ВЫХОДИТ РАЗ В ДВЕ НЕДЕЛИ
Рекомендуемая розничная цена: 279 руб. Розничная цена: 49,90 грн, 990 тенге
занимательные
ГОЛОВОЛОМКИ
КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ IZAGOSTINi
20
Куб-7
«ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ» Издание выходит раз в две недели Выпуск №20,2012 РОССИЯ
занимательные
ГОЛОВОЛОМКИ
КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ D4AGOST1N1
В этом выпуске:
ИЗДАТЕЛЬ, УЧРЕДИТЕЛЬ, РЕДАКЦИЯ: ОСО «Де Агостини*», Россия
ЮРИДИЧЕСКИЙ АДРЕС 1 OS 066, г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д.З, стр-1 Письма читателей по данному адресу не принимаются.
ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР: НиколаосСкилакис ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР: Анастасия Жаркова ФИНАНСОВЫЙ ДИРЕКТОР: Наталия Василенко КОММЕ Р Ч ЕС КИИ ДИ РЕКТОР: Алекса н др Якутов МЕНЕДЖЕР ПО МАРКЕТИНГУ: Михаил Ткачук МЛАДШИЙ МЕНЕДЖЕР ПО ПРОДУКТУ: Любовь Мартынова
Свидетельство о регистрации средства массовой информации в Федеральной службе по надзору в сфере связи, и нформадионных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) ПИ № ФС77-43310 от 28.12-2010 г.
Дня заказа пропущенных номеров и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ru
по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной ^горячей линии» в России:
С 8-800-200-02-01
Телефон «горячей линии» для читателей Москвы:
С 8-495-660-02-02
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ: Россия, 170100, г. Тверь, Почтамт, а/я 245, «Де Агостини», «Занимательные головоломки*»
РАСПРОСТРАНЕНИЕ:
ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисна»
УКРАИНА
ИЗДАТЕЛЬ И УЧРЕДИТЕЛЬ: ООО «Де Агостини Паблишинг», Украина ЮРИДИЧЕСКИЙ АДРЕС: 01032, Украина, г. Киев, ул. Сакса ганс кого, д. 119 ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР: Екатерина Клименко
Свидетельство о государственной регистрации печатного СМИ Министерства юстиции Украины КВ № 17502 6252Р от 01.03.2011
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ:
Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини». «Занимательные головоломки»
Украина, 01033, м. КиГв, а/с «Де Агоспн!»
Для заказа пропущенных номеров и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ua
по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной «горячей линии» в Украине:
С 0-800-500-8-40
БЕЛАРУСЬ
ИМПОРТЕР И ДИСТРИБЬЮТОР В РБ: ООО «Росчерк*, 220037. г. Минск, ул. Авангардная, д. 48аг литер 87к, тел./факс +37517 2-999-260
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ: Республика Беларусь, 220040, г. Минск, а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини», «Занимательные головоломки»
КАЗАХСТАН
РАСПРОСТРАНЕНИЕ: ТОО «КГП «Бурда-Алатау-Пресс
РЕКОМЕНДУЕМАЯ РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА: 279 руб. РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА; 49.90 грн, 990 тенге
ОТПЕЧАТАНО В ТИПОГРАФИИ: G. Canale & С. S.p.A. Sos. Cernica 47, Bucuresti, Pantelimon - llfov, Romania.
ТИРАЖ: 68 000 ЭкЗ.
Издатель оставляет за собой право изменять последовательность номеров и им содержание.
Издатель оставляет за собой право увеличить рекомендуемую цену выпусков.
Неотъемлемой частью каждого выпуска является приложение.
© ООО «Де Агостини». 2012
© RBA Coleccionables, 2011 ISSN 2225 1782
ДАТА ВЫХОДА В РОССИИ: 06.11.2012

Математическая вселенная
Я сяется ли реальность конечной? Никакой другой вопрос так глубоко не волновал человеческую мысль, как вопрос о бесконечном. Кантор, утверждавший, что «сущность математики — свобода», пошел дальше других, свободно оперируя бесконечностями, сравнивая их и да ке ,. создавая. Его усилиями бесконечность перестала быть чем-то с гранным и неприступным и превратилась в объект математики, с которым можно выполнять действия, аналогичные действиям с числами.
Блистательные умы
С.ага о выдающихся математиках и финиках Семья Бернулли представляет собой поистине уникальное явление не только в математике, но и в истории науки вообще. Стремясь подтвердить теории генетиков, ученые проследили путь почти 120 представителей семейства Бернулли. Выяснилось, что большинство из них так или иначе преуспели в науке, а четверо были избраны членами Парижской ака-
демии наук.
Математика на каждый день
Разносторонняя хриьа." Математики древности считали циклоиду красивейшей из кривых. Она действительно обладает множеством замечательных свойств и находит свое применение в разных областях. Арку циклоиды можно встретить во многих железобетонных конструкциях; крупные виадуки имеют именно такую форму. Еще Галилей рекомендовал использовать подобные конструкции при строительстве мостов, хотя не мог привести строгое доказательство этого.
Математические вадачки
Запутанныйрассказ Тот, кто хоть раз пытался записывать свои расходы, несомненно, проникнется сочувствием к Кларе, всеми силами старающейся припомнить, сколько стоил ее завтрак и на что именно уш ли ее карманные деньги. А Безумная Математильда вместо того, чтобы помочь ей, лишь сурово предлагает вспомнить арифметику.
Головоломки
Куб'7 Перед вами большой куб размерами 3*3*3 кубика, включающий в себя семь частей. Каждая из них состоит из трех или четырех кубиков, скрепленных вместе. Подключите ваше воображение и соберите из них большой куб, а также многие другие интересные объемные фигуры.
Бесконечность, как и пространство, — одно из двух математических понятий, в изобилии встречающихся в философии. Оба они касаются восприятия основных принципов мироздания, поэтому принадлежат к числу наиболее сложных.
Бесконечность
Является ли реальность конечной?
Злзпарное украшение ХШ века, на котором Бог изобрази ч великим архитектором, из меряющим Вселенную с помощью ииркзля. Божественная бесконечность, которую средневековые богословы считали метафизической необходимостью, не меша га создавать подобные бесхитрог тные образы.
Бесконечность недостижима, следовательно, ее невозможно измерить. У нее отсутствует то, что древние греки именовали метрон, поэтому она принадлежит к категории хаоса. По этой причине Платон и Пифагор называли бесконечность апейрон. Позднее Анаксимандр придал этому слову смысл, схожий с тем, что подразумеваем под этим понятием мы, — «беспредельный». Однако наиболее смело и систематично с проблемой бесконечности работал Аристотель, определив в своем труде «Физика» два разных типа бесконечности: потенциальную бесконечность — неостановимый процесс роста, и актуальную бесконечность — реально существующую величину, не имеющую конечной меры. Математики долго спорили об этих определениях, пока Кантор не доказал математически существование бесконечного числа актуальных бесконечностей с помощью инструмента, который создал сам — теории множеств.
