П.Антосик Я.Микусинский РСикорский I
ТЕОРИЯ
ОБОБЩЕННЫХ
ΦΥΗ КЦИ Й
Секвенциальный подход
Издательство Мир· Москва 1976

THEORY
OF DISTRIBUTIONS
THE SEQUENTIAL APPROACH
by
Piotr Antosik
Special Research Centre
of the Polish Academy
of Sciences irr Katowice
Jan Mikusinski
Special Research Centre
of the Polish Academy
of Sciences in Katowice
Roman Sikorski
University of Warsaw
Elsevier Scientific
Publishing Company
Amsterdam
1973
PWN—Polish Scientific
Publishers
Warszawa

П.Антосик
Я.Микусинский
РСикорский
ТЕОРИЯ
ОБОБЩЕННЫХ
ФУНКЦИЙ
Секвенциальный
подход
Перевод с английского
В. В. Жаринова
Под редакцией
Е. Д. Соломенцева
Издательство
•Мир-
Москва 1976

УДК 517.43+519.55
Теория обобщенных функций в настоящее
время завоевала прочное место в арсенале
современных математических методов, применяемых не
только специалистами-математиками, но также
физиками и инженерами, В книге известных
польских математиков эта теория излагается
исчерпывающим образом — от элементарных ее основ до
более глубоких результатов, часть которых
публикуется впервые·
Построение теории ведется на базе простого
определения обобщенных функций, уже знакомого
читателю по двум выпускам «Элементарной теории
обобщенных функций» Я, Микусинского и Р. Си-
корского (ИЛ, 1959 и 1963). Применение близких к
этим'идей можно найти также в книге Я.
Микусинского «Операторное исчисление» (ИЛ, 1956).
Простота и ясность изложения делают книгу
доступной широкому кругу читателей, знакомых
с математикой в объеме втузовского курса. Она
представляет интерес и для
специалистов-математиков.
Редакция литературы по математическим наукам
20203-003 ©Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973
041(01)-76 @ Перевод на русский язык, «Мир», 1976

От редактора
Заслуги и достижения польской школы теории обобщенных
функций хорошо известны. Развиваемый в работах ее
представителей секвенциальный метод обоснования и построения этой теории
привлекает своей наглядностью и связью с интуитивными
физическими представлениями.
Читателю этот подход знаком в элементарном изложении по
двум брошюрам Я. Микусинского и Р. Сикорского, вышедшим
в русском переводе в 1959 и 1963 гг. (см., примечание на стр. 7)
и ставшим уже библиографической редкостью. Здесь это
элементарное введение занимает первые две части — около 40% всей
книги. Основная, третья часть посвящена изложению более
глубоких вопросов теории обобщенных функций и некоторым ее
аналитическим применениям. Книга ориентирована в основном на
читателей, овладевших втузовским курсом математики и имеющих
дело с ее применениями. Однако третья часть представляет
несомненный интерес и для теоретиков-специалистов.
В книге, к сожалению, не уделяется внимания
непосредственным применениям теории к физическим и инженерным расчетам,
для которых секвенциальный подход особенно ценен. Впрочем,
здесь речь должна идти скорее о новой, также весьма
увлекательной книге. Пока же читателя, интересующегося этими
применениями, мы отсылаем к небольшому списку литературы,
добавленному при переводе.
Для русского издания авторы любезно написали добавления
и сделали ряд улучшений. Мы весьма признательны им за это·
Е. Соломенцев

Предисловие
В классическом анализе непрерывные функции не обязательно
дифференцируемы. Грубо говоря, обобщенные функции являются
таким расширением понятия функции, при котором каждая
непрерывная функция становится дифференцируемой: ее производная
есть обобщенная функция. Более того, каждая обобщенная
функция оказывается дифференцируемой; ее производная — это другая
обобщенная функция.
Обобщенные функции можно ввести различными способами.
Одним из самых ранних методов был метод функционалов,
предложенный С. Л. Соболевым [1] и Л. Шварцем [2]. В настоящее время
имеется большое количество публикаций, основанных на их
построении. Недостаток этого подхода состоит в том, что он требует
глубокого знания функционального анализа. Последнее
обстоятельство делает, теорию труднодоступной для неспециалистов.
Поэтому любая попытка написать ясный учебник, не требующий
обращения к другим источникам, приводит к необходимости
огромной вводной части, намного превосходящей основную его часть,
посвященную собственно обобщенным функциям.
Развитый позднее секвенциальный подход состоит в
рассмотрении обобщенных функций как пределов последовательностей
обычных функций. Конструкция, появляющаяся в связи с этими
пределами, основана на широко распространенном в математике кан-
торовом понятии классов эквивалентности. Секвенциальный
подход не только проще, но и ближе к интуитивным представлениям
физиков: уже П. Дирак, предтеча теории обобщенных функций,
был уверен в том, что его дельта-функцию можно
аппроксимировать последовательностями обычных функций.
Некоторые сторонники функционального подхода говорят, что
только их метод обладает достаточной гибкостью и мощью — это,
конечно, скорее выражение их веры, чем точное утверждение.
В действительности каждой обобщенной функции в
функциональном подходе соответствует единственная обобщенная функция
в секвенциальном подходе, и наоборот. Далее, каждая теорема
об обобщенных функциях, доказанная функциональным методом,
может быть доказана и секвенциальным методом. Какое из
доказательств проще, зависит от конкретного случая.

Предисловие
7
Кроме функционального и секвенциального методов, существуют
и другие возможности введения обобщенных функций (см.,
например, Кёниг [1], Себаштиан-и-Сильва [1],Сикорский [2] иТемпл [1]).
Эта книга основана на секвенциальном методе и первоначально
планировалась как элементарное введение в теорию обобщенных
функций. Ее первая часть посвящена простейшему случаю:
обобщенным функциям конечного порядка на вещественной прямой.
Во второй части теория распространяется на произвольные
обобщенные функции в евклидовом пространстве любой размерности. Обе
части почти без изменений перепечатаны с двух брошюр х),
опубликованных несколько лет тому назад. Это приводи? к некоторым
несоответствиям между структурной формой и обозначениями
в разных частях книги, но зато ясно показывает путь, по которому
развивались идеи двумя из авторов, а именно Я. Микусинским
и Р. Сикорским. Третья часть написана Я. Микусинским в
сотрудничестве с П. Антосиком. Она включает более глубокие, а отчасти
и новые результаты и может оказаться полезной также
специалистам-математикам. Более подробная информация о содержании
дается во введениях к каждой части.
*) Первое издание опубликовано на английском языке (Mikusinski J.,
Sikorski R., The Elementary Theory of Distributions, I, 1957; II, 1961). Затем
появилось русское издание (Минусинский Я., Сикорский Р., Элементарная
теория обобщенных функций, ИЛ, М., I, 1959; II, 1963) и позже китайское
(1960), французское (1964) и польское (1964).

К русскому изданию
По сравнению с английским настоящее издание книги содержит
следующие улучшения.
Теорема 10.9.1 гл. 10 дается в более общем виде для векторно-
значных операторов, а не для функционалов. Добавлен § 10.10,
включающий теорему о ядре для обобщенных операторов на
лестничных пространствах Кёте. Из последнего результата следует
теорема Шварца о ядре для обобщенных функций. Неравенство (1)
из леммы 7.4.2 гл. 7 доказано в уточненной форме. Исключен
§ 13.6. Кроме того, внесен ряд незначительных изменений и
исправлений.
Я. Антосик, Я. Минусинский, Р. Сикорский

ЧАСТЬ I
Элементарная теория
обобщенных функций
одной вещественной
переменной
Введение
Целью ч. I является изложение основ теории обобщенных
функций, доступное физикам и инженерам так же, как и
математикам. Поэтому мы не станем пользоваться методами
функционального анализа и не будем определять обобщенные функции как
функционалы. В прикладной математике обобщенные функции
рассматриваются как обычные функции (пример—дельта-функция
Дирака). Хотя в действительности обобщенные функции функциями
не являются, но в некотором интуитивном смысле их можно
аппроксимировать функциями. Аппроксимация, но уже строго
определенная, и является исходной точкой нашего определения обобщенных
функций. Этот подход естественным образом позволяет применять
для обобщенных функций те же обозначения, что и для обычных
функций, так что аналитические формулы сохраняют старую
форму и можно пользоваться обычными методами вычислений.
Другие авторы также чувствовали необходимость в простом
изложении теории обобщенных функций, основанном на
определении обобщенной функции через более простые понятия. Эта
видно из ряда работ по обоснованию обобщенных функций
(Гальперин [1], Кёниг [1], Коревар [1], Микусинский [1], [2], Сикор-
ский [2], Словиковский [1], [2], Темпл [1]).
Каждая обобщенная функция является производной
непрерывной функции. Мы установим это свойство в самом начале и будем
развивать остальную часть теории на основе обоих взглядов
на обобщенную функцию: как на предел непрерывных функций
и как на производную обычной функции. Это помогает сделать
доказательства всех теорем элементарными и очень простыми.
В ч. I мы в основном касаемся теории обобщенных функций
конечного порядка, поскольку их роль фундаментальна. В § 4.&

40 Ч. I. Теория обобщенных функций одной переменной
показано, как обобщить основные определения и теоремы на
случай обобщенных функций бесконечного порядка.
Некоторые результаты, включенные вч. I, являются плодом
работы семинара, который проводили авторы в Математическом
институте Польской Академии наук в 1954/55 и 1955/56 гг.
Особенно полезным оказался вклад С. Лоясевича, К. Урбаника,
И. Влеки и 3. Зелезного.
В ч. I мы ограничиваемся обобщенными функциями одной
вещественной переменной. Теория обобщенных функций
нескольких переменных будет развита в ч. II и III.

1.
Основные определения
1.1· Принцип отождествления
Принцип отождествления состоит в том, чтобы выделить
в отдельный класс математические объекты, обладающие общим
свойством. Он часто применяется в математике для построения
новых понятий. Поясним это на примерах.
Направленные отрезки хну называются эквивалентными,
если они параллельны и имеют одинаковые длину и направление.
В этом случае пишут
χ ~ у.
Легко видеть, что так определенное отношение
эквивалентности обладает следующими свойствами:
(%г) χ ~ χ (рефлексивность);
(Ш2) если χ ~ У-> то У ~ х (симметричность);
(%3) если χ ~ у и у ~ ζ, то χ ~ ζ (транзитивность).
Отождествляя эквивалентные направленные отрезки, мы
приходим к понятию свободного вектора. Поясним математический
смысл этого отождествления. С помощью отношения
эквивалентности мы разбиваем множество всех направленных отрезков на
непересекающиеся классы, такие, что все отрезки из одного
и того же класса эквивалентны между собой, а отрезки из разных
классов не эквивалентны. Таким образом, с математической точки
зрения каждый свободный вектор есть класс эквивалентных
направленных отрезков.
Другим примером принципа отождествления служит
определение вещественного числа по Кантору. Здесь отправной точкой
служит понятие фундаментальной последовательности
рациональных чисел. Под фундаментальной последовательностью мы
понимаем последовательность {ап}, удовлетворяющую условию Коши:
для каждого (рационального) числа ε > О найдется номер п0,
такой, что
\а>т — ап I < δ пРи т,п >п0.
Фундаментальные последовательности {ап} и {Ьп}
рациональных чисел называются эквивалентными, если последовательность
{ап — Ьп} сходится к нулю; в этом случае мы пишем {ап} ~ {Ьп}.

12
Ч. I. Теория обобщенных функций одной пер менной
Легко проверить, что так определенное отношение
эквивалентности обладает свойствами ($t), (g2) и (%z).
Отождествляя эквивалентные фундаментальные
последовательности, мы приходим к понятию вещественного числа. В теории
Кантора вещественное число есть класс эквивалентных
фундаментальных последовательностей.
Принцип отождествления можно применить к произвольным
множествам, в которых определено отношение эквивалентности ~,
удовлетворяющее условиям (Шг), ($2) и (&з)·
Для каждого элемента у обозначим через [у] класс всех
элементов х, таких, что χ ~ у. Полученные таким образом классы [у]
будем называть классами эквивалентности. Из условий ($χ), (i2)
и (g3) следует? что
(a) у принадлежит [у];
(b) если у ~ ζ, то [у] = Ы, т. е. классы [у] и [ζ] состоят
из одних и тех же элементов;
(c) если отношение у ~ ζ не выполняется, то классы [у] и [ζ]
не имеют общих элементов.
Свойство (а) следует из свойства (%г).
Для доказательства свойства (Ь) предположим, что у ~ ζ. Если
χ принадлежит [у], то χ ~ у. Поэтому, в силу (g3)> s ~ 2,
т. е. χ принадлежит [ζ]. С другой стороны, из (g2) следует, что
ζ ~ у. Поэтому если χ принадлежит Ы, т. е. χ ~ ζ, то, в силу
(S3)> х ~ У-> т· е· ^ принадлежит [у].
Для доказательства свойства (с) предположим, что отношение
у ~ ζ не выполняется и что существует элемент х, принадлежащий
[у] и [ζ] одновременно. Тогда χ ~ у, χ ~ ζ и, в силу (g2) и (Щ3),
у ~ ζ, что противоречит нашему предположению.
Из (а), (Ь) и (с) следует, что все множество разбивается на классы
эквивалентности, попарно не имеющие общих элементов, так что
два элемента принадлежат одному классу эквивалентности тогда
и только тогда, когда они эквивалентны. Отождествление
эквивалентных элементов состоит в переходе от элементов
рассматриваемого множества к классам эквивалентности. Отношение
эквивалентности при этом переходит в простое равенство.
1.2. Фундаментальные последовательности
непрерывных функций
Понятие обобщенной функции является распространением
понятия обычной функции. Мы введем его способом, аналогичным
тому, который использовался в теории Кантора, расширяющей
множество рациональных чисел до множества вещественных чисел.
Цель введения вещественных чисел состоит в том, чтобы
некоторые операции, как, например, вычисление корней или логариф-

2. Основные определения 13
мов, можно было производить над всеми числами. Обобщенные
функции вводятся для того, чтобы всегда была выполнимой
операция дифференцирования: как мы знаем, не все непрерывные
функции дифференцируемы.
В то время как в основе теории Кантора лежат рациональные
числа, в развиваемой здесь теории исходят из функций,
непрерывных на фиксированном интервале А < χ < В (—оо ·< А < В ^
Последовательность {fn (χ)} непрерывных функций,
определенных при А <х <С.В, называется фундаментальной, если
существуют последовательность функций {Fn (χ)} и целое число к ^ О,
такие, что
(F2) последовательность {Fn (x)} сходится почти равномерно.
Мы говорим, что последовательность {Fn (x)} сходится к
функции F (х) почти равномерно на интервале А <# <С.В, и пишем
Fn (χ) + F (х),
если она сходится к F (х) равномерно на каждом конечном
(замкнутом) интервале, содержащемся в интервале А < χ < В.
Например, χ/η ΐ£ 0 на интервале —оо < χ < оо. Несколько
более трудно увидеть, что (1 -j- xln)n l£ еж при -—оо<я<оо.
Последовательность частичных сумм любого степенного ряда
сходится почти равномерно в интервале сходимости.
Очевидно, что каждая равномерно сходящаяся
последовательность сходится также и почти равномерно. Предел почти
равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций
является непрерывной функцией.
Запись
будет означать, что последовательность {Fn(x)} сходится почти
равномерно к некоторой функции.
Будем писать
Fn (χ) Ztt^Gn (х),
если последовательности {Fn (χ)} и {Gn (x)} сходятся почти
равномерно к одной и той же функции.
Непосредственно из определения при к = 0 следует
1.2.1. Каждая почти равномерно сходящаяся
последовательность непрерывных функций фундаментальна.
Прежде чем рассматривать другие примеры фундаментальных
последовательностей, приведем несколько лемм.

14
Ч. I. Теория обобщенных функций одной переменной
1.2.2· Если {fn (χ)} — фундаментальная последовательность
функций с непрерывными производными т-го порядка /п" (х),
то последовательность {f™ (x)} также фундаментальна.
Если последовательность {fn (x)} удовлетворяет условиям (F^
и (F2), то последовательность {ffi* (x)} удовлетворяет условию
р{Ь+т) (д.) _- дт> ^ή и ζρ^ Отсюда следует, что
последовательность {f™ (x)} фундаментальна.
1.2.3. Если последовательность непрерывных функций {fn (x)}
ограничена и fn (x) l£ f (x) на интервалах А < χ <Ζ χ0 и χ0<Ζ
<
X X
χ <LB, то \ fn (t) dtj£\f (t) dt на интервале A <Zx < В.
χο
χο
Следовательно, последовательность {fn (x)} фундаментальна.
Предположим,что | fn (χ) | ^ М. Для данного ε >0и отрезка
α τζίχ ^Ь (А < а < х0 < Ъ < В) зафиксируем номер тг0, такой,
чтобы выполнялось неравенство | fn (х) — / (х) | < в/2(Ь — а) для
всех η >п0 на отрезках а < χ < х0 — г/АМ их0 + в/AM ^x ^
< 6. Тогда при η >п0 интеграл функции | fn (χ) — / (χ) | будет
меньше ε/2 на каждом из этих отрезков, а также на каждом
из отрезков х0 — г/AM ^ х <^х0, хо ^ х < #о + β/4Μ.
Следовательно,
|J/n(0*-J/(')d*
*0 «0
<ε при а^х^Ь и га>тг0;
лемма доказана.

jt Основные определения
15
Примеры фундаментальных последовательностей. 1.
Последовательность
gn (χ) = 1/(1 + е-"*)
(рис. 1.1) ограничена единицей, gn (χ) l£ 0 при —с» <г<0и
gn (x) l£ 1 при 0 < χ <С +оо. В силу 1.2.3, она фундаментальна.
У{
In
У*
4°
Рис. 1.4.
к
X
Рис. 1.3.
2. Последовательность
fn\(x) = (V7№t)e-™2/2
(рис. 1.2) фундаментальна. Действительно, последовательность
X
— оо
ограничена единицей, gn (χ) l£ 0 при —оо < χ < 0 и gn (x) l£ 1
при 0<#<+оо. В силу 1.2.3, последовательность {gn (x)}
фундаментальна. Следовательно, согласно 1.2.2,
последовательность {fn (х)} также фундаментальна.
3. Последовательность функций {fn (x)}, изображенных
на рис. 1.3, фундаментальна, поскольку последовательность функ-
х
Ций gn (х) = \ fn (*) dt обладает теми же свойствами, как и в при-
—оо
мерах 1 и 2 (это легко видеть из рис. 1.4).
Следующая лемма оказывается полезной при рассмотрении
фундаментальных последовательностей многочленов.
1.2.4. Если, последовательность многочленов степени < к
Рп (*) = ап0 + ап1х + . . . + ап% κ-ν^'1 (и = 1, 2, . . .) (1)
сходится в к точках, то существуют пределы
а;=Итап; (/ = 0,1, ..., к — 1). (2)
П-*00
Обратно, если существуют пределы (2), то рп (χ) Ζ£ ρ (%), где
ρ (χ) = а0 + агх + . . . + а^х*-1.

16
9". /. Теория обобщенных функций одной переменной
Пусть хг, . . ., xk — различные числа. Тогда, подставляя эти
числа в (1), мы получим
anj = -т {АцРп (*ι) + · · · +AkjPn Ы),
где
ft-1
1 Xf . .. #ι"
1 xh... xt1
Ф0
и Atj — алгебраическое дополнение элемента xf1 определителя А.
Следовательно, если существуют пределы lim рп (х{) (i — 1, 2, ...
. . ., к), то пределы (2) также существуют. Равномерная сходимость
на каждом отрезке — с ^.х ^ с следует из оценки
ΙΜ*) —Ρ(*)ΚΣ \anj — a>\<?·
1.2.5. Последовательность {рп (х)} многочленов степени <Zm
фундаментальна тогда и только тогда, когда она сходится почти
равномерно.
В силу 1.2.1, мы должны доказать только необходимость. Если
{Рп (х)} фундаментальна, то существуют целое число к ^ 0 и
последовательность {Рп (х)} многочленов степени < т + к, таких, что
Р£) {х) = рп {х) 5и {Рп (х) } сходится почти равномерно. Согласно
1.2.4, коэффициенты многочленов Рп (х) сходятся. Следовательно,
коэффициенты многочленов рп (х) также сходятся. Поэтому
из 1.2.4 следует, что последовательность {рп (х)} сходится почти
равномерно.
Полезно отметить, что целое число к, фигурирующее в
определении фундаментальной последовательности, если это
необходимо, можно заменить любым большим целым числом. Это
вытекает из следующей леммы:
1.2.6. Если последовательность {Fn (x)} удовлетворяет
условиям (Fj) и (F2), то последовательность
Fn{x)= j*i j*2... J Fn{ti)dtu
Xq Xq Xq
где I — натуральное число, также удовлетворяет условиям (Fx)
и (F2) с к, замененным на к + L Кроме того, если Fn (χ) Z^ F (χ),
mo Fn (x) Zt F (#), где
χ "1 ί-1
F{x)= jdfi jdi2... j F (*,)#,.

2. Основные определения
17
1.3. Определение обобщенной функции
Будем говорить, что две фундаментальные последовательности
{fn (х)} и {Sn Iх)} эквивалентны, и писать
if η (*)} ~ {gn {χ)),
если существуют последовательности {Fn (χ)} и {Gn (χ)} и целое
число k ^ О, такие, что
(Εχ) nft) (x) = fn (x) и Οψ> (χ) = gn (x);
(Ε2) Fn(x)Zt1^Gn(x).
Из леммы 1.2.6 следует
1.3.1· Целое число к, фигурирующее в определении
эквивалентных последовательностей, если это необходимо, можно заменить
любым большим целым числом.
Для этого достаточно заменить функции Fn (χ) на Fn (x) и
функции Gn (χ) на Gn (x), определенные аналогичным образом.
1.3.2. Фундаментальные последовательности {fn (χ)} и {gn (x)}
эквивалентны тогда и только тогда, когда последовательность
/ι (*). gi (*), /2 (*)> g* (*)» · · · (1)
фундаментальна.
Пусть последовательность (1) фундаментальна. Тогда
существуют целое число к ^ 0 и непрерывные функции Fn (χ) и Gn (x),
такие, что Fft) (χ) — fn (x), G^ (χ) = gn (χ) и последовательность
Ft (x), G± (x), F2 (χ), G2 (χ), ... (2)
сходится почти равномерно. Следовательно, условия (Ех) и (Е2)
выполнены.
Обратно, пусть выполнены условия (Ех) и (Е2). Тогда
последовательность (2) сходится почти равномерно, т. е.
последовательность (1) удовлетворяет условиям (¥г) и (F2).
Легко проверить, что отношение ~ удовлетворяет условиям
(Шг) и (g2). Докажем, что условие (Щ3) также выполняется. Если
if η (х)} ~ {gn (х)} и {gn (x)} ~ {hn (χ)}, то существуют целое
число /с>0и последовательности {Fn (χ)} и {Gn (x)},
удовлетворяющие условиям (Ех) и (Е2), и существуют целое число Ζ^Ο
и последовательности {Gn (χ)}, {Нп (χ)}, удовлетворяющие
аналогичным условиям
ё»> (*) = gn (χ), н% (χ) = κ (χ), οη (χ) it t: η;(χ).

18 Ч. I. Теория обобщенных функций одной переменной
В силу 1.3.1, можно считать, что k = Z. Тогда, положив Нп (#) =
— Gn (х) — Gn (х) + Ηп (χ), получим
F& (χ) = fn (*), Д£> (х) = йп (*), Fn (χ) ZttlHn (χ),
откуда следует, что {/п (ж)} ~ {hn (x)}.
Поскольку условия (£х), (Ш2) и (^3) вьшолнены, множество
всех фундаментальных последовательностей {/п (#)} (определенных
на интервале А < χ < 5) разбивается на классы эквивалентности,
попарно не имеющие общих элементов, такие, что две
фундаментальные последовательности принадлежат одному классу
эквивалентности тогда и только тогда, когда они эквивалентны. Будем
называть эти, классы эквивалентности обобщенными функциями
(определенными на А < х < Б) г). Таким образом, отождествляя
эквивалентные фундаментальные последовательности, мы
приходим к понятию обобщенной функции.
Обобщенную функцию, определенную фундаментальной
последовательностью {}п (х)}, т. е. класс всех последовательностей,
эквивалентных последовательности {fn (x)}, мы будем обозначать
символом [fn (χ)]. Две последовательности {fn (χ)} и {gn (x)}
определяют одну и ту же обобщенную функцию тогда и только тогда,
когда они эквивалентны. Другими словами,
[fn (χ)] = kn (χ)]
тогда и только тогда, когда
{/п (*)} ~ {gn (*)}.
Фундаментальные последовательности, приведенные в
примерах 2 и 3 § 1.2, определяют одну и ту же обобщенную функцию,
называемую дельта-функцией Дирака.
Действительно, если {fn (х)} — последовательность из
примера 2 или 3, то, в силу 1.2.3, последовательность
х t
{ dt \ fn(x)dx
— оо — оо
сходится почти равномерно к одной и той же функции
Г 0 при *<0.
[ х при х^О.
Следовательно, последовательности {/п (х)} из примеров 2 и 3
эквивалентны.
г) В оригинале distribution — распределение, однако в советской
литературе более принят термин «обобщенная· функция».-— Прим. перев.

f. Основные определения
19
1.4. Обобщенная функция как расширение понятия функции
Согласно 1.2.1, постоянная последовательность {/ (х)},
т. е. последовательность, каждый член которой равен одной
и той же непрерывной функции / (х), фундаментальна и,
следовательно, определяет обобщенную функцию [/ (х)].
Различные функции / (х) и g (x) определяют различные
обобщенные функции [/ {х)] и [g (χ)].
Действительно, пусть [/ (х)] = [g (χ)], т. е. существуют
функции Fn (х) и Gn (χ) и целое число к ^ О, такие, что
F& (х) = / (*), Сф (х) = g (я), Fn («Ж Л Gn (x).
Тогда функции рп (х) = (Ft (χ) — G± (χ)) — (Fn (χ) — Gn (χ)) суть
многочлены степени < &, поскольку р&> (χ) s= 0. Кроме того,
рп (х) Zt (^ι (х) ~~ ^ι (*))· Из 1.2.4 следует, что функция /^ (х) —
— С?! (ж) — многочлен степени < &. Поэтому ее k-я производная
f (х) — g (x) Равна нулю, т. е. функции f(x) и g (x) совпадают.
Рассмотрим множество всех обобщенных функций вида [/ (#)].
Установленное выше взаимно однозначное соответствие между
функциями / (х) и обобщенными функциями [/ (х)] позволяет
не делать различия между этими понятиями. В дальнейшем
мы будем отождествлять обобщенную функцию [/ (х)] с функцией
/ (х) и писать [/ (х)] = / (х).
Однако не каждую обобщенную функцию можно представить
в виде [/ (#)], т. е. не всякую обобщенную функцию можно
отождествить с некоторой непрерывной функцией. Например,
дельта-функцию Дирака нельзя отождествить ни с какой непрерывной
функцией; это будет доказано в § 2.4. Следовательно, понятие
обобщенной функции существенно расширяет понятие непрерывной
функции. Далее мы покажем, что это расширение включает также
широкий класс разрывных функций.
С математической точки зрения это расширение того же типа,
что и расширение множества рациональных чисел до множества
вещественных чисел по Кантору. Действительно, рациональное
число а отождествляется с классом [а] фундаментальных
последовательностей, эквивалентных постоянной последовательности {а}*
1.4.1. Если fn (χ) :£/(*)> то f/n (я)1 =/(*)·
Для доказательства достаточно заметить, что / (х) непрерывна,
а ifn (x)} и {/ (х)} удовлетворяют условиям (Et) и (Е2) с к = 0.
Поскольку обобщенные функции являются распространением
понятия функции, мы сохраним для них обозначения, принятые
Для обычных функций: / (я), g (χ) и т. д. В частности,
дельта-функцию Дирака будем обозначать через δ (χ). Следует заметить,
что эти обозначения чисто символические и что в общем случае
бессмысленно придавать χ численные значения.

2.
Операции над
обобщенными функциями
2.1. Алгебраические операции над обобщенными
функциями
Введем теперь понятие суммы и разности двух обобщенных
функций, а также произведения обобщенной функции на число.
Определения соответствующих операций обобщают определения
аналогичных операций над функциями, т. е. в случае когда
обобщенные функции являются обычными функциями, вводимые далее
операции совпадают с обычными операциями над функциями.
Под суммой f (χ) + g (χ) обобщенных функций / (χ) = [fn (x)]
и g (χ) = [gn (χ)] мы будем понимать обобщенную функцию
[/» (х) + gn (*)].
Чтобы установить корректность этого определения, надо
доказать, что
(i) если последовательности {fn (χ)} и {gn (x)} фундаментальны,
то последовательность {fn (х) + gn (x)} также фундаментальна;
(ii) обобщенна^ функция [jn (χ) + gn (x)] не зависит от выбора
последовательностей {fn (х)} и {gn (x)}, представляющих
обобщенные функции/ (х) ц g (χ), т. е. если_{/n (x)} ~ {Jn (χ)} ж {gn (χ)} ~
~ Un (x)}, то {fn{x) + gn (χ)} ~ {fn (χ) 4 gn (χ)}.
Свойство (i) означает, что сложение всегда выполнимо, а
свойство (ii) — что сумдоа единственна.
Для доказательства (i) предположим, что существуют целые
числа к, кг^0 и функции Fn (χ) и Gn {x), такие, что
*?} = /»(*), Fn{x)Zt,
В силу 1.2.6, можно предположить, что к = kv Поскольку
(Fn (х) + Gn (*))<« = fn (x) + gn (x)
и
Fn (χ) + Gn (χ) ζ*,
последовательность {fn (x) + gn (χ)} фундаментальна.

2. Операции над обобщенными функциями
21
Предположим, что выполнены предположения (ii). Тогда,
согласно 1.3.2, последовательности
/ι (*), 7ι(*). /г (*), 72(*), ···.
фундаментальны. В силу (i), последовательность
/i(*) + £l(?)· 7i (*)+?! (*). /2(«) + ft(«)t 72(ζ)+ί2(*)> ···
также фундаментальна и потому, в силу 1.3.2, фундаментальна
и последовательность
if η (*) + gn (χ)} ~ {к (χ) +Ίη (*)}.
Под разностью f (x) — g (x) обобщенных функций / (χ) — [fn (χ)]
и?(а;) = [gn (x)] мы будем понимать обобщенную функцию [fn (x) —
- gn (Φ
Под произведением λ/ (χ) обобщенной функции / (χ) = [fn (x)]
на число λ мы будем понимать обобщенную функцию [λ/η (χ)].
Корректность этих определений можно проверить так же, как
была проверена корректность определения суммы.
Из определений введенных выше операций сразу же вытекает,
что хорошо известные свойства аналогичных операций над
функциями сохраняются и для обобщенных функций:
(1) f(x) + g (χ) = g(x)+f (х),
(2) (/ (χ) + g (χ)) + h(x)=f (χ) + (g (χ) + h (x)),
(3) разность g (x) = h (χ) — / (χ) является единственным
решением уравнения f (χ) + g (χ) = h (x),
(4) %(f(x) + g (χ)) = λ/ (χ) + kg (χ),
(5) (λ + μ) / (χ) = λ/ (χ) + μ/ (χ),
(6) λ (μ/ (χ)) = (λμ) / (χ),
(7) 1 ·/ {χ) = / (χ).
Обозначая через 0 нулевую обобщенную функцию, т. е.
обобщенную функцию, совпадающую с обычной функцией, тождественно
равной нулю, получим
О+/(*)=/(*) и 0./(*) =0.
В последней формуле символ 0 имеет два значения: в левой части
он обозначает число нуль, а в правой части — нулевую
обобщенную функцию. На практике эта неопределенность не приводит
к недоразумениям.

22
Ч. I. Теория обобщенных функций одной переменной
2.2. Дифференцирование обобщенных функций
Для определения производной обобщенной функции нам
понадобятся следующие леммы:
2.2.1. Если функции fn (χ) и gn (χ) имеют непрерывные т-е
производные и {fn (x)} ~ {gn (x)}, то
US" (*)} ~ WT (х)}.
Действительно, пусть функции fn (х) и gn (x) удовлетворяют
условиям (Ех) и (Е2); тогда /nm) (χ) и g^ (x) удовлетворяют
условию (Εχ), в котором к заменено на к + т, и условию (Е2).
2.2.2. Для каждой непрерывной функции F (х) существует
последовательность многочленов {Рп (х)}, такая, что Рп (х) ""*" F (х).
Пусть {ап} — убывающая, а {Ьп} — возрастающая
последовательности чисел, такие, что ап -*А и Ъп -νδ.
В силу хорошо известной аппроксимационной теоремы Вейер-
штрасса *), существуют многочлены Рп (х), такие, что
\F(x)- Рп (х) |< ± при ап < χ < Ъп.
Следовательно, Рп (х) z£. F (χ) на интервале A <a;<S.
2.2.3. Каждую обобщенную функцию можно представить в виде
[Рп (х)]> где Р% (х) — многочлены.
Действительно,если [fn (я)]—обобщенная функция, то для
некоторого целого к ^0 найдутся последовательность Fn (x) непрерывных
функций и непрерывная функция F (х), такие, что jpW (χ) = fn (x)
и Fn (x) Zt Ρ (χ)- Положим ρη (χ) = Р($(х), где {Ρη (χ)} —
последовательность многочленов, сходящаяся почти равномерно к F (ж).
Тогда {рп (х)} ~ {/„ (х)}, т. е. [рп (х)] = [fn (x)].
Под т-й производной обобщенной функции, представленной
в виде / (х) = [рп (#)], где рп (х) — многочлены, мы будем
понимать обобщенную функцию [рМ (х)]. Это определение корректно,
поскольку, согласно 1.2.2, последовательность {pg* (х)}
фундаментальна и обобщенная функция [р™у {х)] не зависит, в силу 2.2.1,
от способа представления/^) в виде [рп (х)].
Из 2.2.3 следует
2.2.4. Теорема. Каждая обобщенная функция имеет
производные всех порядков.
В определении m-й производной обобщенной функции можно
заменить многочлены рп (х) функциями fn (х) с непрерывной т-й
производной. Это вытекает из следующей леммы:
*) См., например, Никольский [1*, § 15.13].— Прим. ред.

2. Операции над обобщенными функциями
23
2.2.5. Если фундаментальная последовательность {fn (χ)}
состоит из функций с непрерывными т-ми производными, то обобщен-
ная функция [/nm) (x)] является т-й производной обобщенной
функции [fn (#)]·
Действительно, в силу 1.2.2, последовательность {/™} (х)}
фундаментальна. Если [fn (χ)] = [рп (а?)], где рп (х) — многочлены,
то [/Г (х)) = \рТ (х)],.* силу 2.2.1.
2.2.6. Если обобщенная функция является функцией с
непрерывной т-й производной, то ее т-я производная в обобщенном смысле
совпадает с ее т-й пооизводной в обычном смысле.
Действительно, согласно 2.2.5, m-я производная обобщенной
функции f(x) = [/ (χ)] есть обобщенная функция [/<7П) (х)] = fm (x).
Таким образом, понятие производной обобщенной функции
является расширением понятия производной для непрерывно
дифференцируемых функций. Поэтому можно применять обычные
обозначения: т-ю производную обобщенной функции / (х) —
= If η (х)] мы будем обозначать через /(7П> (х) или [fn (x)](m\ В
частности, первую производную обобщенной функции / (х) = [fn (x)]
будем обозначать через /' (х) или через [fn (x)Y'. Если функции
fn (х) имеют непрерывные т-е производные, то, согласно 2.2.5,
I/» (*)Г» = t/n<m» (*)].
Из определения производной обобщенной функции сразу же
вытекают следующие формулы обычного дифференцирования:
(/ (х) + g (*)Г> = η (χ) + g(m) (χ),
(λ/ (x)Ym> = %fm> (χ) (λ — число),
(/<ш> (*))*» = f w+*> (χ).
2.2.7. Теорема. Равенство /<W) (χ) — 0 справедливо тогда
и только тогда, когда обобщенная функция / (х) является
многочленом степени < т.
Достаточность очевидна. Для доказательства необходимости
предположим, что /(W) (χ) = 0. Представим / (χ) в виде [/п (#)],
где /(™> (χ) непрерывны. Тогда {/tjj*> (ж)} ~ {0}. Существуют целое
число к^ т ш последовательности {Fn (#)}, {Gn (ж)}, такие, что
/Г (*) = *<»(*), б?> (х) = 0,
Fn (я) U Ρ (*). G» И :£ * (*)·
Отсюда {/п (ж) — FJJ-"0 (x)| __ фундаментальная
последовательность многочленов степени <Zm. В силу 1.2.5, эта
последовательность сходится почти равномерно к многочлену ρ (χ). Согласно

24
Ч. I. Теория обобщенных функций одной переменной
1.4.1, [fn (χ) — F£-m) (χ)] = ρ (χ) и, следовательно,
/ (χ) = ifn (χ)] = №т) (*)] + ρ (*). (ΐ)
Поскольку функции Gn (ж) суть многочлены степени < &,
то, в силу 1.2.4, это справедливо и для Ρ (#). Так как, согласно
1.4.1, [Fn (χ)] = Ρ (χ), то обобщенная функция [jF{*-w> (л:)] =
= p(fe-m) (χ) есть многочлен степени < т. Отсюда, в силу (1),
/ (х) Р(ъ-т) __ многочлен степени < т.
Из 2.2.7, в частности, вытекает
2.2.8. Равенство /' (#) = 0 справедливо тогда и только тогда,
когда обобщенная функция f (x) является постоянной функцией.
Заменяя в 2.2.8 / (х) на / (х) — g (x), получаем
2.2.9. Равенство f (χ) = gf (x) справедливо тогда и только
тогда, когда обобщенные функции f (х) и g (x) отличаются друг
от друга на постоянную функцию.
В дальнейшем будет полезна следующая лемма:
2.2.10. Если некоторая производная /(W) (x) обобщенной
функции f (χ) является непрерывной функцией, то f (χ) — непрерывная
функция, a /(W) (χ) — ее производная в обычном смысле.
Положим
*(*)=) Л, J d*2 ... J fm)(tm)dtm.
0 0 О
Из 2.2.7 и 2.2.6 следует, что ρ (χ) = / (χ) — g (x) есть многочлен
степени <; т. Следовательно, / (х) есть обычная функция, равная
g (χ) 4- ρ (χ), и, в силу 2.2.6, /(W) (χ) — ее тга-я производная
в обычном смысле.
Согласно 2.2.4, каждая непрерывная функция имеет
производную. В общем случае эта производная уже является не обычной,
а обобщенной функцией. Например, недифференцируемая функция
Вейерштрасса дифференцируема в смысле обобщенных функций,
но ее производная не является функцией в обычном смысле.
2.2.11. Теорема. Каждая обобщенная функция является
производной некоторого порядка непрерывной функции.
Действительно, если/ (х) = [fn (x)], fn (x) = F™ (#), и Fn (x );£
Zt F (χ), то, в силу 1.4.1, F (χ) = [Fn (χ)] и / (χ) = [F£> (χ)] =
= [Fn (x)Yk> = F<h> (χ) *).
г) Из 2.2.6 вытекает, что это число к можно при необходимости
увеличить.— Прим. ред.

2. Операции над обобщенными функциями
25
2.3. Определение обобщенной функции
при помощи производных
Теорема 2.2.11 подсказывает другое, эквивалентное определение
обобщенной функции. В этом определении также используется принцип
отождествления, но другим способом. При этом мы исходим не из фундаментальных
последовательностей, а из упорядоченных пар (F (я), к), где F (х) —
непрерывная функция на интервале А < χ < Ζ? як — неотрицательное целое число»
Будем говорить, что пары (F (я), к) и (G (х), I) эквивалентны, и писать
(F(x)tk) ~(G (*),/),
V-bG (x
dxi-ъ
если либо
dl-kQ (χ)
(i) к <! Ζ и разность —— F (χ) определена и является много-
dxi~k
членом степени <.к;
либо
cft-iF (χ)
(ii) 1^к и разность L_l_-G(x) определена и является многочле-
dxk~l
ном степени <Z.
Под многочленом степени <0 мы понимаем функцию, тождественна
равную нулю.
Легко проверить, что отношение ~ обладает свойствами (<fx) и (<f2)*
Докажем, что оно обладает также свойством (%3). Пусть
(F (х), к) ~ (G (х), I) и (G (χ), Ι) ~ (Я (*), т).
В силу симметричности (свойство (<f2))> можно считать, что к^.1 < т.
Тогда
di-bG (χ) г , ч , ч dm-iH (χ) η , .
efat-ft dxm~l
где р! (ж) — многочлен степени <& и р2 (χ) — многочлен степени <J. Отсюда
dx™~k dxl-k
а это доказывает, что (F (х), к) ~ (Н (х), т).
Поскольку условия (%г), (%2) и (^з) выполнены, то множество всех пар-
(F (х), к) разбивается на классы эквивалентности таким образом, что две-
пары лежат в одном и том же классе тогда и только тогда, когда они
эквивалентны. Эти классы эквивалентности называются обобщенными функциями.
В этой новой формулировке обобщенные функции получаются в результата
отождествления эквивалентных пар.
Обобщенную функцию, определяемую парой (F (х), к), т. е. класс всех
пар, эквивалентных паре (F (х), к), мы будем обозначать символом F(ft) (x),
который пока не следует рассматривать как производную. Это обозначение-
введено потому, что, как мы покажем ниже, обобщенную функцию Fik> (x}
можно интерпретировать как к-ю производную функции F (х).
Из определения отношения эквивалентности следует, что (F (х), 0) ~
~ (G Or), 0) тогда и только тогда, когда F (х) = G (х). Таким образом, класс
эквивалентности типа F<0> (x) содержит в точности один элемент вида (G (х), 0),
а именно элемент (F (х), 0). Следовательно, обобщенную функцию Л°> (я>
можно отождествить с функцией F (х) и писать
/7(0> (х) = ρ (х).

26
9". /. Теория обобщенных функций одной переменной
Под т-& производной обобщенной функции F(k~> (χ) будем понимать
обобщенную функцию F(w+fe> (x). В частности, k-я производная обобщенной
•функции F(0> (x) есть обобщенная функция Fik> (x).
Если обобщенная функция есть функция с непрерывной т-й производной,
то ее производная в указанном выше смысле совпадает с ее обычной
производной:
v ' dxm
Действительно, пара (F (х), т) эквивалентна паре (dmF (x)/dxm, 0).
Теперь теорема 2.2.11 становится очевидной: обобщенная функция
Fik) (x) является /с-й производной функции F {х). Этот факт оправдывает
способ обозначения обобщенных функций, принятый в настоящем параграфе.
Каждую обобщенную функцию Fih> (x)t рассматриваемую в новом смысле,
-можно отождествить с обобщенной функцией [F (x)Yk) в прежнем смысле*.
F&> (χ) = [F (x)Yk>.
Это отождествление корректно, поскольку F(ft> (χ) = Ga> (x) тогда и только
тогда, когда [F (#)l(fc) = [G (х)]аК Действительно, если F<h> (χ) = Ga~) (x)
и к < I, т. е. если F (х) = dl~kG (х)!ах1~к + ρ (χ), где ρ (χ) — многочлен
-степени <&, то, рассматривая эти функции как обобщенные функции в
прежнем смысле, мы получим
\F (*)]<*>=[ dl2ilx) Jk)+ip wi<ft>=^ w*
vb силу 2.2.6. Обратно, если [F (x)Yk> = [G (*)]<*> и к < l, то ([G (*;]<*-*> —
— IF (*)])<*> = 0. Следовательно, [G (*)]<*-*> = F (x) + ρ (я), где р (ж) —
многочлен степени <fc. Поэтому, в силу 2.2.9,
dl-*G(x) »,..,.
что доказывает равенство /?<&> (χ) = G(*) (ж).
После отождествления обобщенных функций в прежнем и настоящем
-смысле можно увидеть, что результат дифференцирования один и тот же
в обоих случаях, поскольку
(/**> (x))<m) = f(k+m) (x) = [F (x)Yk+™ = ([F (x)ytoymh
Используя данное в этом параграфе определение обобщенной функции,
довольно просто определить операции сложения, вычитания и умножения
«а числа, а также и другие операции, которые будут введены ниже.
2.4. Локально интегрируемые функции
В § 1.4 было показано, что множество обобщенных функций
на интервале А <С χ < В содержит множество непрерывных
функций на интервале А < χ < В. Покажем теперь, что оно включает
<в себя даже более широкий класс функций.
Если / (х) — непрерывная функция, то, как хорошо известно,
χ
( J/(*)*)'-/(*)· (1)
а
Если функция / (х) кусочно непрерывна или, в более общем
случае, интегрируема по Риману, то равенство (1) продолжает

2 Операции над обобщенными функциями 27
выполняться во всех точках непрерывности функции / (х).
Читатель, знакомый с интегралом Лебега, может интерпретировать
формулу (1) в еще более широком смысле, а именно как равенство,
справедливое почти всюду.
В обсуждавшемся выше случае левую часть формулы (1) можно
также рассматривать как обобщенную функцию, равную
производной в смысле обобщенных функций непрерывной функции
к
f (t) dt. Равенство (1) делает возможным отождествление обоб-
а
щенной функции, стоящей в его левой части, с функцией / (х).
Это соглашение позволяет включить в множество обобщенных
функций на интервале А < χ < В некоторый класс разрывных
функций. Запас функций этого класса зависит от принятого
определения интегрируемости. А именно, этот класс представляет
собой множество всех локально интегрируемых функций,
т. е. функций, интегрируемых на каждом отрезке а ^ χ ^ Ь,
таком, что А < а < Ъ < В.
Для интерпретации этих функций как обобщенных функций
необходимо следующее определение: локально интегрируемые
функции / (х) и g (x) считаются равными тогда и только тогда,
когда они совпадают как обобщенные функции, т. е. когда
\ f (t) dt = \ g (t) dt при всех χ. Β частности, если рассматри-
о α
ваемые функции кусочно непрерывны или, в более общем случае,
локально интегрируемы по Риману, то они считаются равными,
если их значения совпадают во всех общих точках непрерывности.
Интегрируемые по Лебегу функции считаются равными тогда
и только тогда, когда они имеют одинаковые значения почти
всюду. Следует отметить, что это то самое определение
равенства, которое обычно принимается в теории интеграла Лебега.
Класс неопределенных интегралов Лебега локально интегрируемых
функций совпадает с классом абсолютно непрерывных функций. Обычная
производная абсолютно непрерывной функции существует почти всюду
и совпадает с ее производной в смысле обобщенных функций.
Если f (x)ng (x) — локально интегрируемые функции, то
выражение / (х) + g (x) имеет один и тот же смысл как в случае, когда
мы рассматриваем / (х) и g (x) как обычные функции, так и в
случае, когда мы рассматриваем их как обобщенные функции. Это
замечание справедливо также для вычитания и для умножения
на числа.
Введение локально интегрируемых функций позволяет усилить
лемму 2.2.10, не меняя при этом доказательства:

28
4. L Теория обобщенных функций одной переменной
2.4.1· Если производная /(Ш) (х) (т > 0) обобщенной
функции f (χ) является локально интегрируемой функцией, то функция
f (χ) непрерывна и /(W) (χ) — ее обычная т-я производная.
В приложениях мы часто встречаемся с так называемой
функцией Хевисайда
ГО при*<0,
w 1 1 при х^О.
Ее интеграл
у 1х при χ
0 при £<0,
>0
является непрерывной функцией. Функция Хевисайда Я (х)
является обобщенной производной функции G (х), а также ее
обычной производной всюду, за исключением точки χ = 0.
Поскольку G (х) есть предел интегралов
где gn (χ) — функции из примера 1, приведенного в § 1.2, то
т. е. фундаментальная последовательность {gn (x)} определяет
функцию Хевисайда.
Аналогичным образом фундаментальные последовательности
{ёп (х)} из примеров 2 и 3 § 1.2 также определяют функцию
Хевисайда. Следовательно, для последовательностей {/п (х)}
из тех же примеров мы имеем
δ (χ) = [fn (х)] = ign (x)] = Η' (χ).
Таким образом, дельта-функция Дирака является обобщенной
производной функции Хевисайда.
Дельта-функция Дирака является примером обобщенной
функции на интервале —оо < χ < оо, не являющейся локально интег*
рируемой функцией. Действительно, предположим, что δ (χ) —
интегрируемая функция. Тогда из равенства Я' (χ) = δ (χ), в силу
2.4.1, следовало бы, что функция Я (х) непрерывна, а это неверно.
Следует заметить, что обычная производная функции Хевисайда Η (х)
равна нулю всюду, за исключением точки χ = 0, где она не определена.
Этот пример показывает, что обычная производная не всегда совпадает
с обобщенной производной, даже когда обычная производная существует
всюду, за исключением одной точки.

л Операции над обобщенными функциями 29
2.5. Последовательности и ряды обобщенных функций
Будем говорить, что последовательность обобщенных функций
{fn (χ)} сводится к обобщенной функции / (#), и писать
ίη (х) -* / (я) или lim fn (χ) = /(*),
П-*оо
если существуют целое число к ^ О, непрерывная функция F (х)
и последовательность непрерывных функций {Fn (x)}, такие, что
Fn (χ) ZtF(x), F<*> (x) = /n (а:) и F<*> (ж) = / (χ). (1)
Если предел / (χ) существует, то он единствен.
Действительно, если
fn (х) ->/ (х) и /п (х) -+g (х)3
то существуют последовательности непрерывных функций
Fn (χ) :?(х)и Gn (χ) + G (χ)
и целые числа &, Ζ, такие, что
Л* Ю = <#(*) = /»(*), ^ (*) = /(*) и б(|) (*)=*(*)·
Можно считать, что к ^ Z. В силу леммы 1.2.6, существуют
функции Fn (χ) и F (ж), такие, что
Поскольку jPg) (ж) — G$ (ж) = 0, то разности Fn (χ) — Gn (x)
образуют последовательность многочленов степени < Ζ. Согласно
лемме 1.2.4, ее предел F (х) — G (х) также является многочленом
степени < I. Следовательно,
Fd) (χ) _ (j(0 (χ) = 0, т. е. f(x)=g (x).
2.5.1. Теорема. Для любой последовательности обобщенных
функций {fn (χ)} и любого целого числа т ^ 0 из сходимости fn (x) ->■
->- / (а:) следует сходимость /(пж) (х) ->/<т) (х).
Действительно, пусть выполнены условия (1); тогда
f(k+m) φ = f(m) φ, рп φ Z£F (X) Ж F(k+™> (X) = /<т> (Ж).
Из определения сходимости (при к = 0) сразу же следует
2.5.2. Если последовательность непрерывных функций {fn (x)}
сходится почти равномерно к функции f (χ), то она сходится к f (x)
и в обобщенном смысле.

30
Ч. I. Теория обобщенных функций одной переменной
В более общем случае справедливо такое утверждение:
2.5.3. Если последовательность локально интегрируемых
функций {fn (х)} сходится почти всюду к функции f (x) и ограничена
некоторой локально интегрируемой функцией, то она сходится
к f (х) и в смысле обобщенных функций.
Это следует из почти равномерной сходимости ПОСЛеДОВаТеЛЬ-
аС X
ности интегралов \ /n (t) dt к функции \ / (t) dt.
а а
2.5.4. Теорема. Последовательность непрерывных функций
{fn (х)} сходится к обобщенной функции f (x) тогда и только
тогда, когда она· является фундаментальной последовательностью у
определяющей f (я).
Другими сдовами
fn (х) -*/ (х) тогда и только тогда, когда [fn (χ)] = f (x).
Если fn (x) -*-f(x), то, в силу (1), последовательность {fn(x)}
фундаментальна. Более того, в силу второго из условий (1) и
1.4.1, [Fn (χ)] = F (χ). Отсюда, согласно 2.2.5, мы получаем
IF<% (*)1 = F*> (χ), т. е. [fn (x)] « / (χ).
С другой стороны, пусть [fn (χ)] = f (#); тогда первые два
из условий (1) выполнены и, согласно 1.4.1, F (х) = [Fn (x)].
Дифференцируя к раз, получаем
jw*> (χ) = [F<»> (χ)] = f (x).
Итак, третье из условий (1) также выполнено, откуда следует, что
/п (*)-*/(*)·
Аналогичная теорема имеется и в канторовой теории вещественных чисел,
в которой доказывается, что последовательность рациональных чисел
сходится к вещественному числу а тогда и только тогда, когда она является
фундаментальной последовательностью, определяющей число а.
В силу 2.5.4, последовательности {fn (х)} из примеров 2 и 3
§ 1.2 сходятся в смысле обобщенных функций к δ (χ). В
классическом анализе рассматривались различные последовательности
функций, сходящихся к δ (χ) в обобщенном смысле, как например:
iESL (Дирихле),
— тгб?-"1*1 (Пикар),
(Стильтьес).
2
1 η
π ' enxj^e-nx

2 Ппеуаиии над обобщенными функциями 3£
Из 2.5.4 и 1.2.5 следует
2.5.5. Последовательность многочленов степени < к сходится
в обобщенном смысле тогда и только тогда, когда она сходится
почти равномерно.
В частности, справедливо такое предложение:
2.5.6. Последовательность постоянных функций сходится
в обобщенном смысле тогда и только тогда, когда она сходится
в обычном смысле.
Из определения сходимости сразу же следует, что
арифметические операции над пределами последовательностей обобщенных
функций можно производить так же, как и над пределами
последовательностей обычных функций:
2.5.7. Если fn (x) -+f(x) и gn (x) ->g(x), mo fn (χ) + gn (χ) ->-
-+f (x) + g(x) и fn (χ) — gn (χ) -*/ (χ) — g (χ).
Если fn (χ) ->/ (χ) и λη ->λ, mo Xnfn (χ) ->λ/ (χ).
οο
Говорят, что ряд обобщенных функций 2 Sn (х) сходитсяг
η=1
если сходится последовательность его частичных сумм fn (х) —
= Si (*) + · · · + Sn (#)· Предел g (χ) = lim fn (χ) называется
П-*оо
суммой этого ряда. В этом случае мы пишем
со
*(*) = Σ gn(x)·
Из теоремы 2.5.1 вытекает
2.5.8. Теорема. Для каждого сходящегося ряда обобщенных
функций
(Σ *»(*))'= Σ йИ-
п=1 п=1
Иначе говоря, каждый сходящийся ряд обобщенных функций
можно почленно дифференцировать.
Теоремы 2.2.4, 2.5.1 и 2.5.8 особенно полезны в приложениях
теории обобщенных функций. Они позволяют дифференцировать
все функции без исключения и менять местами операции
дифференцирования и перехода к пределу.
Теоремы 2.5.1 и 2.5.8 гораздо проще аналогичных теорем
дифференциального исчисления, в которых необходимы еще
некоторые дополнительные условия. Таким образом, введение
обобщенных функций, обобщенных производных и обобщенной сходимости
значительно упрощает вычисления и тем самым подтверждает
полезность этих понятий.

32
Ч. I. Теория обобщенных функций одной переменной
Определение сходимости можно расширить на
последовательности обобщенных функций, определенных в различных интервалах.
Будем говорить, что последовательность функций Fn (x),
определенных на интервалах Ап < х < Вп, сходится к функции F (х)
почти равномерно на интервале А < χ < В, если каждый
конечный отрезок а ^ χ ^ 6, содержащийся в интервале А < χ < 2?,
содержится также и во всех интервалах Ап < х < Вп для
достаточно больших η и функции Fn (x) сходятся к F (х) равномерно
на отрезке а ^ χ ^ Ъ. При этом будем писать Fn (χ) z£ F (χ)
на интервале А < χ < В.
Это определение является обобщением понятия почти
равномерной сходимости, введенного в § 1.2.
Мы будем говорить теперь, что последовательность обобщенных
функций fn (χ)', определенных на интервалах Ап < χ < Вп,
сходится к обобщенной функции / (х) на интервале А < χ < В, если
приведенные в начале этого параграфа условия (1) справедливы
для почти равномерной сходимости Fn (x) z£ F (x) в указанном
выше расширенном смысле. В этом случае мы будем писать fn (#)->-
->/ (χ) на интервале А < χ < В.
Теоремы 2.5.1, 2.5.2 и 2.5.5—2.5.7 остаются справедливыми
и в этой расширенной постановке.
2.6. Обобщенные функции,
зависящие от непрерывного параметра
Сходимость обобщенных функций, зависящих от непрерывного
параметра, удобно определить сразу в полной общности, т. е. когда
обобщенные функции определены на интервалах, также зависящих
от этого параметра.
Говорят, что функция Fa (x), определенная на интервале Аа <
<ΖΧ < Ζ?α, сходится при а -+а0 к функции F (х) почти
равномерно на интервале A <Zx<^B, если каждый конечный отрезок
а ^ χ ^ 6, содержащийся в интервале А < χ < В, содержится
также и в интервалах Аа < χ < Ва при всех а, достаточно близких
к а0, и Fa (χ) сходится при а ->-а0 к F (х) равномерно на отрезке
а ^ χ ^ Ъ. При этом пишут
Fa (x) Zt F (χ) ПРИ α ->·αο· (1)
Будем говорить, что обобщенная функция /а (х), определенная
на интервале Аа < χ < Ва, сходится при а -+а0 к обобщенной
функции / (х), определенной на интервале А < χ < В, и писать
·/« (*) -*7 (*) ПРИ а ->-а0
или
iim/<,(*) = /(*), (2)
а«*ао

2 Операции над обобщенными функциями 33
если существуют целое число к ^ О, непрерывная функция F (х),
определенная на интервале А <х<С.В, и непрерывная функция
ρ (χ), определенная (при всех а из некоторой окрестности а0)
на интервале Аа < χ < Ва, такие, что
Fa (x) U F (χ) при а -^а0, F™ (χ) = /α (х) и F<* (χ) = / (χ).
Если предел / (χ) существует, то он единстве^. Доказательство
аналогично доказательству этого факта для последовательностей.
Как хорошо известно, условие (1) выполняется тогда и только тогда,
когда
Fa (χ) 5 F (χ) для любой последовательности ап -*· а0.
Покажем, что аналогичным образом справедливо такое утверждение:
2.6.1. Равенство (2) справедливо тогда и только тогда, когда
/α (χ) "*■ / (χ) для любой последовательности ап -*- а0. (3)
Необходимость условия (3) очевидна.
При доказательстве достаточности будем писать fn (χ) -> / (χ), если
существуют номер nQ и функции Fn (х) и F (χ), такие, что
??)W = /nW при 71>и0, Fn(x)=tF(x) и F<fc> (*) = /(*). (4)
Считая условие (3) выполненным, докажем, что существует целое число
k ^ О, такое, что
k
/α (χ) -*~ f (χ) Для любой последовательности αη ->- α0. (5)
Предположим противное. Тогда найдутся возрастающая последовательность
целых чисел А^ и при каждом фиксированном т последовательность amn -> a0,
такие, что соотношение
/emn (*)-*/(*> (я-^оо) (6)
выполняется при Z= А^, но не выполняется при J < А^. Не теряя в
общности, можно считать, что все числа а,^ образуют последовательность {ап},
сходящуюся к а0 (при необходимости можно выкинуть конечное число первых
членов в каждой из последовательностей {aln}, {a2n}, . . .). Из условия (3)
следует, что существует целое число &0 > О, такое, что /а (х) -> / (х) и,
следовательно, /а (х) —t f (χ) при каждом т. Это противоречит
предположению, что кт -*- оо и что условие (6) не выполняется при I < А^.
Далее будем считать, что целое число к фиксировано и удовлетворяет
условию (5). Функция F (х) из соотношений (4) определена с точностью
до многочлена степени <А;. Добавляя этот многочлен к функциям Fn (x),
можно считать, что F (х) одна и та же для всех последовательностей {Fn (x)}.
Пусть {ап} — убывающая и {Ьп} —- возрастающая последовательности
чисел, такие, что ап -+■ А и Ьп -*- В. Докажем, что для каждого целого числа
т > 0 найдется число г\т > 0, обладающее следующим свойством: если
I a — a0 I < η7η, то существует функция Fa (x), такая, что
?а *(*)= f<* И на интервале 4α < я < £α, (7)
I ?а (*) — ^ (*) I < Ι/™ на отрезке am < л: < Ьт. (8)

34
Ч. I. Теория обобщенных функций одной переменной
В противном случае нашлась бы последовательность ап -»- а0, такая, что при
α = osn (л = 1, 2, . . .) любая функция, удовлетворяющая условию (7),
не удовлетворяла бы (8). С другой стороны, согласно (5), существуют
функции Fa (χ), такие, что при достаточно больших η
^W = /anW и Fan{x)Z$.F{z).
Эти функции удовлетворяют условиям (7) и (8) при достаточно больших п.
Противоречие!
Можно предполагать, что η7η+1 < г\т (т = 1, 2, . . .) и η7η -5- 0. В силу
изложенного выше, можно определить Fa (x) таким образом, чтобы
Fa* (χ) = /a (*) на интервале Аа < χ < Ва (9)
и
I Fa (χ) — F (χ) \ < i/m на отрезке ат < χ < &m
при т]т+1 < I a — a0 I < Лт (^ = 1» 2> · · .)· В этом случае функции Fa (ζ)
определены при 0 < | а — а0 | < %. Для любого фиксированного целого
числа q > 0 имеем при т > q
I ^a (*) — ^ (*) I < !/*» на отрезке ag < χ < &g,
если 0 < I a — a0 I < η™· Таким образом, Fa (χ) сходится к F (χ)
равномерно на отрезке aq < χ < bq (q = 1, 2, . . .), т. е. Fa (χ) -χ F (χ) при α -> α0.
Это вместе с (9) означает, что /α (χ) -*■ f (x) при a -^ a0, и завершает
доказательство в случае, когда а0 конечно.
В случае а0 = оо или —оо в доказательство следует внести очевидные
изменения.
Следующие теоремы об обобщенных функциях, зависящих
от параметра, можно Доказать методами, которые аналогичны
методам, использованным для последовательностей обобщенных
функций.
2.6.2. Теорема. Если /а (х) ->/ (х) при а ->а0> то /а™ (х) ->
-^/(7П) (х) при а ->а0 и т ^ 0.
2.6.3. Если Fa (x) l£ F (x) при а -^а0, то также и Fa (χ) -+
->■ F (χ) при а -> а0, т. е. из почти равномерной сходимости
функции, зависящей от параметра, следует ее сходимость в
обобщенном смысле.
2.6.4. Многочлен степени < к с коэффициентами, зависящими
от параметра а, сходится при а ->а0 в обобщенном смысле тогда
и только тогда, когда он сходится почти равномерно.
2.6.5. Если /а (х) ->/ (х) и ga (x) ->g (χ) при а ->а0, то
/а (х) + ga (х) ">/ (Χ) + g(x) U fa (Χ) — ga (Χ) -+f (Χ) — g (χ)
при α ~+а0.
Если λα ->λ u /a (ж) ->/ (χ) при а -*-а0, то
λα/α («) ->λ/(χ)
при a -^aQ.

2. Операции над обобщенными функциями
35
2.7. Умножение обобщенных функций на функции
В этой работе мы ограничимся умножением обобщенной
функции / (х) на бесконечно дифференцируемую функцию ω (χ). Под
произведением ω (χ) f (x) будем понимать обобщенную функцию
[ω (х) к (*)Ь гДе 1/п (*)] = / (*).
Для проверки корректности этого определения достаточна
показать, что
(i) последовательность {ω (χ) fn (x)} фундаментальна;
(ϋ) из {fn (χ)} ~ {gn (χ)} следует, что {ω (χ) fn (x)} ~
~ {ω (χ) gn (x)}-
Существуют целое число i>0 и функции Fn (x), такие, что
Fn (x) It и ^(п} (х) = fn (x)- Последовательность
ω (χ) F'n (x) = (ω (χ) Fn (χ))' - ω'(χ) Fn (χ)
фундаментальна, поскольку она является разностью двух
последовательностей, которые фундаментальны в силу 1.2.2 и 1.2.1.
По этой же причине фундаментальна последовательность
{ω' (χ) F'n (x)}. Поэтому последовательность
ω (χ) Fn (x) = (ω (χ) Fn (χ))' - ω'(χ) Fn (χ)
также фундаментальна. Продолжая эти рассуждения, убеждаемся,
что последовательности {ω (χ) F'n (x)}, . . ., {ω (χ) F£> (χ)}
фундаментальны. Таким образом, последовательность {ω (χ) fn (x)}
фундаментальна.
Для доказательства условия (И) заметим, что если
фундаментальные последовательности
/ι (*), h (*). · · · и Si (*)» ?2 (*)» · · ·
эквивалентны, то последовательность
/i (x), Si (*), h И. Si (*).
фундаментальна согласно 1.3.2. Следовательно, в силу (1),
последовательность
ω (χ) /χ (χ), ω (χ) gx (χ), ω (χ) /2 (χ), ω (χ) g2 {χ)\ . . .
фундаментальна. Согласно 1.3.2, последовательности
ω (χ) fx (χ), ω (χ) /2 (χ), ... и ω (χ) gx (χ), ω (χ) g2 (χ), . . ♦
эквивалентны.
Непосредственно из определения вытекают следующие обычные
свойства умножения:
ωχ (χ) (ω2 (χ) f (χ)) = (ωχ (χ) ω2 (χ)) f (χ),
(ωχ (χ) + ω2 (χ)) f (x) = ωχ (χ) f (χ) + ω2 (χ) f (χ),
ω (χ) if {x) + S (*)) = ω (χ) f (χ) + ω (χ) g (χ).

36
Ч. I. Теория обобщенных функций одной переменной
Если / (х) — функция, то введенное выше произведение
является обычным произведением функций. Далее, если ω (χ) —
постоянная функция, а / (х) — произвольная обобщенная
функция, то это произведение совпадает с произведением, введенным
в § 2.1.
Предполагая, что в определении произведения функции /п (#)—
многочлены,! легко доказать формулу
(со (х) / (χ))' = ω' (χ) / (χ) + со (χ) /' (χ). (1)
Эту формулу доожно рассматривать как частный случай (при
к = 1) формулы
к
ω (х) fh) (х) = S (-1)'' ( ; ) (ω0> (x) / (x))(h-Λ, (2)
которая доказывается по индукции так же, как и в случае обычных
•функций.
Заменяя в последней формуле / (х) непрерывной функцией
F (х), получаем
к
<оИ/(а:) = 2(-1)МП(ш0>(ж)^(ж))(""'> ПрИ /W-^i*)· (3)
i=0
Так как под знаком суммы стоят произведения непрерывных функций,
правая часть вполне определена, даже если еще не введено понятие
произведения обобщенной функции на функцию. Поэтому формулу (3) можно
использовать как другое определение произведения ω (χ) f (x).
В качестве применения формулы (1) докажем, что
ω (χ) δ (χ) = ω (0) δ (χ). (4)
Действительно, легко проверить, что
χ
J ω' (t) Η (t) dt = (ω (χ) - ω (0)) Η (χ).
о
Дифференцируя это равенство в смысле обобщенных функций,
получаем
ω' (χ) Η (χ) = ω' (χ) Η (χ) + (ω (χ) - ω (0)) δ (χ),
«откуда следует (4).
Полагая / (χ) = δ (χ) в равенстве (2), в силу (4), приходим
к равенству
k
ω (χ) б<*> (χ) = 2 ( - l)j ( * ) (ω0) (0) 6(x)f "'>.

2 Операции над обобщенными функциями 37
2.7.1. Если fn (χ) -+f (χ), то
ω (x)fn (х) ->ω (x)f(x)^
В более общем случае, если ω™ (χ) Ζ£ co(W) (χ) прит = О, 1, 2, ...
и fn (*) ->/ (*)» mo
ωΛ (x) fn (x) -+ω(χ)ί (χ).
Действительно, учитывая формулу (3), получаем
h
ωη {х) fn (x) = S (- l)j ( * ) (ω? (χ) Fn (*))»-*
Где /n (χ) = F™ (ж), Fn (ж) ZtF(x) ъ f (x) = ^(ft) (ж).. Выражение
в правой части этой формулы сходится к выражению в правой
части формулы (3), и, следовательно, то же справедливо и для
левых частей. Таким образом, второе утвдцшдение 2.7.1 доказано.
Первое утверждение является частным случаем второго.
2.7.2. Формула
ω (я) Σ Μ*) = Σ ω (*)/п (*)
η—1 η—1
справедлива при условии, что ряд обобщенных функций в ее левой
части сходится.
Это следует из 2.7.1.
Следующая лемма является непрерывным аналогом леммы
2.7.1.
2.7.3. Если fa (χ) ->/ (χ) при α ->α0 (—оо ^ α0 ^ °°)» то
ω (χ) /α (х) ->- ω (χ) f (χ).
В более общем случае, если ωα™ (χ) ΐ£ co(W) (χ) (m = 0, 1, 2, . . .)
u /α (s) ->/ (х) при α ->·αο> wo
ωα (χ) fa (x) -+ω(χ)ί (x).
2.8. Суперпозиции
Пусть φ (χ) — бесконечно дифференцируемая функция на
интервале А0 < χ < В0, и пусть А < φ (#) < В и φ' (#) ^ 0 для всех я.
Наконец, пусть / (х) = [fn (x)] — обобщенная функция на
интервале А < χ < В. Под суперпозицией f (φ (я)) обобщенной
функции / (χ) и функции φ (χ) мы будем понимать обобщенную
функцию [fn (φ (ж))], определенную на интервале А0 < χ < В0.

38
Ч. I. Теория обобщенных функций одной переменной
Для проверки корректности этого определения необходимо
показать, что
(i) если последовательность {fn (χ)} фундаментальна, то
последовательность {/η (φ (χ))} также фундаментальна;
(И) если {fn (х)} ~ {gn (χ)}, то {fn (φ (χ))} ~ {gn (φ (χ))}.
Заметим сначала, что если функции gn (x) непрерывно
дифференцируемы, а последовательность {gn (φ (χ))} фундаментальна,
то последовательность
фундаментальна в силу 1.2.2 и свойства (i) из § 2.7.
Пусть {Fn (χ)} — почти равномерно сходящаяся
последовательность непрерывных функций, таких, что FW (х) = fn (x).
Тогда последовательность {Fn (φ (χ))} также сходится почти
равномерно, и, следовательно, она фундаментальна. Поэтому
последовательности {F'n (φ (χ))}, . . ., {F<p (φ (χ))} также
фундаментальны. Последняя из этих последовательностей совпадает
с /η (φ (χ)), и свойство (i) доказано.
Свойство (ii) доказывается такими же рассуждениями, что
и свойство (ii) в § 2.7.
Операции над суперпозициями обобщенных функций
производятся по тем же правилам, что и над суперпозициями обычных
функций. В частности, справедлива формула
(/ (φ (*)))' = /' (φ (*)) φ' (*), (i)
поскольку
(/ (φ (*)))' = Ifn (φ (*))]' = [/; (φ (*)) φ' (*)] =
= 1Г»(<р(х))]ч'(*)=Г (<№))<?'(*)·
Из формулы (1), в частности, следует, что
e(9(*))=7W(JT(4>(iC)))'·
Если φ (χ) фО при всех х, то функция Я (φ (χ)) всюду равна О
или всюду равна 1. Поэтому в данном случае
δ (φ (χ)) = 0.
Если φ (χ) обращается в нуль в некоторой точке х0 (она должна
быть единственной, поскольку φ' (χ) ншде не обращается в нуль),
то Я (φ (χ)) = Я (χ — χ0), если φ (χ) возрастает, и Я (φ (χ)) =
= 1 — Η (χ — χ0), если φ (χ) убывает. Следовательно,
δ(φ(χ))=τΗ^ίδ(*"~*ο)· (2)

9 Операции над обобщенными функциями
39
2.8.1. Если последовательность обобщенных функций fn (χ)
сходится к f (χ), то последовательность fn (φ (χ)) сходится к f (φ (χ)).
В более общем случае, если <pnm) (x) l£ (p(W) (х) при т = О, 1, 2, . . .
U fn (*) -*/(*)» m0 fn (Фи (*)) ~W (Ф (*))·
Действительно, найдутся функции Fn (x) и F (ж), такие, что
Яп*> (ж) = /» (*), ^ («) = / (*) и Fn (χ) ^ ^ (*)· Поэтому
Fn (фп (#)) -*F (φ (χ))· Отсюда с помощью дифференцирования
мы получим
F'n (q>„ И) ф'» («) ->■ *" (φ (^)) φ' (*). (3)
Легко проверить, что
(^Г~(^У« („..0,1,2,..,. (4)
Из соотношений (3) и (4), в силу 2.7.1, следует, что
*;(<Pn(*))-F'(q>(*)),
и после к аналогичных шагов мы получим
Р<Щ<Рп(х))-+№(*(*)),
т. е. fn (φη (χ)) -►/(φ (ж)).
Следующая лемма является непрерывным аналогом леммы 2.8.1.
2.8.2. Если /а (х) ->/ (#) тгдо а ->а0 (—оо ^ а0 ^ °°)> то
fa (ф («)) -*/(ф(*))·
В более общем случае, если φ2*} (χ) ΐ£ cp(m) (a;) (m = 0, 1, 2, . . .)
и /а (я) ->· / (х) при а ->- а0, иго
/а (Фа («)) ->/(ф0*0).
Доказательство аналогично доказательству леммы 2.8.1.
Особенно важен случай линейной подстановки.
2.8.3. Пусть f (χ) — обобщенная функция; тогда для каждого
целого числа k ^ 0 справедлива формула
(/ (ах + β))(Λ) = αψΚ^Χ + β) (α ¥=0).
Действительно, если многочлены рп (х) образуют
фундаментальную последовательность для обобщенной функции / (#), то
(/ (ах + β))<*> = [рп (ах + β)]<*> = bfcPJf> («с + β)1 =
= ahf^ (ax + β).
Применяя 2.8.3 к очевидному равенству
±(я<«+ю-4)-.^(я(*+.§.)-4) («^о)„

40
Ч. 7. Теория обобщенных функций одной переменной
получаем
β(οΜ: + β)-Ί1Γβ(χ + -|)· (5)
т. е. частный случай формулы (2). Дифференцируя равенство (5)
далее, приходим к формуле
v ' r/ I α Ι α7» V ' α /
Из 2.8.3 сразу же следует
2.8.4. Если обобщенная функция f (χ) является k-й производной
непрерывной функции F (х), то f (olx -j- β) есть к-я производная
функции (l/aft) F (ах + β).

