Автор: Фрид Д. Уленбек К.
Теги: топология геометрия математика математическая физика
ISBN: 5-03-001158-7
Год: 1988
Текст
Daniel S. Freed, Karen К Uhlenbeck
INSTANTONS
AND FOUR-MANIFOLDS
Springer-Verlag
New York Berlin Heidelberg Tokyo
Д.Фрид, К.Уленбек
ИНСТАНТОНЫ
И ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ
МНОГООБРАЗИЯ
Перевод с английского
Ю.П. СОЛОВЬЕВА
МОСКВА «МИР» 1988
БЕК
УДК
22.152
Ф 88
515.1
Д.« Уденбек К.
Ф 88 Инстантоны и четырехмерные многообразия: Пер . с
англ. - М.: Мир, 1988. - 272 с, ил.
ISBN 5-03-001158-7
Книга американских математиков по актуальной темати-
тематике, тесно связанной с физикой и использующей методы гео-
геометрии, математического анализа, вариационного исчисле-
исчисления, топологии. В ней доказана теорема Дональдеона, из
которой следует, что четырехмерное евклидово пространст-
пространство имеет много неэквивалентных гладких структур. Изложе-
Изложение отличается методическими достоинствами: много внима-
внимания уделено разъяснению конструкций, определений.
Доя математиков разных специальностей, физиков-теоре-
физиков-теоретиков, аспирантов и студентов физико-математических спе-
специальностей.
ф
1702040000-447
041@1)-88
ЕБК 22.152
Редакция литературы по математическим наукам
XSWT 5-03-00II58-7 (русск.)
ISB1T 0-387-96036-а (англ.)
1984 by Spring er-Verlag
Hew York Inc.
All rights reserved.
Authorized translation
from English language
edition published by
Springer-Verlag Berlin
Heidelberg Hew York
Tokyo
перевод на русский язык,
, 1988
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Основная проблема топологии многообразий состоит в характе-
ризацни многообразий посредством алгебраических инвариантов.
Например, ориентируемые замкнутые связные двумерные многообра-
многообразия полностью характеризуются родом 3-, однозначно определяющим
их тип диффеоморфизма. Аналогичным образом классифицируются
неориентируемые двумерные многообразия. В 1981 г. американский
математик Майкл Фридман доказал, что для любой целочисленной
унимодулярной квадратичной формы со существует замкнутое одно-
связное топологическое четырехмерное многообразие М, реали-
реализующее со как форму пересечений циклов. Кроме того, если форма
со четна, то любые два многообразия, реализующие со, являют-
являются гомеоморфными. Если же форма со нечетна, то существуют ровно
два негомеоморфных многообразия М. и М2, реализующих со.
Эти два многообразия различаются следующим признаком: произве-
произведение одного из них, скажем М., на окружность S1 сглажи-
сглаживаемо , в то время как ti x S является несглаживаемым. Тем
самым Фридман получил полную классификацию замкнутых односвяз-
ных топологических четырехмерных многообразий. Из этой класси-
классификации, в частности, следует четырехмерная топологическая ги-
гипотеза Пуанкаре, утверждающая, что всякая четырехмерная гомото-
гомотопическая сфера Е гомеоморфна стандартной сфере S .
Подход, использованный Фридманом, не позволяет выяснить, ка-
какие целочисленные унимодулярные формы реализуются как формы пере-
пересечений гладких четырехмерных многообразий. Очень сильные и не-
неожиданные результаты в этом направлении были получены в 1982 г.
английским математиком Саймоном Дональдсоном. Он доказал, что
если форма пересечений со замкнутого односвязного гладкого
четырехмерного многообразия положительно определена, то она при-
6 От переводчика
водится над Z к сумме квадратов. Пожалуй, самым удивительным
в работе Дональдсона является то обстоятельство, что топологиче-
топологическая по своей" сути теорема доказывается с привлечением идей и
методов математической физики - теории калибровочных полей.
Истоки теории калибровочных полей восходят к работе Г.Вейля
«Gravitation und Elektrizitat», опубликованной в 1918 г.
и посвященной объединению электромагнитного и гравитационного
взаимодействий. В подходе Вейля параллельный перенос касатель-
касательного вектора к пространству Минковского М приводил к измене-
изменению не только его направления, как в теории Эйнштейна, но и дли-
длины. На современном языке это означает переход от римановой связ-
связности в расслоении ортонормироваяных реперов над М к связности
в главном расслоении со структурной группой U(i). Коэф-
Коэффициенты соответствухнцей формы связности А были отождествлены
Вейлем с потенциалами электромагнитного поля, а коэффициенты
формы кривизны F = ctA с напряженностями этого поля. Кроме
того, Вейль показал, что полученная таким образом теории инва-
инвариантна относительно послойных преобразований касательного рас-
расслоения Т(М), названных им калибровочными преобразованиями.
В 1954 г. американские физики Ч.Янг и Р.Миллс, изучая силь-
сильные взаимодействия нуклонов, рассмотрели вместо UOO-pac-
слоения векторное расслоение над М со структурной группой
SI/B). Наличие калибровочной инвариантности приводит в их
теории, подобно теории Вейля, к существованию векторного поля,
которое переносит сильное взаимодействие. Развитие идей Янга -
Миллса позволило создать в конце 60-х годов единую теорию
электромагнитного и слабого взаимодействий (Ш. Глэшоу, С.Вейн-
берг, А. Салам), а затем - калибровочную теорию сильного взаимо-
взаимодействия элементарных частиц, так называемую квантовую хромоди-
намику.
В основе всех этих теорий лежит следующая математическая
структура. Пусть М - гладкое четырехмерное многообразие с
псевдоримановой метрикой, Сг - полупростая компактная группа
Ли с алгеброй Ли g и е1С: Р -*¦ М - главное G—расслоение.
Фиксируем в этом расслоении форму связности А: Т(Р) -*¦ д,
и пусть Q = cLA + ~z\A, A] - форма кривизны этой связности.
Если Е = Р *G Oj - присоединенное векторное расслоение, то
От переводчика 7
2-форме ?2 соответствует на М, форма F со значениями в Е.
Эта форма интерпретируется как калибровочное поле - переносчик
того или иного взаимодействия. Эволюция калибровочного поля опи-
описывается в терминах функционала действия jTr(JF*A *F), урав-
уравнения Эйлера - Лагранжа которого имеют видм D * F = 0 и назы-
называются уравнениями Янга - Миллса. Автоморфизмы главного рассло-
расслоения Р называются калибровочными преобразованиями. Они обра-
образуют группу &. Принцип калибровочной инвариантности озна-
означает, что физический смысл имеют лишь классы решений уравнений
Янга - Миллса относительно &. Они образуют т.ак называемое
пространство модулей JIL.
Важным ответвлением этого направления является исследование
уравнений Янга - Миллса на римановом многообразии М. Первые
нетривиальные решения уравнений Янга - Миллеа в случае, когда
M = S4, a = SIK2) и ^Tr(FA*F) = ±8ТС2 (так назы-
называемые инстантоны), были найдены в 1975 г. А.А.Белавиным, A.M.
Поляковым, А.С. Шварцем и Ю.С.Тюпкиным ^BPST^ • Полное
описание решений на M = S в случае группы G- = SUB) было
получено М.Атьей, Н.Хитчином, В.Г. Дринфэльдом и Ю.И. Маниным
?ahdm3- В работе ?ahs] М.Атья, Я.Хитчин и И.Зингер
вычислили размерности пространств модулей решений уравнений
Янга - Миллса для любых римановых четырехмерных многообразий
М и компактных полупростых групп G-. Исследование тополо-
топологической структуры пространства модулей и привело Дональдеона
к его замечательным результатам.
Книга Д.Фрида и К.Уленбек посвящена доказательству теоре-
теоремы Дональдсона. Она представляет собой обзор, охватывающий весь-
весьма обширный и разнородный материал из нелинейного анализа, гло-
глобальной дифференциальной геометрии и топологии многообразий,
на котором основано это доказательство. Книга написана по ма-
материалам семинара, что в значительной мере определило ее стиль.
Главное внимание авторы уделяют идеям и методам; оставляя неко-
некоторые технические детали читателям. В то же время благодаря
умелому отбору материала авторам удалось, сохранив малый объем
книги, существенно сократить требования к предварительной под-
подготовке читателя, у которого предполагается только знание начал
алгебраической топологии.
8 От переводчика
За время, прошедшее с момента выхода английского издания,
топология четырехмерных многообразий обогатилась рядом новых
выдающихся открытий. Многие из них основаны на результатах До-
нальдсона или же используют развитую им технику. Русский перевод
книги поможет читателям, в том числе студентам и аспирантам,
ощутить себя в гуще событий одной из наиболее активно развива-
развивающихся областей современной математики.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга возникла в результате работы семинара, организо-
организованного Майклом Фридманом и Карей Уленбек (старший автор) в
Институте математических исследований в Беркли в первые месяцы
его существования. Первоначально на Дана Фрида (младший автор)
была возложена обязанность делать записи. Специальной целью се-
семинара был разбор доказательства теоремы Саймона Дональдсона,
анонсированной предыдущей весной. Дональдсон доказал несглажи-
ваемость некоторых четырехмерных топологических многообразий;
годом раньше Фридман построил эти многообразия как часть своего
решения четырехмерной топологической гипотезы Пуанкаре.
Эффектное применение теорем Дональдсона и Фридмана к выводу
существования фальшивых пространств R получило широкую из-
известность (в той мере, в какой математика вообще может получить
широкую известность). Примечательно, что Дональдсон доказал
свою топологическую теорему, изучая пространство решений урав-
уравнений Янга - Миллса, которые относятся к ультрасовременной фи-
физике. Неизбежен философский вывод: мы, математики, нуждаемся в
физике!
Сначала семинар очень хорошо посещался. К сожалению, через
три месяца обнаружилось, что мы разобрали почти все, что было
опубликовано, но очень мало продвинулись по пути к полному и
подробному доказательству. Дальнейшая совместная работа в трех
городах, разделенных тремя тысячами миль, привела к такому до-
доказательству; ему и посвящена эта книга. Семинар увяз в тяжелой
аналитической технике (главы 6-9), которая занимает и основ-
основную часть статьи Дональдсона (с меньшими деталями). По мере
продвижения нам стало ясно, что технический аппарат нелинейных
Ю Предисловие
дифференциальных уравнений, использованный в доказательстве, в
одном важном аспекте резко отличается от геометрического и топо-
топологического аппарата. Последний можно без труда извлечь из
стандартных руководств и учебников, в то время как по нелинейно-
нелинейному анализу не существует какого-то доступного стандартного набора
источников. Мы попытались исправить это положение, включив необ-
необходимый подготовительный материал по всем затронутым темам, но
особенно по анализу (имеются в виду нелинейные эллиптические
уравнения в частных производных).
Мы обязаны многим математикам. Прежде всего наше доказатель-
доказательство в своих наиболее существенных частях следует работе До-
нальдсона, хотя у нас приводится больше подробностей. В то же
время мы даем более прозрачное доказательство теорем трансвер-
трансверсальности (гл. 3-4), несколько другое доказательство теоремы
об ориентируемости (гл. 5) и совсем новое доказательство теоремы
существования Таубса, в котором используются некомпактные много-
многообразия (гл. 7). По ходу дела мы получаем новое простое дока-
доказательство теоремы об устранении особенностей (приложение D ).
Кроме того, нам удалось включить более новые важные методы Фин-
тушела и Стерна (гл. 10). Еще одну дань благодарности мы отдаем
Майклу Фридману. Он был инициатором семинара, а также нашим
главным консультантом по топологии в течение всей работы. Гла-
Глава I написана по материалам его первой лекции; кроме того, ему
принадлежит значительная часть введения. Мы также сердечно бла-
благодарим докладчиков на семинаре: кроме Майкла Фридмана еще
Андреаса Флоерса, Стива Седлачека и Андрейса Трейбергса. Многие
другие математики помогали нам своими идеями, предложениями и
замечаниями. Мы выражаем искреннюю признательность Бобу Эдвард-
су, Робу Кёрби, Ричарду Лашофу, Джону Лотту, Марку Маховальду,
Кену Миллетту, Тому Паркеру, Марку Ронану, Рику Шёну, Рону
Стерну, Клиффу Таубсу и Джону Вуду и надеемся, что не обидели
никого нечаянным пропуском. Кроме того, Дан Фрид особенно хо-
хотел бы поблагодарить своего научного руководителя, проф.Зингера,
который давал нам ценные советы и информацию, а также открыл
перед нами вдохновляющие перспективы. Основную массу корректур
прочитал Дэвид Гросьер. Мы признательны Дэвиду и Луису Крейнам,
которые выловили несколько таинственных утверждений и пробелов
в доказательствах, и надеемся, что читатель к нам присоединится.
Предисловие II
Институт математических исследований в Беркли охотно и щедро
оказывал нам множество услуг: предоставил помещение, обеспе-
обеспечил перепечатку и даже оплатил часть авиабилетов. Ларри Кастро
достоин особой награды за то терпение, с которым он переносил
все наши исправления и изменения - слава богу, что в нашем
распоряжении был текстовой процессор! Гарвардский и Северо-
западный университеты предоставляли нам в нужное время необхо-
необходимые помещения. Эви Кавалер нарисовала оригинальные иллюстра-
иллюстрации. И, наконец, Дан Фрид искренне благодарит Рауля Ботта за
поддержку и теплое гостеприимство.
Беркли, Калифорния Дан Фрид,
Карен Уленбек
ВВЕДЕНИЕ
Топологи изучают три типа многообразий - топологические (или
непрерывные) многообразия ( ТОР), кусочно-линейные много-
многообразия (PL), гладкие (дифференцируемые) многообразия
(DIFF), а также соотношения между ними. Основная пробле-
проблема топологии многообразий заключается в том, чтобы установить,
когда топологическое многообразие допускает PL-структуру, и,
если такая структура есть, выяснить, имеется ли согласованная
с ней гладкая структура. С начала 50-х годов известно, что лю-
любое топологическое многообразие М размерности «3 допускает
единственную гладкую структуру. В высоких размерностях ситуация
иная. В 1968 г. Кёрби и Зибенманн показали, что если
dim M * 5 , то имеется единственное препятствие сс(М)еН4(М; %?
к существованию PL-структуры на топологическом многообразии
М. Кроме того, при тех же ограничениях на размерность имеются
препятствия к существованию гладкой структуры на PL-много-
PL-многообразии; они принимают значения в группах гомотопических сфер.
В размерности 4 имеется одно важное упрощение, освобождающее
нас от необходимости рассматривать кусочно-линейную категорию:
каждое четырехмерное PL-многообразие допускает единственную
согласованную гладкую структуру. Что же касается препятствия
Кёрби - Зибенманна ос (М), то в случае спинорннх многообра-
многообразии оно тесно связано с одним классическим результатом Рохлина,
датируемым 1952 г. Теорема Рохлина утверждает, что сигнатура
гладкого спинорного четырехмерного многообразия делится на 16.
Из арифметических свойств квадратичных форм следует, что сигна-
сигнатура топологического спинорного (= почти параллелизуемого)
четырехмерного многообразия М делится на 8 и что ос(М) s
Введение ?3
е22= S"Z/i6X есть не что иное, как сигнатура по мо-
модулю 16. Если многообразие М не является спиноршш, то ин-
инвариант Кёрби - Зибенманна дает дополнительную информацию, не
относящуюся к форме пересечений.
Недавно Саймон Дональдеон открыл новый тип «препятствия» к
сглаживаемости четырехмерных многообразий. Он доказал, что если
форма пересечений со компактного односвязного гладкого четы-
четырехмерного многообразия знакоопределенна, то она эквивалентна
над кольцом целях чисел стандартной диагональной форме
±diag(l,L, ... , I). Годом раньше Майкл Фридман классифициро-
классифицировал все компактные односвязные топологические четырехмерные
многообразия и установил, что каждая унимодулярная симметриче-
симметрическая билинейная форма реализуется как форма пересечений некото-
некоторого топологического четырехмерного многообразия. Рассматри-
Рассматриваемые вместе эти результаты дают много примеров несглаживаемнх
четырехмерных многообразий с нулевым инвариантом Кёрби - Зибен-
Зибенманна. Основываясь на исследованиях Эндрью Кассона, выполнен-
выполненных в начале семидесятых годов, Фридман и другие авторы вы-
вывели из теоремы Дональдсона еще более удивительное следствие:
существование экзотических гладких структур на [R . Сколько
всего таких «фальшивых» R4 , пока неизвестно, хотя несколько
экзотических структур уже найдено.Фридман считает, что, по мне-
мнению топологов, их может оказаться несчетное множество '. Если
это так, то задача классификации гладких структур, которая в
высших размерностях решается с помощью характеристических клас-
классов и, следовательно, является дискретной, может попасть во
владения геометрии. Подобно тому как существуют непрерывные
пространства модулей комплексных структур на римановых поверх-
поверхностях, могут существовать пространства модулей гладких струк-
структур на четырехмерных многообразиях! Как бы то ни было, теорема
Дональдсона показывает, что гладкие структуры в размерности 4
нельзя описать в терминах поднятий касательного расслоения,
т.е. в терминах характеристических классов. В качестве кон-
"Недавно Клиффорд Таубс показал, что существует несчетное
семейство различных гладких структур на IR4 (см. Taubes с.н.
Gauge theory on asymptotically periodic 4—manifolds. - J. Diff.
Geom., 1987, v. 25, № 3, pp. 363-430). - Прим. дерев.
14 Введение
кретного примера, в котором поднятие расслоения ничего не дает,
упомянем многообразие |Е8®Е8| и фальшивое К4.
Поразительно, что и теорема Рохлина, и теорема Дональдсона
доказываются с помощью исследования класса заведомо недискретннх
объектов - эллиптических операторов на гладких четырехмерных
многообразиях. Доказательство теоремы Дональдсона, которое не
опиралось бы так прочно на геометрию и анализ, остается заветной
мечтой топологов.
Изучение эллиптических операторов на компактных многообра-
многообразиях часто приводит к теоремам, связывающим геометрию много-
многообразия с его топологией. Краеугольным камнем линейной эллипти-
эллиптической теории является теорема Ходжа - Де Рама. С гладким
п,-мерным многообразием М связан комплекс дифференциальных
операторов
о -* q°(m) -^ й4см) -^ ... -^ q4m) -* о,
где ct: Q (jM) —" Q^ (.М) - внешнее дифференцирование
с{,-форм. Для компактного многообразия И. этот комплекс
Де Рама имеет конечномерные и^унии когомологий
- Kecd:
(I) Н (М) =
м Im. d: !
изоморфные группам вещественных сингулярных когомологий
Н\Н; К). Следовательно, пространства K^R(M.}, кото-
которые априори зависят от гладкой структуры, в действительности
являются топологическими инвариантами. Если многообразие И.
наделено римановой метрикой, то существуют канонические пред-
представители каждого класса когомологий. Чтобы описать их, рас-
рассмотрим так называемый функционал энергии
8 Сое) =
м
¦Введение 15
Очевидно, что для компактного многообразия М без края этот
функционал зависит лишь от класса когомологий формы, т.е. не
меняется при замене замкнутой формы ос на ос' = ос + dp,
где ji e Q "*" (К). Теорема Ходжа - Де Рама утверждает, что
в каждом классе когомологии существует единственная замкнутая
форма об, минимизирующая функционал <S(cc) и, значит, удовлет-
удовлетворяющая уравнению Эйлера - Лагранжа
B) d*oc = 0.
Так как, кроме того, doc = 0, то уравнение B) эквивалентно
уравнению
C) ДоС = (dd* + d*d) ос = 0.
Здесь А = dd +d d - оператор Лапласа - Бельтрами на
cj,-формах. Любая форма ее, удовлетворяющая уравнению C),
называется гармонической, многие приложения теории Ходжа - Де
Рама к глобальной дифференциальной геометрии основаны на фор-
формулах, выражающих разность между оператором Лапласа dd*+d*d
на формах и дифференциальным оператором V*V, образован-
образованным при помощи полной ковариантной производной, как алгебраи-
алгебраическим оператором, включающим кривизну. Например, применяя та-
такие формулы к I-формам, Бохнер в 1946 г. доказал, что для ком-
компактного многообразия М, допускающего метрику с положи-
положительной кривизной Риччи, выполняется условие Н*(М; К) = 0.
Теория Ходжа - Де Рама распространяется на более общие
линейные эллиптические операторы. Они появляются на многообра-
многообразии в виде эллиптического комплекса. Эллиптический комплекс -
это конечная последовательность операторов первого порядка
о-~ с E0) —- с с^р —•-... —•- с (^г) -> о,
определенных в сечениях векторных расслоений ^ . над М и
таких, что
СО
(ii) последовательность символов
16 Введение
точна для любого ненулевого ковектора Э е Т*М . Группы
когомологий Н (?,) эллиптического комплекса определяются
точно так же, как группы когомологий комплекса Де Рама (I);
для компактного многообразия М они конечномерны. Бели на
расслоениях ?,. заданы метрики, а на Н - форма объема, то
определены формально сопряженные в смысле нормы пространства L
операторы Ю*. Обобщенная на этот случай теорема Ходжа - Де
Рама утверждает, что и теперь в каждом классе когомологий про-
пространства Н*(??) существует единственный канонический пред-
представитель f, удовлетворяющий уравнению
Поскольку -Д»,/ = ^* это УРавненив эквивалентно уравнению
второго порядка
Теорема Атьи - Зингера об индексе позволяет выразить альтерни-
альтернированную сумму ZZ(-i)^dimH1'(^) в терминах характеристи-
характеристических классов многообразия М и расслоения 2^, построен-
построенного по последовательности символов. (Для того чтобы вычислить
размерность конкретной гуушш Н^С^), обычно комбини-
комбинируют теорему Атьи - Зингера с теоремами об обращении в нуль.)
Эллиптические комплексы можно использовать для исследования
связи между дифференциальной геометрией, алгебраической гео-
геометрией и топологией. Проиллюстрируем это на важном для нас
топологическом примере - теореме Рохлина. На спинорных много-
многообразиях Н существует естественный эллиптический оператор -
оператор Дирака,- индекс которого совпадает с А-родом. Это
некоторый характеристический класс многообразия М, вычислен-
вычисленный на фундаментальном цикле; оказывается, что для четырехмер-
четырехмерных многообразий он равен 1/8 сигнатуры. Так как индекс эл-
эллиптического комплекса есть целое число, то и А-род много-
Введение 17
образия М. - целое число. (Заметим, что именно эта проблема -
объяснить целочисленность А СМ) для спинорных многообразий
М - привела Атью и Зингера к теореме об индексе.) Далее, спи-
норное представление в размерности 4 является симплектическим,
поэтому пространство гармонических спиноров (ядро и коядро опе-
оператора Дирака) является кватернионнвн. Следовательно, А СМ) -
четное число и сигнатура многообразия М. делится на 16.
В размерности 4 наряду с оператором Дирака существует весьма
полезной в приложениях скрученный оператор Дирака, получающий-
получающийся тензорным умножением на одно из полуспинорннх расслоений.
Мы упоминаем его здесь по той причине, что он представляет
собой, по существу, линеаризованный вариант нелинейного опера-
оператора, который изучался Донаяьдсоном для доказательства его
теоремы. Скрученный оператор Дирака можно описать явно в тер-
терминах автодуальности и дифференциальных форм. А именно, если
М - ориентированное риманово четырехмерное многообразие, то
шестимерное расслоение Q2(M) канонически расщепляется в
прямую сумму трехмерных расслоений
Q2(M) = Й*СМ)©Я?(М),
соответствующую разложению алгебры Ли so (А) = so C) ® soC).
Элементы из Q + CM) называются автодуальными формами, а эле-
элементы из Qf СМ) - антиавтодуальннми формами. Обозначив че-
через d_: Q4.M) ~*"Qf(.M) композицию оператора внешнего диф-
дифференцирования d: Q1(M)-*Q CM) с проекцией P.: Q СМ)-*"
-*" Qf(M), мы получаем эллиптический комплекс
D) 0 -* S2°(M) ^ Q?CW) -^ Q!(M) — 0.
Тогда скрученный оператор Дирака - это
Нелинейный анализ оказал на геометрию и топологию не мень-
меньшее влияние, чем линейный анализ. Основные приложения нели-
нелинейного анализа связаны с теорией Морса геодезических на ри-
мановых многообразиях - вариационной теорией для нелинейных
18 Введение
обыкновенных дифференциальных уравнений. Одним из самых первых
приложений стала теорема Адамара - Картана A898Д928 г.),
утверждающая, что универсальное накрытие полного риманова п,-
мерного многообразия с метрикой неположительной кривизны диф-
феоморфно IR"'. Для положительно искривленных многообразий
имеет место теорема Майера A941 г.): полное риманово много-
многообразие с положительной кривизной Риччи компактно и имеет ко-
конечную фундаментальную группу. Это более сильный результат, чем
полученная с помощью линейной теории теорема Бохнера, в которой
требуется, чтобы многообразие М было компактным, а утверждает-
утверждается всего лишь, что Hi(M; IR) = 0. Упомянем здесь также зна-
знаменитую теорему периодичности Ботта, которую он доказал в 1956г.,
изучая с помощью теории Морса геодезические на группах Ли.
До недавнего времени серьезные применения нелинейных эллипти-
эллиптических дифференциальных уравнений к геометрии и топологии явно
отставали. В последние годы появился ряд геометрических и топо-
топологических результатов, основанных на нелинейном анализе. Мно-
Многие из них связаны с минимальными поверхностями. Например, дан-
данное Шёном и Яу доказательство гипотезы положительной массы в
общей теории относительности опирается на свойства уравнений
минимальной поверхности и приводит к следующей геометрической
теореме: если фундаментальная группа трехмерного многообразия М
содержит подгруппу, изоморфную фундаментальной группе компакт-
компактной поверхности рода др. * 1, то М не допускает метрики по-
положительной скалярной кривизны. Примерно в это же время Микс
и Яу нашли с помощью минимальных поверхностей новые доказатель-
доказательства леммы Дена (теоремы о петле) и теоремы о сфере - двух
фундаментальных результатов трехмерной топология и, что более
важно, получили новый результат - так называемую теорему об эк-
вивариантной петле. В сочетании с результатами Терстона, Басса
и др. эта теорема позволила завершить доказательство гипотезы
Смита - давнишней нерешенной проблемы о действиях группы 2Z^
на трехмерной сфере S3. В последние годы Фридман и Яу иссле-
исследовали более общие групповые действия на S3, пользуясь тех-
техникой минимальных поверхностей. Недавно Алан Эдмунде дал чисто
топологическое доказательство теоремы об эквивариантной петле.
Однако для близкой к ней по духу теоремы Микса, Саймона и Яу,
Введение 19
утверждающей, что если трехмерное многообразие не имеет фаль-
фальшивой клетки (которая являлась бн контрпримером к гипотезе
Пуанкаре), то и его универсальное накрытие не содержит фальшивых
клеток, пока не существует чисто топологического доказательства.
Из всех геометрических приложений анализа к топологии теорема
об эквивариантной петле и ее следствия в топологии трехмер-
трехмерных многообразий теснее всего связаны с теоремой Дональдеона
в топологии четырехмерных многообразий. Поэтому неудивительно,
что те же топологи, которые несколько лет назад занимались мини-
минимальными поверхностями в трехмерных многообразиях, теперь изуча-
изучают уравнения Янга - Миллса на четырехмерных многообразиях.
Даже имея возможность наблюдать временную эволюцию приложе-
приложений анализа к топологии, трудно найти в них какие-то общие за-
закономерности и рискованно делать какие-либо предсказания на бу-
будущее. К тому же в своем кратком историческом обзоре мы совсем
не касались приложений дифференциальных уравнений в частных
производных к геометрии и топологии комплексных многообразий,
которые еще более многочисленны, чем приложения к гладким ве-
вещественным многообразиям. Например, обобщенный вариант авто-
автодуальных уравнений, использованных Дональдеоном, применяется
яри изучении стабильных голоморфных векторных расслоений над
комплексными кэлеровнми многообразиями.
Теорию Янга - Миллса можно рассматривать как нелинейное
обобщение теории Ходжа. Рассмотрим четрехмерное риманово много-
многообразие М и фиксируем над ним некоторое векторное расслоение
¦ц. Поставим вариационную задачу для связностей D в рас-
расслоении 7], взяв в качестве функционала действия энергию
(иначе говоря, L2-норму) кривизны F •
E) J
н
Критические точки этого функционала Янга - Миллса удовлетворяют
уравнениям Эйлера - Лагранжа
F) Б*^ = О,
нелинейным обобщениям уравнений B). (Напомним, что кривизна
Fq квадратично выражается через связность D, так что не-
20 Введение
линейность в F) является слабой.) В силу тождества Бьянки
ЛЕ' = 0 мы получаем также уравнение типа уравнения Лапласа:
CDD*+D*D)FB = 0.
Уравнения Янга - Миллса второго порядка F) автоматически удов-
удовлетворяются, если подставить в них решения уравнений первого по-
порядка, дающие абсолютный минимум функционала E). Эти уравнения
имеют вид
и называются автодуальными (соответственно антиавтодуальными).
Сформулированная выше теорема Дональдсона дает сильные огра-
ограничения на топологическое строение компактного односвязного
гладкого четырехмерного многообразия М. Она доказывается пу-
путем изучения решений нелинейной системы полуэллиптических урав-
уравнений G). Операторы, входящие в эти уравнения, представляют со-
собой нелинейные обобщения описанного ранее скрученного оператора
Дирака и являются спецификой размерности 4. Пространство реше-
решений системы G) разбивается на классы относительно некоторого
естественного отношения эквивалентности; в результате получает-
получается так называемое пространство модулей JU-. Подобно случаю ли-
линейных эллиптических систем, мы исследуем топологию многообра-
многообразия М путем изучения геометрии пространства решений, только
теперь эта геометрия несравненно богаче - ведь в линейном слу-
случае решения образуют векторное пространство и его геометрия пол-
полностью определяется размерностью. Грубо говоря, в случае авто-
автодуальных уравнений пространство модулей JH представляет со-
собой ориентированное пятимерное многообразие с краем М и с ко-
конечным числом особых точек, причем окрестности этих точек явля-
являются конусами над комплексной проективной плоскостью €PZ. Вы-
Вырезав окрестности этих точек, мы получаем кобордизм между М и
несвязным объединением нескольких экземпляров СР2. Наличие
такого кобордизма вместе с инвариантностью сигнатуры позволяет
завершить доказательство теоремы Дональдсона.
Введение 21
Замечательно, как в доказательстве теоремы Дональдсона исполь-
используется малейшая топологическая информация о многообразии М F
Положительность формы пересечений необходима для теоремы Таубса
о существовании автодуальных связностей. Доказательство ориенти-
ориентируемости пространства модулей JU и тот факт, что dimJU = 5,
основаны на обращении в нуль первого числа Бетти многообразия
М. Каждый из концов iXl имеет вид К х М, и именно условие
'iC (.М) = 0 обеспечивает, что у Jit ровно один конец. Дока-
Доказательство проходит точно при поставленных предположениях и не
проходит ни при каких других.
Благодаря такой прекрасной гармонии между анализом и топо-
топологией направления обобщений теоремы Дональдсона весьма огра-
ограниченны, хотя и можно исследовать четырехмерные многообразия с
точечными особенностями или с краем. Б любом случае все ука-
указывает на то, что калибровочные поля приобрели права граждан-
гражданства и в физике, и в ниатематике. Кроме обсуждаемых здесь вопро-
вопросов имеется еще целый ряд совсем других ситуаций, в которых
они появляются в математике. Прежде всего существует интересная
связь между алгебраическим твисторным описанием автодуальных
полей на автодуальных четырехмерных многообразиях и нелиней-
нелинейным анализом. С одной стороны, пространство модулей JU можно
изучать средствами алгебраической геометрии, кватернионной ли-
линейной алгебры и нелинейных дифференциальных урав-
уравнений в частных производных. В то же время голоморфные рас-
расслоения над комплексными кэлеровыми многообразиями любых раз-
размерностей исследуются с использованием обобщенных автодуаль-
автодуальных уравнений. Атья и Ботт изучили с этих позиций топологию
пространства модулей стабильных векторных расслоений над ри-
мановыми поверхностями. Трехмерные уравнения Янга - Миллса
пока остаются загадкой. Хотя абстрактные теоремы существования
гарантируют наличие решений, их геометрический смысл еще не
ясен. И, наконец, представляют интерес сами уравнения Янга -
Миллса, особенно в сочетании с «внешними полями материи» (урав-
(уравнения Янга - миллса - Хигса). Они привлекательны не только фи-
физической мотивировкой, но и богатым геометрическим и тополо-
топологическим содержанием.
Так как в нашем изложении используются три обширные об-
области математики - топология, геометрия и анализ, то, чтобы
22
Введение
облегчить труд читателя, мы всюду, где это было возможно, ста-
старались давать необходимый подготовительный материал. Следующий
краткий обзор содержания призван служить путеводителем по книге.
В гл. I мы рассматриваем топологические и гладкие четырех-
четырехмерные многообразия. Даны три эквивалентных определения формы
пересечений. В конце главы приведен набросок принадлежащего
М. Фридману доказательства существования фальшивого простран-
пространства К4.
Глава 2 содержит основные сведения из геометрии калибровоч-
калибровочных полей. Для того чтобы получить конкретные формулы, мы ра-
работаем с векторными расслоениями вместо главных расслоений.
Возможно, при этом теряется геометрическая наглядность, поэто-
поэтому мы дадим здесь, во введении, геометрическое описание кова-
риантной производной. Рассмотрим простейший случай вещественно-
значной функции -^ на IR • Один из основных принципов совре-
современной дифференциальной геометрии состоит в том, что мы пости-
постигаем свойства, функций (или сечений расслоений), изучая геометрию
их графиков. В свете этого принципа производная 1>х^ ФУ*
¦? по направлению векторного поля X вычисляется следующим
образом. Поднимем X до касательного векторного поля -f»Х
к графику Г = graph ^. Тогда вертикальная часть поля
измеряет скорость изменения функции 4- в направлении
Введение 23
Отождествляя касательное пространство к прямой [R с самой
этой прямой, мы получаем Dx <f. В этом примере вертикаль-
вертикальная проекция, задаваемая указанием ее ядра - горизонтального
подпространства в точке ^(x)f- канонически определяется струк-
структурой прямого произведения R3 = К * [R. Однако над топо-
топологически нетривиальными многообразиями существуют векторные
расслоения, не являющиеся прямыми произведениями, и тогда гори-
горизонтальное распределение, или связность, представляет собой до-
дополнительную часть геометрических данных. Препятствием к суще-
существованию локального базиса из плоских сечений является кри-
кривизна этой связности, а ее глобальные свойства отражают степень
скрученности расслоения.
Мы изучаем связности, удовлетворяющие системе дифференциаль-
дифференциальных уравнений Янга - Миллса. множество всех связностей в рас-
расслоении образует аффинное пространство «# (разность двух связ-
связностей представляет собой тензорное поле на базе). На этом
пространстве определено естественное действие группы & авто-
автоморфизмов расслоения. Уравнения Янга - миллса инвариантны отно-
относительно этого действия, поэтому наше пространство модулей Л1
является подмножеством в пространстве орбит «з^/@. В конце
гл. 2 мы доказываем теорему Дональдеона, опираясь на тополо-
топологические свойства пространства JH, которые устанавливаются
в последующих главах.
Для типичной метрики на многообразии М. пространство мо-
модулей JU является гладким пятимерным многообразием о конечным
числом особых точек. Доказательству этого факта посвящены
главы 3 и 4. Используемый нами подход отличается от подхода
Дональдсона. Возмущение пространства модулей «Х6 у Дональдсо-
на не индуцировано возмущением метрики, и его более абстракт-
абстрактная постановка несколько упрощает его доказательство. Наши рас-
рассуждения немного сложнее, зато полученное нами возмущенное
пространство модулей по-преянему является пространством реше-
решений уравнений Янга - Миллса, только теперь для возмущенной
метрики на базе. В обоих подходах для построения возмущений
применяется теорема Сарда - Смейла. В гл. 3 мы изучаем непри-
неприводимые связности. Приводимым связностям соответствуют особые
точки пространства модулей JU, , и вблизи этих точек JU
выглядит как конус над (ГР2. В гл. 4 мы переделываем теорему
4 Введение
типичности, принимая во внимание дополнительную симметрию,
доставляемую группой голономии S * приводимой связности.
Глава 5 посвящена в основном топологическим вопросам. В ней
мы определяем индексное расслоение для нашего нелинейного ана-
аналога эллиптического комплекса D), являвшееся расширением ка-
касательного расслоения TJIL. Его существование позволяет вы-
вывести ориентируемость многообразия JU, из односвязности про-
пространства орбит «sf/0, которая в свою очередь следует из
связности грушш калибровочных преобразований &. Оказы-
Оказывается, что группа путей Tto(<5$) есть не что иное, как мно-
множество гомотопических классов ?rl,S3]. Это следует из клас-
классификационной теоремы Стинрода. Более геометрическое доказатель-
доказательство, основанное на конструкции Понтрягина, дано в приложении В.
Глава 6 представляет собой причудливую смесь анализа и гео-
геометрии. Она содержит подготовительный материал, необходимый для
доказательства теоремы Таубса о существовании автодуальных связ-
ностей, а также фрагмент самого доказательства - так называемую
процедуру прививки. Мы начинаем с геометрического описания
пространства модулей инстантонов на четырехмерной сфере З4,
подчеркивая при этом роль конформной грушш, которая сохраняет
уравнения Янга - миллса и транзитивно действует на S . Ин-
стантоны на 5 можно локализовать с помощью гомотетии. Остро-
Остроумная идея Таубса состоит в том, чтобы перенести («привить»)
эти локализованные инстантоны на многообразие М. Описав
процедуру прививки, мы возвращаемся к разработке аналитической
техники, которая используется при доказательстве теоремы Таубса.
В гл. 7 на первый план выступает анализ. Новшеством здесь
является процесс раздутия метрики, позволяющий компенсировать
особенности формы кривизны. (Заметим, что этой техникой можно
пользоваться для устранения особенностей и во многих друзах, за-
задачах, связанных с дифференциальными уравнениями в частных про-
производных.) Однако ничто в этом мире не дается даром, поэтому за
компенсацию особенностей кривизны мы вынуждены платить тем,
что теперь нам приходится иметь дело с некомпактным многообра-
многообразием. К счастью, мы в состоянии контролировать процесс разду-
раздутия и, следовательно, появившуюся некомпактность. Это находит
отражение в аналитических опенках, с помощью которых мы успеш-
успешно завершаем доказательство теоремы Таубса. Кроме того, здесь
Введение 2В
доказывается локальная связность пространства модулей, которая
понадобится позже. Работая с раздутыми некомпактными многообра-
многообразиями, мы получаем более простое доказательство, чем у Дональд-
сона. Кстати, это и было стимулом получения другого доказатель-
доказательства теоремы Taydca.
Компактность пространства модулей доказывается в гл. 8.
Вначале мы показываем, что решения автодуальных уравнений ре-
регулярны. Это выводится из теоремы регулярности, справедливой
для произвольных нелинейных эллиптических уравнений. Чтобы по-
получить доказательство компактности, мы используем вытекающее
из общих свойств дифференциальных уравнений каноническое ло-
локальное расщепление действия 1'рушш & на пространстве связ-
ностей - так называемую калибровку Кулона. Теорема компактно-
компактности получается при помощи леммы о выборе калибровки и техни-
техники склеивания, которые мы не включили, так как не смогли улуч-
улучшить опубликованных доказательств. В гл. 8 содержится также
длинный технический рецепт для измерения степени концентрации
кривизны локализованных инстантонов, который имеет решавшее
значение в гл. 9 при доказательстве теоремы о воротнике. В са-
самом деле, отображение Si , указывающее центр и масштаб ин-
стантона, задает воротник многообразия М в пространстве мо-
модулей. В качестве премии мы получаем некоторые оценки для ло-
локализованных инстантонов.
Глава 9 посвящена теореме о воротнике. Мы придерживаемся
оригинального доказательства Дональдеона с некоторыми упроще-
упрощениями, которые получаются за счет использования раздутого мно-
многообразия М. В первом разделе мы продолжаем изучать струк-
структуру локализованных инстантонов, на сей раз в кольцевой об-
области вблизи центра. При этом получаются так называемые оцен-
оценки распада инстантона. Они используются в теореме о воротнике
и, кроме того, дают новое очень короткое доказательство теоре-
теоремы об устранении особенностей, которое приведено полностью в
приложении D. Как всегда, мы интерпретируем воротник по
аналогии с локализованными инстантонами на /S ; отсюда без
труда следует, что пятимерное касательное расслоение в лока-
локализованном инстантоне состоит из инфшштезимальных почти кон-
конформных деформаций. Другими словами, отображение 53, со-
сопоставляющее инст&нтону центр и масштаб, является локальным
26 Введение
диффеоморфизмом. Комбинируя этот результат с теоремой компакт-
компактности из гл.8, мы заключаем, что 5S - конечнолистное накрывающее
отображение. Доказательство того, что отображение ЗЬ взаимно
однозначно, требует привлечения экспоненциальных калибровок; мы
описываем их во всех деталях. Наконец, сведя вместе полученные
нами оценки и призвав на помощь локальную связность пространст-
пространства модулей, установленную в гл.7, мы завершаем доказательство
теоремы о воротнике.
Топологи Финтушел и Стерн получили новое доказательство ря-
ряда частных случаев теоремы Дональдеона. Хотя их методы приме-
применимы не ко всем формам пересечений, они годятся для многообра-
многообразий с нетривиальной фундаментальной группой. 5 их подходе
ЗиB)-расслоение, которое использовал Дональдсон, заменяется
соответствующим ЗОC)-расслоением. В результате пространство
модулей инстантонов для такого расслоения компактно и одномер-
одномерно, что позволяет заменить построение кобордизма и сигнатурные
вычисления простым подсчетом граничных точек. Техника Финтушела
и Стерна изложена в гл. 10.
В книге имеется пять приложений. Первое содержит некоторые
аналитические понятия и конструкции, связанные с пространства-
пространствами Соболева. Мы вынесли их в отдельное приложение, чтобы не
отягощать и без того не простую гл. 3. В приложение В включено
изящное геометрическое вычисление множества гомотопических
классов L-M» S J, Приложение С посвящено выводу формул
Вейтценбёка; при этом мы старательно подчеркивали роль орто-
ортогональной группы. По существу, наш подход представляет собой
основанные на ортогональной инвариантности вычисления в нор-
нормальных геодезических координатах. В качестве противоядия это-
этому абстрактному подходу мы выводим одну из формул Вейтценбёка
с помощью метода подвижного репера. Коэффициенты в этой форму-
формуле играют решающую роль при получении оценок распада инстанто-
на в гл. 9. Как уже упоминалось, приложение D содержит осно-
основанное на этих оценках короткое доказательство теоремы об устра-
устранении особенностей. В приложении Е собраны различные тополо-
топологические результаты, включая классификацию U(?)-, STJB)-
и SO{3 )-расслоений.
ГЛОССАРИЙ
инвариант Кётэби — Эйбенманна и теория сглаживания. Обозначим
через DIFF^ группу диффеоморфизмов пространства R , че-
через PL n- группу обратимых кусочно-линейных отображений [R ""
и через ТОР - группу гомеоморфизмов 1R . Тогда имеют
место очевидные включения
ТОР1 с ТОР, = ... <=¦ ТОРп с ... ,
позволяющие определить предельные группы DIFF, PL. и ТОР.
(Здесь используется та же конструкция, что и для групп Ли. Более
того, стабильная ортогональная группа О гомотопически экви-
эквивалентна DIFF.) Как и группы Ли, топологические группы DIFF,
PL и ТОР обладают классифицирующими пространствами (см.
приложение Е), которые обозначаются BDIFF, BPL и ВТОР.
Эти пространства связаны цепочкой отображений BDIFF -*¦
— BPL -*¦ ВТОР в соответствии с тем нетривиальным обстоятель-
обстоятельством, что каждое гладкое многообразие наделено кусочно-линей-
кусочно-линейной структурой, а соответствующее PL-многообразие в свою
очередь является топологическим. С топологическим многообразием
М связано топологическое касательное расслоение. Оно пред-
представляется отображением ТГ: Н -*¦ ВТОР, и можно ожи-
ожидать, что поднятиям тг в пространство BPL (соответ-
(соответственно в BDIFF) отвечают PL-структуры (соответствен-
(соответственно гладкие структуры) на М. И действительно, как утверждает
28
Глоссарии
основная теорема теории сглаживания, такое соответствие имеет
место в размерностях п. > 5, если ЪМ = 0, и в раз-
размерностях Пг ъ- 6 в противном случае. Точнее, эта теорема
утверждает, что гомотопическим классам поднятий соответствуют
изотопические классы PL (или DIFF)-структур. Таким обра-
образом, теория сглаживания в указанных размерностях сводится к
теории препятствий. Превратим отображение BPL -*¦ ВТОР в
расслоение и обозначим его слой через TOP/PL. В 1969 г.
Кёрби и Зибенманн установили, что единственной нетривиальной
гомотопической группой этого слоя является группа 'ЯГ (TOP/PL)=Z
Образ универсального препятствия из Jf*(ВТОР; ^(TOP/PL))
при гомоморфизме Т*: Н4(ВТОР; 7Lz) -*¦ Н4(Н; X&) и есть
инвариант Кёрби - Зибенманна ос (М) еН4СМ; 2г). Препятствия
к сглаживанию PL-многообразия проистекают из гомотопических
групп it^CPL/DIFF) = ©^ (m. z 5), где ©„_ - группа
Кервера - Шглнора классов изоморфных гладких ориентированных
гомотопических пг-мерных сфер. Приведем несколько первых
значений:
5
0
6
0
7
228
8
9
10
11
532
Теория сглаживания в размерности 4 разработана не полностью;
большим шагом вперед стала теорема Дональдсона. В то же время
Серф СсеЗ доказал, что каждое четырехмерное PL-много-
PL-многообразие может быть наделено единственной согласованной гладкой
структурой. В размерностях п = I, 2 и 3 все топологические
многообразия сглаживаемы единственным образом ЕМоЗ • 0СН0Б-
ным источником по теории сглаживания, включающим обширную
библиографию, является монография Кёрби и Зибенманна ?еб].
Конед. Грубо говоря, концы многообразия М - это те его
части, которые уходят в бесконечность. Более формально, се-
семейство ?М\К} дополнений к компактным подмножествам KsW
направлено по вложению, и множество концов - это проективный
предел данного направленного множества ?st2, с.з]-
Глоссарии
29
конец
PL-многообразие. Вначале определим понятие PL-отображе-
PL-отображения. Пусть U s R"" и V ? К"" - открытые множества и
^: Т7 -*• V - непрерывное отображение. Тогда -^ называется
PL-отображением, если существует подразделение стандартной
прямолинейной триангуляции множеств U и V, для которого
I линейно на каждом симплексе. Топологическое многообразие М
обладает PL-структурой, если на нем существует такой атлас,
функции перехода которого являются PL-отображениями (ср. с
данным в гл. I определением гладкого многообразия).
Опетэатор Дирака. Это основной дифференциальный оператор на
спинорном многообразии. В четных размерностях оператор Дирака
представляет собой оператор первого порядка $: C°°(S+) -* C°°(<S~),
действующий в сечениях полуспинорных расслоений. Комплекс D)
на четырехмерных многообразиях получается тензорным умножением
$ на S~; это дает оператор $ : C°°(S+<& S~) — C°°(.S~®S~).
Подробное описание свойств оператора Дирака см. в работе []ahs].
Теорема Рохлина. Топологическое доказательство этой теоремы,
построенное в соответствии с первоначальными идеями Рохлина,
содержится в работе l"pkJ.
Теория Морса. Классическим руководством по этой теории является
книга Милнора ПМ?И*
Топологическое спинорное многообразие. Это просто многообразие,
у которого первые два класса Штифеля - Уитни равны нулю. (Клас-
(Классы Штифеля - Уитни топологического мнбгообразия определяются с
помощью квадратов Стинрода ?sp, § 6.16], ^ms, § a}.)
30 Глоссарий
Топология трехмерных многообразий и минимальные поветзхности.
Три основные теоремы топологии трехмерных многообразий - лемма
Дена, теорема о петле и теорема о сфере - были доказаны в 1957 г.
Папакирьякопулосом (Ден сформулировал свой результат в 1910 г.,
но дал ошибочное,доказательство). Цусть М. - трехмерное много-
многообразие с краем; в силу теории сглаживания можно считать это
многообразие гладким. Лемма Дена утверждает, что жорданова кри- ]
вая J <= ЭМ, стягиваемая в М, ограничивает вложенный
диск в М. Теорема о петле относится к случаю, когда вложен-
вложенная кривая j является негомотопной нулю петлей в ЭМ. В
комбинации с леммой Дена получаем традиционную формулировку:
если ядро гомоморфизма 1С (ЭМ) —- 1С^(М) нетривиально, то
в многообразии М существует вложенный диск, граница которого
расположена в ЭМ и представляет нетривиальный элемент этого
ядра. Наконец, теорема о сфере утверждает, что в случае, когда
многообразие М ориентируемо и ТГ2(-М) =* 0, в нем существует
вложенная нестягиваемая двумерная сфера Sz. Микс и Яу получи-
получили геометрические версии этих теорем для компактных многообразий.
А именно, они доказали, что при подходящих метриках на М (ко-
(которые всегда существуют) можно так выбрать вложенные диски в ле№
ме Дена и в теореме о петле и вложенную сферу Sz в теореме о
сфере,что они будут иметь минимальную площадь. Более того, об-
образы любых двух таких минимальных вложений либо совпадают, либо
пересекаются только по границе (не пересекаются в теореме о сфе-
сфере) . Существуют эквивариантные формулировки этих теорем, приво-
приводящие к доказательству гипотезы Смита: если группа Жп действует
на S3 с одномерным множеством неподвижных точек F, то F •
незаузленная окружность.По топологии трехмерных многообразий мож-
можно обратиться к руководствам ?не], []st2]; результаты,
включающие минимальные поверхности, содержатся в работах рмп],
?mY2], [mst]. Отметим, что в обоих контекстах имеются более
сильные формулировки трех основных теорем, теснее связанные с
группами на многообразиях.
