Похожие
Текст
ВЫХОДИТ РАЗ В ДВЕ НЕДЕЛИ
Рекомендуемая розничная цена: 279 руб. Розничная цена: 49,90 грн, 990 тенге
занимательные
ГОЛОВОЛОМКИ
КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ D4AGOSTINI
Полимино
9
772225
178772
ISSN 2225-1782 00018
«ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ» Издание выходит раз в две недели Выпуск №18. 2012 РОССИЯ
занимательные
ГОЛОВОЛОМКИ
КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ D4AGOSTIN.
В этом выпуске:
ИЗДАТЕЛЬ. УЧРЕДИТЕЛЬ. РЕДАКЦИЙ ООО зДе Агостини». Россия ЮРИДИЧЕСКИМ АДРЕС: IDS 066. г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д.З, стр.1 Письма читателей поданному адресу не принимаются
ГЕНЕРАЛЬНЫМ ДИРЕКТОР Никопаос Скклакис ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР- Анастасия Жаркова ФИНАНСОВЫМ ДИРЕКТОР; Наталия Василенко КОММЕРЧЕСКИЙ ДИРЕКТОР: Александр Якутов МЕНЕДЖЕР ПО МАРКЕТИНГУ: Михаил Ткачук МЛАДШИЙ МЕНЕДЖЕР ПО ПРОДУКТУ-Любовь Мартынова
Свидетельство о регистрации средства массовой информации в Федеральной службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) Пи №ФС77-4331О от 28.12.2010 г.
Для заказа пропущен ныл номеров и повеем вопросам касающимся информации о коллекции. заходите на сайт www.deagostini.ru
по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной '’Горячей линии" в России.
С 8-800-200-02-01
Телефон ’Горячей линии для читателей Москвы-С 8-495-660-02-02
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ. Россия, 170100, г. Тверь. Почтамт, a/я 245, «Де Агостини , Занимательные головоломки
РАСПРОСТРАНЕНИЕ:
ООО а Бурда Дистрибьюшен Сервисиз
УКРАИНА
ИЗДАТЕЛЬ И УЧРЕДИТЕЛЬ: ООО «Де Агостини Пдблишмнм, Украина ЮРИДИЧЕСКИЙ АДРЕС 01032. Украина.
г. Киев. уя. Саксаганского, д. 119 ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР: Екатерина Клименко
Свидетельство о государственной регистрации печатного СМИ Министерства юстиции Украины КБ № 17SO2-6252P ст 01 03.2011
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ Украина, 01013^ г Киев, a/я «Де Агостини , 13анимательные головоломки
Украта,01033,м.Кит. а/о Де Atoctihi»
Для заказа пропущенных номеров и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostmi.ua
по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии® в Украине
С 0-800-500-8-40
БЕЛАРУСЬ
ИМПС ’ТЕР И ДИСТРИБЬЮТОР В РБ: ООО «Росчерк», 220037, г. Минею уп. Авангардная, д 48а. гмтер В/*с тол/факс+375 172 999 260
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕМ: Республика Беларусь, 220040,г. Минск d/fl224.000 iPocnepr», чДе Агостини . Заиммлтепъиые головоломки:
КАЗАХСТАН
РАСПРОСТРАНЕНИЕ; ТОО ЖГП Бурда Алатау-Пресст
РЕКОМЕНДУЕМАЯ РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА. 279 руб РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА- 49.90 грн, 990 тенге
ОТПЕЧАТАНО В ТИПОГРАФИИ G. Canale & С S р.А Sos Сеписа 47, Bucuresti, Pantelimon - llfov. Romania
ТИРАЖ-68 000
Издатель оставляет за собой право изменять последовательность номеров и их содержание.
Издатель оставляет за собой право увеличить рекомендуемую цену выпусков
Неотъемлемой частью каждого выпуска является приложение.
© ООО «Де Агостини*-, 2012 © RB A Coleccwnables, 2011 ISSN 2225 1782
ДАТА ВЫХОДА В РОССИИ: 09.10.2012
Математическая вселенная
Парадоксы бесконечности Чго Глкое бесконечные множества1 С } ществуют \л они? Или что только игры разума? Получив ответ на эти простые вопросы зададимся еще более рискованными: можно ли сосчитать элементы бесконечно! о множсс. ва? Все ли бесконечности одинаковы? I хе больше точек: в отрезке или в квадрате? Приго-
товьтесь услышать неожиданные ответы
Блистательные умы
Рмечтал. о бесконечности Без* мец или вслыкмй математик? Теолог или литературный исследователь? Кем бы ни bi .л Icopr Кантор, ему удалось создать один из наиболее оригинальных и глубоких трудов за всю историю математики. Он систематически изучал истинную бесконечность — понятие, к котором’ прочие матемлгнкн гра
дмционно испытывали неприязнь — траючи решая самые сложные научные проч лемм.
Математика на каждый день
На пути к звездал1 Любопытство и необходимость — вот два глав них двигателя ййуки Именно они с древнейших времен прнтягпьа ли внимание человека к небесным телам, изучение которых и способствовало рождению современной науки. Вавилонские и греческие астроло) и внесли существенную лепту в формирование системы знаний о созвездиях, но время властно даже нах гнездами: знаки Зодиака ссйч к раскола) аются совеем не так, как в древности.
Лучшее от Сзна Лонда Помните игру «Пчтнашкп»? Было время, весь мир сходил с 5 ма по этой головоломке, состоящей из коробочки с костяшками, пронумерованными oi 1 до 15. Если ломать голову над этой забавой достаточно долго, можно понять, какие начальные по-
зиции приведу! к выигрышу, а как) к гак и останутся нерешенными. Сэм Лойд предлагает нам еще несколько задачек на базе пятнашек.
Головоломки
Полимино Домино, шахматы, пентамнно, кубики — закис увлекательные и знакомые с детских лет игры! Нс понимаете, что у них общего? Даже не представляете, чго может получи гься, если их объединить? Самос время заглянуть на последние страницы н начать чинить
«сломанную шахматнз ю доску».
Идея бесконечности для нас скорее абстракция, чем нечто ощутимое. Несмотря на это, БЕСКОНЕЧНОСТЬ ЯВЛЯЕТСЯ НЕОТЪЕМЛЕМОЙ ЧАСТЬЮ ЧЕЛОВЕЧЕСКОЙ ПРИРОДЫ, ВЕДЬ КАЖДЫЙ ИЗ НАС ПРАКТИЧЕСКИ ЕЖЕДНЕВНО СТАЛКИВАЕТСЯ С БЕСКОНЕЧНЫМИ МНОЖЕСТВАМ И.
Грансфинитные числа
Парадоксы бесконечности
М /торг Фердинанд Канш&р (1575— I9/5/ е7ыл гениальным, но экстравагантным математиком, которому мы обязаны строгим и доступным онреде иниеи нон чти.ч ** бесконечностью —&до-нейшей идеи bljo историю человеческой мысли.
число и разделив его на 2. мы получим соответствующее ему натуральное число. Теперь очевидно. что количество натуральных и четных чисел одинаково.
Плотная бесконечность и дискретная бесконечность
Все ли бесконечности одинаковы? Прежде чем от-встить на этот вопрос, давайте рассмотрим природу различных бесконечных множеств. Покажем сначала существенное различие между, например, множеством натуральных и множеством рациональных чисел.
