновая 2 13,3 8—3 13,12 20—
12 22, 16 14—16 16
— — в двуосном кристалле 16 14—16 18,
16 22—16 30
— — — одноосном кристалле 12 20—12 21
16 19
— нормальных скоростей 16 17
Поглощение в газах 15 24, 15 25
— — жидкостях и твердых телах 15 31
— — кварце ib 3
Поглощение в мета пах ю 1 — 15 17
15 33—15 41
— и вероятности перехода 16 18 пригоже-
пие 19А
— — время жизни атома 17 41
— — дисперсия 15 24—It) 41, приюжение
19А
— — рассеяние 15 4, 15 42 при-мжение 19А
сила осциллятора 15 27—li 29, 17 41
— , квантовая теория приложение 19 \
— резонансного излучения 19 13
— , электромагнитная теория 15 5
Лойнтинга вектор 1311, J416, J6 6
— теорема 13 И
Показатель преломления действительный
3 И
— — комплексный 15 5 15 13—15 17, 15 37
Полное внутреннее отражение 14 15, 14 16
Полосы ахроматические 5 34—5 40, 16 37
— переналожения 5 32, 5 33, 9 41, 9 45
— Тальбота 8 36—8 39
Полутеневой угол 12 46
Полутень 1 3
Полуширина линий 413, 425, 17 42
Поляризатор 12 2
Поляризации состояния 12 1, 12 29—12 31
— степень 14 9
Поляризационные светофильтры 12 51, 12 52
— устройства 12 11 12 12, 12 14
Поляризация 15 12 1 и д
— диэлектриков 13 6 15 19
— круговая 12 1 12 18, 14 15, 16 41, 16 42,
17 24 19 24—19 26
— линейная 12 1 12 И и д
— при двойном лучепреломлении 15, 12 6,
— — отражении 1 5, 12 2, 12 4, 14 8—14 10
14 17
— — поглощении 12 13
— — прохождении 12 5, 12 9
— резонансного излучения 1918 1919
— эллиптическая 12 1 ид
Поляризованный свет 2 1 и д
— — , анализ 12 27—12 29 12 33 12 44
— — в двояк опреломляющ ей среде 1 5,
12 22—12 26
Постоянная Больцмана 178, 17 30, 17 38
20 22
— Керра 16 51, 16 52
— Планка 17 1, 17 J3 20 22
— Ридберга 17 4
Посгроение Гюйгенса 38, 65, 1221, 16 21
Потенциал ионизационный 17 И—17 13
— критический 17 10, 17 11
Поток 2 21, 10 2, 10 3 10 9, 10 26 гл 20
— световой энергии 2 21 10 26—10 28
Правило знаков 7 4
— отбора 19 4, 19 22
— /-сумм 18 18
Предел разрешения — см Разрешающая
сила
— чувствительности 109, 1013 20 21
20 25—20 28
Преобразование Фурье приложение 4Б 20 12
Приемники излучения 10 2 и д
инфракрасные 10 5—10 8 10 12 20 25
— — линейные 10 2
— — неселективные 10 2
— — селективные 10 2, 10 3 10 10, 10 16
— — тепловые 10 о 20 25
— — фотоэлектрические 10 10—10 12 20 27
— — чувствительность 102 104 101о
Призма 7 35
— Волластона 12 И 12 14
— Г лана—Томпсон 1 12 12
— Дове 7 35
— Корню 12 46 12 47
— Никопя 12 12
— Пеллина—Броьа 7 35
— Порро 7 35
— , разрешающая сила 8 о
— ромбоидальная 7 35
— Рошона 12 11
— Фуко 12 12
Принцип Гюйгенса 38 ид ьэ 1Q 2<j
— детального равновесия 17 Зэ—17 37
— относительности 11 2« ii 2-*
— Паули 18 31
630
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Принцип Ритца 17 5, 17 6
— суперпозиции 3 1
— Ферма 6 51, 6 57, 8 1, 16 5, 18 6
Пробные точки 20 12—20 16, 20 41
Пространственная модуляция 8 26
Путь оптический 3 30
Пучность 3 21
Радиометрический эффект 17 19
Разрешающая сила 8 2 и д
— — глаза 8 7
интерферометра 8 18, 9 50—9 52
