Предисловие
Часть I. Графика, пределы, дифференциальное исчисление функции одной переменной
§ 2. Графики рациональных функций
§ 3. Графики алгебраических функций
§ 4. Обратные тригонометрические функции и их графики
§ 5. Кривые, заданные параметрически
§ 6. Полярная система координат и уравнения кривых в этой системе
§ 7. Функции, заданные неявно
Задачи
Глава II. Вычисление пределов
§ 2. Предел последовательности
§ 3. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора
Задачи
Ответы
Глава III. Дифференциальное исчисление функций одного действительного переменного
§ 2.  Дифференциал функции и инвариантность его формы
§ 3.  Приложения дифференциального исчисления
2. Возрастание и убывание функции
3. Формула Тейлора, правило Лопиталя
4. Исследование функций и построение кривых
Задачи
Ответы
Глава IV. Теоретические задачи
§ 2. Последовательности и их свойства
§ 3. Функции. Общие свойства
§ 4. Предел и непрерывность функций
§ 5. Дифференцируемость функций
Ответы, решения, указания
Часть II. Неопределенный и определенный интегралы. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Задачи
§ 2. Интегрирование по частям
Задачи
§ 3. Замена переменного
§ 4. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен
Задачи
§ 5. Интегрирование рациональных дробей
Задачи
§ 6. Интегрирование некоторых тригонометрических функций
Задачи
§ 7. Интегрирование выражений, содержащих радикалы
Задачи
§ 8. Задачи на различные методы интегрирования
Ответы
Глава II. Определенный интеграл Римана
§ 2. Площадь плоской области
§ 3. Объем тела вращения
§ 4. Длина дуги кривой
§ 5. Площадь поверхности вращения
Задачи
Ответы
Глава III. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
§ 2. Производная, первый дифференциал, частные производные
§ 3. Дифференцирование сложных функций
§ 4. Производные высших порядков. Второй дифференциал
§ 5. Дифференцирование неявных функций
§ 6. Замена переменных
§ 7. Геометрические приложения
§ 8. Экстремумы функций многих переменных
Задачи
Ответы
Глава IV. Теоретические задачи
Ответы и указания
§ 2. Функции многих переменных
Ответы и указания
Часть III. Интегральное исчисление функций многих переменных
§ 2. Двойной интеграл. Его геометрические и механические приложения
2. Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярной и обобщенной полярной системам координат
3. Площадь поверхности и ее вычисление
4. Площадь плоской фигуры и объем пространственного тела
5. Механические приложения двойного интеграла
§  3. Тройной интеграл. Его геометрические и механические приложения
2. Замена переменных. Переход к цилиндрическим, сферическим и обобщенным сферическим координатам
3. Объем тела
4. Механические приложения тройного интеграла
§  4. Несобственный кратный интеграл
Задачи
Ответы
Глава II. Криволинейный и поверхностный интегралы первого рода
§ 2. Поверхностный интеграл первого рода
Задачи
Ответы
Глава III. Криволинейный и поверхностный интегралы второго рода. Векторный анализ
§ 2. Дифференциальные формы в курсе анализа. Интегрирование дифференциальных форм. Общие сведения
§ 3. Криволинейный интеграл второго рода
§ 4. Поверхностный интеграл второго рода
§ 5. Векторный анализ
Задачи
Ответы
Теоретические задачи
Ответы, решения, указания
Оглавление
Текст
                    И.А. Виноградова
С.Н.Олехник
В.А. Садовничий
ЗАДАЧИ
И УПРАЖНЕНИЯ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
Часть 1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
Издание третье, исправленное
Рекомендовано Министерством образования
Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям и специальностям
физико-математического профиля
гфофа
МОСКВА • 2001


УДК 517.1(075.8) ББК 22.161 В49 Рецензенты: чл.-кор. РАН Л. Д. Кудрявцев, академик РАН В. А. Ильин Серия «Высшее образование: Современный учебник» основана в 2001 году Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. В49 Задачи и упражнения по математическому анализу: Посо¬ бие для университетов, пед. вузов: В 2 ч. / Под ред. В. А. Садов- ничего. — 3-е изд., испр. — М.: Дрофа, 2001. — Ч. 1: Дифферен¬ циальное и интегральное исчисление. — 725 с.: ил. — (Высшее образование: Современный учебник). ISBN 5-7107-4294-5 (ч. 1) ISBN 5-7107-4296-1 Учебное пособие (2-е изд. — 2000 г.) соответствует программе курса мате¬ матического анализа для студентов механико-математических и математических факультетов университетов, педагогических и технических вузов. Задачник отражает современные тенденции развития математики. Большинство задач в пособии сопровождается решениями, поэтому оно может быть полезно при самостоятельном изучении предмета. В книге содержатся следующие разделы: графики, пределы, дифференциальное и интегральное исчисление. Для студентов университетов, педагогических вузов, вузов с углубленным изучением математики.
ПРЕДИСЛОВИЕ Отечественную школу преподавания математики всегда отли¬ чало сочетание четкости рассуждений с глубиной содержания и в то же время с простотой, доступностью, конкретностью изло¬ жения материала, которые всегда предпочитаются формальным конструкциям. Математическое образование и математическая культура составляют стержень научного знания, и значение мате¬ матики как основы фундаментальных исследований постоянно возрастает. Для решения этих задач требуются учебники, отра¬ жающие современное состояние и мировоззренческие принципы данной области науки. Издавая новые книги по математике, особенно для исполь¬ зования в учебном процессе, важно помнить слова Н. И. Лоба¬ чевского из предисловия к его «Алгебре»: «Новая книга начал ма¬ тематики не должна напрасно умножать число существующих, потому что и без того уже много». Эти слова навеяны известным изречением Екклесиаста и несут в себе мудрость, данную от века. Предлагаемое вниманию читателей учебное пособие «Задачи и упражнения по математическому анализу» является руководством для проведения семинарских занятий по основному курсу матема¬ тического анализа для вузов, оно также удобно для самостоятель¬ ной работы студентов. В книге обобщен и методически переработан опыт препода¬ вания предмета на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова за последние десятилетия. Пособие содержит широкий круг задач и упражнений по ос¬ новным темам курса. В отдельные разделы выделены теоретиче¬ ские задачи. Изложение каждой темы предваряется полной систе¬ мой определений, формулировкой основных теорем и подробным решением типовых задач. Все задачи снабжены ответами и указа¬ ниями к решению. Третье издание задачника, так же как и его второе издание, вы¬ ходит в двух частях. Часть 1: «Дифференциальное и интегральное исчисление». Часть 2: «Ряды, несобственные интегралы, ряды Фурье, преобразование Фурье». Серия «Высшее образование: Современный учебник», в ко¬ торой он выпускается, кроме практической ценности, призвана подвести некоторые итоги работы российских ученых и педаго- гов-математиков по созданию базовых учебников по высшей мате¬ матике. Академик Российской Академии наук В. А. Садовничий
Часть I ГРАФИКИ, ПРЕДЕЛЫ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Глава I ПОСТРОЕНИЕ ЭСКИЗОВ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ § 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ Основными элементарными функциями считаются: степенная функция у=ха, показательная функция у=ах, а>0, аФ 1, лога¬ рифмическая функция y = \ogax, а>О, а=?^1, тригонометрические функции i/ = sirut, у = сosjc, у = tgx, у== ctg*\ обратные тригоно¬ метрические функции t/=arcsinjc, i/=arccosx, i/=arctgx, i/=* = arcctgx. Элементарной называется функция, полученная из основных элементарных функций конечным числом их композиций и ариф¬ метических операций. Рассмотрим построение эскизов графиков фуикций путем ка¬ чественного анализа с наименьшим числом вычислений. Мы выде¬ лим некоторые классы элементарных функций и установим их главные свойства, опираясь на известные свойства основных эле¬ ментарных функции и правила преобразования графика при опре¬ деленных операциях с функцией. Техника дифференцирования практически применяться не будет; она либо излишняя (нет необ¬ ходимости пользоваться производной для определения положения вершины параболы или максимумов синусоиды), либо слишком громоздка, например, при анализе рациональных дробей. Но не¬ которые утверждения, которые строго доказываются с помощью дифференциального исчисления, будут сформулированы, и соот¬ ветствующие свойства функций и их графиков будут использо¬ ваться. Более конкретно о том, что именно должен иллюстриро¬ вать в поведении функции эскиз ее графика, будет сказано в со¬ ответствующих замечаниях и при разборе примеров. Допустим, что построен график фуикции */ = /(*). х^Х. В сле¬ дующей таблице описано, как изменяется этот график при опре¬ деленном преобразовании функции f(x) или ее аргумента. Построение графика функции y = Cj(ax+b)+D в общем случае сводится к ряду преобразований (сдвиг, сжатие, отображение и т. д.) графика функции /(*). Представим у в виде 4
Таблица Функция Преобразование, которое следует провести с графиком у ■* /(х) на плоскости X0Y t(x) + A АФО Сдвиг вверх по оси OY графика функции у = f(x) на А единиц, если А>0, и сдвиг вниз на | А | единиц, если А <10 /(х — а) аф 0 сдвиг вправо по оси ОХ на а единиц, если а>0, сдвиг влево на |а| единиц, если а<0 kf(x), k>0 кф 1 растяжение вдоль оси OY относительно осн ОХ в k раз, если Л>1, сжатие вдоль оси OY в 1/Л раз, если 0< 1 f(kx), *>0 кф 1 сжатие вдоль оси ОХ относительно оси OY в k раз, если Л>1, и растяжение в 1/Л раз, если 0<Л< 1 — f(x) симметричное отображение графика относительно оси ОХ l/WI часть графика, расположенная ниже оси ОХ, сим¬ метрично отражается относительно этой оси, осталь¬ ная часть остается без изменения f(-X) симметричное отображение графика относительно оси OY К1«и стереть часть графика функции у — f(х), лежа¬ щую слева от оси OY; оставить часть графика у f(x), лежащую справа от оси OY и на ней; часть графика функции y = f(x), расположенную в области х > 0, симметрично отобразить относи¬ тельно оси OY в область х<0
Из такого представления у видно, что для построения графика этой функции достаточно построить график функции Для построения графика функции у, достаточно построить график функции + т)]в свою очередь для построения графика функции у2 достаточно построить график функции г/з = = [(ах). Итак, для построения графика функции ^ х + + — j J + D необходимо с графиком функции f(x) произвести следующие преобразования: 1. Сжать или растянуть график функции j(х) вдоль оси ОХ относительно оси OY, если а>0; симметрично отобразить отно¬ сительно оси OY и сжать или растянуть вдоль оси ОХ относитель¬ но оси ОУ, если а<0. 2. Сдвинуть по оси ОХ полученный график функции f(ax) на I ь I ь . п ь . Л — : влево, если — >0, и вправо, если — <0. I a I а а 3. Сжать или растянуть полученный график функции вдоль оси OY относительно оси ОХ, если С>0; симметрично отобразить относительно оси ОХ и сжать или растя¬ нуть вдоль оси OY относительно оси ОХ, если С<0. 4. Сдвинуть полученный график функции Cf а(х + ±) \ а I на D вверх, если Z)>0, и вниз на |D|t если D<0. Последовательность этих преобразований при построении графика функции y~Cf(ax + b) +D можно представить символи¬ чески в виде цепочки f М -+f(ax) -► f [a (* + -£-) —► Cf (ax -f- b) -f- D. == f (ax + b) Cf (ax+ b)- На практике удобнее построение графика функции y = Cf(ax + + 6)+D начинать с написания цепочки Cf (ах + b) + DCf (ах+ b)+-f (ах + Ь) э •f(ax)+-f(x). Отсюда видно, график какой функции в этой цепочке является базовым для построения графика последующей функции. Пример 1. Построим эскиз графика функции «/ = log3 (1—2*).
Решение. Напишем цепочку преобразований: log,(l— 2x) = logs [—2 (jt —-j-j сд,"г ” 1/2 впр,во logs (— 2дг) X- log, (2д:) Ч- Iog3 X. Итак, построение эскиза графика функции t/ = log3(l—2х) начи¬ нается с построения графика */i = log3*, затем сжатия этого гра¬ фика вдоль оси ОХ относительно оси OY в два раза, затем сим¬ метричного отображения относительно оси О У и, наконец, сдвига полученного графика на 1/2 вправо вдоль оси ОХ (см. рис. 1). Рис. 1 Чтобы избежать ошибок при построении графиков, следует подчеркнуть еще раз, что величина сдвига вдоль оси ОХ опреде¬ ляется той константой, которая прибавляется непосредственно к аргументу *, а не к аргументу ах. Поэтому для нахождения этой константы выражение ах+b сначала преобразуется к виду 7
В связи с этим рекомендуется операцию сдвига вдоль оси ОХ проводить после операций сжатия или растяжения вдоль оси ОХ относительно оси OY. Пример 2. Построим эскиз графика функции У — —2 tg Д”-4" . Решение. Напишем цепочку преобразований Последовательно эскизы смотри на рис. 2. 8
Пример 3. Построим эскиз графика функции У =Ysin(3x + l") +L Решение. Напишем цепочку преобразований: -i-sin (а* + -J-) + 1 - -i-sin (Зх + Ч-sin (а* + -5-) - е= sin ^3 Н—j -<-sin3jC4-sinx. Последовательно эскизы смотри на рис. 3. Рис. 3 Аналогичным методом строятся эскизы графиков функций с применением и других преобразований. Пример 4. Построим эскиз графика^ y = logjJ 1 — 2| |*| —1||.
Решение. Напишем цепочку преобразований: log!/* 11 - 211* 1 ~ 111 log,/211 - 21х -111 *-сд,нг на 1 впр,во logi/211 —2|дг| logi/211 —2дг|= logi/212х — 11 = сдвиг на 1/2 вправо 10^1^ *>0 -log./S|2(,-f)| - log,/2 2х 2--Р— log ~ Эскизы смотри на рис. 4. ■ logi/2 |2д:|- Разберем следующий пример, где потребуются несколько иные рассуждения. Пример 5. Построим эскиз графика функции у — 2]/х. Решение. Графики функций g= 1/х и у^2е смотри на рис. 5, а, б. Функция i/ = 21/JC определена на объединении множеств (—оо, 0) и (0, +оо), т. е. на множестве (—оо, 0)U(0, +оо). На множестве (—оо, 0) функция g(x) монотонно стремится к 0 при —оо и монотонно стремится к —оо при х-И); на множестве (0, +оо) функция g(x) монотонно стремится к +оо при х-й) и монотонно стремится к 0 при х-^ + оо. Отсюда легко заключить, что функция у = 2е определена на множестве (—оо, 0)U(0, + оо). 10
На множестве (—оо, 0), когда х стремится к —оо, функция у = 28 стремится к единице, оставаясь меньше 1, а когда х->0, то стремится к 0. На множестве (0, +оо), когда *-*0, функция у = 2е стремится к +оо, а когда х-* + оо, то стремится к единице, Рис. 5 оставаясь больше 1. Теперь рисуем эскиз графика функции у = 2и* (см. рис. 5, в). Замечание. Полученные исследования полезно свести в таблицу и потом строить график X — оо /0 0 / + оо участки монотонности функ- 1 ции X 1 *=Т 0 — оо Ч-ооЧО изменение g(x) на этих учас¬ тках 1 у = 2я 140 + 1 изменение у = y(g(x)) на этих участках Пример 6. Построим эскиз графика функции y = \og\/2(x2+x). Решение. Построим графики g = x2 + x и y = \og\/2g (см. рис. 6, а, б). Так как при —функция g = x2 + x не поло¬ жительна (рис. 6, а), то функция у = logi/2(*2-fx) определена при х^(—оо, —1)U(0. +оо). Составим таблицу. X — оо / — 1 0/ + оо g = X* + X -1- оо\0 0 f 4"00 У = log 1/2* — оо / 4* оо оо\ — оо 11
Переходим к эскизу графика функции y=\ogm(x2 + x) (см. рис. 6, в). Одной из существенных качественных характеристик функции является ее поведение у «границы области определения», т. е. при х-+а, где а — граничная точка области определения и при х-> + оо или х—* — оо, если область определения не ограничена слева или справа. Введем некоторые количественные оценки этого поведе¬ ния. Если при х-> + оо или х-+ — оо разность f(x)-g(x)->0, то говорят, что функции f(x) и g(x) на плюс или минус бесконечности ведут себя асимптотически одинаково. Если g(x) по структуре более «проста», чем /(*), то говорят, что f(x) асимптотически ведет себя как #(*)• х4 4- *** Пример 7. Рассмотрим функцию у = ---j-----. После тождественных преобразований получим *+•" _*■+и——)■■ I— + 0 —'+ • ж* + V е* ) \ е*1 ) х* + е« Х^ х^ х^ * Поскольку lim = lim lim — 0 (показательная X-^-f-oo £ах JC-*+oo в* функция у = ах, д>1, на плюс бесконечности растет быстрее сте¬ пенной у = )с“, а>0, это строго доказывается позже) и lim = = lim -^-=0, то видно, что у(х) на плюс бесконечности асимп- £-*-{-00 тотически ведет себя как ех и на минус бесконечности — как х2. Если g(x)=kx + b и f(x)—g(x)^ 0 при х-*+оо (х-+—оо), то говорят, что график функции f{x) имеет правую (левую) асимптоту, наклонную при кФО, горизонтальную при А|в0. Пра¬ 12
вая асимптота существует тогда и только тогда, когда сущест¬ вуют оба предела: fc+= lim -^2- и 6+ = lim (у(х) — k+x), ле- Д-Иоо X r-#-f-oo вая —когда существуют £_ = lim и L= lim (i/(jc)—fc_x). JC-»— oo X JC-#—o© Если правая и левая асимптоты совпадают, то говорят, что гра¬ фик функции имеет асимптоту (наклонную или горизонтальную). Пример 8. Рассмотрим функцию f(x) =х+ (sinх)/х. Так как {sinх)/л-*0(х->оо) (почему ?), то прямая у=х есть асимптота графика этой функции. Обратите внимание, что график данной функции пересекает свою асимптоту в бесконечном числе точек: х=kn для каждого целого kt k=£0. Эскиз графика данной функции приведен на рис. 7. Если при д:-*а (х-*а+, х-+а~) функция f(x) стремится к беско¬ нечности, тогда прямая х = а является вертикальной асимптотой (двусторонней или односторонней). В таком случае иногда ис¬ 13
пользуется следующая характеристика фуикции: если в некоторой окрестности (правой или левой полуокрестностях) точки х=а име¬ ет место соотношение 0< Cl < \f(x)/g(x) | <С2, то говорят, что f(x) имеет при х-+а (*->а+, х-+а~) порядок роста g(x). § 2. ГРАФИКИ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Определение. Рациональной функцией (рациональной дробью) называют отношение двух многочленов: R(x) =ТГ7Т WmW^O). Qm {X) Простейшим после многочленов подклассом рациональных функ¬ ций является класс дробно-линейных функций У(*) = ах 4- b сф 0. Если числитель ах -f- b У = cx + d ' и знаменатель дробно-линейной функции имеют общий множитель х—а, то функция всюду, кроме точки х = —d/c, есть постоянная а/с и график ее имеет вид, У j 0 с ► 1 ^ 1 1 — + . ± 0 x с Рис. 8 изображенный на рис. 8. Обратите внимание на отличие этого графика от графика функции у=а/с\ В дальнейшем предполагаем, что рассматриваемая дробь несо¬ кратима (т. е. ЬсФай). После тождественного преобразования be — ad k ox-f b a cx + d с -=-2- + - С d x + с 14
видно, что график дробно-линейной функции — кривая обратной пропорциональности y = k/x (гипербола), сдвинутая по оси ОХ на \d/c\ вправо или влево в зависимости от знака d/c и по оси OY на |а/с| вверх или вниз в зависимости от знака а/с. Таким обра¬ зом, чтобы построить эскиз графика дробно-линейной функции, достаточно знать ее асимптоты и расположение относительно них одной из ветвей гиперболы, так как вторая ветвь симметрична с первой относительно точки пересечения асимптот. Асимптотами являются прямые х = —d/c и у = а/с, полученные соответствующим сдвигом асимптот кривой y = k/x, а положение одной из ветвей оп¬ ределяется точкой пересечения гиперболы с осью ОХ или OY. Пример 1. Построим эскиз графика функции у . 5х -|- 2 Решение. Асимптотами являются прямые: дс=—2/5, у = 3/5. Точка пересечения гиперболы с осью OY есть (0, |/(0)) = (0, 1/2). Итак, одна из ветвей гиперболы лежит в четвертой четверти от¬ носительно асимптот; вторая, симметричная с первой, — во вто¬ рой. Эскиз графика смотри на рис. 9. Из эскиза графика рациональной дроби должны быть видны следующие свойства: знак, нули и точки неопределенности функ¬ ции, ее поведение около точек неопределенности и асимптотичес¬ кое поведение на бесконечности. Всякая рациональная дробь /?(*) представляется в виде сум¬ мы многочлена и правильной дроби (степень многочлена числи¬ теля меньше степени многочлена знаменателя), т. е.R (*) = Тя(*) + ^t fc<m, где TQt Pft, Qm — многочлены. Правильная Qm (х) дробь при х-+оо стремится к нулю (почему?), поэтому R(x) на бесконечности асимптотически ведет себя как многочлен Гя(х), в частности, при *-*-+оо и —оо или уходит в бесконечность, или имеет один и тот же конечный предел. Если рассматривать только несократимые дроби, то через каждую точку неопределен¬ ности (нуль знаменателя) проходит вертикальная асимптота; если х = а нуль знаменателя кратности kt т. е. знаменатель имеет вид (х—a)*Q(x), Q(a)^=0, то порядок роста функции около такой точки есть \/(х—а)к. Если а — корень числителя кратности т, то функция в окре¬ стности точки х = а имеет вид С(х—a)m. Пример 2. Построим эскиз графика функции = 4 л* + 13s4 У~ (х + 2)* (1 —хг) Решение. Запишем соотношения 4^+13х« It I 3 I 25х» + 4дС-12 (* + 2)»0-*) (лс + 2)* <1 — ле) (1+Дс) _ x«(4x+13) “ (х + 2)г(1— х*) 15
Отсюда заключаем, что точки * = 0, х=—13/4 — нули функ¬ ции, прямые х——2, х=—1, х=1 — вертикальные асимпто¬ ты, прямая у= —4jc-h 3 — на¬ клонная асимптота. Перемена знака функции происходит в точках х=—13/4, х——1, х= 1; точка х=0 — корень четного порядка числителя, точка =—2 — знаменателя, поэтому в- этих точках знак функции не меняется. Эскиз графика пред¬ ставлен на рис. 10. Заметим, что па промежутке (—1, 1) кри¬ вая дважды пересекла асимп¬ тоту у==—4jc + 3. Так как мно¬ гочлен 25х2-\ 4х—12 более двух корней иметь не может, то боль¬ ше точек пересечения графика функции с этой асимптотой нет. Вообще, точное положение та¬ ких точек чаще всего находить не обязательно, достаточно ог¬ раничиться качественным ана¬ лизом, как в этом примере. Точно так же чисто качест¬ венные рассуждения о поведе¬ нии функции приводят к вы¬ явлению экстремальных точек на промежутках (—2, —1), (1„ + оо). § 3. ГРАФИКИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В этом параграфе рассматриваем функции вида у — Р?‘(*) * РъЧх).. ,Р^*(х), где Р ..., Pk(x) — многочлены, а <ц, а2, ... ..., а* — рациональные числа, или конечные суммы таких произ¬ ведений. После выделения всех множителей вида (л*—а)р, |3>0 произведение Р?1 ... Р*к примет вид (X —а,)а»(х — дг)а' ... (x—apfp ^ ^ (х_{,1)е-(д _б,)0.... (х-ьУ« где а,>0, l^i^p, Р/^0, 1^/'^7, Т(х) всюду определенная и не обращающаяся в нуль функция. Если в (1) все а, — натуральные числа, все р, равны нулю и Т(х) — многочлен, то числа a[t a2, ... ..., ар называются корнями, а числа а2, ..., ар называются 16
кратностью соответствующего корпя; в общем случае принято го¬ ворить о порядке корня в числителе и в знаменателе. рень х = 0 порядка 4/3, а в знаменателе корень х = —2 поряд¬ ка 2/3. Отметим основные свойства степенной функции у — ха с поло¬ жительным. рациональным показателем а=т/п, где m^Nt n^N. Если п четное, то функция у=хХ1п определена для х>0 и >» = Х" = (*"■)"= \/хт. Если п нечетное, то функция у = хт/п определена для всех дей¬ ствительных х, причем для х>0 имеем у — (Vх )т =угхт Отсюда видно, что функция у=хт/п нечетна, если тип нечетны, и четна, если п нечетно, а т четно. Поэтому для любого рацио¬ нального а достаточно рассматривать поведение функции у=ха на положительной полуоси, а ее поведение на отрицательной по¬ луоси, если она там определена, обусловливается свойством чет¬ ности или нечетности. Так как а>0, то график функции у=ха проходит через начало координат, точку (1, 1) и функция стремится к плюс бесконеч¬ ности при х-^+оо. Чем больше а, тем ближе к оси ОХ график функции у = ха на промежутке (0, 1) и дальше от оси ОХ на про¬ межутке (1, +оо). Пользуясь техникой дифференцирования, мож¬ но показать, что при а> 1 график функции у = ха не только лежит ниже прямой у = х на (0, 1), но имеет в нуле горизонтальную ка¬ сательную, а если 0<а<1, то график функции у=ха лежит выше прямой у=х и имеет в нуле вертикальную касательную. Эти характерные свойства степенной функции используются для построения эскизов графиков. Отметим еще, что график функции у=(х—a)a /i(jc) (если Н(а)Ф0, и график функции h(x) не имеет в точке х=а верти¬ кальной касательной) имеет в точке х = а вертикальную или гори¬ зонтальную касательную одновременно с графиком функции у=(х—а)а. Пример 1. Для функции у=Ух2 (х3 — 1) поведение в окрест¬ ности точки х = 0 определяется множителем (—Ух2), поскольку у = У х2 •{/ х3 — 1 и У х9 — 1 Ф 0 при х = 0. Поведение функции у = У x2(xz — 1) в окрестности точки *=0 показано на рис. 11. В точке х = 1 поведение функции у = определяется мно* имеет в числителе ко- и у (—х) = (У — х )т = (—Ух)т = (— х^п)т. 17
жителем у/л: — 1 , поскольку у^уХ — \ • у/х2 (х2 + д: + 1) и у/х2 (х2 + х+ 1) =т^0 при * = 1. Эскиз графика данной функции при¬ веден на рис. 11. Пример 2. Для функции у = Vх2—х3 поведение в точке х=0 определяется множителем yx2~\x\t так как # — V х2*—х* — Ух2X XV 1 —х, а в точке дс=1 определяется множителем У1 —х. Эс¬ киз графика данной функции приведен на рис. 12. Если у = у\(*)+уг(х) и функция У\(х) имеет в точке jc=jc0 вертикальную касательную, а функция уо(х) не имеет такой каса¬ тельной в точке x = JCo, то функция у имеет в точке х~х0 верти¬ кальную касательную. _ Пример 3. График функции у — 1/х—cos jc ка£ается оси ОY х Рис. 11 Рис. 12 в точке (0, —1), поскольку график функции {/ = У* имеет в точке jc=0 вертикальную касательную (рис. 13). На эскизе графика функции У Ty-tfr-сюх видны асимптоты этой кривой, точки пересечения с осями коор- 0 (04) я динат, расположение кривой от¬ носительно осей координат, точ¬ ки, в которых кривая имеет вер¬ тикальную или горизонтальную касательную. Рис. 13 18
Пример 4. Построим эскиз графика функции У"(х-!)»(< +2) • Ух-2 хУ(х+ 1)4(дс + 4) Решение. Функция определена при х^ —2 и jc^O, хф — 1. Точки х = —2, х=\, х—2 — нули функции, прямая jc= — 1 и ось OY — вертикальные асимптоты, перемена знака функции происходит в точках х=0 и дс=2, график имеет вертикальные касательные в точках х= —2 и х=2, точка х= 1 — угловая (т. е. в окрестности этой точки данная функция имеет вид Су/(х—1)2 = С\х—\\). После преобразования, тождественного для х>\ имеем у..У (1-1/*)»<»+273Г-^1-2/х V (1 + I/*)4 (1 4/ж) Отсюда видно, что при прямая у= 1 — горизонтальная асимптота. Эскиз графика функции представлен на рис. 14. При построении подобных эскизов, вообще говоря, не требует¬ ся ответа на вопрос, пересекается ли график функции со своими асимптотами. В данном примере можно ответить на этот вопрос. Пусть —1<*<0, тогда \х— 2|>2, |jc — 111 \х + 2 | > 1* 1*1 V (*+ I)4-(jc-Ь4) <]/4 и уУ у^2 / у^4 = 1, т. е. график функ¬ ции на этом промежутке лежит выше асимптоты. Пусть х >2, тогда Рис. 14 Рис. 15 19
{x— l)e (х + 2)3 (х—2)2 - (х— 1)в (*а—4)2(* + 2) < (JC 4- 4) (*а—4)а < <х*(х+4)(х2 + 2х +1)2, следовательно, у=^jt ^ х«(х+ 1)«(* + 4) т. е. кривая лежит ниже асимптоты. Пример 5. Построим эскиз графика функции у = х+ }^х2—4. Решение. Функция определена при х^2 и х^—2. Рассмот¬ рим функцию при х^2. В точке л-=2 график имеет вертикальную касательную, проходит через точку (2, 2) и монотонно растет к плюс бесконечности с ростом х. Проверим, имеет ли график наклонную асимптоту lim Лсю — = lim ( 1 + Л/ 1 =2; lim (у —2х) = X Х-*-\-оо \ У Х% ) Х-* + °° = lim (]/х2 —4 —х) = lim —.tz =0. *-►+00 х-+-\-<я> ух2 — 4 X Следовательно, прямая у = 2х — правая асимптота. Для рассмот¬ рения функции на промежутке х<—2 удобно сделать замену 2 = —х, тогда у = \^г2—4 —г и видно, что для z>2, у>—2, при z-*+- оо, с/—>-0; в точке х=^—2 график имеет вертикальную каса¬ тельную, проходит через точку (—2, —2), и так как у — = —- , то функция монотонно убывает при z-*-+oo (х-и у г* — 4 -f- г -*оо). Эскиз графика функции представлен на рис. 15. При построении эскиза графика сложной функции, в опреде¬ ление которой входят функции / ^ п [ 1» х > 0; х, х^О; 1*1 = ^ Л и sign*= о, х= 0; 1-*•»<» 1-1. *<0. 21аиболее естественно выделить и рассмотреть отдельно промежут¬ ки, на которых выражение под знаком модуля или sign не меняет знака. Стоит обратить внимание на то, что функция у = \х\ — эле¬ ментарная (почему?) й непрерывная, но имеет в нуле угловую точку, так что и в композиции с этой функцией непрерывность не нарушается, а угловые точки могут появиться; функция у = sign* разрывна, и при композиции с чтой функцией также могут появить¬ ся точки разрыва. § 4. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ Рассмотрим функцию у — sin*. Эта функция, рассматриваемая •на всей числовой прямой, не является монотонной. Чтобы гово¬ рить об обратной функции, выделим участок монотонности функ¬ ции г/ = sin дг. Одним из участков монотонности этой функции яв- 20
ляется отрезок —л/2<*<я/2. Функцию, обратную для функции y = s\nx9 jcg[-д/2, я/2], обозначим через t/ = arcsinx, т. е. у = = arcsinjt означает, что x = sin у и —л/2^у^л/2. Если рассмотрим функцию y = s\nz на другом участке, например я/2<2<Зя/2, то существует обратная функция, которая выражается через функ¬ цию f/=arcsinz следующим образом: у=л—arcsinz (почему?). Аналогично, рассматривая функцию у = cos* на промежутке [О, л], определяется обратная функция у=arccosx, т. е. запись у = arccosx означает, что x = cos у и О^у^п. Для функции y = tgx на промежутке (—я/2, я/2) определяется обратная функция у=arctgx, т. е. запись у=arctgx означает, что jc=tg у и —я/2<#<я/2. Для функции у=cigx на промежутке Ряс. 16 (О, я) определяется обратная функция t/—arcctgx, т. е. запись i/*=arcctg х означает, что x=ctg у и 0<у<п. Приводим графики обратных тригонометрических функций (см. 16). Пример 1. Построим эскиз графика функции х — 2 i/=arcsin . 3 21
Решение. Пишем цепочку преобразований: у =arcsin arcsin |-L (х-2)] ^виг и,!-2-вправо 1 ч-arcsin —х+- arcsin х. 3 Последовательно эскизы графиков смотри на рис. 17. Пример 2. Построим эскиз графика функции ^ = arccos | (1 —21 х | )/31. Решение. Пишем цепочку преобразований: arccos|(l —2|х|)/3| arccos | (1 —2х)/3 | гз эarccos |-у (*~т) 1«~СДВ"Г "*,1/2 -прав- arccos[т*1 arccos х J+- arccos х. Последовательно эскизы графиков изображены на рис. 18. ! [г ! ! г ,-т-т •) j ] у* arccos ||х| X^^-arccosb-x / / W ' / Л \ 11 о у• arccos | jfx- jj| ] \ \ / I . ! \ \ ^ I i ^ i) ж 2 'l^S\ 1 \ i \ J -/ 0 I 1 3 X 3 4 0 1 J 2 x -2 _1 > 0 1 2 z '2 \ г ~г 2 2 2 2 у =arcosa: 11 - 2lxll y=QrcC0S\ j 1 Рис. 18 22
Справедливы следующие формулы: «arcsin(—х) = — arcsine, |х|<[1; arccos(—x) - n —arccosx, \x\ ^ 1; arctg (— x) = — arctg x, 1^1 < arcctg (—x) = я — arcctg x, | x | < oo; arcsin x -j- arccos x = л/2, |x| ^ 1; arctgx + arcctgх = я/2, \x\ <oo; arcsin (sin x) = x, \x\^ я/2; sin (arcsin x) = x,r l*K 1; arccos (cos x) ==x, 0 ^ x я; cos (arccos x) = x, | x | ^ 1; tg (arctg x)==x, |x|<oo; arctg (tgx)s=x, | x|< я/2; •ctg (arcctg x) =x, | x | < oo; arcctg (ctg x) г x, 0 < x < я; arcsin x = arccos 1 —xa = arctg * - - = У 1 — x2 = arcctg — -, 0 < x < 1; X /-j ^5 arccos x = arcsin V1 —x% — arctg ~ -- = x = arcctg , 0 <*< 1; /1 —X* 1 JC 1 arctgx = arcctg — = arcsin . ... = arccos ,> ■ , x > 0; Б Б x У** + 1 V** + 1 arctg лг + arctg у = arcctg -1 у > 0; arctg * — arctg у = arctg -f--- , * > 0, у > 0; 1 +*!/ arcctg x + arcctg у = arcctg -, x > 0, у > 0. * + y Докажем некоторые из них. 23
1. arccos (-—x) = я — arccosxy |*|^1. Пусть arccos (—x) = а, тогда cos a = —x и О^а^я. Из соот¬ ношения 0^ я следует О^я —а^я, а из соотношения cos a = =—х следует, что cos (я—а) — х. Поэтому я—а = arccos х, откуда а = я—arccos х, т. е. arccos (— х) = я—arccos *. 2. arcsinx-f arccosх = я/2, |*|г^1. Пусть arcsin х = a, arccos л: — Р, тогда х — sin а = cos Р и — я/2 ^ ^ я/2, О^р^я. Имеем sin а = cosр = sin (я/2—Р). Из соотно¬ шения О^р^я следует, что —я/2^ я/2—р^я/2. Итак, sin а = sin (я/2—Р) и —я/2 я/2, —я/2^ я/2—р^я/2. Поэтому а = я/2 — р, откуда получаем, что а + р = я/2, т. е. arcsin х + arccosх = я/2. 3. arcsinх = arccos V\-x\ 0 < ж < 1. Пусть 0<*< 1. Обозначим arcsinх — а, тогда * = sina, 0<a< < я/2. Значит, cosa= +|^1 —х2, откуда a^arccosV^l—х2, т. е. arcsinх = arccos У\—х2, что и требовалось доказать. 4. arctg х -f- arctg ы = arcctg ■1 ~ x > 0, у > 0. x -Ь у Обозначим arctg;c = a, arctg^ = p, x > 0, у > 0. Тогда jc = tga, ^ = tgP, 0<а<я/2, 0<Р<я/2. Поэтому 0 < a + P < я, clg(„ + |l) = LLteM-_-J^L. tg a -f tg P x + У Так как 0 < a-f P <я, то а + Р = arctg -1—^-, т. е. * + у arctg х + arctg у = arcctg -1 ~ ху . * + у Пример 3. Вычислим arcsin (sin 10). Решение. Поскольку arcsin (sin х) =х при |л:|^я/2, то, пользуясь свойствами функций у = sin jc и у = arcsin.*, а также пе¬ риодичностью функции £/ = sin лг, имеем arcsin(sin 10) = =arcsin sin (10—2я) =arcsin sin [я— (10—2я)]=3я-10, поскольку |3я—101 <я/2. Пример 4. Построим эскиз графика функции у = = arccos (sin jc2). Решение. Областью определения функции является вся ось ОХ. Из тождества arcsin х+ arccosх = я/2 при имеем arccos (sin х2) = я/2—arcsin sin jc2 (так как 0^sin2jc^l для любо¬ го х). В силу четности функции arcsin sin х2 достаточно построить ее график в области х^0. Поскольку arcsin sin х=х, если ^я/2, то arcsin sin х2==л:2 при х2^я/2, т. е. при 0^х^л/2. Следо- 24
вательно, при 0^х^Уя/2 имеем, что arccos sin х2 = я/2—х2 (см. рис. 19, а). Если хе(Ул/2, уЗя/2), то х2е(я/2, Зя/2), а поскольку х2—ле(—я/2, я/2) и sin (а:2—я) =—sin*2, то arcsin(sin х2) = = arcsin(—sin(jc2—я)) = —arcsin(sin(x2—я)) = — (х2—я) =я—х2. Поэтому при хе(Кя/2, УЗя/2) график исходной функции совпада¬ ет с графиком функции я/2 — (я —х2) = х2 — я/2 (см. рис. 19,6). При х €= (УЗя/2 , V5я/2) имеем, что хае(Зя/2, 5я/2), х —2я е е(—я/2, я/2), и так как sin*2 =sin(х2—2я), то arcsinsinx* = =х2—*2я. Поэтому при ге(^Зя/2, У 5я/2) график исходной функ¬ ции овпадает с графиком функции я/2 — {х2 —2я) 5я/2х2 (см. рис. 1'9,в). Аналогично при х е(К2£ — 1) я/2, 1) я/2), fc>3, имеем, что график исходной функции совпадает с графиком функции у = я/2 + (— 1)*+1 (ха — Ля). Окончательный вид эскиза графика функции у = arccos sin х2 пред¬ ставлен на рис. 19, г. § 5. КРИВЫЕ, ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ Кривой, заданной параметрически, называется множество то¬ чек плоскости ЛГОУ, координаты которых определяются из соотно¬ шений * = *(/), y=y(t) при каждом фиксированном t из некото¬ рого множества Т. Обычно в качестве множества Т берется неко¬ торый промежуток. Если от функций x(t) и y(t) потребовать только непрерывность на промежутке 7, то образом этого проме¬ жутка при отображении x = x(t)t y = y(t) может быть1 множество в плоскости XOY, совсем непохожее на интуитивное представле¬ ние о кривой. Например, можно задать такое отображение, что 25
образом будет внутренность квадрата. Не углубляясь в теорию кривых, предполагаем, что рассматриваемый промежуток Т изме¬ нения параметра t разбивается на конечное число промежутков, на каждом из которых функция x(t) строго монотонна. На таком промежутке определена обратная функция 1(х) и y(t) -y(t(x)). Итак, каждому промежутку строгой монотонности x(t) соответ¬ ствует однозначная функция у(х), график которой называется ветвью данной кривой. Количество ветвей определяется количест¬ вом участков строгой монотонности x(t). Если точка у (to) ) не является общей для нескольких ветвей данной кривой, то в окрестности этой точки можно определить функцию у = у(х), заданную параметрически, график которой проходит через эту точку. Для построения эскиза кривой, заданной параметрически, на плоскости XOY необходимо отдельно рассматривать участки мо¬ нотонности *(/), а затем проводить рассуждения, аналогичные тем, которые проводятся при рассмотрении сложной функции. Пусть t возрастает Тогда если x(t) и y(t) возрастают, то движе¬ ние по кривой происходит направо вверх; если x(t) убывает, а y(t) возрастает, то движение по кривой происходит влево вверх и т. д. Если при t-+t0 имеем х-+а, a y(t) стремится к бесконечнос¬ ти, то кривая имеет вертикальную асимптоту х = а. Если при t-+t0 имеем, что x(t) стремится к бесконечности, a y(t)-+b, то кривая имеет горизонтальную асимптоту у = Ь. Наклонная асимп¬ тота может быть только тогда, когда при t-+t0 функции x(t) и y(t) одновременно стремятся к бесконечности. Коэффициенты асимптоты у—kx + b вычисляются, как было указано вуше, с за¬ меной условия х-+со (*-► + оо, х-+ — оо) на условие t-+t0(t-+to» о )• Из всего вышесказанного видно, что для построения эскиза кривой, зада.нной параметрически, важно точное определение участков монотонности, по крайней мере функции x(t). Иногда это можно сделать из качественных соображений, но часто прихо¬ дится обращаться к помощи производных. Рис. 20 26
Пример 1. Построим эскиз кривой х = //(1 -f /3), у = t2/(\ -f /3). Решение. Эскизы графиков функций x(t) и y(t) смотри на рис. 20, а, б. Примем без доказательства, что точка t0 — единст¬ венная точка экстремума x(t). Тогда участками монотонности х(/) будут промежутки (—оо, —1), (—1, /0), (^о, +оо). Оценим положение точки t0. Поскольку *//* = /, то для 0<t<\ имеем, что О<у<х, т. е. исследуемая кривая лежит в первой четверти ниже прямой у = ху а для t> 1 — выше. Так как х(\/t)=y(t), y(\/t) = =jc(/), то кривая симметрична относительно прямой у=х (вместе с точкой (х, у) на ней лежит и точка (у, х)). Если f0>l, то точка, симметричная с точкой (x(t0), у{*о))» лежащей выше прямой у = ху имеет координату x = y(t0) =x(\/t0), большую, чем дг(/0), что противоречит условию. Итак, 0</о<1- Проверим, имеет ли кривая наклонную асимптоту. Имеем lim yjx = Vimt = — 1; lim (у + х) = lim / (/ •+ 1)/(*3 + 1) = i t-*-\ t~+—\ t-*~ i = lim t/(t2—t + 1) = —1/3, — i поэтому прямая y = —x—1/3 есть наклонная асимптота исследуе¬ мой кривой. Кривая проходит через начало координат: х(0)=^0, у(0)=0. Когда t растет от 0 до to, значения функций x(t), y(t) растут, движение по кривой происходит направо вверх до точки (*(*о), У(*о))- Когда t убывает от 0 до —1, движение по кривой происходит налево вверх, асимптотически приближаясь к прямой у = —х—1/3. В точке (*(/0), У(1 о)) начинается вторая ветвь кри¬ вой, соответствующая изменению t на промежутке (/0, -f оо).С рос¬ том t функция x(t) убывает и движение по кривой происходит влево, сначала вверх до точки (x(\/t0)y y(Uto)), а затем вниз; при t-++ оо имеем х(/)->0, y(t)-+Q. Наконец, при росте t на про¬ межутке ( — оо, —1) функция x(t) возрастает, y(t) убывает. При /-*■—оо получаем, что х(/)-*0, y(t)-*0> при /-►—1 движение по кривой происходит вправо вниз, асимптотически приближаясь к прямой у = —х—1/3. Как уже говорилось, кривая симметрична при замене t на 1//, поэтому можно было бы ограничиться рас¬ смотрением t на промежутке (—1, 1), а оставшуюся часть нарисо¬ вать по симметрии относительно прямой у=х. Эскиз кривой пред¬ ставлен на рис. 20, в. Пользуясь техникой дифференцирования, покажем теперь, что утверждение о монотонности функции x(t) верно, и определим точно значение /0. Имеем = /3 + 1 -3/3 _ 1 — 2/а ** ('3+1)а ~(/3+1)2’ При t < у/1/2 , t Ф — 1, имеем xt > 0 и поэтому х (t) строго воз- растает на промежутках (—оо, —1) и (—1, $/ 1/2); при /> \/1/2 имеем xi < 0 и поэтому x(t) строго убывает на промежутке (у/1/2 , 27
-f °°). Так как функция x(t) непрерывна в точке t0 = l/1/2 , то эта точка есть точка экстремума (точка максимума). Пример 2. Построим эскиз кривой x=acos3/, у=а sin31, а> 0. Решение. Так как точка (x(t0 + 2n), y(t0 + 2n)) совпадает с точкой (*(^о), У (to)) у то достаточно рассматривать t на проме¬ жутке (0, 2л). Построим эскизы графиков функций x(t) и y(t) (см. рис. 21, а, б). Промежутками монотонности x(t) являются (0, я) и (я, 2л). Когда t растет от 0 до л/2, движение по кривой происходит влево вверх от точки (а, 0) = (х(0), у(0)) до точки (х(л/2), у(к/2)) = — (0, а); когда t растет от л/2 до л, движение по кривой проис¬ ходит влево вниз до точки (*(л), у(л)) = (—а, 0). В этой точке начинается вторая ветвь кривой. Когда t растет от л до Зл/2, движение по кривой происходит вправо вниз до точки (х(Зл/2), «/(Зл/2)) = (0, а). Когда t растет отЗл/2 до 2л,движение по кривой происходит вправо вверх до точки (х(2л), у(2п)) — (а, 0). Гак как *(2л—10) —x(to), y(2K—t0) = —y(t0), х(л—/0) =—x(tQ)r у (л—t0)=y(t0), то вместе с точкой (х0, Уо) на кривой лежат точки (—хо, уо) и (jc0, —уо), т. е. она симметрична относительно обеих координатных осей. Пусть t меняется на промежутке (0, л/2). Со¬ ответствующие точки кривой лежат в первой четверти. Рассмот¬ рим множество точек x = acos2f, y = asin2t. Это отрезок прямой i-fу — ау лежащий в первой четверти. Так как при любом /, 0</<л/2, х<х, у<у, то исследуемая кривая лежит ниже этой прямой. Эскиз кривой представлен на рис. 21, в. Пример 3. Построим эскиз кривой x = acos2/, i/ = asin3£, а> 0. Решение. Так как точка (х(/0 + 2л), y(to+2n)) совпадает с точкой (х(/0), У (to)), то достаточно рассматривать t на проме¬ жутке длины 2л. Отметим еще следующие соотношения: х(—/) = = *(0. У(—0 =— y(t), x(n—t) =x(t), у (л—0 —y(t)\ из них видно, что при изменении t на промежутке {0, л/2] получаются те же точки кривой, что и при изменении t на [л/2, л], а при изменении t на промежутке [—л, 0] получаются точки кривой, симметричные относительно оси ОХ с точками, полученными при изменении t 28
на [0, я]. Таким образом, достаточно рассматривать / на проме¬ жутке [0, я/2]. Построим графики функций x(t) и y(t) (см. рис. 22, а, б). Рис. 22 На промежутке [0, я/2] х (t) монотонно убывает, следователь¬ но, этому промежутку соответствует одна ветвь кривой. Когда t растет от 0 до я/6, движение по кривой происходит влево вверх от точки (*(0), 1/ (0)) = (а, 0) до точки (*(я/6), у (п/6)) = (а/2, а). Когда t растет от я/6 до я/2, движение по кривой происходит вле¬ во вниз до точки (лс(я/2), у(я/2))==(—а, —а), пересекая ось OY в точке (х(я/4), г/(я/4)) = (0, а У2/2) и ось ОХ в точке (дг(я/3), £/(я/3)) = (—а/2, 0). При дальнейшем росте I от я/2 до я, как было отмечено выше, точки (*(/), у(0) лежат на той же самой кривой. При изменении t от 0 до —я получаем вто¬ рую ветвь кривой, симметричную с первой относительно оси ОХ. Эскиз кривой представлен на рис. 22, в. § 6. ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ И УРАВНЕНИЯ КРИВЫХ В ЭТОЙ СИСТЕМЕ Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча ОР, выходящего из этой точ¬ ки, называемого полярной осью, масштаба для измерения длины и направления отсчета углов. Положительными называем углы, отсчитываемые от полярной оси против часовой стрелки, а отри¬ цательными — по часовой стрелке. Полярными координатами г и ср точки М, не совпадающей с по- люсомх называются: расстояние г от точки М до полюса О и угол ф от полярной оси до луча ОМ. Для полюса О полагается, что г== 0, а ф — не определен. Полярный угол точки М, отличной от О, имеет бесконечно много значений, главным значением угла ф называется его значение, удовлетворяющее условию 0^ф<2я. Если полюс О принять за начало декартовой прямоугольной системы координат, направление полярной оси за положительное направление оси ОХ, а за ось OY принять такую ось, что угол от 29
положительного направления оси ОХ до положительного направ¬ ления оси OY равен л/2 (такие системы назовем совмещенными), то между декартовыми координатами х, у точки М и ее поляр¬ ными координатами г и <р имеют место соотношения: х — г cos ф, f/ = г sin ф. И обратно, г = Yх1 4- у2, coscp=*/r, sin ф — у/г. Замечание. Если хфО, у¥=0, то угол ф можно найти из ус¬ ловия tg ф == г//лг, причем за главное значение ф взять угол из [О, 2л) такой, что знак sin ф равен знаку у. Пример 1. Пусть точка М (х, у) имеет декартовы координа¬ ты (—1, —1). Найдем полярные координаты этой точки, если системы совмещены. Решение, г = Y {—1)2 + (—О2 = К2 ; cos ф = —1^2/2, 5Шф = —К2/2, откуда ф = 5л/4-ь2л£, k е Z, т. е. полярные координаты точки М есть г = У2, ф = 5л/4 + 2л/г, k<=Z. Пример 2. Нарисуем кривую, заданную в полярной системе координат уравнением r = cos Зф. Решение. Функция соэЗф — периодическая с главным пе¬ риодом 7, равным 2л/3, поэтому достаточно построить кривую для 0^ф<2л/3, а затем, используя периодичность, построить ее для 2л/3<ф<4л/3 и, наконец, для 4л/3^ф<2л. Построим ту часть кривой, которая расположена в угле 0^ф<2л/3. Функция г = со$Зф на отрезке [0, л/6] монотонно убывает от 1 до 0; на интервале (л/6, л/2) г<0, поэтому нет точек линии, расположенных внутри угла л/6<ф<л/2; на отрезке [л/2, 2л/3] кривая монотонно воз¬ растает от 0 до 1. Для фе [0, л/6] U [л/2, 2л/3] эскиз кривой пред¬ ставлен на рис. 23, а. Осталось построить кривую в других двух углах: 2л/3^ф<4л/3 и 4л/3^ф<2л, используя при этом периодич¬ ность функции cos Зф. Эскиз кривой приведен на рис. 23, б. 30
Пример 3. Определим вид кривой на декартовой плоскости XOY, уравнение которой в полярной системе координат, совме¬ щенной с декартовой, имеет вид /- = cos<p. Решение. Поскольку г = Ух2 + у2, cos ф =х/угх2 у2 , то в декартовой системе координат уравнение кривой имеет вид Vx2-\-y2 =х/Угх2-\-у2 или х2Лу2 = х, откуда (х—1/2)2Ч-у2— 1/4,— это есть уравнение окружности радиуса 1/2 с центром в точке (1/2, 0). Замечание. Из условия r = cos<p следует, что г2 —г coscp, откуда х2-\-у2 = х. Пример 4. Построим эскиз кривой, задаваемой в декартовой системе уравнением (x2 + y2)zl2 = 2xy. Решение. Ясно, что кривая располагается в I и III квадран¬ тах симметрично относительно на¬ чала координат (если точка М(*о, у0) лежит на кривой, то и точка М'(—х0, —у о) лежит на кри¬ вой). Поэтому достаточно построить кривую в первой четверти. Перейдем к полярной системе координат, совмещенной с декар¬ товой, тогда имеем г3=2г2 cosqp sinqp или г=siп2ф. При изменении угла ф от 0 до я/4 г возрастает от Рис. 24 0 до 1 (на рис. 24 это движение от точки 0 до гочки А — путь I). При изменении угла ф от я/4 до я/2 г убывает от 1 до 0 (на рис. 24 ?то движение от точки А до точки 0 — путь II). Используя замеча¬ ние, приведенное выше, получаем эскиз кривой (см. рис. 24). § 7. ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ НЕЯВНО Пусть задано уравнение F(xt у)= 0. Если множество точек плоскости XOY, координаты которых удовлетворяют этому урав¬ нению, состоит из конечного числа непрерывных кривых, каждая из которых есть график однозначной функции у=у(х)у то гово¬ рят, что это уравнение неявно определяет соответствующее семей¬ ство функций у 1 (jc), У2(х), .... Ук(х). Если точка (л0, Уо) лежит только на одной из этих кривых, то условие у(хо)=уо позволяет однозначно выбрать эту кривую из всего семейства, т. е. уравне¬ ние F(jc, у) =0 и условие у(х0)=у0 определяют (или задают) од¬ нозначную неявную непрерывную функцию в окрестности точки (х0> Уо) такую, что F(x, у(х)) = 0, у(х0)=у0. Простейшим уравнением вида F(x, у) = 0 является уравнение *—/(*/)= 0, определяющее функцию, обратную к / : y=f'~l(x). Ось OY меняется местами с осью ОХ при симметричном отображении плоскости XOY относительно биссектрисы первого координатного 31
угла. Таким образом, кривая y = f(x) симметрична кривой x = f(y) или y = f~l(x) относительно этой биссектрисы. При этом отображе¬ нии непрерывная монотонная функция перейдет в непрерывную монотонную функцию, т. е. обратная функция однозначна, непре¬ рывна и монотонна. Если же непрерывная функция x = f(y) не мо¬ нотонна, то кривая, определяемая уравнением х—I{у) = 0, уже не будет графиком функции у = у(х), так как нет однозначной зави¬ симости функции от аргумента. Если уравнение F(х, у) = 0 можно разрешить относительно од¬ ной из переменных, то построение множества точек (х, у)у для которых это уравнение справедливо, следует из предыдущих рас¬ смотрений. Иногда можно ввести параметр t так, что уравнение F(x> */)=0 равносильно соотношению {*=*(0» t&T) (или нескольким таким соотношениям). Пример 1. Нарисуем в системе XOY эскиз кривой, заданной уравнением х = у—sin г/. Решение. Имеем, что x(kn)=кл, k^Z\ ху' = 1—cos х(у) — монотонная нечетная функция. Эскиз кривой в системе YOX представлен на рис. 25,а, а эскиз кривой, определенной урав¬ нением х = у—sin у (т. е. в системе XOY), представлен на рис. 25, б. Рис. 25 Пример 2. Нарисуем эскиз кривой, заданной уравнением х = у cos у. Решение. Функция х (у) — нечетная; для у^ 0 имеем М^Л *(л/2 + £л)=0, x(2kn)—2kny х ((2k-\~ 1)я) = — (2&+1)ti. Эскиз кривой х(у) в системе YOX представлен на рис. 26, a, a эскиз кривой у(х) — в системе XOY, определяемой уравнением x = ycosyy представлен на рис. 26, 0. 32
Рис. 26 Пример 3. Нарисуем в системе XOY эскиз кривой, задан¬ ной уравнением х5+уъ = 2х2у2. Решение. Заметим, что точка (0, 0) принадлежит данной кривой. Других точек вида (0, у) на этой кривой нет. Для по¬ строения кривой введем параметр t = y/x. Тогда данное уравнение преобразуется следующим образом: *5(1 + *5)=2Лс*. Отсюда видно, что уравнение х5+у5~2х2у2 равносильно соотноше¬ ниям x(t) =2/2/(1 + /5), y(t) =2/3/(1 + /5), так как точка (0, 0) так¬ же принадлежит этой кривой при /=0. Построение таких кривых было проведено выше. Кривая представлена на рис. 27. 33
Пример 4. Нарисуем в сис¬ теме XOY эскиз кривой, задан¬ ной уравнением х* + уА = х2+у2. Решение. Перейдем к по¬ лярной системе координат, сов¬ мещенной с декартовой, полагая х = г cos ф, I/ = г sin ф. Тогда урав¬ нение данной кривой принимает вид г2 = 1 /(cos4 ср -I- sin4 <р), г=0, т. е. г2 =4/(3+cos 4ср), г=0. Построение таких кривых также было приведено выше. Эскиз данной кривой представлен на рис. 28. ЗАДАЧИ В одной и той же системе координат построить эскизы графи¬ ков следующих функций: 1. у=х, у = х2, у = х\ 2. у = х, {/ = г\ у = х5. 3. у = х, y = Vxt y=yrx, у = yfx. 4. У=—, У- 5. у=Ух2, у= у/х2% у=у/х2. в. у = 2х> у = 32х, У=22\ у = х. 7’ у=(т)Х* У^Ъ~Х' У = 2~и’ У=х- 8. у=х, у = Iog3ЛГ, y = logtx. 9. у=Х, у = logl/2*, y = \ogu3x. 10. у = xt y = sinxf у = cosх» П. у=х, y = tgx, у= ctg*. Используя правило построения графика функции y^Afix) по графику функции «/ = /(*), построить эскизы графиков следующих функций: 12. у = —х2. 13. у = х 14. у = —cos х. 34
15. = tgx. 16.1/= 3 log,дс. 17. «/ = 2,1 Ух. 18. y= Г'5*' 19, y =YIogi/3JC‘ 20‘ y = 0<2ciSx- Используя правило построения графика функции y = f(—х) по графику функции y = f(x), построить эскизы графиков следующих функций: 21. y = loga(—jc). 22. у = ^~х. 23. у =~[/~х. 24. у = sin(—*). 25. y = ig(—x). 26. «/ = ctg(—*). 27. у = 2~“. 2Ъ.у = {±ух 29. у = (2,\)~х. 30. у = ——х. 31. у = cos(—*). 32. ^ 5*. Используя правило построения графика функции y=*f(kx) (fc#0) по графику у = Цх), построить эскизы графиков следующих функций: 33. у = sin2jc. 34. у — cos-^-x. 35. y = cosnx. 36. I/ == sin -i- дг. 37. у == loga 2х. 38. у = logi/2 • 39. у = ctg — х. 40. t/ = tg3jt. 41. y = V2*. 4 42. t/ = ^/r—0,5x. 43. £/ =1 —2x. 44. у=у/Г4x. 45. r/ = log3(—3*). 46. y = sin (—2*). 47. y = ctg (—2*). Используя правило построения графика функции y = f(x+a) (аФ0) по графику функции y = f(х), построить эскизы графиков следующих функций: 48. у = (х— 2)а. 49. г/ = (дг+ I)3. 60. у = У2+х. Б|. £/ = (*4-4)*. 52. £/ = cos^jc—j-j. 53. y = sin ^х + j. 54. = 55. |/ = tg(l—jc). 56. y = (2, 2)1-. 57. y = \f\—x. 58. y = y х + Ъ. 59. y = \ogUi (лг-f 1). Используя правило построения графика функции y=f(ax+b) по графику функции y = f(x), построить эскизы графиков следую¬ щих функций: 60. у = log3(2х + 3). 61. y = ctg(2x + -j-j. 62. у = tg (Зх + -у j. 35
2пх -f- л 64. у — cos !— * 4 64. у = cos «« блх — л 66. y = s 1П * 3 68. y = tg^5.t— 70. y = V 2—3*. 71. у--=У(1—3.х)3. 72. у=1\2х-Ь)*. 73. y = _J_. 74. у = (л—З)2*-1. 75. г/ = sin jc -h cos jc. 76. у=х2-\-2х—5. 77. у = 2х—л2 4-4. Используя правило построения графика функции y = j(x)+A по графику функции */ = /(*), построить эскизы графиков следую* щих функций: 78. у = 14-sin*. 79. у = 2—3cos*. 80. у—2— Y—х. 81. £/ = 2 4- loga(l 4-х). 82. у = sin2*. 83. y = cos2x. 84. у = 1 j-log,/2 (1+2*). 85. у = 2-з '/^2х. 2. о 86. у — sin4х 4- cos4*. 87. у = 2—3 (*—I)2. 88. г/ — а2 4~ 4* 4* 8. 89. у= 1 —3*—4*а. Построить эскизы графиков следующих дробно-лииейных функций: Построить эскизы графиков следующих рациональных функ* ций: 101. у = ( 1—*4)(*4-3)(*—2)2. 102. £/ = (1 ■-*)(!— *2)3 (2 4- ж)ь- 99. у = (х—2) (**—4). 100. у = (* 4 2) (*— I)3. 36
113. у= 115. у = 117. у = 119. у 121. у х» -f 4лс« + 4х х> — 9 (х-1) (х + 2)" (2х— 1)* ' x*-4x»+2xJ (дс-2)а(лг-(-1) (х-4)»(х+1)(х + 3) (** — 4) (*+ 2)* _ х* + 2х» — Зх« “ (ж* —4) (х+ 1)* ’ 114. у=- 116. (/ = ■ 118. у = 120. у = 122. «/ = • (* + 2)* (*-10) (4х— 1) (х+1)« (д_1)*(2х+1) ' (х + 1)-(ж —2)« (х-3)(х»+1) ' х< —9х» (х-4)* (*+!)’ ' (х —2) (х4 + 2ха + 3х«) (4х* —4х + 1) (4х* — 1) Построить эскизы графиков следующих алгебраических функ¬ ций: 123. у = У(х— 1)а(*—2). 125. у = у^?—*. 127. у = Ух*Т9-\-Уз^9. 124. у — у^{х+ 3)6(х—2)г(л+1). _1 J_ 2 126. у = (jc + 1)2 (Jt— 1)3 (*—2)а (*—3)Т. 128. у = дг2/3 + У (х—1)а. 129. у — s т/(х + 2)»(х-3) 130. у- у (x-f 1)2(х — 2)*-Ух+\0 У(х + 4)’ (ж-2)»(х + 1)~ /(х + 2)»(х + 5) Построить эскизы графиков следующих функций: 131. н \_ х II 132. У-\x\-iVx)2- 133. У=\х\—Ух*. 134. 135. У — 1 |2х—11—2|. 136. т j_ н II 137. У=\х\ + |*+1|. 138. У=\х\ — 1*+1| — \х+2\. 139. У = х*—\х\. 140. |дс»—11—л*. 141. У = х*—3| дг| + 1. 142. у=\хг + х\ —X + 1. 143. у=|жа + 3*| +2х— 8. 144. У = (\х\ — 1) (* + 1). 145. |2х— 11 у—\ • 146. 11 — Зх| у = - L. |Зх+2| ;2х+ 1 147. ни,~ч 148. |2х + 3| 1 * 1 1 х 1 1 149. у = sign cos дг. 150. ^ = x-fsign sin*. 37
151. у =*- sign °°s nx-. 152. у = x1 sign cos nx. 1 + X1 153. у = sign sin nx -f- sign cos nx. 154. у = sign (sin juc-f cos ях). Вычислить: 155. cos (arcsin 1). 156. sin (arccos 0,8)'. 157. sin ^2 arccosу 158. tg ^arcsin 159. cos ^arcsin-g—arccos-—-^. 160. sin^arctg 161. sin ^arcsin + arcsin -i-j. 162. tg ^2arctg ^ 2”))’ 163. arcsin (sin 11). 164. arccos (cos 7). 165. arcsin (cos 8). 166. arctg(tg25). 167. arctg (ctg 4). 168. arcctg (ctg 17). Доказать, что: 4 3 4 3 169. arcsin — — arccos — = arctg — = arcctg—. (9 \ 40 1 = л— arcsin . 41 / 41 171. arcsin ( = —arctg \ 25 ) 6 24 172. 2arctg —-barctg -Z- = JL b 4 Б 23 4 173. я—arcsin 0,9 = 2 arctg 4. 174. arctg — + arctg—= — . 3 5 4 175. cos(2arccosx) = 2xa—1, |x|<l. 176. sin(3arcsinx) =3x—4x3, |x|^l. 177. arccos-y^^== 21arctgx|, |x|<oo. 178. ctg (arctgx) = —, 0<|x|<oo. 38
Построить эскизы графиков следующих обратных тригономет¬ рических функций: 181. г/= arcsin (2jc + 1). 182. у = arccos (3x—2). 183. */ = arctg (2—Зх). 184. y = arcctg (1 — 2*). 185. /1 — 5jc\ у= arcsin /—-—J. 186. /1 +3*\ у = arccos ^ ^ j 187. ( 1 — 1*1 \ л 1 О ГЛЛЛГ 1 1 1 1 188. • /2 + 3|x| И — аГ1ЛЛ» 1 1 # \ 2 / Ц —-altolll I l 4 189. и — arctr ( ‘+1*М 190. i/—arcctc / 3 у—arctg ^ ■ J. У — d* CClg 1 ■ 191. £/= arcsin —-—. * * + 2 192. 2 у = arccos . * x —3 193. е/= arctg —. 194. у = arcctg —. * 195. . х + 2 У = arctg — 196. у=arcctg .*.~LL * W-2 197. * 1 1 —*1 у = arctg . е УЗл + 2 198. 1 + * v = arcsin ——. l-x 199. 1 200. l arctg ||*|-1 Г • I1-1*1!* arcs,n| 3 | 201. у = arcsin (sin jc). 202. y — arcsin (cos x). 203. у = arccos (cosjc). 204. у = arccos (sin x). 205. у = arctg (tgx). 206. y = arcctg (tg*). 207. у = arcsin (tg*). 208. t/ = arccos (ctgjt). 209. £/= sin arcsin 2x. 210. у = cos ^arccos —j 211. у = sin (arctg *). 212. у = sin (arcctg jt). 213. y = tg (arcsin x). 214. y = ctg (arctg *).
