Дж.Торп
НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Книга американского ученого, знакомящая с основными понятиями и
методами дифференциальной геометрии. В ней использован довольно общий
алгебраический и аналитический подход, изложение богато иллюстрировано
графическим материалом, имеется около 300 задач.
Предназначается для математиков, преподавателей вузов, аспирантов и
студентов университетов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчика	5
Предисловие	7
1.	Графики и множества уровня	11
2.	Векторные поля	17
3.	Касательное пространство	26
4.	Поверхности	30
5.	Векторные поля на поверхностях; ориентация	39
6.	Гауссово отображение	50
7.	Геодезические	59
8.	Параллельный перенос	69
9.	Отображение Вейнгартена	80
10.	Кривизна плоских кривых	93
11.	Длина дуги и криволинейные интегралы	101
12.	Кривизна поверхностей	121
13.	Выпуклые поверхности	140
14.	Параметризованные поверхности	160
15.	Локальная эквивалентность поверхностей и параметризованных	176
поверхностей
16.	Фокальные точки	193
17.	Площади и объемы	202
18.	Минимальные поверхности	226
19.	Экспоненциальное отображение	236
20.	Поверхности с краем	257
21.	Теорема Гаусса—Бонне	276
22.	Движения и конгруентность	306
23.	Изометрии	320
24.	Римановы метрики	336
Библиография	354
Предметный указатель	356
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная интегральная кривизна
116
Вариация кривой 236
— нормальная 238
— поверхности 226
— с фиксированными концевыми
точками 238
Вейнгартена отображение 83
Вектор в точке р 17
— касательный к краю 260
— направленный внутрь 260
-----вовне 260
— нормальный к краю 260
— скорости 20
Векторное поле 18
-----бинормальное 99 (упр. 10.7)
-----вдоль параметризованной
кривой 59
-----главное нормальное 99 (упр.
10.7)
-----гладкое 19, 34
-------полное 24 (упр. 2.7)
-----евклидово-параллельное 70
-----касательное 68
-----на п -поверхности 39
-----параллельное 71
-------в смысле Леви-Чивита 71
Векторное произведение 18, 47 (упр.
5.7), 48 (упр. 5.9)
Внешние углы 285
Внешняя производная 264, 274 (упр.
20.7)
—	точка 58
Внутреннее расстояние 256
Внутренние углы 289
Внутренность 258
Внутренняя геометрия 320
Вполне геодезическое множество 352
Вращение положительное 45
—	на угол 0 306
—	Rn+1 318 (упр. 22.4)
Выпуклая в точке 140
—	поверхность 140
-----в целом 140
Высота 11
Гаусса — Бонне теорема глобальная
297
-------локальная 286
—	лемма 247
—	отображение 50
-----и отображение Вейнгартена 19
(упр. 9.14)
-----степень 303
Геодезическая 61
—	кривизна 279
—	максимальная 63
—	струя 92
Геодезический поток 89
—	треугольник 289
Гессиан 144
Гиперболическая метрика 344
-----в п-шаре 353 (упр. 24.10)
Гиперплоскость 31
Гиперповерхность 30
Главные кривизны 171
— направления 171
Гладкая форма 214
— функция 19, 34, 187
Гладкость отображения 75
Гомотопия 116 (упр. 11.17)
Градиент 19
Градиентное векторное поле 142
Градиентные линии 152
Граница сингулярного треугольника
269
График 11
Грина формула 274 (упр. 20.5)
Движение 307
Дифференциал гладкой функции 264
— отображения 160, 162
Дифференцирование ковариантное
69, 327
— композиции отображений 172
(упр. 14.1)
Длина вектора 18
— параметризованной кривой 101
— плоской кривой 106
Единичная окружность 31
Единично-сферическое расслоение
191 (упр. 15.6)
Естественный подъем (лифт) 91 (упр.
9.15)
Изгибание 325
Изолированная особенность 294
Изометричные поверхности 322
Инвариант 326
Индекс вращения 117
— поля 295
Интеграл ПО
— криволинейный ПО
— объема стационарный 230
— по поверхности 221
— £-формы 216, 220
— 1-формы ПО
— 2-формы 269
Интегральная кривая 20
-----максимальная 40
Карта 179
Картона структурное уравнение 305
(упр. 21.6)
Касательное пространство 28, 30,
163, 259
— расслоение 162, 191 (упр. 15.5)
Катеноид 234
Квадратичная форма 129
-----знаконеопределенная 130
-----знакоопределенная 129
-----отрицательно определенная 129
-------полуопределенная 130
-------положительно определенная
130
-----полуопределенная 130
Ковариантная производная 69, 83,
327
Конгруентные поверхности 309
Конус 173 (упр. 14.6)
Кососимметричность 214
Край поверхности с краем 257
— сингулярного круга 268
-----полукруга 268
-----прямоугольника 303 (упр. 21.2)
Кривая плоская 60
— пространственная 187
Кривизна 99 (упр. 10.7)
— Гаусса—Кронекера 132,171
-------внутренняя формула 332—
333
-------величина 209—210
-------графика 138 (упр. 12.13)
-------формула 132—133
— гауссова 171
-----поверхности 175 (упр. 14.20)
-----эллипсоида 134
— риманова (или секционная) 335
(упр. 23.13)
— средняя 171
Кристоффеля символ 334 (упр. 23.7)
Критическая точка 143
-----изолированная 152
-----невырожденная 152
Кручение 99 (упр. 10.7)
Леви-Чивита параллелизм 71
Линии тока 19
Локальная однопараметрическая
группа, ассоциированная с
полем X 25 (упр. 2.12)
— параметризация 179
Локальный максимум 144
-----критерий для 144—145
-----строгий 144
— минимум 143
-----критерий для 144—145
-----строгий 144
Мёбиуса лист 44, 168
Меридианы 67 (упр. 7.8)
Метрика гиперболическая 344, 352
(упр. 24.10)
Метрические коэффициенты 205
Минимальная поверхность 231
Множества уровня 11
Множество сопряженных точек 254
Направление 44
— асимптотическое 235 (упр. 18.5)
— положительное касательное 44
Направляющие косинусы 129
Нормальное сечение 122
Обезьянье седло 37 (упр. 4.4)
Образ сферический 50
Объем параметризованной п-
поверхности 203
Ограничение 59
Ориентация естественная 47 (упр. 55)
— индуцированная 262
— на 543, 260
— стандартная на S 210
Ортогональное преобразование 306
Основная теорема алгебры 120
(упр. 11.20)
— форма поверхности вторая 129
-------первая 129
Открытое множество 19, 144
Отображение конформное 192 (упр.
15.12)
— регулярное 163
— сопряженное 90
— экспоненциальное 242
Отражение 306
Параллели 67 (упр. 7.8)
Параллельные п-плоскости 31
-----в евклидовом смысле 70
----------Леви- Чивита 71
Параллельный перенос 75, 76
Параметризованная кривая 20
-----кусочно-гладкая 76
-----регулярная 117
—	п-плоскость 164
—	га-поверхность 162
—	псевдосфера 175
Параметризованный тор 167
Перенесение назад 216
Перепараметризация 211
Плоскость 31
Поверхность размерности п или п-
поверхность 30, 184
—	вращения 33
—	гладкая 39
—	компактная 35
—	ориентированная 43, 261
—	с краем 258
Поле гладкое 60
—	параллельное в смысле Ферми 79
(упр. 8.8)
—	Якоби 201
Полилинейность 214
Положительно ориентированный
базис 45
Положительное 0-вращение 45
Произведение внешнее 215 (упр.
17.14)
— внутреннее 215
— функции и формы 109, 216
-------векторного поля 82
Производная 80
—	в точке 90
—	гладкого векторного поля 81
—	ковариантная 83
—	по направлению 81
Пуанкаре метрика 344, 352 (упр.
24.9)
Пуанкаре —Хопфа теорема 298
Радиус кривизны 97
Разбиение единицы 218
Регулярный прямоугольник 303—304
(упр. 21.1)
—	треугольник 285
Римана тензор 332
Риманова геометрия 336
— метрика 336, 337
Свойство глобальное 135
— локальное 135
Связное подмножество 42
Седловая точка 144
Сингулярный круг 268
—	полукруг 268
—	прямоугольник 303 (упр. 21.2)
—	треугольник 269
Скалярное произведение векторов 18
Скобка Ли 90 (упр. 9.13), 264
Скорость вращения поля 278
—	кривой 59
Соприкасающаяся окружность 97
Стационарность 143
Степень отображения Гаусса 303
Стокса глобальная теорема 270—271
— локальная теорема 269
— классическая формула 275 (упр.
(20.10)
Сумма векторных полей 60, 82
— форм 109, 216
Сферические координаты 163, 172
(упр. 14.4)
Сферический образ 50
Теорема глобальная 135
—	локальная 135
—	об обратной функции для
п-поверхностей 189
Триангуляция 304 (упр. 21.4)
—	вершины 304 (упр. 21.4)
—	ребра 304 (упр. 21.4)
Точка регулярная 27
—	сопряжения 253
Угловой порядок 115, 120 (упр.
11.22)
—	вращения полный 278
—	голономии 283
—	между векторами 18
Упорядоченный базис, не
согласованный с ориентацией
46
-----согласованный с ориентацией
46, 261
Ускорение 60
—	ковариантное 70
Ферми перенос 79 (упр. 8.8)
—	производная 79 (упр. 8.8)
Фокальная точка поверхности ф 193
Фокальное множество 198
1-форма дифференциальная 107
—	двойственная к X 107
£-форма 214
—	гладкая 214
Форма объема 261
—	связности 277
Формула первой вариации 237
Френе формулы 99 (упр. 10.6)
Функция вдоль кривой 59
Фундаментальная область 106
Центр кривизны 97
Цепная линия 234
Цилиндр 33
—	параметризованный 164
Эволюта 200 (упр. 16.3)
Эвольвента 200
Эйлерова характеристика 298
Энергия 255 (упр. 19.1)
Якоби поле 201 (упр. 16.5)
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
По дифференциальной геометрии на русском языке
имеется довольно много учебников и монографий учеб-
ного характера — как оригинальных, так и перевод-
ных. В своей совокупности они, конечно, охватывают
теорию поверхностей и в трехмерном и в многомерном
пространствах. Но все же представляется, что много-
мерной геометрии в этих книгах по разным причинам
не уделено должного внимания — или математиче-
ского или методического. Мы имеем в виду, что во
многих курсах теория поверхностей рассматривается
лишь для трехмерного пространства, а курсы, где из-
лагается многомерный случай, написаны на относи-
тельно высоком уровне и довольно трудны для начи-
нающих.
Предлагаемая вниманию читателей книга аме-
риканского математика Торпа представляется удач-
ным пополнением учебной литературы по дифферен-
циальной геометрии, восполняющим именно этот
пробел. Книга посвящена основам теории п-мерных
поверхностей в (п -f- 1)-пространстве. Изложение ме-
тодически продуманное, проверенное на собственном
педагогическом опыте автора и, нужно сказать, до-
вольно удачное, так как оно активно использует
и развивает те понятия и методы многомерных мате-
матических дисциплин — теории функций многих пе-
ременных, линейной алгебры и дифференциальных
уравнений, которые уже известны студентам.
Конечно, книга не может считаться учебником по
дифференциальной геометрии для наших студентов
2-го курса университетов, но сам изложенный мате-
риал, современная форма изложения, набор удачных
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
иллюстраций и большой запас задач делают книгу
полезной для всех, кто интересуется дифференциаль-
ной геометрией. В первую очередь она предназна-
чается тем, кто занимается преподаванием, и тем, кто
хочет ознакомиться с основными понятиями диффе-
ренциальной геометрии на вполне доступном и в то
же время достаточно высоком научном уровне.
И. X. Сабитов
Моим родителям, постоянная лю-
бовь, поддержка и ободрение ко-
торых сделали для меня возмож-
ным написание этой книги
ПРЕДИСЛОВИЕ
Во многих, а может быть, даже в большинстве
колледжей США в последнее десятилетие в препода-
вании математики на младших курсах произошли
знаменательные изменения. Они вызваны введением
в учебные планы второго года обучения линейной
алгебры. Преимущества использования линейной ал-
гебры в курсе дифференциальных уравнений и мно-
гомерного анализа сейчас уже общепризнаны, имеется
несколько учебников, написанных с этой точки зре-
ния, и они получили достаточно широкое распростра-
нение. Студенты, оканчивающие второй курс, имеют
теперь вполне удовлетворительные сведения о много-
мерных пространствах.
Представляется очевидным, что на средних курсах
нужно учитывать и развивать понятия и методы, из-
ложенные в предыдущие годы. К сожалению, по
крайней мере в дифференциальной геометрии, дело
обстоит не так. В учебниках, предназначенных для
студентов этого уровня, обычно основное внимание
уделяется двумерным поверхностям в трехмерном
пространстве, а поверхности произвольной размерно-
сти остаются в стороне. Хотя в большинстве новых
учебников линейная алгебра и используется, но это
лишь алгебра пространства R3. Полученные студен-
тами многомерные представления не культивируются
и не совершенствуются.
В настоящей книге излагается геометрия п-мерных
поверхностей в (п+1)-мерном пространстве. Она
предназначена как пособие по односеместровому
курсу дифференциальной геометрии для студентов
средних курсов. Изложение в значительной мере
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
опирается на сведения по линейной алгебре, много-
мерному анализу и дифференциальным уравнениям,
которыми владеет современный студент, и в то же
время оно развивает и укрепляет понимание этих
предметов. Более того, ценность курса дифференци-
альной геометрии на этом уровне определяется и тем,
что в процессе его изучения студент должен возвра-
щаться к многомерному анализу.
Другой причиной неизменной привлекательности
дифференциальной геометрии для студентов является
то, что она содержит идеи, не только красивые сами
по себе, но и имеющие фундаментальное значение
одновременно и для математиков и для физиков-тео-
ретиков. Автор на своем опыте убедился, что сту-
денты, прослушавшие его курс, при выборе специали-
зации— по математике или по физике — делились
более или менее поровну. Принятый в этой книге под-
ход к предмету, который основан.на описании поверх-
ностей как решений уравнений, кажется особенно
привлекательным именно для физиков.
В книге с самого начала рассматривается геомет-
рия ориентируемых гиперповерхностей в R”+I, опре-
деленных как прообраз регулярных значений гладких
функций. Рассмотрев в первой половине книги только
такие поверхности, можно быстро подойти к интерес-
ным вопросам геометрии в целом, не особенно задер-
живаясь на развитии изощренной техники. Так, на-
пример, карты (координатные области) вводятся
только после первоначального обсуждения геодези-
ческих, параллелизма, кривизны и выпуклости. Карты
появляются как средство для получения вычисли-
тельных формул. Однако затем они, конечно, позво-
ляют довести изучение геометрии до фокальных точек
и до поверхностей произвольной коразмерности.
Одно из преимуществ изложения п-мерной гео-
метрии с самого начала состоит в том, что при этом
появляется возможность иллюстрировать каждое по-
нятие в любой из меньших размерностей. Так, напри-
мер, понимание студентами гауссового отображения
и его сферического образа облегчается возможностью
изучения одномерных примеров, в которых сфериче-
ПРЕДИСЛОВИЕ
9
ский образ является подмножеством единичной
окружности.
Основной метод, используемый при построении
теории поверхностей, — это метод векторных полей.
Он кажется наиболее естественным для изучения
дифференциальной геометрии и одновременно наи-
более известным студентам средних курсов — мате-
матикам и физикам. Дифференциальные формы не
вводятся почти до самого конца книги, причем они
используются только для интегрирования.
Студенты, которые прослушали добротный двух-
годовой курс математики, включающий линейную ал-
гебру и дифференциальные уравнения, вполне в со-
стоянии усвоить эту книгу. Есть только отдельные
места (например, изложение выпуклости, в гл. 13),
где могут потребоваться некоторые идеи математиче-
ского анализа, однако эти места не являются суще-
ственными.
Вероятно, в книге больше материала, чем можно
без особой напряженности изучить в одном семестре,
если только слушатели не обладают особо сильной
подготовкой. Главы 1 —12, 14, 15, 22 и 23 содержат
ядро основного материала, которое следует изучить
в любом случае. Большинство преподавателей захо-
чет, вероятно, включить также по крайней мере часть
глав 17, 19 и 24.
Взаимозависимость глав следующая:
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
Некоторые понятия из начальной части гл. 13 ис-
пользованы только в последних главах, и их можно
изучать по мере необходимости.
Подобно автору любого учебника, я во многом
обязан предшествующим авторам научных работ
и учебников, а также преподавателям, моим коллегам
и студентам, с которыми я общался. Хотя я не могу
конкретно перечислить их всех, я должен по крайней
мере упомянуть М. до Кармо и Е. Лима, статья кото-
рых «Изометрические погружения с полуопределен-
ной второй квадратичной формой» в Arch. Math., 20
(1969), 173—175, повлияла на изложение выпуклых
поверхностей в гл. 13, и Чженя, статья которого «Об
одном простом внутреннем доказательстве формулы
Гаусса — Бонне для замкнутых римановых многооб-
разий», Ann. of Math. (2) 45 (1944), 747—752, ока-
зала влияние на изложение теоремы Гаусса — Бонне
в гл. 21. Я особенно благодарен Вольфгангу Мейеру,
замечания которого по рукописи книги были чрезвы-
чайно полезными.
Джон А. Торп
Стони Брук, Нью-Йорк
ноябрь 1978
1.	ГРАФИКИ И МНОЖЕСТВА УРОВНЯ
С каждой действительнозначной функцией не-
скольких действительных переменных можно сопо-
ставить некоторую совокупность множеств, называе-
мых множествами уровня, которые полезны для
изучения качественных свойств функций. Именно,
если дана функция ft U -*R, где Z7ccR'l+1, то ее мно-
жества уровня f~l (с) определены для каждого дей-
ствительного числа с соотношением
Г' (с) = {(Х(..х„+1) е= U: f (хь хп+1) = с}.
Число с называется высотой множества уровня, а
/-1 (с) — множеством уровня высоты с. Так как f~l (с)
является множеством решений уравнения f (xb ...
...,хп+1) — с, то множество уровня f~' (с) часто
описывается как «множество f(x{, .. хл+1) = с».
Терминология «множество уровня» и «высота» по-
рождена отношениями между множествами уровня
некоторой функции и ее графиком. График функции
f: U—>R является подмножеством в Rn+2, определен-
ным условиями
график (f) = {(Xj, ..., xrt+2) е= R'I+2: (хь ..., х„+1) е= U
и xn+2 = f (хь ..., х„+1)}.
Для функции f множество уровня высоты с при с О
как раз является множеством всех точек в области
определения f, над которыми график находится на
высоте с (см. рис. 1.1). При с < 0 соответствующее
множество уровня f~l (с) представляет собой в точно-
сти множество всех тех точек из области определения
f, под которыми график находится на расстоянии —с.
12 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Например, множества уровня f 1 (с) функции
f (xlt ..xn+i) ~ xi + ••• + xn+i являются пустыми
Рис. 1.1. Множества уровня f 1 (с) (с > 0) для функции
f (х1> •••> xn+i) = xi + ••• +xn+i-
для с < 0; при с = 0 множество уровня состоит из
одной точки (начала координат); а при с>0 мно-
Рис. 1.2. Множества уровня для функции f (х1( ..., xrt+i) =
= х? + ••• +^+1-
жество уровня представляет собой совокупность двух
точек, если п = 0, концентрические окружности
с центром в начале координат и радиуса Vе, если
1. ГРАФИКИ И МНОЖЕСТВА УРОВНЯ
13
п— 1, и концентрические сферы с центром в начале
координат и радиуса Vе > если п~2 и т. д.
(см. рис. 1.1 и 1.2).
(а)
(5)
Рис. 1.3. Множества уровня и графики функций f: R2'->R. Метка
на каждом множестве уровня указывает его высоту.
(д' ' (Гр х2) = —	+ х|. (б) Функция с двумя локальными
миним м ми.
При п = 1 множества уровня обычно являются
(по крайней мере для дифференцируемых непостоян-
ных функций) кривыми в R2. Эти кривые играют ту
же самую роль, что и горизонтали на топографиче-
ских картах. Если мы представляем себе график
функции f как рельеф некоторой местности
14 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
(а)
(5)
Рис. 1.4. Множества уровня в R3, представленные через их пере-
сечения с семейством плоскостей х, = const.
(а> х| + х^+ х23 = 1. (б) Xj - х?4 х§^0.
1. ГРАФИКИ И МНОЖЕСТВА УРОВНЯ
15
с локальными максимумами вместо гор и локаль-
ными минимумами вместо впадин, тогда мы можем
построить топографическую карту этой местности,
ортогонально проектируя график на R2. Тогда все
точки на любой данной линии уровня /-1(с) соответ-
ствуют тем точкам местности, которые в точности
имеют высоту с над «уровнем моря» (х3 = 0).
Подобно тому как топографические карты дают
точную картину рельефа некоторой местности, так
и знание множеств уровня и их высот дает точное
представление о графике функции. Для функций
ft R2->R изучение линий уровня может быть облег-
чено рисованием эскизов графика [. Для функций
ft R3->R график f лежит уже в R4, значит, нарисо-
вать график невозможно, и множества уровня ос-
таются тогда лучшим средством изучения поведения
функции.
Один из способов получения графика функции
ft U -> R, U cz R2, по ее данным, множествам уровня
состоит в следующем. Представим себе плоскость,
параллельную плоскости (*i, лД, как движущуюся
в вертикальном направлении. Когда она достигает
высоты с, то плоскость л'з = с пересекает график
функции f по множеству, полученному перенесением
при движении плоскости множества уровня f~'(c).
Когда плоскость движется, эти множества порождают
весь график функции f (см. рис. 1.3).
Тот же самый принцип может быть использован
и для получения представления о множествах уровня
функций ft t/->R, U cz R3. Каждая плоскость xi —
= const будет пересекать множество уровня /-1(с)
(с фиксировано) по некоторому подмножеству, обыч-
но по некоторой кривой. Заставляя плоскость дви-
гаться путем изменения выбранного значения коор-
динаты xi, приходим к тому, что эти подмножества
дадут все множество уровня Д’(с) (см. рис. 1.4).
УПРАЖНЕНИЯ
В упражнениях 1.1—1.4 нарисуйте типичные линии уровня и
график каждой функпии
1-1. / (Xi, х2) = xif
16 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
1.2.	f (Xi, Х2) = X] — Х2.
1.3.	f (xj, х2) =	— х2.
1.4.	j (xi, х2) = Зг8 — 8гв + 6г4, где г2 = х2 + х2. [Указание:
найдите и опишите критические точки f как функции от г.]
В упражнениях 1.5—1.9 для каждой из функций f нарисуйте
множества уровня /“‘(с) при л = 0, 1 и 2 для указанных высот
1.5.	f (хр х2, ..., хп+1) = хп+1; с = — 1; 0; 1; 2.
1.6.	f(xp х2....xrt+I) = 0xf+ х2+ ... + х2 + 1; с = 0; 1; 4.
'•7- f (х1- *2...x„+i)	= х, - xf - ... - х2 + 1;
с = — 1; 0; 1; 2.
1.8.	f (Хр х2, ..., хп_ = Х| х2 ...	х^+1;
с= - 1; 0; 1.
1.9.	f (хр х2> ..., хп+1) =
= х^ +х|/4 + ... + х2 + 1/(л + I)2; с=1.
1.10.	Покажите, что график любой функции f: Rrt->R является
множеством уровня для некоторой функции F; R”+1 -> R.
2.	ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
Метод, который нам позволит изучить геометрию
множеств уровня, это — метод векторных полей.
В этой главе мы дадим некоторые основные его
идеи.
Вектор в точке p^.Rn+i есть пара v=(p; v), ’) где
u'=Rra+1. Геометрически надо представлять себе v
как вектор V, приложенный к точке р, а не к началу
координат (рис. 2.1). Векторы в точке р образуют
Рис. 2.1. Вектор в точке р.
векторное пространство Rp+ размерности со
сложением по закону (р; и) + (р; w)— (р; v + w)
(рис. 2.2) и умножением на скаляр с (р; v) = (p; cv).
Множество {(р; uj, ..., (р; fn+i)} является базисом
в Rp+I, если {ui, ..., Ип+1} — произвольный базис в
Rrt+1. Множество всех векторов во всех точках
’) В оригинале вектор обе з тачается как v = (р, а). Чтобы
яснее выделить «точечную» и «векторную» части v, мы вместо
запятой между ними решили писать точку с запятой. — Прим,
ререв.
18 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
пространства Rrt+1 может быть отождествлено (как
множество) с декартовым произведением Rrt+i X
X Rn+1= R2rt+2. Заметим, однако, что наше правило
сложения не позволяет складывать векторы в различ-
ных точках из R"+l.
u+w
Рис. 2.2. Сложение векторов в точке р.
Для двух векторов (р;о) и (р; w) их скалярное
произведение определяется с использованием обыч-
ного скалярного произведения в Rn+' по правилу
(р; v)  (р; w) = v-w. Когда векторы (p;v) и (р; ж) е
е Rp, р е R3, определено также их векторное произ-
ведение, с использованием обычного векторного про-
изведения в R3, по правилу (р; о) X (р; te») = (p; оХ
X ®).
Имея скалярное произведение, определяем длину
||v|) вектора v = (p;u) и угол 0 между двумя векто-
рами v — (р; о) и w = (р; ш):
II V II = (V • v)1/2,
cos0 = (v • w)/|| v |||| w ||, 0<9<л.
Векторное поле X на (7 cz R'1-1"1 есть функция, ко-
торая сопоставляет каждой точке из U некоторый
вектор в этой точке. Таким образом,
Х(р) = (р; Х(р))
для некоторой функции X: U -> Rrt+‘. Векторные поля
на R"+1 часто легко описываются конкретным зада-
нием этой ассоциированной с ними функции X. На
рис. 2,3 показаны три типичных векторных поля в R2,
2 ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
19
В этой книге мы будем иметь дело главным об-
разом с гладкими функциями и гладкими векторными
полями. Функция f: U R ({? —открытое') множе-
ство в Rn+I) называется гладкой, если все ее частные
производные всех порядков существуют и непре-
рывны. Функция f: U-+Rk называется гладкой, если
(а)	(5)	(в)
Рис. 2.3. Векторные поля на R2: X (р) = (р X (р)).
(а) X (р) = (I, 0). (б) X (р) = (р). (в) X (х,. хг) = (— х2, х,).
каждая ее компонента ft: U -> R (f(p) = (fi(p),
..., М/7))’ Р s является гладкой. Векторное поле
X на U называется гладким, если ассоциированная
с ним функция X: U -► Rn+I является гладкой.
С каждой гладкой функцией /: U-> R (где U—
открытое множество в R”+1) сопоставляется гладкое
векторное поле на U, называемое градиентом
функции / и определяемое как
(Vf)(p)=(p; Д(р), ..., а^(Р))-
Мы увидим, что это векторное поле играет важней-
шую роль в изучении множеств уровня функции f.
Векторные поля часто появляются в физике как
поля скоростей потока жидкости. С каждым таким
полем ассоциируется семейство параметризованных
кривых, называемых линиями тока. Такие «линии
тока» в действительности сопоставляются с любым
') Напомним, что множество U cz Rrt+1 является открытым,
если для каждой точки р е U найдется е > 0, такое, что q <^U,
если || q — р || < е.
20 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
гладким векторным полем и они так же важны в гео-
метрии, как и в физике. В геометрии эти линии тока
называются интегральными кривыми.
Параметризованная кривая в R"+1 есть гладкая
функция a: Z-^-R"+1, где / — некоторый открытый ин-
тервал в R. Гладкость такой функции означает, что а
имеет вид a(^) = (xi(Z), • ••, *n+i(0), где каждое х;
является некоторой гладкой вещественнозначной
функцией на /.
Рис. 2.4. Вектор скорости параметризованной кривой в R2.
Вектор скорости в момент t^I параметризован-
ной кривой a: /->-R"+1 есть вектор в точке а(/), опре-
деленный соотношением
/ da X /	dx.	dx„., X
«.»=(«(/); -д-ММ"®	.....-^(/)).
Этот вектор является касательным к кривой а в точке
а(/) (см. рис. 2.4). Если а(/) определяет для каж-
дого t положение в момент времени t движущейся
в Rn+1 частицы, то а(0 представляет собой скорость
этой частицы в момент t.
Параметризованная кривая а: /->₽"+’ называется
интегральной кривой векторного поля X на открытом
множестве U в R"41, если U и a(Z)=X(a(/))
для всех t^I. Таким образом, кривая а обладает
тем свойством, что ее вектор скорости в каждой точке
кривой совпадает со значением векторного поля
в этой точке (см. рис. 2.5).
Теорема. Пусть X — гладкое векторное поле на
открытом множестве U с Rn+1, и пусть p&lU. Тогда
2. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
21
существуют открытый интервал 1, содержащий О,
и интегральная кривая a: I-+U поля X, такие, что
(i) а (0) = р.
(ii) Если	— любая другая интегральная кри-
вая поля X с р (0) = р, то I a 1 и р (t) = a (I) для всех
t е I.
Замечание. Интегральная кривая а называется
максимальной интегральной кривой поля X, прохо-
дящей через р.
Доказательство. Эта теорема является переформу-
лировкой основной теоремы существования и един-
Рис. 2.5. Интегральная кривая векторного поля.
ственности решений систем обыкновенных дифферен-
циальных уравнений. Поле X, будучи гладким век-
торным полем на U, имеет вид
Х(р) = (р; ХДр), .... Х„+1(р)),
где X,: U-+-R— гладкие функции на U. Параметри-
зованная кривая a: /->Rn+I имеет вид
а(/) = (Х1(0, ..., хл+1(0),
22 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
где xi: /->R — гладкие функции на /. Вектор скоро-
сти кривой а есть вектор
(dx.	dx , ,	\
«(0; чЭ)’ •••’
Условие, что а является интегральной кривой поля X,
означает, что а{1) = Х(а(/)) или
^(/) = Х1(х1(/), .... х„+1(0)
(Е)	...............................
dx , .
(0 — Xn + 1 (Xj (/), •••, Xn+i{t)).
Это есть система из п + 1 обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений для п -f- 1 неизвестных функ-
ций. По теореме существования решений таких си-
стем ') найдутся открытый интервал /1, содержащий
точку 0, и множество х,-: /1 -> R гладких функций;
удовлетворяющих этой системе и начальным усло-
виям х/(0) = р( для ге{1, ..., п + 1}. где Р —
= (Рь ..., Рп+1). Положив Р1 (/) = (%! (О, ..., Хп-н(О)
для этого набора функций, получаем интегральную
кривую Pi: /i-> U поля X с Pi (0) = р.
По теореме единственности решений систем обык-
новенных дифференциальных уравнений получаем,
что если хе /2->R является другим множеством
функций, удовлетворяющих системе (Е) с теми же
начальными условиями х,(0) = р<, то х,(/) = x;(f)
для всех (е /] П /г. Другими словами, если р2: Л-*
U— другая интегральная кривая поля X с (32(О) =
= р, то Pi(/)=p2(0 для всех t е /1 П /2. Отсюда сле-
дует, что существует единственная максимальная ин-
тегральная кривая а поля X с а(0) = р (ее область
определения является объединением областей опреде-
ления всех интегральных кривых поля X, которые
отображают 0 в р), и что если р: 1 -> U — любая дру-
См., например, Hurewicz W. Lectures on Ordinary Diffe-
rential Equations. Cambridge, Mass.: M. I. T. Press, 1958, p. 28
[или Понтрггин Л. С. Обыкновенные дифференциальные урав-
нения.— М.. Наука, 1974, с. 21, 22. — Прим, перев.].
2. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
23
гая интегральная кривая поля X с р(О) = р, то Р
представляет собой просто ограничение а на мень-
ший интервал 1.	□
Пример. Пусть X — векторное поле Х(р) =
= (р;Х (/?)), где X(xi, х2) = (—х2, Xi) (рис. 2.3(c)).
Параметризованная кривая — (%i(t), x2(t)) яв-
ляется интегральной кривой поля X тогда и только
Рис. 2.6. Интегральные кривые векторного поля X
X (хь х2) = (xi, х2: — х2, %i).
тогда, когда функции xi(/) и x2(t) удовлетворяют
дифференциальным уравнениям
[ dxt
7Г = ~
Общее решение этой пары уравнений следующее:
х, (/) = cos t 4- С2 sin t,
х2 (/) = Ci sin i — C2 cos t.
Значит, интегральная кривая поля X, проходящая
через точку (1,0) (с Xi(0) = 1 и х2(0) = 0), есть
а (/)==( cos/, sin/),
в то время как интегральная кривая, проходящая че-
рез произвольную точку (a, b) (с Х[(0) = а и х2(0) =
24 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
= Ь), имеет вид
(3 (/) = (a cos t — b sin t, a sin t + b cos /)
(см. рис. 2.6).
УПРАЖНЕНИЯ
2,1.	Нарисуйте следующие векторные поля на R2: X (р) =
= (р; X (/>)), где
(а)	X (р) = (0, 1),	(d) X (xi, х2) = (х2, Х[),
(Ь)	Х(р) — — р,	(е) X (хь х2) =	2х2,
(с)	X (хь х2) = (х2, —Х1),
2.2.	Найдите и нарисуйте градиентные поля каждой из сле-
дующих функций:
(a)	f(xt, х2) = х: + х2,	(с) [(%;, х2) = х1 — х%,
(b)	f (xh x2) = xf + x2,	(d) f(xt, *2) = (*?“ хг)/4-
2.3	Дивергенция гладкого векторного поля X на Ус₽л+1,
X (р) = (р; Xi (р), .... Xn+i (р)),	р eU,
п+1
есть функция div X: (7->R, определенная как div X — У (дХ./дх^.
i=i ‘	‘
Найдите дивергенцию каждого из векторных полей из упражнений
2.1 и 2.2.
2.4.	Объясните, почему интегральная кривая векторного поля
не может самопересекаться, как, например, параметризованная
кривая на рис. 2.4.
2.5.	Найдите интегральную кривую, проходящую через точку
р=(1, 1), каждого из векторных полей из упражнения 2.1.
2.6.	Найдите интегральную кривую, проходящую через точку
р= (а, Ь), каждого из векторных полей из упражнения 2.1.
2.7.	Гладкое векторное поле X на открытом множестве
l/cR,+ 1 называется полным, если для каждой точки рее'и
максимальная интегральная кривая поля X, проходящая через р,
имеет область определения, совпадающую с R. Проверьте, ка-
кие из следующих векторных полей являются полными:
(а)	X (xi, х2) = (xi,	х2; 1, 0),	U = R2,
(Ь)	Х(х,, x2) = (xb	х2; 1, 0),	U = R2 - {(0,	0)},
(с)	X (хь х2) = (xi,	х2; —х2, xi), U = R2 —	{(0, 0)},
(d)	X (хр х2) = (xj,	х2; 1 + х\,	о), U = R2.
2.8.	Пусть U — открытое множество в R”+1, пусть р е U, и
пусть X — гладкое векторное поле на U. Пусть а: I -> U — мак’
2. векторные поля
25
симальная интегральная кривая поля X, проходящая через р.
Покажите, что если р: I -> U — любая интегральная кривая поля
Хер (/о) = р для некоторого ta е/, то Р (£) = a (t — t0) для
всех tel. [Указание: проверить, что если Р определено как
Р (/) = р (t + to), то р есть интегральная кривая поля X с Р (0)=р.]
2.9.	Пусть U — открытое множество в R"+1, а X— гладкое
векторное поле на U. Предположим, что а: 1 -> U есть инте-
гральная кривая поля X с а(О)=а|7о) для некоторого t0 <= I,
tg ^(= 0. Покажите, что а является периодической, т. е. что
а[t + t0) = а(/) для всех t, таких, что и t и t + t0 s I. [Указа-
ние: см. упражнение 2.8.]
2.10.	Рассмотрим векторное поле X(xb х2) = (xi, х2; 1, 0) на
R2. Для IeR и ре R2 пусть <p((p)=a₽(0, где ар —макси-
мальная интегральная кривая поля X, проходящая через р.
(а)	Покажите, что для каждого t функция ср< дает взаимно
однозначное отображение R2 на себя. Каков геометрический смысл
этого отображения?
(Ь)	Покажите, что
отображение <р0 = тождественное,
Ф/1+?2 = Ф/,0Фг2 Для всех t2 eR’
<р_2 = ф["' для всех f eR.
[Таким образом, отображение /|—> ф/ есть гомоморфизм из ад-
дитивной группы действительных чисел в группу взаимно одно-
значных преобразований плоскости.]
2.11.	Повторить упражнение 2.10 для векторных полей
(a)	X(xi, x2) = (xi, х2; — х2, xt),
(b)	X (xi, x2) = (xi, х2, xi, х2),
(с)	X(xi, x2) = (xi, х2; х2, xi).
2.12.	Пусть X — произвольное гладкое векторное поле на U,
U — открытое множество в R’’+1. Пусть ф1(р)=ар(/), где аР —
максимальная интегральная кривая поля X, проходящая через р.
Используя единственность интегральных кривых, покажите, что
Фг, (ф;2 <Р)) = Ф«1+«2 (р) и Ф_«(р) = ФГ1 (р) Для всех t, t} и /2,
для которых написанные соотношения имеют смысл, [ср? назы-
вается локальной однопараметрической группой, ассоциирован-
' ной с полем X.]
3.	КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Пусть f: 17— гладкая функция, определенная
на открытом множестве U cz R"+1; пусть сер такое,
что множество (с) непусто, и пусть pep'fc), Век-
тор в точке р называется касательным к множеству
уровня {-' (с), если он является вектором скорости
Рис. 3.1. Касательные векторы к множествам уровня.
некоторой параметризованной кривой в R"-*-1, образ
которой содержится в f~l(c) (см. рис. 3.1).
Лемма. Градиент функции f в точке р е f~l (с)
ортогонален ко всем векторам, касательным к f~l (с) в р.
Доказательство. Каждый вектор, касательный
к /-1(с) в р, представляется как сх (/0) для некоторой
параметризованной кривой a: /->R"+', для которой
а (/о) — р и образ ас/-1 (с). Однако из Image ас
3. КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО
27
a:f~l(c) следует, что f(a(/))= с для всех t^I, так
что по правилу дифференцирования сложной функ-
ции имеем
°=4 (/ °«)	(“	□
Если Vf(p) = O, то в этой лемме нет никакого со-
держательного утверждения. Однако если Vf(p)=/=O,
то лемма утверждает, что множество всех векторов,
касательных к f~'(c) в р, содержится в «-мерном век-
торном подпространстве [V/(р)]-1 пространства Rp+1,
состоящем из всех векторов, ортогональных к ^f(p).
Точка peR"+i, в которой V/(p)#0, называется ре-
гулярной точкой функции /.
Теорема. Пусть на открытом множестве U cz 'Rra+1
задана гладкая функция f:	Пусть p^U —
регулярная точка функции f, и c = f(p). Тогда мно-
жество всех векторов, касательных к f~' (с) в р, равно
[v/(p)]x.
Доказательство. То, что каждый вектор, касатель-
ный к /-1(с) в р, содержится в [V/ (р)]х, было дока-
зано в предыдущей лемме. Таким образом, доста-
точно показать, что если v = (p; v) е [V/ (р)]±, то
v = a(0) для некоторой параметризованной кривой
а с Image а о f~] (с). Чтобы построить а, рассмотрим
на U постоянное векторное поле X, определенное ра-
венством X(q) = (q;v). Исходя из X, мы можем по-
строить другое векторное поле Y, вычитая из X ком-
поненту X относительно V/:
Y(g) = X(?)~	W-
Векторное поле Y определено на том открытом под-
множестве в U, где V/'=# 0. Так как р является регу-
лярной точкой функции [, то р принадлежит области
определения Y. Кроме того, так как X(p)=ver[V/(р)]±>
то Y(p) = X(p). Таким образом, мы получили глад-
кое векторное поле Y, такое, что Y (<?) 1 V/(<?) для
Всех q из области определения Y, причем Y(p) = v.
28 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Возьмем в качестве а интегральную кривую поля
Y, проходящую через точку р. Тогда а(0) = р, а(0) =
==Y(a(0)) = Y(p) = X(p) = v и
4 f (а (/)) = Vf («(0) • «(0 = V/ (а (/)) • Y (а (/)) = 0
(первое равенство получено по правилу дифференци-
рования сложной функции, второе есть следствие
того, что а является интегральной кривой поля Y,
третье справедливо в силу условия Y_l_Vf). Полу-
ченное соотношение справедливо для всех t из обла-
сти определения а, так что )= const. Так как
Рис. 3.2. Касательное пространство в типичной точке множества
уровня Г1 (1). где f(xp ..., х„+1) = х( + ... + х2п+1.
f(a(0)) = f(р) — с, то это означает, что Image a сд
czf'fc), что и требовалось доказать.	□
Таким образом, мы видим, что в каждой регуляр-
ной точке р из множества уровня	гладкой
функции существует вполне корректно определенное
касательное пространство, состоящее из всех векто-
ров скорости в р всех параметризованных кривых в
/-1(с), проходящих через р, и это касательное простран-
ство в точности совпадает с [V/:(P)]'L (см. рис. 3.2).
УПРАЖНЕНИЯ
3.1.	Нарисуйте множества уровня f~l (— 1), f~l (0) и f-1 (1)
для функции f (хх, хп+1) = Х[ + ... + х9п — х„+1; « = 1, 2.
В каких точках р этих множеств уровня нет касательного про-
странства, равного [V/tp)]1?
3. КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО
29
3.2.	Покажите на примерах, что
(а)	Множество касательных векторов в точке р множества
уровня в общем случае не обязательно будет векторным подпро-
странством пространства R"+l.
(b)	Множество касательных векторов в точке р множества
уровня может совпадать со всем пространством R”+1.
3.3.	Нарисуйте множество уровня f-1(0) и типичные значе-
ния V f(p) векторного поля V/ для pef-'(O'), когда
(a)	f(xt, x2) = Xi + х| — 1.	(с) / (и> x2) = Xi — X2,
(b)	f(xp х2) = х|—х|—1,	(d) f (хр х2) = Xj — х2.
3.4.	Пусть на открытом множестве U с R"+1 задана гладкая
функция f: 7/->R, и пусть а: /-> U — параметризованная кри-
вая. Покажите, что композиция f ° а является постоянной (т. е.
образ кривой а содержится в некотором множестве уровня
функции )) тогда и только тогда, когда а всюду ортогональна
гр’адиенту f (т е. тогда и только тогда, когда a(t) 1 Vf(a(t))
для всех t <= /).
3.5.	Пусть f: U -> R—гладкая функция, и а: /->/7 —ин-
тегральная кривая поля Vf.
(а)	Покажите, что (d/d/) (f ° а) (0 = II W(a(0)ll2 для всех
t ен 1.
(Ь)	Покажите, что для каждого to s 7 функция f растет
вдоль а в точке a (to) быстрее, чем вдоль любой другой кривой,
проходящей через а(7о) с той же самой скоростью (т. е. пока-
жите, что если кривая £: 7 -> U такова, что р (s0) = a (t0) для
некоторого soe? и II Р (s0) || = || a (70) |1, то (d/dt) (f ° a) (f0) >
> (d/ds) (f»P) (s0).
4.	ПОВЕРХНОСТИ
Поверхность размерности п, или п-поверхность,
в R«+) является по определению непустым подмно-
жеством S cz R"+1 вида S = /_| (с), где f: U-+ R (U—
открытое множество в Rra+I) есть гладкая функция
со свойством Vf(p)=/=O для всех p^S. 1-поверхность
в R2 называется также плоской кривой. 2-поверх-
ность в R3 обычно называется просто поверхностью.
n-поверхность в R"'1-1 часто называется гиперповерх-
ностью, особенно при п > 2.
Согласно теореме из предыдущей главы, каждая
«-поверхность S имеет в каждой точке p^S каса-
тельное пространство, которое является «-мерным
векторным подпространством пространства Rp+1 всех
векторов в точке р. Это касательное пространство мы
будем обозначать Sp. Важно отметить, что это каса-
тельное пространство Sp зависит только от множества
S и не зависит от функции [, которая использована
для определения поверхности S. Действительно, Sp
характеризуется как множество всех векторов в точке
р, которые могут быть получены как векторы скоро-
сти параметризованных кривых в Rn+I, образы кото-
рых лежат полностью в S. Если / — любая гладкая
функция, такая, что S — f~l (с) для некоторого се R,
и Vf(p)=/=O для всех p^S (по определению «-по-
верхности по крайней мере одна такая функция суще-
ствует; в действительности для каждой «-поверхности
S таких функций существует бесчисленное множе-
ство), то SP может быть описано также как простран-
ство [Vf (р)]L.
4. ПОВЕРХНОСТИ
31
Пример 1. Единичная «-сфера х2 ф- ... ф- x2n+l = 1
является множеством уровня f~l (1) для функции
f (хь .... Хп+1) = х21 ф- ... ф- Хп+1 (рис. 3.2). Она пред-
ставляет собой «-поверхность, потому что градиент
V/ (хъ .... х„+1) = (хь • • ., х„+1; 2хь .. ., 2х„+1) ¥= О,
если только (хь ..., хп+1) =# (О, ..., 0), так что, в част-
ности, V/(р) =/= 0 для всех реГ'П). [Внимание! За-
метьте, что, для того чтобы вектор (р; v) е Rp+I был
нулевым, необходимо только, чтобы и = 0; таким
образом, из (Х[, ..., х„+1; 2хь ..., 2х„+1) = 0 имеем,
что 2х, = . . . = 2х„+1 = 0, так что (хь . . ., х„+1) = 0.]
Когда «=1, единичную «-сферу называют единичной
окружностью.
Пример 2. Для 0 =/= (аь ..., а„+1)е R”+l и ie R,
«-плоскость apci ф- .. . ф- an+lxn+l = b есть множество
уровня Г‘ (&), где f(xb ..., x„+I)=a1x1 + ,. .ф-а„+1Хл+1.
Это множество действительно является для каждого
Р «-поверхностью, так как градиент
V/ (хь ..., х„+1) = (хь ..., х„+1; «ь ..., ап+!)
никогда не обращается в нуль. 1-плоскость в R2
обычно называется прямой, а 2-плоскость в R3 назы-
вается обычно просто плоскостью-, «-плоскость в R"+1,
« > 2, иногда называют гиперплоскостью в R"+1. Два
различных значения b при одинаковых значениях
(«1, ..., «п+1) определяют параллельные «-плоскости
(см. рис. 4.1).
Пример 3. Пусть ft U —>R — гладкая функция на U,
где U — некоторое открытое множество в Rn. График
функции f,
graph (f) = {(xb ..., х„+1) е R"+1: xn+l = f (хь ..., х„)}
является «-поверхностью в Rn+1, так как graph (/) =
=	(0), где
g(xb ..., x„+l) = xn+i — f(x,, ..., x„)
и Vg(xb . . ., x„+1) = (xb .... x„+1; —df/dxi; . ..
..., -df/dxn, l)#0.
32 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Пример 4. Пусть S— некоторая (п — 1)-поверхность
в R", определенная как S = f~1(c), где функция f:
JJ —>R (JJ — открытое множество в R”) такова, что
Рис. 4.1. Параллельные га-плоскости f 1 (6), Ь = ~ 2, — 1, 0, 1,
где
f (xi, ..х„+1) = — Xi — 2х2 — Зх3 — ... — (га + 1) хп+1.
Vf (р)	0 для всех р <=	(с). Определим функцию g:
Ui ->R, где {?! = U X R = {СП, • •x„+i)e R"+1: (xj...
xn)et/}, соотношением
g(xb ..., x„+i) = /(хь хп).
4. ПОВЕРХНОСТИ
33
Тогда g 1 (с) является «-поверхностью в Rn+1, так как
Vg(Xl, xn+1) = (xb .... xn+1;	....	0)
и df/dx\....дЦдхп не могут одновременно обра-
щаться в нуль при g(xj....Jtn+i) = /:(^b ••,хп) = с,
так как Vf(xi....х„) ¥=0, когда (хь хп) е
Эта n-поверхность g~l (с) называется цилиндром над
S (см. рис. 4.2).
Рис. 4.2. Цилиндр g—1 (1) над n-сферой g (xi.x«+i) =
= ^+... + х^.
Пример 5. Пусть С — кривая в R?, лежащая над
осью Охр Таким образом, С = /-1(с) для некоторой
функции f: f7 —>R с V/(p)¥=0 для всех ре С, где
U — открытое множество в верхней полуплоскости
х2 > 0. Определим S = g~l(c), где g: t/XR~*R,
g(xlt х2, x3) = /(xi, (х| —xf)12). Тогда S является 2-по-
верхностью (упражнение 4.7). Каждая точка р —
~(а, Ь)^С порождает окружность из точек поверх-
ности S, именно, окружность .в плоскости х{ = а,
состоящую из тех точек (хь х2, х3) е R3, для которых
xi==a, х2 + Хз = b2. S называется поверхностью вра-
щения, полученной вращением кривой С вокруг оси
Ох1 (см. рис. 4.3).
34 начальные главы дифференциальной геометрии
Теорема. Пусть S — некоторая п-поверхность в
Rn+1, S = /-1(c), где функция f: {/—>R такова, что
Vf (?) =/= 0 для всех q eS. Допустим, что g: U ^—глад'
кая функция, и p^S —точка экстремума g на S?
т. е. или g(q)^g (р) для всех q е S или g(q)^ g(p)
Рис. 4.3. Поверхность вращения S, полученная вращением кри-
вой С вокруг оси О%1.
для всех q е S. Тогда найдется действительное число К,
такое, что Vg(p) = ^Vf(p).
(Это число А называется множителем Лагранжа.)
Доказательство. Касательное пространство к S
в точке р есть Sp = [V/ (р)]х. Значит, является
одномерным подпространством пространства Rp+1, на-
тянутым на V/ (р)> Отсюда следует, что Vg(р) = А V/ (р)
для некоторого А е R в том (и только в том) случае,
когда ¥g(p)<=Sj-, т. е. в том (и только в том) слу-
чае, когда Vg (р) • v = О для всех v е Sp. Но каждый
вектор veSp можно представить в виде v = a(/0)
для некоторой параметризованной кривой a: I->S и
/ое/ с a(t0) = p. Так как точка p = a(t0) является
точкой экстремума g на S, то t0 есть экстремальная
точка для g°a на I. Поэтому
О = (g ° a)' (t0) = yg (a (t0)) • a (t0) == Vg (p) • V
для всех ve Sp и тогда Vg’(p) = AVf(p) для некото-
рого А, что и требовалось доказать.	□
4. ПОВЕРХНОСТИ
35
Замечание. Если поверхность S компактна (замк-
нута и ограничена)1), то каждая гладкая функция
g:	достигает на S минимума и максимума.
Тогда вышеприведенная теорема может быть исполь-
зована для нахождения возможных «кандидатов» для
Рис. 4.4. Линии уровня функции g (хь х2) = ах\ + 2Ьхрс2 + сх2.
Четыре точки, где эти кривые касательны к единичной окруж-
ности S, являются экстремальными точками g на S.
этих точек экстремума. Если S некомпактно, экстре-
мума может и не быть.
Пример. Пусть S — единичная окружность х^ _|_
+ х|=1; определим функцию g: R2—>R равенством
g (xi, х2) = ах\ + 2bX[X2 + сх2, a, b, с е R (см. рис. 4.4).
Тогда S = /“'(l), где f(xt, x2) = xf + x2,
Vf(xb x2) = (xb x2; 2xb 2x2),
Vg (xb x2) = (xb x2; 2axt + 2bx2, 2bx{ + 2cx2),
так что Vg (p) = К yf (p) для p = (xb x2)eS в том и
только том случае, когда
( 2ах{ + 2bx2 = 2Zxb
( 2bXi + 2сх2 = 2Кх2
*) S замкнуто, если Rn+1 — S открыто; S ограничено, если
существует такое М е R, что II р II < М для всех р е S.
36 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
ИЛИ
а
ь
Таким образом, экстремальные точки g на S яв-
ляются собственными векторами симметричной мат-
(а Ь\
Заметим, что если
рА
\х2/
(а
является собственным вектором матрицы Н J, то
/а Ь\/хД
ах\+2Ьх{х2 + сх} = (х1Х^ь c)yxJ =
/ х, \
= (хд2) Ц х J = ^(х| + xf) = X,
так что собственное число X в точности совпадает
с g(p)> где Р=(х1,х2). Так как матрица 2X2 имеет
только два собственных значения, то найденные соб-
ственные числа и будут и минимумом и максимумом
g на компактном множестве S.
УПРАЖНЕНИЯ
4.1.	Для каких значений с множество уровня f-1(c) является
«-поверхностью, если	._____
(a)	f(*i...*n+i) = *i + ••• +*л+1.
(b)	f (Xi..X„+I) = х? + ... + 4 - x2+i,
(c)	f (xb..., x„+1) = XiX2... xn+i 4-1.
4.2.	Покажите, что цилиндр x2 + x2 = 1 в R3 может быть
представлен как множество уровня каждой из следующих функ-
ций:
(a)	f (хр х2, х3) = xj + х|,
(b)	f (Хр х2, х3) = - х? - х|,
(с)	f (*i, х2, х3) =» 2xf + 2х22 + sin (xf + х2).
4. ПОВЕРХНОСТИ
37
4.3.	Покажите, что если «-поверхность S представлена одно-
временно как f-1 (с) и g~i (d), где Vf (р) ¥= 0 и Vg (р)	0 для
всех р е S, то для каждой точки р е S, V/ (р) = Л Vg (р) с не-
которым действительным числом Л 0.
4.4.	Нарисуйте график функции R2 -> R, где f (xi, х2) =
= х2 — Зх2х. [Указание: сначала найдите множество уровня f~l (0).
В какой части плоскости f > 0? Где f < 0?] 2-поверхность graph (/)
называется обезьяньим седлом. (Почему?)
4.5.	Нарисуйте цилиндры f~l (0), где
(a)	{ (xi, х2) — Xi,
(b)	f (х1( х2, x3) = xj -х|,
(с)	f (х,, х2, х3) = (х?/4) + (4/9) ~ 1.
4.6.	Нарисуйте цилиндр над графиком функции f(x) = sin х.
4.7.	Проверьте, что поверхность вращения (пример 5) явля-
ется 2-поверхностью.
4.8.	Нарисуйте поверхности вращения, полученные враще-
нием С вокруг оси Oxi, где С — кривая, определенная уравне-
ниями
(а)	х2 — 1 (цилиндр),
(b)	— xf+x2=l, х2 > О (однополостный гиперболоид),
(с)	х| + (х2 - 2)2 = 1 (тор).
4.9.	Покажите, что множество S всех единичных векторов
во всех точках R2 образует 3-поверхность в R4. [Указание:
(xi, х2, х3, х4)е S тогда и только тогда, когда х3 + х2 = 1.]
4.10.	Пусть S = f-1(c) — некоторая 2-поверхность в R3, ко-
торая лежит в полупространстве Хз > 0. Найдите функцию g:
U R (U — открытое множество в R4), такую, что g-1(c) яв-
ляется 3-поверхностью, полученной вращением 2-поверхности S
вокруг (Х1, х2)-плоскости.
4.11.	Пусть числа a, b,	таковы, что ас — Ь2 > 0.
Покажите, что максимальное и минимальное значения функции
g (xlt х2) = х2 + х2 на эллипсе ах2 + bxtx2 + сх2 = 1 имеют вид
1/Л1 и 1/Л2, где Л, и Л2 — собственные значения матрицы
4.12.	Покажите, что максимальное и минимальное значения
«4-1
функции g (Х1, .... Xn+i) = У, ai/XiXj на единичной /г-сфере
X2 + ... + x2+i == 1, где (atj) — симметричная	матрица,
являются собственными значениями матрицы (а;/).
4.13.	Покажите, что если S является «-поверхностью в R/,+1,
a g: Rn+1->-R—гладкая функция, р Е S — точка экстремума g
38 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
на S, то касательное пространство к множеству уровня g ъ р
совпадает с Sp — касательным пространством к S в р, при усло-
вии что Vg(p) =# 0 (см. рис. 4.4).
4.14.	Пусть S— некоторая «-поверхность в R'I+1, и пусть
ро s Rn+1, ро ф S. Покажите, что кратчайший прямолинейный
отрезок от ро к S (если он существует) перпендикулярен к S,
т. е. покажите, что если точка psS такова, что || ро — р ||2
|| ро — q ||г для всех q s S, то (р; ро — р) ± Sp. [Указание:
используйте теорему о множителе Лагранжа.] Покажите, что
такое же утверждение справедливо и для самого длинного пря-
молинейного отрезка прямой от р0 к $ (если он существует).
4.15.	На R4 можно смотреть как на множество всех 2X2
матриц с действительными элементами, отождествляя четверку
чисел (xi, Х2, х3, Xi) с матрицей
/ Хх х2\
V Хз Х„ )
Подмножество, состоящее из матриц с равным 1 детерминантом,
образует группу относительно операции умножения матриц, ко-
торая называется линейной группой SL(2). Покажите, что SL(2)
является 3-поверхностью в R4.
4.16.	(а) Покажите, что касательное пространство SL(2)P
1 °Ч
I может быть
О 1 )
отождествлено с множеством всех 2X2 матриц с нулевым сле-
дом, т. е.
SL (2)„ =	( ° ‘));о + Л_0}.
к SL(2) (упражнение 4.15) в точке р =
[Указание: покажите, что если
... С хх (0 хг (/) \
а (I) -- I	I
К Л'з (t) х4 (/) )
— параметризованная кривая в SL (2) с а (10)
dx	——
(to) + (Axi/dt) (t0) = 0. Затем используйте аргументацию с
размерностью.]
(Ь) Опишите касательное пространство к SL (2) в точке а =
-с, :)•
4.17. (а) Покажите, что множество SL(3) всех 3X3 матриц
с действительными элементами и равным 1 определителем явля-
ется 8-поверхностью в R9.
(Ь) Опишите касательное пространство к SL(3) в точке
/10 0
р = [ 0 1 0
Х0 0 1
5. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТЯХ;
ОРИЕНТАЦИЯ
Векторное поле X на п-поверхности S cz R"+I есть
функция, которая сопоставляет каждой точке p^S
некоторый вектор X(p)eRp+1 в р. Если вектор Х(р)
касательный к S (т. е. X(p)eSp) для каждой точки
peS, то X называется касательным векторным полем
на S. Если вектор X (р) ортогонален к S (т. е. X
в каждой точке ре S, то X называется нормальным
векторным полем на S (см. рис. 5.1).
Рис. 5.1. Векторные поля на 1-сфере: (а) касательное векторное
поле, (б) нормальное векторное поле.
Как обычно, мы будем иметь дело почти исключи-
тельно с гладкими функциями и гладкими вектор-
ными полями. Функция g: S -> Rft, где S — некоторая
«-поверхность в Rra+1, называется гладкой, если она
является ограничением на S некоторой гладкой функ-
ции g: E-^R*, определенной на некотором открытом
множестве V cz R"+1, содержащем S. Аналогично,
40 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
векторное поле X на S называется гладким, если оно
является ограничением на S некоторого гладкого век-
торного поля, определенного на открытом множестве,
содержащем S. Таким образом, векторное поле X яв-
ляется гладким тогда и только тогда, когда гладкая
функция X: S-*R"+1, где Х(р) = (р; Х(р)) для всех
peS.
Следующая теорема распространяет на п-поверх-
ности теорему из гл. 2 о существовании и единствен-
ности интегральных кривых.
Теорема 1. Пусть S — некоторая п-поверхность
в R^1, X — гладкое касательное векторное поле на S,
и пусть точка p^S. Тогда существуют открытый ин-
тервал I, содержащий 0, и параметризованная кривая
a: 7S, такие, что
(i)	а(0) = р.
(ii)	а (/) = X (а (/)) для всех I.
(iii)	Если ₽: Т->S — любая другая параметризован-
ная кривая в S, удовлетворяющая (i) и (ii), то Id и
Р(/) = а (/) для всех t е I.
Параметризованная кривая a: 1-+-S, удовлетво-
ряющая условию (ii), называется интегральной' кри-
вой касательного векторного поля X. Единственная
кривая а, удовлетворяющая условиям (i) — (iii), на-
зывается максимальной интегральной кривой пОля X,
проходящей через точку peS.
Доказательство. Так как поле X гладкое, то су-
ществуют открытое множество V, содержащей S,
и гладкое векторное поле X на V, такое, что Х(<?) =
= Х(<у) для всех q е S. Пусть функция /: U -*• R
и число с s R таковы, что S = f-1 (с) и V/(<?) =/= 0 для
всех q е S. Положим
W = V: Vf(q) =^0}.
Множество IF является открытым множеством, содер-
жащим 3, причем и X, и f определены на W. Пусть
V — векторное поле на W, всюду касательное к мно-
5. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТЯХ
41
жествам уровня функции f, определенное соотноше-
нием
Y (?) = X (?) - (X (?) • Vf (?)/|| Vf (?) II2) Vf (?).
Заметим, что Y(?)=X(?) для всех ?eS. Пусть
a: 1-+W— максимальная интегральная кривая поля
Y, проходящая через р. Тогда а отображает I на са-
мом деле в S, потому что
(/ о а)' (0 = vf (а (0) • а (0 = V/ (а (/)) • Y (а (/)) = 0
и f о а(0) = f(p) = с, так что foa(t)=c для всех
t е I. Условия (i) и (ii) удовлетворены очевидным
образом; условие (iii) тоже удовлетворено, так как
любая кривая I-+S, удовлетворяющая (i) и (ii),
также является интегральной кривой поля Y на W,
так что можно применить теорему из гл. 2.	□
Следствие. Пусть S = f-1 (с) — некоторая п-поверх-
ность в R"+1, где функция f: U -+R такая, что Vf (?)=/=0
для всех ? eS, и пусть X — гладкое векторное поле
на U, ограничение которого на S является касатель-
ным векторным полем на S. Если a:	— произ-
вольная интегральная кривая поля X, такая, что а(/0)е 5
для некоторого t0^I, то a(/)eS для всех t^I.
Доказательство. Предположим, что a(/)^S для
некоторого t е I, t > to. Пусть h обозначает наи-
большую нижнюю грань множества
{t е I: t > t0 и a (/) ф S}.
Тогда f(a(/)) = c для </1; и по непрерывности
f (a (/[)) = с; значит, a(/])(=S. Пусть /->5 —неко-
торая интегральная кривая ограничения поля X на S,
проходящая через a(/i). Тогда р является интеграль-
ной кривой поля X, переводящей 0 в a(/j), так же
как кривая а, определенная равенством a (i')=a(/-|-/1).
В силу единственности интегральных кривых, а(/)=
= а (/ — / j = В (t — / J е S для всех t, таких, что t — tx
принадлежит общей области определения аир.
Однако это противоречит тому, что a(t)^S для зна-
чений t, произвольно близких к tx. Значит, a(/)eS
42 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
для всех t е I с t > t0. Доказательство для t < t0
аналогично только что проведенному.	□
Подмножество S az ₽"+' называется связным, если
для каждой пары точек р, q из S существует непре-
рывное отображение а: [а, 6]->-S из некоторого замк-
нутого отрезка [а, Ь] в S, такое, что а(а) = р
и a(b) = q. Таким образом, множество S связно, если
каждая пара точек из S может быть соединена не-
прерывной, но не обязательно гладкой, кривой, пол-
ностью лежащей в S. Отметим, например, что «-сфера
(a):n = 0	(5):n = 1	(в\.п = 2
Рис. 5.2. «-сфера Xj + ... + x%+i = 1, связна тогда и только
тогда, когда n > 1.
(рис. 5.2) связна тогда и только тогда, когда «.^ 1
(упражнение 5.1).
В этой книге мы будем иметь дело почти исклю-
чительно только со связными «-поверхностями. Как
мы увидим в гл. 15 (см. упражнение 15.13), если даны
любая «-поверхность S и любая точка peS, тр под-
множество S, состоящее из всех точек S, которые
можно соединить с р непрерывной кривой в 5,\:амо
.является «-поверхностью и оно связно. Значит, мы
можем изучать S, исследуя отдельно каждую из
«компонент связности» S.
Теорема 2. Пусть S — некоторая связная п-поверх-
ность в R”+1 .Тогда на S существуют ровно два гладких
единичных нормальных векторных поля и N2, и
N2 (р) — — N! (р) для всех p^S.
Доказательство. Пусть функция f: (7->R и число
csR таковы, что S = /-1 (с) и V/(p)¥=0 для всех
5. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТЯХ
43
peS. Тогда векторное поле Nj на S, определенное
соотношением
N1(P)= || vf (р)|| ’ P~S'
очевидно, имеет требуемые свойства, так же как поле
N2, определенное равенством N2(p) =—Ni(p) для
всех peS.
Чтобы доказать существование только двух таких
векторных полей, предположим, что есть еще одно
такое векторное поле N3. Тогда для каждой точки
peS, N3(p) должно быть кратно Ni(p), так как оба
вектора лежат в одномерном подпространстве сд
сд Rp+1. Значит,
N3 (p) = g(p) Nj (р),
где g: S->R — некоторая гладкая функция на S
(g (p) = N3(p) • N] (р) для peS). Так какМ[(р)и
N3 (р) — единичные векторы, то g (р) = ± 1 для каждой
точки peS. Наконец, так как g гладкая и S связна
то g должна быть постоянной на S (см. упражне-
ние 5.2). Значит, или N3 = N1, или N3 = N2.	□
Гладкое единичное нормальное векторное поле на
n-поверхности S сд R"+1 называется ориентацией на S.
Согласно только что доказанной теореме, каждая
связная n-поверхность в R"+1 имеет ровно две ориен-
тации. n-поверхность вместе с выбранной на ней ори-
ентацией называется ориентированной п-поверх-
ностью.
Замечание. Существуют подмножества в R"+1,
которые многие согласились бы называть п-поверх-
ностями, но которые не имеют ориентаций. Примером
является лист Мёбиуса В, поверхность в R3, полу-
ченная из прямоугольной полосы бумаги путем пово-
рота одного ее края на 180° и склеиванием его
с другим краем (см. рис. 5.3). Несуществование глад-
кого единичного нормального векторного поля может
быть проверено непосредственно, если взять в неко-
торой точке средней окружности единичный нормаль-
ный вектор и затем попытаться непрерывно его про-
44 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
должить в единичное нормальное векторное поле
вдоль этой окружности. После обхода вокруг окруж-
ности нормальный вектор окажется направленным
в другую сторону! Так как на В нет гладкого единич-
ного нормального векторного поля, В не может быть
представлено как множество уровня /-1(с) некоторой
гладкой функции /: t/->R с Vf(p)^=O для всех
Рис. 5.3. Лист Мёбиуса.
р е S, и поэтому В не является 2-поверхностью; со-
гласно нашему определению. В представляет собой
пример «неориентируемой 2-поверхности». До гл.\ 14
мы будем рассматривать только «ориентируемые»
n-поверхности в R"+1.
Единичный вектор в Rp+1(peR”+1) называется
направлением в р. Таким образом, ориентация на
n-поверхности S в R"+I есть, по определению, глад-
кий выбор нормального направления в каждой
точке на S.
На плоской кривой ориентация может быть ис-
пользована для определения в каждой точке кривой
некоторого касательного направления. Положитель-
ное касательное направление в точке р ориентирован-
5. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТЯХ
45
ной плоской кривой С есть направление, полученное
поворотом ориентирующего нормального направления
в р на угол —п/2, считая, что направление положи-
тельного вращения идет против часовой стрелки
(см. рис. 5.4).
На 2-поверхности в R3 ориентация может быть
использована для определения направления положи-
тельного вращения в касательном пространстве к по-
верхности в каждой ее точке. Для данного 0 е R по-
Рис. 5.4. Ориентация на плоской кривой: (а)-выбранное нормаль-
ное направление в каждой точке определяет (б) выбор каса-
тельного направления в каждой точке.
ложительное Q-вращение в точке р ориентированной
2-поверхности S есть линейное отображение Re'- Sp->
->Sp, определенное как /?e(v) = (cos 0)v +(sin 0)X
XN(p)Xv, где N(p)—ориентирующее нормальное
направление в р. Об Re обычно говорят как о «право-
ориентированном вращении вокруг N(p) на угол 0»
(см. рис. 5.5).
На 3-поверхности в R4 ориентация может быть
использована для определения смысла положитель-
ной ориентированности касательного пространства
в каждой точке поверхности. Для данной ориентиро-
ванной 3-поверхности S и точки p<=S упорядоченный
ортонормальный базис {еь ег, е3} касательного про-
странства Sp к S в р называется положительно ори-
ентированным, если определитель
/ \
det 62
46 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
положительный, где N (р) = (р; N (р)) — ориентирую-
щее нормальное направление ври е1 = (р;е1), i= 1,
2, 3; базис называется отрицательно ориентирован-
ным, если этот определитель отрицателен.
На «-поверхности в Rn+1 (« любое) ориентация
может быть использована для разбиения множества
всех упорядоченных базисов в каждом касательном
Рис. 5.5. Ориентация на 2-сфере: в каждой точке выбранное нор-
мальное направление определяет положительное направление
вращения в касательном пространстве. На отдельном рисунке
справа изображено одно касательное пространство в увеличенном
виде.
пространстве на два класса — согласованных и несо-
гласованных с ориентацией. Упорядоченный б'азис
{vi, ..., v,,} (не обязательно ортонормальный) в\ка-
сательном пространстве Sp к ориентированной «-'по-
верхности S в точке р называется согласованным
с ориентацией N на S, если определитель
знакоположительный; базис называется несогласо-
ванным с N, если этот определитель отрицательный.
Здесь, как обычно, v(-= (р; щ) и N(p) = (р; N(p)).
5. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТЯХ
47
УПРАЖНЕНИЯ
5.1.	Покажите, что единичная «-сфера х2 + ... + х2 + 1 =1
связна, если п>1.
5.2.	Покажите, что если S — связная «-поверхность в Rn+1
и g: S -> R — гладкая функция, принимающая только значения
+ 1 и —1, то g постоянна на S. [Указание: пусть peS. Для
<?eS пусть a: [a, b]—»~S— непрерывная кривая, такая, что
а(а)=р, a(b)=q. Используйте для композиции g°a теорему
о промежуточном значении.]
5.3.	Покажите на примерах, что если поверхность S несвяз-
на, то теорема 2 из этой главы перестает быть верной.
5.4.	Покажите, что две возможные ориентации на «-сфере
xf+...+х„+1 = г2 радиуса г>0 даются нормалями Nj (р) —
= (р; р/r) и N2(P1 = (р; —р/г).
5.5.	На R" можно смотреть как на «-поверхность x„+i = О
в Rn+1. Пусть N — ориентация на Rnc: Rn+*, определенная век-
тором N(p) = (p; 0, .... О, 1) для каждой точки peR". (Эта
ориентация N называется естественной ориентацией Rn.) Пред-
полагая, что при каждом « задана такая ориентация, покажите,
что
(а)	положительным касательным направлением в точке
p-R1 является направление (р; 1, 0),
(Ь)	положительное 0-вращение в R2, ре R2, совпадает с вра-
щением против часовой стрелки на угол 0,
(с)	упорядоченный ортонормальный базис {(р; 1, 0, 0, 0),
(р; 0, 1, 0, 0), (р; 0,0, 1, 0)} в R®, р е R3, является положительно
ориентированным.
5.6.	Пусть С — ориентированная плоская кривая, и v — нену-
левой касательный вектор к С в точке р еС. Покажите, что
базис {v} для Ср согласован с ориентацией на С в том и только
том случае, когда положительное касательное направление в р
совпадает с v/ll v ||. [Указание: пусть 0 обозначает угол, изме-
ренный против часовой стрелки от вектора (р; 1, 0) к ориенти-
рующему направлению N(p), так что N(p) = (p; cos 0, sin0).
Выразите и v, и положительное касательное направление в р
через 0 ]
5.7.	Напомним, что векторное произведение v X w двух век-
торов v = (p; о1( о2> °з) и w = (p’>	w2> шз) B ^p> P E= R3>
определяется как
vXw = (p; V2W3 — u3w2, V3W1 — vtw3, V1W2 — V2W1).
(а)	Покажите, что v X w ортогонально и к v, и к w и что
II v X w|| = II v|||| w|| sin 0, где 0 = arccos (v • w/|| v|| ||wl|) — угол
между v и w.
48 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
(Ь)	Покажите, что если и = (р; ut, и2, «з), то
U1
и • (v X w) = v • (w X и) — w • (и X v) =
и2 и3
02	03
а>1	о>2 ffi>3
(с)	Покажите, что единственный вектор х в R®, такой, что
скалярное произведение их равно вышеприведенному определи-
телю (из части Ъ) для всех u е Rp, совпадает с х = v X w.
5.8.	Пусть S — ориентированная 2-поверхность в R3, и пусть
{v, w} — упорядоченный базис в касательном пространстве Sp к S
в точке р в S. Покажите, что согласованность базиса {v, w} с
ориентацией N поверхности S эквивалентна каждому из следую-
щих условий:
(a)	N (р) • (v X w) > О,
(b)	w/|| w || = Rg (v/|| v ||) для некоторого 0, 0 < 0 < л, где Rg
означает положительное 0-вращение в Sp.
5.9.	Пусть S — ориентированная 3-поверхность в R4, и пусть
peS.
(а)	Покажите, что если даны векторы v = (р; о) и w =
.= (р; w) в Sp, то существует единственный вектор v X w в Sp,
такой, что
и
и • (v X w) = det
v
w
N(p)
для всех векторов u=(p;u)eSp, где N(p) = (р; W(p))—
ориентирующее направление в р. Этот вектор v X w называется
векторным произведением векторов v и w.
(b)	Проверьте, что векторное произведение в Sp обладает
следующими свойствами:
(i)	(v + w) X X = V X к + W X к,
(ii)	vX(w + x) = vXw + vXx,
(Hi) (cv) X w = c (vX w),
(iv)	v X (cw) = c (v X w),
(v)	v X w = — w X v,
(vi)	u • (v X w) = v • (w X u) = w • (u X v),
(vii)	v X w ортогонально и к v, и к w,
(viii)	u-(vXw)=0 тогда и только тогда, когда векторы
{u, v, w} линейно зависимы,
(ix)	упорядоченный ортонормальный базис {ei, е2, е3) в Sp
положительно ориентирован тогда и только тогда, когда ез-(в1Х
X е2) > 0.
5.10.	Пусть S — ориентированная «-поверхность в Rn+I с
ориентацией N, и пусть р eS.
5. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТЯХ	49
(а)	Покажите, что упорядоченный базис в S? несогласован
с N в том и только в том случае, когда он согласован с —N.
(Ь)	Пусть {vi, vn} — упорядоченный базис в Sp, согла-
сованный с N, и пусть {wi......wn} — другой упорядоченный
базис в Sp. Покажите, что базис {wi, w,J также согласован
с N в том и только том случае, когда матрица перехода (а.Д
w{ —	имеет положительный определитель. [Указание:
дополнить каждый базис до базиса в R”+I добавлением вектора
N (р). Какая существует связь между (а{^ и двумя матрицами,
которые определяют согласованность данных базисов cN?l
6. ГАУССОВО ОТОБРАЖЕНИЕ
Ориентированная «-поверхность в R"+I— это не-
что большее, чем просто некоторая «-поверхность S;
она является «-поверхностью S с определенным на
ней гладким единичным нормальным векторным по-
лем N. Функция N: S R”+1, ассоциированная с век-
торным полем N по равенству N (р) — (р; N(p)), р e/S,
в действительности отображает S в единичную «-сфе-
ру S" cz R”+*, так как ||Л/(р)Ц = 1 для всех
Таким образом, каждой ориентированной «-поверх-;
ности S сопоставляется гладкое отображение N: S -н
-> S", называемое гауссовым отображением. N можно
представлять себе как отображение, которое сопо-
ставляет каждой точке р = S точку в R"+1, полуден-
ную «переносом» единичного нормального вектора
N(р) в начало координат (см. рис. 6.1).
Образ, полученный при гауссовом отображении,
N (S) — {q е S”: q = N (р) для некоторой точки р <= S},
называется сферическим образом ориентированной «-
поверхности 5 (см. рис. 6.2).
Сферический образ ориентированной «-поверх-
ности 5 содержит множество направлений, которые
встречаются в качестве нормальных направлений к S.
Поэтому его размеры позволяют судить, в какой сте-
пени поверхность S искривлена в Rn+‘. Для «-пло-
скости, которая вовсе не искривлена, сферический об-
раз состоит из одной точки. Если «-поверхность ком-
пактна (замкнута и ограничена), то она должна ис-
кривляться, «проходя» через все направления: ее сфе-
рический образ должен совпасть со всей сферой S’.
Хотя у нас пока еще нет достаточно развитой мето-
6. ГАУССОВО ОТОБРАЖЕНИЕ
51
дики для доказательства этой теоремы в полной ее
общности, тем не менее мы уже можем доказать один
важный ее частный случай, именно тот случай, когда
S является множеством уровня некоторой гладкой
функции, определенной на всем Rn+1.
Теорема. Пусть S—-компактная связная ориен-
тированная п-поверхность в R”+1, представимая как
Рис. 6.1. Гауссово отображение 1-поверхности в R2.
множество уровня /~’(с) некоторой гладкой функции
f: R^+’-^-R с Vf(p)=/=O для всех p^S. Тогда гаус-
сово отображение переводит S на всю сферу S".
Доказательство. Идея доказательства состоит в
следующем. Задав v е S", рассмотрим «-плоскость
ц-1-. Сдвигая эту «-плоскость достаточно далеко в на-
правлении v, мы добьемся, чтобы она не пересека-
лась с S. Будем двигать эту плоскость назад до тех
пор, пока она впервые не встретится с S в некоторой
точке р, в которой она и будет касательной к S (см.
рис. 6.3). Значит, в этой точке N(p)=±v. Если
N(p)=—v, то N(q) — v, где точка q получается ана-
логичным образом, путем сдвига «-плоскости в про-
тивоположном направлении.
Для более точного доказательства рассмотрим
функцию g: R”+1—»R, определенную как g(p') = p • v,
т. е. g(xi....x„+I) = a1x1+ ... + an+ixn+l, где
v--=(ah	a„+1).
52 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Множества уровня функции g являются п-плоско-
стями, параллельными к о-1-. Так как поверхность S
компактна, то ограничение g на S достигает на S
Рис. 6.2. Сферический образ одной полости двухполостного гипер-
болоида — *2 — ... —	= 4,	> 0, ориентированного нор-
малью N = — V//||Vf||, где
/(Хр .... х„+1)-= ж?-*!-...-х*+1.
своего максимума и своего минимума, скажем, в точ-
ках р и q соответственно. По теореме о множителе
Лагранжа (гл. 4)
(р; о) = Vg (р) = AV/ (р) = А || V/ (р) IIN (р)
6. ГАУССОВО ОТОБРАЖЕНИЕ
53
для некоторого А, е R. Значит, v и N(p) коллинеарны.
Так как оба вектора имеют единичную длину, то
N(p) = ±v. Аналогично, N(q) = ±v.
Остается только проверить, что N(q)=£ N(p). Для
этого достаточно построить непрерывную функцию
Рис. 6.3. Гауссово отображение компактной ориентированной
«-поверхности есть отображение «на».
a: [a,&]->R"+1, дифференцируемую в а и Ь и такую,
что
(i) а (а) = р, а (&) = q, а (а) = (р; и), а (b) = (q; v) и
(ii) а (/) ф S для а < I < Ь.
Пусть такая функция построена. Тогда, согласно (i),
если N = V//HV/Ц, то
(/ о а/ (а) = Vf (а (а))  а (а) =
= IIV/ (р) || N (р) • (р; и) = || V/ (р) || N (р)  v
и, аналогично,
(/о а/(6) = || V/(<?) || АГ (<?) • и,
так что производная (/°а)' имеет в обеих концевых
точках производную одного и того же знака. Если
N = —Vf/||Vf||, то справедливо то же самое заклю-
чение. Таким образом, если N(p) = N(q) (= ±v), то
f°a возрастает в обеих концевых точках или в обеих
54 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
концевых точках убывает. Так как f о Qt,(a) = f ° а(Ь) —
= с, то отсюда следует, что между а и Ь существуют
точки fi и t2, в которых f ° a (fi) > с и f »а((2)< с.
Но тогда по теореме о промежуточном значении ме.’
жду fi и f2 существует точка /3,для которой foa(f3) =
= с, что противоречит (ii).
Чтобы построить а, заключим S во внутренность
достаточно большой сферы Это возможно, так
как S компактна. Положим (см. рис. 6.4) (f) — р + tv
(O^f^ai), где а, таково, что a1(aI)eS1; положим,
далее, a2(t) = q — tv (0^/^a2), где а2 таково, что
a2(a2)eSi. Пусть кривая a3: [6b b2] —>Sb такая, что
а3(&!) — ci] (oj и а3 (Ь2) = а2 (а2). Существование такой
кривой а3 обеспечено связностью n-сферы S! при
п^1. Тогда функция а, определенная соотношениями
Щ (t),
(0 <f s^Oi),
«з (I + bx — a,)
a2(a:i+a:2 + 62 —6t —f)
(aj<f <o:i + 62 — b{),
(0:1+62 — 6i<ifsC
+ Oi + a2 + 62 — b^,
где a=0, 6 = оц + a2 + 62— 6b имеет требуемые
свойства, Действительно, непрерывность а и условие
6. ГАУССОВО ОТОБРАЖЕНИЕ
55
(i)	проверяются легко. Что касается условия (ii), то
оно тоже удовлетворено, потому что
(1)	а] (0^5 при t > 0, так как (g ° «])'(/) =
= (аДО) -a1(0 = v-v > 0, так что g возрастает
вдоль ab а максимальное значение g на S дости-
гается в точке а! (0) = р;
(2)	a2(/)^S при t > 0, так как (g°o^'(t) —
= v-(-v) <0, так что g убывает вдоль a2, а мини-
мальное значение g на S достигается в точке а2(0) = <?;
(3)	a3(/)^S при t е [&], Ь2], так как а3(()е5, и
5!П5 = 0>	□
Замечание. Некоторый подход к общему случаю
этой теоремы может быть получен исходя из следую-
щих интуитивных соображений. Пусть поверхность S
Рис. 6.5. Для данной связной компактной «-поверхности S = f 1 (с)
близкие множества уровня f~1 (с — е) и '(c-J-e) находятся
внутри и снаружи S.
компактна и связна. Тогда S разбивает Rn+I на две
части: одна часть внутри S и другая — вне S. Пусть
S = f-l(c), где f:	Тогда, для достаточно ма-
лых е > 0, множество уровня /^(c-j-e) будет п-по-
верхностью S+, получаемой сдвигом каждой точки
поверхности S на короткое расстояние наружу от S
вдоль V/ (см. рис. 6.5). (Может быть, что f~l (с + е)
содержит также точки, удаленные от S, однако в на-
шем рассуждении мы можем игнорировать существо-
вание таких точек.) Аналогично, для достаточно ма-
лых е > 0, множество уровня (с — е) будет п-по-
верхностью S_, расположенной с другой стороны от
S и получаемой сдвигом каждой точки S на некото-
56 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
рое короткое расстояние от S вдоль —Vf. Обозначив
через V множество точек между S- и S+, через Рф—
множество точек из Rn+1 — V, лежащих с той же сто-
роны от S, что и S+, через V- — множество точек в
K«+i _ у, которые лежат с другой стороны от S, мы
можем определить функцию /: Rn+1-> R как
р(р),
f(p) = с + е,
с — е,
р е V,
P^V+,
р е 7_.
Функция f непрерывна на Rra+1, гладкая на открытом
множестве V, содержащем S, и jH(c) = S. Теперь мы
можем применить вышеприведенное доказательство,
с заменой всюду f на f, и тем самым показать, что
гауссово отображение покрывает всю сферу.
УПРАЖНЕНИЯ
В упражнениях 6.1—6.5 нужно описать сферический образ
при и = 1 или п = 2 данной «-поверхности, ориентированной
нормалью V/711 V7 II, где f — функция, заданная левой частью
каждого из уравнений.
6.1.	Цилиндр х| + ... +х„+1 = 1.
6.2.	Конус — xj + *2 + ... + х„+1 — 0, %! > 0.
6.3.	Сфера xf + х, + ••• +*2 + i = г2 (г > 0).
6.4.	Параболоид — х{ + х\ + ... + х2+1 = 0.
6.5.	Однополостный гиперболоид
~(xf/a2) + x^+ ... +х2+1 = 1 (а > 0).
Что происходит со сферическим образом, когда а->оо? Когда
а->0?
6.6.	Покажите, что сферический образ «-поверхности с ори-
ентацией N получается отражением относительно начало коорди-
нат сферического образа той же самой «-поверхности с ориента-
цией —N.
6.7.	Пусть а= (ai, ..., яп+1)е R"+1, а =/= 0. Покажите, что
сферический образ «-поверхности S содержится в «-плоскости
«1*1 + ... + an+iXn+i = 0 в том и только в том случае, когда
для каждой точки р е S существует открытый интервал /, со-
держащий 0, такой, что р + ta е S для всех t е I. [Указание:
для части «только в том случае» применить следствие теоремы 1,
гл. 5, к постоянному векторному полю Х(<у) = (<у; а).]
6. ГАУССОВО ОТОБРАЖЕНИЕ
57
6.8.	Покажите, что если сферический образ связной «-поверх-
ности S состоит из одной точки, то S является «-плоскостью или
ее частью. [Указание: сначала покажите, применением след-
ствия теоремы 1, гл. 5, к постоянному векторному полю W (q) =
= (q; где w I v, {v} — N (S), что если В — открытый шар,
содержащийся в U, и р е S П В, то Н П В с S, где Н обозна-
чает «-плоскость {xeRra+1: x-v — p-v}. Затем покажите, что
если отображение a: [a, Z>] -> S непрерывно и а (/) е В для
Рис. 6.6. Кривая а должна пере-
секать компактную «-поверх-
ность S четное число раз.
ti t t2, то а (£i) • v = a (t2) • о, для чего в свою очередь по-
кажите, что если, например, a (Л) • v < а (t2)  v, то S содержит
открытое множество {хеВ: а (Л) • о < х < а (t2) • о}, что невоз-
можно (почему?).]
6.9.	Пусть S = f~1(c), где f: Rre+1->/? — гладкая функция,
такая, что Vf (р) =/= 0 для всех р е$. Пусть a: R -> Rra+1 — па-
раметризованная кривая, которая нигде не касается S
(т. е. V/ (а (/)) • а (0 =/= 0 для всех t с а(/) е S; см. рис. 6.6).
(а)	Покажите, что в соседних точках пересечения S кри-
вой а направление ориентации V//|| V/1| на S изменяется по отно-
шению к направлению кривой а (т. е. покажите, что если
а(/|)е$ и а (/2) е S, гДе ti < t2, и а (/) S для t, < t < t2, то
W (а (Л)) • а (Л) > 0 тогда и только тогда, когда V/ (a (t2)) •
 а (/») < 0).
58 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
(Ь)	Покажите, что если поверхность S компактна и кривая а
уходит в оо в обоих направлениях (т. е. lim ||а(ОН =
/-> — оо
= lim || а (О || = оо), то а пересекает S четное число раз.
-f-00
6.10.	Пусть S — компактная «-поверхность в R”+I. Точка
р е Rn+1 — S называется внешней по отношению к S, если су-
ществует непрерывное отображение а: [0, оо)-> R”+1 — S, такое,
что а (0) = р и lim ||а (011= °о. Пусть О (S) обозначает мно-
/->00
жество всех внешних точек S.
(а)	Покажите, что если отображение ₽: [а, й]->йп+1—S
непрерывно и Р (а) е О (S), то р (О е О (S) для всех t е [а, 6].
(Ь)	Покажите, что С (S) является связным открытым под*
множеством в R"+l.
7. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ
Геодезические кривые на n-поверхностях играют
ту же роль, что и прямые в R”. Прежде чем сформу-
лировать точное определение, нам нужно ввести опе-
рацию дифференцирования векторных полей и функ-
ций, заданных вдоль параметризованных кривых. Для
того чтобы такие векторные поля и функции могли
принимать различные значения в точке самопересече-
ния параметризованной кривой, удобнее рассматри-
вать эти поля и функции как определенные скорее на
параметрическом интервале, чем на образе парамет-
ризованной кривой.
Векторное поле X вдоль параметризованной кривой
а: /—>R"+1 есть функция, которая сопоставляет каж-
дому значению t^I некоторый вектор Х(/) в а(/),
т. е. Х(О^Кац') для всех t^l. Функция f вдоль
кривой а —это просто функция /: 7-»R. Таким обра-
зом, например, вектор скорости а параметризованной
кривой a: 7->R”+1 является векторным полем вдоль а
(рис. 7.1); его длина [| а ||: Z-*R, определенная как
|| а || (/) = || а (/) || для всех t <= I, есть функция вдоль а.
|| а || называется скоростью кривой а.
Векторные поля и функции вдоль параметризован-
ных кривых часто появляются как ограничения. Та-
ким образом, например, если X есть векторное поле
на некотором открытом подмножестве П <= R"+1, со-
держащем образ а, то X ° а является векторным по-
лем вдоль а. Аналогично, f о а является функцией
вдоль а, как только задана функция f: U-±R, опре*
деленная на множестве U Image а.
60 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Каждое векторное поле X вдоль а представляется
в виде
Х(0 = (а(0; Xi(0.....Хп+М
где каждая компонента Xi является функцией вдоль
а. Поле X называется гладким, если все функции
Хи /->R гладкие. Производная гладкого векторного
Рис. 7.1. Поле скорости вдоль параметризованной кривой а
Заметьте, что из равенства a (t\) = а (/2) не следует, что а (Л) «
= а (/2).
поля X вдоль а есть векторное поле X вдоль а, опре*
деленное как
х(/) = (а(0; -^(0, •••> ^*40).
Х(/) измеряет скорость изменения векторной части
(Xi(/)....Xn+\(t)) поля Х(/) вдоль а. Таким обра-
зом, например, вектор ускорения d параметризован-
ной кривой а есть векторное поле вдоль а, получен-
ное дифференцированием поля вектора скорости
d[d = (a)] (см. рис. 7.2).
Легко проверить (упражнение 7.4), что дифферен-
цирование векторных полей вдоль параметризован-
ных кривых обладает следующими свойствами: пусть
X и Y — гладкие векторные поля вдоль параметризо-
ванной кривой a: 7->R/l+1, a f — гладкая функция
вдоль а, тогда
(i)	(X + Y) = X + Y,
(ii)	(fX) = f'X + fX,
(iii)	(X-Y)' = X. Y + X- Y,
7. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ
61
где XY, /Хи XY определены вдоль «равенствами
(X + Y) (О = Х (/) + Y(/),
(/X) (/) = /(/) х (/),
(X • Y)(/) —X (/) • Y(0
для всех t е I.
Геодезическая на n-поверхности ScRn+1 есть па-
раметризованная кривая a: I-+S, вектор ускорения
а ('о)
а ((о)
i (?о)
Рис. 7.2. Ускорение а (/о) является производной в точке ta ско-
рости векторного поля а.
которой всюду ортогонален к S; другими словами,
а (/) е Saw Для всех t^.1. Таким образом, геодези-
ческая— это кривая на S, которая всюду на поверх-
ности идет «прямейшим» образом. Ее ускорение слу-
жит только для того, чтобы она оставалась на по-
верхности. Оно не имеет составляющей, которая
была бы касательна к поверхности.
Заметим, что геодезические линии имеют постоян-
ную скорость, так как из d(/)eSa(o и a(/)еSo(t),te
е I, следует, что
4 ii6 ® ii2=4 V •А =26 ® •й <0=°-
Пример 1. Если «-поверхность S содержит прямо-
линейный отрезок a (0 = р Д- tv, t е I, то этот отре-
зок является на S геодезической линией. Действи-
тельно, a (0 = 0 для всех t <= I, так что, в частности,
a (0 ± Saw для всех t е I.
62 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Пример 2, Для произвольных a, b, с, d е R пара-
метризованная кривая а(0'= (cos(at + b), sin(af+&)>
является геодизической на цилиндре х2 + х% = 1
в R3, так как
а (0 = (а (0; — a2 cos (at + b), — a2 sin (at + b), 0) —
= ± a2N (a (0)
для всех t e R (см. рис. 7.3).
Рис. 7.3. Геодезические a (/) = (cos (at + b), sin (at + b), ct + d)
на цилиндре x2 + x^ = 1. (a) a = 0, (б) c = 0, (e) a #= 0, c 0-
Пример 3. Для каждой пары
нальных векторов {е1; е2} в R3
единичных ортого-
и каждого а е R
Рис. 7.4. Большие круги
являются геодезическими
на 2-сфере.
окружность большого круга (или точка, если а = 0)
a(0 = (cos at) ех + (sin at)e2 является геодезической на
2-сфере х2 + х22 + х3 == 1 в R3, потому что a(0 = (a(0;
— a2a (0) = ± a2N (a (0) для всех t е R (см. рис. 7.4).
7. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ
63
Интуитивно представляется очевидным, что если
на «-поверхности взята произвольная точка р и в Sp
дан произвольный начальный вектор скорости v е So,
то на -S должна быть геодезическая, проходящая че-
рез р с начальным вектором скорости v. Образно го-
воря, гоночный автомобиль, едущий по поверхности S,
проезжая через точку р со скоростью v, смог бы про-
должить свой путь на S «прямейшим» образом с по-
стоянной скоростью || v||, оставляя за собой след в виде
геодезической линии на S. Нижеследующая теорема
показывает, что это действительно так, и что геоде-
зическая с такими свойствами единственна.
Теорема. Пусть S — некоторая n-поверхность в
R”+1, точка p^S, и пусть v е Sp. Тогда существуют
открытый интервал I, содержащий точку 0, и геоде-
зическая a: I-+-S, такие, что
(i) а(0) = р и a(0) = v.
(ii) Если	— любая другая геодезическая
на S с условием р (0) = р u Р (0) = V,го и ₽(0. S
= а(0 для всех t е 7.
Замечание. Геодезическая а называется макси-
мальной геодезической на S, проходящей через р с
начальным вектором скорости v.
Доказательство. Поверхность S = f_1(c) для не-
которого се R и некоторой гладкой функции f: U-*
R (где U — открытое множество в R ”+') с Vf(p)¥*
=#0 для всех реЗ. Так как Vf(p)=#O для всех то-
чек р в некотором открытом множестве, содержащем
S, мы можем предположить (сужая U в случае не-
обходимости), что Vf(p)=H=O для всех p^U. Поло-
жим N = Vf/|| V/II 
По определению, параметризованная кривая а:
является на S геодезической тогда и только
тогда, когда ее ускорение всюду перпендикулярно kS;
иначе тогда и только тогда, когда а (Г) является кол-
линеарным вектору N (a(t)) для всех t е I;
a(0 = s(0N(a(0)
64 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
для всех t^.1, где g: /-> R. Умножая обе частиэтого
уравнения скалярно на N(a(/)), получим
g = a=> N о a = (a  N »а)' — а • N б а = — а • N ба,
так как a-N°a = 0. Таким образом, кривая a: /->S
является геодезической в том и только в том случае,
когда она удовлетворяет дифференциальному уравне-
нию
(G)	a + (a • N б a) (N о a) = 0.
Это есть обыкновенное дифференциальное уравне-
ние второго порядка относительно а. (Если мы напи-
шем =	Xn+i(i)), т0 это векторное диф-
ференциальное уравнение превратится в систему
обыкновенных дифференциальных уравнений второго
порядка
dN,
I” / ,	(•*!>	•••> -*'n+l) X
I	k
где N; (J e{l....«+1}) — компоненты вектораМ.)
По теореме существования решения таких уравне-
ний1) найдутся открытый интервал Ц, содержащий 0,
и решение Ц-^U этого дифференциального урав-
нения, удовлетворяющее начальным условиям 0! (0)=
= р и 0! (0) = v (т. е. условиям х»(0) = р/ и
(dxi/dt) (0) — Vi для i е {1, ..., п + 1}, где р —
= (pi, pn+i) и v = (р( V!.....у«+1)). Более того,
это решение единственно в том смысле, что если
р2:	— Другое решение уравнения (G), с усло-
виями р2 (0) = р и р2(0) —V, то Pi(/) = Рг(О для всех
t е /] П 1г- Отсюда следует, что существуют макси-
мальный открытый интервал I (/ является объедине-
*) См., например, Hurewicz W. Lectures on Ordinary Diffe-
rential Equations, Cambridge, Mass.: M. I. T. Press, 1958, p. 32,
33. [или Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные
уравнения. — М.: Наука, 1974.— Прим, перев.}. См. также упраж-
нение 9.15.
7. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ
65
нием областей существования всех решений (G), ко-
торые отображают 0 в р и имеют начальный вектор
скорости v) и единственное решение a: I-+U урав-
нения (G), удовлетворяющее условиям а(0) = р и
<z(0) = v. Кроме того, если 0: 7-> 7/— любое решение
(G) с р(О) = р и р(0)= у, то 7 с I и [3 является ог-
раничением а на 7.
Для завершения доказательства остается только
показать, что решение а уравнения (G) действительно
является кривой на S. Если это так, эта кривая
должна быть геодезической, так как она удовлетво-
ряет уравнению геодезических (G), и тогда осталь-
ная часть теоремы следует из указанного выше утвер-
ждения о единственности.
Чтобы увидеть, что а действительно является кри-
вой на S, сначала заметим, что для каждого решения
ал IU уравнения (G) имеем <z-Noa = 0. Действи-
тельно, согласно (G),
(а • N о a)' = a  N о a -|- a • N 6 а = О,
так что a - N о а постоянно вдоль а, и
(а • N о а) (0) = v • N (р) = 0,
так как veSp и N (р) ± Sp. Отсюда следует, что
тогда
(/ о а/ (0 = V/ (а (0) • а (0 = II Vf (а О IIN (а (/)) • а (/) = 0
для всех t s 1, так что f° а, постоянно, и ^(а(0)) =
==/(р)=с, так что f(a(/))=c Для всех ге/; сле-
довательно, образ а принадлежит /~1(с) = 5.	□
Из только что доказанной теоремы следует, что
каждая максимальная геодезическая на единичной
2-сфере в R3 (пример 3) является или окружностью
большого круга (параметризованной с условием по-
стоянства скорости) или постоянной («(/) = р для
всех t при некотором р), так как такая кривая про-
ходит через каждую точку р с любым заранее дан-
ным начальным вектором скорости. Аналогично, каж-
дая максимальная геодезическая на цилиндре +
66 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
+^2 = 1 в R3 (пример 2) является или вертикальной
прямой, или горизонтальной окружностью, или вин-
товой линией (спиралью), или постоянной точкой.
УПРАЖНЕНИЯ
7.1.	Найдите вектор скорости, вектор ускорения и скорость
каждой из следующих параметризованных кривых:
(а)	а (0 = (/, Z2),
(Ь)	а (?) = (cos t, sin t),
(c)	a(/) = (cos3/, sin 3t),
(d)	a (/) = (cos t, sin t, t),
(e)	a (t) = (cos t, sin t, 2 cos t, 2 sin t).
7.2.	Покажите, что если a: /—<-R"+1 — параметризованная
кривая с постоянной скоростью, той (/) ± a (t) для всех tel.
7.3.	Пусть a: /-*R"+i— параметризованная кривая с
d(Z) =/= 0 при всех tel. Покажите, что для а существует ее
перепараметризация Р с единичной скоростью, т. е. покажите, что
существуют гладкий интервал I и гладкое отображение ht J -*!
(«на»), такие, что h' > 0 и кривая Р = a ° Л имеет единичную
скорость. [Указание-, положить h — s~‘, где s (/) = || а (т) || dr
to
для некоторого значения to е /.]
7.4.	Пусть X и Y — гладкие векторные поля вдоль парамет-
ризованной кривой a: /—>- Rn+1, и пусть f: /-> R—гладкая
функция вдоль а. Проверьте, что
(а)	(X + V) = X + Y,
(Ь)	(/Х) = ГХ + /Х,
(с)	(X • Y)'= X • Y + X • Y.
7.5.	Пусть S обозначает цилиндр х2 +	= г2 радиуса г > О
в R3. Покажите, что кривая а является на S геодезической в
том и только в том случае, когда она имеет вид
a (/) = (г cos (at + b), г sin (at + b), ct + d)
с некоторыми a, b, c, d s R.
7.6.	Покажите, что параметризованная кривая а на единич-
ной п-сфере х2 + ... + х2+1 = 1 является геодезической в том
и только в том случае, когда она представима в виде
a (t) = (cos at) e\ + (sin at) e2
с некоторой ортогональной парой векторов {ei, е2} из R',+ 1 н с
некоторым aeR. При а =^= 0 эти кривые являются окружностя-
ми больших кругов на п-сфере.
7. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ
67
7.7.	Покажите, что если a: /->S — геодезическая на «-по-
верхности S и если 0 = а ° Л — перепараметризация кривой
а (Л: 7—>/), то 0 является геодезической на S в том и только
в том случае, когда существуют а, 6 е R с а > 0, такие, что
h(t) = at + b для всех /е7.
7.8.	Пусть С — плоская кривая в верхней полуплоскости
хг > 0, и пусть 5 — поверхность вращения, полученная враще-
нием S вокруг оси Xj (см. пример 5, гл. 4). Пусть а: !—>€,
а(/) = (%1(/), Хг(0)—параметризованная кривая в С, имеющая
Рис. 7.5. Геодезические на поверхности вращения: все меридианы
являются геодезическими; параллель является геодезической,
если она пересекает «кривую профиля» С в точке, где наклон
кривой С равен нулю.
постоянную скорость. Для каждого 6 = R определим отображе-
ние а0: I -> S как
а0 ~ (Х1 х2 W cos ®> х2 s*n ®)>
а для каждого t s I определим отображение 0;: R -> S по той
же самой формуле
0f = (Х1 х2 W cos х2 W s’n ®)-
Кривые ае называются меридианами поверхности S, а 0;— па-
раллелями S (см. рис. 7.5).
(а)	Покажите, что меридианы и параллели всегда пересе-
каются ортогонально друг к другу, т. е. а„ (/) • 0. (0) = 0 для всех
t е /, 0е R.
(Ь)	Покажите, что каждый меридиан ад является на S гео-
дезической. [Указание: заметим, что касательное пространство Sp,
р = а.$ (0, натянуто на(а0(/), 0^(0)]. Поэтому достаточно убе-
диться, что а0 (О ортогонально и к а0 (7) и к 0* (0) J
68 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
(с)	Покажите, что параллель Р< является геодезической HaS
в том и только том случае, когда наклон х.2 (t)lx{ (t) касательной
к С в точке а (0 равен нулю.
7.9.	Пусть S— некоторая «-поверхность в Рл+1, veSs,
р е S и пусть а: I -» S — максимальная геодезическая на S с
начальным вектором скорости v. Покажите, что максимальная
геодезическая р на С с начальным вектором скорости cv (се R)
определяется формулой Р(/) = a(ct).
7.10.	Пусть S — некоторая «-поверхность в R'1+1, peS,
v е Sp, и пусть a: 7-»-S—максимальная геодезическая на S,
проходящая через р с вектором скорости V. Покажите, что если
р: 7 -* S — любая геодезическая на S с условиями р (/s) = р и
Р (7о) = v для некоторого to е 1, то Р(/)=а(/ — to) для всех
/ е 7,
7.11.	Пусть S — некоторая «-поверхность в R'1+1 и пусть
Р: /-э-S — геодезическая на S с Р(/о)=Р(О) ир(/о) = Р(О)
для некоторого to е /, to ¥= 0. Покажите, что Р периодическая,
установив для этого, что Р(/ + t0) = f}(t) для всех /, таких, что
и t и t + to s I. [Указание: используйте упражнение 7.10.]
7.12.	«-поверхность S в Кя+1 называется геодезически пол-
ной, если каждая максимальная геодезическая на S определена
на всем R. Проверьте, какие из следующих поверхностей явля-
ются геодезически полными
(а)	«-сфера х[ + ... + х*+1 = 1.
(Ь)	«-сфера с выколотым северным полюсом х|+.. .+x3^i=l,
хп+1 ’•
(с)	Конус х? + х2 — Х3 = 0, х3 > 0 в R3.
(d)	Цилиндр х| + *2 = 1 в R3.
(е)	Цилиндр в R3 с удаленной прямой линией х3 + х2=1>
XI ф 1.
8. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
Векторное поле X вдоль параметризованной кри-
вой a: 1-+S на «-поверхности S называется касатель-
ным к S вдоль а, если Х(/)е5а<^ для всех t^.1.
Производная X такого векторного поля не является,
однако, в общем случае касательной к S. Тем не ме-
нее мы можем получить векторное поле, касательное
к S, если будем проектировать Х(/) ортогонально на
при каждом (см. рис. 8.1). Этот процесс
Рис. 8.1. Ковариантная произ-
водная X' (/> является ортого-
нальной про екцисй на каса-
тельное пространство обычной
производной X (/).
дифференцирования с последующим проектировав
нием на касательное пространство к S определяет
некоторую операцию с теми же самыми свойствами,
что и дифференцирование, с тем уточнением, что те-
перь дифференцирование векторных полей, касатель-
ных к S, снова приводит к касательному к S вектор-
ному полю. Эта операция называется ковариантным
дифференцированием.
Пусть в S дана «-поверхность R"+1, и пусть а:
/->S — параметризованная кривая на S, а X — глад-
кое векторное поле, касательное к S вдоль а. Кова-
риантная производная поля X есть векторное поле
X', касательное к S вдоль а и определенное равен-
ством
X' (/) = X (0 - [X (/). N (а(/))1 N (а (/)),
70 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
где N — некоторая ориентация на S. Отметим, что
X'(/) не зависит от выбора N, так как замена N на
— N не влияет на вышеприведенную формулу.
Легко проверить, что ковариантное дифференци-
рование имеет следующие свойства: если Хи Y —
гладкие векторные поля, касательные к S вдоль па-
раметризованной кривой а: I-+S и f— гладкая функ-
ция вдоль а, то
(i) (X + Y)/ = X/ + YZ,
(и) (fx)' = rx + fxz,
(iii) (X • Y)' = X' • Y + X • Y'.
Эти свойства немедленно вытекают из соответствую-
щих свойств обыкновенного дифференцирования. На-
пример, следующие вычисления дают проверку свой-
ства (iii):
(X • Y)'= X • Y + X • Y =
= [Х'+(X • N о «) N о а] • Y + X • [Y' + (Y • N о a) N о а] =
= Х'-Y + X-Y',
так как вектор N перпендикулярен к S, а X и Y ка-
сательны к S.
Наглядно можно сказать, что ковариантная про-
изводная X' определяет скорость изменения X вдоль
а так, как это видно на поверхности S (т. е. при пре-
небрежении составляющей вектора X, нормальной к S).
Заметим, что параметризованная кривая a:	яв-
ляется на S геодезической тогда и только тогда, когда
ковариантное ускорение (о.)' равно нулю вдоль а.
Ковариантная производная естественным образом
приводит к понятию параллелизма на «-поверхности.
В R”+1 векторы v = (p; sjeRR1 и w = (<?; ay)sR£+1
называются параллельными в евклидовом смысле,
если v =* w (см. рис. 8.2(a)). Векторное поле X вдоль
параметризованной кривой a: /-^-R't+1 является ев-
клидово-параллельным, если = Х(/2) Для всех
/i,	где Х(/) = (а(/); Х(/)) для t^I (см.
рис. 8.2(6)). Таким образом, X является евклидово-
8. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ перенос
71
параллельным вдоль а тогда и только тогда, когда
Х = 0.
Пусть даны «-поверхность S в R"+1, и параметри-
зованная кривая а: I-> S; гладкое векторное поле
X, касательное к S вдоль а, называется параллель-
ным в смысле Леви-Чивита или просто параллель-
ным, если X' = 0. Наглядно, поле X параллельно
вдоль а, если X является постоянным векторным по-
лем вдоль а так, как это видно с S.

W
(5)
Рис. 8.2. Евклидов параллелизм в R2: (а) параллельные векторы;
(б) параллельное векторное поле.
Отметим следующие свойства параллелизма Леви-
Чивита:
(i)	Если поле X параллельно вдоль а, то X имеет
постоянную длину,так как
~\\Х\^ = ~(Х-Х) = 2Х' -Х = 0.
Ii t	tl I
(ii)	Если X и Y — два параллельных векторных
поля вдоль а, то XY постоянно вдоль а, так как
(X • Y)' = X' • Y + X • Y' = 0.
(iii)	Если поля X и Y параллельны вдоль а, то
угол arccos (X • Y/Ц Х|| |]Y||) между X и Y постоянен
вдоль а, так как XY, ||Х|| и ||Y|| постоянны вдоль а.
(iv)	Если поля X и Y параллельны вдоль а, то
параллельными являются также поля X -|- Y и сХ,
при любом с е R.
(v)	Поле вектора скорости вдоль параметризо-
ванной кривой а на S является параллельным в том
72 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
и только в том случае, когда а — геодезиче-
ская.
Теорема 1. Пусть S — некоторая п-поверхность в
Rn+2, a: 7->S — параметризованная кривая на S,
точка t0^l, и пусть V(=Sa(<). Тогда существует
единственное векторное поле V, касательное к S
вдоль а, которое параллельно и для которого V(/o) =
— v.
Доказательство. Мы ищем векторное поле V, ка-
сательное к S вдоль а и удовлетворяющее условию
V = 0. Одн а ко
Vх = V - (V  N о a) N ° а =
= V - [(V • N о а)' - V • N 6 a] N о а =
= V + (V • N о a) N ° а,
так что Vх = 0 тогда и только тогда, когда V удов-
летворяет дифференциальному уравнению
(Р)	V + (V • N о a) N ° a = 0.
Это есть дифференциальное уравнение первого по-
рядка относительно V. Если иметь в виду, что V(/) =
= (a(0; Vi(0> • ••> V«+i(0), то это векторное диф-
ференциальное уравнение становится системой диф-
ференциальных уравнений первого порядка
п + 1
-Ф-+Х (M-oa)(A//oa)'V/ = 0,
/=1
где Nj (/<={1, ..., п+1})—компоненты нормали N.
По теореме существования и единственности реше-
ния системы уравнений первого порядка, найдется
единственное векторное поле V вдоль а, удовлетво-
ряющее уравнению (Р) и начальному условию
V(/0) — V, т. е. условиям Vi(t0)—Vi для i е{1, ...
.«+!}, где v=(a(/0); Vi, •••> fn+i). Теорема
существования и единственности не гарантирует, од-
нако, что поле V будет касательным к S вдоль а.
8. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
73
Чтобы убедиться, что V в действительности каса-
тельно к S, заметим только, что, согласно (Р),
(V • N □ а)' = V - Noa + V • N ia —
= [- (V • N 6 a) N ° a] • N о a + V • N о a =
= -V-Nda + V- N6a = 0,
так что V-Noa постоянно вдоль a, и так как (V-N«
° a) (^о) =v • N (а (/о)) = 0, то эта постоянная должна
равняться нулю. Наконец, это векторное поле V, ка-
сательное к S вдоль а, параллельное, потому что
оно удовлетворяет уравнению (Р).	□
Замечание. В проведенном выше доказательстве
мы неявно подразумевали, что решение V уравнения
(Р), удовлетворяющее условию V(/0)==v, определено
на всем интервале /, а не на каком-либо меньшем ин-
тервале, содержащем to. Что это действительно так,
можно_ увидеть из следующего рассуждения. Допу-
стим, Id — максимальный интервал, на котором
определено решение V уравнения (Р), удовлетворяю-
щее условию V(/0) = v. Если 1 =/= I, то 1 имеет кон-
цевую точку Ь^.1. Пусть {ti}—последовательность
точек в 7 с lim tt = b. Так как длина ||V|| постоянна
на 7, то ||V(/,) || = ||v|| для всех I, так что последова-
тельность {У(/>)} векторных частей {¥(/<)} нахо-
дится в компактном множестве — на сфере радиуса
||v|| с центром в начале координат в R”+1. Значит, по-
следовательность {Р(7<)} должна иметь сходящуюся
подпоследовательность {У (7^)}. Пусть lim V (tik) — w,
и пусть W — решение уравнения (Р) на некотором ин-
тервале 7, содержащем b, с W (6) = (а (&); w). Тогда
W —V также является решением (Р) на /|~|7 и, в
частности, длина || W — V |] постоянна на I П 7. Но
lim
k <Х>
так что || W — V|| = 0 на J П 7, т. е. W = V на 7 П 7.
Следовательно, векторное поле на 1U7, равное V на 7
и W на 7, продолжает V как решение уравнения (Р)
74 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
на интервал, длиннее, чем 7, в противоречии с макси-
мальностью 7. Значит, 1 — 1, что и требовалось дока-
зать.	□
Следствие. Пусть S — ^-поверхность в R3, и пусть
a: Z-+S— геодезическая на S с а =/= 0. Тогда век-
торное поле X, касательное к S вдоль а, параллельно
Рис. 8.3. Параллельные в смысле Леви-
Чивита векторные поля вдоль геоде-
зических на 2-сфере.
вдоль а в том и только том случае, когда и ||Х||, и
угол между X u d постоянны вдоль а {см. рис. 8.3).
Доказательство. Часть «необходимость», т. е. «только
в том случае», утверждения следует непосредственно
из свойств (i) и (iii) параллелизма Леви-Чивита. Те-
перь допустим, что и ||Х|| и угол 0 между X и а по-
стоянны вдоль а. Пусть tQ е 7, и пусть ve=Sa(tal —
единичный вектор, ортогональный к a(t0). Пусть V —
единственное параллельное вдоль а векторное поле,
такое, что V(/0) = v. Тогда ||V||= 1 и V-a=0 вдоль
а, так что {<%(/), V(^)) является ортогональным ба-
зисом в 5а(ц при каждом t е I. В частности, суще-
ствуют гладкие функции f, g-. 7~>R, такие, что Х =
= fa + gV. Так как
cos0 = Х • d/|| Х|||[ d ||== Л1«Н/1|Х||
и
||X|p = f2||d||2 + g2,
то постоянство 0, ||ХЦ и ||<х|] вдоль а означает, что f
и g постоянны вдоль а. Значит, поле X параллельно
вдоль а согласно вышеприведенному свойству (iv).
Понятие параллелизма может быть использовано
для перенесения касательных векторов из одной точ-
8. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ перенос
75
ки «-поверхности в другую. Для двух данных на п-
поверхности S точек р и q соединяющей их пара-
метризованной кривой на S называется гладкое ото-
бражение а: [а,&]-> S из замкнутого отрезка [а, Ь]
в S, с а(а) = р и a(b)=q. Говоря о гладкости ото-
бражения а, определенного на замкнутом отрезке,
мы подразумеваем, что а является ограничением на
[а, Ь] некоторого гладкого отображения из некото-
рого открытого интервала, содержащего [а,6], в S.
Каждая параметризованная кривая a: [a, b]-> S, со-
единяющая точки р и q, определяет отображение
Ра.. Sp-^Sq соотношением
Pa(v) = V(6),
где для каждого вектора vs SP V является един-
ственным параллельным векторным полем вдоль а
с V(a) = v. Про вектор Pa(v) говорят, что он полу-
чен параллельным переносом (или параллельным пе-
ренесением) вектора v вдоль а из р в q.
Пример. Задав 9s J. рассмотрим на единичной
2-сфере S2 параметризованную кривую ае". [О, «]->S2,
соединяющую северный полюс р = (0, 0, 1) с южным
полюсом q — (0, 0,—1) и определенную формулой
a9(Z) = (cos 0 sin t, sin 0 sin t, cost).
Таким образом, для каждого 0 кривая ae представ-
ляет собой половину окружности большого круга на
S2 (см. рис. 8.4). Пусть v = (p; 1, 0, 0)еБр.Так как
а9 — геодезическая на S2, то векторное поле, каса-
тельное к S2 вдоль «е, будет параллельным тогда и
только тогда, когда оно имеет постоянную длину и
сохраняет постоянный угол с ае. Такое векторное
поле с начальным значением v имеет вид
Ve (/) = (cos 0) ae (/) — (sin 0) N (ae (/)) X «о (0»
где N — внешняя ориентация на S2. Отсюда
pa0 (v) = Vg (л)—
= ( cos 0) (q\ — cos 0, — sjn 0, 0) —
— ( sin 0) (q; — sin 0, cos0, 0) =
= — (q; cos 20, sin 20, 0).
76 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Заметим, что результат параллельного переноса
из р в q зависит от пути, т. е. если а и р— две пара-
метризованные кривые на S, соединяющие точки р
и q, и v е Sp, то, вообще говоря, Pa(v) Р$(у).
Касательные векторы ve ре S, можно пере-
носить также вдоль кусочно-гладких кривых на S.
Рис. 8.4. Параллельный перенос вдоль геодезических на 2-сфере.
Кусочно-гладкая параметризованная кривая а на S
определяется как непрерывное отображение а: [а, &]-*
->S, такое, что ограничение а на [Л, ^+i] является
гладким для каждого ze{0, 1, ..., k}, где а = to <Z
< t\ ... </*+! = & (см. рис. 8.5). Параллельный
перенос вектора veSa;a) вдоль а до а (6) получается
переносом v вдоль а до a(ti), чтобы получить
v1eSa(f , затем переносят v( вдоль а до а(72) и
получают v2eSa(f2), и, наконец, получают Ра (v)
переносом V/; е Sa вдоль а до а (&).
Теорема 2. Пусть даны n-поверхность S в ₽"+*,
точки р и q & S, и пусть а — кусочно-гладкая пара-
метризованная кривая, соединяющая р и q. Тогда
параллельный перенос Ра: SP -> S4 вдоль а является
8. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ перенос
77
изоморфизмом между векторными пространствами,
сохраняющим скалярное произведение, т. е.
(i)	Ра есть линейное отображение,
(ii)	Ра —взаимно однозначное отображение „на“,
(iii)	Ра (v) • Ра (w) = v • w для всех v, weSp.
Доказательство. Свойство (i) является непосред-
ственным следствием того факта, что если V и W —
параллельные векторные поля вдоль параметризо-
ванной кривой на S, то такими же являются и поля
Рис. 8.5. Кусочно-гладкая кривая а на 2-поверхности.
v +W и eV, се х. Аналогично, свойство (iii) сле-
дует из того, что если V и W — параллельные поля,
то произведение V-W постоянно. Наконец, ядро ото-
бражения Ра состоит из одного нуля, так как равен-
ство ll-Pcc(v)|| === 0 приводит, согласно (iii), к ||v|| = 0,
так что Ра является взаимно однозначным линейным
отображением из одного n-мерного векторного про-
странства в другое, а все такие отображения дают
отображение «на».	□
УПРАЖНЕНИЯ
8.1.	Пусть S — некоторая «-поверхность в R"+I, а: I-* S ~
параметризованная кривая, X и Y — векторные поля, касатель-
ные к S вдоль а. Проверьте, что
(а)	(X + Y)' = X' + Y',
(b)	(fX)z = f'X + /X' для всех гладких функций f вдоль а.
8.2.	Пусть в R"*1 задана «-плоскость S: atxt +.. .
....+ Hn+iXn^i = b, точки р, q^S, и пусть v=(p;f)eS₽. По-
78 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
кажите, что если а — параметризованная кривая на S, соединя-
ющая р и q, то Р (v) — (q; v). Вывести отсюда независимость
параллельного переноса на p-плоскости от пути.
8.3.	Пусть а: [0, л]->-S2 — половина окружности большого
круга на сфере S2, пробегаемый от северного полюса р = (0,0, 1)
до южного полюса q= (0,0, —1) и определенная как а(/) =
= (sin t, 0, cos/). Покажите, что вектор v = (p; °)eSP
переносится в вектор Рa(v) = (q; —г>[, v2, 0). [Указание: проверьте
это сначала для v = (р; 1, 0, 0) и v = (р; 0, 1, 0), затем исполь-
зуйте линейность Ра.]
8.4.	Пусть р — точка 2-сферы S2, и пусть v, weS2—векто-
ры с равными длинами, II v || = || w ||. Покажите, что найдется
кусочно-гладкая параметризованная кривая a: [a, &]->S2 с
а(а) = а(&) = р, для которой Pa(v)=w. [Указание: рассмо-
треть замкнутые кривые а с a (a) = v, которые образуют геоде-
зические треугольники с а(/)± р для значений t в «среднем сег-
менте» отрезка [а, &].]
8.5.	Пусть a: 7-*R'!+1— параметризованная кривая с
a(/)eSiPS2 для всех t е I, где Si и Sa — две «-поверхности
в Rn+1. Пусть X — векторное поле вдоль а, которое касательно
и к St, и к Sa вдоль а.
(а)	Покажите на примере, что поле X может быть парал-
лельным вдоль кривой а, рассматриваемой как кривая на Si, и
непараллельным вдоль а как кривой на Sa.
(b)	Покажите, что если Si и S2 касаются друг друга вдоль а,
т. е. (Si)a(;)= (52)а(/)ДЛЯ всех t еI, то поле X параллельно
вдоль а на Si тогда и только тогда, когда X параллельно вдоль
а на Sa-
(с)	Покажите, что если Sj и S2 — две n-поверхности, которые
касаются друг друга вдоль параметризованной кривой a: I-+StP\
П S2, то а геодезическая на Si в том и только том случае, когда
она геодезическая на S2.
8.6.	Пусть S — некоторая «-поверхность, и пусть a: 7->S —
параметризованная кривая на S. Пусть кривая fi: 7->S опреде-
лена как р = а ° h, где h: 7—>-/— гладкая функция с
при всех t е 7. Покажите, что векторное поле X, касательное к S
вдоль а, параллельно тогда и только тогда, когда X - h парал-
лельно вдоль р. Вывести отсюда, что параллельный перенос из
р е S в q е S вдоль параметризованной кривой а на S дает тот
же самый результат, что и параллельный перенос из р в q
вдоль любой перепараметризации а, и что параллельный перенос
из q в р вдоль а ° Л, где Л(/) = —t, является обращением парал-
лельного переноса из р в q вдоль а.
8.7.	Пусть S — некоторая n-поверхность в R'I+1, точка peS,
и пусть Gp обозначает группу неособых линейных преобразова-
ний пространства Sp на себя. Пусть
Н р — {71 s	Т — Ра для некоторой кусочно-гладкой кривой
а: [а, Ь] -> S с а (а) = а (&) = р}.
8. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ перенос
79
Покажите, что Нр является подгруппой группы GP, установив,
что
(i)	для каждой пары кусочно-гладких кривых а и 0 на S,
соединяющих р и р, существует кусочно-гладкая кривая у от р
до р, такая, что
(ii)	для каждой кривой а на S, идущей от р до р, суще-
ствует кривая 0 на S от р до р, такая, что Р$ = Р~\ (Подгруп-
па Нр называется группой голономии поверхности S в точке р.)
8.8	Пусть а: I S — кривая с единичной скоростью на «-по-
верхности S, и X — гладкое векторное поле, касательное к S
вдоль а и ортогональное всюду к а, т. е. Х(0* а (О = 0 для всех
t е I. Определим производную Ферми X’ поля X равенством
Х’(0 = Х' (0- [Xх (/) • а (/)] а (/).
(а)	Покажите, что если X и Y — гладкие векторные поля
вдоль а, касательные к S и ортогональные к а, то
(!) (Х +Y)’ = X’ + Y’,
(ii)	(fX.)’ = f'X + fX’ для всех гладких функций f вдоль а»
(iii)	(X-Y)'= X’• Y + X • Y’.
(b)	Покажите, что если a 1 и вектор veSa(a! ортогона-
лен к а (а), то существует единственное векторное поле V
вдоль а, касательное к S и ортогональное к а, такое, что V’ = О
и V (а) — v. (Поле V называется параллельным в смысле Ферми
вдоль а)
(с)	Для параметризованной кривой а: [а, &]->.$ на S и вектора
v s Sa (a) с условием v J_ a (0) определим Fa (v) = V (ft), где
V — co свойствами из части (b). Покажите, что Fa является
изоморфизмом из векторного пространства a (а)-1- на a (ft)-1-, где
а (О-1" обозначает ортогональное дополнение к а(/) в Sa^. Пока-
жите, что Fa сохраняет скалярное произведение. (Fа (v) называется
переносом Ферми вектора v вдоль а в точку a (6).)
9. ОТОБРАЖЕНИЕ ВЕЙНГАРТЕНА
Мы приступаем теперь к локальному изучению
кривизны «-поверхности. Искривление «-поверхности
в R'1+1 измеряется тем, как изменяется нормальное
направление, когда мы на поверхности переходим от
точки к точке. Для того чтобы измерить скорость из-
менения нормального направления, нам придется диф-
ференцировать векторные поля на «-поверхности.
Напомним, что для данной гладкой функции f,
определенной на открытом множестве U с: ₽"+*, и
данного вектора v е Rp+1, p^U, производная функ-
ции f по v есть действительное число
Vvf = (/oa)'(/0)-
где a: I-+U — любая параметризованная кривая в U
с условием a(/0) = v. Заметим, что хотя в формуле
для определения Vvf участвует кривая а, но на самом
деле производная не зависит от выбора а. Действи-
тельно, по правилу дифференцирования сложной
функции
V = (f о a)' (Q = V/ (а (/„)) . a (Q = V/ (р) . v.
Эта формула, выражающая Vvf через градиент
функции показывает, что значение Vvf не зависит
от выбора кривой а, проходящей через точку р с век-
тором скорости V. Она является одной из наиболее
часто используемых в вычислениях формул. Эта фор-
мула также показывает, что операция, которая век-
тору v ставит в соответствие Д/о, является линейным
отображением из Rpi+I в R, т. е.
Vv+wf = Vvf + Vwf
9. ОТОБРАЖЕНИЕ ВЕЙНГАРТЕНА
81
И
V = cV f
cv	V'
для всех v, w Е Rp+1 И СЕК.
Заметим, что Vvf зависит как от направления, так
и от длины вектора v. Например, равенство V2vf=2Vvf
выражает тот факт, что если мы будем двигаться
через р с вдвое большей скоростью, то наблюдаемая
скорость изменения f удвоится.
При || v ||=1 производная Vvf называется произ-
водной f в точке р по направлению у.
Для данной «-поверхности S в Dre+1 и данной глад-
кой функции f: S->R производная f по касательному
к S вектору v определяется подобным же образом,
как
VJ = a°a)'(Q,
где a:I->S — любая параметризованная кривая на
S с a(/0) = v. Отметим снова, что значение Vvf не
зависит от выбора кривой а на S, проходящей через
р с вектором скорости V, так как
Vvf = (f ° a)' (Q = W (a (zo)) • « (zo) = W (P) • v,
где f: U -> R— любая гладкая функция, определен-
ная на некотором открытом множестве U, содержа-
щем S, и ограничение которой на S совпадает с f.
Из этой последней формулы следует также, что функ-
ция, сопоставляющая вектору v число Vvf, является
линейным отображением из Sp в R.
Производная гладкого векторного поля X на откры-
том множестве U cz Rn+! относительно вектора
vgRJ‘+1, p<~U, определяется по формуле
vvx=(x;a)(/0),
где azl-^-U— любая параметризованная'кривая в
U, такая, что a(/0) = v. Для гладкого векторного
поля X на «-поверхности S в Rn+I и касательного к
S в точке р S вектора v производная VvX опреде-
ляется той же самой формулой в предположении,
82 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
что теперь а является параметризованной кривой на
S с a(t0) — v. Отметим, что в обоих случаях
VvX е Rp+1 и что
Vvx = (a (70); (X, о а)' (Q.(Х„+1 о а)' (Q) =
=	V,. •••> Vvxn+i)-
где — компоненты X. В частности, значение VvX
не зависит от выбора а.
Легко проверить, что дифференцирование вектор-
ных полей обладает следующими свойствами (см.
упражнение 9.4):
(i)	Vv(X + Y) = VvX + VvY,
(ii)	Vv(fX) = (Vv/)X(p) + f(p)(VvX),
(iii)	Vv (X • Y) = (Vvf) • Y (p) + X (p) • (VvY)
для всех гладких векторных полей X и Y на U (или
на S) и всех гладких функций f: U -> R (или f: S -*
->R). Здесь сумма X + Y двух векторных полей X
и Y есть векторное поле, определенное как (X-f-
+ Y)(<7) = X(9) + Y(9), произведение функции f и
векторного поля X есть векторное поле, определенное
как (fX) (<?)== f(p)X(g), и, наконец, скалярное про-
изведение векторных полей X и Y есть функция, опре-
деленная равенством (X-Y) (<?)= X(g) -Y(zy) для всех
q е (J (или для всех q <= S). Далее, для каждого
гладкого векторного поля X функция, которая век-
тору v ставит в соответствие VvX, является линей-
ным отображением из Rp+1 в Rp+1, если X есть век-
торное поле на открытом множестве U, и отображе-
нием из Sp в Rp+1, если X есть векторное поле на
«.-поверхности S.
Заметим что производная VvX касательного век-
торного поля X на «-поверхности S относительно
касательного к S в точке p^S вектора v в общем
случае не будет касательным к S вектором. В пос-
ледних главах книги нам придется использовать тан-
9. ОТОБРАЖЕНИЕ ВЕЙНГАРТЕНА
83
генциальную компоненту DvX вектора VvX:
DvX = VvX-(VvX.N(p))N(p),
где N — ориентация на S. Z)vX называется, кова-
риантной производной касательного векторного поля
X осносительно v е S . Легко видеть, что Z)vX =
= (X о а)' (/0), где a: I-> S — любая параметризованная
кривая на S с a(/0) = v. Ковариантное дифференци-
рование имеет те же самые свойства (т. е. выше-
приведенные свойства (i) — (iii) с заменой V на D),
что и обыкновенное дифференцирование (см. упраж-
нение 9.5). Далее, для каждого гладкого касательного
векторного поля X на S функция, переводящая v в
£)уХ, является линейным отображением из Sp в Sp.
Теперь мы готовы приступить к изучению ско-
рости изменения нормального направления N на
ориентированной п-поверхноси S в Rn+1. Начнем с
замечания, что в точке p^S для вектора vsSp
производная VvN касательна к S (т. е. VvN ±N(p)),
так как
о = vv (1) = Vv (N . N) = (VvN) -N(p) +
+ N(p).(VvN)=2(VvN).N(p).
Линейное отображение Lp: SP->SP, определенное no
формуле
Mv) = -VVN,
называется отображением Вейнгартена поверхности S
в точке р. Геометрический смысл отображения Lp
можно усмотреть из формулы
VvN = (N ° а) (/„),
где a: I->S — любая параметризованная кривая на
S с <z(/o)=v; а именно, Lp(v) измеряет (с точностью
до знака) скорость изменения N (т. е. скорость пово-
рота N, как как N имеет постоянную длину) при про-
хождении через точку р вдоль любой такой кривой а.
Так как касательное пространство Sa(Z) к S в a(Z)
совпадает с [N(a(/))]-L, то касательное пространство
84 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
поворачивается одновременно с поворотом нормали
N, так что Lp(v) можно интерпретировать также
как меру поворота касательного пространства при
прохождении через р вдоль а (см. рис. 9.1). Таким
образом, Lp содержит информацию о форме строения
поверхности S вблизи точки р, поэтому Lp иногда на«
зывают оператором формы S в точке р. ‘)
Рис. 9.1. Отображение Вейнгартена. Lp (v) = — (N ёа) (/0) изме-
ряет поворот нормали и, следовательно, поворот касательного
пространства при прохождении через р вдоль кривой а.
Для вычислительных целей важно заметить, что
Lp(v) можно представить в виде
Lp (V) = - VVN = - (р; Vvyvp ..., vx+1) =
= — (р;	(Р) • v,.... vat„+1 (р) • v),
где N — любое гладкое векторное поле, определенное
на открытом множестве U, содержащем S, и такое,
что N (<?) = N (q) для всех q е S. Отметим, что
вектор N (q) не обязан быть единичным для точек
q&S. Когда функция /:(/-»₽ определяет поверхность
S как S = f-1(c) при некотором с е R, и N(^) =
= V/(<7)/ll Vf (q) Ц для всех q^-S, то естественно брать
*) В оригинале — shape operators. — Прим, перед.
9. ОТОБРАЖЕНИЕ ВЕЙНГАРТЕНА
85
N = Vf/Ц Vfll. Иногда, однако, более удобным ока-
зывается другой выбор N, как это видно из следую-
щего примера.
Пример. Пусть S обозначает «-сферу х-{ ф- ...
..•+ х‘2п+1 — г2 радиуса г > 0, ориентированную на-
правленным внутрь нормальным векторным полем N:
N(<7) = (<7; - <7/11 <7II ) = (<?; — <7/г)
для ?sS. Положив N (<?) = (<7; — q/r) для Rn+1, т. е.
N(xb .x„+i) = (xb ...,xn+i; --у-, ...,
получаем, что в точке ре S для вектора veSa
LP (v) = - Vл=- (р; VЛ1, ..., Vл„+1) =
= -(р; vv(-v)’ •••’ Vv(--M>
= т(р: М*.)>	vv(xn+1)).
Однако для любого ..., п ф- 1}
Vv^ =
=Vxz (p)-v=(p; 0,	1, ...,0)-(р; t>p ..t»„+1) = o h
так что
bp(v) = y(p; vi, .... t»n+1) = yv.
Значит, отображение Вейнгартена n-сферы радиуса
г состоит просто в умножении на 1/г. Отметим зави-
симость отображения от ориентации: если сферу ори-
ентировать внешней нормалью —N, то отображение
Вейнгартена будет давать умножение на —1/г,
86 начальные главы дифференциальной геометрии
В следующих двух теоремах выявляются важные
свойства отображения Вейнгартена
Теорема. 1 Пусть S — некоторая, п-поверхностъ
в R'H-1, ориентированная единичным нормальным век-
торным полем N. Пусть точка р е S и вектор v е Sp.
Тогда для любой параметризованной кривой a: I-+S
с a(f0) = v при некотором t0 е I имеем, что
а (/0) • N (р) = Lp (v) • v.
Эта теорема утверждает, что нормальная состав-
ляющая а (/0) • N (р) ускорения одна и та же для всех
параметризованных кривых а на S, проходящих че-
Рис. 9.2. Все параметризованные кривые в S, проходящие через р
с одной и той же скоростью, обязательно будут иметь одну и
ту же нормальную компоненту ускорения в точке р. На рисунке
a (tj = р (/2) = у (^з) = V, Р — геодезическая.
рез р с вектором скорости v. В частности, если нор-
мальная составляющая ускорения не равна нулю для
некоторой кривой а с a(/o) = v, то она не равна
нулю для всех кривых на S, проходящих через р с
тем же самым вектором скорости (см. рис. 9.2). Эта
компонента ускорения «навязана» каждой такой кри-
вой на S формой поверхности ври, согласно выше-
приведенной формуле, она может быть найдена непо-
средственно из значения отображения Вейнгартена
Lp для V.
9. ОТОБРАЖЕНИЕ ВЕЙНГАРТЕНА
87
Отметим, что если кривая а геодезическая, то
единственная составляющая ускорения нормальна к
поверхности, и это ускорение предписывается кривой
а формой поверхности.
Когда S является «-сферой радиуса г, то вычис-
ления в вышерассмотренном примере показывают, что
каждая кривая на S с единичной скоростью имеет
нормальную составляющую ускорения, направленную
внутрь и с длиной 1/г.
Доказательство теоремы 1. Так как а — парамет-
ризованная кривая на S, то a(/)sSa(() =
для всех t^I, т. е. a-(N°a) = 0 вдоль а. Отсюда
О — [а • (N ° а)]' (/0) =
= а (/0) • (N о a) (t0) + a (tQ) • (N о а) (t0) =
= a(Q-N(a(/0)) + v.VvN =
= а (/0) • N (р) — v • Lp(y),
так что а (/0) • N (р) == Lp (v) • v, что и утверждалось.
Теорема 2. Отображение Вейнгартена является са-
мосопряженным, т. е.
Lp(y) • w = v • Lp(w)
для всех v, w е Sp.
Доказательство. Пусть функция f: [/->R (где
U — открытое множество в ₽"+’) определяет поверх-
ность S как S = /-1(c) с некоторым csR, и пусть
N (р) = V/(p)/||V/(p) II для всех p^S. Тогда
Lp(v)-w=(-VvN)-w = -Vv (A).w =
= - [Vv (W) Vf	+ II w (p) II Vv (Vf)] • w =
= “Vv (wr) •w “ wWv*(v/)] •w-
88 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Так как Vf(p),w —0> то первое слагаемое пропа-
дает. Значит,
Lp (V) • w = - [Vv (V/)] • w =
1	( . V7 df „ df \
II'W (Р) II v ’ v ... V дхп+1 ) ’ W
=-та v (Д) v' • • • •v  ’)  »=
= — IIT7.I ..fpi У* д L (P)vl.У д-7Г--О’) y,\w=
\\Vf (.р)\\\Г l-jdx.dx.^' I' ' L-i дх.дх.,УГ/ I
\ i=l 1	1	i = l 1	n'1*1	/
1 V d2/ z .
~ |IW(p)ll Z-i dxdx^VlWi'
i, /=1	‘
где v = (p;	..., wn+i) и w = (p;	..., w„+i).
Такое же вычисление, проведенное с взаимозаменой
v на w, показывает, что
п-1- 1
^lw,'v=_TWj Z
i,i = l	1 1
Так как d2fldxidx{ = d2fldxjdxt для всех (г, /), то в
итоге заключаем, что
L₽(v)-w = -|iwn i d?dr^v‘w^
i, 1=1	1	‘
n-i-1
1 V d2f t \
~~	|| W (p) II X dx dx ViW‘ ~
i,i = i	’
rt+1
= “ЖП X	°
>,./=1 1
УПРАЖНЕНИЯ
9.1.	Вычислите Vvf, если функция f:R”+1->R, точка p<=Rn+1
и вектор v е Rp+1 даны следующим образом:
(a)	f (Xj, х2) = 2xf + 3%2, v = (l, 0; 2, 1)	(n=l),
9. ОТОБРАЖЕНИЕ ВЕЙНГАРТЕНА
89
(b)	f (Xj, х2) =	— х2,	v = (l, 1; cos0, sin 0)	(« = 1),
(с)	f(X[, х2, х3) = Х|Х2х|, v= (1, 1, 1; а, Ь, с) (п = 2),
(d)	f (q) — q • q, v = (p; v) (n — произвольное).
9.2.	Пусть (/—открытое множество в R ”+1, и пусть f: U -> (? —
гладкая функция. Покажите, что если е(- = (р; 0, ..., 1...0),
где р е U и 1 находится на (/ + 1)-м месте (т. е. на Z-м месте
после р), то Ve 7 = (d//dx;) (р).
9.3.	Вычислите Vv X, если поле X, точка р е Rn+I и вектор
veRp+l даны следующим образом:
(а)	X (Хр x2) = (xl, х2; xtx2, x2)> v = (l, 0; 0, 1) (м = 1),
(b)	X (xi, х2) = (xi, х2, — х2, Xi),
v=(cos0, sin 0; — sin 0, cos 0) (и = 1),
(с)	Х(<?)=(р: 2q), v=(0, ...,0; 1, ..., 1)(п — произвольное).
9.4.	Проверьте, что дифференцирование векторных полей об-
ладает свойствами (i) — (Hi), как это утверждалось на стр. 82.
9.5.	Покажите, что ковариантное дифференцирование вектор-
ных полей имеет следующие свойства: для любой точки р е S и
v <= Sp
(i)	nv(X + Y) = nvX + OvY,
(ii)	Dv (fX) = (Vvf) X (p) + f (p) DVX,
(iii)	Vv (X • Y) = (Z>VX) • Y (p) + X (p) • (DVY)
для всех гладких касательных векторных полей X и Y на S и
всех гладких функций f: S-> R.
9.6.	Пусть X — гладкое единичное векторное поле на  «-по-
верхности S в Rn+I, т. е. || X (^) || = 1 для всех ?<=S. Покажите,
что VvX I X (р) Для всех v е Sp, р е S. Покажите также, что
если X является единичным касательным векторным полем на S,
то DVX J_ X (р).
9.7.	Гладкое касательное векторное поле X на «-поверхно-
сти S называется геодезическим векторным полем или геодези-
ческим потоком, если все интегральные кривые поля X являются
геодезическими поверхности S.
(а)	Покажите, что гладкое касательное векторное поле X
на S является геодезическим полем в том и только том случае,
когда Ох (р)Х = 0 для всех р е S.
(Ь)	Опишите геодезический поток на 2-поверхности враще-
ния в R3.
9.8	Найдите отображение Вейнгартена для
(а)	гиперплоскости apxi+	an-uXn+i — b[(ah	an+i) &
(0...0)].
90 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
(Ь)	кругового цилиндра +	— R3 (а ф 0) (ориен-
тацию выбирайте по своему усмотрению).
9.9.	Покажите, что если на n-поверхности S дано единичное
нормальное векторное поле N, то отображение Вейнгартена для
поверхности S с ориентацией —N получается умножением на —1
отображения Вейнгартена для S с ориентацией N.
9.10.	Пусть на конечномерном векторном пространстве V со
скалярным произведением определено некоторое линейное отоб-
ражение L : V -> V.
(а)	Покажите, что существует единственное линейное отоб-
ражение L*: V-> V, такое, что L* (v) • w = v-L(w) для всех
v, w е V. [Указание: выбрать, в V ортонормальный базис
{si, ..., е„} и вычислить £*(е,) для каждого Z.] (Отображение L*
называется сопряженным для L.)
(Ь)	Покажите, что матрица отображения L* относительно
некоторого ортонормального базиса в V получается транспони-
рованием матрицы L относительно того же базиса. Вывести от-
сюда, что L является самосопряженным (L — £*) тогда и только
тогда, когда матрица L относительно произвольного ортонормаль-
ного базиса в V является симметричной.
9.11.	Пусть в Rn+1 дана n-поверхность S=f-I(c), ориен-
тированная нормалью V/7||Vf||. Пусть точка p^S выбрана так, что
W (р)/IIW (р)Н = е„+1, где ez = (р; 0, ..., 1,	0) с 1 на (z-f-l)-M
месте, т. е. на z-м месте после р, для /е{1,	n-f- 1}. Покажите,
что матрица для Lp относительно базиса {вр еп} в Sp имеет
ВИД	J
IIW (Р)11 dx/dXj (р))’
9.12.	Пусть S — некоторая n-поверхность в R'I+1, ориентиро-
ванная единичным нормальным векторным полем N. Пусть X и
Y — гладкие касательные векторные поля на S.
(а)	Покажите, что во всех точках p = S
(M’N(p)=(W)-N(p).
[Указание: показать, что обе стороны доказываемого соотноше-
ния равны Lp(Xp))-Y(p).]
(b)	Вывести отсюда, что векторное поле [X, Y] на S, опре-
деленное на S как [X, Y] (р) = Vx (p)Y — VY(p)X- всюду касательно
к S. ([X, Y] называется скобкой Ли векторных полей X и Y.)
9.13	Производная в точке р<^П, где U — открытое множе-
ство в Rn+1, гладкого отображения F: t7->R'1+1 есть линейное
отображение F'(p): Rn+I -> R"*1, такое, что для каждого е>0
существует 6 > 0 с условием
|| F (р + о) — F (р) — F'(p) (о) ||/ || о || < е как только 0 < || о|| < S.
Покажите, что если функция X: U-*R'1+1 — гладкая и X — век-
торное поле на U, определенное как Х(р) = (р; X[q)} для всех
9. ОТОБРАЖЕНИЕ ВЕЙНГАРТЕНА
91
q е U, то производная поля X относительно вектора v = (р; о) е
е Rp+1, где ре U, может быть вычислена по формуле
VvX = (p; [X' (р)](о)).
9.14.	Покажите, что отображение Вейнгартена в точке р
«-поверхности S в R'1+1 по существу совпадает с умноженной
на —1 производной в р гауссового отображения поверхности S,
установив для этого, что
Lp (Р> v) = (р; — [ЛГ' (р)] (о))
для (р; v)^Sp, где N: £7->R'!+1— любая гладкая функция,
определенная на открытом множестве U, содержащем S, и та-
кая, что ее ограничение на S есть гауссово отображение N по-
верхности S. [Об определении производной см. упражнение 9.13.]
9.15.	Пусть f: 1/->R, S = /-1(c) и N = Vf/|| f|| определе-
ны как в доказательстве теоремы из гл. 7. Пусть X — векторное
поле на U X R"+1, определенное как
X (w) = X (</; ш) = (9; w; w, — (w • VWN) N (<?)),
где Af(p)—векторная часть N(p) (N(p) = (p; AT (<?)). Для каждой
параметризованной кривой а: /->1/ определим ее естественный
подъем (лифт) а как параметризованную кривую а: I -> И X Rn+1
с й (/) = a (t).
(а)	Пусть a: I-+S. Покажите, что а является геодезической
на S в том и только том случае, когда ее естественный подъем а
является интегральной кривой поля X. [Указание: показать, что
a(t)—X(a(t)) для всех t е I тогда и только тогда, когда а
удовлетворяет уравнению геодезических (G).] Вывести отсюда,
что если а: I -> S и р: I -> S — геодезические на S с а (0) = р (q)
и а (0) = р (0), то а (t) = р (I) для всех t s I f] 7.
(b)	Пусть ₽:/-> t/XRn+1 — интегральная кривая поля X,
проходящая через данную точку v = (р: о) е U X Rn+1. Тогда
Р(0 имеет вид Р (t) = (Pt (/), р2 (/)), где Pi / -> С/ и р2:1 -> Rn+1.
Покажите, что если psSn гб5;1, то pi является геодезической
на S, проходящей через точку р с начальным вектором скоро-
сти V. [Указание: сначала проверить, что Pi удовлетворяет урав-
нению геодезических (G), а затем как в доказательстве теоремы
из гл. 7 убедиться, что Pi действительно отображает I в S.f
Замечание. Упражнение 9.15 дает существование и един-
ственность максимальной геодезической а на S с начальными
условиями а(0) = р и й (0) = v, используя при этом только тео-
рему существования и единственности интегральных кривых век-
торных полей. Введенное понятие естественного подъема й кри-
вой а является геометрическим аналогом замены Ui — dxi/dt,
92 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
которая сводит систему дифференциальных уравнений второго
порядка
d2x(-
~dP~ + IZ Nl
dNj dxj dxk
dxk dt dt 0
(от n + 1 переменных Xi) к системе дифференциальных уравне-
ний первого порядка
I
I dt ~Ui'
) diii г-"* dNi
I V —
uiuk
(от 2n + 2 переменных x> и и,-). Эта система дифференциальных
уравнений первого порядка в точности совпадает с дифферен-
циальным уравнением для интегральных кривых поля X в
(7 X R"+1 с: R2"+2- Это векторное поле X называется геодезиче-
ской струей. ’)
*) В оригинале — spray; иногда этот термин переводится как
«пульверизатор». — Прим, перев.
10. КРИВИЗНА ПЛОСКИХ КРИВЫХ
Пусть функция f: U -> R определяет плоскую кри-
вую С = f~1 (с), расположенную в открытом множе-
стве (J с: R2 и ориентированную нормалью N ~
= Vf/||Vf||. Для каждой точки р<=С отображение
Вейнгартена Lp является линейным преобразованием
1-мерного пространства Ср. Так как линейное преоб-
разование 1-мерного пространства в себя сводится
к умножению на действительное число, то для каж-
дой точки р&.С существует действительное число
%(р), такое, что
Lp (v) = «(р) v для всех v е Ср.
Число х(р) называется кривизной кривой С в р.
Если v — произвольный ненулевой вектор, каса-
тельный к плоской кривой С в точке ре С, то
(v) • v = x(p) || v ||2,
так что кривизну С в р можно вычислить по формуле
«(р) = Lp (v)  v/|| v ||2.
В частности, если а: 1^-С — произвольная парамет-
ризованная кривая в С с а(0=й=0 для всех t е I, то
по теореме 1 из гл. 9 имеем, что
Lp (а (О) • а (0 а (f) • N (а (/))
цй(0||2	~	||а(0112	‘
Если а является параметризованной кривой в С с еди-
ничной скоростью, то эта формула сводится к сле-
дующей
х (а (/)) = а (/) • N (а (/)).
94 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Таким образом, кривизна кривой С в точке р^С из-
меряет нормальную компоненту ускорения любой па-
раметризованной кривой в С с единичной скоростью,
проходящей через р.
Отметим, в частности, смысл знака х(р): если
х(р)> 0, то в точке р кривая поворачивает в сторону
своей нормали N(p), если же х(р)<0, то кривая
поворачивает от N(p), т. е. удаляется от N(p) (см.
рис. 10.1).
Рис. 10.1. Кривизна кривой С положительна в точках, где С ис-
кривляется в сторону своей нормали, и отрицательна, где С
отклоняется от своей нормали.