Актуальна г? и потенциальная бесконечность
Слова, обозначающие два различных типа бесконечности, не совсем удачны или по меньшей мере неинтуитивны.
► Черная дыра, поглощающая аптерию ближайшей звезды. Согласно общей теории относительности зти объекты являются истинным воплощением бесконечности, поскольку кривизна пространства-времени в них является бесконечно большой. Черная дыра затягивает в себя все; незадачливого путешественника, подошедшего слишком близко, затянет внутрь черной дыры за конечное время. Однако ввиду относительности времени, для удаленного наблюдателя падение nymeiuei твенника в черную дыру будет длиться бесконечно.
Возможно, более уместно (но тоже не совсем удобно) было бы называть акт уальную бесконечность теоретической, а потенциальную бесконечность — истинной бесконечностью.
Рассмотрим разницу между этими понятиями на примере. Последовательность натуральных чисел 1, 2,3,4,... бесконечна. Изначально никто не подвергает это сомнению, поскольку для любого сколь угодно большого числа п мы всегда можем получить следующее число, п + 1. Но одно дело — иметь возможность выполнить подобное действие, и совсем другое — сделать это в реальности и получить результат. Это очень тонкое различие. «Иметь возможность выполнить действие» определяет потенциальную бесконечность, полученный результат такого действия — актуальную бесконечность.
Покинем на время мир математики, чтобы в более свободной форме объяснить разницу между этими понятиями. Пре дположим, что я нарисовал перед собой на полу прямую. Если я сделаю шаг вперед, то перешагну ее. Это потенциально возможное действие. Когда я выполнил это действие и оказался по другую сторону прямой, я актуализировал этот потенциал. Существует четкая разница между потенциально возможным действием и совершенным в действительности. Например, может случиться так, что я соберусь начать действие, но произойдет землетрясение и в полу образуется огромный разлом, который не даст мне лерешапч ть прямую.
То, что никто не может записать все целые числа, — неоспоримый факт. Также верно, что никто никогда не видел двух параллельных прямых, поскольку прямые бесконечны и мы можем видеть лишь отрезки этих прямых. Значит ли это, что параллельные прямые не существуют? Они существуют настолько же, насколько существуют прямые вообще, но есть ли на самом деле бесконечная прямая? Евклид в своей знаменитой книге «Начала» пытался рассматривать эту тему: упоминая прямые, он говорил об «отрезках, длина которых может быть произвольно большой». Это весьма явная параллель с потенциальной бесконечностью.
Бесконечно малые величины
Подобно тому, как можно говорить о чем-то бесконечно большом, можно вести речь и о бесконечно малом, перевернув понятие бесконечности с ног на голову и открыв тем самым мир бесконечно малых величин. Например, между 0 и 1 расположено число 1 /2, которое меньше 1 и больше 0. Но 1/3, в свою очередь, меньше 1 / 2 и больше 0. Очевидно, что этот ряд может продолжаться бесконечно: 1/5,1/6,... Сколько же подобных чисел находится между 1 и О?
Есть два ответа на этот вопрос. Первый ответ: столько, сколько захотим. Здесь мы оказываемся в области потенциальной бесконечности (иными
Ощущение бесконечности в перспективе
Благодаря методам перспективы бесконечность можно увидеть на картинах. Параллельные прямые, которые в трехмерном пространстве пересекаются «в бесконечности», представлены на плоскости картины посредством прямых, соединяющихся в точке схода. Методы проективной геометрии, на которых основана перспектива, в значительной степени были разработаны Жираром Дезаргом (1591—1661). На рисунке показана гравюра из его работ, на которой мож» ю прочесть: «О применениях перспективы без использования никакой третьей точки, удаленной либо имеющей иную природу, находящейся вне плоскости картины».
На рисунке выше показан* еще одно чудо перспективы: в реальности две ветви параболы расходятся, но на рисунке кажется, что они сливаются в точке, удаленной на конечное расстояние, — в точке схода. Конус меняет форму и превращается в эллипс.

Является ли реальность конечной ?
Бесконечность и индукция
Евклид формировал свою геометрию, базируясь на основных положениях, не требующих доказательства, —так называемых аксиомах, или постулатах, из которых выводились другие положения, называемые теоремами. Джузеппе Пеано (1858—1932) по образу и подобию евклидовой геометрии сформулировал систему фундаментальных аксиом арифметики, в частности, Множества натуральных чисел: 1,2,3,4,5,6 и до бесконечности, не используя слово «бесконечность» и не прибегая к этому понятию.
Аксиомы Пеано
Аксиомы Пеано можно изложить простым языком.
А,. 1 является натуральным числом.
А2. Число, следующее за натуральным, также является натуральным.
А3. Если для двух натуральных чисел следующие за ними числа равны, то и сами эти числа равны между собой.
А«. 1 не следует ни за каким натуральным числом.
А5. Если некоторое множество натуральных чисел содержит 1 и вместе с каждым натуральным числом содержит следующее за ним, то оно содержит все натуральные числа.
Последняя из аксиом, так называемая аксиома индукции, крайне важна. В ней определена бесконечность, но вместе с тем она не упоминается явно.
Классический пример использования этой аксиомы — доказательство по индукции. Рассмотрим его на конкретном примере.
Мы хотим доказать, что следующее равенство верно для любого натурального п:
1+2 + 3+ .. . +л = лх (л +1)/2.
Обозначим правую и левую части равенства как Rn и Sn:
Rn — 1 + 2 + ... + nj 5л = пх(л + 1)/2.
Покажем, что формула верна для R) и S1( R2 и S2, R3 и S3.
S, = 1 x(1+l)/2 = 2/2=1=R,;
5i = 2x(2 + 1)/2 = 2 + 1=3=1+2 = Rj;
Ss = 3x(3 + l)/2 = 6 = 1+2 + 3 = Ri.
Теперь рассмотрим множество X, образованное значениями п такими, что Rn = Sn. Элементами этого множества являются 1,2,3...Допустим, что R„ = S„. Покажем, что выполняется
равенство RnM = Snt1.
R„+] = 1+ 2 + ... + л + (л+1) = Н„ + л + 1 = Sn+л +1 = = пх(п+1)/2 + л+1=лх(п + 1)/2+2х(л + 1)/2 = = n X (л +1) + 2 х (л +1)/2 = |n+ 1) х (л + 2)/2 = Sn+1.
Вернемся к множеству X: оно содержит не только 1,2,3,..., но и, как мы только что показали, с каждым натуральным л содержит и л +1.
Из аксиомы Пеано As следует, что множество X содержит все натуральные числа. Иными словами, формула R„ = Sr верна для любого натуральногол. Мы доказали методом индукции, что
1+2+... + л = лх(п + 1)/2.