215. f/ = tg(arccosjc). 217. */ = arccossin х3. 219. r/ = cosarcsin—. X 221. f/— arcsin-*-—-1-. x* -f l 223. i/ = arcctg l +l X*-f 1 216. 9 218. у 220. ^ 222. у 224. t/ = ctg (arcsin x). = arcsincos Y x. =arctg (tg (2л:-h 1)). =arctg = arctg л:а — I X2 — 4 2 *-H 2'— 1* 225. у = arcsin + (*+•)* 226. у = arccos 227. у = arctg - -4x (x—i)* (x+l) x3 + 4jc3 -f 4jc jc«—9 228. i/ = arcctg ——ffirh2*1.. b(*-2)4*+l)e 229. y = arctg^-‘)(jt + 4)l<l. (**+ 1) (дс-3)‘ 230. y = arcctg 231. у = arctg (JC_4)* (x-h 1)» Xs — x <x -f- 2)*(x— 10) ’ 232. y = arcctgii±..1),.(J:-?-)-- (*-3)>(**+l) Построить эскизы графиков следующих функций: = У21о*'х. __ 2 |1о*,ж| =sinjc—}^3 cos х. 233. у = (Идг)2—|дс|. 235. у = logj/2 (х 1)*. 237. у sin a: cos jc * 2 239. у = У I —sinax. 241. у = sinajt + cosa х. 243. у = 2l0‘‘“n* 245. 4г=*1ов*(д,_,). 234. у 236. у 238. у 240. у 242. 1/ 244. у 246. у = tgx*ctg х. =sina х—cosaJc. = COSJt-hl/cOSa*. 40
247. у - 249. у - 251. у- 253. у - 255. у 257. у 259. у 261. у 263. у 265. у 267. у 269. у 271. у 273. 275. 277. 279. 281. 283. 285. = sinx—|/sinaJt. = —!— + Ctg I дс I. ‘g* = (Ksin3x)M. tg* / l+tg*x • _ 1 -1- I cos x\ sin | x| = |*a—x*\ +4. = Ухг(х— \)*(x—2). = у/х* (2 +*)4 (1 — дс). — \r2x2 (дс— 3)’ (xa— 2л:)4. _ |х~з|-Чх+П |x+3| + |*-l| = | >Лк*—дс|+ I. I* + 2| (х — 1 )а х» + 1 (г1— 1) (х— 2) г = 1 = (|х|-1)«(х-4) I х1 — 4 |х| + 3 I logj (х — 3) — 1 f = logi/2|**— JC|. / = lQga 1*1 *+2 l* + 2|* 2 — x j = 2,slnJt,+,cos*1 Sr = log»r-^7. 1 — JC* 248. y = 250. y = 252. y = 254. y = 256. y = 258. y = 260. y = 262. i/ = 264. y = 266. y = X — 1 X X + Г X sin4 x—cos4 x. (Ycosx)19. 1 Y1 + tg*x * \x*—x* + 2\. (\x\+l)(x-3)*. у X 3—3 va. l |1 — |x| —2| 12|x— 11 — 31 Ix— 1 i+ 2 11*— H— 21 268. if- 270. y~- 272. у: 274. у 276. у 11*1 — 11 — 2 tyx2 + x—2\. (s»-l) (x + 4)\x\ (* + 2) (*-3) 1 12* — 11 1 sin x + cos x 1 /l-2|x|-l = log1/Jtsin2*. Зядс — n 278. у 280. у = log t/у cos □ *>*• »-(тЙ |i-ax| 284. y = 2ix+* . 286. y = Iogt|l — 2“*|. 41
287. у = cos3 ^ 2х + —j. =г(“) 288. у — sin* ^ 5л: 289. у 291. у 293. у 295. у 296. у = S1F1—. X 290. у- 292. у — cos - = X* — (1 — х)*. х 4-1 х 294. N П-*| 297. i/ = 299. у = 301. у - 303. у = 305. у~- 307. у = Ха -J- X , х2 — X И |1-*1 и'1”1- ха — 1 |1 + *| 298. = 3s,n4 x+cos" sln*x—cos'* = Х + Sinx. :x + 2*. = xa sinx. ex sin ях. 309. 1/ = е-*,8т2ях. 311. ^ = (x2— l)cosJ 313. */= arctg Igx. 315. # = arcctg lg 317. y = 319. y = 321. у 42 =arccos * + 1 X— 1 2x— 4 xt — 4л + 5 1 +■ 1 300. у 302. у 304. у 306. у - 308. у-- 310. у- 312. у = 314. у 316. у 318. у Х*—\ = 2*—. = х—sinx. — (т)‘- -xsin х. = €ГХ COS ЯХ. COS лх sin* х cos* х 1 1 + 1 320. 1) Sill— . X = arccos . lg* i x* — 8 = arctg——. x* — 9 _1 cosx x» — 1 у — arcctg X® — 1 x x — 1 x-f 2
322. у 323. у 325. у 327. у 329. у 331. у 333. у 335._у= 337. у 339. (, 341. , 343. i 345. I 347. I 349. 1 351. I 21—1 — 1 х + 2 X—) 2*+' — 1 = ,(2-sinX). 1 = *arcsin— X W х' — 1— V\X* — 4| ,= Ух2 + 2x-j-1. ' = V^ (x—l)4—x. =V? + - 1 y—i * + 2 .. Ух. X— 1 f =1^ 1—*2COS—• !/ = V'W+ty* (*— !)• 1 324. y = (sin 7) cos(2|x|—1) 326. y - 328. y . (т Г-' ззо. y = — У72 + х. 332. (/ = 334. у . 336. «/ 338. у 340. у 342. у ■-х+ у (х— 1)*. -У7*~ 1 = ^ + - х — 2 |дс + 3| К х« —4 3/ У~Х 1 /(*-!)* • / = |/ ** -*3 + v=W- 344* y = V{x- 2)а + 6*-10. г дс 4" 2 /=’/(*_1)*_’/(дГ+1)». 346. y = ^+^(l+*)«. 348. у - У* + 1 У~*-\ X I sin ЖI 2*»— 1 У ~ /1 ха — 41 360. у: /дг* + 1 1 jk* — Ъх — 4 [, = Ух24-*4- 1 — Ух2—х+ 1. 43
352. V*4*+ 04*-2) — 7л; -1- 12 353. г/ = arctg— . 354. у = log, (л: 4 Ух2—4*). 2 * — 1 . у=аresin — ]/~х* "-|- 355 356. у = J/л: arctg -J—3-LiiL.. 2х — 1 357. y = e-ioo(i-x). + e-ioo(i+x)\ 358. у = \f~-Z— 4 l’/^±1. у ж 4- 1 К х— I 359. 1/ = (дг— 1) 1^(jc + I)3(2—ж) • (*/ж+/Т7| +1). 360. »= L^l-.^. + З) * х—5 361. ^ = (V"9—х2—х—3)ех х(х—1). 362. ы = х —2 X 363. у = 2~(\х\ — 2— ||х| — 2|). X 364. (/=2^[sgn(4—**)4 1]. 365. y = xV\x* —1|—'Ух*+ 1 +1. 366. у = arcsin (х Ух2—1—V\х*—2|). Построить эскизы графиков следующих кривых, заданных па¬ раметрически: 367. x(t)=—ly(t) = - '* t*-\ 1 4 /2 t% 368. JC (0 = , y(t)=— w 1 41* ■ * w 1 41* 369. * (0 = —, у (/) = —— w <s + l l -f <* /3 + 4- f 370. *(0 = *2. у (0 = /42 44
372. x(t 373. jc (/ 374. л: (t 375. x(t 370. x (t 377. x(t 378. x(t 379. дг (/ 380. x(t 381. x(t /) = -*- 4 p _ i) * w / + ! / I —t'1 t* t) ■. *(0 = / (1 — 4/2) I — /* f2 + 1 t2 — 1 /+2 = arcsin (sin t)f у (/) =arccos (cos/). = arctg/, y(t)=t3—t. = (In/)sin/, у (t) = cos t. = e*sin/, y(t) =e*cost. = sin2/, y(t) =sin4/. = sin4/, у (t) —cost. = cos4/t ^(/) = cos3/. Построить эскизы графиков кривых, заданных в полярной си¬ стеме координат уравнениями: 382. г = 2ф. 385. r = sin ф. 388. г=соз5ф. 391. г = 2. 383. г = —. Ф 386. r = cos<p. 389. г ——-— cosq> 392. q> = л/3. 384. г = е5<». 387. r = cos2<p. 390. г =—- . sin ф 393. г = 1 394. г2 — а2 соб2ф. 395. r = sin3—. 3 cos® ф -4- sin3 ф 396. г = 1 + 2созф. Преобразовать к полярным координатам уравнение линии (си¬ стемы совмещены): 399. *2+(/а = 5. 402. х = 3. 397. х2 + у2=х. 398. х2 + у2 = у. 400. у— 2х. 401. у = 4. 403. х + у = 2. 404. (х2 + у2)2 = ху. 405. (х* + у2)2 =хш— у*. 406. jc4 -f уА = х2 -f (/а. 407. х2 + у2 = (х2—у2)2. 408. ху2 4- ух2 = (лса -f у2)2. Преобразовать к декартовым координатам уравнение линии (■системы совмещены): 409. гсо5ф = 3. 410. rasin2<p = 2. 411. rsinq> = 2. 45
412. г--^2 cos ф. 413. r= 1 + cos q>. 414. r = cos2q>. 415. r = V2- 416. <p=—. 417. r = - 4 cos ф + sin ф Нарисовать эскизы графиков следующих кривых: 418. \у\=х— 1. 419. \у\=\—\х\. 420. |х|4-М=1- 421. [*] + [у] = 1. 422. \х + у | = — х + \у \. 423. | |лг| — |г/| | =1.] 424. ||*|+ ||^|-3|-3| =1. 425. \у\ =¥Л(]х\-х). 426. |у + |t/| | = 11*| —х\. 427. хг уг —х + 2. 428. ха4-*/а=х4-*Л 429. ——\-ч2 ^ 1. 4 430. ——Уг = 1 • 431. х3 + у3 =\. 432. х4+(/4 = 1. 433. Vx + Vy = Va. 434. У7*+У1/*=1/сР. 435. у2— х—х3. 436. х = у—у3. 437. ха = у—у3. 438. у2=х + х*—2х2. 439. х2у2 + у = 1. 440. х4—у*—х2—2 у2. 441. у3—х2ухъ — 0. 442. х6 41/5 =ху2. 443. х2 = у* 4- у*- 444. 2ху2— Зха 4- у4 =0. 445. х2—ху f r/a = 1. 446. 4г/а — 4x2i/ + хв. 447. х34*/3 — Зх2. 448. */3—2#2х—х2~0. 449. х4 I/4 х8 4 г/8. 450. z/6 4 х* = ху2. 451. шах{(144—25ха—9у2—54у), (min(у, 25—-by—х2))}=0. 452. (ха + (/2— 25)(16ха + //а— 4)(ха + 16</2— 96^4-140) X X (4ха — 16xsignx + 4у2—16# + 31) = 0. 453. {(42-38signAr)y + x^3/Ч-1)} X X {9УЬу—х(х— 1) Vх + 2} - {4ха 4 16(/а -f 56х—64i/4- 4- 259} = 0. 46
454. {(4у + *J)J + sign (л:* + 2дг) + 1} • {(a* + у8)5/2— —4x (x2—y2)} = 0. 455. {x2—si gn (3y— y2) + 1 > • {(л* + у2)*'2 — 2 (| у | + у) (х* - у2)) X X {(•*1 + </а— 2у + 1)5'2— 2(|у—1| +у— 1) (х*— у* + 2у— 1)} х X {(х2 + у2—6«/ + 9)а—2\ху— 3*|) =0. 456. {х2 +1 - sign (6+5у-у2)} {х2+(у - 6)2} х X {(у— 5)* + (х— 2sign*)*— 1} х X {(у—6)а + (*—sign*)»—2sign (у—6)+ 1} X х {(дс2+у2)2 -16у | х 1} • {min [ (4дс2 -16-у), (9у+18 - — 15дса—2|)]} = 0. 457. {min [(х* + у2-2х), (х* + 16у*-1), у]} х X {8у + хУ\х+ 11 (2 +- х— л:1)}- {2х* + 2у*—2х—2у + 1} =0. 458. |27у— д:* (лг-Ь 2)* (2—х) (V9^x2 х X [шах [(^/-KFTзг/^2(e-,00<x+,,, + 6e-,00(*-2,,)), sign (х— 2) + j j • {9jc3 + 48* f 9у2 + 64} = 0. 459. (max{(2—|x|—2|2у—x+3|), (min[(jt* + j/*—4лг), (3jc*— «/* + 9— 4дсУ 9— «/*), (12у2-х2 + Зле+4- 8 д/4 + Зле-лс2) х X (16x»—32л:+16</2—32у + 31) = 0. 460. [(jc + 4)а + 1 — sign (1 — */»)] • [(дс + 3)» + у2 + + 2 sign (лс + 3) + 1] [(2л: + 3)* + «/*— 1] X X [(*а—х)2— sign (1 — у2) + 1] • [у2 + sign (ж*—л:) + 11 X X £(дг— 3)а + у* + 2 sign (дс— 3) + 1 ] • [(*—2)* + (у— 1)* + + sign (2— л:) + sign (у— 1) + 1] • [(**—9л: + 20)*— — sign(1 — </*) + 1] • |у + |дс—4[ + \х—5|)*— (,_4)(-2L_,)j + i]=0. — sign 47
Глава 11 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ § 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Пусть а — точка расширенной числовой прямой, т. е. число или один из символов + оо, —оо, оо. Обозначим через U(а) окрестность точки а и через 0(a) — проколотую окрестность: U (a) =U (а)\{а). Пусть функция f(x) определена на множестве Е, для которого точка а есть предельная точка (точка сгущения). Определение. Число А называется пределом функции f (х) при х-+а (обозначение: Л = Пт/(х)), если для любого положи- х-*а тельного числа e(Ve>0) существует окрестность U(а) точки а ('Л (У (а)) такая, что для любого х из проколотой окрестности, принадлежащего E(Vx^U (а)(]Е), выполнено неравенство \{(х)-А\<г (Ve > О ЗВД : Yx^U(a){]E\f (х)-Л| < е). В таком случае иногда говорят: функция f(x) при х-+а имеет предел, равный А (f(x) стремится к А при х-+а). Если а — собственная точка числовой прямой (т. е. число), то окрестностью U(а) является интервал с центрам в точке а. Тогда определение предела записывается в таком виде: Л = Пт/(х), х-+а если для любого положительного числа e(Ve>0) существует та¬ кое положительное число 6(36 = 6(е)), что для любого x(Vx) та¬ кого, что 0< | jc — а| <6, х€е£, выполнено неравенство | j(х) — Проколотой окрестностью несобственной точки ( + °°) яв¬ ляется любой луч х>«; проколотой окрестностью несобственной точки (—оо)—любой луч х<а; проколотой окрестностью несоб* ственнои точки (оо)—объединение двух лучей: {x>a}U{*<—a}- Тогда определение предела записывается (с использованием сим¬ волов) в таком виде: lim / (лг) = Л ( lim f(x) = A; \imf(x)=A), X~¥ — oo X-*ao если Ve >0 3C = С(e) > 0: Vx, * > С, xe=E(x< — C, *<=£; |jc| >C, дгеЯ) \f(x)-A\ < e. Внимание! В определении lim/(*)=/! нет никаких условий х-*а на значение f(a)\ более того, нет даже требования, чтобы функ¬ ция f(x) была определена в точке а. Поэтому ни неопределен¬ ность в точке а, ни значение /(а), если ае£, не влияют на су¬ ществование и величину lim/(x). x-*-a 48
Пример: Пусть /(*) = ( *’ Хф5, (О. х = 5. Так как разность /(х) — 1=0 для всех значений jc, кроме jc=5 (т. е. в любой окрестности #(5)), то из определения предела сле¬ дует, что lim/(jc) = l. В частности, если две функции f(x) и g(x) совпадают в неко¬ торой проколотой окрестности точ^и а, то либо обе они не имеют предела при х-+ау либо lim / (х) = lim g (х). х-+а х-м Пусть а — собственная точка числовой прямой. Если в опреде¬ лении предела функции /(jc) заменить множество Е на множест¬ во £+ = £П{*>а}(£_=£П{*<а}), т0 получим определение односто¬ ронних пределов в точке lim / (х) (lim / (*)). В терминах х-+а— окрестностей это значит, что берется правая (левая) полуокрест¬ ность точки а, т. е. интервал вида (а, а + 6), 6>0, ((а — 6, а), 6>0); в терминах неравенств это значит, что рассматриваются значения х, удовлетворяющие неравенству 0<х — а<6, 6>0 (0<а — jc<6, 6>0). Для простоты изложения в дальнейшем считаем, что f(jc) определена всюду в некоторой, быть может проколотой, окрестно¬ сти точки а, тем более что при вычислении пределов имеет место именно это. Пример 2. Покажем, что lim sin jc= 1. Х-+Я/2 Решение. Оценим разность |1 — sin jc | (см. определение). Имеем 1 — sinjc = 2cos(ji/4 + Jc/2)sin(jx/4— х/2). Так как для лю¬ бого jc: | cos (jt/44-jc/2) | с 1 и | sin (jx/4—jc/2) | -с | л/4—jc/2 |, то 11— — sin.v|^|n/2 — х\. Следовательно, если б = е, то из неравенства 0<|х — я/2|<6 следует неравенство |1 — sin jc| <е. Таким обра¬ зом, для Ve>0 36 = 8, Ух: 0<\х — п/2 | <6 = > 11 — sin jc| <е, т. е. lim sinjc= 1. х-*п{2 Следует обратить внимание на то, что мы не решаем неравен¬ ства |1 — sinjc|<e, т. е. не находим множества всех тех и только тех значений jc, для которых оно верно. Нас интересует только определение такой окрестности точки а=я/2, в которой это нера¬ венство выполняется. Выполняется оно вне этой окрестности или нет, нас не интересует. В такой ситуации бывает удобно заранее выделить некоторую окрестность точки а, в которой и проводить дальнейшие оценки. Необходимо только следить за тем, чтобы окрестность, найденная в результате этих оценок, не оказалась больше, чем выделенная заранее. Пример 3. Покажем, что limjc*=9. х—ф—3 Решение. Необходимо оценить разность \х2 — 9|. Имеем \х2 — 9| = |х — 3|-|jc + 3|. Так как на всей числовой прямой мно¬ 49
житель \х — 3| не ограничен, то оценку произведения сделать проще, если выделить некоторую, например, 1-окрестность точки а — —3 — интервал (—4, —2). Для всех х^ (—4, —2) имеем \х — —31 <7, следовательно, |*2—9|<7|*4-3|. Так как 6-окрестность точки а-—3: (—3 — 6, —3 + 6) не должна выходить за пределы 1-окрестности, то берем 6 = min(l, е/7), и из предыдущих оценок видно, что из неравенства 0<|* + 3|<6 следует неравенство \х2—9|<е. Таким образом, lim*2 = 9. х—►—3 Пример 4. Покажем, что lim —- — — 0. r r X- +-оо х* — ЮОх -f- 3000 Решение. Так же, как в предыдущем примере, выделим удобную для дальнейших оценок окрестность точки 4-оо (луч jc>а): именно л^ч *>200. Для *>200 имеем *2—100* 4 3000 > > *(*— 100) > -у-, следовательно, 1х sin х I х 2 ха — 100x-f3000 I ~ x ' 2 Таким образом, если a = max{200, 2/e}, то из неравенства *>а следует Ixsinx I . х sin х л < е, т. е. пт —0. х2 — ЮОх 3000 | ж-н-оо ха —100x4-3000 Пример 5. Покажем, что функция /(*) =sin(l/*) не имеет предела при *->0. Решение. Запишем с использованием символов утверждение «число А не является пределом функции /(*) при *->а (а — соб¬ ственная точка числовой прямой)»: Зе0 >0 : V6 > 0 Э*в = *(6): 0 < |*в— а\ <6, *йе£, 1/(*а)-Л|>е0. Если i4 = 0, то возьмем £0= 1/2 и хк= 1/(2яА:4-я/2), тогда V£>0 3ке eN:0<xk<6 и |/(x*)-0| = |/(jc0|=1>£o, таким образом, нуль не есть предел /(jc) = sin(l/*) при *-»0. Если же Л^0, то возьмем е0 = |Л|/2 и хк=\/2пк. Тогда V5>0 Н keN:0<xk<6 и \f(xk)-A\ = = | А | > е0, таким образом, и любое отличное от нуля число не есть предел функции /(*) = sin(l/x) при *-*0. Из приведенных примеров видно, что, пользуясь определением предела, мы проверяем, является ли данное число пределом дан¬ ной функции или нет, но не имеем конструктивного метода вы¬ числения предела данной функции. Непосредственно из определения предела можно получить утверждения: если у(х) есть постоянная функция, т. е. y(x)^=Ct то limу(х)—~С; если */(*)==* и а — собственная точка числовой х-ш 50
прямой, то Пт//(дг) — \\тпх = а. Несмотря на тривиальность этих х~*а х-*а равенств, они являются отправными точками для вычисления пре¬ делов. Основные утверждения, используемые для вычисления пре* делов. Если существуют lim (х) и lim то х-*а х-*-а a) 1 im (ft (х) + /, (х)) = 1 im /х (*) +1 im /, (x); x-*-a x-+q x-*a b) lim (fx (x) • /, (*)) = lim ft (x) • lim /, (*); x-*a x-*a x~.a lim fx (x) с) если lim/a (jc) Ф 0, to lim —= -r^ ; х-*а х~*а /2 (*) 1*ГП /2 (*) x-*a d) если в некоторой проколотой окрестности точки х = а имеем /1 (x)<g (*)</»(*) и lim/, (x) = lim/, (x)=A, то limg(x) = Л x-*a x-*-a x-*a (принцип двустороннего ограничения). Пример 6. Найдем lim (<а^ + а1*л“| + ... + an-ix + а„) (а— x-t-a собственная точка числовой прямой). Решение. Пользуясь утверждениями о пределе суммы и про¬ изведения, получаем, что lim (ссо*" + с^х"-1 + ... + а„-\х + оп) = а„а" + о^а"-1 + х-*а + аЛ_\d -J- т. е. предел многочлена при х, стремящемся к числу а, существует и равен значению этого многочлена в точке а. В дальнейшем постоянно пользуемся тем, что для любой ос¬ новной элементарной функции f(x) и точки а из ее области опре¬ деления справедливо соотношение lim /(*) = /(а). х-+а Определение. Если функция f{х) определена всюду в не¬ которой окрестности точки а (правой полуокрестности, левой по¬ луокрестности) .и lim f(x)=f(a) (lim / (х) —f(a)f lim f (x) = /(a)), x~*a x-+a~\~ x-*a— то функция f(x) называется непрерывной в точке а (непрерывной справа, непрерывной слева). Пользуясь этим определением, можно предыдущее замечание сформулировать так: каждая основная элементарная функция не¬ прерывна в каждой внутренней точке своей области определения и непрерывна справа (слева) в крайней левой (крайней правой) точке области определения. При вычислении пределов постоянно применяется теорема о пределе композиции: 51
если функция /(jc) непрерывна в точке х — а и существует lim x(t)=a9 то верно утверждение <~>и \imf(x(t))=f(\\mx{t))=f(a). t-+l, Пример 7. Найдем lim In(1 + V1 + sin2 (jc/2)). Х-4Я Решение. Напишем цепочку соотношений yl=x/2, yt=--sinylt у,=у\, yt = l+y», = У.= 1+г/б. Уп ~ 1° У*- Применяя последовательно теорему о пределе композиции, по¬ лучим Игл ух(х)= 2л; lim у2(х) — lim s\nyl= 0; х-*4л х-+4п у,-# 2л lim у3{х) — lim i/|--0; lim у4(х) = Х-НЯ уг-+ О Х-*4Л = lim (1 +у3) = 1; limj/j (л:) — lim }ГуА — 1, ^,-►0 Х-*4Д 1/4-И lim yt(x) = lim(1 +уъ)=2, х-Нл уь+\ lim In (1 + У~\ + sin2 (*/2)) = lim у7 (jc) = lim Iny% = In 2. Х-*-4л Х-*4Л У%-*'± Заметим, что условие непрерывности функции / в точке х — а в теореме о пределе композиции нельзя заменить на условие су¬ ществования предела функции / при *->а. Дело в том, что если Umf (х) =А, limx(i) -^a и Iim/(*(/)) существует, то верно ра- X-MI t-*tt t-*t9 венство lim f(x(t)) = lim/ (л) =A, но существование предела Мо х-*а f{x(t)) не вытекает из существования пределов функций f(х) и *(0. Пример 8. Пусть (i \ • a f 1 *(0 - t, xG(l/2k, 1/(2^— 1)), fee2, k=£Q\ — t, jce (l/(2fc+1), \/2k), kz=Z, k=£Q\ 0, x — \/k, kt=Z, кф 0. Пусть e>0—произвольное число и 6 = е. Так как |*(01^М1» то из неравенства 0< | ^| <б следует неравенство |jc(/)|<e, т. е. limx(/) = 0. Так как для любого jc=^=0 имеем f(x) — 1=0, то м lim / (jc) = 1. л-+0 52
Рассмотрим /(*(/))• Для любого 6>0 в интервалах (—б, 0) и {О, 6) найдется бесконечно много равных \/kt /г#0, для которых х(0=0 и, следовательно, f(jt(/))=0. С другой стороны, при всех значениях tr отличных от нуля, и чисел вида 1/fc, кФ0, имеем х(1)ф0, следовательно, f(x(t) ) = I. Таким образом, в любой проколотой окрестности точки /=0 функция f(x(t)) принимает как значение 1, так и значение 0. От¬ сюда следует, что f(x(t)) не имеет предела при 0. Пример 9. Найдем lim х2 sin (\/х). х-+0 Решение. Пользуясь неравенством —х2^х2 sin (l/x)<x2 и принципом двустороннего ограничения, получаем, что lim jc® sin (1/jc) ^0. X-*-0 X3- 1 Пример 10. Найдем lim .-l х2 — 4х 4 3 Решение. Пользуясь результатом первого примера и утвер¬ ждением о пределе отношения, получаем, что з . Игл (х3 —1) Пт — !— = — = —! = —. *—1 хг — 4x+3 lim (хг — 4х + 3) 1+4+3 4 Х—+— 1 Определение. Функция f(x) при х-+а называется бесконеч¬ но большой, если для любого положительного числа С существует окрестность U (а) такая, что |/(х)|>С для любых х^О(а)(]Е (Е—множество определения функции /(*))• Заменяя в этом определении неравенство \f(x)\>C на f(x)> >C(f(x)<—C), получаем определение положительной бесконеч¬ но большой (отрицательной бесконечно большой) функции. Сравнивая определение бесконечно большой функции с опре¬ делением функции, имеющей предел, видим большую общность: если в первом определении требуется, чтобы все значения функ¬ ции в некоторой проколотой окрестности точки а оси ОХ попада¬ ли в заданную окрестность несобственной точки оси OY, во вто¬ ром определении требуется, чтобы все значения функции в неко¬ торой проколотой окрестности точки а оси ОХ попадали в задан¬ ную окрестность собственной точки А оси OY. Коротко утверждение, что функция f(x) при х-+а является бесконечно большой (положительной бесконечно большой, отри¬ цательной бесконечно большой) записывается так: lim/ (jc) = оо (lim f(x)= -f оо, lim/(jt) —— oo). x-+a x-*a x-*-a Основные соотношения для бесконечно больших функций: е) если ПтДдг)=0, f(x)=£ 0, то lim —-— = оо, х->-а х-*а f (X) обратно, если limf(x) = oot то liml//(jt)=0; х-*а x-+q 53
f) если lim /х (дг) = оо и lim f2 (х) =А, то lim (Д (д:) + (*)) = оо; х-+а х-*-а х-*а g) если \imfl(x) = + оо и lim/,(дг) = + оо, то lim(/ (.r) + х-*й х~*-а х—* а + f-i (*)) ^ + °°; h) если lim^ (а)---оо и Пт/г (д:) =А ^0, то lim (/ (x)ft(x)) = oo. х -а х->а х-+а Из соотношений a) — h) следует, что если I i гп Д (х) = А Ф 0> х~*а 12{х)ф 0, lim/2(x)=0, то lim (*)//а (х) = оо; если же lim / (х) =А, х-+а х-*-а х-+а lim/e(*) = oo, то lim/j (x)jf2(x) -0. x-+q х-+а Пример 11. Найдем lim —п+ 4х + 2) ж—*-0 1п (х10 -f- х3 + х2) Решение. Пользуясь соотношением е) и утверждением о пределе произведения, получим In (хг -I- Ах 2) .. | , « * lim — Jim In (х2 -f- 4x 4- 2) x «-♦о 1п(х,04-**4 xl) x-*-o X lim ! — In2 • 0=0. jc--o 1п(х104 x* j x2) Пример 12. Найдем lim — X—+ —ao 2X Решение. Рассмотрим обратную величину -^- = 2r —. Приме- X X няя соотношение е) и утверждение о пределе произведения, получаем lim f2х • — | — lim 2х • lim — =0, Х-+—00 \ X J х-* — оо X—*-—оо X откуда, применив еще раз соотношение е), следует, что lim х/2х = —- оо. Пример 13. Найдем lim (У 4х24х + х). оо Решение. Из соотношения g) следует, что lim (V 4х2 -t- 4х -f х) = 4- оо. Х-*.-|-оо Пример 14. Найдем lim (х 4- cos х). X—* ОС Решение. Так как 0 ^ | (cos *)/.* | ^ 1/|х |, то применяя соот¬ ношение е) и принцип двустороннего ограничения, получаем, что lim | (cos jc)/jc | = 0, т. е. lim (cos jc)/jc=0, следовательно, в силу утвер- х-*оь х-*ос ждения о пределе суммы lim (1 4- (cos x)jx) = 1, применяя соотноше¬ ние h), получаем что х~*л lim (jc4-cos*) = lim л:(1 + (cosx)/x) = оо. x -■* 00 X *30 Рассмотрим теперь, как находится предел степенно-показа¬ тельной функции [и (х ) ]и(х) (и (х) >0). 54
Пользуясь непрерывностью показательной функции, получаем . Urn [р(х) In ц(х)) lim и (*)“<*> = lim “<*> = ем x—*~q х-*а Таким образом, нахождение предела степенно-показательной функции сводится к нахождению lim [и (х) In и (х)]. х-*-а Рассмотрим подробнее отдельные случаи (I—III). I. Если limu(x)=i4, limlnu(x)=B, то limи(х)=ев, так как х-+а х-*а х-+4 lim In и(х) lim и (х) = lim eln и(х) = ех~ыг = ев ж-#а х-#а и 11т (<Кх) In и(х)] lim v(x) е=еА ° — (ев)А = [Пт и (*)]X~WI х-+а Другими словами, если limu(x)=u, u>0 и lim&(x)=0, то х—а х-+а lim и (х)0(ж> = uv. ж-+а II. Если lim (о(х) 1пм(х)] = + оо, то и еИ*)1ам(ЛГ,] —f оо, ес- х-*-о х~*а * ли lim [и (х) In и (х)1 = — оо, то о. Х—¥ Q Отсюда видно, что если lim [и (х) In и (х)] = оо и произведение х-+а i;(x)lnu(x) не сохраняет знак ни в какой проколотой окрестности точки а, то функция и (х)°<ж) = 1п “(*) не имеет предела при х-*а. Пример 15. Найдем lim (—-—\с1вяж> х-+\ \ *» + 1 ) Решение. Так как ж1 1 lim In In—, a limctg лх = оо #-.1 хм-1 2 x-+l то ..Г. х» . оо. lim [ in—-— • ctg ях L *+1 При 1 < jk< 1 имеем, что In ■.** . ctg JVC > 0, X% + 1 3 при 1 <x< - имеем In —-— • ctg nx < 0, *•+1 b 55
таким образом, бесконечно большая функция 1 С^ЯЛ: в любой проколотой окрестности точки а=1 принимает значения разных знаков. Поэтому функция ’ г* ' ctg ях лх In х \ к _ е X» -f 1 1 / не имеет предела при х-П и не является бесконечно большой при х-+\. (В то же время / X2 \ ctg ях / х2 \ ctg ях \ ml ——1 =+<»• limf——] =0. х^+\х*+\) ж^х-\#+\) / ях \ *Ч-з Пример 16. Найдем lim (sin х-1 \ 4 / Решение. Так как lim sin lim (*а 4-3) =4, х-+\ 4 Y 2 х—► 1 то й(-^Г=(тг)‘=Т' (X 4- 1 \ ctg* лх — I х + 3 ) Решение. Так как lim 1- = —t limctg2 лх = + оо, х-9-1 х -J- 3 2 х—► 1 то lim ctg2 тех In -* 1 = — оо Х-1 *43 следовательно, ( X + 1 \ctg«nx lim ——— I =0. \ х + з / tg — Пример 18. Найдем lim (sinajt) 2 . х-> я+ Решение. Так как lim In sin2 х =— оо, lim tg — = — оо, Х-*-Л+ Х-*-Я-|- 2 TO tg — lim (lnsin**) • tg— = + oo, lim (sin*x) 2 = + oo. Х-*Л-г 2 X-+ Л+ 56
III. Пусть в произведении v(x)\nu(x) предел одного из сомно¬ жителей при х-+а равен нулю, а второй сомножитель является бесконечно большой функцией. Такое положение возможно в трех случаях: а) limu(jc) =0, limu(jc)=+oo (символически оо°), х-+а x-wI б) limu(*)=0, limu(*) = 0 (символически 0°), х-*-а х-*а в) Пти(дг) = оо, lim и (лг) «= 1 (символически 1®). х~*-а x-+q Непосредственное применение теорем о свойствах пределов и бесконечно больших функций не дает возможности вычислить та- / (*) кие пределы. Так же обстоит дело с вычислением lim когда x-fl g(x) lim f (x) = lim g (x) = 0. Этот предел нельзя найти, пользуясь х-*а х-+а теоремой о пределе отношения, так как предел знаменателя ра¬ вен нулю, нельзя использовать и соотношения е)—h), так как предел числителя равен нулю. В этом случае говорят, что имеется 0 неопределенность —. Аналогично вводятся символические обозначения неопределен¬ ностей 0- оо, оо—оо. оо В тех случаях, когда имеет место неопределенность, для вычи¬ сления предела — «раскрытия неопределенности» — преобразовы¬ вают выражение так, чтобы получить возможность его вычислить. Для таких преобразований используются или тождественные (в проколотой окрестности точки а) соотношения, либо сравнение поведения функций при стремлении аргумента к предельной точке. Пример 19. Найдем lim 1 (неопределенность ти¬ х-i Xе — 4х -f з \ па т)- Решение. В проколотой окрестности точки 1 функции х3 — 1 X* + X + 1 и ' — тождественно равны, значит, имеют X»—4x4-3 х —3 1 i-г 1 • х* -f х 4-1 при один и тот же предел. Предел пт — вычис- х-* 1 х — 3 ляется с использованием утверждения о пределе частного и пре¬ деле многочлена. Итак, lim (х* 4- х 4-1) lim = lim .*+* + '— -.l А ж*_4* + 3 х-»-1 х — 3 lim (х— 3) X—1 57
Пример 20. Найдем <^ + ^-1+ ... +«„-,* +ап.. (m>n>h а&фО) fLr"4.e.i"-14- ... 4-в. .1+8. ' ' х-гоо + Pi*””1 + ■ • • + Pm-l* + ft ^неопределенность -~j- •Р» CL(yXn -j- OLiXn~* CLn-lX ~h Решение. --——-- fc*« + P1*m"1+ .. + Pm-i* + Pm 1 1 l *0 • ~^T ■+■•••+ On-1 * + «Л xm Po + Pi * — + ... + Pm-1 • + Pm — следовательно, lim а°хП gft — —=0 (правильная рациональ- x->oo род^-f ... + Pm ft, ная дробь при x oo стремится к нулю). Если в числителе такой дроби стоит многочлен нулевой степе¬ ни, т. е. константа, то стремление дроби к нулю при х-^оо сле¬ дует непосредственно из соотношения е) для бесконечно больших функций. Пример 21. Найдем lim (j/xa-f 4*-f 5 4-х) (неопределенность X-#—оо типа оо — оо). Решение. Если х < 0, то (Кхг + 4х + 5 + х) = . -4*-.+ L=— = \ W т -Г -г ; 5 4 + х — , следовательно, lim {Ухг + Ах+Ь -f х) = = —2. Пример 22. Найдем lim У1 -f cosх • tg — (неопределенность Х-+П+ 2 типа 0 • оо). Зл , X Решение. Если я < *< -у, то У1 + cos л: = у 2 cos2— = — —У2 cos-~, следовательно, lim У 1 ~j~cosх • tg — = lim [ — У 2 cos — tg— \ = —У2 . х->*л+ 2 \ 2 2/ Пример 23. Найдем lim -1п ^ 4x / неопределенность Х-юо In (jC*® -J- X* -f" X) \ OO J типа 58
Решение. Имеем 2 In | х | + In ^ 1 -f j In (x» + 4* + 2) In (x10xs 4-x) / x3-|-x \ 10ln|*|+ln(l + —±— J 2-h ln I In I JC I 10 + Применяя соотношение e) для бесконечно больших функций и со¬ отношение Ь) для вычисления лределов, получаем lim — — = lim In (1 -f 2 Л • lim —l-— =0, X“*oa In | JC | jr-^oo \ X* J x+0 If! \X | lim i ?—L= 0, In I X I откуда, применяя соотношения а) и b) для вычисления пределов, получаем Ит 1п(* + 4* + 2) _ 2 + Q _ i «-►оо In (х10 х9 х) 10 0 5 Пример 24. Найдем lim —(неопределенность типа X * f оо 2х \ оо / Решение. Методом математической индукции доказывается, что для всех натуральных чисел п имеем п<2Л. Пользуясь моно¬ тонностью показательной функции 2х, отсюда получаем, что для х>0 имеем х/2< [х/2] + 1<2[эс/21+1<2ж/^1, где [а]—целая часть а. Следовательно, для х>0 имеем *2/4<2х+2 и 0<х/2х<\6/х. При¬ меняя соотношение е) для бесконечно больших функций, полу¬ чаем, что lim —=0. *-++оо 2х Пример 25. Найдем lim jcx (неопределенность типа 0°). х-»(Н" Решение. Необходимо найти lim х\пх. Положим х = 2~а, *-►0+ тогда условие эквивалентно условию Пользуясь результатом предыдущего примера, получаем, что — aln2
следовательно, lim х In x lim xx =ex-°+ = e°—1. Сравнение поведения функций при х-+а. Определения. 1. f(x)wg{x) при х-+a(f(x) эквивалентна g(x) при х-+а)у если /(*) = a(x)g(x), где а(*)->1 при х-+а. 2. f(x)=0(g(x)) при х-+а, если f(x) = a(x)g(x), где а(х) ограничена в некоторой проколотой окрестности точки х — а. 3. f(x)--=o(g{x)) при л*->а, если f(x) =а(х)-g(x), где а(*)-^0 при х-+а. Замечание. Если g(x) не обращается в нуль в некоторой проколотой окрестности точки х = а, то f {х) f(x)<\>g(x) при х->а, если lim = 1; х ^а Я (*) fix) f(x) = 0(g(x)) при х ->а9 если отношение ограничено в Z (■*) некоторой проколотой окрестности точки х — а; f(x)—o(g(x)) при х-*а, если lim--— =0. х+а g (*) Отметим, что символом 0(1) обозначается ограниченная в не¬ которой проколотой окрестности точки х — а функция, символом о(1) обозначается функция, имеющая нулевой предел при х-+а (бесконечно малая функция при х-+а). Свойства введенных соотношений. (Везде подразумевается, что х-^а.) I. Если f(x)<x>g(x)9 то g(x)<х f(x) (симметричность соотноше¬ ния эквивалентности). 2. Если /(*)оо g (x) и g(x)r\zh(x), то f (х)оо fi(x). 3. Если f(x)ozg(x), то / (а) = 0(g(x)). 4. Если f(x)=o(g(x)), то f(x)=0(g(x)). 5. Если f{x) (vgW, то о (/(*))= о (£(х)). 6. Если постоянная С Ф О, то С • 0(g(дс)) == О(g(х)). C o(g(*)) - о(g(х)). 7. О (О (g (х)) =0 (g (*)), О (о (g (х)) - o(0(g (*))) = о (* (дс)), »(<>(£(*))) =o(g (*)). 8. h(x) 0 (g (x)) =- 0 (A (a) ■ g(x)), h (x) ■ о (g {x)) r.-, o(h(x)g (дс)). 9. 0 (jf (*)) • 0 (g (*)) =0 (г* (дг)), 0 (g M) • о (g (jc))=e (g* (*)), 0(?W) • 0(g(x))--=0(g*(x)). 10. 0 to (*)) + 0 (jr (at)) ---- 0 (g (x)). 0 (g (x)) + о ^ W) = 0 (g (*)). о to M) + oto W)=o(g (a)). II. Если f(x)rvg(x) ii h (.<) c\j s (*), to f (x) • h (x)c^> g (x) ■ s (x). 12. Если lim/(*) —k=£0, to f (x) ^ k. x-+a Из этих свойств следует, что если / (д:) <^>g(x), то f (х) —g(x) = (б М) или / М £ (Л) + о (g (х)). Если функция f (х) представлена в виде такой суммы, то говорят, что g(x) есть главная часть f(x) при х-+а. 60
Пример 26. Рассмотрим соотношение lim а°*П + gl*n 1 ^ 9 * * ап-'х + а" — «-►оо аол'* oti a., ап «о + — 4-"“Г-Н ... 4--f XX9 хп . . л — 1 i m — 11 0Cq i/- 0. x-+oo 0C0 Следовательно, ао*п есть главная часть + a^’1 4- ... +ая_1х + ая (ao^=0) при *-*oo. (Обращаем внимание, что, например, функции у = olqX* -f a^"1 и у = а,^ 4- а^'1 4- а**л‘2 также являются главными частями данной функции при х-*оо.) Пример 27. lim во*п 4- +■•■+ ап-тхт _ х-о a„wn*m = lim -g^m4 а‘жП:т:•-+-5?.-.?- = 1 (ая.т^0, а„Ф0, 1< х—*0 Ctn-m ^ m ^ л), следовательно, an_m*m есть главная часть а0д^ 4 а^"1 4- ... 4- Un-mx'n при х-*0. Справедливы следующие соотношения (два основных предела): sin х , е* — 1 . Iim — 1; lim = 1. *-► 0 х х-0 х В другой записи: sinjcoD*, ех — 1 <^х при дг-*0. Отсюда получаем, что при х-*0: 1 — cosJc = 2sina~- (свойство 11); tgx = ^HLLcvx (свойства 11 и 12); COS X arcsinх csd sin (arcsinx) =x; In (14*)^ eln (1+ж) — 1 =.*. Сведем полученные и аналогичные им соотношения в таблицу (с. 62). Из разобранных примеров следует, что при х-*-4оо 1) а**" 4-«i*"-1 4- ... 4 «л—i* 4 ап = = о(Р»*т + Р1дс,п-|+ ... 4-Рт_,дс + р„) (аоРо^О. т > п)' 2) х = 0(2'). 61
Эквивалентность при х -► О Равенство при х О sin X CO x sin x = x 4 o(x) 1 *a X2 1 — COS X CO 2 cos x = 1 — — 4 0 (x2) tg X со X tgx---x4-o(x) arcsin x oox arcsin x = x 4 о (x) arctg x oo x arctg x = x4o(x) ex — 1 •o x ex = 1 4- x-\-o(x) In (1 4- *) 00 * In (1 4- x) = X 4 o(x) (1 4-x)m— 1 *o mx (\ 4- x)m = 1 4- mx 4 о (x) Пример 28. Справедливы соотношения: 1.m_2±tg5i-cosx = lim х-0 уТТТ 5х4-о(х) - = lim х-0 1 + 5х + о (х) — 1 4- — + о (х«) l-^4-o(*1)-l--f- + o(x) -т+о,,) lim ■ ж-0 54-o(l) 1 1 -т+0(,) -Т - = -25; Цщ ln(g*4-*) —sin3x _ цт 1п (I 4- 2*4- о (*)) —3x4- о (х) __ х~*о arctg 4х х-*о 4х + о(х) -lim + =цт-■ + .(» L; *-►0 4* + о(х) *-.0 4 + о (1) 4 Пт =Пт .а.10=|{т L-^ х-*-0 X3 Х-+-0 Xя х-*-0 Xs — + 0<*) = lim- «-►О х3 2 Для упрощения выкладок полезно заметить, что из соотноше¬ ния fcvg при х-+а следует, что \\т h (х) f (х) = lim h (х) g (х) или х-кх *->а оба эти предела одновременно не существуют, т. е. при вычисле¬ нии предела произведения f(x) g(x) один из сомножителей f(x) или g(x) (или оба) в этом произведении можно заменить эквива¬ лентной функцией. Пользуясь этим свойством, решение предыду¬ щего примера записывается короче: х* X • tgx — sinx .. tg х (1 — cosx) 2 lim — = lim - = li X-+0 x3 lim x-0 62
В этом примере ясно видно, что соотношение f(x)=o(x) при / (*) х ►() определяет только то, что lim — =0, поэтому из соот- х-0 X ношений sin х=х+о(х), tgjc = jc + c>(jc) (jc-й)), следует только, что- !ц х—sin х=о(х), х-+0 (свойства 6 и 10), т. е. lim-^—5*!1£-=о, Х-*-0 х по эти соотношения никак не дают сравнения функции tgx—sinx ( функцией jc3. Для такого сравнения требуется более глубокий анализ. Внимание! Одна из самых распространенных ошибок при вы¬ числении предела некоторого выражения заключается в замене функции, не являющейся множителем всего этого выражения, на эквивалентную функцию (чаще всего такая ошибочная замена делается в отдельном слагаемом алгебраической суммы). Пример 29. Справедливы следующие соотношения: 2—2cos2x — sin2 2* j.^ 1—2 cos 2x -f- cos2 2x x-*0 Xх x-*-Q X4 = lim .<1-cos2jc)1 =iim-^ = 4. x-+0 X4 X-+0 X4 Если же заменить функцию у = 2 — 2cos2jc при х-+0 эквивалент¬ ной функцией 4х2 и функцию £/ = sin2 2jc эквивалентной функцией 4*2 __ ^2 4jc2, то получим lim =0, что не совпадает с ранее полу- х-* 0 х4 ченным верным результатом. Пример 30. Пользуясь тем, что lim —= 0 (см. с. 59) и Х-*-+оо 2х соотношением е) для бесконечно больших функций, получаем, что X 1 2Х* , 2х о*1-* lim -2-ТЛ - lim 1 =0. Х-Н-оо 2Х*^~Х Х-* + оо 2Х Если же в функции у = 2х**х заменить показатель эквивалент¬ ной при х->+оо функцией y = x2t то получим Hm ^±i-=lim fl -Ь ^ Г—)=,. Х-+ОС 2х х-+оо \ 2х 2х ~х 1 что не совпадает с ранее полученным верным результатом. Если ищется предел функции «при х-+а, аф0, то для удобства можно перейти к новому аргументу у== х — а, предел которого ра¬ вен нулю три х-+а. Пример 31. Найдем lim (jc — я/4)tg2jc. х-^я/4 63
Решение. Положим х — я/4 = у, тогда lim (х — 4Л tg2x = lim у • tg (2у + =lim t/(—ctg2«/) = V 4 ; у-.о \ 2 ) „-о 4 = — lim (— cos 2у\ = — lim —-— • lim cos 2// = y-+0 \ ein 2y / y->0 sin 2y y-*o = — (lim • 1 = —. \ V-+Q 2y ) 2 Пример 32. Найдем 3n*“ lim . In (2* — Vx ) Решение. Положим y=x — 1, тогда Зях® cos I - 2 = lim- cos | —■ (1 + 0)“) lim *~x ln(2* — \fT) <'-° In(2y + 2 — ^l.+ у ) ( Зя Зя \ . / Зя \ cos — + — ay + о (у) I sml—ау + о(у) = lim X— = =lim — "-0 In ^2у + 2-1--уУ+ «(»)) I" (l + -y-y+ о(У)) "!S [(-т'ч,+0<!')): (-f »+»<»>)] ”15"“- Пример 33. Найдем tg— lim (sin я* + x) 2 . jr—► l Решение. Вычислим lim In (sin nx + x) j, полагая y = x — 1. Имеем lim [tg-^- In (sin nx + x) — lim in (sin л (у + 1)4- *-=►1 L + j/+l)] = —lim fctg-^-In(l + y— sinny)] = J IM-O L 2 J = —lim Г—(y—sin ity)] = — lim У-* о L лу J y, 0 2 {y — ny + o(y)) __ 2 (я — 1) ny л 64
Следовательно, tg ПХ 2(я—1) lim (sin jxjcH- jc) 2 =e 31 Ж -*-1 Отметим, что при x-+a утверждения «f (x) cc g {x)» и «#(*) есть главная часть f(x)» равносильны. Так как функция f(x) при х-+а имеет бесконечное множество эквивалентных функций, то при по¬ становке задачи выделения главной части f (jc) при х-+а, т. е. на¬ хождении эквивалентной функции, указывается, какой именно вид »та главная часть должна иметь. Пример 34. Найдем главную часть вида Сха для функции / (jc) = х 4- у'' jc* • In ** при х —► 0. Решение. Имеем V х + у/х* • In 1~Х' =Ух + 1&3 - Inf 1 \ = к 1 + *» I 1 + х* / 1 = |х| з ]/*‘/з + 1 • lnjl — c\d|jc 11/3 • (— 2*l) = = — 2\x\^ (*-*-0). Следовательно, главной частью /(jc) при jc—>-0 является функ¬ ция g(x) =—21 х |7/3. Пример 35. Найдем главную часть вида С(1 — х)а для функ¬ ции 4/— Ъг— / (jc) = 4 у jc — by х -fl при х 1. Решение. Если ввести новую переменную 2=1 — х, то полу¬ чим, что /(А) =4(1 _z)'/«-5(l —z),/5 + l=4(l ^--f-o(z)j - — 5^1 g- + o(z)^ + l=4—z + o(z)—5 + г + о(г) + 1=о(г), таким образом, этим методом мы не получили функцию, эквива¬ лентную данной. Введем переменную t так, чтобы избавиться от иррациональности: x=t20. Тогда так как jc-И, то t-+1 и 1-jc = 1 — = + + ... + t19) сх) 20 (1 —0» 65
и / (л:) = 4/Б — 5/4 + 1 =(1 —/)*(4/® + 3/*-h2/ + 1)(Х) 10(1 —О2- Следовательно, /Wcoi1^11. ю =-11^11. 7 400 40 Итак, главной частью функции f (*) является функция / ч (I—*)2 / 14 Пример 36. Найдем главную часть вида Сха для функции / (х) = arctg х — arccos — при х -+ 4- оо. X Решение. Имеем lim (arctg*—arccos— >l=0f *-+оо \ X J следовательно, при * 4 оо x — Vx1— 1 ^ arctg х — arccos — j го tg ^ arctg х — arccos — j j = — 4- x/x2— l {±+V'-±) -Co 1 1 1 oc . — ■ OO x1 / f , \ 2jcs * 14- /■-7 Итак, главной частью функции является функция g (х) = —— (х 2х3 -> 4- °°)- Пример 37. Найдем асимптоты графика функции у = х 4- 1 4- + Vx' + Зх + 7. Решение. При х -> 4- оо имеем У=х+ 1 + *|/" 1 + ~+~Г =х + 1 +•* + ~~ + 2х +-£-+°(т))=2х+т+от- 66
л при х= — оо 2х Итак, график данной функции имеет правую асимптоту у = 2х + и левую асимптоту у = —1/2. § 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Последовательность {ап} есть функция, заданная на множестве натуральных чисел N = {1, 2, 3,...}. Это множество имеет един¬ ственную предельную точку — несобственную точку +оо. Пере¬ формулируем определение предела функции на случай последова¬ тельности: A =lim ап, если для любого положительного e(Ve>0) П-+ ОО найдется такой номер iV (Э[7V), что для любого п, п>М (Vn>N), справедливо неравенство |А—ап|<е. Если вместо множества асех натуральных чисел взять некоторое его бесконечное подмно¬ жество {я*}, &=1, 2, nk<nk+1, то получим подпоследователь¬ ность {аПк}. Предел подпоследовательности {ап^> если он су¬ ществует, называется частичным пределом данной последователь¬ ности. Если последовательность ограничена сверху, то и множество всех ее частичных пределов ограничено сверху. Тогда доказы¬ вается, что это множество обязательно содержит максимальный элемент. Этот максимальный элемент называется верхним преде¬ лом данной последовательности и обозначается lim ап. Другими Л—►оо главами, А = lim ап, если Ve> О 3N : \n>N : ап<Л-+е П-¥ ОО и a {а„ }: lima„ =А. * k-*oo * Если последовательность не ограничена сверху, то lim а„ = л-*ао ' = +оо. Аналогично определяется lim ап — нижний предел последо* Л -►оо вательности {an}. Если последовательность не ограничена снизу, то limart = — оо, в противном случае В= limап есть наименьший П—► сх) П чОО из частичных пределов, т. е. £=liman, если Ve>0 ЗА1 :Vn>Nt П-+оо ап>В—г и 3 {аПк}: lima^ = В. к+оо Условие существования предела последовательности эквива- 67
лентно условию равенства верхнего и нижнего пределов этой .по¬ следовательности. Так как последовательность есть функция, заданная на множе¬ стве натуральных чисел, то все рассмотренные выше методы вы¬ числения пределов функций применяются и для вычисления пре¬ делов последовательностей. Рассмотрим еще один метод вычисления предела последова¬ тельности. Разберем его на примерах последовательностей, задан¬ ных рекуррентно. Пример 1. Рассмотрим последовательность ^ = 1, fln-ы = — -^-+1, Уле N. Прежде всего выясним, существует ли Iirnart. 2 П-fOO Методом математической индукции проверяем, что для любого п справедливо неравенство ап<2. Отсюда получаем, что а„.н— —ап=\— а„/2>0. Таким образом, {а„} монотонно возрастает и ограничена сверху, следовательно, последовательность {ап} имеет предел. Обозначим его через А. Для определения А перейдем к пределу в рекуррентном соотношении an+i = ап/2 + 1, имеем Л = = Л/2 + 1, откуда А = 2. Итак, lim an = 2. • n-f-oo Пример 2. Рассмотрим последовательность ап = ]f 2 ->г V 2 -\ ...4 1/1 (п корней). Возрастание ап с ростом п следует непосредственно из формулы для ап. Для того чтобы сделать вывод о суще¬ ствовании предела а„, необходимо проверить, что последова¬ тельность ап ограничена сверху. Действительно, заменив в по¬ следнем радикале число 2 на 4, тем самым увеличив выражение для ап% получим, что для любого п выполняется ап<2. Итак, lim ап существует. Обозначим его через А. Для определения А П-*- оо перейдем к пределу в рекуррентном соотношении ап ^Y2 + ап~\г имеем А — Y'2 + А, откуда Л = 2. Итак, liman^2. tl-foo Пример 3. Рассмотрим последовательность ап= (—1)п, ле Так как a2k — 1* 02*4-1 — — 1» то Jima„ —1, lirrifln — — 1, от- л-“°° куда следует, что данная последовательность предела не имеет. Члены ее удовлетворяют рекуррентному соотношению ап = —an_1. Если формально перейти к пределу в этом соотношении, то полу¬ чим Jimart = —limfln-i, откуда liman = 0. Этот пример показы- П-*-ао П—►во Л—юо вает, что возможность перехода в рекуррентном соотношении к пределу должна быть обоснована, т. е. существование предела должно быть установлено заранее. Вычисление верхнего и нижнего пределов последовательности сводится к тому, что выделяют сходящиеся подпоследовательно¬ сти и сравнивают их пределы — частичные пределы исходной по¬ следовательности. 68
Пример 4. Пусть дана последовательностьart=n<*_1>nf n&N. Так как для любого п имеем, что an>0, то любой частичный пре¬ дел этой последовательности неотрицателен. Поскольку а2п = 2л и <1ая+| =—-—, то limalrt = lima„= + оо и lim а2п+\ = liman = 0. 2П -j~ 1 П-и» П~*оо П-+оо п-*-оо Пример 5. Пусть дана последовательностьап= ^2-f cos^~j X X ^1 4- ~cos“jp)» ле^. Так как для любого п имеем, что ап^ <3(1 4-1/л), то lima„^3. С другой стороны, ai2*=3(14-l/12fc]>, fV—►оо откуда следует, что liman = 3. Точно так же из соотношений an^ П~Фоо >1 — 1/я, для n^N и авм-з= 1, k^N, следует, что lima„ = l. П-* СО Замечание. В этом примере кроме подпоследовательностей {am} и {абм-з} существуют и подпоследовательности, сходящиеся к пределу, отличному от 1 и 3, например {двь+г}. Ее предел ра¬ вен 3/2. Используя понятие предела последовательности, можно дать определения верхнего и нижнего пределов функции f(x), х^Е: число А есть верхний предел функции f(*) при х-+а (обозна¬ чение А = lim/ (*)), если У е > 0 3 U (a): V х е U (a), xgE, f (х) < х-+а < A 4- е и существует последовательность хдля которой А = = lim/(**). Число В есть нижний предел функции /(*) при х-+а к-*-оо {(обозначение В = lim/(*)), если Ve > 0 ЯU(a): VxeO(a), хеЕ х-*-а f(x)>B—t и существует последовательность для кото¬ рой B=\imf(xk). ft—► оо Условие существования предела функции при х-+а эквивалент¬ но условию равенства ее верхнего и нижнего пределов при х-+а. Пример 6. Рассмотрим функцию f(x)=sin— при х-*0. С одной стороны, —l^sin— ^1 для любого х% хфО; с другой стороны, если = —-—^, k^N, то ^-+-0 и sin-^- = l; если 2Л 4- 1/2 Xk = , k & N, то Хъ —0 и sin—= — 1. Отсюда следует, 2k —1/2 ж* что lim/(x) = lt lim/(jc) = — 1. Следовательно, данная функция х-*>0 предела при *-*0 не имеет.