Один из способов вычисления кривизны плоской
кривой состоит в использовании формулых°а = (аХ
X N ° а)/1| а ||2 (или эквивалентной формулы из упраж-
нения 10.1), где а — любая параметризованная кри-
вая в С с не равной нулю скоростью. Если такая
кривая ориентирована согласованно с ориентацией на
С, то она называется локальной параметризацией
кривой С.
Для данной ориентированной плоской кривой С и
точки р^С параметризацией дуги С, содержащей
точку р, называется параметризованная кривая а:
I-+C, которая
(1)	регулярна, т. е. а(/)=И=0 для всех t е /,
(ii)	ориентирована согласованно с С, т. е. для
каждого значения базис {<х(/)} в Ca(t> согласован
с ориентацией N кривой С,
(iii)	содержит в своем образе точку р.
Если а есть отображение «на», т. е. а(/) = С, то а
называется глобальной параметризацией кривой С.
В общем случае а называется локальной параметри-
зацией С.
10. КРИВИЗНА ПЛОСКИХ КРИВЫХ
95
Получить локальные параметризации плоских кри-
вых в принципе очень легко. Если кривая С = f-1 (с)
ориентирована нормалью N = V//[| V/II, то вектор
Vf(?) = (<7; (<5f/cki) (q), (df/dx2)(q)) ортогонален к Cq в
любой точке q е С, и векторное поле X, определенное
формулой X(q) = (q; {df/dx2) {д'), — (df/dxjiq)), всюду
ортогонально к Vf (так как X(q) получается вращением
yf(q) на угол — л/2), так что X является касательным
векторным полем на С. Далее, X (<?)=/= О для q е С
и {X (?)} согласован с ориентацией N. Значит, для
любой данной точки р^С максимальная интеграль-
ная кривая а:1->С поля X, проходящая через р,
будет параметризацией некоторой дуги С, содержа-
щей р.
Заметим, что если в этой конструкции векторное
поле V/ заменить векторным полем N = Vf/||Vf||, то а
будет параметризацией с единичной скоростью дуги
С, содержащей р, так как
||а(011 = 11 X (а(0)|| = || N (а(/))|| = 1
для всех t е 1.
Локальные параметризации плоских кривых един-
ственны с точностью до перепараметризации: для
любой данной параметризации 0: /->С дуги С, содер-
жащей р, существует гладкая функция h: I —>R с
h' (/) > 0 для всех t е 7, такая, что 0 (/) = а (/г (/)) для
всех t^I, где а — построенная выше локальная пара-
метризация с единичной скоростью. Действительно,
так как {X (0 (/))} является базисом 1-мерного вектор-
ного пространства Ср </>, то 0(/) необходимо колли-
неарно с Х(0)). Более конкретно, 0 (0 = I! 0 ЮIIX (0 (/)),
так как [| X || — 1 и оба базиса {0 (/)} и {X (0 (0)} согла-
сованы с ориентацией N кривой С. Положив
t
h(t) = J||0(t) И dr,
где t0 выбрано из условия 0 (/0) — р, мы получим мо-
нотонно растущую гладкую функцию Л: I -> R (/г' (/)=
96 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
= || (3 (/) || > 0 для всех	равную нулю при t —
= to- Параметризованная кривая (3 о h~1 имеет вектор
скорости
(ро/г-1)(0 = р(/г-‘(/))(/г-1У (О-
= р(/г-1 (/))/А' (/г-1(0) =
= 0 (/Г1 (0)/|| |3 (/Г1 (/)) II = X (р (/г-1 (/))
и, как видно, она является интегральной кривой век-
торного поля X с р о/г-ДО) = р — а(0). По теореме
единственности интегральных кривых область опре-
деления р ° h~1 принадлежит 1 и |3 °/г-1 (/) = а(/) для
всех t из области определения Р°/Н. Другими сло-
вами, р(/)=а(/г(О) для всех /е/, что и утвержда-
лось. Отметим, в частности, что если р: 1->С — ло-
кальная параметризация С с единичной скоростью и
с условием р(/0)=р, то h(t)=t — tQ и р(/) =
= a(t — to) для всех t е 1.
Пример. Пусть С — окружность f~l (г2), где
f(xh х2) = (xj — а)2 + (х2 — Ь)2; пусть ориентация С
дана внешней нормалью Vf/||Vfl|. Так как Vf(p) =
= (р; 2(xl — a), 2{x2 — b)), p = (xlt х2) е R2, то инте-
гральные кривые поля Х(р)=(р; 2(х2 — Ь), — 2(х1 — а))
будут локальными параметризациями кривой С. Инте-
гральная кривая, проходящая через (а -f- г, Ь), дает
глобальную параметризацию a (t) = (а + г cos 2t, b —
— г sin 2t). Отсюда
.. ,	а (/) • N (а (0) _ а (/) Vf (а (/))
||а (Oil2 ’ IIW (а (Ш| ~
__	(— 4r cos It, 4r sin 2/) • (2r cos It, — 2г sin 2t)	_
|| (— 2r sin 2t, — 2r cos 2t) ||21| (2r cos 2t, — 2r sin 21!) ||
- 8r2	1
~ (4л2) (2r) “ r ’
Если бы окружность С была ориентирована внутрен-
ней нормалью, то кривизна равнялась бы в каждой
точке -j-1/r.
Для произвольной ориентированной плоской кри-
вой С и точки р е С, в которой х(р)#=0, существует
единственная ориентированная окружность О, назы-
10. КРИВИЗНА ПЛОСКИХ КРИВЫХ
97
ваемая соприкасающейся окружностью1) кривой С
в точке р (см. рис. 10.2), такая, что она
(i)	касается С в точке р (т. е. Ср = Ор),
(ii)	ориентирована согласованно с С (т. е. У(р) —
= Af1(p), где N и Afi обозначают соответственно
ориентирующие нормали к С и О) и
(iii)	нормаль к ней поворачивается в точке р
с той же самой скоростью, что и нормаль к С
(т. е. VvN = VvNi для всех vgC? = Ор).
Соприкасающаяся окружность — это окружность,
которая примыкает к кривой С наитеснейшим обра-
Рис. 10.2. Соприкасающиеся окружности в двух точках ориенти-
рованной плоской кривой С.
зом среди всех окружностей, содержащих точку р
(см. упражнения 10.8 и 10.9). Условие (i) означает,
что центр окружности О находится на прямой, нор-
мальной к С в р\ условие (iii) дает для радиуса г
соотношение 1/г = |х(р) |, где х(р)— кривизна С вр,
а условие (ii) говорит, что нормаль N (р) направлена
к центру окружности О, если х(р)>0, и от центра,
если х(р)<0. Радиус соприкасающейся окружности,
равный г — 1/|х(р)|, называется радиусом кривизны
кривой С в точке р; ее центр называется центром
кривизны Сер.
*) В оригинале — «circle of curvature»; в русской математи-
ческой литературе соприкасающуюся окружность иногда тоже
называют «кругом кривизны». — Прим, перед.
98 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
УПРАЖНЕНИЯ
10.1.	Пусть a(Z) = (x(Z), (/(/)) (t е /)—локальная парамет-
ризация ориентированной плоской кривой С. Покажите, что
х°а = (ху — у'х")/(х'2 + у'2)312.
10.2.	Пусть g‘. /-> R — гладкая функция, и пусть С обозна-
чает график функции g. Покажите, что кривизна С в точке
(/, g(0) равна g" (t)l(l + (g' (Г))2)3/2при некотором подходящем
выборе ориентации.
10.3.	Найдите глобальные параметризации каждой из сле-
дующих плоских кривых, ориентированных вектором V//II Vf II,
где f — функция, определенная левой частью каждого уравнения:
(a)	axt + bx2 = с, {а, Ь) (0, 0),
(b)	Xj/a2 + Х2/&2 = 1, а ¥= 0, b =/= 0,
(с)	х2 — ах2 = с, а 0,
(d)	х2 —	= 1> xi > 0.
10.4.	Найдите кривизну и каждой из ориентированных пло-
ских кривых из упражнения 10.3.
10.5.	Пусть С — ориентированная плоская кривая. Пусть
точка р е С, и пусть N(p) = (p; А(р)) обозначает ориентирую-
щий единичный нормальный вектор в р. Покажите, что если
Рис. 10.3. h (t) является проекцией а (0 — р на N (р). Функ-
цию h (/) можно считать «высотой а (/) над линией, касательной
к S в точке р».
а: 1^С — произвольная локальная параметризация кривой С,
имеющая единичную скорость и удовлетворяющая условию
а(/о)=р, и если h(t) = (а(/) — р) -N(p) (см. рис. 10.3), то
h (f0) = h' (to) — 0 и h" (to) = z (р).
10.6.	Пусть С — плоская кривая, ориентированная единичным
нормальным векторным полем N. Пусть а: I С — локальная
параметризация кривой С, имеющая единичную скорость. Поло-
жим T(Z)=a (t). Покажите, что
T = xN,
N = — хТ,
10. КРИВИЗНА ПЛОСКИХ КРИВЫХ
99
или, более подробно,
Г Т = (х»а) (N ° а),
1 (N о а) = — (х°а) Т.
Эти формулы называются формулами Френа для плоской кривой.
10.7.	Пусть а: I-► R3— параметризованная кривая в R3 с
единичной скоростью, такая, что a (7) X « (0 =/= 0 для всех tel.
Пусть Т, N и В обозначают векторные поля вдоль а, определен-
ные как Т (0 = а (О, N (/) = а (/)/|| а (/) || и В (0 = Т (Z) X N
для всех tel.
(а)	Покажите, что базис {Т(£), N(Z), 8(0) ортонормальный
при любом значении tel.
(b)	Покажите, что существуют гладкие функции и: /->R,
т: /-> R, такие, что
Т = xN,
N = - хТ + тВ,
В = — tN.
Эти формулы называются формулами Френе для параметризо-
ванных кривых в R3. Векторные поля N и В называются соот-
Рис. 10.4. Угол наклона кривой с единичной скоростью в R2.
ветственно главным нормальным и бинормальным векторными
полями вдоль а. Функции хит называются кривизной и круче-
нием кривой а.
10.8.	Покажите, что соприкасающаяся окружность О ориен-
тированной плоской кривой С, проведенная в точке реС, где
х(р)=^= 0, имеет с С в р касание второго порядка, т. е. покажите,
что если а и р — локальные параметризации соответственно С
100 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
и О, имеющие единичные скорости и удовлетворяющие началь-
ному условию а(0) = (3(0) = р, то а (0) = |3 (0) и а (0) = fj (0).
10.9.	Пусть С — ориентированная плоская кривая, пусть точ-
ка р е С, и пусть а: I -► С, а(0)= р, — локальная параметриза-
ция кривой С, имеющая единичную скорость. Предположим, что
х(р)=й= 0. Для q е R2 и г > 0 определим отображение f-. I -> R
как f(t) = || a(t) — q ||2 — г2. Покажите, что q является центром
кривизны, а г — радиусом кривизны кривой С в точке р в том и
только том случае, когда f(0) = f'(0) = f"(0) = 0.
10.10.	Пусть а: !->-С—локальная параметризация ориенти-
рованной плоской кривой С, имеющая единичную скорость. До-
пустим, отображение 9: /-> R гладкое и такое, что
а (/) = (а (0; cosO (/), sin 0 (/))
для всех t^l (см. рис. 10.4). (В следующей главе мы сможем
доказать, что такая функция 0 существует; см. упражнение 11.15.)
Покажите, что dQldt = и ° а.
11. ДЛИНА ДУГИ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
Прежде чем приступить к изучению отображения
Вейнгартена для «-поверхностей (п>1), мы пока-
жем, каким образом параметризации плоских кривых
могут быть использованы для вычислений интегралов
вдоль кривых.
Длина 1(a) параметризованной кривой а: 7—>
-> R"+1 определяется как интеграл от скорости а:
ь
l(a) = $||а(/)||Л,
а
где а и b — концевые точки I, возможно, равные
ч- оо. Заметим, что 1(a) может равняться ± оо. За-
метим также, что длина параметризованной кривой
представляет собой общее «пройденное расстояние».
Если кривая а имеет самоналожения, то те участки
кривой, образ которых покрывается несколько раз,
считаются соответствующее число раз.
Отметим, что если |3: 7^-Rn+!— перепараметриза-
ция кривой а, то 1($)=1(а). Действительно, если
(3 == а ° h, где отображение h'. 7 -> I, такое, что hr (t) >
> 0 для всех t е 7, то
d	d
/(₽)=$ II ₽ (О II dt = JII a (h (i)) II h' (t) dt =
c	c
b
= || a (u) \\du — l (a),
a
где cud — концевые точки отрезка 7.
102 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Если а — кривая с единичной скоростью, то для
6, t2 е I с t\ < t2 имеем
^2	tl
|| а (/) || dt = j \dt = t2 — /1;
так что длина любой дуги кривой а в точности равна
длине соответствующего сегмента интервала пара-
метра t. По этой причине про кривые с единичной
скоростью часто говорят, что они параметризованы
длиной дуги.
Для того чтобы понятие длины параметризован-
ной кривой можно было применить для определения
длины ориентированной плоской кривой, нам будут
нужны два предварительных результата.
Теорема 1. Пусть С — ориентированная плоская
кривая. Для существования глобальной параметриза-
ции С необходимо и достаточно, чтобы кривая С
была связной.
Доказательство. Из определения связности немед-
ленно следует, что любая ориентированная плоская
кривая, которая имеет глобальную параметризацию,
необходимо должна быть связной.
Обратно, допустим, что кривая С связна. Пусть
точка р е С, и пусть а: I-> С — локальная пара-
метризация С, полученная, как в предыдущей главе.
Напомним, что а — проходящая через р максималь-
ная интегральная кривая векторного поля X, полу-
ченного вращением на угол —л/2 векторного поля
Vf, где С = Д‘(с) и N = Vf/||Vf||. Пусть р\ е С. Мы
покажем, что pi принадлежит образу а, что и будет
означать, что а является глобальной параметризацией
кривой С.
Так как С связна, то существует непрерывное
отображение 0: [а, &]->С с ^>(а) — р и Р(й) = р1.
Доказательство будет завершено, если мы покажем,
что 0(0 е Image а для всех / е [а, &]. Чтобы убеди-
ться, что это действительно так, обозначим через t0
точную верхнюю границу множества {t е [а, Ь\:
11. ДЛИНА ДУГИ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
103
0([а, /]) с: Image а}, и пусть у — интегральная кривая
поля X с у(О) = 0(/о). Мы построим открытый прямо-
угольник В, содержащий точку р0 — 0 (/0) и такой, что
С П В cz Image у. Допустим сначала, что такой прямо-
угольник В существует. Тогда по непрерывности 0
найдется 6 > 0, такое, что 0(/)еВ (а значит, 0 (/) G=
е СП В сд Image у) для всех t е [а, &], для которых
| / — /01 < б. Так как 0(7) е Image а для а X t < t0
(и для t = t0, если /0 = а), то 0 (/) е (Image у) П (Image а)
для некоторого t е [a, b](t^t0). Поэтому у и а явля-
ются интегральными кривыми поля X, проходящими
через общую точку. Так как а—максимальная инте-
гральная кривая, то Image у с: Image а (и в действи-
тельности существует теН, такое, что у (/) = а(/ — т)
для всех t из области определения у). Значит, 0 (/) е
е С П В с= Image у с= Image а для всех t е [а, Ь] с
|/— /о К 6. Но такое может быть, только если t0 =
= b и 0 (/0) е Image а, так что 0 (t) е Image а для всех
t е [а, &], что и утверждалось.
Для завершения доказательства осталось постро-
ить прямоугольник В. Для этого положим u = ((df/dx2)
(р0), — (df/dXi) (р0)) И v = ((дЦдхх) (р0), (д/Ж) (р0)), так
что (р0, «) е Сра и (р0> п) ± Сро> и пусть А обозначает
прямоугольник
А = {Ро + ru + sv: | г | < е, и | s | < е2},
где е, > 0 и е2 > 0 выбраны достаточно малыми, так,
чтобы А содержался в области определения f и чтобы
было Vf (^) • (</, v) > 0 для всех q е А (см. рис. 11.1).
Возможность удовлетворения последнего условия яв-
ляется следствием непрерывности произведения (df/dxit
дЦдх2)-у и того факта, что ((df/dxlt df/dx2) • v)(p0)~
= ((df/dxi) (p0))2 + (.(df/dx2) (po))2 > 0. Условие Vf (q) X
X (q\ v) > 0, выполненное для всех q А, гаранти-
рует, что при | г | < ej функция gr (s) = f (p0 + ru + sv)
является строго возрастающей на интервале —е2 <
< s < е2 (g'r (s) > 0), а значит, для каждого г с | г | <
< ё] существует, самое большое, одно значение s с
| s | < е2, такое, что gr (s) = f (р0 + ru + sv) = с. Дру-
гими словами, для каждого г с | г | < ех существует
104 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО!"! ГЕОМЕТРИИ
самое большее одно $ с | s | < е2, такое, что р0 + ги +
+ sv е С. Тогда у (0 = Ро + h{ (t) и + h2 (?) v, где hi (/) =
= (у (/) — Ро)  и/\\ и II2 и h2 (0 = (у (/) — Ро) • vl\\ v II2 — глад-
кие функции от t с h[ (0) = h2 (0) = 0. Используя
непрерывность у и h\ вместе с соотношением
h\ (0) = у(0) • (ро; «/II и ||2) = X (ро) • X (ро)/|| X (ро)Ц2 = 1,
мы можем выбрать Ц < 0 и t2 > 0 в области опре-
деления у такими, чтобы для всех t -е (/b t2) были
Рис. 11.1. Прямоугольник А в окрестности точки ро выбран так,
что каждый прямолинейный отрезок cr (s) = (р0 + ги) + sv (г фик-
сировано, — 62 < s < е?) пересекается с С самое большее один
раз. В заштрихованном прямоугольнике В каждый такой прямо-
линейный отрезок пересекается с С в точности один раз.
выполнены два условия: у(/)е А и h\{t) > 0 (см. рис
11.1). Положив Г[ = Й1 (1J и r2 — hi (t2), мы имеем, что
для каждого г е (гь г2) существует точно одно зна-
чение left, /2) с hi (t) = r (так как ft (1) непрерывна
и строго возрастает) и что s = h2(t) для этого t явля-
ется некоторым значением s (а значит, единствен-
ным s) с | s | < е2, таким, что р0 + ги + sv е С.
Другими словами, если В есть прямоугольник
В = {ро + ги + sv: ri<r <r2, | s | < е2},
И. ДЛИНА ДУГИ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
105
то р0 + ru + sv е В П С в том и только том случае-,
когда г = /!](/) и s = h2(t) для некоторого /е(/ь /2)»
т. е в том и только том случае, когда р0 + ги + sv s
elmage у. Значит, С П В с: Image у, что и требова-
лось доказать.	□
Доказательство теоремы 1 с заменой X единичным
векторным полем Х/||Х|| показывает также существо-
вание для каждой связной ориентированной плоской
кривой глобальной параметризации с единичной ско-
ростью.
Теорема 2. Пусть С — связная ориентированная
плоская кривая, и пусть 0: 1->С— глобальная пара-
метризация С с единичной скоростью. Тогда отобра-
жение 0 или взаимно однозначное, или периодическое.
Более того, 0 периодическое в том и только том слу-
чае, когда кривая С компактная.
Доказательство. Допустим, 0(^)= 0(Z2) Для неко-
торых t\, t2^l с t\ ф tz- Пусть X — единичное каса-
тельное векторное поле на С, построенное как в пре-
дыщущей главе, и пусть а — максимальная интег-
ральная кривая поляХ с начальным условием сс(О) =
— 0 (6) = 0 (t2)  Так как 0 тоже является интеграль-
ной кривой поля X, то по теореме единственности ин-
тегральных кривых получаем,что
В {t) = a (J — tt)
и в то же время
0 (/) = а (I — /2)
для всех t е /. Положив т = t2 — h, имеем
0(/) = а(/ —/,) = а((/ + т) — /2)=0(/ + т)
для всех тех t, для которых и t и t + т е 1. Значит,
если 0 не взаимно однозначно, то оно периодическое.
Если отображение 0 периодическое, то кривая С
должна быть компактной, потому что С является об-
разом замкнутого отрезка [Zo, to + т] при непрерыв-
ном отображении 0. С другой стороны, если 0 не-
периодическое, то 0 должно быть взаимно однознач-
ным, так что тогда С не может быть компактной, по-
тому что функция 0~’: C->R непрерывна на С, но не
106 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
достигает своего максимального значения. Непрерыв-
ность 0-1 может быть проверена следующим образом.
Для данных t0 е / и е>0 положим у(/) = 0(/ -|- to),
где |/|<е и t Д- t0 е 1, и затем выберем открытый
прямоугольник В с центром в р0 — 0(ZO) = у(0), как
в доказательстве теоремы 1. Тогда С f] В dfnage у,
так что | 0-1 (р) — /о| = | у-1 (р) | < е как только р
е С П В, что и требуется для непрерывности. □
Напомним, что периодом периодической функции
Р называется наименьшее т, такое, что 0 (/Д-т) = 0 (/)
для всех t, для которых и t и t Д- т принадлежат
области определения 0. Если т — период функции 0,
то любое подмножество области задания 0 вида
[/о, to + т] называется фундаментальной областью
функции 0. Заметим, что ограничение любой периоди-
ческой глобальной параметризации 0 некоторой ком-
пактной плоской кривой на фундаментальную область
отображает эту фундаментальную область взаимно
однозначным образом на Image 0. Следовательно,
если мы будем допускать в качестве области задания
параметризованных кривых как открытые, так и по-
луоткрытые интервалы, то каждая связная ориенти-
рованная плоская кривая будет допускать глобаль-
ную параметризацию с единичной скоростью. Более
того, любые две такие параметризации а: 1-ы-С и
0: 7->С будут иметь параметрические интервалы од-
ной и той же длины. Действительно, а и 0 связаны
соотношением 0(/) = а(/— to) для некоторого
так что 7 получается просто переносом I. Значит, мы
можем определить длину связной ориентированной
плоской кривой С как длину интервала I, где а:
1-> С — любая взаимно однозначная глобальная па-
раметризация С с единичной скоростью.
Так как длина кривой 0 та же самая, что и дли-
на а, где а — любая перепараметризация 0, то отсюда
следует, что длина связной ориентированной плоской
кривой может быть вычислена по формуле
ь
l(C) = l(a)=\\\a(t)\[dt,
а
И. ДЛИНА ДУГИ И криволинейные интегралы
107
где а: 1-^С — любая взаимно однозначная глобаль-
ная параметризация кривой С, а а и b — концевые
точки интервала I.
Пример. Пусть С обозначает окружность
(%!—о)2-]~(х2—b)2 = г2, ориентированную внешней
нормалью. Тогда отображение а: 1->С, определенное
как a(t) = (а + г cos 2t, b — г sin 2Z), является гло-
бальной параметризацией С, как это мы видели в
предыдущей главе. Отображение а периодическое
с периодом л, так что ограничение а на интервал
[0, л] является взаимно однозначной глобальной па-
раметризацией С. Поэтому
I (С) = || а (/) ||dt = || (— 2r sin 2t, — 2r cos 2f) \\dt = 2nr.
о	о
Остальная часть этой главы будет посвящена рас-
смотрению дифференциальных 1-форм и их интегра-
лов.
Дифференциальная 1-форма, обычно называемая
просто 1-формой, на открытом множестве U a: Rre+1
определяется как функция a: f7XR"+1_>R, такая,
что для каждой точки р е U ограничение со на
Rp+1cz U X R"+1 является линейной функцией.
Пример 1. Пусть X — векторное поле на U, и пусть
функция сох: U X R'1+I -> R определена как
®х (р, v) = X (р) • (р; v).
Тогда йХ является 1-формой на U, называемой 1-фор-
мой, дуальной или двойственной к X.
Пример 2. Для гладкой функции ft U-> R опре-
делим df: HXR"+1->R соотношением
df (v) = \7vf = Vf (p) • v (v = (p; o)eR«+l, p <= U).
Тогда df является 1-формой на U, называемой диф-
ференциалом функции f.
108 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Пример 3. Для каждого ге{1, п -j- 1} пусть
хр U ->R (t7 az R”+1) определено как
xt (ab ..a„+1) = az.
Функция Xt называется z-й декартовой координатной
функцией на U. 1-форма dxt просто выделяет z-ю
компоненту каждого вектора в своей области за-
дания
dxt (v) = Vxz (jo) • v = (jo; 0, ..., 1, .... 0) • v = vit
где v = (p;	t»n+I) <= R«+*, p<=U.
Замечание. Как это часто бывает в математике,
для обозначения различных величин в различных си-
туациях мы используем один и тот же символ. Мы
использовали раньше символ х, для обозначения дей-
ствительных чисел, представляющих собой коорди-
наты точки (хь ..., Xn+i) в Rn+1, затем мы исполь-
зовали xt для обозначения функции, заданной на ин-
тервале, когда описывали параметризованную кри-
вую a(/) = (xi(Z), ..., xn+j(f)) в Rn+I, и теперь мы
используем xz, чтобы обозначить функцию, заданную
на открытом множестве в Rre+1. Эти различные ис-
пользования символа Xt являются стандартными. Ко-
нечно, мы могли бы ввести дополнительные обозна-
чения, чтобы устранить «перегрузку» любого кон-
кретного символа, однако это было бы достигнуто
только за счет чрезмерно усложненной символики и
к тому же не в соответствии с обычным стандартом.
Стало быть, мы продолжим использование символах,
в каждой из этих ситуаций; смысл этого символа
в каждом случае будет ясен из контекста.
1-форма со на U az о,!+1 называется гладкой, если
она является гладкой как функция со: U X R"+1 сд
сд R2"+2->-R. Заметим, что если ft (7->-R — гладкая
функция на U, то ее дифференциал df является глад-
кой 1-формой на U.
Сумма двух 1-форм coi и сог на открытом множе-
стве U az Rre+> является 1-формой op-R сог, опреде-
ленной как
(со, + со2) (v) = со, (у) + ®2 (v).
11. ДЛИНА ДУГИ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ интегралы
109
Произведение функции f: U -> R и 1-формы со на (J
есть 1-форма fa на U, определенная соотношением
(f®)(p; v) = f (р)со(р; v).
Отметим, что сумма двух гладких 1-форм является
гладкой, так же как произведение гладкой функции
и гладкой 1-формы тоже является гладкой 1-формой.
Для данной 1-формы со и данного векторного поля
Хна Ус R"+] мы можем определить функцию со(Х) :
U-> R как
(со (X)) (р) = со (X (р)).
Заметим, что если со и X гладкие, то <о(Х) тоже
гладкая.
Предложение. Для каждой 1-формы со на U (U—
открытое множество в R"+!) существуют единствен-
ные функции ft: U -> R (i е{1, ..., п + 1}), такие,
что
п+1
£ fidXi‘
i = 1
Далее, со является гладкой тогда и только тогда,
когда каждая из функций ф является гладкой.
Доказательство. Пусть для каждого /е{1, ...
.... п+1} X/ обозначает гладкое векторное поле на
U, определенное условием Х, (р) = (р, 0, ..., 1, ...
..., 0), с 1 на (/+1)-м месте, (т. е. на /-м месте
после р). Тогда
, ,	( 1, если z = /,
dx, (X,) = { ’
7 I 0, если i =/= /.
n-1-l
Значит, если со= £ fidxi> т0 Для каждого /е{1, .. .
t= 1
.	п+1}
/ rt-f-1	\
fi= s hdx{ (Х/) = ®(Х/).
\ i — 1	/
Эта формула показывает, что функции ф, если они
существуют, единственны, а также они гладкие, если
110 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
форма со гладкая. С другой стороны, если мы опре-
делим функции fj по вышеприведенной формуле, то
п+1
1-формы со и У, fidxi имеют совпадающие значения
t= 1
на каждом из базисных векторов Х.(р) в R"+' и по-
этому по линейности они имеют те же самый значе-
ния на всех векторах в R"+1, p^U, так что со =
п+1
= £ ftdxt. Очевидно, что форма со гладкая, если ка-
1
ждая из функций ft является гладкой.
Следствие. Пусть f: £7->-R (U — открытое мно-
жество в ₽"+') — гладкая функция. Тогда
п+1
df = X дх7 dX{"
i—	1
Доказательство. df(Xj) — Vf-X, = df/dxi. □
Пусть теперь со — гладкая 1-форма на открытом
множестве U с= Rre+1, и пусть а: [а, 6]-> U — пара-
метризованная кривая в U. Интеграл от формы со
вдоль а есть действительное число
ь
со = со (а (/)) dt.
а а
Интегралы такого вида называются криволинейными
интегралами.
Заметим, что если р: [c,d]—>Lt— любая перепа-
раметризация кривой а, Р = сс о/г, где /г: [с, d]->
->[п, S] имеет всюду положительную производную, то
а	а
со = со (р (/)) dt = со (а (/г (/)) h' (/)) dt =
рс	с
d	b
— co (a (A (/))) h' (t) dt = co (a («)) du = co.
c	a	a
II. ДЛИНА ДУГИ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
111
В частности, если U — открытое множество в R2 и
С — компактная связная ориентированная плоская
кривая в U, то мы можем определить интеграл от ш
вдоль С как

с
где а: [а,6]->С— любая параметризованная кривая,
ограничение которой на [а, 6] является взаимно од-
нозначной глобальной параметризацией С; результат
интегрирования не зависит от выбора а.
Заметим также, что криволинейный интеграл «
а
может быть определен и для кусочно-гладко пара-
метризованной кривой а. Если кривая а: [а,6]~>
-> U сд Rre+1 непрерывна и ограничение а на сегмент
[ti, Z/+1] гладко для каждого ie{0, 1,	k}, где
а — to < t] < ... < tk+\ = b, то интеграл от глад-
кой 1-формы ® на U вдоль а определяется в виде
и,
где а, — ограничение а на [tt, /(+i].
Замечание. Определяя интегралы jo и со, мы
а С
требовали, чтобы параметризованная кривая а была
определена на замкнутом отрезке и чтобы плоская
кривая С была компактна. Это было сделано для га-
рантирования существования определяемых интегра-
лов. Заметим, что такое требование не было необхо-
димым при определении интеграла длины, так как
в этом случае подынтегральная функция является не-
отрицательной и поэтому этот интеграл всегда или
существует, или расходится к +оо.
Пример 1. Пусть U — открытое множество в R"1-1,
и пусть функция f: U -> R гладкая. Тогда для произ-
112 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
вольной параметризованной кривой a: [a, b]->U в U
ь	ь
df — df (а (/)) dt = (f ° а)' (t) dt = f (а (6)) — f (а («)).
а	а	а
В частности, если а(а) = а(Ь), то =
а
1-форма, которая является дифференциалом неко-
торой гладкой функции, называется точной. Парамет-
ризованная кривая а: [а, &]-> IR"+1 с а(а) = а(Ь) на-
зывается замкнутой. Вышепроведенное вычисление
показывает, что интеграл от точной 1-формы вдоль
замкнутой кривой всегда равен нулю. В частности,
интеграл от точной 1-формы вдоль компактной связ-
ной ориентированной плоской кривой всегда раве^
нулю.
Пример 2. Пусть ц обозначает 1-форму, заданную
на R2 — {0} формулой
П =----2^-гdxi + 2? 2 dxz>
+ х2 -^1 “Г
и пусть С обозначает эллипс (xf/a2) + (х|/&2)= 1, ори-
ентированный своей внутренней нормалью. Парамет-
ризованная кривая а: [0, 2л]->С, определенная как
a(t) = (а cos t, b sin/), сводится к взаимно однознач-
ной глобальной параметризации С на интервале
[0, 2л), так что
2л
л = л = j л («(0) dt ~
С a 0
2л
= Г (“ (0) dxi (0) + —2 <a (0) dx2 (a (0)1 dt
J lxf + x2	xf + 4	J
2л
Sr — b sin t ,	. ,, .
—s—Za г-д- (— a sin t) 4-
L a2 cos2 t + b2 sin t2 '	' '
о
4---2---2afC^L  2'7' (6 C0S ol di =
1 a2 cos21 + sirr t ' ZJ
11. ДЛИНА ДУГИ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
113
2л	л/2
С ___________ab___________ ,,____ .С (b/a) sec21
J a2 cos21 + b2 sin2 t	J 1 + {b/a)2 tg2 t
о	о
oo
1-форма т] из примера 2 не является точной, так как
ее интеграл вдоль компактной кривой С не равен
нулю. Однако ее ограничение на V (или, более точно,
Рис. 11.2. 0^ (х, у) есть угол наклона прямолинейного отрезка из
начала координат (х, у), 0о < Оу < 60 + 2л.
на V X R2), где V есть дополнение R2 любого луча,
исходящего из начала координат, является точным.
Действительно, пусть v — произвольный единичный
вектор в R2, и пусть
V = R2 _ {rV: r>0},
т] = ddv, где функция 0V: V -> R определяется сле-
дующим образом. Обозначим через 0О единственное
действительное число с условием 0 0О < 2л, такое,
что v = (cos 0И, sin0o). Тогда для каждой точки
(х, y)^V определим Qv(x,y) как единственное дей-
ствительное число с 0О X 0г (х, у) < 0О 2л, такое,
что
(ттттрт- (Х^)= <e°s 0Щ. !/). sin 0,, (ж, »))
(см. рис. 11.2). Для того чтобы убедиться, что dGv =*
= т]|у, заметим только, что 0v(x, у) — у/х и
114 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
ctg 0V (х, у) = х/у, так что в каждом достаточно ма-
лом открытом множестве мы можем решить одно из
этих уравнений для 0у и проверить, что
<Э0„	<Э0„	х„	х.
dQv = —- dxi Н-----dx2 =-------5---=• dxt + ,	, dx2.
5X|	дх2	х\ + х2	х, + х2
Теорема 3. Пусть 1 -форма ц определена на
R2—{0} как
Т] =----2Т“2- dXi + 2? 2 dx2.
Xi+x2 xf + x^
Тогда для любой кусочно-гладкой параметризован-
ной кривой а: [а, 6]-> R2— {0} имеем
т] = 2ak
а
с некоторым целым k.
Доказательство. Определим функцию <р: [а, &]->R
как
ф (0 = Ф (а) + $ П,
at
где at — ограничение а на отрезок [а, f], а ф(а) вы-
брано так, что
а (а)/|| а (а) || = (cos ф (а), sin ф (а)).
Мы утверждаем, что
(*)	«(0/11 а (0II = (cos ф (0, sin ф (0)
для всех t е [а, 6]. Действительно, пусть /0 обозна-
чает точную верхнюю грань множества {те [а, 6]:
(*) справедливо для	По непрерывности
(*) должно быть верно и в точке / = /0. Положив
v = — а (/0)/|| а (/0) || и определив 0Г, как выше, мы
найдем, что (cos 07 (a (/0)), sin 0Г (а (/0))) = а (/0)/|| а (/0) || =
= (созф(/0), sin ф(/0)), так что ф (/0) —• 07 (а (/0)) = 2ши
для некоторого целого т. Выбрав б > 0 таким, чтобы
а (/) е V для всех t е [a, b] с 11 — /01 < S, мы найдем,
11. ДЛИНА ДУГИ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
115
что для t<=[a,b], \t — /о1<6 и t^=tt (tt — точка, где
а нерестает быть гладкой)
А (Ф (О + 0р (а (/))) = т] (й (0) - dBv (а (/)) = 0,
так что ср (/) — 0р (а (()) = 2лт для всех t е [a, bl
с 11 — t01 < б. Но тогда
(cos ф (/), sin ф (0) = (cos 07 (а (/)), sin 07 (а (/))) =
= а (О/fl а (/) ||
для всех таких t, что возможно, только если t0 = b.
Таким образом, t0 = b и (*) справедливо для всех
t е [а, 6], что и утверждалось.
Наконец, так как а(а)= а(Ь), то из (*) следует,
что
(cos ф (a), sin ф (а)) = (cos ф (b), sin ф (6)),
так что ф (6) — Ф (а) = 2ak для некоторого целого k, и
ъ
т] — т] (а (/)) dt = ф (Ь) — ф (а) = 2ak. □
а а
Целое число k (а) — (1/2л) j т] называется угловым по-
а
рядком кривой а, так как оно определяет число по-
воротов кривой а вокруг начала координат.
УПРАЖНЕНИЯ
В упражнениях 11.1—11.4 нужно найти длины данных пара-
метризованных кривых а: /-> R'I+1.
11.1.	а (0 = 02, Н), I = [0, 2], п = 1.
11.2.	а (/) = (cos 3/, sin 3/, 4/), / = [— 1, 1], п = 2.
11.3.	а (/) = (V2* cos 2/, sin 2/, sin 2t), I = [0, 2л], n = 2.
11.4.	а (/) = (cos t, sin t, cos t, sin t), I = [0, 2л], n = 3.
В упражнениях 11.5—11.8 нужно найти длины связных пло-
ских кривых /-1(с), ориентированных вектором V//II V/II, где
функции f: U -> R и числа с даны в условиях
11.5.	f (х1; х2) = 5%! + 12х2, U = {(Х), х2): х2+х2<169}, с=0.
11.6.	f(xb х2) = lx| + у(х2 +1)2, t/ = R2, с = 2.
11.7.	f (Xj, х2) = х2 — х2, U {(xj, х2): 0 < Xj < 2], с = 1.
116 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
[Выпишите интеграл, но не вычисляйте его.]
11.8.	f (xj, х2) = — 9х| + 4*2, U = {(хр х2): Xj > 0, 0<х2<3},
с = 0. [Указание-, для линии уровня f~‘(0) существует параметри-
зация а(0 = (xi (/)), с х2(/) = t]
11.9.	Покажите, что если С — связная ориентированная пло-
ская кривая, а С — та же самая кривая с противоположной ори-
ентацией, то 1(C) = 1(C).
11.10.	Пусть С — связная ориентированная плоская кривая,
a a: I-+C — ее взаимно однозначная параметризация с единич-
ной скоростью; пусть к: С R обозначает кривизну С.
ь
(а)	Покажите, что интеграл |и°а (t) | dt, где а и Ъ — кон-
fl
цевые точки I, не зависит от выбранной для С взаимно одно-
значной параметризации а с единичной скоростью.
Ъ
(Ь)	Покажите, что
а
l(N°a), где N: C-+R2 -
ь
| x°a (t) | dt называется абсо-
'-a
лютной интегральной кривизной кривой C.j
11.11.	Пусть f и g — гладкие функции на открытом множе-
стве U с Рл+1. Покажите, что
(a)	d (f + g) = df + dg.
(b)	d (fg) =gdf + fdg.
(с)	Если отображение h-. R-> R гладкое, то d (h°f)=(h.r °f) df.
11.12.	Вычислите следующие криволинейные интегралы.
(а)	(х2 dxi — Xi dx2), где a (t) = (2 cos t, 2 sin t), 0 <11 <12n.
a
гауссово отображение кривой С.
dxl-f-xl dx2), где С есть эллипс
С
ориентированный внутренней нормалью.
п+1
(с)	х. dx{, где кривая а: [0, 1] -> Rn+1, такая, что
а 1=1
а(0) = (0, 0, ..., 0) и а(1) = (1, 1, ..., 1). ^Указание: найти ото-
n+l	1
бражение /: Rn+I ->R, такое, что df = xt dxt. I
г-i	J
11. ДЛИНА ДУГИ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
117
п+1
11.13.	Пусть а = У, f. dx. — гладкая 1-форма на R”+1, и
1=1
пусть a (Z) = (Ж1! (/), ..., 9Sn+\ (t)), где Зв i — гладкие вещест-
венно значные функции на [а, &]. Покажите, что
dt.
11.14.	Пусть С = f-’(c)—компактная плоская кривая, ори-
ентированная вектором Vf/|| V//H, пусть X — единичное векторное
поле на U — область задания ([), полученное вращением V//|| Vf/||
на угол —л/2, и пусть шх является 1-формой на U, двойствен-
ной к X. Покажите, что J со х = / (С),
с
11.15.	Пусть а: I -> R2 — кривая с единичной скоростью,
точка t0^I, и пусть 0oeR, такое, что а (/0)=(а (f0); cos 0О, sin 0О).
Покажите, что существует единственная гладкая функция 0: /->R
с 0 = 0q, такая, что d (/) = (а (/); cos 0(f), sin 0 (/)) для всех
t е/.
Указание: положить 0 (/) = Оо + J т) (Р (т)) dx, где г] есть
d
1-форма из теоремы 3, а р = d&/dt.j
11.16.	Пусть a: [a, b]->- R2 — {0} — замкнутая кусочно-глад-
кая параметризованная кривая. Покажите, что угловой порядок
кривой а тот же самый, что и угловой порядок кривой fa, где
[а, &]-> R — любая кусочно-гладкая функция вдоль а с
f (a) = f(b) и f(f)>0 для всех t е[а, &]. Вывести отсюда, что
а и <я/|| а || имеют одинаковый угловой порядок.
11.17.	Пусть a = tr, <	< ... </*+! = Ь, и пусть ср: [а, 6]Х
X[0, l]->-R2 — {0} — непрерывное отображение, такое, что для
каждого и е [0, 1] отображение сри: [а, &]-> R, определенное
как cpu(f) = cp(f, и), гладкое на каждом отрезке [/;, f;+i], Пред-
положим, что ср« (а) = ср„ (Ь) для всех ие[0. 1]. Покажите, что
угловой порядок k(q>a) является непрерывной функцией от и и
поэтому й(сри) постоянная и, в частности, й(ср0) = &(cpi). [Отоб-
ражение ср называется гомотопией между ср» и cpi.]
11.18.	Угловой порядок поля da! at (который, согласно
упражнению 11.16, равен угловому порядку поля daldtfW daddt ||),
где а: [а, Ь]-> R2 — регулярная (а(/)=й=0 при любом t) пара-
метризованная кривая с d (а) = d (&), называется индексом вра-
щения кривой а.
(а)	Покажите на примерах, что для каждого целого k най-
дется кривая а с индексом вращения k.
(b)	Покажите, что если а является ограничением на [а, &]
периодической регулярной параметризованной кривой с перио-
118 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
дом т — Ь — а и если а взаимно однозначно на [а, Ь), то ин-
декс вращения а равен ±1. [Указание: см. рис. 11.3. Пусть
не R2, ы^=0; найдем точку Zo, в которой функция h(t)=a(t) -и
Рис. 11.3. Для того чтобы показать, что индекс вращения а
равен ±1, to выбрано так, чтобы образ а полностью лежал
с одной стороны от касательной в а (/0); Ф — нормированное
«секущее» отображение ф (Zb Z2) = (a (Z2) — а (Л))/||а (Z2) — а (Zi)||,
непрерывно продолженное до замкнутого треугольника Т и Ф:
Ко, to + т] X [0, 1] -> Т является гомотопией, которая отображает
горизонтальные прямолинейные отрезки в кусочно-гладкие кри-
вые в Т, как это указано в нижней части рисунка.
имеет абсолютный минимум. Для to Z( t2 to + т положим
w (/1)/||4г(л)|- если
Ф (Л, ti) = < da /II da II
dt ^°/|| dt	если
4 (а [ti) — a (ti))/||a (Z2) — a (Zi) ||
Zi = Z0 и Z2=Z04-t,
в других случаях.
И. ДЛИНА ДУГИ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
119
Эта функция ср = ф ° Ф определяет гомотопию <р: [/0, to + т] X
X [0, l]->R2-{0}, где
Ф (t, и) =
[to, to) + (t — to) (1 — и, 1 + и), если	т,
(to 4- т, tg + т) — (to + т — t) (1 4- и, 1 — и),
если t0 4- т < t < t0 4- т.
Теперь надо вычислить угловой порядок кривой cpi и применить
упражнение 11.17. При вычислении углового порядка <pt полезно
иметь в виду, что Image cpt |(<оЛ+ т/2] и Image q>i |(Го+г/2, to+T] со-
держатся в области, где 1-форма г] является точной.]
11.19 Пусть С—компактная связная ориентированная пло-
ская кривая с всюду положительной кривизной х, и пусть
a: R -> С — глобальная параметризация С с единичной ско-
ростью.
(а)	Покажите, что если точка не S1 и отображение
h-. R -> R определено как h(t) = a(t)-и, то h'(to)=0 в том и
только том случае, когда A^af/o)) = ±u, и для всех таких /о
имеем, что Л"(/о) = x(a(/0))u-A,(a(/0)). Вывести отсюда, что
гауссово отображение кривой W является отображением «на».
(Ь)	Покажите, что если [Zo, to 4-г) является фундаменталь-
ной областью а, то индекс вращения (см. упражнение 11.18)
<o+t
кривой a 1[/0,/„+TJ равен (1/2л)	(и°а) (f) dt. [Указание', исполь-
/о
зовать упражнения 11.15 и 10.10.]
(с)	Покажите, что если точка cs(lo, /о4-т]> такая, что
с
N(c)=N(to) и А1(1) =И= Л4^о) при to < t < с, то (и ° a) (t) dt~
io
— 2л. [Использовать упражнение 10.10.] Вывести отсюда, что
с = to -р т и что гауссово отображение кривой С взаимно одно-
значно. [Использовать упражнение 11.18 (Ь).]
11.20. На функцию f: С-> С (где С = {комплексные числа})
можно смотреть как на функцию из R2 в R2, если каждое ком-
плексное число а 4- bi отождествлять с точкой (а, 6)е R2.
В частности, каждый многочлен f(z) = a„zn + atz ф-
+ ao(ao, .... a„ e С) может рассматриваться как гладкое отоб-
ражение R2 в себя. Пусть дан такой многочлен /; определим
отображение af: [0, 2л]-* R2 как
(t) = f (cos t, sin t) = f (cos t + i sin t),
и пусть k(f) обозначает угловой порядок кривой af.
(а)	Покажите, что если f(z)=ao^O для всех г, то
k(f) = о.
(b)	Покажите, что если / (z) = anzn с an^Q, то k (f) = п.
120 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
(с)	Покажите, что если многочлен / (г)У=0 для всех геС
с |г|<1, то k (/') = 0. [Применить упражнение 11.17 к гомото-
пии <р: [0, 2л] X [0, 1] -> R2 — {0}, <р (/, и) = f (и (cos t + i sin /)).]
(d)	Покажите, что если многочлен f(z)=/= 0 для всех ze С
с |г| 5s 1, то k(f) = п. [Применить упражнение 11.17 к гомотопии
<р. [0, 2л]ХГ0, 1Н R2 — {0},
( unf (— (cos t + i sin если «У=0,
qp (t, и) = г \ и	)
(. ап (cos t + i sin t)n,	если и = 0,
где ап — коэффициент при старшей степени многочлена [(a).]
(е)	Вывести отсюда, что если многочлен f(г) =Х= 0 при всех
ге С, то степень многочлена [ должна равняться нулю. (Это
упражнение доказывает основную теорему алгебры: каждый от-
личный от константы многочлен с комплексными коэффициента-
ми имеет в С корень.)
11.21	. Пусть отображение а: [а, &]-> R2— {0} гладкое и
а(а)= а(Ь). Предположим, что кривая а пересекает положи-
тельную полуось х1 тслько конечное число раз. Покажите, что
тогда угловой порядок k(a) равен алгебраическому числу пере-
сечений положительной полуоси xt кривой а, считая, что пересе-
чение, идущее снизу вверх, учитывается как +1, а пересечение
сверху вниз засчитывается как —1. [Указание: пусть ft <
< tz	tm — множество всех тех t е [а, &], для которых
а(1) находится на положительной полуоси xi. Пусть V и 9г
имеют тот же смысл, ото и при обсуждении понятия углового
порядка в тексте главы, считая при этом v = (1, 0). Тогда
пг
k (а) =
lim
е->0
dQv (а (/)) di,
*i+^
где to = а и tm+\ = Ь. Если Н = а, то суммирование будет идти
от 1 до m — 1.]
11.22	. Пусть а:/-> Р2 — кусочно-гладкая замкнутая пара-
метризованная кривая. Для точки р = (a, j)eR2- Image а опре-
делим число
h ( \ — 1 С — (*2 ~ ft) + (%1 — а)
р а 2л J (xi — а)2 + (х2 — Ь)2
а
(а)	Покажите, что число kp (а) целое. [Указание: показать,
что kp (а) является угловым порядком кривой р.-7->R2— {0}, где
Р (I) =а (0 — р.]
(Ь)	Покажите, что если точки р и q е R2 — Image а могут
быть соединены непрерывной кривой, лежащей в R2 —Image а,
то kp(a} = kq(a). (Целое число kp (а) называется угловым по-
рядком кривой а относительно точки р.)
12.	КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТЕЙ
Пусть S — некоторая n-поверхность в Rra+1, ориен-
тированная единичным нормальным векторным полем
N, и пусть точка р <= S. Отображение Вейнгартена
Lp-. Sp -> Sp, определенное как Lp (v) = — VvN, v e S ,
измеряет поворот нормали при движении на S через
р с различными скоростями v. Таким образом, Ln
дает меру искривленности в пространстве Rra+1 в точ-
ке р. Для п = 1 мы видели, что Lp сводится в точ-
ности к умножению на некоторое число — кривизну
х(р) кривой S в точке р. Теперь мы приступим к изу-
чению Lp при п > 1.
Напомним, что для вектора vs произведение
Lp(v) -v равно нормальной составляющей ускорения
в р любой параметризованной кривой а на S, прохо-
дящей через р со скоростью V. Таким образом, эта
составляющая ускорения а вызвана искривленностью
S в Rra+'. Если ||v||= 1, то число
k (v) = Lp (v)  v
называется нормальной кривизной поверхности S в
точке р в направлении v. Заметим, что если /г(у)> О,
то поверхность S искривляется в сторону N в направ-
лении V, а если &(v)<0, то S «уходит» от N в на-
правлении v (см. рис. 12.1). Если п = 1, то /г(у) —
=*k(p) для обоих единичных векторов ve.S;;.
Пример 1. Пусть S — сфера х2 + ... -\-х2п+}—г2
радиуса г, ориентированная внутренней нормалью
N(p) = (p;—р/||р||. Тогда, как мы видели в гл. 9,
действие Lp состоит в умножении на 1/г. Значит,
122 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
k(v)= \/г имеет одно и то же значение для всех ка-
сательных направлений v во всех точках psS.
Пример 2. Пусть S — гиперболоид — х2 + х^ +
Н~х^=1 в R3, ориентированный единичным нормаль-
ным векторным полем N(p) = (p; —Xi/||p||, х2/||р||,
х3/||р||), гДе Р =(Х1, х2, х3)= S (см. рис. 12.1). Тогда
в точке р = (О, 0, 1) каждый единичный вектор v е Sp
Рис. 12.1. Нормальная кривизна
в точке р = (0, 0, 1) положитель-
на в направлении С[ = (р; 1,0,0)
и отрицательна в направлении е2=
= (р; 0, 1, 0).
имеет вид (р; v{, v2, 0), где y|+u|=l, L (v) = — VvN =
= (р; vp — v2, О') и fe (v) = v^—v^. В частности, k (v)=l,
когда v=(p; 1, 0, 0), и k(v)=— 1, когда v=(p; 0, 1, 0).
Далее, £(v) = 0, когда v = ±(p; 1/д/2 , 1/д/2, О) и
когда у = ±{р;	, — 1/^2, О), что неудиви-
тельно, так как прямые линии а(/) = (//д/2 ,	, 1)
и ₽(/) = 0/д/2’> -//V2\ 0 полностью лежат на S,
так что S не накладывает никакого ускорения на
параметризованные кривые, проходящие через р в этих
направлениях (см. рис. 9.1).
Дальнейшее уяснение смысла нормальной кри-
визны может быть получено при рассмотрении нор-
мальных сечений. Для данной n-поверхности S —
= /_1(с) в Rra+1, ориентированной единичным вектор-
ным полем N, нормальное сечение, определенное еди-
ничным вектором v = (р; у)е Sp, р S, есть под-
множество Л’(у)с Я4’1, определяемое как
N (v) = {<? s R”+1: q = р + xv + yN (р)
для некоторой точки (х, у) е R2}.
12. КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТЕЙ
123
где N — гауссово отображение, т. е. N(p) = {p; N(p))
(см. рис. 12.2). Множество Л’(у) есть в точности еще
один экземпляр плоскости R2 с точкой р, соответ-
ствующей началу, точкой р + о, соответствующей
(1,0), и точкой p-j-N(p), соответствующей (0,1),
так что мы будем отождествлять Л’(у) с R2 и будем
W
Рис. 12.2. (а) Нормальное сечение (v), v е Sp, р е S. (б) S 0	(v)
как подмножество R2.
(8)
смотреть на пересечение SQ^(v) как на некоторое
подмножество из R2. Более точно, поступим следую-
щим образом: определим отображение i: R2^ R^1
как i(x,y) = р + xv + yN(p), так что Л’(у) = i(R2)-
Тогда	i (х, у) е S Q Л (v) <=> i (х, у) е S <=>] f ° i (х,
у) = с, и при наличии отображения i множество
уровня	отождествляется с SQ^(v). Это
множество (f°i)-1 (с) необязательно является (про-
стой) плоской кривой, как это видно из рис. 12.2(5).
Если, однако, исключить точки, где вектор Vf орто-
гонален к Л*(у), то (foj)-1(c) имеет более простой
вид.
Теорема 1. Пусть S — ориентированная п-поверх-
ность в R"+1, и пусть v — единичный вектор в Sp,
p^S. Тогда существует открытое множество Уе
eRB+1, содержащее р и такое, что S (] Л9 (v) (] V яв-
124 начальные главы дифференциальной геометрии
ляется плоской кривой. Кроме того, кривизна этой
кривой (при подходящей ориентации) в точке р равна
нормальной кривизне k(v).
Доказательство. Пусть отображение f: t/->R та-
ково, что S — f~[(c) и Vf(<7)=/=0 для всех q<=S. Для
данного вектора v = (р; u) s Sp, ре S, определим,
как выше, отображение i: R2->Rra+1 и пусть
V = {q е U: или Vf(q)-v=£O, или Vf (q) • N (р)^=0},
где vf (q) — векторная часть градиента V/ (q), т. е.
V/ (q) ~(q', Vf (<?))• Тогда p <= V и
V (f ° i) (x, y) = (x, y; yf (i (x, y))  v, V/ (i (x, y)) • N (p))
не равен нулю ни в одной точке (х, у) е i-1 (V), так
что
с = Г1 (S П л9 (V) П И) = (f ° z)"1 (с) П г1 (У)
является плоской кривой (т. е. SQ^(v)QV является
плоской кривой), как и утверждалось.
Далее, если a (t) = (х (t),y(t)) является кривой
в С с единичной скоростью и a (t0) = (0,0; 1,0) (этот
вектор касательный к С, так как он ортогонален к
V(foi) (0,0)), то io« будет кривой в SQJ^(v), имею-
щей единичную скорость, так как
II а о а) (/) II2 = II (i о а (/)); х' (/) v + у' (/) N (р) ||2 =
= и/(0)2 + (/(0)2 = ||а(0112=1,
и (I6 а) (to) = V. Если теперь мы ориентируем С так.
чтобы ориентирующая нормаль в (0,0) совпала
с (0,0; 0,1), то кривизна кривой С в точке (0,0)
равна
и (а (/о)) = а (t0)  (a (t0); 0, 1) = у" (t0),
в то время как нормальная кривизна поверхности S
в направлении v равна
k (v) = (i о a) (t0) • N (р) =
= (р; х" (t0) v + у" (t0) N (р))  (р; N (р)) = у" (ta),
так что k(v) = к (a (t0)), что и требовалось доказать.
12. КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТЕЙ
125
Для точки р на ориентированной «-поверхности S
нормальная кривизна k(y) определена для каждого
единичного вектора v в касательном пространстве Sp
к S в р. Таким образом, нормальная кривизна в р
является действительнозначной функцией, заданной
на единичной сфере в Sp. Так как k непрерывна и
сфера компактна, то эта функция достигает своего
максимума и минимума. Следующая лемма показыва-
ет, что эти экстремальные значения k являются соб-
ственными значениями отображения Вейнгартена Lp.
Лемма. Пусть V — конечномерное векторное про-
странство со скалярным произведением, и пусть L;
V -> V — самосопряженное линейное преобразование
на V. Пусть S ={и е V'. и-и = 1} и определим
отображение f: S -> R как f(v)=L(v)-v. Предполо-
жим, что f стационарно в точке ц0 <= S (г. е. предпо-
ложим, что (/° а)'(/)>) = О для всех параметризован-
ных кривых a: I-+ S с a(tQ)= Vo). Тогда L(v0) —
= f(vo)(vo), т. е. Vo является собственным вектором
L с собственным значением f(v0) 
Доказательство. Так как f стационарно в и0, то
(f ° а)'(0) = 0 для всех параметризованных кривых а
на S с а(0) = v0. Для произвольного единичного век-
тора v с условием v- v0 — 0 положим a (f) = (cos t) vq +
+ (sin t)v. Тогда
0 = (Ы(0) = 4|/ИН(/) =
“ W Io [(cos2 (yo) • uo + 2 sin / cos tL (v0) • v +
+ (sin2t) L (v) • v] = 2L (v0) • v.
Значит, L (u0) -L v для всех единичных векторов
ye »J-. Отсюда следует, что Т(Ъ0) 1 v±, т. е. Т(Ъ0) =
Tv0 для некоторого XeR. Следовательно, v0 яв-
ляется собственным вектором преобразования L. Соб-
ственное число X при этом равно
Х = Хи0 • v0 = L (р0)  v0 = f(v0).	□
Замечание. В этой леммы мы использовали поня-
тие (гладкой) параметризованной кривой а: /-> V,
126 начальные главы дифференциальной геометрии
где И есть произвольное конечномерное векторное
пространство со скалярным произведением. Гладкость
в этой ситуации является вполне осмысленным свой-
ством, так как пределы и производные могут быть
определены обычным образом: lim а (/) = у означает,
что для каждого е > 0 существует 6 > 0, такое, что
|| а(/)—v || < е как только 0 <|/—-70| <д, и (da/dt)(t0)=
= lim (а(/) — а(/0))/(/—/0), если только этот предел
существует. И в действительности вся геометрия,
которую мы здесь изучаем, может быть дана так же
в V, как и в Rre+1.
Справедливо также обращение вышеприведенной
леммы: если v0 — собственный вектор L, то функция
f (v) = L (у) • v стационарна в v0(=S. На самом деле,
если a: I^-S, то а(/)-а(/)=1, так что а(/)Х
y^da/dt) — 0 для всех ?е/, и если a(to)=vo, то
if ° a)' (to) =	|,з [Z (а (/)) • а (01 =
= Л	• а + L (а(/0)) •	(/0) =
= 2L (а (/0)) •	(/0) = 2Ла (/0) •	(/0) = 0.
Теорема 2. Пусть V — конечномерное векторное
пространство со скалярным произведением, и пусть
L-. V -> V — самосопряженное линейное преобразова-
ние на V. Тогда существует ортонормальный базис
пространства V, состоящий из собственных векторов
преобразования L.
Доказательство. Будем его вести индукцией по
размерности пространства V. При п = 1 теорема
справедлива тривиальным образом. Предположим,
она верна для п — k. Пусть п = k ф- 1. По лемме су-
ществует единичный вектор у1 е V, являющийся соб-
ственным' вектором L (например, выберем такой,
что L(vi)-Vi < L(v)-v для всех единичных векторов
v е V). Пусть W =уф. Тогда
L (ау) • V[ — w • L (yj = w • =Zj (w • wj = 0
12. КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТЕЙ
127
для всех io g If'", где Ai — собственное число, соответ-
ствующее щ. Значит, ограничение L\w преобразова-
ния L на W отображает W в W. Очевидно, что опе-
ратор L\w самосопряженный. Так как dim (IE)—
— dim V—1 = k, то по индукционному предположе-
нию для IE существует ортонормальный базис {ц2> •  •
..., u*+i}, состоящий из собственных векторов опера-
тора L|«z. Однако каждый собственный вектор для
L|uz является также собственным вектором L, так что
{У1, ..., щ+1} определяет ортонормальный базис для
V, состоящий из собственных векторов преобразова-
ния L.	□
Заметим, что самосопряженное линейное преобра-
зование L, заданное на «-мерном векторном простран-
стве, имеет самое большее п собственных чисел, так
как каждое собственное число является корнем ха-
рактеристического многочлена det (А — А/), представ-
ляющего собой многочлен степени п относительно 'К.
Здесь / обозначает тождественное преобразование V
на себя. Тот факт, что А является корнем этого поли-
нома, следует из того, что L(v)=hv тогда и только
тогда, когда (L — A/) (v) = 0, так что матрица L — А/
должна быть особой. С учетом кратностей тогда бу-
дет ровно п собственных чисел оператора L. Допол-
нительно заметим, что собственные направления Vi
оператора L определены единственным образом
(с точностью до знака) в том и только том случае,
когда все п собственных чисел L различны.
Для данной ориентированной «-поверхности S ед
с Rn+' и точки p^S собственные значения ki(p), ...
..., kn(p) отображения Вейнгартена Lp: Sp-+Sp на-
зываются главными кривизнами поверхности S в точ-
ке р, а единичные собственные векторы Lp назы-
ваются главными направлениями. Если главные кри-
визны упорядочены так, что k\ (р) kz(p) •••
... ^kn(p), то проведенные выше рассмотрения по-
казывают, что kn(p) является максимальным значе-
нием нормальной кривизны k(v) для veSs, ||v||= 1;
kn-i(p) является максимальным значением нормаль-
128 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
ной кривизны k(y) для v е Sp, ||v|| = 1 и v ± v«, где
v„— главное направление, соответствующее kn(p');
kn-2(p) = max {k(v): v e? Sp, || v || = 1, v 1 {v„, v„-i}}
и т. д. Кроме того, все главные кривизны kt(p) яв-
ляются стационарными значениями нормальной кри-
визны, и ki(p) есть минимальное значение k(y) для
v ё= Sp, ||v|| — 1.
Пример. Пусть S — гиперболоид — х2 + х% + = 1
в R3, ориентированный нормалью N(p) = (p; — Xi/||p||,
Wil РII, WII РII), P = (xi> х2, x3)e=S. Тогда, как мы ви-
дели раньше в этой же главе, для р = (0, 0, 1),
Sp = {(p;	v2, 0): vh w2<=R} и для || v || = 1, k(y) =
— v2 — v2. Значит, &(v) достигает своего максималь-
ного значения (для || v ||2 = v2 + v2 == 1), когда v = (p;
± 1, 0, 0), и своего минимального значения, когда
v = (p; 0, ±1, 0), так что главные кривизны в р суть
ki(p) = — 1 и k2(p)= 1.
Теорема 3. Пусть S — ориентированная п-по-
верхность в Rra+1 точка p<=S, и пусть {ki(p), ...
..., kn(p)}—главные кривизны поверхности Sep
с соответствующими ортогональными главными на-
правлениями {vj, ..., vra}. Тогда нормальная кри-
визна k(v) в направлении v <= Sp(||v||= 1) опреде-
ляется формулой
kt (р) (v • v(-)2 = £ (p) cos2 ez,
i=l	i=l
где 0г- = arccos (v • vz) — угол между v и vt.
Доказательство. Так как вектор v можно пред-
ставить как линейную комбинацию ортонормальных
базисных векторов
п	п
{vb ..., v„} в виде V = S (V • vz)vz = £ (cos 0Z)Vi, то
i=l
n
k(v) = Lp(v) • v = X (cos 0i)Lp(v() • v =
1 = 1
n	n
= £(соз91)Мр)у; v= X Mp)cos20z. □
i=l	i=l
12. КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТЕЙ
129
Числа cos9i=v-vt-, такие, что v = £ (cos 0J vr
с=1
называются направляющими косинусами вектора v
по отношению к ортонормальному базису {vi, ...
.. •, Vn}.
С каждым самосопряженным линейным преобра-
зованием L: V-+ V векторного пространства V можно
ассоциировать скалярное произведение, определяемое
как действительнозначная функция S: V-> R, задан-
ная соотношением
S (v) = L (у) • V.
Эта функция S называется квадратичной формой,
ассоциированной с L. Квадратичная форма, ассоции-
рованная с отображением Вейнгартена Lp в точке р
ориентированной n-поверхности S ст Rra+1, называется
второй основной формой поверхности S в точке р и
обозначается Sp. Таким образом, Sp (v) = Lp (v) • v =
= a(/0)-N(p), где a:	— любая параметризован-
ная кривая на S c a(/0) = Р и a(t0) = v. В частности,
если ||v||= 1, то ^p(v) равно нормальной кривизне S
в р в направлении v.
Первой основной формой поверхности S в точке р
называется квадратичная форма Sp, ассоциированная
с тождественным отображением Sp на себя. Таким
образом, .f/p (v) = v  v = || v |]2 для всех v <= Sp.
Заметим, что квадратичная форма, ассоциирован-
ная с самосопряженным линейным преобразованием
L, содержит в себе ровно ту же самую информацию,
что и L, так как преобразование L может быть вос-
становлено по S по формуле
L (v) • w = у \S (у + ау) — S (у) — S(ау)],
которая справедлива для всех у и w из V.
Квадратичная форма S называется
положительно определенной, если S?(y)>0 для
всех у =/= 0, отрицательно определенной, если
S(v)<0 для всех у=#0, знакоопределенной,
если она или положительно, или отрицательно
определенная,
130 начальные главы дифференциальной геометрии
знаконеопределенной (индефинитной), если она
не является ни положительно, ни отрицательно
определенной,
положительно полуопределенной, если 2’(у)^0
для всех v, отрицательно полуопределенной, если
0 для всех V, полуопределенной, если'она
или положительно, или отрицательно полуопре-
деленная.
Значит, первая основная форма dp ориентирован-
ной «-поверхности S с R"+1 всегда является положи-
тельно определенной. Вторая основная форма Зр по-
ложительно определена тогда и только тогда, когда
Ыф)
(а)
(*)

Рис. 12.3. Отображение Вейнгартена в точке р является отри-
цательно определенным в (а), положительно определенным в (б)
и индефинитным в (в).
нормальная кривизна &(v) = S?p(v) положительна
для каждого направления v в р. По предыдущей тео-
реме так будет в том и только том случае, когда все
главные кривизны kt(p) поверхности S в р положи-
тельны. Аналогично, форма d’p отрицательно опреде-
ленная в том и только том случае, когда все главные
кривизны S в р отрицательны. Когда d’p положитель-
но определенная, поверхность S искривляется в сто-
рону единичной нормали N(p) в каждом касательном
направлении v в р, в то время как при отрицательно
определенной d’p поверхность «уходит» от единичной
нормали N (р) во всех направлениях (см. рис. 12.3).
12. КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТЕЙ
131
Теорема 4. На каждой компактной ориентирован-
ной п-поверхности S в Rn+i существует точка р, в ко-
торой вторая основная форма является знакоопреде-
ленной.
Доказательство. Идея доказательства заключается
в том, чтобы окружить S достаточно большой сферой
и затем сжимать эту сферу, пока она не коснется
Рис. 12.4. |fe(a)|^l/r для
всех направлений v в точке р,
где г—радиус описанной сферы.
впервые поверхности S (см. рис. 12.4). В точке пер-
вого контакта нормальная кривизна S будет отделена
от нуля нормальной кривизной сферы.
Более подробно определим сначала отображение
g: Rra+1-> R формулой g(xp ..., хга+1) = х2-|- ...
...+х^+1. Так как поверхность S компактна, то найдет-
ся точка pe.S, в которой g(p)^ g(q) для всех
q <= S. По теореме о множителях Лагранжа найдется
/. <= R, такое, что V g (р) = W f (р) = цЩр), где S =
= /:-'(с) и р = ±A,||Vf(Jo) ||. Знак р зависит от ориен-
тации S; предположим сначала, что ц < 0 (т. е. что S
ориентирована своей «внутренней» нормалью). Тогда
ц = — |ц| = —||pN(p) || = —||Vg(p) ||= — 2|]р||,так что
N(rt = -^-v^(p) = -T^r(p; Р).
Пусть кривая a: I^-S, такая, что a(t0) — v, где
v — заданный вектор из Sp, ||v||= 1. Тогда g°a(to)^
132 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
для всех t^.1, так что
° > 4- L °а)=4 L	(а «w =
=М2а(/)-4<о=
= 2 [|| а(t0) ||2 + (а (U a(f0))-fi(/0)] =
= 2 [ 1 -1| р || N (р) • а (/0)] - 2 [ 1 -1| р \\k (v)].
Значит, k(v)^ 1/||р|| для всех направлений veS.;.
Если S ориентирована так, что ц = Vg(p) • N(p) >
> 0, то нормальная кривизна изменит свой знак, и
тогда /s(v)<:—1/|]р|| для всех направлений в v в р.
Определитель и след отображения Вейнгартена
имеют в дифференциальной геометрии особое значе-
ние. Определитель A’('p)=detLP называется кривиз-
ной Гаусса — Дронекера поверхности S в точке р. Она
равна произведению главных кривизн в р. При п — 2
К(р) = k\ (p)k2(p) называется просто кривизной Гаус-
са в точке р. След Lp, деленный на п, называется
главной кривизной Н(р) поверхности S в р. Таким
п
образом, Н (р) = (1/п) X kt (р) является средним зна-
;=i
чением главных кривизн в р.
Следующая теорема бывает полезной при вычис-
лении кривизны Гаусса — Кронекера.
Теорема 5. Пусть S — ориентированная п-поверх-
ность в Rn+!, и пусть pi=S. Далее, пусть Z — произ-
вольное ненулевое нормальное векторное поле на S,
такое, что N = Z/IIZH, и пусть {V1, Vn} —произ-
вольный базис в Sp. Тогда
/<(р) = (—l)"det
vVlz
Vv«Z
Zp
/ II Z(p) II" det
Vi
V„
Z(p)
12. КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТЕЙ
133
где для wi....wra+i <= Rp+1, w;=(p; wt, b
Wl. „+1),
^1.1	••• “'l.n + l
det
wn + l, 1 • • • wn+l, n+1
Доказательство. Так как Z — ||Z||N, то
Vv,Z
(Vv, IIZ (|) N (p) + || Z (p) UVv.N
det
= det
Vv„Z
Z(p)
(Vv„l|Z||)N(p) + ||Z(p)||Vv„N
II Z(p)||N(p)
Vv.N
= IIZ (p) ||" det
VvnN
||Z(p)|]N (p)
134 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
V1
= (- iri|Z(p)||"/C(p) det •
v„
Z(p)
где A — матрица преобразования Lp в базисе {vi, ...
..., v,J для Sp, и А‘ обозначает транспонированную
матрицу А. Решив это уравнение относительно
получаем утверждение теоремы.	□
Пример. Пусть S — эллипсоид (xf/a2) +	+
+ (х2/с2) = 1 (коэффициенты а, b и с все =И= 0), ори-
ентированный внешней нормалью. Пусть Z(p) =
= у V/ (р) = (р; ^i/a2, х2/62, А'з/с2), где р = (хх, х2, х3) е= S.
Базис в Sp состоит из любой пары независимых век-
торов, ортогональных к Z (р). При х1 0 мы можем
взять Vj = (p; x2/b2, — хх/а2, 0) и v2 = (p; х3/с2, 0,
— л^/а2). Тогда
/VviZ \	х2/а2Ь2 —хх/а2Ь2 0
det I VV2Z I = x3ld2c2 0	— xjatc2 =
\Z(p)/	xx/a2 x2/b2	x3/c2
*i
a462c2
*1
a462c2
x2/b2 — X\/a2	0
x3/c2	0	— Xj/a2
xx/a2 x2/b2	x3/c2
так что гауссова кривизна эллипсоида равна
1
2	2	2 \ 2 •
_ I I I
а4 + 64 + с4 )
12. КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТЕЙ
135
Заметим, что хотя эта формула получена в предпо-
ложении Xi =/= 0, она на самом деле по непрерывности
справедлива для любой точки ре S.
Теорема 4 этой главы представляет собой пример
глобальной теоремы в дифференциальной геометрии.
Некоторое свойство «-поверхности называется гло-
бальным свойством, если оно утверждает какой-либо
факт о поверхности как объекта в целом (таковы, на-
пример, свойства, что «-поверхность S компактна или
«-поверхность S связна, или что 1-поверхность С
имеет конечную длину). С другой стороны, некоторое
свойство поверхности S называется локальным, если
оно выражает какой-либо факт о поверхности S в или
вблизи отдельной точки на S, т. е. факт, который мо-
жет быть проверен вычислениями в произвольно ма-
лом открытом множестве, содержащем эту точку (как,
например, свойство, что вторая основная форма 9Tj
поверхности Sep знакоопределенная или что кри-
визна Гаусса — Кронекера поверхности S в р поло-
жительна). Глобальная теорема — это такая теорема,
в которой глобальное свойство является существен-
ным или в условиях, или в утверждениях теоремы.
Теорема, в которой все основные условия или утверж-
дения имеют локальный характер, называется ло-
кальной теоремой. Так, например, теоремы 3 и бэтой
главы являются локальными теоремами (предполо-
жение об ориентируемости S хотя и является гло-
бальным условием, оно в действительности несу-
щественно; эти теоремы не зависят от выбора ориен-
тации, и фактически все, что требуется для справед-
ливости этих теорем, это — выбор некоторого глад-
кого единичного нормального векторного поля N, оп-
ределенного в точке р и ее окрестности). В противо-
положность этому теорема 4 этой главы является
глобальной теоремой: ее справедливость решающим
образом зависит от • предположения компактности 5.
Теорема 6 гл. 6 является другим примером глобаль-
ной теоремы. Следующая наша теорема является осо-
бенно интересным видом глобального утверждения.
Она устанавливает эквивалентность двух локальных
136 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
свойств в каждой точке «-поверхности S, но только
при наличии некоторого глобального условия. Отме-
тим, что эта теорема перестает быть верной, если
условие компактности поверхности опущено. (Рас-
смотрите пример однополостного гиперболоида в R3.)
Теорема 6. Пусть S — компактная связная ориен-
тированная n-поверхность в Тогда кривизна
Гаусса — Кронекера К(р) поверхности Sep отлична
ст нуля для всех р е S в том и только том случае,
когда вторая основная форма Др поверхности Sep
знакоопределенная для всех р — S.
Доказательство. Если Др знакоопределенная для
всех р <= S, то нормальная кривизна &(v) = S?p(v)
отлична от нуля для каждого направления v <= Sp,
так что, в частности, все главные кривизны в р от-
личны от нуля, и поэтому их произведение, равное
К(р), тоже не равно нулю.
