/
Автор: Уиттекер Э.Т. Ватсон Дж.Н.
Теги: математика математический анализ трансцендентные функции
Год: 1963
Текст
Э. Т. УИТТЕКЕР и Дж. И. ВАТСОН
КУРС
СОВРЕМЕННОГО
АНАЛИЗА
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ
ФУНКЦИИ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
ПОД РЕДАКЦИЕЙ Ф. В. ШИРОКОВА
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1963
A COURSE OF
MODERN ANALYSIS
AN INTRODUCTION TO THE GENERAL THEORY
OF INFINITE PROCESSES AND OF ANALYTIC
FUNCTIONS; WITH AN ACCOUNT OF THE
PRINCIPAL TRANSCENDENTAL FUNCTIONS
BY
E. T. WHITTAKER, Sc. D., F. R. S.
Professor of Mathematics in the University of Edinburgh
AND
G. N, WATSON, Sc. D., F. R. S.
Professor of Mathematics in the University of Birmingham
FOURTH EDITION
CAMBRIDGE
AT THE UNIVERSITY PRESS
1927
СОДЕРЖАНИЕ
Глава 12. Гамма-функция............................................. 13
12.1. Определение гамма-функции. Произведение Вейерштрасса . . 13
12.11. Формула Эйлера для гамма-функции......................... 16
12.12. Уравнение в конечных разностях для гамма-функции .... 16
12.13. Вычисление некоторых бесконечных произведений............ 18
12.14. Связь между гамма-функцией и тригонометрическими функ-
циями ..................................................... 19
12.15. Теорема умножения Гаусса и Лежандра...................... 20
12.16. Разложения для логарифмических производных гамма-
функции ............................................ 21
12.2. Интегральное представление Эйлера для Г (г)............... 22
12.21. Распространение интегрального представления гамма-функ-
ции на случай отрицательного аргумента .................... 25
12.22. Представление Ханкеля функции Г (г) в виде контурного
интеграла.................................................. 26
12.3. Интегральное представление Гаусса для логарифмической
производной от гамма-функции............................... 29
12.31. Первое интегральное представление Бине для 1g Г (г). ... 32
12.32. Второе интегральное представление Бине для 1g Г (г) ... . 35
12.33. Асимптотическое разложение логарифма гамма-функции (ряд
Стирлинга)................................................. 37
12.4. Интеграл Эйлера первого рода............................. 40
12.41. Выражение интеграла Эйлера первого рода через гамма-
функцию ................................................... 42
12.42. Выражение интегралов от тригонометрических функций через
гамма-функции.............................................. 44
12.43. Обобщение интеграла Эйлера первого рода (Похгаммер) . . 44
12.5. Интеграл Дирихле.......................................... 46
Литература ................................................ 48
Примеры.................................................... 48
Глава 13. Дзета-функция Римана...................................... 58
13.1. Определение дзета-функции................................. 58
13.11. Обобщенная дзета-функция................................. 58
13.12. Представление функции С ($, а) в виде несобственного инте-
грала ..................................................... 59
13.13. Представление функции C(s, а) в виде интеграла по контуру 60
13.14. Значение функции С (s, а) для частных значений 5. . . .’. 61
13.15. Формула Гурвица для функции С (s, а), когда о<0 . . . . 62
13.151. Соотношение Римана между C(s) и С (1 — s)...... 63
13.2. Формула Эрмита для С (s, а)..................... 64
6
СОДЕРЖАНИЕ
13.21. Следствия из формулы Эрмита........................... 66
13.3. Бесконечное произведение Эйлера для С (s)............. 67
13.31. Гипотеза Римана относительно нулей функции C(s) . . . . 68
13.4. Интеграл Римана для С($)............................. 68
13.5. Неравенства, которым удовлетворяет функция C(s, а) при
а > 0........................................................ 71
13.51. Неравенства, которым удовлетворяет функция C(s, а) при
а < 0........................................................ 72
13.6. Асимптотическое разложение функции 1g Г (г-|-а).......74
Литература..............................................78
Примеры.................................................78
Глава 14. Гипергеометрическая функция....................... 81
14.1. Гипергеометрический ряд............................... 81
14.11. Значение функции Р {a, b; с; 1) при Re (с — а — Ь) > 0 . . . 82
14.2. Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функ-
ция Р (a, b; с; г)........................................... 83
14.3. Решения P-уравнения Римана при помощи гипергеометри-
ческих функций............................................... 84
14.4. Соотношения между частными решениями гипергеометри-
ческого уравнения............................................ 86
14.5. Контурные интегралы Барнса для гипергеометрической функ-
ции ......................................................... 88
14.51. Аналитическое продолжение гипергеометрического ряда . . 90
14.52. Лемма Барнса.......................................... 91
14.53. Связь между гипергеометрическими функциями от г и от
1—г.......................................................... 93
14.6. Решение уравнения Римана при помощи интеграла по кон-
туру ........................................................ 94
14.61. Нахождение интеграла, представляющего Р^.............. 97
14.7. Соотношения между смежными гипергеометрическими функ-
циями ....................................................... 98
Литература.............................................101
Примеры................................................101
Глава 15. Функции Лежандра.......................................109
15.1. Определение полиномов Лежандра...................109
15.11. Формула Родрига для полиномов Лежандра...........111
15.12. Интеграл Шлефли для Pn(z)........................Ill
15.13. Дифференциальное уравнение Лежандра..............111
15.14. Интегральные свойства полиномов Лежандра.........113
15.2. Функции Лежандра.................................114
15.21. Рекуррентные формулы.............................116
15.211. Разложение любого полинома по полиномам Лежандра ... 119
15.22. Представление Мерфи функции Pn(z) в виде гипергеоме-
трической функции......................................121
15.23. Интегралы Лапласа для Рп(г).........................123
15.231. Интеграл Мелера—Дирихле для Pn(z)...............127
15.3. Функции Лежандра второго рода....................129
15.31. Разложение функции Qn (г) в степенной ряд........130
15.32. Рекуррентные формулы для Qn(z)...................132
15.33. Интеграл Лапласа для функций Лежандра второго рода . . 133
15.34. Формула Неймана для Qn(z), когда п—целое число. . . . 135
15.4. Разложение Гейне для функции (t — г)-1 в ряд по полино-
мам Лежандра............................................ 136
СОДЕРЖАНИЕ 7
15.41. Разложение Неймана для произвольной функции в ряд по
полиномам Лежандра........................................138
15.5. Присоединенные лежандровы функции Р™ (г) и Q™ (z) Фер-
рерса.....................................................140
15.51. Интегральные свойства присоединенных функций Лежандра 141
15.6. Определение Гобсона присоединенных функций Лежандра . 143
15.61. Выражение функции Р™ (г) через интеграл типа Лапласа . . 144
15.7. Теорема сложения для полиномов Лежандра.................145
15.71. Теорема сложения для функций Лежандра...................147
15.8. Функция Сп(г)...........................................149
Литература...............................................150
Примеры..................................................151
Глава 16. Вырожденная гипергеометрическая функция................162
16.1. Слияние двух особых точек уравнения Римана..............162
16.11. Формулы Куммера ........................................163
16.12. Определение функции Wkt т(г)............................165
16.2. Выражение различных функций через функции типа W k: т (г) 167
16.3. Асимптотическое разложение функции Wт (г) при | z |
большом...................................................169
16.31. Второе решение дифференциального уравнения для функции
wk, ....................................................• • 171
16.4. Контурные интегралы типа Меллина — Барнса (Mellin — Bar-
nes) для Wkt m (г)........................................171
16.41. Соотношения между Wk т (z) и Mk ±т (г)..................174
16.5. Функции параболического цилиндра. Уравнение Вебера . . 176
16.51. Второе решение уравнения Вебера.........................177
16.511. Соотношение между функциями Dn(z), D_n_x( + iz). ... 178
16.52. Общее асимптотическое разложение для функции Dn (z) . . 178
16.6. Контурный интеграл для функции Dn(z)....................179
16.61. Рекуррентные формулы для функции Dn(z)..................181
16.7. Свойства функции Dn(z), когда п — целое число.181
Литература...............................................182
Примеры..................................................183
Глава 17. Функции Бесселя..........................................188
17.1. Коэффициенты Бесселя..............................188
17.11. Дифференциальное уравнение Бесселя................191
17.2. Решение уравнения Бесселя при любом комплексном п . . . 192
17.21. Рекуррентные формулы для функций Бесселя..........193
17.211. Соотношение между двумя функциями Бесселя, порядки ко-
торых отличаются на целое число.........................195
17.212. Связь между функциями Jn(z) и №\,т...............195
17.22. Нули функций Бесселя, порядок которых п вещественный 196
17.23. Интеграл Бесселя для коэффициентов Бесселя........197
17.231. 'Видоизменение интеграла Бесселя, когда п не целое число . 198
17.24. Функции Бесселя, порядок которых равен половине нечет-
ного целого числа.........................................200
17.3. Контурный интеграл Ханкеля для функции Jn(z)...202
17.4. Связь между коэффициентами Бесселя и функциями Ле-
жандра ...................................................205
17.5. Асимптотический ряд для функции Jn(z), когда |z| велик . 206
17.6. Второе решение уравнения Бесселя, когда порядок — целое
число.....................................................209
8
СОДЕРЖАНИЕ
17.61. Ряд для функции Y„ (z) при малых z......................211
17.7. Функции Бесселя с чисто мнимым аргументом...............213
17.71. Модифицированные функции Бесселя второго рода.....214
17.8. Разложение Неймана аналитической функции в ряд по
коэффициентам Бесселя....................................215
17.81. Доказательство разложения Неймана.................217
17.82. Разложение Шлёмильха произвольной функции по функ-
циям Бесселя нулевого порядка ....................... 219
17.9. Составление таблиц функций Бесселя................221
Литература.........................................221
Примеры................................................ 222
Глава 18. Уравнения математической физики..........................233
18.1. Дифференциальные уравнения математической физики . . . 233
18.2. Граничные условия.................................234
18.3. Общее решение уравнения Лапласа...................236
18.31. Решение уравнения Лапласа с помощью функций Лежандра 240
18.4. Решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее определен-
ным граничным условиям на поверхности сферы.................242
18.5. Решение уравнения Лапласа в бесселевых функциях целого
порядка.....................................................245
18.51. Периоды колебания однородной мембраны..........246
18.6. Общее решение волнового уравнения.......................247
18.61. Решение волнового уравнения в функциях Бесселя.......248
18.611. Приложение результатов § 18.61 к одной физической
задаче .....................................................250
Литература...............................................250
Примеры..................................................250
Глава 19. Функции Матье............................................257
19.1. Дифференциальное уравнение Матье........................257
19.11. Форма решения уравнения Матье...........................259
19.12. Уравнение Хилла.........................................260
19.2. Периодические решения уравнения Матье...................260
19.21. Интегральное уравнение, которому удовлетворяют четные
функции Матье...............................................261
19.22. Доказательство того, что четные функции Матье удовле-
творяют интегральному уравнению.............................262
19.3. Построение функций Матье................................264
19.31. Интегральные формулы для функций Матье..................267
19.4. Характер решения общего уравнения Матье; теория Флоке 267
19.41. Метод решения Хилла.....................................269
19.42. Вычисление определителя Хилла...........................271
19.5. Теория Линдемана — Стилтьеса, относящаяся к общему урав-
нению Матье.................................................274
19.51. Форма Линдемана теоремы Флоке...........................274
19.52. Определение целой функции, связанной с общим уравне-
нием Матье..................................................275
19.53. Решение уравнения Матвее помощью функции А(0 • • • 277
19.6. Второй метод построения функции Матье...................278
19.61. Сходимость рядов, определяющих функции Матье.........281
19.7. Метод замены параметра..................................284
19.8. Асимптотическое решение уравнения Матье.................285
Литература...............................................286
Примеры..................................................287
СОДЕРЖАНИЕ
9
Глава 20. Эллиптические функции. Общие теоремы и функции
Вейерштрасса..................................................290
20.1. Двоякопериодические функции............................290
20.11. Параллелограммы периодов..............................291
20.12. Простые свойства эллиптических функций................292
20.13. Порядок эллиптической функции.........................293
20.14. Соотношение между нулями и полюсами эллиптической
функции .....................................................294
20.2. Построение эллиптической функции. Определение функ-
ции (г)......................................................295
20.21. Периодичность и другие свойства функции £>(.?).......297
20.22. Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функ-
ция (г)......................................................299
20.221. Интегральная формула для (г)........................301
20.222. Иллюстрация из теории тригонометрических функций . . . 301
20.3. Теорема сложения для функции (г)......................304
20.31. Другая форма теоремы сложения........................305
20.311. Формула удвоения для @ (г)..........................306
20.312. Метод Абеля доказательства теоремы сложения для @ (г) . 307
20.32. Постоянные ег, е3....................................308
20.33. Прибавление полупериода к аргументу функции (г) . . . 310
20.4. Квазипериодические функции. Функция С (г).............311
20.41. Квазипериодичность функции С (г).....................312
20.411. Соотношение между и т]2.............................313
20.42. Функция а (г)........................................313
20.421. Квазипериодичность функции а (г)....................314
20.5. Формулы, выражающие любую эллиптическую функцию
через функции Вейерштрасса с теми же периодами .... 315
20.51. Выражение любой эллиптической функции через функ-
ции g3 (г) и ' (г)...........................................315
20.52. Выражение любой эллиптической функции через линейную
комбинацию от дзета-функции и ее производных.........317
20.53. Выражение любой эллиптической функции в виде отноше-
ния сигма-функций............................................318
20.54. Связь между любыми двумя эллиптическими функциями
с одинаковыми периодами......................................320
20.6. Об интегрировании функции {аох4 -|-4й|Л:3 -|- 6а2л2 4-
+ 4а3х + а4}'2........................................321
20.7. Униформизация кривых рода единица.....................324
Литература . . . .....................................325
Примеры ..............................................325
Глава 21. Тэта-функции .....................................334
21.1. Определение тэта-функции..............................334
21.11. Четыре типа тэта-функций..............................336
21.12. Нули тэта-функций.....................................338
21.2. Соотношения между квадратами тэта-функций.............339
21.21. Формулы сложения для тэта-функций.....................340
21.22. Основные формулы Якоби................................341
21.3. Выражения Якоби для тэта-функций через бесконечные про-
изведения ...................................................343
21.4. Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют тэта-
функции .....................................................345
21.41. Соотношение между тэта-функциями нулевого аргумента . . 345
10
СОДЕРЖАНИЕ
21.42. Значение постоянной О.................................348
21.43. Связь сигма-функции с тэта-функциями..................349
21.5. Выражение эллиптических функций при помощи тэта-
функций ...............................................350
21.51. Мнимое преобразование Якоби...........................351
21.52. Преобразование типа Ландена...........................354
21.6. Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют от-
ношения тэта-функций 354
21.61. Генезис эллиптической функции Якоби sn и............356
21.62. Более раннее обозначение Якоби. Тэта-функция в (и) и эта-
функция Н (и)................................................358
21.7. Задача обращения......................................359
21.71. Задача обращения для комплексных значений с. Модулярные
функции /(т), g-(-t), h(z)...................................360
21.711. Главное решение уравнения /(т) —с = 0.................361
21.712. Значения модулярной функции /(т) на рассмотренном выше
контуре......................................................363
21.72. Периоды, рассматриваемые как функции модулей.........364
21.73. Задача обращения, связанная с эллиптическими функциями
Вейерштрасса.................................................364
21.8. Вычисление эллиптических функций.......................366
21.9. Обозначения, применяемые для тэта-функций..............368
Литература.............................................368
Примеры................................................369
Глава 22. Эллиптические функции Якоби ...........................374
22.1. Эллиптические функции с двумя простыми полюсами . . . 374
22.11. Эллиптические функции Якоби sn и, сп и, dn и..........375
22.12. Простые свойства функций sn и, спи, dn и..............377
22.121. Дополнительный модуль................................377
22.122. Обозначение Глешера для отношений....................378
22.2. Теорема сложения для функции sn и.....................379
22.21. Теоремы сложения для сп и и dn и......................382
22.3. Постоянная К..........................................384
22.301. Выражение К через k..................................384
22.302. Эквивалентность определений Д........................385
22.31. Свойства периодичности (связанные с К) эллиптических
функций Якоби ............................................... 387
22.32. Постоянная К'.........................................387
22.33. Свойства периодичности (связанные с К + 1К') эллипти-
ческих функций Якоби..........................................390
22.34. Свойства периодичности (связанные с iK') эллиптических
функций Якоби ............................................... 391
22.341. Поведение эллиптических функций Якоби в окрестности на-
чала координат и в окрестности 1К' ................... 392
22.35. Общее описание функций sn u, cn u, dn и...............392
22.351. Связь между эллиптическими функциями Вейерштрасса и
Якоби....................................................... 393
22.4. Мнимое преобразование Якоби...........................394
22.41. Доказательство мнимого преобразования Якоби при помощи
тэта-функций...........................................395
22.42. Преобразование Ландена................................396
22.421. Преобразование эллиптических функций.................398
22.5. Бесконечные произведения для эллиптических функций
Якоби..................................................398
22.6. Ряды Фурье для эллиптических функций Якоби............401
СОДЕРЖАНИЕ
11
22.61. Ряды Фурье для обратных величин эллиптических функций
Якоби........................................................403
22.7. Эллиптические интегралы..................................404
22.71. Представление полинома четвертой степени в виде произве-
дения двух сумм квадратов....................................406
22.72. Три рода эллиптических интегралов........................407
22.73. Эллиптический интеграл второго рода. Функция Е (и) . . . 410
22.731. Дзета-функция Z (и)................................... 412
22.732. Формулы сложения для Е (и) и Z (и) . . . . . ...........413
22.733. Мнимое преобразование Якоби для функции Z (и)........414
22.734. Мнимое преобразование Якоби для функции Е (и)........414
22.735. Соотношение Лежандра....................................415
22.736. Свойства полных эллиптических интегралов, рассматривае-
мых как функции модуля................................... . 416
22.737. Значения полных интегралов для малых значений k . . . . 417
22.74. Эллиптический интеграл третьего рода.....................418
22.741. Динамическое приложение эллиптического интеграла
третьего рода................................................420
22.8. Лемнискатные функции.....................................420
22.81. Значения К и д' для частных значений k...................422
22.82. Геометрическое толкование функций sn«, спи, dnu . . . . 426
Литература................................................426
Примеры ................................................ 427
Глава 23. Эллипсоидальные гармонические функции и уравне-
ние Ламе.................................................. 439
23.1. Определение эллипсоидальных гармонических функций . . . 439
23.2 Четыре вида эллипсоидальных гармонических функций . . . 440
23.21. Построение эллипсоидальных гармонических функций пер-
вого вида....................................................441
23.22. Эллипсоидальные гармонические функции второго вида . . 445
23.23. Эллипсоидальные гармонические функции третьего вида . . 446
23.24. Эллипсоидальные гармонические функции четвертого
вида ........................................................447
23.25. Выражения Нивена для эллипсоидальных гармонических
функций через однородные гармонические функции .... 448
23.26. Эллипсоидальные гармонические функции степени п . . . . 453
23.3. Эллипсоидальные координаты.........................454
23.31. Униформизирующие переменные, связанные с эллипсоидаль-
ными координатами.........................................457
23.32. Уравнение Лапласа в эллипсоидальных координатах .... 459
23.33. Эллипсоидальные гармонические функции в эллипсоидаль-
ных координатах .............................................461
23.4. Различные формы дифференциального уравнения Ламе . . . 463
23.41. Решения уравнения Ламе в виде рядов................465
23.42. Определение функций Ламе...........................468
23.43. Об отсутствии кратных корней у функций Ламе........469
23.44. Линейная независимость функций Ламе................469
23.45. Линейная независимость эллипсоидальных гармонических
функций ................................................... . . 470
23.46. Теорема Стилтьеса о нулях функций Ламе...................471
23.47. Функции Ламе второго рода................................473
23.5. Уравнение Ламе в связи с эллиптическими функциями
Якоби........................................................475
23.6. Интегральное уравнение, которому удовлетворяют функции
Ламе первого и второго вида..................................476
12 СОДЕРЖАНИЕ
23.61. Интегральное уравнение, которому удовлетворяют функции
Ламе третьего и четвертого вида............................478
23.62. Интегральные формулы для эллипсоидальных гармонических
функций ...................................................479
23.63. Интегральные формулы для эллипсоидальных гармонических
функций третьего и четвертого вида.........................482
23.7. Обобщения уравнения Ламе..............................483
23.71. Форма Якоби обобщенного уравнения Ламе...............487
Литература...........................................490
Примеры..............................................490
Именной указатель..............................................495
Предметный указатель...........................................500
ГЛАВА 12
ГАММА-ФУНКЦИЯ
12.1. Определение гамма-функции.
Произведение Вейерштрасса
Гамма-функция1) Г(г) впервые была определена Эйлером как
предел произведения (§ 12.11), из которого можно получить интег-
00
рал J" dt, но для изложения теории этой функции удобнее
о
определять ее посредством бесконечного произведения в канони-
ческой форме Вейерштрасса.
Рассмотрим бесконечное произведение
GO ( Z 1
^Пн1 J’
П=1 k
где
7= lim Ц + |4 ... + - 1g = 0,5772157...
т -> со к 1 z т >
[Постоянная у известна под названием постоянной Эйлера или Маске-
рони (Mascheroni). Ее существование вытекает из следующего: если
/ t 1 . п 4-
J п (и 4- /) п 6 п
о
то ип будет положительным и меньшим, чем
6
; поэтому ряд ип
п=\
сходится,
Игл
— 1g т
т
S. , т 4-1
«« + !g —
hUn‘
Л = 1
*) Обозначение Г (г) было введено Лежандром в 1814 г.
14
ГЛ. 12. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Значение 7 было вычислено Адамсом (J. С. Adams) с 260 десятичными
знаками].
Рассматриваемое произведение представляет аналитическую функ-
цию от z для всех значений z\ ибо если АГ—такое целое число,
что |z|<;±M то при nyN мы имеем1)
^4 п2 I 2 ' 22 ' j 2 п2 '
СО
Так как ряд V {№/(2и2)) сходится, то при |z| С-s- АГ ряд
n=N + l
СО
и=У+1
будет абсолютно и равномерно сходящимся рядом аналитических
функций и, следовательно, сам будет представлять аналитическую
функцию (§ 5.3, часть I). Взяв е с показателем степени* равным
этому ряду, находим (§ 5.3, часть I), что бесконечное произведение
II
и=Л'+1
а потому и бесконечное произведение
со ( £ 1
л = 1
будут аналитическими функциями при АГ, где АГ— произволь-
ное целое число. Иначе говоря, последнее произведение будет ана-
литической функцией для всех конечных значений z.
Гамма-функция была определена Вейерштрассом2) с помощью
равенства
1 00 I 2 1
П = 1
’) Беря главное значение
г) Journ. fiir Math. LI (1856). Эта формула для Г (г) была получена из
юрмулы Эйлера (см. § 12.11) в 1848 г. Ньюманом (New mann F. W.,
Cambridge and Dublin Math. Journ., Ill (1848), 60).
12.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГАММА-ФУНКЦИИ 15
Из этого равенства ясно, что функция Г (г) аналитична всюду,
за исключением точек z = 0, —1, —2.............в которых она
имеет простые полюсы.
Гёльдером ), Муром’) и Барнсом3) были опубликованы доказательства
теоремы, известной еще Вейерштрассу, что гамма-функция не может удо-
влетворять никакому дифференциальному уравнению с рациональными коэф-
фициентами.
Пример 1. Доказать, что
Г(1)=1, Г'(1) = -7,
где т есть постоянная Эйлера.
(Продифференцируйте логарифмически равенство
(§ 4.7, часть I) и подставьте в результат г= 1.]
Пример 2. Показать, что
>4+1+ -4=
о
и, исходя отсюда, доказать, что постоянная Эйлера равна пределу 4)
Пример 3. Показать, что
____£_\ J 1 _ (г + 1)
г-|~п/ ) Г (г— х-|-1)‘
') Holder, Math. Ann., XXVIII (1887), 1—13.
2) М о о г е, Math. Ann., XLVIII (1897), 70—74.
3) Barnes, Messenger of Math., XXIX, (1900), 122—128.
4) Читатель увидит ниже (§ 12.2, пример 4), что этот предел равен
1 со
0 1
16
ГЛ. 12. ГАММА-ФУНКЦИЯ
§ 12.11. Формула Эйлера для гамма-функции
По определению бесконечного произведения имеем
Отсюда
л=1
Эта формула принадлежит Эйлеру1), она имеет место всюду,
кроме точек г = 0, —1, —2, ...
Пример. Доказать, что
Г (г)— Нт
п -> со
1-2.,,(п —1)
г (г 4-1)... (•? + « —1)
п .
(Euler)
12.12. Уравнение в конечных разностях для гамма-функции
Покажем теперь, что функция Г (г) удовлетворяет уравнению
в конечных разностях
Г(г+1) = гГ(г).
>) Эта формула была дана в 1729 г. в письме к Гольдбаху, напечатанном
в «.Corresp. Math.» Фусса (Fuss).
12.12. УРАВНЕНИЕ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ ДЛЯ ГАММА-ФУНКЦИИ 17
В самом деле, если z не является целым неположительным числом,
то по формуле Эйлера имеем
Г(^Ч- 1)/Г(г) =
1
— *4-1
tn
lim Ц
m->oo n=i
z
,. w + l
— z lim —।
m-* oo г 4- m 4-1
Это — одно из наиболее важных свойств гамма-функции.
Так как Г(1)= 1, то
Г(г) = (г- 1)1,
когда z — целое положительное число.
Пример. Доказать, что
д______1--1---1----1_ . . —
Г(*4-1) ТГ(*4-2) ^Г(г-ЬЗ)
е f 1 11,11
Г (z) ( г II г 4-1 + 2! z + 2
[Следует рассмотреть выражение
X * _|_____1------[_ J---------1_______
z + г (z +1) z (z 4- 1) (г + 2) z (z -f- 1) ... (z + т) '
Оно может быть разложено на простейшие дроби и приведено
т
к виду St+H’ где
п=0
1оо
е- У А
г! Г
Замечая, что
________е
(т — п + 1)1
, надо доказать, что
т
V (-1)" 1
nl ^4-п
п=0
1
rl
Г = Л1-Л + 1
->0,
когда т->оо, а г не равно 0, —1, —2, ...]
18
ГЛ. 12. ГАММА-ФУНКЦИЯ
12.13. Вычисление некоторых бесконечных произведений
При помощи гамма-функции можно вычислять бесконечные произ-
ведения вида
где ип — любая рациональная функция индекса п..
Действительно, разлагая ип на множители, мы можем написать
это произведение в виде
П( А(п — а,) (п — аг)...(п — ak) ) .
я=1 1 (n — bx)(n — b2)...{n — bi) )
предполагается, что ни один из множителей знаменателя не
равен нулю.
Для сходимости этого произведения, очевидно, необходимо, чтобы
число множителей числителя равнялось числу множителей знамена-
теля и чтобы Д=1, ибо в противном случае ип не будет стре-
миться к единице, когда п стремится к бесконечности. Поэтому мы
имеем k — I и, обозначая произведение через Р, можем написать
р _ ТТ ( (и —а.) ...(л —а*) )
У -1 («-*))... (п — Ьк) г
Общий член в этом произведении можно написать в виде
(1 __£1Л ... (1 —-21W1 —... (1 —=
\ п ) \ п / \ п ) \ п )
__I а1 + ••• +afe — —bk , .
где Ап будет О (га-2) при больших п.
Для того чтобы бесконечное произведение было абсолютно схо-
дящимся, необходимо (§ 2.7, часть I), чтобы
«1 + ... + ак — \ — ... — bk = 0.
Мы можем поэтому, не меняя значения общего множителя рассматри-
ваемого произведения, ввести в него множитель
ехр{«“1(а1+ ••• +ak — bl— ... —М-
Таким образом, получим
12.14. СВЯЗЬ С ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ 19
Но из определения гамма-функции по Вейерштрассу видно, что
и, таким образом,
к
Р = М ••• ^Г(—fcft) _ ТТ Г(1 —fcm)
а,Г (- а,) ... akT (-а„) 11 Г (1 — ат) '
Эта формула выражает бесконечное произведение Р через гамма-
функцию.
Пример 1. Доказать, что
ТТ s(а + b + s) _ Г(а + 1)Г(54-1)
11 (a + s)(6 + s) Г(а + 6 + D '
п о гт 2~ , . . 2г.
Пример 2. Показать, что при а — cos----------f-1 sin — имеет место
равенство
§ 12.14. Связь между гамма-функцией
и тригонометрическими функциями
Докажем еще одно весьма важное свойство гамма-функции,
выражаемое равенством ’)
Г(г)Г(1 -z)==^—.
х ' sin тег
По определению Вейерштрасса (§ 12.1) имеем
00 I/ -I)-1 Л I А1-’
Г(.)Г(-.) = -^П 1 + П 1
Л=1 * ' ' П=1 4 ' '
— л
z sin kz 1
если примем во внимание пример 1 § 7.5 части I. Так как со-
гласно § 12.12
Г(1 —z) =— zf(—z).
то отсюда и получим требуемый результат.
’) Эту формулу часто называют формулой дополнения. — Прим. ред.
20
ГЛ. 12. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Следствие 1.
дает {г(т)Г = л’
тельно, то мы имеем
Если мы дадим z значение-j, то полученная формула
и так как по формуле Вейерштрасса положи-
Г' (г\
Следствие 2. Если ф(г) =
то
ф (1 — г) — ф (г) = я ctg иг.
12.15. Теорема умножения Гаусса1) и Лежандра
Докажем равенство
rwr(2+l)r(2+l)...r(z.t
п—1\ 7~пгг1/ Ч
——J = (2it)2 /г2 Г(тьг).
Положим
?(*) =
л«Г(г)г(г + ^-)... г(г4
пГ (пг)
Тогда имеем по формуле Эйлера (пример § 12.11)
, г
я—1 г+—
п^ТТ lim __________ 1-2 ...(m-l)./» ”_________
r=o (г4--^г4-^-4-1)...(г-Н-£- + m — 1)
1.2...(nm-l)-(/»n)^
m+a nz(nz-)-l)... (nz 4-Ml — 1)
nz+1r (я-1)
{(m— l)l)»ffl 2 nmn
(nm —1)! (nm)nz
= lim
co
{(m—l)!}nm2 nmn~x
(nm — 1)!
Из этого последнего выражения видно, что <p(z) не зависит от z.
Таким образом, <р(2) равна значению, которое она имеет при z = ±-,
т. е.
>) Gauss, Werke, Ш, 149. Случай п = 2 был дан Лежандром.
12.16. РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ 21
Следовательно,
Я —1
(т<г)|’ = П{г(т)г(1-т)} =
______________я"-1____________ (2тс)я~1 ')
л 2л . (п—1) Л п '
sin — sin — ... sin ------
п п п
или так как положительна, то
, ч /о чТ*"-1’ ~4
<р (г) = (2л)2 п 2,
откуда
Г(г)г(г + 4) ••• г(2 + ^)==/г1-яг(2к)4(я-1,Г(/г2).
Следствие. Полагая л = 2, имеем
L
22г-1Г(г)г(г + |] = л2Г(2г).
Эта формула называется формулой удвоения.
Пример. Пусть В(р, о) = f ; показать, что
В(р, 9)в(р + 1, ?)... в(р+ 1=±, q\
В (пр, па) = П~ПЧ ---------------------------уг-;---.
4 В (9, q)K(2q, q) ... В ((л— \)q, q)
12.16. Разложения для логарифмических производных
гамма-функции
Мы имеем
СО ( z \
{г(Z 4-1)}-1 = JJ (1 + £\ е~ .
Взяв логарифмическую производную (§ 47, часть I), получим
rflgT(z4-l)____ г г г
dz ~ 1(г4-1) 2(г+2) 3(г + 3) ’* •••
или, так как 1g Г {z -f-1) = lg z -f- IgT (z),
CO
d , . 1 , V 1
dz & 1 г hi n(z 4- n) ’
n=i
n-1
’) Вычисление J J sin — см., например, в книге: M. А. Лаврентьев
k=i п
и Б. В. Шабат, Методы теории функций комплексного переменного, Физ-
матгиз, 1958, стр. 558.— Прим. ред.
22
ГЛ. 12. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Дифференцируя вторично, получаем
rf* 2 . Г/ । d ( г I г _|_ 1 * , 1 !
Лг2 g dz 11 (гД-1) + 2(г4-2) ' ”'f “ (z+ 1)2 +(z + 2)2"1-”'
Эти разложения иногда применяются в приложениях.
12.2. Интегральное представление Эйлера для Г (г)
___ 4 Z— 1
е t dt представляет аналитическую
о
функцию от z, когда !) вещественная часть z положительна (§ 5.32,
часть I). Он называется интегралом Эйлера второго рода 2).
Покажем теперь, что при Re^>0 этот интеграл равен Г (г). Обо-
значив вещественную часть z через х, имеем х > 0. Если теперь
обозначить 3)
п
H(z, n) = f (1
6
ТО, положив t = nt, получим
1
II (z, п) — пг j" (1 — Олтг-’ dr,
о
/г-кратным интегрированием по частям легко показать, что при
х > 0 и п целом положительном
') Если вещественная часть г не положительна, то интеграл не сходится
из-за особенности подинтегрального выражения при t — 0.
2) Это название было дано Лежандром, см. § 12.4 об интеграле Эйлера
первого рода.
3) Многозначность функции tz~l устраняется, если определить эту функ-
цию равенством i2-1 = е(2-1) lg/, где lg t веществен.
12.2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭЙЛЕРА ДЛЯ Г (z)
23
а потому
1 •2...п
II (Z, п) — ' ,--Г- пг.
v ’ г (г 4-1) ... (z-f-n)
Отсюда, согласно примеру § 12.11, R(z, ii)->T(z), когда л->оо,
т. е.
п
Г(г)= lim J ^1—tz~xdt.
Итак, если положим
Г1О) = J
о
то имеем
1\(.г) — Г (г) = lira
Я->со
- П со
-О п
Но
lim — О,
п
ибо интеграл J е-^г-1Л сходится,
о
Для того чтобы показать, что и первый интеграл в выражении
для 1\(.г)— Г(г) имеет пределом нуль, заметим, что
/ /\п
— (1——\ 0
[Чтобы установить эти неравенства, мы рассуждаем следующим обра-
зом. Если 0<у < 1, то, как это следует из разложений функций еу и
(1—у)-1 в ряды, имеют место неравенства
1 4- У С e-v С (1 — >)-1.
Подставив ~ вместо у, будем иметь
а потому
24
ГЛ. 12. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Далее, если то (1 — а)”.> 1 — па. При па^>1 это очевидно,
t2
а при па < 1 легко доказывается методом индукции. Положив здесь а = —а,
получим
и, следовательно, ’)
что и требовалось доказать.]
Из доказанных неравенств непосредственно получаем, что
когда п —> со, ибо последний интеграл сходится.
Следовательно, Г\ (z) = Г(z), когда интеграл, которым опреде-
ляется 1\(.г), сходится, т. е.
Г(г) = f e^t^dt,
о
когда вещественная часть z положительна.
Таким образом, когда вещественная часть z положительна, Г (z)
можно определять как этим интегралом, так и бесконечным произ-
ведением Вейерштрасса.
Пример 1. Доказать, что при Re^>0
О
Пример 2. Доказать, что при Re г > О и Re s > О
со
У* e~zxxs~ldx = —
о
*) Эти рассуждения представляют собой видоизменение способа, данного
Шлёмильхом (S с h 1 о m i 1 с h, Compendium der hoheren Analysis, II, 243).
Простой способ получения менее точного неравенства (достаточного для
требуемой цели) дан Бромуичем (Bromwich, Infinite Series, 459).
12.21. СЛУЧАЙ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО АРГУМЕНТА 25
Пример 3. Доказать, что при Re г > 0 и Re s > 1
1 , 1 , 1 , _ 1 Г e~x‘xs~'dx
(z + I)4 + (г + 2)s + (z + 3)s + ‘ ~ W J ex — 1 •
о
Пример 4. Из результата примера 2 § 12.1, пользуясь неравенством
получить, что
о
12.21. Распространение интегрального представления
гамма-функции на случай отрицательного аргумента
Формула последнего параграфа непригодна для случая, когда вещест-
венная часть г отрицательна. Коши ) и Залшютц* 2) показали тем не менее,
что существует аналогичная формула и для отрицательных значений.
Она может быть получена следующим путем.
Рассмотрим функцию
СО
r2U) = f + ... +(-1)*+1 dt,
о
где ft — целое число, такое, что — k > х > — k — 1,х — вещественная часть г.
Интегрированием по частям получаем при х < —1
r,w_[£(«-<_i+<-£ + ... +(-!)*« £)]"+
со
+ 1/... +<-!)•
О
Обинтегрированный член стремится к нулю при обоих пределах, так как
x-]-k отрицательно, a x-f-^4-1 положительно. Таким образом, имеем
Г2 М=|г2 (г 4-1).
То же самое рассуждение применимо и в том случае, когда х лежит
между 0 и —1, и приводит к формуле
Г(г4-1) = гГ2(г) (0>х>-1).
Последнее равенство показывает, что при — 1 < х < О
Г2 (г) = Г(г).
') Cauchy, Exercices de Math. (1827), 91—92.
2) S a a 1 s c h ii t z, Zs. fiir Math, und Phys., XXXII (1887), XXXIII (1888).
26
ГЛ. 12. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Из предпоследнего равенства следует затем, что Г2(г) равно Г (г) для
всех отрицательных значений Re г, меньших — 1. Таким образом, для всех
отрицательных значений Re г мы имеем следующую формулу Коши и Зал-
шютца:
СО
Г(г) = у + ...
о
где k— ближайшее целое число, меньшее —Re z.
Пример. Пусть функция Р(Ю определена для положительных значе-
ний равенством
1
= J* x^~xe~xdxt
о
и пусть для отрицательных значений р. функция Рх (|i) определена равен-
ством
1
= f ... +(-l)*+1
О
где k — ближайшее целое число, меньшее—Показать, что
Р,W-/•<„>-l + ...
(Saalschiitz)
12.22. Представление Ханкеля функции Г (г)
в виде контурного интеграла
Интегралы, полученные для Г (z) в §§ 12.2, 12.21, являются
лишь наиболее известными из обширного класса определенных инте-
гралов, при помощи которых может быть определена гамма-функ-
ция. Наиболее общий интеграл этого класса принадлежит Ханкелю *).
Этот интеграл мы сейчас и рассмотрим.
Пусть D — контур, который начинается в точке р на веществен-
ной оси, обходит один раз начало координат против часовой стрелки
и возвращается обратно в р.
Рассмотрим J когда вещественная часть z поло-
D
жительна, а само z не есть целое число.
Многозначную функцию (—t)z~x сделаем однозначной, приняв
(—t)z~x = е(г-1) где 1g(—t) веществен, когда t находится на
отрицательной части вещественной оси, так что на контуре D имеем
— *<arg(- 0<it,
‘) Н a n k е 1, Zs. file Math, und Phys., IX (1864), 7.
12.22. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ХАНКЕЛЯ ФУНКЦИИ Г (z~)
27
Подинтегральная функция не будет аналитической внутри D, но,
по следствию 1 § 5.2 части I, путь интегрирования можно дефор-
мировать (не меняя значения интеграла) в путь, начинающийся в р,
идущий вдоль вещественной оси до 8, описывающий окружность
радиуса 8 вокруг начала координат против часовой стрелки и воз-
вращающийся обратно в р вдоль вещественной оси.
На вещественной оси в первой части этого нового пути инте-
грирования мы имеем arg(—t) — — it, так что (—t)2-1 =
(где igf веществен), а на последней части пути (—t)2^1 = eiv^~1}t2~l.
На окружности положим — t— 8е'8; тогда получим
= J e~iK(2 1}(2~ге~‘М +
D * р ?
(8e‘Y-V(cos6+/sInS)8^ -f- J e^-^e^dt^
—Я 6
р
= — 2z sin ~z f t2~xe
gizS + G (COS 6+Z sin 6) .
Это соотношение справедливо для всех положительных значений
8<^р. Будем теперь приближать 8 к 0; тогда 8г—>0 и
у giz^+h (cos 04 i sin в) ^g > у giz0^g
— те —те
так как подинтегральная функция стремится к своему пределу рав-
номерно.
Следовательно, мы приходим к заключению, что равенство
р
(— t)2~}e~‘ dt = —2/ sin vz § t2~x e~f dt
d о
будет справедливым для всех положительных значений р. Пусть
р—»оо, и пусть С — контур, в который переходит D.
Тогда
(— /)г-1е-/Л — —2i sin ~z
с о
У t2"1 е~* dt
и, следовательно,
Г(г) = — -oT-J--- f (—tf-'e^dt.
4 ' 2i smnz J к '
с
Далее, поскольку контур С не проходит через точку t = 0, уже
не надо требовать, чтобы вещественная часть z была положительной;
28
ГЛ. 12. ГАММА-ФУНКЦИЯ
интеграл J (—/)z-1e ldt будет однозначной аналитической функцией z
с
для всех значений z. Поэтому, согласно § 5.5 части I, равен-
ство, только что доказан-
f__________----£_______ ное для случая, когда ве-
I „_____________ щественная часть z поло-
\ г ______ жительна, сохраняет силу
х»____" для всех значений z, за
рнс. исключением значений О,
±1, ±2, ...
Следовательно, для всех значений z, за исключением 0, ±1,
±2....
гй=~ж/
с
Это и есть формула Ханкеля. Если мы заменим в ней z на
1— z и используем формулу § 12.14, то получим дальнейший ре-
зультат
Т(гГ = 2^f е dt'
С
+о
Вместо J мы будем писать J , подразумевая под этим, что
С оо
путь интегрирования идет из бесконечности на вещественной оси,
обходит начало координат в положительном направлении и возвра-
щается к исходной точке.
Пример 1. Показать, что если вещественная часть z положительна
и а—какое-либо положительное постоянное число, то J" (—t)~z e-t dt стре-
мится к нулю при р->оо, когда путь интегрирования есть четверть окруж-
ности радиуса p-f-д с центром в точке —а, концами которой служат точки р
и —д 4-г (р-|-л) или точки р и —а — i (р + а).
Вывести формулу
-а-/?
lim f (— t)~z e-t dt — lim f (— t)~z e~* dt ‘)
p -> co J 0 -> CO
-a + lf C
и отсюда, положив t = —a—iu, получить, что
lW = i fea'iU ^ + ^r2du.
‘) Здесь С— контур, представленный выше на рисунке. — Прим. ред.
12.3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГАУССА 29
[Эта формула была дана Лапласом (Laplace, Theorie Analitique des
Probabilites (1812), 134) и по существу эквивалентна формуле Ханкеля с кон-
турным интегралом.]
Пример 2. Взяв 4 = 1 и положив t =—l-J-itgl) в примере 1, пока-
зать, что
*2
* = — / cos (tg в — z9) cosz-29 М.
1 (г) те J
о
Пример 3. Взяв за контур интегрирования параболу с фокусом в на-
чале координат, показать, что при а > 0 ‘)
= l^inz / + * 2 cos {2at (2г— 1) arctg dt.
о
(Bourguet, Acta Math., I)
Пример 4. Найти значения x, для которых интеграл
2- tx~l sin t dt
б
будет сходящимся; для этих значений х выразить его через гамма-функцию
и затем показать, что он равен
со со
п-1 П—1
(St. John’s, 1902)
СО
Пример 5. Доказать, что J* (1g t)m —dt сходится при m > 0, и,
о
пользуясь результатом примера 4, определить его величину при т = 1
и т — 2.
(St. John’s, 1902)
12.3. Интегральное представление Гаусса
для логарифмической производной от гамма-функции 2)
г-, d , г,, , Г' (z) ,
Представим теперь функцию 1gГ (z) = в виде несоб-
ственного интеграла, когда вещественная часть z положительна; рас-
сматриваемая функция часто обозначается через ф (г). Но сначала
нам нужна новая формула для 7.
‘) а—расстояние от вершины до фокуса.— Прим, ред,
2) Gauss, Werke, III, 159.
30
ГЛ. 12. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Из формулы примера 4 § 12.2 находим
где Д = 1 — е~°; замена-8 на Д допустима, так как
при
8->0.
Положив t = 1 — е
снова через t, получим
в первом из этих интегралов и обозначая затем и
— I е 1 dt.
t J
Это и есть необходимая нам формула для
Чтобы получить формулу Гаусса,, возьмем равенство (§ 12.16)
7 —
Г(г)
п
У(—_____
Li \т z
т-1
и положим
1
z+m)
о
что допустимо
положительна.
Получаем
при
т — 0, 1, 2, .... если вещественная часть z
Г' (?) _
Г (г) —
™ п
О т = 1
о
e-t_ e-zt е-(л+1)<
. - dt =
о
1 — е
е-“
1 — е~
е
t
Г -—
J
12.3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГАУССА
31
Но если 0 < t < 1, то
\—e~zt
1 — е~*
будет ограниченной функцией от t.
предел которой при <->0 будет конечным, а при С>1
l—e~zt
1 — е~*
1 + |е-г<| 2
1 — е~х 1 — е~х
Поэтому мы можем
пути интегрирования
найти такое число К, не зависящее от t, что на
\ — e~zt
1 — е~*
и таким образом,
p-e-±e-^tdt
J 1 —е*'
о
У* dt=^K{n-[-\)-x
о
Мы доказали формулу
tw=4iBrw=/(<i
о '
dt.
которая и является гауссовым представлением ty(z) в виде несоб-
ственного интеграла.
Следует отметить, что это первый из числа встречавшихся нам
в связи с гамма-функцией несобственных интегралов, в котором
подинтегральная функция однозначна.
Положив в формуле Гаусса/ = lg (1 + л), получаем, полагая Д = е5—1,
так как при й->0
д д
S S
Отсюда
Г'(?)
Г (г)
= Ига
д->о
(1+х)г
1 dx
) X '
32
ГЛ. 12. ГАММА-ФУНКЦИЯ
или
О
— формула, принадлежащая Дирихле ).
Пример 1. Доказать, что
о
если вещественная часть г положительна.
(Gauss)
Пример 2. Показать, что
7 = f {(1-Н)-1-*-'} Г1 dt.
(Dirichlet)
12.31. Первое интегральное представление Бине для 1g Г (г)
Бине2) дал два выражения для 1g Г (г), которые имеют большое
значение потому, что они показывают, как ведет себя 1g Г (г) при
\z | --> оо.
Для того чтобы получить первое из этих выражений, отметим,
что если вещественная часть z положительна, то
Г'(*4-1) _ Л е~‘г |
Г(г + 1) J j t ?-1 j '
что легко проверить, заменяя z на z-|-l в формуле § 12.3.
Далее, согласно примеру 6 § 6.222 части 1,
00
о
и поскольку
о
имеем
оо
^igrte+i)=Ar+ig2-/{l-l+-J-rp-«.
О '
!) Dirichlet, Werke, 1, 275.
2) Binet, Journ. de 1’ecole polytechnique, XVI (1839), 123—143.
12.31. ПЕРВОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БИНЕ ДЛЯ 1g Г (г) 33
Подинтегральная функция в последнем интеграле будет непрерыв-
ной при t —> 0; и так как -- -I——5—
н 2 ef — 1
ограничена, когда t—>oo,
то легко получаем, что интеграл сходится равномерно, когда веще-
ственная часть z будет положительной. Мы можем, следовательно,
интегрировать от 1 до z под знаком интеграла (§ 4.44, часть I),
после чего получим *)
СО
igrcz+iMs+j)+1+ f
\ * / J (2 t el — 1J t
Так как, согласно § 7.2 части I, функция — у-|—1 } 7 Не"
прерывна при Z—>0 и так как
lgr(z+l) = lgz-]-lgr(z),
то имеем
СО
igl'(z)^(z — j\\gz — z+l+ Г (1 | + -yl— I dt —
* * / " ( 2 t el — 1 ) t
Чтобы вычислить второй из этих интегралов, положим 2)
тогда, взяв г = j в последнем выражении для Г (г), получим
') 1g Г (г + 1) означает сумму главных значений логарифмов множи-
телей произведения Вейерштрасса.
2) Этот прием принадлежит Прингсгейму (Р г i n g s h е i m, Math. Ann.,
XXXI (1888), 473).
2 Э. T. Уиттекер, Дж. H. Ватсон
34
ГЛ, 12 ГАММА-ФУНКЦИЯ
Поэтому, когда вещественная часть z положительна, мы имеем
следующую формулу Бине:
оо
, Г1. , ( I 1 1 О I Г /1 1 I 1 \ e~tz ...
lgT(2)= z — т Ugz — z + -21g2rr+ / - —-Ч--------------t—- ——dt.
, 1 »/ \ 2 t e’ — 1 / t
о 4 '
Полагая z — x-\-ly, видим, что
I/1 1 । 1 \ 1
выражения ----------1------1 —
12 t ё 1 7 t
если
для
обозначить верхнюю грань
вещественных значений t
через К, то
00
11g Г (2)— [z— — ylg2it|<K 1“ e~tx dt = Kx~’1,
о
так что при больших х выражение \z — дает
приближенное значение для 1g Г (2).
Пример 1. Доказать, что при Re z > О
1g Г (г) =
e~zt— е~‘
\—е~*
\ i 1 \ — / I
4-U —1)е Ч —.
(MalmsUn)
12.32. ВТОРОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БИНЕ ДЛЯ 1g Г (z) 35
Пример 2. Доказать, что при Re г > О
Iff Г (г) = j
о
(1 +;)-*_(! + 0-i | di
lg(l + 0 J t
(F6aux)
Пример 3. С помощью формулы § 12.14 показать, что при 0 < х < 1
21g Г (х) — 1g л -f- 1g sin лх = j
о
и/1
shV2~J
sh ~t
(1 — 2х) е
dt
t '
(Kummer)
2х в ряды Фурье по синусам,
Пример 4. Разлагая sh
показать, исходя из примера 3, что при 0 < х < 1
1g Г (x) = 1g л — -11g sin + 2 an sin 2mtx,
n=i
где
Г ( 2пл e t | dt
an ~ ,/ I t2 + 4 A2 — 2/ж I "У
о
Далее показать, исходя из примера 2 § 12.3, что
ап = 2^- (7 + >ff + 1g п).
(Kummer, Journ. flir Math.,
XXXV (1847), 1)
Бине для lgT(2r)
примере 7 главы 7
12.32. Второе интегральное представление
Применим формулу Плана, приведенную в
части I, к суммированию ряда (§ 12.16)
л=0
Условия, установленные там как достаточные для выражения ряда
через интегралы, очевидно, удовлетворяются функцией ср (С) = у,
если вещественная часть z положительна; поэтому имеем
d2
_L+
2г2 / (z + i)2
dt-\-
o
Г q(t, z-\- n)
./ _ 1
о
2»
36 ГЛ. 12. ГАММА-ФУНКЦИЯ
где
2lq(t, z) — — (г_гу)2 •
Так как \q(t, z^-n)f, как легко видеть, будет меньше Кх —,
где К\ не зависит от t и п, то предел последнего интеграла равен
нулю.
Отсюда
д'2 . г./ ч 1 । 1 I Г 4tz dt
dz2 £ Г (*) ~ 2zi + z+ J (z2 + (2}2 e2.t _ ! •
1 2.? I
Так как -2 [ не превосходит К (где К зависит только от 3),
когда вещественная часть z превосходит 3, то интеграл сходится
равномерно, и мы можем его проинтегрировать (§ 4.44, часть I)
в пределах от 1 до z.
Получим
СО
Algrw=-±+l^+c-2;/,.(P+(i;g,,_1).
где С — постоянная. Интегрируя это выражение еще раз, получим
оо
1§Г(г) = (г —l)lgz + (C-l)^ + C' + 2/ -a-gf dt.
где С' — новая постоянная.
Если z вещественно, то 0 < arctg у -у, а потому
ОО
<|/-T^dt.
I \ / г 0
Но в § 12.31 было показано, что
|1§Г(г) — (z — -^)lgz-t-z— jig 2те | —► 0.
когда z->oo по вещественной оси. Сравнивая эти результаты,
видим, что
С = 0, С = i 1g 2ic.
12.33. РЯД СТИРЛИНГА
37
Следовательно; для всех значений г, вещественная часть которых
положительна, имеем
ОО
lgr(z) = (z-^\lgz-z + ±\g^^-2 Г
\ 2 / 2 * — 1
о
где arctgzz определяется интегралом
и
, Г dt
arctg“ = J т+^’
о
в котором путь интегрирования есть прямая линия.
Это и есть второе выражение Бинё для 1g Г (г).
Пример. Проверить законность дифференцирования по г под знаком
интеграла и получить этим путем равенство
Г'(г) = _ _1____Г____________tdt
Г (г) 82 2г J (^ + г2) (е2к/— 1)
12.33. Асимптотическое разложение логарифма гамма-функции
(ряд Стирлинга)
Теперь мы можем вывести асимптотическое разложение (§ 8.2,
часть I) 1gГ(д) для больших значений \z\, применяемое при вычи-
слении гамма-функции.
Пусть z == х -ф- /у, где х В > 0.
По второй формуле Бине будем иметь
1g Г (z) = (z — у) 1g z—z + -i- 1g 2ir 4- <f (z),
где
9(2)=2 f
о
Но
, t t 1 t3 , 1 <5
arctg z — г з гз + 5
, (~l)n~1 t2n-' ,
' ’ ’ ' 2n — 1 г2/!-1
t
Г u3ndu
гп~' J u* + z3'
0
38
ГЛ. 12. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Подставляя это разложение в интеграл и вспоминая (§ 7.2, часть I),
что
Г t2n~ldt
J ^'-1
о
Вп
4п
где В2, ... — числа Бернулли, получим
п со ( t
V (-l)'-1^ , 2(-1)п Г Г
2г (2г — 1)г2,-‘ ' z2n~> J I J «2,^2
г —1 О (О
dt
еы — 1 ’
I ^2 I
Пусть Kz — верхняя граница!) выражения —для положи-
тельных значений и.
Тогда
_______KzBn+\_______
4(п + 1) (2/г + 1) | z\2 '
Отсюда
2(_1)« Г | /* и2п du 1 dt
z2'1-1 J u2 + z2 J e2lzt — 1
_________KsBn+i__________
2 (n + 1) (2n + 1) | z |2n+1 ‘
Очевидно, что это выражение стремится к нулю равномерно при
|г]->оо, если | arg z | -g-it — Д, где -^-1г>Д>0, так как тогда
Л"2<С cosec 2Д. Ясно также, что если | arg z | <. л (так что Кг==Л),
то, взяв сумму п первых членов ряда
у Вг 1
А4 2г (2г — 1) г2Г~'
,z-2 н - {и2 + (х2 — у2)}2 + 4х2у2
‘) Kz является нижней границей выражения -1-------- ----------------—
4х2уг . й
и, следовательно, равно или 1 в зависимости от того, будет ли
12.33. РЯД СТИРЛИНГА
39
как приближение к cp(z), получим погрешность, численно меньшую
(л-|-1)-го члена. Но так как при | argz| <4 тс — Д имеем
л
г=1
< cosec2 2Л 2 (п + 1) (2n + 1) । -> О,
когда г->оо, то ясно, что ряд
Д,73г I Дз
1-2-г 3-4• г3 5 • 6• г5
представляет собою асимптотическое разложение1) (§ 8.2, часть I)
функции <p(z).
Таким образом, мы видим, что ряд
(•г — у) >g z — z + 1g 2тс 4-
г=1
(—1)Г~* Дг
2л (2г—1) г2г-‘
будет асимптотическим разложением lgF(a:), когда |arg2| тс—Д.
Это выражение обычно называют рядом Стирлинга.
В § 13.6 оно будет распространено на более широкую область
| arg г | <^тс — Д.
В частном случае при z положительном (= х) имеем
Г и2П du
J и2 + х2
г\ 1
О
dt < Вп+1
е2л<—1 2 (n + 1) (2/г + 1)х2 ’
т. е. при х>0 значение функции ср(х) всегда лежит между
суммой п и суммой /г —р-1 членов ряда при всех значениях п.
В частности, 0 < ср (х) < -т-~-, так что <р(х) = -тЛ-, где
X * £Л 1сл
0< 9 < 1.
Следовательно,
_2 1 8
Г(х)==х 2е-х(2тс)2е 12х.
>) Разложение действительно является асимптотическим, ибо если бы
оно сходилось при | г | > р, то по § 2.6 части I мы нашли бы такое К., что
СО .
в
Вп < (2п — 1) 2«АГр2Л2, а тогда ряд -—(2п)1 ”— ®ыл целой ФУнкцией,
п-1
что противоречит § 7.2 части I.
40 ГЛ. 12. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Потенцированием ряда Стирлинга получаем
Г(х) = е~Лх ^(2л)2 { 1+l2x + 288х2 “
________________571__ /И)
51 840x3. 2 488 320х<’ \ х5 /|
что и дает асимптотическое выражение для гамма-функции.
В сочетании с формулой
Г(х-|- 1) = хГ(х)
оно весьма полезно при нахождении численного значения гамма-
функции для вещественных х.
Этим способом Лежандр составил таблицы функции lg10 Г (х) с 12 деся-
тичными знаками для значений х от 1 до 2; они напечатаны в его «Exercices
de Calcul Integral», II, (1817), 85 и в его «Тгайб des fonctions elliptiques»
(1826), 489.
Заметим, что Г (х) имеет один минимум для положительных значений х,
а именно при х = 1,4616321...; значение же 1g Г (х) тогда будет равно
1,9472391...
Пример. Получить разложение
1g г (г) = (г — 1g г — г + -i- 1g 2r. -f- J (z),
сходящееся при Re z > 0, где
!(.л _ _L J _£i_ j______сл______l _________£?__________1
Лг,-'2 (г + Г 2(Л-1)(г-!-2) 3(гф!)(г^2)(ИЗ)г "]
С1 - 6 ’ Ca ~ 3 ’ Сз ~~ 60 ’ с* 60
и вообще
1
сп = J" (х 4- 1) (х -f-2) ... (х + п— 1) (2х— 1) х dx.
о
(Binet)
12.4. Интеграл Эйлера первого рода
Название интеграл Эйлера первого рода было дано Лежандром
интегралу
1
В(р, 9) = J хр~‘(1— x^dx,
о
12.4. ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА ПЕРВОГО РОДА 41
изученному впервые Эйлером и ЛежандромJ). В этом интеграле
вещественные части р и q предполагаются положительными,, а под
xp~* l, (1—х)9-1 понимаются те значения величин ^-1)Ig-« и
е(9-1) ig(!-•»)> которые соответствуют вещественным значениям лога-
рифмов. При этих условиях легко видеть, что интеграл В(р, q) (воз-
можно, несобственный) имеет смысл (§ 4.5, часть I, пример 2).
Заменяя х нд 1 — х, получим
В(р, <?) = В (<?, р).
Далее, интегрируя по частям, находим
Г хр~' (1 — X)q dx = [ (1 ~ 1 ‘ Г хр(1 — xf-^dx,
J \- Р Jo Р ,/
о о
так что
В(р, ?+!)= JB(p+1, q).
Пример 1. Показать, что
В (Р, q) = В (Р 4- 1> q) + В (р, q + 1).
Пример 2. Исходя из примера 1, доказать, что
В(Д У + 1) = у^В(л у).
Пример 3. Доказать, что при целом положительном п
в(р, п+1) = / \2 •••/ , у.
Р (Р + 1) • •. {Р + л)
Пример 4. Доказать, что
СО
В (х, у) = / ----------da.
(,У) J (14-«Г+у
Пример 5. Доказать, что
Г (г) = lim пгВ (z, п).
Л->оо
') Euler, Nov. Comm. Petrop., XVI (1772); Legendre, Exercices,
1, 221.
42
ГЛ. 12. ГАММА-ФУНКЦИЯ
12.41. Выражение интеграла Эйлера первого рода
через гамма-функцию
Докажем теперь важную теорему, выражаемую равенством
,, , \ Г (от) Г (п)
В (т, п) — —.
v ' Г (т 4- и)
Пусть сначала вещественные части тип больше ~. Тогда
Г(т)Г(п) — J" е~ххт~1 dxX $ е~Ууп~х dy.
о о
Заменяя х на х2 и у на у2, получим
R R
Г(т)Г(п) = 4 lim f е-^х2"1'1 dx f е~У2у2п~1 dy
R R
= 4 lim f f e-(*!+y2)x2m-,y2«-’ dx dy.
R->a>J J
Но для рассматриваемых значений tn и n подинтегральная функ-
ция непрерывна во всей области интегрирования, а потому инте-
грал можно рассматривать как двойной интеграл, взятый по квад-
рату SR. Обозначая через /(х, у) подинтегральную функцию,
через QR — четверть круга с центром в начале координат и с радиу-
сом R и через TR — часть вне QR, получим
TR
f f f(x, y)dxdy —f f f(x, y)dxdy =
sr Qr
= J f f(x, y)dxdy <ff[/(x,y)]dxdy
TR
J" J" \f(x, y)| dxdy— J" J | f (x, y) | dx dy ->0, когда R-.
Sr s.
2*
так как f J" | f(x, y)\dxdy стремится к следующему пределу:
SR
2 J e-^lx2"2-1 ]dx X 2 J e~v | y2"-11 dy.
о 0
Поэтому
lim | f /(x, y)dxdy— lim f f f (x, y) dx dy.
R-*eo 4, J R^eo *'
Sr Qr
12.41. ВЫРАЖЕНИЕ БЭТА-ФУНКЦИИ ЧЕРЕЗ ГАММА-ФУНКЦИЮ 43
Переходя к полярным координатам1) (x = rcos0, y = rsin0), имеем
-It
R
j" f f(x, y)dx dy = j" J" e~r,(r cos0fm-1(r sin 0)2”-1 rdr M.
Q# о о
Следовательно,
-it
co T
Г(m)Г(д) = 4 J* e-r2r2(m+n)-i flr J" cos2m-16 sin2”-1© rfO =
о 0
~2
= 2F(m-(-n)J cos2m-10 sin2"-1 0 c?0.
о
Положив cos2 9 = и, окончательно получаем
Г (m) Г (я) — Г (m -|- п) В (т, п).
Мы доказали справедливость этой формулы только для случая, когда
, 1
вещественные части тип больше у, но, пользуясь результатом
примера 2 § 12.4, ее легко доказать и для случая, когда они
1
меньше у.
Этот результат, найденный Эйлером, устанавливает связь между
интегралом Эйлера первого рода и гамма-функцией.
Пример 1. Показать, что
1
l' (1+х)"-1 (1 - х)^1 dx = rr(g Г (g-.
-’1
Пример 2. Показать, что для функции
f{x у) = 1_у _Д_ + .У.(У-*)_1__________у(у-1)(у-2) 1....... ,
м ’У' х yx-pi ' 2! x-f-2 3! х + 3^-*-
имеет место соотношение
/(*. У)=/(У+ 1, 1),
если значения х и у такие, что оба ряда сходятся.
(Jesus, 1901)
*) Способом § 4.11 части I легко показать, что площади Ат, ц § 4.3 не
обязательно должны быть прямоугольными; требуется лишь, чтобы их наи-
больший поперечник мог быть сделан произвольно малым, когда число
площадей будет взято достаточно большим, так что за эти площади могут
быть приняты и области, ограниченные радиусами-векторами и дугами
окружностей.
44
ГЛ. 12. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Пример 3. Доказать, что
1 1
У у* /(ху)(1— x)t‘-1y|l(l— y)‘~l dx dy =
о 6
о
(Math. Trip., 1894)
12.42. Выражение интегралов от тригонометрических функций
через гамма-функции
Л
У
Мы можем вычислить теперь интеграл J* cosm-1 х sin'1-1 х dx,
о
где т и п. не обязательно целые, но имеют положительные веще-
ственные части.
Положив cos2x = f, имеем, как в § 12.41,
7 1 г(?Ш
./ Cos“-ixsin-'xdx = -j— ' +\ ; .
Отсюда легко могут быть выведены обычные элементарные фор-
мулы для случаев, когда т и п — целые числа.
Пример. Доказать, что при | k | < 1
2 /от + 1 \ / и + 1 \ 2
Г cos'" 0 sin" 0 df) _ \ 2 Г \ 2 ) Г cosm+« 0 rf0
J 2 " г /от+п + 1\ у- J n±L ’
0 (1— £sin20)2 \ 2 )У 0 (1— й sin2 0) 2
(Trinity, 1898)
12.43. Обобщение интеграла Эйлера первого рода (Похгаммер)
В § 12.22 мы видели, что интеграл Эйлера второго рода для Г(г)
можно заменить интегралом по контуру, сходящимся для всех зна-
чений z. Для интегралов первого рода аналогичный результат был
получен Похгаммером. Пусть Р—какая-нибудь точка на веществен-
12.43. ОБОБЩЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ЭЙЛЕРА ПЕРВОГО РОДА
45
ной оси между 0 и 1; рассмотрим интеграл1)
(1 + ,0 + ,1-.0-)
e-KZ(«+W Г = р).
р
Применяемое здесь обозначение введено в конце § 12.22, оно озна-
чает, что путь интегрирования начинается в точке Р, обходит точку 1
в положительном направлении (против часовой стрелки), возвра-
щается к Р, затем обходит начало координат в положительном на-
правлении и возвращается опять в Р и т. д.
В исходной точке аргументы обеих величин t и 1 —t равны нулю.
После обхода (1-|-) они будут 0 и 2 л; после обхода (0-|-) эти
аргументы станут 2те и 2те; после обхода (1—) значения их будут 2 л
и 0, и, наконец, после обхода (0—) оба аргумента будут равны
нулю, так что конечное значение подинтегральной функции будет
такое же, как и начальное.
Легко видеть, что, поскольку путь интегрирования можно дефор-
мировать любым образом, лишь бы только он не переходил через
точки ветвления 0, 1 подинтегральной функции, этот путь можно
Рис. 2.
взять, как показано на рисунке, где четыре параллельные прямые
подразумеваются совпадающими с вещественной осью.
Если вещественные части а и р положительны, то интегралы
по окружностям стремятся к нулю, когда радиусы окружностей
стремятся к нулю2). На путях же a, b, с, d подинтегральная функ-
ция равна соответственно
f-1(l
___^)?-1 g2« (3-1) (a-1) j ___
где аргументы величин t и 1—t теперь равны нулю на всех
путях.
') Pochhammer.Math. Ann., XXXV (1890), 495. Применение интегралов
по двойным петлям принадлежит, по-видимому, Жордану (Jordan, Соигз
d’Analyse, III (1887)).
2) Доказательство этого не затруднит читателя.
46
ГЛ. 12. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Отсюда следует, что е(а, Р) можно представить как сумму че-
тырех (возможно, несобственных) интегралов, именно:
1
е (а, р) = е~гЛ (а+р) J f-1 (1 — dt +
-О
о I
J* f-’(i e2”l?dt + J f-1(l — tf'1 e™{a+?)dt +
1 0
0
4- f t*~\\ —tf'1 e™ dt
i
или
1
е(а, p)==e"’tZ(l+w(l — e2,lZe)(l — e2"z?) f f-1 (1 — t)9~' dt =
о
— 4 sin (ait) sin (Pit) Г(а_|_р) — Г(1 — а) Г (1 — Р)Г(а + Р)‘
Но е(а, Р) и это последнее выражение являются аналитическими
функциями от а и р для всех значений аир. Поэтому, по теории
аналитического продолжения, это равенство, доказанное для случая,
когда вещественные части аир положительны, сохраняет силу для
всех значений аир. Итак, мы доказали, что для всех значе-
ний аир
, — 4я2
6 l-a’ Р' — Г (1 — а) Г (1 — Р) Г (а + Р) •
12.5. Интеграл Дирихле1)
Покажем теперь, как кратный интеграл
Л'1+*2+ • • • +Q 'Г1'?-’ • • • dtx dt2... dtn
может быть преобразован в простой, если предположить, что / —
непрерывная функция, аг > 0 (г=1, 2, ..., п) и что интегрирова-
ние распространяется на все положительные значения переменных
такие, что ^+^2 + •••
Чтобы упростить выражение
i-xi-x-r
f f /(t + T^t^T^dtdT
') Dirichlet, Werke, 1, 375, 391.
12.5. ИНТЕГРАЛ ДИРИХЛЕ
47
(где мы написали t, Т, а, р вместо tx, t2, ар а2 и к вместо
+ ••• +^л)> положим t = ——~ . Тогда получим (при
ЯО)
1-х 1
f /*/(x+v)(1~ •p)a-Ve_17,'t+?_1 dvdT
о т
1-Х
или, изменив порядок интегрирования (§ 4.51, часть I),
1 (l-X)v
/ / —f)a’1f"a_1Ta+p"1d7’rfv.
о о
Положив Т = от2, получим
1 1-Х
/ f /(ХН-Т2)(1 —+ =
о о
1-х
_ Г(а)Г(₽) Г «+Р-1
“ Г (а + ₽) J /^+^2 d^.
о
Отсюда
1 = [ f ••• f f<b + h + ... +w^,+ea-1^-1...
1 lal “Г a2J J J J
...ty'd^dt^.d^
причем интегрирование распространяется на все такие положитель-
ные значения переменных, что T2-j-(34- ... +/„-^1.
Редуцируя таким же образом дальше, найдем:
I = f f W dz-
Г («1 + а2 + • • • + “«) J J 4 ’
О
что и представляет собой результат, полученный Дирихле.
Пример 1. Привести интеграл
f f f +(Я+(ТУ} “у
к простому интегралу; область интегрирования распространяется на все
такие положительные значения переменных, что
причем предполагается, что а, Ь, с, а, р, 7, р, д, г положительны.
(Dirichlet)
48
ГЛ. 12. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Пример
2.
Вычислить
J" J* хРуО dx dy,
вания определяется неравенствами: х^О, у
где
>0,
положительны.
область интегриро-
Хт уп । т и п
(Pembroke, 1907)
Пример 3. Показать, что момент инерции однородного эллипсоида
4
плотности 1, взятый относительно оси г, равен .= (а2 + b2) -abc, где а, Ь,
с — полуоси.
2 2 2
— _ — 3
Пример 4. Показать, что площадь астроиды х3 + у3 = /3 равна тс/2.
О
ЛИТЕРАТУРА
N. Nielsen, Handbuch der Theorie der Gamma-funktion ’) (Leipzig, 1906).
O. Schlomilch, Compendium der hbheren Analysis, 11 (Brunswick, 1874).
E. L. L i n d e 1 6 f, Le Calcul des R6sidus, Ch. IV (Paris, 1905).
A Prlngsheim, Math. Ann.. XXXI (1888), 455—481.
Hj. Mellin, Math. Ann., LXVIII (1910), 305—337.
H. H. Лебедев, Специальные функции и их приложения, Гостехиздат
(1953).
Примеры
1. Показать, что
1
(Trinity, 1897)
2. Показать, что
Ит -------------~1---------П— ' ‘'------Т-------Г (х + 1).
n-km * “1“ Л л , 1 1 , 1 , , 1
(Trinity, 1885)
2 + 3
3. Показать, что
Г-<1) Г'^_;|„2
4. Показать, что
]Г(тН З2 52— 1 72 92 — 1
(Jesus, 1903)
. , , _ И2
16тс2 ~32—1' 52 ‘72—Г 92 *112 —1
(Trinity, 1891)
*) Этот труд содержит полную библиографию.
ПРИМЕРЫ
49
5. Показать, что
-ГТ J (1 + 1 sin (ал)В (?, 7).
±11 (л + ?)(« +1) \ «4-1/1
п=0
(Trinity, 1905)
6. Показать, что
g
ттг(-^ = ^рцз
11 \3/ З‘(уз/-
(Peterhouse, 1906)
7. Показать, что при г = г'С, где С вещественно,
IГ (г) | = ]/" .
(Trinity, 1904)
8. Показать, что при х положительном ')
Г(х)Г(т)_у 2л! 1
. 1\" ~ h 22п • п\ п! х + п‘
Г(Л+2/ л=о
(Math. Trip., 1897)
9. Показать, что при а положительном
Г(?) Г (д+ 1) _ у (—1)”д-(д—1)(д—2),.. (а—п) 1
Г (г + д) — n! z п'
n~Q
1
10. Показать, что при х>0 для Р(х)= е~Чх~г dt. имеют место
о
соотношения
х 11x4-1^21x4-2 3!х4-3^,,‘
и
Р (х 4-1) = хР (х) — е~х •
11. Показать, что при А > 0, х > 0, — -^-л < а < -1 л
J” cos “ cos (А/ sin a) dt = А~ХГ (х) cos ах,
о
ОО
J” tx~xe~u cos “ sin (А/ sin а) dt = А-ХГ (х) sin ах.