— — микроскопа 8 19
— — , определение 8 2, 8 14
— — спектроскопов* 8 9, 8 10, 8 15
— — спектрофотометров 10 19
— — телескопа 8 5
— — теория 8 14
— — эталона Фабри—Перо 8 18
Разрешение, критерий Рэлея 8 2, 8 4
— частичное 8 15, 8 16
Распространение света в поглощающих сре-
средах 15 5
Рассеяние света атомами и молекулами
15 42—15 48
— — в мутных средах 15 48
— — — теории дисперсии 15 45—15 47
— — когерентное и некогерентное 19 13
комбинационное 15 48, 19 8—19 И,
19 21, 19 22, приложение 19А
— — резонансное 15 48, 17 14
рэлеевское 15 46, 19 8—19 11, 19 13,
19 21, приложение 19А
— Тиндаля 15 48
— электронами приложения 13В, 19А
Рефрактометр Жамена 9 25, 15 30
— Рэлея 9 3, 9 21—9 29, 11 38
Рефракция молекулярная 15 26
Ромб Френеля 14 15
Рычаг оптический 20 38
Рэлея критерий качества изображения 8 12
Ряды Фурье 4 17—4 23, приложение 4Б, 8 27
Сахариметрия 12 45—12 47
Сверхтонкая структура 9 50
Световой вектор 12 3, 12 10,12 41, 14 8, 14 13
— — .главные направления колебаний 12 23
Светопровод приложение 7А
Свеча 10 26-10 28
Свойства электромагнитных волн 13 7
Серии спектральные 17 4
— — , граница 17 12
Сила осциллятора приложение 13Б, 15 22,
15 27—15 29, 17 40—17 43, 18 18, 19 12,
19 31
— — , сопоставление с т 17 40
— света 2 21 10 26—10 28
Системы ахроматические 7 24
— диоптрические 7 9, 7 15
— катодиоптрические 7 9, 7 16
— проекционные 7 39
— телескопические 7 9, 7 20
Скорости света постоянство 11 22, 11 28,
И 30, 11 31, И 35
Скорость света 1 5, 2 16, 3 17, гл 11, 13 6
— — групповая 4 29, И 13 18 37
— — , зависимость от показателя прелом-
преломления 3 17, 11 18
измерение 112
— в вакууме И 10
— косвенными методами ИЗ
— , — методом Майкельсона И 1,
И 8—11 10, И 18
— — Ремера 11 5
Физо 11 6
— — Фуко И 7
— радиолокационным методом И 15,
И 16
фазовая 2 16, И 13
Сложение скоростей 11 30 11 38
Слои высокоотражающие 9 24
— неотражающие 5 22
Сморщивание волн 8 26
Собственная функция 18 10
Собственное значение 18 10
Сокращение длины 11 30
Соотношение неопределенности 18 4, 18 5^
18 27, приложение 19А
Состояния возбужденные 17,8, 17 38—17 40
— квантовые 18 28
— метастабильные 19 5
— основные 17 8
— промежуточные 19 9, приложение 19А
— симметричные и антисимметричные 18 31
— стационарные 17 6, 17 7, 17 38, 18.10,.
18 14, 18 15
Спектр вторичный 7 23
— испускания 4 2, 17 8
— канавчатый 5 30, 8 35, 12 39, 12 41,
12 42, 12 51
— линейчатый 4 3
— непрерывный 4 2, 17 13
— поглощения 4 5, 17 8
— — , граница серии 17 12
— полосатый 4 3
Спектральная мощность сигнала 20 10, 20 17
Спектров возбуждения 17 10
Спектрофотометрия абсорбционная 10 19,
10 20, 20 31
Спектрофотометры 10 19
Спин 19 6
Спираль Корню приложение 6Г
Стандартный источник 10 28
Статистика квантовая 18 29—18 35
— Максвелла — Больцмана 17 34, 18 34
Столкновения второго рода 17 15
Стоячие волны 3 20—3 25, приложение 13А,
14 12—14 14, 14 16, 18 7
Структурный фактор 6 43
Суперпозиция волновых функций 18 30,.