Это равенство верно для бесконечного множества натуральных л. Таким образом, мы пришли к актуальной бесконечности через потенциальную бесконечность.
словами, потенциальных бесконечно малых величин). Второй ответ: бесконечное количество. В этом случае речь идет об актуальной бесконечности.
Среди синонимов слова «бесконечный» в словаре можно встретить «большой», «беспредельный», «расширяющийся во все стороны» и им подобные. Все эти определения нельзя применить к малому интервалу вида (0, 1), ведь это ограниченное и очень малое множество, внутрь которого помещается бесконечность. Более того, интервал, на кото-
А На этой миниатюре из рукописи Ашмола, хранящейся е Бодана некой библиотеке Оксфорда, изображен Евклид (слева). Именно этот великий древнегреческий математик открыл аксиоматический метод. Применимо к арифметике этот метод позволяет использовать бесконечность, не называя ее явно. Аксиома, с помощью которой это возможно, называется аксиомой индукции.
ром может поместиться бесконечность, может быть сколь угодно малым: например, между 0,00000000000000000000001 и 0 может располагаться бесконечное количество чисел. Эта простая истина в свое время представляла затруднение для противников актуальной бесконечности. Естественно, это бесконечное множество должно формироваться шаг за шагом. С помощью простой арифметики мы можем получить сколь угодно малые числа, и это прекрасно согласуется с точкой зрения сторонников потенциальной бесконечности.
Бесконечность QQ
Пр&видец и яигяровергд-тнь лвторшк&шю, Георг Кантор нкледови.ибесконечность 6 идмечатике, как nuKtatf другой Во него. Его те^ня гярлнсфикнтных чисел — одна hj наиболее с челы к и удивительных в ео-вреченнвй члте угстнке.
▲ Если Кантор был сторон-никои актуальной бесконечности, то Леопольд Кроне-хер — одним из ярчайших ее противников. Это несходство во т нениях вызва го г луоокую личную неприязнь между ним и Канторо и.
Признаем, что совершить «действие» по составлению этого бесконечного множества невозможно. Однако мы ограничили это множество сверху и снизу границами интервала. Не нужно создавать безграничные пространства, непостижимые для нашего восприятия, ведь бесконечность может уместиться на небольшом участке.
За гранью бесконечности
В XIX веке понятие бесконечности стало дифференцированным. Кантор не просто определил актуальную бесконечность на языке математики, но и показал существование разных бесконечностей. Болес того, он доказал, что одни бесконечности больше других и создал бесконечную последовательность трансфинитных чисел. Он впервые потряс математический мир, пойдя наперекор здравому смыслу и, в частности, суждению Евклида:
«Целое больше, чем каждая из его частей». Нетрудно показать, что на множестве целых чисел одна из его частей столь же велика, как и множество в целом: сформируем таблицу из двух колонок, в первой из которых будут записаны целые числа, во второй — они же, умноженные на два, и увидим, что целых чисел столько же, сколько и четных. Это является характерной чертой бесконечных множеств. Только они обладают странным свойством: их часть может быть столь же большой, как и всё множество. Кантор доказал, что вещественных чисел больше, чем целых. Оба эти множества бесконечны, но одно из них больше другого, из чего следует, что не все бесконечности одинаковы.
Так Кантор начал, возможно, самый удивительный этап в истории человеческой мысли, породивший бесчисленное множество разнообразных противоречий: математических, логических, метафизических и даже теологических, многие из которых до сих пор не разрешены. На долю самого Кантора выпало первое и, быть может, самое тяжелое из них, ставшее причиной противостояния с его бывшим учителем, Леопольдом Кроне-кером (1823—1891).
Противоречивость бесконечности
Кронекер отрицал любые понятия, не связанные с каким-либо типом математических операций. Прозрачно намекая на методы Кантора, он
О бесконечности
«Впрочем, важнейшая задача неразрешима: перечисление, даже частичное, элементов бесконечного множества. Кроме того, неразрешима главная проблема перечисление, пусть неполное, бесконечного множества. В гран ди оз: 1ый этот миг я увидел миллионы явлений — радующих глаз и ужасающих — и ни одно из них не удивило меня так, как тот факт, что все они происходили в одном месте, не накладываясь одно на другое и не будучи прозрачными».
Хорхе Луис Борхес (1899- -1986)
«В математике бесконечную величину никогда нельзя использовать как нечто окончательное. Бесконечность — лишь манера выражаться, означающая предел, к которому стремятся одни величины, когда другие бесконечно убывают».
Харл Фридрих Гаусс (1743—1839)
«Существует понятие, искажающее и обесценивающее другие понятия. Речь идет не о Зле, чьи владения ограничены этикой; речь идет о бесконечности».
Хорхе Луис Борхес
«Восстание против здравого смысла».
Эмиль ГеьрихДюбуа-Реймон (1818—1896)
«Пагубная бессмыслица, унаследованная от древней философии и запутанной теологии. Без нее мы можем достичь всего, что захотим...»
Леопольд Кронекер (1823—1891)
► Хорхе буис Борха (слева) и поэт Херардо Диего на церемонии вручения пргмии Сервантеса, которую оба они получили в 1979 гйду. Борхес любил смешивать повествование и философские размышления. В его произведениях встречаются мотивы npoi п.ранете,I, времени и бесконечности.
Является ли реальность конечной?
Знак бесконечности
Начиная с XVII века для представления бесконечности использовался знак °®. В то же время этот символ появился на картах Таро
в виде шляпы или изображенный над головой подобно нимбу. Этот знак обозначал силу. Считать знак бесконечности перевер-
нутой «восьмеркой» — весьма распространенная ошибка. В действительности это кривая, называемая лемнискатой Бернулли Одно из ее отличительных свойств — она остается неизменной после выполнения над ней различных геометрических преобразований. Первым знак <» для обозначения бесконечности использовал Джон Валлис в своей книге «Арифметика бесконечного».
▼ Страница из первого ыома полного собрания сочинений английского митечаптка Джона Валлиса (7 616-—1703). Вал янс наряду с Барроу б bi л однмч из величайших нредша швенниквв исчисления бесконечно .чалых величин. Он оставил в наследство символ, которым и теперь обозначают бесконечность. За основу он взял курсивное написание латинской буквы т, обозначавшей 1 000 — очень большое число. Однако Валлис в итоге использовал для обозначения бесконечности ле чнн-скату Бернулли, очень похожую на букву т.
м
▲ Cnyima некоторое время шляпа, с которой изображалась згпа фигура Таро, стала изображаться отдельно и приобрела свой смысл. Несмотря на то, что этот Же си ивел обозначает бесконечность, он также был изначально связан с картами Таро я обозначает силу.