3.
Локальные свойства
3.1. Равенство обобщенных функции на интервалах
Каждую обобщенную функцию / (#), определенную на
интервале А < х < В, если это необходимо, можно рассматривать как
обобщенную функцию на подынтервале a<ix<Zb(A<ia<Cb<Z
<С В), поскольку функции любой фундаментальной
последовательности, определяющей / (х), можно рассматривать как функцци
на этом подынтервале.
Например, в разности / (х + а) — / (я), где / (х) —
обобщенная функция на интервале А < χ < 5, обе обобщенные функции
/ (х + а) и / (х) следует рассматривать на пересечении интервалов
4-а<а;<5-аи^<а;<5. Тогда рассматриваемая
разность является обобщенной функцией на этом пересечении. Если
пересечение пусто, то разность не определена.
В общем случае сумма / (х) + g (χ) и разность f (х) — g (x)
являются обобщенными функциями на пересечении интервалов,
на которых определены / (х) и g (x). Аналогичное замечание
справедливо и для произведения ω (χ) f (x).
Если мы просто записываем равенство
f(x)=g (ζ),
то всегда подразумеваем, что обобщенные функции в обеих его
частях определены на одном и том же интервале и совпадают
на нем. Так мы поступали до сих пор и так будем поступать далее.
Когда мы пишем
/ (х) = g (χ) при а < χ < Ьу
мы подразумеваем, что интервал а < χ < Ъ содержится в каждом
из интервалов, на которых определены / (х) и g (χ), и что / (х)
и £ (#)> рассматриваемые как обобщенные функции на интервале
а <. х <Z b, совпадают.
Например,
δ (χ) = 0 при —оо <; χ < О
и
δ (χ) = 0 при 0 < χ < +оо.
Действительно, фундаментальные последовательности {fn (x)}
из примеров 2 и 3 § 1.2, рассматриваемые на каждом из интер-

42
Ч. I. Теория обобщенных функций одной переменной
валов —оо < х < О, 0 < # < +°°> сходятся почти равномерно
к нулю и, следовательно, определяют нулевую обобщенную
функцию.
В более общем случае
α0δ (χ — х0) + ο^δ' (χ — xQ) + . . . + ak&(h) (x — x0) = 0
при χ φχύ (1)
это означает, что равенство справедливо в интервалах —оо < χ <
<;r(J и #0 < я< +00.
3.1.1. Теорема. i?c./itt / (ж) = 0 rajw α: фх§, то обобщенная
функция f (x) имеет вид
α0δ (χ — х0) + αχδ' (χ — х0) + . . . + aft6(ft) (ж — х0). (2)
В самом деле, найдется непрерывная функция F (х), такая, что
F(k) (χ) = / (so). В силу 2.2.7, F (χ) — многочлен степени < к
на каждом из интервалов —оо < # < #0 и ж0<ж<+оо, т. е.
f Ы - J ^ ^ + αι (* -" *о) + · · · + Лк-ι (я — Яо)*"1 при — оо<а;<я0,
1 F (#0) + bt (χ—χ0) + ... + &fc_i (χ—х0)к~* при х0<х< + оо.
Функцию F (х) можно записать в виде
F(x) = F (х0) + % (х) + . . . + ψ*-! (х),
где
α,ι(χ—х0)г при — оо<#<:#о»
при x0<Zx<Z-\-oo.
Легко проверить, что
ψί*>(*) - i! (at + (bt - af) Η (χ - s0))
и
ψ<*> (а?) = t! (6, - at) δ*-*-1» (χ - «о),
что и доказывает теорему.
Если / (х) = 0 при # =7^£о> то представление обобщенной
функции / (х) в виде (2) единственно. Это вытекает из следующей
леммы:
3.1.2. Если g (x) — некоторая функция г) и
g (χ) + α0δ (χ - s0) + . . . + αΑδ<*> (χ - *0) = 0 (3)
яа всей оси —оо <; χ < +оо, /no ? (a:) = 0 и а0 = . . . = а& = 0.
Будем рассуждать по индукции. Случай к = 0 очевиден,
поскольку δ (# — #0) не является обычной функцией.
Предположим, что лемма справедлива для к — 1.
+|(*Мм*-*а>*
х) Локально интегрируемая.— Прим· перев.

2. Локальные свойства 43
Из равенства (3) следует, что g (χ) = 0 при χ φχ0. Поэтому
функция g (x) как обобщенная функция равна нулю. Применяя
к равенству (3) лемму 2.2.8, получаем
с + а0Н (х — х0) + ссг8(х — х0) + . . . + ak6ik'^(x — х0) = 0.
Отсюда, в силу предположения индукции, следует, что ах = . . .
# # = ak = 0 и с + а0Я (о: — х0) = 0, так что и а0 = 0.
Из формулы (1) следует, что если две обобщенные функции
совпадают на интервалах —оо <; χ < х0 и #0 < а: < +оо, т. е. если
они различаются только в одной точке, то мы не можем сделать
вывод, что они равны. Однако из теоремы 3.1.1 следует, что их
разность является конечной линейной комбинацией обобщенной
функции δ (χ — х0) и ее производных. Тем не менее, если обобщенные
функции различаются не более чем в одной точке и являются
обычными функциями, то они равны.
3.2· Функции с полюсами
Функция Их является обобщенной функцией на интервалах
—оо<#<С0и0<С#< +оо. Однако она не определяет никакой
обобщенной функции на интервале —оо < χ < +оо, поскольку
не интегрируема ни в какой окрестности точки χ = 0.
С другой стороны, существуют обобщенные функции / (х)
на интервале — оо<#<С+°о, такие, что
f (х) = Их при χ ф0. (1)
Например,
(In \х \)' = Их при χ φ 0, (2)
где производная понимается в обобщенном смысле. Если к левой
части равенства (2) добавить произвольную линейную
комбинацию δ (χ) и ее производных, то равенство (2) останется
справедливым.
Можно также считать, что равенство (2) определяет
обобщенную функцию Их как (1η | χ |)'. Такое отождествление можно
продолжить на более широкий класс функций, имеющих в
некоторых точках полюсы и локально интегрируемых вне этих точек.
Точнее, мы будем рассматривать такие функции / (х) на интервале
-4 < χ <; В, которые в некоторой окрестности произвольной точки
&ъ имеют вид
k
cv

44
Ч. I. Теория обобщенных функций одной переменной
где /0 (х) — интегрируемая функция. Это разложение обобщенной
функции на интегрируемую функцию /0 (х) и сингулярную часть
единственно. Сингулярная часть может отсутствовать. Точки #0,
для которых по крайней мере один из коэффициентов cv отличен
от нуля, называются полюсами функции / (х). В любом отрезке
с концами а и Ъ может лежать лишь конечное число полюсов,
и потому можем записать
т k
/<*)=/,(*)+2 Зт£Ьг> (4)
μ=1 γ=1 μ
где fx (χ) — интегрируемая функция, а χν . . ., хт — точки этого
отрезка. Это разложение единственно. Если точки а и Ъ не являются
полюсами, определим интеграл от а до Ъ равенством
Ь Ь т
j / (t) dt = ( j h (t) dt+ 2 <i»iln | x-41Ρ +
α ο μ=1
m h .
которое получается из (4) формальным интегрированием. Под
неопределенным интегралом функции / (х) будем понимать любую
функцию вида
j/(t)(K+C,
где α не является полюсом, а С — произвольная постоянная.
Определенный таким образом с точностью до постоянной
неопределенный интеграл также является функцией с полюсами, порядки
которых на единицу меньше.
В дальнейшем мы будем рассматривать только функции,
которые в каждой точке х0 можно представить в виде (3) с одним
и тем же целым числом к. Интегрируя / (х) в указанном выше
смысле к раз, мы получим локально интегрируемую функцию
F (х), определенную с точностью до многочлена степени <Ск.
Ее обобщенная производная F{k) (x) однозначно определяется
функцией / (х). Будем отождествлять обобщенную функцию F& (х)
с функцией / (х).
Таким образом, в множество обобщенных функций включаются
все рациональные функции; в частности, функция 1/(х — x0)h
отождествляется с &-й обобщенной производной функции
1Й^1п1*-*о|.

β Локальные свойства 45
Более того, в это множество включаются все рациональные
функции от синуса и косинуса; в частности, справедливы формулы
tg х = (—In I cos χ I)', ctg χ = (In | sin χ |)\
Многие другие функции, встречающиеся в приложениях,
например эллиптические функции, гамма-функция Эйлера и т. д., также
включаются в множество обобщенных функций.
3.3. Производная как предел разностного отношения
Производную обобщенной функции можно определить так же,
как и производную обычной функции. Действительно,
справедливо следующее утверждение:
3.3.1. Для любой обобщенной функции f (x)
α-0 α
Найдется функция F (χ) с непрерывной производной, такая,
что Fft) (χ) = / (χ). Так как
F (x + a) — F(x)^ π,, ч Л
——■— — 1Ц F (х) ПРИ а-*·*),
то
/(*+о)-/(*) ^ /F(x+a)-F(x)\(h) ^ (j?, ^(k)=s^ (α.),
в силу теоремы 2.6.2.
3.3.2. Для любой обобщенной функции f (x)
xf'(x) = limf{x+ax)-f(3c) .
α-*0 α
Найдется функция F (x) с непрерывной производной, такая,
что F& (χ) =f(x). Поскольку
F{x + ax) — Fix) -*. и// ν „ л
—^—^— — l£ xF (χ) при α -ν 0,
το, Дифференцируя, мы получаем
Г (х + ах)-Г (χ) +Г{Х + щ ^хГ {х) + р> (а.).
** силу леммы 2.8.2, F' (x+ax)-+F' (x) и, следовательно,

46
Ч. /. Теория обобщенных функций одной переменной
После к таких шагов мы получим
F*Hx + ax)-F*4x) _^хр<М) (ж))
т. е. справедливо 3.3.2.
Умножая на 1/#, мы получим из 3.3.2
Г (х) = ПтПх+а*1~Их) при χ φ 0, (1)
согласно 2.7.3. В силу изложенного в § 3.1, если / (х) — обоб-1
щенная функция на интервале А < χ <.В и А < 0 < Б,
то равенство (1) следует понимать как равенство на интервалах
А<х<0ш0<х<:В.
Распространим на случай обобщенных функций хорошо известную
теорему Пеано.
3.3.3. Для каждой обобщенной функции f (χ) на интервале А < χ < В
и каждого целого числа т > О
на пересечении интервалов А — α < ж < Z? — α и А < χ < В, причем
обобщенная функция га (х) определена на указанном пересечении и при а -+■ О
га Iх) -* 0 на интервале А < χ < В.
Найдется функция F (х) с непрерывной т-ш производной, такая, что
/?<&) (χ) =r / (χ) для ^некоторого целого числа k !> 0. При этом мы имеем
F(x + a) = F(x)+^fF'(x)+...+ ^F<m){x) + amR<x{x),
где Ra (χ) -χ 0 при α-* 0. Дифференцируя /г раз, получим требуемое
равенство с га (х) = i?£> (х).
3.4. Значение обобщенной функции в точке
Прежде всего докажем следующую лемму:
3.4.1 (Зелезныи [1]). Если обобщенная функция g (x) на
интервале —оо < χ < оо удовлетворяет уравнению
g (he) = g (χ) при всех λ φ 0, (1)
то она является постоянной функцией.
Из равенства (1), в силу формулы (1) § 3.3, следует, что g' (χ) =
= 0 при χ ф0. Отсюда, согласно 3.1.1, имеем
g' (ζ) = α0δ (χ) + αχδ' (*) + ... + <χΑβ<*> (*).
Следовательно, в силу 2.2.9,
g(z)=c + a0H (χ) + αιβ (*) + ...+ α^*-» (х),

о Локальные свойства 47
е с — постоянная. Из уравнения (1) с помощью формулы (5)
§ 2.8 получим, что
«о (Я (λ*)-#(*)) +
Отсюда, в силу 3.2.1, следует, что а0 = аг . . . = ak = 0. Тем
самым доказано, что g (χ) = с.
3.4.2. ifora существует предел
g(x) = limf(ax + x0), (2)
α-* 0
mo g (х) — постоянная функция.
Действительно, обобщенная функция g (x) удовлетворяет
предположениям леммы 3.4.1.
Значение функции, определяемой формулой (2), мы будем
называть значением обобщенной функции f (x) в точке х0. Если
значение обобщенной функции в точке х0 определено, т. е.
предел (2) существует, то точка х0 называется регулярной. В противном
случае она называется сингулярной.
3.4.3. Если обобщенная функция f (χ) — локально
интегрируемая функция, непрерывная в точке х0, то f (ах + х0) ZX. f (#o) nPu
а ->0. Следовательно, точка х0 регулярна и значение f (x) в точке
х0 в обобщенном смысле равно f (x0).
3.4.4. Если локально интегрируемая функция F (х) обладает
(обычной) производной в точке х0, то эта производная совпадает
со значением обобщенной функции F' (х) в данной точке.
По предположению существует число с, такое, что
F(a + x0) — F(x0) Л
— ^ ϋ/ U!L_^C при α->0,
где все символы понимаются в классическом смысле.
Следовательно,
F(ax + x0) — F(x0)_+ . .
— !— ^-^ zX.cx ъ интервале — оо < χ < оо
при а ~^0. Дифференцируя эту формулу в обобщенном смысле,
получим
F' (ах + х0) -+с при а ->- 0;
теорема доказана.
Обратное утверждение неверно. Может оказаться, что обычная
производная не существует в какой-либо точке, хотя обобщенная
производная имеет значение в этой точке. Например, функция

48 У. I. Теория обобщенных функций одной переменной
F (х) = Зх2 sin {Их) — χ cos {Их) не имеет обычной производной
в точке 0. Однако обобщенная производная F' {х) имеет в точке 0
значение 0. Действительно,
л
(ад:)3 sin—^0 при а-^0.
Отсюда последовательным дифференцированием мы получим, что
ilgl_>0 и F'{ax)-+0 при а->0.
Следующая лемма представляет собой частный случай
утверждения 3.4.4.
3.4.5. Если / {х) — локально интегрируемая функция и функ-
х
ция F {х) == I / (£) dt имеет обычную производную в точке х0,
а
то эта производная совпадает со значением обобщенной функции
f {χ) в точке χϋ.
Значение обобщенной функции / {х) в точке х0 мы будем
обозначать символом / (#0), как и в случае обычных функций. Такое
обозначение не приводит к каким-либо недоразумениям.
Действительно, если обобщенная функция / {х) является непрерывной
функцией, значения / {х0) в обоих смыслах совпадают согласно
3.4.3. Если / {х) — только локально интегрируемая функция (или,
в более общем случае, функция с полюсами), то, в силу 3.4.5,
значения обобщенной функции / {х) существуют почти всюду.
При этом значения / {х0) в обоих смыслах совпадают почти всюду,
но, вообще говоря, не всюду. Если эти два значения различны,
то мы условимся обозначать символом / {х0) значение в обобщенном
смысле.
Пример 1. Согласно 3.4.3, каждая точка х0 ф0 является
регулярной точкой функции Хевисайда Η {χ) и ее значение в точке х0
в обобщенном смысле совпадает со значением в обычном смысле.
Точка χϋ = 0 является сингулярной, поскольку предел выражения
,*(а*>=т£г(я(а:)-4)+т <3>
не существует при а ->0.
Пример 2. Функция Дирака δ {χ) имеет значение нуль в любой
точке х0 φ 0 и не принимает никакого значения в точке х0 = 0.
В самом деле, дифференцируя равенство (3), мы получим
| α | 6 {ах) = δ {χ).
ч

2. Локальные свойства
49
Существование предела lim δ (ах) означало бы, что δ (χ) есть
функция, тождественно равная нулю.
Пример 3. Из леммы 3.4.5 следует, что значение (в обобщенном
смысле) функции sin (Их) в точке 0 равно 0.
Действительно, применяя подстановку t = ±1/τ (со знаком
плюс при ж>0и знаком минус при х < 0) и вторую теорему
о среднем значении, мы получаем
ij*4*-7 ΐτ·Ψ*-Ψ ίψ« <i/m<i<~>.
0 1/1*1 ξ
откуда
χ χ
α sin -- dt) = lim — \ sin -- dt = 0.
t /x=o x_0 χ J t
о о
Можно показать, что если значение обобщенной функции / (х)
всюду равно нулю, то / (х) — обычная нулевая функция (Лоясе-
вич [2]). Таким образом, обобщенная функция однозначно
определяется своими значениями, если они всюду существуют.
3.5· Теоремы о существовании значений
обобщенных функций
Следующие теоремы имеют важное значение для приложений.
3.5.1. Теорема (Лоясевич [1] и [2]). Обобщенная функция f,(x)
имеет в точке х0 значение с тогда и только тогда, когда существуют
целое число к ^ 0 и непрерывная функция F (х), такие, что F^(x) =
- / (χ) и
,. Fix) с
lim ^— = -ГТ-.
x-+xq{x — Xo)k Λ|
Достаточно доказать теорему для случая х0 = 0.
Предположим, что F{h) (χ) = f (x) и
F(x) _^
x-+0
11т-зг=тг· <*>
Тогда a~kF (ax) z£ cxk/kl на интервале —oo < χ < oo при α ->-0.
Так как / (ах) = (a~hF (a#))(ft), то lim / (αχ) = с, т. е. / (х)
прись-* О
нимает значение с в точке 0.
Пусть теперь / (х) принимает значение с в точке 0. Тогда
существуют целое число ί:>0π функция Fa (x) с параметром а, такие,
что
/г£> (χ) = / (αχ) и Fa (χ) ^ cxk/k\ при а -> 0.

50
Ч. /. Теория обобщенных функций одной переменной
В частности,
Пп) (*) = / (*).
Поскольку (ahF(X (х/а) — Ft (x)){h) = 0, то функции ahFa (х/а)
и Fx (χ) отличаются друг от друга лишь на многочлен степени < к:
ahFa (х/а) = Fx (χ) + bQ (а) + Ъг (а) х + . . . +bk-t (α) χ*~Κ
Докажем, что существуют пределы bt = lim bt (a) (i =
«-►0
= 0, 1, . . ., к — 1) и что функция
F (*),>= Рг (*) + К + Μ + . . . + Ь*-!**-1
обладает требуемым свойством.
Так как
F<x (ζ) = a~ft (Fj (ax) + b0 (a) + abx (α) χ + . . .
. . . + α*-*^.! (α) α:'1-1),
то, полагая
б (s) = Ft(x) —czh/kl9
получаем
a"fe (G (ax) + &o (α) + аЬг (а) х + . . .
. . . + α*-1^.! (α) χ*"1) Zl 0 при α ^0.
Следовательно, найдется возрастающая функция ε(α) параметра
а > 0, такая, что *г (а) ->0 при а ->0 и
| 6? (а#) + 60 (а) + аЪг (а) х + . . .
. . . + а*-1^-! (а) х*-1 | < α*ε (а) (2)
при —1 < д: ^ 1.
Зафиксируем к точек —1 ^ #χ < . . · < хи ^ 1. В силу
оценки (2), имеем
| G\(axi) + b0 (a) + аЪг (a) xt + . . . +[а*-1ЬА_1 (α) χ\'% | <
<"αΛε(α).
Заменяя в (2) α на β (β >α), а затем χ на хга/$, получаем
I G (axt) + b0 (β) + аЬг (β) zt + . . .
. . . + α^1^.! (β) ζ?-1 Ι < β*ε!(β).
Из двух последних неравенств следует, что
| (Ь0 (а) - Ь0 (β)) + а (Ъг (а) - Ьг (β)) * + . . .
. . . + α*-* (6*_! (а) - 6*_! (β)) ж"-1 | < 2β"ε(β) (3)
при я = хг, . . ., #&.

β. Локальные свойства
51
Обозначив через ρ (χ) многочлен, стоящий под знаком модуля
в левой части неравенства (3), получим
а* (Ь4 (а) - Ь, (β)) = 1- (Аир (xt) +...+ Akip (*»)),
где Ал — алгебраические дополнения элементов определителя
I 1 Χι ... я?-1!
il= . ,
II xk ... #h |
точно так же, как при доказательстве леммы 1.2.4. Поэтому
существует постоянная К, такая, что
α'ΐΜοΟ-Μβ) |<2*β(β)β\
Если а < β ^ 2α, то
ΙΜα)-Μβ) Ι<2*+1Ζε(β)β*-\ (4)
При α = 2~п-1 и β = 2~Л, в силу (4), имеем
| Ь% (1/2*+*) - 6, (1/2п) | < 2*+1Ζε (1/2^^>) (п = 1, 2, . . .).
Выписывая эти оценки для я, » + 1, . . ., го - 1 и
складывая их, получаем
| Ь, (1/2™) - Ь, (1/2п) | <
< 2*+*Jte (l/2n) (1/2«<*-*>) (го > п). (5)
Для произвольных α и β, удовлетворяющих условию 0 < α <
< β ^ 1/2, найдутся натуральные числа го и л, такие, что
α < l/2m < 2α и 1/2Л < β < 2/2η.
Заменяя в оценке (4) β на 1/2т, приходим к неравенству
| Ь, (а) - Ь, (1/2т) | < 2*+1#е(1/2т) (1/2™<*-*>). (6)
Заменяя в оценке (4) α на 1/2п, получаем
| Ь| (1/2п) - ь% (β) | < 2*+1ίΓε(β) β*-*. (7)
Из (5), (6) и (7) находим, что
I Ьг (а) - Ьг (β) I < 2*+3#е (β) β*-' (0 < а < β < 1/2).
Из этого неравенства следует, что предел
bi = lim Ь* (α) (* = 0, 1, . . ., ft — 1)
α->·0+
существует и
I bi - Ь, (α) Ι < 2*+3Χε(α) ο*-* (i = 0, 1, . . ., ft - 1). (8)

52 Ч. I. Теория обобщенных функций одной переменной
Из (2) и (8) следует, что при —1 < χ ^ 1
| G (ах) + Ь0 + а\х + . . . + α*-1^**-1 | < Кгг (a) а*, (9)
где Κι = 1 + 2*+3/£. Покажем, что функция
F(x)=,G(x)+b0 + bix+...+bk^ix^ + ^rxk
удовлетворяет условию (1). Действительно, в силу (9), при χ = 1
имеем
| jp (α)/α* _ c/fc! К Jfl8 (α).
Следовательно, предел справа выражения F (а)1ак равен с/Л!.
Аналогичным образом при χ = — 1 проверяем, что предел слева
также равен этой величине.
Для завершения доказательства достаточно заметить, что
*■<*> (з) = / (х).
3.5.2. Теорема (Лоясевич [1] и [2]). Если обобщенная функция
f (χ) имеет значение в точке х0, то обобщенная функция f (x)
также имеет значение в точке х0.
Действительно, существуют целое число 4^0и непрерывная
функция F (х), такие, что F{k) (χ) = /' (χ) и существует предел
lim F®-
Если к — 0, то /' (х) — непрерывная функция, а следовательно,
и / (х) — непрерывная функция; теорема верна.
Если же к >0, то
1- ^(*) Π
1πη,„ :Λ,.· = 0.
X-+XQ
(ar —a?0)fc-i
Из теоремы 3.5.1 следует, что обобщенная функция JF(ft-1) (χ)
имеет значение в точке х0. Обобщенная функция / (х) отличается
от JF<ft-1) (χ) на постоянную и, следовательно, также имеет
значение в точке х0.
Пусть функция ω(χ) удовлетворяет предположениям § 2.7.
3.5.3· Если обобщенная функция f (χ) имеет значение / (х0)
в точке х0, то обобщенная функция ω (χ) f (χ) имеет в точке х0
значение ω (х0) f (x0).
В самом деле, / (ах + х0) ->/ (я0), ω (ах + хо) ^t ω (#ο)
и (ω (ах + #0))(т) l£ О (т = 1, 2, . . .) при α ->-0. Отсюда,
используя 2.7.3, мы получаем, что
ω (ах + х0) f (ах + х0) ->- ω (я0) / (х0).

β Допальные свойства
53
Пусть функция φ (χ) удовлетворяет предположениям § 2.8.
3.5.4. Если обобщенная функция f (χ) имеет значение в точке
х = φ (#0), то обобщенная функция f (φ (χ)) имеет это же
значение в точке х0.
Действительно, согласно 3.5.1, существуют целое число к ^ О
и непрерывная функция F (х), такие, что
,. F(x) с
lim — / хкь = ~тт ,
*-ф(*о> (*-Φ(^)Λ kl
где с — значение обобщенной функции (х) в точке φ (χ0).
Поскольку
(х— х0)Ъ ~~ (<p(s) —<p(s0))k V я —я0 /
F(<p(s)_) = F(<p(*)) ,/<P(*)-<P(*o)\fe
ТО
lim ^ (φ (*)) c /m' /^. \\k
Следовательно,
Дифференцируя в обобщенном смысле, получаем
^ (φΐΓ-ι+Χ0)) ф' («*+*„)--^ (φ' (*.))* ^
Так как
~тт ;—τΖΧ-гт—г и (-7-; ;—с) ZtO (m = l, 2, . . .),
то, в силу 2.7.3, мы имеем
Г (φα(^+*0)) ^фщ (Φ' (*о))*-' **-*.
После к аналогичных шагов получим
Fik)(q> (ах + х0)) -+с, т. е. / (φ (ах + х0)) -+с при а ->0.
3.6. Значение обобщенной функции в бесконечности
Докажем лемму
3.6.1. Пусть / (х) — обобщенная функция, причем существует
предел
lim/(x + P); (1)
β-»οο
тогда он является постоянной функцией.

54
Ч. 7. Теория обобщенных функций одной переменной
Обозначим предел (1) символом g (χ). Для произвольного α
имеем
g(x + *) = limf(x + a + $) = \imf(x + $)=g(x).
Отсюда
g» = limg(a:+g)-g(a:)=0,
и, следовательно, g (x) — постоянная функция.
Значение функции, определяемое выражением (1), называется
значением обобщенной функции f (χ) β оо и обозначается через
/Μ.
Аналогичным образом определяется значение / (—оо)
обобщенной функции / (х) в — оо.
Очевидно, что символы / (оо), / (—оо) имеют смысл тогда
и только тогда, когда существуют соответствующие пределы.
3.6.2. Если обобщенная функция f (x) является непрерывной
функцией и имеет обычный предел в оо (соответственно в —оо),
равный с, то f (χ + β) Ζ^ с при β ->■ оо (соответственно при
β ->- —оо). При этом f (оо) = с (соответственно f (—оо) = с).
Следующая лемма сразу же следует из определения / (оо)
и 2.6.2.
3.6.3. Если f (оо3) существует, то f (оо) = 0. Если f ( —оо)
существует, то /' (—оо) = 0.
X
Отсюда, в частности, для f (х) — \ g (t) dt получаем
α
3.6.4. Если g (x) — локально интегрируемая функция, такая,
оо
что несобственный интеграл \ g (t) dt сходится, то g (оо) = 0.
α
Из этого замечания следует, что существуют непрерывные
функции g (χ), такие, что обобщенное значение g (оо) определено,
а обычный предел в оо не существует.
Пусть функция - ω (χ) удовлетворяет предположениям § 2.7.
3.6.5. Если обобщенная функция f (x) имеет значение f (оо)
в оо, если ω (χ + β) Zt ω (оо) и ω(™> (χ + β) ΐ£ 0 (т = 1, 2, . . .)
при β ->οο, то обобщенная функция ω (χ) f (χ) имеет в оо
значение ω (оо) / (оо).
Это немедленно следует из 2.7.3.

4.
Развитие теории
4.1. Интеграл от обобщенной функции
Под неопределенным интегралом обобщенной функции / (х)
в интервале А < χ < В мы понимаем любую обобщенную
функцию ψ (х) на интервале А < # < 5, такую, что ψ' (#) = / (ж) х).
Из 2.2.9 и 2.2.11 следует, что для каждой обобщенной функции
неопределенный интеграл существует и определяется с точностью
до произвольной постоянной (точно так же, как и для обычной
функции). В случае когда обобщенная функция является
функцией, это определение совпадает с обычным.
Из теоремы 3.5.2 следует такое утверждение:
4.1.1. Каждая регулярная точка обобщенной функции f (x)
является также регулярной точкой неопределенного интеграла
от f (χ).
Введем следующее обозначение:
ь
\f{x + t)dt = ^{x + b)-^{x + a), (1)
α
где ψ' (χ) = / (χ), а точки а и Ъ лежат в интервале А < χ < В.
Обобщенная функция (1) определена на пересечении интервалов
А — а < χ < В — атА — b < х <. В — Ь и не зависит от выбора
неопределенного интеграла ψ (χ). Если / (χ) — локально
интегрируемая функция, то значение интеграла (1) совпадает с его
значением в обычном смысле.
Для таких интегралов справедливы следующие формулы:
Ъ а
\ f(x + t)dt= — \ f(x + t)dt,
а Ъ
Ъ Ъ
{ λ/(* + *)4, = λ f f(x + t)dt,
а а
Ь Ъ Ъ
l(f(x + t) + g(x + t))dt=^f(x + t)dt+^g(x + t)dt,
а а а
г) ψ (χ) называют еще первообразной обобщенной функции / (я).— Прим.
керев.

56
Ч. I. Теория обобщенных функций одной переменной
а
Ъ
0 ь ъ
1 (f(x+t)-g{x+t))dt=^ /(« + ί)Λ-| g(x+t)dt,
а а
bee
j f(x + t)dt+^f(x + t)dt=^ f(x + t)dt,
aba
b b
({ f(x + t)dt)'=^f'(x + t)dt = f(x + b)-f(x + a).
a a
4.1.2. Теорема. Если fn (χ) -ν/ (χ), то
ь ь
\fn{* + t)dt^^f{x + t)dt. (2)
о о
Действительно, существуют целое число к >0 и непрерывные
функции Fn (x) Zt Ρ (χ)ι такие, что
nh) (*) = /η (X) И F* (X) = f (X).
Следовательно,
Fn(z + Ь) - Fn(z + a)^.F (ζ + Ь) - F (χ + a).
Дифференцируя к"—I раз и учитывая 2.5.1, получаем (2).
В качестве следствия мы сразу же получаем такой результат:
4.1.3. Теорема. Равенство
b оо оо b
J 2 gn(x+t)dt=% jgn(x + t)dt
a n==l n=l о
справедливо для любого сходящегося ряда обобщенных функций.
Можно дать другое, эквивалентное определение интеграла (1) как
предела сумм Римана
m
S /(*+4><*j-*/-i>
(где а = ίο < h < . . . < fm = Ь и fy^ < τ/ <£,·)· Для доказательства
эквивалентности обоих определений достаточно представить интеграл
ь
[ F (х + t) dt> где F (χ) — непрерывная функция, такая, что F<h) (χ) = f (χ),
a
как предел таких сумм и продифференцировать их k раз.

4. развитие теории
57
Значение обобщенной функции \ / (х + t) dt в точке χ = О,
а
если оно существует, мы будем обозначать так:
ь
\f(t)dt. (3)
а
Этот символ, если он имеет смысл, является числом. Если
обобщенная функция локально интегрируема, то (3) является ее
обычным определенным интегралом.
Непосредственно из определения следует, что если а и Ъ —
регулярные точки неопределенного интеграла ψ (х) обобщенной
функции / (#), то
ъ
{/(ί)ώ = ψ(δ)-ψ(α). (4>
а
Равенство (4) мы также используем для определения
определенного интеграла в случае, когда а или Ъ бесконечно. В частности,
имеют место такие формулы:
оо Ъ
|/(ί)£ίί = ψ(οο)-·φ(α), ( /(ί)Λ=.ψ(6)-ψ(-οο),
<5>
Г /(*)Λ = ψ(οο) — ψ(— оо).
— оо
Заменяя в формуле (1) §2.7 о; на ж + ί и интегрируя, получаем
ъ ь
\ a(x + t)f'(x + t)dt+ [ ω' (x + t)f(x + t)dt =
а а
= (*>(x + b)f(x + b) — (i>(x + a)f(x + a). (6>
Это соответствует классическому интегрированию по частям.
Полагая здесь х = 0 я учитывая 3.5.3, приходим к равенству
ь ь
J ω (*)/'(*)<** + |ω'(ί)/(ί)Λ = ω(6)/(6) —ω(α)/(α) (7)
а а
при условии, что соответствующие значения существуют и по
крайней мере один из интегралов в левой части имеет смысл. Формула
(7) остается справедливой и в том случае, когда либо одно, либо
оба числа а и Ъ бесконечны, если только ω (χ) удовлетворяет
условиям леммы 3.6.5 или аналогичным условиям при χ = —оо.

58
Ч. I. Теория обобщенных функций одной пер менной
С помощью равенства (7) легко доказать, что
ь
Ι ω (t) δ {t — Xq) άί = ω (x0) при а < x0 < b. (8)
α
Действительно,
ь
{ ω (t) Η' (t — xo) dt = ω (Ь) Ηφ — χ0) — ω (α) Η (α — χ0) —
α
Ь Ь
— j ω' (t) H (t—x0) dt = ax(b) — f ω' (ί) ώ = ω (s0).
Аналогичным образом можно доказать, что
ь
\ω(£)δ(/—x0)dt = 0, если xQ<ia<,b илиа<Ь<я0· (9)
»'
а
Если φ (ж) удовлетворяет предположениям § 2.8, то обычная
'формула замены переменной
<р(Ь) Ь
j /(<)л- J/(<p(*»<p'(*)* (ΐ°)
φ(ο) α
«остается справедливой при условии, что неопределенный интеграл
от / (х) имеет значение в точках χ = φ (а) и # = φ (Ь).
В самом деле, пусть F (х) — неопределенный интеграл от / (х),
т. е. F' (х) = f (x). Положим
ψχ (χ) =F(<f(b)+x)-F (φ (a) + x);\
тогда левая часть равенства (10) равна грх (0). С другой стороны,
полагая
ψ2 (χ) = F (φ (b + χ)) - F (φ (a 4- χ)),
для правой части равенства (10) получаем
ъ ъ
j F (φ (*)) φ' (ί) dt = J (^ (φ (*)))' Λ = ψ2 (0).
α α
Поскольку значения F (χ) существуют в точках φ (α) и φ (Ь),
то, согласно 3.5.4, % (0) = ψ2 (0). Таким образом, обе части
равенства (10) совпадают.
Заметим, что если предположение о существовании значений
F {х) в точках φ (α) и φ (b) не выполнено, то равенство может
нарушиться. Например, пусть / (х) = (In | х2 — 2х |)', φ (χ) =

4. Развитие теории
59
= х2 + V (1/2 < # < оо) и а = О, 6 = 1. Тогда мы имеем
F (х) = In | χ2 — 2х |, и легко проверить, что
ψι (ж) = In | (2 + х)/(2 - *) |, ψ2 (χ) = In | (3+ χ)/(ί - χ) |.
Следовательно, % (0) = 0, ψ2 (0) = In 3, и левая и правая части
формулы (10) не совпадают.
4.2. Периодические обобщенные функции
Будем говорить, что обобщенная функция / (х) на интервале
—оо < χ < оо является периодической (с периодом 2π), если
/ (* + 2π) = / (*).|
Докажем следующие утверждения.
4.2.1. Интеграл
π
j /(ί)Λ (1)
-π
существует для любой периодической обобщенной функции f(x).
4.2.2· Для любого сходящегося ряда периодических обобщенных
функций справедливо равенство
Л оо оо π
-πη=1 η=1 -π
4.2.3. Если для периодической обобщенной функции f (x)
интеграл (1) обращается в нуль, то существует периодическая
обобщенная функция ψ (χ), такая, что ψ' (χ) = f (χ) u\
π
J ψ(*)Λ = 0.
-π
Пусть ψ0 (χ) = / (χ). Тогда
π
J /(* + ί)Λ = ψο(*+«)—Ψο(* —я)· (2)
-π
Поскольку производная этой обобщенной функции равна
/ (# + π) — / (# — π) = 0, то интеграл (1) является постоянной
функцией. Так что в точке 0 он имеет значение
π π
J f(t)dt= j f(x + t)dt, (3)
-π -π
откуда следует 4.2.1.

60
Ч. I. Теория обобщенных функций одной переменной
Лемма 4.2.2 следует из формулы (3) и леммы 4.1.3.
Пусть интеграл (1) равен нулю и ψό (χ) = / (#). Тогда, согласно
(2), мы имеем
Ψο (х + π) — ψ0 (χ — π) = 0.
Это означает, что обобщенная функция ψ0 (χ) является
периодической. Таким образом, обобщенная функция
π
ψ (χ) = ψ0 (я) — с, где с = -^ j ψ0 (*) ώ,
-π
обладает всеми Свойствами, перечисленными в теореме 4.2.3.
4.2.4. Теорема (Шварц [2]; см. также Лоясевич, Влёка, Зелез-
ный [1]). Каждая периодическая обобщенная функция f (x) является
суммой тригонометрического ряда
где
f (χ) = -~- + 2 (ап cos пх + Ъп sin nx), (4)
п=1
π
αη = — \ f(t) cos ntdt (n = 0, 1, 2, ...),
-π
π
bn = -M* f(t)sinntdt (и = 1, 2, ...).
It J
(5)
Разложение (4) единственно.
4.2.5. Теорема (Шварц [2]). Ряд
оо
2 (an cos тг# + Ьп sin nx) (6)
n=l
сходится в обобщенном смысле тогда и только тогда, когда
ajnk ->·0 и bjnk ->0 (п -*оо) (7)
для некоторого целого числа к ^ 0.
Предположим, что ряд сходится и справедливо равенство (4).
Умножая тогда обе части этого равенства на cos mx и интегрируя,
получаем, согласно 4.2.2,
π π
I / (t) cos mtdt = -^-a0 I cos mt dt +
-π -л
оо Л Л
+ 2 ( αη \ cos и* cos tftf dt + bn \ sin ra£ cos mt dt\ = яат,
n=l -л -л

4. Развитие теории
61
поскольку все тригонометрические интегралы равны нулю, за
исключением интеграла при ат, который равен π. Таким образом,
мы получили первую из формул (5). Аналогичным образом
получается и вторая.
Отсюда следует, что представление / (х) в виде (4), если оно
существует, единственно.
Пусть теперь / (х) — произвольная периодическая обобщенная
функция. Для обобщенной функции g (χ) = / (χ) |· а0 имеем
π
\ g (t) dt = 0. Применив к раз лемму 4.2.3, получим периоди-
—π
ческую обобщенную функцию G0 (χ), такую, что G<ft> (χ) = g (x).
С другой стороны, для достаточно большого к найдется
непрерывная функция G (х), такая, что G<ft> (χ) = g (x). Можно считать,
что к кратно 4 и что G (х) имеет непрерывную производную.
Обобщенные функции G0 (χ) и G (χ) отличаются друг от друга
только на многочлен степени «< к, так что G0 (x) — периодическая
функция с непрерывной производной.
В силу элементарной теоремы о рядах Фурье х), G0 (x) является
суммой равномерно сходящегося тригонометрического ряда
оо
Go (я) =-2'«о+2 (a"C0Sra + P"sin^)' (8)
где
"п + 0, βη->0. (9)
Дифференцируя к раз формулу (8) в обобщенном смысле
и прибавляя к обеим частям γ α0, получаем равенство
оо
/ (χ) = -γ а0 + 2 (nhan cos nx + nh$n sin nx),
n=l
причем сходимость понимается в обобщенном смысле.
Поскольку представление / (х) в виде (4) единственно, то
ап = пкап и6п= η*βη (η = 1, 2, . . .), (10)
где ап и Ьп задаются равенствами (5). Это завершает
доказательство теоремы 4.2.4.
Свойство (7) следует из (9) и (10). Для доказательства теоремы
4.2.5 достаточно показать, что из (7) следует обобщенная
сходимость ряда (6). Пусть число к0 кратно 4, и пусть к0 >& + 1.
г) См., например, Никольский [1*, § 15.5].— Прим. ред.

62
Ч. I. Теория обобщенных функций одной пер менной
Тогда ряды
Σ (aJn**) и 2 <K/nko)
71=1 71=1
сходятся абсолютно. Поэтому ряд
оо
ъ„
71=1
сходится равномерно. Дифференцируя последний ряд к0 раз,
получаем ряд (6), который, в силу 2.5.8, сходится в обобщенном смысле.
В классическом анализе обычно различают тригонометрические ряды
и ряды Фурье. В теории обобщенных функций такая необходимость отпадает,
поскольку каждый сходящийся тригонометрический ряд является
разложением некоторой .периодической обобщенной функции. Заметим, что если
тригонометрический ряд является разложением периодической функции
в классическом смысле, то он является ее разложением и в обобщенном
смысле. Это следует из того, что коэффициенты разложения вычисляются
по одним и тем же формулам (5).
В качестве примера периодической обобщенной функции,,
не являющейся обычной функцией, рассмотрим
М(*) = 2 \δ(χ+2ηη). (И)
71= — ОО
Обобщенная функция δ2π (я) является производной функции
Ε (χ/2π), где символ Ε (а) обозначает наибольшее целое число,
не превосходящее а. Действительно, функцию Ε (χ/2π) можно
выразить при помощи функции Хевисайда:
оо О
Е(я/2я)= 2 Н(х— 2тш)+ 2 (Я(ж—2ηπ) —1). (12)
71—1 П=-00
При дифференцировании правая часть (12) переходит в правую
часть (11).
Для нахождения коэффициентов разложения обобщенной
функции δ2π (χ) используем формулы (8) и (9) § 4.1:
π π
1 Г 1 Г 11
αη = — \ δ2π(t)cosntdt = — \ 8(t)cosntdt = — cosO = —
UX J 71 J Jt 3X
-π -π
и, аналогично,
&η = 0.
Таким образом, согласно теореме 4.2.4,
1/1
бгяФ—— (-2" + coss + cos2a:+ ...). (13)

4. Развитие теории
63
Отсюда получаем следующую формулу для суммы косинусов:
cos a;-|-cos 2# 4- # # # = яб2я(#)—^#
Этот ряд не сходится в обычном смысле ни в одной точке.
Обобщенную сходимость можно доказать двукратным
интегрированием или вывести ее из теоремы 4.2.5.
Аналогично, ряд синусов!
sin χ + sin 2х + · · .
сходится в обобщенном смысле. Для нахождения его суммы будем
исходить из хорошо известной формулых)
cos χ . cos 2x^ , ,
—α— я—4-··· =—1η
. 1
sin-^- χ
-1η 2. (14)
Функция в правой части последней формулы локально
интегрируема и, следовательно, является обобщенной функцией.
Дифференцируя (14) в обобщенном смысле и меняя знаки, получаем
sinx-|-sin2a:+ ... = у ctga;,
согласно изложенному в § 3.2. Отсюда мы получаем разложение
ctg x:
ctg x = 2 (sin 2x + sin Ax + sin 6x + · . .).
Заменяя χ на г|-зх — χ, получаем разложение tg x:
tg x = 2 (sin 2x — sin Ax + sin 6# — . . .).
Поскольку 1/sin χ = tg γ χ + ctg χ, то
1/sin χ = 2 (sin χ + sin 3# + sin 5x + . . .).
Заменяя # на |π—я, получаем
1/cos x = 2 (cos a: — cos 3# -f cos 5x — . . .).
Интересно отметить, что приведенные выше формулы остаются
справедливыми, если суммирование понимать не в обобщенном
смысле, а, например, в смысле среднего арифметического.
Как хорошо известно, тг-я частичная сумма ряда (13) есть
не что иное, как ядро Дирихле2):
\_ sin(tt+4b
π 2sin~-s
1) См. Фихтенгольд [1*, п. 690].— Прим. ред.
2) См., например, Никольский [1*, § 15.2].— Прим. ред.

64
Ч. I. Теория обобщенных функций одной переменной
Согласно (13), ядро Дирихле сходится к б2Л (#) в обобщенном
смысле. Другие ядра, рассматриваемые в теории
тригонометрических рядов, такие, как
ι
а I Sin-^- ПХ \ 2
= (-=Тг) <фейер>·
γ γη/η cos2n γ χ (Валле-Пуссен),
обладают тем же свойством.
В некоторых случаях выгодно использовать
тригонометрические ряды в комплексной форме
Σ cneinx. (15)
П— -оо
Из теоремы 4.2.4 следует, что каждую периодическую обобщенную
функцию можно представить в виде суммы ряда (15) с
π
-π
Согласно теореме 4.2.5, ряд (15) сходится тогда и только тогда,
когда существует целое число к, такое, что cn/nk ->0 при η ->ос.
4.3· Обобщенные3 функции бесконечного порядка
Понятие обобщенной функции было введено в математику
С. Л. Соболевым [1] в 1936 г. Термин «distribution» г)
принадлежит Л. Шварцу ([1] — [4]), который развивал эту теорию
начиная с 1945 г. Определение С. Л. Соболева отличается от
данного нами. Обобщенные функции, которые мы рассматривали
до сих пор, называются обобщенными функциями конечного порядка,
поскольку они являются производными конечного порядка от
обычных функций на всем интервале. Обобщенные функции,
рассмотренные Л. Шварцем, являются производными 'непрерывных
функций только локально. В этом параграфе мы изменим наше
определение таким образом, чтобы получить другое определение,
эквивалентное тем, которые дали Соболев и Шварц.
Последовательность непрерывных функций fn (χ),
определенных на фиксированном интервале А < χ < В (конечном или
бесконечном), называется фундаментальной, если для любого
отрезка а ^х ^ Ъ (А < а < Ъ <С В) найдутся целое число к ^ О
г) Применяемый в перзводе термин «обобщенная функция» был введен
И. М. Гельфандом; см., например, Гельфанд и Шилов [1*].— Прим.
пер ев.

4. Развитие теории.
65
и последовательность непрерывных функций Fn (χ), определенных
на отрезке а ^ χ ^ Ъ, такие, что
(i) nft) (*) = fn (*) при а < χ < b;
(ii) Fn (#) сходится равномерно.
Будем говорить, что две фундаментальные последовательности
{ fn (х)) и {Sn (#)} непрерывных функций, определенных на
интервале А <Сх<В, эквивалентны, если для каждого отрезка а ^
<^.х ^b (i < α < 6 < Б) найдутся целое число 4>0и
последовательности непрерывных функций {Fn (χ)} и {Gn (x)}, такие,
что
(i) F%) (X) = fn (X) И Gjf) (χ) = fo (я);
(ii) последовательности Fn (χ) и Gn (x) равномерно сходятся
на отрезке а ^ χ ^ 6 к одному и тому же пределу.
В этом новом определении существенно, что выбор целого
числа к зависит от отрезка а ^ χ <ζ. Ъ.
Классы эквивалентных последовательностей называются
обобщенными функциями.
Последовательность, фундаментальная в старом смысле,
очевидно является фундаментальной и в новом смысле. Обратно,
если последовательность фундаментальна в новом смысле и для
всех отрезков а ^.х ^.Ь (А < а < Ъ <.В) существует одно
и то же целое число &, то и функцию Fn (χ) (η = 1, 2, . . .) можно
выбрать одной и той же для всех отрезков, так что
последовательность фундаментальна и в старом смысле. Обобщенные функции
в новом смысле, которые определяются такими
последовательностями, называются обобщенными функциями конечного порядка.
Последовательности, фундаментальные в старом смысле,
эквивалентны в новом смысле тогда и только тогда, когда они
эквивалентны в старом смысле; доказательство мы опускаем.
В силу предыдущих замечаний, обобщенные функции в
прежнем смысле можно отождествить с обобщенными функциями
конечного порядка.
Для новых обобщенных функций можно определить сложение,
вычитание, умножение на число и на функцию, суперпозицию,
дифференцирование, интегрирование и т. д. таким образом, что
останутся справедливыми все основные свойства этих
операций.
Для каждого отрезка а^д:<6 (А < а <С Ъ < В) найдется
целое число k ^ 0, такое, что данная обобщенная функция есть
производная k-το порядка непрерывной функции на этом отрезке.
При этом целое число к, подходящее для всех отрезков а ^ χ ^ 6,
существует тогда и только тогда, когда обобщенная функция имеет
конечный порядок. В этом случае обобщенная функция является

66
Ч. I. Теория обобщенных функций одной переменной
производной k-το порядка некоторой непрерывной функции на всем
интервале А < х <С В. В противном случае обобщенная функция
имеет бесконечный порядок.
Поскольку новые обобщенные функции не являются, вообще
говоря, производными конечного порядка функций, непрерывных
на интервале А <#<#, определение сходимости следует
изменить.
А именно, будем говорить, что последовательность обобщенных
функций {fn (х)} сходится к обобщенной функции / (х), если для
любого отрезка а ^ χ ^ Ъ {А < а < Ъ <В) найдутся целое
число к ^ О и Непрерывные функции F (х) и Fn (x), такие, что
F&) (χ) == fn (χ), F{h)(x) = f (χ) и последовательность {Fn (x)}
равномерно сходится к F (х).
Все предыдущие теоремы, относящиеся к сходимости,
останутся справедливыми. Из сходимости в старом смысле следует
сходимость в новом смысле, но не наоборот. Например, ряд
6(х) + Ь' (x — i)+6'(z — 2) + ...
сходится в новом смысле, но не сходится в старом смысле.
Он представляет обобщенную функцию бесконечного порядка.

ЧАСТЬ II
Элементарная теория
обобщенных функций
нескольких
вещественных
переменных
Введение
Часть II содержит введение в теорию обобщенных функций
нескольких вещественных переменных. Случай одной переменной
был рассмотрен в ч. I. По методическим причинам
целесообразно, особенно начинающим, сначала прочитатать ч. I. Однако
изложение в ч. II независимое и не предполагает знакомства
с ч. I. Большинство важных теорем предыдущей части являются
частными случаями результатов, полученных в ч. П.
Основная идея остается той же самой, однако некоторые
изменения, введенные в случае нескольких переменных, приводят
к поразительным улучшениям. В ч. I обобщенные функции
определяются, грубо говоря, как пределы последовательностей
непрерывных функций. Так можно было поступить и в случае
нескольких переменных, однако это привело бы к усложнениям, связанным
с необходимостью введения излишнего вспомогательного понятия
обобщенной производной непрерывной функции. Этого понятия
можно избежать, используя бесконечно дифференцируемые
функции или многочлены. Но многочлены не обладают достаточно
гибкими локальными свойствами, что, как было проверено
экспериментально, лишает теорию элегантности. Таким образом, при
построении нашей теории мы решили исходить из бесконечно
дифференцируемых функций.
Другое изменение связано с тем, что в ч. I (за исключением
последнего параграфа) рассматривались обобщенные функции
конечного порядка, в то время как в ч. II это ограничение опущено.
Часть II содержит теорию элементарных операций над
обобщенными функциями, таких, как сложение, умножение,
дифференцирование, замена переменных. Другие операции, такие, как
интегрирование, свертка и преобразование Фурье, будут введены
в ч. III.

1.
Основные определения
1.1. Терминология и обозначения
Пусть даны две системы конечных или бесконечных чисел
а = (av . . ., aq), b = (β1? . . ., β^).
Будем писать
а < b
тогда и только тогда, когда
α,·< β,- при / = 1, . . ., q.
Аналогично, будем писать
а < Ъ
тогда и только тогда, когда
α, < β;· при / = 1, . . ., q.
Если вещественные числа ξ1? . . ., ξ9 конечны, то
χ = (1г, . . ., lq)
мы будем рассматривать как точку g-мерного евклидова
пространства.
С учетом указанных выше соглашений можно обозначить д-мер-
ный интервал
α,< ξ,·<β;· (/ = 1, . . ., q)
неравенствами
α <Ζ χ <Ζ b,
так же как и в одномерном случае. Аналогично, если α;· и β;
конечны, то g-мерный отрезок
<*,<!/< β, (/ = 1, ...,g)
мы будем обозначать так:
а ^ χ ^ Ь.
Если явно не оговорено противное, то слово «интервал» всегда
означает «ограниченный интервал». Говорят, что интервал а < χ <

2. Основные определения
69
<; Ъ лежит внутри открытого множества О тогда и только тогда,
когда отрезок а ^х ^ Ъ лежит в О.
Будем использовать обычные обозначения:
* + У = (li + Ήι> · · ·> lq + η<ζ)>
* — у = (?ι — ηι> · ·.. ξ* — η«).
λα: = (λξ1? . . ., λξς), | χ | = νίΓΓΓΤΤ+ΙΪ,
где ι/ = (η ι, . . ., ηq) и λ — число.
Функции, определенные на подмножествах g-мерного
пространства, мы обычно будем обозначать символами φ (χ), f (χ), F (χ), . . .,
а не φ (ξ1? . . ., lq), f (ξι, . . ., lq), F (ξ1? . . ., lq) и т. д. Все
рассматриваемые нами функции определены, если явно не
оговорено противное, на открытых подмножествах g-мерного
евклидова пространства.
Пусть F (х) — непрерывная функция на интервале /, пусть
х0 = (|01, . . ., 10д) — фиксированная точка этого интервала
и к = (κχ, . . ., κ^) — набор неотрицательных целых чисел.
Интегрируя F (х) хг раз по ξ1? затем κ2 раз по |2 и т. д., получим
повторный интеграл порядка к:
J dxQtq ... J dxqi ... J dxiXi ... j dxtiF (xiu ..., xqi).
lQq l0q ioi loi
Этот интеграл будем для краткости обозначать символом
χ
\F(t)dth,
χο
или в частном случае к = (1, ..., 1) символом
χ
^F(t)dt.
χο
Следует отметить следующие простые факты:
X X
λ/ (t) dth = %\ f (t) dth (λ — число),
χο χο
χ χχ
Ι (/ (*) + g (*)) Λ* = j / (0 dift + j g (t) dt\
xq xq xq

70 У. II. Теория обобщенных функций нескольких переменных
Бесконечно непрерывно дифференцируемые функции будем
называть гладкими функциями. Пусть φ (χ) — гладкая функция
и к = (κ1? . . ., Kg) — набор неотрицательных целых чисел.
Тогда под производной k-го порядка мы будем понимать функцию
Обычно термин порядок означает произвольный набор к =
= (κ1? . . ., Kq) неотрицательных целых чисел. Будут полезны
также следующце обозначения:
*1 = (1, 0, ...,0),
*2 = (0, 1, ...,0),
eq = (0, 0, ...,1).
Вместо -(О, . . ., 0) будем писать 0. Обычно это не приводит
к каким-либо недоразумениям.
1.2. Равномерная и почти равномерная сходимость
Пусть задано множество J. Будем говорить, что
последовательность функций fn (χ) сходится равномерно на Ι κ f (x) и писать
1n{x)-Xf{x) на /
тогда и только тогда, когда функция / (х) определена на J и для
любого ε >0 найдется номер п0, такой, что для всех η > п0
функции fn (х) определены на всем множестве I и удовлетворяют
на нем неравенству
| fn (х) - / (х) |< ε.
Таким образом, для начальных номеров η функции fn (х) не
обязательно определены на J.
Будем писать
fn 0*0 It на 7
тогда и только тогда, когда существует функция / (я), такая, что
fn (я) It f (χ) на J· Мы будем использовать эту запись в том случае,
когда нет необходимости приводить предельную функцию в явном
виде.
Будем писать
fn (х) ^Xgn (*) на I
в том и только в том случае, когда обе последовательности fn (x)
и gn (#) сходятся равномерно на 7 к одному и тому же пределу.
Говорят, что последовательность fn (х) сходится к / (х) почти
равномерно на открытом множестве О тогда и только тогда, когда

jt Основные определения
71
fn (χ) ^£ / (ж) на кажД°м интервале J, лежащем внутри О.
Предельная функция определена на всем множестве О, но, согласно
определению, ни одна из функций fn (χ) не обязательно определена
на всем О. Если Оп — открытое множество, на котором определена
fn 0*0» т0 для кажД°Г0 интервала J, лежащего внутри О,
существует номер п0, такой, что I лежит внутри Оп при всех η >тг0.
1.3· Фундаментальные последовательности
гладких функций
Пусть О — открытое множество в g-мерном пространстве.
Последовательность гладких функций ψη (χ) называется
фундаментальной на О тогда и только тогда, когда для каждого
интервала)/, лежащего внутри О, существуют порядок к и гладкие
функции Фп (#), такие, что
(Fj) Ф?> (*) = Фп (*),
(F2) Фп (х) It *а '·
В общем случае порядок к и функции Фп (х) зависят от J.
Согласно определению, ни одна из функций φη (χ) не обязана быть
определенной на всем множестве О. Если Оп — открытое
множество, на котором определена φη (χ), то для каждого интервала J,
лежащего внутри О, существует номер п0, такой, что / лежит
внутри Оп при всех η >η0.
Функции Фп (х) определены на / при всех η > п0 и
удовлетворяют на нем условиям (Fx) и (F2).
Из определения сразу же следует (при к = 0) такое
утверждение:
1.3.1. Каждая последовательность гладких функций,
сходящаяся почти равномерно на О, фундаментальна.
Дифференцируя (¥г) m раз, получаем
1.3.2. Если срп (х) — фундаментальная последовательность,
то последовательность φ*™) (х) тоже фундаментальна.
Полезно заметить, что порядок к, входящий в условие (F^,
можно, если это необходимо, увеличить. Это вытекает из
следующего утверждения.
1.3.3. Если последовательность Фп (х) удовлетворяет условиям
(Рх) и (F2) и Ζ ^ /с, то последовательность гладких функций
X
хо
также удовлетворяет условиям (¥г) и (F2) с к, замененным на I.

72
Ч.П. Теория обобщенных функций нескольких переменных
Отметим также
1.3.4. Если последовательность ц>п (χ) фундаментальна на
каждом интервале I, лежащем в О, то она фундаментальна на О.
Действительно, пусть / — произвольный интервал, лежащий
внутри О. Тогда существует интервал /', лежащий внутри О,
такой, что / лежит в /'. Поскольку последовательность <рп (х)
фундаментальна на /', существуют гладкие функции Фп (х) и
порядок к, такие, что условия (¥г) и (F2) выполняются на J.
1.4. Определение обобщенных функций
Будем говорить, что две последовательности φη (χ) и ·ψη (χ),
фундаментальные на О, эквивалентны на О, и писать
4>п (х) ~ Ψ* (х)
тогда и только тогда, когда последовательность
Φΐ (*). Ψΐ (*)> Ψ2 (*), ψί (*)»
фундаментальна.
Следующее условие, очевидно, является необходимым и
достаточным для того, чтобы последовательности φη (χ) и ψη (χ) были
эквивалентными. Для каждого интервала J, лежащего внутри О,
существуют последовательности гладких функций Фп (х) и Ψη (χ)
и порядок к, такие, что
(Ех) Ф<*> (χ) = φη (χ) и ψ*> (χ) = ψη (χ),
(Ε.) Φη (χ) ΐ£ £ Ψ* (*) на /.
Последовательности Φη (χ) и Ψη (χ) и порядок к, вообще говоря»
зависят от /.
Из 1.3.3 следует
1.4.1. Порядок к в условии (Εχ), если это необходимо, можно
заменить любым большим порядком I.
Легко проверить, что отношение ~ рефлексивно и симметрично,
т. е. что
(i) ψη (χ) ~ <ρη (я),
(ii) если <ρη (χ) ~ ψη (χ), το ψη (χ) ~ φη (χ).
Оно, кроме того, транзитивно, т. е.
(Ш) если <рп (х) ~ ·φη (х) и ψη (χ) ~ $п (х), то φΛ (χ) ~ ΰη (х).
Действительно, из предположений (iii) следует, что для
каждого интервала /, лежащего внутри О, существуют порядок к

7. Основные определения
73
и гладкие функции Фп (х) и Ψη (я), удовлетворяющие (Ех) и (Е2),
и существуют порядок I и гладкие функции Ψη (#), Θη (χ), такие,
что
ψΛΖ) (*) = % («), θ«> (χ) = оп (я), ψη (*) ι: ί: θη и.
Согласно 1.4.1, можно положить к = I. Последовательности Фп (х)
и Θη (х) = Ψη (#) — Ψη (я) + ΘΛ (ж) сходятся равномерно на J
к одному и тому же пределу, и Ф<*> (х) = φΛ (#), §{*> (χ) = Φη (χ)Ύ
а это означает, что φη (χ) ~ Фп (ж). Поскольку отношение ~
рефлексивно, симметрично и транзитивно, множество всех
фундаментальных на О последовательностей разбивается на
непересекающиеся классы (классы эквивалентности отношения ~), такие, что
две фундаментальные последовательности лежат в одном классе
в том и только в том случае, когда они эквивалентны. Эти классы
эквивалентности называются обобщенными функциями
(определенными на О). Таким образом, понятие обобщенной функции
получается путем отождествления эквивалентных фундаментальных
поел е довател ьностей.
Обобщенная функция, определяемая фундаментальной
последовательностью φη (χ), т. е. класс всех фундаментальных
последовательностей, эквивалентных ц>п (х), мы будем обозначать
символом [φη (χ)]. Две последовательности ψη (χ) иг£>п {χ),
фундаментальные на О, определяют одну и ту же обобщенную функцию тогда
и только тогда, когда они эквивалентны. Таким образом,
[фтг (Я)1 = [ψη (Χ)]
тогда и только тогда, когда φη (χ) ~ ψη (χ).
Обобщенные функции мы будем обозначать символами / (х), g (x)
и т. д. так же, как обычные функции. Следует подчеркнуть, что
это обозначение чисто символическое и в общем случае нельзя
вместо переменной χ подставлять конкретные точки.

2.
Операции над
обобщенными функциями
2.1. Умножение на число
Операция λφ.{χ) умножения функции φ (χ) на число λ обладает
следующими свойствами:
(i) Если <рЛ (х) — фундаментальная последовательность, то
последовательность λφη (χ) также фундаментальна.
Это свойство позволяет распространить рассматриваемую
операцию на обобщенные функции / (х) = [<рЛ (#)], положив
λ/ (χ) = [λφη (χ)].
Для доказательства единственности произведения λφ (χ)
необходимо показать, что оно не зависит от выбора фундаментальной
последовательности φη (χ). Другими словами,
(ii) Если φη (χ) ~ φη (χ), το λφη (χ) ~ λφη (χ).
Действительно, последовательность
Φι (*)> Φι (*)> Φ2 (*)» φ2 (*)» · · ·
фундаментальна. Поэтому, в силу (i), последовательность
λφι (х), λφχ (χ), λφ2 (χ), λφ2 (χ), . . .
также фундаментальна, откуда и следует (ii).
2.2. Сложение
Операция φ (χ) + ψ (#) сложения двух функций φ (#) и ψ (#)
обладает следующим свойством:
(i) Если φ„ (χ) и ψΛ (α:) — фундаментальные
последовательности, то последовательность φη (χ) + ψΛ (χ) также
фундаментальна.
Для доказательства этого свойства предположим, что для
каждого интервала /, лежащего внутри О, существуют порядки
к и I и функции Фп (х) и Ψη (χ), такие, что
Ф?)(*) = Фп(*). Фп (*)=£,

2. Операции над обобщенными функциями
75
Можно считать, что к = I, поскольку каждый из порядков к и I
можно при необходимости увеличить (см. 1.3.3). Так как
(Фп (χ) + Ψη (*))<» = φη (χ) + ψη (ζ), Φη (χ) + Ψη (χ) Ι£,
то последовательность φη (χ) + ·ψη (χ) фундаментальна.
Свойство (i) позволяет распространить операцию сложения
на произвольные обобщенные функции / (χ) = [φη (χ)] и g (x) =
== [ψη (*)]» положив
f(x)+g (χ) = Iff η (χ) + Ψη (χ)1
Определенная таким образом сумма единственна, поскольку
она не зависит от выбора фундаментальных последовательностей
φη (χ) и ψη (χ). Другими словами,
(ii) Если φη (χ) ~ φη (χ) и φη (χ) ~ ψ„ (χ), το
Ψη («) + Ψη («) — Φη («) + Ψη («).
Действительно, последовательности
Φΐ («)» Φΐ («)» Φ2 fa), φ2 («), · . м
Ψι («). Ψι («), ψ2 (х), ψ2 (*)» . . .
фундаментальны. В силу (i), фундаментальна и
последовательность
Φι (х) + Ψι (*)» Φι (х) + Ψι (*)» Φ2 («) + ψ2_(*)>
Ψ2 (Χ) +Ψ2 (*)> · · ·»
откуда следует требуемое утверждение.
2.3. Регулярные операции
Умножение на заданное число λ есть операция, производимая
над одной функцией (или обобщенной функцией). Сложение —
это операция над двумя функциями (или обобщенными функциями).
В более общем случае можно рассмотреть операции над
произвольным числом функций и распространить их на обобщенные
функции. Метод распространения один и тот же. Скучно и излишне
повторять рассуждения в каждом частном случае. В этом
параграфе мы покажем в общем случае, что подобное распространение
можно осуществить для широкого класса операций.
Обозначим через
Α (φ (χ), ψ (χ), . . .)
некоторую операцию над конечным числом функций φ (#), ψ(χ),. . . .
Будем считать, что функции φ (χ), ψ (χ), . . . определены на
открытых множествах Р, Q, . . . соответственно; Р, Q, . . . —
подмножества некоторых евклидовых пространств не обязательно
одинаковой размерности. Будем считать, что операция А выполнима

76
4. I J. Теория обобщенных функций нескольких переменных
для всех гладких функций, определенных на Р, Q, . . ., и что ее
результат есть снова гладкая функция, определенная на
фиксированном открытом множестве О, подмножестве некоторого
евклидова пространства.
Предположим, что операция А обладает следующим свойством:
(i) Если φη (χ), ψη (#), ... — фундаментальные
последовательности на Ρ, Q, . . . соответственно, то Α (φη (χ), ψη (χ), . . .) —
фундаментальная последовательность на О.
Такая операция распространяется на обобщенные функции
/ (х) = [φη (χ)], g (χ) = [φη (χ)], . . ., если положить
Λ (/ (ζ), g (x), . . .) = U (φη (χ), % (χ), . . .)]-
Это распространение единственно, т. е. оно не зависит от выбора
фундаментальна последовательностей φη (χ), tpn (x), ....
Другими словами,
(ii) Если
Φη (х) ~ Ψη (χ), Ψη (χ) ~ ψη (χ), · > (1)
το
Λ (φη (χ), ψη (χ), . . .) ~ Α (φη (ж), ψη (ж), . . .). (2)
Действительно, по предположению последовательности
Φι (х)j Φι (x)f Фг (x)> Фг (*)» · · ·ι
Ψΐ И» ψΐ (*)» Ψ2 И» ψ2 (*)»
фундаментальны. В силу (i), фундаментальна и
последовательность
А (ф! (ж), % (ж), . . .), Л (фх (я), ψχ (ж), . . .), ...
. . ., А (<р2 (х), ψ2 (ж), ...),...;
тем самым утверждение (ii) доказано.
Все операции Α (φχ (χ), ψ (χ), . . .), обладающие свойством (i),
мы будем называть регулярными. Каждая регулярная операция,
определенная на гладких функциях, автоматически
распространяется на обобщенные функции, причем это распространение
единственно.
Как было показано в § 2.1 и 2.2, умножение на число и
сложение являются регулярными операциями.
2.4. Вычитание, сдвиг, дифференцирование
Приведем теперь еще несколько примеров регулярных
операций.
Вычитание. Вычиталие φ (χ) — ψ (χ) является регулярной
операцией. Действительно, если <рп (х) и ·ψη (χ) — фундаменталь-

2. Операции над обобщенными функциями
77
ные последовательности, то последовательность φη (χ) — ψΛ (χ)
также фундаментальна. Доказательство аналогично
доказательству, приведенному в § 2.2. Таким образом, определим разность
двух обобщенных функций / (χ) = [φη (χ)] и g (χ) = [ψη (χ)]
формулой
f(x)—g (χ) = [φη (χ) - Ψη (*)!.
Сдвиг. Сдвиг φ (α: + h) является регулярной операцией.
Точнее, если φη (χ) — фундаментальная последовательность на
открытом множестве О, то последовательность φη (χ + h)
фундаментальна на множестве On, состоящем из всех точек х, таких, что χ + h
лежит в 0. Таким образом, если / (х) = [ψη (χ)] — обобщенная
функция, определенная на О, то
/ (χ + h) = [φη (χ + h)]
является обобщенной функцией, определенной на 0^
Дифференцирование. Дифференцирование ср(ГП) (х)
произвольного порядка т является регулярной операцией. Действительно,
в силу 1.3.2, если φη (χ) — фундаментальная последовательность,
то последовательность <р£т> (х) также фундаментальна. Таким
образом, производную порядка т обобщенной функции / (х) =
= Ефп (х)1 мы определим формулой
/(W) (х) = Iq4m) (*)!·
Очевидно, что
2.4.1. Каждая обобщенная функция имеет производные всех
порядков.
Свойство 2.4.1 существенно облегчает выкладки, производимые
над обобщенными функциями, делает их проще и элегантнее,
чем в классическом анализе.
2.5. Умножение обобщенной функции
на гладкую функцию
Умножение φ (χ) ψ (χ), рассматриваемое как операция над
двумя функциями φ (а;) и ψ (я), не является регулярным,
поскольку произведение двух фундаментальных последовательностей
<рЛ (х) и ·ψη (χ) не обязательно представляет собой
фундаментальную последовательность.
Однако умножение можно также рассматривать как операцию
над одной функцией при втором фиксированном сомножителе.
Обозначим этот фиксированный сомножитель через ω (χ).
Докажем, что если ω {χ) — гладкая функция, то умножение ω (χ) φ (χ) —
регулярная операция над φ (χ). Другими словами, если
последовательность φη (χ) фундаментальна, то последовательность
ω (χ) Φη (х) также фундаментальна.

78
Ч. II. Теория обобщенных функций нескольких переменных
Действительно, поскольку φη (χ) фундаментальна, то для
каждого интервала J, лежащего внутри О, найдутся порядок к
и гладкие функции Фп (х), такие, что
Φ<*> (χ) = φη (χ) и Фп (х) :£ на /.
Для каждого порядка т и каждой гладкой функции ω (χ)
последовательность ω (χ) Φ£*> (χ) фундаментальна на I.
Доказательство проводится по индукции. Случай т — 0 следует из 1.3.1.
Если последовательность фундаментальна при некотором т, то
последовательность фундаментальна и при т + е^, поскольку
ω (χ) <DCW+V (χ) = (ω (χ) Φ£*> (x)fi> - ω(^ (χ) Φ£»> (χ)
и правая част|> является разностью двух последовательностей,
которые фундаментальны в силу 1.3.2 и предположения
индукции. При т =* к получаем, что ω (χ) φη (χ) фундаментальна на 7.
Так как интервал / был выбран произвольно, последовательность
ω (χ) φη (χ) фундаментальна на всем множестве О, согласно 1.3.4.
Таким образом, мы доказали, что умножение на гладкую
функцию ω (χ) есть регулярная операция.
В соответствии с общим методом определим произведение
обобщенной функции / (χ) = [φη (χ)] на гладкую функцию ω (χ)
формулой
ω (χ) f (x) = [ω (χ) φη (χ)].
Вместо ω (χ) f (χ) мы иногда будем писать / (χ) ω (χ).
Заметим, что если ω (χ) — постоянная функция, то только что
определенное умножение совпадает с умножением, определенным
в § 2.1.
2.6. Подстановка
Пусть а (х) — фиксированная гладкая функция на д-мерном
открытом множестве О, такая, что
предположим, что значения а (х) принадлежат открытому
множеству О' вещественных чисел у. Подстановка
Ψ (σ (χ))
является регулярной операцией над φ (у) (а (х) фиксирована).
Точнее, покажем, что если φη (у) фундаментальна на О', то
Фп (° (х)) фундаментальна на О.
Пусть I — произвольный интервал, лежащий внутри О.
Функция а (х) отображает I на интервал /', лежащий внутри О'.