19 25—19 28
— состояний 19 25—19 38
— электромагнитных волн
Счетчик фотонов 17 18
Телеобъективы 7 37
Телескоп отражательный 7 34
Тень 1 3
Теорема Бабине 6 46
Теория возмущения 19 3, приюжение 19А
— Дирака 19 1—19 3, 19 9, 19 16, 19 31„
приложение 19 А
— информации 20 3 и д
— микроскопа 8 21—8 26
— относительности И 19 и д
— Планка 17 1, 18 23, 18 36, 19 31
Термопара 10 2
Термы спектральные 17 5
Ток смещения 13 4
Точки главные 7.10
— кардинальные 7 9
— узловые 7 13
Трихроматизм 10 32, 10 33
Увеличение бесполезное 8 8
— линейное 7 7
— максимальное полезное 8 8, 8 31
— оптимальное 8 31
— полезное 8 8, 8 31
— телескопическое 7 37
— угловое 7 7
Увеличители 7 31, 7 32
Узлы 3 20, 14 12
Упругооптическая постоянная 16 57
Уравнение распространения 2 9, 2 13
— Френеля 16 6
— Шредингера — см Волновое уравнение
Уравнения Гамильтона 2 7, 11 45, 17 30>
18 21, 19 31
— Максвелла 13 2, 13 4
Уширение линий 4 25, 15 29, 15 31
— — допплеровское 4 25, 15 29
— — , обусловленное давлением 4 25
Фаза 2 4, 2 12
Фазовая скорость 2 9 2 16, И
Фазовый контраст 30
— — отрицательный 8 29
— — положительный 8 29
Фактор рассеяния 6 19, 6 43
13
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
631
Фигуры ахроматические 5 34—5 40. 16 31.
16.37, 16 39—16 41
— изохроматические 16 31, 16 34, 16 35,
16 41
Физо, метод контроля плоских поверхно-
поверхностей 9 il—9 13, 9 15
Флуктуации 20 8, 20 23
Флуоресценция 17.14, 17 15
— сенсибилизированная 17 15
Фокус первый и второй 7 10
Формула Кирхгофа приложение 6А
— Коши 318
Формулы Френкеля 14 7
Фотографическая пластинка 10 14, 20 43
Фотометр 10 17
— поляризационный 12 14
Фотометрические величины 2 21
— — , определение 2.21, 10 26—10 28
Фотометрический шар 10 29
Фотометрическое суммирование 5 1
Фотометрия 2 21, 10 17
Фотонная теория Эйнштейна 17 17, 18 25,
18 36, 19 31
Фотоупругость 16 56
Фотохимический закон Эйнштейна 17 16
Фотоэлектронный умножитель 10 11
Фотоэлемент с внешним фотоэффектом 10 10,
внутренним фотоэффектом 10 10, 10 12.
— — запирающим слоем 10 12
Фотоэффект 12, 17 3, 1713
— в газах 17 13
— элементарный 17 18
Функция направления 3 9, 6 6, 6 32
Цвет и длина волны 15, 10 31
— тонких пластин в поляризованном свете
12 38, 12 41, 16 31—16 43
— — пленок 5 12, 5 22, 5 24
Цвета, насыщенность 10 33
— , оттенок 10 33, 12 42
Цветное зрение 10 31 —10 35
Частота 2 4
Чистота спектра 8 32
Шум фотонный
Ш^мов спектр
10 18
20 17
20 30
Эйри диск 6 41 8 1
Экраны дополнительные 6 46
Электромагнитная теория отражения и пре-
преломления 138 г г 14 15
Электромагнитного поля описание вектор-
векторное 13 3 и д
— — — при помощи потенциала при го-
жены 13А, 18 21 18 22
Электромагнитные волны в диэлеьтрике
13 5—13 7, 15 18 — 1о 32
Эллипсоид индексов 16 4 ц д
Эллипсоида главные оси 16 4
Энергии перенос 2 18, 17 6, приюжение 19 \
— плотность 17 27
— поток 2 i), 2 21, 13.11
— , скорость распространения 16.9
Энергия взаимодействия (излучения и ве-
вещества) 19 1—19 3, 19 8, 19 22
— покоя И 45
— электромагнитного поля 13 10, 18 21
18 22
Эриометр Юнга 6 48
Эталон Фабри — Перо 5 28, 92, 931 —
9 36, 9 50—9 55
Эталоны длины 9 38—9 40
— — оптические 9 38—9 48
Эфир 11 20—11 22, 11 37
Эфира, коэффициент увлечения 11 38 *
— теория И 20
Эффект Допплера поперечный 11 32, 11 34
продольный 2 22—2 25, 11 32, 11 33,
12.48, 17 29, 17 42
— Зеемана 19 7, 19 14
— Керра 16 51, 16 52, 16 54
— Комптона 17 23, приложение 17А, 18 4,
приложение 19 А
— Коттона — Мутона 16 55
— Пашена — Бака 19 14
— Пуркинье 10 25
— Фарадея 16 50
Эшелетты 6 25
Эшелон 6 28—6 30, 9 50—9 54
Эшель 6 28—6 30
Ширина линий 4 25
Шум 10 13, 10 18, 20 7, 20 17—20 19, 20 22
— белый 20 18
Яркость 2 21, 10 26 1^ 27, 10 33
— субъективная 10 26, 10 33