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА Иногда соотношения эквивалентности могут оказаться недо¬ статочными для определения главной части функции при х-+а. В таком случае одним из методов определения главной части яв¬ ляется разложение функции в многочлен Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. При этом важно, с одной стороны, не по¬ терять членов нужного порядка, взяв слишком малую степень многочлена Тейлора, а с другой — не выписывать лишних членов, так как это загромождает и затрудняет выкладки. Поэтому при вычислении пределов полезно оценить заранее, какого порядка малости погрешность уже не влияет на предел соответствующего выражения. Многочленом Тейлора порядка п функции f в точке а является п многочлен Tn(f, а) вида £ ck (х—a)k такой, что /—Tn(ft а\ = к-о = о(х— а)п. Приведем следующие основные формулы: а) ех = 1 +* + -£- + -“- 4- ... + — + о(хп), х->0\ 2! 31 п\ б) sin*-* — + — 4- ... H-C-l)""1 ——- + 0(jt2n), х -► 0; ' 3! 5! ; (2л- 1)! у2 в) cosх = I — + — + ... +(—1)"— +0(ХМИ) х^0; ’ 2! 4' ; (2п)! Г) in(1 + х) —х—^ + + +<,(*»). *-*0; 2 3 п д) (1 -f x)m = 1 + mx + хг+ ...+ +»>.^+0{xn)t п\ Обратим внимание на то, что степень многочлена Тейлора Гп(/. а) может быть и меньше его порядка (больше не может быть по определению), т. е. любые его коэффициенты, в том чис¬ ле и при старших степенях, могут быть равны нулю. В частности, один и тот же многочлен может быть многочленом Тейлора раз- ных порядков функции / в точке а. Например, многочлен х — 6 является многочленом Тейлора как третьего, так и четвертого по¬ рядков функции sin* в нулевой точке. Пример 1. Пусть у(х) = (х*—2х10)ех\ Так как у(х)оэдс6 при *-►0, то все многочлены Тейлора ниже шестого порядка функции у в нулевой точке представляют собой тождественный нуль (с0= =с1=с2=сз=с4=с5=0). Так как у—х6=о(х6), х-+0, то многочлен Тейлора шестого порядка Т6(у9 0) функции у в нулевой точке 70
tcTb jc6, а так как e*4 = l +jc« + o(*4) и, следовательно, #(*) = (х?— .-2jc1®)(H-jc* + o(jc4))=jce-jc1® + o(jc10), то T.to, О)=Г7(0, 0) = ~Тв(у, 0)=Т9(У> 0)=^ и Т10(у9 0)=х«-х">. Из всего вышесказанного следует, что если в многочлене Тей¬ лора порядка п функции у ъ точке а все коэффициенты с номе¬ рами меньше, k (k<n) равны нулю, а скф0, то при х->а имеем, что уоэТп(у,а)оэск(х — а)\ Используя формулы а)—д) для нахождения многочлена Тей¬ лора, необходимо правильно оценивать отклонение полученного многочлена от данной функции, иначе можно допустить грубые ошибки. Пример 2. Найдем многочлены Тейлора первого, второго, третьего и четвертого порядков функции у=\п(\+х+х2) в нуле¬ вой точке. / 1 \ Решение. Воспользуемся формулой 1п(1 4- а)= Л — 1- 4-о(ап), а-►О. В нашем примере a=jc4-jc2. Заметим, что асо сох, jc-й), следовательно, o(an) =o(jcn), jc-*0, n^N. Поэтому In (14- x 4-x2) = a4- о (a) = x 4- jc2 4- о (x) = jc4-о (x). Итак, многочлен Тейлора первого порядка функции у в нулевой точке будет равен ЛСУ, 0)=х. Обратим внимание, что поскольку ^=jc4-jc24-o(jc), то нельзя утверждать, что многочлен второй степени jc4-jc2 является много¬ членом Тейлора второго порядка функции в нулевой точке. Пока¬ жем, что это неверно. Действительно, при jc-*0 In (1 4-*4-*2) = = In (1 +a) =a—+ о (a2) * (x + *»)--±- (x + л»)» +o (*»); при раскрытии скобок используем то, что хк = о(х2), если Л>2, k^N, следовательно, (х 4- jc2) (jc 4- jc2)2 4- о (jc2) = jc 4* х* jr2 4- 0 (jc2) . Итак, многочленом Тейлора второго порядка функции у в нулевой х% точке является многочлен Т%(у, 0)=х+ —. Таким же образом получаем In (1 + * + **) = X + X* L ( * 4. **)* + -L (* 4. *»)* + о (Xя) = 2 3 = jc4-Jc2 — (дс24-2дга)——jc84-o(x8)=jc4- — х2— - jc84-o(jc3), 2 3 2 3 следовательно, ТАУ, 0)=х+±х>-±х* In (1 + х + ж*) = x + х% (дс + Xs)» + — (х + х*)» (х + *»)« + 2 3 4 + 0(*«)=* + -i-x»—*-х' 2 3 4 71
следовательно, Т4(у. 0)=x + -i-x>—i-x>—Lx*. Пример 3. Найдем главную часть вида С|х|а функции j при х->-0. Решение. Пользуясь формулами б)’ и г), пишем последова¬ тельно многочлены Тейлора функции у(х) в нулевой точке увели¬ чивающегося порядка, пока не получим многочлен, отличный от нуля. Для первого порядка имеем у (х) = sin х— In ^ 1 -f х + = o(jc), х-*0, т. е. Тх(у, 0)эв0. Для второго порядка у (дс) = (х + о (х2))— ^х 4- -у yх2 4- о (х2)j = о (ха), х-+0, т. е. Т2(у, 0) =0. Для третьего порядка У (х) = у + о (х3))— + у (Хг + X3) + у X3 + о (*s) j -г = 0(А»), (X —0). т. е. Т3(у, 0) =0. Для четвертого порядка ,« . (, - i+»М)-(, + (*+—*■) + l ^г)~Т '' + «(О)-о<д:‘). л-0. т. е. ТА(у, 0) =0. Для пятого порядка у‘w “ (* - Т + -Ш + "ю)~ (* + Т~Т~Т (*■+ *■+ +т-т)+т(*,+х+^)Ч<^>+т‘‘+‘'<''>)" = — X6 -f о(д^), х-+0, 15 7 72 -2—y) =(х + °(х))—(х + °(х)) =
т <\ Tb(yt 0) = --х6 и степенная функция ~-хб есть главная (X® X* \ 1 Н- хН- — — J при х->0. Пример 4. Найдем главную часть вида С\х—1|а функции ^ з у —ух2—*4-1— у ех'~1 при х —► 1 • Решение. Чтобы воспользоваться формулами а) —д), сде¬ лаем замену переменного x = f4-l. Тогда задача сводится к на¬ хождению главной части вида С|/|а функции у (t) = (1 +1 -f t2)l/4— 2 Ж« —e 8 при /->0. Пользуясь формулами а) ид), пишем последо¬ вательно многочлены Тейлора функции y(t) в нулевой точке уве¬ личивающегося порядка, пока не получим многочлен, отличный от нуля. Для первого порядка у (t) = (1 + * + **)1/4—«*/«+<■'• = (1 + -±- t + о #)) — -(l + ^- + о(0)=о(0. /-*-0. т. е. T{(yt 0) =0. Для второго порядка »(')“(' +Т<' + р)-^-р + »<''))-(1 + Т + Т + ТТб + + о(/2)) = о(Я), <->-0, т. е. Т2(у, 0) =0. Для третьего порядка »«> = (• + -J-<' + ‘‘)—|-«Ч-2<’) + -щ-'■ + <>«*))- _(,+ _L + _!L+_L (JL +JLU -L.JL + ) = \ 4 8 2 V 16 32 / 6 64 / = L*a + o(/*), t-+ 0, т. e. Тъ (у, 0) = — t* и степенная функция —*3 есть главная часть функции y(t) = (l + t + t2)1/4—e1/4+ttJ8 при” /0. Возвращаясь к переменному х, получим, что функция —1/6 (л:—1)а есть главная часть функции у(х)=У х2—*4-1 — l/V*"-1 при х-*1. 73
Пример 5. Найдем предел ljms!n(sin*) — хг/\— х» X-+Q хъ Решение. Так как в знаменателе стоит х5, то достаточно найти разложение числителя в многочлен Тейлора с погрешностью лорядка о(х5) при х->0. Так как sinx<x>x, то о(х5) =*o(sin5x), х-* ->0. По формуле Тейлора имеем . . v . sin3 лг , sinbx , / • ц ч sin (sin х) = sinx ho(sin*x). 7 6 120 4 /e sinx^x—— -f о (x*). 6 120 47 Тогда sin* * = (x — + о (*»))’ = (x + a (x))* = = x8 4- 3x*-a (x) 4- 3xaa (x) 4-a8 (x), где a(x) = —— 4-—— 4- о (хБ). Поэтому a(x)^>— —, x->0; xaa (х):\э 6 120 6 oo x о (x6), x-*0; a3(x)c\> =o(x*), x-^0, и, следова- 36 ’ 216 ' тельно, sin3x = x3 ^-x64o(x5), x-^0. Так кака(х)сс—— =o(x), 2 6 x-^0, to x4-a(x)ocx, и sin6x = (x + a(x))5c^x5 x->0, т. e. sinex=x*4-o(x6), x-*0. Итак, при x-*0 sin(sinjc) =x— 1 +-^- fo(*b)—^(д;Э—^) + + °(ДС#) +120" * + ° (*6) = x~ T + ~кГ + 0 ^ Аналогично _i_ x 1 — x* = x(l —x2)3 —x ^ 1 i- x2 x4 4-o (x4) j — — x — x3 — x6 4 о (x5). 3 9 ' Итак, sin (sin x)—x V 1“ *2 = x ^ x3 -f x6 4- о (x3) — x 4- 4- — xe 4- — x5 4- 0 (x6) = x6 4 0 (x5), 3 9 V 1 90 V 74
и. (лс\довательно, Inn — я *0 sin (sin дг) — х \ — x2 п/_19_ о^Ч х-.о V 90 х* ) 19 90 * Приведем еще ряд примеров разложения по степеням х неко¬ торых функций. Пример 6. Найдем разложение функции y=tgx при jc—^0 до порядка о(х5). Решение. Первый способ. Имеем Второй способ. Надлежит найти разложение функции tg jc по степеням х с погрешностью о(х5) при jc-*0. Ищем это разложение в виде tg х = а0 + ахх + а%х* + а^х* + а#* + aftjc* о (дс6). Из того, что у=igx — нечетная функция легко показать, что а0=» =а2=Д4=0. Поскольку tgxr^x при *-►0 и ахх + а%хъ + аъхь -f о (jcb) ооахху х-^0, то ах = \. Для нахождения остальных коэффициентов имеем соотношение sin jc= (x+а3д^+аБ^5 + о(*5)) -cosjc. + -2- [jc + о (дг)1» + о (jc5) = *— + -|г + 0 (-к*) + о о uU + — *»—— + о (х‘) + — Jt5 + о (*5) = 2 4 8 ИЛИ = (дс + аздс» + а&х5 + 0(х5)) _-£- + -£L + 0(x«)^, 73
т. е. г* х—-—|——— + о (хь) =х + х3 (а3 М 4- 6 120 ' \ 3 2 / Поделив это равенство на х3, получаем — + — о (ха) = а3 — 4- х3 (аь— — Н——) 4- о (ха). 6 120 4 ; 3 2 \ Ь 2 24 ; V ' Переходя к пределу при х->0, получаем 1 1 1 = До , т. е. а3= — 6 3 2 3 3 Аналогично из соотношения + О (*») = ж2 (а6 |S- + + о (х*) 120 получим, что а5 = 2/15. 1 2 Итак, при х-*0 имеем tgx = x-\ х3Н—— Xе + о (х6). 3 15 При разложении рациональных дробей удобно пользоваться методом деления многочлена на многочлен углом. Пример 7. Найдем разложение функции у= - - 2-— до порядка о(х7) при jc—►О. 1 3jc 4- х2 Решение. Имеем 1 -f Зх 4- х2 14- х—4х2 + 2х3 14-Зх-Ь х2 —2х—5х2 + 2х3 —2х—6ха—2х3 х2 4- 4х3 ха4 3x3-f х4 X3— X4 х3 + 3х4 + х6 1 —2х 4-х24- х3—4х4 4-11 Xs—29хв 4- 76х7 4-о(х 7) —4х4—хб 11хЧ-4хв —29хв—Их7 76х7 + о(х7). Пример 8. Найдем разложение функций i/ = shx и i/ = chx до порядка о(х7) при х->0. 76
Решение. Получаем, что -х + — + — +— + о(х7) (х-*0). 31 51 71 ' Аналогично ЗАДАЧИ 1. Доказать соотношения (х-*а): а) если f(x)oog(x), то g(x)oof(x). б) если /(x)c\og(x) и g(x) ooh{x), то f (х) ooh(x); в) если f(x)oog(х), то f(x)=0{g(x))\ г) если f (х) = о (g (х)), то / (х) = О (g (к)); д) если f(x)oog(x), то о (/(*))= о (g(x)); е) если С — константа (C^tO), то С О (g(x)) —О (g (х)), C-°(g (x))=o(g (х)); ж) О (О (g (х)) = 0(g (х)), О (о (g (х))) = о(0 (g (х))) =о (о (g (х))) = = o(g (х)); з) h(x)-0(g(x)) = 0(h(x)-g(x)), h(x)-o (g (x)) = o(h(x)-g (x)); и) 0(g(x)) 0(g(x))=0(g2(x)), 0(g(x))o(g (x)) =0 (gi (x)). « (g W) •0 (g (*)) = 0 (g* <*))'. к) 0(g (x))+0 (g (x)) = 0{g (x)), 0(g (x))+o(g (x)) =0(g (x)), о (g (*)) + о (g (*)) = о (g (x)); л) если /(x)cv>g(x) и A(x)<x>s(x), то f(x)h(x) с\э g(x)s(x); м) если lim/(x)=A, fc^O, to f(x)rvk. 2. Показать, что для любых а>1 и р>0 при х-»-+оо х? = =о(а1), 1пх = о(хр) и что lim (ctgx)tg*= 1. 3. Показать, что для любого р>0 при х-*-0 1п|х| =о(1/хР). 4. Показать, что х — sinx=0(x3) при х-+-0. 5. Найти главные части вида Сха при х->-+оо следующих функций: ач а0Ап+а|х"-1+.. . +fln-i*+an Mm+Mm'1+-.+W+A а А ^ 0. б) х + У х + У х ; в) (х— /х3— 1)° + (х + г) х2 arc ctg х; д) х* arcctg (—х); + /хг— 1)° (а>0); ж) In (Xs + 4 + 4х'); е) (х*—4х+ 10) в * ; з) (х* + 2) 1п(х + 2)—х*1пх; к) arcsin—i£+J— **+10* 77
6. Найти главные части вида Сха при х->-0 следующих функ¬ ций: а) (1 + тх)п — (1 + пх)т, б) /1 — 2х— 4*а + х—\; т,пе N . _ г) у' 1 + ах-у 1 + Ьх— 1; х-\-У х + У х ; е) ах—Ьх, афЬ\ Д) In cos лх; ж) 1 -f sin ax— cos ах; 3) cos х'cos ‘cos ^» и) In (ха -f 4х); к) ctg лх. 7. Найти главные части вида С(1—х)а при х-*1 следующих функций: а) х3 + 5ха —Зх—-3; б) х + х2 -f ... -f хп— п\ в) (х*— х*—х* -|-1) tgjix; г) arccos*; лх А) х*—1; е) In sin ' 2 ж) 3-2Х— 2-3‘; ^ 1 . , tg”T лх Intg — ч ха — хь . , ч к) - ■— (а Ф Ь). arctgx — я/4 8. Найти главные части вида для следующих последо- п вательностей при п-+оо: а) ап = У п* + ап-\-Ь—п\ б) а„= ln-2±l -sin—; п -f 5 п в) a„ = sin (я/ла -ьЛ), к-£0. — 1 — - г) а„ = ап—— (b п +с"), а>0, 6>О, с>0, а*фЬс\ д) a„ = ctg — 1; 4л —2 е) а„ = sin —— 1; ' п 2л + 1 ж) an=(Vn + 2 — >/n~) arc tg —; vr-V я я з) ал="/ГУГ; к) а,-In (1+3"). 78
D. Проверить, что при х-+0: а) xarctg — = 0(х) и х =0 (х arctg —р X \ X f б) XCOS ==0(x), НО ХфО^Х cos—j. 10. Проверить, что при х-^оо: а) y/A;, + 4arctgx=0(x) и х = О (}fx2 4- 4 arc tgх); б) ln(x*-f2x) = 0(*), но хфО (In(jc* 4* 2*)). Вычислить: U. lim . 12. lim—— x-*—1 x* — Зх 4- 2 jr-^2 х1 — Зх 4- 2 13. lim-iLt£nl. ,4. Пш x1 —3x-j-2 ж-2 x® —4, 15. lim ■. **~1—. 16. lim -*-^2l~x , ** 3* 2 ’ ‘ J-GT^T3 + 2 17. ito.V*+*-j№=i' 18 Птэу—х,-4Уш+Л *-.2 x —V2x x-+o 2 —2 у 1 — * 19. lim (У x* + 5* + x). 20. lim (/x* + 5x + x). I-+"foe oo 21. lim (y^x* + 2x — x). 22. Ит(Ух2 + 2х—x). JC-*4o© X-+—00 23. lim x(yf x2 4* 1 4- x). 24. lim x (/x* 4- 1 4-*). x—>4® x ►—-oo 25. lim ()/1 H-2jc4- x8 —Vx2—4x+ 1). X-++OQ 26. lim (/Ц-2х + х» — /x>— 4x + 1). X-* OO 27. lim (yrxa-\-x2 4* + 1 — y^x8—x% + x — 1). X-*oo 28. limy'x” (yr(x + 4)2 — yf(x— l)a ). I-+00 29. ■.I 2 — 2/1+*+* « lim з’/Т+^-ДГм-!-. x-*o 2 — 2 у 1 —x — x 79
лх sin sin лх 2 30. lim. 31. lim Jt—О x X—♦ I X ЛХ sin 32. lim 2—. 33. lim JHSJ<LL Х-ЮО X X-*0 . 2x 34. lim-^1^. 35. lim^^-. x-,1 2x X-*oo 2x 36. lim x f——arctgxV 37. lim х(л—arcctgA). X —♦ oo \ 2 / x-* —oo 38. lim^l^L. 39. lim ■ ^M^)-cos(x^) x-*-i sin4nx x-+o arc sin5 x ACk cos 2nx -f- cos nx J_ 1 1п(дгг — 2x -r 2) ’ 41. limx*(e* — e^'). 42. lim (xigx 2—V 43. lim «т.*8"2*.... n \ 2 cos x / x-+o x4-sin3x x~* 2 AA sin x cos x -H 1 14*sinx— cos 2x 44. lim —. 45. lim —1 . x-*n sin 2x — cos 2x-|- 1 *-*o arctgsin2x sin2 ax — sin- ftx arc sin 3* — sin2 x 46. lim 1—. 47. lim . x^o arc tg2 x 4 x* x-*-0 tg2x f In (1 + Ix) 48 lim lnO + * ~ *2)+arc s‘n 2*— 3x3 X^o sin 3x 4- tg2 x 4- (ex — 1 )10 ,. cos x -4- cos 2x 4-■ ■ • • + cos nx — n 49. lim - . x -*-0 sinx2 _Л .. sin x 1- sin 2x 4- ... 4* sin nx 50. lim —~7=J= . jc^o /1 2x - I 51. lim-^-^g2x. x^o arc tg x 52 lim + ^ 1 + 3x — V * + 5*~ У1 ~ 6* *-o b/\ + x — \r I + 2x ro I* arctg2x 53. lim * .i=r. x_,o V 1 4- x sin x — V cos x 54. lim- 1+*"*.+co.M... 55. lim -e-- *-+n V nx% —71 *->-2 X 4- 2 3 psin x _ gsln 2* y'l-3x-Kl-2* 56. lim 4 — . 57. lim— *-+n /nx1 — я *-*0 1 — cos ЛХ 80
58. lim x-*-0 /1 — 3jc — У 1 — 2* я -j- x 59. lim- (q* —a)8 *-•+ /** — 1 — ?2x — 2 In sin - 60. lim 62 In COS 71 JC a) lim X-+-+oo Vx2+ 4 — Vi#+ 1 . 6) lim 61. lim- x-^2 /^Т4-УТГ Уха + 4 — V4x«+1 63. lim 64. lim /<» + 2 X 65 . lim ж3 (V^ Jt2 + I/jc* + 1 —xV 2 ). X-+4-00 66. lim + + 1 —л/2-). X-*-—oo 67. lim ex — e% x->2 (jc—4)e*4-jcea i/o Я* \ In I x2 -f- cos —— J 68. lim X—► 1 70. lim- Yx -l In cos 4jc x-*0 jra 72. lim- x 4/1 —** — l ln(2x2 — jc) 69. lim '"(** + «*> . x-0 ln( 1 -f- Jte*) 71. lim --ln<2*’-.*>■■■ x-*0— lfl<jr* -H jc* — x) x-*-i ln(x* -J- x* — x) 73. lim- In sin* ax 74. lim In(x2 — 4x4-4) x^-o In sin* bx — n* x-^+oo ln(xl® -j- 5x7 4- 2) a* — f 75. lim- х-+Ъ у/ bx2 — b (a> 0). 76. lim x-*-0 X (a>0, p>0). 77. lim 2» -16 X-+2 ln(jt2 — JC,—1) 21/ 78. lim a*2-**2 (a>0, x-»-o lncos2x £>0). 79. lim /»+Чпа«-.1 + *«. x-+0 *“ 80. lim- x-+o arc sin x Г In In jc 2x — 2e 81. lim- JC«-X* yi-1 81
32. lim — — (a > 0). x-+a x —a «о 1- Л/\ —eK — 1 — cosx ол t. sinnxa /Q . вЗ. lim-1 7=b= . 84. lim r (p =?£= 0). x.+0-f psinx x-i sin2nxp [sin X sin x 1 _1_ ~ — * (a > 0, b > 0). 2 J $6. limf Slna-M *-P (ctfi^kn, keZ). x-*fl\ sin /5a / ПХ *7. lim (2——V e~ 88. lim (21 + sin x)ctg*. x-mx V a / * ayMJ. x->0 89. lim (1 + tg»x)lncos‘ . 90. lim[ln(e' + x— 1)]/* - '. x-*>0 *91. lim [ln(x2 + exfl)]ctg *• x-»-0 «2. limf^-i^--^——(a, >0). *-►0 \ n ! 93. lim' t/c-°-s-a-> ' >/cos^-. 94. lim (1 + x*ex) ‘-cosx. *_►() ЯГС tg2 X *->-0 *95. lim*2 (cos — v x у l + x»; ЛХ 1 Я6. lim f 97. lim (*a -f sin2 nx)ln* . x-.iV *-3* J x-*l i 98. lim (cos2nx) ln(i*_2x+2) . X-+1 з _ L. 99. lim (3y x — '2 Ух )lnV X—► 1 100. lim [In(jt-bev)] arct«x . x-+-0-(- Ml. 102. nx . . 1 103. lim**~. 104. lim (■ — ■;*- ) *_1 x-.ji \ cos 3,t / тех 105. lim (2—e~x)clgx. 106. lim(4x— Ух+ 8) ‘2 x~*0 82
1 107. Iim(3* -f x) •inx . 108. lim [cos (sin *)] *rc sln* *-►0 109. lim -У..е--1 , 110. lim Y e“ ~l *-►0+ arc sin x x-+o— arc sin x 111. lim V!±cosx ■, 112. lim COS X X->nf X — n X-**l— X — Jl 113. lim /-рЛ - V ~ЛУх-1 з/-_1 j 114. lim^iin^Iiii^. 115. lim jr* x->0 \ arc tg x f 116. lim ( l+arctg2N). 117, lim |thx|sh 2x. X-»-foo У X/ x-*Q 118. lim—. 119. lim (th*)'h2*. x-*-0 Xs x-^-foo 120. Iiin arccos* I2i. |im (tg —\ "ccwx r_,_ V-\nx x^i-\ 4 ) Найти следующие пределы: 122. lim . 123. lim (a > 1). n\ ,24. lim .P+H)1" . П—► oo 3n In П 125. lim f— + —— + ... 4- - V n-^oo \ 4-7 7• 10 (Зл4- l)(3n + 4) ) 126. lim (—! 1 - h...H V ft—►«> \ 1*2*3 2-3*4 , я(п+ 1)(л42) I 127. lim(>^z-}-2 — 2>Ai + 1 + }fn ). n—foo 128. lim /^3«+1 -KnM_3n-l__ n->oo 1п( 1 4 — ln(2 4" ft) 129. lim f3 ;= 1 ,-=\. п^сс\1/п + 3-/п /л + 2-/л+1 j 130. limnarccos . 131. limn^a —1). П-+ОО n3-f I n-tOD 132. Iimnln(l Mcos л An2 4-10). п->оо \ Л /
133. lim (— arc tg плЛс*кя ^n‘+l (*>0). п—юо \ Я J 134. Доказать сходимость и найти пределы следующих после¬ довательностей: а) аЛ = sin (sin (sin ... sin лс))...) (n скобок); б) an=x„+,—xn, где 0<х1<аг,<...<х„<... и x„ = tgx„; \ On “f" A r\ в) an+i= i—, ax = 0; r) an+i == arc tg an, a1=25; Д) ап+1=у(2ап + -^-|, at = M > 0; €) 3, 3 -1——, 3 H j—, 3 -( г , .... 3 3 + — 3 + j- 3+T 135. Найти lima„ и lim a„ последовательностей: n_► OO П-+ОО «) a„ = ((-l)" ) l)-2n; 6) a„ = nln(l + (~l)B-); в) a„ = (n + 1): (n + 1 + n-(~ 1)"); r) a„ = (l + sln-^-)(1 — cos-y-j. 136. Найти lim/(;t) и lim/ (а:) следующих функций: *) /W=-$7V; 6> /(*) = «"*V + 4*+l); в) / (x) = (sin n*)cos —. x 137. Найти lim/(x) и lim/(jc) функции /(*)= arctgsi n-^-. x-*2 ' x_^2 X—^ X—2 138. Проверить следующие формулы (*-*0): а) (1+*)* = 1+л:а-у + -5-х< + о(д4); <5) In (1 + л:3 + -у-j = лг3 —+ о (л12); в) ch(sinx) = 1 +y~Y + 0^’ r) cos (sh x) = 1 — -7—+ 0 (*♦); 2 о
1 1 л) (*,)--.> .[i_-£ + -2_*+<)M]i е) sin(tgx) = *+-£. 1_*» + о(**); о 40 jK)tg(th*)=* + о (**). 15 139. При найти главные части вида Сх? для следующих функций: а) (cos*)2s,nx—вгх%\ 1 б) е—(1 +х) х ; L+J х в) (1 +jc) * 2 12 —е\ г) tg (sin л:)—sh*; д) (cos х4— 1) arctg ха • 2*V,nx; е) sin*3— In ^1 -f x8 H- ж) [sh (sh x)—tg *] arcsin x2; з) ^со&(хУЬ ) — 1 — In(1 —x*)\ з Г ^jr[ и) V cos(3*£ 2)—cos(|/3 jc); к) j^sh ^sh*— tgx-f J *tgx*. jj) eltg(slfUf)-sln(tgx)J _ \J\ +sin7 x. Вычислить пределы, используя формулу Тейлора: 140. lim ,41. Нт»1пЫпх)-Шдс x~*Q X5 х-*0 Xе 142. lim VZZr-Sr' ,43. lim Incos^ + frl + a»*-! x-*o X* x® -2x4- 4" *4 —2**— x« 144. lim ™-2-x-~-e . 145. lim -«•**=• —. x-#0 tgX4 x-*0 tgX4 —+6 — 1/ i±-L 146. lim -(1±-ж,) * 147. Hm e 3 ~У- ■ x-»0 In COS X X-+0 x9 3v 148. lim.!ex.-x'ri + * . ,49. Km 18/3ln^ "“W. x->o x6 x-й) xl# 85
150. lim . x->0 x* 151. . x ->0 Xе 152. lim .co?<?.q.*)-/.1—«*+** . X-0 x* 153. lim. Wslnx)—shx x~*° (У'Г Q os x — 1)a arctg x i• ex* cosx — ch x — e~x%ch x 4- cos x 154. lim x-*-0 Xе дгЗ x* У 1 x — sin3 x — — tg x 155. lim• 2 *-►0 In(1 xa)(y'l-|- 2xa — 1) 156. lim V‘+3 x->0 arcsin x3 157. lim ^-^x3/l+3x+6i!_ x-*-o arcsin 2x-tg x-sh 3x (1 158. lim — x-*-0 X» " 6 I59. lim s!n.(”-6 x-o xa • In (1 -f- X3) sm x -г- In l-e 6 — 1 160. lim x-rO In cos x 4- yf 1 + x* — 1 —X» . e 2 —t/cos2x «chx3 161. lim *-►0 lna(cos2x) 162. lim ex*-cos x — ch x x-+0 xb + x3 sin8 x ,63. lim. -COil * ~ift-fLt-fl x-^o x* -}- x* sin° x ,64. ,im X-+0 X—SUl^+X3) 165. lim + t-*Q ln(x 4-cosx)—x 86 .3/1 +ж>_ I)
IM. lim -r «“”»* + «- *-o (/ 1 + 3* — У 1 + 2x)tg*(sin x) 167. lim xY 1— x* — cosxln(l + *)— ~ 168. lim x-+o tg x — sin x sin* x— x% e~x — x* X-M) 1 — V1 + ** cos x 169. lim sin(slnx)— x —■ 3 *-►<) sh(shx)—tgx Xе 3, 170. lim x-+0 ln( 1—X+Xa—X*-f X4)—ln( 1 — Х4-Х*)4-Х* cos x— — */ 1+3* 171. lim ^2x*ln (l— -±-J + yr8x* + 12** + 14*’ + 15л^+ Hue1 j. —2jr*— — *« 172. lim cos^-~< 1—. tg(3x*)— 3 thx* из. ilmjg=E-”a»l. *-#o (sin2x — 2tgx)* 174. Найти наклонную асимптоту для графика функции: *)Г У — Vх% + 2* + 3 —х; 1 б) у = (2х + 3)ех ; в) ^ = уг*4-\-х* —**; г) j> = x*sin—; X д) у=хcos—; X е) 4/ = In (1 +с**); v х* 4- sin х ж) «/- 1 *+/**-1 ОТВЕТЫ
7. а)-10(1-х); б) 2lttlL(i_*);B)-8n(l—дс)*;г)/2(1-дс) д)— (1 — х); е) (1 — х)а; ж) 61п-|-(1 — х); з) —>/7 (1—х) О Z Я _1_ 2 - и) (1-х)-'; к) 2(а-6) » (1-х)-/5. 8. а) -2_; б) ^ я 4ла п* в> Чгnk: г) т,п тг; д> ^ е) -t: ж) -к' 3) и) !; к) 1п3(-^-) '• П. —1. 12. 5. 13. 1. 14. 0. 15. оо. 16. у 17.—. 18.0. 19. +оо. 20. —. 21. 1. 22. +оо. 23.+оо 27 2 24. -. 25. 3. 26. —3. 27. —. 28. —. 29. а) —; б) —. У ка 2 3 3 6 6 зание: x = <ia— 1. 30. я. 31. 1. 32. 0. 33.—. 34. —. 35. 0. 36. 1 2 8 37. —1. 38. -. 39. -2. 40. —. 41. 1. 42.—1. 43. - 4 2 4 44. 45. 3. 46. аа—Р». 47,— . 48. 1. 49. я("+1)(2п+1) 2 7 12 50. n(n+.LL. 51. -(—52. -12-. 53. - .54. — —. 55. я. 56. — 2 2 3 3 2 2 57. —. 58. 0. 59. 0. 60. 0. 61,—2/f"na. 62. a) 1 — */Т Я2 6)^4—1 63. —2. 64. 0. 65.-ij-. 68. — оо. 67. оо. 68. 4—я. 69. 1 70.—12. 71.1. 72. —. 73.1.74.—. 75. ЗаМпа ?6 ]п_^ 77.1п 2 5 Ь 2 р 3 78. -In—. 79. —. 80.—. 81. 5(а— Р). 82. а° In—. 83. 1 2 Ь 7 2е е |_ 84. —. 85. Vab . 86. с®'1*»». 87. е я . 88. 2s. 89. е~ 2Р 3 ['И—М п, в* а* —9 90. е \ е>. 91. е. 92./а.,сеа ... а„ . 93. р.. а . 94. е3. 95. 2т Ю 2_ 96. Зя. 97. е8. 98. е~2я*. 99. 1. 100. 0. 101. 1. 102. е2я. —2- _L 103. е я . 104. еи. 105. е. 106. е “ V 6 >. 107. Зе. 108. е 2 . 169. 1. 110.—1. 111. 112.--^-. 113. -. 114. —. 2 2 2 2
115. е 2. 116. #. 117. 1. 118. —1. 119. erK 120. /2 . 121. е 4 . 122. 1. 123. 0. 124. 0. 125. —. 12в. —. 127. 0. 128. -1 129. 0. 12 4 • — А 130. -/Т. 131. 1па. 132. —1. 133. e~^x 134. a) 0; б) я; в) —; 3 г) 0; д) 3/М ; е) Тр3 . 135. а) 0, + <х>; б) -1; 1; в) -Ь + оо; г) 0; 4. 136. а) 1;—1; б)+°о;0; в) 0; 0. 137- j. 139. а) — х7-, б) в) — л:3; г) — **; д)—х1а; е) 40 2 24 7 30 7 7 — х12; ж) —х7; з) —л:®; и) —х*; к) —х1 8 30 7 30 7 20 7 8 л) -х1. 140. —. 141. —. 142. Ь.. 143. 1L 6 45 30 24 24 144. -. 145. 0. 146. —10. 147. —. 148. —. 149. — 1 81 45 180 150. —. 151. —. 152. 153. —. 154. —. 155. — 4 360 6 3 45 16 156. —. 157. —. 158. -е. 159.-^-. 160. —. 161. 1 3 2 2 180 25 12 162. 0. 163. 1. 164. 165. — —. 166. —. 167. - 5 4 12 3 168. -. 169. —3. 170.—. 171.0. 172. —. 173. —3 2 24 225 174. а) у = \ при х —оо; у = —2х— 1 при *->—оо; б) у = 2х+5; X 1 В) у = — Г) у=х; д) у = х; е) у = 2х при х-*~+оо; у = 0 при Z о х-+—оо; ж) У = ~ при оо. Глава Ш ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ Пусть f : (a, b)-+R определена на интервале (a, b)^R и x0g €=(a,f>). Определение. Число lim - — ~ ^ ^ ■ называется Дх-*0 А* производной функции f в точке xQ и обозначается f'(x0). Операция 89
нахождения производной называется дифференцированием. Функ¬ ция, имеющая производную в данной точке, называется диффе¬ ренцируемой в этой точке. Необходимым условием дифференци¬ руемости в точке является непрерывность функции в данной точке. Бели функция f дифференцируема в каждой точке интервала (а, Ь), то на этом интервале определяется функция значение которой в точке хе(а, Ь) равно производной f'(x) функции f в этой точке. Формулы дифференцирования основных элементарных функ* ций: 1. (1)' =0. 2. (х°)' =ах°~]. 3. (ахУ =ах \па (в частности, (ел)'=ех). 8. (ctg*)' = 1 sin2 х 9. (arcsin х)' /1 — JC* 4. (lOge *)' : x In a частности, (1пл:)'=—J. 5. (sin x)’ = cos x. 6. (cosx)' = —sin*. 7. (tg*)' 10. (arccosx)’ = — —_L_, 11. (arctg x)' = l COS3* 12. (arcctg x)' = — 13. (shx)' =chx. 14. (chr)'=sh;t. 15. (th .*•)'=- 1 16. (cth x)’ = I + X2 cha x — 1 shaJt Заметим, что ъсе эти формулы справедливы для точек, являю¬ щихся внутренними точками промежутка, на котором зависимость f от х задана соответствующей функцией, если в этой точке ана¬ литическое выражение f (х) имеет смысл. Основные правила дифференцирования Если fug функции, дифференцируемые в точке х0, а и р по¬ стоянные, то в этой точке 1) (а/+Р*)'=а/' + Р 2) <Jgy=f'g + g'r. 3) (l~) =Ll^gl (g(;e«>)^0); 00
4) если h(x) дифференцируема в точке х0, a f{h) дифференци¬ руем;» и точке ho = h(xo), то в точке хо индекс h в выражении fh показывает, что производная берется по npiументу h, т. е. ; / (/10 + Aft) — I (ftp) ' Д/1 Для дифференцирования степенно-показательной функции |// (х) | ,;(х)(и(лг) >0), где ы(х) .и и(х) дифференцируемы в точке а„. пользуются тождеством [м(д:)]1,(зс>=в1Хаг>|пм(х>. Степенная функция у--=ха при 0<а<1 определена, но не диф¬ ференцируема при * — 0; и именно при х^-0 аналитическое выра¬ жение ее производной теряет смысл. Точно так же аналитическое иыражен-ие производной функций г/ == arcsin л' и i/= arccos х теряет смысл, если |*|>1, т. е. именно при тех значениях аргумента, мри которых соответствующие функции либо не определены, либо не дифференцируемы. Все остальные основные элементарные функции дифференцируемы во всех точках множества определе¬ ния, и аналитические выражения их производных имеют смысл во нсех точках соответствующего множества. Поэтому любая эле¬ ментарная функция f дифференцируема во всякой точке, в кото¬ рой аналитическое выражение ее производной имеет смысл. Если же аналитическое выражение производной (т. е. функция /') не определено для некоторого значения лг0 из множества определения /, то это говорит о том, что какая-то из основных элементарных функций, композицией которых является функция /, не дифферен¬ цируема при соответствующем значении аргумента; и, следова¬ тельно, вопрос о существовании и -величине производной / в этой точке требует дополнительного исследования. _ Пример. Пусть f(x)=x\f(\ — *)2sinjt2, х <= (—- ]/3, |/3). Фор¬ мально применяя правила дифференцирования, получаем г = у (1 - у)* siп~7+ г • 2*со***; (1 - *)а-2 (1 - «> (,) Г 4 ' 2/(1 —л)а*п*а Функция f' не определена только при л: = 0 и *=1. Поэтому для всех х из множества {(—УЗ, У3)\{0}\{1}} производная сущест¬ вует и ее значение вычисляется по формуле (1). Вопрос о сущест¬ вовании и величине производной данной функции при * = 0 и при х=\ решаем непосредственно исходя из определения производной в точке. Рассмотрим отношение ^ при л0 —0 и х0= 1. Если х0 = 0, то —"-~ = У (1 — /i)a'sin/t2, следовательно, h lim = f (0). h^O h 91
Если дг0 = 1, то + Л*—= (1 + А) Vsin (1 + Л)я • ^h%. Эта функ- h h ция не имеет предела при h-+0. Итак, функция f (х)=хУ (\—*)asinjta не дифференцируема при х= 1, а при jc = 0 имеет производную, равную нулю. Пример 2. Найдем производную функции 4х* — 2х-\~ 10 У V * Решение. Имеем y = W2— 2х''2 + \0х-]'2, У' = 4 ~ х''2—2 ~ х~'/г + 10• (— 1 /2) лг-з/2 = = -■7^.1"-, д: >0. Пример 3. Найдем производную функции у=х(cosx — — 4sin*). Решение. Имеем у' = (cos х— 4 sin х) + х (— sin х— 4 cos х) = = (1 — 4x)cqsjc—(4-f л:) sin лгэ x^R. arcsin х Пример 4. Найдем производную функции у — 1 —• л- Решение, Получаем 7^-—i (1 — хг) — (— 2х) arcsin х г- , у \ — х* УI — х9 4" 2х arcsin х , , . , у—- = - . \х\ < 1. * (1-ха)а (1-х2)* 1 Пример 5. Найдем производную функции у = Уtg32x + 2f w<f. Решение. Запишем у(х) в виде цепочки суперпозиций ос¬ новных элементарных функций: y=h^2; h=tz+ 2; f = tgz; z = 2х, Следовательно, У',=У1К = Унк\'*'ж=УкК<-г',= =—Л—,/2-3<* ! 2 — — • (tg* 2х + 2)-,/2 • 3 tg* 2х 2, 2 COS* z 2 V-6 -г / Б cos%2x t т. е. 3 tg* 2х Уя /tg»2x + 2 • cos*2x ’ 02
Пример 6. Найдем производную функции у-. In3 arctg2 ^ —~ Решение. Получаем у' = 3 In2 arctg2 У Х—— ■ 2 arctg ^X arc‘g’ у 9 In2 arctg2 X 1 +— ' « / 1 jc3 arctg у — х° Пример 7. Найдем производную функции у = хх, х>0. Решение. Имеем y = exlnxt у' =ех]п х (х \пх)' = ехХп х ^In jc -f *• — j = = гх1пх(1пх + 1) =jt*(Inx+ 1). Числа Ijm /(*.+ Ах) —J (х0) _ /+ К) и ,.т /<х0 + Дх) -/(*.) = : Лх-VO-f- Ах Дх-+0— Ах назьшаются соответственно правой и левой производной функции I в точке хо. Условие /'+ (jc0) = (х0) эквивалентно дифференци¬ руемости функции f в точке х0у при этом f'(x0) =f'+(x0) =f'-(x0). Пример 8. Найдем /'+(*), f'-(x) для функции f(x)=VT=7^. Решение. Имеем 2 / 1 — в-** К 1—е_х* Функция {' определена для всех хфО. Если х-*-0, то /PF'nVa следовательно, ,• /ЛЧ /(*) — / (0) Vi-*-** ,• ^Га I /+ (0) = lim = lim — = lim = 1 х—►0-f- X jt—^O-f" X x—►0~}~ x
Итак, U W = /- (*) = 'у^—гтг . ^ ^ (°) ■= 1 '• f- (0> — 1. Так как то в точке х = 0 рассматриваемая непре¬ рывная функция не дифференцируема. Пример 9. Найдем f\ (л), /_ (х) для функции /(а*)--хУ \п (1 -\-х2). Решение. Имеем /' (*) = КМ1 +хг) + - /|п(1+х*) (Ц-х*) ' Функция f'(x) определена для всех хФО. Для х-^0 находим t' /лч 1- г дс y^ln (1 + jc2) ■» 'Г—rj—;—о\ л /+ (0) = lim = lim —-—------ = lim \ In 0 •+ х2) = 0 «-►04- х х x->ot- и /1(0) =0. Так как f+ (0) =/1 (0) =0, то /'(0)=0. Итак, функция /(*) дифференцируема на всей числовой пря¬ мой и У1п(1 -+*2) -f-—— W= , а:^0; U(x)=f- (*)=/'(*) = /МП-**) I 0, x 0. Пример 10. Найдем /'+(*), /'-(*) для функции 1х sin—, хф 0; * 0, х = 0. Решение. Заметим, что функция f непрерывна на всей чис¬ ловой оси (почему?). Если д^0, то /+ М =/- (х) =/' (*) = sin дс ~ COS — = X X 1 1 1 = sin COS . хх х Найти производную f'(0), пользуясь формулами и правилами дифференцирования, нельзя, так как точка 0 не лежит внутри ин¬ тервала, на котором зависимость / от х задана элементарной функцией. Так как --- ^ ^ -=sin — и функция sin-— не име- XX X ет предела как при х->0 + , так и при —, то функция f не имеет в точке д:=0 ни левой, ни правой производной. На практике удобно пользоваться следующим свойством: если функция f непрерывна в точке а, производная /' существует в не¬ которой правой (левой) полуокрестности а и существует Iim /'(л) x-»af 94
(lim /'(*)), то этот предел равен /'+(а) (f'_(a)). Обратим вни- * KJ— мание, что условие непрерывности функции / в этом утверждения существенно. В самом деле, пусть / W - Тогда — п/2 = lim /(*)</ (0) < lim / (х) = л/2, х->0— JC-+0+ т. е. функция f в точке * = 0 .не является непрерывной ни справа, ни слева, откуда видно, что функция / не имеет в точке х = 0 нл левой, ни правой производной. В то же время для хфО г W = “Tгт- 1 + X и существуют оба предела lim /'(*) = — 1, lim f'(x) = — 1. х-*0— х-»-0+ Пример 11. Найдем производную функции = ( arctgx, х>0, I ха 4- х, х<0. Решение. Заметим, что функция f(x) непрерывна на всей числовой прямой. Для х>0 имеем /'(*)=—‘—. Для х<& 1 + X9 f'(x)=2x+l, следовательно, f+ (0) = 1 im = 1, /1 (0) = 1 im (2х + 1) = 1. *->0+ 1 + X2 х-*0— Итак, функция f(x) дифференцируема на всей числовой прямой и 1 1, * = 0; 2х + I, х < 0. Пример 12. Найдем производную функции ( (-*—4) arctg—, хф 4; Ж= *~4 ( 0, х = 4. 95
Реше-ние. Заметим, что функция f(x) непрерывна на всей числовой прямой. Если хф4, то р (х) = arctg х — 4 ■ + х — 4 1 + (х - 4)а ’ откуда получаем U (4) = lim Г х-*4+ 2 fl(4)=Iim f'(x)=\— -5-. дг-П— ^ Итак, /' (*) = /+ М = f- (*) = arctg ■ так как 1 + (*-4)* /1(4)= — у, /V(4) = . то в точке *=4 функция / (х) не дифференцируема. Пример 13. Найдем производную функции fW = х9 sin—, хФ О, О, х = 0. Решение. Имеем /' (дг) = 2л:sin — —cos—, если хфО. X X Значение /'(0) вычислим по определению: р (0) = lim = lim дг sin — =0. x-*Q Итак, функция f дифференцируема на всей числовой прямой, и m = 2jc sin — cos — , хф0\ X X 0, JC = 0. Заметим, что пределы lim /' (х) и lim f'(х) не существуют. *-*•0+ х-»-0— Пример 14. Пусть Ну\ _ \ 8(х), х^а; 1 Л(х), х < а. Какому условию должны удовлетворять непрерывные функции g и Л, чтобы функция / была дифференцируемой на всей числовой прямой? 96
Решение. Так как f(x)=g(x) для х>а и f(x)—h(x) для *<а, то условие дифференцируемости g для х > а и h для х<а необходимо и достаточно для дифференцируемости f на множестве [х < a) U {х > а). Для дифференцируемости f в точке а прежде всего необходимо условие непрерывности h (а) = 1 im f (jc) = / (а), т. е. то fja + А*)—USL =.!*.(а rh А*)—Таким образом, для дифферен- Лх Лх цируемости f в точке а необходимо и достаточно, чтобы g(a)=h(a) и £+ (я) = (о), поскольку Найдем такие значения а и bt чтобы f была дифференцируе¬ мой на всей числовой прямой. Решение. Заметим, что так как f должна быть непрерывна в точке 0, то lim/ (лг) = lim /(*)= lim f(x) = \t т. е. Далее, /+ (0) = (х* + ах + Ь)' |х=я0 = а и (0) = (е*)' |Хат0 = 1, следова¬ тельно, /'(О) существует, если а= 1 и Ь=1. При этих значениях а и Ъ функция f дифференцируема на всей прямой. Перейдем теперь ко второй производной и производной л-го по¬ рядка. Производная функции /'(*) называется второй производной функции f и обозначается f". Далее определение идет по индук¬ ции: производная п-го порядка (п-я производная) — {п — есть производная от производной (л— 1)-го порядка: /<'»)= (/(Л—1)) Пример 16. Покажем, что л-я производная функции t/*= Согласно принципу математической индукции формула доказана. lim h(x)=g(a). Если Ах > 0, то _Н1±А*>-Ж = 81* + &-Л*>-; Лх Лх ; если Дх<0, /;<«)= lim g(a + Ax)-g(a) ДЖ-+0+ Ах и fL (о) = <im + Дх-^О— Лх Пример 15. Пусть lim ax-f 6) =6 — е°= 1? откуда 6= 1. **sinx есть Решение. Имеем = cos л* = sin [х -f — V Если у{п~~и (х) = \ 2 / (*) = (у'"-') (*))' = cos (х + -у (л — 1) j = sin ^ + -у я j. 97
Справедливы следующие формулы: (ах){п) = ах 1пп а (а > 0); (<ех)<п) = е*\ (sinx)<n> = sin + ~nV> (cosx)(n) — cos ; (xm)(n> = m(m — 1) (m — 2) ... (m—n -f 1) xn (inx)W== (-jr .(у-.»).'., xn Для нахождения л-й производной функции f в некоторых слу¬ чаях полезно функцию предварительно преобразовать, например, рациональную функцию разложить в сумму простейших дробей, понизить степень тригонометрической функции с помощью крат¬ ных углов, перейти к комплексным переменным и т. д. Так, на¬ пример, при нахождении л-й производной от функций 1 1 I х у— , v = sin4x, у = In , у - sin 2х cos2 Зх, * — 1 * ' * Зх 4- 1 у=ех cos х представим их соответственно в виде __ 1 _ 1 / i 1 У ” 2 U-l Х+] )' = — (cos4x—4 cos 2х + 3); 8 у = In — In 11 -h лг| — In 13x-f-11; y— sin 2*cos* 3x = у 3x + j i i i = —■ (sin 8*—sin Ax) sin2x; y=ex cos x = Re^(1+i). При нахождении производных высших порядков от произведе¬ ния двух функций полезно пользоваться формулой Лейбница: если каждая из функций u = f(x) и v = g(x) имеет в точке хо производную л-го порядка, то их произведение u-v также имеет л-ю производную в точке х0, причем у = sin4 л* = (и ■ I>)<"> = £ CnUm с/' k^O здесь ui0) = u(x), vlQ) = v(x)t Сп = - п! ft! (л — Л)! 98
Пример 17. Найдем у{10\ если у(х) = (х34-4х24-2)е2зс. Решение. Обозначим и(х) =x3-f4х24-2, v(x)=e2x, тогда, при¬ меняя формулу Лейбница, имеем [(*3 + 4х2 4- 2) ё*х]№ = С?0• (*3 4- 4jc* -+- 2)(С) ,(еа')(,0) + 4- C!o (jc* -f 4х% 4- 2)(1) • (еа')(9) + С\о'(х3 + 4х2 4- 2р • (е»*)8 4- 4 С? о • (xe 4- 4дс2 4- 2)<3> • («**)(7> = 210 • егх • (*8 4- 4** + 2) + 4- 2е • 10 • (З*1 + 8*) «** + 2в-45-(6х + 8) е%х 4- 27- 120-6-в1*. Здесь мы воспользовались тем, что все производные порядка бо¬ лее трех от функции у=хъ+4х2+2 равны нулю. Поясним теперь, как находятся производные функций, задан¬ ных параметрически. Пусть функция у(х) задана параметрически: x=x(t)t y = y(t), t&T. Если в некотором промежутке (а, Р)с:7 функции x(t) и y{t) дифференцируемы и *'(/)=/=0, то в промежутке (а, 0) функ- у\ ция у(х) однозначно определена, дифференцируема и уя = —7-. Производная ух* связана с аргументом х так же, как и исходная функция у через параметр t:yx'=<р(0» * = *(0- Поэтому при вы¬ полнении соответствующих условий вторая производная у по х / . . (Ух)] y”pxt — *py't равна ухШ = (ух)я = —— = ; и т. д. *t (*<)■ Пример 18. Найдем уж% ух% и у” для функции y(x)t заданной параметрически: x = a(t — sin /), у=а( 1 — cos /)• Решение. Так как jc/ = a(l — cost) неотрицательна для /Ф ф2nkt k^Z, то в соответствующих точках Рассмотрим теперь дифференцирование функции, заданной не¬ явно, т. е. соотношением F(xt у(х))= 0. Предположим, что такая функция определена и дифференцируема на некотором интервале (a, Р). Тогда при формальном дифференцировании соотношения y'=iL = _ 2 sin» — 2 2a sin* — 2 cos — 2 cos — 2 4a* sin* — • sin8 — 2 2 4a* sin7 — 2 99
F(x, y{x)) =0 по переменной x получим линейное относительно yx' уравнение, из которого находим выражение этой производной (условие существования и дифференцирования заданной таким образом функции у{х) рассматривается в теории функций многих переменных). Пример 19. Пусть функция у(х) определяется из уравнения х*+у3 — у6 — х = 0. Найдем r/x'U). если у( 1) = 1. Решение. Заметим, что значения х=1 и у= 1 удовлетворяют данному уравнению. Дифференцируя соотношение Xs 4-у*(х) +у*(х) —х=0 по переменной х, получаем Зха4-3 у2ух' — 5 у4ух' — 1=0. При х= 1 и у= 1 имеем 3 + 3</х'(1)-5^(1) -1=0, откуда ух'( 1) = 1. При соответствующих условиях функция у(х) будет иметь и производные высших порядков, которые определяются уравне¬ ниями (F (х, у (*)));,=о, (F (х, у (*)));'; = о и т. д. Пример 20. Пусть функция у(х) определяется из уравнения 1п(х* + у%) =х—у и х0 = у0 = —' . Найдем у' (хи) и у" (х0). v 2 Решение. Дифференцируя соотношение 1п(х2+у2(х)) =х — — у(х), имеем 2* + 2у Сх) у'х(х) 1 +У .(*) = о. ИЛИ 2х+2</ (х)у' (х) - (1 - у' (*)) (*2+</2 (*) Н 0, (2) х* 4- У* (х) 2х откуда следует, что у (х) , следовательно, X* + 0» (х) -f 2у (х) (1 \ j л/" 2 —7=г]= it. Дифференцируя по х равенство у'= У 2 j 1 -h/2 х1 4-1/» _ 2х „ 0 — —L , получим у . Заметим, что в соотношение, опреде- 4- Vх 4- 2у ляющее у", входит (/', которое уже найдено. Технически проще вычислить у'\ дифференцируя соотношение (2). В нашем случае имеем 2 + 2 (у' (х))* + 2у (х) у' f t/' (х* + v2 (jc)) - —(1 —у’ (*)) (2* + 2у (ж) у' (ж)) = 0. 100
Откуда и * 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ И ИНВАРИАНТНОСТЬ ЕГО ФОРМЫ Пусть / определена в некоторой окрестности точки хо. Если приращение функции / имеет главную часть, линейную относи¬ тельно приращения аргумента, т. е. если справедливо представле¬ ние Af=f(x0+Ах) — f(x0) =ЛДх+ о(Ах), Адс-^0, где АфО, то эта главная часть ААх называется дифференциалом df функции f в точке хо и говорят, что / имеет в точке х0 дифференциал. В случае Л = 0 дифференциал функции по определению считается равным нулю. Для функции одного переменного существование производной « точке хо и существование дифференциала в точке х0 эквива¬ лентны. Поэтому термин «дифференцируемая в точке Хо функция» означает одновременно существование и производной, и диффе¬ ренциала у функции / в точке Хо. Если функция дифференцируе¬ ма в точке *о, то ее дифференциал в этой точке равен fx'(xо)Ах. В частности, для функции у = х имеем dy = Axt т. е. дифференциал независимого переменного х совпадает с приращением Ах. Поэто¬ му дифференциал функции f записывается в форме df = fxdxt и производная fx может быть записана как отношение дифферен- Основные правила вычисления дифференциалов функций те же, что и для вычисления производной. Если функции fug дифференцируемы в точке х0, то в этой точке имеем 1. d (а/ -f pg) = adf -f $dg (а и р—постоянные); Главным свойством дифференциала является инвариантность его формы относительно композиции функций, а именно если =у(х) и x=x(t)t то dy = y/dt = yx/-dx. Необходимо только иметь в виду, что если х—независимая переменная, то dx есть прираще¬ r'l df циалов: /ж = —— 2. <Ufg)=gdf + fdg. 101
ние Лх, а если * = *(/), то dx есть главная часть приращения Ах, линейная относительно At. Свойством инвариантности дифференциала широко пользуются при преобразовании выражений, содержащих производные. Пример 1. Пусть дано выражение (1—х2)ух' — ху(у = у{х)). Положим x = s\nt, тогда, переходя в этом выражении к новой не¬ зависимой переменной t и считая, что y = y{t)> имеем У1 = , dx = cost dt, i/' = . Уя dx ’ 9 dt Следовательно, (1 — x*) dy — st/ds _ (1— — xy = - ( — sin / • и • cos /df = cost • yt—ysint. dx , (1 — sin* t) yt • dt — sin / • у • cos tdt cos t • dt В данном случае, вместо того чтобы использовать понятие диффе¬ ренциала, можно было пользоваться только правилами диффе¬ ренцирования сложной функции: у/ = ух'*xt', откуда у’х= но xt при более сложной замене переменной и функции использование дифференциалов дает более простой путь при вычислениях. Пример 2. В выражении (1 +х2)у''—у> где у=у(х), перей¬ дем к функции u(t), если у = —-—, x — tgt. cos t Имеем du - . <i(‘ix) . dt УЖ~~Т~’ У*‘ = (У*)*=——. dx=—— • dx dx cos* / , cos / • du и sin / • dt , cos du + и sin t • dt w dy = — ; у = ! x cos* t COS* t • dt X cos* t = cos / • u\ + «sin/; d (y'x) = —sin t • dt • u\ + -b cos t • d (u't) -f du sin t + и cos t dt = —sin t • и\dt -f -t- cos t • + sin tu't- dt + ucost * dt\ d (Ух) (— sin t - ufit -f cos t • u\tdt -f- sin / • ujd/ и cos tdt) cos* t dx d t = cos*t (uit -f u). Подставляя выражения для у и у" в исходное выражение, полу¬ чаем , л i\ / ft ч о, и и" cos* t — usin2/ (1 -Ь tg21) (ы,2 + u)cos4 — cos t cos t 102
Пример 3. В выражении 2(/"+ (х+у) (1 — у')*9 у=у(х) пе¬ рейдем к функции v(u)y если х = и+ vt y = v — а. Решение. Имеем dx=du + dv — du(\ + vu'); du - d (v> + l) — d (t>') (»' — 1) (V +1)* ’ <* (yx) 2 dv’ 2dv' dx {vf + l)a da (1 + v') (1 + u')3 ’ Подставляя выражения для xt у, y\ у" в исходное выражение, по¬ лучаем § 3. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1. Касательные и нормали к кривым Пусть L — непрерывная кривая и точка М0 лежит на L. Пусть 1м—полупрямая, выходящая из М0 и проходящая через несовпа¬ дающую с Мо точку Л4, лежащую на L. Рассмотрим множество по¬ лупрямых 1м, когда точки М лежат на по одну сторону от М0. Если существует полупрямая /о, выходящая -из точки М0 такая, что угол между /0 и 1М стремится к нулю, когда М-+М0, то полу¬ прямая /о называется односторонней полу касательной к L в точке Mq. Если в точке М0 существуют односторонние полукасательные к L как с одной, так и с другой стороны и угол между ними ра¬ вен п (т. е. эти две полупрямые сливаются в прямую), то эта пря¬ мая называется касательной к кривой L в точке М& Если кривая L на плоскости является графиком непрерывной функции у = у(х), то дифференцируемость у в точке х0 эквива¬ лентна существованию невертикальной касательной в точке Мо(хо, у(хо)) кривой и уравнение у—уо=у/(хо)(х—х0) является уравнением этой касательной. Если^ункция у непрерывна в точке х0 и = »+оо (или —оо), то в точке Мо(*о, у(хо)) соответствующая кри¬ вая имеет вертикальную касательную, уравнение которой есть =хо. Локальное поведение кривой в окрестности такой точки по¬ казано на рис. 29, а и б. Если в точке хо непрерывная функция у не дифференцируема, однако существуют у'+(х0) и у'-(хг0), то соответствующая кривая имеет в точке М0(х0, у(хо)) односторонние полукасательные: ле- Х-+Хщ X Xq 103
вую —полупрямую у— Уо = у/-(х0)(х — Хо), х^.Хо и правую —по¬ лупрямую у — уо=у'+(х0)(х — х0), х^х0. Тогда точка х0 назы¬ вается точкой излома или угловой точкой кривой (см. рис. 29 в, г> д). Если функция у непрерывна в точке х0 и lim У — = + оо, lim У(*>-У(*.) = _р., ( Iim Ж ■ > Х|— X Xq \х—X Xq X-+Xq— X Xq = + oojt то соответствующая кривая в точке M0(xQt у(х0)) имеет левую и правую полукасательные, каждая из которых является вертикальной полупрямой, направленной вверх: х — х0, у^уо (вниз: jc=jc0, у^уо). Точка кривой, в которой односторонние по¬ лукасательные являются одинаково направленными полупрямыми, называется точкой возврата. Поведение кривой в окрестности та¬ кой точки показано на рис. 30, а, б, в. Отметим, что для графика непрерывной функции возможен только один из вариантов: а) или б). Если две кривые имеют общую точку М0 и в этой точке каж¬ дая из этих кривых имеет касательную, то углом между этими кривыми называется угол между их касательными в точке М0. Для краткости в дальнейшем вместо слов «кривая, являющаяся графиком функции !/=*/(*)*» говорим «кривая ужу(х)*. Пример 1. Напишем уравнения касательных к кривой г/= =*х2гх в точках с абсциссами: а) х = 0, б) х=—1. Решение. Имеем у(0)=0, у(—1) =—2, ух' = 2~х — In2= —х In 2), £/'(0) = 1, у'(—1) = 2(l-f In 2). 104
Следовательно, уравнения касательных соответственно будут: а) у=х, б) #+2=2(1 +In2) (ж+1) (см. рис. 31). Рис. 30 Пример 2. Напишем уравнения касательных к кривой у = =х/ (1—X) в точках с абсциссами: а) *=0; б) jc=1; в) х=9. Решение. Имеем у(0) =0, ^(1) =0, у{9) = —18, У' = (l-*)"2'3 = -L (1 _х)-2/3 (3—Ах), (3) У' (0) = 1, У' (9)= Следовательно, уравнения касательных будут «в случаях а) и в) соответственно у=х и р+18 = (jc—9); в случае б) при *= 106
= 1 формула (3) теряет смысл. В данном случае можно непосред¬ ственно вычислить, что 1- У (*) — У (1) 1- * lim^—L—= lim —з - ■ = — оо. х — 1 х-1 _/(!_*)* Заметим, что проще использовать утверждение: если f(x) непре¬ рывна в точке *0 и lim /' (*) = оо, то lim (/ (*) — f (xQ))/(x— х0) = оо х-*-х, х-+х0 (соответственно 4-оо или —оо). Таким образом, в точке (1, 0) не¬ прерывная кривая y = x\f 1—х имеет вертикальную касатель¬ ную х=\ (см. рис. 32). Пример 3. Напишем уравнения касательных к кривой х = = 2cos t — cos 21, y = 2s\nt—sin 2/ в точках: a) t = n/2; 6) t = n\ в) / = Зя/2. Решение. Имеем t = я/2 у = 2; t = n*$x = — 3, у = 0; t = Зл/2->* = 1, у = — 2; 3/ t sin — sin — 2 2 * 3/ ., ,. •, i 3, t ~ ^ 2 ’ ^х^=”л/2 ~~ * ^*1/=Зя/2 ^ cos — sin — 2 2 Следовательно, уравнения касательных будут в случаях а) и в) соответственно у — 2 = —(х—1) и 1/4-2 = *—1; б) в точке t = =п (х=—3, #=0) функция ух' не определена. Рассмотрим кривую в окрестности точки * =—3. Параметриче¬ скую связь хну можно рассматривать и как определение функ¬ ции у(х), и как определение функции х(у). Так как в окрестно¬ сти точки t = n имеем у/<0, то в этой окрестности * есть непре¬ рывная однозначная функция у и xv' = xt'lyt' = ctg (3t/2), т. е. урав¬ нение касательной к графику этой функции в точке г/ = 0, * =—3 есть *4-3=0• у или *=-3 — касательная параллельна оси OY. Если же рассматривать функцию у(х), то точка * = —3, у = 0 яв¬ ляется общей точкой графиков двух однозначных непрерывных функций у 1 (*) и г/2(х), соответствующих участкам монотонного изменения x(t): при /е(я/3, я) * убывает от 3/2 до —3, при te е(я, 5я/3) * возрастает от —3 до 3/2. Так как *^—3, то обе ветви у\ (*) и У2(х) кривой * = *(/), y = y(t) лежат справа от пря¬ мой * = —3, и в этой точке можно говорить только об односто¬ ронних полукасательных к каждой из ветвей. Имеем 3/ 3/ lim у\ (*) = lim tg — = 4-°°, lim у' (х) = lim tg — ==— оо. х-*-— 3-f t-*n— 2 x->—34- 2 Отсюда, рассматривая кривую в целом, видим, что полукасатель- ная «сверху» в точке (—3, 0) является вертикальной полупрямой, направленной вверх: * = —3, у^0; полукасательная «снизу» — 106