Эллиптическая теория. Доступное изложение теоремы Де Рама мош
найти в книге CWa3* Книга Пале СР2И содержит основы теории
фредгольмовых операторов, а также теорему Атьи - Зингера об ин-
индексе .
Глава 1
ФАЛЬШИВЫЕ |R4
В этой главе дается обзор топологических идей, лежащих в
основе доказательства существования «фальшивого» четырехмерного
пространства К^. Пространство (R* отличается от
стандартного гладкой структурой. После краткого обсуждения поня-
понятия гладкой структуры на многообразии мы описываем алгебраиче-
алгебраические инварианты, которые используются для классификации четырех-
четырехмерных топологических многообразий. Не все четырехмерные много-
многообразия допускают гладкую структуру; мы формулируем характерные
результаты о несуществовании, включая теорему Дональдсона. На-
Наконец, объединив все изложенное, мы даем набросок доказатель-
доказательства существования на (R экзотической гладкой структуры.
Другое изложение этого материала читатель сможет найти в работе
[РГ2].
ГЛАДКИЕ СТРУКТУРЫ
Пусть М - топологическое многообразие размерности п.
Это означает, что М является топологическим пространством,
которое локально выглядит как обычное евклидово пространство К
На многообразии М можно очевидным образом определить откры-
открытые множества и непрерывные функции, но нельзя дифференцировать.
Введем дополнительную структуру, согласованную с топологией на
.М, которая позволит нам выделить в кольце всех непрерывных
функций на И подкольцо гладких функций. Это делается с по-
помощью гладко согласованного множества координатных карт. Тогда
гладкая структура на М это такое покрытие М. открытыми
множествами 17 , рассматриваемыми вместе с гомеоморфизмами
32 Глава I
ср ; U -* Ra, что функции перехода
—?.
являются гладкими. Для функций ffi° Ч'л понятие глад-
гладкости имеет смысл, поскольку ^(Ц^П U-) и cp.CU^ Л ТТ.,) -
открытые подмножества в К"", а мы знаем, как дифференциро-
дифференцировать отображения между такими множествами. Будем говорить, что
¦f: М -* IR - гладкая функция, если для каждого 17^ глад-
гладкими являются функции ^° ср^ : <ft?.(*'UtlO') ~*~ К. Этим опре-
определяется кольцо гладких функций на JM .
м.
'Up
Фр
срр о (pi1
В качестве первого примера рассмотрим М = IR . Заметим
снова, что дифференцирование здесь имеет смысл: достаточно вы-
вычислить предел отношения приращений. Покроем многообразие М
одним открытым множеством (U = М.У и возьмем в качестве ц>
тождественное отображение. Обозначим пространство К"", снаб-
снабженное этой гладкой структурой, через КЦ. На К""
ст
нетрудно построить и другие гладкие структуры. Например, возьмем
N — К, покроем его, как и прежде, одним открытым множеством,
но теперь зададим q>: N -*¦ IR , полагая q>(x) = oci/3.
Заметим, что ср - гомеоморфизм. Очевидно, что ср опреде-
определяет новое понятие гладкости на N - функция -I: N ~*~ IR
является гладкой в новом смысле тогда и только тогда, когда
f °cf" : К ~*" К дифференцируема в смысле классическо-
классического определения. Например, гладкой на itf будет функция
ос2/3, поскольку ^о<р'?(^) == ц? гладкая в обычном
Фальшивые В\ 33
смысле. Таким образом, нам удалось определить на К другую
гладкость. Но наша новая гладкость не слишком отличается от
стандартной. В самом деле, отображение ц> (рассматриваемое
как отображение N —*¦ IR ) является диффеоморфизмом между
Я и Кст . Можно подумать, что более сложное покрытие про-
пространства К многими координатными картами привело бы к
совсем непохожей гладкой структуре. Однако это не так. Действи-
Действительно, обозначим через X прямую R с некоторой гладкой
структурой. Тогда разбиение единицы позволяет построить на X
полную риманову метрику. Легко видеть, что экспоненциальное ото-
отображение exp: TQX -*• X является диффеоморфизмом. Но TQX
(касательное пространство к X в начале координат) есть не
что иное, как Кст. Поэтому X диффеоморфно RCT.
Таким образом, на вещественной прямой не существует экзоти-
экзотических гладких структур. Для более сложных пространств ситуация
иная. В 1956 г. Дж. Милнор построил пример экзотической гладкой
структуры на семимерной сфере S СМ"О* Затем бшш открыты
экзотические структуры на сферах более высоких размерностей;
классификация этих структур сведена к задачам гомотопической
топологии ?КМ2]. Естественно ожидать, что плоские простран-
пространства К являются более «послушными». И в самом деле, можно
показать, что для а*4 любая гладкая структура на IR"" эк-
эквивалентна стандартной CMcG» CS*I]* В то же время имеет
место следующий
Удивительный факт. На пространстве IR су-
существует экзотическая гладкая структура.
Существование пространства К^ доказывается при помощи
замечательной комбинации топологии, анализа и геометрик. С ана-
анализом и геометрией мы будем иметь дело позже; в этой главе об-
обсуждаются некоторые топологические аспекты.
Для начала довольствуемся одним поразительным свойством про-
прор
странства К*, благодаря которому оно недиффеоморфно КдТ-
(I.I) В пространстве \Rt существует компактное множество
С, которое нельзя окружить никакой гладко вложенной
трехмерной сферой.
34 Глава I
Разумеется, в К 1_ существуют произвольно большие глад-
кие трехмерные сферы. Кроме того, поскольку К. гомеоморфно
обычному пространству К4, в tR$ существуют произвольно
большие непрерывно вложенные трехмерные сферы. (Чтобы построить
такие сферы, выберем в IR^ какую-нибудь норму и рассмотрим
множества foe e (R*-: |]х|| = R] для больших R .) Поэто-
Поэтому в гладком многообразии IRt сферы вблизи бесконечности
очень «зазубрены».
ЧЕТЫРЕШЕРНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Всюду в этом параграфе через М будет обозначаться компакт-
компактное односвязное четырехмерное топологическое многообразие. В
частности, многообразие М ориентируемо; раз и навсегда фикси-
фиксируем на нем определенную ориентацию. На двумерных целочисленных
гэмологиях Н (М; TL) многообразия М. построим симметри
ческуто билинейную форму. Допустим, что элементы <х,4> е Н2(М; TL)
представляются трансверсалъно пересекающимися ориентированными
поверхностями А, Б в М. (Этого всегда возможно добиться,
если Ы - гладкое многообразие; см. (ЕЭ) в приложении Е. Для
топологических многообразий требуется видоизменить определение;
это будет сделано в следующем параграфе.) Положим
w(a.,-6) = А-Б,
где через А•В обозначен индекс пересечения ориентирован-
ориентированных циклов Аи Б. Поскольку оба цикла А и В дву-
двумерны, форма со является симметрической. Кроме того, в си-
силу двойственности Пуанкаре форма со унимодулярна, т.е. лю-
любая представляющая ее матрица имеет определитель, равный ±1.
Фальшивые fl^4 35
Двойственность Пуанкаре позволяет отождествить грущу гомо-
гомологии H?(M;Z) с группой когомологий Н2(М; 7L) и,
следовательно, определить форму со как спаривание H2(M;Z)®
®Нг(И; Ж) — Ж. Если ac,peH\M;Z) и
?М] е Н^(М; Z) - фундаментальный класс многообразия
М, заданный ориентацией, то со определяется по правилу
со(ос,р) = (ос
Здесь w: H2(M; Z) ® H2(M; Z) -¦ KU(M; Z) обозначает «^-умно-
«^-умножение в когомологиях; в нашем случае оно коммутативно.
Когда многообразие М обладает гладкой структурой, форму
со можно определить третьим способом, используя когомологий
Де Рама Н*я(аЧ). Предположим, что элементы ос, psH^(M)
представлены 2-формами, которые мы также обозначим через ос и р.
Тогда
со(ос, ji) = V ослр.
Н
Каким бы способом мы ее ни определили, форма со назы-
называется формой пересечений и является основным инвариантом ком-
компактного четырехмерного многообразия. В 1949 г. Уайтхед [у2 по-
показал, что гомотопический тип компактного односвязного четырех-
четырехмерного многообразия определяется классом изоморфизма формы со
(см. ?М2[] ). В 1981 г. этот результат был превзойден М.Фридма-
М.Фридманом, который классифицировал компактные односвязные четырехмер-
четырехмерные многообразия с точностью до гомеоморфизма [^FrJ .
Примеры
1. М =?4. Так как H2(S4; Z) =H2E4; Z) = 0, то со = 0.
2. JM = S2*?2. В этом .случае группа H2(S2*S2; Юпо-
рождается циклами ct=,Sa*pi и -Ь — pi * «S2. Здесь через
pi обозначена точка из 52. Матрица формы Од в базисе
{ос, 4>} имеет вид
36
Глава I
0 I
1 О
Группа Я2(СР2; Z) имеет одну образующую,
3. И = (DP2. Группа H2((DP2
в матрицей формы со является матрица (I).
4. М = К = {[20 : zt: 2г: 23] s СР3: Сг0)
Это так называемая поверхность ^уммера. Используя характеристи-
характеристические классы, можно показать |j№2j , что форма со представ-
представляется матрицей
0 !Ч
1 0 •
где
2-1000000
-12-100000
О -I 2 -I О О О О
0 0-12-1000
О О 0-1 2-1 0-1
0 0 0 0-12-10
00000-120
0000-1002
Отметим, что (О 1\ - это форма пересечений многообразия ,S *S ,
I О
а Е„ - матрица Картава исключительной алгебры Ли е„.
о о
Полезно кое-что знать od унимодулярных симметрических би-
билинейных формах со над целыми числами. Ранг -ъ(со) формы
со - это размерность пространства, на котором она определена
(в нашем случае dim H2(.M; Z)) . Сигнатура б(со) - это
число положительных собственных значений минус число отрицатель-
отрицательных собственных значений со, рассматриваемой как веществен-
вещественная форма, йце одной важной характеристикой унимодулярной цело-
целочисленной формы является ее тип: форма СО называется четной.
Фальшивые R4 37
если четны все диагональные элементы (эквивалентно, со(ос,ос)
ддя всех ос е Н2СМ; Z)); в противном случав форма со на-
называется нечетной. Ранг, сигнатура и тип образуют полную систему
инвариантов для (знако)неопределенных унимодулярных симметриче-
ческих форм [Ш2 t C^Mt с.37 рус.перев.З . Классификация
положительно определенных унимодулятных форм значительно труднее.
Кяассическая теорема, принадлежащая Эйзенштейну и Эрмиту, ут-
утверждает, что существует лишь конечное число классов изоморфных
положительно определенных унимодулярных форм данного ранга. Не
все комбинации ранга, сигнатуры и типа реализуются; это отно-
относятся как к знакоопределенным, так и к неопределенным формам.
Наиболее важным нетривиальным ограничением является тот факт,
что если форма со четна, то б (со) делится на 8. В этой
связи заметим, что 6(Eg) = 8. Можно показать, что Е& -
единственная положительно определенная четная форма ранга 8.
Насколько быстро растет количество знакоопределенных форм в за-
зависимости от ранга,видно из следующей статистики: существуют
две четные положительно определенные формы ранга 16, 24 формы
ранга 24 и более чем 10я форм ранга 40 !
Кроме инвариантов унимодулярных целочисленных форм в клас-
классификации Фридмана участвует препятствие Кёрби - Зибенманна
ос(М) s Z3. Проще всего это препятствие может быть опи-
описано так: ос(М) = 0, если MXS сглаживаемо, и
ос (М) = i, если М * Sl несглаживаемо (М * 5 L яв-
является пятимерным многообразием, а в размерностях 5 и выше су-
существует хорошо разработанная теория сглаживания). Тогда имеет
место следующая
Классификация (по Фридману). Компактные одно-
связные топологические четырехмерные многообразия находятся во
взаимно однозначном соответствии с парами вида
{<со,ос>: —g—= ос (mod 2) для четных фо-рм cjj\
В частности, для любой квадратичной формы со существует
четырехмерное многообразие |со |, реализующее со как
форму пересечений. Бели форма со четна, то она однозначно
определяет топологический тип многообразия | со |. Для нечет-
нечетной формы со существуют ровно два негомеоморфных многообра-
многообразия | со |, реализующих со. Между прочим, это утверждение
38 Глава I
о единственности для пары {0, 0) представляет собой четырех-
четырехмерную гипотезу Пуанкаре в топологической категории. Отметим,
что теорема Фридмана ничего не говорит о классификации гладких
четырехмерных многообразий.
ГЛАДКИЕ ЧБГГЫРЕЗШЕРШЕ МНОГООБРАЗИЯ
Гладкие четырехмерные многообразия противятся классификации;
по-видимому, наибольшие трудности, относящиеся к исследованию
гладкости, сосредоточены как раз в размерности четыре. В более
низких размерностях любое топологическое многообразие допускает
единственную (с точностью до диффеоморфизма) гладкую структуру
[Мо^> в размерностях выше четырех гладкие структуры соответ-
соответствуют редукциям касательного расслоения ?ks ~\ . Предзнамено-
Предзнаменованием тех осложнений, которые возникают в размерности четыре,
явился результат Рохлина 1952 г.
Теорема 1.2 (Рохлин [_в.~] ). Если гладкое односвязное
компактное четырехмерное многообразие имеет четную форму пере-
пересечений со, тр_ б(со) делится на 16.
Стоит отметить резкое отличие этой теоремы от результатов
предыдущего параграфа. В самом деле, если |со| - топологиче-
топологическое многообразие для четной формы со, то 5(со) делится
всего лишь на 8. Поэтому из теоремы Рохлина и классификации
Фридмана вытекает, что | Е& | существует как топологическое
многообразие, но не существует как гладкое.
В некоторых редакциях теоремы Рохлина (см. СРК3' ПКМ'О)
предположение о четности формы со заменяется предположением
о спинорности многообразия М, т.е. об обращении в нуль его
второго класса Штифеля - Уитни ъа& . Если многообразие М одно-
связно, то эти предположения эквивалентны: гиг = 0 тогда и толь-
только тогда, когда форма со четна. Дадим набросок доказатель-
доказательства этого утверждения. Поскольку ГС (М) = 0, мы имеем
Я^СМ; 22) = 0 (кстати, последним условием можно заменить пред-
предположение об односвязности), и теорема об универсальных коэффи-
коэффициентах для когомологий доставляет изоморфизм
Яг(М; %z) ^* Hom(H2(K; Z), Z2). При этом изоморфизме
Фальшивые R1* 39
класс Штифеля - Уитни w2 еН2СМ;2?г) переходит в элемент из
Яот(Я2(М; Z), Z2), значение которого на ориентированной
поверхности EsM равно 0 или I в зависимости от того,
тривиально или нет расслоение ТМ | п . Но ТМ | Е = v®TE,
где •>> - нормальное расслоение к Е в М. Так как Е -
ориентированная поверхность, то расслоение ТЕ стабильно три-
тривиально. Препятствием же к тривиализации нормального расслоения
V является эйлеров класс % С v), равный индексу самопере-
самопересечения поверхности С Так как мы рассматриваем расслоение
v ® ТЕ, то можно редуцировать класс %(v) е Ha(E;'iC1(SOB))) =
= Я2(?;Ю к 2 2
А класс %(v) ы г обращается в нуль в точности тогда, когда
w(E,E) e 2Z.
Из теоремы Рохлина вытекает, что для многих четных форм оэ
не существует соответствующих им гладких многообразий |со|;
в случае положительно определенных форм об этом говорит теорема
Дональдеона.
Теорема 1.3 (Дональдсон). Многообразие | со| не яв-
является гладким ни для какой ненулевой четной положительно опре-
определенной формы со.
В частности, |?8®Eg| не является гладким многообразием.
В то же время пример 4 из предыдущего параграфа показывает, что
поверхность Куммера К — -Е®-Е©зГ? qJ - гладкое много-
многообразие. Поскольку S2*S2=(^ ij также является гладким
многообразием (пример 2), хотелось бы с помощью хирургии на по-
поверхности К удалить Н(? оI и тем самым получить
после обращения ориентации гладкое многообразие jEg®?g|. Б
следующем параграфе мы увидим, что такая хирургия невозможна.
А из этого совершенно неожиданно будет следовать существование
Мы завершим этот параграф формулировкой недавнего результата
Квинна, который показал, что все компактные четырехмерные много-
многообразия почти сглаживаемы, т.е. сглаживаемы в дополнении к любой
40
Глава i
своей точке.
Теорема 1.4 (Квинн
рехмерное многообразие сглаживаемо
). Любое некомпактное четы-
четыХШУРГИЧЕСКАЯ АНОМАЛИЯ
Прежде чем положить на операционный стол поверхность Куммера,
вспомним, как с помощью ампутации ручек удаляются гомологии в
простейшем случае римановой поверхности. Рассмотрим поверхность,
у которой (антисимметрическая) форма пересечений ручки имеет
Для того чтобы удалить эти гомологии, мы выполняем
вид
'О 1\
,-1 О/
одну из трех процедур.
I. Представляем гомологии вложенным проколотым тором SixSi-jf.
(Прокол JD2 делается там, где ручка соединяется с поверхностью.)
Затем стягиваем в точку букет SlvSl = (Siiii
Тогда (Si*Siy(SivSi) = Sz , поскольку квадрат '/У//, ,
граница которого
i
I стянута в точку, есть не что иное,
Фальшивее 1R
как
2. Находим окружность S , окружапцую ручку;
Вырезаем ручку:
и заклеиваем поверхность диском:
42
Глава I
3. Вырезаем часть ручки:
и заклеиваем оставшуюся часть двумя дисками, т.е. произведе-
произведением VZ*S°:
Займемся теперь поверхностью Куммера К. Представим ее
следующей схемой:
Фальшивке
где
есть графическое изображение двумерных гомологии, образующими
которых являются элементы а,^, Si <=KZ(K; Ж), i = 1, 2, 3. А теперь
используем две топологические теоремы, которые можно рассматри-
рассматривать как следствия одного результата о ручках Кассона С51!
(см. также работу Кассона [^С] ).
Теорема 1.5. Гомологии, порожденные элементами л.,¦?>.,
представляются окаймленным топологическим вложением многообра-
зия X =» 3(.SZ*SZ)-J)U j. К. Более того, это вложение глад-
гладко эквивалентно вложению X в. 3(,Sax<S2), представляющему
гомологии многообразия 22
Теорема I. 6. Пусть V - некомпактное односвязное
четырехмерное многообразие без края, удовлетворяющее условию
Ha(V"; Z) = 0 и имеющее единственный конец, гомеоморфкый
S3x[o, оо). Тогда V гомеоморфно К4.
Теорема 1.5 утверждает, что имеет место коммутативная диаграм-
*¦ к
3(s2xs2)
44
Глава 1
X
Б этой диаграмме тп^тиг) - окрестности образа А. в
и 3(SZ*SZ) соответственно. Напомним, что окаймленным вложением
многообразия X называется вложение, при котором образ края ЭХ
имеет окрестность вида ЭХ* \_0, 1I
Из существования окаймления у /(X) C3(S *S )следует, что
многообразие V" = 3(SzxSz)-j.(X) имеет единственный конец, гомео-
мо.рфный S3x[0, <»). Поэтому по теореме 1.6 многообразие V
гомеоморфно К4.
Теперь мы воспользуемся теоремой Дональде она и покажем, что
гладкая структура, которую V наследует от 5(SZ*SZ), не
является стандартной. Предположим, что существует гладко вло-
вложенная трехмерная сфера -S, окружающая многообразие i(X)
в его воротнике.
3(S*XS2)
Тогда, применяя четырехмерный аналог описанной выше второй хи-
хирургической процедуры, мы можем построить гладкое многообразие
|?J3© Еа| . Но теорема Дональдсона запрещает это. Значит, в во-
воротнике t(X) не существует гладко вложенной сферы S3. В
силу диффеоморфизма т^ — rj не существует гладко вложен-
Фальшивые R 45
ной сферы S3 ив воротнике j CX.). Обозначая компактное мно-
множество 3(S2xS2)- (j-(X) U воротник)) через С, мы видим,
что в многообразии V ==р К не существует гладко вложенной
сферы S, окружающей С. Следовательно, V удовлетворяет
условию (I.I), характеризующему фальшивое К4, и мы можем по-
положить Кф= V.
В заключение упомянем две открытые проблемы. Приведенные
рассуждения доказывают существование на К новой гладкой
структуры. Роберт Гомпф построил еще три различных фальшивых
К4 1С*]. Сколько всего имеется экзотических структур на К ?
Наконец, существуют ли фальшивые четырехмерные сферы S ? Глад-
Гладкая четырехмерная гипотеза Пуанкаре утверждает, что фальшивых
S4 нет. Работа Фридмана показывает, что многообразие, гомото-
пически эквивалентное S*, гомеоморфно <S4. Поэтому постав-
поставленный здесь вопрос можно переформулировать так: будет ли много-
многообразие, гомеоморфное сфере 54, диффеоморфно ей.
Глава 2
УРАВНЕНИЯ ЯНГА-МИЛЛСА
Начиная с этого места, мы будем иметь дело с некоторым прост-
пространством орбит ЛЬ, называемым пространством модулей инстанто-
нов. Оно представляет собой множество решений автодуальных урав-
уравнений Янга - Миллса, профакторизованное по действию группы ка-
калибровочных преобразований. Автодуальные уравнения Янга - Миллса -
это система дифференциальных уравнений в частных производных
относительно связности в векторном расслоении над гладким че-
четырехмерным многообразием, эллиптическая в направлениях, транс-
версальных к орбитам группы калибровочных преобразований. Груп-
Группа калибровочных преобразований - это просто группа послойных
автоморфизмов векторного расслоения; она задает естественное от-
отношение эквивалентности в рассматриваемой задаче и, следователь-
следовательно, действует на пространстве решений автодуальных уравнений
Янга - Миллса.
На интуитивном уровне наше пространство модулей можно рас-
рассматривать как аналог более привычного пространства модулей ри-
мановых поверхностей фиксированного рода. (В нашем случае род
соответствует числу Чжэня векторного расслоения.) Напомним, что
пространство модулей римановых поверхностей получается из бес-
бесконечномерного пространства всевозможных римановых поверхностей
данного рода факторизацией по конформной эквивалентности. Это
конечномерное клеточное пространство; чаще всего оно описывает-
описывается как множество орбит действия на клетке (пространстве Тейх-
мюллера) некоторой дискретной группы (так называемой модуляр-
модулярной группы).
Наше пространство модулей устроено совершенно аналогично.
Как уже указывалось, это пространство орбит решений автодуаль-
автодуальных уравнений Янга - Миллса относительно действия группы ка-
калибровочных преобразований. Теорема Атьи - Зингера дает«аб-
Уравнения Янга - Миллса 47
страктную размерность» пространства JH в виде индекса некото-
рого эллиптического комплекса. В нашем примере этот индекс ра~
вен пяти. При обращении в нуль групп нульмерных и двумерных ко-
гомологий указанного комплекса пространство модулей ЛС наде-
наделяется структурой гладкого многообразия, а его «абстрактная раз-
мэрностыютановится настоящей размерностью. Особые точки на Л1,
порождаемые ненулевыми когомологиями, имеют два источника: одни
происходят из неподвижных точек действия групп калибровочных
преобразований, а другие обязаны своим появлением тому, что урав-
уравнения имеют решения не при любых правых частях. Оба эти случая
подробнее рассматриваются в гл. 3 и 4. Особенности первого типа
соответствуют приводимым связностям. Поэтому в настоящей главе
мы изучаем связности в линейных 17A)-расслоениях. После этого
мы наконец получим возможность обрисовать доказательство теоре-
теоремы Дональдсона. В последующих главах будут доказаны результаты
о топологическом строении JU-.
Уравнения Янга - миллса были введены в пятидесятых годах фи-
физиками для описания сильных взаимодействий. Эта сторона дела хо-
хорошо изложена в ?'] (см. также ?мау] ). Хотя в физи-
физическом контексте уравнения Янга - Миллса представляют собой
гиперболическую систему в пространстве Минковского, эллиптиче-
эллиптическая версия этих уравнений также имеет физическое содержание;
такие уравнения появляются в квантовых теориях поля. В этой
книге мы рассматриваем эллиптические уравнения Янга - Миллса на
четырехмерных римановых многообразиях. Более подробные сведе-
сведения и ссылки читатель найдет в обзорной статье Р. Стерна ?sn].
Рекомендуем также обратиться к работам [лг^, [авД , [ahsJ,
[в], [вь], OvJ, [jt] и [ра].
СВЯЗНОСТИ
Главное расслоение Р над многообразием М со структурной
группой G- представляет собой скрученный вариант прямого
произведения JM * G-. (Для наших целей достаточно ограничиться
группами Gr = U(l) — Si и О = ?П7B).) Хотя время
от времени такое расслоение Р и будет встречаться на стра-
йицах книги, оно не является существенной составной частью на-
нашего изложения, и мы постараемся избежать его использования.
Поэтому мы не останавливаемся на определении и элементарных
48 Глава 2
свойствах главных расслоений, отсылая читателя к стандартным
руководствам (например, ?kni3 ). Вместо этого рассмотрим
ассоциированное с Р векторное расслоение iq , гораздо луч-
лучше приспособленное к аналитической технике. Векторное расслоение
г[ задается представлением G- -*• Au.h(V) как расслоенное
произведение tj = Р *fr V. В дальнейшем нам понадобится ло-
локальное описание п . А именно, пусть ?®«3 - такое от-
открытое покрытие М, что т^ | О^. °* O^ * "V. Тогда расслоение
г[ определяется этим покрытием {О^} и набором функций
перехода
удовлетворяшщих следукщим соотношениям:
в
Расслоение т? однозначно восстанавливается по своему локаль
ному заданию {р ^1
где <^л, v) ~ <^., г<г> тогда и только тогда, когда ос
и 1хг = ^ (tr), ос е 0^^ ^ е О^, ir, го- s V. Подробное
изложение этой локальной конструкции можно найти в книге
Стинрода [ste].
Хотя тривиализации -^ | 0^ - 0^ х V" и позволяют локально
отождествлять слои расслоения, это отождествление не является
каноническим. Для их канонического отождествления требуется
задать связность, коващантное дифференцирование или калибро-
калибровочный потенциал (это равнозначные понятия). Ковариантное
дифференцирование - это дифференциальный оператор первого по-
порядка
Б: С
Уравнения Янга-Миллса 49
Здесь через С""^) обозначено пространство С^-сечений
расслоения V. (В дальнейшем мы будем обозначать
С (^®АгТ*М) через ?21(тр.) Если расслоение t] об-
обладает метрикой, т.е. имеет структурную группу иAъ), по-
потребуем дополнительно, чтобы выполнялось правило Лейбница
В случае когда структурной группой iq является группа SU(n.),
потребуем, чтобы для ортонормированных локальных сечений б.,
б .. . , 6^ выполнялось соотношение
л ... Лба) = 0.
Вместо ковариантного дифференцирования D можно пользовать-
пользоваться эквивалентным понятием связности - она определяется в терми-
терминах главного расслоения Р CKN'1!] • Мы же будем больше пола-
полагаться на локальное описание Ю. В окрестности <?>^ ко-
вариантное дифференцирование задается оператором d +• 'Ах,
где
а <$ алгебра Ли группы Gr. (В случае G == U(i) мы
имеем С( = tK , а в случае G- = SUB) алгеброй Ли
С[ является алгебра косоэрмитовых матриц с нулевым следом,
обозначаемая через $u.(Z).) К сожалению, при локальном
описании получаются громоздкие обозначения, поскольку А снаб-
снабжается тремя сортами индексов - матричными индексами, индексом,
указывающим номер координатной карты, и индексом i-формы. Так,
например, Ах ^(-зь) - это матричнозначная функция на О^.
Различные локальные выражения для А связаны на пересечениях
0„ЛОа формулами
B.1) А^ = s^V + з'ДА^^.
Отметим, что форма А не имеет глобального описания на М.
(В то же время связность отождествляется с элементом из
С*°(о(®Т*Р).) В дальнейшем мы не будем делать различия
60 Глава 2
между связностями и ковариантными дифференцированиями и, до-
допуская вольность речи, будем иногда называть операторы ID
связностями. Обозначим через dr пространство всех связностей
в расслоении v . Из соотношений B.1) вытекает, что раз-
разность двух связностей лежит в линейном пространстве S^Cadj
и, следовательно, <d\? - аффинное пространство. Здесь через
ad -ц обозначено расслоение Рх&^, где G- действует
на $ с помощью присоединенного представления. Расслоение
ad Т7 можно описать иначе, а именно как ad т^ = U (ad 17х),
где ad г? Л <= End (т? Л) - алгебра Ли тех эндомбрфизмов слоя
VXt, которые лежат в Of* Наше локальное описание отражает
аффинную структуру, в которой связность представляется как не-
некоторая фиксированная связность плюс произвольный элемент Atfe
Фиксируем на ц некоторое ковариантное дифференцирова-
дифференцирование D. Тензорно умножая комплекс Де Рама
на пространство С""^), мы получаем последовательность
векторных пространств и дифференциальных операторов
B.2) Я
Первый оператор в этой последовательности - это в точности
заданное ковариантное дифференцирование. Оно продолжается на
Q1"^) по формуле
Кривизна (или калибровочное поле) связности задается оператором
D2: ?2°(т?) -* ?22(^). Хорошо известно, что D2 - опе-
оператор нулевого порядка, т.е. умножение на некоторый элемент
F e Qs(ad -л). (Ниже мы получим этот элемент из наших ло-
локальных формул.) Кривизну F иногда записывают в виде
F = ЫА+АлА,
Уравнения Янга - Миллса 51
где А л А определяется комбинацией внешнего и матричного
умножений. Более подробно, если хь - локальные координаты
на М в окрестности 0^ и Ю^ = d + А^., то
где
(Заметим, что в этих формулах опущены матричные индексы; при-
присутствуют лишь координатные индексы и индексы форм.) Из фор-
формул B.3) вытекает, что
B.4) F^ -а-Дг,*^- ас/^Д)-^-
Следовательно, F e Q (ас/т^), как и утверждалось.
Предположим теперь, что М - четырехмерное ориентирован-
ориентированное риманово многообразие. Тогда задан оператор *: Q2 -*¦ Q,z,
определяемый послойно соотношением
9л *ср = {9, (f)vol, 0,c^eQ2,
где ( , ) - метрика на Q и vol - форма объема.
Поскольку * 2 = ?, мы можем разложить Q 2 в прямую сум-
сумму Q2 = Q^©S2f,отвечающую собственным значениям ±1 опера-
оператора *. Это соответствует разложению алгебры Ли SOD) =
= soC) ф soC). Элементы из Q^ называются авто-
автодуальными, а элементы из Q_ - антиавто дуальными. Это разло-
разложение продолжается на пространство сечений Qa(-rj) для
любого расслоения т?. В частности, кривизна F = F++F_ раз-
разлагается на автодуальную и антиавтодуальную составляющие.
Наконец, введем группу послойных автоморфизмов главного
расслоения Р, которую будем называть в дальнейшем грушюй
калибровочных преобразований. Предостережение: иногда ее на-
называют калибровочной группой; обычно же этот термин сохраняется
за группой Ст. Калибровочное преобразование - это послойное
отображение ¦&: Р -*¦ Р, удовлетворяющее условию з(р-а.) = р
для р е Р, <хе От. Эквивалентно, -5 является сечением
52 Глава 2
расслоения на группы Aui т? = Р х& G-, где G- действует на
себе сопряжениями. Расслоение Aui rj можно также описать как
JJMAuti7x, где Aui 17 ж s GL(rfx) -группа
Ли тех автоморфизмов слоя т^ Л , которые лежат в G-.
Обозначим 1'руццу калибровочных преобразований через C =
=* C°°(,Aui ту). Отметим, что, хотя Aui 17 канонически опре^-
делено как расслоение на группы, оно не является главным рас-
расслоением. Расслоение Aui tj имеет тривиальное подрасслоение
PXGZ, где Z - центр группы Сг. В самом де-
деле, G- = SU(E), Z = Z2 и Z2= C^CPxg.Z) является центром
х'рушш © . В общем случае расслоение Aui. Г) не три-
тривиально, но оно тривиально, если Сг - абелева группа. Множе-
Множество калибровочных преобразований © является бесконечномер-
бесконечномерной группой Ли (групповая структура задается поточечным умноже-
умножением сечений) с алгеброй Ли C^Cad-rj). Мы введем структуру
группы Ли на & в гл. 3.
Пусть ¦& е ©. Тогда б действует на пространстве <?¦
ковариантных дифференцирований по формуле
B.5) 6*(D) - 5~l°I)°i.
Таким образом, на сечениях б в С°°{г\)
В локальных терминах
B.6) ^(А^) = 4 ~*о?з + з'^А^З,
где з теперь - это отображение 3: ©^ -*¦ G-. Индуциро-
Индуцированное действие на кривизну имеет т*ид
^2./) -ъ \t ) =• -б г-з.
Некоторые авторы определяют действие з на D правилом
3-D = л °D ° -л'1.
По сравнению с формулой B.5) здесь поменялись ролями эле-
элементы 5 из, однако это не влияет на конечный ре-
результат .
Уравнения Янга - Миллса,
53
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА
Математики называют их классами Чжэня. Напомним, что если
? - комплексное векторное расслоение со связностью и F -
ее кривизна, то полный класс Чжэня с(?) определяется форму-
формулой [KN2]
B.8) с($) = [e/et(i+^F)J е Н*(М; Z).
(Скобки означают класс когомологий. В дальнейшем в этом разде-
разделе мы не будем различать дифференциальную форму я ее класс ко-
когомологий.) В случае комплексного линейного 17D )-рассло-
ения Я кривизна - это обычная числовая 2-форма ^. Поэтому
для таких расслоений
эти расслоения топологически классифицируются своим первым клас-
классом Чжэня
Более того, можно показать, что каждому элементу группы
H2(W;Z) соответствует комплексное линейное расслоение. (Мы
обсудим доказательство в приложении Е.) Если т^ - двумерное
517B)-расслоение, то
Это означает, что I
кают следующие соотношения:
= 0,
Из определения B.8) выте-
вытеХарактеристический класс с2Ст7) классифицирует SU(S)-
расслоения^над компактными четырехмерными многообразиями (до-
(доказательство этого факта приведено в приложении Е ). Для клас-
классификации SU( 2)-расслоений над многообразиями более вы-
54 Глава 2
соких размерностей класса с2(т^) уже недостаточно (см.
D>w], [W] ). Вычисляя cz^V.^ на Фундаментальном
классе Ц-^О ориентированного четырехмерного многообразия,
мы получаем топологический заряд .. v
B.9) ?=-C2G?)D<i=-gpr$tr(FAF).
Знак минус в этом определении настолько прочно обосновался в
литературе по уравнениям Янга - Миллса, что мы уже не в силах
его изменить. Иногда вместо С2^17^ использучтся первый
класс Понтрягина Vi^^f связанный с С2С^) соотноше-
соотношением ptC^) =-2с2Ст^) (разумеется, в предположении, что
структурная группа расслоения rj есть SU(?)).
В каких случаях SUB)-pacanoeime r? может быть
представлено в виде прямой суммы линейных расслоений Я © Я г
Если такое разложение существует, то по формуле Уитни для произ
ведения получаем
Таким образом,
BЛО) h = oj(oc, ос),
где ос = ±с?(Я1) и со - форма пересечений. Тем самым дока-
доказана необходимость условия, приведенного в следующем предложении.
Предложение 2 .II. Расслоение Г[ над четырехмерным
многообразием М. со структурной группой SUB) и вторым
числом Чжэня -& топологически расщепляется тогда и только тог-
тогда, когда для нэкоторого класса двумерных когомологий ас вы-
выполняется условие B.10). Количество различных расщеплений при
фиксированном -k равно половине числа решений уравнения
B.10).
В частности, если со - положительно определенная форма,
то не расщепляется ни одно из расслоений тп с отрицательным 4ь.
Доказательство. Выше мы уже показали, что если
расслоение tj расщепляется, то для ос = ±с^(А1) выполнено
Уравнения Янга - Миллса 55
условие со(ос,ос) = -k. Предположим теперь, что некоторый элемент
ее е Я2 CM; TL) удовлетворяет условию о)(ос,ос) = А. Тогда по
теореме о классификации расслоений (Е.5) существует комплексное
линейное расслоение Л с с. (А) = ос. Предвдущие вычисления
показывают, что -с„(Л Ф A-i) [~Mj — -к , а тогда в силу теоре-
теоремы Е«5 имеет место изоморфизм SUB)-расслоений т|аЯ®Я" .
В этих рассуждениях мы неявно предполагали, что группа
Я2(-М; 7L) не имеет кручения. В противном случае для того,
чтобы определить форму пересечений со, нужно профакторизо-
вать Н2(М; Z-) по кручению. Заметим, что если
Ei(M;Z)=0, то ТогН2СМ;Ю = 0 (см. (ЕЛ)).
ФУНКЦИОНАЛ ЯНГА - МИЛЛСА
Пусть М - четырехмерное риманово многообразие и ij - вектор-
векторное расслоение над М. Ради удобства предположим, что струк-
структурной группой расслоения г) является группа SXJB). Ска-
Скалярное произведение
B.12) CA,B)=-trCAB), А,Б
вместе с римановой структурой на М превращает ad -q ® Л Т М.
в риманово расслоение. Определим функционал Янга - Миллса
полагая
B.13) VMCD) =l\F^\Z*l, Ded-,
где F = iv - форма кривизны связности D и *? - форма
объема, ассоциированная с римановой метрикой, функционал
измеряет «напряженность» калибровочного поля F.
Уравнениями Янга - Миллса называются уравнения Эйлера - Лагранжа
для функционала VJU, (D ) . Поскольку
Глава 2
мы имеем
B.14) -тг
=2J(A,:D*F)*i.
м
Здесь D*: Q (ad т^) -¦ Q (adrj) - оператор, формально сопря-
сопряженный к оператору D: Q^(ad^) -¦ Q2(aof?^). В терминах
оператора *
Т>* = -*T>*.
Уравнения Эйлера - Лагранжа получаются приравниванием первой ва-
вариации B.14) нулю для всех Ае^. Таким образом,
B.15) .1)*Е1> = 0 = D* Fp.
Заметим, что уравнение
B.16) ?FD = О
есть не что иное, как тождество Бьянки, и выполняется для любой
связности D. Если форма F удовлетворяет уравнению B.15),
то F называется полем Янга - Миллса. а связность D - связ-
связностью Янга - Миллса. Уравнения B.15) и B.16) объясняют, по-
почему теорию Янга - Миллса рассматривают как нелинейное обобще-
обобщение теории Ходжа: заменяя Ю на cL, a F^ на -f,
мы получим уравнения для гармониче'ской 2-формы -f. Нелиней-
Нелинейность уравнений Янга - Миллса отражает некоммутативность группы
G-. Если ai. = &.. - плоская метрика на базе, то в локаль-
локальных координатах уравнения B.15) приобретают вид
ЭР,,
Уравнения B.15) не являются эллиптическими, главным обра-
образом из-за наличия большой группы симметрии. В самом деле, соот-
соотношение B.7) и ad-инвариантность скалярного произведения
B.12) показывают, что функционал - У Jit, а, значит, и урав-
уравнения Эйлера - Лагранжа B.15) инвариантны относительно калибро-
калибровочных преобразований. Другими словами, УЛС является кор-
корректно определенным функционалом на факторпространстве «sf/@.
Отметим, что для вычислений удобно выбрать какое-либо сечение
tff -»- «#/©. Это можно сделать лишь локально fs3« Если
Уравнения Яяга - Миллса 5
бы имелись глобальные сечения, то многие наши рассуждения можно
было бы упростить. Однако ввиду топологических препятствий та-
таких сечений не существует. Этот факт хорошо известен физикам
под названием неоднозначности Грибова. Мы построим локальные се
чения в гл. 3.
Разложим кривизну на автодуальную и антиавтодуальную компо-
компоненты:
Р 2.
Тогда, поскольку ?2 + ортогонально Q _, имеем
B.17)
С другой стороны,
B.17) yjUO» = J |FJ2+!F_|2.
= tr(F+A*F+)-MF_A*F_)=-|F+|2+jF_
Следовательно, по формуле B.9)
B.18) 8kzA = \\F+\2-\F_\z.
о М.
Таким образом, если -к, > О, то
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда F_ = О,
т.е. форма F автодуальна. Аналогично, если -к. < 0, то
УЖ >-8ъг6,,
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда F+ = О,
т.е. форма F антиазтодуальна. Более того, если F автодуаль-
автодуальна или антиавтодуальна, то уравнение B.15) следует из тождества
Бьянки B.16), так что F автоматически является решением
уравнений Янга - Миллса. Таким образом, в случаях, когда нижняя
грань является минимумом функционала, уравнения второго порядка
B.15) сводятся к автодуальным (антиавтодуальным) уравнениям
Янга - Миллса первого порядка
BЛ9) F = ±*F.
58 Глава 2
Однако в общем случае нет гарантии, что эта нижняя грань дости-
достигается. В некоторых ситуациях (например, для линейных расслоений
над S2 х S ) существуют минимумы, которые не являются ни
ни антиавтодуальными.
В дальнейшем нас будет интересовать случай -& = ? и,
следовательно, автодуальные поляЛнга - Миллса, или инстантоны.
Так как пространство инстантонов инвариантно относительно ка-
калибровочных преобразований, то, факторизуя по действию группы
@, мы получаем пространство модулей инстантонов
Пространство <Л1 и будет главным объектом нашего изучения.
ЛИНЕЙНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
Хорошо известно, что в случае, когда G- = U(l), a M. -
многообразие Лоренца, уравнения B.15) и B.16) превращаются в
уравнения Максвелла [ mow]. Мы же изучаем положительно опре-
определенные метрики, а, значит, эллиптическую версию этих уравне-
уравнений. В самом деле, поскольку группа U(?) абелева, для лю-
любого линейного ЩО-расслоения Л расслоение ad Я три-
тривиально: ad Я — М"гК. Следовательно, кривизна -f связ-
связности <L' есть обычная числовая 2-форма. Уравнения B.15) и
B.16) в этом случае сводятся к уравнениям
Ц = 0,
off - 0,
показывающим, что эллиптическая версия уравнений Максвелла есть
не что иное, как уравнения Ходжа - Де Рама для гармонических
2-форм. Из теоремы Ходжа вытекает
Теорема 2.20. Пусть Л - некоторое линейное рас-
расслоение. Тогда кривизна любой связности Янга - Миллса Ы.' яв-
является однозначно определенной гармонической 2-формой -j.,
представляющей класс с.(Л).
Уравнения Янга - Миллса 59
Разумеется, связность Янга - Миллса ci' в теореме 2.20
не единственна: достаточно вспомнить о калибровочных преобразо-
преобразованиях! Предположим, что многообразие М односвязно, и потому
каждое калибровочное преобразование на Я может быть записано
в виде -5 = ег"" для некоторой функции и.. Пусть cLQ —
фиксированная связность Янга - Миллса на Я . Тогда любая
другая связность Янга - Миллса имеет вид
d = d + г<х, ос ? ?2 ,
где da = 0. Согласно формуле B.6), калибровочное преобра-
преобразование б переводит d' в с? + -iduo. Но по предполо-
предположению Н1(М; Ю =0; следовательно, можно выбрать функцию и-
так, чтобы выполнялось соотношение due = ои. Значит, калибро-
калибровочные преобразования транзитивно действуют на пространстве
связностей Янга - Миллса. Другими словами, пространство модулей
для уравнений Янга - Миллса B.15) - B.16) на расслоении Я
состоит из единственной точки. Заметим, что если 1С±(М.) =# О,
то пространством модулей служит тор Hi(JM; ifO/H^CM; Ж).
Для того чтобы применить полученные результаты к SUB)-
расслоениям, нам понадобится следующая важная
Лемма 2.21. Форма пересечений со многообразия М
положительно определена тогда и только тогда, когда на М не
существует антиавтодуальных гармонических 2-фр-рм.
Доказательство. Пусть ^ — $++ %¦_ - разложе-
разложение гармонической 2-формы на автодуальную и антиавтодуальную
части. Требуемое утверждение без труда получается из формулы
которая показывает, что
ЦЛ* --*>(?, f_).
Сказанного достаточно, чтобы полностью описать - при
прежних топологических предположениях - расщепляющиеся ин-
отантоны для расщепляющихся расслоений (см. предложение 2.11)
60 Глава 2
Предложение 2.22. Предположим, что многообразие М
имеет положительно определенную форму пересечений. Тогда для лю-
любого расщепляющегося SUC2)-расслоения rj = Л ® А~* суще-
существует единственное автодуальное поле Янга - Миллса
согласованное с расщеплением.
Доказательство. Легко видеть, что связности
Янга ~ миллса на расслоениях А и А~* индуцируют связность
Янга - миллса на ЯФА; по лемме 2.21 кривизна этой связ-
связности автодуальна. Обратно, расщепляющаяся автодуальная связ-
связность на А Ф А"* остается автодуальной при ограничении на
каждое линейное расслоение. Эти связности калибровочно эквива-
эквивалентны (см. рассуждения, следующие за теоремой 2.20).
ТЕОРЕМА. ДОНАЛЬДСОНА
Наметим в общих чертах основные идеи, содержащиеся в работе
Дональдсона. Для этого рассмотрим SUB)~pacanoeiffle i\ с
топологическим зарядом -k = i над компактным односвязным
ориентированным гладким четырехмерным многообразием И. с по-
положительно определенной формой пересечений со. Нас интере-
интересует топологическая структура пространства модулей инстантонов
JU- на т^. Главные результаты, касающиеся топологии JLL,
можно сформулировать в виде пяти утверждений, доказательствам
которых будут посвящены последующие главы.
I. Пусть т, - половина числа решений уравнения со (ос, ос ) = ?.
Тогда для почти всех метрик на М. существуют такие точки
Vv • • ¦ ' Vm.e^* что ЛА- ~ {ipi* ¦¦¦, Ят.} является гладким пяти-
мерным многообразием. Точки pi находятся во взаимно однознач-
однозначном соответствии с топологическими расщеплениями г) — А © А~*.
U. Точки ¦pi обладают в JU, окрестностями (Dp., гомео-
морфными конусам над (ПР г.
Уравнения Янга - Миллса 61
]ц. Пространство Л1 ориентируемо.
тзГ. Многообразие JU, -{*>,..., р^} не пусто. Более того, су-
пюствует окаймленное вложение @, AQJxM <= JU ъ_ <М = JUUM=>
з [О, Я0Д х М. является гладким многообразием с краем.
J. Многообразие JU, компактно.
Топологию пространства модулей можно представить такой
картинкой: Рт
Жирная линия символизирует компактность (У), а стрелка означает
ориентируемость (ffi). Отметим, что пока неизвестно, связно или
нет многообразие JU .
В качестве непосредственного следствия утверждений I - Z
получается
В настоящее время известно, что пространство модулей ин—
стантонов связно. См. Taubes C.H. Path connected Yang - Mills
moduli spaces. - J. Diff. Geom. , 1984, v. 19, N5 3,
pp. 337-392. - Прим. перев.
62 Глава 2
Лемма 2.23. Многообразие М ориентированно-кобордантно
несвязному объединению ,±€P2LJ ... U ±(СРг„
т.
Доказате л_ь с т в о. Требуемый ориентированный ко-
бордизм имеет вид JU, - UOp. . (Краткое обсуждение кобордиз-
мов читатель найдет в приложении В.)
Пока мы не делаем никаких утверждений об ориентациях С IP ,
фигурирующих в лемме 2.23. Например, если бы оказалось, что не-
некоторые особые точки находятся в различных связных компонентах
многообразия JLL, то заведомо не все (ПР были бы положи-
положительно ориентированы. Однако из доказательства теоремы 2.25 бу-
будет ясно, что все эти (ГР2 лежат в связной компоненте ворот-
воротника и потому положительно ориентированы.
Лемма 2.24. Пусть со - положительно определенная сим-
симметрическая унимодулярная форма ранга п. = *t(co) ж_ т - по-
половина числа решений ос уравнения со(ос, ос) = 1. Тогда
т, $ -ь, причем равенство достигается тогда и только тогда,
когда форма со диагонализуема над целыми числами.
Доказательство. Решение ос задает расщепле-
расщепление 7LK = TL-oC ©осх, где ос" - ортогональное дополнение в
Z* к Z-oc относительно формы со. Если j3?=±oc -еще
одно решение, то р> е ос±. Лемма получается теперь индукцией
по рангу гь.
Теорема 2.25 (Дональдсон С»Ц)« Пусть М - компакт-
компактное односвязное ориентированное гладкое четырехмерное многообра-
многообразие с положительно определенной формой пересечений СО. Тогда
над целыми числами
т.
Из линейной алгебры известно, что любая симметрическая фор-
форма диагонализуема над полем К. Теорема Дональдсона ут-
утверждает, что положительно определенная форма со гладкого
четырехмерного многообразия диагонализуема также и над коль-
кольцом 7L.
Уравнения Янга - Миллса S3
Требование односвязности в теореме 2.25 можно заменить более
слабым условием: фундаментальная группа 1Г^(.М) не имеет не-
нетривиальных гомоморфизмов в SUB). Из последнего условия
вытекает, что каждое плоское 517B)-расслоение над М три-
тривиально ? KN13 , а это все, что нам нужно. Отметим, что это
условие влечет обращение в нуль группы Я^СМ) = -п^ОМУ^СМ),
К,(-M)J = 1ь" СМ) (абелизации группы ^(М) ),
поскольку любая абелева группа имеет нетривиальное представле-
представление в S1 с SUC 2). Перечисленные условия на топологию М. пож-
но изобразить в виде последовательности импликаций
{iLi (М ) = 0} =*> [ъ± A4) — SUB) тривиален} =^[Н? СМ) - О}.