Обратно, согласно теореме 4, существует точка
ро е S, в которой является знакоопределенной.
Предположим для конкретности, что 9^, положи-
тельно определенная. Тогда минимальная главная
кривизна k\ поверхности S в р положительна. Так
как отображение ky. S-^R непрерывно, S связна и
k\ нигде не равна нулю (потому что, по условию, К
всюду отлична от нуля), то k\ всюду должна быть
положительна. Значит, все главные кривизны всюду
положительны, и Д’р положительно определенная для
всех psS. Если была отрицательно определен-
ной, то аналогичное рассуждение с заменой k\ на
максимальную главную кривизну kn показало бы,что
ff’p является отрицательно определенной для всех
peS.	□
Замечание. Условие связности S в теореме 6 в
действительности несущественно, так как можно по-
казать, что каждая компактная «-поверхность в R"+l
является конечным объединением связных поверхно-
стей, и тогда теорема 6 может быть применена к каж-
дой из них в отдельности.
12. КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТЕЙ
137
УПРАЖНЕНИЯ
12.1.	Пусть S = f~l(c)—некоторая «-поверхность в Rr,+1,
ориентированная нормалью V//II V/ ||. Покажите, что для вектора
v = (р; Vi, vn+i), касательного к S в точке р е S, значение
второй основной формы S в р на векторе v равно
п+1
i,j=l ' 1
(При II v || = 1 эта формула дает прямой способ для вычисле-
ния нормальной кривизны k(v) = ^p(v) в направлении v.)
В упражнениях 12.2—12.6 для данной «-поверхности
f(xt, x„+i) = с с ориентацией Vf/Ц V/|| нужно найти в ука-
занной ее точке р нормальную кривизну k(y) в каждом каса-
тельном направлении v, главные кривизны и главные направле-
ния, кривизну Гаусса — Кронекера и среднюю кривизну.
12.2.	х, + х2 + ... + хп+1 = 1, р = (1, 0, ..., 0).
12.3.	X2 + X2 + • • • + x‘n + l = r2> r > °> Р = (0, . . •. °> г)-
12.4.	(х[/а2) + (xf/&2) + (+з/с2) = 1, р = (а, 0, 0) (в R3).
12.5.	(х2/а2) + (х2/&2) — (х3/с2) == 11 Р — (а> °> °) (в К3)’
12.6.	х2 + (д/xf + xi - 2)2 = 1, (тор в R3).
(а)	р = (0, 3, 0).
(Ь)	р = (0, 1, 0).
12.7.	Покажите, что если S и S обозначают одну и ту же
«-поверхность в R"+1, но с противоположными ориентациями, то
X == (—1)”К, где К и К — кривизны Гаусса — Кронекера соответ-
ственно для S и S. (В частности, кривизна Гаусса — Кронекера
не зависит от выбора ориентации при четном «.)
В упражнениях 12.8—12.11 нужно найти гауссову кривизну
К’. S-> R, где 5—данная в условии поверхность.
12.8.	х2 + xf — х3 = 0, х3 > 0 (конус).
12.9.	(х2/а2) + (х|/&2) — (х3/с2) = 1 (гиперболоид).
12.10.	(xf/a2) + (х3/&2) — х3 = 0 (эллиптический параболоид).
12.11.	(х2/а2) —	— х3 = 0 (гиперболический парабо-
лоид).
12.12.	(а) Найдите гауссову кривизну цилиндра над плоской
кривой.
(Ь) Найдите кривизну Гаусса — Кронекера для цилиндра
над «-поверхностью.
138 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
12.13.	Пусть g: R'1-*R—гладкая функция. Покажите, что
кривизна Гаусса — Кронекера К графика g дается формулой
К = det
где ориентация N выбрана так, что N(р) • (р; 0.......О, 1)>0
для всех точек р графика.
12.14.	Пусть S — ориентированная 2-поверхность в R3, и
пусть peS. Покажите, что для каждого v, weSp, Г-, (v)X
X Mw) = K(p)v X w.
12.15.	Пусть S — ориентированная 2-поверхность в R3. По-
кажите, что
/с (р) = Z (р)  vvz X VWZ/||Z (р) ir,
где Z — произвольное ненулевое нормальное векторное поле на S,
a v и w — любые два вектора из Sp, такие,, что v Xw = Z(p).
12.16.	Покажите, что средняя кривизна в точке р ориентиро-
ванной /i-поверхности S может быть вычислена на основании
значений нормальной кривизны на векторах призвольного орто-
нормального базиса {vi, ..., v,.} в So по формуле
п
1=1
12.17.	Пусть S — ориентированная 2-поверхность в R3, и
пусть {vi, V2} — ортонормальный базис в Sp, состоящий из соб-
ственных векторов оператора Lp. Пусть kt = k(yi).
(а)	Покажите, что для вектора v (0)=(cos 0) vi + (sin 0) v2eSp,
k (v (0)) = k\ cos2 0 + k% sin2 0.
(b)	Покажите, что средняя кривизна в точке р дается фор-
мулой
2л
Н = 2л S k dQ'
о
12.18.	Пусть S =/-‘(с) — ориентированная «-поверхность с
вектором ориентации N = Vf/ll Vf II- Покажите, что Н(р} =
— —(\1п)Ап N. [Указание-, заметим сначала, что div N =
= trace {v 1—>VvN}, и затем вычислим этот след, используя базис
{vi, ..., vn, N (р)}, где {vi, .... vj — ортонормальный базис в Sp,
состоящий из собственных векторов Lp.]
12. КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТЕЙ
139
12.19.	Пусть S = f~4c)—некоторая «-поверхность в
Для данного а > 0 положим 5 = g-1(c), где g(p) = f (р]а) для
всех тех р, для которых р/а принадлежит области определения f.
(а)	Покажите, что 5 является «-поверхностью в Rn+1 и что
р s S в том и только том случае, когда ар е 5.
(Ь)	Считая S ориентированной вектором Vf/ll Vf II, а 5 —
вектором Vg/Ц Vg II, покажите, что сферические образы S и S
совпадают.
(с)	Покажите, что средние кривизны И и R поверхности S
и 5 связаны соотношением R(ap)= (\/a)H(p).
(d)	Покажите, что кривизны Гаусса — Кронекера К и К по-
верхностей S и S связаны соотношением R(ap) = (1/ап)К(р).
13.	ВЫПУКЛЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Ориентированная «-поверхность .$ в Rn+! назы-
вается выпуклой (или выпуклой в целом), если для
каждой точки peS поверхность S содержится в од-
ном из замкнутых полупространств
Н+ = U е= Rn+1: (g--p).W(p)>0}
или
Нр = {q е Rn+1: (q - р) • N (р) < О},
где N— гауссово отображение поверхности S (см.
рис. 13.1). Ориентированная «-поверхность S назы-
вается выпуклой в точке р е S, если существует от-
крытое множество V cz Rn+!, содержащее р и такое,
что S Q V содержится или в Нр, или в Нр. Таким
образом, выпуклая «-поверхность необходимо вы-
пукла в каждой из своих точек, однако «-поверх-
ность, выпуклая в каждой точке, не обязана быть вы-
пуклой в целом (см. рис. 13.2).
Если поверхность S выпуклая и S Q Нр = {р} для
каждой точки р = S, где
Hp = {q^Rn+l: (q — р) • N (р) = 6\,
то S называется строго выпуклой. Аналогично, еслиЗ
выпукла в некоторой точке peS, и S Q V П Нр ~
= {р} для некоторого открытого множества V, содер-
жащего р,то S называется строго выпуклой в точке р.
Целью этой главы является установление связей
между выпуклостью и кривизной. Первый результат
получается довольно легко.
Теорема 1. Пусть S — ориентированная п-поверх-
ность в выпуклая в точке р S. Тогда вторая
13. ВЫПУКЛЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
141
основная форма Др поверхности S является в р полу-
определенной.
Доказательство. Допустим, что S П V с Ир для
некоторого открытого множества V в Rn+1, содержа-
щего р. Пусть кривая a: I-+Sf\V такая, что a(t0) = p
Рис. 13.1. Поверхность S выпукла, если для каждой точки ;> = S
она содержится в одном из полупространств Н±. Заметьте, что
общая граница этих двух полупространств является «-плоскостью
Нр = {<? еРга+1: {q — р) • N (р) = О}, касательной к S в р.
и a(/o) = v, с данным v е Sp. Определим функцию
h: 7->R как /?(/) —(a (/) — р)  N (р). Тогда А (7> О
Рис. 13.2. Плоская кривая, выпуклая в каж-
дой точке и невыпуклая в целом.
для всех t, так как a (0 *= А/ для всех t и /z(z‘0) = O,
так что h достигает в 10 своего абсолютного мини-
мума. Значит,
?р (v) = a (/о) • N (a &)) = h" (/0) > 0.
142 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Если S с Н~, то неравенство для всех v^Sp бу-
дет обратным.	□
Обратить теорему 1 нельзя; например, 2-поверх-
ность х3=х~[ — х% R3 имеет полуопределенную форму
^о, однако она в точке 0 невыпукла. Но мы сможем
доказать (теорема 3), что если форма определен-
ная, то S выпуклая (в действительности, даже строго
выпуклая) в точке р.
Ключевая идея в изучении выпуклости состоит
в наблюдении, что поверхность S выпукла в точке
Р Е S в том и только том случае, когда «функция
высоты» ft: S->R, определенная формулой h(q) =
= q-N(p), достигает в р или локального минимума,
или локального максимума. Для того чтобы полнее
использовать это наблюдение, нам придется развить
теорию гладких функций на п-поверхностях.
Пусть h: S -> R — произвольная гладкая функция
на «-поверхности S сд кга+1. Градиентным векторным
полем функции h называется гладкое касательное
векторное поле h на S, определенное по формуле
(grad h) (р) = Vh (р) — (Vft (р) • N (р)) N (р),
где И — любое продолжение h до гладкой функции
в открытом множестве, содержащем S, a N — любая
ориентация на S. Таким образом, grad/г есть каса-
тельная составляющая Vft. Градиент функции h\ S->
R обладает следующими свойствами:
(i)	Vv/г = (grad/г) (р)  v для всех v ge Sp, peS.
(ii)	(ft о a)'(/) = (grad ft) (a (/)) • a(t) для всех t ge I,
где a: I —>S — любая параметризованная кривая на S.
п
(iii)	(gradft)(p)= Е (Vv/г) vz, где {vb ..., vn}—
любой ортонормированный базис в SP, pe S.
(iv)	(gradft)(p) = O тогда и только тогда, когда
h стационарна в точке р, р <= S.
В частности, согласно (iii), grad ft не зависит от
выбора продолжения Я. Свойство (ii) представляет
собой некоторую форму правила дифференцирования
сложной функции.
13. ВЫПУКЛЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
143
Справедливость свойства (i) следует из равенств
Vv/г = V v/z = Vft (р) • v = (grad h) (р) • v.
Свойство (ii) вытекает из (i), так как (Л ° а)'(/) =
Чтобы проверить (iii), умножим обе его части ска-
лярно на У/(/е{1, .. л}) и используем (i). Наконец,
(i) и (iii) вместе дают, что (grad h) (р) = 0 тогда и
только тогда, когда ^vh~Q для всех veSs, что
доказывает справедливость (iv). (Напомним, что функ-
ция A:S->R стационарна в точке р е S, если Vv/z = O
для всех vsSp, т. е. если (Л ° а)'(/0) = 0 для всех
кривых а на S с а(/0) = р.)
Р1
Рис. 13.3. Критические точки функции высоты h: S->R, h (q) =
= л . и, где и — некоторый единичный вектор в Rft+1; Л изме-
1	г ,
ряет высоту над /г-плоскостью и ; h достигает локального мак-
симума в pi и локального минимума в р^ р2 и рз являются
седловыми точками.
Точка ре S, в которой функция h: S R стацио-
нарна, называется критической точкой функции /<.
Критические точки гладких функций h: S R вхо-
дят в множества трех видов: локальные минимумы,
локальные максимумы и седловые точки (см. рис. 13.3).
/г: S —> Р достигает локального минимума в точке
р е S, если существует открытое множество V в
содержащее р, такое, что h(q) Js h (р) для всех q е V
144 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
(V'cS называется открытым множеством в S, если
V = W П S для некоторого .открытого множества й/
в R"+1).
h: S -> R достигает локального максимума в точке
ре S, если существует открытое множество V в S,
содержащее р, такое, что h(q)^ h(p) для всех q е V.
р е S называется седловой точкой функции h:
S->R, если h стационарна в р, однако h не достигает
в р ни локального максимума, ни локального мини-
мума.
Если в определениях локального минимума и ло-
кального максимума неравенства являются строгими,
то говорят, что h достигает в точке р строгого ло-
кального минимума > h(p) для всех q е V,
q Ф р) или строгого локального максимума (h(q)<Z
< h (р) для всех q е V, q р).
Условие (grad h) (р) = 0 представляет собой «кри-
терий с первой производной» для критической точки
функции h: SR. Для различения типа критических
точек нам будет нужен «критерий со второй произ-
водной».
Пусть р ез S — критическая точка функции h:
3->R. Гессиан функции h в р есть квадратичная
форма Эёр\ Sp-> R, определенная как
Жр (v) = Vv (grad h)  v.
Таким образом, 5^р, является квадратичной формой,
ассоциированной с самосопряженным линейным пре-
образованием на Sp, сопоставляющим вектору v век-
тор Vv(grad/z). Заметим, что Vv(grad/i) лежит в Sp
для каждого v е Sp, так как
Vv (grad h) • N (р) = Vv ((grad h)  N)—(grad h) (p)  VvN=
= Vv (0) — 0 • VvN = 0.
Проверка самосопряженности этого линейного пре-
образования вынесена в упражнения (см. упражне-
ние 13.2).
Теорема 2. (Критерий со второй производной для
локального максимума и локального минимума.)
Пусть S — некоторая п-поверхностъ в R'1+1, a h:S->-
13. ВЫПУКЛЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
145
-> R — гладкая функция, стационарная в точке р е S;
пусть Зёр обозначает гессиан функции hep.
(i) Если h достигает локального минимума в р,
то ЗёГ, является положительно полуопределенной фор-
мой. Если h достигает в р локального максимума, то
Зёр является отрицательно полуопределенной формой.
(ii) Если Зёр положительно определенная, то h до-
стигает в р строгого локального минимума. Если Зёр
отрицательно определенная, то h достигает в р стро-
гого локального максимума.
Доказательство, (i) Допустим, что h достигает в р
локального минимума. Рассмотрим кривую a: /->£
cveSp, где заданный вектор a(t0) — v. Тогда
(/г о а)'(/) = (grad/г) («(0)' “(0 для всех и
0^(/г ° а)" (t0) = Vv (grad h) • a (/0) + (grad h) (a (/<>)) •
• d(/0) = ^p(v),
так как (grad h) (p) = 0. Значит, Зёр положительно
полуопределенная. Доказательство в случае локаль-
ного максимума аналогично.
(ii) Чтобы доказать первое утверждение части
(ii), достаточно показать, что если h не достигает
в точке р строгого локального минимума, то Зёр не
может быть положительно определенной. Пусть h не
достигает в р строгого локального минимума. Тогда
должна существовать последовательность {pk}, при-
надлежащая S — {р} с lim Pk = P и такая, что
£->О0
h(pk)^h{p) для всех k. Для каждого k положим
vk =(,Pk — p)/\\Pk — р||. Тогда будет последова-
тельностью точек на единичной сфере Sn. Так как
сфера S" компактна, то последовательность {vk}
должна иметь сходящуюся подпоследовательность, ко-
торую мы можем опять считать совпадающей с самой
последовательностью {&>}; пусть v = lim Пока-
жем, что v = (р, о) е Sp и что Зёр (v)	0.
Пусть W— открытый шар в Rra+‘, содержащий р
и такой, что и функция h — гладкое продолжение h,
и гладкая функция /, определяющая S как
146 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
обе определены на W. Тогда р» е Т при достаточно
больших k. Применяя к g(t) = f(p -|- tvk) теорему
о среднем, найдем
= /' (pfe) - f(р) = g(||Pfe-P||)~ g(0) _
1|РА-Р||	о
= ё' (^) = V/ (р + tkvk)  vk
для некоторого tk е= (0, || pk — р ||), где vfe = (Р + tbvk-, vk).
Беря предел при Р->оо, получим, что 0 = Vf(p)-v
(так как lim = 0), так что vsSf).
/?->оо
Теперь чтобы увидеть, что <3^p(v)y0, заметим,
что Vft(p) = Wf(p) для некоторого лек, так как
(grad А) (р) = 0, откуда Л = Vh (р) • vf (р)/|| Vf (р) II2. При-
меним к gk (/) = (h — Af) (ak (/)) теорему Тейлора, где
ak {t) — р + tvk. Так как
g'k (/) = V (й — Л/) (ak (/)) • ak (0 =
= (V/i — A,Vf) (aft (/)) • (ak (t), vk)
ёк (0 = (% (0	- W))  (afe (/); Vk),
то для некоторого tk между 0 и ||pfe —p|| найдем, что
ёД || Pk - РII) = Sk (°) + ^ (°) II Pk ~ Р || +
+ 4£Ж)1К-< =
= ёк (0) + ((ул—W) (р) • (р; f*)) II Pk—р 11+
+ т (Ч Pk)	~ р II2-
Среднее слагаемое равно нулю, так как уй(р)=.
— KVf(p). Значит
h (pk) — h(p) _ h (pk) — h(p) _
l+fe-PlI2 “ II + -+I2 “
(Л — M) (р/) — (Л — zf) (p) z	x r/ x ,
=------------------------= (T. K. /(pfe) = /(p) = C)
gfe (II Pfe — p II) — gfe <°):
II Pk - p II2
13. ВЫПУКЛЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
147
Беря предел при k—>оо, получаем, что
 v.
Но последнее выражение в точности совпадает
с ~Жр(у}, так как
(v) = Vv (grad h) • v =
= Vv (Vft — (VA • N) N) • v =
= Vv(vA-^Vf).v =
= Vv (Vft) • V - Vv	V/ (p)  v -
“(wf) (рЖ ^'v =
= Vv (vft) • v - AVv (V/) • V =
= Vv (VA — Kvf)  v,
так что 0	5^p(v), как и утверждалось.
Таким образом, мы показали, что если h не дости-
гает в критической точке р е S строгого локального
минимума, то ее гессиан 2ёр не может быть положи-
тельно определенным. Доказательство того, что если
h не достигает в р строгого локального максимума,
то гессиан не может быть отрицательно определен-
ным, проводится аналогичным образом.	П
В случае когда поверхность 5 представлена как
множество уровня S = /-1(c) (где функция f: U-+
-> Rn+!, такая, что V/(p) =И= 0 для всех psS), а функ-
ция h является ограничением на S некоторой глад-
кой функции й: U -> R, локальный минимум и локаль-
ный максимум легче всего найти, используя следую-
щие факты, которые с очевидностью вытекают из вы-
шепроведенного доказательства. Критические точки
функции h = h\s, это те точки р е S, в которых
Vft(p) = XVf(p) с некоторым X е R (X, является мно-
жителем Лагранжа в р пары функций h, f). Тогда
148 начальные главы дифференциальной геометрии
достаточное условие того, что h = h\s достигает вкрин
тической точке р локального минимума, состоит в
том, что квадратичная форма
<^P(v)==Vv(V^-Zv/) • v, vgS„,
является положительно определенной; условие дости*
жения функцией h в точке р локального максимума
состоит в отрицательной определенности этой квад-
ратичной формы.
Теория критических точек становится особенно
простой в случае, когда /г: S -> R является функцией
высоты hu(.q)= q-u, где и — единичный вектор в Rn+1
(см. рис. 13.3). Тогда hu = hu |$, где
hu (q) = q • и,
yhu(q) = (q; и) и
Vv (Vhu) = О
для всех q <= Rn+I и всех v <= Rp+1. Отсюда следует,
что ре$ является критической точкой функции
hu ~hu\s в том и только в том случае, когда (р, и) —
= %Vf (р) для некоторого X е R. Так как вектор и
единичный, то |Х| должен равняться l/||Vf(p)||, так
что р является критической в том и только том слу-
чае, когда (р; и) — ±N(р). Кроме того, если р — кри-
тическая точка функции hu и v е Sp, то
Звр (v) = Vv (Vhu — (Vhu • N) N) • v =
= (v£-N) (p)(— VvN-v) =
= (w^(p)) ^p(v) =
= ±^P(v),
где Ур — вторая основная форма поверхности S в точ-
ке р. Отсюда мы заключаем, что р S является кри-
тической точкой функции высоты hu'. S -> R, hu{q) =
— q-u, где и — единичный вектор в в том и
только том случае, когда N(p)= ±и и в критической
точке р функции hu гессиан равен второй основной
13. ВЫПУКЛЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
149
форме поверхности S в точке р, взятой со знаком ±,
где знак совпадает со знаком произведения N(p)-u.
Немедленным следствием этих фактов является
следующее частичное обращение теоремы 1.
Теорема 3. Пусть S — ориентированная п-поверх-
ность в Rra+’. Допустим, что в точке р е S вторая
основная форма Др поверхности S положительно
определена. Тогда и в точке р строго выпукла.
Доказательство. Поверхность S строго выпукла в
точке р в том и только том случае, когда функция
высоты hN {ру S достигает в точке р или строгого
минимума, или строгого максимума. Однако мы как
раз имеем такой случай, так как функция hN() ста-
ционарна ври форма Дёр = ±ДР знакоопределенная.
□
Комбинируя теорему 3 с теоремой 6 из гл. 12, мы
видим, что если S — компактная связная ориентиро-
ванная «-поверхность в R"4-1 с всюду отличной от
нуля кривизной Гаусса — Кронекера, то S является
в каждой своей точке строго выпуклой. Остальная
часть этой главы будет посвящена доказательству
того (теорема 5), что такая поверхность является вы-
пуклой в целом. Для этого мы должны показать, что
если п = А/(р) для некоторой точки p£S, то функ-
ция высоты hu достигает в р не просто локального
максимума или локального минимума, но что этот
максимум или минимум являются глобальными. Идея
доказательства состоит в том, чтобы показать, что
каждая функция hu может иметь только две крити-
ческие точки, а именно точку, где hu достигает своего
глобального максимума, и точку, где она достигает
своего глобального минимума. Для доказательства
потребуются некоторые факты о дифференциальных
уравнениях.
Напомним, что для гладкого векторного поля X,
заданного на некотором открытом множестве U cz
cz R"+1, и для заданной точки q е U существуют от-
крытый интервал Д, содержащий 0, и единственная
интегральная кривая а?:	U поля X с начальным
условием ач(0)=</. Теорема 4 утверждает, что по
150 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
крайней мере для малых t является гладкой
функцией от q.
Теорема 4. Пусть X— гладкое векторное поле на
открытом множестве U с Rra+1, и пусть р е U. Тогда
существуют открытое множество V в Rra+’ с ре Ус
с. U и число е > 0, такие, что для каждой точки
q<=V найдется интегральная кривая aq: (—е,
поля X с аДО) — q. Кроме того, для каждых таких V
и е отображение ф: УХ(—е, е)-> U, определенное
как ф(</, f) = aq(t), является гладким.
Для доказательства теоремы 4 см., например,
W. Hurewicz, Lectures on Ordinary Differential Equa-
tions, M. I. T. Press, Cambridge, Mass, 1958, pp. 28—
29 ’)
Следствие. Пусть X — гладкое касательное век-
торное поле на компактной п-поверхности S с R"+1.
Тогда поле X полное, т. е. каждая максимальная ин-
тегральная кривая поля X имеет своей областью оп-
ределения всю действительную числовую ось. Кроме
того, для каждого feR отображение ф/: S->S, оп-
ределенное формулой фг(ц) = где aq— макси-
мальная интегральная кривая поля X, проходящая
через q, является гладким.
Доказательство. Продолжим X до гладкого век-
торного поля X на открытом множестве Ucz!Rn+!,
содержащем S. Мы сначала покажем, что существует
ё >0 (равномерное ё), такое, что для каждой точки
р е S найдется открытое множество Vp в Rra+' с
р gs Vp cz U с тем свойством, что для поля X этого
открытого множества Vp и для ё справедливы утвер-
ждения теоремы 4. Допустим, что такого ё не суще-
ствует. Тогда для каждого целого положительного k
на поверхности S должна быть точка рк, такая, что
в каждом открытом множестве V, содержащем pk,
максимальная интегральная кривая aq поля X, про-
ходящая через некоторую точку q е V, не содержит
') См. также Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференци-
альные уравнения. — М.: Наука, 1974. — Прим, перев. См. также
упражнение 9.15.
13. ВЫПУКЛЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
151
интервал (—\/k, \/k). Так как поверхность S ком-
пактна, то последовательность {pk} имеет некоторую
подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точ-
ке р е S. Для этой точки р и поля X = X возьмем
теперь V и е, как в теореме 4. Тогда для каждой точ-
ки q е. V максимальная интегральная кривая поля
X, проходящая через q, будет иметь область опреде-
ления, содержащую интервал (—е, е). Но точки
pk е V при произвольно больших k и, в частности,
при k с 1/&<е. Это противоречит существованию
последовательности {рД и тем самым устанавливает
существование единого ё.
Отсюда следует, что область определения I каж-
дой максимальной интегральной кривой а поля X
совпадает со всей числовой осью. Действительно,
предположим, что открытый интервал I содержит
концевую точку b е R. Выберем t0^ I так, чтобы
|^о — Ъ | < ё, и пусть р — максимальная интегральная
кривая поля X, проходящая через а(^о)- Тогда а(Л
и р(^ — /о) будут интегральными кривыми поля X,
согласованными в t0, а значит, совпадающими для
всех t из общей области определения. Следовательно,
параметризованная кривая, которая переводит t в
а(0 при t е I и переводит t в р (t — t0) при 11 — t01 <
> ё, является некоторой интегральной кривой поля
X, продолжающей а за точку Ь, что противоречит
максимальности и. Значит, / = R, что и утвержда-
лось.
Таким образом, для каждого t е R существует
отображение фц S-> S, определенное формулой
фД<?) = aq(t). Заметим, что в силу единственности ин-
тегральных кривых ф/°	= фз-ы для всех s, t е R.
Действительно, для каждого s <= R и каждой точки
q е S обе функции фДф5(<?)) и ф5+Д^) описывают
единственную максимальную интегральную кривую
поля X, проходящую через фДд). Отсюда следует, что
ф^ = фед о $ о ... о ф/ k (/г-кратная композиция), где
положительное целое число k выбрано так, что
| tjk | < ё. Но функция фм гладкая по теореме 4; зна-
чит, ф/ тоже является гладкой.	□
152 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Замечание. Можно также показать, что отобра-
жение -ф: SXR-+T. определенное как	=
— tyt(q)= , тоже является гладким, но нам этот
факт не будет нужен.
Рассмотрим теперь гладкое касательное векторное
поле grad/г, где h: S -> R — гладкая функция на «-по-
верхности S с Rrt+1. Интегральные кривые поля
Рис. 13.4. Градиентные линии функции высоты Л: S -> R, h (q) =
— q  и.
grad h называются градиентными линиями или ли-
ниями градиента функции h (см. рис. 13.4). Если
точка ре S является критической точкой функции h,
то (grad/г) (р) = О, так что любая линия градиента
а. IS функции h, проходящая через р, будет про-
сто постоянной кривой, т. е. <x(t)—p для всех t^.1.
Вдоль других градиентных линий h является строго
возрастающей. Действительно, если a: 7->S — про-
извольная градиентная линия h, не проходящая че-
рез критическую точку функции h, то
(h ° а/ (/) = (grad h) (а (0) • а (0 = II (grad h) (а (0) II2 > 0
для всех t е I. На самом же деле градиентные ли-
нии функции h — это линии на S, вдоль которых h
растет быстрее, чем вдоль всех других кривых на S
с той же скоростью (см. упражнение 13.4),
13. ВЫПУКЛЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
153
Критическая точка р гладкой функции h: S -> R
называется невырожденной, если Vv (grad/г)#= О для
всех векторов vgSp, v^O. Заметим, что невырож-
денные критические точки изолированы в том смысле,
что для каждой такой критической точки существует
открытое множество V в S, содержащее р и не со-
держащее других критических точек h. В противном
случае нашлись бы последовательность {рк} крити-
ческих точек функции h, сходящаяся к р, и подпосле-
довательность {рк.}, такая, что (рА. — р)/||рк. — р||
сходится к некоторой точке и на единичной сфере S'*;
положив v = (p;v), мы получили бы, как в доказа-
тельстве теоремы 2, что vgSp и что Vv(grad/z)=0
(так как (grad/г) (pfez) = 0 для всех /гг), в противо-
речии с невырожденностью р.
Лемма 1. Пусть S — компактная п-поверхность, и
пусть h: S ->• R—гладкая функция, все критические
точки которой невырожденные. Тогда градиентные ли-
нии функции h идут от одной критической точки h
до другой, т. е. если a: R-*S — произвольная макси-
мальная градиентная линия h, то существуют крити-
ческие точки р и q функции h, такие, что lim а (/) = <?
и lima(/) = p {см. рис. 13.4).	<-»•-«>
t —> оо
Доказательство. Пусть a: R-> S— некоторая мак-
симальная градиентная линия h. Так какЗ компактна,
то последовательность {a (k): Z>= 1, 2, ...} имеет
сходящуюся подпоследовательность {a(/ft)}. Пусть
р = lim a {tk). Тогда
£-»оо
h{p) — h (а (0)) = lim [h (a (/*)) — h (a (0))] =
/г->оо
{k
= jj || (grad h) (a (/)) ||2 dt,
0
154 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
так что интеграл	|| (grad h) (a (t))-,||2 dt) сходится'), что
О
возможно, только если нижний предел
inf lim || (grad h) (а (/)) II2 — 0.
t->oo
Пусть {£*, k = l, 2,	—последовательность
с условием	при k-+<x>, по которой
Рис. 13.5. Если lim а (t)=Ap, то а должна несколько раз входить
t -> 00
и выходить из е-шара в окрестности точки р == Гпп а (/,)
А оо ' а/
lim || (grad h) (а (tk)) || = 0. Чтобы не усложнять обоз-
/г->оо
качений с выделением подпоследовательности, счи-
таем, что уже сама последовательность {a (tk)} является
сводящейся. Пусть lim a(jk)=p; очевидно, (gradA)(p)==
= 0. Докажем, что р = р и вообще lima(/) = p.
£-> оо
’) В оригинале доказательство и далее проводится на
СО
основе утверждения, что из сходимости интеграла вида / (х) dx,
о
f(x) >0 следует, что f(x)->-0, х —> <х>. Однако это верно в об-
щем случае лишь при дополнительном условии монотонности
f(x), поэтому конец этого абзаца и следующие два абзаца пред-
ставляют собой исправленный вариант доказательства (соответ-
ственно на рис. 13.5 добавлена линия h-^Lh^pt)]').—Прим, перев.
13. ВЫПУКЛЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
155
Допустим обратное. Тогда найдется е > 0, такое, что
для каждого k существует Sk>tk, Для которого
|| a (sft) — р ||> е. Так как || <х(Fft) — р || < е при доста-
точно больших k, то это означает, что кривая a(t)}
при t -> оо бесконечное число раз входит и выходит
из шара	||<?— р||<е} (см. рис. 13.5).
Тогда ||а(/)—р\\ должно равняться е для некоторого
значения t между lk и Sk, и поэтому мы можем в дей-
ствительности выбрать Sk так, чтобы было ||а($*) —
— р\\ = г. Так как множество {q е S: ||д— р||=е}
компактно, то последовательность {и(хй)} имеет под-
последовательность, сходящуюся к некоторой точке
pi^Sc llpi — р||= е.
Пусть сходящейся является сама последователь-
ность {cc(Sfe)}. Так как критические точки функции h
изолированные, то при достаточной малости выбран-
ного е мы можем считать, что (grad h) (pi) =£= 0. Про-
ведем через точку р\ поверхность уровня So =
= /i-1[/i(pi)] cz S, которая, будучи ортогональной в
точке р\ к (grad h) (pi), пересечет вблизи pi все ли-
нии градиента функции h (см. рис. 13.5; для лучшего
понимания формальной стороны проводимых здесь
рассуждений полезно представить себе S в окрест-
ности точки р\ как параметризованную «-поверх-
ность <р: U —> Rra+1, U a R"; тогда So будет образом
параметризованной (п—1)-поверхности в Rn+1, см.
гл. 141). В частности, So пересечет линии градиента h,
проходящие через точки a(sk) при достаточно боль-
ших k, и поэтому найдется дуга интегральной кривой
a(t), обе концевые точки которой qi и q2 находятся
на So- Тогда в этих точках h (qi) = h (q2), что проти-
воречит тому, что функция h возрастает вдоль линии
градиента a(t). Значит, a(t) при £->оо имеет только
одну предельную точку р — р,ъ которой (grad h) (р) —
= 0.
Рассмотрение последовательности {а(—k): k =
= 1, 2, ...} таким же образом приводит к критиче-
ской точке q функции h, для которой lim a(f) = q.
*) См. также упражнение 13.5.
156 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Теорема 5. Пусть S — компактная связная ориен-
тированная n-поверхность в R^1 с всюду отличной
от нуля кривизной Гаусса — Кронекера. Тогда
(i) Гауссово отображение N: S -> S'1 взаимно од-
нозначно и «на»,
(ii) S строго выпукла.
Доказательство, (i) По теореме 6 гл. 12 вторая
основная форма 9?р поверхности S в точке р знакооп-
ределенная для всех р е S. Значит, 9^ является для
всех р или положительно, или отрицательно опреде-
ленной, потому что минимальная и максимальная кри-
визны k\ и kn, будучи непрерывными, нигде не рав-
ными нулю функциями на связной n-поверхности S,
должны оставаться знакопостоянными. Изменяя в
случае необходимости ориентацию на S, мы можем
считать, что 9^ является для всех р е S отрица-
тельно определенной.
Пусть теперь и е S". В рассмотрениях перед тео-
ремой 3 было установлено, что точка р е S является
критической точкой функции высоты hu: S->-R,
hu(q) = q-u, в том и только том случае, когда N(p) —
= ±и. Более того, как 9ёР = и • N (р) 9РР, то АГ(р) =
= -\-и в том и только том случае, когда hu достигает
в р локального максимума, и N(p) = —и в том и
только том случае, когда hu достигает в р локаль-
ного минимума. В частности, все критические точки
hu невырожденные, а значит, изолированные, и по-
этому hu достигает в каждой из них или строгого ло-
кального максимума, или строгого локального ми-
нимума.
Тот факт, что N является отображением «на», те-
перь очевиден: для данного вектора «е 5я имеем
u = 7V(p), где р — любая точка, в которой hu дости-
гает своего максимума.
Чтобы получить взаимную однозначность отобра-
жения N, рассмотрим на S точку р с N(p)= и. Тогда
функция высоты hu должна достигать в р строгого
локального максимума. Мы покажем, что множество
Up = {q^S: lim а, (/) = /?},
13. ВЫПУКЛЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
157
где aq: R—— максимальная градиентная линия
функции hu с а<7(0) = 7> является открытым множе-
ством на S.
Начнем с замечания, что на S существует откры-
тое множество VP, содержащее р и такое, что все
градиентные линии функции hu, вошедшие в Vp,
должны идти к точке р. Действительно, выберем
с > 0 достаточно малым чтобы:
(1)	точка р была единственной критической точ-
кой hu в ={q е S: \\q — л|| С е},
(2)	hu (р) > hu (q) для всех q G= Ав, q =£ р, и
(3)	множество Be = (ii~S: || g — р|| = е) было не-
пустым.
Пусть Ме обозначает максимальное значение hu
на компактном множестве Ве; положим Vp — {q^S:
||ф — р || < е и h(q)> Ме}. Тогда градиентная линия
а функции h с a(/0)s VP для некоторого to е R не
может удовлетворять соотношению	ни для
какого t t0 (так как h растет вдоль а), так что
a(t) должна оставаться в Аг для всех t to- Следо-
вательно, а должна идти к какой-либо критической
точке в Ае, а критическая точка р там единственная.
Свойство открытости множества Up вытекает те-
перь из следствия теоремы 4. Для любой данной точ-
ки q0 е Up найдется t0 е R, такое, что a?0 (Zo)eIZp.
В силу непрерывности ф^, а (/0) = фге Vp и по-
этому aq идет к р, как только точки q достаточно
близки к qo- Значит, Up открыто в S.
Наконец, пусть {рь .... pk}—множество точек
в S, в которых hu достигает локального максимума
(т. е. где N(pi)=u), и пусть {<?!, ..., qi}— множе-
ство точек, в которых hu достигает локального мини-
мума. Эти множества конечны, потому что критиче-
ские точки функции hu изолированы и поверхность S
компактна. Согласно лемме, S—{qi.........qi} яв-
ляется объединением взаимно дизъюнктных открытых
множеств Upi, UPk. Но поверхность S связна,по.
158 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
этому множество S—{q, ..., qi} также связно (см.
рис. 13.6), если только п > 1, так что такая ситуация
возможна только, когда есть единственная точка pi,
т. е. только если отображение N взаимно однозначно.
Последний шаг в этом рассуждении не проходит, если
ц=1, однако упражнение 11.19 дает ответ и для
этого специального случая.
(ii) Мы только что видели, что для каждого век-
тора u £ S" существует единственная точка р\ е S,
Рис. 13.6. Связная «-поверхность S (п > 1) не становится не-
связной при удалении конечного множества точек: возьмите ма
ленький шар вокруг каждой точки и вновь проведите каждую
непрерывную кривую из р в q вокруг границ этих шаров.
Строгое доказательство связности пересечения достаточно малых
шаров с S получается применением теоремы об обратной функ-
ции (см. гл. 15).
в которой функция высоты hu достигает локального
максимума. Те же самые рассуждения, примененные
к —hu, показывают, что существует единственная
точка «/I е S, в которой hu достигает локального
минимума. Более того, эти две точки являются един-
ственными критическими точками hu. Значит, для
каждой точки р eS функция высоты hu, где и —-
= N (р), должна достигать в критической точке или
своего строгого глобального максимума, или своего
строгого глобального минимума. А это и означает, что
поверхность S строго выпукла.	О
13. ВЫПУКЛЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
159
УПРАЖНЕНИЯ
13.1.	Покажите, что если п четно и кривизна Гаусса — Кро-
некера в точке р на «-поверхности Sc R',+1 отрицательна, то S
в точке р невыпукла.
13.2.	Пусть на «-поверхности S в R/!+1 задана гладкая функ-
ция Л: S-> R, и пусть peS — критическая точка функции h.
Покажите, что линейное преобразование касательного простран-
ства Sp в себя, переводящее вектор v в Vv(gradti), является
самосопряженным.
13.3.	Пусть V — векторное пространство со скалярным про-
изведением, L: V V — самосопряженное линейное преобразова-
ние, и пусть Z — ассоциированная с L квадратичная форма.
(а)	Покажите, что SB положительно определенная тогда и
только тогда, когда все собственные значения L положительны.
(Ь)	Покажите, что если V имеет размерность 2, то ЭВ поло-
жительно определенная тогда и только тогда, когда (i) S? (t>) > О
для некоторого v е V и (ii) det L > 0.
(с)	Форма ЗВ называется невырожденной, если линейное
преобразование L неособое. Покажите, что ЭВ невырожденная
в том и только том случае, когда все собственные значения L
ненулевые. (Замечание. Заметим, что критическая точка р глад-
кой функции h: S -> R является невырожденной тогда и только
тогда, когда гессиан Ж,, функции h в точке р является невы-
рожденной квадратичной формой.)
13.4.	Пусть на «-поверхности S в R"*1 задана гладкая функ-
ция Л; S-*R, и пусть a: 7->-S— интегральная кривая гради-
ента h. Покажите, что для каждого to е I функция h возрастает
в a (to) вдоль а быстрее, чем вдоль любой другой кривой, про-
ходящей через а (t0) с той же самой скоростью, для чего пока-
жите, что если (3: 7 S — любая кривая на S, такая, что для
некоторого so е 7 имеем |3 (s0) = a (t0) и IIР (s0) II = II а (t0) II, то
(Лоа)' (t0) > (h°fi)' (s0).
13.5.	Пусть на «-поверхности S в R"+1 задана гладкая
функция Л: S->-R. Покажите, что градиентные линии h всюду
ортогональны к множествам уровня h, т. е. покажите, что если
а — градиентная линия h и Р— произвольная параметризованная
кривая на S, такая, что h ° р постоянная, то 0 (tj • a (t0) = 0, как
только р (tj = a (t0).
14. ПАРАМЕТРИЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Мы видели, что каждая связная ориентированная
плоская кривая С имеет глобальную параметриза-
цию, используя которую мы смогли (i) найти полез-
ную формулу для кривизны («с а =а • N оа/|| а||2) и (ii)
ределить различные интегралы вдоль С. Сейчас мы
реализуем аналогичную программу для л-поверх-
ностей (п>1). Оказывается, что ориентированные
«-поверхности (даже если они связные) в общем
случае допускают только локальные параметризации,
однако этого для наших целей будет уже достаточно.
Первое свойство параметризации должно заклю-
чаться в ее регулярности. Для определения регуляр-
ности нам нужно понятие дифференциала отображе-
ния. Пусть 0 — открытое множество в Rn, и <р: U—>
Rm— гладкое отображение. Дифференциал отобра-
жения <р есть гладкое отображение йф: Z7XRn_>
->с,1ХОк, определенное следующим образом. Точ-
кой veC/QR11 является вектор у = (р;ц) в некото-
рой точке p^U. Пусть а: /-> U — произвольная па-
раметризованная кривая в U с условием a (Zo) = v, где
v — заданный вектор. Тогда йф(у) является вектором
в точке ф (р) (с/ф (v) е Кф (р) с= R"! X Rm), определен-
ным следующим образом:
с/ф (v) = ф 6 а (4)
(см. рис. 14.1). Заметим, что значение dq>(v) не за-
висит от выбора параметризованной кривой а, потому
что
Ф 6 а (t0) = (ф о а (t0); (ф! ° а)7 (t0), (срт о а)' (t0)) =
= (ф (р); V<Pi (а (to)) • а (t0),  • •, Уфт (а (t0))  а (tQ)) =
= (ф(р)1 Уф!(р) • v, 7фт(р)  v),
Т4. ПАРАМЕТРИЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
161
где уч — составляющие отображения <р (т. е. ср(р) —
== (epi (q), ..., tpm (q)) для всех q е U), так что
dtp (v) = (<р (р); VvTp Vv(₽m).
Эта формула для cZcp(v) не только показывает
независимость ее от а, но дает также прямой метод
для вычисления dtp. Гладкость dtp теперь также оче-
видна.
Рис. 14.1. Дифференциал отображения.
Из вышеприведенной формулы непосредственно
следует, что ограничение d<pp дифференциала dtp на R"
является линейным отображением d<pp. Rp->R™(P).
Матрица этого отображения относительно стандарт-
ного базиса в Rp и R™(р| в точности совпадает с мат-
рицей Якоби ((dcpt/dx/) (р)) отображения ср в точке р.
Действительно, если е;-= (р; 0, ..., 1, ..., 0) и
е{ = (ср(р); 0,	1, ..., 0) с 1 на (/Ч-1)-м и (г+
+ 1)-м местах соответственно, то матрица (а,/) для
dq>p определяется из равенств
^Pp(ey)= £
и
aii = d(fp (е/) •< = (<₽ (р); Ve .Фр  • •, Vey₽m) • е' =
/	Рср,	<Эф \	<Эср,
162 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Множество U X RK — U Rp называется каса-
pe=U
тельным расслоением открытого множества U в Rn
и обозначается через T(U). Таким образом, диффе-
ренциал гладкого отображения ф: U -> Rm переводит
T(U) в 7(Rm). Аналогично, если S есть п-поверх-
ность в R"+1, то ее касательное расслоение является
множеством Т (S) = |J 5 cSXR’+l- Для данного
р е S
гладкого отображения ср: S -> Rm его дифференциал
является отображением d<p: T(S)-> T(Rm), опреде-
ленным по формуле
dtp (v) — (<р 6 a) (t0),
где а:	— произвольная параметризованная кри-
вая на S с a(/o) = v. Заметим, что dip в точности
совпадает с ограничением на T(S) дифференциала
dtp любого гладкого расширения ф на открытое мно-
жество в Rra+1 и поэтому, в частности, dq>(v) не зави-
сит от выбора а. Отсюда следует также, что ограни-
чение dфp на Sp (р е S) дифференциала dcp является
линейным отображением dcpp: SP->R™(P).
Замечание. Для отображения ср: Z-*R (где / —
открытый интервал в R) символ dф теперь имеет два
смысла. С одной стороны, мы в гл. 11 определили
dф — обозначим его теперь через (с(ф)(1) — как 1-фор-
му на I, так что ^ф)<’> является гладким отображе-
нием из /XR в R. Сейчас мы определили dф — обо-
значим его (dq5)(2> — как отображение из /XR в
R X R- Эти два отображения связаны формулой
Уф)(2)(С и) = (ф(/); (dcp)(1)(/, и)),
и поэтому одно из них может быть получено непо-
средственно из другого. Мы для обоих дифференциа-
лов по-прежнему будем использовать обозначение
аф, а из контекста каждый раз будет ясно, о каком
именно дифференциале идет речь.
Параметризованная п-поверхность в Rn+ft (k 0)
есть гладкое отображение ср: U -> Rn+k (где U — не-
14. ПАРАМЕТРИЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ	163
которое связное открытое множество в Rra), являю-
щееся регулярным, т. е. таким, что линейное отобра-
жение d(pp является неособым (ранга п) в каждой
точке р е U. Условие регулярности гарантирует, что
для каждой точки р е U образ отображения d<pp яв-
ляется «-мерным подпространством пространства
Rptp). Образ йфр есть касательное пространство к ср,
соответствующее точке р е U. Заметим, что отобра-
жение <р не обязано быть взаимно однозначным и
что из ср(q) = <р(р) при дфр не обязательно сле-
дует, что Image йфр = Image dffq.
Пример 1. Всякая параметризованная 1-кривая—•
это просто регулярно параметризованная кривая.
Пример 2. Параметризованная «-поверхность в
Rn— это просто регулярное гладкое отображение из
одного открытого множества U в Rn в другое.
Пример 3. Пусть f: U -> R (U — открытое множе-
ство в Rra) — гладкая функция. Определим отображе-
ние ф: U -> Rra+1 по формуле ф (р) = (р; f(p)). Тогда <р
является параметризованной «-поверхностью в Rn+1,
образ которой есть график функции f.
Пример 4. Пусть отображение ф: U -> R3 дано
в виде
ф (9, Ф) = (г соз 0 sin ф, г sin 0 sin ф, г cos ф),
где U = {(0, ф) е R2: 0 < ф < л} и г > 0. Тогда ф
является параметризованной 2-поверхностью, образ
которой есть 2-сфера в R3 радиуса г, с выколотыми
северным и южным полюсами (рис. 14.2). Заметим,
что ф не является взаимно однозначным отображе-
нием; действительно, отображением ф полоса U в R2
наматывается вокруг сферы бесконечное число раз.
Северный и южный полюсы сферы не входят в об-
раз ф, потому что отображение dqp сингулярно вдоль
краев ф = 0 и ф = л полосы U. Когда —л < 9 С ;г,
числа 0 и ф называются сферическими координатами
точки ф(0, ф) на сфере.
164 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Пример 5. Пусть L: Rn->Rn+ft (/г^1)—неосо-
бое линейное отображение, и пусть w е= Rre+\ Отобра-
Рис. 14.2. Сферические координаты.
жение ср: R"-> R"+\ определенное как
ф (р) = L (р) + w,
является параметризованной п-плоскостью в R"+*
проходящей через точку ау. Заметим, что
dcpp(p; ц)==(ф(р); L(t»))
для всех (р; t>) е Rp, р е Rn, так как если а (/) = р -R tv,
то а (0) = (р; ц) и
(ср о а) (0) = (ср о а (0); |q (L (р + tv) + ay)) =
= (ф (р); 4t |о +tL	=
= (ф(р); L(v)).
Пример 6. Пусть ср: U -> Rn+ft (jj с: R”) — парамет-
ризованная n-поверхность в R"+*. Цилиндр над ср есть
параметризованная (п 1) -поверхность <р: t7><R-»
->Rn+fe+1, определенная соотношением
ф(«1.....Ип + 1) = (ф(Иц •••> Ип), ип+х),
{их, . . ., Un) G: U,	G: R
(см. рис. 14.3),
14. ПАРАМЕТРИЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
165
Пример 7. Пусть a: /->R2— регулярная пара-
метризованная кривая в R2 (/ — открытый интервал
в R), образ которой лежит выше оси х\, т. е. y(t)> О
Рис. 14.3. Цилиндр над параметризованной кривой ср.
для всех t^I, где а(О = (л(0, у(/)). Определим
отображение ср: /X R R3 формулой
ср (t, 0) = (х (I), у (0 cos 0, у (/) sin 0).
ср есть параметризованная поверхность вращения, по-
лученная вращением кривой а вокруг оси xj (рис. 14.4),
Рис. 14.4. Параметризованный гиперболоид вращения, получен-
ный вращением параметризованной кривой а (/) = (sh t, ch/)
вокруг оси OXl.
ОЗраз	=
( sh t, ch t cos q
ch t sin e)
Заметим, что отображением ср полоса /XR нама-
тывается вокруг образа ср бесконечное число раз.
166 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Пример 8. Пусть а > b > 0; определим отобра-
жение ср: R2 — R3 формулой
<Р (0> Ф) = ((« + & cos ф) cos 0, {а + b cos <£) sin 0, b sin Ф).
Сравнение с примером 7 при измененных осях (xi -*
->-Хз, x2-*Xi, х3 х2) показывает, что ср является
параметризованной поверхностью вращения, полу-
ченной вращением параметризованной окружности
а (Ф) = (а + b cos ф, b sin ф)
на (xi, х3)-плоскости вокруг оси х2- <р есть парамет-
ризованный тор в R3 (см. рис. 14.5). Заметим, что
Рис. 14.5. Параметризованный тор в R3.
параметризованный тор является двояко-периоди-
ческим. Действительно, <р (0 + 2йл, ф) = <р(0, Ф +
+ 2kn) = ср(0, ф) для всех (0, ф) е R2, k е Z. Значит,
каждая точка из образа ср соответствует единствен-
ной точке (0, ф) R2 с 0	0 < 2л и 0 ф < 2л. Об-
раз ср может быть представлен как полученный из
квадрата {(0,<£)eR2: 0^0, ф 2л} склеиванием
точки (0,0) с точкой (0,2л) при каждом 0 е [0,2л],
чтобы сначала получить цилиндр, а затем склеива-
нием краев цилиндра путем отождествления точек
(0, ф) с точками (2л, ф) соответственно при каждом
ф^[0,2л] (см. рис, 14.6),
14. ПАРАМЕТРИЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
167
Пример 9. Пусть отображение <р: R2->R4 опреде-
лено как
<р(0, 0) = (cos0, sin 0, cos </>, sin </>).
Этот пример похож на пример 8 тем, что ср тоже
двоякопериодическое отображение и образ ср также
может быть представлен как квадрате отождествлен-
ными сторонами. Можно указать и другой способ
Рис. 14.6. Склеивание тора из квадрата.
наглядного представления образа ср, если заметить,
что
Image ср = {(р, </) е R2 X R2: Р — (cos 0. sin 0)
для некоторого 0,
q — (cos </>, sin ф)
для некоторого $}•
Следовательно, образ ср в R4 представляется как де-
картово произведение двух окружностей, а именно
единичной окружности на (xi, Хг) -плоскости и еди-
ничной окружности на (х3, х4) -плоскости в R4. ср на-
зывается параметризованным тором в R4.
Пример 10. Пусть отображение ср: /XR-*R3 оп-
ределено как
<р (f, 0) = Ц1 + t cos у) cos 0, (1 + t cos sin 0,
t . 0 \
Z Sin y ) ,
168 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
где Z=peR: —	Тогда образ ср яв-
ляется листом Мёбиуса (см. рис. 5.3). Заметим, что
линии t^—><р(Л 0) (0 фиксировано) являются отрез-
ками прямых, середины которых лежат на единичной
окружности в R2, образующими с плоскостью (хь Хг)'
угол 0/2. Кривые 0>—»ф(/, 0) (/ фиксировано) яв-
ляются периодическими, с периодом 2л при t == 0 и
4л при t Ф 0.
Пусть теперь <р: U-> Rfl+fe — произвольное гладкое
отображение, где U — открытое множество Rn. Век-
торное поле вдоль <р есть отображение X, которое
*(р)
*Р
Образ d^p
?<.Р)
Рис. 14.7. Нормальное векторное поле вдоль параметризованной
2-поверхности в R3.
сопоставляет каждой точке р ^.U некоторый вектор
X (р) е R<pt₽). Поле X является гладким, если оно
гладкое как отображение X: U -» R2(n+ft)> т. е. если
каждая функция Xp.U—>R гладкая на U, где Х(р) =
= (ф(р); X] (р), ..Xn+k (р)), p^U. Векторное поле
X называется касательным к <р, если оно имеет вид
X (р) = Йфр (Y (р)), р е= U, Y — некоторое векторное
поле на U; поле X называется нормальным к ф, если
Х(р)± Image dq>p для всех p^U (рис. 14.7).
Если <р — параметризованная кривая, то поле ско-
ростей ф является касательным векторным полем
вдоль ф, так как ф(Z) = dtp/(Z; 1) для всех t. Понятие
поля скоростей обобщается следующим образом.
Пусть ф: t/->Rn+'e — гладкое отображение, U — от-
крытое множество в R'1; обозначим через Е< (/ е
е{1, ..., п}) касательное векторное поле вдоль ф,
14. ПАРАМЕТРИЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
169
определенное по формуле
Е;(р) = Лрр(р; о, 1.................0),
где 1 находится на (i + 1)-м месте (или на i-м месте
после р). Заметим, что компоненты Е, в точности
совпадают с элементами t'-ro столбца якобиевой мат-
рицы для ф в точке р'.
где ф(р) = (<Р1(р),	Ф«+Нр)) Для pE=U.
Поля Е; называются координатными векторными
полями вдоль ср. Заметим, что Е,(р) является просто
ф = coast
в= const
Рис. 14.8. Координатные кривые на параметризованной 2-сфере
(с удаленным северным и южными полюсами)
Ф (0, Ф) = (cos 0 sin 0, sin 0 sin Ф, cos Ф).
вектором скорости в р координатной кривой щ >
1—>ф(иь ..., ип) (все Uj считаются постоянными, за
исключением ш), проходящей через точку ф(р) (см.
рис. 14.8). Когда ф является параметризованной «-по-
верхностью (т. е. когда отображение ф регулярно),
все эти векторные поля линейно независимы в каж-
дой точке р е U, так как отображение d<pP неособое,
и они образуют базис в касательном пространстве
Imagedtpp для каждой точки ре U.
Для гладкого отображения ф: £7-> Rn+ft (где U —
открытое множество в КД и гладкого векторного
170 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
поля X вдоль ф, производная VvX е поля X от-
носительно вектора v eRJ, р определяется как
VvX = (ф (р); ~ (У о а)) =
==(ф(р)> Vv*l, •••, Vv^n+fe)>
где X — векторная часть X (т. е. Х(р) = (ф(р); X(<?))'
для q^U), а —произвольная параметризованная
кривая в U с a(/o) = v, и Хг. U -+ R—-компоненты X
(т. е. Х(<7) = (ф(<?); Xi(q), .... Xn+k(q)) для q с= U).
Заметим, что когда v--е, = (р; 0, .... 1,	0),
имеем
/ дХ \
V X = (ф(р); ^(p)j =
1	\	I /
=	•••> ^7^)).
Предположим теперь, что ф: U -> Rn+1 — парамет-
ризованная ^-поверхность в Rn+1. Тогда для каждой
точки р е U обозначим через N (р) единственный
единичный вектор в точке ф(р), такой, что N(p)_h
J_ Image йфр и
/ Е, (р) \
det Е„(Р)	>°>
V N(p) )
где функция det определена как в теореме 5 из гл. 12.
Тогда N является гладким единичным нормальным
векторным полем вдоль ф (см. упражнения 14.8 и
14.9). N называется векторным полем ориентации
вдоль ф. Линейное отображение
Lp. (Image rfcpp)-> (Image dcpp),
определенное по формуле
Lp(d<pp (v)) = —VvN,
называется отображением Вейнгартена в точке р е U
параметризованной n-поверхности ф: U(За-
14. ПАРАМЕТРИЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
171
метим, что определение Lp вполне корректное, так
как отображение dq>p взаимно однозначное.) Опера-
тор Lp является самосопряженным (упражнение 14.11).
Его собственные значения и собственные векторы на-
зываются главными кривизнами и главными направ-
лениями поверхности ф в точке р. Определитель мат-
рицы Lp называется кривизной Гаусса — Кронекера
поверхности ср в р (гауссовой кривизной, если п = 2);
след его матрицы, деленный на п, называется сред-
ней кривизной ср в точке р.
Пример. Пусть <р — параметризованный тор в R3:
ф (0, </>) = ((а + b cos ф) cos 0, (а + b cos </>) sin 0, b sin ф)
(рис. 14.5). Координатные векторные поля вдоль
имеют векторные части
Ei (9, Ф) —	— (а + b cos Ф) (~ sin 0, cos 0, 0)
и
£2(6, </>) = 4т'— sin cos 0, — sin ф sin 0, cos ф).
Ориентирующее векторное поле N вдоль ф имеет век-
торную часть
N/а _____ Et (0, ф) X £2 (6, Ф) _
1 ине, ф)хе2 (0,ф) и ~
== (cos 0 COS ф, sin 0 COS Ф, sin Ф).
Отсюда, полагая р = (0, ф) е R2, имеем
LP (Е1 W) = LP (Р’ 1 - °)) = - V(p;!, 0) N =
= — (<р (р); ^-) = — (ф (р); — sin 0 cos ф,
cos 0 cos ф, 0) =----co,s0 Ej (p)
' ’ ' a + b cos Ф *
И
Ep (E2 (p)) = — (ф (p);	=
= — (Ф (p); — cos 0 sin Ф, — sin 0 sin Ф, cos Ф) =
^-±E2(p).
172 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Значит, Ei(p) и Е2(р) являются собственными век-
торами Lp. Главные кривизны соответственно равны
— (cos ф)/(а + b cos ф) и —\/Ь. Гауссова кривизна
(О, ф) = (cos ^>)/6 (а + b cos ф). Отметим, что К > О
Рис. 14.9. Гауссова кривизна тора.
на «внешней» стороне тора (—л/2 < ф < л/2), К < О
на «внутренней» стороне (л/2 < ф < Зл/2) и К = О
на «верхней» параллели (ф = л/2) и на «нижней»
параллели (ф =—л/2) (см. рис. 14.9).
УПРАЖНЕНИЯ
14.1.	Пусть Si—некоторая «-поверхность в Rn+1, и Sa — не-
которая «(-поверхность в Rm+1. Пусть Si-> Rm+1 — гладкое
отображение, такое, что cp(Si) с: Sa. Покажите, что dtp: 7"(Si)->
->Г(5а).
14.2.	Пусть <р:	и ф: Uz R* — гладкие отображе-
ния, где IlicR" и У2сР.,. Проверьте правило дифференци-
рования композиции отображений </(ф ° ф) =	° d<$.
14.3.	Проверьте, что в каждом из вышеприведенных приме-
ров 3—10 выполнено требуемое для регулярности условие, что
отображение йф, неособое в каждой точке р из области опре-
деления ср.
14.4.	Найдите общую формулу, описывающую параметризо-
ванную поверхность, полученную вращением вокруг оси х3 пара-
метризованной кривой на (xi, х3)-плоскости. Проверьте, что па-
раметризованные поверхности из примеров 4 и 8 этой главы при-
надлежат указанному типу поверхностей вращения.
14.5.	Определим отображение <р: U -> R4, где U — {(Ф, 9, ф):
Ф е R, 9 < 9 < я, 9 < ф < я}, формулой ф(ф, 9, ф) =
— (sin Ф sin 9 sin ф, cos Ф sin 9 sin ф, cos 9 sin ф, cos ф).
(а)	Проверьте, что ф является параметризованной 3-поверх-
ностью в R4.
(Ь)	Покажите, что образ ф содержится в единичной 3-сфере
в R4.
(Ф, 0 и ф называются сферическими координатами на S3.)
П. ПАРАМЕТРИЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
173
14.6.	Пусть ф: U ->R'1+1 — параметризованная «-поверхность
в Rn+1, и пусть p = (oi, ..., ап + 2) ^Rn+2, где ап + 2 ¥= 0- Опре-
делим отображение ф: U X 7 _> Rra+2, где / = {£ е R: 0 < t < 1},
как
ф (Л, • • •, ^л+1) = (1 — ^га+1) Р + ^n+i (ф (^ь • • •, tn), 0)
(см. рис. 14 10). Покажите, что ф является параметризованной
(п -}- 1) -поверхностью в R"+2. (ф называется конусом над <р
с вершиной р.)
Рис. 14.10. Конус над пара-
метризованной кривой а.
14.7.	Пусть X — гладкое векторное поле на R'!+ft, и пусть
ср: U -> R"+s -- гладкое отображение, где U — открытое множе-
ство в R". Покажите, что
Vv (Xoq>) = Vd<p(v)X
для всех v е T(U).
14.8.	Пусть ср — параметризованная 2-поверхность в R3.
(а)	Покажите, что ориентирующее векторное поле N вдоль ф
дается формулой
N= Е'ХЕв
11Е1хе2Г
где Е| и Е2 — координатные векторные поля вдоль ф.
(Ь)	Выведите отсюда, что поле N является гладким.
14.9.	Пусть ф: U —* R'1+1 — параметризованная «-поверхность
в ₽я+! Пусть X — векторное поле вдоль ф, i-я компонента кото-
рого равна произведению (—1)'!+1+‘ на определитель матрицы,
полученной вычеркиванием (-го столбца матрицы
Е( 1
1 Еп )
где Е, — координатные векторные поля поверхности ф. (Заметим,
что эта матрица в точности совпадает с транспонированной мат-
рицей Якоби для ф.)
(а) Покажите, что Х(р) ¥= 0 для всех р Е U.
(Ь) Покажите, что X является нормальным векторным нолем
на ф.
174 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
(с)	Покажите, что поле N = X/11 X || является ориентирую-
щпм векторным полем вдоль ср.
(d)	Вывести отсюда, что поле N гладкое.
14.10.	Пусть g: U -> R — гладкая функция на открытом мно-
жестве U в Rn, и пусть поверхность ср: U -> R” + 1 определена как
ср (Uj.....un) = (Мр ..., g («j.......ип)У Покажите, что ориен-
тирующее векторное поле вдоль ср дается формулой
N (/>) = (ср (р);	•••
14.11.	Покажите, что отображение Вейнгартена параметризо-
ванной «-поверхности в ₽"+> является самосопряженным в каж-
дой точке поверхности.
14.12.	Пусть ср: U->R'i+fc—-параметризованная «-поверхность в
Rn+k. Покажите, что d<p: U X Rre -> Rn+k X Rra+ft является пара-
метризованной 2/г-поверхностью в R2n+2k_
14.13.	Пусть ср: URn+k— параметризованная «-поверх-
ность в Rn+6. Пусть Е; обозначают координатные векторные
поля вдоль ср, и пусть ег = (р; 0, ..., 1, ..., 0) для р sU. По-
кажите, что Vc Еу = Ve Е; для всех i и /_
14.14. Пусть ср — параметризованная «-поверхность в R"+1.
Покажите, что кривизна Гаусса — Кронекера поверхности ср
дается формулами
_ det [Lp (Ег (р)) • Е;. (р)] _ det [(Ve.Ey) - N (р)]
det [Ег (р)' Еу (р)] — det[Ez(p)-E/(p)] ’
где Е( — координатные векторные поля вдоль ср, а е; = (р; 0, ...
..., 1, ..., 0).
В упражнениях 14.15—14.18 нужно найти гауссову кривизну
данных параметризованных 2-поверхностей ср.
14.15.	ср(0, ф) = (a cos 0 sin Ф, a sin 0 sin Ф, a cos Ф) (сфера).
14.16.	ср(/, 6) = (cos 0, sin 0, t) (прямой круговой цилиндр).
14.17.	ср(/, 0) = (t cos 0, t sin 0, 0) (геликоид).
14.18.	ср(/, 0) = (sh t, chtcos0, chtsin0) (гиперболоид).
14.19.	Найдите кривизну Гаусса — Кронекера параметризо-
ванной 3-поверхности ср, где
ср (х, р, z) = (х, у, г, х2 + у2 z2) (3-параболоид в R4).
14.20.	Пусть ср: /XR-’-R3 — параметризованная поверх-
ность вращения, полученная вращением параметризованной кри-
вой а(0==(х(0, 1/(0) (1/(0 > 0 Для всех t е Г) вокруг оси Xi.
Таким образом,
ср (/, 0) = (х (0, У (0 cos 0, у (0 sin 0)
для / и 0eR.
14. ПАРАМЕТРИЗОВАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
175
(а) Покажите, что гауссова кривизна поверхности q> дается
формулой
х' (х"у' — х'у")
I I /2\2
У U + у' у
(Ь) Покажите, что если а имеет единичную скорость, то эта
формула сводится к К = —у"IУ-
Рис. 14.11. Псевдосфера.
14.21.	Пусть a.(t) = (x(t}, у(ГУУ где
t
х (/) = V1 — е~2х dt, (i > 0),
а
y(t) = e-f, (f>0),
и пусть ср — параметризованная поверхность вращения, получен-
ная вращением а вокруг оси Xi.
(а)	Покажите, что а имеет единичную скорость.
(Ь)	Покажите, что а обладает тем свойством, что для каж-
дого t > 0 отрезок касательной к кривой а между точкой каса-
ния а(/) и осью Х\ имеет постоянную длину 1. (Следовательно,
образ кривой а вычерчивается концом туго натянутой нити еди-
ничной длины, отложенной в начальный момент другим концом
от центра координат в вертикальном положении и движущейся
затем этим концом вдоль оси Xi.)
(с)	Покажите, что ф имеет постоянную гауссову кривизну
К = —1. (ф называется параметризованной псевдосферой в R3;
см. рис. 14.11.)
15. ЛОКАЛЬНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
ПОВЕРХНОСТЕЙ И ПАРАМЕТРИЗОВАННЫХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
В этой главе мы докажем две теоремы, которые
покажут, что локально «-поверхности и параметризо-
ванные «-поверхности являются одним и тем же объ-
ектом. Для доказательства этого факта нам придется
использовать следующую теорему из теории функций
нескольких переменных.
Теорема об обратной функции. Пусть U — откры-
тое множество в Rn+‘, и ф; L/->-R'!+1—гладкое ото-
бражение, имеющее в точке р е U неособый диффе-
ренциал dtyp. Тогда существует открытое множество
V сг U, содержащее точку р и такое, что ограничение
ф | у отображения ф на V отображает V взаимно од-
нозначным образом на некоторое множество W в
Rn+1, причем обратное отображение (ф|Д~*: W-> И
тоже является гладким.
Доказательство этой теоремы можно найти в книге
Fleming Functions of Several Variables (Second Edi-
tion, Springer-Verlag, 1977)1)- Заметим, что так
как матрица отображения йфр в стандартных бази-
сах в Rp+i и RiJ’f'p) является матрицей Якоби Jу(р)
функции ф в точке р, то условие, что отображение
^фр является неособым, сводится просто к требова-
нию, что Ту (р) =^= 0.
Теорема 1. Пусть S — некоторая n-поверхность в
Rn+1, и пусть точка p^S. Тогда существуют откры-
тое множество V се Rn+1, содержащее точку р, и па-
раметризованная n-поверхность <р: U-+Rn+l, такие,
что <р отображает U взаимно однозначным образом
на V П 5 (см. рис. 15.1).
') Или Рудин У. Основы математического анализа. — Пер.
с англ. М.: Мир, 1976, стр. 231. — Прим, перед.
15. ЛОКАЛЬНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ'
177
Доказательство. Пусть f: Ux ->R (где Щ — открытое
множество в Rn+1) — некоторая гладкая функция,
такая, что S = /-1(c) для некоторого с е= R, причем
V/ (?) =/= 0 для всех q е S. Выберем i е {1...п + 1}
Рис. 15.1. Параметризация части л-поверхности.
таким, чтобы (df/dx^ (р) #= 0. Такое I существует, так
как V/(р) =/= 0. Определим отображение ф: -»Rn+1,
положив ф(х1; . . ., Хп+1) = (хь . . ., Xt_lt f(xlt ..., х„+1),
Рис. 15.2. Отображение хр ф отображает множество уровня
V П /-1 (с) на пересечение W с гиперплоскостью х{ = с.
xi+l, ..., х„+1). Мы видим, что ф отображает мно-
жества уровня функции f в гиперплоскость х, =
= constant и, в частности, ф отображает S в гипер-
плоскость xt = c (см. рис. 15.2). Матрица Якоби Др (р)
в точности совпадает с единичной матрицей, в ко-
торой i-й столбец заменен компонентами V/ (р).
178 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Значит, det (р) = (df/dx^ (р) =И= 0. Следовательно, по
теореме об обратной функции существует открытое
множество I7! cz Ult содержащее р и такое, что 1|з
отображает взаимно однозначно на некоторое
открытое множеств; 1Г1( содержащее ф(р), и на ко-
тором обратное отображение (ф |v )-1:	является
гладким. Выберем для каждого /е{1, . ...n-f-l}
числа Ну, с условием as < bj и такие, чтобы мно-
жество
W = {(хь ..., х„+]): cij < Xj < Ь/ для всех /}
являлось подмножеством множества Wi и чтобы точ-
ка ф(р) принадлежала W. Наконец, пусть V —
=	пУсть
U — {(и, ..., ип) е Rn: Н; < и, < bj для / < i
и a/+i < Uj < 6/+i для / > г},
и определим отображение <р: U -> R"+1 как (см.
рис. 15.2)
<р(ць . . ., Ц„) = (ф lv)-1 («1.с, Щ, . . ., ип).
Отображение <р и является искомой параметризован-
ной ^-поверхностью.
Замечание. Отметим, что параметризованная по-
верхность ф в теореме 1 может быть выбрана так,
что ориентирующие векторные поля №! поверхности <р
и Ns поверхности S будут согласованными, т. е.
Nr(<z) = Ns (ф(9)) для всех q е U. Действительно,
Image d<fq с: Si(i } для всех q^U, так как Image ф с.
cz S, так что Ns(<p(v))J- Image dyq для всех q^U.
Далее, функция g: (7->R, определенная соотноше-
нием
( Ei (q)	1
£(<?) = det
EJ?)
I Ns (ф(<?)) j
15. ЛОКАЛЬНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
179
непрерывна и всюду отлична от нуля. Так как мно-
жество U связно, то g или всюду положительна, или
всюду отрицательна. Если g(q)>® Для всех U,
то N4’ = NSo<p. Если g(q)<.0 для всех q е U, то
N4> = — Nsoqp, так что если мы заменим ф параметри-
зованной «-поверхностью ф: £/-»R"+1, определенной
как
Ф(М1, «2, И3, ..., М„) = ф(«2, «1, «3, •••> «га),
то получим Мф = М5°ф. Здесь
U = {(м1; и%, «з, • • •, ига) Rn: (w2> Wi, «з, • • • i U-п)
Параметризованная «-поверхность ср: U-+Rn+i,
образ которой является открытым подмножеством
ориентированной «-поверхности S и ориентация ко-
торой согласована с ориентациейS(т. е. Ncp = Nso(p),
называется локальной параметризацией S. Теорема 1
гарантирует существование взаимно однозначной ло-
кальной параметризации S, образ которой является
открытым множеством на S, содержащим наперед
заданную точку S. Обратное отображение ср-1 такой
параметризации ср: U -> S часто называется картой,
потому что с помощью <р- область Image ср ст S «кар-
тируется» на U с R" точно так же, как какая-либо
часть земной поверхности «картируется» на топогра-
фической или политической карте. Отображение ф~!
иногда называют также координатной системой, по-
тому что с помощью ф-1 каждой точке р из Image ф
сопоставляется некоторая совокупность « действи-
тельных чисел, координат точки р.
Пример 1. Пусть ф — отображение открытого
квадрата 0 < 0 < 2л, 0 < ф < 2л в R3, определен-
ное при а > b > 0 формулой
Ф (0, ф~) = ((« + b cos ф) cos 0, (а + b cos ф~) sin 0, b sin ф).
Тогда ф-1 является картой на торе (д/х^ + х| —- а)2 +
+ хз = 62 с двумя удаленными окружностями (см.
рис. 15.3).
180 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Пример 2. Пусть ср—отображение открытого прямо-
угольника О<0<2л, 0 < ф < л в R3no закону <р (©, ф) =
= (cos0sin^, sin 0 sin ф, cos ф). Тогда ср”1 является
картой на сфере S2 с удаленной полуокружностью
(см. рис. 15.4).
Рис. 15.3. <р 1 является картой части тора, полученной удалением
двух окружностей (6 = 0 и Ф = 0).
Рис. 15.4. Сферические координаты определяют карту на части
сферы S2, полученной удалением полуокружности 9 = 0, 0 <1Ф л.
Пример 3. Стереографическая проекция дает нам
пример карты, область определения которой совпа-
дает с единичной сферой с одной только удаленной
точкой. Такую карту легко построить для сферы про-
извольной размерности. Пусть Sa обозначает единиц-
15. ЛОКАЛЬНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ'	181
ную n-сферу в R^1, и пусть q = (0, О, 1) обозна-
чает «северный полюс» сферы S". Пусть отображе-
ние ср: R"->Sn переводит каждую точку
в точку, отличную от q и в которой сфера S" пересе-
кается с прямой, проходящей через точки q и (р, 0)е
е Rn+1 (см. рис. 15.5).
Рис. 15.5. Стереографическая проекция.
Прямую линию, проходящую через точки (р, 0) и
q, параметрически можно представить в виде а(0 =
==^(р,0) + (1 — t)q = (tp,\ — t). Так как ||сх(^)|1=1
в том и только том случае, когда t = 0 или t —
= 2/(]|,t?j|2 +1), то отображение <р будет опреде-
ляться формулой
<р (Х1..хп) = (2xi, • • , 2хп, х\ +
+	1)/(х? + . . . + Хп + 1).