иертикальной полупрямой, .направленной вниз: х=—3, у^О. Так кик угол между этими полупрямыми равен я, то кривая в точке имеет вертикальную касательную х — —3 (см. рис. 33). Пример 4. Напишем уравнения касательных к кривой х = «=21—/2, y = 3t—t3 в точках a) t =— 1; 6) t= 1; в) t = У2. Решение. Имеем t = — 1 д; = —3, у = —2; t = \ =$х = \, у = 2; / = /2->х = 2 К2—2; у==К2; 4=3ji^)=A х, 2(1 — /) 2 7 f/'jtIг—1=0- I«—v'2 = “1“(1 + 1^2)- Следовательно, уравнения касательных будут в случаях а) и в) соответственно у + 2 = 0 и у—]/2 =-~(l -f |^2)(х—2J/2 + 2); случае б) в точке /=1 функция ^ не определена. В отли- 2(1 — t) чие от предыдущего примера при /=1 и yt' = 0, и х/ = 0. Поэтому нельзя утверждать, что в окрестности точки (1, 2) переменная у является однозначной функцией х или переменная х является од¬ нозначной функцией у. Функция jc(x) имеет два участка монотон¬ ности: на (—оо, 1] она возрастает от —оо до 1, на [1, + оо) — убы¬ вает от 1 до (— со). Соответственно имеем две однозначные не¬ прерывные ветви рассматриваемой кривой ух (х) и у2 (х) каждая с областью определения 1. Точка М0(\, 2) — общая для них. Так 107
как jc^I, то можно определить только односторонние полукаса- тельные к каждой из ветвей в точке М0. Имеем lim у—-~ 2 = lim у (jc) = lim — (1 4- /) = 3; ж-и — х—1 ж—► I — /-*1 2 lim = lim у' (х) = lim — (1 4- /) =3. *-►1— Ж—1 ж—► 1 — f —♦ 1 2 Итак, полупрямая у—2 = 3(х—1), х^1, является общей полука- сательной для обеих ветвей рассматриваемой кривой в точке (1; 2). Точка (1; 2) — точка возврата (см. рис. 34). Пример 5. Напишем уравнения касательных к кривой ху(х4- + у)+х2 = 2у2 в точках с абсциссами а) х = 4; б) х = 0. Решение. Из данного уравнения получаем Хш± Ух* + 8х* — 4х* У 4 — 2JC т. е. кривая состоит из двух ветвей х» 4- Ух4 4 8х* — 4х3 х» — х/х4 + 8х2-4х3 4 — 2* " 4 — 2х Таким образом, значение х = 4 определяет две точки, лежащие со¬ ответственно на двух ветвях кривой: Мх(4, —2^2—4) и (4,2^2—4), а при х=0 имеем У\^У2=0, т. е. точка Мо(0, 0) является общей для обеих ветвей. Пользуясь правилом диффе¬ ренцирования неявной функции, находим, что 2ху 4- хгу' 4 2уу'х 4- уг 4- 2х = 4уу', (3) откуда у' = -2х--. Угловые коэффициенты касательной в 4у — х* — 2ху точке М1 и в точке М2 равны нулю, и уравнения соответствующих касательных есть у — 2 У"2—4 и у = —2^2—4. В точке Afo(0, 0) уравнение (3) вырождается — превращается в тождество 0 = = 0. Найти касательную к каждой из ветвей в этой точке можно, например, дифференцируя каждую из явных функций yi(x) и £/а(*), однако сделаем это другим способом, поскольку часто урав¬ нения ветвей неявно заданной функции не выражаются аналити¬ чески в явном виде у = у(х) или х=х{у). В некоторых случаях удается разделить ветви кривой, задан¬ ной уравнением F(xt у) =0, введением параметра. Так, для нашей кривой введем параметр t = —, тогда параметр t и переменная х связаны уравнением tx2(x+tx) 4-х2=2/2х2, откуда х = 2/ ~ 1 М 14-_0 Точке АЬ(0, 0) соответствуют два значения параметра /= 1/У2 и — 1/Y2. Легко проверить, что функция x(t) строго монотонна 108
как в окрестности точки /=1/У2, так и в окрестности точки t=* •• — 1/У2. Так что действительно при изменении t в соответствую¬ щей окрестности этих точек мы получаем две различные ветви на¬ шей кривой. Имеем у (0) = lim -—= lim — = lim t. X-+Q X — 0 ж-*0 X х-+0 X-+Q X — 0 Поскольку условие х-+0 на одной из ветвей эквивалентно усло¬ вию /-*1/у2, а на другой — условию t—1/У2, то касательная к од¬ ной из ветвей _в точке (0, 0) имеет уравнение у=х/У2, а к дру¬ гой — у=—х/У2. Отметим, что особая точка М0(0, 0) кривой *f/(x + y) +х2 = 2у2 представляет собой точку пересечения двух ее гладких ветвей, образующих между собой угол a = arctg2V2. Пример 6. Найдем угол, под которым пересекаются кривые хг + у* = \2х и у=\/г(х—6)а. Решение. Чтобы найти точку пересечения кривых, надо ре- з, шить уравнение (х—6)*4-у (*—6)4=36. Положим (х—6)2 = z3, тогда z3 + z2 = 36. Так как z34-z2—36 = (z—3) (z24-4z4-12), то урав¬ нение имеет единственный корень z^=3, откуда x = 6±jK27. Итак, точками пересечения кривых являются точки Afi (6+V27,9) и Мл(6 —V^27, 9). Для первой кривой имеем 2х+2уу/=12, откуда /—(6—х)/у. Следовательно, угловые коэффициенты касательных к ней в точке есть —КЗ/З, а в точке М2 есть У13/3. Для второй кривой у' = 2(х—6)|/3/3, следовательно, в точке Afi угло¬ вой коэффициент касательной есть 2/3 |/3, а в точке М2 есть — 2/ЗУЗ. Углы, под которыми пересекаются кривые в точках М1 и М2, одинаковы и равны /3 2 + arctg—- = arctg (см. рис. 35), Пример 7. Найдем угол между левой и правой полукаса- 2х тельными к кривой у = arcsin j в угловой точке (см. стр. 104). Решение. Имеем „'= 1 2 + 2*»-4*«_ . 2(1 х1) ( У r (if**)* /(1-**)»(1 + **) 1 ’ 109
Следовательно, угловыми точками могут быть только точки МД1, я/2) и М2 (— 1, —п/2). Имеем /+(1)= lim у'х= lim -~=-1; /_(1)= lim y'z= 1. х—* 1 + х —+1 + 1+ДГ х-1- Угловые коэффициенты левой и правой полукасательных в точке М, равны 1 п -1, угол между ними равен л/2. Так как функция у(х) нечетная, то кривая симметрична относительно начала коор¬ динат и угол между левой и правой полукасательными в точке М2 также равен я/2 (см. рис. 36). 2. Возрастание ■ убывание функции Определение. Пусть функция f определена на интервале (а, Ь). Если произведение (/(*i)—f(x2))(*i—х2) не меняет знака на (а, Ь), то говорят, что функция f монотонна на (а, Ь). Если (/(•*0—7(**)) (*l—*2)>0 ((f(x,)—f(x2))(x,—Xt)<0) для любых х,, Х2, л:, ^х2, из (а, Ь), то I строго возрастает (строго убывает) на (а, Ь), если же это произведение обращается в нуль для несо¬ впадающих хи х2, то говорят, что монотонность нестрогая. Если монотонная на (а, Ь) функция дифференцируема на (а, Ь)> то ее производная не меняет знака на (а, b). Если f диф¬ ференцируема на (а, Ь) и /' (jc) >0(/'(х) <0) для всех хе(а, b)t исключая, быть может, конечное множество (на котором f'(x) = 0), то f строго возрастает (строго убывает) на (а, Ь). Определение. Функция /, заданная па (а, b), имеет в точ¬ ке х0е(а, Ь) локальный экстремум, если существует такая окре¬ стность U(x0)^(a, Ь), что разность f(x)—f(x0) не меняет знака для x^U(xо). Если f(x)—f(x0)^0 для любого x^U(х0), то точка х0 называ¬ ется точкой максимума; если f(x)—f(xо)>0 для любого хе et/(jc0), то Хо называется точкой минимума. Заметим, что точка 110
локального экстремума обязательно есть внутренняя точка облас¬ ти определения функции. Точки, в которых f(x) определена, a f'(x) равна нулю или не существует, называем критическими точками f. Всякая точка ло¬ кального экстремума является критической точкой, но, как пока¬ зано ниже на примерах, не всякая критическая точка есть точка экстремума. Достаточные условия локального экстремума 1. Пусть функция f(x) непрерывна в некоторой окрестности критической точки х0 и дифференцируема в ее проколотой окрест¬ ности, причем /'(*) в левой (0'_(х0)) и правой (U+(x0)) полуок¬ рестностях сохраняет знак. Тогда если /'(л)>0 для x^U-(x0), а ;'(л')<0 для x^U+(x0)y то точка х0 есть точка максимума; если /'(*)<0 для x^U-(xq) и /'(*)>0 для x^U+(x0), то точка х0 — точка минимума. Требование непрерывности функции {(х) в точке х0 существенно. Пример 8. Пусть ( 1 + х, х < 0; f(x)=\ 0, * = 0; (—1 —х, х > 0, тогда f'(х) = 1 при х<0 и /'(*)= — 1 при х>0, т. е. при переходе через точку х = 0 производная меняет знак, но точка х—0 не яв¬ ляется точкой локального экстремума. 2. Пусть } имеет в точке х0 производную порядка п, f'(x0) = = Г(хо) =.. .=/(п_1)(*о) =0 и f{n)(xо)фО. Если п — четное и /(л)(*о) >0, то х0 — точка минимума; если /(я)(*о)<0, то х0 — точка максимума; если п — нечетное, то критическая точка х0 не будет точкой экстремума. Если функция f рассматривается на отрезке [а, Ь] или луче [а, +оо), то кроме локальных экстремумов / может иметь крае¬ вой экстремум: точка а (точка Ь) является точкой краевого экст¬ ремума, если существует такая ее правая (левая) полуокрест¬ ность, в которой разность f(x)—f(a) (f(x)—f(b)) не меняет знака. Пример 9. Найдем точки экстремума и промежутки моно¬ тонности функции у (*) = 1 + arctg Ух+ 1. х + 2 Решение. Имеем «/'(*)=—-—(х >— 1). (х + 2 )*Ух+ 1 Функция у(х) определена и непрерывна на луче х^—1, а функ¬ ция у!{^) — на луче х> — 1; г/'(л*)>0 для — 1<х<0, */'(0)=0, 111
у'(х)<0 для *>0. Итак, на интервале —1<х<0 функция у(х) возрастает, на луче х>0 — убывает, lim у(х)= —; в точке х = Х-*+оо 2 = — 1 — краевой минимум у(—1) = 1, в точке х=0 — локальный и абсолютный максимум у(0) = 1 jx/4. Пример 10. Найдем точки экстремума и промежутки моно- 3/ тонности функции у (х) = х* • у Xя— 1 . Решение. Имеем ,, ч х* (11х* — 9) У (*) = ==г. 3 /<1 — **)* 3 3 Точки Х= 0, X = 1, Х = — 1, ДС=-7=-, х =——р=~ ЯВЛЯЮТСЯ крити¬ ки’ У\Х к ческими точками данной непрерывной функции. Функция у'(х) меняет знак только в точках Xi——3/^1 i и х2 = 3/У 11, причем у'(х)>0 для_ х<— 3/У 11, у'(х)<0 для —3/^11 <х<3/у 11, у'{х)>0 для jc>3/У 11. Таким образом, функция у(х) возрастает на проме¬ жутках^—оо, —З/УИ), убывает на (—3/У 11, 3/У 11), возрастает на (3/У 11, -f оо), в точке хх = —З/УП имеет локальный максимум, в точке jc2 = 3/У 11 — локальный минимум. Критические точки х =— 1, х = 0, х=\ не являются точками локального экстремума. Пример 11. Покажем, что функция у(х) = ^\ Н—— j строго возрастает при х>0. Решение. Имеем Так как ^1 -f — j > 0 для х > 0, то знак у' (х) совпадает со знаком X I 1 1 функции g (х) = In — . Имеем lim g (х) = 0, g' (х) = X X-f'l ' *-►+«> = <0, х > 0. Итак, функция g (х) стремится (* + !)* х (х -f 1) к нулю при х—►’-Ь оо, монотонно убывая, следовательно, для всех х>0 функция g(x)>0 и, значит, у'(х)>0, х>0. Откуда вытекает, что у(х) строго возрастает при х>0. Пример 12. Доказать неравенство 1+21пх^х2 для х>0. Решение. Рассмотрим фуикцию /(х)=х2—21пх—1. Имеем /(1) =0, Гх = ~ **. Для х>1 имеем /'(х)>0, а для 0<х<1 имеем /'(х)<0. Таким образом, f(x) на интервале (0, 1) убывает, на интервале (1, + оо) возрастает, и так как f(x) непрерывна при х= 1, то точка х=1 является точкой-минимума. Следовательно, для х>0 /(х)=х2—21пх—1>/(1)=0, откуда и вытекает неравен¬ ство х2>1+21пх, х>0. 112
Пусть непрерывная функция / задана на отрезке [а, Ь]. Тогда: на отрезке [а, Ь] существуют точки Х\ и х2 такие, что f(jc,)= max f(x) и f(x,) = min f(x). x£ia,b\ *й{а.Ь\ Если хотя бы одна из этих точек лежит внутри отрезка, т. е. на. интервале (а, 6), то в этой точке функция / имеет локальный экстремум. Таким образом, точки хх и х2 входят в множество, состоящее из всех точек локального экстремума функции f на (а, Ь) и концевых точек х = а и х = Ь. В свою очередь это множество есть подмножество множества, состоящего из точек х—а, х = 6 и всех критических точек функцию / на (а, Ь). Сравнивая значения функции / во всех точках этого множества (т. е. в концевых и критических точках), находим шах /(х) и min f(x). *€la,bj Пример 13. Найдем max f (х) и min /(х),если /(х) = *61-4,41 *€1-4.4! = х34-3х2—9x-f5. Решение. Так как функция f(x) дифференцируема на всей прямой, то критические точки данной функции есть те точки, где /'(х)=0. Поскольку /'(х) = 3х24-6*—9 и /'(*)= 0 при х = —3 и х= 1, то критические точки есть х\=—3 и х2=1. Эти точки при¬ надлежат отрезку [—4, 4]. Следовательно, надо сравнить значение функции в точках х0=—4, Х| =—3, х2=1 и х3 = 4. Поскольку /(—4) ==25; f(—3) =32, f( 1)=0 и /(4) =81, то max /(х) =/(4) =81, min f (*)=/(—1)=0. 1 М1 I-4.4J Пример 14. Найдем max / (х) и min /(х), если / (х) = | Зх4— 1-2.31 1-2.3! — 16х34-24х2— 431. Решение. Функция / (х) может быть недифференцируема в тех точках, где Зх4—16х34-24х2—43=0. Имеем Зх4— 16х34-24х2— —43= (х4-1) (Зх3—19х24-43х—43). Положим g(x) = 3х3—19х24- 4-43х—43. Тогда g'(x)=9x2—38х4-43>0 для всех х, т. е. g(x) монотонно возрастает, и так как g(3) =—4, то #(х)<0 для всех. xg[—2, 3). Следовательно, х =— 1 единственная возможная точка недифференцируемости f(x) на [—2, 3|. Для х<—1 имеем /'(х) = = 12х(х—2)*, для х>—1 имеем f'(x) = —-12х(х—2)2, следователь¬ но, критическими точками f(x) на отрезке [—2, 3] будут точки Х\ =—1, х<г=0, х3 = 2. Вычисляя значения /(х) для х0=—2, Х\ =—1, *2 = 0, х3=ь2, х4 = 3, получаем /(—2) =229, /(—1) =0, /(0) = 43,. f (2) =27, f(3) = 16, т. е. max f (х) = /(-—2) =229, min / (х) =/(— 1) =0. 1-2,31 1-2,31 3. Формула Тейлора, правило Лоттам Пусть функция / в некотором интервале (а, Ь) имеет п произ¬ водных. Тогда для любой точки х0е(а, Ь) можно написать мно• ИЗ
гочлен Тейлора Tn(U *о) = ^ ^ k'~°~ (x~xo)k- Разность fc-0 Rn{f, x0)=f(x)— Tn(f, Xo) называется остаточным членом формулы Тейлора f(x)=Tn(f, x0)+Rn{ft х0). При данных условиях, налагаемых на функцию fy Rn(ft *о) = =о(х—х0) п(х-+х0) и Rn называется остаточным членом в форме Пеано. Если потребовать, что на (а, Ь) существует fin+l)(x), то для любого х из (а, Ь) Rn(f, *0) = т~Л'л'(*—■*о)'’+'• где & — (Л -j- 1)! некоторая точка интервала (х0, х), и Rn называется остаточным членом в форме Лагранжа. Использование формулы Тейлора с остаточным членом в фор¬ ме Пеано для выделения главной части функции f в окрестности некоторой точки и для вычисления пределов было подробно рас¬ смотрено выше. Выражение Rn в форме Пеано в отличие от Rn в форме Лагранжа позволяет оценить величину погрешности, до¬ пускаемой при замене функции f многочленом Тп(х) на некотором промежутке. Пример 15. Оценим погрешность при замене функции /(*)== = arctgх многочленом Тейлора Tb(ft 1) на отрезке [1/2, 3/2]. Решение. Поскольку Г =—{-—, f{n)(x)=-—- s*n (п arcctg х), л >2 '* 1 + х* ' W (1 + x*)nU Ъ ' го можно показать, используя тождество ——=—(— Ц). 1 4- 2i \х — i X -f i J J TO Так как точка £ лежит между х и 1, \х—11 < 1/2 и |sin(n arcctg £) |^1, то 5! < 1 43 1 (1+£а)3 2*-6 53 6-53 7 50 Итак, многочлен
приближает функцию arctg х для всех хе[1/2, 3/2] с погреш¬ ностью не более чем 1/750. Правило Лопиталя. Пусть функции / и g определены и диффе¬ ренцируемы в некоторой правой полуокрестности точки а:(/+(а) = —{х : а<х<а+6}, 6>0, причем g'(х)¥*0, хе[/+(а) и lim - ^ =А~ *-*»+ g' (X) Тогда, если 1) lim /(*) = lim ^ (jc) = 0 *-+а+ я— или 2) lim f(x) = lim g(x) =00, Д-Ю+ J-H+ TO lim Ш- = А. »-«+ «(*) Правило верно и тогда, когда А есть один из символов оо, +оо„ ОО. Аналогичное утверждение справедливо и для lim ^ —• и для дм*- $(*) lim ----- (в первом случае функции fug должны удовлетяо- *-+а g (*) рять соответствующим условиям в некоторой левой полуокрестно¬ сти точки а, во втором случае — в некоторой проколотой окре¬ стности точки а). Пример 16. Найдем lim (—- я ctg лх \. х-и \ 1пдс * ) Решение. Чтобы иметь возможность применить правило Ло¬ питаля, представим данную разность в виде отношения функций _J nctg пх== sin ях я In х- cos ях lnx In x-sin их g (x) ’ Функции / (*) = sin я*—я \nx cos лх и g (x) — In jc• sin лх удовлет¬ воряют условиям применимости правила Лопиталя при х из окре¬ стности Oj_(l) = (l/2, 3/2) \{1). Отношение производных 2 Г(х)1в'(х) равно Я COS их — — COS ях + яа In х- sin ях X — sin лх -f- я cos ях- In х X ях cos ях — я cos ях -f яах In х sin ях sin ЯХ 4“ ЛХ COS ях* In X 1 IS
Это отношение опять представляет собой неопределенность типа —. Применим правило Лопиталя к нему. Отношение производной числителя к производной знаменателя равно я cos ях — я*х sin ях 4- я1 sin яде 4~ я* In x-sin ях 4- я1 sin ях 4- я*х In х cos ях я cos пх -\- Я COS ЯХ In X 4- я cos ях — я*х In х sin ях Предел этого отношения при х->1 равен 1/2. Следовательно, &' (*) 2 ’ Таким образом, .. / 1 1 \ *« sinяx — я cos лх * 1 п х lim [ — я ctg лх) = lim = *-►1 \ lnx / 1 sin ях* In х ях cos ях — я COS ЯХ 4- яах lnx-sin ях X-*-1 sin ЯХ 4- ях cos ЯХ-1ПХ j. я cos ях — яах sin ях4-яа sin ях 4-я» lnx sin ях 4-я* sin ях 4-я1* In х cos ях Х-*\ я COS ЯХ 4- Я COS ЯХ In X 4- я cos ях — я*х lnx sin ях _ J_ ~ 2 * По смыслу эта цепочка равенства должна читаться с конца: так как предел последнего отношения существует, то существует и ра« вен ему предел предпоследнего отношения и т. д. Если же предел отношения производных не существует, то это ничего не говорит о существовании или несуществовании предела отношения функций. Приведем соответствующий пример. Пусть f(x) =х* sin — 4- 2sin* и g(x) =х. X Тогда lim = lim (х sin — 4- 2 -1П* \ =2, л-0 g (*) х-+0 \ * * / 2х sin — —cos —— 4- 2 col х ff (х) X X а отношение ----- ■ равно и не имеет пре- *'<*)■ 1 дела при ж-►О. Применяя правило Лопиталя, необходимо также следить за тем, чтобы было выполнено либо условие 1), либо условие 2). Так, например, пусть /(x)=sinAH-cosx и g(x)=x4-2. 116
Тогда HmiiiL = -L. [a limJli£b = iiml£2i£^fi!liL = i. jr-^o g (x) 2 Ж+0 g' (X) x-*0 [I (Здесь не выполнены ни условие Пт/(лг) = Пту (х) =0, ни условие х-»0 др—►О * Нт /(jt) = limg(x) = 00.) *-►0 *-►() 4. Исследование функций ■ построение кривых Считаем, что исследовать функцию — это означает: 1) найти область определения; 2) отметить (если они есть) особенности функции (периодич¬ ность, четность и нечетность, сохранение знака), найти точки пе¬ ресечения графика функции с осями координат; 3) если граничные точки области определения функции при¬ надлежат ей, то найти значения функции в этих точках, в против¬ ном случае — выяснить поведение функции в окрестности этил точек (включая и несобственные точки —оо и + оо); 4) найти наклонные асимптоты (вертикальные и горизонталь¬ ные определяются в пункте 3) или убедиться в их отсутствии; 5) найти участки возрастания и убывания функции, определить локальные и краевые экстремумы; 6) найти интервалы, на которых функция выпукла вверх или вниз, определить точки перегиба. По результатам такого исследования функции строится ее график. Пример 17. Исследуем функцию у — — ^и построим (х—1)* ее график. Решение. 1) Хф\\ 2) при х = 0 у= 1, при х — — 1 у = 0, при х>—1 у>0, при *<—1 у< 0; 3) lim у(х) = + оо, lim у(х)= + оо( lim у(х)= + оо, *-►1+ *-►+<» lim у (х) = — оо; Д-*- —оо 4) k+= lim -^- = 1, Ь+= lim (у(х) — х)=5, Х-+ -f-00 X X-*- -f-oo = lim - -x) = 1, b- — lim (y{x)—x) = 5; X-*- —00 X X-*- —00 5) У' (*) = ■(<-t1>,("~5) » *Ф1, У’>0 ПРИ *< 1 и x > 5; (JC—l)* yr < 0 при 1 < x < 5; €) x+l> У’>° "Ри X>~1> *+l'> <° при x< — 1. 117
Итак, функция у (х) = ||д определена на множестве (—оо, 1)(J (1, +о°). Графкк ее пересекает ось О У в точке (О, 1) и ось ОХ в точке (—1, 0). Вертикальная асимптота х=1, наклон¬ ная асимптота у = х+Ь. На промежутках х<\ и х>Ъ функция возрастает, на промежутке 1<х<5 убывает, в точке ^5, 13-^-j имеет локальный минимум. На промежутке х<—\ функция вы* пукла вверх, на промежутках —1<х<1 и х> 1 — вниз, (—1, 0) — точка перегиба. График данной функции представлен на рис. 37. Отметим, что у'(—1)=0, т. е. график функции имеет в этой точке горизонтальную касательную, точка х = — 1 является критической, но локального экстремума у функции в этой точке нет. 3 г Пример 18. Исследуем функцию у = (х — 5) у х2 и построим ее график. Решение. Имеем 1) *<=/? ; 2) у = 0 при х = 0 и х = Ъ\ у у 0 при""* >5; г/ < 0 при х< <5, хфО; 3) lim у(х)= + оо, lim у(х) = — оо; X-*• -foe x-f —оо 118
4) k+ = lim y = 4-00, k_ = lim y ^ ■ = -f oo; *-►4-00 X *-*•—ao X 5) y'(x) = , *#0, у'(дс)>0 при дг< О и д: > 2; z/' (ж) < 0 при 0 < дг < 2; 6) tf (х) =—- х 3 (х + 1), хфО, у" (х) >0 при —1 < х< 0 и х > 0; у’ (х) < 0 при х < — 1. з г Итак, функция у(х) = (х — 5) /х2 определена на всей числовой прямой. График ее пересекает ось ОХ в точках х = 0 и х = 5. Асимптот нет. На промежутках —оо<л;<0 и 2<х< + оо функция возрастает, на промежутке 0<х<2 — убывает, в точке (О, 0) з ,— имеет локальный максимум, в точке (2, —3 у 4) — локальный минимум. На промежутках —1<х<0 и 0<х< + оо функция вы¬ пукла вниз, на промежутке —оо<д:< — 1 — вверх. Точка (—1,—6) — точка перегиба. Поскольку f(x) непрерывна в нуле и lim »<«)-у<°) х-М)4- х — О ЦП, х — О I- х — 5 = lim =— оо, V* = lim х = -foo, то полупрямая х=0, у^О является и левой и правой полукаса- тельной к графику функции в точке (0, 0). Следовательно, точка (О, 0) — точка возврата кривой. График данной функции пред¬ ставлен на рис. 38. Пример 19. Исследуем и построим график кривой, заданной параметрически *<0=-г*Ц-. y(t) = 1 ^ ' Г3+1 Решение. Параметрические соотношения определяют функ¬ цию y(x)t однозначную и непрерывную на тех промежутках изме¬ нения параметра /, на которых функция x(t) непрерывна и строго монотоннаи Выделим такие промежутки. Имеем ' _ -У ' /(2-/3) ' (**_ !)>* У* (^4-1)»* Графики функций x(t) и y(t) изображены на рис. 39,а, б. Функ¬ ция x(t) строго монотонна на четырех промежутках: (—оо, —1); (—1, 0], [О, 1), (1, 4-оо). Так как формальное дифференцирова¬ ние на рсех промежутках производится одинаково, то имеем при 0 и —1 119
Уж _ / (2 — /3)(/а — I)8 _ (*» —2) (/- 1)« (/8+ 1)2(—2/) 2 — / + 1)* . _ (/»— 1)8 (/»— 3/» + 9/ — 8) х‘ 4 (/2 — / -J- 1 )3 Пусть t<—1, тогда: 1) х>\ (см. рис. 39, а); 2) У<0 (см. рис. 39, б); 0, — 1. Рис. 39 3) условие х ->• 1 + эквивалентно на промежутке t < — 1 условию —оо, поэтому lim у (jc) = lim y(t)=0\ точно так же lim у(х) = /-*—ОО JC—♦‘-■J-оо = lim y(t) = —oo; /—►— i— a\ и l* У (x) г У (О и— 1—I 2 4) k+= lim ■ ■ = lim — ■= lim *(/) <—1- />-/+1 3 6+= lim (y(x) + — x\= lim ** ) ^=—; + Г,тз ) 3 (/ — 1) (**-* + l) 6 5) так как f<—1, то yx'<0\ 6) обозначим через g(t) многочлен 3/2+9/—8; так как ^(—1) =—21 <0 и g'(t)=3t2—6/ + 9>0, то £(0<0 для /<—1. Отсюда следует, что для t<—1 имеем у” >0. Итак, ветвь кривой, соответствующая изменению t на промежутке (—оо, —1), пред¬ ставляет график непрерывной, отрицательной, монотонно убыва¬ ющей, выпуклой вниз на луче дс>1 функции с асимптотой 2 1 у = х-\ и краевым условием lim#(jt)=0. 3 6 х-и-j- Пусть —1</<0, тогда: 1) jc<0 (см. рис. 39, а); 2) i/>0 (см. рис. 39, б); 3} условие оо эквивалентно на промежутке —1</<0 условию t->—1+, поэтому lim i/(jc)= lim у (i) = -f оо, значе- «-►—ао t-*—l-f нию jc=0 соответствует значение * = 0, следовательно, значение у при х = 0 равно 0; 4) = lim IH-I+ * (О 5) так как — 1 < ^ < 0, то ух < О, Иту' = ■ t-+Q- 1; 120
6) Ух. < 0. Итак, ветвь кривой, соответствующая изменению t на проме¬ жутке —1</^0, представляет график непрерывной, неотрица¬ тельной, монотонно убывающей, выпуклой вверх на луче х^О функции с асимптотой у =—— x-f— и краевым минимумом 3 6 х = 0, г/ = 0, имеющей в точке (0, 0) левую полукасательную: луч г/=—х, х<0. Пусть 0</<1, тогда: 1) х^О (см. рис. 39, а); 2) у^0 (см. рис. 39, б) ; 3) условие х-#-—оо эквивалентно на промежутке 0^/<1 усло¬ вию —, поэтому lim у (х) = lim y(t) . Значению х=0 *-► —оо — 2 соответствует значение у = 0; 4) наклонных асимптот нет, так как при х-*—оо у(х) не яв¬ ляется бесконечно большой величиной; 5) так как 0 < t < 1, то у' <0, lim у’ = — 1; t-+o 6) УхШ<0. Итак, ветвь кривой, соответствующая изменению t на проме¬ жутке 0^/<1, представляет график непрерывной, неотрицатель¬ ной, монотонно убывающей, выпуклой вверх на луче х^0 функции с асимптотой */=1/2 и с краевым минимумом х = 0, у = 0, имеющей в точке (0, 0) левую полукасательную — луч у = —х, х^0. Таким образом, точка (0, 0) является общей точкой двух ветвей кривой, которые подходят к ней слева и сверху, и обе эти ветви имеют в точке (0, 0) общую левую полукасательную: луч t/=—х, х<0. Точка (0, 0) является точкой возврата кривой. Пусть />1, тогда: 1) х>1 (см. рис. 39, а); 2) у>0 (см. рис. 39, б); 3) условие х~И4- эквивалентно на промежутке />1 условию i-^+oo, поэтому lim у (х) — lim y(t)= 0. JT—*-1 -f- <-*-4-oo Аналогично lim y(x) = lim y(t) = —; *-►+00 ^1+ 2 4) наклонных асимптот нет; 5) Ух > 0 для f >-^2", т. e. для 1 < x < y'T / (у^Г — 1); y'x < 0 для 1 < t 2 , т. e. для дс> v^4 / (у'Ч — 1), точка (y^4 /(y^4 — — 1); v 4/3)—точка локального максимума; 6) для многочлена g(t)=t3—3/s+9/—8 имеем £(1)=—I<0, g(V2) = -3^4" +9 —6 = — 3 (у^2 — 1) (\^2 —2) > 0, &' (0 > 0. 121
3 r— Следовательно, на промежутке (1, \ 2) существует единственная точ- з ка <0 такая, что у'х,<0 для 1 <<</„ и у"х,>О для t0<t<y 2 . Итак, ветвь кривой, соответствующая изменению t на промежутке /> 1, представляет собой график непрерывной положительной на лу¬ че х > 1 функции. Эта функция имеет горизонтальную асимптоту 0=1/2 и краевое условие lim у(х)= 0. На промежутке (1, /4 /(>^4 — з < з — 1)) функция возрастает, на промежутке (>х4 / (у 4 —1), + оо) убы¬ вает, точка (VihV4-D, ^т/з) —точка локального максимума. 3 / з Существует точка *0= *(/<>)» *о > V 4 / (/4 — 1) такая, что на проме¬ жутке (1, х0) функция выпукла вверх, на промежутке (*0, + °°) з выпукла вниз, точка (x(t0), y(t0)f /0е(1,у2))—точка перегиба. За¬ метим еще, что при параметрическом задании кривой, если существуют пределы lim x(t)=at lim y(t)=b, то точка (а, b) также считается /-*00 t-*oо принадлежащей этой кривой. Таким образом, в нашем случае точка (1, 0) принадлежит кривой. Имеем lim у' = lim у' — —оо для /- -оо < — 1 и lim у = lim у'=+оо для t > 1. Ж-*1+ t-* + ОО Таким образом, ветвь кривой, подходящая снизу к точке (1, 0), в этой точке имеет правую полукасательную — луч х=1, ветвь кривой, подходящая сверху к точке (1, 0), имеет в этой точ¬ ке правую полукасательную — луч х=\у i/>0. Угол между этими лучами равен п, следовательно, кривая имеет в точке (1,0) верти¬ кальную касательную х=\. Объединяя все сказанное, строим кри¬ вую (см. рис. 39, в). ЗАДАЧИ Найти производную следующей функции: 1. (*+?/*)■ У х- 2. у = (3х— 5)в. 3. 1 У~ 3 У (3* + 4)* 4. II 1 М б. „ _ 1 - V' 1 + * б. 1 ft X У1 — X У sin3 2х 7. у = х 1п (х + У X* + 1 )■ 8. </ = ln tgx + -J-Ctg 2х. 0. у = еах ■ (дс + 3). 10. у — е~х (cos л: + sin л:). 11. </=3sin*T. 12. , _ cos х + х sin х У =■ log* . Sin X — X COS X 13. »-агс*«/ ,+!1- 14. у = x2 arctg x. 122
15. у = х ■ 2 17. у = 2^'г 5*-Н. 19. i/=3ln’(,+‘-I). 16. у =-■ 18. у = sin 2jc 4- 1 20. у = arccos sin X — COS X In (x +V 1 4- *2) V1 1 -X3 1 -b*3 23. 21. у = x2 • arccos Здг. (1 \ arcsin Xя Tj • sin X 25. j/ = (arcsin x) * (. X \ •* ercsln 2x 27. i/ = (tg—) 29. t/ -(*t) * tg - 22. у = 4 2 . 24. у = 2,rccl® v'iI+T. 26. j/ = (arctg 4x)v"1 + **. 28. y = (e* + e-x)COi 2x. 30. y — arcsin (sin x). sin X X 1, x, x 0, 31. y = [ x = 0. ( (x + 1) arctg8 —! 1- 2x, x ф — 1, I = I * + 1 32. y- 1 -2, 33. Найти Г(О), если a) /(*) = I*| (1 — cos*); в) / (x) = x — — 1. 6 )/(*) I sin ^x4 sin—j, хфО, 0, x2 соз ———|—“, x 0; 3x 2 ^ I 0, x = 0. 34. Найти числа aj, 6b a2, так* чтобы следующие функции были дифференцируемы на всей числовой прямой: ( а) У = б) у V Г *1. *>т- COS X, а2х + Ьг, . я Ж<-Т: ахх2 + X >1, xsill лх, хе[—1, 1], а,х + Ьг, х < —1; 123
В) У = г) у = MJ(—2)* + ft1, х>1, **arctg*, |*|<1, я» (* + 2)а-Ь 6|( х <d—1; а^ + Ьу, х<—, е х2 Inх, — ^ х^. е, atx + blt х > е. 35. Найти многочлен наименьшей степени g(x) такой, чтобы функция f(x) была: 1) непрерывна на всей прямой, 2) дифферен¬ цируема на всей прямой, если 5х \Х\>1. \х\^. 1 или |х\^ 2. (только пункт 1) Найти у'_(х) и у+{х) для следующих функций: I — X1 36. у = arccos - 1 + х> 38 • у — \ 2 х — 1 О, 40. у = arcsin ег*%. хфО, х = 0. 37. t/ = ;c|sinjc|. (jtarcsincos —, х 0, 41. у= arccos V 1—х2 хфО, х = 0. 42. Для каких значений р и q функция у= |jt|pcos-2-, хфО, у(0) — 0 (<7 >0) 1*1* а) непрерывна в точке х = 0; б) дифференцируема в точке jc = 0; в) функция у'(х) непрерывна в точке х = 0. Найти производную л-го порядка следующих функций: 43. y = cos*x. 44. у = 1- . 45. у=(х2 + х+\)е~**. 46. у = е~х sin jc. 47. у = х* — Ьх -ьб х -\-2 \гт=г 48. у = 1 + 2х 3.v — 1 124
49. 0 = siiu-cosa2jc. 60. y=jpsin*x. 51. y=x% In l l + * 52. y = e3x sin4x. 53. y = arctg x. 54. y — ex cos*jc. Найти производные указанного порядка следующих функций, заданных параметрически, если: 55. у 56. у 57. у 58. 59. у 60. (/ 61. у 62. у : х (/) = е* (cos t + sin t)9 у (t) = e* (cos t — sin t). : x (t) =a ^cos* —In ctg y-j, у (t) =asint. :x(t)=ln (i + l/J+fl), y{t)=y=L^. : x(t) =a (1 + cost) cost, y(t) =a (1 —cos t) sin t. ': x (0 = a cos t + (at + b) sin t, y(t) = a sin t — (at + b) cos t. : x (t) = a cos® t9 y(t)=a sin61. :x(t)= t2t у (t) = In sin t — t ctg t. • x (t) = t* + ЗЛ y(t)=t arctg t — \nV\ +12. Найти производные y’x и y'x% следующих функций, заданных неявно, если: 63. х + у = г*"*. 64. х2 — 1 + cos ху = 0. 65. хъ + 4у3 —Зух2 = 2. 66. х2 + 2jci/ + (/а — 4х + 2у = 2, JC = 1. 68. xcosny— (/sin я* = х—1, 67. х (х2 4- У*) =а (х2 — у2), а х=у= . * 2 Сделать указанную замену переменных в следующих уравне¬ ниях: 69. х2у” — 4*(/' + 6|/ = 0, * = *', £/ = г/(0- 70. (/и')'+an/° = 0, s = lnf, h=h(s). 71. if+iiL + |i_u^VTv, u=uit). 72. u' + -jj-a = 0, u=yt z, < = e*, z = z(s). 73. (** — !) u' + 2jw' -JUl—a = 0, *- е* + е'‘ **-l 2 74. и'—q(t)u = 0, u~yTv, s=-i-ln/, v = v(s). 75. (<V)' + fsul = 0, s = —f\ u=—, o = r(s). 2 s 76. (l/Гц')'—<v‘a» = 0, s =2уГ, u = 4t>, o = o(s). 77. / + 2у(у'), = 0, *=дф). u=u(0- 78. у' :0, x=rcosq>, ^=rsin<p, г = г (<р). 125
79. (*» 4- У2)3 у - 2 (ху' - у) (yyf +*)■=(), x = rcos<p, t/=rsinq), г = г(ф). Написать уравнения касательной и нормали или полукасатель- ной к кривой в заданной точке: 80. у = 2~х* • sin лх а) * = 0; б) х = \. 81. x(t) =e-*sin/, у (t) = е~г cos t a) t= 0; б) t= —; 4 82. x(t)=nt—sinn£, y(t)=t—arctgf a) t = 0; 6) / = 1; в) t= 2. 83. y = x%arcsin-—- a) jc = 1; 6) x = Y3 . 84. 2x* —y% —x% -f- 2t/ = 0, jc=—L-. ^ |/ 2 85. y = V\—cos32jc a) x = 0; 6) * = —. 6 86. у = x*oignx a) —; 6) . 4 2 87. -sc* — 4- 2^a 4- дс: — г/ — 14=0, x = \. x_ _2y_ 88. 2" + 2 * =6 x = 2, y = l. 89. x(t) —t3 —3/; y(/)=/a + 2< a) <= —1; 6)/=0; в) f = VX Найти углы между кривыми: 90. y=x2lnx, у = 4—4*3. 92. х(0 + y{t)=(t + l)ln(l+t), 1/ = rf-7* 1 “Т" X 93. у = 4 4- 2 у^х—2, у — 2х. 94. г = а, ra=2aacos2q). 95. r = 5acoscp, г—а(4—3cos<p). 96. Найти такое значение /?, чтобы окружности jc24-{/2=1 и (*—2)24-у2 = /?2 пересекались под прямым углом (были ортого¬ нальны). 97. Показать, что семейство гипербол х2—у2 = а2 иху = Ь об¬ разуют ортогональную сетку, т. е. любая кривая первого семейст¬ ва пересекает любую кривую второго семейства под прямым уг¬ лом. 98. Найти угол между левой и правой касательными в угловых точках кривых: 126
a) y=^Y\n(\ +9дга) ; в) у = arccos(sinх), *€?.[—2я, 2л]. 99. Доказать, что любая касательная к логарифмической спи¬ рали г = ает* образует постоянный угол с радиусом-вектором точ¬ ки касания. ж* у2 100. Проверить, что любая касательная к гиперболе аа Ь% *= 1 образует с ее асимптотами треугольник постоянной площади. 101. Проверить, что у астроиды л:2/3-h f/2/3 = а2/3 для любой ка¬ сательной длина ее отрезка, заключенного между осями коорди¬ нат, постоянна. «аsin/, 0</<л, для любой касательной длина ее отрезка от точки касания до оси ОХ постоянна. 103. Найти угол между двумя окружностями одного радиуса, если центр одной из них лежит на другой. 104. Проверить, что кривая ху sin (дИ*у) ^2х2—у2 касается с прямой у = х во всех общих точках, кроме начала координат. 105. Проверить, что расстояние от начала координат до любой нормали к кривой x(t) =a(cos/-И sin /), y(f)=a(sint—tcost) пос¬ тоянно. 106. Проверить, что касательные к кривой x(t)—a(t—sin/), y(t)=a( 1—cos/), проведенные в точках, соответствующих значе¬ ниям to и /о+л, перпендикулярны при любом /0^6л, fceZ. 107. Найти промежутки возрастания и убывания, выделить точки экстремума и выяснить их характер для следующей функ¬ ции: 102. Проверить, что у трактрисы а) у = х*егх\ 6) у = (х — 2)3 • ух*; In»* д) у= -arcsmv/l-4r2 + е) */ = arctgjc— lnx; 4-2 У1 — 4*а ; ж) у=хх\ и) In л2; з) у=х—sin2.r, к) —*arctgx. 108. Доказать неравенства: а) х у- < In (1 + х) < *, х > 0; б) х — < sin ху ху 0; 6 в) (х?+ (/*)“ >(х> +у»)ь , дг > 0, «/>0, 0 < а < ft; 127
г) е* + е~*^х* + 2; д)1Ш>а,аех'х>0: . *>0; е 2 ч sinx . sin у л . ж ) > 2_, 0 < х < у < я; * У з) ctgx<- ctg у, 0 < х < «/ < я. 109. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) иа отрезке [а, 6], если I- /(*)=*3 + 3jc*—9jc-h2: a) a = —4, 6 = 2; б) a =— 1, 6 = 0; в) а = — 6, 6 = 4; II. У (х) (jc* —л: — 1): а) а = —3, 6 = 0; б) а = —3, 6 = 2; в) а = — 1, 6 = 0. 110. Найти sup/(x) и inf/(x), если х££ *££ L /W="jTlO~i: Э) £ = <*:*>2}; б> £=<*: |Х| < оо); в) £={х: |х| < 2). И. f(x) =i!±^i+il: а) £={*:* > 0}; б) £ = {х: \х\ < оо}; 3 -f х* в) £ = {х: |х| < 1}. 111. Средней порядка s для двух положительных чисел а и b называется функция, определяемая равенством J. Л5(а, 6) * * если Доказать, что а) min(a, 6) <As<max(a, 6); б) функция Д5 (a, 6) при аФЬ есть возрастающая функция пе¬ ременной 5; в) найти: 1) lim As(a, 6). S-> —ao 2) lim As(a, 6). 3) limAs(a, 6). s->0 112. Найти вертикальные касательные к кривой r = a(1 + cos <p) и показать, что кривая лежит между этими касательными. 113. По углам прямоугольной пластинки со сторонами а и 6 вырезаны четыре равных квадрата. Из оставшейся фигуры обра- 128
эована коробка, высота которой равна стороне квадрата. Найти длину стороны вырезаемого квадрата, при которой получается коробка наибольшего объема. 114. Прочность бруса с прямоугольным поперечным сечением пропорциональна произведению основания на квадрат высоты *того прямоугольника. Найти форму такого бруса, вытесанного из бревна, поперечное сечение которого есть круг радиуса а, до¬ пускающего наибольшую нагрузку. 115. Найти наибольшую площадь прямоугольника, вписанного симметрично в сектор круга радиуса а с центральным углом 2а. 116. Найти наибольший объем конуса с данной образующей длины /. 117. Найти наименьший объем конуса, описанного около полу- шара радиуса а. 118. Из сектора круга радиуса а свертывается коническая во¬ ронка. При каком центральном угле она имеет наибольший объем? 119. Две точки равномерно движутся по осям координат. Ско¬ рость первой точки равна v\, скорость второй — v2. В некоторый момент времени точки занимали положения А (а, 0) и В(0, Ь) соответственно. Найти возможное кратчайшее расстояние между ними. 120. Точка движется по плоскости со скоростью ui, а по оси ОХ со скоростью v2l v2>v\. Найти путь из точки А (0, а) в точку В(Ь> 0), требующий наименьшего времени на его прохождение. 121. Рычаг второго рода имеет точку опоры на одном конце и уравновешивается силой F на втором. Вес единицы длииы рычага равен т. На расстоянии а от точки опоры к рычагу, подвешен груз Р. При какой длине рычага / сила F будет наименьшей? 122. Чашка имеет форму полушара радиуса а. В нее опущен стержень длиной /, />2а. Найти положение равновесия стержня. 123. Стержень длиной 2b опирается концами на две прямые в вертикальной плоскости, наклоненные к горизонтами под угла¬ ми а и р. При каком положении стержня его середина находится выше всего? 124. При каком наклоне боковых сторон равнобедренной тра¬ пеции ее площадь будет наибольшая, если меньшее основание тра¬ пеции равно а, а боковые стороны равны Ь. 125. Сечение канала представляет равнобедренную трапецию площадью S и высотой h. Каким должен быть угол между боко¬ вой стороной и основанием, чтобы сумма длин нижнего основания и боковых сторон была наименьшая? 126. От канала шириной а под прямым углом к нему отходит канал шириной Ь. Стенки каналов прямолинейны вплоть до вер¬ шины угла. Найти наибольшую длину бревна /, которое можно сплавлять по этим каналам из одного в другой. 127. Яркость освещения выражается формулой / — •—^-п— * где q> — угол наклона лучей, г — расстояние от площадки до ис¬ 129
точника света, т — постоянная (сила источника света). На какой высоте h надо поместить фонарь на столбе, чтобы освещение гори¬ зонтальной площадки на расстоянии а от столба было наиболь¬ шим? 128. Под каким углом к оси ОХ надо провести прямую через точку Л (а, b) (а>0, Ь>0), чтобы отрезок ее между положитель¬ ными полуосями координат имел наименьшую длину? 129. Под каким углом к оси ОХ надо провести прямую через точку Л (а, Ь) (а>0, Ь>0), чтобы треугольник, образованный этой прямой и положительными полуосями координат, имел на¬ именьший периметр? 130. На оси ОХ найти точку Л (х, 0) (х>0) такую, что отрезок [1, 4J оси OY виден из точки Л под наибольшим углом. 131. Написать многочлен Тейлора ТА(/, 0) четвертого порядка для следующих функций: а) У=у -^р-; б) </ = (1+х)‘; в) у = arcctgдг. 132. Написать многочлен Тейлора Т„({, х0) порядка п и оце- нить разность этого многочлена и функции на указанном отрезке, принимая в качестве х0 середину этого отрезка: а) у= у х на [ — 9, — 7], п = 4; б) t/ = tg jc на [— я/6, я/6], п= 5; 0, л =6; г) у = хе~х на [0, 2], п = 6; д) j/=xln(l+x) на [1, 3], л =4. 133. Вычислить с точностью до 10-3: а) КТО; б) у^26; в) arcsin-—; г) arccos^ ^-j; д) In 10 (In 3 ~ 1,0986); е) In 15 (In 2 с-0,6932). 134. Написать многочлен Тейлора третьего порядка в указан¬ ной точке для следующей функции у(х), заданной неявно: а) х*—4ах2у + 2ау3 + агу2 =0, х = у = а (а > 0); б) х34-*/3—аху—а8, х = 0, у = а\ в) у3— х2у + х5 = 1, х = \, у = 0; г) xcosy + ycosx = 2x, х = у = 0. Найти следующие пределы, используя правило Лопиталя: sin (ех~~х — I) 1пх 135. lim - . 136. lim в) у = cos х на In х 1 + 2 In sin x 137. lim ‘nQ+H-xM+InU—*+**) m ,im X-O 1 —COSJC x~»Q x — sinJC X In ( 1 + x) + — — sin X «оо l- 2 -arcsinx — arctgx 139. lim . 140. lim -— x-+o arctg* x x-»o In (1 -f x*) 130
141. lim (—! -—V 142. lim (— - \ x-#o \ tgx ex — \J x-+o \ sin1* 1 — cos* / I4>. Нш + 144. 2 Я — - arctg x 145. lim (я— 2arctgx) In x. 146. lim 147. lim (— —). 148. lim *ln Я \ ctgx 2 COS X) X^+oo 2 x+ 1 ex — e~x e* + e~ 2 149. lim Г—- H 2-£ 1. 160. lim x-*o I 2x* x(e27lx-\)\ i ex* — \ x .oo 2 arctg x1 —я lim : *-♦04- X x-*-0+ 151. limxlnln—. 152. lim sinx-lnx. 153. lim *lntg ( — + —). 154. lim (* + 2*)*. X-»—)-oo \ 4 X ) X-*—|-oo J_ 155. Jim^_ arctg*) * . 156. lim I I 157. lim xln<**-l>. 158. lim (—) *,n"* . X^\ \ X ) x-0+ 159. lim (sinjc)n \ 160. lim ( —arcctg^V. Х-*-Л— x-+—оо V 71 J 161. lim (2 —^ 20. 162. lim (lnctgx)te*. x-a \ a ) x-»>o+ _i_ 1 163. lim (2Kx + x)ln*. 164. lim (ctg—V. X—*0 Х-+—00 \ \ -\~ X) 165. Найти такое значение а, при котором функция f(x) непре¬ рывна в точке х = 0. Проверить существование и найти величины производных /'(0), /"(0), /'"(0), /'v(0), если х фО, а) /(*) = х I а . х = 0; г* — 1 , „ , хфО, б ими * а , х=0; * tt 1 1“ Ctgx’ Хф0' В) /(*) = * ! а , х ~ 0. 131
Исследовать функции и начертить их графики: 166. у = х5—2 3 168. ■/-[/- '"■«-Vrh 169. «/ = 170. У = ух(х—гу. 172. у=-?-<3* + 4> (х+1)3 171. {/ = 173. «/ = I —X4 (х+2)(х» + 6х-М) <*+Пг х3(х + 2) (х+ l)s ' х3 (х + 3) <х+ I)3 ' 174. у= $/ (х + 2)г + ^(х— 2)\ 175. у = У(х^2)*— У(х + 2)*. _ 2х 1 176. </ = ^х*е 3. 178. //=Ух lnx. 180. у ~ х 1п2/3 х. 177. у = (х—6)б * 179. (/ = х2 In2 х. 1п2/3* 182. у = х2е~х\ 184. г/ = 2jc -Ь 4 arcctg х. 186. # = arccos 188. у = arcsin 2jc 2х 2* 17 183. у=х2е~х. 185. у=хarctgх—^^-4- 187. у= 2 + |/ - 189. = arcctg - X — 6 1 _L 2 Исследовать и начертить кривые, заданные параметрически: t* t2 190. х (0 =- 191. х (/) = /а4- 1 t 3 - /а 1/(0 = 1/(0 = /3 + г <(2-<«) 192. х(<)= (^+2,~, у(0== 3—/а (/ — 2)а 193. *(/) = 194. х (t) = 195. *(/) = 196. *(/) = 197. х(0 = /4-1 2( 14-/* 2/ 14-<*' 2/ 1 4- /а* In t ”7*”’ t2 /—1 /— I y(t)=t3—t. y(t) = t*—et. y(t)=t*—3t. y(t)=t2 Int. t у (0 = /2 -1 132
198. x(t) y(t): /41 / -f 1 199. x(0 = —^—, y(t)= — W — 1 * W f — I ОТВЕТЫ 3A- , 3/-— 1. —~^x + 10'/**±.1. 2. 18(3*—5)*. 3. у- 2 4. -r~ 6 ■ Зх«/* у/ (3x + *)<• V8^-3 g 6 — 5,t— 7x2 + 3(3*— 2)( 1 + х)2/3 g _6 cos 2x 6jc* {1 —jc)3/2 (I ' sin‘2* ' 7. In(x + V^T1)4- 8. — !—. 9. eix (3* + 10). K**+l *>n2x sin* 2x ' ' 1n Я s,n* x* 9 10. — 2e-*sinjt. 11. -!Iii-sm*-3 2. 12 ' 2 13. —■-L-1 14. 2* arctg x +- Vi — 4x*' ' e 1+x»' 5/ lg (C°s * + sin *) (s*n 2* — 3) jy 2^lg5Jt+l 1 — sin 2x |R V 1 + X1 — x In (x + У I + X») Jfl 4!n*(l + (i + **) /ГТ*5 ■ i+« 20. 3 ^* . 21. 2xarccos3;c --3— 22.4 *2ln4/tg —+ 1 + xs V1 — 9<* 2 2 (1— xa)sin2x- - 2x cos 2x' 15. 2I—■**(1 — -x2 In 4). In 2 1 (tg5x+l)4''5 cos2 5x Г*) 2 In 3 In (1 +• г_х> / 1 \arcslnjr* 1 ( — I -In •2x —V 23. '--3 ' —. 24. 2*rcc'®/l+i, ln2 x 9 f + - V 23. , 2 cos* — VX~ 2 sinz (2 x2) y\ -f x* 25. (arcsin*) z ^ JL£21£_!1ILL In arcsin *4- +^dnrr'Trb)- 26- <-W~‘(|*u x x'na'de^ + X^.—l—). 27. (tei)"“”'(arcsin2J:lnl6i + + —г2*- Intg—+ --arc-sin2jc). 28. (e* + e—*)cos2Jt (— 2sin 2лг-In (e* + V1 — 4x* 6 2 sin x / 4 ’ ' v —ж tx_t—x _ JL + e~«) + cos 2x• j. 29. (ct6-y) ***> 3 X 133
х (ех + е~х) lnctg ■ 1 3 \ __—е*—е~х J. 30. у'=■ sign cos х, хф у+ **, y^fJL + kn^ =( — !)*, y'-(jY + я*) =(—l)*4'1. AeZ. 31. у9 = xcosx — sin X ~h 1, x Ф 0; . jc = 0. 32. y' = -2(x + 1) arctg * + 1 x* + 2x -f 2 - + + arctg2 -f 2, хф — 1; * + 1 -f+2, *=-1. 4 33. a) 0; 6) 0; B)-L 34. a) a1=-l. 6x=-p a, = 1, = 6) ax = = ——, 6j= —, a2 = я, b2 = л; в) a, = — — bx - — + —, 2 • 1 2 ’ 1 .2 /1 4 4 2 4 я 1 « Я 1 4 1 , 1 0 aa = , b2 = ; r) a.^ , b. = , a2 3e, Я 4 4 ’ 2 2 4 2 1 2еа ’ 2 6, = —2eа. 36. а) 1) x, 2) — jc3-f — x\ 6) 1) e-—^-x-\-——, 2) (^r-*’-T-)-', + <!'’+ (те_!+т,!’)'г+(т--т); в) 1) -±* + 2. 36. y\=y_^^ ■, *#0, ^(0)^2, y_{())--= = —2. 37. y'+= y'_— \$inx\ f ^cos jcsign sin x, x Ф kn, y'v (0) = = yl_ (0) =[0, y' (kn) = kn sign k, y’_ (kn) = — foisignfc, feeZ, 38. у =y'_ = - ■to+“h (2 1 — I)» хфО, y+( 0)=0, £/1(0)--=—1. 39. y\ = y_ = — sign (sin —) + arcsincos —, хф——, хфО, у' (0) r X \ X I X kn и f/l(0) не существуют, y'_ =(—1)* (-у + #+ (~^г) = = (_!)*+> (лА-JL). 40. y+=y'_ = ^^L-, хфО, y+ (0) = = -V2, J/1(0) =V2. 41. j/1 sign* /Г , *#0, if' (0) = I, y‘_ (0) = — 1. 42. a) p > 0; 6) p > 1; в) /> > q + 1. 43. 2" 1 cos ^2* + 7") +22n‘3cos (4* + f«). 44. ( —l)"nl ( (х_з-п-н-- + 134
-'{х_1)Я+х )• 4S- (-l)'-23'-V3* (9ж»4-*(9-6п) + Л*-4п+9). 46. (l/2)',e-*sin^+-^-j. 47. (1 -4-7-...-(3n— S))(x— ~ 1)Т~Л- (1 -4 ... (3n — 2)) (x — 1)” , n>2. 48. M)"-5-3;i11-n-1, 49. J-,in ilsinf3x+^U (3x-l)n+I 2 \ 2 / 4 \ 2 У -I- sin ^ 5* 4- j. 50. y' =x—x cos 2x 4- jc2 sin 2x, y” = 1—cos 2x 4- 4x sin 2* 4- 2x2cos2x, y<n> = — 2"“3 ^4x*cos^2x + 4nxcos ^2x-h + "<nT.l)..j +(rt2—n)cos [2x + n^3. 51. y'=* = -2xln(l + \f = —2 In(1 + x) У1п' = (* + 1)" (2x*-|-2jcп + ла—л), n>3. 52. 5Vxsin (4* 4-яф), <p = arcsin—. 53. -— ^-/2■1 sin (narcctg*). 54. — 4- — 5n/2X 5 (l + xa)n/2 ' & ' 2 2 . . / о i 2 \ pp cos / 3 sin t со sin t X cos ( 2x + n arcsi n ■ - j. 55. . 56. . \ У 5 ] Ae2t cos5t a cos41 t% — 1 ^ _3 cos2l gp 3 (at -j- b) sin t — a cos t (1 4-<a)/T+l»‘ ~~ 16a* t 3/ ’ ’ (at 4- b)3 cos61 cos5— sin3 — 2 2 /4-2/ cos2 14- — sin 21 60. ei. I_2 e2. ^ 25a* cos13/«sin/ 4f3sin4/ 9(1 4~ ^а)а вз. у у’ =_i£±i£_ 64. „'=_i JL y- = -^_ x 1 +Х + У y,x (l+j + j,)»' y* sinxy X ’ XX X> 1 _4f-c°s xy 65 -=_£_ • = 2xy + 4^-x^ eg . xsinJtt/ sin**y * *4-2y’ xx (x 4- 2y)* x = —2; y’XI=Y при x=l, у = — 5; ^ =0, ^ = — 1/3 при x = l, »“'• ,7' np“ *=T- y-VB’ y’-~ ~~J7f •'"~4r -P-'-f’ »—■ЙГ- *9' '■“T+j’ y' = я3 + 2я1, + 8д 69. t/* —5(/' + 6y = 0. 70. u" + e*a+l> un =0. “ (л + 2)» » » -r » 71. ц*+ (l — —~^1/4 ju = 0. 72. 2Г+ (ц ^-)z=r°- 73‘ “' + 135
+ -—и' — ы = 0. 74. t;'— [1 + 4e'*q (e**)]v = 0. 75. гГ + — = 0. sh/ sh»/ 1 s2 76. iT—sV = 0. 77. x*—2x'y =0. 78. r'cos ^2ф -f j — г cos ^2ф — ——) =0. 79. r"—r— 0. 80. a) t/ = nx, y-—-x\ 6) y= — — (x—1), 4 / я 2 y = —(Jf—1). 81. a) у—1=—x, у— l=x; б) x = ^-е-п>\ у = n 2 J’b V2 - — */"2 - — 2 = 2^-e-^4; в) y = «,x = Z_e * 82.a)y = — x, y = = —y-*; 6) y + ^—i=-L-(x— „)t jii—I = —4jx(x— л); в ) x = 2 n . 83. a) y-*r 1), у - (x-1); б) у-л = (yU f 3)(x- 1/3). у-я = — I Я ~Г + Уз 2л /3 +3 <*-m 84. iT“ —pr(x—w)- (x—tj) при x.-L-, ,-0; ,-2--^-(*--i-). j,_2 = -V2(,--L) 3 _ при x = —-J=-, (/ = 2. 85. а) полукасательная x=0, y^0\ б) у—— = у 2 2 \ 6 / 2 УЗ I 6 } 64 32 V 4 / 64 л — 6 V 4 / ' У 8 \ 2 / jj-j. 87. </=3, х=1 при x = l, «/=3, y+2=jM), у i-2 — —2 (x— 1) при x = 1, */ = —2. 88. у— 1 = - (x— 2), у—1 = — —2(x—2). 89. а) полукасательная у1— (x—2), x^2; б) У- —X, У=\х\ в) y—(3 + 2 V3) = y-53+ lx, y— (3 + 2V3)^ 3 9 — -x. 90. arctg—. 91. arctg3. 92. arctg2. Указание. Пока- ✓ з+l 7 зать, что точка (0, 0) единственная точка пересечения. 93. ф = = arctg 4/7 в точках (1; 2) и (3; 6); ф = arctg 1/2 в точке (2; 4). 94. л/3. Указание. Уравнение данных кривых представить в виде х = х(ф), у=у(ф), полагая х=г(ф)созф, y=r(y)s\ny. 95. arctg 2 УЗ. 136