Так как никакая конечная простая неабелева группа не имеет не-
нетривиальных представлений в SUB) ?do, § 26]], то наше дока-
доказательство теоремы Дональдсона проходит для всех таких фунда-
фундаментальных групп. В то же время многие важные группы (ска-
(скажем, Z2) исключаются.
Доказательство теоремы 2.25. Так как сигнату-
сигнатура формы пересечений является инвариантом ориентированного ко-
бордизма ?sto, с. 219] , то из леммы 2.23 и положительной
определенности со следует, что
а (со)
р
(Строгое неравенство могло бы появиться, если бы некоторое (СР
было приклеено «задом наперед».) Но т. « 1{со) в силу леммы
2.24. Поэтому т = -т.(со), т.е. форма со диагонализуема.
Следствие 2.26. Если ш * 0 и со(ос, ос) Ф ?
яри любых ос бН2(М; 2?), то многообразие М не сглажи-
сглаживаемо. В частности, это имеет место для четных форм со.
Отметим, что имеется много нечетных положительно определен-
определенных унимодулярных форм, не принимающих значения I [os].
Доказательство. Из условия вытекает, что т= О,
поэтому многообразие М. кобордантно нулю. Следовательно,
64 Глава 2 j
б (со) = 0, а так как форма со положительно определена,
то со = 0. Это противоречие показывает, что многообразие М
не может быть наделено гладкой структурой.
Следствие 2.26 представляет собой вариант теоремы Дональдсо-
на, сформулированной в гл. I. В частности, оно показывает, что
|Е.Ф Е8| - несглаживаемое многообразие.
Комбинируя теорему Дональдсона с классификационной теоремой
Фридмана, нетрудно получить
Следствие 2.27. Пусть М - гладкое односвязное
четырехмерное многообразие. Если форма со (М) четна и поло-
положительно определена, то М. гомеоморфно четырехмерной сфере
?>4. Если форма co(iT) нечетна и положительно определена, то
М гомеоморфно связной сумме некоторого числа экземпляров по-
положительно ориентированной комплексной проективной плоскости СР2.
Любая нечетная неопределенная форма диагонализуема над целы-
целыми числами СНМ3 » поэтому по теореме Фридмана гладкое много-
многообразие М с нечетной неопределенной формой пересечений со(М)
гомеоморфно связной сумме LJ±CP . Четная неопределенная форма
эквивалентна над Ж форме вида
а, 4> ? TL, I* 0.
Напомним, что по теореме Рохлина многообразие
•*.•*(! 9!
несглаживаемо для нечетных а,. До сих пор неизвестен ответ
на самый животрепещущий вопрос четырехмерной теории сглаживания:
существуют ли гладкие многообразия
где -h = 1 или 2. (Поверхность Куммера реализует форму, в кото-
которой -? = 3; для Ь > Ъ нужно взять связную сумму поверхности
Куммера с Ь - Ъ экземплярами Sz * Sz.)
Читатель, возможно, захочет узнать, какие трудности возни-
возникают при изменении различных предположений, фигурирующих в теоре-
теореме Дональдсона. Ранее мы отмечали, что требование односвязности
многообразия М можно ослабить, предположив, что фундаменталь-
фундаментальная группа 1Z. (М) не имеет нетривиальных представлений в
Уравнения Янга - Миллса 65
,517B). Это условие возникает из-за того, что гомомор-
гомоморфизмы ТГ^СМ) -*• 517B) классифицируют геометриче-
геометрически плоские расслоения, т.е. топологически тривиальные SUB)-
расслоения с, возможно, нетривиальными плоскими связностями.
Край компактифицированного пространства модулей JIL , совпа-
совпадающий в нашем случав с многообразием М, получается
склеиванием стандартных инстантонов (над S*) на таких
плоских расслоениях. Если на многообразии существуют нетривиаль-
нетривиальные плоские расслоения, можно ожидать появления более сложного
края, подобного тому, который описан Таубсом ЦТ21] ^яя
случая неопределенной формы пересечений.
Многие факторы влияют на размерность пространства модулей,
которая для главного расслоения Р ~- с компактной структурной
группой G- над компактным четырехмерным многообразием М за-
задается явной формулой ?3
С2.28) ^
Эдесь (adP) - комплексифицированное присоединенное рас-
расслоение алгебр Ли, -р - первый класс Понтрягина, 4>. - пер-
первое число Бетти многообразия Ми -6~ - размерность макси-
максимального подпространства в HZ(M; К), на котором форма
пересечений отрицательно определена. В случае dim G > 3 труд-
трудности описания структуры пространства модулей в окрестностях
приводимых связностей столь велики, что приходится ограничиться
группами G- = STH.2) или SOC).Jtoi SUB)-pac-
слоений формула B.28) принимает вид
где, как всегда, -к, означает взятое с минусом второе число
Чжэня ассоциированного двумерного комплексного расслоения. На-
Напомним^ что при ¦& г 0 пространство Л1 _..,,„,. непусто, а
9 OUiX.)
если -fe = О, то все автодуальные связности являются плоскими.
Случай А = ?, ¦i>i = ?& = 0 приводит к пятимерному простран-
пространству модулей, которое используется при доказательстве теоремы
Дональдсона. Любая модификация чисел -к и -6^ увеличила бы
размерность пространства ^яичг)' а тем самым помешала бы
воспользоваться кобордантностью. Поэтому, чтобы компенсировать
вклад -k и ¦?>. , требуется брать подходящее ненулевое
66 Глава 2
число &2. А это, в силу упомянутой выше конструкции Таубса
2
указывает на необозримо сложный край компактифицирован-
компактифицированного пространства модулей.
Для ЗОC)-расслоений
B.29) dimOT ,„, = Zl-ЪЦ-Ь + -О,
где t - число Понтрягина ассоциированного трехмерного веще-
вещественного расслоения. Отметим, что в случае, когда -6?= 4>2 = О
и -6=2, пространство модулей одномерно. Финтушел и Стерн
построили 5ОC)-расслоение ?, с -L — 2 и
Д =* 0 исходя прямо из формы пересечений а). Для
этого требуется, чтобы уравнение со(ос,ос) = 2 имело решения
ос е Н2(М; 7L ). (Таких решений не существует для многих по-
положительно определенных форм со, например для 24-мерной ре-
решетки Лича.) Предположим вдобавок, что ос не является ортого-
ортогональной прямой суммой двух векторов единичной длины. В этой си-
ситуации Финтушел и Стерн доказали, что ь^? является компактным
одномерным многообразием, край которого состоит ровно из одной
точки. Полученное противоречие показывает, что рассматриваемое
многообразие М несглаживаемо, и дает тем самым новое доказа-
доказательство теоремы Доналъдсона для широкого класса форм пересече-
пересечений (включая форму Eg® Eg ). В доказательстве Финтушела
и Стерна не используются ориентируемость, теорема Таубса и тео-
теорема о воротнике, хотя по-прежнему применяется трудная аналити-
аналитическая техника, опирающаяся на соображения компактности. Более
того, эта ограниченная форма теоремы Дональдсона справедлива для
почти всех конечных фундаментальных групп. Развитый Финтушелом
и Стерном подход позволил получить также новый инвариант для
трехмерных гомологических сфер. Мы изложим некоторые их резуль-
результаты в гл. 10.
Наиболее перспективным направлением будущих исследовании
является изучение четырехмерных многообразий с краем или с то-
точечными особенностями (которые можно конформно отправить в беско-
бесконечность, как в гл. 7). Однако индексные вычисления здесь далеко
не просты [[aps^, и в настоящий момент именно это сдерживает
развитие данного направления.
Глава 3
МНОГООБРАЗИЯ СВЯЗНОСТЕИ
В этой главе мы докажем, что дространство модулей <Л1. т.е.
иножество классов калибровочно эквивалентных неприводимых автоду-
автодуальных связностей, является гладким многообразием.
(На протяжении всей книги символом « ^ » над пространством
связностей обозначается подпространство неприводимых связностей.)
Доказательство этого факта занимает довольно много места, поэто-
му сначала мы приведем краткое неформальное описание его основ-
основных идей. Обозначим через Ш =^f/® множество орбит прострав-
66 Глава 2
число Ь . А это, в силу упомянутой выше конструкции Таубса
?тгЗ, указывает на необозримо сложный край компактифицирован-
компактифицированного пространства модулей.
Для SOC)-pac&noemrti
B.29) dim ОТ „ = Zl-^i-l +-*"),
где t - число Понтрягина ассоциированного трехмерного веще-
вещественного расслоения. Отметим, что в случае, когда -6?= &г = О
и t - 2, пространство модулей одномерно. Финтушел и Стерн
построили 5ОC)-расслоение ^, с t — 2 и
гсг (?,) =* 0 исходя прямо из формы пересечений о). Для
этого требуется, чтобы уравнение со(ос,ос) = 2 имело решения
ос е Н2(М; Z ). (Таких решений не существует для многих по-
положительно определенных форм со, например для 24-мерной ре-
решетки Лича.) Предположим вдобавок, что ос не является ортого-
ортогональной прямой суммой двух векторов единичной длины. В этой си-
ситуации Финтушел и Стерн доказали, что «ЛХ* является компактным
одномерным многообразием, край которого состоит ровно из одной
точки. Полученное противоречие показывает, что рассматриваемое
многообразие М несглаживаемо, и дает тем самым новое доказа-
доказательство теоремы Доналъдсона для широкого класса форм пересече-
пересечений (включая форму Eg® Eg ). В доказательстве Финтушела
и Стерна не используются ориентируемость, теорема Таубса и тео-
теорема о воротнике, хотя по-прежнему применяется трудная аналити-
аналитическая техника, опирающаяся на соображения компактности. Более
того, эта ограниченная форма теоремы Дональдсона справедлива для
почти всех конечных фундаментальных групп. Развитый Финтушелом
и Стерном подход позволил получить также новый инвариант для
трехмерных гомологических сфер. Мы изложим некоторые их резуль-
результаты в гл. 10.
Наиболее перспективным направлением будущих исследований
является изучение четырехмерных многообразий с краем или с то-
точечными особенностями (которые можно конформно отправить в беско-
бесконечность, как в гл. 7). Однако индексные вычисления здесь далеко
не просты [[aps^, и в настоящий момент именно это сдерживает
развитие данного направления.
Глава 3
МНОГООБРАЗИЯ СВЯЗНОСТЕИ
В этой главе мы покажем, что пространство модулей <М. т.е.
иновество классов калибровочно эквивалентных неприводимых автоду-
автодуальных связностей, является гладким многообразием.
(На протяжении всей книги символом « ^ » над пространством
связностеЗ обозначается подпространство неприводимых связностей.)
Доказательство этого факта занимает довольно много места, поэто-
поэтому сначала мы приведем краткое неформальное описание его основ-
основных идей. Обозначим через Эс —<&/& множество орбит прострав-
68 Глава 3
ства связностей «af" относительно действия группы калибшвочных
преобразований. Первый шаг заключается в построении среза этого
действия вне приводимых связностей. т.е. в доказательстве того,
что X - многообразие.
В настоящее время неизвестно, для каждой ли метрики^ а на нашем
исходном многообразии М пространство модулей л ^а -^ явля-
является многообразием. Однако мы показываем, что «Ж„ - многообра-
многообразие для почти всех метрик а. Таким образом, мы выбираем в ка-
качестве пространства параметров пространство метрик % и рас-
рассматриваем множество
где
t52) = {\D,op>: F автодуальна в метрике
Далее мы показываем, что л 32) является многообразием. Рассмот-
Рассмотрим пространство орбит 32D/© действия группы калибровочных
преобразований © на $=?). Для него по-прежнему существует
срез действия, поэтому "?%)/($ - также многообразие. Предста-
Представим это параметризованное пространство модулей в виде
- и Ла,
где *А6„ - пространство иодулей для метрики а,. Наконец,
применяя к проекции
- U <М„ — %
теорему Сарда - Смейла (.т.е. бесконечномерный аналог теоремы Сар-
Сарда), мы показываем, что *М.~. является гладким многообразием для
почти всех м..
Пространства с L -топологией малопригодны для большинст-
большинства наших доказательств: такие пространства не являются банаховы-
банаховыми и на них необратимы эллиптические операторы. Поэтому мы заме-
заменяем их Соболевскими пространствами или пространствами с С -
топологией. Необходимые факты о соболевских пространствах собра-
собраны в первом разделе. Затем даются критерии для нахождения приво-
приводимых связностей. После этих приготовлений мы приступаем к дока-
доказательству основной теоремы.
Многообразия связностей 69
ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА
Ш ограничимся здесь лишь самыми основными фактами; более
подробное изложение можно найти в работах [au], [р], [ма,гл. 3^,
а также в гл. 6. Пусть 1С: Jj -¦ М. - риманово (или эрмитово)
векторное расслоение со связностью D над компактным п мер-
мерным римановым многообразием. Для каждого неотрицательного целого
числа t обозначим через Н,(?) пространство тех сечений
расслоения ^, все-нроизводные которых порядков «-? квад-
квадратично интегрируемы. Таким образом, Н^(^) - это гильберто-
гильбертово пространство, являющееся пополнением С°°($) относительно
скалярного произведения
= г
где (Ю 6,D т) вычисляется с помощью скалярного произведения
на 5®Sym4T*M). Напомним, что Нг($)сС*(?) для l-n/Z>&
( Соболев) и вложение Н^(Е,) CH^D) является компактным
оператором для I > к (Реллих). В нелинейных задачах мы будем
иметь дело с нелинейными расслоениями It: El ~*~ М, т.е. рассло-
расслоениями, слои которых не являются векторными пространствами. На-
Например, пространство МарСМ.Ю отображений многообразия М
в многообразие N есть не что иное, как пространство сечений
тривиального расслоения %: Н *N -*¦ М. Очевидно, что такие
нелинейные расслоения естественно возникают в теории Яага - Мил-
лса: калибровочные преобразования представляют собой сечения рас-
расслоения, слои которого - группы. В этих случаях при -I > n/Z
пространство НЛЕ) будет гильбертовым многообразием (для
а = 4 нужно потребовать, следовательно, чтобы I > Z ).
Структура гильбертова многообразия на Я. (Е) описывается до-
довольно сложно. В то же время описание касательного пространства
к сечению з еН^(Е) не представляет особого труда. В самом
деле, пусть у: (-1,1) ~* НЛЕ)- кривая, у которой у СО) = 5.
Тогда для каждого хе,М кривая JXW = 3'С^)(зс) лежит в
Ех= ГС'Чх). Следовательно, %'х@) & T^^jCtc'^jc)) и у'@)
является сечением расслоения d*(VTE), где VTE - верти-
вертикальное касательное расслоение многообразия Е. Таким образом.
70 Глава 3
Применим теперь эти общие наблюдения к нашей ситуации.Пусть
rt - векторное 317B)-расслоение с числом Понтрягина •&= 1
над компактным четырехмерным римановым многообразием М, 0 -
группа калибровочных преобразований! & - пространство связно-
стей на г], Aui -^ и ad ^ - расслоения, определенные в
гл. 2. Фиксируем некоторое число I > 2. Тогда имеют место
следующие утверждения (доказательства см. в приложении А).
I. Используя отождествление @ = C°°(Aui т^), определим
гильбертово многообразие © = H,(Awt т^ ). Можно показать,
что &. является гильбертовой группой Ли. т.е. бесконечномер-
бесконечномерной группой Ли, смоделированной на гильбертовом пространстве
(см. А.2). Так как алгеброй Ли группы Auiri^ является
то алгеброй Ли группы ©г служит Tfd (®г) =H^(ic!*(VT(Aui т^)))
H(d)
2. Выберем некоторую связность DQ e ^ и определим аффин-
аффинное пространство
(в силу сделанных ранее соглашений обозначим Н. (ad rj ®
через ?2А(аб( г^) ). Индекс Z-i появляется из-за диффе-
дифференцирования в формуле B.1). Из этой формулы следует, что груп-
группа &, гладко действует на <$г. . (см. А.З).
3. Оператор кривизны
F:
является гладким отображением (см. А.4). Дифференциал F.
обозначаемый через 5"F, в точке D е ^4- . представляет со-
собой линейное отображение
Б: Q'
4. Если форма F-р. автодуальна, то из соображений эллипти-
эллиптической регулярности (о которых будет сказано в гл. 8) следует,
что существует элемент л е &t, для которого -5*(Б) -
гладкая связность (см. [Ра, § 5]). Это свойство гарантирует.
Многообразия связностей V
что топология пространства JU <= <& /© не зависит от -С>2.
ПРИВОДИЛИ СВЯЗНОСТИ
Связность Ю s«#, . называется приводимой (иди расщепляю-
расщепляющейся) , если, расслоение tj и связность D разлагаются в пря-
прямые суммы Т7 = А © A D = сб ф d . Такие расщепления отвеча-
отвечают особенностям в пространстве модулей, поэтому важно знать, в
каких случаях связность D приводима.
Теорема 3.1. Предположим, что связность D не плос-
плоская (R. Ф О У. Тогда эквивалентны сдедующие условия:
(а) &. J7Lg - 1/A), где & с © - стационар-
ная подгруппа точки Б е^.^;
( b ) оператор Т>: Q°(ad т^)г ->• Я21(аа1 ^)^.Л имеет нену-
ненулевое ядро;
( с ) связность D приводима;
Здесь грушш TL - это центр &^ (см. гл. 2).
Доказательство, (а) =*>• (Ь). Выберем не-
ненулевой элемент и, е ?2 (ad т^) так. чтобы он лежал в алгебре Ли
группы ©? .р . Лдаференцируя тривиальное действие калибровоч-
калибровочных преобразований из ®^ D на ^)> получаем, что и°Ъ=Ъаи.,
наш Du = 0.
( b ) =Ф- (с). Фиксируем элемент аеКегБ. Так как по-
поточечно элемент и. является косоэрмитовой матрицей с нулевым
следом, то его собственные значения суть ±iX. В открытом
множестве, где Л > 0, выберем гладко изменяющийся собствен-
собственный вектор е. удовлетворяющий условиям ue = i2.e и (е,е) = 1.
Дифференцируя эти равенства, мы получим
Re(De,e) = 0.
Скалярно умножим первое из этих равенств на е и затем выде-
выделим мнимую часть. В итоге получим
72 Глава 3
о(.А =Im(u.De,e) =-Ira(De, не) = ЯКеA»е,е) = 0.
Отсюда следует, что собственное значение Я постоянно и вектор
е глобально определен. Это задает расщепление 7^ = Л^®Яг. Кро-
Кроме того, написанные выше уравнения показывают, что De = 0; та-
таким образом, D = dL^& ciz является приводимой связностью.
( с ) =?> ( d ). В группе ®, -г, содержится окружность
¦о '
е 0 \
_ -i$ ). Более подробно, главное 5Щ2)-расслоение Р,
0 е ]
ассоциированное с rj, редуцируется к 17A )-расслоению Q.
Поскольку группа U(i) абелева. присоединенное расслоение
Q xU(i) "UXf) тривиально, имеет тривиальную связность (индуцирован-
(индуцированную связностью на Q) и вложено в расслоение Р xsu-f2j SU"B).
(дружность постоянных сечений расслоения Q "т^ЩО содержи»,
ся в &iT).
( d ) =$> ( а ). Пусть * - сечение расслоения -PxS0-CB)SU'C9t
удовлетворяющее условию Юб = 0. т.е. зе©?1). Вели ¦n>*±idl
то, как и выше, 5 имеет неравные постоянные собственные значе-
значения; зти собственные значения определяют расщепление ¦п = ЯЯ
Нетрудно показать, что элемент 4 лежит на окружности из л,
Вели факторгруппа ©<3)/Z2 больше, чем U(l), то группа го-
лономии связности Ю,' являющаяся централизатором стационарной
подгруппы ©гц« меньше, чем U(i). и, следовательно, дис-
дискретна. Но тогда * F_ = 0, что противоречит нашему предположе-
предположению.
В качестве следствия мы получаем, что группа ©-/Z» ?
бодно действует на пространстве неприводимых связностей <&г .
Кроме того, если связность D приводима, то KerD одномерно.
В последующих рассуждениях мы будем постоянно пользоваться харак-
теризацией приводимых связностей. задаваемой свойством ( Ь ).
ТЕОРША. 0 СРЕЗЕ
Начнем с напоминания основных фактов о действиях групп [у,
§ 2.9]. Пусть группа G действует на многообразии М. Обо-
Обозначим через Г = {Ос, cf»x): ее е М, а, е G} с М * М.
Многообразия связностей
73
график этого действия, а через M/G- - пространство орбит в
фактортопологии. Назовем срезом действия группы G- в точке
такое открытое подмногообразие N, содержащее х,, что
( а ) Т Н = Т (G-^)® T^N для всех pN,
( b ) ограничение проекции М -*• M/G- на N является вза-
взаимно однозначным отображением.
Имеют место следующие утверждения.
( i ) Пространство М/Сг хаусдорфово тогда и только тогда,
когда график Г замкнут.
(ii ) Воли группа G- свободно действует на М. и для каж-
каждой точки jc^jM можно найти срез этого действия, то пространст-
пространство орбит M/G является многообразием (хаусдорфовыи многообрази-
многообразием, когда выполнено условие ( i )).
G-x
л.
Рассмотрим теперь пространство орбит X. действия
группы &? ^калибровочных преобразований на неприводимых связ-
ностях^ &1.j. Мы можем^благополучао заменить группу &^
аа &? = ©j/Z2,TaK как &. свободно действует на ^/.j-
Чтобы объяснить нашу конструкцию, временно опустим Соболевские
индексы. Фиксируем связность D si, Поскольку пространство
чк наделено скалярным произведением, разумно попытаться постро-
построить срез как ортогональное дополнение к касательному пространст-
пространству для орбиты & ¦ J). Считая D базисной точкой, можно пред-
представить любую связность в виде D + А, где А е Qi(ad 17).
Достаточно рассмотреть алгебру Ли Q°(ad г)) группы ®. Эле-
Элемент u,eQ°(ad ?^) действует по формуле Ю *-*¦ Ъи*. Поэтому мы
ищем множество связностей А, удовлетворяющих условию
или (A,Du.) = 0,
¦¦(D*A, u,) = О,
74' Глава 3
для всех и.. Следовательно, мнохеигяо
Хъ = {А е Q'Cad ^)^: Б*А = 0},
которое естественно отождествить с касательным пространством к ЭЕ
в точке D, и есть наш искомый срез (перенесенный в начало ко-
координат) .
Теорема 3.2. В каждой точке D е«^-^_? пространство
<$. локально диффеоморфно Ker(D*)*(B.. другими сло-
словами, существуют такая окрестность ©^ точки D .в. &1.± i
такое отображение д: Од-»®, что з (Т)')*Ъ' е Б + ЗЕ '
для любого D е 0 . Кроме того,
ФБ: D' н*
диффеоморфно отображает Ов на окрестность точки <С0, id) jb_
ЗЕ-j х ®-. Наконец, отображение Ф эквивариантно относи-
относительно действия группы ®„ j§_ в^^.? и окрестность О-р мо-
может быть выбрана &(-инвариантной.
Доказательство. Как и раньше, запишем D в
виде Ю = Ю + А и будем строить 5 как решение уравнения
Дифференциал отображения L^. в точке @, id) задается прави-
правилом
<ГА ® (Г-з ь*
Частный дифференциал «S^L^ = Ъ*Ъ во втором слагаемом являет-
является самосопряженным эллиптическим оператором. Поскольку связность
D неприводима, из результатов предыдущего параграфа вытекает,
что оператор Ъ*Ъ не имеет ядра и, значит, обратим. Из теоре-
теоремы о неявной функции в гильбертовом пространстве мы получаем ок-
окрестность О и отображение $ . Обратное к отображению Ф-
задается формулой
Многообразия связностей 75
Эквивариантность следует из уравнения
Следствие . Вели -t > 2, тс± 31 является хаус-
дорфовым многообразием.
Доказательство .Мы должны показать, что Х^^-
хаусдорфово пространство и что ограничение проекции <^k -*•*#. /Ф,
на окрестность начала координат в D + Х^ взаимно однозначно.
Начнем с доказательства хаусдорфовости. Для этого достаточно по-
показать, что график
r-{<D,**(D»: D *^_t, ^ е@^} с ^¦l_i^l_i
замкнут. Предположим, что последовательность ?<^Ю + АЛ,
i*(D+AJ)}?r сходится. Тогда
с5:(Ю+Аа) - Ъ +^A>О+^АЛ*Л = D + А',,
так что А'Л —*¦ А для некоторого А' е ?2 (ad?^)^_i. Отсюда
i
и из того факта, что А№~*А для некоторого А е ^(ad?i) .,
вытекает, что обе последовательности {Aft} и {А'Л} ограниче-
ограничены в ^2i(ad 7^-i* Заметим теперь, что включение Аи.1 ту s End77
(т.е. SUB) ? С|1B;Е)) определяет вложение ®г =¦ Я^ЕпАтф.
Кроме того, ad т| <=*¦ End т^ и скалярное произведение
на glB;(C) является продолжением скалярного произведения
B.12). Поэтому вложение &^а*'Н^(.Еп<Иц) представляет собой
изометрию. Рассмотрим 5^, Ап, А'п как сечения расслоения Endij.
Следовательно, мы можем оценить величину 5п Соболевскими нор-
нормами. Из равенства
и того факта, что элементы 5Л унитарны, вытекает ограничен-
76 Глава 3
ность последовательности ||БйЛ||0. Отсюда, многократно приме-
применяя равенство C.3) («бутстрап» ), находим, что ||ЮзЛ ||D-eJl ,
..., ЦЮд^Н^ также ограничены. (Здесь || ||л означает
норму в соболевском пространстве H,(End ~n ® Т*М).) Детали
доказательства можно найти в предложении А.5 приложения А. Итак,
последовательность ?зл} ограничена в H.CEnoIr^), поэтому
по теореме Реллиха существует подпоследовательность, которую мы
по-прежнему будем обозначать через {зп}, сходящаяся в
Н. .(End т^®Т*К). Равенство C.3) показывает теперь, что пос-
последовательность {D-Sn,} сходится в Н, .(End^); значит, {з^}
сходится к элементу ¦& sH^(Endr^). Так как группа &^ замкну-
замкнута в H^End-q), тозе©г. По непрерывности, з*(Б-<-А) =2)+А'
и тем самым график Г замкнут.
Покажем теперь, что если элементы А,А «Ж удовлетворяют
неравенствам ЦАЦ. ,<?» НА ||^ < ? для достаточно малого поло-
положительного е и если Б + A' = i*(D-<-A) для некоторого *е®{,
то норма \\i±l§. настолько мала (при определенном выборе зна-
знака), что <А,б)^ O^. Тогда из теоремы будет следовать, что
А = А , а значит, шар радиуса е, в D + Х^ вкладывается jb
факторпространство (т.е. является координатной картой на Л{^/&^\
Прежде всего разложим элемент з из H.CEndr^) в сумму двух
компонент:
где ceKerD и 30e(KerD) . Заметим, что с является посто-
постоянным диагональным отображением и что sQ и с в общем случае
не лежат в & <=Н^(Епс/т^). Оценивая б0 при помощи бутстрапа,
как в предыдущих рассуждениях (см. А.5), получим, что
||й.||. <Ке. для некоторого К, зависящего от Ю и -?. Так
как |з| = 1 (элемент л унитарен) и норма |-зо| достаточно
мала, то |c|-i. Заменим с на с/|с|=±1 и соответствую-
соответствующим образом модифицируем 5_. Тогда предыдущее неравенство ос-
остается верным, если заменить К на 2К. Это дает требуемое
неравенство \\л ± l\\ < 2K&.
Многообразия связностей 77
ПАРАМЕТРИЗОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО МОДУЛЕЙ
Конечную цель настоящей главы составляет доказательство того,
что пространство модулей является многообразием. Как уже упомина-
упоминалось, пока не известно, верно ли это утверждение для любой метри-
метрики, поэтому в процессе доказательства нам придется рассматривать
возмущения метрики. Прямое применение соображений трансверсально-
трансверсальности не проходит для калибровочных преобразований, поэтому наше
доказательство будет основываться на теореме об эквивариантной
трансверсальности. Рассмотрим объединение пространств модулей по
всем метрикам. Вели в качестве пространства параметров взять про-
пространство метрик, мы столкнемся с серьезными техническими трудно-
трудностями, поскольку будет потерян контроль над автодуальностью. Вме-
Вместо этого мы возьмем в качестве пространства параметров множест-
множество % =C*(GL(TM)) всех автоморфизмов класса С* касательного
расслоения. Разумеется, это в точности калибровочная группа для
расслоения реперов. Мы используем класс гладкости С , потому
что тогда tJ является банаховым многообразием. (Вели бы мы взя-
взяли класс С°°, то получили бы всего лишь многообразие Фреше.)
Множество 4$ действует на пространстве всех ковариантных тензо-
тензоров валентности 2 (т.е. на сечениях расслоения Т*М ® Т*М)
взятием прообраза. Поэтому если а. - наша основная метрика на
Ми<К^ то ср*д. будет новой метрикой, причем каждая метрика мо-
может быть реализована таким способом. Вели потребовать, чтобы пре-
преобразование ср было симметрическим, то такая реализация един-
единственна. Это следует из представления множества скалярных произ-
произведений на IR в виде однородного пространства GL(>t)/O(n,).
Разумеется, поскольку мы рассматриваем произвольные преобразова-
преобразования ср, каждая метрика будет появляться много раз. Однако это
не повлияет на наше доказательство.
Пусть
есть проекция на антиавтодуальные 2-формы относительно метрики ^;
тогда оператор ср*Р_(ср" )* будет проекцией на антиавтодуаль-
антиавтодуальные 2-формы относительно метрики ср*9Ь Фиксируем -&»& и оп-
определим отображение
78 Глава 3
полагая
<Б,ср> ^ P_(C«f"*)%).
Тогда ?PCD, cp> = 0 в том и только том случае, когда форма FL
автодуальна относительно ср*а. (% было выбрано в качестве
пространства параметров именно для того, чтобы автодуальные форма
можно было находить с помощью отображения в фиксированное прост-
пространство) .
Теорема 3.4. Отображение ?Р является гладким и
имеет нуль своим регулярным значением.
Другими словами, утверждается, что в случае, когда
^Р(,Ъ, ц>У = 0, дифференциал ^^/т> > является эпиморфизмом.
Из теоремы следует, что пространство' ?Р *@^= 395^ представ-
представляет собой гладкое многообразие. Конечно, 25, - это еще не
наше параметризованное пространство модулей; его нужно профактори*.
зовать по группе калибровочных преобразований.
В качестве первого шага, ведущего к доказательству теоремы
3.4, мы исследуем влияние на автодуальные и антиавтодуальные 2-
формы бесконечно малых вариаций репера. Пусть Y - четырехмерное
ориентированное евклидово векторное пространство, мыслимое нами
как касательное пространство к многообразию М в некоторой точ-
точке. Фиксируем для V* ориентированный ортонормированный базис
{е*"}. Пусть 6V - ортогональная проекция элемента егле*
на пространство автодуальных форм Л^У*, т.е. б^ — Р+(е1ле*),
и аналогично пусть ее ^ - ортогональная проекция элемента егле.
на пространство антиавтодуальных форм AZV*, т.е.ос^=Р(егле*Х
Тогда базисом Л* V* служит {б12, б", б14} = {б3*, б *г,~б23
д и V лужит {б, б, } {, ,
а базисом Л * V * является {ос1г, ос i3, осi4} - {ос *3, ос 24, ос
Как показывает следующее несложное утверждение, можно так повер-
повернуть систему координат, что произвольная (анти)автодуальная фор-
форма станет базисным элементом.
Лемма 3.5. Пусть 9±е А±V . Тогда существует та-
такой ортонормированный базис {_е*~} пространства V*. что
Многообразия связностей
79
. Нам достаточно показать, что
на A±V являются сферами.
Доказательство
орбиты действия группы SO {А)
Это вытекает из теории групп, поскольку для стандартного разложе-
разложения группы Spin D) = Spin C) х SpinC), отвечающего разложе-
разложению алгебры Ли soD) = soC) ф SroC), пространства A%V* яв-
являются пространствами присоединенных представлений множителей
SpinC), т.е. стандартных представлений SO(«3). Более пря-
прямое доказательство можно получить, произвольно фиксируя форму е*
и выполняя в явном виде поворот координат к требуемой форме.
Бесконечно малые изменения метрики порождаются симметричес-
симметрическими преобразованиями репера, т.е. такими преобразованиями из
gl(V), которые симметричны относительно фиксированной мет-
метрики на V. Очевидно, что кососимметрические матрицы являются
бесконечно малыми вращениями и не оказывают влияния на метрику.
Симметрические преобразования порождаются преобразованиями
которые действуют на А V по формулам:
Здесь индексы i, J-, -к, I всюду принимают неравные значения.
Из этих формул следует, что
C.6)
-д )*б ч =
1Ф
80 Глава 3
соотношения для антиавтодуальных связностей получаются обращением
ориентации. Это действие тоадественно продолжается на A+V*®W
для любого векторного пространства W; в нашем контексте W-
это слой присоединенного расслоения. В следующей лемме предпола-
предполагается, что W снабжено скалярным произведением.
Лемма 3.7. Предположим, что формы Fe A+V <8>W и
Ф е Л1V*® W" удовлетворяют условию (VF, Ф) = 0 для все»
16С(ЦУ). Тогда форма (F, Ф)^ е Л^У*® Л2 V* равна нулю.
4
Эта^лемма проще читается в координатах. Пусть F — JZ Gil®F.
и Ф = ]С ос *® Ф-; тогда мы утверждаем, что (Е,Ф) = 01=1=г для*
всех ** i,^. Имеется еще одна интерпретация леммы: если рас-
рассматривать F и Ф как элементы пространств Hom(A^V, W")
и Hom(A_V, W) соответственно, то утверждается, что образы
Im(F) и 1т(Ф) ортогональны.
Доказательство . Для t = -tf + -г^ имеем
C.8) (^ + т.^)*б^3 =0,
Таким образом,
C.9) OJJ 2,4
ЕЬ соображений симметрии (Ро,Фа) - 0. Теперь возьмем ^ = *ь\ +
+ гг П
р
--гг--г;- Получим
4 N* i.Z
Ь, ) б =
C.10) 't;+t!-a!-a?)V3 = О,
^ + >t2->t.3->t4f6i4 = 0
i Z 3 4
Следовательно,
Многообразия связностей 81
(З.И) 0-((^ + 1|-^-^)*Р,Ф) =2(F2,#2).
Собирая вместе C.9) и (З.И), находим, что (^,Фр= 0 для всех
у, по симметрии все (Р^.Ф-) обращаются в нуль.
Следующая наша лемма касается одного элементарного свойства
алгебры Ли sitB).
Лемма 3.12. Пусть векторы X,Ye SttB) не равны ну-
нулю. Вели (X,Y)=0, то. p
Доказательство. Выберем в алгебре Ли sit B)
базис
V
Пусть Х=Х*б. и Y" = Yl6- - разложения векторов X и Y"
по этому базис/. Тогда (X,Y) = 4r(XY) = 2XY и [Х Y] - 2X"Y,
где «• » обозначает стандартное скалярное произведение, а«*»-
векторное произведение в IR3. Вели одновременно XY= 0 и
X*Y = 0, то X = 0 или Y= 0.
Доказательство теоремы 3.4. Отображение ^Р
квадратично по D и ср, откуда легко следует, что оно явля-
является гладким. Обозначим через С = С (End(TM)) алгебру Ли
S3
группы %. Разложим дифференциал <5* отображения S3 на
два слагаемых, соответствующих расслоениям над пространством
связностей и над пространством реперов:
Тогда
82 Глава 3
*? - ^W Q4d Л * Q
являются частными дифференциалами отображения ?Р. (Заметим, что
(ср~*)* - это действие группы Ли, а -t,* - действие алгебры Лии)
Предположим, что $P^D, ср) = 0. Мы хотим показать, что диффе-
дифференциал S3* является эпиморфизмом, или, что эквивалентно,
Coker(d^P) = 0. Ш отождествляем Coker(<5^P) с подпростран-
подпространством пространства ?22(ad т?J ,, ^-двойственным к
Q2(adr7), „. Так как оператор <У 53 входит в эллиптический
комплекс
то он сюръективно эллиптичен (т.е. символ ^j^* является эпи-
эпиморфизмом). Поэтому подпространство 1т(сГ?г) замкнуто и имеет
конечную коразмерность. (Метрики, для которых 6~^Р является
эпиморфизмом, в точности совпадают с теми, для которых JLi -
многообразие.) Тогда ImCcTfP) э ImCcJ^S*) - также замкнутое
подпространство конечной коразмерности. Кроме того, Сокег(сУ?Р)е
5* t
р
я Сокег(<У.5*) состоит из функций, содержащихся в ^2t(a.dr^)^
а не из распределений, содержащихся в S2f(adr^J ,. Это сле-
следует иэ регулярности для переопределенной эллиптической системы
(сУА?Р)"*Ф = 0 (коэффициенты которой имеют класс гладкости С ).
Предположим, что Ф е Coker (t^S5). мы хотим показать, что
Ф = 0. Тогда Ф еCoker(c$^P), так что
м
Многообразия связносте! 83
= 5(А,1)Ф) ^
н и _
для всех А е Q (ad^)^. Здесь Ф = ср*(Ф)
оператор, сопряженный к D относительно метрики
скольку из эллиптической регулярности следует, что
рывное отображение, мы имеем поточечное уравнение
C.13) D*$ - 0.
Кроме того, Ф s CokerCc^S9), так что
0 J'A*
и
у*
ф
D
V-
—
*
По-
непре-
для всех -гее. Снова мы можем заключить, что поточечно
С3.14) (^%.*V,-0.
Из уравнения C.14) и леммы 3.7 следует, что Im(FL) и 1т(Ф)
поточечно ортогональны. В частности, в каждой точке, где F-, и
Ф не обращаются в нуль, одна из форм 1*1 или Ф имеет
ранг I.
Будем теперь использовать метрику <?*<?¦' тогда Форш F=>F^
автодуальна, Ф антиавтодуальна ? X>F = D*F = ЗФ = 1»*Ф = 0.
Следовательно, обе формы F и Ф аннулируются оператором
DD* + D*D. На эллиптические операторы со скалярным символом
распространяется теорема о единственности продолжения для эллип-
эллиптических дифференциальных операторов САгЗ- ®яа показывает,
что если F или Ф обращаются в нуль на открытом мноясестве,
то они тождественно равны нулю^Предположим теперь, что Ф Ф О
и что в некоторой точке, где Ф Ф 0, форма F имеет ранг 2.
Следовательно, в некоторой окрестности этой точки F ^имеет
ранг 2, а Ф имеет ранг I. Представим Ф в виде Ф = oc<su,,
где oC(X)eQf(x), a U-(x) e ad 77 ^ с |u,(x)| = i.
Тогда
C.15) 0 = 23Ф = doc» u, +oCaDlc.
Ife условия |u,| = i вытекает, что
О =-|-ot(u, u,) = (Би.,ы,).
Стало быть,
86 Глава 3
Доказ ательство . Фиксируем точку <D,cf>e $2>
= ?Р~*@). Подобно тому, как это делалось в теореме 3.1, постро-
построим срез действия как множество тех связностей, которые переводят-
переводятся в нуль оператором Ю*. Более подробно, ограничим 03 до
отображения
?: [P+Aerf БА = 0}*&— Q
'С"л.
где сопряжение в (Ю+А,ср> берется относительно метрики ср <$..
Рассмотрим эллиптический комплекс
Имеем _KerD*-LImD и <^<D *> li«3> s °- Так
<D ч>> ~ ЭПЯШО^Ж31А* то Дифференциал ^^<d > также
является эпиморфизмом. Более того, посколькусюръективность яв-
является открытым условием, дифференциал SS3^ .^ остается
эпиморфизмом__в целой окрестности О точки \Ъ,ц>У. Следова-
Следовательно, (cJ"SP)"i(O) Г) О. -многообразие. По теореме 3.2 мы можем
отождествить его с окрестностью точки (Ъ,ц>У в пространстве
орбит &i-i-^ Тем самым €?%)^1/&г является подмногооб-
подмногообразием в X. xfs (и, значит, хаусдорфовым подмногообразием).
•c-i л
Факторпространство ^®» /'®/ и есть наше параметризован-
параметризованное пространство модулей.
ПРОСТРАНСТВО МОДУЛЕЙ
В предыдущих параграфах мы получили несколько различных
многообразий связностей. Объединим их в следующую диаграмму:
tS
Многообразия связностей 87
ТС"*
Отметим, что ТС"*(ср) = JU,y является пространством модулей ав-
автодуальных связностей для метрики tf*^-
Докажем следующее утверждение.
Теорема З.Г7. Многообразие % содержит бэровское
множество таких ср е *&, для которых *А1 „ - пятимерное мно-
многообразие.
Бэровским множеством мы называем счетное пересечение плот-
плотных открытых множеств. Следовательно, по теореме 3.17 множество
хороших метрик плотно; отдельное рассуждение показывает, что оно,
кроме того, и открыто. Разумеется, М,,. является многообразием
тогда, когда ср - регулярное значение отображения ТС: 32) /<&->><б.
Поэтому причудливо сформулированная дифференциально-топологичес-
дифференциально-топологическая теорема 3.17 есть не что иное, как обычная теорема о неявной
функции, но в бесконечномерном случае. Наши конструкции устроены
так, что эта теорема непосредственно следует из теоремы Сарда -
Смейла.
Теорема Сарда-Смейла [^Sm^. Пусть
ТС: Е -*¦ % - фредгольмово отображение между паракомпаатны-
ш банаховыми многообразиями. Тогда множество регулярных значе-
значений тс является бэровским множеством в многообразии %.
Отображение тс мы называем фредгольмовым. если в каждой
точке многообразия Е дифференциал сГтс является фредголь-
фредгольмовым линейным отображением касательных банаховых пространств
(это означает, что с5"тс имеет конечномерное ядро, конечномер-
конечномерное коядро и замкнутый образ). Индексом отображения ТС в точ-
точке xsE, обозначаемым через indt(K), называется индекс
ind(#5Ё) = dim Ker (<5^) - dim Coker(S'ft) дифференциала (Утс
в этой точке. Поскольку индекс шсКсУтс") инвариантен относи-
относительно деформаций, в случае связного многообразия Е он не за-
зависит от выбора точки. Если ср - регулярное значение отображе-
отображения ТС, то ТС"*(ср) является многообразием размерности
il()
TC).
В интересующем нас случае Е = 325^/E^ .и tS = C (GL(TM))-
паракомпактние банаховы многообразия по построению. Стало быть,
88 Глава 3
для доказательства теоремы 3.17 нужно всего лишь показать, что
% - фредгольмово отображение индекса 5.
Доказательство теоремы 3.17. Проще всего вы-
вычислить индекс отображения ТС в точке <D,id>. (Черта обоз-
обозначает орбиту точки <D.id> относительно группы калибровочных
преобразований.) Касательное пространство к многообразию
в точке СВ.ЫУ имеет вид
C:
О}.
Касательное пространство к фактормногообразию 'б® ; /&^ мо-
может быть интерпретировано как касательное пространство к нашему
срезу:
<У5>^_?Р ^ 2 = О, Б*А = 0}.
Очевидно, что c?i7i;(A,'O = *ь. Поэтому
Кег сГ€ = {<А, а>: <^?^(А) = Ъ*к - 'г - О} и
Рассмотрим еще раз эллаптический комплекс
C.18) 0 -*Q°(ad^^ ?2?(adTj)^? ^^ Q^(ao( ^)^ ^ 0,
где SJP =» P_D. Поскольку cT?P°D = 0, мы можем считать, что
C.19) Im сГтс = C<TaS»)(Im ^S5).
Оператор $& имеет замкнутый образ и конечномерное коядро.
Размерность коядра совпадает с размерностью -А.2 двумерных ко-
гомологий комплекса C.18). Так как сГ?Р - эпиморфизм, то из
C.19) легко следует, что образ Ijn Sit также замкнут и его
коразмерность равна А2. Кроме того, Кег <?ТС (спроектиро-
(спроектированное на первое слагаемое) есть в точности пространство одномер-
одномерных когомологий комплекса C.18) и имеет размерность А*. Из тео-
теоремы 3.1 следует, что А°= 0. Наконец, до теореме Атьи - Зин-
Зингера об индексе, примененной к эллиптическому комплексу C.18),
находим
Многообразия связностей 89
(подробные вычисления можно найти в ?ahs]] ). Собирая все это
вместе, мы получаем, что сГтс - фредгольмов оператор индекса
А* ~ А2 — 5. Поэтому, чтобы завершить доказательство теоремы
3.17, остается лишь применить к <К. теорему Сарда - Смейла.
Всюду в этой главе мы для удобства пользовались метриками
класса С* с достаточно большим •&. Отметим, однако, что
можно было бы в конце концов считать все метрики бесконечно глад-
гладкими или даже вещественно аналитическими. Это следует из того
факта, что «хорошие» С -метрики образуют открытое плотное мно-
множество. Чтобы это стало понятно, заметим, что А2 - полунепре-
полунепрерывная сверху целочисленная функция на многообразии ^i-i * *&
(см. лемму 4.15). Это означает, в частности, что А2 обращается
в нуль на открытых множествах. 5 следующей главе мы докажем, что
для т особых точек {_р±, Яг х- •• 'Рт~} С|^> точно так же как для
неприводимых связностей в JIL, обращение А2 в нуль сигнали-
сигнализирует о существовании локальных координатных карт, хотя «кар-
«картой» в точке pi служит конус над (СР2, а не евклидово про-
пространство 1R . Более того, мы покажем, что A2Cpi) обращается
в нуль на плотном открытом множестве С -метрик. В гл. 8 будет
доказано, что для некоторого подмножества JU <= М, разность
JUyJUx компактна, а из результатов гл. 9 будет следовать,
что А2 обращается в нуль на Мх. Кроме того, оценки, приводя-
приводящие к этим результатам, равномерны относительно малых шевелений
в пространстве метрик класса С*. Фиксируем хорошую метрику.
Тогда можно покрыть окрестность U множества JU \ JU в X.
конечным числом таких открытых множеств, что А2 обращается в
нуль на 17 для всех близких метрик. Собирая все зто вместе,
пользуясь тем, что конечные пересечения открытых плотных мно-
множеств открыты и плотны,и замечая, что пространство модулей глад-
гладко зависит от метрики, мы получаем следующее
Предложение 3.20. Множество тех метрик класса С ,
для которых \А1 является многообразием, открыто и плотно и,
следовательно, содержит бесконечно гладкие (и аналитические) мет-
90 Глава 3
Этот результат почти ничего не меняет в доказательстве тео-
теоремы Дональдсона, но обладает эстетической завершенностью.
Наше доказательство теоремы трансверсальности 3.17 годится
для всех 317B)-расслоений. Мы нигде не использовали ни класс
Чжэад с2, ни форму пересечений со, ни размерность JH, хотя
и опирались на то, что группа SUB) имеет малую размерность.
В действительности это доказательство применимо и к SOC)-pac-
слоеаиям. Для U(l)-расслоений имеем
Следе твие 3.21. Пусть форма пересечений со неопреде-
неопределенна.. Тогда для открытого плотного множества метрик на линейных
расслоениях не существует ни автодуальных, ни антиавтодуальных
связностей.
Доказательство. Это следствие получается до-
дословным повторением (применительно к данному случаю) доказа-
доказательств теорем 3.4 и 3.16. Единственное отличие - это вычисление
индекса из теоремы 3.17. Для линейных расслоений эллиптический
комплекс C.18) сводится к комплексу
C.22) 0 — Q° -^ Q* -^ Я* — 0,
поскольку присоединенное расслоение тривиально. Как было показано
в работе ^AHs], индекс комплекса C.22) равен "г'СХ"^)» где
X - эйлерова характеристика, а Т - сигнатура базового мно-
многообразия. Обозначим через -ё_ размерность максимального под-
подпространства, на котором форма пересечений со отрицательно оп-
определена. Тогда, как легко видеть, % С X"" <с') - 1 + •?_ ¦
(Тот факт, что "^(у-ТГ) есть аналитический индекс, непосред-
непосредственно вытекает из двойственности Пуанкаре.) Но h°= L (посто-
(постоянные функции), так что мы интересуемся размерностью AL--h? = -l_
(ср. с доказательством теоремы 3.17). Если Ь_ > 0, то несуще-
несуществование автодуальных решений следует прямо из теоремы Сарда -
Смейла. Несуществование антиавтодуальных решений получается из
неравенства -Ь+ > 0 обращением ориентации базового многообра-
многообразия и дословным повторением предыдущего рассуждения.
Разумеется, в случае неопределенной формы пересечений суще-
существуют решения уравнений Янга - Шллса, доставляемые теорией Ход-
Ходжа. Поэтому неопределенный случай представляет собой пример, в
котором не достигается топологическая нижняя грань из гл. 2.
Глава 4
КОНУСЫ НАД CIP5
В предыдущей главе мы показали, что для плотного множества
метрик множество JLL неприводимых автодуальных связностей в
пространстве модулей JU является гладким многообразием. Теперь
мы исследуем особые точки {р^, рг, ..., p^j^M, отвечающие
приводимым связностям. Мы покажем, что после некоторого шевеления
пространства JH, которое можно проделать либо «вручную», ли-
do возмущая метрику, окрестность каждой особой точки станет го-
меоморфной открытому конусу над СР.
Рл
Рг
Более того, эти гомеоморфизмы можно сделать гладкими вне особых
точек. В частности, этим доказывается существование вблизи приво-
приводимых решений неприводимых автодуальных связностей. Вырезав откры-
открытые окрестности особых точек и вклеив на их места т, экземпля-
экземпляров' комплексной проективной плоскости СР2, мы получим половину
92 Глава 4
кобордизма B.23) между М и LJ^CP . Останется_лишь показать,
что М - ориентированное многообразие и что dJIL =M; это бу-
будет сделано в гл. 5-9. Поскольку в этой главе многие рассужде-
рассуждения параллельны соответствующим рассуждениям гл. 3, мы часто
опускаем некоторые детали (например, Соболевские индексы).