заявлял, что «богатый практический опыт решения верных и интересных задач даст математике новый смысл и новый импульс. Однобокие и интроспективные умозрительные заключения ведут к бесплодным полям ». Говоря о самом Канторе, он выражался более жестко: «Научный шарлатан, отступник, развратитель молодежи». Отказ признать актуальную бесконечность, основанный на интуитивизме и конструктивизме, привел его к результатам, совершенно не похожим на результаты Кантора, и в итоге перерос в фанатизм, подкрепленный и защищенный его авторитетом. Перед этим авторитетом Кантор чувствовал себя беззащитным и затравленным.
В споре Кантор прямо высказался в защиту свободы мысли: «Математика в своем развитии совершенно свободна и связана только одним условием: ее понятия должны быть свободны от внутренних противоречий и связаны с уже имеющимися понятиями с помощью четких определений. Сущность математики — свобода». Мысли, никем и никогда ранее нс высказанные, могут
в равной степени как спровоцировать убежденность, так и посеять сомнения, из-за чего гении часто оказываются под ударом. Кантор не жаловался, что кто-то может поставить под сомнение его доказательства или осмысленность его теорем. Его беспокоило, что его мысль пытаются ограничить чисто догматическими идеями. Возможно, по этой причине он в итоге заменил в своих работах слова «чистая математика» словами «свободная математика».
Многие ставили в вину Кантору именно неповиновение. Его труды вторглись в философский мир подобно урагану и поколебали устои, ранее считавшиеся незыблемыми. Он не упоминал о Боге, но, как говорил Давид Гильберт (1862—1943), «никакой другой вопрос так глубоко не волновал человеческую мысль, как вопрос о бесконечном: бесконечное действовало на разум столь же побуждающе и плодотворно, как едва ли действовала какая-либо другая идея». Как бы то ни было, бесконечность перестала быть чем-то странным и неприступным и превратилась
Бесконечность FH1
Бесконечность в поэзии
На протяжении веков поэты чувствовали, что имеют особую связь с основами жизни, такими как красота, любовь, смерть, течение времени, бесконечность... Великий итальянский поэт Джакомо Леопарди (1798—1837) так писал о бесконечности:
Всегда был мил мне этот холм пустынный И изгородь, отнявшая у взгляда Большую часть по краю горизонта.
Но, сидя здесь и глядя вдаль, пространства Бескрайние за ними, и молчанье Неведомое, и покой глубокий
Я представляю в мыслях; оттого Почти в испуге сердце. И когда Услышу ветерка в деревьях шелест, Я с этим шумом сравниваю то Молчанье бесконечное: и вечность, И умершие года времена, И нынешнее, звучное, живое Приходят мне на ум. И среди этой Безмерности все мысли исчезают, И сладостно тонуть мне в этом море.
(Перевод Анны Ахматовой)
А Леопарди ознаменовал своим творчеством пик европейского романтизма. В цикле стихотворений «Песни» он с глубокой трагичностью выразил иллюзорность человеческих ценностей.
А «Бесконечность» — одно из его первых и томе нитейших стихотворений. В нем автор говорит о бесконечности не как о математическом понятии, а как о необъятном и нсноетижимом таинстве, которое он ощущает.
в объект математики, с которым можно выполнять действия, аналогичные действиям с числами. Рубеж был преодолен. Как сказал когда-то Гильберт, «никто не может изгнать нас из рая, который Кантор создал для нас».
мым.
В Средневековье актуальная бесконечность не могла быть опровергнута математически, поскольку являлась исключительным свойством божественного, и поэтому о ней говорили лишь бо ословы. Как говорил Святой Августин, «бесконечен только Бог и его мысли». Удивительно, но, несмотря на это, церковные сановники отрицали, что Бог способен создать актуальную бесконечность. Фома Аквинский в своем труде «Сумма теологии» показал: хотя Бог всемогущ и бесконечс н, он не может создать нечто абсолютно безграничное. Этот вывод можно оправдать только в том случае, если признать, что актуальная бесконечность равносильна абсолютному злу в контексте богословия.
В1600 году Джордано Бруно (1548—1600) совершил «грех», представив, что мы живем в бесконечном пространстве, содержащем бесконечное множество миров. Затем он совершил ошибку: высказал эти мысли публично, за что и был сожжен на костре.
► Гравюра, изображающая ка сне Джордано Ьруно на костре 17 февраля 1600года.
Семья, внесшая наибольший общий вклад в развитие математики, — это, без сомнения, династия Бернулли, По меньшей мере три ее поколения способствовали развитию науки и сделали ее такой, какой мы ее знаем сегодня.
Сага о выдающихся математиках и физиках
Семья Бернулли
емейстьо Бернулли с самого н нала было многочисленным. Многие его представите ли сыграли значительную роль в развитии науки своего времени, особенно в развитии ма
тематики и физики. Поскольку большинство из них носило имена Якоб, Николай и Иоганн, то к ним обычно добавляют римские цифры, чтобы
Якоб Бернулли
Якоб родился 27 декабря 165^ года в Базеле. Желая установить отношения с ведущими учеными своего времени, он путешествовал по Франции, Англии и Бельгии, Вернувшись в Базель в 1682 году, он всецело посвятил себя астрономии и математике, опубликовав еще в 1681 году
▼ Ни одна самья за всю историю нс была столь богата талантами в математике, как Бернулли. В ХГГП к ЛТ7// веках широкую известно». т ь заслужил и по мекыиеи пере восемь
различать их между собой. Хотя по меньшей мере восемь членов этого семейства заслуживают упоминания, наиболее известными являются трое: братья Иоганн и Якоб и сын Иоганна, Даниил.
Разочарованный отец семейства
Семья Бернулли была родом из Антверпена, но им пришлось уйти в изгнание в 1583 году нз-за релшиозных гонений, начатых испанцами в Нидерландах. Совершив остановку во Франкфурте, в 1622 году семья обосновалась в Базеле, Швейцария Николай Бернулли, как его дед и прадед, был купцом и очень хотел, чтобы его дети занимались богословием, правом или торговлей, иными словами, любым делом, которое приносило бы доход. Однако их увлечение математикой, которое иногда приходилось скрывать от отца, нс позволило его планам сбыться. Нельзя сказать, чтобы кто-либо из потомков решил пойти по стопам отца: многие из них изучали дисциплины, далекие от математики, но рано или поздно все равно посвящали себя этой науке.
работу о происхождс нии комет. В то время кометы считались атмосферными явлениями, но Якоб доказал, что они являются небесными телами и движутся по замкнутым орбитам. В 1687 году он получил должность профессора математики в Базельском уни-
верситете. Эту долж-
ность ин занимал до самой смерти 16 августа 1705 года. Большинство трудов Якоба Бернулли были опубликованы в журнале Acta Eruditorum. В них идет речь о бесконечных рядах и подробно изучен ряд функций, среди которых выделяется ныне носящая его имя лемниската Бернулли. Там же впервые содержалось описание полярных координат. Его работа «Искусство предположений » была опубликована спустя восемь лет после
Л Якоб, пятый сын Николая Бернулли, был основателем династии математиков и одним uj двух ярчайших ее представите ки. Ему мы об.чшны, е Hatmuoi чей, законна большак чисел в теории вероятности.