Прежде всего определим, какие числа являются рациональными. На языке? математики рациональными числами считаются числа, которые могут быть представлены в виде дроби, где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное. Например. 2/3. -1/5.8/ч, 0/157. -236/1024.
Ня протяжении многих веков математики ломали голову над бесконечными множествами. Доходней до того, что многие математики прок го не признавали существование подобных множеств, ведь это влечет за собой многочисленные парадоксы. Один из них касается множеств, которые могут быть частично эквивалентны. Например, множество натуральных чисел, го сеть ряд вида:
1,2.3 4,5,...
образован бесконечным множеством чисел. 11н-туитивно понятно, чго приблизительно половина из них являются четными. Однако это не так Удиви гсльно, но че гных чисел столько же, сколько и натуральных! Показать это очень просто. Установим между ними следующее соответствие:
1 2
2—► 4
3—► 6
4~► 8
5 - * К)
п — »-2п
Имея любое натуральное число, мы можем умножить его на 2 и получить соотвстств} ющее ему четное число. И напротив, имея любое четное
Бесконечная гостиница
Эта математическая задача является классикой жанра. Гостиница «Алеф» бесконечна. Фактически в ней проживает бесконечное число постояльцев, у каждого есть свой номер, начиная с единицы: 1,2.3,4,5,6,7 8,... Директор гостиницы очень доволен, ведь все номера заняты. Од: 1ако в один прекрасный день более миллиарда китайцев решают разом отправиться в отпуск и подходят к стоике регистрации Как же поступить директору?
Ему достаточно произвести одно простое изменение. Каждый уже проживающий гость переедет в комнату с номером, равным предыдущему номеру, умноженному на 2. Нетрудно ь и дето, что все нечетные номера окажутся пусты, но при этом ни одному из прежних постояльцев не нужно будет съезжать из гостиницы. Фактически, в гостинице будет достаточно номеров не только для более чем миллиарда китайцев, которые сейчас живут на земле, но и для всех, которые когда-либо родятся в будущем.
95
Очевидно, что натуральные числа также являются рациональными, поскольку
2 = 2/1= 4/2 = 8/4 = ...
3 = 3/1 = 6/2 = 9/3 = ...
Поэтому если натуральных чисел бесконечно много, то же самое можно сказать и о рацио нальных числах, так как они включают в себя все натуральные числа. Несмотря на это, между мно жсством натуральных чисел и множеством рациональных чисел существует едва заметная рд шица. Первое из них называется дискретным, в отличие от второго, которое называется п ютным множеством. Это простые понятия, имеющие, однако, большое значение. Натуральных чисел может быть сколько угодно, но между двумя соседними нельзя поместить еще одно: между натуральными числами 453 и 454 нет никакого другого на-[урального числа. С рациональными числами все иначе: между числом л и числом b всегда распо-лагастся число (<г+Ь)/2, тоже являющееся рациональным. Например, между 5.3 и 5,4 находится
Это же можно выразить и другими словами: имея любое натуральное число, мы всегда можем сказать, какое число будет следовать непосредственно за ним. Никто не подвергает сомнению тот факт, что после 14 следует 15. Однако сказать то же самое о рациональных числах нельзя. Какое число следует непосредственно за 1 /3? На этот вопрос нет ответа. В этом и зак лючается плотноеть множества. Суть этого явления глубже, чем может показаться. Так, мм можем показать, что между двумя натуральными числами 2 и 6 существует только три других натуральных числа (3.4 и 5). Аналогично мы можем показать, что между двумя любыми рациональными числами существует бесконечное множество чисел. Не стоит ду мать, что множество рациональных чисел ограничено десятичными дробями. Например, между 2,3 и 2.4 находятся числа 2,31, 2,326,2,3781...
Кажется очевидным, что множество рациональных чисел должно быть намного «более бесконечным», чем множество натуральных. Но далее мы увидим, что это предположение неверно.
Счетные множества
Когда мы говорим, что места в зале кинотеатра пронумерованы, тем самым мы подтверждаем, что каждому креслу можно присвоить натуральное число. Следовательно, мы говорим, что множество кресел в кинозале является счетным мнонсгствоч. Очевидно, что сколь большим ни было бы это множество, если оно конечно, то оно будет счетным. Счетным множеством является множество игроков в футбольной команде, число жителей земли, муравьев, звезд на небе или всех частиц во Вселсн-
Л Множеашш erex reeii в лг-ыл>»нкг, гкть яг шко йы оно л/м m-i w, „ч/и.чгли/з* коме vukm иечстмыа
Рациональные числа
Гениальность Кантора проявилась в доказательстве того, что рациональные числа (они же дробные, или дроби} настолько же «бесконечны», что и натуральные числа. Кантор расположил все дроби простым способом:
1 г 2 3 6 4 5 15 . 6
1 1 «1 1 , 1 1
2 5 7 14 16
1 2 3* 4 5 ' 6
2 , 2 2 „2 2 „2
44 8/ 17
1 2 ' 3 4* 5 6
3 3 3 3 3 3
*
9 Ц 18
1 * 2 3' 4 5 * б
4 4 4 4 4 4
,о; и ' 19/
। 2* 3 4 5 6
—А-
5 5 5 5 5 5
* <
20
1 * 2 3* 4 5* 6
б б 6 6 6 6
— *
* •
Затем он подсчитал их так, как указывают стрелки. Каждой дроби соответствует натуральное число, указанное на стрелке выходящей из этой дроби. Не осталось ни одного неподсчитанного числа. Таким образом, множество рациональных чисел счетно.
ной. Вопрос Только в том. как пересчитать их. Все усложняется, когда мы начинаем рассматривать множества с бесконечным числом элементов. Например, сели мы покажем, что множество четных
Парадоксы бесконечности
чисел является счетным, то а го будет означать, ч го мы сможем поставить натуральное число в соот ветствие каждому четному числу*
Мы уже продемонстрировали простой способ, как это можно сделать. Но если речь идет о бесконечных множествах, которые к тому же яплянп ся плотными (например, множество всех дробей), что тогда? Могут ли существовать плотные печне ли мыс множества?
He все бесконечности одинаковы
Мы увидели, как можно пронумеровать четные числа, ыножхстчо которых является дискретным. Этг может показаться иевсроигным. пи существует способ доказать, что множество рациональных чисел также является счетным. Это доказательству принадлежит Геортх Гангору, который ввел само понятие иечне уимости и кроме тою ..формулировал «опасный-' вопрос: вес ли бесконечности одинаковы? Множества четных, натуральных п рациона уьных чисел являются счетными множествами, поэтому имени-одинаковое число элементов. Это число, первое из своих бесконечных чисел. Кантор обозначил символом Ко (алсф-пуль).