о
(Euler)
’) Этот и некоторые другие примеры легче всего решить, пользуясь
результатом § 14.11.
50 ГЛ. 12. ГАММА-ФУНКЦИЯ
12. Доказать, что при b > 0
о
оо / 1 \
Г cosbx 1 г_! sect2") „ ,
./ ----г^Г~ при 0 < г < 1.
о
(Euler)
13. Доказать, что при 0 < п < 1
f (1+х)"-1 cosxrfx = r(n) {cos(^-l)-n^) + nA^+...^
о
(Peterhouse, 1895)
14. Взяв за контур интегрирования параболу с вершиной в начале коор-
динат, вывести из формулы
(0+)
Г(а) = — ------ / (— г)а~* e~z dz
' ' 2z sin cm J '
ОО
формулу
“ I а
г (g) = 9 g/n I Xя"1 (1 + х2)2 [3 sin (х + a arcctg (—х)} +
«£ ЫП CtiC ./
0
+ sin {% + (а — 2) arcctg (—*)}] dx,
где arcctg обозначает тупой угол.
(Bourguet, Acta Math., 1, 367)
15. Показать, что если вещественные части ап положительны и ряд
ОО
V -9 сходится, то бесконечное произведение
л = 1 п
СО ” (
II ru+% ехр 1 L fl (ап) ‘ •
0=1 L I3=1 J _
где
ф(")(г) = -£з >еГ(г)’
будет сходящимся при т > 2.
(Math. Trip.. 1907)
ПРИМЕРЫ
51
16. Доказать, что
rflgl'W Се--е-^ ,
1_«- т-
о
со 1
=У {(! +““’)—(! +«)-г} ^—7 = f 1 dx — y.
о о
(Legendre)
17. Доказать, что при Re г > О
1
, ,, , , Г (xz— х , ,ч} dx
1g Г (г) = / ^ —-j---х (z— 1) г —j -.
.1 ( X— 1 ' i xlgx
(Binet)
18. Доказать, что
IgT (г) = (г— у jig г— •г+412 2п +
со ОО СО
_1_у _1 , з V 1_______,
2-3 + ‘ 3-4^1 (гД-r)3+’4.5^J (г + г)4 + ’
для всех значений г, кроме отрицательных вещественных значений.
19. Доказать, что при Re г > О
1
d . С xz~l {1 — х 4- 1g х} .
-j- 1g Г (г) = 1g z — / ----——§—L- dx.
dz b b J (1 —jr)lgx
о
20. Доказать, что при Re z > 0
d2 Г xe xz dx
dz2^ ^-]
0
z-M
21. Положив J* 1g Г (7) dt — и, показать, что
z
du
dz
= Ig^,
и, пользуясь § 12.33, доказать, что для всех, кроме отрицательных веще-
ственных, значений z
u = z\gz—z
(Raabe, Journ. fiir. Math., XXV)
52
ГЛ. 12. ГАММА-ФУНКЦИЯ
22. Доказать, что
СХ) 00
, „ . . / 1 \. , 1 , о , V /* rf* Sin Imtx
lgrW = ^-T)lg^-^ + ylg2^ + ^ J
n=l 0
для всех значений г, кроме отрицательных вещественных
(Bourguet ’))
23. Доказать, что
В(А р)в(р + |. Д+4) = -24^у
(Binet)
24. Доказать, что при —t < г < t
к it л-г f г\- 1 С ch(2ru)du
в (Г 4- г, I — г) — , / -----------
4'1 J ch2tu
О
25. Доказать, что при q > 1
Б(р, 9) 4-В (р-Н, ?) 4- В (р 4- 2, ?)4- ... =В(р, q — 1).
26. Доказать, что при р—а > О
В(р—а, д) _ ад д (д + 1) у (у 4-1) ,
в (р, я) "г р + q ”г 1 • 2 • (р 4- ?) (р 4- я 4-1) ‘
27. Доказать, что
В (р, q) В (р 4- q, г) = В (9, г) В (д 4- г, р).
(Euler)
28. Показать, что при а > О, b > 0, р > О
Г И _ dX - г Г 1
j Ц (х+р)а+ь Г(а + Ь) {1+рГро-
(Trinity, 1908)
29. Показать, что при т > 0, п > О
Г (14-л-)2'"-1 (1-л)2"-1 +я_2 Г(И)Г(Л)
./ (14-x2)m+n Г(/п4-п) ’
Л .
и, считая а вещественным и не кратным у, вывести формулу
1
4 К
Г /cos 0 4- sin (I \cos 2а _ л
J \cos 0 — sin 0 / 2 sin (л cos2 а)
1
~4 11
(St. John’s, 1904)
*) Стилтьес приписывает этот результат
Math. (4), V, 432).
Бурге (Bourguet, Journ. de
ПРИМЕРЫ
53
30. Показать, что при а > 0, {3 > О
1
31. Показать, что при а> 0, а -\-Ь > О
(Kummer)
са~1 (1 —
) . .. (Г(д)Г(В) Г (д-L &) Г (В) ) , , , ,ч , , .
-ix-!"»i rW+iy- г(« + /+») }’♦(« + »)-♦<«>
Доказать,
имеем
1
/
что при дополнительном условии д -f- с > О, а + b 4- с > О
^а~1 (1-Хй)(1-хс) _ Г(д)Г(д + &+с)
(l-x)(-lg^) Г(а + &)Г(й4-с) ‘
32. Показать, что
1
Г (1-ха)(1-хй)(1-х9 _ Г (& + с + 1) Г (с + д + 1) Г (а + 6 + 1)
J (l-x)(-lgx) еГ(д4-1)Г(6 + 1)Г(с + 1)Г(д-|-6+с4-1)’
о
если а, Ь, с таковы, что интеграл сходится.
33. Подстановкой cos 0 = 1 — 2 tg -% <р показать, что
о (3 — cos 6)2
(St. John’s, 1896)
и
о
г> , Г sin^x ,
34. Выразить через гамма-функции интеграл / ---dx, где р—дробь,
о
большая единицы, числитель и знаменатель которой—нечетные целые числа.
[Показать, что интеграл равен
7Г
1 г . „
-g- / SlnP X
b
n=l J
(Clare, 1898)
54
ГЛ. 12. ГАММА-ФУНКЦИЯ
35. Показать, что
1
Т п-1
I (1 — у sin2 x'j 2 dx
’о
п! V 23'’ f р ( Zr 4-1 \ 12
“ 1 Zj 2г!(л—г)! ( \ 4 J | •
2«+2я2 г=0
36. Доказать, что
Ig в (Л q) = 1g dv.
s \ pq I ‘ J (1 — v) 1g v
0
(Euler)
37. Доказать, что при p > 0, p -f- s > 0
B(p p-l-s) - B (Л p} j 1 I । g(g— l)(g—2)(s —3) )
h(P,Pfs)- 2i P+2(2^ + l) + 2-4(2^-f-l)(2p + 3)+••• ('
(Binet)
38. Кривая rm =•• 2m~'am cos mH состоит из m равных петель. Показать,
что длина дуги половины петли равна
1
и вывести отсюда, что длина всей кривой равна
39. Проведем прямую, соединяющую точки ± /, и полуокружность
| z | = 1, лежащую справа от этой прямой. Пусть С — контур, образованный
из этой фигуры вырезанием ее в точках —Z, 0, i. Рассматривая интеграл
J* zP~l~l (z -j- z~')p+<1~2 dz, показать, что при p-\-q>\, q<l
С
1
2 ”
/* cos/,+'7-2 fl cos (p— q) fl dfl ---1-—j-------—.
./ (^ + 7-1)2^-1b(A7)
о
Доказать, что результат остается справедливым для значений р и q,
ограниченных только условием р + q > 1.
(Cauchy)
40. Показать, что при s положительном (не обязательно целом) и
COS5 X =
1
25“
s o , s(s —2)
---г-x COS 2x 4- 7--------—r;
s + 2 n (s-j-2) (s4)
Г(5 + 1)
/1 \ i2
ПРИМЕРЫ
55
Вычертить графики ряда и функции coss *x.
41. Получить разложение
c°ssx = -^rrr($4-!)
COS ах
Ц" + ‘)Г(
COS ЗаХ
и найти значения х, для которых оно пригодно.
42. Доказать, что при р > у
22р-1 Г 2п2 ( Р
г<2/» = <Г (,»’ { 1 +
(Cauchy)
р.32
+ 2-4(2/>4-3)(2/>
43. Показать, что при x < 0, x-f-z>0
Г(— x) ( —x 2 (— Л) 0~ Л) । 1 (—-у) (! — •*) (2— х)
Г(z) ( z r2 z(14-z) -г 3 z(14-z)(24-z)
4-5) ••• (J ’
(Binet)
‘(-'so-oxi-o
0
dt,
s —
Г
3
S Г
0
1 x(x — 1) , 1 x(x— l)(x — 2)
2 z(z + l) + 3 z(:4-l)(z+2)
и вывести, что при x-{-z
d Г (z + x) x
dz" Г (z) ~ z 2 z (z + 1)
44. Пользуясь результатом примера 43,
1g Г (z 4- а) = 1g Г (z) 4- a 1g г — - —
a J t (1 — t) (2— t) ...(п— t) dt
О
доказать, что
а
(п + 1) z (z + 1) {г 4- 2) ... (г + п)
Л = 1
и исследовать область сходимости ряда.
(Binet, Journal de 1’Ecole polytechnique, XVI, 1833, 256)
45. Доказать, что при р > 0, q > О
P~2’’7~2 1
в (P, q) = —----------г (2л)2 ем {p-
P+4--Z-
(p+q)
56
ГЛ. 12. ГАММА-ФУНКЦИЯ
где
М (Л q) = 2? j* arctg / --у" .
J е2^?—1 lpq(p + q))
а
p2=P2 + ^2+w
46. Пусть
1 1
, V =_______2—_____,
Г(1— 2 х) Г(‘2~2’Х)
и пусть функция F (х) определяется равенством
р = (v~-u
\ dx dx)
Показать, что
1) F (х) удовлетворяет уравнению
г(% + 1) -^U) + r(1Lx)-;
2) для всех положительных целых значений х
F (х) = Г (л);
3) F (х) будет аналитической функцией для всех конечных значений х
Г
4) F (х) = Г(1_Л) 1g (1 ——) "
47. Разложить
{Г (а)}’1
в ряд по возрастающим степеням а.
[Различные способы определения коэффициентов в этом разложении
даны Бурге (Bourguet), Bull, des Sci. Math., V (1881), 43; Bourguet, Acta
Math., II (1880), 261; Шлёмильхом (SchlOmilch), Zeitschrift fiir Math, und Phys.,
XXV (1880), 35, 351.]
48. Доказать, что функция О, определяемая равенством
1 1 ,, 1 , со ( >
•77 z г(г+1)-— тг / ,\« -г+77-
G (г 4-1) = (2г.)2 е1 2 II 0 + л) 6 J’
есть целая функция, удовлетворяющая соотношениям
О(г4-1) = Г(г)О(г), G(l)=l,
(Алексеевский)
примеры 57
[Наиболее важные свойства функции G рассмотрены в мемуаре Барнса
(Barnes), Quarterly Journal, XXXI.]
49. Показать, что
G'(* + 0 1 ,1 . , . г (*)
G(^ + l)“2g2+2 + Г (г) ’
и вывести отсюда, что
Z
lg 6(1+ г) = f nZ ctg ~Z dz — Z 'S’ 2я'
О
50. Показать, что
г
f |&Г(/ + 1)Л = 1г1£2я-1г(г + 1)+г12Г(г+1)-1&С(г + 1).
ГЛАВА 13
ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА
13.1. Определение дзета-функции
Пусть s = o-j-//, где а и t вещественны 4). Тогда при 8> О ряд
п-Л
будет равномерно сходящимся рядом аналитических функций (§§ 2.33.
3.34, часть I) во всякой области, в которой
а> 1+8.
Следовательно, в такой области ряд будет аналитической функ-
цией от $. Эта функция называется дзета-функцией. Хотя она была
известна еще Эйлеру2), наиболее замечательные ее свойства были
открыты только Риманом 3 4), который рассмотрел эту функцию в своем
мемуаре о простых числах.
С этого момента она приобрела громадное значение не только
в теории простых чисел, но также в высших разделах теории
гамма-функции и других родственных функций.
13.11. Обобщенная дзета-функция4)
Многие свойства, которыми обладает дзета-функция, являются
частными случаями свойств, присущих более общей функции, опре-
’) Буквы з и t будут использованы в этом смысле на протяжении всей
главы.
160 2188 <“'omnlentatlones Acad. Sci. Imp. Petropolitanae, IX (1737),
3) Riemann, Berliner Monatsberichte (1859), 671—680; Oes. Werke (1876)
136—144.
4) Определение этой функции, по-видимому, принадлежит Гурвицу,
(Hurwitz, Zs. fiir Math, und Phys., XXVII (1882), 86—101).
13.12. С($. а} в виде несобственного интеграла
59
деляемой при о^-1-|-8 равенством
'•С5, S (а + п/ ’
п = 0
где а — постоянная. Для простоты предположим1), что 0<а<(1,
и возьмем arg (a -j- п) — 0. Очевидно, что C(s, l) = C(s).
13.12. Представление функции C(s, а)
в виде несобственного интеграла
Так как
СО
(a-J-n)_Sr(s) = J* Хл-!е-(п+а)х дХ<
о
когда arg х = 0 и а > 0 (и о fortiori, когда а 1 —В), то при
а 1 -|- 8 мы будем иметь
Г($)С($, a) — lim
N->cx>
N 00
J" xs~1e~^n+a^x dx =
n = 0 0
-----—f- e - (v+1+“>x dx
1 — e x
Но при.х^>0 имеем exf^\-\-x, a потому модуль второго из
этих интегралов не превосходит интеграла
§ —1),
о
который (при о 1 -|- В) стремится к нулю, когда N -> оо.
Отсюда при о^>1-]-В и argx = 0 имеем
,, 1 Г Xs-'е~ах ,
C(s, а)— J l_e-x dx.
о
Эта формула в некоторых отношениях соответствует интегралу
Эйлера для гамма-функции.
‘) Если а лежит в этом промежутке, то свойства функции будут, вообще
говоря, более простыми, чем соответствующие свойства для других значе-
ний а. Результаты § 13.14 остаются верными для всех значений а (за исклю-
чением целых отрицательных значений). Результаты §§ 13.12, 13.13, 13.2
остаются верными только при Re а > 0.
60
ГЛ. 13. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА
13.13. Представление ') функции £ (s, а)
в виде интеграла по контуру
Считая а 1 -f- В, рассмотрим интеграл
(0 + )
/
где за контур интегрирования взят контур типа Ханкеля (§ 12.22),
не содержащий точек ± 2n~i (п=1, 2, 3, ...), являющиеся полю-
сами подинтегральной функции. Предполагается (как в § 12.22), что
I arg( — z)|<it.
Когда а 1 —В1 2), мы имеем право деформировать контур
совершенно так же, как в § 12.22; получим
(0 + ) со
у» (—гу dz = [е™ t*-1’ — У* ?^~^dx.
оо 0
Поэтому
(0+)
„ , . г (I — s) Г (—sy-i е~аг ,
Этот последний интеграл есть однозначная аналитическая функ-
ция от s для всех значений $. Поэтому единственно возможными
особыми точками С ($, а) будут особые точки функции Г(1—s),
т. е. точки 1, 2, 3, ..., и, за исключением этих точек, интеграл
дает представление функции С($, а), годное во всей плоскости.
Полученный результат соответствует интегралу Ханкеля для гамма-
функции. С другой стороны, мы видели, что С($, а) является ана-
литической при а 1 -ф- В, и таким образом, единственной особой
точкой функции £($, а) будет точка $=1.
Положив в интеграле $=1, получим выражение
(0+)
1 Г е~аг
Чм J 1— e~z
dz.
которое равно вычету подинтегральной функции в точке г = 0;
а этот вычет равен 1.
Отсюда
1) Дано Риманом для обыкновенной дзета-функции.
2) Если з<1, то интеграл, взятый вдоль какой-либо прямой, идущей
из начала координат, не будет сходиться.
13.14. ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ а) ДЛЯ ЧАСТНЫХ значений $ 61
Так как функция Г(1 —s) имеет простой полюс в s — 1 с выче-
том — 1, то заключаем, что единственной особой точкой функции
С($, а) будет простой полюс с вычетом -(-1 при s=l.
Пример 1. Показать, что при Re s > О
(1___о1”'5') С 151____5________L. j__1_______L । 1 /*
u z > <. w - р -t- Зл -f- • • • - г (S) J 1
о
dx.
Пример 2. Показать, что при Re s > 1
СО
/ I \ 25 (* Н-1 рх
о
Пример, 3. Показать, что
С (s) = _ ^rg-s) dz
2га (21-'s—1) J ez+l
где контур не должен содержать точки ± ni, ± 3rd, ± 5га, ...
13.14. Значения функции £(s, а) для частных значений s
В частном случае, когда s — целое число (положительное или
(— z)$~ 1
отрицательное), выражение ——t _ z— будет однозначной функцией
от z. Мы можем, следовательно, применить теорему Коши, так что
(0+)
2га J 1 —<?-* az
СО
будет вычетом подинтегральной функции при z = 0, иначе говоря,
(—IV-1 e~az
коэффициентом при z~s в - —
Для получения этого коэффициента продифференцируем почленно
по а разложение (§ 7.2, часть I)
e~az — 1
— z —=z--r
е z— 1
X1 (_____1 \п ?п (а) -п
’ п! 2 '
л = 1
где <р„(а) обозначает n-й полином Бернулли.
(Это, очевидно, является законным согласно § 4.7 части I, когда I z I < 2~,
так как -------р может быть разложена в степенной ряд по г, равномер-
но сходящийся относительно а.)
62
ГЛ. 13. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА
Получим
гге~аг V/
e~z— 1 “ ' п\ Z '
л=1
Поэтому, если z равно нулю или целому отрицательному
числу (= — т), мы имеем
(т + 1) (т 4- 2) ‘
В частном случае, когда а= 1, функция С($) при в — —т равна
, , , ? , (—l)s mlz
коэффициенту при z‘~s в разложении функции —•
Следовательно, согласно § 7.2 части I,
С(—2/») = 0, С(1 — 2от) = -(-~1)”^- (m = 1, 2, 3, ...),
«о)=-1
Эти равенства дают значение функции C(s), когда s—отри-
цательное целое число или нуль.
13.15. Формула Гурвица1) для функции а), когда ст < О
Рассмотрим интеграл
____1_ Г (—гу-'е~а1:
О.т.1 J 1 — e~z
с
взятый по контуру С, состоящему из окружности (большого) ради-
уса (2,!VTl)ir (W— целое число), которая начинается в точке
^4-l)ir и обходит начало координат в положительном направле-
нии; пусть arg(—z) равен нулю при z = — (2Л7 —1)-гс.
В области между С и контуром (2№r-]-ic, 0—}—), предельная
форма которого есть контур § 13.13, функция (— г/-1 е~аг(1 — е'"г)-1
будет аналитической и однозначной, если исключить простые по-
люсы ± 2тг/, ± 4-гс/, ..., ± 'ZNr.i.
Отсюда
(0+) N
С ^+1)я л = 1
где Rn, Rn суть вычеты подинтегральной функции соответственно
в точках 2n~i, — 2пк1.
*) Hurwitz, Zs. fiir Math, und Phys., XXV11 (1882), 95.
13.151. СООТНОШЕНИЕ РИМАНА МЕЖДУ С ($) И —$)
63
1
— — TZI
В точке, для которой —z = 2nite 2 , вычет равен
(2zilt)5 2 { )g-2araZt
и отсюда
Rn + Rn = (2nit/-1 2 sin sir 4* 2izan
Следовательно,
(0+)
__L /* (-^-^-аг dz_
2ni J I — e~z
(2Д1-ь l) г
2 sin 4- sit JY, o
___ 2 Vi cos (2it«n)
(2г.)1-5 n1-5
2 cos 4- sit JV .
2 Vi sin (2r.an)
(2г.)1-5
1 (* (_zy~* e-az
2*i J 1 — e~z
c
dz.
Далее, поскольку 0<а<^1, легко видеть, что можно найти
такое число К, не зависящее от N, что |е~аг(1—е~г)~х\<.К,
когда z находится на С.
Отсюда
А,у*dz <^к f |{(2^iH5^e<
С — ТС
</< {(2/V+ 1) it)’ s” ।51 -> О
при /V—>оо, если с < 0.
Заставляя Л/—>со, мы получаем при
Гурвица:
а < 0 следующую формулу
С($, а) —
2Г (1—s)
(2г)1-5
sin
уч cos (2пап)
п1"5
Л = 1
1 /1 \ V4 sin (2пап)
T“s 7”
' л = 1
причем оба ряда сходятся.
13.151. Соотношение Римана между £($) и £(1—s)
Если в формуле Гурвица, данной в § 13.15, положить а=1 и
применить результат § 12.14, то получается замечательная формула,
принадлежащая Риману:
21-,sr(s)^(s)cos^y sirj — itX(l —s).
Так как обе части этого равенства являются аналитическими функ-
циями от s, за исключением изолированных значений s, при которых
64
ГЛ. 13. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА
они имеют полюсы, то это равенство, доказанное для о < 0, остается
справедливым (по § 5.5, часть I) для всех значений s, за исключе-
нием указанных изолированных значений.
Пример 1. Показать, что при т целом и положительном
C(2m) = 22m-^-^?.
1
/1 \ ~2 S
Пример 2. Показать, что Г sire С(а)не меняется при замене s
на 1 —- s.
(Riemann)
Пример 3. Исходя из соотношения Римана, доказать, что нули функ-
ции C(s) в —2, —4, —6, ... будут нулями первого порядка.
Так как 2) arctg
не превосходит наименьшей из вели-
13.2. Формула Эрмита1) для а)
Применим теорему Плана (часть I, стр. 203, пример 7) к функ-
ции ср (г)—(а-(-г)-'’, где arg (a -j- z) имеет главное значение.
Определим функцию q{x, у) равенством
ч (х> у) = 4- ка + х+W~s—(fl + х — гУ)~Ч =
= —{(« + *)2 + У2) 2 ? sin j sarclg--|--|.
У
х а
1 1УI
чин -jT- tz и 7- -, то мы имеем
2 х + «
|д(*, У) К {(а +-О2 4~ У2}2 2 a|y-1|sh|y
Ых> У)| < {(«н--V)2н-у2} 2 ’П sh
II л “Г а >1
Пользуясь первым неравенством при | у | > а и вторым при | у | < а,
найдем, что при а>0 интеграл § q(x, y)(e2”y— I)-1 dy сходится,
о
когда х 0, и стремится к 0, когда х —> со, интеграл же J" (а + x)~s dx
о
сходится при о > 1.
) Hermite, Annali di Matematica (3), V (1901), 57—72.
£ оо $
„ . , Г dt Г dt t Г
2) Если s > 0, то arctg £ = J } < J 1^.71 и arctS i < J dt.
6 6 6
___ду
е2^ — 1 '
13.2. формула эрмита для Cfs, а) 65
Следовательно, если а> 1, предельный переход х2—>оов цитиро-
ванном выше примере является законным; тогда мы имеем
, 1 «
ч (s, а) = -g- a 4~
со J
-Ь У* (a.x)~s dx +2 У* (а2 4-У2) 2
О о
Таким образом,
C(s, а) = у a~s •+ 4~ 2 / (а24-у2)"2 ' | sin fs arctg- -=0 I t.
о х ' '
Это и есть формула Эрмита *); пользуясь тем, что при у О
arctH<i (у<Ц- arctsi<lTC
мы видим, что интеграл, содержащийся в этой формуле, сходится
для всех значений s. Кроме того, этот интеграл определяет аналити-
ческую функцию от s для всех значений $.
Для доказательства последнего достаточно (§ 5.31, часть I) показать,
что интеграл, получаемый из него дифференцированием под знаком инте-
грала, сходится равномерно; иначе говоря, что
j [— j 1g (Д2 4- У2) (Д2 4- У2) 2 sinfsarctg^l-^^-y 4-
о \ / J
5 у / у
arctg ~ cos s arctg —
а \ a t
е2^ — 1
сходится равномерно относительно s в любой области значений s. Но при
где А—любое положительное число, мы имеем
(д24-У2) 2
у
arctg ™ cos
(у
s arctg
<(д2 + у2)2
У U ( 1 А
— ch ( тг ~Д
а \ 2
а так как интеграл
00 1
О
сходится, то второй интеграл, по § 4.431 (I), сходится равномерно.
*) Соответствующая формула при а = 1 была дана раньше Йенсеном.
3 Э. Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон
66
ГЛ. 13. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА
Разделяя путь интегрирования первого интеграла на две части
1 \
ту™, со) и применяя неравенства
sin ( s arctg —) | < sh , | sin (s arctg I < sh у яД
в соответствующих частях, мы можем также показать, что и первый интеграл
сходится равномерно.
Следовательно, формула Эрмита имеет силу (§ 5.5, часть I) для
всех значений s, и дифференцирование под знаком интеграла является
законным; интеграл, полученный в результате дифференцирования,
является непрерывной функцией от у.
13.21. Следствия из формулы Эрмита
Положив в формуле Эрмита s —О, получим С (0, — — а.
Заставляя s —>1, из равномерной сходимости интеграла, входя-
щего в формулу Эрмита, заключаем, что
lim k(s, fl)_—!_|= lim а~-f ydy-—
$—1 I 5—1 J (tr + у*)\е y—1)
откуда на основании примера § 12.32
JimJC(s, а) — -j—у } = — •
Далее, дифференцируя ’) формулу
делу при s —>0, получаем
для С (s, а) и переходя к пре-
1 -s,
— у a iga
а1 s 1g а а1 5
$ — 1 (s— I)2
s, а) > = lim
Js=O s->c
-|-2 I* | — -i- 1g(a2-j-y2)(a2-j-y2) 2^ sin (sard
о
+ (a24- y2) 2 * arctg cos (s arctg
a \ a I I e y — 1
= (« — -gAlga —a-f-2
о
arctg (y/a)
е2^У — 1
dy.
) Это законно на основании § 13.2.
13.3. БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЭЙЛЕРА ДЛЯ С (в) 67
Отсюда по § 12.32
«)}i=0=’gr(a)-llg2K.
Этот результат был получен ранее Лерхом !) другим способом.
Следствие. limR(s)--------Ц-1 = 7; 7(0) = — -i 1g2ic.
s-> 1 1 s— 1 ) 2 *
13.3. Бесконечное произведение Эйлера для £($)
Пусть а 1В, пусть, далее, 2, 3, 5, .... р, ... —последова-
тельные простые числа. Тогда, вычитая ряд для 2“Х($) из ряда
для С($), получим
(s) (1 — 2_,г) = -р- 4~ -jjj- 4- 4т 4~ ~ts + • • • >
где отсутствуют все члены ряда У n~s, в которых п кратно 2;
таким же образом находим
С(5)(1 - 2-s)(i - з-') = А-+-А,4-А-+ ....
где отсутствуют все члены, в которых п кратно 2 и 3 и т. д.,
вообще
С (s) (1 — 2“s) (1 - 3-‘) ... (1 - р~*) =14-2' п~5.
где значок ' обозначает, что суммирование производится только
по значениям п (ббльшим р), взаимно простым с 2, 3..р.
Но2)
| S'n-^l <4 2'ra~1-s 2 /г~1-3->0, когда р->со.
л=р+1
Поэтому, если о^-14~§, то бесконечное произведение
C(s)H(l—P~s\ где число р пробегает только простые числа
р
2, 3, 5....сходится и равно 1.
) Формула для C(s, а), из которой Лерх (Lerch) вывел этот результат,
дана в мемуаре, опубликованном Пражской Академией наук. Сокращенное из-
ложение этого мемуара содержится в «Jahrbuch Uber die Fortschritte der
Math.» (1893—1894), 484.
2) Первый член 2' соответствует ближайшему простому числу, боль-
шему р.
3*
68
ГЛ. 13. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА
Но произведение JJ(1—р~) сходится, когда 1 —ибо
р
оно состоит из части множителей абсолютно сходящегося произве-
СО
дения JJ (1—n~s).
п=2
Следовательно, мы убеждаемся в том, что ч(у) не имеет нулей,
для которых 1—f—S; ибо если бы она имела* такие нули, то
бесконечное произведение Ц (1 — p~s) в этих нулях расходилось бы.
р
Поэтому при а 1 -|- 8
ПО ~
р
Это и есть результат, полученный Эйлером.
13.31. Гипотеза Римана относительно нулей функции £(у)
Только было что доказано, что С (у) не имеет нулей при <з> 1.
Из формулы (§13.151)
С (у) = 1 {Г (у)}"1 sec ук j С (1 — у)
теперь видно, что единственными нулями функции C(s) при а<0
будут нули выражения {Г (у)}-1 sec0- yit'j, т. е. точки у =—2, —4, ...
Таким образом, все нули функции С (у), исключая значения
s — —2, —4, .... лежат в той полосе плоскости комплексной
переменной у, которая определяется неравенствами 0<;<з<С1.
Риман высказал предположение, никем пока не доказанное, что
все нули функции С (у) в этой полосе лежат на прямой о —Харди1)
доказал, что бесконечное число нулей функции С (у) действительно
лежит на прямой а —-1. Весьма вероятно, что предположение Ри-
мана правильно и доказательство его привело бы к весьма важным
следствиям теории простых чисел.
13.4. Интеграл Римана для £(s)
Легко видеть, что при а > О
, ч 1 23 1 ,
у) к 2 s — j ,е~пЧхх2 S dx.
6
‘) Hardy, Comptes Rendus, CLVIII (1914), 1012; см. стр. 80.
13.4. ИНТЕГРАЛ РИМАНА ДЛЯ Z(s)
69
Следовательно, при а > О
Если положить
lim / е~пЧхх^
„=1
dx.
<и(х)= 2 е~п‘~х,
п=\
то, на основании примера 17 главы 6 части I (стр. 174),
1 + 2ш(х) = х"2{1+2ш(1)}
1
и мы будем иметь lim х2со(х)=1. Отсюда видно, что
*->о
о°
со(х)х2
о
dx
сходится, когда а> 1.
Следовательно, если о > 2, то
С ($) Г (-is) Тс 2^= lim
\ Z / N -> со
1 со
f u(x)xiS~'dx—f 2 e~n4xx^s^dx
-О О п = Л’+1
Далее,
ходит
как в § 13.12, модуль последнего интеграла не превос-
dx —
“ 2 11 “ 1
J 1_,-w.F,-rfx<|.(W+l))-/(-~“Д'-!й =
О о
1-/1
= {1^+1)} ’{л^+глок) 2°г |а- 1)->о,
когда N-xx), так как с > 2.
70 ГЛ. 13. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА
Итак, когда о > 2,
С(s)Г(уsj к 25= f <о(х)х25 'ds =
6
*11 1
= —y+yzn+Z *МФ 2 co(x)x2* * dx.
CO 1
Следовательно,
C(s>r(is)
I
s(s-l)
^(х2<1 "s'-|-x2's)x lu>(x)dx.
1t 2
Но интеграл в правой части, в силу § 5.32 части I, предста-
вляет аналитическую функцию от $ для всех значений s, так как
на пути интегрирования
СО
со(х) < е~*х e-m’txO_,Mr(l — е-*)-1.
л=0
Следовательно, по § 5.5 части I, приведенное выше равенство,
доказанное для случая а > 2, сохраняет силу для всех значений s.
Если положим теперь
s = y + «, Z(s-l)l-(s)r[jsj’t 2* = £(О.
то получим
ЦО^у — + х ^(•’Ocos^y
1
Так как интеграл
~ Г 1 )” /1 1 \
X 4 СО (х)< 1g X ? COS (у tig X у j dx
удовлетворяет признаку, приведенному в следствии § 4.44 части I,
то мы можем дифференцировать его любое число раз под знаком
13.5. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ^(s, fl) ПРИ 3 > О
71
интеграла и полагать затем t — 0. Отсюда, по теореме Тейлора,
имеем для всех значений ’) t
СО
W = s W2"-
и=0
Из рассмотрения последнего интеграла ясно, что а2ч вещественные.
Полученный результат является основным в исследованиях Римана.
13.5. Неравенства, которым удовлетворяет функция а)
при я > 0
Исследуем теперь поведение функции (s, а) для данных значений и,
когда t -> ± со.
Когда а > 1, легко видеть, что при любом целом jV
N со
С (S. а) = У (а + nrs— --* , - У fn (s),
rt (l-s)(ATW
где
1 ( 1___________________1 ) _ 1
Jn 1 — s I (n-f-l (n-f-a)5-1 ) (n -f-1 -f- a)s
n
и— П
(u + a)s+1
Но при a > 0
\fn (S) I <
n
du <
n
du
|s| (n + e) ° '.
и— n
(»+a)°+'
co
Поэтому 2 fn (s) ПРИ a > 0 является равномерно сходящимся рядом
n = ;V
аналитических функций, так что и сумма ряда 2 fn (s) будет аналитиче-
ncV
ской функцией при a > 0; следовательно, согласно § 5.5 части I, функция
С (s, а) может быть определена при a > 0 рядом
N со
п=0 ' n=N
) Здесь удобно рассматривать t как комплексное переменное, опреде-
ляемое равенством $ = it-, тогда g (t) будет целой функцией от t.
72
ГЛ. 13. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА
Теперь пусть [/]—целая часть |Z|; возьмем /V = (/]; тогда.
И1 СО
|C(s. а)|<2 l(a + «rsl + U(l-s)-1(H + e)1_i}|+ Sisi(« + «)"’-’<
л=0 л = [/]
Щ со
< («+л)-’+|<г1([Л+«)1-’+|5| S
п~0 л = [/|
Применяя здесь формулу суммирования Маклорена— Коши (§ 4.43, часть I),
получим
К1 °°
|С(5,а)|<а-' + у (а + лГ’йГх+И-ЧШ + ^ + И /(* + «)~а~‘
о |<1-1
dx.
Отсюда при В а 1 — 5, где В > О, имеем
|С (s, а)| < а"1 + (1 - а)-’ {(а + [/])!-’_ а1 ”} + 11Г1 (И + а)'~° +
+ |S|a-1([Z]-l+a)-’.
Следовательно, C(s, а) = О(| 111-’), где постоянная, подразумеваемая
в символе О, не зависит от з. Далее, при 1 — В^а^1-|-В имеем
|C(s, а)| =O(|d1-’) +J (a + x)-’rfx<
О
1Л
< О ( | / {a1 ’4_(sH_01 °) J* (а 4~ х) ^dx,
о
так как
(а + х)~° < а1-’ (а 4- х)"1 при а^1
и
(а 4-х)-с,< (а-{- («4-х)-1 при «<1;
следовательно,
C(s, а) = О { И1"’ lg|Z| }.
При а > 1 4- В
|C(s, а)|<а-’4- 2(« + «Г1-6=О(1).
Л = 1
13.51. Неравенства, которым удовлетворяет функция £($, а)
при <з <С О
Выведем теперь аналогичные неравенства при a < В. В случае функ-
ции C(s) мы применим соотношение Римана
С (s) = 2V 1Г (1 — «) ? (1 — s) sin sit
13.51. неравенства для C(s. а} ПРИ О 73
При з < 1 — 6 мы имеем, по § 12.33,
Г(1 —s) = 0V 7 j,
и таким образом,
С (s) = О ^ехр | у я 111 + (jp — а — it) 1g | I — s | + i arctg -у~д- | j C (1 — s).
Так как
arctgT~7= ± +
смотря по тому, будет ли i положительно или отрицательно, то из резуль-
тата, уже полученного для С, (s, а), мы видим, что
( 1_ )
С (з) = О I |Z|2 fC(l — s).
Для обобщения этого результата на случай функции С (з, а) следует
применить формулу Гурвица (§ 13.15); при <з<0 имеем
C(s, а) = —г (2л)5-1 Г(1 — s)b2 (1 — з)- е~ 2 С_а (1 - з)],
где
2-2лтс/д
п~1
Отсюда
N
(1 _ еЫа)^а (1 - з) = еЫа + 2 eMa[ns~x -(п- 1 )у~1 ] +
л-2
+ (s-l) 2 ^mla f 4s-2 du.
n-N+\ л—1
Так как ряд справа есть равномерно сходящийся ряд аналитических функ-
ций, когда з < 1 — 5, то это равенство дает продолжение функции £а(1 — з)
в полосу 0 а 1 — 6, так что при а 1 — 8 имеем
N со п
jsin тшС0(1 — s)|<l {nG-1 + (n— I)’-1) +|s— 1 | ^u’^du.
п-2 n=N+l п-1
Взяв А/= [/], получим, как в § 13.5,
и, очевидно,
(1 - «) =
о(1*Г)
о(иЧ?И)
(— 8 < а < 8)
(1-3) = 0(1)
(а < — 8).
(8 < а < 1 — В),
74
ГЛ. 13. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА
Следовательно, независимо от того будет ли а равно 1 или нет, имеем
результат
C(s, а) =
(6 < я < 1 — В),
(— 8 < а < 8).
Мы можем объединить эти результаты и результаты § 13.5 в одну
формулу:
С(л, а) = О( |< Гм lg Id),
где >)
т(я)=у—я (а < 0); т (а) = -1 (о < а < ;
т (а) = 1 — а f-i- а 1 j ; т (а) = 0 (а 1);
1g | может быть отброшен, за исключением случая, когда —В<^я<;8 или
когда 1 — 8 < а < 1 -f- 8.
13.6. Асимптотическое разложение функции 1g Г (z -ф- а)
Из примера 3 § 12.1 следует, что
СО / Z \
£\ТТ П1 + —Vя =е т*г(а).
а ) -LJL I \ ' a + n) J Г (г-f-а)
Взяв главные значения логарифма, получим
ОО / Z
Л~1
— У ~az I У (— 1)т~1 | У (—1)т~' Zm
п (а + п) т (a -f- п)т ' тат
При |х|<а двойной ряд абсолютно сходится, поскольку схо-
дится ряд
У Г a\z\
L (а + п)
л = 1
1g (1
_ _1£1_\ _ И 1
а-j-n ) a-j-nj
') Можно доказать, что т (а) может быть взято равным (1—я), когда
0 < я < 1. См. Landau, Primzahlen, § 237.
13.6. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 1g Г (г -|- а) 75
Следовательно,
ОО оо
(я) __ z _ у az_ у (-1)^-1
g Г (z + a) a Zj л (а + n) т 2 <,{т, а).
л=1 т=2
Рассмотрим теперь интеграл
—1 /* TZZS г . . ,
-ц-г / —:-----45. a) ds,
2~г ,/ s sin its 4 '
с
где за контур интегрирования берется контур, подобный данному
в § 12.22 и охватывающий точки s= 2, 3, 4 .... но не охватываю-
щий точек 1, 0, —1, —2, вычет подинтегральной функции
при s — т (/п)>2) равен ’—zmt,(m, ay, а так как при а—>оо
(где S — а-[-//) Ц$, а)=О(1), то интеграл сходится при |z| < 1.
Следовательно,
. (a) z Vi az 1 Г ™zs „ ,
g Г (z + а) ~ a л (а 4-л) — 2r.Z ,/ s sin ~s } ds’
n=i c
откуда
1 Г (а) Г' (a) 1 Г r.zs r .
1g 77 , , — — z , V--------s-t- / —:------C (s, «) ds.
ь Г (z -f- а) Г (a) 2w J s sin r.s 4 '
c
Пусть D — полуокружность (большого) радиуса W с центром
3 3
в s = y, лежащая справа от прямой о — -%. На этой полуокруж-
ности С(s, а) = О(1), |zs| — |z|’e_/ar£* и, таким образом, подинтег-
ральная функция будет1)
Отсюда следует, что при |z|< 1 и —т:-ф- 8 argz it— 8, где
8—положительное число, подинтегральная функция будет O(|z |’ e-s 4)
и, значит, интеграл
/* ——C(s, a)rfs->0
./ s sm ад 4 ’
D
при ;V->co. Отсюда сразу заключаем, что при | argк — 8 и |z| < 1
з
тг+со*
. Г (а) Г' (я) , 1 С ,
g Г (z 4- a) Z Г (а) + 2да J s sin r.s ds~
f-со/
) Постоянные, содержащиеся в символе О, всюду не зависят от s и г.
76
ГЛ. 13. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА
Но входящий сюда интеграл определяет аналитическую функцию
от z для всех значений |z|, для которых
I argz|<;ir — 3.
Следовательно, по § 5.5 части I вышеприведенное равенство,
доказанное для случая |z| < 1, сохраняет силу для всех значений |z|,
для которых |argz|<^> — 8.
Рассмотрим теперь интеграл
\±Rl
f a) ds,
J s sin ад
-л-1 ± ЯГ
где п — фиксированное целое число, и заставим R стремиться к бес-
конечности. По § 13.51 подинтегральная функция будет
О [z е R где —п —
отсюда независимо от того, берем ли мы верхние или нижние знаки
у пределов, интеграл стремится к нулю, когда Поэтому по
теореме Коши
I
-л-^г + соГ
2 п
'Sr<WT> = -zT^ + sr /
1 , т=-1
-Л---СОГ
где Rm — вычет подинтегральной функции при $ = — т.
Далее, на новом пути интегрирования
I nzS Г! \ I - -Л-4 -S1Yl I л"
—:----C(s, a) \<Kz 2е И 4 .
| s sin ад I
где К не зависит от z и t, а т(а) — функция, определенная в § 13.51.
Следовательно, так как интеграл
J* е~& Р1|^|т ( п 2) dt
—00
сходится, то мы имеем
? / д\
|„ Г (а) ______2 Г (а) I V р I Q\z " 2)
lg Г (г 4- а) ~ Г (а) + + )•
т- -1
когда |z| велик.
13.6. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ разложение Ig-Г (.г —л)
77
Но, когда т — положительное целое число,
Кт-----------
и таким образом, по § 13.14
_ (-1)тг-^+2(а)
Кт т (т + 1) (т + 2) ’
где ср^(а)—производная от полинома-Бернулли.
Далее, /?0 есть вычет выражения
g h • • )(1 +s —a + sC (0, а) 4-
при s —0; следовательно, в силу § 13.21
Ко = (у — «) z + С (0, а) = — a j 1g z Ц- 1g Г (а) — у 1g 2те.
Наконец, по § 13.21 R_x есть вычет выражения
-1(1-S + S"- ...)(1 +-^+ ...)х
X2(l+5lg.+ ...)(J--^-+ ...)
при S = 0 ’).
Отсюда
г> 1 < Г' (в) I
К-т. = ~ * lg z + z 4-г.
Окончательно, если (arg^^ir — 8 и \z\ велик,
•g I1 (z + а) = (z + а — lg z — z 4- 1 1g 2тс+
, V -(-Р^Ч+гОО ,
' т (т + 1) (т -f- 2) zm '
m = 1
В частном случае, когда а=1, эта формула переходит в фор-
мулу, найдейную в § 12.33 для более ограниченной области значе-
ний argz.
Только что полученное асимптотическое разложение пригодно
и тогда, когда а не ограничено неравенством 0 < а 1, но иссле-
дование этого случая основывается на более изощренных методах,
необходимых для получения неравенств, имеющих место для функ-
ции C(s, а), когда а не удовлетворяет неравенству 0<а-^1.
) Полагаем s = S -f-1.
78
ГЛ. 13. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА
Однако если в полученной формуле положить а = 1 и затем за-
менить z на z-^a, то легко видеть, что при | arg (z-|-а)| — 3
мы получим
1g Г (z 4-а 4- l) = (z-J-a +lg (z + а) — z — a +ylg 2*4-о(1).
Вычитая по lg(z4-a) из обеих частей, легко видеть, что, когда
| arg (z 4- й) | и I агъ z I гс —
мы получим асимптотическую формулу
Igr(z4-a)==(z4-a —l)lgz —z4-ylg2TC4-o(l),
причем выражение о(1) стремится к нулю при |z|—>со.
ЛИТЕРАТУРА
G. F. В. Riemann, Ges. Werke, 145—155.
Е. G. Н. Landau, Handbuch der Primzahlen (Leipzig, 1909).
E. L. L i n d e 1 о f, Le Calcul des Residus, гл. IV (Paris, 1905).
E. W. Barnes, Messenger of Mathematics. XXIX (1899), 64—128.
G. H. Hardy and J. E. Littlewood, Acta Mathematica, XLI (1917), 119—196.
Примеры
1. Показать, что
°°
(2*— l)C(s)= —т + 2/(т+У2) 2 sin (s arctg 2У) j- •
о
(Jensen, L’Intermediaire des Math. (1895), 346)
2. Показать, что
C(s) = v—т—2S f (1 + У2) 2 sin(«arctgy)
s — r ./ er-> _l i
о 1
(Jensen)
3. Рассмотреть асимптотическое разложение функций lg G (z 4 a)
(глава 12, пример 48) при помощи обобщенной дзета-функции.
(Barnes)
4. Показать, что при а > 1
In С (s) =
р т = 1
где суммирование распространяется на все простые числа р — 2, 3, 5,...
(Dirichlet, Journal de Math., IV (1839), 407)
ПРИМЕРЫ
79
5. Показать, что при а > 1
С'($) _ у А(п)
C(s) ns ’
Л=1
где А (л) = 0, когда п не есть степень простого числа, A (n) = 1gр, когда
п—степень простого числа р.
6. Доказать, что
СО 1 СО
(Lerch, Krakow Rozprawy, ')> П)
7. Пусть
ОО
. х V хП
И = 1
где | х | < 1 и вещественная часть з положительна; показать, что
. . 1 Г dz
ср (з, х) — J
о
и если s < 1, то
lim (1 — х)1 -s ср (s, х) = Г (1 — з).
х-> 1
(Appell, Comptes Rendus, LXXXVII)
8. Пусть x, а и s вещественны, 0 < a < 1, s > 1, и пусть
ОО
S^KKlX
л=0
показать, что
О
и
, ч Г(3) f {
Ч (х, а, 1 — s) = ? (— « х> $) +
{-5r-s+2a(l-x)l
+ е 2 ср (a, 1 — х, s) I.
(Lerch, Acta Math., XI)
‘) См. Jahrbuch Uber die Fortschritte der Math. (1893—1894), 482.
80
ГЛ. 13. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА
9. Вычисляя вычеты в полюсах слева от прямой линии, принятой за
контур, показать, что при k > 0 и | arg у | < п
k + <x>l
e'y==ii f
k—<x>i
t 1
и вывести отсюда, что если k > , то
fe + coZ
Г (и) С (2и) du = to (х),
fe —оо/
а отсюда, в свою очередь, получить формулу
cchiat 1 14^
---=-у-;(/)Л = кС08^а —™-е4 {1+2® (<?”)),
о Z '*“4’
где а — острый угол.
. (Hardy)
10. Дифференцируя 2п раз под знаком интеграла в последнем резуль-
тате примера 9 и переходя к пределу при a-»-g-7t, вывести из примера 17
на стр. 174 части 1, что
^°ch4-Z
J —у(t) dt = ЦХ2- cos |.
о ' 4
Беря большие n, показать, что не существует числа £0 такого, что 6 (0
сохраняет постоянный знак при t > /0, и вывести отсюда, что С (s) имеет
бесконечное число нулей на прямой ° = ту >
(Hardy)
[Харди и Литлвуд (Hardy and Littlewood, Proc. London Alath. Soc., XIX
(1920)) показали, что число нулей на прямой а = —, для которых 0 < t < Т,
будет по меньшей мере О(Т), когда 7->оо; если гипотеза Римана верна,
то это число будет 7 1g 7---------7 + О (1g 7); см. Landau, Primzah-
АТС zTC
len, 1, 370.]
ГЛАВА 14
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
14.1. Гипергеометрический ряд
В § 2.38 части I мы уже рассмотрели вопрос о сходимости
гипергеометрического ряда1)
1 । Д(Д4-1)4-1) „2_|_
1-с <~ 1-2.с (с+1)
, a(a + l)(a + 2)&(&4-W+2), ,
~г 1 • 2 • 3 • с (с + 1) (с + 2) « •••
Из § 2.38 и § 5.3 части I следует, что этот ряд определяет функ-
цию, которая будет аналитической при |г| < 1. Ниже будет пока-
зано (§ 14.53), что эта функция имеет точку ветвления при Z—1
и что если сделан разрез2) (т. е. непереходимый барьер) от -j-l
до 4*00 вдоль вещественной оси, то функция будет аналитической
и однозначной во всей разрезанной плоскости. Она обозначается
символом F(a, b; с; z).
Многие важные функции, встречающиеся в анализе, могут быть
выражены при помощи гипергеометрических функций, например3);
(1 z)n ~ F (—п, р; р; -z),
lg(l z) = zF (1, 1; 2; — z),
P; 1;
3->oo ' Г /
') Это название было дано Валлисом в 1655 г. ряду, л-й член которого
есть a {a -f- b\ {а + 2b] ... {а -f- (п— 1)6}. Эйлер применял термин «гипер-
геометрический» в этом же смысле; современное применение термина,
по-видимому, принадлежит Куммеру (Kummer, Journ. fur Math. XV (1836)).
2) Говорят, что плоскость переменной г разрезана вдоль кривой,
когда удобно рассматривать только такие изменения г, при которых г не
переходит через эту кривую, так что разрез можно рассматривать как не-
переходимый барьер.
8) Построение строгого доказательства для третьего примера может
послужить читателю хорошим упражнением.
82 ГЛ. 14. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Пример. Показать, что
А/г(а> ъ-, с; г) = ^-Г(а+ 1, b 4-1; с 4- 1; г).
14.11. Значение1) функции F(a, b; с; 1) при Re(c — а — Ь) > О
Рассматривая коэффициенты при х" в соответствующих рядах,
легко убедиться, что при 0<1х< 1
с [с — 1 — (2с — а — b — V)x] F (a, b; с; х)4~
+ (с — а) (с — b)xF(a, b\ с 4-1; х) =
— с(с—1)(1—x')F(a, b; с — 1; х) =
= с(с— 1)[ 1 4-2(и„ — .
I п=1 )
где ип — коэффициент при хп в F (а, Ь; с—1; х). Заставим теперь
х->1. В силу результата § 3.71 части I выражение в правой части
стремится к нулю, если 1 -1- 2 (м«— ил-1) сходится к нулю, т. е.
Л = 1
если и„->0, что и имеет место в том случае, когда Re(c—а—Ь) > 0.
Левая же часть по § 2.38 и § 3.71 части I при тех же самых
условиях стремится к
c(a-*rb — c)F(a, b; с; 1)—J—(с — а)(с— b)F(a, b; с —j— 1; 1),
и следовательно,
F (a, b-, с; 1)= F(a, Ь- с4-1; 1).
\ / с (с — а—о) v 1,7
Повторяя эту операцию, видим, что
. ~Т -у- (с-Л -|~ п) (с- b -f~ Л) I £• z д . 1 \
F(a, b- с; 1) = ] Д (с + я)(с_а_^+л) \На, Ь; с^пг, 1) =
n=0 J
lim frfr-g+”)(c-;+”)
m->col± (c + n)(c—a—b + n)
lim F(a, b; 1),
m->oo
если эти два предела существуют.
Но (§ 12.13) первый предел равен
Г (с) Г (с— а— Ь)
Т(с — а)Г(с—Ь) ’
’) Этот анализ принадлежит Гауссу. Способ, более легкий для запоми-
нания, но более трудный в смысле доказательства, дан в примере 2 § 14.6.
14.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ для F (а, Ь\ с; z) 83
если с не есть отрицательное целое число; далее, если обозначим
через ип(а, Ь, с) коэффициент при х" в F (а, Ь\ с; х), то при т > [с|
имеем
|F(a, b; с-{-т; 1)—1
jo со
b> c + 14 m—\c\)<
Л=1 /1 = 1
CO
л=0
Последний ряд сходится при т > |с| + \а\ + Н — 1 и предста-
вляет положительную убывающую функцию от т; поэтому, так как
{т—|с|}-1—>0, мы имеем
lim F {а, Ь; с-\-т\ 1) = 1
т->со
и окончательно
F(a, b; с; =
v 7 Г (с — а) Г (с — Ь)
14.2. Дифференциальное уравнение, которому
удовлетворяет функция F(a, b; с; г)
По способу § 10.3 части I легко убедиться, что гипергеометри-
ческий ряд является вблизи z = 0 интегралом гипергеометрического
уравнения')
2(1 — (а + ь+^х\ -— — аЬи^О.
По § 10.3 части I видно, что всякая точка есть «обыкновенная
точка» этого уравнения, за исключением 0, 1, оо, и что последние
являются «правильными особыми точками».
Пример. Показать, что одним из интегралов уравнения
( d \ / d \ / d \( d \
z\z -j—Ра г-т-фб и — (г—-------аг------В 1« = 0
\ dz ) \ dz ) \ dz /\ dz }
является
z*F (а -|-а; Ъ ф- а; а — -f-1; г).
*) Это уравнение было дано Гауссом.
6*
84 ГЛ. 14. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
14.3. Решения Р-уравнения Римана при помощи
гипергеометрических функций
В § 10.72 части I было отмечено, что дифференциальное урав-
нение Римана !)
d‘u t j 1—а — а' , 1 — р — р' ! 1—у — у' ] du ।
dz* 2 * * ‘ ( z — а "т” z — b z — c f dz '
i J aa' (a — b)(a — c) —c) (b—a) ,
"П z— a ' z — b "T"
yy' (c — a)(c — b) 1 _____и__________
' z — c j (z — a) (z — b)(z — c)
при соответственной замене переменных может быть приведено
к гипергеометрическому уравнению. Выполняя эту замену, мы видим,
что решением уравнения Римана будет
(“ + P + I. «+Р' + 1; ! + -«-;
где предполагается, что а — а' не есть целое отрицательное число.
Для простоты мы будем предполагать во всей этой главе, что
ни одна из разностей показателей а — а', р — {Г, •у — у' не будет
нулем или целым числом, так как (§ 10.32, часть I) в этом исклю-
чительном случае в общее решение дифференциального уравнения могут
входить логарифмические члены. Формулы для этого исключительного
случая можно найти в мемуаре 2) Линделёфа, к которому мы и от-
сылаем читателя.
Если теперь в полученном выражении переставить местами а и а'
или и у', то оно должно все же удовлетворять уравнению Римана,
так как такая замена не изменяет этого уравнения.
Таким образом, мы получим в итоге четыре выражения, а именно:
(г— а\а (г — „ . 1 , (c—b)(z—a)\
и, = (---Г I ---Г I Т71 а 4- 8 -4- у, a -f- В '4- т; 1-4-а — а'; )--(4--4 I
1 \z — b)\z — b) ( 1 г 1 ‘ । г । |, । (с —а)(г—&))
(z — a\a' (z—с\< ( , , . o, , 1 , , (c — b)(z — а)1
м2 — (---ГI ----Е I ? 1 а + 3 + т>а + 3 + у, 1 -f- а' — а; ---------(4--' I
2 \г — Ы \z—b) I 1 •’ 1 (с — а) (г — Ь) |
/г —а\а/г—с\т' | , (c — b)(z—a)}
U-2 •— I-г I I--т I F s d ~1— 8 4- 7 , а —8 -4- 7 I 1 ~|~ ct — а \ -г—т-— >,
3 \z—b] \z—b) ( 1 1 -те -г । . л > {c —a) (z — b) (’
/г — а\а'/г — су'( /ini > 7 , Q7 , 7ii7 (c —&) (г—a) 1
«4 = ----E -----E P S а + P + 7 , “ + p + 7 ; l+“ —a; 7-—Г7-------------7T > >
4 \z — b) \z— b) ( । r । । . । г । । > (c —a) (z—b))
') Постоянные подчиняются условию
a-f-а'-f-3+ ₽'4-7 + 7'= 1-
2) LindelOf, Acta Soc. Sclent. Fennicae, XIX (1893). См. также стекло-
графированные лекции Клейна (Klein, Ueber die hypergeometrische Funk-
tion, Leipzig, Teubner, 1906).
14.3. РЕШЕНИЯ /^-УРАВНЕНИЯ РИМАНА 85
которые являются решениями рассматриваемого дифференциального
уравнения.
Кроме того, дифференциальное уравнение не изменится, если
тройки чисел (а, а', а); (р, р', by (д, с) как-либо переставить.
Поэтому, если мы произведем такие перестановки в вышеприведен-
ных решениях, то они все же останутся решениями дифференциаль-
ного уравнения.
Имеется пять таких перестановок, ибо мы можем написать [Ь, с, а},
{с, а, Ь\, [а, с, Ь\, {с, Ь, а}, р, а, с} вместо {а, Ь, с) и сделать
соответственные перестановки а, а'; {3, [J'; •у, •у/. Таким образом, мы
получим 4 X 5 = 20 новых выражений, которые вместе с четырьмя
предыдущими дают двадцать четыре частных решения уравнения
Римана, выраженных через гипергеометрические ряды.
Двадцать новых решений можно записать следующим образом:
= + 3 + 7' + “'; 1+3-3';
(а — с) (г—b)\
{а — Ь) (г —с) |
(z—Ь\?’ /г — а\а Г ( , , , 0, о (a—c)(z—b)
Он? +’+" f'+тч-и+>'-ft(a_t)(,_c)
- -(j+)“ (i^)'f {f + 7+' f + Г + 1 + Ml'; gzgg-o
“ -(f+)' (Sp{('+,+•', I (5^
= /?{т + а + 3. 7 + “' + 3; 1 + 7—7';
(» —a) (z — cH
(b—c) (z—a))
/9__£\T (9__h\$ (
«10 = a) (f~^)77 7 7' + “ + 3. 7' + “'+3; 1 +.7'—7;
(/>—a) (z—c))
(Z> —c) (z—a){
ull
(9__c\^ I z_b\$ (
= \J^a) \г=а) 17 + “ + 3'. 7 + “' + 3'; 1 + 7—7'!
(b — a) (z—c) 7
(b — c)(z—a) )
«12 ~ (гмг) 77 7'+ “ + 3'> 7'+ “'+ 3'; 1+7'—7!
(b—a) (z—c)}
(b—c)(z—a) I
(z— a\a(z—j , . „ , , , о , , ,
«и = (5—- ( z—z ^> + 7 + 3. “ + 7 +3; 1 + a— “ ;
\* I./ k / I
(6 —с)(г —a))
(b — a) (z—c) I
- (S)"’ {.- + , + M' + Г + M +
(z—a\4z— b\^' j , , , o, , , , (b—c)(z— a)l
«is ~ (---I (---I 7 a + 7 + 3 > a + 7 + 3 J 1 + a— “ J те -г r
\z—c) \z—c) { 1 I I r » I 1 I r > -r >
(z—a\”' (z— b\$' ( , , , o, , , , , o, , , , (b—c)(z—a)|
«16 — I---I I----I •! “ + 7 + 3 > a' + 7 +3 J 14-a—a; ——2—- t
l,> \z—c) \z—c) ( -г 1 TH. T I тг . 1 ’ (b—a) (z—c.) \
86
ГЛ. 14. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
«17 = F {1 Т+3' + а; Ч-К— '!'•
(а ~~А* И ~ I
(а —с)Р-&) (
M|s = (jzzf) Л {7' + Р +а. 7' + ₽' +а;1 + т'—7;
(а—Ь) (г— с))
(а—с) (г—b) J ’
(?_r\Y tz—-a\a (
u's=(Jz^) (Jzf) ^{7 + ₽ + < 7+3'+< 1 + 7-7';
(а—Ь) (z—c))
(а—с) (z—b) |
1 (Z--С\Т (Z— ®\“ С I Z , О ! Z Z , о, I Z 1 I Z
^“2o = (jZ^) ^|7 + ₽+а - 7 +3 +“ ; 1+7
... (Д—&) (z—c) 7
*’ (a-c)(z-b)\ ’
Ч+-+У(++;У/Ф + а + 'Г’ ₽+-“' + т; 1 + ?-?';
(с —д) (г —»))
(с — Ь) (z—a) J ’
«22 = (Ь:^3 (У)"77 { ₽' + “ + 7. f>' + “' + 7! 1 + +
О. (c—a) (z—b))
Л («—b) (z—a) |
“23 = (j^y (~У F { P + « + 1'. P + *' + 7';
1 + P-3';
(c—a) (z—b) 7
(c—&) (z—a) J
“24 = (J=s)T f {“ + 7'4' + «' + 7'; 1+P'-P;
(c—a) (z—b)}
(c—b) (z—a) I
_ z n az , (z—a) (c—b) -
Заменяя а, a, 3, 3', 7, -7 --------(- соответственно через О,
’ ’ “ " 1 1 (z— Ь) (с —а) г
1—С, А, В, О, С—А — В, х, мы получим 24 решения гипергео-
метрического уравнения, которому удовлетворяет F(A, В; С; х).
Существование этих 24 решений впервые было доказано Кум-
мером J).
14.4. Соотношения между частными решениями
гипергеометрического уравнения
Нами было только что показано, что 24 выражения, заключаю-
щие в себе гипергеометрические ряды, являются решениями гипер-
геометрического уравнения; но из общей теории линейных дифферен-
циальных уравнений второго порядка известно, что если какие-либо
три из них имеют общую область существования, то должно суще-
ствовать линейное соотношение с постоянными коэффициентами, свя-
зывающее эти три решения.
Если МЫ упростим Цр и2’ U3> U4’ ап< К18’ й21> М22 СПОСОбОМ, ука-
занным в конце § 14.3, то получим следующие решения гипергео-
*) Kummer; Journ. fiir Math. XV (1836), 39—83, 127—172. Они были
получены другим способом Форсайтом (Forsyth, Treatise on Differential
Equations, гл. VI).
14.4. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЧАСТНЫМИ РЕШЕНИЯМИ 87
метрического уравнения с элементами А, В, С, х:
У! = F (А, В- С; х),
у2 = (— (Л — С+ 1, В — С-f- 1; 2 — С; х),
Уз = (1 — х)с~А~в F(C — В, С—А-С-, х),
у4 = (— х)1-с(1 — x)C~A~BF(\ — В, 1 — А; 2 —С; х),
у17=С(Л, В; A-j-B — С 4-1; 1 — х),
у18 = (Г — x)c~A~BF (С —В, С —А; С — А — В+1; 1 — х),
у21 = (— х)'в F(A, А— С4- 1; А — В-}- 1; х”1),
у22 =(— х)~А F(B, В — С-у-1; В-А-У-1-, х~>).
Если |arg(l—х)| < тс, то легко видеть из § 2.53 части I, что
при |х| < 1 соотношения, связывающие ур у2, у3, у4, должны быть
вида — у3, у2 = у4; это следует из рассмотрения вида разложений
содержащихся в них рядов вблизи х = 0.
Подобным же образом мы можем сгруппировать функции иу ..., w24
в .шесть групп по четыре в каждой !), именно:
М1' И3’ И13> М15> К2" М4’ И14' М16> а5’ UT U21> U23’
ие, и&, U22, 11^', и§, Z/ц, и17, «19; «10, и12, w18, w20,
таким образом, что члены одной и той же группы будут отличаться
друг от друга постоянными множителями в подходящей области.
В частности, отметим, что ир «3, и13, «15 отличаются постоянным
множителем от функции, которая (согласно §§ 5.4, 2.53 части I)
может быть разложена в ряд
(z — о)“ I 1 -ф- 2 еп (z — «)" |
I л=1 J
при \z— а\ достаточно малом; если arg (г—а) ограничен так, что
функция (z—а)а будет однозначной, то это решение уравнения Ри-
мана обозначается обычно через Р'а\ Подобным же образом опреде-
ляются \ Р'г1, Р^\ Р^\ Р'1 } при достаточно малых \г—а\,
\z — b\, \z — с| соответственно.
Значительно труднее получить соотношения, связывающие три
решения различных групп. Эти соотношения получаются при помощи
1 / X \
') Частная формула F (А, 1; С; х) = — Р\С— А, 1; С; — р), кото-
рую можно вывести из соотношения, связывающего с и,3> была открыта
в 1730 г. Стирлингом (Stirling, Methodus Differentialis, предл. VII).
88 ГЛ 1.4. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
преобразований интегралов, взятых по двойным петлям, которые
будут получены ниже, в § 14.61; но более простой и чрезвычайно
изящный способ был недавно открыт Барнсом; мы дадим краткое
изложение этого способа.
14.5. Контурные интегралы Барнса
для гипергеометрической функции *)
Рассмотрим интеграл
1 7 Г(« + 5)Г(& + 5)Г(-5) s
Ъй J T(c + s) { Z) aS’
— col
где | arg(—z)\ < ir и путь интегрирования искривлен (если это не-
обходимо) для обеспечения того, чтобы полюсы функции
Г(« + 5)Г(6 + 5),
т. е. s = — a — п, —b—п (га = 0, 1, 2, ...), лежали слева от
пути и полюсы функции Г(—s), т. е. s = 0, 1, 2.......... лежали
справа от пути * 2).
Из § 13.6 следует, что подинтегральная функция будет
O[|s|a+Z>~';~1 exp {— arg(—z) • Ims — ir |Ims|}],
когда s -»co на контуре; отсюда легко видеть (§ 5.32, часть I), что
подинтегральная функция является аналитической функцией от z
во всей области, определяемой неравенством |arg2l^it— 8, где
6 — произвольное положительное число.
Теперь, принимая во внимание соотношение
Г(— $)Г(1 —s) = — iv cosec sir,
рассмотрим интеграл
JL f r(<z + s)r(6 + s)ir(-zr
2iw J Г (c -f- s) Г (1 -f- s) sin sit ’
с
где С — полуокружность радиуса справа от мнимой оси
с центром в начале координат и N—целое число.
*) Barnes, Proc. London Math. Soc. (2), VI (1908), 141—177. Библио-
графия более ранних работ по сходным вопросам—Пинкерле (Pincherle),
Меллина (Mellin) и Барнса (Barnes)—дана там же.
2) Предполагается, что а и Ь таковы, что контур может быть проведен,
т. е. что а и Ь не являются целыми отрицательными числами (в каковом
случае гипергеометрический ряд будет просто полиномом).
14,5. КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ БАРНСА
89
По § 13.6 мы имеем
Г (д + S) Г (6 4- s) 7t (— z)s _ о / а+1>-с-1\ (—z)s
Г (с -|- s) Г (1 + s) sin sn ' • ' sin src
когда N->oo-, постоянная, заключающаяся в символе О, не зависит
от args, когда s находится на рассматриваемой полуокружности;
полагая s = ^N-\~-^\e16, имеем, если |z| < 1,
(— z)s cosec sn — О ^exp | 4" у j cos ® Iz I —
sin 0
Таким образом, если lg |z| отр ицате ле н (т. е. |с| < 1), то под-
интегральная функция стремится к нулю достаточно быстро (для
всех рассматриваемых значений 0), чтобы § ->0 при А/—>оо.
с
Далее, выражение
по теореме Коши равно —2тЛ, умноженному на сумму вычетов под-
интегральной функции в точках s — 0, 1, 2, .... АЛ Заставим N —> оо;
тогда последние три интеграла будут стремиться к нулю, когда
|arg(—z)\ — 6 и \z\ < 1, и следовательно, при этих условиях
оо/
1 Г TSa±s)T(b+^TS-s)_
J Г (с + s) 4 '
—оо i
= Нт У^ + ”)Г(* + п) гп
Л'->оэ^ г (с+ «)/;!
ri-G
причем общий член в сумме является вычетом подинтегральной функ-
ции при s = n.
90
ГЛ. 14. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Таким образом, существует аналитическая функция {именно
рассматриваемый интеграл) во всей области, определяемой не-
равенством |arg-(—:z)| < it, которая при |z| < 1 может быть
представлена рядом
у Г (а + л) Г (& + л) „
Г (с 4- п) л!
п=0
Символ F (a, b; с; z) употребляется в дальнейшем для обозначе-
ния этой функции, разделенной на Г {а) Г (b)jV (с).
14.51. Аналитическое продолжение гипергеометрического ряда
Для представления функции F {a, b; с; z) в виде сходящегося
ряда, когда |z| > 1, используем интеграл, полученный в § 14.5.
Если D — полуокружность радиуса р слева от мнимой оси и с цен-
тром в начале координат, то способом § 14.5 можно показать *), что
— Г
2-i J
r(a + s)X(b + s)T(-s)
Г (с + s)
(— z)s ds -> 0,
когда р—>оо, если |arg(—z)| < it, |z| > 1 и p—>oo так, чтобы
нижняя граница расстояния D от полюсов подинтегральной функ-
ции была положительным числом (не нулем).
После этого можно доказать (как в соответственном месте § 14.5),
что при |arg(—z)l <it и |z| > 1
1 Г T(a + s)T(b + s)r(-s)
2ni J Г (с + s)
У Г (а 4- л) Г (1 — с 4- а 4- л) sin (с — а—л) п ._ ч-л-л .
^Г(14-л)Г(1 — Ь-\-а-[-п) cos ля sin (Z> — а—
п = 0
. у Г(&4~л)Г(1—с 4- b 4- л) sin (с—b—п)т, . ,-ь-п
' Г (1 + л) Г (1 — а 4- b 4- л) cos ля sin (а — b — л) я
п-1>
причем выражения в этих суммах являются вычетами подинтеграль-
ной функции в точках s = — а — п и s = — b — п соответственно.
После упрощения этих рядов сразу заключаем, что аналитическое
продолжение ряда, которым была первоначально определена гипер-
’) При рассмотрении асимптотического разложения подинтегральной
функции, когда | s | велик на контуре или на D, проще всего преобразо-
вать функции Г (а 4- s), Г (£> 4~ $), Г (СН~ s) при помощи соотношения § 12.14.
14.52. ЛЕММА БАРНСА
91
геометрическая функция, дается равенством
Ь- с;
= \-с + а- \-Ь + а- г~') 4-
+ T{b^b~}a)<-zrbF{b, i—c-\-b\ l-a + b-. гЛ),
X \U
где | arg- (—z)| <-тс.
Легко видеть, что каждый из трех членов этого равенства является
решением гипергеометрического уравнения (см. § 14.4).
Полученный результат должен быть видоизменен, когда а— Ь есть целое
число или нуль, так как некоторые из полюсов выражения Г (а 4- $) Г (Ь 4- s)
будут двойными, и тогда правая часть может содержать .гогарифмические
члены согласно § 14.3.
Следствие. Положив b = с, мы видим, что при | arg (— г) | < я
оо i
Г(а)(1-г)-а^А f r(a + s)r(-s)(-^ds,
ZT64 е/
— со/
где (1—z)~a->l, когда г->0, и следовательно, в этом равенстве всегда
нужно брать то значение | arg (1 — z) |, которое меньше я, ввиду наличия
разреза от 0 до 4- «з, вытекающего из неравенства | arg (— z) | < я.
14.52. Лемма Барнса
Если путь интегрирования искривлен так, что полюсы выражения
Г (7— •$) Г (6 — s) лежат справа от него, а полюсы выражения Г (а 4- s) X
X Г (3 + s) слева ), то
ОО I
-X. j" Г (аГ (fi 4~ s) Г (7 — s) Г (8 — s) rfs =
-“Z Г(а + Т)Г(а4-5)Г(?4--г)Г(?4-8)
Г(а + ₽+74-6)
Обозначим через / выражение в левой части.
Пусть С — полуокружность радиуса р, расположенная справа от мнимой
оси, с центром в начале координат, и пусть р->оо таким образом, что
нижняя граница расстояния С от полюсов выражения Г (7— х)Г(8—s)
положительна (не нуль), тогда легко видеть, что
Г (а + 5) Г (Н S) Г(Т- S) Г (8 — $) =
Г (а 5) Г (fi -J- •$) 2/\ /й \
= Г(1 —7 + /)Г(1 —s 4=sT cosec (т“s) г-cosec (S -s) л =
= O [sa+3+T+s~2 ехр {— 2г. | Im $ |}]
') Предполагается, что a, p, 7, 6 таковы, что ни один из полюсов первой
совокупности не совпадает ни с одним полюсом второй совокупности.
92
ГЛ. 14. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
для точек s на полуокружности С; то же самое верно, когда | s | -> оо по
мнимой оси. Отсюда следует, что исходный интеграл сходится и что J" ->0
с
при р-> со, если Re (а 4" ? + 7 + в — 1) < 0.