Отображение <р является параметризованной поверх-
ностью, отображающей Rra взаимно однозначным об-
разом на S”— {q}. Карта <р-1 называется стереогра-
фической проекцией из S" — {q} на экваториальную
гиперплоскость. Отметим, что ср оставляет экватори-
альную (и—1)-сферу неподвижной, отображает еди-
ничный шар {(xi, . .., хп) е Rn: xi + ... + х« < 1} на
„южную полусферу” {(хь ..х„+1) е S": х„+1 < 0} и
переводит внешность {(xi, ..., хп) е R”: Xi + ... +
+ хА> 1} единичного шара на „северную полусферу”
{(хь .... x„+i)eS": х„+1 > 0} с удаленным северным
полюсом.
Теорема 2. Пусть ср: U -> Rra+’ — параметризован-
ная n-поверхность в Rra+1, и пусть p^.U. Тогда наа-
182 начальные главы дифференциальной геометрии
дется открытое множество U\ cr U, содержащее точку
р и такое, что (р(1Д) является п-поверхностью в Rz,+I.
Доказательство. Определим отображение ip: (7 X
X R ->• R',+I формулой ф (q, s) — <р (<?) + sN(q), где
N (q) — векторная часть в q ориентирующего вектор-
ного ПОЛЯ ВДОЛЬ ф. Тогда
Л>(р, 0) =	1ч(р)Д(р)
является матрицей, столбцы которой составлены из
векторных частей в р координатных векторных полей
Рис. 15.6. Теорема об обратной функции, примененная к пара-
метризованной 1-поверхности ср. Отрезки прямых в ф (V) имеют
уравнения (.s) = ф (с/) + .s.'V (с/) (q фиксировано). Трансверсаль-
ные 1-поверхности являются образами отображений ф5?С71->₽2
определенных как cps (q) — ср (q) + slV (q) (s фиксировано).
Е/ и единичного нормального векторного поля N. Зна-
чит, столбцы матрицы 7^,(р, 0) линейно независимы
и поэтому det (р, 0)^0. По теореме об обратной
функции существует открытое множество Ус
содержащее точку (р, 0) и такое, что ограничение фр/
отображения ф на V отображает V взаимно одно-
значным образом на открытое множество ф(У), при-
чем это отображение (ф|к)~1 гладкое. Уменьшая в
случае необходимости V, мы можем считать, что V ~
= Ui%l, где U\ с: U некоторое открытое множе-
ство, содержащее р, а /с R — некоторый открытый
интервал, содержащий 0 (см. рис. 15.6). Определим
15. ЛОКАЛЬНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
183
теперь функцию f: Image ф I v -> R, положив ^(ф(</,
s))=s, т. е. считая f (<р (<?)+ sN(<?)) = s. По-другому
говоря, f(ty(q, s)) дает расстояние по перпендику-
ляру от ф(</, s) до образа <р. Функция f определена
вполне корректно и является гладкой как компози-
ция гладкого отображения (ф|и)-1 с отображением
проектирования U\	Множество уровня f-1 (0)
в точности совпадает с <p(Ui), так как
Г'(0) = {Ф(<7, s): q^Uh s = 0} = {ср (q): q^Ux}.
Наконец, Vf (г) ф 0 для z = ф {q, 0) e f-1 (0), так как
положив a(s) —ф(</, s) — ср (q) -J- sN (q), получим
Vf (z) • N (?) = V/ (a (0)) • a (0) = (f ° a)' (0) = 1 #=0.
Таким образом, <p(L/i) = f-1 (0) являетсся «-поверх-
ностью в Rz,+1.	□
Теорема 1 утверждает, что для каждой точки р
на «-поверхности S в Rra+1 существует содержащее
эту точку открытое множество V, такое, что S П V яв-
ляется образом некоторой взаимно однозначно пара-
метризованной «-поверхности. Теорема 2 утверждает,
что для каждой точки р из области определения па-
раметризованной «-поверхности ср в R'1+1 существует
содержащее эту точку открытое множество V, такое,
что Image (<р|/) является некоторой «-поверхностью.
Отсюда следует, что каждый раз, когда некоторое
подмножество S из R”+1 оказывается возможным
представить одновременно и как некоторую «-поверх-
ность S = f~l(c), и как образ некоторой параметри-
зованной «-поверхности <р: J7->Rn+1 с Мф (р) = Ns (ср (р))
для всех р е U, то <р и S будут иметь в каждой
точке одну и ту же геометрию, а именно
(i) Отображение Вейнгартена Lp поверхности tp
в р е U совпадает с отображением Вейнгартена L$(p)
поверхности S в <р(р), потому что для любого вектора
veRpra
Lp (dcp (v)) = - Vv N ф = - Vv (N s о <p) = - ( N s о ф о a) (t0)=
= - Vp о a <«N'S = (v)NS = 4S (p)	(V)),
где кривая a: U, такая, что a(L>).= v-
184 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
(ii) Главные кривизны (кривизна Гаусса — Кро-
некера и средняя кривизна поверхности <р в точке
р е U) равны соответствующим величинам поверх-
ности S в ср(р), так как все они получаются непосред-
ственным образом из отображения Вейнгартена.
Замечание. Теорема 2 утверждает, что если ср яв-
ляется параметризованной «-поверхностью в R'1+1, то
локально образ <р представляется некоторой «-поверх-
ностью, т. е. множеством уровня некоторой веществен-
нозначной функции f с весбращающимся в нуль гра-
диентом. Естественно поставить вопрос о справедли-
вости аналогичного утверждения об образе <р в слу-
чае, когда <р является параметризованной «-поверх-
ностью в R”+*. Ответ в этом случае тоже утверди-
тельный, с той же самой формулировкой, если опре-
делить «-поверхность в R”k* следующим образом.
Поверхность размерности п или «-поверхность в
R”+ft (fe^l) есть непустое подмножество S в R”+fe
вида S — /-1 (с) (с е Rfc), где f: U -> Rfc (U — открытое
множество в Rre+fe) — гладкая функция, дифференциал
которой dfp имеет ранг k в каждой точке p^S. Так
как матрица отображения dfp относительно стандарт-
ных базисов в Rp+fe и R^(p) совпадает с матрицей
Якоби функции f, строки которой являются вектор-
ными частями градиентных векторов \7fi(p), считая,
что f (q) = (fi (7), ...,fk(q)), q^.U, то что определение
можно сформулировать по-другому так: «-поверхность
в Rrt+& есть непустое подмножество из Rn+fe вида
5=/г1 (с.)П  • • Я = п /гЪ).
1 = 1
где U -> R (U — открытое множество в R”+*) —
гладкие функции, такие, что система векторов
-tVfi(p), Vf*(p)} линейно независима в каждой
точке р е S (см. рис. 15.7). Таким образом, «-поверх-
ность в Rrt+ft представляет собой пересечение (« 4-
+ k—1)-поверхностей, число которых равно k и ко-
торые встречаются друг с другом трансверсально,
в том смысле, что нормальные направления к ним яв-
15. ЛОКАЛЬНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ’
185
ляются линейно независимыми
сечения.
Касательное пространство
k
«-поверхности S = П /Г* (с<) в
i— 1
векторов в R"+fe вида а (/о),
в каждой точке пере-
Sp в точке ps S к
R,Hfc состоит из всех
где а — произвольная
Рис. 15.7. 1-поверхность S в R3 является пересечением
ff' (с,)fl (с2) двух 2-поверхностей
Рис. 15.8. Касательное и нормальное пространства в точке неко-
торой 1-поверхности (пространственной кривой) в R3.
параметризованная кривая на S с условием a (Zo) = Р-
Следовательно,
Sp-Dr‘(ci)]p п •  • nL/r1 (с< =
= {veR^!: vf.(p).v = O, Ze
Подпространство из Rp+fr размерности k, натя-
нутое на векторы {V/i(p).......Vfk(p)}> называется
186 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
нормальным пространством к S в точке р (см.
рис. 15.8).
Пример 1. 1-поверхность в R3 называется обычно
пространственной кривой (см. рис. 15.8).
Пример 2. Пусть функции Д-: R4->R (i е{1,2})
определены формулами
А(Х1> Х2’ хз> Х4) = Х'1 + Х1
f 2 (*1> Х2> Хз< Х 1) == Хз ^4.
Тогда S = /Г1 (1) П № (1) является 2-поверхностью
в R4 (тор). Отметим, что S получается как декартово
произведение единичной окружности из (xi,x2)-пло-
скости и единичной окружности из (х3, х4)-плоскости.
С другой стороны, S = Image ф, ф— параметризован-
ный тор, описанный в примере 9 в предыдущей главе.
Замечание. Точно так же, как понятие «-поверх-
ности в R,i+1 в том виде, как оно было определено
в гл. 4, оказалось недостаточно общим для того, чтобы
оно включило в себя и поверхности типа листа Ме-
биуса, так и понятие «-поверхности в ₽"+*, данное
в этом разделе, не является достаточно общим для
того, чтобы оно содержало все те подмножества из
R”+\ которые можно было бы назвать «-поверхно-
стями. Поверхности из гл. 4 были «ориентируемыми»
поверхностями; это означало, что каждая такая по-
верхность может быть ориентирована выбором глад-
кого единичного нормального векторного поля. Опре-
деленные в этой главе «-поверхности в Rra+* являются
«нормально реперируемыми» «-поверхностями в том
смысле, что каждая такая поверхность допускает вве-
дение на ней реперов из нормалей выбором k гладких
нормальных векторных полей, образующих базис
в нормальном пространстве к поверхности в каждой
ее точке. В этой книге мы не будем заниматься по-
верхностями более общего вида.
Замечание. Мы называли отображение «-поверх-
ности S сд Rra+‘ в R* гладким, если оно представля-
лось как ограничение на S некоторой гладкой функ-
15. ЛОКАЛЬНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ'
187
ции, определенной на открытом множестве в Rn+I, со-
держащем S. Используя локальные параметризации,
мы теперь можем охарактеризовать гладкость отобра-
жений в других терминах.
Теорема 3. Пусть S — некоторая n-поверхность в
R"+I, и пусть f:	Тогда отображение f являет-
ся гладким тогда и только тогда, когда функция
f ° ср: U -> R* гладкая для каждой локальной пара-
метризации <р: U->S.
Доказательство. Если функция f гладкая, то функ-
ция f ° <р тоже гладкая как композиция гладких функ-
ций.
Обратно, пусть функция /оф гладкая для каждой
локальной параметризации <р поверхности S. Мы
должны построить гладкое продолжение f функции f
на некоторое открытое множество V в содер-
жащее S. Рассмотрим для каждой точки nsS неко-
торую локальную параметризацию <рр: UP->S по-
верхности S, образ которой содержит р, и пусть
отображение фр: Up X R —> R"+1 определено как
фр(<7, s)= <рр(7)+sM(cpp(7)), где N —некоторая ори-
ентация на S. Тогда, как и в доказательстве теоре-
мы 2, мы можем найти в Up X R некоторое открытое
множество Vp, содержащее точку (фрЧр), О) и такое,
что |у отображает Vp взаимно однозначным обра-
зом на некоторое открытое множество WP в К'Н-1,
причем обратное отображение (фр WP->VP
тоже является гладким. Кроме того, уменьшая в слу-
чае необходимости Vp, мы можем считать, что
фр(<7, s)e.S для («у, s)e Vp в том и только том слу-
чае, когда s = 0. Если теперь мы определим fp: Wp ->
~^Rfc по формуле (фр(v) + sM(фр(</))) =/(фр(9)), то
окажется, что мы построили гладкое продолжение
fp = (f °Фр)°л°('фр|1/р)~1 функции f\w ns на откры-
тое множество Wp в R"+1. Здесь считается, что
n(q, s)—q. Теперь надо бы склеить эти расширения
вместе, чтобы получить гладкое расширение функ-
188 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
ции f, определенное на открытом множестве [J Wp.
pt=S
Мы можем это сделать, если	на
’	'Pl 'pl	pl ' ' pj
для всех pi, p2 e 3. Однако это может быть и не так
(см. рис. 15.9). Но если для каждой точки реЗь 1
выберем ър > 0 так, чтобы шар радиуса 2еР и с цент-
Рис. 15.9. Построение гладкого продолжения.
ром в р содержался в Ц7Р, и положим Вр = шар ра-
диуса ер с центром в р, то равенство
Фр. (<?i) + (Фр. (<71)) = ФРг + S2N К Ы)
может иметь место для (qv s2) е (фР1 |Кр)- (#Р1) и
(р2, s2) е (%2 у1 (Вр2) только тогда, когда <рР1 (<?,) ==
= срр2 (р2) и s, = s2. Отсюда следует, что можно опре-
делить функцию f: U Bp-»Rfe, положив f (фр (<?) +
pGS
+ sN (<рр (7))) = f (фр (q)), и что эта функция как раз
и является гладким продолжением функции /.	□
Для функции f\ S Rz, определенной на п-поверх-
ности в ₽"+*, мы можем определить гладкость f усло-
вием, что / является ограничением на 3 некоторой
гладкой функции, определенной на открытом множе-
стве в Rrt+fe, содержащем 3, либо условием, что ^оф
является гладкой функцией для каждой локальной
параметризации ф поверхности 3. Эти два условия
на / эквивалентны, что следует из рассуждений, ана-
15. ЛОКАЛЬНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ'
189
логичных тем, которые были использованы при дока-
зательстве теоремы 3.
Гладкое отображение f, для которого существует
также гладкое обратное отображение, называется
диффеоморфизмом. Таким образом, например, локаль-
ная параметризация <р: U-+S, построенная в доказа-
тельстве теоремы 1, является диффеоморфизмом из
открытого множества U с R”+l на открытое множе-
ство V П 5, содержащее точку ре5.
Теорема 4 (теорема об обратной функции для
«.-поверхности). Пусть S и S — п-поверхности,отобра-
жение ф: S->5 — гладкое, и пусть точка p^S, та-
кая, что в ней дифференциал d^p: Sp—>5,],^) являет-
ся неособым линейным отображением. Тогда сущест-
вуют открытое множество V на S, содержащее точку
р, и открытое множество W на S, содержащее точку
ф(р), такие, что отображение ф|у является диффео-
морфизмом из V на W.
Доказательство. Пусть ф,: {71->S и <р2: U2—>S~
взаимно однозначные локальные параметризации по-
верхностей ShSc условиями р^Ф। (C7j) и ф (р)еф2(£72)>
построенные как при доказательстве теоремы 1. Тогда
отображение ср^1 ° Ф ° Фг U\~*^2 гладкое и диффе-
ренциал d (ф-1 о ф о ф1)ф_1	о (йф,)фГ1(р)
неособый, так что по теореме об обратной функции
для R" существует открытое множество У1сг/71, со-
держащее точку фт 1 (р), такое, что (ф^1 ° ф °Ф1) |и
является диффеоморфизмом из Vt на некоторое мно-
жество W, a U2, содержащее точку Ф2~1оф(р). По-
ложим 1/ = Ф1(1/1) и 1Тг = ф2(1^1). Тогда ф|7 = Ф20
° (ф2-10 Ф ° Ф1) ° Ф”1]у является диффеоморфизмом из
V на W.	□
Следствие. Пусть S — компактная связная ориен-
тированная n-поверхность в Rn+1 с всюду отличной от
нуля кривизной Гаусса — Кронекера. Тогда гауссово
отображение N: S -> Sra является диффеоморфизмом.
190 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Доказательство. По теореме 5 из гл. 13 отображе-
ние N является взаимно однозначным и «на», так что
нам нужно только убедиться, что обратное отображе-
ние N~} является гладким. Для каждой точки ps S
и каждого вектора veSP dN (у) имеет ту же саму -
векторную часть, что и VvN = — Lp(v), которая мо-
жет быть нулем, только когда v = 0, так как, со-
гласно теореме 6 из гл. 12, вторая основная форма
поверхности S в точке р является определенной.
Применяя теорему 4, мы получаем, что А7”1 является
гладким на некотором открытом множестве, содержа-
щем точку р, и это верно для каждой точки S”, что
в свою очередь, согласно теореме 3, достаточно для
доказываемого утверждения.	□
УПРАЖНЕНИЯ
15.1.	Пусть q = (0...0, —1) обозначает «южный полюс»
единичной «-сферы S'1. Найдите формулу, выражающую парамет-
ризованную «-поверхность ф:	— {<?}, которая является
обратной по отношению к стереографической проекции из S" — (q)
на экваториальную гиперплоскость x„+i = 0.
15.2.	Найдите формулу для параметризованной «-поверхно-
сти ф: R'1-> S'1 — {q}, где q — северный полюс (0.0,	1) еди-
ничной «-сферы S'1, а ф-1 — стереографическая проекция из
S'1— {q} на касательную гиперплоскость xn+i =—1 к сфере в
южном полюсе (0.......0, —1). [Таким образом, для точки
/> ец R", ф(р) совпадает с точкой сферы S", отличной от q и
лежащей на прямой, соединяющей точки q и (р, —1)еРл+‘.]
15.3.	Пусть ф: {7->R"+1 — параметризованная «-поверхность
в R'1+1, пусть отображение Ф: U X R R"+1 определено фор-
мулой 'V(q, s) = ф(<?)+ sN(q); далее, пусть открытое множество
V = Ui X i таково, что на нем ф|к имеет обратное гладкое
отображение, и, наконец, пусть функция ff$(q, s)) = s, как в
доказательстве теоремы 2.
(а)	Покажите, что множества уровня f~‘(c) (с е /) ортого-
нальны всюду к линиям P,(s) = ф(д)+ sN(q) (qeljt фиксиро-
вана). [Указание: заметим, что каждая параметризованная кри-
вая в имеет вид ф ° а + с А’ ° а, где а — параметризован-
ная кривая на LX]
(Ь)	Покажите, что V/(z) = (z; N(q)) для z = M>(q, s) e
Et(l/iX/).
15.4.	Покажите, что в теореме 2 недостаточно просто огра-
ничить область определения ф до некоторого открытого подмно-
жества Ui a U, на котором ф взаимно однозначно, для того
чтобы можно было гарантировать, что Image ф является некото-
рой «-поверхностью в R"+1; «предъявите» пример взаимно одно-
15. ЛОКАЛЬНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
191
знатным образом параметризованной I-поверхности в R2, образ
которой, однако, не является 1-поверхностью.
15.5.	Пусть S — ориентированная «-поверхность в Rrt+I, и
пусть Т (S) = {ve R"+‘ <= R2 (ra+1): p g= S и v • N (p) = О). Пока-
жите, что T (S) является 2/г-поверхностью в R2ra+2. (Т (S) назы-
вается касательным расслоением поверхности S.)
15.6.	Пусть S — ориентированная «-поверхность в Rrt+1, и
пусть 1\ (S) — {v е R”+1 cz R2 р е S, v  N (р) = 0, v  v = 1}.
Покажите, что Т\ (S) является (2/г—1)-поверхностыо в R2z,+2.
(Т1(S) называется единично-сферическим расслоением поверх-
ности S.)
15.7.	(а) Рассмотрим множество всех (2 X 2)-матриц с дей-
ствительными элементами как пространство R4, отождествляя
для этого точку (xi, .... с матрицей
/ Xi х2 \
\ х3 х4 )
Покажите, что множество 0(2) ортогональных (2X2)-матриц
является 1-поверхностью в R4. [Напомним, что матрица А назы-
вается ортогональной, если обратная к ней матрица Д-1 совпа-
дает с транспонированной матрицей А. Это эквивалентно усло-
вию, что строки матрицы А образуют ортонормированиую си-
стему.]
(Ь) Покажите, что касательное пространство 0(2)р к 0(2)
( 1 0\
в точке р = I I может быть отождествлено с множеством
всех кососимметричных (2 X 2)-матриц, для чего установите, что
[Указание: вычислить (ага;)'(/о), где
а (0=1 /м
\ «2 У))
— произвольная параметризованная кривая в О (2) с а (/о) =
-G °)]
15.8.	(а) Покажите, что множесво О (я) ортогональных
(я X «) -матриц является (я(л — 1)/2)-поверхностью в R”’.
(Ь) Опишите касательное пространство к О (я) в точке
р=единичная матрица.
15.9.	Покажите, что если S = f-I(c) является «-поверх-
ностью в R"+ft и точка ;> = .? то касательное пространство Sp
к S в р совпадает с ядром отображения
15.10.	Докажите теорему 1, заменив в ней всюду я + 1 на
п 4- k.
192 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
15.11.	Докажите теорему 2, заменив в ней п + 1 на п + k.
[Указание: использовать отображение гр: U X R11	R"+4, опре-
k
деленное как ф (g, .........^) = ф(<?) + X t.N^q}, где Ni
1=1
(ie{l, ..., /г}) —векторные поля вдоль ср, на которые натяну "о
нормальное пространство (Image dip,)-1- в каждой точке q е o.J
15.12.	Пусть <р:	обозначает отображение, обратное
к стереографической проекции из Sn — {(0, .... О, 1)} на эквато-
риальную гиперплоскость x„+i = 0.
(а)	Покажите, что для каждой точки р е R” существует
действительное число А(р)>0, такое, что ||d<p (v)|| = A (р) ||v||
для всех v е R”. [Указание: заметим, что векторная часть для
dcp (v) есть (d/dt) |о <р (р + /о), где у = (р; о).]
(Ь)	Используя соотношение у • w = (’/с) (II v + w||2 — ||v • w||2),
покажите, что dip (v) • dip (w) = (A (p))2 v • w для всех v, w e R",
и выведите отсюда, что dip сохраняет угол между векторами.
[Таким образом, это упражнение показывает, что стереографиче-
ская проекция является конформным (т. е. сохраняющим углы)
отображением.]
15.13.	Пусть S — некоторая «-поверхность в R'I+1, и пусть
р е S. Покажите, что подмножество поверхности S, состоящее
из всех тех точек q е S, которые можно соединить с р непре-
рывной кривой на S, является связной «-поверхностью.
15.14.	Пусть С — fl (с2)~некоторая 1-поверхность
в R3, и пусть X = Vfi X V/г- Покажите, что ограничение X на С
является касательным векторным полем на С и что максималь-
ная интегральная кривая поля X, проходящая через точку реС,
является взаимно однозначным или периодическим отображением
а: I -> С. Когда а отображает I на С?
16. ФОКАЛЬНЫЕ ТОЧКИ
В предыдущей главе при доказательстве теоремы 2
была использована конструкция, сопоставляющая па-
раметризованной «-поверхности <р:	семей-
ство гладких отображений <ps: U -> Rra+1 (seR), оп-
ределяемых формулой
Фз (?) = Ф (?> s) = ф (?) + «У (?)
(см. рис. 15.6). При s = 0 отображение фз = ф яв-
ляется параметризованной «-поверхностью в R”+1.
При s =# 0 отображение фз уже может и не быть па-
раметризованной «-поверхностью, потому что могут
быть точки р е U, в которых нарушается регуляр-
ность ф5. В такой точке будет направление veRJ
(II v ||=1), такое, что с/фз(у) = 0. Если а — некоторая
параметризованная кривая на б с условием —
— v, то в этой точке получаем, что
Фз i a (t0) = dq>s (a О = 0;
т. е. кривая фх ° а (/) = ф (а (/)) -j- $(УФ (а (/)) (s фиксиро-
вано) в точке t = t0 «останавливается» (имеет нуле-
вую скорость). Геометрически это означает, что нор-
мальные прямые, которые идут от кривой фо«вблизи
точки ф(р)= ф(а(бз)), сходятся к точке / =
= Фз(а(/о)) = фз(/?) (см. рис. 16.1). Такие точки f
называются фокальными точками поверхности ф. За-
метим, что нормальные прямые вдоль а в действи-
тельности пересекаются не обязательно в некоторой
фокальной точке.
Пусть для данной параметризованной п-поверх-
ности ф: 6/ -> Rra+‘ и точки ре U отображение р:
194 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
R-^-R«+1 определено как р (s) = <р (р) + sN9 (р). Тогда
Р является параметризацией с единичной скоростью
прямой, нормальной к образу ср в точке ф(р). Точка
/е Imageр называется фокальной точкой поверх-
ности <р вдоль (или на) прямой р, если / = Р (s0), где
Рис. 16.1. / — фокальная точка параметризованной
ности <р на R2.
1-поверх-
s0 таково, что отображение <pSo: U ->R”+1, определен-
ное по формуле <pSo (q) = Ф (7) + s0Nv (q), является син-
гулярным (нерегулярным) в точке р.
Теорема 1. Пусть q>: U-+Rn+1— параметризован-
ная п-поверхность, пусть точка р U, и пусть р:
R^-Rra+' — нормальная прямая линия, определенная
уравнением р (s) = ф (р) + sN"' (р). Тогда фокальные
точки поверхности ф вдоль р совпадают с точками
Р(1/&,(р)), где ki(p) — ненулевые главные кривизны q
в точке р. В частности, вдоль р существует самое
большее п фокальных точек поверхности ф.
Доказательство. Точка / — р (s) = ф5 (р) является
фокальной точкой ф вдоль р в том и только том слу-
чае, когда dtysiy') — 0 для некоторого вектора v s RJ.
v 0. Пусть кривая a: [-+U, такая, что a(Z0) = v;
тогда векторная часть dq>s(v} равна
Д-| ((Ь°а)==77'| (ф 0 а + sN^ о а) ($ —фиксировано)
*£о	't
=Д (ф°“)+54[ (г°а)-
*£о
16. ФОКАЛЬНЫЕ ТОЧКИ
195
Так как это последнее выражение представляет со-
бой векторную часть суммы ф о а(/0) + sVy!^, то от-
сюда следует, что <Lps(v)=0 в том и только том слу-
чае, когда
О = ф о а (/0) +	=
= dtp (v) — sLp (й?ф (v)).
Значит, dtps(v)=0 тогда и только тогда, когда
Lp (dtp (v)) = у (dtp (v)).
Заметим, что s не может равняться нулю, так как
Лр(у)=/=0. Таким образом, / является фокальной
точкой ф вдоль р в том и только том случае, когда
1/s есть собственное значение отображения Lp, т. е.
в том и только том случае, когда 1/s совпадает с
главной кривизной поверхности ф в точке р.
□
Для данной ориентированной «-поверхности S в
рп+! точка / называется фокальной точкой S вдоль
нормальной прямой P(s) = р + sNs(p) (peS), если
/ является фокальной точкой вдоль р поверхности ф,
где ф — любая параметризация с Д/ч> = № <=ф некото-
рого открытого множества на S, содержащего р. Та-
ким образом, / является точкой, где сходятся нор-
мальные прямые к S, исходящие из точек вдоль неко-
торой кривой, проведенной на S через точку р. По
предыдущей теореме фокальные точки поверхности S
вдоль р совпадают с точками р(1 /kt(р)), где kt(p) —
ненулевые главные кривизны S в точке р. Заметим,
что расположение фокальных точек не зависит от вы-
бора ориентации на S, так как обращение вектора №
приводит к изменению знака главных кривизн, поэто-
му фокальные точки р (l/ki(p))Ns(р) остаются те
же самые. Отметим, далее, что нормальные прямые,
которые сходятся в точке р -j-(l/ki(p))Ns(p) как в
фокусе, идут от точек той кривой на S которая исхо-
дит из р в i-м главном направлении.
Следующая теорема описывает важнейшее свой-
ство фокальных точек, а именно, что расстояние от
196 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
н-поверхности локально минимизируется отрезком
нормали только до первой фокальной точки. Мы сфор-
мулируем и докажем эту теорему для ориентирован-
ных поверхностей, но она, конечно, справедлива так-
же и для параметризованных поверхностей
Теорема 2. Пусть S — ориентированная п-поверх-
ность в Rn+1. Пусть р е S, и пусть точка р0 лежит на
нормали к S, проведенной в точке р. Определим
отображение h: S-*R как h(q)—\\q — poll2- Тогда h
достигает локального минимума в точке р в том
Этот отрезок
" короче
Р Т
Рис. 16.2. Нормаль к S за первой фокальной точкой / уже ие
минимизирует расстояние до S.
и только том случае, когда вдоль нормали к S в р
между ро и р нет фокальных точек поверхности S
(см. рис. 16.2).
Доказательство. Так как р0 лежит на нормали к5
в р, то p0 = p + sN(p') для некоторого seP. Пред-
положим, что s > 0, в противном случае мы можем
изменить знак s обращением ориентации на S. Опре-
делим отображение h: Rn+I -> R формулой
h (q) = || q — po ||2 = (q — pQ) • (q — p0),
так что h является ограничением h на S. Тогда
7Л(<?) = 2((?; q-Ро).
16. ФОКАЛЬНЫЕ ТОЧКИ
197
В частности,
Vft (р) = 2 (р; р — ро) = — 2sN (р),
так что h стационарна в точке p(gradft(p) = O). Гес-
сиан функции h в р на векторе veSp(v=#0) дается
(см. гл. 13) формулой
2%р (v) = [Vv (v^ -	• N) N)] • v =
= [Vv (Vft) + ((Vft) • N) (p) Lp (v)]  v =
= [2v — 2sLp (v)]  v = 21| v ||2 (1 — sft (v/1| v ||)),
где ft(v/||v||)—нормальная кривизна S в направле-
нии v/||v||. Отсюда
^p(v)>2||v||2(l -sft„(p)),
где kn(p)—максимальное значение нормальной кри-
визны в точке р, т. е. kn(p) есть максимальная глав-'
ная кривизна S в р. Отсюда следует, что если kn(p)<.
< О или если ftrt(p)>0 и s < l/ft«(p), то гессиан
положительно определенный, так что ft достигает в р
локального минимума. По непрерывности ft должна
достигать в точке р локального минимума и в слу-
чае, когда ft„(p)> 0 и s = l/ftfi(p). Таким образом, ft
достигает в р локального минимума всякий раз, как
ft«(p)<0 или ft„(p)>0 и s ^.\/kn(p), т. е. тогда,
когда на нормали к S в р между точками р и р0 =
= р -Ь sN(p) нет фокальных точек поверхности S
(см. рис. 16.3).
Обратно, если 0 < l/ftn(p) <_ s, то
3%Р (v„) = 2 (1 - sk (v„)) = 2 (1 - skn (p)) < 0,
где vn — главное направление в точке р, соответ-
ствующее главной кривизне так что 2ёр не яв-
ляется положительно полуопределенным и поэтому h
не достигает в р локального минимума. Действитель-
но, если а — произвольная параметризованная кри-
вая на S с а (/о) = vre, то
(ft о a)' (/0) = (grad ft) (р) • а (/0) = 0
и
(ft о а)" (/0) = VVn (grad ft) • а (/0) =	(v„) < 0,
198 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
так что расстояние от р0 до S уменьшается при дви-
жении на S от р в направлении vn.	□
Множество всех фокальных точек вдоль всех нор-
малей к «-поверхности S в Rn+1 называется фокаль-
ным множеством поверхности S. Это множество на-
Рис. 16.3. Для kn (р) > 0 первая фокальная точка совпадает
с р + (1Д„(р))Л^(р).
Рис. 16.4. Фокальное множество параболы как множество особен-
ностей движущегося вперед фронта волны.
глядно можно представить себе следующим образом.
Для каждого s е R множество
Ss = {q е R"+I: q — р -f- sN (p), p — некоторая точка S}
всех точек, полученных движением от поверхности S
вдоль нормалей к ней на расстояние s, выглядит как
некоторая «-поверхность с особенностями (с точками,
16. ФОКАЛЬНЫЕ ТОЧКИ
199
где касательное пространство имеет размерность
в точках, которые и являются фокальными точками S.
Эти особенности появляются обычно как острия или
как складки на Ss. Множество Ss можно представить
как положение в момент времени s/c (с — скорость
света) движущегося вперед фронта волны света от
световой вспышки на всей поверхности S в момент
s = 0. Наблюдая за фронтом волны, мы можем про-
следить, как его особые точки описывают фокальное
множество (см, рис. 16.4).
УПРАЖНЕНИЯ
16.1.	Пусть ср: RR2 — эллипс <р(/) = (a cosb sin t)
(а > 0, b > 0).
(а)	Покажите, что фокальное множество эллипса <р является
образом параметризованной кривой
...	( а2 — b2 А2 — а2 Д
а (0 = I -------cos31,---------sin3 М.
(b)	Нарисуйте эскиз фокального множества ср.
16.2.	Пусть С — ориентированная плоская кривая, и пусть
точка реС, такая, что в ней кривизна z(p) кривой С отлична
от нуля.	,
Рис. 16.5. Фокальное множество параболы как огибающая нор-
малей к ней.
(а)	Покажите, что если точка <?еС достаточна близка к р,
то нормали к С в р и q пересекаются в некоторой точке
h(g)e R2.
(b)	Покажите, что когда q стремится к р вдоль С, то точка
h(q) подходит к фокальной точке кривой С на нормали к С в р.
[Таким образом, фокальное множество кривой С является оги-
бающей семейства нормалей к С (см. рис. 16.5).]
16 3. Пусть ср. R2 — регулярная параметризованная кри-
вая в R2 с всюду отличной от нуля кривизной z. Для te.1 по-
200 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
ЛОЖИМ
а(0 = Ф(0 + (1/х (0) N* (t),
так что а является параметризацией фокального множества кри-
вой ср.
(а)	Покажите, что а регулярна (а (/) =/= 0) в точке t е I в
том и только том случае, если х/(/)^= 0.
(Ь)	Покажите, что для каждого t^I, для которого v.'(t)=/=
ф 0, нормальная прямая к образу <р в ср(^), касается фокаль-
ного множества кривой <р в точке а(/) (см. рис. 16.5).
(с)	Покажите, что для любого отрезка [Ц, /г] с /, такого,
что	0 при Ц < t < tz, длина прямолинейного отрезка от
<р(0 до a(t) и дуги кривой а от a(t) до а(/2) в сумме является
Рис. 16.6. Половина
параболы как эволь-
вента ее фокального
множества.
постоянной как функция от t (см. рис. 16.6). [Замечание. Упраж-
нение 16.6 показывает, что любая дуга плоской кривой, имеющей
регулярное фокальное множество, прочерчивается концом нити,
сматываемой с фокального множества (рис. 16.6). Фокальное
множество плоской кривой С совпадает с геометрическим местом
центров кривизны и часто называется эволютой кривой С. Кри-
вая, получаемая из другой кривой сматыванием с нее натянутой
нити, называется эвольвентой.]
16.4.	Пусть ф: /->R2— регулярная параметризованная кри-
вая в R2, и пусть to е I. Определим для каждого значения s е R
отображение ф5: /->R2 как ф5 (/) = ф (/) + s№> (/), и пусть h
обозначает наибольший интервал, содержащий t0 и на котором
ф5 регулярно. Наконец, обозначим через xs: /S->R кривизну
ограничения фз на Is.
(а)	Покажите, что Л при каждом s < 1/х(/0) является от-
крытым интервалом, содержащим to (здесь х обозначает кривиз-
ну кривой ф).
(Ь)	Покажите, что для s < 1/х(/о)
о	1
Xs (<0) =---j-------,
X (ta)
— s
16. ФОКАЛЬНЫЕ ТОЧКИ
201
и получите отсюда, что lim |	(<0) | = оо. [Указание: для
S->l/X (Го)
облегчения вычислений можно предположить, что <р является
кривой с единичной скоростью.]
16.5.	Пусть S —ориентированная «-поверхность в Rrt+1. Пусть
точка peS, вектор veSp (v#=0), и пусть а: /-> S — парамет-
ризованная кривая на S, такая, что a (Zo) = V. Определим ото-
бражение а|з: R X У —> Rrt+1 как ф (s, t) = а (/) + sNs (а (/)). Пусть
X — векторное поле вдоль нормали р к S в р (р (s) = р + аМ5 (р)),
определенное по формуле X (a) — с/ф (a, t0: 0, 1) (см. рис. 16.7).
Рис. 16.7. Поле Якоби.
(а)	Покажите, что X (0) = v и что X (0) = — Lp (v). [Указа-
ние: векторная часть X есть (д/ds) (дф/д/).]
(Ь)	Покажите, что X = 0, и выведите отсюда, что X (а) =
= (р (a); v -|- sw), где v и w — векторные части соответственно
для v и — Lp (v).
(с)	Покажите, что X(s) = 0 в том и только том случае,
когда р (а) является фокальной точкой S вдоль р и вектор v
идет по главному направлению, соответствующему главной кри-
визне 1/а.
Замечание. Из (Ь) следует, что векторное поле X не зависит
от выбора параметризованной кривой а с начальным вектором
скорости V. X называется полем Якоби вдоль р, порожденным
вектором v.
17. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
Теперь мы рассмотрим проблему нахождения объ-
ема (площади, если п = 2) «-поверхности в R"+1.
Как это было с длинами плоских кривых, вопрос этот
будет решен в два приема. Сначала мы определим
объем параметризованной «-поверхности, а затем оп-
ределим объем «-поверхности в терминах локальных
параметризаций.
Напомним, что длина параметризованной кривой
а: /-> R2 определяется формулой
ь
/(а)=$||а||=$||а(0М/,
i	а
где а и b — концевые точки интервала I. На языке
параметризованных поверхностей можно сказать, что
если отображение а регулярное, то вектор скорости а
есть в точности координатное векторное поле Е] вдоль
параметризованной 1-поверхности а в R2, и
|| a (01| = || ЕНО || =
 с MiM-t ( е.и/це.иц \ Z Е,(0 ч
где N — ориентирующее векторное поле вдоль а. Вто-
рое равенство здесь является следствием того факта,
что векторы Ei (Z)/|| Ei (О II и N(t) образуют ортонор-
мальный базис в Rato, так что
./ЕИО/НЕИОП
det I	I
I N(0 J
17. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
203
является определителем ортогональной матрицы и
поэтому он равен ±1; на самом деле знак будет -ф,
потому что базис Ej (t)/|| Ei (t) || согласован с ориен-
тацией N. Формула для длины а теперь может быть
переписана в виде
г (ЕЛ
I (а) = det I N I.
i
Ясно, что этот интеграл является частным случаем
интеграла, определенного для параметризованных
«-поверхностей.
Объем параметризованной «-поверхности ср: U->
-> Rn+1 определяется как интеграл
У (<р) = j det
и
Е1
Е„
N
Ei(«i, ..и„)
Еп («1» • • • > «п)
N («1, ..., «„)
du{ .. > dtifif
где Ei, En — координатные векторные поля вдоль
<р, a N — ориентирующее векторное поле вдоль ср. При
« = 1 объем <р обычно называется длиной ср и обо-
значается /(<р). При « = 2 объем <р обычно назы-
вается площадью <р и обозначается Л(ф). Заметим,
что так как подынтегральное выражение в формуле
для объема
Е>
det
N
всюду положительно, то V (ср) > 0. Не исключено, что
V(q>) = + °°-
Наглядно-интуитивное объяснение выбора именно
этого интеграла для определения объема состоит в
том, что подынтегральная функция здесь выражает
«коэффициент изменения объема» при отображении ф
204 начальные главы дифференциальной геометрии
(см. рис. 17.1). Очевидно, что желательно было бы
получить формулу для объема, которая не требовала
бы нахождения ориентирующего векторного поля N.
(Ау)(р;0,1) D,
и р (Дх)(р.;1,0)
?(U) <р(р) (Лх)Ег(р)
Рис. 17.1. Изменение площади вдоль параметризованной 2-по-
верхности ср в R3. Маленький заштрихованный прямоугольник Dt
в U с площадью (Дх) (Ду) переведен отображением ср в малень-
кую заштрихованную область D2 в ср ({/). Площадь области D2
хорошо аппроксимируется площадью параллелограмма в R®
построенного на векторах dtp ((Ах) (р; 1,0)) = (Ax) Ei (р) и
Ар ((Ay) (Pl 0, 1)) = (Ду) Е2 (р).
Площадь этого параллелограмма равна
||(Дх) Е, (р) X (А//) Е2 (р)|| = (Дх) (Ду) Ei (р) X Е2 (р) • N (р) =
/Ei (р)\
= (Ах) (Ду) det Е2 (р) .
(р) 7
Отношение площадей двух заштрихованных областей равняется
а т )	/Е‘	\
,	= det I Е2 (р) ] + в (р, Дх, Ду),
А (Р1)	\N (р) 7
где lim в (р, Дх, Ду)=0. Предел этого отношения
(Дх, Ду) -> о
1-	А №)_. №* (р)\
(Дх Ду)-»(М(2)1) et (	(р) )
\N (р) 7
измеряет величину относительного изменения площади в р при
отображении ср; интегрирование по U дает площадь поверх-
ности <р.
Теорема {.Пусть ср: U -> Rn+1 — параметризован-
ная п-поверхность. Тогда
У(Ф)= J(det(E/-E/))1/2.
и
17. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
205
Доказательство. Обозначим через Ei и N вектор-
 Et ... £1 • Еп Е\ • N
= det
Еп • Ei ... Еп - Еп Ei - N
N  Ei ... N  Еп N  N
Е! • Ej . . . Е1 • Е„ 0 1
= det
Е„ • Е] ... Е„ • Еп
= det(Ez • Е/).
О
1
О ... О
Извлекая из обеих частей
ный корень и интегрируя
требуемую формулу.
этого равенства квадрат-
но области U, получаем
Замечание. Функции gz/ = ErE;: t7->R назы-
ваются метрическими коэффициентами поверхности ф.
Определитель det(gz/), как это обычно принято в
дифференциально-геометрической литературе, обо-
значается буквой g. Тогда интеграл для объема при-
нимает вид V (ф) = VF-
и
Пример. Пусть поверхность <р: U -> R3 определена
как
Ф (0, ф) = (г cos 0 sin ф, г sin 0 sin ф, г cos ф),
206 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
где U = {(0, ф) е R2: —л <0<л, 0<^><л}. Видно,
что ф является параметризацией через сферические
координаты сферы радиуса г в R3 с удаленной поло-
виной большого круга. Ее площадь может быть най-
дена одной из следующих формул:
Е,
Е2
N
— г sin 0 sin ф
г cosдcosф
— cos0 sin ф
г cos0 sin ф
г sin 0 cos ф
— sin 0 sin ф
0
— г sin ф
— COS Ф
dQ йф =
Л л
г2 sin фdQdф = 4лг2
О — я
или
я я
Л(ф)= J(det(Ez-E/))1/?=J J
и	О —л
г2 sin2^
0
1/2
d&dq> =
Л л
г2 sin фdдdф = 4лг2.
0 —л
Формула из теоремы 1 позволяет нам определить
также и объемы параметризованных «-поверхностей
в ₽"+* с произвольным k 0. Даже более того, она
дает возможность приписать некоторый «-мерный
объем любому гладкому отображению ф: U -> Rn+ft,
где U — открытое множество в R". Гладкое отобра-
жение ф: U -> R"+*, U — открытое множество в R",
называется сингулярной «-поверхностью в Rn+*. При-
лагательное «сингулярная» использовано для того,
чтобы подчеркнуть, что от отображения ф не тре-
буется регулярности, т. е. йфр может быть особым
в некоторых (или даже во всех) точках p^U. Отме-
тим, что каждая параметризованная «-поверхность
является сингулярной «-поверхностью, однако сингу-
лярные «-поверхности не являются, вообще говоря,
17. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
207
параметризованными /г-поверхностями. Объем У(<р)
сингулярной n-поверхности <р: U -> ₽"+* опреде-
ляется по формуле
У(<р)= J (det (Ег • Е/))1/2,
и
где, как обычно, Е,- обозначают координатные век>
торные поля вдоль <р.
Пример. Пусть ср: U -> R3 — параметризованная
3-поверхность, определенная как
Ф (г, 0, <£) = (г cos 0 sin ф, г sin 0 sin ф, г cos ф),
где U — {(г, 0, ф): 0 < г < а, 0 < 0 < 2л, 0 < ф < л}.
Отображение ср переводит U взаимно однозначным
образом на открытый шар радиуса а с центром в на-
чале координат в R3 и с удаленным полукругом
(см. рис. 17.2). Полагая р = (г, 0, <p)ef7, находим
Ei (р) = (ф (р);	(р)) =
= (ф(р); cos0 sin ф, sin 0, sin Ф, cos Ф),
е2 (р) = (ф (р);	(р)) =
= (ф (р); — г sin 0 sin ф, г cos0 sin ф, 0),
Е3 (р) = (ф(р);	(р)) =
= (ф (р); г cos 0 cos ф, г sin 0 cos ф, — sin Ф),
так что
У(Ф)= (det(Ez • E/))1/2 =
и
я 2я а	1	0	0	*'2
— j j	0	г2 sin2 ф	0	drdfyd$ =
° ° °	0	0	г2
я 2я а
г2 sin ф dr dQ d-ф = 4 ля3.
ООО
208 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Теорема 2. Пусть <р: ^->₽п+1 — параметризован-
ная п-поверхность, и пусть N: U -> S" обозначает
гауссово отображение (N(p) — (ф(р); N(p)) для всех
Рис. 17.2. Открытый шар В = |(х(, х2, x3) е R3 :	+ х2 + х3 < <2}
с удаленной половиной круга {(лч, Xz, л3)еВ : ли>0, х2 = 0}.
р е U, где N — ориентирующее векторное поле вдоль
ф). Тогда
V (N) = J | К I det (Е? • Е?)1/2,
и
где К: U -> R — кривизна Гаусса — Кронекера по-
верхности ф, а Е? — координатные векторные поля
вдоль ф.
Доказательство. Координатное векторное поле Ef
сингулярной «-поверхности N имеет в точке ре U
векторную часть dN/dxi(p), которая равна векторной
части для
Ve .N = —Lp	(ei)) = - Lp (E? (p))=- f akl (p) E£ (p),
A = 1
где e‘=(p; 0, ..., 1, ..., 0) (1 Ha (z + 1)-m месте),
Lp — отображение Вейнгартена поверхности ф в p
17 ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
209
и (aij(р))— матрица отображения Lp относительно
базиса {Е?1 (р)} в касательном пространстве Image dcpp.
Отсюда
det (Е/  E/V) = det akiEl • £ a//E?) =
= det ^akiaiiEl-ET^ =
= (det (az/))? det (E? • E?) =
= № det (E? • E/).
Извлекая квадратный корень из обеих частей и ин-
тегрируя, получаем
V (N) = J (det (Е"  Е-))1/2 = J | К I det (Е? • Е?)1/2.	□
и	и
Следствие. Абсолютная величина кривизны Гаус-
са— Кронекера в точке р U параметризованной
п-поверхности <р: £7 —Rrt+‘ равна
|K(p)| = lim К^|В£)/К(Ф|В£),
где Bz = {qs=U-. \\q — р\\< е}.
Доказательство. С учетом теоремы о среднем для
интегралов из теоремы 2 имеем
У(ф1О	(det(E7(p2).Ey (р2)))1/2	1
Зе
где р\ и р-2 — некоторые точки из Ве. Переходя к пре-
делу при е->0, получаем требуемое.	□
Замечание. Это следствие приводит нас к геомет-
рической интерпретации величины кривизны Гаус-
са—Кронекера К ориентированной п-поверхности
S с R"+i в терминах изменения объема при гауссо-
210 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
вом отображении IV. Смысл знака кривизны К интер-
претируется следующим образом. Взяв в теореме 5
гл. 12 поле Z = N и учитывая, что dN (v) и VvN имеют
во всех точках р е S одинаковые векторные части
для любого v е SP, получим, что
где Vi, ..., v„ — произвольный базис в Sp, a Nsrt —
стандартная ориентация на Sn, определенная равен-
ством Ns (q) = (q',(—\)nq)- Значит, К. (р) > 0 в том и
только том случае, когда dN отображает каждый ба-
зис в Sp, согласованный с ориентацией на S, в неко-
торый базис для Sm(P), тоже согласованный со стан-
дартной ориентацией на S". Если f: S~>8 — произ-
вольное гладкое отображение из одной ориентирован-
ной «-поверхности в Rrt+1 в другую, причем в любой
точке p^S дифференциал dfp: Sp->Sf(P) неособый,
то говорят, что f сохраняет в точке р ориентацию,
если dfp отображает базисы в Sp, согласованные с
ориентацией на S, в базисы для 5цР), тоже согласо-
ванные с ориентацией на S, в противном случае гово-
рят, что f обращает ориентацию в точке р. Таким об-
разом, кривизна Гаусса — Кронекера К(р) ориентиро-
ванной «-поверхности S cz Rn+1 имеет в точке р поло-
жительный знак в том и только том случае, когда гаус-
сово отображение N: S —»S" сохраняет в р ориента-
цию, и А(р) имеет в р eS отрицательный знак в том
17. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
211
и только том случае, когда П обращает ориентацию
вр.
Так же как длина параметризованной кривой не
изменяется при ее перепараметризации, так и объем
сингулярной «-поверхности остается без изменений
при перепараметризации. Перепараметризации сингу-
лярной «-поверхности <р: t/i->R'!+ft есть сингулярная
«-поверхность ф:	вида ф = фо/г, где к:
— гладкое отображение с гладким обратным
Рис. 17.3. ф является перепараметризацией <р.
отображением и всюду положительным якобианом
(см. рис. 17.3). Заметим, что любая пара таких син-
гулярных «-поверхностей всегда будет иметь совпа-
дающие образы. Кроме того, если ф— параметризо-
ванная «-поверхность и ф— перепараметризация ф,
то ф тоже является параметризованной «-поверх-
ностью и при k = 1 ориентирующие векторные поля
вдоль ф и № вдоль ф связаны соотношением
^(/7) = РИШ) для всехр е U2 (упражнение 17.11).
Теорема 3. Пусть ф: t/i->R"+A— сингулярная
п-поверхность, и пусть ф = ф °/г: [/2->Rn+A — перепа-
раметризация поверхности ф. Тогда К(ф)= К(ф).
Доказательство. Пусть £? и E't обозначают коор-
динатные векторные поля соответственно вдоль ф и
ф. Тогда, обозначив через X/ векторное поле на R",
212 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
определенное равенством Х, (р) = (р, О, 1,	0),
с 1 на (t-f-l)-M месте, мы в точке р е U2 получаем
Е? (р) = d$ (Xz (р)) = d (Ф о h) (X, (р)) =
= 6/ф {dh (Хг (р))) = г/ф ( £ hki (р) X, (/г (р))] =
\a=i	/
= Z hM (р) йф (X, (h (р))) = t hki (р) Б* (h (р)),
fe=i	ft=i
где htj=dhi]dxj — элементы матрицы Якоби функ-
ции h. Отсюда
ЕеЬе/= £ /г&г/гг/Е^о/го Е?о/г
A, Z = 1
И
det (Е? • Е?) = (det (/iz/))2 det (Е? о h о Ef о h) =
= Zldet(E?oAoE/o/i),
где Jh — определитель матрицы Якоби для h. По тео-
реме о замене переменных в кратном интеграле полу-
чаем
У(ф)= J (det (Е? • Е?)'/2 =
и,
= J (det (Е?о/г • Е/о а))1/27л =
= (det (Е? • Ef))I/2 = У (ф).	□
Ui
Переходя теперь к ориентированным «-поверхно-
стям S в R"+l, естественно было бы стремиться полу-
чить объем поверхности S как сумму объемов под-
множеств S, являющихся образами взаимно одно-
значных сингулярных «-поверхностей. В общем слу-
чае, однако, невозможно представить S как дизъюнкт-
ное объединение таких множеств. Но возможно пред-
ставление S как объединение образов замкнутых пря-
17. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
213
моугольников, пересекающихся только вдоль их гра-
ниц (см. рис. 17.4); тогда вклад граничных точек воб-
щий объем будет равен нулю, так что наличие пере-
сечения не.будет иметь значения и поэтому объем S
может быть определен как сумма объемов этих «син-
гулярных прямоугольников». Эта идея, хотя она на-
глядна и очень привлекательна, трудно осуществима
в полной строгости, поэтому мы выберем несколько
другой подход.
Рис. 17.4. Поверхность 5 может быть представлена как объеди-
нение прямоугольных областей, которые пересекаются только
вдоль границ прямоугольников
Рассмотрим подынтегральное выражение
Ei
det
N
в формуле объема взаим.но однозначной локальной
параметризации ср: £/->£. Если мы заменим ср неко-
торой перепараметризацией ф = ср °/г:	подын-
тегральное выражение изменится с заменой коорди-
натных векторных полей <р на координатные век-
торные поля ф, но значение интеграла объема при
этом не изменится. Это наводит на мысль, что осно-
вой подынтегрального выражения в точке р е S яв-
ляется функция £, которая сопоставляет каждому упо-
рядоченному множеству {vi, ..., vn} векторов из SP
214 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
ЧИСЛО
£(vb vn) = det
Функция £ называется формой объема на поверх-
ности S. Впоследствии мы увидим, что форму объема
можно интегрировать по компактной ориентирован-
ной «-поверхности S в R"+1; этот интеграл и даст
объем поверхности S. Форма объема (; является при-
мером дифференциальной «-формы.
Дифференциальная 6-форма, которую обычно на-
зывают просто 6-формой, на «-поверхности S есть
функция со, сопоставляющая каждому упорядочен-
ному множеству {vi, ..., v*} из 6 векторов в Sp, р <=
eS, действительное число <o(vi, ..., v*), такое, что
(i) для каждого ге{1, ..., 6} и vb ..., vz_b
vz+b • • •, vft e Sp, p e S, функция от ve Sp, равная <в
(vb ..., vz_b v, vz+b ..., vjeR, линейна и
(ii)	для каждого набора векторов vb ..., v* е Sp
и для каждой подстановки о целых чисел {1.....6},
<b(vO(1), ..., Va(ft)) = (signo)(D(Vi, ..., Vk).
Заметим, что условия (i) и (ii) выражают просто
известные свойства определителя, когда 6 = « и в ка-
честве ю взята форма объема £. Свойство (i) назы-
вается полилинейностью, а свойство (ii) называется
кососимметричностью.
Если на поверхности S даны 6-форма со и каса-
тельные векторные поля Хь ..., X*, то на S можно
определить действительнозначную функцию <о(Хь ...
..., X*), положив
[®(ХЬ ..., Xfe)](p) = ®(X,(p)..ХДр)).
6-форма со называется гладкой, если функция со(Х1, ...
..., Хь): S R гладкая при условии гладкости век-
торных полей Xi, ..., X*.
17. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
215
Пример 1. 1-форма на 3 есть просто функция со:
T(S) = J S ->R, такая, что ограничение со на Sp
s
линейно в каждой точке p^S. Таким образом, на-
пример, если X является касательным векторным по-
лем на 3, то функция сох: T(S)->R, определенная
равенством
сох (у) = X (р) • v (v <= Sp, р е S),
есть 1-форма на 3, которая называется 1-формой, со-
пряженной (или двойственной) к полю X.
Пример 2. Пусть на 3 даны 1-формы coi и со2.
Тогда функция coi А со2, определенная равенством
(со, Д со2) (у„ v2) = со, (v,) co2 (v2) — co, (v2) co2 (v,),
есть 2-форма на 3. Функция со, A co2 называется
внешним произведением форм со, и со2.
Пример 3. Форма объема £ на ориентированной
«-поверхности 3 в Rn+1 является гладкой «-формой
на 3.
Пример 4. Пусть со— некоторая &-форма 1)
на 3, и пусть X — касательное векторное поле на 3.
Тогда функция X _j со, определенная равенством
(X_|co)(v,....vA_,) = co(X(p), v,.....v*_i),
есть (k — 1)-форма на S. Функция X _jco называется
внутренним произведением поля X и формы со.
Пример 5. Пусть со — некоторая ^-форма на «г-по-
верхности 5, и пусть f: S -> 5 — гладкое отображение
из «-поверхности 3 в S. Тогда функция /*со, опреде-
ленная как
(Гсо)(у„ vA) = co(df (v,), ..., c//(vfe)),
216 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
есть 6-форма на S. Про форму /*<о говорят, что она
получена перенесением назад формы со при отображе-
нии f.
Сумма двух 6-форм сос и со2 на n-поверхности S
есть 6-форма <oi -f- <02, определенная как
(®1+ ®2)(vb Vfe) = ®!(Vi.........Vj + <O2(V1, vft)
Произведение функции f: S -> R и 6-формы co на 5
есть 6-форма /со на S, определенная как
(/со) (vb .. ., vfe) = f (р) со (vb .... vk),
где vb Vk^Sp, p^S. Отметим, что сумма двух
гладких 6-форм гладкая и произведение гладкой
функции и гладкой 6-формы есть гладкая форма.
Для гладкой 6-формы со на «-поверхности S и син-
гулярной 6-поверхности ср на S (т. е. с Image ср cz S)
интеграл от со по поверхности ср определяется равен-
ством
$со= $со(Е?......Е?)
<₽ и
при условии, что последний интеграл существует. Век-
торные поля ЕТ являются, конечно, координатными
векторными полями вдоль ср. Этот интеграл будет су-
ществовать, в частности, каждый раз, когда функция
®(Е/, ..., Б?) тождественно равна нулю вне некото-
рого компактного подмножества области U.
Пример. Если ср —локальная параметризация по-
верхности S и £ — форма объема на S, то £ = V (ср).
ф
Заметим, что если ф — перепараметризация сингу-
лярной 6-поверхности ср на S и со — гладкая 6-форма
на S, такая, что интеграл j со существует, то инте-
ф
грал со тогда тоже существует и jco=^co. Дей-
ср
ствительно, если ср; Hj->S и ф = сроД; U2->S, то,
17. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
217
как это было при доказательстве теоремы 3, Е* =
k
= S hji&j °h, так что
/=i
и со (Еь ..., Е*) =
и,
= W	.... £ /1^0/?) =
п2 к/,-1	/й=1	/
= $ £ /1Л1 ... hikk<a(E\oh, ..., Е^°/г),
v2h ••• ik
где последнее равенство является следствием полили-
нейности со. В силу кососимметричности со функция
©(Е/'о/г, Е/Й°Л) равна нулю при равенстве двух
или более индексов j{ и ^(Е'Д, ..., E/’J = (sign о) •
со (Е?, ..., Б*), где /, = о(1), ..., /й = о(Л) при не-
которой подстановке о для {1, ..., k}. Отсюда
5 “ = 5 zE (sign °) (1) 1  ’ ’ w k<ii .........Е* ° /г) =
U, о
= J (<в(Е?..........ЕЙ о /г) Jh =
л-1 (У1)
' = J со(Е?, ..., ЕЙ=
и,	<Р
что и требовалось.
Теперь мы приступим к определению интеграла
от n-формы со по компактной ориентированной «-по-
верхности S. Это будет сделано через представление
«-формы в виде суммы п-форм со,, каждая из кото-
рых равна нулю тождественно вне образа некоторой
взаимно однозначной локальной параметризации ср,,
и затем будет положено, что ^Сй=^2 § Требуе-
з t
мые «-формы со, будут получены как произведения
218 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
формы co с функциями ft, обладающих тем свойством,
что для них	ft = 1.
i
Разбиением единицы на «-поверхности S назы-
вается конечная совокупность гладких функций fp.
S -> R (ie {1,	т}), таких, что
(i)	fi(q)^O для всехге{1.....т} и всех q е S,
(ii)	для каждого i е{1, ..., т} существует
взаимно однозначная локальная параметризация гр/:
Ui -> S, такая, что функция fi тождественно равна
нулю вне образа (при отображении <р/) некоторого
компактного подмножества области Vi, и
(iii)	£А(<7)=1Для всех q е S.
z=i
Если {<р,}—произвольная совокупность взаимно од-
нозначных локальных параметризацйй, удовлетво-
ряющих условию (ii), то разбиение единицы {/,} на-
зывается подчиненным системе {<рг}.
Замечание. Требование конечности совокупности
функций {/,} может быть заменено менее стеснитель-
ным условием, называемым локальной конечностью,
но для наших целей достаточно будет рассмотреть
только конечные разбиения единицы.
Теорема 4. Пусть S — компактная п-поверхность
в R"+I. Тогда на S существует разбиение единицы.
Доказательство. Сначала мы построим для каж-
дой точки р е S «буферную функцию» gp-. S R
с помощью нижеследующей конструкции. Пусть точ-
ка peS, и пусть срр: Uр -> S — взаимно однозначная
локальная параметризация поверхности S, образ ко-
торой есть некоторое открытое множество на S, со-
держащее точку р; считаем, что параметризация ср0
получена, как в доказательстве теоремы 1 гл. 15. Вы-
берем радиус гр > 0 таким, чтобы шар
Вр = е R": ||х - т;1 (р) j <	<= Up,
17 ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
219
и определим буферную функцию gp: S ->R формулой
(	_1/(''п_||фп 1	(р)1|2)	..
е 1 ’ |Л
I о,	ч Ф V,,
где
VP = {<> е % (Up)' IIФР-1 М ~ Фр ‘ WII < гр}
(см. рис.' 17.5). Функция gp гладкая (упражне-
ние 17.17), обращается тождественно в нуль вне об-
раза при отображении <рр компактного множества
Рис. 17.5. Построение гладкой буферной функции.
Bp<zzUp и gP(q)>0 для всех точек q из открытого
множества Vp cz S, содержащего точку р.
Предположим пока, что мы можем найти конеч-
ное множество {рь ..., рт} точек на S, таких, что
т
U yp. = S; тогда мы можем определить для каждого
1
;е{1.....т} функции fp S -> R, положив
/ т
fi^) = gp.	(<?)•
т
Отметим, что знаменатель У, g (q) здесь всюду от-
/=i Р1
личен от нуля, так как каждая функция gp (q) О,
причем gPj (q) > 0, когда номер /', такой, что q е V^.
Система {Д} тогда является разбиением единицы на
S, подчиненным
220 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Теперь остается заметить, что существование ко-
нечного множества {pi, .... рт} точек на S, таких,
т
что U =5,вытекает из теоремы Гейне—Бореля:
i=l ₽«
множества {Vp: p^S} образуют открытое покрытие
поверхности S ( U Ур=5); теорема Гейне —Боре-
ля (см., например, Fleming, Functions of Several Va-
riables, Springer-Verlag, 1977 *)) утверждает, что
каждое покрытие компактного множества <$ откры-
тыми множествами имеет конечное подпокрытие, т. е.
существует конечная совокупность {ГР1, VPm}
т
этих множеств, для которых [J VP. = S.	□
/=1 1
Интеграл от гладкой n-формы со по компактной
ориентированной «-поверхности S с R”+1 определяет-
ся как действительное число
s i <pz
где {/,}—произвольное разбиение единицы на S, под-
чиненное системе {ср,} взаимно однозначных локаль-
ных параметризаций поверхности S. Отметим, что
интеграл со не зависит от выбора разбиения еди-
s
ницы; действительно, пусть {fi}— другое разбиение
единицы, подчиненное локальным параметризациям
{ф/}; тогда
Е J (/>)=Е 5 (Е М №=Е Е $ ^f^=
/Фу	j фу \ i /	i i
(D v-> Г -	<2> П Г ~
=E j <fj/®)=E 5
i. / 9}l	i. i Vlf
i  I Ф,-	 i ф( \ /	/	i <рг
*) Или Рудин У. Основы математического анализа. — Пер,
с англ. М.: Мир, 1976, стр. 49. — Прим, перев.
17. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
221
где ф/г — ограничение ф/ на открытое множество
Ф/-1(%)’ I7//= (Image ф;.) Л (Image ср.), а Ф//-огра-
ничение <р; на <рт‘ (Vf/). Равенства (1) и (3) следуют
из того, что ftfj тождественно равно нулю вне Vt/
а равенство (2) следует из того, что фг-;- является пе.
репараметризацией ф/7 (см. упражнение 17.18).
Используя интегрирование форм, мы теперь мо-
жем определить объем компактной ориентированной
«-поверхности S с R"+1 как интеграл по поверхности
S от ее формы объема £:
И ($)=$£.
з
Мы можем теперь определить также интеграл по S
от любой гладкой функции f: S R равенством
3	3
УПРАЖНЕНИЯ
17.1	Найдите площадь параметризованного «цилиндра в R3
с удаленной образующей», данного уравнением <р(0,/) =
= (г cos 0, г' sin 0, f), 0 < 0 < 2л, 0 < t < п.
17.2.	Найдите площадь параметризованного «конуса в R3
с удаленной образующей», данного уравнением <р(0, /) = (tr cos 0,
tr sin 0, (1 — t)h), 0 < 0 < 2л, 0 < t < 1.
17.3.	Найдите площадь параметризованного «тора в R3 с
ф (0, ф) = ((ц + b cos Ф) cos 0, (а + b cos Ф) sin 0, b sin Ф),
О < 0 < 2л, 0 < Ф < 2л.
17.4.	Найдите площадь параметризованного «тора в R4 с
двумя удаленными окружностями», данного уравнением
ф (01 ф) = (a cos 0, a sin 0, b cos Ф, b sin Ф),
О < 0 < 2л, 0 < Ф < 2л.
17.5.	Найдите объем параметризованной «единичной 3-сферы
в R4 с удаленной частью некоторой 2-сферы», данной уравне-
нием
ф (0, 0, ф) = (sin Ф sin 0 sin ф, cos Ф sin 0 sin ф, cos 0 sin ф, cos ф),
О < Ф < 2л, О<0<л, 0<ф<л.
222 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
17.6.	Покажите, что площадь параметризованной поверхности
вращения ф(1, 0) = (x(Z), t/(/)cos0, t/(/)sin0), а < t < b,
О < 0 < 2л, где </(/)> 0 для а < t < b, дается формулой
Ь
А (<р) = J 2яу (0 ((*' (О)2 + (У' (0)2)1/2 dt.
ь
17.7	Пусть g: U -> R — гладкая функция на открытом мно-
жестве U a Rn. Определим отображение ф: U -> Rn+1, положив
ф(И1, un) = (u1, ..., ип, g («1.....un)).	Покажите, что
V (Ф) = $ 6 + £ (д8/ди^\112.
и\ I	/
17.8.	Пусть отображение фп: U ->Rn+1 определено формулой
фп (0]	0n) = (sin 01 sin 02 ... sin 0n, cos 0i sin 02 ... sin 0n,
cos 02 sin 03 ... sin 0n, ..., c°s 0n-i sin 0n, cos 0n),
где U = {(0i, ..., 0n) e Rn: 0 < 0i < 2л, 0 < 0/ < n для 2<z<n}.
(а)	Покажите, что фл является параметризованной n-поверх-
ностью.
(b)	Покажите, что фл отображает U взаимно однозначным
образом на некоторое подмножество единичной n-сферы S'1.
(с)	Покажите, что множество Sn — Image фп содержится
в (га — 1)-сфере {(Xj, ..., xn+l) е Sn: х1 = 0}. (Отсюда будет
следовать, что V (фп) = V (Sn), так как Sn — Image фге имеет
n-мерный объем, равный нулю.)
(d)	Найдите формулу, выражающую объем фл как кратное
от объема фл+i. [Указание: ввести нуль в правый нижний угол
матрицы
/ £1 \
N
добавив к последней строке подходящее кратное предпоследней
строки. Затем разложить определитель по элементам последнего
столбца. Наконец, вынести за скобку sin 0« и проинтегрировать
по 0„.]
(е)	Найдите V (фп).
17.9.	Пусть ф: U -> R3 — параметризованная 2-поверхность
в R3. Покажите, что площадь ф дается формулой А (ф) f=
= || аф/<?«1 X <?ф/^И2||.
U
17. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
223
17.10.	Пусть ср:	— параметризованная «-поверх-
ность в R'1+l. Пусть W — векторное поле вдоль ср, с-я компонента
которого в точке peU равна умноженному на (—1)п+1+< опре-
делителю матрицы, полученной удалением 1-й строки из матрицы
Якоби для ср в р (или 1-го столбца из матрицы
(Р)
Еп (р)
(а)	Покажите, что W является нормальным векторным по-
лем вдоль ср и что W/|| W II является ориентирующим векторным
полем вдоль ср.
(Ь)	Покажите, что V (ср) = || W ||.
U
17.11.	Пусть <р: (7,->Rra+1 — параметризованная /г-поверх-
ность, и пусть ф = ср»/г; С/а -> Rre+1 — перепараметризация ср.
Покажите, что N^=N<₽<>A, где и N<p— ориентирующие век-
торные поля соответственно вдоль ср и вдоль ф. [Указание; по-
казать, что
]	|Е^о/г
где Jh обозначает якобиан отображения h.\
17.12.	Пусть оз —некоторая 6-форма на «-поверхности S.
(а)	Покажите, что если {vp .... vftj — линейно зависимая
система векторов в S , р s S, то со (Vj.= 0.
(b)	Покажите, чго если k > п, то со тождественно равна
нулю.
17.13.	Пусть S — ориентированная «-поверхность в Rn+1, и
пусть £ — форма объема на S.
(а)	Покажите, что если {Vi...vn) — ортонормальный базис
в Sp, р е S, то g (vi..vn) = ± 1, причем g (vi....vn) = ± 1
в том и только том случае, когда базис {vi...vn} согласован
с ориентацией N поверхности S.
(Ь)	Покажите, что если со — произвольная «-форма на S, то
существует функция /: S->R, такая, что со = /£. [Указание;
положить f (р) = co(vi, ..., vj, где {vi, ..., vn] есть произволь-
ный ортонормированный базис в Sp, согласованный с ориента-
224 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
цией N на 3. Затем вычислить значения со и ft, на векторах
п
wp ..., w„, где w.= X aii4i-
i = l
17.14.	Пусть на ориентированной «-поверхности 3 с R'1+1
даны 6-форма <oi и /-форма со2. Определим внешнее произведение
cof А со2 по формуле
(“1 А ®2) (vi...v*+/) e
= wE(signO)fiMvo(l)> va(fe))w2(va(* + l..........vo(fe+/))
для vp .... vfe+;eSp, где суммирование берется по всем под-
становкам о целых чисел {1...k + I}.
(а)	Покажите, что coj А со2 является (6 + /)-формой на 3.
(Ь)	Покажите, что <о2 A ®i = (— l)w®i A со2.
(с)	Покажите, что если со3 +- другая /-форма на 3, то
®| А (со2 + С03) = СО! А со2 + СО, А со3.
(d)	Покажите, что если со3 — некоторая /«-форма на S, то
С01 А С02) А С03 = СО! А (со2 А С03).
(е)	Покажите, что если X]....Х,.ц—касательные вектор-
ные поля на 3, такие, что для каждой точки peS система
..., Х„+1(р)} является ортонормальным базисом в Sp,
согласованным с ориентацией на 3, и если для каждого / со/ есть
1-форма на 3, сопряженная к X/, то
oh А ... А ®п = С,
где £—форма объема на 3. [Указание: с помощью математиче-
ской индукции доказать, что для 1 k п
(®,А ... А шА)(х,......xfe) = i
и что Х; _J (cOj A ... A cofe) = 0 для всех i > k. Затем исполь-
зовать упражнение 17.13.]
17.15.	Пусть 5 — ориентированная «-поверхность в R'!+1,
S — ориентированная m-поверхность в Rm+I, пусть f: S-*S—
гладкое отображение, и, наконец, пусть со — гладкая 6-форма
на 5.
(а)	Покажите, что f*a является гладкой 6-формой на 3.
(Ь)	Покажите, что если ср — сингулярная 6-поверхность в 3,
то
/*со = j со,
Ф f ° ф
17. ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
225
(с)	Покажите, что если т = п и если f — сохраняющий ори-
ентацию диффеоморфизм, то
f*<0 =	<0.
17.16.	Покажите, что антидиаметральное отображение
f : S'1-* S'" на га-сфере S”, определенное как f(p) ——р, сохра-
няет ориентацию в том и только том случае, когда п нечетное.
17.17.	(а) Покажите, что функция h: R -> R, определенная
по формуле
,	если	t > О,
/г (0 = <
I 0, если	7^0,
является гладкой.
(Ь) Выведите отсюда, что для каждого г > 0 функция
hr. R -> R, данная формулой
h (n_f е~1/(г2-П,	если	|/|<г,
I 0,	если	111 г,
является гладкой и что буферная функция gp, введенная при
доказательстве теоремы 4, также является гладкой.
17.18.	Пусь S — ориентированная га-поверхность в Rn+1, и
пусть <р. U —* S и ф: V —>- о — взаимно однозначные локальные
параметризации поверхности S. Покажите, что если множество
W = q> (с7) fl ф (V) =?^= 0, то h = ф~1 ° ф | t ) является сохра-
няющим ориентацию диффеоморфизмом из ф-1(В7) в ф-‘(Ц7).
Вывести отсюда, что ф|^_1^ является перепараметризацией
ДЛЯ <PI<P-1(1F)
17.19.	Пусть X и Y — векторные поля в R3, и пусть <вх и
<оу — сопряженные им 1-формы. Покажите, что для векторов v
и w из R®, р е R3.
(<ох Л <1>Y) (v, w) — (X х Y) (p) • (v x W).
[Указание: в силу полилинейности достаточно убедиться в спра-
ведливости этого соотношения для стандартных базисных векто-
ров v и w.]
18. МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Пусть <р:	₽"+’— параметризованная «-поверх-
ность в Яа+1. Вариация поверхности ср есть гладкое
отображение гр: 77 X (—е, e)->R"+1 с условием, что
ф(р, 0) = ф(р) для всех p^U. Таким образом, ва-
риация «окружает» «-поверхность <р некоторым се-
мейством сингулярных «-поверхностей <ps: . U ->
—-Rre+I(—е <; s < е), определенных формулой
ф5(р)= ф(р, s).
Вариация ф вида
ф (р, s) = ф (р) + sf (р) N (р),
где f—гладкая функция на поверхности ср и .V—
гауссово отображение ф, называется нормальной ва-
риацией поверхности ф. Если функция f тождественно
равна 1, то вариация ф будет вида, рассмотренного
в гл. 16, и она сводится к переносу каждой точки по-
верхности ф на расстояние s вдоль нормали. Если
функция f является буферной функцией, график ко-
торой похож на изображенный на рис. 17.5(6), то ва-
риация ф приводит к «вспучиванию» поверхности ф
путем сдвига ф вдоль нормалей только в точках не-
которого шара Вр с центром в р е U (см. рис. 18.1).
Если ф уже имеет в точке р какое-нибудь «вспучива-
ние», то нормальная вариация ф может сгладить по-
верхность в окрестности этой точки.
Вариация ф, для которой ф (р, s) = ф(р, 0) для
—е <$ <8 во всех точках р, лежащих вне некото-
рого компактного подмножества С области U, назы-
вается вариацией с компактным носителем. Заметим,
что если ф: U X (—е, е)->- R"+I — вариация ф с ком-
пактным носителем, то существует 81 > 0, такое, что
каждое отображение ф5 при |.s|< ei является пара-
метризованной «-поверхностью. В этом можно убе-
18 МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
227
диться, заметив, например, что функция 6: U X
Х(—е, е)-> R, определенная как
(р)
6 (р, s) = det
Esn(p)
N(p)
является непрерывной; здесь — векторные части
координатных векторных полей Е® вдоль <ps, a N—
Рис. 18.1. Нормальная вариация.