Следующим шагом был подсчет вещественных чисел. Чтобы получить множество вещественных (или действительных) чисел, необходимо добавить к множеству рациональных чисел множество иррациональных вида у 2, которые нельзя полу чить как частное цс уого и н.п ралыюго чиал. Это множество также является бесконечным и плот
ным. Однако, в отличие от двух предыдущих,
оно нс являися счетным: множеству вещественных чисел никоим обр ком нельзя поставить в соответствие ряд натуральных чисел 1. 2, 3,4, 5, ... Поэтому Ктитор сформулировал следующую за дачу имеются бесконечные множества, в каждом из которых число элементов одинаково, например. множество натуральных чисел, четных чисел или рациональных чисел. Но внезапно появляет
ся повое множество вещественных чисел, которое также является бесконечным, но в нем больше элементов, чем в этих трех множествах. Здесь Кантор задает один из самых революционных вопросов за всю историю математики: все ли бесконечности одинаковы либо некоторые из них Польше, а некоторые меньше? В качестве отправной точки он использовал бесконечное множество вещественных чисел, которое больше:, чем множества нат уральных и рациональных чисел, и обозначил Ьуквой «<» число элементов множества вещественных чисел. Клн юр иосвя сил большую часть пос ьедних лег жизни попыткам показать, что. является N), следующим за Хо, но ему не удалось это-lo сделать. Гак родился раздел математики, посвя щенный грансфпнигным числам
Д Работы гоа ын&кого художника Маурмца Э/шуы дсЫСКО Nf faiGUMt ИННЫ. K.iK
VQ/kt Ш UHKit-Wt/MJi в HJ-v,Lie. Здесь Эшер играет f fit i kuHt чмея шью.
Траксфинитные числа
Кантор доказал, что с — число точек, содержащихся на любом отре :ке прямой Это означает, что вне зависимости от размера двух отрезков прямой число точек на них Шлет одинаковым Это может показаться у живительным, но доказательство згою] тв1 рждения очень простое.
;
а
▲ .чвлястея
нерпой йукниИ сиреiit кого ифсюиша. Кантором еspec и « решая айошачишь гмон Руцкой toon «рл конечные» чш.ля. Современные матс.иатпки ня totoartwi такие 4iii кг кярдигниьнымн шрамгфннншмылш чт uiwt. X, u — uepsat n t них
Р_____
Si
[
Даны два отрезка и 5,. их концы соединены прямыми, коюрыс- пересекаются в точке н. Для любой точки [> отрезка ,\л мы можем найти соотвстствуюц'ю си точку и отрезка 53. Для это-ю соединим точку р с гоч ой и. Точка, в которой продолжение данной прямой пересечется с отрезком Л\, и являе Гея искомой точкой г/. Показав, что число точек на всех отре 1ках одинаково п равно г, Кантор пгч tpoiix квадрат с помощью одного из таких отрезков. Казалось бы, чис ло точек, содержащихся в квадрате, равно г2 =гХ(. Оунако Кантор показа*, что эти число снова равно г. 11ны-м11 словами, в квадрате как в части поверхности
Трансфиннтные чист
97
Рациональные и иррациональные числа
Все рациональные числа, как целые, так и дробные, могут быть треде гав-лены в виде конечной или периодической дроои в чем легко убедиться с помощью карманного калькулятора. Например, целые числа выражаются следующим образом: 2 = 2,000900...
Дроби могут быть конечными (например, ^-= 2,5},
или бесконечными {у =0,333333...].
Если дробь имеет бесконечное число знаков после запятой, то всякий раз прису гствует повторяющаяся часть, которая называется периодом. Иногда он появляется не сразу, например, как в следующем случае:
(у= 0,285714285714285714...),
когда периодом является последовательность 285714. Дробь такж° может содержать совершенно хаотичную последовательное гь цифр после запятой, но, начиная с определенной позиции, появится период, который далее будет бесконечно повторяться. В любом из этих случаев речь идет о рациональных числах Напротив, иррациональное число характеризуется бесконечной последовательностью цифр после запятой, в которой отсутствуют периоды, то есть никакая группа цифр не повторяется Например,
то есть десятичными дробями лежащими в интервале от нуля до единицы.
Точки квадрата с единичной стороной харакге рилются двумя координатами (л, А). где л и А также выражены десятичными дробями в ин герзале от 0 до I. ь антор лстаковил. взаимно однозначное соответствие между т очками тгрезка и точка-ц квадрата следующим образом: каждой точке («т. If} ква урата будет соответствовать точка с отрезка, такая, что ее координата с оставлен а из координат точек л и b так, как показано на рисунке.
С = 0,673'5693...
а = 0,6359...
b = 0,7163..
\2 = 0,41421356237309504880'’6887242097...
Доказать практическим способом, что число, подобное квадратному корню из 2, является иррациональным, нельзя. Мы можем потратить всю жизнь на подсчет десятичных знаков после запятой в этом числе, но даже если мы не обнаружим никакого периода, нельзя будет сказать, что его не существует. Единственный способ определить, является ли число иррациональным, — доказать это математически, то есть показать, что рассматриваемое число нельзя получить делением целых чисел.
Нетрудно видеть. что любая точка квадрата соответствует точке отрезка, и наоборот. Аналогично доказывается, что кардинальное число куба или гиперклба с любым числом измерений всегда равно кардинальному числу отрезка.
Трансфи нитные бесконечное ги
Кантор создал ряд трансфинитных чисел. Если определить
содержится такое же г.олпчество точек, что н на отрезке, являющемся одной из сторон квадрата, то есть г х с = с. Следующий шаг напрашивается сам собой- на основе полученною квадрата мы строим куб, чтобы определить, чему равно произведение t х г х с = г’. Как и следовало ож идать, результат будет анало! ичен предыдущему: г* = г. Полу чается, что число точек, содержащихся на отрезке, в квадрате и в ьубс, всегда равно г. При умножении числа t на само себя любое количество раз результат будет неизменно равно этому же самому числу с.
Отрезок, квадрат и куб
Докажем, что число точек, содержащихся на от резке и в квадрате, одинаково Кантор нашел неожиданное и очень простое доказательство (того утверждения, столь же гениальное, как и все остальные найденные им доказательства. Возьмем отрезок единичной длины, точки которого выражаются десятичными дробями вида
0,5'78345219985б4и0453....
А 7 tep лл« «ж f ocwetm 0 АмвСО It3. fifWt v
Mt&vpoe. Хорхе - fync Борисе, ее мнвгнл иршшедеммях которого ttAcs бесконечности занил*с ы центр. с г ъног .че-СГШ>, fWeiM jrrry AWA F О «4-о 1еоргс Клюжфе,
Л. в оощем,
гЛ = К.
получим ряд возрастающих кардинальных чисел
К , < Nj < К, < К4 <
Это своеобразное « шествие» трансфпнитных гигантов.
«Прирученная» бесконечность
Георг К.,итор, воспитанный в глубоко религиозной среде, сообщил, что создал числа, превос-ходящие по размерам все. что можно постичь во Вселенной. Само собой разумеется, что в свое время математика бесконечности встретила серьезное сопротивление. Фактически до настоящего времени существуют определенные расхождения между классической математикой и математики i бесконечности. В любом с г-чае с появлением теорий Кантора бесконечность перестала быть чем-то непостижимым и превратилась в логичны и объект. который можно попытаться «приручить».
Открытия Кантора, касающиеся бесконечности, считаются одной из важных вех в истории ЧЕЛОВЕЧЕСКОЙ МЫСЛИ. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ, КОТОРУЮ ОН СОЗДАЛ, ЯВЛЯЕТСЯ КРАЕУГОЛЬНЫМ КАМНЕМ СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ.