Таким образом, как и в § 14.5, интеграл, входящий в I, равен произ-
ведению — 2те/ па сумму вычетов подинтегральной функции в полюсах
выражения Г (у—s) Г (8—s). Вычисляя эти вычеты, мы получим1):
/ = V г(а + 7 + я)Г(? + т + ») гс ,
Г («4- 1) г (1 +f— а 4-и) sin (8 — у) л
л=0
। Г (а 4- 8 4- п) Г (J3 4- 8 4~ и) гс
Jhai Г (п 4~ О Г (1 4- 8 — 7 4* n) sin (т— 8) те ’
п = 0
Пользуясь результатом § 12.14, имеем в силу § 14.11
те j Г(«4-8)Г(3 + 8) р й 0 , , ..
sin (у—8) те' j Г(1-74-8) ” ^ (« + М 4- 8, 1 - 7
Г (1 — 8 4-7) I
_ гсГ (1 — я—ft—7—8) ( Г (я4~ 8) Г (ft 4~8) _ Г (я 4~ 7) (ft 4~ 7) 1 _
Г(1— а—8)Г(1—ft—8) ( ~
sin (7 —8) те ( Г (1—а—Г (1 — ft— 7)
Г(« + 7)Г(3 + 7)Г(« + 8)Г(3 + 8)
Ь ft + 7 + 8) sin (а 4- ft + 7 + 8) гс sin (7—о) те + (?4~7)
— sin (а 4- 8) те sin (ft 4- 8) гс).
Но
2 sin (а 4~ f) гс sin (3 4- 7) гс — 2 sin (а 4- 8) те sin (3 4~ ~
= cos (а — Р) те — cos (а 4- Р 4" 2^) гс — COS (а — ₽) те 4~ COS (а 4~ Р 4~ 28) те =
= 2 sin (7 — 8) те sin (а 4- ₽ 4~ 7 + 8) те.
' Г (« 4~ 7) г ~Ь т) г («8) Г 4~ 8)
Поэтому
что и является искомым результатом; он доказан пока только при условии
Re (а 4~ ₽ + 7 + 5 — 1) <0;
но по теории аналитического продолжения он верен во всей области, в кото-
рой обе части равенства являются аналитическими функциями, скажем, от а;
а отсюда вытекает справедливость результата для всех значений а, ft, 7, 8,
для которых ни один из полюсов выражения Г (а 4- s) Г (ft 4- $)> как функции
от 5, не совпадает с каким-либо полюсом выражения
Г (7—$) Г (8 — s).
Следствие. Написав s + k, а — k, 3 — k, 7 4* k, 8 4~ k вместо 5, я, ft,
7, 8, мы видим, что результат остается верным и тогда, когда пределы инте-
грирования суть —k±coi, где k—любая вещественная постоянная.
J) Оба эти ряда сходящиеся (§ 2.38, часть I).
14.53. СВЯЗЬ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ ОТ 2 и от 1 — Z
93
14.53. Связь между гипергеометрическими функциями
ОТ 2 И ОТ 1 —Z
Мы видели, что при arg | (— г) | < я
Г (а) Г (6)
Г (с)
к ч 1 Г Г (« + 5) Г (b + s) Г (— s) , ...
Г (a, b; с; г) = J1, , '—*------------ (— z)s ds =
' 7 2та J Г (с + s) v ’
а — b — t) dt УХ
Г(-У)(-^
Г (с— я) Г (с— Ь)
по лемме Барнса. Можно доказать, что если взять k так, что нижняя гра-
ница расстояния между контурами s и t будет положительная (не нуль),
порядок интегрирования ') можно изменить.
Изменяя порядок, мы видим, что если arg (1—z) приписать его главное
значение, то
Г (с— я) Г (с— 6) Г (я) Г (6)
Г (с)
F (а, Ь; с; г) =
- k Ч' оо I
= J7 / Г(я + О T(b + t)T(c-a-b-t)X
— k—co I
У Г(5— 0Г(— $)(— z)s ds >dt =
Далее, при | arg (1 — z) | < те и 11 — z | < 1 последний интеграл может быть
вычислен с помощью методов, примененных в лемме Барнса (§ 14.52), и мы
найдем, таким образом, что
Г (с— а) Г (с— Ь) Г (а) Г (b) F (а, Ь; с; г) =
= Г (с) Г (я) Г (6) Г (с— a— Ь) F (а, Ь; яi — с + 1; 1 — г)+
+ Г (с) Г (с—я) Г (с—Ь) Г (я 4- Ь—с) (1— z)c~a~b F (с—а, с—Ь; с—а—Ь+1; 1—г)
— результат, который показывает природу особенности функции F {а, Ь; с, г)
при z = 1.
Этот результат изменяется, если с—я—b— целое число или нуль, так
как тогда
Г (а + t) Г (b -j- 0 Г (с — а — b — t) Г (— t)
) Можно применить методы, подобные методам § 4.51 части I, или до-
казать без особых трудностей, что удовлетворяются условия, установленные
Бромуичем (Bromwich) в «Infinite Series», § 177.
94
ГЛ. 14. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
имеет двойной полюс и могут появиться логарифмические члены. За этим
исключением, результат имеет силу при
|arg(—г)| <и, | arg(1 —г)| < я.
Взяв | г | < 1, мы можем заставить г стремиться к вещественному значению,
и мы видим, что результат остается верным для вещественных значений г,
удовлетворяющих условию 0 < z < 1.
14.6. Решение уравнения Римана при помощи интеграла
по контуру
Перейдем теперь к отысканию контурного интеграла, выражаю-
щего гипергеометрическую функцию.
Заменим функцию и в уравнении Римана (§ 10.7, часть I) новой
функцией /, определяемой соотношением
и — (z — а)л (z — bf (z — с)71.
Дифференциальным уравнением, которому удовлетворяет функ-
ция I, будет, как легко установить, уравнение
rfv , 1 ! + «-*' , _L±lzdL) di_
dz2~'\ z—a z—b -r- z—c ) dz'
(“ + ₽ + t) {(“ + ₽ + (+1)^ + 2+ V— I)} .
+ (г_а)(г_6)(г_с)
которое можно написать в виде
о (*) S— -2) Q/ +R 1 (2)> +
+ {|(Х-2)(Х-l)Q"(z) + (X- l)7?'(^)}/-0,
где
X = 1 — а — р — f = а' 4- Р' 4"1'.
Q (г) == (z — a)(z — b) (z — с),
R (г) = 2 («' + Р +1) (z — Ь) (г — с).
Следует заметить, что функция I не аналитическая в бесконечно уда-
ленной точке и, следовательно, вышеприведенное дифференциальное уравне-
ние относительно 1 не есть частный случай обобщенного гипергеометри-
ческого уравнения.
Покажем теперь, что этому дифференциальному уравнению
удовлетворяет интеграл вида
1 = f(t — af'^^ (t — 6)а+₽'+7"’ (t — c)’+?+7'-1 (z — dt,
c
если контур интегрирования С выбран надлежащим образом.
14.6. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ РИМАНА 95
Действительно, если мы подставим этот интеграл I в дифферен-
циальное уравнение, то условиеJ), что уравнение удовлетворится,
примет вид
J (t — <z)a'+₽+7-1(/—Kdt = О,
с
где
К = (X - 2) { Q(z) + У- z)Q'(z) + ±(t -z)2Q"(z)} +
+ (t -z) [R(z) + (t-z) R' (z)} =
= (X - 2) (Q (/) - (t - г)3} + (t - z) {/? (t) - (t-z)2 2 (a' + ₽ + T)| =
=_( i +a+m) a-a) (.t-ь) (t-ci+s (*'+Ж) a - w-c) a-z).
Отсюда следует, что требуемое условие приводится к равенству
с
где
V = (f — fl)a'+3+T (t — b)^'^ (t — c)a+^' (t - z)-(1+^+t>.
Поэтому интеграл I является решением дифференциального урав-
нения, когда контур С таков, что V принимает свое начальное зна-
чение после того, как t опишет С.
V = (t~ (t — г^+Р'+т-1 (t — c)a+p+T'-1 (2 — и,
где
U = (t — a)(t — b)(t — с) (г — О”1
— однозначная функция от t\ отсюда следует, что если С — замкну-
тый контур, то он должен быть таким, чтобы подинтегральная функ-
ция в интеграле I принимала свое начальное значение после того,
как t опишет контур.
Из сказанного заключаем: любой интеграл вида
(z — a)“ (z — b/ (z — с)т X
X f (t — — b)^+9'~\t — c)x+?+f-1(2 — ty^^dt
c
представляет решение гипергеометрического дифференциального
уравнения, если С является либо замкнутым контуром в пло-
) Дифференцирование под знаком интеграла допустимо (§ 4.2, часть I)
в том случае, если путь С не зависит от г и не проходит через точки а,
Ь, с, г; если С—бесконечный контур или если С проходит через точки а,
Ь, с или г, то необходимы дополнительные условия.
96
ГЛ. 14. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
скости t, таким, что подинтегральная функция принимает
свое начальное значение после того, как t опишет его, либо же
такой кривой, что V имеет одинаковые значения на ее концах.
Методы, с помощью которых интегралы этого типа можно преобразовать
так, чтобы прийти к соотношениям §§ 14.51 и 14.53, читатель найдет в ме-
муарах Похгаммера (Pochhammer, Math. Arm. XXXV (1890), стр. 495—526) и
Гобсона (Hobson, Phil. Trans, 187А (1896), 443—531).
Пример 1. Получить вещественный определенный интеграл, предста-
вляющий при известных условиях гипергеометрический ряд.
Гипергеометрический ряд F (a, b; с; г), как уже показано, является ре-
шением дифференциального уравнения, определяемого схемой
0 со 1
1 — с
Если в интеграле
а 0 г
b с— а— b
(г_а)«(1_^у(г_с)гх
X У (/_а)3+т+“'-^1_1-у+а+Р (/_С)«+3+т'-1 (t-zT^-idt,
С
который отличается от только что полученного на постоянный множитель,
перейдем к пределу при b -> оо (оставляя в стороне вопрос о допустимости
этой операции), то мы придем к рассмотрению интеграла
J ta~c (t— V)c~b~l (t — z)~“di
С
Предельной формой для V будет
а это выражение стремится к нулю при t = 1 и t = оо, если Re с > Re b > 0.
В соответствии с этим рассмотрим
/м-с, л^с~Ь-\.-а
t (t—1) (t — z) dt,
i
где г не есть положительное2) число, большее 1.
') Здесь не совсем удачные обозначения: точки а, Ь, с в общем контур-
ном интеграле не имеют никакого отношения к параметрам а, Ь, с в схеме Р.
Авторы хотят сказать, что, специализируя общий контурный интеграл
для случая точек а — 0, b — оо и с = 1, и подставляя в него затем выражения
для а, а', р, (V, f, t' через параметры а, Ь, с в схеме Р, мы приходим
к рассмотрению интеграла J* ta~c (t—(t—z)~a dt. — Прим. ped.
c
2) Этим обеспечивается, что точка 1 = г не будет находиться на пути
интегрирования.
14 61. НАХОЖДЕНИЕ ИНТЕГРАЛА, ПРЕДСТАВЛЯЮЩЕГО Р& 97
В этом интеграле положим t = u~l; тогда он переходит в интеграл
1
J u~'(l—u)c~b~1(l — uz)~a du.
о
На основании сказанного можно ожидать, что этот интеграл будет
решением дифференциального уравнения для гипергеометрического ряда.
В самом деле, легко видеть, что если Re с > Re Ь и arg и = arg (1 — и) = О,
а ветвь функции 1 — иг характеризуется тем, что (1 — иг)~а->1 при и->0,
то только что найденный интеграл будет равен
Г (Ь) Г (с-Ь)
----ь, с, г).
Это можно доказать, разлагая ’) (1 —иг)~а в ряд по возрастающим сте-
пеням г, когда | г | < 1, и пользуясь § 12.41.
Пример 2. Вывести результат § 14.11 из предыдущего примера.
14.61. Нахождение интеграла, представляющего Р(11)
Покажем теперь, как может быть найден интеграл, представляющий
частное решение (§ 14.4) гипергеометрического дифференциального урав-
нения.
Мы видели (§ 14.6), что интеграл
I = (г — а)а (г — й)3 (г — с? j* (f — а)р +Т+а' -1 (/ — й)т+а+3'-1 X
с
ха—с)а+3+т'-1 а-г)”-нл
удовлетворяет гипергеометрическому дифференциальному уравнению, если
С — такой замкнутый контур, что подинтегральная функция принимает свое
начальное значение после того, как t опишет С.
Особыми точками подинтегральной функции в плоскости t являются
точки а, Ь, с, г, и после того, как t опишет двойную петлю (§ 12.43),
определяемую символом (Ь Ц-, с +, b —, с —), подинтегральная функция при-
нимает начальное значение.
Далее, если г лежит в круге с центром а, не содержащем ни одной
из точек Ь, с, то мы можем выбрать путь интегрирования так, что t будет
находиться вне этого круга, и тогда \г—а\ < |/ — а| для всех точек t на
этом пути.
Выберем arg (г — а), по величине меньший я, a arg (г — Ь) и arg (г — с)
так, чтобы они приводились к arg (а — Ь), arg (а—с)2), когда фикси-
руем arg (/— a), arg (Z—b), arg(f — с) в точке N, в которой начинается и
кончается путь интегрирования; далее, выберем arg (/— г) так, чтобы он
приводился к arg (Г—а) при г->а.
) Предоставляем читателю доказать справедливость этой операции,
пользуясь § 4.7 части I.
2) Причем значения arg (а — b), arg (а — с) фиксированы.
4 3. Т. Уиттекер, Дж, Н. Ватеон
98
ГЛ. 14. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Тогда имеем
(г-^ = (я-6)э{1 + р(^|)+ ...},
(г-с)Т = (а-с)т{1+7(-|=£)+ ...}.
Далее, (t— г)-а-Р_Т разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд
У _ а) — ₽-Т | 1 _ (а + р + Т) £
поэтому мы можем интеграл разложить в ряд, который сходится абсолютно.
Перемножая абсолютно сходящиеся ряды, мы получим ряд, расположен-
ный по целым степеням разности г — а, умноженный на (z—а)а. Следова-
тельно, мы должны иметь
/=(а— Ь)9(а— су
(Ь+, с + , ь-, С-)
X J (t— — C/+P+T'-1 dt
N
и таким же образом можем при помощи интегралов, взятых по двойным
петлям, определить и Р<а \ Р^\ Р$ \ р№, рУ\
14.7. Соотношения между смежными
гипергеометрическими функциями
Пусть Р(г)— решение уравнения Римана с аргументом z, осо-
быми точками а, Ь, с и показателями а, а', р, р', у, у'. Пусть,
далее, P(z) отличается от одной из шести функций Р'^, Р'^\ Р$\
Р®'\ рЮ, р^ > лишь постоянным множителем.
Пусть P[+it m-i(z) обозначает функцию, которая получается
из P(z) заменой двух показателей I и т соответственно через Z —1
пт—1. Такие функции Pt+l, называются смежными (conti-
guous) с P(z). Имеется 6X5 — 30 смежных функций, поскольку I
и т могут быть любыми двумя из шести показателей.
Риман1) впервые показал, что функция P(z) и две любые
смежные с ней связаны между собой линейной зависимостью,
в которой коэффициентами являются полиномы от z.
Очевидно, что таких зависимостей будет у X 30 X 29 = 435.
>) Riemann, Abh. der k. Ges. der Wiss. zu Cottingen (1857). Гаусс
(Gauss) получил ранее 15 соотношений между смежными гипергеометри-
ческими функциями.
14.7. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СМЕЖНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
99
Чтобы показать, каким образом они могут быть получены, возь-
мем P(z) в виде
Р (z) = (г — а)л (z — bf (z — с)т X
X f (t — (t~— С)а+^'-\г — tY*-^ dt,
c
где C — двойная петля рассмотренного в § 14.61 типа.
Так как интеграл вдоль С от дифференциала любой функции,
которая принимает свое начальное значение после того, как t опи-
шет С, будет равен нулю, то мы имеем
0= [ —а)“+?+T(f — 6)“+₽+т-1(/—с)в+₽+т'-1 (/—Л.
с
Продифференцировав последовательно каждый из сомножителей,
получим
(а/ + Р + 7)Р+(а + р'+т-1)Я,+м,_1 +
+ (а4- ₽ + т' — l)^«’+i,j'-i= 1”—^з+i, т'-ь
Соображения симметрии показывают, что правую часть этого равен-
ства можно заменить выражением
а+Р+1 п
Z — С 3'-1,7+1’
Эти формулы вместе с аналогичными, получаемыми при помощи
циклических перестановок!) тройки (a, л, а') с тройками (6, [3, р')
и (с> Т> 7 )’ представляют собою шесть линейных соотношений, свя-
зывающих гипергеометрическую функцию Р с двенадцатью смеж-
ными функциями
Рч+l, р -1, ^з + l,т'-1, Pf+l.a'-l, Pulf-1, Р?+1,а'-1, /Зт + 1,3’_1,
/’a'+l, ₽'-1, Pa'+l, f-1, Pf + 1, f-1, Pp'+l, a'-l, Pf’+l, p'-b
Затем, положив t—a — (t — Z>) + (Z>—а) и обозначая через1 2) P^'-i
результат замены в Р показателя а' на а'—1, получим
P = P«'-i,₽'+i4-(d —
Таким же образом
Р — Pa'-.i, f+i 4-(с — a) Ра;_ь
1) Перестановка делается только в подинтегральном выражении; кон-
тур С остается без изменения.
2) Рл'_г не является функцией типа Римана, поскольку сумма ее по-
казателей при а, Ь, с не равна единице.
4*
100 ГЛ. 14. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Исключая из этих уравнений Ра’_\, получим
(с — b) Р (й — с) Pe-_lt р- +1 + (Ь — а) Р^, = 0.
Эта и аналогичные формулы являются тремя новыми линейными
соотношениями, связывающими Р с последними шестью из двенадцати
смежных функций, написанных выше.
Далее, положив (/ — z) = (t—й)— (z— а), мы тотчас же найдем
соотношение
р = Р^А, Г-1 - (Z - Й)а+1 (z - b)9 (Z - с? х
X /*(t — й)р+т+а’-1(г — й)т+в+р,-1(г-— zy^-^dt,
с
которое приводит к равенствам
(2_ й)"1 {P-(z-br'P^, г-1} = {г-ьу1 {р_(2-су1р^
^tz-cY^P-tz-aY'P^'-i},
Это — два новых линейных соотношения между Р и вышеуказан-
ными двенадцатью смежными функциями.
Мы нашли теперь в общей сложности одиннадцать линейных соот-
ношений между Р и этими двенадцатью функциями; коэффициенты
в этих соотношениях будут рациональными функциями г. Отсюда
каждая из этих функций может быть выражена линейно через Р и
одну какую-нибудь выбранную из них, а это значит, что между Р
и любыми двумя из вышеприведенных функций существует ли-
нейное соотношение. Коэффициенты в этом соотношении будут
рациональными функциями от z, и после умножения на общее наи-
меньшее кратное их знаменателей они станут полиномами от z.
Теорема, следовательно, доказана по отношению к вышеприведен-
ным двенадцати смежным функциям. Она может быть распространена
без затруднений на все тридцать смежных функций.
Следствие. Если из Р вывести новые функции заменой показателей
а, а', р, 0', 7, / на а + А + <7, Р + г> ₽' + «> Т + Л + и> гДе Р> Щ r> s>
t, и—целые числа, удовлетворяющие соотношению
/’ + 4' + '' + « + ^4-« = 0.
то между Р и любыми двумя такими функциями существует линейная за-
висимость, в которой коэффициентами служат полиномы от г.
Этот результат можно доказать, соединив Р с этими двумя функциями
при помощи цепочки промежуточных смежных функций, выписав линейные за-
висимости, которые связывают Р с двумя функциями, и исключив из этих
соотношений промежуточные смежные функции.
Многие теоремы, которые будут установлены позже, как, например,
рекуррентные формулы для функций Лежандра (§ 15.21), являются в дей-
ствительности частными случаями доказанной сейчас теоремы.
ПРИМЕРЫ
101
ЛИТЕРАТУРА
С. F. Gauss, Ges. Werke, III, 123—163, 207—229.
E. E. Kummer, Journ. fur Math., XV (1836), 39—83, 127—172.
G. F. B. Riemann, Ges. Math. Werke, 67—84.
E. Papperitz, Math. Ann., XXV (1885), 212—221.
S. P i n c h e r 1 e, Rend. Accad. Lincei (4), IV (1888), 694—700, 792—799.
E. W. Barnes, Proc. London Math. Soc. (2), VI (1908), 141—177.
Hj. Mellin, Acta Soc. Fennicae, XX (1895), No. 12.
В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. Ill, ч. 2, Гостехиздат, 1956.
Н. Н. Лебедев, Специальные функции и их приложения, Гостехиздат, М.,
1953.
Примеры
1. Показать, что
F (a, b + 1; с, г) — F (a, b; с; z) = -^-F (а +1, b + 1; с -ф-1; г).
2. Показать, что если а—отрицательное целое число, в то время как 3
и f не целые числа, то отношение
F (а, а Р + 1 — 1 — х) : F (а, р; р; х)
не зависит от х, и найти его значение.
3. Пусть Р (z) — гипергеометрическая функция; выразить ее производ-
ит3 d2P
ные и г- линейно через функцию Р и смежные функции и отсюда
dP d2P
найти линейное соотношение между Р, и , т. е. проверить, что Р
удовлетворяет гипергеометрическому дифференциальному уравнению.
4. Показать, что 1; 4s (1 — г) | удовлетворяет гипергеомет-
рическому уравнению, которому удовлетворяет g'j 1! Показать,
что в левой половине лемнискаты | z (1 — z) | = 1 эти две функции равны,
а в правой половине лемнискаты первая функция равна 1; 1 —
5. Пусть Fa+ = F (а + 1, b\ с; х), Fa~ = F (а — 1, Ь\ с; х); определить
15 линейных соотношений с полиномиальными коэффициентами, которые
связывают F (а, Ь; с; х) с любыми двумя из шести функций
Fa + > ^а-’ Fb + < Fb-> Fc+, Fc—
(Gauss)
6. Показать, что гипергеометрическому уравнению
х{х~ 1)-&-{-Г-(а + 3 + 1)*)^ + а?У = °
удовлетворяют интегралы (которые предполагаются сходящимися)
1
j" z9~' (1 — 2)т-э-1 (1 — xz)~adz
о
102
ГЛ. 14. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
И
1
J" г3"1 (1 — z)a-T (1 — (1 — х) z}~* dz.
о
7. Показать, что для значений х между 0 и 1 решением уравнения
Х(1 |(« + ? + 1)(1 -2х) -g—а₽у =0
будет
ЛлЦа, 1₽; 1; (1-2хг| +
+ В (1 -2х) F(а + 1), 1(? + 1); (1-2х)*|,
где А, В — произвольные постоянные, a F (а, р, 7; х) представляет гипер-
геометрический ряд.
(Math. Trip., 1896)
8. Показать, что
lim
F (а, ₽; у; х) —
Г(а + ^-7-п)Г(7-а+п)Г(7-3 + п)Г(7)
п1Г(7-а)Г(7-3)Г(а)Г(3)
X
X (1 —
Г(7-а-р)Г(7)
Г(7-а)Г(7-(О ’
где k — такое целое число, что k < Re (а + ₽ — 7) < k 4-1.
(Это определяет, каким образом гипергеометрическая функция стремится
к бесконечности, когда х->1—0, в предположении, что <* + ₽ — f не целое
число.)
(Hardy)
9. Показать, что если Re (7 — а — 3) < 0, то
«? • Г(7)п*+Р-Т
П’ (а + ₽-7)Г(а)Г(₽)
при п->со; здесь Sn обозначает сумму первых п членов ряда F (а, 7; I).
(М. J. М. Hill, Proc. London
Math. Soc. (2), V)
10. Показать, что если ун у2—независимые решения уравнения
то общим решением уравнения
-^- + 3P~ + j2P2 +-^- + 4Q}^ + |4PQ + 24^-h = 0
dx3 dx2 1 ( 1 dx 1 j dx 1 (• 1 dx }
будет z = -f- Byyy^ 4- Сур где А, В, С — постоянные.
(Appel, Comptes Rendus, XCI)
ПРИМЕРЫ
103
11. Вывести из примера 10, что если a-j-b-j-= с, то
{F(a, Ь; с; л)}2 =
Г(с)Г(2с—1) у Г (2а + п) Г (а + Ь + п) Г (26 + п)
= Г (2а) Г (26) Г (а + 6) 2d п\Г (с 4- п) Г (2с— 1 -f- п)
п=0
(Clausen, Journ. fur Math., Ill)
12. Показать, что если | х | < -у и | х (1 — х) | < , то
Лра, 2?; a + P-f-i; х I = F { а, ₽; а + р +-А-; 4л-(1 — х)
13. Вывести из примера 12, что
F^2a, 2₽; а+р4-1; ||
(Kummer)
г(“+₽+|)г(4)
гН4)г(?+т)'
14. Показать, что если а — е и Rea < 1, то
, j . Г(2а)г(а-1]
Л (а, За— 1; 2а; — 0)2) = 32 2 еХр {«(За-1) --------------,
10 ’ Г(3а-1)г(|)
£a_3 ( 1 1 Г (2а) Г (а-1)
Г (а, За — 1; 2а; — а>) — 3 2 2 ехр ! -г та (1 — За) !>----—2-.
’ Г(3а-1)Г(±)
(Watson, Quarterly Journ., XLI)
15. Показать, что
(Heymann, Zeitschrift
fiir Math. u. Phys., XL1V)
16. Показать, что если
(l_x/+₽-Tf(2a, 2₽; 2ч; x) = 1 + Bx + Cx2 + Dx3 + ...,
Cx2 + 7-??1)(^2) +
0 + t)0+2) G + ^)G+2)^+4)
(Cayley, Phill. Mag. (4), XVI (1858), 356—357. См. также Orr, Camb.
Phil. Trans., XVII (1889), 1—15).
104 ГЛ. 14. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
17. Показать, что если функция F(at х, у) определяется
равенством
1
X, у) — j (а) j aj y*u1I-1(l—uf-a~ ^l—ux)~3(l —uy)~3' du,
0
то между F и любыми тремя из восьми смежных функций
f(a±l), F($±\), Л(^±1), Л(7±1)
существует однородное линейное соотношение, коэффициенты которого суть
полиномы от х и у.
(Le Vavasseur)
18. Показать, что если f—а—° < 0, то при х->1 —0
если же 7—а—(3 = 0, то соответствующая приближенная формула будет
F(.a, х, *):{ 1п 1—х I-*1’
(Math. Trip., 1893)
19. Показать, что при | х | < 1
(х+, 0+, Х-, 0-)
У* х1-Т(^—х)т-а_Ча-1 (Г—=
с
= — sin ал sin (7— а) л —F (а, 7; х),
где с обозначает точку на отрезке, соединяющем точки 0, х; аргументы
у исходных значений ч—х и ч те же самые, что и у х, и arg(l —^)-»0,
когда v -> 0.
(Pochhammer)
20. Пусть при | arg (1 — х) | < 2л
4-со/
K(X)=2ST f {Г(—+
—00/
а при | arg х | < 2л
+оо/
f {г(-5)г(1 + а)|’х^А
— со/
При помощи замены переменной s в интеграле или каким-либо другим
ПРИМЕРЫ
105
образом получить следующие зависимости:
/<(х) = К' (1 — х),
К(х) = (1-х)-2к(—
K(1-x) = a;“k(A=1),
К'{х)=х"к'(^,
если | arg (1—х)|<я,
если | arg х | < л,
если | arg (1 —х) | < я,
если | arg х | < я,
если | arg х | < я,
если | arg (1 —х) | < я.
(Barnes)
21. Пользуясь
щие формулы:
обозначениями предыдущего примера, получить следую-
2/<W = 2
/1=0
2я/<'(х) = ~2
л=0
--- n!-- j x«|lgx-41g2+4(y-Ни-
когда | х | < 1, | arg х | < я;
- 1
К (х) = т i (- х)~2 К+ (-х)"2 К' ,
когда | arg (— х) | < я; из знаков ± выбирается тот, который имеет Im х.
(Barnes)
22. Гипергеометрические ряды с двумя переменными определяется
равенствами
Л (а; Р. г> х>
v-1 — V ат+пУт?п т п
^mlnlym+n У’
т, п
у) = % -^Уя,
/Гл'п!л!Ъ»Ь
F3(a, а';
т, п
Л (а; ₽; ъ 7'; *, у) = У xmyn,
М 'п!л|тл
оо оо
где = а (а -f- 1) ,,, (а tn — 1), а обозначает 2 2-
т, п т=0 п=0
106
ГЛ. 14. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Получить дифференциальные уравнения
X (1 — х) + у (1 — X)
' ' дх2 дх ду 1
+ {T-(a + ? + l)x}^-?y^-a?F,-0(
x(1-x)&-xy-Sy+h-(a + ? + 1)x}^-₽y^--<x^==01
х(1 —у 4- {7—(<* + ₽ + 1)Х}
' ' дх2 1 7 дхду ' ‘ v г 1 ’ 1 дх
' ' дх2 У дх ду У dy2
+ (Т-(* + 3 + 1)*} (“ +
арЛз — 0,
^1---«ЗА, - 0,
ду г
и четыре подобных уравнения, получаемых из предыдущих перестановкой х
с у и а, р, [ с а, 7', когда а, {}', 7' входят в соответствующий ряд.
(Appel, Comptes Rendus, ХС)
23. Показать, что если а отрицательно и а = — v-p, где v—целое
число, а а положительно, то
Г(х)Г(д)
г (х + а)
V j Rn
4d\x-\-n
n=l
где
(_1)Л(а—l)(a_2) ... (a—n) G
п! ' ''
__G (x) — G (— n)
(Hermite, Journ. fur Math., XC1I)
24. Показать, что если a < 1, то
Г(х)Г(а-х) = у Rn _ у /?„
Г (а) х п х— а — п ’
Л=1 П-1
где
(_l)«fl(fl+l)...(a + „_l)
Rn~
25. Показать, что если а > 1, а м и а—соответственно целая и дроб-
ная части величины а, то
Ру-1
X— а— м
+ 1
ПРИМЕРЫ
107
тле
м
°т)(’
(_1)Яа (а 1) , _. (д w _ I)
nl
26. Показать, что если
(Hermite, Journ. fur Math., XCII)
/в(х,У,г) = 1-С2я^-^-+п-1>
J ' n у (x + v)
c? ^^ + i)(yjt>4-«-i)(y + «4-»)
" У (y+ 1)(x + v)(x + v+ 1)
где n — положительное целое число, а С1п, С2п—биномиальные коэффи-
циенты, то
f (X V = Г(у)Г(у-х + п)Г(х + о)Г(у + н)
/П^,у, v; Г(у—Х)Г(у п) Г (V) Г (х 4-V + П)
(SaalschQtz, Zeitschrift ftir Math., XXXV; большое количество подобных '
результатов дано Дауголлом, Dougall, Proc. Edinburgh Math. Soc., XXV.)
27. Показать, что если
F(a 8 т 8 г х) - 1 1 X I а (а + О + 1) 7 (7 + 1) г
/•(а, 6-*- *)-!+ 5е1 *+ 8(5+1)£(г+1).1.2 Х +
то при Re ^8 4- е — у а — > 0
F (а, а — 8 4- 1, а — е. 4~ 1; 8, е; 1) =
г(1)гтгс>г(» +—4 — !)
г(,-т“)г(‘-4“)г(4+4“)г<,+—’
(А. С. Dixon, Proc. London Math. Soc., XXXV)
2
28, Показать, что при Re а < у
оо Г f 1__3 \
у ( а(а4-1)..- (а + п-1) )3 /± V 2 )
(Morley, Proc. London Math. Soc., XXXIV)
29. Если
1 t
(1 — x)7~' y'"‘ (1 — У)*-* (1 — xy)m~j~k dxdy = B (I, j, k, I, m),
то при помощи интегрирования по х, а также и по у показать, что
В (;, у, k, I, т) есть симметрическая функция от I 4- J, j 4~ k -j-l, Z 4- т,
108
ГЛ. 14. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Показать, что
Л(а, 3; т; 8, е; 1); Г (8) Г (е) Г (8 + е —а—7)
есть симметрическая функция от 8, е, 8 + г — а — р, 8 е — ₽ — у, 8 4- е —
t [А. С. Dixon, Proc. London Math. Soc. (2), 11 (1905), 8—16. О доказа-
тельстве частного случая методом Барнса см. Barnes, Quarterly Journ., XLI
(1910), 136—140.]
30. Показать, что если
Fn = f (—«,“ + 7! х) =>
х1-Т(1_х)т-» д» , ! +„_т,
“ 7(7+1)-.. (-f+ra-l)dx« И U х) >'
то, когда п— большое положительное целое число и 0 < х < 1,
1 ___________1_
Fn ----------(sin ?) 2 Т (cos 2 X
Xcosj(2n + a)? —1я(2Т—1)}+Of —Ц-Л,
1 ’I Y+-
\ n “ /
где x = sin2 <p.
[Этот результат приводится в большом мемуаре Darboux’a «Sur [’ap-
proximation des fonctions de tres grands nombres», Journ. de Math. (3),
IV (1878), 5—56, 377—416. Систематическое развитие теории гипергеомет-
рических функций, у которых одна (или более) из постоянных велика, см.
в Camb. Phil. Trans., XXII (1918), 277—308.]
ГЛАВА 15
ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
15.1. Определение полиномов Лежандра
___________________________
Рассмотрим выражение (1 — 2zh-\~ h2) 2; при | ‘Izh — /г21 < 1 оно
может быть разложено в ряд по возрастающим степеням разности
2г/г— И2. Если, сверх того, | ЪгН | 4~1 h. |2 < 1, то степени ‘Zzh — h2
можно развернуть по формуле бинома Ньютона и расположить члены
в любом порядке (§ 2.52, часть I), так как разложение выражения
[1 — { | 2zh | 4* | h |2}] 2 по степеням выражения | 2zh | 4*1 h |2 схо-
дится абсолютно. В частности, если ряд расположить по степеням к,
то мы получим
(1 — 2zh + /г2) 2 = Ро (г) + кРх (г) 4- к2Р2 (г) 4- /г3Р3 (г) 4- ...,
где
Рй (г) = 1, Pj (2) = z, Р2 (г) = -1 (Зг2 - 1), Р3 (2) = | (5г3 - Зг),
Р4 (г) = 1 (35г4 — 30г2 4- 3), Р5 (г) = 1 (63г5 — 70г3 + 15г)
и вообще
ч (2л)! ( „ п (п— 1) „о ,
r»W-2'!.(n!)2 Г 2(2л— 1)
”(п~ ЬСп—2) (и —3) „_4 __ 1
"г 2-4 (2л—1) (2л —3) —
т
— V (___1/_______(2га 2г)!____ 2f
' 2Л • г! (я—г)! (га—2г)!
г=о
1 1 / 14
где щ = -^п или -^-(/г—1), смотря по тому, которое из этих чисел
целое.
Если а, b и Ь — положительные постоянные, причем Ь настолько мало>
1
что 2<г& + 62<1 — 6, то разложение выражения (1 — 2г/г +/г2) 2 схо-
дится равномерно относительно г и h, когда | z | а, | h | Ь.
110
ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Выражения P(s(z), Pl(z), являющиеся, очевидно, полино-
мами z, известны под названием полиномов Лежандра 1). Рп (г) на-
зывается полиномом Лежандра степени п.
Из последующего (§ 15.2) будет видно, что эти полиномы являются
частными случаями более обширного класса функций, известных под наз-
ванием функций Лежандра.
j_
Пример 1. Давая z частные значения в выражении (1 — 2zh-\-h2) 2,
показать, что
Ря(1) = 1. Р„(-1) = (-1)й,
Лп+. (0) = 0, Р2п (0) = (-1)« 1-^;4’\(2”2~1).
Пример 2. Исходя йз разложения
1
(1 — 2/z cos в + Л2)~ 2 + ...)х
X(1 + 4 he~* + h*e~W + ..
показать, что
Рп(cos 0) = 1 23. 4 .^(2/г)^ { 2 cos "е + 2^я—\)2 cos ~ 2) ° +
, 1-3-(2га) (2га—2) „ )
+ 2-4-(2га—1)(2га —3) 2cOs(” 4)0+---р
Вывести отсюда, что если 0 — вещественный угол, то
\Р (cos 0) I < 1'3 J 2 4- 1 • 2 4-
l^(cosu)|^ 2 4 2п ^ + 2(2n_1;j-4 4-
, 1 • 3 • (2га) (2га — 2)
‘2-4 (2га—1) (2га —3) + "
так что | Р„ (cos 0) К 1.
}=Рп (1),
(Legendre)
Пример 3. Показать, что при z =—
Рп — PaPin P\Pzn-1 + Р sPzn—z — • • • + РгпРо-
(Clare, 1905)
‘) Другие названия: коэффициенты Лежандра и зональные гармоники
Zonal Harmonics). Они были введены в анализ 1784 г. Лежандром (Le-
gendre, Memoires par divers savants, X (1785)).
15.13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛЕЖАНДРА 111
15.11. Формула Родрига1) для полиномов Лежандра
Очевидно, что, когда п — целое число,
_£L (Z1 1)” — dn V ( 1/ 22n-2r
dznV > dzn 'LP > r\(n — r)l z
,r=0
m
- У (-1/ »! (2n — 2r)l 2r
> r\(n — r)\ (я —2г)!
r=0
где m = -^n или -^-(re—0> чтобы коэффициенты отрицательных
степеней z были равны нулю.
Из общей формулы для Pn(z) вытекает непосредственно, что
1 //я
этот результат известен под названием формулы Родрига.
Пример. Показать, что уравнение Рп(г) = 0 имеет п вещественных
корней, лежащих между ±1.
15.12. Интеграл Шлефли для Рп(г)2)
Из результата § 15.11 в комбинации с результатами § 5.22
части I сразу же- вытекает, что
,l [ ’ 2ni J 2"(f—z)'1+1 at’
где C — контур, обходящий вокруг точки z один раз против часовой
стрелки; этот результат называется интегральной формулой Шлефли
для полиномов Лежандра.
15.13. Дифференциальное уравнение Лежандра
Докажем теперь, что функция u — Pn(z) является решением диф-
ференциального уравнения
это уравнение называется дифференциальным уравнением Лежандра
для функции степени п. Подставив интеграл Шлефли в левую часть
*) Rodrigues, Corresp. sur I’Ecole polytechique, 111(1814—1816),
361—385.
2) S c h 1 a f 1 i, Ueber die zwei Heine’schen Kugelfunktionen (Bern, 1881).
112
ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
уравнения, мы получим, пользуясь § 5.22 части I,
(1 -- 2z + n(n+V)P„(z) =
^"-srf 2!,'L~ S'A l~ (° + 2> (<a — 1) + 2 О» + 1W — г)| =
£ £. - 4)
_ » + l Г f (/2— i)n+1 |
2ni2n J dt\ (К_г)»+2 j '
а этот интеграл равен нулю, так как при целом п функция
принимает свое начальное значение после обхода С. Поэтому поли-
ном Лежандра действительно удовлетворяет указанному дифферен-
циальному уравнению.
Полученный результат может быть написан в форме
i ~22) }+п (п + рп =0 •
Заметим, что уравнение Лежандра является частным случаем уравнения
Римана и определяется схемой
| —1 со 1
Р{ 0 п +1 0 г
( 0 — п О
_ , „ drPn (z)
Пример 1. Показать, что уравнение, которому удовлетворяет —"/ ,
определяется схемой
Г— 1 со 1
Г п + г + 1 —Г Z .
( О —«+г О
Пример 2. Показать, что если z2 = -ц, то дифференциальное уравнение
Лежандра принимает вид
tf2y , f 1 1 > , w (та +1) у __ Q
drf *( 2-») 1 — т) j dtj ‘ 4т](1 — »;)
Показать, что это уравнение гипергеометрическое.
Пример 3. Получить интеграл Шлефли для функций Лежандра как
предельный случай общего гипергеометрического интеграла § 14.6.
Так как уравнение Лежандра задается схемой
Р{
—1 со
О п+1
О — п
1
О z
О
15.14. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПОЛИНОМОВ ЛЕЖАНДРА 113
то искомый интеграл будет
lim [l-if* Г (/ + !)«(/ —1)" lim fl —г)"1-1 Л =
с
= У* (t2—l)n(t—z)~n-ldt,
С
взятый по такому контуру С, что подинтегральная функция принимает свое
начальное значение при его обходе, а это и дает интеграл Шлефли.
15.14. Интегральные свойства полиномов Лежандра
Покажем теперь, что ’)
» 10 (т* п),
J ?пг Р/l (?) dz = { 2 , .
_1 ( 2п +1 (т П)'
Пусть {и]г обозначает тогда, если г^п, то {(z2—1)”}г де-
лится на (г2—1)п~г; следовательно, если г < п, то {(z2—1)")г = 0
при z—\ и при z — —1.
Пусть т больше или равно п. Тогда, интегрируя последовательно
по частям, получим
1
f К*2- 1УЪ ((г2- 1)п!п dz = [{(^ — irL-, {(z2-inXi -
-1
1
- f {(Z2- 1)X-! 1)П}й + 1^ =
-1
1
= (-l)m f (z2-ir[(z2-n+mdz,
-I
так как \(z2— l)m}/n-i> K^2— 0m}m-2> • • • обращаются в нуль в обоих
пределах интегрирования.
Далее, если т > п, то ((г2—1)”}ш+п = 0’ так как производные
выражения (z2—1)" порядка выше чем 2п равны нулю; следова-
тельно, когда т > п, из формулы Родрига вытекает, что
1
/ Pm(,z)P„(z)dz = Q.
-1
) Эти результаты были даны Лежандром в 1784 и 1789 гг.
114
ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Если же т = п, то мы имеем на основании только что полученного
преобразования
1 1
f {(г2-1Ш(г2-1П1^ = (-1)п =
-1 -1
1 1
= (2п)! (1— z*)ndz= 2(2п)! f' {\—z2}ndz =
— I 6
R
2
== 2 • (2n)! f sin2«+’6 db = 2 (2n) 1 Д'-4 (2w),,,
J 3 • 5 ... (2n + 1)
о
где в интеграле была сделана подстановка .г = cos 6; отсюда по
формуле Родрига
Ар 2.(2л)!(2"л!)* _ 2
,/ IGWJ — (2«. Л!)2 (2л + 1)! — 2л+ 1 '
-1
Таким образом, мы получили оба требуемых результата.
1
/ 1 \ ~2
На языке главы XI части I функции (л-р-^-! РгЛг) называются нор-
мальными ортогональными функциями на интервале (—1, 1).
Пример 1. Показать, что при х>0
г -1 п-1
/ (ch 2л-—z) 2 Pn(z) dz = 22 (л-|- -yj е (2л+1)х.
(Clare, 1908)
Пример 2. Если 7 = J* Рт (z) Pn(z) dz, то
о
<0 ' = тЛг <" = ”>.
(II) 7 = 0 (лг—л—четное число),
(III) 7=-----—г (~1)Р'+'1------- пг?!м- (л = 2v + 1, лг = 2[л).
Чт+п-1 (л — т) (п + т + i) (^I)2 (IхО2
(Clare, 1902)
15.2. Функции Лежандра
До сих пор мы предполагали, что степень п функции Pn(z) —
положительное целое число; фактически Pn(z) не была даже опре-
делена при п, не являющемся положительным целым числом. Посмот-
15.2. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
115
рим теперь, как можно определить Pn(z) для значений п, которые
не обязательно являются целыми числами.
Здесь может быть проведена аналогия с теорией гамма-функции. Выра-
жение г!, определенное обычным образом (т. е. как z(z—1) (г— 2) ... 2 1),
имеет смысл только для положительных целых значений г; но когда введена
гамма-функция, то д! можно определить как Г (z -f-1), и тогда функция zl
будет существовать для нецелых значений г.
Ссылаясь на § 15.13, мы видим, что выражение
U 2™ J 2n(t—z)n+1
удовлетворяет дифференциальному уравнению
zi д2и л du । , . .. л
(1 — % ) 'тг~2 2д л (л —1) и = О
v ' dz2 dz 1 \ । z
даже тогда, когда п не является положительным целым
числом, лишь бы только контур С был таким, чтобы функция
(/2— 1)”+1(/— д)-”-2принимала свое начальное значение при обходе С.
Поэтому мы не будем более требовать, чтобы п было целым
положительным числом.
Функция (/2— 1)л+1(/ — д)~”"2 имеет три особые точки, а именно
точки t—\,t — — 1, t — д; очевидно, что после того, как t опишет
петлю вокруг точки t — 1 против часовой стрелки, функция примет
свое исходное значение, умноженное на е2*'<« + если Же t опишет
петлю против часовой стрелки вокруг точки t — z, то функция при-
мет исходное значение, умноженное на е7~л Поэтому если
С — контур, окружающий точки t= \ и t — z, но не окружающий
точку/ — —1, то функция (/2—1)”+1(/ — д)-”-2 примет свое исход-
ное значение после того, как t опишет контур С. Следовательно,
выражение
(1+, Z+)
If (/2 — 1)« ,,
U А ~z)n + 1
удовлетворяет дифференциальному уравнению Лагранжа для
функции степени п:
(1-д2)§-2д^+п(«Ч-1)« = 0
для всех значений п; многозначные функции точно определятся,
если взять А на вещественной оси справа от точки t = 1 (и справа
отд, если д вещественно) и положить arg(/—1) = аг£(/-ф-1) = О
и | arg (t — д) | < л в точке А.
116
ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Это выражение обозначим через Pn(z) и назовем функцией
Лежандра степени п первого рода.
Таким образом, мы определили функцию Pn(z) независимо от
того, будет ли п целым или нет.
Функция Рп (г), определенная указанным образом, не будет однозначной
функцией г, ибо мы можем взять два контура, как указано на рисунке, и
интегралы по этим контурам не будут
равны; для того чтобы сделать кон-
турный интеграл однозначным, прове-
дем разрез в плоскости t от —1 до —со
вдоль вещественной оси; это потребует
проведения такого же разреза в пло-
скости г, так как если бы этого разреза
не было, то при непрерывном измене-
нии z через отрицательную часть ве-
щественной оси контур не мог бы из-
меняться непрерывно.
что Рп (г) будет аналитической функцией
Из § 5.31 части I вытекает,
на всей разрезанной плоскости.
15.21. Рекуррентные формулы
Выведем теперь формулы (которые в действительности являются
частными случаями соотношений, существующих, как было показано
в § 14.7, между смежными Р-функциями Римана), связывающие функ-
ции Лежандра различных степеней.
Если С — контур § 15.2, то мы имеем1)
Рп^
Рп^)
= _L_ Г
2л+1то J (t—z)n+1
_ П-Н Г (Р-1У
~2n^r.iJ (t-z)n+2
Но
(;2_ 1)"+1 _ 2(n + l)Z(Z2—1)"_ (n+l)(/2—lf+1
dt (t — z)n + i (t — z)nJrl (t—z)n+2
откуда, интегрируя, получим
0 = 2
t (t2 — If
(/ — z)n+l
(t2— 1)”+1
0— z)n+2
dt.
*) Мы пишем P'n(z) вместо ^Рп(г).
15.21. РЕКУРРЕНТНЫЕ ФОРМУЛЫ
117
Следовательно,
= 1 _____Г (^-Пя dt
2"+2ти J (t—Z)n+2 2"+i r.z J (t — z)n+1
т. е.
Рй+1(г)-гРй(г)==^— f ~^rdt. (А)
” с
Дифференцируя ’), получим, далее,
Р'п+1 (*) — zP'n (z) — Рп (z) = пРп (z)
P'n+1(z') — zP'n(z) = (n-\-l)Pn(z). (I)
Это и есть первая из искомых формул.
Далее, развертывая равенство
t(t2 — 1)”
найдем, что
С
-1)”
t—z)n J (t—z)n+x
dt = Q.
Напишем (t2—1)4-1 вместо t2 и (t— z)-\-z вместо t в этом равен-
стве, тогда получим
С с с ' '
Пользуясь равенством (А), получим тотчас же
(n + 1) {Рй+1 (г) — zPn (z)} + пРй_! (г) — nzPn (z) = О,
т. е.
(п + 1) Рй+1 (z) - (2n + 1) zPn (z) + пРп_х (г) = О (II)
— соотношение 2), связывающее три функции Лежандра последова-
тельных степеней. Это и есть вторая из искомых формул.
‘) Процесс дифференцирования под знаком интеграла легко обосновать
согласно § 4.2 части I.
2) Это соотношение, по существу, было дано Лагранжей в мемуаре по
теории вероятности, Misc. Taurinensia, V (1770—1773), 167—232.
118
ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Остальные формулы мы можем вывести из (I) и (II) следующим
образом:
Дифференцируя (II), имеем
(« + 1) \P'n+x{z)—zPn(z)\—n {zP'n(z)—PLiC?)} — (2zi-|- 1)P„ (z) = 0.
Пользуясь формулой (1) для исключения Pn+X(z) и деля затем
на п '), получим
zP'n(z) — P'n.1(z) = nPn(,z). (Ill)
Складывая (I) и (III), получим
Р'п+Х (z) - Р'п-г (z) = (2п + 1) Рп (z). (IV)
Наконец, заменяя в (I) п на п—1 и исключая Pn_i(z) из полу-
ченного таким образом равенства и формулы (III), находим
С?* 2 — 1) Р'п (2) = nzPn (?) — пРп_х (Z). (V)
Формулы (I) — (V) называются рекуррентными формулами.
Приведенное доказательство остается справедливым независимо от
того, будет ли п целым числом или нет, т. е. оно применимо к общим
функциям Лежандра. Другое доказательство, которое, однако, применимо
лишь к случаю, когда п — положительное целое число (т. е. лишь к поли-
номам Лежандра), заключается в следующем.
Положим
1
V = (l— 2hz+h2)~2.
Тогда, сравнивая коэффициенты 2) при одинаковых степенях h в разло-
жениях обеих частей уравнения
dV
(1_2Лг + Л2)-^- = (г-Л)У,
получим
пРп (?) — (2п — 1) гРп_, (г) + (п — 1) Р„_2 (г) = О,
что представляет собою формулу (II).
Подобным же образом, сравнивая коэффициенты при одинаковых сте-
пенях h в разложениях обеих частей уравнения
. dV , .. ОУ
h-аг = (z — h) ,
dh х ' dz
получим
z dPn (г) dP„ ,(z) =
') Если тг = О, то мы имеем Р0(г) = 1, Р_1(г) = 1, и результат (III)
верен, но тривиален.
2) Читателю рекомендуется проверить законность этих операций.
15.211. РАЗЛОЖЕНИЕ ЛЮБОГО ПОЛИНОМX ПО ПОЛИНОМАМ ЛЕЖАНДРА 119
что представляет собою формулу (III). Остальные формулы могут быть
выведены из этих формул.
Пример 1. Показать, что для всех значений п
к + ^+1)-2^^+1} = (2” + 3) ^+1 - (2п + 1) Pl
(Hargreaves)
Пример 2. Показать, что если
Krf ' п т
-j—j (г<?гг cosech z) I ,
/ J^=0
TO
i
—-^~ = nMn_i(x) и J Mn{x)dx — Q.
-'1
(Trinity, 1900)
Пример 3. Доказать, что если т и п — целые числа и т п, причем
оба четные или оба нечетные, то
1
Г dPm(z) dPn(z) . . .
I -------------dz = ffi(m 4- !)•
J dz dz ' ’
-1
(Clare, 1898)
Пример 4. Доказать, что если т, п — целые числа и т^п, то
1
Г d2Pm(z) d2Pn(z)
J dz2 dz2 ~
= (”-1)n(" + 1)(" + 2) (m + 1) - n (n + 1) + 6} {1 + (-!)«+'"}.
(Math. Trip., 1897)
15.211. Разложение любого полинома по полиномам Лежандра
Пусть fn (z) — полином степени п от z.
Тогда всегда можно выбрать а0, аг, ..., ап так, что
Л(2) = аоро(2) + а1Л(2)+ ••• +anPn(z),
ибо, сравнивая коэффициенты при zn, zn~\ ... в обеих частях, мы
получим уравнения, последовательно определяющие ап, ап_х, ...
однозначно через коэффициенты полинома /л(с).
Для того чтобы определить а0, ах, ..., ап наиболее простым
способом, умножим рассматриваемое тождество на Pn(z) и про-
интегрируем.
120
ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Тогда при г = 0, 1, 2, ...,п, в силу § 15.14, имеем
1
f fn(z)Pr(z)dz = ^^',
-1
если же г > п, то интеграл в левой части равен нулю.
Пример 1. Дано гп = ааР0 (z) + atP, (г) + ... + ап?п (ZY определить
do, dEj, .... ЙЕд.
(Legendre, Exercices de Calc. Int., 11, 352)
[Приравняем коэффициенты при г” в обеих частях; это даст
_ 2п (п!)2
а"~ (2п)! *
1
Пусть /п т= J* znPm (z) dz, так что, по только что полученному ре-
-1
зультату,
_2m+1(m!)2
1т,т- (2m 4-1)! ‘
Далее, если (п — т) — нечетное число, то 1п, т есть интеграл от нечет-
ной функции с пределами ± 1 и, следовательно, равен нулю; /я> т будет
также равен нулю, когда п—т — отрицательное четное число.
Для определения 1п, т, когда п — т — положительное четное число,
находим из уравнения Лежандра, интегрируя дважды по частям,
1 1
т (т + 1) f znPm (г) dz = — J zn {(1 — г2) P'm (г)} dz =
-1 -1
1
= — [zn (1 — z2) p'm (г)]’_ J + п J* zn~1 (1 — z2) P'm (z) dz =
-1
1
= n[Z»-1 (1 -z2) Pm (z)]1-! -П f {(n- 1) z«-’-(n + 1) zn} Pm (z) dz,
-1
и таким образом,
m (m + 1) 4, m = n (n -f-1) In, m — n (n — 1) /п_2, m.
Поэтому имеем
_ тг(п—1) _
/п' т ~ (п — т) (тг + /п 4-1) ,n~t’ т ~
п(п — 1) ... («4-1) ,
“ (тг — т)(п — 2 — /и) ... 2 • (/г 4-/и 4-1) (тг 4-/и — 1)... (2m 4-3) т т>
повторяя тот же процесс сведения.
15.22. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕРФИ ФУНКЦИИ Pn(z)
121
Следовательно,
2m+1ni
т ** I п — т\. ’ . *
у—2—) 1 (л + m + 1)!
и, таким образом,
ат = 0, когда п — т — нечетное или отрицательное число,
и
(2т + 1) 2mnl ) I
ат~~ ( п — т\. . ... ’
—2—)'• (« + «+1)1
когда п — т — четное положительное число].
Пример 2. Разложить cos nd по полиномам Лежандра от cos 0, когда
п — целое число.
Пример 3. Вычислить интегралы
1 1
f гРп (z) Рп+, (z) dz, J z2Pn (z) Рп+Х (г) dz.
— 1 ”1
(St. John’s, 1899)
Пример 4. Показать, что
— 1
(Trinity, 1894)
Пример 5. Показать, что
n
nPn (cos 0) = 2 cos r^Pn-r (cos 0)-
(St. John’s, 1898)
Пример 6. Показать, что если
i
«л = f <1 ~ г2)\ргт (*) dz>
-1
где т < п, то
(п— zn)(2n4-2m +1)и„ = 2л2«л_1.
(Trinity, 1895)
15.22. Представление Мерфи функции Pn(z)
в виде гипергеометрической функции ’)
Так как (§ 15.13) уравнение Лежандра является частным случаем
уравнения Римана, то следует ожидать, что может быть получена
формула, дающая выражение для Pn(z) через гипергеометрические
‘) Murphy, Electricity (1833). Результат Мерфи был получен только
для полиномов Лежандра.
122 гл. 15. функции лежандра
функции. Для получения этой формулы возьмем интеграл § 15.2
для функции Лежандра и предположим, что |1—z\ <2. Для выбора
контура С предположим, что 8 — любая постоянная, удовлетворяю-
щая неравенству О <S< 1, п z таково, что |1—<^2(1—8);
затем возьмем С в виде окружности ’)
11 _ ^| = 2 — В.
т I 1—z \ — 2S , ..-п-l
Так как - < 1, то мы можем разложить (t—z)
в равномерно сходящийся ряд* 2)
, (n + 1) (л + 2) /'.г-1 \2 , 1
"г’ 2! U—1 / ‘ ‘ Г
Подставляя это разложение в интеграл Шлефли и интегрируя
почленно (§ 4.7, часть I), получим
со (1 + , Z+)
Р — V С*-1)' (» + 1)(» + 2)...(п + г) /• (fi-Vf __
2п + ^ г, J н_ип + 1+гаГ-~
г=0 А '
— У (^—О7(" + !)(« +2) ... (п +г) Г dr 1
~ Zl 2я-(г!)» \_dtr L,
r=0
согласно § 5.22.
Так как arg(Y-|-l) —0 при t— 1, то
[-^ (f + 1 )”Ц 1 = 2п~гп (Я - 1)г + I),
и таким образом, при |1—z\ <^2(1—В) < 2 имеем
Р -У- (П+1)(/г+2)--(п + г)(-п)(1-/2)...(г-1-/2)
\*) — ~ X
г=0
х(^)' = е(»+1. ri=i).
Это и есть требуемое представление; оно объясняет (§ 14.53),
почему в § 15.2 нельзя было избежать разреза от —1 до —со.
') Эта окружность охватывает точки t— 1, t — z.
2) Ряд обрывается, если п — целое отрицательное число.
15.23. интегралы лапласа для Р n(z) 123
Следствие. Из полученного результата ясно, что для всех значений п
Рп (г) = Р-п-\ (г)-
Примечание. Если п—целое положительное число, то полученная
формула представляет полином Лежандра в виде полинома от 1 — z с коэф-
фициентами простого вида.
Пример 1. Показать, что если т—целое положительное число, то
( dm+'Pm+n(z) ) Г (2лг + л 4-2)
I dz"1*1 /г=1 2m+1 (/и1)! Г (п) '
(Trinity, 1907)
Пример 2. Показать, что полином Лежандра Рп (cos 6) равен
(—1,—л; 1; cos2yflj
и
cos” у л, — л; 1; — tg2y0).
(Murphy)
15.23. Интегралы Лапласа1) для Pn(z)
Покажем теперь, что для всех значений п и для определенных
значений z функция Лежандра Pn(z) может быть представлена
в виде интеграла
~ {г-(-(г2— I)2 cos<р} dtp,
о
называемого первым интегралом Лапласа.
(А) Доказательство, применимое только к полиномам
Лежандра.
Если п — положительное целое число, то согласно § 15.12
мы имеем
Р (z) = 1 Г ^-1)Л dt
2n+iT:J (t—z)n+1 '
где С — какой-либо контур, описываемый вокруг точки г против
часовой стрелки. Примем за С окружность с центром z и радиусом
£ 4^
|г2—1 ]2 , так что на С t = z-\-(z2—I)2 elf, где <р можно взять
возрастающим от — те до те.
') Laplace, Mecanique Celeste, книга XI, глава 2. Контуром приме-
няемым в этом параграфе, а также другими, вводимыми ниже в этой главе,
МЫ обязаны Дж- Ходжкинсону (J. Hodgkinson).
124
ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Произведя подстановку, получим для всех значений z
{г_1 + (г2—I)2 }{? + !+Сг2—1)2
----------------------------------------------- Z £?<{> =
(z2 — I)2 eiaf J
j'[z-]-(z2—l)2cos<f>} dy = J' {z + (z2—I)2 coscp} dy,
-я 0
так как подинтегральная функция есть четная функция от <р. Выбор
2
ветви двузначной функции (г2—I)2 , очевидно, безразличен.
(В) Доказательство, применимое к функциям Лежандра
при любом п.
Сделаем ту же самую подстановку, как в (А), в интеграле
Шлефли, определяющем Pn(z)', необходимо, однако, дополнительно
добиться, чтобы t = \ лежала внутри контура, a t = —1 вне его,
и необходимо также выбрать определенную ветвь выражения
J 11”
{.г(г2 — I)2 cos у j ,
которое теперь является многозначной функцией от у.
Условие, что £—1 и t — —1 лежат соответственно внутри и
вне контура С, заключается в том, что расстояния z от этих точек
1
соответственно меньше и больше, чем |z2—112. Оба эти условия
удовлетворяются, если \z—1| < |г—|— 1|, что дает Rez>0, и таким
образом (приняв за arg г его главное значение), мы должны иметь
arg z | < j
Поэтому
pn(z) = ^-f {z+(.z2—1)2 cosy} dy,
— TC
где значение arg|z-f-(z2—l)2cos<f>} определяется тем обстоятель-
ством, что оно [будучи равно arg(£2—1) — arg (г? — z)] численно
меньше те, когда t лежит на вещественной оси и справа от z
(см. § 15.2).
Если у возрастает от — л до то z-(-(z2 — I)2 cosy пробегает отрезок
прямой на плоскости комплексной переменной от точки z—(г2—I)2
до точки г-(-(-г2— I)2 и обратно; а так как этот отрезок не проходит через
15.23. ИНТЕГРАЛЫ ЛАПЛАСА для Рп (г) 125
j 2 )
начало координат1), то arg ( г 4- (z2—l)2 cos <p j на пути интегрирования
может изменяться лишь на величины, меньшие л.
Предположим теперь, что ветвь функции
{г (г2— I)2 cos ср} ,
которую следует взять, будет такова, что она пригодится к znen2klzi (где
k—целое число) при ф =
Тогда
лпы /»f 2. 1л
Рп(г) = - у \z + (z2— I)2 cos ср j rfcp,
— ТС
где уже берется та ветвь многозначной функции, которая равна zn, когда
Заставим теперь z -> 1 по пути, который не проходит через нули функ-
ции Рп (г); так как Р„ (z) и интеграл являются аналитическими функциями
от z при | arg z | < -g-", то k не изменяется, когда z описывает этот путь.
Таким образом, мы получим
е2пЫ = ।
Следовательно, при | arg z | < у тс и любом п
Лс = /{2 + Сг2--!)2 еоз?}
— ТС
где arg { z(г2— I)2 coscp} берется равным argz при <р = утс.
Полученное для Рп (г) выражение, которое, очевидно, и в этом
случае может быть записано в виде
i- f {z-|-(г2-- I)2 COS ср} </ср,
о
известно под названием первого интеграла Лапласа для Pn(z).
) В противном случае г принимает чисто мнимое значение, а такие
значения г исключены.
126
ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Следствие. Из следствия § 15.22 очевидно, что при | arg г | < у л
имеем
р (Z}-L Г
tn ’ nJ I 1 "+1 ’
° I z 4- (г2—I)2 cos ср)
результат, принадлежащий Якоби (Jacobi, Journ. fiir Math., XXVI (1843),
81—87) и известный под названием второго интеграла Лапласа для Р„ (г).
Пример 1. Получить первый интеграл Лапласа, рассматривая
- I”
z 4- (г2—1)2 cos ср) rf-p
и пользуясь примером 1 § 6.21 части I.
Пример 2. Показать прямым дифференцированием, что интеграл
Лапласа является решением уравнения Лежандра.
Пример 3. Показать, что если
s < 1, | h | < 1
и
(1 — 2/г cos в 4- h2)~s = 2 bn cos п0,
п=0
то
1
2 sins- Г hnxn+s~x
Ьп к . (1 — хУ (1 — xh2)s Х' ч
о (Binet)
Пример 4. Вывести второй интеграл Лапласа из первого интеграла,
когда z > 1, при помощи подстановки
{г— (г2 — I)2 cos 0 } {г 4~ С?2 — I)2 cos '?} = !•
Пример 5, Разложением по степеням cos ср показать, что для опреде-
ленной области значений г
— f* {-г- + (г2 — 1/2 cos ср} dy znF 1 2 ” ; 1; 1 — г"2),
о
Пример 6. Показать, что уравнение Лежандра определяется схемой
О со 1
1±_1 __2 о
2 2
гле
15.231. интеграл мелера — дирихле для Pn(z) 127
15.231. Интеграл Мелера — Дирихле1) для Pn(z)
Другое интегральное представление функции Лежандра может быть
получено следующим путем.
Для всех значений п имеем по предыдущей теореме
® < — 1”
= U + cos?(^-l)2f dy.
о
В этом интеграле заменим переменную новой переменной А, опреде-
ляемой равенством
h = z + (z2 — I)2 cos
получим
г+(г2-1)2 1
Р„(.г) = 1 J" Ал(1 — ihz + h^dh-,
1
z-(z!-l)2
путь интегрирования—отрезок прямой, arg А определяется условием, что
h = z при ;; = у"и
_1 Л
(1 — 2Аг + А2) 2 =—/(г2—I)2 sin?.
Пусть теперь г = cos 0; тогда
е* г
/>„ (cos 0) =-i. j' h”(l — 2hz +A2)~y dli.
” e~‘0
Далее (так как 6 ограничено неравенством . — jit < 9 < iz, когда п
не есть положительное целое число), путь интегрирования можно дефор-
мировать 2) в дугу окружности | h | = 1, проходящую через точку А = 1
и соединяющую точки А — е~л и А = е‘0, так как подинтегральная функция
является аналитической во всей области между этой дугой и ее хордой 3 * * *).
) Dirichlet, Journ. ftir Math., XVII (1837), 35; Me hl er, Math. Ann.,
V (1872), 141.
2) Если 6— комплексная величина и Re (cos 6) > 0, деформирование кон-
тура представляет несколько большие трудности. Данный анализ легко видо-
изменить так, чтобы охватить и этот случай.
3) Подинтегральная функция не будет аналитической на концах дуги,
однако будет вести себя, как (А—е±10) 2, вблизи них; но если область
вырезать (§ 6.23) при е* 10 и радиусы вырезов заставить стремиться к нулю,
то мы увидим, что деформация законна.
128
ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Положив h = eif, получим
1 f
P„(cos0) = -i- J ---------------е----------
-в (2 cos <f— 2 cos 0)2
и. далее,
0 I t Ц
2 f cosln+^-)<p
Pn (cos 0) = - J -----------—r dr,
° {2 (cos о—cos0)}2
легко видеть, что нужно взять положительное значение квадратного корня.
Выведенная формула известна под названием упрощенной формы
Мелера интеграла Дирихле. Результат справедлив для всех значений п.
Пример 1. Доказать, что, когда п—положительное целое число,
о f sin(n+y')<prf<?
Рп (cos 0) = ± J ------'-----1
8 {2 (cos 0 — cos <p)} 2
[Заменить 0 на л— 0 и <p на л— у в только что полученном результате.]
Пример 2. Доказать, что
1 /* hn
^^0)= ------------Tdh,
(Л2— 2 A cos 0 4-1)2
причем интеграл берется вдоль замкнутого контура, охватывающего точки
h = е± if>, а радикалу приписывается надлежащее значение.
Исходя отсюда (или другим путем), доказать, что если 0 лежит между
1 5
— Л И -X- л,
6 6
то
р 0> - -L 2 •4 • • 2л Гcos д_ 12 cos (л9 + 3?) д_
^«^о ?_лЗ-5...(2п4-1) 1 *’2(2/14-3) Д Ч"
(2 sin 0)2 (2 sin 0)2
, I2 • З2 cos (n0 4- 5(p) ,
2-4-(2n4-3) (2n 4-5) I H •
(2 sin 0) 2
где <p обозначает у 0 — -j л.
Показать также, что первые члены ряда дают приближенное значение
Рп (cos 0) для всех значений 0 между 0 и л, не слишком близких к 0 или л.
Объяснить, как можно использовать эту теорему для получения приближе-
ний к корням уравнения Pn(cos 0) = 0.
[См. Heine, Kugelfunctionen, I, 178; Darboux, Comptes Rendus, LXXXII
(1876), 365, 404.]
15.3. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА ВТОРОГО РОДА
129
15.3. Функции Лежандра второго рода
Мы рассматривали до сих пор только одно решение уравнения
Лежандра, а именно Pn(z). Приступим к нахождению второго
решения.
Мы видели (§ 15.2), что уравнению Лежандра удовлетворяет
интеграл
/ (Z2 — !)"(* — z)~n~'dt.
взятый вдоль такого контура, после обхода которого подинтеграль-
ная функция возвращается к своему начальному значению. Пусть
D — контур в виде восьмерки, образованной следующим образом:
пусть z не есть вещественное число, заключающееся между —1 и
-ф-1; построим эллипс в плоскости t с фокусами в точках ±1 и
настолько малый, что точка t — z находится вне его. Пусть А — конец
большой оси эллипса справа от t—1.
Пусть контур D начинается от точки А, описывает путь
(1 —, —1 4-) и возвращается в А (§ 12.43), причем он лежит целиком
внутри эллипса.
Пусть | arg z | it и | arg (z— /) | —> arg когда / —>0 на контуре.
Пусть arg(t1) — arg(t—l) = 0 в точке A.
Тогда решение уравнения Лежандра, справедливое в этой пло-
скости (разрезанной вдоль вещественной оси от 1 до — оо), будет
QnW
1 Г
4z sin п~ ./ 2" (г_________’
если п не целое число.
Если Re (ft 4- 1) > 0,
вания, как в 12.43, что
то можно деформировать путь интегриро-
дает
1
Qn & = f (1 - W (z - О’”’1 dt
(где arg(l —t) = arg(l 4—/) = 0); это выражение мы примем за опре-
деление функции Qn(z), когда п— положительное целое число или
нуль. Когда п — отрицательное целое число (= — т— 1), диффе-
ренциальное уравнение Лежандра для функции степени п будет
тождественно с таковым для функции степени т, и таким образом,
мы примем за два основных решения Рт (г), Q n (г).
Qn(z) называется функцией Лежандра степени п второго
рода.
5 Э. Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон
130
ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
15.31. Разложение функции Qn(z) в степенной ряд
Получим теперь функцию Лежандра второго рода в виде степен-
ного ряда относительно z-1.
Когда вещественная часть п -1- 1 положительна, имеем
1
Qn (*) = .Л1 - '2)л (* - 'Г"-1 л-
-1
Предположим, что |z|> 1. Тогда подинтегральная функция может
быть разложена в ряд, равномерно сходящийся относительно t,
так что
1
= /<1 — ^"(1 =
-1
= Л -«”{1 +i(|)' <"-+->(» + 2)...<»+hL,=
-1 ( г = 1
1
2”г”+1
[ + (n + 2s) Г (1_/2)n/2S^
• / (40) . К. *)
L-0 s=l О
где г — 2s, потому что при нечетных значениях г интегралы равны 0.
Положив t2 — и, получим без затруднений, пользуясь формулой
§ 12.41,
1
qm= г|г<;+1>
о«+1г/ид_А\ zn
/7(у«+у. 7п + 1; л + 1; 2~2)-
Данное выше доказательство применимо только в том случае,
когда вещественная часть (n-|-1) будет положительна (см. § 4.5,
часть I); но совершенно аналогичные рассуждения можно применить
и к интегралу
Qn(*) = ^— Г oV<?2— 1 )"(?—О-"-1 dt,
v 7 4z sin пл ./ 2" 4 7 ' 7
D
причем коэффициенты вычисляются, если представлять интегралы
в форме
f (t2—V)ntrdt
D
(1—> (-1 + )
(1 _ t2y>tr dten*l p (I — t2)" f dt;
0 6
15.31. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ Qn(z) В СТЕПЕННОЙ РЯД 131'
тогда, положив t* 2=u и используя § 12.43, получим тот же самый
результат, что и прежде; таким образом, формула
£
п , х_ ~2 Г(п4-1) 1 /1 1 1 з 1 \
— а-’ У"+1: + ?-)
остается верной для любых значений п, (за исключением отрицатель-
ных целых значений) и для всех значений1) z таких, что |д|> 1,
| arg z | < те.
Пример 1. Показать, что если п—положительное целое число, то
ICO
z
[Легко убедиться в том, что уравнение Лежандра может быть выведено
из уравнения
(1 — •г)‘ЗР'+2(/г_1)-г’йг + 2"® =0
путем n-кратного дифференцирования и подстановки и — . Двумя не-
зависимыми решениями этого уравнения будут
(z2 — 1)Я и (г2_ 1)" J (V2_ ij-n-1 dv.
z
Отсюда вытекает, что
dv
I Z
является решением уравнения Лежандра. Так как это выражение, будучи
разложено по возрастающим степеням z~l, начинается с члена z-"-1, то
оно должно отличаться лишь постоянным множителем от функции Q„ (z)2).