гауссово отображение поверхности <р. Значит, множе-
ство
С, = {(р, s)eR”+': р е= С, Ш<е/2 б(р, s) = 0}
компактно. Если С! пусто, то ei = е/2; в противном
случае за ei можно взять минимальное значение g на
Ci, где функция g: R”+1 -> R определена как g(p, s) —
= |s|. Тогда
(i) 8, =# 0, так как 6 (р, 0) =# 0 для всех реУ,
(ii) d(p, s) =И= 0, как только реС и | s | < еь и
(iii) 6 (р, s) =Д 0 для всех s(|s|<E)np^C (так как
тогда Е® равны координатным векторным полям Ег
вдоль ср).
Значит, 6(р, s)=#0 для всех pel! и |s|< ei,
так что координатные векторные поля Е^ для <ps ли*
228 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
нейно независимы, т. е. cps регулярно, что и требова-
лось.
Мы сейчас изучим вопрос о влиянии на объем нор-
мальных вариаций с компактным носителем. Пусть
<р: U -+ R"+1 — параметризованная «-поверхность с ко-
нечным объемом, и пусть гр: Z7 X (—е, e)->R"+1—
нормальная вариация <р с компактным носителем,
ф (р, s) = <р (р) + sf (р) N (р).
Тогда координатное векторное поле Е® для поверх-
ности <ps имеет векторную часть
E° = ^=*L + saLN + sf™
dut ди{ ди. 1 ' ди{
Но dN/dtii(p), p(^U, является векторной частью для
п
V., м N = -•*•„(В, И) = - Z	(р) Е, (р),
где Lp — отображение Вейнгартена поверхности <р
в точке р, Е; — координатные векторные поля вдоль ф,
a (Ci/(p)) является матрицей отображения Lp относи-
тельно базиса {Е,(р)} в касательном пространстве
Image t/фр. Отсюда
(п \
Ajv-р^вД.
1 /-1 /
Объем поверхности фр равен
Е®
V (ф5) = $ det
и
Fs
№
где Ns — ориентирующее векторное поле вдоль фр.
Скорость его изменения при s = О равна
#1	det
ds о	J ds Io
V
Е? }
E«
N®
18. МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
229
Так как
Е? = Е< и N°=N,
Ег
то мы имеем
-r-| det
дз |о
Est
+ det
д№ I
ds |s«0
i-я строка
Ег
АГ
Ex
230 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
При получении равенства (1) мы учли, что (dNs/ds) |s=0,
будучи перпендикулярным к N = №, является ли-
нейной комбинацией системы {Ei,	Еп}, так что
определитель матрицы с этими п + 1 векторами, как
строками, должен равняться нулю. А при переходе
к равенству (2) мы использовали тот факт, что для
/ =й= I коэффициент при сц является определителем
матрицы с двумя совпадающими строками и поэтому
он равен нулю. В итоге получаем, что
где Н(р) = (1/п)-след Lp есть средняя кривизна по-
верхности <р в точке ре U.
Замечание. Можно показать (см. упражне-
ние 18.7), что эта формула справедлива для всех ва-
риаций ф поверхности ф, имеющих компактный носи-
тель (а не только для нормальных вариаций), и с
функцией /: U — R, определенной равенством f =
= X-N, где X является векторным полем вариации
вдоль ф, определяемым как X(p)=En+i(p, 0), a Ea+i—
(п + 1)-е координатное векторное поле вдоль
ф. Кроме того, формула справедлива также для всех
тех нормальных вариаций (не обязательно с компакт-
ным носителем), для которых все встречающиеся
интегралы определены и оправдано внесение (d/ds)\0
под знак интеграла j.
и
Интеграл объема называется стационарным на
параметризованной n-поверхности ф: U-->Rre+1, если
К (ф) < оо и (d/ds) |о V (фх) — 0 для всех нормальных
вариаций ф поверхности ф, имеющих компактный но-
ситель. Так будет, например, в случае, когда объем ф
меньше, чем объем любой параметризованной п-по-
18. МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
231
верхности <ps, которая может быть получена из ф
малой нормальной вариацией с компактным носи-
телем.
Теорема. Пусть <р: U— параметризованная
п-поверхность с конечным объемом в R"+‘. Тогда ин-
теграл объема стационарен на у по отношению к нор-
мальным вариациям с компактным носителем в том
и только том случае, когда средняя кривизна поверх-
ности тождественно равна нулю.
Доказательство. Очевидно, если Н — 0, то для
каждой нормальной вариации (с компактным носите-
лем) гр поверхности ф имеем
-*_\v(<ps) = -n\fH det
и
Обратно, если //(р) =И= О в некоторой точке р е U, то
выберем s > 0 таким, чтобы замкнутый шар с цент-
ром ври радиуса 8 содержался в U, и определим
гладкую буферную функцию /г: t/->R с условием,
что h (р) = 1, h (</)	0 для всех qe.U и hlp = 0 для
всех q с ||<7 — р||^8. Рассмотрим теперь нормаль-
ную вариацию ф поверхности ф с функцией f = hH.
Эта вариация ф имеет компактный носитель, и функ-
ция fH = hH2 неотрицательна на U и положительна
в р, так что
Ei

Параметризованная или ориентированная «-по-
верхность в R"+1 с тождественно равной нулю сред-
ней кривизной называется минимальной поверх-
ностью. Использование здесь прилагательного «мини-
232 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
мальная» объясняется тем, что минимальная поверх-
ность обычно оказывается поверхностью, объем кото-
рой меньше объема всех поверхностей, получаемых
из нее путем малых нормальных вариаций. Мини-
мальные 2-поверхности в R3 можно найти в природе
в виде мыльных пленок: если мыльная пленка имеет
форму некоторой поверхности, натянутой на прово-
лочный каркас, то (в предположении, что давление
Рис. 18.2. Минимальные поверхности можно получать в виде
пленок, остающихся на проволочных рамках после их опускания
в мыльный раствор (для успеха опытов делайте расстояние между
параллельными окружностями малым).
воздуха на обе стороны пленки одинаково) для того
чтобы поверхность была устойчива, ее площадь долж-
на быть минимальной среди всех близких поверхно-
стей, натянутых на тот же самый каркас (см,
рис. 18.2).
Очевидно, «-плоскость atxi + ... + ап+ххп+\ = b
является минимальной поверхностью в Rn+1, так как
все ее главные кривизны, а значит, и средняя кри-
визна, тождественно равны нулю. С другой стороны,
в R"+1 нет компактных минимальных поверхностей,
так как по теореме 4 гл. 12 каждая компактная «-по-
верхность в R"+r должна иметь точку, в которой все
главные кривизны отличны от нуля и имеют один
и тот же знак.
Найдем все минимальные 2-поверхности вращения
в R3. Предположим сначала, что а: / R2— пара-
18 МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
233
метризованная кривая вида а(/) = (/, y(t)), где у:
/->IR— некоторая гладкая функция с у(/)>0 для
всех t е /. Вращение кривой а вокруг оси х\ дает нам
2-поверхность
qp (Z, 0) = (/, z/(/)cos0, у (/) sin 0).
Прямое вычисление показывает (см. упражне-
ние 18.1), что главные кривизны поверхности фравны
«1(/, 0) = -/'(/)/(! + (/(/))2)3/2.
%2(/, 0) = 1/г/(/)(1 +(/(П)2)1/2-
Значит, средняя кривизна поверхности ф будет равна
нулю в том и только том случае, когда у (Г) удовлет-
воряет дифференциальному уравнению
У" _	1
(1 + »Т"Н1+Л,Г
Умножая обе части уравнения на у'(1 -\-у )1/2, полу-
чаем
у'у" _ /_
1 + у” у'
Интегрирование этого уравнения дает
4 In (1 + у'2) = In у + In с = In (су)
или
1+у'! = (су)2,
где с > 0 — постоянная интегрирования. Решая отно-
сительно у’, имеем
уг = ± ((су)2 — 1)1/2 или у'К(су)2 — 1)1/2 = ± 1.
Интегрируя еще раз, получаем
(1/с) (arch (су) — c2) — ±t
или
у = (1/| с, |) ch (c\t + с2),
где С[ = ±с, ег — другие постоянные интегрирования.
234 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Кривая в R2 вида х2 = (l/|ti | )ch (ciXi + с2) назы-
вается цепной линией-, поверхность вращения, полу-
ченная вращением такой линии вокруг оси назы-
вается катеноидом (рис. 18.2). Проведенные выше
рассуждения показывают, что любая минимальная
поверхность в R3, которая может быть получена вра-
щением графика некоторой гладкой функции вокруг
оси Xi, обязательно является частью катеноида.
Если мы отбросим требование, чтобы параметри-
зованная кривая а имела образ в виде графика неко-
торой функции, то в добавление к катеноидам мы по-
лучим только части плоскости. Действительно, если
а(/) = (%(/), y(t)), то на любом интервале, где х'
0, существует перепараметризация 0 кривой а,
имеющая вид = (t, у ° х-1 (t)), так что на этом ин-
тервале образ а является графиком некоторой функ-
ции. На любом интервале, где х' тождественно рав-
няется нулю, а должна быть вида a,(f) = (c, y(t\)
с некоторым сеР, так что поверхность вращения,
полученная вращением этой части а вокруг оси хь
содержится в плоскости xt — с. Так как два кате-
ноида, определенные выбором различных значений
постоянных С] и с2, не примыкают друг к другу глад-
ким образом, и часть катеноида не может быть при-
клеена гладко к куску плоскости, то мы отсюда за-
ключаем, что единственные связные минимальные
поверхности вращения в R3 суть части катеноида и
плоскости.
УПРАЖНЕНИЯ
18.1.	Найдите главные кривизны параметризованной поверх-
ности вращения, полученной вращением вокруг оси Xi парамет-
ризованной кривой a(Z) = (Z, уд)), где y(t)> 0 для всех tel.
18.2.	Покажите, что параметризованный геликоид ф: R2->R3,
определенный уравнением ср(Л 6) = (t cos 0, t sin 0, 0), является
минимальной поверхностью.
18.3.	Пусть 3— связная минимальная 1-поверхность в R2.
Покажите, что 3 является отрезком прямой линии.
18.4.	Покажите, что гауссова кривизна минимальной 2-по-
верхности в R3 всюду
18.5.	Покажите, что ориентированная 2-поверхность 3 в R3
является минимальной поверхностью в том и только том случае,
когда в каждой точке р eS существуют ортогональные направ-
ления v и w на Sp, по которым нормальные кривизны поверх-
18. МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
235
ности S равны нулю. (Направления v е Sp, по которым нормаль-
ная кривизна k(v) равна нулю, называются асимптотическими
направлениями.)
18.6.	Покажите, что если гауссово отображение минимальной
2-поверхности S в R3 регулярно, то оно конформно, т. е. пока-
жите, что если дифференциал dNр-_ Sp -> (р) неособый
(peS), то существует Л(р)> 0, такое, что ]\dNp (v) || = Л (р) || v ||
для всех ve Sp.
18.7.	Пусть а: [а, &]-> R2— кривая с единичной скоростью,
и пусть ф: [а, 6]Х(—е, е)-> R2 есть некоторая вариация кри-
вой а. Покажите, что
Ь
d I	Н	Г
-у- I (as) = (X • а) — \ (X • N) (0 х (О dt,
US Io	la	J
а
где as (/) = ф (/, s), X (/) = Е^ (/, 0), N —- ориентирующее век-
торное поле вдоль а, х—кривизна а. Вывести отсюда, что если
ф(а, з)=а(а) и ф(6, s)=a(6) для всех s, то
b
| I (as) = - J (X • N) (0 х (0 dt.
а
[Указание-, проверить, что (d/ds) |0 ||asII = ((<Э2ф/<Э/ ds)X
Х(^ф/<?0) 14“0 и интегРиРовать п0 частям.J
19. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
В главе 7 мы определили геодезические как «пря-
мейшие линии» на «-поверхности. В этой главе мы
изучим роль геодезических как «кратчайших линий».
Начнем с рассмотрения некоторых приемов вариа-
ционного исчисления, аналогичных тем, которые были
использованы в гл. 18 для исследования минималь-
ных поверхностей.
Пусть a: [a, t>]-+S — параметризованная кривая
на «-поверхности S с: Rn+1. Вариация кривой а есть
гладкое отображение ф: [а, Ь]Х(—е, e)->S (е>0),
такое, что -ф (Z, 0) = сс (/) для всех t е I (см. рис. 19.1).
iiiiiHiimiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiimi
iiiiiiiiiiiiiiimiiiiimmiiiiiiiiiiii
Рис. 19.1. Вариация параметризованной кривой.
Тогда два координатных векторных поля Е] и Е2
вдоль ф, определенные как
Ei (t, s) = dty(t, s; 1, 0),
E2(l, s) = dty(t, s; 0, 1),
касательны к S вдоль ф. Отметим, что EJ/, 0) = а(/)
для всех t е 1. Векторное поле X вдоль а, определен-
ное соотношением Х(/) = Е2(/, 0), называется вектор-
19. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИИЕ
237
ным полем вариации вдоль а, ассоциированным с ва-
риацией ф.
Вариация параметризованной кривой а опреде-
ляет семейство параметризованных кривых as:
[a, />]->-S, где as(/) = ф(/, s). Длина кривой as дается
интегралом длины
ь	ь
l(as) = $||ds(/)||d/ = J || ЕД/, s)||d/.
а	а
Производная этой функции по s равна
ь
iZW=J4(E,-E,)''2« =
а
Если мы теперь предположим, что а имеет единичную
скорость, то || Е] lls=0 = II a II = 1, так что
ь	ь
£ | I (as) = J X • adt = J [(X • a)' - X • a] dt
a	a
ИЛИ
b
~ |o / (as) = (X • a) (b) - (X • a) (a) - J (X • a) dt.
a
Обведенная рамкой формула называется форму-
лой первой вариации для интеграла длины. Она спра-
ведлива для любой вариации ф любой кривой а с
единичной скоростью. Отметим, что интеграл в пра-
вой части зависит только от векторного поля вариа-
ции X: любые две вариации кривой а, имеющие одно
238 начальные главы дифференциальной ГЕОМЕТРИИ
и то же векторное поле вариации, дадут одинаковые
значения производной (d/ds) |0/(txs).
Вариация гр: [а, Ь]Х(—е, e)^S кривой а(/) =
= гр(/, 0) называется вариацией с фиксированными
концевыми точками, если гр (a, s) = а (а) и гр (d, s) =
== a(b) для всех se(—е, е). Вариация гр называется
нормальной вариацией, если векторное поле вариации
X всюду ортогонально к а (т. е. Х(/) ± а(/) для всех
te[«,&]). Применяя формулу первой вариации к
этим случаям, получаем следующую теорему.
Теорема 1. Пусть a: [a,	— кривая на п-по-
верхности S с Rn+' с единичной скоростью. Тогда
следующие три условия эквивалентны.-.
(i)	Интеграл длины стационарен на а по отноше-
нию к вариациям с фиксированными концевыми точ-
ками.
(ii)	Интеграл длины стационарен на а по отно-
шению к нормальным вариациям.
(iii)	Кривая а является геодезической поверх-
ности S.
В частности, если а, — кратчайшая кривая на S, со-
единяющая две точки поверхности S, то а, является
геодезической.
Доказательство. Если гр: [а, Ь]Х(—е, e)->S— ва-
риация кривой а с фиксированными концевыми точ-
ками, то гр (a, s) = ос(а) для всех s, | s | < е, так что
Х(сг) = (а(а), (<5ip/c?s) (а, 0)) = 0 и аналогично Х(6) =
= 0. Если гр есть нормальная вариация а, то Х(а) •
•а(а) = 0 и Х(Ь)-а(Ь) = 0. В обоих случаях фор-
мула первой вариации сводится к
ь
-Д/(а5) = - J(X-a)dt
а
Если а является геодезической поверхности S, то
a(/)lSa(j) для всех t е [а, 6], так что X-d = 0
вдоль ос, и поэтому (d/ds) |01 (as) — 0 для всех вариа-
ций гр кривой a — нормальных или с фиксированны-
ми концевыми точками. Значит, (iii)=>(i) и (iii)=>(ii).
19. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИИЕ
239
С другой стороны, если а не является геодезиче-
ской, то найдется точка /0 е [а, И. в которой а
т- е- в этой точке тангенциальная компо-
нента а'(/о) ускорения а (/0) не равна нулю. (Напом-
ним, что в гл. 8 вектор а' назывался ковариантным
ускорением кривой а.) Мы построим сейчас вариа-
цию ф с фиксированными концевыми точками, у ко-
торой векторное поле вариации вдоль а будет рав-
няться fa', где f—неотрицательная гладкая функция
вдоль а с условиями f(a) = f(b) = O и f(to)^>O. Эта
вариация будет нормальной вариацией кривой а, так
как для а, являющегося единичным векторным полем
вдоль а, имеем а' ± а. Формула первой вариации для
этого случая принимает вид
ъ	ъ
|о/ (as) = — ^a' • a = — р II а' у2 < О,
а	а
и тем самым получаем, что (i)^(iii) и (ii)^(iii).
Для построения требуемой вариации ф рассмот-
рим взаимно однозначно параметризованную п-по-
верхность q>: U->-S, образ которой является откры-
тым множеством на S, содержащим точку a(to). Вы-
берем Gi, Ь\ с а < Gi < Ь\ С b такими, чтобы
<z( [ai, bi]) с Image <р. Определим кривую [3: [ai,6i]->-
-+U как р (t) = ср-1 ° a(t), и пусть f: [a,6]->-R—
гладкая буферная функция с f(t0)>6 и f(t) = O для
всех t 0[ai, &i]; далее, пусть Y — гладкое векторное
поле вдоль р, определенное равенством Y(Z)~
= f(i) (dcpisi/))-1 (a'(0) (см. рис. 19.2). Определим
теперь вариацию ф: [а, 6]Х(—в, e)->S, положив
(ср (р (/) + sK (/)), f^[at, 6J, s е (— е, е)
1 фор (/) = а(/), t 0 [аь &[], ss(- е, б),
где е > 0 выбрано достаточно малым, так, чтобы
Р(0 + sY(t)^ U для всех (t, s)e[ai, 6i]X(—e,8).
Тогда ф является вариацией а с фиксированными кон-
240 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
цевыми точками и с векторным полем вариации
Х« = ^((, 0; 0,	=	's|“- 611
10	, t <£ [аь й[]
= f (t) a' (t),
что и требовалось.
Наконец, если кривая а является кратчайшей
среди всех кривых на S, соединяющих а (а) с а(&),
то Z(as) представляет собой минимум при s = 0 для
Рис. 19.2. Построение уменьшающей длину вариации вдоль не-
геодезической линии.
всех вариаций а с фиксированными концевыми точ-
ками, так что тогда интеграл длины стационарен на
а, а значит, а должна быть геодезической на S. □
Замечание 1. Приведенное доказательство не
только показывает, что если кривая а не является
геодезической, то а не дает минимума длины, но оно
в действительности указывает способ перехода к бо-
лее короткой кривой от а(а) до а(Ь): надо дефор-
мировать а, оставляя концевые точки неподвиж-
ными, в направлении тангенциальной составляющей
а' ускорения кривой а (см. (рис. 19.3).
Замечание 2. Анализ доказательства теоремы 1
показывает, что замена условия о том, чтобы кривая
а имела единичную скорость, условием, что а являет-
ся кривой на S с постоянной скоростью, не повлияет
19. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
241
на справедливость теоремы, хотя формула первой ва-
риации при этом слегка и изменится.
Замечание 3. Формула первой вариации может
быть переписана в терминах ковариантного ускоре-
ния а' кривой а следующим образом:
ь
| о / (as) = (X • а) (&) - (X • а) (а) - J (X • a') dt.
а
Теорема 1 утверждает, что кратчайшая кривая
с единичной скоростью между двумя точками р и у
Рис. 19.3. Уменьшение длин кривых на S2.
на n-поверхности S с: Rrt+1 должна быть геодези-
ческой. Но она не утверждает, что между двумя точ-
ками на S обязательно существует кратчайшая кри-
вая (на самом деле ее может и не быть: рассмотрите
2-плоскость в R3 с одной проколотой точкой), и она
не утверждает также, что геодезическая a: [a, b)-*S
является кратчайшей (даже локально) кривой между
а (а) и а(Ь) (действительно, она может и не быть
кратчайшей; см. рис. 19.4). Однако мы покажем, что
если точки р и у<= S достаточно близки друг к другу,
то существует геодезическая, соединяющая р и q, ко-
торая действительно будет кратчайшей среди всех
кривых на S, соединяющих р и q. Для доказатель-
ства этих фактов мы воспользуемся экспоненциаль-
ным отображением м-поверхности.
242 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Пусть v е Т (S) = [J Sp> и пусть av обозначает
peS
единственную максимальную геодезическую на S с
условием av (0) = v. Положим
U = {v е Т (S): 1 е области определения aj
и пусть отображение exp: U^-S определено как
exp (v) =av(l). Отображение exp называется экспо-
ненциальным отображением, поверхности S.
Рис. 19.4. Геодезические (окружности большого круга) на сфере
не минимизируют интеграл длины — даже локально — за сопря-
женной (диаметрально противоположной) точкой р'.
Отметим, что нулевой вектор в SP принадлежит U
для каждой точки р е S и что его образ при отобра-
жении ехр есть р.
Пример. Максимальная геодезическая на единич-
ной окружности S1 с: R2 с начальным вектором ско-
рости v = (1,0; 0,0) представляет собой глобальную
параметризацию av(() = (cos0(, sin 0Z) окружности S1
и имеет постоянную скорость. Значит,
ехр(1, 0; 0, 0) = av(1) = (cos0, sin 0).
Рассматривая R2 как множество С комплексных чи-
сел с отождествлением точки (a, b) с a -R ib, эту
19. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
243
формулу можно переписать в виде ехр(1, 0; 0, 0) =
= cos 0 + i sin 0 = е10.
Теорема 2. Экспоненциальное отображение
exp:U->S п-поверхности ScR"+1 имеет следующие
свойства-.
(i)	Область определения U отображения ехр яв-
ляется открытым множеством в T(S).
(ii)	Если v U, то tv е U для 0 t 1.
(iii)	Отображение ехр является гладким.
(iv)	Для каждой точки р е S существует откры-
тое множество ир в Sp, содержащее 0е Sp и такое,
что UpaU и ехр[у является диффеоморфизмом из
ир на некоторое открытое подмножество в S, содер-
жащее точку р.
(v)	Для каждой точки р е S и каждого вектора
v е Sp максимальная геодезическая av с av (0) = v да-
ется формулой
av (/) = exp(/v).
Доказательство. Утверждение (v) непосредственно
следует из того факта, что для каждого значения
ieR параметризованная кривая a(s) = av(/s), опре-
деленная на интервале {seR: ts^I}, где I — область
определения av, является геодезической с а (0) =
— tav(0) — tv. В силу единственности геодезических
atv (s) = a (s) = av (ts) для всех s, таких, что IseeI.
Положив s=l, получаем, что для каждого t ее I
% (0 = afv (1) == ехр (tv).
(ii) следует из (v), так как если вектор v е U, то
1 принадлежит области определения av, так что
av (t) = ехр (tv) определено для всех t,
(i) Вспомним (упражнение 15.5), что Т (S) является
2п-поверхностью в R2rt+2. Рассмотрим на Т (S) вектор-
ное поле X, определенное соотношением
X(v) = (p, v; v, — (v  VvN) JV (р))
244 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
для v = (р; о)е T(S). Поле X называется геодезиче-
ской струей1) на T(S). Рассмотрим связь между ин-
тегральными кривыми поля X и геодезическими по-
верхности S.
Пусть a: /->S — произвольная параметризован-
ная кривая на S; натуральным подъемом (лифтом)
кривой а в Т (S) называется параметризованная кри-
вая a: /->T(S), определенная равенством
с((/) = а(/) = (а(/);-^(/)}.
Вектор скорости кривой а равен
S(')=(“<'). £«):>(').	('))
так что а является интегральной кривой поля X в том
и только том случае, когда
Но это уравнение есть в точности уравнение (G) (см.
гл. 7) геодезических на S. Значит, кривая а: /-> S
является геодезической поверхности S в том и только
том. случае, когда ее натуральный подъем а в T(S)
является интегральной кривой геодезической струи X.
Далее, для каждого ve7(S) максимальная геодези-
ческая av с начальным вектором скорости v имеет на-
туральный подъем avc v~“v(0) и X(v) = a(0), так
что X является касательным векторным полем на
7(5), максимальная интегральная кривая которого
через точку ve?(S) есть av. Отсюда следует, что
для каждого уеГ($) максимальная геодезическая
av на S с av(0) = v дается формулой av = n<>pv, где
pv — максимальная интегральная кривая поля X
с Pv(0)=v, а отображение л: T(S)^- S определено
соотношением а(р\ v) = р.
*) Вместо „струя" иногда употребляют также термин „пульве-
ризация". — Прим, перво.
19. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
245
Если теперь вектор ve T’(S) принадлежит области
определения U экспоненциального отображения, то
геодезическая av имеет область определения, содер-
жащую отрезок [0,1], а значит, максимальная ин-
тегральная кривая pv — av поля X, проходящая через
v, имеет область определения, содержащую [0, 1].
Как в доказательстве следствия теоремы 4 гл. 13, мы
можем выбрать ё>0 таким, что для каждого t из
компактного множества [0, 1] существует открытое
множество VfCz7’(S), содержащее Pv (1) и такое, что
интегральная кривая поля X, проходящая через лю-
бую данную точку из V/, имеет область определения,
содержащую интервал (— ё, ё). Положив V ~ J Уь
/е[0, 1)
мы получим открытое множество VciT(S),
содержащее Pv ([О, 1]) и такое, что через каждую точ-
ку w е V проходит интегральная кривая Pw поля X
с Pw(0) = w и область определения которой содер-
жит (—ё, ё). Согласно теореме 4 гл, 13, отображение
ф: (—ё, ё)Х У-> T'(S), определенное по формуле
Ф(£, w) = pw (0, является гладким. Кроме того, в силу
единственности интегральных кривых рр^(/)($) =
=₽»(^+«)для всех t и $ из (—ё, ё), таких, чтоРж(/)еУ.
Выбрав положительное целое число k с условием
1/£<ё и определив V -+Т (S) формулой 41/ft(w) =
= ф(1/&, w) = Pw(l/&), получаем, что
(1l’i/fe01l’i/fe) (w) — ₽pw Ида ОДО = Pw (2/6)
для всех we У, таких, что 4i/ft (w) ==pw (1/й) е У;
итерируя далее k раз, получаем, что
(%ft° ... °^1/fe)(w) = ₽w(fe/fe) = pw(l)
для всех w из открытого множества
iy = {we У: 41/fc(w)e У, ф1/й о ф1/А (w) е У, ...,
(Ф1/А° ... °i|)1/4)(w)ey (композиция k— 1 раз)}.
Значит, 1 е область определения (Pw) = область опре-
деления (л°PW) = область определения aw для всех
246 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
•w^W. Другими словами, W с: U. Так как veW,
то это значит, что нам удалось найти для каждого
ve U открытое множество W в T(S), такое, что ve
е IFc Следовательно, Д является открытым мно-
жеством в Т (S).
(iii) Так как, в обозначениях предыдущего пункта,
exp(w) = aw(l) = nopw(l) = (noij51/feo ...
для всех w е 1Г, то отображение ехр гладкое.
(iv) Нам нужно только убедиться, что отображение
(dexp)0: (Sp)o—>SP не является особым, после чего
можно будет применить теорему об обратной функ-
ции. Действительно, каждый элемент из (Sp)o имеет
вид а(0), где a(/) = /v для некоторого veSp, и поэ-
тому согласно (v)
(d ехр) (a (0)) = (ехр о а) (0) = av (0) = v,
так что (d ехр) (а (0)) = 0, только если а(0) = 0. Это
и означает, что (dexp)o является неособым. □
Согласно теореме 2, геодезические на S, проходя-
щие через точку peS, могут быть представлены как
Рис. 19.5. Геодезические на S, исходящие из р, являются обра-
зами при экспоненциальном отображении лучей, исходящих из 0
в Sp. Кроме того, при достаточно малом е > 0 ехр отображает
е-шар ВЕ около 0 диффеоморфно на открытое множество Ue
в S для достаточно малого е > 0.
образы при отображении ехр лучей a(f)=/v в S„
(см. рис. 19.5). Более того, при достаточно малом
е > 0 функция ехр отображает е-шар Ве = {veS,;
||v||< е) диффеоморфным образом на некоторое от-
19. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
247
крытое множество в 5. Отсюда следует, что если
точка q е 1)г, то в существует геодезическая, со-
единяющая р и q, а именно такой геодезической яв-
ляется av (/) = exp (/v) (0 «С t «С 1), где вектор vsBs,
такой, что exp(v)=g. Далее, эта геодезическая яв-
ляется единственной (с точностью до перепараметри-
зации) геодезической в t/e, соединяющей р и q. Мы
покажем, что эта геодезическая действительно имеет
Рис. 19.6. Лемма Гаусса: d exp
сохраняет ортогональность
к радиальным геодезическим
длину, не большую, чем длина любой параметризо-
ванной кривой в 3, соединяющей р и q. Доказа-
тельство этого факта зависит от двух свойств диффе-
ренциала экспоненциального отображения.
Лемма. Пусть в R"+1 задана п-поверхность S, а
пусть U с: Т (S) — область определения экспоненци-
ального отображения поверхности S. Тогда для р е S
и \'<=Sp(]U дифференциал dexp обладает следую-
щими свойствами при его действии на векторы, каса-
тельные к SP в v:
(i) Если вектор w е (Sp)v касается в v луча a (t) =
— tv, проходящего через v (г. е. если w коллинеарен
с а(1)), то || (d exp) (w) || == || w ||.
(ii) Если вектор w е (Sp)v ортогонален к лучу
a(/) = /v, проходящему в направлении v (г. е. если
а (1) • w = 0), то (d exp) (w) ортогонален к геодезической
(expoa) (t) — exp (tv).
Замечание. Утверждение (ii) обычно называется
леммой Гаусса (см. рис. 19.6) ,
248 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Доказательство, (i) Кривая (ехр ° а) (/) = exp(/v)
является максимальной геодезической на S с началь-
ным вектором скорости v. Так как геодезические
имеют постоянную скорость, то
|| (d exp) (а (1)) || = || (ехр ° а) (1) || = || (ехр о а) (0) || = || v || =
= II й (1)11.
Отображение dexp линейно на Т (S)v (Sp)v, и поэ-
тому отсюда следует, что если w = ca(l) для неко-
торого cgR, то
||(dехр)(w)|| = | с HI(dexp)(a(l))|| = | с ||| а (1)|| = || w||.
(ii) Каждый вектор we(Sp)v имеет вид w = p(0),
где р (s) = v + sx с некоторым xeSp, Так как
a (1)  w = a (1) • Р (0) =~^у~ (1) •-^у-(О) = V • х,
то условие ортогональности w к лучу а сводится
к v-x = 0.
Мы должны показать, что (ехр ° a) (1) • (d ехр) (w) =
=0. Имеем
(d ехр) (w) = (d ехр) (р (0)) = (ехр о р) (0),
так что
(ехр ° a) (1) • (d ехр) (w) = (exp°a) (1) • (ехр°р)(0) =
= Е, (1, 0)  Е2(1, 0),
где Ei и Е2 — координатные векторные поля вдоль
отображения ip: [0, 1]Х(~е, е)-> S, определенного
формулой
ф(/, s) = ехр (/(v + $х)),
причем е > 0 выбрано достаточно малым, чтобы
/ (v + sx) е U для	и | s | < е (см. рис. 19.7).
Значит, нам нужно проверить, что (Ei • Е2) (1, 0) =
= Ei (1,0) • Е2(1,0) = 0. Для этого мы покажем, что
(Ei-E2) (I, 0) = 0 для всех /е[0,1]. Так как (Ег
• Е2) (0,0) = 0 (потому что Е2(0,0) = 0),то достаточно
убедиться, что (Е1-Е2)(/, 0) постоянно,
19. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
249
Сначала заметим, что для каждого $ е (—е, е) ко-
ординатная кривая as: [0,1]->S, определенная как
as (/) = exp (/ (v + sx)),
является геодезической на S с начальным вектором
Рис. 19.7. ср (/, s) = t (у + sx) отображает [0, 1] X (— в, е) на
треугольник в Sp. Отображение -ф = ехр°ср является вариацией
геодезической а.
скорости v-|-sx. Так как геодезические имеют по-
стоянную скорость и v-х = 0, то
II Е! (/, s) II2 = II as (О IP = II as (0) ||2 = || v ||2 + s21| х ||2
для всех (/, $) е [0, 1 ] X (— е, е).
Теперь
^-(e1.e2) = (vEie1).e2 + e1.(vEie2),
где (Ve,Ej)(/, s) = V(/. в. (> 0)Еу для /(={1, 2}. Так как
каждая координатная кривая as является геодезиче-
ской, то (VE Ej)(/, s) = as(/) ортогональна к S, и поэ-
тому (VeE1)-E2 = 0. Кроме того,
(ve,E2)(/, »)-(♦«, s);	s))-
= (*»- s>- <J('' »)) = (ЧЛХ'. »)>
250 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
поэтому имеем, что
у (Е, • «У = "V (vEA) Ч £ №  Е0 =
=44<1’|f+s2||’‘|f>=s||x|F’
так что
4(E,-E2)U = 0,
а значит, (Ei-Ег)^, 0) постоянно, что и требовалось.
□
Теорема 3. Пусть S — некоторая п-поверхность в
Rn+1, пусть ncrS и пусть е > 0, такое, что экспонен-
циальное отображение поверхности S переводит шар
Bs ={v е Sp: llvll< е} диффеоморфным образом в не-
которое открытое множество UeazS. Тогда для каж-
дой точки q ее U z параметризованная кривая a(t) =
= exp(/v), 0 t 1, где вектор у^Вё, такой, что
exp(v) = 7, является геодезической на S, соединяю-
щей р и q, и если 0: [a, &]->S — любая другая пара-
метризованная кривая на S, соединяющая р и q, то
/(₽)>/(<%)•
Доказательство. Пусть функция г: SP->R опреде-
лена как г(х)=||х||. Мы будем использовать следую-
щие факты об 1-форме dr на Sp— {0}:
(а)	Если вектор w е (Sp)v, касательный к лучу в
Sp, идущему по вектору veSp, то | dr (w)| =||w||.
(b)	Если вектор w е (Sp)v ортогонален к лучу в
Sp, идущему по вектору vgSp, то dr(w) = 0.
Чтобы проверить эти факты, заметим, что каждый
вектор w е (^p)v имеет вид w = у (0), где у (s) = v + sx
с некоторым х е Sp. Если w касается луча, идущего
по у, то х — Ту с некоторым ?. eR, так что y(s) =
= (1 + sZ,) v и
I dr (w) | = I dr (y (0)) | = | (г о у)' (0) | =
= |т7Г vll| = lZ 1,1 vll = l|x|| = ||w||.
19. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
251
Если w ортогонален к лучу, идущему по v, то х ± v,
Г о У (s) = IIV + sx II =(|| V I|2+s2 II х ||2)‘/2 и dr (w)=dr (у (0))=
= (гоу)'(0) = 0.
Приступим к доказательству теоремы. Утвержде-
ние о том, что a(t) = exp(Zv) является геодезической,
соединяющей р и q, уже известно из теоремы 2.
Пусть теперь кривая |3: [a, 6]->S соединяет р и
q: $(а) = р и fi(b')=q. Обозначим через с точную
верхнюю границу множества
{t е [а, &]: р ([а, /]) с: Ue},
так что Р(7)сг[7е, где / = [а, Ь], если с — Ь и I —
= [а, с) в противном случае. Считая, что функция
Рис. 19.8. Концентрические сферы в шаре В являются множе-
ствами уровня функции r:Sp->R. Образы этих множеств при
отображении ехр являются множествами уровня функции
г:
г: t/ ->R определена как г = г°(ехр|ве) 1 (см. рис
19.8), мы видим, что г (р (а)) = г (р) = 0 и lim г (Р (/)) =
t-+c
= е>г(р), если с b, г (Р (&)) = г (<?), если с = Ь.
В последнем случае по теореме о промежуточном зна-
чении г (Р (/)) = г (<?) для некоторого tel-, пусть tr
есть наименьшее из таких t. Пусть отображение
₽: fa, /i]-*Se определено как Р(/) = {ехр|Ве)-1 (Р(/)).
Тогда Р (0 = Рг (/) + Р± (/), где вектор Рг(/) касателен
к лучу в Sp, идущему по Р (/), а Р± (/) ортогонален к
этому лучу. Используя доказанные выше факты о dr,
252 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
мы найдем
О	О
it	h	ti	ii
(P (a)) = J	(r op)'	= J (г о ₽)'	=	J	dr	(P) = J dr (Pr)
a	a	a	a
г • c • <» c
< J \dr (pr) | = II Pr II = J II (d exp) (Pr) II <
a	a	a
а
л	л	i\
J||(dexp)(p) ||= ||ехро₽|| = $
а	а	а
b
$II₽II=Z(₽),
а
где равенство (1) и неравенство (2) получены с уче-
том леммы.	□
Замечание 1. /(р) может равняться 1(a), только
если в приведенных выше оценках все три неравен-
ства обращаются в равенства. Это может случиться,
только если (следуя назад по неравенствам)
(i)	р (/) = р (/J для всех / /ь
(ii)	Р(/) не имеет составляющей, ортогональной к
лучу в Sp, идущему по Р (/), при всех и
(iii)	функция г°Р монотонна [a, /J,
Из этих трех условий следует, что если в условиях
теоремы /(Р) = /(а), то р = ао/?, где отображение
Л: [а, &] —> [0, || v ||], монотонно; тогда, в частности, a
и Р имеют один и тот же образ.
Замечание 2. Анализ доказательства теоремы 3
показал бы, что если V — произвольное открытое мно-
19. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
253
жество в U П Sp (где U— область определения экспо-
ненциального отображения), такое, что ехр отобра-
жает V диффеоморфным образом на некоторое от-
крытое множество W в S, и если exp(/v)eE W для
О t t0, то кривая av (/) = ехр(/v) (0	/0) яв-
ляется кратчайшей среди всех параметризованных
кривых в W, соединяющих р с exp(/ov). Однако
av (/) = ехр (/v) (0	/0) не обязательно является
кратчайшей среди всех кривых на S, соединяющих р
с exp(fov) (см. упражнение 19.4).
Замечание 3. Точка <7 = av(r) называется сопря-
женной точке p = av(0) вдоль геодезической av(/) =
= exp(fv), если (d ехр) (w) = 0 для некоторого ненуле-
вого вектора we(Sp)xv. Согласно лемме из этой
главы, каждый вектор w е (S )xv, для которого
(d ехр) (w) = 0, должен быть ортогонален к лучу a (t) =
— tv в Sp, так что w = p(0), где P(s) = v + sx для
некоторого	cxlv. Определив отображение
ф: [0, т]Х(—8> 8)->5(где 8 достаточно мало) фор-
мулой
ф (/, s) = ехр (/ (v + sx)),
мы получаем некоторую вариацию геодезической
av|[o -с]’ такУю> что каждая из координатных кривых
аД/) = ф(/, s) является геодезической, начинающейся
в р, и эти геодезические сходятся в q как в фокусе
(см. рис. 19.9). Таким образом, сопряженные точки
вдоль геодезических из р аналогичны фокальным точ-
кам вдоль нормалей к и-поверхностям в Эту
аналогию можно сделать более полной, заметив, что
геодезические, исходящие из ре S, можно считать
как геодезические нормали к (п—1)-поверхности
exp{veSp: ||v||=6}, где 6>0 выбрано достаточно
малым, чтобы отображение ехр было диффеоморф-
ным на некотором шаре Ве с центром в начале коор-
динат в Sp и радиуса е > б. Некоторой модифика-
цией доказательства теоремы 3 можно показать, что
до первой сопряженной точки геодезическая av ло-
254 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
кально минимизирует интеграл длины в том смысле,
что если х есть любая вариация кривой av|[0 (1 с фик-
сированными концевыми точками и если на ау(т) нет
Рис. 19.9. Здесь изображено 1-параметрическое семейство геоде-
зических из р, которые сходятся к фокусу в сопряженной точке q.
сопряженных точек при 0 < т < /,, то / (ys) ~^l (av |[0
для всех достаточно малых $, где ys(t) — %(t, s).
Можно также показать, что за первой сопряженной
Рис. 19.10. Множество сопряженных точек точки р на эллип-
соиде. Показаны также две исходящие из р геодезические.
точкой ау не минимизирует интеграл длины даже ло-
кально (см. рис. 19.4).
Множество точек q е S, таких, что q является со-
пряженной точкой для р вдоль некоторой геодези-
ческой из р, называется множеством сопряженных то-
чек точки р на S (см. рис. 19,10),
19. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ рТОБРАЖЕНИЕ
255
УПРАЖНЕНИЯ
19.1.	Пусть S— некоторая n-поверхность в R"+1. Для пара-
метризованной кривой на S, a: [a, b]->-S, определим энергию
ъ
кривой а как интеграл j || а (/) ||2гД. Покажите, что а является
а
геодезической на 5 в том и только том случае, когда интеграл
энергии стационарен на а по отношению к вариациям с фикси-
рованными концевыми точками.
19.2.	(а) Покажите, что каждый вектор, касательный к еди-
ничной окружности S'cR2, имеет вид
v (ср, 0) — (cos ср, sin ф; — 0 sin ф, 0 cos ф)
с некоторыми ф, 0 s R.
(Ь) Покажите, что экспоненциальное отображение на S1 да-
ется формулой
ехр (v (ф, 0)) = е1 <Ч’+0),
где R2 рассматривается как множество комплексных чисел с ото-
ждествлением (a, b) с а + ib.
19.3.	Пусть S —ориентированная n-поверхность в Rn+1 T(S) =
— (J Sp с R2 и пусть v = (р; v) е Т (S).
peS
(а)	Покажите, что касательное пространство (Т (S))v к Т (S)
в точке v имеет вид
(Т (S))v = {(х„ х2, х3, z4)eS4(n+1':
Xi =р, Xi = V, (р; х3) е= Sp, (р; х3) • Lp (v) = (р; х4)  N (р)},
где Lp — отображение Вейнгартена поверхности Sep.
(Ь)	Покажите, что касательное пространство (Sp)v к Sp в
точке v есть
(Sp)v = {(/’> v- °.	(Р< *) eSp}-
(с)	Покажите, что вектор (р; V, 0, х) е (Sp)v касателен к
лучу а (0 = tv в Sp в том и только том случае, когда х = Ло с
некоторым X е R, и что (р, v, 0, х) ортогонален к этому лучу в
том и только том случае, когда v • х = 0 (ортогональность в
(Sp)v!).
*) Здесь и ниже в (с) мы переходим к обозначениям оригинала,
так как выделение „точечной*1 части в прежних обозначениях дало
бы довольно сложное выражение вида, скажем, ((р; о); (0; х)).
256 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
19.4.	Пусть S — цилиндр *| + *2=* в R3, и пусть р =
= (1, 0, 0) е= S.
(а)	Покажите, что Sp = {(р- 0, a, b): a, b е R).
(Ь)	Вычислите exp (v) для вектора v = (р; 0, а, 6) е Sp.
(с)	Покажите, что множество сопряженных точек точки р на
S пусто.
(d)	Покажите, что Sp есть открытое множество, содержащее
луч a(t)=tv, v — (р; 0, 1, 1), которое функцией ехр диффео-
морфным образом отображается на некоторое открытое множе-
ство в S, содержащее геодезическую av (/) = ехр (tv).
(е)	Покажите, что тем не менее существует значение е R,
такое, что кривая av (t) = ехр (tv) (0 t ^0) не является крат-
чайшей кривой на S, соединяющей точку р с exp(Zov).
19.5.	Пусть S2 — единичная 2-сфера в R3 и пусть р = (0, 0,
1) е S2
(а)	Покажите, что = {(р; а, Ь, 0): a, b е R).
(Ь)	Вычислите ехр (v) для v = (р, а, Ь, 0) е Sp.
(с)	Покажите, что множество сопряженных точек для р со-
стоит из одной точки q — (0, 0, —1).
(d)	Покажите, что ехр отображает шар {v е S2p: || v || < л}
диффеоморфным образом на S2 — {«7}.
19.6.	Пусть S — связная «-поверхность в R'1+1. Определим
для точек pt, рг е S внутреннее расстояние d(pi, р2) от pi до р2
как точную нижнюю грань множества
{I (а): а — кусочно-гладкая параметризованная кривая на S, сое-
диняющая ТОЧКИ Р1 и р2).
Покажите, что для любых точек р2, р2 и р3 sS:
(а)	d (pi, р2) =d (р2, pi),
(b)	d (pi, р2) + d (р2, р3) > d (pi, р3),
(с)	d (pi, р2) > 0 и d (pi, р2) = 0, если и только если pi = р2<
[Указание: для (с) взять р = pi и выбрать е как в теореме 3,
но достаточно малым, так чтобы р2 Ф- Us. Затем доказать, что
d(Pi, Рг)> в.]
19.7.	Пусть S — некоторая «-поверхность в R',+I, и пусть
T’i(S) обозначает касательное сферическое расслоение S единич-
ного радиуса (упражнение 15.6).
(а)	Покажите, что ограничение на Ti(S) геодезической струи
является касательным векторным полем на 1\(S).
(b)	Учитывая, что для компактной поверхности 5 простран-
ство Ti (S) тоже компактно, покажите, что любая компактная
«-поверхность в R'I+1 является геодезически полной (см. упраж-
нение 7.12)
(с)	Вывести отсюда, что если поверхность S компактна, то
область опре те тения экспоненциального отображения для S сов-
падает со всем касательным расслоением T(S).
20. ПОВЕРХНОСТИ С КРАЕМ
В этой главе мы изучим некоторые новые понятия
и связанные с ними результаты, которые нам будут
нужны в следующей главе для доказательства одной
из самых знаменитых теорем дифференциальной гео-
метрии— теоремы Гаусса — Бонне. Сначала мы обсу-
дим понятие «-поверхности с краем (или, что то же
самое, с границей). Затем мы расскажем немного о
дифференциальном и интегральном исчислении форм.
По определению, n-поверхность с краем в R"+1
есть непустое подмножество ScR,!tI вида
5 = Г1(с)ПяГ1((-°°> с]) п ... ОяГЧС-оо, <!)=
= {р£Е Rn+1: f(p) = c, gi(p)^Ci...gktpXck},
где k — положительное целое число, {с, с{, ..., cfe} <= R,
a f: U->R и gp	i	k}, — гладкие
функции, определенные на открытых подмножествах
пространства Rre+1 и удовлетворяющие следующим
условиям:
(i)	W (р) =/= 0 для всех р g S,
(ii)	множество gy1 (cj f] g~1 (c^) f| S пусто при всех
i ¥= i,
(iii)	для каждого z ge {1, ..k} система векторов
{v/(p)> ^gi (p)} линейно независима во всех точках
р е g~l f) S. Край dS поверхности S есть множество
dS = {р е S: g{ (р) — ct для некоторого z} =
/г
= U £Г‘ (Cz)ns.
z=i
258 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Внутренность поверхности S есть множество
S — dS.
Условие (i) гарантирует, что внутренность поверх-
ности S является некоторой «-поверхностью в Rn+1
и даже, более того, что сама S вся является частью
некоторой «-поверхности ()-1(с) в Rrt+1. Из условия
(ii) следует, что части края dS, определенные раз-
личными функциями gi, между собой не пересекают-
ся. Наконец, условие (iii) гарантирует, что dS яв-
ляется некоторой («—1)-поверхностью в Rn+1.
Замечание. Эквивалентным образом «-поверхность
с краем в Rn+1 может быть описана как множество
S = {peS: gi (р) < clt .. ., gk (р) < cj,
где S — некоторая «-поверхность в R"+1, a g\, ..., g;i:
S->R — гладкие функции на 8, такие, что множества
Рис. 20.1. Полусфера Xj + х2 + х^ = 1, х31>0.
ST1 (А) Л gy1 (с/) пУстые при 1 i и (grad^)(p) °
для любой точки р е gr1 (cj.
Пример 1. Полусфера
S = {(х1; х2, х3) е R3: х? + %2 + 4 = 1, х3 > о}
есть 2-поверхность с краем в R3 (надо взять f (хь х2, х3)~
= X2i + Х2 + xl, C=l, g(Xi, Х2, Х3) = — Х3, R Ci = 0).
20. ПОВЕРХНОСТИ С КРАЕМ
259
Ее краем является экватор
<?S = {(xb х2, х3) <= S: х3 = 0}
(см. рис. 20.1).
Пример 2. Для (« — 1)-поверхности S (без края),
S = f~l(c), в R" рассмотрим множество
SXI = {(Xl, ..., x„+1)e=R"+1: f(xh ..., хп) = с,
0<х„+1^1}.
Таким образом, SXI представляет собой часть ци-
линдра над S (см. рис. 20.2), которая является «-по-
верхностью с краем в Rrt+'. Ее край состоит из двух
экземпляров поверхности S: ЯГ'(О), где ...
•••>xn+i)==-xn+i нЛ’ где£г(хь •••> xn+i) = xn+1.
Рис. 20.3. Три вектора в касательном про-
странстве Sp, pedS. v направлен внутрь,
w направлен наружу и нормально к краю,
а х касателен к краю.
Касательное пространство в точке р <= S, где S =
k
=f~~{ (£)П |"| gf1((— 00> cj)—некоторая «-поверхность
<=1
с краем в Rrt+I, есть «-мерное векторное пространство
S5 = {ve:C‘: v-W) = 0}.
Вектор vgSoi p^dS (peg-1 (c^ при некотором г)}
называется (см. рис. 20.3)
260 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
(i)	направленным вовне (или наружу), если у
•Vgi(p)>0,
(ii)	направленным внутрь, если v-Vg,(p)<0,
(iii)	касательным к краю, если v-Vg,(p) = 0,
(iv)	нормальным к краю, если v-w = 0 для всех
векторов w е Sp, касательных к краю.
Отметим, что для каждой точки р е dS множество
(<3S)p всех векторов в Sp, касательных к краю, яв-
ляется (п—1)-мерным подпространством простран-
ства Sp и что в Sp есть ровно один единичный вектор,
направленный вовне и нормальный к краю.
Заметим также, что все вышеприведенные условия
могут быть переформулированы без упоминания
функций f, gi, gk и поэтому они зависят только
от поверхности, а не от определяющих ее функций.
Так, например, для точки р е S касательное про-
странство Sp может быть описано как множество всех
векторов v е Rp+1 вида v = a(t0), где a: /->R'2'-1
(/ — открытый интервал) — параметризованная кри-
вая, такая, что <%(Z0) = p для некоторого или
a(i)eS для всех t е / с условием t t0, или а(/)е
е S для всех t е 1 с условием t to, или выполнены
оба этих условия. Вектор veSP, ре dS, касателен
к dS, если v = a(Z0) Для некоторой кривой а: I ->
Rra+1 с a(/)s<?S для всех t е /. Вектор veSP,
р е dS, некасательный к dS, называется направлен-
ным вовне, если v = a(Z0) для некоторой кривой
a: /->R”+’ с a(i)eS для всех tel с t t0, и v
называется направленным внутрь, если y — a(t0) для
некоторой кривой а(/)еЗ для всех t^I с t Zo.
Ориентация на S есть некоторый выбор на S глад-
кого единичного векторного поля N с условием
N(p)± Sp для всех точек peS, причем понятие глад-
кости определяется здесь точно так же, как в случае
«-поверхностей без края. Заметим, что каждая ори-
ентация N на S определяет некоторую форму объ-
ема на S, т. е. гладкую «-форму £ на S с £(vj, ...
.v«)=±l для любого ортонормального базиса
20. ПОВЕРХНОСТИ С КРАЕМ
261
{V1........v«}	в Sp, где
£(vj, ..v„) = det
N(p)
Обратно, каждая форма объема £ на S единствен-
ным образом определяет на S некоторую ориентацию
N условием, что N(р) в точке ре S есть тот един-
ственный вектор в 5^, для которого
det
= £(vi, ..v„),
v„
N(p)
где {vi, ..., v„}—произвольный ортонормальный ба-
зис в Sp. Таким образом, ориентация на S определяет
и определяется некоторым выбором формы объема
на S; поэтому мы могли бы определить ориентацию
на S как некоторый выбор формы объема на S. Это
определение имеет смысл также для «-поверхностей
р, Rra+m (m 0), так что мы переформулируем сейчас
понятие ориентации в этом более общем случае.
Пусть S— «-поверхность в Rra+m или «-поверх-
ность с краем в Rn+1. Форма объема на S есть глад-
кая «-форма на S, такая, что £(vi, ..., v«)=±l
для любого ортонормального базиса {vi.....vra} в
Sp, р е S. Ориентация на S есть некоторый выбор
формы объема £ на S. Упорядоченный базис {vi, ...
..., v(I} (не обязательно ортонормальный) в Sp, р е S,
называется согласованным с ориентацией £, если
(и только если) £(vi, ..., v«) > 0. Поверхность S на-
зывается ориентированной, если на S дана некоторая
ориентация £.
Замечание. Эти определения распространяются
очевидным образом на «-поверхности с краем в
А определение самой ««-поверхности с краем в Rn+m»
262 НАЧАЛЬНЫЕ главы дифференциальной геометрии
мы оставляем заинтересованному читателю. Для «-по-
верхностей или «-поверхностей с краем в R"+1 мы
будем продолжать понимать ориентацию, когда нам
это удобно, как некоторый выбор на поверхности
гладкого единичного нормального векторного поля.
Пусть S — некоторая «-поверхность с краем в
Rn+1; ориентация £ на S определяет на («—^-по-
верхности dS некоторую ориентацию t,gs по формуле
t,gs — V J £, где V есть гладкое векторное поле на
dS, определенное как V(p) -направленный вовне еди-
ничный вектор в Sp, нормальный к краю. Эта ориен-
тация £as называется индуцированной ориентацией
на dS.
Теперь мы можем определить интегрирование диф-
ференциальных «-форм по компактным ориентирован-
ным «-поверхностям в	или по компактным
ориентированным «-поверхностям с краем в Пга+1
с такой же строгостью как для «-поверхностей в R."+1.
Сначала мы определим локальные параметризации.
Для ориентированной «-поверхности S в R"+m ло-
кальная параметризация S есть параметризованная
«-поверхность <р: [/-^-Rn+m, такая, что cp(t/)czS и ср
согласована с ориентацией £ на S в том смысле, что
Ё(Е1, ..., Ега) > 0, где Е], ..., Е„ обозначают коор-
динатные векторные поля вдоль ср. Для ориентиро-
ванной «-поверхности с краем S в R^1 локальная
параметризация есть гладкое отображение ср одного
из следующих типов:
(i) ср: Uявляется параметризованной «-по-
верхностью, такой, что ср(Д) представляет собой от-
крытое множество на S (т. е. ср(Д) есть пересечение
S с некоторым открытым множеством в Rn+1), при-
чем ср согласована с ориентацией £ в описанном выше
смысле (в этот тип входят локальные параметриза-
ции, образы которых содержатся во внутренности по-
верхности S);
(ii) ср: Д—>Rn+1 является ограничением на U =
•= V П R1, где R" = {(хь ..., хп) е R":	некото-
рой «-поверхности ф: К-* R"+\ такой, что <р(Д) явля-
20. ПОВЕРХНОСТИ С КРАЕМ
263
ется открытым множеством на S, причем <р согласо-
вана с ориентацией ? на S в описанном выше смыс-
ле (в этот тип входят локальные параметризации,
образы которых содержат точки из dS; см. рис. 20.4).
Существование взаимно однозначных локальных
параметризаций, образы которых покрывают данную
as
Рис. 20.4. Локальные параметризации 2-поверхности с краем.
«-поверхность (или «-поверхность с краем), обеспе*
чено теоремой 1 гл. 15 и ее обобщениями (см. упраж*
нения 15.10 и 20.1). Мы можем даже потребовать,
если хотим, чтобы каждое из множеств Д было или
открытым шаром в R", или пересечением R1 с от-
крытым шаром с центром в (п—1)-плоскости х„ — (J
(рис. 20.4).
Для «-формы со на компактной ориентированной
«-поверхности S cz R”+m или на крмпактной ориенти-
рованной «-поверхности с краем ScR"+1 интеграл jco
s
определяется как действительное число
J ®= X J (fM
s	1 фг
где {Д} обозначает любое разбиение единицы на S,
подчиненное некоторой конечной совокупности {<р,}
взаимно однозначных локальных параметризаций ПО’
264 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
верхности S. Существование на S разбиения единицы
и факт независимости интеграла <о от использо-
s
ванного конкретного разбиения единицы доказывают-
ся точно так же, как в случае ориентированных п-по-
верхностей в ₽”+' (см. гл. 17).
После определения интеграла по S от произволь-
ной гладкой n-формы ш мы можем определить объем
компактной ориентированной «-поверхности S в ₽га+':г
или компактной ориентированной «-поверхности с
краем S в R^1 как интеграл по S от ориентирующей
формы объема:
V(S)=$£,
S
а также определить интеграл по такой поверхности S
от любой гладкой функции f: S->R, положив
s s
Проведенные выше рассуждения составляют часть
интегрального исчисления форм. В дальнейшем нам
будут нужны также некоторые сведения из диффе-
ренциального исчисления форм.
Пусть S обозначает n-поверхность или п-поверх-
ность с краем в R'^1. Дифференциал гладкой функ-
ции f: S ->• R есть гладкая 1-форма df на S, опреде-
ленная формулой df(y) = Vvf для vgS(,, p<=S.
Внешняя производная гладкой 1-формы о на S есть
гладкая 2-форма d<a на S, определенная формулой
d®(vb v2) = VV1®(V2)-VV2®(V1)-®([Vb V2]«
где при заданных vb v2 е Sp, р е S, V( и V2 обозна-
чают произвольным образом выбранные гладкие ка-
сательные векторные поля, заданные на некотором
открытом множестве U cz S, содержащем р, и такие,
что Vi(p) = vi и V2(p) = v2, a [Vb V2]—скобка Ли
векторных полей V! и V2, есть гладкое касательное
векторное поле на S, определенное соотношением
[Vb V2](<7) = Vv,«,)V2-Vv2((7)V1
20. ПОВЕРХНОСТИ С КРАЕМ
265
(см. упражнение 9.12). Проверка независимости пра-
вой части формулы для определения da от выбора
векторных полей V! и V2 оставлена как упражнение
(см. упражнение 20.2). Отметим, что из определения
da очевидным образом вытекают ее полилинейность,
кососимметричность и гладкость.
Замечание. В литературе формула для определе-
ния da часто пишется с множителем '/2 в правой
части. Это делается для компенсации множителя */2>
вводимого также в этих случаях в определение внеш-
него произведения 1-форм.
Лемма 1. Пусть f: S->R— гладкая функция на S,
и пусть <в — гладкая 1-форма на S. Тогда
(1) rf(rff) = 0,
(ii) d(fa>) = df /\а fda.
Доказательство, (i) Так как форма d (df) билиней-
ная, то достаточно проверить, что d(df)(vh v;) = 0
для всех г, /е{1,..., п}, где {vb ..., v„} — любой
базис в Sp (р — произвольная точка на S). Мы возь-
мем vi = Ei(y), где Ez — координатные векторные по-
ля некоторой взаимно однозначной локальной пара-
метризации ср: t/->S с ср(у) = р. Положив Vz =
= Ег°<р~1, мы видим, что V/ имеет векторную часть
(д<р/дх;)о<р~', так что Vv.(p) V; = VEi(<7)V;. имеет вектор-
ную часть (diq/dxidx!'} (q) при всех I и j, и [Vz, VJ (р) =
= VV/(P)V/-Vv7(P)Vc = 0- Так как V/(p) = Ei(?) = v<
при всех г, то отсюда следует, что
<1 m	v (v,)=
_ v V Л — V V if =
— VEZ(?) vE/o<p-‘ /	vE/(?) VEzo<p-1 I
= VEZ (?) vE/ (f о Ф) - vE/ (?)vE. (M Ф) =
==^1Цфк(<7)_^фк(<7)=о.
dx.dxj dx^dxi
266 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
(ii)	В тех же самых обозначениях, которые были
использованы в определении dco, мы имеем
d № (v1; v2) = Vvi (Ja (V2)) - VV2 (f<o (V,)) -
, ~>([Vb V2](p)) = (VvJ)o(V2(p)) +
+ f(p)vVi®(v2)-(vV2f)<O(v1(P))-
- f (p) VV2 co (Vt) - f (p) co ([V1; V2] (p)) =
= df (v,) a (v2) — df (v2) © (Vj) -b
+ /(p)dco(Vb v2) =
= (dfAco)(vb v2) + (fdco) (vb v2).	□
Лемма 2. Пусть co — гладкая i-форма на S, и
пусть <р: U^S — сингулярная 2-поверхность в S.
Тогда
dco(Eb Е2)=
v ”	7 <ЭХ1 <Эх2
где Ei и Е2 — координатные векторные поля вдоль <р,
а о,-, i = 1, 2, — гладкие функции на <р, определенные
равенством at = со(Е,).
Доказательство. Сначала заметим, что если ф:
V->-S — взаимно однозначная локальная параметри-
зация поверхности S и со — произвольная гладкая
п
1-форма наф(У), то со = У, fidgt для некоторого на-
ja= 1
бора гладких функций fin g, на ф(У). Действительно,
если мы положим ft = <о(Е?оф-1) и gt = xt оф-1, где
xi, ..., хп — координатные функции на Rn (хДаь ...
.ап)=а;), то для каждой точки peV и je
е={1,	п}:
(S fidSi) (р)) = Е fi (Ф (р)) vEyP) Si =
= Е fi gi ° = Ш (Е/ ^)’
20. ПОВЕРХНОСТИ С КРАЕМ
267
так что линейные функции и (X ft	ока-
зываются совпадающими на некотором базисе в £ф(Р),
и поэтому они равны в любой точке р е V.
Итак, имея на S некоторую 1-форму ы и сингуляр-
ную 2-поверхность <р:	мы можем выразить го
в некотором открытом множестве W, содержащем лю-
бую данную точку из образа <р, как со = ЕЛ dgj.
Тогда по лемме 1 на <р-1 (Ж) имеем
d®(Eb Е2) = £ dfi Д dg{ (Е1( Е2) =
= £ (dfi (Ej) dgi (Е2) - dfi (Е2) dgi (Ei)) =
_ v' (dft°4 dSj ° ф _ dfj°4> dgf ° ф \
Zu \ <9X1 dx2 <9x2	<9x! ) ’
в то время как
^=^МВг) = ^£(Л^Ш<в2)=
Vf<9^0(₽ 5^O(₽ । /{	\
4t“ it“ <E’>=it S <f‘° <₽> “e, (в,) =
C/X2 OX\ /
□
d2gj ° ф
<9xi <9x2
<92gz ° q>
Zu \ <9x2 <9xi
так что rfco (Еь E2) = (d^fdxf) — (d&Jdx^.
Нам будет нужна некоторая формула (формула
Стокса), связывающая дифференцирование и интег-
рирование форм на 2-поверхностях. Эта формула яв-
ляется естественным обобщением на 2-поверхности
основной теоремы интегрального исчисления, приме-
няемой к криволинейным интегралам в виде^/ =
а
—f (а (b))—f (а (а)). Мы начнем с интегрирования по не-
которым специальным «сингулярным 2-поверхностям
с краем».
Пусть S обозначает n-поверхность или «-поверх-
ность с краем в R"+1.
268 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Сингулярный круг в S есть гладкое отображение
ср: D->S, где D = {(хр х2) е R2: х] + х% < 1}. Глад-
кость здесь, как обычно, означает, что ф может быт»
продолжено до гладкого отображения, определен-
ного на некотором открытом множестве, содержащем
Рис. 20.5. Сингулярный круг, сингулярный полукруг и сингуляр-
ный треугольник на 2-поверхности S с краем.
D. Край сингулярного круга ф: D->S есть парамет-
ризованная кривая дф = ф ° а, где отображение а:
[0, 2л]->D определено как a(/) = (cos t, sin t) (см.
рис. 20.5).
Сингулярный полукруг в S есть гладкое отобра-
жение ф:	где 7?2_ = {(х1, x2)gR2: х2^0},
его край — это кусочно-гладкая параметризованная
кривая дф = ф°а, где отображение а: [0, 2 + n]->D
определено как
( (1-/, 0),	0	<2,
t (cos (t — 2 4- л), sin (/— 2 + л)), 2^/^л + 2
(рис. 20.5).
20. ПОВЕРХНОСТИ С КРАЕМ
269
Сингулярный треугольник в S есть гладкое отобра-
жение <р: А S, где
А — {(хь х2) е R2: х^О, лу^О, Xj + %2^1};
его границей является кусочно-гладкая параметризо-
ванная кривая <5<р = <р ° а, где отображение а: [0, 3]—>-
-> А определено как
(/, о),
а(/) = < (2 — /, t — 1),
(о, з-о,
1 </<2,
2</<3
(рис. 20.5).
Интеграл от гладкой 2-формы о на S по каждой
из этих сингулярных 2-поверхностей с краем <р опре-
деляется точно таким же образом, как интеграл от и)
по сингулярной 2-поверхности
) ®= } ®(ЕЬ Е2),
ф з> (Ф)
где 0(<p)czR2 обозначает область определения ср,
а Е] и Е2 — координатные векторные поля вдоль ср.
Теорема 1 (локальная теорема Стокса). Пусть
S cz Rn+J— некоторая п-поверхность или п-поверх-
ность с краем, со— гладкая i-форма на S, и пусть
<р — сингулярный круг либо сингулярный полукруг,
либо сингулярный треугольник в S. Тогда
da = со.
Ф	дф
Доказательство. Согласно лемме 2,
, , с т- \	<9(02	Р(О,
d<o(Eb Е2) = -Н- —
' *’	'	dxi	<9%2
270 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
где coi ^=<о(Е1) и (О2 = со(Е2)—гладкие функции вдоль
<р. По формуле Грина (см. упражнение 20.5) имеем
(4? “"Jr) = (<Bidxi + ш2dx2),
ЗУ (ср)	а
где а — кусочно-гладкая параметризованная кривая,
использованная при определении dtp, a %i, х^. R2^-
->R— координатные функции на R2 (x,(ai, а2) = а,).
Отсюда, обозначая через [а, 6] область определе-
ния а, а через а,, а2— координатные функции а
(т. е. a(t) = (ой (/), а2(/)) для /е[а, 6], имеем
\da= ( d(o(Eb Е2)= ( (4г1-4^) =
J J 1	J \ <Эх1 <Эх2 /
ф	®(ф)	£>(ф)
= (со1 dxi + со2 dx2) —
а
b
= ((о>1 ° а) dx{ (а) + (со2оа) dx2 (а)) =
а
b
= j (со (Е, о а) + (О (Е2оа))	=
а
Ъ
f ( dcti с . dct2 \
= ) ® (-dTEiоа + -dT^°a) =
а
b	Ъ
— <o(d<p(a))= со(<роа) = со= со. □
я	а	<роа дер
Теорема 2 (глобальная теорема Стокса), (i) Пусть
S — компактная ориентированная ^-поверхность с
краем в R3, пусть ее край dS ориентирован индуциро-
ванной ориентацией, и пусть со — гладкая 1-форма
на S. Тогда
da> = со.
S dS
20. ПОВЕРХНОСТИ С КРАЕМ
271
(ii) Пусть S — компактная ориентированная 2-по-
верхность (без края) в R3, и пусть со— гладкая 1-фор-
ма на S. Тогда
j d& = 0.
s
Доказательство. Для каждой точки р е S мы мо-
жем найти взаимно однозначную локальную парамет-
ризацию <рр поверхности S с условием ре Image ср,,.
Мы можем считать, что область определения каждой
Фр при р, принадлежащей внутренности S, является
открытый шар и даже, применяя в случае необходи-
мости композицию с диффеоморфизмом R2 на себя,
что этот шар имеет радиус, равный 2, а центр его
совпадает с началом координат в R2. Для точек
р dS мы аналогичным образом можем считать, что
область определения <рр есть пересечение R2_ с ша-
ром радиуса 2 и с центром в начале координат в R2
и что фр ° (3, где |3(£) = (1 — t, 0), —1 eg t sg 3, яв-
ляется локальной параметризацией для dS (см. уп-
ражнение 20.1). Отметим, что параметризованная
1-поверхность фр ° |3 согласована с ориентацией на
dS-, действительно, индуцированная ориентация на
dS была определена именно так, чтобы это утвержде-
ние было верно. Аналогично тому, как это было при
доказательстве теоремы 4 гл. 17, мы можем по-
строить некоторое разбиение единицы {Д} на S, под-
чиненное конечной совокупности {фг = фр.} этих ло-
кальных параметризаций, и в действительности та-
кое, что каждая функция ft равна тождественно нулю
вне фг (D И 3) (ф/)), где D П 3) (фг)=В, если pt е S — dS
и ВП^(фг) = О ПЯ2_, если pt^dS (в проводимом
построении разбиения единицы берем гр=1). Тогда
согласно лемме 1,
da = L ft da = L (A (®) — dfi A co).
Так как
Xdfi Л®==с/(Е Л) A a = d(l) Д co = 0,
272 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
то мы имеем
и отсюда
dm = £ d
j dm = У d (ftco) = У jj d (ftm),
S	S	<p(-
где справедливость последнего равенства является
следствием того, что /до, а значит, и d(fim) тожде-
ственно равны нулю вне ф/ (D П 3) (<р;)) (см. упраж-
нение 20.6). Положив "Ф, = <Р/Ido® (срг), мы далее име-
ем, что
^d<o = у j d (/» = У J /гш,
S
где последнее равенство является следствием тео-
ремы 1. Полагая 3 = {/': pi е <?£}, получаем, что при
i ф 3 ft °ф/ равно нулю вне D, а значит, и на гра-
нице D, так что ft о <3ф/ = 0, что в свою очередь дает
j = 0. Отсюда следует, что если S не имеет края,
<Эф(.
то ^dco = 0. Если же S имеет край, то {fJ5S:
s
является разбиением единицы на dS, подчиненным
локальным параметризациям {<pz ° 0: i^3}, nf/ocApi==
= 0 для 2<И^л-|-2, так что fzco = /г-со для
0i|>z	Ч\О0
i 3{fi ° фг- о0 = 0 для /^0 и для /^2) и
jj dm = У jj ftm = У $ ff0 = $ со. □
S	i е= У 51|>г	i <= У q>;op	dS
УПРАЖНЕНИЯ
20.1.	Пусть 5 = Г1 (с)ПяГ' ((- °°, Н1 )П ••• П & ' ((-	^])
обозначает «-поверхность с краем в Р'1+1, и пусть точка
Покажите, что существует параметризованная «-по-
верхность ср: Ве->-Рл+1, где Ве—шар радиуса е и с центром
в начале координат в Р", такая, что <р (0) = р, и ограничение
20. ПОВЕРХНОСТИ С КРАЕМ
273
отображает figDRl
<Р 'веЛК1
взаимно однозначным образом на
некоторое открытое множество W с S, содержащее р. [Указание:
найти сначала локальную параметризацию гр:	образ
которой содержал бы точку р. Затем применить теорему об об-
ратной функции к отображению ф: U -> R", определенному усло-
вием ф(Х1,	Х„) = (Х1,	Х/-1, Xj + l, .... х„, gi(l|>(Xi, ...
..., хп))—ci), где номер /, такой, что для него (д/дх,) (gi °
°Ф) (Ф-1 (р)) =/= 0.]
20.2.	Пусть S — некоторая п-поверхность или п-поверхность
с краем в Rn+1, и пусть со — гладкая 1-форма на S. Пусть на
некотором открытом множестве U cz S заданы два произвольных
гладких касательных векторных поля Vt и V2. Определим функ-
цию p(Vi, Уг). U-> R положив
(И (V,, V2)) (р) = Vv, (р)со (V2) - УУг(р)со (V,) - со ([Vp V,] (р)).
(а)	Покажите, что
(X (fiV,. V2) = fa (V., V2) = ц (V., fV2)
для всех гладких функций f: U -* R.
(b)	Покажите, что если W, и W2—гладкие касательные
векторные поля на U, такие, что WHp)= Vi(p) и W2(p) = V2(p)
в некоторой точке peU, то pi(Vi, V2) (р) = p(Wt, W2) (р).
[Указание: взять гладкие касательные векторные поля Хц ...
. .., Х„, определенные на некотором открытом множестве V с: U
с реУ и такие, что система {XJp), ..., Х„(<7)} является бази-
сом для Sq во всех точках q е У. Выразить затем данные век-
торные поля как линейные комбинации полей X,- и применить
часть (а).]
(с)	Вывести отсюда, что значения правой части формулы,
использованной в этой главе для определения dco, не зависят от
выбора векторных полей Vi и V2.
20.3.	Пусть S — некоторая п-поверхность_в R"+1, пусть S —
некоторая m-поверхность в Rm+1, и f: SS— гладкое отобра-
жение.
(а)	Покажите, что если coi и со2— заданные на 5 1-формы,
ТО f* (Ш1 Л (02) = /*С01 Л f*co2.
(b)	Покажите, что если отображение g: 8 -> R гладкое, то
f*(dg) = d(g ° f).
(с)	Покажите, что если со — гладкая 1-форма на 5, то
f*(dco)= d(f*w).
п
[Указание: использовать представление со в виде со |у = dglt
с = 1
где f{ и g{: U -> R — гладкие функции, a U — достаточно
малое открытое множество на S (см. доказательство леммы 2).]
20.4.	Пусть S — некоторая n-поверхность в R"+1, и пусть
со — гладкая 2-форма на S. Покажите, что если ср: U->S —
взаимно однозначная локальная параметризация поверхности S,
то существуют гладкие действительнозначные функции fi/
274 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
(1 I < /' п) и gi (1 i п), определенные на <f(U) и та-
кие, что ю|(р(у)= У, fijdgi/^dgj. [Указание: см. дока-
1 < i < / < п.
зательство леммы 2.]