Семья Бернулли (XIII—ХИН века)
37
А Иоганн был на 12 лет младше Якоба, и главной чертой его характера была зкажда соперничества, и t-за чего он ссорился не только с братом Якобом, но иссоб-
его смерти. В ней он заложил основы теории вероятности. Эта книга из четырех частей содержит приложение из пяти страниц под любопытным названием «Послание другу об игре в мяч».
Иоганн Бернулли
Иоганн родился 27 июля 1667 года и был десятым сыном Николая Бернулли. Он изучал медицину, следуя воле отца, и опубликовал обширный труд об искусстве врачевания. Но втайне от отца его брат Якоб понемногу обучал Иоганна исчислению
▼ Фрагмент монографии «Гидродинамика» Даниила Гернулли. Третий персонаж нашей саги известен прежде всего благодаря теореме, названной его именем, которая провозглашает основной
принцип гидродинамики. На этом принципе основаны различные явления: от действия подъемной силы на крыло самолета в воздухе до ударов при игре в мяч.
Математика маркиза
В1691 году в Париже Иоганн Бернулли познакомился с маркизом Гильо-мом Франсуа Лопиталем (1661 —1704) — аристократом, увлеченным математикой. Лопиталь пригласил его в свой замок, с тем чтобы Бернулли раскрыл ему тайны нового дифференциального исчисления Лейбница в обмен на некоторую плату. В итоге в 1694 году математики заключили любопытное соглашение: Иоганн обязался рассказывать маркизу обо всех своих открытиях или предоставлять копии рукописей с условием, что тот сохранит их в тайне ото всех. В обмен на это Бернулли получал 300 ливров ежегодно. Естественно, что это соглашение имело печальные последствия для Иоганна Бернулли, который после смерти Лопиталя попытался обжаловать авторство многих его открытий. Последствия этого соглашения прослеживаются даже в современных учебниках, где рассказывается о «правиле Лопиталя» — методе нахождения пределов отношений функций. В действительности этот метод был открыт Иоганном Бернулли,
бесконечно малых, созданному Лейбницем. В итоге Иоганн оставил медицину и получил должность профессора математики в Гронингене в 1695 году. После смерти Якоба в 1705 году Иоганн занял его место н i кафе дре в Базельском университете. Умер он 1 января 1748 года.
Хотя он не обладал столь острым умом, как его брат, но опубликовал намного больше трудов. Он внес важный вклад в вариационное исчисление и гидродинамику, но наиболее значительным его достижением является продолжение трудов Лейбница о дифференциальном исчислении. Именно Иоганн стал автором первой опубликованной книги об интегральном исчислении.
ЭТО ИГОКИО
। Якоб Бернулли опубликовал любопытную работу под названием «Метод преподавания математики слепым», "снованную на собственном опыте: в 1676 году он обучал математике слепую дочь женевского купца.
Семья Бернулли представляет собой поистине уникальное явление не только в математике, но и в истории науки вообще. Стремясь подтвердить теории г гнети ков, ученые проследи ли путь почти 120 представителей семейства Бернулли. Выяснилось что большинство из Бернулли так или иначе преуспели в наука
Логарифмическая спираль — это кривая, которую подробно изучал Якоб Бернулли, открыв многие ее свойства. Учений был настолько ей впечатлен, что завещал высечь логарпфмиче скую спираль на своем надгробии как символ воскрешения рядом с надписью Eadem mutata resurgo («Измененная я вновь воскресаю».).
К сожалению, по невежеству мае пер изобразил на надгробии спираль Архимеда.
МАТЕМАТИКА
Математики древности считали циклоиду красивейшей из кривых. Она действительно ОБЛАДАЕТ Ml 1ОЖЕС7ВОМ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ СВОЙСТВ, КОТОРЫЕ БЫЛИ ОТКРЫТЫ И ИЗУЧЕНЫ ЛУЧШИМИ МАТЕМАТИКАМИ И ФИЗИКАМИ XVII ВЕКА.
Циклоида
Разносторонняя кривая
Циклоида — это кривая, получаемая вращением окружности (без скольжения) по горизонтальной плоскости. Траектория, которую описывает точка этой окружности, и называется циклоидой (от греческого «круглый»). Одна арка циклоиды соответствует полному обороту точки окружности.
Изучением циклоид занимался Николай Ку-занскин (1401—1464), пытаясь определить площадь круга с помощью интегрирования Марен Мерсенн (1588—1648), преследовавший ту же цель, первым провел содержательное исследование циклоиды. А свое имя эта кривая получила благодаря Галилею (1564— 1642) в 1599 году. В одном из писем, которое он написал Торричелли (1608—1647), Галилей признался, что изучал эту кривую в течение 40 лет. С тех пор свойства циклоиды изучали многие заметные математики, среди которых упомянем Торричелли, Ферма (1601 —1665), Декарта (1596—1650), Гюйгенса (1629—1695) и Паскаля (1623—1662).
Таутохронная кривая
Представим, что мы перевернули циклоиду и придали ей вращательное движение. Мы получим поверхность, образующей которой является циклоида. Это равносильно тому, как если бы мы попросили гончара изготовить чашку, форму которой определяла бы циклоида. Такую чашку, только из пластика, продавали в 1960-е годы в магазинах любопытных вещиц в США, Но чем же примечательна подобная чашка? Если мы положим внутрь нее шарик, он достигнет дна за одно и то же время вне зависимости от того, с какой высоты он будет скатываться. Удивительно наблюдать, хак два шарика, один из которых расположен на самом краю чашки, а второй —- на середине с противоположной стороны, достигают дна
одновременно. Благодаря этому свойству циклоида и называется таутохронной кривой, что означает «одновременность». Это свойство было открыто Гюйгенсом в 1659 году. Этот .олландский ученый занимался математикой, физикой и астрономией. а также успел внести важный вклад в часовые механизмы. Он пытался решить задачу, касающуюся маятниковых часов. При изменении амплитуды колебаний маятника период колебаний сбивается Конец маятника часов всегда описывает дугу окружности. Гюйгенс понял, что если бы конец маятника описывал циклоиду, то высота, с которой опускался бы маятник при колебаниях, перестала бы иметь значение. Подобно шарику, скатывающемуся в чашке, маятник всегда достигал бы нижней точки за одинаковое время. Гюйгенс описал этот часовой механизм в 1673 году в книге Horologium oscilatorium sire de итоги pendular uni.
► Христиан Гюйгенс, один юз ведущих исследователей циклоиды, был не только математиком к конструктором часовых механизмов, но и видной фигурой в оптике и итронаиии своего времени. Ему мы обяынысозданием основ волновой теории света я разработкой высококачественных теми копов, с помощью которых Гюйгенс определил форму колеи Сатурна я открыл спутник зтой планеты — Титан.