2. Операции над обобщенными функциями
79
Заметим сначала, что если для некоторых гладких функций
фп (у) последовательность Φη (σ (χ)) фундаментальна на /, то
последовательность Φή (σ (χ)) также фундаментальна.
Действительно, из равенств
•щФп(с(х)) = Ф'я(о(х))^а(х) 0 = 1, ...,<?)
с помощью простых вычислений находим, что
τ=-Φη (σ (χ)). — 0(2)+...+—- φη(σ(χ))-jjg- * (*)
Здесь, в силу 1.3.2, производные ^г· Φη (σ (χ)) образуют
фундаментальные последовательности. К тому же и произведения этих
производных на гладкие функции ^- σ (χ) являются
фундаментальными, поскольку умножение на гладкие функции есть
регулярная операция. Таким образом, числитель в формуле (2)
представляет собой фундаментальную последовательность, будучи
суммой фундаментальных последовательностей. Наконец, вся
дробь в правой части является фундаментальной
последовательностью, так как ее можно представить как произведение числителя
на величину, обратную знаменателю.
По индукции, если Фп (у) фундаментальна, то и Φ^(σ (χ))
также фундаментальна для всякого неотрицательного целого
числа к.
Пусть теперь Фп (у) — последовательность гладких функций,
таких, что для некоторого целого числа к ^ О
Ф?> (У) = Фп (У) и Фп (у) U на Г.
Тогда Фп (σ (χ)) Zt на I- Поэтому Фп (σ (χ)) — фундаментальная
последовательность, а следовательно, и Ф<*> (σ (χ)), т. е. <ρη (σ (χ)).
Поскольку интервал / произволен, последовательность φη (σ (χ))Ύ
согласно 1.3.4, фундаментальна на всем множестве О.
Таким образом, мы доказали, что подстановка данной гладкой
функции а (х), удовлетворяющей условию (1), представляет собой
регулярную операцию. Следуя общему методу, определим
подстановку σ (χ) в произвольную обобщенную функцию / (у) =
^ [фп (у)] на О' формулой
/ (σ (*)) = [<Ρη (σ (χ))].
Обобщенная функция / (у) одномерна, т. е. определена на
одномерном множестве, в то время как обобщенная функция

80
Ч. II. Теория обобщенных функций нескольких переменных
f (g(x)) g-мерна, т. е. определена на открытом подмножестве
g-мерного евклидова пространства.
В § 4.2 мы рассмотрим более общий случай, когда внешняя
обобщенная функция / (у) р-мерна, 1 ^ ρ ^ q.
2.7. Произведение обобщенных функций
с разделенными переменными
Произведение двух гладких функций φ (ξ1τ . . ., ξ9) игр (η1? . . .
. . ., η,.) можно записать в виде φ (χ) ψ (ζ/), где χ = (ξ1? . . ., ξ9),
У = (πи - - ·» ЧгХ· Если φ (ж) определена на открытом
подмножестве О' некоторого g-мерного пространства и ψ (у) определена
на открытом подмножестве О" некоторого r-мерного пространства,
то произведение φ (χ) ψ (у) определено на открытом множестве О,
состоящем из всех точек (ξ1? . . ., |g, η1? . . ., ηΓ), таких, что
<ξ1? . . ., ξ9) лежит в О' и (χ\ν . . ., ηΓ) лежит в О".
Ясно, что умножение φ (χ) ψ (у) представляет собой
регулярную операцию над двумя функциями φ (χ) и ψ (ζ/).
Следовательно, его можно распространить на произвольные обобщенные
функции / (х) = [<рп (ж)], g (ζ/) = [ψη (*/)Ь положив
/ (*) £ (») = [фп («) ψη (»)]·
Поскольку обобщенные функции / (х) и g (у) определены на О'
и О" соответственно, то их произведение определено на О.
Обобщенная функция / (р) g-мерна, обобщенная функция g (у) г-мерна,
а их произведение / (х) g (x) (q + г)-мерно.
2.8. Свертка с гладкой функцией,
обращающейся в нуль вне некоторого интервала
Покажем сначала, что существуют гладкие функции,
обращающиеся в нуль вне данного интервала /, но не равные нулю
тождественно.
Функция
ГО приКО,
"^-\е-1/5при£>0
является гладкой, положительной при ξ>0 и обращающейся
в нуль при ξ ^ 0. Произведение
Ω (ξ _ α) Ω (β - ξ)
также является гладкой функцией, положительной при а < ξ < β
неравной нулю в остальных точках.
Для произвольного интервала /
а < χ < Ь, а = (а1? . . ., aq), Ъ = (β1? . . ., βς),

2т Операции над обобщенными функциями
81
определим функцию Ωχ (χ) следующей формулой:
Ωι(*)=ΠΩ(ξ,-α>)Ω(β,-ξ,).
i—ι
Эта функция обладает требуемыми свойствами: она гладкая,
положительна на J и равна нулю в остальных точках.
Пусть / (х) непрерывна или локально интегрируема на
открытом множестве О, а ω (χ) непрерывна всюду и обращается в нуль
вне интервала а < χ < b. Тогда сверткой функции / (х) с ω (χ)
называют функцию
ь
f (χ) * ω (χ) = f / (ζ—t) ω (t) at, (1)
a
определенную на открытом множестве О' всех таких точек х,
что интервал
χ — Ъ <Zt <С χ — а
лежит внутри О. Свертку (1) можно записать в виде
+ 00 +00
\ f{x—t)<s>{t)dt или f /(ί)ω(ζ — t)dt,
— oo —oo
если принять соглашение, что произведение определено и равно
нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю,
независимо от того, определен второй сомножитель или нет.
Свертка непрерывной или локально интегрируемой функции
/ (х) с гладкой функцией ω (χ) (обращающейся в нуль вне α< χ < Ъ)
является гладкой функцией и
(/ (х) * ω (х)Ут> =/(*)· g>(W> (χ) (2)
для любого порядка т.
Если и функция / (х) гладкая, то также
(/ {х) * ω (*))<w> = /<w> {χ) * ω (χ) (3)
для любого порядка т.
Если /n (x) z£. f (х) на интервале α0 + α < χ <. b0 + Ь, то
/п (ж) * ω (χ) ·+ f (x) * ω (χ) (4)
на интервале а0<х <1 Ь0. Отсюда следует такое предложение:
2.8.1. Если последовательность φη (χ) фундаментальна на О
и ω (χ) — гладкая функция, обращающаяся в нуль вне некоторого
интервала, то φη (χ) * ω (χ) сходится почти равномерно на О'.
Действительно, пусть /': а0 <х < 60 — интервал, лежащий
внутри О'; тогда интервал I: а0 — Ъ < χ < 60 — а лежит внут-

82
Ч. II. Теория обобщенных функций нескольких переменных
ри О. Поскольку последовательность <рп (х) фундаментальна
на О, то
<рп (х) = Ф<*> (х) и Фп (х) zt на /.
Отсюда, в силу (3), (2) и (4),
Фп (я) * ω (χ) = (Фп (χ) * ω (x)Yh) = Φη (χ) * co(ft) (χ) ζ£ на /'.
Из 2.8.1 и 1.3.1 следует, что свертка с гладкой функцией,
обращающейся в нуль вне некоторого интервала, представляет собой
регулярную операцию.
Следуя общему методу, определим свертку обобщенной
функции / (χ) = [φη (χ)] с гладкой функцией ω (χ), обращающейся
в нуль вне интервала J, формулой
/ (х) * ω (χ) = [φη (χ) * ω (χ)].
Иногда вместо / (χ) * ω (χ) мы будем писать ω (χ) * / (χ).
2.9. Некоторые вычисления
При вычислениях оказываются полезными различные
тождества, как, например,
(φ (χ) — ψ (χ)) + ψ (χ) = φ (χ),
λ (φ (#) + ψ (#)) = λφ (#) + λψ (#),
(ω (*) φ (χ)Ρ} - ω(^ (*) φ (χ) + ω (*) φ(^} (*), (1)
(φ'(α(#} = φ'(αΜ)σ(ν(ή,
(ω (χ) * φ (я))<т> = ω(7η> (*) * φ (χ) = ω (χ) * cp<m> (χ).
Все эти и многие другие формулы можно распространить на
обобщенные функции. Нет необходимости доказывать справедливость
этого распространения в каждом конкретном случае. Дадим
простое правило, которое позволит описать широкий класс формул,
справедливых как для гладких функций, так и для обобщенных
функций. Это правило основано на понятии суперпозиции
операций. Например, выражение λ (/ (χ) + g (x)) есть суперпозиция
сложения и умножения (на число λ).
В общем случае под суперпозицией операций понимают
выражение вида
А (Б (φ (χ), ψ (χ), . . .), С (χ (χ), θ (χ), ...),.. .),
где А, В, С, . . . — данные операции. Каждый из пяти примеров,
приведенных в начале этого параграфа, есть равенство между
суперпозициями операций при условии, что допустима
тождественная операция 3 (φ (χ)) = φ (х). Очевидно, что тождественная
операция регулярна. В примерах (1) участвуют суперпозиций

2. Операции над обобщенными функциями 83
только регулярных операций. Непосредственно из определения
регулярной операции следует, что суперпозиции регулярных
операций снова являются регулярными операциями.
Смысл формул (1) заключается в том, что левая и правая части
каждого равенства определяют одинаковые операции. Все эти
операции регулярны, так что их расширения на обобщенные
функции единственны. Отсюда следует, что все формулы (1)
останутся справедливыми, если заменить гладкие функции φ (#),
ψ (χ) обобщенными функциями.
Далее, суперпозиции второго порядка, т. е. суперпозиции
суперпозиций регулярных операций, снова являются
регулярными операциями; то же можно сказать и о суперпозиции
произвольного конечного порядка, т. е. любой конечной суперпозиции
регулярных операций. Таким образом, мы получили следующее общее
правило:
2.9.1. Если равенство, обе части которого являются конечными
суперпозициями регулярных операций, справедливо для гладких
функций, то оно остается справедливым и для обобщенных
функций.
Это правило представляет скорее практический, а не
теоретический интерес, поскольку оно позволяет производить выкладки
с обобщенными функциями так же, как с гладкими функциями,,
при условии, что все операции, участвующие в этих выкладках^
регулярны.

3.
Локальные свойства
3.1. Дельта-последовательности и дельта-функция
Пусть Ωχ (χ) ρ- функция, определенная в § 2.8. Тогда
функция
ωι (χ) = γ^Ω/ (я),
где
+ 00
γ= J Ω7(χ)ώζ,
— оо
гладкая, положительная на J и обращается в нуль вне J. Кроме
ΟΌΓΟ,
+ 00
I cdj (x) dx = 1.
— оо
Пусть ап — положительные числа, причем ап ->0.
Существуют гладкие функции δη (χ), неотрицательные при | χ | < ап
и равные нулю в остальных точках, такие, что
+ 00
\ δη (χ) dx = 1.
— оо
Существование таких последовательностей обеспечивается
предыдущим примером. Любую последовательность 6П (х)>
обладающую указанными выше свойствами, мы будем называть
^последовательностью .
Каждая δ-последовательность фундаментальна. Действительно,
последовательность
X
— 00
где к = (2, . . ., 2), сходится равномерно всюду и Δ<*> (χ) =
- δη (*).
Все δ-последовательности эквивалентны, так как
чередующаяся последовательность, полученная из двух ^-последовательностей,
снова является δ-последовательностью.

3. Локальные свойства
85
Таким образом, δ-последовательность определяет обобщенную
функцию
δ (х) = [δη (*)],
так называемую q-мерную δ-функцию Дирака. Под размерностью
δ (χ) понимают размерность переменной χ = (ξ1? . . ., £g).
Если ω (χ) — гладкая функция, то ω (χ) δη (χ) —
фундаментальная последовательность, эквивалентная ω (0) δη (χ).
Действительно, пусть задано ε >0; тогда существует номер /г0» такой»
что при η >щ
| ω (х) — ω (0) | < ε при — ап <lj<an (j = 1, . . ., q).
Значит,
Χ 00
Ι Ι (ω(*)-ω(0))δη(ί)^|<ε j 6n(t)dt = e,
— 00 —00
откуда следует, что интеграл равномерно сходится к нулю.
Следовательно,
ω (χ) δΛ (х) - ω (0) δη (χ) ~ Ο,
и потому
ω (χ) δη (χ) ~ ω (0) δη (χ).
Поскольку левая и правая части этого соотношения являются
фундаментальными последовательностями, определяющими
произведения ω (χ) δ (χ) и ω (0) δ (χ) соответственно, мы получаем
формулу
ω (χ) δ (χ) = ω (0) δ (χ).
3.1.1. Если δη (χ) есть ^-последовательность и f — непрерывная
функция на О, то последовательность гладких функций
f (χ) * δη (χ)
сходится κ f (x) почти равномерно на О.
Действительно, пусть I — произвольный интервал, лежащий
внутри О. Для каждого числа ε > 0 существует номер п0, такой,
что при η >nQ
I / (χ - t) - f (x) |< ε
Для χ £ Ι и — ап < xj < ап (/ = 1, . . ., q), где t = (τν . . ., τ„).
Отсюда
+οο
|/(*)*«η(*)-/(*)Κ J Ι/(*-*)-/(*)|βη(*)Λ<*
— οο
при η^?η0 ж χ £ Ι.

86
Ч. II. Теория обобщенных функций нескольких переменных
Это означает, что / (х) * 6П (х) сходится к / (х) почти
равномерно на О.
Полезно следующее обобщение леммы 3.1.1.
3.1.2. Пусть Ьп (х) есть δ-последовательностъ и fn (x) —
последовательность непрерывных функций, сходящихся к f (x) почти
равномерно на О; тогда последовательность гладких функций
fn (х) * δΛ (χ) сходится к f (x) почти равномерно на О.
Для доказательства заметим, что
U (х) * δη (ϊ) =f(x)* δη (χ) + (fn (χ) - / (χ)) * 6η (χ),
где первый член в правой части сходится почти равномерно к / (х)
в силу 3.1.1. Достаточно доказать, что последовательность
Фп (Я) = (fn (х) — f (Χ)) * βη (Χ)
сходится почти равномерно к нулю. Действительно, пусть заданы
произвольный интервал J, лежащий внутри О, и произвольное
число ε >0; тогда для достаточно больших номеров η
I Фп 0*0 I < ε * δη (χ) = ε на J.
Мы завершим этот параграф простым замечанием о
произведении δ-функций. Произведение
δη (Ιι) · · · б„ (ξβ)
одномерных δ-последовательностей, очевидно, является д-мерной
δ-последовательностью. Отсюда, согласно определению
произведения обобщенных функций с разделенными переменными, имеем
δ (χ) = δ (ξχ) ... б (%q) при χ = fo , ξ,).
3.2. Обобщенные функции на подмножествах
Каждую обобщенную функцию, заданную на открытом
множестве О, можно, если это необходимо, рассматривать как
обобщенную функцию на любом открытом подмножестве О', поскольку
функции из любой фундаментальной последовательности,
представляющей / (#), можно рассматривать как функции на этом
подмножестве. Таким образом, каждая обобщенная функция,
определенная на О, определена также и на любом открытом
подмножестве О'.
Запись
f(z)=g (χ) на О'
означает, что открытое множество 0' содержится в пересечении
открытых множеств, на которых определены обобщенные функции
/ (х) и g (χ), и что / (х) и g (x), рассматриваемые как обобщенные
функции на 0', совпадают.

β. Локальные свойства
87
При этом более краткая запись
f(x)=g (χ)
означает, что обобщенные функции слева и справа совпадают на
пересечении открытых множеств, на которых они определены, и что
это пересечение не пусто.
3.2.1. Если f (χ) = g (x) на каждом интервале, лежащем
внутри О, то f (χ) = g (χ) на О.
Действительно, пусть / (χ) = [φη (χ)] и g (x) = [·ψη (χ)]. Из
равенства / (χ) = g (χ) на каждом интервале, лежащем внутри О,
следует, что последовательности φη (χ), ψη (χ) удовлетворяют
условиям (Εχ) и (Е2) на каждом интервале, содержащемся внутри
некоторого интервала, лежащего внутри О, а следовательно,
и просто на любом интервале, содержащемся внутри О. Таким
образом, эти последовательности эквивалентны на О.
3.3. Обобщенные функции как расширение понятия
непрерывных функций
Каждую непрерывную функцию можно рассматривать как
обобщенную, и, таким образом, теория обобщенных функций
включает классический анализ.
Чтобы непрерывные функции можно было рассматривать как
обобщенные, нам понадобятся две леммы.
3.3.1. Если на некотором интервале а < χ < Ъ φη (χ) ~~^ О
и q4fe) l£» m°
Ф?> (*) U О·
Это, очевидно, справедливо при к = 0. Далее будем рассуждать
по индукции. Предположим, что утверждение справедливо для
некоторого порядка к и что
<Ρη} (χ) :£ °> φ?+'J,) (*) :£/(*) при а < χ < ь.
Тогда
Ф?} (* + Ч*Л - Ф?} (*) = J Φ?+β'} (* + fo) <*ζ =t J / (* + W) άζ
о о
на интервале а + Ι η I ^ < # < & — Ι η I fy. По предположению
индукции последний интеграл обращается в нуль. Поскольку
число η произвольно, мы получаем / (х) = 0.
3.3.2. Почти равномерно сходящиеся последовательности глад-
ких функций эквивалентны тогда и только тогда, когда они сходят-
ся> к одной и той же непрерывной функции.

88
7. II, Теория обобщенных функций нескольких переменных
Действительно, если последовательности φη (χ) и ψη (χ)
сходятся почти равномерно к / (я), то они удовлетворяют условиям
(Εχ) и (Е2) с к= 0. Так что φη (χ) ~ ·ψη (χ). Обратно, если φη (χ) ~
~ ψη (x)j то Для любого интервала /, лежащего внутри О,
существуют гладкие функции Фп (х) и Ψη (χ) и порядок к, такие, что
выполнены условия (Ех) и (Е2). При этом
Ф„ (*) - Ψ» (*) IS 0 на /.
В силу 3.3.1,
Фд (*) — ψη («) ^0 на /.
Следовательно, пределы последовательностей <рп (х) и ψΛ (χ)
совпадают.
Теперь мы в состоянии установить соответствие между
непрерывными функциями и некоторыми обобщенными функциями.
Согласно 3.1.1, для каждой непрерывной функции / (х)
существует последовательность гладких функций φη (χ), сходящихся
почти равномерно к / (х). В силу 1.3.1, эта последовательность
фундаментальна. Таким образом, каждой непрерывной функции
/ (х) отвечает обобщенная функция [φη (χ)]. В силу 3.3.2, это
соответствие взаимно однозначно.
В дальнейшем мы всегда будем отождествлять непрерывную
функцию / (х) с обобщенной функцией [<рп (#)].
Например, согласно 3.1.1, можно записать
/ (х) = [/ (χ) * δη (χ)] (Ι)
для каждой непрерывной функции / (х) и любой δ-последователь-
ности 6П (х).
В частности, гладкие функции φ (χ) являются обобщенными
функциями и для них справедливо более простое тождество
φ (ζ) = [φ (x)h
Нулевую обобщенную функцию, т. е. обобщенную функцию,
отождествляемую с функцией, всюду равной нулю, мы будем
обозначать символом 0.
Учитывая приведенное выше отождествление, обобщенную
функцию можно рассматривать как расширение понятия
непрерывной функции. Это оправдывает использование для них
обозначений / (#), g (#), . . ., таких же, как и для обычных функций.
3.3.3. Свертка f (χ) * ω (χ) обобщенной функции f (x) с гладкой
функцией ω (#), обращающейся в нуль вне некоторого интервала^
является гладкой функцией.
Действительно, пусть / (χ) = [φη (χ)]. В силу 2.8.1,
последовательность <рп (х) * ω (χ) сходится почти равномерно к непрерывной
функции g (x). Более того, для каждого порядка т последователь-

3» Локальные свойства
89
ность (φη (χ) * ω (х)Ущ также сходится почти равномерно, в силу
утверждения 2.8.1 и формулы (2) § 2.8. Согласно классической
теореме, g (x) имеет непрерывные первые частные производные,
а именно предел последовательности (φη (χ) * ω (х))^** есть /-я
частная производная функции g (x). В силу тех же соображений,
, у функции g (χ) существуют все вторые производные, все третьи
производные и т. д. Следовательно, g (χ) — гладкая функция.
С другой стороны,
/ (х) * ω (χ) = [φη (χ) * ω (χ)] = g (χ)
согласно определению свертки и отождествлению непрерывных
функций с обобщенными функциями.
Теперь мы имеем тождество
φ (χ) = φ (χ) * δ (χ) (2)
для каждой гладкой функции φ (χ). Действительно, заменяя
в равенстве (1) / (х) на φ (χ), получаем
φ (χ) = [φ (х) * Ьп (χ)] = φ (χ) * [δη (χ)] = φ (χ) * δ (χ).
Мы также можем доказать следующее обобщение равенства (1):
3.3.4. Если δη (χ) есть δ-последователъностъ и f (χ) —
произвольная обобщенная функция, то
f (х) = [/ (х) * δη (*)]. (3)
Действительно, для каждого интервала /, лежащего внутри
множества О, на котором определена функция /(#)» существуют
порядок к и непрерывная функция F (х), такие, что 1)£JF(ft) (χ) =
= / (χ) на /. В силу (1),
F (х) = IF (χ) * δη (χ)] на /.
Дифференцируя это равенство к раз, получаем формулу (3)
на интервале /. В силу 3.2.1, формула (3) справедлива на всем О.
Поскольку 0 = φ (χ) * 0 для любой гладкой функции φ (χ),
из равенства (2) следует, что δ (χ) — ненулевая обобщенная
функция, рассматриваемая на всем пространстве. Заметим, однако,
что
δ (χ) = 0 при χ Φ О
(т. е. на открытом множестве, состоящем из всех χ φ 0), поскольку
каждая δ-последовательность δη (χ) сходится почти равномерно
к нулю при всех χ φ0.
[) См. ниже (предложение 3.4.4). — Прим. пер ев.

90
Ч. II. Теория обобщенных функций нескольких переменных
3.4. Операции над непрерывными функциями
В § 2.1—2.8 мы определили несколько операций над
обобщенными функциями, а следовательно, и над непрерывными
функциями. Однако, эти операции над непрерывными функциями можно
определить также и непосредственно. Возникает вопрос о
непротиворечивости этих двух определений.
До тех пор пока не будет доказана непротиворечивость
обычных и обобщенных операций, мы будем в этом параграфе
использовать для них различные символы. Если А обозначает обычную
операцию, то соответствующую обобщенную операцию мы будем
обозначать через А. В этих двойных обозначениях не было
необходимости до отождествления непрерывных функций с
обобщенными функциями, >п<>скольку обычные операции применялись к
непрерывным функциям, а обобщенные — к обобщенным функциям
и никакие недоразумения возникнуть не могли.
3.4.1. Если Α (φ, ψ, . . .) — регулярная операция, то
Α (φ, φ, . . .) = Α (φ, ψ, . . .) (1)
для гладких функций φ, ψ, ....
Действительно, в силу произведенного отождествления, можно
писать φ = [φ], ψ = [ψ], . . . и Α (φ, ψ, . . .) = [Α (φ, ψ, . . .)].
С другой стороны, по определению обобщенных операций мы имеем
Α (φ, ψ, . . .) = [Α (φ, ψ, . . .)]. Это и доказывает равенство (1).
Пусть дана регулярная операция А. Будем говорить, что
непрерывные функции /, g, . . . удовлетворяют условию непрерывности
по отношению к А, если А (/, g, . . .) определена для этих функций
непосредственно, и, кроме того, существуют последовательности
гладких функций φη, ψη, . . ., почти равномерно сходящиеся
к /, g, ... соответственно и такие, что Α (<ρη, ·ψη, . . .) сходится
почти равномерно к А (/, g, . . .).
3.4.2. Если непрерывные функции /, g, ... удовлетворяют
условию непрерывности по отношению к регулярной операции А, то
A(f, g, ...)=A(f, g, . . .)· (2)
Действительно, согласно произведенному отождествлению,
имеем А (/,£,...) =* [Α (φη, ·ψ„, -^·)]· с ДРУг°й стороны, по
определению обобщенных операций А (/, g, . . .) = [Α (φη, ψη, . . .)].
Это доказывает равенство (2).
Условию непрерывности удовлетворяют все непрерывные
функции по отношению ко всем введенным до сих пор операциям, кроме
операции дифференцирования. Следовательно, эти операции
совпадают с обычными операциями над непрерывными функциями.

β. Локальные свойства
91
Более того, все выкладки над непрерывными функциями, за
исключением дифференцирования, можно производить обычным образом.
Легко проверить, что каждая функция / (х), непрерывная
вместе со своей обычной (частной) производной fefi (χ),
удовлетворяет условию непрерывности относительно дифференцирования.
Для таких функций обычная производная fe$ (x), таким образом,
совпадает с обобщенной. Можно использовать любое из
обозначений /(^} (х) и т|- / (х). По индукции получаем такое обобщение:
3.4.3. Если f (x) — непрерывная функция, причем ее обычная
частная производная
it---Wf{x) (3)
непрерывна, и если все промежуточные производные, получающиеся
при дифференцировании в указанном порядке, также непрерывны,
то производная (3) совпадает с обобщенной производной того же
порядка.
Из 2.4.2 следует, что каждая непрерывная функция имеет
обобщенные производные всех порядков. Если какая-либо из этих
производных непрерывна и все производные низших порядков
также непрерывны, то она совпадает с обычной производной.
Однако может случиться, что некоторая обобщенная производная
непрерывной функции / (х) является непрерывной функцией,
а соответствующая обычная производная не существует, как бы
д
мы ни упорядочивали символы г=- .
Например, пусть непрерывная функция g (ξ) одной
вещественной переменной не дифференцируема (в обычном смысле); тогда
для функции
f(x)=g (Ь) + g (ξ2)
обычные производные -» др ΐ {χ)·> ЖЖ f (x) не существуют.
Соответствующие обобщенные производные совпадают, поскольку
обобщенные производные не зависят от порядка символов -^ ·
Для нахождения рассматриваемой обобщенной производной
заметим сначала, что
в обычном, а значит, и в обобщенном смысле. Аналогично,

92
Ч. II. Теория обобщенных функций нескольких переменных
в обобщенном смысле. Поскольку порядок дифференцирования
не существен, то мы имеем также
в обобщенном смысле. Отсюда следует, что обобщенная произ-
водная д£ д% f (х) = О· Интересно отметить, что ни ^ / (я),
ни гг- / (я) не являются функциями. Этот пример показывает, что
°Ъ2
существуют обобщенные функции, не являющиеся функциями,
хотя их некоторые производные — непрерывные функции,
3.4.4. Каждая обобщенная функция, определенная на О, есть
производная конечного порядка непрерывной функции на любом
интервале /, лежащем внутри О.
Действительно, пусть / (х) = [ψη (χ)]. В силу (Fj) и (F2),
существуют порядок &, гладкие функции Фп (х) и непрерывная
функция F (х), такие, что на /
Ф£> (х) = <Рп (х) и Фп (х) Zt F (х).
Отсюда F (х) = [Фп (х)] на J и
/ (х) = [Ф<*> (х)] = [Фп (*)]<*> = F& (χ) на /.
3.5. Локально интегрируемые функции
Как было показано в § 3.4, совокупность обобщенных функций
содержит, в частности, и непрерывные функции. Покажем теперь,
что она охватывает также значительно более широкий класс
функций, а именно все локально интегрируемые функции. Читатель,
не знакомый с теорией интеграла Лебега, может пропустить § 3.5
и 3.6, касающиеся этих функций.
Напомним, что функция / (х), определенная на Ос В9,
называется локально интегрируемой на О тогда и только тогда, когда
ъ
интеграл \ / (t) dt существует для любого интервала а < χ < Ъу
а
лежащего внутри О.
Прежде всего отметим, что если / (х) — непрерывная функция
на интервале /, то на /
X
(j/(*)&)' = /(*) («о ζ/), (1)
где символ ' обозначает производную порядка (1, . . ., 1). Если
предполагать не непрерывность функции / (#), а только ее локаль-

3, Локальные свойства
93
X
ную интегрируемость, то \ / (t) dt все еще будет непрерывной
функцией. В этом случае равенство (1) будет справедливым почти
всюду» причем производная слева определяется обычным образом
как предел при а ->0, а >0, выражения
α+Δα
1 1
где Ах = (α, . . ., а) и ^- = — . Левую часть равенства (1) можно
также рассматривать как обобщенную функцию, а именно как
обобщенную производную порядка (1, . . ., 1) непрерывной функ-
х
ции \ / (t) dt. Легко проверить, что эта обобщенная функция
*о
не зависит от х0, принадлежащего /.
Это замечание приводит к следующему отождествлению: будем
говорить, что обобщенная функция равна функции / (х), локально
интегрируемой на О, тогда и только тогда, когда на каждом
интервале /, лежащем внутри О, рассматриваемая обобщенная
функция равна обобщенной производной
χ
«о
Из 3.2.1 следует, что эта обобщенная функция, если она
существует, однозначно определяется локально интегрируемой
функцией / (х). Покажем, что она всегда существует; для этого достаточно
доказать, что обобщенная функция
[/ (х) · бп (х)} (3)
обладает требуемым свойством, если δη (χ) является 6-последова-
тельностью.
Действительно, пусть I — произвольный интервал, лежащий
внутри О, и пусть
χ
F{x)=\f{t)dt (χ0ζΙ).
В силу 3.1.1, последовательность F (х) * δη (χ) сходится к F (х)
почти равномерно на /. Отсюда, в силу произведенного
отождествления непрерывных функций с обобщенными функциями,
[F (х) * δη (χ)] = F (χ) на /

94 Ч. II. Теория обобщенных функций нескольких переменных
и, следовательно, [F' (х) * 6n (х)] = F' (#), т. е.
[/ (х) * δη (χ)] = F' (χ) на /.
Таким образом, мы доказали, что каждую локально
интегрируемую функцию / (х) можно отождествить с обобщенной
функцией [/ (х) * 6П (х)].
Если / (х) — непрерывная функция, то / (χ) * δη (х) сходится
почти равномерно к / (х) в силу 3.1.1, так что произведенное выше
отождествление интегрируемых функций совпадает в этом случае
с отождествлением, приведенным в § 3.3.
Отождествление локально интегрируемых функций с
обобщенными функциями приводит к следующему определению: локально
интегрируемые функции / (х) и g (x) равны тогда и только тогда,
когда они равны как обобщенные функции, т. е. тогда и только
тогда, когда
ь ь
U(t)dt=^g(t)dt
а а
для любого интервала a <Ct < δ, лежащего внутри О, т. е. тогда
и только тогда, когда / (х) = g (x) почти всюду.
3.6· Операции над локально интегрируемыми функциями
Как и в случае непрерывных функций, возникает вопрос о
совпадении обобщенных и обычных операций над локально
интегрируемыми функциями.
Будем говорить, что последовательность гладких функций
φη (χ) h-сходится к локально интегрируемой функции / (х),
если она сходится к / (х) почти всюду на О и, кроме того, если
для любого интервала /, лежащего в О,
X X
jipn (f)*=fc j/(i)<tt (α€7). (1)
а а
Если φη (χ) L-сходится к / (х), то φη (χ) фундаментальна
и [фп (#)1 = / (#)· Действительно, из (1) следует, что
χ χ
[j «мол]-]/**)*.
а а
Отсюда с помощью дифференцирования порядка 1 получаем, что
[фп (#)! — / (х) на каждом интервале /, лежащем внутри О,
и, следовательно, на всем множестве О.
Для данной регулярной операции А будем говорить, что
локально интегрируемые функции /, g, . . . удовлетворяют условию инте-

2. Локальные свойства
95
грируемости относительно А, если операция А (/, g, . . .)
определена над этими функциями и, кроме того, существуют
последовательности гладких функций φη, ψη, . . ., L-сходящиеся к /, g, . . .
соответственно, такие, что Α (φη, ψη, . . .) L-сходится к А (/, g, . . .).
Как и в § 3.2, будем обозначать через А расширение операции А
на обобщенные функции.
3.6.1. Если локально интегрируемые функции /, g, ...
удовлетворяют условию интегрируемости относительно регулярной
операции А, то
A(f, g, ...)=A (/, g, . . .)· (2)
Действительно, в этом случае для произвольного интервала /,
лежащего внутри О,
X X
J4(<pn, ψ„, ...)*=£ jii(/,& ...)* (β ζ/)·
α α
Отсюда следует, что на /
χ χ
[$4(φη,ψη, ...)*]= J4(/,*, ...)*.
α α
и, согласно произведенному отождествлению,
[Α (φη, ψΛ, ...)]= Л (/, jf, . . .) на /.
С другой стороны, по определению операций над обобщенными
функциями
[Α (φη, ψΛ, ...)]== А (/, g, . . .).
Следовательно, равенство (2) справедливо на /. Поскольку
интервал / произволен, отсюда следует справедливость равенства (2)
на всем множестве О.
Условие интегрируемости справедливо для всех локально
интегрируемых функций относительно всех ранее введенных
операций, за исключением операции дифференцирования. Поскольку
доказательство этого факта личего не дает для теории обобщенных
функций, мы его опускаем. Следовательно, все операции над
локально интегрируемыми функциями, за исключением
дифференцирования, можно проводить обычным образом.
Может случиться, что у локально интегрируемой функции
существуют как обычная, так и обобщенная производные, но они
не совпадают. Например, обычная производная функция Хевисай-
Да одного вещественного переменного
[О при ж<0,
при χ >0

96
Ч. II. Теория обобщенных функций нескольких переменных
есть нулевая обобщенная функция, однако обобщенная
производная от Η (χ) равна одномерной функции Дирака δ (χ), поскольку
χ
если 6Л (х) — произвольная δ-последовательность, то Ι δη (t) dt
— 00
L-сходится к Η (χ) и, следовательно,
χ
δ (χ) = [β» (χ)] = [ j δη (ί) Λ]' = #' (χ).
-00
В теории обобщенных функций роль обычной производной
незначительна. Следовательно, если не оговорено противное,
производные функций всегда понимаются в обобщенном смысле.
Только абсолютно непрерывные функции / (#), т. е. функции
с локально интегрируемой производной /' (х), такой, что на
каждом интервале /, лежащем внутри О,
X
f(x)-f(xo)=]f'{t)dt (*, 6 I). (3)
являются локально интегрируемыми функциями,
удовлетворяющими условию интегрируемости относительно дифференцирования
порядка 1. Таким образом, можно сформулировать следующее
утверждение:
3.6.2. Если f (χ) — абсолютно непрерывная функция, то ее
обобщенная производная f (x) совпадает с ее обычной производной.
Аналогичные условия можно привести и для производных
высших порядков. Детали мы опускаем.
3.7. Последовательности обобщенных функции
Будем говорить, что последовательность обобщенных функций
fn (χ) сходится на О к обобщенной функции / (х), и писать
fn (х) -*■ / (х) на О или lira fn (x) = f (x) на О
П-+ οο
тогда и только тогда, когда обобщенная функция / (х) определена
на О и для каждого интервала /, лежащего внутри О, существуют
порядок к и непрерывные функции F (х) и Fn (x), такие, что на /
/г<ь) (χ) = fn (χ) при п >тг0, (ί)
№ (χ) = f(x) и Fn (χ) It F (χ). ν '
Согласно этому определению, предельная обобщенная функция
/ (х) определена на всем множестве О, но в общем это не верно
для обобщенных функций fn (х) (см. § 1.2).

β. Локальные свойства
97
Полезно отметить, что порядок к в формулах (1), если это
необходимо, можно заменить любым порядком I ^ к.
Действительно, если условия (1) выполнены, то также и
П° И'= fn (x) при η >гс0, № (х) = / (х) и ?п (о?) U F (о?),
где
X X
Fn(x)=\Fn(t)dtl-k, P(x)=^F(t)dtl-h (*0ζ/).
Если предел существует, то он единствен. Для доказательства
необходима следующая лемма:
3.7.1. Если последовательность непрерывных функций fn (χ)
сходится почти равномерно к f (χ) на О и если f™ (χ) = О при
Л = 1, 2, . . ., то f™(x) =0.
В силу 3.1.1, для каждого интервала /, лежащего внутри О,
существуют гладкие функции φΓη (χ), такие, что
φ™ (х) Zt fn (х) и φ^} (χ) = 0 на /.
Пусть гп таковы, что | φ^ (х) — fn (χ) | < ί/η на /. Тогда
<рг η (х) -£ ΐ (х) и> следовательно, / (χ) = [φΓ η (х)] на /.
Дифференцируя т раз, получаем /<т> (χ) = [φ^η (#)] = 0 на /.
Поскольку интервал / произволен, /<т> (х) = 0 на всем множестве О.
Теперь мы в состоянии доказать единственность предела. Пусть
/ — произвольный интервал, лежащий внутри О. Пусть fn (χ) —
обобщенные функции, такие, что fn (х) ->/ (х) и fn (x) -+g (x).
Тогда существуют непрерывные функции Fn (x), Gn (x) и порядки
fc, Z, такие, что
Fn (χ) Zt F (χ), Gn (χ) Zt G (χ) на /
и
П> (*) = fn (x), FM (χ) = f (x),
б?) (х) = fn (x), С») (х) = £Г (х).
Можно считать, что к = Ζ, поскольку в противном случае
каждый из порядков можно увеличить. Так как
(Fn (χ) - Gn (*))<*> = 0 и Fn (ж) - G„ (χ) It F (χ) - G (x),
TO
CF (a?) - G (*))<*> = 0,
а отсюда, в силу 3.7.1, следует, что f (x) = g (x) на /. Поскольку
интервал I произволен, единственность предела доказана.

98
Ч. //. Теория обобщенных функций нескольких переменных
Непосредственно из определения предела следуют такие
утверждения:
3.7.2. Если последовательность непрерывных функций сходится
почти равномерно, то она сходится и в обобщенном смысле и при
этом к тому же пределу.
3.7.3. Если fn (χ) ->/ (χ), то fr (x) -+f (χ) для любой
последовательности положительных целых чисел гп, такой, что гп ->-оо.
3.7.4. Если fn (x) -+f (χ) и gn (x) -+f (χ), то чередующаяся
последовательность
/ι (х), gi («)t U (*). St (*)» · · ·
также сходищся к f (х).
3.7.5. Если fn (x) ~+f (χ), то λ/η (χ) ->-λ/ (χ) для любого числа λ.
Если fn (χ) -*/ (χ) и gn (x) ->g (χ), mo fn (χ) + gn (χ) ->f (χ) +
+ g (x).
3.7.6. Если fn(x)-+f(x), rno /<[»> (χ) ~^/<m> (χ) для любого
порядка т.
Эта простая теорема чрезвычайно удобна при выкладках с
обобщенными функциями в отличие от классического
дифференциального исчисления, в котором налагаются некоторые
дополнительные условия.
3.7.7. Если Jn (x) ->/ (x) на каждом интервале, лежащем
внутри О, то fn (χ) ->/ (χ) на всем множестве О.
Для любого интервала /, лежащего внутри О, существует
интервал /', содержащийся внутри О, такой, что / лежит внутри
/'. Поскольку fn (х) ->-/ (х) на /', существуют порядок к и
непрерывные функции Fn (χ), F (χ), такие, что условия (1) выполнены;
это показывает, что /л (х) ->/ (х) на О.
Будем говорить, что последовательность обобщенных функций
fn (x) сходится на Q тогда и только тогда, когда для каждого
интервала /, лежащего внутри О, существуют порядок к и
непрерывные функции Fn (x), такие, что
W(x)=fn(x) и Fn(x)Zt на /.
3.7.8. Если последовательность обобщенных функций сходится
на О, то она сходится к некоторой обобщенной функции на О»
Предположим, что fn (х) сходится на О. Пусть δη (χ) —
произвольная δ-последовательность. Докажем, что последовательность
φΛ (χ) = fn (χ) * δ„ (χ)
фундаментальна на О и что /л (х) сходится к [φη (χ)].

gt Локальные свойства
99
Действительно, пусть / — произвольный интервал, лежащий
внутри О, и пусть /' — интервал, лежащий внутри О, такой, что
J лежит внутри /'. Существуют порядок к и непрерывные функции
Fn (χ)> F (я)' такие, что
FW (х) = h (x) и Fn (χ) ^ F (х) на /'.
Согласно 3.1.2, имеем
Fn (χ) * δ„ (χ) -χ F (x) на /. (2)
Поскольку
(Fn (χ) * δ„ (*))»> = φη (χ),
последовательность φη (χ) фундаментальна на О. Следовательно,
она определяет некоторую обобщенную функцию / (х) на О.
В силу (2), можно записать
Fn(x)*8n(x) -*F (х) и [Fn (χ) * δΛ (χ)] = F (χ) на /.
Отсюда, дифференцируя к раз, получаем
(pn(x)^F^(x) и [φη (χ)] = F» (χ) на /.
Следовательно,
Φη (х) -*/ (х) на /.
Так как Fn (χ) — Fn (χ) * δη (χ) ΖΖ 0 на Ι, то, дифференцируя к раз,
мы получаем
/η (х) — Φη (ж) -> 0 на /.
Таким образом, fn (χ) ->-/ (χ) на /. Поскольку интервал /
произволен, согласно 3.7.7, отсюда следует, что fn (х) -> / (х) на О.
3.8. Сходимость и регулярные операции
Для обобщенных функций переход к пределу коммутирует
со всеми введенными до сих пор регулярными операциями. Иначе
говоря, справедливы следующие равенства:
lira λ/η (χ) =■ λ lim fn (x),
lim (/„ (χ) + g„ (χ)) = lim fn (x) + lim gn (χ),
71-+-0O П-+-00 П-*-00
lim (/„ (χ) — gn (χ)) = lim /„ (χ) — lim gn (x),
Π-*όο η-+ύο η-»·οο
Пт/Г(г) = (Ит/„(*))<т>,
lim ω (χ) fn (χ) = ω (a;) .lira fn (x),
71-»· 00 71-»· οο
lim fn (χ) gn (у) = lim fn (χ) · lim gn (y),
П-+-00 П-+-00 П-+00
lim (/n (x) * ω (ж)) = lim /Л (#) * ω (χ).
П->оо π-»·οο

100
Ч. II. Теория обобщенных функций нескольких переменных
В случае суперпозиции символ lim fn (σ (χ)) можно интерпре-
71-*· ОО
тировать двумя способами: как предел последовательности
fn (σ (#)) и как подстановку функции у = σ (χ) в обобщенную
функцию lim fn (у). В действительности переход к пределу ком-
П-*оо
мутирует с подстановкой, так что обе интерпретации приводят
к одному и тому же результату. То же самое справедливо и для
сдвига.
Проверка коммутативности тривиальна для умножения на
число, сложение, вычитания, сдвига, дифференцирования,
умножения обобщенных функций с разделенными переменными и
свертки с гладкой функцией, обращающейся в нуль вне интервала.
Коммутативность перехода к пределу с умножением на гладкую
функцию и подстановкой вытекает из двух следующих более
сильных теорем.
3.8.1. Если ω^ (χ) сходится к coim) {x) почти равномерно для
каждого порядка т и fn (χ) -+ f (χ), то ωη (χ) fn (χ) ->· ω (χ) f (χ).
Для каждого интервала /, лежащего внутри О, существуют
непрерывные функции Fn (χ), F (χ) и порядок к, такие, что
Fn (x) Zt F (*)» FW (x) = fn (x) и F<*> (x) = f{x). Таким образом,
ωη (χ) Fn (χ) Zt ω (χ) F (х) на /.
Поскольку каждая равномерно сходящаяся последовательность
сходится и в обобщенном смысле, мы имеем также
ω„ (*)*■„(*) -+®(x)F(x). (1)
Аналогично
ωϋ'ί» (х) Fn (χ) - ω^ (χ) F (χ). (2)
Дифференцируя (1), получаем
ω^> (χ) Fn (χ) + ωη (χ) Ρ$ϊ (χ) -* ω^ (x) F (χ) + ω (χ) F^ (χ).
Отсюда, в силу (2),
<on(x)Fp)(x)-^^(x)FieJ)(x).
По индукции получим
т. е.
ωη (х) fn (я) -> ω (χ) f (χ) на /. (3)
Поскольку интервал / произволен, отсюда следует
справедливость утверждения (3) на всем множестве О.

3. Локальные свойства
101
Другое доказательство теоремы 3.8.1 следует из формулы
ω(χ)φ*>(χ)= 2 (-1)Ж(£)ф,тЧ*)ф(*))(*-т),
» (l)-(S)-ft) - ΜΓ-ί-ΐ)"*·-*»!»*-
= (κ1? . . ., κα), /η = (μ1? . . ., μς). Для гладких функций ω (χ)
и φ (χ) эта формула проверяется стандартными выкладками. Если
со (#) фиксировано, то в обеих частях формулы стоят суперпозиции
регулярных операций, так что формула остается справедливой
при замене φ (χ) на произвольную обобщенную или непрерывную
функцию. В частности,
ω» (χ) F™ И = 2 (- !)W ( i ) (ω(?η) (*>f* ί*))'*""".
откуда вытекает, что (3) справедливо на каждом интервале /,
лежащем внутри О и, следовательно, на всем 0.
3.8.2. Если а^т) (χ) сходится к σ(7η) (χ) почти равномерно для
каждого порядка т, причем ση (χ) и σ (χ) обладают свойством
(1) § 2.6, и f„(y)-+f(y), то
/» (σ„ (*))-*/(σ(*)).
Доказательство теоремы 3.8.2 опирается на формулу (2) § 2.6.
В этой формуле содержатся только регулярные операции, и,
следовательно, она останется справедливой и после замены Фп (у)
произвольной обобщенной функцией / (ζ/). Таким образом,
^f(o(x))~o(x) + ^.+^f(a(x))~a(x)
Г (а (хХ\ — -ϋί ?И d.h д*<* (а)
Предположим, что σ (χ) определена на открытом множестве О
и что значения σ (χ) принадлежат открытому множеству О'
вещественных чисел ζ/. Обобщенная функция / (у) должна быть
определена на О'. Пусть / — произвольный интервал, лежащий
внутри О. Функция σ (χ) отображает / на интервал /', лежащий
внутри О'. Последовательность σ^ (χ) сходится к σ(7η) (χ)
равномерно на /. Существует интервал /", лежащий внутри 0', такой,
что /' лежит внутри Г и значения ση (χ) принадлежат Г для
достаточно больших п. Для этого интервала /" найдутся функции
^п (у), F (у) и неотрицательное целое число~&, такие, что Fn (у) Z£
^F(y) на Г, F™ (у) = fn (у), F^(y)=f(y). Очевидно, что
Fn (On (x)) It F (σ (χ)) на /.

102
Ч. II. Теория обобщенных функций нескольких переменных
Поскольку равномерно сходящиеся последовательности
сходятся и в обобщенном смысле, мы имеем
Fn(an(x))+F(a(x)) на /. (5)
Применяя формулу (4) к обобщенным функциям F'n (σ„ (χ))
и F' (σ (χ)), из (5) и 3.8.1 выводим, что
П (ση (s))-* F'(a(s)) на /.
По индукции мы получаем, что
Fp(on(x))^F(V(G(x)) на /,
т. е. fn (ση (χ)) ->/(σ (χ)) на J. Так как I произволен, отсюда
следует 3.8.2.
В § 12.1 ч. III будет доказано, что переход к пределу
коммутирует с любой регулярной операцией.
3.9. Последовательности гладких функций,
сходящиеся в обобщенном смысле
Докажем сначала
3.9.1. Последовательность постоянных функций сходится в
обобщенном смысле тогда и только тогда, когда она сходится в
обычном смысле.
Действительно, если постоянные функции сходятся в обычном
смысле, то они сходятся равномерно, а следовательно, в силу 3.7.2,
и в обобщенном смысле.
Обратно, пусть последовательность постоянных функций сп
сходится в обобщенном смысле. Тогда эта последовательность
ограничена, так как в противном случае нашлась бы
подпоследовательность сг , такая, что 1/сг сходилась бы в обычном смысле
к нулю и мы имели бы 1 = сг ->■ 0. Предположим, что сп
сгп η
не сходится в обычном смысле. Тогда существуют две
подпоследовательности, сходящиеся к различным пределам. Эти
подпоследовательности сходятся к различным пределам и в
обобщенном смысле, а это противоречит 3.7.3.
3.9.2. Последовательность гладких функций <рп (х)
фундаментальна на О тогда и только тогда, когда для каждого интервала /,
лежащего внутри О, найдутся непрерывные функции Fn (x) и
порядок к, такие, что
FW(x) = <pn(x) и Fn(x)^ на I. (1)
Действительно, если последовательность φη (χ)
фундаментальна, то для каждого интервала I, лежащего внутри О, существуют

β. Локальные свойства
103
гладкие функции Фп (х) и порядок к, такие, что
Фп (х) It и Ф<*> (χ) = φη (χ) на /. (2)
Поскольку гладкие функции непрерывны, достаточность доказана.
Обратно, предположим, что утверждение (1) справедливо для
каждого интервала /, лежащего внутри О. Пусть / —
произвольный фиксированный интервал, лежащий внутри О, и пусть /' —
интервал, лежащий внутри 6>, такой, что / лежит внутри /'.
Существуют функции Fn (x) и порядок к, такие, что (1)
справедливо на /'. Пусть
X X
Фпг (х) = (Fn (χ) - j φη (t) dth) * Ьг (х) + j φ„ (t) dt\
χο χο
где х0 6 / и δη (χ) — произвольная 6-последовательность (см.
§ 3.1). Тогда Ф$> (χ) = φη (χ) на I для достаточно больших г,
скажем для г >рп. Более того, согласно 3.1.1, Фпг (х) ZZ. Fn (x)
на / при г ->-оо. Обозначим через F (х) предел Fn (x). Поскольку
Fn (x) l£ F (χ), существует последовательность положительных
целых чисел гп >рп, таких, что
Фп (х) = Фпгп (х) It F (х) на /.
Ясно, что Ф^> (χ) = φη (χ) на /; следовательно, функции Фп (х)
обладают требуемыми свойствами.
3.9.3. Последовательность гладких функций сходится в
обобщенном смысле к обобщенной функции f (x) тогда и только тогда,
когда она фундаментальна для f (x).
Действительно, если последовательность <рп (х)
фундаментальна для / (#), то для каждого интервала /, лежащего внутри О,
существуют гладкие функции Фп (х), непрерывная функция F (х)
и порядок к, такие, что
Фп (х) It F (χ), Φ<?> (χ) = <рп (х)
и (3)
F(h) (χ) = f (χ) на /.
Первые два условия следуют из определения фундаментальной
последовательности. Третье получается путем дифференцирования
& раз равенства F (х) = [Фп (#)], следующего из первого условия.
Поскольку гладкие функции непрерывны, из (3) следует, что
Φ* (х) -*/(*) на О.
Обратно, пусть φη (χ) -+f (χ) на О; тогда для каждого интерва-
Ла Λ лежащего внутри О, существуют функции Fn (χ), F (χ)
и порядок к, такие, что
Fn(x)ZZF(x), FW(x) = yn(x) и Я*> (х) = f (χ) на /.

104
Ч. II. Теория обобщенных функций нескольких переменных
Согласно 3.9.2, последовательность φη (χ) фундаментальна.
Как только что было показано, каждая фундаментальная
последовательность сходится к обобщенной функции, которую она
представляет. Отсюда следует, что / (χ) = [φη (χ)].
3.10. Локально сходящиеся последовательности
обобщенных функций
Допустим, что известно следующее свойство
последовательности обобщенных функций fn (χ): для каждой точки х0 £ О
существует интервал*, лежащий внутри О и содержащий х0, на котором
fn (χ) сходится. Цель этого параграфа — показать, что в этом
случае fn (x) сходится на О. Мы приведем также некоторые важные
следствия.
Если непрерывные функции φχ (χ) и φ2 (χ) определены на
множествах #! и 02, то их произведение φχ (χ) φ2 (χ) определено на
пересечении этих множеств. Условимся считать, что произведение
также определено и равно нулю во всех точках, где по крайней
мере один из сомножителей φχ (χ) или φ2 (χ) определен и
принимает значение нуль.
В следующих двух леммах символом ω (χ) обозначена гладкая
всюду определенная функция, обращающаяся в нуль вне
некоторого интервала /, лежащего внутри заданного открытого
множества О, а символом /' — интервал, лежащий внутри О и такой,
что / лежит внутри /'.
3.10.1. Лемма. Если φη (χ) — фундаментальная
последовательность на О, то последовательность ω (χ) φη (χ) фундаментальна
всюду.
Действительно, существуют гладкие функции Фп (х) и
порядок к, такие, что Ф^> (х) — <рп (х) и Фп (х) Zt на I- Ясно, что
ω (χ) Фп (χ) ΖΧ. всюду. Отсюда вытекает, что последовательность
ω (χ) Фп (χ) фундаментальна. Из аналогичных соображений
фундаментальна и последовательность ω^\χ) Φη (х).
Следовательно, последовательность
ω (χ) Ф^ (х) = (со (х) Фп (х))1^ - ω(^ (χ) Φη (χ)
фундаментальна всюду. По индукции получаем, что
последовательность ω (χ) Φ^ (χ), т. е. ω (χ) φη (χ), фундаментальна всюду.
Согласно 3.10.1, если / (χ) = [φη (χ)] на О, то обобщенная
функция ω (χ) f (χ) = [ω (χ) φη (χ)] определена всюду.
3.10.2. Лемма. Если последовательность обобщенных функций
fn (χ) сходится на О, то последовательность ω (χ) fn (x) сходится
всюду.

3. Локальные свойства
105
Действительно, существуют непрерывные функции Fn (χ) и
порядок к, такие, что F<f> (χ) = fn (χ) и Fn (x) ^ на /'. Ясно, что
ω (х) Fn (χ) ^t ВСЮДУ· Поэтому ω (χ) Fn (χ) сходится всюду в
обобщенном смысле. Аналогично, ω^ (χ) Fn (x) сходится всюду в
обобщенном смысле. Следовательно, последовательность
ω (χ) F^ (χ) = (ω (χ) Fn (ζ)ft - ω(^ (χ) Fn (χ)
также сходится всюду в обобщенном смысле. По индукции
получаем, что последовательность ω (χ) F£) (χ), τ. е. ω (χ) fn (x)r
сходится всюду.
3.10.3. Если для каждой точки х0 из О существует интервал /0,
содержащий х0 и такой, что последовательность обобщенных
функций fn (x) сходится на 10, то fn (x) сходится на О. Другими
словами, локально сходящиеся последовательности обобщенных
функций сходятся.
Действительно, пусть / — произвольный интервал, лежащий
внутри О. Существует интервал /, лежащий внутри О и такой,
что / лежит внутри /. Разделим / на конечное число
подынтервалов ; (в этом доказательстве / означает интервал, а не число),
таких, что каждый подынтервал j лежит внутри интервала //,
на котором fn (x) сходится.
Пусть gj (χ) — характеристическая функция интервала /, т. е.
функция вида
Аналогично, пусть gj (x) — характеристическая функция
интервала /. Обозначим δ-последовательность (см. § 3.1) через δη (χ).
Тогда существует номер р, такой, что
Ф; (я) = gj (#) * δρ (я) = 0 вне Ij,
Ψ j ix) = gj (x) * 6p (*) = 1 на /.
Ясно, что
gj (*) = Σ gj (*) и φ/ (*) = Σ Φ; (*)·
i j
Поскольку fn (x) сходится на /;·, произведение φ;· (χ) fn (x)r
согласно 3.10.2, сходится всюду. Так как число подынтервалов /
конечно, то последовательность
Ψη (Я) = Σ Φ; (*) fn И = Φ/ (Χ) fn И
3
также всюду сходится. Но ψη (χ) = fn (χ) на I, так что fn (x)
сходится на /. В силу произвольности интервала /, лежащего
внутри О, fn (χ) сходится на О, согласно 3.7.7.

106
Ч. II. Теория обобщенных Функций нескольких переменных
В силу 3.9.3, последовательность гладких функций сходится
в обобщенном смысле тогда и только тогда, когда она
фундаментальна. Отсюда сразу же вытекает такое следствие:
3.10.4. Если каждая точка х0 из О лежит в таком интервале
10, что φη (χ) фундаментальна на 10, то <рп (х) фундаментальна
на О. Другими словами, локально фундаментальная
последовательность фундаментальна.
Теперь мы можем доказать следующую важную теорему:
3.10.5. Пусть, О — объединение открытых множеств Θ. Если
на каждом из множеств Θ определена обобщенная функция fe (x),
причем обобщенные функции, определенные на пересекающихся
множествах, совпадают на пересечении этих множеств, то
существует единственная обобщенная функция f (x), определенная
на всем множестве О, такая, что f (χ) ~ fe (х) на каждом
множестве Θ.
Действительно, пусть δη (χ) есть δ-поеледовательность. Для
каждого фиксированного η гладкие функции fe (х) * δη (χ)
попарно совпадают во всех точках, где они одновременно определены.
Эти функции, следовательно, можно объединить в одну функцию
<Рп (х) (зависящую от п), определенную на объединении открытых
множеств, на которых определены функции fe (х) * δη (χ).
Последовательность φη (χ) фундаментальна на каждом интервале,
лежащем внутри по крайней мере одного из множеств Θ. Поскольку
объединение всех таких интервалов совпадает с О, φη (χ), согласно
3.10.4, фундаментальна на О. При этом обобщенная функция
/ (х) — [<Ря (х)] обладает требуемым свойством, так как на каждом
множестве Θ
/ (х) = Ι/θ (χ) * К {χ)] = fQ (x).
Если g — другая обобщенная функция, такая, что g = fe,
то g (χ) = [φη (χ)]; следовательно, / = g и единственность
доказана.

4.
Развитие теории
4.1. Обобщенные функции, зависящие
от непрерывного параметра
Будем говорить, что непрерывная функция /а (х), зависящая
от непрерывного параметра а, сходится равномерно к / (х) на
множестве I при α ->·α0, и писать
/а (x)^f{z) (а ->-а0) на /
тогда и только тогда, когда функция / (х) определена на / и для
каждого числа ε >0 существует число η >0, такое, что для
любого а, удовлетворяющего неравенству | а — а0 | <η>
функция /а (х) определена на всем множестве / и удовлетворяет на нем
неравенству | /а (х) — f (χ) | < ε.
Будем говорить, что функция /а (х) сходится почти равномерно
к / (х) на открытом множестве О при α ->·α0 тогда и только тогда,
когда fa(x)I^f(x) (α->·α0) на каждом интервале, лежащем
внутри О.
Будем говорить, что обобщенная функция /а (х), зависящая
от непрерывного параметра а, сходится к обобщенной функции
f (χ) на открытом множестве О при α ->·α0 тогда и только тогда,
когда / (х) определена на О и для каждого интервала /, лежащего
внутри О, существуют порядок к и непрерывные функции Fa (x),
F {χ), такие, что для всех а, достаточно близких к а0,
Р{« (х) = /« (*), F(h) (x) =f(x) и Fa (x) Zt F (*) (а -*а0) на /.
В этом случае мы будем писать
/а (*) -*7 (*) (а -*а0) на О
или
/(a;) = lim/a(#) на О.
α-»·αο
Предел / (#), если он существует, единствен. Доказательство
такое же, как и для последовательностей.
В приведенном выше определении не существенно, является а
вещественным или комплексным параметром или даже переменной
точкой некоторого многомерного пространства; важно лишь,
чтобы символ | a — a0 | можно было рассматривать как расстояние
между точками а и а0. Аналогичным образом определяется предел
при а0 = ±оо.

108
Ч. II. Теория обобщенных функций нескольких переменных
Сразу же ясно, что справедливо
4.1.1. Если непрерывная функция fa (χ), зависящая от
параметра, сходится почти равномерно, то она сходится к тому же пределу
и в обобщенном смысле.
Так же как и для последовательностей, можно показать, что
переход к пределу коммутирует со всеми введенными нами
регулярными операциями. Далее, справедливы аналоги теорем § 3.8
и 3.10.
Теперь мы можем дать определение производной обобщенной
функции, аналогичное обычному определению для функций.
Действительно,
4.1.2. Для каждой обобщенной функции f (x)
f(ej)(x) = lim
α-*· 0
fix + aefi-fix)
Пусть / — произвольный интервал, лежащий внутри О,
и пусть /' — интервал, лежащий внутри О и такой, что / лежит
внутри /'. Тогда существуют порядок к и непрерывная функция
F {х) с непрерывной производной F*efi (χ), такие, что F * (х) =
= / {х) на /'. Поскольку на /
-£FKey(x) при α->·0,
то
f{x + aej)-f{x) . F(x+aej)-F(x) wft)
-(
yh)^(FieJ)(x))^ = f(eJ)(x).
Поскольку интервал / был выбран произвольно, отсюда следует,
что сходимость имеет место на всем множестве О.
4.2. Многомерная подстановка
Пусть σ1{χ), . . ., σρ (χ) — гладкие функции, определенные
на открытом подмножестве О g-мерного пространства и такие,
что преобразование
σ (χ) = (σχ {χ), . . ., σρ (χ))
отображает О в открытое подмножество 0' р-мерного
пространства, ρ ^ q, причем в каждой точке χ из О по крайней мере один
из якобианов
0σί
Т ( \ ^(σ1' ····> Gp)
dh
•'71
dGT
0στ
%'"%
(/!<···< /ρ)

4. Развитие теории
109
отличен от нуля, т. е.
/(*) = Σ (Jsv...Jv(*))2>0 на 0.
Покажем, что подстановка φ (σ (χ)), где φ (у) — гладкая
функция, определенная на О', и σ (#) фиксирована, является
регулярной операцией над φ (у). Доказательство аналогично
доказательству соответствующего утверждения из § 2.6.
Заметим сначала, что если для гладких функций Фп (у)
последовательность Φη (σ (χ)) фундаментальна на некотором открытом
множестве, то последовательность Ф^ (σ (χ)) тоже
фундаментальна. Действительно, из равенства
3=1
с помощью обычных выкладок мы получаем
где
ч _ д (аь .... gj-ь Φη (σ), oJ+i, ..., σρ)
'», i, >!·...,ip l*)- «(ξ, ξ, ) '
•Ί Jp
Отсюда
Фпу) (σ (ж)) = -щ- ^ Jii. · · · Лр И"J». λ i|.· · · Jp №>
3\<...<ip
тем самым установлена фундаментальность последовательности
Ф> (о (х)).
По индукции можно показать, что если последовательность
Φ/ι (о (я)) фундаментальна на некотором открытом множестве, то
последовательность Ф<*> (σ (χ)) тоже фундаментальна на этом же
множестве для любого порядка к.
Каждая точка х0 из О содержится в некотором лежащем внутри
О интервале /0, таком, что преобразование σ (χ) отображает 10
в некоторый, интервал Г0, лежащий внутри О'. Пусть теперь
®η (у) — гладкие функции, такие, что для некоторого порядка к
ф?>(у) = ф»(у) и ф„0/)=£ на /;.
Тогда Фп (σ (χ)) Ζϊ на 10. Следовательно, последовательность
Ф^} (σ (χ)), т. е. ψη (σ (χ)), фундаментальна на /0. В силу 3.10.4,
<ρη (σ (χ)) фундаментальна на О.
Заметим, что оба предположения относительно σ (χ) и
приведенное выше Доказательство можно упростить, если q = p. В этом

110
Ч. II. Теория обобщенных функций нескольких пер менпых
случае приходится иметь дело только с якобианом
d{Oj, - .., Од)
*(6ι, -...6β) '
который должен быть отличен от нуля на О.
Мы доказали, что подстановка является регулярной операцией.
Следовательно, ее можно распространить на обобщенные функции
/ (у) = Ефп (y)h определенные на 0\ положив
/ (σ (*)) = [q>n (σ (χ))].
При ρ = 1 этр; определение совпадает с определением из § 2.6.
При p = qiiG(x)=x-\-h оно совпадает с определением сдвига,
приведенном в § 2.4. В случае когда / (у) —- непрерывная или
локально интегрируемая функция, обобщенная подстановка / (σ (χ))
совпадает с обычной подстановкой функций при условии, что
ρ ^q. Если ρ >q, то, в отличие от случая обычных функций,
подстановка / (σ (χ)) не всегда выполнима.
Теорема 3.8.2 остается справедливой и для многомерных
подстановок.
4.3. Обобщенные функции, постоянные
по некоторым переменным
Обобщенная функция / (х), определенная на множестве Оу
называется постоянной по переменным ξρ+ι, . . ., %q или не
зависящей от |р+1, . . ., 3£д (0 ^ ρ < q) тогда и только тогда, когда
ее можно представить в виде [φη (χ)], где гладкие функции φη (χ)
постоянны по переменным ξρ+χ, . . ., \q.
Из определения сразу следует
4.3.1. Если f (χ) постоянна по ξρ+ι» . . ., ξς, то fe? (χ) — 0
при / = ρ + 1, . . ., g.
Обратное утверждение неверно даже для функций в случае
произвольного открытого множества О.
Действительно, пусть О — двумерное множество,
определяемое неравенством ξχ < | ξ2 Ι (рис. 4.1), и пусть
{0 при &<0,
а при о<ь<&,
-ξ? при 0<6i<-b
(рис. 4.2). Функция / (х) непрерывна на О и
/(*2> (χ) = 0 на О.
Более того, очевидно, что / (х) постоянна по |2 на каждом
интервале / из О, однако она не постоянна по ξ2 на всем множестве О.

4. Развитие теории
111
Обратное утверждение верно для функций и обобщенных
функций в случае интервала:
4.3.2. Если fe& (χ) = 0 при ) — ρ + 1, . . ., q на интервале 1У
то f (х) постоянна по ξρ+ι, . . ., %q на I.
Рис. 4.1. Рис. 4.2.
Действительно, для любой δ-последовательности функций
δη (χ), обращающихся в нуль вне | χ | < ап (ап ->-0), мы имеем
(/(χ)*δη(^)=/(^)ω*δη(^)=0
на таких интервалах 1п, что расстояние от точек из 1п до точек»
лежащих вне I, больше чем αη. Гладкие функции <рп (х) = / (х) *
* δη (χ), таким образом, постоянны по |р+1, . . ., |g на /п.
Поскольку/ (ж) = [φη (χ)], обобщенная функция/ (х) постоянна по |р+1, . . ·
. . ., lq на /.
Для произвольного порядка к = (κ1? . . ., xq) положим
Кр = (Х1? . . ., Хр, U, . . ., U) = К — Ир+l^p+l — ... — Kq£q·
Следующая лемма играет основную роль в исследовании
обобщенных функций, постоянных по ξρ+1? . . ., ξα:
4.3.3. Пусть φη (χ) — гладкие функции, постоянные по ξρ+1? . . ·
• · ., |q, u пусть для некоторого интервала 10 существуют порядок
к и гладкие функции Фп (х), такие, что
Ф£> (χ) = φη (χ), фп (χ) zt на I0.
Тогда для каждого интервала I, лежащего внутри 10, существуют
гладкие функции Ψη (χ), постоянные по ζρ+ι? · · ·» ьо» такие, что
Ч*р\х) = φη (х), Ψη (χ) U на Ι.

112
Ч. II. Теория обобщенных функций нескольких переменных
Пусть xq >0; положим
Фп (*) = ^ (Фи (* + η*β) - ®п (х)).
Имеем
ф1ь-V (ж) = Фп (ж) и фп (*)::.
По индукции построим гладкие функции Фп (х), такие, что
Φ*-να>(*)=φη(*) и Фп{х)^.
Функции
Ψη (χ) = Фп (Si, . . ., Sg-i, V) (V — константа)
лостояины по %д,
ψ^-ν^^) = φ„ (χ) и Ψη (χ) It · (1)
Если xq = О, то можно просто положить Ψη (χ) = Фп (lv · · ·
• · ·» iq-i» Υ) и соотношения (1) останутся справедливыми.
Аналогичным образом, если ρ < g — 1, построим гладкие
•функции ΨΛ (χ), постоянные по ξα_1? ξα, такие, что
^-ViVi-W(*) = φ„ (ж) и Ψη (χ) ^ ·
По индукции построим гладкие функции Ψη (χ), постоянные по
ξρ+ι, . . ., lq и такие, что
4£-ViVi-··-κΛ>(*) = φη (а?) и Ψη (а?) ^.
Если на каждом шаге число η достаточно мало, то последние
соотношения будут справедливы на всем интервале /.
4.3.4. Если обобщенная функция f (χ), постоянная по ξρ+ι, . . .
- . ., £g на интервале 1г, является производной некоторого порядка к
от непрерывной функции, то на каждом интервале I, лежащем
внутри интервала Iv обобщенная функция f (x) есть производная
порядка кр от непрерывной функции, постоянной по ξρ+χ, ...» ξα.
Пусть δη (χ) — произвольная δ-последовательность. Если/ (χ) =
= F(fe) (x) на 1г, то гладкие функции
φ„ (χ) =/(*)· δη (χ), Φη (χ) = F (χ) * δη (χ)
удовлетворяют предположениям леммы 4.3.3, где /0 —
произвольный интервал, лежащий внутри Ιλ и такой, что / лежит внутри /0.
Поэтому существуют гладкие функции Ψη (χ), постоянные по
£р+1> · · ·» lq и такие, что
У(У (х) = Фп (х) и Ψη (χ) zt G (x) на I,

^. Развитие теории
113
где непрерывная функция G (х) также не зависит от £р+г, . . ., \q.
Поскольку G (χ) = [Ψη (χ)], то
G<V (χ) = [φη (χ)] = [фп (χ)]Μ = fWfc) = / (χ) на J.
4.3.5. Обобщенная функция f (χ) не зависит от ip+i, . . ., £g
на интервале 10 тогда и только тогда, когда на каждом интервале
/, лежащем внутри I0, f (x) является производной некоторого
порядка от непрерывной функции, ПОСтОЯННОй ПО ξρ+χ» · · ·? feq·
Действительно, если / (х) =* F(k) (χ) на / и F*efl (χ) = 0 при
/ = ρ + 1, . . ., q, то
ffi (χ) = (F*efi (x)f> = 0 на /.
Поскольку / — произвольный интервал, то feJ* (χ) = 0 на всем
интервале 10 при / = ρ + 1, . . ., q. В силу 4.3.2, / (х) не зависит
от ξρ+1, . . ., lq на /0.
Оставшаяся часть теоремы 4.3.5 следует из 3.4.4 и 4.3.4.
Все утверждения этого параграфа остаются справедливыми
при замене ξρ+χ, . . ., ξ9 произвольным множеством переменных
ξν ..., lJr (1<г<?).
4.4. Размерность обобщенных функций
Обобщенные функции, определенные на открытом подмножестве
g-мерного пространства, называются q-мерными обобщенными
функциями или обобщенными функциями от q переменных. Если мы
хотим обратить внимание на число переменных, то вместо / (х)
будем писать / (ξ1? . . ., £g). Мы собираемся теперь изучить связь
между /7-мерными обобщенными функциями и g-мерными
обобщенными фуНКЦИЯМИ, ПОСТОЯННЫМИ ПО ξρ+1? . . ., %q (ρ < #).
Каждая функция φ (ξ1? . . ., ξρ), зависящая от ρ переменных,
однозначно определяет функцию φ (ξ1? . . ., ξ9), зависящую от q
переменных, значение которой в точке (ξ1? . . ., ξρ) при любом
выборе ξρ+1, . . ., 1д равно значению φ(ξχ, . . ., L·) в точке
(in · · ·> ip)· Следовательно, еслир-мерная функция φ (|1?. . ., ip)
определена на открытом множестве О' р-мерного пространства,
то соответствующая g-мерная функция φ (ξ1? . . ., £J определена
на открытом множестве О всех таких точек (ξ1? . . ., ς9) g-мерного
пространства, что (ξ1? . . ., ξρ) принадлежит О'; при этом
Φ (in · · ·, ig) не зависит от ξρ+1, . . ., lq.
Ясно, что если φη (ξ1? . . ., |р) — последовательность р-мер-
ных гладких функций, фундаментальная на О', то
последовательность φη (ξ1? . . ., ξς) соответствующих g-мерных гладких
функций фундаментальна на О. Обратное утверждение сразу же
следует из 4.3.3. Таким образом, справедливо

114
Ч. II. Теория обобщенных функций нескольких переменных
4.4.1. Последовательность р-мерных гладких функций φΛ (ξ1? . . .
• · ·» £р) фундаментальна на О' тогда и только тогда, когда
последовательность соответствующих q-мерных функций φη (|χ, . . ., £g)
фундаментальна на О.
Отсюда, согласно определению эквивалентных
последовательностей, получаем такое утверждение:
4.4.2. Две последовательности р-мерных функций ψη (ξ1? . . ., ξρ)
и Ψη (ii» · · ·» δρ) эквивалентны на О' тогда и только тогда, когда
соответствующие последовательности q-мерных функций φη (ξ1? ...
. . ., Iq) и ярп (|l7 . . ., ζς) эквивалентны на О.
В силу 4.4.1 и 4.4.2, каждая р-мерная обобщенная функция
fdv ···. δρ) = [φη(ξι, · ··> ξρ)1 на σ
определяет соответствующую g-мерную обобщенную функцию
fill, . ... lq) = [<P»(5i, . ... 6g)l на (9,
постоянную по ξρ+ι, . . ., ig, и это соответствие взаимно
однозначно. Более того, каждой обобщенной функции, определенной на О
и постоянной по ξρ+i, . . ., ig, соответствует обобщенная
функция, определенная на О'.
Возникает вопрос, приводят ли операции, примененные к р-
мерным обобщенным функциям, к тому же результату, что и
операции, примененные к соответствующим g-мерным обобщенным
функциям. Для отйета на этот вопрос введем следующее
обозначение:
5(φ(ξχ, ..., ξρ)) =φ(ξι, . ... lq)
для g-мерной гладкой функции, соответствующей р-мерной
гладкой функции φ (ΐι, . . ., ξρ). По определению, В есть операция,
применяемая к р-мерным гладким функциям, результатом
которой является g-мерная гладкая функция. Это операция регулярна.
Следовательно, ее можно распространить на обобщенные функции
/(6l, · · ·, ξρ) = [<Pn(5l. . . м ξρ)1
с помощью формулы
B{f(lv ..., Ы) = [Β(Φη(δι, ···, ξρ))1.
По определению, В (f (lv . . ., ξρ)) есть g-мерная обобщенная
функция /(ξχ, . . ., |g), соответствующая р-мерной обобщенной
функции f(lv . . ., ξρ).
Предположим, что дана другая регулярная операция
Α (φ, ψ, . . .) и что
В (Α (φ, у, ...))= А (В (φ), Β (ψ), . . .)·

£ . Развитие теории
115
Это равенство является точной формулировкой утверждения, что
операция А, примененная к р-мерной гладкой функции и к
соответствующей g-мерной функции, приводит к согласующимся
результатам. Поскольку обе части этого равенства являются
суперпозициями регулярных операций, та же формула
справедлива и для обобщенных функций:
В (А (/, g, ...))= А (В (/), В (g) ).
Более наглядно этот результат можно сформулировать
следующим образом:
Каждая регулярная операция, примененная к р-мерным
обобщенным функциям и к g-мерным обобщенным функциям, приводит
к согласующимся результатам, если это справедливо для гладких
функций.
Следующая теорема показывает, что предел
последовательности р-мерных обобщенных функций существует тогда и только
тогда, когда существует предел соответствующей
последовательности g-мерных обобщенных функций, и, кроме того, что эти
пределы соответствуют друг другу.
4.4.3. Последовательность р-мерных обобщенных функций
/η (£ι» · · ·» ξρ) сходится на О' к f (ξ1? . . ., ξρ) тогда и только
тогда, когда последовательность соответствующих q-мерных
обобщенных функций fn (ξ1? . . ., lq) сходится на О к обобщенной
функции f (ξ1? . . ., lq), соответствующей f (ξ1? . . ., ξρ).
Ясно, что из сходимости р-мерной последовательности следует
сходимость g-мерной последовательности к соответствующему
пределу.
Обратно, предположим, что на О
fn(ll, ..·. 19)->/(ξΐ, .·., lg). (1)
Пусть /' — произвольный интервал, лежащий внутри 0', пусть
/ — интервал, состоящий из всех точек (ξ1? . . ., |g), таких, что
(£ц · · ·> 1р) принадлежит /' и | ξ/ | < 1 при j = ρ + ί, . . ., q,
и пусть 10 — произвольный интервал, лежащий внутри О и такой*
что / лежит внутри /0. Из соотношения (1) следует, что все
обобщенные функции /л (li» · · ·» lq) являются производными фикси-
рованного порядка к = (κ1? . . ., xq) непрерывных функций на /0.
Согласно 4.3.4, существуют функции Fn (ξ1? . . ., Eg), постоянные
по ξρ+1, . . ., lq и такие, что на /
W Ul, ..., lq) =/n(£l, · · ., lq),
т. е. на /' для к' = (κ1? . . ., κρ)
*Γ(δι,..., ξρ)=Μξι, ..·, ξρ).
Пусть φη (ξ1? . . ., lq) — такие гладкие функции, что
Φη(6ι. · · ·. lP)-Fn(llf .. ., ξρ)ΐ£0, (2)

116
Ч. II. Теория обобщенных функций нескольких переменных
и пусть
фЛЬ. .··, У = of>Ui> · ··» ξρ).
Дифференцируя (2) Л:' раз, получаем
Φη(ξι» · · ·. 6p)-/»(5i. · · м ξΡ)->0. (3)
Отсюда следует, согласно только что доказанной части теоремы
4.4.3, что на /
<Pn (ξΐ» · · ·» lq) —fn (ξΐ» · · ·» lq) ~* 0.
Следовательно, согласно (1),
Фп (ξΐ» · · ·» ξ<ζ) -^/ (ξΐ» · · ·» ξ<ζ)»
в, в силу 3.9.3,
[φ* (ξι» · · ·» ζ9)1 = /(ξι» . . ·» ξς)·
Поэтому для соответствующих р-мерных функций и обобщенных
функций мы имеем на /'
[фп (ξι» · · ·» ξρ)] = /(ξι» ·· ·» ξρ)»
в, в силу 3.9.3,
Φη (ξι» · · ·» ξρ) ->-/(ξι» . . ·» ξρ).
Отсюда, согласно (3),
fn (ξΐ» ...» ξρ)->/(6ι, ...» ξρ)·
Поскольку интервал /' выбран произвольно, на О' имеет место
сходимость.
Если это не приводит к недоразумениям, то g-мерные
обобщенные функции, постоянные по ξρ+1? . . ., \q, можно обозначать
символом /(ξ1? . . ., ξρ) подобно р-мерным обобщенным функциям.
Аналогичное соглашение широко применяется для обычных
функций.
Все утверждения этого параграфа остаются, конечно,
справедливыми при замене ξρ+ι, . . ., lq произвольным множеством
переменных lJt, . . ., lJr (1 < г < q).
4.5. Обобщенные функции с нулевой m-й производной
Для того чтобы установить общий вид обобщенной функции,
удовлетворяющей условию /<т> (х) = 0, докажем три леммы.
4.5.1. Если f (χ) — такая обобщенная функция, что /^ (х) =
= 0 на интервале а — ее/ < χ < Ъ -\- ге^ то при | η | < ε
f(x + r]e]) = f(x) + JLf°l\x)+ ... +^£1-р»гЧ>(х)
на интервале а <Сх < Ъ.