В мечтах о бесконечности
Георг Кантор
Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кан гор родился 3 марта 18 15 юда в Санкт-Петербурге, куда незадолго до его рождения эмигрировал сю отец, богатый датский коммерсант. Из-за болезни легких его отцу в 1856 году при шлось эмигрировать снова, на этот раз во Франкфурт Именно там Георг учи э-ся в нескольких частных школах. В возрасте 15 лет его приняли в учи чище в Висбадене.
Ре. ълюционный труд
кантор рано проявил жаркий интерес к магсм 1гике В 1862 годэ* он начал изучать математику наряду с философией и физикой в Берлинском университете. Там его учителями были Леопольд Крпне-кср (1823—1891), Эрнст Ку ммср (1810— 1893) и Карл Всйерштрасс (1815—189"'. Последний оказал на него наибольшее
влияние а Кронскср, обучивший его азам теории чисел, впоследствии стал самым жестким крити ком идей Кантора, В 186" году Кантор получил степень доктора, а два года спустя — должность в чивсрситете Галхе, достаточно важном образовательном центре е 1 раны, который все же- нс- входил В число наиболее престижных в Германии. Он качал работу в должности внештатного профессора, что означало, что его жалование зависело от числа студентов в классах. Лишь в 1879 году он получил должность полного профессора. В 29 лет К.,нтор женился на Валли I уттман и опубликовал свою первую работу о теории множеств в «Ж> риале чистой и прикладной математик и», основанном Августом Крсллем. В ^той работе он доказал удивительный факт: несмотря на то что множество рациональных чисел является плотным на прямой, оно является счетным, то есть число элементов в нем нс превышает количество натуральных чисел. Он также доказал (окончате 1ьно оформив доказательство в 1891 году), что в itom отношении вещественные числа являются особыми, поскольку между множеством вещественных и множеством напральных чисел нельзя установить взаимно однозначного соответствия. Это была первая попытка штурма крепости под названо см "бесконечность». 18 год также стал очень важным для Кантора: именно тогда он доказал.
что, вопреки распространенном1, мнению, между прямой и плоскостью можно установи сь взаимно однозначное соответ стъие. Ка> и в 187ч году, эту статью Кантор также отправил в Журнал Крслля.
Статья встрети \л непреклонный отпор Кронсксра, одного из редакторов журнала, которому удаюсь отложить публикацию до следующего года. Кроискер был убежденным противником бесконечности и признавал ее только как ctchoi рафи-ческую запись многократно повторяемых процессов, Канте р же напротив, изучал мир, полный истинных бесконечностей, и всякий раз рассматривал бесконечности все более сложной струе гуры, к примеру, траисфинптныс числа, над которыми он непрерывно работа х в зрелые годы
Безумие
Все указывает на го, что Кантор страдал от
Д Несмотря на еерьелную бутеяную болеет,, которую перенес /еорг Кантор, ему удалено ,олдате, один и, нли-бо и г орясин сслъныч и . субо-ких трубок л вене lit торию мат машин с В частности, он аитс мати'сесксс изучал истинную бесконечности — понятие, к которому прочие математики традиционно ислытылкт неприязнь На Литографии, еде санной около ISSOcoda, он шпора-ven « месте (ла ной.
► Рыночная плыцадс ₽ городе Г,с ксе на русеечсс V/V -ЛТвгцяв. 1каАгииче-1 Кия Кирисра Кантора просила о не ел шеи нрестигкном унте,рсссстт тяке города Математикпонимал, что получению должности s более с чшвришетном учебном ул ледени и праслквптюсп ела критика и на ко им, < сс.ч его теорий.
заболевания, которое сейчас именуют маниакально-депрессивным син хромом — болезнью эндогенного характера, при которой фазы эйфории сменяются депрессией.
Кантор (18 fS—/9/5)
33
Простейшее доказательство
Одна из самых остроумных теорем Кантора гласит, что для любого множества всегда можно сформировать другое множество большей мощности, то есть с большим числом элементов. Для этого необходимо взять множество всех подмножеств разделяемого множества.
Рассмотрим в качестве примера множество С, образованное тремя элементами
Множество подмножеств или частей € — Р(С) — образовано следующими элементами:
О,< ).(•).{ С)
<. ' • nJ),
где 0 — пустое множество, не содержащее ни одного элемента. Мы видим, что это множество содержат 8 элементов, что больше, чем 3 элемента исходного множества. Как правило, если принять число элементов множества С за х, то число элементов множества Р (С) будет равно 2х, что для любых конечных х всегда будет больше, чем х. Но что произойдет в случае, если С — бесконечное множество? Ничего особенного. Множество частей С по-прежнему будет содержать больше элементов, чем множество С. Кантор сформулировал очень простое доказательство этому. Предположим обратное: С и Р (С) содержат одинаковое количество элементов. Следовательно, между этими множествами можно установить взаимно однозначное соответствие. Если поедставить элементы С в виде цветных кругов, то мы увидим отношение следующего типа:
это «gio
I Кантор был глубоко верующим человеком и очень интересовался Библией. В результате проведенных им тт ологических исследований он написал статью, в которой доказывал, что Иисус был внебрачным сыном Иосифа Аримафейского.
В1889 году Кантор предпринял несколько попыток доказать, что работь Шекспира (1564—1616) в действительности были написаны Фрэнсисом Бэконом (1561—1626), английским философом и поли, иком, автором «экспериментальной философии» — важного течения, которое во многом предвосхитило научный метод познания
На рисунке выше подмножес’чо. связанное с содержит ‘ _ помимо
прочих элементов; связанное с О не содержит О; связанное с Ф содержит L ' и так далее. Все элементы множестве С которые, подобно О, • иФ, связаны отношением с подмножествами, в которых не содержатся сами эти элементы, можно объединить в новое подмножество, которые мы обозначим 5. Предположим, что 5 должно быть связано с одним из элементов С. Обозначим его за •.
•-— - {.......а..?...)
5
Принадлежит ли О множеству S? Если О принадлежит S, тогда, подобно и®, он не должен принадлежать подмножеству, связанному с ним, то есть S. И напротив, если V не принадлежит S, тогда, подобно V и 9, он должен принадлежать подмножеству, связанному с ним. В таком случае это множество S. Таким образом, мы получили противоречие в обоих случаях. Значит, наше исходное предположение ложно. Поэтому С и Р (С} не могут содержать одинаковое количество элементов. Поскольку Р (С) содержит как минимум столько же элементов, что и С, именно Р (С) содержит большее количество элементов.
A CyjfjrtШИОЛ. L tv MHtfMari ШЛО t ялу ujpiu отншn/Hi' itiito подлинной лнчн&етн ееии.о-eo .iff4 ififu
Уилнлил Шлшнрл (fLitptwto необычайно
ЪШНГШреиШ.СН-Ч ЭМА.И oo-upoioM и iAiqiiift.i-i JHHowrty,
что a деш швюпыьна wh liit At HiipOU йыл Фр-WK-ttt bjt-АЯЯ 4 /) Htpltt/dbi
pltlib t)OAf OH
проводи i многие ч.пы, могру-ttttiffitith tf документы той зииха tt ныт.егнь доклз.гшь
1Л»й mtfttVNitmfmL
После, \нпе 20 лет жшнп клнтор периодически лечился и психиатрических клиниках. куда он обращался по собственном} кслаиию. Эго не мешало сь у продолжать работу и публиковать свои теории в промея хтках между курсами лечения В последний раз он был помещен в клинику в 1912 году — единственный pai против своей воли. В письмах Кантер жаловался на холод, одиночество п скудное питание. Несмотря на го, что к тому моменту его теории уже получили широкое при тайпе1 научного сообщества. 6 яива ря 1918 года он умер в одиночестве и в поистине удручающих условиях.
