ВЫХОДИТ РАЗ В ДВЕ НЕДЕЛИ	Рекомендуемая розничная цена: 279 руб.
Розничная цена; 49,90 грн 990 тенге
занимательные
ГОЛОВОЛОМКИ
КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ D4AGOSTINI
19
Пирамида из четырех частей
ISSN 2225-1782
занимательные
«ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ» Издание выходит раз в две недели Выпуск №19,2012 РОССИЯ
ГОЛОВОЛОМКИ
КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ OMGOSTINI
В этом выпуске:
ИЗДАТЕЛЬ, УЧРЕДИТЕЛЬ, РЕДАКЦИЯ: ОСС Де Агостини Россия ЮРИДИЧЕСКИЙ АДРЕС 105 066. г. Москва.
ул. Александра Лукьянова, д.3( стр.1 Письма читателем Поданному адресу не принимаются.
ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР: Николасе Скилвкмс ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР; Анастасия Жаркова ФИНАНСОВЫЙ ДИРЕКТОР: Наталия Василенко КОММЕРЧЕСКИЙ ДИРЕКТОР: Александр Якутов МЕНЕДЖЕР ПО МАРКЕТИНГУ: Михаил Ткачук МЛАДШИЙ МЕНЕДЖЕР ПО ПРОДУКТУ: Любовь Мартынова
Свидетельство о регистрации средства массовой информации В Федеральной службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) ПИ № ФС77-43310 от 28,12^010 г.
Для заката пропущенных номеров и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ru по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей пинии« в России: с 8-800 200-02-01
Телефон ^горячей линии»- для читателей Москвы:
С 8-495-660-02-02
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕМ: Россия. 170100, г. Тверь, Почтамт, а/я 245. «Де Агостини», Занимательные головоломки
РАСПРОСТРАНЕНИЕ:
ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисиз^
УКРАИНА
ИЗДАТЕЛЬ И УЧРЕДИТЕЛЬ: ООО <Де Агостини Паблишинп, Украина ЮРИДИЧЕСКИЙ АДРЕС: 01032. Украина, г, Киев. ул. Сакса г анс кого. д. 119 ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР: Екатерина Клименко
Свидетельство о государственной регистрации печатного СМИ Министерства юстиций Украины КВ № 17502 6252Р от01 03 2011
АДРЕС ДЛЙ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ:
Украина, 01033, г. Киев, a/я <Де Агостини , Занимательные головоломкип
Укража. 01033. м. Кив. а/с«Де Агогпни
Для заказа пропущенных номеров и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заколите на сайт wwwdeagostini.ua по опальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии', в Украине:
СО-800-500-8-40
БЕЛАРУСЬ
ИМПОРТЕР И ДИСТРИБЬЮТОР В РЬ: ООО «Росчерк . 220037, г. Минск, ул. Авангардная, д, 48а, литер В/к, тел /факс: +375 17 2 999 260
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ: Республика Беларусь, 220040, г. Минск, а/я 224, 000 ;Росчерк , «Де Агостини*, внимательные головоломки
КАЗАХСТАН
РАСПРОСТРАНЕНИЕ: ТОО КГП «Бурдл Алатау-Лресо
РЕКОМЕНДУЕМАЯ РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА; 279 руб. РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА-49.90 грн. 990тенге
ОТПЕЧАТАНО В ТИПОГРАФИИ: G. Canale & С S.pА Sos. Cernica 47, BucuresTi, Panlelimon - llfov, Roman ra.
ТИРАЖ 68 000 экз.
Издатель оставляет м собой право изменять последовательность номеров и их содержание
Издатель оставляет за собой право увеличить рекомендуемую цену выпусков
Неотъемлемой частью каждого выпуска является приложение.
© ОСО Де Агостини, 2012 Ф RBA Ccleccionables, 2011 ISSN 2225 1782
ДАТА ВЫХОДА В РОССИИ: 23 10.2012
Математическая ченлгнная
Краеуго еьный камень матечатики Слово «множество» может означать любое существующее понятие, а также множество несуществующих. Несмотря на кажущуюся простоту, ряндсл математики
ПОД названием «теория множеств » настолько важен, чю можно говорить о времени «до» и «пос хе» его формирования С помощью этой простои теории можно создать несметное количество сложных пиняти,* и структур.
Блистательные умы
Не некий геометр Аполлоний был автором множества матсматн чгскнх трудов, сравнимых по количеству с трусами Архимеда. К со жалению, почти все они были утеряны, и мы знаем о них только по свидетельствам других авторов Мно1 не из них упоминают труд, посвященный основам математики, а т акже книгу об иррациональных числах, в которой Аполлонии привел приближенное значение числа тг с большей точностью, чем Архимед Кроме того, он внес значительный вклад и в астрономию.
Математика на каждый
Форма арЛит неЛееных ты Не странно ли, что такое гсометрпче-ское ионяше, как «коническое сечение», имеет прямое отношение к орбитам планет, спутников или комет? К примеру, кометы движу г-ся ио орбитам, которые могут иметь форму эллипса, параболы или гиперболы. Именно от формы орбиты зависит, увидит ли человечество эту комету еще раз. Неслучайно изучение астрономии подразумевает глубокое знание геометрии.
Математически» задачам
fj чшее от Генри ) {ьюдени Четыре алгебраические задачки от Генри Эрнеста Дьюдени ждут вас. Разберитесь, сколько дублонов находится в каждой из де1>яти шкатулок, помогите банкиру охладить пыл азартного клиента, и тогда, возможно, задача султана покажется вам детской забавой
Головоломки
Пирамида из четырех частей Казалось бы, сложить головоломку из четырех частей совсем не трудно. Несмотря на это мало кому удастся собрать эту пирамиду, разрезанную на части. Можно утешиться гем, что существует такая же головоломка, но состоящая всего из двух частей! На самом деле это лишь вариант исходной головоломки, в котором элементы склеены попарно, и все, что нужно сделать — это найти правильное расположение одной части относительно другой.
Множество — одно из фундаментальных понятий математики. Целое здание, начиная от ею ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ЗАКАНЧИВАЯ ЧИСЛЕННЫМ, МОЖНО ПРЯМО ИЛИ КОСВЕННО ПРЕДСТАВИТЬ В ВИДЕ МНОЖЕСТВА.
Теория множеств
Краеугольный камень математики
Понятие множества на момент своего появления в XIX веке казалось достаточно простым и ясным, чтобы с легкостью объединить многие разделы математики. Несмотря на это, развитие теории множеств повлекло за собой неожиданности и парадоксы, что привело к необходимости создания аксиом, которые сформировали бы ее логичный и прочный фундамент. Как и все математические теории, теория множеств имеет собственный язык и особые правила записи. Введение двух особых множеств, универсального и пустого, BKvnc с определением операций объединения, пересечения и дополнения над множествами позволяет ввести алгебраическую структуру — булеву алгебру, которая имеет чрезвычайно большое теоретическое и практическое значение.
Важность множеств
Пуанкаре как-то сказал, что математик — это человек, дающий разным вещам одно наименование. Это лаконичный, хоть и несколько ироничный способ выразить истину, поскольку конечная цель, к которой стремятся математики, — обобщение. И в наивысшей степени эта фраза применима к теории множеств, поскольку слово «множество» может означать любое существующее понятие, а также множество несуществующих. Однако очевидно, что важность теории множеств заключается нс столько в его семантическом значении, сколько в том, что она глубоко изменила внутреннюю структуру всей математики. Этот раздел настолько важен, что можно говорить о времени «до» и «после» создания теории множеств.