57
Кривая скорейшего спуска
В июне 1696 года Иоганн Бернулли (1667—1748) сформулировал задачу для всех математиков Европы: даны две точки А и В на вертикальной плоскости такие, что А и В не принадлежат одной вертикали. Какую форму должна иметь кривая, соединяющая А и В, вдоль которой свободно падающее тело скатится за наименьшее время?
Эту задачу о нахождении брахистохроны (от греческого «кратчайшее время») исследовал еще Галилей, который ошибочно полагал, что решением будет дуга окружности. В действительности, как доказал Иоганн Бернулли, искомой кривой скорейшего спуска является циклоида. В указанный срок, продленный по просьбе Лейбница, четверо математиков представили свои решения этой задачи: Лейбниц (1646—1716), Ло-питаль (1661—1704), Ньютон и брат Иоганна Якоб Бернулли (1654—1705). Решение Якоба было наиболее оригинальным и дало начало новому разделу математики под названием вариационное исчисление. Пять решений были опубликованы одновременно, в майском номере журнала Acta Eruditorum за 1697 год.
Длина и площадь циклоиды
Сэр Кристофер Рен (1632—1723), архитектор лондонского собора Святого Павла, первым определил центр тяжести и длину произвольной арки циклоиды. Было бы логично предположить, что в расчетах длины дуги будет фигурировать число тг. Однако это не так: длина циклоиды равна восьми радиусам окружности, образующей циклоиду. Нахождение площади ци-
ЭТО Н11ЖО10
В железобетонных конструкциях преобладает арка циклоиды Арки именно такой формы можно видеть в крупных виадуках. Галилей рекомендовал использовать подобные конструкции при строительстве мостов, хотя не мог привести строгое доказательство этого.
Ньютон возвращался домой усталый после долгого изнуряющего заседания в монетном дворе, когда ему принесли письмо Иоганна Беонулли, в ко'ором излагалась задана о бра хистохроне. Г 4 часа утра следующей, дня он нашел решение и отправил результаты в Лондонское королевское общество, приняв все меры предосторожности, чтобы сохранить свое авторство в тайне. Его решение было опубликовано в январе 1697 года. Несмотря на все усилия Ньютона, взглянув на решение, Бернулли сказал- Льва узнают по его когтям».
клоиды приписывается итальянскому математику Э, Торричелли (1608—1647), хотя аналогичные расчеты независимо от него провел Ж. Ро-берваль (1602—^^З) в 1634 году. Площадь под аркой циклоиды в три раза больше площади порождающего ее круга. Иными словами, площади фигур 1, 2 и 3 на рисунке слева одинаковы.
Циклоиды и поезда
Если точка, описывающая кривую, расположена не на границе круга, то вращением этой точки образуются кривые, родственные циклоиде. Эта точка может располагаться ближе или дальше от центра диска, внутри или вне его. Таким способом получаются две
кривые, показанные на рисунке, одна из которых, соответствующая точке вне круга, обладав, особым свойством: в ней присутствует точка возврата. Эта ситуация не так уж далека от реаль-носги: ее, например, можно наблюдать при движении поезда. Поскольку
колеса опираются на рельсы, их края могут находиться ниже плоскости, вдоль которой происходи’ качение. Поэтому как бы быстро ни двигался поезд, некоторые его части всегда будут двигаться в сторону, противоположную движению!
58
Льюис Кэрролл
Запутанный рассказ
Узелок VII.
Мелкие расходы
Раб, который еще должен платить. На:.ал низость!
— Тетя Математильда!
— Что, милая ?
— Не могли бы вы записать расходы сразу? Если вы их сейчас не запишете, я непременно забуду.
— Подожди хотя бы, пока кэб остановится. Не
могу же я писать, когда так трясет!
— Ну, тетя, пожалуйста! А то я действительно забуду.
В голосе Клары зазву чали просительные нотки, про сив которых тстушка не могла устоять. Достав со вздохом свой блокнот — несколько табличек небольшого формата из слоновой кости, — она приготовилась внести в него те суммы, которые Клара только что израсходовала в кондитерской. Платила за все, разумеется, тетушка, но бедная девочка отлично знала, что ра но или поздно Безумная Математильда потребует от нее подробный отчет о каждом израсходованном пенсе, и поэтому сейчас с плохо скрываемым нетерпением ждала, пока тетушка найдет среди своих табличек ту, которая была озаглавлена «Мелкие расходы'».
— Вот она, — сказала наконец тетушка. — ) 1оследняя запись относ ит-
ся к вчерашнему завтраку. Один стакан лимонада (почему ты не можешь пить простую воду, как я?), три бутерброда (горчицы, конечно, в них нет и в помине!) и семь бисквитов Итого 1 шиллинги 2 пенса (1 шиллинг содержит 12 пенсов.— прим. перев.). Итак, что ты заказывала сегодня?
— Один стакан лимонада... — начала было перечислять Клара, но тут кэб неожиданно остановился, и стоявший у входа в вокзал швейцар с от-
A дверь и внолоенну не тлк шмрокл, клк должна былл бы быть!
менными манерами помог растерявшейся девочке выйти из экипажа прежде, чем она успела закончить фразу.
Тету шка немедленно захлопнула свой блокнот и начала рассчитываться с кэбменом, отдавать подробнейшие и пространнейшие распоряжения относительно багажа, не обращая никакого внимания па мольбы несчастной племянницы записать и остальную часть расходов на завтрак.
— Милая моя, да гсОе и впрямь следует развивать свою память, чтобы она стала более емкой — таково бызо единственное изречение, которым
тстушка соблаговолила утешить свою племянницу. — I {еужели скрижали твоей памяти недостаточно широки для того, чтобы удержать расходы на один единственный завтрак?
— Конечно, недостаточно! И вполовину не так широки, как надо бы! — послышался возмущенный ответ.
Слова вполне подходили по смыслу, но про-изнссший их голос не был голосом Клары. Тетя и племянница в удивлении обернулись, чтобы посмотреть, кто это внезапно вмешался в их
разговор.
Толстенькая старушка суетилась у дверцы, помогая кэбмену извлечь из глубины экипажа свою точную копию.
— Говорю вам: эта дверь и вполовину не гак широка, как должна была бы быть! —- повторила старушка, когда ее сестра была наконец извлечена из кэба.
— Не правда ли, девочка? — обратилась она за поддержкой к Кларе, тщетно пытаясь грозно нахмуриться.
— Некоторые пассажиры слишком широки дл ч кэба, — проворчал возница.
— Не выводите меня из себя! — воскликнула старушка, охваченная тем, что у нее должно было означать приступ ярости. — Еще одно слово, и я привлеку вас к ответственности за нарушение Habeas Corpus (начальные слова закона о неприкосновенности личности, принятого английским парламентом в 1679 г. — прим. перев.).