Любопытство и t коьходи.лхть — вот два главных двигателя науки. Именно они
С ДРЕВНЕЙШИХ ВРЕМЕН ПРИТЯГИВАЛИ ВНИМАНИЕ ЧЕЛОВЕКА К НЕБЕСНЫМ ТЕЛАМ, ИЗУЧЕНИЕ КОТОРЫХ И СПОСОБСТВОЬАЛО РОЖДЕНИЮ СОВРЕМЕННОЙ НАУКИ.
МАТЕМАТИКА
Движение небесных тел
На пути к звездам
При взгляде на небо ясной ночью нам открывается необозримая черная сфера усыпанная бесчпс генным» светящимися небесными телами. Несмотря на то, что представление о небе как о сфере не совсем верно, тем нс менее, мы можем изучать небесные тела с помощью ценного инструмента — сферической тригонометрии. Чтобы изучать и понимать силы, которые управляют кажущимся движением небесных тел. необходимо прежде всего сформировать систему, которая по нюлпт определить положение небесных тел и составить карту зве тднея о неба. Для этого были созданы различные системы координат. В одних заточку
А Нл <рр,гш^згчой ииншг-
зенитом и надиром. Зенит расположен непосредственно у нас над головой, надир диаметрально ему противоположен. /Л тинным горизонтом называют плоскость, проходящую через точку, В Которой находится наблюдатель, и перпендикулярную отвесной .инии. Пересечение этой плоскости с небесной сферой — большой кру г, называемый небесным горизонтом.
отсчета принималось месторасположение наблю-
датсля и использовались локальные координаты. В других, напротив, заточку отсчета брался земной шар и мспОльйовадмсь общие координаты, одинаковые- для любого наблюдателя.
Небесныи экватор
и небесный горизонт
Е читается, что Земля вращается вокруг воображаемой оси. Точки пересечения этой оси с поверхностью Земли называются Северным и Южным
лгтрвлхбнн; минах. it,to*
тюре XJ11 вех.1 н. ipHiMinu три тшы, злничгыцнеся мтрономически чн н,к> сюде-ннлии. Meh.it, чзображен-
ный в центре, опрев! „чет положение звезды< помещен.
бр еженный г«гва. „шпеы-в.тн реузьтзшы. а тот, чню! правя, — сверяете*
полюсами. Плоскость, перпендикулярная этой стм.ищсчи
оси и проходе.щаз. через центр Земли, называется
земным экватором. Если продлить земную ось и плоскость экватора до небесной сферы, то в результате получим Северный и Южный по-
северный полюс мира
Люса мира и так наз1 тваемый небесный экватор. В любой точке земной поверх-нос гм направление отьсса (нити на конце которой закреплен груз) определяет конкретное направление. Если продлить это
Небесный горизонт также определяется как продолжение земного горизонта — линии, отделяющей небо от земли, если мы находимся на равнине, либо небо от воды, если мы находимся в море. На практике небесную сферу считают достаточно большой, чтобы плоскость, касательная к поверхности земли в точке наблюдения, определяла тот же горизонт, что и плоскость, проходящая через центр Земли и параллельная ей.
направление в обе сторо
ны. получим прямую, на-
зываем х ю отвесной линией, которая пересекает небесную сферу в двух точках, называемых
южный полюс мира
49
Положение полюсов мира и небесного экватора нс зависит от точки наблюдения. Напротив, зенит. надир и небесный горизонт зависят от месторасположения наблюдателя и видны ему только в определенной части небесной сферы.
Эклиптика
Земля вращается вокруг Солнца по эллиптической орбите, то есть в течение года описывает эллипс, в одном из фокусов которого находи г-(я Солнце 11 лоскость, на которой расположен этот эллипс, и плоскость экватора нс пара слель ны между собой. 11ными словами, Зем ся в течение года сохраняет определенный угол нак лона. Именно благодаря этому наклону и происходи г смена времен года. Угол, образуемый двумя этими плоскостями, ооозначаегея греческой буквой t и означает угол наклона эклиптики, е = 23" 2'",
। । 1 12У27'
1
I
Когда речь идет о небесной сфере, нужно разам чать два типа движении Первое — суточное движение, при котором вращается вся небесная сфера. Это движение обусловлено вращением Зсм ..1 Второе — собственное движение всех небесных тел, траектория которого также прост ip> стся на небесну ю сферу. Например, Солнце нс находится неподвижно в одной точке, поскольку в допол-
етглл; в России весна начинается согласно календарю — 1 марта, в остальном мире — согласно движению Солнца, го есть 21 марта). Пройдя половину бо Дпшого круга. Солнце достигает второго конце линии равноденствий — точки осеннего равноденствия, обозначаемой знаком Весов (—). В этот момент Солнце покидает Северное полу шарме и пер< ходит в Южное; начинается осень.
члепипаляле<иот < влияние.» mett> на -HtutHHлюдей. Hi -'pa вюре игейрмнены in.ii.u io-du.ikd, oSpaMt.чющне ернеуру не ювека. Счнт.и т.н. что е 1лдый цг .т&шкилишця знаков управляет иЗний из нитей челивечккыо те ы.
Диаметр эклиптики, перпендикулярный линии равноденствий, называется линией сайте-< тоянин. Эта линия пересекает небесную сферу в двух точках: первая, расположенная в Северном полушарии, называется точкой летнего солнцестояния и обозначается знаком Рака (55), а вторая, расположенная в Южном полушарии, — точкой зимнего солнцестояния и обозначается знаком Козерог а (ХУД. Прохождение Солнца чс-
ненне к суточному движению оно также, перемещается в течение года из-за вращения Земли воэ рзг него. Если мы будем ежедневно в одни и тот же час фиксировать положение Солнца, то увидим, что оно будет описывать на небесной сфере большой круг, полуи11вший название эх тптикеу. Эклиптика и содержа щая ее п лоскость, как мы уже увидели, образуют угол в 2э" 27’ с небесным экватором.
[ I соскости эклиптики и экватора пересекаются по линии, называемом .tiHiteii равноденствии Когда Солнце, двигаясь в течение года по эклиптике, переходит из Южною в Северное полушарие небесной сферы, оно пересекает экватор в так называемой точке весеннего равноденствия, обозначаемой знаком Овна (fY>). I Imchho в .миг день начинается весна {прим, псрсвод-
шз
рез эти точки знаменует соот ветственно начало лета и зимы. Точка весен него равноденствия, обозначаемая знаком Овна, не только соответствует началу весны, ион имеет большое щачение в астрономии: это начало одной из наиболее попу сярны с систем небесных координат — экваториальных координат.