СНОВА. О СРЕЗАХ
Вспомним сначала основные свойства приводимых связностей. Из
теоремы 3.1 мы знаем, что ^рушга &/"Ж свободно действует на
неприводимых связностях е#. Стационарная додгруппа & ? ©
приводимой связности D изоморфна S*. В большинстве случаев
удобнее рассматривать факторгруппу S = ©D/Z2 — Si, посколь-
поскольку она свободно действует на соседних неприводимых связностях.
Алгеброй Ли группы 0^ является одномерное ядро оператора
D.1) D: Q°(ad7}) -* Q*(ad rj),
представляющее нульмерные когомологий ~И уже знакомого нам
эллиптического комплекса
D.2) 0 — Q°(ad r() ^* Q?(ad 4) -Е=2*' &Z_(a.d Г{) -* 0.
Так как комплекс D.2) © -эквивариантен, то группа @ дей-
действует на всех его группах когомологий. Действие на Н° триви-
тривиально. В предложении 4.9 мы определим действие & на группах
когомологий Н и Н^. (В последующем мы будем отождеств-
отождествлять классы когомологий с представляющими их гармоническими фор-
формами.)
Срезы
[А * Q?(ad r(i: D*A = 0}
задают систему локальных карт для ЗЕ вблизи неприводимых связ-
ностей. В приводимом случае нужно принять во внимание S^сим-
S^симметрию. Вспомним стационарную подгруппу
0, |u.|-i, 0* 9 < 2ic].
Поскольку D-t = 0, эта группа действует на ЗЕ по правилу
D.3) ' А'ь» h'lAb.
Конусы над <ЕР 93
Кроме того, естественное действие группы & на своей алгебре
Ли - это сопряжение
В любой Соболевской норме на Q (ad т})^,, построенной с помощью
ковариантного дифференцирования, группа ©^ действует ортого-
ортогональными преобразованиями, поскольку i поточечно унитарно и
параллельно.
Теорема 4.4. Пусть D - приводимая связность и Z) -
ее орбита в пространстве 3?. Тогда для достаточно малой окрест-
окрестности О_ точки J в Ж существует локальный гомеоморфизм
- ш D
гладкий вне особой точки Т) еО^.
Доказательство. Мы копируем доказательство
георемы 3.2. Определим отображение
полагая
LD<A, *> = D*(
Частный дифференциал cf L;D = I)*D в направлении -6 имеет яд
ро Н° Ограничим наше отображение на Ь2-ортогональное до-
дополнение Н^", т.е. на образ оператора D* в °
тогда частный дифференциал ограничения
обратим в точке @,id). Следовательно, для достаточно малого
AeQ1(adr7) уравнение L (А, з) = 0 имеет единственное
решение
5 =* ехр и, е ехр[Н J
и решение А = i{A) уравнений
94 Глава 4
А = 5lDi + i~'
D.5)
Ю*А = О
гладко зависит от А. Присоединенное действие элемента i e ©
на Н^ тривиально (поскольку Bi = 0), поэтому ad i отоб-
отображает ортогональное дополнение Н^х в себя. То же самое ут-
утверждение верно и на групповом уровне: сопряжение с помощью эле-
элемента 4 отображает подгруппу ехр{Н^ } в себя. Таким обра-
образом, если А удовлетворяет уравнениям D.5), то мы имеем также
0.
Отсюда следует, что ^(adt-A) = ad4--^(A), а из этой эквива-
риантности мы получаем ЗЕ^/©^ = 0/0. (Ны опустили доказатель-
доказательство того, что ЗЕ-р/Ф-р вкладывается в факторпространство; оно
подобно соответствующему доказательству из гл. 3.)
СТРУКТУРА ОСОБОЙ ТОЧКИ
Вблизи особой точки пространство модулей локально имеет вид
ядра отображения
PF: ЭЕ ^Q2(adT7),
D.6)
А >- Р(БА+АлА),
профакторизованного по действию группы ©т)- Линеаризацией отоб-
отображения P_F в точке А е Х^ является оператор Р_Б, вхо-
входящий в комплекс D.2). Из эллиптичности вытекает, что ограниче-
ограничение P_D на X есть (линейный) фредгольмов оператор. Сле-
Следовательно. P_F есть (нелинейное) фредгольмово отображение (см.
обсуждение, следующее эа теоремой 3.17). Сформулированное ниже
свойство конечности представляет собой основной шаг в доказатель-
доказательстве теоремы Сарда - Смейла Qk], [em], ?bJ.
Конусы над СР* 95
Л ем м а 4.7. Пусть ф: X -*• У - нелинейное фредголь-
фредгольмово отображение гильбертова пространства X в гильбертово про-
пространство У, ср(О) - 0 j_ Т = (otc^)Q: X -»¦ У - дифференциал
(I) в начале координат. Тогда существуют такие разложения прост-
пространств X ж_ У
Х=КегТ®Х', У=1тТ®У'
и отображение
?: X -> У',
что <р эквивалентно в окрестности начала координат отображению
Т + ср, причем эта эквивалентность задается диффеоморфизмом про-
пространства X. Более того, если на X я_ У ортогональными
преобразованиями действует группа G- и отображение с|> эквива-
риантно. то X' д У являются G-иявариантными подпростран-
подпространствами, а <р G-эквивариантно.
Другими словами, фредгольмово отображение локально эквива-
эквивалентно сумме линейного отображения и нелинейного отображения с
конечномерным образом. Теорема Сарда - Смейла получается из леммы
4.7 применением обычной теоремы Сарда к конечномерному отображе-
отображению ср. В нашем случае ситуация значительно упрощается тем, что
особые точки изолированы.
Доказательство . Поскольку Т - фредгольмово
отображение, подпространство Ker T конечномерно, a Im T
замкнуто и имеет конечную коразмерность; кроме того, корректно
определены ортогональные дополнения X и У'. По теореме об
открытом отображении Т\хг имеет однозначное ограниченное об-
обратное Т*: ImT -*Х'. Продолжим Т на все пространство
У, полагая Т = Т'?{1 -ttc), где чсс: У-*У' -конечномер-
-конечномерная ортогональная проекция на коядро отображения Т. Пусть
1С : X -*• Ker T - ортогональная проекция на ядро Т. Тог-
Тогда отображение
Х- X — X, х <— <нГк(д>) + Т(<р(ос)),
является локальным диффеоморфизмом в точке 0. Имеем
96 Глава 4
Если положить
то мы получим искомую эквивалентность
То, что ср СО) и (сЦ0о обращаются в нуль, очевидно. Эквива-
риантность ср следует из эквивариантности отображений с|>,Т.
Применим эту лемму к отображению D.6), которое выделяет ан-
антиавтодуальную кривизну на срезе, проходящем через связность D*
Линеаризацией этого отображения в нуле служит оператор ?.E|KepD».
Поскольку D.2) - эллиптический комплекс, этот оператор фредголь-
мов. Более того, отображение P.F является ©„-эквивариант-
ным, а так как © действует поворотами, то пространство моду-
модулей в окрестности Т> имеет вид (P.D+ cp)"i(OV®;D для
некоторого С^-эквивариантного конечномерного отображения
<р: КегБ*— AтР_Б)Х.
Тем самым нами доказано
Следствие 4.8. Пусть D - приводимая автодуальная
связность. Тогда в окрестности D пространство модулей гомео-
морфно пространству ср"?@)/®1) для некоторого 0 -эквива-
риантного локального отображения
Здесь Ид и Н^ - одномерные и двумерные когомологии
комплекса D.2). Разумеется, в формулировке следствия эти когомо-
когомологии отождествляются с гармоническими пространствами комплекса.
Отметим также, что пространство ср'^О)/©- локально диффеомор-
фно пространству модулей, за исключением начала координат.
Так как (&У\ = О, то из обычной теоремы о неявной
функции вытекает, что при Н = 0 пространство ср" @) ло-
локально является многообразием. В следующем предложении мы описы-
описываем структуру пространств Н^ и Н^ в явном виде. Ш
Конусы над СР 97
сформулируем его в более общем виде» чтобы выделить используемые
топологические предположения.
Предложение 4.9. Для приводимой связности D
существуют вещественные изоморфизмы
относительно которых группа S^— S стандартно действует на
С*, (С*5 и тривиально действует на Р Нг (.М). Если
*=0, тр С1=р+3.
Доказательство. Прежде всего найдем неподвиж-
неподвижные точки действия группы S^ на пространствах н? и Н^.
Предположим, что элемент u-^Q (ad т^), \и\ = ?, порождает одно-
одномерное ядро оператора D. Бели А^Нд - неподвижная точка,
то Си,, АД = 0, откуда следует, что А = Q&U. для некогоро-
го J е Q1. Применяя рассуждения, подобные тем, которые мы
использовали при доказательстве формулы C.15), можно показать,
что d*9 = P_d$ = 0. Следовательно, форма d$ автодуальна. По
геореме Стокса
0 -
W М. М М
откуда ctP = 0. Значит, форма 9 гармонична, а так как мы
предполагаем, что Н^СМ) = 0', то А = 0. Аналогично, непод-
неподвижная точка в Н^ имеет вид осва, где ос е Qf - гармо-
гармоническая форма. Следовательно, множество неподвижных точек отож-
отождествляется с множеством P_H^)R(M) антиавтодуальных двумер-
двумерных когомологий многообразия М. Заметим, что если форма пере-
пересечений М положительно определена, то Р_Н^ЛС-М) = 0.
Любое пространство V линейного представления группы S
разлагается в прямую сумму V = "V^ ®VR, где Sl тривиально
действует на У„ , a V_ является прямой суммой одномерных
комплексных представлений. Кроме того, единственным линейным не-
98 Глава 4
приводимым действием группы S*, которое свободно вне начала
координат, служит стандартное представление Si на С Поэто-
Поэтому
для некоторых вещественных пространств "^.Yg* Из сказанного
выше о неподвижных точках следует, что У =0 и V. = Р.Н*„
Наконец, если Р.Н^к(М) = 0, то по теореме Атьи - Зингера об ин-
индексе, примененной к комплексу D.2), получаем « = р+3.
Теперь мы в состоянии полностью описать локальную структуру
пространства JIL вблизи особых точек в случае, когда двумерные
когомологии обращаются в нуль.
Следствие 4.10. Предположим, что Н* = 0. Тогда
вблизи начала координат пространство ср @)/©_ гомеоморфно ко-
конусу над С Р 2, причем вне вершины этот гомеоморфизм является
диффеоморфизмом.
Доказательство. Прежде всего Н — С и
группа 5^ - /S1 <= С действует умножением. Из следствия 4.8 и
теоремы о неявной функции вытекает, что вблизи начала координат
ср (O/S-p = <Z3/Sl, где S1 отождествлено с С*. Так как
(CP2=((C<5n{O})/C*, то пространство орбит <Z3/Sl =
= СР2*[р> ij/^oc, 0> ~ ^х'0) является открытым конусом над
(СРг. Наконец, ср~*(ОУ®в = ^(О)/^, поскольку центр Zjj^O^
действует тривиально.
После этой подготовительной работы уже нетрудно «вручную»
построить пошевеленное пространство модулей С в]. Заметим, что
Р Н^„(К) = 0, так как начиная с этого места мы предполагаем,
что многообразие М имеет положительно определенную форму пере-
пересечений.
Теорема 4.II. Можно так пошевелить пространство Л1,
что локально, вблизи некоторой приводимой автодуальной связности,
Конусы над (ЕР
*
99
оно окажется гомеоморфным открытому конусу над €Рг. При этом
локальный гомеоморфизм будет диффеоморфизмом вне вершины конуса.
Доказательство. Достаточно рассмотреть каждую
особую точку в отдельности.Пошевелим отображение ср: €р ¦*¦ <Ср. Пусть
L: С *** ~* С*1 - сюръективное линейное отображение и f> - сгла-
сглаживающая функция
Определим отображение cf>: С
полагая
С
для достаточно малого е > 0. Легко видеть, что отображение
является © -эквивариаятным, а его дифференциал (.d-<fH = L
сюръективен. Поэтому в малой окрестности начала координат c^"f(
будет гладким шестимерным многообразием. Пошевеленное пространст-
пространство модулей будет иметь вблизи начала координат вид ср~*@)/5*.
Требуемый результат получается теперь дословным повторением рас-
рассуждений, использованных при доказательстве следствия 4.10.
В следующем разделе мы предложим еще один подход к вопросу о
типичности.
ВОЗМУЩЕНИЕ МЕТРИКИ
Фиксируем на многообразии М метрику у,. В этом разделе
мы изучим когомологии HD в каждой из особых связностей
D., ... , Jm (появляющихся из расщепления tj = Я®Я" ) и дока-
докажем, что эти группы когомологии обращаются в нуль для типичной
метрики. Тогда следствие 4.10 даст нам локальную структуру прост
ранства модулей ЛС в окрестности точки Di. Фиксируем номер
t и положим К\ = dim Н^ . Для D = D^ мы имеем форму кри
визны F= Ръ= б®и (ранга1! как оператор), б е ?2*, и е
°), \u\ = i.B силу тождества Бьянки
100 Глава 4
0 =DF =
откуда
D.12) d.6 = Du = 0,
как и в C.15); другими словами, форма б гармонична и сечение
и. параллельно. Напомним, что оператор
Б: Q^ ^
имеет одномерное ядро, которое в нашем случае порождается сечени-
сечением и,. Следовательно, имеет место ортогональное расщепление
ad л = R • и, ® ^ .
Оператор D тривиально действует на линейном расслоении К • ьс.
Легко видеть, что ?^®R (С изоморфно расслоению 77 с индуци-
индуцированной связностью. Стало быть, можно разложить комплекс D.2) в
прямую сумму обычного антиавтодуального комплекса Де Рама
D.13) 0 -* Q° -^ Й* -^ Я*_ - О
и комплекса
D.14) о-й°(с;) ^* Qf(c;) -^ q!cc;) -* о.
Здесь cL_=Pd. и S5=PD; впредь мы будем использовать эти
обозначения без особых оговорок. Из положительной определенности
формы пересечений вытекает, что индекс эллиптического комплекса
D.13) равен I и его когомологии представляются постоянными функ-
функциями в Я2°. (Вели Р_Н^Д(М) т* 0, то из доказательства
следствия 3.21 можно вывести, что в общем положении в пространст-
пространстве модулей нет особых точек, а значит, не существует и вклада ком-
комплекса D.13) в группу ^к#) Поэтому мы будем изучать комп-
комплекс D.14), индекс которого, как нетрудно показать, равен -6. Wh
установим, что А2= dim Coker© обращается в нуль на плотном мно-
множестве метрик. К сожалению, для доказательства нельзя использо-
использовать теорему трансверсальности из предыдущей главы, поскольку мы
попали как раз в ту ситуацию, когда F имеет ранг 1 и (? Ф) = 0.
Однако теперешняя наша проблема намного легче, так как вместо
сложных множеств решений мы имеем всего лишь т. дискретных ре-
решений, гладко зависящих от метрики.
Конусы над СР* 101
Из нашей первой леммы следует, что множество метрик, для ко-
которых А2 = 0, является открытым.
Лемма 4.15. Операторы D ж_ © гладко зависят от мет-
метрики а, и функция Алф) полунепрерывна сверху;
() * А (
lim А (а) * А (а- ).
Разумеется, оператор 2) определен лишь с точностью до
либровочного преобразования, поэтому речь идет о его гладкости
на пространстве орбит ЗЕ.
Доказательство . Гладкая зависимость D иЭ
от метрики следует из того факта, что нуль является регулярным
значением отображения P.F на линейном расслоении Я (см.
теорему 3.4). Ясно, что и само пространство Qf(O гладко за-
зависит от метрики. Функция А (а) представляет собой размер-
размерность ядра оператора 252)*: b2f(?^) —*¦ ?2f(?). Так
как этот оператор эллиптический, он имеет дискретный спектр; сле-
следовательно, ^С^) полунепрерывна сверху (точно так же, как
для конечномерных матриц; доказательство для эллиптических опера-
операторов немедленно получается из леммы 4.7).
Докажем теперь, что одномерные когомологии комплекса D.14),
а точнее, их образы относительно оператора D, в некотором смыс-
смысле типично расположены в направлениях (в М), не «параллель-
«параллельных» кривизне. Заметим, что если форма А е Q^t^) точна, т.е.
А = Ъгг, то ее дифференциал
БА = D2v = [F, яг] = ?б9и, лх] = б® \и,, v\
параллелен F. Для типичных метрик справедливо обратное утвер-
утверждение.
Лемма 4.16. Существует такое открытое плотное множество
метрик класса С*, что если форма A gQ*(C) удовлетворяет ус-
условию S5А = 0 и если ЮА = 6®w на открытом множестве, где
F =? 0, то А =Х)У для некоторого vgQ
102 Глава 4
Доказательство. Поскольку оператор Б не
имеет ядра в Ц, эллиптическое уравнение D*(A-?-y) = 0 обла-
обладает единственным решением v е ?2°(С,). Тогда для X = А-Ътг
форма
D.17) БА = DA - [F, гг] = б о (w - [u,, v]) = б ® vtr
параллельна форме кривизны F и А гармонична, т.е.
D.18) ©А = Б*А = 0.
Покажем, что для открытого плотного множества метрик уравнения
D.17) и D.18) означают, что "К. = 0.
Почти очевидно, что множество метрик открыто. В самом деле,
существование формы А Ф 0, удовлетворяющей уравнениям D.17)
и D.18), является замкнутым условием. Чтобы доказать этот факт,
заметим, что б| 25 и D* гладко зависят от метрики и мы можем
использовать слабую компактность множества решении эллиптических
уравнения для выделения из последовательности решение слабо схо-
сходящейся подпоследовательности.
Чтобы доказать, что множество «хороших» метрик плотно,
рассмотрим аналитические метрики. Тогда б, 2) и S3* станут
аналитическими функциями. Следовательно, корректно определено
множество нулей б; в частности, оно имеет нулевую меру. Так
как для элементов алгебры Ли sxi(Z) имеет место тождество
?ы,, [и,, иг~]2 = ~w, то
где v=-[u,,ur~\. Таким образом,
[FaXJ = D2A =D[F,#] = [FaDv-2.
Но точно так же, как в доказательстве теоремы 3.4, умножение на
автодуальную форму б является обратимым оператором из ?2 в
Q3, а поскольку и, Ф Z,, то F обратимо действует из ?21(С^)
в ?23(C,). Следовательно, К =Ътт на множестве, где F Ф 0.
Кроме того, сечение v однозначно определено и аналитично на
этом множестве и норма |V*tt| ограничена нормой |V* A\. Поэто-
Поэтому с помощью разложения в степенные ряды г? продолжается на
множество нулей формы F. Но тогда D*A =Ъ*Ътг = 0 всюду,
откуда и = 0. Следовательно, X = 0 и А = T)v.
Конусы над, СР& ?03
Перейдем теперь к нашему основному результату.
Теорема 4.19. Для открытого плотного множества С*-
метрик А2 обращается в нуль в каждой особой точке пространст-
пространства модулей.
Доказательство. Так как конечные пересечения
открытых плотных множеств являются открытыми и плотными, то дос-
достаточно рассмотреть каждую приводимую связность по отдельности.
Кроме того, мы можем ограничиться открытым плотным множеством из
леммы 4.16. Хотя рассматриваемое нами линейное приближение зна-
значительно проще нелинейной ситуации из гл. 3, мы по-прежнему бу-
будем пользоваться техникой трансверсальности.
Рассмотрим отображение
„¦к
Здесь % - пространство автоморфизмов класса С касательно-
касательного расслоения (см. теорему 3.4), а оператор D неявно опреде-
определен как автодуальное решение относительно метрики <f fy. Сказан-
Сказанное выше позволяет утверждать, что прообраз Q @) состоит
из ненулевых одномерных когомологий Н^(^) относительно ср ^t-.
Если мы покажем, что нуль является регулярным значением отобра-
отображения Q, то тем самым установим, что для типичной метрики
размерность линейного пространства Н^С^) равна 6. (Проекция
Q-i@) ""*" *& имеет индекс 6, и так же, как в 3.17, мы можем
применить теорему Сарда - Смейла.) Следовательно, для .таких мет-
А2
Пусть <1г,Ф> е Coker 6Ч2<А>(р>, где C<А,^>=0. Рас-
Рассмотрим ияфинитезимальные вариации -гее из алгебры Ли группы
С6>, сохраняющие кривизну, т.е. удовлетворяющие соотношению
t*F = 0. Для таких вариаций
Тогда, полагая Ф = Ф*(Ф) и обозначая через D оператор,
сопряженный к D относительно метрики ср*^., мы получаем урав-
уравнения
104 Глава 4
D.20) Ъ-vr = О,
D.21) Ъ*Ф = О,
D.22) (^БА.Ф)^» О,
аналогичные уравнениям C.13), C.14). Так как оператор D не
имеет ядра в Х^, то из уравнения D.20) следует, что v = 0.
Кроме того, лемма 4.16 означает, что в тех точках, в которых
DA = б® vu совпадает с кривизной и F Ф 0, обращается в нуль
форма А. Но мы исключили из нашей области форму А = OeQ1(t;).
Поэтому в силу единственности продолжения (теорема 6.38) формы
А и F не обращаются в нуль на открытых множествах. Следова-
Следовательно, существует такое открытое множество 17, на котором
DA # 6®w и F Ф 0. Фиксируем репер, в котором б = б*3;
это возможно по лемме 3.5. Тогда
4 4
F = 6i3®u, ЮА =
и по крайней мере одно из сечений w шля. w4 не равно нулю.
Для определенности будем считать, что \&г Ф 0. Пользуясь в
уравнении D.22) преобразованиями C.8) и C.10) и вспоминая,
что t*F ~ 0, мы находим, что (ъ(Г2,Ф)= С Поскольку ? -
двумерное расслоение, это означает, что Ф имеет в области IT
ранг 1. С помощью уравнения D.21) и рассуждений, применявшихся
при выводе соотношения C.15), мы заключаем, что Ф = 0 на об-
области U. В силу единственности продолжения форма Ф обраща-
обращается в нуль всюду, так что нуль является регулярным значением
отображения О.. Теорема 4.19 доказана.
Глава 5
ОРИЕНТИРУЕМОСТЬ
Теорема Дрнальдсона опирается на инвариантность сигнатуры
многообразия относительно ориентированного кобордизма. В этой
главе мы доказываем, что гладкое многообразие JH, которое при-
применяется для построения кобордизма М ~ LJm(CIP2,
ентируемым.
является ори-
Исполъзуя естественное вложение JVL ? 5Е, мы показываем, что
ТМ, является ориентируемым расслоением, построив для него
ориентируемое продолжение на все многообразие 35 :
тл
ж s зг
106 Глава 5
Расслоение S, - это эквивариантное индексное расслоение нели-
нелинейного эллиптического комплекса {I)*, P_F}. To, что расслое-
расслоение ?, ориентируемо, следует из односвязности^многообразия д?;
доказательству этого факта {т.е. того, что 1С(ЗБ) = 0) посвя-
посвящена основная часть настоящей главы. Прежде всего мы показываем,
что с точностью до Z группа 1С EС) совпадает с множест-
множеством гомотопических классов [^М.З^З- Это может быть сделано с
помощью теории гомотопий или, более геометрически, с помощью
конструкции Понтрягияа - Тома, которая отождествляет множество
[ti, 53^ с классами осяащенно кобордантных оснащенных подмно-
подмногообразий из -М. Вычисление методом Понтрягияа - Тома выполне-
выполнено в приложении В. Наконец, мы учитываем группу 7L z и тем са-
самым завершаем доказательство ориентируемости расслоения ?,.
ИНДЕКСНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
Индексное расслоение параметризованного семейства операто-
операторов Фредгольма, действующих в вещественных гильбертовых простран-
пространствах, служит обобщением числового индекса линейного фредгольмо-
ва отображения. Пусть Т: 2%{-*>3s6g- линейное фредаольмово отоб-
отображение гильбертова пространства Ж> . в гильбертово простран-
пространство <&z't ег° индексом называется число
E.1) ind T = dim Ker Т - dim Coker Т. « Z.
В параметризованном случае индекс ind Г - это виртуальное
расслоение над многообразием параметров X, т.е. элемент груп-
группы KO(JC). Напомним, что относительно прямой суммы классы эк-
эквивалентных вещественных векторных расслоений над X образуют
полугруппу, группой Гротендика которой является КО(Х). Эле-
Элемент ^ е КО(Х) может быть представлен в виде формальной
разности <^ = ?,'- Ь," двух вещественных расслоений над X. Ес-
Если X компактно, то виртуальное расслоение ^ стабильно эк-
эквивалентно настоящему векторному расслоению. Вещественное век-
векторное расслоение ?, над X ориентируемо тогда и только
тогда, когда обращается в нуль его первый класс Штифеля - Уитни
w^S,) «НЧХ; Z2). Определим для Е, = $'- ^"е КО(Х) ^ пер-
первый класс Штифеля - Уитни, полагая ur(?.) = vr^t,') - vr^Z,"), и
назовем ^ ориентируемым в том и только том случае, когда
Ориентируемость ?07
иг(?,) = 0. Заметим, что это определение опирается на аддитив-
аддитивность го" . Если ?, - настоящее расслоение (?, = 0), то ука-
указанные понятия ориентируемости совпадают. Кроме того, если
1С .(X) = 0, то любое (виртуальное) расслоение над X ориенти-
ориентируемо. На категории компактных многообразий функтор КО допус-
допускает представление, удобное для теории эллиптических операторов.
А именно, пусть Ж> - сепарабельное бесконечномерное веществен-
вещественное гильбертово пространство. Тогда существует изоморфизм
E.2) indi: [X, Fred (Л)] -=•* КО(Х),
где Fred (ef&) - пространство операторов Фредгольма на 3*6, а
[X, FrecfCd^y] - группа гомотопических классов отображений
X -*"Fred(c%) CA1» приложение 3 . Пусть с|>: X -* Fred (Ж) -
некоторое отображение. Определим виртуальное расслоение ind ф
над X по аналогии с формулой E.1), а именно положим
E.3) (ind (|>)л = Kerc|>Cx)-Cojcer ср(х).
Это определение корректно, если расслоения Кегс|> и Сокегф
имеют постоянный ранг для всех точек xel. Однако в общем
случае функции dim Ker ср(^) и dim Coker фСх) не явля-
являются локально постоянными, и поэтому Кег ФСх.") и Со Jeer ty(x)
ве склеиваются в векторное расслоение. Тем не менее, подобно
лемме 4.7 можно показать, что определение E.3) имеет смысл пос-
после малого шевеления ср (которое не возбраняется, поскольку мы
имеем дело с гомотопическим классом отображения ср ). Интуитив-
Интуитивно можно представлять себе индексное расслоение как стабильный
класс разности ядра и коядра. Для X = pi мы получаем опреде-
определение E.1). К сожалению, не существует прямого обобщения опреде-
определения E.3), которое давало бы корректно определенное индексное
расслоение для некомпактного многообразия X - бесконечная сум-
сумма локальных конечномерных шевелений может оказаться бесконечно-
бесконечномерной. С этой трудностью можно справиться, определив КО(Х)
для некомпактного многообразия X как КО(Х) = [X,Fred(<?&3 (см.
JJP, § 18]]). Для нас это определение бесполезно, хотя его идея
является основной в нашей конструкции. Можно действовать иначе,
принимая во внимание только ограничения на компактные подмного-
подмногообразия многообразия X. Этого достаточно для наших целей, по-
106 Глава 5
скольку ориентируемость можно определить, рассматривая только
компактные подмножества. Обобщение индексного расслоения на слу-
случай, когда гильбертово пространство #6^. зависит от точки хеХ,
приводится в работе ?as].
Для начала устраним особые точки нашего пространства моду-
модулей JH, что не может повлиять на ориентируемость. Выше ш
отождествили касательное пространство к JU. в точке Ъ с пя-
пятимерным линейным подпространством из Q*(ad т?)
ED = [A e Q*(ad rj): D*A = 0, P.JDA = О},
где D - произвольное поднятие Ю. Нетрудно видеть, что про-
пространство
является пятимерным векторным расслоением над 325. Действие
группы & на многообразии неприводимых автодуальных связностей
32) продолжается до послойного действия на Е ffl. Так как
касательным пространством к орбите D служит пятимерное прост-
пространство Ej., то имеет место канонический послойный диффеомор-
диффеоморфизм
E.4) ТЖ = Е^/®.
Постараемся теперь распространить эту конструкцию на все прост-
пространство ЗБ. Определим оператор L(D), полагая
Это эллиптический и, следовательно, фредгольмов оператор для каж-
каждого Т) е^. Введем следующие обозначения: <М>± = Q^ad 17), <К>2 =
= Q°(ad ту) Ф Qf (ad т^) (напомним, что ^&, и с%2
гильбертовы пространства; как обычно, мы опустили соболевские ин-
индексы). Тогда формула L(D, ?,) = L(D)^ задает параметризо-
параметризованное семейство эллиптических операторов
E.5) L-. Л* зе? -* ?* з%2.
На,пространствах с%. и <f&>z естественным образом действует
группа & по правилу
Ориентируемость 109
-i
для бе®, (f«Q (adrj). Семейство L эквивариантно отно-
относительно этого действия.
Сформулированные выше алгебраические свойства читатель лег-
легко докажет самостоятельно, а краткая проверка аналитических
свойств с указанием Соболевских индексов содержится в приложении
А.
Таким образом, факторизация семейства E.5) по действию
группы & доставляет отображение
E.6) L: Ei -* Ez,
где Е= {^ х <$%>,)/& и Е, = (ekx 2%?)/@ — гильбертовы
расслоения над пространством X =&/&. Отображение L насле-
наследует от семейства L свойство быть линейным фредаольмовым опе-
оператором индекса 5 на каждом слое над Ю е 31. Определим виртуаль-
виртуальное расслоение ?,, полагая
с^ = Ker L - Coker L.
Предыдущие рассуждения показывают, что 2^|g eKO(S) коррект-
корректно определено на компактных подмножествах S c 5E - после ма-
малого шевеления ^L представляется в виде разности двух веще-
вещественных векторных расслоений.
Теорема 5.7. Вели пространство Э? = &г/& односвязно,
то касательное расслоение ТМ ориентируемо.
Д о к а з а т елл ь с т в о . Покажем, что первый класс Шти-*
феля - Уитни w' (ТЖ) расслоения TJU обращается в нуль. Пред-
Предположим противное; тогда существует такая окружность ГеЖх
что vor' (ТМ\ „) Ф 0. Пусть S - компактное множество в 5G,
содержащее Г и такое, что %[Г\1 = 0, где -L: Г с+ S -
вложение и [Г] - класс гомологии окружности Г. Например, в
качестве 5 можно взять образ гомотопии, при которой окружность
Г стягивается в точку в односвязном многообразии 9Z. Тогда
110 Глава 5
Вычислим значение w^CTJU.^) на классе гомологии [Г]. Име-
ИмеЭто противоречие показывает, что w.(TJU,) = 0.
КОМПОНЕНТЫ ГРУШЫ ®
Напомним читателю, что калибровочная ^группа &, действуя
на пространстве неприводимых связностей А, имеет неэффектив-
неэффективную подгруппу Z_, которую моено представлять себе как центр
{i, -l} группа SUC2). Эти центральные элементы отожде-
отождествляются с элементами & по той причине, что они инвариантны
относительно присоединенного действия группы SUB), использо-
использованного для построения & = C^Au-Hf). л
Положим & = ®/Z2. Тогда © -^ ? -*¦ 31 есть глав-
главное расслоение со слоем &. Действие © на ^ в точке D
задается, как обычно, правилом
<з,А> *— -ъ Т>0-й + ¦&' Аи.
(Некоторые авторы используют формулу <3,А> *"*¦ зБ0* + *А* .
В нашем случае з е & действует на расслоении Йг(ас1 т^ )
как ad з~*; возможно, более обычным является действие ads.
№ обращаем внимание на это различие потому, что, несмотря на
его незначительность, оно, подобно знаку оператора Лапласа, мо-
может быть причиной дута^шцы.)^Точно так же, как в конечномерном
случае, расслоение © -*¦ ? -*¦ ЗБ порождает точную гомо-
гомотопическую последовательность
Напомним, что точные последовательности пунктированных множеств
(таких, как пс (Л) ) корректно определены. Поскольку прост-
Ориевтируемость
III
равство о# стягиваемо, а простравство <&\$ приводимых
связвостей имеет бесконечную коразмервость в А* (сущестаует
зависящее от бесковечного числа параметров семейство локальных
возмущений, превращающих приводимую связность в неприводимую),
то «Эг имеет слабый гомотопический тип точки Qs, теорема 2J
Следовательно,
E.8) 1С?Ф)= 1Г0(@).
Вычислим сначала <if0FO. Из классификациоввой теоремы,
утверждающей, что SUB)-расслоения полностью характеризуются
вторым классом Чжэня, без труда вытекает, что все такие расслое-
расслоения могут быть построены из двух кусков. (№ воспользуемся этим
в гл. 6 при изучении процедуры прививки.) Другими словами, най-
найдутся такое открытое покрытие М = М.+ UМ~ с М+ — В
(четырехмерный шар), М+ П ?1~ — S3х@, 1) и такая фувкция
перехода А: М + ПМ~ ~*" SUB), что главное SUB)-расслое-
SUB)-расслоение Р, ассоциированное с tj, будет иметь вид
Р =M+
где
E.9) <m+, a> ~ (т~, а) тогда и только тогда, когда
Так как c2d7)[>l3 =-1, то для любого i е @, 1) отобра-
отображение х *-*• A(x,-fc) имеет степень -I. Поэтому, изменяя его,
если понадобится, с помощью гомотонии, можно считать, что 4ь(рс,1)=
= az.. Пусть В s М+ - шар, целиком лежащий в М +; для
простоты можно считать, что В = М*\М~:
1
\
/
ч
7
[ )
н
S
/
\
м-
112 Глава 5
Положим
Лемма 5.10. Включение с. ® =¦ © индуцирует изомор-
изоморфизм
*
Доказательство. Ограничение на В калибро-
калибровочного преобразования есть отображение В -*¦ SUB). Поскольку
группа SUB) связна, каждое такое отображение гомотопно пос-
постоянному отображению В -*•?!}. Следовательно, l^ сюрьектив-*-
но. Предположим теперь, что элемент б е ©0 находится в связ-
связной компоненте единицы в @. Тогда в & существует путь,
соединяющий б с I. После ограничения на В этот путь прев-
превращается в петлю, отмеченной точкой которой служит постоянное
отображение Б —•" ?l}. Но группа SUB) односвязна, поэто-
поэтому мы имеем гомотопию к постоянной петле над В, т.е. путь в
&0 из 5 в I. Следовательно, отображение «,# инъективно.
В.силу E.9) элемент -5 s &0 может быть описан парой отоб-
отображении
5": М" -* SUB).
E.II)
5+: М -
удовлетворяющих на пересечении М ПМ =S х @, i) условию
~(х1) jc" 6+(xt)oc
Однако з = 1 на М \М~= В, поэтому а~(х,0) = 5+(х,0) = 1.
Значит,
[И, S3],
где в последнем равенстве мы воспользовались тем, что сфера S
односвязна.
Таким образом, мы доказали следующее
Ориентируемость 323
Предложение 5.12.
Наметим в общих чертах то, что нам нужно знать о группе
pM,S33- Более подробные геометрические доказательства можно
найти в приложении В. Произвольное отображение б: М. — S4
степени I индуцирует гомоморфизм б*: [Su, 53J — [М, S3].
Предложение 5.13. Если форма пересечений со
многообразия М* нечетна, то [М4, S3J = 0, если же она четна,
то [~М4, S33 = Z_. Более того, в случае четной формы со груп-
группа Ж2 является образом группы ]~S4, S 3J = % „ при гомоморфиз-
ме_ б*.
Доказательство. По классификационной теореме
Стинрода [sp]
Гомоморфизм Scj2: HZ(M.;TL) — К (Н; 7Lг) есть композиция
обычного квадрата Стинрода и приведения по модулю 2, т.е.
Scj2(oO = со (ос, ос) mod 2, где со - билинейная форма в гомоло-
гиях средней размерности. Это дает требуемый результат. Кроме
того, поскольку конструкция функториальна, то [W4,S^]s*{[4
откуда в случае четной формы ш следует изоморфизм
{\4)
Следствие 5.14.
7L,, если форда со четна,
О, если форма со нечетна.
Опишем вкратце образ ую1цую группы [S , S3], которая р
ставляет собой надстройку отображения Хопфа. Пусть S =?ег ,
Л * suB)}. Отображение Хопфа Н: S3= SUB) ¦* S2= SUB)/Sl
это в точности отобг)ажение в левые классы смежности:
Глава 5
Н(х) = [х] = ?xeiA9}.
Его надстройка EH: E-S = S — ES2= S3 есть просто отоб-
отображение
E.15) ЕН(х, ср) =* {[рс~], ср>,
где 0 « ср 4 чс - полярный угол в сферах S и S .
ЭКЕИЕНТ -I
Ife расслоения
Z ¦** & — ®
z
мы получаем точную последовательность пунктированных множеств
E.16) ... — <к0СЕг) -^* 1й0С©)- —- Ъо(&) -* 0.
Если форма со нечетна, то, комбинируя изоморфизм E.8) со след-
следствием 5.14, находим, что ТС (ЭЕ) = 0. Обратимся теперь к слу-
случаю четной формы пересечении со. Последовательность E.16)
превращается тогда в
E.17) Z2 -^* Ъг -* 1U0(©) — 0,
и 1СО (@) = 0 тогда и только тогда, когда ^* отображает
-1 е 7L е @ в нетривиальный элемент группы 1to@). Поэтому
все, что остается - исследовать отображение % . Наш анализ
основан на явной конструкции, которая использовалась при доказа-
доказательстве предложения 5.12.
Предложение 5,18. Отображение i сюръективно.
Доказательство. Как и прежде, фиксируем в
SUC2) подгруппу Si = [eiA9} я SUC2). Пусть ЯШ=ежи,
0 ^ i * i, - путь, соединяющий +1 и -I в S1. Используя Л,
переведем элемент -is® в подгруппу &Q. В результате мы по-
получим элемент -з е © задаваемый отображениями (см. E.II))
Ориентируемость
¦й =
•6 =
] +
на М + ПМ~
на D,
на М+ПМ'
на М~\М+.
Тогда элемент -з лежит в подгруппе 0О в силу E. II) и нахо-
находится в той же связной компоненте ®, что и -I.
При отождествлении /iC0(&) с CM4, S3Q в предложении
5,12 элемент 6 представлялся отображением б~, продолженным
единицей на шар В. Кроме того, определив отображение
4 4
б:
правилом
бСМ+\М~) = северный полюс (<р = 0),
бСМ~\М+) = южный полюс (cp = ^),
1^+ »>-
1 м. мл
* @,0 -* 135 (естественная проекция).
мы видим, что з~= (Х°б, где и: S -*¦ S задается формулой
u-Сх, ср) = х е*'4' ее.
Тогда и. пропускается через надстройку YLK отображения, об-
обратного к отображению Хопфа:
-, <f >
х е
\
116
Глава 5
Здесь 9 - диффеоморфизм, отождествляющий большую полуокруж-
полуокружность, проходящую через точку [x,~i'] e SUB)/U(i.) = Sz на эква-
экваторе, с большой полуокружностью \_Х~*еъ<? х: О^ср «TCj:
+1
Ife предложения 5.13 и обсуждения, следующего за 5.14, вытекает,
что б~ порождает нетривиальный элемент в группе 7L = 1Г0(@).
Поэтому отображение j.^ сюръективно и ^ПГ0(©) = 0. Отсюда в
силу изоморфизма E.8) следует, что ГС?(ЭЕ) = 0.
Итак, мы полностью доказали основной результат этой главы:
Теорема 5.19. Многообразие JIA ориентируемо.
Глааа 6
ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
ДЛЯ ТЕОРЕМЫ ТАУБСА
л В предыдущих главах мы показали, что пространство модулей
JIL является гладким ориентируемым многообразием. Однако если не
существует приводимых связностей. оно может оказаться пустым! Тео-
Теорема Клиффорда Таубса ?т] исключает эту мрачную возможность.
Она утверждает, что автодуальные связности существуют на любом
четырехмерном многообразии М. с положительно определенной фор-
формой пересечений. Теорема Таубса дополняет работу Атьи, Хитчина и
Зингера ?ahs]], которые построили пространства модулей для
более ограниченного класса полуконформно плоских многообразий.
Применяя к этим многообразиям теорию твисторов, можно превратить
задачу отыскания автодуальных связностей в задачу алгебраической
геометрии. В частности, таким путем получаются все решения авто-
автодуальных уравнений Янга - Миллса на офере S4 со стандартной
метрикой, хотя топологическое строение соответствующего прост-
пространства модулей для -к > 2 известно не полностью. Наше четырех-
четырехмерное многообразие М в общем случае не является полуконформ-
полуконформно плоским, поэтому для него требуются иные методы. Используя
аналитическую технику, Таубс конструирует автодуальные связнос-
связности на М, исходя из решений на SA. Инстантоны на сфере S4 с
топологическим зарядом -k = I имеют центр -6 е S 4 и масштаб
A s К . в случае, когда Л стремится к нулю, инстантон лока-
локализуется вблизи точки -Ь, и можно представить себе предельную
связность с Я = 0, кривизна которой сосредоточена в одной точке
&. С помощью так называемой процедуры прививки Таубс переносит
эти локализованные автодуальные связности на многообразие М,
где они приобретают некоторую антиавтодуальную кривизну; по<?ле
малого возмущения (которое можно выполнить при небольших Я)
они превращаются в автодуальные связности:
Это дает семейство инстантонов на М, параметризованных много-
многообразием (О, Л )*М. В предпоследней (девятой) главе будет по-
показано, что это семейство образует воротник многообразия М в
J[L; поэтому, присоединяя предельные связности, соответствующе
масштабу А = 0, мы получаем компактификятщп М> = *ЛЬ U М
пространства модулей.
Мы начнем эту главу с описания инстантонов на сфере 5* с
топологическим зарядом -ft. = i. Затем опишем процедуру прививки
и выведем оценки кривизны, показывающие, что «привитые» связ-
связности почти автодуальны. Остальная часть данной главы отдана фор-
формулировкам различных аналитических результатов (иногда стандарт-
стандартных, иногда специальных), которые понадобятся в гл. 7 - 9. В сле-
следующей главе мы завершим доказательство теоремы Таубса, аннули-
аннулируя антиавтодуальную часть кривизны с помощью малых возмущений.
При описании инстантонов на S1*, а также при выводе фор-
формул Вейтценбёка, которому посвящено приложение С, основную
роль играют группы симметрии и связанные с ними главные расслое-
расслоения. Поэтому мы без колебаний используем их в первом разделе нас-
настоящей главы. Однако, памятуя данное ранее обещание избегать
главных расслоений и учитывая, что их геометрия мало знакома ана-
аналитикам, укажем, что в дальнейшем из всего первого раздела суще-
существенное значение будут иметь лишь формулы F.7) и F.8). Другой
вывод этих формул можно найти в физической литературе ^BPSif]»
?лпГ]. Каким бы путем ни были получены формулы для инстанто-
инстантонов на сфере, описание их пространства модулей имеет решающее
значение для понимания общей ситуации. Отметим, что формулы Вейт-
Вейтценбёка можно получить иначе - прямыми вычислениями в нормальных
Подготовительный материал для теоремы Таубса Ц9
координатах. И, наконец, мы надеемся, что включение в главу неко-
некоторых стандартных результатов, относящихся к уравнениям в част-
частных производных, поможет читателям, не имеющий достаточного опы-
опыта в этой области.
ИНСТАНГОНЫ НА. S4
Более подробная информация о решениях уравнений Янга - Мил-
лса на четырехмерной сфере S4 может быть найдена в монографии
Атьи ЦА2И« которой мы близко придерживаемся в нашем изложении.
В частности, мы используем для элементов из К кватернионное
обозначение
i 2. з. а , П|
Разумеется, здесь i =^ =¦ л = г^-fe =-i и элементы г.,1,4г,
антикоммутируют. Напомним, что
Im зс = oczi + х3^ + х -к,
— i г. з. 4р
х-х -xt-x^-x-fe
и |оь( = хх - обычная норма в К . Алгебра Ли Im И мни-
мнимых кватернионов изоморфна алгебре Ли svt> B), -а группа Ли
5рШ единичных кватернионов изоморфна группе Ли 5Щ2). Диф-
Дифференциалы в кватернионных обозначениях вычисляются обычный об-
образом, однако рекомендуется проявлять особую аккуратность в свя-
связи с некоммутативностью кватернионов. Кватернионные обозначения
удивительно хороши для выражения автодуальности: коэффициенты
при i, i и -4 в произведении
F.1) tl 2{Aх??х
120 Глава б
образуют базис для автодуальных 2-форм, а коэффициенты в произве-
произведении
d-хл cix = 2f(otx л doc. - dx. л dec )i +
+ (<Ах4л cix3+
образуют базис для антиавтодуальных 2-форм. Обе формы принимают
значения в алгебре Ли Sit B), а так как при отождествлении
SU-C2) — Im IH скалярное произведение B.12) на SitB) прев-
превращается в скалярное произведение (х, ^.) =2Ке(хп) на Im IH,
то их нормы имеют вид
F.2) ||cixAc?xJ|2voi
Снабдим IH стандартным кватернионным скалярным произве-
произведением
Тогда Ее ( , ) есть не что иное, как стандартное вещественное
скалярное произведение на К — Ш2. Векторы из IR , имею-
имеющие вещественную норму I, образуют семимерную сферу S*, кото-
которая расслаивается над S4— ИР1 при помощи отображения
Здесь IHP ={С^^. З-2-^-^ - проективизация W2. т.е
зсь lHlr =\_]_a , a JJ - проективизация IH , т.е.
i>clZl = СЯ^1' P%ZJ в HP для любого ненулевого кватернио-
кватерниона р е IH. Слоем расслоения ТС: S* —*• S4 служит группа
SUB) ={pelH: |р| = 1}, которая действует на S* умно-
умножением слева на сопряженную матрицу. Таким образом, 1С: S*-*- SA-
это главное 511B)-расслоение с топологическим зарядом -& = 1
(последнее утверждение нетрудно проверить, вычисляя класс Чжэня
этого расслоения с помощью формул B.9) и F.6)). В дальнейшем
нам понадобится двумерное комплексное векторное расслоение, ас-
ассоциированное с 1С: S*-* S4; мы будем обозначать его символом ту 4.
5
Подготовительный материал для теоремы Таубса
Поскольку группа SpB) действует изометриями на S *,
вещественное ортогональное дополнение к вертикальному касательно-
касательному пространству
определяет однородное горизонтальное распределение на S . Лег-
Легко проверить, что это связность в главном расслоении riC: S*-* SA
и что
F.3) 0 = ЬпО^сЦ* + cfdcf)
представляет собой соответствующую форму связности. Формула для
кривизны Q довольно сложна, однако в точке (^,с[г) -{О, О
она имеет простой вид
F.4) ?><ол> = сЦ'лоЦ*.
Горизонтальное подпространство в точке <, О поровдено над IH
вектором д/ду1 и поэтому, в силу соотношения F.1), Q<Ofi>
является прообразом автодуальной формы на ИР*. Учитывая SpB)-
однородность, мы получаем отсюда, что форма кривизны Q всюду
автодуальна. Кроме того, это сохраняющее связность действие груп-
группы SpB) на S? проектируется на обычное действие группы
SO E) на S4. Конформная инвариантность автодуального урав-
уравнения Янга - Миллса показывает, что на V~* действует двулист-
двулистная' накрывающая SLB,IH) более обширное, чем 50E), груп-
группы S0E,l) — SLBJIH)/{±i} конформных преобразований; это дает
новые инстантоны. Существенно более трудным является тот факт,
что все инстантоны с топологическим зарядом -к — I могут быть
получены таким образом ^ahs^J . Благодаря этому мы видим, что
пространством модулей для S4 служит гиперболический шар В5=»
=» SLB, !H)/SpB) = S0E, O/S0E).
Используя стереографическую проекцию
К4~1Н — HP1- S\
и сечение
122 Глава 6
расслоения г\ Л 4, нетрудно получить локальный вид формул
F.3) и F.4). Имеем
F.5) А = Л*0 = Im
F.6) F = и. Q =77-
Более явные выражения получаются, если записать формулы F.5) и
F.6) в координатах. Пусть
A = II А.с?хг,
F = ?.f
Тогда
¦А =
3
. =Im
X
t +
1-
3
4 =
1 + .
i + x <
c|2
cV
c4i
Мнокитель 48 в выражении
Подготовительный материал для теоремы Таубса 123
объясняется наличием множителя 2 в формуле скалярного произведе-
произведения, например
а также наличием множителя 2 в каждом из шести слагаемых формы
кривизны, например
F =
который возводится в квадрат при вычислении норм.
Конформные преобразования вида
Т, .: х — Я(х--б), А>0, <6sS*.
А,*
параметризуют пространство модулей S0E, i)/SOE), если
отождествить Тя>< с Т?/А ^», где -&* - точка на сфере 5*
антиподальная к '*. Действуя на форму ©, преобразования Тя ^
порождают инстантоны Т*^®. Говорят, что инстантон Т*4(й>
имеет центр & и масштаб Я. (Наш основной инстантон 0 ' не
имеет центра, а его масштаб Л равен единице.) Эту терминоло-
терминологию можно объяснить следующим образом. Гомотетия Тд = Т зада-
задается на К формулой х. •-*¦ Лх; она действует на формы связ-
связности и кривизны по правилу
Заметим, что в случае, когда в выражении F.8) масштаб Л стре-
стремится к нулю, кривизна оказывается сконцентрированной в точке
х = 0. Более общим образом, кривизна связности Т ,© цент-
центрирована в точке -Ь i ее протяженность определяется 'масштабом Я.