Почему же множества столь важны? Потому что это очень простая теория, с помощью которой можно создать несметное количество более сложных понятий и структур: упорядоченная пара, отношение, функция, деление, порядок, натуральное число, целое число, рациональное число, вещественное число, комплексное число, группа, кольцо, поле, векторное пространство и многие другие. Этот список можно продолжать бесконечно: вся математика действительно вращается вокруг теории множеств. Но всю важность этой теории понимают лишь математики, логики и, возможно, программисты. Тем не менее решение обучать теории множеств пяти летних детей, при-
Л В 60-е годы А А' века энтузиазм по отношению к теории множеств прояви лея во многих авантюрных идеях. Предлагалось, напри мер, преподавать теорию множеств в начальной школе.
Эту идею не удалось успешно воплотить на практике частично из-за из шшней абстракции при изложении материала, частично из-за недостаточной подготовки преподавателей.
▲ Теория множеств стала для науки разновидностью «аннгва франка » — общим языком ученых. Она лежит в основе многих технологий: без теории множеств немыслимы все физические основы ин фор мацин, используемые в электрических цепях, даже в обычном светофоре.
нятос в 1960-х годах, нс кажется оправданным. Этот груз до сих пор несут на себе сис темы образования некоторых стран.
Определение
Первая (.ложность теории множеств заключается в самом определении того, что же такое множество. После того как мы преодолеем это препятствие. на нашем пути не возникнет никаких затруднений. Очень сложно определить понятие множества, нс используя само это слово или один из его синонимов: объединение, соединение, группа и т. д. Одно из лучших определений, в котором нс используются синонимы в явном виде, дал Бертран Рассел: «Множество сеть совокупность различных элемсн iob, мыслимая как единое целое». Это интересное определение, поскольку
4	(1872—
1970) — британский математик, логик и философ, один мя наиболее выбяю-щихся мыслителей XX века и один из символов движения ученых за мир наряду с .Эйнштейном. Рассеt внес вклад в развитие теории множеств и открой парадокс, ныне носящий его и мя. Парадокс Pact ела демонстрирует противоречие в самой теории множеств.
в нем сделан упор на философском аспекте множества: объекты формируют множество только потому, что кто-то рассматривает их как единое целое. Предположим, что мы пришли на встречу н вот-вот заскучаем, потому что не знаем никого из присутствующих. Если мы от нечего делать обратим внимание на обувь гостей и поделим ее на две группы: «мне нравится» и «мне нс нравпт ся », то установим отношение на четко определенном множестве пар обуви всех присутствующих на встрече. Именно в смене нашего отношения и заключается мысленное представление объектов как единого целого. Когда мы сосредотачиваем внимание на чем-то, обращаем внимание только на определенные вещи, то формируем множество. Об этом же думал и Георг Кантор — возможно, первый мастер теории множеств, давший следующее определение: «Под множеством мы понимаем соединение- в некое целое определенных хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».
Условные обозначения
Точно так же как детям, которые только научились читать, нравятся книжки со сказками, где мни о картинок и мало букв, так и взрослым нравится научно-популярная литсрагура, где много текста и мало формул. И это вполне понятно: большинство формул, кажущихся простыми, требуют серьезной математической подготовки. Но символы, используемые в теории множеств, — исключение: ведь речь идет о логическом языке, цель которою — ясность и удобство. Предположим, что .мы хотим представить множество (обозначим его букпОйЯ), образованное всеми натуральными числами от 1 до 15, причем четными. И мы уже это сделали. Ни один человек из прочитавших часть предыдущего предложения, выделенную курсивом не усомнился в том, какие
л Излажены всей нагие на-тики в терминах теории иножестн — именно зто бы-во задачей Бурбаки, группы французские математиков, объединившихся под эти м гиевдонииои в /935 году. Группа Б'рбакп четко при-дг •рммвали. ь формализма Гнльбергпа и строгой амчо-млгпикн. На рисунке изо-брпжен один из томов книги Fitments dt mathematique («Наши rt магпемашикн»), основного труда Бурба->.н На сванне книги явно переклиг.летсч с работами Бвклида.
именно элементы образуют множество .4. Это же можно записать более кратко:
А = {2,4 6.8, 10,12,14},
Пли так
А = {.с такие, что .с — четное число на интервале от 1 до 15}.
На языке математики слова «такие что...» обозначаются символом «/»:
А = [г /х — четное число на интервале от 1 до 15}.
Первая характеристика из использованных нами называется перечислением и означает список всех элементов множества.. Например,
К= {а, е, е, и, о, у, ы, э, ю, я}
является перечислением всех гласных звуков русского языка. Если множество задано описанием свойств его элементов, тогда указывается свойство, которым обладают вес- элементы множества и только они Например,
fz= lx/х — гласный звук русского языка}.
Говорят, что множество определено корректно. когда можно однозначно установить, принадлежит некий элемент этому множеству или нет. Принадлежность оОозначастся символом & Если мы обозначим множество всех четных чисел буквой Р, то 4 G Р. Чтобы обозначить нспринад лежноегь к множеству, используют этот же символ. но перечеркнутый: То есть мы можем записать, что 5 Ф-Р-
Множество может являться частью другого множества. Например, четные числа являются частью большего множества целых чисел (его обычно обо шачаю г буквой Z). В этом случае говорят, что одно множест во является под множество и другого и обозначают это отношение знаком С:
PCZ.
Например, если А = {23, 4, 815, 5, 6, 200, а, з} и Я = {4,6. z}, то В С Л.
Заметим, что два последних множества, определенные перечислением символов, образованы произвольными элементами. Важно отметить, что между элсмен.ами множества нс обязательно должно существовать какое-либо особенное отношение и они нс обязаны соответствовать какому-либо определенному закону. С другой стороны, говоря о множествах Р и Z, мы ввели два бесконечных множества. Подобные множества также можно задать перечислением элементов:
Р={2,ч,6, 8, 10...}, Z={...-3, -2,-1.0,1,2,3...}.
где многоточиями обозначена бесконечная последовательность элементов. Данное представление
Краеугольный камень математики
бесконечных множеств выполнимо, если не влечет появления неоднозначности.
Всё и ничего
Существует два особых множества, обязательных сточки зрения теории: это пустое и универсальное множества. Первое из них обозначается символом 0 (буква «О», перечеркнутая по диагонали) и определяется как множество, не содержащее ни одного элемента. Это множество можно считать спорным с точки зрения философии. В свое время у него даже появились противники, утверждавшие, что если множество не содержит элементов, следовательно, его образует ничто. А ничто не существует, поэтому пустое множество также не может существовать.
Универсальное множество обозначается греческой буквой Л, хотя во многих источниках обозначается знаком U, который далее будем использовать и мы. Его определение менее строгое,
чем определение пу сто: о множа. гва. Обычно го
ворят, что универсальное множество содержит все возможные множества. Это очень привлекательный вариант: 0 не содержит ничего, поэтому U содержит всё, то есть все возможные множества. Так делать не рекомендуется, и нс по метафизическим причинам (математики игнорируют их, даже глазом нс моргнув), а потому, что эго повлияет на внутреннюю лотку самого определения множества. По этой причине на универсальное множество наложены определенные ограничения. В примере, который мы использовали в самом начале, заскучавший гость рассматривал обувь всех, кто пришел на праздник. Mb, можем считать универсальным множеством U множество пар обуви всех присутствующих на встрече. Но может случиться так, что мы расширим универсальное множество и включим в него всю обувь определенной марки, произведенную в стране. Также было бы неудобно
"Что такое число?