Указание. См. предыдущую задачу. 96. /? = УЗ. 98. a) arctg (3/4); б) arctg(4/3); в) л/2. 103. я/3. 107. а) на промежутках (— оо, 0), (2, + оо) убывает, на промежутке (0, 2) возрастает; при дг=0 минимум, х—2—локальный максимум; б) на промежутках(—оо, 0), (4/11, -foo) возрастает, на промежутке (0, 4/11) убывает, х = 0—локальный мак¬ симум, * = 4/11 — локальный минимум; в) на промежутках (— oof —1), (1/9, 1), (3, 4- оо) убывает, на промежутках (—1, 1/9), (1, 3) воз¬ растает, а: = 1/9 и х =3— локальные максимумы; г) на промежутках (0, 1), (е4, 4-оо) убывает, на промежутке (1, г4) возрастает, х = 1 — минимум, х = е4—локальный максимум; д) на промежутках (—1/2, — 1/4), (0, 1/4) возрастает, на промежутках (—1/4, 0), (1/4, 1/2) убывает, при jc = ztl/2 краевой минимум; при х= ± 1/4 максимум, х = 0—локальный минимум; е) на промежутке (0, 4-<») убывает; ж) на промежутке (0,1 /е) убывает, на промежутке (1/е, 4- оо) возрастает, а: = 1/е минимум, з) на промежутках 4- я& < х -f я&у возрастает, на промежутках (—я/64-я&<л'< я/6 4- я£), Ле Z убывает, х = —я/64лЛ, ie 2,—локальные максимумы, х = я/б4-я&, fteZ, — локальные минимумы; и) на промежутках (—oot —1), (0, 1) убы¬ вает* на промежутках (—1, 0), (1, 4- оо) возрастает, * = ±1 — — минимум; к) на промежутке (—оо, 4- оо) возрастает. 109. I. а) шах/(л') = 29, minf{x) = — 3; б) max/(jt) —13, min/(jt) = 2; в) max/j» = 78, min / (*) = — 52. II. a) max/(*) = Ъег2, min/(;t) = =—1; б) таxf(x)=e24 minf(x) =—e; в) max/(x) = l/e, min/(jc) = = -1. 110. I. a) sup/(x) =/(5)=7/5, inf/(x)-l; 6) sup/(x)=7/5, inf/(x)=0;B) supf(x) =8/7, inf / (дг) = 0. II. a) supf(x)=2, inf/(.t)=0, 6) sup/(x) = 2, inff(x) = — 1/4; в) sup/(a:) =3/4, inf/(jc) = — 1/4 111. в) 1) min (a, b)\ 2) max (a, b); 3) ~\/ab. 112. x = 2 a, x = —a/4. 113. a + ь~У^а%~ afr + fct 114. 2a/V3—ширина, 2аУ2/УЗ—высота. 6 115. a2 tg —. 116. 117. 118. 2я л[— 2 9КЗ 2 \ 3 ,19. Iat‘» fctlil_ |2о. Если* =—■■■Ul■ <Г Ь. то ломаная АСВ, Vt'l + T'l Vt'2 — где С = С(х, 0); если х^Ь, то прямая АБ. 121. I =V2ap/mt если рута/ 2; / =а, если р^.та/2. 122. При 4а угол наклона стерж¬ ня к горизонту равен arccos' - ^1 128а*. 123. ф = arctg —п-(а~ ^ 16а 2 sin а-sin 0 ’ где ф—угол наклона стержня к горизонту. 124. ф = arccos — Ра~д 46 125. ф = — при , ф = arctg— при S<—. 126. / = (а2/3 4- 3 3 (S3 + ftS/3)3/2 127 л== а 128 q) = arctgy J_ 129 ^arcsin-** — V 2 f а 137
^ cP b% 18 3240 ’ б) е- -2L + х4; в) -—х + — х*. ; 2 3 132. а) - 2 + -1- (* + 8) + -^ (* + 8)» + ^ <х + 8)’ + е) 2,708. 134. а) а+(х— а) 7—(•*—а)* ———; б) а+ — х— 4 а 8а2 3 —Xs; в) 5(х— 1) + 130 (х— I)3; г) х+х3. 135. 1. 136. 1/2. 81 137. 2. 138. 1. 139. 1/2. 140. 1/2. 141. 1/2. 142. 1/2. 143. 0. 144. _L. 145. 0. 146. —1. 147. —1. 148. 0. 149. яа/6. 150. —1/2. 3 151. 0. 152. 0. 153. 2я. 154. 2. 155. 1. 156. е~1'3. 157. е. 158. е^я. J. _ -L 159. 1. 160. ея. .161. е л. 162. 1. 163. Уё. 164. 1. 165. а) а = 1, ПО) =0, Г(0) = — 1/3, Г(0)=0, /(,v>(0)=-g-; б) а = l; /' (0)=1/2; ПО) = 1/3; Г (0) = 1/4; fm( 0) = 1/5;_в) а = 0, /' (0) = 1/3. Г(0)=0, /"'(О) =2/15, /(1У) (0) = 0. 166. хф 1/2; асимптоты у=х и х = у/ 2\ локальный минимум ^2, локальный максимум (0, 0); на(—оо, 0) и (2, -f оо) возрастает; на (0, J/2) и (у^2, 2) убывает; ^ — V4, ^“>^4 j —точка перегиба; на (— оо, —у^4) и (y^2t + оо) выпукла вниз; на (—>^4, у^2) выпукла вверх. 167. хФ±.\\ четная; асимп- + T-T(*_2)a + ^‘^(*_2)S + ir ^~(*_2)4> SRAf' 2)К 133. а) 3,162; б) 2,963; в) 0,340; г) 1,823; д) 2,303; 51 32 100
тоты x — — \t х=\ и у = — 1; локальный минимум (0, 0); на (0, 1) и (1, + оо) возрастает; на (—оо, —1) и (—1, 0) убывает; (0, 0)— точка возврата, вертикальная полу касательная х = 0, у^0\ (—1/3, 2); (1/3, 2) — точки перегиба; на (—оо, —1), (—1/3, 0), (0, 1/3), (1, -}- оо) выпукла вверх; на (—1, —1/3) и (1/3, 1) выпукла вниз. 168. хф0\ четная; асимптоты х=0 и у = — 1; в точках (—1, 0) и (1,0) вертикальная касательная; на (—оо, 0) возрастает; на (0, -foo) убывает; точки перегиба (— V5/3, у^4/5), (/5/3, ->/4/5), (1, 0) и (-1, 0); на (-ОО, -1), (-у 573, 0), (0, уТ/З) и (1, + оо) выпукла вниз; на (—1, —1/5/3) и (1^5/3, 1) выпукла вверх. 169. хф—1; у = 0 при х = —/5— 3, х——2, х = У5—3; асимпто¬ ты х=—1 и у=х + 6; локальный максимум (—3, 5/4); на (—оо, —3) и (—1, -f оо) возрастает; на (—3, —1) убывает; точка перегиба (0, 8), на (—оо, —1), (—1, 0) выпукла вверх; на (0, + оо) выпукла вниз. 170. у — 0 при х=0 и х = —3; асимптота у — х—2; локальный максимум (1, /4); локальный минимум (3, 0); (3, 0) — точка возвра¬ та; вертикальная полу касательная х — 3, у^ 0; на (—оо, 1) и (3, -f оо) возрастает; на (1, 3) убывает; точка перегиба (0, 0); на (0, 3) и (3, + оо) выпукла вверх; на (—оо, 0) выпукла вниз. 171. хф—1; у = 0 при х = 0 и х = —2; асимптоты х= — 1 и у=х—1; возрастает на (—оо, —1) и (—1, -foo); точка перегиба (0, 0); на (—оо, —1) и (0, -foo) выпукла вниз; на (—1, 0) выпукла вверх. 172. хФ—1; у = 0 при х = 0 и х = —4/3; асимптоты х — — 1 и у = 3х—5; возрастает на (—оо, —1) и (— 1, -foo); точки перегиба (—2, —16), (0, 0); на (—оо, —2) и (—1,0) выпукла вверх; на (—2, —1) и (0, + оо) выпукла вниз. 173. хф—1; у = 0 при х = 0 и х = — 3; асимптоты х = — 1, у = х; возрастает на (—оо, —1) и (—1, + оо); точки пере¬ гиба (0, 0) и (3, 81/32); на (— оо, —1) и (0, 3) выпукла вниз; на (—1, 0) и (3, -foo) выпукла вверх. 174. Четная; положительная. локальный максимум (0, 2уЧ); минимум (—2, 2/2) и (2, 2/2); возрастает на (— 2,0) и (2, -foe); убывает на (—оо, —2) и (0, —2)\ в точках (— 2, 2/2) и (2, 2/2) вертикальные полу касательные х = — 2, у^2у/2 и х = 2, i/>2-/2; выпукла вверх на (—оо, —2), (—2, 2), (2, -foo). 175. Нечетная; у — 0 прих = 0; асимптота у=0. Максимум (— 2, 2у 2); минимум (2, —2/2); возрастает на (—оо, — 2),(2, -foo); убьшает на (— 2, 2), в точках (—2, 2 у 2) и (2, —2/2) вертикальные полукасательные х = —2, у^.2у2 и х= = 2, (/>-2/2, точка перегиба (0, 0); на (0, 2) и (2, -f оо) выпукла вверх,на (— оо,—2), (—2,0) выпукла вниз. 176. Неотрицательная;у = 0 при х = 0; асимптота у — 0 при х-+ -f оо; локальный максимум (1, /е~2)\ минимум (0, 0); возрастает на (0, 1); убывает на (—оо, 0) и (1, -foo); в точке (0, 0) — вертикальная полукасательная х = 0, у^ 0; точки перегиба (*lt у,) и (хг, yt), где хх = 1 — /= х, = 1 + 139
+ "I". У2=У(Хi). Ha (*i, 0) и (0, x2) выпукла вверх; на (—oo,^) (x2, -f оо) выпукла вниз. 177. хфО, y = 0 при x —6; наклонная асимптота у = х— 7; вертикальная асимптота х = 0, у^.0; lim у(х) = х-0+ = 0; локальный максимум (— 3, —9}/е); локальный минимум (2, —4/|/е); lim у'= 0; точка перегиба (*0, (/„), где лг0-=6/13, у0=-- х-0 + = у(х0)\ на (— оо, 0) и (0, 6/13) выпукла вверх; на (6/13, + оо) выпукла вниз. 178. *>0; у— 0 при * = 1; lim*/(x)=0; минимум х-*0 + (1/е2, —2/е); возрастает на (1/еа, -foo); убывает на (0, 1/еа); lim у' = — оо; точка перегиба (1, 0); на (0, 1) выпукла вверх; на (1, +оо) выпукла вниз. 179. х > 0; неотрицательная; у = 0 при х=\\ lim у = 0; локальный максимум (\/е, 1/е2); минимум (1, 0); на (0, 1/е) и (1, -f оо) возрастает; на (1/е, 1) убывает; lim у'= 0; _ х-»0-Ь точки перегиба (xlt yj и (x2, y2)t где ln*1=(—3—^5)/2, ln*2 = = ( — 3 + ]/5)/2, «/,=</(*,), yt=y(xt); на (0,^) и (лга, + оо) выпукла вниз; на (х19 х2) выпукла вверх. 180. х > 0; неотрицательная; у = 0 при х = 1; lim у(х) =0; минимум в точке (1, 0); локальный максимум в точке (е-2/3, е~2/3 \f 4/9); в точке (1, 0) вертикальная полукасатель- ная х = 1, у^ 0; точка перегиба (у/~е, у^е! 9); на (0, 1) и (1, >/е) выпукла вверх; на (j/e, 4- оо) выпукла вниз. 181. *>0; неотрица¬ тельная; у = 0 при х = 1; jc = 0, 0—вертикальная асимптота; асимп¬ тота у = 0 при*-*- 4- оо; минимум в точке (1, 0); локальный максимум в точке (е2/3, е“2/3^4/9); убывает на (0, 1) и (е2/3, f оо); возрастает на (1, е2/3); в точке (1, 0) вертикальная полукасательная х=\% 0; точка перегиба (xlt уг) и (х2, у2), где lnjCj=(3—]/13)/6, у1=у(х1), 1пх2 — (3 + У 13)/6, у2=у(х2)\ на (0, хх) и (х2, + оо) выпукла вниз; на (х1э 1) и (1, х2) выпукла вверх. 182. Четная; неотрицательная; у = 0 при х — 0; асимптота у = 0; максимум в точках (—1,1/е) и (1, 1/е); минимум в точке (0, 0); возрастает на (— оо, —1) и (0, 1); убывает на (—1, 0) и (1, foo); точки перегиба (хиУ1), (х2, у2), (x3f y3)t (Xt,yt), где х^-±Уь + У\7, xt = - -±- Vb-VTT, = VT7, х4 = -!-}/'5 f 1/17, y^yixj, уг=у{хг), t/,= — У4==у(ха)’ на (—°°. *i). (*2. *з). (*i. -Ь оо) выпукла вниз; на (*ь х2) и (х3, х4) выпукла вверх. 183. Неотрицательная; у = 0 при х=0; асимптота у — 0 при х-++ оо; минимум в точке (0, 0); локальный максимум в точке ^2, ~j’> возрастает на (0, 2); убывает на (—оо, 0) и (2, 4-оо); точки перегиба (*lf ух)% (х2, z/2), где хх = 140 *51 =
= 2—1/2, yl = y(.x1), xt = 2 + У2, yt=y(xt)\ на (— oo, дс,), (дг„ + oo) выпукла вниз; на (jclf х2) выпукла вверх. 184. у = 2л при л: = 0, асимп¬ тота у -- 2jc при х —► оо; асимптота у = 2х -Ь 4л при х -► — оо; локаль¬ ный максимум в точке (—1, —2 -f 3л); локальный минимум в точке (1,2 +л); возрастает на (—оо, —1), (1 +ос); - убывает на (—1, 1); точка перегиба (0, 2л); на (—с», 0) выпукла вверх; на (0, + оо) выпукла вниз. 185. у— 0 при jc = 0; асимптота у— i-) х—1 (1 Зл ' — j X—1 при Х-+—оо; мини¬ мум в точке (1, —1/2); убывает на (—оо, 1); возрастает на (1, + оо); выпукла вниз. 186. у= л/2 прих = 0; асимптота у = + локальные минимумы в точках ^—2, я + —arccos-g-j, (1, —2/5); (2 \ / 4 4 4 — 1* п "j--) * arccos— — J; точки ^—1, n + ^1» — угловые; в точке ^—1, я + левая полукасательная ^ тс -|—н—2- (jc -h 1), х ^—1, правая по¬ лукасательная у = ^л-f j ~(л+ 1), — 1; в точке (1, —2/5) 2 7 левая полукасательная у= (х — 1), правая полука- 5 5 2 3 сательная у = 1 (jc—1), х^\\ убывает на (—оо, —2), 5 5 {— 1, 1), (2, + оо); возрастает на (—2, —1), (1, 2); точка перегиба <0, л/2); на ( — оо, —1), (0, 1) выпукла вниз; на ( — 1, 0) и (1, + оо) выпукла вверх. 187. х>6, jc^O; у = 2 при х = 0; асимптота у = =—х—1 при х —► — оо; асимптота у =х + 5 при *-*-+- оо; локальный минимум в точке (9, 2 + 9 V 3), краевой минимум в точке (0, 2); убы¬ вает на ( — оо,0) и (6,9); возрастает на (9, -Ь оо); выпукла вниз на (— оо, 0) и (6, + оо). 188. У = ~~ ПРИ * = 0; асимптота у = 2х я = — —; локальный минимум в точке (—4, 8/17—arcsin 15/16); локальный максимум в точке (0, л/2); точка (0, л/2)—угловая, левая л , 32 • я 36 полукасательная */ =— -f правая полукасательная У = — — х; убывает на (— оо, —4) и (0, +оо); возрастает на (—4, 0); выпукла вниз на (— оо, 0), (0, 4- оо). 189. хфО; lim у(х)= 0, lim у(х) = = я; асимптота у = (п—х)/2\ локальный минимум ^ — 1, + 141
локальный максимум ^1, i-j; убывает на (— оо, —1), (1, +00) • возрастает на (—1,0) и (0, 1); выпукла вниз на (— оо, 0); выпукла вверх на (0, + оо). 190. у= 0 при х=0, асимптота у=—х+1/3; локальный минимум в точке (0, 0); локальный максимум в точке (2/3, уЧ/З); на (— оо, 0) и (2/3, Ч-о°) убывает; на (0, 2/3) воз¬ растает; (0, 0) точка возврата; вертикальная полукасательная х = 0, у^ 0; (1, 0) точка перегиба; на (— сю, 0) и (0, 1) выпукла вверх; на (1, + оо) выпукла вниз. 191. Кривая состоит из трех ветвей. Для первой ветви у (—х) = ,—у (дг); при х = 0, х = d= ]/2f у = 0; локальный минимум в точке (—1/2, —1/2); локальный максимум в точке (1/2, 1/2); правая асимптота у = —х+ 1/3; левая асимптота у= —х—1/3; на (— оо, —1/2) и (1/2, Ч-о°) убывает; на ( — 1/2, 1/2) возрастает; (О, 0)—точка перегиба; на (— оо, 0) выпукла вниз; на (0, + оо) выпукла вверх. Вторая ветвь: х > 0, асимптота * = 0, у=—х — КЗ; максимум в точке (V2/3, —4 l/2/З); выпукла вверх. Третья ветвь симметрична со второй относительно начала координат. 192. Кривая состоит из четырех ветвей. Первая ветвь х^4, — 9/2<//^—4; асимптота у^=—9/2; краевой максимум (4, —4); на (4, + оо) убы¬ вает; выпукла вниз. Вторая ветвь симметрична первой ветвн отно¬ сительно прямой у = —х. Третья ветвь х > 9/2, у^ 0, у--= 0 при л: = 16/3, асимптоты л: = 9/2 и у = к—6, минимум в точке (16/3, 0)„ выпукла вниз. Четвертая ветвь симметрична относительно прямой у= —х третьей ветви; (4, —4)—точка возврата кривой с полукасатель- ной у=—ху х^4. 193. Кривая состоит из трех ветвей. Первая ветвь — 1^х< 1, у( — х) = —у(х), у = 0, при д: -=0, х=- \ и х-= — 1, (— ^3/2, 2/3 V 3)—точка максимума, ()/3/2,— 2/3 J/3)—точка мини¬ мума, на ( — 1, —-1/3/2) и (/3/2, 1) возрастает, на (— I/3/2, J/3/2) убывает, (0, 0) — точка перегиба, на (—1, 0) выпукла вверх, на (0, 1} выпукла вниз. Вторая ветвь 0 < х 1, // 0 ; у = 0 при х = 1; асимптота х = 0; (1, 0) — краевой минимум; на (0, 1) убывает; (|/l5/4, j/5/3 j —точка перегиба; на (0, 1/15/4)j выпукла вниз; на (V15/4, 1) выпукла вверх. Третья ветвь симметрична со второй относительно начала координат. Кривая в точках ( — 1, 0) и (1, 0) имеет вертикальные касательные х= —1 и х — 1. 194. Кривая состоит из трех ветвей. Первая ветвь — l^x^l, у(—х) = —у(х)\ у = 0 при х = 0, у (— 1)— 5, £/ (1) = —5; краевой максимум (— 1, 5); краевой минимум (1,-5); на (— 1, 1) убывает; (0, 0)—точка перегиба; на (—1,0) выпукла вниз; на (0, 1) выпукла вверх. Вторая ветвь 0<л^1; у(\) = — 5; (2 1/6/7) = 0; асимптота х=0; (2 1/2/3, 4У2)—точка минимума; на (0, 21/2/3) убывает; на (2 l/2/З, 1) возрастает; выпукла вниз. Третья ветвь симметрична со второй ветвью относительно начала координат. Кривая имеет в точках (— 1, 5) и (1, —5) вертикальные касательные х= — 1 и 1 и две двойные точки—пересечение первой ветви со второй и третьей. 195. Кривая состоит из трех ветвей. Первая 142
ветвь —1<х<1, у{\) = —2; у(—х) = —J/(x); у(0)-=0, */( —1) =2; краевой максимум ( —1, 2); краевой минимум (1, —2); на (— 1, 1) убывает; (0, 0)—точка перегиба; на (—1,0) выпукла вниз; на (0, 1) выпукла вверх. Вторая ветвь 0 <*<1,у(Т/3/2) = 0; асимптота дг = 0; (1, —2)—краевой минимум; на (0, 1) убывает; выпукла вниз. Третья ветвь симметрична со второй относительно начала координат. Точки возврата кривой (—1,2), (1,2); полукасательные у — 2 — 6 (*+1), х> — 1 и у= —2— 6 (х— 1), x^I 1. 196. Кривая симметрична относи¬ тельно прямой у — —х; при х = 0. На промежутке (—оо, 0] имеем у = 0 при х = 0, асимптота у — 0, минимум в точке (—е/2, —1/2е), на ( —оо, —е/2) убывает, на (--е/2, 0) возрастает, (—V2e^2l2% — V2l2eV2)— точка перегиба, на (— оо, —Y2eyr2f2) выпукла вверх, на (—У2е^/2, 0) выпукла вниз. 197. Кривая состоит из пяти ветвей. Первая ветвь х< —1/2, у< 0; асимптоты у = 0, х= —1/2; на (— оо, —1/2) убы¬ вает и выпукла вверх. Вторая ветвь х^0, у^0; у(0) = 0; асимптота 1 3 у — —х ; возрастает и выпукла вниз. Третья ветвь —1/2<х^0, 2 4 х/^0; (0) = 0; асимптота х——1/2; убывает и имеет точку перегиба х0, соответствующей /0 такому, что /о + 3/0-f-1=0; на (—1/2, х0) выпукла вниз; на (х0, 0) выпукла вверх. Четвертая ветвь х>4, у^ 2 13 > 2/3; у (4) ; асимптота у =— х — —, возрастает и выпукла вверх. Пятая ветвь х>4, у^ 2/3; асимптота у= 0; убывает и выпукла вниз. Кривая имеет вертикальные касательные в точках (0, 0) и (4, 2/3) соответственно х = 0 и х = 4 и двойную точку—пересечение первой и второй ветвей. 198. хф 1; у = 0 при х = 0; асимптоты х=1, у = = Зх+1; локальный минимум в точке (27/19, 27/4); на (— оо, 1) и (27/19, + оо) возрастает; на (1,27/19) убывает; (8/133, 8/175) — точка перегиба; на (— оо, 8/133) выпукла вверх; на (8/133, 1) и (1, + оо) выпукла вниз. 199. Кривая состоит из четырех ветвей. Первая ветвь х ^ 0, — 1/2 < у <1 0; у (0) = 0; асимптота у= —1/2; возрастает; выпукла вниз. Вторая ветвь х<!0, у^. 0; у(0) = 0; асимптота */ = 2х-Ь + -J-; возрастает; выпукла вверх. Третья ветвь х > 1, г/>0; асимптоты .X = 1, у = 2х + —; минимум в (4/3, 4); на (1, 4/3) убывает; на (4/3, + оо) возрастает; выпукла вниз. Четвертая ветвь х > 1, */< 0; асимптоты х = 1, у——1/2; возрастает; выпукла вверх; (0, 0)—точка возврата кривой с полукасательной у=х, х^0.
Глава IV ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ § 1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ НА ПРЯМОЙ Множества обозначим большими буквами латинского алфа¬ вита. Знак «и» обозначает объединение, знак «П» — пересечение, а знак «\» — разность множеств. Для любого множества М через СМ обозначим дополнение множества М до всей прямой. 1. Доказать, что каждое из условий А[\В=А и А[)В = В необ¬ ходимо и достаточно для того, чтобы АаВ. 2. Доказать, что если A\B = D, то Aa(B\JD). 3. Привести пример таких множеств А и В, что АфВ'^ (Л \В). 4. Доказать, что если A = B’\jD, то A\BczD. 5. Привести пример таких множеств Л, В, D, что A = B\jD, но A \ВФ&. 6. Доказать, что А\(В[}Е) = (А\В)\Е. 7. Привести пример таких множеств Ау Ву £, D, что D = A'J U(В\Е), но ОФ(А[)В)\Е. 8. Доказать, что если D = A'J(B\E), то (A[]B)\Ea:D. 9. Доказать, что (Ai{jA2)\(Bl\jB2)a:(A\\B])[)(A2\B2). 10. Привести пример таких множеств А\, Л2, В\у В2, что (А1[)Л2)\(Вх[}В2)Ф(А1\В1)[ЦА2\В2). 11. Доказать, что а) С{А[]В)-=СА f]CB; б) С (А (]В)=СА[}СВ. 12. Доказать, что а) С ((A U В)\(А П В)) =(С(А[) В)) [}(Af\B)y б) (ЛиС£)П(СЛиД)=(ЛПВ)и(СЛПСД). Пусть Е — подмножество числовой прямой. Через £' обозна¬ чим множество предельных точек множества £, через Е — замы¬ кание £, т. е. пересечение всех замкнутых множеств, содержащих Е, через 0Е — множество граничных точек Е. 13. Привести примеры множества Е, удовлетворяющего соот¬ ношению: а) Е = Е'\ б) £' cz Е и Е\Е' Ф 0 ; в) Е cz Е' и Е'\ЕФ0; г) Е' \ ЕФ0 и Е\Е'Ф0\ д)£П£' = 0; e)sup£c=£; ж)$ир£е£; з) sup£e£\£'. 14. Привести пример множества, имеющего: а) ровно одну предельную точку; б) ровно шесть предельных то¬ чек. 15. Дано множество £ на прямой, причем inf \хп — хт\ =а > 0, п,т,пфт 144
где хПу х,п ~ любые точки Е. Доказать, что множество £ не имеет предельных точек. 16. Может ли множество, состоящее только из изолированных точек, иметь предельные точки. 17. Доказать, что, для того чтобы множество было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы оно содержало все свои точки прикосновения, т. е. точки, любые окрестности которых имеют не¬ пустые пересечения с множеством. 18. Доказать, что для любого множества Е имеем Е = Е\}Е'. 19. Доказать, что если множество включается в производное (т. е. в множество всех предельных точек этого множества), то оно не содержит изолированных точек. 20. Является ли замкнутым множеством множество рациональ¬ ных точек отрезка [0, 1]. 21. Найти множество предельных точек множества рацио¬ нальных чисел. 22. Привести пример множества, не являющегося ни замкну¬ тым, ни открытым. 23. Найти множество предельных точек множества ирра¬ циональных чисел, больших чеял два. 24. Привести пример множества, являющегося одновременно открытым и замкнутым. 25. Доказать, что изолированная точка множества Е является граничной. 26. Доказать, что если предельная точка не принадлежит мно¬ жеству, то она является граничной. 27. Доказать, что d(A[)B)czdA\JdB. 28. Доказать, что д(А(]В)адА[}дВ. 29. Привести пример множества А такого, что А" непусто, а Апусто, где А"=(А')' и Л'"=(Л")'. 30. Пусть f отображает отрезок [0, 1] на множество {cj, Сг, £з> съ> с6}. Доказать, что по крайней мере для одного из чисел Ci (l^i^ <6) множество f~l(Ci) имеет предельную точку. Построить при¬ мер отображения f такого, чтобы только одно из таких множеств имело предельную точку; чтобы ровно три таких множества имели предельную точку. N N 31. Пусть Е = у Еп. Доказать, что £'=- [J £„. п=1 1 п=1 32. Привести пример последовательности множеств Еп таких, оо что для любого п £л'=0, а Е'ф0, где Е = у Еп. Л=»1 33. Доказать, что непустое пересечение любого семейства замк¬ нутых множеств замкнуто. 34. Доказать, что сумма конечного числа замкнутых множеств замкнута. 145
35. Привести пример последовательности замкнутых множеств оо Гп такой, что множество А — \J Fn не замкнуто; в частности, П=1 •чтобы множество А было интервалом. 36. Доказать, что сумма любого семейства открытых множеств является открытым множеством. 37. Доказать, что непустое пересечение конечного числа откры¬ тых множеств является открытым множеством. 38. Привести пример последовательности открытых множеств оо Юп такой, что множество А = Q G„ — не открытое; в частности, п= 1 множество А — отрезок. 39. Найти замыкание множества {2p/q}y где р и q натуральные. 40. Доказать, что множество граничных точек любого множе¬ ства замкнуто. 41. Какова мощность множества всех квадратов на плоскости с рациональными координатами вершин? 42. Доказать, что множество непересекающихся интервалов на прямой не более чем счетно. 43. Доказать, что если расстояние между любыми двумя точ¬ ками множества А больше единицы, то множество А не более чем •счетно. 44. Доказать, что множество всех многочленов Р(х) =а0 + + а{х+ ... + апхп с рациональными коэффициентами счетно. 45. Известно, что множество предельных точек множества А ■счетно. Доказать, что множество А счетно. CD 46. Пусть Е= U Еп и каждое из Еп содержит только изолиро- п = 1 ванные точки. Доказать, что Е не более чем счетно. 47. Доказать, что для любого счетного множества А = {хп} су¬ ществует число а такое, что множество {хп + а)[\А пусто. 48. Представить множество натуральных чисел как счетное объединение непересекающихся счетных множеств. 49. Построить взаимно однозначное отображение отрезка [0, 1] на интервал (0, 1). 50. Построить взаимно однозначное отображение [0, -f-оо) на (а, Ь). 51. Доказать равномощность отрезка |0, 1] и квадрата с вер¬ шинами 0(0; 0), /4(0; 1), 5(1; 0); С(1; 1). 52. Доказать, что всякое несчетное множество содержит не¬ счетное ограниченное подмножество. 53. Привести пример счетного множества, каждое ограниченное подмножество которого конечно. 54. Привести пример счетного множества, имеющего ровно три предельные точки. 146
55. Доказать, что все точки счетного множества граничные. 56. Привести пример последовательности вложенных интерва¬ лов, имеющих одну точку пересечения. 57. Привести пример последовательности вложенных интерва¬ лов, содержащих в пересечении отрезок. 58. Привести пример последовательности вложенных интерва- 00 лов (ап> Ъп) такой, что Q (а„, 6П) = 0. При каком дополнительном л=1 условии можно утверждать, что последовательность вложенных интервалов имеет непустое пересечение? оо 59. Пусть [а, Ь] = у Fn, где Fn — замкнутые множества. До- Л = 1 казать, что существуют отрезок [а, р] а [а, Ь] и число По такие,, что Fn.fl [а, Р] =[а, Р]. 60. Привести пример последовательности вложенных отрезков- оо [Дл, Ьп] такой, что множество р| [ап, Ьп] содержит не менее двух П — 1 точек. 61. Доказать, что для последовательности вложенных отрезкоа оо [ап, Ьп\ множество [ап, Ьг\ есть или точка, или отрезок. п = 1 62. Дано множество Е = {0; 1; —; —; —, ... , —..Ли си- \ 2 4 8 2я / стема интервалов (—с, е) и ((1 —е)/2п, (1+е)/2л), n^O, 1, 2, . .. где 0<е< 1/2. Выделить конечную подсистему, покрывающую Е. 63. Дано множество £= |l; у; ... , ...J и система интервалов (—8, е) и ((1 — e)/2n, (1 Н- в)/2п), п= О, 1, 2, ... , 0< <£<1/2. Можно ли выбрать конечное подпокрытие из этой системы интервалов? 64. Дано множество £ = {1, 2, 3, ..., л, ...} и система интерва¬ лов (п—е, л + е), п=~-1, 2, ..., 0<е< 1/2. Можно ли выбрать конеч¬ ное подпокрытие из этой системы интервалов? 65. Привести пример покрытия отрезка системой отрезков, из которых нельзя выбрать конечную систему покрытия. 66. Привести пример покрытия интервала системой интервалов, из которых нельзя выбрать конечную систему покрытия. 67. Привести пример покрытия интервала бесконечной системой отрезков, из которых нельзя выбрать конечного покрытия. 68. Привести пример покрытия числовой прямой интервалами, не допускающего конечного подпокрытия. 69. Доказать, что если из всякого покрытия множества системой интервалов можно выбрать конечное подпокрытие, то множество ограничено (т. е. содержится в некотором отрезке числовой пря¬ мой). 147
§ 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА 70. Какое свойство последовательности определяет следующее высказывание: Vn-eiV 3/4>0, такое, что \ап\<А. 71. Доказать, что если некоторая подпоследовательность мо¬ нотонной последовательности ограничена, то и сама последова¬ тельность ограничена. 72. Привести пример неограниченной последовательности, у которой есть ограниченная подпоследовательность. 73. Привести пример последовательности, у которой нет огра¬ ниченной подпоследовательности. 74. Доказать, что у любол последовательности есть монотонная под последов ател ьность. 75. Доказать, что если у последовательности {ал} нет конечных частичных пределов, то последовательность {|Дл|} стремится К -f ОО. 76. Привести пример последовательности {а„} такой, что lim |ап| =Л, а предел последовательности {ап) не существует. «-►ОО Пусть {а,,} — некоторая последовательность и А — множество значений этой последовательности. 77. Показать, что предельная точка А является частичным пре¬ делом последовательности {ал}. 78. Привести пример последовательности {ап} такой, что точка a = lima„ не является предельной точкой множества А. П_*.оо 79. Привести пример последовательности {ап} такой, чго ни один из ее частичных пределов не принадлежит А. 80. Показать, что если b есть частичный предел последователь¬ ности {ал}, то b принадлежит А. 81. Дана последовательность {ап}. Построить последователь¬ ность {&„}, для которой каждое из а, является ее частичным преде¬ лом. Может ли последовательность {Ьг,} иметь частичные пределы, отличные от а,? 82. Пусть последовательность {а„} сходится. Является ли схо¬ дящейся последовательность {а„-ц—ап}? 83. Построить пример сходящейся последовательности {а„}, для которой последовательность {—1йп расходится. При каком ус- 1 али J ловии на {ап} последовательность I —— 1 обязательно сходится? I опп ) 84. Привести пример последовательности {а„} такой, что ап —»--foo И а) lim(a„n — ап) -10; П->оо б) lim(ann—an)=+оо; П-ЮО в) последовательность {ал-н—Яп} не имеет предела ни конеч¬ ного, ни бесконечного; 148
Г) lim • =0. Л-* oo On Д) lim on+, =3; n-+oo On e) lini¬ ng OO °n*1 = + oo; an ж) последовательность не имеет предела. Оп 85. Привести пример сходящейся последовательности {а*}, для которой п(ап+1—ап) стремится к бесконечности. 86. Доказать, что если \iman = A, то lim \ап\ = |>4|. П-»оо П-*-оо 87. Доказать, что если у последовательности {ая} есть две под¬ последовательности и {amJ, причем объединение индексов пк и гпь есть все N и amfc-*a, то и а*-+а. 88. Доказать, что для сходимости последовательности {а„} не¬ обходимо и достаточно, чтобы сходилась любая ее подпоследова¬ тельность. 89. Доказать, что для сходимости монотонной последователь¬ ности достаточно сходимости некоторой ее подпоследовательности. 90. Дана последовательность {а„}, у которой все подпоследова¬ тельности a2i, a3<2t, a52i, ... , i= 1, 2, ... сходятся к одному и тому же числу Ь. Что можно сказать о сходимости последователь¬ ности {an}? 91. Привести примеры последовательностей, удовлетворяющих соотношениям: а) infan <liman; П-*-оо б) Пт an = supa„; Л-* ОО в) infап = limart. П->оо 92. Доказать, что для любой последовательности inffln^ Hmaa ^ liman^supan. П-+оо п-*л 93. Доказать, что сходящаяся последовательность достигает либо своей нижней грани, либо своей верхней грани, либо той и другой. Построить примеры последовательностей этих типов. 94. Доказать, что если lim ап < supa„, то существует такое П-* оо что a„, = supan. 95. Доказать, что а) lim gn-t- \\mbn^ lim (an + bnlim an -f lim bn\ П-КЗD П-+ОО П-+0О fl-r ОО П-*°0 149
б) lim ап • lim bn^.\im (an • bn) ^ lim aa • lim 6n (a„ >0, *„>0); Л-* оо П-+-00 П-ФОО Л—► ao n-*-Oo в) lim an -f lim bn ^ lim (an + bn) ^ lim an -f lim6a; П^ао П-+оо П-^оо Л —► ao Л -*-od r) lim fl„ • lim 6n ^ lim (art • £„) ^ liman • lim bn (an> 0, ^a^0). ^ ( П-»-аО Г1 —*- ao П-f оо Л -► oo 96. Привести примеры последовательностей, для которых в со¬ отношениях предыдущей задачи имеют место строгие неравен¬ ства. 97. Доказать, что если последовательность {ап} сходится, то для любой последовательности {Ьп} имеем а) lim (a„ + 6a) = lim aa -f lim ba\ П-*оО П—*<£> П-*-аО б) lim (ап • Ьп) ■■= Пт ап • lim bn (lim ап > 0). П—». оо П-¥ Оо Л-ЮО П-+СО 98. Доказать, что если последовательность {ап} такова, что для любой последовательности {6„} или а) lim (a„ + £„) = lim a„ + lim bn, П-*-ао П-+ЩО Л -»oo или б) ПпТ (а„ • 6„) -== lima„ • lim bn (,a„ > 0), П—*• ОО Л -» ОО П-+О0 то последовательность {a„} сходится. 99. Пусть дана последовательность положительных чисел {а„} и lim ></>0. Л-*аО Доказать, что существуют числа С и N такие, что an>Cqn для любого n>N. 100. Пусть дана последовательность положительных чисел {а„} иТТт Л-*-® Доказать, что an^o(qn), п-+оо. 101. Пусть последовательность {ап} сходится, а последователь¬ ность {Ьп} расходится. Что можно сказать о сходимости последо¬ вательностей {ап + Ьп} и {ап Ьп}? 102. Привести примеры двух последовательностей {ап} и {Ьп} таких, что последовательность {ал} расходится, а последовательно¬ сти {Ьп} и {апЬп} сходятся. При каком условии на предел {Ь„} пос¬ ледовательность {ап Ьп) может сходиться, если последовательность {ап} расходится. 103. Доказать, что если lim cin=At то п-* оо lim a>+g* + ••• +Д- =Аш П-+оо П 150
104. Доказать, что если ап > 0, n&N и \\тап = А, то П-*-оо lim v7 аха2 ... ап =А. Л->оо 105. Доказать, что если ап > 0, n^N и lim —= Л, то п—+со ап lim y^a7 = Л. «-►оо 106. Последовательность {an} называется последовательностью с ограниченным изменением, если существует число С такое, что для любого n^N п £ |a*+1-a*|<C. А=п1 Доказать, чтд последовательность с ограниченным изменением сходится. Привести пример сходящейся последовательности с не¬ ограниченным изменением. 107. Доказать, что последовательность ап = 1 н—!—1—-—Ь ... 2 3 , 1 ... Н расходится. п 108. Пусть последовательность {ап} такова, что: а) некоторая ее подпоследовательность {artjk} сходится, б) lim max \ар —ап. | =0. fr^oo пк<р<пш Доказать, что последовательность {а„} сходится. 109. Пусть последовательность {а„} такова, что: а) некоторая ее подпоследовательность {a„ft} сходится, б) существует число М такое, что для любого k^N |nA+i — пк\<М, в) Jim(art+i — ап) = 0. П-*оо Доказать, что последовательность {ап} сходится. 110. Пусть fn: (0, 1]-*/?. Для натуральных пит и числа е>0 обозначим через Вшп,т множество {хе [0, 1] : \fn(x)—fn+m(x) |^е}. оо Пусть Attn= f] Be.n.m- Доказать, ЧТО ДЛЯ СХОДИМОСТИ fn(x) на т=1 (0, 1) необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 выполня¬ лось 0 Ле.п=[о, 1]. П = 1 111. Доказать неравенство Бернулли <1 +*)"> 1 -\-пх, n&N, х>—1. 151
112. Доказать, что последовательности аЛ=^1 -f — и Ьи=- Л 1 \п+1 ^ п = М Н J монотонны и имеют общии предел: lim ап = lim bn =е. л-»ао п-+ оо 113. Доказать неравенство (f)*<”'<'-(i)*' »«*• 114. Доказать неравенства: а) —~г < In (1 Н—— ^ < —, neN; п + 1 \ п / п б)-j-<e—(l + neJV. 4 п \ п } п § 3. ФУНКЦИИ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 115. Пусть у — хъ—Зл\ I. Найти множество на прямой ОУ, являющееся образом множест- ва: а) [О^УТ]; б)_[0, 1J; в) (-1^1); г) (-2, 2); д) (-5, 5) с) [-J/3. 0]U(V3, 2); ж) [-1/3, 01 U 0/2. УЗ). II. Найти множество на оси ОХ, являющееся прообразом мно¬ жества: а) (-2, 2); б) [-2, 0]; в) (0, 110). 116. Пусть [0, 1], У = [0, 1]. Какие из следующих функций У — f (х) задают отображение X на У; какие — X в У; какие зада¬ ют биективное отображение (взаимно однозначное), если а) /W=-^-tg-2T-; б) f(x) = sin пх; в) /(*) =2 (х —*»); Z 4 г) f{x) =cos-y-; д) /(*)=х3; е) /(*) = 117. Пусть А — любое множество из области определения функции /(*). Как соотносятся множества А и f~l(f(A))? 118. Пусть А — любое множество из области значений функ¬ ции f(x). Доказать, что /(/~!И)) =А. 119. Пусть А — любое множество из области определения строго монотонной функции /(*). Как соотносятся множества А И f-'(f(A))? 120. Пусть А и В — множества из области определения функ¬ ции f(x). Доказать, что f(A[)B) =f(A)\)}(B). 121. Пусть А и В — множества из области определения функ¬ ции f(x). Доказать, что /(ЛГ|£)czf(A)(]f(B). 152
122. Пусть А и В — множества из области определения функ¬ ции f(x), причем f(x) осуществляет взаимно однозначное отобра¬ жение. Тогда f(A(]B) =f(A)()f(B). Доказать. 123. Пусть R — область определения функции }(х) и А — лю¬ бое множество из R. Как соотносятся множества f(R\A) и f(R)\f(А)? ' 124. Пусть В — область значений f(x) и Лс=В. Доказать, что 125. Доказать, что для любых множеств А и В из области зна¬ чений функции f(x) верно а) f-] (A(]B) =/-> (Л) П/-1 (В); б) f-'(AUB)=f-4A)Uf-'(B). 126. Функция / отображает отрезок [а, Ь] в отрезок [а, Ь\. Доказать, что если /(/(*))==*, то график функции симметри¬ чен относительно прямой у = х. 127. Функция / определена па всей числовой прямой и ее гра¬ фик симметричен относительно точки Л (а, Ь) и прямой х^С (Сфа). Доказать, что функция f периодическая. 128. Сформулировать, что означает, что функция f не является четной на промежутке (—/, /)*. 129. Функция f определена на симметричном промежутке <-ч о. Доказать, что ее можно представить в виде суммы четной и нечетной функций. 130. Сформулировать утверждение: функция f не является ог¬ раниченной на множестве М. 131. Какие из следующих функций являются бесконечно боль¬ шими при x-М, какие ограниченными, какие неограниченными: а) «/ = —Ц-sin2—б)у = —Ц- (sin—+ 2); X— 1 X— 1 X— 1 \ X— 1 / v sinn(x— 1) v sinn(x— 1) я в) у = -г-1’ г) у= —icos г- X — 1 X — 1 X — 1 132. Привести пример функции, определенной на [0, 1], но неограниченной на любом [a, p]cz[0, 1]. 133. Сформулировать, что означает, что функция f(x) не яв¬ ляется монотонной на промежутке [а, Ь\. 134. Является ли произведение двух монотонных на (—оо, -foo) функций монотонной на (—оо, -foo) функцией. * Всюду в дальнейшем требование сформулировать отрицание некоторого утверждения означает, что соответствующую формулировку надо записать на языке символики с использованием кванторов. Так, например, отрицание утверж¬ дения «число А является пределом последовательности {а„} при л-*-оо» должно быть сформулировано следующим образом: существует положительное число е такое, что для любого натурального числа N существует натуральное число л, большее числа N, для которого \ап—Л|>е, т. е. He>0: yiVeN 3 n>N : |а„—А | >е. 153
Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки х0, называется монотонно возрастающей в точке, если существует такое 6>0, что для любого х из левой б-полуокрестности точки хо (х : хо—б<х<х0) имеем /(х)^/(хо) и для любого х из правой 6-полуокрестности (х : х0<х<х0+б) /(х)>/(х0). 135. Привести пример функции, определенной на [—1, 1], воз¬ растающей в точке х0 = 0 и не являющейся монотонной на отрезке [—6, 6] для любого 6>0. 136. Доказать, что функция, монотонная в каждой точке отрез¬ ка [а, Ь], монотонна на этом отрезке. 137. Следует ли из равенства inf /(х) = sup / (х), что / постоянна *€(а.&) *£(а,Ь) на (а, Ь)? § 4. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 138. Пусть f(x)=x2 cos—, #(*/) = sign2у. Показать, что Iim/(x) = X х-+0 = 0, lim g (у) = 1, но lim g(f (х)) не существует. Объяснить, почему У-+0 х-+0 неприменима теорема о пределе сложной функции? 139. Доказать, что равенство lim/(x) = lim/(x) необходимо и до¬ лг ^-*Х0 х-*х0 статочно для того, чтобы \\mf(x)=A. х-*хл 140. Доказать, что существует lim о)[/, (х0—б, х04-б)] для лю- бой /, ограниченной в некоторой окрестности х0, где а)[/, (а, Р)] есть колебание / на (а, Р): 4f> (“• Р)1 = sup \f (*i) *».*«€ (а. p) Этот предел называется колебанием f в точке хо и обозна¬ чается о)(/, Хо). 141. Доказать, что функция /(х) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда w(f, Хо) =0. 142. Привести пример ограниченной в некоторой окрестности точки хо=0 функции, для которой lim/(x) не существует, а х-*0-Ь lim /(х) существует. ж-*0— 143. Доказать, что <o(f, лс0) = max (Urn / (х) —/(*„), Tim / (*) —lim f(x), X-+I, ж—х, f(xe) — \imf(x)). Х-Х, 144. Пусть lim f (х) ф0, a limqp(x) не существует. Доказать, что X-*Xe Х-*Х, lim / (.г) • <р(х) не существует. Ж-+Х, 154
145'. Пусть Wmf (х)ФО, а ф(х) —бесконечно большая при х —► дг0. х-+х0 Доказать, что / (л) ф (дг) —бесконечно большая при jc-*jc0. 146. Что можно сказать о непрерывности в точке х0 функций f(x) + g(x), f(x) —g(x) и f(x)g(x), если: а) функция f(х) непрерывна в точке хо, а функция g(x) раз¬ рывна в точке хо\ б) функции f (x) и g(x) разрывны в точке хо? 147. Построить пример функций f(x) и g(x) таких, что f(g(x)) непрерывна в точке хо, a g(f(x)) разрывна в точке х<>. 148. Функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0. Пусть {ап} — некоторая числовая последовательность неотрица¬ тельных чисел и для любого n^N существует бп>0 такое, что из неравенства \х—л0|<бл следует неравенство \f (x)—f(x0) \<ап. Какое свойство функции описывается этим условием? Каким свой¬ ством должна обладать последовательность {ап}, чтобы из этого условия следовала непрерывность f(x) в точке jto? 149. Доказать, что функция Римана *<*) = 1, jc = О, —, х = — и дробь — несократима, п п п О, х —иррациональное разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. 150. Доказать, что функция Дирихле 0, х—рациональное, \l, х — иррациональное разрывна в каждой точке. 151. Привести пример функции непрерывной только а) в одной точке, б) в двух точках, в) ,в п точках. 152. Доказать, что если /<=С[а, Л], g<=C[a, />] И <р,=шах{/, g}, =min{/, g}, го ф! (х) и ф2(а:) — непрерывные функции на [а, Ь]. 153. Пусть/(а:) — непрерывная функция на (—оо, +оо) и f(x, п) = f(x), *:|/(*)|<п, п, x :f(x)> п, —л, *:/(*)<—л, neAf. Доказать, что для любого л функция f(x, л) непрерывна на (—оо, +оо). 155
154. Доказать, что если f(x) непрерывна на [а, Ь], то т(х)= inf f(l) и М(*) = sup /(£) также непрерывны на [а, Ь]. 155. Может ли разрывная функция удовлетворять условию V е > 0 3 6 > 0: V |Л| < 6 |/(х, + A) -/ (х0 -А) | <е? 156. Может ли разрывная функция удовлетворять условию Уе>0Я 6>0: V |Л| <6 I/(хл 4-Л) -2/ (х0) 4 / (х0 -А) | < е? 157. Может ли разрывная функция удовлетворять условию Уе>03 6 > 0: V |А| < б, V |Л#| < в |/(*0 + А) — — 2/(*0) + / (*0 — А')| <е? 158. Найти все непрерывные на (—оо, 4-оо) функции, удовле¬ творяющие условию a) f(x)=f (2*); б) / (*x + х2) = f (xj • / (*2). 159. Функция f(x) определена на (а, Ь) и удовлетворяет ус¬ ловию / (X*! 4- (1 —Ь) *t) < X /(дс1) 4- (1 — l)f (*2) для любых х\, х2е(а, Ь) и любого 0<А,<1. Доказать, что f(x) непрерывна на (а, Ь). Верно ли утверждение, если вместо интер¬ вала (а, Ь) взят отрезок [а, 6]? 160. Привести пример разрывной в каждой точке отрезка [0, 1] функции такой, что ее квадрат является непрерывной на [0, 1] функцией. 161. Пусть f(x) непрерывна на отрезке (а, Ь] и не принимает на нем нулевого значения. Показать, что существует положитель¬ ное число т|>0 такое, что для любого хе[а, 6] |/(х)|>г]. Пока¬ зать, что для интервала это утверждение неверно. 162. Пусть /(*)—непрерывная на (а, Ь) функция и х\, х2, *з — любые точки из этого интервала. Тогда существует точка £ на интервале (а, Ь) такая, что /<6) =-£-</(*.)+/(**)+fM). Доказать. 163. На плоскости задан произвольный многоугольник и неко¬ торый вектор. Показать, что найдется прямая, параллельная это¬ му вектору, рассекающая многоугольник на две части одинаковой площади. 164. На плоскости задан произвольный многоугольник и неко¬ торая точка. Показать, что найдется прямая, проходящая через эту точку и рассекающая многоугольник на две части одинаковой площади. 156
165. Доказать, что любой многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень. 166. Доказать, что если /еС[а, 6], geC[a, b] и f(a)>g(a)t /(&)<£(*>). то найдется точка Хое(а, Ь), в которой f(x0)=g(x0). 167. Доказать, что для любой непрерывной функции /: [0, I]-*- “►[О, 1] существует точка Jtc>e[0, 1], в которой f{xо)=*о (непо¬ движная точка отображения /). 168. Привести пример непрерывного отображения /:(0, 1)-^ —>-(0, 1), у которого не существует неподвижной точки. 169. Функция f(x) непрерывна на (—оо, +оо) и /(/(*) )==* для всех хе(—оо, ~г оо). Доказать, что существует хо такое, что f(xo) =х<>. 170. Функция f(x) непрерывна на окружности. Доказать, что существуют две диаметрально противоположные точки а и b та¬ кие, что /(а) = /(&). 171. Привести пример функции f(x), определенной на отрезке [0, 1], принимающей на любом отрезке [a, 6]cz[0, 1] все проме¬ жуточные значения между /(а) и /(6), но не являющейся непре¬ рывной на [0, 1]. 172. Привести пример функции, ограниченной на отрезке [0, 1], но разрывной на этом отрезке. 173. Доказать, что непрерывная на отрезке функция, не имею¬ щая на этом отрезке ни одного внутреннего экстремума, монотон¬ на. Привести пример, показывающий, что для разрывных функ¬ ций это утверждение неверно. 174. Доказать, что если f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь] и имеет обратную функцию, то f(x) — монотонная функция на [а, Ь]. 175. Привести пример функции f: [0, 1]-*[0, 1], не являю¬ щейся монотонной, для которой существует обратная функция g(y) : [0, 1]—[0. 1]- 176. Привести пример разрывной функции, для которой об¬ ратная функция является непрерывной. 177. Привести пример монотонной на [0, 1] функции с беско¬ нечным числом точек разрыва. 178. Доказать, что для функции, определенной на [а, Ь], мно¬ жество точек строгого локального экстремума не более чем счет¬ но. Построить пример функции, непрерывной на [а, Ь], с беско¬ нечным множеством точек строгого локального экстремума. 179. Существует ли функция /(*), непрерывная на отрезке [а, Ь], взаимно однозначно отображающая [а, Ь] на (—оо, +оо)? 180. Существует ли функция /(*), непрерывная на отрезке [а, Ь], взаимно однозначно отображающая [а, Ь] на (с, d)? 181. Существует ли функция /(*), непрерывная на отрезке [а, Ь]у взаимно однозначно отображающая [а, Ь] на [0, 1]U[3, 4]? 157
182. Существует ли функция f(x), непрерывная на интервале (О, 1), для которой множеством значений является множество а) (0; 2); б) (0; 2)U(3; 5); в) (1, +оо); г) [0, 2]? Если нет, то почему, если да, то привести примеры. 183. Существует ли функция f(x), непрерывная на интервале (—1; 2), для которой образом интервала (0; 1) является множе¬ ство а) (0; 2) ; б) (0; 2)U(3, 5) ; в) (1, -f оо); г) [0; 2]. Если нет, то почему, если да, то привести примеры. 184. Существует ли непрерывное биективное отображение (—1; 2) в R такое, что образом (0, 1) является множество а) (0; 2); б) (0; 2)U(3; 5); в) (1; + оо); г) [0; 2]? Если нет, то почему, если да, то привести примеры. 185. Доказать, что функция f{x) непрерывна на отрезке [а, Ь] тогда и только тогда, если для любого с множества {х, хе[а, Ь]у f(x)>c} и {х, хе [а, b], f(x)<c) открыты относительно [а, Ь]. Что можно сказать о функции, если таковыми являются только множества вида {х : хе [а, Ь), /(л:) >с}? Привести пример разрыв¬ ной функции, для которой все такие множества открыты относи¬ тельно К Ь). 186. Пусть функции fn(x) непрерывны на отрезке [0, 1] и f(x)=\\m fn(x) для любого хе [0, 1]. Доказать, что f(x) имеет на П-*- CD [0, 1] хотя бы одну точку непрерывности. 187. Доказать, что если f(x) непрерывна на [а, b], то множе¬ ство £ill£3U£5L) • ’ * замкнУТ0> гДе £п — множество тех точек из [а, Ь], для которых л^/(х)^л+ 1. Показать, что в случае интер¬ вала (а, Ь) предыдущее утверждение может быть неверно. Рассмотреть пример у = —, (а; Ь) = (0; 2). X 188. Сформулировать, что означает, что функция f(x) не яв¬ ляется равномерно непрерывной на множестве М. 189. Привести пример функции непрерывной, но не равномер¬ но непрерывной на множестве a) 0<jc<1; б) х^0. 190. Привести пример функции неограниченной и равномерно непрерывной на множестве х^0. 191. Доказать, что равномерно непрерывная на ограниченном множестве функция ограничена на нем. 192. Привести пример ограниченной и непрерывной на (0; 1) функции, не являющейся равномерно непрерывной на нем. 193. Доказать, что функция /(*), равномерно непрерывная на каждом из двух отрезков, равномерно непрерывна на их объеди¬ нении. Привести пример, показывающий, что для интервалов это утверждение неверно. 194. Доказать, что функция f(x) равномерно непрерывна на интервале (а, Ь) тогда и только тогда, когда существует непре¬ рывная на отрезке [а, Ь\ функция g(x), совпадающая с f(x) на интервале (а, Ь). 195. Известно, что f (х) непрерывна при х^0 и lim f(x)=C. Х~* -» оо 158
Доказать, что a) j(x) ограничена при х>0; б) f(x) равномерна непрерывна на х>0. 196. Является ли функция У* равномерно непрерывной на а) [0, 1); б) (0; 1); в) [5, + оо); г) [0, + оо); д) [0, + <»)- § 5. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 197. Привести пример двух недифференцируемых функций в точке jc0: а) произведение которых дифференцируемо в точке jc0; б) сумма которых дифференцируема в точке х0\ в) частное которых дифференцируемо в точке х0. 198. Привести пример функции, дифференцируемой в точках *1=0, Х2 = — 1, *з=1 и разрывной в остальных точках отрезка 199. Имеют ли производные в точке х = 0, следующие функции; a) y = x\s\nx\; б) у = х\х*\. 200. Пусть функция f(x) дифференцируема в точке х0 и f(xо) =т^0, а функция g(x) не является дифференцируемой в Jto, но является непрерывной в хо. Доказать, что функция f(x) g(x) не является дифференцируе¬ мой в х0. 202. Привести пример монотонной функции, производная кото¬ рой не является монотонной функцией. 203. Пусть функция f(x)—нечетная, дифференцируемая на (—оо, +оо). Доказать, что f'(x) —четная функция. 204. Доказать, что производная периодической функции яв¬ ляется периодической функцией. __ 205. Доказать, что функция / (а) = sin х -f cos 1/2 х не является периодической. 206. Привести пример функции f(x) такой, что /'(*) существует всюду на (—1; 1), ограничена и разрывна только в точке х = 0. 207. Привести пример функции }(х) такой, что f'(x) сущест¬ вует всюду на (—2; 2), ограничена и множество 208. Известно, что f (х) дифференцируема в точке * = 0 и ф(*) = [-2, 2]. п 201. Найти /' (0), если / (*) = ["! (х 4- k). есть множество точек разрыва f'(x). дс2 sin —, хфО,