Кэбмен прикоснулся к шляпе и отошел улыбаясь.
— Чтобы поставить на место «арвавшегоея грубияна, моя милая, лучше всего сослаться на какой нибудь пусть даже плохонький закон, — доверительно заметила старушка, обращаясь к Кларе. — Ты видела, как он сразу струсил, когда я упомянула Habeas Corpus? Хотя я и не имею ни малейшего понятия о том, что это значит, но зву-
чит все равно здорово, правда?
— Мне как то не по себе от этого Habeas Corpus, — несколько! ¥манно возразила Клара.
— Еще бы, — воскликнула старушка. — Нас и вывели из себя, не так ли, сестрица?
— Никогда в жизни я не была так выведена из себя! — подтверди за, лучезарно улыбаясь, более толстая сестра.
Только теперь Клара узнала в сестрах старушек- с которыми познакомилась в картинной галерее. Отведя в сторону тетушку, она торопливо прошептала ей на ухо:
37
— Я bl( рвые встретилась с ними в королевской академии изобразительных искусств. Они были так сюбгзны со мной, а сегодня они завтракали за соседним столом. Они пытались помочь мне найти картину, которую я искала. По-моему, они оче гь симпатичные старушки!
— Так ты говоришь, что это твои друзья? —-переспросила Безумная Математильда. — Ну что ж, они производят приятное впечатление. Можешь побеседовать с ними, пока я куплю билеты. Постарайся только следить за своей речью и располагать мысли в более строгом хронологическом порядке!
Вскоре все четверо — дье сестры и тетушка с племянницей — сидели на одной скамейке и в ожидании поезда вели непринужденный разговор, словно уже давно знали друг друг а.
— Какое замечательное совпадение! — воскликнула та из сестер, что была поменьше ростом и поразговорчивей (именно ее познания в юриспруденции обратили в бегство кэбме-на). — Мы не только ждем один и тот же поезд на одном и том же вокзале — что достаточно любопытно само по себе, — но и ждем в один и гот же день и в один и тот же час! Это меня особенно поражает!
-— Эти совпадения не являются независимыми, — начала было Безумная Математильда, но Клара рискнула прервать ее.
— Здесь не трясет, — умоляюще сказала она. — Может быть, мы запишем расходы?
Таблички слоновой кости снова были извлечены на свет.
— Итак, что мы заказывали? — спросила тетушка.
— Стакан лимонада, один бутерброд, один бисквит. Ой, что же мне делать? — с отчаянием в голосе вдруг воскликнула Клара.
— У тебя что, зубы разболелись? —- спокой
но спросила тетушка, записывая названное Кларой меню.
— Нет! —удрученно сказала Клара. — Просто я не могу вспомнить, сколько истратила на завтрак.
— Постарайся вычислить, если не пом нишь, — предложила те! ушка. - - Что ты заказывала на завтрак вчера, тебе известно. А вот запись о том, что ты заказывала позавчера — в первый день, когда мы отправились завтракать в кондитерскую: один стакан лимонада, четыре бутерброда, десять бисквитов. Итого 1 шиллинг и 5 пенсов.
С этими словами тетушка передала свои таблички Кларе. Сквозь слезы Клара даже не сразу разглядела, что держит таблички вверх ногами.
Две сестры с глубочайшим интересом прислушивались к разговору между тетей и племянницей. Видя, что Клара очень расстроена, меньшая из сес гер ласково положила ей руку на плечо.
— Знаешь, деточка, — сказала она успокаивающе, — мы с сестрой находимся в таком же затруднительном положении! Ну, просто точь-в-точь в таком же! Дело в том, деточка, что мы сегодня завтракали в той же кондитерской, где завтракали вы с тетей, и заказали два стакана лимонада, три бутерброда и пять бисквитов, но ни одна из нас не имеет ни малейшего понятия о том, сколько мы заплатили. Правда, сестрица?
— Совершенно и абсолютно... — пробормотала вторая старушка.
—- Ты сосчитаешь для нас, сколько мы заплатили?— попросила Клару первая старушка.
—- Надеюсь, ты не забыла арифметику? — с легким беспокойством спросила тетушка. Клара рассеянно перебирала таблички, тщетно пытаясь собраться с мыслями. В голове у нее было пусто.
Наступило угрюмое молчание.
(Перевод Ю. А. Данилова, публикуется с сокращениями.)
Решение
Задача
Стакан лимонада, 3 бутерброда и 7 бисквитов стоят 1 шиллинг 2 пенса. Стакан лимонада, 4 бутерброда и 10 бисквитов стоят 1 шиллинг 5 пенсов.
Найти, сколько стоят: 1) стакан лимонада, бутерброд и бисквит. 2) 2 стакана лимонада, 3 бутерброда и S бисквитов.
Ответ 1)8 пенсов;
2) 1 *ииллинг7 пенсов.
Решение
Эту задачу лучше всего решать алгебраически. Пусть х—стои
мость (в пенсах) одного стакана лимонада, у — стоимость бутерброда иг — бисквита. Тогда по условию задачи х + Зу + lz-14. х+ 4у +1Oz = 17. Требуется вычислить, чему равны х + у + г и 2х + Зу + 5z. Располагая лишь двумг уравнениями, мы не можем найти значение каждого из трех неизвестных в отдельное ги, чо вычислить значения некоторых комбинаций неизвестных в наших силах. Известно также, что с помощью двух данных уравнений мы можем исключить два из трех неизвестных, после чего иско
мые выражения будут зависеть лишь от одного неизвестного. Значения искомых выражений могут быть вычислены лишь в том случае, если единственное неизвестное, оставшееся неис-ключенным, само собой уничтожается. В противном случае задача не имеет решения.
Исключим лимонад и бутерброды и сведем все г би-квитам. Для этого вычтем первое уравнение из второго, исключив тем самым лимонад, и получим у + 3z= 3. Под ставляя у - 3 - 3z в первое уравнение, получим х - 2z= 5
или, что то же, х = 5 + 2z. Если теперь мы подставим выражения длг х и у в те выражения, значения которых нам необходимо вычислить, то первое из них превратится в (5+2z) ч  (3 - 3z) + z=8, а второе— в 2х(5 + 2z) + 3х(3 - 3z) + 5z= 19. Следовательно, стоимость первого набора составляет 8 пенсов, а второго — 1 шил липг7пе1.сов 11? паженный нами метод универсален.
Иными словами, он абсолютно во всех случаях позволяет либо получить ответ либо доказать, что решения не существует.
38
Эта головоломка — яркий представитель большого семейства игр. Все они основаны на ЛЮБОПЫТНОЙ (ЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ: СОБРАТЬ КУБ ИЗ ЧАСТЕЙ НЕПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ. СОСТОЯЩИХ ИЗ КУБОВ МЕНЬШЕГО РАЗМЕРА.