4. развитие теории
117
Действительно, пусть δη (χ) — произвольная δ-последователь-
ность Ef φη (χ) = f (χ) * δη (χ); тогда
/ (х) = [φη («)! и φ^ (я) = 0.
Поэтому приведенная выше формула получается из разложения
Тейлора функции φη (χ + x\ej) простым добавлением скобок [ ]„
4.5.2. Если f{m+efi (χ) = 0 на О, где т = (μ1} . . ., \x,q) с μ, = 0Т
то на каждом интервале I, лежащем внутри О, обобщенную
функцию f (x) можно представить в виде
/(*)=* (х) + h (x),
где g(e^ (x) = 0 и fo<m> (χ) = 0 на I. Более того, если f (x) — гладкая,
непрерывная или интегрируемая на I функция, то это же
справедливо для g (χ) и h (x).
Действительно, интервал / лежит внутри некоторого интервала
/0, лежащего внутри О. Если fm+efi (χ) = 0 на О, то, в силу 4.3.2,
/<т> (х) не зависит от ξ;· на /0. Согласно 4.3.5, существуют порядок
к = (κ1? . . ., Kq) с κj = 0 и непрерывная функция F (х),
постоянная по ξ/, такие, что F(h> (χ) = /(m> (χ) на /. Можно считать, что
к^ т. Обобщенные функции g (χ) = F<k"w> (χ) и h (x) = / (ж) —
— g (x) обладают требуемыми свойствами.
Если / (х) — гладкая, непрерывная или интегрируемая
функция, то можно получить g (x) прямо из / (х), заменяя переменную
ξ, в / (х) постоянной γ. Тогда g (x) — соответственно гладкая,
непрерывная или (при надлежащем выборе γ) интегрируемая
функция, как и h (χ) = / (χ) — g (x). Более того, g{e^ (x) = (λ
Осталось проверить, что Мт) (х) = 0, т. е. что /<т> (х) = gW (x).
Это ясно, когда / (х) — гладкая функция. Если / (х) непрерывна,
то существует последовательность гладких функций срп (х), почти
равномерно сходящихся к / (х), таких, что ф^т+^> (х) = 0.
Заменяя переменную ξ7· в φΛ (χ) на γ, получаем
последовательность гладких функций ψη (χ), почти равномерно сходящихся
к g (χ). Так как
/ (Х) = [фп (*)]. g (Х) = [ψιι (*)]
И
то
Для интегрируемой функции / (х) доказательство аналогично
пройденному, за исключением того, что почти равномерную
сходимость следует заменить на L-сходимость.

118
Ч. II. Теория обобщенных функций нескольких переменных
4.5.3. EcAuf™*6? (χ) =0 на О, где т = (μ1? . . ., μ<,) и μ, >0,
то на каждом интервале I, лежащем внутри О, обобщенную
функцию f (χ) можно представить в виде
f (χ) = \$g (χ) + h (χ),
где £<m> (x) =0u Ww> (x) = 0 на I. Более того, если f (x) — гладкая,
непрерывная или интегрируемая функция, то это же справедливо
для g (х) и h (x).
Действительно, пусть
f(*) = ^(/(* + Vi)-/(*)). h(x) = f(x)-l,g(x). (1)
Если η достаточно мало, то g (χ) и h (χ) определены на J. Более
того, если / (я) — гладкая, непрерывная или интегрируемая
функция, то таковы же g (χ) и h (χ). Поскольку fm+eP (χ) = О,
το /<m> (χ -\- r\ej) = /<m> (χ) на I, в силу 4.5.1. Отсюда следует,
что gW> (χ) ί= 0. Дифференцируя второе из равенств (1), находим,
что
fe<w> (χ) = /<m> (χ) - μ/1"1 - V (χ) =
Так как fm+ej* (χ) = 0, правая часть равна нулю в силу 4.5.1.
4.5.4. Равенство /<т> (х) = 0 имеет место на О тогда и только
тогда, когда на каждом интервале I, лежащем внутри О,
обобщенную функцию f (x) можно представить в виде
μ1-1 μς-1
/ (*) = Σ Й/ιι (*)+···+ Σ thi (*), (2)
где обобщенные функции fji (x) постоянны по |г. Более того, если
f (χ) — гладкая или непрерывная функция, то это же справедливо
и для всех коэффициентов fjt (x). (Заметим, что если в формуле (2)
μ;. = 0 для некоторого /, то соответствующую сумму мы считаем
равной нулю.)
Действительно, легко проверить, что если (2) справедлива
на /, то /(т> (х) = 0 на /. Поскольку интервал / произволен,
f(m) φ = о на О. Обратно, если /<т> (х) = 0 на О, то формулу (2)
можно доказать по индукции. Заметим сначала, что (2), очевидно,
выполнена при т = 0. Предположим, что она выполнена при
некотором т ^ 0. Достаточно показать, что соответствующая
формула имеет место для т + £/. Действительно, если μ;· = 0,
это следует из 4.5.2; если же μ7·> 0, это следует из 4.5.3.
Заметим, что представление обобщенной функции в виде (2)
не единственно. Например, если т = (1, 1) и / (х) = |х + ξ2»
то можно также записать / (х) = (ξχ +ч1) + (ξ2 — 1)·

ЧАСТЬ III
Дополнительные главы
теории обобщенных
функций
Введение
Главы 1—5 ч. III посвящены обычным функциям и
непосредственно с теорией обобщенных функций не связаны. Они включены
в эту книгу поэтому, что содержат некоторые новые результаты,
необходимые для понимания дальнейшего изложения.
В гл. 6 подробно обсуждается важное понятие свертки двух
обобщенных функций. В гл. 7 дается определение обобщенных
функций медленного роста как производных медленного роста
от функций с интегрируемым квадратом. Этот подход позволяет
упростить теорию разложения таких обобщенных функций в ряды
Эрмита и теорию преобразования Фурье, изложенные в гл. 8.
В свою очередь ряды Эрмита связывают обобщенные функции
медленного роста с пространствами Кёте, которым посвящены
гл. 10 и 11. Это дает возможность сравнительно просто доказать
важные теоремы об эквивалентности слабой и сильной сходимости
обобщенных функций.
Остальные главы в основном посвящены приложениям.
Математическое обоснование формулы, содержащей δ2, может
заинтересовать физиков.
В приложении объясняются и иллюстрируются примерами,
полезными в теории обобщенных функций, принцип многомерной
индукции и рекурсивное определение.
Мы считаем своим приятным долгом выразить благодарность
профессору С. Рыль-Нардзевскому за ценные советы,
способствовавшие значительному исправлению текста, а также нашим
коллегам А. Каминскому и К. Скурнику за их помощь при подготовке
рукописи и замечания, способствовавшие улучшению изложения
в некоторых местах.

1.
Свертка
1.1. Свертка двух функций
Под сверткой f * g понимают интеграл
]f{x-t)g{t)dt. (1)
Свертка определена в точке х, если произведение / (х — t) g (t)
интегрируемо (по Лебегу) по переменной t. Для того чтобы
свертка была определена на возможно более широком множестве точек,
примем следующее соглашение: если один из сомножителей
/ (х — t) или g (t) равен нулю для некоторых значений χ и t,
то произведение f (x — t) g (t) мы будем считать равным нулю,
даже если второй сомножитель не определен.
Поскольку интеграл (1) понимается в смысле Лебега, из
существования свертки / * g следует существование свертки | / | * | g |.
Обратно, если свертка | / | * | g | существует, и, кроме того,
произведение / (х — t) g (t) измеримо, то свертка / * g также
определена. Если известно, что обе функции / и g измеримы, то
свертка / * g существует тогда и только тогда, когда существует
свертка | / | * | g |.
С помощью простой замены переменных под знаком интеграла
получаем закон коммутативности:
f*g = g*f (2)
при условии, что хотя бы одна из сверток существует. Более того,
если свертка / * g определена, то для любого вещественного числа
λ определены свертки / * (Xg) и (λ/) * g и справедливы следующие
равенства:
(λ/) * g = / * (kg) = λ (/ * g). (3)
Если свертки / * g и / * h определены, то свертки / * (g ±h)
также определены и
f*(g±h)=f*g±f*h. (4)
В общем случае свертка не ассоциативна. Действительно, пусть
X
q = 1 и / (х) = 1, g (χ) = — хе~*2 и h (χ) = f e~t2 dt. Легко

7. Свертка 121
проверить, что / * g = 0. Отсюда следует, что и (/ * g) * h = 0.
С другой стороны, непосредственное вычисление дает
и, следовательно, / * (g *h) = |π. Поэтому (/*?) * й =5^=/ * (g*h)r
т. е. свертка в общем случае не ассоциативна. В следующем
параграфе будут сформулированы некоторые достаточные условия
ассоциативности.
1.2. Свертка трех функций
Под'сверткой f * g * h трех функций будем понимать интеграл
j \ f(x—t)g(t—u)h(u)dtdu. (1)
Свертка определена в точке χ £ Rq, если произведение f (х — t) X
X g (t — и) h (и) интегрируемо (по Лебегу) на R29. Как и раныпег
будем считать, что произведение / (х — t) g (t — и) h (и) для
данных значений переменных х, t, и равно нулю, если хотя бы один
из сомножителей равен нулю, даже если остальные сомножители
не определены.
Поскольку интеграл (1) понимается в смысле Лебега, из
существования свертки f * g * h следует существование свертки | / | *
* I g I * I h Ι· Обратное справедливо при условии, что произведение
/ (х — t) g (t — и) h (и) измеримо. Если известно, что все функции
f,gnh измеримы, то свертка f * g * h определена тогда и только
тогда, когда определена свертка | / | * | g |* | h |.
Свертка трех функций обладает свойствами, аналогичными
свойствам свертки двух функций. В частности, выполняется
закон коммутативности:
f*g*h = f*h*g = g*f*h = g*h*f = h*f*g = h*g*f, (2)
который легко доказать с помощью подходящей замены
переменных.
1.2.1. Теорема. Если свертка f*g*h определена, то
f*g*h=f*(g*h) = (f*g)*h. (3)
•Точнее, если f * g *h определена в некоторой точке х, то свертки
£ι = / * £ и £2 — g * h определены на таких множествах, чта
свертки f * g2 и gt* h определены в точке х. Кроме того, в точке χ
Справедливо равенство f*g*h — f*g2 = g1*h.

122
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Доказательство. Предположим, что свертка f * g * h
определена в некоторой точке х. Тогда, в силу теоремы Фубини *), функция
G{t)= \ f(x — t)g(t — u)h(u)du (4)
л*
определена для почти всех t и интегрируема на JRg. Кроме того,
f*g*h = \ G(t)dt. (5)
л*
Если t — точка, в которой / (х — t) φ 0 и интеграл (4) определен,
то можно записать
G(t)=:f(x-t) [ g(t-u)h(u)du, (6)
причем интеграл в (6) определен для почти всех ί, так же как и в (4)
Если / (х — t) = О, то произведение (6) определено и равно нулю,
в силу нашего соглашения, независимо от того, существует
интеграл в (6) или нет. Согласно (5) и (6), можно записать
/*g*fe= f f(x — t)dt \ g (t — u)h(u) du = f * (g *h).
Из этого равенства^ и равенств (2) следует, что
f*g*h^h*f*g = h*(f*g) = (/*#)* й;
тем самым доказательство завершено.
1.3· Ассоциативность свертки
Как было указано в конце § 1.1, закон ассоциативности
/ * (g * h) - (/ * g) * h (1)
в общем случае не справедлив. С другой стороны, теорема 1.2.1
утверждает, что равенство (1) имеет место, если существует свертка
f * g * h. Для приложений важно иметь достаточные условия
справедливости равенства (1), не требующие проверки
существования свертки трех функций.
1.3.1. Теорема. Если повторная свертка | / | · (| £ | * 1^1)
существует в точке χ и функции /, g, h измеримы, то в точке χ
справедливо равенство (1). Точнее, если свертка \ g | * | h \
определена на таком множестве, что свертка \f\*(\g\*\h\) суще-
) См. например, Никольский [1*, § 1^.3].— Прим. ред.

1. Свертка
123
ствует в точке х, и функции /, g, h измеримы, то свертки gx =
= / * gu g2 = g * h определены на таких множествах, что свертки
f * g2 и gi* h существуют и совпадают в точке х.
Доказательство. Можно записать
1/ИИ*1*1)= j Λ J \f(x — t)g(t—u)h(u)\du.
RZ R*
Отсюда, в силу свойств интеграла Лебега х), следует
существование свертки / * g * h, а требуемое утверждение вытекает теперь
из 1.2.1.
1.3.2. Теорема. Если свертка \f\ + (\g\+\h\) определена
почти всюду и функции /, g, h измеримы, то равенство (1)
выполняется почти всюду. При этом если интеграл ι | / |, \ \ g \
или \ \h | не обращается в нуль, то свертка g *h, f*h или f * g
соответственно определена почти всюду.
Доказательство. Первая часть утверждения теоремы сразу же
следует из 1.3.1. Кроме того, как и в предыдущем доказательстве,
легко видеть, что свертка / * g * h определена почти всюду (п. в.).
Предположим, что \ | / | > 0 и что свертка g * h не определена
почти всюду, так что если А — множество точек, в которых g * h
не определена, то мера А ненулевая. Пусть /х и /2 — две функции,
такие, что f1 — /2 = g * h при χ $А и /х -— /2 = 1 при χ 6 А.
Поскольку свертка | / | * (g * h) не зависит от значений g * h
на А, то
\j I * /ι = I / I * /2 п. в.
Следовательно,
J (1/1 ·(/!-/«)) =0,
где интегрирование распространяется на все JSg. С другой
стороны, из свойств интеграла Лебега получаем
j(l/l*(/i-/2))=jl/l j(/i-/,)>o.
Это противоречие доказывает теорему в случае \ | / | > 0. Бели
же \ I g I >0 или \ | ^ | >0, то требуемый результат можно
получить из предыдущего, используя коммутативность и
ассоциативность.
г) См. примечание на стр. 122.— Прим. ред.

124
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
1.4. Свертка локально интегрируемой функции
с гладкой функцией, имеющей ограниченный носитель1)
Пусть / — локально интегрируемая функция на открытом
множестве О с: Rq и φ — гладкая функция на Rq, такая, что
φ (χ) = 0 при | χ | ^ а > 0.
Символом Оа (а > 0) обозначим множество всех точек χ £ R9,
расстояние от которых до множества О меньше, чем а. Символом
0_а (а > 0) обозначим множество всех точек χ £ О, расстояние
от которых до границы множества О больше, чем а (если О = Ι29,
то мы полагаем 0_а равным 22д). Если α достаточно мало, то
множество 0_а не пусто. Ясно, что 0_а с: (?а и разность Οα\0_α
представляет собрй множество всех # ζ J^9> расстояние от которых
до границы множества О не превосходит а. Интеграл
j/(*-*) φ (ί) Λ (Ι)
определен при всех # ζ 0_α, и, следовательно, свертка / * φ
существует на 0_а.
В силу 1.1(2) и 1.1(3), имеем
/* φ = φ*/ на <9_а, (2)
(λ/) * φ = / * (λφ) = λ (/ * φ) на 6>_α, (3)
где λ — произвольное вещественное число.
Если /χ и /2 — локально интегрируемые функции на О, то,
согласно 1.1(4), мы имеем
(/ι + /2) * φ = А * φ + /2 * φ на <э_а. (4)
Если <рх и <р2 — гладкие функции на 22д, обращающиеся в нуль
при | χ | ^ а, то
/ * (<Ρι + ф2) = / * Φι + / * Ψ2 Ha 0-α. (5)
Если φχ и φ2 — гладкие функции на JSg, такие, что фх (#) = 0
и φ2 (χ) = 0 при | # | ^ α > 0, то двойной интеграл
\ \ /(я—£) ψ! (ί — u)q>2(u)dtdu
определен при #6 0_2α и, следовательно, свертка / * φχ * φ^
существует на 0_2α. Поэтому, в силу 1.2.1, равенства
/ * Φι * φ2 = (/ * Φι) * φ2 = / * (Φι * φ2) (6)
справедливы на CL2a.
г) См. стр. 134—135. — Прим. ред.

J. Свертка
125
Для произвольного порядка к имеем
(/ * <р)<*> = / * φ<*> на 0_а. (7)
Все изложенное выше, за исключением формулы (7), остается
справедливым, если условие гладкости функций φ, φ1? φ2
заменить условием гладкости функций /, /1? /2. Точнее, можно считать,
что функции /, fv /2 гладкие на О, а функции φ, φ1? φ2 измеримы
и ограничены на Rq и обращаются в нуль при | χ \ ^ а >0.
Тогда справедливы формулы (2) — (6). Вместо формулы (7) мы
будем иметь для каждого порядка к
(/ * <P)(ft) = f(h) * φ на 0_α. (8)
Заметим к тому же, что формулы (2) — (8) остаются
справедливыми и при более слабых предположениях. Однако настоящий
параграф является по сути дела подготовительным к следующей
главе о дельта-последовательностях, и более общие результаты
нам не нужны.

2.
Дельта-
последовательности
и регулярные
последовательности
2.1. Дельта-последовательности
Мы будем использовать следующие обозначения:
W — множество всех положительных целых чисел;
JP — множество всех неотрицательных целых чисел;
Ж9 — множество всех положительных целых точек из Б9
(т. е. точек, все координаты которых являются положительными
целыми числами);
Р9 — множество всех неотрицательных целых точек из В,9;
В9 — множество всех целых точек из В,9.
Делъта-последователъностъю в ΊΖ9 будем называть любую
последовательность гладких функций δη, обладающую
следующими свойствами:
(i) существует последовательность положительных чисел аЛ,
сходящаяся к нулю и такая, что δη (χ) = 0 при | χ \ ^ αη, η £ ЭГ;
(ϋ) Ι δη = 1 при η 6 W;
(iii) для каждого к ζ F9 существует положительное целое
число Mk, такое, что
a*J|6<i°|<Mft при п£Ж.
В условии (i) символ | χ \ обозначает расстояние от точки
χ ζ R9 до начала координат, т. е. \ χ \ = У~Ц + . . . + Ц.
Символ а* обозначает а*1+,,,+5Ч где к = (κ1? . . ., xq).
В качестве примера дельта-последовательности можно взять
δη (х) = α^Ω (α-**), (1)
где Ω — произвольная гладкая функция с ограниченным
носителем, такая, что \ Ω = 1, и ап =^0 — произвольная
последовательность, сходящаяся к 0.
Замечание. В ч. II дельта-последовательности определялись
как последовательности неотрицательных гладких функций,
обладающие свойствами (i) и (ii). Однако пример (1) показывает, что

2. Дельта-последовательности и регулярные последовательности 127
свойство (iii) естественно. Кроме того, это свойство играет
важную роль при изучении более тонких вопросов.
Легко проверить, что если δ1η и δ2η —
дельта-последовательности, то чередующаяся последовательность
"11» "21» "12» "22» "13» · · · (^)
также является дельта-последовательностью.
2.1.1. Теорема. Свертка двух дельта-последовательностей
также является дельта-последовательностью.
Доказательство. Пусть δ1η и δ2η — две
дельта-последовательности. Надо доказать, что δη = δ1η * δ2η также является дельта-
последовательностью. Действительно, функции δη гладкие. Далее,
если δ1η (χ) = 0 при | χ | > αΐ71, а δ2η (χ) = 0 при | χ | > α2η,
то 0П (х) = 0 при | χ | > а1п + ос2Г1. Отсюда следует, что δη
удовлетворяет условию (i). Ясно, что
j δη= J dx j 6in(x — t)&2n(t)dt= J b2n(t)dt^ δ1η(* —*)dr=l-l,
так что условие (ii) также выполнено. Наконец, имеем
j | β?> Ι = j dx j | δ($ (x-t) 11 δ2η (t) I dt =
= J \6Zn(t)\dt^\№(x-t)\dx.
Следовательно,
Аналогичным образом получаем неравенство
Поскольку (aln + a2n)k ^ 2h {a\n + a£J, из двух последних
неравенств следует, что
(αΐΛ + α2η)* j \b*)\^Mk = 2k(MikM20 + Mi(flI2k)J
т. е. условие (iii).
2.2. Регулярные последовательности
Если δη — дельта-последовательность в JSg и / — локально
интегрируемая функция на открытом множестве 0, то
последовательность fn = / * δη состоит из гладких функций на открытых
подмножествах 6_а с О, таких, что 6>_αη->0, τ. е. для каждого

128
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
χ £ О мы имеем χ £ 0-α при достаточно больших п.
Последовательность fn будем называть регулярной последовательностью
локально интегрируемой функции /.
2.2.1. Теорема. Если f — непрерывная функция на 0, то ее
регулярная последовательность f * δη сходится к f почти
равномерно на О.
Эта теорема была доказана в ч. II под номером 3.1.1. Из нее
следует
2.2.2. Τεορεϊ^α. Пусть f — гладкая функция на О. Тогда для
каждого к £ Pq последовательность производных (/ * 6n)(ft)
сходится κ fW почти равномерно.
Для доказательства достаточно заметить, что /<*> = /(ft) * δη.
2.2.3. Теорема. Если f — локально интегрируемая функция
на О, то f * Ьп локально сходится в среднем к /, т. е. для любого
интервала I, лежащего внутри О,
Jl/*«n-/K0.
I
Доказательство. Пусть / — произвольный фиксированный
интервал, лежащий внутри О, и пусть а — положительное число,
такое, что /а (см. § 1.4) лежит внутри О. Найдется номер п0, такой,
что ап<аи/а <г 0_а при η >η0. Ясно, что /а с /а. Далее,
согласно хорошо известной теореме Лебега, если / интегрируема
на /а и / лежит внутри /а, то
[\f(x — t) — f(z)\dz-+0 при t-+0.
ι
Таким образом, если |ί|^α и п>п0, то
J \f(x — f) — f(x)\dx<en, где гп-*0.
ι
Для χζΐ и п>Щ мы получаем
Ι/*δη-/| = | \{f{x-t)-f(x))bn{t)dt\^
<J|/(*-0-/(*)||8„(*)l*
и, следовательно,
J l/*en-/|<j|en(i)|c»j|/(a?-i)-/(a?)|;cfe<ilf0eIlf

2. Дельта-последовательности и регулярные последовательности 129
поскольку 6n (t) = 0 при | t | ^ ап, откуда и следует
утверждение теоремы.
Известно, что если / и g интегрируемые (по Лебегу) функции
на Rq, то свертка / * g также интегрируема на Rq. Отсюда, в
частности, следует, что если / интегрируема на Rq, то все функции
/ * бп также интегрируемы на Rq.
2.2.4. Теорема. Если f — функция, интегрируемая на 22д,
то / * Ьп сходится в среднем к f, т. е.
jl/*6n-/|+o.
Доказательство. Прежде всего мы имеем
il/*6»-/|<f | \(f{x-t)-f{x))bn{t)dt\dx.
В силу теоремы Лебега,
\ I/(* — *) — f(x)\dx->0 при t->0.
Отсюда
j \f(x — t) — f(x)\dx<.En при |*|<αη,
где ε^-^0. Поскольку δΛ(£) = 0 при \t\^>an, мы получаем, что
$|/*δη-/|<5|δη(0[^εη = Λ/0εη^0.
2.3. Свертка сходящейся последовательности
с дельта-последовательностью
Обобщим теперь предыдущую теорему, заменив / сходящейся
последовательностью /п. Как и прежде, символом δη мы будем
обозначать дельта-последовательность.
2.3.1. Теорема. Если последовательность непрерывных функций
fn сходится к / почти равномерно на О, то последовательность
сверток fn * δη также сходится к f почти равномерно на О.
Доказательство этой теоремы приведено в ч. II (см. 3.1.2).
2.3.2. Теорема. Если fn и f — гладкие функции, такие, что для
каждого к £ Pg последовательность f№ сходится κ /(fe> почти
равномерно на О, то последовательность (fn * δη)(?ι) также
сходится к /<fe) почти равномерно на О.
Доказательство. Достаточно заметить, что (fn * δη)№ = ffl * б t
и применить 2.3.1.

130
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
2.3.3. Теорема. Если fn — последовательность локально
интегрируемых функций, сходящаяся к f локально в среднем на О,
то последовательность fn * δη также сходится к f локально в
среднем на О.
Доказательство. Очевидно, что
h * δη = / * δη + (fn — f) * δη.
В силу 2.2.3, достаточно доказать, что (fn — /) * δη сходится
к нулю локально в среднем.
Пусть / — произвольный фиксированный интервал, лежащий
внутри О, и пусть а — произвольное положительное число, такое,
что 1а лежит внутри О. Существует номер п0, такой, что ап < α
и/й с 0_а при η >п0. Ясно, что /а с: 1а при η >η0.
Поскольку δη (χ, — t) = 0 при χ £ / и t $ Ia , то
[\(fn-f)*bn\dx<^^dx f |М0-/(*)1|вп(*-*)|я=
= J \fn(t)-f(t)\dt$\6n(z-t)\dz^
η
; \ \fn (0-/(0 \dtM0-+0 при п-+оо.
In
2.3.4. Теорема.5 Если последовательность интегрируемых на JR9
функций fn сходится в среднем к /, то последовательность fn * δη
также сходится в среднем к /.
Доказательство. Заменяя для краткости \ на \ , получаем
в*
j Ι(/η—Λ·«η|< j Ac j 1/nW—/(ol |β»(^—*)l*-
= ]\fn{t)-f{t)\dt j |Μ*-0Ι**<
<ξ \ |/n_ /|M0->-0 при п-+оо.
Таким образом, (fn — /) * δη сходится в среднем к нулю. Отсюда
и из 2.2.4 следует наше утверждение.
Стоит отметить, что в теоремах этого параграфа и § 2.2 условие
(iii) используется в более слабом виде, а именно с к = 0. Это
означает, что в этих параграфах можно использовать
дельта-последовательности более широкого класса.

3.
Теоремы существования
для сверток
3.1. Множества, двойственные относительно свертки
Все функции в этом параграфе предполагаются измеримыми.
Для произвольного заданного множества U функций на В?
обозначим через U* множество всех таких функций g, что свертка
/ * g существует п. в. для каждой функции / 6 {/. Множество U*
называется множеством, двойственным к U относительно свертки*
Заметим, что если/ * g существует, то | / | * | g | также существует,
поскольку интеграл \ / (х — t) g (t) dt, определяющий свертку,
η*
понимается в смысле Лебега. Кроме того, если | g | ^ | gx |„
то из существования свертки / * g± следует существование обеих
сверток /*?и | / I * I £ 1> так что если | g | ^ | gx \ и gx 6 £7*,
то g £ U*.
Множество V функций g мы будем называть стандартным
тогда и только тогда, когда из условий | g \ ^ | gx \ и g1 £ V
следует, что g ζ V. Таким образом, справедлива
3.1.1. Теорема. Множество, двойственное относительно
свертки, стандартно.
Пример 1. Пусть U — множество всех постоянных функций.
Покажем, что в этом случае U* представляет собой множеств©
всех интегрируемых функций. Действительно, если / £ U и g
интегрируема, то
J f(x-t)g(t)dt=f(0)^g(t)dt
и, следовательно, интеграл
J t(x-t)g(t)di (l)
η*
существует для каждого х. Итак, g 6 U*. Обратно, если g £ £/*.,
то интеграл (1) существует для каждой / 6 U и, в частности, для
/ = 1. Поэтому интеграл \ g (t) dt существует, т. е. g интегри~
Руема.

132
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Пример 2. Пусть U — множество всех ограниченных функций.
Тогда U* является множеством всех интегрируемых функций.
Действительно, если / 6 U и g интегрируема, то интеграл
J /(*-*)*(«)Л (2)
существует для каждого х. Таким образом, g (~ U*. Обратное
утверждение доказывается так же, как и в предыдущем примере.
Стоит отметить, что в примерах 1 и 2 мы получили одинаковые
двойственные множества, хотя исходное множество U в примере 2
гораздо шире.
3.1.2. Теорема. Если множество U таково, что условия / 6 {/
и g 6 U* влекут за собой \ f | * | g \ £ U, то U* —
коммутативная полугруппа относительно свертки.
Доказательство. Пусть / £ U и g, h £ U*. По предположению
теоремы | / | * | g | ζ ί/. Поэтому и(|/|*|#|)»|й|6ЕЛ
Согласно 1.3.1, отсюда следует, что свертка / * (g * h) определена. Так
как / — произвольная функция из U, то g * h ζ U* по
определению множества U*.
Если/, g, h 6 С/*, то | / |, | g |, | h I 6 U* и (| / | * | g |) * | h | 6
6 U*. Следовательно, в силу 1.3.1, (/ * g) * h = / * (g * ft).
Коммутативность была доказана ранее в 1.1(2), так что теорема
доказана.
Замечание. Из примера 1 и теоремы 3.1.2 следует, что
множество всех интегрируемых функций является коммутативной
полугруппой относительно свертки, т. е. свертка двух интегрируемых
функций — снова интегрируемая функция.
Пусть U0 — класс функций на 22q, таких, что для любой
функции и 6 U0 существует положительная функция ν 6 U0, такая, что
\и(х + у) \^v(x)v (у).
Класс U0 может состоять из одной функции, например ё*. Другим
примером класса U0 является множество всех многочленов.
В дальнейшем символом ν будем обозначать функцию,
определяемую равенством ν (х) = ν (—χ).
3.1.3. Теорема. Пусть U — стандартное множество и U* —
двойственное к нему относительно свертки множество (которое
также стандартно). Пусть V — множество таких функций
на 22q, что
f 6 V тогда и только тогда, когда — 6 U
для некоторой положительной функции и ζ ί/()

3. Теоремы существования для сверток
133
Тогда V — стандартное множество и V* — множество таких
функций на Rq, что
g 6 V* тогда и только тогда, когда vg £ U*
для каждой положительной функции ν 6 U0.
Если, кроме того, U обладает тем свойством, что условия
f 6 U и g £ £7* влекут за собой f * g[(z U, то и V обладает
аналогичным свойством, т. е. из условий f £ V и g £ V* следует, что
f*gev.
Доказательство. Пусть g — такая функция, что vg 6 U* Для
любой положительной функции ν 6 U0. Докажем, что g £ F*.
Действительно, для любой функции / £ V имеем — 6 U для
некоторой положительной функции и 6 U0. Существует
положительная функция ν ζ U0, такая, что | и (х — t) \^v(x)v (—·*).
Следовательно,
R4 R4
l/**l<J Ι/(*-*)«(*)|Λ=ί |-^Ξ|·|ΐ"(*-')ί(<)|Λ<
4ёЗг|И-'>'<'>1*·
™\щ
Rt
Поскольку — £ U и vg ζ U*, последний интеграл определен
и
п. в., откуда следует существование свертки / * g. Таким
образом, g £ F*.
Пусть теперь g £ F*. Это означает, что / * # существует п. в.
для каждой функции / 6 V.
Пусть и ζ U0. Покажем, что ug 6 17*, т. е. что свертка / * ug
существует п. в. для любой функции / 6 С/. Действительно,
существует функция ν 6 Uо, такая, что | и (t — χ) | ^ ν (ή ν (—χ).
Поэтому
(/·"*)(*)!< j \u(t-x)g{z-t)f{t)\dt^
Ho — ς [7, так что ι;/ ζ V vivf * g существует п. в. Отсюда следует,
что f * ug существует п. в.; следовательно, ug 6 £/*;
доказательство первой части теоремы завершено.
Пусть теперь g £ F* и / 6 F. Существуют и, ν 6 t/0, такие,
что — ζ £7, Ι и {χ — ί) Ι ^ ν (χ) ν (—t) и ι; — положительная функ-

134 Ч. HI. Дополнительные главы теории обобщенных функций
ЦИЯ. При ЭТОМ
\f*g\
-^\\^^\\u{X-t)g{t)\dt
ί
<
f(x-t)
и (x—t)
И0*Ю|Л = Ш·!^!·
Кроме того, vg 6 U* в силу только что доказанной первой части
теоремы. Поскольку — £ U, vg 6 Ε/* и множества ЕЛ #*
стандартны, то — 6 U и | у? | 6 ί7*. Таким образом, —
согласно предположению теоремы. Поскольку
\f_
1 ь
•1
J
ȣ
<
еи
и
*
* I vg | 6 U и С/ — стандартное множество, мы имеем — £ Е/.
Это означает, что / * g ξ F. Так как / * g ζ F для любых функций
/ £ F и # ζ F*, то, в силу теоремы 3.1.2, F* — полугруппа, и
доказательство теоремы завершено.
Пример 3. Если Е/0 состоит из всех многочленов, a U — из всех
ограниченных функций, то V является множеством всех так
называемых медленно растущих функций, т. е. / £ F тогда и только
тогда, когда существует такой многочлен р, что | /| ^ р. Сверточ-
ная полугруппа F* состоит из всех так называемых быстро
убывающих функций, т. е. g £ F* тогда и только тогда, когда
произведение gp ограничено для любого многочлена р.
Поскольку / * g ζ U для любых функций /6Е/и#£Е/*(Е/* —
множество всех интегрируемых ^функций), свертка медленно
растущей функции с быстро убывающей функцией является
медленно растущей функцией согласно второй части теоремы
3.1.3. Кроме того, свертка двух быстро убывающих функций —
снова быстро убывающая функция.
3.2. Свертка функций с совместимыми носителями
Если заданы две функции / и g на Rq, то может случиться,
что для каждого χ £ JSS множество S* всех таких точек t, что
/ (х — t) g (t) =^0, ограничено. Если при этом функции / и g
непрерывны, то свертка / * g, очевидно, определена, поскольку при
этом в интеграле
J f(x-t)g(t)dt
область интегрирования Sx фактически ограничена. Множество
Sx зависит от выбора точки χ и носителей X и Υ функций / и g,

3. Теоремы существования для сверток
135
т. е. множеств точек, в которых функции / и g отличны от нуля1).
Множество Sx полностью определяется точкой χ и
множествами Χ, Υ, каковы бы ни были функции / и g. Если обозначить
через X (t) и Υ (t) характеристические функции множеств X и У,
то Sx представляет собой множество всех таких точек t, что
X(x-t)Y (t) = 1.
Будем говорить, что множества X и Υ совместимы, если для
каждого ограниченного интервала I a Rq существует другой
ограниченный интервал / с: J29, такой, что Sx a J для любого
χ б/·
Пример 1. Если X — произвольное, a Y — ограниченное
множество, то X и Υ совместимы.
Пример 2. Если все точки множеств X и У положительны,
т. е. имеют положительные координаты, то X и Υ совместимы.
3.2.1. Теорема. Пусть fug — локально интегрируемые
функции на I29, носители которых лежат в совместимых множествах
XuY соответственно. Тогда свертка / * g определена почти всюду
и является локально интегрируемой функцией на 22е, носитель
которой содержится в X + Υ {т. е. в множестве всех точек вида
χ + у, где χ ζ X и у ζ Υ)-
Доказательство. Пусть / — произвольный ограниченный
интервал и / — другой ограниченный интервал, такой, что Sx cz J
для любого χ ζ I. Существует ограниченный интервал К, такой,
что JczKiiI — JczK, где I — J есть множество всех точек
вида χ — t £ Rq, где χ £ / и t £ /. Пусть fx (χ) = f (χ) Κ (χ)
и g1 (x) = g (χ) Κ (χ), где К (χ) — характеристическая функция
множества /С. Поскольку функции /х и gx обращаются в нуль вне
К, они интегрируемы на Жд. Следовательно, свертка /х * g1
существует п. в. на R9 и является интегрируемой функцией на JS9
(см. замечание в § 3.1). Если χ £ /, то / (χ — t) g (t) = О при I § J
и Κ (χ — t) К (t) = 1 при t ζ /. Поэтому
J f(x — t)g(t)dt=\ f {x —t)К(x — t)g(t)К(t)dt =
ri Rq
= j fi(x-t)gi(t)dt, (1)
R4
так что интеграл в левой части существует п. в. на / и является
там интегрируемой функцией. Поскольку интервал / произволен,
отсюда следует, что свертка / * g определена п. в. на Mq и является
локально интегрируемой функцией на В9.
*) Обычно носителем функции / (х) называется 'замыканде множества
тех точек х, в которых / (х) ф0. В частности, если носитель функции
f — ограниченное множество, то говорят, что / имеет ограниченный носитель
(или финитна).— Прим. ред.

136 Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Осталось показать, что интеграл (1) обращается в нуль при
χ $ X 4- Y. Действительно, в этом случае для каждого t £ Β9
либо χ — t $ X, либо t (J У, так что / (х — t) g (t) = О, и,
следовательно, интеграл тоже равен нулю.
3.2.2. Следствие. Если fug — локально интегрируемые
функции на Rq и одна из них имеет ограниченный носитель, то свертка
f * g существует п. в. и является локально интегрируемой
функцией.
Доказательство следует из того факта, что ограниченный
носитель совместим в любым другим множеством.
3.3. Свойства совместимых множеств
В этом параграфе мы докажем несколько теорем о совместимых
множествах и сформулируем свойство совместимости для трех
множеств.
3.3.1. Теорема. Следующее условие является необходимым и
достаточным для совместимости двух множеств X и Y:
если хп£Х, уп £Y и | хп \ + \уп \ ~^оо, то
\хп + Уп I -*оо. (1)'
Доказательство. Предположим сначала, что условие (1) не
выполнено, т. е. существуют последовательности хп и уп, такие, что
хп 6 X, уп 6 Y, I Хп I + I у η I "-*" °° и I Хп
+ уп |< М<оо.
Положим ζη = хп + уп. Тогда Χ (ζη — уп) Υ (уп) = 1 и | ζη |< М.
Точки χ = ζη лежат в ограниченном интервале /, но множество
точек t — уп не ограничено. Отсюда следует, что множества X и Υ
не совместимы. Таким образом, условие (1) необходимо.
Предположим теперь, что множества X и Υ не совместимы.
Тогда существуют ограниченный интервал / и последовательности
ζη, tn, такие, что ζη — tn £ X, tn ζ Υ, ζη 6 / и tn ->- οο. Положим
хп = ζη — tn и уп = tn. Тогда xn £X, Уп£У, I xn I + I Уп I ->■ <*>
и I #n + ι/и I = I sn | < Μ < oo, т. е. условие (1) не
выполняется. Тем самым доказано, что условие (1) достаточно.
Используя условие (1), мы можем без труда доказать
следующие свойства совместимых множеств.
3.3.2. Свойство. Если Χ,Υ — совместимые множества и V cz
а X, W α Υ, то множества V, W совместимы, т. е.
подмножества совместимых множеств совместимы.
3.3.3. Свойство. Если Χ,Υ — совместимые множества и α, β —
положительные числа, то окрестности Ха, Υ& совместимы (см.
§ 1.4).

3. Теоремы существования для сверток
137
Свойство 3.3.2 очевидно. Для доказательства свойства 3.3.3*
предположим, что хп £ Χα и уп £ У 3. Тогда найдутся точки хп £ X
νι у η ζ Υ, такие, что
I хп — Хп К α и | уп — Уп К β-
Если | #п I + I Уп I -*«>, то
I Хп I + I Уп I > I *п I + I Уп I - α — β -* оо,
и, поскольку множества X и У удовлетворяют условию (1), то·
I #п + Уп I ->°о. Следовательно,
I *п + Уп I > I #п + Уп I — α — β -*- оо,
т. е. множества Ха и Ур удовлетворяют условию (1) и, в силу
3.3.1, совместимы.
Одно из преимуществ условия (1) состоит в его симметричности
относительно множеств X и У. Более того, оно имеет простую
геометрическую интерпретацию. Действительно, поскольку-
х -\- у = 2 ί^ρ , условие (1) можно переформулировать
следующим образом: если точка χ изменяется в множестве X, а точка у —
в множестве У так, что по крайней мере одна из них стремится
к бесконечности, то их среднее арифметическое —=-^ также должна
стремиться к бесконечности.
Другое преимущество условия (1) заключается в том, что оно
без труда формулируется для случая трех (или более) множеств
X, У, Ζ:
если χηζΧ, Уп£У> *η£Ζ и |яп| + |уп| + |
то \xn + yn + zn\-+oo. (2)
Как и раньше, видно, что условие (2) симметрично относительно
всех трех множеств Χ, Υ, Ζ.
Если множества X, У, Ζ удовлетворяют условию (2), то мы
будем говорить, что они совместимы.
3.3.4. Теорема. Множества X, У, Ζ совместимы тогда и
только тогда, когда совместимы X, У, а также X + У, Ζ.
Доказательство достаточности. Совместимость множеств X + У
и Ζ означает, согласно 3.3.1, что
если хп 6 X, Уп 6 Υ, ζη 6 Ζ и | хп + уп \ + \ ζη \ -> оо,
то \хп + уп + ζη | -^оо. (3>
Пусть рп — возрастающая последовательность, состоящая из всех
таких положительных целых чисел, что | хр \ + | ур \ ^ | ζρ |,.

138
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
и пусть qn — возрастающая последовательность, состоящая из
всех остальных положительных целых чисел, так что мы имеем
\ хя I + I Vq I < I zq Ι· Если обе последовательности рп и qn
«бесконечны и | хп \ + | уп \ + | zn \ -> оо, то
I хРп I + I Урп I -* °о и | zg?| | -> оо.
Поскольку множества X и У совместимы, отсюда следует, что
I хрп + Урп Ι ->°°· Следовательно, | хп + уп | + | zn | ->-оо. Так
как множества X + Υ и Ζ совместимы, то, в силу (3), | хп + i/n +
+ ζΛ Ι ->-оо, что и доказывает достаточность. В случае когда
одна из последовательностей рп и qn состоит из конечного числа
членов, доказательство очевидно.
Доказательство необходимости. Если | хп | + I уп I -*■ °°» то
„для любого фиксированного ζ0 ζ Ζ мы имеем | #п | + I yn I +
+ | 20 | ->оо и, согласно (2),
I хп + Уп I > I хп + Уп + Ч I — I Ч | ->■ оо.
В силу 3.3.1, отсюда следует, что X и Υ совместимы. Если
I Хп + Уп I + I *п I ->°°> то I*» I + I Уп I + Izn I -+■ °°
и, согласно (2), | χη + ι/η + Ζη Ι -χ». Таким образом, из (2)
следует (3), а это означает, что множества X + Υ и Ζ совместимы.
3.4. Ассоциативность свертки функций
45 совместимыми носителями
Понятие совместимости трех множеств позволяет
сформулировать следующую теорему об ассоциативности.
3.4.1. Теорема. Пусть /, g и h — локально интегрируемые
функции на Rq с носителями Χ, Υ и Ζ соответственно. Если
множества Χ, Υ, Ζ совместимы, то все свертки, встречающиеся
*в равенстве
(/·*)·Λ =/·(*·&). (1)
существуют п. в. и равенство справедливо.
Доказательство. Модули | / |, | g | и | h | также локально
интегрируемы и имеют те же носители Χ, Υ и Ζ. Следовательно, свертка
I / I * I S I существует и, в силу 3.2.1, является локально
интегрируемой функцией. Поскольку носитель свертки | / | * | g \
лежит вХ + У, свертка (| / | * | g |) * | h |, согласно 3.3.4, также
существует. Справедливость теоремы теперь следует из 1.3.2.
Замечание. Теорема 3.4.1 будет неверна, если содержащееся
ъ ней предположение относительно множеств X + ΓηΖ заменить

3. Теоремы существования для сверток
139
предположением о совместимости носителя свертки / * g и
множества Z. Действительно, пусть / — функция с ограниченным
носителем, такая, что I / = 0, I | / | >0, и пусть g = 1, h = 1.
Тогда (/· g) */& = (/* 1)·1 =0*1=0. С другой стороны,
f * (g * fe) не имеет смысла, поскольку g * fe = оо.
Из условия 3.3(2) и теоремы 3.4.1 мы немедленно получаем
такое
3.4.2. Следствие. Если /, g и h — локально интегрируемые
функции на Έ? и по крайней мере две из них имеют ограниченные
носители, то все свертки, встречающиеся в равенстве (1),
определены п. в. и равенство справедливо п. в.
Однако непосредственно из 1.3.2 вытекает следующее, гораздо
более сильное утверждение:
3.4.3· Следствие. Если f,guh — локально интегрируемые
функции на Ш, такие, что одна из них имеет ограниченный
носитель, а свертка модулей двух других определена п. в. и
является локально интегрируемой функцией, то все свертки,
встречающиеся в равенстве (1), определены п. в. и равенство справедливо п. в.
Доказательство. Предположим, что функция / имеет
ограниченный носитель и свертка | g \ * | h \ локально интегрируема.
Тогда, согласно 3.2.1, свертка \f\*(\g\*\h\) существует
п. в. Отсюда, в силу 1.3.2, следует, что обе внешние свертки в
равенстве (1) определены п. в. и равенство справедливо. Далее,
внутренние свертки в (1) определены п. в.; действительно, g * h
определена по условию, а / * g существует в силу 3.2.1, поскольку
/ имеет ограниченный носитель.
Если мы предположим, что g имеет ограниченный носитель,
а | / | * | h | существует п. в. и является локально интегрируемой
функцией, то можно применить предыдущие рассуждения к
равенству g * (/ * й) = (g * f) * h. Равенство (1) тогда следует из
коммутативности свертки. Наконец, если h имеет ограниченный
носитель и | / | * | g | существует и является локально интегрируемой
функцией, то предыдущие рассуждения можно применить к
равенству h * (/ * g) = (h* f) * g. Равенство (1) снова следует из
коммутативности свертки.
3.4.4. Следствие. Если /, g, h, k — локально интегрируемые
Функции на JSq, такие, что свертка \ f \ * | g \ определена и
является локально интегрируемой функцией, ah и к имеют ограниченные
носители, то
(/ * h) * (g * к)' = (/ * g) * (h * к),
причем все встречающиеся в этом равенстве свертки определены.

140 4. JIT. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Доказательство. Имеем
(/*£)*№* А) = [(/*£)· А] · Λ = (в силу 3.4.2)
= [/*(#* А)] * й — (в силу 3.4.3)
= [(g * к) * /] * h =
= (g * *) * (/ * h) = (в силу 3.4.3)
= (/ * h) * fe * ft).
3.4.5. Теорема. Если fug — локально интегрируемые функции
на Rq, такие, что свертка их модулей определена п. в. и является
локально интегрируемой функцией на Sq, то для любой дельта-
последовательности δη последовательность (/ * δη) * (g * δη)
сходится локально, в среднем к f * g.
Доказательство. Согласно 3.4.4, имеем
(/ * δη) * (g * δη) = (/*?)* (δη * βη).
Поскольку, в силу 2.1.1, δη * δη тоже является
дельта-последовательностью, последовательность (/ * g) * (δη * δΛ) сходится
локально в среднем к / * g, согласно 2.2.3. Это доказывает наше
утверждение.
3.5. Частный случай
Пусть ε* и ε„. — такие вещественные числа, что — ε* < ε* ^
ξ е^ < 1, и пустым; — такая точка из R9, что | w \ = 1. Пусть
X — множество точек χ £ К9, удовлетворяющих условию wx ^
^ ε* | χ |, и Υ — множество точек у £ Rq, удовлетворяющих
условию wy ^ ε* | у |, где wx и wy — скалярные произведения.
Тогда множества X ш Υ удовлетворяют условию 3.3(1).
Действительно, пусть хп 6 X, уп 6 Υ и тп = min (\ хп \, \уп |). Имеем
общее неравенство
\^п + Уп\>тп\ип1 где un = j^ + ^j
(если # = 0, то полагаем Дт равным 0). Поскольку wun ^ ε* + ε*τ
I a; I
то каждый член последовательности | ип \ больше некоторого
фиксированного положительного числа а. Следовательно,
справедлива оценка | хп + уп | ^ тпа. Отсюда и из неравенства
I *п + Уп I > у (I *n I + I Уп I) — тп получаем β | хп + уп | >
> I *n I + I Уп I» гДе β = 2 (1 + α-1). Поэтому, если | жп | +
+ \Уп I -»-оо, то \ хп ~l· Уп I ->оо. Это означает, что множества
ХиУ удовлетворяют условию 3.3(1)..
Нетрудно дать геометрическое описание множеств ХиУ.
А именно, поскольку wx = \ χ \ cos (w, χ), то X представляет

3. Теоремы существования для сверток
141
собой множество всех таких точек х, что угол θ = (w, χ) между
векторами w и χ, выходящими из начала координат, удовлетворяет
неравенству cos θ Ξ^ ε*, т. е. не больше, чем arc cos ε*.
Следовательно, X является конусом с вершиной в начале координат и осью,
проходящей через начало координат и точку w. Этот конус
выпуклый, если ε* ^ 0, и вогнутый1), если ε* < 0. Множество Υ
является таким же конусом, но он всегда выпуклый и содержится
в X.
Заметим, что если Ζ — множество всех точек χ + у с χ £ Χ
и у 6 Υj то Ζ = X. Действительно,
и> (я + У) > ε* I x I + ε* I у | > ε* | χ + у |,
так что Ζ а X. С другой стороны, для данной точки χ £ Χ можно
положить x=x-\-y£Zc у = 0 £Y. Итак, XcZ.
Пусть ί7* временно обозначает множество всех локально
интегрируемых функций, носители которых содержатся в конусе X.
Аналогично, пусть U* — множество всех локально
интегрируемых функций, носители которых содержатся в конусе Υ. Если
f £ U* и g ζ U+, то, в силу свойства 3.3.2, носители функций
/ и g удовлетворяют условию 3.3(1). Поэтому, согласно 3.2.1,
свертка / * g существует и является локально интегрируемой
функцией. Кроме того, носитель свертки / * g содержится в
конусе X, откуда следует, что / * g с U*.
3.6. Свертка двух гладких функций
Если φ и ψ — гладкие функции на Rq, то их свертка φ * ψ
не всегда является гладкой функцией, даже если она определена
во всех точках χ £ JS9.
Пример. Пусть μ — гладкая функция на JB1, такая, что μ (χ) =
= 0 при | χ | ^ 1/4 или | χ | ^ 1/2, и пусть
00
φ(ζ)=ι|>(*)= 2 μ [2,П| (х-η)].
П=-оо
Тогда
φ'(χ)=γ(χ)= f 2|η,μ'[2,η| (*-»)]-
Π=-οο
Если χ φ О, то интегралы с бесконечными пределами
+ 00 +0О
\ y(x — t)\p(t)dt и \ <р(ж —ί)ψ'(ί)Λ
*) То есть является дополнением к выпуклому,— Прим. перев.

142 Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
сводятся к интегралам по ограниченному интервалу. Поэтому
свертки χ = φ * ψ и χ' = φ * ψ' существуют для любого χ φ CL
С другой стороны,
χ(0)= Σ 2-ΐ"'α Ηχ'(0)= 2° b,
П= - οο П= - οο
где
α = ^ μ( — t))x{t)dt и δ= \ μ( — ί)μ'(ί)άί.
— ΟΟ —00
Отсюда следует, что свертка φ * ψ определена в точке χ = 0r
а следовательно, и всюду на В1. Определена или нет производная
χ' = φ * ι|/ в тцчке # = 0, зависит от 6, и можно выбрать μ таким
образом, чтобы ЪфО. Тогда χ' (0) = ±оо и χ' (χ) не стремится
ни к какому конечному пределу при χ ->- 0. Таким образом, хотя
свертка φ * ψ гладких функций φ и ψ определена в точке χ = О,,
она не является в этой точке гладкой функцией 1).
Будем говорить, что свертка φ * ψ гладких функций φ, ψ
на Bq определена гладко, если для любых к, Ι ζ Pq свертка
φ(&) * φ(0 существует на Вд и непрерывна, а свертка | <р<*> | *·
* | ψ(*> | локально интегрируема. В этом случае
(φ * г|))<ь> = <p(ft) * -ψ = φ * ψΜ (1)
для всякого к £ Pg. Действительно, из предположения
непрерывности следует, чтоэ функция
χ
Φj (x) = \ dueJ \ φ'Α/) (u — t) ψ (t) Г'
о ля
непрерывна. Интегрируемость свертки | φ**/ | * | Ψ I позволяет
изменять порядок интегрирования, что приводит к равенству
φ j = ψ _ ψ;· π. в. на Б9, где Ψ = φ * ψ и Ψ;· — функция,
постоянная по ξ^ (у'-й координате точки х) и равная Ψ при ξ7· = О·
Очевидно, обе функции Ψ и Ψ;· непрерывны, так что равенство
Фу = Ψ —: Ту справедливо на всем R9. Взяв производную по ξ/
от обеих частей этого равенства, получим формулу φ(^>*·ψ =
= (φ *·ψ)(*Λ что доказывает первое из равенств (1) при к = е^
Кроме того, мы доказали, что функция (φ * ψ)^ непрерывна. Для
произвольного к первое из равенств (1) и непрерывность (φ * ·ψ)^
доказывается с помощью g-мерной индукции. Второе равенства
следует из первого и коммутативности свертки.
г) На самом деле показано только, что формальное дифференцирование
под знаками интеграла и бесконечной суммы приводит к расходящемуся
выражению. Однако более подробное рассмотрение показывает, что
производная χ' (0) действительно не существует.— Прим. перев.

3, Теоремы существования для сверток
14S
Таким образом, доказано, что если свертка двух гладких
функций определена гладко, то она является гладкой функцией.
Если λ — вещественное число и свертка φ * φ определена
гладко, то свертки (λφ) * ·ψ и φ * (λψ) тоже определены гладко и
равенства (λφ) * ψ = φ * (λψ) = λ (φ * ψ) справедливы всюду. Если
φ, ψ и χ — гладкие функции и свертки φ * ψ и φ * χ определены
гладко, то свертка φ * (ψ + χ) также определена гладко и всюду
равна сумме φ * ψ + φ * χ.
Понятие гладкой свертки будет использовано при определении
свертки двух обобщенных функций (гл. 6). Оно позволит
распространить на свертку обобщенных функций важное свойство (1)-
3.6.1. Теорема. Если /, g—локально интегрируемые функции^
такие, что свертка \ f | * | g | — локально интегрируемая
функция, и h, k — гладкие функции с ограниченными носителями, то>
свертка (/ * Щ * (g * к) определена гладко.
Доказательство. В силу 1.4(7) и 3.4.4, для произвольных г, s £
ζ Pq имеем
ф = (/ * fc)(D * (g * fc)<·) = (/ * ft(r)) * (gr * &<*)) = (/ * g) * (fc<r) * &<*))r
откуда следует, что Ф непрерывна. Далее,
Ψ = I (/ · /*)(r) I * I te * *)<·> К (I / I * I /*(r) I) * (I g I * I &(s) l)=
= (Ι/Ι·Ι*Ι)·(|Λ(,4·|Λ«Ι)*
и потому Ψ локально интегрируема (поскольку она ограничена
непрерывной функцией).

4.
Функции
с интегрируемым
квадратом
4.1. Основные определения и теоремы
В этом параграфе мы напомним несколько хорошо известных
результатов, доказательства которых можно найти во многих
учебниках х). Пусть О — открытое множество в В9. Тогда
справедливы следующие неравенства:
ф/+г|*)иг«фл°)',2+(|И,/!. (1)
ji«<(|i/V(jH's· <2>
Эти неравенства справедливы для произвольных измеримых
функций /, g при условии, что для интегралов допускаются
бесконечные значения. Неравенство (1) чаще всего называют
неравенством Минковского, а неравенство (2) — неравенством Шварца.
Однако неравенству (2) было ранее установлено Буняковским
и еще ранее — Коши, и поэтому оно известно также как
неравенство Буняковского — Шварца или неравенство Коши — Буня-
ковского — Шварца. В дальнейшем мы будем называть его
геометрическим неравенством. Аналогичным образом неравенство
(1) можно называть арифметическим неравенством.
Введем обозначение
1Ш1 = ф/1!)"2;
О
тогда неравенства (1) и (2) можно переписать следующим образом:
II (/ + g) II ^ II / II + II S II (арифметическое неравенство), (3)
II V\fS I II^V"H/ \\Л\ё Il (геометрическое неравенство). (4)
Далее, очевидно, что
Ι|λ/||= | λ HI/11
для любого вещественного числа λ. Из этого равенства и
неравенства (3) следует, что если λ, μ — числа, то
Ι|λ/+μ«Τ||<|λ 1Ц/Ц+ | μ |||*||. (5)
) См., например Никольский [1*].— Прим. ред.

^. Функции с интегрируемым квадратом
145
Если || /|| < оо, то функция / называется функцией с
интегрируемым квадратом на О. Множество всех функций / с
интегрируемым квадратом на О мы будем обозначать через L2 (0). Из
неравенства (5) следует, что если / £ L2 (О) и g £ L2 (О), то также и λ/ +
-f- μ# £ L2 (О). Другими словами, L2 (О) — линейное
пространство. Из неравенства (4) следует, что если f,g£L2 (О), то их
произведение fg является интегрируемой функцией.
Будем говорить, что последовательность функций /п 6 L2 (О)
сходится в среднем квадратическом к функции / 6 L2 (О) и писать
fn X /, если || /п — /|| -*0 при гс ^ оо. Если /η X / и gn X g, то
J|/n*»-/*|-*0 И J/njTn-Л/*.
Будем говорить, что последовательность функций /η £ L2 (О)
является последовательностью Коти, если для любого ε >0
существует номер п0, такой, что из условия т, η >п0 следует,
что || /т — /п|| < ε. Пространство Ζ,2 (О) полное, т. е. каждая
последовательность Коши сходится в среднем квадратическом
к некоторой функции / 6 L2 (О).
Если /А ζ L2 (О) для каждого индекса А, принадлежащего
интервалу 0< А < оо, и если ||/А —/|| -^0 при А ->оо, то
говорят, что /А сходится в среднем квадратическом к / при А ->- оо.
4.2. Регулярные последовательности
В дальнейшем мы будем в основном рассматривать функции
с интегрируемым квадратом на В9.
4.2.1. Теорема. Если], g 6 L2 (Rq), то свертка f * g определена
всюду и является ограниченной непрерывной функцией.
Доказательство. То, что свертка всюду определена, очевидно·
Кроме того,
\(f*g)(x + h)-(f*g)(x)\*=\ ^[f(x + h-t)-f(x-t)]g(t)dt\2<^
<\ |/(* + Λ —*) — /(* —*)P*j \g(t)\*dt-+0 при h-+0,
так что свертка / * g непрерывна. Наконец, ограниченность
вытекает из следующей оценки:
I (/·*)(*) |» = | J/(*-*)*(<)Λ |*< j |/(*-ί)|«Λ j|g(i)|2di=
= jl/l2-j№

146
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
4.2.2· Теорема. Если f — функция с интегрируемым квадратом
Ha~Rq и φ — гладкая функция с ограниченным носителем, то
свертка f * φ является гладкой функцией с интегрируемым квадратом
на В9.
Доказательство. Так как / — функция с интегрируемым
квадратом на В9, то она локально интегрируема на В9. Следователь·
но, согласно равенству (7) § 1.4, свертка /*φ — гладкая
функция. Кроме того, если А — носитель функции φ, то, в силу
геометрического неравенства,
l/*<pM(f l/(*-0<P(*)l*)2<j \f(*-t)|2ώ·Μ,
A A
где M= \ Ι φ |2. Поэтому
j |/*φ|2<Μ j dx [ \f(x — t)\*dt =
R4 rQ A.
= M jdi \ \f(x — t)\2dx = M (ώ||/||2<οο,
откуда следует, что / * φ — функция с интегрируемым квадратом.
Из 4.2.2 вытекает, что если / — функция с интегрируемым
квадратом на В9, то все члены регулярной последовательности
/ * δη (см. гл. 2) также являются функциями с интегрируемым
квадратом на В9.5
4.2.3· Теорема. Если f — функция с интегрируемым квадратом
на В9, то
/*δ„Λ/.
Другими словами,, если f £ L2 (В9), то
II / * δη — /|| ->0 при тг-^оо.
Доказательство. Имеем
R*
и, в силу геометрического неравенства,
\f*bn-f\2<l\f(x-t)-f(x)\2\bn(t)\dt.M0. (1)
Поскольку \ | / (х — t) — f (χ) |2 dx ->- 0 при t -> 0, то
^\f(x—t) — f(x)\2dx<En при |ί|<αη,
где εη ->-0 при η ->-οο.

4. Функции с интегрируемым квадратом
147
Поэтому, в силу неравенства (1),
||/*бп-/||2<||бЛ01^ \\t(x-f>-f(x)\*dx-M^
< J Ι β„ (ί) I dt.BnM0 = Mlen -+ О,
откуда и следует утверждение теоремы.
4.2.4. Теорема. Пусть fn — последовательность функций с
интегрируемым квадратом на Rq, сходящаяся в среднем квадратиче-
ском к /. Тогда последовательность fn * δη также сходится в
среднем квадратическом к /. Другими словами, если fn £ L2 (R9) и
II/η-/II-* 0, то и ||/η·δη-/||->0.
Доказательство. Справедливо неравенство
|(/η-Λ·βη|<J \fn(t)-f(t)\V\8n(x-t)\V\8n(x-t)\ dt
и, в силу геометрического неравенства,
|(/n-/)*Sn|2<j l/n(t)-f(t)\*\6n(x-t)\dt-M0.
Следовательно, || (/„—/) * δη||2 < || /n — /||2 Ml, так что,
согласно неравенству Минковского,
II/η * δη - /|| <|| (/„ - f) * δ„|| +|| / * δη - /|| + 0,
в силу теоремы 4.2.3.
2 2
4.2.5. Теорема. Если /n, gn 6 L2 (Β9), /η -> / и gn-> g, ma
fn* gn -*f * S равномерно.
Доказательство. Действительно, в силу геометрического
неравенства, мы имеем
\fn*gn-f*g\<\(fn-f)*gn\+\f*(gn-g)\<
<]\fn(x-t)-f(z-t)\-\gn(t)\dt +
+ J \f(x-t)\~\gn(t)-g(t)\dt^
+ (J |/(*-*)P*· J If» (t)-g(t)Ι2ώ)1/2-
=Ι|/η-/ΙΙ·|Ι^ΙΙ+ΙΙ/ΙΙ·ΙΙ?η-δΊΙ-ο,
откуда и следует утверждение теоремы.

148 Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
4.3. Преобразование Фурье функций
« интегрируемым квадратом
Излагаемая здесь теория принадлежит Планшерелю и является
частью классического анализа. Доказательства мы опускаем, но
их можно найти во многих неэлементарных курсах х).
Все рассматриваемые в этом параграфе функции считаются
функциями из L2 (Л9), и, следовательно, они определены на всем JSg.
Пусть
А
FA(x) = (2Yn)-* je*Mf(t)dt, (l)
-А
где xt — скалярное произведение 11х1 + . . . + \qxq векторов
χ = (ξχ, . . ., lq) и t = (хц . . ., tg), и интегрирование проводится
по g-мерному интервалу —A<t<iA, т. е. по множеству всех
точек £, таких, что —А <С xj < A, j' — 1, . . ., q. Мы считаем,
А
что А — положительный вектор, так что обозначения \ и —А <
-А
<С t < А чисто символические. Аналогичным образом, мы
приписываем более общий смысл неравенству
а < Ъ. (2)
А именно, если а и δ — вещественные числа, то неравенство
следует понимать в обычном смысле. Если же а, Ъ £ JS5, то неравенство
{2) означает, что аналогичные неравенства справедливы для всех
координат векторов а и Ъ. То есть если а = (а1? . . ., aq) и Ъ =
— (βι» · · ·» Pg)> т0 αί < Pi Для i = 1» · - ·» ?. Наконец, если а —
вещественное число и Ь £ Bg, то неравенство (2) следует понимать
так: а < β^ для i = 1, . . ., д. Другими словами, α меньше любой
координаты вектора 6. Аналогично, если α £ JSg и 6 —
вещественное число, то неравенство (2) означает, что каждая координата
вектора а меньше, чем Ъ.
Аналогичное соглашение примем относительно нестрогого
неравенства а ^.Ь. Итак, каждый из интервалов
а << х<С Ь, а < χ ^6, a ^Lx < Ь, α ^ # ^ &
определен при χ £ 22g независимо от того, являются ли а, 6
вещественными числами или векторами из Rq.
Поскольку интеграл в равенстве (1) понимается в смысле
Лебега, несущественно, по какому из интервалов —A<x<ZA,
—А <С х ^ А, —А ^ χ < А или —Ά ^ χ <! А проводится
интегрирование.
L) См. примечание редактора на стр. 144.

4. Функции с интегрируемым квадратом
149
Хорошо известно, что если / ζ L2 (R4), то FA сходится в
среднем квадратическом при А -> оо к некоторой функции F ζ L2 (22g).
Кроме того,
11^11=11/11· (3)
Введем обозначение F = & (/) и назовем функцию F
преобразованием Фурье функции /.
Замечание. Вместо того чтобы исходить из (1), было бы проще
исходить из аналогичного выражения, но с exxi вместо е***/2. Это
обычный способ введения преобразования Фурье. Некоторые
авторы, например Л. Шварц, берут в равенстве (1) в качестве
экспоненты функцию е2лШ. Каждый способ обладает своими
преимуществами и своими недостатками. Наше определение
выбрано с целью получить в дальнейшем наиболее простую связь
с теорией рядов Эрмита. Читатель должен иметь в виду, что
появляющиеся далее формулы могут отличаться своими
коэффициентами от аналогичных формул, получаемых при других
определениях преобразования Фурье.
Если / 6 L1 (JS9), т. е. если / интегрируема на Rq, то
преобразование Фурье функции / задается обычным интегралом Лебега
F (х) = (2 УН)-* j 4*Щ (t) dt.
Если / принадлежит одновременно пространству L2 (Л9) и 1} (Ва),
то оба определения совпадают.
В частности, преобразование^ Фурье функции β"αχ2(α>0)
равно 2-gor9/2e-*2/16a, и, полагая a = 1/4 и q = 1, мы получим
ρ (β-*/4) = е-**/4. (4)
Приводимые ниже формулы следуют непосредственно из
определения при условии, что все встречающиеся в них функции при>-
надлежат пространству L2 (JS9),
lsF(x) = 2i^(fW(x)), (5)
№(х) = ±&(Ы(х))9 (6)
e-*°*/ZF(x) = ^(f(x + a)), (7)
F (χ + a) = ρ (e™*nf (x)), (8)
где a = (αχ, . . ., aq) и ах = αχξχ + . . . + ag|g — скалярное
произведение векторов an χ. Далее, если /, g и их произведение fg
принадлежат L2 (В5), то
& (fg) = (2УИ)~*&{f).&(g). (9)

150 Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Это равенство справедливо и без предположения, что fg £ L2 (Bg),
но преобразование Фурье в его левой части понимается в этом
•случае как обычный интеграл Лебега
А
а не как предел в среднем интеграла \ .
-А
Из равенства (3) следует, что если последовательность fn
функций с интегрируемыми квадратами сходится в среднем квад-
ратическом к /, то последовательность $F (fn) сходится в среднем
квадратическом к ^(/).
Если F = $F (/), то функция G (х) = F (—х) называется
обратным преобразованием Фурье функции /,
Это название оправдывается следующими свойствами:
S \& (/)] = / и &[§ (/)] = /.
4.4. Две аппроксимационные теоремы
Сейчас мы собираемся показать, что каждую функцию
/ £ L2 (Bq) можно приблизить в среднем квадратическом
функциями вида е~х2/2Р (х)^ где Ρ (χ) — многочлены. Докажем сначала
две вспомогательные теоремы.
4.4.1. Теорема. Если f £ L2 (Bg), то для каждого ε >0
существуют число α >0w линейная комбинация g функций вида
e-ax2eibx (Ь£В9), (1)
таких, что \\ f — g\\ < ε. При этом число а можно выбрать сколь
угодно малым.
Доказательство. Пусть F = JF (/). Тогда / = ^ (F), т. е. если
А
/л = (2УгН)"« \ e-W*F(t)dt, (2)
Λ
2
то fA —> /. Поэтому для данного ε > 0 существует число А, такое,
что
||/-/Α||<ε/3. (3)
Существует также сколь угодно малое число а >0, такое, что
ΙΙ/Α-£α/ΑΐΙ<ε/3, (4)
где Е* (х) = е~ах* и ах2 = α (ξ? + . . . + Ц).

4. Функции с интегрируемым квадратом
151
В дальнейшем обозначим через В множество всех целых чисел
и через Bq множество всех точек из Ttq с целочисленными
координатами.
Для каждого натурального числа μ можно разбить интервал
—А <С х ^ А на (2μ)ί подынтервалов Ιμτη, определяемых
неравенствами
μ ^- μ \ ч. /»
и записать
/a=(2V"S)-*2 J F(t)ezv(—jxt)dt (-μ<ι»<μ).
\ιτη
Если мы заменим экспоненту ее значением на левом конце
интервала /μ7η, то получим следующую сумму:
SVL^(2Vn)^2mv(-TYmx) J ^
dt.
μτη
Покажем теперь, что существует номер μ, такой, что
||^/А-£Ч11<е/3. (5)
Действительно,
= (21Ля)-9е-«-2/2 2 j F(t)[exp (—%-a*—Ltx)-
-Θχρ (—τ^-ττ™*)] dt'
Легко проверить, что все производные
-^-ехр(—^--i-ta)
ограничены при х, t 6 jRg. Отсюда следует, что для каждого
фиксированного Μ >0, существует номер μ, такой, что
ПРИ *6^μ?η» ж 6 К9· Значит,
\EafA-EaSll\^(2Vnre-^ 2 J Ι^ΟΙΤΓ*
m W

152
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
И
А
WFfA-ErSvW^&VJi)-* ( j e-"**dx)i/2 j \F(t)\dt.±f.
Выбрав М достаточно большим, можно сделать правую часть
меньше, чем ε/З, для подходящего μ, что доказывает оценку (5).
Из (3), (4) и (5) следует, что
||/-£%!!< ε.
4.4.2. Теорема. Для любого вещественного числа а, такого, что
О < а < 1/4, и любого Ъ £ Rq последовательность
e-*/4/>v(s)f
где
V
Ρν(χ)= Σ4τ№+ί1>χϊ*> л—г-06·
κ=0
сходится в среднем квадратическом к
Доказательство. Имеем
е-ах2+гЪх__ e-x2/bpv (χ) = <?-*2/4Γν (χ),
где
rv (χ) = еъ*2+ях—ρν (я).
Ясно, что rv (ж) стремится к нулю почти равномерно на 22*.
Поскольку
|ηζ2 + ibx Ι <ηζ2 + 6*/2η,
το
οο
Ι Μ*) Κ 2 -5τρ|η^2+^Ικ<^2+&2/η·
κ=ν+1
Следовательно,
β"*2/2 Ι Γν (X) |2<^е-2а*2+2Ь2/л?
и с помощью стандартных рассуждений мы получаем, что
||*-*·/*Γν(ж) ||2= j е-*2'2 | rv(ж) Рас -* 0 при ν -* оо.

4. Функции с интегрируемым квадратом
15а
4.5. Основная аппроксимационная теорема
Под многочленом Ρ (χ) мы понимаем произвольную линейную
комбинацию степеней
*" = №...£«, где *=&, ...,уеВ«и n«(vt, ...,νβ)£2*
(если ν/ = О для некоторого ;, мы полагаем ξ? = 1, даже если
(4·-α)^+^=(4--α)(ε+...+©+Μβιΐι+·.·+βΑ)»
ясно, что функции Ρν (ж) в теореме 4.2.2 являются многочленами.
Заметим, что если q — 1, то значение символа х2 не зависит
от того, считаем ли мы его скалярным произведением или степенью.
Это обстоятельство не может привести к недоразумениям.
4.5.1. Теорема. Для каждой функции f ζ L2 (22е) и каждого
числа ε >0 существует многочлен Р, такой, что
||/(i)-r«W(i)|<e. (1>
При этом, если функция f вещественная, то можно выбрать
многочлен Ρ с вещественными коэффициентами.
Доказательство. Существование многочлена с комплексными
коэффициентами следует непосредственно из теорем 4.4.1 и 4.4.2.
Этот многочлен можно записать в виде Ρ (χ) -\- iQ (x), где
коэффициенты многочленов Ρ и Q вещественны, так что
|| / φ _ е-**/ьр (х) — ге-*2/4() (χ) || < ε.
Если / вещественна, то отсюда следует оценка (1), поскольку
II S\\ ^11 g + Щ\ Для произвольных вещественных функций g и h.
Замечание. Теорему 4.5.1 обычно доказывают только для
случая q = 1 и называют теоремой плотности, поскольку она
утверждает, что функции вида е—х2^Р (х) плотны в L2 (JSa).
Классическое доказательство этой теоремы совершенно другое, причем
в классической формулировке вместо коэффициента 1/4 фигурирует
1/2. Мы предпочитаем 1/4, поскольку это упрощает дальнейшие
формулы. При помощи простой замены переменных всегда можно
перейти от 1/4 к 1/2 и обратно. Заметим, что все приведенные выше
результаты справедливы и для случая, когда / принимает значения
в произвольном комплексном банаховом пространстве.

154
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
4.6. Многочлены Эрмита вещественной переменной
Под многочленами Эрмита вещественной переменной χ
понимают функции
Нп (*) = ( — Ι)71**2'2 {е-*Ч*уп\ (1)
где η = О, 1, 2, # . . Дифференцируя, получаем
#0 (*) = 1, Нг (х) = ж, Я2 (ж) = я2 - 1,
Я3 (х) *= ж8 — Ъх, Я4 (аг) = я4 — 6я2 + 3,
Пусть
fcn (а?) = (_1)V2/4 (е-*2/2)<п>. (2)
Если ввести обозначение Е^ (ж) = £αχ2/^ >ρο ^|^ н ^2) можно
переписать в виде
Нп = (-1Г Е2 (£~2)<η> и кп = £-1Яп. (3)
Легко видеть, что
π по индукции, что
Умножая обе части этого равенства на (—1)η+1 Ε2, получаем
Нп+1 = *ЯП - пНп-х (4)
в силу (3). Умножая обе части (4) на Е'1, приходим к равенству
кп+1 = хкп — пкп_г.
Поскольку Я0 = 1 и Нг = х, по индукции из равенства (4)
следует, что Нп есть многочлен степени точно η и что коэффициент
при хп равен 1. Поскольку Нп — многочлен и кп — Е~гНп, то
lim кп} (х) = 0 при га, р = 0, 1, ... .
|х|-*оо
Дифференцируя равенство (1), получаем
Нп = —Яп+1 + #ЯП
и, подставляя (4),
Нп = nHn-i при η = 1, 2, .... (5)
Ясно, что, в силу (3) и (2),
ктК = (-l)"#m (£-2)(П) = (-1Г Нп (Е-*)М.