Числа, называемые натуральными, — это 1,2,3, 4,5,6,7... Хотя их определяют различными способами, один из самых простых — использовать множества с разумной долей ловкости. Джон фон Нейман (1903—1957) сформулировал следующее возвратное определение, в котором используется только символ пустого множества 0 и ключи, которые обозначают .(множество»:
0 = 0
1={0}
2 = [0,1}
3 = {0,1,2}
4 = (0,1,2,3}
5 = {0,1,2,3,4}
6 = {0,1,2,3,4,5}
7 = {0,1,2,3,4,5,6}
Говорят, что множество содержит х элементов, если для указанных элементов можно установить взаимно однозначное соответствие с числом х. Например, гномов из скатки про Белоснежку семеро, потому что их можно поставить во взаимно однозначное соответствие с числом 7. Покажем это на рисунке:
Число 7
Теория множеств
101
считать универсальным множество, образованное всеми парами обуви в мире. Важно, что универсальное множество содержит все элементы, которые целесообразно рассматривать в конкретной ситуации.
Операции
Для множеств определены две операции, аналогичные сумме и произведению: это объединение и пересечение множеств соответс гвенно. Объединение двух множеств, обозначаемое символом U, — это множество, содержащее в себе все элементы исходных множес гв. Например, если
А = {л. Ь, г, d, 1.2} и Б = {1.2,3}, тоЯи£ = {й.Дс.т/. 1.2,3}-
Пересечение двух множеств, обозначаемое символом П. — это множество, которому принадлежат тс и .оеько тс элементы, которые принадлежат обоим множествам. Из примера выше получим:
ЛПВ = {1,2}.
Если множества нс содержат общих элементов. то их пересечение будет являться пустым множеством:
ЛПВ = 0.
А Маыенатические опер, <-ции надмножествами тесно связаны (логическими операциями. в ч ктное ти- с конъюнкцией «»», дим-юнкцией «или* и отрицание» -не». Открытие этой „ ,анми связи между математикой и логикой и ее использование, расширившее тысячелетнее еогччес кое учены' Аристотеля, принадлежит англичанину Джорджу Булю. Свои идеи Буль выразил в краткой, но емкой стать, «Математический анализ логики».
универсальное множество, о чем мы говорили ранее.
Если мы рассмотрим множество А — {1,3/4. X/zT}, его дополнением будет множес гво, образованное любыми элементами, кроме указанных трех чисел. В этом множестве будут содержаться члены английского парламента, коробки сигарет, которые продаются на углу, и даже планета Сатурн.
Диаграммы Венна
Диаграммы Венна — это печально известные среди студентов кружочки, которые в изобилии встречаются в учебниках. Когда преподаватель подходит к чистой доске, начинает рисовать замкнутую кривую и говорит: «Это множество Л», то на лицах студентов ясно читается* «Добром это нс кончится».
Джон Венн (1834—1923) был священником англиканской церкви, став затем преподавателем логики л теории вероятностей в Кембриджском университете. Венн разработал простую систему диаграмм, облегчающую понимание определенных опираний на множествах, но никто и предс та-вить не мог, что его имя будет известно студентам половины земного шара. Диаграмм ы Венна включают рамку, обозначающую универсальное множество U, « которым мы будем работать:
В этой рамке вн)*тренняя часть крута представляет данное множество (вместо круга может использоваться любая замкнутая кривая!. Эти диаграммы очень удобны, потому чтс с их помощью можно наглядно представить, например, объединение двух множеств Ан В (выделено синим цветом):
Третья важная операция, которая применима к одному множеству, — это дополнение. Дополнение множества Л обозначается разными способами; С (А), А или Л'. Будем использовать последнее обозначение. По определению, дополнение Л1 множества Л — это множество, образованное всеми элементами, не принадлежащими Л; иными словами, теми, которые принадлежат универсальному множеству и нс принадлежат А. Здесь четко проявляется необходимость определить
Краеугольный камень математики
Пересечение множеств (выделено красным!:
Диаграммы особенно полезны, когда используется несколько множес гв г
На последней диаграмме нетрудно заметить следующие соотношения:
АПС = 0 сев АПВППСА
Логические противоречия
История теории множеств тесно связана с понятием бесконечности, в частности, с понятием истинной бесконечности, и с необходимостью создавать математические объекты с бесконечным множеством элементов. Несмотря на то, что начала теории множеств определил Бернард Больцано (1781—1848), создание теории в целом единогласно приписывается Георгу Кантору(18ч5—1918). Можно сказать, что теория множеств берет начало в 1874 году, когда Кантор опубликовал в жур-
З-коны де Моргая
Диаграммы Венна позволяют подтвердить правильность многих отношений между выражениями, содержащих множества и операции над ними.
Два из них особенно в 1жны ввиду своей простоты и симметричности. Их называют законами де Моргана в честь английского математика и логика Огастеса де Моргана (1806—1871). Они выглядят так:
(АПВ)г = Дси8‘
(A U В)1 = Д'П в'
нале Крслля работу под названием I оег cine Eigenscharr des Lnbegriffcs allcr reellen algebraischen Zahlen ( «Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел»). Но в 1903 году Бертран Рассел (1872—1970) показал, что теория множеств Кантора является непоследовательной. Это поставило под сомнение возможность использования понятия множества без каких-либо ограничений. Даже сам Кантор осознавал трудности, к которым приводило еущесГВО-вание множества всех множеств, сформулировав проблемное определение множества, которое содержит само себя в качестве элемента. Однако вскоре теория Эрнста Цермело (1908) и ее уточнения, разработанные Френкелем (1922), Сколемом (19233, фон Нейманом (1925) и другими авторами, сформировали фундамент, на котором и строится теория множеств в ее нынешнем виде.
Булева алгебра
Джордж Буль (1815—1864) был английским математиком-самоучкой, который в 1847 году написал небольшой труд «Математический анализ логики», оказавший значительное влияние на философский мир и ознаменовавший начало смещения логики в сторону математики, а не метафизики. Семь лет спустя Буль опубликовал зна менитые
Теория множеств tbti
«Законы мышления» — труд, в котором он заложил основы, позволившие превратить формальную логику в новую разновидность алгебры. Позднее Бергран Рассел после прочтения этой кншн сказал, что чистая математика была открыта именно Булем. Булева алгебра основала на теории множеств, сумма в ней приравнивается к объединению множеств, а произведение -— к пересечению множеств. За нуль было принято пустое множество, а за единицу («единицу» при умножении) — универсальное множество. Таким образом, множества можно складывать и перемножать аналогично целым числам. Буль показал, что эти операции над множествами эквивалентны математическим символам и действиям, использующимся в символической логике.
ЭТО И-ШШ10
J
I Одним из непос редсти иных применений булевой алгебры является «семисегментный индикатср», который можно встретить в любом доне, где есть электронные часы и/ и бытовая технада. Он состоит из семи сепиентов, ксто-рими изображаются цифры. Это очень прею ой на первый в глчд механизм, но удивительно сложный внутри
Л /удогед алгебра используется для гзреСтавясния множе-стел вещей, с которыми мы сталкиваемся каждый день. Например, свойства .макроскопических объектов в рамках ньютоновской физики подчиняются булевой алгебре. Однако di я микроскопических объектов все иначе: они подчиняются квантовой чогике. Также с по мощью булевой алгебры загни ываются события в теории вероятностен. Получается, /?№ булева алгебра управляет и всеми азартными играми.