Зодиак
Несмотря на то, что в пространстве движется все — Земля. Луна, Солнце, Солнечная система и вся Галактика — определение этою движения на небесной сфере для ра<ных небесных тел значительно отличается. Большине гво звезд настолько далеки о г нас что их движение нева-мстно, по.гтомэ 1 окорят, что их положение фиксировано.
На пути к звездам
С другой стороны, планеты Солнечной системы наря уу с Землей движутся вокруг Солнца по эллиптическим траекториям, У однич планет период вращения больше, у других — меныш Видимое движение всех планет Солнечной сие гемы, кроме Плутона, происходит внутри пояса, огра ничейного двумя меньшими кругами, располо женными по обе стороны эклиптики на расстоянии в 8,5° от нее.
Армиплярнал сфера
Астрономы используют армиллярную сферу, начиная с античных времен. Она состоит из нескольких колец, скрепленных между собой и изображающих небесную сферу. В геометрическом цеитре находится Земля — небольшая сфера, которая являемся точкой отсчета для наблюдателя. Число колец и то, что они означают, зависит от типа сферы. Как правило, на всех армии парных сферах нанесен пояс Зодиака и его созвездия, а также траектории планет Солнечной системы Раньше сферы изготавливали из дерева, позднее — из металла. Начиная с XVI века знаменитые часовщики допол-
няли сферы движущимися кольцами. Их движение соответс вонало пере-
мещению звезд по небесной сфере Хотя некоторые из этих инструментов
могли использоваться для астрономических вычислений, в основном они
применялись в учебных целях. Чтобы ясно представить себе вращение
Земли одновременно г движением звезд, необходим', хорошее воображение. Таким образом, дргвние небесные глобусы можно считать предшественниками современных планетариев.
Этот пояс шириной 1 называется ждгмкл.т-ным поясом или Зодиаком. Др< внис делили его на 12 частей по 30°, каждая из которых совпадала г определенным созвездием — знаком Зодиака. Начиная отточки, обозначаемой знаком Овна, по кругу вдоль эклиптики находятся следующие знак» Зодиака: Овен, Телец, Близнецы, Рак, Лев, Дева, Весы, Скорпион, Стрелец, Козерог, Водолей и Рыбы.
Предварение равноденствий
Когда концы осн вращения объекта нс закрепленье а могут свободно двигаться в пространстве, возникают ’фф< кты, которые с ложно объяснить на языке физики, но которые нетрудно у видеть на примере движенья волчка. Можно заметить, что волчок вращается не только вокруг себя. Ось вращения также движется: именно поэтому волчок сохраняет равновесие. На самом деле ось волчка вращается по поверхности конуса. Подобное движение оси называется прецессией и сопровождается определенными колебаниями по траектории движения. Этот эффект называется нутацией. на нем мы нс будем останавливаться подробно. В некотором роде Земля подобна волчку, поэтому. когда мы говорим о движении Земли, помимо вращения вокруг своей оси и вокруг Солнца не стоит забывать о нутации и прецессии. Из-за того. что ось Зем mi движется по этой круговой тра ектории точка пересечения эклиптики с экватором движется назад.
► На гравюре Х.1 Л.л г изображены мусульманские трок..мы. двигающие кольца небесного глобуса iltv астрономическихча тюлений и расчетов. Гюбуе на гравюре точно воспроизводит античную греческую модем..
Иными словами, точка весеннего равноденствия не являете я фиксированной, а движется по эклиптике на 50,25" в год. Это так называемое предварение равноденствий. В силу этого каждые 2000 лет точка весеннего равноденствия проходи г лугу в 30", из-за чего сейчас эта точка находится не в созвездии Овна, а в со тездии Рыб.
Чебесньк > координаты
Чтобы определять положение небесных тел и описывать их движение (а это и есть две главные задачи позиционной астрономии}, нужно нмз ть подходящую систему координат.
Движение небесны е тел
51
В целом, чтобы описать положение точки на поверхности сферы неизменного радиуса, достаточно двух координат. Это О
будут длины дуг, ле- I жащих на перпенди- _
кулярных друг другу р---------
больших кругах. Если взять за начало отсчета точку Р, то координаты точки А определятся углом POQ, расстоянием Ь, равным длине дуги PQ, и углом AOQ, определяющим координату а.
Экваториальные координаты и горизонтальные координаты Экваториальные координаты, также называемые абсолютными, чаще всего используются в астрономии. Эта система координат основана на экваторе и точке, обозначаемой знаком Овна. Допустим, звезда А расположена в некоторой точке небесной сферы, С I
зенит
I ю
Сначала проведем меридиан, про- С ходящий через эту звезду, и измерим длину дуги на небесном экваторе, которая ограничена точкой весеннего равноденствия и пересечением проведенного меридиана с экватором, Эта величина называется прямым восхождением
звезды и обозначается греческой буквой альфа (а). Вторая координата — длина дуги, проведенной по меридиану от экватора до звезды.
)Т0 WIT&KII0
Полярная звезда, кст'рая находится приоли зительно в Северном полюсе мира, на самом деле — Альфа Малой Медведицы- Однако так было не веггдэ Виной тому — прецессия, из-за которой Северный полюс мира описывает круг диаметром в 47°, и с течением времени положение «полярной звезды» меняется Например, 4500 лет назад полярной звездой был Тубан из созвездия Дракона а через 12000 лет полярной звездой будет Вега из созвездия Весов.
Когда в астрономии и физике вообще речь иды круговом движении, различают прямое и ре-тротадное движение — проз ив часовой и пи часовой стрелке соответственно. Любопытно, что практически все небесные тела во Вселенной, движущиеся по круговым орбитам движутся в прямом направлении: седа относится вращение Земли, планет вокруг Солнца и так далее. Часовая стрелка — любопытное исключение из этого правила.
Предварение равноденствий имеет важные последствия в астрологии Е:сли какая-то информация почерпнута из оригинальных источников (вавилонских или греческих), то следует учитывать, что в эпоху, когда были написаны эти источники. Зодиак находился в ином положении, нежели сейчас, и поэтому описания древних астрологов не вполне соответствуют современной ситуации.
Эта координата называется склонением и обозначается греческой буквой дельта (5). Две величины (а, 8) определяют экваториальные координаты звезды. Горизонтальные координаты чвляются зо кальными и зависят от места. В основе этой си-КЗ стемы координат — математический горизонт и точка юга, лежащая на плоскости математического горизонта. Координатами являются азимут — угол, отсчитываемый вдоль горизонта по часовой стрелке начиная с юга, и высота — угол звезды над горизонтом.
52
надир
Лучшее от Сэма Ллойда
/*оловоломки с перемещением
1. Пятнашки
Старожилы Страны Загадок вспомнят, что в 18T1-C годы весь мир сходил с ума по головоломке, состоявшей из коробочки с пронумерованны ми костяшками, получившей название «Пятнашки», ни «Головоломка 14—15». Пятнадцать костяшек располагаются в квадратной коробке по порядку, но костяшки с номерами 14 и 15 переставлены местами, как показано на рисунке внизу, Задача: перемещая костяшки по одной, восстановить их изначальное положение, расположив при этом костяшки 14 н 15 в верном порядке.