4. Функции с интегрируемым квадратом
155
Интегрируя по частям, получаем
j kmkn = J Я№* = J HT}E-z, (6)
где интегрирование проводится от —оо до +оо. Поскольку Нт
и Нп — многочлены степени т и η соответственно и их старшие
коэффициенты равны 1, согласно (6) и (5), имеем
\ kmkn = 0 при т φ η и [ k\ = п\ \ Е~2 = п\ ΥΊπ. (7)
Первое из равенств (7) означает, что функции кп ортогональны.
Положим
hn = (V2an\yl/2kn, (8)
т. е.
hn (χ) = ( — i)n(Y2n?i\)-i/2ехУь (e-*V2)(n)f (9)
или
hn =(-i)n(V2anl)-i/2E(E-*yn). (10)
Теперь из (7) следует, что
\ hmhn = 0 при тфп и ι Л* = 1.
Другими словами, функции fc0, fex, ... ортонормированы.
4.7· Многочлены Эрмита нескольких переменных
Вернемся теперь к g-мерному случаю. Пусть
х = (lv ..мУбВ5 и η = К, . . ., vg) 6 Р*;
определим
Hn(x)=HVl(ll) ... ffVq(lq).
Отсюда, согласно 4.6(5), имеем Н%р = VjHn-e. и, по индукции,
4-#η>= (Jt)i #*-* при 0<ft<rc и Я?> = 0 при ft>л, (1)
где п\ = vx! . . . νς! (см. приложение). Коэффициенты многочленов
#п при #п равны 1, а показатели остальных степеней меньше,
чем п. Далее, хп есть единственный член многочлена Нп, степень
которого равна степени Нп. Вспомним, что обычно степенью
многочлена
Ρ (χ) = Σ ат*т И = (μι, · · ·, μ«))

156 Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
называется наибольшее из чисел μ1 + . . . + μ^ для всех
встречающихся в сумме т. Таким образом, степень многочлена Нп
равна п. Все многочлены степени нуль суть постоянные функции.
Покажем теперь, что каждый многочлен Ρ (χ) можно
представить в виде линейной комбинации многочленов Эрмита.
Действительно, это утверждение, очевидно, справедливо для многочленов
Ρ степени нуль. Предположим, что оно справедливо для всех
многочленов степени не выше κ, где κ — некоторое
неотрицательное целое число. Тогда, если Ρ — многочлен степени κ + 1
и em — коэффициент при хт в многочлене Ρ (χ), то разность
*(*)-ΣβΑ(*),
т
где суммирование проводится по всем таким т, что μχ + · - ·
... + μ^ = κ + 1, является многочленом степени <!κ и, по
предположению индукции, ее можно представить в виде линейной
комбинации многочленов Эрмита; отсюда следует утверждение
теоремы в общем случае.
4.8· Ряды функций Эрмита
Пусть
М*) =Ц(^1) · · · Kq(lq)-
Тогда
\ hmhn = 0 при тфп и I /4 = 1»
т. е. функции hn ортонормированы на В9. Далее,
К(х) = (2п)-«*-ф=-е-*УЬНп(х), ηζΡ«. (1)
Рассмотрим теперь ряд вида
2 cnhn, где сп — комплексные числа. (2)
Будем говорить, что такой ряд сходится безусловно в среднем
квадратическом к функции / £ L2 (В5)» и писать / = 2 стЛп*
ngP
если для любого εν>0 существует конечное множество Ν0 а Р9,
такое, что
Н/-2сА.||<в
ηζΝ
для каждого конечного множества Ν, удовлетворяющего условию
N0 cz Ν α Ρ9.

4:. Функции с интегрируемым квадратом
157
4.8.1. Теорема. Ряд (2) сходится безусловно в среднем квадрати-
чеспом (к некоторой функции с интегрируемым квадратом) тогда
и только тогда, когда Σ I сп I2 < °°·
п£Р*
Доказательство. Предположим сначала, что все числа сп
вещественны. Пусть Νν (ν = 1, 2, . . .) — множество всех η =
== (ν1? . . ., vg) ζ _Pg, таких, что ν7· ^ ν (j = 1, . . ., g), и пусть
/ = 2 crAi> так что функции /v вещественны.
η6Νν
Поскольку функции hn ортонормированы, имеем
j (/μ-/ν)2=| ( Σ *ηΚ)2= Σ & (3)
где Μμν = iV№\iVv при μ > ν, τ. е. Μμν — множество всех точек
и, принадлежащих Νμ, но не принадлежащих iVv. Если Σ сп <
ηζΡ*
<С оо, то, согласно (3), /ν — последовательность Коши.
Поскольку пространство L2 (llq) полное, существует функция / ζ L2 (JSg),
такая, что /v сходится в среднем квадратическом к /. Поэтому
существует номер v0, такой, что ||/ —/ν||<ε/2 при ν > ν0.
Можно выбрать ν0 таким образом, чтобы, кроме того,
Σ Сп< ε/2. Если N — конечное подмножество из Рд,
ηζΡ*\Νν
О
такое, что iVVo с: ΛΓ, то
η£Ν
η^Ν ηζΡ*\Νν
Это и означает, что ряд (2) сходится безусловно в среднем
квадратическом к /.
Обратно, предположим, что ряд (2) сходится безусловно
в среднем квадратическом к /. Тогда последовательность /ν
удовлетворяет условию Коши. Отсюда, в силу (3), ряд Σ сп удов-
ηζΡ*
летворяет условию Коши и потому сходится. Это завершает
доказательство в случае вещественных сп.
Если сп — комплексные числа, то сп = ап + ibn, где ап и Ъп
вещественные. Поскольку Σ I сп I2 < °° тогда и только тогда,
когда 2 fln<°° и 2ьп<оо,а ряд Σ спК сходится без-
условно в среднем квадратическом тогда и только тогда, когда

158
Ч, III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
это верно для рядов 2 anhn и 2 bnhn, то справедливость
перз пбРд
теоремы для комплексных сп следует из только что доказанного
результата.
4.8.2. Теорема. Ряд (2) сходится безусловно в среднем квадра-
тическом к функции f тогда и только тогда, когда f ζ L2 (JS9)
и сп = j fhn.
Доказательство. Сохраним обозначения, введенные при
доказательстве предыдущей теоремы. Предположим сначала, что числа
сп вещественные и что ряд 2 cnhn сходится безусловно в
Средня
нем квадрати^еоком к функции /, так что / £ L2 (JSg). Согласно
геометрическому неравенству, имеем
il(/-/v)M<(j|/-/v|2)1/2-i.
Поскольку \ | / — /v I2 ^-0, то J fvhn ->· I fhn при ν ->οο. Из
ортонормированности функций hm следует, что \ /vfen = сп для
достаточно больших v. Следовательно, сп = \ fhn.
Обратно, предположим, что / £ L2 (В9), сп = \ fhn и / —
вещественная функция, так что коэффициенты сп и функции /v
также вещественны. Тогда
0< j (/-/v)2= J /2-2 j //ν + j /ϊ; (4)
интегрирование ведется по всему Rq. Вспоминая, что функции hn
ортонормированы, легко видеть, что
Таким образом, из (4) следует, что
o<J/2-2 й>
ntNv
и, устремляя v-^oo, получаем неравенство

4. Функции с интегрируемым квадратом
159
известное под названием неравенства Бесселя. Отсюда, в силу 4.8.1,
вытекает, что ряд (2) сходится безусловно в среднем квадратиче-
ском к некоторой функции g £ L2 (JBg). Покажем, что g = / почти
всюду. С этой целью заметим, что мы установили совпадение
коэффициентов Эрмита сп функции / с коэффициентами Эрмита функции
g. Итак, все коэффициенты Эрмита разности / — g равны нулю.
Осталось показать, что если все коэффициенты Эрмита функции h
равны нулю, то h = 0 почти всюду.
Согласно 4.5.1, существует последовательность таких
многочленов Pv, что последовательность ρν (χ) = e~x2^Pv (χ) сходится
в среднем квадратическом к функции ft. Но каждый pv является
линейной комбинацией функций hn. Поскольку I hhn = 0, отсюда
следует, что I hpv = 0 при ν = 1, 2, .... Далее, \ fepv->- \ h2,
так что \ h2 = 0. Следовательно, h = 0 п. в.
Эти рассуждения показывают, что g = f п. в., что завершает
доказательство теоремы для вещественных функций /.
Если / — комплексная функция и / £ L2 (JS9), то / = g + iky
где g, k — вещественные функции и g, к ζ L2 (В,9). Теперь
доказательство без труда сводится к вещественному случаю.
4.8.3. Теорема. Если f£L2(Rq) и сп= \ fhn, то
1Л2== 2 \с"\2 (равенство Парсеваля).
ηζΡΐ
Доказательство. Предположим сначала, что функция /
вещественная. В этом случае числа сп вещественные. Из ортонормиро-
ванности функций hn следует, что для каждого конечного
подмножества S из Pq справедливо равенство
J (/-2сл)2=1/2-Зс»·
Так как, в силу 4.8.2, ряд 2 спК сходится безусловно в сред-
нем квадратическом к /, из приведенного выше равенства следует
справедливость теоремы для вещественных /.
Если / — комплексная функция и / £ L2 (Rq), то / = g + ik,
где g, k — вещественные функции ш g, k ζ L2 (JSg). Теперь
доказательство сразу же сводится к только что доказанному
вещественному случаю.

160 Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
4.9. Преобразование Фурье рядов Эрмита
Пусть, как и прежде, Ε (χ) — функция е*2/4, где х2 = ξ* + . . .
... -н lq для χ = (ξ1? . . ., ξς), и пусть / — гладкая функция
на JSg. Примем следующее обозначение:
dPf = Ε (£-г/)(п) Для η ζ 2* (1)
Тогда из 4.6(2) получим
(ТЕ-1 = (-l)n &п. (2)
В силу (1),
так что, используя 4.3(5), 4.3(6), с помощью простых выкладок
получаем & (<f*f) = tit* IF (/) при условии, что £Ц, f*P £ L2 (В9).
Отсюда по индукции приходим к
ρ (dkf) = ihdk JF (/), (3)
если if1/, /<w> £ L2 (jR*) при 0 < m < &. Кроме того, имеем
& (К) = (- ί)η JF (dnE-*) (в силу (2))
= (-1)паГ&(Е-*) (в силу (3))
= (— i)nrfn^"1 (B СИЛУ 4·3 (4))
Wnfcn. (в силу (2))
Следовательно, согласно 4.6(8),
JF (К) = ГА». (4)
4.9.1. Теорема. Имеем /=2 ^Л тогда и только тогда,
когда
.τ(/)=Σ tncnhn.
Доказательство. Пусть N — произвольное конечное
подмножество из PQ. Тогда, в силу 4.3(3) и (4),
|I^(/)-E^»M4I/-E*aJ.
η£Ν ηζΝ
откуда вытекает утверждение теоремы.

5.
Скалярное произведение
5.1. Скалярное произведение двух функций
В скалярном произведении
(/, *)= j fg=\ f{x)g{x)dx
RQ RQ
двух функций / и g интеграл всегда понимается в смысле Лебега.
При этом, как и в случае свертки, принимается следующее
соглашение: (обычное) произведение fg равно нулю в тех точках, где
хотя бы один из сомножителей обращается в нуль независимо от
того, принимает ли второй сомножитель конечное или бесконечное
значение или он вовсе не определен. Из этого соглашения,
например, следует, что скалярное произведение (/, g) существует, если
функция / определена на открытом множестве О, функция g
определена на JSq, носитель g лежит внутри О и произведение fg
локально интегрируемо на О.
Поскольку интеграл понимается в смысле Лебега, из
существования скалярного произведения (/, g) следует существование
скалярного произведения (|/|, | g |). Обратно, если существует
скалярное произведение (|/ |, | g |) и, кроме того, произведение
fg — измеримая функция, то существует и скалярное
произведение (/, g).
Заметим, что скалярные произведения частного вида уже
использовались в гл. 4.
Очевидно, справедливы следующие равенства:
(Λ g) = (*, /)■
(λ/, g) = (/, λ*) = λ (/, jf),
(/ + g,h) = (/, h) + (g, Λ), (1)
(/. g + h) = (/, g) + (/, Λ),
(fg* h) = (/, gh).
Используя обозначение f (χ) = / (—χ), можно записать
(/, g) = Jf(o -t)g (t) dt.

162
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Таким образом, скалярное произведение (/, g) определено при
условии, что свертка / * g существует в нуле, и справедливо
равенство
(Л*) = (7**)(0). (2)
Этот факт позволяет свести теоремы, относящиеся к скалярному
произведению, к теоремам о свертке.
Вместо равенства (2) мы можем также написать равенство
(/,έΤ) = (/*?)(0), (3)
вытекающее из коммутативности как скалярного произведения
(первое из равенств (1)), так и свертки.
5.1.1. Теорема. Справедливо равенство
Cf,g*h) = (f*g,h) (4)
при условии, что свертка функций /, g, k ассоциативна в нуле.
Доказательство. Согласно (2), левая часть равенства (4) равна
[/*(?* h)] (0). Согласно (3), правая часть равенства (4) равна
Ц/ * g) *М (0). Следовательно, справедливость равенства (4)
следует из ассоциативности.
5.1.2. Следствие. Равенство (4) справедливо при условии, что
определена свертка (/ * g * h) (0).
5.2. Скалярное произведение трех функций
Под скалярным произведением (/, g, h) трех функций /, g и h
мы будем понимать значение свертки / * g * h в нуле:
(j,g,h) = (f*g* h) (0). (1)
5.2.1. Теорема. Скалярное произведение (/, g, h) существует
тогда и только тогда, когда интеграл
J f(t)g(u)h( — t—u)dtdu (2)
R29
существует в смысле Лебега.
Доказательство. Действительно, в силу (1) и 1.2(1), мы имеем
(/, g, fe)= j f( — t)g{t—u)h(u)dudt= j f(t)g(u)h( — t—u)dtdu9
откуда и следует утверждение теоремы.
Поскольку интеграл (2) понимается в смысле Лебега, из
существования скалярного произведения (/, g, h) следует существо-

5. Скалярное произведение
163
вание скалярного произведения (| / |, | g |, \ h |). Обратно, если
существует скалярное произведение (| / |, | g |, | Л |) и
произведение / (ж) g (ί/) А- (~х — у) является измеримой функцией на В29,
то существует и скалярное произведение (/, g, h).
5.2.2. Теорема. Если существует скалярное произведение (/, g, h),
то справедливы следующие равенства:
(/. g, *) = (/· *, a) = dg*h) = (f* h, g). (3)
Доказательство. Действительно, пусть существует (/, g, й);
тогда равенства
f*g*h = (f*g)*h=f*(g*h) = (f*h)*g
справедливы в нуле согласно теореме 1.2.1 и равенствам 1.2(2).
Отсюда и из определения скалярного произведения двух функций
следует справедливость равенств (3).
Свойства скалярного произведения (/, g, h) вытекают из свойств
свертки f * g *h. Подробное описание этих свойств мы опускаем.

6.
Свертка обобщенных
функций
6.1. Обобщенные функции конечного порядка
При изучении свертки обобщенных функций полезно знать
некоторые свойства обобщенных функций конечного порядка.
Говорят, что рбобщенная функция / на Вд имеет конечный
порядок, если существует непрерывная функция F на Вд, такая, что
/ = F(b) на jji Для некоторого к £ Tq.
6.1.1. Теорема. Если G— локально интегрируемая функция на
JZq и к £ JPq, то обобщенная функция f =■ G(fe) имеет конечный
порядок.
χ
Доказательство. Функция F(x) = I G(t) dt непрерывна и / =
о
= ^№+1), где к -\- 1 есть вектор, каждая координата которого
на единицу больше соответствующей координаты вектора к.
6.1.2. Теорема. Множество всех обобщенных функций конечного
порядка на Rq является линейным пространством.
Доказательство. Ясно, что если обобщенная функция / имеет
конечный порядок, то λ/ тоже имеет конечный порядок для любого
числа λ. Поэтому достаточно показать, что если fug имеют
конечный порядок, то их сумма / + g также имеет конечный порядок.
Пусть / = F(fe), g = G(Z), где F и G — непрерывные функции.
Пусть ρ £ Pg, причем ρ ^ к и ρ ^ I, и пусть
X X
F(x) = ( F (t) dtv-h, G(x) = j G (f) dtv~l.
о о
Тогда f + g = (F(z)+G (a?))»).
6.1.3. Теорема. Если обобщенная функция f обращается в нуль
вне ограниченного интервала /, то она имеет конечный порядок.
Доказательство. Существует непрерывная функция F на Z?a>
такая, что F<ft> = / в окрестности /2а (а > 0) интервала / для
некоторого к £ Pq. Пусть φ — такая гладкая функция, что φ (χ) *=*

β. Свертка обобщенных функций
165
= 1 на 1а и φ {χ) = 0 вне /2а. Тогда
/ = ^><р = 2 (-1Γ (ί) Wm,)(fe"m) (1)
m
и справедливость теоремы следует из 6.1.2.
Носителем обобщенной функции будем называть наименьшее
замкнутое подмножество в Rq, вне которого данная обобщенная
функция обращается в нуль.
6.1.4. Теорема. Пусть X — носитель обобщенной функции f
порядка к ζ Pq, т. е. f = FW, где F — непрерывная функция.
Тогда для любого а > О / можно представить в виде суммы
производных порядка ^ к непрерывных функций, носители которых
лежат в окрестности Ха множества X.
Доказательство. Пусть F — непрерывная функция на К9, такая,
чт0 / = jFW, и пусть φ — гладкая функция, равная 1 на Ха/3
и обращающаяся в нуль вне Ха. Теперь утверждение теоремы
следует из равенства (1).
6.2. Свертка обобщенной функции с гладкой функцией,
имеющей ограниченный носитель
Пусть φ — гладкая функция, обращающаяся в нуль при | χ ] >
>>а >0. Если /п — фундаментальная последовательность на
открытом множестве О a IP, то свертки fn * φ образуют
фундаментальную последовательность на другом открытом множестве О'
(см. ч. II, § 2.8). Можно проверить, что 0' с CLa, где CLa —
множество всех точек χ £ О, расстояние которых до границы
множества О больше, чем а, или само О, если граница О пуста (см.
§ 1.4). Для данной обобщенной функции / на О свертка / * φ
определена как регулярная операция на 0\ То есть если /п —
фундаментальная последовательность для /, то / * φ определяется на Of
фундаментальной последовательностью fn * φ. Свертка / * φ
однозначно определена на О' и является там гладкой функцией (см.
*. И, § 2.8).
Поскольку свертка с фиксированной функцией φ является
регулярной операцией и все остальные операции из § 1.4 (формулы
(2) — (8)) также регулярны, все эти формулы имеют смысл и
справедливы для произвольных обобщенных функций /, Д, /2.
6.2.1. Теорема. Если f — обобщенная функция на О и Ьп есть
дельта-последовательность, то f * δη сходится в обобщенном
смысле к f на О.
Эта теорема приведена в ч. II под номером 3.9.3. Она также
очевидным образом вытекает из следующей, более общей теоремы.

166 Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
6.2.2. Теорема. Пусть последовательность обобщенных
функций fn сходится к f на О и Ьп есть дельта-последовательность;
тогда fn * 6П также сходится к f на О {т. е. fn * δη является
фундаментальной последовательностью для /).
Доказательство. Пусть / — произвольный интервал, лежащий
внутри О. Существуют непрерывные функции Fn, F и к £ Pg,
такие, что последовательность Fn сходится равномерно к F на /
и F*p = fn, F(k) = / на /. В силу теоремы 2.3.1,
последовательность Fn * δη Сходится почти равномерно к F на /. Согласно 1.4(8),
(Fn*8n)<k> = fn*bn на /_αη.
Следовательно,, последовательность /η * δη сходится в обобщенном
смысле к / на Д Поскольку I — произвольный интервал, то
/η*δη->/ на О
и теорема доказана.
В следующем параграфе нам понадобится
6.2.3. Теорема. Пусть fn — произвольная последовательность
обобщенных функций, сходящаяся в обобщенном смысле к f на 229.
Пусть <рп и φ — гладкие функции на JRq, такие, что <рп (х) = О
при | χ | > а > 0 и φ^ для каждого т ζ Pq сходится равномерно
к ср(7П) при η ->оо. Тогда для каждого т ζ Pq последовательность
(fn * Фп)(т> сходится почти равномерно к (/ * <р)(7П) на Jlq.
Доказательство. Пусть / — произвольный интервал, и пусть
/' — такой интервал, что / cz 7'_α. Существуют порядок к £ Р5
и непрерывные функции Fn, F, такие, что последовательность Fn
сходится равномерно к F на /' и F{% = fn, F(k) = / на /'. Далее,
для любого т ζ Ρ9 мы имеем
(fn * Ψη) im) = Fn * q4w+fc) и (/ * <P)(W) = F ♦ Ф(Ш+* на /.
Кроме того, на / справедлива оценка
I Fn * <pn'm+h> - F * <p<m+fe> I < | fn - *Ί · Ι <P(?+fc> I +
+ 1^1*1 <pkm+;° — ψ(7η+Λ) I <
< en J | q>g»+*> | + ηη J | F \,
ι
где εη ->-0 и ηη ->0 при η ->·οο. Поэтому последовательность
(Λι * Φη) (W) сходится равномерно к (/ * φ) (W) на I, откуда и следует
наше утверждение.
Последовательность /п = / · бп, где / — обобщенная функция
на О и δη есть дельта-последовательность, называется регулярной
последовательностью для /. Поскольку ее члены /„ суть гладкие

β. Свертка обобщенных функций
167
функции, то, согласно 6.2.1, она является фундаментальной
последовательностью для /. Класс регулярных
последовательностей является, таким образом, некоторым подклассом
фундаментальных последовательностей.
6.3. Свертка двух обобщенных функций
Пусть / и g — обобщенные функции на JSg, и пусть fn = / * δη
и gn = 8 * δη — их регулярные последовательности (с одной
и той же дельта-последовательностью). Будем говорить, что
свертка обобщенных функций / и g определена, если для каждой
дельта-последовательности δη соответствующие свертки /n * gn
определены гладко (см. § 3.6) и образуют фундаментальную
последовательность. Обобщенная функция, задаваемая этой
фундаментальной последовательностью, по определению есть свертка
обобщенных функций fug.
Корректность этого определения вытекает из следующих
рассуждений. Предположим, что даны две различные
дельта-последовательности δ1η и δ2η. Если свертка / * g существует, то обе
последовательности
(/ * β1η) * (g * δ1η) и (/ * δ2η) * (g * δ2η) (1)
фундаментальны. Мы должны показать, что они определяют одну
и ту же обобщенную функцию. Но если δη есть п-& элемент
чередующейся последовательности 2.1(2), то последовательность δη
также представляет собой дельта-последовательность. Отсюда
следует, что последовательность (/ * δη) * (g * δη) фундаментальна.
Так как последовательности (1) являются
подпоследовательностями этой последней последовательности, они определяют одну и ту
же обобщенную функцию.
Свертка не является регулярной операцией. В противном
случае последовательность /n * gn была бы фундаментальной для
произвольных фундаментальных последовательностей /п и gn,
соответствующих обобщенным функциям / и g. Однако в принятом
нами определении мы ограничились фундаментальными
последовательностями частного вида /п = / * δη и gn = g * δη. Это одна
из причин, по которой свертка не может быть регулярной
операцией. Другой причиной является тот факт, что свертка / * g
определена не для всех пар обобщенных функций /, g.
В частности, если fug — локально интегрируемые функции
на 223, такие, что свертка их модулей существует п. в. и является
локально интегрируемой функцией на В9, то, согласно 3.6.1,
свертки fn * gn определены гладко. При этом, в силу 3.4.5,
последовательность fn * gn сходится локально в среднем, а значит, и в
обобщенном смысле, к / * g. Следовательно, / * g является
сверткой и в смысле общего определения свертки обобщенных функций.

168 Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Поэтому использование для свертки обобщенных функций
обозначения / * g не приведет к какому-либо недоразумению, если в
дальнейшем условиться, что в частном случае локально интегрируемых
функций / и g символ / * g можно рассматривать как интеграл
\ f (х — t) g (t) dt только тогда, когда интеграл \ \ f (х — t) x
X g (t) I dt существует п. в. и является локально интегрируемой
функцией.
Далее, необходимо показать, что настоящее определение
совместимо с определением, данным в § 6.2, когда обобщенная функция g
является гладкой функцией с ограниченным носителем. Нетрудно
проверить, что в этом случае свертки fn * gn определены гладко;
достаточно показать, что fn * gn — fn * g ->0, т. е. что fn *
* (gn — g) ->0. Действительно, согласно 2.2.2, имеем (gn — g){k)^-
-+0 почти равномерно для каждого к £ Ρ5. Поскольку fn ->/,
то, в силу 6,2.3, отсюда следует, что fn * (gn — g) -^/ * 0 = 0.
6.3.1. Творемл. Если определена свертка f*g обобщенных
функций fug, то свертки (λ/) * g и f * (kg) также определены
для любого вещественного числа λ и
№*g = f* (te) = λ (/ * g).
6.3.2. Теорема. Если определены свертки / * guf * h,mo свертка
f * (g + h) также определена и
>f*(g + h)=f*g + f*h.
6.3.3. Теорема. Если определена свертка f * g, то свертка g * /
также определена и
/·£ = £*/■
6.3.4. Теорема. Если определена свертка / * g, то свертки
/(fe) * g и / * g<fe> также определены для любого к ζ Ρ3 и
(/ * g)(b) = /ft) * g = f * g№).
Доказательство теорем 6.3.1—6.3.4. Пусть δη —
дельта-последовательность, и пусть fn = / * δ„, gn = g * δη, hn = h*8n.
Если существует свертка / * g, то свертки fn * gn определены
гладко и мы имеем (λ/η) * gn = fn * (λ#η) = λ (/η * gn), /η * £η «
= gn*fn, (fn * ?n)(ft) = /(nft) *gn=fn* g{^\ причем все
встречающиеся здесь свертки определены гладко. Это доказывает
теоремы 6.3.1, 6.3.3 и 6.3.4. Если, кроме того, существует свертка / * h,
то fn * (gn + hn) =fn*gn+fn*K и все свертки определены
гладко. Тем самым доказана теорема 6.3.2.
6.3.5. Теорема. Если определена свертка / * g, то свертка f& *
* g(l) также определена для любых к, Ι ζ Ρ? и

б Свертка обобщенных функций
169
Доказательство. Согласно 6.3.4, имеем
(/ * g)(k+l) = [(/ * g){k)Yl) = (fk) * g){l) = fk) * £(Z).
Последняя теорема особенно важна, поскольку она позволяет
строить различные классы обобщенных функций, в которых:
свертка всегда существует.
Пример 1. Обобщенная функция / на JS9 называется обобщенной
функцией медленного роста, если она является производной
некоторого порядка к £ Pg медленно растущей функции F, т. е.
измеримой функции F, ограниченной многочленом. (Другое,
эквивалентное определение обобщенных функций медленного роста будег
дано в гл. 7.)
Как мы видели в § 3.1 (пример 3), свертка F *G функции F
с произвольной быстро убывающей функцией G определена и
является медленно растущей функцией. Докажем теперь, что свертка
F * G определена также и в обобщенном смысле и является той же-
самой медленно растущей функцией. Действительно, пусть Ьп —
произвольная дельта-последовательность; тогда свертка
(F * βη) * (G * βη)
определена гладко в силу 3.6.1. Поэтому, согласно 3.4.5, эта
последовательность сходится локально в среднем, а значит, и в
обобщенном смысле, к F * G. Тем самым, наше утверждение
доказано.
Далее, в силу 6.3.5, свертка F{h) * G{1) существует для любых
A, I G Р5.
Поскольку / = F{k), то, согласно 6.3.5, отсюда следует, что
свертка / * g определена для любой обобщенной функции g = GaK
Следовательно, если / — обобщенная функция медленного·
роста, то свертка / * g существует для любой обобщенной функции
g, являющейся производной некоторого порядка к от быстро-
убывающей функции.
Если дано конечное число обобщенных функций gv . . ., gr,
являющихся производными некоторых порядков от быстро
убывающих функций, то их сумма g = g1 + . . . + gr называется
быстро убывающей обобщенной функцией. Поскольку свертки
/ * gv · · ·» / * gr определены, то определена и свертка / * g. Таким
образом, свертка f * g существует, если один из сомножителей
является обобщенной функцией медленного роста, а другой —
быстро убывающей обобщенной функцией.
Пример 2. Говорят, что измеримая функция F на JSg
принадлежит классу Lp, если | F \р интегрируема на Ш. Если F ζ Lp
с ρ ^ 1,toF локально интегрируема. Согласно теореме, принад-

170
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
лежащей Юнгу, если F ζ Lp м G ζ Ls, где
р,*>1 и r = l/(1 + 4—1) >0, (2)
то F*G£Lr.
Применяя теорему 6.3.5, мы видим, что если / есть
производная порядка к от функции, принадлежащей Lp, a g есть
производная порядка Ζ от функции, принадлежащей Ls, и выполняется
(2), то / * g является производной порядка к + Ζ от функции,
принадлежащей V.
Если / = /ι +....+ /г» где fi — производные некоторых
порядков от функций из Lp, то, следуя Л. Шварцу, будем писать
/ € S>'lp- Поскольку IP — линейное пространство, то и 3)'lp —
линейное пространство. Из приведенного выше результата
следует, что если / £ &&, g ζ 3)'ls и выполняется (2), то / * g ζ Wjj.
6.4. Свертка обобщенных функций,
имеющих совместимые носители
Понятие носителя обобщенной функции известно уже давно.
Л. Шварц определяет его как наименьшее замкнутое множество,
вне которого обобщенная функция обращается в нуль. Это
определение мы примем и в этой книге; его уточнение будет приведено
в § 12.2.
Докажем следующие теоремы:
6.4.1. Теорема. 'Пусть fug — обобщенные функции на Ttq
с носителями, содержащимися в совместимых замкнутых
множествах X и Υ соответственно. Тогда свертка f * g существует на
Mq и ее носитель лежит в X + У.
6.4.2. Теорема. Пусть X и Υ — два совместимых множества.
Тогда для любого ограниченного интервала I существует гладкая
функция φ с ограниченным носителем, такая, что если носители
данных обобщенных функций fug лежат в X и Υ соответственно,
то f * g = /φ * gy на I.
Доказательства этих теорем опираются на следующую лемму:
6.4.3. Лемма. Пусть X и Υ — два ограниченных множества,
и пусть носители обобщенных функций fn и gn лежат в X и Υ
соответственно. Тогда если fn ->/ и gn -+gr то свертки fn * gn
и f * g определены и fn * gn ->-/ * g.
Доказательство леммы 6.4.3. Случай 1. Предположим
сначала, что fnTign, кроме того, являются непрерывными
функциями и что сходимость равномерная. Тогда существуют
последовательности чисел гп и г\п, сходящиеся к нулю и такие, что \fn — / | <
< гп и \ gn — g I < ηη. Далее, существует число Μ, такое, что

βφ Свертка обобщенных функций
171
| gn I <L M и I fn I < Μ. Поскольку носители функций | gn \
и I gn — £ I содержатся в У, то
|/η·ίη-/^ΚΙ/η-/|·|^η| + |/|·|^-^Κ
< {εηΜ +J Μηη = (εη + ηη) j Μ,
Υ У Υ
откуда следует, что fn * gn ζξ. f * g. Существование сверток следует
из 3.2.2.
Случай 2. Предположим теперь, что fn = Fig1), gn = G(nft),
где Fn, Gn — непрерывные функции, носители которых лежат
в X и У соответственно, и Fn^ F, Gn r£ б. Тогда F<TO> = / и
£(fc) = g. Поскольку
fn*gn = {Fn*GnYm+h\
из результата, доказанного в случае 1, следует, что
fn*gn ^(F *<?)<"*+*>==/*£.
Случай 3. В общем случае возьмем гладкую функцию φ,
такую, что φ = 1 на X О Уи<р = 0 вне интервала /, такого, что
X U У лежит внутри /. Тогда /η = /ηφ, / = /φ, gn = gny и g =
= gtp. Пусть I0 — такой интервал, что / лежит внутри /0.
Существуют непрерывные функции Fn, F на /0, такие, что jF<*) = /п,
F(k) = f для некоторого порядка к и Fn z£. F на 10. Имеем
fn = F<£\ = 2 F%1 ^eFmn = (-l)m(^)F^k-mK
Функции Fmn непрерывны и Fmn-+Fm (при гс->-оо), где
Pm = (—l)m (h)Fy(k-m\ Таким образом, последовательность /п
можно представить в виде конечной суммы последовательностей
обобщенных функций рассмотренного в случае 2 вида. То же самое
справедливо и для последовательности gn. Поскольку суммы
конечны, общий случай, таким образом, сводится к случаю 2.
Доказательство теорем 6.4.1 и 6.4.2> Для любого заданного
а >0 существует дельта-последовательность δη, такая, что
&п (х) = 0 при | χ | >а. Носители гладких функций /п = / * δη
и £Vi = £ * δη содержатся в множествах Ха и Уа соответственно.
В силу 3.3.3, множества Ха и Уа совместимы. Поэтому для
данного интервала / существует ограниченный интервал /, такой, что
Для каждого χ ζ I произведение Ха (х — t) Ya (t) обращается
в нуль вне /. Таким же свойством обладают и произведения
/£> (х — t) g$ (t) при г, s £ Pg. Отсюда следует существование
сверток /£> * g£> [и |ДГ)|* | ^s)| на / и, следовательно,^ на В9

172
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
(поскольку интервал / произвольный). Пусть /' — ограниченный
интервал, такой, что каждое из множеств / и / — / (т. е.
множество разностей χ — tcx£l,t£J) лежит внутри /'. В качестве ψ
возьмем гладкую функцию, обращающуюся в нуль вне /' и
равную 1 на множествах / и / — /. Функции fn = /ηφ и gn = gn<p
гладкие и имеют ограниченные носители, так что их свертки
/п * gn определены гладко. То есть свертки /£> * gb) непрерывны
на Rq, а свертки \ ffi\ * I g$?4 локально интегрируемы на R9.
Очевидно, для любых χ ζ I и t ζ JKg мы имеем /£> (х — t) g^ (t) =
= 7Й° (χ — t) Fns) {ή. Отсюда следует, что /£> * g& =~ftf * g£>
на / и | /£> | * | g$ Ι = I Дг) I *kns)l н* /. Поэтому свертки #> * g£>
непрерывны на /, а свертки | Дг> | * | gW | интегрируемы на /.
Этими же свойствами они обладают и на Hq (поскольку интервал
/ — произвольный), а это означает, что свертки /л * gn определены
гладко.
Поскольку /л ->/<р и gn -^?φ, а носители функций /„, g„
лежат в ограниченном множестве /, то fn * gn ->-/φ * #φ согласно
6.4.3. Отсюда следует, что fn * gn -»-/φ * #φ на / и, следовательно,,
на JRg (поскольку интервал / произволен). Так как свертки /п * #л
определены гладко, их предел на Mq по определению равен / * g.
Таким образом, равенство / * g = /φ * #φ справедливо на /
и теорема 6.4.2 доказана.
Для завершения доказательства теоремы 6.4.1 осталось
показать, что если множества X и Υ замкнутые, то носитель свертки
/ * g содержится в X + Y. Это легкое упражнение мы оставляем
читателю.
6.4.4. Следствие. Если fug — обобщенные функции на Rq
и по крайней мере одна из них имеет ограниченный носитель,
то свертка f * g существует на Rq.
Доказательство. В этом случае носители совместимы, так что
существование свертки следует из теоремы 6.4.1.
6.4.5. Теорема. Пусть X и Υ — два совместимых множества.
Предположим, что носители обобщенных функций fn и gn
содержатся в множествах XuY соответственно. Если fn —»-/ и gn -+gr
то fn * gn ->/*£.
Доказательство. "Существование сверток fn * gn и / * g следует
из 3.3.2 и 6.4.1. Пусть / — произвольный ограниченный интервал.
В силу 6.4.2; существует гладкая функция φ с ограниченным
носителем К, такая, что fn * gn = /ηφ * gn(p на /. Аналогично,
/ * g = /φ * #φ на /, поскольку носители обобщенных функций /
и g содержатся в X и У, так же как и носители обобщенных
функций /п и gn. Поскольку /ηφ ->/φ и gncp -+gq>, то, согласно 6.4.3,

β. Свертка обобщенных функций
173
/пФ * ?пф -+7ф * ?Φ· Отсюда следует, что /п * gn ->/ * # На /.
Поскольку интервал / произволен, сходимость имеет место на
всем JSq.
6.4.6. Теорема. Пусть /, g и h — обобщенные функции на Rq
с носителями Χ, Υ и Ζ соответственно. Если множества Χ, Υ и Ζ
совместимы, то все свертки, встречающиеся в равенстве
(f*g)*h = f*(g*h), (1)
•существуют и равенство справедливо.
Доказательство. Существование всех сверток, встречающихся
в равенстве (1), следует из 3.3.4 и 6.4.1. Остается доказать
справедливость равенства (1). Пусть fn = / * δη, gn = g * δη и hn =
= h * δη. Если носители Χ, Υ, Ζ обобщенных функций f,g,h
совместимы, то носители обобщенных функций fn, gn, hn
содержатся в совместимых множествах Ха, Υα, Ζα и, следовательно, сами
совместимы. Поэтому, в силу 3.4.1, все свертки, участвующие
в равенстве
(fn *gn) *К= fn *(gn*K), (2)
существуют и равенство справедливо. В силу 6.4.5, отсюда следует
справедливость равенства (1).
6.4.7. Следствие. Если две из обобщенных функций f, g и h
имеют ограниченные носители, то все свертки в равенстве (1)
существуют и равенство справедливо.
Доказательство. Это следствие является просто частным
случаем теоремы 6.4.6.
6.4.8. Теорема. Если /, g и h — обобщенные функции на Rq
и одна из них имеет ограниченный носитель, а свертка двух других
определена, то все свертки, участвующие в равенстве (1),
существуют и равенство справедливо.
Доказательство. Предположим, что свертка / * g существует,
a h имеет ограниченный носитель. Тогда существование сверток
(/ * g) *h и g * h вытекает из следствия 6.4.4. Докажем, что и
свертка / * (g *h) существует и равенство (1) справедливо. Пусть
L = f * δη, gn = g * δη. Тогда свертки fn * gn определены гладко
и стремятся к f*g при η ->оо, согласно предположению, что
свертка / * g существует. Далее, в силу 6.4.5, имеем (fn * gn) * h ->
-> (/ * g) * h. Предположим, что h — непрерывная функция.
Полагая ип = (g * К) * δη, получаем
ЯГ * и^ = № * (ga * fe)<«> = fT *.(&> * h) = (fiT * gj«) * h; (3)
здесь первое равенство вытекает из'того факта, что, в силу 6.4.7,
(g * h) * δη = (g * δη) * h, а второе — из 1.4(8); последнее равен-

174
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
ство также выполняется, поскольку, согласно 3.4.3, свертки
| /£) | * | g$ | локально интегрируемы (а это в свою очередь
следует из того факта, что fn * gn определены гладко). Аналогично,
можно доказать, что
|/Π*Ι^Ί<ΙΛη|*(|^η)|*μΐ) = (Ι/ηΊ*Ι^η>|)*μΐ· (4)
Из (3) и (4) видно, что свертки /£"> * и$ непрерывны, а свертки
I /nr) I * I uin I локально интегрируемы, так что свертки fn * ип
определены гладко. Но из (3) также следует, что
последовательность /п * ип сходится к (/ * g) * h. Отсюда вытекает существование
свертки / * (g * h) jp равенство (1). Если h не является
непрерывной функцией, то' доказываемое утверждение следует из только
что доказанного и теоремы 6.1.4.
Если мы предположим, что ограничен носитель обобщенной
функции /или g (йместо К), то утверждение теоремы останется
справедливым в силу коммутативности свертки.
6.4.9. Теорема. Если /, g, h, k — обобщенные функции, такие,
что свертка f * g определена, a h и к имеют ограниченные
носители, то
(f*h)*(g*k) = (/ * g) * (h * к),
причем все свертки, встречающиеся в этом равенстве, существуют.
Доказательство дословно повторяет доказательство теоремы
3.4.4. Единственное отличие заключается в том, что оно
основывается на теоремах 6.4.6 и 6.4.7, а не на теоремах 3.4.2 и 3.4.3.

7.
Обобщенные функции
медленного роста *)
7.1. Производные медленного роста
Под к-й производной медленного роста обобщенной функции fr
определенной на 229, мы будем понимать обобщенную функцию
Dhf = Е-1 (£/)<*> (k g Р*),
где
E(z) = *"/* = №+--*V/k
с χ = (ξ1? . . ., %q). Можно также использовать дополнительную
производную
dhf = Ε {Е~ЧУк\
Легко проверить, что
00/ = /, сР/ = /,
DhDmf = Ofe+m/, d*dm/ = dft+m/.
Обе производные, очевидно, являются линейными операциями*
т. е.
Dh (f + g)= Dhf + Dkg, dh (/ + *) = dhf + dkg,
Dk (cf) = cDkf, dh (cf) = cdhf
для любого числа с. Далее,
m m
где 0 ^ m ^ к; эти равенства легко получить, применяя формулу
16.6(1) приложения к обобщенным функциям ((£/) g)ih) и ((/Г1/) #)(ft).
Поскольку Я^^-^Я, то
&Jf = ffi + ±y, cPi/^/^-Ιξ,/ (2)
х) В оригинале и здесь, и на стр. 169 (см. выше) «tempered distributions».
Следуя установившейся традиции, мы переводим этот термин как
«обобщенные функции медленного роста».— Прим. перев.

176
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
и, следовательно,
Del (У) = yrjf + f, dei (У) = l^lf + f.
Два последних равенства являются частными случаями равенств
Приведем теперь несколько равенств, связывающих
производные D и d. С помощью формул (2) легко проверить, что
If η - deJf = у, DeJf + deJf = 2ft
DeideJf = deJDeif пригну. '
Нам понадобятся также формулы
DkdeJf = deWkf - крк-еЦ, dkDeJf = DeJdhf + Kjdh-eif, (4)
тде к = (κ1? . . ., nq) £ Pg (если κ;· = 0 для некоторого /, то
символ D ~ei не определен, но, согласно общему соглашению,
принятому в § 1.1, мы полагаем в этом случае KjDh~e3 / = 0,
поскольку один из сомножителей равен 0). Для доказательства равенства
(4) воспользуемся формулами (3), (1) и снова (3):
DkdeJf = Dk (Dejf-y)=Dk+eif- \pkf-%β*-*η=№Ό*1--%β*-*η.
Второе из равенств (4) доказывается аналогично.
7.2. Интеграл медленного роста
э
Нашей целью является введение обобщенных функций
медленного роста. Их можно определить как производные медленного
роста функций с интегрируемым квадратом (см. § 7.3). Следует
заметить, что в этом определении производную медленного роста
D нельзя заменить дополнительной производной d (см. § 8.3),
и потому в данном контексте производная D играет более важную
роль, чем производная d, которая имеет скорее вспомогательный
характер. Поэтому свойства производной D мы изучим более
подробно. В частности, введем обратную операцию S.
Пусть F — непрерывная функция на i2g; положим
χ
SkF (χ) = Ε~ι (χ) j E(t)F (t) dth. (1)
о
Ясно, что
DhSkF = F.
Следовательно, Sh есть, в некотором смысле, операция, обратная
операции Dh. Ее нельзя определить для произвольной обобщенной
функции, поскольку интеграл в (1) имеет смысл не для каждой
«обобщенной функции.

7. Обобщенные функции медленного роста
177
Если к = (1, . . ., 1), то вместо Sh будем писать просто S.
В частности, можно утверждать, что если F — локально
интегрируемая функция, то SkF — тоже локально интегрируемая
функция (и даже непрерывная при к ^ 1).
Ясно, Sh — линейная операция, т. е.
S* (F + G) = ShF + ShG и Sh (cF) = cSkF
для любого числа с. Далее,
| ShF | ^ | Sk | F | |.
Введем вспомогательные функции
I
В (ρ, ξ) = Я"* (ξ) (1 + ξ)1 "р J Я (τ) (1 + τ)ρ dx (ξ>0)
о
β (ρ)* sup β (ρ, ξ).
0^1<οο
С помощью правила Лопиталя легко показать, что В (ρ, ξ)
стремится к 2 при ξ ->■ оо независимо от величины вещественного
числа р. Отсюда следует, что β (ρ) принимает конечное
положительное значение для каждого вещественного р.
Для χ = (ξ1? . . ., lq) £ J?9 положим
χ = (1 + I li I. · · μ ι + I lq I).
Согласно этому определению, # — точка (или вектор) в 2W, все
координаты которого не меньше единицы. Если г = (р1? . . ., pq) £
ζ JSg, то под степенью хг будем понимать положительное число
^=(1 + 1Ы)Р1---(1+1£91Л.
Докажем теперь, что
\S4xr\^P(p,)x'-4. (2)
Действительно, имеет место равенство
X
Sei? = E-i{x)^E{t)trdfi.
о
Легко проверить, что
Ε (t) ? = E(t-xje,) tr~pieiE (τΑ) (1 +1 τ, \p,
где первый сомножитель правой части не зависит от τ7·. Поэтому
при gj>0
V
5ej? = £-1 (χ) £ (*—ξ^,) xr~QJeJ J Я (τ) (1 +тр dT=V~9*B (ρ,, ξ,).
о

178 4. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Отсюда следует справедливость неравенства (2) при ξ;· !> 0.
Поскольку обе части неравенства (2) являются четными
функциями переменной ξ;·, неравенство (2) справедливо при всех χ £ Μ9-
7.2.1. Теорема. Для любых заданных г £ PQ, т ζ Р9 и s ζΡ9
существует число β = β (г, т, s), которое обладает следующим
свойством: если G — непрерывная функция, такая, что \ G (χ) | <;
<Z xr при всех χ ξ Rq, mo существует непрерывная функция F,
такая, что
Dm+S ρ = е(т> и | ρ до J < ^r-s
Доказательство. Очевидно, β (г, 0, 0) = 1. Воспользуемся
теперь 2д-мерной индукцией относительно вектора (т, s) =
= (μ1? . . ., μ^ σχ, . . ., oq). Достаточно показать, что если
утверждение теоремы справедливо для всех т ^ к ζ Pq и всех
s ^ I £ Pq, то оно также справедливо (i) для т = к + ej, s = I
и (ii) для т = к, s = I + ej.
Случай (i). Из неравенства | G (χ) \ < хг следует, что
HjG (х) \ <.хг+е*. Следовательно, по предположению индукции
существуют непрерывные функции Fl9 F2 и, если κ;· ^ 1, F3,
такие, что
&+% = б<*\ Dk+lF2 = (£;G)<fe\ Dk-eJ+1FB = 6<fe-eJ>
и
I Ft (x) | < β^1, | F2 (x) | < $2xr+er\ | F3 (iC) | < β^-ι
с
βι = β(Γ, ft, Ζ), β2 = β(Γ + ^, ft, Ζ), β3 = β(Γ, ft-^,Z).
Таким образом, имеем
и, следовательно,
где члены с κ;· отсутствуют, если κ7· = 0.
Положим Fk = SeJF^ Тогда, в силу (2),
с β4 = Рг·β (Pj + 1 — λ7·), где λ/ есть /-я координата вектора Ζ.
Если Xj^l, то положим F5 = S2eiF3 и, дважды применяя
неравенство (2), получим
ι f, (χ) к Ps ι ·52^Γ-' |^р5^г-г-2е^р5^г-1
с ββ = Ρβ-β(Ρί —λ,)·β(Ρί —λ,—1).

7. Обобщенные функции медленного роста
179
Наконец, положим F = Ff — у ^4 +у KjF5- Тогда, в силу (3)г
DhJrejJrlF = G{kJre3)
\F(x)\< (βχ + β4 + *7·β5) χτ-Κ
С л уча! (ii). Как и прежде, существует непрерывная
функция Fx, такая, что Dh+lF1 = G(ft) и | ίΊ (s) |< рх5г-г. Положим
f = S€iFx. Тогда
и
|F(χ)|<β, 15^-' |<β,·β (ρ,-λ,·)хг~1-еК
Тем самым доказательство теоремы 7.2.1 завершено.
7.2.2. Теорема. Если функция f измерима и ограничена, та
Sf — функция с интегрируемым квадратом.
Доказательство. Существует число М, такое, что | / | ^ Μ·
При этом
I Sf К | 5 | /|| < | SM К Μ | 51 К Mi"1.
Поскольку х'1 интегрируема с квадратом, 5/ также интегрируема
с квадратом.
7.2.3. Теорема. Если последовательность ограниченных
измеримых функций fn сходится равномерно к функции /, то
последовательность Sfn сходится в смысле среднего квадратического к Sf.
Доказательство. Существует последовательность εη ->-0, такая,
что | /л -— / I ^ en на JSq. Поэтому
II Sfn - 5/Ц =|| 5 (fn - /)|| <|| S\fn-f\\\ <|| 5εη|| ^
^MisiiKeniii-Ml^o.
7.3. Обобщенные функции медленного роста
Будем говорить, что обобщенная функция /, определенная
на Ш, является обобщенной функцией медленного роста, если
существует функция F с интегрируемым квадратом на Rq, такая,
что DhF = f для некоторого к £ Pg. Другими словами, / есть
обобщенная функция медленного роста, если она является
производной (некоторого порядка) медленного роста от функции с
интегрируемым квадратом.
7.3.1. Теорема. Обобщенная функция / является обобщенной
Функцией медленного роста тогда и только тогда, когда суще-

180 Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
ствуют т £ Pg, r £ Ρβ и непрерывная функция G, такие, что
G(W) = / и x"rG ограничена на JSg. (1)
Замечание. Легко видеть, что G — обобщенная функция
медленного роста (см. пример 3 § 3.1) тогда и только тогда, когда
существует г £ Pq, такое, что x~rG ограничена (см. пример 1 § 6.3).
Таким образом, обобщенные функции медленного роста являются
производными некоторого порядка медленно растущих функций.
Очевидно, что многочлены представляют собой довольно частный
случай обобщенных функций медленного роста.
Доказательство теоремы 7.3.1. Предположим, что / —
обобщенная функция медленного роста, т. е. что / = DhF, где F ζ L2
(F £ L2 означает, что F интегрируема с квадратом на Rq.) Пусть
X
G (х) = I F (t) dt. Тогда для некоторой положительной постоян-
Ъ
ной Μ мы имеем
X X
ο ο
где ί1 = (1 +| £i |) ... (1 +1%q[). Если k = 0, то / = G' и условие
(1) выполнено с т = г — (1, . . ., 1).
Предположим, что для некоторого к ζ Ρ* условие (1)
выполнено для надлежащим образом выбранных таг. Пусть/ >=■ Dh+eJ F,
F£L2. Тогда
/ = DeJDhF = DeiGm = G(m+e;} + - hGm =
где μ;· есть ;-я координата вектора т, причем если μ;· = 0, то
слагаемое с \ιβ{τγι~6^ отсутствует. Отсюда
где
X X
Н(х) = G (х) + у J XjG (t) dteJ - у μ; j G (t) dt2eK (3)
о о
По предположению индукции функция x~rG ограничена, так что
х~г~2еШ также ограничена. Отсюда по индукции вытекает
необходимость условия (1).

7. Обобщенные функции медленного роста
181
Обратно, пусть / = G{m\ где G — непрерывная функция,
такая, что x~rG ограничена. Тогда, в силу 7.2.1, существует
непрерывная функция F, такая, что Dm+r+1F = G(W) и | F (χ) | <
<; Мх~г> Очевидно, F интегрируема с квадратом, и теорема
доказана.
7.3.2. Теорема. Пусть f — обобщенная функция медленного
роста. Тогда обобщенные функции Dpf, /(P), xpf и dPf также
медленного роста для всякого ρ £ Fq.
Доказательство. Если / — обобщенная функция медленного
роста, то по определению существует интегрируемая с квадратом
функция F, такая, что f = DhF для некоторого к £ _Pg. Отсюда
j)Pf = Dk+PF, так что Dpf — также обобщенная функция
медленного роста.
Кроме того, существует непрерывная функция G,
удовлетворяющая условию (1). Следовательно, /(Р) = £?(Ш+Р\ т. е. /(Р),
в силу теоремы 7.3.1, является обобщенной функцией медленного
роста.
Имеем
«p/ = a*G(W> = 2 (-l)e(^) [(xpys>GYm'sK (4)
S
Очевидно, (xpyS)~ ^ . хр~*, если s^Zp, и (#р)<5> = 0 в
противном случае. Пусть
X
О
при s^p и(?8 = 0 в противном случае. Тогда из условия (1)
следует, что произведения x~r-pGs ограничены. Полагая Я =
= 2(—1)V / Gsj приходим к выводу, что произведение х~г~рН
&
также ограничено. Но, согласно (4), Н{Ш) = xpf, так что
обобщенная функция xpf медленного роста в силу 7.3.1. Наконец,
согласно 7.1(3), cftf = ВеЦ — £;/. Отсюда, согласно толькочто
Доказанному, detf — обобщенная функция медленного роста.
Поэтому если dPf — обобщенная функция медленного роста для
некоторого ρ £ Pg, то dp+*V/ также медленного роста, откуда
по индукции получаем, что dpf — обобщенная функция
медленного роста для всех ρ £ Ρ9.

182 Ч, III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
7.4. Подклассы обобщенных функций медленного роста
Будем говорить, что обобщенная функция / принадлежит
классу Th, к £ Р9, если она имеет вид / = DkF, F ζ L2 (B?).
7.4.1. Теорема. Тк с: Тш при к < т.
При доказательстве мы будем использовать следующую лемму.
7.4.2 Лемма. Если f — функция с интегрируемым квадратом
вещественной переменной |, —оо<|<!оо, то ее интеграл
медленного росгф, Sf также имеет интегрируемый квадрат, причел
оо оо
J |S/|2< J l/l2, (l)
т. e.
j e-iv2||eTV4/(T)dT|2dl< j |/(i)|2d|.
— оо О —oo
I
Доказательство леммы 7.4.2. Положим ^(ξ) = \ Ef. Из гео-
о
Ι £
метрического неравенства следует, что | F (ξ) |2 ^ I Е2 \ | /12
о о
при |>0. Поскольку | Е^Е2 (ξ) -1 1 = ξ^2/2, то | ^ (ξ) |2<
о о
оо
^ ξ^2/2 \ | /12 при |^0. Аналогичным образом при ξ<0 находим
о
о
|F (ξ)|2<ξ^2/2 Ι |/|2, так что в обоих случаях имеем
— оо
\F(l)\^\i\l\e^a,
где а — некоторое положительное число. Умножая обе части
этого неравенства на е-*2/4, получим
|5/|<α/ΓΤΓ·
Поскольку все функции Эрмита hn (ξ) убывают быстрее любой
степени 1/| ξ | при ξ->±οο, то произведения {Sf)hn стремятся
к 0 при ξ ->■ ±оо и интегрируемы. С другой стороны, в силу 4.8(1)»
4.6(1) и 7.2(1), имеем
(Sf)K = (-1)" (2я)"1/2 у=- (Я"2Г> Λ

7. Обобщенные функции медленного роста
183
Интегрируя правую часть этого равенства по частям, получим
J {Sf)K = ^]fK-u
— оо v — оо
т. е.
сп — ../-Яп-Ь
1/тг
где сп и ап — коэффициенты Эрмита функций Sf и /
соответственно. Поскольку / — функция с интегрируемым квадратом,
оо оо
то справедливо равенство Парсеваля I |/|2 = 2la7ll2, ОТСК)Да
-оо 71=0
оо оо
следует, что 2 \сп |2^ко|2+ 1 |/|2· Так что, согласно теоре-
П=0 -оо
ме 4.8.2, интеграл медленного роста Sf имеет интегрируемый
квадрат и, в силу теоремы 4.8.3, справедливо равенство Парсе-
оо оо оо оо
валя \ |5/|2= 2lcnl2· Таким образом, С |5/|2<|с0|2+ ( |/|2.
-оо П=0 -оо —оо
Заметим, что если / — четная функция с интегрируемым
квадратом, то Sf — нечетная функция с интегрируемым квадратом и с0 = О·
Это доказывает лемму в случае, когда /—четная функция
с интегрируемым квадратом. Если теперь / — произвольная
функция с интегрируемым квадратом, то функция g, такая, что g(%) =
= f (ξ) при ξ>0 и g (ξ) = / (— ξ) при ξ < О, будет четной
и с интегрируемым квадратом. Так что, согласно только что
доказанному, мы будем иметь
оо оо
\g?·
Поскольку \Sg\2 и |g|2—четные функции и #(!) = /(ξ) при
1>0, то
оо оо
j|S/l2<j|/l2·
о о
Аналогичным образом доказывается, что
о о
J |5/|2< j I/I2.

184
Ч. III» Дополнительные главы теории обобщенных функций
Таким образом, мы имеем
оо оо
J |S/P< J I/I2,
— 00 —00
что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы 7.4.1. Утверждение очевидно при
т = к. Предположим, что оно справедливо при некотором т ^ к,
т. е. что существует функция Fm £ L2 {Rq), такая, что / = DmFm.
Положим Fm+ej f= SelFm. Тогда
D ^т+е^ = /·
Покажем, что im+e f L2(B5). Действительно, имеем
x h
Fm+e. (ζ) = E-i (x) J Ε (t) Fm (t) dteJ = E-i (lj) J Ε (τ,) Fm (χ, τ,) dxh
о о
где Fm (χ, τ7·) — функция, которая получается т Fm(x) заменой
lj на τ7·. Отсюда
j I Fm+ej (χ) ρ dx= j Ас1"*/ J Я* (ξ,) J j ε (τ,) Fm {χ, τ,) Λ, |2 ^
Rq Bq -оо О
и, в силу 7.4.2,
00
j \Fm+e.(x)\zdx^ j dx^'l j |^т(о:,т7.)|2^ =
Следовательно,
j \Fm+e.(x)\4x<^^ \Fm(x)\*dx.
RQ Л9
Отсюда следует, что если Th а Тт, то Tk a Tm+eL Теперь
теорема 7.4.1 доказывается по индукции.
Каждый класс Th (к £ Ρ9) является линейным пространством,
т. е. если / £ Tk и g ζ 2Tk, то α/ + β# 6 Г* для любых чисел α и β.
Из теоремы 7.4.1 следует, что если / £ Th и £ £ Гш, то α/ + β# ζ ΓΓ,
где г = max (к, т). Пространство обобщенных функций
медленного роста, очевидно, является объединением классов Tk (к £ Р9),
так что если f ж g — обобщенные функции медленного роста, то

7. Обобщенные функции медленного роста
185
а/ + Р? ~~ т°же обобщенная функция медленного роста. Другими
словами, пространство обобщенных функций медленного роста
есть линейное пространство. Этот факт можно также вывести из
теоремы 7.3.1.
7.4.3. Следствие. Обобщенная функция f является обобщенной
функцией медленного роста тогда и только тогда, когда
существуют две конечные системы векторов тг, . . ., mv и кг, . . ., kv
и функции с интегрируемыми квадратами fx, . . ., /v, такие, что
г=1
где ям = ^* ... Щя, если х = (1и ...,bi) и ιιι=(μ1, ..., μ9).
Это следствие сразу же выводится из определения обобщенной
функции медленного роста и теоремы 7.3.2.
7.5. Умеренная сходимость *) последовательностей
Будем говорить, что последовательность обобщенных функций
медленного роста fn умеренно сходится к обобщенной функции /,
t
и писать /п —> /, если существуют функции с интегрируемыми
квадратами Fn, F, такие, что DhFn = fn, DkF — f для некоторого
2
фиксированного к £ Ρ9, и Fn —> F, т. е.
\ \Fn — F\-4>0 притг->-оо.
7.5.1. Теорема. Последовательность обобщенных функций
медленного роста fn умеренно сходится к обобщенной функции /,
т. е. fn —> /, тогда и только тогда, когда существуют т £ Ρ9,
г£Рч и непрерывные функции Gn, G, такие, что
&?> = /n, G<m> = /, (1)
и последовательность x~rGn ограничена и сходится равномерно
на В9 к x~rG.
Доказательство. Допустим, что fn умеренно сходится к /,
и положим
X X
Gn(*) = [ Fn(t)dt, G(x)=\f(t)dt.
) В оригинале «tempered convergence».— Прим. перев.

186
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Ограниченность последовательности x~xG доказывается без труда.
Кроме того, имеем
X X
|Gn-C|<| j*j|Fn-Fp|1/2<£4 с zl=\\Fn-F\\
О 0 Rq
Отсюда следует, что x~xGn сходится равномерно к x~*G. Если
к = 0, то G'n = fn и G' — /. Отсюда следует необходимость нашего
условия для частного случая к = 0 (с /и, = г = (1, . . ., 1)).
Предположим, что для некоторого к ζ Pq наше условие
является необходимым и выполняется с надлежащим образом
выбранными т и г. Пусть fn = Dk+eiFn, f = Dh+efF. Тогда
справедливы 7.3(2) и аналогичное равенство
и=С+е/)+τ (^пГ> - τ ^GT~ej)-
Пусть Η определено равенством 7.3(3) и
X X
Ηп (X) = GП(Х) + \ j Χβη (t) dfj - 4 μ, j Gn (t) dt2eJ;
о о
тогда
7/<m+e,) = /n и #*»+·>>_/.
По предположению индукции #~rC?n сходится равномерно к x~rG
и ограничена для некоторого г ζ Ρ9, т. е. существует
последовательность гп >0, гп —>~0, такая, что
I Gn - G |< εη?.
Отсюда следует ограниченность последовательности х~г~2еЩп,
и мы имеем
ас я
0 ' 0
<Гр гг | 8" yr+2e/ I εηΜ>7 rr+2eJ
^8"* + Р, + 2 * ■+" (ρ, + 1) (р, + 2) *
где pj есть /-я координата вектора г. При этом
| Нп - Η | < εηΜ;·?+2β/,
а это доказывает, что последовательность х~г~2еШп сходится
равномерно к х~г"2еШ. Следовательно, необходимость
приведенного условия доказана.
Для доказательства его достаточности предположим, что имеют
место равенства (1), а последовательность Gnx~r ограничена и схо-

7 Обобщенные функции медленного роста
187
дится равномерно к Gx~r. Тогда существуют положительные
числа гп и ДГ, такие, что гп ->-0 и
\Gn-G\< гпхг, | G |< М?.
В силу 7.2.1, существуют непрерывные функции #n, F и число β,
такие, что
Ясно, что /fn, F — функции с интегрируемым квадратом на Bq
и последовательность Нп сходится в смысле среднего квадратиче-
ского к нулю. Поэтому функции Fn = Нп + F интегрируемы
с квадратом на В^ и последовательность Fn сходится в смысле
среднего квадратического к F. Так как очевидно, что Dm*r+iFn —
= fn и Dm+r+1F = /, то последовательность /л умеренно
сходится к /.
Из 7.5.1 следует
7.5.2. Теорема. Если fn умеренно сходится к /, то fn сходится
к f и в обобщенном смысле (т. е. в смысле определения § 3.7 ч. II).
Используя 7.5.1, легко доказать, что если ап >0, ап ->0,
то последовательность e~an*2 умеренно сходится к 1, а
последовательность (|/"αηπ)~9£~χ2/αΛ — к дельта-функции δ.
Из 7.5.1 также следует, что если последовательность
непрерывных функций Fn сходится почти равномерно к F и ограничена
медленно возрастающей функцией, то Fn —> F.
7.5.3. Теорема. Если последовательность fn умеренно сходится
к /, то последовательности Dpfn, /<p>, xpfn и dpfn сходятся в этом
же смысле к Dpf, /(P), xpf и dPj соответственно.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству
теоремы 7.3.2.
7.5.4. Теорема. Если fn — обобщенные функции медленного
роста и fn —> /, то fn * δη —> / для любой
дельта-последовательности Ьп.
Доказательство этой теоремы основано на следующей лемме:
7.5.5. Лемма. Если ρ — многочлен на Rq и δη —
дельта-последовательность, то последовательность \ ρ \ * | δη | ограничена
многочленом.
Доказательство леммы. Существуют четное г £ Р*1 (т. е. все
координаты вектора г суть четные числа) и число А, такие, что

188
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
| ρ | ^ А + хг. Очевидно, что
\p\*\Sn\^(A + xr)*\bn\ = A^\bn\+^(x-t)r\bn(t)\dt.
Если все координаты вектора t по абсолютной величине ^1, то
(x—t)r^xr. Отсюда
f (x — t)r Ι δη (t) I dt^xr j | 6n (t) | dt<^M0xr
при достаточно больших η, откуда и вытекает наше утверждение.
Доказательство теоремы 7.5.4. Существуют непрерывные
функции Gn, G, удовлетворяющие предположениям теоремы 7.5.1.
Последовательность Gn сходится почти равномерно и ограничена
некоторым многочленом р. Согласно 2.3.1, последовательность
Gn * δη сходится почти равномерно к G. Кроме того, в силу 7.5.5,
справедливо неравенство | Gn * δη | ^ | ρ | * | 6n | ^ MqXv для
некоторого четного г £ Pq и числа М0. Отсюда следует, что
(Gn *δη) x~r~f сходится равномерно на Rq к x~r~xG. Таким
образом, Gn * δη Λ G. Поскольку (Gn * 6n)<w> = fn * δη и G<m> = /,
мы окончательно имеем fn * δη —> /.
7.5.6. Следствие. Если f — обобщенная функция медленного
роста и Ьп — дельта-последовательность, то / * δη —> /.
7.5.7. Теорема. Для любой обобщенной функции медленного
роста f существует последовательность таких гладких функций fn
t
с ограниченными носителями, что fn —> /.
Доказательство этой теоремы основано на следующей лемме:
7.5.8. Лемма. Пусть Ω — гладкая функция с ограниченным
носителем, такая, что Ω (0) = 1. Тогда если f — обобщенная
функция медленного роста, то
/(ζ)Ω(£)Λ/(*).
Доказательство леммы. Согласно 7.3.1, существуют медленно
возрастающая непрерывная функция G и порядок к £ JP9, такие,
что / = G(h). Тогда мы имеем (см. формулу 16.6(2) приложения)
/<*>° (τ) = Σ '(-Ι)- (ί) [Giz)n-~Q» (±)f "">. (2)
m
При т = 0 выражение, заключенное в квадратные скобки,
сводится к G (χ) Ω (—) ; оно сходится почти равномерно на R9
и ограничено медленно возрастающей функцией \ G (χ) | а, где

7. Обобщенные функции медленного роста
189
а = max Ω (χ). Поэтому G (χ) Ω[— ) —> G (см. последнее замечание
после теоремы 7.5.2). Аналогично, при т фО произведение
G (x) n~mQ{m) ί— ] умеренно сходится к нулю при η ->-оо.
Следовательно, правая часть равенства (2) умеренно сходится
к Q(h) = / согласно 7.5.3 и 7.5.1.
Доказательство теоремы 7.5.7. В силу леммы 7.5.8, для каждой
обобщенной функции медленного роста / существует
последовательность обобщенных функций /п с ограниченными носителями,
такая, что fn —>· /. Пусть δη — произвольная
дельта-последовательность; тогда fn * 6П — гладкие функции с ограниченными
носителями, такие, что, согласно 7.5.4, fn * δη —>· /. Отсюда и
следует наше утверждение.
7.5.9. Теорема. Если последовательность fn умеренно сходится
к /, а последовательность gn на Rr — к g, то последовательность
ип (z) = fn {x) gn (у), где х ζ Rq, у ζΙΓ,ζ= (χ, у) ζ JRg+r, умеренно
сходится на JSq+r к и (z) = f (x) g (у).
Доказательство. Существуют функции Fn, F ζ L2 (Rq) и Gn,
G £ L2 (Br), такие, что DhFn = fn, DkF = /, DlGn =gn*DlG = g
для некоторых к £ Pq, I £ Pr, причем || Fn — F\\q -^0 и || Gn —
— G||r->0, где символ || || обозначает квадратичную норму,
а индекс указывает на число измерений.
Очевидно,
Dh+lFn (x) Gn (у) = ип (z), Dh+tF (x) G (у) = и (ζ)
*\Fn(x)Gn(y)-F(x)G(y)\\q+r^
< II Fn (χ) [Gn (у) - G (у)] ||,+r +1| [Fn (x) - F (x)] G (y) \\q+r =
= II Fn\\q\\ Gn - G\\r +|| Fn-F\\q\\G\\T-+0
при η -> oo.
7.5.10. Следствие. Если последовательности /ln, . . ., fqn
умеренно сходятся на R1 κ fv . . ., fq соответственно, то
последовательность ип (χ) = fln (ξχ) . . . fqn (Iq) умеренно сходится на Rq
κ и (χ) = /χ (У . . . fq (|g).
Используя теорему 7.5.9, можно доказать это следствие по
индукции.
7.6. Скалярное произведение с гладкой функцией,
имеющей ограниченный носитель
Следуя Л. Шварцу, пространство всех гладких функций
с ограниченными носителями мы будем обозначать через 3).
Пусть О a Hq — открытое множество, и пусть носитель функ-

190 Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
ции ψ £ SB лежит внутри О. Скалярное произведение определяется
как число
(φ, ψ) = j φψ
о
для каждой гладкой функции φ на О. Покажем, что для
фиксированной функции ψ £ SB (носитель которой содержится внутри О)
(φ, ψ) есть регулярная операция над φ. Другими словами, если
фп — фундаментальная последовательность на О, то
последовательность (φη, α|?) также фундаментальна.
Однако последовательность (φη, ψ) состоит из чисел, и потому
необходимо сначала объяснить, что же мы понимаем под
фундаментальной последовательностью чисел.
7.7. Фундаментальные последовательности
и обобщенные функции на 22°
Будем говорить, что последовательность чисел <хп
фундаментальна, если она сходится. Фундаментальные последовательности
чисел удобно связать с общей теорией регулярных операций.
Для того чтобы определения и теоремы оставались справедливыми,
а в их формулировки не вносилось никаких изменений,
фундаментальные последовательности чисел мы будем по аналогии
называть фундаментальными последовательностями гладких функций
на 22°. Следовательно, гладкие функции на 22° — это не что иное,
как числа, которым кы присвоили другое название. Мы не
определяем 22°; символ 22° имеет смысл лишь в сочетании с другими
словами.
Согласно данному ранее определению, две фундаментальные
последовательности φη и ψΛ эквивалентны тогда и только тогда,
когда чередующаяся последовательность фх, ψχ, φ2, г|э2, . . .
фундаментальна. Следовательно, в данном контексте две
фундаментальные последовательности чисел (или гладких функций на 22°)
эквивалентны, если они сходятся к одному и тому же числу /.
Отсюда следует, что существует взаимно однозначное соответствие
между классами эквивалентности, которые мы будем называть
обобщенными функциями на 12°, и числами. По этой причине
обобщенные функции на 22° можно отождествить с числами. Таким
образом, обобщенными функциями на 22° являются только гладкие
функции на 22°. При таком подходе теория обобщенных функций
на 22° оказывается тривиальной и сводится к теории вещественных
(или комплексных) чисел.
Однако тот факт, что числа можно называть гладкими
функциями на 22° или обобщенными функциями на 22°, позволяет нам
включить в теорию регулярных операций числа, сохранив при
этом формулировки всех определений и теорем.

7. Обобщенные функции медленного роста
191
7.8. Доказательство регулярности
скалярного произведения
Предположим сначала, что носитель функции ψ лежит в
интервале /, содержащемся внутри О. Если последовательность φη
фундаментальна на 0, то существуют гладкие функции Φη, Φ
на I, такие, что Ф^> = φη для некоторого к £ Pq и Фп г£ Ф.
Интегрируя по частям, получим
(<Р», *)= j Φ^Ψ =(-!)* J Φηψ<*>-*(-1)* J Φψ*\ (1)
II I
Итак, последовательность (φη, ψ) сходится и, следовательно,
операция (φ, ψ) регулярна.
Отбросим теперь условие, что носитель ψ лежит в /;
предположим только, что он ограничен и содержится внутри О. Однако
в этом случае мы можем записать, что ψ = ψχ + . . . 4- ψΓ, где
•ψί — гладкие функции, носители которых лежат в интервалах 1и
содержащихся внутри О. Поскольку
(фп, ψ) = (фп, Ψΐ) + · · - + (фп. Ψγ)
и, согласно доказанному выше, скалярные произведения в правой
части суть регулярные операции, скалярное произведение (φη, ψ),
будучи конечной суммой регулярных операций, также является
регулярной операцией.
Таким образом, скалярное произведение с гладкой функцией ψ,
имеющей ограниченный носитель, лежащий внутри О cr 22g,
определено для любой обобщенной функции / на О, причем
(/,ф) = Ит (фп, ψ),
т-уоо
где <рп — фундаментальная последовательность, определяющая /.
В § 7.10 нам понадобится следующая формула:
(Dhf,^) =(-i)h (/,Λ|ι), (2)
где / — обобщенная функция на Rq и -ψ — гладкая функция
с ограниченным носителем.
Действительно, если / — гладкая функция на В9, то мы имеем
(Dhf, Ψ) = J Ε'' (Eff* ψ = — j (Eff-V (E-^fP =
= — j E-* (Eff-^E (E-iypfe = -(Dk~eJf, аеЩ.
Следовательно, если / — гладкая функция, то равенство (2)
можно получить с помощью индукции. Поскольку все
встречающиеся в (2) операции регулярны, формула (2) справедлива для
любой обобщенной функции / на 1$?.