Удивительно, но одним из противников булевой алгебры был сам Георг Кантор, который по себе знал, каково это — встречать шквал критики в ответ на создание новой теории. Интересно, что Кантора критиковали именно за теорию множеств.
4 Бинарная логика, управляющая работой всех систем обработки и хранения информации, также является частью булевой алгебры. хоть и очень небольшой.

В 1938 году Клод Элвуд Шеннон (1916— 2001) представил булеву алгебру для двух значений и тем самым превратил се в один из важнейших теоретических инструментов за всю историю технологии. С этого момента булева алгебра стала грамматикой компьютерного языка, поскольку она дала возможность описать свойства электрических цепей. Используем ли мы компьютер, переходим ли дорогу на светофоре, смотрим на электронные часы, пользуемся связью, включаем бытовую технику или поднимаемся в самолет — глубоко внутри всех этих механизмов работает булева алгебра.
гт
Аполлоний, последователь Евклида и Архимеда, настолько преуспел в изучении геометрических фигур, что его знания о конусах оставались непревзойденными ДО XVII ВЕКА.
Великий геометр
Аполлоний
О жизни Аполлония Пергского известно немногое. Считается что он родился около 262 года до н. э. в i ороде Перга в Памфилии (в настоящее время Муртана, Турция). Он обучался в Александрит — важнейшем культурном центре той эпохи. В музее и библиотеке Александрии Аполлоний провел значительную часть жизни. Там ученики Евклида посвятили его в тайны геометрии. и вскоре Аполлоний был безоговорочно признан всеобщим наставником. Также известно, что он поддерживал отношения с городом Пер-гам (в настоящее время Бергам, 1 урция), который во времена правления Аттала I Сотера соперничал с Александрией не только в экономическом и политическом плане, но и в культурном развитии. Для этого в Пергаме были созданы библиотека и университет, в которых Аитоций провел
► О енрту&зностн и точности Аполлония ходят
В некоторых областях он предвосхитил техники и приемы, которые стали использоваться спустя почти 2000 лет.
▼ Северное крыло большого алтаря Зевса в Пергаме. Этот город, интеллектуальную жизнь которого ценил Аполлоний, стал для него второй родиной, //пенно там он познакомился с учеными, сравнимы ми по лыс-штабу с философом Евдемоы.
Архимеда. К сожалению, почти все они были утеряны, и мы знаем о них только по свидетельствам других авторов. Сохранились лишь две его работы: «Определенное сечение», которую перевел на латынь с арабскою астроном и математик Эдмунд Галлей (1656—1742), и «Конические сечения», ко-
торая считается его главным шедевром. Другие работы и открытия Аполлония упоминаются во многих источниках. Папп Александрийский вкратце описывает содержание еще пяти его работ по геометрии
Многие авторы упоминают труд, посвященный
основам математики и являющийся продолжением работ Евклида, а также книгу об иррациональных числах, в которой Аполлоний приводит приближенное значение числа тг с большей точностью, чем Архимед. Согласно Птолемею, он также внес значительный вклад в астрономию, в частности, он изучал точки, в которых движение планет изменяется на противоположное.
какое-то время до возвращения в Александрию. Некоторые историки считают, что симпатия, которую Аполлоний испытывал к культурной среде Пер1 ама, привела к тому, что у него появились недоброжелатели в Александрии, где, как достоверно известно, он и провел последние годы жизни и умер приблизительно в 190 году до н. э.
Почти полностью утраченный труд
Аполлоний был автором множества математиче-
Задача Аполлония
«Касания» — один из утерянных трудов Аполлония, о котором мы знаем только благодаря упо- ____
минанию Паппа Александрийского.
В нем он сформулировал задачу, f	\ J
известную как задача Аполлония.	I	V
Ее формулировка выглядит так:	\	/I
даны три произвольных элемента	\
(точка, прямая или окружность).	*Z^
Необходимо найти окружность, касающуюся всех трех элементов. Оче-	I
видно, что под касанием точки понимает-
ся, что окружность проходит через эту точ-	।
ку Задача имеет 10 возможных случаев, f от простейшего (найти окружность, / проходящую через три данные точки) f до наиболее сложного: провести окруж- I ность касающуюся трех других окруж-	\
ностей. По-видимому, этот случай оказался неподвластен даже самому Аполлонию.
,-кнх трудов, сравнимых по количеству с трудами
Аполлоний (262—190 гг. до н.з.)
35
Конические сечсни-я
«Коническиесечения» Аполлония — это геометрический труд, который можно сравнить по важности с «Началами» Евклида. В нем содержатся зачатки раздела математики который спустя много веков стал известен под названием «аналитическая геометрия». Аполлоний не зря известен среди потомков как великий геометр Его труд состоит из восьми томов, содержащих в общей сложности 400 теорем. До нас дош \м лишь первые четыре тома на греческом языке и первые семь в арабском переводе В первых четырех томах содержится краткое изложение результатов, полх ченных предшественниками Аполлония, которые он дополнил важными обобщениями. Следующие четыре гома содержат исследования, принадлежащие перл самого Аполлония. Пятый том посвящен нормалям и эволютам лля конических сечений, шестой том — равенству и подобию раз-
A P О L L О N 11
«поллоний первым точно установил, что обе ветви гиперболы принадлежат одному конусу. До этого геометры говорили о «двух гиперболах», имея в виду обе ветви.
ССЧСНИН. В

г А»

личных конических седьмом томе приводятся знаменитые теоремы о сопряженных диаметрах. Восьмой том безвозвратно утерян, но благодаря введению, написанному Аполлонием, нам стало известно, что в гой книге речь шла о cni ци альных задачах построения конических сечений. В этой монументальной работе- Аполлонию уда лось изложить беспрецедентное обобщение кони ческнх сечений. Он показал, что для получения этих сечений истребуется рассекать три вида ко нусов г, носкостями, а достаточно рассечь произвольный конус плоскостью, изменяя угол ее наклона. Кроме того, Аполлоний бы\ первым, кто использовал двусторонний конус, дав этой фигуре определение, используемое и поныне. Он же ввел в употребление термины «эллипс», « пара-
Л0 МИЖО10
Т Арабы ылевтмв епееоб-। wiflfw.LiH развитию греческой культуры на Западе. На piti унке — cW страницы арабе кого перевода /А делы *> Конических сечений» Анил-сонгся. который выполнили Хи ш ль аль Химен и Сабит ибн Куррл.
В античном чире множество известных личностей носили имя Аполлоний: Аполлоний Родосский, греческий поэ1 и грамматик живший в III веке до н.э.; скульптор Аполлоний Тралес-ский, II век до н.э., пифагореец Аполлоний Тиан-ский, I век до н. э., и многие другие. В Реальной энциклопедии науки о классической дрегности» ПаулИ'Виссова фигурируют биографии 129 исто рических личностей, носивших имя Аполлочий.