Умножение единицы на саму себя
Куб-7
Куб-7 — это большой куб размерами 3 х 3 х х 3 кубика, включающий в себя семь частей, каждая из которых состоит из грех или четырех кубиков, скрепленных вместе. Из них можно собрать большой куб и другие интересные объемные фигуры, подключив немного воображения.
Многочисленное семейство
Наш куб — представитель уважаемого семейства головоломок, обладающих схожими чертами: их элементы являются поликубами, которые, составленные в правильном порядке, образуют куб большего размера. Можно сказать, что в этих головоломках «единица умножается сама на себя», — именно так говорил Пит Хейн о разновидности этой головоломки — кубиках сома, поскольку результат имеет ту же форму, что и его составные части. Возможно, первое упоминание о разделении куба на части содержится в книге Puzzles Old and New («Головоломки ста-
рые и новые») профессора Хоффманна, опубли
кованной в Лондоне в 1893 году. В ней был представлен куб размерами 3x3x3, состоящий из
шести частей, — «Дьявольский куб». Эти шесть частей состояли из возрастающего числа маленьких кубиков: 2,3.4,5,6 и 7. Эти числа в сумме дают магическое число 27, поэтому никто не может усомниться в том, что из этих частей можно составить куб 3x3x3- Другой знаменитый представитель семейства — куб Микуси некого, состоящий из шести частей: трех тетракубов и трех пента-
Гостаеные части этой оригинальной игры имеют необычную форму. Удобнее от.июмитыяг го-.оволпмкой на простых примерах. чтобы потом с уверенностью справиться с более сложными задачами, среди которых — сборка полного куба.
кубов. Он также известен как куб Штейнгауза, поскольку впервые упоминается в «Математическом кале* \о-скопе» Гуго Штейнгауза, изданном в 1950 году. Прямой предок нашей головоломки (которая фактически является лишь его разновидностью) — кубики сома, созданные в 1936 году Питом Хейном (1905—1996), датским изобрета
телем и разносторонним ученым, который в сво-
их дизайнерских разработках часто использовал
суперэллппс и суперъяйцо.
Эти три игры схожи тем, что все они состоят
из различных частей. С годами на основе этих головоломок были созданы новые варианты, в которых дублировались одна пли более частей. Подобное простое изменение приводит к тому, что головоломки либо становятся чрезвычайно сложными, либо приобретают множество решений. Куб-7 принад лежит к последнему типу. Уровень сложности этой головоломки считается средним.
Умножение единицы на саму себя
Цель головоломки — собрать куб 3x3x3. Пабло Мил руд подсчитал, что это можно сделать 358 различными способами. На рисунке пошагово показан один из них.
Составные части
Куб-7 — это головоломка, образованная поликубами «с углами»: шесть фигур, две из которых одинаковы, состоят из четырех кубиков, одна — из трех В сумме они состоят из 27 кубиков, необходимых для сборки одного большого куба.
63
Куб-7 и комбинаторика
Множество решений для полной сборки как ку-ба-7, так и других вышеупомянутых головоломок можно изобразить в виде графа, соединяющего различные позиции, которые можно получить с помощью допустимых перемещений.
Столь тесная связь между графами и кубами неслучайна, ведь и те, н другие принадлежат к одному и тому же разделу мат ематики: комбинаторике и дискретной математике. В нем изучаются множества, явно разделенные на части (подмножества), которые отличаются от других согласно некоторому критерию. В случае с графами элементами множества являются его вершины, или состояния, а подмножествами — пары состояний, соединенные ребрами графа. Например, для куба-7 исходное множество состоит из 27 единичных кубов, несмотря на то, что в головоломке некоторые из них соединены друг с другом. Подмножествами являются элементы головоломки, то есть группы кубов, выбранные согласно правилам.
Кубы без повторяющихся элементов
На рисунке показаны поликубы—элементы самых знаменитых головоломок без повторяющихся элементов: «Дьявольский куб», куб Минусинского и кубики сома.
Кубы с повторяющимися элементами
Помимо куба-7 эта группа включает другие известные головоломки, например, Puzzle Cubista («Кубическая головоломка»), которая имеет 1116 решений, и два так называемых «Нерешаемых куба», которые изобрел Жирар Д’Орсе,
«Кубическая головоломка» состоит из следующих частей:
В серии «Нерешаемых головоломок» наиболее доступная, хотя и сложная, состоит из следующих элементов:
Здесь возможны 1142 решения.
Намного более сложная головоломка, имеющая всего два решения:
Наконец, сложнейшая версия, имеющая всего одно решение:
♦ «Дьявольский куб».
Сборка куба возможна 13 способами.
♦ Куб Минусинского.
? решения.
♦ Кубики сома.
240 разных решений.

Куб-7
Сборка куба-7
Нам предстоит решить несколько задач, каждая из которых будет сложнее предыдущих. Возможно, мы попытаемся найти решение мс годом проб и ошибок. Также не будет лишним пос лсдовать совету сначала расположить в верном порядке нестандартные части головоломки, после чего попытаться определить положение оставшихся частей. Вне всякого сомнения, мы будем находить новые и новые закономерности, что только подогреет интерес к задаче.
А. Из двух частей:
D. Из пяти частей:
Е. Из шести частей: удвоенный трикуб. Головоломка разделяется на следующие части. Необходимо составить из них новый трикуб вдвое большего размера:
В. Из трех частей:
F. Из семи частей. Очевидно, что основная задача в этой группе — сборка куба 3x3x3. Приведем и другие задачи: как если бы речь шла о тангра-ме в четырех измерениях, из частей куба-7 можно составить фигуры в форме разных животных и предметов: собак, кресел, замков и так далее:
С. Из четырех частей:
65
Умножение единицы на саму себя
Решения
Мы попытались привести не законченные решения задач, а указания, которые помогут читателю в поисках решения. Приведенные решения являются решениями лишь наполовину по двум причинам. Во-первых, части на рисунках отображаются не полностью, а лишь частично и в перспективе. Во-вторых, каждой части не соответствует какой-либо определенный цвет. Разные цвета используются только для того, чтобы подчеркнуть границы между частями.
А. Из двух частей:
В. Из трех частей:
D. Из пяти частей:
Е. Из шести частей. Удвоенный трикуб:
66
D^AGOSTINI ПРЕДСТАВЛЯЕТ
Пропустили выпуск -любимой коллекции?
о Просто закажите его на сайт<
Я www.deagostini.ru
Для украинских читателе ; — по телефону горячей линии 0-800-500-8-40
В следующем выпуске через 2 недели
Спрашивайте в киосках!
Цифровой пазл
Группы
Прелесть абстрактной алгебры
Дуэль на рассвете
Эварист Галуа
Кривые постоянной ширины
Катящиеся треугольники
Лучшее от Сэма Лойда
Озера, реки и мосты