Из сравнения коэффициентов при г~п~1 в этом выражении и в разло-
жении функции Q„ (z), найденном выше, мы и получим требуемый результат^
Пример 2. Показать, что, когда п—положительное целое число,
функция Лежандра второго рода может быть выражена формулой
Qn(z) = 2"n! f f f ... f (о2—I)-”-1
Z V V V
(dv)n+l.
') При целом положительном n нет необходимости ограничивать значе-
ния arg г.
2) Рп{г) содержит только положительные степени г, когда п—целое
число.
5*
132 ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Пример 3. Показать, что, когда п — положительное целое число,
п 00
2 7Г^7)Г ./ "'О"- '>’ ”'л-
t- 0 z
[Этот результат может быть получен применением к предыдущему
результату общей теоремы интегрального исчисления
ЛЭ СО СО ОО п со
f f f / f
z V V V t-0 z
15.32. Рекуррентные формулы для Qn(z)
Функции Pn (г) и Q„ (г) были определены при помощи интегралов одной
и той же формы, а именно при помощи интеграла
f (Z2 — \)n(t — z)-n~1dt,
взятого вдоль различных контуров.
Отсюда вытекает, что общее доказательство рекуррентных формул для
Рп (г), данное в § 15.21, в одинаковой мере приложимо к функциям Q„(z);
а отсюда вытекает, что для функций Лежандра второго рода имеют место
рекуррентные формулы
Qn+i ~ zQn (г) = (л 4- D Qn (z),
(П + 1) Qn+! (z) — (2п + 1) zQn (z) + nQ„_t (z) = О,
zQ„ (z) — Q'„_i (z) = nQn (г),
Qn+i (*) - Q'n-y W = (2« +1) Qn (A
U2— 1) Q'n (z) = nzQ„ (z) — (z).
Пример 1. Показать, что
zi / \ 1 i z 1 гл / \ 1 i % "4~ J i
<?<>(*) = jig yfy, Q, (2) = ^-^lg-7^r-l,
и вывести, что
/л/\ 1 п / \ 1 z 1 3
<?2 (?) = -^Рг (г) lg z_z —-2г
и что отношение
Qn (z)
Рп (г)
разлагается в непрерывную дробь вида
Qn(z) !,„*+! 1 I2 22 З2__
Pn(z) 2 g z -1 z 3z 5z 7z
(«-I)2
(2n — 1)* ’
15.33. ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА ДЛЯ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА ВТОРОГО РОДА 133
Пример 2. Показать при помощи рекуррентных формул, что если
п—положительное целое число ), то
1 z -4- 1
-2 рп (*) Ig TTTj- - Qn (*) = fn-1 (*).
где состоит из членов положительных (и нулевой) степеней в раз-
1 Z \ 1 Z “Ь 1 А
ложении выражения у/-*„ (z) 1g по убывающим степеням г.
[Этот пример показывает характер особых точек функции Qn (z) при
z = ± 1, когда п—целое число; эти точки и делают необходимым разрез
от —1 до 4-1. О связи полученного результата с теорией непрерывных
дробей см. Gauss, Werke, III, 165—206 и Frobenius, Journ. fiir Math., LXXIII
(1871), 16; формулы примера 1 принадлежат им.]
15.33. Интеграл2) Лапласа для функций Лежандра второго рода
Докажем теперь, что при Re(«+l)>0
Qn(z) = J {z + (z2 — 1)^ch б} d6,
0
г д 1
где arg\z-{-(z2—I)2 ch 9 j при 9 = 0 имеет свое главное значение,
если п не есть целое число.
Предположим сначала, что г> 1. В интеграле § 15.3, т. е. в
-1
положим
1 J.
, ^(z + 1)2-(z-1)2
еб(г+1)2+(z-l)T
•) Если — 1 < z < 1, то из этих формул очевидно, что
Qn (г + 0Z) — Qn (z — 0Z) = — W'P„ (z).
Удобно определять Qn (z) для таких значений z, как выражение
1q„ (z + o/) +1ря(г-оо.
Отметим, что эта функция удовлетворяет уравнению Лежандра для веще-
ственных значений z.
2) Эта формула была дана впервые Гейне; см. Heine, Kugel-
(unktionen, 147.
134
ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
так что область (—1, 1) вещественных значений t соответствует
области (— оо, со) вещественных значений 0. Тогда [как в § 15.23(A)]
прямой подстановкой получим, что
0я(«) = 4 f {z + t?
—со
1
l)2ch0j db =
J* {z + tz2—1)2сНб} d0,
о
так как подинтегральная функция есть четная функция от 0.
Чтобы доказать полученный результат для z, не являющихся веществен-
ными числами, большими 1, заметим, что точки ветвления подинтегральной
_1_
функции как функции г суть ±1 и точки, где г -|- (г2— 1)2 ch 9 = 0; по-
следние суть точки, в которых z = ± cth 9.
Отсюда можно видеть, что
Q„ (г) и J* [г 4- (г2—1)’А ch 9} " 1 rf9
о
будут аналитическими ’) во всех точках плоскости, разрезанной вдоль пря-
мой, соединяющей точки г=±1. По теории аналитического продолжения
равенство, доказанное для положительных значений г—1, сохраняется
также для всех значений г в разрезанной плоскости, лишь бы только
I 2 1
arg (z 4- (г2 — 1)2 ch 9 j было приписано надлежащее значение, а именно то,
которое обращается в нуль, когда z — 1 положительно.
Подинтегральная функция будет однозначной в разрезанной плоскости
[и такой же будет и Qn (г)], когда п — положительное целое число; но
। 4 ।
argla’ + C2'2—I)2 ch 9 j увеличивается на 2л, когда arg г увеличивается
на 2л; поэтому, если п не будет положительным целым числом, следует
сделать добавочный разрез от z = — 1 до z = — со.
Эти разрезы налагают необходимые ограничения на. значения z\ в част-
ности, разрез, примененный, когда п не целое число, обеспечивает, что
। 21 1 2 2.)
arg (г 4-(г2 — 1)2 f = 2arg | (z 4-1)2 4- (г - I)2 J
будет иметь свое главное значение.
Пример 1. Получить тот же результат для комплексных значений z,
принимая за путь интегрирования некоторую дугу окружности и только
) Легко показать, что интеграл имеет единственную производную
в разрезанной плоскости.
15.34. ФОРМУЛА НЕЙМАНА ДЛЯ Q„(z), КОГДА п---ЦЕЛОЕ число 135
затем делая подстановку
2 1
г’(г + 1)2 -(г-1)2
г — 1 1 ’
ев(г+1)2+(г-1)2
где 9 вещественно.
Пример 2. Показать, что если z > 1 и cth а = z, то
“ ( 1 1”
Qn(z) — J" [z— (г2—1)2 ch и j du,
о
где
j 1
arg (г — (z2 — 1)2 ch и j = 0.
(Trinity, 1893)
15.34. Формула Неймана1) для Qn(z), когда п — целое число
Перейдем теперь к установлению соотношения
1
-1
дающего выражение Qn (л) через функцию Лежандра первого рода, 'когда
л— положительное целое число, а г не лежит на вещественной оси
между 1 и —1.
Если | z | > 1, то подинтегральную функцию можно разложить в равно-
мерно сходящийся ряд
ОО
т -О
Следовательно,
1 OQ 1
4 f р«(>')т=у=42г-'”_1 f ymp^dy-
-1 m=0 -1
Но интегралы, для которых т — п—четное или отрицательное число,
равняются нулю (§ 15.211), и таким образом, согласно § 15.31,
1 оо I
4 /= /yn+2m^(y)^ =
-1 m-0 -1
-IV г-л-ип-1 2»+> (n + 2m) I (л + ™)1 _
~ 2 ЬЛ m!(2n4-2m-f-l)l
т=0
2"(л!)2 1 ,1 1 ... ,3 .
= (2^Л)!г %n + T’ 2л + 1; пР2’ 2 =
*) F. Neumann, Journ. filr Math., XXXVII (1848), 24.
136 ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Итак, для случая, когда | z | > 1, теорема доказана. Так как обе части ра-
венства
1
QnU) = | /Рп(у)-^
-1
представляют аналитические функции даже тогда, когда | г | не больше еди-
ницы, лишь бы только z не было вещественным числом, заключенным
между —1 и 4-1, то делаем вывод, что, за этим исключением, результат
справедлив (§ 5.5, часть I) для всех значений z.
Кажется, что формула Неймана представляет Qn (г) как однозначную
функцию от г, между тем как эта функция многозначна (§ 15.32, пример 2).
Причина этого кажущегося противоречия заключается в том, что формула
Неймана была установлена для плоскости z, разрезанной от —1 до 4-1,
а в разрезанной плоскости Qn (z) однозначна.
Пример 1. Показать, что при —1 <. Re г < 1 | Qn (z) | | Im z |-1 и что
для любого значения z, | Q„ (г) | не должен превышать наибольшего из
чисел |г—11 —!, | г 4- 1 Г '•
Пример 2. Показать, что при целом положительном п функция Фп(г)
является коэффициентом при hn в разложении по степеням h выражения
( h — z )
(1 — 2hz 4- А2) 2 arch j-----j- >.
(г2 — 1)У
[Ибо, когда | h | достаточно мал,
л-0 л=0 -1 -1
= (1 — 2hz 4- Л2) 2 arch | |.
U2- I)2'
Этот результат был получен Гейне (Heine, Kugelfunktionen, I, 134) и Ло-
раном (Laurent, Journl. de Math. (3), 1, 373.).]
15.4. Разложение Гейне1) для функции (t—z) 1 в ряд
по полиномам Лежандра
Найдем теперь разложение, которое послужит основой для
разложений широкого класса функций по полиномам Лежандра.
По индукции легко вывести из рекуррентных формул
(2/п + 1) tQm (0 - (/и + 1) Qm+1 (0 — (t) = О,
(2т + 1) zPm (z) — (m + 1) Pm+l (z) — mPm_x (z) = 0.
‘) Heine, Journ. fiir Math., XLII (1851), 72.
15.4. РАЗЛОЖЕНИЕ ГЕЙНЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ (t—1
137
что
+ {Рп+, (*) Qn (0 - Рп (г) Q„+1 (f)} •
Пользуясь интегралами Лапласа, получим
( 1 1«
С СО 1 - (
Рп+г СО Qn (О - Рп (О Qn+1 (О = if f j +(г2~1 -C0\»L X
О 0 ^4-(/2_])2 Ch u f
X |г + (22 — I)2 cos<р — {( + (/2 — 1)2 ch м } jctydu.
Рассмотрим теперь
г (г2 — I)2 cos ср
t + (t2 — I)2 ch и
Пусть ch a, ch а — большие полуоси эллипсов с фокусами ±1, проходящих
соответственно через г и t .
Пусть 0 — эксцентрический угол для z\ тогда
z — ch (а 4- Z0),
I 1 I
z±(z2 — I)2 cos ср I = | ch (а 4- Z0)±sh (а 4- ZB) cos ср | =
= {ch2 а— sin2 В 4- (ch2 а— cos2 0) cos2 ^>±4 sh a ch a cos ср}2 .
Для вещественных значений ср это выражение имеет максимум при
cos ср = zp 1, а отсюда
II2 1
z±(z2— I)2 cos ср | <2ch2 а— 1 4- 2ch a (ch2 а—I)2 = exp (2а).
Подобным же образом
114- (Z2 — 1)2 ch и | > exp а.
Поэтому
« со
\Pn+i(z)Qn(V — ^,n(OQn+i(OK’'"Iexp {п(а — а)} f fvd<?du,
О о
где
j
z + (г2— I)2 cos ср
^ + (^2 — I)2 ch и
If 111’2
+1 V + (/2— I)2 ch и j I
138 ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Следовательно,
I Pn+i (*) Qn (0 - Рп (*) Q„+i (f) I 0.
когда п->оо, в предположении, что а < а.
Далее, если t изменяется, а а остается постоянным, то легко
ТС со
видеть, что верхняя граница выражения J' J' V d<p du не будет За-
о о
висеть от t и, таким образом,
Pn^Qn^-Pn^Qn^t)
стремится к нулю равномерно относительно t.
Отсюда следует, что если точка z находится внутри эллипса,
проходящего через точку t и имеющего точки +1 своими фо-
кусами, то имеет место разложение
^ = ^(2n+\)Pn(z)Qn(f)-,
п=0
если же t — переменная точка на эллипсе с фокусами ± 1
и z — неподвижная точка внутри его, то разложение сходится
равномерно относительно t.
15.41. Разложение Неймана1) для произвольной функции в ряд
по полиномам Лежандра
Приступим теперь к разложению данной функции в ряд по поли-
номам Лежандра. Это разложение представляет особый интерес,
поскольку среди других разложений по полиномам оно по своей
простоте идет сразу же после рядов Тейлора.
Пусть f (г)—какая-нибудь функция, аналитическая внутри и на
эллипсе С, фокусами которого являются точки ±1. Мы покажем, что
/ СО = а0Р0 (г) -j- (г) 4- а2Р2 (z) -ф- ....
где а0, av а2, ... не зависят от z, причем это разложение годно
для всех точек z внутри эллипса С.
Пусть t — какая-нибудь точка на контуре эллипса.
) К. Neumann, Ueber die Entwickelung einer Funktion nach den Ku-
gelfunktionen (Halle, 1862). См. также Thome, Journ. fur Math., LXVI
(1866), 337—343. Нейман дает также разложение по функциям Лежандра
обоих родов, справедливое в кольце, ограниченном двумя эллипсами.
15.41. РАЗЛОЖЕНИЕ НЕЙМАНА ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 139
Тогда, так как У, (2n-f- \)P„(z)Q„(t) сходится равномерно отно-
и=0
сительно t,
СО
C n = Q С
оо
= ^anPn(z),
где
an=^rf f^Qn^dt.
с
Это и есть требуемое разложение; так как можно доказать1),
00
что ряд y(2«+l)P„(z)Q„(0 сходится равномерно Относительно z
и=0
в любой области С', лежащей полностью внутри С, то и найденное
разложение сходится равномерно во всей области С'.
Другое выражение для ап может быть получено интегрированием,
как в § 15.211, так что
1
ап = (п+^) f f(.x)Pn(x)dx.
' -i
Весьма часто употребляемой формой последнего выражения
является
। 1 1
Л + ту /•
J fW (*) 0 ~ dx,
-1
которая получается, если заменить Рп(х) его выражением по фор-
муле Родрига и проинтегрировать по частям.
Теорема, относящаяся к разложению Неймана так же, как теорема
Фурье относится к разложению § 9.11 части I, заключается в следующем:
Пусть f(t) определена, когда—1 1, и пусть интеграл от выра-
жения (1 — t2) 4 f(t) существует и абсолютно сходится-, пусть, далее,
1
ал=(« + 4) /
-1
‘) Доказательство подобно доказательству § 15.4 о равномерной схо-
димости относительно t.
140
ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Тогда ряд 2 апРп (•*) сходится и имеет суммой -g- {/(* + 0) f(x — 0)}
в любой точке х промежутка —1 < х < 1, если удовлетворяется одно
из условий типа, установленного в конце § 9.43 части I.
Доказательство читатель найдет в мемуарах Гобсона1) и Буркгардта 2).
Пример 1. Показать, что если радиус сходимости ряда спгп
есть р(>1), то ряд cnPn(z) сходится внутри эллипса, полуоси которого
суть + (Р - Р-‘).
Пример 2. Доказать, что если
(У—1 Х’г ,, (х—l)(y + D ,
*_G + 1) ’ “ (х+1)(у-1) ’ где У>х>1’
то
1 1 оо
/------------------- = {(х + 1) (у _ 1)р Рп (х) Q„(y).
* {(1 — г2)(1_ Й2г2)}2 П = 0
[Подставить интегралы Лапласа в правую часть и проинтегрировать по <р.]
Пример 3. Показать, что
ОО
2(^Т)+1) е.« Ч. «
л=0
(Frobenius, Journ. fiir Math., LXXIII (1871), 1).
15.5. Присоединенные лежандровы функции
Pn(z) и Qn(z) Феррерса
Введем теперь более широкий
т — положительное целое число,
функции
класс функций Лежандра. Если
— 1 < z < 1 и п — любое 3), то
Q™O) = (1 — г2)2 ”
dzm
называются присоединенными лежандровыми функциями Феррерса
степени п и порядка т соответственно первого и второго рода.
Можно показать, что эти функции удовлетворяют дифферен-
циальному уравнению, аналогичному уравнению Лежандра.
) Hobson, Proc. London Math. Soc. (2), VI (1908), 388—395; (2),
VII (1909), 24—39.
2) Burkhardt, Miinchener Sitzungsberichte, XXXIX (1909), No. 10.
3) См. стр. 131, примечание. Феррере (Ferrers) обозначает P™ (z)
через T™ (z).
15.51. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ 141
Действительно, продифференцируем уравнение Лежандра
4 ' dz2 dz 1 v 1 7 z
c(my
т раз и положим = v. Мы получим уравнение
(1 — г2)^“-2г("1+ 0-57 + (« —/«)(« + /»+ 1)^ = 0.
- т
Положив, далее, w = (l—г2)2 v, получим уравнение
(1 _г2} _ 2^+ { п(п + 1) —1-^-Ь = °-
4 7 dz2 dz 1 ( 4 1 7 1 — z2 )
Это и есть дифференциальное уравнение для функций
ЛТС?) И Q” (г).
Из данных выше определений может быть получено несколько выра-
жений для присоединенных функций.
Так, из формулы Шлефли имеем
2_ (!+,*+)
(2) = + !)(д 4-2). . («+ «) (1_г2) 2 т С (t2—\)n (t—z)-n-m~x dt,
2 тс/ •'
A
где контур не окружает точку Z = — 1.
Далее, когда л—положительное целое число, мы имеем по формуле
Родрига
1
7Г ГП
рт - О-^2)2 ^+т(г2-1Г
« ~ 2"/г! dzn+m
Пример. Показать, что присоединенное уравнение Лежандра опреде-
ляется схемой
С 0 со 1
1 . 1 1 11
р 2 т л +1 2 т 2 2 г .
1 1
— ~2т ~п ~~~2т
(Olbricht)
15.51. Интегральные свойства присоединенных
функций Лежандра
Теорема § 15.14 обобщается следующим образом.
Если п, г, т — положительные целые числа п > т, г>т, то
; (°
/ (г) Р? (г) dz = 2 (/г + m)! , _ ,
-1 ( 2п 4-1 (п—т)\ ' '
142
ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Чтобы получить первый результат, умножим дифференциальные
уравнения для Р™ (z), Р™ (z) на Р™ (г), P%(z) соответственно и
вычтем; это даст
I т dP? (z)
d
dz
dP? (г) 1
dr J
+
+ (/г-г)(п + г+1)РГ(^)^(^ = 0.
Интегрируя в пределах —1, -f~l, получаем требуемый результат,
когда п --Р г, так как выражение в квадратных скобках равняется
нулю при каждом пределе.
Чтобы получить второй результат, отметим, что
1 dPm(z\ __L
PT1 (z) = (1 - г2)2 + mz^-z^ *Р% (zy,
возводя в квадрат и интегрируя, получим
dP™ (z)\2 _ dP^ (z) n?z2 , )2
-^2 + 2mzP^(*)№(z)}
dz =
dPn&\
' dz |
dz.
причем последняя часть этого равенства получается из предыдущей
интегрированием первых двух членов по частям.
Если теперь воспользоваться дифференциальным уравнением
для P%(z) для упрощения первого интеграла в последней части
равенства, то мы получим
1 1
f {^Т10)Г dz = (я — т)(п + т + 1) f {Р„ (z)j2dz.
— 1
15.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГОБСОНА ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА 143
Многократно применяя это соотношение, получим
J [Р„ (z)}2 dz = (п— m-\-V)(n— /п4~2) ... пХ
-1
1
X (« + m)(« + т — 1) ... («4-1) J {Pn(z)}2dz,
-1
и таким образом,
1
f №(z)]2dz= 2-^+4!.
У ' 2п + 1 (л— т)\
-1
15.6. Определение Гобсона присоединенных
функций Лежандра
- т
До сих пор мы считали функцию (1—z2)2 , которая встре-
чается в определении Феррерса присоединенных функций, чисто
вещественной, и, поскольку в более элементарных физических при-
ложениях функций Лежандра обычно бывает —1 < z < 1, это не
создает никаких осложнений. Но если мы хотим рассматривать
присоединенные функции как функции комплексной переменной, то
нежелательно вводить добавочный разрез в плоскости z, давая arg (1 —z}
его главное значение.
Соответственно этому в дальнейшем, когда z не будет
вещественным числом из промежутка —1 <z<l, мы, следуя
Гобсону, определим присоединенные функции равенствами
Р™ (Z) = (Z2 - 1)2 т (*) = (Z2 - 1)^ т,
где т — целое положительное число, п — любое, a arg г, arg(.?4-l),
arg (z—1) имеют свои главные значения.
Для произвольного т Гобсон определил функцию Р™ (г) как
1
Г (1 — т)
Гт
г . 1 1 \
1 т' 2 2 z) ’
а Барнс дал определение для Q™ (г), из которого может быть получена
формула
. , , . Г(п + и + 1)гШ z ,
m = sin (n + те) it \2) (z2— 1)2 y
sin mt 2n+ir(n + |-
. . c/1 , 1 . . 1 .1 .1 >6 —o\
Х^\1й+2 m + 1’ "2 n+2’"l+'2 > ” + '2': z )•
Во всей этой книге мы будем считать т положительным целым числом.
144
ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
15.61. Выражение функции Р™ (?) через интеграл
типа Лапласа
Если произвести необходимое изменение в интеграле Шлефли
из § 15.5 в соответствии с определением § 15.6, то получим
j (!+»
= (”+.1.).(”+2): • -(п+т) ^2_ 1)Т т Г (p_l)n (t-z)-n-m~1dt.
£ Ш 9!
А
Положим здесь t = z-\-(z2—I)2 е1^, как в § 15.23; тогда
2~+з I 1 )"
р?(г)д(»+1><»+2>-.<?+->(гг_1)1" f 1» + П--1,)^И
где а — значение <₽, когда t находится в А, так что
I А I
I atg(z2 — 1 )2 —a j < тс.
Теперь, как в § 15.23, подинтегральная функция является одно-
значной периодической функцией вещественной переменной <₽ с перио-
дом 2тс и, таким образом,
Рп (д) — + 1 /Л” 7^)... (и + от) —1)2 Cos <р } e~mi? dy.
— К
I — Iя
Так как (д’-)-(д’2 — l)2cos<pf — четная функция ср, то, деля про-
межуток интегрирования на части (— тс, 0) и (0, тс), получим
г» ( 1 )п
(z) = + 2)' • • l\z-\-(z2 — l)^cos<pj cosmydy.
о
Условия, при которых эта формула, принадлежащая Гейне, спра-
ведлива, в точности совпадают с условиями для формулы § 15.23.
Пример. Показать, что при |arg£|<~r.
Гт (с) - ( l)m ” '' (п~ w + !) У________cos т(? d4
° {г-|-(г2—I)2 coscp }
где многозначные функции определяются, как в § 15.23.
15.7. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ПОЛИНОМОВ ЛЕЖАНДРА 145
15.7. Теорема сложения для полиномов Лежандра J)
Пусть z — xx'—(x2—I)2 (x'2—l)2 cos®, где x, x', co—любые ком-
плексные числа. Тогда мы покажем, что
п
Рп (*) = Рп (*) Рп (*') + 2 (—1 р” (X) (х') cos /ПСО.
Пусть сначала Rex' > 0, так что
1) 2 COS (<л— ср)
— ограни-
х' + (-С'2— I)2 COS ср
ченная функция от ср в промежутке 0 < ср < 2~. Если М — ее верхняя грань
и если | h | < М-1, то ряд
( -1 )n
hn (x-|-(x2—I)2 COS(co—cp)f
п-о
,2 — I)2 COS cp
сходится равномерно относительно ср и, таким образом (§ 4.7, часть I),
СО К 1 A f
f u + (^ - n_2.. cos .(<>._- ?)_L =
п=0
х' + (х'2 — 1)2 cos <f f
— тс п-0
I 2 1”
(Х + (Х2— I)2 CQS(O3—ср)[ _
{х' + (х'2— 1) COS ср}л+ 1
- J--------—Т--------------f-----------т----------с-
х' + (х'2— I)2 cos ср — h\x-\- (х2— I)2 cos (со — ср) |
Теперь небольшим видоизменением примера 1 § 6.21 части I полу-
чим, что
Г с/ср _ 2г
J А -г В cos ср 4- С sin ср 4 ’
(А2— В2—С2)2
где берется то значение корня, при котором
| А— (А2— В2— С2)2 | < | (В2 + С2)71.
‘) Legendre, Calc. Int., II, 262—269. Другое доказательство теоремы,
основанное на физических соображениях, будет дано ниже (§ 18.4).
146 гл. 15. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Поэтому
./--------------1---------f------------1-----------г
х' -f-(x'2— I)2 cos <р — h ( х + (х2— I)2 cos (а — <р))
2л
Г ( А А )2 1 * 1
[(*' — fix)2—t (х'2— I)2 — h(x2— I)2cos <i> J ( h (x2— l)2sin ш
2л
(1— 2hz + h2)2
а это выражение, согласно § 15.23, должно стремиться к 2лР0 (%') при Л->0.
Разлагая по степеням h и сравнивая коэффициенты, получим, далее,
И 1 )"
Р.w=i jА+(,.-1)^,,<—
-х {х' (х'г—D^COS?}
Далее, Рп (г) является полиномом степени п относительно cos ш и, следова-
п
тельно, может быть представлен в форме тт А> + Am cos w<0> где коэф-
т -1
фициенты Л0| Ап не зависят от со; для их определения применим
правило Фурье (§ 9.12, часть 1), получим
Ащ —
cos ти> dm =
_____1_
— 2л2
1
-Г-|-(-Г2—I)2 cos (a — <p)J cos ma
< j •
х‘2— I)2 COS tp j
A 1"
I)2 cos (a—<p) j cos ma ,
—-------1----——-z-------dm
1 ire+1
dm —
dy =
—те
.—те
+ Qx — I) cos <p ) J
А Iя
x-[-(x2—I)2 cosip | cosm(<p-f-ip) j, ,
п+1
—те
те
х' + С*'2— 1)2 cos <р
15.71. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА 147
где, изменив порядок интегрирования, мы положили а = <р 4- ф и заменили
затем пределы интегрирования ± л—<р на ± л. Но
ТС
J” { х -|- (х2 — 1)2 cos ф } sin /пф с(ф = О,
— ТС
так как под интегралом стоит нечетная функция от ф; имея это в виду и
пользуясь формулой § 15.61, находим
„! Р cos m-fP™(x)
Ат~ n(n + m)l J < ± ,л+1 rftp “
’ (х'4-(х'2— 1)2 COSCpf
= 2(-l)m р™ (х) Р™(х).
’ (п + т)! п v ' п >
Итак, при | arg х' | < у л
п
Рп (*) = Рп Рп (х') 4- 2 2 (-1)т Рп <*) Рп <•*') cos ти>-
т -1
Но это не более как алгебраическое тождество относительно х, х' и
cos а (так как п — положительное целое число); оно верно, следовательно,
независимо от знака Re х'.
Сформулированный результат, таким образом, доказан.
Соответствующей теоремой при определении Феррерса будет
J -1—1
Рп (хх' 4- (1 — х2)2 (1 — х'2)2 cos а ( =
й
=ра (х) рп {х'у 4- 2 У р™ (х) р™ (х) cos та>.
1/4 //4 I;
т = 1
15.71. Теорема сложения для функций Лежандра
Пусть х, х' — две постоянные, вещественные или комплексные, аргу-
1 1 -
менты которых численно меньше у л; далее, пусть за (х ± I)2, (х' ± I)2
взяты их главные значения; пусть, наконец, а вещественно и
2 1
Z = хх' — (х2 — 1) 2 (х'2— I)2 COS а.
Покажем, что если |arg2|<yn для всех значений вещественной
переменной а> и п не есть положительное целое число, то
ОО
Рп (г) = Рп (^) Рп U') + 2 (-1Г Р™ (X) P™ (XZ) COS /па.
т = 1
148
ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Пусть ch a, ch а'—большие полуоси эллипсов с фокусами ± 1, прохо-
дящих соответственно через х, х'. Пусть р, — эксцентрические углы для
х, х' на этих эллипсах, так что
Положим а 4- z’3 = S, + 1$' = S', так что х — ch S, х' = ch S'.
Когда ы пробегает все вещественные значения, Re г колеблется между
_i_
Re (xx') ± Re (л2 — 1) 2 (х'2 — 1)2 = ch (а ± а') cos (fi ± 3')
и, следовательно, необходимо, чтобы ₽ ± были острыми углами, поло-
жительными или отрицательными.
Возьмем теперь интеграл Шлефли
(1 + , Z + )
Г «2-Уп. dt
— 2л+1ад J (t — г)'|+1
A
и положим
е~1ш shS ch у S' — ch S sh у S' | + ch S ch у S' — elm sh S sh у S'
chy S' 4-e‘¥sh-y S'
Можно показать, что путь, описываемый переменной t, когда ср воз-
растает от — г. до -, есть окружность; читатель легко проверит, что
ег ch S + sh -i S1 j sh i S ch S' — eta> ch -i S sh -1- S'I
chy S' 4-e'?shy S'
2 j el sh S + ch -i sl I ch -^-S ch i S' — sh -1 S sh S' I
ch у S' + e'?sh у S'
el,1> ch-1 S'4-sh S'l sh S sh2 i S' + e~lm sh S ch2 ~ S'—chSshS'l
ch у S' + e'^sh у S'
Так как I chy S'j > | sh у S'|, то аргумент знаменателей не изменяется,
когда ср возрастает на 2~'); по сходным причинам аргументы первого и
третьего из числителей возрастают на 2~, а аргумент второго не изменяется;
поэтому точки t = 1, t — г лежат внутри окружности, а точка t — — 1 вне ее,
и окружность может служить контуром интегрирования по ср.
') Это вытекает из того, что cos 3' > 0.
15.8. функция C*n(z) 149
Подставляя выражения t—1, /+1, t — г в интеграл Шлефли, тотчас
найдем, что
тс ( 1
р 1 Г\х + (х* 2 — I)2 COS (ш — ср)
2_ J , 2. !«+' “Y’
( х' + (х'2—I)2 COS ср)
остальная часть выкладки протекает, как в § 15.7, за исключением того, что
теперь надо пользоваться общим случаем теоремы Фурье.
Пример. Показать, что если п — положительное целое число, то
< j_ 2 )
Qn ( хх' 4- (х2— I)2 (х'2— I)2 cos со j =
ОО
= Qn (х) Рп (х') + 2 У} (л) Р~т (х) cos ти,
т-1
когда со вещественно, Re х'> О и | (х'—1) (х + 1) | < | (х—1) (х' + 1) | )
(Heine, Kugelfunktlonen, К. Neumann,
Leipziger Abh. (1886))
15.8. Функция C„(z)2)
Функцией, близко стоящей к присоединенной функции Лежандра Р™ (г),
является функция С^(г), которая для целых значений п определяется как
коэффициент при hn в разложении (1 — 2hz + h2)~’ по возрастающим сте-
пеням h.
Легко видеть, что С^(г) удовлетворяет дифференциальному уравнению
d2y . (2v + 1) z dy _ n (n + 2v) „
dz2 -Г z2 — 1 dz z2—\ y
Можно показать, что функцию, удовлетворяющую этому уравнению, при
произвольных значениях п и \ можно задать в виде контурного интеграла
(1-
2
г2)2
1
/» B + V- —
- / (1 -12) 2
С (t—z)n+1
dt,
где С — контур из § 15.2; такой интеграл соответствует интегралу Шлефли.
*) Авторы отступают здесь от своего соглашения рассматривать только
целые положительные т у присоединенных функций Р™ (г). По поводу этой
теоремы сложения см. книгу Э. У. Гобсона «Теория сферических и эллип-
соидальных функций», гл. VIII (ИЛ, 1952). —Прим. ред.
2) Эту функцию изучал Гегенбауэр (Gegenbauer, Wiener Sit-
zungsberichte, LXX (1874), 434—443; LXXV (1877), 891—896; XCVII (1888), 259—
316; СП (1893), 942).
150
ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Легко доказать следующие результаты:
(I) Если п—целое число, то
w =
- (-2)яу(у + 1)...Ь + п-1) ггЛ+Ч};
л!(2п + 2м— 1)(2п + 2м —2)...(л + 2м)и ’ dzn" > ’
так как Рл(г)= С % (г), то формула Родрига является частным случаем этой
формулы.
(II) Если г—целое число, то
С+ 2 (г)------------1__________~Р (г)
"-'W - (2г_ 1)(2г—3) ... 3-1 dzr п( ’’
откуда
£Г+ 2 -------1) _____рг
п~г (2г — 1)(2г— 3) ... 3- 1 п( ’’
Последнее равенство дает связь между функциями С’(г) и PTn(z}.
(Ill) Рекуррентным формулам для Рп (г) соответствуют следующие:
(г) - Сп1\ (г) - А. С‘п (z) = 0,
1 п + 2ч dC‘(z) ,
СГ1 (*) - ^_\ (г) = Сп (z), = 2,С^_\ (г),
пСп (z) = (п - 1 + 2м) zC^ (г) - 2м (1 - г2) C^2 (z).
ЛИТЕРАТУРА
А. М. Legendre, Calcul Integral, II (Paris, 1817).
H. E. Heine1), Handbuch der Kugelfunktionen (Berlin, 1878).
N. M. Ferrers, Spherical Harmonics (1887).
I. Todhunter, Functions of Laplace, Lame and Bessel (1875).
L. Schlafli, Ueber die zwei Heine’schen Kugelfunktionen (Bern, 1881).
E. W. Hobson, Phil. Trans, of the Royal Society, 187 A (1896), 443—531.
E. W. Barnes, Quarterly Journ., XXXIX (1908), 97—204.
R. Olbricht, Studien fiber die Kugel- und Cylinder-Funktionen (Halle, 1887)
[Nova Acta Acad. Leop., LII (1888), 1—48].
N. Nielsen, Theorie des fonctions metaspheriques (Paris, 1911).
В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. Ill, ч. 2 (Гостехиздат, 1956).
Е. В. Гобсон, Теория сферических и эллипсоидальных функций (ИЛ, 1952).
Н. Н. Лебедев, Специальные функции и их приложения (Гостехиздат, 1953).
) Прежде чем изучать функции Лежандра по этому сочинению, следует
познакомиться с мемуаром Гобсона, так как некоторые положения работы
Гейне неправильны.
ПРИМЕРЫ
151
Примеры1)
1. Доказать, что если п—положительное целое число, то
Рп (г) = У (/г+/>)!(—{(1 _ Z)P + (_!)« (1 + г)Р}_
(га —/>)!/>!/>!2р+1
(Math. Trip., 1898)
2. Доказать, что
1
Г Z1 2Ч dPn dPm
I z(l — z2) ----dz
J dz dz
-1
равен нулю, кроме случаев т—п = ± 1, и определить его значение в этих
случаях.
(Math. Trip., 1895)
3. Показать (по индукции или каким-либо другим образом), что если
п—положительное целое число, то
1
(2n + l)f р2(г)йг=1-^-2г(р2 + Р22+ ... +^-i) +
+ 2 (PtP2 + Р2Р3 + ... +Р„_,Р„).
(Math. Trip., 1899)
4. Показать, что
гР'п (г> = пРп (*) + <2/г — 3) рп-2 (г) + (2л — 7) рп- 4 (z) + ...
(Clare, 1906)
5. Показать, что
р
^Р"п (г) = п (п - 1) Рп (г) + 2 (2га- 4г + 1) {г (2га- 2r + 1)- 2} Рп_2Т (г),
Г=1
1 1 ,
где /> = -£- га или (га — 1).
(Math. Trip., 1904)
6. Показать, что полином Лежандра удовлетворяет соотношению
Z Z
(г2- 1)2 +!)(« + 2) f dz f Рп (г) dz.
i i
(Trin. Coll. Dublin)
7. Показать, что
i
/ ^n+i pn-x (z) dz=(2n_ +;j (2n+3).
0
(Peter house, 1905)
') Функции, приводимые в примерах 1—30, являются полиномами
Лежандра.
152
ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
8. Показать, что значения интеграла
1
f (1-г2)2Р"'(г) Р'п W)dz
-1
следующие:
(I) 8л (я 4-1), когда т—п положительное и четное,
— 2л (я2—1) (л—2)
(II) ’ когда /п = л,
(III) 0 для всех других значений т и п.
(Peterhouse, 1907)
9. Показать, что
п
V1 гг’
sin” 0Р„ (sin 0) = (—1)'~7-цп_1г)! cos'’ 9Pr <cos fi)-
r = 0
(Math. Trip., 1907)
7C
10. Вычисляя интеграл J* Pn (cos 6) M (пример 2 § 15.1), а затем интегри-
o
i
руя по частям, показать, что интеграл J* Рп (р) arcsin р dp равен нулю при
-1
п четном и равен
( 1 • 3 ... (л — 2) 12
71 I 2-4... (л 4-1) [
при п—нечетном.
(Clare, 1903)
11. Пусть т и п — положительные целые числа и т<л; показать по
индукции, что
Р Р (г) - У Ат_гАгАп_г /2л + 2лг-4г+1\р ( .
Рт(г)Рп(г)- ^4 Ап+т_г \2п + 2т — 2г+\) п+т~гг(’’
г = 0
где
_ 1-3-5 ... (2т — 1)
Л”!-' т\ ’
(Adams, Proc. Royal. Soc., XXVII)
12. Разложением по возрастающим степеням переменной и показать, что
1
/__1\П лп - —
Рп (-г) = 1Гп (и2 + ?г) 2 ,
"k п! dzn 1 ’
где и2 заменяется на 1 — г2 после дифференцирования.
13. Показать, что Рп (г) может быть представлен с точностью до по-
стоянного множителя как определитель, в котором элементы, параллельные
побочной диагонали (т. е. элементы, для которых сумма индекса строки и
ПРИМЕРЫ
153
индекса столбца постоянна), равны; определитель имеет п строк, и его эле-
менты суть
11 11 1
г,--, -5- z,--г, ..., ------г г.
3 3 5 5 2п— 1
(Heun, Gott. Nach., 1881)
14. Показать, что если путь интегрирования проходит над t = 1, то
со j 1 )"
Р (г)-А /* Ь(1-И-2Ц1-^)Ч dt
(Silva)
15. С помощью подстановки ctg 0' — ctg 0— h cosec 0 и разложения sin 0'
в ряд по степеням Л по теореме Тейлора доказать, что
Рп (cos 0)
-—cosec/I+-1 О
п\
dn (sin 0)
rf(ctg 0)"
(Math. Trip., 1893)
16. Из рассмотрения ряда 2 hnPn (г) показать, что
n-0
(Glaisher, Proc. London Math. Soc., VI)
17. Дано, уравнение поверхности вращения, близкой к сферической:
Г = 1 + а {Р, (cos 0) 4-Pi (cos 0) 4- ... 4-Ргп_1 (cos 6)},
где а мало; показать, что если пренебречь а2, то радиус кривизны меридиана
будет равен
п-1
1 4- а 2 (4от + 3) — (от + !) <8/и + 3)} рм+1 (cos 0).
/п=0
(Math. Trip., 1894)
18. Дано уравнение поверхности вращения, близкой к сферической:
г = а {1 4- tPn (cos 0)},
где е мало.
Показать, что если пренебречь £3, то ее площадь равна
(Trinity, 1894)
19. Показать, что если k — целое число и
(1-2Лг4-А<7* = 1«„-Р„(г),
л=0
154
ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
ТО
hn 27 (2га + 1) /., д . d\T(ft-3) -и+|*-2 n+^k-2
(1—Д2)»-2 Ь3-5...(Л—2)\ дх ду)
где х и у должны быть заменены единицей после дифференцирования.
(Routh, Proc. London Math. Soc., XXVI)
20. Показать, что
i
Г 1 2
J {рп W рп-1 “ рп-1 W рп (*)} dx = - - ,
-1
£ ЖТТ Я [F“ W (4 ₽-' W + ITT w)] —
п-1
(Catalan)
21. Пусть х2 4~ Уг + г'2 = г2, z = рг, причем все числа вещественны, так
что — 1 < р < 1.
Показать, что
Р (~D^n+1 / Ц
га! дМг/’
где при дифференцировании г рассматривается как функция независимых
переменных х, у, г.
22. В обозначениях предыдущего примера (ср. стр. 133, сноска ')) по-
казать, что
(—1)пгл+1 дп ( 1 (r — z'\)
Qntl1-)— nl ( 2r g хг + г,)/’
, (_nnrn+3 $n / j \
(га + 1) Pn (P) + PP„ (P) = (jr) •
23. Показать, что если | h | и | z | достаточно малы, то
ОО
-----= 2 (2п + 1) (г).
(1 — 2hz + h2)2 п=0
24. Доказать, что
Рп+х W Qn-t (г)-Рп-х И Qn+> (^) = „^1) г-
(Math. Trip., 1894)
25. Показать, что если произвольная функция f(x) может быть разло-
жена в ряд
fix') = 2 апрп (х),
п = 0
ПРИМЕРЫ
155
сходящийся равномерно в области, содержащей точку х = 1, то разложение
интеграла от этой функции будет
х со
f dx = — а0 — у ах + ( <}п—\ ~ 2га+*з) Р"
1 п=1
(Bauer)
26. Определить коэффициенты в разложении Неймана функции eaz в ряд
по полиномам Лежандра.
(Bauer, Journ. fur Math., LVI)
27. Вывести из примера 25, что
л ( 1 • 3 5 ... (2га— 1) )2
arcsin г = у 2j { —2 4 6 ... 2га | 1 — Ргп~1
о
(Catalan)
28. Показать, что
Qn У) = 11g (т^т) рп (*) - { Рп-! (*) Ро U) +
+ ^Рп-2(г)РЛг) + ^Рп-Лг)Р2^)+ ... + 1ро (г) Рп_х (г) }.
(Schlafli; Hermite; Teixera, J. de Sci. Math., VI (1884), 81—84)
29. Показать, что
„ . . 1 dn I . , гф!) 1 n . ., z 4-1
QraW— 2rtra! dzn V* g z—1 j 2 g Z— 1 '
Доказать также, что
Qn V) = ^Pn У) 1g Jiy - fn-1 (*),
где >)
/"-<’> = ₽-‘ w + ^ту > w +
= kn + (kn-1) "У (£=1) +
, (h 1 1 \ n(n— I)(ra+l)(ra+2) (z — 1 \2
+ \ — 2 J PT22 ' \T~) +
/ 1 1\га(га-1)(га-2)(га + 1)(га + 2)(га + 3)/г-1у ,
“t'\ " 2 3) l2-22-32 \ 2 ) t"
где Лл=1+у + у4- ... +y.
(Math. Trip., 1898)
‘) Первое из этих выражений для fn_x(z) было дано Кристоффелем
(Christoffel, Journ. fiir Math., LV (1858), 68); он также дал (там же,
стр. 72) обобщение примера 28. Второе выражение было дано Стилтьесом
(Stieltjes, Corresp. d’Hermite et de Stieltjes, II, 59).
156
ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
30. Показать, что общее решение дифференциального уравнения Ле-
жандра есть
СО
у = АРп(г) + ВРп (г) У (/2_ -
Z
причем путь интегрирования — луч, который при продолжении проходит
через точку t = 0.
31. Показать, что
( 1 ) а
(гф(г2 I)2 J — IB BmQsm-a-l (г).
m = 0
где ...
2n т!Г(т— a 4-1)
(Schlafll)
32. Показать, что при Re (га 4-1) > 0
Г Л-"-1
Q„(z)= J -------------------ydft
1 (1-2AZ4-A2)2
Z4-(Z2-])
И
1
z-(z’-l)2
Г hn
Qn (*) = I -----------------r rfA.
0 (1 _ 2hz 4- Л2)У
33. Показать, что
(У”(г)^е™1 Г^-+1>— Г____________ch ти du
^n(z)-e + ( 2 W1
0 (z 4-(z2—I)2 ch и f
где вещественная часть «4-1 больше т. (Hobson)
34. Получить разложение функции Pn (z) при | arg г | < я в ряд по сте-
пеням , когда га не целое число, а именно:
Рп{^ = -^ {QnVP- Q-n-v =
[Легче всего это получается методом § 14.51.]
ПРИМЕРЫ
157
35. Показать, что дифференциальное уравнение для присоединенной
функции Лежандра Р™ (г) определяется схемами *)
О оо 1
1 1
__л т
1,1 1,1
+ у — т -2« + -2
со 1
1 о 1
2 т ° 1 - г2
1 1
2 т 2
1
“ 2П
1 , 1
У ”+ 2
2
г + (г2— I)2
1
z — (г2— I)2
(Olbricht)
35. Показать, что дифференциальное уравнение для С^(г) определяется
схемой
Г —1 оо 1
р, |-v ц + 2ч 1-V Z
I О — п О
37. Доказать, что если
(2n + 1)(2п + 3) ... (2n-f-2s—1) d^Pn
ys га (га2—1) (га2—4) ... {га2—(s—I)2} (ra + s) ( > dzs ’
то
3 (2га -|— 3) , 3 (2га Д- 5) п (2га -f- 3) (2га Д- 5) „
2га— 1 2га —3 (2га— 1) (2га— 3) п~3'
и найти общую формулу.
(Math. Trip., 1896)
*) См. также § 15.5, пример.
158
ГЛ. 15. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
38. Показать, что
l2—4m2 C0S
2(2n-f-3)
cos
п 1 . 1
6 — -4 г- + у ,п~
(2 sin 0)2
3\fl 1
г)6-? + 2
з
(2 sin 0)2
(I2— 4m2) (32— 4m2) C°S
2 • 4 • (2n + 3) (2n + 5)
>\B 5„
_5
(2 sin 0)2
и найти области значений т, п и 6, для которых это разложение имеет место
(Math. Trip., 1901)
39. Показать, что значения п, для которых функция Р~т (cos 6) равна
нулю, уменьшаются при возрастании 0 от 0 до л, если т положительно,
а также, что число вещественных нулей функции Р~т (cos 0) для значений 0
между —лил равно наибольшему целому числу, меньшему п—т4-1.
(Macdonald, Proc. London
Math. Soc., XXXI, XXXIV)
40. Получить формулу
А- Г [1 — 2h {cos о> cos t? -|- sin о> sin ср cos (0Z—0)) A2] 2 rf0 =
2tz J
= hnPn (cos <о) Рп (cos <р).
л=0
(Legendre)
41. При f(x) — х2 (х > 0) и Дх) = — х2 (х < 0) показать, что если f(x)
можно разложить в промежутке (—1, I) в равномерно сходящийся ряд поли-
номов Лежандра, то разложение будет
7(х) = |р, U)-^(-i)
1 • 3 .. (2r — 3) 4r + 3
4-6-8...2r 2r4-4 2r+M
(Trinity, 1893)
42. Показать, что если
(1 — 2Лг 4- Л2)'
n~0
1
ПРИМЕРЫ
159
то
I 11^
С'п | хх} — (л2 — 1)2 (л2 — 1) 2 cos <р | =
_ г<2>-1) у , ,и 4*Г (/»- X + 1) {Г (у + *)}г (2у + 2Х- 1) v
- {Г(у)}2 ' r(n + 2v + M А
л=о
2х 1л , _1
Х(х2-1)2 (х2-1)2 2(cos?).
(Gegenbauer, Wiener Sitzungsberichte,
СП (1893), 942)
43. Показать, что если
«1 _ 1
а„(г) = J(f3_ 3^4.1) 2 tn dt,
О
где ех — наименьший корень уравнения /3—3tz 4- 1 = 0, то
(2п 4- 1) — 3 (2л— 1) zan^l 4~ 2 (л— 1) ал_2 = О
и
4 (4г3— 1) а"' + 144г2а" - z (12л2 — 24л — 291) а' —
— (л — 3) (2л — 7) (2л 5) -п = О,
(Pincherle, Rendiconti Lincei
(4), VII (1891), 74)
44. Показать, что если
1 СО
(ЛЗ-ЗЛ^!)"2 =2Я„(г) Л«
л = 0
2 (л + 1) /?„+1 - 3 (2л + 1) zRn + (2л- 1) Rn_2 = О,
nRn + R'n-4 — zR'n = 0
И
4 (4г3 — 1) R'" 4- 9бЛ?" — г (12л2 4- 24л — 91) Rn — л (2л 4- 3) (2л 4- 9) Rn = 0.
(Pincherle, Mem. 1st. Bologna
(5), I (1889), 337)
45. Пусть
1 dn
An (Л) = 2«л!(х —1) f(A'2 ~1)П (X — 1)J’
получить рекуррентную формулу
(л 4-1) (2л -1) Ап (х) - {(4л* -1) х 4- 1} Л„_, (х) 4-
4-(л-1)(2л4-1)Яя_2(х)=0-
(Schendel, Journ. fur Math., LXXX)
160 гл. 15. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
45. Показать, что если п не отрицательное число, а т—положительное
целое, то уравнение
(х2- U S +(2п + 2) Х= т {т + 2п + ° У
имеет два решения:
кт(х) = (х2- 1)-” (х2- 1)т+п,
Lm{x)^{x2-\)~n f dt,
-i
когда x не есть вещественное число, удовлетворяющее неравенству
— 1-О<1.
47. Доказать, что
( IV”
|1_/гх — (1—2Л%+ Л2)2 f =
, , 1vnV Л”+'” 1 dn+m I х2 —1\”
= mix2 — l)m 7.--------------------I .
(n + m)l n dxn+m \ 2
n = m
(Clare, 1901)
48. Пусть
₽ l \ V (m + a)n m
р<^=Ъ^-^хт>
m-0
показать, что
Fa, n (x) = { (ea'+xe‘) = e*Pn (x, a),
где Pn(x, a)—полином степени n относительно x, и вывести отсюда, что
Рп+1(х, а) = (х + а) Р„ (х, а) + х~Р„(х, а)..
(Trinity, 1905)
49. Пусть Fn(x) есть коэффициент при zn в разложении выражения
— e~hz
по возрастающим степеням г, так что
3х2 h2
Fo (х) = 1, Pi (х) = х, Р2 (х) = ——р------ и т. д.
Показать, что
(1) Рп (х) — однородный полином степени п относительно х и Л;
(2) ^^- = Г„_,(л) (гг>1);
fl
(3) J* Гп (л) dx = 0 (n > 1);
-Л
ПРИМЕРЫ
161
(4) если у = ааРа (х) axFx (х) 4- «2Л2 (х) 4- • • > где а0, а,, а2, .... — ве-
dry .
щественные постоянные, то среднее значение в промежутке от х = — п
до х — 4- h будет аг.
(Ldaute)
50. Пусть Рп (х) определяется, как в предыдущем примере; показать,
что при — h < х < h
П I с / nmn / лх 1 2-х . 1 3-х \
(х) — (—1)т 2 —s— cos----------s— cos------—s— cos--------- 4- ... ,
2m K v ’ -im\ h 2‘m h -?m h }
с I \ / urn о Л2т + 1 / . 7tX 1 . 2т:х . 1 . 31tX \
r2m+1 (-*) == (—1) 2 -t:—-Г- Sin — --r--r Sin-------H-5—-p Sin-----k . . . .
/ \ f т^т~х I h 22m+1 h 32/И + 1 1 I
(Appell)
6 Э. T. Уиттекер, Дж. H. Ватсон
ГЛАВА 16
ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
16.1. Слияние двух особых точек уравнения Римана
Мы видели (§ 10.8, часть I), что линейное дифференциальное
уравнение с двумя правильными особыми точками можно проинтегри-
ровать в элементарных функциях, тогда как решение линейного диф-
ференциального уравнения с тремя правильными особыми точками
было, по существу, предметом главы 14.
Мы рассмотрим теперь, как следующий по сложности тип,
дифференциальное уравнение, получаемое из уравнения Римана слия-
нием двух особых точек. Это слияние дает уравнение с одной
неправильной особой точкой, получаемой от слияния особых точек
уравнения Римана, и с одной правильной особой точкой, соответ-
ствующей третьей особой точке уравнения Римана.
Это вырожденное уравнение мы получим, заставляя с—»оо
в уравнении, определяемом схемой
1 ,
-2~ + т
1
2~т
с — k z
— с
Легко находим, что искомое уравнение имеет вид
Видоизменим это уравнение, положив а = е 2 гWк>m(z)\ получим
уравнение1) для Wk<m(z):
') Это уравнение было дано Уиттекером (Whittaker, Bulletin American
Math. Soc., X (1904), 125—134).
16.11. ФОРМУЛЫ КУММЕРА
163
Читателю предлагается проверить, что особые точки этого урав-
нения лежат в 0 и оо, причем первая правильная, вторая неправиль-
ная; если 2m не есть целое число, то два интеграла уравнения (В),
правильные вблизи 0 и годные для всех конечных значений z, пред-
ставляются рядами
M^m^^Z2*^2
2_ _1
Mk,_m(z) = z2 те 2
ту + т— k
1 + 1! (2m 4-1) Z~^
(у 4- т — k) + т —
"I 2! (2m 4-1) (2m 4-2) ~
1
у— m— k
1 + 1! (1—2т) г +
(д — т — (у — т — k]
2! (1 —2т) (2 —2т)
Эти ряды, очевидно, образуют фундаментальную систему решений.
[Примечание. Тип рядов, стоящих в фигурных скобках, был рас-
смотрен Куммером ’)> а позднее Якобсталем 2) и Барнсом 3); ряды, в кото-
рых £ = 0, были исследованы Лагранжей в 1762—1765 гг. (Oeuvres, I, 480).
В обозначении Куммера, видоизмененном Барнсом, они напишутся в виде
j/7! |А ± m — k\ ± 2т 4- 1; z рассмотрение решений уравнения (В) вместо
d* 2y . . dy
решении уравнения г — (z — р) — ау = 0, одним из которых является
j/7! (а; р; г), имеет своим основанием большую симметрию формул, а также
простоту выражений различных функций прикладной математики (см. § 16.2)
именно через решения уравнения (В).]
16.11. Формулы Куммера
(I) Покажем теперь, что если 2т не есть отрицательное целое
число, то
~т Мк> т (z) = (— z)~2 ~т M_k, т (— z)
или
1 . /1 , \ 13 . ,\
4-m— k by 4-т — k -у 4-т— 6
г- z 11 _f______z —i— Ад______:_/Ад______L _l
е ' 1!(2т4-1) 2! (2т 4-1) (2т 4-2) “Г • •
~+m+k (1-4-т4-^(д4-т4-Л
~ 1 1! (2т 4-1) 2! (2т 4-1) (2т 4-2)
') Kummer, Journ. fur. Math., XV (1836), 139.
2) Jacobstahl, Math. Ann., LVI (1903), 129—154.
3) Barnes, Trans. Camb. Phil. Soc., XX (1908), 253—279,
164
ГЛ. 16. ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Ибо при замене е~г его разложением по степеням z коэффициент
при zn в произведении абсолютно сходящихся рядов слева будет
+ m —«! 2m 4-1; 1^ =
п! \2 ' /
(_1)Я Г(2и + 1)Г|/т-и_Ь.Лх^
и! / 1 \
Г ^т + у + k j Г (2т + 1 + п)
в силу § 14.11, а это и есть коэффициент при zn справа1).
Полученный результат называется первой формулой Куммера.
(II) Равенство
Л10 т (z) — z^ • 1 4- V —---------------—--------|,
24^!(m + l)(m+2) ... (т + р) J
справедливое при 2m, не равном отрицательному целому числу,
называется второй формулой Куммера.
1
п+т + —
Для ее доказательства отметим, что коэффициент при z 4 в разло-
жении произведения
1 1
z е2 1/71 (m + y; 2m + l; sj,
в котором второй и третий множители разлагаются в абсолютно сходящиеся
ряды, будет (§ 3.73, часть I)
о , 1 и
я! (2m 4-1) (2m 4-2) ... (2m 4-я) Д П' 2т "+ 2 т’ ‘2.)~
(т+т)(4+т')...(л+т-1) j j lx
= Г7о , /о—4“------То i Г- я> —т п~п< — п + ТГ—т< 1
я! (2т 4- 1) (2т 4- 2) ... (2т 4-я) \ 2 2 1 2 )
в силу соотношения Куммера2)
F ^2а, 2{3; а 4* 3 4" 'у • х) — F j ?! а ? 4" (1—л:)|>
•) Результат остается верным и когда m 4- у 4- k — отрицательное целое
число, что доказывается небольшим видоизменением рассуждений § 14.11
2) См. главу 14, примеры 12 и 13, стр. 103,
16. 12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ Wк ,,, (Z)
165
I n + m + ^
справедливого при таким образом, коэффициент при z
(согласно § 14.11) равен
(4+Ч(4+"г)---(я+т 4) г(+п-1
1 1 \
2 т 2 П)
п \ (2т 4- 1) (2т 4-2) ... (2т 4- п)
(_1)»г(1-т)г(1)
га! (2т 4- 1) (2т 4- 2) ... (2т 4- га) Г (у — т — у raW-1 — -1 ral
при га нечетном он равен нулю; при га четном (=2р) он равен
(2/>)!22p^m4-1 j (от+ 4)'• • (от+/’~4) (/и+(от+* 2> • • (от +Л г (j ~т~Р}
_____________1-3,,, (2/>—1)____________=_________________1_______________
~ (2/>)! 23р (т 4-1) (т 4-2) . .. (т 4- р) 2^р! (т 4-1) (т 4-2) ... (т 4-р) '
16.12. Определение1) функции Wk,m(z)
Решения Mk>±m(z) уравнения (В) § 16.1 не являются, однако,
наиболее удобными в качестве основных ввиду того, что одно из них
теряет смысл, когда 2m — целое число.
Интеграл, получаемый при слиянии особых точек из инте-
1
— Z
грала § 14.6, после умножения на постоянный множитель и на е2
будет2)
1 (0+) 1 . 1
=~2^r^ •+ 2~тГ z J (~Г> (1+т) e dt-
oo
Предполагается, что argz имеет свое главное значение и что
контур взят так, что точка (=—z лежит вне его.
Подинтегральную функцию мы делаем однозначной, беря
| arg (—Ol-C1' и выбирая значение arg ^1 +4)’ котоРое стремится
к нулю при f—>0 по пути, лежащему внутри контура.
') Функция Wk,m(z) была определена при помощи интеграла этого типа
Уиттекером (Whittaker, loc. сП., 125).
2) Выбран надлежащий контур и переменная t § 14.6 заменена на — t
166
ГЛ. 16. ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
При этих условиях из § 5.32 части I следует, что интеграл будет
аналитической функцией от г. Чтобы показать, что он удовлетворяет
уравнению (В), положим
(0+) , 1
и получим без затруднений !)
так как выражение в фигурных скобках стремится к нулю при
1
а это и есть условие того, что е 1 z v удовлетворяет
уравнению (В).
Согласно этому функция Wkim(z), определяемая интегралом
1 (0+) 1 . 1
1 Tl/x. I 1 \ ~7Z k Г / ~"2+т (1 I 2+т . ,,
— +т~ т)е z J v+t) е dt’
будет решением дифференциального уравнения (В).
Формула для Wk,m(z) теряет смысл при k — — т, равном
отрицательному целому числу. Чтобы преодолеть это затруднение,
отметим, что, когда
Re [k — у — т \ О
, 1 -
и k — 2----т не есть Целое число, мы можем преобразовать контур-
ный интеграл в интеграл с бесконечным пределом по способу § 12.22;
таким путем при
Re (k — у — tnj О
найдем
1
— — Z ОО 1 1
«т... й=С г ‘ "(1 + dt.
*) Дифференцирование под знаком интеграла законно в силу § 4.44 части I,
16.2. ВЫРАЖЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ т (z)
167
Этой формулы достаточно для определения Wktm(z) в крити-
ческих случаях, когда т-\-^ — k — положительное целое число, и
таким образом, Wktm(z) определена для всех значений k и т и для
всех значений г, кроме вещественных отрицательных').
Пример. Выразить решение уравнения
через функции типа m(z); а, Ъ, с — любые постоянные.
16.2. Выражение различных функций через функции типа
Доказано* 2), что многие функции, применяемые в прикладной
математике, могут быть выражены через функции Wktm(z); приведем
несколько примеров.
(I) Функция ошибок3 *), встречающаяся в теории вероятностей и
погрешностей наблюдений, а также в теории преломления и тепло-
проводности, определяется равенством
Erfc (х)—J* e-^dt,
X
где х вещественно.
Положив t = x2(w2—1) и затем — в интеграле для
W 1 j (х2), получим
_7’ 1
д(^2) = х 2е 2* 2e-‘dt —
4’4 О
= 2х2е 2 I = 2х2е2 / e~s'ds,
1 X
') Когда z вещественно и отрицательно, Wkt m(z) можно определить
как Wk,m (г-|-0г) или Wk, m(z—Oz), смотря по тому, что удобнее.
2) Whittaker, Bulletin American Math. Soc., X; это сочинение содержит
более полный обзор, чем приведенный здесь.
3) Это название прилагается также к функции
х _
Erf (х) = J* е~р dt — — Erfc (х).
о
168 гл. 16. ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
и таким образом, функция ошибок выражается формулой
1 -1 -1x2
Erfc(x) = jx * 2е 2 А(х2).
4 ’ 4
Другие интегралы, встречающиеся в связи с теорией теплопро-
6
е ,2 dt, могут быть выражены через функ-
а
ции ошибок, а следовательно, и через функции Wk,m.
Пример. Показать, что формула для функции ошибок остается спра-
ведливой и для комплексных значений х.
(II) Неполная гамма-функция, изученная Лежандром и дру-
гими !), определяется равенством
X
~\{п, х) = J* tn~le~( dt.
о
Положив t = s — х в интеграле для IF i i (х), убедимся
J («-D. 2Л
в том, что
1(Л_П -1
ч(п, х) — Г(п) — х2 " е 2 *W i 1 (х).
2 "2 "
(III) Интегральный логарифм, рассмотренный Эйлером и дру-
гими2), определяется при |arg {—lg z] | ~ равенством
им=/
о
Положив s — \gz-u и затем и —— lgt в интеграле для
ИЦ о (-1g г),
*) Legendre, Exercices, I, 339; Hotevar, Zs. fiir Math, und Phys.,
XXI (1876), 449; S c h 1 d m i 1 c h, Zs. fur Math, und Phys., XVI (1871), 261;
Prym, Journ. fur Math., LXXXII (1877), 165.
2) Euler, Inst. Calc. Int., I; S о 1 d n e r, Monatliche Correspondenz, von
Zach (1811), 182; Briefwechsel zwischen Gauss und Bessel (1880), 114—120;
Bessel, Konigsberger Archiv, I (1812), 369—405; Laguerre, Bulletin de la
Soc. Math, de France, VII (1879), 72; Stieltjes, Ann. de 1’Ecole norm. sup.
(3), III (1886). Интегральный логарифм имеет большое значение в высших
отделах теории простых чисел. См. Landau, Primzahlen, 11.
16.3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ функции Wk, т (г) 169
можно убедиться в том, что
-1 1
11 (г)--(-1gг) 2г2Г_1 i0(-lg2).
Ниже будет показано, что параболические цилиндрические функ-
ции Вебера (§ 16.5) и круговые цилиндрические функции Бесселя
(глава 17) являются частными случаями функций Wkinl. Другие функ-
ции подобного характера даны в упражнениях в конце этой главы.
[Примечание. Для функции ошибок составлены таблицы Энке (Encke,
Berliner ast. Jahrbuch (1834), 248—304) и Бэрджессом (Burgess, Trans. Roy.
Soc. Edin., XXXIX (1900), 257). Для интегрального логарифма таблицы
составлены Бесселем и Солднером (Soldner). Следует также отметить:
Янке Е. и Эмде Ф., Таблицы функций с формулами и кривыми (Физматгиз,
1959) и Glaisher, Factor Tables (London, 1883).]
16.3. Асимптотическое разложение функции Wkim(z)
при большом |z|
Асимптотическое разложение для Wktm(z), годное при |argz\ < л,
можно получить из контурного интеграла, которым была определена
эта функция. Для этой цели мы применим результат, данный в при-
мере 6 главы 5 части I, а именно
6 + + 1) ... (X-п +1)
V + т) -1 +тт + • • •4---------------«1--------z),
где
t
(1 +-|)Х f Un(l + U)-X-'dU.
о
Подставляя это выражение в формулу § 16.12 и интегрируя
почленно, получим с помощью результата § 12.22
170
ГЛ. 16. ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
при условии, что п берется настолько большим, что
Re (п — k — ~ т j > 0.
Теперь, если |argz|<;ir— а и \z\ > 1, то
1 < | 1 + |1 < 1 +Л Rez>0, ]
11 + 11 sin а, Rez<CO |
и, следовательноJ),
HI
|/?„(Л £)|<| ——п\' ~ | (1—f—Х1 (cosec а)! х 1 «"(l-j-w)1’’' du.
о
Отсюда
|ЯЛ. *)| <
< | -(Х~1)^~П) |(1 + О’Х' (cosecа)'х'11|"+1 (1 + Z)1 1 (« +1)"\
так как
1 + « < 1+t
Поэтому, когда \z\ > 1,
так как интеграл сходится. Постоянная, включенная в символ О,
не зависит от arg г, но зависит от а и стремится к бесконечности
при а—>0.
Иначе говоря, асимптотическое разложение функции Wk<m(z)
дается формулой
для больших значений |г|, когда | arg z| <С и— а < it.
’) Предполагается, что X вещественно; неравенство слегка видоизме-
няется для комплексных значений X.
16.4. КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ТИПА МЕЛЛИНА — БАРНСА 171
16.31. Второе решение дифференциального уравнения
для функции Wk,m(z)
Дифференциальное уравнение (В) § 16.1, которому удовлетворяет
функция Wktm(z), остается без изменения, если одновременно изме-
нить знаки z и k. Поэтому, если |arg (—z)| < тс, то 1^_й,т(— z)
будет решением того же уравнения.
Так как при |arg z | <тс
Гй.т(г) = Г2г^{1 + 0(г-1)},
между тем как при | arg (— z) | < тс
W_k, т (-= е*\- z)-k {1 + О (г-1)},
Wk, т (г) «
то отношение —к' , . не может быть постоянным, и таким
w-k, т (~z)
образом, и W_kim(—z) образуют фундаментальную систему
решений упомянутого дифференциального уравнения.
16.4. Контурные интегралы типа Меллина — Барнса
(Mellin — Barnes) для 1УА<т(г)
Рассмотрим теперь выражение
f 'г(5)г(—s—k—m + y'jrf— 5—
1 = ------7----------IVV----------TV-^z4s, (С)
-Ji г(-А-/п + т)г(-А + /п +у)
3 1
где |arg^| <^-тс и ни одно из чисел k + m-\--^ не равно целому
положительному числу или нулю 1); контур надлежащим образом
изогнут, для того чтобы полюсы функции Г($) и полюсы функции
г(—$ — k — —s — + + находились по разные
стороны от него.
Легко убедиться, пользуясь § 13.6, что когда s->oo по контуру,
Г ($) Г — 5 — k — т -|- Г =
*) В этих случаях ряд § 16.3 обрывается и Wkt т (г) является комби-
нацией элементарных функций.
172
ГЛ. 16. ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
и таким образом, интеграл представляет функцию от z, аналити-
3 3
ческую во всех точках1) области | arg z | к— а < у-гс.
Возьмем теперь М так, чтобы полюсы функции
Г— s — k — т -|—2^ w Н—2*^
были справа от прямой Res =— М— у, и рассмотрим интеграл,
взятый по периметру прямоугольника, вершины которого ± V.
— М-----g- ± где ; положительно2) и велико.
Читатель убедится, что при | arg z | у -к — а интегралы
-Л-1-U -A'-l-t-U
f • f
-it ti
стремятся к нулю при £—>оо; и таким образом, по теореме Коши
где /?_—вычет подинтегральной функции при S —— п.
1
Положим s = — W — у it; тогда модуль последней подинте-
гральной функции будет
К"-* о {е-я 1/1 iq*-2*},
где постоянная, включенная в символ О, не зависит от z.
Так как
’) Интеграл делаем однозначным при Неге 0 надлежащим выбо-
ром arg z,
2) Линия, соединяющая ± У, может иметь изгибы, чтобы обойти полюсы
подинтегральной функции, как объяснено выше.
16.4. КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ТИПА МЕЛЛИНА—БАРНСА
173
сходится, то находим, что
I = e 2V 2 Я„4-СЦИ 2
I п=0
Но вычисляя вычет, получим
и таким образом, / имеет то же самое асимптотическое раз-
ложение, что и W^iz).
Далее, / удовлетворяет дифференциальному уравнению для
„;(•?), ибо, подставив
со/
f Г(у)Г^—s — k — т-{- у) Г —$ — k 4- т -f- yj zs ds
вместо v в выражение (данное в § 16.12)
о d2v , ni. dv , 1, 1 11, । 1 \ , dv
z2 + + 2)V~Z liz’
получим
co i
1“ Г($)Г (—s — k — m Д- Г (— s — k 4- m 4- у) zs ds —-
— CO I
co/
— Г($4~1)Г^—$ — k — m4~y)r(—s-k-\-m-[-^zs+rds —
— 00/
(oo/ l+co f\
У* — j* jr(s)r(—s—k—®4-|jr(-5~ k-\-m-\-~^zs ds.
— OO / 1—CO / '
Так как у последней подинтегральной функции полюсов между
контурами не имеется и так как она стремится к нулю, когда
|$|->оо, причем s остается между контурами, то рассматриваемое
выражение равно нулю по теореме Коши; таким образом, / удовле-
творяет дифференциальному уравнению для Wktm{z).
Поэтому
I=-AWkim{z)^BW_kim{~z-),
174
ГЛ. 16. ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
zs ds.
где А и В — постоянные; заставляя |z|->oo так, что Re2>0, мы
видим по асимптотическим разложениям, полученным для I и
W±k,m(±z), что
Д=1, в = о.
По теории аналитического продолжения равенство I = Wkm(z)
сохраняет силу для всех значений z таких, что |argz|<it, а для
значений1) arg г таких, что ~ | argz | < ту к, Wk, m(z) может быть
определена как выражение I.
Пример 1. Показать, что
^Tis-kyT^-s-m + ^V^-s + m + j
т (2) = ~ I 7 П 7 Г\
— со I \ Z / \ £ ]
где интеграл взят по надлежащему пути.
Пример 2. Получить интеграл Барнса для т (г), заменяя
/. , t\k~~2+m
\ + ~z) Чере3
j ”1'г(5)г(-5-А-7П+-Й
Л °ds
J Г — k — т тг )
— оо/ \ 2 /
в интеграле § 16.12 и изменяя порядок интегрирования.
16.41. Соотношения между Wk, от(г) и Л1А, ±m(z)
Если выражение
F (s) = Г (з) Г ( s — k — т ту) Г — з — k т ,
встречающееся в интеграле Барнса для Wktm(z), перепишем в форме
______________________________Г-2Г (з)_____________________
Г (з k + т Г (s + k — т 4- соз (з 4- k + ni) г. cos (s 4- k — т)т:
') Можно было бы показать, что надлежащим изменением пути инте-
грирования можно заставить интеграл § 16.3 определять аналитическую
функцию при [ arg z | < у г.. Но это излишне, так как интеграл Барнса дает
более простое определение функции.
16.41. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ Wkm(z) И Мь, ± m(z)
175
то увидим, пользуясь § 13.6, что, когда Res>-0, мы имеем при
|$| —> оо
F(s) = o[exp|(—s ——2Ajlgs + s|]x
X sec (s 4- k + tn) it sec (s 4- k — tn) it.
Поэтому, если | arg z | < -% it, то интеграл j F(s)zsds, взятый
вдоль полуокружности, лежащей справа от мнимой оси, стремится
к нулю, когда радиус полуокружности стремится к бесконечности
таким образом, что нижняя граница расстояния полуокружности
от полюсов подинтегральной функции положительна (не нуль).
Поэтому
Wk,m(z) = -
e~* 2*zfe(2#')
г(— k — т + * + « + -1
где 2 R'— сумма вычетов функции F (s) в ее полюсах справа
от контура (ср. § 14.5), примененного в интеграле (С) § 16.4.
Вычисляя эти вычеты, найдем без затруднения, что если
। , 3
<-у~
и 2т не целое число т), то
Кк.тЮ = Д( 2т) Mk>m(z)-j-------------
Пример 1. Показать, что при I arg (— г) | < — л и 2т не целом имеем
trz / х Г (—2m) .. , . , Г (2т) .. ,
т ( г)— /j г) Н 7"j Г-44-Л,-т(—г).