192
ζΓ. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Последнее определение скалярного произведения (/, ψ) имеет
смысл для любой обобщенной функции / на О и любой гладкой
функции ψ с ограниченным носителем, лежащим внутри О. В
частности, / может быть обобщенной функцией медленного роста.
Так как обобщенные функции медленного роста определены на JRg,
скалярное произведение (/, ψ) определено для каждой
обобщенной функции медленного роста / и каждой ψ £ 3). Однако если
мы знаем, что / — обобщенная функция медленного роста, то
скалярное произведение (/, ψ) можно определить для более
широкого класса функций ψ, носители которых не обязательно
ограничены. Этот класс состоит из гладких функций, быстро убывающих
вместе со всеми своими производными. Последующие параграфы
этой главы посвящены более подробному изучению указанного
класса.
7.9. Пространство быстро убывающих гладких функций
Говорят, что гладкая функция ψ на JRq быстро убывает вместе
со всеми своими производными или, короче, быстро убывает, если
для любого многочлена ρ и любого порядка к £ Pg произведение
/np(ft) ограничено. Следуя Л. Шварцу, класс всех быстро
убывающих гладких функций мы обозначим через #\ Очевидно, что
3* является линейным пространством. Далее, если ψ £ tf, то
ρψΗ) £ tf и (pty)(k) ζ qP для каждого многочлена ρ и каждого
порядка к £ Pg. Покажем, кроме того, что Dhty, dN|> £ & для
любого к £ Pg. Действительно, поскольку
то Ζ^'ψ, Λ'ψ £ <?. Значит, если Dhty, Λ|> ίί, то и £ft+*A|),
dk+ety ζ <^. Тем самым наше утверждение доказано.
Покажем теперь, что если ψ ζ &, то справедливы следующие
равенства:
j(d4)2-J(^4)2 = j^2, (1)
j (DeJdeJ\b)* — \ {аеЮеЩ* = j (аеЩ* + j (DeJ\p)*. (2)
Действительно, из 7.1(3) следует, что
(^7ψ)2_(^ψ)2= — 2ξ7.ψψ(^= ~ξ;(ψ2)(^.
Равенство (1) получается отсюда интегрированием по частям.
Доказательство равенства (2) мы предоставляем читателю.
В § 8.2 мы покажем, что класс tf совпадает с классом всех
обобщенных функций медленного роста /, таких, что Dkf £L2 (Rq)
для любого к £ Рд, а также с классом всех обобщенных функций
медленного роста /, таких, что dkf £ L2 (JSg) для любого к £ Pq.

7. Обобщенные функции медленного роста
193
7.9.1. Теорема. Пусть ψη, ψ £ «ί*. Если Dktyn —> Dhty для
каждого к ζ Ρα, mo dN|)n —> dN|>, w обратно.
Доказательство. Покажем сначала, что если
Dh\pn Д Ζ)*ψ для каждого &£ Ρ9, (3)
то
deWkqn Λ deiZ>fe\|) для каждого k£I>q (4)
и
для каждого k^Tq. (5)
Действительно, в силу (1), имеем
J [^^(ψη-ψ)]2= J [Ζ)*+^(ψη-ψ)]*+ j [β*(ψΛ--ψ)]2,
откуда следует утверждение (4). Далее, согласно 7.1(4),
W(*» - ψ) = deiZ)fe (ψη - ψ) - κ^-βΙ (ψη -ψ),
так что утверждение (5) тоже вправедливо. Поскольку из (3)
следует (5), то с помощью индукции по т мы приходим к выводу,
о
что DhcCf\n —> D^cTty. В частности, при к = 0 получаем первую
часть нашего утверждения.
Доказательство обратного утверждения проводится
аналогичным образом.
Будем говорить, что последовательность ·ψη £ tf сходится в &
Ψ 2
к ψ £ <^, и писать ψη—> ψ, если Ζ>*·ψη —> Ζ^ψ для каждого к £Р*,
или, что то же самое, если Λ|)η —> dNp.
Ясно, что 3) с cf. Покажем, что 3? плотно в <^, т. е. что
справедлива
7.9.2. Теорема. Для любой ψ £ 3* существует последователь-
Ψ
ность φη £ 3?, такая, что φη —* ψ.
Доказательство. Пусть ψ £ с^, и пусть Ω — гладкая функция
с ограниченным носителем, такая, что Ω (0) = 1. Покажем, что
для каждого к £ Р9
ζ?*(ψ(*)Ω(£))-ζΛ|φ)-^ο.
Согласно 7.1 (1), имеем
0*(ψ(*)Ω(-2ί))-Ζ>*ψ(*) =
= Dh$(x)Q(j;)-Dky(x)+2i(km)Dh-my(x)rrm&m>(l), (6)
m

194
ζΓ. 777. Дополнительные главы теории обобщенных функций
где О^т^к и тфО. Далее, при м->оо
( (Dft-m^(x)n-wQ<m> (^ydx^rr*™ j (Dk-myp(x)Km)*-*0,
rQ r4
где #m=max|Q(W)(#) |. Кроме того, поскольку Ζ^ψ — функция
χ
с интегрируемым квадратом и Ω ί — ]Ζ^1, мы делаем вывод,
что Dkyjp(x)Q (~) — Dhty(x) —>0. Итак, сумма в правой части
равенства (6) сводится к нулю в смысле среднего квадратиче-
ского, и теорема доказана.
7.9.3. Теорема. Если fn — обобщенные функции медленного
t t t
роста и fn —*· /, mo /ηψ —► /ψυ/η*,ψ-^/*'ψ для каждой ψ ζ <У\
Доказательство. Согласно теореме 7.5.1, существуют порядки
m £ JPq, г ζ Ρ9 и непрерывные функции Gn, G, такие, что G(™> =
= /n, G(Wl) = /, и последовательность #~rGn ограничена и
равномерно сходится к x~rG. При этом
/ηψ=<?Γψ= 2 (-!)*( Ϊ) (в«*«*»)<,"-к»·
Поскольку ψ(Λ) ζ #\ последовательность Gnif> W ограничена и
равномерно сходится ;к Go|)(fe) для каждого фиксированного к. Отсюда
следует, что (Gnip(fe))(m"ft> умеренно сходится к (G\|)(ft))(7n~ft).
Следовательно, /Λ·ψ умеренно сходится к
2 (-ΐ)*(£)(<?*<*>)<"-*,
т. е. к /ψ. Тем самым первая часть теоремы доказана.
Существование сверток fn * ψ и / * ψ следует из результатов
§6.3, поскольку функции из & являются быстро убывающими
обобщенными функциями. Согласно теореме 6.3.4, имеем
fn * ψ = G£*> * φ = Gn * ψ(7η'
и, аналогично,
/ ♦ ψ = G * ψ <W).
Далее,
I Gn |< Μ?, I Gn - G |< εηίΓ,
где εη — положительные числа, сходящиеся к нулю. Существует
многочлен Р, такой, что хг << Ρ для всех χ £ Rq. Таким образом,
| Gn I < MP, I Gn - С |< εηΡ.

7. Обобщенные функции медленного роста
195
Отсюда
I Gn * tm) \<MQ, I Gn * ^m> - G * t|><m> | < BnQ,
где Q = P* |ij><m>|.
Легко проверить, что Q — многочлен. Действительно,
я* * | t|)<m> I = f (χ- t)h I г|><т> (ί) I dt =
= j Σ (*)^(-')^1Ч><и,(*)|^ = 2 β/^
С
Pi" (/) ί <—*)*^l*<W|(*)I*.
Таким образом, если Р= 2 аь#\ το Q= 2 afe#ft*l^(m)U
и мы видим, что Q является суммой многочленов.
Следовательно, Q—тоже многочлен и существует s^Pq, такое, что Q<C
< fcrs. Тем самым доказано, что последовательность (Gn * t|)(W)) я~*
ограничена и равномерно сходится к (G * г|)(Ш)) яГ8· В силу
теоремы 7.5.1, отсюда следует, что /η*ψ—► /*ψ.
7.10. Расширение определения скалярного произведения
Пусть ψ — фиксированный элемент из <^, а / — обобщенная
функция медленного роста. Мы покажем, что все последователь-
Ψ
ности (/, φΛ), где φη ζίΖ? и φΛ —> ψ, сходятся к одному и тому же
пределу. Этот предел мы обозначим через (/, ψ) и будем называть
его скалярным произведением / и ψ.
Прежде всего существует функция F £ L2, такая, что DhF = /.
В силу 7.8(2), имеем
(/, φη) = (&F, φ,) = (- l)h (F, d\n). (1)
Из 7.9.1 следует, что d\n —» ahp. Отсюда (F, d\n) ->-(F, Лр)г
так что предел последовательности (/, φη) существует.
Покажем теперь, что этот предел не зависит от выбора φη.
Предположим, что, кроме <рп, существует другая последователь-
Ψ
ность функций ψη ζ 3), такая, что ψη —> ψ. Тогда чередующаяся
последовательность
Φι» Ψι> ф2> ψ2> · · ·
также сходится в ^ к φ, а следовательно, и последовательность
(/· Φι)> (Λψι)> (Λ Фг)> (Λψ2)> · · · сходится. Отсюда следует, что

196
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
последовательности (/, φη) и (/, ·ψη) сходятся к одному и тому же
пределу.
Таким образом, определение скалярного произведения (/, ψ)
корректно. Заметим, что основная идея приведенного здесь
доказательства аналогична той, которую мы использовали в случае
регулярных операций. Однако (/, ψ) с ψ £ <У нельзя называть
регулярной операцией по /, так как ее нельзя выполнить, вообще
говоря, для произвольной обобщенной функции (не являющейся
обобщенной функцией медленного роста).
Устремляя п-*~оо в равенстве (1), получим формулу
(DkF, ψ) = (-1)* (F, Лр) (F 6 L2), (2)
которая пригодится нам в дальнейшем.
Скалярное произведение (/, ψ), очевидно, является линейным
функционалом на <$Р. Он непрерывен в следующем смысле:
7.10.1. Теорема. Если f — обобщенная функция медленного
рсста, ψη,ψ€<^ и ψη->ψ, то (/, ψη) ->(/, ψ),
Доказательство. Существуют функция F ζ L2 (JS9) и к £ Ρ*,
такие, что DkF =/. Отсюда, в силу (2), имеем
при η ->-оо, что и доказывает наше утверждение.
В § 11.3 будет доказано, что непрерывные линейные
функционалы на 3* имеют вид (/, ψ), где / — обобщенная функция
медленного роста
7.10.2. [Теорема. Если fn Λ/ ιιψη^ψ, то (/Λ, %) -> (/, ψ).
Доказательство. Существуют функции Fn, F ζ L2 (К5) и поря-
л
док к ζ Ρ9, такие, что Z)\Fn = /n, Z)fcF = / и Fn —» F. Поэтому
мы имеем
</», Ψη)-(/, Ψ) I < Ι (/η, Ψ» - ψ) I + I (/» - /, 4») I =
= I (Fn, d" (ψ„ - ψ)) | + | (Fn - F, dhy) | <
<ΙΙ^ηΙΙ·ΙΙ^(*.-ψ)ΙΙ+ΙΙ^»-^||.||Λ|»ΙΚΟ
при п -»-oo, откуда вытекает наше утверждение.

8.
Ряды Эрмита
медленного роста
8.1· Ряды Эрмита и их производные
Мы покажем, что каждую обобщенную функцию медленного
роста можно разложить в ряд Эрмита, умеренно сходящийся к этой
обобщенной функции. Напомним сначала формулы из § 4.6:
Нп = (-1)* Ε* {Ε-*γη\ К = Е-*Нп
и
Простыми выкладками получаем
dkV7r\hn=(-i)hVJ?+h)ihn+k (1)
и, в силу 4.7(1),
Dh -^Ц- = ->, i .., К-ъ при *<»,
У и! У (га—Л)! „.
/)ййп = 0 при fc«£n (fc, n'c Р·).
Будем писать
/=5«Ли (3)
ngP*
если для любой последовательности Av конечных подмножеств из
Рв, таких, что Ay cz Av+t и lim4v =Ρβ, последовательность
V-* со
сумм
/ν= 2 апК
умеренно сходится к /. При этом будем говорить, что /ν
(безусловно) умеренно сходится к сумме ряда в правой части равенства (3).
Легко видеть, что предельная обобщенная функция / не зависит
от выбора подмножеств Ах.
Если это не приводит к недоразумениям, то вместо (3) мы
будем также писать
/= Σ αηΚ-

198 Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
В силу 7.5.3, из равенства (3) следует, что
#7= Σ anDkhn, dhf= %\andhhn.
Пусть F^L2(Bq). Согласно 4.8.2, имеем
F= Σ СпК
с 2 |cnl2<°°i поскольку из сходимости в смысле среднего
квадратического следует умеренная сходимость. Отсюда, в силу
(1) и (2),
Вводя в первой из этих сумм новые коэффициенты, можно
записать
DhF= S «.А» (4)
где
/{п + к)\
Поскольку 2 |^7ii2<°°i можно получить оценку для \ап\.
С этой целью введем символ п: если /-я координата вектора
n£Bq равна ν7·, то под η мы будем понимать вектор, /-я
координата которого равна max (1, | ν^ |) (/ = 1, ..., q). Используя
неравенства
п^^Ш-^Кп\ (5)
справедливые с надлежащим образом выбранным К (например,
с K=(i + k)h), получаем
Σ n-k\an\*<oo. (6)
Обратно, если выполнено (6), то ряд 2 anhn умеренно схо-
дится к обобщенной функции / из класса Tk (см. § 7.4). Дейст-

8. Ряды Эрмита медленного роста
199
вительно, в этом случае ряд
2 У ijrfk)ianhn+b
сходится в смысле среднего квадратического к функции G
с интегрируемым квадратом. Поскольку Ζ)Α6?= 2 anh>m то / =
п£РЯ
= DhG.
Справедлива
8.1.1. Теорема. Если для некоторого k£Pq
2 n-k\an\*<oo, (7)
то существует обобщенная функция f медленного роста класса Г*,
такая, что
f = Σ *ηΚ· (8)
пбР9
Обратно ^ если f — обобщенная функция медленного роста
класса Th, то существуют числа ап, удовлетворяющие оценке (7),
такие, что справедливо равенство (8). При этом
ап = (/, К), (9)
так что разложение данной обобщенной функции в ряд Эрмита
единственно.
Доказательство. Ввиду только что доказанного осталось
установить равенство (9). С этой целью рассмотрим скалярное
произведение обеих частей равенства (8) с hp. Поскольку (hn, hp) = 0
при η Φ ρ ж (hp, hp) = Ι, то, в силу 7.10.2, получим (/, hp) = ар,
что и завершает доказательство.
8.1.2. Следствие. Если для некоторого к £ Ρ9 и
положительного числа Μ справедливы оценки
\ап\< Mnk при η ς Р5, (10)
то существует обобщенная функция медленного роста /, такая,
что справедливо равенство (8). Обратно, каждую обобщенную
функцию медленного роста f можно разложить в ряд Эрмита
вида (8), такой, что оценки (10) выполняются для некоторого
к £ Ρ9 и некоторого положительного числа М. Это разложение
единственно, и его коэффициенты даются формулой (9).
Доказательство. Из (7) следует, что n~h \ ап |2 < М2 и,
следовательно, | ап | < Mnk/2, откуда вытекают оценки (10). Обрат-

200 Ч, III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
но, из (10) следует, что
2 л"**К|2<°°,
т. е. (7) справедливо с подходящим к; доказательство следствия
8.1.2 завершено.
Следствие 8.1.2 утверждает, что ряд (8) определяет
обобщенную функцию медленного роста тогда и только тогда, когда его
коэффициенты растут не быстрее некоторой степени п.
Теорема 8.1.1 содержит более тонкое утверждение. Однако если нас
не интересует конкретный класс ГЛ, которому принадлежит
данная обобщенная функция /, то легче проверить условие (10)
следствия 8.1.2^ чем условие (7) теоремы 8.1.1.
8.1.3. Теорема. Пусть f — произвольная обобщенная функция
медленного роста, и пусть ψ £ <$Ρ. Если
/= S апК и ψ= 2 bnhn,
то
Доказательство. Поскольку ψζ<^, то Dhty£L2 для каждого
fc£Pg и, следовательно,
#4= 2 bnDhhn для каждого k£Pq.
п£Р*
Пусть Av—произвольная последовательность конечных
подмножеств из Р9, такая, что AvczAv+i и lim.4v=Pg. Полагая
V-*oo
/ν= Σ апК И ψν= 2 Μη,
ηζΛν η6Αν
t of
мы видим, что /v —> / и ψν —> ψ· Утверждение теоремы следует
теперь из 7.10.2 и ортонормированности hn.
8.2. Функции с интегрируемым квадратом
и быстро убывающие функции
Следуя Л. Шварцу, пространство всех обобщенных функций
медленного роста обозначим через <У'.
Выполняя данное в § 7.9 обещание, докажем теперь, что
пространство <У совпадает с классом всех функций /, таких, что
Dhf £ L% для каждого к £ Ρ9, и с классом всех функций /, таких,

£# Ряди Эрмита медленного роста
201
что dkf £ L2 для каждого к £ JPq. На самом деле мы докажем
несколько более сильное утверждение:
8.2.1. Теорема. Пусть f£<?'. Если Dhf £ L2 или dhf £ L2 для
некоторого к ζ Ρ9, то Dmf £L2 и d^f £ L2 для всех т, таких,
что 0 ^ т ^ к.
Доказательство. Согласно 8.1.1, обобщенная функция
медленного роста / единственным образом разлагается в ряд Эрмита
1L 2 anhn.
n£pQ
Применяя почленно операторы Dm и dT, используя
формулы 8.1(1) и 8.1(2) и надлежащим образом меняя нумерацию членов
первого равенства, получаем
Эти два ряда сходятся в смысле среднего квадратического тогда
и только тогда, когда Dmf £ L2 и dw/ £ L2 соответственно. Таким
образом, наша теорема сводится к соответствующей теореме для
коэффициентов. Если одно из условий
Σ п\ K+ml2<0° ИЛИ Zl п\ \ап\ <°°
справедливо при т — ку то они оба справедливы при O^m^fc.
Доказательство этого утверждения проводится стандартным
способом.
8.2.2. Теорема. Пусть fc£Pg. Предположим, что Dmfn, 6Γ*/ηζ
£L2 при 0<m<fc. Если Dhfn Λ 0 или dhfn Λ 0; mo Dmfn-Xo
и dmfn Д 0 при 0<m<&.
Доказательство. Пусть
ίη = 2j anphp·
№>q
Как и при доказательстве теоремы 8.2.1, имеем
гр/ _ V l/{p+m)lfj h
P€P«

202
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Следовательно, согласно 4.8.3, Dmfn -»0 и dmfn —> 0 тогда и
только тогда, когда при η -> оо
2 ^K,P+Wι2-ο или 2 -^Кр|2-о.
Отсюда и следует утверждение теоремы.
Из теоремы 8.2.1 можно вывести несколько следствий.
Рассмотрим операторы следующих типов
D% <*% -щ*Ь (/-1, ·..,?). (1)
Если А — один из этих операторов, то Af означает DeJf, detf,
J^ или \jj (обычное произведение) соответственно. Для
фиксированного / все операторы (1) действуют по одной и той же
переменной lj.
8.2.3. Следствие. Пусть к = (κ1? . . ., nq) ζΡς, κ = κ2 + . . .
* . . + xq. Пусть Α,, (ν = 1, . . ., κ) — операторы типа (1).
Будем считать, что среди этих операторов Αν имеется в
точности Kj операторов, действующих по переменной ξ7· (/ = 1, . . ., q);
порядок следования этих операторов несуществен. Мы
утверждаем, что если f ζ&' и Dhf ζ L2 или dkf £ L2, mo Ακ . . . A-J £ L2.
Доказательство. Положим B0f = / и Bvf = AVBV-J при ν =
= 1, . . ., κ. Далее, положим у-ю координату вектора kv £ Ρ9
(ν = 0, . . ., κ) равной числу операторов Αμ с μ ^ ν,
действующих по переменной ξ;·. Так что к0 = 0, к% = к и kv ^kv-±.
Покажем, что
Dk~hvBvf£L* (2)
при ν = 0, . . ., κ. Действительно, по предположению это верно
для ν = 0. Докажем теперь, что если это верно для некоторого
ν < κ, то
rf-^B^ftL*. (3)
Следует различать четыре случая:
1) Ли =//'; 2) Λ+ι = А 3) Av+i = -±-; 4) Αν+ί = ξ,.
Случай 1. Условие (2) можно переписать следующим образом:
Dk~kv+i Av+1Bvf ζ L2, а это совпадает с условием (3).
Случай 2. Применяя к функции Bvf теорему 8.2.1, получаем,
что, кроме условия (2), мы имеем также и d ~ v Bvf£L2 или
^ft~Vn J5V+1/ ζ L2 (ср. с (2)). Применяя теперь теорему 8.2.1
к функции Bv+1f, получаем (3).

8. Ряды Эрмита медленного роста
203
Случай 3. Так же, как и в случае 2, имеем
Dh-h^de*Bvf£L\ (4)
Для -4V+1 = D * условие (3) можно переписать в виде
Ок~к™Пе>ВЛ£&. (5)
Далее, из (4) и (5) получаем
Отсюда, используя общие формулы (см. 7.1(2))
D4t-f*+$bU Pf-ft-ibU (6)
k—h (Βλ)
получаем D v+1 (Bvf) ' £L2, а это не что иное, как (3),
записанное другим способом.
Случай 4. Из (4) и (5) следует, что
Dh-h*+i(De'Bvf--de>Bvf)t&,
т. е. Dk-k*+i(ljBvf)tLZ.
Таким образом, мы доказали, что в каждом случае условие (3)
следует из (2). По индукции отсюда вытекает, что условие (2)
справедливо для каждого ν = 0, . . ., κ.
В частности, при ν = κ условие (2) переходит в Ζ?κ/ £ L2,
т. е. Αχ . . . AJ £ ΖΛ
8.2.4. Следствие. В предположениях следствия 8.2.3, если
Dkfn£L* и Dkfn Λ 0 или если dkfn£L2 и dkfn Λ 0 (/n6L2), то
Доказательство. В силу следствия 8.2.3, имеем Ан . . . AJn £
ζ Ζ/2. Далее, заменив в доказательстве следствия 8.2.3 символ /
2
на /п, символ £ на символ —», символ L2 на 0 и используя вместо
теоремы 8.2.1 теорему 8.2.2, получим доказательство настоящего
утверждения.
8.2.5. Следствие. В предположениях следствия 8.2.3, если
Dk+*fn£L* и Dh+*fn Λ 0 или dh+*fneL* и dk+*fn Λ 0 (fn £L%
mo Ακ ... AJn Zj 0 на Rq, т. е. Αχ ... А^п равномерно
сходится κ нулю на Rq.

204 Чш III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Доказательство. В силу следствия 8.2.3, [(#—у)1 Ακ ...
... AJn(x)]' £L2 для каждого фиксированного y£R9, так что,
согласно следствию 8.2.4,
[(*-»)Μκ...41/η(*)]'Λθ. (7)
Далее, функции с интегрируемым квадратом локально
интегрируемы и, следовательно,
χ
| (х-уу Ак ... Adn («) I-1 J [(t-У)1^ ... AJn (t)]' dt | <
V
X
<| j dt\iI2 ( { I [(*-z/)*A, ... AJn (t))f |»л)1/а_l^| (*—ιτ)4·βη·
где e^fjUii-z/)^...^/,^]'!2*)172.
Поэтому
Их... Λ/η И ΚΙ (^-^Г172·^,
а поскольку ζ/ можно выбрать произвольным, то, в силу (7),
отсюда следует наше утверждение.
Ψ
Напомним, что? сходимость fn —>/ определяется любым из
о о
условий: Dhfn —> Dhf для каждого & £ Р* или dkfn —> dfe/ для
каждого к ζ Ρ9. Заключительная теорема этого параграфа
утверждает, что эту сходимость можно определить и другими
эквивалентными способами. Следующая теорема дает три
эквивалентных описания пространства of (вектор η определен в § 8.1).
8.2.6. Теорема. Если f £<*?', то каждое из условий
(i) iPfeL2 для каждого к£Р*\
(ii) dhf£L2 для каждого &£Р9;
(iii) коэффициенты Эрмита ап обобщенной функции f
удовлетворяют условию
\imnhan = 0 для каждого й£Рв
является необходимым и достаточным для того, чтобы f ζ cS^.
Доказательство. Если / £ <У, то также f'f £ tf и Ijf £ if-
Следовательно, в силу (6), Detf ζ <?. По индукции получаем,
что Dhf 6 & Для каждого к. Поскольку & с: L2, то Dhf £ ΙΛ
Тем самым доказана необходимость условия (i).

8. Ряды Эрмита медленного роста
205
Предположим теперь, что Dhf £ L2 для данной / £ JP' и всех к.
Тогда, согласно 8.2.3,
Цх - у)1 /<*> (х)У ζ L\
Поскольку функции с интегрируемым квадратом локально
интегрируемы, мы имеем
χ
j [(*-V)lf{k} (<)]'dt = (х-у)Ч^ (х),
У
или, более подробно
··· JuT^af^^-^-'-^-^^C)]*!···^"
*U
— (δι —Ли) - - - (Eg—4g)/<k> (*).
Отсюда следует, что f{h) ·— непрерывная функция для всякого к.
Кроме того, в силу 8.2.1, функция [xm+iph)Y интегрируема
с квадратом. Поскольку она к тому же непрерывна, то
X
так что функции xmph) ограничены. Так как т может быть сколь
угодно большим, отсюда следует, что /<ft) быстро убывает. Это
доказывает достаточность условия (i).
Условие (ii) доказывается аналогичным образом. Поэтому
перейдем к условию (Hi).
В силу условия (i), / ζ <У тогда и только тогда, когда Dkf £
ζ L2 (W) для каждого к £ Pg. Поскольку
то Dkf£L2 тогда и только тогда, когда
Σ {Ut\k) la"+fcl2<°° Для каждого k£Pq.
Последнее условие эквивалентно условию (iii), вытекающему
из 8.1(5). Доказательство завершено.
8.2.7. Теорема. Если /£«Г и Iflf£L2 или d'lfeL2, то
j(^/)2-j(^/)2={f.

206 Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Доказательство. Из равенств (6) получаем
(dei/)2- {D'iff = {deif— De)f) {deif+De3f) =
Можно записать, что
j(?= j άξ3 J G(x)dxl-'i,
Rq -oo вд-1
где 1 — e; является вектором из JRg, все координаты которого
равны 1, за исключением /-й координаты, равной 0. Таким
образом
ь
мя вЧ
\ {?Iff- \ (Z)%> = lim ( (-l^^d,))^-
-g -α
b
lim(fd|/ f /2 dx1 ~^-aF (-a)-bF (&))==
a, b-*oo * J_ J_t
— ( fdz — limaF( —a) —lim6F(6),
-a Bg-
2*3
где функция
интегрируема на интервале —oo < ξ7· < oo. Отсюда следует
существование пределов ξί7 (ξ) при ξ ->- —oo и ξ -ν +οο.
Поскольку F интегрируема, оба эти предела равны нулю, и требуемое
равенство доказано.
8.2.8. Теорема. Если f£<SP' и D'rfif £ L2 или <?ЮеЦ ζ L2, то
( (Д6^/)2- j (de/jD*i/)2 = ( (Z/i/)2+ j (d'-f/)2.
Доказательство. Из равенства (6) выводим
DeJdeif=f2eS—|/—J-9/.
Отсюда
(Iftfiff — (d*>De//)2= (tficfif—d'Hyif) (iTid'if+d'Wif) =
= -2//(2e^) + |-il/2,

#. Ряды Эрмита медленного роста
207
и, интегрируя по частям, получаем
j {Deid?)tf- { (dW/)*=2 j (/<^)2+4 J fo/)2.
Преобразуя правую часть с помощью формул (6), приходим
к требуемому равенству.
w
8.2.9. Теорема. Если fn,f ζ с?, то утверждение fn —-> /
эквивалентно каждому из следующих шести условий:
(i) &jn^Dkf;
(ii) dhfnZtdbf;
(iii) ptf>zZpf<k*i
(iv) (p/n)<ft> ^ (p/)<ft);
(ν) <Λρ/<6';
(vi) (ρ/»)<*>Λ(ρ/)(\
acte /? — многочлен, k ζ Pq и подразумевается, что эти условия
выполняются для всех многочленов и всех к.
φ
Доказательство. Если /л —>/, то из следствия 8.2.5 вытекает,
что выполняются условия (i) — (iv). Эквивалентность условий (iii)
и (iv) сразу же следует из формул 16.6(1) и 16.6(2) приложения.
В случае к = е^ эквивалентность условий (i), (ii) и (iii) следует
из формул 7.1(3), а в случае произвольного к выводится по
индукции. Таким образом, все утверждения (i) — (iv) эквивалентны.
Далее, очевидно, что если (iii) справедливо при всех ρ и к, то
и (ν) справедливо при всех ρ и к. Аналогично, из (iv) вытекает (vi).
Эквивалентность утверждений (ν) и (vi) следует из формул 16.6(1)
и 16.6(2) приложения. Для завершения доказательства достаточно
Ψ
показать, что из (ν) вытекает fn —> /.
Но из 7.1(2) по индукции следует, что Dhfn и Dhf являются
линейными комбинациями функций вида xrffi и xrfh)
соответственно с одними и теми же коэффициентами. Поэтому из (ν)
2 Ψ
вытекает, что Dkfn —> Dhf для каждого к £ Ρ5, т. е. /п —> /.
8.3. Примеры и замечания
Очевидно, функцию / (х) = 1 можно рассматривать как
обобщенную функцию медленного роста. Следовательно, она
разлагается в ряд Эрмита с коэффициентами
«71 = \ К-

208
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Вычислим их в случае q = 1. Из 4.6(8), 4.6(5) и 4.6(4)
следует, что
]ЛГиХ+1== -2hn + Vnhn^. (1)
Интегрируя, получаем
оо оо
— оо —оо
оо оо
Поскольку \ hur=-/8n и \ /^=0, то
— оо
4/nQ--,/"l 3 Л —1
Ϋ опу -Г--7- ... при η четном,
j Л.-Ь -Г 24- η - — (2)
-°° [ 0 при η нечетном.
Таким образом, можем записать
1=Х8^(Л0 + ]/1/.2 + |/1|й4+...). (3)
Легко проверить, что коэффициенты ряда (3) стремятся к нулю.
Однако ряд не сходится в смысле среднего квадратического,
поскольку постоянная функция 1 не является функцией с
интегрируемым квадратрм. Так как 1 можно рассматривать как
обобщенную функцию медленного роста, ее можно представить в виде
1 = DF, где F = Si ζ L2 в силу оценки 7.2(2), Интересно
отметить, что 1 нельзя представить ни в виде 1 = dG, ни в более общем
виде 1 = dkG с G ζ L2, к £ Pg. Действительно, если G ζ L2, то
первый коэффициент разложения в ряд Эрмита функции dhG
(к φϋ) равен нулю (см. § 8.1). С другой стороны, первый
коэффициент в разложении (3) отличен от нуля.
Этот пример показывает, что не всякую обобщенную функцию
медленного роста можно представить в виде dhF (F £ L2). Таким
образом, производные d и D играют различную роль. В нашем
определении обобщенных функций медленного роста (см. § 7.3)
производную D нельзя заменить на d. Действительно, класс
обобщенных функций вида dkF (F £ L2) строго меньше класса
обобщенных функций вида DhF (F £ L2), т. е. класса обобщенных
функций медленного роста.
Другим примером обобщенной функции медленного роста
является дельта-функция Дирака. Вычислим ее коэффициенты
Эрмита опять для случая q = 1. Они равны
j
6fcn=M0).

8. Ряды Эрмита медленного роста
209
Из равенства
получаем
Υ η +1 hn+i (χ) = xhn (χ) — Υ η fen«i (χ)
(4)
Λη+ι (θ) —|/"-ϊγττ *»-* <°>·
Поскольку fc0(0) = ί/γ^2π и fe1(0) = 0, то
" (-ΐ)η/2 Ί/Χ"][ ]ΕΞΓ
^2S " 2*4"··' /ι
M0)=<
при четном η,
(5)
0 при нечетном п.
Следовательно, можно записать
Заметим, что в разложениях (3) и (6) присутствуют только
четные члены. Это можно было предвидеть и заранее, поскольку
1 и δ — четные обобщенные функции. Вообще обобщенная
функция / называется четной, если / (—х) = / (х). Поэтому если / —
четная обобщенная функция медленного роста и / = а0 + ctjix +
+ a2h2 + a3h3 + . . ., то 0 = / (χ) — / (—χ) = 2ajix + 2a3ft3 + · · · ·
Следовательно, 0 = аг = α3 = . . . .
Аналогично, обобщенная функция называется нечетной, если
/ (—х) = —/ (х). Если / — нечетная обобщенная функция
медленного роста и / = а0 + а^ + а2й2 + a3h3 + . . ., то 0 = / (χ) +
+ / (—χ) = 2α0/ι0 + 2a2ft2 + . . ., откуда 0 = а0 = а2 = . . . .
Таким образом, разложение в ряд Эрмита нечетной обобщенной
функции медленного роста содержит только нечетные члены.
Подставляя hn= (Y2nn\)"i/2e-x2^Hn в равенство (6) и
умножая затем его почленно на е*2/4, получаем
поскольку е*2/46 = б (см. § 3.1 ч. II).
Однако последний ряд не сходится умеренно, хотя он и
сходится в обобщенном смысле. Заметим, что частичные суммы этого
ряда — многочлены, так что мы получили в явном виде
аппроксимацию дельта-функции многочленами. Такая аппроксимация
имеет только теоретический интерес и, по-видимому, не находит
приложения в практических выкладках.

210
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
8.4. Многомерные разложения в ряд
Иногда многомерный случай можно свести к одномерному.
Докажем сначала теорему.
8.4.1. Теорема. Если f — обобщенная функция медленного
роста на Rq и g — обобщенная функция медленного роста на 12г,
то обобщенная функция
h(x, у) = f(x)-g(y),
где χ £ Rq, у ζ JSr, является обобщенной функцией медленного
роста на JS9+r. Далее, ее коэффициенты Эрмита ср, где ρ =
= (w, η) £ Pq+r, равны произведениям атЬп коэффициентов
Эрмита ат и Ъп обобщенных функций fug.
Доказательство. Пусть / = DkF, g = DlG, к £ Pq, /£Pr,
F g L2 (Rq), G ζ L2 (Br). Если s = (к, l), то
Ds (F (x) G (y)) = DkF (x) DlG (y) = h (z, y).
Отсюда
Cp = |/SST j F(x)G(y)hm+h(x)hn+l(y)dxdy =
8.4.2. Следствие. Если /1? . . ., fq — обобщенные функции
медленного роста на JS1, то произведение f (χ) = f1 (ξχ) ... fq (ξς) —
обобщенная функция медленного роста на Ш. Далее, если η =
= (νν . . ., vq) £ Pg, то коэффициенты Эрмита ап обобщенной
функции f равны произведениям
#n = #lvi . . . ttqVq,
где a$v. есть Vj-й коэффициент Эрмита обобщенной функции
мы·'
Доказательство. Требуемое утверждение получается из 8.4.1
с помощью индукции.
Функцию, принимающую значение 1 всюду на Ж9, очевидно,
можно рассматривать как произведение q подобных функций,
каждая из которых определена на JB1. Следовательно, ее
разложение в ряд Эрмита получается непосредственно из 8.3(3), а
единственная трудность связана с обозначениями. Для их упрощения

8. Ряды Эрмита медленного роста
211
П = <
введем символ
f-,/1 3 ^Т
I 1/ -зг"т' · · · ПРИ четном положительном п,
0 при нечетном положительном п,
1 при п=0.
Если га = (ν1? . . ., ν9) 6 Pg, положим по определению
П = Vj . . . Vg.
При этом разложение единичной функции 1 на Rq можно
записать в виде
1 = (8л)д/4 2 nhn на В*.
пбР5
ПОСКОЛЬКУ δ (Д:) = 6j (ii) ... bq(lq) ПрИ 3=(&, · · · , £g) £ В9,
в силу (6), можно записать
δ = (2π)-ς/4 2 ΐηηΚ на В*.
8.5. Некоторые специальные разложения в ряд Эрмита
Коэффициенты разложения в ряд Эрмита обобщенной функции
медленного роста — равны ап = \ —. Все они обращаются в нуль
X J X
при четном η (см. также § 13.1). Кроме того,
Далее, нечетные коэффициенты можно последовательно вычислить
при помощи рекуррентной формулы. Действительно, из 8.3(4)
получаем
а это и есть требуемая формула, поскольку значения I hn
известны и даются равенством 8.3(2). Следовательно, при четном η
Vn + ian+i = y8ny —.-.....i- Vnan-{.
Вместо того чтобы использовать эту формулу в приведенном
здесь виде, полезно упростить ее, положив
п — - F_■ ип (для нечетных п).
Уп\

212
ζΓ. ///. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Тогда иг = 1 и рекуррентная формула для ип имеет вид
ип+1 = 1 ·3 . . . (и — 1) — rcun-i (для четных η ^ 2). (1)
С помощью этой формулы приходим к следующей таблице
значений коэффициентов ип:
η |1| 3|5| 7 | 9 | И | 13 | 15 J 17
Un 111 _ 117 | -27 13211 — 22651375751 — 390915 | 8281665
Легко проверить, что знаки коэффициентов ип чередуются.
Действительно, ^сли ип_3 < 0, то, в силу (1), ип_1>1-3...
. . . (η — 3). При этом снова, согласно (1), ип+1 < 1 -3 . . .
... (п — 1) — л .1.3 ... (л — 3) = —1 -3 ... (л — 3).
Вычислив несколько первых значений коэффициентов ип, по индукции
приходим к выводу, что знаки чередуются.
Разложение — в ряд Эрмита можно записать в виде
* у У у и ί Уъ\ ъ^ уь\ ъ )>
где ωη = | ип |.
Функция sgn χ определяется следующим образом:
{— 1 при χ < 0,
0 при χ = 0,
1 при χ > 0.
Ее коэффициенты Эрмита равны
оо оо 0
Ъп= j sgnxhn(x)dx = j ft„ — j ft„.
— оо 0 -оо
Следовательно, Ьп = 0, если η четно, и
В частности,
Ьп = 2 \ hn, если η нечетно.
оо
6l"^Jxe йХ ΥΈΙ
Как и в предыдущем случае, остальные коэффициенты можно
найти при помощи рекуррентной формулы. Интегрируя 8.3(1),
получаем
Уп + ί J hn+i = 2hn(0)+yn J К.

8. Ряды Эрмита медленного роста
213
и, в силу 8.3 (5),
4 ( ι\η/2 /"5 з Л 1 /--
= —^=^—у у.^-.....—-—ЬУлЬп-i (для четного л).
Полагая
4 / i\(»-i)/2
δη = -τ==--*—fr= ι;η (для нечетного η),
получаем ^ = 1 и
уп+1=1.3 ... (л— 1) — ηνη-ι (для четного п^>2).
Таким образом, рекуррентные формулы для ип и vn одни и те же,
и потому vn = ип. Следовательно, искомое разложение имеет вир
отметим, что все коэффициенты этого разложения положительны.
Установим попутно одно интересное интегральное равенство
для нечетных функций Эрмита. Из того, что ип = νη, следует
справедливость для ап и Ъп такого соотношения:
Но
Отсюда
оо со
αη = \ _JL=2 I — для нечетного п.
-оо О
оо оо
-JL С ^.= (— l/"-1)/2 J hn для нечетного re.
В заключение отметим, что так же, как и для обобщенных
функций 1 и δ, приведенные выше результаты можно обобщить
на любое число измерений.
8.6· Преобразование Фурье
Пусть / — произвольная обобщенная функция медленного роста
и /= 2 anh>n- Тогда преобразование Фурье обобщенной функции f
пег*
определяется равенством
П6РЗ

214
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Ясно, что преобразование Фурье обобщенной функции
медленного роста само является обобщенной функцией медленного роста.
В силу 4.9.1, это определение совместимо с определением
преобразования Фурье функций с интегрируемым квадратом.
Из данного определения следует, что преобразование Фурье
четной обобщенной функции есть четная обобщенная функция,
а преобразование Фурье нечетной обобщенной функции есть
нечетная обобщенная функция.
Кроме того, справедлива
8.6.1. Теорема. Если f£#, то & (/) £ of.
Доказательство следует из оценок коэффициентов Эрмита,
полученных в теореме 8.2.6.
Из разложений, приведенных в предыдущих параграфах,
сразу следует, что на Rq
jF(l)=(21/^)4 ^(δ) = (2/πΓ,
(Две последние формулы первоначально получаются для
одномерного случая, но легко обобщаются на произвольное число изме-
« 1 ν
рении с помощью соответствующих определении — и sgn #.)
Если /=21 anhm т0 можно записать
& (De}f)= Σ in-eianDeihn = = -itf1 Σ *η<*Α= -iZ?V(/),
n£PQ пбРЗ
согласно определению преобразования Фурье и 8.1(2).
Аналогичным образом имеем
По индукции получим
& (Dkf) = (-iD)k & (/) (1)
и, аналогично,
f (dhf) = (id)k ¥ (/) (2)
для произвольного к ζ JPq и произвольной обобщенной функции
медленного роста /. Отсюда, в силу 7.1(3), вытекают формулы
i^(/)=--2ijr(/(^) и & <&f)=-*П& {f)Y*

g. Ряды Эрмита медленного роста
215
для всякой обобщенной функции медленного роста /. В более
общем случае по индукции получаем
хь & (/) = (20* & (/<*>) и JF (xkf) = (-2i)h W (/)]<*> (3)
для произвольной обобщенной функции медленного роста /.
Формула (1) играет особенно важную роль. Она показывает,
что преобразование Фурье обобщенной функции класса Th является
снова обобщенной функцией класса Th. Более того, из нее следует
8.6.2. Теорема. Если последовательность обобщенных функций
ίη умеренно сходится к /, то последовательность преобразований
Фурье jF (fn) сходится в том же смысле к JF (f).
Доказательство. Действительно, существует
последовательность функций с интегрируемым квадратом Fn, сходящихся
в смысле среднего квадратического к?и таких, что DhFn — fn,
j)kF — f для некоторого к £ Ρ9. Отсюда, в силу (1),
<F (/„) = (-iD)k & (Fn).
Поскольку Fn сходится в смысле среднего квадратического к F,
последовательность jF (Fn) сходится в смысле среднего
квадратического к Jf (F). Поэтому jF (fn) умеренно сходится к
(-Ш)* & (F) = &{f)
снова в силу (1), и доказательство завершено.
Эта теорема позволяет доказать равенства
^(f(x + a)) = e-iax/2g(x) и ^(e™'2f(x)) = g(x + a) (a£Rq) (4)
для любой обобщенной функции медленного роста / и ее
преобразования Фурье 3F (/) = g.
Действительно, существует последовательность функций с
интегрируемым квадратом /п, умеренно сходящаяся к /; например,
/п = Σ aphpi гДе Nn — конечные подмножества из Рд, такие,
что Nn -fP9 при η ->οο. В силу 4.3(7) и 4.3(8), имеем
&(ίη(ζ + α)) = β-*°*^η(χ) и &r(eia^fn(x))=gn(x + a),
где gn~ jF (/n). Отсюда, согласно 8.6(2), следуют равенства (4).
Если ап > 0, то
ρ (е-<V2) - (2 Vn)q {VWnYq e-*1/*»,
где βα = 16αΛ (см. § 4.3). Устремляя ап ->0, получаем
^(l) = (2/S)96. (5)
Применяя обратное преобразование Фурье, находим

21^ Ч III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Обе формулы были выведены в начале этого параграфа, но
совершенно другими методами.
Если g = Jr(—) и я^В1, то, в силу (3), имеем
(Равенство х — =\ тривиально в классическом смысле;
доказательство того, что оно остается справедливым, если рассматри-
1 \
вать — как обобщенную функцию, приведено в § 12.6. ] В силу
только что доказанного, g! — ίΥπδ. Отсюда g—iYnH-^-c, где
с — постоянная. Для того, чтобы g была нечетной, следует
положить g=iYzi (# —-j) · Отсюда JP f—) =iΥπ γ sgnx. Для
обобщения этого результата на произвольное число измерений
мы используем следующую теорему:
8.6.3. Теорема. Если Д (ξ^, . . ., fq (lq) — обобщенные
функции медленного роста на R1 и χ ~ (ξ1? . . ., ξα), то произведение
f (χ) = /ι (ii) . . . /g (lq) есть обобщенная функция медленного
роста на Rv и ее преобразование Фурье равно произведению 3F (/) =
= g1 (ξχ) . . . gq (lq), где gj (lj) — преобразование Фурье функции
Доказательство! То, что / — обобщенная функция медленного
роста, было доказано в следствии 8.4.2. В силу того же
следствия, имеем
А А
O^n^A Vl=0 * * vg=0 * q
Устремляя А -*-оо, получаем требуемый результат.
11 1
Применяя 8.6.3 к обобщенной функции — = ^- . . . =- ,
х 61 6д
с помощью предыдущего результата приходим к равенству
&(±)=(iYn)q2-*sgnx,
где sgn χ = sgn ξχ . . . sgn lq. Отсюда, применяя обратное
преобразование, · находим
^(2-*sgnx)={-iYn)-q±.
Отметим, что эти равенства были получены в начале этого
параграфа непосредственно из соответствующих разложений в ряды
Эрмита.

8. Ряды Эрмита медленного роста
217
8.7. Аналогия со степенными рядами
Формула 8.1(2) напоминает обычную формулу
дифференцирования степени:
М \*Л = /ΐ£ϊ)Γ при к<п>
( 0 при к*£п.
Можно провести аналогию между рядами Эрмита /= 2 anhn
и степенными рядами ψ (ζ) = 2 #nzW· Она заключается в том,
что каждой обобщенной функции медленного роста / ставится
в соответствие аналитическая функция ψ (ζ), такая, что
2 п~к\ап\2<оо для некоторого /с, причем это соответствие
пбРЗ
взаимно однозначное. Таким образом, изучение обобщенных
функций медленного роста эквивалентно изучению специального
класса А аналитических функций: каждому свойству класса А
отвечает некоторое свойство обобщенных функций медленного
роста, и наоборот. Обсудим это на примере одномерного случая.
Тогда А — некоторый класс аналитических функций одной
комплексной переменной ζ, голоморфных в круге |ζ|<1. Поворот
вокруг начала координат является линейным преобразованием,
переводящим класс А на себя. В частности, так действует
поворот Τ на угол π/2, который аналитически можно выразить либо
оо оо
как Γ(ψ(ζ)) = ψ(έζ), либо как Τ (2 ап^п)= Σ dninzn. Очевидно,
этому частному повороту отвечает преобразование Фурье
оо оо
& (2 ап^п)= 2 cLninhn. Обратное преобразование Г"1 есть поворот
П=0 71=0
на угол —π/2, так что Г"1 (ψ(ζ)) = ψ( — iz). Следовательно, обрат-
оо оо
ное преобразование Фурье ^_1 ( 2 arJln)= 2 яп( —i)nAn. В слу-
п=0 п=0
чае поворота Τ очевидно, что Г4 = /, т. е. преобразование,
состоящее из четырех последовательных поворотов на угол π/2, есть
тождественное преобразование. Следовательно, аналогичное
свойство справедливо и для преобразования Фурье, т. е. jF4=/.
Таким образом, мы видим, что для произвольного
положительного целого числа η не составляет труда построить
преобразование G пространства обобщенных функций медленного роста, такое,
что Gn = I (преобразование Фурье — Мелера).

218 Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
«8.8. Преобразование Фурье свертки
Преобразование Фурье HF (/) функции / 6 L2 было определено
в § 4.3 как предел в L2 функций
А
Fa (*) = (2 Vn)~q \ e*t/2f (t) dt
-A
при А —>-oo. В частности, если / £cf, то выписанный выше
интеграл сходится абсолютно, и мы имеем просто
β: (/) = (2 Yn)~q \ eix*'2f (t) dt.
8.8.1. Теорема. Если f,g£df, mo
iF(f*g) = (2VnyjF(f).JF'(g). (1)
Другими словами, преобразование Фурье свертки с точностью
до постоянной равно произведению преобразований Фурье
образующих ее функций.
Доказательство.
ρ (/ * g) =* (2 Yn)~q J e«/2 dt j / (t - τ) g (τ) dx =
rQ r*
= (2 Vn)~q \ eW*g (τ) dx [ **(*-*>/2/ (t - τ) dt.
r* r* ·
Произведя во внутреннем интеграле подстановку t—т=и, получаем
jr (/ * g) = (2 У^т)"* f eixT/2g (τ) dx f ete*/2/ (w) du,
откуда и следует требуемое равенство.
Если /, g £ <У\ то, в силу теоремы 8.2.2, & (/), ^ (#) ζ ff.
Поэтому & (/) -^ (g) ζ ^ и, следовательно, ^ (/ * g) £ <з^.
Применив обратное "преобразование Фурье, получаем f * g ζ о?»
Таким образом, справедлива
8.8.2. Теорема. Если /, g £ ^, mo / * # ζ #>.
Эту теорему можно доказать и непосредственно, оценивая
интегралы.

8. Ряды Эрмита медленного роста
219
Из теоремы 8.8.1 следует более общая
8.8.3. Теорема. Если /, g ζ L2, то справедливо равенство (1).
2 2
Доказательство. Пусть fn,gn£ <У, fn —* /, &ι—> g- В силу 8.8.1,
имеем
F (/» * *п) = (2 /π)9 ρ (fn) · jF Ы.
Согласно 4.3(3), & (/η)Λ 3? (f) я ^ Ы Λ -Г (g). Отсюда
JF (/J -JF (gn) -* JF (/) -JF (?) в L\
Далее, fn* gn ->f * g равномерно, в силу 4.2.5. Следовательно,
в силу 7.2.3. Поэтому fn * gn умеренно сходится к / * g. Значит,
F (fn * gn) умеренно сходится к JF (f * g). Отсюда следует
равенство (1) для /, g £ L2, и доказательство завершено.
8.8.4. Теорема. Если f — обобщенная функция медленного
роста и g ζ 33, то справедливо равенство (1).
Доказательство. Пусть /п£#\ /п—»/. В силу 8.8.1, имеем
&ifn*g)=(*V*V&{in)-&(g)-
Если тг->оо, то fn*g —> f*g, в силу 8.8.3, и, следовательно,
F(fn*g)—> F(f*g), согласно 8.6.2. Снова в силу 8.6.2, имеем
F(fn)—> & (/)· Поскольку JF(f)£<P, то, согласно 7.9.3, отсюда
следует, что ^ (/п) · ^ (g) —> jr (/) . jr (g).

9.
Периодические
обобщенные функции
9.1· Гладкий интеграл
При изучение периодических обобщенных функций полезно
ввести понятие гладкого интеграла. Рассмотрим сначала случаи
одной переменной. Предположим, что функция ω имеет ограни-
оо
ченный носитель и \ ω = 1. Под гладким интегралом функции φ
— оо
от ω до # будем понимать выражение
Я оо χ
j<P= j ω(η)<Ιη$φ(ί)Λ. (1)
ω -οο η
Очевидно,
χ
( Jq>)' = «p(s).
ω
χ
Таким образом, \ / есть операция, обратная к дифференцирова-
ω
нию, так же как и обычный интеграл
X X
j'<p=jq>(i)cfc, (2)
а а
где а — фиксированная точка. Несмотря на это сходство, имеется
удивительное различие между интегралами (1) и (2). Гладкий
интеграл (1) — регулярная операция, в то время как обычный
интеграл (2) этим свойством не обладает. Поэтому гладкий
интеграл можно определить и для произвольной обобщенной функции
φ, но это не всегда возможно для обычного интеграла.
Читатель может проверить, что если δη есть
дельта-последовательность, то
X X
Ьп О

<?. Периодические обобщенные функции
221
В более общем случае можно рассматривать частные гладкие
интегралы
X оо 5j
j φ= J ω(χ\)άι\ j φ (*+(£-!,) е7-)<& (3)
где φ — гладкая функция на Ttq и j — номер координаты, по
которой проводится интегрирование.
Отметим, что интеграл (1) является частным случаем
интеграла (3) с q = 1.
X
Покажем, что \ φ есть регулярная операция по φ, если ω счи-
тать фиксированной. С этой целью введем сначала следующее
определение. Будем говорить, что фундаментальная
последовательность <рп имеет порядок к на открытом множестве / с Rq, если
существует равномерно сходящаяся последовательность гладких
функций Фп на /, такая, что ф№ = φη на /. Если
фундаментальная последовательность имеет порядок к на /, то она также имеет
и порядок I для любого Ζ ^ к.
9.1.1. Теорема. Если последовательность φη фундаментальна
X
на JRg, то последовательность \ <рп также фундаментальна
ω, 5
на Ш. При этом если <рп имеет порядок к ^ е7- на интервале /,
X
то \ φΛ имеет порядок к — е7· на I.
ω, j
Доказательство. На интервале / имеем
}*η(* + (ξ-|/)^)«=-Φ?-·Λ(«)-Φ?-#Λ(α:+(η-ξ/)^).
η
Умножая обе части на ω (η) и интегрируя по η, получаем
X
J Φη-Φί-^-Ψηί*), (4)
ω, j
где
оо
Ψη(χ)= j ω(η)Φ?-Λ(*+(η-|;)β,)(Ιη =
— ОО
оо
= ( j ω (η) ФЙ*'"1)e>> (χ + (η - ξ,) β,) Л]№-*Ю>,

222 Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
a Kj есть /-я координата вектора к. Далее, интегрируя по частям
К; — 1 раз, находим
оо
Ψ»(*) = (-1)Η'-1 ( J ω^-^ΜΦη^+ίη-ξι)^)*"*'''*.
— оо
Поскольку последовательность Фп сходится равномерно на /,
последовательность интегралов, заключенная в скобки, также
сходится равномерно на /. Следовательно, последовательность ΨΛ
фундаментальна и имеет порядок k—njej на /, а значит, и порядок
к — £/ на /. Отсюда следует, что и последовательность (4) также
фундаментальна и имеет порядок к — ej на /.
X
Из теоремы 9.1.1 следует, что интеграл \ φ при
фиксирование з
ных ω и у есть регулярная операция по φ, и, следовательно, его
можно распространить на любую обобщенную функцию.
Будем говорить, что обобщенная функция / имеет порядок
ί:ζΡ9 на интервале / с= Rq, если на интервале I она является
производной порядка к от непрерывной функции. Из теоремы 9.1.1
сразу получаем такой результат:
9.1.2. Теорема. Если обобщенная функция / имеет порядок
X
k !> ej на открытом интервале /, то обобщенная функция \ /
ω, з
имеет порядок к — ej на I.
Говорят, что последовательность обобщенных функций /rt
имеет порядок к на открытом множестве О, если для каждого
интервала /, лежащего внутри О, существует равномерно
сходящаяся на / последовательность непрерывных функций Фп, такая,
что Ф<^> = /п на /.
9.1.3. Теорема. Если последовательность обобщенных
функций fn сходится в обобщенном смысле на JS9, то последовательность
X
\ fn также сходится в обобщенном смысле на iig. При этом если
ω, j
χ
fn имеет порядок к ^ ej на I, то \ fn имеет порядок к — е^ на L
ω, з
Доказательство. Поскольку все операции, встречающиеся при
доказательстве теоремы 9.1.1, регулярны, доказательство теоре-

9. Периодические обобщенные функции
223
мы 9.1.3 повторяет шаг за шагом доказательство теоремы 9.1.1,
но вместо φΛ используется /п.
Из 9.1.3 следует, что если fn сходится в обобщенном смысле к /г
χ χ
то 1 fn сходится в обобщенном смысле к \ /.
9.2. Интеграл по периоду
Обобщенная функция / на М9 называется периодической, если
/ (х + е3) = f (х) при ; = 1, . . ., q.
(Таким образом, мы ограничиваемся периодами длины 1. Это
ограничение несущественно, и при необходимости простой заменой
переменных можно без труда перейти к периоду 2π или любому
другому периоду.)
По индукции мы получаем отсюда, что / является
периодической тогда и только тогда, когда / (х + р) = / (х) при ρ £Bq
(напомним, что Bq — множество всех целочисленных точек из I29).
Под интегралом по периоду е$ будем понимать
ι
J f = Fj(x + ej)^F3(x), (l)
о, j
где Fj есть /-я первообразная обобщенной функции /, т. е.
обобщенная функция, такая, что Ffj) = /. Например, можно взять
X
Fj = \ /. Чтобы доказать корректность этого определения, нужно
(0,3
показать, что выражение (1) не зависит от выбора Fj.
Действительно, если Gj — другая j-я первообразная обобщенной функции Д
то GfP = /. Поэтому (Fj — Gj)(ej) = 0. Отсюда следует, что
обобщенная функция Kj = Fj — Gj не зависит от ξ,.
Следовательно,
[*; (* + е,) - Fj (χ)] - [Gj (χ + ej) - Gj (x)] =
= Kj (χ + ej) - Kj (χ) = 0,
т. е. наше определение корректно.
Заметим, что обобщенная функция (1) не зависит от ξ;·.
Действительно, это непосредственно вытекает из равенств
1
( J f){'J) = f(x + e,)-f(x) = 0.
0,3

224 Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
1 1
Поскольку I / не зависит от ξ7·, из (1) следует, что \ / —
о, i о, j
периодическая обобщенная функция на Вд.
Из (1) и теоремы 9.1.3 следует, что если последовательность
периодических обобщенных функций /п сходится в обобщенном
ι
смысле к / на JRg, то последовательность \ /п сходится в обоб-
°·'
щенном смысле к I / на Έ,4.
оГ,·
9.3. Теорема разложения для периодических
обобщенных функций
Мы собираемся доказать следующую теорему:
9.3.1. Теорема. Последовательность периодических обобщенных
функций сходится в обобщенном смысле тогда и только тогда,
когда ее можно представить в виде конечной суммы производных
равномерно сходящихся последовательностей непрерывных
периодических функций. Другими словами,
последовательность периодических обобщенных функций fn на
Rq сходится в обобщенном смысле тогда и только тогда, когда
для некоторого г ζ Р3 существуют непрерывные периодические
функции Fmn (0 ^ т ^ г, η = 1, 2, . . .), такие, что
/»- Σ *ί
O^m^r
тп
и Fmn z£. на Rq для каждого 0 ^ т ^ г. В частности, если fn —
гладкие периодические функции, то Fmn тоже можно выбрать
гладкими.
Доказательство. Пусть / — интервал в Rq, содержащий
начало координат и точку (1, . . ., 1). Предположим, что
последовательность fn периодических обобщенных функций имеет порядок
k ^ ej на /. Поскольку обобщенные функции /п периодические,
отсюда следует, что последовательность fn имеет порядок к на К5.
Пусть
1
*»(*)= J /η-ξ/ j fn (1)
ω,; 0, j
χ
и Fn(x)=· \ fn. Тогда можем записать равенство
ω>; ёп (*) = Fn (x)-ls(Fn (x + ej)-Fn (x)).

о периодические обобщенные функции 225
В силу 9.1.3, отсюда следует, что gn имеет порядок к —- в]. Далее,
поскольку разность Fn (χ + ej) — Fn (χ) не зависит от ξ;·, мы
имеем gn (# + е;) = gn (x). Из периодичности fn следует, что
также gn (χ + et) = gn (x) при i Φ]. Таким образом,
последовательность gn состоит из периодических обобщенных функций
и имеет порядок к — е^ При этом, если fn — гладкие функции,
ι
то gn и \ fn также гладкие.
o,i
Далее, дифференцируя (1) по ξ7·, получаем
ι
fn= j /n+#>.
о, i
Следовательно, мы доказали, что если последовательность
периодических обобщенных функций (или гладких функций) fn
имеет порядок к ^ ej, то ее можно представить в виде суммы двух
последовательностей порядка к — ej, члены которых являются
периодическими обобщенными функциями порядка к — е^
По индукции отсюда получаем, что последовательность fn
можно представить в виде конечной суммы производных
последовательностей порядка нуль, члены которых — периодические
обобщенные функции порядка нуль. Другими словами, эти
последовательности сходятся равномерно на JSg, а их члены являются
непрерывными функциями. В частности, если fn — гладкие
функции, то соответствующие равномерно сходящиеся
последовательности состоят также из гладких функций.
9.3.2. Следствие. Последовательность периодических
обобщенных функций сходится в обобщенном смысле тогда и только тогда,
когда она сходится умеренно.
Это следствие вытекает из предыдущей теоремы и 7.4.1.
9.3.3. Следствие. Обобщенная функция f является
периодической тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде
конечной суммы обобщенных производных непрерывных
периодических функций, т. е. когда существует г £ Hq, такое, что
/= Σ f%\
где fm — непрерывные периодические функции.
9.3.4. Следствие. Периодические обобщенные функции суть
обобщенные функции медленного роста.

226 Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Очевидно, класс периодических обобщенных функций
представляет собой линейное пространство. Следовательно, он
является подпространством пространства обобщенных функций
медленного роста.
9.4. Периодическое скалярное произведение
Обычное скалярное произведение (φ, ψ) = \ φψ для периоди-
ческих функций φ и ψ не существует, так как, вообще говоря,
интеграл для ^аких функций расходится, за исключением того
случая, когда произведение ψψ равно нулю почти всюду. Для
периодических гладких функций φ, ψ определим периодическое скалярное
произведение равенством
ι
(φ, ψ)= |φψ.
о
Следует подчеркнуть, что это определение скалярного
произведения периодических гладких функций отличается от введенного
ранее (см. § 5.1). Однако использование того же самого
обозначения не приводит к каким-либо недоразумениям.
Ясно, что все равенства 5.1(1) остаются справедливыми и для
периодических скалярных произведений. Кроме того, легко
проверить, что для каждого к £ Рд
(<|А ψ) = (-1)" (φ, ψ<*>). (1)
9.4.1. Лемма. Если φΛ — фундаментальная
последовательность периодических гладких функций, то последовательность
(фп> Ψ) сходится для каждой периодической гладкой функции ψ.
Доказательство. В силу теоремы 9.3.1, существуют
периодические гладкие функции Фтп (0 ^ т ^ г £ Pg), такие, что
и Фтп1$на Rq при п-+оо. Отсюда, согласно (1), можно
записать
(φ», Ψ)= Σ (-1)т(Фтп, ф,т))·
Поскольку последовательность (Фтп, if>(W)) сходится для каждого
О ^ т ^ г, отсюда следует наше утверждение.
Если / — периодическая обобщенная функция и ψ —
периодическая гладкая функция, то их периодическое скалярное
произведение (/, ψ) мы определим равенством
(/, ψ)=Ηπι(φη, ψ), (2)

Q. Периодические обобщенные функции
227
где φη — периодические гладкие функции, такие, что
последовательность ψη сходится в обобщенном смысле к /.
Согласно лемме 9.4.1, предел в правой части равенства (2)
всегда существует и не зависит от выбора последовательности φη.
9.4.2. Теорема. Если f — периодическая обобщенная функция
и ψ — периодическая гладкая функция, то для каждого к ζ jPq
(/с*), ψ) = (-1)* (/, ψ<*>). (3)
Доказательство. В силу (2) и (1), мы имеем
(/<*>, ψ)=Ηιη(φ(ι4 ψ) = (-1)*Ηπι(φη, *<*>) = (-l)k(/, ψ<*>).
9.4.3. Теорема. Если последовательность периодических
обобщенных функций fn сходится в обобщенном смысле к /, то
(Λι.*)-*(ΛΨ)
для любой периодической гладкой функции ψ.
Доказательство. Согласно теореме 9.3.1, существуют
периодические непрерывные функции Fmn, Fm, 0 ^ т ^ г £ Pq, такие, что
и Fmn^£Fm на JR* при п->оо. Следовательно, в силу (3), мы
имеем
(/»,*)= Σ (-i)m(*\nn, ψ<η") и (/, ψ)= 3 (-ιγ^,ψ""»).
Отсюда и следует наше утверждение, поскольку (Fmn, ψΜ") ->■
-+(Fm,tm)) при 0<m<r.
Замечание. Поскольку всякая сходящаяся в обобщенном
смысле последовательность гладких функций фундаментальна,
лемма 9.4.1 является просто частным случаем теоремы 9.4.3.
Будем говорить, что последовательность гладких
периодических функций на Rq гладко сходится к ср, если для каждого к ζ jPq
последовательность φ<*> равномерно сходится к cp(fe) на JSg.
9.4.4. Теорема. Если последовательность периодических
обобщенных функций fn сходится в обобщенном смысле к /, а
последовательность периодических гладких функций if>n гладко сходится
к ψ, то
lim(/n, ψ„)-(/, Ψ).
Доказательство. В самом деле, в силу 9.4.3, достаточно
показать, что (/„,ψη — ψ) ->0 при η ->οο. Пусть Fmn — функции,

228
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
которые мы использовали в доказательстве леммы 9.4.1. Тогда,
согласно (3),
(/», 4>η-ψ)= Σ (-i)m(Fmn, ψ^-ψ""')·
Поскольку Fmn :$ на Ш и i|4m> ι$ ψ(7η) для каждого 0 < т < г,
отсюда следует утверждение теоремы.
9.5. Периодическая свертка
Пусть φ и ψ — две периодические гладкие функции. Под
периодической сверткой φ * ψ мы будем понимать интеграл
ι
f φ(χ — *)t|)(i)d*. (1)
о
Следует подчеркнуть, что, как и в случае скалярного
произведения, определение свертки периодических функций отличается
от принятого ранее определения, хотя использование того же
самого обозначения (звездочки) не приводит к каким-либо
недоразумениям. Существует тесная связь между скалярным
произведением (φ, ψ) и сверткой φ * ψ. Действительно, если φ* (t) =
= φ (χ — t), то
φ * ψ = (φ*, ψ).
Таким образом, свертку периодических функций можно
определить через скалярное произведение. Обратно, скалярное
произведение (φ, ψ) можно определить как значение в точке нуль
свертки φ * ψ, где φ (t) = φ (—t), т. е.
(φ, ψ) = (φ * ψ) (0).
Поскольку функции φ и φ периодические, мы можем записать
1 а-И
f φ (я — t)\p(t)dt= f φ (х — t)^(t)dt (2)
0 а
для каждого α £ JSg. Простая подстановка приводит к закону
коммутативности
φ * ψ = ψ * φ. (3)
Далее, имеем
(λφ) * ψ = φ * (λψ) = λ (φ * ψ) (4)
для произвольного вещественного числа λ и
φ * (ψ + χ) = φ * ψ + φ * χ. (5)

9, Периодические обобщенные функций
229
С помощью простой подстановки и теоремы Фубини получаем
закон ассоциативности
(φ * ψ) * χ = φ * (ψ * χ). (6)
Поскольку интеграл (1) существует для произвольных гладких
периодических функций φ и ψ, свертка <p(ft) * ψ1)] существует
на Rq для всех к, Ι £ Pg. При этом
(φ * if>)(ft) = cp(fe) * ψ = φ * ·ψ(Λ) (7)
для каждого к £ Ρ5. Действительно, если к — е^ то первое из
равенств (7) получается дифференцированием выражения
ι
φ(χ — t)yp(t)dt
о
под знаком интеграла. Для произвольного к это равенство
получается с помощью g-мерной индукции. Второе равенство следует
из первого в силу закона коммутативности.
9.5.1. Лемма. Если φη и tyn— фундаментальные
последовательности гладких периодических функций на 22д, то
последовательность φη * ψη также фундаментальна на И9.
Доказательство. В силу 9.3.1, существуют периодические
непрерывные функции Фтп и Ψ&η (0 < т ^ г £ Ρ9, 0 ^ k ^
^ гх £ Pg), такие, что
Φη= Σ β, Ψ*= Σ *й
и Фтп:£на JSg, Ч'ьп^на .К* при тг-^оо (0<m<r, O^k^rJ.
Поэтому, в силу (5) и (7), можно записать
<ρη*Ψη= Σ Σ (φ™*^)^,
откуда и следует наше утверждение.
Пусть /ид — периодические обобщенные функции на Ж9,
и пусть fn = f * δη, gn = g * δη — их регулярные
последовательности. Легко проверить, что fn и gn — периодические гладкие
функции.
Если / и g — произвольные периодические обобщенные
функции, то их свертка f * g определяется фундаментальной
последовательностью φη *ψ71, где φη и ψη — фундаментальные
последовательности периодических гладких функций для / и g
соответственно.
Из леммы 9.5.1 следует, что приведенное выше определение
корректно (в силу рассуждений, аналогичных рассуждениям
из § 6.3).

230
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Если периодические обобщенные функции / и g являются
гладкими функциями, то их свертка в смысле настоящего определения
совпадает со сверткой, определенной ранее.
Простыми выкладками легко проверить, что все равенства от
(3) до (7) остаются справедливыми и для обобщенных функций.
9.5.2· Теорема. Если последовательности периодических
обобщенных функций fn и gn сходятся в обобщенном смысле, то
последовательность fn * gn их периодических сверток также сходится
в обобщенном смысле.
Доказательство. В силу теоремы 9.3.1, существуют
периодические непрерывные функции Фтп и Whn (0 < т ^ г £ Ρ9, (0 ^
^ к ^ г4 £ Ρ9), такие, что
/»= Σ фЯЯ, *»= Σ *ffi
и Фтп=£ на JS9, Ч^^наК* при ra->-oo (0<w<r, 0<fc<rt).
Отсюда, согласно (5) и (7), получаем
fn*gn= Σ Σ (Фтп*^п)(*+Ш\
откуда и следует наше утверждение.
Если /п и gn сходятся в обобщенном смысле к / и g
соответственно, то последовательность fn*gni очевидно, сходится
в обобщенном смысле к / * g.
Пример. Рассмотрим периодическую свертку / * Σ δ (χ — иг),
m£BQ
где / — периодическая обобщенная функция. Пусть δΛ —
произвольная дельта-последовательность, и пусть /п = / * Ьп.
Очевидно,
gn = dn* Σ δ(ζ — m)= 2 Μ* — m).
Отсюда, в силу (2), имеем
а+1 а+1
/n*£n = { fn(x-t)gn(t)dt= j fn(x-t)bn(t)dt =
а а
оо
= J /η(«-*)δ»(ί)Λ-/η·δ»
— оо
для достаточно больших пи — 1 О < 0. Значит,
/* S б(х-го) = /. (8)
m£BQ

Q. Периодические обобщенные функции
231
Замечание. Лемма 9.5.1 является частным случаем
теоремы 9.5.2; это вытекает из следующих двух утверждений: 1)
последовательности периодических гладких функций, сходящиеся
в обобщенном смысле, фундаментальны, и обратно; 2) свертка
двух периодических гладких функций есть гладкая функция.
9.6· Разложения в ряд Фурье
Периодическую (с периодом, равным 1) пилообразную
функцию g (ξ) (рис. 9.1), равную 1 — ξ на интервале (0, 1), можно
разложить в ряд
2(g) * + 2 (2ШЛ)-1 *****;
П=-оо
пфО
это хорошо известный факт классического анализа.
Последовательность частичных сумм этого ряда ограничена и сходится п. в.
(точнее всюду, за исключением целочисленных точек).
\\\К\\\\\\\
12 3 4 5 6 7 8
Рис. 9.1.
Таким образом, этот ряд можно рассматривать как сходящийся
в обобщенном смысле. Дифференцируя его в обобщенном смысле,
получаем
-1+ Σ β(ξ-»)= Σ *2πίη|>
Π=-οο
и, следовательно,
П=-оо
ПфО
2 δ (ξ-η)- Σ *2πί<
П=-оо П=-оо
Полагая последовательно ξ = ξ1? . . ., ξ9 и перемножая
получившиеся равенства, находим, что
Σ δ (χ — η)= Σ *2πίηχ (1)
при χ — (ξ1? . . ., lq) ζ Rq. (Это равенство, связывающее суммы
в обеих его частях, можно строго доказать, рассматривая сначала
произведения частичных сумм.)

232 Ч III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Интересно отметить, что разложение частного вида (1) можно
использовать для получения разложения в ряд Фурье любой
периодической обобщенной функции. Этот метод, присущий теории
обобщенных функций, оказывается проще любого классического
метода разложения в ряд для обычных функций. Поскольку мы
работаем в пространстве произвольной размерности, сначала,
как и в § 8.1, необходимо ввести символ п. А именно, вспомним,
что если /-я координата вектора η равна ν;·, то /-я координата
вектора η равна max (1, | vj |) (/ = 1, . . ., q).
Для краткости вместо e2ninx будем писать Е11.
9.6.1. Теорема. Ряд
f= Σ *ηΕη (2)
пев?
сходится в обобщенном смысле тогда и только тогда, когда
существуют, к ζ Pq и Μ £ JB1, такие, что
I an I < Mnk при η ζ Bq; (3)
причем его сумма f — периодическая обобщенная функция.
Обратно, если f — периодическая обобщенная функция, то
существуют коэффициенты ап, удовлетворяющие оценке (3), такие^
что справедливо равенство (2).
При этом
ап = (/, Е~п), (4)
откуда следует, что разложение (2) для данной периодической
обобщенной функции f единственно.
Доказательство. Предположим, что оценка (3) выполняется
для некоторого фиксированного к = (кг, . . ., nq) и Μ ζ В1.
Введем векторы 1п = (λη1, . . ., λης), такие, что λη;· = κ;· + 2,
если Vj = 0, и Xnj = 0, если ν;· Φ 0. Тогда
(-2^Я»)(к+2)-,,'*♦«£* (5)
где η' = (vj, ..., v'q) с vfj = 2nivj, если Vj Φ 0, и ν] = 1, если ν;· = 0.
Положим
F= 2 апП'-ь-г^-ЕГ. (6)
Для любого фиксированного интервала / существует число Я,
такое, что
' ' <К для всех χζΐ.