бола» п «гипербола». Аполлоний использовал их нс просто из сообрежс ним удобства. До того времени использовались термины «окепто-ма», «ортотома» или «амблптома», иными словами, сечения остроугольного, прямоугольного и тупоугольного конуса соответственно. Обобщение, которое произвел Аполлоний, позволило использовать новые термины, не ссылаясь при этом на форму конуса
► Перам четыре толы
* Кони ’«i ®rr,v t < ченхй » бы. nt переведены на латынь до А7 7 л-кл- На рисунке имбра-женл обложка комментариев А	труду
нк.ч. кантанных ял основе лтнх переводов. Она были опубликованы в Антверпене в 1 б S5 году.
L I В R I
ГУМ СО ММ ENTARirs
В I*. CLAVDII RICHAKDI.
t Soomtc If кт	PiiiuOhmnifit m ЙтСалЬт
Buigiiftdj*, tin CpUcpolrapcmJictufion SocexitM Rrgif МжйстпльалиьГЛжгзз Profrdoaj,
Dicat is
i> Й7 J-cz
ANT VERPIjE.
ApU HIF kONYMVMt lOANSE^J BAFT. Vf HtlVSStW
Конические сечения были объектом пристального изучения геометров аепичности, в особенности Аполлония. С момента революции в науке эти кривые стали важнейшим ЭЛЕМЕНТОМ ГЕОМЕТРИИ В ФИЗИКЕ.
МАТЕМАТИКА
Конические сечения
Форма орбит небесных тел
Конические сечения — это семейство кривых на плоскости, которые можно получить путем рассечения конуса плоскостью. Отсюда они и получили свое название. Представьте себе двухсторонний конус — фигуру. состоящую из двух бесконечно больших конусов, ориентиро-
ванных в противоположные стороны и имеющих общую ось и совпадающие вершины. Если мы рассечем двусторонний конус плоскостью, перпендикулярной осн. то получим окружность. Если мы слегка наклоним эту плоскость, то окру иоюсть прсвраттся в эллипс, который будет увеличиваться с ростом угла наклона плоскости Если мы
продолжим наклонять плоскость, то наступит момент, когда плоскость станет параллельна образующей конуса. В этом случае сечением будет парабола Когда же. наконец, плоскость станет па-
Небесные конические сечения
Иоганн Кеплер (1571—’630) в 1609 году опубликовал книгу «Новая астро-комля», в которой изложи,1 два основных закона движения планет. Первый закон звучит так; «Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце». Второй закон: «За равные промежутки времени отрезок, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади». Спустя десять лет Кеплер опубликовал третий закон в книге «Гармония мира», сформулировав его следующим образом «Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших nonyocet орбит планет». Законы Кеплера были получены эмпирически, в результате наблюдений. Исаак Ньютон (’642—1727) доказал, что орбиты, образуемые под воздействием гравитации, всегда будут иметь форму конических сечений. Следовательно, подобные траектории имеют не только планеты, но также, например, кометы, орбита которых проходи', вблизи Солнца и всей Солнечной системы и которые
ра ллсльна оси конуса, мы получим в сечении две ветви гиперболы. Эти кривые (эллипс, парабола и гипербола) получили название конических сечений (окружность обычно счптас гея чае тным еллчаем эллипса).
Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных фиксированных точек, называемых фоьлеами, постоянна Чтобы нарисовать эллипс, нам понадобятся две фиксированные точки (назовем их F п F’) и длина, которую мы обозначим за I. Если мы возьмем нить длиной Z и закрепим ее концы в точках F и F’, натянем нить карамда том, после чего проведем линию так, чтоОы нить всегда остана лас», натянутой, то полу чпм эллипс.
Таким образом, сумма расстоянии PF и PF’ будет постоянной и равной длине нити / для любой точки Р. Еолыпой осью эллипса называется прямая, проходящая через его фокусы, малой осью — прямая, перпен ди
вращаются вокруг центра Млечного Пути. По этой же причине орбиты искусственных спутников Земли явья ются коническими сечениями, точнее, эллипсами.
► Н.иил пл гнета окружена настоящим роем спутников, действующи г, так и почти превратившихся в ^космический мусора. Есе они имеют лыйЯ' тические орбиты.
F'
ку л.<рная большой оси н проходящая через се-
редин’, отрезка большой оси, ограниченного
фокусами. 11 большая, и малая ось являются осями симметрии эллипса. ' 'аж дыи элли пл имеет три величины л, b и с. 11.x зна-А ченис объясняется на рисунке. Расстояние между фокусами, равное 2с, называется фокальным расстоянием.
53
Эксцентриситета >г орбит планет
Меркурий	Венера	Земля	Марс
0,206	0,007	0,017	0,093
Юпитер 0,043
Сатурн 0,051
Уран	Нептун
0.046	0,004
Один из параметров, в наибольшей степени определяющих форму эхлипса, — это эксцентриситет г, рассчитываемый пи формуле е = с/а. Поскольку знаменатель этой дроби всегда больше числите,хя, эксцентриситет эллипса принимает значения в ин гсрвалс от 0 до 1:
0 < е< 1
При е = 0 оба фокуса F и F’ совмещаются в один и эллипс принимав г форму окружности. При увеличении эксцентриситета эллипс вытягивается. В пределе, когда е = 1, эллипс превращается в прямую.
Парабола
Парабола определяется как геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки (называемой фокусом), и данной прямой (называемой директрисой параболы).
Чтобы нарисовать парабоху (см рисунок ниже), возьмем уголь ник и поместим его так, чтобы один из катетов располагался вдоль ди ректрнсы, после чего
QP = PF - константа
Шепчущие галереи и эллиптический бильярд
Эллипсы обладают следующим свойством: две прямые, соединяющие точку на кривой с двумя ее фокусами, образуют одинаковый угол с каса
тельной эллипса, проходящей через указанную точку. Другими словами, прямая, проходящая через один фокус, проходит и через другой после того, как «отразится» от эллипса. Благодаря этому свойству появились так называемые «шепчущие галереи», подобные Statuary Hall Капитолия в Вашингтоне. Их потолки, имеющие форму эллипсоида, позволяют людям, стоящим в точках фокуса, разговаривать шепотом, и они будут слышать
друг друга вне зависимости от того, насколько шумно в помещении.
Аналогичное свойство позволяет пред-
сказать поведение шаров в эллиптическом
бильярде, в котором трение шаров было бы равно нулю, а соударением шаров можно Рыло бы пренебречь. Если траектория шара проходит через один из фокусов, то, отразившись от края, шар
пройдет через другой фокус; затем, снова отразившись от границы стола, вернется в первый фокус. Спустя несколько соударений траектория будет совпадать с большой осью эллипса, и движение шара станет напоминать бесконечные колебания.
возьмем нить, длина которой равна длине другого катета. Один конец нити должен быть зафиксирован в фокусе F, другой — в гонке В, яв.еяющей-ся конечной точкой катета угольника. С помощью карандаша нужно поддерживать ннгь натянутой.
также она должна примыкать к катету угольнн ка. По мере того как мы будем двигать угольник
вдоль директрисы, карандаш прочерти г параболу.
Поскольку длина нити равна длине катета ВН. справедливо следующее равенство;
В PF + РВ = PH + РЕ
Таким образом, PF - PH для любой точки Р, которую мы нарисуем, что соответствуй г определению параболы.