Г(т“т+А) г(± + т + А)
(Barnes2))
Пример 2. Показать, что при
1 3 3 . . 1
--ул<а^г<ул и —-у л < arg(—г) < у л
*) Когда 2т — целое число, некоторые из полюсов будут вообще двой-
ными полюсами и их вычеты будут содержать логарифмы от г. Результат
не доказан для случая, когда k — -% ± т — положительное целое число или
нуль; но он может быть получен для таких значений k и т путем сравнения
обрывающегося ряда для Wk, т (г) с рядом для Л1й> ± т (г).
2) Результаты Барнса даны в обозначениях § 16.1.
176 гл. 16. ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
имеем
Мк, т (*) = Д(2/" + 1) ' т (-г) +
Г(2т-Ц) (4+m +*Р
“Г 71 Г" в "'к, т \г)'
Г 4- т 4~ j
Пример 3. Получить первую формулу Куммера (§ 16.11) из формулы
оо i
Zne-z _ 1_ / г (и — $) ZS ds.
ЛШ J
— coi
(Barnes)
16.5. Функции параболического цилиндра. Уравнение Вебера
Рассмотрим дифференциальное уравнение, которому удовлетво-
ряет функция w = 2: 2 IT i оно будет
*’ ~4V2 1
и приводится к виду
Поэтому функция
Dn(.z) = 2^n+^z~^Wl 1 J-b2'
-2 «+4.-4^
удовлетворяет дифференциальному уравнению
d2Dn{z)
dz1
+-(п + 4-|^)оя(,г) = 0.
Функция Dn(z) есть одна из функций, встречающихся в теории
потенциала в связи с параболическим цилиндром5); дифференциаль-
ное уравнение, которому она удовлетворяет, будем называть урав-
нением Вебера.
) Weber, Math. Ann., I (1869), 1—36; Whittaker, Proc. London
Math. Soc., XXXV (1903), 417—427.
16.51. ВТОРОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЕБЕРА
177
Из § 16.41 следует, что
1 1 1
Г^22 П+ 4z 2
о, И = —-fi-j—г— м, , , (' А +
г(4-4») !
I , з
когда | arg z | < те.
Но
4(И=24'4’>.{Ч”: 44
Z Л41 1 1 (— z2\ — 2 za 4 F 1 —_— w * —— •
Z 1 Ze Л12 2 П’ 2’
а эти функции являются однозначными аналитическими функциями
от z во всей плоскости. Следовательно и Dn(z) будет однозначной
функцией от z во всей плоскости; в силу результатов § 16.4 ее
। । 3
асимптотическое разложение при | arg z | < те имеет вид
_1г» <
е 4 /{1
и(и—1) . п(п—1)(п—2) (и — 3)
2г« 1 Г4г’
16.51. Второе решение уравнения Вебера
Так как уравнение Вебера остается без изменения, если мы
одновременно заменим п и z соответственно через —п—1 и ± lz,
то получается, что D_n_x(lz~) и D_n_x(—iz), а также и Dn(—z)
будут решениями уравнения Вебера. Из асимптотических разложений
функций Dn(z) и D_n_x(ze2 '), годных в области —-|-те < argz<Z
<-^-те, очевидно, что отношение этих двух решений не будет по-
стоянным.
178 ГЛ. 16. ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
16.511. Соотношение между функциями Dn(z), D_n_x(± iz)
Из теории линейных дифференциальных уравнений следует, что
должно существовать соотношение вида
Dn (z) = aD_n_x (iz) iz),
если отношение функций в правой части не равно постоянной.
Чтобы получить это соотношение, заметим, что если эти функ-
ции разложить по возрастающим степеням z, то разложения будут
Сравнением первых двух членов получим
а — (2к) 2 Г(«-ф- 1) е2 ” 1, Ь — (2тг) 2Г(п-]-1)е
и таким образом,
„ . . Г (п +1) Г 4 mt n~i , . J
= —Le2 + е 2 D_n^(— iz)J.
16.52. Общее асимптотическое разложение для функции £)n(z)
До сих пор асимптотическое разложение для функции Dn(z) для
больших значений г было дано только в секторе | argz | < (§ 16.5).
Чтобы получить его форму для значений arg z, не содержащихся
в этой области, мы заменим z на — iz и п на — « — 1 в формуле
предыдущего параграфа и получим
Dn (г) = e™Dn (- z) + е2 '4 (- iz).
16.6. КОНТУРНЫЙ ИНТЕГРАЛ ДЛЯ ФУНКЦИИ Dn(z)
179
Далее, если > arg г > -^-к, то мы можем приписать —z
3
и —iz аргументы между ±-^-гг, и тогда arg(—z) — arg z — те,
arg(—iz) = argz— у те; применяя после этого асимптотическое раз-
ложение § 16.5 к D„(—z) и D_n_x(—iz), видим, что если
Ал> argz>~~, то
в, -^=Д-+^1»п-2)(,-3) ~
/27 4 z> „ if i , (n + 1) («+ 2) ,
Г (— ri) e e z t 2г2
! (n 4~ 1) (w 4~ 2) (n 3) (ra 4) . ]
• 2 • 4г1 "T" • '' j ‘
Эта формула не противоречит формуле § 16.5, так как в общей для
1 3 4
них области, т. е. в области те < argz < к, е z~2n~l = о (z~m) для
всех положительных значений т.
Для того чтобы получить формулу, пригодную в области
— y-re>argz>—мы воспользуемся формулой
Dn (г) = e~™Dn(-г)+^- е~*(л+1) (iz)
и получим асимптотическое разложение, которое отличается от преды-
дущего только заменой епы на e~nxl.
Так как- Dn (z) — однозначная функция и так как то или другое
из полученных разложений пригодно для всех значений arg г
в области —те arg z те, то мы получили полное асимптотическое
разложение функции Dn(z).
16.6. Контурный интеграл для функции Dn(z)
(0+) i
Г ~zi~2tl _______1
Рассмотрим интеграл / е (— t) п dt, где [ arg (— t) | те; он
ОО
представляет однозначную аналитическую функцию от z во всей плоскости
(§ 5.32, часть I), и, кроме того,
(0+) 1
{да-гг+»}/
ОО
(0+)
J dt\e 2 (—t)~n far-u’
180 ГЛ. 16. ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
допустимость дифференцирования под знаком интеграла легко проверить.
Интеграл удовлетворяет, следовательно, дифференциальному уравнению, ко-
4 г2
торому удовлетворяет функция еч Dn (г); поэтому
-г/-- Р
е
dt = aDn(z) + bD _n_l(iz),
где а и b — постоянные.
Далее, если выражение справа обозначим Еп (г), то получим
(0+ j <()+ j
En(0) = f t-t)-n-'dt, Е'П(<У) = f е 2 ‘ (—t)~n dt.
ОО 00
Для вычисления этих интегралов, являющихся аналитическими функ-
циями от п, предположим сначала, что Re п < 0; тогда, деформируя пути
интегрирования, получим
Еп (0) = — 2i sin (п 1) к j е 2 t " 1 dt —
о
-у" Г „ ~2 и~1 ~о п / 1 '
= 2 i sin пт. I е и du =2 I sin (rm) Г (-----------п
Подобным же образом
1 1
f о — о п /1 1'
£„(0) = -22 i sin (rm) Г - 2. п
Но обе части этих равенств являются аналитическими функциями от п;
поэтому равенства будут справедливы для всех значений и; отсюда получаем
6 = 0,
а =
2 2 z sin (пт.) Г (—П}~ (— п) Sln nic’
следовательно,
Dn (г) =
1 <и+> 1
_£(1±1).е"г7 e-zt~ ‘\-tr ^dt.
Ini J
16.7. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ Drl(z), КОГДА п-ЦЕЛОЕ число 181
16.61. Рекуррентные формулы для функции Dn(z)
Из равенства
(°+) .
0=/ ь =
со
(0+) J
= f {- *(-О-""1 + (-0"" + («+1)(-о-"-2} 2 Рdt,
пользуясь § 16.6, видим, что
О„+1 (г) — zDn (г) + nD„_x (z) = 0.
Далее, дифференцированием интеграла § 16.6 получаем
Dn (z) -j- у zDn (z) — (г) = 0.
Пример. Получить эти формулы из степенных рядов по возрастаю-
щим степеням z § 16.5.
16.7. Свойства функции Dn{z\ когда п — целое число
Если п — целое число, то мы можем написать интеграл § 16.6
в форме
Если теперь положим t = v—z, то получим
2- г1 (г+* —2- v~ j / 1 \
_ . . / 1чп и!е4 Г е 2 , . 1чЛ -г г! dn ( —z2\
D’w=(-1) -S-У ’ )
— результат, принадлежащий Эрмиту J).
Далее, если т и п—неравные целые числа, то мы видим из
дифференциальных уравнений, что
Dn (z) Dm (z) — Dm (z) Dn U) 4- (m — n) Dm (z) Dn (z) — 0,
откуда
(,m — n) J Dm {z) Dn {z) dz={Dn (z) D'm (z) — Dm (z) D'n (2:)]“^ = 0
*) Hermite, Comptes Rendus, LV111 (1864), 266—273.
182 ГЛ. 16. ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
в силу разложения § 16.5 по нисходящим степеням z (которое
обрывается и годно для всех значений arg z, когда п — положитель-
ное целое число).
Поэтому если т и п — неравные положительные целые числа, то
ОО
f D,„ (z)Dn(z) dz — 0.
— ОО
С другой стороны, когда т = п, имеем
(п+1) f {D„(z)}2dz — f Dn(z)[D'n+1(z) + ^zDn+i(z)}dz =
— ОО —00
00
= [D„ (z) D„+1 (д)]“ет + f {| zDn (z) Dn+1 (z) - Dn+i (z) Dn (z)} dz =
— 00
00
= f {Dn+l(z)}2 dz,
— CO
если воспользуемся рекуррентной формулой, проинтегрируем по
частям и снова воспользуемся рекуррентной формулой.
По индукции заключаем, что
J {Dn(z)]2dz — nl f (D0(z)}2dz^n! f ^dz = (2.T:)2 п!
— CO —00 —co
по следствию 1 § 12.14 и § 12.2.
Отсюда непосредственно следует, что если для функции f(z)
существует разложение вида
/(z) = a0D0(z) + a1D1(z) + ••• +«Л(д)+ ....
и если почленное интегрирование между пределами — оо и оо
законно, то
со
+ =------Т— f Dn(t)f(t)dt.
(2л)2 и! -°°
ЛИТЕРАТУРА
W. Jacobstahl, Math. Ann., LVI (1903), 129—154.
E. W. Barnes, Trans. Camb. Phil. Soc., XX (1908), 253—279.
E. T. Whittaker, Bulletin American Math. Soc., X (1904), 125—134.
H. Weber, Math. Ann., I (1869), 1—36.
А. Адамов, Вестник Петр, полит, ин-та, V (1906); 127—143.
ПРИМЕРЫ
183
Е. Т. Whittaker, Proc. London Math. Soc., XXXV (1903), 417—427.
О. N. Watson. Proc. London Math. Soc. (2), VIII (1910), 393—421; XVII
(1919), 116—148.
H. E. J. Curzon, Proc. London Math. Soc. (2), XII (1913), 236—259.
A. Milne, Proc. Edinburgh Math. Soc., XXXII (1914), 2—14; XXXIII (1915),
48 64.
N. Nielsen, Meddelelser K. Danske Videnskabernes Selskab, I (1918), no. 6.
H. H. Лебедев, Специальные функции и их приложения, Гостехиздат,
1953.
Примеры
1. Показать, что если интеграл сходится, то
^к, т ~
2. Показать, что
1 1
—-- z ( 1 1
т (г) = z е 1ипДу+и- k, у 4-m — 64-р; 2т + 1; —j.
3. Получить рекуррентные формулы
^,т(г)=г211/ J 1(г)+(|-Н'»)^-1,т(4
^,т(г)=г2117 j IU)+(v
А-2-т+7 Х
zW'k, т ~ у г) ^k, 1)21 IVft_,, m (г).
4. Доказать, что Wft, m (z) есть интеграл от элементарной функции, когда
одно из чисел k — -% ± т есть отрицательное целое число.
5. Показать, что надлежащей заменой переменных уравнение
(а2 4- Ь2х) 4- (а, 4- biX) + («о + ьох) У = 0
может быть приведено к виду
вывести это уравнение из уравнения для F (а, Ь\ с; х), положив * = у и
заставляя b -> со.
184 ГЛ. 16. ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
6. Показать, что интегральный косинус Шлёмильха и Бессо (Besso,
Oiornale di Matematiche, VI), определяемый равенством
z
равен
1 "2
W j (_z>)+±z 2<? uz (iz).
~2’° 2 -2-°
Показать также, что функция Шлёмильха, определяемая (Zeitschrift fiir
Math, und Phys., IV (1859), 390) равенствами
S (v, z) = У* (1+0 ’ e zt dt — z' 1 ez e du,
0 z U
равна
z2 €2 IF j 11 (?)•
“"2 1 ~~2 V
7. Выразить функции
z co
Si(z)= У* ^-dt, Ei(z) = ['--—dt
0 z
через функции Wk) m.
8. Показать, что полином Сонина, определяемый (Math. Ann., XVI, 41)
равенством
,п _п-\
тп (z} =------------------------------------------------С
’ и! (т + п)! 0! (п — 1)! (т + и— 1)! 1!
zn-2
(n —2)!(zn + n—2)12!
равен
-|и+1) у
z е
1
/г!(« + и)!
W 1 ! 1
"+-2m + 2 ’ 2m
9. Показать, что функция (г), определенная Лагранжем в 1762—1765гг.
(Oeuvres, I, 520) и Абелем (Oeuvres (1881), 284) как коэффициент при hm
в разложении функции (1 — /г)-1 е-Лг/(1-Л), равна
2 2 Z
z 2 в2
------W . (г).
ml ™+1,о
ПРИМЕРЫ
185
10 ’)• Показать, что функция Пирсона — Кэннингхэма (Pearson, Cunningham,
Proc. Royal Soc., LXXXI, 310) a>„, m (z), определяемая как
11. Показать, что если | arg z | < я и | arg (1 1) |< то
(1
у (л-1)
t)2 dt.
(Whittaker)
12. Показать,
3
Z ] < ", TO
что если n не есть положительное целое число
и
Dn (*)
1
—со/
Г(|/ |„)Г(-/)
Г(-п)
(/2 У"""2
zf dt,
и что этот результат имеет силу для всех значений arg z, если интеграл
(0-)
будет вида J” , причем контур окружает полюсы функции Г(—t), но не
ОО
окружает полюсов функции — ~2п)'
13. Показать, что если | arg а | < у к, то
Z2
zmDn (z) dz =
31 1
- -n-m nllm—-
л222 в ' 2
/1 1 \ 5'('п+1)
Г(-т)Г(± и-у/г+lW
1 1 . 1 . 1 1 . . , 1
') Результаты примеров 8, 9, 10 были сообщены нам Бэйтменом (Ba-
teman ).
186 ГЛ. 16. ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
14. Показать, исходя из примера 13, что если интеграл сходится, то
оо з
f е~* Z2zmDm+l (г) dz ~ (/2 )"1-тГ (т + 1) sin (1--1 т) %,
о
(Watson)
15. Показать, что если п—положительное целое число и
“ -- Z2
Еп{х)= je 4 (z—x)~iD„(z)dz,
— СО
то
Еп (х) = ± ie* /2^ Г (п + 1) е 4 * £>_„_) (Т /х);
верхний или нижиий знаки берутся соответственно тому, будет ли мнимая
часть х положительна или отрицательна.
(Watson)
16. Показать, что если п — положительное целое число, то
- -Л» °°
О„(х) = (—1)р'2л+2(2тС) 2<?4 J ипе~2и2 c°^(2xu)du,
о
1 1 /
где р равно тому из чисел -^п или -% (и—1), которое целое, а косинус
или синус берутся, смотря по тому, будет ли п четное или нечетное.
(Адамов)
17. Показать, что если п целое положительное, то
.. ’ _п+1 Ь.1„
Dn(x)~ (— 1)Ц-2те) Ч/п) е е 2 (Л + Л — /3),
где
СО
J,= Г cos {xvyn)dv,
J Sin
—co
co
J2 = f °(v) (xvy~n)dv,
0
0
J3= Г Cos {xvV~n)dv
J sin
— co
И
0 (v) = e2 ( v" — e~n
(Адамов)
ПРИМЕРЫ
187
18. При обозначениях, введенных в предыдущих примерах, показать,
что при х вещественном
1 _1 -2
г 2 2 4 COS / ../•—\
/, = it n е . (х у п),
* ст ' "
в то время как J3 удовлетворяет неравенствам
1Л1<
2е~п
\x\Vn
е~п.
Показать также, что когда v возрастает от 0 до 1, а (о) уменьшается
от 0 до минимума при о=1 — hx, а затем возрастает до 0 при v = 1;
а когда v возрастает от 1 до оо, a (v) возрастает до максимума при 1 4- Л2,
а затем уменьшается и стремится к нулю; при этом
1 i/"JL h 1/"А 11/"!! h
2 V 2п< 1<V 2п ’ 2 V 2п< 2<V 2п
И
| ст (1 — | < Ап 2, а (1 -|- Л2) < Ап 2, где А = 0,0742...
(Адамов)
19. Применяя надлежащим образом вторую теорему о среднем значе-
нии, показать, что
Dn (х) = /2 (/й)л е 2
Vn J
где а>я(х) удовлетворяет двум неравенствам:
, ... 3,35 ... 7х2 , ... , 1 Ц
I “л (*) I < е > I “л (0) | < — п ,
\ у л 6
когда х вещественно и и — целое число, большее 2.
(Адамов)
20. Показать, что если п — произвольное положительное число и если
т — положительное целое число (или нуль), то уравнение относительно г
Dn(z) =0
имеет т положительных корней, если 2т— 1 < п < 2т 4-1.
(Milne)
ГЛАВА 17
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
17.1. Коэффициенты Бесселя
В этой главе мы рассмотрим класс функций, известных под на-
званием функций Бесселя или цилиндрических функций, которые
имеют много аналогий с функциями Лежандра главы 15. Точно
так же, как функции Лежандра являются частными случаями гипер-
геометрической функции с тремя правильными особыми точками,
так и функции Бесселя являются частными случаями вырожденной
гипергеометрической функции с одной правильной и одной непра-
вильной особыми точками.
Мы введем ’) сначала, как в случае функций Лежандра, некоторую
совокупность функций Бесселя как коэффициенты некоторого раз-
ложения.
Функция
для всех значений z и t (за исключением t — G) может быть раз-
ложена по теореме Лорана в ряд положительных й отрицательных
степеней t. Если коэффициент при tn, где п — какое-нибудь целое
число, положительное или отрицательное, обозначить через Jn(z),
то найдем, в силу § 5.6 части I, что
1 Г , и*--2-)
Jn (д) = 2^- j и п ге2 ' “ ' du.
Чтобы представить Jn(z) как степенной ряд отд, положим « = —S
тогда
(0+)
= м (уz) f t ехр Р ~" IF } dt>
') Этот порядок изложения принадлежит Шлёмильху (S с h 1 О m i 1 с h,
Zs. fiir Math, und Phys., II (1857), 137—165).
17.1. КОЭФФИЦИЕНТЫ БЕССЕЛЯ
189
так как контур может быть любым, лишь бы он обходил начало
один раз против часовой стрелки, то мы можем принять за таковой
окружность |(| = 1; поскольку подинтегральная функция может быть
разложена в ряд по степеням z, равномерно сходящийся на этом
контуре, то, по § 4.7 части I, находим
оо РЧ*)
г=0
Далее, вычет подинтегральной функции при (~0, по § 6.1
части I, равен {(п —г)!} \ когда п-\-г — положительное целое число
или нуль; когда же п-\-г— отрицательное целое число, вычет
равен нулю.
Поэтому, если п— положительное целое число или нуль, то
/ 1 , п+2г
Zi г! (и + г)!
г=о
__ гп ( । z2 , zi )
— 2” и! Г ~ 22 • 1 (и + 1) ' 24 • 1 • 2 (n + 1) (и2) ~ ‘ ’ j ’
если же п — отрицательное целое число, равное — т, то
/ 1 \2r—т / 1 \m+2s
“ (-1)' -о*) (-l)m+S
J"= г! (г—те)! ~ (zn + s)! s! ’
r=m s=0
таким образом,
Jn(z) = (-iyjm(z).
Функция Jn(z), которая теперь определена для всех целых зна-
чений «, положительных или отрицательных, называется коэффи-
циентом Бесселя порядка и;4ряд, определяющий ее, сходится для
всех значений z.
Мы увидим ниже (§ 17.2), что эти коэффициенты Бесселя являются
частным случаем более широкого класса функций, известных под наз-
ванием функций Бесселя.
Ряд, которым определяется Jn (г), встречается в мемуаре Эйлера о коле-
баниях растянутой круговой мембраны, Novi Comm. Acad. Petrop., X (1764)
(опубликовано в 1766 г.), 243—260, — исследование, которым займемся ниже,
в § 18.51; этот ряд встречается также в мемуаре Лагранжа по эллиптиче-
скому движению, Hist, de 1’Academie R. des Sci. de Berlin XXV (1769)
(опубликовано в 1771 г.), 223.
Наиболее раннее систематическое изучение этих функций было про-
изведено в .1824 г. Бесселем в его «Untersuchung des Theils der planetarischen
Storungen welcher aus der Bewegung der Sonne entsteht» (Berliner Abh., 1824);
190
ГЛ. 17. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
частные случаи коэффициентов Бесселя, однако, появились в исследо-
ваниях, опубликованных ранее 1769 г.; наиболее раннее из них содер-
жится в письме Якова Бернулли к Лейбницу ')> датированном 3 октября
1703 г., в котором встречается ряд, называемый теперь функцией Бесселя
порядка -1-; коэффициент Бесселя нулевого порядка встречается в 1732 г. в ме-
О
муаре Даниила Бернулли о колебаниях тяжелых цепей, Comm. Acad. Sci.
Imp. Petrop., VI (1732—1733) (опубликовано в 1738 г.), 108—122.
При чтении некоторых из более ранних сочинений по рассматриваемому
вопросу следует помнить, что обозначение теперь изменилось: то, что раньше
обозначалось через Jn (г), теперь обозначается через Jn (2г).
Пример 1. Доказать, что если
(1 _2ав — 02)2 + 4Ь262 ^1 + н-л3и -f- ...,
то
еаг sin bz = At J i (z) + A2J2 (г) + A3J3 (z) + ...
(Math. Trip., 1896)
[Действительно, если контур D — окружность в плоскости и с центром
и = 0и радиусом настолько большим, что она охватывает все нули знамена-
теля, то разложение
будет равномерно сходиться на окружности D; интегрируя его по D (§ 4.7,
часть I) и заменяя интегралы коэффициентами Бесселя, получим
D
— ДЛ (г) + A2J2 (г) 4- A3J3 (г) + ...
В интеграле слева положим у (и—и~‘)— a = t, так что когда и опи-
сывает окружность радиуса е\ точка t описывает эллипс с полуосями ch р
и sh Р и с фокусами в —а ± I; получим
_ 1 Г ez{t+a'>bdt
AnJnW t2 + b2
п=1
*) Опубликовано в «Leibnizens Oes. Werke», издание 3, III (Halle, 1855), 75.
17.11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ 191
причем контуром интегрирования будет только что определенный эллипс,
который охватывает нули выражения t2 -f- b2. Вычисляя интеграл согласно
§ 6.1 части I, получим требуемый результат.]
Пример 2. Показать, что если п—целое „число, то
Л>(у4-г) = У Jm (У) Jп—т (*)
(К. Neumann, Schlafli)
[Рассмотреть разложения обеих частей равенства
ехр{ |(у + ^) (t~ })} = ехр{1у(/-|)}ехр{^_ 1)}.]
Пример 3. Показать, что
glz cos т _ j0 (4 2/ cos <р J] (г) 2г2 cos 2<р J2 (z) -|- ...
Пример 4. Показать, что при г2 = х2 -f- у2
Л (Й = Л (*) Л (У) — 2J2 (х) J2 (у) + 2J4 (х) J4 (у) — ...
(К. Neumann, Lommel)
17.11. Дифференциальное уравнение Бесселя
Мы видели при п целом, что функция (коэффициент) Бесселя
порядка п может быть задана формулой
(0+)
2^т(тг) f t ехр (*
Исходя из этой формулы, покажем теперь, что Jn(z) является
решением линейного дифференциального уравнения
+ 4.(1 _Д1\у==о
dz2 'г dz \ z2 )У ‘
которое называется уравнением Бесселя для функций zi-ro порядка.
В самом деле, дифференцируя, найдем (§ 4.2, часть I), что
d2Jn(z) . 1 dJn(z) , Л _ п?\ _
dz2 -r z dz ' \ zz]JnXZ> —
(0+)
1 ( 1 „\Я /* 2.-П -1 I 1 п 4- 1 I Z2 ) ( j, Z2\
= * j1---------1--НЖ[«р[<-^й =
(0+)
=-2г(М/ 4{г'-'“р(<-5)}Л=».
,-n~l /, Z2\
так как t exp — однозначная функция.
192
ГЛ. 17. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Таким образом, мы доказали, что
_^Ъ„(г) = О.
dz2 1 z dz 1 \ z2) n '
Отметим, что z = 0 — правильная точка, a z = со — неправильная;
все остальные точки являются обыкновенными точками уравнения.
Пример 1. Дифференцированием разложения
ОО
г2 к -2
по г и по t показать, что коэффициенты Бесселя удовлетворяют уравнению
Бесселя.
(St. John’s, 1899)
i \
Пример 2. Функция —2^?) УдовлетвоРяет уравнению, опре-
деляемому схемой
4л2 оо О
1 , 1 1 2
pl т «4-1 -^т г2 \
1 1
— ут — п т
показать, что Jm (z) удовлетворяет предельной форме этого уравнения при
слиянии особых точек, получаемой при п -> со.
17.2. Решение уравнения Бесселя при любом комплексном п
Приступим теперь, по образцу § 15.2, к расширению определе-
ния Jn(z) на тот случай, когда п. — какое угодно число, веществен-
ное или комплексное. По методу, подобному методу § 17.11, убе-
димся, что для всех значений п. уравнению
^+±_£l+(i -4)у = 0
dz2 ' z dz 1 \ z2) *
удовлетворяет интеграл вида
у=гл /* /-л~1ехр(^---
с
при условии, что функция
принимает свое начальное значение после обхода контура С и что
дифференцирования под знаком интеграла допустимы.
17.21. РЕКУРРЕНТНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ
193
Соответственно этому мы определим Jn(z) равенством
(0+)
— СО
где правая часть вполне определяется, если возьмем за arg z его
главное значение и примем на контуре |arg/|^ir.
Чтобы разложить этот интеграл в степенной ряд, отметим, что
он будет аналитической функцией от z и что мы можем получить
коэффициенты в ряде Тейлора, расположенном по степеням z, диф-
ференцированием под знаком интеграла (§§ 5.32 и 4.44 части I).
Отсюда выводим, что
г=0
(0+ ) оо
22rr! J **
___ (-1)гг"+2г
2л+2гг! Г (л + г + 1)
согласно формуле § 12.22. Это и есть требуемое разложение.
Соответственно атому для любых значений п мы определяем
функцию Бесселя Jn(z) равенствами
(°+) со
— со Г—0
(—iyzn+2r
2"+2гг! Г (n -f- г -f- 1) •
Эта функция сводится к коэффициенту Бесселя, когда п— целое
число; ее называют функцией Бесселя первого рода.
Так как уравнение Бесселя остается без изменения, если заменить п
на —п, то за основные решения можно принять Jn(z), J_n(z), за
исключением случая, когда п—целое число; в этом последнем слу-
чае эти решения не будут независимыми. За этим исключением, общее
решение уравнения Бесселя имеет вид
^n{z)^J_n{z\
где а и — произвольные постоянные.
Второе решение уравнения Бесселя, когда п — целое число,
будет дано позже (§ 17.6).
17.21. Рекуррентные формулы для функций Бесселя
Так как функция Бесселя удовлетворяет предельной форме гипер-
геометрического уравнения при слиянии особых точек, то следует
ожидать, что существуют рекуррентные формулы, соответствующие
соотношениям между смежными гипергеометрическими функциями,
указанным в § 14.7.
7 Э. T. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон
194
ГЛ. 17. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Чтобы установить эти соотношения для любых значений п, веще-
ственных или комплексных, обратимся к результату § 17.2. Написав
равенство
(0+)
»= f
— со
в развернутом виде, получим
(0+)
0= f (Г"+^?ГЯ"2-^"""^expff — =
= 2та | (2г-!)”-1 Jn_x (z) + j z2 (2z~i)n+1 Jn+X (z)-n. (2^~i)n Jn (z)},
и таким образом,
= (А)
Затем, пользуясь § 4.44 части I, имеем
(0+)
/ Г-ехр(/-Л1)Л =
— ОО '
(0+)
= 2л+2и f * exp — \dt = z nJn+l(z),
— ОО
и следовательно, обозначая штрихом дифференцирование по z, имеем
j'n{z)^~Jn{z)-Jn+x{z). (В)
Из (А) и (В) легко вывести другие рекуррентные формулы:
Jn(Z) = (Лг-гС2) /ч+1(г)} (С)
И
J'n(.z) = jn_x(z)-^Jn(z). (D)
Пример 1. Получить эти формулы из степенного ряда для Jn (z).
Пример 2. Показать, что
~ {zVn(z)} = z«J„_1 (z).
Пример 3. Показать, что
J'o (г) = — Л (г)-
17.212. связь между функциями J„(z) и Wb п 195
Пример 4. Показать, что
16У Яv) (*) == Jn-4 & - Un-2 & + 6J„ (г) - 4J„+2 (г) + Jn+i (г).
Пример 5. Показать, что
J2 (г) — Jq (г) ~ 2/0 (z).
Пример б. Показать, что
^2<г) = -/о (*) —г-14(г).
17.211. Соотношение между двумя функциями Бесселя,
порядки которых отличаются на целое число
Из последнего параграфа можно вывести равенство, связывающее
любые две функции Бесселя, порядки которых отличаются на целое
число, а именно:
где п — любое, аг — положительное целое число. Эта формула выво-
дится непосредственно по индукции из формулы (В), если написать
последнюю в виде
17.212. Связь между функциями Jn(z) и Wk, т
Читатель легко убедится в том, что если мы в уравнении Бес-
1
—т X
селя положим у = z и затем z = , то получим уравнение
которому удовлетворяет функция lFO n(x); отсюда следует, что
1 1
Jn (z) = Az~ * MOi п (2lz)4- Bz~ * Мо,_„(2lz).
Сравнивая коэффициенты при z±n в обеих частях, найдем, что
Jn (г) =-----гА-----------Д>, п №),
2л+-^
2 21 2Г(я + 1)
за исключением критических случаев, когда 2л — отрицательное
целое число; если п равно половине отрицательного нечетного числа,
то результат получается из второй формулы Куммера (§ 16.11).
7
196 ГЛ. 17. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
17.22. Нули функций Бесселя, порядок которых п вещественный
Соотношения § 17.21 дают возможность вывести интересную
теорему, а именно: между любыми двумя последовательными
вещественными нулями функции z~nJn(z) лежит один и только
один нуль1) функции z~nJn+1(z), так как из соотношения (В), на-
писанного в виде
г-Ч+1(г) = -^-{г-Ч(г)}.
вытекает по теореме Ролля2), что между каждой парой последова-
тельных нулей функции z~nJn(z) имеется по крайней мере один нуль
функции z~nJn+l(z).
Подобным же образом из соотношения (D), написанного в виде
zn^4„(z) = ^ {zn+1J„+l(z)},
вытекает, что между каждой парой последовательных нулей функ-
ции zn+1Jtl+-l{z) имеется по крайней мере один нуль функции zn+1Jn(z).
Далее, функции z~nJn(z) и [z~nJn (z)] не имеют общих нулей,
ибо первая функция удовлетворяет уравнению
z + (2п + 1 )-^- 4- zy = О,
dz2 1 v 1 ' dz 1 z
и легко убедиться по индукции дифференцированием этого уравне-
ния, что если у и равняются нулю для какого-нибудь значения z,
то и все производные от у равняются нулю, и у будет нулем со-
гласно § 5.4 части I.
Доказываемая теорема теперь очевидна, кроме случая наименьших
по абсолютной величине нулей ± $ функции z~nJn{z), так как z~n3n{z)
и zn+1Jn(z) имеют одни и те же нули, за исключением с = 0. Однако
с = 0 есть нуль функции z~nJn+x{z), и если бы имелся какой-нибудь
другой положительный нуль функции z~nJn+x{z), меньший, чем 6,
то функция zn+1Jn(z) имела бы нуль между 0 и Е, что противоречит
предположению, что между 0 и 5 нет нулей функции zn+1Jn(z).
Теорема поэтому доказана.
[См. также § 17.3, примеры 3 и 4 и пример 19 в конце главы.]
') Доказательства этой теоремы даны Бохером (В Ocher, Bull. American
Math. Soc., IV (1897), 206), Гегенбауэром (Qegenb auer, Monatshefte fiir
Math., VIII (1897), 383) и Портером (Porter, Bull. American Math. Soc.,
IV (1898), 274).
2) Эта теорема доказана для полиномов в «Theory of Equations» (I, 157)
Бернсайда и Пэнтона (Burnside and Panton). Ее можно получить для
любых функций с непрерывными производными, пользуясь первой теоремой
о среднем значении (§ 4.14, часть 1).
17.23. ИНТЕГРАЛ БЕССЕЛЯ
197
17.23. Интеграл Бесселя для коэффициентов Бесселя
Выведем теперь интеграл, данный впервые Бесселем для частного
случая функций Бесселя, когда п — положительное целое число;
в некоторых отношениях этот результат имеет сходство с интегралами
Лапласа, данными в §§ 15.23 и 15.33 для функций Лежандра.
В интеграле § 17.1, т. е. в
, <°/> 2 /
•Ш==2^ J а)^и,
возьмем в качестве контура окружность \и\ — 1 и положим и — еге,
так что
К
Jn(2r) = JL J' e-irf+izslairt'
— ТС
Разделим интервал интегрирования пополам и в первой части
заменим 9 на —9; получим
те те
= I' g«z6-^SIn8rf9 + -i- У е-п‘ь+1г^6 ае,
6 6
и таким образом,
те
У cos(«9— z sin 9) М-
о
это и есть искомая формула.
Пример 1. Показать, что если г вещественно, а п—целое число, то
14 И I < 1.
Пример 2. Показать, что для всех значений п (вещественных или ком-
плексных) интеграл
ТС
1 г
у = — / cos (/10 — z sin 0) М
о
удовлетворяет уравнению
d2y 1 dy t /. п2\ _ sin mt / 1 n\
dz2 ‘ z dz ' \ z2}y~ n \z z2)’
которое приводится к уравнению Бесселя, когда п—целое число.
[Легко показать дифференцированием под знаком интеграла, что выра-
жение в левой части равно
ТС
1 Г d [ / п . cos 0 \ . . „ . „. 1 1
о
198
ГЛ. 17. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
17.231. Видоизменение интеграла Бесселя,
когда п не целое число
Покажем теперь, что1) для любых значений п
= cos(n9 — zsin9)d9 — f e-n9-*sh9d9, (A)
когда Rec>0. Эта формула, очевидно, приводится к формуле
§ 17.23, когда п— целое число. Если в интеграле § 17.2, т. е. в
(0+)
7«(2)=2^7 f
предполагая, что z положительное, положим t — -^uz, то получим
(0+)
Но если контур представляет собою фигуру, состоящую из ве-
щественной оси от —1 до —со, взятой дважды, и окружности |«|=1,
Рис. 4.
то этот интеграл представляет аналитическую функцию от z, когда
Re (см) становится отрицательной при |а|—>оо на выбранном контуре,
т. е. когда |argz| <-^те; таким образом, по теории аналитического
продолжения формула (которая доказана прямым преобразованием
для положительных значений z) имеет место уже при условии
Re z > 0. Отсюда
где С обозначает окружность | и | = 1, arg и = — те на первом участке
пути интегрирования и argzz —-|-те на третьем участке.
‘) Этот результат принадлежит Шлефли (Schlafli, Math. ‘Ann.,
Ill (1871), 148),
17.231. ВИДОИЗМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА БЕССЕЛЯ
199
Положив u = te^Ki в первом и третьем интегралах соответственно
(так что в каждом случае arg/ = O) и и — е‘!> во втором, получим
К
./n(*) = i f e-«/e+z*slnM +
— К
оо
+ (} f гт ‘ (- «7) м.
Преобразуя первый из этих интегралов, как в § 17.23, и пола-
гая t — е° во втором, получим окончательно
К оо
Jn(z) = l I' cos (zt9 — z sin 6) rfS -I- sln (/г + ]) * J Ш
о 0
. , I „ 1
что и представляет собою искомый результат, когда | arg z | < -% к.
Если | arg z | лежит между -g- л и л, то в силу соотношения
имеем
Jn(z)=e*n*lJ„(-*)
Jn(z)~
те со
J cos (nt) -f- z sin В) rfO — sin п~ e~n®+zsh® М
о 6
(В)
где верхний или нижний знак берется в зависимости от того, будет ли
arg z > -g- к или < —g л.
Если п —целое число, то (А) сразу приводится к интегралу Бесселя, (В)
также приводится к этому интегралу, если воспользоваться равенством.
Jn (г) = (—\)nJ-n(z)’ имеющим место для целых значений п.
Равенство (А), как уже указано, принадлежит Шлефли (Schlafli, Math.
Ann., Ill (1871), 148), а равенство (В) было дано Сониным (Math. Ann., XV
(1880), 14). Эти тригонометрические интегралы для функций Бесселя можно
рассматривать как аналоги интегралов Лапласа для функций Лежандра, ибо
(§ 17.11, пример 2) Jm(z) удовлетворяет предельной форме (получаемой,
когда /г->со) уравнения для Р™ ^1 —- •
Но интеграл Лапласа для этой функции отличается лишь постоянным
множителем от выражения
z2
2/?
+-{(!
z2 \2
2п2)
_i_
, 1 2
— I > COS <f
п
cos m<f d<f =
У11 + ~~ cos V + О (/i~2)| cos mtf d<f.
о
200
ГЛ. 17 ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Предел подинтегральной функции при п->со равен eiz cos ? cos m?, что
и показывает сходство интеграла Лапласа для функции Р™(г) с интегралами
Бесселя — Шлефли для функции Jm (г).
ТС
Пример 1. Вывести из формулы e~lx cos ? <Z<p, изменяя
— ТС
порядок интегрирования, что при п положительном целом и cos 0 > О
Рп (cos 0) = Г(п+ 1) /* е~Х C0S sin 0) хП dx'
’ 6
(Callandreau, Bull, des Sci. Math.
(2), XV 1891, 121).
П p и м e p 2. Показать, что при определении Феррерса функции Р™ (cos 0)
Р™ (cos 0) = pY^V+lT / е Х 8,/m sin 0) хП dx'
6
когда п и т — положительные целые числа и cos 0 > 0.
(Hobson, Proc. London Math. Soc.,
XXV (1894), 49)
17.24. Функции Бесселя, порядок которых равен
половине нечетного целого числа
Мы видели (§ 17.2), что если порядок п функции Бесселя Jn(z)
равен половине нечетного целого числа, то разность корней опре-
деляющего уравнения при z — О равна 2/г и, следовательно, будет
целым числом *). Мы покажем теперь, что в таких случаях Jn(z)
выражается через элементарные функции; в самом деле,
12 1
. < Ч 22г2 1 . гг . ) / 2 \Т .
/1(г)— ! р 2 3 + 2 • 3 • 4 5 •••( — s1112-
2
и следовательно, (§ 17.211), если k — положительное целое число,
*2
(—1)^(2^) 2 dk (sinz\
1 <Z(?2)*\ z J’
2 rc2
') В § 17.2 определяющее уравнение (см. § 10.3 части 1) не упоминается.
Авторы приводят там общий вид решения уравнения Бесселя aj„ (z) 4- $J_n(z)
при нецелых п. Начальные степени z в решениях Jn(z) и 7_„(^) суть zn
и г~п, а их показатели п и — п как раз и служат корнями определяющего
уравнения в точке z = 0. Неясно, однако, какова связь этого факта с выра-
жением функций Бесселя с полуцелым индексом через элементарные. —
Прим. ред.
17.24. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ПОЛУЦЕЛОГО ПОРЯДКА 201
По выполнении дифференцирования в правой части получим фор-
мулу вида
J 1 (г) — Pk sin z Qk cos z,
1
где Pk, Qk—полиномы относительно z 2
Пример 1. Показать, что
1
т / X ( 2 \2
у±(г)==Ы) C0S2-
2
Пример 2. Доказать по индукции, что если k — целое число и
. , 1
П = k , ТО
v , V (-У (4/г2 ~ I2) (4п2 - З2) .. {4лг=» - (4r - I)2} 1
Х| + £ (2r)!26rz2r р
, . / 1 1 W (—1)г(4и2—12)(4/г2 —З2) ... (4п2 —(4г —3)2П
+ slnV~ 2 4j2j (2г — 1)! 28г-3г2г~1
причем суммирования продолжаются до тех пор, пока ряды сами не обо-
рвутся.
on dk I cos z \
Пример 3. Показать, что z г-------------- •---- есть решение уравне-
d (г2)* \ z ]
ния Бесселя для J j (г).
k+2
Пример 4. Показать, что решение уравнения
есть
rf2m+ ’у
dz2m+1
+ у=0
где с0, с„ ..., cim—произвольные постоянные, л0, ах..а2т—корни урав-
нения а2/ге+1 =г.
(Lommel)
202
ГЛ. 17. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
17.3. Контурный интеграл Ханкеля !) для функции Jn(z)
Рассмотрим интеграл
(1+.-1-) п_д
y = zn J (t2—1) 2 cos (zt) dt,
A
где A — точка справа от точки t — 1 и
arg — 1) = arg (t -j- 1) = 0
в точке А; контур удобно взять в виде восьмерки.
Покажем теперь, что этот интеграл отличается от функции Jn(z)
лишь постоянным множителем. Легко видеть, что подинтегральная
функция принимает свое начальное значение после обхода точкой t
пути интегрирования, ибо (t— 1) 2 умножается на множитель е(2л-1М
п__
после обхода петли (1 а (7 4-1) 2 умножается на множитель
e-(2n-i)nz после обхода петли (—1—). Так как ряд
со j
г=0
сходится равномерно на контуре, то имеем (§ 4.7, часть I)
со , (14-.-1-) 1
f
г=0 А
Для вычисления полученных интегралов заметим, во-первых, что
они являются аналитическими функциями п для всех значе-
ний п, а во-вторых, что при Re (п 4" у) > 0 мы можем деформиро-
вать контур в окружности \t— 11 — 8, | £ —f— 11 = 8 и часть вещественной
оси, соединяющей точки £=±(1—8), взятую дважды; затем мы
можем заставить 8—>0; интегралы вдоль окружностей стремятся
к нулю, и следовательно, приписав функциям t— 1 и/4* на новом
пути интегрирования аргументы, удовлетворяющие написанному выше
‘) Н a n k е 1, Math. Ann., I (1869), 467—501.
17.3. КОНТУРНЫЙ ИНТЕГРАЛ ХАНКЕЛЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ Jn(z) 203
условию, получим, считая arg(l—/2) = 0 и полагая t2 — и,
(I+.-1-) ,
У* t2r (t2 — \)п~2 dt =
А
— [ j
= е(П-2)’''у* (2г^_^П-2^ + е-(П-2У'^ t2r (1 _ ^"-4 М
1 -1
= — 41 sin (п — те У* t2r(l—t2)n~ 2 dt =
о
= — 2/sin^ra — те У* и 2(1 — u)n~2du=s
о
г(' + т)г('1+4)
— 2/Sinara-I-2 J те Г(л + г+1)
Так как исходное и окончательное выражения являются аналити-
ческими функциями от п для всех значений га, то, по § 5.5 части I,
это равенство, доказанное для случая
Re(ra + |)>0,
имеет место для всех значений га.
Соответственно этому получаем
- (_l/^+2^sin(n + y)nr(r + l)r(n + 4)
Ъ (2г)1Г(га + г+1) =
г=0
= 2я +1l sin (« + j) те Г (га + 4 j Г (1) J„ (г).
Отсюда, если < Г (у — п\> =£0, имеем
#
2wt(A
i” (i+.-i-i
2 cos (zt) dt.
204
ГЛ. 17. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Следствие. При Re п + > 0, деформируя пути интегрирования,
можно получить формулы
Пример 1. Показать, что при Re ( n-gj > О
Пример 2. Получить при Re п > 0 разложением в ряд по степеням г
и почленным интегрированием (§ 4.7, часть I) формулу
\ 2 / Г
Jn (г) = —7--—ут туу cos (z cos <р) sin2” <р d<?.
r(" + T)rG>)oJ
Пример 3. Показать, что когда — < п <-1, Функция Jn(z) имеет
бесконечное число вещественных нулей.
Пусть z = + где т—нуль или положительное целое число;
тогда по приведенному выше следствию
о
17.4. СВЯЗЬ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ БЕССЕЛЯ И ФУНКЦИЯМИ ЛЕЖАНДРА 205
поэтому, так как п—у < 0, то ит > ит_{ > ит_2 > ..., а потому
Jn имеет знак (—1)га. Этот метод доказательства для п — 0 при-
надлежит Бесселю.]
Пример 4. Показать, что при п вещественном Jn (г) имеет бесконеч-
ное число вещественных нулей, и найти верхний предел для численно наи-
меньшего из них. (Использовать пример 3 (в комбинации с § 17.22)).
17.4. Связь между коэффициентами Бесселя
и функциями Лежандра
Установим теперь факт, принадлежащий Гейне ) и дающий точное
объяснение результату примера 2 § 17.11, согласно которому коэффициенты
Бесселя могут рассматриваться как предельные формы гипергеометрических
функций.
Если | arg (1 ± z) | < г., п—любое и т — положительное целое число, то
дифференцированием формулы § 15.22 находим, что при определении Фер-
рерса функции Р™ (г)
Р™ (г) =____П7Н-_т+1)__ _ Iт I -
п 1 ’ 2т-т!Г(п — m-f-1) U ’ 1 ’ Х
Хд(— афт, пф-1ф-/п; т ф-1;
следовательно, если | arg г | < -у л, | arg ^1 — 4^7) | < ~> то имеем
рт Л____£4 _ Г(вфтф1)г">я-°» /_______т
п\ 2пг / 2mmlT(n — m + l) V 2п2) А
X Р f— л ф- т, т; иф-1; у z2n~2
Теперь заставляем п->ф-со (ц—положительное, но не обязательно
целое число), так что если 6 = п-1, то 5->0 непрерывно, принимая поло-
жительные значения.
т Г(лф-/я-ф 1)п-т /. г2 \2т ,
Тогда J-=r -> I (§ 13.6) и 1 — -> 1.
Г (п—/пф-1)пга '° \ 4 и2 /
Далее, (гф-1)-й член гипергеометрического ряда равен
(—l)r(l-mo)(l+S4-m8 + r?) { 1 - (m-|-1)г в2} {1 -(m4-2p од] ... (1 — (т + гУ&} }2г
(т +1) (т-f-2) ... (m-f-r) г! \2 /
это есть непрерывная функция от В, и легко видеть, что ряд, у которого
эта функция служит (г ф- 1)-м членом, сходится равномерно в некотором
’) Внешнее отличие результата, данного в Kugelfunktionen Гейне
(Heine), происходит от различия между присоединенными функциями Гейне
и Феррерса.
206
ГЛ. 17. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
промежутке значений 8, содержащем точку 8 «= 0; таким образом, в силу
§ 3.32 части I имеем
[/ \т (“"О
п-трт (1 —-) — —- У ----- .....-——----L---j—-—- = /„(г),
я\ 2л2/J 2тлг! (т 4-1) (т + 2) ... (т + г) г! "
г=0
что и представляет собой требуемое соотношение.
Пример 1. Показать, что ')
lim Гл-тР™ (cos = Jm (г).
Пример 2. Показать, что уравнение Бесселя есть предельная форма
уравнений, определяемых схемами
0 оо с
, 1 , •
п 1с y+zc 2
1
— П —IC -g-— 1С
е‘гр
О оо
1
п Т
3 о-
— л -g- — 2гс
с
О 2
21с —\
при слиянии особых точек, возникающем, когда с->оо.
17.6. Асимптотический ряд для функции Ja(z),
когда |г| велик
Мы видели (§ 17.212), что
г’2
22п+_^_(„+_)
-at
Г (л 4-1)
М0. п
где предполагается
|arg.z| < те, — -g-it<arg(2Zz)<yTC.
’) Частный случай, когда т = 0, дан Мелером (Mehler, Journ. fflr
Math., LXVIII (1868), 140); см. также Math. Ann., V (18/2), 141—144.
17.5. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД ДЛЯ ФУНКЦИИ Jn(z) 207
Но для этой области значений z, согласно примеру 2 § 16.41,
,(2И) = -.^"±0 э)"л(21г) + > „(_ Иг).
г(| + ») г(| + »)
3 I
если —у гс < arg (—г^Хугс; таким образом, при | arg z | <гс
Л (*) =4- Ц "Ч, „ (2гг) 4- е~ Ип4) п (_ 2te) } .
(2гсг)* 2
Для рассматриваемых значений z асимптотическое разложение
функции WOill (± 2iz) имеет вид
iz I , + (4п2-12) । (4n2 —I2) (4n2 — З2) +
( 8iz 2! (8;>)2 -----
, (± I/{4n2— I2} {4n2—З2} .. {4n2—(2r — I)2} n , )
•••-+- rl(8iz)r Ip
Отсюда, складывая ряды, найдем асимптотическое разложение функ-
ции Jn(z) при \z\ большом и |arg2| <к:
г
, , . ( 2 \ 2 Г / 1 1 \
[cos yz — 2 «гс — kJX
, । V (-l)44n2-l2) {4n2-32} ... {4n2-(4r-l)2) ] ,
x и + ---------------------+
r=l J
, 4in(z_ 1 _ 1 V (~l)r {4n2-l2} {4n2—32} {4n2-(4r-3)2} _
+ S \ 2 nlt 4 (2r — 1)! 26r-3^2r-1 ~
JL
= (4)2 [cos (* — T — 4 Un (*)-sin (г — у nrc — 1 к) (2)],
где U^z), —Уп(гУ написаны вместо рядов.
Отметим, что если п равно половине нечетного числа, то эти
ряды обрываются и дают результат примера 2 § 17.24.
Даже когда z не очень велико, значение функции Jn(z) может быть
вычислено по этой формуле с большой точностью. Например, для всех поло-
жительных значений z, больших 8, первые три члена асимптотического раз-
ложения дают значение функций j0 (z) и Jx (z) с шестью точными десятич-
ными знаками.
Это асимптотическое разложение было дано Пуассоном ’) (при п = 0)
и Якоби 2) (при всех целых значениях и) для вещественных значений z.
*) Poisson, Journ. de 1’Ecole poly technique, (I), тетр. 19 (1823), 350.
2) J а с о b i, Astr. Nachr., XVIII, 94.
208
ГЛ. 17. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Комплексные значения z были рассмотрены Ханкелем ') и несколькими по-
следующими авторами. Данный здесь способ получения разложения принад-
лежит Барнсу * 2).
Асимптотические разложения функции Jn (г) для большого порядка п
даны Дебаем (Debye, Math. Ann., LXVII (1909), 535—558; Miinchener Sitzungs-
berichte, XL (1910), no. 5) и Николсоном (Nicholson, Phil. Mag. 1907)).
Приближенная формула для Jn(nx), когда n велико и 0 < х < 1,
а именно:
хп ехр {пУ 1 — х2}
у
(2-п)2 (1 —л2)4 {1 + /1~^}п
была получена Карлини (Carlini) в 1817 г. в мемуаре, напечатанном в Jaco-
bi’s Oes. Werke, VII, 189—245. Эта формула была также исследована Лапла-
сом в 1827 г. в его «Небесной механике» [Mecanique Cdleste, V, Добавление
(Oeuvres, V (1882))] в предположении, что х — чисто мнимое.
Более подробные сведения об исследованиях функций Бесселя большого
порядка даны в Proc. London Math. Soc. (2), XVI (1917), 150—174.
Пример 1. Надлежащим видоизменением контурного интеграла Хан-
келя (§ 17.3) показать, что при | arg^| < и Re fп -f- -gA >0
и вывести асимптотическое разложение функции Jn {г), когда | z | велик и
| arg z | < у п. ^Принять за контур прямоугольник, вершины которого ± 1,
±14-zW с вырезами при ± 1, и заставить Af->oo; за подинтегральную
1 3
п—5"
функцию принять (1 — t2) 2ем.]
Пример 2. Показать, что при | arg z | < л и Re (п -|- > 0
1
п+1 п 2 * 1
Jn(z)~----~~— ----р J* *-2гс1е?С08 2<рсо8ес2л+1 <f sin {z—(п— <р
г(п+т)"т °
[Положить и — 2z ctg <р в предыдущем примере.]
) Н a n k е 1, Math. Ann., I (1869), 467—501.
2) Barnes, Trans. Camb. Phil. Soc., XX (1908), 274.
17.6. ВТОРОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БЕССЕЛЯ
209
Пример 3. Показать, что при | arg z | < -% ~ и Re 4- yj > 0 выра-
жение
“ _1 _± °° _1 —1
Aeizzn J* v 2 (1 4-zv) 2 e~2vz dv -f- Be~‘zzn J* v 2 (1—iv) 2 e~2vz dv
о 0
будет решением уравнения Бесселя.
Далее, определить А и В так, чтобы оно давало функцию J„ (г).
(Schafheitlin, Journ. fiir Math., CX1V)
17.6. Второе решение уравнения Бесселя,
когда порядок — целое число
Мы видели в § 17.2, что если порядок п в дифференциальном
уравнении Бесселя не есть целое число, то общее решение уравне-
ния имеет вид
ajn (£) + ₽•/-„(*)
где аир — произвольные постоянные.
Однако когда п — целое число, мы видели, что
Jn(z) = (~Y)nJ_n(z),
и следовательно, два решения Jn(z) и 7_п(г) не являются на самом
деле различными, значит, в этом случае, для того чтобы иметь общее
решение, нужно найти другое частное решение дифференциального
уравнения, отличное от Jn (г).
Рассмотрим функцию
Y (z)___2кеппг cos пп ~п
п' ' sin 2пп ’
которая является решением уравнения Бесселя, когда 2п не целое
число. Введение этой функции Y„ (z) принадлежит Ханкелю!).
При целом п функция Nn(z) определяется предельной формой
этого равенства, а именно:
Y (z) = lim 2ке<«+е> -п+е (г) cos (|^+ ея)~ J-n~*(г) =
л ен-0 sln 2 (п + е) л
— lim-т—s— {Л+б(г)(— 1)” — =
sin 2гг. 1 л + п ' 4 ' -п-е\ /I
— lime"1 {Jn+S(z) — (— 1)пЛл_е(г)}.
s->0
') Hanke 1, Math. Ann., I (1869), 472.
210
ГЛ. 17. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Чтобы выразить Nn(z) через функции Wktm, обратимся к резуль-
тату § 17.5, который дает
Y„ (г) = lim [ { J (п+е4) *1Wq> n+5 (2iz) +
е'*° (2хг)2
+e4(--4)v„t,(_2i2)}].
если вспомним, что Wk< т = Wkt _т.
Отсюда, так как1) lim WOiZl+e(2Zz) = Wo,„(2lz), находим
e->0
V„ (z) = n+^ *lW,t n (2iz) 4- e~^ n+^ *WOi „ (- 2iz)} ’
Эта функция (при n целом) будет, очевидно, решением уравнения
Бесселя; она называется функцией Бесселя второго рода.
Вебером (Weber, Math. Ann., VI (1873), 148) и Шлефли (Schiafli,
Ann. di Math. (2), VI (1875), 17) была введена другая функция (также
называемая функцией Бесселя второго рода); она определяется ра-
венством
V (?\ — 7n(-g)cos от—J_„(z) __ ¥п (-г) e°s пл
1 n '*.> : „mi
sin пл тсе
или пределами этих выражений, когда п — целое число.
Эта функция, существующая для всех значений п, принимается
за каноническую функцию второго рода Нильсеном (Nilsen, Hand-
buch der Cylinderfunktionen (Leipzig, 1904)), и формулы, содержащие
ее, обычно (но не всегда) проще, чем соответственные формулы,
содержащие функцию Ханкеля.
Асимптотическое разложение для функции Уn(z), соответствую-
щее разложению § 17.5 для функции Jn(z), при | argz | < it и п целом
имеет вид
2
Уп О) ~ (~)2 [sin (z — 1 nrt — 1 z) Un (z) +
-Feos (z —-1-nir—1 itjy„(z)],
где Un (z) и Vn (z) — асимптотические разложения, определенные
„ , _ _ . 4na — 1
в § 17.5; их главные члены равны соответственно 1 и —.
') Это легче всего видеть из равномерной сходимости относительно е
контурного интеграла Барнса (§ 16.4) для функции Wo, „+, (2iz).
17.61. РЯД ДЛЯ ФУНКЦИИ Уп(г) ПРИ малых Z
211
Пример 1. Доказать, что
dn ( l) dn ’
где п после дифференцирования приравнивается целому числу.
(Hanke)
Пример 2. Показать, что если функция ¥п (г) определяется равенством
примера 1, то она является решением уравнения Бесселя, когда п—целое число.
17.61. Ряд для функции Ул(г) при малых г
Ряд § 17.6 пригоден для вычисления Yn(z), когда | z | велик.
Чтобы получить удобный ряд для малых значений |г|, отметим, что
так как степенные ряды J± (n+e) (*) являются равномерно сходящимися
рядами аналитических функцийг) от е, то, разложив каждый член
по степеням е, можем и полученный двойной ряд расположить по
степеням е (§§ 5.3, 5.4, часть I).
Соответственно этому, чтобы получить Yn(z), следует просумми-
ровать коэффициенты при первых степенях е в членах рядов
1 I , п+2г+г
“ (-D4 2 г)
г! Г (п + е 4-г + 1) — 1)
г«0
/1 \-л+2г-в
г!Г(— п— е-f-г + 1)
Далее, если $ — положительное целое число или нуль, a t — от-
рицательное целое число, то будут иметь место следующие разло-
жения по степеням е:
(I ,л+а+2г . л+2г , /1 \ 1
Н “(I2) {+«'е(-Н+
1 _ 1 Ь ег'($~И) 1
Г(з + « + 1) r(s-f-l) I Г(з+1) ••• ( —
If s \
l-e -T4-2>-*]+ ...
_> __....
где у — постоянная Эйлера (§ 12.1).
‘) Доказательство этого предоставляется читателю.
212
ГЛ. 17. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Соответственно этому, собирая коэффициенты при е, находим, что
и, таким образом,
/ 1 \ п + 2г
V (-1)Г Т *
Yn(* 2) —г!(„ + г)!
г=0
Если п — целое число, то за основные решения1) уравнений Бес-
селя, регулярные вблизи Z — 0, можно принять Jn(z~) и Yn(z) или
Карл Нейман 2) принял за второе решение функцию (z), опре-
деляемую равенством
И») (г) = ± Y„ (г) + Jn (z) (lg 2 - T);
но Yn(z) и Yn(z) более полезны для приложений в физике.
Пример 1. Показать, что Y„ (г) удовлетворяют рекуррентным фор-
мулам
nYn(z) = ^{Y„+i (z) + 7n_I (z)},
г'(г) = 1{Г„_1(г)-Гл+1(г)}.
*) Эйлер дал второе решение (содержащее логарифм) уравнения в част-
ных случаях п = 0, п = 1, Inst. Calc. Int., II (Petersburg, 1769), 187, 233.
2) К. Neumann, Theorie der Bessel’schen Funktionen (Leipzig, 1867), 41.
17.7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ С ЧИСТО МНИМЫМ АРГУМЕНТОМ
213
Показать также, что функции Ханкеля Yn(z) и функции Неймана У'1п)(г)
удовлетворяют тем же самым рекуррентным формулам.
[Эти формулы совпадают с рекуррентными формулами для функций J„ (г).]
Пример 2. Показать, что при | arg г | < «
(г) = J sin (z sin 9 — пб) dO — j" e~z sh 0 {en0 + (—1)" e~ni] M.
0 0
(Schlafli, Math. Ann., Ill)
Пример 3. Показать, что
Г(0> (г) = JQ (г) lg г + 21J2 (z)— ~ (г) + у Л (г)— .. J.
17.7. Функции Бесселя с чисто мнимым аргументом
Функция !)
1„(2) = ГП}п(12-)=^
г=0
/1 \п+2г
(г г)
г! (п + г)!
часто встречается в различных отраслях прикладной математики;
в этих приложениях z обычно положительное.
Нетрудно получить следующие формулы:
(I) (*)-'„+! (*) = -^4^
(II) ^\z4n(z}}=znIn_x(z}.
(П1)
(IV)
^л(г) ,
dz2 '
I
z dz
(1 Н--5-)/л(^)=0.
(V) Если Re + 4) > О’ т0
•гс
/„ (z) =----7Т\~7-------TV / (2 cos ?) sIn2n ?
') Это обозначение было введено Бассетом (Basset, Hydrodynamics, II (1888),
17); в 1886 г. он определил In(z) как inJ„(iz); см. Proc. Camb. Phil. Soc.,
VI (1889), 11.
214
ГЛ. 17. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
(VI) Если —2 it < arg г < у и, то асимптотическое разложение
функции In (z) имеет вид
1+£(_1У
Г=1
{4га2—!2} {4я2—З2}... {4га2—(2г— I)2}
г! 23ггг
(2пг)2
1
(2«)2
{4га2—I2} {4га2—З2} ... {4га2 —(2r—I)2}
г! 23ггг
причем вторым рядом можно пренебречь при | arg z [ < it. Легко
видеть, что эта формула сохраняет силу в более широкой области
3 . . 3 ±(п+1)к/
—у к < arg z < -g- те, если заменить е 4 27 на е 4 27 , причем
верхний или нижний знак берется в зависимости от того, будет ли
argz положительным или отрицательным.
17.71. Модифицированные функции Бесселя второго рода
Если п — положительное целое число или нуль, то l_n (z) — 1п (д);
чтобы получить второе решение модифицированного уравнения Бес-
селя ((IV), § 17.7), определим1) функцию Kn(z) для всех значений п
равенством
г
Кя (2) = (-£) 2 cos л (2*)>
так что
Кл (*) = J11 U-„ (*) — 4 (2)} ctg пк.
') Обозначение Кп (z) введено Бассетом в 1886 г., (Basset) Proc. Camb. Phil.
Soc., VI (1889), 11, для функции, отличающейся от функции, определяемой
сейчас, отсутствием множителя cos лга; обозначение Бассета с тех пор приме-
нялось различными авторами, особенно Макдональдом (Macdonald). Цель
включения множителя заключается в том, чтобы функции 1п (г) и Кп (•?)
удовлетворяли одним и тем же рекуррентным формулам. Позже Бассет (Bas-
set, Hydrodynamics, Il (1888), 19) стал обозначать через Кп (?) несколько
иную функцию, но этому обозначению не последовали другие авторы. Опре-
деление функции Кп Для целых значений га, данное здесь, принадлежит
Грэю и Мэтьюзу (Gray, Mathews, Bessel Factions, 68) и теперь обще-
принято (см. пример 40, стр. 229—230), но соответственное определение для не-
целых значений имеет серьезный недостаток, заключающийся в том, что
функция тождественно равняется нулю, когда 2га — нечетное целое число.
Эта функция рассматривалась Риманом (Riemann, Ann. der Phys., XCV
(1855), 130—139) и Ханкелем (Hankel, Math. Ann., 1 (1869), 498).
17.8. РАЗЛОЖЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
215
Независимо от того, будет ли п целым числом или нет,
эта функция является решением модифицированного дифференциаль-
ного уравнения Бесселя (IV); при | arg z | < it она имеет для боль-
ших значений | z | асимптотическое разложение
1 р СО
L r=1
Когда п — целое число, функция Кп (д) определяется равенством
Кп (2) = lim ~ к {/_л_£ (г) — /п+е (г)} ctg те,
е->0 z
которое дает (ср. § 17.61) ряд, удобный при малых значениях z:
(1 ал+2г
—- £) я+г Т )
''•л W = у 2 +1 у X m 1 ~2^im
r=0 m~l т = 1 J
п—1 _
г=0
Пример. Показать, что Кп(г) удовлетворяет тем же самым рекур-
рентным формулам, что и 1п (г).
17.8. Разложение Неймана аналитической функции в ряд
по коэффициентам Бесселя ’)
Рассмотрим теперь разложение произвольной функции f (z), ана-
литической в области, содержащей начало координат, в ряд по коэф-
фициентам Бесселя:
/ (г) = а/ц (г) 4- ах (д) a2J2 (z) -|- ....
где а0, otj, а2, ... не зависят от z.
Допуская возможность разложений этого типа, рассмотрим сначала раз-
ложение выражения -у—— ; пусть оно будет
z ~ О0 (О Л (,г) + 20] (0 71 (г) Н~2О2 (/) /2 {г) 4- ...,
где функции Оп(0 от z не зависят.
Определим условия, которым должны удовлетворять функции 0„ (t), для
того чтобы ряд справа был равномерно сходящимся рядом аналитических
функций; этими условиями функции Оп (t) будут вполне определены, и тогда
*) К. Neumann, Journ. fiir Math., LXVII (1867), 310; см. также Kap-
teyn, Ann. de I’Ecole norm. sup. (3), X (1893), 106.
216 ГЛ. 17. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
можно будет показать, что если О„ (0 определены именно так, то ряд справа
действительно сходится к сумме при 121 < 1^1-
Так как
pL+jq_L_=0>
\dt dz } t—z ’
то мы имеем
Oq (t) Jo (г) + 2 2 О'п (t) Jn (z) + О0 (0 'о (-0 + 2 2 Оп (t) j'n (z) = О,
п-1 п-1
так что, заменяя 2J„(г) на J 1 (г) — J ... (z), найдем
« ' ' П — 1 ' ' п + 1' '
оо
{О' (0 + о1 (0} 4 (г) + 2 {2О'п (0 + Оп+1 (0- Оп-1 (0} 4 (2) =0.
п~1
Соответственно этому последовательные функции CJ (0, О2 (0,
О3 (0,... определяются рекуррентными формулами
О, (0 = -Оо(0, О„+1 (0 = О„_1 (0- 20; (0,
а положив г = 0в первоначальном разложении, мы увидим, что О0 (0 опре-
деляется равенством
Эти формулы показывают, что Оп (0 будет полиномом степени п отно-
сительно -j-.
Докажем теперь по индукции, что О„ (0, определенная указанным обра-
зом, будет равна
У е ta [ {u + У и2 + 1}" + {и — У и2 4- 1)"] du
о
при ReZ > 0. В самом деле, это выражение, очевидно, равно Оо(0 или (0,
когда п равно 0 или 1 соответственно; далее,
-i-У* e~ta {и ± Уи2 4- 1}" 1 du—J“ е /и {и ±Уи2 + 1}л du =
о о
СО
= е~‘и{и±УйГ+1}П~1 {1+2и2 ±2uV~il2~+l} du==
О
= f e~ta {и ± У и2 4- 1 }”+1 du,
2 О
откуда индукция становится очевидной.
17.81. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО РАЗЛОЖЕНИЯ НЕЙМАНА 217
Положив u = sh 9, мы видим, что соответственно тому, будет ли п чет-
ным или нечетным ’),
-1 [(« + + {и-/z^+Т}"] = SCJ «9 =
_ 9«-1 J Sh" в 4- "С”"1) Sh«-20 4- n(w~ 0(»-2)(n—3) , п-4„ , 1
“ Г + 2(2п—2) + 2 4 (2п—2) (2п—4) sh
а отсюда при Re t > 0 имеем после интегрирования
Q (t)== J 1 -|________-______I________-__________U I •
" tn+1 I 2(2n—2) 2 • 4 (2n —2) (2n — 4)
ряд заканчивается членом c tn или /"-1; теперь, будет ли Re / положительна
или нет, Оп (/) определена как полином относительно -j-, и таким образом,
разложение, полученное для Оп (/), равняется значению Оп (/) для всех зна-
чений /.
Пример. Показать, что для всех значений /
°п <0 = ^г f е-Ч{х + У^+^}П + {х-У^+^]П]ах,
о
и убедиться в том, что выражение справа удовлетворяет рекуррентным фор-
мулам для Оп (/).
§ 17.81. Доказательство разложения Неймана
Метод § 17.8 позволяет лишь определить коэффициенты в разло-
жении Неймана функции в предположении, что разложение это
существует и что произведенные операции законны.
Для доказательства справедливости этого разложения отметим,
что
М \"
I о Zl 2я-1nl
•ш=Ц/-{1+и ол(о=^Ч1+<рл}.
где 9Я -> 0, фп -> 0, когда /т->оо, при фиксированных z и /. Поэтому
ряд
со
О0 (0 -/о (*) + 2 2 О„ (/) Jn (z) = F (z, /)
П = 1
сравним
^п+1 ’ а
с геометрической прогрессией, общий член которой равен
эта прогрессия абсолютно сходится при |г|<|/|. Таким
') Hobson, Plane Trigonometry (1918), §§ 79, 264.
218
ГЛ. 17. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
образом, разложение для F(z, t) абсолютно сходится (§ 2.34, часть I)
при тех же условиях.
Точно так же, если |z| 4г, где г < R, то рассматри-
ваемый ряд сравним с геометрической прогрессией, общий член ко-
торой равен
гп
Rn+' '
и таким образом, разложение для F(z, t) будет
равномерно сходящимся во всей области |z |4г и \t\^R по § 3.34
части I. Отсюда, согласно § 5.3 части I, следует, что почленные
дифференцирования допустимы, и мы получаем
(4+^W <>=
ОО ОО
= Оо (О Jo (г) + 2 О;г(0 4 (г) 4- О0 (О j'o (z) 4- 2^ О„ (/) j'n (z) =
Л=1 /1=1
оо
= {Оо (0 + Oj (/)} 4 (Z) 4- 2 {20; (04- Ол+1 (О - Ол-i (0} 4 (г) = О
Л = 1
на основании рекуррентных формул.
Из
вытекает, что F(z, t) может быть выражена как функция t — z, а из
F(0, 0=О0(0 = у
следует, что
F(2.0 = j4.
Итак, доказано, что
ОО
= °о (0 -4 (*) + 2 2 Оп (0 4 (z)
Л = 1
при условии \z | < |/|.
Следовательно, если f (z) — аналитическая функция при | z | г,
то имеем при |z|<r (§ 4.7, часть I)
f
co
= Jo (г)/(0)4-2^ f On(t)f(t)dt.
n = l
17.82. разложение шлемильха
219
где путем интегрирования служит окружность 111 = г; этим и уста-
навливается справедливость разложения Неймана, когда |д|<г,
а / (д)—аналитическая функция при | z | г.
Пример 1. Показать, что
cos z (z) — 2J2 (z) + 2J4 (z) —
sin z = (z) — 2J3 (z) + 2J5 (z) — ..
(K. Neumann)
Пример 2. Показать, что
r = 0
(К. Neumann)
Пример 3. Показать, что при | z | < ИI
со со 00
Л=1 л= — оо О
= У -^у- 2 Jn W + К*2-М2Г dx = у f exp x^dx = ^-L-.
О л= -со О
(Kapteyn)
17.82. Разложение Шлёмильха произвольной функции
по функциям Бесселя нулевого порядка
Шлёмильх ’) дал разложение совершенно другого характера, чем разло-
жение Неймана. Его результат может быть выражен следующим образом.
Любая функция f(x), имеющая непрерывную производную с ограни-
ченной вариацией при всех значениях х в замкнутом промежутке (0, тс)
может быть разложена в ряд
f(x) = а0 + a, Jo (х) 4- a2Ja (2х) ф- ...,
сходящийся в этом промежутке, причем
1
я 2
д0 = f (0) ф- у У и У /' (и sin 6) dt) du,
о о
1
я 2 “
ап = у У и cos пи J’ f (и sin 0) d6 du (n > 0).
о о
‘) S c h 1 6 m i 1 c h, Zs. Mr Math, und Phys., Il (1857), 137—165. Cm. Chap-
щапп, Quarterly Journ., XLII1 (1912), 34—37.