Премия в 1000 долларов, обещанная тому, кто первым найдет решение задачи, до сих пор не присуждена никому, хотя тысячи людей хвастаются, что им удахось решить головоломку. Люди сходили с ума, пытаясь решить эту задачу Рассказывали смешные истории и торговцах, которые -забыли обо всех делах, а один священник как-то зимой провел всю ночь на улице под фонарем, пытаясь вспомнить найденное им решение. Никто из тех, кому икосы удалось решить головоломку, загадочным образом нс мог вспомнить решения. Говорят, что в пот :тках справиться с головоломкой капитаны сажали корабли на мель, машинисты пропуска ли станции, а фермеры забыва хи об урожае. Как раз такой незадачливый фермер и изображен на рисунке.
Стопт рассказать о других задачах, которчь появились на основе исходной головоломки.
Задача № 2. Расставьте костяшки так, как показано на рис. 1. и расположите их по порядку. При этом пустой квадрат должен находиться не р нижнем правом, а в левом верхнем углу.
Задача №3. Начните с той же исходной позиции, поверните коробку с костяшками на 90" и попытайтесь расположить костяшки так. как показано на рис. 2.
Задача № 4. Начните с той же исходной позиции и расположите костяшки гак, чтобы они образовали «магический квадрат», в котором сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и по диагоналям была бы одинакова и равнялась 30.
Рис.1 1 2 3 Рис. 2 ги GJ
4 5 6 7 сл о *sl CD
IL х a.
8 9 10 11 о -* ю
ж ж.
12 13 14 15 СП
V Воптяновнп^ пра/шлнмый порядок проку иероаапкыл коепцшеек.
2. Китайская головоломка
о замене слова
Эта интересная головоломка принадлежит к гой же серии, что и моя старая задача «14—15». Предполагается, что на каждом из кубиков нарисована буква, и если читать сверху вниз, то буквы образуют слово. Задача: переставить кубики так, чтобы это же самое слово можно было прочитать слева направо.
33
А Выберите слово иэ 12 гЛал « и -мсниспе есо наложение <л н,си-лииыиеечш ходов.
Вы можете исполыовать любое слово из 12 букв, но дуя каждого ^чова результаты будут отличаться. 11екоторые слова предпочтите хьнсс других. Удача п опыт помогут вам найти слово, для которого можно решить юловоломку за наименьшее число ходов.
3. Настольные игры
Дея читателей, интересующихся ш рами, которыми можно ра «влечь друзей, я ирг г вожу интересную головоломку. С ес помощью вы сможете развлечь гостей на приеме или торжестве. Нам попа добится восемь бокалов вила четыре пустых и четыре полных). Как и во всех похожих задачах, здесь все зависит от опт <та и у мсиггя веду щего Он должен в совершенстве знать свою роль и уметь исполнять се без матейшггх сомнений Не перс-
ставая общаться со зрителями, он должен убеди гь их, что задача очень проста и что любой, если тохько он не беспросветно глуп, может решить ее. В действительности задача ьыг тядиг настолько простой, что почти все соглашаются сыграть в нее, надеясь легко с ней справиться. Здесь н начинается веселье — 99 игрокам из 100 это нс удастся. Су гь задачи объясняется в подписи к рисунку. Каждый ход состоит в том, ЧТ о нужно поднять два соседних бокала и, не меняя их местами переставить в другое место вдоль линии. Чтобы упростить объяснение, все бокалы пронумерованы.
▼ Цодннмлч по да, с соседних бокале ta одинрак п.реетллы’и бокалы лл
четыре кодл так, что£ы пусты и полные бок 1ЛЫ чередовались.
Решения
1. Исходную головоломку невозможно решить, если не считать уловки, при которой костяшки с г,омерами 6 и 9 меняются местами Одна из особенностей заключается в том, что любой подобный обмен двух костяшек мгновенно делае’ головоломку решаемой. В действительности любое нечетное число замен произведет тот же эффект, а после любого четного числа замен головоломка останется нерешаемой. Читатели, которым хотелось бы узнать об интересной математической структуре этой голово-ломки, мы рекомендуем ознакомиться с классической работой В. В. Джонсона и В. Е. Стори Notes on the 15-Puzzle («Комментарии к головоломке „Пятнашки"»), American Journal of Mathematics, том 2, 1879 г„ стр. 397 и далее. Более краткие обсуждения этой темы вы можете найти в книгах по занимательной математике.
Следующие три задачи реш потев так... Позиции, изображенной на рис. 1, можно достичь за 44 хода: 14,11,12,8,7,6,10, 12,8,7,4,3,6,4, 7,14,11,15 13,9,12,8, 4,10 8,4,14,11, 15,13,9,12,4,8,5,4,8,9, 13,14,10,6,2,1.
Позиции, изображенной на рис. 2, можно достичь за 39 ходое: 14,15,10,6, 7,11,15,10,13,9,5,1,2,3,4,8,12,15,10, 13,9,5,1,2,3,4,8,15,14,13,9,5,1,2,3, 4,8,12,
Магический квадрат можно составить за 50 ходов: 12.8,4,3,2,6.10,9,13,15,14, 12,8,4,7,10,9,14,12,8,4,7,10,9,6,2.3, 10,9, б, 5,1,2,3,6,5,3,2,1,13,14,3,2,1, 13,14,3,12,15,3.2.
2. В исходной китайской головоломке используется молитва из 12 слов, поскольку в китайском языке каждое слово представлено особым символом.
В североамериканской версии игры эту молитву нужно перевести или представить одним словом из 12 букв, чтобы на каждом кубике была нарисована буква. Лишь немногие обратили внимание на ремарку о том, что существует особенно подходящее слово, и заметили фразу о переводчиках с китайского Подходящее слово — «interpreting» («перевод»). Для этого слова головоломка решается в 12 ходов без всяких «развилок».
3. Задачу о четырех пустых и четырех полных бокалах можно решить так один длинный ход, два коротких, потом один длинный. Сначала переместите бокалы 2 и 3 до конца вправо, затем заполните образовавшийся промежуток бгкалак.и 5 и 6. В получившийся промежуток поставьте бокалы 8 и 2. Последним ходом переместите бокалы 1 и 5.
В ЭТУ ИГР* МОЖНО ИГРАГЬ КАК С ПЛОСКИМИ, ТАК И С ОБЪЕМНЫМИ ФИГУРАМИ, Единственное ограничение: необходимо сохранять шахматный порядок клеток
Черно-белые нолику бы
Полимино
*0 В одном UJ вариантов поли чипа решение, кон серое должен найти перок, доли но
. охранять привы еяый вид доски дся игры е шаш-
ки спи шахматы.
комбинаций, которыми можно объединить пять квадратов. Если соединять квадраты между собой сторонами, то можно получить фигуры, состоящие из разного числа квадратов. Так. фигуры из двух квадраюь называются домино. Три квадрата можно соединигь м умя различными способами, образуя тримпно. а из четырех квадратов можно полечить пять разных тстрампно. Общее название для фигур подобного типа — полимино.
Среди бесчисленного мно-жее.ва Iоловоломок есть не-
сколько оеоПенных. Одна и i них — пентамино.
Варианты
С момента изобретения пенгамнно и ио-лимпно было создано столько вариантов этой 1 оловоломки, что многие из них могут по праве называться отдельными in рами. Cpi дп них можно выделить три вида игры.