9. Периодические обобщенные функции
233
Поскольку | n'"h 21 ^ η k 2, ряд (6) на интервале / мажорируется
каждым из рядов
К Σ η-*^\αη\^ΚΜ Σ η-2.
п£ВЯ ηζΒ<1
Но последний ряд сходится, так что ряд (6) сходится равномерна
на /. Поскольку интервал / произволен, отсюда следует, что
ряд (6) сходится почти равномерно на 22д, а следовательно,
и в обобщенном смысле. Дифференцируя его к -\- 2 раз, согласно
(5), получим
F<fe+2> = S ЯпЕ"-
пев9
Обобщенная функция / = F{h+2) является периодической,
поскольку все Е" периодичны.
Предположим теперь, что / — периодическая обобщенная
функция. Тогда, в силу 9.5(8) и (1),
/ = /* 2 b(x-n) = f· Σ Ε"-
Поэтому, согласно 9.5.2, имеем
/= Σ f*En.
n£B*
Далее,
ι
f^En=\f(t)En(x-t)dt = (f, Er*)E*4
о
откуда и следуют равенства (2) и (4).
В силу следствия 9.3.3, можно записать
/= Σ /Г,
где /т — непрерывные периодические функции. При этом
fm — 2ΐ ατηη^·>
пев9
где
атп = (/2Г\ Е~п)= (2тпГ (/т, Е~п).
Следовательно,
ι
|Отп|<(2я)Ж{|/м|лт
О

234 ^· ΗΙ· Дополнительные главы т ории обобщенных функций
И
К |< Σ \атп\^Мпг,
где
М= 2 (2«)mJ|/«|.
Осталось доказать, что если ряд вида (2) сходится в
обобщенном смысле, то существуют к £ Pg и Μ 6 JK1, такие, что
выполняются оценки (о). Действительно, поскольку Еп —
периодические функции, предельная обобщенная функция / также
периодическая. В силу только что доказанного, разложение (2)
единственно и, следовательно, оценки (3) справедливы.
Обозначим класс всех периодических гладких функций
символом <3\ Ясно, что of* — линейное пространство. Справедлива
9.6.2. Теорема. Пространство д* совпадает с классом всех
периодических функций /, таких, что
| ап | < Mkn~k для каждого к £ Ρ9, (7)
где ап = (/п, Е~п) и Mk — число, зависящее только от к г)
Доказательство. Если оценка (7) справедлива, то, очевидно,
2 |»fean|<oo для любого k£Pq. Отсюда следует, что для
пев?
каждого k£Pq ряд 2 (2ηίη)ΗαηΕη равномерно сходится. Но он
является разложением в ряд Фурье функции
( Σ апЕ"Ук\
так что функция /= 2 апЕп гладкая и периодическая.
п£В9
Обратно, предположим, что / — гладкая периодическая
функция и что к — произвольный фиксированный вектор из Pq.
Тогда коэффициенты Фурье ап функции / удовлетворяют равенству
ап = (/, Е-п) = (2nm)-*n (/<V, E~n),
где /-я координата вектора кп равна κ;·, если ν, Φ 0, и 0, если
Vj = 0. Значит, | ап | < n'hM, где Μ = max | (/(V, Е~п) | (заме-
п£ВЗ
тим, что для данного к существует только конечное число
различных векторов кп).
) А также от /.— Прим. перее.

д. Периодические обобщенные функции
235
9.6.3. Теорема. Пусть f — периодическая обобщенная функция
и яр — периодическая гладкая функция. Если
то
(/, *)= Σ *Α·
певз
Доказательство. Пусть Л v — произвольная последовательность
конечных подмножеств из Bq, такая, что A v с i4v+i и lim -4 ν =
= Bg. Пусть
/ν= Σ αηΕ4 и ψν= Σ ЬпЕ".
ηζΑν η£Αν
Последовательность /ν сходится в обобщенном смысле к /, а г|^>
равномерно сходится к ip(ft). Отсюда и из 9.4.4 следует наше
утверждение.
9.7. Преобразование Фурье периодических
обобщенных функций
Из 8.6(4) и 8.6(5) получаем
& (ЛГ) = (2 γ π)* Ь{х + inn).
Поэтому, в силу теоремы 8.6.2, мы видим, что преобразование
Фурье 3F (/) периодической обобщенной функции / равно
^(/) = (2VS)«S *η·δ(* + 4πη),
где ап — коэффициенты Фурье обобщенной функции /.

10.
Пространства Кёте
10.1· Общие замечания
Как мы показали, каждую обобщенную функцию медленного
роста можно единственным образом разложить в ряд Эрмита.
а каждую периодическую обобщенную функцию — в ряд Фурье,
Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие
между такими >обобщенными функциями и некоторыми матрицами
(матрицами коэффициентов). При этом свойства обобщенных
функций некоторым образом отражаются на соответствующих свойствах
матриц. Например, если мы надлежащим образом
продифференцируем обобщенную функцию, то элементы соответствующей матрицы
при этом умножатся на некоторые коэффициенты. Поэтому
изучение некоторых классов обобщенных функций можно свести к
изучению соответствующих классов матриц. При этом элементы
матриц можно записать в виде обычных последовательностей,
и это еще более упростит теорию; кроме того, ясно, что понятие
числовой последовательности гораздо проще понятия обобщенной
функции.
Элегантная теория пространств последовательностей была
построена Г. Кёте [1].
В этой главе мы изложим элементы этой теории. Однако
существует различие между подходом Кёте и нашим. Работа Кёте
основана на глубоких теоремах современной топологии, в то
время как наши методы элементарны, но несмотря на это, дают
несколько более общие результаты. Точнее, Кёте ограничивается
числовыми последовательностями, а наши методы работают без
каких-либо изменений и в случае последовательностей векторов
(элементов нормированных пространств). В этом отношении
данная глава отличается от остальной части книги. Разумеется,
читатель может всегда считать элементы рассматриваемого
нормированного пространства вещественными или комплексными
числами, если это поможет ему лучше понять изучаемый материал.
10.2. Пространства последовательностей
Будем обозначать через ЗС множество всех
последовательностей А = (аг, а2, . . .), члены которых α;· принадлежат
нормированному пространству X над полем комплексных чисел. Норму
элемента χ ζ Χ будем обозначать символом | χ |. В дальнейшем

/0. Пространства Кёте
237
последовательности А будут называться векторами, а их
элементы cij — координатами. Вектор А называется вещественным
или комплексным, если все его координаты а$ — вещественные
или комплексные числа соответственно. ВведемХследующее
обозначение:
λΑ = (λαν λα2, . . .)
для произвольного комплексного числа λ. Если В\= (Ь1? &2, . . .) —
другой вектор из ЗС, то положим
А + В = (ах + bi, я2 + Ь2, . . .).
Если один из векторов А или В комплексный, а другой
принадлежит ЗС, то положим
АВ = (агЬ19 а2Ь2, . . .).
Если все координаты вектора А — вещественные числа фО, то
\ н аг I
Мы используем такие обозначения:
| А | = sup | а} | и \\А || = | ах | + Ι α2 I + · · · ·
j
Очевидно, | ^4 |^||Л||. Кроме того,
|λ4|-|λ|·Μ|, \А+В\^\А\ + \В\,
\АВ |< \А \.\В |,
\\%А\\ = |λ|·|Μ||, \\Α +5||<1М||+||Б||,
Мдц<1М1|.ця||.
Последнее неравенство следует из более сильного неравенства
МЯ||<|4 |.||Я||.
Скалярным произведением (А, В), где один из сомножителей —
комплексный вектор, называется сумма ряда αφχ + а2Ъ2 + . . .;
скалярное произведение определено тогда и только тогда, когда
ряд сходится. Заметим, что || АВ\\ = | агЪг \ + | а2Ъ2 \ + . . . .
Таким образом, скалярное произведение (А, В) существует, если
||ЛД||<оо, причем \(А,В) \^\\АВ\\.
10.3. Лестничное и колестничное пространства Кёте г)
Пусть задана последовательность векторов Тг, Т2, ... с
положительными координатами, причем выполнено следующее условие:
г) В оригинале «echelon space» и «co-echelon space» соответственно.—
Прим. пер ее.

238 Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Каждый вектор А, такой, что | Г£А \ < оо для некоторого &,
называется вектором медленного роста. Каждый вещественный
вектор А, такой, что || TkA\\<Zoo при/с— 1, 2, . . ., называется
бистро убывающим. В случае когда координаты вектора А —
числа, множество всех векторов медленного роста называется
колестничным пространством Кёте (Stufenraum), а множество
всех быстро убывающих векторов называется лестничным
пространством Кёте (gestufter Raum).
Если А— быстро убывающий вектор, а В — вектор медленного
роста, то скалярное произведение (А, В) существует. Это
следует из неравенства ||АВ||<|| TkA\\-\ TfB \.
Если задана последовательность Тг, Тг, . . ., то
пространство ЗГ всех векторов медленного роста и пространство 91 всех
быстро убывающих вещественных векторов определены однозначно.
Однако обратное неверно. А именно, даже если мы знаем все
векторы, образующие пространства 2Г и 9ί, то индуцирующая их
последовательность 7\, Т2, ... не определяется однозначно. Для
любого заданного положительного числа α всегда можно подобрать
последовательность Тъ Т%, . . ., индуцирующую в точности
данные пространства JT и 9£ и такую, что
\fknU\<a.
Действительно, достаточно положить Г^а hmi ... mkTh
c^i=l и |ЗДГ+1,К»л*+1·
10.4. Сильная и слабая ограниченность
Будем говорить, что последовательность векторов медленного
роста Ап сильно ограничена, если существуют номер & и число М,
такие, что | Т~£Ап | < М. Будем говорить, что
последовательность векторов медленного роста Ап слабо ограничена, если
последовательность (Ап, R) ограничена для каждого
фиксированного быстро убывающего вещественного вектора R,
Замечание. Отметим, что оба введенных выше понятия
несколько отличаются от аналогичных понятий функционального анализа.
Действительно, сильная ограниченность обычно определяется
с помощью сопряженного пространства, а слабая
ограниченность — с помощью функционалов, принимающих числовые
значения, в то время как наше «скалярное произведение»
может принимать значения в любом нормированном
пространстве.
Следующая теорема играет основную роль в теории, которую
мы развиваем в этой главе.

20. Пространства Кёте
239
10.4.1. Теорема (теорема об ограниченности).
Последовательность векторов медленного роста слабо ограничена тогда и только
тогда, когда она сильно ограничена.
Прежде чем доказывать эту теорему, установим одну общую
теорему о матрицах. Эту теорему будем называть теоремой о
диагонали.
10.5. Теорема о диагонали
Пусть, как и прежде, X — произвольное нормированное
пространство и | χ | — норма элемента χ ζ X.
10.5.1. Теорема (теорема о диагонали). Если xtj £ Χ
и lim xtj = 0 при i — 1, 2, . . ., то существуют бесконечное
j-юо
множество I положительных целых чисел и подмножестёо J
{конечное или бесконечное) множества I, такие, что для всех i £ /
23l*d<°° (ΐ)
2*μ|>4ι*«Ι· (2)
Если пространство X полное, то смысл этой теоремы ясен,
поскольку из свойства (1) следует существование суммы ряда
2 Zij- Далее, если X не является полным, но / — конечное
множество, то последняя сумма еще определена. Однако если
X не является полным и / — бесконечное множество, то может
оказаться, что суммы не существует. В этом случае мы будем
считать, что
где Jn — конечные подмножества из /, такие, что lim Jn = J.
71-»· oo
Существование предела в правой части следует из свойства (1).
(Ясно, что приведенное выше равенство справедливо и в случае,
когда множество / конечно или X полно.)
Доказательство теоремы о диагонали. Можно считать, что если
J — конечное множество, удовлетворяющее условию
2 хи I ^т IХн I для кажд°го * £ J-> (3)

240
Ч. Ill- Дополнительные главы теории обобщенных функций
то существует положительное целое число г, большее любого
элемента из /, такое, что
2 ХИ \<ТI *« I при i>г. (4)
В противном случае утверждение теоремы, очевидно, справедливо.
При этом дополнительном предположении выберем возрастающую
лоследовательность положительных целых чисел iv i2, . . .
ή последовательность положительных чисел εν ε2, . . ., такие, что
п-1
/\ Xinik = ^"2 8,г/ I Xinin U W)
n-1
где, если тг=1, мы полагаем 2 #wfe —0* и
fc=l
|<2-βεη I ачп<п I (6)
для всех номеров η и q.
Из дополнительного предположения следует, что существует
номер ?*>0, такой, что |#п|>0 при i^r. Пусть ц = г и 8t==
= -γ. Также, в силу дополнительного предположения, сущест-
вует номер s>ix, такой, что | #ϋι | <С-ir | #ϋ | ПРИ i>s. Выберем
г2>5 так, чтобы | xiii2 | < 2~% \ xhii |, и ε2 так, чтобы | xi2ii | =
= (-2—г2) |^г2г2|· Поскольку i2^s, то ε2 > 0. Теперь легко
проверить, что условия (5) и (6) выполняются при n — q=l.
Предположим, что мы уже нашли ib . .., ip (р!>2) и ε1? ...
..., ερ, такие, что условия (5) и (6) выполняются для 1^тг^
^р — 1 и n-\-q^p. В силу дополнительного предположения,
существует номер u>iv, такой, что
лри i>u. Выберем ip+i>u так, чтобы неравенство
I xinip+i |^2 гп\ Xinin \
было справедливым при l^ra^p. Это возможно, поскольку
!#*г|>0 ПРИ i^m \imXij = 0 для каждого фиксированного i.
Далее, возьмем такое ερ+1, чтобы оно удовлетворяло условию
ρ
2j Xh+ilk l·^ \Т гР+1) I x*p+iip+i I*
fc=l

10. Пространства К'erne
241
Поскольку JXip+1ip+i I>0 и ip+l>u, το ερ+1>0 в силу (7). Легко
проверить, что условия (5) и (6) будут справедливыми при
1^п<^р и n + q^.p-\~l. Отсюда по индукции мы получаем,
что существует возрастающая последовательность ib i2, .. ., такая,
что выполняются условия (5) и (6). В силу (5) и (6), имеем
ρ П-1 оо
L2j Х*Шк рН Xinin I I2j ^inife ^j ( xinik 1^*2" I Хшгп | (8)
fc=l fc=l ft=n+l
при /г = 1, 2, ... . Пусть / — множество всех номеров i1? г2, ...
и положим / = /. Тогда (1) следует из (6), а неравенство (2)
вытекает из (8). Доказательство теоремы о диагонали завершено.
Замечание. Число -~ в оценке (2) теоремы о диагонали нельзя
увеличить. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим матрицу xtj,
у которой Хц = 2, Xfj — Ο при всех j>i и х^=—I при j<i
для всех г. Тогда для всякого / и каждого J czl имеем 2 хи = 1
для некоторого ίζ/.
10.6· Доказательство теоремы об ограниченности
Если Ап — сильно ограниченная последовательность векторов
медленного роста, то существуют номер к и число М, такие,
что | АпТЪ1 | < Μ для всех η = 1, 2, . . . . Для каждого быстро
убывающего вектора R имеем || Г&/?|| < оо. Следовательно, из
неравенств
\(АП1 R)\<\\AnR\\<^\AnT?\.\\TkR\\
вытекает, что каждая сильно ограниченная последовательность
слабо ограничена.
Осталось доказать, что каждая слабо ограниченная
последовательность сильно ограничена. Предположим противное, т. е. что
существует слабо ограниченная последовательность Ап, не
являющаяся сильно ограниченной. При этом можно считать, что
I ThTt+i |<{и потому
\TiTf*\<2u (1)
при i, / = 1, 2, ... и i </. Поскольку последовательность Ап
не является сильно ограниченной, последовательность | ΑηΤχχ \
не ограничена для каждого фиксированного i. Поэтому
существует возрастающая последовательность номеров nt, таких, что
\АПшТ?\ +оо при i^oo. (2)

242 Ч III, Дополнительные главы теории обобщенных функций
Таким образом, существует последовательность номеров гь
таких, что
| AnJT11 - К | ег.Ап.Т? | = | (Ап., ег.Т?) | при i = 1, 2, ..., (3)
где ег. — вектор, ггя координата которого равна 1, а-остальные —
0. Положим xtj = (Ani, er Tj1); тогда xtj £ X и хц ->0 при
7 ->-оо, согласно (1). В силу теоремы о диагонали, существуют
бесконечное множество / положительных целых чисел и (конечное
или бесконечное) подмножество / из /, такие, что для всех i ζ /
%\(Ап.,ег.Т?)\<оо (4)
и
12 и»,· е^ I > τ ι ^ e*iT^ ι· <5>
ю
Пусть R—такой вектор, что
6iR — 2 eier$lx Для каждого i= 1, 2, ... .
8 силу (1), ряд в правой части этого равенства сходится для
всякого i = 1, 2, . . . . Докажем, что R — быстро убывающий
вектор. Действительно, для каждого фиксированного к имеем
II ThR || = || TkJ еГ]Т? |k||Г, 2' erJf || +1|rft 2" */?1|<
<ll^2'^rrll+S"2',-i<oo,
где 2' означает суммирование по всем / ζ. J, таким, что / ^ &?
и 2" означает суммирование по всем / £/, таким, что / >fc.
Далее, мы видим, что
2 {Anv erT?) = (An 2 е Т?) = {Ап R).
Следовательно, в силу (5) —(2), мы имеем | (Лп , Д) | ->· оо при
i ->. оо, что противоречит слабой ограниченности
последовательности Ап. Тем самым доказательство теоремы об ограниченности
завершено.
10.7. Сильная сходимость и слабая сходимость
Будем говорить, что последовательность векторов Ап сходится
покоординатно, если для каждого фиксированного номера /
последовательность (е/, Ап) сходится. Будем говорить, что
последовательность медленно растущих векторов Ап сходится сильно,
если она сходится покоординатно и, кроме того, сильно ограниче-

10» Пространства Кете
243
на, т. е. существуют номер к и число М, такие, что | Т£Ап | < Μ
для всех η = 1, 2, ... . Тогда существует вектор медленного
роста А, к которому последовательность Ап сходится
покоординатно, такой, что | Т1гА | < М. Действительно, /-я координата
предельного вектора А определяется равенством α;· = (ej, A) =
= lim (ej, An). Поэтому можно сказать, что каждая сильно сходя-
П-+оо
щаяся последовательность векторов медленного роста Ап сильна
сходится к некоторому вектору медленного роста А.
Будем говорить, что последовательность векторов
медленного роста Ап сходится слабо, если последовательность скалярных
произведений (R, An) сходится для каждого быстро убывающего
вещественного вектора R. Очевидно, что каждая слабо
сходящаяся последовательность слабо ограничена.
10.7.1. Теорема. Последовательность векторов медленного
роста Ап сходится сильно тогда и только тогда, когда она
сходится слабо.
Доказательство. Предположим, что последовательность Ап
сходится сильно к А. Тогда существуют номер к и число М,
такие, что | Т£Ап | < Μ для всех η и | Т%гА | < Μ. Пусть
R = (г1? г2, . . .) — любой быстро убывающий вектор. Тогда
|| TkR\\ < оо. Следовательно, для любого заданного числа ε >0
существует номер jk, такой, что
II ThRk\\ < ε/4Μ,
где Ri — вектор, все координаты которого вплоть до /&-Й равны
нулю, а все последующие координаты равны соответствующим
координатам вектора i?. Полагая Rk = R — R'h, получаем
\(R,An-A)\^\\(Rk + R'h)(An-A)\\^
<:\\Rk(An-A)\\ + \\TkR'k-n1(An-A)\\^
^\\Як{Ап^А)\\ + \\ТкНк\\'\Т^(Ап-А)\^
^\\Rh(An-A)\\ + B/2.
Вектор Rk (An — А) стремится к нулю покоординатно при
η ->-οο, и все его координаты с номерами >/А равны нулю. Отсюда
следует, что
\\Rk(An -4)||-*0 при η-*™.
Значит | (R, Ап — А) | < ε для достаточно больших п. Таким
образом,
(R,An)-+(R,A), (1)
т. е. последовательность Ап сходится слабо.

244 Ч. III» Дополнительные главы теории обобщенных функций
Обратно, предположим теперь, что последовательность Ап
сходится слабо. Тогда последовательность (е/, Ап) сходится для
каждого фиксированного /» поскольку вектор е^ быстро
убывающий. Далее, поскольку последовательность Ап слабо ограничена,
•она сильно ограничена, и доказательство завершено.
Будем говорить, что последовательность Ап сходится слабо
к А, если условие (1) справедливо для каждого быстро
убывающего вещественного вектора R. В силу доказанного выше, можно
сказать, что если последовательность векторов медленного роста
Ап сходится сильно или слабо, то существует вектор медленного
роста А, к которому Ап сходится и сильно, и слабо. Ясно,
что этот предельный вектор А определен однозначно.
10.8. Более общая формулировка теории
Вся изложенная выше теория будет применима, если векторы
А = (α1? α$, . . .) заменить матрицами с произвольным (но
фиксированным) числом измерений. Еще более общим образом, пусть
К — счетное множество индексов р. Рассмотрим функции А =
= {ар}, определенные на К, со значениями в некотором заданном
нормированном пространстве X над полем комплексных чисел.
Функции на К мы будем называть матрицами, а множество всех
таких функций обозначать символом ЗС\ Мы поступаем так только
ради удобства изложения последующего материала, хотя по
традиции это определение сохраняют лишь для некоторых множеств К
•специального вида. Как и в § 10.2, положим λΑ = {λαρ} и А + В=
= {ар + 6р}, если А = {ар}, В ={ЬР} и А, В £ 9С. Будем писать
АВ = {арЬр}, если один из сомножителей есть комплексная или
вещественная матрица. Кроме того, будем использовать следующие
обозначения:
Hl = sup|ap|, ||4||= 2 ΚΙ-
Под скалярным произведением (А, В) мы понимаем сумму
2 cipbp при условии, что величина этой суммы не зависит от поряд-
р
ка суммирования и один из сомножителей есть комплексная или
вещественная матрица. Очевидно, что (А, В) существует, если
\\ АВ \\ <оо.
Предположим, что задана последовательность положительных
матриц Τι, Τ2, . . ., определенных на К, и выполнены следующие
условия:
\Tkmi\< оо.
Любую матрицу А, такую, что | Τ~?Α | < оо для некоторого
номера &, мы будем называть матрицей медленного роста.

tO. Пространства Кете
245
Любую вещественную матрицу А, такую, что || TkA || < оо дри к =
= 1, 2, . . ., будем называть быстро убывающей. Если А —
быстро убывающая, матрица, а δ — матрица медленного роста,,
то их скалярное произведение всегда существует.
Будем говорить, что последовательность матриц медленного
роста Ап слабо ограничена, если для любой быстро убывающей
матрицы R последовательность скалярных "произведений
ограничена. Будем говорить, что последовательность матриц медленного
роста Ап сильно ограничена, если существуют номер к и число Μf
такие, что | Т£АП | < Μ для всех η = 1, 2, . . . .
10.8.1. Теорема. Последовательность матриц медленного
роста Ап слабо ограничена тогда и только тогда, когда она
сильно ограничена.
Эта теорема сразу же сводится к теореме 10.4.1, если
элементы множества К представить в виде последовательности
кг, к2, . . . . Однако следует сделать одно небольшое
замечание: все скалярные произведения, встречающиеся при.
доказательстве теоремы 10.4.1, сходятся абсолютно, так что их величина
не зависит от порядка, в котором записаны слагаемые.
Будем говорить, что последовательность матриц Ап сходится
сильно, если она сходится поточечно на К и, кроме того, сильно
ограничена, т. е. существуют номер к и число М, такие, что
| ТЦгАп | < Μ для всех η = 1, 2, ... . Ясно, что поточечный
предел А удовлетворяет неравенству | Т£А | < М. Таким
образом, каждая сильно сходящаяся последовательность сходится
к некоторому пределу, который, как и сами члены
последовательности, является матрицей медленного роста.
Будем говорить, что последовательность матриц медленного
роста Ап сходится слабо, если для каждой быстро убывающей
матрицы R последовательность скалярных произведений (R, Ап)
сходится.
10.8.2. Теорема. Последовательность матриц медленного роста
Ап сходится сильно тогда и только тогда, когда она сходится
слабо.
Эта теорема сразу же сводится к теореме 10.7.1, если элементы
множества К представить в виде последовательности. Далее,
замечание, сделанное в конце § 10.7, остается справедливым,
т. е. если последовательность матриц медленного роста А^
сходится сильно или слабо, то существует матрица медленного
роста, к которой данная последовательность сходится и сильно,
и слабо.

246 Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
10.9. Операторы на пространстве быстро
убывающих матриц
Оператор U (R), отображающий пространство быстро
убывающих матриц й? в банахово пространство X, называется линейным,
если для любых чисел α, β и i?, S £ й? имеем
U (aR + β5) = aU (R) + βί/ (S).
Оператор U (R) называется непрерывным, если
UmU(Rn) = U(R)
П-*оо
для каждой последовательности матриц Rn £ $?, такой, что
Rn —> R, т. е. 1| Tk (Rn — R)\\ ->0 при η ->оо для каждого
фиксированного к. (В случае, когда X — множество всех
вещественных или комплексных чисел, операторы со значениями в X
обычно называются функционалами.)
В силу замечания, сделанного в конце § 10.3, можно считать,
что \ТкТ^\<\/2. При этом по индукции имеем
IWK2*-* при К к.
10.9.1. Теорема. Для каждого непрерывного линейного
оператора U (из ύΑ в X) существует единственная матрица медленного
роста А, такая, что
U(R) = (A, R) для каждого Д £ й. (1)
Обратно, для каждой матрицы медленного роста А равенство (1)
определяет непрерывный линейный оператор. Соответствие (1)
между непрерывными линейными операторами из % в X и
матрицами медленного роста взаимно однозначно.
Докажем сначала следующую лемму.
10.9.2. Лемма. Пусть А = {ар} (ρζΚ) — матрица с
элементами из нормированного пространства X. Если для каждой
матрицы R = {rp} (ρ ζ К) из <И и для каждой бесконечной
последовательности различных элементов из К справедливо равенство
lim ар.гр.==0, то А —матрица медленного роста.
Доказательство леммы. Предположим, что для каждого
А=1, 2, ... существует индекс pk, такой, что
I*U0pJ>1. (2)
Поскольку | TtTk11 < 21 "\ то | %1Рар | < 21 Ήϊρ \ ар | для всех к £ Ν
π ρ ζ К. Отсюда следует, что для каждого ρ £ К множество всех к,
таких, что рк = р, конечно. В противном случае существовали бы

Ц0. Пространства Кете
247
последовательность ки к2, ... и ρ ζ К, такие, что p — pk^ =
= Pk2 = · · · · При этом имело бы место | t^aVh \^21"кЧ1р \ ар |, т. е.
\tk.aPk. |->0 при i->oo, что противоречит неравенству (2).
Следовательно, можно считать, что все элементы последовательности
Ри Рь · · · различны. Положим теперь R = {Ьр} с Ьр = ijj^ и Ьр = О,
если ρ*Η=Ρι, А, --- · Тогда ||7γΗ|| = 2 Мр = Σ Wiii·
рек fteiv A й
ι
Поскольку \ТгТ^\<21-к при fc>Z, то || TXR ||< 2 W*k +
сю
+ 2 2i_ft<oo. Отсюда следует, что i?£^?. Так как все эле-
менты последовательности р1? р2, ... различны, то по
предположению теоремы отсюда следует, что ар Ьр -> 0 при к -> оо. Таким
образом, |opfebpJ->0 при &->-оо. С другой стороны, \aPjbPk\ =
= 11ьРкОф | > 1, согласно неравенству (2). Это противоречие
доказывает, что неравенство (2) не может выполняться для всех к.
Следовательно, существует номер к, такой, что Ι^Γ^Ι^Ι. Это
и означает, что А — матрица медленного роста.
Доказательство теоремы. Часто используемый символ ер
означает матрицу, все элементы которой равны 0, за исключением
элемента с индексом р, который равен 1. Положим ap = U (ep)
и докажем, что матрица А={ар} есть матрица медленного роста.
Действительно, для каждого R = {rp}£<% можно записать
i? = lim 2 evrv> гДе $п — конечные подмножества из К, такие,
n-*oo p£Sn
что Sn-+K. Если р1? р2, ...—последовательность различных
элементов из К, то ерхр% —>0 при ί->-οο. Отсюда, в силу
непрерывности и линейности оператора U, имеем U (ep.rPi)-+Q при
Uoo и 17 (%грь) = & (ePt) γρ· == aPirPi- Таким образом, ОрТрг ->О
при i ->- оо. Согласно предыдущей лемме, А — матрица
медленного роста и
tf(i?) = lim 2 aprp = (A,R).
п-+оо p£Sn
Осталось показать, что в равенстве (1) матрица А однозначно
определяется оператором U. Предположим, что существует другая
матрица В = {ЬР}, такая, что U (R) = (В, R) для каждого R ζ 9t.
Тогда {A, R) = (В, R) и, в частности, (А, ер) = (В, ер), т. е. ар =
= Ьр для каждого ρ ζ К. Это завершает доказательство первой
части теоремы.

248
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Доказательство второй части проще. Линейность оператора
U следует из равенства
W, aQ + pi?) = a (Л, Q) + β (4, В).
Для доказательства непрерывности U сначала заметим, что
U(Rn)-U(R)=U(Rn-R) = (AtRn-R) = (T?A,Th(Rn-R)).
Отсюда
|tf(fy)-tf(i?)|^|nM|.||rfe(i?n_/?)||.
Если А— матрица медленного роста, то |7т£1Л|<<х> для неко-
торого к. Если i?n.—>i?, то второй сомножитель в правой части
стремится к нулю. Отсюда следует, что | U (Вп) — U (В) | ->- 0, что
и означает непрерывность оператора U.
10.10· Теорема о ядре для лестничных пространств Кёте
Пусть А = {ар} и В = {bq} — матрицы на счетных множествах
К и L соответственно1); будем обозначать А® В матрицу С,
индексы которой пробегают декартово произведение К χ L и такую,
что C={cpq} = {apbq}. Поскольку 2 |λρΜ= Σ Ι αν Ι Σ |bg|> τ0
рек рек «еь
gei
Μ®*ΙΙ = ΜΙΗΙ*ΙΙ·
Ясно, что если А, В — матрицы на К, а В и £ — матрицы на L, то
(Л ® Я) (Я ® 5) = (ЛД) ® (55).
Пусть 91 — лестничное пространство Кёте, определяемое
последовательностью 7\, Г2, . . . положительных матриц на К,
таких, что | TkTJl+i | < оо. Аналогичным образом, пусть °U —
лестничное пространство, определяемое последовательностью
ϋχ, U2·, . . . положительных матриц на L, таких, что | UkU^+i I <
< оо. Рассмотрим еще третье лестничное пространство 5F,
определяемое последовательностью И^, Т^2, . . . матриц на К X L,
таких, что W^ = ГА ® Е/А для к = 1, 2, ... . Поскольку
|| (Л® 5) Wk\\=\\(B® S)(Tk ® 17*) ||= || Я2Ч1Н1 5ЗД, т0
В ® S 65Г, если i? 6 % и U 6 ^.
х) То есть их индексы пробегают множества К и L соответственно.—
Прим. пер ев.

10. Пространства Кете
249
Будем говорить, что оператор Г, отображающий декартово
произведение 9ί χ °И ъ банахово пространство X, билинейный,
если
Т {aRx + ββ2, S) = aT (Щ, S) + β Г (Д„ S)
И
Τ (R, aSi + β£2) = aT (R, SJ + βΓ (i?, S2)
для α, β g B\ i?, i?1? Д2е«и5, Slf 52 £ <2/.
Другими словами, Г — билинейный оператор, если он линеен
по каждому из аргументов в отдельности.
Оператор Τ называется раздельно непрерывным, если
limT(Rn,S) = T(R,S)
П-fOO
для каждой последовательности i?n—>i?£5? и
lim Τ (R,Sn) = T(R,S)
71-*· oo
для каждой последовательности £n—>££<?/.
Другими словами, Τ — раздельно непрерывный оператор, если
он непрерывен по каждому из аргументов в отдельности.
10.10.1. Теорема. Для каждого раздельно непрерывного
билинейного оператора Т, действующего из 91 X °И в X, существует
единственный непрерывный линейный оператор U, действующий
из Ж в X и такой, что
Τ (R, S) = U (R ® S). (1)
Обратно, для каждого непрерывного линейного оператора U,
действующего из W в X, равенство (1) определяет раздельно
непрерывный билинейный оператор на J? X °И. Это соответствие взаимно'
однозначно.
Доказательство. Положим С={Т(ер, eq)}, ρζΚ и q£L, где
ер и £д—матрицы, элементы которых с индексами ρ и q
соответственно равны 1, а все остальные элементы равны 0. Поскольку
оператор Τ билинейный, то CW^1 = {T {t^pep, ищеч)}, если Wk =
— {hpUhq}, P£^ и q^L. Предположим, что для каждого
& = 1, 2, ... существуют индексы рк и qk, такие, что
\T(tkpikePk1uuqikeqk)\<2. (2)
Считая, что |l7ki7j^i|<l/2 и \ТкП+11<1/2, а это
допустимо, в силу замечания из § 10.9, получим | UiUk. [<2 и

250
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
J ТгТи ί | < 21 h при к > I. Отсюда для каждого Ζ = 1, 2, ... имеем
ι
-1
ΣII ^ (<ч) II = S «ч"*;1 < Σ *4*4' + Σ 2z-ft< oo. (3)
k=l R R fc=l R R fe=l R R ft=i+l
Это означает, что для каждого фиксированного Ζ || Ut (щ^ eqA II ->0
-ι ^
при &->-оо, т.е. ukqkeqk—>0 при fc-voo. Аналогичным образом,
^р ер —>0. Поскольку оператор Г раздельно непрерывен, то
яц = Τ (ЪР\ер., Mfyegj) -> 0 при ; -> ос.
В силу неравенства (2), |х^|>2. Следовательно, согласно
теореме о диагонали, существуют бесконечное множество I c:N
и множество /сг/, такие, что 2 \хи\^^ Для каждого ίζΐ.
Положим 50 = 2 u5q.eq.\ сходимость этого ряда в °11 следует из оцен-
ки (3). Поэтому Sq^^L и, в силу билинейности и раздельной
непрерывности оператора Г,
\Т(Ь\, 50)|>1
для каждого i £ /. С другой стороны, согласно раздельной
непрерывности оператора, 7\ Τ (tjp.ep., S0) ->0 при i ->оо. Это
противоречие доказывает, что неравенство (2) не может быть
справедливым для всех к. Следовательно, существует номер к, такой,
что | CWh | < 2 и, таким образом, С — матрица медленного
роста. В силу теоремы 10.9.1, равенство U (Q) = (С, Q), Q £ W,
определяет линейный оператор.
Если R£ft, R = {ap}, ρζΚ и S ζ % S = {bq], q£L, то
R®S£W, R®S={apbq} и
(С, R®S)= 2 T(ep, eq)apbq.
ρζκ
Этот двойной ряд сходится абсолютно, поскольку {apbq} £ Ж
я С — матрица медленного роста. Поэтому его можно заменить
повторным рядом
(С, R ® S) = 2 2 Τ (ер, eq) apbq.
PZK q£L
В силу линейности и раздельной непрерывности оператора Т,
отсюда следует, что

10. Пространства Кете
251
(С, #®5) = Г(2 *ραρ, Σ eqbq) = T(R, S).
рек «бь
Таким образом, Г (i?, S) = t/ (i? ® S), т. е. равенство (1)
доказано. Покажем, что оператор U из равенства (1) определяется
по Τ однозначно. Предположим, что существует другой
непрерывный линейный оператор Ζ на W, такой, что Τ (R, S) = Ζ (R®S).
Тогда, в частности, Τ (ер, eq) = Z (ep<g>eq). Поскольку U (ep®eq) =
= Τ (ep, eq), το Ζ (ep <g> eq) = U (ep ® eg), ρ £ #, g ζ L.
Следовательно, ί/ = Ζ.
Осталось проверить, что и, обратно, если С/ — линейный
непрерывный оператор, действующий из W в X, то оператор Г,
определяемый равенством (1), билинеен и раздельно непрерывен.
Эта проверка предоставляется читателю.

11.
Применения
теории
пространств Кёте
11.1. Применения к обобщенным функциям
медленного роста
Будем говорить, что последовательность обобщенных функций
медленного роста fn {η = 1, 2, . . .) умеренно сходится с порядком
k £ Pg κ /, если существуют функции с интегрируемым квадратом
Fn, F, такие, что
DkFn = /n, DkF = / (1)
и последовательность Fn сходится в смысле среднего квадратиче-
ского к F при η -> оо.
11.1.1. Теорема. Последовательность обобщенных функций
медленного роста fn = 2 anphp умеренно сходится с порядком к
ре**
к /= 2 aphp тогда и только тогда, когда
Ptrq
Σ ?-*|αηρ—αρ|2->0 при η-^οο, (2)
где ρ — вектор, j-я координата которого равна max (1, π;·), если
j-я координата вектора ρ равна л; (;' = 1, . . ., д).
Доказательство. Пусть Fn, F ζ L2 ш выполняются равенства (1).
В силу равенства Парсеваля, имеем
ji^-^i2=2 \спР-ср\\
где Спр и Ср — коэффициенты Эрмита функций Fn и F
соответственно. Поскольку
/(р+к)\ ι ч
Г] \сп, p+k — Cp+h)i
то, в силу 8.1(5),
I cn, p+h — Cp+ft |2< P"h I anp - яр |2< К | cn, p+ft — ср+ь |2,
где £ зависит только от к. Отсюда и следует наше утверждение.

Ц. Применения теории пространств Кете
253
Согласно определению, данному в § 7.5, последовательность
обобщенных функций медленного роста fn умеренно сходится
к / тогда и только тогда, когда она умеренно сходится к / с
некоторым порядком к £ Ρ*.
11.1.2. Теорема. Последовательность обобщенных функций
медленного роста fn умеренно сходится к f тогда и только тогда,
когда апр -*~ар при η ->-оо и, кроме того, существуют порядок
к £ Рд и число М, такие, что
P~h \апР\<М для всех η = 1, 2, . . . и ρ £ Рд. (3)
Доказательство. Предположим, что fn умеренно сходится к /.
В силу 11.1.1, найдется номер к £ Ρ9, такой, что оценка (3) будет
справедлива с надлежаще выбранным числом М.
Обратно, пусть апр-*-ар при /г->оо и выполняется
оценка (3) для некоторых к и М. Тогда также
Р"к \ ар \^М для всех ρ £ Pq
и
Ϊ-2* I апр - ар |2 < 4М2.
Для любого заданного ε >0 существует положительное целое
число ν0, такое, что
νο > р€Рд
Отсюда
Σ Г2*-2Кр-Яр|2< Σ ρ-**-2\αηρ-αρ\* + ε/2.
Поскольку апр ->-ар при η ->-оо, сумма в правой части не
превосходит ε/2 для достаточно больших д, так что для таких η
сумма в левой части не превосходит ε. Согласно 11.1.1, это
означает, что последовательность fn умеренно сходится к / с порядком
2к -\~ 2, и доказательство завершено.
Пусть Th = {ph} при ρ £ Pg и к = 1, 2, ... . Обозначим
через JT класс всех комплексных матриц А = {ар} (р £ Р*7),
таких, что | Л Гь1 | < оо для некоторого к. Элементы S* являются,
очевидно, матрицами медленного роста в смысле § 10.8.
Мы будем говорить, что {ар} — матрица коэффициентов
обобщенной функции медленного роста /, если / = Σ aphp- В силу
следствия 8.1.2, между <& и У можно установить взаимно
однозначное соответствие. Заметим, что для каждого к £ Pg
существует вектор к! ^ к, все координаты которого равны между
собой. Это означает, что в теореме 11.1.2 можно считать все коор-

254
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
динаты вектора к равными. Согласно принятому в § 4.3
соглашению, можно также утверждать, что к — положительное целое
число.
Используя терминологию § 10.8, теорему 11.1.2 можно теперь
сформулировать следующим образом:
11.1.3. Теорема. Последовательность обобщенных функций
медленного роста fn умеренно сходится к / тогда и только тогда,
когда последовательность матриц коэффициентов обобщенных
функций fn сходится сильно к матрице коэффициентов обобщенной
функции /.
Пусть Ап, А и R — матрицы коэффициентов для /η, / £ <^'
и ψ £ JP. Тогда, в силу 8.1.3, мы имеем
(/Л, ψ) = (Ап, R) и (/,ψ) = (A,R). (4)
Если (Ап, R) сходится к (A, R) для каждой быстро убывающей
матрицы R, то, согласно определению § 10.7, Ап сходится слабо
к А. Аналогично, по определению последовательность fn сходится
(умеренно) слабо к /, если (/η, ψ) сходится к (/, ψ) для каждой
•ψ ζ сУ. В дальнейшем термины «сильно сходящаяся» и «умеренно
сходящаяся» будет удобно использовать как синонимы. Из
равенств (4) следует
11.1.4. Теорема. Последовательность обобщенных функций
медленного роста fn умеренно сходится слабо к f тогда и только
тогда, когда последовательность матриц коэффициентов для fn
сходится слабо к матрице коэффициентов для /.
Доказательство. Действительно, кроме равенств (4),
необходимо использовать только тот факт, что матрица коэффициентов
быстро убывает тогда и только тогда, когда ей отвечает некоторая
функция из е^, а это следует из 8.2.6.
Теоремы 11.1.3 и 11.1.4 очень похожи. Они утверждают, что
сильная и слабая умеренные сходимости обобщенных функций
медленного роста эквивалентны соответственно сильной и слабой
сходимости матриц коэффициентов. Но теорема 10.8.2 означает,
что сильная и слабая сходимости последовательности матриц
эквивалентны. Отсюда следует эквивалентность сильной и слабой
сходимости последовательности обобщенных функций медленного
роста. Точнее, справедлива следующая важная
11.1.5. Теорема. Последовательность обобщенных функций
медленного роста fn умеренно сходится сильно к f тогда и только
тогда, когда она сходится слабо в этом же смысле к /.
Замечание. Так же, как и в § 10.8, следует различать понятие
умеренной сходимости и умеренной сходимости к некоторой
обобщенной функции. Например, мы говорим, что последователь-

11. Применения теории пространств Кете
255
ность fn умеренно сходится слабо, если последовательность (/η, ψ)
сходится для каждой ψ£<^· Очевидно, что если fn умеренно
сходится слабо к /, то fn умеренно сходится слабо. Однако, не
очевидно, что если fn умеренно сходится слабо, то существует /,
к которой /п умеренно сходится слабо. Это вытекает из
соответствующих свойств матриц, сформулированных в конце § 10.8.
То же самое можно сказать и о сильной умеренной сходимости,
но здесь ситуация намного проще и нет необходимости привлекать
теорию пространств последовательностей.
11.2. Сходимость в & и Щ
<f> 2
Напомним, что ψη —> ψ (ψη, ψ ζ tf) означает, что Dhyjpn —>
о
—> Dkyp для каждого к£Ря или, эквивалентно, dk$n —> dN|) для
каждого /с£Рд. Покажем, что в этом определении можно
ограничиться векторами вида к = (κ, ..., κ) с κ ζ Ρ1 и это изменение
не влияет на степень общности определения. Действительно, это
сразу же вытекает из следующей теоремы.
11.2.1. Теорема. Пусть /п, /£<У\ Если dhfn, dhf^L2 и
dhfnXdhf для некоторого k£Pq, то dmfn, dmf^L2 и dmjn\
—> dmf для каждого т, такого, что О^т^к. Теорема
останется справедливой, если всюду заменить d на D.
Доказательство. В силу 8.1.1, можно написать
/п= Σ anphp И /= 2 Ярйр-
ρζΡΪ Р£РЯ
Действуя почленно оператором dm и используя формулу 8.1 (1)г
получаем
йт/п = (-1Г2/^!*»Л
р\ "пр'Ьр+т
Ptrq
И
^/=(-1ΓΣ/^^ρ+-
pep*
Согласно 8.2.1, dmfn, cTf ζ L2. В силу равенства Парсеваля, при
т ^.к имеем
(р±т)\ ,
р\
Ptrq
< Σ ^Кр--^12= J \dhfn-dhf\\
pen?
что и доказывает наше утверждение.
\dmfn-dmf\*= 2 <Ζΐτ]Ι«ηρ-αρ|2<

256 Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Доказательство теоремы для производной D проводится
аналогичным образом (см. также доказательство теоремы 8.2.1).
Напомним, что Rn —> R (Rn, R ζ Μ) означает, что
II Tk (Rn — R)\] ->.() для каждого к ζ Ρ1, где Tk ={pk}. Из
определения ρ следует, что· элемент матрицы Tk с индексом ρ есть
к-я «степень произведения отличных от нуля координат вектора р.
Покажем теперь, что Rn —> R тогда и только тогда, когда
|| Tk (Rn — R)2\\ ->-0. Доказательство проведем только для
частного случая R =*= 0. Действительно, пусть Rn ={rnp}. Имеем
\\ThR2n\\= Σ Ph\rnpf и \\ThRn\\= 2 ?k„p|.
Далее, если || T^Rn\\ -*Ό при η ->- оо, то видно, что существует
положительное целое число п0, не зависящее от А: и такое, что
J гпр К 1 при я >л0 и всех ρ б Рд. Отсюда || ГАД£|| <|| TkRn\\
для достаточно больших η и, следовательно, из условия
|| TkRn\\ ->0 вытекает, что || TkRn\\ ->-0. Обратно, предположим,
что || TkRnII ->0 для каждого фиксированного положительного
целого числа L· Пусть ε — произвольное положительное целое
число, и пусть S — конечное подмножество из Р9, такое, что
Σ ?"2<ε/2,
где *S" — множество, всех ρ £ Pg, не принадлежащих S. Легко
проверить, что
Σ ?ΚρΙ< Σ ?fe+2knp|2+ Σ ?|γλρι+ Σ ρ"2· (ΐ)
pgpi pgp5 P€S P6S'
Действительно, если для некоторого ρ мы имеем ph \ rnp | >
>?*+2 I г„р |2, то pft|rnp|<p-2. Далее, если || TkRl\\ ->0
для каждого & £ Р1, то первый член в правой части (1) стремится
к нулю при η -> оо. Следовательно, для каждого ρ £ Pg мы имеем
I rnp I ->-0 ПРИ п -►оо. Поскольку множество 5 конечно,
вторая сумма в правой части также стремится к нулю при η ->-оо.
Значит, левая часть неравенства (1) не превосходит ε для
достаточно больших п, т. е. || TkRn\\ < ε.
Для доказательства общего случая достаточно положить Rn —
= Rn — R .
11.2.2. Теорема. #с/ш ψη —> ψ (ψη, ψ ζ #), mo Rn—>R, где
i?n, i? — соответствующие матрицы коэффициентов, и обратно.
Доказательство. В силу равенства Парсеваля и 8.1(1), имеем
perq

11. Применения теории пространств Кете·
257
Используя общие неравенства
(см. § 8.1), получаем
\\Th(Rn-Rf\\^\dh^n-d^f^K\\Th{Rn-Rf\\,
откуда и следует наше утверждение.
11.3. Обобщенные функции медленного
роста как функционалы
Л. Шварц определил обобщенные функции медленного роста
как непрерывные линейные функционалы на пространстве <#\
Будем говорить, что Τ — функционал на #, если число Τ (ψ)
определено для каждой функции ψζ^. Будем говорить, что
функционал Τ линейный., если
Τ (αφ + βφ) = аТ (φ) + βΓ (ψ)
для любых чисел α, β и любых φ, ψ £ of. Наконец, будем говорить,
что функционал Τ непрерывный, если
Ηπι2τ(ψη) = 2,(ψ)
П-+оо
для каждой последовательности функций ψη6<^ сходящейся
κψΒ^ (см. § 8.2).
Обозначим через Mf матрицу, соответствующую обобщенной
функции медленного роста /, и через пгА — обобщенную функцию,
соответствующую комплексной (или вещественной) матрице А,
так что mMf = f и Mm A = А. Очевидно,
Μ (α/ + β?) = aMf + $Mg,
m (a A + $B) = am A + $mB.
Отсюда следует, что если Т — линейный функционал на <^\
то U (R) = Τ (mR) — линейный функционал на пространстве <^
быстро убывающих матриц. Обратно, если U — линейный
функционал на М, то Τ (ψ) = U (·Μψ) — линейный функционал на $.
Это соответствие взаимно однозначно, поскольку из равенства
U (R) = Τ (mR) с помощью подстановки R — Мг|э получаем, что
U (Μψ) = Τ (mMq) = Τ (ψ).
Далее,, если U — непрерывный функционал, то функционал Τ
также непрерывный, и обратно. В самом деле, если U — непре-
рывный функционал и ψη —> ψ, то, в силу 11.2.2, Μψη —■> Mif>
и, следовательно, Τ (ψη) = U (Μψη) ->- U (Μψ) = Τ (ψ).
Обратное доказывается аналогично.

258 Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Таким образом, мы доказали, что существует взаимно
однозначное соответствие между непрерывными линейными
функционалами на tf и $?. Используя это соответствие, теорему 10.9.1
можно перевести на язык обобщенных функций медленного роста.
11.3.1. Теорема. Для каждого непрерывного линейного
функционала Τ на <tf существует единственная обобщенная функция
медленного роста /, такая, что
Τ (ψ) = (/, ψ) для каждой φ £ef. (1)
Обратно, для каэ&дой обобщенной функции медленного роста f
равенство (1) определяет непрерывный линейный функционал на of.
Таким образом, соответствие (1) между непрерывными линейными
функционалами на tf и обобщенными функциями медленного роста
взаимно однозначно.
Доказательство. Если Τ (ψ) — непрерывный линейный
функционал на (5% то Τ (mR) — непрерывный линейный функционал
на М. В силу 10.9.1, существует матрица медленного роста А,
такая, что Τ (mR) = (A, R) для каждой R^°A. Согласно 11.1(4),
(A, R) = (тА, mR). Пусть / = тА. Тогда Τ (mR) = (/, mR).
Далее, каждая функция ψ ζ <5Р имеет вид mR для некоторой
R £ М, так что Τ (ψ) = (/, ψ) для каждой ψ ζ <^. Обобщенная
функция / определяется по Τ однозначно. Действительно, если
(Λ Ψ) = (g* Ψ) Для каждой ψ £#\ то и (Я/, ΑΓψ)= (Mg, Μφ),
согласно 11.1(4). Поскольку каждая матрица R ζ <% имеет вид
Л = Μψ с φ g <Г, то (Af/, i?) = (Mg, i?) для каждой Д £ .Ж.
Отсюда следует, что Mf = Mg и, следовательно, / = g. Это
доказывает первую часть теоремы. Проверка справедливости
второй части элементарна.
В силу 11.3.1, обобщенные функции медленного роста можно
отождествить с непрерывными линейными функционалами на &'.
Следовательно, можно исходить из определения обобщенной
функции как функционала и развивать теорию с этой точки зрения.
Однако при этом подходе требуется знакомство с функциональным
анализом.
11.4. Применение к произвольным обобщенным функциям
Будем говорить, что последовательность обобщенных функций
fn сходится слабо на открытом множестве О cr jE9, если для
каждой фиксированной гладкой функции φ с ограниченным
носителем, лежащим внутри О, последовательность скалярных
произведений (/η, φ) (см. § 7.8) сходится; скалярные произведения не
обязательно определены для всех п, мы требуем лишь, чтобы они
существовали для достаточно больших номеров п.

Ц. Применения теории пространств Кете
259
Напомним также определение обычной сходимости.
Последовательность обобщенных функций fn сходится на 0, если для
каждого фиксированного интервала I, лежащего внутри О,
существуют непрерывные функции Fn и порядок к £ Ρ9, такие, что
р&) = fn и последовательность Fn сходится равномерно на /.
При этом не требуется чтобы функции Fn существовали для всех п;
требуется лишь их существование для достаточно больших
номеров п. Чтобы отличать этот тип сходимости от слабой сходимости,
будем называть ее также сильной сходимостью.
11.4.1. Теорема. Последовательность обобщенных функций
сходится слабо на О тогда и только тогда, когда она сходится сильно
на О.
Доказательство. Предположим, что последовательность
обобщенных функций fn сходится слабо на О. Пусть / —
произвольный заданный интервал, лежащий внутри О, и пусть / — другой
интервал, содержащийся внутри О и такой, что / лежит внутри /.
Пусть ω — гладкая функция на I2q, такая, что ω = 1 на /
и ω = О вне /. Легко доказать, что
(/Λω, ψ) = (/η, ωψ).
Следовательно, (/ηω, ψ) сходится для каждой ψ £ ef, т. е. /ηω
умеренно сходится слабо. Следовательно, в силу 11.1.5, /ηω
умеренно сходится сильно и, следовательно, сходится сильно на Бд,
в силу 7.5.2. Поскольку ω/η == fn на /, последовательность fn
сходится сильно на /. Но так как / — произвольный интервал,
лежащий внутри О, отсюда следует, что fn сходится сильно на О.
Обратно, пусть fn сходится сильно на О. Пусть φ —
произвольная гладкая функция с носителем, лежащим внутри интервала 1>
который в свою очередь содержится внутри О. Тогда существует
последовательность непрерывных функций Fn, равномерно
сходящихся на /и таких, что F&) — /л для некоторого к £ J?q и η ^
^тг0.Следовательно,последовательность (/n, q>)=(—l)h(Fn, φ(Λ))
сходится. Предположим теперь, что носитель φ содержится внутри О,
но не существует интервала /, лежащего внутри О и такого, чтобы
носитель φ содержался внутри /. Функцию φ всегда можно
представить в виде конечной суммы гладких функций φ1? . . ., φΓ,
таких, чтобы носитель φ7· лежал внутри //, содержащегося внутри
О. При этом, в силу только что доказанного результата,
последовательность (fn, <ρ;·) сходится при η ->- оо для каждого /·
Поэтому последовательность
(L· φ) = (L· Φι) + .. . + (U, <Pr) (1)
также сходится, а это означает, что fn сходится слабо на О.
Обозначим символом 3)0 пространство всех гладких функций φ
с носителями, лежащими внутри О.

260 ^· ΙΗ· Дополнительные главы теории обобщенных функций
11.4.2. Теорема. Если f — обобщенная функция на О и
(/> ф) = 0 для каждой φ £ 3)0, то f = 0.
Доказательство. Пусть fn — фундаментальная
последовательность для /. Тогда (/η, φ)->0. Если kn —чередующаяся
последовательность, образованная из fn и gn = О, то (hn, φ) ->0 для
каждой φ ζ 3D0. Таким образом, hn сходится слабо на О, а
следовательно, и сильно в силу 11.3.1. Но hn — гладкие функции,
так что последовательность hn фундаментальна согласно
утверждению 3.9.3 ч. П. Отсюда следует, что последовательности /л и gn
эквивалентны. Поскольку gn = 0, то / = 0.
До сих пор в этом параграфе мы рассматривали слабую и
сильную сходимости, не упоминая о пределах, к которым сходятся
данные последовательности.
Будем теперь говорить, что последовательность обобщенных
функций fn сходится слабо к/наОс JRq, если для любой
фиксированной гладкой функции φ с носителем, лежащим внутри О,
(L· φ) -*(/, φ).
Будем говорить, что последовательность обобщенных функций
fn сходится сильно к f на О, если для каждого фиксированного
интервала /, лежащего внутри О, существуют непрерывные
функции Fn, F и порядок к ζ Pq, такие, что F&) = /n, Flh) = f и
последовательность Fn сходится равномерно к F на /.
Обозначим через F предел последовательности Fn в последней
части доказательства теоремы 11.3.1. Тогда (/, φ) =(—i)k(F, φ(Λ)),
откуда следует, что
(/η,φ)-*(Λφ) (2)
при условии, что носитель функции φ лежит внутри /; если это
не так, то, используя разложение (1), мы придем к тому же самому
равенству (2). Таким образом, если /п сходится сильно к /, то fn
сходится и слабо к /. Теперь мы знаем, что если /„ сходится
сильно, то fn сходится сильно к некоторому пределу /.Отсюда следует,
что если fn сходится слабо, то fn сходится слабо к
некоторому пределу /. Сильный и слабый пределы определяются
однозначно и совпадают.
Предыдущие рассуждения показывают, что в действительности
понятия сильной и слабой сходимости совпадают; они отличаются
только способом определения. Поэтому в дальнейшем нет
необходимости различать понятия сильной и слабой сходимости;
можно просто говорить «сходимость». Следует использовать то
определение, которое более подходит в данном конкретном случае.
11.5· Обобщенные функции как функционалы
Л. Шварц определил обобщенные функции на открытом
множестве О а В? как функционалы на 3)0 — пространстве гладких

11. Применения теории пространств К'ете
261
функций с ограниченными носителями, лежащими внутри О.
В частности, множество О может совпадать со всем пространством
]}q. Мы говорим, что Τ — функционал на 3)0·> если число Γ(φ)
определено для каждой φ ζ 3)0. Функционал Τ называется
линейным, если
Τ (αφ + βφ) - аТ (φ) + βΓ (ψ)
для всех α, β £ JS1 и φ, ψ £ 3/0. Наконец, функционал Г
называется непрерывным, если
ΗπιΓ(φη) = Γ(φ)
П-*оо
для каждой последовательности ср7г, сходящейся к φ на 3)0, т. е. для
каждой последовательности функций φη ζ S0> такой, что носители
всех φη содержатся в общем интервале /, лежащем внутри О, и
ψη} Ζ> <P(ft) на О для каждого k£Pq.
Таким образом, непрерывность функционала Τ связана с видом
сходимости (или топологии), введенной на 3)0.
11.5.1. Теорема. Для каждого непрерывного линейного
функционала Τ на 3)0 существует единственная обобщенная функция f
на О, такая, что
Τ (φ) = (/» φ) для каждой φ ζ 3)0. (1)
Обратно, для каждой обобщенной функции f на О равенство (1)
определяет непрерывный линейный функционал. Таким образом,
существует взаимно однозначное соответствие между
непрерывными линейными функционалами на 3)0 и обобщенными функциями
на 0.
Доказательство. Пусть θ — произвольное ограниченное
открытое множество, лежащее внутри О, и ω — гладкая функция
на Rq, такая, что ω = 1 на θ и ω = 0 вне ограниченного
множества Ω, лежащего внутри О и такого, что θ содержится внутри Ω.
Если Τ — непрерывный линейный функционал на 3)0, то
равенство
Те (Ψ) = Τ (ωψ)
определяет непрерывный линейный функционал на #', такой, что
Те (φ) = Τ (φ) для любой φ £ 3)0·> τ· е· Ддя гладких функций
Φ ζ SC'o c носителями, лежащими внутри θ. Согласно 11.3.1,
существует обобщенная функция медленного роста fe, такая, что
Tq (ψ) = (/Θ, ψ)I при ψ ζ of. Следовательно, Τ (φ) = (/Θ, φ) для
Φ ζ 3)ο с носителем, лежащим внутри θ.
Предположим, что Θ и Ξ — два ограниченных открытых
множества, содержащихся внутри О. Существуют обобщенные
функции медленного роста fe и /ξ, такие, что Τ (φ) = (/Θ, φ) или

262 Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Τ (φ) = (/s> ψ)j если носитель функции φ лежит в Θ или Ξ
соответственно. Таким образом, (/Θ — /2, φ) = 0 для каждой φ £ 3)А,
т. е. для тех функций φ, носители которых лежат внутри А =
= θ Π Ξ. Отсюда /β — /s = 0 на А, согласно 11.4.2.
Мы показали, что существует семейство обобщенных функций
(медленного роста) /θ, соответствующее семейству &
ограниченных открытых множеств Θ, лежащих внутри О и таких, что /θ =
= /s на Θ Π S. В силу теоремы 3.10.5 ч. II, существует
единственная обобщенная функция / на О, такая, что / = /θ на каждом
множестве θ £ jF. Легко видеть, что для этой обобщенной функции /
справедливо равенство (1). Действительно, если φ £ 3)0, то
найдется ограниченное открытое множество Θ, лежащее внутри О
и такое, что носитель функции φ лежит внутри Θ. Таким образом,
Τ (φ) = (/θ, φ) =* (А ф), поскольку /θ = / на θ.
Осталось показать, что и, обратно, если / — обобщенная
функция на О,/то равенство (1) определяет непрерывный
линейный функционал. Это сводится к простой проверке, которую мы
предоставляем провести читателю.
Последняя теорема позволяет отождествить обобщенные
функции на О с непрерывными линейными функционалами на 3)0.
Следуя Л. Шварцу, можно определить обобщенные функции как
функционалы и развивать теорию с этой точки зрения. Согласно
теореме 11.4.1, оба подхода, как того и следовало ожидать,
абсолютно эквивалентны. В секвенциальном подходе основную роль
играют последовательности и ряды, в то время как в
функционально-аналитическом методе — топология.
Далее, каждый метод связан со своей собственной областью
исследования. Так, математик, которому близок функционально-
аналитический образ мышления, склонен изучать связи между
различными подклассами обобщенных функций. С другой стороны,
секвенциальный подход, более близкий к классическому анализу,
рассчитан на различные выкладки с обобщенными функциями.
С этой точки зрения он теснее связан с приложениями.
11.6. Теоремы о ядре для обобщенных функций
Из теоремы о ядре для пространств Кёте мы получим две
теоремы Шварца о ядре, а именно для &', пространства обобщенных
функций медленного роста, и для 3)', пространства всех
обобщенных функций.
Обозначим через if (Rr), tf (Bs) и & (JKr+s) пространства всех
быстро убывающих обобщенных гладких функций, определенных
на JSr, 22s и JSr+s соответственно.Будем говорить,что функционал У\
определенный на декартовом произведении^ (2£г) X of (Rs),
билинейный, если
Τ (αφχ + βφ2, ψ) = αΤ (<plf ψ) + βΓ (φ2, ψ)

11. Применения теории пространств Кете
263
И
Τ (φ, αψχ + βψ2) = αΤ (φ, φχ) + βΓ (φ, ψ2)
для α,β ζ Ε1, φ,φι,φ2 £ ^ №г) и Ψ/Ψ1/Ψ2 6 <^(^s)· Функционал Г
называется раздельно непрерывным, если
НтГ^, ψ) = Γ(φ, ψ)
П-*оо
И
1ίιιιΓ(φ,ψη)=Γ(φ?ψ)
П-*оо
для любых последовательностей φη-νφ в <^ (Rr) и ψη -^ψ в
<^ (22s).
Если φ (χ) — функция на множестве А с= Кг, а ψ (ζ/) —
функция на множестве 5 с 22s, то φ ® φ — функция χ (#, г/),
определенная на А X В ж такая, что χ (#, у) = φ (ж) ψ (г/), т. е. φ(#)ψ(ζ/) =
= φ ® ψ. Очевидно, что если φ £ с? (JSr) и ψ £ е^ (JSS),
то φ ® гр g ^ (JSr+s).
Пусть ρ {ρ ζ Рг) обозначает (как и в теореме 11.1.1) вектор»
/-я координата которого равна max (1, π;·), если /-я координата
вектора ρ равна π/ (/ = 1, . . ., г). Аналогичным образом
определим и q. Пусть Μ и % — лестничные пространства Кёте,
определяемые соответственно последовательностями 7\, Г2, ... и
Uv U2, . . . , где Г* = {?}, р6Рг,и[/, = {?}, g g P·, ft =
= 1, 2, ... . Символами Мит будем обозначать отображения,
введенные в § 11.3. Таким образом, если Τ (φ, ψ) — билинейный
функционал на # (Rr) X tf (Bs), то U (R, S) = Τ (mR, mS) —
билинейный функционал на 52 Χ %. Обратно, если U —
билинейный функционал на °Л X °U, то Τ (φ, ψ) = С/ (Мер, Μψ) —
билинейный функционал на tf (JSr) X of (22s). Это соответствие
взаимно однозначно.
При этом если функционал Τ раздельно непрерывен, то и
функционал U раздельно непрерывен, и обратно. Действительно,
Ά
если Τ раздельно непрерывен, Rn—>R и S ζ°11, то mRn -+mR
в tf (JSr), согласно теореме 11.2.2. Следовательно, Ό (Rn, S) -*·
-> С/ (i?, 5). Аналогичным образом, если 5П —> 5 и i? £ Я, то
mSn -+mS, согласно 11.2.2, и £/ (i?, 5n) -+U{R, S). Это
доказывает, что если функционал Τ раздельно непрерывен, то
функционал U также раздельно непрерывен. Обратное утверждение
доказывается аналогично.
11.6.1. Теорема (теорема о ядре для обобщенных функций
медленного роста). Для каждого раздельно непрерывного
билинейного функционала Τ на о? (2£г) X cf (JKS) существует единствен-

2G4 Ч III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
пая обобщенная функция медленного роста f на Rr+S, такая, что
Τ (φ, ψ) = (/, φ ® ψ) (1)
для всех φ £ tf (JSr) и ψ £ ^ (22s). Обратно, для каждой
обобщенной функции медленного роста f на Rr+S равенство (1) определяет
раздельно непрерывный билинейный функционал на if (JT) X
X of (12s)· Это соответствие взаимно однозначно.
Доказательство. Если Τ (φ, ψ) — раздельно непрерывный
билинейный функционал на of (JSr) X of (Rs), то U [R, S) =
= Г (шй, AriiS) — раздельно непрерывный билинейный
функционал на Μ Χ ^. В (?илу теоремы 10.10.1, существует непрерывный
линейный функционал U на ψ\ такой, что U (R, S) = U (R <g) 5),
где #' — лестничное пространство, определяемое
последовательностью Wx, W2, . . ., такой, что Wk — Tk ® Uk, т. е. Wk =
= {pftgfe} с ρ ζ Рг и q £ Ps. Заметим, что каждый вектор t =
= (τ1? . . ., τΓ+β) £ Pr+S можно представить в виде t = (ρ, g),
где ρ = (τ1? . . ., τΓ) £ Pr, g = (τΓ+1, . . ., xr+s) £ Ps, и это
представление единственно. Отсюда следует, что th = pkqh.
Аналогичным образом, th = pkqk, где волна над буквой означает, что
все нулевые координаты рассматриваемого вектора заменены на 1
(см. § 8.1). Следовательно, лестничное пространство W
соответствует пространству df (Rr+S). Согласно § 11.3, функционал U
можно отождествить с обобщенной функцией медленного роста
/ на JSr+s, такой, что; (/, χ) = U (Μχ) для каждой функции χ ζ
ζ tf (JSr+s). Из разложений в ряды Эрмита функций φ £ с? СКГ)>
ψ ζ tf (Bs) и φ ® ψ ζ <f (Rr+S) следует, что Мер = {(φ, hp)},
Μψ = {(ψ, hq)} и Μ (φ ® ψ) = {(φ ® ψ, /ι*)}. Следовательно, для
* = (Ρ» tf) имеем (φ ® ψ, /г*) = (ср ® ψ, /гр <g> hq) = (φ, йр) (ψ, hq).
Поэтому Μ (φ ® φ) = Μφ ® Μψ. Таким образом, получаем
цепочку равенств (/, φ ® φ) = U {Μ (φ ® ψ)) = U (Μφ ® Μψ) =
= U (Μφ, Μψ) = Γ (ттгМср, ττιΜψ) = Γ (φ, ψ). Это доказывает
равенство (1). Для того чтобы доказать, что обобщенная функция
медленного роста / определяется равенством (1) однозначно,
предположим, что g — другая обобщенная функция, такая, что
(g, φ Θ Ψ) = Τ (φ, -φ). Поскольку ht = hp ® hq, то (/, ht) = (g, ht)
для каждого t £ Pr+S. Это означает, что разложения в ряды
Эрмита обобщенных функций / и g совпадают. Согласно теореме 8.1.1,
отсюда следует, что / = g.
Если / — обобщенная функция медленного роста на Rr+S,
то определяемый равенством (1) функционал, очевидно, билинеен
и раздельно непрерывен на #' (IIs) X & (jK5). Это завершает
доказательство теоремы.
Перейдем теперь ко второй теореме Шварца, касающейся
произвольных обобщенных функций.

11. Применения теории пространств Кете
265*
Пусть 35 <р — пространство всех гладких функций в открытом
множестве $>cz ~BJ с ограниченными носителями, лежащими внутри
<9\ Аналогично, пусть 3)$ — пространство всех гладких функций
в открытом множестве β cz Rs с ограниченными носителями,
лежащими внутри $. Функционал Τ на 3}$ь X ££$ называется
билинейным, если
Τ (αΦι + βφ2, ψ) = αΓ (φ1? ψ) + βΓ (φ2, ψ)
и
Γ (φ, αψχ + Ш = α Γ (φ, φχ) + β Γ (φ, ψ2)
для всех α, β ζ Β1, φ, φ1? φ2 £ «2)^> и ψ, ψ1? ψ2 ζ 3J д. Функционал Т
называется раздельно непрерывным, если
1ίπιΓ(φη, ψ) = Γ(φ, ψ)
и
КтГ(<р, ψη) = Γ(φ,ψ)
для всех последовательностей φη ->-φ в ί2)^> и ψΛ -^ψ в 35^
11.6.2. Теорема (теорема о ядре для произвольных обобщенных
функций). Для каждого раздельно непрерывного билинейного
функционала Τ на 3)$> X 3)$ существует единственная обобщенная
функция f на Θ = $* X &, такая, что
Τ (φ, ψ) = (/, φ ® ψ) (2>
для ясея φ £ £$^> u ψ ζ ί?)^. Обратно, для каждой обобщенной
функции f на О = (^ Χ β равенство (2) определяет раздельно
непрерывный билинейный функционал на 3)#> X £$$. 3/тго
соответствие взаимно однозначно.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству
теоремы 11.5.1, состоявшему в переходе от линейных функционалов
на if к линейным функционалам на 3}0* В данном случае следует
перейти от билинейных функционалов на & (Вг) X & (В6) к
билинейным функционалам на 3)$о χ 3)^. Способ перехода один
и тот же в обоих случаях, но надо рассматривать декартово
произведение вг Χ θ2 вместо θ, где θχ cz $> и Θ2 cz β.
11.7. Применение к периодическим обобщенным функциям
Теория пространств Кёте применима и к изучению
периодических обобщенных функций. В следующей теореме сходимость
в обобщенном смысле удобно рассматривать как слабую
сходимость, поскольку, в силу 11.4.1, эти два понятия эквивалентны.

266 Ч. III- Дополнительные главы теории обобщенных функций
11.7.1. Теорема. Последовательность периодических
обобщенных функций /л = 2 апрЕр сходится в обобщенном смысле к f =
рев*
— 2 арЕр тогда и только тогда, когда апр -+ар при η ->-оо
и, кроме того, существуют порядок к ζ Ρ5 и число М, такие, что
P~k I апр | < Μ для всех ηζΡ1 и ρ £Bq. (1)
Доказательство. Предположим, что fn сходится в
обобщенном смысле к /. Тогда, в силу 9.3.1, существуют периодические
непрерывные функции Fmn, Fm (0 ^ т ^ г £ Pg), такие, что
/„= Σ *£Й (λ=ι, 2, ...), /= Σ ^«}
и FmnlXFm на JSg. Следовательно, согласно теореме 9.6.1 и
равенству 9.4(3), можно записать
апр-ар= 2 (2mp)m(Fmn-Fm, Ε-η
яр= 2 (2тр)т(Рт,Е-*).
Но
1
|(Fmn-Fm, ^p)|<J|FTOn-i?TO|-*0 при п^оо.
о
Отсюда следует, что апр->ар. Далее, для каждого т
существует число Kmi такое, что
1 1
j \Fmn — Fm\<Km для всех ми j \Fm\<Km.
о о
Пусть к > г. Поскольку | (2jup)m | ^ (2n)ft^fe при т < /с, то
с Μ1 = (2π)Λ 2 #m· Итак, оценка (1) выполняется с M^2Mt.
Обратно, предположим, что апр —*~ар при w-^-oo и
справедлива оценка (1) с некоторыми к и М. Тогда
~p-h | ар\ <М и >* I апр - ар |< 2М. (2)
Для любого заданного ε >0 существует номер ν0, такой, что
v0>p£-B9

11. Применения теории пространств Кете
267
Отсюда
Σ ?-*-2Κρ-«ρΙ^ Σ ρ-*-2\αηρ-αρ\ + ε/2.
pzbv vo>pe£9
Поскольку anp -*ap при п —>-оо, сумма в правой части не
превосходит ε/2 для достаточно больших η и поэтому для таких η
сумма в левой части не превосходит ε.
Для каждого ρ £ Bq можно подобрать вектор Ιρ £ Ρ9 и число
ур φ 0, такие, что
(ypxlpEpyh+* = Ер. (3)
Стандартными выкладками можно показать, что
I yP I lP\ < p-k-*. (4)
Пусть
Fn= Σ «npVp^^ и F= Σ ЯЛР*^. (5)
Ρ6-Β9 р£В9
Для фиксированного ограниченного интервала / существует
число К, такое, что | х1р/1р\ | < К для всех я из /. Таким
образом, согласно (1) и (2), оба ряда (5) мажорируются сходящимся
числовым рядом
км Σ ρ'2
р£В9
и, следовательно, равномерно сходятся на /. Поскольку
интервал / можно выбрать произвольно, это означает, что оба ряда (5)
сходятся почти равномерно на JSg. Следовательно, Fn, F —
непрерывные функции. Далее, согласно (4), на интервале / имеем
\Fn-F\^K Σ p-k-2\anp-aP\^0 при n + oo,
рев*
откуда следует почти равномерная сходимость Fn к F на Rq.
Следовательно, дифференцируя оба равенства (5) к + 2 раз и
используя равенство (3), приходим к выводу, что последовательность
/η= Σ апрЕр сходится в обобщенном смысле к /= Σ αρΕρ на
р£ВЗ p£B<*
Hq, и доказательство теоремы завершено.
Используя терминологию § 10.8, можно переформулировать
теорему 11.7.1 следующим образом:
11.7.2. Теорема. Последовательность периодических
обобщенных функций fn сходится в обобщенном смысле к f тогда и только
тогда, когда матрицы коэффициентов для fn сходятся сильно
к матрице коэффициентов для /.

268
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Заметим, что теорема 11.7.2 перестает быть справедливой, если
слово «периодические^ заменить на «медленного роста».
Действительно, последовательность/п (х) = ехр (х2 — — ] состоит из
непрерывных ограниченных функций и сходится почти
равномерно к ех2. Ее поэтому можно рассматривать как последовательность
обобщенных функций медленного роста, сходящихся в
обобщенном смысле. Однако предел е*2 не является обобщенной функцией
медленного роста, так что последовательность fn не сходится
умеренно. Следовательно, в силу 11.1.3, соответствующая
последовательность матфиц коэффициентов не сходится сильно. С
другой стороны, теорема 11.7.2 останется справедливой, если условие
«сходится в обобщенном смысле» заменить условием «сходится
умеренно». Это следует из того, что каждая последовательность,
сходящаяся умеренно, сходится и в обобщенном смысле.
Однако отметим следующий результат:
11.7.3. Теорема. Последовательность периодических
обобщенных функций fn сходится в обобщенном смысле к f тогда и только
тогда, когда
(/», Ф)-Ч/, Ф) (6)
для каждой гладкой периодической функции φ.
Доказательство. Пусть Ап, А и R — матрицы коэффициентов
для /п, / и φ; тогда^ согласно 9.6.3, (/η, φ) = (Ап, R) и (/, φ) =
= (A, i?). Таким образом, из условия (6) следует, что (Ап, К) -*-
->(4, R), и обратно. Поэтому, в силу теоремы 9.4.3, условие (6)
справедливо для каждой периодической гладкой функции φ тогда
и только тогда, когда последовательность матриц Ап сходится
слабо к А, или, согласно 10.8.2, тогда и только тогда, когда Ап
сходится сильно к А. Наше утверждение теперь следует из
теоремы 11.7.2.
11.8. Периодические обобщенные функции
как функционалы
Периодические обобщенные функции можно определить как
непрерывные линейные функционалы на пространстве & всех
периодических гладких функций. Функционал Τ на $* называется
непрерывным, если
\imT(<pn) = T(q>),
П-+оо
φ
когда фд —> φ, т.е. когда cpnft) Zj (p(fe) на В* для каждого
фиксированного k£Pq.