Отсюда получается наглядное описание пространства модулей Б :
?24 Глава 6
Центр шара - это основной инстантон 0; точка на радиусе, про-
проведенном в точку -6eS4=3B5 на расстоянии -г от центра -
это инстантон Т ©. По мере приближения к граничной точке
¦& кривизна все более концентрируется в этой точке. Поэтому ес-
естественно компактифицировать пространство модулей В , приклеи-
приклеивая к нему край S . На интуитивном уровне точки из S1* пред-
представляют автодуальные связности с дельтаобразной кривизной, т.е.
с кривизной, сосредоточенной в одной точке. Таким образом, краем
компактифицированного пространства модулей оказывается исходное
многообразие 5 , обладающее в этом пространстве воротником
©: x<ao}us\ xo<i.
ПРОЦЕДУРА ПРИВИВКИ
Данное в предыдущем разделе описание пространства модулей
вблизи края обобщается на любое четырехмерное многообразие М,
удовлетворяющее условиям теоремы 2.25. Чтобы получить такое опи-
описание, необходимо построить на М. связности специального вида.
Мы сделаем это, отправляясь от инстантонов на S , с помощью
процедуры, которая называется процедурой прививки. Теорема 6.12
показывает, что полученные таким образом связности приближенно
автодуальны. В гл. 7 мы малым шевелением уничтожим антиавтоду-
Подготовительный материал для теоремы Таубса
125
альную часть кривизны этих связностёй, а в гл. 9 получим структу-
структуру произведения на конце многообразия JIL.
Любое 5иB)-расслоение г^ над многообразием М полу-
получается как прообраз ЗЩ2)-расслоения над 54 относительно
некоторого отображения Ф: М. —" S . Бели Ф имеет
степень I, то ту = Ф (ту +) - расслоение над Н с тополо-
топологическим зарядом -k = 1. Пусть р(.М) - радиус инъективнос-
ти М, т.е. радиус наименьшей нормальной координатной системы
на М. Дл^ произвольной точки ty e М- и положительного числа
^ g(О, ^ ^—) построим отображение степени I
поступая следующим образом. Пусть U - окрестность точки и,
которая с помощью ехр" диффеоморфно отображается на открытое
множество в К4. Фиксируем гладкую срезающую функцию J3:
\0, °°] -*¦ [О, Q, удовлетворяющую условиям
F.9)
монотонно убывает,
Определим отображение
F.10)
сря : М —* S , полагая
ехр
"
УХ
и.
X.
126
Глава 6
(Коэффициент УТ выбран с большим запасом.) В этой формуле мы
отождествляем R4U{°°} со сферой 54 посредством стерео-
стереографической проекции. Шар ехр(В _)s.M отображается с по-
помощью сря„ На ШЭР ^vT ~ ' В Т° В^емя КаК кольЧ0
ехр(Б _\ В _,) s М растягивается на внешность шара В _ ? R
вплоть до бесконечности.
Определим теперь отображение Ф, . как композицию
где Тя - растяжение с масштабным множителем Я. Тогда
г> = Ф^ (г[ 4) - расслоение над М с топологическим за-
зарядом -k = ?. Ясно, что расслоение т^ наследует связность
D, = Ф* @) с кривизной F, = Ф* (Q). На M\U
Я Я,«. Я Я, vi
форма кривизны г тождественно равна нулю, а на окрестности
U она задается в нормальных координатах формулой
F.II) Гя(х) =
(см. формулы F.8), F.10)). Покажем теперь, что форма F поч-
почти автодуальна. Строгий смысл этого утверждения заключается в
следующих оценках.
Подготовительный материал для теоремы Таубса 127
Теорема 6.12. Дяя кандого числа р, удовлетворяю-
удовлетворяющего неравенствам ? < р « °°, существуют такие не зависящие
от_ Я константы с^Ср), сг(р), что
(il) HPFJI $с2(р)Я2/р.
Как и прежде, Р_ - это проекция на антиавтодуальные 2-фор-
мы. Норма || || р задается формулой
Начиная с этого места, мы будем для краткости опускать в интегра-
интегралах форму объема (если это не приведет к путанице) и, кроме того,
обозначать константы просто через с±, с2 и т.д. Отметим, что
теорема 6.12 выполняется без каких бы то ни было предположений о
глобальном строении многообразия М.
Доказательство. Пусть а. - метрика на мно-
многообразии М, выраженная в нормальных координатах х. Обо-
Обозначим через & стандартную метрику на DH, определяемую нор-
нормой |х|. Ife элементарных свойств экспоненциального отображения
вытекает, что cLn — S, —f?- = 0. Следовательно,
по формуле Тейлора
F.13) 1^-^Н с3|л|2,
где с, - константа, зависящая от кривизны М в окрестности
и-. Ограничимся значениями Л < 1/Sс , так что || <^л~ $\\ * i/2
в шаре Вот/т- ТогДа поточечная проекция на антиавтодуальную
часть 2-формы, рассматриваемая как отображение ¦[метрики на К4}"*
—•¦ End(A2iR4)t непрерывна. Из неравенства F.13) следу-
следует, что
F.14) iP.F Г| |г
ЕГ(х)| « с4|х|,
где К. - антиавтодуальная часть формы F относительно
метшки S.
128 Глава 6
Рассмотрим вначале шар Ву%- Здесь форма
я U2+|oc|2J
автодуальна относительно (Г. Оценка F.14) вместе с равенством
F.2) дает
Р F,(x) « с
1 я
Я2|х[2
я 5(А2+|х|2)'
так что
F.15) ( \ |Р F.(x.)\r
Далее,
I2J '
и неравенство
\ (лС-2^
Я
(Я^а .
о о
показ ьшает, что
F.16)
E
Рассмотрим теперь кольцо ^гтГ"^ ^т/—' Выполняя диф-
дифференцирование в формуле F.II)» получаем, что
Гуу")
k Л
FA(x) = , ,м х2 „ 7\Т i^7T^2" +
Подготовительный материал для теоремы Таубса 129
{(cix)x л (cix)x. -
где t = \ос\. Поскольку |(cix) jc л (с?х)х -хс?хл хо?х|
= 0(ta), нам нужао всего лишь оценить два слагаемых
2,2 / . 3/2
^ A jsp A t
Используя свойства F.9) функции р, нетрудно показать, что
эти слагаемые ограничены независимо от А. (Это единственное
место, где выбор коэффициента УХ в формуле F.10) имеет реша-
решающее значение.) Следовательно,
F.Г7)
а так как |Р.Гя(х)| « |Fa(x)[, то неравенство F.17)
выполняется и для формы -P.F,. Собирая вместе оценки F.15) -
F.17) и учитывая тот факт, что F^ = 0 на М\ ^2УГ' мы по~
лучаем неравенства теоремы 6.12.
НЕОБХОДИМЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА
В этом разделе собраны те результаты из анализа, которые по-
понадобятся нам в гл. 7-9: формулы Вейтценбёка, основные факты о
пространствах Соболева, а также некоторые элементарные свойства
эллиптических уравнений в частных производных. По необходимости
наше изложение очень краткое, подробности можно отыскать в стан-
стандартных руководствах (например, [~A.u], [j^i CGT1' E^O)*
130 Глава 6
Дня того чтобы проанализировать скрученную функцию Ф на
многообразии М, т.е. сечение векторного расслоения ^, час-
часто бывает достаточным изучить ее норму |с|>|, используя извест-
известные результаты об обычных функциях на М. Основанная на этом
принципе поточечная формула
F.18) (V*V Ф, Ф )
является главным связующим звеном между лапласианом V*V на
скрученных функциях и лапласианом Д на обычных функциях. (Ра-
(Разумеется, чтобы придать смысл формуле F.18), мы постулируем мет-
метрики на многообразии М и расслоении ?, а также согласован-
согласованное с метрикой ковариантное дифференцирование на 2^.) Мы исполь-
используем положительные лапласианы, задаваемые в ортонормированном ре-
репере ?е. 3 касательного пространства, в котором форма связнос-
связности обращается в нуль в данной точке, формулой
F.19) v*v{ = li =-Hv_ v. i.
Отметим здесь, что лапласианы с противоположным знаком встречают-
встречаются в литературе столь же часто. Мы надеемся, что наш выбор знака
не станет причиной недоразумений.
В последующих главах мы будем использовать также аналог фор-
формулы F.18), называемый неравенством Като: на открытом множестве,
где Ф Ф О,
F.20)
(доказательство этого факта получается простым применением нера-
неравенства Коши - Шварца). Это дает более тонкий вариант неравенст-
неравенства F.18):
F.21) (V*V<\>, cj>) => \f\A\q\.
Наиболее важные в нашем контексте эллиптические операторы
образуют комплекс
F.22) 0 — Q°(adTj) -^ Q'CadTj) ^^* QZ_(a.d ц) — О,
где 25 = Р_Ъ, как в гл. 4. Имея в виду формулу F.18), мы
должны связать лапласианы комплекса F.22), т.е. операторы
Подготовительный материал для теоремы Таубса
Т>*В 225*2> + ББ*
с лапласианом V V оператора ковариантного дифференцирования
F.23) ^(adrj) -^* T*M ®Ql(ad -q), i = 0,i,2.
Такая связь существует, поскольку совпадают их символы. (Этим,
кстати, объясняется наличие множителя VZ" у оператора D в
эллиптическом комплексе F.22).) Искомая связь выражается так на-
называемыми формулами Вейтценбёка
F.24) D*D = V*7 на Q°
F.25) 2®*2J + DD*-V*V+f?icC-)-2(-JP+F) на
F.26) 225©*= V*V-2W""C-)+-J + [P_F,-J на
(ср. [jr, § 23 t СРа> § IЛ • CBouH )• Доказательству этих фор-
формул посвящено приложение с . Поясним некоторые из обозначений,
входящих в формулы Вейтценбёка. В общем случае оператор римановой
кривизны разлагается на неприводимые части W © R ic 0 © R, где
2 2 1
р 0 ,
W: Q2 —* Q2 - кривизна Вейля, i?ic0: Q1-*^1 - бессле-
бесследовая кривизна Риччи и К е К - скалярная кривизна. Полным тен-
тензором Риччи называется прямая сумма Kic = RicQ®R. В размер-
размерности 4 кривизна Вейля разлагается на автодуальную и антиавтоду-
антиавтодуальную составляющие: W = W++ W CST1' Действие оператора
кривизны на числовые формы тривиально продолжается на формы со
значениями в ad г]. Как и прежде, кривизна F связности D
разлагается в прямую сумму F= P+F + P_F. Кроме того, суще-
существуют SO D )-эквивариантные билинейные отображения
F.27) J: Ql«>^Z_ — ?21,
132 Глава 6
F.28) [,]: QZ_vQ,Z_ —- QZ_,
индуцированные внутренним умножением и скобками Ли; во втором
случае мы пользуемся отождествлением Й_ — soC). Зависящие
от внешней кривизны слагаемые в формулах F.25) и F.26) опреде-
определяются с помощью билинейных отображении F.27), F.28) и скобок
Ли в расслоении ad rj, Лихяерович [l3 и Бохнер ПВоЗ
пользовались формулами типа F.24) - F.26) для доказательства
теорем об обращении в нуль. Мы будем для получения необходимых
оценок комбинировать формулы Вейтценбёка с неравенствами F.18) и
F.21).
Отметим еще одно полезное соотношение:
F.29) ®
Знак минус в нем обусловлен интегрированием по частям.
Сформулируем теперь несколько теорем Соболева. Предположим,
что многообразие М компактно. Напомним (гл. 3), что простран-
пространство Соболева H1(J^) состоит из тех L2-сечений с|), пер-
первая производная \7<|> которых также лежит в L2. Формула
определяет Норму на пространстве Н.(^). Теорема вложения Собо-
Соболева в размерности 4 утверждает, что пространство Н,(?,) непре-
непрерывно вкладывается в L4(?,) Qte, § ач-3- Другими словами, для не-
некоторой константы с Q, зависящей от М, имеет место неравен-
неравенство
F.30)
Эта оценка выводится из неравенства Соболева для обычных функций
с помощью неравенства Като F.20). Наконец, если число е > О
достаточно мало, то из теоремы Реллиха следует, что Н c-"-L4"t-
компактное вложение. Подчеркнем, что этот результат, так же как
и неравенство F.30), существенно опираются на компактность ис-
исходного многообразия М.
Подготовительный материал для теоремы Таубса 133
В гл. 8 нам понадобятся более'тонкие результаты о простран-
пространствах Соболева (ПАиИ» D*G» СрЗ )• Пусть % - векторное рас-
расслоение над компактным римановш n-мерным многообразием М,
снабженное метрикой и связностью. Тогда пространство L* -се-
-сечений расслоения % (-& е Z , р * I) определяется как банахово
пополнение пространства См(^) по норме
F.3D ||ф||
* \н
Отметим, что if. = Л.. Общая теорема вложения Соболева утвер-
утверждает, что
F.32) L, <= Lt,, если & ~ ~fT * &'~ "9^ и -k > -k'
* * г г
(в случаях р' — оо или р = 1 требуется строгое неравенство)
и
F.33) ^<=Сг, когда ¦&—>-?.
Бели выполняется строгое неравенство
*¦ р * р"
то вложение F.32) компактно;_ в частности, всегда компактно вло-
вложение F.33).
Сформулируем теперь теорему умножения Соболева. Эта теоре-
теорема утверждает, что отображение
<6.34) I* . [* - L\
определено и непрерывно, если
(*.-?)¦(*.-?)»(*-?)¦
(Здесь р., р -Ф i и р Ф °°. ) Последнее ограничение оз-
означает, среди прочего, что пространства L»1 в F.34) не
134 Глава 6
состоят из непрерывных функций (см. F.33)). В непрерывном слу-
случае (p-k > п.) пространство L^ является алгеброй. Кроме того,
если в непрерывном случае L^', c L1^, то if. является
L,-модулем. Особая осмотрительность требуется в пограничных
случаях р .¦к. = гь.
двойственным к L^ служит пространство распределений
L_?, где р и cj, связаны соотношением p ^
Теорема умножения для этих пространств получается по двойственно-
двойственности. Следовательно, отображение
непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывно F.34). Двой-
Двойственным к непрерывному случаю (p-k>n) является умножение
так как если L , с L,, то L . есть ь,,-модуль.
Правая коглпозиция с гладкой функцией линейно отображает простран-
пространство V в if.. Дем?ла о композиции утверждает, что левая
ко^дпозиция с гладкой функцией отображает L, в L при
условии р-к > гь.
Напомшим теперь элементарные свойства эллиптических уравне-
уравнений в частных производных. Начнем с принципа максимума.
Предложение 6.35. Предположим, что функция j- e С
удовлетворяет на компактной области 0 неравенству
и, кроме того, -f- * 0 на границе ЭО. Тогда <f ? 0 всю-
всюду в О.
Запомним читателю, что по принятому нами соглашению о знаке
лапласиана ~&f есть след гессиана функции ^ в критичес-
критической точке. Следующее утверждение известно как теорема о среднем
значении [GW, § з] , [^Мог, теорема 5.3.
Подготовительный материал для теоремы Таубса 135
Предложение 6.36. Предположим, что положительная
функция I s С2 удовлетворяет на компактной области О
венству Af^O. Тогда для любой точки х е ©
©
где константа си зависит от расстояния disi(oc,d6) и мет-
метрики, определяющей оператор А .
Теорема об эллиптической регулярности утверждает, что сла-
слабое решение и- эллиптической системы Lu, = О является глад-
гладким во всех внутренних точках области. Точный смысл понятия глад-
гладкости зависит от гладкости коэффициентов оператора L. Посколь-
Поскольку наша метрика принадлежит всего лишь классу С (гл. 3),
гладкость у нас не всегда означает наличие непрерывных производ-
производных любого порядка. Тем не менее, дочти не теряя строгости, мож-
можно в дальнейшем под гладкостью понимать бесконечную дафференци-
руемость, и мы не будем делать никаких уточнений.
Предложение 6.37. Пусть D - автодуальная связ-
связность. Тогда существует такое соболевское калибровочное преобра-
преобразование -5 е C, что з*(Ю - гладкая связность.
Более общий вариант этого утверждения доказан в книге Q?a,
§ 5j , и мы вернемся к нему в гл. 8. л
Доказывая, что пространство модулей М является многооб-
многообразием (гл. 3), мы пользовались теоремой об однозначном продол-
продолжении. Точная ее формулировка такова [|Аг].
Предложение 6.38. Пусть L - эллиптический
оператор второго порядка со скалярным символом и гладкими коэф-
коэффициентами, определенный на связной области. Вели Lu, = 0 _и_
решение и, обращается в нуль на открытом множестве, то оно
равно нулю тождественно.
Утверждение об однозначности продолжения перестает быть
справедливым, если символ оператора L не скаляр.
136 Глава 6
Наконец, дадим вариационную характеризацию наименьшего соб
ственного значения ?тг, §
Предложение 6.39. Пусть 2): C
дифференциальный оператор первого порядка на компактном многооб-
многообразии. Предположим, что ©25*: С"(^') -— С°°($') - зллидти-
ческий оператор. Если
то уравнение ©SO u,-ocu, = 0 имеет гладкое решение.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АВТОДУАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЯНГА - ШШЮА
В гл. 7 - 9 мы систематически будем пользоваться конформной
инвариантностью автодуальных уравнений Янга - Миллса. Пусть
» эе2а - конформное преобразование метрики. Тогда 1-формы
2-формы F и форма объема vol преобразуются по прави-
правилам
i
JA| —ж
F.40) |F| -^»
vol —¦ ж* vol.
Оператор Ходжа * определяется на 2-формах соотношением
^л*Г2 = (F?,F&) vol;
в силу F.40), правая часть этого соотношения конформно инвари-
инвариантна. Отсюда немедленно следует конформная инвариантность авто-
автодуальных уравнений Янга - Миллса B.19). Кроме того, конформно
инвариантны нормы
Подготовительный материал для теоремы Таубса 137
которые будут использоваться для получения конформно инвариант-
инвариантных оценок.
В заключение настоящей главы сформулируем две теоремы Карен
Уленбек, отсылая за доказательствами к оригинальным работам.
Теорема 6.41 ?и1, георема 1.5^. Пусть Ба - пос-
последовательность гладких связностей и F^ - кривизна Ю п. Пред-
Предположим, что ||F№|| о» < ciz при всех п. Тогда для неко-
некоторой подпоследовательности индексов ?"-'3 s {"-З существуют
такие калибровочные преобразования ¦& п, е & и связность D,
ЧТО i*,(Bft/) Слабо СХОДИТСЯ К D _В_ L? (?<р<оо) и
сильно сходится к Т> _в_L* {1 < -р).
По существу, это есть теорема компактности: из последователь-
последовательности связностей выбирается сходящаяся подпоследовательность. Бо-
Более подробное обсуждение этой ситуации мы отлогим до гл. 8. Сле-
Следующий результат Уленбек - это теорема об устранении особенностей,
утверждающая, что связности с конечным действием не имеют особых
точек. Доказательство этой теоремы содержится в приложении D.
Теорема 6.42 QJ2, теорема 4.1]] . Фиксируем точку
х, & М и предположим, что D - автодуальная связность в рас-
расслоении Т7 -*¦ М\?х} с конечным действием
5 ifbi•¦<--.
К\?ж}
Тогда для некоторого автоморфизма <5 е C°°(,Auirj) расслоение
з*(т^) продолжается до гладкого расслоения tj -*-Н. а связ-
связность D продолжается до гладкой автодуальной связности D _в_
V-
Здесь C°°(Aui^) - группа послойных автоморфизмов (калиб-
(калибровочных преобразований) расслоения Т7. Класс Чжэня cz(v)
априори неконтролируем, даже если т^ является ограничением
расслоения, определенного на всем многообразии М. Однако
для автодуальных связностей на SUB)-расслоениях
138 Глава 6
FJ\
H At \ [ж}
В этом случае расслоение г{ полностью описывается характерис-
характеристическим числом с , и, следовательно, действие j |FD|
определяет его топологический тип. M\t»3
Глава 7
ТЕОРЕМА ТАУБСА
Описанная в предыдущей главе процедура прививки дает нам се-
семейство почти автодуальных связностей, центрированных около
каждой точки ^. е М. Мы хотим малым возмущением превра-
превратить эти связности в автодуальные. Пусть Т) - почти автодуаль-
автодуальная связность (точное определение будет дано позже) и F - ее
кривизна. Тогда кривизна F, возмущенной связности D + А
имеет вид
FA= F + БА + АлА,
а ее антиавтодуальная часть -Р--^ равна
р_ р = P_F + P_DA + Р_ (А л А).
л.
Как и прежде, положим © = P_D и обозначим через
*: Я
симметрическое билинейное отображение, задаваемое формулой
Тогда условие Р-Рд — ® можно переписать в виде
G.1) ©А + А#А =-P_F.
К сожалению, уравнение G.1) не является эллиптическим - из-за
наличия калибровочной симметрии его символ имеет ядро. Этот
недостаток можно устранить, потребовав, чтобы вектор А был
140 Глава 7
перпендикулярным к орбитам группы калибровочных преобразование.
Наиболее естественно взять вектор А равннм <Ю*и для не-
некоторого м. е ?2f (ao? т^). Тогда
G.2) V**
есть нелинейное эллиптическое уравнение, и если и, е Q_(acJ r^)
удовлетворяет этому уравнению, то D + 23* и, - автодуаль-
автодуальная связность. Настоящая глава посвящена доказательству того,
что уравнение G.2) имеет решения. Так как P_F мало
(связность Б почти автодуальна)/можно ожидать, что реше-
решение 2)*и. также будет налнм, поэтому подходящей неркой для
него будет конформно инвариантная яорма |] || ~ * * Эта допол-
дополнительная оговорка (что норма ||35*u.|L4 мала) включается
по техническим причинам.
Будем решать уравнение G.2) с помощью так навиваемого ме-
метода непрерывности. С этой целью включим уравнение G.2) в се-
семейство <§, уравнений
G.3) S^: Xut =-iP_F, i« [0,1].
Ясно, что <!> тривиально разрешимо (решением является и-0 = 0),
а <5>^ есть уравнение G.2), которое мы хотим решить. Пусть
I - подмножество единичного отрезка [0, {], задаваемое
условием
I = {Ч е [0, :Q: & ъ имеет решение ui с малой
нормой JJS5u,.J|L+]..
(Позже мн уточним условие на норму.) Это множество непусто.
Бели мы сможем доказать, что I = [0,1}, то тем самви мн
«продолжим» тривиальное решение уравнения &0 до искомого
решения уравнения 2^. В атом и состоят метод непрерыв-
непрерывности. Итак, нужно доказать, что I одновременно открыто и
замкнуто. Тогда I = [0, i} и уравнение "&± разрешимо.
Сначала докажем, что множество I открато. Для этого доста-
достаточно установить, что оператор X локально обратим в ок-
окрестности решения и^. В силу теорема об обратной
Теорема Таубса 141
это эквивалентно обратимости линейного оператора
G.4) Г (Ф) = <ЮЮ*Ф + 2<23 V * ©*Ф.
В частности, должен быть обратимым оператор L 0 = ©23 *; дру-
другими словами, первое собственное значение ос оператора 932)*
должно быть положительным. Это утверждение мы докажем в первую
очередь. Существенным здесь является тот факт, что для доста-
достаточно малых Я оценка на ос не зависит от Я (число Я -
это параметр, характеризующий размер P_F). Действитель-
Действительно, Я _ может пробегать полуинтервал (О, XJ, причем ве-
величина Я будет фиксирована лишь в самом конце главы. Заме-
Заметим, что в этом месте используется положительная определенность
формы пересечений. Обратимость оператора L, без труда по-
получается из обратимости L_.
Второй шаг в методе непрерывности - доказательство замкну-
замкнутости множества I. Как правило, он более труден. Сначала
нужно получить априорные оценки на решения и.^. Тогда каж-
каждой сходящейся последовательности ^^ -* h в I будет
соответствовать слабо сходящаяся (под)последовательность
и t ~^~ ut . Если априорные оценки достаточно силь-
сильны, "'предельное значение ui удовлетворяет уравнению Ъъ .
Успех на этом шаге зависит от правильного выбора пространства,
в котором решаются уравнения 5^. С одной стороны, оно долж-
должно быть достаточно жестким, чтобы сохранилось уравнение, а с
другой стороны - достаточно податливым, чтобы можно было до-
доказать априорные оценки.
В предыдущей главе были разработаны необходимые для этого
аналитические средства. Вспомним формулу Вейтценбёка F.25)
для 1-форм:
225 2) + DD = 7 7 +Ric(-) - 2(.JP+F).
Однако кривизна F наших привитых связностей бесконечно
возрастает при Л -*¦ 0 (согласно F.12), ||Е || „, = О (Я)),
и значение этой формулы для получения оценок практически сво-
сводится на нет. В игру теперь в полную силу вступает конформная
инвариантность: мы раздуваем метрику в окрестности точки и,
так чтобы кривизна стала ограниченной. Правда, за это прихо-
142 Глава 7.
дится платить - теперь мн должны выполнять оценки на некомпакт-
некомпактном многообразии М — М\{^.}. Хотя обращаться с не-
компактныии многообразиями довольно трудно, нас выручает то
обстоятельство, что в окрестности точки ^- раздутое много-
многообразие iA выглядит почти как цилиндр. Это позволяет нам
приспособить к J4 стандартную технику для компактных много-
многообразий, сшивая вместе оценки для компактной части М и
стандартного цилиндра.
Для того чтобы доказать существование на многообразии Н
автодуальных связностей, мн применяем к привитым связностям так
называемую проекцию Таубса. В дальнейшем эта техника найдет
применение при доказательстве теорема о воротнике (гл. 9), по-
поэтому изложение в этой главе ведется так, чтобн охватить все
возможные частные случаи. Оригинальное доказательство теоремы
Таубса содержится в работе [т].
РАЗДУТИЕ МЕТРИКИ
Рассмотрим вначале плоскую метрику <? на К". Обозна-
Обозначая через п, расстояние от начала координат, введем на
К"Л ?0} конформно эквивалентную метрику $ ft2.
Очевидно, что в полярных координатах t, в1, .... 9n'i про-
пространство К"Л{0} с этой метрикой представляет собой ци-
цилиндр, искаженный в направлении оси:
где dd = A^dd dd - метрика на единичной сфере S
Подстановка t =е"г дает систему координат, в которой S/tz
превращается в стандартную метрику
на прямом цилиндре.
Когда мы раздуваем произвольную метрику _ gf., получается
метрика, которая лишь приближенно равна S. Чтобы придать
Теорема Таубса 143
строгий смысл этому утверждению, нужно несколько уточнить не-
неравенство F.13). А именно, запишем метрику ^ в геодези-
геодезических полярннх координатах в виде
где ^ = i4^+O(t*);
слагаемое О ('г.4) включает в себя кривизну а, (см. [ев,
§ 1.4] ). Тогда
или, переходя к переменной "Z,
G.5) \f-$\
Следовательно, при Т -*¦ °° метрика ^ экспоненциально
стремится к цилиндрической метрике. Отсюда следует, что все
производные метрики й- экспоненциально стремятся к нулю при
<Х -*• оо. Дня производных 3/9 вь это утверждение оче-
очевидно. Что же касается производной Э/Эт, указанное ут-
утверждение вытекает из равенства З/Зт —-п. Ъ/дп, и того
факта, что функция lgK>0 является гладкой в окрестности
начала координат.
Применяя сказанное к окрестности точки ^- е М, мн по-
получаем метрику а на проколотом многообразии
Более подробно, пусть р(И) - радиус яньективности много-
многообразия М. Выберем гладкую функцию f>, удовлетворяющую
144 Глава 7
следулцим условиям:
i/tz, если
убывает, если ^"g
i, если р(М) ^ -t.
Тогда в геодезических полярных координатах в окрестности точ-
точки ц. имеет смысл выражение
Так как метрика о^. и ее первые две производные стремятся
к сГ при ТГ -*- оо, то кривизна метрики с^„ при т -*¦ °°
экспоненциально стремится к кривизне цилиндра. Поскольку ци-
цилиндр является конформно плоским (W+= W~= 0) и имеет ска-
лярнув кривизну R = 6, для любого числа ? найдется такое
число 'S ^^А^Р» что
(V.6) j W~^(T, 9;| <ci при T^TJ(
G.7) |К(Т, 6>)-б| < С^ ЩЯ ТГ * Тг
Имея в своем распоряжении раздутую метрику, ив теперь в
состоянии придать точней смысл понятие почти автодуальной
связности. Обозначим через В% шар радиуса t с центром
в точке ^. е М. и через С^ - множество тех точек из М,
где Т > Т. Тогда связность D называется почти автодуаль-
автодуальной связностью радиуса Л (в окрестности и efrl), если
ее кривизна F удовлетворяет при т=-!п2Ул следующим
условиям:
|FNci2 на Cij,
i3 на
G.8) |P_F| «&2 на
Теорема Таубса 145
на
Все нормы здесь берутся по отношению к метрике <% . (На-
домшш, что норма || ]|^2 конформно инвариантна на 1-формах.)
Константы ciz, ... , ciS иогут быть внбранн произвольно, сг
будет определена позже. Привитые связности ЮЛ является поч-
почти автодуальными радиуса А « Х^ = min(p(MJ/4, ?>г//°2^'
поскольку в исходной метрике а. по теореме 6.12 выполняются
следующие неравенства:
|Fj«CiA'2 на С?,
|FJ = 0 на Му\С?,
|Р Гя | * сг на С€,
|P_FX|'*O на М^\С^,
Можно сказать, что связность почти автодуальна, если ее кривиз-
кривизна почти автодуальна и локализована около точки и-.
Докажем теперь, что некоторые стандартные результаты для
компактных многообразий переносятся на проколотое многообразие
М . Впредь для удобства ма будем подразумевать, что радиус
инъективности р(.М) г i.
Предложение 7.9. Пусть ^ - дважды дифференци-
дифференцируемая функция на -М^.
(i) Если f d^L'iti^), то j
Разумеется, (i) - это интегрирование по частям, а (И) -
неравенство Соболева F.30).
Доказательство, (i) Пусть ]3? е С~(М ) -
146 Глава 7
такие гладкие срезаавще функции с компактными носителями, что
i-1
Тогда интегрирование по частям дает
л
|c(f|
i-l*t*i
а сумш, стоящая в правой части этого равенства, стремится к
цулд при t. ~"^ °*^ • Равномеринэ оидошш производишь t^jy ни^ии з
основаны на том, что оценка G.5) почти равномерна.
(ii ) Цусть с - максимальная из Соболевских констант
для многообразия М. и для цилиндра. (На самом деле с{6 бу-
будет несколько больше, чтобы учесть малое отклонение ^ от
метрики цилиндра.) Цусть ^ = ¦{¦ \. ^ ., а -^0 есть
ограничение ^ на компактную 1часть*многообразия М^.
Теорема Таубса
147
Тогда
что и требовалось доказать.
Сформулируем теперь принцип максимума для М в виде, в
котором он будет применяться в следующем разделе ив гл.9.
Предложение 7.10
тельная функция в области ?
рявдая условиям
Дусть >с(т,0) - неотрица-
неотрица^ « Т * т^} с М , удовлетво-
(i)
О,
(iii)
Тогда
u.(t,
148
где
Глава 7
причем
Прежде чем приступить к доказательству, уместно еще раз
напомнить читателю наше соглашение о знаке лапласиана F.19).
Доказательство. Заметим, что на отрезке
-Г«-**>
является решением одномерного уравнения Лапласа
i 2
ОС V . z n
oi-fc2 s
с граничннии условиями v(tt) жг,
Tr = v"C на «щииндре» ?т^ «¦ <z *
явное выражение для метрики
лапласиана
. Положим
Подставляя
в стандартную формулу для
А =-
1
Yf
находим, что
IT
Следовательно,
для подходящего j'. Поэтому
и u,-v * 0 в точках Т«
.-tr) « О
Применяя теперь обнчныи
Теорема Таубса
принцип максимума F.35), находим, что и. * v векшу на
{т « t « т }, как z требовалооь.
ОЦЕНКА СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ
Здесь мы докажем, что если Ю - почти автодуальная связ-
связность с достаточно малым радиусом Л, то первое собственное
значение оператора 2J)* положительно. Эллиптические опера-
операторы на некомпактных многообразиях могут иметь непрерывный
спектр и в общем случае не обладают собственными значениями.
Однако мы установим, что для некомпактного многообразия М
все еще справедлива вариационная характеризация первого соб-
собственного значения, по Крайнев мере если это собственное зна-
значение мало.
Лемма 7.II. Дусть Т> - почти автодуальная связность
радиуса Я. Положим
ос = inf
Если и < { , то существует сечение u- e L (AI; ad -л ® А^ Т*
удовлетворяицее уравнению
©2>*и, -оси- = 0.
Заметим, что пространство сечений L (ad -^ ®А_Т*М) рав-
равным образом можно рассматривать и для М, и для М ,
поскольку его норма конформно инвариантна на четырехмерных
многообразиях.
Доказательство. Для больших положительных це-
целых чисел п. определим
150 Глава 7
inf
В силу предложения 6.39 найдутся aa в L СМ \ С^), удовлет-
воряпцие уравнениям 2525*u№ -oc^u,^ =0. Из этого пред-
предложения вытекает, что последовательность ос„_ убывает и
lim ос — ос (вспомним цршщш тромбона из гл. 3!).
Положим ТГ = тах(Т^, -1п2Ул) и обозначим через К
компактное множество М \ Сг +1. Теорема об однозначном
продолжении 6.38 показывает, что2на К существует положитель-
положительная масса; следовательно, мы можем так нормировать сечение W-a,
чтобы
G.12) J
к
Формула Вейтценбёка F.26) дает опенку
X) - f ^~ [P.F,
к
к
Согласно G.8), ее правая часть ограничена. Значит, последо-
последовательность t"-a} ограничена в Н (К), и по теореме
Реллиха в L2(K) существует сильно сходящаяся подпоследо-
подпоследовательность lc^ -* и, (которую мы для простоты обозна-
обозначаем так же, как саму последовательность).
Рассмотрим теперь некомпактную часть Ст и снова при-
применим формулу Вейтценбёка F.26), на сей раз вместе с неравен-
неравенством F.18):
Теорема Таубса
G.13) iA\u,JZ*(V*J
В силу неравенств G.6)-G.8)
Для больших п, мы имеем ос Л ~ ос. Поэтому, взяв малые
& и ?, и потребовав, чтобы число ее было достаточно
мални (верхняя грань ос может быть взята произвольно близкой
к 1 при Т -*• °о), мы получим, что
Следовательно, при больших п на множестве Ст вшолняет-
ся неравенство *
G.14) Д|и.а|2 + 5с|и,л|г« О
для некоторого ос > 0. Это неравенство вместе с предложе-
предложением 6.36 и условием G.12) дает оценку
са J
22 X
Вспомним теперь, что I u'n.l2U»n.~ ^* Поэтому, применяя пред-
предложение 7.10 с Т, = Т , Т = п., находим, что
G.15)
для не
G.15):
для некоторого у < (ос) - Проинтегрируем неравенство
152
Глава 7
= с
Эта оценка показывает, что в пространстве L (С^
делить слабо сходящуюся подпоследовательность
Кроме того, IX„ сильно сходится к сечению CL
Л ^сильно сходится к сечению
Склеивая IX и й, мы получим сечение и, на всей много
можно вы»
Так как линейнда уравнения сохраняются при переходе к слабому
пределу, то <S523*u -ecu. = 0 и u, e L2(iyi).
Чтобы получить оценку собственного значения, призовем на
помощь наши предположения: о положительной определенности фор-
формы пересечений многообразия М и отсутствии нетривиальных
представлений ^(М) —*¦ SUB).
Теорема 7.16. Существуют такие числа ос > 0 ж_
Я2 > 0, что если D - почти автодуальная связность ра-
радиуса Я « X в окрестности некоторой точки и. е М, ^о_
U.
*
Доказательств
фиксируя последовательности ,.^
найти такие точки и , связности Б
Предположим противное. Тогда,
Л _-*- 0, ос „. -* 0 , можно
U-. ЧТО
и сечения
почти автодуальна с радиусом Я в окрестности и- и
Теорема Таубса ?53
В силу леммы 7.II можно считать и,^ собственными фу
оператора 2)^2)* с собственными значениями ос^. По-
Поскольку многообразие М компактно, возможно выбрать точке
^ так, что у-п.** У" Из Уравнений G.8) следует, что кри-
кривизны Гъ стремятся к нулю на компактных подмножествах К
из М . Возьмем одно из таких компактных подмножеств К.
Тогда из теоремы 6.41 и отсутствия нетривиальных представление
S17B) вытекает, что с точностью до калибровоч-
калибровочной эквивалентности подпоследовательность Т)п сходится к три-
тривиальной связности d на -q | . А теперь повторяй доказатель-
доказательство леммы: нормируем и,^ так, чтобы выполнялись соотноше-
соотношения jjus№|2 = 1 , и образуем слабый предел ьс, удовлетворя-
вщий уравнению dL_<?*u, = 0. Но r^jM - тривиальное рас-
расслоение, поэтому, взяв базис плоских сечений, мы найдем, что
и - антиавтодуальная ненулевая гармоническая 2-форма в
L2(M) = L2(M). Это противоречит положительной опреде-
определенности формы пересечений со.
Подчеркнем еще раз', что наша опенка собственного значения
не зависит от А « А .
ЛИНЕАРИЗОВАННОЕ УРАВНЕНИЕ
Введем теперь гильбертово пространство eft», в котором мы
будем решать уравнение G.3)
Наш выбор будет зависеть от связности D (и, следовательно,
числа Я). Определим гильбертово пространство 3&(jD) как
пополнение пространства гладких форм из Qf(ad if)\H с
компактными носителями относительно скалярного произведения
154 Глава 7
G.17) {Фг %} =
По существу, cftJCD) - это пространство Н2-форм, кото-
которое, как показывают следующие его ценные свойства, специально
приспособлено для нашего уравнения.
Предложение 7.18.
(i) <2>*: 2&(D) -*H1(adif «Af Т*Ю - непрерыв-
непрерывный оператор.
(ii) Для Ф е 2%(?)) выполняется неравенство
(iii) Отображение X: Э?(В) — L2(ac? туоА^Т*Л) является
гладким.
Доказательство. (ОПусть фео%; достаточно
рассмотреть гладкие формы Ф с компактным носителем. Тогда
и
Свойство (ii) непосредственно следует из (i) и неравенст-
неравенства Соболева G.9). Свойство (iii) следует из (i) г того
факта, что отображение muli: H1<»Hi -~ L2 непрерывно
(в силу теоремы вложения Соболева и неравенства Гёдьдера).
Изучим линеаризованный оператор L=<2)©* при f = 0.
Теорема 7.19. Пусть Ю - почти автодуальная
радиуса
станта -с > 0, что
?8 ^^^^~
связность радиуса Л * А2. Тогда существует такая кон-
Теорема Таубса 155
и оператор L: 3№(J>) -*¦ L2(ad ^ ® Az_ Т*.М) обратим.
Доказательство. № докажем обратимость опера-
оператора L в два этапа. Сначала мы получим неравенство, из кото-
которого будет следовать, что L иньективен и имеет замкнутый об-
образ, а затем покажем, что его коядро пусто.
Как и прежде, будем рассматривать только гладкие формы
Ф s e^CD) с компактными носителями; для произвольных эле-
элементов Ф ? 5^(D) требуемые неравенства получаются предельным
переходом. К гладким формам с компактными носителями применимо
интегрирование по частям. Используя эту операцию и оценку соб-
собственного значения из теоремы 7.16, находим, что
ос J \Ф\г * J |?>*Ф|2 = J (?>2>*Ф, Ф) ^
Отсюда следуют оценки
G.20)
G.21)
Чтобы оценить интеграл j | У2)*Ф | , применим формулу
Вейтценбёка F.25) к форме м* ©*Ф:
G.22)
•M.
156 Глава 7
Но Ъ*<2й*Ф = -[P_FJ*]f так что
G.23)
Член IIКic || « ограничен, так как он, по существу, постоя-
нен на некомпактной части многообразия М. , а члены
ll-P+f II - и j) JP. -F" И = ограняченн в силу неравенств G.8).
(Именно здесь окупается раздутие - в метрике gt- имеем
II-P+FII «, = О (Я) и наша оценка не выполняется.)
Комбинируя неравенства G.20) - G.23), получаем
G.24)
.
Наконец, складывая неравенства G.20), G.21) и G.24), мы по-
получаем оценку, утверждаемую теоремой.
Цредноложим теперь, что Ф 6 Coker L. Цгсть ^е С~(Н )-
срезаищие функции из предложения 7.9. К формам с компактными
носителями можно дяя»ди применить интегрирование по частям,
поэтому с помощью формулы F.29) получаем, что
о =
Отсвду в силу неравенства Гёльдера следует, что
Теорема Таубса 157
и, значит,
G.25)
Но suppCcijsp s{t.-i-«T*i} И ФеЬ2.
Следовательно, при г -*¦ °° правая часть неравенства G.25)
стремится к нулю. Таким образом, ||23*Ф || г = 0, и из оценки
собственного значения (теорема 7.16) мы выводим, что Ф = 0.
Значит, Coker L = {0} и оператор L обратим.
Теорема 7.19 обобщается на линейные операторы типа G.4),
появляющиеся при изучения привитых связностей.
Теорема 7.26. Предположим, что В е L (ad r^ ® Т*М)
и_ Lg = L + Б * ЧЬ*. Тогда существует такое с?" > 0,
что если || Б || и < & _и_ D - почти автодуальная
связность радиуса Л ^ ~к z , ^Р_
и оператор Lg-. 3%(p) -*¦ L2(aoi rj 9 Аг_ Т*М ) обратим.
В применении к привитым связностям G.4) имеем В = 2&*ис
и
Доказательство. Для гладкой формы Ф с
компактный носителем
158 Глава 7
в силу предложения 7.18. Полагая (Г = VBciGcia), по-
получаем требуемое неравенство. Следовательно, как и прежде, опе-
оператор Lg инъективен и имеет замкнута образ.
Для исследованил коядра оператора L в мн воспользуемся
сообрахенияив непрерывности. Множество J = {ie[0, Q: LiB
обратим! непусто и открыто (поскольку обратимость является
открытии свойством). Чтобы доказать замкнутость множества J,
фиксируем сечение <^ е L2(ad -ц <г> Лг_ Т*М ), числовую последо-
последовательность i^ -*¦ t и предположим, что Lt Фл = ^ .
Тогда только что доказанное неравенство дает равномерную опенку
Таким образом, переходя к подпоследовательности, мн получаем
слабый предел Ф^ —*¦ Фо. Поскольку линейные уравнения
сохраняются при переходе к слабым пределам, то L t в Фо = $
и оператор Lt в сюрьективен. Но предыдущие рассуждения по-
показывают, что Т., инъективен. Следовательно, Lt B обратим,
множество J замкнуто и, значит, оператор Lg обратим.
ПРОЕКЦИЯ ТАУБСА
Итак, мн имеем все необходимое, чтобы получить автодуальные
связности.
Теорема 7.27. Существует такое число Я3 > 0, что
если D - почти автодуальная связность радиуса А < Я. ,
Теорема Таубса 159
то D +©*ц. для некоторого u. e ^d(D) является авто-
автодуальной связностью на проколотом многообразии М . Сечение
и удовлетворяет оценке
Наконец, D+fD^u. продолжается до связности на всем много-
многообразии М.
Доказательство. Как говорилось во введении к
этой главе, мы применяем метод непрерывности к уравнению
G.28) St: ?tu,t
с дополнительным условием
где с,0 = 2с15с18 , а значение Я предстоит выбрать. Откры-
Открытость в точке i непосредственно вытекает из теоремы 7.26,
в которой нужно положить В = 2<ЗЬ*и. . Так как
то, взяв Д_3 =min(A2> сГ/Bсксм)), мы видим, что усло-
условие теоремы 7.26 выполняется для всех Л « А .
Чтобы доказать замкнутость в точке Ь, воспользуемся
априорной оценкой из теоремы 7.26:
Стало быть, если ?^ -»• iQ и сечения и.^ удовлетворяют
уравнениям &t , то в o^(D) можно выделить слабо схо-
сходящуюся подпоследовательность и,п —- u.Q. Теперь мы
должны проверить, что предельное сечение u,Q является решением
уравнения 5^ и что для него выполняется дополнительное усло-
условие G.29). Прежде всего, так как нормы непрерывны снизу в сла-
слабой топологии, то
160 Глава 7
)*
т.е. условие G.29) внполнено. Линейный член 232)* из уравне-
уравнения G.28) сохраняется при переходе к слабым пределам, и, зна-
значит,
п. О
Чтобы ассдедовать нелинейный член, будем работать с компактны-
компактными подмножествами. Нам остается доказать лишь, что и яв-
является решением уравнения <St ; очевидно, что это локальная
задача. Общая теорема вложения Соболева F.32) вместе с пред-
предложением 7.18 дает сильно сходящуюся подпоследовательность
2)*и-л-* SD*u. в L4~& для достаточно малого е > 0.
Применяя неравенство Гёльдера, находим, что
<3?и,^* <Ю*и,л -* 23V0 # ©*и,0 в ?,2-а/2 . Поэтому
уравнение сохраняется ври переходе к пределу.
Искомое решение и, при i = 1 доставляет нам метод
непрерывности. Эллиптическая регулярность F.37) гарантирует,
что решение и- является гладким в некоторой калибровке. На-
Наконец, теорема об устранении особенности 6.42 показывает, что
и продолжается до автодуальной связности на всем многообра-
многообразии М. Теперь мы должны показать, что полученная связность
обитает в расслоении с топологическим зарядом -k — I (см.
обсуждение, следующее за теоремой 6.42). Для любого Ф
обозначим через F(#) кривизну связности D +<2!>*Ф. Из
предложения 7.18 без труда следует, что функция -&:
задаваемая формулой
непрерывна. Таким образом, -^.(Ф) - константа, и, посколь-
поскольку 4@) = ?, мы заключаем, что D +2>*u. представляет со-
собой связность в расслоении с -&. = i .
Теорема Таубса
В сочетании с процедурой прививки из гл. 6 теорема 7.27 ут-
утверждает существование на многообразии М не тривиальных авто-
автодуальных связностей. В гл. 9 это приведет к конструкции ворот-
воротника. Воротник является подмножеством в JU и состоит из орбит
автодуальных связностей, но, как правило, мы будем выбирать
конкретную калибровку и рассматривать точки воротника как авто-
автодуальные связности. В гл.9 нам понадобится свойство локальной
связности этого воротника, означающее, что две близлежащие авто-
автодуальные связности с пространственно локализованными кривизнами
можно соединить кривой, состоящей из автодуальных связностей.
Поскольку доказательство свойства локальной связности основано
на идеях и технике этой главы, естественно привести его эдесь.
Теорема 7.30. Пусть Ъ и_ D - почти автодуальные
связности радиуса Л « Л^. Предположим, что D' = Ъ +А,
где
ЦА|14-
Тогда существует такое гладкое семейство автодуальных связ-
связностей
= 13 . Кроме того
семейства удовлетворяют неравенству
что DQ = D _и_ Ъ = 13 . Кроме того, кривизны J^ = F^ этого
Доказательство. Применим метод непрерывности к
уравнению
Учитывая тот факт, что связность D+A автодуальна, это урав-
уравнение можно переписать в виде
162 Глава 7
G.31) 4 t
Введем, кроме того, дополнительное условие
Далее доказательство продолжается точно так же, как в теореме
7.27, только на сей раз в уравнении
и +(B#25*)u. = a--
мы имеем В = ?4А+<25*и,,. Нам нужно показать лишь, что w-. = 0.
Предположим, что ut и и - решения уравнения G.31), под-
чиняпциеся условию G.32). Тогда
it t t
По теореме 7.26 l|u-t- ^ill^fr» = °' так чт0 ut="
Единственность при t = i показывает, что и, = 0. Теперь
оценка кривизны без труда следует из выражения
Глава 8
НОМПАКТНОСТЬ
Решающую роль в.доказательстве теоремы Дональдсона играет
инвариантность сигнатуры относительно ориентированного кобор-
дизма. Но говорить об инвариантности сигнатуры можно лишь тогда,
когда задающая этот кобордизм «пленка» является компактной. В
этой главе будет доказана компактность многообразия JU, опре-
определяющего кобордизм М. ~ LJCCP2.
На самом деле мы установим здесь компактность только усечен-
усеченного варианта JU \ JU, нашего пространства модулей. Однако
в гл. 9 мы отождествим конец многообразия Jli с произведением
(О, Л) «М, откуда будет следовать компактность Jli. Необ-
Необходимые для этого предварительные результаты будут подучены
164 Глава 8
здесь с помощью так называемых теорем компактности и регуляр-
регулярности.
Напомним, что точками пространства модулей являются орбиты
решений автодуальных уравнений Янга - Миллса. Обычно теоремы
компактности для решений нелинейных эллиптических задач полу-
получаются непосредственно из слабой компактности соболевских про-
пространств, но в нашей ситуации наличие калибровочной симметрии
требует привлечения дополнительных аргументов. Мы начнем с опре-
определения канонических локальных калибровок для связностей с ма-
малыми кривизнами. Из существования таких калибровок, называемых
калибровками Кулона, немедленно следует теорема регулярности
для автодуальных связностей. Используемые здесь методы можно
применить в весьма общей ситуации для доказательства внутренней
регулярности эллиптических уравнений, поэтому мы излагаем их
во всех подробностях. Глобальная компактность получается склеи-
склеиванием локальных результатов. Техника склеивания и доказатель-
доказательство существования калибровок Кулона изложены в работе Qui ~|,
и мы не будем воспроизводить их здесь.
Воротник в JLL состоит из орбит тех связностей, кривизны
которых локализованы в шарах малого радиуса вокруг точек много-
многообразия М. Действительно, конструкция Таубса доставляет как
раз такие связности. Теперь мы должны выполнить обратную про-
процедуру. А именно, для данной связности с кривизной, локализо-
локализованной в окрестности точки, мы определяем ее центр и масштаб.