220
ГЛ. 17. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Доказательство Шлёмильха, по существу, заключается в следующем. Пусть
F (х) — непрерывное решение интегрального уравнения
1
2 “
f(x) = Р (х sin <р)
о
Тогда (§ 11.81, часть I)
1
2 "
F (х) = /(0) 4- х J" f'(x sin 6) М.
о
Для того чтобы получить разложение Шлёмильха, нужно только приме-
нить теорему Фурье к функции F (х sin <j). Таким образом, получим
1
2 “
d?
du 4-
cos пи cos (пх sin <р) F (и) du
cos nuF (и) Ja (nx) du,
так как перестановка суммирования и интегрирования допустима согласно
§§ 4.7 и 9.44 части I. В этом равенстве заменим Д(и) ее выражением
через f(u). Тогда найдем
1
2 ”
/(0)4~и У /'(и sin 6) <26
6
du
00
п = 1
TV
У cos пи
о
1
2*
/(0)4- и j" /'(usinfi)rf6
о
du,
а это и дает разложение Шлёмильха.
Пример. Показать, что при 0<х<л сумма ряда
л2 ( 1 1 т
-4---21 Jq (х) 4- -g- Jo (Зх) 4- Jо (5х) 4- • • • ।
равна х, но что при п<х<2п эта сумма равна
х 4-2~ arccos (пх-1) — 2Ух2— п2,
7С
где arccos (пх-1) берется между 0 и
О
Найти сумму того же ряда, когда х лежит между 2п и Зп.
(Math. Trip., 1895)
ЛИТЕРАТУРА
221
17.9. Составление таблиц функций Бесселя
Ганзен (Hansen) применял для вычисления таблиц функций Jn (х), кото-
рые приведены Ломмелем (Lommel) в «Studien fiber die Bessel’schen Funk-
tionen», асимптотическое разложение (§ 17.5).
Мейсель (Meissel) составил таблицы JQ (х) и J\ (х) с 12 десятичными
знаками от л=0 до х — 15,5 (Abh. der Akad. zu Berlin (1888)). British
Assoc. Report (1909), 33, содержит таблицы, по которым Jn (х) и Yn (х) мо-
гут быть вычисляемы при х > 10.
Таблицы функций J А (х), J 2 (х), J j (х), J 2 (х) даны Дынником (Din-
s’ "з —з
nik, Archiv der Math, und Phys., XVIII (1911), 337).
Таблицы для второго решения уравнения Бесселя даны следующими
авторами: Смитом (В. A. Smith), Messenger, XXVI (1897), 98; Phil. Mag. (5),
XLV (1898), 106; Олдисом (Aldis), Proc. Royal Soc., LXVI (1900), 32; Эйри
(Airey), Phil. Mag. (6), XXII (1911), 658.
Для функций In (x) составлены таблицы в British Assoc. Reports: (1889),
28; (1893), 223; (1896), 98; (1907), 94, а также Олдисом (Aldis), Proc. Royal
Soc., LXIV (1899); Ишервудом (Isherwood), Proc. Manchester Lit. and Phil.
Soc., XLVIII (1904) и Андингом (Anding) Sechsstellige Tafeln des Bessel’schen
Funktionen imaginaren Argumentes (Leipzig, 1911).
Таблицы функции Jn(xV\ )> применяемой в теории переменных токов
в проводниках, даны в British Assoc. Reports, 1889, 1893, 1896 и 1912; Кель-
вином (Kelvin), Math, and Phys. Papers, III, 493; Олдисом (Aldis), Proc. Royal
Soc., LXVI (1900), 32 и Сэвиджем (Savidge), Phil. Mag. (6), XIX (1910), 49.
Формулы для вычисления нулей функции Ja (z) были даны Стоксом
(Stokes), Camb. Phil. Trans., IX, a 40 первых нулей были табулированы Уил-
соном и Пирсом (Willson, Peirce), Bull. American Math. Soc., Ill (1897), 153.
Корни одного уравнения, содержащего функции Бесселя, были вычислены
Калэне (Kalahne), Zeitschrift fur Math, und Phys., LIV (1907), 55.
Несколько других таблиц, связанных с функциями Бесселя, даны в Bri-
tish Assoc. Reports, 1910—1914, а также у Янке и Эмде (Янке Е. и Эмде Ф.,
Таблицы функций с формулами и кривыми, Физматгиз, 1959).
ЛИТЕРАТУРА
R. Lipschitz, Journ. fiir Math., LVI (1859), 189—196.
H. H a n k e 1, Math. Ann., I (1869), 467—501.
K. Neumann, Theorie der Bessel’schen Funktionen (Leipzig, 1867).
E. Lommel, Studien fiber die Bessel’schen Funktionen (Leipzig, 1868). Math.
Ann., Ill, IV.
H. E. Heine, Handbuch der Kugelfunktionen (Berlin, 1878).
R. О 1 b r i c h t, Studien fiber die Kugel-und Cylinder-funktionen (Halle, 1887).
A. Sommerfeld, Math. Ann., XLVII (1896), 317—374.
N. Nielsen, Handbuch der Theorie der Cylinderfunktionen (Leipzig, 1904).
A. Gray and G. B. Mathews, A Treatise on Bessel Functions (London, 1895).
Русский перевод co второго издания: Э. Грей и Г. Б. М э т ь ю з, Функ-
ции Бесселя и их приложения к физике-и механике, ИЛ, 1953.
J. W. Nicholson, Quarterly Journ., XLII (1911), 216—224.
G. N. Watson, Theory of Bessel Functions (Cambridge, 1922).
Русский перевод co второго издания: Г. H. Ватсон, Теория бесселе-
вых функций, ИЛ, 1949.
Р. О. Кузьмин, Бесселевы функции (ОНТИ, 1935).
Н. Н. Лебедев, Специальные функции и их приложения (Гостехиздат, 1953).
В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. III, ч. 2 (Гостехиздат, 1956)»
222
ГЛ. 17. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Примеры
1. Показать, что
cos (г sin 0) = Ja (г) -f- 2J2 (г) cos 20 -|- 2J4 (г) cos 46 -f- ,. „
sin (г sin 0) = 2Jt (г) sin 0 -f- 2J3 (г) sin 30 -f- 2/6 (г) sin 56 4- ...
(K. Neumann)
2. Разлагая обе части равенств примера 1 по степеням sin 0, выразить гп
в виде ряда по коэффициентам Бесселя.
3. Перемножая разложения для
ехР z(t — у)} и ехр| —
и собирая члены, не зависящие от t, показать, что
{J0(г)}^4-2{J1(г)}^4-2{/2(^)}г4-2{Л(г)}^4- ... =1.
Вывести отсюда, что для функции Бесселя целого порядка
14(г)1<1. |/„(г)|<2'2 (п>1),
когда z вещественно,
тс
4. Показать, что если (г) = -i- j* 2ft cosft и cos (mu— z sin «) du (эта
о
функция приводится к функции Бесселя целого порядка, когда k—нуль,
a zn — целое число), то
ОО
(г) = S /Л ("Т ^-т, р<
р = 0
где Н..т<к'Р—«число Коши», определяемое равенством
тс
N-m>k,p = -^ У* e~miu(eiu-\-e-iu)k(eia—e-ia)Pdu.
—It
Показать, далее, что
4w=4:‘iW+4;’(4
^+2 (г) = 2mJkm+l (г)- 2 (k + 1) (г) - , (г)|.
(Bourget, Journ. de Math. (2), VI)
5. Показать, что если v и М связаны уравнениями
Е . г, cos£ — е
М=яЕ — е sin Е, cos v — =---=.
1 — е cos Е *
где
Н < I.
то
1 °о со
V =444-2(1— е2)2 2 2 (т*) Jm(me') sia тМ>
т «1 k ш О
где (z) определяется, как в примере 4.
(Bourget)
ПРИМЕРЫ
223
6. Доказать, что если т и п — целые числа, то
ст ( - д 1
Л? (cos 6) = -Д Jm | (х* + У1 2)2 -57 j Л
где z = г cos 0, х2 + у2 — г2 sin20, а с„ не зависит от г.
(Math. Trip., 1893)
7. Показать, что решением дифференциального уравнения
d'ly
~dz*
«?' dy
ij> dz~
1 Ai'lLliX'ulA®
2 dz \ <p / 4 \ ф' / ‘ 2 dz \ ф' /
где <f и ф — произвольные функции z, будет
у = (-^)7ММФ) + в./_Лф)}.
8. Показать, что
J1 (х) + Л (х) + 4 (х) +
9. Показать что
{Л(0 + Л(0}^-1
(Trinity, 1908)
4(г) Д (2) = ^
л=0
/ 1 \р.+*+2л
(-l)«r(p + v + 2n + l)(-g-^
/г!Г(р+п4-1)Г(\ + /г + 1)Г(р. + \4-/г+1)
для всех значений р и м.
(Schlafli, Math. Ann., Ill (1871), 142 и Шёнгольцер (Schonholzer), Бернская
диссертация, 1877).
10. Показать, что если п — положительное целое число и т 2п + 1 по-
ложительно, то
(™— D J xmJn+i (*) 4-i (х) dx = хт+' {Jn+] (л) /„_i (х) — J2 (х)} +
о
X
+ (m + l)f xmJ2n(x)dx.
о
(Math. Trip., 1899)
11. Показать, что
Л(^) + 3^^- + 4^^- = 0.
224
ГЛ. 17. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
12. Показать, что
2
1 (L V /1 V
Jn+i И 2 г U г) \2 г)
J n(z) п 4~ 1 — п -|- 2 — л 3
— разложение в непрерывную дробь.
Показать, что
J_„ (г) (г) +/_я+1 (г) Jn (г) =
13.
14.
15.
J fe)
Пусть Qn(z) обозначает - AtJ-A 7 показать, что
\2)
Показать, что при R2 = г2 4~ г2 — 2rrx cos 0 и г, > г > О
(Lommel)
А (Л) — J$(r) Ja(rv) -\-2 У, Jn (r) -f п(гд cos
Го (Я) = 70 О') Мп) 4-2 У, Jn (г) Гя(г,) cos лО.
л = 1
(К. Neumann)
16.
Показать, что при Re
2 “
У J2n(2zcos 0) d0 (Уя(г)}2.
о
(К. Neumann)
17. Показать, как выразить z2nJ2n(z) в форме AJ2(z) BJ0(z), где А
и В — полиномы от z, и доказать, что
2 1 11
J4(62) + 3Jo(62) = 0, 3J6 (302) + 5J2 (302) = 0.
(Math. Trip., 1896)
18. Показать, что при а=£3 и п > — 1
X
(а2 З2) J* xJn (aJC) А (?-*•) dx — х Jn (ах) Jn (t3x) Jn (рх) Jn (ах) |,
О
X
2«2 f X {Jn W}2 dx = (а*х2- И2) {Jn (ах)}2 + ] х A Jn {аХ) Г.
19. Доказать, что если п > — 1 и Jn (а) = Jn (Р) = 0 при а#=р, то
1 1
xJn (ах) Jn (?х) dx = 0 и х (J„(ax)}2dx = y {Уя+1 (а)}2,
о о
ПРИМЕРЫ
225
Отсюда вывести, что при п > — 1 все корни уравнения Jn (х) — 0, отлич-
ные от нуля, вещественны и различны.
[Допустив, что а комплексное, принять за р сопряженное комплексное
число].
(Lommel, Studien fiber die
Bessel’schen Funktionen, 69)
20. Пусть функция x2 f (x) абсолютно интегрируема в промежутке
0<х<1; пусть Н—вещественная постоянная, и пусть п>0. Показать, что
если kx, k2,... — положительные корни уравнения
k-n{kj'n(k) + HJn(k)}^0,
то в любой точке х промежутка 0<х< 1, в которой f(x) удовлетворяет
одному из условий § 9.43 части I, f(x) может быть разложена в ряд;
/(х) = 2 ArJn{krx),
Г=1
где
Г 1 I-1 1
Ar = J" х {Jn (krx)}2 dx J" xf(x) Jn (krx) dx.
о о
В частном случае, когда Н ——п, следует считать k> равным нулю;
уравнение, определяющее klt k2,..., будет Jn+l(k) — Q, а первый член раз-
ложения будет Аох", где
А = (2п + 2) У x"+I f(x) dx.
о
Рассмотреть, в частности, случай, когда Н бесконечно, так что Jn(k) =0,
и показать, что тогда
1
А = 2 {Jn+1 (йг)}_2у xf(x)Jn(krx) dx.
о
[Этот результат принадлежит Гобсону (Hobson), Proc. London Math.
Soc. (2), VII (1909), 349; см. также W. H. Young, Proc. London Math. Soc. (2),
XVIII (1920), 163—200. Формальное разложение при H бесконечном (когда
п = 0) было дано Фурье и (для любых значений п) Ломмелем; доказательства
были даны Ханкелем и Шлефли. Формула при Н——п была дана Дини
(Dini, Serie di Fourier (Pisa, 1880)) с ошибкой: член Aaxn отпечатан как Ao,
и эта ошибка не была исправлена Нильсеном. См. Bridgeman, Phil. Mag.,
(6), XVI (1908), 947 и Chree, Phil. Mag., (6), XVII (1909), 330. Рассматривае-
мое разложение обычно называется разложением Фурье — Бесселя].
21. Доказать, что если разложение
а2 — х1 = Ai Jo (Xjx) + АЛ (Л*) + • •
имеет место, как равномерно сходящийся ряд при — а<х<а, где
Л, Л, ... — положительные корни уравнения Jo (7а) = 0, то
А, = 8 [aXpj (7„а)} *.
(Clare, 1900)
8 Э. Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон
226
ГЛ. 17 ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
22. Если kt, k2,...— положительные корни уравнения /„(£«)= О и если
хп+2^^А^п(кгх),
Г — 1
причем этот ряд равномерно сходится при то
Аг = (4П + 4~^г)/~п^га)-
(Math. Trip., 1906)
23. Показать, что
1
2 ’
Jn W =-------т----------- / Jm (х sin 9) cos2n-2rn-1 0 sinm+1 0 М,
Г(„—m) J
когда п > т > — 1.
(Сонин, Math. Ann., XVI)
24. Показать, что при а > О
У COS (^ — nt) dt = | J 1 G°Vз"2) + J J Ga"2/З2 ) .
(Nicholson, Phil. Mag. (6), XVIII (1909), 6)
25. При целом положительном т и и > 0 вывести из интеграла Бесселя
формулу
ОО
J* e_-rsil“ jm (х) dx — е~ти sech и.
о
(Math. Trip., 1904)
26. Доказать, что при х > 0
со со
Jo (х) = j' sin (х ch t) dt, Yo (x) = — j* cos (x ch t) dt.
о 6
[Считать, что контур § 17.1 состоит из отрезка мнимой оси с вырезом
в начале координат и из полуокружности слева от мнимой оси с центром
в начале.]
(Сонин, Math. Ann., XVI)
27. Показать, что
С° J
г ,, < а • , 4 я- о < / < 1,
/ х~1 Ja (xt) sin х dx = 2
o tare cosec Л t > 1,
и
f* x~'Ji (xt) sin x dx = ] * '1 (1 1 0<(<l,
/ U'1. t>i.
(Weber, Journ. fur Math., LXXV)
ПРИМЕРЫ
227
28. Показать, что интеграл
и = J enr cos 9 {А + В 1g (г sin2 0)} М
о
является решением уравнения
(Poisson, Journ. de 1’Ecole polytechnique, XII (1823), 476; см. также Sto-
kes, Camb. Phyl. Trans., IX (1856), 38)
29. Доказать, что не существует соотношения вида
к
2 NsJn+s (-*•)= о
5“0
для рациональных значений Ns, п и х, за исключением таких, которые удо-
влетворяются, когда функции Бесселя заменяются произвольными решениями
рекуррентного соотношения § 17.21 (А).
(Math. Trip., 1901)
[^Выразить левую часть через функции /п(х) и Jn+i (х) и показать при
помощи примера 12, что —будет иррациональным, когда п и х ра-
циональны.^
30. Доказать, что при Re п > —
1
/' d2 \п“7
Здесь 11 -f- I обозначает оператор
1 ( 1\/ 3\
, п 2 d2 , 2/Г г) ,
+ 1! dz2 + 2! dz* + •••
Для доказательства принять во внимание, что
1 -1
^- = I* ieizt dt.
СО I
(Hargreave, Phil. Trans. (1848); Macdonald, Proc. London Math. Soc., XXIX)
8*
228
ГЛ. 17. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
31. Показать, что при Re \гп + > 0 имеет место равенство
2 "
Jm (з sin 6) sinm+1 0 rfO == г
о
2/ j (г).
m+r
32. Показать, что при 2п-}-1 > т> — 1
(Hobson)
х n+mJn(ax) dx = 2 п+тап т 1
(Weber, Journ. fiir
33. Показать, что
Math., LXIX; Math. Trip., 1898)
р=0
' 1 (*) I2
Р+2 f
34. В уравнении
d2y
"dz2
'2\
Н? = °
(Lommel)
о
г
п вещественно; показать,
функция
ОО
cos (п lg г) — V .
т = \
что одним из решений этого уравнения будет
(—l)mг1”1 cos (ит — n\gz)
2 1 1’
22mm! (1 + я2)2 (4 + п2)2 ... (/п2 + п2)2
где ит
т
, V , / П \
обозначает сумму /. arctg (—).
\ /* /
(Math. Trip., 1894)
35. Показать, что при п большом и положительном
_2 _1 -1
J„(n) = 2 З3 3+о(п->).
(Cauchy, Comptes Rendus, XXXVIII (1854),
993; Nicholson, Phil. Mag. (6), XVI (1908), 276)
36. Показать, что
OO
/<oW= f
0
(Mehler, Journ. fiir Math., LXVIII)
ПРИМЕРЫ
229
37. Показать, что
е,. cos е = 2Л-1Г (л) 2 (п + К) Спк (cos 6) \~nIn+k (X).
* = 0
(Math. Trip., 1900)
38. Показать, что если
W — f Jm (ах) Jm (bx) Jm (ex) x^m dx,
о
где a, b, c — положительные, a m — положительное целое число или нуль, то
W = 0 при (а — Ь)2 > с2,
1
a~mb~mc~m I VT VI }т—9
W =-----) 2 2j Ь2с2— X а* ! 2 при (a-hi)2 > с2 > (а—Ь)2
23m-17t2r (т
W = 0 при (а + Ь)2 > с2.
(Сонин, Math. Ann., XVI)
39. Показать, что если п> — 1, т> —и
W = J Jn (ах) Jn (bx) Jm (ex) х'~т dx,
о
где а, Ь, с положительны, то
W = 0 при (а—Ь)2 > с2,
1Г=(2к) 2am'1bm~1c''m(l-r~p.2)T(2m %2 ^(fi)
rt""2
при (а Ь)2 > с2 > (а— Ь)2,
W = (1 a^b^c-- - if(2m-I) q77(M
при с2 > (а 4- Ь)2,
где
а2±Ь2 — с2
(Macdonald, Proc. London Math. Soc. (2), VII)
40. Показать, что при Re 4- у) > 0
ТС
zm Г
Im (г) =-----7----гт—Т-ГТ- / ch (z cos <р) sin2m d!f
2mr(« + y)r(i)o
230
ГЛ. 17. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
и при | arg г | < -g-71
гтГ cos т~ г
Km (z) =------- ' ..... — е~ г ch f sh2m <р rf?.
2"4'(m + y) J
Доказать также, что
/<от (г) = л 2 2mzmT [т + -0 cos тт. [" (и2 + г2) 2 cos и du.
о
(Math. Trip., 1898; Basset,
Proc. Camb. Phil. Soc., VI)
[Первый интеграл может быть получен разложением по степеням г и
почленным интегрированием полученного ряда. Чтобы получить второй
интеграл, рассмотрим выражение
(И-.-1+)
zm I e-zt(i2— 1) 2 dt,
где в исходном положении arg (t—1) = arg (t -|- 1) = 0; возьмем |f|> 1 на
i
контуре, разложим (t2—1) в ряд по убывающим степеням t и проинте-
грируем почленно. В результате получим
2ie2mrd sin (2ил) Г (2т) 2~тТ (1 — и) Г_т (г).
При стягивании же контура интеграл принимает вид
1 _ j
^2—j) 2 dt-\-2ie2,mKi cos mit § e~zt (I—/2) 2 dt;
1 -1
поэтому
. 00 1 1
I-m (*) - Im (*) = 2f e~Zt “ 1)Я! 2 dt-
rO(-+2)i J 41
2ie2"vazm sin 2m~ f
41. Показать, что On (z) удовлетворяет дифференциальному уравнению
d2On (z)
dz2
n2—\
z2
I On (z) = gn,
2 d°n (*) ,
z dz '
где gn — 3’-' (когда n четное), gn — nz~2 (когда n нечетное).
(К. Neumann)
42. Считая f(z) аналитической функцией в кольце, ограниченном окруж-
ностями с, С с центрами в начале, получить разложение
/ (г) == ~2 a0dt> (Z) + ald 1 (г) + а2^2 (z) + • • •
• •• + -% ЗоОо (г) + (г) + РгОа (г) + •••>
ПРИМЕРЫ
231
где
»Л = 4- У /(0 Оп (о dt, ₽„ = 4- /*/(О А (О <«-
С с
(К. Neumann)
43. Показать, что при положительных х и у
Г е~?х e~ir
J -j-JQ(ky)kdk^-^,
о
где г — Ух2 + у2 и р = 4-)^А2 — 1 или I УI — k2, смотря по тому,
будет ли k > 1 или k < 1.
(Math. Trip., 1905)
44. Показать, что при известных ограничениях, налагаемых на число п
и на вид функции f(x), справедлива формула
/(х) = J 4 (tx) t j f(x') Jn (tx') x' dx' I dt.
о io j
[Доказательство этой важной теоремы и исторические сведения о ней
можно найти у Нильсена (Nielsen, Cylinderfunktionen, 360—363). Эта фор-
мула принадлежит Ханкелю, но (по аналогии с результатом § 9.7 части I)
ее часто называют интегралом Фурье — Бесселя.}
45. Показать, что если С — какой-нибудь замкнутый контур и т,
п—целые числа, то всегда имеют место равенства
J" Jm (г) Jп (г)
С
dt^f Om(z)On(z)
С
J* Jm (г) О„ (г) dz = 0,
С
кроме случая, когда начало координат лежит внутри контура С и т — п;
в этом последнем случае первые два интеграла все еще остаются равными
нулю, третий же будет равен w (или 2itZ, если т = 0), если С обходит
начало координат один раз в направлении против часовой стрелки.
(К. Neumann)
46. Показать, что если принять обозначение
(~1)р а
“ЯТТ ~ 4- 9
и если п—положительное целое число, то
п
Z 2п = 2 ап-т> п+т—1^2т-1 (г)>
т = 1
а
п-1
^П = ал-1,л-А(г)'1'2 2 n+m-fiim (г’)-
т=Л
(К. Neumann)
232
ГЛ. 17. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
47. Обозначив
у 22т (и!)2 и2 {п2 — I2} {п2 —22} ... (и2— (и — I)2}
2mi y2m+2
доказать справедливость равенства
(у2-х2)-1 = 2о (у) {Л(х)}2 + 2 2 Й„(у) {/„(х)}2
Л=1
когда ряд в правой части сходится.
(К. Neumann, Math. Ann., HI)
48. Показать, что при с > 0, Re п > — 1 и Re (а ± Ь)2 > О
С+ оо I
У Z-1exp^---------' }/n
(Macdonald, Proc. London Math. Soc., XXXII)
49. Исходя из примера 48 или каким-либо другим образом дока-
зать, что
1 ( 1 )
-7Г« 2 п I
(а? + Ь*—2аЬ cos 0) 2 Jn Ца2 + b2 — 2ab cos 0)2 f =
= 2”Г (п) ^(т + п) a~nb~nJm+n (a) Jm+n (b) Спт (cos 0).
m = 0
(Oegenbauer, Wiener Sitzungsberichte, LXIX, LXXIV)
50. Показать, что функция
У = J 4 (О 4 (^) t*~J dt
c
удовлетворяет уравнению
rf2y I fl J_ k 11 , (k2_ m2 > У _ 0
dz2 +U Z— M dz +r + z)4z(z — 1)
при условии, что выражение
МЧт (t) Jn (tz1) - t*+Vm (Z) Jn (tz^) + z^tk+xJm (t) Jn {tz1)
принимает первоначальное значение после обхода контура.
Вывести отсюда, что при 0 < z < 1
1 1 I't-1’
/ 4-a(OA-i (z*2) Za4P-lrrfZ =---------------------F(a, ₽; 7; z).
J 2Т-“-₽Г(1-₽)Г(7) ' Ъ ’
(Schafheitlin, Math. Ann., XXX; Math. Trip., 1903)
ГЛАВА 18
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
18.1. Дифференциальные уравнения математической физики
Функции, рассмотренные в предыдущих главах, имеют большое
значение в приложениях математики к вопросам физики. Подобные
приложения не входят в задачи настоящей книги, но большинство
из них существенно основано на том, что при помощи этих функ-
ций можно составить решения определенных дифференциальных урав-
нений с частными производными. Наиболее важными из таких диф-
ференциальных уравнений являются следующие.
(I) Уравнение Лапласа
d2V д2У । д2У _п
дх2 ' ду2 + dz2
которое впервые встречается в мемуаре ') о кольцах Сатурна.
Если (х, у, г) — прямоугольные координаты какой-либо точки в про-
странстве, то этому уравнению удовлетворяют следующие функции, встре-
чающиеся в различных областях математической физцки:
(I) потенциал тяготения в областях, не занятых притягивающей
материей;
(II) электростатический потенциал в однородном диэлектрике, рассма-
триваемый в электростатике;
(III) магнитный потенциал в свободном эфире, встречающийся в магнето-
статике;
(IV) электрический потенциал в теории установившихся электрических
токов в трехмерных проводниках;
(V) температура в теории теплового равновесия тел;
(VI) потенциал скоростей безвихревого движения однородной жидкости,
рассматриваемый в гидродинамике.
Несмотря на физическое различие этих теорий, математическое иссле-
дование всех их почти одинаково: так, например, задача теплового равно-
весия тела, когда точки его поверхности поддерживаются при заданных тем-
пературах, математически тождественна проблеме определения электри-
ческого напряжения в области, когда точки границы этой области под-
держиваются при заданных потенциалах.
') Mem. de 1’Acad. des Sciences, 1787 (опубликовано в 1789 г.), 252.
234 ГЛ. 18. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ физики
(II) Волновое уравнение
. д*у — 1 дзу
дх2 ' ду2 ' dz2 с2 dt2
Это уравнение встречается главным образом в исследованиях волно-
образного возмущения, распространяющегося со скоростью с, не зависящей
от длины волны. Например, в теории электрических волн и в электромаг-
нитной теории света рассматриваемому уравнению удовлетворяет каждая
компонента электрического или магнитного вектора; в теории, упругих
колебаний этому уравнению удовлетворяет каждая компонента смещения;
наконец, в акустике волновому уравнению удовлетворяет потенциал скоро-
стей в идеальном газе.
(III) Уравнение теплопроводности
dW_ , d^V_ , _ 1 dV
дх2 ду2 ' dz2 k dt '
Этому уравнению удовлетворяет температура в точке однородного изо-
тропного тела; постоянная k пропорциональна его теплопроводности и
обратно пропорциональна теплоемкости и плотности.
(IV) Частным случаем предыдущего уравнения (II), когда
отсутствует переменная г, является уравнение
д2У д2У _ \ д2У
дх2 ду2 с2 dt2
Этому уравнению удовлетворяет смещение в теории поперечных колеба-
ний мембраны; оно встречается и в теории волнового движения в двумер-
ном пространстве.
(V) Телеграфное уравнение
dW I КВдУ - д2У
LK dt2 dt ~ dx2 ’
Этому уравнению удовлетворяет потенциал в телеграфном кабеле, когда
принимается во внимание индуктивность L, емкость К и сопротивление R
на единицу длины.
Было бы невозможно в пределах этой главы претендовать на
исчерпывающий обзор теории этих и других дифференциальных урав-
нений математической физики; но, рассматривая избранные типичные
случаи, мы разъясним некоторые из наиболее употребительных мето-
дов решения этих уравнений, уделяя особое внимание применению
трансцендентных функций.
18.2. Граничные условия
Весьма часто возникает задача нахождения для одного из урав-
нений § 18.1 такого решения, которое подчиняется определенным
граничным условиям. Так, мы можем пожелать найти температуру
в какой-нибудь точке внутри однородного изотропного проводящего
18.2. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
235
тепло тела, находящегося в тепловом равновесии, когда точки поверх-
ности тела поддерживаются при заданных температурах. Эта задача сво-
дится к нахождению решения уравнения Лапласа в точках внутри
заданной поверхности, когда заданы значения решения в точках на
поверхности.
Более сложная задача подобного характера встречается при рас-
смотрении малых колебаний жидкости в сосуде, подверженной атмо-
сферному давлению. Действительно, в этой проблеме нам заданы
потенциал скоростей в точках свободной поверхности и нормальная
производная потенциала скоростей в точках соприкосновения жидкости
с сосудом.
Характер граничных условий, необходимых для единственности
решения, весьма сильно изменяется в зависимости от формы рас-
сматриваемого дифференциального уравнения, даже в случае урав-
нений, которые на первый взгляд весьма похожи друг на друга.
Так, решение уравнения
d2V d2V
дх2 ду2
(которое встречается в задаче теплового равновесия для цилиндра)
определяется однозначно в точках внутри замкнутой кривой в пло-
скости ху по значению функции V в точках кривой. Но в случае
уравнения
d2V 1 d2V _ „
дх2 с2 dt2
(которое отличается от прежнего собственно только изменением
знака), встречающегося в вопросе о поперечных колебаниях натянутой
струны, где V обозначает смещение в момент t точки, находящейся
на расстоянии х от начала струны, физически ясно, что решение
однозначно определено только в том случае, когда для всех значе-
ний х из промежутка 0 х I (I означает длину струны) при t = О
dV
заданы и к, и
Физическая интуиция обычно подсказывает характер граничных
условий, необходимых для единственности решения дифференциаль-
ного уравнения. Теоремы же существования, которые необходимы
с точки зрения чистой математики, обычно очень утомительны и
трудны ').
’) См., например, Forsyth, Theory of Functions (1918), §§ 216—220,
где рассматривается задача, кажущаяся довольно простой.
236 ГЛ. 18. УРАВНЕНИЯ математической физики
• 18.3. Общее решение уравнения Лапласа1)
Общее решение уравнения Лапласа можно построить в виде опре-
деленного интеграла. Это решение может быть применено для реше-
ния различных задач, в которые входят граничные условия.
Пусть V (х, у, z) есть решение уравнения Лапласа, допускающее
разложение в степенной ряд с тремя переменными, годное в точках
(х, у, z), достаточно близких к данной точке (х0, у0, с0).
Положим
х = х0 + А’, у = у04-Г, z = Zq-\-Z,
и пусть это разложение имеет вид
V = а0 -4- агХ + bxY + cxZ + а2№ + V2 + +
+ 2d2YZ-\-2e2ZX-ir‘2f2XY^- ....
причем предположим, что ряд абсолютно сходится, когда
|X|2-|-|r|2+|Z|2<fl,
где а — некоторая положительная постоянная2). Если это разло-
жение имеет место, то говорят, что функция V — аналитическая
в точке (х0, у0, z0). Методами §§ 3.7, 4.7 части I можно доказать,
что этот ряд будет равномерно сходящимся во всей указанной области
и может быть почленно дифференцируем по X, Y, Z любое число
раз в точках внутри области.
Если подставить это разложение в уравнение Лапласа, которое
можно написать в виде
d2V d2V д2У _n
дХ2 ' dY2 ' dZ2 ~U’
и приравнять нулю (§ 3.73, часть I) коэффициенты членов различ-
ных степеней относительно X, Y и Z, то мы получим бесконечное
число линейных соотношений между коэффициентами, как, например,
а2 ^2 С2 ~ О'
Таких соотношений между (п -ф- 2) (и -ф- 1) коэффициентами при
членах степени п в разложении функции V будет —I)3 *), так
‘) Whittaker, Math. Ann., LVII (1902), 333.
2) Функции, встречающиеся в приложениях, удовлетворяют этому
условию.
3) Если аг s t (где г -f- s ф-1 = и) есть коэффициент при ATrK'sZ< в раз-
„ „ д2У , д2У , д2У
ложении У и если члены степени п—2 в Расположены
в группы по степеням X и в каждой группе по степеням Y, то коэффи-
циент а,., s, t не встретится ни в одном члене, следующем за Xr~2YsZt (или
за Xr~‘ YS~1ZI, если г=1, или за XrYs~2Z>, если г = 0). Отсюда следует,
что все соотношения линейно независимы.
18.3. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА 237
что имеется только у (га 4-2) (га 4- 1) — уи(в—1) = 2/г—}—1 неза-
висимых коэффициентов при членах степени п в разложении V. Сле-
довательно, члены степени п в разложении V должны быть линейной
комбинацией 2и-|-1 линейно независимых частных решений уравне-
ния Лапласа, причем каждое из этих решений будет степени п от-
носительно X, Y и Z.
Чтобы найти совокупность таких решений, рассмотрим выражение
(Z-\-iX cos и-\-/Esin и)п. Это выражение есть решение уравнения
Лапласа, допускающее разложение в ряд по синусам и косинусам
аргументов, кратных и, имеющее вид
п п
2 gm(X, Y, Z)cosmu + 2 Am(X, Z)sinmu,
т=0 m=l
причем функции gm(X, Y, Z) и hm(X, Y, Z) не зависят от и.
Наивысшая степень Z в функциях gm(X, Y, Z) и hm(X, Y, Z)
есть Zn~m, причем первая функция четная относительно Y, а вторая
нечетная. Отсюда следует, что эти функции линейно независимы,
а потому они образуют совокупность 2га 4-1 функций искомого типа.
Но по формулам для коэффициентов Фурье1) (§ 9.12, часть I)
имеем
К
Y, Z)—j" (Z-j-iX cos и-j-lY sin и)п cos mu du,
—те
те
ithm(X, Y, Z)= J" (Z-j- IX cos u-j-/Esin u)n sin mu du.
—те
Поэтому любая линейная комбинация этих 2га-]- 1 решений может
быть написана в виде
те
J (Z-j- IX cos и IY sin и)л fn («) du,
—те
где /„(и) — полином от eia.
Легко теперь убедиться в том, что если суммы членов степени га
в выражении, принятом для V, написать в этом виде, то ряд, со-
ставленный из подинтегральных функций, будет равномерно сходя-
щимся, если | X |2-]- | Е|2-|- | Z |2 достаточно мало. Поэтому (§ 4.7,
часть 1) мы можем написать
V = у (Z -f- IX cos и -]- iY sin и)" fn (и) du.
-it п-0
*) В ковффициенте при gQ (X, Y, Z) следует писать 2л вместо л.
238 гл. 18. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ физики
Но выражение этого вида может быть написано так:
ТС
V — J F (Z IX cos и i Y sin и, и) du,
где р — такая функция, что допустимо дифференцирование по X, Y
и Z под знаком интеграла. Наоборот, если F—какая-нибудь функ-
ция такого типа, то V будет решением уравнения Лапласа.
Полученный результат может быть написан в виде
ТС
V— У / (г+ lx cos и -ф- iy sin и, и) du,
—к
если отнести члены —z0—ix0cosu— iyQ sin и во вторую перемен-
ную; если дифференцирование под знаком интеграла допустимо, то
это выражение дает общее решение уравнения Лапласа в том смысле,
что всякое решение уравнения Лапласа, аналитическое внутри неко-
торой сферы, может быть выражено интегралом указанного вида.
Этот результат представляет собой трехмерный аналог теоремы, утвер-
ждающей, что выражение
V = f(x + iy) + g (х — iy)
есть общее решение уравнения
d2V д2У
дх2 + ду2
[Примечание. Следует иметь в виду различие, существующее между
общим решением обыкновенного дифференциального уравнения и общими
интегралами дифференциального уравнения с частными производными порядка
выше первого ).
Два общих решения обыкновенного дифференциального уравнения,
кажущихся различными, всегда могут быть преобразованы непосредственно
одно в другое при помощи надлежащих соотношений между постоянными;
d^y
так, в случае уравнения у — 0 мы можем получить решение С sin (х т ;)
из решения A cos х 4- В sin х, определяя С и е из уравнений С sin е = А,
С cos е = В. С другой стороны, всякое решение уравнения Лапласа может
быть выражено в любой из форм
ТС тс
J* f(x cos t + у sin t -j- iz, t) dt, J g (y cos и ф- z sin и 4- lx, u) du-,
— - —к
но если даже известно, что это одно и то же решение, то все же, по-види-
мому, не имеется никакой общей аналитической зависимости, связывающей
) Относительно общих интегралов таких уравнений см. Forsyth,
Theory of Differential Equations, VI (1906), Chap. XII.
18.3. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
239
функции f и g, которая непосредственно преобразовывала бы один вид ре-
шения в другой.]
Пример 1. Показать, что потенциал материальной точки единичной
массы с координатами (а, Ь, с) во всех точках, для которых г > с, равен
Л
1 Г_________________du_______________
2л J (г— с) -f- I (х—a) cos и i (у—b) sin и
— ТС
Пример 2. Показать, что общее решение уравнения Лапласа степени
однородности нуль относительно х, у, г имеет вид
где
ТС
j' 1g (х cos t + у sin t + iz) g (f) dt,
—TC
TC
f g(t) dt = O.
— TC
х
T+F
r + z
Выразить в этой форме решения
И 1g
где
г — г
г2 = х2 4- у2 + г2.
Пример 3. Показать, что в случае уравнения
1 2
Р2 +72 = * + у
/ dz дг \
^где р = , q — ~dy~J интегралами вспомогательных уравнений Шарпи
(Charpit) (см. Forsyth, Differential Equations, Chap. IX) будут, в частности,
£ _t_
р2 — х = у —92=а,
(II) p = q + a2.
Показать, что соответствующие общие интегралы получаются из систем
(I) г^~(х + а)2^^{у-а)2 + Р(а),
0 = (л + п)2-(у-а)2 + Л'(а);
(И) 4г = у(х + у)3 + 2а2(х—у) —а<(х4-у)-1 4-G(a), ]
0 = 4п(х —у) — 4д3 (%-|_ у)-1-|_ О'(а), |
и получить отсюда дифференциальное уравнение, определяющее функцию G (а)
по функции F (а), когда эти общие интегралы совпадают.
240
ГЛ. 18. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
18.31. Решение уравнения Лапласа
с помощью функций Лежандра
Если для функции V при
•^о — Уо — =
существует разложение в форме, указанной в § 18.3, то, как мы
видели, функцию V можно представить в виде ряда по выражениям
типа
j (z lx cos и zy sin и)" cos mu du,
J (z-j-lx cos и + zy sin zz)n sin mu du,
— 7t
где m и n — целые числа, причем
Рассмотрим эти выражения подробнее.
Если введем сферические координаты, определяемые уравнениями
х — г sin 6 cos ср, у — г sin 9 sin ср, z=- г cos 0,
то получим
К
J* (z -ф- ix cos zz —f— iy sin u)n cos mu du =
— re
It
— rn J {cos 6 -ф-1 sin 6 cos (zz — <p)J" cos mudu —
— TC
re—tp
-- rn J* {cos 0 —Z sin 0 cos ф}n cos zn (<p —ф) =
— 7t —
TC
= rn У {cos 6 —j— Z sin 6 cos ф)" cos m (<p -ф- ф) dty =
— TC
re
= rn cos zncp у {cos 6 4- i sin 9 cos ф}"cos mty z/ф,
—re
ибо подинтегральная функция есть периодическая функция от ф,
а выражение
(cos 9 + z sin 9 cos ф)" sin /дф
18.31. РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА
241
есть нечетная функция от ф. Поэтому (§ 15.61) при определении
Феррерса присоединенной функции Лежандра имеем
ТС
Г п т
I (z 4- ix cos и 4- iy sin и)п cos mudu — + г Рп (cos 9) cos т<?.
—тс
Подобным же образом
ТС
I' (z ix cos и 4- iy sin и)" sin mu du — rnP™ (cos 9) sin m<p.
—It
Следовательно, функции
rnPn (cos 9) cos me?
и
rnPn (cos 9) sin mep
суть полиномы относительно x, у, z и являются частными
решениями уравнения Лапласа.
Далее, по § 18.3 всякое решение уравнения Лапласа, анали-
тическое вблизи начала координат, может быть представлено
в виде
V = 2 Гп ! АпРп (cos 0) 4- 2 COS тер 4- sin тер) Р% (cos 9) 1.
/1 = 0 I пг = 1 J
Выражение вида
п
АпРп (cos 9) 4- 2 cos тер 4- В„т) sin тер) Р™ (cos 9),
яг = 1
где п — положительное целое число, называется поверхностной гар-
монической функцией (или сферической функцией) п-Я степени;
поверхностная же гармоническая функция л-й степени, умноженная
на гп, называется телесной гармонической функцией (или шаро-
вой функцией) n-Vi степени.
Кривые на сфере радиуса единица (с центром в начале координат), на
которых Рп (cos 0) равняется нулю, суть параллели, разбивающие поверх-
ность сферы на зоны, и поэтому P„(cos6) называется (см. § 15.1) зональ-
v COS гЛП 1 п\
нои гармоникой. Совокупность же кривых, на которых т^Рп (cos U)
равняется нулю, составлена п— т параллелями и 2т меридианами, разбиваю-
щими поверхность сферы на прямоугольные криволинейные четырехуголь-
ники, и поэтому эти функции называются тессеральными (т. е. клеточными)
гармоническими функциями.
Телесная гармоническая функция л-й степени есть, очевидно, однородный
полином л-й степени относительно х, у, г, удовлетворяющий уравнению
242 ГЛ. 18. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ физики
Лапласа. Очевидно, что при изменении прямоугольных координат ') при вра-
щении осей около начала шаровая функция (или сферическая функция) л-й
степени преобразуется в шаровую функцию (или сферическую функцию)
n-й степени в новых координатах.
Шаровые функции были исследованы в прямоугольных координатах Том-
соном (W. Thomson) в 1862 г., см. Phil. Trans. (1863), 573—582, и Thomson
and Tait, Treatise on Natural Philosophy. I (1876), 171—218. Они были иссле-
дованы тем же способом и в то же самое время, но независимо от Томсона
также Клебшем (Clebsch), Journ. fiir Math., LXI (1863), 195—262.
Пример. Показать, что если координаты г, в, ср определяются урав-
нениями
2 2
x = rcos0, у —(г2—1)2 sin 0 cos <р, г = (г2—I)2 sin 6 sin ср,
то функция Р™ (г) Р% (cos 0) cos ту удовлетворяет уравнению Лапласа.
18.4. Решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее
определенным граничным условиям на поверхности сферы
Мы видели (§ 18.31), что решение уравнения Лапласа, аналити-
ческое вблизи начала координат, может быть представлено в виде
У (г, 0, ср) =
оо ( п \
= S rn I АпРп (cos 9) 4- 2 (^«m> cos mcp 4- B{™} sin mcp) P™ (cos 0) >.
n=0 t m-1 J
Из § 3.7 части I с очевидностью следует, что если этот ряд
сходится для данного значения г, скажем а, при всех значениях 0
и ср таких, что 0 0 тс, — тс ср к, то он будет сходящимся
абсолютно и равномерно при г < а.
Чтобы определить постоянные, мы должны знать граничные усло-
вия, которым должна удовлетворять функция V.
Часто встречающееся граничное условие заключается в том, что V
является заданной ограниченной интегрируемой функцией от 0 и ср,
скажем /(0, ср), на поверхности данной сферы, о которой предпо-
ложим, что ее радиус равен а, и является аналитической функцией
в точках внутри этой сферы.
Коэффициенты Ап, А{™\ В™' следует тогда определять из урав-
нения
/(0, <р)==
ОО f П
= 2 а" I АпРп (cos 0) 4- 2 cos mcp 4- В{™} sin mcp) Р™ (cos 0)
н-0 I т = \
’) Оператор Лапласа 4
менения прямоугольных осей.
^-4
ду2
д2
-g-% инвариантен
относительно из-
18.4. РЕШЕНИЕ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩЕЕ ГРАНИЧНЫМ условиям 243
Предполагая, что этот ряд равномерно сходится во всей области
О б к, — к ср
умножим обе части уравнения на
z COS
Рп (COS0)sin mc?
и проинтегрируем почленно (§ 4.7, часть I); воспользовавшись ре-
зультатами §§ 15.14, 15.51 об интегральных свойствах функций
Лежандра, найдем, что
ТС ТС
/* //(0/- (cos 9')cosmcp'sin 0'с/9'rfcp'= Лпта),
— тс О
тс тс
У f /(9', ср')Р„ (cosO') sin myf sin 6' d6' d<?'= (^—m)l '
—тс О
тс Тс
У* У* /(О', ср') Рп (cos 9') sin 0' dft' dy' — 2van t An.
-TC 6
Поэтому, когда г < at
TC TC f
(j) f f Pn(cos^)pn(cos®') +
— тс 0
V(r, 9, =
n=0
n
+ 2 У (cos 0)P™ (cos 0/)cos m ~ 'И !' sin 0/ rf0/ d<?'-
Vi-rw/:
m-\ j
Ряд, который здесь интегрируется почленно, сходится равно-
мерно, когда г < а, ибо подинтегральное выражение есть ограни-
ченная функция от 0, 9', ср, ср'. Следовательно (§ 4.7),
ТС ТС QQ
4кУ(г, 9, ср)= f f /(0', ср')^(2«+ 1)(4)”
—тс 0 П-0
P„(cos9)P„(cos9')4-
+ 2 У ((” + Рп (cos 9) Рп (cos 0') cos т (ср — ср') v sin 0' t?0' d<?'.
т~1 J
Теперь предположим, что мы принимаем луч (9, ср) за новую
полярную ось и пусть (0', ср')—новые координаты луча, старые
координаты которого были (О', ср').
’) Это обычно и бывает в физических проблемах.
244 ГЛ. 18. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ физики
Следовательно, мы должны заменить Рп (cos 6) единицей,
г Р™ (cos 9) нулем; и таким образом, получим
4irV(r, 9, <р) =
ТС It
= f f Л9'- <?')^(2л+ (cos 0') sin 0^9;^;==
—тс 0 л-0
к 71 со
= J" У /(0', <р')^(2/г+ 1)0^ Рп(сО5 9;)5Ш0'й?9'й?<р'.
—тс 0 л = 0
Если к этой формуле применим результат примера 23 главы 15
(стр. 154), то получим
. ,z, д . Г Г а/а/ м а (а2 — г2) sin 6' dt)' da'
4кУ(г, 0, <?)= J J /(0'. ----------%-;
о (г2 — 2ar cos 0j -)- й2)2
таким образом,
4к1/ (г, 9, <р) —
= «(«--г-) f f---------------------/У. <№'<!,-------------
-я о [г2—2ar {cos 0 cos 0' 4- sin 0 sin 0' cos (<p— ?/)}+a2]2
В этой компактной формуле функции Лежандра не фигури-
руют явно.
Последняя формула может быть получена и с помощью функции Грина.
Со свойствами этой функции читатель может ознакомиться у Томсона и
Тейта (Thomson and Tait, Natural Philosophy, §§ 499—519).
[Примечание. Из интегрального представления функции У (г, 0, ср)
через функции Лежандра от cos Oj и от cos 0, cos 0 соответственно мы можем
получить новое доказательство теоремы сложения для полинома Лежандра.
Действительно, пусть
Vе'- ?') = -pn(cos0D-
— • Рп (cos 0) Рп (cos 0') + 2 V(cosfj)P™(cosO')cosm(<p—<р')
т-1
Тогда из сравнения двух формул для V (г, 0, <у) получим
ТС ТС ФЭ
0= У' (2п+!) (у) 1п (0/. ?') sin fi' d0' d<f'.
—тс 0 л=0
Если мы примем за /(О', ср') сферическую функцию п-й степени, то
член, содержащий г", будет единственным, который встречается в интегри-
18.5. РЕШЕНИЕ В БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЯХ 245
руемом ряде. В частности, если мы возьмем /(О', <р') = (О', ср'), то
получим
ТС тс
J J {•£« (0'« <р')}2 sin 0'</0'rfcp'= 0.
— тс О
Так как подинтегральная функция непрерывна и неотрицательна, то
она должна равняться нулю. Следовательно, /п (О', <р') = 0. Иначе говоря,
мы доказали формулу
Ра (cos Oj) = Рп (cos 0) Рп (cos О') ф-
п
+ 2 S (cos е) (cos 6')cos т (<? _ •,)>
т=1
причем из геометрических соображений очевидно, что
cos 0j = cosO cos 0 4- sin 0 sin 0 cos (ср — ср ).
Таким образом, для теоремы, доказанной в § 15.7') чисто аналитиче-
ским путем, мы получили доказательство, основанное на физических
соображениях].
Пример 1. Найти решение уравнения Лапласа, аналитическое внутри
сферы r = I и имеющее значение sin 30 cos ср на поверхности сферы.
r''P\ (cos 6) cos ср — А гР{ (cos 0) cos .
Пример 2. Пусть /„ (г, 0, ср) есть однородный полином n-й степени
относительно х, у, г. Показать, что
ТС тс
f f f" (а> lj’ Ч’) icos 0 cos 0/ + sin 0 sin 0/ cos — /В д2 sin 6 ^6 dtp =
— тс О
= 2^Г/«(Й, б'.П.
[Принять направление (О', ср') за новую полярную ось].
§ 18.5. Решение уравнения Лапласа
в бесселевых функциях целого порядка
Частным случаем результата, полученного в § 18.3, является
то, что функция
ТС
J ek (2+/XC0SU + (ysln «!C0smw
— ТС
!) Отсутствие множителя (~1)т, встречающегося в § 15.7, объясняется
тем обстоятельством, что применяемые теперь функции являются присоеди-
ненными функциями Феррерса.
246 ГЛ. 18. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
где k — произвольная постоянная и т — некоторое целое число,
есть решение уравнения Лапласа. Введя цилиндрические коорди-
наты (р, ср, z), определяемые уравнениями
х = р cos ср, у = р sin ср,
получим вышеприведенное решение в таком виде:
Я я
ekz J* gift? cos («-?)cos ти du —ekz J* g Ikf COST cos m <p) dv —
—те —те
те
= 2ekz§ е‘к?cos v cos (mv) cos (my) dv
о
= 2ekz cos (/nep) J* e'7i?cos v cos (mv) dv.
о
Таким образом, пользуясь примером 3 § 17.1, мы видим, что
2-ttlmekz cos(my) Jm(kp) является решением уравнения Лапласа,
аналитическим вблизи начала координат.
Подобным же образом из выражения
те
J gA:(z+Zxcosu+(ysin «) sin/ИМ
— те
где т — целое число, мы получаем, что 2r.lmekz sin (m<?)Jm(kp) есть
решение уравнения Лапласа.
§ 18.51. Периоды колебания однородной мембраны1)
Уравнение, которому удовлетворяет смещение V точки (х, у) в момент t
для однородной плоской мембраны, колеблющейся гармонически, имеет вид
d2V d2V _ 1 d2V
дх2 ’1 ду2 с2 dt2 ’
где с — постоянная, зависящая от натяжения и плотности мембраны. Это
уравнение может быть приведено к уравнению Лапласа заменой переменной
по формуле г — cti.
Согласно § 18.5 заключаем, что выражения вида
, ... cos cos ,,
(ko) . ту . ckt
m r sin sin
удовлетворяют уравнению движения мембраны.
‘) Euler, Novi Comm. Acad. Petrop., X (1764) [опубликовано в 1766 г.],
243—260; Poisson, Mem. de i’Academie, VIII (1829), 357—570; Bourget,
Ann. de ГЁсо1е norm, sup., Ill (1866), 55—95. Колебания мембраны подробно
исследованы также в гл. IX «Теории звука» Релея (Rayleigh).
18.6. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
247
В качестве частного случая возьмем барабан, т. е. мембрану
С закрепленным круговым контуром радиуса R.
Тогда один из возможных типов колебания будет определяться функцией
V = Jm (Ар) cos m<p cos ckt
при условии, что V = 0 при р = R, так что нам следует выбрать k среди
корней уравнения
Jm(kR) — 0.
Это уравнение имеет бесконечное число вещественных корней k (§ 17.3,
пример 3), скажем A,, k2, А3, ... Возможный тип колебания дается поэтому
функцией
У = Jm (kr$) cos m<f cos ckrt (r — 1, 2, 3, ...).
_ 2л _ ,
Она выражает периодическое движение с периодом . Таким образом,
вычисление периодов существенно зависит от определения нулей функций
Бесселя целого порядка (см. § 17.9).
Пример. Уравнение движения воздуха в круговом цилиндре, колеблю-
щегося перпендикулярно оси цилиндра OZ, имеет вид
- 1 d*v
дх2 ' ду2 с2 dt2 ’
где У обозначает потенциал скоростей. Если цилиндр имеет радиус R, то
dV
граничное условие таково: = 0, когда р = R. Показать, что определе-
ние периодов свободных колебаний зависит от нахождения нулей функ-
ции J'm <С) = °-
18.6. Общее решение
волнового уравнения
Способом § 18.3 можно показать1), что общее решение волно-
вого уравнения
д2У д2У д2У 1 д2У
дх2 ду2 dz2 с2 dt2
есть
К я
V= f J* / (х sin и cos v -f- у sin и sin v 4- z cos и 4- ct, u, v) du dv,
— - —71
где f — функция (трех переменных) типа, рассмотренного в § 18.3.
Рассматривая интеграл как предел суммы, мы видим, что физи-
ческая интерпретация этого равенства заключается в том, что
потенциал скоростей V слагается из множества плоских волн, причем
элементарное возмущение дается выражением
/(х sin и cos v4~у sin и sin v-\-zcos и -4 ct, и, v)lubu.
*) См. сочинение, цитированное раньше: Math. Ann. LVII (1902), 342—345,
или Messenger of Mathematics, XXXVI (1907), 98—106.
248 ГЛ. 18. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ физики
Это элементарное возмущение распространяется в направлении
(sin и cost/, sin и sin v, cosh) со скоростью с. Поэтому решение
представляет собой совокупность плоских волн, распростра-
няющихся по всем направлениям со скоростью с.
18.61. Решение волнового уравнения в функциях Бесселя
Найдем теперь один класс частных решений волнового уравне-
ния, полезных для решения определенных частных задач.
В физических исследованиях желательно, чтобы время входило
через посредство множителя sin ckt или cos ckt, где k— постоянная.
Это наводит на мысль искать решения в виде
К к
У — J" J* gib (х sin и cos v+y sin a sin v-iz cosu+ct)f vjdudV.
— тс 0
Физически это означает, что мы рассматриваем движения, в которых
все элементарные волны имеют один и тот же период.
Пусть (г, 9, ср) — сферические координаты точки (х, у, z), и пусть
(ш, ф) — полярные координаты направления (и, т/), отнесенные к новым
осям, таким, что полярная ось идет по направлению (9, ср), а пло-
скость ср —0 проходит через OZ, тогда
cos со = cos 9 cos и ф- sin 9 sin и cos (ср — v),
sin и sin (cp —i/) — sin <o sin cp!).
Возьмем произвольную функцию f (и, v) в виде S„ (и, -и) sin и,
где Sn обозначает сферическую гармонику «-Й степени от и, v.
Мы можем написать
5„(и, v) = Sn(Q, ср; о>, ф),
где (§ 18.31) S„ есть сферическая гармоника n-й степени от ш, ср.
Таким образом, получаем
у gikct
р Je/ftrcos^^, <р.
: О
ш, ср) sin <о d<s> <7р.
Теперь можем написать (§ 18.31)
5Я(9, ср; ш, <р)=Ля(0, ср) Рп (cos со) ф-
ф Zj Мп”' (9. <р) cos тр ф- В™ (9, ср) sin mty] Р% (cos со),
т=\
где Ля(9, ср), Л£"’(0, ср) и В(„т)(0, ср) не зависят от ср и со.
‘) Теоремы косинусов и синусов в сферическом треугольнике.—
Прим. ред.
18.61. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В ФУНКЦИЯХ БЕССЕЛЯ 249
Выполняя интегрирование по ф, получим
К
V = 2nelkctAn (9, <р) У* eikrc03<siPn (cos w) sin w dm =
6
i
= 2~eikctAn (9, <?) feikrv-Pn(p)dp =
-i
i
= 2neikctAn(fi, (?) f
-i
по формуле Родрига (15.11).
Интегрируя по частям п раз и пользуясь интегралом Ханкеля
(следствие § 17.3), получим равенство
1
V ^^\eikctAn^’ Т)<Ж>" У*еШ|Х(1 — |*2)"Ф =
-1
2 _2_
= (2гс)2 ineikc,(kr) 2Jn+^_(kr)A„(0, ср).
Таким образом, функция V равна умноженной на постоянную
1
elMr~2J ± (kr) Ап (6, <р).
"+ 2
Волновое уравнение не меняется от умножения х, у, z и t на
один и тот же постоянный множитель, т. е. оно остается неизмен-
ным, если мы умножим г и t на один и тот же постоянный множи-
тель, оставляя 9 и ср без изменения. Таким образом, Ли(8, ср) можно
считать не зависящей от произвольной постоянной k, на которую
умножаются г и t. Следовательно,
2 2
lim eikctr~2 k~n~ 2J i (kr) A (6, cp)
й->0 n 1 ~2
является решением волнового уравнения. Поэтому гаАп(0, ср)
является решением (ие зависящим от t) волнового уравнения и, следова-
тельно, решением уравнения Лапласа. Согласно этому результату
можно взять в качестве Ли(8, ср) любую сферическую гармонику
n-й степени; итак, мы приходим к заключению, что функция
г 2J 1 (йг) (cos 8)C0S mcp C?S ей/
л + у ’ v ' sin T Sin
является частным решением волнового уравнения.
250
ГЛ. 18. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
18.61 L Приложение результатов § 18.61
к одной физической задаче
Только что полученное решение волнового уравнения может быть сле-
дующим образом использовано для определения периодов свободных колеба-
ний воздуха, заключенного в твердую сферическую оболочку.
В этом случае потенциал скоростей V удовлетворяет волновому урав-
нению и граничные условия заключаются в том, что = 0, когда г — а,
где а—радиус сферы. Следовательно, функция
2
V = r 2 J ! (/?r)P™(cos0)s°S m<f C™ckt
fl 4**2* Ы11 MU
дает возможное движение, если k выбрано так, что
d
dr
2 1
г 2J j (kr) [ =0.
2 Jr = a
Последнее уравнение определяет k. Используя результаты § 17.24, мы
видим, что оно может быть написано в виде tg ka = fn(ka), где fn (ka)—
рациональная функция от ka.
В частности, радиальные колебания, для которых V не зависит от 0
и <р, получатся, если взять п = 0. Уравнение для определения k в этом
случае будет tg ka = ka, так что частоты основных радиальных колебаний
определяются корнями этого уравнения.
ЛИТЕРАТУРА
J. Fourier, La Th6orie analytique de la Chaleur.
W. Thomson and P. Q. Tait, Natural Philosophy. (1879).
Дж. В Стретт (лорд Релей), Теория звука, т. 1, И (Гостехиздат, М., 1955).
F. Pockels, Ueber die partielle Differentialgleichung Ди 4- k2u — 0 (Leip-
zig, 1891).
H. Burkhardt, Entwickelungen nach oscillirenden Funktionen (Leipzig, 1908).
H. Bateman, Electrical and Optical Wave-Motion (1915).
E. T. Whittaker, History of the Theories of Aether and Electricity, Dub-
lin, 1910).
A. E. H. Love, Proc. London Math. Soc., XXX (1899), 308—321.
H. Bateman, Proc. London Math. Soc. (2), 1 (1904), 451—458.
L. N. O. F i 1 о n, Philosophical Magazine (6), VI (1903), 193—213.
H. Bateman, Proc. London Math. Soc. (2), VII (1909); 70—89.
В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. II (Гостехиздат, 1956).
Р. Курант и Д. Гильберт, Методы математической физики, т. I (Гос-
техиздат, 1951).
Примеры
1. Пусть V — решение уравнения Лапласа, симметричное относи-
тельно OZ и равное f(z) на OZ; показать, что если f (С) есть функция,
аналитическая в некоторой области (содержащей начало координат) значе-
ПРИМЕРЫ
251
ний комплексной переменной С, то
" 1
V — -i- J /1 г 4- z (х2 4- у2) 2 cos ср | rfcp
6
в любой точке некоторой области трехмерного пространства.
Вывести отсюда, что потенциал однородного кругового кольца радиуса с
и массы М, лежащего в плоскости XOY и с центром в начале, будет
I
г ( 1 )2 — "2
[с2 4-1 z 4-* (х2 4- У2)2 cos ? J J
о
2. Пусть V — решение уравнения Лапласа, имеющее вид em,J! /г(р, z),
где (р, ср, z) — цилиндрические координаты, и пусть это решение ведет себя,
как ртет'т f(z) вблизи оси г, где /(С) имеет характер, описанный в при-
мере 1. Показать, что
К
V=-------------------- / f(z 4- i? cos t) sin2m t dt.
Г (w +т)г Ы о
(Dougall)
3. Зависимость и от x, у, z определяется уравнением
Ar 4-By 4-0 = I,
где А, В, С — такие функции от и, что
Л2 4- В2 4- С2 = 0.
Показать, что (при некоторых условиях общего характера) любая функ-
ция от и будет решением уравнения Лапласа.
(Forsyth, Messenger, XXVII (1898), 99—118)
4. А, В — две точки вне сферы, центр которой С. Слой притягивающей
материи на поверхности сферы таков, что его поверхностная плотность чр
во всякой точке Р пропорциональна величине
(АР ВР)~1.
Показать, что общее количество материи на сфере не меняется с пере-
мещением точек А и В при условии, что произведение С А СВ и угол АСВ
остаются без изменения; доказать также эквивалентность этого результата
теореме, что поверхностный интеграл от произведения двух гармоник различ-
ных степеней, взятый по сфере, равен нулю.
(Sylvester, Phil. Mag. (5), II (1876), 291—307)
5. Пусть функция V (х, у, г) аналитически определяется как потенциал
поля, образованного массами 7 4- /р, 7 — Zp, помещенными соответственно
в точках (а 4~ ia', b 4- lb', с 4- ic') и (а—ia', Ь — lb', с — ic'). Показать, что
функция V (х, у, г) принимает бесконечные значения во всех точках не-
которого вещественного круга и если точка (х, у, z) описывает петлю,
252 ГЛ. 18. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ физики
зацепленную один раз за этот круг, то начальное и конечное значения
потенциала V (х, у, г) численно равны, но противоположны по знаку.
(Appell, Math. Ann., XXX (1887), 155—156)
6. Найти решение уравнения Лапласа, аналитическое в области, для
которой а < г < А, если дано, что на сферах г — а и г = А решение при-
водится соответственно к
2 <cos 0)’
л=0
2 СпРп (cos 0).
7. Пусть О' имеет координаты (О, 0, с), и пусть
Z POZ = 0, / PO'Z = 9', РО = г, РО' = г’.
Показать, что
Р„ (cos 0') _ (cos 9) , , 1чсР„+1 (cos 9) ,
г/л+1 гл + 1 + 2 “Г
I (п+ !)(/? +2) с2 Рп+2 (cos 6)
“т 2! гп+3 -г • •
или
+<» + +
' * * I * I
(n+ 1) (п + 2)гг Р2 (cos 0) 1
-г- 2! сл+3 "+' • " (’
соответственно тому, будет ли г > с или г < с.
fTt I
Получить подобное же разложение для г Рп (cos 9).
(Trinity, 1893)
8. Показать, что потенциал однородного сплющенного сфероида, полуоси
которого а, b и плотность которого р, во внешней точке (г, 0, ср) равен
. ,, Г 1 от2 Р2 (cos В) , т* Р, (cos 0)
4лра2& —— —4- —— —2-i——
r L 3r 3-5 r3 '5-7 rs
где m2 = a2 — b2, если
рых г < m.
9. Показать, что
г > т. Получить потенциал в точках, для кото-
(St. John’s, 1899)
e/rc0SJ = (_
(И-
(Bauer, Journ. fiir Math., LVI)
примеры 253
10 ’). Показать, что если х ± iy — h ch (; ± ;>]), то волновое уравнение
в двумерном пространстве в координатах $ и ц имеет вид
д2У . d2V h2 2. , ч d2V
= “5" (ch * — COS2 Г;) -575- .
di2 drf с2 ‘ dt2
(Lame)
11. Пусть
х = (с 4- г cos 0) cos ср, у — (с г cos 0) sin ср, г — г sin 0.
Показать, что поверхности, для которых г, 0, ср соответственно по-
стоянны, образуют ортогональную систему. Далее, показать, что уравнение
Лапласа в координатах г, 6, ср имеет вид
д I . , .. dV ) . 1 д I . , Г1Ч dV) , г д2У _
-г- < г (с 4- г cos 0) ) 4----7 (с 4- г cos 0) у 4-------j-----— 0.
дг ( дг ) г д0 I дв j с -j- г cos 0 дер2
(W. D. Niven, Messenger, X)
12. Пусть точка Р имеет прямоугольные координаты (х, у, г) и сфери-
ческие координаты (г, 0, ср). Пусть плоскость POZ пересекается с окруж-
ностью х2 4- У2 = k2, z = 0 в точках а, у, и пусть
Z аРЛ = 'g (-fy) = 3-
Показать, что уравнение Лапласа в координатах а, «, ср имеет вид
д ( sh а дУ ) д ( sh з dV 1
дз ( ch з — cos ш дз ) ' дел \ ch з — cos а> да ( ~
4-_________1_______= о
sh з (ch з — cos ш) дер2
и что одним из его решений является функция
1
V = (ch з — cos о>) 2 cos по» cos туРт } (ch з).
"~2
(Hicks, Phil. Trans., CLXXII, 617 и след.)
') Примеры 10, 11, 12, и 14 легче всего решаются при помощи теоремы
Ламе (Lame, Journ. de 1’Ecole polyt., XIV, cahier 23 (1834), 191—288), заклю-
чающейся в том, что если (А, р, v) — ортогональные координаты, для кото-
рых линейный элемент дается формулой (8х)2 4-(8у)2 + (^l2 = (ТА 8А)2 4~
4“ (7^2 8р)2 4~ (ТА М2- то уравнение Лапласа в этих координатах имеет вид
д (Н2Н3 дУ\ д 1Н3Н{ дУ\ д (НХН2 дУ\_
дХ \ /У, д\ / ' др \ Н2 др /dv \ Н3 дч )
Простой способ [принадлежащий Томсону (W. Thomson, Camb. Math.
Journ., IV (1845), 33—42)] доказательства этой теоремы, основанной на аргу-
ментации физического характера, воспроизводится у Лэмба (Лэмб, Гидро-
динамика, Гостехиздат, 1947, § 111). Аналитические доказательства, осно-
ванные на доказательстве Ламе, даны Бертраном (Bertrand, Traite de
Calcul Differentielle (1864), 181—187) и Гурса (Г у p с а, Курс математического
анализа, т. I, Физматгиз, 1936). Наиболее краткое доказательство принад-
лежит Невилю (Neville, Quarterly Journ., XLIX (1923), 338—352). Другое
доказательство дано Гейне (Heine, Theorie der Kugelfunktionen, I (1878),
303—306).
254 ГЛ. 18. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ физики
13. Показать, что
(7?2 4- р2— 2/?р cos <р + с2) 2 =
СО -1 тк1 от ”
= -—----- У* dk У* е~ск elkR cos“ cos mu du,
m = Q 0 —тс
и вывести отсюда выражение потенциала частицы через функции Бесселя.
14. Показать, что если а, Ь, с—постоянные и А, р, v — эллиптические
координаты, определяемые как корни уравнения относительно е:
у2 -^2
__ ... 4. У__I___-__= 1
а2 £ ‘ Ь2 4- Е ' с2 4- Е
то уравнение Лапласа может быть записано в виде
. , . д ( дУ) . д ( дУ) д 1 ОУ)
Д-, (р— v) у 4- Д.. — X) -ч— ( Д„ -j—у 4~ — Iх) -з- т "з— ? = 0.
’ д\ I л дК ( ‘ ; ’ dp I 11 др ) 1 ' ' дч ( дч )
где Дх = /(а2 4- X) (Ь2 4- А) (с2 4- А).
(Lame)
15. Показать, что
ТС
V = F (х cos 0 4- У sin 9 4~ Аг, у 4-lz sin 9 4- <d cos 9, 6) dfl
— TC
есть общее решение волнового уравнения.
(Bateman, Proc. London Math. Soc.
(2), I (1904), 457)
16. Доказать, что если U — f(x, у, z, t) есть решение уравнения
1 dU __ d2U d2U d2U
a2 dt ~ dx2 dy2 dz2 ’
то другим решением этого уравнения будет функция
rr е ( х У z !\ { х2 4-У2 4-г2 \
-т)ехЛ-----------Ч?г—\
17. Показать, что
ТС
У f(z 4- zp cos 0, ct 4- p sin 9) d0 4-
—TC
b тс
, С C . ( azct cos 0 \ ,
4- / I ar sh —!----c—5------] F (a, 9) dfi da,
J J \ p Sin 6 /
0 —it
где p, cp, z—цилиндрические координаты и a, b—произвольные постоянные,
есть общее решение волнового уравнения, когда движение не зависит от ср
(Bateman, Proc. London Math. Soc.
(2), I (1904), 458)'
ПРИМЕРЫ
255
18. Пусть V — f(x, у, г) есть решение уравнения Лапласа. Показать, что
_ 1 , / г2 — а2 г2 + Д2 az \
~~ 17 \ 2 (х — /у) ’ 21 (х — /у) ’ х — zy /
(X— zy)2
будет другим решением.
(Bateman, Proc. London Math. Soc.
(2), VII (1909), 77)
19. Пусть U = f(x, у, z, t) есть решение волнового уравнения. По-
казать, что
,г______1___ Л * у Г2-1 г2+1 \
z — ct J \z — ct ' z — ct ’ 2 (г — ct) ’ 2c (z — ct) J
есть другое решение.
(Bateman, Proc. London Math. Soc.
(2), VII (1909), 77)
20. Пусть
l — x— iy, m-=z-\-iw, n = x2 -f- y2 z2 -f- w2,
X = x-f-zy, p = z—iw, v = —1,
так что
/X -|- mfx -f- m = 0.
Показать, что любое решение уравнения
d2U , d2U d2U , d2U
дх2 ’ ду2 dz2 " dw2 ~
являющееся однородной функцией нулевой степени, удовлетворяет урав-
нению
d2U d2U d2U
61 дк • дт др ' дп дч
= 0.
и получить решение этого уравнения в виде
ГЧ-а'т-^'п-^'Р
а,
а,
а',
Ь,
с,
Ъ С
1'
где
/Х = (й— с) (С — а), ту. = (с—а)(Г.— Ь),
пч = (а — b) (С — с).
(Bateman, Proc. London Math. Soc.
(2), VII (1909), 78—82)
21’). Пусть (г, В, <р)—сфероидальные координаты, определяемые урав-
нениями
£ 2
х = с (г2 4- 1)2 sin 0 cos <?, у = с (г2 + 1)2 sin 0 sin <f, z = cr cos 0,
') Функции, введенные в примерах 21 и 22, известны под названием
внутренних и внешних сфероидальных гармонических функций соот-
ветственно.
256 ГЛ. 18. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
где х, у, z—прямоугольные координаты, а с — постоянная. Показать, что
когда п и т— целые числа, имеют место равенства
х cos t + у sin t + iz \ cos ,
-------. mt dt =
c ) sin
— 1t
n (n — m)\ -m . -jn , n. COS
= 2л -—:----i-г- P™ (ir) P™ (cos 0) . отср.
(n + m)! " ' n ' ’ sin T
(Blades, Proc. Edinburgh Math. Soc., XXXIII)
22. В обозначениях примера 21 показать, что при z =/= О
It
f „ (х cos t + у sin 14- iz\ cos ... o (n—„ m cos
/ Q„ -------—------!— , mt dt — 2r. -—•---<- Q™ (ir) P„ (cos 0) . ma.
J n\ c /sin («4-от)! " ' ’ n 7 sin T
(Jeffery, Proc. Edinburgh Math. Soc., XXX11I)
23. Доказать, что наиболее общее решение уравнения Лапласа, являю-
щееся однородной функцией нулевой степени от х, у, z, может быть пред-
ставлено в виде
где /и Р—произвольные функции.