Параболы обладают
одним важным геометрическим свойством которое имеет множест во применении. Прсдпо-хожпм, что F — фокус параболы, а Р — произвольная точка, лежащая на параболе. Касательная
в точке Р образует равные углы с прямой, параллельной оси параболы, и с г.рямой, соединяющей точку Р к фокус Е
Кзк следствие, вес лучи, параллельные оси параболы, отразившись от параболы, должны проходить через се фокус. 11 напротив все лучи, выходящие из фокуса, отразившись от параболы, стану г парад хс льны сс оси. Для практического использования также строятся параболические поверхности, получаемые вращением параболы вокруг оси.
Л	К&ШОрую АЖИ'
мет конец far ни, додуыгы-ме. чип до/кдедш tv шечных часов, — тоже коническое сечение Форча сеченая мви* сит от шпроты честности и времена л?Лг
Параболическую форму имеют, например, автомобильные фары, в которых источник света расположен в фокусе, чтобы испускаемые нм лучи были параллельны поверхности фары. Когда парабола используется не как источник, а как приемник, лучи, падающие на нее, собираю!ся в одной точке — фокусе параболоида. На эфом же ирнн-цине основана конструкция ансснн радиотелескопов или отражающих поверхностей солнечных печей. В обоих случаях лучи, попадающие на поверхность, испускаются источником света, достаточно удаленным, чтобы считать лучи параллельными осн параболы.
Парабола имеет и еще одно, очень известное физическое воплощение. Вблизи земной поверхности любой предмет, запущенный под определенным утлом и движущийся исключительно под
► Страница книги /Ъе Complete Gunner (- Полное руководство по артиллерии^) Томлеа Венна. Опубликована в 1672 году. Хотя автор цитирует работы Бинле.ч о баллистике, изображенные траектории по форме далеки от парабол.
▼ Страницы объемных трудов Аль-Кннди и Ибн Слхла, изданные в Багдаде.
В них изображена геочетрня фокусировки сучен в «лыси-гательны.ч зерка	*>.
< В ^ОЛНечНОй ПеЧи В ОдеЙи (ФраНЦ/ся) ис Пользу foment trt-
(WW1 фокусов параболы, чтобы дмтичь те мперлтуры в путем концентрации лучен в фокусе зеркала.
дсйс гвнем силы тяг отсния всегда опишет параболическую траекторию. Этот фткт был доказан Галилео Галилеем (156 1--16 г2) и является теоретической основой всех расчетов траекторий гак нз гываемых баллистических снарядов.
Гипербола
Гипербола — э го геоне гричсское место точек пли-косги, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, постоянна.
Гипербола имеет две ветви, концы кото рых уходят в бссконеч ность Нарисовать типе)
0-d; константа
юлу несколько сложнее.
чем два других конических сечения.
«Зажигательные зеркала»
По легенде, Архимед при защите Сиракуз создал причудливое орудие, с помощью которого он, находясь на берегу, смог поджечь корабли, осаждавшие город. Это орудие было образовано системой параболических зеркал. С помощью искусных перемещений фокус параболы, образуемой зеркалами, попадал на один из кооаблей. В этой точке концентрировалась вся энергия солнечных лучей, и корабль загорался. Возможно- все было не так просто, потому что решение этой задачи достаточно сложное.
Интерес к ^зажигательным зеркалам» вспыхнул с новой силой в Соедние века, когда древнегреческие и византийские тексты были переведены на арабский. Философ
и ученый Аль-Кинди, живший в IX веке, составил подробный труд по этой т°ме в котором описывались параболическое зеркало и система из 25 шестиугольных зеркал, отражавших солнечные лучи в одну точку. Также известен


математик X века Ибн Сахл, занимавшийся изучением приспособлений для отражения и преломления гвета, с помощью которых было возмоя но кон-центоиоовать солнечные лучи.
1.4
Л,, ничеекги сечения
Кометы, конические сечения и энергия
Кометы движутся по орбитам, которые могут иметь форму эллипса, параболы или гиперболы. Большинство из них имеет эллиптические орбиты. В этом случае рано или поздно комета снова пройдет мимо Земли, так как ее орбита является замкнутой. Например, комету Галлея можно наблюдать каждые 76 лет. Ее орбита очень вытянута и имеет эксцентриситет, равный 0,9. Напротив, кометы, движущиеся по параболической или гиперболической орбите, не принадлежат Солнечной системе и, посетив нас лишь однажды, навсегда теряючя в глубинах Вселенной. Тип траектории зависит от энергии не-
бесного тела, которая, как известно из элементарной физики, равна сумме
двух величин; кинетической энергии, обусловленной движением, и потенциальной энергии, обусловленной притяжением Солнца Различные типы орбит, по которым движутся кометы, отражают соотношение между этими двумя величинами. Когда доминирует сила притяжения, орбита замкнута
и имеет форму эллипса (полная механическая энергия отрицательна). Когда эти величины имеют противоположные значения, траектория незамкнута и имеет форму параболы (полная механическая энергия равна нулю). Когда преобладает кинетическая энергия, орбита незамкнута и имеет форму гиперболы (полная механическая энергия положительна).
РЕ’ + РМ = D; PF + PM = d.
Вычтя второе равенство из первого, получим: PF'-PF=n-c/,
что соответствует определеник> гиперболы.
мшено
При движении тела, брошенного под углом к горизонту, дальность налета максимальна при угле наклона траектории в 45°. Кроме этого скорость с которой тело намает на землю, равна скорости, с которой тело начало движение
Столы для бильярда в форме эллипса — не просто выдумка математиков. 1 июля 1964 года целая полоса газеты New Yort Time15 ока' залась занял рекламой эллиптического бильярда Elliptpool когирыи только что поступил в продажу и на следующий день был предс гав-лен известными акп-рами Голливуда.
4 жальнь е свойства эллипса и параболы наводят на мысль о родстве обеих фигур
I действительности параболу можно получить, растягивая эллипс вдоль его большой оси. При большом растяжении часть эллипса становится практически неотличима от параболы
Нам также понадобятся нить и линейка, но в этом случае длина нити обязательно должна быть меньше, чем длина линейки, но больше^ чем расстояние между фокусами. При соблюдении этих условий все. что необходимо сделать. — это зафиксировать один из концов линейки в одном из фокусов и закрепить оба конца нити: один насвобо'.юм конце линейки, второй — во втором фокусе.
длина линейки -D длина нити=с/
М
Если мы нулем нести линию карэг- дшом при условии, что нить натянута и идет в\оль лпнеп-кп, то получим одну из ветвей гиперболы. 11<>вто-рив ана логичные действия длч сругого фокуса, получим вторую ветвь гиперболы. Если мы внимательно посмотрим на полученную фигуру, то заметим, что для любой сеточки Р выполняются равенства:
1учшее от Генри Э. Дьюдени
Арифметические и алгебраические задачи
1.	Простое деление
11ногда простой вопрос из элементарной арифметики может поставить всех в тупик. Например, я хочу разделить четыре числа, а именно 701. 1059,1417 и 2 312 на максимально возможное чис хо так. чтобы остаток от деления на него всех четырех чисел был одинаковым. Как же это можно сделать? Конечно, с помощью запутанного метода проб и ошибок можно получить верный ответ, но существует и более простой способ Какой?