Важную роль при этом играют явные выражения для инстантонов на
S4 (гл. 6). Мы показываем, что тгяждий локализованный инстан-
тон на М «близок» к одному из таких модельных инстантонов,
и, пользуясь этой близостью, измеряем его центр и масштаб. Ока-
Оказывается, можно измерять только достаточно локализованные связ-
связности; они-то и составляют воротник многообразия JU.. Глава
завершается основной теоремой, утверждающей, что для каждого
А>0 подмножество Л1, состоящее из связностей, масштаб ко-
которых не меньше А, компактно.
В доказательствах исяользуются технические средства, за-
заимствованные из теории дифференциальных уравнений в частных
производных. Заботясь о читателях, которые не являются спе-
специалистами в этой области, мы подробно описываем всю необхо-
необходимую аналитическую технику.
Компактность 165
КОМПАКТНОСТЬ И РЕГУЛЯРНОСТЬ
В литературе встречаются два типа теорем компактности. Тео-
Л ' 5 ' *
слабо компактно в пространстве L*"**' для любого е > 0 (см.
fui]). (Как обычно, черта над связностью означает ее орбиту
относительно группы калибровочных преобразований. Напомним,
что функция Б *-*¦ | Ер | калибровочно инвариантна. Кроме того,
напомним, что всякий раз, когда это не приводит к недоразуме-
недоразумениям, мы не пишем в интегралах форму объема.) Так как функции
из L&+e непрерывны, слабые 1А+е-пределы в размерности 4
сохраняют топологический тип подстилающего расслоения. В своей
диссертации [se] Седлачек показал, что множество
{I): jlfgl2 * В} также «слабо» компактно, однако в этом слу-
случае могут измениться топологические свойства расслоений: сла-
слабый предел связностей с топологическим зарядом -к = i может
иметь заряд -?ь = 0. Хотя ни один из этих результатов не от-
относится непосредственно к автодуальным связностям, оба они на-
наводят на мысль, что для последовательности связностей из про-
пространства модулей либо существует сходящаяся подпоследователь-
подпоследовательность, либо кривизна локализуется в окрестности точки. В этом
состоит теорема 8.36, относящаяся ко второму типу теорем ком-
компактности.
Мы начнем с леммы о локальной калибровке. Пусть ?, -*¦ В,
есть (тривиальное) SUB^-расслоение над единичным шаром В1
в четырехмерном евклидовом пространстве. Любая связность Х>
в Е, может быть записана в виде X) = ci+A , как только мы
выберем тривиализацию б. Ограничим выбор б требованием,
чтобы действие
(8.1) $(б) = \ |А6|2
было минимальным. Уравнение Эйлера - Лагранжа для действия
S (б) имеет вид
кривизна F
для достаточно
L ?-калибровка
де" Б = d +
связности
малого
б,
Аб, при]
X)
е
что
I6M
166 Глава 8
d'Ae - О,
,- 0.
где последнее условие означает, что нормальные компоненты фор-
формы Аб обращаются в нуль на границе шара. К сожалению, ка-
калибровки, полученные непосредственной минимизацией функционала
(8.1), могут иметь особенности. Однако все неприятности исче-
исчезают, если ограничиться связностями с малыми кривизнами.
Лемма 8.2 [_ U1, теорема 2.1]. Предположим, что
удовлетворяет условию ||.F1|| г < &3
3 > 0. Тогда существует такая
D может быть представлена в ви-
(i) ct*A6 = 0,
(ii; *А6|5з= о,
(Ш) j|A6|| *CjU
Более того, калибровка б и форма А единственны с точ-
точностью до калибровочной эквивалентности.
Здесь L,-норма калибровочных преобразований вычисляет-
вычисляется с помощью вложения SUB) <=-»- 0jlB), a L^-нормы
сечений векторных расслоений определены формулой F.31). До-
Доказательство леммы строится так: устанавливается, что мно-
множество -{JD: H-F^ILz <?Л СВЯЗН0> а множество тех D, ко-
которые удовлетворяют условиям (i) - (iii),' одновременно
открыто и замкнуто. Открытость следует из теоремы о неявной
функции (в этом месте фиксируется значение ? ), а замкну-
замкнутость вытекает из соображений компактности, подобных тем, ко-
Компактность 167
торые использовались в гл. 7. Полное доказательство леммы можно
найти в работе C^l- Отметим, что лемма 8.2 справедлива
для шара любого радиуса, поскольку норма il-P^li г конформно
инвариантна.
Теперь мы в состоянии вывести свойство регулярности для ав-
автодуальных связностей.
Предложение 8.3. Пусть D - связность на еди-
единичном шаре В., автодуальная относительно метрики а. _и_
удовлетворяпцая условию И-^Ит* < ?з* Тогда существует
такая 1Л-калибровка б, что D может быть представле-
представлена в виде Ю = <? + А6, причем форма А6 бесконечно
дифференцируема в шаре Е>ш половинного радиуса и подчинена
В частности,
Разумеется, в этом предложении можно заменить шар В , лю-
любым компактным множеством О <s В., но тогда константа
с (-fe) будет зависеть от расстояния р = ofis-k(?>, ЭВ ) и
неограниченно возрастать при р —•• 0. Заметим также, что ука-
указанные оценки равномерны по всем метрикам, лежащим в малой
С -окрестности фиксированной метрики а..
Из предложения 8.3 немедленно следует локальная регулярность
для "автодуальных связностей Б на многообразии М. В самом
деле, поскольку \ | FD | < «>, каждая точка х е М. об-
обладает окрестностью м ОЛ, в которой почти постоянна исход-
исходная метрика и выполняется неравенство JjF \г< ?¦ /2. Раз-
Раздуем окрестность Ох так, чтобы она "содержала шар В .
Так как L -норма 2-форм конформно инвариантна, а метрика
раздутого многообразия в нормальных координатах конформно близ-
близка евклидовой метрике &, то применима лемма 8.2. Полу-
Получающаяся форма Atf ( гладка в силу предложения 8.3. За-
Заметим, однако, что рйзмеры окрестностей ©ж не являются
168 Глава 8
равномерно ограниченными, и поэтому оценки из предложения 8.3
не равномерны на М.
Доказательство предложения 8.3. Выберем ка-
калибровку 6 так, как в лемме 8.2, и опустим для краткости ин-
индекс б в обозначении для формы А6 . Тогда из этой леммы
и соображений автодуальности вытекает, что форма А е L удов-
удовлетворяет уравнениям
d*A = О,
с*_А+А*А = 0.
Здесь d_ = Р_ 6L, причем антиавтодуальная проекция Р.
берется относительно метрики а, в то время как сопряженный
оператор d* - относительно метрики 6". Таким образом, А
удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка
(8.4) (dd*+d*_d_)A + d*(A*A) = 0.
где на сей раз сопряженный оператор d_ берется относительно
метрики <%. Оператор L = doi*+ d*d_ является эллиптическим,
несмотря на то, что сопряжения относятся к разным метрикам.
Вместо того чтобы возиться со стандартными граничными условиями
на А, мы предпочли воспользоваться срезающей функцией с ком-
компактным носителем cpeC()(Bi), с помощью которой подучим
нужные нам оценки. Используя схематическое обозначение VA для
производных А и Q(•, •) для квадратичных членов, мы полу-
получаем из (8.4) уравнение
(8.5) (L+yU.)(cpA) + Q(A, 7(<pA» =
верное при любых )х е [R. функции с23, с24 и с25 в
этом уравнении зависят от ср и ее производных. Так как L -
неотрицательный эллиптический оператор, то L+jj, обратим в
соболевских пространствах при ju. > 0. Более подробно, обо-
обозначим через L. замыкание пространства С Г" в L*5 и
Компаетвость 169
через LA 0 = L^fl L? Q - подпространство L^-потенциалов,
которые обращаются в нуль на ЗБ.. (Элемента, лежащие в за-
замыкании С~ в L^, также имеют нулевые производные на гра-
границе шара.) Тогда оператор L+jjl: l?^ —*¦ ^\_г обратим.
Более того, поскольку умножения
непрерывны в размерности 4 (см. теорему 6.34), мы можем рас-
рассматривать член первого порядка Q(A, 7(ср (А))) в уравне-
уравнении (8.5) как ограниченный линейный оператор
или
Q(A,7(-)): L*>0-- L2.
В обоих случаях его операторная норма ограничена с точностью
до константы нормой ||А|| ., которая по лемме 8.2 мала.
Следовательно, исправляя, если понадобится, константу &3,
мы видим, что QCA, 7 (О) является малым возмущением
L+jjl. и оператор L = L+^+Q обратим. Далее, из не-
непрерывности умножения L2 ® L2? -* L2 вытекает, что
правая часть уравнения (8.5) лежит в L2. Поэтому в силу
обратимости оператора L: Lz& -*¦ L2 существует един-
единственный элемент А е ^Л 0, для которого
(8.6) L(A) = KHS,
где через RKS мы для краткости обозначили правую часть
уравнения (8.5). Но, взяв А е Lzt q, мы видим, что соотно-
соотношение (8.6) выполняется для _ RR'S e Lz.i. Таким образом,
из обратимости оператора L: Lz —*¦ Lf. и того факта,
что срА удовлетворяет уравнению (ё.5), следует, что
срА = А е Lzz 0, откуда А е LZZ(U) для любого ком-
компактно вложенного множества 17 * supp ср. Выберем сре-
срезающую функцию ср так, чтобы supp cp e supp cp, и
перепишем уравнение (8.5) в виде
170 Глава 8
(8.7) (L
Рассмотрим область U' , удовлетворяющую условиям supp ср2
& U « sMpp ср. Нам хотелось бн, чтобы правая часть
уравнения (8.7) содержалась в пространстве L^(Ug). К
сожалению, несмотря на то, что L2 c-*- Li, пространство
L^ не вкладывается в L"° и, значит, L*®L^ "^** L^
(это исключение в теореме вложения Соболева). Однако
Q(A, VA) e L*~e для любого е > 0. Поэтому из обра-
обратимости оператора L +/л,: L * ~^" L^ следует, что
А е Lz3~t{'U^) r для ' U2 e supp cp2 . Но тогда
Q(A, VA) e L^(U2). Повторяя эти рассуждения с исполь-
использованием уравнения (8.7), мы получаем, что на -&-м шаге Д
процедура имеет смысл благодаря
наличию непрерывного умножения ^Л® L^_ ^* L._1, -&>2.
ует теперь
Опенка норма ||А |1са,в . следует теперь из Соболевского
вложения L^+a<=-^C*. константы с22(-4) зависят от
HL+^li4 (и, значзга, от с^), си, И<Р/ИС* (^*^)и
е3 . Бели мы ищем оценки для произвольной области О s Blt
то зависимость CZS^ 0T li^ili * позволяет выразить
С22(-&) через dist (О, 3Bi)f Наконец, опенка на
max ) F ) следует из С Оценки формы А.
Доказанное свойство регулярности, теорема Арцела - Асколи
и техника склеиваний дают глобальный результат для компактных
областей Q ? М.
Теорема 8.8. Пусть ~D; - последовательность связно-
стей на ^2, автодуальных относительно метрик м. -, причем
а,. —*¦ а. ъ_ С* + 1С^2)• Предположим, что либо
либо
Компактность 171
Тогда для любого d > 0 существуют такая подпоследовательность
и такие калибровочные преобразования з.,,
-¦ D _в_ СН^З^) ддя некоторой связ- .
D, автодуальной относительно метрики у.
Здесь Qi = {xsQ: disi (до, 3Q) » о/.} e ?2.
Доказательство. При выполнении любого' из
двух условий иа Eg да можем покрыть Q^ конечным числом
таких геодезических"шаров {В^Сос,,.)}, что B2(xK).cQ
в пространстве С к евклидовой метрике 6 . Так как
оценки кривизны инвариантны относительно растяжение, то, при-
применяя предложение 8.3, мы получаем такие калибровочные преобра-
преобразования б>сс» непрерывные в норме L2, что *()
-oL+A^^b В2р(хЛ), причем А,.ж • 0^E (*>
Поскольку последовательность метрик ^.- сходится в С ,
нормы l|AjfJ|c4*t(B Саб-)) равномерно ограничены для боль-4
ших ^. Стало быть, в силу компактности вложения С С*-С ,
мы можем выделить подпоследовательность -^i'.oc • сх0~
дящувся в С*СБр(х0С)) для каждого об. Теперь мн'должнн
сравнить различные локальные калибровки ^ .,)ОС и определить
предельное расслоение. Это делается с помощью техники склеива-
склеиваний, основным элементом которой является контроль за функциями
перехода
осуществляемый (как и в C.3)) посредством уравнения
Подробности и, в частности, тот факт, что топологический тип
расслоения сохраняется при переходе к пределу, можно найти в
работе QJ1, § 3 3 • (Заметим, что по сравнению с Qji] рас-
рассуждения в нашем случае несколько упрощаются, так как мы исполь-
j72 Глава 8
зуем сильную С -сходимость, а не слабую сходимость в про-
пространствах Соболева.) Некоторые простыв примеры такого склеива-
склеивания встретятся в гл. 9. Наконец, автодуальные уравнения сохра-
сохраняются при переходе к сильным пределам. Следовательно, пре-
предельная связность автодуальна относительно предельной метри-
метрики а..
Научившись в следующем разделе измерять локализованную кри-
кривизну, мы применим теорему 8.8 к выводу свойств компактности
пространства М> .
ИЗМЕРЕНИЕ ЛОКАЛИЗОВАННОЙ КРИВИЗНЫ
В гл. 6 мы установили, что янстантоны на сфере SA с топо-
топологическим зарядом -k = ? описываются двумя параметрами:
центром Ь е SA и масштабом Л > 0. С геометрической
точки зрения X - это радиус шара с центром в & (в стерео-
стереографических координатах), который содержит половину действия:
(8.9)
х
В конце концов мы будем сравнивать автодуальные связности
на Н, имеющие локализованные кривизны, с инстантонами на SA.
Поэтому в этом разделе мы определим для таких связностей центр
и масштаб. Наша конструкция подобна той, которая неявно при-
присутствует в формуле (8.9), только теперь мы интегрируем в нор-
нормальных координатах и используем вместо характеристической
функции шара В .(-б) сглаживатель Фрпдрихса.
Начнем с изучения неотрицательных мер в шаре. Мы будем пред-
представлять себе эти меры как квадраты норм кривизны (напряжен-
(напряженности поля) связностей на М, умноженные на форму объема,
или, эквивалентно, как -tr(FA*F). Хотя мы рассматри-
рассматриваем шар В , но, чтобы все наши определения имели смысл,
наши меры определены в большем шаре 54. Все наши величины
гладко зависят от некоторой С -метрики а., и измерения
производятся в этой метрике. Позже мы ограничимся метриками а,
близкими к евклидовой метрике S. Положим
Компактность Г73
(8.10) 9r={coeLi(B4;A4IR4): со * О, J со *8kzA со
и обозначим через % множество С -метрик на В4. Цусть
j3 - гладкая неотрицательная срезанная функция, удовлетво-
ряпцая условиям
(8.11)
О,
где & > 0 - фиксированное малое число. Определим гладкую
функцию
полагая
(8.12)
Здесь р - функция расстояния, определенная метрикой д..
Срезающая функция, точный вид которой мы определим позже, позво-
позволяет вычислить производные функции R через производные р.
Следовательно, свойства R будут зависеть только от форма
4
Начнем с того, что для каждой фиксированной точки ос * В2
определим число ACx.,oj,gf.) как радиус шара с центром х, ин-
интеграл по которому равен половине исходного интеграла.
Лемма 8.13. ЭЯ/ЭА > 0.
Доказательст во.
174 Глава 8
Следовательно, по теореме о неявной функции радиус Я (ос, со, а.)
в
(8.14) К(Я(х, со, f), oz, со, у,) = 4ic2
корректно определен (наше условие на интеграл гарантирует, что
значение 41С2 достигается для некоторой точки х е В2).
Заметим, что соответствие со *-» A(jc, со, ср) является
ГЛЗДЦСИМ •
Назовем масштабом (или шириной) формы со число
(8.15) Я (со, of-)= min Я (Jt, со, д.).
а хев2 о
Это число определено для всех со е <3Г. Естественно быно бы
назвать центром со ту точку х е В2, в которой Я (со, а)
достигает минимума, однако такая точка может оказаться не един-
единственной. Чтобы получить единственный минимум, нам придется
ограничиться локализованными связностями -? и метриками fy,
близкими к евклидовой метрике сГ. В качестве подготовитель-
подготовительного шага исследуем нашу модель: основной инстантон I в
евклидовом пространстве.
Напряженность поля инстантона I, которую мы рассматри-
рассматриваем как 4-форму, вычисляется с помощью соотношений F.2),
F.6) и имеет
ui-
Исключая срезающую функцию и фиксируя евклидову метрику
положим
(8.17) К(Я,х)= J 1B)
Компактность 175
и определим Я(л) как неявную функцию (8.14). Очевидно, что
Я достигает минимума в точке 0; нетрудно вычислить, что
%@) = 1. То, что это единственный минимум, вытекает из
следующей леммы.
Лемма 8.18. (i) Гессиан о-хЯ > 0 в некотором
шаре В? @).
(ii L Я-1 > с > 0 на Ва\В. .
Доказа1вльотво. Положительность гессиана
d>x_'\(Q') в точке 0 можно либо усмотреть из графика I,
либо получить, дифференцируя соотношение (8.14). По непрернв- '
ности отсюда следует утверждение (i). Значит, % > i на
3Bfi , поэтому положим
2с = rain X - 1.
96
4
Обозначая радиальную координату в Я? через t, имеем
ЭК +1?__9Я
дъ ЗЯ Эъ
Вале мы установили (лемма 8.13), что ЭК/3 Я > 0. Нетрудно
показать прямыми вычислениями либо усмотреть из рисунка, что
BR/dt < 0:
176 Глава 8
ЭА ЭЙ /зй
Следовательно, ~д~ъ = ~~&ъ/дЛ > °' откуда вытекает
утверждение Ш).
Перешппем интеграл (8.17) в виде
(8.19) KjjCA
где J3 = Х\жщ ~ характеристическая функция единичного
шара. Любая функция J3 вида jsB) =р([г|), где j3
удовлетворяет условиям (8.11), лежит в малой [^-окрестности
характеристической функции % < . Выберем ^ так,
чтобы очевидным образом определяемая функция Я^ удовлетво-
удовлетворяла соотношению (8.14) и, кроме того, чтобы выполнялось усло-
условие
(Ш) Я?(О)<? + с26.
Заметим, что (i)-(iii) являются открытыми свойствами
и А§ непрерывно зависит от J3. Выбрав таким образом функ-
функцию р, добавим в интеграл (8.19) метрику cjf:
к*
Если
(8.20)
для подходящего малого числа е5, то %{-,(^) по-прежнему
удовлетворяет условиям (.i) - (iii). А это означает, что
А (•, <з(-) имеет единственный минимум в шаре В 6 .
Установим теперь, какие из форм со имеют центр.
Предложение 8.21. Существует такое число с > 0,
Компактность ?77
что если || %,-&{{сг <?>5 и Форма со е У удовлетворяет
условию И со ~I||Li(B4) < ?6' то центр х(со,ср кор-
корректно определен и является гладкой функцией, щдаиимн»щеи зна-
значения в малой окрестности нудя.
Доказательство. Дифференцируя неявную функцию
(8.14), мн находим, что гессиан Я представляется в виде
ct*A(x,co, f) = J f (js,py,x, 2, A(x,co,
t
где -f зависит также от производных J3 г р . Следователь-
Следовательно, свойство (i) леммн 8.18 является L1-открытый свой-
свойством форма со. (Напомним, что А(х,со,а) непрерывна по
со. ) Кроме того, А(х, со,cjf.) >1 + с26 тогда и только тогда,
когда
ж это также L -открытое овойотво. Подобным образом,
А@,со, др) < i + cz6 тогда и только тогда, когда
¦со(ж) >41Гг.
+ С26
в 26
Выбирая подходящим образом константу ее, мы видим, что
если заменить А (ж) функцией А(х, со, у,) , то условия
(i)-(iii) будут по-прежнему выполняться. Следовательно,
А(-, со, cjO имеет единственный минимум. Поэтому существует
корректно определенное отображение
(8.22)
178 Глава 8
являющееся гладким при -& > 2. Отметим, что пятимерный вектор
I - < А, х) является единственным решением уравнений
К(Л,х, со, cjf.) = 4TC2,
(8.23)
¦^(А.х.со, др-> = О
в окрестности ( А, х ) = < 1, 0). Кроме того, его ограничение
на окрестность, определенную условием (8.22), удовлетворяет
условиям
(8.24) J\
(8.25) \\dJ(u,b)-
поскольку К (А, ее, со, of) линейна по со и дважды непрерывно
дифференцируема по о-. Здесь, как всегда, -I {•,<$¦) зависит
от [/-класса формы со, и поэтому нормы в (8.24) и (8.25)
являются операторными нормами, взятыми относительно L1-нормы
в области определения.
мы хотим обобщить нашу конструкцию на формы, близкие к мо-
модельным локализованным инстантонам
- 48 AAcdz
(8.26) V
(см. F.8) и F.2)). Чтобы перенести данные величины с наших
локальных шаров на многообразие М , определим для каждой
точки иеМ и каждого А > 0 отображения е , по-
латая
(8.27) еЛ^
где Тх: К -*¦ К . - растяжение в А раз в ка-
касательном пространстве Т М, которое мы отождествляем
с R4 . Хотя указанное отождествление может быть получено
лишь с точностью до элементов из ЗОD), это не доставит
нам никаких хлопот, поскольку рассматриваемые нами геометри-
геометрические объекты - формы 1Я и преобразования Тя - являются
SO (^-инвариантными. Итак, теперь наши меры со и метри-
Компактность 179
ки gf. определены непосредственно на М. Дня удобства будем
считать, что радиус инъективности многообразия М не меньше 4.
Предложение 8.28„ Цусть
К(А, х, со, f) = j jsl joo(z).
н
Тогда существует такое Л, > 0, что если форма со ?
е L*(.M; ЛАТ*М) удовлетворяет условию
для некоторых ^^Я^, у-
то уравнения
К(Л,х, со, ^) = 4-
go
Э^(Я,х„со, gt) =0
имеют единственное решение
•?(co,g.) =<Я(со,^
гладко зависящее от со ^_ ^.. Кроме того,
=О(Л),
=0(Я3),
180 Глава 8
где А = Я(со,а) ъ_ 8 - плоская метрика в экспоненциаль-
экспоненциальных координатах в точке сс(со, a.).
Доказательство. Пусть со = е*^ -(со) и у. =
= е^^С^-У/д-2 в шаре Б4 с Т М.. Тогда по условшэ
II со - 11| , < ? .
Кроив того, норма разности II §-~ <^|| г = ОС^ы.2), и при
достаточно малых АА она становится меньше, чем е5> Сле-
Следовательно, в силу предложения 8.21 определена функция
Поскольку мы рассматриваем прообраз метрики of., эта функция
не зависит от выбора числа у~ и точки у в шаре малого
радиуса, а условия на интеграл гарантирует, что у можно
считать лежащей в шаре ВА. Так как Я (оЗ, Ц- ) « 2 , те
Я (со, а) « 2\4. Поэтому из оценки (8.24) следует, что
а соотношение (8.25) показывает, что
где Я = Я (со, у,).
Теперь мы наконец готовы определить центр Я (Б) и
масштаб х(Б) локализованной связности Б. Бели задана
такая связность, введем 4-форму со (Б), полагая
(8.29) со (Б) =-irFpA*FI) = |FD|2*i.
Заметим, что форма со (Б) калибровочно инвариантна.
Компактность
Определение. Отнесен к множеству %?ЧЗ локализо-
локализованных связностей те связности D, которые удовлетворяют
неравенствам
н
для некоторых /х « Я и и щ М..
Снабди» множество 'б локализованных связностей L^-то-
L^-топологией: если D, Ю'е 'ё'б и D = D + А, то положим
||1)-Ю'||= ||A||L2. Для фиксированной метрики §(. на М оп-
определим отображение 5&(D) формулой
Итогом настоящего раздела является следующая
Теорема 8.30. Отображение
Oh: ЪЪ ~* (О, А4)*М
является гладким и удовлетворяет условию
Доказательство. Согласно цепному правилу,
со CD)
Дифференцируя формулу (8.29), найден явный вид
Поэтому, используя оценку теоремы 8.28 г неравенство Коши
Шварца, мы получаем, что
182 Глава 8
откуда следует утверждение теоремы.
В силу калибровочное инвариантности ншшх конструкций,
отображение & пропускается через пространство орбит:
Здесь JU, = {Б ejlt: A(D) < А}. В гл. 9 мы установим,
что для достаточно малнх А отображение 3: ЛС -*• (О, А)*М
является диффеоморфизмом.
КОШАКТЕОСТЬ В JU-
В предыдущем разделе мы точно определили класс %% локали-
локализованных связностеи, однако пока не доказано, что этот класс
непуст. На самом деле в %% лежат построенные в гл. 7 связ-
связности с бесконечно возраставшими кривизнами. Тем самым сле-
следующая теорема есть в некотором роде обращение процедуры при-
Теорема 8.31. Пусть. \Ъ^\ - такая последователь-
последовательность в JIL, что max I F= I -*°°. Тогда для любого К > О
м i j.i ——
существуют такие поднятия D, элементов Б , точки зс е М
и числа А < d/K что
и числа А- < d/K, что
Компактность 183
(i) Я, — 0;
Здесь 1К - основной инстантон (8.16), ограниченный на шар
формулой *(8.27).
сь 1К основной инстантон (8.16), ограниченный н ш
с Тж М *» IR4; отображение е определено
й *(827) >'х>
Доказательство. Положим
Заметим, что точки .х • необязательно определены однозначно
(если таких точек несколько ,_мн выбираем одну из них) и что
1
X, ас- не совпадают с *CD;) и гсA5^), определенннми
в предыдущем разделе. Для каждого индекса j- ^ фиксируем под-
поднятие Б- элемента Ъ¦ . Тогда связность JD^ = е*. х (JD^)
автодуальна относительно ^. -= е*. ^.С^)» ^S* *a -
метрика на М. Так как автодуальннё Сравнения конформно ин-
инвариантны, то связность Т>- автодуальна также я относительно
метрики ^-. = gt.;/Я^. Из неравенства F.13) без труда
получается, что <?.-+¦$, причем эта сходимость равно-
равномерна на большем шаре ^x+i* Нескольку
max J F~ ) = i,
вк '
глобальная теорема компактности 8.8 гарантирует существование
такой подпоследовательности O-'З с {^1 и (возможно,
различных) поднятий Б-., что fi.,-*¦ 25^. в С (В^),
причем предельная связность D^ автодуальна относительно
метрики 5". Используя диагональный процесс, можно устроить
так, чтобы подпоследовательность сходилась одновременно на
всех В^, К е Ж, и тем самым получить предельную
связность D на К4 с max) F | = |F )@) = I.
184 Глава 8
По теореме 6.42 об устранении особенности связность D про-
продолжается до автодуальной связности на -S4. Кроме того,
lim
К j у
откуда следует, что D - это инстантон с топологическим за-
зарядом -k = 1 (см. обсуждение, следующее за теоремой 6.42).
Данная в гл. 6 классификация инстантонов на S с топологи-
топологическим зарядом -k = I показывает, что D калибровочно экви-
эквивалентен основному инстантону. А теперь воспользуемся одной за-
забавной леммой из теории метрических пространств: если последо-
последовательность в метрическом пространстве X обладает тем свой-
свойством, что каждая ее подпоследовательность имеет в свою очередь
подпоследовательность, сходящуюся к р е X, то и вся после-
последовательность сходится к точке р. Эта лемма избавляет нас
от необходимости переходить к подпоследовательностям при огра-
ограничении связностей на фиксированное компактное множество. Так
как любая подпоследовательность из {j^i} удовлетворяет усло-
условиям теоремы и приведенные выше рассуждения дают подпоследова-
подпоследовательность, сходящуюся в С (Вк) к Г , мы заключаем,
что D. -» L в С (В^). В то же время из-за отсутствия
равномерных оценок скорости сходимости при изменении К мы
не можем утверждать, что D. -*• I в С (R4).
Считая выполненными условия теоремы, можно получить несколь-
несколько следствий. Из них только первое имеет непосредственное от-
отношение к компактности. Следствие 8.35, описывающее поведение
локализованных инстантонов вне их центров, окажется полезным
в гл. 9.
Следствие 8.32. Я (Б.,) -— 0.
Доказательство. Напомним, что число Л (X)) опре-
определено для любого_Б e«Ai и что Я: JU, -*¦ К - непрерыв-
непрерывная функция от D. Поэтому требуемое утверждение вытекает
из того, что Б., —*• 1„, ЯA v) = i и Я(Б:/) =
= А.,-Я(Б..). * К К *
Компактность 185
_йзпользуя конструкцию Таубса, можно найти последовательность
{Б:}, удовлетворяющую условиям теоремы 8.31. Тогда, соглас-
согласно следствию 8.32, Б. е %% для больших j. Следовательно,
множества a/U. локализованных инстантонов непусты.
Следующее утверждение является, по существу, переформулиров-
переформулировкой теоремы 8.31.
Следствие 8.33. Пусть ?Б •} - последовательность
ъ_Л1 с постоянным центром эс = х(Бр и с А. = А(Б)-*0.
Тогда е* - _(D.) —I* в Ck(E>v) для некоторых
поднятий Б..
Доказательство. По определению масштаба А (Б О
*i = A-nz.
м
Так как Л: —* 0, то из этого равенства без труда выводит-
выводится, что
н "t
Теперь остается притенить теорему 8.31.
Возвращаясь к условиям теоремы 8.31, предположим (переходя,
еоли нужно, к подпоследовательности), что х • -*• х.
Следствие 8.34. Для любого р > О
lim
Y
Доказательство. Так как А^ —*¦ 0 , то
Вх (х) с Бр(х) для достаточно больших ^, а посколь-
поскольку * 5- -*- I., в В.,, мы имеем
?86 Глава 8
Следствие 8.35. Последовательность ГБ-I.,. _ , . }
кадибровочно эквивалентна последовательности, сходящейся к три-
тривиальной связности на r> I
<'.М\Вр(ж)
Доказательство. Применим глобальнута теорему
компактности 8.8 к области ?2 = М \ В (х). Так как предель-
предельная связность Б является плоской (в силу 8.34 ее кривизна
равна нуле) и не существует нетривиальных представлений
К (Q) = 1С (М) —* SUB), то D тривиальна. Как и рань-
раньше, здесь не нужно переходить к подпоследовательности, посколь-
поскольку возможен лишь один предел.
Покажем, наконец, что усеченное пространство модулей ком-
компактно.
Теорема. Для любого Л > 0 пространство <ЛС \ JU я
компактно.
Доказательство. Пусть ?3)^.} - некоторая
последовательность в %М\Л1Л. Так как Я (В) -**¦ О,
то максимум норм кривизн max | F5 | равномерно огра-
ограничен в силу 8.31 и 8.32. Но тогда глобальная теорема компакт-
компактности 8.8 дает нам в С*(М) сходящуюся подпоследователь-
подпоследовательность поднятий D., -*• Б. Следовательно, Ъ., -*¦ Ъ в
гШ\Л1х, что и требовалось доказать.
Глава 9
ТЕОРЕМА О ВОРОТНИКЕ
В этой главе мы завершим доказательство теоревш Дональдсона,
показав, что для достаточно малых Л многообразие »^Ч =
= [Ъ е *М: Я (I)) « Я J диффеоморфно произведение
(О, Я)хМ:
Рг
Рл
Напомним (см. теорему 8.30), что для Л «Я существует кор-
корректно определенное гладкое отображение
?88 Глава 9
Здесь x(lD) - центр инстантона Ю и X(D) -его
масштаб.
Теорема 9.1. Для Л « Л отображение % является
диффв оморфизмом.
Доказательство этой теоремы о воротнике разбивается на_
несколько шагов. Шачале иа показываем, что отображение ZR> яв-
является собственным - это просто переформулировка теоремы ком-
компактности 8.36. Затем устанавливается, что Щ> - локальный
диффеоморфизм. Приведем краткие набросок основных идей доказа-
доказательства. Напомним, что для нашего модельного пространства 5
конформная группа транзитивно действует на пространстве модулей.
Конформное преобразование ER и, состоящее из сдвигов на век-
вектор 4> и растяжения в /с раз, переводит основной инстантон
в инстантон с центром Ь и масштабом juu . На инфжннтези-
мальном уровне это дает пятипараметрическое семейство деформа-
деформаций, на котором дифференциал с?5ё4 действует как тождествен-
тождественный оператор. Перенесенные на более общее многообразие эти де-
деформации перестают быть конформными и, следовательно, не сохра-
сохраняет автодуальных уравнений. Тем не менее, с помощью оценок
распада на кривизну мы сможем показать, что отклонение от авто-
автодуальности является малым и поэтому инфинитезимальная проекция
Таубса G.19) исправляет эти деформации. Снова мы получаем
пятипараметрическое пространство, на котором обратим дифферен-
дифференциал <?9&. Тем самым 32> - локальный диффеоморфизм.
Собственные локальные диффеоморфизмы являются конечнолист-
ными накрывающими отображениями, поэтому, чтобы доказать, что
отображение ?© - глобальный диффеоморфизм,_осталось_устано-
вить его биективность. Предположим, что Si> (Ю) = 9h (D') .
Тогда подходящий выбор калибровки дает такие поднятия Ю, d'
элементов Ъ, Ъ', для которых мала норма \\Ъ - 1)'|| +р
Согласно теореме о локальной связности 7.30, Ю и D' можно
соединить в М коротким путем и этот путь не выйдет за пре-
пределы воротника, поскольку расстояние между локализованным и
нелокализованным инстантонами велико. Значит, D = D', чем
и завершается доказательство теоремы 9.1.
Теорема о воротнике 289
Наше изложение следует оригинальному доказательству Дональд-
сона, хотя мы сделали его более подробным и ввели несколько
технических усовершенствовании.
ОЦЕНКИ РАСПАДА
В предыдущих главах мы получили три различных локальных мо-
модели для локализованных инстантонов Х>л: стандартную модель
J с масштабом А, нормализованную модель 1 с масштабом 1
и раздутую цилиндрическую модель 111 . Мы будем попеременно
использовать все три модели, и для удобства изобразим их гра-
графически вместе с соответствующими метриками:
х/\
0
и
О(|х|2)
т =— In г
Разобьем раздутый инстантон на три перекрывапциеся области:
компактную часть M.Q = [т « tQ+ {], цилиндр I = [г » т - ?}
и соединяющую их шейку N = [х « t < т }: А Я
190 Глава 9
(Не нужно смешивать шейку инстантона с воротником пространства
модулей!) Здесь р - малая константа, определяемая кривизной
многообразия М. в окрестности точки x,(Dx), a Т0=-1пр
играет роль левой границы <Хг из предложения 7.10. Правая гра-
граничная точка f = -1п(ХЯ) ; большая константа К будет
фиксирована лишь в самом конце доказательства. Масштаб Я при-
принимает значения на полуинтервале (О, X], где X зависит
от К и выбирается так, чтобы произведение К Я было мало
по сравнению ср.
Суммируем результаты гл.8 следупцим образом: Э выглядит
как стандартный инстантон на цилиндре I и является почти
плоским на компактной части -Мо, причем оба эти свойства уси-
усиливаются при Я -*¦ 0. Однако мы пока не умеем контролировать
инстантон Б в области шейки N — {JKX « t *» р}. Чтобы
понять, насколько сильно распадается Ю в этой области, обра-
обратимся к стандартным моделям. Кривизна (см. F.8))
удовлетворяет неравенству
(9.3) \F^'Q
Различие между этим неравенством и нашей окончательной оценкой
(теорема 9.8) отражает тот факт, что отбрасываемый член
Теорема о воротнике
|VF|-|o?|F|| в F.21) имеет тот же самый порядок, что
и другие члени. Заметим, что в наших рассуждениях будет исполь-
использовано точное значение коэффициента R в формуле Вейтценбёка
F.26) (см. приложение с ). Поскольку эта формула приводит к
вычислительным трудностям (в самом деле, несколько предыдущих
публикаций содержали ошибки), нас утешает существование иного
доказательства теоремы 9.8 с еще лучшей оценкой распада
([U2U» ГСП )• ^то доказательство основано на точном вы-
вычислении собственного значения некоторого оператора на S3.
Следствие 8.34 дает грубую L -оценку кривизны связности
D вне ее центра. Приведем теперь более точную оценку.
Предложение 9.4. Имеет место неравенство
lim max I F_ I « V/2,
Л—О т«т;я и\
в котором V = с /К2.
Здесь, как и всюду в этом разделе, норма берется относитель-
относительно раздутой метрики а.^. Множитель 1/Z введен для упроще-
упрощения дальнейшее вычислений.
Доказательство. Из теоремы регулярности 8.3
следует, что
jV J |F |a.
Так как часть М. компактна, а Я имеет локально однород-
однородную геометрию, мы можем выбрать равномерно ограниченную после-
последовательность шаров В^, покрывапцих М U N . Следо-
Следовательно,
(9.5) „ах |Fз|2«См J \F \\
В силу конформной инвариантности, формулы (9.2) и следствия
8.33
192 Глава 9
о.е,
U+КУе")'
Требуемый результат вытекает теперь из неравенств (9.5) и
(9.6).
Используя свойство автодуальных связностей минимизировать
функционал Янга - Миллса, покажем, что кривизна на Л. ограни-
ограничивает кривизну на М .
Предложение 9.7. Дустъ Т) - автодуальная связ-
связность, кривизна которой удовлетворяет условию
для некоторых ? < i ж_ Т^ » rCQ. Тогда
где константа с,_ > 0 не зависит от Ъ.
Точно такая же оценка имеет место и на М. .
Доказательство. В экспоненциальной калибровке
(см. предложение 9.38) связность Б на t -1« Т « Т^ может
быть представлена в виде D = с1 + А
Пусть ср - срезапцая функция в окрестности
Теорема о воротнике
193
Образуем новую, не автодуальную связность D , полагая
Т) при тг ^ Т ,
cL + cpA при Т > т » тг -1
Т х т. т. '
плоская при Т -1 > Т.
Так как I) является абсолютннм минимумом функционала ЗАЛ6 из
B.13), то
' * т:.
м
м
Оценка максимума нормы кривизна получается теперь из теорема
регулярности точно так же, как в предыдущем предложении.
Теперь мы в состоянии заняться оценкой распада. Цусть D -
автодуальная связность с масштабом А и F - ее кривизна.
Л.
Теорема 9.8. Для любого данного числа у < YS су-
существуют такое К*К?=К1(^) и достаточно малое р,
что при Я s Я5= Я5(р,К)
Глава 9
_у (ТГ - ТГ)
|Fj(T,e)«c35ve х , то*т$тг,
относительно раздутой метрики ^-3. В метрике ф. это нера-
неравенство принимает
Доказательство. Обращая в F.26) ориентацию,
многообразия, мы получим формулу Вейтценбёка для автодуальных
2-форм:
(9.9) ZD+T>1= V*V-2W+C-)+|- + [P+F, •]
на Q + (adi]), где D+ = P+D. Подобно неравенству
G.13) мы получаем для F — F оценку
Л
на цилиндре TTQ « "Г « Т^. (Вместо неравенства F.18) мы
пользуемся здесь более тонкий неравенством F.21).) Тогда
—*¦ 0 при р ^- 0 в силу соотношений G.6) и G.7) и
I 0 при К -*¦ °° в силу предложения 9.4. Следователь-
Следовательно,
&j —
| г I
причем число у'< 2 можно взять произвольно близким к 2.
Для малых Л в силу предложения 9.4 мы имеем также |F|(T , б)<
< V. Введем временное обозначение
<x-max|F|(T0,e).
Тогда ирин11ии максимума 7.10 доставляет нам оценку
(9.Ю) |FКг, 0) 'r(T"V "'^"^
Теорема о воротнике ?95
где То « 1Г «г Тх, у < Уу7". Напомним, что у можно взять
произвольно (близким к Уу7", если положить То — °° (т.е.
р -*¦ 0). Элементарные аналитические выкладки показывают, что
функция в правой части неравенства (9.10) достигает минимума
и этот минимум равен
2"
Из предложения 9.7 следует, что можно взять число а порядка
этого минимума:
<х « 2с УаУ е
oZ
или, после возведения в квадрат,
2
Возвращаясь к неравенству (9.10), имеем
(9.П) |F |(г. 9) * v
откуда немедленно следует требуемая оценка.
Принадлежащее Дональдсону доказательство оценок распада в
корне отличается от нашего: он основывается на формуле для
относительных классов Чяэня многообразий с краен. Доказатель-
Доказательство Дональдсона работает для автодуальных полей, в то время
как наша оценка пригодна для любого мининпгаи^у^ца'рп поля
Янга - миллса. (Это не обязательно одно и то же - достаточно
рассмотреть, например, многообразия с краем.) Дональдсон ука-
указал, что из оценок распада можно вывести теорему об устране-
устранении особенностей 6.42. Мы включим соответствующее доказатель-
доказательство в приложение с.
196 Глава 9
КОЮОРМНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
В этом разделе для каждой достаточно локализованной авто-
автодуальной связности D е %% мы найдем пятипараметрическое се-
семейство деформаций Е = С^.,*: К5-* Т^б®, обладающее тем
свойством, что d.% ° Е - эпиморфизм. Так как JU - пяти-
пятимерное многообразие и отображение db(D) = ^(jD) пропускает-
пропускается через пространство_модулей, то дифференциал сИ.Ш> обратим.
Отсюда следует, что 55 - локальный диффеоморфизм. Напомним,
что отображение ЗЬ неявно определяется функционалом i?(A,x,co,g-),
который гладко зависит от со = |F_ j2* i и от С*-метрики
а. В плоском случае
для подходящей срезапцей функции ]3. Из формулы замены пере-
переменных в интеграле вытекает, что
Я(А,х, со) = ^
где Т„ ^(^-) = уи-^- + ? - конформное преобразование, со-
состоящее из растяжения в /л раз и сдвига на вектор 4>. Сле-
Следовательно, отображение
(9.12)
является диффеоморфизмом на окрестность точки <Л,ос>еК . В
частности, если х(си) = 0 (чего всегда можно достичь подхо-
подходящим выбором системы координат), то его дифференциал в нуле
представляет собой тождественное отображение при Я = I ж
равен
id
Теорема о воротнике
в общем случае. Чтобы разобраться с множителем Я, рассмотрим
отображение
(9.13) *>«=Ж
Ясно, что композиция
является товдественннм преобразованием. Заметим, что операция,
с помощью которой определяются ? .g» ~ это производная Ли
в направлении векторных полей
(9.14)
Эти векторные поля и порождаемые ими конформные преобразования
действуют на связностях (гл.6). Поэтому, полагая
мы видим, что из конформной инвариантности оператора Ходва
на 2-формах следует равенство
Т
,*¦
Кроме того, если связность D автодуальна, то Т /хt
также автодуальна, поскольку уравнения Янга - Миллса конформно
инвариантны. Значит, композиция
i^l) - Т*/яf,B» ^ <Я(-).*(О>
является в плоском случав тождественным отображением.
В искривленном случае инфинитезимальнне конформные преоб-
преобразования (9.14) могут быть перенесены на многообразие М с
помощью срезающей функция ср такого вида:
198 Глава 9
р/2 р
Фиксируем раз и навсегда автодуальную связность D с A(D) =
Определим в нормальных координатах на М в окрестности точки
x(D) пятипараметрическое семейство векторных полей
(9Л5) Х^,
На интуитивном уровне X ^ ~ ЗТ0 инфннитезимальное растя-
растяжение в }х/\ раз и сдвиг на -6 в окрестности точка х(Б),
рассматриваемые лишь в шаре радиуса р. Мы хотим поднять
это действие на уровень связностей, но в отличие от плоского
случая здесь имеется две существенные трудности. Во-первых,
метрика а многообразия М не является плоской, и поэтому
для векторных полей (9.15) дифференциал &% не является
тождественным преобразованием. Однако метрика ср? почти
плоская вблизи начала координат, так что отклонение от тож-
тождественного отображения мало. Вторая трудность состоит в том,
что преобразование X ^ не конформно и, значит, не сохра-
сохраняет автодуальных уравнений. Другими словами, поднятое в
пространство связностей X ^ не является касательным век-
векторным полем к автодуальным связностям 55 2). Однако вблизи
начала координат преобразование XMii почти конформно, а вне
начала координат кривизна быстро убывает. Значит, приобретен-
приобретенная антиавтодуальная кривизна мала. Теперь можно применить ин-
финитезимальную проекцию Таубса G.19); при этом общая по-
поправка мала. Таким образом, мы получаем пятипараметрическое
семейство
(9.16) Е , = L Б+©*Ф ,
инфинитезимальных вариаций D, касательное к
Теорема о воротнике 199
Теорема 9.17. Пусть A(D) ^ А . Тогда
5*
является обратимым отображением.
Приведенные выше рассуждения представляют собой набросок
доказательства этой теоремы. Строгое доказательство будет дано
ниже.
Так как отображение SB постоянно на орбитах действия груп-
группы калибровочных преобразований, то пятимерный образ С в
Т *б© проектируется на T-JLL, и мы получаем
Следствие 9.18. Пусть А « А . Тогда
Ш>: М. —¦ (О, А)*М
является локальным диффеоморфизмом.
Мы начнем доказательство теоремы 9.17 с описания действия
X = X .g на связностях. Вообще говоря, диффеоморфизмы мно-
многообразий не поднимаются на расслоения. Однако поднятия инфи-
нитезимальных образующих существуют всегда, и два таких под-
поднятия отличаются на инфинитезимальный автоморфизм расслоения,
накрывавший тождественное в малом отображение базы, т.е. на
инфинитезимальное калибровочное преобразование. Так как в ко-
конечном итоге мы факторизуем по калибровочным преобразованиям
и в любом случае интересуемся лить нормами кривизны, которые
не зависят от калибровки, то конкретный выбор поднятия не
имеет никакого значения. Поэтому для определенности поднимаем
X до горизонтального векторного поля X на главном расслое-
расслоении Р, jMie «горизонтали» задаются связностью Б. Тогда
поднятие X действует на связностях, и в частности на Ъ,
по формуле
(9.19) ГБ = [Х
200 Глава 9
Индуцированное деЗствие на кривизну имеет вид
(9.20) LXFB = [X, FD] - D(LX;D).
Разумеется, действие X на метрику - это обычная производная
Ли.
Запись действий X на Б и F в виде производных Ли
удобна по нескольким причинам. Например, с помощью дифференци-
дифференцирования Ли по переменным базы и отбрасывания переменных слоя
вычисляются различные действия. Кроме того, скобочные обозна-
обозначения и локальные координатные формулы вида
т / / * j Л / 4. 7ч . 9а dot \ , i . t
а*Э/Эх* *V \ Зх «^9х Ъьк dccfj
позволяют читателю проследить, как получаются различные оценки.
Обозначения в формуло (9.16), по-видимому, не требуют особых
разъяснений: 25*Ф ^ - это решение уравнения
существование которого гарантируется теоремой 7.19.
Доказательство теоремы 9.Г7 разбивается на два шага. Сна-
Сначала мы покажем, что отображение
Б)
,*
/А
близко к тождественному отображению.
Предложение 9.21. Для дифференциала dSb- имеет
место оценка
cWft (L Б) = </*., -g>+O(A2)-|<^,^>|.
До конца этого раздела все нормы берутся относительно метри-
ки fl.
Теорема о воротнике- 2(Н
Доказательс тво. Прежде всего мы можем ограни-
ограничиться шаром В,., поскольку отображение 8Ь определялось
по данным, относящимся к этому шару. Пусть F = F^, X = X^ti,
cj= со(Б) =-ir(FA*F) = \Г\г*1; напомним, что
С
Таким образом, dLSh^ ( Lx D)
Очевидно, что
Сравним это выражение с L ш. Имеем
¦Л.
Следовательно,
(9.22)
Наша конструкция во введении к этому разделу была предназначе-
предназначена для того, чтобы получить формулу
(9.23) oL^t(u), ?)(LX со) =
(см. (9Д2)). Кроме того, по теореме 8.28
(9.24) ||
Воспользуемся теперь гарантированной следствием 8.33 сходи-
сходимостью в нормализованной модели Ж к стандартному инстанто-
ну I (8.26) при достаточно малых Л. Прямое вычисленве
показывает, что
(9.25) ||Lxj|||ijl
Комбинируя соотношения (9.23) - (9.25), мы получаем
(9.26) aLj(bJ
202 Глава 9
Второе слагаемое в равенстве (9.22) оценивается по теореме 8.28:
(9.27) |dei,/Cco,^)ar(FALx(*)F))| «
^\\<Lj{^f)\\-\\FALx{*)F\\LL = O(A)||F«l2- I|E.x(*)||l..
Здесь -* = *(a), ив экспоненциальных координатах на В4
Векторное поле X конформно относительно метрики 6~ на В ,
а оператор * конформно инвариантен на 2-формах. Следователь-
Следовательно, LX(*(<T)) = 0. Поэтому
(9.28) |[Lx(
и предложение 9.21 вытекает из (9.22), (9.26) - (9.28).
Чтобы завершить доказательство теоремы 9.17, нам осталось
показать, что вклад от проекции Таубса в семейство (9.16) мал.
Напомним, что этот вклад представляет собой решение уравнения
Предложение 9.29. Имеет место равенство
Доказательство. По геореме 8.30 для Ф = Ф ,
справедливо неравенство
Теорема о воротнике 203
Согласно 7.18, (|Б2)*Ф|| 2 оценивается Э*&A) )-нормой Ф:
а по теореме 7.19
Поэтому, чтобы доказать предложение 9.29, достаточно оценить
||P.(LXF)||L. нормой |<>с6>|.