(Donkin, Phil. Trans. (1857); Hobson, Proc. London Math. Soc. (1), XXII, 422)
ГЛАВА 19
ФУНКЦИИ МАТЬЕ
19»!» Дифференциальное уравнение Матье
В предыдущих пяти главах мы занимались изучением функций,
относящихся к типу, который может быть назван гипергеометри-
ческим; многие простые свойства этих функций в настоящее время
хорошо известны.
В настоящей главе мы вступаем в область Анализа, которая
лежит за этими пределами и исследована пока весьма неглубоко.
Функции, встречающиеся в математической физике и следующие
в порядке сложности за функциями гипергеометрического типа, —
это функции Матье\ эти функции встречаются в задачах, связан-
ных с эллиптическим цилиндром, например, при решении двумер-
ного волнового уравнения
о2У __ 1 d2V
дх2 "l- ду2 с2 dt2
К этому дифференциальному уравнению с частными производными при-
ходят в теории распространения электромагнитных волн: если электри-
ческий вектор параллелен оси OZ и по величине равен Е, а (Нх, Ну, 0)—
компоненты магнитного вектора, то основные уравнения Максвелла будут
1 дЕ дНу дНх дНх дЕ дНу дЕ
с2 dt ~~ дх ~~ ду ’ dt ~ fry ’ dt ~~ dx ’
где с—скорость света, а эти уравнения приводят непосредственно к урав-
нению
1 d2E d2E д2Е
с2 dt2 dx2 dy2
В случае дифракции волн, распространяющихся параллельно оси ОХ и
падающих на эллиптический цилиндр, для которого оси ОХ и OY являются
осями главного сечения, граничные условия заключаются в том, что Е равно
нулю на поверхности цилиндра.
То же самое уравнение с частными производными встречается в связи
с колебаниями однородной плоской мембраны, причем зависимой перемен-
ной будет здесь перемещение, перпендикулярное к мембране; если мембрана
имеет форму эллипса с закрепленным контуром, то граничное условие будет
совпадать с граничным условием в электромагнитной задаче (см. выше).
9 Э. T. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон
258
ГЛ. 19. ФУНКЦИИ МАТЬЕ
Это дифференциальное уравнение было рассмотрено Матье *)
в 1868 г. в связи с задачей о колебаниях эллиптической мембраны
следующим образом.
Предположим, что мембрана, находящаяся в плоскости XOY
в положении равновесия, колеблется с частотой р. Тогда, если по-
ложить V — и(х, y)cos(pt4-е), то уравнение примет вид
д3и . д3и . р3 п
дх3 + ду3 + с3 и~ °’
Пусть (± h, 0, 0) — фокусы эллиптической мембраны; введем
новые вещественные переменные* 2 3 4) £, т], определяемые комплексным
уравнением
х + ly = h ch G + /'»]).
так что
х — h ch £cos т], у — h sh £ sin vj.
Кривые, на которых 5 или т) постоянно, будут, очевидно, эл-
липсами и гиперболами, конфокальными с границей; если взять
и —л < т)те, то каждой точке (х, у, 0) в плоскости XOY
•соответствует одна и только одна3) пара значений (;, tj).
Дифференциальное уравнение для и в новых координатах при-
нимает вид4)
д3и . д3и . h3p3 2 . п
~д?+~д^—^-(ch2? —cos2t])« = 0.
Если искать решение этого уравнения в виде
« = ^(5)0(7)),
где множители будут соответственно функциями только $ и только т;,
то получим
( 1 rf^(E) h3p3 < 1 d3Q^) h*P\Q?.A
I F (5) d& " c3 ' f ~ I G (ij) drf c3 ' f'
Так как левая часть содержит только S, а правая, наоборот,
только т), то F(£) и О(т]) должны быть такими функциями, чтобы
‘) Mathieu, Journ. de Math. (2), XIII (1868), 137.
2) Введение этих переменных принадлежит Ламе, который назвал $ термо-
метрическим параметром. Теперь они известны более как конфокальные
координаты. См. Lame, Sur les fonctions inverses des transcendantes, l-ere
Leyon.
3) Это очень легко увидеть из рассмотрения эллипсов, получаемых при
различных положительных значениях 4. Если проведем такой эллипс через
определенную точку (;, т;) плоскости, то т; будет эксцентрическим углом
этой точки на этом эллипсе.
4) Доказательство этого результата, принадлежащего Ламе, дано во
многих учебниках; см. примечание на стр. 253.
19.11. ФОРМА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ МАТЬЕ
259
обе части уравнения были равны постоянной, скажем А, поскольку
£ и т) независимые переменные.
Таким образом, мы приходим к уравнениям
d* 2F(t)
di2
j-(-^-ch2S-^F($) = 0,
d2G (*q)
dtf
cos2 7) — G (t/) — 0.
Несущественной заменой независимой переменной в первом из
этих уравнений придем к тому, что оба эти уравнения станут
линейными дифференциальными уравнениями второго порядка
вида
+ (а -|- 16q cos 2г) и = 0,
где а и q — постоянные *). Очевидно, что всякая точка (исключая
бесконечность) является правильной точкой этого уравнения.
Это уравнение известно под названием уравнения Матье, и при
известных обстоятельствах (§ 19.2) частные его решения называются
функциями Матье.
19.11. Форма решения уравнения Матье
В физических задачах, которые привели к уравнению Матье, по-
стоянная а не задана a priori, и мы должны рассмотреть вопрос
о ее определении. Из физических соображений в задаче о колеба-
ниях мембраны очевидно, что и (х, у) будет однозначной функцией
точки и, следовательно, остается без изменения при увеличении т;
на 2~; условия же2) О (т;-ф- 2тс) == G (т;) достаточно для определения
совокупности значений а при известном q. Позже мы увидим (§§ 19.4,
19.41), что, когда а не принимает ни одного из этих значений, ра-
венство
О(т)-|-2л) = О(т|)
не имеет места.
Когда а определено указанным образом, то q (а вместе с тем
и р) определяется условием, что Л(;) — 0 на границе; таким образом,
определяются периоды свободных колебаний мембраны.
‘) Их значения будут а — А—h2p2/2c2, q = h2p2/(32с2). Множитель 16
вводится для того, чтобы избегнуть степеней 2 в решениях.
2) Элементарным аналогом этого результата является то, что решение
d2u ,
уравнения + аи = 0 имеет период 2л тогда и только тогда, когда а
есть квадрат целого числа.
9*
260
ГЛ. 19. ФУНКЦИИ МАТЬЕ
Другие задачи математической физики, приводящие к функциям Матье,
следующие: (I) приливные волны в цилиндрическом сосуде с эллиптической
границей, (II) определенные формы установившегося вихревого движения
в эллиптическом цилиндре, (III) ослабление магнитной силы в металлическом
цилиндре '). Уравнение Матье встречается также в одной задаче динамики
твердого тела, имеющей общий интерес* 2).
19.12. Уравнение Хилла
Дифференциальное уравнение, подобное уравнению Матье, но
более общего характера, возникает при определении движения лун-
ного перигея по способу Хилла 3) и при определении движения лун-
ного узла по Адамсу4).
Это уравнение, называемое уравнением Хилла, имеет вид
-§ + ( ео+2^Х cos 2nzj« = O.
\ л=1 /
Теория уравнения Хилла весьма похожа на теорию уравнения
Матье (несмотря на наличие бесконечного ряда), так что оба урав-
нения будут, в известной мере, рассматриваться одновременно.
В приложениях к астрономии 0О, бр . . .— известные постоянные,
так что. задача выбора их с таким расчетом, чтобы решение могло
быть периодическим, не возникает. И в самом деле, решение урав-
нения Хилла в теории Луны не периодическое.
19.2. Периодические решения уравнения Матье
Мы видели, что в физических задачах (в отличие от астрономи-
ческих) постоянную а в уравнении Матье надо выбрать в виде
такой функции от q, чтобы уравнение имело периодическое решение.
Пусть G(z)—это решение; тогда G(z) будет не только периоди-
ческой, но, сверх того, целой функцией от z. При этом возможны
три случая: (I) G(z) может быть четной функцией от z, (II) G(z)
может быть нечетной функцией от z, (III) G (г) может не быть ни
четной, ни нечетной.
В случае (III)
|{О(г) + О(-г)}
будет четным периодическим решением, а
|{О(г)-О(-г)}
') R- С. Мас 1 aurin. Trans. Camb. Phil. Soc., XVII, 41.
2) A. W. Young, Proc. Edinburgh Math. Soc., XXXII, 81.
3) G. W. H i 11, Acta. Math., VIII (1886). Мемуар Хилла первоначально
был опубликован в 1877 г. в Кембридже, США.
4) Adams, Monthly Notices R. A. S., XXXVIII, 43.
19.21. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ МАТЬЕ 261
— нечетным периодическим решением уравнения Матье; эти два
решения образуют фундаментальную систему. Поэтому достаточно
сосредоточить наше внимание лишь на тех периодических решениях
уравнения Матье, которые будут или четными, или нечетными. Эти
решения, и только они, будут называться функциями Матье.
Заметим, что так как корни определяющего уравнения при г = 0 равны
О и 1, то два нечетных (или два четных) решения уравнения Матье не могут
образовывать фундаментальной системы. Могло бы показаться, однако, что
ничто не препятствует уравнению Матье иметь, при специальных значениях
а и q, два периодических решения — одно четное и одно нечетное', для
сравнительно малых значений | q | можно показать (§ 19.3, пример 2, (II) и
(111)), что уравнение Матье имеет два периодических решения только в три-
виальном случае, когда q = 0; заключение же, что для больших значений | q]
никогда не существует двух периодических решений, является частным
случаем теоремы, данной Хиллом (Proc. London Math. Soc. (2), XXIII (1924),
224; см. также Ince, Proc. Camb. Phil. Soc., XXI (1922), 117).
19.21. Интегральное уравнение,
которому удовлетворяют четные функции Матье1)
Покажем теперь, что если О(т])— какая-нибудь четная функция
Матье, то О('ф) удовлетворяет однородному интегральному урав-
нению
G (?]) — k J ek cos 1cos е G (6) df),
—те
где k — У32q. Этот результат подсказывается решением уравнения
Лапласа, данным в § 18.3.
Ибо если х -|- iy — h ch (5 -f- if]) и если F (?) и О(т])суть решения
дифференциальных уравнений
— (Л + /п2А2 ch2 5) F (0 = 0,
-rf2^)- -j- (Л + m2h2 cos2 т;) G (f]) = 0.
то по § 19.1 F (;) G (т)) emiz будет частным решением уравнения Ла-
пласа. Если это решение содержится в общем решении
те
J* / (A ch $ cos т) cos 6 /г sh £ sin т) sin 6 —ф- iz, 6) d9,
— TC
) Это интегральное уравнение и разложения § 19.3 были опубликованы
Уиттекером (Whittaker, Proc. Int. Congress of Math., 1912). Интегральное
уравнение было известно ему еще в 1904 г.; см. Trans. Camb. Phil. Soc.,
XXI (1912), 193.
262 гл. 19. функции матье
данном в § 18.3, то естественно ожидать, что1)
f(v, 0) F(0) emv (в),
где ср (9)— функция от 6, подлежащая определению. Таким образом,
ТС
F (5) G (у) emiz — J F (0) ср (9) exp [mh ch £ cost; cos 6-|-
— It
-j- mh sh £ sin tj sin 0 miz] df).
Так как 5 и v)—независимые переменные, то мы можем поло-
жить ; = 0; таким образом, мы приходим к рассмотрению возмож-
ности того, что уравнение Матье имеет решение вида
ТС
О(т]) = f emh cos,i cosecp(0)d0.
19.22. Доказательство того, что четные функции Матье
удовлетворяют интегральному уравнению
Легко убедиться (§ 5.31, часть I) в том, что если ср(0) — анали-
тическая функция в промежутке (—к, -) и если 0(т;) определяется
равенством
ТС
о (7]) = J emh cos eos 0 ср (0) tf0t
—тс
то 0(т]) будет четной периодической целой функцией от т;, и что
4~ m2^2 cos2 Ч) @ ~
ТС
— j" {/n2A2(sin27]cos204-cos27])—mftcosTjcos 0-)-Л] emAcos,icosecp(0)d0=
— — [[mh sin 0 COS Т]ср (0) —ср' (0)} emhcos TjcosG]^
TC
4- У {ср"(0)-|-(Л 4-/n2A2cos20)cp(0)} em/tcos’icos9d0,
— TC
если проинтегрируем по частям.
Но если ср (0) — такая периодическая функция (с периодом 2-),
что
у" (0) 4- (Л 4- /и2 Л2 cos2 0) ср (0) = О,
*) Постоянная Р (0) введена для упрощения алгебраических действий.
19.22. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ МАТЬЕ 263
то как интеграл, так и проинтегрированный член равны нулю;
другими словами, G (яд), определяемая интегралом, будет периодиче-
ским решением уравнения Матье.
Следовательно, G (tj) есть четное периодическое решение Матье,
если ср (9) — периодическое решение уравнения Матье с теми же
самыми постоянными; поэтому функция ср(9) отличается лишь по-
стоянным множителем от G (9); пусть ср (9) равна XG(9).
[В случае, когда уравнение Матье имеет два периодических решения,
если только такой случай существует, мы имеем ср (0) = /.G (9) -|- Gl (6), где
G] (6) — нечетная периодическая функция; но
J gmAcosr1coseGi м
—х
обращается в нуль, и дальнейшие рассуждения не меняются.]
Если взять а и q в качестве параметров уравнения Матье
вместо А и mh, то очевидно, что тЬ = }^32д ~ k.
Таким образом, мы показали, что если G — четное периоди-
ческое решение уравнения Матье, то
ТС
G(t)) = X J* е* cos’I COS о о (0)^0
—тс
— результат, высказанный в § 19.21.
Из § 11.23 части I известно, что это интегральное уравнение
имеет решение только тогда, когда X — одно из характеристических
значений. В § 19.3 будет показано, что для таких значений X
интегральное уравнение дает простой способ для построения четных
функций Матье.
Пример 1. Показать, что нечетные функции Матье удовлетворяют
интегральному уравнению
ТС
G (т;) = X J* sin (k sin sin 6) G (0) M ').
— TC
Пример 2. Показать, что как четная, так и нечетная функции Матье
удовлетворяют интегральному уравнению
G(T|)=X J e»ftsinT,sin6G (f))
— TC
) Утверждения примеров I и 2 ошибочны. Уравнению примера 1 не
удовлетворяют функции sein, а уравнению примера 2 не удовлетворяют
264
ГЛ. 19. ФУНКЦИИ МАТЬЕ
Пример 3. Показать, что, когда эксцентриситет основного эллипса
стремится к нулю, интегральное уравнение для четных функций Матье
в пределе принимает вид
ТС
f e‘'tC°sScos nQM-
— ТС
19.3. Построение функций Матье
Теперь мы воспользуемся интегральным уравнением § 19.21 для
построения функций Матье; за каноническую форму уравнения Матье
примем
4-0+16? cos 2г) и = 0.
В частном случае, когда q равно нулю, периодические решения
получаются при а = п2, где п — любое целое число; этими решениями
тогда будут
1, cos г, cos 2г, ....
sin г, sin 2г, ...
Функции Матье, приводящиеся к этим функциям, когда q —>0,
обозначим через1)
се0(г, ?), cex(z, q~), ce2(z, q), ....
(г, ?), se2 (г, ?), ...
функции se2n и се2л+1. В этом легко убедиться, заметив, что
п л
J eik SInT,sin0se2„(6) rffl = 0.
—тс —тс
Для функции се2л+1 (т.) мы имеем доказанное выше интегральное уравнение
ТС
^2л+1(т]) = А. J eftcos^cos0c«?2n+1 (O)dO.
— ТС
Для функции se2n (4 имеет место следующее уравнение:
ТС
se2n 0)) = J* cos ’I cos 9 sh sin ’Isin ®) se2rl (0) dO
— It
[cm Boole, On Certain Classes of Mathieu Functions, Proc. London Math,
Soc. XX (1921) иВ. Купрадзе, О функциях Mathieu — Напке1’я. Труды
Матем ин-та АН СССР, V (1933), № 6]. — Прим. ред.
') Обозначения Уиттекера — косинус и синус эллиптического цилиндра,—
Прим. ред.
19.3. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИЙ МАТЬЕ
265
Чтобы вполне определить эти функции, возьмем коэффициенты
при cos «г и sinnz в рядах Фурье для cen(z, q) и sen(z, q) равными
единице.
Функции cen(z, q), sen(z, q) будем называть функциями Матье
порядка п.
Приступим теперь к нахождению ce0(z, q).
Так как ce0(z, 0) = 1, то видим, что Х->(2тс)~1, когда q-^-0.
Соответственно этому предположим, что для любого значения q
характеристическое значение величины X, соответствующее функции
се0(г, q), может быть разложено в ряд
(2—X) = 1 a.xq а2</2 -ф- • • •
и что
се0(г- <?) = 1 +?PiСО+ ?%(*)+ ••••
где av a2, ...—числовые постоянные, а ^(z), p2(z), ...—перио-
дические функции от z, не зависящие от q и не содержащие сво-
бодных членов.
Подставляя в интегральное уравнение, найдем, что
(1Н-‘М' + <М'24- •• •) U+^10)4-^2 0)+ • ••} =
п
= 2^- У* {1 К 32g1 cos г cos 6167 cos2 г cos2 6 -|- ...} \
X {1+^1(9)-Н2Ы6)+ ---Ж
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях q в этом
равенстве и используя то обстоятельство, что ^(г), р2(г), ••• не
содержат свободных членов, найдем последовательно
at = 4, Pj (z) = 4 cos 2z,
a2—14, p2 (z) — 2 cos 4z,
и получим таким путем следующее разложение:
сей(г, q)= 1 + — 28?3 Ц-— .. .)cos2z +
+ (2?2— ^%44~ • ..)соз4г-и(|^3 — ™q5+ . . .) cos 6г-ф-
+ (1Б'74- • • •)cos8z+(i~ • -)cos 102 + • •
невыписанные члены будут порядка 0(q6), когда <7—>0.
9'о. 9Q
Значение а будет —32(/2 —224^4----g—q6 Ц- О (д’8); отметим,
что коэффициент при cos 2г в ряде для се0(г, q) равен —.
Функции Матье высшего порядка могут быть получены подоб-
ным же образом из того же интегрального уравнения и из инте-
266
ГЛ. 19. ФУНКЦИИ МАТЬЕ
трального уравнения примера 1 § 19.22. Исследование сходимости
полученного ряда отложим до § 19.61.
Пример 1. Получить следующие разложения1):
(I) сей (г, q) =
ОО
_ ! + У | rllL _ 2; + О (,'*<) о». 2гг.
' 4*1 \ rlrl (гН-1)!(г4-1)! 1 * )
Г—1
(II) cet (г, q) —
, V I 2V 2r+1r/+1 ,
~cos*,+ 2m (г+ !)!>•! (г+1)!(г + 1)! +
Г=1
+ (г _ 1)Г(Г 4- 2)1+ ° } C0S (2г + !) г'
(III) set {z, q) =
V ( 2Г/ . 2r+Ir/+1 .
“ sln z + l (г + 1)! г! + (г + 1)! (г 4- 1)1 +
Г=1
+ (r_X"+2>! + °(,'"*)}Si"(2r+1)g’
( 40 1
(IV) ce2(z, q) = \—‘2q + ^q3+ О (q5) cos 2г -f-
, У J 2Г+У , 2^1г(47гг + 222г + 247)/ ь2 4 т
‘ г!(г + 2)! + З2 (г 4-2)! (г 4-3)! > f cos (Zr + Z) z,
r=l
где в каждом случае постоянная, включенная в символ О, зависит от г,
но не от z.
(Whittaker)
Пример 2. Показать, что значения а, соответствующие функциям (I)
се0 (z, q), (II) се1 (г, q), (III) se, (z, q), (IV) ce2 (z, q), будут соответственно:
(I) -32^+ 224^-?^^+ О (98),
(П) i_8?_8^ + 893-4^+O(?5),
(III) l+8<7-892 —8<73--|-94+O(<76),
Л I 80 2 6104 4 1 /4 Z
(IV) 4+з? - “2Г? + 0(9 )•
(Mathieu)
Пример 3. Показать, что если п — целое число, то
^2Л+1 (.г, q) = (—I)nse2„+1 (г+ —qV
) Главные члены этих рядов, данные в примере 4 в конце главы
(стр. 287), были получены Матье.
19.4. ХАРАКТЕР РЕШЕНИЯ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ МАТЬЕ 267
19.31. Интегральные формулы для функций Матье
Так как функции Матье удовлетворяют однородному интеграль-
ному уравнению с симметричным ядром (§ 19.22, пример 3), то
заключаем (§ 11.61, часть I), что
1С
J сет (z, q) сеп (z, q)dz = 0 (т^= п),
— ТС
J sem(z, q)sen(z, q)dz = Q (тфп),
— ТС
. ТС
J сет (z, q) sen (z, q) dz = 0.
— TC
Пример 1. Получить разложения вида:
(I) efecoszcosB_ Ancen(z, q) cen($, q),
(II) cos (Й sin z sin 0) = 2 впсеп 4) cen (0> q)<
n = 0
(III) sin (k sin z sin 6) = 2 Cnsen (z> 4) sen (0> 4)>
n=<)
где _____
k = / 32?.
Пример 2. Получить разложение
^sin?= 2 Jn(z)enlt
n- — co
как предельный случай разложений (II) и (III) примера 1.
19.4. Характер решения общего уравнения Матье;
теория Флоке
Рассмотрим теперь характер решения уравнения Матье, когда
на параметр а не наложено ограничений, необходимых для того,
чтобы уравнение имело периодические решения; этот случай —
важный в астрономических задачах, в отличие от других физических
приложений.
Метод этот применим к любому линейному уравнению с перио-
дическими коэффициентами, являющимися однозначными функциями
независимой переменной; характер общих решений некоторых част-
ных уравнений этого типа давно был подмечен астрономами, исхо>
268
ГЛ. 19. ФУНКЦИИ МАТЬЕ
лившими из обстоятельств, при которых возникают эти уравнения. Их
заключения подтвердились следующим аналитическим исследованием,
опубликованным Флоке в 1883 г.1).
Пусть g(z), h (z) — фундаментальная система решений уравнения
Матье (или, в более общем случае, любого линейного уравнения,
у которого коэффициенты имеют период 2тг); тогда, если F(z)—
любой другой интеграл такого уравнения, то будем иметь
F(z)=Ag (z)-f-BA (z),
где А и В — определенные постоянные.
Так как j—2тс), /i(z-l-2~), очевидно, решения уравнения2),
то они могут быть представлены линейными комбинациями от g(z)
и h(z) в виде
g(z-\- 2тс) = (г) 4- а2й (2), h (z 4- 2тг) = (z) 4- р2й (z),
где а1( а2, рр р2 — определенные постоянные; а тогда
F (z + 2к) = (Л04 + g (г) + (Ла2 4- £ф2) h (z).
Если А и В взяты так, что они удовлетворяют уравнениям
Ла14~ВР1 = АЛ, Ла24- Вр2 — kB,
то будем иметь
F(z + 2.v) = kF(z),
где k — постоянная3).
Эти уравнения имеют ненулевые решения тогда и только тогда,
когда
“1 —k Pi __Q
а2 р2 — k
’) Floquet, Ann. de 1’Ecole norm. sup. (2), XII (1883), 47. Анализ
Флоке является естественным продолжением теории Пикара о дифферен-
циальных уравнениях с двоякопериодическими коэффициентами (§ 20.1) и
теории фундаментального уравнения, принадлежащей Фуксу и Гамбургеру.
2) Эти решения могут и не совпадать соответственно с g (г), h (г),
так как решение уравнения с периодическими коэффициентами не обязано
быть периодическим. Возьмем, например, простой случай: и = е* sin г
является решением уравнения
du ,, ,
-37—(1 +ctg£)u = O.
3) Буква k применена в этом частном смысле только в этом параграфе.
Ее не следует смешивать с постоянной k § 19.21, которая соответствует
параметру q уравнения Матье.
19.41. МЕТОД РЕШЕНИЯ ХИЛЛА
269
Если k — какой-либо корень этого уравнения, то может быть
построена функция F (z), являющаяся решением данного дифферен-
циального уравнения и такая, что
F (z -j- 2к) = kF (г).
Определяя р уравнением k = e2!I!1 и написав <р(г) вместо e~^zF(z),
мы видим, что
(z + 2л) — е~ Iх (z+2^ F (z 4- 2л) = ср (z).
Таким образом, дифференциальное уравнение имеет частное
решение вида е^2<р(г), где <р(г) — периодическая функция с перио-
дом 2л.
Мы видели, что в физических задачах параметры, входящие в диф-
ференциальное уравнение, должны быть выбраны так, чтобы k = 1
было корнем квадратного уравнения, и тогда некоторое решение
будет периодическим. Однако в астрономических проблемах, в кото-
рых параметры являются данными, вообще говоря, k #= 1 и перио-
дического решения не существует.
В частном случае общего уравнения Матье или уравнения Хилла
фундаментальной системой решений1) будет система с^гср(г),
так как урэвнение не изменяется при замене —z на г;
полное же решение общего уравнения Матье имеет вид
и = CjC^cp (г) + c2e~v-z<? (— z),
где Ср с2 — произвольные постоянные, а р— определенная функция
от а и q.
Пример. Показать, что корни уравнения
“1 — k Pi | 0
«2 ?2 — k I
не зависят от выбора системы решений g(z) и h(z).
19.41. Метод решения Хилла
После того как общий функциональный характер решения урав-
нений с периодическими коэффициентами найден по теории Флоке,
можно было бы ожидать, что и нахождение самих решений уравне-
ний Матье и Хилла будет сравнительно просто; однако на самом
деле это не так. Например, в случае общего уравнения Матье
нужно получить решение вида
у = е*-гу (z),
’) Отношение этих решений не будет даже периодичным, тем более оно
не будет постоянным.
270
ГЛ. 19. ФУНКЦИИ МАТЬЕ
где <p(z)— периодическая функция, а р.— функция параметров а и q.
Трудность задачи заключается в определении р; когда же это сде-
лано, то определение самой функции »(д) представляет сравни-
тельно меньшую трудность.
Первый успешный метод подхода к этой задаче был опублико-
ван Хиллом в мемуаре, указанном в § 19.12; так как этот метод
для уравнения Хилла не представляет большей трудности, чем для
частного случая общего уравнения Матье, то рассмотрим прямо
уравнение Хилла, т. е.
где J(z)—четная функция от z с периодом тс.
Большой интерес представляют два следующих случая; рассужде-
ния в каждом из них будут одинаковы.
(I) Астрономический случай, когда z вещественно и для веще-
ственных значений z функция J(z) может быть разложена в ряд
J(z) = 0o-j- 20j cos 2z -|- 202 cos 4z -|- ...,
oo
где коэффициенты 0„ — заданные постоянные и ряд 2 абсо-
л=0
лютно сходится.
(II) Случай, когда z — комплексная переменная, a J(z) — анали-
тическая функция в полосе плоскости (содержащей вещественную
ось), ограниченной прямыми, параллельными вещественной оси. Раз-
ложение функции J(2) в ряд Фурье 0О4- 2 2 6Л cos ^nz тогда имеет
п1
место (§ 9.11, часть I) внутри полосы, и, как и выше, ряд 2 9Л
Л = о
абсолютно сходится.
Положив 0_„ — 0„, ищем решение уравнения Хилла в виде
и = 0>г 2 Ьпе2п1г.
л= —оо
[В случае (II) оно будет решением, аналитическим в указанной полосе
(§§ 10.2, часть I, 19.4); в случае (I) нужно будет доказать в заключение
(см. примечание в конце § 19.42), что коэффициенты Ьп таковы, что ряд
2 п2Ьп абсолютно сходится, чтобы оправдать операции, которые мы
Л= -оо
сейчас будем производить.]
После подстановки в уравнение найдем
2 (^+‘2ni)2boe^2ni^ -4-L 2 ел«2л/гХ 2 bne^+2al^ ] = 0.
СО \/l=—'ОО / ОО j
19.42. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ХИЛЛА
271
Перемножая абсолютно сходящиеся ряды и приравнивая нулю
коэффициенты при степенях е21* (§§ 9.6—9.632, часть I), получим
систему уравнений
ОО
(И н-2«Z)2 ч- 2 втЬп_т = О (п=..., -2, -1, 0, 1,2,...).
т--оо
Если исключить коэффициенты Ьп с помощью определителей
(после деления re-го уравнения на 0О—4л2 для обеспечения сходи-
мости), то получим ') уравнение Хилла:
О>-И)2-0о -0, -о2 -0з -04
42-0о 42-0о 42-0о 42 —0о 42 — 0о
-о, (Zp+2)2-0o -о. -02 -0з
22 - 0о 22 —0о 22-0о 22 —0о 22—0о
— о2 -01 (z>)2—0о -01 ~ 02
О2—0 о2-о0 о2-о0 О2-90 О2 — 0О
-03 — ®2 -0, (гр-2)2-0о -01
22—0о 22 —0о 22— 0о 22-0о 22—0о
-04 -03 — ®2 -0,
42—0о 42— 0о 42-0о 42 — On 42 — Оо
Обозначим через Д (гр.) стоящий слева определитель, который
будем называть определителем Хилла; тогда уравнение, определяю-
щее р, будет
Д(/р) = О.
19.42. Вычисление определителя Хилла
Мы найдем теперь чрезвычайно простое выражение для определи-
теля Хилла, а именно:
Д (/р) == Д (0) — sin2 (у тсгр^ cosec2 ~ 0О^.
Принимая обозначение § 2.8 части I, можем написать
Д(гр)£=[Лт,л],
где
. (г;л—2т)2—0О . —0т__ / ,
А”'- т 4/гг2 —0О ’ Ат,п~ 4т2— 0о т
’) Так как не все коэффициенты Ьп равны нулю, то мы можем полу-
чить этот бесконечный определитель как результат исключения неизвестных
(элиминант) из системы линейных уравнений, умножая уравнения системы
на надлежаще выбранные алгебраические дополнения определителя и скла-
дывая их.
272
ГЛ. 19. ФУНКЦИИ МАТЬЕ
Определитель [А1Г> будет только условно сходящимся, так как
произведение элементов главной диагонали не является абсолютно
сходящимся (§§ 2.81, 2.7, часть I).
Можно, однако, получить абсолютно сходящийся определитель,
A, (Zp) делением zi-ro линейного уравнения § 19.41 на 90 — (z’p— 2/г)2
вместо деления на 60—4га2. Напишем этот определитель A1(Zpi.)
в виде [Впц „], где
Вт, т = 1 > Вт,п~ (2/п — Zp)2 — 0О
Абсолютная сходимость ряда 2 9П обеспечивает сходимость
л = 0
определителя за исключением случая, когда р имеет такое
значение, что знаменатель одного из выражений Вт<п равен нулю.
Из определения бесконечного определителя (§ 2.8, часть I) сле-
дует, что
р
4(,w=il(.w i™ п {V-7/’-V
Р-*сюЛ=-р
и таким образом,
sin -у я (гр — jAo ) sin i г. (zp + Ув0)
Д (Zp) = - Aj (Zp)--л.
sin2 у? я УХ)
Если выписать теперь определитель At(Zp) в развернутом виде,
то легко видеть, что: (I) (Zp.) — четная периодическая функция
от р с периодом 2Z, (II) Дт (Zp.)—аналитическая функция (§§ 2.81,
3.34, 5.3, часть I) от р (если не считать очевидных простых полю-
сов), которая стремится к единице, когда вещественная часть р
стремится к + оо.
Если взять теперь постоянную К так, чтобы функция £)(р), опре-
деляемая равенством
D (р) Aj (Zp) — К | ctg 1 к (zp + /6О) — 4 ~ /9о)} >
не имела полюса в точке р = Z Х90’ т0 вследствие того, что П(р)—
четная периодическая функция от р, D (р) не будет иметь полюсов
ни в одной из точек
2raZ ± Z У 60,
где п— любое целое число.
Поэтому функция £)(р)— периодическая функция от р (с перио-
дом 2Z), не имеющая полюсов и, очевидно, ограниченная, когда
/?(р)->±оо. Условия теоремы Лиувилля (§ 5.63, часть I) удовле-
19.42. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ХИЛЛА 273
творяются, и следовательно, О(р) равна постоянной; заставляя
р—>-f-эо, видим, что эта постоянная равна единице.
Поэтому
Д1 <Ч) = 1 + к | ctg У " (Zy. + /0О) — ctg к (i|A — /%) |,
и следовательно,
siny — ^90)sin^Tt(z;x+УХ) ,, ,
Д(ф) =-----------------л------------------^Kctgf-iK-m.
Для определения К положим р — 0; тогда
Д(0)=1-Н2Кctg(±к /0^.
Отсюда после вычитания найдем
. ,/1 . \
Sin2 (-у 1U|X I
Д (Zjx) = Д (0) - ---------------------±-
sin2 "ТЧ )
что и является требуемым результатом.
Корни определителя Хилла являются поэтому корнями
уравнения
sin2 л/р j = Д (0) sin2 Q- * К60) •
Когда р таким образом определено, то коэффициенты Ьп могут
быть выражены через &0 и миноры определителя A(Zp), и решение
дифференциального уравнения Хилла на этом заканчивается.
[В случае (I) § 19.41 сходимость ряда п21 Ьп | вытекает из теоремы
§ 2.82 части I об изменении элементов в сходящихся бесконечных опреде-
СО
лителях, ибо п21 bn I равна |ft0| У \.Ст, 01: | С0: 0|, где Ст,п — минор
т оо
элемента Вт,п в определителе Д, (г;л), а У | Ст, 0| есть определитель, по-
лучаемый заменой элементов строки, проходящей через начало, числами,
модули которых ограничены.]
Хиллом было показано, что для его астрономической задачи можно по-
лучить весьма хорошее приближение для значения р., беря только три цен-
тральных строки и столбца его определителя.
274
ГЛ. 19. ФУНКЦИИ МЛТЪЕ
19.5. Теория Линдемана — Стилтьеса,
относящаяся к общему уравнению Матье
До сих пор уравнение Матье рассматривалось как линейное
дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами.
Несколько чрезвычайно интересных свойств уравнения Матье было
получено Линдеманом1) подстановкой С = cos2.?, которая преобразует
первоначальное уравнение в уравнение с рациональными коэффи-
циентами, а именно:
4Ц1 -C)-g- + 2(l-2C)-g- + (a-169 + 32^)« = 0.
Хотя это уравнение и походит несколько на гипергеометрическое урав-
нение, однако оно более высокого типа, чем уравнения, рассмотренные
в главах 14 и 16, так как оно имеет две правильные особые точки в 0 и 1
и неправильную особую точку на со, между тем как все три особые точки
гипергеометрического уравнения правильные, а уравнение для m (г)
имеет одну неправильную особую точку и только одну правильную особую
точку.
Дадим краткое изложение анализа Линдемана с некоторыми видо-
изменениями, принадлежащими Стилтьесу2).
19.51. Форма Линдемана теоремы Флоке
Так как уравнение Матье (в форме Линдемана) имеет особые
точки при '—О и С=1, причем показатели в каждой равны 0, у,
то существуют решения вида
оо 1 со
Л=0 л=0
оо 1 оо
у10=2<(1-С)”. = b'a-W;
п=0 п-0
первые два ряда сходятся, когда |С| < 1, последние—когда |1—< 1,
Если плоскость С разрезана вдоль вещественной оси от 1 до -ф оо
и от 0 до —оо, то четыре функции, определяемые этими рядами,
будут однозначными в разрезанной плоскости; соотношения вида
У10 = аУоо + ₽Уор +
будут существовать во всех точках разрезанной плоскости.
) Lindemann, Math. Ann., ХХП (1883), 117.
2) Stieltjes, Astr. Nach., C1X (1884), столбцы 14.5—152, 261—266. Ана-
лиз весьма похож на примененный Эрмитом (Hermite) в его лекциях
в Ecole Polytechnique в 1872—1873 г. [Oeuvres, III (Paris, 1912), 118—122)]
в связи с уравнением Ламе; см. § 23.7.
19.52. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ
275
Теперь предположим, что С описывает петлю вокруг начала коор-
динат, так что эта петля пересекает разрез от —оо до 0; анали-
тическим продолжением у10 будет ау(ю— ру01 (так как у00 не изме-
нится при обходе этой петли, а у01 изменит знак), а продолжением
уп будет fy00 — 8у01; таким образом, обход петли не окажет
влияния на Ay20 -j- By, если
А (аУоо + Sb>Qi)2 + в (ТЗ’оо + 8Л1)2 s А (аУоо — ₽Уо1)2 Ч- в (ЛУоо ~ sl’oi)2-
т. е. если
Лар8 = 0.
Кроме того, Лу^-f-By^, очевидно, не имеет точки ветвления также
в С = 1, и таким образом, при Лар^-В^й —0 эта функция не имеет
точек ветвления ни в 0, ни в 1; так как она не имеет других воз-
можных особых точек в конечной части плоскости, то она должна
быть целой функцией от С. Два выражения
J. 2 1 1
Л2У10-|-/В2уи, Л2у10—Ш2уп
являются, следовательно, двумя решениями уравнения Матье, про-
изведение которых — целая функция от С.
[Это равносильно тому (§ 19.4), что произведение выражений
^^(г) и —z) является периодической целой функцией от z.]
19.52. Определение целой функции, связанной
с общим уравнением Матье
Только что введенная целая функция F (z) == Лу20-|- Ву^ может
быть легко определена; ибо, если у10 и уп — какие-либо решения
уравнения
^. + P(Q^ + Q(QK = 0,
то их квадраты (а следовательно, и любая линейная комбинация их
квадратов) удовлетворяют уравнению *)
ЗР (С) $ + [Р' (С) + 4Q (С) + 2 {Р (Q}2] -^2 +
+ 2 [Q,(Q4-2/’(QQ(Q]y = 0;
') Appel, Comptes Rendus, XCI, (1880), 211—214; ср. пример 10 в конце
главы 14 (стр. 102).
276 гл. 19. функции матье
в рассматриваемом случае это уравнение приводится к
С(1-С)^ + 4(1-.2ЧД!^> +
+ (» _ 1 _ 167 + 32(/j2lL£.'4 i6fF(0 = o.
оо
Пусть 2 сп^п — РЯД Маклорена для F(C); после подстановки
я О
легко получим рекуррентную формулу для коэффициентов сп, а именно:
Vn+lCn+2 ~ апСп+1 + СЛ'
где
_(« + !) {(п4-1)2—а+ 16^} _ п (п ф-1) (2л + 1)
л~ 16? (2л 4-1) ’ " 32?(2n—1) 1
На первый взгляд рекуррентная формула как будто указывает,
что с0 и Cj могут быть взяты произвольно, а оставшиеся коэффи-
циенты с2, с3> • • • вычислены в зависимости от них; но уравнение
третьего порядка имеет особую точку при С — 1 и полученный
таким образом ряд будет иметь только единичный радиус сходимости.
Необходимо взять такое значение отношения —, чтобы ряд сходился
со
для всех значений С.
Рекуррентная формула, написанная в виде
СЛ + 2
приводит к исследованию бесконечной непрерывной дроби
! = Hm \Un + ^-, ,
мл+1 + ип + 2~Г ••• т->со I ип+1 4" ... 4" и-п + т I
Непрерывная дробь в правой части может быть написана *) в виде
ипК (п, п + т)
К (п 4-1, п 4- т) ’
где
К (n, n-\- tri) — 1 - 0 v„+l 0
Un 1 —
Vn + 2 •..
un+i 1
• • — U-' , 1 n ¥m
*) Sylvester, Phil. Mag. (4), V (1853), 446 [Math. Papers, 1, 609].
19.53. РЕШЕНИЕ )РАВНЕНИЯ МАТЬЕ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ F (') 277
Предел этого определителя при т—>оо есть сходящийся опре-
делитель типа Коха (согласно примеру § 2.82 части I); а так как
Si
vr+l
-►о
при га—>оо,
г=п
то легко видеть, что К(п, оо)—>1 при га—>оо.
Поэтому, если
сп ___ ип К (п, со)
c«+i ~~ К (« + 1> со) ’
то сп удовлетворяет рекуррентной формуле, и так как
при га-*оо, то получающийся ряд для F (С) будет целой
функцией.
Из рекуррентной формулы очевидно, что все коэффициенты сп будут
конечными, так как они конечны, когда п достаточно велико. По-
строение целой функции F (С) поэтому выполнено.
19.53. Решение уравнения Матье с помощью функции F(£)
Если и ®2 — два частных решения уравнения
то')
w2w' — = С ехр
с
- f Р(^)Л
о
где С — определенная постоянная. Принимая за Wj и w2 те два ре-
шения общего уравнения Матье, произведение которых равно F (С),
имеем
wj w2 С wj да2 Г' (С)
w, w2 2- 1 ’ ®i ®2 F (С) *
С2 (1 —С)2 А(С)
причем второе уравнение вытекает непосредственно из равенства
') Abel, Journ. fiir Math., II (1927), 22. Штрихи обозначают дифферен-
цирование относительно С
и/^2 = F (С).
278
ГЛ 19. ФУНКЦИИ МАТЬЕ
f
w, w2
Решая эти уравнения относительно - и .— и затем интегрируя,
получим
^^(сАхр^С /------------d\-----------{,
I ° с2 (i-:)2 F(t) )
w2 = Ъ {F (Q)2
где fp f2— постоянные интегрирования; очевидно, ничего не теряется
в общности, если взять с0 == — у2 = 1.
Из первой формулы находим для малых значений |С|
W1 = i+a^+|(C1+c2)c + o(rf);
с другой стороны, в обозначениях § 19.51 мы имеем
Отсюда
С2 = I6q — а — Ср
Этим равенством определяется С в зависимости от a, q и ср
причем значение сх равно
К(1, оо)/{и0Л'(0, оо)}.
Пример 1. Показать, что для числа р в решениях уравнения Матье
е± (± г), где <р (г)— периодическая функция, имеем соотношение
, с dz
Itp = ± С / =7--5—г .
J F (cos2 г)
о
Пример 2. Показать, что все нули функции Fпростые, если
только С =£0.
(Stieltjes)
[Если бы F (С) имела кратный нуль, то wt и w2 имели бы тогда суще-
ственно особую точку.]
19.6. Второй метод построения функции Матье
До сих пор принималось, что все ряды § 19.3, дающие выра-
жения для ceN(z, q) и seN(z, q), сходятся.
Теперь будет доказано, что ceN(z, q) и seN(z, q) — целые
функции от z и что коэффициенты их разложений в ряды
19.6. ВТОРОЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИИ МАТЬЕ 279
Фурье являются степенными рядами относительно q, которые
сходятся абсолютно, когда |^| достаточно мал1).
Чтобы получить этот результат для функций ceN(z, q), покажем,
как определяется частный интеграл уравнения
//2»г
+ (а Ч~ 1cos 2z) и = ф (a, q) cos Nz
в виде ряда Фурье, сходящегося во всей плоскости z; ф(а, q) — функ-
ция параметров а и q. Уравнение ф(а, д) = 0 определяет тогда соот-
ношение между а и q, которое приводит к функции Матье. Чита-
тель, знакомый с методом Фробениуса2) для разыскания решений
линейных дифференциальных уравнений в виде степенных рядов,
заметит сходство нижеследующего анализа с его методом.
Положим а~№4~8р, где N—нуль или положительное или отри-
цательное целое число. Уравнение Матье примет вид
— 4- Д/2ц = — 8 (р + 2q cos 2z) и.
Если пренебречь р и q, то одним из решений этого уравнения
будет
и = cos Nz — Uo (z).
Чтобы получить более точное приближение, представим
— 8 (р -|- 2q cos 2z) Uo (z)
в виде суммы косинусов, т. е. в виде
— 8 [<?cos(N— 2)z-j- р cos Nz -ф- q cos (N -ф- 2) z] =V\(z).
Затем, вместо того чтобы решать уравнение
~ 4- №и = V. (z),
отбросим члены3) в V\(z), которые содержат cos Nz, т. е. рассмо-
трим функцию W1(z), где
ITj (z) = V\ (z) -ф- 8p cos Nz.
') Существенной частью этой» теоремы является доказательство схо-
димости рядов, которые встречаются в коэффициентах-, уже известно
(§§ 10.2, 10.21, часть I), что решения уравнения Матье будут целыми функ-
циями от г, а существование разложения Фурье (в случае периодических
решений) вытекает из §9.11 части I.
2) Frobenius, Journ. fur Math., LXXVI (1873), 214—224.
3) Основанием для такого отбрасывания служит то обстоятельство,
что частный интеграл уравнения = cos № содержит непериоди-
ческие члены.
280
ГЛ. 19 ФУНКЦИИ МАТЬЕ
Одним из интегралов уравнения
^ + ^2« = ^(z)
будет
и = 2 {1 (11 jyjcos ~~ 2) z + ТТГТ77)cos (iV +2) z } = U ’
Представим теперь —8 (р 2^ cos 2z) Ux (z) как сумму косинусов;
обозначив эту сумму через V2(z), возьмем а2 в виде такой функции
от р и q, что V2 (z)а2 cos ?7г не содержит члена с cosA/z, и
положим
V2 (2) Н- «2 COS Nz — ^2 </)•
Решим уравнение
- g + №« = r2(z)
и будем продолжать тот же процесс. Таким путем мы получим три
совокупности функций U,n(z), Vm(z), Wm(z), которые определены
так, что U,n(z) и Wm(z) не содержат члена с cosA/z, когда т =£ 0, и
(*) = Vm (Z) + am COS Nz,
Vm (z) = — 8 (p + 2^ cos 2z) Um_x (z),
^^ + №t7m(z)^U7m(z),
где am — функция от p и q, но не от z.
Тогда
п п п / П \
{-£2я'» c°s^=
т-0 т-1 т = 1 'т-1 >
— — 8 (р -+- 2q cos 2z) Um_x (z) + f a„j cos Nz.
m=0 \m = l /
Поэтому, если U (z')=^Um(z) — равномерно сходящийся ряд
m -0
аналитических функций в некоторой двумерной области плоскости z,
то мы имеем (§ 5.3, часть I)
- j- (а + 1 Gq cos 2z) U (z) = ф (a, q) cos Nz,
где
ф(а, q)= 5 a„(.
m-l
19.61. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ФУНКЦИИ МАТЬЕ 281
Очевидно, что если а взято так, что ф(а, ^) = 0, то U (z) при-
водится к ceN(z).
Подобный же процесс, очевидно, может быть выполнен для
функций seN(z, q), если применим синусы аргументов, кратных z.
19.61. Сходимость рядов, определяющих функции Матье
Рассмотрим теперь разложения § 19.6 более подробно с целью иссле-
довать сходимость содержащихся в них рядов.
Когда n > 1, очевидно, можно положить
Un(z) = 2* Эл, г cos GV— 2г)г4-2ал.г cos (N + 2r)z,
rl r=i
причем звездочка обозначает, что первое суммирование распространяется
до наибольшего значения г, для которого г <1 N.
Так как
( d* 2 1
{ } Un+l (г) = ал+1 cos Nz—8 (p + 2q cos 2г) Un (г),
то из сравнения коэффициентов при cos ± 2г) г в обеих частях уравне-
ния ‘) находим
ап+1 =8? (“л, 1 + ?л, 1)>
г(г + ^ял+1.г = 2{ра„1Г + 9(ял,г_1 -Нл, г+1)} (Г = 1, 2, ...),
r(r-^p„+1,r = 2{p3„,r + ?(p„,r_,+p„,r+1)}
Эти формулы будут справедливы при всех значениях индексов, если принять
следующие соглашения 2):
(1) ал, 0 = ?л, о — О (П = 1, 2, ...), ал, г — Рл, г — 0, (г > П),
(II) В , = Р 1 , когда Лг четное и г = -i N,
(III) р , =? 1 , когда .V нечетное и r—\(N—I).
Л, у(Л + 1) Л, у(ЛГ-1) 2
Легко получить следующие частные формулы:
(Г) а, = 8р (АГ =/= 1), я. =8(/> + ?) (tf=l),
:)a\n № 2п+1ап
«•"да •"-W <"-»>
(ИГ) ал>, и '1п г — однородные полиномы п-й степени относительно р и q.
') Когда N—Q или 1, эти уравнения должны быть видоизменены отбра-
сыванием всех коэффициентов рЛ1 г.
2) Соглашения (II) и (III) возникают благодаря тому, что
cos г = cos (— г), cos 2г = cos (— 2г).
282
ГЛ. 19. ФУНКЦИИ МАТЬЕ
со со
Если 2 ап, г = Л, 2 ?л. г ~ &г' то мы имеем:
п-т п-г
^(а, 9) = 8р + 89(Л,+В,) (М^1)
г (г + N) Аг = 2 {pAr + q (Аг_, + А, ^)), (А)
г (г— N) Вг = 2 {pBr + q (Вг_, + Вг+,)}, (В)
где Ао == Во = 1 и Вг подчиняется условиям, вытекающим из (II) и (III).
Положим теперь
wr = — q {г (г + N) — 2р}-1, да' = — 9 {г (г — Лг) — 2р)-1.
Результат исключения А], А2,..., Ar_t, Ar+l,... из совокупности урав-
нений (А) выразится так:
а,д0 = (—I/ . wrar,
где Д,—бесконечный определитель типа Коха (§ 2.82, часть I):
1 wr+l 0 0 ...
да,+2 1 да,+2 0 ...
О да,+з 1 да/ + з-.-
Этот определитель сходится абсолютно (пример § 2.82, часть I), если
знаменатели у всех да, отличны от нуля; Д,->1, когда г->са (§ 19.52).
Далее, если р и q заданы так, что До =£ 0, 2р г (г П)'), где г = 1, 2, 3,...,
то ряд
ОО
У, (—1)гда1да2 ... дагДгД5‘1 cos (N + 2r) z
г \
представляет целую функцию от г.
Подобным же образом BrZ>0 = (—1)гда1да2 ... »,£>,, где Dr—определи-
тель конечного порядка:
1 да'+1 0 ...
®г+2 1 ®г+2 • • •
') Действительно, если |^|<1, можно показать, что Д0¥=О и 'Ip-Prtr4-П)
при всяком N.
Для этого необходимо принять во внимание взаимное расположение
характеристических чисел а — N2 -|- 8р и асимптотический характер их рас-
пределения, вытекающий из вариационного принципа для собственных зна-
чений уравнения типа Штурма — Лиувилля, каковым является уравнение
Матье.
Подробно см. В. Д. К у п р а д з е, Специальные задачи дифракции в тео-
рии упругости (Труды Математического ин-та Академии наук СССР,
1933, № 6). — Прим. ред.
19.61. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ФУНКЦИИ МАТЬЕ 283
Последняя строка в этом определителе будет 0, 0.О, 2w1 , 1 или
-- N
0,0, ..О, w', , 1 4-w, , смотря по тому, будет ли N четным или
- (N—1)
нечетным. Поэтому ряд 2 Un {г) имеет вид
л = 0
cos Nz + Д"1 2 (—1/ wi®2 • • • wAr cos (^ + 2r) z -f-
+ Do 1 2 (—l)r®iw2 • • • w'pr cns ~r) г-
r-l
Входящие в это выражение ряды сходятся равномерно в любой ограни-
ченной области значений z, так что допустимо почленное дифференцирование.
Далее, условие ф («, Q) = 0 эквивалентно условию
(WjAj WjOj \
т. е.
Р\Ро — Я (“'АЧ + wj д0)=0.
Если мы обе части этого уравнения помножим на
'<4*
II { 1 _ г (/ + ДО } II { 1 ~ r(r-N) } ’
Г —1 Г=1
то слева получим целую функцию Т (a, q) от р, q; члены функции Ч/ (a, q)
с наименьшими степенями относительно р и q Ъчнуч соответственно
Р И “Н Д'—1 “ТТ+Т Ь
Разложим теперь интеграл
1 Г Р dW(N^ + Sp,q)
2л/7 Y(№ + 8p, q) др р
по возрастающим степеням q (§ 7.31, часть I), принимая за контур интегри-
рования малую окружность в плоскости р с центром в начале координат
и предполагая \q\ настолько малым, что Ф (№ + 8р, <?) имеет только один
нуль внутри этого контура. Тогда, как в § 7.31, найдем, что для достаточно
малых значений | q | мы можем разложить р в степенной ряд по q, начинаю-
щийся ') с члена q2\ и если | q\ достаточно мал, то Do и До не будут равны
нулю, так как они оба равны 1 при q ~ 0.
') Если N— 1, этот результат видоизменится, так как тогда имеется
добавочный член q в правой части, а член -z~—«- выпадет,
2 V 1
284
ГЛ. 19. ФУНКЦИИ МАТЬЕ
Подставив вместо р его выражение через q в ряд для U (г), видим, что
ряды, фигурирующие в ceN (г, q), абсолютно сходятся при | q | достаточно
малом.
Ряды, фигурирующие в seN(z,q), очевидно, могут быть исследованы
подобным же образом.
19.7. Метод замены параметра1)
Методы Хилла и Линдемана — Стилтьеса позволяют определить р, но
лишь после сложного анализа. Такой анализ неизбежен, так как р. отнюдь
не простая функция от q\ это можно видеть, давая q определенное веще-
ственное значение и изменяя а от —оо до -|-со; тогда р поочередно при-
нимает вещественные и комплексные значения; переход от одних значений
к другим происходит, когда в обозначениях Хилла — Матье функция
Д (0) sin2 проходит через значения 0 и 1; сложный характер этого
поведения объясняется тем, что Д (0) есть сложное выражение, содержащее
как а, так и q.
Тем не менее удается выразить р и а через q и новый параметр а;
получаемые результаты весьма хорошо приспособлены для числовых вычи-
слений, когда | q | мал 2).
Введение параметра а подсказывается рядами для cet (z, q) и se, (z, q),
данными в примере 1 § 19.3; рассмотрение этих рядов приводит к иссле-
дованию возможностей решения общего уравнения Матье в виде у — (г),
где
<р (г) = sin (г — о) -|- а3 cos (Зг — а) + b3 sin (Зг — а) -|- а5 cos (5г — а) -f-
+ й5 sin (5г —а) + ...,
причем параметр а определяется вследствие того, что в ср (г) должен отсут-
ствовать член с cos (г — а); функции sex (z, q), сех (г, q) являются частными
случаями такого решения, когда а равно 0 или -j я.
Подставив это выражение в уравнение Матье, читатель легко получит
следующие приближения, годные для 3) малых значений q и вещественных
значений а:
[J. — 4<? sin 2а — 12<73 sin 2а — 12<?4 sin 4а О (q3),
а = 1 + 8q cos 2а -f- (— 16 8 cos 4а) q2 — 8q3 cos 2а -|-
+ - 88 cos 4a\ q* -f- О (?5),
274 .
-g- SIH
a3 = 3q2 sin 2a 3q3 sin 4a — -7^-2 sin 2 a 9 sin 6a q' -f- О (q3),
/14 \ / 74 \
q2 cos 2a -|- (------g- 5 cos 4a j q3 -|- I — — cos 2a-}-7 cos 6a j ^4-(- О (q3),
14 44
«5 = -g- V3 sin 2a + 27 q* sin 4a -f- О (g5),
>) Whittaker, Proc. Edinburgh, Math. Soc., XXXII (1914), 75—80.
г) Они были применены к задаче Хилла Айнсом (Ince, Monthly Notice
oi the R. A. S„ LXXV (1915), 436—448).
3) В этом анализе следует рассматривать как основные параметры q
и а вместо а и q, как это было до сих пор.
19.8. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ МАТЬЕ 285
, 1 2 , 4 . „ . / 155 82 \ _
*5 = у Я2 + g- Я cos 2а + ( — cos 4а j q* + О (qs),
«7 = ТйГ sin 2з + ° (?5)- *7 = ту 93 + ту cos 2а + О (<у5),
1UO 10 LZ
Яд = О (?*), *9 = q* + О (q5),
причем постоянные, входящие в О (q5), зависят от а.
Область значений q и а, при которых эти ряды сходятся, пока еще не
определена ’).
Если полученное таким образом решение обозначить Л (г, a, q), то Л (г, а, q)
и Л (г,—а, q) образуют фундаментальную систему решений общего урав-
нения Матье при р =£ 0.
Пример 1. Показать, что при а = i X 0,5 и q = 0,01
а = 1,1248414 ...
р = z'XO,0469935 ...;
показать также, что при а = I и q = 0,01
а= 1,3211693 ...
Р = i X 0,1450276 ...
Пример 2. Получить уравнения
р = 4<? sin 2а — 4^zz3,
а = 1 8q cos 2а — р2 — 8?J3,
выражающие р и а в конечном виде как функции от q, а, а3 и &3.
Пример 3. Получить рекуррентные формулы
{— 4п (и + 1) + 8? cos 2а — 8qb3 ±
± 8qi (2п + 1) (а3 — sin 2а)} г2п+1 + 8q (z2n_i + г2„+3) = О,
где г2п+1 обозначает b2n+l-\- ia2n+x или 62л+1— za2n+i> смотря по тому,
берется ли верхний или нижний знак.
19.8. Асимптотическое решение уравнения Матье
Если в уравнении Матье
+ (а + у cos 2г) ц = 0
положить k sin z = 5, то получим
(£2- ^2) -$ + +(52_ ЛГ) м = °’
где
ЛР = а+у £2.
’) Весьма вероятно, что если | q | достаточно мал, то ряды сходятся
для всех вещественных значений а и также для комплексных значений с,
для которых |Ima| достаточно мал. Отметим, что если q вещественно,
то вещественные и чисто мнимые значения а соответствуют вещественным
и чисто мнимым значениям р.
286
ГЛ. 19. ФУНКЦИИ МАТЬЕ
Это уравнение имеет неправильную особую точку в бесконечности.
По его сходству с уравнением Бесселя положим и = el'i 2 v и будем
искать v в виде
« = 1+^-+-^-+
тогда найдем, что
“2 = “ I (4 “ м2 +*’) (т “ м2 +k2) + Т k*'
причем дальнейшие коэффициенты определяются рекуррентной формулой
2/(г + 1)аг+,={{-Л42 + Л2 + г(г + 1)|--Ь
(Q \
Г2 — 2г -f- 4-) ^2«г-2-
Два ряда
^4(1+^-+-^-+ ...), .-V2(i—...)
являются формальными решениями уравнения Матье, приводящимися к из-
вестным асимптотическим решениям уравнения Бесселя (§ 17.5), когда Л->0.
Окончательные формулы, связывающие их с решениями е* (± г), еще
неизвестны, хотя некоторые шаги к получению их и сделаны Дауголлом
(Dougall, Proc. Edinburgh Math. Soc., XXXIV, 176—196).
ЛИТЕРАТУРА1)
E. L. Mathieu, Journ. de Math. (2), XIII (1868), 137—203.
O. W. Hill, Acta Mathematica, VIII (1886), 1—36.
O. Floquet, Ann. de l’£cole norm. sup. (2), XII (1883), 47—88.
C. L. F. Lindemann, Math. Ann., XXII (1883), 117—123.
T. J. Stieltjes, Astr. Nach., CIX (1884), столбцы 145—152, 261—266.
A. Lindstedt, Astr. Nach., CIII (1882), столбцы 211—220, 257—268; CIV
(1883), столбцы 145—150; CV (1883), столбцы 97—112.
H. Bruns, Astr. Nach., CVI (1883), столбцы 193—204; CVII (1884), столбцы
129—132.
R. C. Macl aurin, Trans. Camb. Phil. Soc., XVII (1899), 41—108.
K. A i c h i, Proc. Tokyo Math, and Phys. Soc. (2), IV (1908), 266—278.
E. T. Whittaker, Proc. International Congress of Mathematicians, Cambridge,
1912, I, 366—371.
E. T„ Whittaker, Proc. Edinburgh Math. Soc., XXXII (1914), 75—80.
O. N. Watson, Proc. Edinburgh Math. Soc., XXXIII (1915), 25—30.
A. W. Young, Proc. Edinburgh Math. Soc., XXXII (1914), 81—90.
E. Lindsay Ince, Proc. Edinburgh Math. Soc., XXX.III (1915), 2—15.
J. Dougall, Proc. Edinburgh Math. Soc., XXXIV (1916), 176—196.
M. Д. О. Стретт, Функции Ляме, Матье и родственные им в физике и
технике, ОНТИ — ДНТВУ, Харьков—Киев, 1935.
Н. В. Мак-Лахлан, Теория и приложения функций Матье, ИЛ, М., 1953.
) Полная литература указана Эмбером (Humbert, Fonctions de Mat-
hieu et fonctions de Lame, Paris, 1926).
ПРИМЕРЫ
287
Примеры
1. Показать, что при Л =
ТС
‘2r.ceQ (z, q) = сеа (0, q) J* cos (k sin z sin fl) ce0 (B, q) d9.
— TC
2. Показать, что четные функции Матье удовлетворяют интегральному
уравнению
тс
G (z) — Л J* /0 {/& (cos г 4- cos 0)} G (0) d9.
— ТС
3. Показать, что уравнению
(а^2 + с) + 2аг + (Х2<*2 + «) « = О
(где а, с, к, т—постоянные) удовлетворяет интеграл
и = J* e'~zs4 (s) ds,
взятый вдоль надлежащего контура, если только \ (s) удовлетворяет уравнению
о»2+с) +2as -Чг+<№s2+m) v (s>=°-
тождественному с уравнением для и.
Получить интегральные уравнения, которым удовлетворяют функции
Матье, как частные случаи этого результата.
4. Показать, что если пренебречь степенями q выше четвертой, то
се, (г, q) = cos z + q cos Зг + q2 cos 5г — cos 3г -f-
+ q3 cos 7г —i cos 5z -f- cos 3г \ -f-
1 О «7 О j
+ q* cos 9г —— cos 7г cos 5г-f- cos Зг^,
set (z, q) — sin г 4- q sin 3г 4- q2 sin 5г 4- sin 3г j
+ q3 sin 7г -f- у sin 5г 4. -i- sin Зг^ 4-
+ (fin sin 9г 4-^ sin7г 4-4- sin 5г— 44 sinSzV
\loU 1Z о у j
(2 \ 1
ce2 (г, q} = cos 2г 4- q 1-^- cos 4г— 2) 4--^ q2 cos 6г 4-
\ О /V
+qi (35cos 8г + cos 4г + у) + (яб cos 10г+Яб cos 6г) •
(Mathieu)
288
ГЛ. 19. ФУНКЦИИ МАТЬЕ
5. Показать, что
се3 (z, q) = cos 3z 4- q (— cos z 4- cos 5г -|-
+ q2 (cos z + cos 7z} + q1 (— j cos z 4- cos 5z 4- i cos 9z^ 4- О (q<)
и что в этом случае
а = 9 4* 4</2 — 8<7э 4- О (д').
(Mathieu)
6. Показать, что если у (г) — функция Матье, то второе решение соот-
ветствующего дифференциального уравнения будет
Z
У (г) f {y(t)}~2dt.
Показать, что второе решение ) уравнения для се0 (z, q) будет
zce0 (z, q) — 4д sin 2z — 3q2 sin 4г — ...
7. Показать, что если у (г)—решение общего уравнения Матье, то
отношение
{у (г4-2я)4-у (г —2п)}
У 00
постоянно.
8. Выразить функции Матье как ряды по функциям Бесселя, в которых
коэффициенты пропорциональны коэффициентам в рядах Фурье для функ-
ций Матье.
[Подставить ряд Фурье под знак интеграла в интегральные уравне-
ния § 19.22.]
9. Показать, что предельной формой уравнений для сеп (z, q) и sen (z, q),
кегда эксцентриситет основного эллипса стремится к нулю, будет уравнение,
которому удовлетворяет функция Jn (Ik cos z).
10. Получить функции параболического цилиндра главы 16 как предель-
ные формы функций Матье, заставляя эксцентриситет основного эллипса
стремиться к единице.
11. Показать, что cen(z, q) может быть разложен в ряд вида
Am cos2m г или 2 &т cos2m+l z,
т=0 т-0
смотря по тому, будет ли п четным или нечетным; показать также, что эти
ряды сходятся, когда | cos z | < 1.
12. При обозначениях примера 11 показать, что если
те
Un (z, q) = b„ f ek cos г cos '‘cen (6, q) M,
') Это решение обозначается через ina (z, q); вторые решения уравнений,
которым удовлетворяют функции Матье, исследованы Айнсом (Ince, Proc.
Edinburgh Math. Soc., XXXIII (1915), 2—15). См. также § 19.2.
ПРИМЕРЫ
289
то Хл дается одним из рядов
Л = 2^п S ^(т!)2 й» = 2^k 2 2^^+ 1)! Вт’
если эти ряды сходятся.
13. Показать, что дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет
произведение каких-либо двух решений уравнения Бесселя порядка п, будет
9 (9— 2п) (9 4- 2п) и 4- 4г2 (9 4- 1) и = О,
где 9 обозначает г .
аг
Показать, что одно из решений этого уравнения есть целая функция
от г; получить затем по методам §§ 19.5—19.53 функции Бесселя, разобрав
специально частный случай целого п.
14. Показать, что уравнение
//2»»
+ (H4-^sh2z)u=0
имеет приближенное решение
£
и = С (cosech г)2 sin (k ch г 4- С.
где Сие — постоянные интегрирования; предполагается, что k велико,
А не слишком велико и г не мало.
10
ГЛАВА 20
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
20.1. Двоякопериодические функции
Наиболее важное свойство тригонометрических функций sinz,
cose, tgz, ... заключается в том, что если f(z) обозначает какую-
нибудь из них, то
/(^+2к) = /(^),
а отсюда f(z-j-2mt) — f(z) для всех целых значений п. На осно-
вании этого свойства тригонометрические функции часто описывают
как периодические функции с периодом 2т. Чтобы отличать их от
функций, которые рассматриваются в этой и двух последующих
главах, их называют однопериодическими функциями.
Пусть Юр со2— какие-нибудь два числа (вещественные или ком-
плексные), отношение ') которых не чисто вещественно.
Функция, удовлетворяющая уравнениям
/ (г2u>j) = / (г), /(z + 2«>2) = /(z)
для всех значений z, для которых / (z) существует, называется
двоякопериодической функцией от z с периодами 2ео1, 2ю2.
Двоякопериодическая функция, если она аналитическая и не имеет
никаких особых точек, кроме полюсов в конечной части плоскости,
называется эллиптической функцией.
[Примечание. Выражение, называемое теперь эллиптическим
интегралом* 2), встречается в исследованиях Якова Бернулли по теории
‘) Если вещественно, то параллелограммы, определяемые в § 20.11,
сплющиваются, и функция приводится к однопериодической функции, если
О)2 W2 - о -
-=• рационально; если же иррационально, то, как было показано Якоби
(7а cob 1, Journ. fiir Math., XIII (1835), 55—56. [Ges. Werke, II (1882), 25—26]),
функция приводится к постоянной.
2) Краткое изложение эллиптических интегралов читатель найдет
В §§ 22.7—22.741.
20.11. ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ ПЕРИОДОВ 291
упругости. Маклорен, Фаньяно (Fagnano), Лежандр и другие рассматривали
такие интегралы в связи с задачей спрямления дуги эллипса; идея «обра-
щения» эллиптического интеграла (§ 21.7) для получения эллиптической
функции принадлежит Абелю, Якоби и Гауссу.]
Периоды 2(0^ 2w2 играют примерно ту же роль в теории эллип-
тических функций, какую один период играет в случае тригономе-
трических функций.
Прежде чем фактически построить какие-нибудь эллиптические
функции и даже до установления существования таких функций,
удобно будет привести доказательство некоторых общих теорем
(§§ 20.11—20.14) о свойствах, присущих всем эллиптическим функ-
циям; такой способ изложения, не будучи строго логичным, удобен
тем, что весьма многие свойства специальных эллиптических функ-
ций могут быть получены простой ссылкой на эти теоремы.
Пример. Производная эллиптической функции сама является эллип-
тической функцией.
20.11. Параллелограммы периодов
Изучение эллиптических функций значительно облегчается геомет-
рическим представлением на комплексной плоскости.
Предположим, что в плоскости переменной z мы отметили точки 0,
2о>г, 2о)2, 2ш1-|-2(о2 и вообще все точки, комплексные координаты
которых имеют вид 2тш1 -ф- 2/гш2, где т и п— целые числа.
Соединив последовательно точки 0, 2(0^ 2ш1-|~2(о2, 2ш2, 0, мы
получим параллелограмм. Если внутри или на границе этого парал-
лелограмма (исключая вершины) нет точки ш такой, что
f (z -ф- о>) = f (г)
для всех значений z, то этот параллелограмм называется основным
параллелограммом периодов для эллиптической функции с перио-
дами 2(ор 2со2.
Ясно, что плоскость z можно покрыть сетью параллелограммов,
равных основному параллелограмму периодов и одинаково с ним
расположенных, причем каждая из точек -|- 2пш2 является вер-
шиной четырех таких параллелограммов.
Эти параллелограммы называются параллелограммами периодов’,
для всех значений z точки
z, z “I- 2(0;, . .., z “I- 2/ткоj —|— 2/ко2, ...,
очевидно, занимают сходственные положения в параллелограммах
периодов; любые две такие точки называются сравнимыми. Срав-
нимость двух точек z, z' обозначается так:
z' ^z (mod 2(0^ 2(о2).
10*
292 гл. 20. эллиптические функции
Из основного свойства эллиптических функций вытекает, что
эллиптическая функция принимает одно и то же значение в сравни-
мых точках; таким образом, ее значения в любом параллело-
грамме периодов являются простым повторением ее значений
в любом другом параллелограмме периодов.
Иногда при интегрировании неудобно пользоваться параллело-
граммом периодов, если он имеет особые точки подинтегральной
функции на своей границе; принимая во внимание периодичность
эллиптических функций, можно вместо параллелсграмма периодов
в качестве контура взять параллелограмм, полученный таким пере-
носом первого (без вращения), чтобы ни один из полюсов рассмат-
риваемой подинтегральной функции не лежал на сторонах нового
параллелограмма. Такой параллелограмм называется ячейкой.
Очевидно, что значения, принимаемые эллиптической функцией
в ячейке, являются просто повторением ее значений в каком-либо
параллелограмме периодов.
Совокупность полюсов (или нулей) эллиптической функции в ка-
кой-нибудь данной ячейке называется неприводимой-, все другие
полюсы (или нули) функции сравнимы с каким-нибудь из них.
20.12. Простые свойства эллиптических функций
(I) Число полюсов эллиптических функций в любой ячейке
конечно. Ибо в противном случае полюсы имели бы предельную
точку в силу двумерного аналога теоремы § 2.21 (часть I). Эта
точка была бы (§ 5.61, часть I) существенно особой точкой функ-
ции; таким образом, по определению, функция не была бы эллипти-
ческой.
(II) Число нулей в эллиптической функции f (z) в любой ячейке
конечно. Ибо в противном случае функция \lf(z) имела бы бес-
конечное число полюсов в ячейке и поэтому имела бы существенно
особую точку; эта точка была бы также существенно особой точ-
кой первоначальной функции, которая поэтому не была бы эллип-
тической. [Доказательство предполагает, что функция не равна
тождественно нулю.]
(III) Сумма вычетов эллиптической функции f(z) в ее полю-
сах в любой ячейке равна нулю.
Пусть С—контур, образованный сторонами ячейки, и пусть
вершинами ячейки будут t, Z-|-2(o1, t 2(ог Д- 2ю2,
[Примечание. В дальнейшем периоды эллиптической функции обо-
значаются через 2о>,, 2<о2 не в произвольном порядке, а в таком, чтобы
(Dn
отношение имело положительную мнимую часть, и тогда направле-
ние обхода С, указанное порядком вершин, данным выше, будет против
часовой стрелки.
20.13. ПОРЯДОК ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
293
Во всей этой главе мы обозначаем символом С контур, составленный
сторонами ячейки.]
Сумма вычетов функции f (г) в ее полюсах внутри контура С
равна
/ + 2a>t t +2(i)i+ 2о)? / + 2и>;
J 2nl I
c ( t
/ + / + f + f
/+2o)| /+2<i)i + 2(j>2 /+2o)2
Bo втором и третьем интегралах заменим z + 2wp z + 2w2 соот-
ветственно через z; тогда правая часть примет вид
t + 2(0!
/ + 2о>'
и каждый из интегралов равняется нулю в силу периодичности
функции /(z); итак, j /(z)rfz = 0, и теорема доказана.
(IV) Теорема Лиувилля’1). Эллиптическая функция f(z), не
имеющая полюсов в ячейке, есть постоянная. Если /(z) не имеет
полюсов внутри ячейки, то она аналитическая (а следовательно,
ограниченная) внутри и на границах ячейки (следствие II § 3.61,
часть I); другими словами, имеется такое число К, что |/(z)|</C,
когда z находится внутри или на границе ячейки.