20.5.	Пусть U — открытое множество в R2, содержащее S),
где 2) есть или Д, или D, или DDR?., и пусть <0i и со2— гладкие
действительнозначные функции на U. Докажите формулу Грина
5 (^r~'£r)=S(widxi+w2dx2)’
SO	а
где а обозначает кусочно-гладкую параметризацию границы 2),
описанную в этой главе. [Указание: представить левую часть как
разность двух интегралов, применить к каждому из них повтор-
ное интегрирование и затем перепараметризовать кривую, кото-
рая появляется в результирующем криволинейном интеграле.]
20.6.	Пусть S — некоторая «-поверхность в R"+1, и пусть
со — гладкая «-форма на S. Предположим, что со тождественно
равняется нулю вне ср(С), где ср: U-+ S—локальная параметри-
зация поверхности S, а С — некоторое компактное подмножество
в U. Покажите, что j со — j со. [Указание: построить на S раз-
3 ф
биение единицы {/<} с условием, что для каждого i или (i) fi
тождественно равняется нулю вне ср(С7), или (ii) /; тождествен-
но равняется нулю на ср (С).]
20.7.	Пусть со — гладкая й-форма на «-поверхности S. Для
точки p = Sn векторов vb ..., v*+1eSp положим
dco(vp .... vfe+1) =
= Е (~1ГЧ «(V1.................Vf_p V/ + p ...,Vft+I) +
1 i k+ 1
+ E (-l)Z+/<o([Vz,V ], Vp .... V,.,,
Vi+v	v/+1, ...Vfe+1)(p),
где Vi, ..., VA+1— гладкие касательные векторные поля, опре-
деленные на некотором открытом множестве в S и такие, что
V;(p)=v/ для каждого t. Покажите, что значение правой части
этой формулы не зависит от выбора векторных полей V], ...
.. . , V4 + 1 и что do> является гладкой (k + 1)-формой на S. [Ука-
зание: см. упражнение 20.2.] Форма dco называется внешней про-
изводной A-формы со.
20.8.	Покажите, что внешнее дифференцирование гладких
й-форм (упражнение 20.7) обладает следующими свойствами:
(а)	Если со и т] — гладкие й-формы на S, то d(co + rj) =,
= dco + dtp
20. ПОВЕРХНОСТИ С КРАЕМ
275
(Ь)	Если /: X -> R — гладкая функция и со — гладкая й-фор-
ма на X, то d ([со) = df Д со + fda.
(с)	Если со — гладкая й-форма на S и 1) — гладкая /-форма
на S, то cf(со Д а]) = dco Д т| +(—1)*со Д dr\.
(d)	d2 = 0.
20.9.	Пусть X — гладкое векторное поле на «-поверхности S,
и пусть сох — двойственная к нему 1-форма.
(а)	Покажите, что для векторов v, w s Хр, ре S,
da>x (v, w) = (VvX) • w — (VWX) • v.
(b)	Покажите, что если S = R3, то
dcox (v, w) = ( rot X) • (v X w),
где
, ( vw f	dX' dX< dX> dX' A I
Г0	V ’ dx2 dx3 ’ dx3 dx, ' dxi dx2 ) 'p
a Xi, X2, Хз — компоненты поля X.
20.10.	Пусть X— компактная ориентированная 2-поверхность
с краем в R3, и пусть X — гладкое векторное поле, определенное
на некотором открытом множестве U в R3, содержащем поверх-
ность S. Докажите классическую формулу Стокса
( rot X)  N = (j X • Т,
S	dS
где rot X определяется как в упражнении 20.9, N — векторное
поле ориентации на X, а Т(р) для каждой точки р е дХ обозна-
чает единственный единичный вектор, касательный к дХ в р и
такой, что базис {Т(р)} согласован с индуцированной на <ЭХ ори-
ентацией. [Указание-, применить теорему 2 к 1-форме Z*®x, где
отображение i: Х-> R2 определено равенством i(?) = q для всех
<? еХ.]
21. ТЕОРЕМА ГАУССА —БОННЕ
В этой главе мы изучим интеграл К от гауссо-
s
вой кривизны по компактной ориентированной 2-по-
верхности S. Мы увидим, что величина (1/2л) К., ока-
s
зывается, всегда является целым числом, равным
эйлеровой характеристике поверхности S. Это есть
двумерный вариант теоремы Гаусса — Бонне. Сход-
ный результат справедлив также во всех высоких
четных размерностях, но там соответствующие вы-
числения менее прозрачны, так что для этого более
общего случая мы ограничимся лишь некоторыми
комментариями в конце главы.
Теорема Гаусса — Бонне получается применением
теоремы Стокса к некоторой 1-форме, построенной
с помощью единичного касательногоо векторного поля.
Пусть S — ориентированная 2-поверхность или 2-по-
верхность с краем в R3. Пусть X есть некоторое глад-
кое единичное касательное векторное поле, опреде-
ленное на открытом множестве U cz S. Мы исполь-
зуем сейчас векторное поле X, чтобы построить на U
некоторую 1-форму со. Для произвольного данного
вектора vgS(,, psS, пусть JveS. обозначает век-
тор, полученный вращением v в положительном на-
правлении в Sp на угол л/2. Следовательно, Zv =
= N(p)Xv, где N — векторное поле ориентации на
S. Отметим, что {v, Jv} является упорядоченным орто-
нормальным базисом в Sp, согласованным с ориен-
тацией на S. Определим на U 1-форму <о, положив
о (v) = (Z?VX) • /Х Ю = (VvX) • 7Х <Р)>
где D обозначает ковариантное дифференцирование
(Z>VX является тангенциальной составляющей вектора
21. ТЕОРЕМА ГАУССА - БОННЕ
277
Vvx). Эта 1-форма со называется формой связности
на U, ассоциированной с полем X. Заметим, что поле
7Х, определенное формулой (7Х) (р) = 7Х(р), яв-
ляется гладким единичным векторным полем на U,
которое всюду ортогонально к X, и что
D,X==co(v)7X(p),
£>v (7Х) = — со (v) X (р).
Действительно, поле X, будучи единичным векторным
полем на S, имеет производную 7)уХ, ортогональную
к Х(р). Значит, Z)vX=cz7X(p) с некоторым а е R, и
тогда а = 7)уХ • 7Х(р) = co(v). Аналогично, Dv(7X) =
= 6Х (р), где
b = Dv (7Х) • X (р) = Vv (7Х • X) - 7Х (р) • DvX = - ® (v).
Форма связности со измеряет с точностью до знака
скорость вращения относительно X параллельных век-
торных полей вдоль параметризованных кривых на U,
Рис. 21.1. 0(0 измеряет угол вращения от Y (/) к Z (/).
Явная формула для такой функции 0 может быть получена
следующим образом. Пусть отображение (5:	R2 определено как
P(O = (Z(O»Y(O, Z(0»7YW.
Тогда (ОН = 1 для всех tel, так что, в частности, мы сможем
найти 0о eR, такое, что Р (а) = (cosOo, sin0o). Положим 0(0 =
= 0о + ^ т|, где р< —- ограничение р на интервал [а, 0> а И есть
1-Форма на R2, определенная соотношением
Ч = - [*2/(*i + *2)] dxY + [x!/(jcj + х2)]dx2-
Тогда Р(О = (соз0(О, sin 0(0) для всех tel, что и требова-
лось найти (см. доказательство теоремы 3 из гл. 11).
278 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Чтобы убедиться в этом, мы должны прежде всего
точно сформулировать смысл выражения «скорость
вращения». Пусть а: [а,	— параметризованная
кривая на S, a Y и Z — гладкие единичные векторные
поля, касательные к S вдоль а. Тогда
Z (/) = cos 9 (/) Y (/) + sin 9 (/) /Y (/)
с некоторой гладкой функцией 0: [a, &]->R (см.
рис. 21.1).
Функция 0 измеряет угол вращения от Y к Z при
движении вдоль а. Она не определена однозначно, но
любые две такие функции должны отличаться друг от
друга на некоторое кратное 2л. Значит, производная
0'(/) определена однозначно. Эта производная 0' и
называется скоростью вращения поля Z относительно
Y вдоль а. Действительное число Q(b)—0(a) также
определено однозначно; оно называется полным уг-
лом вращения поля Z вдоль а относительно поля Y.
Лемма 1. Пусть S — ориентированная ^.-поверх-
ность в R3, X — гладкое единичное касательное век-
торное поле на открытом множестве U cz S, и пусть
со — форма связности на U, ассоциированная с полем
X. Допустим, a: [а,Ь]->и— произвольная парамет-
ризованная кривая в U, a Z — произвольное парал-
лельное единичное векторное поле вдоль а. Тогда
(i) со (ос) равняется взятой с противоположным,
знаком скорости вращения поля Z относительно X
(или, точнее, относительно X о сс) вдоль а.
(ii) со равняется взятому с противоположным
а
знаком полному углу вращения Z относительно X при
обходе вдоль а.
Доказательство, (i) Пусть 0: [а, fc>] —* R измеряет
угол вращения от X к Z в точках кривой а. Так как
поле Z — параллельное вдоль а, то
О = Z' = (cos 0Х ° а + sin 0/Х ° а)' =
=—0' sin 0Х о a+0/cos0JX о a-RcosOfTX-j-sm 0/?й/Х =
= (0' + <о (а)) (— sin 0 X ° а 4- cos О /X ° а)
21. ТЕОРЕМА ГАУССА - БОННЕ
279
(здесь мы использовали обведенные выше в рамки
формулы), а значит, 0'+ со (а) = 0, т. е. со(а) = —0'.
ь	ь
(ii) j со = со (а) = — j 0' = — (0 (Ь) — 0 (а)). □
а а	а
Если кривая a: [a, b]->- U является геодезической
на S с единичной скоростью, то поле скорости а па-
раллельно вдоль а и оно может быть использовано
в роли векторного поля Z из леммы 1. Тогда лемма 1
утверждает, что J со измеряет взятый со знаком ми-
а
нус полный угол вращения а относительно вектор-
ного поля X. Эта 1-форма со может быть использо-
вана также для измерения угла вращения а относи-
тельно векторного поля X, где под а имеется в виду
произвольная гладкая кривая в U, имеющая единич-
ную скорость. Соответствующая формула содержит
геодезическую кривизну xg: [a, 6]->R кривой а, опре-
деленную равенством
xg = (а)' • 7а.
Геодезическая кривизна измеряет, насколько сильно
кривая а отклоняется от геодезической. Ее абсолют-
ная величина |xg| в точности совпадает с величиной
Hex'll ковариантного ускорения а! кривой ос, так как
<х, будучи единичным векторным полем вдоль а, имеет
ковариантную производную, ортогональную кай по-
этому коллинеарную с 7а. Заметим, что кривая а яв-
ляется геодезической в том и только том случае,
когда ее геодезическая кривизна xg тождественно
равна нулю.
Лемма 2. Пусть S, X, U и со обозначают то же са-
мое, что и в лемме 1, и пусть a: [a, |3]->S — гладкая
кривая в U с единичной скоростью. Тогда полный
угол вращения а относительно векторного поля X ра-
ь
вен xg — со.
а а
280 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Доказательство. Пусть Z — некоторое параллель-
ное единичное векторное поле вдоль а,0: [а, &]-> R —
функция, измеряющая угол вращения от X к Z в точ-
ках кривой а, а функция ф: [a, 6]->R пусть измеряет
угол вращения от X к а. Тогда разность ф—0 опре-
деляет угол вращения от Z к а, т. е.
а = cos (ф — 0) Z + sin (ф — 0) JZ
и
Ja = — sin (ф — 0) Z + cos (ф — 0) /Z.
Взяв ковариантную производную от а и учитывая, что
поля Z и JL оба параллельны вдоль a (ZZ парал-
лельно, потому что по теореме существования и един-
ственности параллельных векторных полей вдоль а
существует единственное параллельное векторное поле
с начальным вектором JZ(a); это векторное поле
должно быть гладким, единичной длины и ортого-
нальным к Z вдоль а, и /Z является единственным
таким векторным полем), находим
а' = (ф' — 0') (— sin (ф — 0) Z + cos (ф — 0) /Z),
так что
xg = а' • Ja = ф' — в'.
Значит, полный угол вращения а относительно X ра-
вен
b b ь ъ
^ф' = Xg + 0' = Xg — со.	о
а	а	а а	а
Связь между 1-формой со и гауссовой кривизной за-
ключается в следующем.
Лемма 3. Пусть S. U,Х и со обозначают то же са-
мое, что и в лемме 1. Тогда на U
da>=-KZ,
где К — гауссова кривизна поверхности S, а £— фор-
ма объема на S.
Доказательство. Согласно упражнению 17.13,
da — ft, с некоторой функцией f: U -+ R. Для нахож-
дения f(p) (р е U) достаточно только вычислить с/со
и на векторах некоторого базиса в Sp. Базис, кото-
21. ТЕОРЕМА ГАУССА - БОННЕ
281
рый мы будем использовать, является координатным
базисом {ЕЛр), е2(р)}, соответствующим некоторой
локальной параметризации ср поверхности S, образ
которой содержится в U и в свою очередь содержит
точку р. Тогда по лемме 2 гл. 20 имеем
dcd(Eb E2) = -J^--^ = -£- co(E2)--/-co(Ei)==
4 n “ дх\ дх2 dxi 4 дх2 '
= ^7 (^х'/х ”	- 7ГТ (v«.x ’/х" «) =
= (VElVEX — VEVEX)./xo(p +
+ VEX-VEi7X-VEX.VEyX,
где Ve.Z при заданном на U гладком векторном поле
Z является гладким векторным полем вдоль ср, опре-
деленным равенством (VezZ) (р) = Ve£(P)Z, a Vez.Z в
свою очередь при заданном вдоль ср гладком вектор-
ном поле Z является гладким векторным полем вдоль
ср, определенным равенством (VezZ) (р) — Здесь
d = (р; 1,0) и е2 = (р; 0, 1). Первый член в выше-
написанном выражении обращается в нуль в силу ра-
венства смешанных частных производных. Далее,
VezX = DE/X + ((VezX) • N о ср) N о ср =
= £>Е/Х + (L (Ег) • X о <р) N о ф>
где А(Ег) — векторное поле вдоль ф, определенное ра-
венством T(Et)(p) = Ap(Ej(p)) = — Ve£N, a Lp обозна-
чает отображение Вейнгартена поверхности ф в точ-
ке р. Используя эту и соответствующую форму для
Ve JX, находим
dco(Е., ЕД = X • £>Е 7Х - ПЕ X • £>Е JX +
\ A Z/	С2	1-1	1-1	1-2
+ (Л (Е2) • X о ф) (Z, (EJ • JX о ф)—
— (L(EJ • X ° ф) (Z, (Е2) • 7Х о ф).
Первые два члена в правой части этой последней
формулы обращаются в нуль, потому что для каж-
дого i и / производная £>е£Х единичного векторного
282 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
поля X должна быть ортогональна к X, а значит, кол-
линеарна с /X, а значит, ортогональна к Пе^/Х. При-
менение к оставшимся двум членам векторного тож-
дества
(V1 X V2)  (v3 X V4) = (Vi • v3) (v2 • V4) — (V! • v4) (v2 • v3)
дает
dco (Eb E2) = (L (E2) X Л (EO) • (X о ср X /X о <p) =
= -(L(E1)XL(E2))-No(p =
— — (det L) Е1 X E2 • N ° cp =
/ E, \
= -(tfo<p)det E2 =
\N оф/
== — (tfoqpKCEj, E2) =
= -(^)(Eb E2),
откуда мы можем заключить, что dco = —Kt-	□
Теорема 1. Пусть S — ориентированная 2-поверх-
ность в R3, и пусть на некотором открытом множе-
стве U aS определено гладкое единичное касатель-
ное векторное поле X, Тогда для любого сингуляр-
ного круга ср; D U в U и произвольного параллель-
ного векторного поля Z вдоль дер интеграл Kt ра-
<р
вен полному углу вращения! относительно \ вдоль дер.
Доказательство. Пусть со — форма связности, ассо-
циированная с полем X. Согласно лемме 3 и теореме
Стокса,
Kt = — dco = — со,
ф	ф	дф
что, по лемме 1, равно полному углу вращения поля
Z относительно X вдоль дер.
Замечание. Теорема 1 показывает, в частности,
что полный угол вращения Z относительно X вдоль
21. ТЕОРЕМА ГАУССА - БОННЕ
283
Лр не зависит ни от X, ни от Z, а в действительности
он зависит только от поверхности <р; этот угол назы-
вается углом голономии поверхности ср1). Отметим,
что этот угол существенным образом зависит именно
от ср, а не от dtp (см. рис. 21.2).
Теорема 1 приводит также к интересной интер-
претации гауссовой кривизны: 7C(p), peS, можно
Pi
Рис. 21.2. Полный угол вращения единичного векторного поля Z,
параллельного вдоль а = <?<Pi = Зфг относительно единичного
касательного векторного поля Xi на £71 = S2— {pj, будет су-
щественно отличаться от полного угла вращения Z вдоль а от-
носительно единичного касательного векторного поля Х2 на Uz =
= S2 — {р2}.
рассматривать как предел отношения (угол голоно-
мии ср)/(площадь ср) при сжатии круга ср к центру О,
считая, что <р(0) = р. Более точно, мы имеем следую-
щее утверждение:
*) В русской геометрической литературе интеграл Kt, обыч-
S
но сопоставляют с поворотом т кривой <Эср со стороны поверх-
ности ср, связь которого с углом голономии 0(<р) видна из фор-
мулы \ Kt, = 2л — т = 0 (ср). — Прим, перев.
3
284 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Следствие. Пусть S — ориентированная 2-поверх-
ность в R3, пусть точка р S, и пусть ср: D->S—
сингулярный круг в S с условием ф(0) = р и такой,
что дифференциал <Уф0: Rg -> Sp неособый. Тогда
/С(р) = Нт6(фе)/Л (фв),
е->0
где фе: D S определяется как фе (q) = ф (et?), а 0 (<ре)'
Рис. 21.3. Гауссова кривизна К (/’) равна пределу при е->0 от-
ношения: угол голономии фе/площадь <р8.
и А (фе) обозначают соответственно угол голономии и
площадь поверхности <р8 (см. рис. 21.3).
Доказательство. При достаточно малом е образ фв
содержится в образе некоторой взаимно однозначной
локальной параметризации поверхности S, и поэтому
на некотором открытом множестве, содержащем об-
раз фе, существует гладкое единичное векторное поле
X (например, нормированное координатное векторное
поле). Регулярность ф в точке 0 гарантирует, что
Л(фе)¥= 0 для всех е > 0. Учитывая теорему 1, тео-
рему о среднем для интегралов и то, что координат-
ные векторные поля Е? вдоль фе связаны с коорди-
натными векторными полями Е/ для ф равенствами
21. ТЕОРЕМА ГАУССА - БОННЕ
285
Е/(<7) = еЕ,(е?), находим
$ (№>Фе) g(Ef, Е|)
6 Ы = Jfe_______= °____________________ =
А ('М J g J $ (Е®, Е|)
ФЕ	D
^(<Ре(<71)) £(ЕШ)> Е2 (?!))$»
_______________________________D
5(Е1Ы. 1Ш))$ 1,
D
_ К (ф (е?1)) g (El (e^i), Е2 (е?1))
g (Ei (e<?2), E2 (e?2))
где и — некоторые точки из D (зависящие от
е). Взятие предела при е->0 завершает доказатель-
ство.
Теорема Гаусса — Бонне в ее локальном варианте
связывает интеграл от гауссовой кривизны по неко-
торому регулярному треугольнику с интегралом от
геодезической кривизны по границе треугольника.
Под регулярным треугольником на ориентированной
2-поверхности S мы понимаем сингулярный треуголь-
ник ср: A^-S, который является ограничением на Д
некоторой взаимно однозначной локальной парамет-
ризации поверхности 5, определенной на открытом
множестве в R2, содержащем Д. Край dtp: [0, 3]-> 5
треугольника является кусочно-гладкой кривой на S,
для которой отображение dj=d<p|[;1 г] является ре-
гулярной параметризованной кривой (а,-0) при
г'е{1,2, 3}. Внешние углы регулярного треугольника
ср определяются как единственным образом вычис-
ляемые действительные числа 0Ь 02, 0зб(—л, л], та-
кие, что
v,- = (cos 0t) иг + ( sin 0,-) Ju,-,
где и,-= <х( (0/И<М0 II для te{l,2, 3}, v, = аж (г) j
/||аж(0Н для ге={1,2} и v3 = ai (0) /|(cxi (0) || (см.
рис. 21.4). В действительности 0 < 0,-< л для каж-
дого i, так как отображение ср сохраняет ориентацию.
286 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Теорема 2 (локальная теорема Гаусса — Бонне).
Пусть S — ориентированная 2-поверхность в R3, и
пусть ср: Д->5— регулярный треугольник на S. Тогда
ь	з
j Kg +	= 2л —	0/;
<р а	< = 1
где К. — гауссова кривизна поверхности S, g— форма
объема на S, р: [а,	— перепараметризация
Рис. 21.4. Внешние углы регулярного треугольника.
края дер треугольника ср, имеющая единичную ско-
рость, xg — геодезическая кривизна кривой р, а 01, 02,
03 — внешние углы <р.
Доказательство. Так как ср является ограничением
на А некоторой взаимно однозначной локальной па-
раметризации ср, то существует гладкое единичное
касательное векторное поле X, определенное на от-
крытом множестве U<~S, содержащем образ ср. Дей-
ствительно, мы можем взять U = Image ср и X = Е] □
(p-’/Hfi о ф-1||, где Ei — первое координатное вектор-
ное поле для ср. Пусть со — форма связности на U,
ассоциированная с X. Тогда по лемме 3 и локальной
теореме Стокса имеем
j Kg = — dco = — ) ° = — j м ~ — j — j — jс£>’
Ф	Ф	0ф	р	fb ps
21. ТЕОРЕМА ГАУССА - БОННЕ
287
где [щ,	— три гладкие дуги кривой (3. Со-
гласно лемме 2,
6 i
J ® = J %g - ф{,
Pz ai
где <f>t обозначает полный угол вращения поля р, от-
носительно X. Выбрав 0О так, чтобы
pt («0 = cos 0О X (р (at)) + sin 0O /X (p (a,)),
мы видим, что (см. рис. 21.5)
Pi (60 = соз (0О 4- ф{) X (Р (a2)) + sin (0О + ф{) JX (Р Ы),
р2 (a2) = cos (0О + ^ + 00 X (р (а2)) +
+ sin (0о +	+ 00IX- (Р («2)),
Р2 (62) = cos (0о +	+ 0| 4~ Фг) X (р («з)) +
+ sin (0о + Ф1 4~ 02 + Ф2) JX- (Р (йз))>
Pi (а0 — со3 (бо + Цф[ + У 6г) X (р (а0) +
+ Sin (0О +	+ Еег)/X(Р (а0).
Сравнение двух полученных выше формул для pi(fli)
показывает, что
у, Ф14- У, 0£ = 2nk для некоторого целого k.
Отсюда
bi
Ф	at
b
— — %g 4- 2?tk —	9/,
а
так что
для некоторого целого k.
288 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Чтобы убедиться, что k=\, рассмотрим сингу-
лярный треугольник ф<: Д->-₽3, определенный для
каждого /е[0, 1] формулой
Ф1(-П> Х2) =
[ ф (0, 0) 4- ф (/Х1’	(0’ 0)-,	0 < t < 1,
| Ф(О, 0) + х,-^(0, 0) + x2^g-(0, 0), t = 0.
Легко видеть, что в действительности ср/ является ре-
гулярным треугольником на ориентированной 2-по-
Рис. 21.5. Угол вращения |3 относительно X возрастает на 4>i
вдоль ф и возрастает на 0/ в 1-й вершине q>.
верхности S/ = Image ф1, где <рц U7->R3 — парамет-
ризованная 2-поверхность, полученная заменой всюду
<р в вышеприведенной формуле на некоторую локаль-
ную параметризацию <р: W -> 5 поверхности S с ф ==
= ф | д, где открытое множество W выбрано так, что
tp е W для любой точки р W и 0	1. Семей-
ство 2-поверхностей S\ (0	1) описывает непре-
рывную деформацию 2-поверхности Si = Image ф
в 2-поверхность So, являющуюся частью 2-плоскостп
(рис. 21.6). Пусть и обозначают соответственно
гауссову кривизну и форму объема поверхности S;,
а хр [at,	и 0* обозначают геодезическую кри-
визну и внешние углы, относящиеся к регулярному
21 ТЕОРЕМА ГАУССА - БОННЕ
289
треугольнику срц тогда,	как	и выше,	получаем,	что
/	bt	\
J + J 4 + £еП = /г\
\ Т/	at	)
где k* есть некоторое целое число. Но левая часть
этого равенства изменяется непрерывно вместе с из-
менением t, а значит, такой же должна быть и пра-
вая часть. Так как ks всегда является некоторым це-
лым числом, то № должно иметь поэтому одно и тоже
Рис. 21.6. Деформация превращает регулярный треуголь-
ник ср в плоский треугольник <р0.
значение для всех t е[0, 1]. А при t = 0 регулярный
треугольник ср/ является обыкновенным плоским тре-
угольником, ограниченным прямолинейными отрез-
ками, так что Л ° = 0, Xg = 0, ^0? = 2л, и поэтому
1 - & = kl = k.	□
Замечание. Формула, составляющая содержание
этой теоремы, может быть переписана с использова-
нием внутренних углов б< = л — 0г треугольника ср
в следующем виде:
6	/ 3	\
$	j — л.
Ф	а	\/=1 /
В случае геодезических треугольников эта формула
имеет интересную интерпретацию. Геодезический
треугольник на S определяется как регулярный тре-
угольник <р: A->S, такой, что каждая гладкая дуга
290 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
края дер является перепараметризацией некоторой
ь *
геодезической. Для таких треугольников j = 0, так
а
что локальная формула Гаусса — Бонне принимает
вид
= бЛ-л.
<р	\(=1	/
Так как (£бг) — л = 0, когда S является 2-пло-
скостью (а на самом деле всегда, когда /<=0), то
из этой формулы получаем, что интеграл Kt, изме-
<р
ряет избыток (по сравнению с геодезическими тре-
угольниками плоской геометрии) суммы углов геоде-
зического треугольника ф. В частности, если всюду
на 3 ее кривизна К > 0, то геодезические треуголь-
ники на 3 имеют сумму углов >л, если же всюду
К < 0, то геодезические треугольники на 3 имеют
сумму углов <л.
Теорема Гаусса — Бонне в ее глобальной форме
выражает интеграл ^Дот гауссовой кривизны ком-
s
пактной ориентированной 2-поверхности S как произ-
ведение 2л на некоторое ассоциированное с 3 целое
число. Если на поверхности 3 существует гладкое
всюду ненулевое касательное векторное поле, то это
целое число должно равняться нулю:
Теорема 3. Пусть S — компактная ориентированная
2-поверхность в R3. Предположим, что на S сущест-
вует гладкое ненулевое касательное векторное поле.
Тогда К = 0.
s
Доказательство. Если X — такое векторное поле,
то поле Х/||Х|| является гладким единичным каса-
тельным векторным полем на 3. Пусть со —форма
связности, ассоциированная с полем Х/||Х||; тогда по
21. ТЕОРЕМА ГАУССА - БОННЕ
291
лемме 3 и глобальной теореме Стокса имеем
\к = J^ = -Jdco = 0.
3	3	3
□
Следствие. Пусть S — компактная ориентирован-
ная 2-поверхность в R3, гауссова кривизна которой
всюду ^зО. Тогда на S не может существовать глад-
кого ненулевого касательного векторного поля. В част-
ности, на сфере S2 не существует гладкого ненуле-
вого касательного векторного поля.
Доказательство. Согласно теореме 4 гл. 12, на по-
верхности S должна быть точка р с 7((р)>0. Зна-
чит, К. должна быть >0 на некотором открытом
множестве в S, содержащем р, и так как всюду
К 0, то J К > 0.	□
3
Чтобы представить себе, что бывает в случаях,
когда на поверхности S нет гладкого единичного ка-
сательного векторного поля, рассмотрим сферу S2,
ориентированную внешней нормалью. Хотя на всей
сфере S2 не может быть гладкого единичного каса-
тельного поля, такое поле существует на S2—{р}, где
р = (0, 0,—1), и еще другое такое поле существует
на S2 — {q}, где 7 = (0,0, 1). Например, мы можем
определить на S2 — {р} поле Хь положив Xj = Е’1 °
° ф“'/|| Е'’1 oqp~‘|j, где отображение фь R2->S2—{р} яв-
ляется обратным к стереографической проекции с
южного полюса р сферы S2, а Е*1 есть его первое
координатное векторное поле; аналогичным образом
мы можем определить и поле Х2 на S2—{<?}, положив
Х2 = Е1ф!оф2“1/||Е?г°фГ1||> где отображение ф2: R2-»-
S2 —{р} является обратным к стереографической
проекции с северного полюса q. Обозначив ©[ и со2
формы связности, ассоциированные соответственно
с Х[ и Х2, и положив
S+ = {(xi, х2, х3) (= S2: х3 > О},
Si = {(xi, х2, х3) е S5: х3 < О},
292 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
мы видим, что S+ и Si являются 2-поверхностями
с краем, объединение которых есть S2, а пересечение
есть экватор сферы S2. Далее, форма coi определена
на S+, а ®2 —на Si. Применение леммы 3 и глобаль-
ной теоремы Стокса дает
J 7< =	= j KZ + J ^“1-	=
S2 S2	S2	S2	si	S2
-г	—	+	“
s= —	(0| —	С02 === —	“I-	^2,
dS2	dS2	dS2	dS2
+ — + +
где последнее равенство является следствием того, что
dS2_ и dS+ совпадают как 1-поверхности в R2, но
имеют противоположные ориентации. Положив a(t)~
= (cos/, sin t, 0) 0 t 2л, мы видим, что а |(0 2л)
является локальной параметризацией dS+, образ ко-
торой не содержит только одну точку из dS+, и по-
этому
+- } ®2 = — -ф ®2.
S2	<35^	dS2^	“	“
Однако, согласно лемме 1, интеграл— coj равен пол-
а
ному углу вращения Z относительно Xi вдоль а, где
Z — любое векторное поле вдоль а (мы могли бы
взять, например, Z = a), а интеграл со2 равен пол-
а
ному углу вращения Х2 относительно Z вдоль а, т. е.
с0[ + со2 равняется полному углу враще-
S2	а	а
ния Х2 относительно X] вдоль а. Так как Х](а(2л)) =
= Xi(a(0)) и Х2(а(2л)) = Х2(а (0)), то этот полный
угол вращения должен быть кратным 2л, т. е.
(1/2л) Л должно быть целым числом. Из рис. 21.7
S2
21. ТЕОРЕМА ГАУССА - БОННЕ
293
легко усмотреть, что это число равно 2 (как и нужно
было ожидать, потому что К = 1 = V (S2) = 4л).
S2 s!
Глобальная теорема Гаусса — Бонне получается
обобщением только что проведенных построений на
произвольную компактную ориентированную 2-поверх-
ность S cz R3. Сначала мы установим одну интеграль-
ную формулу для полного угла вращения одного еди-
ничного касательного векторного поля относительно
Рис. 21.7. Угол вращения поля Х2 относительно X, возрастает
на 2л вдоль каждой половины экватора.
другого при обходе вдоль параметризованной кривой.
Затем мы изучим этот полный угол вращения вдоль
замкнутых кривых, охватывающих «особенности» од-
ного из этих векторных полей.
Лемма 4. Пусть X и Y — гладкие единичные каса-
тельные векторные поля, определенные на некотором
открытом множестве U на ориентированной 2-поверх-
ности S. Пусть соХу—гладкая {-форма на U, опреде-
ленная формулой
®M = fdg — g df,
где f = X-Y и g = X-JY. Тогда
(i)	= 0,
294 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
(ii) интеграл j ®XY, где а — произвольная пара-
а
метризованная кривая на U, равняется полному углу
вращения поля X относительно Y вдоль а.
Замечание. Некоторое объяснение справедливости
этой леммы можно получить из наблюдения, что
®xy = d arctg (g/f), если только f не равняется нулю.
Доказательство леммы 4.
(i) В силу леммы 1 гл. 20
d®xv = df /\dg~ dg/\df = 2df/\dg.
Ho f2 + g2 = 1, и поэтому
0 = d(f2 + g2) = 2fdf + Zgdg.
Умножим это уравнение внешним образом на dg и
df, получаем
0 = 2f df /\dg и 0 — 2gdfAdg.
Так как f и g не обращаются одновременно в нуль,
то отсюда имеем, что
0 = 2d/Adg' = d®xY.
(ii) Пусть функция 0: [a, 6]->R измеряет угол
вращения от Y к X вдоль а, так что
X ° а = cos 0 Y о а + sin 0 /Y ° а.
Тогда f ° а = cos 0 и g □ а = sin 0 и отсюда
®xy (а) = (/ ° а) dg (а) — (g ° а) df (а) =
= (М(goа)' — (goа)(f °а)' = 0'.
Интегрирование этого равенства дает
ь	ь
$ c»XY = § ®XY (а) = 0' = 0 (6) — 0 (а).	□
а	а	а
Пусть X — гладкое единичное касательное вектор-
ное поле, определенное на некотором открытом мно-
жестве U на ориентированной 2-поверхности S. Изо-
лированной особенностью поля X называется точка
р е S, такая, что р ф U, но существует открытое мно*
21. ТЕОРЕМА ГАУССА - БОННЕ
295
жество V cr S, содержащее точку р и удовлетворяю’
щее условию V—{p}cz U. Для данной изолирован-
ной особенности р поля X мы можем выбрать
(i)	число е > О, такое, что экспоненциальное ото-
бражение ехр поверхности S отображает открытый
шар Ве cz Sp радиуса е и с центром в 0 диффеоморф-
ным образом на некоторое открытое множество Де с:
cz U U{p},
(ii)	вектор u е Sp с ||и|| = 1,
(iii)	число г е R с 0 < г < е и
(iv)	гладкое единичное касательное векторное
поле Y на Де.
Существование такого е обеспечивается теоремой 2
гл. 19; векторное поле Y может быть получено, на-
Рис. 21.8. Изолированные особенности векторных полей. В каждом
случае показаны интегральные кривые и указан индекс.
пример, применением dexp к любому гладкому нену-
левому векторному полю на Вг и последующим нор-
мированием полученного результата. Выбрав е, и, г
и Y, мы определим индекс i(X, р) поля X в изолиро-
ванной особой точке р как умноженный на 1/2л пол-
ный угол вращения X относительно Y вдоль замкну-
той кривой аг, где аг: [0, 2л]->Де определяется фор-
мулой
ar (t) = ехр (г cos /и -ф г sin Ди)
(см. рис. 21.8).
Лемма 5. Индекс i(X, р) является целым числом,
зависящим только от X и р (и не зависящим от вы-
бранных е, и, г и Y),
296 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Доказательство. Число i(X, р) является целым
числом, потому что если мы обозначим через 0, функ-
цию 0Г: [0, 2n]->R, измеряющую угол вращения от
Y к X вдоль а.г, то из уравнения X о (2л) = X о оц-(О)
найдем, что
cos 0Г (2л) Y о аг (2л) + sin 0г (2л) /Y ° аг (2л) =
= X ° аг (2л) = X ° аг (0) =
= cos 0Г (0) Y о аг (0) + sin 0Г (0) JY о аг (0,)
и так как Y о аг(2л) = Y о аг(0), то такое соотношение
может иметь место, только если разность 0г(2л) —
— 0г (0) является целым кратным 2л.
Независимость от Y. Предположим, что на U& за-
дано другое гладкое единичное касательное век-
торное поле Z. Мы должны показать, что полный
угол вращения поля X относительно Z вдоль аг
равен полному углу вращения X относительно Y
вдоль аг. Разность этих углов есть в точности пол-
ный угол вращения поля Y относительно Z, который
по лемме 4 равен интегралу j ®YZ, так что нам нужно
“г
показать, что ®Yz = 0. Но форма ®Yz определена
“г
на всем множестве Us, а аг является границей син-
гулярного круга cpr: D->t/e, определенного как
Фг (М> х2) = ехр (г (xjU + x2/u)), следовательно, мы мо-
жем применить теорему Стокса и лемму 4, что дает
®Yz = eoYz = (Z®YZ = 0,
ar d<P r <fr
что и требовалось установить.
Независимость от г. Пусть соХу обозначает 1-фор-
му на Us—{р}, определенную как в лемме 4. Тогда
i (X, р) — (‘Дл) ®xy- Эта формула показывает, что
аг
t(X, р) изменяется непрерывно вместе с изменением г.
Но так как i(X, р) всегда остается целым числом, го
21. ТЕОРЕМА ГАУССА - БОННЕ
297
такое может быть, только если t(X, р) постоянно как
функция от г, т. е. i(X, р) не зависит от г.
Независимость от и. Для 0 < г < е положим
Sr = {pet78: |(ехр 1вг)-1 (<7)||2<г2}-
Тогда Sr является ориентированной 2-поверхностью
с краем, ориентация которой получается ограниче-
нием на Sr ориентации на S. Кроме того, аг: (0, 2л)->
-+dSr является локальной параметризацией dSr, об-
раз которой не содержит ровно одну только точку из
dSr- Отсюда следует, что
I (X, р) = Ci>XY = ®XY-
ar	dSr
А этот последний интеграл не зависит от выбора и.
Независимость от е. Если ехр отображает оба
шара и Д, диффеоморфным образом на некото-
рые открытые множества в U J {р}, то мы можем вы-
брать г меньше, чем ei и ej, и затем использовать это
значение г для вычисления i(X, р); очевидно, что
тогда конкретный выбор	значения не имеет.
Теорема 4 (глобальная теорема Гаусса — Бонне).
Пусть S — компактная ориентированная ^-поверхность
в R3, и пусть X — произвольное гладкое единичное
касательное векторное поле, определенное всюду HaS,
за исключением изолированных особых точек {р\, ...
..., рк}. Тогда
k
(’/гл) j К = У i (X, р^.
s i = \
В частности, число ('/гл) К всегда является целым.
s
Замечания. Эту теорему можно толковать в двух
смыслах, отправляясь соответственно от левой или
правой стороны формулы. С одной стороны, теорема
утверждает, что (1/2л) j /С всегда есть некоторое целое
з
298 НАЧАЛЬНЫЕ главы дифференциальной геометрии
число, что, конечно, является замечательным резуль-
татом. С другой стороны, теорема утверждает, что
сумма индексов любого гладкого единичного каса-
тельного векторного поля, определенного на S, за
исключением особых точек, равна сумме индексов
любого другого такого же векторного поля, что тоже
является другим замечательным результатом. Это об-
щее целое число называется эйлеровой характеристи-
кой х поверхности S. Можно показать, что % равна
Рис. 21.9. 2-поверхности рода ge{l, 2, 3}.
2 — 2g, гд,е g — род («число дырок») поверхности S
(см. рис. 21.9). (Теорема о том, что СДя) К. = Х> и
s
является на самом деле теоремой Гаусса — Бонне.
Теорема же, утверждающая, что £ t (X,/>() = х, на‘
зывается теоремой Пуанкаре — Хопфа.) По поводу
еще другой интерпретации % см. упражнение 21.4.
Здесь мы неявно подразумеваем, что на поверх-
ности S существует по крайней мере одно гладкое
единичное касательное векторное поле, определенное
всюду на S, за исключением изолированных особых
точек. Проверка того, что это действительно так,
оставлено в качестве упражнения (упражнение 21.5).
Заметим, что компактность поверхности S гаранти-
рует, что любое данное на S векторное поле может
иметь только конечное число изолированных особых
точек.
Доказательство теоремы 4. Выберем для каждого
je{l, ..., k} число Ei >• 0 так, чтобы экспоненциаль-
ное отображение ехр отображало шар ВЕ/с:5р. ра-
диуса Et и с центром в 0 диффеоморфным образом на
некоторое открытое множество Щ cz S, содержащее
точку ри Мы можем предположить, что е< выбраны
21. ТЕОРЕМА ГАУССА - БОННЕ
299
такими достаточно малыми, что пересечения Ui f| U)
пусты при всех i =/= j. Выберем г > 0 так, чтобы
г <. Ei для всех i. Пусть
k
S+ = где Si^qeEUi: |(ехр Ц)"1 (<7)| <е},
и пусть
S_ = {q s S: ||(exp 1вгг)~Д)||^ r> если только Q^-Ui
при некотором ij
(см. рис. 21.10). Легко видеть, что S+ и S- являются
компактными ориентированными 2-поверхностями с
Рис. 21.10. S является объеди-
нением двух 2-поверхностей
с краем: одна из них — (S+) —
объединение дисков вокруг
особенностей поля X, а дру-
гая — ($_) — состоящая из до-
полнения внутренностей этих
дисков.
краем в R3, ориентация которых получается ограни-
чением на них ориентации на S, а края dS+ = dS- =
= S+nS— Заметим, однако, что ориентация, индуци-
рованная на dS+, противоположна индуцированной
ориентации на dS—
k
Пусть теперь на J дано некоторое гладкоееди-
i=i
ничное касательное векторное поле Y (оно может
быть получено, например, применением dexp к глад-
ким ненулевым векторным полям на каждом В&1 с по-
следующей нормировкой результирующего поля).
Обозначим через ®i форму связности, ассоциирован-
ную с полем Y, а через со2 — соответствующую форму
связности для поля X. В силу леммы 3 и теоремы
300 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Стокса имеем
где кривая а,: [0, 2л]-► dSt определена как
= ехр (г cos t u, + г sin a щ есть некоторый еди-
ничный вектор в SPi. Если Zz обозначает произволь-
ное параллельное единичное векторное поле вдоль at,
то по лемме 1 сумма —	-f- ®2 равна полному
az ai
угла вращения Z относительно Y вдоль az, сложен-
ному с полным углом вращения X относительно Z
вдоль а,, что, очевидно, есть то же самое, что и пол-
ный угол вращения X относительно Y вдоль а,. Но
этот последний угол есть в точности индекс поля X
в точке pt, так что
k
^ = £l(x>Pi).	□
3 i=l
Формула Гаусса — Бонне обобщается на компакт-
ные ориентированные гг-поверхности S произвольной
четной размерности в виде следующего равенства:
s
где V(S") обозначает объем единичной n-сферы S",
К есть кривизна Гаусса — Кронекера поверхности S,
а /— некоторое целое число, равное эйлеровой ха-
рактеристике S. Одно из ее доказательств (см.
S. S. Chern, A simple intrinsic proof of the Gauss —
Bonnet formula for closed Riemannian manifolds, Ann.
21. ТЕОРЕМА ГАУССА - БОННЕ
301
of Math., 45 (1944), 747—752) получается рассужде-
ниями, которые непосредственно обобщают аргумен-
тацию, использованную в доказательстве теоремы 4.
Другое ее доказательство основано на следующем
факте.
Лемма 6. Пусть S — ориентированная п-поверх-
ность в Rn+1, £— форма объема на S, а I — форма
объема на единичной сфере Sn со стандартной ориен-
тацией. Тогда
где N: S —* Sn — гауссово отображение, а К — кри-
визна Гаусса — Кронекера поверхности S.
Доказательство. Пусть даны векторы vi, .... vn е
s Sp, peS. Учитывая теорему 5 гл. 12 и тот факт,
что dN(v) и VvN имеют одинаковую векторную часть
для любого v е SP, получаем, что
(О(vb ..., v„) = l(dN (vt), • • •, dN(v„)) ==
dN(yx)
= det
dN(yn)
Ns"(N(p))
Vv.N
= (-1)" det
Vv N
n
N(p)
= К (p) det
= /<(pK(Vi,.. ,,v„).
v„
N(p)
Если компактная связная ориентированная n-по-
верхность S a R"+1 имеет всюду положительную кри-
302 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
визну К > 0, то теперь мы можем легко убедиться,
что для нее (2/7 (S")) К всегда является некоторым
з
целым числом. Действительно, в этом случае V яв-
ляется сохраняющим ориентацию диффеоморфизмом,
и поэтому, используя упражнение 17.15, имеем
= J g = 7(S"),
3	3	3	S«
так что (2/V (S'1)) К = 2. В общем случае, если в
з
точке р s .S кривизна К (р) =/= 0, то dNp будет неосо-
бым отображением, и, следовательно, найдется от-
крытое множество ир, содержащее точку р и диф-
феоморфным образом отображаемое с помощью N
на некоторое открытое множество в S". Если K(p)Z>
> 0, то этот диффеоморфизм сохраняет ориентацию,
так что тогда
J l = V(N(Up)).
UP	UP	" (ир)
Если же /С(р)< 0, то диффеоморфизм N lUp будет
обращать ориентацию, и тогда
= - J l = -V(N(Up)).
иР	иР	N (ир)
Можно показать (см. J. Milnor, Topology from the
Differentiable Viewpoint, The University Press of
Virginia, 1965)'), что «большинство» точек psS"
являются регулярными значениями отображения W
в том смысле, что дифференциал dNp неособый
(К(р)=/=0) для всех точек peA'-'fp) и, кроме того,
что целое число
й = #{реГ‘(?):	(р) > 0}—
- # {р е V’1 (<?): К (р) < 0},
*) Русский перевод см. в книге Дж Милнор, А Уоллес,
Дифференциальная топология. Начальный курс.—М.: Мир, 1972.—
Прим, перев.
21. ТЕОРЕМА ГАУССА-БОННЕ
303
где # {—} обозначает число точек в (конечном) мно-
жестве {—}, не зависит от конкретного регулярною
значения q. Это число d называется степенью отобра-
жения Гаусса N: SSn. Если U — достаточно малое
открытое множество, содержащее некоторое регуляр-
ное значение q отображения N, то отсюда следует,
что N~l(U) состоит из # (№' (<?)) непересекающихся
между собой открытых множеств в S, каждое из ко-
торых отображается с помощью N диффеоморфно на
U, и что
J К = J N*l = d \l = dV(U).

Так как области, где К — 0, на значение интеграла
не влияют, то аккуратным выбором разбиения еди-
ницы можно показать, что \ K=d.V (S") или (1/Г (Sn))-
. \^ = d. При четном п степень гауссова отобра-
з
жения d — %/2, где % есть эйлерова характеристика
поверхности S.
УПРАЖНЕНИЯ
21.1.	Пусть S — ориентированная 2-поверхность в R3. Пред-
положим, что <р: D S и DS — сингулярные круги на S,
такие, что dq> = Л|>. Покажите, что угол голономии поверхно-
сти q> отличается от угла голономии на некоторое целое крат-
ное 2л.
21.2.	Сингулярный прямоугольник на ориентированной 2-по-
верхности S определяется как гладкое отображение ср: □ ->£,
где
□ = {(лй, x2)eR2:	< 1, 0 < х2 С 1}.
Его край есть кусочно-гладкая параметризованная кривая <р - а,
где а: [0, 4) -»- □ определяется как
(t, 0), если 0	1,
а (0 = <
(1, t — 1), если 1 sC t <1 2,
(3 — t, 1), если 2 sC t 3,
(0, 4 — /), если 3 sC t sC 4.
Прямоугольник q> регулярный, если он является ограничением
на □ некоторой вазимно однозначной локальной параметриза-
304 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
ции 5. Докажите для регулярных прямоугольников формулу
Гаусса — Бонне
j KI + j v.g = 2л - У 6г,
Ф	a	i = \
где %g: [а, R и 0/ (1 е{1, 2, 3, 4}) определены точно так
же, как для регулярных треугольников (см. теорему 2).
21.3.	Пусть X и Y —гладкие единичные касательные вектор-
ные поля, определенные на открытом множестве U на ориентиро-
ванной 2-поверхности S, и пусть отображение h\ U-* R2 опреде-
лено формулой h(p) = (X(p):Y(p), Х(р) -ZY (р)). Покажите, что
(°Ху = й*т], где <вху есть 1-форма на и, определенная в лемме 4,
а г] есть 1-форма на R2 — {0}, определенная в теореме 3 гл. 11.
21.4.	Пусть S — компактная ориентированная 2-поверхность
в R3. Предположим, что существует конечная совокупность ре-
гулярных треугольников qy: АS (|'е{1,	т}}, такая, что
т
(i)	J Image <рг = S.
i=i
(ii)	Если точка р е S принадлежит образу более чем двух
треугольников cpt-, то для каждого такого i точка р является
образом при отображении ср/ некоторой вершины А.
(iii)	Если точка р принадлежит образу ровно двух ср,-, то
пересечение образов этих ср,- является образом некоторой гладкой
дуги границы каждого из треугольников.
/ / '\ \
/ / ' \ \
к	'Г	1	\	" Ч
к. /	।	I ]	Рис, 21.11. Триангуляция 2-сферы.
\^\ -------’----/
\ \	1	/ /
\ \	1 /	/
'х х //	У
Такая совокупность треугольников {cpi.....фта) называется
триангуляцией Т поверхности S (см. рис. 21.11). Точки вида (ii)
называются вершинами Ту а подмножества вида Image w, П
П Image ф/, как в (iii), называются ребрами Т. Сами треуголь-
ники ф< называются гранями триангуляции Т.
Покажите, что
(1/2л) j К = р + г
8
21 ТЕОРЕМА ГАУССА - БОННЕ
305
где в есть число вершин, р — число ребер иг — число граней
триангуляции Т. ^Указание: применить к каждому треугольнику
<р, локальную теорему Гаусса — Бонне.]
21.5.	Пусть S— ориентированная n-поверхность в R"+1. Для
q£S пусть fq: S-> R обозначает гадкую функцию, определен-
ную равенством f,(p) = II <7 — р II2.
(а)	Покажите, что точка peS является критической точкой
функции в том и только том случае, когда q — р = WV(p) с
некоторым XeR, где W обозначает гауссово отображение по-
верхности S.
(Ь)	Покажите что если точка р е S является критической
точкой функции и veS,, v 0 то Vv grad fq = 0 в том и
только том случае, когда Lp(y) = (1/X)v, где Lp обозначает ото-
бражение Вейнгартена поверхности S в точке р, а X — как в
части (а).
(с)	Вывести отсюда, что если q не лежит в фокальном мно-
жестве поверхности S, то все критические точки функции fq
являются невырожденными и поэтому изолированными. (Отсюда
следует, что grad /9/|| grad fq h является гладким единичным ка-
сательным векторным полем, определенным всюду на S, за иск-
лючением изолированных особых точек.)
21.6.	Пусть 3— ориентированная 2-поверхность в R3, и
пусть X — гладкое единичное касательное векторное поле, опре-
деленное на некотором открытом множестве U в S. Пусть 0j й
02— 1-формы на U, двойственные соответственно X и /X, и пусть
со  - 1-форма связности на U, ассоциированная с X. Покажите,
что
rfQl = (О Д0 2,
dQ2 = — со Д 0i,
da = - К0, Д 02,
где К обозначает гауссову кривизну поверхности 3.
(Эти уравнения называются структурными уравнениями Кар-
тана.)
22. ДВИЖЕНИЯ И КОНГРУЕНТНОСТЬ
Движением пространства R"+l называется отобра-
жение -ф: R"+1 -* R"+1, такое, что ||ф(р)—ф(<7)|| =
= ||р— <?|| для всех р, q е R"+1. Таким образом, дви-
жение— это отображение, которое сохраняет рас-
стояния между точками.
Пример 1. Для a s R"+1 определим отображение
ф: Rn+'-> R"+1 как ф(р)=р-(-а. Тогда ф является
движением R"+1, называемым-переносом на а.
Пример 2. Для 0 е R определим отображение ф:
R2-> R2 формулой
Ф (xb Х2) = (Х, COS 0 — Х2 sin 0. Xt sin 0 + х2 cos 0).
Тогда ф является движением R2, называемым враще-
нием на угол 0 (см. рис. 22.1).
Пример 3. Для aeRn+1, ||а||= 1, и	опре-
делим отображение ф: R"+1—>R"+1 по формуле
ф(р) = р + 2(6 — р-а)а
(см. рис. 22.2). Тогда ф является движением R"+1,
называемым отражением относительно м-плоскости
Н = {х е Rn+!: а-х = b}.
Пример 4. Пусть ф: Rn+1 -+ R"+1—линейное пре-
образование, такое, что ||ф(у) ||=1М1 для всех ае
е R"+1. Тогда ф является движением, потому что
||ф(р)— ф(<7)11 = 11ф(р — <7)И=||р — Для всех р,
q е R^1. Это движение ф называется ортогональным
преобразованием пространства Rn+’. Отметим, что
линейное преобразование пространства Rn+* является
22. ДВИЖЕНИЯ И КОНГРУЕНТНОСТЬ
307
движением в том и только том случае, когда оно яв-
ляется ортогональным преобразованием.
Композиция двух движений R^1 снова яв-
ляется движением. В частности, ортогональное пре-
Рис. 22.1. Вращение R2 на угол 0,
Рис. 22.2. Отражение относительно n-плоскости И.
образование с последующим переносом тоже являет-
ся движением. Оказывается, что таким образом мож-
но получить любое движение.
Теорема 1. Пусть тр — некоторое движение Rn+l.
Тогда существуют единственное ортогональное преоб-
разование -ф1 и единственный перенос хр2> такие, что
ф = тр2 о
308 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Доказательство. Пусть а = -ф(О); обозначим через
г|?2 перенос на а и положим — Ф^' ° Ф- Покажем,
что ф! является ортогональным преобразованием.
Очевидно, что ф] есть движение с ф1 (0) = 0, и оно
сохраняет норму, так как
II ф! (v) II = II Ф1 (.V) - ф! (0) II = II V - 0 II = II V II
для всех ие Значит, нам нужно только пока-
зать, что ф1 линейно. Сначала отметим, что ф] сохра-
няет скалярное произведение
Ф1 (f) • ф1 (да) = j (|| Ф1 (у) ||2-М1 ф] (да) ||2— ||ф1(ц)—Ф! (да) II2)
= 7 (IIv II2 + II да II2 — II f — да II2) = f • да
для всех v, да s R"+1. Наконец, чтобы установить ли-
нейность, мы должны показать, что
Ф1 (Cl^l + Wi) = С1Ф1 (fi) + С2Ф1 (f2),
или, эквивалентно,
Ф1 (fl fl + f2f2) — f 1Ф1 (fl) — С2Ф1 (f2) = 0
для всех Vi, ti2e R"+I и cb c2 *= R. Для этого в свою
очередь достаточно показать, что вектор ф1(С1У1 +
+ c2f2)—c^i(fi)—С2ф1(цг) ортогонален каждому
вектору некоторого базиса в Rn+1. Но если {ei, ...
..., e„+i}—-произвольный ортонормальный базис
в R"+1, то {ф(в1), ..., ф(е„+1)} тоже является орто-
нормальным базисом в Rn+1, так как ф1 сохраняет
скалярное произведение, и поэтому
[Ф1 (fifi + f2f2) — f 1Ф1 (fi) — с2Ф1 (f2)] • Ф1 (fz) ==
= (flfl + f2f2) • fz — f 1 (fl • fz) — f2 (f2 • fz) = 0
для ze{1.......zi-j-1).	Таким образом, отображение
ф1 линейное.
Единственность ip] и i|;2 следует из того,, что пе-
ренос ip2 должен удовлетворять условию ip2(0) =
= Ф2 оф1(0) = ф(0) и что преобразование ф1 должно
равняться ф2 «ip.	□
22. ДВИЖЕНИЯ И КОНГРУЕНТНОСТЬ
309
Следствие. Пусть if: Rn+I—>R”+1— некоторое дви-
жение. Тогда
(i)	if гладкое,
(ii)	if отображает R"+1 на Rn+I и
(iii)	dif (v) • dif (w) = v  w для всех v, weR'„i+!,
peRM
Доказательство, (i) Линейные преобразования и
переносы являются гладкими отображениями, а зна-
чит, такими будут и движения.
(ii) Переносы являются отображениями «на»,
так же как и ортогональные преобразования R"-L1
(ядро должно быть нулевым, так как нормы сохра-
няются) . Следовательно, движения тоже являются
отображениями «на».
(iii) Сначала заметим, что если if — if2 ° ifi есть
единственное разложение движения if на ортогональ-
ное преобразование ifj с последующим переносом
на if2> то
Ч	dif (р; у) = (if (р); if 1 (у))
для всех (р; о) е Rp+1, р <= R"4-1. Действительно, поло-
жив а (/) = р -f- tv, так что а (0) = (р; у), имеем (считая
if2 переносом на а)
dif (р; у) = if ° а (0) = (if (р);	|q if (р + /о)) =
= (if (р);	|о if2 ° if t (р + fy) ) =
= (if (Р);	10 (ifI (р) + flfl (у) + а)) =
= (if (р); if I (о)).
Отсюда для v = (p; у) и w = (p; да)е₽р+1 получаем
d-ф (v) • dif (w) = (if (p); if,(y)) • (if (p); if, (да)) =
= if] (y) • if[ (да) = v • w — v • w. □
Две и-поверхности S и S в R"+1 называются кон-
груентными, если существует некоторое движение if:
R"+1	R«+', такое, что if(S) = S. Дифференциал dif
310 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
такого движения отображает касательное простран-
ство Зр к 3 в любой точке peS на касательное про-
странство S^(p) кЗв точке ф(р), и так как <Рф со-
храняет скалярные произведения, то б?ф(Ы(р)) = ± N
(ф (р))> где N и N — любые данные векторные
поля ориентации на S и S соответственно. Заметим,
что ориентация N на 3 всегда может быть выбрана
так, чтобы для всех точек р е S было dip (N (р))=± N
(ф (р)) (т. е. так, чтобы г/ф о N=N о -ф).
Теорема 2. Пусть S и S — конгруентные п-поверх-
ности в R"+1, пусть ф: R"+i —> R"+1 — движение, такое,
что "ф (3) = S, и предположим, что S и 3 ориентированы
с условием, что dty о N = N о ф. Тогда
(i)	г/ф (v) • dty (w) = v • w для всех v, w eSp, pe3,
(ii) вторые основные формы 9^ поверхности S в
точке р е S и (р) поверхности S в точке ф (р) свя-
заны соотношением =
Доказательство, (i) получается непосредственно
из только что доказанного следствия.
(ii)	Пусть ф1 — ортогональная часть отображения
ф согласно утверждению теоремы 1. Пусть для дан-
ной точки реЗ и данного вектора veSp кривая а:
/->3 такая, что a(/0) = v. Тогда Рф(у) = ф °а(/0),
так что значение отображения Вейнгартена L^{p} по-
верхности 3 в ф(р) на векторе йф(у) равно
(₽) (сГф (v)) = — Vd^(V)N =
= — (N о ф о а) (/0) =
= — (с/ф о N о а) (/0) =
= — (Ф (Р); (Ф1 ° Af ° а)' (Zo) == (в силу (*))
= — Ф (Р); Ф i ((# ° «У (to)) = (в силу
линейности ф1)
— —йф(р; (N о а)' (/0)) = (снова в силу (*))
= — ch|>(VvN) =
= </ф (Lp (у)),
22. ДВИЖЕНИЯ И КОНГРУЕНТНОСТЬ
311
где LP — отображение Вейнгартена поверхности S в
точке р. Значит,
(dt (v)) = L^(p} (dt (v)) • dt (v) =
= dt (Lp (v)) • dt (v) = Lp (v) • v=^p(v). □
Следствие. Пусть S и 8— конгруентные ориенти-
рованные п-поверхности в R^+L Тогда S и 8 имеют
одну и ту же геометрию в том смысле, что если t
есть движение, отображающее S на 8 с условием,
N о t = dt ° N, a ti — ортогональная часть t, то
(i)	длина кривой a: /->-S равна длине кривой
t ° а: I -> S,
(ii)	гауссово отображение N поверхности S свя-
зано с гауссовым отображением К поверхности 8 со-
отношением A'°t = ti0^> и’ в частности, сфери-
ческий образ 8 совпадает с преобразованным приме-
нением ti сферическим образом S,
(iii)	кривая a : I-+S является геодезической на
поверхности S в том и только том случае, когда t ° а
является геодезической на 8,
(iv)	векторное поле X вдоль кривой a: I-+-S яв-
ляется параллельным в том и только том случае,
когда поле dtf°X параллельно вдоль $ °а,
(v)	отображения Вейнгартена Lp поверхности S
в точке peS uL^() поверхности 8 в точке t(p) свя-
заны соотношением
4(P}°d^P = d^P°L^
(vi)	нормальные кривизны k поверхности S и k
поверхности 8 связаны соотношением k = L о dt> и,
в частности, главные кривизны S в точке р eS равны
главным кривизнам 8 в точке t (р),
(vii)	кривизна Гаусса — Кронекера и средняя
кривизна поверхности S в точке р е S равны соответ-
ственно кривизне Гаусса — Кронекера и средней кри-
визне поверхности 8 в ty(p),
(viii)	поверхность S выпуклая в точке р eS в том
и только том случае, когда поверхность 8 выпуклая
в точке t(P)>
312 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
(ix)	фокальное множество поверхности S являет-
ся образом фокального множества поверхности S при
отображении ip,
(х)	объем поверхности S равен объему поверх-
ности S,
(xi)	поверхность S является минимальной поверх-
ностью в том и только том случае, когда S является
минимальной, и
(xii)	множество сопряженных точек точки 1р(д)е
е 5 является образом множества сопряженных точек
точки р S при отображении ip.
Доказательство, (i) I (ip о а) = || ip о а || — || dty ° а ||=
I	I
= II «11 = (а)-
1
(ii)	Непосредственное следствие уравнения N □
о 1)5 = dty о N.
(iii)	Следует из (iv), так как кривая а является
геодезической в том и только том случае, когда поле
а параллельное.
(iv)	(dty ° X)(/)=dip (X (/)) является кратным вектора
N (ip (а (/))) = dty (N (а(/))) в том и только том случае,
когда Х(/) коллинеарен с N (а(/)).
(v)	Это утверждение содержится в доказатель-
стве теоремы 2.
(vi)	Имеем k (dip (v))=	(р) (dip (v)) = 9>р (v) = k (v).
Равенство главных кривизн следует из этого соотно-
шения или из (v), так как Lp и (р) = dipp ° Lp ° dipp1
имеют одни и те же собственные значения.
(vii)	Следует из (vi).
(viii)	(ip (?) — ip (p)) • N (ip (p)) = (ipi (?) —
- ipi (P)) • ipi (N (P)) = (? — P) • N (P).
(ix)	ip(p + (l/MP))W(p)) =
= ^2 (ti (P) + (1/^z (p)) гр! (N (p))) = ipi (p) +
+ Mi (p)) ipi (N (p)) + a = ip (p) + (l/&z(ip(p))) N (ip (p)).
22. ДВИЖЕНИЯ И КОНГРУЕНТНОСТЬ
313
(х)	Для любой локальной параметризации <р по-
верхности S композиция ip о ф является локальной па-
раметризацией поверхности 5, и
det (ЕГФ • ЕГФ) = det (dip (Е?) • dip (Е?))= det (еТ • Е/),
так что подынтегральные выражения в интегралах
объема одни и те же.
(xi)	Следует из (vii).
(xii) Так как, согласно (iii), ip отображает геоде-
зические в геодезические, то ip ° ехр = ехр о dip, где
ехр и ехр обозначают экспоненциальные отображения
поверхностей S и 5 соответственно. Значит, ip отобра-
жает сопряженные точки вдоль геодезической ехр (tv)
на S в сопряженные точки вдоль геодезической
exp(Pdip(v)) на 5.	О
Справедливо также обращение теоремы 2.
Теорема 3. Пусть S и S — связные ориентирован'
ные п-поверхности в R"+1. Допустим, что существует
гладкое отображение ip из S на S, такое, что
(i) dip (v) • dip (w) = v • w для всех v, w e Sp, p^S, и
(ii) вторые основные формы TPp поверхности S в
точке р и поверхности S в ip(p) связаны соотно -
шением Ур ~ ^(р) о dip для всех р е S.
Тогда S и 3 конгруентны и отображение ip яв~
ляется на самом деле ограничением на S некоторого
движения Rn+1.
Доказательство. Пусть р0 е S; определим движе-
ние ip пространства R"+1, положив тр= ip2oipi, где
ipi — единственное ортогональное преобразование про-
странства RZ1+1, обладающее следующими свойствами:
(а)	1р1(Л^(Ро)) = Л((1р(ро))>
(b)	(р0; ip( (v)) = dip (р0; v) для всех v е R"+1, таких,
что v _L N (р0) (т. е. таких, что (р0; и) е SPa), a ip2 — пе-
ренос пространства R"+1, переводящий ipt (р0) в ip(p0).
Мы покажем, что (ip-1 ° ip) (р) = р для всех р s S и
тем самым установим, что ip = ip Is-
314 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Пусть ф==	1 °-ф. Тогда ср отображает S на /г-по-
верхность S = гр-1 (S), и
(i)	dtp (v) • dtp (w) = v • w для всех v, w e Sp, S,
(ii)	^р=^ф(р) о dtp для всех pt=S (где ^ф(р) — вторая
основная форма поверхности S в точке ср (/?)),
(iii)	ф(р0) = р0,
(iv)	dtp (v) = v для всех v е Spo.
Из (i) и (ii) мы можем заключить, что отображения
Вейнгартена Lp поверхности S и £ф( > поверхности
S связаны равенством /,ф(р)°с/<р = dtp°Lp для всех
р eS. Действительно,
Ч(Р) W(v)) • dq> (w) =
=4 (^ф (р) <v+w)) -^ф (р) (d(₽	-^ф (р)	=
= |(^p(v + w)-^(v)-^p(w))«
= Lp (v) • w = dtp {Lp (v)) • dtp (w)
для всех v, w e Sp, и так как dtp отображает Sp на
S (> для всех pe.S (dcp отображает ортонормальные
базисы в Sp в ортонормальные базисы в 5ф(р) в силу
(i)), то это означает, что Lv(p)(dcp(v)) = d<p(Z,p(v)) для
всех v е Зр.
Покажем, что если а: / —>3 — произвольная кривая
на S, такая, что для некоторого t0^I, ср (а (/0))=а (/3)
и dcpa(<o) = тождественное отображение (это будет так,
например, если a (Q = p0), то ср (a (/)) — a (/) и dcpaW =
= тождественное отображение для всех t е I. Пусть
Xt, ...,ХП — гладкие векторные поля, параллельные
вдоль а и такие, что {Xj (/)...Х„+1(/)} является
ортонормальным базисом в Sa(/) для каждого t е I.
Такие векторные поля можно получить, выбрав в
S0((o) некоторый ортонормальный базис (хр ...,хп)
и определив, далее, Хг как единственное векторное
22. ДВИЖЕНИЯ И КОНГРУЕНТНОСТЬ
315
поле, параллельное вдоль а и с начальным условием
Xz(Z0) = x;. Пусть У,, ..Y„ — векторные поля вдоль
<ро а, определенные как Yz (0 = dtp (Xz (/)), t s I. Тогда
{Y, (t)...¥„(/)} является ортонормальным базисом
в 5фоа(<) при каждом t <= I (согласно (z)), Y((70) =
= Х(. (Q для каждого i (так как d<pa fta) = тождест-
венное отображение), и
п	п
Ф ° а = ,Е ((<₽ ° а) • YJ Yz = Е (dcp (а) • d<p (Xz)) Yz =
i = 1	i «и 1
n
= E (a • Xz) Yz.
<=i
Если бы мы смогли показать, что У/ = X;, где У/
— векторная часть Y, и Xr. I-+Rn+l— век-
торная часть X/, то мы бы имели, что
п	п
4(фоа) = £(а.Хг.)Г1. = £(а.Хг)^ = -§-,
/=1	i=i
так что ф о а и а отличались бы самое большее на не-
которую постоянную. Так как (ф»а)(/о) = а(/о), то
мы отсюда могли бы заключить, что (ф°а) (0 = а(0
для всех / е /, и далее, что
йф (Xz (0) = Yz (0 = (ф (а (/)); У( (/)) = (а (/); Х{ (/)) = Xz(0
для каждого i, так что было бы ^фО(<) = тождествен-
ное отображение для всех t s /, т. е. получили бы
требуемое равенство.
Значит, нам нужно показать, что Х{ = Yi для
ге{1, ..., п}. Для этого положим X„+1 = N»a и
У„+1 = 7Уофоа, так что {ХДО.......Х„+1(/)} является
ортонормальным базисом в Rato, а {Yi(0, • • •,Ул+1(/)}—
ортонормальным базисом в R^tato при каждом /е/.
Тогда
п+1	п+1
Xi=£^aZyX/, Yz = E^f/Y/>
316 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
где di] = X/ • X,- и bti = Yz • Yz — действительнозначные
функции на /. Сначала мы установим, что alt = btj
для всех i и j. Так как
О = 4 (X/ • ХУ) = Хг . X/ + Xz . X/ = at/ + а!ь
то aji = —aij для всех i и /, и, аналогично, Ьц = —b-f
для всех i и /, так что достаточно проверить, что
aij = bi, для i <Z j. Векторные поля Y; = dtp ° Хг, i s
e{l, n}, параллельны (на S) вдоль ср о а. Этр
следует из (i) и того факта, что векторные поля X;
параллельны вдоль а; но полную проверку этого ут-
верждения мы оставим, однако, до следующей главы
(см. следствие 2 теоремы 1 гл. 23). Приняв это как
доказанное, мы имеем, что поле Yz нормально к S
точно так же, какХг- нормально к S, и отсюда
^Z/ = YZ • Y/==O==XZ • X/ = az/
для 1 i, j п. Кроме того, для / п
bi,n+i = Yz • Y„+l = Yz • N офоа = — Yz • N офой =
= Yz • L (ср о a) = Yz • Z (dtp (a)) = dq (Xz) • dq (L (a))=
= Xj  A (a) = - Xz • N о a = Xj • N о a =
= Xz • X„+1 = az, n+I,
где Z,(a) есть векторное поле вдоль а, определенное
как (Z,(a))(/) = Aa(Z)(a(/)), и с аналогичным опреде-
лением также и для Ь(фоа). Отсюда мы заключаем,
что ац = Ьц для 1 +( i < j +( п + 1, а значит, az/ == bi}
для всех i и j.
Теперь мы можем завершить доказательство того,
что Xi = Yi для всех i е {1, ..., п+1}. Положим
п+1
Y{ = У, CtjXj, где си = Yt • Xf.I-* R; тогда матрица
22. ДВИЖЕНИЯ И КОНГРУЕНТНОСТЬ
317
является единичной и
de и	AY,	dX
Ч	1 V I V
dt ~ dt ’ л< "1“ 1 ' dt
z	X
✓ rt+1
(У, atk^k
\k = l x	\к=1
n+1
== ' (a-ikcki ”b dtjk^ik)-
k-i
Эта система обыкновенных дифференциальных урав-
нений первого порядка с начальными условиями
fl, если i = j,
t'ij Vo) ' ' ) rt	• г :
(, 0, если i =/= 1,
имеет решение
СИ (0	। Q
если i = /.
если i ф !,
так как ац + ац = 0, и поэтому в силу единствен-
ности решений обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка матрица (с,/(/)) является
единичной матрицей для всех t S /. Другими сло-
вами, Yi(t) = Xi(t) для всех ie{l, n-j-l} и всех
t е 7.
Наконец, мы должны показать, что ф(р) = р для
всех ре S. Пусть
U = {р е 3: ср (р)  р и с?фр = тождественное
отображение}.
Множество U является открытым подмножеством по-
верхности 3, так как каждая точка р е U содержит-
ся в некотором открытом множестве вида $(V), где
ф— некоторая локальная параметризация поверх-
ности 3, а V — открытый шар в R"; действительно, р
может быть соединена с любой точкой из ф(У) неко-
торой параметризованной кривой в ф(У), так что, по
только что установленному, ф(]/)с U. С другой сто-
роны, дополнение 5 — U множества U в 3 тоже яв-
318 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
ляется открытым множеством на S, так как и <р и
dq> непрерывны. Так как поверхность S связна, то
такое может быть, только если или U, или S — U
пусто. (Если а: [а, b]—> S было бы непрерывным
отображением с а(а)еО и a(ft)sS — U, то точка
a (io), где tQ — точная верхняя граница множества
{/e[a, b] :	не могла бы принадлежать ни
U, ни S—U.) Так как pQ^S, то множество S—U
должно быть пусто, так что U = S и, в частности,
<р (р) = Р Для всех Р *= 5.
УПРАЖНЕНИЯ
22.1.	Проверьте, что каждое из отображений, описанных в
примерах 1, 2 и 3 этой главы, действительно является движе-
нием.
22.2.	Покажите, что если ф1 — ортогональное преобразование
Rn+1, а ф2 — перенос на а (а = Rn+i), то ф, о-ф2 = ф2офь где
ф2 — перенос на ф, (a).
22.3.	Покажите, что каждое из следующих утверждений эк-
вивалентно утверждению, что линейное преобразование
ф: Rn+1->R'1+) является ортогональным преобразованием:
(а)	ф(ц) -ф(а<) = v-w для всех и, w е Rn+i.
(b)	ф отображает ортонормальные базисы в ортонормальные
базисы, т. е. если {ei, ..., e„+i} — некоторый ортонормальный
базис в Rn+1, то {ф(в1)....ф(е„+1)} тоже является ортонор-
мальным базисом в R',+1.
(с)	Матрица преобразования ф относительно некоторого ор-
тонормального базиса в R,l+1 является ортогональной матрицей
(т. е. ее транспонированная матрица равна обратной).
22.4.	Вращение пространства Rn+I есть ортогональное ли-
нейное преобразование с определителем -|-1.
(а)	Покажите, что линейное преобразование ф: R2->- R2 яв-
ляется вращением в том и только том случае, когда существует
некоторое действительное число 0, такое, что матрица ф относи-
тельно стандартного базиса в R2 имеет вид
cos 0 — sin 0
sin 0 cos 0
(b)	Покажите, что каждое вращение ф пространства R3
оставляет некоторое направление неподвижным (т е. ф имеет
некоторый единичный собственный вектор с собственным значе-
нием 1).
(с)	Покажите, что если ф — вращение R3, ei — единичный
вектор с ф(е1)=С1, а ег — перпендикулярный к «1 единичный
вектор, то матрица для ф относительно ортонормального базиса
22. ДВИЖЕНИЯ И КОНГРУЕНТНОСТЬ
319
{ei, ег, ei X ег} в R3 имеет вид
10 О
0 cos 0 — sin 0
0 sin 0 cos 0
с некоторым 0 s R.
22.5.	Покажите, что гиперболы х1х2=1 и xj — х2 = 2 в R2
конгруентны.
22.6.	Пусть ф —движение R'*+I, и пусть F обозначает мно-
жество неподвижных точек отображения ф, т. е.
Д = {(/е Rn+1: ф (?) = ?}.