Доказать, что j(<р(дг)) имзет в точке дс = 0 производную, рав¬ ную 0. 209. Привести пример функции f(x)y дифференцируемой на (а, +оо), у которой существует lim /(дг), но не существует пре- дела производной при дс-> +оо. 210. Привести пример ограниченной функции f(x), дифферен¬ цируемой на (а, +оо), такой, что существует lim /'(*)» но не существует lim f(x). оо 211. Привести пример функции /(*), дифференцируемой на (0; 1), такой, что lim/(x) = oo, но предела производной не су- х-*-0 ществует при х-+0. 212. Привести пример функции f(x)t дифференцируемой на (0; 1), такой, что lim/' (х) = оо, но f(x) является ограниченной *-►0+ на (0; 1). 213. Показать, что если для непрерывной в точке х0 функции / существует lim /'(.*)= Л, то существует f'+(x0)=A. 214. Привести пример непрерывной на [—1, 1] функции f(x) такой, что для всех л:е(— 1, 1) производная J'(x) существует, но не существует lim /' (дг) и lim f'(х). ж —►О—Х-+0— 215. Привести пример функции, непрерывной в a:0 = 0, но не имеющей в хо = 0 ни левой, ни йравой производной. 216. Рассмотрим функции у\(х) = \х\, У2(х)=х и Уз(х)- Vх2 • На отрезке [—1; 1] у этих функций нет точки, в которой произ¬ водная обращается в нуль. Какое условие теоремы Ролля нарушено? 217. Доказать, что если все корни многочлена Рп(х) степени п действительны, то все уравнения Pn(ft)(x)= 0 (fc=l, 2—1) имеют действительные корни. 218. Доказать, что функция /: (a, b)-+R, имеющая ограничен¬ ную производную на (а; 6), равномерно непрерывна на (а; Ь). 219. Пусть функция /(х) дифференцируема на [0; 1] и /'(0)Х Х/'(1)<0. Тогда на интервале (0, 1) существует с такое, что f'(c) =0. Доказать. 220. Пусть f{x)=F'(x) для любого хе [а, Ь]. Доказать, что для любых ае[о, Ь]9 Ре [а, Ь], если /(а)</(Р) и /(а)<с</(р), то существует точка у такая, что \е(а, р) и f(y)=c (свойство Дарбу). 221. Пусть функция f (х) дифференцируема на [хи х2] и 0< <х\<х2. Доказать, что (xj(xt) -V('(|)) = Дб) —If' (I). хг — xi где se(*i, х2). 160
222. Пусть функция f(x) непрерывно дифференцируема на (а; b). Верно ли, что для любого 0^(а; Ь) существуют x{^(at b)y хЬ) такие, что 0с: (хь *2) и у (0) _ f (хг) — f (*i) хг — хх 223. Нарисовать график такой непрерывно дифференцируемой функции /(jc), что множество £, удовлетворяющее соотношению /(1) —/(0) =/'(6), состоит ровно из трех точек. 224. Известно, что функция f (х) непрерывна на [0; If, диффе¬ ренцируема на (0; 1), /(0)=4, /(1)=2, г(х)>—2. Доказать, что f(x) —линейная функц-ия. 225. Функция f (x) имеет на (0, -foo) непрерывную производ¬ ную и /(0) = 1, \f(x)\^e~x для х>0. Доказать, что существует точка .v0 такая, что f'(х0) =—е~х\ 226. Пусть функции f(x) и <р(х) дифференцируемы при х>х0 н l/'U) |<ф'(*)- Доказать, что для х>х0 имеем |/(х) —/(х0)| W —ф(*о)- 227. Пусть (реС"^^^), г|> €= Сп (х > х0); qp(/t) (хэ) = \|)(Л) (х0) для Л = 0, 1, 2, , п—1 и (л:)> я1?<а> (лг) для х>х0. Доказать, что для х>х0 имеем <р(х) >t|)(x). 228. Функция /(х) для всех х удовлетворяет условию / (х + Ах) —/ (х) = Л Ax -f- а (х, Ах), где |а| |Дх|8. Доказать, что f (х) = Ах -f В. 229. Пусть f (х) определена на [а, Ь] и для любых ^Еа, Ь], х2е[а, Ь] |/ (хх)—f(x2)\^K\xl—ха|а, где /С—константа и а>1. Доказать, что f(x) постоянна на [а, Ь). 230. Пусть /(х) дважды непрерывно дифференцируема на [0; + оо), lim f(x)= 0, |/"(х)|<1. JC—*--оо Доказать, что lim /'(х)=0. X * { оо 231. Пусть f(x) дважды дифференцируема на всей оси и огра¬ ничена. Доказать, что существует х0 такое, что /"(х0) =0. 232. Функция f(x) непрерывно дифференцируема, не меняет направление выпуклости на (0, -foo) и lim /(х)=Л. оо Доказать, что lim /'(х)=0. X -►-{-оо 233. Известно, что функция f(x) дифференцируема для х>а, не меняет направление выпуклости на [a, -foo), прямая y = kx+b является асимптотой /(х) при х-*+оо и график f(x) расположен ниже асимптоты. Доказать, что при этих условиях lim f'(x) — k и f (х) выпукла Х — -ТОО вверх. 161
234. Привести пример двух выпуклых вверх функций таких, что их произведение не является выпуклой вверх функцией. 235. Функция f(x) дифференцируема на [0, 1], f(0)=0, и для некоторого £>0 справедливо неравенство |/'(*) |^|f(х) I• Доказать, что f {х)=0, л:еЕ[0, 1]. 236. Пусть /еС°°( — оо, + оо) и существует L> 0 такое, что I/(п) (*)| ^ L для любых п и любых х. 237. Пусть f (х) дважды непрерывно дифференцируема на [0, 1], / (0) = / (1) = 0 и min /(*) = — 1. Используя формулу Тейлора, до- *€[0; 1J казать, что шах /"^8. *€10; 1] ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 3. Например, Л = (0;3); Б = (1; 5). 5. Например, А = [0; 10]; В = [0;7]; D = [5; 10]. 6. Пусть х^А\(В[]Е) = D. Это значит, что хеЛ, но хШВ\]Е, т. е. 1) ^еЛ, но 2) хШ В и 3) х!=Е. Из 1) и 2) следует, что х^А\В, а отсюда и из (3) следует, что х е (Л\ \£)\£ Итак, А\{В[)Е) а (А\В)\Е. С другой стороны, пусть хе (Л\В)\£, тогда х^(А\В), но хё£, е. 1 )*еЛ, но 2) хБВ и 3) х!=Е. Из 2) и 3) следует, что xi;(£(j£)> отсюда н из 1) следует, что х^А\(В[)Е), т. е. (А\В)\Е cz A\(B\J Е). Тем самым доказано равенство множеств (А\В)\Е и А\(В{] Е). 7. Например, Л = [0,1]; В = [1/2, 2]; £=[2/3, 3/4]; D = [0;2]. 10. Например, Л. = [0; 2]; Л2 = [2; 4]; J51_== [ 1; 3]; В2 = [5/2, 5]. 1 lj_ а) Пусть хеи(Ли^З), это значит, что хё= {A\J В), т. е. х&Л и *<=£; отсюда следует, что х^СА и х^СВу т. е. х^СА{\СВ. С другой стороны, если х^СА[\СВ, это значит, что xgCA и лгееСВ, т. е. х^А и хШВ, следовательно, х!БА\]В, т. е. х& еС(Ли^). Итак, С (А[)В) сиСАОСВ и СА[)СВ аС {A\J В), т. е. С(А\)В) = СА[\СВ. 13. Например, \а) £ = [0;1]; б) £ = [0, 1]U U{— 1} U {2}; в) £ = (0;1); г) £ = (0, 1) U {2} U {3} U И, 5]; д) £ = = л = 1, 2 или £ = {1}U{2>; е) Е = (- 1, 1)U{2>, или £ = (—1, 1]; ж) [£ = [0,2); з) £ = [0, 2] U {4> U {5}. 14. Например, 20. Нет (см. следующую задачу). 21. Все действительные числа. 22. Например, множество всех рациональных чисел или промежуток £ = = (0, 10]. 23. Все действительные числа не меньше чем два. 24. Вся Доказать, что если / ] =^0 при n^N, то /(*) = 0. прямая и пустое множество. 29. Например, Л = 4 (я + I)2 к \ ' 162
n.kGEN. Указание. Показать, что А' = j~J UW, 4"= {О}, /4"' = 0. SO. Например, а) /(0)=^, f f (у) =с3, f (y-)=ci. /(•) ^^5. f(*)=ct для x€=[0, l]\JO;-i-; -y'* y-; lj; 6) /(0)=^; Цх) — сг для *<=(0; -±-j; / ^-L) = c„; f(x)=ct для xe= (-у, -у); f =c6* f(x) =ce Для 1^> 32. Например, En состоит из одной точки —, n^N. 35. Например, Fn = [ n"~1 , л ~ — , n [пп J Указание. Показать, что в любом интервале (а, Р), если 0<а<р, найдется точка х0 = 2р/(?. 41. Данное множество счетно. Указание. Каждый такой квадрат характеризуется упорядоченным набором вось¬ ми рациональных чисел. 42. Указание. Показать, что это множество эквивалентно некоторому подмножеству рациональных чисел. 43. Ис¬ пользовать утверждение задачи №42. 45. Указание. Рассмотреть мно¬ жество А\А\ предположив, чго А несчетно, прийти к противоречию. 46. Применить утверждение задачи №42 к каждому из Еп. 47. Ука¬ зание. Так как А—счетное, то множество В значений \хп—хт\9 где х„еЛ, хт<=Л, не более чем счетно (почему?); следовательно, най¬ дется число а, не входящее в В, т. е. хп + афхт ни для каких дгпеЛ, хт^А. 48. Например, N= (J ((J (2л+ 1)2*). 49. Напри- fc=0 л=0 мер, обозначим х0 = 0, хх = 1, хп =--- ■ 1_■ - для п= 2,3, ... . Положим ф(^) =Xk+2, k=0, 1, ...; q>(z) = z, если г^-J-, k — 0, 1 Tor- 2* да <p—искомое отображение. 50. Например, пусть ф1(х) взаимно одно¬ значно отображает [0, 1] на ^а, (сравнить с предыдущей задачей), а ф2 (х) = arctg (х-^-1) —. Нужное отображение я 2 есть Фх(х) на [0, 1] и ф2 (х) на (1, +оо). 51. Указание. Каждая точ¬ ка квадрата характеризуется двумя действительными числами. 52. Ука¬ зание. Если Ап есть пересечение множества А с отрезком [— п9 гг], оо ne N, то А = у Аь. $3. Например, множество натуральных чисел. п—\ 54. Например, Е = Ег\] Е2 (J £3» ГДе = п е 1 = = 1,2, 3. 56. Например, ( —-f 2, 2 + —^=гЛ, n^N. 57. Наири- \ п У п I мер, ^ 4, —2н +Т’)’ Например, ^1, 163 п 2,.... 38. Например, Gn =
леЛ/. Последовательность вложенных интервалов имеет непустое пе¬ ресечение, если замыкание последующего интервала полностью входит в предыдущий интервал. 59. Предположим противное. Тогда на лю¬ бом отрезке [а, Р] с [а, Ь\ найдется точка, не принадлежащая Flt сле¬ довательно, найдется интервал (а\Р'), целиком входящий в дополне¬ ние Fv Возьмем отрезок [alt pj, лежащий в этом интервале, тогда в этом отрезке найдется интервал (aj, pi), целиком входящий в допол¬ нение F2. Таким образом, строится последовательность интервалов аЛ , Рл) так,что для любого п (an, Р„) лежит в дополнении к множе¬ ствам Flt F3, ... , Fn+1 и замыкание (art,p„) — отрезок [а^,Рп] — ле¬ жит внутри интервала (a^Li, p„_i). Используя результат предыдущей СО задачи, получаем, что [a, Р] П {П(а*. Рл)}=#0. Это противоречит то- п~\ му, что П (<*п, рл) с: С 0 Fn, а (С0 Fn) (1 [a, Р] = 0. 60. Например, п«е1 ля=»1 п» 1 Г J?1.7“-L -4—1 n&N. 62. Система состоит из интервала (—е, е) I л* -1-1 л3 + 1 J / 1 —е 1+е\ и интервалов I ^ J с номерами п, удовлетворяющими условию 2«+i ^ _1_ ^ да> хотя множество Е незамкнуто. Сравнить с пре- 6 дыДущей задачей. 64. Нет. 65. Например, отрезок [0, 1] и совокуп¬ ность отрезка [—1,0] и системы отрезков j'-—-, --Д j, N. Указание. Показать, что если Лт = [— 1, 0] U ( U [“JT* '2n-i )» 70 для любого т имеем [0, 1 ]\АтФ0. 66. |Например, интервал (0, 1) и система интервалов , 1 jл е ЛЛ Сравнить с анализом преды¬ дущей задачи. 67. Например, интервал (0, 1) и система отрезков , 2j, n&N. 68. Например, система интервалов (—п + 2, Ул + 100)* n^N, 70. Это свойство выполнено для любой последовательности. 72. Например, ап = л(-1>п. 73. Например ап — п2. 76. Например, an = = 1)л. 78. Например, ая = [ 1 + ( — 1)*]- ■ Указание. А = я = | —2-f —| U{0}, n&N. 79. Например, ап=-(— Ука¬ зание. Частичными пределами последовательности {art} являются точ¬ ки 1 и — 1. 81. Частичными пределами последовательности {Ьп} бу¬ дут, например, все частичные пределы последовательности {а„} (срав¬ ните с результатом задачи №80). 82. Да. ап+1—ПРИ л-^-f оо. Л(П-1) а J. * п ример, а) а„ = 10га + —; б) ап = п\ в) ап = п + (— 1)"; г) такой 1 8 1 83. Например, а) ап = — или ап = (— 1) б) lima„=/=0. 84. Нап- л! п Л->оо 164
последовательности не существует, так как условия ап -*• + оо и lim QW+1 On ■ 0 взаимно противоречат (см# № 100), д) ап = За -f- + sinn; |) ^ = 2"; JK) ,а„=л (2 + (— 1)Л). Ь5. Например, ап = (— 1)" —, или ап = yji с- ly» VW\ 90. Такая последовательность или сходится к числу Ь или расходится. Указание. Рассмотреть последова¬ тельность аь гдеак = 1, если ft = (2p + 1)-2* peiV, q^N\ ak= 0, если ft =3%, neJV, и ak = 2, если ft не входит ни в одно из выше¬ указанных множеств. 91. Например, а) ап = 1-—- , или ап = {~\) <*»=—«, ИЛ1Г а„: Ю+Т’ гее96. л) Пусть lim ап = Л, — n-fOO = В, (an 4- 6n| =Cf* lim ЬП = В1Л Ограничимся случаем, когда fl М w м Л, 5, Blf С конечны (если хотя бы одно из эти доказательство аналогично). 1) Существует прдпос. такая, что artft + bnk-+C. Йз подпоследователы сходящуюся подпоследовательность {QnkJ f тогда I [X чисел бесконечно, ледовательность {nk} [ости выберем m ап = А' > Л, так кр как A = lim ал. Так как Ьп = (ц,. +6„. )—Опь то С— А' = lim Ь- , л-*оо "о *Р V ' „..Г кР а так как B = lim Ьп, то С—Итак, С >£ + Л'>В + Л. п-мо 2) Существует подпоследовательность а„ Из последовательности (Ъ- \ nU^OnOtt ЛУолттгтллгт .«к. ч -т- п {\} выберем сходящуюся подпоследовательность ^ПпГфп> то 6п -*£'<ВГ Тогда a„ +V П-+-Л "»5 V5 ?| lini ifln 4s A*)t то С ^ A -f-1В' ^ Л + В1# 96. Напр П-+оо ^ пунктов а) и в) 1, п = ЗЛ; j _2 an— — 1. n = ik—1; 6„ = 0, 0,тп=М^2; АГ«=ЛГ; ( 1, длц неравенств пунктов б) и г) r-Lt /i = 3ft; 2, n = 3k—1; -it n=3ft— 2; А'еЛ> 4.- в) {6„ }. Так как Bj = + В' Так как С = имер, для неравенств n = 3ft; n= 3ft—1; гс = 3ft—2; ft е 3, | = 3ft; 1/2, /| 3ft— 1; 4, rt 3ft—2; N. 165
98. Указание. Если последовательность {ап} расходится, то для последовательности bn = —ant nejV не выполняется условие а), а для последовательности bn=——, n^N не выполнено условие б). ап 99. Указание. Воспользоваться равенством: ап=а1 • • . . . а\ йг ... • —~ . 100. См. указание к задаче №99. 101. Последователь- Дп-1 ность {аа4-^п} расходится, последовательность {ап-Ьп} тоже расходит¬ ся, если Iim апФ 0. Если же ап-+ 0, то эта последовательность может п-коо как сходиться, так и расходиться (см. ответ к задаче № 102). 102. На¬ пример, а,г — ( — 1)п, Ьп ---—-—. Такое положение возможно, только j г— у п если Ьп -+■ 0. Сравните с ответом к задаче № 101. 103. Пусть lim ап — 0. Тогда для любого е > 0 найдется Nl (е) такое, что —е < ап < е для 2 | Cl I -\- CL-1 . . . {- (2 .. | / с \ всех п > Ny. Возьмем Nt > — M=NX fy 1 и N= ~max{M, iV2}, тогда для п > N имеем Qi 4~ дг i~ • • • + ап п I fli -f . .. f aN | | aN , , | + .. . -f | an I e < — 1 < h — = e, N2 n — Ni 2 2 что доказывает утверждение задачи. Случай Л^=0 сводится к разоб¬ ранному. 104. Указание. Отдельно рассмотреть случай Л=0, а случай ЛфО свести к рассмотрению случая А = 1. 105. Использовать резуль¬ тат задачи № 104. 106. Примером может служить последовательность / пп ап = — —. Указание. Применить критерий Коши. 107. Показать, it] что последовательность S.,„ —S.2n-i не етрзмится к нулю с ростом л, и применить критерий Коши. 108. Для такой последовательности вы¬ полняется критерий Коши. Действительно, для произвольного е > 0 существует К (е) такое, что для ^ > К, 62 > К I яnkt —cmki | < е. В силу условия б) существует такое /С, что \ар —аПк|< е/3 для Vp: nk <P^nk4-1 и V6 > К. Пусть N ---max (п , е *, п~к). Для любого 'Т) m > N единственным образом определяется К (т) так, что пцт\ < <т< п*(тЖ. Если т1 > N, т2> N, то /г(ш1)>К, k(m2)>K и > А: (е/3), fc(m2) > Д' (е/3), | аШ1 — ат, | < | аПх — аПк{тх) I + + I аПк{тх) —аПк(т2) | + | ank{mt) —а™, I < е. 109. Указание. Использо¬ вать результат задачи № 108. 110. Указание. Показать, что условие 166
задачи эквивалентно выполнению критерия Коши для последователь¬ ности fn(x0) при любом л:0е[0, 1]. 111. Указание. Использовать метод математической индукции. 112. Указание. Применить неравен¬ ство Бернулли к отношениям — +l и Ьг}--- . 113. Указание. Использовать метод математической индукции. 114. Указание: а) ис¬ пользовать результат задачи № 112; б) использовать неравенство ^1 4- У"<е< ^1 Н——(см. задачу № 112) и применить неравенство Бернулли для оценки разности ^1 + + ~j • 115. I. а) [-2, 0]; б) [-2, 0]; в) (-2, 2); г) [-2, 2]; д) (- ПО, ПО); е) [0, 1] U [0, 2); ж)_[-2,2]. II.J) (—2, —1) U (—1. 1)U0.2); 2) [-2, -1/3] U [0, 1/3]; 3) (-КЗ, 0) U (КЗ, 5). 116. 1) X в К; 2) X на К; 3) X на У\ 4) X биективно отображается на Y; 5) X биек¬ тивно отображается на У; 6) X в К. 117. Л с/"1 (/(Л)) (сравните с задачами № 115 и № 118). 119. Л=/_1(/(Л)). 121. Рассмотреть при- мер / (,*) = sin дс: на R: А = |х: дгеЕ |о, 2я-Н~- |, В={х: х& [2л, 4л]}. 122. Пусть y0Gf(A[)B), тогда у0 есть значение функции f(x0), где х0 е А П В, т. е. х0еЛ и ^0еЙ. Следовательно, y0^f(A) и */0е е/(£), т. е. у0 е/(Л) f]f(B). В силу биекции х0 —единственная точка, для которой f(x0)=yQ. Если х0^А(\В, то или .г0еЛ, или х0 е 5. _Если х0 е Л, то f на множестве Л не принимает значения у0, т. е. y0(=f{A). Если x0gB, то i/0e/(£). Полученное противоречие показывает, что х0е ЛрВ. 123. См. задачу № 120. 126. Указание. Вместе с точкой (дг0, у0) графику функции принадлежит и точка (Уо> хо)' 127. Указание. Пусть точка М (дг0, у0) лежит на графике функции. Рассмотрим результат последовательных симметрических отображений точки М относительно точки Л, прямой х = С, снова точки Л и снова прямой х = С. 128. Существует х0 е (—/, /), что f(x0)=£f(—*0). 129. Указание. Рассмотреть ф (х) = (/ (х) + / (—х))/2 и yp(x)=(f(x) —/(—х))/2. 130. Для любого С>0 существует х0^М такое, что |/(*0) I > С- 131. а) неограниченная; б) бесконечно боль¬ шая; в) ограниченная; г) ограниченная. 132. Например, f (дг) = 1 , если х = 0; п2, если х=—, т и п взаимно простые, л> 0; п 0, если х иррационально. 133. Сформули¬ руем утверждение, что означает, что функция / {х) не является неубы¬ вающей: существуют х0е[а, Ь] и хх^[а, Ь\ такие, что д:0<дг1, но / (*o) > / (*i). 134. Не обязательно, например, ух(х)—х, у2(х)=х. [ 2-f W 2 +sin —V *=^0; 135. Например, f(x) = | \ * ) I 2 л: = 0. 136. Указание. 167
Рассмотрим случай неубывающей функции; если /(х) не является таковой на [а, Ь\, то найдутся точки а! е [а, Ь], 6'е[а, Ь] такие, что а' < Ь', но /(а') >/(&') (см. ответ к задаче N° 133). Показать, что в точке c = sup{A:, jcc=[a', Ь'], f (х)^ f(ar)} не выполняется усло¬ вие неубывания. 137. Да. Указание. Провести доказательство от про¬ тивного. 140. Указание. Показать, что со [/, (jc0—б, *0 + 6)] есть монотонная и ограниченная функция б в некоторой правой полуокрест¬ ности нуля. 142. Например, /(,с) = sin — , jc > 0; X cos ху х < 0 5, х = 0. 143. Указание. Рассмотреть три случая: а) / (*0) > lim f (,r); б) lim / (jc) ^ / (.v0) ^ <Пш/(дс); в) f (x0) < Mm f (x). 146. a) f (x) + g (x) и f(x) — g(x) x—►JCq разрывны; f (x) g (.с) может быть как непрерывной, так и разрывной, например: 1) f(x)=x% g (х) = signer; 2) /(*)=* 4-1, g (-с) = sign x\ б) рассмотреть примеры: 1) /(*) = sign v, g(x) = —sign л:; 2) / (jc) = i arctg —, jc=^0; * g {x) = 0, x - 0; ( 0, хф 0; \ 1, x = 0. 147. Например, g(x) =signx, f(x)=x(x2 — 1), *o = 0. 148. Функция ограничена в некоторой окрестности точки х0. Более того, можно сказать, что для любого б>0 найдется такая окрест¬ ность точки х0, что для любого х из этой окрестности \f(x)-f(x0)\ < <e + infa,,. Условие infa„=0 необходимо и достаточно для эквива¬ лентности сформулированного условия и непрерывности f(x) в точке х0. 149. Указание. Показать, что для любого натурального N и лю¬ бой иррациональной точки найдется такая ее окрестность, в которой не будет ни одной рациональной точки вида -, где n^N. 150. Ис- п пользовать результат задачи № 141.151. Например, а)/(*)=* £>(*); б) /(*) = * (х— 5) D (jc); в) /(*) = ( jc-1) (x — 2)...(x — n)D (х) I cos —, Хф§\ ИЛИ f(x) = \ X х^ = 0 0, х = 0, 156. Да. Например, f (х) = arctg—, хф 0; х *о = 0. { 0, х = 0, 157. Нет. Указание. Рассмотреть h' = = — h. 158. а) / (д) = С. Указание. Для любого х = R f (х) ~ = ^(т)=/(т)= б)/(*) =a*-Указание- 168
Рассмотреть / (2) =/ (1 + 1), затем / (n), затем / j, пеЛ/, затем /(“j» затем / (с), где с иррационально. 169. Пусть х0 е (а, 6) и а <х0—Л0 <д:0—hx <х0 <а0 -}- h2 <х0 -f Л0 <6, положим Х = (Л0—Aa)//i0, х, =х0, дг2 = х0 + Л0. Тогда из условия задачи получим неравенство (—/(*0) + /(*0 + Л9))/Л.< (—/ (*о) + / (*о + Ло))/Ло- Анало¬ гично получается неравенство (/ (д;0) — / (х0 — hj)/^ ^ (/ (*0) — — / (*0 — h0))!hQ. Обозначив Л = (/ (х0 + А0) — / (лг0))/Л0. Б = (/(*0) — — f(xо—А0))/Л0, получим, что на интервале (jr0—h0, дг0-1-Ло) Функ¬ ция f удовлетворяет неравенству В(х—х0) f (xQ) — f {х) ^ А (х—х0)9 откуда следует непрерывность / в точке х0 Если же х0=а или х0=Ь, то разностное отношение (f (х0)—/(*))/(х0—х) ограничено только с одной стороны, откуда непрерывность не вытекает. Рассмотрите функ- [О, 0<А'<1; 1 цию /(*)={ 11, х = 0, х = \, 160. Например, f(x)=D(x)— 2 (см. задачу № 150). 162. Указание. Пусть х1<х2<г3, показать, что min f (x)^.f шах /(*). 163. Пусть /—прямая, параллельная данному вектору, не пересекающая данный многоугольник; ось ОХ перпендикулярна /; S(x0)—площадь части многоугольника, лежащей между прямой / и прямой х = х0. Поскольку данный многоугольник можно заключить в прямоугольник, стороны которого параллельны I и ОХ, то | AS (х)|^ | Лаг | К. Далее надо воспользоваться теоремой о промежуточном значении. 164. Пусть /—произвольная прямая, про¬ ходящая через данную точку. Выберем на ней положительное направ¬ ление и обозначим направленную прямую 7. Пусть / (а) есть направ¬ ленная прямая, образующая с 7 угол а (7 (я) =—/, 7(2я)=/). Обозначим 5(a) площадь той части многоугольника, которая лежит спраЕа от 7 (а). Показать, что S(a)—непрерывная функция на [0, я], и воспользоваться теоремой о промежуточном значении. 165. Показать, что найдется отрезок [а, Ь\, на котором многочлен меняет знак. 166. Указание. Рассмотреть функцию ф (*)=/(*)—g(x). 167. Указа¬ ние. Если {ф)=аф® и/(1) = 6^Г, то функция <p(x)=^f(x) — х должна принять на [0, 1] нулевое значение. 168. Например, f(x)=xа. 169. Указание. Показать, что f (х) принимает все значения от — оо до + оо и применить результат задачи № 126. 170. Предположим для определенности, что радиус окружности равен 1. Пусть М0 — фиксированная точка окружности и М(х) — точка, полученная из точ¬ ки М0 поворотом на угол х в положительном направлении (против часовой стрелки). Рассмотреть функцию ср (jc) = / (М (лг)) — / (М (х + я)) на отрезке" [0, я]. 171. Например, /(дс) = sin / хФ-^-% 169
/ ^ -у- ^ = 0. 172. Например, / (х) = _1_ 2 173. Указание. Доказательство провести от противного. Пример: f (х) = f*+l, —1^jc<0; ' “ если х рационально; аг"8(тг^)'хф^’ * f х х, 0<х^1; 175. Например, Д*)=| ’ i/o л и—*» \/2 х 0 1*—л> если х иррационально. 176. Любая монотонная, но разрывная функция, например, f(x)=x+ -f sign x. 177. Например, /(*)={ Х W 1 1/2", l/2n < jc < 1/2ал, яе#. 178. Указание. Пусть Еп есть множество тех х из (д, 6), что /(*)> >/(* + *) для всех / таких, что 0<|/|<— и а^.х—t <х-И <6. п Доказать, что множество Е точек строгого локального максимума есть оо У Еп и каждое из множеств Еп состоит только из изолированных п=1 точек. Далее применить результат задачи № 46. Пример: / (х) = i(x— a) sin—-—, х Ф а. х — а 0, х = а. 179. Нет, в силу теоремы об ограни¬ ченности непрерывной на отрезке функции. 180. Нет, в силу теоремы о максимуме и минимуме непрерывной на отрезке функции. 181. Нет, в силу теоремы о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции. 182. а) /(*)= 2х; б) нет, в силу теоремы о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции; в) /(*) = —?—; г) /(*) = = 1 + sin2jut. 183. a) /(jc)=2jc; б) нет, см. ответ к задаче № 182; в) нет, так как f((0, l))d/([0, 1]), а на [0, 1] / непрерывна, следовательно, ограничена; г) / (jc) = 1 + sin 2лх. 184. a) f (х) — 2х; б) нет, см. ответ к задаче № 182; в) нет, см. ответ к задаче № 183; г) нет, так как непрерывная на отрезке и биективная на нем функция монотонна, т. е. если 0<х<1, то / (0) </ (х) < /(1) (см. задачу № 174). 185. Открытым относительно отрезка [а, Ь\ называется мно¬ жество, являющееся пересечением [а, Ь] с открытым множеством на прямой. Пусть / sC[fl,6], £](с) ={*, х е [a, b\% f (х) <с}, xQ е Е (с). Так как f (x0)<c, то в силу непрерывности f в точке х0 существует такая окрестность U(xQ), что /(*)<С для всех х ^.U(x0) f| [а, b], т. е. Е(с) есть множество, открытое относительно [а, Ь\. Точно так же доказывается ьэто свойство для множеств E(c)={jt, jcg [а, b], f(x)>c}. С другой стороны, пусть все множества Е (с) и Ё(с) откры¬ ты относительно [а, Ь]. Возьмем точку х0 е [а, Ь]9 число е>0 и рас¬ смотрим множество Е(х0, е) ={*, х^[а, Ь\, |/(лг)—/(*0)|<е}. Имеем 170
Е (*о, в) =E(f (х0) + е) П Ё (f (*0) —е), поэтому Е (*0, е) — открытое от¬ носительно [а, Ь] множество (ср. с утверждением задачи № 37). Так как х0 е Е (jc0, г), то существует окрестность U (х0) такая, что U (х0) П [а, Ь]аЕ (дт0, е), т. е. |/ (х) — / (х0) | <е для всех л; <= U(x0) f| П [а, b], что доказывает непрерывность / в точке х0. Пример: f {х) = 0, х е [0, 1/2]; ' 1, хе(1/2, 1]. 186. Из утверждения предыдущей задачи сле¬ дует, что для любого в > 0 и любых me jV, n^N множество Вп,т,е = {ху *е[0, 1], l/nW--/n+fflWI<8} замкнуто. Применяя оо результат задачи №33, получаем, что и множество Лп>е— |~| Вп,т,в т=1 замкнуто. Для г имеем | fn(x)—f (х) |^г. Используя резуль¬ таты задач №59 и 110, получаем, что для любого отрезка [а, Р] cz с: [0, 1] найдется число п0 и отрезок [а', Р'] с= [а, Р] такой, что \fn0(x)—f(x)\ <е для лее [а', Р']. В силу равномерной непрерывности fn0 (x) на [а, Р] найдется отрезок [a, b] с: [а', Р'], на котором коле¬ бание /Пф (jc) меньше е, следовательно, на этом отрезке колебание / меньше Зе. Итак, для любого е > 0 и любого отрезка [а, Р] с= [0, 1] найдется отрезок [ае, Ье] cz [а, Р], на котором колебание / меньше Зе. Построим систему вложенных отрезков [ад, b \ для е = — соответст- я венно. Если с—общая точка этих отрезков, то со(/, с)=0 (см. усло¬ вие задачи № 140) и, следовательно, f непрерывна в точке с (см. задачу № 141). 187. Указание. Использовать результат задач 185 и 34. 188. Существует е> 0, что для любого б> 0 найдутся хх^ М, ^2еМ, что, хотя \хг—х2\ <6, но !/(*,)—/(*2)|>е. 189. а) Например, у = sin—, или у = —; б) Например, у = jccosx, или у = sin*2. х х_ 190. Например, у~ V* , или у =х + sinx. 191. Указание. Предста¬ вить множество Е в виде объединения множеств Еп таких, что Encz 1111, ».ш. } 2 2 n^N, где 6(1) — число, удовлетво¬ ряющее условию: из неравенства 1^—*а|<6 (1) следует неравенство I/(*i)—/(**)1 < 1- Например, i/ = cos —. 193. Пример: f = = | sin jc | /а:, Ех =( — 1, 0), E2 — ( 0, 1). 195. Решение, а) В силу lim f(x)=c имеем, что для е = 1 существует дг0>0 такое, что для X—►-(-оо любого х>х0 с — 1 </(jt)<c-f 1. На отрезке [0, х0] /(jc) непрерывна, значит, по теореме Вейерштрасса ограничена, т. е. |/(х)|^М, а тогда для любого х^0 |/(jc)|^max{M, |с —1|, |c-f 1|}. б) Возьмем любое е>0. Существует а> 0 такое, что для любого х > а | f (х)—с| < е/2, т. е. для любых ххУа% х2>а |/(jq) — f (х2) | <е. На отрезке [0,о+1] f непрерывна, поэтому для данного е существует такое б> 0, что для любых х1 е [0, a -f 1], хг е [0, а + 1] таких, что \хг—*2|< I/ (АЧ)—/(*г)Ке- Отсюда следует, что если — min{6, 1}, то для любых хг и л2 из [0, + ОО) таких, что 1^ —х2|<6, имеем |/ (^х) — 171
— /(*») I <e- I96- a) Да; б) да; в) да; г) да; д) да. 197. Например, а) /(*) = И, g(-v) - М. *0 —- 0; б) f(x) = ^J\ g(x) = 1 -Р'7\ х0 =-0; в) / (х) = \х\ f 1, g(x) ■-= (|х| 4- 1) (л: 4-2), хо = 0. 198. Напри¬ мер, f (х) =х2 (х2 — \)2 D (х) (см. задачу № 159). 199. Да. 201. п\. 202. Например, f (х) = л* — sin х. 206. Например, f (л:) = __ | xasin (п/х), хфО; ~~ I 0, л- = 0. 207. Обозначим g(x) = х(х— l)asin Ф»W=?(—ггтг)’ \ п (п f 1 ) 7 (х- 1)* ’ положим Ф (х) — (1 — A')2, JC = [1, 2]; ф (х) = .(*). -te . — ); Ф(0) == 0; фИ=%(-х), L п + 1 п / \ п , ф(х) = (*4- 1)а, хе (—2, 1], тогда функция/(х) =х2ф(х) .(п f 1) <Р ni 1 я + 1 на интервале (—2, 2) удовлетворяет поставленным условиям* Прове¬ рить это. 209. Например, Дх) = --- -х . 210. Например, /(х)-= cos(lnx). 211. Например, f(x)=——(-cos — . 212. Например, / (х) = 1/Т. X X ! х2 sin —, х ф0\ 214. Например, / (х) = j * ( 0, х = 0. 215. Например, f (х) - (xsin—, х^=0; * или f (x)=xD (v). I 0, x = 0, 219. Указание. Пусть /' (0) > 0, тогда /'(1)<0. Так как / непрерывна на [0, 1], то существует точна с, в которой функция f достигает максимума, причем с е (0, 1). 221. Указание. Применить теорему Коши о среднем значении к функциям и = f (х)/х и и = — на [xlf х2]. 222. Нет. Пусть / (х) =х3; (a, b)=( — 1, 1), 0 = 0. Для любой пары хг е= (— 1, 0), ха е (0, 1) имеем /' (0) = 0, но (f (х2) —/ (х1))/(ха — х,) Ф 0. 224. Указание. Рас¬ смотреть функцию g (х) = /(х) 4- 2х—4. 225. Указание. Рассмотреть функцию g(x)—f(x)—е~х. 233. Указание. Доказать, что в условиях задачи /'(х) монотонна и ограничена. 2 34. Например, fl (х) = 1 — ха, f% (х) =—8х. 235. Решение. Пусть | 0, J f|[0* 1]. Тогда, применяя неоднократно теорему Лагранжа^ получаем |/(х)| = |/(х) — -/( 0) I = I пи I *<*!/№.) !*<-£- 1/(Ь)1 = т\Г1Ь) |/(|«)| < ... I/(&.)!, где (0, х), (i = 2* z = 1,2,... ,n-1). Так как М*) ограничена на [0, 1] "и п— любое натуральное число, то отсюда следует, что f (х) — 0 для любого 172
°. ^jn[0, 1]. Если k^-L, то [о, -£-]П[0. 1] = [о, 1] и утверждение задачи доказано. Если же k то проводим те же Г 1 — 1 i 1 рассуждения последовательно на каждом из отрезков ———, , 1—2, 3, ... , [2k] и на отрезке | ^**6. Решение- Дока¬ жем, что для любого целого существует сходящаяся к нулю последовательность точек {ыа}, в каждой из которых fik) (ип) = 0. Доказательство проведем методом математической индукции. Для к = 0 утверждение следует из условия задачи. Пусть предположение верно для k—m, т. е. существует последовательность точек {хп} такая, что lim*n = 0 и /(/п) (jea)=0. Тогда для любого i, i <= N, в силу теоремы П-*-оо Ролля между точками х{ и Х{+\ найдется точка у{ такая, что /(т+1> (*/<) =0, а это означает, что существует последовательность {*/„} такая, что limi/n=0 и fim*X) (у{) =0. Итак, утверждение доказано. а-оо Отсюда следует, что f{h) (0)=0 для любого натурального k (так как /еС°°). Применяя формулу Тейлора к отрезку [0, x0]t имеем / (х0) = -/(»>+/■ <0)„+ ... iilSLxj. о< 21 л! п! < 1£1 < Uo I • Следовательно, | f (х0) | ^ L | xQ | п/п\ для любого натураль¬ ного п и любого дг0, т. е. откуда следует, что f(*)=0 при любом х.
Часть II НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Глава I НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ПРОСТЕЙШИЕ СПОСОБЫ ЕЕ НАХОЖДЕНИЯ Определение. Функция F (х) называется точной первооб¬ разной для функции f(x) на (а, Ь), если F'(x)=f(x), х^ (а Ь), или, что то же самое, f(x)dx служит дифференциалом для г(х). dF(x) =f(x)dx. Определение. Функция F(х) называется обобщенной пер¬ вообразной ал* f(x) на (я, Ь), если F(х) непрерывна на (а, Ь) и для любого х^ (а, Ь)\Кп, где Кп — множество, состоящее не бо¬ лее чем из п точек, имеем F'(x)—f(x). Если нет^необходимости подчеркивать, что мы имеем дело именно с точной^или обобщен¬ ной первообразной, то называем F (х) первообразной. Пример 1. Функция In (* + У1-Ъ *2) есть первообразная для функции l/1/l -+-*2на всей числовой прямой, т. к. (1п(* + У1-г х2))' = 1/уГТ72. Функция | х| есть обобщенная первообразная для функции signд: на (—1, 1), так как |х|еС(—1, 1) и |x|' = signx, хфО. Соотношение F/(x)=f(x) определяет F(x) неоднозначно. Пример 2. a) (cos 2х)' = —2sin 2х, (—2sin2 х)' = —-4sin х cos х = —2sin 2х\ Основным свойством первообразных является следующее: если F(x) и G(x) —первоооразные для одной и той же функции f(x) на одном и том же промежутке, то их разность постоянна на этом промежутке. Определение. Множество всех первообразных для данной функции f(x) на промежутке (а, Ъ) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается $f(x)dx (промежуток б) [2 ln(V4 + Jfa —Jr)]' =-р===. [,П 174
(а, b) обычно можно определить из контекста, чаще всего это промежуток непрерывности f(x) и поэтому не указывается). Следовательно, если F (х) есть первообразная для f(x) на (а, Ь), то Sf(x)dx = F(x) + C. Пример 3. Найдем точную первообразную для функции f(x)=e]x{ на всей числовой прямой. Решение. При х^О имеем е1х> = ех, и для этой функции в области jc>0 одна из первообразных будет ех. При х<0 имеем = e *, для этой функции в области х<0 первообразной будет функция (—e~x + k) при любой постоянной k. Так как первооб¬ разная функции еы по определению должна быть функцией не¬ прерывной, то должно выполняться условие lime*= lim (—e~x + k)y х-04- jc-*-0— т. е. 1= — 1+fc, откуда k = 2. Итак, функция ( ех, х > 0; ^ (х) = | 1, х = 0; I — егх + 2, л: < 0 является непрерывной на всей числовой оси. Для х>0 имеем F'(x) =е* = е1х1, для х<0 имеем F'(x) =е~х=*еы. Докажем, что эта функция будет точной первообразной для функции е,х1 на всей числовой прямой. Для этого осталось проверить, что /г'(0)=е°=1. Имеем F' (0) = lim = Пт -g-1 = 1, + *_►()+ X jr-^0+ X F(0)= lim - lim -^ + 2--1-==1, x. e. x-*-0— X X—0— X F\ (0) = F'_ (0) = f' (0) = 1 = e101. Следовательно, можно записать \e™dx=F(x)+C = j eX + C’ X>0; 3 \— e~* + 2 + C, x<0. Доказывается, что любая непрерывная на [а, Ь] функция имеет на (а, Ь) точную первообразную, но в отличие от производ¬ ной первообразная элементарной функции не всегда представ¬ ляется элементарной функцией, например, первообразные для функций -А ,ех\ в-**. X * X 175
I Основные свойства неопределенного интеграла 1) djf(x)dx = f(x)dx; 3) \dHx)=U'(x)dx = f(x)+C. I аблица простейших интегралов jc*+1 Л“Л = ;Т.'+С (а#_1)' Г —*Т~Г = ~arctg — (а*0). ^ J а1 -}- л2 а а — = 1п|х| +С (xsjfcO). Г—-—=JLin|2±f +с (а^О). х ' J а» —ж* 2а |а-* ' ^ ' a'dt + с(а >0, a^l). [ -^= =arcsin — + С (а^-0). In a J /а2— X* а e'dx = e‘ + C. j p^L=. = ln|x+V'xi+ft'|+С (А^О). sin xdx^ — cos x + С. j* sh v d* = ch .v -f C. cosxdx = sin jc -f C. j ch jt djc = sh x -b С = tgx + C. f-^-= — cthx + C. J sh2 a: COS* X dx . , ^ Г dx = — ctgx+C. ■=th.« + C. sin2jc J ch2 a: Нахождение первообразной или вычисление неопределенного ин¬ теграла в основном состоит в преобразовании подынтегрального выражения так, чтобы получить интегралы из этой таблицы («табличные интегралы»). Правила вычисления неопределенных интегралов 1. \kf (x) dx—k\f (дг) dx (k Ф 0). 2. j [/ (jc) ± g (*)] dx =-- J f(x) dx±$g (x) dx. 3. Если j f (jc) dx — F (x) \- С и и — cp (*) непрерывно дифференци¬ руема, то f / (и) du — F (и) + С. Правило 3 показывает, что таблица интегралов справедлива независимо от того, является ли переменная интегрирования неза¬ висимой переменной или функцией. Заметим, что 1 dxn+l dx --- — d (ах f- b), xndx - a n-\- 1 dx_ x = d\nx, —— dx — —d(—\, cos xdx = dsinx, x2 \ ; sinxdv^—d cos*, = d V* . 2/x Пример 4. ^ (jc + 1) dx = J (x -f 1) d (x + 1) = J udu = ~—\-C — —h C. 176
Пример 5. J (5 -Здс)31 dx= - -i | (5- 3*)«d (5-3*) = - -jL- (5- 3*)и + C. Заметим, что под знаком интеграла выражение в скобках можно возвести .в степень 51 и взять интеграл как линейную комбина¬ цию интегралов от степенных функций. Понятно, что этот метод здесь крайне громоздок, и наглядно видно преимущество предло¬ женного здесь метода. Пример 6. j* х (1 — 2х)37 dx = (1 — [2х) -j- -~J (1 —2x)a7dx = = —i-J(l — 2x)*>dx+yJ(1 — 2xY4x = ( jr)2J(l~ 2лг)»^(1— 2x) + + y -(-y) f(1 -*хГ<1(1-2х) =^(1-2дг)»-^(1-2*)“+С. Пример 7. Пример 8. Г 1 dx = I d~ = г du — J sinx I sin —cos— ' sin U cos u V 2 2 < =i^T=ln|tgu|+c=lnltgf|+c- Пример 9. Idx 1 _ f* d arcsin x __ 1 ^ p arcsin5 x Y1—x2 J arcsin5 x 4 arcsin1 x Пример 10. [^-dx ■7===<;s*±±-'/~idx =±[yiTTdx- J /х+t+Vx-l J 2 2 J ”"2” 1VCTdx = -j (x + I)3/2 — -j (x—1)3/2 + C. ЗАДАЧИ Найти интегралы: 1. j(2-3 VT)*dx. 2. ^ уГ'Ху^Т ) dx- 177 -I-.* COS2 и sin u- cos и = COS2 и
з. S. Jiitfilrfx. Ч dx. dx. 4 •— x* dx. 9. 3 + x* dx x4— 1 "+x)i dx. *(!+*») Vx* + 1 — /xa dx. "I 13. Г J Vx*- i 15. С—£—. J 3*» —7 17. f d* *. J /2**+ 5 19. ^ (5‘—2x)2dx. 21. ^ 2X • 3* • 5* dx. — 1 djc. M M '4 (*■+ 1)(ж» —3) 1+2*’ dx. X*( 1 + X*) V\ + *a + / i — *» V\ — X* dx. dx 16. 18. 20. 22. 2xa-f 3 Г dx J /2^5* f dx J КЗх2— 7 ' p o2x—1 o2x+3 23. Г-i^lr1 J e* — I ь dx. 25. \sina —dx. dx 27. 29. sin2 x-cos2 x ^ ctg2 x dx. «. Jvr -f sin 2x dx, 24 26. J 28. J 62X 2X•3tx•4SX 5X;62X 22* — 1 dx. dx. / 2X dx. cos ? — dx. 2 cos2 x dx. 30. x e .33. ^ th* x dx. sin* 2x L ^ tg2 xdx. y)- 32- ^(2chjc —3shx)dx. 34. J JK-l -35. 37. 39. dx 2x + 3 x+3 (x + 2)(x- 1) xdx dx. 36 38. (x + 2)(x + 3) dx. b 41. f (2л + 5)17 dx. «. Li_. J /1-2* 4- 2x s- P 24 J H 40. ^ (a; — l)10dx. •I ■ dx. 42 44 (1 — Зх)зо dx V^(l.+ 3x)* 178
45. ^v^(l+4x) dx. 46. —2)6dx. 47. j л VY^Tx (x. 48. j (x + 2) Vx^J dx. 49. e-^-7 dx. so. e-i+Ld*. J Kl+з* J 51 53. 67. *+ 1 . J **+| dx. 52. ^(2x + 3)2(I —дг)8dx. Г—*~4 - dx. 54. [■ *3dx J /F=l J **-< 55. f—/ xdx 56. Г Лг J /1 — J Ул> + 4 1—4* 57. Г — x + 2--dx. 58. С dx. J /x2— 10 J /1 — 2.x3 59. j * VI — Jta dx. 60. j * (1 — *a)5 dx. 61 Г —^— 62. С —*- J l + *‘ ' J **-5 64. f /3 + x* J X In* x 65. f =—. 66. Г J * v In* J dx x(lnjeJ+3) f—^ 68. f ^-dx. J x(2 + \n*x) J * 69. f-£±*Ld*. 70. f_£l-dx. J 1 — г* J l+f1 71. Jsin5xdje. 72. Jcos-^-dx. 73 j cos ax sin fix dx, 74 j cos ax cos fix dx, a^p, аФ—p. a^p, аф — p. rg JsinaAtsinpJtdx, 7g |sin2xcosaxdx, a^p, a Ф—p. " a Ф±2, афО. 77• ^°5.Х™*ХЛ’ о 78- f*sinx*dx. р Ф ± 1, р т*= ±3. J 79. Г ‘ cos VTdx. 80. f_«£*L. J yx J 1 -f sin x SI. ^ sin2 xdx. 82. j*cos2xdx. 83. J(sinjc + 2cosx)2djc. 84. jVcosexdx. 85. f 86. Г J 1 COS* X J sin2 7x 179
ST. 89. 91. $3. •95. 97. 99. 101. 103. 105. dx cos2 8x —— dx. COS X ctg x dx. dx sin x -f" cos x sin 2x 88. — J sin 3x 90. ftgxdx. 92 . f —L j 1 +* ^ (x+sinx) dx. У 1—4 sin2 x 1 dx dx. COS2 X 1 -J- tg X sin x cos x dx« ^ УЗ — sin4 x С x+ V arctg 2x ^ J 1 -H 4xa r.-*±--^2*.dx. J К1 — 4x2 ^ (sh x—ch.v)2 dx. 94. 96. 98. 100 COS x 1+COS x dx. dx. I J-= P ar J~i /2 — sin2x - dx. l 1 -f- tgx - dx. dx. 102. J 104. J 106. arcctg 3x 9x2 arcsin x — arccos x /— dx. J V 1 - X2 dx sh2 x ch2 x dx. TO § г ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ Если и(х) и v(x)—непрерывно дифференцируемые функции, ]udv = u-v — J vdu. Суть применения этого метода интегрирования состоит в том, что интеграл \vdu может быть «проще» интеграла ]udv. Этот метод часто применяется, когда под интегралом стоит произведение «разнородных» функций, например, еах и хр, е®* и sinpx, х и lnx, х и arctg х и т. п. Пример 1. J xcos xdx=\xd sinx= xsinx—J sinxdx = x sinx-f cos x + C. Здесь в интеграле Jsinxdx подынтегральная функция не является произведением «разнородных» функций х и cosx. Пример 2. Jx arctg xdx = j*arctg x d = ~“arctg x J — ■ dx = = — arctgx — f - + ? гг 1 dx= / — + —) arctgx-r» — x + C. 2 & 2 J 1-fx2 \ 2 2/ 5 2 Здесь в интеграле f—-—-dx подынтегральная функция является J 1 “1~ 180
алгебраической функцией, а не трансцендентной, как в данном интеграле. Иногда, применяя метод интегрированйя по частям, удается получить нетривиальное уравнение для нахождения первообраз¬ ной функции. Пример 3. Вычислим Jех cos xdx. Решение. Имеем / = j ех cos xdx = J cos xdex= cos jc + Jsin xdx—ex cos x+ + J sin xdex = ex cos x + ex sin x — У ex cos xdx« = ex(cos x+ sin jc) —I. Поэтому j* e‘cos* dx = + c. П p и м e p 4. Вычислим J Yx2 + kdx, k=£Q. Решение. Имеем / = J У** +kdx — jcVjc2 + —J —p^===— =jc y,va + &— — f ~dx — xVjc2 + k+ k\n\x + Ух2 + fc| + /, J >/ X* + k поэтому j>V^Tfe^= fe- +^->п1л:+Т/^г+*1 +c- ЗАДАЧИ Найти интегралы: 107. jcsin xdx. 108. j* x cos2 xdx. 109. xs\nz xdx. no. f * djc. J cos2* 111. jcctg2 jc dx. 112. [xsinx dx. J COS2 X 113. In2 jcdjc. 114. $ V "■ 115. jc2 In (1 -f jc) dx. 116. 117. ** d*. (1 + *»)* 118. J V2—X* dx. 119 Vjc2 -|- 3 dx. 120. f arctg jc dx. 181
121. J arccosxdx. 123. Jx arcsin x*h 125. Г eaxs\n$xdx J eax sinpxdx. Г I In cos x ^ x arcsin x dx. 124. f --3- —2x- arctg x dx. J 1 + *2 B 126. Г cos2 (In x) dx. 122. 1 x2 arctg * dx. |27 c '^ULdx J COS2 X COS2 X 128. j* л; arccos — dx. § 3. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОГО Пусть функция f(x) непрерывна, функции x(t) и t{x) взаим¬ но обратны и непрерывно дифференцируемы на соответствующих промежутках. Тогда первообразная для f(x) имеет вид’/7(х) = =Ф (/ (х)), где Ф(0 есть первообразная для функции f(x(t))X Хх (t). Коротко это утверждение записывается так: J7W dx = F{x) + C = <t>{t (x)) + C = <b(t)+C = if(x(t))xf (t)dt. Функция x(t) подбирается таким образом, чтобы подынтеграль¬ ное выражение приняло более удобный для интегрирования вид. Выбор ее определяется конкретно видом подынтегрального выра¬ жения. Рассмотрим некоторые часто встречающиеся замены. Л. Вычисление интегралов Jsinn х cosmxdx; п, m — целые I. Если оба показателя гг и пг — неотрицательные четные чис¬ ла, то применяются формулы понижения степени: sin2x=-^-(l—cos 2а), cos2x=~-(1 +-cos2r). II. Если п и m—натуральные числа такие, что хотя бы одно из них нечетное, то в случае нечетного m полагают sinx = £, а в случае нечетного п полагают cos x=t и применяют либо формулу 1 — cos2x = sin2x, либо 1 — sin2x=cos2x. III. Если п и m — целые отрицательные числа такие, что оба числа \пг\ и |л| либо четные, либо нечетные, то полагают tgx = = * либо ctgx=/ и применяют формулы 1 + tga х = —!—, 1 + ctg2х = —-—, cos2x + sin2x = 1. cos2 x sin2 x К этому типу сводятся интегралы вида В самом деле,
f—-( J COSm X 1 IV. Если n и m — целые отрицательные числа, причем одно из чисел \п\ или |m| нечетное, то в случае нечетного [т\ полагают sin* = /, а в случае нечетного \п\ полагают cosx=t. Иногда в случае больших степеней |п| и \т\ полезно в числителе подынте¬ гральной функции неоднократно заменить единицу суммой sin2*+ + COS2*. V. Если п — четное число, а т — целое отрицательное число, то можно заменить sin2* по формуле sin2*=l—cos2*, и в этом случае интегралы сводятся к интегралам вида В случае четного т и целого отрицательного п заменяют cos2* на 1 — sin2*. В некоторых специальных случаях полагают tgx — t. VI. Если п нечетное и т — целое отрицательное число, то по¬ лагают cosx = t и применяют формулу sin2x=l—cos2*. В слу¬ чае, когда т нечетное, а п — целое отрицательное число, пола¬ гают sin* = f и применяют формулу cos2*=l — sin2*. При вычислении рассматриваемых интегралов часто исполь¬ зуются следующие формулы: sin a-sin р =—- [cos (а—Р) — cos (а + Р)], cos а ♦ cos Р = --- [cos (а—Р) + cos (а + Р)], sina-cosP = -i- [sin (а—Р) -f sin(a + P)]. Пример 1. J sin2 * cos4 xdx — jcos2 * sin* 2* d* = J - sin2 * cos4 * cos2 * sin* 1 4~ cos 2x 1 — cos 4x ^ 2 ’ 2 X ^ (1 -f cos 2*—cos 4*—cos 2* cos 4*) dx 16 — sfn4£ L Г (cos 2x -f cos6*) dx =—!— * 64 32 J 16 sin 4jc (cos 2 x -f cos 6*) dx =—— * -h —--2x 16 32 sin 4x 64 sin 2* 64 sin 6* + C= — *H—— sin 2*— 192 16 64 sin 4* 64 sin 6* -f C. 192 183
Пример 2. J sin6 x cos4* dx=—J sin4* cos4j<d cos x = —J (1 —cos2 x)2 cos4jcd cosx = = — f (cos4 x— 2 cos8 x 4- cos8jc) d cosx — —E?s*i- 4 —cos7 x —-f С. J 5 7 9 Пример 3. f ! dx= f ^ = (*. *** J sin3 jc cos5 x I sin8* „ \ J — cos2* cosex J r U tg* X - 1 COS3 X U ( 1 4 tg3 X)3 f + Hl + a*)1 du_f du |3f du t J tg® X J U9 J U* J и + 3 j* udu + ^ u* d« = —— + 3 In | и | +-1«»+-Ltt« + C = = “T-l?7 + 3,nitgj:|+Ttg,JC + Ttg4jc + c- Пример 4. (1 —cos2 x)3d cos x cos2 x Г sin7 jc ^ (* sine xdcosx Г J cos2* J cos2* J = -f 1 — 3u> + 3“4 т -* — J_ -). Зц—цз _|_ _ffL + с = J u2 и 5 1 -4-3 cosx — cos3x 4 --* 4- C. cos x 5 Пример 5. f „ r 4+f) . Г 't J COS’X J sin, + 24 J sin» -J-cos' Y и /ъ I U \ 4 2 _ 1 Г(14г*)« dz_ 1 P 1 4- 4- бг4 4- 42^ 4 г» ^ 16 J z» 16 J 2b 1 z~« -z~* + — ln|z| + — 2* + — z* + C = 8 8 64 64 8 sin* 4 cos4 x 184 о о о о* —i- JL in I tg (— + —^ I + c. 8cos*x 8 I \ 2 4/|
Пример 6. Г Г (1 ~J-cost хХ. dx — Г — 2 Г —^ 1- С-^- .J COS5 X J COS5 X J COS5 X J COS3 X J COS X +T'"l,8(f+f)|+c — sin X 5 Sin X 4 cos4 x 8 cosa x Пример 7. Г dx Г (sln*x-f cos1*)**!* P sin x J sin3*cos4 jc J sin8 x cos4 x J cos4* + 2Г *£ +f —= + 2 Г J£*±2*±.dx + J sin x cos®* J sin3* 3cos3x J sin x cos2 x +^=-^+2(~+ln\^f\) + (-iSt+ +Tln|tgf|)+c=i^+ii7_iSi;+'T,n|tgi|+c- В. Интегрирование выражений, содержащих радикалы У а2 ± х2 ; Ух2 ± а2 , а Ф О I. Если подынтегральная функция содержит радикал У а2—х2 , и > 0, то можно положить jc=asin/. Так как выражение "Уа2—х2 имеет смысл только при |х|^сг, то и первообразная ищется на промежутке —a<*<a. Для пере¬ менной / промежуток изменения выбирается так, чтобы —a<asintf< <a, следовательно, можно считать, что ——<* < тогда У а2—х2= = acos t. II. Если подынтегральная функция содержит радикал Ух2—а2 , а > О, то можно положить х = —2— cos t В этом случае первообразная ищется на луче х > а или на луче х < —а. Так как нет никаких оснований предпочесть один луч дру¬ гому, то можно выбрать тот луч, на котором будет более простая запись преобразованного подынтегрального выражения, т. е. луч д:>а, тогда берем 0<£<— и Ух2—a2 =atgt. В этом же случае можно сделать замену x = acht, тогда Ух2—a2 =Vaa(chaf — l)=a[shf|. III. Если подынтегральная функция содержит радикал Уа2 + х2 , а > 0, то можно положить ,v=atg/. Функция x = atgt непрерывно дифференцируема на интерзале (—я/2, я/2), при этом промежутком изменения jc является вся числовая прямая, поэтому Ух2 + а2=—-—. cos t 185
В этом же случае можно положить х=а sh ty тогда У*24-а2= =а ch t. Для удобства приведем некоторые формулы, связывающие ги¬ перболические функции между собой: ihx = , cthx = -^-, ch2x—sh2x=l, ch х sh x ch2 x 4- sh2 x = ch 2xy sh 2x = 2 sh x ch xt . 2 ch 2x 4- 1 , 2 ch 2x — 1 ch2x = , sh2 x = . 2 2 Пример 8. Вычислим j- V (* + <?)* -dx. Решение. Положим x = atg/, тогда dx = adt cos21 f dx = \ a3 tg2 / -cos3 / dt a3 cos2 f -J (x‘2 -f- a2)3 = di={— Сcostdt = J COS t J COS t J ('+i) r = J COS t -sin / = In | + Так как t= arctg—, to a хЧх У (X* + а"У = In tg (^-arctg-h—sin arctg 4- С = - 4- In | x -г Vx2 -fa2 | 4- С. У х2 4- a2 Пример 9. Вычислим fya2—*2dx. Решение. Положим л: = a sin тогда ^ У а2—х2 dx = ^а2 cos2 / d/ = - j* (1 4- cos 2t) dt = = ±.(t + ±sin 2/J+C. Так как t= arcsin—, sin arcsin — = —, a a a cos arcsin . x X2 m —= \f 1 - , of a2 \х\Фа, 186
то [ Vа2—х2 dx = — arcsin — 4- x ^'a* ~ *—|-C. J 2 a 2 Пример 10. Вычислим J У a2 + x2 dx. Решение. Положим x = asht, тогда j* T/a2 + 'V2 dx = J Уа2 (1 4- sh2/) a ch t dt = a2 j* ch21 dt = = a2 j c-h2' + ^sh2r+ ^ + C = -^(sh*ch/+/)+C\ Так как ch / = Vl -I- sh21 = 1 + -il e' = sh t + ch t = x *8 TO x + V a2 + x2 t = In- I У a2 x2 dx — У a2 4- x2 + -y ln|x-f Va24-*2 | 4- C. C. Вычисление интегралов вида jfl(ex, e2x, . ..,e"x)dx, где /? — рациональная функция Полагая ex = z, имеем #(ех, е2х,..., епх) =R (г, z2, ...,гп) и » dz dx = . z I„+l —j—— dx. Решение. Полагая ex = z, имеем — In|e| 4-С = 2 In|ex —1| —lne* + C = ln(£x —l)2—x4-C. D. Интегрирование биномиальных дифференциалов Так называются дифференциалы вида xm(a4-bxn)^dx, где а, Ь — постоянные, отличные от нуля, «т, л, р— рациональные числа. Первообразная для функции хт(а+Ьхп)р является элементар¬ ной функцией в следующих трех случаях: а) р — целое, б) т — п 187