Ц7сть ср - однонараметрическая группа, порозденная век-
векторным полем X. Тогда связность ф*(Ю) автодуальна в метри-
метрике ф,(а), что инфинитезимально выражается соотношением
P_(LXF) =-(LxP_)F.
Значит, нам нужно всего лишь оценить ||(L P_)F|La. Заметим,
что из конформной инвариантности оператора Ходжа * на 2-фор-
мах следует неравенство
где 1Г - проекция на бесследовую часть.
Для сдвигов (ja= Q) нет никаких проблем, поскольку
и
_ 0 — 2
Но для растяжений существует дополнительный множитель ifX, т.е.
и нам придется немного поработать. Именно здесь в игру всту-
вступает оценка распада (9.8):
204 Глава 9
« p.
Учитывая эту оценку, мы имеем
Полагая в неравенстве (9.8) у z i, мы получаем требуемый ре-
результат .
Наконец, оценки из предложений 9.21 и 9.29 показывают, что
при достаточно малых Л
для всех точек <yu.,-ё). Следовательно, отображение
l&o ? является обратимым, что и требовалось доказать.
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ КАЖБРОВКИ
В предыдущем разделе мы установили, что 3 - накрывающее
отображение (см. введение к этой главе); покажем теперь, что
35 взаимно однозначно. Начнем с того, что, используя оценку
распада на шейке инстантона, найдем калибровку, в которой
D - d + А с малой нормой |А|. Для этого нам понадобится
новое техническое средство - так называемая экспоненциальная
калибровка ? иг^ • В этом разделе мы построим ее сначала в
общем контексте векторного расслоения ?, с метрикой и связ-
связностью Б над римановым многообразием Н. Идея заключается
в возможности геометрического выбора для связности D с ма-
Теорема о воротнике 205
лой по норме кривизной Fqлокальной калибровки с малой -|А|.
(Ранее, в теореме 8.2, это делалось с помощью дифференциальных
уравнений в частных производных .) Для связностей на касательном
расслоении это построение осуществляется с использованием геоде-
геодезических нормальных координат. В общем случае, имея дело с про-
произвольными расслоениями, мы должны совершать параллельные пере-
переносы вдоль радиальных геодезических в расслоении. С этой целью
мы вводим геодезические нормальные координаты в тотальном
пространстве расслоения, которое превращено в риманово много-
многообразие с помощью метрики на базе, метрики на слое и связности.
Итак, возьмем точку psM и построим локальную тривиали-
зацию расслоения ?j, отождествляя ??ехр UX) и ^?t> c
помощью параллельного переноса вдоль радиальной геодезической
?ехрр(зХ), 0 ¦$ ¦& ¦* Ь} для каждого единичного векто-
вектора X е Т М. и малого I. Выберем репер в точке р. При
этом остается свобода поворота на фиксированный элемент струк-
структурной группы G, подобно тому как геодезические оснащения
касательного расслоения выбираются с точностью до линейного
преобразования, не зависящего от координат базы. Тогда
D = ot+A, причем Аа = 0 в геодезических полярных коор-
координатах <-ъ, 0>, 0 е Sn~i. Следовательно,
9A3A ЭАе
Э9
так что
(9.30) Ае(%,0о)=
о
Мы построили калибровку, в которой связность выражается в тер-
терминах кривизны. Поэтому формулу (9.30) можно использовать для
опенки А в терминах F, если принять во внимание метрику
на базе с(л,2 = ъг+A + ОAг])<19 . На области, отделенной от
множества раздела, вклад этой метрики ограничен и
«•3D 11Ч-(в «
206
Глава 9
где постоянная с, = С, .(-г) стремится к бесконечности, когда
мы приближаемся к множеству раздела. Бели фиксировать калибров-
калибровку на подмногообразии S, то на геодезических, нормаль-
нормальных к 5, возникает трансверсадьная калибровка и неравенство
(9.31) принимает вид
(9.32)
где с42 стремится к бесконечности по мере приближения к фо-
фокальным точкам. Здесь S^ - трубчатая окрестность подмного-
подмногообразия S в М.
Экспоненциальные (или трансвереальные) калибровки, локали-
локализованные в различных точках, могут быть склеены вместе, если
пересечения имеют достаточно простую геометрию. Проиллюстрируем
это следующим утверждением.
Предложение
в расслоении над сферой
9.33
точно мала, то на S*
торой 2) = oL+A c_
Си23« Пусть Б - связность
Если норма \\F\\L<->(Sn.s доста-
достакалбровк
существует глобальная калибровка, в ко-
ко.11*1,
где с.. - константа, не зависящая от D.
Доказательство. Рассмотрим окрестности южно-
южного полюса 0 и северного полюса °° сферы S , каждая
из которых представляет собой полусферу, продолженную за эква-
экватор, и построим на этих окрестностях экспоненциальные калибров-
калибровки:
Теорема о воротнике 207
Получившиеся при этом формы связности А , А удовлетво-
удовлетворяют неравенству (9.31), где константа с41 зависит только
от геометрии сферы. На пересечении D = d + A = с?°° + А°°,
так что А0 и А"" связаны калибровочным преобразованием
(9.34) л~1Ы.°4 = А°-к°°.
По построению, экспоненциальная калибровка обращается в нуль в
«радиальном направлении», которое в нашем случае задается по-
полярным углом ср . Отсюда следует, что
Таким образом, б - -6(9) является функцией только экваториаль-
экваториальных переменных. Предположим для удобства, что преобразование з
унитарно. Тогда из (9.34) и (9.31) следует оценка
(9.35) II <** [| l-* 2 с4 J F || l-.
Воспользуемся теперь свободой поворота репера при помощи фикси-
фиксированного элемента калибровочной группы и устроим так, чтобы
dFQ) = 1 для некоторого значения в0 экваториальных пере-
переменных. Тогда, интегрируя неравенство (9.35), получаем
Если норма || F A„, достаточно мала (величина малости здесь
определяется геометрией калибровочной группы G-), то @
можно представить в виде
для некоторого и: 5 —*¦ 0j, где 0| - алгебра Лл
группы G-. Из неравенств (9.35) и (9.36) вытекают сле-
следующие оценки:
(9.37) ||*|JL. < c4JHIL.. « c4ic44-Tc||F)|L»,
где с44 = C44(G-, disi{t(9),D). Пусть js(<f) -такая
срезающая функция на пересечении окрестностей, что рAГ/2) =i/Z
208 Глава 9
и ограничена норма | dp, |:
«/2
Используя отображения
з~(ср,в) = ехр(-р(<р)и,@)),
мы можем так подобрать калибровки, чтобы связность D гло-
глобально представлялась в виде D = ct + А с
= А - (з ) (Ы. 5 ) = А -(б ) (ct 5 ).
Данная в предложении 9.33 оценка легко следует из неравенств
(9.31) и (9.37).
Описанную технику можно с успехом применять для склеивания
трансверсальных калибровок на цилиндре, где, так же как на
сфере, проста геометрия пересечения. В общем случае склеивание
не связано ни с какими свойствами пересечения.
/Л /Л
Возвращаясь к локализованному инстантону Э, построим
хорошую калибровку на шейке. Положим Ч =» (Т + t )/2.
А О Л,
Предложение 9.38. Для К *¦ К 2 на N суще-
существует такая калибровка, что D = d+A c
Теорема о воротнике 209
'*
В частности,
Доказательство. Так как метрика на Я близка
к цилиндрическое, то ценою малого изменения констант можно поль-
пользоваться этой цилиндрической метрикой. Применяя предложение
9.33 к сфере S3 в точке Т = Тя, мы получаем калибровку, в
которой с учетом оценки распада (9.8) выполняется неравенство
(9.39) '**
Перейдем теперь к трансверсальной калибровке (Ат = 0)на N
(так как на j№ нет фокальных точек, то беспокоиться не о чем).
Тогда, точно так же как в (9.30),
откуда с помощью интегрирования и оценок (9.8), (9.39) сле-
следует требуемое утверждение. Предложение 9.38 доказано.
Следствие 9.40. IIА II А « с,„ъ>.
Заметим, что так как S> ~* 0 при К —*• °°, то для
больших 1С правые части неравенств (9.38) и (9.40) становятся
произвольно малыми.
Доказательство. Достаточно проинтегрировать
неравенство (9.38).
210
Глава 9
СВЯЗНОСТЬ ВОРОТНИКА
Мы закончили описание локализованного инстантона D^. Опре-
Определим теперь на пространстве Q^ad-n) норму, полагая
(9.41)
Напомним, что ]|АЦ , конформно инвариантна на i-формах, а
|| А || „ зависит от метрики; кроме того, в формуле (9.41) мы
используем раздутую метрику <%у На 1Я я N% она достаточно
близка к цилиндрической метрике, и иы будем игнорировать разли-
различие между ними.
тх=-|П<КА)
Сведем вместе полученные результаты о представлении инстанто-
на В%:
(9.42)
на
на Мо.
где
(9.43)
(9.44)
(9.45)
- О,
- и акII -
m A (I <
-о Л я.
х-о
Ibn
0.
Теореиа о воротнике 211
Здесь Ю_~ - основной локализованный инстантон масштаба Л,
перенесенный на нашу раздутую модель, id.- тривиальная связ-
связность в некоторой калибровке. Для ясности мы включили в формулы
(9.42) обозначения калибровочных преобразований. Соотношение
(9.43) следует из сходимости к стандартному инстантону (8.33) и
того факта, что масштабный множитель, появляющийся при переходе
от П" -оценок относительно <^г к оценкам относительно <^3 на
шаре Вк , ограничен числом К. Неравенство (9.44) полу-
получается из оценок (9.38) и (9.40) с учетом предложения 9.4. Соот-
Соотношение (9.45) вытекает из следствия 8.35. _
Теперь мы в состоянии закончить доказательство того, что ЗЬ -
диффеоморфизм._Цусть БА, Ъ'х - такие кривые в JU,, что
&{ЪХ) = ЗЪ{В'Х) = <Л,х> для пробегавших интервал зна-
значений Л и некоторой фиксированной точки 1«М.
Предложение 9.46. Для \ <? A v К >К3 существуют
поднятия D,, D,, разность А которых удовлетворяет уело-
1 ™'" Ал А
-. О
С учетом этого предложения теорема о воротнике будет следо-
следовать из теоремы 7.30.
Доказательство. Соотношения (9.43) - (9.45) в
совокупности с неравенством треугольника гарантируют существо-
существование таких поднятий -D,, Б. и калибровочных преобразова-
преобразований *N, 4Н на #А, Мо, что
Б = Б + А на I ,
ххх х'
(9.47) (ef )*Л)' - D +A* на Я
Л. Л А. А. Л.
(¦кН)*Г)' = Т) + АП на М
А. л. л. л. v
где
212
(9.48)
(9.49)
(9.50)
Глава 9
lim «A1 || =0,
2c.
A-0
К'
Займемся теперь склейкой, взяв за образец предложение 9.33,
но на сей раз не ограничиваясь только экспоненциальными калибров-
калибровками. Мы наметим доказателство лишь для пересечения Г^Л N* .
Прежде всего из соотношений (9.47) следует, что на пересе-
пересечении I П NV имеет место равенство
(9.51)
К*
а (А "А ),
А. л
где мы положили а = з.
можно сделать s (А1* -.
Взяв число К достаточно большим,
) произвольно малым по норме. Кроме
того, связность 1)я является почти плоской на I^fl^,
поэтому равенство (9.51) дает оценку на ds. Далее, поворачи-
поворачивая ? с помощью постоянного элемента из SUB), мы можем
добиться того, что 4 станет тождественным преобразованием где-
нибудь на I х Л U А, не затрагивая оценок. Значит, мала нор-
норма || а || м и мы можем представить 6 в виде
и. *
б = е , точно так же, как в предложении 9.33. Введем сре-
срезающую $yi
и заменим
шейке Я
в соотношении (9.47) на
. Тогда на
Теорема о воротнике 213
и для D на^ I и^Г, согласованным образом определено
поднятие D , задаваемое правилом
на Г ,
на Н .
Так как можно считать абсолютную величину |otcp| ограниченной
и у нас есть оценки нормы ив Lv" (р = А, <*>), то для получен-
полученного поднятия справедливы соотношения вида (9.48) и (9.49).
Повторяя это рассуждение для пересечения N П М.о, находим
глобальную калибровку. Собрав вместе все оценки, мы получаем
предложение 9.46.
Докажем теперь, что слои отображения 55 являются связными
множествами.
Теорема 9.52. Если Я ^ А . и К > К., то
Доказательство. Возьмем число К настолько
большим, чтобы были выполнены условия теоремы 7.30. В резуль-
результате мы получим путь D^ с Т>0 = DA и Б? х = Т>х.
Кроме того, из сходимости к стандартному инстантону (8.'33) на
I и из следствия 8.35 вытекают соотношения
А
lira IIF'-F II , =0,
|'|| , =0.
FF|| ,
Оценка распада (9.8), проинтегрированная по -N\t дает
214
Глава 9
Поэтому из оценки на кривизну, данной в теореме 7.30, следует,
что
^50
К2
и норма ||г4 - ?AIIL8/M-) мала ПРИ ^^J™2 л, скажем
Я « Я g. ' Так как локализованная и нелокализованная кри-
кривизны отличаются в пространстве L почти на 161Е
локалиаобан ная
кривизна F
то путь
ротнике
нелокализованная
кривизна F
х, 0 * t * 1} для больших К остается в во-
Кроме того, disi{x(.Di л), хA)я)) < Л,
Б-(х(Бг)) содержит примерно 4ТС^кратную
содержит примерно
ванные ин
мися кривизнами имеют близкие центры:
поскольку шар* Б-(х(Бг)
L -анергию. Значит, локализованные инстантоны с мало отличающи-
отличающиСледовательно, путь
фе
является коротким. Посколь-
Поскольд, у t А х р.
ку 5S - локальный диффеоморфизм (Ь.18), мы видим, что Б
Итак, ЗЬ - взаимно однозначный локальный диффеоморфизм и,
следовательно, глобальный диффеоморфизм. Этим наконец-то за-
завершается доказательство теоремы 9.1, а вместе с ней я теоремы
Дональдеона.
Глава 10
ТЕХНИНА ФИНТУШЕЛА И СТЕРНА
В конце гл. 2 мы отмечали, что при изучении пространства мо-
модулей автодуальных связностей для G-расслоения над многообра-
многообразием М. на Q и JMi налагаются три топологических условия -
требуется, чтобы форма пересечений оо была положительно опреде-
определенной, первое число Бетти &L обращалось в нуль и группа О-
была трехмерной. При ослаблении любого из этих требований появ-
появляются серьезные трудности. Американские топологи Рональд Финту-
шел и Рональд Стерн показали, что для трудны Q= $0C) » т.е.
для ориентированных трехмерных вещественных векторных расслое-
расслоений, имеет место теорема, отличная от теоремы Дональдсона. Вы-
Вытекающий из нее результат о несглаживаемости справедлив для ком-
компактных ориентированных четырехмерных многообразий с почти любой
конечной фундаментальней группой, зато класс форм пересечений
таких многообразий довольно ограничен. (Теорема Финтушела -
Стерна применима к форме Eg Ф Eg . откуда, как и прежде, сле-
следует существование фальшивого jfc* .) Одно из достоинств их под-
подхода - значительно более простой аналитический аппарат. Посколь-
Поскольку результаты Финтушела и Стерна имеют важное значение для топо-
топологии трехмерных многообразий, мы наложим б этой главе «легкий»
случай их теоремы. Трудности в остальных случаях носят не ана-
аналитический характер, а связаны главным образом с теоретико-чис-
теоретико-числовыми свойствами формы пересечений, но мы дадим достаточно ин-
информации для того, чтобы читатель смог самостоятельно воспол-
восполнить пропущенные детали.
216 Глава 10
ПРОСТРАНСТВО МОДУЛЕЙ ДЛЯ SO (З)-РАССЛОЕНИЙ
Напомним прежде всего некоторые топологические свойства
SO(З)-расслоений (см. приложение Б ). Существуют два ха-
характеристических класса, которые полностью описывают 50C)-
расслоения ?, над компактней ориентированньми четырехмерны-
четырехмерными многообразиями. Этими классами служат второй класс Штифеля -
Уитни гУ2(?,) е Н2(М; Ж2) и первый класс Понтрятина
рАB,) еН*(М;2). Обозначим через t число Понтрягина
¦рЛ ?,) [,Р1~]* Если F - кривизна некоторой связности,
заданной в расслоении ?,, то имеет место формула Чжэня - Вейля
(юл) I я(ОМ -
м
Заметим, что если форма кривизны F автодуальна, то I > 0.
Бели характеристический класс гсг (?,) обращается в нуль, то
?, может быть реализовано как (вещественное) присоединенное
расслоение к SUB)-pac<yioemro rj ив этом случае I = 4-4,
где -& = ~С2(тр[М]. (Следовательно, чтобы получить про-
пространство модулей, которое не происходит из 5иB)-расслоений,
нужно расслоение ^ с. -wAt,) * 0.) Отметим, что
для SO C )-расслоений имеет место изоморфизм ad Ь, s Е,. Пред-
Предположим теперь, что Е, - приводимое (или расщепляющееся) рас-
расслоение. Это означает, что
2, = А Ф е (ортогональная пряная сумма),
где \ - расслоение со структурной группой SOB) = U(i),
т.е. ориентированное вещественное расслоение ранга 2, или, что
то же самое, комплексное линейное расслоение, а е - тривиаль-
тривиальное ориентированное вещественное линейное расслоение. Вспоминая,
что w2 ир - стабильные характеристические классы, вы-
вычислим их для приводимого расслоения ?, (см. [msJ ):
, , 2) 6H
A0.2) 2 2 i 2
С?(АJ-2с2(Л) = cpif* H4(M; Z).
Техника Фиятушела и Стерна 217
Изучим теперь пространство JLL модулей автодуальных связ-
ностей в расслоении ?. Теорема Атьи-Зингера об индексе по-
показывает, что
A0.3) аНтЖ = Zl-b{i-b^l'z).
(Это в точности формула B.29).) Воспользуемся той же схемой,
которая применяется для доказательства теоремы Дональдсона
(см. гл. 2).
Теорема 10.4. Дустъ % - некоторое 5 О C)-расслое-
C)-расслоение над компактным ориентированным четырехмерным многообразием
М. с положительно определенной формой пересечений со и с
•^(М) = 0. Предположим, что I = рДОР^З = 2- Тогда
пространство ЛХ модулей автодуальных связностей в Z, обла-
обладает следующими свойствами.
Г. Пусть т. - половина числа решений уравнений
со(ос.ос) = 2,
A0.5)
oc(mod 2)= W2(?).
Тогда для почти всех метрик на М. в пространстве модулей JLL
еуществуют такие точки р?, р2 рл, что_ JU\{pitpzr..,pJ
является гладким одномерным многообразием.
2. Для почти всех метрик на М существуют такие окрест-
окрестности Ор точек ?., что 0^ представляет собой луч
(т.е. конус C/S1 над точкой).
Ж. Цространство Л1 компактно.
218 Глава 10
Единственное осложнение относится к свойству I и связано
с вычислением числа решений уравнений A0.5) в случае, когда
группа Нг(М;"Ж) имеет кручение. Поэтому мы ввели дополни-
дополнительное условие Н. (М; Z) = 0 (см. (E.D); разобраться
в том, что происходит при Н?(М; Z) Ф 0, предоставляем чита-
читателям в качестве упражнения. Заметим лишь, что точное требова-
требование на Н?(М; Z) заключается в отсутствии 2*-кручения
при г?2. Например, очевидно, что группа Z, не достав-
доставляет хлопот. Здесь, так же как в теореме Дональдсона, рас-
расщепляющимся расслоениям соответствуют особые точки (в данном
случае краевые точки). Некоторая осторожность требуется при
проверке того, какие расщепляющиеся связности Янга - Миллса
эквивалентны относительно действия калибровочных преобразова-
преобразований.
Теперь мы сформулируем тот вариант теоремы Финтушела и
Стерна, который будет доказан подробно.
Теорема 10.6 (Финтушел и Стерн [ш^\ ). Цусть М. -
компактное ориентированное четырехмерное топологическое много-
многообразие с положительно определенной формой пересечений со _и_
Я (М; Ж) = 0. Если существует класс когомологий
ос еН2(М; Z), удовлетворяющий условию со(ос,ос) = 2 и
такой, что oc*j3 + 3r, .где. w (j3, J3) = coCy,^) = *. ip_
многообразие М не сглаживаемо.
В частности, этому условию удовлетворяет форма Eg ® Eg,
и, следовательно, не сглаживаемо многообразие | Ел* ЕЛ.
Однако многие положительно определенные формы пересечений не
принимают значение 2. Например, 24-мерная решетка Лича имеет
минимальные векторы длины 4, и тензорное произведение
? ® . . . ® ? (.6 раз) принимает минимальное значение,
равное 2*. Поэтому сформулированное утверждение не охва-
охватывает всех случаев теоремы Дональдсона. Заметим, что в рабо-
работе Финтушела и Стерна имеется отдельное рассуждение для форм
пересечений с минимальным значением 3. (Одна из трудностей для
больших минимальных значений состоит в том, что пространство
JH перестает быть компактным.)
Докажем теперь теорему 10.6, предполагая, что для простран-
Техника Финтушела и Стерна 219
ства модулей Л1 выполнены свойства X - Ж.
Доказательство теоремы 10.6. Рассмотрим
SOB)-расслоение Л с с1(Л)=ос и соответствующее
SОC)-расслоение ?, = Я Ф е. Тогда для почти любой метрики
на М пространство модулей JH является компактным одномер-
одномерным многообразием с т. краевыми точками, где пъ - половина
числа решений уравнений A0.5). Теорема будет доказана, если
мы установим, что единственными решениями этих уравнений являют-
являются классы когомологий ±ос. В этом случае многообразие JU име-
имело бы всего лишь одну краевую точку, и это противоречило бы его
компактности.
Итак, рассмотрим какое-либо решение уравнений A0.5). Его
можно представить в виде ос + 2р, причем
2 = co(oc + 2j3, oc+2j5) = 2
или
СО (ос, J5) + CU(j3, ]5) = 0.
Но тогда
CU CO(oC + j5, oC + ji) = 2 - CO(J5, p),
откуда следует, что co(j3,j3) ^ 2. Если cu(j5, |i) = 0,
то js = 0, поскольку форма со невырожденна. Если co(j5, J5) =2,
то со(ос+j3, oc +ji) = 0, и на сей раз из невырожденности вн-
текает, что J3 = -ос. Это дает решение ос, - Zoo = -ос, кото-
которое уже упоминалось выше. Наконец, если со(р,]5) =1, то г
со (ос- js, oc-ji) = i, так что ос = ]5 + у с у = ос-р.
Но это запрещено условием теоремы, поэтому т, = 1, как и
требовалось.
ПРИВОДИМЫЕ СВЯЗНОСТИ
Точно так же, как в теореме Дональдсона, из расцеплений <Е, =
220 Глава 10
= А © ? получаются специальные решения уравнений Янга -
Миллса для группы SOC). На расслоении с задана три-
тривиальная, плоская, связность, а на SOB)-расслоении Я -
связность Янга - Миллса (кривизной которой служит умноженная на
i = ( J единственная гармоническая 2-форма J-, пред-
представляющая первый класс Чаэня с (Я)). Поскольку SOB) = UA),
полученные нами в гл.2 результаты о комплексных линейных рас-
расслоениях применимы к Л.
П р е д л о ж е н и е 10.7. Цусть rrv - половина числа
решений уравнений A0.5) и_ ?, - расслоение со структурной
груццой SO(,3), первым числом Донтрягина -С = 2 и заданным
классом Штифеля - Уитни wAt,). Тогда на б, существует
ровно т, расщепляющихся автодуальных связностей (с точностью
до калибровочной эквивалентности).
Напомним, что если TorH CM;Z) = 0, то т. = I (см.
предыдущую теорему).
Доказательство. Расслоение ?, топологически
расщепляется в прямую сумму ^ = Я®е тогда и только тогда,
когда первый класс Чжэня с (А) = ос удовлетворяет уравне-
уравнениям A0.5). Кроме того, описанные выше связности являются
связностями Янга - Миллса на ?,. Поэтому нам нужно лишь
установить, какие связности отождествляются при действии груп-
группы калибровочных преобразований.
Докажем сначала, что связности, отвечающие классам когомо-
логий ос и -ос, калибровочно эквивалентны. Рассмотрим SOB)-
расслоение, соответствующее классу -ос, которое мы обозначим
через -Я. Оно имеет то же подстилающее вещественное рас-
расслоение ранга 2, что и Я, но наделено противоположной ори-
ориентацией. Другими словами, хотя Я и -Я различны как
SOB)-pacanoeHHH, они канонически эквивалентны как ОB)-рас-
слоения, т.е. не ориентированные вещественные расслоения ранга
2; эта эквивалентность задается обращением ориентации. Более
того, эта эквивалентность переводит связности Янга - миллса
в связности Янга - Миллса (в то время как кривизна г.^ пере-
Техника Финтушела и Сгерна 221
ходит в -i-^). Продолжим нашу эквивалентность до отображе-
отображения А © Ь —•¦ (-Л)Фе, обращая ориентацию на тривиальном рас-
расслоении 6. Тогда ориентация всего расслоения 2, сохра-
сохраняется. Следовательно, мы построили автоморфизм S0C^рас-
S0C^расслоений (калибровочное преобразование), переводящее связность,
отвечающую классу ос , в связность, отвечающую классу -о&.
Предположим теперь, что ос{ и ос2 - решения уравнений
A0.5), причем oci Ф ±оС2* Пусть % \® ?, г2
отвечающие им расщепления. Кривизны наших расщепляющихся связ-
ностей Янта - Миллса принимают вид F- = if ¦ и- (^ = i, Z ),
где <f- - однозначно определенная гармоническая форма, пред-
представляющая класс когомологий ос., и и. • - положительно
ориентированное единичное векторное поле на &¦ (с учетом отож-
отождествления ad ^ — ?,). Если две связности калибровочно эк-
эквивалентны, то калибровочно эквивалентны и их кривизны. Но ка-
калибровочные преобразования не влияют на формы f- и всего лишь
поворачивают векторные поля и. внутри ?,. Значит, кривизна
jF' может быть эквивалентной кривизне F2 лишь в том случае,
когда ii = ±{г- Если 1'РУцца Н2(М; И) не содержит кру-
кручения, то ос = -°с2 и мы приходим к предыдущему случаю.
Следовательно, можно считать, что класс когомологий ос +¦ ас
имеет конечный порядок в Н2(М; TL). Если F и F калибро-
калибровочно эквивалентны, то найдется калибровочное преобразование,
переводящее U. в ±U-2 и, стало быть, отображающее орто-
ортогональное дополнение А на ~^2« Отсюда следует, что
Л s ±^-?» что противоречит предположению ос Ф ±сс .
йсачит, если ос. Ф ±оС2, расщепляющиеся связности Янга -
Миллса не могут быть эквивалентными. Предложение 10.7 доказано.
Сформулируем теперь для полноты аналог теоремы 3.1. Заметим,
что группа SOC) не имеет центра; следовательно, в этом слу-
случае не появляется подгруппа Z . Напомним, что SO ^-связ-
^-связность Т) ?-^г называется приводимой (или расщепляющейся), если
!^=А®е и Б = d-^Ф du.
Теорема 10.8. Предположим, что связность D не яв-
ляется плоской. Тогда эквивалентны следующие утветждения:
222 Глава ?0
(а) © — SOB), где & ? & - стационарная подгруппа
связности D;
(b) оператор D: Q (ad ?,) -*¦ Q (ad S,) имеет ненулевое ядро;
(c) связность D приводима;
(d) ©D * i.
Доказательство этой теоремы почти полностью совпадает с дока-
доказательством теоремы 3.1; несколько иначе получается лишь импли-
импликация (b) =s» (с). Отождествим расслоения ad 2, и ?,•
Если Du, = 0 для некоторого u. e Q°(ad %) = Q°(f,), то,
поскольку ot|w.|2= 2(Би.,и)=0, мояно считать, что |и,| = 1.
Определим расслоение ? как ядро и, (в adf, оно отождеств-
отождествляется с подрасслоением R • и.). Ортогональным дополнением ?
к расслоению ? служит Я, и стационарная подгруппа ®ъ имеет
вид
©D = S0B) = {e : CU 0S2
Bc§ остальное как в теореме 3.1.
i
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ДЕТАЖ
Хотя теоремы трансверсальности (гл. 3 и 4) были получены
нами только для 317B)-расслоений, все шаги доказательств
дословно переносятся, на ЗОC)-расслоения. Центральным моментом
в обеих теоремах трансверсальности является доказательство того,
что двумерные группы когомологий эллиптического комплекса
обращаются в нуль для почти всех метрик. Полностью повторяется
доказательство того, что нетривиальные нульмерные когомологий
соответствуют геометрическим расщеплениям расслоения. Одним
словом, чтобы получить теоремы трансверсальности для SOC)-
расслоений, достаточно сослаться на теоремы 3.17, 4.9 и 4.19.
Заметим, что две последние теоремы, устанавливающие существо-
Техника Финтушела и Стерна 223
вание неприводимых связностей в окрестности каждой приводимой
связности, основываются на теореме о неявной функции.
Теорема компактности для SO C)-расслоений несколько отли-
отличается от соответствующей теоремы для ЗиB)-расслоений, поэто-
поэтому мы дадим краткий набросок ее доказательства.
Теорема 10.9. Цустъ Н, - некоторое S О C)-расслоение
с_ I = -р (Е,)[\мЗ * 3. Тогда пространство модулей автодуаль-
автодуальных связностей компактно.
Доказательство. Пусть Ю • - последовательность
автодуальных связностей. Если
max | F_ | (х ) « В ,
то по теореме 8.8 в {рЛ найдется подпоследовательность,
калибровочно эквивалентная сходящейся последовательности связ-
связностей; стало быть, в пространстве модулей сходится последова-
последовательность точек, представляющих связности Ю•. Поэтому пред-
предположим, что
max |F |(x) -*• "о.
Тогда из доказательства теоремы 8.31 вытекает существование
таких точек х^еМ и последовательности Я. —- 0, что
е*. л (Б-) —- 1К, где I - нетривиальная автодуаль-
автодуальная 'з'СКЗ^-связяость на К4, ограниченная на шар радиуса К.
Снова можно показать, что 1К продолжается до ЗОC)-связности
I на сфере S , а так как Н (S ; Z) = 0, то I подни-
поднимается до ЗиB)-связности. Согласно формуле Чжэня - Вейля
A0.1),
Но для больших значений К
224 Глава 10
w2 -4
где -k - топологический заряд связности Г. Так как -L * .3,
то -к = 0. Следовательно, jFI = 0 и раздутие не может
иметь места. Таким образом, пространство модулей компактно, что
и требовалось доказать.
ПРИЛОЖЕНИЯ
А. ГРУППА СОБОЛЕВСКИХ
КАЛИБРОВОЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
В гл. 3 и 5 мы сформулировали несколько технических утвержде-
ний о действии группы &. соболевских калибровочных преобразо-
преобразований. Техника, необходимая для доказательства этих утверждений,
была описана в гл. 6; она основана на теоремах вложения Соболева,
мультипликативных свойствах соболевских пространств, лемме о
композиции. Здесь мы дадим доказательства.
Напомним, что если Е, - векторное расслоение над компактной
М I!(?L)
областью М, то через I/!(?L,) обозначается банахово простран-
пространство сечений ?,, производные которых порядка «-& лежат в L .
Если р = 2, то Н.(^) = Lf(?,) является гильбертовым
пространством. Пространства Е-^С^) сепарабельны при всех
I з -р < оо и содержат С°°(%) в качестве плотного под-
подпространства. Они рефлексивны при I < р < °°. Основные
свойства этих пространств перечислены в гл. 6 (утверждения 6.30-
6.34).
Определим еще раз наши основные объекты: грушу соболевских
калибровочных преобразований &^ и соболевское пространство
связностей &. ,. Отметим, что группа &t требует специаль-
специального определения, поскольку калибровочные преобразования являют-
являются сечениями расслоения со слоями - группами Ли. Итак,
& = {з е Я (End rf): 3*5 - i почти всюду} sH (End rj),
(A.I) ?2*
Фиксируем гладкое многообразие М размерности 4.
Предложение А»2. Для любого I > 2 группа &. =
К. (Aui ту) является гильбертовой группой Ли с алгеброй
Приложения
Ли Н (ad ту).
Доказательство. Опишем вначале экспоненциаль-
экспоненциальное отображение Ехр, с помощью которого ®^ наделяется
структурой гильбертова многообразия. В точке з s ©, это отоб-
отображение действует на сечение и, е H-(ad^) по формуле
Это определение имеет смысл, поскольку 3(jc), и, (ж) и
3"(х) = (Ехраи,)(х) непрерывны и з*(оь)б(х) = I для всех да.
Гладкость отображения Ехр следует из леммы о композиции, при-
примененной к гладкому отображению ехр и к I раз дифференци-
дифференцируемым сечениям 3 eKAAui 17) s Н (End rj), и е H.(ad 77).
Чтобы показать, что мы имеем гладкое многообразие, нужно про-
проверить, что композиция Ехр, ° Ехр5 является гладким и
обратимым отображением в открытом диске из H.(a.d.'n) для всех Ь,
достаточно близких к 5 . Из определения следует, что
По лемме о композиции это отображение является гладким для всех
пар < t, ll), пробегающих открытое множество в & хНЛа.6 v).
Положим б = р/3, где р - радиус инъективности груп-
группы SUC2); тогда обратное отображение Ехр" ° Ехр, для
Ехр ° Ехр корректно определено на множестве
Поскольку топология пространства Н. сильнее С -топологии,
мы получаем гладкие фукнции перехода для всех точек i e <35,
достаточно близких к 5. Здесь мы пользуемся Соболевским
вложением К. ^ С0, которое имеет место для четырехмерного
многообразия при всех t > 2.
Гладкость групповых операций доказывается аналогично. Про-
Пространство Н. является алгеброй, поэтому умножение
Приложения
227
определяет билинейное отображение
которое ограничивается на Н (Aui 77) =&.. Подобным же обра-
образом, операция обращения представляет собой ограничение на &.
линейного отображения б ^i* в К.(End ту).
Группа E5 обладает некоторыми из перечисленных свойств.
Однако из-за того, что пространство Н не вкладывается в С°,
она не является многообразием. Поэтому для & теряет смысл
понятие гладкости и при обращении с ней требуется величайшая
осторожность.
Предложение А.З. Пусть I > В. Тогда группа &
гладко действует на dc .
Доказательство. Напомним, что
для некоторой фиксированной связности DQ e dr. Если
Ю = Ъо +А - произвольная связность, то
и поэтому действие группы ©, может быть представлено в виде
(а, А) *+ а"*1H*+б
Отображение б *-** 6~i является гладким в ©., а 5 ^-
гладкое отображение из &. в Q^CEndTf)^. Кроме того,
Н. является Н.-модулем. Предложение А.З доказано.
228 Приложения
Предложение А.4. Оператор кривизны
является гладким отображением для всех I >2.
Доказательство. Пусть, как и выше, D
где DQ e dr и AeQ *(acf rj) Тогда
FCDQ+A)
Ясно, что отображение
задаваемое правилом А >-*¦ D.А, линейно и, значит, гладко.
Кроме того, гладко F(I>0). Поэтому остается исследовать квад-
квадратичный член А *-* А л А. С этой целью воспользуемся тео-
теоремой умножения Соболева. Если I > д, то пространство Н^
является алгеброй, и мы получаем, что отображение А '-"АлА
переводит H^_i в Н^ с Н^_?. Для 4=3 из теорем 6.32
и 6.34 следует, что в размерности четыре Н <= L"' и
L*® L^ с L*. Предложение А.4 доказано.
Восстановим теперь пропущенную часть доказательства того,
что пространство орбит 5Е является хаусдорфовым.
Л/ "* X
Предложение А.5. Предположим, что б' = Л* (!>„,),
Более того, если последовательности Ю^ _и_ 1)^ сходятся в
<&, ., то найдется подпоследовательность л ,, сходящаяся
&
Доказательство. Включение *ае ©^ будет до-
доказано, если мы сумеем оценить норму бп в НЛЕпсИтуУ. С
этой целью представим D' и Ю в виде J)' = Ъ + А' . D =
П. П. п. п.' Пг
Приложения 229
•=D + А^. Тогда
ЕЛИ
Заметим, что 5^e H.(End тр Л L°°(Enol -q), поэтому послед-
последнее равенство имеет смысл. Поскольку преобразование 4№ почти
всюду унитарно и его нормой является следовая норма, мы имеем
(А.7) el/eJ« iDaJ^lA^J + KA'J-
-|AJ+|A'J.
По теореме Соболева Ал и Ап ограничены в L для
I- i I 1
—т—-ja" + ~z > 0. Пусть р - произвольное число,
4 « р * оо. Тогда 1M^ ограничено в L и ба огра-
ограничено в L ..
Вернемся к равенству (А.6). Применяя теорему Соболева, мы
получаем, что А' и А „ ограничены в L . , поскольку
—г z+~b 9 ^* если 1ъЪ. Воспользуемся теперь
теоремой умножения, замечая на сей раз, что L является
L*-алгеброй, поскольку р > 4 = cfimM. Отсюда следует
ограниченность преобразования 2>з„, в L. и, значит,
«а е La. аце раз обратимся к (А.6) и воспользуемся тем, что
ЕД с L^_, является L -алгеброй, поскольку 2-4>
> dim M =4. В результате находим, что Ds^ ограни-
ограничено в LZZ и бл ограничено в L*.
При 1=5 все сделано. В противном случае применим ин-
индукцию. Предположим, что преобразование з^ ограничено в L^
для -& < -^. Тогда А л и Аа также ограничены в L* = L|
Так как L^ является алгеброй при -4 > 2 , то преобразова-
преобразование Бал ограничено в L^, а 5^ ограничено в L^+.. Про-
Продолжая этот процесс, мы докажем ограниченность 3^ в L..
230 Приложения
Выберем теперь в I? (End ту) слабо сходящуюся подпоследова-
подпоследовательность б ,. Используя строгое неравенство в теореме
Соболева, находим, что бп, сходится в L! для 2 < ср < 4.
Но отображение L^® Lz — Lz непрерывно, поскольку
<^{Z-l) > 2с? >4. Следовательно, Ds^, сходится в ЕЛ и,
значит, бл, сходится в L^. Так как группа © замкнута
в H^(Endr^), то предел 5 последовательности ал, лежит
в &.. Предложение А.5 доказано.
Напомним, теперь, что группа © действует на пространстве
сечений ?2 (ad r>) по правилу
(А.8) (з,Ф) * *
.Предложение А.9. Груцца &. гладко действует на
*(lL для -I* kl 1Z
Доказательство. Нам нужно показать, что отобра-
отображение
задаваемое формулой (А.8), является гладким. Это очевидно для
¦к. > 0, поскольку тогда пространство Н^ наделяется структу-
структурой Н.-алгебры при •&<•?, 2 < I. Для А<0 воспользуемся
дуальным пространством Q^Cadri) — (Q 1(ad r^) )*. Требуемый
результат следует теперь из того, что преобразование з ли-
линейно по Ф и оамооопряженно.
Следствие А.10. Пусть отображение
задано формулой
L(D,A) = D*A® PDA.
Тогда L эквивариантно относительно действия группы ©».
Приложения 231
Кроме того, L(D, О является фредгольмовым отображением для
всех Bei
С 1
В. КОНСТРУКЦИЯ ПОНТРЯГИНА—ТОМА
В этом приложении мы дадим новое, геометрическое, доказатель-
доказательство утверждения 5.13.
Теорема B.I. Дусть М - компактное ориентированное
четырехмерное многообразие с Н СМ) = 0. Тогда
О, если со нечетна.
Как обычно, символом со обозначается форма пересечений
многообразия М . Доказательство теоремы B.I основано на гео-
геометрическом описании множества [M,S't^ в любой размерности.
Временно обозначим через М. произвольное компактное мно-
многообразие. Назовем два компактных подмногообразия М, К' ко-
бордантными в М, если существует такое компактное подмного-
подмногообразие Z ^М^О, {], что
3Z = N*{0} U N'"{1}.
Кобордизм является отношением эквивалентности на множестве
компактных подмногообразий из Н. Множитель [0, 1} в произ-
произведении М * [0, i] можно трактовать как время, в течение
которого кобордизм Z преобразует подмногообразие N в N'.
Существует много различных структурированных вариантов понятия
кобордизма; нашим целям отвечает так называемый оснащенный ко-
кобордизм. Оснащением подмногообразия К называется базис х>
гладких сечений нормального расслоения ^№с, подмногообра-
подмногообразия Я в М . Два оснащенных подмногообразия N, Nr назы-
называются оснащенно кобордантными, если существует кобордизм Z
вместе с оснащением х> нормального расслоения v
ограничения которого на М * ?0} и М * [ 1} соотаетствен-
но совпадают с ©^ и х> ,.
232
Приложения
f=0
t=i
Оснащенный кобордизм также является отношением эквивалентности;
для него имеется простое гомотопическое описание.
Теорема В.2 (Понтрягин - Том). Классы эквивалентности
оснащенных подмногообразий коразмерности п. находятся во
взаимно однозначном соответствии с элементами множества [M,S'tJ.
Доказательство этой теоремы можно найти в \у&\ ; поэтому
мы ограничимся лишь построением указанного в ней соответствия.
Пусть f: М. -*• -S - некоторое гладкое отображение и ^- е S -
его регулярное значение. Тогда If = f ty) является гладким под-
подмногообразием в М. и для каждой точки х е К дифференциал
оЦж изоморфно отображает нормальное пространство
на ^и.^** Поэт°вУ» фиксируя оснащение О„ в точке
мы получим оснащение подмногообразия Я:
Обратно, оснащенное нормальное расслоение к оснащенному под-
подмногообразию К может быть реализовано в виде тривиальной
трубчатой окрестности
оснащение пространства
IR*? M., для которой стандартное
К индуцирует оснащение О
.,.
Приложения
Используя срезаицуго функцию р вида
233
можно продолжить проекцию 1С: N*
Jt: Л —•¦ 5г, задаваемого правилом
до отображения
f(x)
¦, если х
если х
оЛ
где сфера S * отождествляется с R'I'\J{?°} при помощи стерео-
стереографической проекции. Гомотопический класс \jf] s [M.S^J одно-
однозначно определяется классом бордизма <Jf, *>№).
Для разминки рассмотрим случай dim. M = ъ. Тогда подмного-
подмногообразие коразмерности п, - это просто конечный набор точек,
а оснащение х>х в точке х е М. - выбор базиса в каса-
касательном пространстве ТжМ. Если многообразие М ориенти-
ориентировано, т.е. обращается в нуль его первый класс Штифеля - Уитни
¦иг.(М), припишем знак +{ точке х в случав, когда ба-
базис Х>х ориентирован положительно, и -1 в случае, когда
он ориентирован отрицательно. Но объединение Я= <x, + i>U<x',-i>
оснащенно кобордантно нулю:
234
Приложения
Поэтому, суммируя ориентации, мы легко получаем из (В.2), что
[М, S^j — Z, причем изоморфизм задается степенью отображе-
отображения. Предположим теперь, что М неориентируемо, и пусть S C*-JM-
окружность, для которой ограничение Л Т*М| < представляет
собой лист Мёбиуса. Тогда, обходя вокруг этого листа Мёбиуса,
мы -получим оснащенный кобордизм между +1 и - i. В этом
случае [M
степенью.
и изоморфизм задается неориентированной
0<К1
t=i
Вычислим теперь [М, S J для компактного ориентированного
четырехмерного многообразия М с Н (М) = 0. Согласно теоре-
теореме В.2, [М, S33 отождествляется с множеством оснащенных одно-
одномерных многообразий, рассматриваемых с точностью до оснащенного
кобордизма. Если игнорировать оснащение, то любое компактное
одномерное многообразие (являющееся объединением окружностей)
кобордантно нулю, поскольку Н1(М) = 0. Так как нормальное
расслоение ^gi^^ тривиально, то функция перехода для ка-
каких-либо двух оснащений К>„± и х> t определяет отображение
Приложения 235
51 -*¦ SO C). Пусть JST. JN"' — две оснащенные окружности в мно-
многообразии М. Тогда оснащенный кобордизм Z между Я и N
определяет гомотояию 5Ph-~^jj7) и обратно, гомотопия ^г^^ц'
задает оснащенный кобордизм. Итак, если Z - неоснащенный ко-
кобордизм между JST и К , то легко видеть, что расслоение
\) , . тривиально и, значит, мы можем продолжить
оснащение ' N на все многообразие Z. Это продолженное
оснащение ограничивается до нового оснащения подмногообразия
W, и, как было показано, любая оснащенная окружность осна-
щенно кобордантна оснащению N. Оснащенные кобордизмн между
различными оснащениями J>T - это в точности отображения
N* [0, {] — SOC), т.е. гомотопии петель в SOC.). Сле-
Следовательно, множество [М, S32 есть самое большее fiCl(.SO(,S))='Ze.
Если форма пересечений со многообразия И нечетна, то суще-
существует ориентированная поверхность Е s M, эйлеров класс ко-
которой
X(ELd2 е Н (Н> ЪЛЗО(З))) = Н2(М; 2Z )
mOu л, 1 ' 2
не равен нулю (см. гл. I). Тогда по аналогии с указанным выше
кобордизмом в форме листа Мёбиуса построим оснащенный кобор-
кобордизм между оснащениями х>, Х>' с ненулевой разностью,заста-
разностью,заставив Е цоглотить х> и выделить
о':
236 Приложения
Очевидно, что в этом случав []М,?3[] = 0. Если же форма со
четна, то такой кобордизм невозможен. В обоих случаях оснащен-
оснащенные одномерные'многообразия, состоящие из некоторого числа
оснащенных окружностей, оснащение» кобордантны единственной
оснащенной окружности и требуемый кобордизм имеет форму «пары
штанов»:
Тем самым теорема B.I полностью доказана.
С. ФОРМУЛЫ ВЕЙТЦЕНБЁКА'
Формулы ВеЗтценбёка можно получить инвариантным образом,
рассматривая расслоение реперов. При таком геометрическом под-
подходе основной акцент делается на ЗОD)-симметрию, а фор-
формулы F.24) - F.26) с точностью до числовых коэффициентов не-
непосредственно следуют из теории представлений. Чтобы не услож-
усложнять изложение, мы не станем вводить оператор Дирака, хотя
разложениям ВеЗтценбёка соответствуют модули Клиффорда ?absJ
и, следовательно, операторы Дирака. Геометрический вывод фор-
формул Вейтценбёка дан в ?ahs3 , CPaD ; другой подход мож-
можно найти в Твои].
Начнем с некоторых общих соображений о дифференциальных опе-
операторах на римановых многообразиях. Обозначим через SOCM)глав-
SOCM)главное SOCrO-расслоение реперов ориентированного п.-мерного
римаиова многообразия М. На расслоении SO(H) имеется
каноническое зо(п.)*-значное вертикальное векторное поле
Приложения 237
(т.е. вертикальное векторное поле для каждого элемента из
so (гс.)), в котором закодирована структура главного рас-
расслоения, и каноническая 11?а-значная I-форма, которая задает
координаты касательных векторов. Связность Леви-Чивита - это
50(п.)-значная 1-форма 0, определящая проекцию на
вертикальное касательное пространство. Существует двойствен-
двойственный подход, который лучше приспособлен для описания дифферен-
дифференциальных операторов. А именно, связность Леви-Чивита определяет
горизонтальное IR ""-значное векторное поле 3. Представим
это поле в виде 3 = е ® 3., где (е ] - стандартный базис
пространства [R л*; тогда 3. (^) является горизонтальным
поднятием -&-го элемента репера ^ е SO(M). Формулы
(C.I)
описывают, как изменяются векторное поле 9 и 1-форма ©
при правом сдвиге в слое на элемент aeSO(ft), т.е. выра-
выражают вОСпО-симметрию. Риманова кривизна 51, представлен
ная на ^SO(M) инвариантным отображением 61: SO (И) —-
—¦ A fRa*®so(n,), определяется формулой
(С2) 51=-©([Э, Э]),
где [9, 3] = е*л ег® [Э^, dj.
Указанный формализм переносится на G-расслоения Р с
заданными на них связностями (такие связности естественно
назвать внешними). В частности, ортогональное представление
238 Приложения
р: SO(n,)xG- —"" Аи-Ь(У) определяет ассоциированное
векторное расслоение V= {SO{M)*P) *еУ со связностью
3, кривизна которой имеет вид
(СЗ) -р©([Э, Э]).
Здесь р: so (гг) х С{ -*" End (V) - представление алгебр Ли, ин-
индуцированное гомоморфизмом р. Если р - произведение
представлений, то кривизна (С.З) расщепляется (в слегка упро-
упрощенных обозначениях) в сумму 31 + F внутренней и внешней кри-
кривизн.
Эквивариантное SO (п-)-отображение
A: SO CM) — Horn (К**, HomOr.Yp)
определяв* дифференциальный оператор первого порядка А(9)^=
= А(е Kjl- Этот оператор отображает сечения расслоения У,
в сечения расслоения V& по следующему правилу: если <|>:
SO(M) -•" V^ - сечение расслоения V , то АC) с|> =
= А(е*)C^ср): SO(JM) ~* У& ~ сечение расслоения У
Отображение А является символом оператора АC). Сопряжен-
Сопряженный оператор АСЗ*) имеет символ А*(е) = -А(е)*; знак
минус возникает при интегрировании по частям. Последователь-
Последовательность символов первого порядка
(С4)
называется эллиптическим комплексом, если она точна для каж-
каждого ненулевого вектора е е IR ""*.
Рассмотрим прямые суммы У = Фу^, A = ®Ai к опре-
делии отображение L(e, е')-. V —*У, полагая
(С.5) LCe,e') =-
Приложения 239
С эллиптическим комплексом (С.4) ассоциирован лапласиан
L Cг) = L (е , е ) Э^ 3^, символом которого служит симметри-
симметрическая часть L. Простейший лапласиан V*V —~YL Э^Э* отве-
отвечает двучленному комплексу
(С.6) V ^
и определен для произвольного векторного пространства V" (см.