Для р 0 F положим
tfp = {xsRn+1:||x-i|,(p) || = ||х-р||}.
(а)	Покажите, что Нр является «-плоскостью в Rn+1.
(b)	Покажите, что F cz Нр.
(с)	Пусть фр — отражение относительно Нр; покажите, что
множество неподвижных точек отображения фр ° ф содержит
{Р} U F.
k
(d)	Покажите, что если точка 0 <= F, то У, clpl s F, где
/=1
Р1......Pk е F и С1....ck s R-
(е)	Покажите, что ф может быть представлено как компо-
зиция ф = ф1 о ... ° ф&, где k п + 2, а фь ..., ф* — отраже-
ния R"*1.
22.7.	Движение ф пространства R"*1, отображающее неко-
торую «-поверхность S на себя, называется симметрией поверх-
ности S.
(а)	Покажите, что множество движений R"*1 образует груп-
пу относительно операции композиции и что симметрии образуют
в ней некоторую подгруппу.
(Ь)	Покажите, что группа симметрий единичной «-сферы S'*
совпадает с группой всех ортогональных преобразований R"+1.
(с)	Опишите группу симметрий цилиндра x2 + x2 = a2 в R3.
(d)	Опишите группу симметрий эллипсоида
„2	2
Х1 , Х2 . х3	.
Т J2 Т (2
в R3, когда (i) b = с ф а и (ii) a, & и с различны.
23. ИЗОМЕТРИИ
Как обитатели Земли, мы вынуждены (или по
крайней мере были вынуждены — до изобретения ле-
тательных и космических аппаратов) делать заклю-
чения о геометрии Земли исходя из измерений, сде-
ланных на поверхности Земли. Мы можем измерять
расстояния вдоль кривых и, вычисляя производные по
времени, определить скорость и вектор скорости. Гео-
метрия, которая может быть построена на основании
таких измерений, называется внутренней.
Для того чтобы можно было измерять расстоя-
ния вдоль кривых на «-поверхности S, необходимо,
чтобы в качестве отправного пункта было задано ска-
лярное произведение касательных векторов. Действи-
тельно, если в каждом касательном пространстве
Sp, р е S, задано скалярное произведение, то длина
/(а) параметризованной кривой a: [a,b]->S может
быть вычислена по формуле
ь	ь
1(a) = || а (/) || dt = (а (/) • а (/))!/2 dt.
а	а
Обратно, если мы умеем вычислять длины произволь-
ных гладких кривых на S, то мы можем вычислять
также и нормы векторов из Sp (именно, имея вектор
v е Sp, рассмотрим кривую а: [аД]—>-S с условием
a(/o) = v, и пусть s(t)— длина кривой а от а до t;
тогда ||v||=||a(/0)|| = (a!s/rf/) (t0)). Отправляясь от
норм, мы можем уже вычислять все скалярные про-
изведения, например, с использованием тождества
V w = y(||v + w||2-||v||2-||w||2).
Таким образом, внутренняя геометрия «-поверх-
ности S, т. е. геометрия, которая может быть выве-
23. ИЗОМЕТРИИ
321
дена из измерения длин вдоль кривых на S, пол-
ностью совпадает с той частью геометрии поверхно-
сти S, которая может быть выведена из знания ска-
лярного произведения в касательном пространстве
к S в каждой ее точке.
Гладкое отображение ip из одной «-поверхности
S cz Rn+/S на другую поверхность 8 cz Rn+Z называется
локальной изометрией, если оно сохраняет скалярное
произведение касательных векторов, т. е. если
dip (v) • dip (w) = v • w
для всех v, wgS?, peS. Дифференциал dipp: Sp -»
—) в точке p такого отображения необходимо
должен быть неособым в каждой точке psS, так что
по теореме об обратной функции ip должно отобра-
жать некоторую открытую окрестность каждой точки
р в S взаимно однозначным образом на некоторую
открытую окрестность точки ip (р) е S. Отсюда сле-
дует, что ip(S) должно быть открытым подмножест-
вом поверхности 5. Однако ip (S) необязательно долж-
но совпасть со всей поверхностью 8, так же как
отображение ip: S—>-ip(S) не должно быть взаимно
однозначным. Локальная изометрия, которая отобра-
жает «-поверхность S взаимно однозначно на «-по-
верхность 8, называется изометрией S на 8.
Так как изометрия по определению является
взаимно однозначным отображением ip: co->S, сохра-
няющим скалярные произведения касательных векто-
ров, то она сохраняет также всю внутреннюю геомет-
рию поверхности. Таким образом, например, если
а: [а, b]->S — параметризованная кривая на S, го
соответствующая кривая ip ° а на S имеет ту же са-
мую длину
ь	ъ
/ (гр о а) = II (1р о а) (/) || dt = || dip (а (/)) || dt =
а	а
Ъ
= ^ || а (/) ||d/== / (а).
322 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
В действительности внутренняя геометрия может быть
описана как часть геометрии поверхностей, сохраняю-
щаяся при изометриях. Две поверхности S и ме-
жду которыми существует некоторая изометрия
ф:5 —называются изометричнымщ они необходи-
мо имеют одну и ту же внутреннюю геометрию.
Пример 1. Пусть ф: R"+ft —> R“+*—движение, и
пусть S — некоторая «-поверхность в R"+ft. Тогда ф |s
является изометрией S на ф(5).
Пример 2. Пусть отображение ф: R2 -> R3 опреде-
лено как ф(0, «) = (cos0, sin 0, и). Таким образом, ф
отображает плоскость на цилиндр x2 + x2=l в R3,
Рис. 23.1. Отображение ф (0, u) = (cos 0, sin 0, и) есть локальная
изометрия из R2 на цилиндр х2-{-х|=1. Ограничение ф на
бесконечную полосу U является изометрией из U на цилиндр
с удаленной образующей (указана пунктиром).
наматывая ее вокруг цилиндра бесконечное число раз
(см. рис. 23.1). Отображение ф является локальной
изометрией, так как для каждой точки (0, u)eR2
дифференциал t/ф отображает ортонормальный базис
{(0, м; 1,0), (0, «; 0, 1)} в R(2e,и; в ортонормальный
базис
{Е1 (0, и), Е2(0, и)} =
= {(ф(0, и); — sin 0, cos0, 0), (ср (0, и), 0, 0, 1)}
23. ИЗОМЕТРИИ
323
в Image <7ф(0 и), так что dty^ и) должен сохранять
скалярные произведения. Взяв ограничение ф на от-
крытое множество U — {(0, u)<= R2: —л<0<л},
мы получим изометрию ф|у из бесконечной полосы U
в R2 на цилиндр с исключенной образующей.
Пример 3. Отображение <р из плоскости на тор
((х2 + х2)1/2 — а2)2 + х2 = b2 (а > b > 0), данное фор-
мулой
Ф (<£, 0) = ((а + & cos ф) cos 0, (а + b cos </>) sin 0, b sin <f>),
не является локальной изометрией, так как, например,
0; О, 1)|| =
=11 ф (^, 9)‘> — (а + b cos ф) sin 0, (а + b cos </>) cos 0, 0) || =
= а + b cos </>
не равняется || (</», 0; 0, 1) || = 1 при всех (</>, 0)е R2.
Но отображение ф из плоскости на тор
х2 + х\ — 1,
х2 + х\ = 1
в R4, определенное как ф(^>, 0) = (cos</>, sin^>, cos0,
sin0), является локальной изометрией, так как для
каждой точки (^>, 0)е R2 векторы
dty (ф, 0; 1, 0) = (ф(^, 0); —sin ф, cos </>, 0, 0),
г/ф(^>, 9; 0, l) = (ip(^», 0); 0, 0, —sin0, cos0)
образуют ортонормальный базис в Image г/ф(* 0). Взяв
ограничение ф на открытое множество U = {($, 0) е
eR2: — л < $ < л, — л < 0 < л}, мы получим изо-
метрию ф 1и из квадрата U в R2 на тор в R4 с двумя
удаленными окружностями.
Пример 4. Пусть S — пунктированная плоскость
R2 — {(0, 0)}, и пусть S —• конус Зх2 + 3x1 — xl = 0,
х3 > 0, в R3. Определим отображение ф:3->5 как
ф (г cos 0, г sin 0) = (у cos 20, ~ sjn 20,	,
324 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
где (г, 0), г > 0, —полярные координаты в R2— {(0, 0)}.
Тогда ф является локальной изометрией. Действи-
тельно, положим U = {(г, 0) eR2:r > 0}, тогда отоб-
ражения cp:U—>S и ф:(7->5, определенные формулами
Ф (г, 0) = (г cos 0, г sin 0),
ф(г, 0) = (ycos20, у sin 20,
являются параметризованными 2-поверхностями,
отображающими U соответственно на S и S, причем
ф==г[5оф (см. рис. 23.2). Координатные векторные
поля Е(- вдоль ф и Ег вдоль ф имеют вид
Е,(г, 0) = (ф(г, 0); -^-(г, 0)) = (ф(г, 0); COS0, sin0),
Е2(г, 0) = (ф (г, 0);	(г, 0)}=(<Р (^. 0); — г sin 0, г cos0),
Е1(г,0) = (ф(г,0);-^(г, 0)) =
= (ф (г, 0); у cos 20, у sin 20,
Ё2 (г, 0) = (ф (г, 0);	(г, 0)) =
= (ф(г, 0); — г sin 20, г cos 20, 0).
Кроме того, для каждой точки р eU имеем г/ф (ЕДр)) =
= Ёг (р) для is {1, 2}, так как
d$ (р)) = d^ (dy (ег)) = d (ф о ф) (е;) = t/ф (е£) = Ё; (р),
где ei = (р; 1,0) и е2 —(р;0, 1). Наконец, получаем,
что скалярные произведения касательных векторов
при отображении ф не изменяются, так как для каж-
дой точки p==(r, 0)е U сохраняются скалярные про-
изведения базисных векторов:
^Ф (Е/ (р)) • йф (Е/ (р)) = Ёг (р) • Ё/ (р) =
1, если i = j = 1,
= 0, если (/,/) = (!, 2) или (z,/) = (2, 1),
, г2, если i = j = 2,
= Е/(р)-Е/(р).
23. ИЗОМЕТРИИ
325
Замечание 1. Пример 2 дает представление об од-
ном специальном классе изометрий, называемых из-
гибаниями. Грубо говоря, цилиндр с одной удален-
ной образующей получается изгибанием — постепен-
ным свертыванием — полосы {дц, х2, х3) е R3: —л <
< Xi < л, х3 — 0} без растяжений, без разрывов и
Рис. 23.2. ф является локальной изометрией
плоскости S на конус S. Ограничение ф
плоскость х2 > 0 является изометрией на
образующей.
из пунктированной
на верхнюю полу-
конус с удаленной
без склеивания в трубку в виде кругового цилиндра.
Ясно, что этот процесс оставляет длины кривых, из-
меряемые по поверхности, неизменяемыми, т. е. по-
верхности, которые могут быть получены одна из дру-
гой изгибанием, являются изометричными. Точное оп-
ределение изгибания состоит в следующем. Говорят,
что п-поверхность 3 в Rn+* получена из другой «-по-
верхности в S с R"+ft изгибанием, если существует
гладкое отображение ф: [a, b] X 5 -> R"+ft, такое, что
(i)	для каждого t е [а, Ь] отображение S -*
-> Rn+ft, определенное как ф<(р) = ф(Лр), является
изометрией,
326 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
(ii)	^а(р) — р для всех peS, т. е. -фа = тож-
дественное отображение на S, и
(iii)	if& является изометрией S на 5.
2-тор в R4 с двумя исключенными окружностями
и конус в R3 с одной исключенной образующей (при-
меры 3 и 4) также получены изгибанием некоторых
областей 2-плоскости.
Замечание 2. Пример 4 иллюстрирует один по-
лезный метод проверки того, является ли некоторое
данное отображение if:	«-поверхностей локаль-
ной изометрией или нет. Пусть для точки р е 5
отображение qy. U -> S является локальной парамет-
ризацией некоторого открытого множества в S, со-
держащего точку р. Если if является локальной изо-
метрией, то <p — if оф будет параметризованной «-по-
верхностью с Image <р сс S, причем координатные
векторные поля Е/ вдоль ф и Е, вдоль ф должны быть
связаны равенствами Et-• Е/= Ег • Е/. Обратно, если
для каждой точки p^S существует такое отображе-
ние ф: U—^S с ре Imageф, то тогда if является ло-
кальной изометрией.
Те объекты и свойства геометрии «-поверхности S,
которые составляют содержание внутренней геомет-
рии S (т. е. могут быть определены на основании
измерений длин на поверхности), совпадают с тем
множеством объектов и свойств, которые сохраняют-
ся, или инвариантны, при изометриях. Мы видели, что
длины кривых являются инвариантом изометрий. От-
сюда следует, что геодезические линии также яв-
ляются инвариантом изометрии, так как параметри-
зованная кривая а является геодезической в том и
только том случае, когда она имеет постоянную ско-
рость и интеграл длины стационарен на а относи-
тельно вариаций с фиксированными концевыми точ-
ками. Объем также является инвариантом изометрий,
так как интеграл объема У (ф) = det(E; • Е;)1/2 пара-
и
метризованной «-поверхности ф зависит только от
скалярного произведения координатных векторных
23. ИЗОМЕТРИИ
327
полей. С другой стороны, сферический образ, глав-
ные кривизны, средняя кривизна, фокальное мно-
жество и свойство поверхности быть минимальной по-
верхностью в R"+1 не являются инвариантами изо-
метрий, так как, например, ни одно из этих понятий
или свойств не сохраняется при изометрии ф(Х1,х2,
0) = (cos хь sin хь х2), отображающей полосу х3 = 0,
—л < Xi < л, на цилиндр х^ + х| = 1 с исключенной
образующей (рис. 23.1). Но мы увидим, что, вопреки
интуиции, кривизна Гаусса — Кронекера К «-поверх-
ности в R"+1 является инвариантом изометрии при
каждом четном п. Таким образом, хотя главные кри-
визны не инвариантны при изометриях, но их произ-
ведение при четном п является инвариантом изомет-
рий. Эта теорема так понравилась Гауссу, доказав-
шему ее при п = 2, что он назвал ее «theorema egre-
gium» («превосходнейшая теорема»). Мы увидим
также, что и параллельный перенос тоже является
инвариантом при изометриях. Ключевой момент в
установлении справедливости этих фактов состоит
в наблюдении, что ковариантное дифференцирование
относится к внутренней геометрии поверхностей.
Напомним понятие ковариантного дифференциро-
вания и расширим его на «-поверхности в R"+*. Для
данной «-поверхности S в Rn+* и данного гладкого
векторного поля X, касательного к S вдоль парамет-
ризованной кривой а: Z -> S, ковариантная произ-
водная поля X вдоль а есть векторное поле X', каса-
тельное к S вдоль а, и полученное ортогональным
проектированием Х(/) на касательное пространство
Sa(f), t е /. Таким образом, X'(/) является касатель-
ной составляющей поля X (/). Для гладкого касатель-
ного векторного поля X на «-поверхности S с Rn+* и
вектора veSp, peS, ковариантная производная
DvX поля X относительно v есть касательная состав-
ляющая производной VvX. Аналогично, для X — глад-
кого касательного векторного поля вдоль параметри-
зованной «-поверхности <p:U ->R"+ft — ковариантная
производная DvX поля X относительно вектора v е R",
328 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
ре U,есть касательная составляющая вектора VvX,
т. е. £>vX является ортогональной проекцией VvX на
касательное пространство Image dqp. Эти операции
ковариантного дифференцирования связаны друг с
другом следующим образом.
Если X-—гладкое касательное векторное поле на
«-поверхности S cz R”+A и а — параметризованная кри-
вая на S или если X — гладкое касательное вектор-
ное поле вдоль параметризованной «-поверхности
ф: U ->₽"+* и а — параметризованная кривая в Д, то
Ой(0Х = (Хоа)' (/)
для всех t из области определения а.
Если X — гладкое векторное поле на «-поверхности
S cz Rn+* и <р: 17— параметризованная «-поверх-
ность в R"+ft, образ которой содержится в S, то
^(V)X = PV(XO(P)
для всех veRj, p<=U.
Для двух гладких касательных векторных полей
X и Y на «-поверхности S cz Rn+* ковариантная произ-
водная поля Y относительно X определяется как ка-
сательное векторное поле Z)XY на S, заданное усло-
вием (DXY) (р) = Dx (p)Y, peS. Аналогично, для двух
гладких касательных векторных полей X и Y вдоль
параметризованной «-поверхности ф:£7—>Rrz+l кова-
риантная производная DXY есть касательное вектор-
ное поле вдоль ф, определенное как (Z)XY) (р) =
= £>	, Y, ре{7.
dq>-4X(p))
Ковариантная производная гладкого касательного
векторного поля относительно другого гладкого каса-
тельного векторного поля также является гладким
касательным векторным полем. Кроме того, кова-
риантное дифференцирование обладает следующими
известными свойствами:
(i)	O(x+Y)Z = OxZ + fiYZ,
(ii)	DfxY = /£>xY,
23. ИЗОМЕТРИИ
329
(iii)	Z)x (Y + Z) = Z\Y + DXZ,
(iv) Dx(fY)==(Vxf)V + fDx\,
(v) Vx (Y • Z) = (£>XY) • Z + Y • (£>XZ),
для всех гладких касательных векторных полей X,
Y и Z на S (или вдоль ф) и всех гладких функций
f на S (или вдоль <р). В (у) производная Vx/i гладкой
функции /i = Y-Z на S определяется как гладкая
функция на S, заданная равенством (?х7г)(р)=?Х(р)Л
(или как функция вдоль ф, заданная равенствем
(Vx/i)(p) = V _]	h\. Проверка этих свойств ко-
ц>р (X р j
вариантного дифференцирования оставляется чита-
телю в качестве упражнения.
Теорема 1. Пусть ф: U ->R"+ —параметризованная
п-поверхность, и пусть Ег-, i е {1,	п}, —коорди-
натные векторные поля вдоль ф. Тогда для p^U и
г, j, k g= {1, ..., п},
(Ов,в,)в,_1(Д*4 +
dS!k	dSij\
дх1	dxk ) ’
где функции g(/:[7-»R определены как §ц = Е{ • Е/.
Доказательство. Сначала заметим, что £>вгЕ/ =
— для всех г и /. Действительно, для каждой
точки p^U
и
Е/ (р)=(ф (р); -Д-(р))
(?Е.Е;)(р) = (ф(р); ^^(Р))-
В силу равенства вторых смешанных производных
имеем, что (Ve.E/) (р) = (VE/Ef)(р). Проектируя орто-
гонально на Image л?фр, получаем, что De^E/ —DE^E[t
330 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
С учетом этого вычислим частные производные
ОТ gik.
= vE/ (Ez • Еа) = (DE/Ez)  Eft + Е» • (РЕ/ЕД
= VE. (Е/ • Е*) = (DE .Е/) • Еа + Е/ • (РЕ(.Еа),
^7=(^Л)-е/ + е-(^Л) =
= (DE.Eft)-Ey+Ei-(DE/Eft).
Таким образом,
= Р^Е0 • Е* + (ЛЛ) • Е* =
= 2 (РЕ/Е/) • Еа.	□
Следствие 1. Ковариантное дифференцирование
определяется внутренней геометрией поверхности.
Доказательство. Это утверждение достаточно про-
верить для параметризованной «-поверхности <р: U ->
—» Rn+fe. Имея данное вдоль <р гладкое векторное поле
X, мы можем выразить X как линейную комбинацию
координатных векторных полей Ег поверхности <р:
х = £лео
1 = 1
где ft-:(/->R для /е{1.«}.	Тогда для vsR", p^U,
D,K = o(tffi^ =
= S((Vvf,)E,(p) + f,(rtOvE,) =
где v = (p; vi, ..., vn). Так как все величины в этом
последнем выражении могут быть вычислены, исходя
23. ИЗОМЕТРИИ
331
из внутренней информации о поверхности ф (произ-
водные ОЕ/ (р,Е/ могут быть определены через мно-
жество скалярных произведений{(^Е;. (р>Е/) • Efr (р)}, ко-
торые в свою очередь вычисляются с помощью фор-
мулы из теоремы 1), то £\Х действительно опреде-
лятся внутренней геометрией поверхности.1)
Следствие 2. Параллельный перенос принадлежит
внутренней геометрии поверхности.
Доказательство получается непосредственным при-
менением следствия 1, так как поле X параллельно
вдоль а в том и только том случае, когда X' — 0.
Теорема 2. Кривизна Гаусса — Кронекера ориен-
тированной «-поверхности S в R"+1 определяется —
при четном п только внутренней геометрией поверх-
ности.
Доказательство. Очевидно, достаточно установить
справедливость теоремы для параметризованной «-по-
верхности ф: U—^S. Пусть Е/ обозначают координат-
ные векторные поля вдоль ф, и пусть Z — любое глад-
кое касательное векторное поле вдоль ф, тогда мы
имеем
(Vb,V6,Z) (р) = (фО);	И) -= (VE/V.,Z) (р),
так что
Ve.Ve,ZVe.Ve.Z = 0
1 J	1	1
для всех i и /. Вычислим касательную составляющую
левой части этого уравнения; теорема получится, как
') По-видимому, это утверждение стоит разъяснить более под-
робно. Пусть ф — изометрия параметризованной «-поверхности
ф на некоторую «-поверхность. Тогда для параметризованной
«-поверхности ф=фо-ф; С7-> Kn+fe скалярные произведения коорди-
натных векторов Ег • Еу совпадают с Е; • Еу. Пусть X — векторное
поле вдоль ф, полученное из векторного поля X вдоль ф при
отображении ф, т. е. X (р) = </фр (X (р)); тогда утверждается,
что (£>VX) (р) =	((£>VX (р)), т. е. операция ковариантного
дифференцирования „выдерживает" изометрию ф. — Прим, перед.
332 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
следствие того, что эта касательная составляющая
должна равняться нулю. Так как
VEiVE/Z = VE; (DE/Z + ((VE/Z) • N) N) =
= DE/DE/Z+((VE/Z) • VE.N+(HeKOTopbifl коллинеарный
c N вектор)
= DE .DEjZ - (Z • VE/N) VezN + (некоторый коллинеар-
ный c N вектор),
то в каждой точке р е U имеем
(VE.VE/Z)(p) =
= (Z)E^E/Z)(p) - (Lp (E/(p))-Z (p))Lp(Ez (p)) +
+ (некоторый коллинеарный c N вектор).
Поменяв местами i и /, вычитая одно уравнение из
другого и используя равенство нулю касательной со-
ставляющей результирующего вектора, получим
(DE.DEjZ - DE)DEiZ-) (р) = (Lp (Е/ (р)) • Z (р)) Lp (ЕДр)) -
-(Lp(Ei(p))-Z(p))Lp(E/(p)).
Так как левая часть этого последнего уравнения имеет
внутренний смысл, такой же должна быть и правая
часть при всех i и j. С учетом линейности Lp мы ви-
дим, что для любых данных трех векторов х,у, ze Sp,
p^S, вектор /?(х,у, z)eSp, определенный равен-
ством
R (х, у, z) = [Lp (у) • z] Lp (х) — [Lp (х) • z] Lp (у),
является внутренним. Это отображение R, которое
каждой тройке векторов (х, у, z) из Sp, р е S, со-
поставляет вектор /?(х, у, z)eSp, называется тензо-
ром Римана поверхности S. Следовательно, тензор
Римана принадлежит внутренней геометрии поверх-
ности S.
Пусть теперь п — 2, и пусть {еь е2}—некоторый
ортонормальный базис в Sp, ре S, тогда гауссова
кривизна К в точке р равна
/С (р)== det Lp = [Lp (в]) • ej [Lp (eg) • e2]
— [Lp (e2) • ej [Lp (ej • e2] = R (e2, eb ej e2,
23. ИЗОМЕТРИИ
333
так что К определяется внутренней геометрией по-
верхности, что и утверждалось. Если же п > 2, но
четное, и {ei, ..., еге}—некоторый ортонормальный
базис в Sp, то разложение определителя
К (р) = det Lp = det [Лр (е;) • е,]
через его (2X2)-миноры дает, что
((	1) 1 /2 1 п\) е (о) е (т) [7? (е0{1), е<т(2)’ er(ij) ‘ ет(2)]
• • • ^[(е0(п-1)> е0(п)> ет(я-1))  ег(я)]’
где суммирование ведется по всем подстановкам о и
т для {1,	п}, а е(ст) обозначает знак подстановки
о. Значит, при четном п кривизна К действительно
является объектом внутренней геометрии.
УПРАЖНЕНИЯ
23.1. Покажите, что если отображение ф: S -> S является
изометрией, то ф-1: S->S тоже является изометрией.
23.2. Какие из следующих отображений являются локаль-
ными изометриями?
(а) Отображение ф, определенное как ф(р)=2р и отобра-
жающее я-сферу х2 + ... + х2 + 1 = 1 на n-сферу х2 + ...
. .. + *n+i =4-
(в) Отображение ф, определенное как ф (р) = — р и отобра-
жающее n-сферу х2 + ... + х2 + 1 = 1 на себя.
(с) Отображение, определенное как
ф (cos 0, sin 0, и) = ((а + Ь cos ц) cos 0, (а + b cos u) sin 0, b sin и)
и отображающее цилиндр х2 + х^ = 1 в R3 на тор ((х2 + х|)'/2 —
_ а)2 + х2 = 62 в R3 (а > 6 > 0).
(d) Отображение ф, определенное как
ф (cos 0, sin 0, и) = (cos 0, sin 0, cos и, sin и)
и отображающее цилиндр х2 + х2 = 1 на тор
( х2 + х2 = 1,
(_ х| + X2 = 1
в R4.
334 начальные главы дифференциальной геометрии
23.3.	Покажите, что цилиндры х[ + х| = 4 и х, + х\ — 1 в R3
неизометричны, но отображение ф, определенное как ф (2 cos О,
2 sin 0, t) = (cos 20, sin 20, t), является локальной изометрией из
первого цилиндра на второй.
23.4.	Покажите, что если множество I/ — {(xi, х2) eR2: х2>0),
то ограничение ф |у отображения ф в примере 4 на множество
V является изометрией верхней полуплоскости на конус Зх| +
+ Зх| — х3 = 0, х3 > 0, в R3 с удаленной образующей.
23.5.	Нарисуйте эскизы образов параметризованных 2-по-
верхностей ф и Ф в R3, определенных отображениями ф(0,Ф) =
= (sh 0 cos Ф, sh 0 sin Ф, ф) (геликоид) и ф(0, Ф) = (ch 0 cos Ф,
ch 0 sin Ф, 0) (катеноид). Покажите, что отображение, сопостав-
ляющее точке ф (Ф, 0) точку Ф (Ф, 0), является локальной изо-
метрией с одной поверхности на другую.
23.6.	(а) Покажите, что для любой данной связной плоской
кривой С существует локальная изометрия ф: I -* С на некоторый
открытый интервал.
(Ь) Покажите, что две компактные связные плоские кривые
изометричны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую
длину.
п
23.7.	Пусть Х = fiEf — касательное векторное поле вдоль
>=1
параметризованной «-поверхности <р: U -* R'1+f', и пусть a: 1-+U.
Покажите, что
п г	п
(Х°а)'=Х 4(^°а)+ 2 (ГЦ’а)(^°а)^-
fe=l *-	i, /«I

где a(0 = (x1(/), ..., х„ (/)), а функции г|;.; U -> R определены
п
нз условия £>Е Е; =	Г^Е^. (Г*, называются символами Кри-
'	й-1
стоффеля поверхности гр.)
23.8.	Покажите, что если h: S -> R — гладкая функция на
«-поверхности S с R"+1, то векторное поле grad ft и гессиан 3&р
в критической точке р функции ft являются объектом внутренней
геометрии поверхности S.
23.9.	Покажите, что кривизна Гаусса — Кронекера ориенти-
рованной 1-поверхности в Р2 не является внутренней.
23.10.	Пусть S — ориентированная «-поверхность в R"+1, и
пусть X и Y—гладкие касательные векторные поля на S. Обо-
значим через [X, V] скобку Ли для полей X и Y (см. упражне-
ние 9.12), определенную как
[х, yj = vxy-v¥x
23. ИЗОМЕТРИИ
335
Покажите, что [X, Y] может быть выражена также формулой
[X, Y] = £>XY — £>уХ,
так что скобка Ли входит в число объектов внутренней геомет-
рии поверхности S.
23.11.	Покажите, что тензор Римана ориентированной п-по-
верхности S cz ₽"+* обладает следующими свойствами:
(а) 7? (х,	у,	z) • w = 7? (z, w, х) • у,
(в) 7? (х,	у,	z) • w — — R (у, х, z) • w = — R	(х, у, w) • z,
(с) R (х,	у,	z) + R (у, z, х) + R (z,	х,	у)	= О
для всех х, у, z, w е Sp, peS.
23.12.	Пусть S — ориентированная «-поверхность в Rn+1, и
пусть х, у, z е Sp, peS. Покажите, что значение тензора Ри-
мана R поверхности S в точке р на векторах х, у и z дается
следующей внутренней формулой:
R (х. У> z) = DxDyZ DyD^Z £>[x,y]Z,
где X, Y и Z — любые гладкие касательные векторные поля на S,
такие, что Х(р)= х, Y(p) = у и Z(p)= z, а [X, Y] есть скобка
Ли полей X и Y (упражнение 23.10). [Указание: выбрать неко-
торую локальную параметризацию ср поверхности S с условием
р е U = Image ср, выразить ограничения на U полей X, Y и Z
как линейные комбинации (с гладкими коэффициентами) коор-
динатных векторных полей Е; поверхности ср и провести соответ-
ствующие вычисления.]
23.13.	Пусть S — ориентированная «-поверхность в R'‘+*
(« > 1), пусть точка peS, и пусть Р— некоторое двумерное
подпространство касательного пространства Sp.
(а)	Покажите, что действительное число о(Р), определенное
как
о (Р) = R (еь е2, е2) • et,
где {ei, е2}—некоторый ортонормальный базис в Р, не зависит
от выбора этого базиса. [Указание: с использованием упражне-
ния 23.11 показать, что если {е,, е2) — другой базис в Р, то R (ei,
е2, е2) • ei = (det«f/)27?(ei, е2, e2)-ei, где (а;/) обозначает мат-
рицу перехода.]
(Ь)	Покажите, что если « = 2, то o(Sp) равняется гауссо-
вой кривизне поверхности S в точке р.
Это число о(Р) называется римановой или секционной кри-
визной поверхности S по двумерному направлению Р.
24. РИМАНОВЫ МЕТРИКИ
Объекты внутренней геометрии «-поверхности S
зависят только от скалярных произведений касатель-
ных к S векторов и от производных вдоль парамет-
ризованных кривых на S от функций, получаемых
как скалярные произведения векторных полей, каса-
тельных к S вдоль этих линий. Другими словами,
если в каждом касательном пространстве Sp, р е S,
дано скалярное произведение, то внутренняя геомет-
рия поверхности S может быть изучена и без знания
вида расположения S в R"+]. Если нам сказано, ка-
кое скалярное произведение введено в каждом каса-
тельном пространстве Sp, то мы можем найти, напри-
мер, длины кривых на S, объем S, геодезические на
S, параллельный перенос вдоль кривых на S и кри-
визну Гаусса — Кронекера (при четном п)—и все это
без всякого знания о том, каким образом поверхность
S расположена в R"+1. Более того, если введенные
в касательных пространствах Sp скалярные произве-
дения отличаются от тех, что определены на основа-
нии стандартного скалярного произведения в R"+l, то
мы все равно в состоянии провести все эти внутрен-
ние вычисления, но результаты наших вычислений бу-
дут зависеть, конечно, от использованных скалярных
произведений, и геометрия, которую мы построим, в
общем случае будет совершенно отличной от уже из-
вестной нам геометрии. Геометрия, полученная на
основе введенных таким образом скалярных произве-
дений, называется римановой геометрией-, совокуп-
ность скалярных произведений в касательных про-
странствах Sp, на основании которых эта геометрия
построена, называется римановой метрикой.
24. РИМАНОВЫ МЕТРИКИ
337
Риманова метрика на «-поверхности S есть функ-
ция g, которая каждой паре {v, w} векторов из Sp,
р £Е S, сопоставляет некоторое действительное число
g(v, w) так, что при этом для любых векторов v, w, х
из Sp, р е S и любого числа X е R выполняются сле-
дующие условия:
(i)	g(v, w) = g(w, v),
(ii)	g(v + w, x) = g(v, x) + g(w, x), g(y, w-J-x) =
= g(v, w) + g(v, x),
(iii)	g(Xv, w) — ^g(v, w), g(y, fcw) = kg(y, w),
(iv)	g(v, v)i>0, g(y, v) = 0 тогда и только тогда,
когда v = 0;
кроме того, для каждой пары {X, Y} гладких каса-
тельных векторных полей, определенных на открытом
множестве U cz S, функция g(X, Y):	опреде-
ленная как [g(X, Y)] (р) = g(X(p), Y(p))> является
гладкой.
Свойства (i) — (iv) являются известными свой-
ствами скалярного произведения, и, действительно,
имея таким образом заданную функцию g, мы в каж-
дом Sp можем определить скалярное произведение,
положив v-w = g(y,w). Свойство гладкости обеспе-
чивает нам возможность использования при изучении
геометрии «поверхности» (S, g) методов дифферен-
циального исчисления *)•
Пример 1. Пусть S — некоторая п-поверхносгь
в R"+*. Для точки р E.S и векторов v, w еSp' опре-
делим функцию g(v, w) как g(v, w) = v-w (исполь-
зуется обычное скалярное произведение векторов
в Rp+fe). Тогда g является римановой метрикой на 3,
которая называется обычной метрикой на S.
*) Пользуясь грамматическими особенностями английского
языка, автор всюду ниже свободно употребляет обозначение
(S, g), не давая ему никакого терминологического названия. Са-
мым правильным было бы назвать этот объект (S, g) римано-
вым многообразием, но не желая вводить отсутствующий у ав-
тора новый термин, мы по-прежнему будем называть (S, g) по-
верхностью, беря, однако, это слово в кавычки, так как оно здесь
выражает иной смысл, нежели употребляемые до сих пор слова
««-поверхность» или «параметризованная «-поверхность», —-
Прим, перев.
338 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Пример 2. Пусть ф: S" — {<?}—* R” обозначает сте-
реографическую проекцию с Северного полюса {<?}
единичной n-сферы S'1 cz Rn+1 на экваториальную ги-
перплоскость Rnc:R'I+1. Определим на S'1— {q} ри-
манову метрику, положив
g (v, w) =	(v) • с/ф (w) (v, w g S’, p e S"- {7}^
где скалярное произведение в правой части является
обычным скалярным произведением в R$(P). Таким
образом, эта метрика g определена в точности так,
что ф является изометрией (<7ф сохраняет скалярные
Рис. 24.1. Типичная геодезическая на 2-сфере S2 (с выколотым
Северным полюсом) с стереографической метрикой.
произведения) из S" — {q} с метрикой g на R" с его
обычной метрикой. Из того что ф является изомет-
рией, и поэтому сохраняет все внутреннегеометриче-
ские объекты поверхности, мы можем получить сле-
дующие факты о геометрии на (S'1 — {q},g).
(i)	Геодезические на (S'1 — {q},g) будут обра-
зами при изометрии <р = ф-1 геодезических простран-
ства R" (см. рис. 24.1). Поэтому семейство макси-
мальных геодезических на (S'1—{q},g) будет семей-
ством (подходящим образом параметризованных) ок-
ружностей на S'1, проходящих через q, но с удаленной
точкой q.
(ii)	Длина каждой параметризованной кривой
а: (а, 6)->S" — {q} с lim а (О = q будет бесконечной,
так как /(ф°а) — оо для всех таких а.
24. РИМАНОВЫ МЕТРИКИ
339
(iii)	При четных п кривизна Гаусса — Кронекера
„поверхности" (S" — {7}, g) тождественно равна нулю.
Пример 3. Пусть <р: R"—>S" обозначает отобра-
жение, обратное к стереографической проекции с
Северного полюса единичной n-сферы S” на эквато-
риальную гиперплоскость. Определим на R" риманову
метрику g, положив
g(y, w) — dtp (v) • dtp (w) (v, w e R",
где скалярное произведение в правой части является
обычным скалярным произведением в Sj(p)cRj+J,
Рис. 24.2. Типичная геодезическая на плоскости R2 с стерео-
графической метрикой.
Таким образом, ср является изометрией из (Rn, g) на
S"— {7} с ее обычной метрикой. Из того что <р явля-
ется изометрией, мы можем вывести следующие
факты.
(i) Геодезические «поверхности» (Rn, g) будут об-
разами при изометрии ф = <р-1 геодезических сферы
S” (см. рис. 24.2). Максимальные геодезические, ис-
ходящие из начала координат, будут прямыми ли-
ниями в R" с подходящей параметризацией; каждая
из этих геодезических будет иметь конечную длину,
равную 2л, относительно метрики g. Все другие мак-
симальные геодезические будут подходящим образом
параметризованными окружностями в R” (см. рис. 24.3
и упражнение 24.1); каждая из этих геодезических
при параметризации их с единичной скоростью будет
периодической с периодом 2л.
340 начальные главы Дифференциальной геометрии
(ii) При четных п кривизна Гаусса — Кронекера
К «поверхности» (R", g) будет постоянной, равной 1.
Наиболее интересные римановы метрики не всегда
связаны изометрией с какими-либо «обычными метри-
ками». Мы рассмотрим теперь одну из важнейших
таких метрик — гиперболическую метрику в единич-
ном круге в R2. Определение этой метрики подска-
зано стереографическими метриками в R".
Пусть S — «-сфера х? + ... + х„+1 = г2 в Rn+1 ра-
диуса г>0. Точно так же, как это мы сделали в случае
единичной «-сферы S", мы можем использовать обыч-
ную метрику «-сферы S" для определения на R" с
помощью стереографической проекции некоторой рима-
новой метрики. Выведем для этой метрики точное ее
представление. Рассмотрим точку р е R"; тогда пря-
мая, проходящая через точку (р, 0) и Северный по-
люс q = (0, ..., 0, г) сферы S, имеет уравнение а (/) =
24. РИМАНОВЫ МЕТРИКИ
341
— itp, (1 — Or). Эта прямая пересекает S при || а (/) ||2 =
= г2, т. е. когда I = 2г2/(|| р ||2 + г2), так что отобра-
жение ф: IR2->S, обратное к стереографической проек-
ции на гиперплоскость х„+| = 0, дается формулой
Ф (Р) = (2г2р, г (|| р ||2 — г2))/( || р ||2 + г2).
Для вектора v — (р; v) е Rp, ре R",
dtp (v) = (q> (р); ~|о ф (р + /о)) =
= (2г2/( || р ||2+г2)2) (ф (р); (|| р ||?+г2) а—2 (р • о) р, 2г (р • о)),
и поэтому для векторов v, weR” получаем, что
с/ф (v) • c^p(w) =	v • w.
Значит, риманова метрика g на Rra, полученная из
обычной метрики на сфере 5 радиуса г перенесением
ее с помощью стереографической проекции на эква-
ториальную гиперплоскость, имеет вид
g (v’ w) = (i'+~(n7[|^)7 v ’w (v, w е Rp, р е Rra),
где скалярное произведение в правой части является
обычным скалярным произведением на Rp. При п — 2
эта формула может быть переписана в виде
g(v, w)='(r+^|l7lFF v ' w (v • w e Rp, p e R2),
где K=l/r2— гауссова кривизна «поверхности»
(R2, g) (так как гауссова кривизна сферы равна 1/г2,
а отображение ф является изометрией).
Только что проведенные рассмотрения показы-
вают, что задание римановой метрики g на R2, имею-
щей постоянную гауссову кривизну > О, может
быть осуществлено выбором функции g в виде
ё{у’ = (Т+ 7||р||2)2 v ' w (v, w е Rp, р е R2).
342 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Если мы в этой формуле возьмем К = 0, то получим
обычную метрику плоскости R2, умноженную на не-
которую постоянную, и легко убедимся, что (R2, g)
с такой функцией g имеет нулевую гауссову кривизну.
Можно надеяться, что если мы в этой формуле возь-
мем в качестве некоторое постоянное отрицатель-
ное число, то полученная «поверхность» (R2, g) будет
иметь постоянную отрицательную кривизну К. Ока-
зывается, что это действительно так, за исключением
того, что эта формула определяет тогда риманову
метрику не на всей плоскости R2, но только в круге
{(хр х2) f= R2: х2 + х2 < 1/| к I}.
Теорема 1. Пусть даны число KgR, К < 0, мно-
жество U — {(xi, х2) R2: Xi + Х2 < 1/| К |}, и пусть на
U задана риманова метрика g, определенная функцией
S(v, w) = (~—^||р|[2)2 v • w (v, w f= R₽, p e= t/),
где скалярное произведение в правой части является
обычным скалярным. произведением в R2. Тогда
(U,g) имеет постоянную гауссову кривизну К < 0.
Доказательство. Пусть функция h: U -»R опре-
делена как /г(р) = j(l + ZC||p||2), так что g(v, w) =
— (l/(/i(р))2) v • w для всех v, w е Rp, p^U. Исполь-
зуя формулы внутренней геометрии из гл. 23, мы
выведем сейчас формулу для гауссовой кривизны «по-
верхности» (U, g) в терминах функции h и ее произ-
водных.
Сначала заметим, что тождественное отображение
U на себя является глобальной параметризацией U
с координатными векторными полями Е| (р) = (р; 1, 0)
и Е2(р) = (р; 0, I), p^U. Коэффициенты gif. tZ-»R
метрики g равны
gn = g(E|, Е() = l/h2,	g12 = g(Eb Е2) = 0,
g2I = g (E2, E.) = 0,	g22 = g (E2, E2) = l/h2,
24. РИМАНОВЫ МЕТРИКИ
343
и отсюда, используя формулу из теоремы 1 гл. 23, на-
г((ОвЕ,), Е,) = -а-^- g((DE1E,), E2) = i^-.
I «АА). Е,) = -	g ((ОЕ Е г), Е2) = - А
г((О.Е,). Е,)=-^^ g((DEE,), Е,)»-^*,
г((о.Д). =	s((W. е2) = -^^.
Так как базис {Е1; Е2} ортогональный (но не орто-
нормальный!) по отношению к метрике g(r. е. g12 =
— g(E1; Е2) = 0), то каждое векторное поле X на U
может быть выражено в виде X = fjEt + f2E2, где
/1 = (1/gu)£(Х, Е,) и /2==(l/fe)fi(X, Е2). В частности,
OF------------ F 4- — Е
Б. 1— h dxi 1 h дх2 2>
ОЕ Е, = De Е. = - 4 -jr~ Е. - -j- ~ Е,
Е1 2 Е2 1 h дх2 ! h dxi 2’
n Р 1 dh р	1 dh р
— h dxt С1	h дх2 С2-
Следовательно, гауссова кривизна «поверхности»
(J7, g), согласно формуле для гауссовой кривизны,
найденной в гл. 23 с использованием только внутрен-
них величин, будет иметь следующее представление:
g(/?(E2/||E2||, Ej/UEJJ, Ej/HEJI), Е2/|]Е2||) =
= (1/|| Ej ||2|| Е21|2) g (7? (Е2, Eb EJ, E2) =
= (1/giife) g (DeDeE1 — de deev e2) =
= S (M- 4	E, + 4	E2) -
__ n (_____L p___________L	F ) F ) 
^e, V h dx2 । h dxi V’ V
= h (&1L 4-	f f dh Y | / dh \2\
dxf dxi J dx1 J dx2 ) J
344 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Наконец, учитывая, что/г(хр х2) = у (1 + К (х2{ + x|));
мы найдем, что гауссова кривизна „поверхности11
(U, g) в точности равна Д'.	□
При К = — 1 теорема 1 дает риманову метрику
g с постоянной гауссовой кривизной — 1, заданную
на единичном круге х2 + х2< 1 в R2 функцией g(v, w)=
= 4 (v • w)/( 1 —1| p II2)2. Эта метрика называется гипер-
болической метрикой. Для того чтобы лучше понять
геометрию, порожденную этой метрикой, удобно, а
может, абсолютно необходимо, использовать некото-
рые идеи и понятия элементарной теории функций
комплексного переменного. Но вместо того, чтобы
пойти здесь по этому пути (см., однако, упражне-
ния 24.5 и 24.6), мы изучим некоторую другую со-
ответствующую метрику, но заданную уже не в круге,
а на верхней полуплоскости.
Пусть точка р = (х, у) е R2, и пусть у > 0; для
векторов v, w е R2 определяем скалярное произведе-
ние g как g(v, w) = v-w/y2, где скалярное произ-
ведение в правой части является обычным скалярным
произведением на R2. Тогда g определяет на верх-
ней полуплоскости 0 — {(х, у) е R2: у > 0} некоторую
риманову метрику. Эта метрика называется метрикой
Пуанкаре на U. Заметим, что (U, g) имеет постоян-
ную гауссову кривизну— 1, так как, полагая /г(х1; х2)=
= х2, мы получаем, что g(y, w)=(l//z(p)2) v-w, v, we
e R2, p e U, и поэтому, точно так же как при дока-
зательстве теоремы 1, гауссова кривизна определя-
ется формулой
к ==hI тт +	।_ 11 т~ I +(д— I 1 = —h
dxt dx~, ) dx,. ) дх2 ) )
Каждое из следующих отображений ф: U-> U яв-
ляется изометрией верхней полуплоскости U с мет-
рикой Пуанкаре на себя:
(1)ф(х, 1<)=(х + Х, у), где А — произвольное дей-
ствительное число,
24. РИМАНОВЫ МЕТРИКИ
345
(ii)ip(x, р) = (Лх, Ку), где К — произвольное поло-
жительное число,
(iii)ip(x, у) = (—х, у) и
(iv)ip(x, у) = (х/(х2 + у2), у/(х2 + у2).
Действительно, пусть v, w s.Rj, ре U. Для отоб-
ражения ip, определенного как в (i) или (iii), имеем
g (dip (v), dip (w))=dip (v) • dty (w)/y2=v • w/z/2 — g (v, w),
а для ip, определенного как в (ii), имеем
g (сГ-ф (v), dty (w)) = dty (v) • dty (w)/(A,z/)2 =
= Kv • Kw/K2y2 = v  vv/у2 = g (v, w),
т. e. всякий раз имеем то, что и требуется для изо-
метрии. Для ф, определенного как в (iv), обозначив
Е1 (х, р) = (х, у, 1, 0) и Е2(х, у)~(х, У’, 0, 1), полу-
чаем
t/ф (Е j (х, у)) = (ф (х, у)\ £г±£у ,	•
dip (Е2 (х, у)) = (ф (х, у);	, -^2~^у) .
так что
g (dip (Ez (х, у)), dip (Ег (х, у))) -= (x-2-j у2у/(j-^2-) = -
= y- = g(M*, У), УУ
для i = 1 или 2, и
g (dip (Ei (х, у)), dip (Ег (х, у))) = 0 == g (Ej (х, у), Е2 (х, у)).
значит, dip сохраняет скалярные произведения базис-
ных векторов, а следовательно, и всех касательных
векторов, что и требуется для изометрии.
Одно из следствий того факта, что отображения
(i) и (ii) являются изометриями, состоит в том, что
точно так же, как геометрия сферы Sn «видится» с
любой точки S" такой же, как с ее северного полюса,
так и геометрия верхней полуплоскости U с метрикой
Пуанкаре выглядит из любой точки U в таком же
риде, кад и из точки (0, 1)е U. Это так, потому что
346 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
для любой данной точки р s U существует изомет-
рия U на себя вида хр2 ° фь где ф1— некоторая изо-
метрия вида (i), а ф2— изометрия вида (ii), которая
переводит точку (0, 1) в точку р <= U (см. рис. 24.4).
В частности, все точки U должны быть на одном и
том же расстоянии (во внутреннем смысле) от края
полуплоскости U (оси Xi). Этот, возможно, удиви-
тельный феномен объясняется тем, что в геометрии
Рис. 24.4. Для каждой точки р на верхней полуплоскости U
с метрикой Пуанкаре имеется изометрия из U, которая пере-
водит точку (0, 1) в р.
метрики g все эти расстояния равны бесконечности.
Так, например, если мы будем вычислять длину в мет-
рике Пуанкаре кривой а: [0, 1)->£/, определенной
как a (t) = (0, 1 — t), то мы найдем, что
1 1 1
Z(a) = jj || а (01|dZ = J (g (а (/), а (0))‘/г dt = jj = ос.
0	0	о
Сейчас, используя тот факт, что все указанные
выше отображения (i) — (iv) являются изометриями,
мы установим вид геодезических линий на U относи-
тельно метрики Пуанкаре.
Теорема. Пусть U — некоторое открытое множество
в R2, g — некоторая риманова метрика на U, и пусть
ф: U -> D — изометрия (JJ,g) на себя. Предположим
что множество неподвижных точек F = {p^U:
ф (р) = р} отображения ф является связной плоской
24. РИМАНОВЫ МЕТРИКИ
347
кривой. Тогда F является (образом) геодезической
кривой «поверхности» (U,g).
Доказательство. Пусть а: I -> F — глобальная па-
раметризация кривой F, имеющая единичную ско-
рость (т. е. g(a,&) = 1) и построенная как в гл. 11.
Мы покажем, что а является геодезической, что и
даст нам справедливость теоремы.
Очевидно, достаточно доказать, что для каждого
/0 е I ограничение а на некоторую окрестность /0
является геодезической линией. Итак, пусть t0^.I,
пусть v = a(/0), и пусть av обозначает максимальную
геодезическую в (U, g) с начальной скоростью V. Мы
покажем, что a(/) = av(7 — tQ) для всех тех/е/, для
которых t —10 принадлежит области определения av.
Сначала заметим, что Image av cz F. Это следует
из того, что -ф»av является геодезической (так как ф
есть изометрия) с начальным вектором скорости v
(так как ф \F является тождественным отображением,
а значит, тоже является тождественным ото-
бражением, так что ф 6 а (О)=с?ф (a (0))=j </ф (v) = v), а
поэтому и ф°ау и av являются геодезическими с
одним и тем же начальным вектором скорости. В
силу единственности геодезических ф°ау = ау, так
что Image ay cz F.
Теперь имеем, что а и ау, будучи кривыми в F
с единичной скоростью и с начальными условиями
a(/o) = av(O), являются интегральными кривыми од-
ного и того же единичного касательного векторного
поля на F. В силу единственности интегральных
кривых a(/) = ay(7— Q для всех t из интервала
{/е/: t — t0 g= области определения аД
содержащего точку t0. Отсюда следует, что ограниче-
ние а на этот интервал является геодезической ли-
нией, и так как точка i0 е / была произвольной, то
и вся кривая а является геодезической.
348 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Замечание. В этом доказательстве мы в неявной
форме использовали допущение о справедливости
теоремы существования и единственности геодезиче-
ских для поверхностей с произвольными римановыми
метриками. Хотя наше доказательство этой теоремы
в гл. 7 справедливо только для обычных метрик на
«-поверхностях, оно может быть модифицировано и
Рис. 24.5. Типичные геодезические в верхней полуплоскости
с метрикой Пуанкаре.
для работы с любыми римановыми метриками. Важ-
нейшее замечание здесь заключается в том, что урав-
нение геодезической а' = 0 во внутреннем смысле
снова является обыкновенным дифференциальным
уравнением второго порядка.
Следствие. Геодезические в верхней полупло-
скости U с метрикой Пуанкаре являются: (i) верти-
кальными лучами или (ii) полуокружностями с цент-
ром на оси Xi, с соответствующей параметризацией
{см. рис. 24.5).
Доказательство. Применяя теорему к изометрии
Ф(Х1,Х2) = (—Xi,X2), мы видим, что луч х< = О,
Х2 > 0, подходящим образом параметризованный, яв-
ляется геодезической линией. Аналогично, из изомет-
рии ф(хр -^г) = (xi/(xi + х2)> Аз/С*-? + •*%)) мы усмат-
риваем, что полуокружность х^ + xl = I, х2 > 0, под-
ходящим образом параметризованная, тоже является
Й4. РИМАНОВЫ МЕТРИКИ
349
геодезической. Так как каждый вертикальный луч
в U является образом луча х\ = 0, х2 > 0, при изо-
метрии ip (xi, х2) = (xi 4- х2), то из этого следует,
что каждый вертикальный луч в U является геодези-
ческой линией. Аналогично, так как каждая полуок-
ружность в U с центром в начале координат является
образом полуокружности xf + х| = 1, х2 > 0, при изо-
метрии 4>(xi,	—	Хх2), X > 0, то эти полуокруж-
ности являются геодезическими. Наконец, полуокруж-
ность в U с центрома на оси xi является образом не-
которой полуокружности в U с центром в начале ко-
ординат— при изометрии ip(xi, х2) = (х1 4-X, х2), так
Рис. 24.6. В верхней полуплоскости метрикой Пуанкаре аксиома
Евклида о параллельных оказывается неверной.
что эти полуокружности тоже являются геодезиче-
скими.
Отметим теперь, что каждая геодезическая в U
с. метрикой Пуанкаре должна принадлежать одной из
линий указанного семейства, так как для каждой
данной точки р из U и любого данного касательного
направления v в р существует геодезическая из ука-
занного семейства, проходящая через р в направле-
нии v.	□
Замечание 1. Верхняя полуплоскость с метрикой
Пуанкаре является геодезически полной, т. е. каждая
максимальная геодезическая в U имеет в качестве
области своего определения всю числовую ось. См.
упражнение 24.4.
350 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Замечание 2. Верхняя полуплоскость с метрикой
Пуанкаре g дает нам пример геометрии, в которой
постулат Евклида о параллельных оказывается не-
верным. Постулат о параллельных утверждает, что
для любой данной прямой / и любой точки р вне I
существует единственная прямая, проходящая черезр
и не пересекающаяся с I. Если мы определим прямые
в ([/, g) как образы максимальных геодезических, то
в (U, g) окажутся выполненными все аксиомы гео-
метрии Евклида, кроме постулата о параллельных,
так как для любой данной прямой / в (U, g) и любой
точки р вне I существует бесчисленное множество
прямых в (£/, g), которые проходят через р и не пе-
ресекаются с I (см. рис. 24.6).
УПРАЖНЕНИЯ
24.1.	Пусть ф: S2— {</}-> R обозначает стереографическую
проекцию с Северного полюса q единичной 2-сферы на эквато-
риальную плоскость.
(а)	Покажите, что ф (х, у, г) = (х/(1 — z), у/(1 — z)) для
всех (х, у, г) eS2 — {q}.
(b)	Пусть ei = (1, 0, 0), е2 = (0, cos Ф, sin ф), где—л/2 <
< Ф < л/2, пусть a: R S2 — геодезическая на S2, данная
уравнением а (/) = (cos t) ei + (sin /) e2. Покажите, что образ
параметризованной кривой ф°а: R -> R2 есть окружность
х2 + (х2 ~	0)2 = зес2Ф.
(с)	Используя симметрии сферы S2, покажите, что каждая
окружность большого круга на S2, не проходящая • через q, ото-
бражается с помощью ф на некоторую окружность в R2, полу-
ченную вращением вокруг начала координат одной из окружно-
стей, описанных в (Ь). Вывести отсюда, что геодезические в R2
со стереографической метрикой из примера 3 имеют вид, изобра-
женный на рис. 24.3.
24.2.	Найдите длину окружности ar(t) — (г cos /, г sin/),
0 ^ / < 2л, относительно стереографической метрики
g w) = '(I -|4p||2)2 v' w (v- w s Rp- P s R2)
на R2 и покажите, что lim / (ar) = 0.
Г->оо
24.3.	Пусть S обозначает 2-сферу x2 -J- x| x| = г2 радиуса
г > 0 в R3, и пусть ср: R2 -> S — {q} — отображение, обратное к
стереографической проекции с северного полюса q = (0, 0, г)
24. РИМАНОВЫ МЕТРИКИ
351
сферы S на касательную плоскость х3 = — г в южном полюсе
сферы. (Таким образом, <р (р) для рек’ есть точка пересечения
сферы, отличная от q, с прямой, проходящей через точки q и
(р, — г) в R3.) Покажите, что риманова метрика на R2, опре-
деленная скалярным произведением
g (v, w) = dtp (v)  rfcp (w)	(v, w e p e R2),
где скалярное произведение в правой части является обычным
скалярным произведением в St(! с R® может быть задана
явной формулой
g (v, w) = ---------------г-2- v • w (v, w е= R2, р е= R2),
где Д' — гауссова кривизна сферы S.
24.4.	Пусть U — верхняя полуплоскость, и пусть а: [О, 1]->П
и 0: [0, л/2]-> U определены формулами а(/) = (0, 1—/) и
0(/) = (sin t, cost). Покажите, что и а и 0 имеют бесконечные
длины в метрике Пуанкаре на U, и, используя этот факт, пока-
жите, что верхняя полуплоскость с метрикой Пуанкаре является
геодезически полной.
24.5.	Покажите, что каждое из следующих отображений яв-
ляется изометрией единичного круга х2 х% < 1 с гиперболиче-
ской метрикой на себя
(О ф (х, у) = (х cos 0 — у sin 0, X sin 0 + у cos 0) (0 <= R),
(ii)	ф (x, y) = (x, — y).
Используя изометрии (i) и (ii), покажите, что радиальные пря-
мые линии в единичном круге, подходящим образом параметри-
зованные, являются геодезическими в гиперболической метрике.
24.6.	(а) Рассматривая R2 как множество С комплексных
чисел путем отождествления точки (a, b) с а + ib, показать, что
для каждого Ze R с —1 < Л < 1 функция
является изометрией единичного круга с гиперболической метри-
кой на себя.
(Ь)	Покажите, что образ радиуса х, = 0 в U при отобра-
жении ф есть пересечение с U окружности с центром на оси xt,
проходящей через (X, 0) и пересекающейся с единичной окруж-
ностью х2 + х?2 = 1 под прямым углом.
(с)	Объединяя (Ь) с результатами упражнения 24.5, пока-
жите, что геодезические в единичном круге с гиперболической
метрикой получаются как пересечения с U: (i) радиальных пря-
мых и (ii) окружностей, пересекающихся с xf + х% = 1 под пря-
мым углом (см. рис. 24.7),
352 НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
24.7.	Рассматривая R2 как множество С комплексных чисел
путем отождествления (а, 6) с а + ib, покажите, что функция
ф (г)
z -f- i
iz + 1
является изометрией единичного круга с гиперболической метри-
кой на верхнюю полуплоскость с метрикой Пуанкаре.
Рис. 24.7. Типичные геодезические
в единичном круге с гиперболической
метрикой.
24.8.	Пусть g — риманова метрика на некотором открытом
множестве U с R”. Допустим, что ф: U -> U является изомет-
рией „поверхности" (U, g), множество неподвижных точек кото-
рой F = {р е U: ф (р) — р] является (« — 1)-поверхностью в R".
Покажите, что F является вполне геодезическим множествам в
U, т. е. покажите, что если а: I -> U — произвольная геодези-
ческая „поверхности" (47, g) с а (40) s F и а (40) е Fa для
некоторого /о е 7, то а (/) s F для всех t е I.
24.9.	Метрика Пуанкаре в верхнем полупространстве 47 =
= {(xt	хп) е Rn: хп > 0} определяется функцией
g (v, w) = v • w/4
для v, wsRp и p = (xb .... xn) e 47, где скалярное произве-
дение в правой части является обычным скалярным произведе-
нием на R".
(а)	Покажите, что каждое из следующих отображений яв-
ляется изометрией для (47, g):
(i)	ф(хь ..., x„) = (<p(xi, ..., x„-i), х„), где <р — произ-
вольное движение Rn-1,
(ii)	ф(р) = Хр, где X — произвольное положительное число,
(iii)	ф (xi..хп) = (xi, .... — xh ..., хп), где / е= {1, .. .
. ./4—1),
(iv)	ф (р) = р/|| р II2.
(Ь)	Используя упражнение 24.8, покажите, что если Ft, ...
. .., Pk — множества неподвижных точек изометрий фь ..., ф*
„поверхности" (47, g) указанных выше, типов (iii) и (iv) и если
24. РИМАНОВЫ МЕТРИКИ
353
а: I -> U — геодезическая „поверхности" (U, g), такая, что а (/0)е
еГуИ а (/0) <= (Fj)a } для всех / s {1.......k], то а (/) <=
k
<= [~| Fj для всех tel.
(с)	Вывести отсюда, что максимальными геодезическими
верхнего полупространства U с метрикой Пуанкаре являются
(i)	вертикальные (т. е. параллельные оси х„) лучи в U и
(ii) полуокружности с центром на (н—1)-плоскости хп = О
и ортогональные к этой плоскости.
[Указание-, сначала показать, что параметризации с единичной
скоростью плоских кривых
р, = ... —Xn_t =0,
I Хп > О
и
' Х1 = . . . = Х„-2 = 0,
‘ ХП-1 + ХП=1’
. Хп > о
являются геодезическими в (U, g), и затем рассмотреть образы
этих геодезических при изометриях вида (i) и (ii) из части (а) ]
24.10.	Пусть 8 обозначает «-сферу х[ + ... + х„+! = г1
радиуса г > 0 в Rn+I с обычной ее метрикой.
(а)	Покажите, что тензор Римана R поверхности 8 опреде-
ляется формулой
(х, у, z) = -^- ((у • z) х — (х • z) у).
(Ь)	Покажите, что риманова секционная кривизна (упраж-
нение 23.13) сферы 8 равна постоянной а(Р)= 1/г2 для каждого
двумерного подпространства PzS,. р sS.
(с)	Вывести отсюда, что метрика на полученная из
обычной метрики на S через стереографическую проекцию на
экваториальную гиперплоскость, имеет постоянную секционную
кривизну К = 1/г2 и что эта метрика задается формулой
4
s w) = Yi+-\iW)2' v ’w w e Rp’ p s
где скалярное произведение в правой части является обычным
произведением на R”. (Замечание. Эта формула при К < 0 опре-
деляет в n-niape xf + ... -f- х2 < 1/ [К ( некоторую метрику
постоянной отрицательной секционной кривизны ТС При /< = — 1
эта метрика называется гиперболической метрикой в п-шаре
+ • • • + хп < 1.)
БИБЛИОГРАФИЯ
Эта библиография ограничена очень небольшим числом ра-
бот, которые могут оказаться особенно полезными для студентов,
стремящихся к дополнительному чтению. Читатель, желающий
найти более полный список работ по дифференциальной геомет-
рии, может обратиться к т. V упомянутой ниже книги Спивака,
где он найдет прекрасно аннотированную библиографию.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Fleming W. 1977. Functions of Several Variables. New York —
Heidelberg— Berlin: Springer-Verlag.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Hurewicz W. 1958. Lectures on Ordinary Differential Equations.
Cambridge, Mass.: M. I. T. Press.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Hoffman К., Kunze R. 1961. Linear Algebra. Englewood Cliffs,
N. J.: Prentice Hall.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
do Carmo M. 1976. Differential Geometry of Curves and Surfaces.
Englewood Cliffs, N. J.: Prentice Hall.
Millman R., Parker G. 1977. Elements of Differential Geometry.
Englewood Cliffs, N. J.: Prentice Hall.
O’Neill B. 1966. Elementary Differential Geometry. New York:
Academic.
Singer L, Thorpe J. 1976. Lecture Notes on Elementary Topology
and Geometry. New York — Heidelberg — Berlin: Springer-
Verlag.
Spivak M. 1970; 1975. A Comprehensive Introduction to Differen-
tial Geometry. Vols I—V. Boston: Publish or Perish.
За исключением книги Спивака, каждая из этих работ по
дифференциальной геометрии в основном имеет дело с 2-поверх-
БИБЛИОГРАФИЯ
355
ностями. Среди них книга до Кармо наиболее близка по духу
нашей работе; она охватывает много не затронутых здесь во-
просов. В книге О’Нейла в качестве основного аппарата исполь-
зуются дифференциальные формы; Миллман и Паркер делают
упор на вычислениях в локальных координатах. В геометриче-
ской части книги Зингера и Торпа в основном речь идет о вну-
тренней геометрии и в качестве основного метода используется
исчисление дифференциальных форм на единичном сферическом
расслоении. Книга Спивака в действительности является учебни-
ком для студентов старших курсов, но она содержит много тем,
доступных и читателям данной книги; см. в особенности т. II
и III.)
Добавим в этот список несколько учебников советских авто-
ров, содержание которых в той или иной степени пересекается
с материалом книги Торпа.
*Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. М.5
ГИТТЛ, 1956.
*Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1974.,
*Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная гео-
метрия. М.: Наука, 1979.
*Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной гео-
метрии и топологии. М.: Издательство МГУ, 1980.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная интегральная кри-
визна 116
Вариация кривой 236
—	нормальная 238
—	поверхности 226
— с фиксированными концевы-
ми точками 238
Вейнгартена отображение 83
Вектор в точке р 17
— касательный к краю 260
— направленный внутрь 260
— — вовне 260
— нормальный к краю 260
— скорости 20
Векторное поле 18
----бинормальное 99 (упр.
10.7)
---- вдоль параметризованной
кривой 59
---- главное нормальное 99
(упр. 10.7)
— — гладкое 19, 34
--------полное 24 (упр. 2.7)
---- евклидово-параллельное
70
—	— касательное 68
----на «-поверхности 39
---- параллельное 71
--------в смысле Леви-Чиви-
та 71
Векторное произведение 18, 47
(упр. 5.7), 48 (упр. 5.9)
Внешние углы 285
Внешняя производная 264, 274
(упр. 20.7)
—	точка 58
Внутреннее расстояние 256
Внутренние углы 289
Внутренность 258
Внутренняя геометрия 320
Вполне геодезическое множе-
ство 352
Вращение положительное 45
— на угол 0 306
— ₽л+‘ 318 (упр. 22.4)
Выпуклая в точке 140
— поверхность 140
---- в целом 140
Высота 11
Гаусса — Бонне теорема гло-
бальная 297
-------- локальная 286
— лемма 247
— отображение 50
----и отображение Вейнгар-
тена 19 (упр. 9.14)
---- степень 303
Геодезическая 61
—	кривизна 279
—	максимальная 63
—	струя 92
Геодезический поток 89
—	треугольник 289
Гессиан 144
Гиперболическая метрика 344
----в /г-шаре 353 (упр.
24.10)
Гиперплоскость 31
Гиперповерхность 30
Главные кривизны 171
— направления 171
Гладкая форма 214
— функция 19, 34, 187
Гладкость отображения 75
предметный указатель
357
Гомотопия 116 (упр. 11.17)
Градиент 19
Г радиентное векторное поле
142
Градиентные линии 152
Граница сингулярного тре-
угольника 269
График 11
Грина формула 274 (упр. 20.5)
Движение 307
Дифференциал гладкой функ-
ции 264
— отображения 160, 162
Дифференцирование ковариант-
ное 69, 327
— композиции отображений
172 (упр. 14.1)
Длина вектора 18
— параметризованной кривой
101
— плоской кривой 106
Единичная окружность 31
Единично-сферическое расслое-
ние 191 (упр. 15.6)
Естественный подъем (лифт)
91 (упр. 9.15)
Изгибание 325
Изолированная особенность 294
Изометричные поверхности 322
Инвариант 326
Индекс вращения 117
— поля 295
Интеграл ПО
—	криволинейный 110
—	объема стационарный 230
—	по поверхности 221
—	/г-формы 216, 220
—	1-формы ПО
—	2-формы 269
Интегральная кривая 20
--- максимальная 40
Карта 179
Картана структурное уравнение
305 (упр. 21.6)
Касательное пространство 28,
30, 163, 259
— расслоение 162, 191 (упр.
15.5)
Катеноид 234
Квадратичная форма 129
— — знаконеопределенная 130
----- знакоопределенная 129
----- отрицательно определен-
ная 129
-------- полуопределенная 130
--------положительно опреде-
ленная 130
----- полуопределенная 130
Ковариантная производная 69,
83, 327
Конгруентные поверхности 309
Конус 173 (упр. 14.6)
Кососимметричность 214
Край поверхности с краем 257
— сингулярного круга 268
----- полукруга 268
-----прямоугольника	303
(упр. 21.2)
Кривая плоская 60
— пространственная 187
Кривизна 99 (упр. 10.7)
— Гаусса—Кронекера 132,171
--------внутренняя формула
332—333
-------- величина 209—210
--------графика 138 (упр.
12.13)
--------формула 132—133
— гауссова 171
-----поверхности 175 (упр.
14.20)
— — эллипсоида 134
— риманова (или секционная)
335 (упр. 23.13)
— средняя 171
Кристоффеля символ 334 (упр.
23.7)
Критическая точка 143
----- изолированная 152
-----невырожденная 152
Кручение 99 (упр. 10.7)
Леви-Чивита параллелизм 71
Линии тока 19
358
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Локальная однопараметриче-
ская группа, ассоциирован-
ная с полем X 25 (упр.
2.12)
— параметризация 179
Локальный максимум 144
----- критерий для 144—145
----- строгий 144
— минимум 143
— — критерий для 144—145
—- — строгий 144
Мёбиуса лист 44, 168
Меридианы 67 (упр. 7.8)
Метрика гиперболическая 344,
352 (упр. 24.10)
Метрические коэффициенты 205
Минимальная поверхность 231
Множества уровня 11
Множество сопряженных точек
254
Направление 44
— асимптотическое 235 (упр.
18.5)
— положительное касательное
44
Направляющие косинусы 129
Нормальное сечение 122
Обезьянье седло 37 (упр. 4.4)
Образ сферический 50
Объем параметризованной
«-поверхности 203
Ограничение 59
Ориентация естественная 47
(упр. 55)
— индуцированная 262
— на S 43, 260
— стандартная на S 210
Ортогональное преобразование
306
Основная теорема алгебры 120
(упр. 11.20)
— форма поверхности вторая
129
-------- первая 129
Открытое множество 19, 144
Отображение конформное 192
(упр. 15.12)
— регулярное 163
— сопряженное 90
— экспоненциальное 242
Отражение 306
Параллели 67 (упр. 7.8)
Параллельные «-плоскости 31
— — в евклидовом смысле 70
— — — — Леви-Чивита 71
Параллельный перенос 75, 76
Параметризованная кривая 20
-----кусочно гладкая 76
----- регулярная 117
— «-плоскость 164
— «-поверхность 162
— псевдосфера 175
Параметризованный тор 167
Перенесение назад 216
Перепараметризация 211
Плоскость 31
Поверхность размерности и или
«-поверхность 30, 184
— вращения 33
— гладкая 39
— компактная 35
— ориентированная 43, 261
— с краем 258
Поле гладкое 60
— параллельное в смысле Фер-
ми 79 (упр. 8.8)
— Якоби 201
Полилинейность 214
Положительно ориентирован-
ный базис 45
Положительное 0-вращение 45
Произведение внешнее 215
(упр. 17.14)
— внутреннее 215
— функции и формы 109, 216
------- векторного поля 82
Производная 80
— в точке 90
— гладкого векторного поля 81
— ковариантная 83
— по направлению 81
Пуанкаре метрика 344, 352
(упр. 24.9)
Пуанкаре — Конфа теорема 298
ПРЕДМЕТНЫЙ указатель
359
Радиус кривизны 97
Разбиение единицы 218
Регулярный прямоугольник
303—304 (упр. 21.1)
— треугольник 285
Римана тензор 332
Риманова геометрия 336
— метрика 336, 337
Свойство глобальное 135
— локальное 135
Связное подмножество 42
Седловая точка 144
Сингулярный круг 268
— полукруг 268
— прямоугольник 303 (упр.
21.2)
—	треугольник 269
Скалярное произведние векто-
ров 18
Скобка Ли 90 (упр. 9.13), 264
Скорость вращения поля 278
—	кривой 59
Соприкасающаяся окружность
97
Стационарность 143
Степень отображения Гаусса
303
Стокса глобальная теорема
270—271
— локальная теорема 269
— классическая формула 275
(упр. (20.10)
Сумма векторных полей 60, 82
— форм 109, 216
Сферические координаты 163,
172 (упр. 14.4)
Сферический образ 50
Точка регулярная 27
— сопряжения 253
Угловой порядок 115, 120 (упр.
11.22)
— вращения полный 278
— голономии 283
— между векторами 18
Упорядоченный базис, не со-
гласованный с ориентацией
46
-----согласованный с ориен-
тацией 46, 261
Ускорение 60
— ковариантное 70
Ферми перенос 79 (упр. 8.8)
— производная 79 (упр. 8.8)
Фокальная точка поверхности
<р 193
Фокальное множество 198
1-форма дифференциальная 107
— двойственная к X 107
й-форма 214
— гладкая 214
Форма объема 261
— связности 277
Формула первой вариации 237
Френе формулы 99 (упр. 10.6)
Функция вдоль кривой 59
Фундаментальная область 106
Центр кривизны 97
Цепная линия 234
Цилиндр 33
— параметризованный 164
Теорема глобальная 135
— локальная 135
— об обратной функции для
«-поверхностей 189
Триангуляция 304 (упр. 21.4)
— вершины 304 (упр. 21.4)
— ребра 304 (упр. 21.4)
Эволюта 200 (упр. 16.3)
Эвольвента 200
Эйлерова характеристика 298
Энергия 255 (упр. 19.1)
Якоби поле 201 (упр. 16.5)
ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчика ........................................ 5
Предисловие.............................................7
1.	Графики и множества уровня...........................П
2.	Векторные поля......................................17
3.	Касательное пространство............................26
4.	Поверхности.........................................30
5.	Векторные поля на поверхностях; ориентация..........39
6.	Гауссово отображение ...............................50
7.	Геодезические.......................................59
8.	Параллельный перенос................................69
9.	Отображение Вейнгартена ............................80
10.	Кривизна плоских кривых............................93
11.	Длина дуги и криволинейные интегралы..............101
12.	Кривизна поверхностей.............................121
13.	Выпуклые поверхности..............................140
14.	Параметризованные поверхности ....................160
15.	Локальная эквивалентность поверхностей и параметризо-
ванных поверхностей....................................176
16.	Фокальные точки...................................193
17.	Площади и объемы..................................202
18.	Минимальные поверхности...........................226
19.	Экспоненциальное отображение......................236
20.	Поверхности с краем...............................257
21.	Теорема Гаусса — Бонне............................276
22.	Движения и конгруентность.........................306
23.	Изометрии.........................................320
24.	Римановы метрики..................................336
Библиография........................................  354
Предметный указатель..................................356
Джон Торп
НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