ч -f-1 целое, в) 1- р — целое; п а) если р — целое, то полагают x=zN, где N — общий знаме¬ натель дробей т и п. Г V7 Пример 12. Вычислим I —dx. J (1 +/х )2 Решение. Положим x = zs, поскольку р = —2 — целое. Тогда Уjc = z3, I3/ х = г2, dx = 6z5dz и Г V7' djc=6 f——— =6 С/г*—2г2 + 3 ^±i-W = J (1 + ^Г)* J (14-г2)2 J\ (1-fz*)2 ; = — zb—4г3 + I82 — I8 arctg г—6 Г ———, 5 J (1 -f z2)2 Г ——— = — fzd —!— = h — arctg г -j- C. J (l+Z2)2 2 j 1+22 2(1+22) 2 Следовательно, Г ^x -dx = —z*—4z3+18zH — 21 arctg z + C, (l+^x)s 5 * + гг z =^r; ш -4- 1 б) если—— целое, тогда полагают a+bxn = zs, где N — п знаменатель дроби р. р xdx Пример 13. Вычислим \ л/ i * J V \ + /w Решение. Положим 1+jc2/3 = z2, поскольку —=3 —це¬ лое. Тогда — 3 — x = (z*—1) 2, dx = (z2 — 1) 2 -2zdz. Следовательно, (*—у xdx =3f(22—l)2dz=—г5—2г3 + 3z + C, ] J 5 2=У1 + А'2'3, /71 1 J в) если h р— целое, тогда полагают ах-п + Ь = г^ где п N — знаменатель дроби р. dx Пример 14. Вычислим \ ““77 * * J у 1 + *4 188
Решение. Положим z* = 14-лг4, поскольку —= 0 — целое. Тогда Jt = (г4— 1)“1/4, dx = —2s (г4 — 1 )-5/4 dz, /1+*4 =2(2*— Следовательно, Г-^— L. )*_ J \'ТТ* J г4-' 4 J ' z + 1 г-1 ) — Г ——— = — InI1 | ——arctgг + С, г = (1 + х~*У*. 2 J г* + 1 4 | 2-1 I 2 т . ' ^ > Если подынтегральная функция содержит трансцендентную функ¬ цию сложного аргумента <р(х), то полезно для упрощения подын¬ тегрального выражения сделать замену ф(х)=/. Пример 15. Вычислим Г arcsin—^=r-d*. J Vx Решение. Положим—^=-=*, тогда dx В Vx tl и Г 1 л Г —2 arcsin/ 1 arcsin —=- dx = \ dt. j /* j t* Интегрируя по частям, имеем n r arcsin / .. С . , . / 1 \ arcsin t Г & * —2 \ dt=\ arcsin t d — ) \ = J t* ) \p j t* J t*V i-*2 arcsint f 1 **(/») _ arcsin/ « f Jl j _j_ q ~~ /2 J 2 Г~х ~ V V T~x Следовательно, ^ arcsindx = x arcsin Л-V x—1 +C. Пример 16. Вычислим J е~^х+1 dx. Решение. Положим —y^x-fl =t, тогда jr + 1 =—t3, dx = = —3t2dt. Следовательно, j e-V^H dx = — 3 J e‘t4t = -3(e'-/2-2j /е<Л) = — 3 (e‘t2— —2te> + 2e<) + С = — 3<V + 6 te1 r-6el + C, t = —yT+T. 189
ЗАДАЧИ Найти интегралы: 129. ^sin4* dx. 131. ^ cos*xdx. 133. ^s\n7xdx. 135. f-5!i J cc 137. ^ m. | COS5 X sin1* cosx dx dx. dx. cos’ X 141. JctgXxdx. 143. > j ,45 j j 149. J 151. Г dx 153 155. ■j 157 159 sin3 x cos4 x dx sin2 x cos4 x x2 \f a2 —x2 dx X2 H (a2 — x2)3/2 и dx (x2 + a2)312 dx У e*+ 1 dx x >/1 + x’ dx ■I Vx (1 + Vx ) bVxdx. 30 32. 34. 36 38. 40. 42. . J sin4* cos2 л dx, J sin2 xcos3xdx. Г -J-Лс. J COS3 X . Г ^-dx. J sin4 x Г cos7; J sin3; dx. sin®* I Cii£l£d.v. J COS'* X 44. J ctgb xdx. j* x2 Va2 -f- x2 dx. j*2Vx2— a2 dx. 46. 48 50 dx. . f J (*4-a*)* 52. j ye3x + e2(dx 54 56. 58. 60. •I Vx p dx J v^vT^i у X3 f s dx х2{2-\-х*у/л x cos V.v dx. § 4. ПРОСТЕЙШИЕ ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН Рассмотрим интегралы вида Ах 4- в ах2 + Ьх + с •I- . j (Ах + В) У ах2 + bx + c dx\ IV. J j— Ах + В У ах2 ~| - Ьх -г с dx dx\ If ax2 -f- Ьх с 190
Выделяя из квадратного трехчлена ах2+Ьх+с полный квадрат, запишем его в виде ах2+Ьх+с = а(х+ Р)2+?. Если в интегралах 1г II, III сделать замену х+P = z, то получим интегралы Г. Г А.г + В, dr п, Г +В, л?. J аг2 + q J V az* + q '. j (AyZ + вх) У az2 + q dz. Ill Вычисление этих интегралов в зависимости от знака числа а сво¬ дится к вычислению интегралов вида f-Cf + £> dz, \ dz, С Jjl±JLdz, [{Сг+й)Уг^? dz, J г2 ± r* J /гг±г* J Vr*-z* JV ,¥ j* (Cz + D)Vza ± r2 dz, каждый из которых представляет собой комбинацию двух инте¬ гралов, один из которых табличный, а другой сводится к таблич- ному, применяя равенство d(z2zta2) =2zdz. Интегралы /а2—x2dx И IV* + k dx не входят в таблицу на с. 176, но они уже были вычислены ранее. Так как интегралы такого вида часто встреча¬ ются в приложениях, а вычисление их технически сложно, то предлагается соответствующие первообразные просто запомнить. Поэтому эти интегралы также называют табличными: xV а я* а2—х*dx = + — arcsin — + С, 2 2 а 1/x2 + kdx = -У-—— + ~k\n\x + Yx2 + k | Ч-С. 2 *• J2x I 5 7. T :-.=r-dx. Vx* + 4x + 7 Решение. Так как х2+4х-Ь7= (х + 2)2 + 3, то, полагая = = z, имеем Г 2х + 5 Г 2(х + 2)+1 Иг_С * + l_d2 = J Кх» + 4*-(-7 J + + l J VrM-3 "K**" +S yj+ 3 -П^ + Ы. + У^+С- = 2 Ух2 + 4x + 7 + In | дет -I- 2 -f- Ух2 + 4x + 7 | + C. /» | Пример 2. Вычислим j ^ ■=^=r:***• Решение. Так как 1—x—jc® =—+ то» полагая , 1 x 4 =z, имеем 2 191
ш — Зх -±ii) yf 1 — X — J —3z 4- Y г- + -if “ -Я|/-1 „ v4- 2J /T17 * + — arcsin —^=r 4- С = 3 Vl —*—*2 4- — arcsin —7—1 h C. 2/5 2 У5 Пример 3. Вычислим J (2x 4- 7) Vx2 4- x 4- 1 dx. Решение. Так как x2 4- x 4- 1 =-= ^ 4- -y- j ”4- to j* (2a 4- 7) Vx2 + x 4-1 dx 12 ^x 4- j + 6 j Ух2 4- a* 4 1 <2a = -j[2 (*+ t) +6] |/ (*+ t)' +Td (,+ t) - = j* (2z + 6) Yz2 +TdZ = 2IZ V"+T d2 + +С|/^ХЛ-||/гТ“Х„(г.+А), . 2x4- 1 (VET -f + Tln 2 + }/г2 + ]-С-|(аЧдЧ l)3'2 + 4- 3 (* 4- J K*2 4*4-1 4--^-In 'v+~"-L V^a2 4- x 4- 1 Для вычисления интеграла f 77= J (х — а) Г ax- замену x — a = z, тогда получаем интеграл f dz p dz J z / az2 4- bxz 4- Cl J ! 4 bx 4 с 4- С. делаем в нем , , л/ ьх . гх гИ у/ »+т-Г— Подынтегральная функция непрерывна на лучах А>а и х<а. Как указывалось выше, можно выбрать тот, на котором запись подын¬ тегрального выражения более проста, т. е. луч х>а, а тогда z> 192
>0. Такой же выбор в подобных ситуациях применяется и далее без особой оговорки. Полагая ~ = и, получаем табличный инте¬ грал I- dz — С *) -_|* du J _ / h. ~ J Ya + ьiu + C\u% Замечание. В интеграле IV можно сразу положить х — а Пример 4. Вычислим Г =-. К Г J (х —2)/2х* + 4х + 8 Решение. Полагая дс — 2 = г, имеем при z>0 dx К 2х» + 4* + 8 dz УТ .f * /*’ + 6г -)-12 1 С — du /2 J у 1+6и+12а» "7гГ dz /2 J г/(г + 2)* + 2(г + 2) + 4 dz У2 ^ _ / 6 ПГ «1*1 у 1 + т + ^т- /И du y,“'+T“+ir hi) ^ I / i м* ~ V (и+т) +1г “+Т+V“, + T“ + -iF г=г- In /24 = —г—=r- In •/24 In У 24 ЗАДАЧИ Найти интегралы: : — 5 +с= + с= T+T+l/ ^ + _^ + -l+i/“-1_ + _L_+_T х — 2 4 К (х — 2)» 2 (х — 2) 12 4- С. 161. Г 2х J х* + х -j- 3 dx. 162. С J 2x* — 4x — 6 193
163. Г 7~3jt dx. 164. Г —4j~~n — dx. J /x* + x+l J 4x — 1 Ki-m-x1 165. f , lnJ + 2 dx. 166. Г dx. J JC К 1 — In x — In* x J У etx eK + 1 167. f-/=:...:C-0S^. dx. 168. f — dx. J v I — 4 sin x H- cos* x J ttx + 2<?r -f 4 169. f dx . ■ . 170. Г J / e*x — 5ec -|- 6 J (х+1)}Л (*+!)/**+! 171. Г rdx, . 172. f (x + 2) Vx* + л: + 1 dx. J (x- 1)/4ж«-10* + 7 J' ,v 173. j (1 — Ъх) VI +x—x*dx. 174. j— 175. f—X~x3..-.=r dx. 176. f— x4x J /!+*•+*< J X* dx. x2 -j- 5 177. f *** ■ — 178. f <x+1)l -- dx. J J xy I + 3* + X2 179. j (jc3 -fr) VI + лг1 dx. 180. j Vcos2xcosxdx. 181. Г ycos2xsinxdx. 182. Г—1 dx. J J cos x V cos 2x § 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ В этом параграфе рассматривается интегрирование функций вида -LfcL, где Т (х) и R(x) — многочлены от х. Если степень многочлена Т(х) больше или равна степени многочлена R(x), то делением многочлена Т (х) на многочлен R(x) выделяем целую часть — многочлен Ф(*)> т- Т ^ — Ф (х) -и ^ где степень R (х) R (х) многочлена Q(jc) меньше степени многочлена R(x). Интегрирова¬ ние рациональной функции сводится к интегрированию многочле¬ на и правильной рациональной дроби. Интегрирование правильной рациональной дроби осно¬ вано на теореме о представлении этой дроби конечной суммой про¬ стейших дробей. Вид этого разложения зависит от разложения многочлена Q(лг) на множители. Множителям вида (jc—а)* (а — действительный корень многочлена Q(*) кратности k) соответст¬ вуют k простейших дробей: Ат , т = \, 2, ... ,k. (х-а) где Ат — постоянные. 194
Множителям вида (x2+px+q)1 (трехчлен x2+px+q не имеет действительных корней) соответствует / простейших дробей вида Bi*+ (х■ + рх + q)i , t = 1, 2, ... ,/, где Bi, Di — постоянные. Если разложение многочлена Q(x) на множители имеет вид <?(•*) = (*—«,)*■• (х—а,)*'- ... • (х—a,)kt-(xi + p1x + ql)1'- ... ... • (х1 + р,х + ?,)'/. где си, .... а, — действительные корни многочлена, соответственно кратности k\9 k2l kit а трехчлены x2+pix+<7b x2+pfx+qi не имеют действительных корней, то разложение в сумму про¬ стейших дробей ищется в виде я(х) . »!'> 4» <3 (*) * — о, (ж — а,)* " ‘ (х — а,)*‘ А? В"'х + С<" ... + h . . . + ‘—j 1 — ; У * —<*< (х — а,) ‘ * + Pi* + • В[']х + С<'> В<»х + С<'> -f - I I- ... Н - - |- («* + Pi* +</i)’ " ' (** + Pi* + 9i)‘‘ в »>» + c»> B^>x + c»> + d>> ■■+ + p/x + 7/ + (x' + pix + q/)* + + (x* + Pjx + qi)‘i Здесь в (1) Л’0, ... , Abj, B\n, ... , B^, C\l], ... , СУ] — некоторые, пока неопределенные коэффициенты, способ отыскания которых бу¬ дет указан ниже. Итак, интегрирование рациональной функции приводится к ин¬ тегрированию дробей вида I. ——. И. —-—, 2. III. Вх + С {х — а)** х* -f рх + q ' IV. £*-^ С /п>2. (х1 + рх + q)™ (трехчлен x2+px+q не имеет действительных корней). Для дро¬ бей вида I, II, III соответственно имеем ^ А dx = A\n | jc — а | + С; х — а R—dx= ! + С, 2; (jc — а)* к — 1 t(x — а)*“1 195
4(J» + p) + c—v- (-5l+£_d, = f^-—— J ж» -+ px + q J x« + px + q В f d(x* + px + q) , ln Bp \ f -Tj“irp77—+\ ~)j dx (c--t) V<~т "V--f . P о I- 9 I X+ о = — In |*a + pjt + <7| H ■ arctg hС (так как x2+px+q не имеет действительных корней, то q—> > О^.При вычислении интеграла IV поступим следующим обра¬ зом: представим линейную функцию в числителе в виде комбина¬ ции производной квадратного трехчлена и константы, т. е. dx — В ( Вр \ С Вх + С dx_ С 2 Р« + Р)+(с~ 2 ) J (х* + рх + q)m J (*• + Р* + Я)т — JL Г d<** + Р* + <?) . (с _ Г dx _ 2 J (** + p* + q)m \ 2 ) J (х* + рх + <?)"• = —.— 1- + (с — 2. 2 1-т (х' + px + q)^ \ 2 ) Рассмотрим интеграл Выделением полного квадрата x2+px + q =(-f г—-?- заменой х + ~- = г он приводится к виду J -f z1)^ ' Для вычисления такого интеграла используется подстановка z— —Ъ tg и или выводится рекуррентное соотношение, позволяющее понизить степень т в знаменателе интегрированием по частям. Действительно, представляя 1т в виде комбинации !т-\ и J Х1 -|- Ь%)т" И ВЫЧИСЛЯЯ последний интегрированием по частям, получим /м = Г —= J- Г dz = J (z» + Ь*)т Ь* J (г» + Ь*)п 1 I ‘Г- _ * / — ”71" *•*—I ГГ 1 ^ ". . , "ГГ • /п—1 fc* 6* J (z* 4” Ь 196
—LfW 5 1 1 =-'-! + ft* J V 2 (1 - m) (2* + ft*)"*-* J ft* J Г dz_ l — 1) b* J (2* + ft*) 2ft* (m — 1) (z* 4- 2 (m — 1) ft* J (2* + ft*)*-* 2 2m — 3 I tn—1 • 2ft* (m — 1) (z* + ft*)"*"1 2ft* (m — 1) Для нахождения неопределенный коэффициентов при разложении правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей правую часть искомого разложения (1) приводят к общему зна¬ менателю (им будет многочлен Q (*)) и у получившегося в чис¬ лителе многочлена, и у многочлена Р(х) приравнивают коэффи¬ циенты при одинаковых степенях х. Таким образом, получается система линейных уравнений, из которой находятся неопределен¬ ные коэффициенты (в алгебре доказывается ее однозначная раз¬ решимость). Пример 1. Вычислим Г — жЛ* 3 (*- {+1)(л-2)" южение др дробей ищем в виде Решение. Разложение дроби в сумму простейших ^ (*+!)(,-2)* (* + I) (х — 2)» х+1 х-2 (х-2)* Приводя в (2) к общему знаменателю правую часть, имеем » _ Л(»-2)» + В(«+1)(х-2) + С(дг+1) (ж+!)(*-2)* (jf -t- I) (* — 2>» Приравнивая числители дробей, получаем тождество х-А (х-2) а+В (*+1) (х-2) +С (х+1). (3) Перепишем его в виде х«» (А+В)х*+ [С—В—4А)х+ (4А—2В+С). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений А + В=0, С—В—4/4= 1, 4А— 2£ + С = 0, Л 1 п 1 S' 2 откуда А =»—А= —. C = Y 197
Следовательно, Г *dx 1 г dx 1 г dx 2 г dx __ J (х+1)(х-2)’ 9 J JT -h 1 9 J x — 2 3 J (x-2)* 1 i I x — 2 = — In 9 | x-f 1 -L.-L.+C. 3 д — 2 Иногда полезно в равенство, полученное приравниванием мно¬ гочлена Р(х) к числителю дроби, полученной после приведения к общему знаменателю простейших дробей, подставлять вместо х некоторые специально подобранные числа (обычно действительные корни знаменателя данной рациональной дроби). В результате по¬ лучаются линейные уравнения относительно искомых коэффициен¬ тов, хотя следует помнить, что при подстановке произвольных чи¬ сел полученные уравнения могут быть зависимыми. Применим этот метод к предыдущему примеру, полагая в тождестве (3) х = 2, имеем 2 = 3С, откуда С=2/3. Полагая х= — 1, имеем — 1 = 9А, откуда Л= —1/9. Полагая х=0, имеем 0 = 4Л — 2В+ + С, откуда с учетом найденных А = — 1/9 и С=2/3 имеем В~ =4у4 + С/2= 1/9. Г 3xJ — х 4- 2 Пример 2. Вычислим dx. J (1+**)*(*-1) _ _ Зх2-х+2 Решение. Разложение дроби в сумму про- (1+*2)2(*-1) стейших дробей ищем в виде Зх2-х-2 _ А Вх + С Dx+E (1+jc2)2(*-1)"~*-1 \+х2 (1+jc2)2* Коэффициенты А, В, С, D и Е определим, исходя из тождества Зх2 — хЛ-2 — А (1 +:t2)2 + (ifct + C)(jt—1)(1 + х2) + (1>х+ £)(*- 1).* Полагая х= 1, находим Л = 1. Приравнивая коэффициенты при оди¬ наковых степенях х, приходим к системе уравнений A + B = Ot — В + С = 0, 2Л—С + D + £ = 3, С—В + Е—D = — 1> Л—С—£ =2, откуда находим, учитывая, что Л —1, остальные коэффициенты: В= — 1, С = —1, D-1, £-0. Следовательно, r_L+Ldx+f. J <1+**)»(*-I) J J* — 1 J 1 + ** J xdx (1 + X*)» = In \x—II — In 11 +**| —arctgX—— . —- bC. I l 2 S 2 l+*a 198
Так как разложение на простейшие дроби часто требует гро¬ моздких выкладок, то иногда при вычислении интегралов от ра¬ циональной функции полезно производить некоторые преобразо¬ вания, делать замены переменных, позволяющие упростить вычис¬ ление данных интегралов. Пример 3. _ 1 Г dx _1_ f dx 2_ Г dx _ 25 J (х — 3)* 25 J (х + 2)* 25 J (х-3)(х + 2) ~ - ' ' ' ' 4bWr]<~ In 1лг—3| + 25 (X— 3) 25 х + 2 125 11112 25 х — 3 25 х + 2 125 4- — ■ In \х 4- 2| 4-С. i/o Пример 4. С dx I Г ХЧ-2-ДС" dx_ J Jta (2 4- х*)» 2 J X* (2 4- **)» —Lf—± -If—* =■— Г (— L-)dx~ 2 J x* (2 + x*) 2 J (2 + x')» 4 J \ x* 2 + x* / --i-f= —‘ i з ard x 2 J (2 + x*)« 4x 8(x* + 2) 8/2 6 /2 Пример 5. Г <*-l ±t_C (x + 2)»-6(x+2)«+12(x + 2)-9 J (*+2)* J (x + 2)* = f—£ 6 f—^— + 12 Г—^ 9 f ——— = J (x+2)* J (x + 2)‘ J (x + 2)» J (x + 2)« M +—2-тт—rA^ + ■; 9 ... + С. 2 (x + 2)* (x+2)* (x+2)‘ 5 (x + 2)» Пример 6. I” dx Г dx j* (1 — ?)’ dz j X* (x — l)« ~J . ( X- 1 ji~~J z» ^ 11 — 7z + 21z« — 35г»+ 35г« — 21г» + 7г« — г> ^ 199
+35|-£_2|J^- + 7J*-J^_ 1 +-72 -T + TT 21 lnl*l + 6z* 42* *■ 2 z* г + 7г—£- + C, z= *-1 2 * * Пример 7. P dx __ f* jfldx i_ r 4*» j Ж(1-.Ж«)* J x*(I — x^« ” 3 J ** = —f =—Г—-—(—+ —-—)du = 3 J (i(l-a)e 3 J l-в \ u 1 — a / =-Lf—i!_+_Lr/J- + —!_Ъ„- 3 J (1 — £!)■ 3 J V И \-U J 1 1 +4-ln|-^— l+C- 3 1—в 3 I 1—« 1 1 +-Lin I—l + c. ** — 2 3 **—1 3 I I»—1 Пример 8. f dx Г xdx _ 1 P dx* J *’(*» —2) J **(** —2) — 2 J *‘(x« —2) = _Lf *L LT “-2-“, du = 2 J e*(u — 2) 4 J u>(u —2) 1_ f* du 1 p du I_ , 4 J u» 4 J a (u — 2) ~ 4u + Xi„|Jlrl| + c--L- + fin 8 I и | 4jc* 8 x- Пример 9. Для хф О f_—d,= f ‘'(‘"л)..*., ) (»•+»+»• Ц,+х+1у f ‘{‘+t) f и J (,+X + i)’ i '“+■»• + C. 200
1 + С=. и +1 Пример 10. е_21±!_лс=г J j^ + 3^+1 J + С. X* + X + 1 -(■+*) dx — du u» + 5 /5 1 1 u arctg VI = arctg *-- i -f C. К 5 6 x/5 Пример 11. J JC*~1 J x*—\ J *-1 ,f- .dx + ±r-l*-=±[n\ J ** + *■ + 1 3 J *•- 1 3 I +c = X» — 1 х» +1 + s _-L|„|-£=i| + -S-ln 3 I #+ 1 I 2 x -1- — 1 X * + —+1 X + c = J-ln|jLzJL| + J-in| 3 | x® + I | 2 | x* + x + 1 + c. Пример 12. p 3x* + 5x» 3 Г J (*» + 4)» 8 J (x* + 4)* = _3_ Г du | 5 Г du 8 J u» 4 J (u* d (<« + 4) tJ- dx* + 4)a 1 .5 x4 . 5 . x4 n . arctg b C. *■ + 4 32 x* + 4 64 2 x*dx Пример 13. Вычислим f—a - Решение. Г xMx С xdx _ 1 f xd(*» — 3) J (x1 — 3)8 J* ’ (JC* — 3)» ” 2 J (x% — 3)e = — f * ( -d(xa-3)-2)= — - +— f —; 2 J V 2 V } 1 4 (x* — 3)1 4 J (jc« — 3)* 201
f *1—=-Lf 3-** + *• dx = J (x* — 3)* 3 J (**-3)* = LC_i£_ + _L f*—£*£ = 3 J x* — 3 3 J (Ж* —3)* ' JjgULl + Xf, »"• 6/3 I /з_х I 3 J (x* — 3)* ^ In 6/3 1 6/3 1 In • In — d (x‘ — 3) (x* —3)* lS±i+Tl-(^)- tS /3 —X Кз + х бКз Следовательно, /3-х Кз + х /3-; J 6 X* — 3 1 х dx X* — 3 6 X» —3 12Кз In V з-н /З-j f С. Г* хЧх 1_ х 1 х J (х* —3)» ~ 24 ’ х* — 3 4 (х* — 3)* + ■ 48 /3 •In Vl + i V з-j 4-С. Метод Остроградского Иногда при интегрировании правильной рациональной дроби Р(х) используют метод, суть которого состоит в выделении ра¬ циональной части первообразной. Пусть Q(x) имеет кратные кор¬ ни (включая и комплексные). Составим многочлен Q2(х) так, что¬ бы все его корни были простые и каждый корень (?г(*) являлся бы корнем многочлена Q(x). Тогда Q (jc) =Q2(jc) Q, (л:) . где корни Qi(jc) есть корни многочлена Q (jc) с кратностями каждый на единицу меньше. В частности, все простые корни Q(*) будут кор¬ нями Q2(jc) и не будут корнями Qi(jc). Справедливо соотношение Р(х) Q (х) Qi (х) J (?,(*) Ф(х) dx% (4) где R(x) и Ф(*) — многочлены с неопределенными коэффициен¬ тами, степени которых соответственно на единицу меньше степе¬ ней многочленов Q\(x) и Q2(х). Неопределенные коэффициенты многочленов R(x) и Ф (jc) вычисляются при помощи дифференци¬ рования равенства (4). Обычно метод Остроградского применя¬ ется, если многочлен Q(x) имеет несколько корней большой крат¬ ности. 202
Пример 14. Вычислим Г 2-----2 dx. F J (** + 4* + 8)» Решение. Полагаем dx = —a-Z±*— + f cx+-d—dx. (х* 4 4х 4 8)1 х* Ч- 4х + 8 J х1 + 4х Ч 8 Дифференцируя это равенство, получаем 2х + 12 _ д (х» -f 4х -t- 8) — (2х -f 4) (дх -f Ь) сх -f d (х2 4 4х -f- 8)* ~ (х* -+- 4х + 8)1 х* -f 4х -f 8 ’ откуда 2х -ь 12 = а (х* -f 4х + 8) — (2х 4- 4) (ajt + 6) 4- (сх 4- d) (х% 4- 4х 4- 8). (5) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства (5), получим систему уравнений с = 0, 0 = а — 2а 4- d 4 4с, 2 = 4а — 4а —26 4- 4d 4- 8с, 12 = 8а — 46 4- 8d, откуда с«=0, a~d=*6-*l. Следовательно, 2x4-12 ^ = х 4- 1 Г (х»4 4х + 8)> х» 4-4x4 8 J (х + 2)2 4* 4 = '+* + — arctg -i±i. + С. 184. Г J 186. Г - . J <*’ -+- 1) (*’ + 2) 188. f——. J *»+1 190. Г—— dx. J 1 + *4 192. f . J .*•(*-2)* ,94. Г J 1+** 303 X1 f 4x 4- 8 2 ЗАДАЧИ Найти интегралы: 183. 185. 180. 193. dx x (x 4" 1) (x 4" 2) dx xa (1 4- X*)* 187. \ — dx. 1 -x4 dx *4-1 191. I —! dx. (*• + *+ 1)* dx (x*-3x4-2)*
195. С — . 196. Г—-—!—dx. J л(1 + ж5)* J x* + i*+l 197 f f_ii dx. 198. С—*-—■-1 dx. J j' + W+I J **-*• +1 199. ^ ОПЛ f dx I -TTT dx• 200' J *•(*•+!) dx. 202. f — 0 + *4)* J (**+i)s § 6. ИНТЕГРИРОВАНЕ НЕКОТОРЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Интегралы вида $/?(sin jc, cosjc)dx, где в общем случае ^ — ра¬ циональная функция, приводятся к интегрированию рациональ¬ ных функций с помощью универсальной подстановки tg — = t, при этом 2 sin — о • х х 2 - х sinх = 2 sin COS = • COS* — = 2 2 X 2 cos 2 2/ 2 x 1 +1* ' cos Jt = cos* — sin* — = 2 cos1 — 1 = 2 2 2 1 — tg* — 2 1 — f X 1 + /* ’ i + !g*Y л = 2 arctg t, dx^~^- Обратим внимание, что применение подстановки tg (х/2 )=f воз¬ можно только на промежутках, не содержащих точек вида 2kn, AeZ. В дальнейшем это подразумевается. Пример 1. Г dx г dx J 3 sin Х -f COS х J X X л X , в X 6 sin — cos — -f cos1 — — sin* — 2 2 2 2 dx 204
—I = -2- «g^-etgY-1 • = —2 du (u - 3)* — 10 — In u — 3 — У10 I { c^ u —3-f/To I /10 In tg— -3-У 10 tg’7”'3 + y"r5 Подстановка f=tg(x/2), являющаяся универсальной для инте¬ гралов от рациональных выражений, содержащих функции sinx и cos х, приводит иногда к довольно сложным выкладкам. Ниже рассматриваются некоторые случаи, когда подынтегральная функ¬ ция приводится к рациональной дроби более простым способом. I. Если /?(—sinx, cosx)— R(sinx, cosx), то применяется под¬ становка cosx—/. II. Если R (sinx, —cos x)=*—R (sinx, cosx), то применяется под¬ становка sinx=f. III. Если Л(—sinx, —cosx)-=tf(sinx, cosx), то применяется подстановка 1 gx=/. Замечание. Любое рациональное выражение R(ut v) всегда можно представить в виде суммы трех выражений, рассмотрен¬ ных в пунктах I, II, III: R(u г) — и) | R(—U'V) — R(—U,—V) | + К(-ц, — b) + R(u,v) Пример 2. Вычислим ^ Решение. /? = sin xdx cos* х (sin x 4- cos x) sinx cos1 x (sin x -f cos x) Так как /?(—sinx, —cosx)»»/?(sinx, cosx), то, полагая tgx—t, имеем s sin xdx Jtgxdtgx I 4-tg* COS1 X (sin X 4- COS J = —In |1 + tgx| +tgx + C. Пример 3. Вычислим ^ Решение. Пусть R = sin 2x 4 cos* x 4- 12 coa x —• 7 sin 2x dx. 4 cos* x 4~ 12 cos x — 7 205
Так как /?(—sinx, cosx)«—R (sin x, cosx), то, полагая cos x=~/, имеем f d,=r J 4 cos* x -f 12 cos x — 7 J — 2/d/ 4^* + 3/ + -^-)-16 1_ Г (d< _1_ Г uda _3_ Г du _ _ 2 J / 3 \* 2 J u»_4 4 J u« —4 _ (/+t) ~4 = — In IЦ» — 41 + —In 4 ' 16 u — 2 u-f 2 + c = = _-lln|(cos* + ^-)S-4 16 In COS X 4 — + c. Пример 4. Вычислим Г — J cos4 x 4 sin4 cos xdx x -f 2 sin* x 4- 1 Решение. R = cos4 x 4 sin4 x 4 2 sin1 x 4 1 — cosx) =—R (sinx, cosx), то, полагая sinx = /f имеем Так как R (sin x, s cos xdx -It d sin x cos4 x 4 sin4 x 4 2 sin* x 4 1 J 14 sin4 x 4 (1 — sin2 x),J 4 2 sin* x =—f , * =_L-C-.J + /2 dt- 2 J <‘+l 4^2 J <‘ + <V2 + 1 4/2 J /i — /^2 f I 1 8^2 sin* x — / 2 sin x 4 1 4- H [arctg (У2 sinx 4 1)4 arctg (У2 sinx— 1)1 4 C. 4 У 2 Иногда, если это не нарушает рациональности подынтеграль- ного выражения, полезно понизить степени sinx и cosx, исполь¬ зуя переход к кратным углам. Пример 5. Вычислим Г — . J sin* х 4 c°s* * Решение. Применяя формулы . 1 4- cos 2х . . 1 — cos 2х cos* X =—' , sin* X— , имеем cos* х 4 sin* х = — (14 3 cos12х). 206
Полагая tg 2jc=/, находим f s -f ш .arctg-L+c- J sin* x -f cos* x J 1 4- 3 cos* 2x J /* + 4 2 = arctg-^ + C. Рассмотрим некоторые специальные методы. Пример 6. Вычислим Г sinx —3 cos х ^ J 4 sin х 4-5 cos х Решение. Представим числитель (sin jc—3cosjc) в виде ли¬ нейной комбинации знаменателя (4sin jc4-5cos jc) и его производ¬ ной, т. е. sin jc—3cos jc—A (4sin Jt-f 5cos x) 4-В (4cos jc—5sin x). Для нахождения коэффициентов А и В имеем систему ( 1 =4/4—5В, _ „ 11 D 17 { откуда А = , В , I— 3 = 5А + 4В, 41 ’ 41 поэтому Jsl п х — 3 cos х ^ 11 Г 4 sin х 4~ 5 соз х ^ 4 sin х -f 5 cos х 41 J 4 sin x-|-5 cos x 17 (• d (4 sin x 4- 5 cos x) 11 17 ... . c n \ — — - = x In 4sinjc4-5c0sjc 4-C. 41 J 4sinx4-5cosx 41 41 Пример 7. Вычислим Г -2 Sin.x.:t-.C.QS 1 fa J sin X —cos X 4- 2 Решение. Представим числитель (2sinjc4-cosx— 1) в виде линейной комбинации знаменателя (sin jc—cos *4-2), его производ¬ ной и константы, т. е. 2sin jc4-cos jc— 1 =А (sin jc—cos jc4-2) 4-В (cos jH-sin jc) 4-C. Для нахождения коэффициентов А, В и С имеем систему 2 = А + В, 1 = — Л 4-В, — 1 =2Л 4-С, 3 1 откуда В — —, А — С = —2. Поэтому J2 sin х 4- cos х — 1 ^ __ __1_ С sin х — cos х -f 2 ^ sin х — cos х 4- 2 2 J sin х -- cos х 4- 2 + -L f cos x 4~ sin x Г - 2 J sinx — cos x 4-2 J sinx — с dx - cos x 4- 2 1 3 = — * 4- — In | sin jc—cosjc 4- 21 207
-2S- dx X X . X X _ , _ X л X 2 sm — cos — — cos* — 4 sin* — 4 2 sin* — 4-2 cos* — 2 2 2 2 2 2 = — x 4 In sinx—cosx4 2 2 ‘i 2| -4 f 1 J x I . X X cos3 —- 3 tg* 4- 2 tg —- 4-1 1 3 - 3tgT4l = — x 4- —In|sinx—cosx + 2| —2"1/2arctg — h C. n or» - P2sin9x4 3sinxcosx4-5cos3x , Пример 8. Вычислим \ — — dx. J sinx—2 cosx Решение. Представим выражение 2sin2x43sinxcosx45cos2x в виде 2sin2x43sin х cos x45cos2x = (A sin x4В cos x) (sin x-2 cos x) 4 4C(sin2x4cos2x). Для нахождения коэффициентов Л, В и С имеем систему 2 = Л 4 С |2=Л4С д { 3 = В—2А, откуда А = —- 15 = —2В + С, В- Поэтому 2 sin* х 4 3 sin х cos х 4 5 cos* x sin x — 2 cosx dx — = — COS X 5 3 . 19 Г dx cosx sin jc 4 \ = 5 5 Jsinx — 2 cosx 2 d tg —- I . 19 f* 2 - Sin X H \ ' 5 ^ If a*— J- 9 to— — 9 2te*—,+ 2tg— — 2 9 з i q = — cos x sinx 4 7=- In 5 5 5 V 5 ЗАДАЧИ Найти интегралы: dx X 1 Vb ,еТ + Т-“Г x 1 1/5 ,g ~2 + ~2 + 2 + C. 203. 3 4 sin x ' 204. h dx 4 5 cos x 208
205. J sir dx sin x 4~ 2 cos x -J- 6 207. С — J sin3 x— sin 209. -sin 2*’ sin x dx cos2 x — 3 cos x 4- 2 cos xdx Г dx J 1 4- cosa x 211. J 213. f J cos2 x — 5 cos x -f 6 215. Г 5i£l2= dx. J sin1 x + cos4 x 217. Г ! dx. J 1 4- tg ДС 2,9 j . sin* dx. 22,Sr mj 225. 2 sin x 4* 3 cos x cos 2x dx. -f cos2 X COS2 X sin x 3cos* dx. dx. Г sin 2x J 1 + cos4 ; 227. [■■■'■ 1 + tg**—dx. J (4 tg*x) tg8* 229. 2 sin x 4- cos * (2 cos* — 3sin*)2 dx. 220 Jcov 2- cos * dx cos * dx 206. 208. [ —— J 1 4- sin1 210. * dx 212. 214. f — J sin4 216. Г — J sin* 218. f - J 1+c (sin * 4- cos* -|- 1)* sin*d* sin2* —3 sin *4- 2 cos 2* dx x 4- cos4 * *cos* 4- cos * dx. dx. 4-ctg* sin 2* dx. 4- sin3 * cos 2xdx sin5 * cos * 4- cos5 * sin * St 222. [ J sin3 224. f co^*- dx. J 1 -f cos* * 226. f - . J sin4*4-cos4* 228. f »in* + cos* + l dx J 2sin*-f-cos*4-2 230 f 1 4~ 3sin2* 4- 2з1п*соа* ^ J sin * — 2 cos * § 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ РАДИКАЛЫ 1. Интегрирование функций вида р (х л/ ,qx + Р | где R — ра- \ ’ X ух 4- б / ' циональная функция двух аргументов, т — натуральное число, Р. У* 6 — некоторые константы. При интегрировании таких функций полагают —= tmf тогда х будет некоторая рациональная функция <р (t) и интеграл запишется в виде //?(Ф(0, tW(t)dt, где подынтегральная функция есть рациональная функция t. Пример 1. Вычислим С ^х• J * — у * 209
^ Решение. Положим Ух»/, тогда —— —dt, т. е. dx=2tdt 2 У х /*4-1 Г* = Г-Ш-.2/dt =2 С-±±JLЛ. J x*-Vx J —* J P— 1 Разлагая рациональную функцию —■1- в сумму простейших дро- t3 — 1 бей, имеем Г /-.ht'd^jLt-li 2- r_iL±_L_d<=—in|(—1| — J х* —/х 3 J t— 1 3 J /* + <+1 3 1 —-1п|/* + < + 1| +С = — In <*~2< + * +С--= з ' 1 з /* + (+1 =— In + с. ® Х+у/х+\ Пример 2. Вычислим Г —. J Ki+W v — *~3/4 Решение. Положим у лс—f, тогда ■ dx—dt, т. е. d*= —4<3d/ и Г — =4 Г —£1Ё£— = 4 CJ!iL = 4 f (t — i +_L_\^ = J Vx + /x J <* + < J < + 1 J \ < + 1 / = 4 f+ ln|/ + l|j +С=2У7—4 >/ * + 4 In |y^x + 11 + C. dx По и Me D 3. Вычислим Г —; — J ^(1Г=Т)У V(x— 1)* (* + 2)‘ Решение. Преобразуем подынтегральную функцию к виду ! = _?. 4/(х—1)>(х + 2)‘ (х + 2)« у \x-\j х 4- 2 Полагая - - — t*t имеем X — 1 2 , 0 З/4 , — 12/» А. х — — , х-\-2 = , dx = dt, t*— 1 /4 —1 ' (/4 — 1)* тогда Г dx Г 4 / / х + 2 \8 dx J V(* — 1)*(х4-2)* J \*—1/ (* + 2)3 210
= Г/».i‘1-«>*. + с= J 9/» (Z4 —1)* J 3 /* 3 t = ±l/H± + c. 3 У x + 2 D / \ И. Интегрирование функций вида -7====, где R(x) — у ах* 4 bx 4 с рациональная функция. Выделяя из рациональной дроби /?(*) целую часть — много¬ член Р(х) :R(x) =Р(х)+ — и раскладывая дробь <q(x) \ в сумму простейших дробей, видим, что интегрирование функций Ж*) —р ■ = приводится к вычислению интегралов следующих у ах* Ьх + с типов: Р * * ^ dx, Р (дг) — многочлен; У ах2 4 Ьх + с А4х а)1 б) С А^х... _-=г-, А — константа; J (х — а)А у ах2 4- Ьх -\- с в) С (Mx + N)jix д| W—константы и трехчлен J (x* + pjc4-<?)m/ax»-h6jc-f-c х* -j- рх 4" Q не имеет действительных корней. Укажем методы вычисления этих интегралов. а. Можно показать, что первообразную для функции Р (х) г» / \ ' где Р(х) — многочлен степени л, следует искать V ах2 4 Ьх 4- с * в виде Г Р(Х) dx _ =Q(^yax, + hx4.c4.i, Г, .d* (1) J /fljc* 4- Ьх 4- с J V ахг 4- Ьх 4 с где Q(jc) — многочлен степени (л— 1) с неопределенными коэффи¬ циентами, А, — неизвестная константа. Коэффициенты многочлена Q(x) и число X находятся при по¬ мощи дифференцирования тождества (1). (х3 — 2)dx Г (х3 Пример 4. Вычислим I—у= J V# • + Х+1 Решение. Полагаем с lx*-2)dx_ = (axt ьх + с) Vx* + x + l +Х f' —d-J J/*« + *+1 К J У** + *+ 1 211
Дифференцируя это тождество, имеем = (2ах 4 Ь) Ух2 + х f 1 4- х»—2 W + *+i ^ (ах*4-6х4-с) (2x-f 1) 2 х* 4- х 4- 1 У х% 4- х + Г откуда 2 (х3—2)«(4ах+2&) (х24-х4-1) + (ах*+Ьх+с) (2х+ 1) 4-2Х. Для нахождения неопределенных коэффициентов a, bt с и к полу¬ чаем систему уравнений 2 = 4а + 2а, О = 4а + 26-Ь а -Ь 26, О = 4а + 2b + b + 2с, — 4 = 2& + с + 2Х,, 1 , 5 1 - 25 откуда а — —, Ь= , с X , J 3 ’ 12 * 24 * 16 Следовательно, Г -у *. ~2._ dx = f — х* — х —\ Ух* 4- х 4* 1 — J Ух* + х+ 1 \ 3 12 24 у —— С — =(—дс»——х—LWF+I+T— 16 J ,/;—гг*—г~ 'з 12 24> К (ж + т) +т —ln|i: + -i- + VF+7TT| + C. б. Интеграл вида Г 4====- подстановкой (дс—а) =■— J (х — а)* у/ ах* 4- Ьх 4- с / приводится к виду, рассмотренному в предыдущем пункте. Пример 5. Вычислим [ dx :.rr, к к J Xя /х*4-1 Решение. Положим тогда dx =—и для f>0 имеем f dx Р /а dt _ р t'dt _ *']/ х + т -_ГЩ^.‘лв_ГуР+Тл+Г J K<* + 1 J J /1 + <• 312
_ </! + <* 2 = ~< -Ч-ylnW +VI +<al + C, *“-jk в. Рассмотрим вычисление интеграла dx. J /ах* -h bx + с (x1 -f px -f ?)m Предположим вначале, что ax2+ЬдН-с«. a (x2+/>*+g). Тогда Г Mx + N dr C {M^ + NJdx J (х' + рх + я)тУам* + Ьх + с J (x* + px + <7)m+1/2 ' Поскольку Afx* + (2x + p) + ^-^L, TO f Д*1* ^1 dr=zC Г ^ (** P* 4- 9) J <** + px + ?)m+,/2 1 J (** + ps + 4)m+1/J + B.J (** + >* + <?)m+1 /2 ’ Первый из полученных интегралов табличный. Для вычисления интеграла ^ г_^пГ+ Г/а применяется подстановка Абеля: t = (Ух9 -+- px + q) . В общем случае, т. е. если отношение трехчленов ах*+Ъх+с и x*+px+q непостоянно, в интеграле делают замену переменного так, чтобы во вновь полученных трехчленах одновременно исчезли члены с первой степенью. Это достигается, например, с помощью дробно-линейной подстановки х = —, * + I если рф — у и x = t если р~ —. а 2 а В результате получаем интеграл С At + B dL J (/* + Ji)m /6/* + г Для вычисления этого интеграла представим его в виде Г Atdt nf dt ,+ву (t• + Л)"1 Vbt» + r J (<* + Mm /6<* + r 213
К первому из этих интегралов применяем подстановку и = Y Ы* 4 т а ко второму—подстановку v = (УЪ^+г)'. Пример 6. Вычислим [ ---■ - # J/(**4*4 2)‘ Решение. Полагаем / = (Ух* + х + 2) = - ,2д+ 1 , 2 /л* + * + 2 ’ тогда 4/* (ж* + х + 2) = Ах* + Ах + 1 =4 (х* + * + 2) — 7, откуда х» + х + 2 = -~— . 4/* —4 Дифференцируя равенство <Улг+7Т2==х+ -j-, имеем /I/ 1/га + г + 9 -(- -<.2х-.+-Ч.-^5- = dr V + 2]/i*+~+2 откуда dt KFTTT2 + t* dx = dx. Итак, dx df /x* 4 * 4 ^ 1 —/* ’ поэтому Jdx __ r dx (х‘ + дс + 2)5/3 “J /F+" x + 2 (*‘ + jt + 2)« J 1 - /* 49 49 J v 1 49 \ 3 / = 16 Г 2x4 1 I 2x-fl \»1 r 49 I 2/x* + x + 2 24 \/x*+*4-2/ J Пример 7. Вычислим f (x + 2) dx__ F F J U*4i)/x*42 Решение. Имеем f x4-2 dr=( — u f — J (x*4- 1) J (х*4 1)К^Т2 J (j*+1)/* + 2
xdx 1^ f du С 2z dz J (x*-H) /^+2 2 J (a4-l)K^T2 ~T J (Zi — 1) z — — Г dz — 1 J 2*—1 ~ 2 In 2 z+l| 2 I /ж* +2 + 1 f* 2dx Для вычисления интеграла . \ - положим J (д«+1)/х*+2 / = (VF+2)' = -rJ=. V ' /**+2 Тогда t* — —-—, т. e. *• + 2 2/» 1— P , tVx' + 2=x, x/ dx . dx dt /**"+2 * /F+"2 1 — <* ■ Следовательно, 2dx (* 2d/ 1 f 2d< Г 2dU f 2di J (*»+l)/?+2 J 1- t* 2 <» J 1 +/• 1—/> + = 2 arctg / + С = 2 arctg —7=== + С Vx* + 2— l /** + 2+1 + f x +-f- — dx = — In J (*»+ l)/** + 2 2 + 2 arctg ■■■ * + C. \Л?Тъ P dx Замечание. Интеграл j j «^ i) у t.j,2 Ha пР°межУтке {x < 0) заменой u = приводится к виду J ^ ^ ■. Пример 8. Вычислим Г - ** ———>-х--»■ dx. Р J (*»+1) Л*+1 1 _1_ 7 Решение. Выделяя из дроби ■■■ правильную часть, имеем JC*4-X» + 4X-7==JC+1 + Зх — 8 х* + I х* 4- I 215
g Разложим дробь в сумму простейших дробей х* + 1 Зх — 8 __ A Вх + С х3 Н- 1 х + 1 х* — х + 1 откуда Зх—8=Л (х2—х+\) + (Вх+С) (х+1). Полагая в этом равен¬ стве х~—\, находим Л=— 11/3. Из равенства А+В=0 и Л+С=»—8 в п 11 ^ 13 находим Л = — В= , С = . 3 3 Следовательно, С ^ + х» + 4*-7 rfr |> х+1 ^ С 3 3 (**+1)/**+1 J./x*+l J <Х + 1) У**+ 1 + — Г 1!* - j* dx- 3 J (х*-х + 1) Кх»+1 jdx = V*Tl + in\x + yF+i\ + с. Для x + 1 > 0 имеем dx П_ Г dx = И_ Г з j(x+DKjin- з J '*+l1' V'-rh+i _ И С Ли 3 J /1 — 2о + 2а> ~ 11/0 О +с. • 11 ,1 1 , , г. -==- In h 1/ 1 1К2 x+l 2 V 3К2 |x+l 2 V x+l (x+l)* Таким образом, J ■b-V^n-H"l« + V^ni + I + -7^ In 3/2 x+l +1/-*±l. +±[—IU-13 V (X+l)* 3 J (x*-* + 1) Vx*+ > -V*-+l + ln|x+^+l| + ^ilfln| ^-| + / £ +1 (x+l)» 2 * + 1 4 ,1 y-6(,4-l)+l^(, + l) I , „ 3 6 V (.-1)* *3 I Vee> + i)-/2<* + i) 1 Вычисление последнего интеграла разобрано в следующем при- Р0‘ г - Пример 9. Вычислим \ ——dx. F J (rf-x+i) l/x*+l мере. 216
Решение. Так как отношение трехчленов х2—дг+1 и хЧ-1 — erf Р <-р не константа, полагаем х = ■ • Тогда х*—х+\ - a't% + 2g/p + ра~ (а/ + Р) (/ + 1 } + '* + 2/ + 1 (* + !)■ Приравнивая к нулю коэффициент при t в числителе полученной дроби, имеем соотношение между аир: 2ар-а-р+2 = 0. Поскольку х% , J _ аа<« + 2а/Е + Ра + /« + 2/+1 <*+1)в то, приравнивая к нулю коэффициент при t в числителе этой дро¬ би, получаем еще одно соотношение между а и р: 2аР+2=0. Из системы | 2ар— а— р -j- 2 =0, I 2ар + 2=0 находим —а=р=—1. Следовательно, в данном интеграле надо сделать замену х = . Тогда имеем *+ 1 </ + !)** it + W поэтому . I 1 о — 2< — 24 . 2 .. 11*— 13= , dx -at, < + i (<+1)* -13 о./ггГV+U)dt f lu~1;. .dx=-2V2[—V± J (**-* + 1) у X* + 1 J (/* + 3) V t* +1 Далее, имеем Г Ш f d / <» -j- 1 _ I* du __ J (/*+3) / <*+1 ) <* + 3 J “* + 2 — arctg —+ С=—^ arctg 1—I- C. V 2 /2 V 2 /2 Для вычисления f ^ сделаем подстановку z = (V<* f 1)'- J (f* -H 3> V i* + 1 Имеем -Ji—=. dt . /* + 3= 3_2z> 1 — 2» /F+T' 1—2* ' 217
dt <<* + 3)K<*+i = f — = !— In J 3-2 г* 2/6 1 In /3<» + 3 + /2 t 2/6 Следовательно, llx— 13 / 3(* +3 — /2 t 2/6 + c. /3 + */2 /3- «/Г +c= — dx = —2 arctg ^ 1 (** — x+ l)Vx*+ 1 /2 — 4/3 In <+ 1 у 3/» + 3 + /2 t V w + з — /I < +C, где t = i —x ЗАДАЧИ Вычислить следующие интегралы: 23b J 233. £ 235. J 237. J 239. f M 243. | 245. J 247. J. 249. j x* + 2 /** + * + 1 x*dx dx< /l — X» ' &±*dx. x* + 2 x4 —5x3-f 6x—7 / x* + 2x + 3 • dx x — / x3 — x—2 x* — 1 232. Г J **/*• 234. J + 4 dx 236. dx. f is J (x* + x)3/l • J (x>_ 1)^x1 — 2*— 1 238. I **+ 1 - dr x /1 + 3x> + x« x* + 3x + 1 (x» + 2x — 1)5/2 dx. 240. j* (x -f 1) Ух1 + 4x + 1 dx. x—1 dx. 242. 244. j (jc*+ 1)V3 — x* dx. i- dx Ух + 3/7 dx / * (*+i)* dx / <* + 1)*. (X- 1)» dx /2х — 1 — у 2x— 1 2« I/ttt 248. Г - . J (x-l)3/x 250. f di J (3 — *) /1-* 218
251 . [хл[-i±i-dx. 252. f L±lf d*. J У *-3 J (3/I-^r)4/F } а. ЗАДАЧИ НА РАЗЛИЧНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Применяя различные методы, найти следующие интегралы: 253. Г - . 254. Г—. х+ 1 -dx J X In X — X J / I’lni-fJ1 255. f dX ш . 256. f X'dX ■ J (a*-x*)3/a J ^a‘ + x» f — . 258. Г—— a J *U + 6 J x*(l-x) 259. 261. f — . 260. f — J (1 + *)’ (2 + x)* J (1 +«)> (I — де)« f - dx. 262. Г -£l= J V\+* J (X-l)'V X» 281. -t- x+ 1 263. 264. [^-dx. J sin*x J sinx 265. f sin>-- dx. 266. Г x2 cos xdx. J COS4 X J 267. f ——dx. 268. f—— dx. J sin*x J sin4; X 269. f jc In—-—dx. 270. f — J \ + * J (x+l)(l+x*)» 271. f — . 272. f J (H-x»)*(2 + x*)« J 273. f — . 274. f J sin*x— 5sinx4-6 J 275. f sin2jcdx. 276. Г J sin4 x — cos4 x J dx 2 4- sin x 4- cos x cos x dx cos* x — 3 cos x 4- 2 dx sin x • sin 2x 277. f 2?8 f * arcctg * dx. J sin* x J 279. ^ x% arcsin xdx. 280. j x3 arctg* x dx. [■■‘%~dx. 282. J «" + 4 J Y е%хл 219
283. 285. 287. 289. 291. 293. 295. 297. 299. 301. 303. 305. 307. 308. 309. 311. 313. Xе (1 -Ь ха) 2 dx. dx sin5 x cos* x dx sin* x cos* x С dx j Зх 4- 2 dx. V 3x* — 6x -f 13 V'x — 3 \r x Vx (3/JJ + 4.3/7)J dx (x— l)(x — 2)(x - 3x* 4- x — 2 dx. (X — 1)3 (X» -4 1) ■ 3)(x 4) dx. Г 2x3 — 1 J (2x4- 1 )5 dx <**-l)*' dx dx. xs (x24- 1)B xVfx Xе -4- 1 x*dx (xM-1)* I К/ J Г I x -f 1 dx + 1 У 284. 286. 288. 290. 292. 294. 296. 298. 300. 302. 304. 306. л j i j j г f i $ i dx. 3/- л4/- /х + 2 /х /х (/х 4- ^/х)2 5х — 1 dv. dx. V3 —4х2 + 8х dx 2 sin х -}- 3cosx 4- 5 4 \f х f ^x2 v*bW7W)' dx dx. (x — 1) / 4x* - lOx 4- 7 x«+ I 1 dr. 1 4 x4 xa + x — 1 dx. dx. xa 4- 4 (x-‘2)< 2x3 -- 1 *(x3 f 1) x(l 4- 2x2) 1 -r *4 dx xs (xJ — 4) dx. dx. (x+ 1) /Зх*4-4х ’ dx (2 sin x — 3 cos x — 5)? dx yx* (yx 4- \/x ) X f I 310 dx. 312. f — J si xdx 3i + 2) / *a — 4x + 3 cos4 x dx 314. sin x (cos5 x 4- sin5 x) 1 JxB — (2x«- D* dx. 220
315. 317. 319. 321. 323. 325. 327. 329. 331. 333. 335. 337. 339. 341. 343. 345. 347. 349. (x*-l)dx (*• + ,+ !)» J* dx JTm l)*V2 — xa j x4 Vl 4-*1 dx. S arcsin 1 / —-— V x+\ dx. JC*— 1 ^ x Y ** — i J tge x dx. J ctg3*^*. dx. COS4 X sinx 3/- — djc. Пт^х —2^x) (•* + 4 y?)* dx dx. (x* + 3x 4- 2) / 3 — 4x + X* dx sin x -f- tg x dx s s f- J- sin x + ctg x сод x dx cos8 x -f sin3 x dx (*« + 3)6/2 ' xdx x3 4- 1 dx х» (1 4-x8) dJC. (I 4-**)8 316. 318. 320. 322. 324. 326. 328. 330. 332. 334. 336. 338. 340. 342. 344. 1 346. 348. 350. * + 2 (x«-1)/ 1 + x* dx dx. (x4— l)/l—X* ' dx X* • V I — I* ' xbdx 2 —x2—jc* * dx sinx cos8 x dx sin4 x cos2 x sin* x cos* x dx sin4 x cos4 x ^T+r г (*+|)(4-?/ x+l ) cos x dx sin x — 5 cos x dx dx. COS X 4- tg X dx COS X 4- ctg X f_^±3l±j_dx J sinb x dx cos x (cos3 x 4- sin3 x) dx x(/3 e-b/i* • x*4- 1 x* — Sx4 — 5x* 4* 1 dx -oa) dx ХаФ 0) *(! + *«)» x* (*«_!)» dx. 221
351. j In (—x 4 /1 4 x2) dx. 353. j (arccos x)2 dx. 355. I— X—— arcsin xdx. J /1-** 357. j dx. (sin3 * -J- cos3 *)* 359. Г *L J 3 ctg x 4 3 ctg * 4 2 sin x 2 si na x -f- cos2 x 361. \ . т.— -. dx. sin x -}- cosx 363. dx (x + l)*/xa — 2x ' 365. 367 Vx*+K + I dx. Г dx ■ J (*» + * +1)7/2' 369. f dx. J \-Vx 371. 373. It I dx / Xs (X + l)b dx. 375 /* + 1 ■IV- 1 -x 1 4* dx. 377. Г -' тУ-Л. dx. J i + V*- \—X \ 3/2 379. и 1 +ДС 381. f 1 ~2*_ dx. J (1—3 Ух)г dx. 383. j Vx + 3 dx. 352. | (ex—sin*)*dx. 354. Г e' dx. J (I-*)* cos X dx 356. | 358. Г — J sin*x — sin3 x — cos3 x dx 360. Г j Hi cos*x 2 sin x — cos x -i- 3 3 sin x 4 cos x 4 I dx. 362. Г co>xsinx~^V- dx. J 2 sin x 4- 3cosx 364. C-i^±ri-dx. J / x* 4 2x — 1 366. j x2 Vx2 4 4* d*. 368. dx 2 4/*' 7“ 4/* 372 374. 376 378 4- l)5 Da dx. ft L-/x dx. у X 4 1 ■Jj/l J 2 —x djc. xdx 380. Г J у ж — dx V *4-2 4/ x 4- 3 dx 382. 1 / (ж—I)8 (*+-1) 3 / 384. -——— dx. Ух 222
dx 385. f J xV~ 387. £ 386. VT+T V ДС+ 1 +2 s X — I dx. 389. (x+l)«-K x+1 Г __ (sinx —cosx) dx J (sir 388. ь /*+1 +3/(1+*)* dx dx. / (*-2)* <*+!)* (sinjc + cosx) / sinxcosx + sin*xcos*x 390. f — J si 39.. j dx sin*x + cos8x dx COS3 X -j-COS X--|/ sin X COS X 393. [~'Z (X + 2) dx. J (* + 3)* 395. j" x|x—11 dx. 397. J min(l/x , 2)dx. 399. J max (4—x1, 2) dx. ОТВЕТЫ* 392. 394. COS4 X ■ dx. xsinx-f- cosx dx. 396. J |1— 4x»|dx. 398. ^max(|x|, 4)d.r. 400. Jmin{5—xa, 1, x2} dx. 12 1. 4x—8jc3/24 xa. 2. —дс5/4Н jc i2 . 3. 1-2 In|jc| -f x, 2 5 13 x 11 4. ln|x| —. 5. — -i- +31n|x| + 3x + —. 6. — x + x 2x* x 2 + — In 1 1 + * 1. 7. — x -I —arctg—-—. 8. 2 I1-x| /3 V3 — arctgx. 9. — In 1 4 4 J+l 1 8/3 In X-/J X+V3 i-arctgx. 10. arctgx — 11. 2arctgx + In | x|. 12. arcsinx + In | x +Vl +x2 |. 13. In | x+ + V x> — 1 I — In I X + v x* -H 1 14. —— arctg Y-t* 15. 2/21 In /3 x—Vl /3 x+ Vl . 16. arcsin- /6 *—. 17. —i—ln|l/2x+ /2 /2 25* + У 2x* + 5 |. 18. —ln| V3 JC + Ka**—7 1. 19. in25 + 20. 21. In 10 In 4 2 In 9 \ 9 / In 4 \ 4 / 30* In 30 * В ответах этого раздела ради краткости произвольная аддитивная по¬ стоянная С опущена. 223
3Jt \ 2 2 П 1 sin X X 5inx . 1 no 1 22. (—V - . 23. -^- + e‘ + x. 24. —— } f- 2 V 5 / 32 2 in 2 L 3 25. 26. + 27. tgx— ctgx 28. tgдс — 2 2 22 ВБ 4& — ctgx. 29. —x — ctg.v. 30. tgx—x. 31. —cosx + sinx. 4 32. 2shx—3chx. 33. —ihx + x. 34. In \x —1|. 35. -y ln|2x + 3|. 36. In * + 3 38. x + In|l+x|. 39. — x x+2 j 1 1 2 __ JLln| 1 f2x|. 40. &—41. —L (2x f 5)18. 42. — (1 —3x)-*«. 4 11 36 87 i 16 5 /f , лг 15 43. — V 1— 2x . 44. — (1 + 3x 5 ). 45. (1 + 4x) 15 . 3 64 5 46. ± (x~2У + -L (x—2)'. 47. -i-(l - 2x) 2 i-(l - 2x)™. 48. —(*— 2)5/2+ y(* — 2)3/2. 49. -A.(l + 3x)3'2 — (1 + 3jc)'/2. 50. -2xA 2 In| 1 + л |. 51. — Jta + — л: + — In | 2x — 1 I. 2 4 4 8 52. i- (1 — a)11 + 2(1 — *)'» у- (1 —x)\ 53. У хг — 2 — — 4 In | *-f У**—2 |. 54. ~~—(- 2 In|jca — 4|. 55. arcsin x*. 56. 3/rl + 4 — 1п|д:+у^ + 4 |. 57. У*2 — 10 +2\п\х+Ух*— 101. W- 59.- Xs- У 5 58. -p^arcsinx/2 + 2У1 — 2x3- 59.—i-(l — *a)3/2. 60. ^-(1— x*)*. 61. —arctg хг. 62. —- In ^ 6/5 JC34- У 5 . 63. — V34-JC6. 64. l 5 41n4x 65. 2 yinx. 66. In 1 In-v + 31. 67. JLarctg68. — In5'3*. У 2 К 2 5 69. — e'— 21n| <?' —1|. 70. 1п(1+е*). 71.—-g-cos5*. 72. 7|sini-i-jc. 73-т[^с05(а_р)д:~^грс05(а+р)4 74-T[^sin(p~a)*+ + _±_sin(a+P)*]. 75. ^J-±_sin(p_a)x-^-sin(a+P).t]. 76. sin ax — [ —!— sin (2 — a ) x -f —— sin (a 4- 2) x 2a 4 j 2 —a n j-2 224
— icp1 3)-C0S(P—^x* ^-cosjc2. 79. 2sinVjc . 80. ln| 1-f sinx|. 81. — — sin2;c. 82. — + — sin2jc. 83. — jc—cos2jc 4-— sin 2jc. 2 4 2 4 2 4 84. sine*. 85. --In 2У2 88. — in I tg — 3 2 89. I 86. — ctg 7x. 87. — tg8jc. У2 — sinx j 7 8 ,n I tg ( ~ 4- —- ) |. 90. — In | cos jc |. 91. In|sinjc|. 92. tg —. 93. —L^lnl tg /— 4- —) I. 94. — ! . 1 2 >/2 I \ 2 8/1 2(x+sinjc)* 95. —^-Vl —4sin2 jc . 96.—ln|cos jc-f Vl-f cosax |. 97. ln| 1 + tgлг|. 98. —ctg jc -h In 11 4- ctg jc |. 99. — arcsin-^Д-. 100. — arcctg2 3x. 2 f 3 6 101. — In (1 -f 4jc2) -f — arctg3/22x. 102. — (arcsin2jc 4- arccosaJc). 8 3 2 103. — V 1—4x2 4-— arcsin4 2jc. 104. —V1—*2 —— arccos572 jc. 4 8 5 105. — sh2jc — ch2jc. 106. —2cth2jc. 107. —xcos.* 4- sinjc. 2 2 108. h — jcsin2jc 4- — cos 2x. 109. — sin x —— jccosjc — sin3jc4- 4 4 8 4 4 36 1 x% 4- -^-xcos3jc. 110. jc tg jc 4-1 n | cos л: |. 111. - jcctgjc4-lnjsinjc|. 112. —- In | tg ^ ~y -1- ) | . 113. jc In2 jc — 2 jc lnjc 4- 2jc. COS X 114. —— —. 115.—ln(l+x)—~ + — -x + J_|n(l+x). x X 3 9 6 3 3 7 116.— Inf 1 + —\ + —x —In II + x |. 117. — arctgx- 2 \ x I 2 2 1 2 b 2(1+**) tl8.-j-Y2—x* + arcsin119.-^-У*г+3 + -|-1п|х + Уха +3 |. 120. xarctgx—— In (1+x2). 121. xarccosx—\r\—x2. 122. — arctgx— 2 3 — x2 4-— In (1 4- JC2). 123. -^-arcsinjc — arcsin jc 4- — V 1 —Jca. 6 6 2 4 4 124. 2xarctgx— ln(l+x2)H—arctg*x. 125. °sin ft* eix 126. ^- + -ЛС05(21пх) + 2ж5!п(21пх) . 127. tgx- lncos.v 4- tgx — x. 2 10 6 128. arccos — — . Vx2— 1 signx. 129. 3 sin 2* , sin4jc r „ . _.e . —JC 1 . 2 x 2 ° 8 4 32 225
130. х 16 sin4x sin32x 64 4- sin 4*. 132. 64 + ^. 134 48 sin3x . 131. sin5x — x 4- — sin 2x — sin3 2x 4- 16 4 48 133. -COSX -f COS3Jt COS'1 X f 5 sinx , lil л. / x n In tg [ L2 cos2 x 2 I \ 2 4 136. — — ctg3jc. 3 s 137. sin3x 138. — sin,t 4- In l 135. J- tg4*. «(f +V)i' — 3 In | sin* | +— sin2x — sin4*. 139. -Mn- — 2sinax 2 4 4cos4x 4- + т-57+т,пМт +t)|- ho- ctg^- g-ctg5*. 141. — ctg3*-|-ctgx 4-x. 142. sin-—• 3 6 6 2 cos2 x 1 In 143. 1 4-- 3cos3x COSX cos x , 5 i In 2 sin2 x 2 tg“ 2 144. 4i+ ctg4* . ,3/2 + f)| 4-— ctg2x+ln|sinjc |. 145. — ctg x+2 tg *4--——. 146. )- 2 3 4 xV*T* — — In | * 4- V&Tx* |. 147. —- (a2 — A'2)3/2 4- 8 a2 + ^Lxj/xг 8 8 a4 arcsin—. 148. x (x* — a2) 3/2 — —ln| ж + Vx2 — a2 |. 8 149. 4- 2 (a* 4- x2) V\+Z?-\ 3a . x — arctg — 2 a у a 153. In 155. — In 7 /l+«‘ + 1 151. 154. 2 —X5 X -J хУх2—a2 — 4 8 — arcsin —. 150. x 4- a- V a2 -j- x2 12 152. — (ex з 4 l)3/2. z* 324. ■= у l +Vx | + arctg z, z =i/l + x1. 156. — 2 У (x~3/i +1)*. l 4 + 3** 157. 6 (у/x—arctg yf x ). 158. !— yr 8 *(2 + *3)2/3 159. In 5 X 5^ •Vx ■У* In 5 j. 160. 2(3x—6)cosVx +2{xVx—6yx)sinVx. 161. ln(^+x+3) 1L-arctg-X-±J-. 162. i-ln|jc*—2дс—3| — I'll К11 2 1 -JLinl *+i . 163. — 3Уа-2+л:+1+— In x + — + Vx2+x+l\. 2 2 I 164. — 4Kl+*—*a —9arcsin 2*~* . 165. —V 1 — In л:—lna jc + У 5 + — arcsin21"*-^-1. 166. Уегх+ех+1 +— In(ех+—+Уегх+ех +1V 2 Yb 2 \ 2 ) 226
167. arcsin—* +2 . 168. — In(e*x + 2e' + 4) ^arctg -fJ-. V 6 2 ! УЗ /3 160. U-ln X In 172 /6 l-x + y/2+2x —+1ftr*—-e-'-f-- 12 V 6 6 2 — x + /4x* — 10x+7 170. i=-X /2 1+x 171. — In X — 1 9 '+f+ _L(jt«+x + 1)3/2 + -^-(x + -i-) Vxa + x+l +-J-ln + T/x4+x+l . 173. (1 + x — xJ)3/2—i-^x 1 + *—x* — arcsin 16 175. 176. X In 2* -Л. 174. — In| — 1—x*+x*| H—-— In /5 4 ' 4/5 - VTTxrT~xr + — In I x*+ —+ V 1 + X* + x« 2 4 2 2x*—1—/5 2x*—1+/5 — In | x4 — Xa + 5 | + 4 2 + x* 1 , 2x*—1 1 ^ —7=r arctg —7=— . 177. x 2 V 19 /19 2 2x2 — lnl . 178. J/jc2 4- 3jc 4- 1 + —In 2 X+T + 2 + 3x + 2 / хг + Зх- 1 + — x*Vl + x« + — ln|x* +1/1 +X4 |. 180. — sinxVcos2x + 4 4 2 4- arcsin (K2 sin x). 181. —cos jc 1/cos 2jc In J1/2 cosjc4- 2 sin x — 1 4-Vcos2jc|. 182. arcsin-^ -/2 (1 — sin x) 183. — In 2 x(x 4- 2) (x+1)* 184. . 185. ! arctgx . x 2 2(1+x*) 1+x £ + J_ln|^±I 2(1—хг) 4 I x—1 186. arctgx -L- arctg -•* . 187. — In >/2 /Т 4 188. —In.iI±ii!_ + _L_ arctg189. —^ In 6 l—х+хг Yi У з 41/2 l + arctg i. 2/2 x]/2 191. - *+I 190. 1 4/2 • In x* + x+l / 3 2 . 2x + I ^arctg Y 3 | — у arctgx. хЗ+х/2+l x»—xl/2"+l ■s-( хг+х 1/2+1 192. i“ + T + x—2 193. + 10tn|z|— i(fe +z = 2ln|jZT|- 194> -farctgx3—Lln(l+x*). 195.-1-.-^ + ‘ -*-*-±1-1. 197.arctg x* + x+\ I У 7 6 x/7 I 4-X8 196. — In 2 227
198. 2/3 -In ——ii^L+i. I jag. arctg x + — arctg x3. 200. -—|- x. + x/3+l| 3 3** + —arctg—. 201. — In(1 +x«) + - ■— 3 6 Jt» 4 '4 l+*« 202. L. _L_ + 6 x»+ 1 1 1 1 3tgT + 1 — . 203. -7=^ arctg ^ 12 (*•+!)* /2 6 2/2 204. t=-X 2 V 6 X In /2 tg-|--K3 /2 tg-|- + /3 205. 2 4,вТ+' 2 arctg 2 /зГ /31 206. x + + -j^=-arctg(/3 ‘g-f-)- 207‘ ”2”ln 1 2ctgx — 1 •' 208, “pT" X X arctg(y2Ttgx). 209. -y=-arctg 21°- 4"tgi—,n|1 + + <g- 1 + l8T 211. lnI ГС-5*-1 I. 212. cos x — 2 X 2tg——1 d 9 — arctg —— + /3 /3 + tg^+n/4j. 213. —-5=-arctg^1/2 tg -£-J+_L-arctg (y3 tg-|-). 214. —Ц ln |^2 + sln2x 2/2 I /2 — sin 2x 215. arctg(2sin2x—1). 216. —ln| sin jc -f- 4 -I-cosx | — cos2x ~sin2x. 217. — ln | sinx + cosx | + — x. 8 8 2 2 218. —x — In|sinx + cosx|. 219. -^-x — ln|2sinx + 3cosx|. 2 2 13 13 sin* 2x sin‘J2x' 220. ln(l+sin*x). 221. 2x ^ arctg (Д^Л. 222. —ln-^ ’ /2 W 2 ) 2 2-sin» 223. cosje + -^- sinx 1-=- In 10 10 10 V10 3 tg — 1 — /10 3 tg — -1 + /10 224. x — ~yrarctg(ff)- 225‘ -arcte(cos2*)■ 226- arctg ('yf"')- 227. —ln(4-ftg2x) — ctg2x — In I tgx|. 228. — x + — ln|2sinx+ 32 8 16 5 5 -h cosx -|- 2 | ln 5 *gf+i ‘6т+з 229. 1 13 2 cos x — 3sin* 228