2.	Девять шматулох
Следующая головоломка показывает, как важно порой знать границы интервала, которому принадлежит число. Это .может пригодиться достаточно часто. I lanpitMcp, до сих пор неизвестно, сколькими способами шахматный кинь может обойти всю доску’, пройдя по каждой клетке ровно один раз. 11о мы знаем, что это число меньше, чем количество » сочетаний из 168 по 63, и больше, чем 31 05-1144 (это коси чество путей опрехехенного типа). Можно взять и более знакомый пример. Если спросить кого-нибудь, сколько монету него в кармане, он затруднится с ответом. Но задав ему еще- несколько вопросов, мы можем получить ответ вида-«Да. я думаю, что . меня Оо хь-ше трех монет, и точно уверен, что их меньше 25». Итак. зная, что некое число в моей голояо-\омкс находится н промежутке между 2 и 12, читать щ сможет дать верный ответ. Бев этой информации число ответов было бы бесконечным, п выбрать из них един ственно правильный было бы невозможно.
Эту головоломку мне рассказа х мой \руг дон Мануэль Родригес, эксцентричный скх пец из Новой Каста хии Н нового унюю ночь 18”9 года он показах мне девять шкатх лок Он сообщих. что в каждой шкатулке находится квадратное число золотых дуг.хонов, и разница между числом ду-ихонов в шкатулках А и В такая же. как и между В и С. Та же разница между кохичеством монет в шка.улках 1) и Е, Е и F. G и Н. Н и 1, Затем он попросил меня определить, сколько же монет
в каждой шкатт лке.
Л .{пн Мм/учь ifalpHW, пке-фюнрн чн ын i купец. я опроси. j wh v определит-. ска им wurm -1гжнт я клж&т шкоту 1кс
Сначала я реши л, что это невозможно и что
число ответов бесконечно велико, но, поразмыслив. поня л, что это не так. Ни одна из швдтулок нс была пустой. Вес шкатулок А. В и С увеличивался в соответствии с алфавитным порядком, то же самое верно для D, Е, F и для G, Н, I. Однако шкату хки D п ,п Е нс обязательно должны быть тяжелее С, а шкатулки G или Н не обязательно тяжелее F. Также было очевидно, что шкатулка А может содержать не более дюжины монет. Зная это, я смог найти верный ответ.
Короче говоря, нам нужно найти девять 411-сел (представляющих из себя квадрат чисел), таких что каждая тройка чисел (А, В, С; D, Е, F hG И. I) образовывала бы 1рифметпческую прогрессию. Разница между числами в каждой группе должна быть одинакова. Кроме того, А меньше 12. Сколько же ду б хонов лежало в каждой из девяти шкап улок?
3.	Задача банкира
У одного банкира был азартный клиент, который всегда был I отов вьязаться в спор. Желая излечить его от 9той дурной привычки, банкир предложил поспорить, что клиент не сможет разделить сохе-ржи мое ящика, в котором находились только монеты, на ранные части.
Банкир положил одну пли более монет в ящик (столько, сколько ему захотелось), затем клиент хобанил одну и хи Ьолес монет, но нс Польше 40, При этом ни банкир, ни клиент нс знали, сколько же монет положил другой. Наконец, клиент должен был положить В Я ИЦ! к столько монет, сколько пожелает банкир Определите, сколько монет должен положить в ящик банкир и сколько монет толжен положить в ящик клиент по просьбе банкира, чтобы банкир имел наибольшие шансы выиграть.
4.	Задача султана
Один султан решил отправить в сражение армию которая могла бы построиться в два квадрата двенадцатью различными способами. Какое нацмен! шее число солдат может быть в такой армии?
Чтобы сделать задачу понятнее, поясню, что если бы в армии было 130 солдат, то они смогли бы по< . роиться в хва квадрата только хвум я способами: по 81 и 19 либо по 121 и 9. Разумеется, ₽ любом not троении должны участвовать вес солда
ты армии.
33
Решения
1.	Вычтем каждое число из всех остальных, и получим 358 (дважды: 1059 - 701 = = 358 и 1417 - 1059 = 358), 716 (1417 --701 =716), 1611 (2312-701 = 1611), 1 253 (2312 - 1059 = 1253) и 895 (2312 --1417 = 895). Итак, 358 равно 2 х 179, поэтому единственный возможный общий делитель, для которого остаток от деления в любом случае будет равен нулю, — это 179. Методом проб и ошибок получим, что 179 удовлетворяет условиям задачи. Поэтому именно 179 — искомое число, и для всех чисел, указанных в задаче, остаток от деления на него будет равен 164.
2.	Ниже приведен ответ, удовлетворяющий всем условиям задачи:
А = 4	8 = 3364	С = 6724
D = 2116	Е=5476	F = 8836
G = 9409	Н = 12769	1 =	16129
Каждое из этик чисел является квадратом для следующих чисел (в алфавитном порядке): 2,58,82,46,74,94,97,113 и 127. Во всех случаях разность между А мВ, В и С, D и Е и так далее равна 3360.
3.	Чтобы монеты нельзя было разделить на равные столбики (одну монету нельзя считать столбиком), нужно, чтобы их число было простым. Если банкир получит простое число, он победит Сейчас я покажу, как это можно едглать простым способом вне зависимости оттого, сколько монет положит в ящик клиент, то есть чтобы банкир всегда выигрывал.
Сначала банкир должен положить 40 монет, затем, вне зависимости от того, сколько добавит клиент, попросить его добавить в ящик квадрат от того числа монет, которое он только что положил, уменьшенного на единицу. Так, банкир положит 40 монет, клиент добавит, например, 6, затем 25 (5 в квадрате/. В результате в ящике будет лежать 71 монета — простое число. Попробуем еще раз. Банкир кладет 40 монет, клиент добавляет 12, затем 121 (11 в квадрате), в результате в ящике будет лежать 173 монеты — снова простое число.
Ключ к решению задачи — следующий любопытный факт: если прибавить к любому числу, не превышающему 39, его квадрат и увеличить сумму на 41, то результат будет простым числом. Первым это обнаружил великий математик Эйлер.
Можно предложить другое решение: банкир должен попросить клиента добавить столько монет, чтобы в результате в ящике оказалось определенное число монет. Но это не просто делает задачу абсурдной, но и нарушает правило о том, что ни один из игроков не должен знать, сколько монет положил другой
4.	Наименьшие простые числа, которые можно представить в виде 4п + 1, — это 5,13,17,29 и 37; наименьшие, которые можно представить в виде 4п -1, — это 3,7,11,19 и 23. Таким образом, простые числа из первой группы всегда можно представить в аиде суммы двух квадратов единственным способом. Так, 5=4 + + 1; 13 = 9 + 4; 17= 16 + 1; 29 = 25 1-4;
37 = 36 + 1. Но простые числа из второй группы никак нельзя представить в виде суммы двух квадратов. Чтобы число мож но было представить в виде суммы двух квадратов разными способами, необходимо, чтобы это число имело определенное количество простых сомножителей из первой группы. Так, 5 или 13 — единственные числа, которые можно представить одним способом. Однако 65 (5x13/ можно представить двумя способами; 1105 (5x13x17) —четырьмя; 32405 (5 х 13 х х 17 х 29) — восемью способами. Таким i6pa-зом, для каждого нового множителя, который мы добавим, число способов удваивается. Обратите внимание, что я говорю «новый множитель»1, по< кольку повторное умножение на один и тот же множитель подчиняется другому закону. Мы не можем выразить 25 (5 х х 5) двумя способами, только одним. Однако 125 (5 х5 х5) можно
представить двумя способами, равно как и 625 (5 х 5 х 5 х 5). Но если мы добавим еще один множитель 5, то сможем представить результат в виде суммы двух квадратов тремя разными способами.