F.23)). Предположим, что
L(e,e)=-||e||2,
т.е. символы комплексов (С.4) и (С.6) согласованы (в этом
случае отображение е'-*¦ А(е)-А(е)* индуцирует на V структуру
модуля Клиффорда). Тогда имеет место формула Вейтценбёка, свя-
связывающая операторы на комплексах (С.4) и (С.6):
(С.7) L(9J) = L(e*,e(K^ =
= V*V-
где р - представление в пространство V. Добавочным членом
в указанной формуле служит самосопряженный оператор нулевого
порядка, зависящий лишь от кривизны. Из формул преобразования
(C.I) и 50(п/)-эквивариаятности отображения А следует, что
корректирующий член в формуле (С.7) также БОС^-эквивариантен.
Это позволяет получить его явный вид методами теории групп.
Алгебраической версией нашего основного комплекса F.22)
служит последовательность символов
(С.8) 0— A0R**»adlW1±isi~A*R4*«aci1W —
V3-Pe»id A2|R4*®aclW-~ 0,
240 Прило»ения
где е - оператор внешнего умножения. Обозначая внутреннее
умножение через t, находим, что символами ассоциированных
лапласианов являются симметрические части линейных операторов
(С.9)
2
а добавочный член в формуле @.7) разлагается в сумму
(CIO)
где {е.} - базис в 0?*, двойственный базису { е"^}. Так
как ?R(e^,ep = Lo(e*,e4)=OHa К4 для ^<-?, то для L
(Ю) б Эо доказывает формулу
,e
как ?R(e^,ep Lo(,)
выражение (СЮ) обращается в нуль. Это доказывает формулу
F.24). Короткое вычисление показывает, что 1^(сс) не обра-
обращается в нуль только для автодуальных ос, a L2(p) не обра-
обращается в нуль лишь для антиавтодуальных р. Опустим на вре-
время пространство W в последовательности (С8). Тогда имеют
место SO D )-эквивариантнне линейные отображения
w л+ -
2 14.
В неприводимом разложении каждого из представлений Л ® Л ® Л
и А_®Л_®Л_, вычисленном с помощью весовой диаграммы
для SO D) = so C) Ф 50C):
л1
So1
д+ &i
Приложения 241
имеется лишь одномерная тривиальная часть. Следовательно, с точ-
точностью до скалярного множителя отображения hi и ~L_,Z должны сов-
совпадать соответственно с отображениями F.27) и F.28). Далее,
присоединенное представление a.<L W является скобкой Ли. Это
дает (с точностью до множителя) члены, содержащие внешнюю кривиз-
кривизну, в F.25) и F.26). Для того чтобы вычислить члены с внутрен-
внутренней кривизной, мы исследуем первое слагаемое в сумме (СЮ). За-
Заметим прежде всего, что кривизна входит в него линейно. Кроме то-
того, так как
.1 . i.
есть эквивариантное линейное отображение Л —*• /\ , то из
разложения римановой кривизны
ffl, =* ~]/\Г ф "V/ ® Rit © R.
вытекает, что это отображение является линейной комбинацией
и R. . Подобным образом,
AZ AZ
представляет собой эквивариантное отображение Л_—*У\_? ко-
которое должно быть поэтому линейной комбинацией \\/~ и R . Это
рассуждение дает формулы F.25) и F.26) с точностью до числовых
коэффициентов.
Чтобы показать, какие выкладки приходится делать при избран-
избранном нами подходе, вычислим члены с внутренней кривизной в
F.26), предоставляя более простое вычисление внешней кривизны,
а также вычисление добавочного члена в F.25) читателю. Можно
вывести требуемые формулы непосредственно из (С.9). Вместо это-
этого мы заново получим выражение (С.7), проводя вычисления в под-
подвижном репере. Точно такие же вычисления можно проделать в
геодезических нормальных координатах. (Альтернативный подход
заключается в вычислении характерных примеров, из которых на-
находятся требуемые коэффициенты.) Пусть в1, 9Z, 03,вл - подвижный
репер, формы связности относительно которого обращаются в нуль
в точке приложения. Обозначим через X , X , X , Х4 двой-
двойственный репер касательного пространства. Тогда в выбранной
точке
242 Приложения
d=
и поэтому
Здесь ?R.(-,-) - риманова кривизна, рассматриваемая как эндо-
эндоморфизм касательного расслоения. Используя тот факт, что с(д )
и ь@ ) антикоммутируют при -к Ф -t, и записывая кривизну
в координатах
&= Е к" е*лв*.
мы получаем общую формулу Вейтценбёка для дифференциальных
форм:
(СП) cLcL*+ d*d= 7*7+u(e*)tC9*)K* ..
AC
Разумеется, в (СИ) по дважды повторяющимся индексам -k и I
ведется суммирование.
Вычислим теперь действие добавочного члена на 2-форме
б*л Q . Напомним презде всего, что кривизна Риччи опре-
определяется формулой
а скалярная кривизна - формулой
Приложения 243
к-
Для удобства опустим все индексы. Тогда кривизна Вейля задается
формулой
Для римановой кривизны выполняются соотношения симметрии
R Цк1 =
ж тождество Бьянки
Наконец, полагая дч =¦ д^лв и сушшруя по всем индексам,
за исключением а. и -ё, находим, что
-6m.-ft«.
сел ©-fc кигао
oc-fe ^4 •кт.а.-Ь
л т.* та. л-б -ft»
244 Приложения
•fem-oto
Кривизна Вейля W, рассматриваемая как эндоморфизм касатель-
касательного расслоения, записывается в координатном виде подобно полной
римановой кривизне:
-" е*ле*.
Поэтому на 2-формах
(С.12)
Предположим теперь, что со_ - некоторая антиавтодуальная
2-форма. Тогда
(dci* + dL*d)oo = -
Поэтому на антиавтодуальных 2-формах соотношение (С.12) выгля-
выглядит следующим образом:
о
Приложения 245
D. УСТРАНЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ
Использование в гл. 7 раздутия многообразия позволяет по-
получить новое, очень простое доказательство теоремы об устране-
устранении особенностей, применимое также и к неавтодуальннм реше-
решениям. Мн рассматриваем локальное решение уравнении Янга -
Миллса в открытом шаре В4 с некоторой (необязательно плоской)
метрикой.
Теорема D.1. Пусть связность D = cl+A является
решением уравнений Янга - Миллса в проколотом шаре В 4 \ {0},
причем
в*
и_ А е L j (В \{Р})- Тогда D калибровочно эквивалент-
эквивалентна связности Ю, которая продолжается до гладкой связности на
всем шаре БА.
Здесь А е L* Ьс(В4\?0}) означает, что срА е Lj(B*\?O})
для любой гладкой функции ср с компактным носителем.
Прежде воего продеформирувм конформно метрику так, чтобы
она стада приближенно цилиндрической, как в гл. 7. Поскольку
уравнения Янга - миллса и норма в пространстве L2 конформно
инвариантны, такая деформация ничего не меняет. Рассмотрим те-
теперь цилиндр {fCQ < t} и положим F = -F1.
I е м м a d.1. lim |F(f,0)| = 0.
t—oa
Доказательство. Очевидно, что
lim \ \F(i,9)\2= 0.
Рассмотрим шары Bg, на которых j lFCy.)| ct^.<e, где
число е зависит от геометрии, но в^н&йгем контексте может
быть фиксировано, поскольку геометрия цилиндра однородна. Для
246 Приложения
таких шаров имеет место теорема регулярности, утверждавдая, что
если disi{tyo,U.) < б/Z . Это неравенство является обобще-
обобщением теоремы регулярности 8.3, которая была доказана в гл. 8
для полных уравнений Янга - Миллса.
Если число ТГ достаточно велико, то ^ |F(f, f?)|2 < e и,
значит, можно выбрать равномерно ограниченную последователь-
последовательность шаров. Следовательно,
I 2 — о.
Лемма D. 2. Для любого у < "^ можно найти такое
число Т, что при всех Ti'T имеет место неравенство
JF(TT, 0)| * max
Доказательство. Мы просто повторим часть до-
доказательства теоремы 9.8, в которой выводятся опенки распада.
Выберем ч: так, чтобы метрика была близка к цилиндрической и
чтобы |Fi(T,0) было малым при т: » <т. Тогда из формул
Вейтценбёка следует, что при т»*!, у <2 справедливо
неравенство
Применяя принцип максимума 7.10, находим, что при т * ТГ
^ Т , у < У^" имеет место оценка
(D.3) |F(T, e)|
0)|er
Устремив ^^ к бесконечности, полутаем утверждение леммы.
Приложения
Теперь обратимся к нашей конструкции экспоненциальной ка-
калибровки в шейке инстантона. Мы опять можем устремить Т к бес-
бесконечности и получить калибровку на всей области "Тг i 'Г.
Лемма V.4-. Если число 'Х достаточно велико, то в
области {fl * <г_} существует калибровка, в которой Ъ = d+A,
где
у ОТ - Т )
|А(т,9)|«с-е
См. доказательство леммы 9.38.
Наконец, перенесем все полученные оценки в шар. Неравенства
(D.-З) и (D.4-) принимают вид
Это означает, что A«L и кривизна F ограничена в L
2) П 82 й
при -р <^-/B-j). Поэтому из леммы 8.2, распространенной на
пространства L , р > 2, следует существование калибровки
Кулона. Другими словами, А калибровочно эквивалентен потен-
потенциалу А = a^cta +бчАб с d*A = 0, As L^(B4).
(Можно показать, что при р > 2 задающее эквивалентность калиб-
калибровочное преобразование непрерывно.) Следовательно, система
ct*A = 0,
* = 0
может быть преобразована в эллиптическое уравнение
ДА + члены меньших порядков = 0.
Регулярность доказывается точно так же, как в предложении 8.3,
248 Приложения
и сумма d +А задает требуемое продолжение.
Е-ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Чтобы не отклоняться от главной темы, кое-где в основном
тексте книги мы опустили топологические доказательства. Здесь
мы воспользуемся случаем и восстановим некоторые детали этих
доказательств. Для специалистов они представляют собой неслож-
несложные упражнения, а читателям, не изучавший топологию, помогут
получить представление об используемых идеях и методах.
Прежде всего у читателя могло вызвать удавление наше опре-
определение формы пересечений. Обычно форма пересечений задается
на группе Н2(.М; Ж) по модулю кручения, в то время как мы
определяем ее на всей Н2(М; Ж). Этому есть простое
объяснение:
Предложение E.I. Предположим, что Н^(М; Z) = 0.
Тогда группа Н2(М; Z) не имеет кручения.
Доказательство. По теореме об универсальных
коэффициентах для когомологий имеем
Н2СМ; %) =Hom(H2CM;Z), Z) © ExiCH^CM; Z), Z).
Так как Н^(М; Z) = 0, то
Н2СМ; %) = Hom(H2CM; TL), Ю,
откуда Тог Н2СМ; Ж) = 0.
Если же группа Н (M;Z) содержит элемент конечного по-
порядка ос, скажем такой, что пос = 0, то для любого
^бН2(М;2) имеет место равенство п,(о& ^/ ji) = пос \->р =0.
Но в группе Н4(.М; TL') нет элементов конечног.0 порядка;
следовательно, ocv_yj3 =0. Это показывает, что ядро били-
билинейной формы
Приложения 249
ОС®
содержит подгруппу TorH CM; TL). Из двойственности ^ганка-
2
ре над (Q, утверждающей, что отображение
-* Q невырожденно, вытекает, что это ядро есть в точ-
точности Tor H2(jM; TL). Следовательно, индуцированная форма
пересечений
со: Н2(М; Z)/TorH2(W;Z)®H2(M;Z)/TorH2(H;Z) — Z
невьфожденна.
Остальные наши замечания менее тривиальны; для них нам по-
понадобятся понятия классифицируццего пространства и простран-
пространства Эйленберга - Маклейна» (Подробно этот материал изложен в
книгах [вт] , ?н] , [sp] и [ste].) В курсах топологии дока-
доказывается, что для любой топологической группы & существует
стягиваемое пространство EG, на котором свободно действует
Ст. При довольно слабых ограничениях на G-, которые выпол-
выполняются, например, для всех групп Ли, EG- является клеточным
пространством, определенным однозначно с точностью до гомото-
пии ? мч-3. Факторпространство BG = EG/G называется клас-
классифицирующим пространством, а расслоение G -•* EG -* B& -
универсальным расслоением.
Примеры
1. G = И. Группа TL свободно действует на прямой R
сдвигами, а прямая 1R стягиваема. Поэтому Sl = IRfZ и есть
классифщирующее пространство BZ группы 7L.
2. G = U(i). В этом случае классифицирующее простран-
пространство бесконечномерно, что является типичной ситуацией. Про-
Пространство BUA) может быть получено следующим образом. То-
Тотальное пространство 17A)-расслоения
250 Приложения
- (ПР*
2&-свяэно, поэтому при возрастании -& сфера S ал-
проксимкрует стягиваемое пространство. Образуем башни про-
пространств
(Е.2)
СР с (DP с СР с ...
относительно естественных вложении. Для этих башен можно опре-
определить предельные клеточные пространства, которые обозначаются
соответственно через S°° и (ГР°°. Пространство 5°" стя-
стягиваемо, поэтому
ХГA) —• &°° -* <СР°°
есть универсальное расслоение, откуда следует, что BU(l)mCIPee
Имеется альтернативная конструкция для BU(i). Пусть ^6С
комплексное сепарабельное бесконечномерное гильбертово про-
пространство, S°°с <&- - единичная сфера в 26.» и СР°°г
«РСЗбд.) -ее проективизация. Эти пространства отождеств-
отождествляются с пределами последовательностей (Е.2).
3. & — SUB). Чтобы получить классифицирующее простран-
пространство, нужно всего лишь заменить в предыдущем примере комплекс-
комплексные числа кватернионами. Таким образом, рассматриваются башни
_,* „И -.15 _«»
IHIP* «= [HP2=iHP3<= ...<= 1НР°°.
Тогда универсальное расслоение имеет вид
SUB) — S°° — ~
Приложения 25?
а классифицирующим пространством является BSUB) =
Альтернативная конструкция: [HP" IP (S4» и ), где Э& -
сепарабельное кватернионнов гильбертово пространство.
4. G=SOC). Тогда BSOC) - это многообразие Грассмана
ориентированных трехмерных плоскостей тс в сепарабельном ве-
вещественном гильбертовом пространстве ^r> a ESOC) -
бесконечномерное многообразие Штифеля 3-реперов в =^к»
слоем над тс является множество всех ориентированных ортонор-
мированных базисов плоскости тс.
5. Сг — &, где © - группа калибровочных преобразова-
преобразований по модулю центра. Тогда Е& =& - пространство неприво-
неприводимых связностей и Б& = X (см. гл. 3).
Термин «классифицирующее пространство» означает, что BG-
классифицирует главные Сг-расслоения. Пусть М - некоторое
многообразие (или, более общим образом, клеточное пространство)
и -f: М —*• BG - непрерывное отображение. Взяв прообраз
универсального ^-расслоения ?j: EG -* BG относительно -f,
мы получим расслоение ^*?? ~*" 'М. Можно показать, что го-
гомотопные отображения порождают эквивалентные расслоения и что
соответствие
[М, BG] **¦ {классы эквивалентных G^-расслоений надМ}
является биекцией. Например, множество [М, СР00] классифи-
классифицирует 17A)-расслоения над М, а множество [M.IHIP00]
классифицирует ЗЩ2)-расслоения.
Пространства Эйленберга - Маклейна КAй, п.), также,
как и BG, «живущие» в гомотопической категории клеточных
пространств, служат основными строительными блоками теории го-
мотопий. Они полностью характеризуются тем свойством, что
имеют единственную нетривиальную гомотопическую
рЕ при -?, = п,,
тс.{К(ТС,п.)) = j
г и при t & гь.
252 Приложения
Разумеется, при п. * 2 груша чс предполагавтея абвлввой.
Используя точные гомотопические последовательности для универ-
универсальных расслоений, рассмотренных в первых двух примерах, не-
нетрудно показать, что
=Si,
(Е.З)
Пространства Эйденберга - Маклейна являются классифицирующими
пространствами для когомологий. Точнее, для любого пространства
М. имеет место изоморфизм
(В.4) ¦ Н^М-.ЧС) «[М, К AС, MJ).
Этот изоморфизм может быть получен следующим образом. Приме-
Применяя теорему 1уревича, а также теорему об универсальных коэф-
коэффициентах, нетрудно показать, что Нп (.К (fit, ny.'ic) = Нот (IE, 1С).
Пусть i: <ic -*"it - тождественное отображение. Сопоставим произ-
произвольному отображению ^: М.~*~ К СкГ, п.) класс когомологий
^*и е Hn(M;eiC); это и есть соответствие (Е.4). В при-
мере 2 мы имеем
где с. s H2(dP°°; Z) - универсальный класс Чжэня, т.е.
первый класс Чжэня универсального 17A)-расслоения S°° —
-* (DP00. Для отображения -f: J*l -*¦ СР°° получаем, что
¦f*c еЯг(М; Z) есть не что иное, как первый класс Чжэня
индуцированного 17A)-расслоения над М,
Теперь мы можем приступить к топологической классификации
U (i)— и ЗиB)-расслоений, о которой мы упоминали в
гл. 2 и на которую опиралось предложение 2.II.
Теорема Е.5. Первый класс Чжэня с^(Я) еН (М; Z)
классифицирует 17A)-расслоения над произвольным клеточным
пространством М. Второй класс Чжэня с2(^) еЯ4(М4; TL)
классифицидует 5и"B)-расслоения над любым компактным ориенти-
Приложения 253
ровашшм четырехмерным многообразием М4.
Доказательство. В случае 17D )-расслоений
достаточно заметить, что пространство СР классифицирует
одновременно и эти расслоения, и двумерные когомологии:
•Гклассы эквивалентных: 17D)-расслоений Я над МJ
Как отмечалось выше, этот изоморфизм задается соответствием
7lCl(X).
Главные SUB)-pacanoeHHH -ц над М соответствуют
отображениям М4 -"*- ШР"". По теореме о клеточной аппрок-
аппроксимации любое отображение М -*¦ IH !Р гомотопно отображе-
отображению в четырехмерный остов S4 = IHP1= hP°°. Более того, гомо-
топни таких отображений можно стянуть к гомотопиям внутри пяти-
пятимерного остова, который по-прежнему есть S . Следовательно,
4.
Но для компактного ориентированного многообразия М. имеет
место изоморфизм
(см. приложение В), задаваемый степенью отображения М в S4.
Нетрудно видеть, что эта степень является также и вторым чис-
числом Чжэня индуцированного ЗЩ2)-расслоения.
Отметим, что $иB)-расслоения над пятимерными многообра-
многообразиями уже не классифицируются вторым числом Чкэня; в этом слу-
случае в четырехмерных когомологиях возможны элементы конечного
порядка.
Результаты гл. 10 основывались на классификации 5ОC)-
расслоений ?, над компактным ориентированным четырехмерным
многообразием М = М4. Каждому такому расслоению S, от-
отвечают два характеристических класса - второй класс Штифеля -
Уитни w2($)sH2(W;Z2)h первый класс Понтрягина ^)^Ки(Н;Ж
(Кроме того, в этом случае есть еще третий класс Штифеля -
254 Приложения
Уитни, но он определяется классом го- (Е,).) Группа SUB)
может быть отождествлена со спинорной группой SpinC) -
односвязной двулистной накрывапцей группы SOC); при таком
отождествлении накрывающий гомоморфизм есть не что иное, как
присоединенное представление ad: SU42) -*¦ SOC). Гомо-
Гомоморфизм ad индуцирует естественное отображение Б(ad):
BSUB) —*¦ BSOC), являющееся классифицирующим
отображением для присоединенного SO C).-расслоения, ассоцииро-
ассоциированного с универсальным 517B)-расслоением ESUB)-» BSU42).
Характеристические классы этого ассоциированного расслоения
вычисляются с помощью весов присоединенного представления [ш].
Таким образом, мы имеем
В (ad)*-иг = О,
(Е.6)
где w 6H2(BSOC);Z,), р. н H4(BSOC); fc) и
сеН (BSUB);Z) - подходящие универсальные характе-
характеристические классы. Отметим, что первое соотношение непосред-
непосредственно вытекает из равенства H2ESUB); 2?) = 0и отражает
тот факт, что гхг„(?) является препятствием к существованию
на расслоении с, спинорной структуры, т.е. поднятия -f:
М -*¦ BSUB) классифицирующего отображения ¦{¦: М. -*¦ BSOC)
расслоения ?,. Наконец, в силу изоморфизма (Е.4) универсаль-
универсальный класс -w2eH2(BS0C); Z ) представляет отображение го^:
BSOC) -*• K(Z2,2), и поскольку любое отображение в теории
гомотопий является расслоением [вт, с.249]], мы получаем рас-
расслоение
F — BSOC) — K(Z2,2).,
слой которого обозначен через F. Согласно (Е.6), компо-
композиция "W2°B(ad)= 0, поэтому Б (ad) гомотопно отображе-
отображению 9: BSUB) -*¦ F. Используя гомотопические точные после--
довательности расслоений BSUB) -*¦ BSOC) и
BSOC) —"• K(Z_,2), нетрудно показать, что отображение 0
Приложения 255
индуцирует изоморфизмы гомотопических групп. Поэтому, согласно
теореме Гуревича, отображение 9 является гомотопической экви-
эквивалентностью. Итак, с точностью до гомотопической эквивалент-
эквивалентности определено расслоение
BSUB) в(а<°» BSOC3)
(Е.7)
Проделав эту подготовительную работу, мы можем теперь сфор-
сформулировать следующее утверждение:
Теорема Е.8. Пусть $1§ ?,2 - некоторые SOC)-
расслоения над компактным ориентированным четырехмерным много-
многообразием М. Предположим, что го^С^) = w^^A Я^Р °° Я/52
Тогда расслоения ?. и ? топологически эквивалентны.
Строго говоря, это не является классификацией, поскольку мы
не указываем, какие пары гу2, р? могут быть реализованы.
Однако в гл. 10 нам была нужна лишь данная здесь хараатериза-
ция 30C)-расслоений. Идея доказательства этой теоремы со-
совершенно прозрачна. Так как г*г2($?) = wa(?2), то «разность»
?г-Е,4 поднимается до БЩ2)-расслоения, класс Чжэня
""^CftC^g) ~ Vi^i^ которого обращается в нуль. Тогда $2 = ^
по теореме Е.5. Разумеется, не существует способа придать «раз-
«разности» ^"^ смысл SО C)-расслоения. Приведенное ниже до-
доказательство, любезно предоставленное нам Ричардом Лашофом,
ставит эту интуитивную идею на строгую основу.
Доказательство. Пусть X, jz: М -*¦ BS0C) -
классифицирующие отображения для расслоений 2j 5, соот-
соответственно; нам нужно показать, что <f гомотопно ?. Прежде
всего wz"^ и 'urz°^z являются гомотопными отображениями
из М в K(Z2,2), поскольку го-г(?±) = wz(%z}- Обозначим
связывающую их гомотопно через -к: Мх [0, {] -*• K(!Z ,2).
Используя клеточную структуру на М, попытаемся поднять А
шаг за шагом до гомотопии ft: M"[0, l]-~ BS0C). Предположим,
что гомотопия ¦hii уже определена на (г- 4)-мерном остове мно-
256
Приложения
гообразия М (умноженном на [0,1]), и рассмотрим i-мерную
клетку Дг s М. Так как расслоение (Е.7) тривиально над
¦А-СД1"* [О, i]), то отображения ^ и -^2 вместе с гомотопной
К^задают отображение S*—* BSUB), т.е. элемент гомо-
гомотопической I'liyiniH 'it. ( BSUB)):
f. J . f
1 Si x ' X x w X Л Г»
д'х{0}
Д'хШ
Гомотопия ¦hi_i может быть продолжена на клетку Дг тогда
и только тогда, когда этот элемент равен нулю. Поскольку груп-
группы li^CBSUB)) = пс (SU(Z)) обращаются в нуль при i« 3,
мы получаем по индукции поднятие п на трехмерный остов много-
многообразия М.. Для простоты будем считать, что клеточное раз-
разбиение М содержит ровно одну четырехмерную клетку А (такое
разбиение всегда можно построить). Кроме того, предположим,
используя дополнительную гомотопно гь , что -^ = -?2 на
трехмерном остове. Стягивая середину клетки А в точку, мы
получим отображение 6: М
отображение в когомологиях
MvS . Ясно, что индуцированное
б*: H*CMvS4) = Я*(.М)
является просто сложением.Поскольку
можем представить ^2 в виде fz = (
отображения у: 54-•¦ BSOC).
вне Д , мы
для некоторого
Приложения 257
Так как KZ(SU;7L,) = Q, то существует поднятие f: S — BSUU)
отображения у. (Иными словами, каждое ЗОC)-расслоение
над SM может быть наделено спинорной структурой.) Несложное
вычисление с использованием соотношения (Е.6) показывает, что
Из классификации 5иB)-расслоений (теорема Е.5) вытекает,
что отображение f, а значит, и отображение у, гомото-
пически тривиально. Следовательно, отображения f и ?, го-
гомотопны, как и утверждалось. Отметим, что у есть не что иное,
как гипотетическая «разность» ?, & - ?, ?, обсуждавшаяся перед
доказательством.
Пространство Эйленберга - Маклейна KCZ, 2), ив
частности его реализация в виде гладкого многообразия (П Р"",
играет важную роль при доказательстве утверждения, которым мы
неявно пользовались в гл.1 и в приложении В.
Предложение Е.9. Пусть М - гладкое компактное
ориентированное гь-мерное многообразие и z s Н. , (М; %) -
класс гомологии М коразмерности 2. Тогда г может быть
представлен гладким ориентированным подмногообразием в М.
Доказательство. По двойственности Пуанкаре клас-
классу гомологии z е Нп_г(М; 20 соответствует двумерный класс
когомологий г*бЯ2Ш;Ю. Основываясь на изоморфизме (Е.4),
можно представить 2* отображением -1-. М -*¦ JCCZ, 2) =<СР°°.
Вспоминая «телескопическую конструкцию» (Е.2) для пространства
СР и используя компактность многообразия М, находим, что
образ отображения ^ лежит в некотором конечномерном остове
<СР . Малым шевелением ^ в его гомотопическом классе
можно добиться того, что ^ станет трансверсальным к под-
подмногообразию СРЯ~* <= СР^. Но тогда ^Ч(€РЯ"Ъ и
есть требуемый гладкий представитель класса гомологии 2.
ЛИТЕРАТУРА
[Кг] Aronezajn N. A unique continuation theorem for solutions
of elliptic partial differential equations or inequali-
inequalities of the second order. - J. Hath. Pures Appl.(9), 36
A957), 235-249.
[Ai] Atiyah M.F. K-Theory. - W.A. Benjamin, Inc., 1967.
[Имеется перевод: Атья М. Лекции по К-теории. - М.:
Мир, 1967.]
[а2] Atiyah M.F. Geometry of Yang-Mills Fields. - Lezioni
Fermiane, Accademia Nazionale dei Lincei Scuola Normale
Superioi»e. - Pisa, 1979.
[ab] Atiyah M.P., Bott R. The Yang-Mills equations over Rie-
mann surfaces. - Proc. R.Soc. London A, 308 A982), 523-
615.
[ABS] Atiyah M.F., Bott R., Shapiro A. Clifford modules, - To-
Topology 3A964), Suppl. I, 3-38.
[ADHm] Atiyah M.F., Drinfeld V.G., Hitchin N.J., Manin Yu.I. Con-
Construction of instantons. - Phys. Lett. 65A A978), 185-
187.
Atiyah M.F. , Hitchin N., Singer I.M. Self-duality in
four-dimensional Riemannian geometry. - Proc. R.Soc.Lon-
R.Soc.London A, 362 A978), 425-461.
Atiyah M.F., Patodi V.K., Singer I.M. Spectral asymmetry
and Riemannian geometry I. - Math.Proc. Camb. Phil.Soc,
77 A975), 43-69.
[AS] Atiyah M.F., Singer I.M. The index o? elliptic operators»
IV. - Ann. Math., 93A971), 119-138. [Имеется перевод: УМН,
1972, 27, H 4, с. I6I-I78.]
[Au] Aubin Т. Nonlinear Analysis on Manifolds, Monge-Ampere
Equations. - Springer-Verlag, 1982.
Литература 259
[BPST] Belavin A., Polyakov A., Schwartz A., Tyupkin Y. -
Hiys.let. 593A975), 85.
[вЗ Bleeker D. Gauge Theory and Variational Principles. -
Addison Wesley, London, 1981.
[Bo] Bochner S. Vector fields and Ricci curvature. - Bull.
Amer. Math.Soc, 52A946), 776-797.
[BH] Borel A., Hirzebruch F. Characteristic classes and ho-
homogeneous spaces. Fart I. - Amer. J. Math., 80A958),
458-538.
?втЗ Bott R., Tu Ii. Differential Forms in Algebraic Topolo-
Topology. - Springer-Verlag, 1982.
[Bou] Bourguignon J.P. Formules de Weitzenbock en dimension
4. Int Geometric Riemannienne de dimension 4. - GKDIC,
Paris, 1981.[Имеется перевод: Бургинъон Ж.-П. Формулы
Вейтценбёка в размерности 4.. В кн.: Четырехмерная
риманова геометрия. - М.: Мир, 1985, с.260 - 273.]
[BlT| Bourguignon J.P. , Lawson H.B., Jr. Yang-Mille Theory:
Its physical origins and differential geometric aspects.
In: Seminar on Differential Geometry, S.T. Фай, ed..
Ann. Math.Studies, 102. - Princeton University Press,
1982, 395-422.
[cQ Casson A. Three lectures on new infinite constructions
in 4-dimensional manifolds. In: A la recherche de la
topologie perdue, Ed. Lucien Guillou, Alexis Marin.
Progress in Mathematics, v.62. - Birkhauser, 1986,
201-244. [Готовится русский перевод.3
[Се] Cerf J. Sur les Diffeomorphismes de la Sphere de Dimen-
Dimension Trois ( Г. = 0), Lecture Notes in Mathematics 53»
- Springer-Verlag, 1968.
[ceQ Cheeger J., Ebin D. Comparison Theorems in Riemannian
Geometry. - North Holland Mathematical Library, Vol. 9,
1975.
[cs] Conway J.H., Sloane N.J.A. On the enumeration of latti-
lattices of determinant one. - J. Number Theory, 15A982),
83-94.
[сн] Courant R., Hilbert D. Methods of Mathematical Phy-
Physics. - Interscience, 1953. [Имеется перевод более
раннего издания: Курант Р., Гильберт Д. Методы матема-
2S0 Литература
тической физики, t.I.-M.: Гостехтеориздат, 1951.3
[и»3 Dold A., Whitney H. Classification of oriented sphere
bundles over a 4-complex. - Ann. Math., 69A959), 667-677.
[d] Donaldson S.K. An application of gauge theory to the to-
topology of 4-manifolds. - J.Diff.Geom., 18A983), 269-316.
[Do] Dornhoff L. Group Representation Theory» Part A. Pure and
Applied Mathematics. - Marcel Dekker, Inc., 1971.
Douady A., Verdier J.L. lies equations de Yang-Mills. -
Asterisque 71-72, Societe Mathematique de Trance, 1980.
Pintushel R., Stern R. S0C)-connections and the topo-
topology of .4-manifolds. -J.Diff.Geom., 20A984), 523-539.
[JFS23 Fintushel R., Stern R. Pseudofree orbifolds. - Ann. Math.,
122A985), 335-364.
[Frif] Freedman M. The topology of fotu.'-dimensional manifolds.-
J.Diff.Geom., 17A982), 357-454.
Freedman M. There is no room to spare in four dimensio-
dimensional apace. - AMS Notices, 31A984), 3-6.
Treedman M., Kirby R. A geometric proof of Rohlin's theo-
theorem. - Proc. Symp.Pure Math., 32:2A978), 85-98.
Friedman A. Partial Differential Equations. - Holt, New
York, 1969.
Gilbarg D., Trudinger H.S. Elliptic Partial Differential
Equations of Second Order. - Springer-Verlag, 1977.
Gompf R. Three exotic R 's and other anomalies. - J.
Diff. Geom., 18A983), 317-328.
Greene R.B., Wu H. Function Theory on Manifolds Which
Possess a Pole. Lecture Notes in Math. 699. - Springer-
Verlag, 1979.
[HeJ Hempel J. Three-Manifolds. Ann.Math. Studies, 86. - Pri-
Princeton University Press, 1967.
?'] 't Hooft Gerard. Gauge theories of the forces between
elementary, particles. - Scientific American, 243 (June
1980), 104-138.
[нЗ Husemoller D. Fibre Bundles. Sec. Ed. - Springer-Verlag>
1966. [^Имеется перевод: Хыозмоллер Д. Расслоенные про-
пространства. - М.: Мир, 1970 ¦]
[нм] Husemoller О., MiInor J. Symmetric Bilinear Forms. -
Springer-Verlag, 1973. [^Имеется перевод: Милиор Дж.,
Хыозмоллер Д. Симметрические билинейные формы. - М.:
г- -1 Наука, 1986.3
LJHHj dackiw R., Nohl С., Rebbi С. Conformal properties of
pseudoparticle configurations. - Phys.Rev.D., 15A977),
1642-1646.
?<JTj Jaffe A., Taubes C. Vortices and Honopoles. Progress in
Physics 2. - Birkhauser, 1980.
?К1йЗ Kervaire M., Milnor J. Bernoulli numbers, homotopy
groups, and a theorem of Rohlin. — Proc. Internet. Congr.
Math. Edingburgh, 1958, 454-458.
[]КМ23 Eervaire M., Milnor J. Groups of homotopy spheres I. -
Ann. Math., 77 A963), 504-537.
pcf] Kirby R., Siebenmann 1. Foundational Essays on Topolo-
gical Manifolds, Smoоthings, and Triangulations. Ann.
Math. Studies, 88. - Princeton University Press, Prin-
Princeton, N.J., 1977.
?KHl] Kobayashi S., Nomizu E. Foundations of Differential
Geometry, Vol. I. - Wiley-Interscience, 1963. [Имеется
перевод: Кобаяси Ш., Номидзу К. Основа дифференциальной
геометрии, т.1. - М.: Наука, 198IJ
[КН2^ Kobayashi S., Nomizu К. Foundations of Differential
Geometry, Vol. 2. - Wiley-Interscience, 1969. [[имеется
перевод: Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной
геометрии, т.2. - М.: Наука, 1981Г]
[_lC\ Euranishi М. New proof of the existence of locally com-
complete families of complex structures. In: Proceed.Conf.
on Complex analysis, A.Aeppli et el, eds. - Springer-
Verlag, 1965, 142-154.
[jj~] Iiichnerowicz A. Spineurs haxmoniques. - C.R. Acad.Sci.
Paris Ser. A-B, 257A963), 7-9.
?Ма] Marsden J. Applications of Global Analysis in Mathemati-
Mathematical Physics. - Publish or Perish, 1974.
Qtay3 Mayer M. In: Fiber-Bundle Techniques in Gauge Theory.
Lecture Notes in Physics, 67. - Springer-Verlag, Berlin
-Heidelberg-Hew York, 1977.
[MSY] Meeks W. Ill, Simon L., Yau S.T. Embedded minimal sur-
surfaces, exotic spheres, and manifolds with positive Ricci
curvature. - Ann. Math., 116A982), 621-659.
j^MYl] Meeks W. Ill, Yau S. T. The classical Plateau problem
262 Литература
and the topology of three dimensional manifolds. - To-
Topology, 21 A982), 409-442.
[MY2] Meeks W. Ill, Yau S.T. Topology of three dimensional
manifolds and the embedding problems in minimal surface
theory. - Ann. Math. 112 A980), 441-484.
[ж] Milnor J. On manifolds homeomorphic to the 7-sphere. -
Ann. Math., 64A956), 399-405.[Имеется перевод:
Милнор Дж. О многообразиях, гомеоморфных семимерной
сфере. - Сб. Математика, 1959, I : 3, с. 35 - 42.]]
[М2] Milnor J. On aimply connected 4-manifolds. Symposium
Internacional Topologia Algebraica. - Mexico, 1958,
122-128.
Milnor J. Topology from the Differentiable Viewpoint.-
University Press of Virginia, 1976. [Имеется перевод
в кн.: Мшшор Дж., Уоллес А. Дифференциальная тополо-
топология. Начальный курс. - М.: Мир, 1972Г]
Milnor J. Construction of universal bundles II. - Ann.
Math., 63A956), 4ЭО-436.
[M5] Milnor J. Morse Theory. - Ann. Math. Studies, 51. -
Princeton University Press, Princeton, 1963. [Имеется
перевод: Милнор Дж. Теория Морса. - М.: Мир, 1965Г]
Milnor J., Stasheff J. Characteristic Classes. - Ann.
Math. Studies, 76.- Princeton University Press, Prin-
Princeton, 1974.[Ймеется перевод: Милнор Дж., Сташеф Дж.
Характеристические классы. - М.: Мир, 1979Г]
[ЮТ] Misner C.W., Thome K.S. , Wheeler J.A. Gravitation. -
W.H. Freeman and Company, 1973. [Имеется перевод:
Мизнер Ч., Торн К., Уиллер Дж. Гравитация. В 3-х томах.-
М.: Мир, 1977.]
[Mo] Moise E. Affine Structure in 3-manifolds I, II, III, IV,
V. - Ann. Math., 54 A951), 506-533; 55A952), 172-176;
55A952), 203-214; 55A952), 215-222; 56A952), 96-114.
[мог] Morrey C.B., Jr. Multiple Integrals in the Calculus of
Variations. - Springer-Verlag, 1966.
[Pi] Palais R.S. Foundations of Global Иоп-Linear Analysis.-
W.A. Benjamin, Inc., 1968.
[P2] Palais R.S. Seminar on the Atiyah-Singer Index Theorem,-
Ann. Math.Studies, 57. - Princeton University Press,
Литература 263
Princeton, 1965. [Имеется перевод: Пале Р. Семинар по
теореме Атьи - Зингера об индексе. - М.: Мир, 1970J
[Pa] Parker Т. Gauge theories on four dimensional Hiemannian
manifolds. - Comm.Math.Hiys., 85A982), 1-40.
p?e3 Peterson F.P. Some remarks on Chern classes* - Ann.
Math., 69A959), 414-420.
[q] Quinn P. Ends III. - J. Diff.Geom., 17A982), 503-521.
IX) Рохлин В.А. Новые результаты в теории четырехмерных
многообразий. - ДАН СССР, т. 84, 1952, с. 221 - 224.
[Slf] Sacks J., Uhlenbeok K. The existence of minimal 2-sphe-
2-spheres. - Ann. Math., 113A981), 1-24.
[_Se~] Sedlacek S. A direct method for minimizing the Yang-
Mills functional on 4-manifolds. - Comm.Math. Phys.,
86A982), 515-527.
\jf\ Singer I.M. Some remarks on the Gribov ambiguity. -
Comm. Math.Phys., 60A978), 7-12.
[jST^ Slngei* I.M., Thorpe J.A. The curvature of ¦Ч—dimen-
¦Ч—dimensional Einstein spaces. In: Global Analysis, Papers
in honor of E.Kodaira (ed. D.Spencer and S.lyanaga).
- Princeton University Press, 1969, 335-365.
[Sm] Smale S. An infinite dimensional version of Sard's
theorem. - Amer. J.Math., 87A968), 861-86$.
Csp1 Spanier E.Algebraic Topology. - McGraw Hill, Inc.,
19б6.[ймеется перевод: Спеньер Э. Алгебраическая топо-
топология. - М.: Мир, I97I.J
?stl] Stailingз J. The piecewise-linear structure of Eucli-
Euclidean space. - Proс Cambridge Philos. Soc., 58A962),
481-488.
?st2]] Stallings J. Group Theory and Three-Dimensional Mani-
Manifolds. Yale Mathematical Monographs, No. 4. - Yale
University Press, 1971.(имеется перевод в кн.: Масси
У., Столлингс Дж. Введение в алгебраическую топологию^
М.: Мир, 1977.]
jjste] Steenrod N. The Topology of Fibre Bundles. - Prince-
Princeton University Press, Princeton, 1951.[Имеется пере-
перевод: Стинрод Н. Топология косых произведений. - М.:
ИЛ, I953J
264 Литература
?Sn] Stern R. Instantons and the topology of 4-manifolds. -
The Mathematical Intelligencer, 5:3A983), 39-44.
?stq] Stong R.E. Notes on Cobordism Theory. - Princeton Univer-
University Press, 1968. [Имеется перевод: Стоит Р. Заметки по
теории кобордизмов. - М.: Мир, 1973Г]
Taubes C.H. Self-dual Yang-Mills connections on non-
self -dual 4-manifolds. - J.Diff.Geom., 17A982), 139-170.
Taubes C.H. Self-dual connections on 4-manifolds with
indefinite intersection form. - J.Diff. Geom., 19A984),
517-560.
Treves P. Basic Linear Partial Differential Equations. -
Academic Press, New York, 1975.
Uhlenbeck K. Connections with L bounds on curvature. -
Comm. Math. Phys., 83A982), 31-42.
Uhlenbeck K. Removable singularities in Yang-Mills
fields. - Comm. Math. Phys., 83A982), 11-29.
[V] Varadarajan V.S. Lie Groups, Lie Algebras, and their
Representations. - Prentice Hall, 1974.
[jWa] Warner P. Poundations of Differentiable Manifolds and
Lie Groups. - Springer-Verlag, 1983. [Имеется перевод:
Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп
Ли. - М.: Мир, 1987.3
[V] Whitehead J.H.С. On simply connected 4-dimensiemal poly-
hedra. - Comment. Math.Helv., 22A949), 48-92.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автодуальная и антиавтодуальная составляющие (self-dual and
anti-self-dual pieces) 51
Бьянки тождество (Bianchi identity) 243
Вэровские множества (Baire sete) 87
Вейля кривизна (Weyl curvature) 131, 243, 244
Вейтценбёка формулы (WeitzenbSck formulas) 131, 236
Векторное расслоение (vector bundle) 48
Виртуальное расслоение (virtual bundle) 106, 107
Воротник (collar) 161
Гильбертова группа Ли (Hilbert Lie group) 70
Главное расслоение (principal bundle) 161
Гладкая структура (differentiable structure) 31
График действия 73
Грибова неоднозначность (Gribov ambiguity) 57
Группа калибровочнкх преобразований (group of gauge transfor-
transformations; 51
- Соболевских халибровочннх преобразований 225
Дональдеона теорема (Donaldson theorem) 39, 62 - 64, 214
Индекс (index) 87, 106
Индексное расслоение (index bundle) 106, 107
Инстантонм (inatantona) 58, 123, 189
Калибровочная группа (gauge group) 51, 110
Калибровочное преобразование (gauge transformation) 51
Калибровочний потенциал (gauge potential) 48
266 Предметный указатель
Кассона ручки (Gasson handles) 43
Като неравенство (Kato»s inequality) 130
Кватернионнне обозначения (quaternionic notation) 119
Квинна теорема (Quinn theorem) 40
Кёрби - Зибенманна препятствие (Kirby - Siebenmann obstruction)
37
Классификация унимодулярнмх форм 37
Классифицирующее пространство (classifying space) 249, 251
Кобордантнме подмногообразия (cobordant suttnanifolds) 231
Кобордиам (cobordiam) 231
Ковариантное дифференцирование (covariant derivative) 48-50
Компактность пространства модулей 186
Конформная инвариантность автодуальных уравнений Янга - Миллса
136
Кривизна (или калибровочное поле) связности <curvature (or gauge
field) of a connection) 50
Куммера поверхность (Кшшег surface) 36, 39, 40, 64
Лапласиан (Laplacian) 239
Леви-Чивита связность (Levi-Civita connection) 237
Лемма о композиции (composition lemma) 134
- - локальной калибровке (local gauge fixing lemma) 165, 166
Ли производные (Lie derivatives) 200
Локализованные связности (concentrated connections) 181
Масштаб (seale) инстантона 123
- или ширина (width) формы 174
Метод непрерывности (continuity method) 140
Модели инстантонов 189
Неприводимые связности (irreducible connections) 67
Нечетная форма (odd foim) 37
Окаймленное вложение (collared embedding) 44
Оператор * (star operator ) 51
Оснащение (framing) 231
Оснащение кобордантнме подмногообразия (framed cobordant sub-
manifolds) 231
Предметный указатель 267
Оснащенный кобордиам (framed cobordlsm) 231
Основной инстантон (basic instanton) 123
Оценка распада (decay estimate) 193
Параметризованное пространство модулей (parametrized moduli
space) 86
Понтрягина класс (Pontrjagin class) 54
- Тома теорема (Pontrjagin - OJhom theorem) 232
Почти автодуальная связность (almost self-dual connection) 144
- сглаживаемое многообразие (almost smooth manifold) 39
Приводимая (или расщепляющаяся) связность (reducible (or split)
connection) 71, 221
Принцип максимума (maximum principle) 134, 147
Пространство модулей (moduli space) инстантонов 46, 58
- - топологическая структура 60-61
Процедура прививки (grafting procedure) 124
Радиус инъективности (inactivity radius) 125
Раздутие метрики 142
Ранг (rank) 36
Регулярность автодуальних связностей 167
Риманова кривизна (Riemannian curvature) 237
Риччи кривизна (Ricci curvature) 242
- - бесследовая (traceless) 131
Рохлина теорема 38
Сарда - Смейла теорема (Sard - Smale theorem) 87, 95
Связность (connection) 48-50
Сигнатура (signature) 36
Символ (symbol) оператора 238
Скалярная кривизна (scalar curvature) 131, 242
Скрученная функция (twisted function) 130
Соболева теоремн вложения (Sobolev embedding theorems) 132, 133
Соболевское пространство связностей 225
Срез (slice) действия 73
Таубса проекция (Taubes projection) 158
Теорема о воротнике (collar theorem) 188
- - однозначном продолжении (unique continuation) 135
268 Предметный указатель
среднем значении (mean value inequality) 134
устранении особенностей (removable singularities theorem)
137,.'245,
- - ©ллиптической регулярности (elliptic regularity) 135
Теоремн компактности (compactness theorems) 165
Техника склеиваний (patching argument) 171, 208
Топологическая классификация расслоений 252, 255
Топологический заряд (topological charge) 54
Трансверсальная калибровка (transversal gauge) 206
Уленбек теоремн (К. Uhlenbeck theorems) 137
Универсальное расслоение (universal bundle) 249
Унимодулярная форма (unimodular form) 34
Финтушела - Стерна теорема (M.ntushel - Stern theorem) 215, 218
Форма пересечений (intersection form) 35, 248
Фредгольмово отображение (Kreaholm map) 87
Фридмана классификация (Preedman classification.) 37
Функции перехода (transition functions) 32, 48
Ходжа оператор (Hodge operator) 136
Хопфа отображение (Hopf map) 113
Центр (centre) инстантона 123
- форми 174
Четная форма (even form) 36 - 37
Чжрня - Вейля формула (Chern - Weil formula) 216
- класен 53
Шейка (neck) инстантона 189
Штифеля - Уитни класс (Stiefel - Whitney class) 106
Эйленберга - Маклейна пространства (Eilenberg _ MacLane
spaces) 251, 257
Экзотическая гладкая структура (exotic differentiate structure)
33
Экспоненциальная калибровка (exponential gauge) 204 - 206
Предметный указатель 269
Экспоненциальное отображение (exponential map) 226
Эллиптический комплекс (elliptic complex) 238
Янга - Миллса поле (Yang - Mills field) 56
связность (connection) 56
уравнения (equations) 47, 55
автодуальнне (aeif-dual) 57
- - - антиавтодуальнме (anti-aelf-dual) 57
- - функционал (functional) 55
ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчика 5
Предисловие 9
Введение 12
Глоссарий 27
Глава I. Фальшивые В? 31
Гладкие структуры . 31
Четырехмерные топологические многообразия ... 34
Гладкие четырехмерные многообразия 38
Хирургическая аномалия 40
Глава 2. Уравнения Янга - Миллса 46
Связности 47
Топологические квантовые числа 53
Функционал Янга - Миллса 55
Линейные расслоения 58
Теорема Дональдеона 60
Глава 3. Многообразия связностей 67
Пространства Соболева 69
Приводимые связности 71
Теорема о срезе 72
Параметризованное пространство модулей . . о . 77
Пространство модулей 86
Глава 4. Конусы над С Р 91
Снова о срезах . 92
Структура особой точки 94
Возмущение метрики 99
Глава 5. Ориентируемость 105
Индексные расслоения 106
Компоненты группы (& 110
Элемент -I ..... 114
Глава 6. Подготовительный материал для теоремы Таубса 117
Инстантоны на 5* 119
Процедура прививки . . - 124
Необходимые аналитические средства 129
Аналитические свойства автодуальных уравнений
Янга - Миллса 136
Оглавление 271
Глава 7. Теорема Таубса ?39
Раздутие метрики ' * ?42
Оценка собственного значения * ?49
Линеаризованное уравнение ** ?53
Проекция Таубса ** ?58
Глава 8. Компактность тез
Компактность и регулярность ?55
Измерение локализованной кривизны j72
Компактность в аЛС ?82
Глава 9. Теорема о воротнике ?87
Оценки распада . ?89
Конформные деформации |эб
Экспоненциальные калибровки 204
Связность воротника 210
Глава 10. Техника Финтушела и Стерна 215
Пространство модулей для $0О>) -расслоений 216
Приводимые связности 219
Аналитические детали 222
Приложения 225
A. Группа соболевских калибровочных преобра-
зовэниЛ 225
B. Конструкция Понтрягина*-*Тома \ . ! '. ! 1 231
C. Формулы Вейтценоека 236
D. Устранение особенностей ** 245
E. Топологические замечания 248
Литература 258
Предметный указатель * 265