11. Применения теории пространств Кёте
269
11.8.1. Теорема. Для каждого непрерывного линейного
функционала Τ на $* существует периодическая обобщенная функция f,
такая, что
Τ (φ) = (/, φ) для любой φ £ <Э\ (1)
Обратно, для каждой периодической обобщенной функции f
равенство (1) определяет непрерывный линейный функционал на <£Р.
Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие
между непрерывными линейными функционалами на оР и
периодическими обобщенными функциями.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству
теоремы 11.3.1 об обобщенных функциях медленного роста.
Теорема 11.8.1 позволяет отождествить периодические
обобщенные функции с непрерывными линейными функционалами
на &>.

12.
Применения:
эквивалентности
слабой и сильной
сходимости
12.1. Сходимость и регулярные операции
В § 3.8 ч. II доказано, что переход к пределу в
последовательностях обобщенных функций коммутирует с некоторыми
регулярными операциями. Здесь мы докажем следующий общий
результат (см. § 2.3 в 3.8' ч.. II):
12.1 Л. Теорема. Переход к пределу коммутирует с каждой
регулярной операцией. Другими словами, если для любых
фундаментальных последовательностей φΐ71, . . ., φΓη на Ог, . . ., 0Т
последовательность Α (ψιη, . . ., φΓη) фундаментальна на
множестве О, то для любых последовательностей обобщенных
функций /1п, . . ., /гп, сходящихся к /1? . . ., fr на Ог, . . ., Ог
соответственно, последовательность A (/1п, . . ., /rn) сходится к
Α (/ι, . . ., fr) па О.
Доказательство. Пусть Ьп — произвольная
дельта-последовательность (см. § 2.1), и пусть finm = /in*6m для i = 1, . . ., г
иге, т = 1,2....В силу 6.2.1, последовательность finm
фундаментальна для fin. Поскольку А — регулярная операция, то
)-+A(fm, -- frn) на О при лг->оо. (1)
Пусть ε — произвольное положительное число и φ —
произвольная гладкая функция, носитель которой содержится в О.
Согласно 11.4.1 и (1), имеем
(A (finm, · · ·, /mm)» ф)-*(Л (fin, ..., fm), ф) при т->оо
для всех ге = 1, 2, ... . Поэтому существует последовательность
целых чисел тп, таких, что тп < тп+х и
K^(/l7imn, -",frnmn), ф) —(<4(/ln, ...,/гп). ф) | <
<ε/2 (ге = 1,2, ...). (2)
Пусть φίη = /inmn = /ίη*"δη, где~бп = δ^. Поскольку Ъп является
дельта-последовательностью, то, в силу 6.2.2, последовательность
Фт фундаментальна для /г·. Так как А — регулярная операция,
то можно записать, что
Α (φ1η, . . ., φΓη) ->Л (/χ, . . ., fr) на О при ге ->-оо.

12. Применения еквивалентности слабой и сильной сходимости 271
Следовательно, согласно 11.4.1, существует номер nQ, такой, что
|(4(/ттп, "-,frnmn), φ) —(~4(/1? ...,/г), φ) Ι < е/2
при η >η0. Поэтому, в силу (2), мы имеем
| (A (fv . . ., /г), φ) — (A (fln, . . ., frn), φ) |< ε
при η >η0. Отсюда следует, что последовательность
A (fln, ...» fm) сходится к A (fv . . ., /г) на О, а это завершает
доказательство теоремы.
Замечание. Заметим, что мы доказали слабую сходимость
последовательности A (fln, . . ., /rn). Таким образом,
существенную роль в доказательстве теоремы играет эквивалентность
слабой и сильной сходимости.
12.2. Значение обобщенной функции в точке
Будем говорить, что обобщенная функция / в точке х0
принимает значение а, если для каждой регулярной
последовательности fn = /*δη
lim/n(a;0) = a.
П-*оо
Легко проверить, что если обобщенная функция / есть обычная
функция, непрерывная в точке х0, то приведенное выше
определение совпадает с обычным определением значения функции
в точке. Иногда вместо того чтобы говорить, что / в точке х0
принимает некоторое значение, мы будем также говорить, что
значение / (х0) существует.
Из результатов § 5.1 и 7.8 следует, что значение функции
/*δη в точке х0 равно (/ (х0 — χ), δη (χ)). Следовательно, значение
/ (х0) можно эквивалентным образом определить равенством
f(x0) = lim(f(x0—x), δη(χ)).
П-*оо
12.2.1. Теорема. Если значение обобщенной функции f в точке
х0 существует, то
\imf(x0 + ax) = f(x0). (1)
a-*0
Доказательство. Пусть Ω — гладкая функция с ограниченным
носителем, такая, что \ Ω = 1. Тогда для любой
последовательности положительных чисел ап, стремящихся к
0,последовательность
δη(Λ:) = αηαΩ(αη1α:)

272 Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
является дельта-последовательностью (см. § 2.1). Предположим,
что / (х0) = 0, т. е. что
(/(*о-*).8п(*)) ->0.
Поскольку подстановка χ = ant и скалярное произведение с
гладкой функцией, имеющей ограниченный носитель, являются
регулярными операциями, а равенство
(/ (*о - «η*), Ω (*)) = (/ (*о - *). δη (*))
«справедливо для каждой гладкой функции /, оно также
справедливо и для любрй обобщенной функции /. Следовательно,
(/(а?0-αη*), Ω (*))->0. (2)
Далее, если φ г— произвольная гладкая функция с ограниченным
носителем, то φ = βΩ, где Ω — гладкая функция с ограниченным
носителем, такая, что ι Ω = 1, а β — вещественное число 1).
При этом, в силу (1), получаем
(/ (х0 —апх), φ (χ)) ->0.
Таким образом, / (х0 — апх) сходится к нулю при η ->■ оо.
Поскольку &п — произвольная последовательность, стремящаяся к нулю,
мы доказали, что / (х0 -+- ах) ->~0 при α —>-0. Случай / (х0) ф0
сводится к рассмотренному случаю заменой обобщенной функции
/ (х) функцией / (х) — f (x0).
Замечание. С. Лоясевич использовал равенство (1) для
определения значения обобщенной функции / в точке х0. Таким
образом, теорема 12.2.1 утверждает, что L-значение (значение в смысле
Лоясевича) существует, если / (х0) существует в указанном выше
смысле, причем оба значения совпадают. Обратно, .можно
показать, что если L-значение обобщенной функции / в точке х0
существует, то / (х0) также существует.
Докажем это в случае одной переменной. Если / имеет
Назначение в точке 0, равное 0, то существует непрерывная функция F,
такая, что F(h) = f в окрестности нуля и
lim—^ = 0
x->0 xh
(cm. § 3.5 4. I). Поэтому для каждого числа ε >>0 существует
число η >0, такое, что
-^-~-<ε при |χ|<η.
хп
) При условии, что \ φ φ 0.— Прим. перев.

12» Применения эквивалентности слабой и сильной сходимости 273
Пусть δη есть дельта-последовательность; тогда для достаточно
больших η
η η
\{f(-x),bn(x))\ = \$F(-*)W{*)\<* j laWKeAfk.
Итак, (/ (-ζ), δη) ->0, т. е. / (0) = 0.
Если / имеет Ь-значение в точке х0, равное а, то обобщенная
функция g (χ) = / (х0 + χ) — а имеет Ь-значение 0 в точке
х = 0, и доказательство сводится к рассмотренному случаю.
Аналогичное доказательство можно провести для любого
числа переменных; подробности мы опускаем.
Следуя С. Лоясевичу, понятие значения обобщенной функции
в точке можно использовать для уточнения понятия носителя
обобщенной функции. Для каждой обобщенной функции / на О
обозначим через hf множество всех точек из 0> в которых
значение обобщенной функции / либо не существует, либо отлично
от нуля. Можно доказать, что замыкание множества if совпадает
с носителем обобщенной функции / в смысле Л. Шварца (см. § 6.4).
Ясно, что множество if содержит больше информации об
обобщенной функции, чем ее носитель.
12.3. Свойства дельта-функции
Дельта-функция δ была определена как (общий) предел дельта-
последовательностей (см. § 3.1 ч. II).
12.3.1. Теорема, (δ, φ) = φ (0) для каждой гладкой функции φ.
Доказательство. Для каждой дельта-последовательности δη
имеем
an
|(б», φ)-φ(θ)|< j |θη(*)Ι·|φ(*)-φ(θ)Ι**-»-ο,
где ап — произвольная последовательность положительных чисел,
сходящихся к нулю и таких, что δη (χ) = 0 при | χ | ^ ап.
12.3.2. Теорема. Если (/, φ) = φ (0) для каждой ц> ζ 3), то
/ = δ.
Доказательство. Положим /л = /*δη. Тогда (/η, φ) ->φ (0), так
что чередующаяся последовательность (/х, φ), (δ1? φ), (/2, φ),
(δ2, φ), ..сходится κ φ (0) для каждой φ £ 2D. Поэтому
последовательность fv δ1? /2, δ2, ... фундаментальная, откуда следует,
что / = δ.

274 Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Замечание. Ясно, что равенство Τ (φ) = φ (0) определяет
непрерывный линейный функционал на 3). Таким образом,
теорема 12.3.2 утверждает, что на языке функционалов
дельта-функцию следует определять равенством 6 (φ) = φ (0). Заметим, что
в функциональном обозначении δ (φ) аргумент φ является
элементом из 3), а это оказывается неудобным в приложениях.
12.4· Произведение двух обобщенных функций
Будем говорить, что произведение обобщенных функций f и g
существует на открытом множестве (?, если последовательность
№n)-(g*bn) (1)
сходится х) на Q для любой дельта-последовательности 6П. Этот
предел мы будем называть произведением обобщенных функций /
и g (приведенное определение корректно, поскольку
чередующаяся последовательность двух дельта-последовательностей снова
является дельта-последовательностью).
Если g — гладкая функция на открытом множестве О, то
предел (1) существует для любой обобщенной функции,
определенной на О и равен произведению fg, рассматриваемому как
регулярная операция (см. § 2.5 ч. II). Действительно, в этом случае
(g*&nYk) сходится к gW почти равномерно на О для каждого
фиксированного к ζ Pq. Поскольку /*δη сходится к / на О, то,
согласно утверждению 3.8.1 ч. II, произведение (1) сходится к fg.
Следовательно, символ fg можно использовать для произведения
и в общем случае, когда g не обязательно является гладкой
функцией.
12.4.1. Теорема. Если обобщенная функция f принимает
значение f (0) в нуле, то /δ = / (0) δ.
Доказательство. Пусть φ — произвольная гладкая функция
с ограниченным носителем, такая, что φ(0)=^=0. Поскольку
(δη, φ) ->φ (0), то
Уп = (δ„, φ) ¥=0 при η > п0.
Легко проверить, что последовательность
ση = — δηφ
7η
является дельта-последовательностью при η ^ п0. Положим
<*п (х) = ση (—я); тогда при η ^ п0
((/*δη) δη, φ) = уп (/*δη, ση) = yn [(/*6J*oJ (0) =
=γη[/*(δ„*σΛ)](0),
*) В обобщенном смысле.— Прим. перев.

22. Применения эквивалентности слабой и сильной сходимости 275
согласно 5.1(1), 5.1(3) и следствию 6.4.7. Поскольку свертка
δη * ση тоже является дельта-последовательностью, из этих равенств
следует, что
((/*δ„)δη, φ)->φ(0)/(0). (2)
Если же φ (0) = 0, то можно положить φ = φχ + φ2, где
φχ и φ2 — гладкие функции с ограниченными носителями, такие,
что φχ (0) ^0 и φ2 (0) Φ0. Применяя к <рх и <р2 предыдущий
результат, получаем
((/•вЛбп.фЛ-^ФЖО),
((/·«») δη, φ,)-νφ,(0)/(0).
Складывая эти соотношения, получаем (2) для произвольной
гладкой функции φ с ограниченным носителем.Так как, согласно 12.3.1,
(/ (0) δ, φ) = / (0) φ (0), то (/·δη) δη ->f(0) δ, что и доказывает
наше утверждение,
12.5. Несуществование δ2
Под квадратом дельта-функции δ2 мы понимаем
произведение δ·δ. Покажем, что это произведение не существует и,
следовательно, символ δ2 смысла не им^ет.
Действительно, согласно определению произведения, имеем
δ.δ = 1πη(δ*δΛ)(δ*δη), τ. е. в.б = Нт%.
П-*-00 П-*00
Существует гладкая функция φ с ограниченным носителем,
такая, что φ(χ) = 1 при —|-<Ξ#<ίχ и \ Φ = 1·
Последовательность
Ъп{х) = п\{пЧ)
является дельта-последовательностью, причем
(6п(Х))* = П™ при _^_<а;<^_.
Поэтому
1 1
где 1п — отрезок —^^χ^ύ^ β ^9·
Это означает, что последовательность δ£ не сходится, т. е.
квадрат δ2 не существует·

276
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Несмотря на это, δ2 используется физиками для различных
выкладок. В § 14.2, 14.3 и 15.1 мы увидим, каким образом этим
выкладкам можно придать удовлетворительное математическое
обоснование.
Позднее мы покажем, что квадрат ί — J обобщенной функции
1
— также не существует.
12.6. Произведение ас· —
В этом параграфе мы рассмотрим одномерный случай, когда
χ — вещественная переменная. В этом случае обобщенная функ-
ция — определяется как обобщенная производная от 1η | χ \:
Покажем, что
i = (In |*|)\
*4=1· ί1)
Это простое равенство требует тщательного обоснования,
поскольку в определении — участвует обобщенная производная.
Заметим, что функция χ In | χ \ является первообразной
в классическом смыбле функции
1 + 1η [χ |. (2)
Поскольку эта функция локально интегрируема, она совпадает
и с обобщенной производной функции χ In | χ |. Далее, χ —
гладкая функция, так что произведение χ ·1η | χ \ можно
рассматривать как регулярную операцию. Следовательно, обычное правило
дифференцирования произведения остается справедливым и при
дифференцировании в обобщенном смысле, и мы получаем
χ (In | χ |)' + In Ι χ Ι, т. е.
χ· |-ln|#|.
χ ' ·
Сравнивая это выражение с (2), получаем (1).
12.7. Об ассоциативности произведения
Произведение трех функций всегда ассоциативно, т. е. (fg) h =
= / (gh). Поэтому может показаться неожиданным, что
аналогичное свойство не имеет места для обобщенных функций. Следующий

/2. Применения эквивалентности слабой и сильной сходимости 277
знаменитый пример принадлежит Л. Шварцу:
(τ*)β*τ<*β>·
Действительно,
(JL*)e = i.e = ef
i-.(x6) = i-.0 = 0.
Однако следует отметить, что ассоциативность имеет место, если
по крайней мере два из сомножителей являются гладкими
функциями. Точнее, если / — произвольная обобщенная функция,
а φ, ψ — гладкие функции, то
(/φ) ψ = / (φψ).
Это равенство, действительно, справедливо, поскольку умножения
на φ, на ψ и на φψ являются регулярными операциями.

13.
Преобразование
Гильберта
и его применения
13.1. Преобразование Гильберта
Сначала определим преобразование Гильберта для функций
φ ζ 3D. Пусть Ап — множество всех вещественных чисел х, таких,
что | χ | ^ —. Под преобразованием Гильберта Φ функции
φ £ 3D мы будем понимать предел
Ф(я) = Нт [ φ(*_*)*
П-оо J %
Ап
ι
Покажем, что этот предел существует и равен свертке φ* — .
В самом деле, интегрируя по частям, находим
J φ(Λ_ί)Α = 1ηΛ[φ (ж—Lj-φ («+!.)] +
+ \ <р'(я — t)ln\t\dt.
Ап
Ап
Но φ(* + ±)_φ(*_±)=-1φ«(ξη), где |ξη|<4"· Таким
образом, устремляя /г-^оо, получаем
Ф = <р'*1п|я|. (1)
Покажем теперь, что Φ — функция с интегрируемым
квадратом. Действительно, существует число х0, такое, что φ (χ) = 0
при \х | >х0. Отсюда следует, что при \х \ > х0
(t)__
t
л< м
1*1—*о
iw*-<>fi<$m*-si^
Ап -·οο -оо
с Μ = \ |<р|. Итак,
|Ф|<|7Т=^ ПРИ \*\>*о·
Поскольку, кроме того, Ф —гладкая функция, ее квадрат
интегрируем.

13» Преобразование Гильберта и его применения
279
Используя обобщенную функцию —, формулу (1) можно
переписать в виде
φ = φ* —.
Следовательно, преобразование Гильберта эквивалентным образом
можно определить как свертку φ* —. Это определение
подсказывает распространение понятия преобразования Гильберта на все
обобщенные функции /, для которых существует свертка / * —.
Например, преобразование Гильберта для δ есть —.
(\ \ 2
— 1
Под ( —J мы понимаем произведение
Покажем, что этот предел не существует и, следовательно, сим-
(1 \2
— 1 не имеет смысла. Действительно, пусть ψ —
неотрицательная гладкая функция с ограниченным носителем. Тогда
существует число х0, такое, что ψ(χ) = 0 при |#|]>#ο· Отсюда
следует, что для каждого х, удовлетворяющего условию | χ \ > х09
существует номер п0, такой, что
1Ь«*-о-?|-1-*^*-Гт!^г*>
Ап
Следовательно,
>1*„1+1*1 °РИ η>η°·
, 1
>|*ol + l*l ПРИ \χ\>χο-
Пусть теперь φ — неотрицательная функция с ограниченным
носителем, такая, что φ(χ)^>γ при |#|<4"> \ <р = 1 иср(#) = 0
при \χ\^ί. Тогда последовательность
δη (χ) = пер (пх)

280
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
является дельта-последовательностью и
δ"*ΊΓ
1 1
>~i при |s|> —.
Поэтому
1/2
α ζ 1 \2 \.l dx n(n—2)
1/п \ η ' '
Это показывает, что произведение (1) не существует.
Следует отметить, что по определению
Значит, символ -^ означает обобщенную функцию, и его не
следует путать с i — J .
13.3. Несколько формул для преобразования Гильберта
При ίφΟ справедливо тождество
^ φ(*-£) _(*-*)* φ (*-*)= ^ (-1)~*(£ )xh-mtm-*<p(x-t)
m=l
для каждого & = 1, 2, ... . Это тождество справедливо и при
& = 0, если принять соглашение, что любая сумма от «1 до 0»
равна нулю.
Если φ£3) то, интегрируя по множеству Ап и устремляя
тг-voo, получаем
h
χη·(ψ*±)-(χκΨ)*±=Σ (-ir't*)**-"1^-^)· (i)
m=l
Заметим, что
Поэтому рассматривая скалярные произведения обеих частей
равенства (1) с φ и деля на 2, находим
(φ.-ί-, a*q>)=-§- Σ (-1)Ж-1(^)(«т"1*Ф.«,М"ф). (2)
т=1

13. Преобразование Гильберта и его применения
281
В частности, при к = 0 и к = 1 получаем следующие формулы
Гонсалеса-Домингеса и Скарфиелло:
(φ*-!, ф) = 0, (3)
(φ*±, *φ)=-1-(|φ)2, (4)
где ψ ζ 3).
13.4. Произведение —δ
Это произведение определяется равенством
-1δ = Ηπι(δη*1.) δΛ.
1
Покажем, что предел существует и равен —^-δ', так чт0
справедлива формула
-Le—4-*'· <*>
Мы дадим два различных доказательства этого важного равенства,
каждое из которых основано на формулах Гонсалеса-Домингеса
и Скарфиелло.
Доказательство 1. Пусть /л = ί δη * —) δη и
χ
Ρη(χ) = γ J (x-Wfn(t)dt;
— oo
тогда Fn — fn- Покажем, что Fn сходится равномерно на
( —oo, oo). Поскольку /n = 0 при x^—an, то
Fn(x) = 0 при χ<-αη. (2)
Поскольку /η(#) = 0 при #>>αη, то при х^ап
X со oo
F'n{x) = { (x-t)fn(t)dt = x J fn(t)dt - j tfn(t)dt =
— oo —oo — oo
= х(ьп*±Г,Ьп)-(Ьп*±Г,хЬп) = -\,
согласно 13.3(3) и 13.3(4). Отсюда
Fn(x)=Fn(an)—~ + ψ при *>α„. (3)

282
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Наконец, если |#|<!αη, то
χ an
Fn (*) = \ j (*-Ψ ( j δ;(и)L(t-u)du) δ„ (t) ft,
-an -an
где
L(^) = xln|x|-— a:.
Значит,
an an
ΙΜ*)|<τ J (2a")2( J \b"n(u)L(2an)\du)\6n(t)\dt =
—an -an
= 2L(2an)a^j|6;|-j|6n|<2L(2an).M2.M0 = 8n.
Поскольку, функция L(x) непрерывна и L(0)=0, то
|^η(^)|<εη->·0 при η->·οο, если |я|<;ап. (4)
Из формул (2), (3) и (4) следует, что последовательность Fn
сходится равномерно на — оо<х<оо к функции F,
определяемой равенствами
{О при х^.0,
-я/2 при я>0.
Следовательно, fn ->- F'" = —γ δ'.
Тем самым формула (1) доказана.
Доказательство 2. Если φ£3Σ, то
φ(ζ) = φ(0) + ζφ40) + *2ψ(*),
где ψ (я) — гладкая функция. Таким образом,
</», φ)-=φ(0)(δη*4,δΛ)+φ'(0)(δη*1, χδη) + (δη*4"^2δ^)
и, согласно 13.3(3) и 13.3(4),
(/η, φ) = у φ' (0) + (δη * i., *ад), (5)
Далее,
(«η* 4"' ^М*) = (%*£, ^2δηΨ) =
an an\
= j (j 6;(i)L(a;—0 ft) *2δ„ (χ) ψ (z) dz
-an -an

IS. Преобразование Гильберта и его применения
283
и, следовательно,
an an
I (β„ · 4". *2δηΨ) |< { ( j [&<*) L (2α») | at) *i Ι δη (χ) \Mdz^
—an -an
<ML (2an) a" J J й | ■ J | δη |<MM2M0L (2an),
где Μ — верхняя грань значений функции | ψ (#) | на интервале
(-—а, а) и a = maxan. Поэтому (δη *— , #2δηψ) -^Ои, всилу (5),
(/η,φ)-> — τφ/(0)=(-}δ', φ) при n-^oo.
Поскольку φ —произвольная функция из 3), отсюда следует
что /η->—|-δ', а это и доказывает формулу (1).
13.5. Об уравнении xf =* δ
Найдем обобщенную функцию / (#), такую, что
xf (χ) = δ (χ). (1)
Глядя на это уравнение при χ Φ О, мы видим, что xf (χ) = 0
при χ Φ О, и, умножая на функцию —, гладкую] при χ Φ О,
находим, что f (х) = О при χ φ0. Следовательно, каждая
обобщенная функция /, удовлетворяющая уравнению (1), должна
обращаться в нуль при χ Φ 0. Мы знаем, что все такие
обобщенные функции имеют вид
/ = Υ0δ + . . . + γηδ(η>,
где γ0, . . ., уп — числа. Подставляя это выражение в (1) и
используя равенства χδ = 0, χδ {h) — —Λδ(Λ"15, находим
-7ιβ - . . . - nyn8^> = δ,
так что уг — —ί, 72= · · · — Уп — 0. Следовательно, каждое
решение уравнения (1) имеет вид
/ = γ0δ - δ'. (2)
С другой стороны, каждая обобщенная функция вида (2)
удовлетворяет уравнению (1). Таким образом, формула (2)
определяет общее решение уравнения (1). Нескольно неожиданно, что
произведение — δ не удовлетворяет уравнению (1); это следует

284
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
из того, что оно равно —у δ' и поэтому χ Ι— б] Φ б. Поскольку
δ=(4)δ'το
и мы получили другой пример неассоциативности произведения.
Он содержит те же сомножители, что и пример из § 12.7, но в
другом порядке.

14.
Применения
преобразования Фурье
1 1
14.1. Свертка — * —
г ос оо
В этом параграфе мы покажем, что указанная выше свертка
существует и справедлива следующая формула:
X X ' V '
где χ £ К1.
Действительно, по определению
^*^=!!^К*1г)*К*т)
при условии, что предел существует для любой
дельта-последовательности δη. Поскольку /<*) = (__1)Ь&1 (б^аг^1) — функции
с интегрируемым квадратом, обобщенная функция
медленного роста, δη £ cf, ^( — ) =iVn2'1sgnx и, согласно 8.8.3
и 8.8.4, свертки /Л*/п определены гладко, мы получаем равенство
где δΛ = δΛ *δη. Так как δη умеренно сходится к δ, то
последовательность jF(6n) умеренно сходится к ^(δ) = (2|/π)"1,и поэтому
последовательность JF{fn *fn) умеренно сходится к —л^/2/2. Отсюда
следует, что последовательность /п*/п умеренно сходится к
обобщенной функции, преобразование Фурье которой равно —π3/2/2,
1 1
т. е. —π2δ. Тем самым существование свертки ·—*— и
справедливость формулы (1) доказаны.
1 1
14.2. Квадрат обобщенной функции δ -f- —=—
Следуя общему определению, запишем
(»+в-т)'-!й*·
1 1
где J5n — δΛ -|—г δη * —. Покажем теперь, что этот предел суще-

286 Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
ствует. Имеем
Bn = 6n + bnsgnx = 2H%ny
где Вп, Вп — преобразования Фурье функций Вп и δη
соответственно, а Я —функция Хевисайда. Таким образом,
Ι?,ΜΙ«^ϊΐΜ<)|Λ<^.
г —оо г
С другой стороны, для каждого фиксированного χ
■ оо .
Таким образом, последовательность Вп ограничена и поточечно
сходится к Η/У π. Далее, Вп (х) = О при #<0. Отсюда следует,
что последовательность сверток Вп * Вп умеренно сходится к
— Н. Таким образом, последовательность Вп умеренно сходится
к обобщенной функции, преобразование Фурье которой равно
;#, т.е. к г δ' ο-ο~· Следовательно,
2π3/2χχ» *·*>· " πι π2*2
(δ+Λ-Μ2=-Λδ'-ΛΑ-.
\ > πι ж / πι π2 я2
14.3. Формула δ2-^(1)* = -J^
Поскольку выражения δ2 и I —) как обобщенные функции
не определены, левая часть приведенной выше формулы,
очевидно, не имеет смысла. Однако формально можно положить
и затем изучать произведение в правой \части этого равенства.
Оказывается, что это произведение существует» Действительно,
оно равно пределу последовательности
φ.-(β.+τβ»·τ)(β»-τβ-·τ)·
Это последнее произведение можно переписать также в виде
«-та-Мт·8·»)·

14. Применения преобразования Фурье
287
где Вп такое же, как ив § 14.2. Поэтому предел существует
и равен
(~ΊΐΓ δ' ""73" Ί&) +"πΓ δ''
Следовательно,
(δ+4τ)(δ-ττ)β-ι|·^·

15.
Заключительные
замечания
15.1. Обобщенные операции
Свертку, скалярное произведение, значение в точке и
произведение двух обобщенных функций можно рассматривать как
частные случаи более общего понятия обобщенной операции.
Напомним, что операция Α (φ, ψ, . . .), производимая над
конечным набором гладких функций φ, ψ, . . ., определенных
на открытых множествах <9\ ®, . . . соответственно, называется
регулярной тогда и только тогда, когда для любых
фундаментальных последовательностей из е?\ S, ... гладких функций
φ„, ψΛ, . . . последовательность Фп = Α (φη, ψη, . . .)
фундаментальна на некотором открытом множестве О. Если/, g, . . .—
обобщенные функции, определяемые фундаментальными
последовательностями φΛ, ψη, . . ., то символ А (/, g, . . .) обозначает
обобщенную функцию, определяемую фундаментальной
последовательностью Фп. Таким образом, регулярные операции
распространяются на обобщенные функции.
Пусть теперь Α (φ, ψ, . . .) — операция, применяемая к
гладким функциям φ, ψ, . . ., определенным на открытых
множествах $\® , ... соответственно, результатом которой является
обобщенная функция, определенная на открытом множестве О.
Предположим, Что для некоторых обобщенных функций /, g, . . .,
определенных на открытых подмножествах <9\ ®, ...
соответственно, последовательность Φη =Α (/*δη, £*δη, . . .) сходится
в обобщенном смысле на открытом множестве О для каждой
дельта-последовательности δ„. В этом случае мы полагаем
А (/, g, . . .) равной пределу Фп и говорим, что А (/, g, . . .)
существует как обобщенная операция. Результат обобщенной
операции всегда однозначен, т. е. не зависит от выбора
дельта-последовательности, поскольку чередующаяся последовательность
двух дельта-последовательностей снова является
дельта-последовательностью.
Важно отметить, что каждую регулярную операцию можно
рассматривать как обобщенную операцию, приводящую к тому же
самому результату.
Основное различие между регулярной и обобщенной
операциями заключается в том, что регулярная операция выполнима
над всеми обобщенными функциями, в то время как обобщенная—

15. Заключительные замечания
289
только над некоторыми. Кроме того, выкладки с регулярными
операциями над обобщенными функциями производятся так же,
как и с гладкими функциями,— факт, не имеющий места в случае
обобщенных операций. Например, ассоциативность умножения
в общем случае не имеет места.
В частности, если положить
Α (φ, ψ) = φ* ψ, Α (φ, ψ) = (φ, ψ), Α (φ) = φ (χ0), Α (φ, ψ) = φψ,
то операция А сводится соответственно к свертке, скалярному
произведению, значению в точке и умножению соответственно.
Естественно, существует и много других обобщенных
операций, например,
Α (φ, ψ) = φ2—-Lf*.
Эта операция выполнима над обобщенными функциями δ и —,
поскольку
Φη = Α(δ*δη,±*δη) = δ*η-±(δη*±)\
1 1
и, как было доказано в § 14.3, Фп сходится к ^ Ύ· Отсюда
π2 я2
ϋ π2 V χ ) π2
χ* #
Благодаря понятию обобщенной операции, эта формула теперь
имеет смысл. Заметим, что ее левую часть нельзя рассматривать
как разность двух последовательностей; ее следует понимать как
& 1
одну операцию над ой-.
15.2· Система дифференциальных уравнении
Будем говорить, что степень многочлена меньше, чем к =
= (κι, . . ., xq) 6 Ρ5, если переменные ξ7· (/ = 1, . . ., q)
присутствуют в нем только в степенях, меньших, чем κ;·.
15.2.1. Теорема. Пусть 1 ^к £ Ρ5. Любая обобщенная
функция f на интервале I a Rq (ограниченном или неограниченном),
удовлетворяющая системе из q уравнений
/(*/,) = 0 (/ = 1, . . ., д), (1)
является многочленом степени <#.
Доказательство. Очевидно, что каждый многочлен/ степени <Jk
удовлетворяет системе (1). Для доказательства обратного
утверждения заметим сначала, что это верно для к = (1, . . ., 1).
Действительно, в этом случае / есть постоянная по каждой из
переменных ξ1? . . ., ξα. Продолжим теперь доказательство индукцией

290
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
по к. Предположим, что наше утверждение справедливо для всех к,
удовлетворяющих неравенствам 1 ^ к ^ т при некотором т =
= (μ1? . . ., μ9) 6 Pg. Докажем, что тогда оно справедливо и для
к = т + et (1 ^ i ^ q). Действительно, если / удовлетворяет
системе (1) с к = т + et, то /(V удовлетворяет системе (1) с к =
= т. Поэтому, по предположению индукции, /(V — многочлен
степени <jk, так что
/^ 2 «s*s,
где as —числа. Положим
е= У а* xs+ei
где σ^ есть г-я координата вектора 5. Очевидно, g(V = /<V
и #(*У^ = 0 при / =5>έ= i. Кроме того, f&ffi = 0 при у =^= *· Полагая
h — f — g, получаем h^ffi = 0 при / φ i и fc(V = 0. Применяя
к h предположение индукции, убеждаемся, что h — многочлен
степени <т — μ^ + et и поэтому меньше, чем m + et.
Аналогично, g — многочлен степени <im + e%. Следовательно,
обобщенная функция f = g + h представляет собой многочлен степени
<яг + е*· Утверждение теоремы следует отсюда по индукции.
15.3. Некоторые замечания об интегралах
от обобщенных функций
χ
В § 9.1 было введено понятие гладкого интеграла \ / (t) dth,
ω
где ω — гладкая функция. Этот интеграл является регулярной
X
операцией в отличие от обычного интеграла \ / (t) dth (где х0 —
точка), который нельзя определить для произвольной
обобщенной функции. Однако, если обобщенная функция / обращается
в нуль в некоторой окрестности точки х0 и носитель функции ω
χ
лежит внутри этой окрестности, то интеграл \ / (t) dtk существует
*о
как обобщенная операция (см. § 15.1) и совпадает с гладким
интегралом.
Действительно, пусть / —- обобщенная функция на данном
ограниченном или неограниченном интервале / с: 22*.
Предположим, что / = 0 на некотором подынтервале A cz L
Предположим также, что ω — гладкая функция с носителем, лежащим

15. Заключительные замечания
291
внутри А, такая, что \ ω = 1. Напомним, что для к £ Ρ5
ι
χ χ
^f(t)dtk^^(y)dy^f(t)dtk
ω J у
И
ас χ
\f(t)dth = lira \fn{t)dt\
XQ XO
где fn = f*8n и δη — дельта-последовательность. Но если х0£А> то
XX X
\ f (t) dth = lim С fn (t) dtk = lim ( fn (t) dtk
У У XO
при z/G-4, поскольку / = 0 на А. Поэтому в рассматриваемом
X
случае интеграл I f(t)dt не зависит от у. Так как Ι ω = 1, то
У 1
отсюда следует равенство
χ
[ /(<)di* = l«lim \fn(t)dth.
ω χο
χ
Тем самым доказано существование интеграла I / и равенство
хо
обоих интегралов. Заметим, что в формуле
χ χ
(]f{t)dtk)(m)= j /(t)dtk-m при т^к
XQ XO
X
значение интеграла \ / (t) dtk не зависит от ;-й координаты точки
хо
χ0ί если ;-я координата вектора к равна нулю.
В частности, если / — непрерывная или интегрируемая
функция на интервале /, то определенные выше интегралы совпадают
χ
с интегралом I / (t) dtk в обычном смысле; для таких функций
хо
можно использовать тот же самый символ, не опасаясь каких-
либо недоразумений.

292
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
15.4. Обобщенные функции с носителем в точке
Согласно определению носителя (см. § 6.4), точка х0 £ Rq
является носителем обобщенной функции / на JRq, если / (х) = О
при χ фхъ, но / не равна тождественно 0 на всем пространстве В9
или, другими словами, если / — нулевая обобщенная функция
на множестве Rq\{xQ}, т. е. на пространстве JS9, из которого
удалена точка х0, но не является нулевой обобщенной функцией
на всем пространстве JS9.
15.4.1. Теорема. Если носителем обобщенной функции f на Rq
является начало координат, то f есть линейная комбинация
дельта-функции и ее производных. Другими словами, существуют
порядок к 6 Pq и числа ат (0 ^ т ^ к), такие, что
/= Σ «m6(m>.
Доказательство. Поскольку / — обобщенная функция
медленного роста, существуют непрерывная функция F и порядок к =
= (κχ, . . ., κς) £ Pq, такие, что / = F(k) на IP. При этом можно
считать, что к ^ 1. В силу 9.1.2, интеграл
X
хо
также является непрерывной функцией на Rq. Предположим,
что х0 < 0. Тогда G (х) = 0 на открытом множестве О,
определяемом неравенством χ ^ 0. Действительно, если хг £ О, то
существует открытый интервал /, содержащий точки х0 и хг,
такой, что / = 0 на /. Отсюда следует, что G (хг) = 0. Поскольку
хг — произвольная точка из О, это означает, что G = 0 на О.
Имеем
е(*л>(*н]/(*)л*~,,л (/=1, ...,?).
0
Покажем теперь, что G^tses) = 0 на открытом множестве 0',
определяемом неравенством χ >0. Действительно, поскольку /-я
координата вектора к — κ^· равна нулю, G^ff не зависит от /-й
координаты точки х0. Следовательно, можно положить
где все координаты точки Xj отрицательны, за исключением /-й
координаты ξ;·, которая положительна. Но / = 0 на
полупространстве Uj, определяемом неравенством ξ^ >0. Поэтому G(V^ =

15. Заключительные замечания
293
= 0 на Uj. Так как О'a Uh то G&fj = 0 на О'. В силу 15.2.1,
на множестве О' обобщенная функция G совпадает с многочленом
степени <Ж Таким образом,
G(x)= 2 β™5τ·
Отсюда, учитывая, что G непрерывна на Rq и равна нулю на О,
а следовательно, всюду вне О', получаем
где Gm (χ) = хт/т\ при # ^ 0 и Gm = 0 в противном случае.
Поэтому G$= fyb-i-m) и^ значит,
/ = (?<*> = 2 βηιδ№-1-'")= 2 «тб(т),
где ат = $k_x_m. Наше утверждение доказано. (Тот факт, что
суммирование проводится до Л: — 1, а не до ft, не имеет
значения.)

16.
Приложение
16.1. Индукция
Как в § 2.1, символом Ж обозначается множество всех
положительных целых чисел. Предположим, что для каждого п£Ж
имеется утверждение Ап. Тогда справедлив следующий принцип
индукции:
Если 1° утверждение Аг справедливо и 2° из утверждения Ап
следует утверждение Ап+1 для каждого η ζ Ж, то утверждение Ап
справедливо для каждого η £ Ж.
Этот принцип индукции можно рассматривать либо как
теорему, либо как аксиому: обсуждение этого вопроса относится к
области, которую обычно называют основаниями математики. Здесь
мы просто предположим, что этот принцип имеет место и выведем
некоторые его следствия.
Напомним сначала некоторые определения и обозначения.
Следуя § 2.1, под неотрицательной целой точкой ρ из JS9 будем
понимать систему (π1? . . ., nq), состоящую из неотрицательных
целых чисел π/. Числа π1? . . ., nq являются координатами
точки р. Множество всех неотрицательных целых точек из JR9
обозначим через Pq. Очевидно, Рд с: JS5. Обозначим символом е;
(/ = 1, . . ., q) точку из Р5, /-я координата которой равна 1,
а все остальные равны 0. Обозначим через 0 точку, у которой
все координаты равны 0; это не приводит к каким-либо
недоразумениям. Под ρ + ej будем понимать точку, у которой /-я
координата равна π;· + 1, а все остальные такие же, как и у р.
Предположим, что для каждого индекса ρ £ Pq имеется
утверждение Ар. Исходя из приведенного выше обычного
принципа индукции, можно доказать следующий принцип
многомерной индукции:
Если 1* утверждение А0 справедливо и 2* из утверждения Ар
следует утверждение Ар+€ для каждого ρ £ Pq и j = 1, . . ., q,
то утверждение Ар справедливо для каждого ρ £ Pq.
Действительно, обозначим через ρ сумму всех координат
вектора р, и пусть Вп (п£Ж) есть утверждение, заключающееся
в том, что все утверждения Ар, для которых ρ ^ η — 1,
справедливы. Тогда Б χ справедливо, поскольку, согласно 1*, спра-

16. Приложение
295
ведливо А0. Предположим, что Вп справедливо для некоторого п.
Тогда, согласно 2*, Ар+е справедливо для каждого ρ с ρ ^ η — 1
и / = 1, . . ., q. Следовательно, Вп+1 справедливо. В силу
обычного принципа индукции, отсюда следует, что Вп справедливо для
всякого η £ Ж Другими словами, Ар справедливо для
каждого ρ £ Pq.
16.2. Рекурсивное определение
Сейчас мы обсудим нечто, тесно связанное с принципом
индукции, а именно рекурсивное определение. Пусть X — произвольное
непустое множество элементов. Предположим, что для каждого
т ζ Pq и каждого / = 1» · · ·? ? определена операция, которая
каждому элементу χ £ X ставит в соответствие элемент Fmj (χ) £
16.2.1. Теорема. Если
г т+е., i(Fm}(x)) (1)
для всех т £ Pq, ι, / = 1» · · ·» 9» и каждого χ £ Χ, то для
каждого т ζ Pq существует операция Gm, такая, что Gm (χ) £ X при
χ £ Χ, причем 1' G0 (χ) = #, 2' Gm+e (χ) = Fmj (Gm (χ)) для всех
т £ Pq и j — 1, . . ., g. Д^я каждого т £ Pq операция Gm
определена однозначно.
Доказательство. Пусть Вп (η ζ Ν) есть утверждение,
заключающееся в том, что все Gm с т ^ η —- 1 определяются однозначно.
Тогда i?! справедливо, поскольку операция G0 определяется
однозначно; это следует из 1' и того факта, что индекс т + ej в 2'
отличен от нуля. Предположим теперь, что Вп справедливо для
некоторого п, так что для любого заданного т с т = η — 1 для
определения Gm+e можно воспользоваться условием 2'. Для
доказательства корректности такого определения надо показать,
что если т + е; — ρ + ^и то
Fmj (Gm (χ)) = Fpi (Gp (χ)).
Это очевидно при i = /· Если же i φ], то мы еще имеем т — е% =
= ρ — ej, так что Gm_e. (s) = Gp_ej (ж). Отсюда, в силу (1),
Fmj (Fm-e., i (Gm-e. (#))) = Fpi (Рр.е^ j (Gp-ej (#))),
и, согласно 2',
*mj (ff« (*)) = Fpi (Gp (X)).
Следовательно, Bn+1 справедливо. В силу обычного принципа
индукции, отсюда следует, что Вп справедливо для любого η ζ N.
Это означает, что Gm однозначно определяется для любого т 6 Pq,
и теорема доказана.

296
Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
Доказанная теорема показывает, при каких условиях
корректно рекурсивное определение операции Gm+e через операцию С?ш.
В частности, если q = 1, то всегда i = /, так что условие (1)
выполняется автоматически. Следовательно, в одномерном случае
для определения операций G0, Gv . . . достаточно лишь
выполнения условий 1' и 2' и никаких дополнительных ограничений
не требуется. Условие 2' часто называется рекуррентной
формулой.
Следует отметить, что доказательство корректности
рекурсивного определения (или определения по индукции) в многомерном
случае не требует применения многомерной индукции. Оно
основано на обычном принципе индукции.
16.3. Примеры
Пример 1.. Класс С°°(0) гладких функций на открытом
множестве О из Mq можно определить как пересечение всех классов К
непрерывных функций на О, таких, что условие / ζ К влечет
за собой τ?-f ζ К для каждого / = 1, . . ., q. Преимущество
такого определения заключается в том, что оно использует
частные производные только первого порядка. Затем с помощью
рекурсивного определения можно определить производную любого
порядка т ζ Ρ9.
Очевидно, что
при / £ С°°(0). Для определения рщ (т £ Ρ9) в качестве мно-
жества X возьмем С°°(0) и положим Fmj (/) = -^/, так что
в данном случае Fmj фактически не зависит от т. Положим затем
по определению /(Ш) = Gm (/). Согласно 1', имеем /(0) =/. Из уело-
вия 2' следует, что ^g- /(W) = /<W+V. При этом, в силу
теоремы 16.2.1, производная /(W) определена для любого т £ Ρ9.
Осталось еще доказать формулу
(^>)(т)== ph+тп) дри ^ m g jpq. щ
сделаем это с помощью g-мерной индукции. Формула содержит
два индекса к и πι, но индукцию мы будем проводить только по т.
Пусть Ат — утверждение, заключающееся в том, что формула (1)
справедлива для данного т и всех к £ Ρ9. Утверждение Ат1
очевидно, справедливо при т = 0. Следовательно, условие 1°
выполнено. Предположим, что утверждение Ат справедливо для

16. Приложение
297
некоторого т £ Р9. Тогда
//(ft)\(m+^) __ J_ /i(ft)\(m) _ A *(fc+m) _ ,№+«ι+β;)
так что условие 2° также выполнено. Следовательно, формула (1)
справедлива для всех т и к.
Пример 2. Если т = (μ1? . . ., μ9) ζ Pq, то мы нищем
иг! = μχ! ... μς!.
Под этим равенством скрывается рекурсивное определение по q,
Более того, символ μ/, также требует рекурсивного определения.
Покажем, что можно определить ттг!, используя одно д-мерное
рекурсивное определение.
В качестве множества X возьмем JPq и положим Fmj (χ) =
= (μ; + 1) х- Легко видеть, что Fmj удовлетворяет условию 16.2(1).
Поэтому, в силу теоремы 16.2.1, для каждого т £ JPq существует
единственная операция Gm, такая, что 1' G0 (х) = х и 2' Gm+e, (χ) =
= (μ;· + 1) Gm (x). Положим по определению т\ = Gm (1). При
этом из условий 1' и 2' получим формулы
О! = 1, (2)
(т + ej)\ = (μ;· + 1) ml. (3)
16.4· Конечная индукция
Предположим, что для каждого индекса т ζ Pg,
удовлетворяющего неравенствам тх ^ т ^ га2, имеется утверждение Вт.
Тогда справедлив следующий принцип конечной индукции:
Если 1" утверждение Вт истинно и 2" из Вш следует Вт+е.
при тг ^ т ^ т2 — ej и j = 1, . . ., q, то утверждение Вт
истинно для всех т £ Pq, таких, что тх ^ т ^ т2.
Это можно доказать следующим образом. Пусть Ар = Вт +р
при 0 ^ ρ ^ т2 — mt и4р= Вт для всех остальных ρ ζ Tq.
Легко видеть, что утверждения Ап удовлетворяют условиям 1*
и 2* § 16.1, так что все утверждения^ истинны. Отсюда следует,
что все исходные утверждения Вт тоже истинны.
16.5· Биномиальные коэффициенты в многомерном случае
Пусть т = (μ1? . . ., μ9) ζ Pg и k = (κ1? . . ., nq) £ JPq . Если
О ^ т ^ к (т. е. если 0 ^ μ;· ^ κ7· при j' = 1, . . ., g), то по
определению положим
м т
О-
т\(к — τη)!

298
Ч. III, Дополнительные главы теории обобщенных функций
Из равенства 16.3(2) следует, что
(ί)-ο-» <2>
и
(£)-(*-»)■ <3>
Далее, используя свойство 16.3(3) факториала, получаем
<ι*+1>(».ί4Η'"-μ')(») <4>
te+i)Ci:;)=(»/+i)(I) (»>
при условии, что 0 ^ т ^ к.
Напомним, что Bq — множество всех целочисленных точек
из Ж9, т. е. тех точек, все координаты которых суть целые числа.
Очевидно, Р9 czBq a Rq.
Для дальнейшего удобно определить ί J для к £ Р9 и т £ Bq.
Распространим определение (1), положив ί J = 0, если т не
удовлетворяет неравенству 0 ^ т ^ к. Покажем, что тогда
формулы (3), (4) и (5) будут справедливы для всех т £ В9 и к £ Ρ9.
Действительно, это очевидно для формулы (3). Если т <£к,
то также я т + ej *£к я т + ej *£к + е;, так что все
факториалы в (4) и (5) равны нулю. Если 0 ^ т и μ7· + 1 = 0, то все
члены в (4) и (5) опять равны нулю. Таким образом, остается
рассмотреть только случай, когда 0 ^ т и μ7· + 1 =т^= 0. Однако
нетрудно видеть, что в этом случае 0 ^ т + е$, а это вместе
с условием 0 ^ т опять влечет за собой равенство нулю всех
факториалов в (4) и (5). Таким образом, формулы (4) и (5)
справедливы для всех m £ В9 и к £ Ρ9.
Осталось еще доказать равенство
для всех & £ Р9 и m£Bq. Действительно, если μ7·=^—1, то,
в силу (4) и (5), имеем
(к\ + ( к \-*j+i ( к\ = 1к+в>Л.
\ т / ' \m + ejl μ^ + 1 \т/ \m + ejj
Если же μι = —1, то ί J =0 и, согласно 16.3(3),
\m-\-ej) (m+ej)\ (fc — wi —«j)!(xj —μ/) Km + ej) '
что и доказывает справедливость равенства (6).

16. Приложение
299
Заметим, наконец, что, группируя надлежащим образом
сомножители в равенстве (1), мы получим формулу
\ иг / V μι / ' ' ' \μq ) '
которая, однако, нам не пригодится.
16.6. Формулы Лейбница и Шварца
Докажем следующие формулы:
(/?)(ft)=2(*)/(m¥ft-m', (1)
т
/»)g=2(-l)m(*)(/g<,»))(*-",), (2>
т
где fug — произвольные гладкие функции и (—1)т =
= (—1)ί*ι+.·.+μβ. формулу (1) обычно приписывают Лейбницу;
формулу (2) часто использует Шварц в своей знаменитой книге
об обобщенных функциях.
Обычно считают, что в равенствах (1) и (2) суммы Σ берутся
по всем т £ Р9, удовлетворяющим неравенству 0 ^ т ^ к £ Τ4.
Однако, согласно нашему определению символа ί J, данному
в предыдущем параграфе, можно допустить, чтобы индекс пг
пробегал все значения из В3; при этом смысл формул не изменится.
В более общем случае, если дана сумма 2дт конечного числа
т
элементов ат, то ее всегда можно рассматривать как сумму πα
всем т 6 В9, положив все остальные элементы равными нулю.
Такая интерпретация обладает тем преимуществом, что она
позволяет нам записать равенство
Σ <*m+ Σ &™ = Σ (Ят+&т); (3)
т т т
это могло бы привести к недоразумению, если бы индексы в
конечных суммах слева пробегали различные значения. Далее, можно
также всегда записать, что
Σ ат+р = Σ ат (4)
mm
для любого фиксированного ρ ζ Bq. Все, что требуется для
справедливости каждой из формул 16.3(1), (3) и (4),— это
ассоциативность и коммутативность сложения.
Докажем формулы (1) и (2) с помощью g-мерноГт индукции.
Прежде всего при к = 0 обе формулы сводятся к тривиальному

300 Ч. III. Дополнительные главы теории обобщенных функций
равенству fg = fg, и, следовательно, они справедливы.
Предположим теперь, что они справедливы для некоторого ft. Тогда для
формулы (1), в силу 16.3(1), имеем
шГе>=ш^ - (2 (£) w-m) Ρ=
m
= 3 (£) и(т+е})g^-m)+ft-n)g(h~m+e}))=
т
= S (ί) /(m+e^<ft-m>+Ε (£) /<'Vft-",+e').
m ' m
Применяя к первой сумме в последней строке формулу (4) с ρ =
i= — ej, в силу>(3) и (6), получаем
(/^=2((Д)+С))л(^п,=
m
β у (k + ej \ f{m)^h+erm) β
m
Отсюда, согласно принципу индукции, следует формула (1).
Для формулы (2) с помощью равенств 16.3(1) и 16.6(3)
получаем
/*+-#>ge(/^)e>g= 2 <-ιΓ( ί) (/(e'Vm>f ~m)=
m
= Σ (-ir (t) ((/ge»))^)-/?<m+e/))(ft-m)=
m
= 2(-i)m(£)(/Wft"m+v-
-m)
Применяя к последней сумме формулу (4) с ρ = —е/, в силу (3)
и (6), получаем
^ί-2 (- Ъ™ ( (J-ej) + (km)) (/^f-m+^ =
т
Отсюда, в силу принципа индукции, следует формула (2).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Антосик (Antosik P.)
[1] On the Mikusiriski Diagonal Theorem, Bull. Acad. Pol. Sci., Ser. sci*
math., astronom. et phys., 15(4) (1971), 305—310.
[2] On the Modulus of a Distribution, Bull. Acad. Pol. Sci., Ser. sci. math.,
astronom. et phys., 15 (10) (1967)» ^717-722.
[3] The Commutativity of the Limit with Regular Operations, Bull. Acad.
Pol. Sci.y Ser. sci. math., astronom. et phys., 18(6) <1970), 325—327.
[4] Порядок относительно меры и его применение к исследованию
произведения обобщенных функций, Studia Math., 26 (1966), 247—262,
Антосик и Минусинский (Antosik P. and Mikusirski J.)
[1] On Hermite Expansions, Bull. Acad. Pol. Sci.; Ser. sci, math.,
astronom. et phys., 16(10) (1968), 787-791.
Гальперин (Halperin I.)
[1] Introduction to the Theory of Distribution, Toronto, 1952.
Гельфанд И. Μ. и Шилов Г/ Ε.
[1] Обобщенные функции, вып. I и II, Физматгиз, М., 1958.
Гонсалес-Домингес и Скарфиелло (Gonzalez-Dominguez A. and Scarfiello R.)
1 1
[1] Nota sobre la formula v.p. —δ = ·—^-δ', Rev. de la Union Matem.
Argen., lt (1956), 53-67.
Гротендик (Grothendieck A.)
[1] Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires, Mem. Amer*
Math. Soc, no. 16 (1955).
Зелезный (Zieleiny Z.)
[1] Sur la definition de Lojasiewicz de la valeur d'une distribution dans
un point, Bull. Acad. Pol. Sci., CI. Ill, 3 (1955), 519—520.
Кёниг (Konig H.)
[1] Neue Begriindung der Theorie der Distribution, Math. Nachr., 9 (1953),.
129-148.
Кёте (Kothe G.)
[1] Topologische Lineare Raume, I, Springer, 1966.
Коревар (Korevaar J.)
[1] Distributions Defined from the Point of View of Applied Mathematics*
Proc. Kon. NederL Akad. Wetenschappen, Ser. A, No. 2 and Indag.
Math., 17.2 (1955), 368—383; ibid., Ser. A, 58.4 (1955) and 17.4 (1955),
463—503; ibid., Ser. A, 58.5 and 17.5 (1955), 563—764.

302
Список литературы
Лебедев Η. Η.
[1] Специальные функции и их приложения, М., 1953·
Лоясевич (Lojasiewicz S.)
[1] Sur la valeur d'une distribution dans un point, Bull. Pol. Acad. Sci..
CI. Ill, 4 (1956), 239-242.
[2] Sur la valeur et le limite d'une distribution dans un point, Studia
Math., 16 (1957), 1—36·
Лоясевич, Влёка и Зелезный (Lojasiewicz S., Wloka J. und Zieleiny Z.)
[I] Uber eine Definition des Wertes einer Distribution, Bull. Acad. Pol.
Sci., CI. Ill; 3 (1955), 479-481.
Минусинский (Mikusinski J.) ,
[1] Sur la m$thode de generalisation de M. Laurent Schwartz et sur la
convergence- faible, Fund. Math., 35 (1948), 235—239.
[2] Une definition de distribution, Bull. Acad. Pol. Sci., CI. Ill, 3 (1955),
589-591.
[3] A Constructive Theory of Tempered Distributions, Bull. Acad. Pol.
Sci., Sir. sci. math., astronom. et phys., 16 (9) (1968), 727—732.
[4] A Representation of Tempered Distributions, Bull. Acad. Pol. Sci.,
Sir. sci. math., astronom. et phys., 15(2) (1967), 103—104.
[5] Criteria of the Existence and of the Associativity of the Product of
Distributions, Studia Math., 21 (1962), 253—259.
[6] Irregular Operations on Distributions, Studia Math., 20 (1961), 163—
169.
[7] Lectures on the Constructive Theory of Distributions, Department
of Mathematics, University of Florida, Gainesville, 1969.
[8] On Convergence of Sequences of Periodic Distributions, Studia Math.,
31 (1968), 1-И4.
[9] On Functions and Distributions with a Vanishing Derivative, Studia
Math., 32 (1969), 9—16.
[10] On Spaces of Sequences, Bull. Acad. Pol. Sci., Sir. sci. math.,
astronom. et phys., 17 (1) (1969), 17—20.
[II] Од the Square of the Dirac delta-distribution, Bull. Acad. Pol. Sci.,
Sir. set. math., astronom. et phys., 14(9) (1966), 511—513.
[12] On the Value of a Distribution at a Point, Bull. Acad. Pol. Sci.,
Sir. set. math., astronom. et phys., 8 (10) (1960), 681—683.
[13] Sequential Theory of the Convolutions of Distributions, Studia Math.,
29 (1968), 151-160.
[14] Une introduction elementaire de la transformation de Fourier dans
la theorie des distributions, Mathematica, 8 (31), 1 (1966), 83—90.
Микусинский и Сикорский (Mikusinski J. and Sikorski R.) ж\
[1] The Elementary Theory of Distributions, I, Rozprawy Mat., 12 (1957).
(Русский перевод: Элементарная теория обобщенных функций, I,
ИЛ, М., 1959.3
[2] The Elementary Theory of Distributions, II, Rozprawy Mat., 25 (1961).
(Русский перевод: Элементарная теория обобщенных функций, II,
ИЛ, М., 1963.)
Себаштиан-и-Сильва (Sebastiao-e-Silva J.)
[1] Sur une construction axiomatique de la theorie des distributions,
Univ. Lisboa, Revista Fac. Ci (2), 4 (1955), 79—186.

Список литературы
303
Сикорский (Sikorski R.)
[1] On Substitution in the Dirac Delta-Distribution, Bull. Acad. Pol. Sci.
(1960), 685-689.
[2] A Definition of the Notion of Distribution, Bull. Acad. Pol. Sci.,
CI. Ill, 2 (1954), 207—211.
[3] Integrals of Distributions, Studia Math., 20 (1961), 119—139.
Скурник (Skornik K.)
[1] An Estimation of Fourier Coefficients of Periodic Distributions, Bull.
Acad. Pol. Sci.у Sir. sci. math., astronom. et phys., 16 (7) (1968), 581—
585.
[2] Postac funkcji lokalnie calkowalnej, ktorej wi-ta pochodna lokalna
znika prawie wsz^dzie, Zeszyty Naukowe Wyzszej Szkoly Pedagogicznej
w Katowicach, Sekcja Matematyki, Zeszyt nr. 5 (1966), 127—152. (The
Form of Locally Integrable Function whose m-th Derivative Vanishes
Almost Everywhere.)
[3] Hereditarily Periodic Distributions, Studia Math., 43 (1972), 245—272.
Словиковский (Slowikowski W.)
[1] A Generalization of the Theory of Distributions, Bull. Acad. Pol. Sci.9
CI. Ill, 3 (1955), 3—6.
[2] On the Theory of Operator Systems, Bull. Acad. Pol. Sci., CI. Ill,
3 (1955), 137-142.
Соболев С. Л.
[1] Methode nouvelle a resoudre le probleme de Cauchy pour les equations
lineaire hyperboliques normales, Матем. сб., 1 (43), (1936), 39—72.
Темпл (Temple G.)
[1] Theories and Applications of Generalized Functions, Journ* London
Math. Soc, 28 (1953), 134—148.
Шварц (Schwartz L.)
[1] Generalisation de la notion de fonction, de derivation, de
transformation de Fourier, et applications mathematiques et physiques, Annates
Univ. Grenoble, 21 (1945), 57—74.
[2] Theorie des distributions, I, Paris, 1950.
[3] Theorie des distributions, II, Paris, 1951.
[4] Theorie des Noyaux, Proceed. Int. Congr. Math., 1950.
Список литературы, добавленной при переводе
Бремерман (Bremermann Η.)
[1*] Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье,
«Мир», М., 1968.
Владимиров В. С.
[1*] Уравнения математической физики, «Наука», М., 1971.
12*] Обобщенные функции в математической физике, МФТИ, 1974.
Никольский С. М.
[1*] Курс математического анализа, т. 2, «Наука», М., 1973.
Фихтенгольц Г. М.
[1*] Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 3, Физ-
матгиз, М. — Л., 1960.
Шварц Л. (Schwartz L.)
[1*] Математические методы для физических наук, «Мир», М., 1965.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Арифметическое неравенство 144
Бесселя неравенство 159
Буняковского неравенство 144
Быстро убывающая гладкая
функция 192
— — матрица 245
обобщенная функция 169
— — функция 134
— убывающий вектор 238
Валле-Пуссен 64
Вектор 237
— быстро убывающий 238
— вещественный или комплексный
237
— медленного роста 238
Влёка 60
Вычитание обобщенных функций 76
Геометрическое неравенство 144
Гильберта преобразование 278
Гладкая функция 69
Гладкий интеграл 220
Гонсалес-Домингес 281
Дельта-последовательность , 6-после-
довательность 84 , 126
Дельта-функция Дирака 28 , 48 , 85
Дирихле 30 , 63
Зелезный 46 , 60
Значение обобщенной функции на
бесконечности 54
в точке 47 , 271
Индукции принцип 294
— — конечной 297
Индукции принцип многомерной 294
Интеграл гладкий 220
— — неопределенный 55
— — определенный 55 , 57
— по периоду 223
Интегрируемости условие 95
Интервал 69
— внутри открытого множества 69
Кёте 236
Кете пространства 238
Колестничное пространство 238
Конечный порядок 64 , 164
Коши неравенство 144
— последовательность 145
Лейбница формула 299
Лестничное пространство 238
Локально интегрируемая функция
27 , 92
— сходящаяся последовательность
обобщенных функций 104
Лоясевич 49 , 52 , 60 , 272
L-сходимость 94
Медленно растущая функция 134
Медленного роста вектор 236
— — матрица 236
— — обобщенная функция 169 , 179
Мннковского неравенство 144
Множества , двойственные
относительно свертки 131
Неопределенный интеграл
обобщенной функции 55
Неотрицательная целая точка 126 ,
294
Непрерывности условие 90
Неравенство арифметическое 144
— Бесселя 159

Алфавитный указатель
305
Неравенство геометрическое 144
— Минковского 144 ,
— Шварца 144
Носитель обобщенной функции 165 ,
273
— функции 134
Нулевая обобщенная функция 21
Обобщенная функция 18 , 25 , 65 , 73
— — бесконечного порядка 65
быстро убывающая 169
— — конечного порядка 64
— — q неременных 113
— — медленного роста 169 , 179
— — нечетная 209
— — нулевая 21
— — периодическая 59 , 220
— — постоянная по некоторым
переменным 110
четная 209
Обратное преобразование Фурье 150
Определенный интеграл обобщенной
функции 55. 57
Ортогональные функции 155
Ортонормированные функции 155
Парсеваля равенство 159
Пеано 46
Периодическая обобщенная функция
59 , 220
— свертка 228
Периодическое скалярное
произведение 226
Пикар 30
Планшерель 148
Подстановка 78 , 108
Полюсы функции 43
Порядок 70
Последовательность векторов
ограниченная 238
— — сходящаяся 242 — 244
— матриц медленного роста
ограниченная 245
— — сходящаяся 245
— обобщенных функций локально
сходящаяся 104
— — — сильно сходящаяся 254
слабо сходящаяся 254
сходящаяся 29 , 32 , 96 , 98
— фундаментальная 11 , 13 , 64 , 71
— функций L-сходящаяся 94
— — почти равномерно сходящаяся
13 , 32 , 70
— — равномерно сходящаяся 70
Почти равномерная сходимость 13 , 32
Произведение двух обобщенных
функций 274
— обобщенной функции на
функцию 35 , 77
на число 21 , 72
Производная обобщенной функции
22 , 45 , 77
Разность обобщенных функций 20 , 76
Регулярная операция 76
— последовательность 128
— точка обобщенной функции 47
Рекуррентная формула 296
Рекурсивное определение 295
Риман 56
Ряды обобщенных функций 31
— функций Эрмита 156
Свертка 81 , 120 , 121
Сингулярная точка обобщенной
функции 47
Скалярное произведение 189 , 237
— — периодическое 226
Скарфиелло 281
Соболев 64
Совместимые множества 135 , 137
Стандартное множество функций 131
Стильтьес 30
Сумма обобщенных функций 74
— ряда обобщенных функций 31
Суперпозиция 37
— операций 82
Сходимость покоординатная 242
— последовательности обобщенных
функций 29 , 32 , 96 , 98
— почти равномерная 13 , 32 , 70 , 107
— равномерная 70 , 107
— ряда безусловная 156 , 197
обобщенных функций 31
— в tf 193 , 252
— сильная 245 , 254
— — на открытом множестве 259 ,
260
— слабая 245 , 254
— — на открытом множестве 258 ,
260
— в среднем квадратичном 145
— умеренная с порядком к 252
Фейер 64
Фундаментальная
последовательность 11 , 13 , 64 , 71
Функции ортогональные 155
— ортонормированные 155

306
Алфавитный указатель
Функция быстро убывающая 134
— гладкая 69
— с интегрируемым квадратом 144
— медленно растущая 134
— Хевисайда 28 , 48
Фурье преобразование 149
— — обобщенной функции
медленного роста 213
обратное 150
периодической обобщенной
функции 235
— ряд 231
Шварц Л. 6 , 7 , 60 , 64 , 149 , 170 , 189 ,
192 , 200 , 257 , 260 , 277 , 299
Шварца неравенство 144
— формула 300
Эквивалентности класс 12
— отношение 11
Эквивалентные фундаментальные
последовательности 17 , 65 , 72
Эрмита многочлены 154 , 155
— ряды функций 156

Оглавление
От редактора 5
Предисловие 6
К русскому изданию 8
Часть I. Элементарная теория обобщенных функций одной
вещественной переменной 9
Введение 9
1. Основные определения 11
1.1. Принцип отождествления 11
1.2. Фундаментальные последовательности непрерывных
функций 12
1.3. Определение обобщенной функции 17
1.4. Обобщенная функция как расширение понятия функции 19
2. Операции над обобщенными функциями 20
2.1. Алгебраические операции над обобщенными функциями 20
2.2. Дифференцирование обобщенных функций 22
2.3. Определение обобщенной функции при помощи производных 25
2.4. Локально интегрируемые функции 26
2.5. Последовательности и ряды обобщенных функций ... 29
2.6. Обобщенные функции, зависящие от непрерывного
параметра 32
2.7. Умножение обобщенных функций на функции .... 35
2.8. Суперпозиции 37
3. Локальные свойства 41
3.1. Равенство обобщенных функций на интервалах .... 41
3.2. Функции с полюсами 43
3.3. Производная как предел разностного отношения ... 45
3.4. Значение обобщенной функции в точке 46
3.5. Теоремы о существовании значений обобщенных функций 49
3.6. Значение обобщенной функции в бесконечности .... 53
4. Развитие теории 55
4.1. Интеграл от обобщенной функции 55
4.2. Периодические обобщенные функции 59
4.3. Обобщенные функции бесконечного порядка 64

308 Оглавление
Часть II. Элементарная теория обобщенных функций нескольких
вещественных переменных 67
Введение 67
1. Основные определения 68
1.1. Терминология и обозначения 68
1.2. Равномерная и почти равномерная сходимость .... 70
1.3. Фундаментальные последовательности гладких функций 71
1.4. Определение обобщенных функций 72
2. Операции над обобщенными функциями 74
2.1. Умножение на число 74
2.2. Сложение 74
2.3. Регулярные операции 75
2.4. Вычитание, сдвиг, дифференцирование 76
2.5. Умножение обобщенной функции на гладкую функцию 77
2.6. Подстановка 78
2.7. Произведение обобщенных функций с разделенными
переменными 80
2.8. Свертка с гладкой функцией, обращающейся в нуль вне
некоторого интервала 80
2.9. Некоторые вычисления 82
3. Локальные свойства 84
3.1. Дельта-последовательности и дельта-функция . . ; . . . 84
3.2. Обобщенные функции на подмножествах . 86
3.3. Обобщенные функции как расширение понятия
непрерывных функций 87
3.4. Операции над непрерывными функциями 90
3.5. Локально интегрируемые функции . . . . 92
3.6. Операции над локально интегрируемыми функциями 94
3.7. Последовательности обобщенных функций 96
3.8. Сходимость и регулярные операции 99
3.9. Последовательности гладких функций, сходящиеся в
обобщенном смысле 102
3.10. Локально сходящиеся последовательности обобщенных
функций 104
4. Развитие теории 107
4.1. Обобщенные функции, зависящие от непрерывного
параметра 107
4.2. Многомерная подстановка 108
4.3. Обобщенные функции, постоянные по некоторым
переменным 110
4.4. Размерность обобщенных функций 113
4.5. Обобщенные функции с нулевой т-й производной . . . 116
Часть III. Дополнительные главы теории обобщенных функций ... 119
Введение 119
1. Свертка 120
1.1. Свертка двух функций 120
1.2. Свертка трех функций 121
1.3. Ассоциативность свертки 122
1.4. Свертка локально интегрируемой функции с гладкой
функцией, имеющей ограниченный носитель 124
2. Дельта-последовательности и регулярные последовательности 126
2.1. Дельта-последовательности 126
2.2. Регулярные последовательности 127
2.3. Свертка сходящейся последовательности с дельта-после-
довательностью . ..... 129

Оглавление
309
3. Теоремы существования для сверток 131
3.1. Множества, двойственные относительно свертки 131
3.2. Свертка функций с совместимыми носителями 134
3.3. Свойства совместимых множеств 136
3.4. Ассоциативность свертки функций с совместимыми
носителями 138
3.5. Частный случай 140
3.6. Свертка двух гладких функций 141
4. Функции с интегрируемым квадратом 144
4.1. Основные определения и теоремы 144
4.2. Регулярные последовательности 145
4.3. Преобразование Фурье функций с интегрируемым
квадратом 148
4.4. Две аппроксимационные теоремы 150
4.5. Основная аппроксимационная теорема 153
4.6. Многочлены Эрмита вещественной переменной . . . . 154
4.7. Многочлены Эрмита нескольких переменных ...... 155
4.8. Ряды функций Эрмита 156
4.9. Преобразование Фурье рядов Эрмита 160
5. Скалярное произведение 161
5.1. Скалярное произведение двух функций 161
5.2. Скалярное произведение трех функций 162
6. Свертка обобщенных функций 164
6.1. Обобщенные функции конечного порядка 164
6.2. Свертка обобщенной функции с гладкой функцией,
имеющей ограниченный носитель 165
6.3. Свертка двух обобщенных функций 167
6.4. Свертка обобщенных функций, имеющих совместимые
носители 170
7. Обобщенные, функции медленного роста 175
7.1. Производные медленного роста 175
7.2. Интеграл медленного роста 176
7.3. Обобщенные функции медленного роста 179
7.4. Подклассы обобщенных функций медленного роста . . . 182
7.5. Умеренная сходимость последовательностей 185
7.6. Скалярное произведение с гладкой функцией, имеющей
ограниченный носитель 189
7.7. Фундаментальные последовательности и обобщенные
функции на R0 190
7.8. Доказательство регулярности скалярного произведения 191
7.9. Пространство быстро убывающих гладких функций . . . 192
7.10. Расширение определения скалярного произведения . . . 195
8. Ряды Эрмита медленного роста 197
8.1. Ряды Эрмита и их производные 197
8.2. Функции с интегрируемым квадратом и быстро убывающие
функции . 200
8.3. Примеры и замечания 207
8.4. Многомерные разложения в ряд 210
8.5. Некоторые специальные разложения в ряд Эрмита ... 211
8.6. Преобразование Фурье 213
8.7. Аналогия со степенными рядами 217
8.8. Преобразование Фурье свертки 218
9. Периодические обобщенные функции 220
9.1. Гладкий интеграл 220
9.2. Интеграл по периоду 223
9.3. Теорема разложения для периодических обобщенных
функций 224

Оглавлени
9.4. Периодическое скалярное произведение 226
9.5. Периодическая свертка 228
9.6. Разложения в ряд Фурье 231
9.7. Преобразование Фурье периодических обобщенных
функций 235
10. Пространства Кёте 236
10.1. Общие замечания 236
10.2. Пространства последовательностей 236
10.3. Лестничное и колестничное пространства Кете .... 237
10.4. Сильная и слабая ограниченность 238
10.5. Теорема о диагонали 239
10.6. Доказательство теоремы об ограниченности 241
10.7. Сильная сходимость и слабая сходимость 242
10.8. Более общая формулировка теории 244
10.9. Операторы на пространстве быстро убывающих матриц 246
Ю.Ю.Теорема о ядре для лестничных пространств Кёте . . . 248
11. Применения теории пространств Кёте 252
11.1. Применения к обобщенным функциям медленного роста 252
11.2. Сходимость в I и R 255
11.3. Обобщенные функции медленного роста как функционалы 257
11.4. Применение к произвольным обобщенным'функциям . . . 258
11.5. Обобщенные функции как функционалы 260
11.6. Теоремы о ядре для обобщенных функций 262
11.7. Применение к периодическим обобщенным функциям 265
11.8. Периодические обобщенные функции как функционалы 268
12. Применения эквивалентности слабой и сильной сходимости 270
12.1. Сходимость и регулярные операции 270
12.2. Значение обобщенной функции в точке 271
12.3. Свойства дельта-функции 273
12.4. Произведение двух обобщенных функций 274
12.5. Несуществование б2 275
» 1
12.6. Произведение *• — 276
12.7. Об ассоциативности произведения 276
13. Преобразование Гильберта и его применение 278
13.1. Преобразование Гильберта 278
(1 \2
—) 279
13.3. Несколько формул для преобразования Гильберта . . . 280
13.4. Произведение — 6 281
13.5. Об уравнении xf = 6 283
14. Применения преобразования Фурье 285
14.1. Свертка — * — 285
XX
1 1
14.2. Квадрат обобщенной функции б -\—: 285
14.3. Формула #-^(^=-±1; 286
15. Заключительные замечания 288
15.1. Обобщенные операции 288
15.2. Система дифференциальных уравнений 289
15.3. Некоторые замечания об интегралах от обобщенных
функций 290
15.4. Обобщенные функции с носителем в точке 292

Оглавление 311
16. Приложение 294
16.1. Индукция 294
16.2. Рекурсивное определение 295
16.3. Примеры 296
16.4. Конечная индукция 297
16.5. Биномиальные коэффициенты в многомерном случае . . . 297
16.6. Формулы Лейбница и Шварца 299
Список литературы 301
Алфавитный указатель 304

УВАЖАЕМЫЙ ЧЙТАТЕЛЫ
Ваши замечания о содержании
книги, ее оформлении, качестве перевода
и другие просим присылать по адресу:
129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й
Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».
Р. Антосик, Я. Минусинский, Р. Сикорский
ТЕОРИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Редакторы Д. Ф. Борисова и Г. М. Ильичева
Художник В. С. Акопов
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Н. И. Борисова
Корректор Н. А. Гиря
Сдано в набор 24/XII 1975 г. Подписано к печати 20/IV 1976 г.
Бумага тип. № 1 60 Χ 90ΐ/ι6 = 9,75 бум. л. Печ. л. 19,50. Уч.-изд. л. 16,26.
Изд. № 1/8491. Цена 1 р. 64 к. Зак. 01150
Издательство «Мир»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени Московская типография № 7 «Искра революции»
Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, К-1, Трехпрудный пер., 9.

П.Антосик Я.Микусинский Р.Сикорский
ТЕОРИЯ
ОБОБЩЕННЫХ
ФУНКЦИЙ
Секвенциальный подход
Издательство -Мир- Москва 1976