Если простое число из второй 'руп-пы будет множителем искомого числа, то это число не сможет быть суммой
двух квадратов. Так, 15 (3 х 5) не подходит, 135(3x3x3x5)- гоже если 3 встретится среди сомножителей четное число раз, то все изменится: эти тройки сами । образуют квадрат и мы получим решение, но только одно. Так, 45 (3 х 3 х 5 или 9 х 5) = 36 + 9. Аналогично может использоваться множитель 2 либо 2 в любой степени например, 4,8,16,32. Однако его использование будет влиять на число решений, за исключением случаев, подобных 50, когда кеадра" удваивается и мы получаем два ответа: 49 +1 и 25 + 25.
Как только мы разложим число на простые множ.ггели, мы сразу же сможем определить, можно ли разложить это чис ло на два квадрата. Если это возможно, то найти все возможные варианты разложения очень просто, и это легко можно сделать в уме. Я упомянул число 130. Нетрудно видеть, что оно равно 2x5x13. Так как 65 можно представить двумя способами (64 + 1 и 49 + 16), то 130 также можно представить двумя способами, так как множитель 2 не влияет на ответ.
Наименьшее число, которое можно представить в виде суммы двух квадратов двенадцатью разными способами, равно 160 225. Именно столько солдат содержит наименьшая по размерам армия, удовлетворяющая условиям задачи.
Это число равно произведению 5x5x13x17x29. Каждый из множи телей этого произведения принадлежит к требуемой группе. Если бы все множители были различны, то число способов равнялось бы шестнадцати, но так как один из множителей повторяется, то способов
всего двенадцать. Двенадцать пар — это 400 и 15,399 и 32,393 и 76,392 и 81, 384 и 113,375 и 140,360 и 175,356 и 183, 337 и 216,329 и 228,311 и 252,265 и 300. Если мы возведем в квадрат числа из каждой пары, после чего сложим их, то для каждой пары эта сумма будет равна 160225.
36
Если ГОЛОВОЛОМКУ НЕ УДАЛОСЬ РЕШИТЬ БЫСТРО, МОЖНО ЗНАЧИТЕЛЬНО УМЕНЬШИТЬ число возможных ВАРНА! ГТОВ, ИЗНАЧАЛЬНО НАЛОЖИВ НЕКОТОРЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ. ЗАДАЧУ ТАКЖЕ МОЖНО РЕШИТЬ, ЗАДАВ СЕБЕ вопрос: «А если на самом деле все проще?»
Мнимая простота
Пирамида из четырех частей
Ч 1О.ЮвОЛОМКЛ оПар^ЛШ^Л и? четырех v,r< meet - требует пространственного чышленич. поэтому решать ее. ходу вовсе не просто. Не-< иитр.ч на это, сущвЛ шву ют гяаоды. которые помигают найта реш.’нне.
Казалось бы, сложить головоломку из четырех частей совсем не трудно. Несмотря на это, мало кому удается собрать эту пирамиду, разрезанную на части. Некоторым удается с услать это с поразительной быстротой, чго еще больше смущас! Остальных. Можно утешиться тем, что сущее луст такая же головоломка, но со-е гоящая всего из дв\х частей! На самом деле это лишь вариант исходной головоломки, в котором элементы склеены попарно, и всё, что остается сделать, — это яайт и правильное расположение одной час nt относительно другой.
РЕШЕНИЕ
Первая версия
Одна из вереий, которая совсем не кажется опрометчивой, гласит, чго как минимум две части головоломки соприкасаются одной из сторон с другими час тями. Каждый элемент имеет форм} пяппранннка. Если положить его на меньшую из треугольных сторон, то две одинаковые боковые стороны б\д) г иметь форму трапеции и одна — форм1, прямоугольника Основанием будет равносторонний треугольник (это не обя агсльно; чтобы пос [роить нирамидх достаточно, чтобы этот
Пирамиды
Когда речь идет о пирамидах, неизбежно сравнение с величественными сооружениями Древнего Египта (см. рисунок ниже}. Точно неизвестно, почему египтяне выбрали именно такую форму для своих грандиозных монументов. Согласно одной из гипотез, они взяли га образец форму распространения солнечных лучей. Другая версия гласит, что с помощью пирамиды фараон поднимался на небо. Одно из свойств пирамиды, открытое
Евдоксом (это свойство упоминается в 12-й книге «Начал» Евклида, посвященной пирамидам], заключается в том, что объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту. Евдокс Книдский (ок. 408 — ок. 355 гг. до н.э.) обнаружил это свойство с помощью метода, показанного на рисунке, предшествовав
шего нахождению площади
с помощью интегрирования. Метод Евдокса основан на том, что объем пирамиды приблизительно равен сумме известных объемов тел (в данном случае это прямоугольные параллелепипеды), причем объем пирамиды больше, чем сумма объемов вписанных параллелепипедов (красная линия), и меньше чем сумма объемов описанных параллелепипедов (синяя линия). Точность приближения возрастает с увеличением количества таких «этажей-

трелюльник бы л равнобедренным , а верхнем стороной — равнобе хрснныи треугольник.
Если это предположение верно, то сначала ну кно определить, сколькими способами мы можем соединить две части, прикладывая их равные-стороны друг к дру су.
Четыре стороны имеют разную форме (так как две стороны имеют форму равнобедренных трапеций и равны между собой), поэтому нужно определить, сколькими способами мы можем соединить две части пирамиды для каждого из четырех случаев. Прямоугольные стороны можно соединить между собой двумя равными способами, основания —тремя, а остальные стороны — единственным способом.
Два способа соединения прямоугольных сторон
Единственный способ соединения верхних сторон (равнобедренных гоеугольников).
Единственный способ соединения сторон, имеющих форму трапеции.
Наконец, три способа соединения оснований (равносторонних треугольников/
Теперь, соединив две части, можно попытаться соединить две дру гис, чтобы собрать пирамиду. Если это нс удалось, нужно пробовать еще один из семи способов, показанных на рисунке.
Вторая версия
Решение мдачи можно упростить ( ще больше выдвинув доле лнитсльное предположение. С его помощью число возможных ком зинаций сократится еще больше, но также уменьшится вероятность того, что юловоломкх можно будет собрать. выполнив все поставленные ограничения. Су ть в том. что нужно сое динить не только две части боковыми сторонами, но также и две осталь
ные согласно схемам, указанным на рис*, икс выше, л затем определить, во (можно ли собрать пирамиду из полученных пар.
Если решение не найдено и в этом случае, объе-
дините элементы н пары так, как показано на рисунках. НиТги решение просто, но тем не менее оно нетривиально. Ведь не зря продастся такая же головоломка, но всего из двух частей! На рисунках показана правильная последовательность действий:
нужно поднять и повернуть одну из них так, чтобы ее четырехугольная сторона совпала с такой же стороной первое пары.
Соединив их. мы соберем пирамиду.
7
IXWGOSTINI ПРЕДСТАВЛЯЕТ
Пропустили выпуск любимой коллекции?
© Просто закажите ег< на сайт
w ww.deasosti ni.ru
Для украинских читателей — по телефону горячей линии 0-800-500-8-40
В следующем выпуске через 2 недели
Куб-7
Бесконечность
Является ли реальность конечной?
Сага о выдающихся математиках и физиках
Семья Бернулли
Циклоида
Разносторонняя кривая

Спрашивайте в киосках!
Льюис Кэрролл
Запутанный рассказ