1. Те, в ко горы х к на драты раскрашены в черный и белый цвет, образуя шахматную доску.
2. Те, в которых вместо квадратов пспользуют-
ся кубы («поли кубы »).
Она состоит из разных фигур, Абрпзованныд из пяти квадратов, соединенных между собой. Пол нал гру ппа пентамино состоит из всех возможных
3. Те, в которых объединены нс ква драты, а другие фпиры (шестиугольники, треугольники и другие}.
Тетрамино:
1 2 3 4 5
Пентамино:
hLTJirJ"
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
Головоломка, известная под на шанпем иеми-мино. сочетает первые два варианта: она состоит из поликубов, раскрашенных в черный и белый цвет. В >тои головоломке объединены два типа полимино: квадратный тстрампно и 12 пентами-но. Эту головоломке можно решать разными способами. можно считать детали плоскими фигура ми или же собрать объемный кубик сома. К этому номеру прилагается полный набор поликубов. Но окраска элементов в черный и белый цвета на кладывмет новое ограничение: при решении головоломки необходимо соблюдать шахматный порядок, строго чередуя черные и белые i вадраты.
Более чем сто пет истории
В 19(’ ’ .одч ан глине кий изобретатель головоломок Генри ЭрнсС! Дьюдени представил прскрас-ную игру в л воен книге « Кен 1србери некие 1 оловоломки». Он назвал се «Сломанная шахматная доска». Хотя ел щсствд ю г различные версии этой головоломки именно вариант Дьюдени стал первым задокументированным использованием по-лимнно в 1 о лови ломках. Головоломка Дьюдени состояла из следующих элементов
57
Все остальные элементы можно раскрасить двумя способами. Если считать симметричные между собой элементы разными, го всего получается 36 разных пена амино. В одном из них, псн-тамино X, соотношение белых и черных клеток равно i 1 пли !:•».
Кроме этого, Дьюдени уточнил, что вес элементы окрашены только с одной стороны. Существует множеств! । похожих головоломок, где необходимо собрать шахматную доску, используя элементы разной формы. Неизменно лишь одно: необходимо собрать доску, сохраняя чередование белых п черных клеток В 1983 году Джерри Слокум опубликовал книгу Compendium of Checkerboard Puzzles, где описал 33 подобные игры, включив в книгу только те, что официально выпускались и издавались В различных вариантах число элементов меняется от 8 до 15. Самая старая версия относится к 1SSO году.
Большинство версий сделаны из картона и других материалов, раскрашенных только с одной стороны, поэтому элементы переворачивать нельзя. В некоторых головоломках элементы сделаны из дерева разного цвета, поэтому их можно переворачивать.
Автором новейшей версии яв сяется Кейт Джонс. В ее версии обе стороны элементов раскрашены по-ра 1ном1
В 1953 I оду Соломон Голомб представил на одной из Гарвардских конференций рабо1у, поспи щенную подобным фигурам, в которои впервые использовал название «полимино». На основе работы Голомба Мартин Гарднер в 1957 году опубликовал статью о полимино в журнале Scicntifn Amt man. Спх стя восемь лет 1оломб опу бликовал книгу «Полимпно». В последние годы поличп-но привлекает внимание многих любителей геометрических гоуоволомок, среди которых Кейт Джонс, Джордж Мартин и Родолфо к /рчан
Элементы полимино
Гоховохс'мка полимино состоит из 13 элементов: 1 кв а уратного тетрам инн и 12 пентампно. На всех элементах черные и белые клетки чередуются в том же порядке, что и на шахматной доске.
Полный набор
Тетрамино можно раскрасить всего одним способом. «11ротивопохожные» ему элементы легко получить, повернув тетрамино на 90°.
Л Знаменитый изобретать it голова. низок англичанин Генри Эрнст Дыодени tJSS"—! 930) был автири и ~ Сломанной вша чашкой доски « — первой доку мен-тироеанной голиволн нкн. в которой иенользова.лиь полимино.
Для пя гп элемснгов (V. I, U, W, Т) эго соо.ношение может равняться 2:3 или 3:2. Эти элементы при вращении не изменяются.
Ос гальные шесть (Р. R. Y, Z. L и N) можно раскрасить четырьмя разными способами.
Выбор
11з этих 46 элементов можно выбрать 12 яеповто-ряющи.хся множеством способов. Головоломка, приложенная к этому выпуску, содержит по Од ному элементу каждого типа.
Полимино
Он» отобраны таким оОразом, чтобы еде мт головоломку как можно интереснее. При отборе элементов всегда следует учитывать что решением головоломки должна быть шахматная доска. Голове \омк t должна обя >атсхьно содержать тстрамино. Оставшиеся 12 пентамино должны покрывать 60 клеток, одна половина из которых — черные, а другая — белые. 1 кгргдно видеть, что всего одно пентамино (в форме креста) имеет соотношение белых и черных клеток -н! (или 1 -t). Среди 11 остальных семь имеют соотношение белых клеток к черным 2:3, остальные четыре — 3:2.
Прч.моуго 1ьннн 3>5;
белые: черные = 2:3
Прямоуг&ьник. 3 х JU-
белые: черные =4:1
необходимо составить
Квадраты Зх.э и 5 х 5;
Внешние очертания фигуры при »том не имеют
белые, черные =3:2
белые' черные = 2:2
Задача
Основная задача головоломки *.Полимино», которая позволяет игрокам раскрыть весь творческий потенциал, состоит в том, что нужно собрать квадрат 8x8 из 13 элементов так, чтобы
белые и черные кхетки при этом чередовались в шахматном порядке.
Головоломку можно решить многими способами В нее можно добавить дополнительное ограничение. чтобы сделать ее еще интереснее; ква дратньч! элемент должен располагаться по центра доски.
Существует единственное решение, удовлетворяющее веем этим условиям.
Разминка
Для начала мы советуем решать головоломки состоящие из меньшего числа элементов.
Прччт.ч, 1ьник
Вариант I: о& фигуры нужно составить одновре-• енн(>:
Вариант II: ot>t фигуры нужно составить одновременно:
Большой двор
Используя 13 элементов, i фигуру, в центре которой pacnoaaia гось бы ква дратное отверстие наибольших размеров: 10 х 10.
1начсния, Здесь показан пример фигуры с отверстием -1x4. Чередование белых н черных клс гок должно сохраняться. Элементы должны соприкасаться как минимум одной стороной.
Черно-бсаые но. тку бы EZ3
Решения
Квадрат 3x3
Квадрат 5x5
Прямоугольник 3x5
П рямоу гол ьн и к 4x5
Прямоугольник 3x10
Вариант II
Большой двор
D^AGOSTINI представляет
Пропустили выпуск ' любимой коллекции?
О Просто на сайте
закажите его
www.deasostini.ru
Для украинских читателей — по телефону горячей линии 0-800-500-8-40
в киосках.
Спрашивайте
Великий геометр
Аполлоний
Лучшее от Генри Э. Дьюдени
Арифметические и алгебраические задачи
Конические сечения
Форма орбит небесных тел
В следующем выпуске через 2 недели
Пирамида из четырех частей
Теория множеств
Краеугольный камень математики