13/13 !=- In 21 !=-in 5 V 5 2tg -£- + 3~/Т3 2lg-^- + 3 + /l3 2 tg +1 — Кб" 2ig-|- + l+/5' 230. — cos x + — sin x + 5 5 231. 2x— 3 V*2 + X+ 1 + 232. — 1 /x« + 4 + -11 In I X +-L + V ** + X + 1 8 I 2 233. — — yi—xa 5. * j^TZ^T + _L arcsinjc. 234. -^=- X 4 Я fi V 9 arctg yli^L . 236. In | x + Vx* -1-5 | + "у/arctg ^ X Ул*+б)‘ 236. 4*+ 2 /**+7 xVx» + 2x + 3 f-ln|x + 1 + Vx* + 2x+3 |. 238. +- In | x— 1 -f Vx*—2x—1 l + ^U In V 2 V 2 l=- X X arcsin V 2 * — 1 x+l 1 + - + 1 x+l (*+1)» . 239. X—21n|x+2|+l/xs—x—2 — _ JL in I x +Ух*—х—2 2 2 — 2 In — — + x + 2 8 - + — . 240. — (xJ 4- 4x + 1)3/* (x + 2)« 4 (» + 2) 4 3 _ (x + 2)/x» + 4x+l +J_ln|x+2+yJ(1+4x+1|. 241.-yln|x»+ 1-+4-+1/ 4-+4-+11* r* 2 у x* x* I —arctg -£=. 243. —5-(x*+2x—1)_3/2— 2 6 УЗ-х» 3 + — +l/x* + 3x*+l + _lh 242. J_ In 4 /3 — x* — 2 УЗ — x» + 2 x+ 1 (x+l)» 4 /х» + 2х—1 12(/xa + 2x — 1 )3' 244. 6|/x — 3 y^x + + 2 Vx —61п(1+^х). 245. -Lln--t/ + <1 v r ’ 2 (! — <)’ ■ 1/3 arctg 2t^~ /-1/—. 246. -Lln.rt?+» + 2 arctg J/ x+l 3 (t — 1)* /3 /3 <‘—1 t = v/I+L. 247. J-(3x-5) v/-£±J-. 248. —L 1п*±^±£ + V x — 1 16 'V (*—l)4 2 (! — <)* 229
+ 1/3 arctg t=Vx. 249. (l+y'iU— 1 )»+ln(>/2x— 1 — l)s. 250. —1/2“arctg - ^ 1 ^1 . 251. 2—■■■ Ух'—x—6 + — In x — /2 * 8 — Y+VxJ—x—6 I +3 Vx*— x— 6. 252. 12('^T+21nrV*-l|- — InV/x). 253. ln|lnx—II. 254. 2yinx+x. 255. — ■ — a* у a* — x* 256. — Уа* + х1 — — lnlx fl/V+x1 I. 257. —x — ln(e*‘+6). 2 2 ' 1 6 12 258. —x ^ 21n|x — 1| + ln|x|. 259. — 1 4 x 1 + x 2 4- x — 4 In 14-* 2 4- ж 260 3 (x— 1) x_4l (x-1)* 16(x+l) 16 (x — 1) 32 (x 4- 1)* + J-ln| -i±L I 261. — u~s — u~s + a-1, a = - 16 | x— l Г 5 3 ’ V l + x* ‘ 262. —L У.Ш+1 + -1- ln| -J- +1+ ' < *?±2L±j_ I 3 x — 1 2/3 I x—1 2 1/3 x—1 263. £2i£-4--L]n 2 sin* x 2 tg~ • 264. — cos1 x+In| sinx|. 265. — tgsx. 266. x2sinx 4- 2x cos x — 2sinx. 267. — x ctg x + In | sinx |. 268. — ( — *c-tg-x.- ! 2xctgx + 21n|sinx|l 269. —ln^- + 3 I. sin*x 2 sin*x b 1 '/ 2 1+x* + — x* — In (1 +x*). 270. —( 1 + In—* * 11 -f 2 arctg xY 4 2 4 ; 4 \1 +** / 1 +х» & I rt-1 x 3..1 x ,9 i.x 271. — . arctgx H h —t=~ arctg —rr=- . 2 l+x* 2 & 4 x*4-2 4/2 /2 tg-f + l , 3 tg -|- — 1 272. /2 arctg y=—. 273. ^ arctg + + warctg —“w—•274- ) “ ct2 f- 275. — In I cos 2xJ. 276. - — In | 1. 277. —cosx — 2 * 2 sinx 4 | tinx -f 1 I — In tg—I C--s-X- . 278. — 4- *^arcctgx. 279. —arcsinx4- 2 2 I 2 sin* x 2 2 & 3 _j_ 2 + xg j — x2 280. —x4arctg,x—— arctg* x~— (x3— 3x)arctg x4* 9 4 4 6 + — — In(1 + x*). 281. —arctg—. 282. —In 12 3 4 2 2 y\ 4_ e2x 4. i 1 1 cosx 283. У 1 +xa 4- -7==. 284. — i—. 285. у 14-x* sinx 3sin3x cosx 2sin*x 230
-£2i£ L_i2i£_ _|—ILjnltg— I. 286. + 121-^- + 4.ln*x 8 «In** 8 | 6 2 | !/r ... \*/х + V7+1 Wx+l + arctg y'x V 287. — -^LL+—In Itg—I. 288. --]/ 3—4x*+8x+ ) «»* 2sln*x 2 Г 2| 4 + 2arcsin-^^. 289. 12 3< + -i-In U — 11 +-j-In |*+ 2 I + ]. ,-?r. » 3(* + 2) 13 3 291. 1/3*» — 6jc + 13 + In x*— 1 + У x* — 2x + 292. _i! !_ + (^) _jo^ J5 /(1^ 8 (2<»+l)* 4 6 ' ' 1+2/» 2 (1 + 2<*)* t = '{/Г. 293. —-3- _ — arctg * . t = <* + 4 8 2 4 (<* + 4) 294. -In I ,2-x + t/4x»-10x+7_ I _LIn|£^i I *-i I e !*-i j 5Г ’x —3 i л 2 >x-2 296. —In 1 X_1 3 I Jt+1 + 4-In4- *+■ . 297. - 6 ** + x+l * 2(x—1)* 2(x-l) —f-ln|x-l|+-Lin(l+x*)-arctgx. 298. + In-^L- — arctg x. 299. - — (2x +1)~‘ + — (2x + l)“a l- (2x + 1)~J + 8 16 8 + -i-(2x-l)-«. 300. 1 2 32 ' x —2 (* — 2)» 3 (* — 2)» SOI. —i- (x-1)-’ +.-L- (X + 1)-» + (x-1)-> + -1- (x + ,l)-> + + -Lln|-^1I 302. 1п|1±£| 303. In—-—. 16 | x+l I | * | 2 x% (x1 +1) 1+x* 304.-i-arctgx* + ^-ln(l +*•). 305. ^ arctg In 307. x + — arctgx. 2 (x* + 1) 2 6 306. -±- + -±- In 1 x'~4 8x* 32 m. +«+3i„| 1=11. < *»• ^ . 1 / x — 3 5 i — 1 310. - 2 arcsin / . 311. 7= arctg —7=— X — 2 V *-1 I - 1 24 Уз **’ Уз t z = tg—. 312. -Lln|-lg-x I. 313. 21n#±-1)-+ 24 **.—2*+4 * 2 5 |l + tg‘x| /* — <+1 231 1 z+ 5
314. -In ( 12 . 2t — 1 , 12>- + ТГ“гс‘8"7Г''=/* 315 -1/3 l ~yj sin4/ + — cos*t— sin 21, l=arctg^=. •" 9 9 /3 /2 x— 1 8 /2j “ | K2 ж + 1 + J__L_ 4 2x* — I 18 316. — 2/2 In 3T + ^+ V (« - 1)» 4- x — 1 + WTln -4- /—! 1 V (x + 1)* X + 317. -(t- X 4- 1 2 r (x 4- I)* 4- 4--^-w 4--~-j Vй*—2u— 1 ^-ln|a —1 4-]/иа—2ы— 1 |t u — ■ 318. - 2 y—x *—arctg x 2/2 /1 — x* 319 x* + + ^-xs—_L ЛУТ+^+-LinU + yi+xa|. 320. 24 16 J 16 VWi (1 — xa)3/2 3x8 321. z tga z—tgz+z, z = arcsin •(t /1 —X» 322. -X 9 In|(x3—1)(x24-2)2|. 323. — 1п|х24-)Лс4 — 1 |4—— arcsin . 324. 1 — 2ctgx— ln|ctgx|. 325. 2 cos3 x 4 ctgax tg** In | COS X |. 326. tgx- ctg3x 327. — 329. COS3 X 331. — — 2 (<24-4)2 = yT. 332 -1 4- cosx 4- In I 3 tg t 4 (/*4-4)* 32 t* 4- 4 -In |sinx|. 328. —Ь 330. — 8ctg2x — y ctgs 2x. — arctg—, t = 64 2 6^ — 3In |4 — <* I —.6 In I — 2 < t- 2 . f = ^7TT 333. 2/2 — In 1 (*4- 1)* -—+4" 4- 1 8 1 4“ —7=~ /15 x + 2 15 V (x 4- 2)* 334.—x 4--~ ln|sinx—5cosx|. 335. 8 15 (X 4- 2) ■4-- 15 26 ! -f —in 2(1 f cosx) 2 A X gT 336. 338. /5 1 -In 2 sin x — 1 — /5 2 sinx — 1 4- /5 I 337. 1 / 5 In ■ 4-—lnltg f— 4-— ) 2(1 4-sinx) 2 \ S \ 2 4 ) 2 cos x — 1 — /5 2 cos x — 1 -r /5 339. -L In 6 tg2 X - - tg X 4- 1 x 4- 1 4- + -^arctg2tg* 340. -(x» + 2x —1)~3'2 L /3 /3 3 v 4 /x*+2x-l 232
■' + 3 3 (x» + 3)3/2 2 ■)' 342. -i-Jn; i+Z|+__L_ z = tg»x. 343. ^-(l_VT^5')3/2_ — 2Vl — /1—x* . 344.— arccos — 4 a x /3 L'"( /3 4fl; \ X X 345. —-ln|l + x| +^-lnl x* — x +/1 I* 346- — arctg —— 3 3 ! 8 1 — x: + + — In 16 JC* —2x— 1 xa + 2x— 1 I L In I 1 + X4 I + 347. — 350. —In 16 x—l *+1 — — arctg jc4. 348. In j x j — _J . 349. JU + W.-J-^bx. 4(l+x<) 4(1+ x*)* 4 e arctg x - —-—. 351. i jc ln I — x + 8 4 [X4 — 1 + Vl +*2 J — Vl + x* • 352- — e**j + - sin2x — e'sinx + X — 1 -f e* cos x. 353. x arccos3 x — 2 ]/l —x% arccosx — 2jc. 354. 355. — У \ — x% arcsin [x 4- x. 356. -A- \n (*8*~ — 1 6 tga x 4- tg X -f 1 1 . 358. JLinl ain;x~ ‘-|- 3(tg3x + l) 3 I sin 2x 4- 1 I Uarctg21gx^. 357. V 3 e УЗ — Jn 6 sin2x —2 sin 2x 4- 2 359. — In 5 cos x — 2 2 cos x 4- 1 360. 2 — In|3sinjc4-c0sjc4-l | -|- -g- In 3t6f+ 1 . 361. 2/2 + t) X In — Y (cosx + sinx). 362. -^-sinx ^-cosx+ -7^7=- X _ln tg (— + 2 I B\ 2 15 13 /13 X t6-- 2 V13 3 3 2 3 + Vl3 3 11 1 77= [n 27/3 . 363. —(yu2+~vU+~v)^Зиа—4u + 1 — (t-+ . и = x+1 364. и — + \f иг “ и -f--— 3 К зз + — x + — ) \/ x* 4- 2x — 1 — 2 Jn I X + 1 + Vx'4 + 2x — 1 6 6/ 365. у x* + x + 1 +—In x+ — + У x2 + x+l 2 2 —■ In ■ x3 4- + V-T+T + '' зв6- (т — 10 ln|x4-24-Vx2+ 4x |. 367. — jc2 *4-5] V"jc24-4* — 5 6 J 2x + 1 2 / 2x + 1 233
+Нт)1)- m 2VT-4,n(2+V*). 369. _(]/х-1)*- — 6 УТ— 41n I I — V7\. 370. 6 у'"* + Y x y'x* — — 2 In (1 + y'T) + In (1 + yGT — ) — 2 V"3 arctg 2 — Г 3 >7,-4V-7TT- ™ W.+ ~J7f f-'-K—U.cy^>u.-f<«+i)'»- — — (x + l)s/s + 2 (x + 1)J/J — 2(x + I)'/5. 374. ——x yT + 5 7 + — y^x* + — ¥*- 2 Vx” — 3 V^T +6 y/~x + 3 In | 1 + \Пс I — 5 2 — 6 arctg . 376. arcsin x 4-Vl —*V 376. 1—In I -—-1 — t*— l 4 | / + l I i-arctg f, <=]/ YZT' 377' бу/г" —х+61п|1+у/лГ|. 378 . (x + 2)6/8 + — (x + 2)3/2 + -f- (* + 3)V2 _ 2 (x -f 3)»«. 5 3 5 379. —4]/Г*7^ 3arcsinx—l/l — x*. 380. 6^ + -j- + t + + ln|l—<|). t = V*. 381. (3/»4-4^—lnJS^ — l | ,=vr. 382. m-!L±i±J--2Kr 383. —-In 1 +1 arctg/=1/7. 384.—(1 — з (l — o* V3 7 — 07/* — 3(1 — <)4/3. i=¥*. 385. In I X I 1п(^(х + 1)* + + Vx + 1 + 1) + уз arctg ^ . 386. —— "j/x + 1 — — -£=- arctg V3x + 3 . 387. In f ) - -1_ x 3^ V х + 2+Vx + i j у3 X arctg 2Vx+_} +Л. 388. Ari/'-^T. 389. arcsin ! . 1^3 з \ x+\ 1 -f sin 2x 390. In j tg ^ + -J-) |+ "I" arct2 (sin * ~cos *)• 391. 2 Ktgx — — 2In| 1 +Vtg7|. 392. x (-^- + tgx)+-|-ln|cosx|—— 234
Глава П ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА § 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ПОНЯТИЕ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА Определение. Пусть функция f(x) определена и ограни¬ чена на отрезке [а, Ь]. Конечную совокупность точек {**}Л0 a=xo<jCi<x2<...<*n=6 назовем разбиением отрезка и обозначим через Г. Положим Mk = sup /(*), mk = ini^fix), xk-i^x<xk xk-i<x<xk Тогда л S (f. Г) = (х*—лг*—i) — верхняя сумма Дарбу, к=\ п s (/, Г) = Л mfc(jck— av_i)— нижняя сумма Дарбу, *=1 /(/, [a, ft]) = inf S (Л Г); /(Л [at A])=sups(/, Л- г т Для любой ограниченной функции f на отрезке [а, fr] имеем /(/,[а, 6])<7(f, (я, fc])- Определение. Если 7=/=/, то функция f называется ин¬ тегрируемой в смысле Римана на [а, Ь] и число I называется ол- ь ределенным интегралом от f по [а, 6]. Обозначение: / = J f (х) dx. а Это определение эквивалентно такому: пусть Т — разбиение [а, Ь] я {£*}£_,— совокупность точек таких, что хк-\<£к<хк, k—\t 2,..., п9 тогда f интегрируема на [а, 6], если lim V /(!*)(**—x*_i) (1) существует и не зависит от выбора точек {£ь}£=1 и разбиения Т. Если функция / непрерывна на [а, 6], то она интегрируема на [а, Ь\. 1 Пример 1. Вычислим j sin6xdx. -i _ Решение. Так как функция v/jc2sin6jt непрерывна на [—1, 1], то она интегрируема, т. е. можно найти величину пре- 236
дела (1), выбирая некоторую удобную последовательность раз¬ биений Тя и точек £/, соответствующих данному разбиению Тт. Пусть Тт — совокупность точек xt= l~m. 0<i<2m, m^N. Вы- т берем точки являющиеся серединами отрезка [х*_ь Xi], l<i< <2 mf тогда 2m i и jc» —= —, 1 < i < m. m Следовательно, в силу нечетности функции f имеем», что т Sm = — V(f (I*) + f (gm-*+l)) = 0. т i=1 Условие тах(х/—х^-^О эквивалентно условию тп-+ оо. Итак, 1 \]/х* sin6 xdx = lim Sm = 0. _j m-*-oo Если функция f интегрируема на [a, 6], то по определению $f(x)dx=-\f(x)dx. Ь а Для вычисления определенного интеграла основной является теорема Ньютона — Лейбница: если f непрерывна на [а, Ь] и F первообразная для { на [а, 6], то J/(jt)d* = f(6)-F(e)=/f (*)!». а Пример 2. я 2 С ч л ( • sin3x \ |я/2 2 \ cossxdx= [sinx =—. J l з Ло з о Если функция fug отличаются друг от друга только в ко¬ нечном числе точек, то они одновременно интегрируемы или нет в смысле Римана на [а, Ь], и если интегрируемы, то ff(x)dx = fg(x)dx. а а Поэтому формула Ньютона — Лейбница применима и тогда, ко¬ 237
гда функция f совпадает с непрерывной функцией во всех точках отрезка [a, b]t кроме, быть может, конечного числа точек. Конечная аддитивность определенного интеграла: если / ин¬ тегрируема в смысле Римана на отрезках [а, 6] и [6, с], то / ин¬ тегрируема на [а, с] и Ь с с Критерий интегрируемости Лебега: функция f интегрируема в смысле Римана на [а, Ь] тогда и только тогда, когда f ограничена на [а, 6], и множество Е точек разрыва f на [а, Ь] есть множест¬ во меры нуль, т. е. для любого О>0 существует такая счетная (конечная) система интервалов {(а,, &,)} таких, что Из критерия Лебега, в частности, следует, что ограниченная функция, имеющая конечное число точек разрыва первого рода на [а, 6], интегрируема на [а, Ь]. Для вычисления определенного интеграла такой функции отрезок [а, Ь] разбивается на конечное число отрезков [ак, bh] так, что f для хе(а*, Ьк) совпадает с функ¬ цией, непрерывной на отрезке [a*, bh\ Пример 3. АЯ л 2 П Зл 4л X* |я X9 2jt X2 |3л Jt* Ия 2 2 2 |о 2 л 2 |2л 2 |зл Из формулы Ньютона — Лейбница выводятся следующие фор¬ мулы. 1) Если функции и и v непрерывно дифференцируемы на [a, Ь]9 то ъ ь j udv— и (х) v (х) \ьа— j vdu а а (интегрирование по частям определенного интеграла). Пример 4. оо £<= у (а,.*,). 0 0 Л 2Л Зл
2) Пусть х — непрерывно дифференцируемая функция на [а, р] и f — непрерывна на отрезке [с, d]=x([a9 fi]) ([с, d] — об¬ раз отрезка [а> 0]). Тогда Xf f(x)dx = ^f(x(t))x»(t)dt *(а) а (замена переменного в определенном интеграле). Заметим, что в этом утверждении не предполагается монотонности функции х, более того, не предполагается, что [х(а), *(Р)]=*([а, р]). Пример 5. |д:(3*«-4ж»+ l)dx=^-*+-£J_=l8. С другой стороны, 2 2 6 Г х (Зх4— 4х% + 1) dx = Г (л:3—х) (Зха— 1) dx = | zdz = 18. -I -1 о в Обратите внимание, что замена произведена в интеграле о и функция г=хъ—х непрерывно дифференцируема, но не моно¬ тонна на [—1, 2]. При замене переменного в определенном интеграле в отличие от вычисления первообразной не нужно возвращаться к исход¬ ному аргументу, так как преобразованный интеграл берется по тому отрезку, по которому изменяется новый аргумент. При вычислении неопределенного интеграла иногда делались преобразования подынтегральной функции, тождественные не для всех возможных значений аргумента. В этих случаях для про¬ стоты подразумевалось, что первообразная находится на тех про¬ межутках, на которых необходимое тождество имеет место. При вычислении определенного интеграла первообразная ищется на заданном отрезке, поэтому здесь необходимо следить за тем, чтобы не произвести преобразование, не являющееся тож¬ дественным. 1 Пример 6. Вычислим Г —. Y v J (х—10x+ 13 —1 Решение. Делаем замену ==z, тогда
Так как х<2, то z<0, следовательно, \z\ =—z и 1 -I Г = - С J (Х-2)2 /х- - Юх ; i3 J 6z — 3 z2 -1/3 -1/3 1__ Г (z I l)dz _J_ Г /5.-•! ,/т-- dz f !). -1 уГ-^--<г + »г = l/ 2г—г у/3 У 3 ~,/3 1 . (г-Ы)/3 i—arcsin -I /3 2 -1/3 — 1 I .1 2 | , ■ arcsin —— 1 V 3 /3 -V?)- Отметим некоторые частные случаи замены переменного в оп¬ ределенном интеграле, позволяющие упростить вычисление. а. Если f — четная и непрерывная на [—а, а] функция, то ^f(x)dx = 2^f(x)dx. —а О б. Если f — нечетная функция, непрерывная на [—а, а], то jf(x)dx = — j f (x)\dx и j f (x) dx = 0. —a 0 —a В частности, для любого натурального нечетного к я j* s'\nkxdx = 0. —я в. Если f — периодическая функция с периодом 7, непрерыв¬ ная на [0, Г], то / интегрируема на любом отрезке [а, Ь] и а-гТ ^ / (х) dx = j f (х) dx. В частности, если к — нечетное натуральное число, р — натураль¬ ное число и a — любое действительное число, то а+2рл ai’Jr я Большая часть употребляемых при вычислении неопределен¬ ных интегралов подстановок являются непрерывно дифференци¬ руемыми функциями. Однако, например, универсальная подста¬ 240
новка tg(x/2)=/ уже представляет функцию разрывную, если отрезок интегрирования включает точки вида л(2/г+1), Пример 7. Рассмотрим J dx 3 + cos х о Найдем неопределенный интеграл, полагая f=*tg(*/2). г _d*_ Г Ш _ Г dt _ Ь + cos.-j (i+<t) (34-^f) Ь-h/- = —arctg + С = —^ arctg tg + C. /2 /2 |/2 S K2 Если формально сделать универсальную подстановку tg(x/2)=f в определенном интеграле, то, так как tg0=tgn=0, получим о г * =0> J 2 + /а о с другой стороны, l/(3 + cosx) >1/4, и, следовательно, * >2n- Такая замена сделана неправильно, так как нарушено условие непрерывности функции t=tg(x/2) на [0, 2я]. Функция /?(*) = = —Lr-arctg - " не является первообразной для /= У 2 6 V2 у у 3 + cosJC на [0, 2л], так как F разрывна в точке х=л. Чтобы получить пер¬ вообразную для f на [0, 2л], заметим, что функция YT^(JinL)+С’ »<-«<2я имеет производную, равную / для всех яе[0, я)11(я, 2я]. Функ¬ ция G{x) — первообразная для f на [0, 2я], если она непрерывна- в точке х=тс. Для этого постоянная С должна удовлетворять со¬ отношению Um F <«) - Шп F (л) + С; + С, откуда С=я/У2. Теперь, применяя формулу Ньютона — Лейбница, получаем 241
Более простым и общим является следующий метод вычисления этого интеграла. Функция Л(*) = f(*>--pTarcle “у Пт Г (*)—2 . есть первообразная для 1/(3+cos jc) на отрезке [0, я]. Функция Fr(x) =< F(j:)=TTarctg ■ я<*<2п: lim F(x) =—— х-*л+ 2 у 2 X = Я есть первообразная для 1/(3 + cosjc) на отрезке [л, 2я]. Исполь¬ зуя свойство аддитивности и формулу Ньютона — Лейбница, по¬ лучаем 2 я я ?я f dx — Г ** + Г At J 3 + cosx J 3-j-cosz J 3 -j-cosx = ^1 (Л) — (°) + Fi (2lt) — (Я) = = lim F (x) —F (0) -f F (2я) — lim F (x) -- x-*n— x-+n+ 71 71 71 2)/2 2|/2 Y 2* Этот метод вычисления является примером применения общего утверждения: пусть f непрерывна на [а, Ь] и выражение f(x)dx можно представить в виде g(t(x))dt(x), где функция t непрерыв¬ но дифференцируема на [а, b)t t (а) = а и lim t (х) = + оо, тогда х-+Ь— ь я f/(x)djc= lim Сg{t)dt= lim (G(q)—G(a)), V* Я—►4-00 J (7—► 4-00 a r a ' где G — первообразная для g на луче f>inf t(x)> xe[a, b].
Определение. Пусть f непрерывна на луче х>-р и F(x) — первообразная для / на луче х>>р. Если существует lim U(x)dx= lim (F(q)—F(p)), П. » ■ i-oo J <7—►-4-00 q »■ {-00 J q-*--\-oo p to этот предел обозначается I / (x) dx и называется сходящимся p несобственным интегралом. Полное рассмотрение свойств несобственных интегралов сдела¬ но позже, здесь ограничимся только теми вопросами, которые воз¬ никают при замене переменного в интеграле Римана. Будем счк тать, что первообразную функции f можно найти, поэтому вычи¬ сление предела производится непосредственно. Несобственный +оо р интеграл вида J* g(t)dt и аналогичный интеграл J g(t)dt по- Р - — оо лучаются при замене в интеграле Римана с помощью функции t = t(x), непрерывно дифференцируемой на полуинтервале [а, b) (или (а, b]) и являющейся бесконечно большой определенного знака при х-+Ь— (или Jt-wz-f). Здесь существенно, что особой точкой функции t является именно конец (левый или правый) от¬ резка [а, Ь]. Если особой точкой t(x) (как в разобранном выше примере) является внутренняя точка с интервала (a, b)t то Ь с Ь |f(x)dx разбивается в сумму J/(.r)dx + J /(jc) dx и переход 4 ас к аргументу t делается раздельно в каждом из слагаемых. Пример 8. Вычислим dx 1 -U32 [V 1 4-V' *s) Решение. Применяя метод интегрирования дифференциаль¬ ного бинома, сделаем замену / = \/ 1 4- х~г/ъ. Функция t(x) непре¬ рывно дифференцируема на полуинтервалах [—1/32, 0) и (0, 1]„ точка 0 является особой точкой t(x), причем lim t(x) = —со, lim t (х) = -foo. Х-*0— x-*-0+ Поэтому в соответствии с изложенным выше интеграл вычисля¬ ется следующим образом: 1 о 1 dx Г dx , С dx 243
уч -ут = -5 Г —* 5 Г —-— =5 Г d< - + J (i-<»)« J (i — />)* J y/^7 +a° —ao + 5 T = 5[-L- + -Lln| I- ^ J_ (1~Пг [<>-13 I t*-1 I V* __L„clg _Ш_] \-У’~ + sr_L_ + IЛЛ|_ 3 /3 J l-oo [/*—1 3 I <J— 1 I __Laret62!±JJ|+- _JL{/7_5>/2 + 5ln!±i^_ з V3 i\yj 6 y V 2 _5 +ia,ctg il^ti + -f.rctg Щ=!.. Другим видом несобственного интеграла является интеграл ь j f(x)dx, если функция f не ограничена на [а, 6], но непрерывна а на [a-fe, b] при любом е, 0<г<Ь—а (или на [а, b—е]), т. е. не ограничена в окрестности точки а (точки Ъ). Этот интеграл суще¬ ствует (сходится), если существует lim Г f(x)dx=[f (х) dx = F (b)— lim F (Ьг) *^°+ а+е a **“*в+ (е1 'о+ J f(x)dx = ^f (x).dx) ■ Такого вида интеграл также может получиться при замене пере¬ менного в имтеграле Романа. Пример 9. Вычислим р,/ч. (/ ч \х/У\ — Т/1— х2, хфЪ\ \f(x)dx, если /(*)={ J \У 2, х = 0. Решение. Функция f(x) непрерывна на [0, 1]. После заме¬ ны t =У 1—г1 получаем 0 1 Jtdt Г tdt КТ=7 ~ J /Т^7 ‘ 1 О В последнем интеграле подынтегральная функция t/yi-t не огра- 244
«ичена на [О, 1). Так как первообразная функции //У 1—t на от¬ резке [0, 1—е] при любом е, 0<€<1 равна — (1 —0 — 2 VI —/. 3 то 1 1-е f -тШ=- = lim Г J У I -/ е-лч- J V ' - ' О о = lim (— е3/г —2е1/2 + 2 — —\ =—. е-+0+ \ 3 3/3 Несобственный интеграл может появиться и при интегрирования по частям. 1 Пример 10. Вычислим ^ arcsinxdx. о Решение. Функция arcsinх непрерывно дифференцируема на отрезке [0, 1—е] для любого е>0, но не является такой ка отрезке [0, 1]. Поэтому интегрирование по частям допустимо толь¬ ко на отрезках вида [0, 1—е], е>0. Но так как интеграл J arcsin xdx существует, то о 1 1—8 J arcsin xdx= lim \ arcsin xdx — e-*o+ J о о 1—e = lim I * arcsin* — \ dx) = e-0+ \ 0 J V\ — *a I = lim ((1—e) arcsin (1 —e) + У I — *a|o *) = ——1, ^-►0-f 2 т. e. 1—e lim С arcsin xdx= lim (^(1—e) — F (0)) = F (1)—F( 0), J C-+0-+- где непрерывная функция F (x)=x arcsin x + Vl —*2 — первообраз¬ ная для arcsin x на отрезке [0, 1]. На практике такого рода интегралы можно вычислять без вве¬ дения символа предела, так в нашем случае можно писать
или (поскольку первое слагаемое — непрерывная функция) 1 1 Iarcsin jcdjc = л: arcsin jc I * — Г —т- = 1° J V I-*1 G О = -—/r^]?|i=J5—l. 2 1° 2 § 2. ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ Пусть XOY — декартова система координат на плоскости. Стандартной относительно оси ОХ областью D называется множе¬ ство точек М(х, у), для которых а<х<Ь, ух [х)^у^у2(х), где У\(х) и ij2(х) — непрерывные функции на [а, Ь]. Геометрически это означает, что слева и справа область ограничена отрезками прямых х = а, х=Ь соответствен¬ но (может быть вырождающими¬ ся в точку); график функции У—У\(х) является верхней, а гра¬ фик функции у — у2(х) — ниж¬ ней границей области D (см. рис. 40). Аналогично стандартная отно¬ сительно оси О У область D есть множество точек М(х, у), для которых c*cy<d, хх (у) <x^x2(y)t где Х\(у) и х2(у) — непрерывные функции н?. [с, d]. В этом слу¬ чае область D сверху и снизу ограничена отрезками прямых у = с и y = d, слева и справа — графиками функций х — хх (у) и х = х2(у) соответственно. Рассмотрим частный случай стандартной относительно оси ОХ области D, когда у\(:с)=0, a y = f(x) — верхняя граница. Такую область назовем криволинейной трапецией (см. рис. 41, а). Пусть Т: a = Xo<.X\<x2<L...<.Xi<Xi+\<L...<Xn = b — разбиение отрезка [а, Ь]. 246 а Рис. 41 Ъ
Обозначим mi = min / (x), Mt = max f(jc) , Л П sr =£ m, (xt—xt-ti, ST =£ M, i=l f-1 Тогда sT и ST представляют собой площади фигур, составленных из прямоугольников, основаниями которых являются отрезки Xi], а высотами — соответственно наибольшее и наименьшее зна¬ чения функции y = f(x) на этом отрезке. Первая из этих фигур со¬ держит внутри себя рассматриваемую криволинейную трапецию D, вторая содержится внутри нее (см. рис. 41,6). Естественно требо¬ вать, чтобы площадь SD криволинейной трапеции D удовлетворяла соотношению sT<5p<:ST при любом разбиении Т. Так как функ¬ ция y = f(x) непрерывна на [а, 6], то sup sT = inf ST = f f (*) dx. т т J Определение. Площадью SD криволинейной трапеции D на¬ зывается величина Sq =supsj= inf Sj т т Из определения следует, что ъ Sd = J Уг (*) dx. a Площадь SD стандартной относительно оси OX области D: (D = {(xt у) :a<cx<.b, yx (x) <t/<t/2(^)}) вычисляется по формуле SD=j‘ kW-^W]dx- a Площадь SD стандартной относительно оси OY области D: (D = {(xt .y) *i(|/)<x<:x2 (*/)}) вычисляется по формуле d SD = ^[x2(y) — x1(y)] dy. С Если область D можно разбить на конечное число областей Dlt 1 D = у Df без общих внутренних точек, то SD — пло- i=i k щадь D равна сумме площадей = ^ SD.. 247
Пример 1. Найдем площадь области, ограниченной линиями у=х— 1 и *г = *+ 1. Решение. Данная область является стандартной как отно¬ сительно оси ОХ, а именно так и относительно оси ОУ: £> = {(*, у) :—\<у<2, у2—1 <*<*/ + 1} (см. рис. 42). Площадь SD данной области можно вычислить одним из двух способов: Пример 2. Найдем площадь области, ограниченной кривым» х2-\-2ах—£/2 = 0 и ах—у2 Л- 2а2 = 0, а>0. Решение. Данная область (см. рис. 43) не является стан¬ дартной относительно оси ОХ. Ее можно разбить на три стандарт¬ ные относительно оси ОХ области: Dl = {(x, у): —2а^х^. О, — У2аа + ax^Z y^Z У 2аъ + ах), I>i = {(x, 1/):0<*<а, Ух2 + 2ах<у<У2а2 + ах}, Da = {(*, (/): 0< х ^ а, — 1^2а2 + (/<; —У*2 + 2ах}. Из симметрии области D относительно оси ОХ видно, что ее пло¬ щадь SD есть удвоенная площадь области, являющейся объедине¬ нием двух стандартных относительно оси ОХ областей где з о 3 + ^ (Vx+ 1— х + l)dx = -i-(jc+ I)3'212_, + О 2 -1 D1 = {(xt у): —2a^x^.0t 0^у^У2а2 + ах} 248
Отсюда о а S0 = 2 [ J У2a* + axdx + J (У2а* + ах -Ух* + 2алг) dx] = —2а О = 2 (ах + 2а*)3/* 11* - (-^ j V^T^x\o + + In (х + а + Vx* + 2ax)|“J =2а2 УЗ + а2 In (2 + УЗ). Рис. 42 Относительно оси ОУ данная область является стандартной: D = {(*, у): —аУЗ<у<оУЗ, у*~-2°* <.ysg —а 4-У«/* + а»}. а Снова, используя симметрию области, получаем аУг SD = 2 J ^yy*+~a*-a—-^+2a'jdy = = 2a* У 3 + (у У у* + a* + a* In | у + У у* + а» | — -) = 2а21/3+ a2 In (2 + УЗ). аУ 3 О (Заметим, что при этом способе решения вычисления проще.) Перейдем к вычислению площади области, ограниченной кри¬ вой, заданной параметрически. Пусть область D ограничена непрерывной замкнутой кривой Г:* = *(0, y=y(t), *е[Гв,7\], х(Т0) =х (7\), 4г(Г0)=г/(7\). 249
Рассмотрим подробно простейший случай: отрезок [Го, Т\] делит¬ ся точкой tee (Го, Т\) так, что на каждом из отрезков [Го, т] и [т, Г]] функция х строго монотонна и непрерывно дифференцируе¬ ма. Тогда кривая Г состоит из двух ветвей, каждая из которых есть графпкоднозначной непрерывной функции у=у{(х) н у=уч(х). Предположим еще, что для любого х выполнено соотношение Ух (.*) <у2(х), тогда кривая у — уч{х) есть верхняя, а кривая У = У\(Х) — нижняя граница области D. Если при возрастании t кривая Г проходится так, что область D остается слева (положи¬ тельное направление обхода), то верхняя граница области D про¬ ходится справа налево (значение х убывает), а нижняя граница области D проходится слева направо (значение х возрастает), см. рис. 44. Если SD — площадь области D, то имеем ъ ъ ь Sd = { («/а (*) —У1 W) dx = ^yt (х) dx — j ух (х) dx. а а а Сделав в первом интеграле замену x = x(t)y /^[Г0, т), а во втором х = х (/), t & [т, Тг), получаем, что так как у2 (х (/)) =y(t), t g= [Г0, т) и yl(x(t))=y(t), <€Е [т, 7\), ТО SD = — J у (t) Xt dt — j у (t) Xtdt = — j У (0 x' (t) dt. To t T. Таким же образом получаем, что если отрезок [Г0, Г,] делит¬ ся точкой те (Г0, Ti) так, что на каждом из отрезков [Г0, т] и [т, Гi] функция у строго монотонна и непрерывно дифференци- 250
г, руема, то SD=J x(t)y' {t)dt. Объединяя эти две формулы, полу- т0 чаем следующую формулу: Тг So=Y j (* (0 / (0 (0 *' (0) Л- То Можно доказать, что все эти три формулы справедливы и в более общем случае, когда непрерывная замкнутая кривая F:x = #=1/(0» *^ITo, Fi], проходится при изменении f от Г0 до Т| таким образом, что ограничиваемая этой кривой область D ос¬ тается слева. Какую из них удобнее применять, зависит от кон¬ кретного вида функций x=x(t) и y = y(t). Пример 3. Найдем площадь области, ограниченной петлей кривой x = a{t2—2t), y = a(t2—\)(t—3), q> 0. Решение. Петля кривой проходится в положительном на¬ правлении при изменении t от —1 до 3 (см. рис. 45). Для вычис¬ ления площади можно применить любую из jTpex формул, соответ¬ ственно имеем Тх з s=-j y{t)x'(t)dt=-Je*«*-l)(<-3) (2t — 2)dt = To -1 3 = — 2a2^(ti—4t3+2t2 + 4t — 3)dt = — I = — 2a* (— <‘+А<з+2^_зЛ P =17 —a2, I 5 з /l-i 15 Tt 3 5 = 1 x(t)y'(t)dt= 2t)(3P—6i — l)dt = To -i = a2 tb —31* + -j-/34- <*'] Tt S = -L J (x (t) y' (/)-y (t) x' (0) dt = v. 3 = -i- ^ a2 (f* —4<3 + 7f* —6if + 6) dt = — 1 =-y <4 + y/3—3/*+6f) 3 = 17 — -i 15 3 17 1 2 = 17 — a2. -I 15 251
Пример 4. Найдем площадь области, ограниченной кривой x = at*!(\ -f/4), y = at3/(\ + /4), а > 0. Решение. Кривая образует две симметричные петли (см* рис. 46). Верхняя из них проходится в положительном направле- г = г (ip) нии при изменении t от 0 до 4-оо. Найдем площадь области, ек> ограниченной. В данном случае удобно применить для вычисление симметричную формулу 7, S°=~H[x{t)y' {t)~y{ t)x'{t)idt- T. Так как y = tx, то ху'—ух' = х(х+ tx')—tx x' = x2t откуда +® ь-тУ- -dt — аЧ 1+°° 8(1 -М4) |о Г J 1 + /' 16 У 2 ’ Следовательно, площадь всей области равна па2!8У2. Отметим, что рассматриваемая часть кривой есть образ луча />0, поэтому площадь можно вычислить с помощью несобственного интеграла: + OD J y(t)dt. Об интегралах такого вида см. стр. 246. о Рассмотрим на плоскости полярную систему координат. В этом случае аналогом криволинейной трапеции будет криволинейный сектор: множество точек М(г, ф):ф0<ф<ф1, (Ф1— <Р0<2л), 0<Сг<Сл(ф), где г(<р) — непрерывная функция на [<ро, Ф1] (см. рис. 47). 252
Площадь SD криволинейного сектора Z) = {(r, ф) :<po<<p«ptv 0<г<г(ф)} вычисляется по формуле <Pi SD=-^-J г3 (<р) dtf. Ф* Пример 5. Найдем площадь области, ограниченной кривой /■=азтЗф, а>0. Решение. Кривая образует три симметричные петли, каж¬ дая из которых ограничивает криволинейный сектор (см. рис. 48). Рассмотрим первый из них: D1 = {(r, ф) :0^ф^я/3, 0<!r^asin39}. Площадь его равна 1/3 площади всей области, ограниченной дан¬ ной кривой. Следовательно, л/ 3 SD=3SDt = j а,$т,3ф^ф= . о Пример 6. Найдем площадь области, лежащей внутри петли кривой x = a(t2—2f), y = a(t2—\)(t—3) и вне кривой r = a{3— —2собф), а>0 (системы координат совмещены). Решение. Чтобы выяснить взаимное расположение этих кри¬ вых, сравним их с окружностью = {(*, у) • *2 + 2о* + у2 —9а2 = 0}. Для точек первой кривой имеем х2 -f 2ах 4- у2—9a2=a2t • (t—2) [(fa—21—2)a -f 1] = = a2x [(**!_2f—2)*+ 1]. 253
Следовательно, часть этой кривой, находящаяся слева от оси ОУ (*<С0), лежит внутри окружности S, а часть кривой, находящаяся справа от оси OY (*>>0), — вне этой окружности. Для точек вто¬ рой кривой, лежащих слева от оси ОУ, имеем л/2<ф<Зя/2, сле¬ довательно, г7>3а и г2 = 3аг—2агсояф>>9а2—2arcos<p. Переходя к декартовой системе координат, получим, что для всех точек вто¬ рой кривой, лежащих слева от оси О У, имеем х2-f-у2 + 2ах—9а2>0, т. е. слева от оси ОУ часть этой кривой лежит вне окружности S. Если же —л/2<ф<л/2, то г<3а и г2 = 3аг—2arcos(p<9a2— —2arcos<p, т. е. х2-\- у2 + 2ах—9а2СО, значит, справа от оси ОУ часть этой кривой лежит внутри окружности. Итак, данная об¬ ласть лежит справа от оси ОУ (см. рис. 49). Так как она симмет¬ рична относительно оои ОХ, то ее площадь SD равна удвоенной разности площади криволинейной трапеции Di = {(*, у) :0cjc<3a, ti^y^cy (t(x)), —1</<0} и площади криволинейного сектора D2 = {(г, ф): 0^ ф^ я/2, 0 ^ г<^а (3—2 cos ф)}. Следовательно, о SD = 2 \ a2(3/4 —12/3 f 1W2 -г 2t)dt — —1 —1 о Я'2 0 § 3. ОБЪЕМ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ Пусть D — криволинейная трапеция: D = {(x, у) 0<(/<«/(.г), у^С[а,Ь]}\ 0 а Нис. 50 У'0* — тело, полученное вращени¬ ем D вокруг оси ОХ Для раз¬ биения Т: a^x0<x\< '...<xft<xk+l< <...<xn=b отрезка [a, b] обозна¬ чим через DT фигуру, составлен¬ ную из прямоугольников, основа¬ ниями которых являются отрезки [Хк, а высотами — наимень¬ шие значения у на [л**, л'л+1]. Фи¬ гура DT содержится в криволи¬ нейной трапецпп D (см. рис. 50). 254
При вращении. DT вокруг оси ОХ получим тело VT0X, содер¬ жащееся внутри тела Vox. Тело Vtox составлено из прямых кру¬ говых цилиндров, образованных вращением прямоугольников, со¬ ставляющих фигуру DT. Высота каждого такого цилиндра есть (a**+i—я*), радиус основания — mk= min tj(x)9 поэтому |ктоХ| — я-i объем тела VT0X — равен пт2(хь+\—хк). Объемом |У0Х| те- А«0 ла Vox назовем sup|Vr°*|. Так как \Vt0X\ есть нижняя сумм» т Дарбу непрерывной функции пу2(х), то ъ | Vox| = sup| = я ^ U) (1) ^ a Пр*и вращении DT вокруг оси OY каждый из прямоугольников* составляющих DTy образует цилиндрическое кольцо, высота ко¬ торого есть тку а основанием является кольцо с внешним радиу¬ сом хк+1 и внутренним Хк. Объем такого цилиндрического кольца равен» лтк(хк+\2—хк2). Тело VrOYt полученное вращением DT вокруг оси OY, есть объединение этих цилиндрических колец, поэтому его объем | Vtot I равен л-1 £ юп*(*2+,-•*!)• к-О Представим разность хц+\2—хк2 в виде 2хЛ(х*+1—хл) + (Xk+i—х*)2. Тогда л— I л— I Е птк (4ц—**) = L 2ят„хк (хк+1—х„) - Ь-0 *-0 л—I л—1 л—1 + £ ял* (**+i — **)* = £ гят^д:* ДдгЛ + £ ятк Ьх'к. 0 Д-0 /г-0 Первая сумма есть нижняя сумма Дарбу для непрерывной функ¬ ции 2лху(х). Если параметр разбиения Т есть Х(Г), то для второй суммы имеем /1—1 л— 1 £ птк АхI < X, (Т) £ Jim* Дд:». *=0 *»0 255
b Следовательно, при Х(Т)-+ 0 первая сумма стремится к 2л ^ху (jc) dx% а а вторая стремится к нулю, так как л— I Ь lim £ ятк Ах„ -=\лу (ж) dx. Mt)-+o ksm0 а Объемом \V0Y\ тела V0y будем называть sup||. Из предыдущего т следует, что ь |Vov| =2я ^xy(x)dx. а Пусть функция у(х) непрерывна на отрезке [а, Ь]. Рассмотрим области Ав{(*. У)* а<х<Ь<0, 0<*/<:*/(;с)}; Аг = {(х, у): Q<a<x<6, */(*)<*/<0}; />з = {(jc, у): a<jc<6<0, у(х)<у<0} и тела У,ох, V2°*. Vzox, Vioy, Vr2oy, V3oy, полученные вращением областей D,, D2, Z)3 вокруг осей ОХ « ОК соответственно. Повто¬ ряя вышеприведенные рассуждения, получаем, что объемы этих тел соответственно равны: ь |V/«| =п \)yt(x)dx, i = 1, 2, 3; a b I V'f0V | = 2л ^ 1 дсу (дс) | , t = 1, 2, 3. a Пусть D — стандартная относительно оси OX область: ° = {(Х>У)* a<x<b, y\(x)<y<y2(x), y\ (x)eC[fl, b), 1/2 (*)€EC[a, 6]}. Если ось ОХ не пересекает Д то через Vox обозначим тело, об¬ разованное вращением D вокруг оси ОХ; если ось OY не пересе¬ кает Z), то через VOY обозначим тело, образованное вращением D вокруг оси OY. Объемы этих тел вычисляются как разность или сумма объемов тел, полученных при вращении соответствующих областей вида Dь D2 и D3, рассмотренных выше, в зависимости от знаков чисел a, b и знаков функций у\(х) и у2(х). Например, если a<ib<c0, уi(jc)<0 1И у2(х)>0 для хe[a, b]t то \ V0Y\ есть сумма 556
объемов |^1ок| и \Vz0Y\ тел VX0Y и Vz0Y, полученных от враще¬ ния областей Z)i={(x, у): a<ix<b, 0<у<у2(х)} и D^{(xy у): : а<х<Ьу у\(х) <#<0} вокруг оси О У. Из этих соображений получаем, что 6 \V0X\ =n$|y§(*)-tf(*)|dx, (1) а Ъ W"\ = 2л $|х| («/,(*) — «/, (x))dx. а Пусть теперь D — область, ограниченная непрерывной замк¬ нутой кривой Г :*=*(/), y=y(t), /€=[Го, Г|], *(Г0)=*(Г,), y(TQ)=y(h)t причем при изменении / от Го до Тх кривая Г проходится так, что область D остается слева. Так же, как и при вычислении пло¬ щадей, выводится, что если D не пересекается с соответствующей осью координат и функции х и у непрерывно дифференцируемы на [Г0, Ti], то ь р | Vox| = —я § y%(t) х' (/) dt = 2я J *(0И01/(0<*- г* т. т, т, |V/0v'| = — 2л ^ I jc (01 Л' (') I -ж' СО Л = « ^ x*(t)y' (t)di. Если кривая Г :x=x(t), y = y(t)y /е[Г0, T\]t не замкнута, но 0(0 >0, *е[Г0, Г,], у(То) =у(Т\) =0, х{Т0)=Ь> х(Г,) =а, Ь>ау и область D ограничена кривой Г и отрезком [а, Ь] оси ОХ, то D можно рассматривать как область, ограниченную непрерывной замкнутой кривой Г1:x=xi(/), y=y\(t), ^[Г0, Г2], Г2>/1, где (0 = Х((), ^То.Тг], (,(0. <е[Тв.Г,]. а + 7г5^-«-7’1),^(Г1,Г«].И yii<)-\0, t<=(TvTt]. Тогда при изменении t от Го до Т\ кривая Г\ проходится так, что область D остается слева. Следовательно, объем \V0X\ тела Voxy полученного при вра¬ щении такой области вокруг оси ОХу вычисляется по формуле 257
или по формуле Тг |Vox|=2*5|jc(I)!*(OW(OA. Если область D не пересекается с осью OY, то объем \V0Y\ тела V0Yf полученного при вращении D вокруг оои ОУ, вычисляется по формуле |l/ov| = — 2я $|x,(/)|.yi(0l*'(0A= —2я^ | *(*)«/(01*' (0Л г, fr. Точно так же для области D, ограниченной кривой Г:х = *(0, y = y(t), t<= [Т0, 7\], дс(0>0, *<=[Г0, 7\], л(Г0) = = jc(T1)=0, y(T0)=ct y(Tl)=d9 d>c, и отрезком [с, d] оси OK, объемы \V0X\ и |Vov| тел, полученных при вращении D относительно осей ОХ и 0Y соответственно, вычисляются по формулам Обращаем внимание, что приведенные формулы справедливы и для областей, не являющихся стандартными относительно любой из осей координат. Если тело образовано вращением области D вокруг оси, не пересекающей область D и не являющейся одной из осей коор¬ динат, то для вычисления объема полученного тела делают заме¬ ну системы координат так, чтобы в новой системе одна из коор¬ динатных осей совпала с осью вращения. В частности: а) если осью вращения является прямая */ = /, не пересекаю¬ щая область D :{a<.x<b, у, (х) <у<у2(х)), то объем | К'| тела Vполученного вращением D вокруг этой оси, вычисляется по формуле или по формуле Тг l^l = X2 (/) у\ (t) dt b \V‘\ ^nl\(yt-lf-(yx-lf\dx. a 258
б) если осью вращения является прямая х=1, не пересекаю¬ щая область D:{a<x<b, yi(x) <у<у2(х)}, то объем ] Vl\ тела Vполученного вращением D вокруг этой оси, вычисляется по формуле ь \V‘\=2nl(yt-yi)\x-l\dx. а Обе эти формулы получаются переносом осей координат так, что¬ бы в первом случае ось / стала новой осью ОХ\, а во втором — ось I стала новой осью OYх. Пример 1. Область D расположена в правой полуплоскости (х>0) и ограничена линиями у=х и у = 2х—л3. Найдем объемы тел, полученных при вращении области D (см. рис. 51) вокруг: а) оси ОХ\ б) оси ОУ\ в) горизонтальной касательной к верх¬ ней границе D\ г) прямой у=х. Решение. Область D является стандартной относительно оси ОХ: D = {(x> У).: 0<х<1, х<у<2х—х3}, следовательно, i 1 а) ((2*-*>)*_*») dc = nj‘ (х*-4х* + Зл:*) dx = 259
1 I б) | V0Y| = 2 я j* jc (2л —x3—x) dx = 2n§ (x2—x4) dx = о 0 = 2n(±—Ц=-*Ц \ 3 5 J 15 в) для функции y = 2x—jc3 горизонтальная касательная к ее графику проходит через точку (/?• f /т) т е ,этом случае осью вращения является прямая у = — л/ — Сделаем 3 F 3 ' перенос осей координат, т. е. перейдем к координатам ы, v так, что и = х, v ---- у тогда ось OU будет осью вращения, и в новой системе координат область D будет стандартной отно¬ сительно оси OU: D= |(u, d):0<h< 1, и—i- j/и3—i -|-J. Следовательно, объем |Vou| искомого тела вычисляется по фор¬ муле -”i[(“-T |/т)l/T)’]- о =:п i (■+4“4-т1/т ы3~3“2+т VT“)du= о = „(JL л/^-JL). \ 3 г 3 35 /’ г) сделаем поворот осей координат на я/4, т. е. перейдем от переменных ху у к переменным и, v по формулам и = х cos я/4 + ы sin я/4, (2) у = —х sin я/4 + у cos я/4. Тогда и = -т=- + -77=-. —77=—I—т=-, осью вращения станет /2 V2 К2 f 2 ось 0£/. Еще раз обратим внимание, что формула (1) имеет место для криволинейной трапеции. Поэтому если мы хотим ее использовать, 260
то необходимо показать, что область D и в новой системе коор¬ динат является криволинейной трапецией. Покажем это для на¬ шего случая. Действительно, отрезок АВ:А=(0, 0), В=( 1, 1) прямой у = х перешел в отрезок [0, У 2] оси OU. Покажем теперь, что кривая Г: 0<х<1, у = 2х—х3 является в новой системе координат графиком некоторой функции v = v(u) для 0<и<У2, т. е. что каждой точке М0= (а0, 0), 0<Мо<У2, со¬ ответствует единственная точка М(и0, v(u0)) на Г, проекция ко¬ торой на ось OU есть М0. Действительно, в противном случае на кривой Г нашлась бы по крайней мере одна пара точек М\(хj, у(х|)), М2(х2, у(х2)) такая, что прямая МХМ2 была бы пер¬ пендикулярна к прямой */==* и, следовательно, выполнялось бы равенство JL<A>-*<*»> O^C^l. Х2 —Xi Но в силу теоремы Лагранжа имеем у — у'(с), где *а — *1 X]Cc<Zx2y и так как у'(х)=2—Зх2>— 1 для 0<х<1, то такое равенство невозможно. Поскольку D = {(w, у) :0<и<У2, 0<а<1>(м)}, то объем | Vov\ тела, полученного при вращении области D отно¬ сительно оси OU, равен VI \V0U\ = л J ^(м) du. В данном примере для аналитического выражения функции v от и необходимо из соотношения (2) найти x(ut и), у(и> v), подста¬ вить их в соотношение у = 2х—хг и из полученного соотношения между и и v найти v(u). Все это приводит к громоздким выклад- ь кам, поэтому преобразуем этот интеграл к виду J q>(x)dx. а Величина и (и) есть расстояние точки М{х, у) на кривой Г : {(х, у), 0«х< 1, у=2х—х3} от прямой у = х, таким образом, И«)| = “4-+- /2 /2 | Далее, на оси OUy т. е. на прямой у = х, имеем dy = dx, поэтому du = (dx 4- dy) = у 2 dx. 261
Итак, | Vой | = я ^ и* (a) du = я ^ У2 dx = о о -^^+**-*(т-т+т)-т£ о Пример 2. Найдем объем тела, полученного при вращении области Z), ограниченной петлей кривой Г:* = /2_2/, «/= (t2—1) (t—3), а) вокруг оси ОХ\ б) вокруг вертикальной касательной к Г. Решение. Петля кривой Г проходится при изменении t от Tq — — 1 до Г|=3 так, что область D остается слева и состоит из двух частей, симметричных относительно оси ОХ, соответствую¬ щих изменению t от Т0 до 7*2=1 и от Г2 до (см. рис. 52). Ранее специально оговаривалось, что ось вращения не пере¬ секает область D, иначе не ясно, какое тело вращения рассматри¬ вается. Единственным исключением является тот случай, когда ось вращения есть ось симметрии областа D. Тогда геометриче¬ ски наглядно, что речь идет о теле, полученном при вращении вокруг оси симметрии области D одной из тех частей, на которые эта ось делит D. а. Итак, надо вычислить объем \V0X\ тела Voxy полученного при вращении вокруг оси ОХ области D, ограниченной кривой Ti .x = t2—2t,y=(t2—1)(/—3), —1, 1], и отрезком [—1, 3] оси ОХ. Имеем 1 |К0Х|=—я J (/*—1)а (<— 3)»(2/— 2) d/ = -1 1 = —2я j (С— 7/*+ 13/‘ + 5^—29<»+ Ш»+15/— 9)dt = ^j-. -1 б. Так как на кривой Г имеем = ————, то х/ = 0 при у у 3/а — 6/ — Г * v /=1. Следовательно, вертикальной .касательной к Г является пря¬ мая х=х(1), т. е. х= — 1. Поэтому з |К|=-2я j v(0(x(0+l)** (0Л = -1 = — 2я j (t — \у(Р — l)(f—3)2(< — l)d/ = 262
О J = —4я J 3)Л = —4я J 4(< —l)*]d/= -1 -1 Пример 3. Эллипс — + — = 1 делится прямой Ах—By а2 Ь2 {АВФ0) на две симметричные части. Найдем объем тела, полу¬ ченного при вращении одной из этих частей вокруг прямой Ах=Ву (см. рис. 53). Рис. 63 Решение. Сделаем поворот осей координат, т. е. перейдем к координатам м, v так, чтобы ось OU стала осью вращения. Угол поворота равен <р = arctg —, следовательно, в м Вх ^ Ау и ~~ Va* + b* V А* + В** и = . ~Ах ‘ ^ /Л« + В* V А2 + В»* Рассматриваемая область D не является стандартной относитель¬ но оси OU, поэтому удобно рассматривать эллипс в параметри¬ ческом задании, поскольку тогда формула вычисления объема тела вращения не зависит от того, стандартна или нет область D относительно оси вращения. Положим x = acos t, y=b sin t. Тогда область D ограничена кривой Г: __ аВ cos t -f ЬА sin t ~ Va* + в» .. _ — a A cos t -f bB sin / ^ ^ 4 ^ *r V ... 1 A Г ^ I 1 . ^ i’ 263
и отрезком оси OU. Значения Г0 и Т\ находятся из условия v(T0) = = v(T\) = 0, откуда Т0— arctgГ, = Го 4 я. Следовательно, ьв Гг Г, | Vой I = - я j О* (/) и' (0 dt = - (Л;-^№)з>г j (<А4* cos8 * + г» 7, + ЬРВ* sin3/—2а6 cos/sin/) (ЬА cost—аВ sin t) dt = 7“, = —_^Л^^з/2 J [aaM3cos/—a62£3sin / 4 sin2/cos/х г. x (6МДа — а*ЬА* 4- 2а26 АВ2) —cos2 f sin / • (аМ2£ — ab2B3 4 + 2абМ’В)] dt = - ?* [a’M»sin Г0 + а&’В3 cosГ0 + + Sm"Г< (6МВ»—аЧА3 + 2a2bAB*) + и + —8*г<> (аМ*В—а6»В3 + 2aftM*fl) J = = (ЛГГ^.з?л» + «.)»/» К3*»* + 4- /W) + + аМ» (6МВ*—а*М*+2а*МВ«)+6*В3 (аМаВ-а62В3 + 2а&М*В)] = = ■ -.-А - ^. М*а* + BW [Лг + ВЦ = 3 (Л* 4 аа)3/2 (i4*a® 4 В*^) J 4яа6 КД*аа 4 W ” З/Ж+В5 Пример 4. Найдем объем тела, полученного при вращении области D, ограниченной кривой Г :r = a sin Зф, а>0, 0<<р<л/3 во¬ круг: а) полярной оси; 6) оси <р = я/2 (см. рис. 54). Решение. Перейдем к декартовой системе координат, совме¬ щенной с полярной. Кривая Г в этой системе записывается в па¬ раметрическом виде: jc = a sin 3<р cos<p, y=*a sin 3<psin<j>, и при изме¬ нении ф от 0 до я/3 проходится так, что область D остается слева. Осями вращения являются соответственно оси ОХ и О У. Следова¬ тельно, л 3 а) |У°Х| = — я £ j/*(<P)-*'(<P)d4> = о 264
(cos 2ф —cos 4ф)а (2 cos 4ф + cos 2ф) dy — о о 3 3 3 — cos 2ф—3cos 4фН соэбф Н cos 10ф— 2 2 2 —cos 12ф)Жр = -^[ — Б1п2ф—— 8т4ф + -^-зт 10ф1|я/3 = Замечание. Есть формула, выражающая объем тела, полу¬ ченного вращением криволинейного сектора D :{(r, ф), 0<фо«р< <ф1<я, 0<г<г(ф)} относительно полярной оси без перехода к де¬ картовой системе координат. Эту формулу предлагаем вывести са¬ мостоятельно (задача № 90 этой главы). § 4. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ Определение. Дугой кривой Г назовем образ отрезка [Г0, Т\] при непрерывном биективном отображении x — x(t)f y=y(t), z = z(0, *€Е[Го, 74 и обозначим Г :{*(Q, y(/)v г(*), /6= [Го. Т\]. Пусть т \ To = U<t\<t2<...<tn = T\ — разбиение отрезка [Т0г Тх]. Каждой точке разбиения т соответствует точка y(tk), z(tk))> 0<k<nt на кривой Г. Через Гт обозначим ломаную с вершинами Мо, Ми ..., Мп> а ее длину обозначим через |Г,|. Определение. Длиной дуги Г называется число Заметим, что одна и та же линия может быть образом разных отрезков при разных биективных отображениях, т. е. может быть разными способами параметризована. Так, например, возьмем на 8 L 4 4 20 J |о 27яо»/3 . 320 о о о го3 г 3 о 3 4,3 «л 1 Iя/3 = cos 2ф cos 4фН coslOp 8 L 4 4 20 ^Jo яд8 81 40 1Г | = sup | Гх|. т 265
декартовой плоскости XOY полуокружность с центром в начале координат радиусом 1, лежащую в верхней полуплоскости. Эту линию можно представить как отображение у = 1/1—**. — 1 ^ ^ 1, или как отображение x = cost, I/ = sin 0 или как отображение х=\—t, y = y2t — t2, 0</<2, и т. д. Вопрос о том, когда разные параметрические задания кривой определяют одну и ту же линию, здесь не рассматривается. Ограничиваясь наглядными соображениями, отметим только, что длина дуги кри¬ вой есть ее внутренняя геометрическая характеристика, не зави¬ сящая от способа ее параметризации. Пусть задана дуга кривой Г:{х(*), у(О» z(0. t^[To> Т\]} и функции *(/), y(t), z(t) непрерывно дифференцируемы на [Го, Т\], тогда длина Г вычисляется по формуле т1 |Г|={К(^* + (^« + (2;)*л. (3) Г. Если хотя бы одна из функций x(t), y(t), z(t) не является непрерывно дифференцируемой на отрезке [Го, Гj], но все функ¬ ции x(t), £/(/), z(t) н-епрерывно дифференцируемы на отрезке [Г0, Г,—е] при любом е, 0<е<Г1—Го, функция (x't)2 -f (£/')* -f (z|)a имеет непрерывную первообразную на отрезке [Го, T\]t тогда как и при рассмотрении определенного интеграла можно воспользо¬ ваться формулой (3) для вычисления длины дуги кривой Г, по¬ нимая интеграл в этой формуле как Л-е lim \ Y(К)1 + (у,)2 + (гУ dt- e-Of j-J Пример 1. Рассмотрим полуокружность Г:х2 + у2= 1, у>0. Введем ее параметризацию следующим образом: х = х, у —VI—х2. Тогда Г есть биективный образ отрезка [—1, 1]. Функция у = У 1—х2 не является дифференцируемой в точках х=1 и х = — 1, но на отрезке [— 1 + е, 1—е] эта функция непрерывно дифференцируема