Из периодических свойств функции /(z) вытекает, что f (z)
аналитическая и |/(z)|</C для всех значений z; следовательно,
по § 5.63 части I / (z) — постоянная.
Ниже увидим, что очень большое число теорем, относящихся
к эллиптическим функциям, может быть доказано при помощи этого
результата.
20.13. Порядок эллиптической функции
Покажем теперь, что если f (z) — эллиптическая функция и с —
какая-нибудь постоянная, то число корней уравнения
f<z) = c.
лежащих в ячейке, зависит только от f (z), но не от с; это
число называется порядком эллиптической функции и равняется
числу полюсов функции f (z) в ячейке.
‘) Эта модификация теоремы § 5.63 части I и является тем результатом,
на котором Лиувилль основал свой курс лекций по эллиптическим функциям.
294 гл. 20. эллиптические функции
В силу § 6.31 части 1 разность между числами нулей и полю-
сов функции / (г)— с, лежащих в ячейке С, равна
1 dz.
2та ./ /(г)—с
С
Так как f (z + 2(0^ = f (z + 2<o2) = f (z), то делением контура
на четыре части, как в § 20.12 (III), найдем, что этот интеграл
равен нулю.
Поэтому число нулей функции /(z)— с равняется числу полю-
сов функции f (z)—с; но любой полюс функции /(z) — с, очевидно,
будет полюсом функции f (z), и наоборот; отсюда число нулей функ-
ции / (z) — с равняется числу полюсов функции / (z), которое не
зависит от с; теорема, таким образом, доказана.
[Примечание. При определении порядка эллиптической функции
числом ее неприводимых полюсов следует каждый полюс считать соответ-
ственно его кратности, как это ясно из § 6.31 части I.]
Порядок эллиптической функции не может быть меньше 2,
ибо эллиптическая функция порядка 1 должна иметь единственный
неприводимый полюс, и притом простой; но если бы эта точка
действительно была полюсом, а не обыкновенной точкой, то вычет
в ней был бы отличен от нуля, что противоречит результату
§ 20.12 (III).
Простейшими по числу особых точек эллиптическими функциями
являются функции второго порядка. Такие функции могут быть раз-
делены на два класса: (I) функции, имеющие только один неприво-
димый двойной полюс, в котором вычет равен нулю в соответствии
с § 20.12 (III); (II) функции, имеющие два простых полюса, в кото-
рых по § 20.12 (III) вычеты численно равны, но противоположны
по знаку.
Функции, относящиеся к этим двум классам, рассматриваются
в этой главе и в главе 22 соответственно под названием эллипти-
ческих функций Вейерштрасса и Якоби; будет показано, что любая
эллиптическая функция может быть выражена через функции любого
из этих типов.
20.14. Соотношение между нулями и полюсами
эллиптической функции
Покажем теперь, что сумма аффиксов совокупности непри-
водимых нулей эллиптической функции сравнима с суммой
аффиксов совокупности неприводимых полюсов. Из § 6.31 части I,
во введенных нами обозначениях, следует, что разность между
20.2. ПОСТРОЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
295
рассматриваемыми суммами равна
' <+2(0! /+2ш1 + 2ш3
_L f zf' ^ dz — —
2iti J f(z) az — 2t.I
c
f+2u)i
/+2ш,
_ J_ f рГ(г)
2w ./ ( f(z)
f + 2(0j
X ?
2л/ ,/
/ + 2с1>2
(z 4~ 2<q2) f' (z 4- 2<q2)
f (z 4- 2o>2)
(£ 4- 2o) j) ff (z 4- 2o>j)
A*+ 2(0!)
4И*=
/И
2ш2
/+2(d2
f
t t
= X { _ 2оз2 [lg f (z)}^' 4- 2(0, [1g / (г)] ,
если воспользоваться подстановками, примененными в § 20.12 (III),
и периодичностью функций / (z) и Но f (г) имеет в точ-
ках £4~2“р t 4- 2ш2 те же самые значения, что ив/, так что зна-
чения функции lg f (z) в этих точках могут отличаться от значения
функции lg f(z) в t только на целые кратные числа 2л/, скажем
на —2пл/, 2/пл/; таким образом, мы получим
X [Xffi- dz = 2/пш, 4- 2шо2,
2л/ ,/ /(г) 1 1 2
с
и следовательно, сумма аффиксов нулей минус сумма аффиксов
полюсов равна периоду; а это и есть тот результат, который надо
было установить.
20.2. Построение эллиптической функции.
Определение функции ^(г)
Как мы видели в § 20.1, можно ожидать, что эллиптические
функции обладают некоторыми свойствами, аналогичными свойствам
тригонометрических функций. Поэтому естественно ввести эллипти-
ческие функции в анализ с помощью определения, аналогичного
одному из тех, которые могут быть положены в основу теории
тригонометрических функций.
Один из способов построения теории тригонометрических функ-
ций заключается в том, что исходят из ряда У, (z— /пл)-2;
т~ — оо
296 ГЛ. 20. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
обозначив сумму этого ряда через (sin z)~* 2, можно вывести все из-
вестные свойства функции sin z; как это сделать, вкратце указано
в § 20.222.
Аналогичный метод обоснования теории эллиптических функций
заключается в определении функции (z) равенством !)
z2 { {г — 2mo>t — 2пи>2)г (2тш1 ф- 2zzo>2)2 } ’
т, п
где Юр ш2 удовлетворяют условиям, приведенным в § 20.1, 20. 12 (III);
суммирование распространяется по всем целым значениям (положи-
тельным, отрицательным и нулевым) т и п, за исключением одно-
временных нулевых значений тип.
Для краткости напишем 2„, „ вместо 2тш1 -ф- 2nw2, так что
fl?(z) = z 2-ф- 2 {(z— 2т, „)
т, п
Если т и п таковы, что 1п | велик, то общий член ряда,
определяющего функцию P(z), будет 0(|2т п| 3) и, таким образом
(§ 3.4, часть I), ряд сходится абсолютно и равномерно (относительно z)
всюду, за исключением окрестностей его полюсов, т. е. точек
Поэтому (§ 5.3, часть I) ^(z) — функция, аналитическая во всей
плоскости z, за исключением точек в которых она имеет двой-
ные полюсы.
Введение этой функции р (z) принадлежит Вейерштрассу2).
Приступим теперь к изучению свойств функции $ (z); мы увидим,
что функция k3(z) — эллиптическая функция с периодами 2о)г, 2ш2.
Для числовых вычислений указанный ряд для j? (z) непригоден ввиду
медленности его сходимости. Эллиптические функции, свободные от этого
недостатка, будут получены в главе 21.
*) Во всей этой главе символ У, употребляется для обозначения
т, п
суммирования по всем целым значениям тип, причем значок ' /
\т, п /
означает, что при суммировании опускается член, для которого т = п = 0.
С другой стороны, через р' (z) обозначаем обычно производную функции
р (z). Применение значка ' в разных смыслах не вызовет путаницы.
2) Weierstrass, Werke, II (1895), 245—255. Содержание большей
части этой главы принадлежит Вейерштрассу и содержится в его лекциях,
которые были опубликованы Шварцем (Schwarz, Formein und Lehrsatze
zum Oebrauche der elliptischen Funktionen, Nach Vorlesungen und Aufzeich-
nungen des Herrn Prof. K. Weierstrass (Berlin, 1893)). См. также Cayley,
Journ. de Math. X (1845), 385—420. (Math. Papers, I, 156—182) и Eisen-
stein, Journ. fiir Math., XXXV (1847), 137—184, 185—274.
20.21. периодичность и другие свойства функции p(z} 297
Пример. Доказать, что
20.21. Периодичность и другие свойства функции (г)
Так как ряд для функции есть равномерно сходящийся ряд
аналитических функций, то почленное дифференцирование законно
(§ 5.3, часть I) и, следовательно,
j?-w = A(»w = _2V7_^_?..
т, п
Функция ^э'(г)— нечетная функция от z\ в самом деле, из
определения функции ft'(z) получаем непосредственно
£>'(-*) = 2 2 (z+2mi„)-3.
т, п
Но совокупность точек — „ совпадает с совокупностью 2т> п,
и следовательно, члены ряда для функции (— Z) те же самые, что
и для функции — %>' (z), но расположены в другом порядке. Ряд
для ft'(z) абсолютно сходится (§ 3.4, часть I), и следовательно,
перестановка его членов не оказывает влияния на его сумму; поэтому
г (-2) = -^ (г).
Таким же образом члены абсолютно сходящегося ряда
т, п
являются членами ряда
S {(.z — л) — ®т, ’
т, п
расположенными в другом порядке; отсюда
иначе говоря, функция (г) — четная функция от z.
Далее,
Г (z -+ 2Ш,) - - 2 2 (* - Qm, „ + 2ВЛ)-3,
т, п
но совокупность точек Qm,„ — та же самая, что и совокупность
таким образом, ряд для jj?' (а: —2о>1) получается перестановкой
членов в ряде для р' (.?), и в силу абсолютной сходимости находим,
что
Г(г + 2Ш1) = ^' (zy,
298
ГЛ. 20. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
другими словами, функция $>' (z) имеет период 2(Dt; так же можно
показать, что она имеет и период 2ш2.
Так как р' (z)— аналитическая функция, имеющая только полюсы,
то из последнего результата вытекает, что (z)— эллиптическая
функция.
Если теперь проинтегрируем уравнение
г (г + 2Ш1) = Г (2),
то получим
где А — постоянная. Положив z = — и принимая во внимание,
что Р (.г) — четная функция, получим А = 0, так что
таким же образом
H*+2<o2) = rn-
Так как р (г) не имеет других особых точек, кроме полюсов, то
из этих двух равенств вытекает, что ft (z)— также эллиптическая
функция.
Существуют другие методы введения в анализ как тригонометрических,
так и эллиптических функций; так, для тригонометрических функций можно
отметить следующие:
(1) Геометрическое определение, по которому sin г является отношением
катета, противолежащего углу г, к гипотенузе в прямоугольном треуголь-
нике, в котором один из углов есть г. Такое определение дается в элемен-
тарных учебниках по тригонометрии; с нашей точки зрения, такое опреде-
ление страдает многими недостатками, некоторые из которых приведены
в Приложении (часть I).
(2) Определение при помощи ряда
z3 . г4 5
81пг = г- зт + тг----
(3) Определение при помощи бесконечного произведения
/ z^ \ ( z% \ / z% \
Sin Z = Z ~2~ ] j — -32^2“) • • '
(4) Определение при помощи «обращения» интеграла
sin Z 1
г = J (1 — t2) 2 dt.
о
Свойства периодичности легко получить из (4), взяв соответствующие
пути интегрирования (Forsyth, Theory of Functions, 1918, § 104), но чрезвы-
чайно трудно доказать, что sin г, определяемый таким образом, будет ана-
литической функцией.
Мы увидим позже (§§ 22.82, 22.1, 20.42, 20.22 и пример 4 § 20.53), что
эллиптические функции могут быть введены при помощи определений, ана-
20.22. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ </j> (z)
299
логичных каждому из приведенных, с соответственными недостатками в слу-
чаях первом и четвертом.
Пример. Вывести периодичность функции р (г) непосредственно из ее
определения в виде двойного ряда. [Нетрудно обосновать необходимую пере-
становку.]
20.22. Дифференциальное уравнение, которому
удовлетворяет функция р (г)
Выведем теперь дифференциальное уравнение, которому удовлет-
воряет функция $ (г) и которое имеет, как увидим далее, большое
значение в теории этой функции.
Функция р(2)—г-2, равная 2' {(.?-—йт, ч)-2 — 2т,2п}> будет
т, п
аналитической в окрестности начала координат и четной функцией
от z. Следовательно, по теореме Тейлора имеем разложение вида
р(2) — г"2 = -^-g2z2 4- + О (г6),
годное для достаточно малых значений | z |. Легко видеть, что
^=бо2'а,Д, ^3=14о 2' 2^6„.
т, п т, п
Таким образом,
Р (2) = г’2 + ~ g2z2 4- ~ g3z4 4- О (26);
дифференцируя это равенство, получим
Г (2) = — 22-3 4- g2z 4- у g^ 4- О(25).
Возводя в куб обе части первого из двух последних равенств и
в квадрат обе части второго, получим
Q О
рз (2) = z-6 _|_ JL g^-2 + g-3 _j_ О
p'2 (z) = 4z~e — g2z~2 — у g3 4- О (22).
Отсюда
W2 (2) — 4£>3 (2) = — g2Z~2 — g3+O (22),
и следовательно,
(2) - 4^3 (2) 4- g$ (2) 4- g3 = О (Z2).
Таким образом, функция
Г2(г)-4р3(2) + ^(2)-Т^3,
которая, очевидно, является эллиптической функцией, будет анали-
тической в начале координат и, следовательно, также аналитической
300
ГЛ. 20. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
во всех сравнимых точках. Но эти точки являются единственно воз-
можными особыми точками рассматриваемой функции; итак, она
будет эллиптической функцией без особых точек и, следова-
тельно, будет равна постоянной (§ 20.12 (IV)).
Заставив z—>0, видим, что эта постоянная равна нулю.
Итак, функция (z) удовлетворяет дифференциальному
уравнению
^'4z) = 4^(z)-g^(z)-g3,
где g2 и g3 (называемые инвариантами) даются равенствами
g2 = 60 2' 2 -4„, g3 =- 140 s' .
т, п т, п
Обратно, если дано уравнение
(dyW л з
{-£) ^^-g2y-g3
и если можно определить !) такие числа Шр ю2, что
g2= 60 S '2„,\. £з=И0 2'2"®я.
т, п т, п
то общим решением дифференциального уравнения будет
у = Н± •г-Ь-а),
где а—постоянная интегрирования. Это легко видеть, введя новую
зависимую переменную и, определяемую уравнением* 2) у = р(ц),
что приводит дифференциальное уравнение к виду 1-^-1 =1.
Так как $ (z)—четная функция от z, то имеем y = ty(z ± а), и
следовательно, не теряя общности, решение уравнения можно напи-
сать в виде
y = p(z + a).
Пример. Вывести из дифференциального уравнения, что если
НО=*-2+2 Сгпг2п,
ТО
4 . ^3 „ £2 , 3g2g3
2 22-5 ’ С’ 22-7’ Сб 24 - 3 - 52 ’ 24 • 5 • 7 • 11 ’
gl , d glg3
С|° - 25 • 3 • 53 • 13 + 24 • 72 • 13 ’ С‘2 — 25 • 3 • 52 • 7 • 11 ‘
') Трудная задача установления существования таких чисел ш, и
когда g2 и g3 даны, решается в § 21.73.
2) Это уравнение относительно и согласно § 20.13 всегда имеет решения.
20.222. иллюстрация из теории тригонометрических функций 301
20.221. Интегральная формула для ^(г)
Рассмотрим равенство
°° _Д
z = J (4(3 — g2t — g3) 2 dt,
С
определяющее z как функцию от С; путь интегрирования может быть
любой кривой, которая не проходит через нули выражения
4/3 — g^t— g3.
После дифференцирования получим
и следовательно,
С = р(г + а).
где а — постоянная. Но при ч->сю имеем 2^0 в силу сходимости
интеграла; следовательно, а есть полюс функции р (w), т. е. имеет
форму Qmn; итак, — (zп)— (г). Результат, что равенство
z = f (4*3 — gj — £з)" dt
С
эквивалентно равенству С = /Э(<г), записывают иногда в форме
Z = J (4Z3 — g2t — g3) 2 dt.
P(z)
20.222. Иллюстрация из теории тригонометрических функций
Теоремы, полученные в §§ 20.2—20.221, могут быть проиллюстрированы
аналогичными теоремами для тригонометрических функций. Так, можно вы-
вести свойства функции cosec2г из ряда У, (г—игл)-2 следующим об-
т = —оо
разом.
Обозначим этот ряд через /(г). Ряд сходится абсолютно и равномерно1)
(относительно г) всюду, исключая окрестности точек дал, в которых он
имеет, очевидно, двойные полюсы. За исключением этих точек, функция f(z)
всюду аналитическая. Результат прибавления к г числа, кратного л,
приводит к ряду, члены которого будут те же, что и у исходного ряда; так
как ряд сходится абсолютно, сумма f(z) ряда не изменится и будет, следо-
вательно, периодической функцией от г с периодом л.
*) Это видно из сравнения с рядом У /и 2.
т- —
302 ГЛ. 20. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Исследуем теперь поведение f(z) в полосе—л Re z п.
Из периодичности f(z) следует, что значение f(z) в какой-либо точке
плоскости равно ее значению в соответствующей точке полосы
1 1
В этой полосе f(z) имеет только одну особенность, именно z — 0, а при
г^-оо и остающемся в полосе f(z) остается ограниченной, как это сле-
дует из сравнения членов ряда для /(г) с соответствующими членами
ряда 2' т~2.
т = —со
В окрестности г — 0 функция f(z)—z~2 является аналитической и чет-
ной функцией от г, и следовательно, ее разложение в ряд Маклорена
г“2 = 2 аглг2Л
п--() .
будет иметь место при | г | < п. Легко видеть, что
а2л = 2л-2л(2/г+1) 2 т~2п~2;
т = 1
в частности,
Отсюда следует для малых значений | z |
/(z) = z-*+| + -^-z*+O(z<).
Дифференцируя это равенство дважды и, с другой стороны, возводя обе
его части в квадрат, будем иметь
9
f"(z) = f>z-* + -^ + O(z2),
2 11
If (z)]2 = г~* + у z-2 + + О (г2)
и, следовательно,
f"(z)-6[f(z)]2 + 4f(z) = O(z2).
Это показывает, что функция f" (г)— 6 [/(г)]2 + 4f(z) является анали-
тической в начале координат и, очевидно, периодической с периодом
Поскольку единственными возможными особыми точками этой функции
являются точки ттс, из ее периодичности следует, что она является целой
функцией. Кроме того, она остается ограниченной при z -> оо в полосе
— yit<Rez<yK, ибо таковой будет f(z), а следовательно, и/" (z)‘);
ОО
‘) Ряд для /" (г) может быть сравнен с 2
т = —<х>
20.222. иллюстрация из теории тригонометрических функций 303
поэтому она остается ограниченной во всей этой полосе, а в силу перио-
дичности и во всей плоскости г. По теореме Лиувилля (§ 5.63, часть I)
она должна быть постоянной. Устремляя z->0, мы видим, что эта постоян-
ная равна 0.
Итак, функция cosec2 г удовлетворяет уравнению
/" (z) = 6 [/(z)]2 —4/(z).
Умножая на 2/' (г) и интегрируя, получим
[/'(z)]2 = 4[/(z)]2{/(z)-l}+c,
где с—постоянная, которая равна нулю, как это следует из подстановки
в это уравнение степенных рядов для /(z) и f (г) и сравнения коэффици-
ентов при одинаковых степенях г.
Отсюда вытекает, что
°° _j_
2z= I Г'2 dt,
flz}
где интеграл взят по пути, выбранному надлежащим образом.
Пример 1. Пусть у = (э (z) и штрих обозначает дифференцирование
по z; доказать, что
— тЧз е1)-2 + (У — ^)“2 + (У — е3)~2} —
4у'4 2у 16
— 4 У (у — (У — ^г)-1 (У —
где ех, е2, е3—корни уравнения 4/3—g2t—g3 = 0.
[Имеем
У'2 = 4у3 — £2у — £з = 4 (у — г,) (у — е2) (у — е3).
Взяв здесь логарифмическую производную и деля на у', получаем
3
Дифференцируя еще раз, получим
Складывая это равенство, умноженное на —, с предыдущим, возведен-
ным в квадрат и умноженным затем на , получим требуемый результат.
Следует отметить, что слева в доказанном равенстве стоит поло-
вина шварциана') от z по у; это показывает, что z есть отношение двух
) Cayley, Camb. Phil. Trans., XIII (1885), 5 (Math. Papers, XI, 148).
304
ГЛ. 20. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
решений уравнения
d* 2v ,
rfy2
ег) 1 1 v = 0 ’).
Пример 2. Получить следующие формулы, выражающие однород-
ность функции ф* (г):
*gt, 6£з) = Х 2^(z;g2, gs),
где ф* (г 1) обозначает функцию р (г) с периодами 2a>lt 2<о2, a ф* (г; g2, g3) —
\ I ^г/
функцию Р (г) с инвариантами g2, g:i.
[Первая следует из определения ф (z) двойным рядом; вторая может
быть получена из двойных рядов, определяющих инварианты £.]
20.3. Теорема сложения для функции $ (z)
Функция фЧс) обладает алгебраической теоремой сложения-,
другими словами, существует формула, выражающая ^(.г-ф-у) как
алгебраическую функцию от (г) и р (у) для любых значений2) z и у.
Рассмотрим уравнения
Г (г) = Лр (г) + В, (у) = лр (у) + В,
А и В через г и у, за исключением случаев,
е.3 * *)
г = ± у (mod 2шр 2w2).
выражение
Г (С)- А^(^)-В
которые определяют
когда р (г) — р (у), т.
Затем рассмотрим
*) О свойствах шварциана (производной Шварца) можно прочесть
в книге В. В. Голубева «Лекции по аналитической теории дифференциаль-
ных уравнений», 1950. Шварцианом {/)„, от f по w называется выражение
, г, _ J W v w/
\J iw 2 (/')2
(см. Голубев, стр. 289).
Доказывается, что отношение z — vjv2 двух линейно независимых ин-
d2v dv
тегралов дифференциального уравнения ~^—2 + Р (®) -ф- q (w) v — 0 удо-
п2 /qjA
влетворяет уравнению {z}w — — р' (w) -ф -ф 2q (w). (См. Голубев,
стр. 299). — Прим. ред.
2) Частные случаи, когда у, или z, или у -ф г— периоды, разумеется,
нет необходимости рассматривать.
3) Функция р (z) — ф (у), как функция от z, имеет двойные полюсы
в точках, сравнимых с z = 0, и не имеет никаких других особых точек; по-
этому (§ 20.13) она имеет только два неприводимых нуля; точки, сравнимые
с г = ± у, дают поэтому все нули функции $ (г) — (у).
20.31. ДРУГАЯ ФОРМА ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ
305
как функцию от С. Эта функция имеет тройной полюс при С = 0
и, следовательно, по § 20.13 имеет три и только три неприводи-
мых нуля; по § 20.14 сумма их равна некоторому периоду, и так как
два из этих нулей суть С = z, С = у, то третий неприводимый нуль
должен быть сравним с —z— у. Поэтому и —z — у есть нуль
выражения ^'(ч)——В, и следовательно,
F (— z — у) = А$ (— z — у) 4- В.
Исключая А и В из этого уравнения и уравнений, которыми
определяются А и В, имеем
Р (Z) $>' (?) 1
m р'(у)’ 1 =о-
Н*+у) -Г(*+у) 1
Так как производные, входящие в это соотношение, могут быть
выражены алгебраически соответственно через %>(z), ^(у), у)
(§ 20.22), то оно действительно выражает функцию Н^й-у) ал-
гебраически через ^(.г) и Ну)- Это и есть теорема сложения.
Другие методы получения теоремы сложения указаны в приме-
рах 1 и 2 § 20.311, а также в § 20.312. Отметим симметричную
форму теоремы сложения; если и-j-и = 0, то
Н«)
р(г>)
Р(та)
Г(«) 1
И®) 1
F (та) 1
20.31. Другая форма теоремы сложения
Сохраняя обозначения § 20.3, видим, что значения С, при кото-
рых — 4HQ— В равно нулю, сравнимы с одним, из значе-
ний z, у, — z — у.
Значит, (С)—{Лр (Q_|_j3j2 равняется нулю, когда С сравнимо
с каким-либо из значений z, у, —z — у, и следовательно,
4^)3 (Q _ А2^2 -{ 2АВ + g2) р (0 - (В2 + £з)
равняется нулю, когда р (С) равна какому-либо из значений
Н*). Ну). Н^Н-у)-
Для общих значений z и у значения fi(z), НУ) и Н^ + у) раз-
личны, и таким образом, они дают все корни уравнения
4Z3 _ A2Z2 _ у АВ +g£Z- (В2 + £3) = 0.
Следовательно, по известной формуле для суммы корней куби-
ческого уравнения
т+Ну) + ^ + у)-|л2,
306 ГЛ. 20. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
откуда, решив уравнения, которыми определяются А и В, получим
Н* + У) = | { - £> ((у) f ~ И2) - (у).
Этот результат выражает $(z-\-y) явно через функции от z и у.
20.311. Формула удвоения для fi(z)
Формулы сложения, полученные выше, теряют смысл, когда
у = z, Но результат § 20.31 будет верен при заданном значении z
для общих значений у.
Переходя к пределу, когда у стремится к z, получим
1,-m f> (2 + ,) = 1 lim { У - - lim t w.
Из этого равенства мы видим, что если 2z не есть период, то
й — — lim •! V____2& (z) —
- 1 linJ -АГ(г) + О(Аг) V_ 9(0 , .
4 -*Р'(.г) + О(Л2) f W)’
если применить теорему Тейлора к ^(z-^-h), (zh"y, таким
образом,
К2г) = 1{|^|М2-2т
за исключением случая, когда 2г есть период. Эта формула назы-
вается формулой удвоения.
Пример 1. Доказать, что
1 j (^-)—Fz(y) Р PL. Iv.
4 I (г) — (у) f ( > F (2 + У)>
как функция от г, не имеет особенностей в точках, сравнимых с г — 0,
± у, и, применяя теорему Лиувилля, вывести отсюда теорему сложения.
Пример 2. Применить рассуждение, указанное в примере 1, к функ-
ции
SP (г) р' (г) 1
V (У) V' (У) 1
Н2+у) — Р'(2 + у) 1
и вывести отсюда теорему сложения.
Пример 3. Показать, что
Н2 + у) + Р(2-у) =
= {Р (2) - Р (У)}-2 (г) (у) - 1 g2| {j? (г) ’+ j? (у)} _ .
20.312. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ для ^(г)
307
[По теореме сложения мы имеем
П.Г(г)-Г(У)12_р( п „
4 I Р (г) - Р (у) f S (г) ‘ ф
Г(г) + Г(У) )2_^(г)_^(у) =
Р (г) — Ку) I } w
_ _1_ Р'2(г) + Г2(у) _9,0w , e,vU
2 {Кг)—Ну)}2 2^() +
Заменяя Р'2 (z) и Р'2 (у) соответственно через 4р3 (г)—g2P(z)— g3 и
4f3 (У)—г?2^(у) — ga< после простых преобразований получим требуемый
результат.]
Пример 4. Показать, пользуясь теоремой Лиувилля, что
{ Р (г-а) р (z-Ь)} = р(а-Ь) {Г (г- а) + Р' (z-b)) -
— Р' (a — b) {P(z—a)— p(Z—b)}.
(Trinity, 1905)
20.312. Метод Абеля1)
доказательства теоремы сложения для р (г)
Поучителен нижеследующий метод доказательства теоремы сложения
для р (z), хотя вполне строгое доказательство длинно и утомительно.
Пусть g2, g3—инварианты функции Р(г); возьмем в плоскости пер-
пендикулярные оси OX, OY и рассмотрим пересечения кубической кривой
У2 = 4х3 — g2x — g3
с подвижной прямой у = тх 4- п.
Если (хр у,) — какая-нибудь точка на кубической кривой, то уравнение
относительно z
р (z) — х1 — 0
имеет два решения -t-z^—z, (§20.13) и все другие решения сравнимы
с этими двумя. Так как Р'2 (z) = 4р3 (z) — g2p (z)—g3, то имеем P'2(z) = y21;
пусть Zj — то решение, для которого Р (Zj) = 4- ур а не —уР
Число Z), выбранное таким образом, называется параметром для (xit у})
на кубической кривой.
Абсциссы хи х2, х3 пересечений кубической кривой с подвижной пря-
мой являются корнями уравнения
<Р (х) =4х3 — g2x— g3 — (тх + п)2 = 0,
и следовательно,
<Р (х) = 4 (х— xj (х— х2) (х — х3).
Изменение 8хг одной из этих абсцисс, вызванное перемещением секу-
щей прямой при малом изменении 8и, 6п коэффициентов т, п, опреде-
>) Abel, Journ. fiir Math., II (1827), 101—181; Ш (1828), 160—190
[Oeuvres, I (Christiania, 1839), 141—252].
308
ГЛ. 20. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ляется уравнением
ср' (хг) Ъхг 4- Ът -|—<т = 0
т ' Т' г дт дп
или
ср' (хг) Ъхг — 2 (тхТ 4- п) (хт Ьт 4- 8п),
откуда получим
У Ьхг — 2 У Хг 5м + 5я
тхг 4- п у' (хг) ’
г=1 г=1
предполагая, что лг1( х2, х3 не равны, так что ср' (хг) =£ 0.
х (х Ът 4- Sn) ,
Теперь, если разложим--------, как функцию от х, на простей-
шие дроби, то это выражение примет вид
Г = 1
где
Ar = lim х (х 5пг 4~ Sn) Х ~~ Xr- = xr (xr 8m 4~ Sn) lim ~х Хг —
х^>хг <? (х) х-^хг ср (х)
__ хг (xr 8m 4- on)
<?' (хг)
по теореме Тейлора.
Положив х — 0, получим
з з
2^=0, т.е. у>,=о.
Г=1 Г=1
Другими словами, сумма параметров точек пересечений есть по-
стоянная, не зависящая от положения прямой.
Если прямая изменяет свое положение так, что все точки пересечения
удаляются в бесконечность (и притом так, что две точки никогда не сли-
ваются), то очевидно, что z, 4~<г + г'з будет равна сумме параметров, когда
прямая есть бесконечно удаленная прямая; но когда прямая находится на
бесконечности, каждый параметр является периодом функции iP(z) и по-
этому г, 4“ z2 4- z3 будет периодом функции $ (г).
Таким образом, сумма параметров трех коллинеарных точек на куби-
ческой кривой сравнима с нулем. После этого детерминантную форму тео-
ремы сложения можно получить, как в § 20.3.
20.32. Постоянные elf е2, е3
Покажем теперь, что величины р (wj, ^((о2), ^(“з) (гДе и’з —
== — u>j — ю2) не равны друг другу и если их значения обозначить
₽1> то ev е2> ез будут корнями уравнения
4/з _ ^—^3 = 0.
20.32. постоянные е}, е2, е3
309
Рассмотрим сначала Так как (z)—нечетная периоди-
ческая функция, то мы имеем
Р (о,,) = - £>' (— Ш1) (2о>х -«>,) = - ^0.
и следовательно,
F(<»i)=o.
Подобным же образом
F О2) = <§>' (со3) = 0.
Так как (г)—эллиптическая функция, единственными особыми
точками которой являются тройные полюсы в точках, сравнимых
с началом координат, то (z) имеет три и только три (§ 20.13)
неприводимых нуля. Поэтому единственными нулями функции
являются точки, сравнимые с Юр ш2, ш3.
Рассмотрим теперь p(z)—ех. Эта функция равна нулю при
z — u>v и так как —о, то она имеет в <Uj двойной корень.
Так как, далее, Р(с) имеет только два неприводимых полюса, то
из § 20.13 вытекает, что все нули функции р(г)—сравнимы
с шр Подобным же образом единственными нулями функций ft(z)—е2,
ft(z)—е3 являются двойные нули в точках, сравнимых с ш2, о>3.
Отсюда е1 =£ е2 #= е3, так как, если бы, например е1~е2, то
$(z)— имела бы нуль в о>2, т. е. в точке, не сравнимой с а>р
Так как
Г2(г)-4^(г)_^Э(г)_^
и (г) равна нулю в точках в)р ш2, ш3, то отсюда следует, что
4^3(z) — g$(z)— g3 равна нулю, когда ^>(z) — e1, е2 или е3.
Другими словами, ег, е2, е3 являются корнями уравнения
4/3 — g/— £3=0.
По хорошо известным формулам, связывающим корни уравнений
с их коэффициентами, получаем, что
е1 + е2 4-*з = °>
, । 1
е2е3 -|- е3е1 -ф- ехе2 = — — g2,
1
— 4 ёз-
Пример 1. Показать, что если g2 и g3 вещественны и дискрими-
нант g2 — 27 g3 положителен, то все три числа ev е2, е3 вещественны;
310 ГЛ. 20. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
расположив их так, что > е2 > е2, показать, что
О°
“1= f (4*3— git —g3) 2 dt,
«3 = — i J (g3 + ^— 4/3) 2 dt,
так что w, — вещественное, a w3— чисто мнимое.
Пример 2. Показать, что при условиях примера 1 функция @(z) ве-
щественна на периметре прямоугольника, вершины которого 0, <о3, о>1 Ц- <о3, ш,.
20.33. Прибавление полупериода к аргументу функции (г)
По теореме сложения в форме, данной в § 20.31, имеем
и следовательно, так как
з
г2 (г) = 4Д {p(z)-er},
Г=1
имеем
Ь Х*) <4
3
т. е., замечая, что У, ег = 0,
эта формула выражает функцию (г 4- оц) через функцию (г).
Пример 1. Показать, что
1
^(у"|) = е1± {(*1 —*г) (е1~ •
Пример 2. Из формулы для + и из примера 1 вывести, что
<0,4-0)^ = 6) Т {(«! — ег) (е,— е3)}2 ‘
(Math. Trip., 1913)
Пример 3.' Показать, что произведение
Ip' (z) Р' (z + ш.) р' (z + <о2) р' (г + <о3)
равно дискриминанту уравнения
4*3 — g2t — g3 = 0.
[Дифференцируя результат, полученный в этом параграфе, имеем
Р' (* + “i) = - («1 — е2) — е2) Р' (z) {р (z) — et} “2;
20.4. КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ФУНКЦИЯ Z(z)
311
из этого и аналогичных равенств имеем
= (*. - е2)2 (е2- е3)2 (е3 - е,? (г)Ц {j? (г) - ег} “2 =
Г=1
= 16 (е, — е2)2 (е2 — е3)2 (е3 — е,)2,
что представляет собой искомый дискриминант — 27^2.]
Пример 4. Показать, что при надлежащем выборе радикалов
— Г 1 11
Р' “1 j = —2 {(е, — е2) (в! — е3)} | (в] — е2) + (ei — ез) | •
(Math. Trip., 1913)
Пример 5. Показать, что при надлежащем выборе радикалов
11 11
{^(2г)-е2}2 {^(2г)-е3}2 +{р(2г)-е3}2 { 4р (2г) — е,}2 +
+ {(2г) - е, р {р (2г) - е2} 2 = р (г) _ р (2г).
20.4. Квазипериодические функции. Функция !) £ (г)
Введем теперь функцию С(г), определяемую уравнением
и условием
lim {С(г) — г-1) —0.
Z->0
Так как ряд для p(z)— г-2 равномерно сходится во всякой обла-
сти, из которой исключены окрестности точек2) Qm< п, то мы можем
интегрировать его почленно (§ 4.7, часть I) и получим
Z Z
=- f {p(z)-z~2} dz = -^' f {(^Qmin)-2-Q-^dz,
0 m, n 0
что дает
, , . 1 , V'( 1 । 1 । г 1
C (г) — -y—1“ /1 J---— —]--------—~— I.
C 1 I 2 _ Q Q Q2 I
m, и I m, n . m, n m, n f
Легко видеть, что общий член этого ряда будет
°(12»г.пГ3) при
*) Эту функцию, конечно, не следует смешивать с дзета-функцией Ри-
мана, рассмотренной в главе 13.
2) Символ Qm п применяется для обозначения всех точек йт, я, за исклю-
чением начала координат (ср. § 20.2).
312
ГЛ. 20. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
отсюда следует (§ 20.2), что Цг) будет аналитической функцией
от z во всей плоскости г, за исключением простых полюсов во всех
точках п (причем вычеты во всех полюсах равны ф-1).
Очевидно, что
) = i+S'{^-
п ( г “/п, п т, п т, п )
и так как этот ряд состоит из тех же членов, что и ряд для С (г),
но расположенных, как в соответствующем ряде § 20.21, то имеем
согласно § 2.52 части 1
C(-z) = -C(^);
другими словами, C(z) — нечетная функция от z.
Следуя аналогии § 20.222, можно сравнить С (г) с функцией ctg г, опре-
деляемой рядом г~1 + 2' {(г~уравнение ctg г =
т- —со
= — cosec2 z соответствует уравнению — С (г) = — (г).
20.41. Квазипериодичность функции ^(г)
Название § 20.4 предвосхищало результат, который будет доказан
теперь, а именно, что функция С(г) не будет двоякопериодической
функцией от z\ рассмотрим, как влияет на С (z) прибавление 2а>!
или 2а>2 кг. Из § 20.12 (III) очевидно, что С (г) не может быть
эллиптической функцией ввиду того, что вычет функции С (г) в ка-
ждом полюсе равен -1- 1.
Если проинтегрировать уравнение
^(^+2(0!) = ^^),
то получим
^+20^ = 1; (г)+ 2^,
где 2vj! — постоянная интегрирования; положив z = — <ох и принимая
во внимание, что C(zj— нечетная функция, имеем
>11 =
Подобным же образом
С (z -ф 2и>2) — £ (ф) -ф 2tj2,
где
7)2 = С (ш2).
20.42. функция a(z) 313
Пример 1. Доказать с помощью теоремы Лиувилля, что при
х 4- у 4-г — 0
(С (*) +С(У) + С(*)}2 + С' W + C (У) + С' С?) = 0.
(Frobenius и Stickelberger,
Journ. fur Math., LXXXVIII)
[Этот результат представляет собой псевдотеорему сложения. Он не
является настоящей теоремой сложения, так как С' (х), С' (у), С' {г) не пред-
ставляют собой алгебраических функций от С (х), С (у), С (г).]
Пример 2. Доказать с помощью теоремы Лиувилля, что
2
1
1
1
№ ^{х)
Пу) г (у)
1 m
1 Ну)
1 Р И
V' W
F (у)
Г (г)
= С (х 4- у + г) — С (х) — С (у) — С (г).
Получить обобщение этой теоремы, содержащее п переменных.
(Math. Trip., 1894)
20.411. Соотношение между 1)! и ij2
Покажем теперь, что
т)1ю2 — — у
Для получения этого результата рассмотрим интеграл J <,(z) dz,
с
взятый вдоль границы ячейки.
Внутри ячейки имеется только один полюс функции С (г), вычет
в котором равен 4~1- Отсюда j" £(z) dz — 2^1.
с
Преобразуя контурный интеграл по способу § 20.12, получим
/4-20)! /+2(0)1
2rtZ = J (С(г) — С(г + 2ш2)) dz — J {^(z) — C (z + 2o>j)} dz =
t t
t +2<oj
=— 2t]2 J" dt + 2?jj J" dt,
t t
и следовательно,
2”Z = — 4т)2а>1 + 4т]1ш2,
что и представляет собой требуемый результат.
20.42. Функция в (г)
Введем теперь функцию а(г), определяемую уравнением
0 (2) — и условием lim / — 1.
314
ГЛ. 20. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Ввиду равномерной сходимости ряда для '(,(£) всюду, кроме
окрестностей полюсов функции С (г), мы можем интегрировать ряд
почленно. Поступая так и потенцируя, находим
где постоянная интегрирования определена из добавочного условия.
Методами, примененными в §§ 20.2, 20.21, 20.4, читатель легко
получит следующие результаты:
(I) Произведение для a(z) сходится абсолютно и равномерно
в любой ограниченной области значений г.
(II) Функция a(z)— нечетная целая функция от z с простыми
нулями в точках п.
Функцию а (г) можно сравнить с функцией sin z, определяемой
произведением
ОО ( z 1
г1Г К1 ->•}•
Ш — —со
причем соотношению lg sin z — ctg z соответствует lg a (z) = C (z).
20.421. Квазипериодичность функции a (z)
Интегрируя равенство
C(z4-2(o1) = C(z)4-2t)1>
получим
б (г 4- 20^) — ce2^zc (z),
где с — постоянная интегрирования; для определения с положим
z =— Ир тогда
a (coj) — — се _ 2Ц1ш1<з (<0]).
Следовательно, с= — e2’ii“’i и
о (с-ф- 2(0^ — — с2/з (г+ш1'б (z).
Подобным же образом
а (г 2со2) — — 0271s <г+ш2'о (z).
Эти результаты описывают поведение функции a(z), когда к z
прибавляется период функции (° (z).
Если, как в § 20.32, положить <о3 = —<Oj— о>2, то три друше
сигма-функции определятся равенствами
(г=1'2’3)-
20.51. ВЫРАЖЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧ. ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ и ^'(z) 315
Четыре определенные таким образом сигма-функции аналогичны
четырем тэта-функциям, рассматриваемым в главе 21 (см. § 21.9).
Пример 1. Показать, что если т и п — любые целые числа, то
а(г -J- 2иш1 -|- 2п<1>2) — (—1)т + п а (г)Х
X exp {(2/n-qi -J- 2п7]2) z + 2т2-г.,<»1 4- 4znn->]1a>2 4- 2n2ri2m2}
1 .
и вывести отсюда, что t)i«2— Vi — целое, кратное -% w.
Пример 2. Показать, что если q — exp (tzo>2/o)1), так что |<j4<1, и
если
2 0°
F (г) =ехр fe)sin (!г) II {1 -cos ? + ч'п} ’
п = 1
то F (г)—целая функция с теми же самыми нулями, как у функции о (z),
F(z) л,
и, следовательно, —)—(—двоякопериодическая функция от г с периодами
a (Z)
2<olt 2ш2.
Пример 3. Пользуясь теоремой Лиувилля, вывести из примера 2, что
П< 1 — 2q2n cos (tcz/ш]) 4- qin
I (1 — q2n)2
n=i
Пример 4. Получить результат примера 3, выражая каждый множи-
тель с.права через однократное бесконечное произведение.
20.5. Формулы, выражающие любую эллиптическую функцию
через функции Вейерштрасса с теми же периодами
Существуют различные формулы, аналогичные выражениям любой
рациональной функции: (I) в виде отношения двух произведений ли-
нейных множителей, (II) в виде суммы простейших дробей; имеются
две формулы первого типа, содержащие соответственно сигма-функ-
ции и эллиптические функции Вейерштрасса; второго же типа имеется
формула, содержащая производные дзета-функции. Перейдем к полу-
чению этих формул.
20.51. Выражение любой эллиптической функции
через функции р (г) и £>' (г)
Пусть f (г)—произвольная эллиптическая функция и ^(с) — эл-
липтическая функция Вейерштрасса с теми же периодами 2(ор 2ш2.
Положим сначала
Лг) = |[/(г> + /(-г)]+у [{/(*)-/(-*)} {Г(г)Г’]Г(*)•
Обе функции
/(*) + /(-*). {/(*)-/(-*)} {FW}’1
316 ГЛ. 20. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
будут четными и, очевидно, эллиптическими, когда f(z)—эллипти-
ческая функция.
Задача, стоящая перед нами, будет решена, если мы сможем
выразить любую четную эллиптическую функцию ср (г) через
функцию ^(г).
Пусть а — нуль функции ср (г) в какой-нибудь ячейке; тогда точка
той же ячейки, сравнимая с — а, будет также нулем.
Неприводимые нули функции ср (г) могут быть поэтому разбиты
на две группы: скажем, точки а2.........ап и точки, сравнимые
С Ор #2.......... ^п'
Подобным же образом неприводимые полюсы могут быть разбиты
на две группы: скажем, точки bv b2......Ьп и точки, сравнимые
с — bv -Ьг, ..... -Ьп.
Рассмотрим теперь функцию ')
1 А-1 Р (*)-£> (<*г) 1
Ill Р (*)-!? (М Г
Г=1
Она является эллиптической функцией от z и, очевидно, не имеет
полюсов, ибо нули функции ср (г) являются нулями числителя произ-
ведения, а нули знаменателя произведения являются полюсами ср (г)2).
Следовательно, по теореме Лиувилля она равна постоянной, ска-
жем Аг, и мы будем иметь
тт ! (г)~ м b
§>(г)-^(М Р
Г=1
таким образом, функция ср (г) выражена как рациональная функция
от $>(z).
Выполняя эту процедуру с каждой из функций
/(*)+/(-*). {/'(*)-/(-*)} (Г (г)}"1.
получим теорему: любая функция f (г) может быть выражена
через эллиптические функции Вейерштрасса (г) и (z)
с теми же периодами-, выражение рационально относительно
p(z) и линейно относительно <(•>' (г).
') Если какая-нибудь из точек аг или Ьг сравнима с началом координат,
то соответствующий множитель (г)— %? (аг) или (г)— f? (br) опускается.
Нуль (или полюс) произведения и нуль (или полюс) функции <р (г) в начале
координат будут тогда одинаковой кратности. В этом произведении и
в произведении § 20.53 множители, соответствующие кратным нулям и полю-
сам, повторяются соответственно их кратности.
г) Той же самой кратности.
20.52. ВЫРАЖЕНИЕ ЧЕРЕЗ ДЗЕТА-ФУНКЦИЮ И ЕЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 317
20.52. Выражение любой эллиптической функции
через линейную комбинацию от дзета-функции
и ее производных
Пусть / (г)—какая-нибудь эллиптическая функция с периодами
2(1)), 2(о2- Пусть а2, •••> ап — совокупность неприводимых полю-
сов функции f(z), а главная часть (§ 5.61, часть 1) функции / (г)
вблизи полюса ак равна
Cfe, 1 I__2______I I___
z — ак' (z — ак)г '
Тогда можно показать, что
п I
= А2 + V | ck> £ (z — ak) — ск, 2U (z — ak)+ ...
4 = 1
•!) k ck, rk .(rb-1\ I
• • • H (rk— 1)! ~ J ’
где A2 — постоянная, a C(s) (z) обозначает C (z).
Обозначая сумму, стоящую справа, через F (z), видим, что
F{z + <2^)-F{z)^^ 2V4.i
/г = 1
согласно § 20.41, так как все производные дзета-функции периодичны.
п
Но сумма 2 ck 1 равна сумме вычетов функции во всех ее полю-
сах, лежащих в ячейке, и, следовательно (§ 20.12), равна нулю.
Поэтому F (z) имеет период 2и>1 и таким же образом можно пока-
зать, что она будет иметь и период 2<х>2; следовательно, f (z) — F (z) —
эллиптическая функция. Кроме того, F (z) образована так, что
f (z)— F (z) не имеет полюсов в точках аА, а2......ап\ следова-
тельно, она не имеет полюсов в некоторой ячейке и по теореме
Лиувилля приводится к постоянной, скажем А2.
Таким образом, функция f (г) может быть представлена
в виде
П rk
1 Ё тйлутс*. ^-1) (z - а^-
4 = 1 5=1
Этот результат имеет большое значение в задаче интегрирования
эллиптической функции f (г), когда главная часть ее разложения
318
ГЛ. 20. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
в каждом из ее полюсов известна; очевидно, имеем
г и
У* f(z) dz — +
»=i
+2т?=Т)Г^^'2>^-^
s = 2
с,
где С — постоянная интегрирования.
Пример. Показать вышеизложенным методом, что
и вывести отсюда, что
г
f p(z) dz = 1?' (*) + ±g2* + C,
где С—постоянная интегрирования.
20.53. Выражение любой эллиптической функции
в виде отношения сигма-функций
Пусть f (z) — какая-нибудь эллиптическая функция с периодами
2(i)j и 2ш2, и пусть ар а2, ..., ап — совокупность неприводимых
нулей функции / (с). Тогда (§ 20.14) можно выбрать такую сово-
купность полюсов bv b2......Ьп, что всякий полюс функции / (г)
будет сравним с одним из них и, сверх того !),
Н- л2 • • • + ап — ^1 + ^2 + • • • + Ьп.
Рассмотрим теперь функцию
ТТ —дг)
гЛ" а('г~ Ьг} '
Это произведение, очевидно, имеет те же самые полюсы и нули,
что и функция / (а); далее, результат прибавления 2ш, к z выра-
) Кратные нули или полюсы, конечно, подсчитываются соответственно
их кратности; для определения Ь2, ..., Ьп возьмем bv b2, ...,bn_v bn так,
чтобы они представляли совокупность полюсов в ячейке, в которой лежат
а., а2...ап, и выберем затем точку Ьп, сравнимую с Ьп, таким образом,
чтобы удовлетворялось требуемое равенство.
20.53. ВЫРАЖЕНИЕ В ВИДЕ ОТНОШЕНИЯ СИГМА-ФУНКЦИЙ
319
жается в умножении функции на
ТТ ехр {2т;, (z — ar)} _
exp {271, (г — br)}
Эта функция имеет поэтому период 2(0,; подобным же образом
покажем, что она имеет и период 2и>2; следовательно, отношение
п
будет эллиптической функцией без нулей и полюсов. По теореме
Лиувилля она должна быть равна постоянной, скажем Л3.
Таким образом, функция f (г) может быть представлена в виде
п
Эллиптическая функция, следовательно, определена (с точностью
до постоянного множителя), когда известны ее периоды и совокуп-
ности неприводимых нулей и полюсов.
Пример 1. Показать, что
(?) — & (У) =
_ ° + у) ° (-г — у)
°2 (г) о2 (у)
Пример 2. Вывести из примера 1 при помощи дифференцирования, что
1 Г (г-)-г (У)
2 ^(г)-^(у)
= С(гЧ-у)-С(г)-Цу),
и при помощи дальнейшего дифференцирования получить теорему сложения
для @(z).
п п
Пример 3. Пусть ~S аг= У Ьг‘} показать, что
л-1 л-1
п
У —61)ч(аг —62) ... я(аг —__Q
АЛ <з (аг — а,) а (аг — а2) а (аг — ап) ’
где знак * обозначает, что множитель
Пример 4. Показать, что
о (аг — аг), равный нулю, опущен.
(г)
^(г)— ег = -^у (г= 1,2,3).
Под {(г) — ег}-' обыкновенно принято понимать > а не
— (г)
с(г)
320
ГЛ. 20. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Пример 5. Установить при помощи примера 1 «трехчленное уравнение»,
а именно:
о (z + a) a (z — а)<з(Ь -\-с)а(Ь — с) + а (z -|- b) о (z — b) а (с 4- а) а (с — а) -f-
+ а (z -f- с) о (г — с) а (а -|- Ь) а (а — Ь) = 0.
[Этот результат принадлежит Вейерштрассу, см. стр. 47 его лекций, издан-
ных Шварцем.]
Это уравнение является характеристическим для сигма-функции; Альфан
(Halphen, Fonctions Elliptiques, I (Paris, 1886), 187) доказал, что нет функции,
существенно отличной от сигма-функции, которая бы удовлетворяла уравне-
нию этого типа, см. стр. 333, пример 38.
20.54. Связь между любыми двумя эллиптическими функциями
с одинаковыми периодами
Докажем теперь важную теорему, что между любыми двумя
эллиптическими функциями f (z) uy(z) с одинаковыми периодами
существует алгебраическое соотношение.
Действительно, можно выразить (§ 20.51) f (z) и cp(z) как рацио-
нальные функции от функций р (г) и (z) Вейерштрасса с теми же
периодами, так что
f (z) = /?! {Р (г), (г)}, т (z) = R2 № (г), р' (z)},
где и /?2 обозначают рациональные функции двух переменных.
Исключая ^(z) и р'(z) алгебраически из этих двух уравнений и
уравнения
Р'2 (^) = 4?3 (z) — g2p (z) — g-3,
получим алгебраическое соотношение, связывающее f (z) с cp(z); тео-
рема, таким образом, доказана.
В частности, всякая эллиптическая функция связана алгебраи-
ческим соотношением со своей производной.
Если теперь взять порядки эллиптических функций /(z) и cp(z)
равными соответственно т и п, то любому заданному значению функ-
ции / (z) соответствует (§ 20.13) совокупность т неприводимых зна-
чений z и, следовательно, т значений (вообще говоря, различных)
функции <р (z).
Следовательно, каждому значению f соответствует т значений <р
и, подобным же образом, каждому значению ср соответствует п зна-
чений /.
Соотношение между /(z) и <p(z) будет поэтому (в общем случае)
степени т относительно <р и степени п относительно /.
Это соотношение может быть и более низкой степени. Так, если
функция f(z) — p(z)—порядка 2, а функция <p(z) — ^2(z)—порядка 4,
соотношение между ними будет —
В качестве иллюстрации доказанной теоремы возьмем функцию
f(z) = p(z) второго порядка и функцию y(z) = p'(z) третьего
20.6. интегрирование {а(|х4 4fljX3 4~ 6а2х* 2 4- 4а3х 4~ а4] -'!? 321
порядка. Соотношение между функциями должно быть степени 2
относительно о и степени 3 относительно /; это и есть на самом
деле, ибо этим соотношением будет
<р2 = 4/3 —g2/ —g3.
Пример. Пусть и, v, w — три эллиптические функции второго порядка
с равными периодами; показать, что в общем случае существует два различ-
ных соотношения, линейных относительно каждой функции и, v, w, а именно:
Auvw 4- Bvw 4- Cwu 4- Duv 4- Eu 4~ Ev + G® 4- H — 0,
A'uvw 4- B'vw 4- Cwu 4- D'uv 4- E'u 4- F’v 4- G'w 4~ FI' — 0,
где A, B, ..., H'— постоянные.
20.6. Об интегрировании функции
_________________________________i_
{а0х4 4- 4ojх3 4- 6а2х2 4- 4а3х + а4} 2
Покажем теперь, что некоторые интегралы, которые не берутся
при помощи элементарных функций, могут быть взяты введением
функции ^(д).
Пусть
а0х4 4- 4а1х3 4- 6а2*2 + 4д3х 4~ = / (х)
— какой-нибудь полином четвертой степени, не имеющий равных
линейных множителей; пусть его инварианты4) будут
g2 — aoa4 — Ч«34-34
g3 == а0а2а4 + 2ага2а3 — а3 — аоа2 — ф4.
х _2
Пусть z = J* {/(0} 2 dt, где xQ— какой-нибудь корень уравне-
но
ния / (х) = 0; тогда, если функция p(z) построена 2) по инвариантам g2
и g2, переменную х можно представить в виде рациональной функ-
ции от р (z\ g2, §з).
[Примечание. Мы считаем, что f(x) не имеет равных линейных
множителей, потому что если f(x) имеет равные множители, то интегриро-
вание выполняется с помощью одних круговых или логарифмических
функций. По той же причине не нужно рассматривать и случай, когда
а0 ~ Я] = 0.]
) Burnside and Pan ton, Theory of Equations, II, 113. (См. также
А. К. С у ш к e в и ч, Основы высшей алгебры, Гостехиздат, М., 1941, 203,
336. — Прим. ред.).
2) См. § 21.73.
11 Э. Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон
322 ГЛ. 20. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Но теореме Тейлора имеем
/ (0 = 4 Л3 (t - х0) + 6 Л2 (Z - х0)2 + 4 Лх Ц - х0)3 4- Ло (t - *0)4
(так как /(^0) —0), где
Л0 = а0> А^адХо+ау
A2^aoxo + 2aixo + a2-
А3 ~ а0Х0 + 3а1Л:0 + 3а2Л:0 + й3-
Положив (t — x0)~1 — t, (х — x0)~l — t имеем
°° _1
z — § (4Л3т3-|-6Л2'с2-]-4Л1т-|- Ло} 2 dt.
Е
Для того чтобы освободиться от второго члена, входящего
в кубический полином, положим 4
т = Л3 ^о — J Л2), £= Лз-1^— i лф
тогда получим
°° _£
z — J* {4<з3 — (з Л2 — 4 Л1Л3) а — (2 Л1Л3Л3 — Л2 — ЛоЛ3)} 2 da.
S
Легко убедиться, что
ЗЛ2— 4Л1Л3 и 2Л1Л2Л3 — Л2— ЛцЛ3
соответственно равны g2 и g3 — инвариантам исходного полинома
четвертой степени, и следовательно,
s = $>(z-, g2, g3).
Далее,
, л i 1 л I-1
л: — ха Л3 j у — 2Г Л2 у »
так что
= + §2’ £з) — ;
таким образом, х выражено в виде рациональной функции от
Р(г; g2- ёз)-
Эту формулу для х следует рассматривать как интегральный
эквивалент соотношения
х _2
« = f {/ю}"2^.
Хо
’) Такая подстановка законна, так как Л3 =j= 0; ибо если Л3 = 0, уравне-
ние /(л)=0 имеет х = ха кратным корнем.
20.6. интегрирование {а0х4 4~ 4а1х3 4- 6а2х2 4- 4л3х 4* аД-'Ь 323
Пример 1. Используя обозначения этого параграфа, показать, что
{/(4)7 = , ~//(Xo)^<g.)
Пример 2. Показать, что если
х __1_
= J {/(/)} 2 dt,
а
где а — какая-нибудь постоянная, не обязательно являющаяся нулем функ-
ции /(х), a f(x)— полином четвертой степени, не имеющий кратных
корней, то
1
{/(a)}2 p'(z) + ±f' (а){
х = а -]--------------------=-----=--------------------------,
причем функция P(z) составлена по инвариантам полинома f(x).
(Weierstrass)
[Этот результат впервые был опубликован в 1865 г. в Берлинской дис-
сертации Бирмана (Bierman, Inaugural-dissertation), который приписывает его
Вейерштрассу. Несколько отличный результат, принадлежащий Морделлу
(Mordell, Messenger, XLIV (1915), 138—141), заключается в том, что если
X, у
г = Г ydx—xdy
где /(х, у)—однородный полином четвертой степени с гессианом h(xt у),
то можно положить
x = aF (z)]/y+j hb,
у = ЬР' (гу\П-2 F (*) А - у ha,
где f и h стоят вместо f(a, Ь) и h(a, b), а индексы а, b обозначают частные
производные.]
Пример 3. Показать, что в обозначениях примера 2
0 /-_ {/(*W)P+/(<*) , Г (а) । f"(a)
* 2(х — а)3 г4(х—а)' 24 ’
р'(г)---J ?__________?. 1^2 I 2 J -/____________L .. I (/(х)}2 .
‘ ( (4 — а)3 4(х— а)3 ] Ш Я ( (х-а)3^4(х—а)2 f
11*
324
ГЛ. 20. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
20.7. Униформизация ’) кривых рода единица
Теорему § 20.6 можно сформулировать несколько иным образом:
Если переменные х и у связаны уравнением вида
у* 2 = а0х4 4CJX3 + 6д2х2 4а3х 4- а4,
то они могут быть выражены как однозначные функции пере-
менной z при помощи уравнений
1 ( 1 •> -1
1 ( II"2
У = -{/'адГ(г)(Кг)-^/’«[ •
где / (х) = я0х4 + 4я1х34-6я2х2 4~ 4а3х я4’ хо— какой-нибудь
нуль функции f (х) и функция J>(x) составлена по инвариан-
х _1
там f (х), причем г = f (/(0} 2 dt.
Ха
Очевидно, что у является двузначной функцией от х, а х—четырех-
значной функцией от у; то обстоятельство, что х и у могут быть
выражены как однозначные функции переменной z, делает эту пере-
менную z весьма важной в теории алгебраических уравнений рас-
сматриваемого типа; z называется униформизующей переменной
уравнения
у2 = дох4 4- 4fljX3 4- 6а2х2 4~ 4д3х 4- а4-
Читатель, знакомый с теорией плоских алгебраических кривых, знаёт,
что они классифицируются по родам 2); при этом родом кривой называется
разность между максимальным числом двойных точек, которые могут иметь
кривые того же порядка, что и данная, и числом двойных точек, которыми
обладает данная кривая.
Кривые, род которых равен нулю, называются уникурсальными кривыми.
Если /(х, у) = 0—уравнение уникурсальной кривой, то известно3), что
координаты х и у точек рассматриваемой кривой могут быть выражены как
рациональные функции некоторого параметра. Поскольку рациональные
функции однозначны, этот параметр является униформизующей переменной
для уникурсальной кривой.
Здесь мы рассмотрим кривые рода единица; пусть /(х, у) = 0—такая
кривая; Клебш 4) показал, что в этом случае х и у могут быть выражены
) Униформизация происходит от слова «uniform», одно из значений ко-
торого — «однозначный».
2) По-французски «genre», по-немецки «Geschlecht», по-английски «genus».
3) См. Salmon, Higher Plane Curves, Dublin, 1873, Ch. II. (См. также
А. А. Савелов. Плоские кривые, Физматгиз, 1960, стр. 22—23.—
Прим. ред.). . •
*) Clebsch, Journ. fiir Math., LXIV (1865), 210—270. Доказательство
результата Клебша дано Форсайтом (Forsyth, Theory of Functions, 1918, §248).
См. также Cayley, Proc. London Math. Soc., IV (1873), 347—352 (Math.
Papers, VIII, 181—187).
ПРИМЕРЫ
325
как рациональные функции от 6 и т), где ц2 — полином относительно $ третьей
или четвертой степени. Отсюда, согласно § 20.6, следует, что i и у могут быть
выражены как рациональные функции от (z) и (г) (причем эти функции
составляются по соответствующим инвариантам), и таким образом, х и у
могут быть выражены как однозначные (эллиптические) функции от г;
переменная г является поэтому униформизующей переменной для рассматри-
ваемого уравнения.
Когда род алгебраической кривой f(x, у) — 0 больше единицы, униформи-
зацию можно осуществить при помощи так называемых автоморфных
функций, Были построены два класса таких функций рода, большего еди-
ницы, первый — Вебером (Weber, Oottinger Nachr. (1886), 359—370), другой —
Уиттекером (Whittaker, Phil. Trans., СХСП (1898), 1—32). Аналог параллело-
грамма периодов называется «фундаментальным многоугольником».
В случае функции Вебера этот многоугольник многосвязный, т. е. он
содержит дыры, которые следует рассматривать как не принадлежащие
к нему, между тем как в случае второго класса функций многоугольник
будет односвязным, т. е. без дыр. Последний класс функций можно рассмат-
ривать поэтому как более непосредственное обобщение эллиптических фун-
кций, См. Форд, Введение в теорию автоморфных функций, М. — Л., 1936,
ЛИТЕРАТУРА
К. W е 1 е г s t г a s s, Werke, I (1894), 1—49; II (1895), 245—255, 257—309.
С. В г lot et J. С. Bouquet, Theorie des fonctions elliptiques (Paris, 1875)
H. A. Shwarz, Formein und Lehrsatze zum Oebrauche der elliptischen
Funktionen. Nach Vorlesungen und Aufzeichnungen des Herrn Prof.
K. Weierstrass (Berlin, 1893).
A. L. Daniels, Notes on Weierstrass’ methods, American Journal of Math.,
VI (1884), 177—182, 253—269; VII (1885), 82—99.
J. Lionville (Лекции, опубликованные Борхардтом (Borchardt, C. W.)),
Journ. fur Math., LXXXVIII (1880), 277—310.
A. E n n e p e r, Elliptische Funktionen (zweite Auflage von F. Muller, Halle, 1890).
J. Tannery et J. Molk, Fonctions elliptiques (Paris, 1893—1902).
H. И. Ахиезер, Элементы теории эллиптических функций, Гостех-
издат, 1948.
А. Гурвиц, Теория аналитических и эллиптических функций, ГТТИ, 1933»
Примеры
1. Показать, что
(г + У) - S? - У) = - Г (г) р' (у) {$э (2) _ s? (у)} -2.
2. Доказать, что
Р (г) — (г + У + w) = 2
д S!?2(W(y)-Hw)}
где дифференцируемое выражение в правой части симметрично относи-
тельно z, у и w.
(Math. Trip., 1897)
3. Показать, что
р'" (z—y) р'" (y—w) (w—z) р"' (z—y) р'" (у—«’) Р"' (W—z)
(3" (z—y) P" (y—w) SP" (®—z) =^g2 S’ (z—y) p (y—w) (w—z) .
S’ (z—y) p (y—w) (w—z) 1 1 1
(Trinity, 1898)
326
ГЛ. 20. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
4. Пусть
У=Р(г) —<?l( / =
показать, что у есть одно из значений выражения
1
( 2 1
(у — ii-'g/)2 +(e1 — e2)(el — <?3) | .
(Math. Trip., 1897)
5. Доказать, что
1 ±
2 {Р(г)~ е} {§>(?)— Р(«’)}2{Р(У + «) — е}2 {Р(у — w) — е}2 =0,
где знак суммирования относится к трем аргументам z, у, w, а е—любой
из корней е,, е2, е2.
(Math. Trip., 1896)
6. Показать, что
( /1 \ \2
Г(г + Ш1)= I F (-2 Р (“.) I
РЧ*) I ) •
(Math. Trip., 1894)
7. Доказать, что.
р (2^) -$?(<>>) = {Г ~2 {s? w - р (| }2 {р« - р (®2 +1 <->.) }2.
8. Показать, что
(Math. Trip., 1894)
f 1 I2
{ P («) P (V) + 7 g2 | + g, {j? (u) + p (v)}
{P(«)~P(0}2
(Trinity, 1908)
9. Пусть (it) имеет основные периоды 2a>t, 2®2 и f(u) — {(it) — (m2)}2
а функции P! (u) и /| (и) подобным же образом построены по периодам
и 2®2; доказать, что
72 — 1
Рг (и) = Р («) + 2 { Р (« + 2т ^-) - р (2т v) }
772=1
Л-1
772 = 1
(Math Trip., 1914; первая из этих формул принадлежит Киперту (Kiepert,
Journ, fur Math., LXXVI (1873), 39)).
ПРИМЕРЫ
327
10. Пусть х = (и + а), у=(р(и—а), где а—постоянная; показать,
что кривая, на которой лежит (х, у), будет
/ 1 \2 / 1 \
(ху + сх4-су = 4 (х 4-У + с) ^*У — -4^,
где с = (2а).
(Burnside, Messenger, XXI)
11. Показать, что
2Г3 (а) ~ 3g2r2 («) + d = 27 {SP («) + £з)2-
(Trinity, 1909)
12. Пусть
z = J* (.с4 + бсх2 4- е2) 2 dx;
проверить, что
у Г (*)
х= &(z) + c ’
где эллиптическая функция составлена по корням —с, у (с 4-е), у (с — е).
(Trinity, 1905)
13. Пусть т—произвольная постоянная; доказать, что
1 f ет^-^$'г(г)аг , Г ^{PW-Иу)} dy _
P'(y)J m-Ky) + r w J ко-Ку)
1 у Г Г em^}-^^(2)dzd7
2 J {^(г)-ег) {КУ)-М ’
Т
где суммирование по г производится от 1 до 3, а интегралы неопределенные.
(Math. Trip., 1897)
14. Пусть
R (х) — Ах4 4- В-*3 + Сх2 4- Dx 4- £,
и пусть £ = <f (х)—функция, определяемая уравнением
Е _Д
х = f [R (6)} 2 di,
где нижний предел интеграла произволен. Показать, что
2?' (а) _ / (а 4- У) + <?' (Д) («— >') + ?' (а) _
<f (х 4-у) — ? (а) ?(«4-У)—?(Д) ‘ ?(а—У) —<?(а)
<?'(‘2 + У)—1е'(х) <f' {а— У) —ч'(х)
? (Д + У) — ? (х) ? (а — У) — <р (х)
(Hermite, Proc. Math. Congress (Chicago, 1896), 105. Эта формула является
формулой сложения, которой удовлетворяет всякая эллиптическая функция
порядка 2.)
328
ГЛ. 20. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
15. Показать, что замена переменных
преобразует уравнения
т12 + -г; (1 + pi) + ;3 = 0, du — 2^ — °
в подобные же уравнения
^z2 4-(1-Н = о, du — =о.
Показать, что, выполняя эту замену переменных последовательно три
раза, возвратимся к начальным переменным i, у; отсюда, далее, получить,
что если i и q рассматривать как функции от и: 6 = Е (и), -q = F(u), то
Е (и) £3 (и)
Е (и -^) — ~Ъ /—Г > F (а "Ь -^) = »
41 ’ F (и) ' 1 ’ Е2(и)
где А — треть периода функций Е (и) и F (и).
Показать, что
Л2
£ («) = 32" — («; д2. ёз),
где
^2 = 2^4-ip4, g3-= — 1 — у£3— 2Уб~/?6-
(De Brun, Ofversigt af
К. Vet. Akad., Stockholm, LIV)
16. Показать, что
= 2a (z + <o,) a (z + o>2) з (z — co, — o>2)
a3 (z) a (co,) a (co2) a (co, 4-co2) ’
&" (Z\ = 6a (z + a) a (z — а) з (z + c) a (? — c)
8 ' ' a4 (z) a2 (a) a2 (c) ’
где
(a) = (t2^2)2 • ^(с) = — (iJ^2)2 ‘
(Math. Trip., 1913)
17. Доказать, что
Kz—a) ^>(z—b)= $ (a — b) {$ (z— a) + $ (z — b)— ^(a)— K*)} +
+ Г (a-4 {C(z-a)-C(z-*)+C(a)-C((>)} + ^(a) ®(b)
(Math. Trip., 1895)
18. Показать, что
1J + V' W _ + P' (w) 1 =
2 ( («) — & (w) (v) — (w) f
= — C (w — и) + C (w — v) + С (о) — C (u).
(Math. Trip., 1910)
ПРИМЕРЫ
329
19. Показать, что
С (Mi) + С (цг) + С («з) — £ (И1 + и2 4“ w3) —
=____________2 {g> («,) — g> (и2)} { g> (и2) - g> (и3)} { g> (ц3) - f? (и,)}_
Р' («>) {Р («2) - Р («з)} + Г («2) {Р («з)-Р («0} + Р' («з) {Р («.)- Р («2)} '
(Math. Trip., 1912)
Р(х) f(x)
Р(У) Р'(У) .
Р(г) Г (г)
20. Показать, что
1
1
1
c(x+y + z)a(x — y)a(y — z)a(z — x) = 1_
а3 (х) а3 (у) а3 (г) 2
Пользуясь этой формулой, получить теорему сложения для функции
21. Показать по индукции или другим путем, что
1 F(*o) Г(*о) (*о)
1 Р(г.) F (*i) ... Р(я-1) (*i)
1 Л*п)
_ /Л П (И_1' 1, 9! а(г° + <+ +г„)П°(гх-^)
' ..... ая + ‘(г0) ...a»+'U„)
где произведение берется по всем парам целых значений X и р. от 0 до п,
таким, что X < р..
(Frobenius и Stlckelberger ) Journ. fiir Math., LXXXIII (1877), 179)
22. Выразить
1 ?(x) p(x) p'(x)
1 Р(У) Р2(У) F(y)
1 F(z) F(4 ГИ
1 P(«) P(«) P'OO
в виде дроби, числитель и знаменатель которой являются произведениями
сигма-функций.
Отсюда получить, что если а—(?(х), ₽ = ^(у), 8 =(?(«),
где х + у 4- z + и — 0, то
1
(«2 — е3) {(«—е,)(3 —^i)(-f—б|)(а —еО}2 +
£
+ (^з—^i) {(«— е2) (₽ — e2)(t— ^)(8 — <?2)}2 +
2
+ (01 — вг) {(« — е3) (? — е3) (у— е3) (8 — е3)}2 = (е2— е3) (е3 — е,) (et — е2).
(Math. Trip., 1911)
') См. также К i е р е г t, Journ. fiir Math., LXXVI (1873), 21—33; Her-
mite, Journ. fur Math., LXXX1I (1877), 346.
330
ГЛ. 20. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
23. Показать, что
2C(2u)-4C(«) = ^-,
а'3 (и)
ЗС(Зи)—9С(а) =---------i5----------------------
F (и) — у giP («) — gt P (U)-g\
(Math. Trip., 1905)
24. Показать, что
F (и)’ те?=зр (m) (u) - 4r2 (u)~
и уц-1 и \U’ j ~
° (Лц) ,
и доказать, что----—— есть двоякопериодическая функция от «.
{° («)}"
(Math. Trip., 1012)
25. Доказать, что
П X ?! «А п . f/o О1Л о (г — 2а + 6) а (z — 2b + а)
Цг—а) Цг b) Z (a b) + C(2a 2Ь) - ° (2&__2а) 0 а)о (2_ •
(Math. Trip., 1895)
26. Показать, что если г, + г2 + z3 + = 0, то
{2 с М3 = з {2 с (гг)} {2 & М + 2 г (2г)>
где суммирование производится по г = 1, 2, 3, 4.
(Math. Trip., 1897)
27. Показать, что всякая эллиптическая функция порядка п может быть
представлена как отношение двух выражений вида
aiP (z + b) + a2f' (z + b) + ... +a„^" ])(.г-|-&),
где b, a1( a2, .... a„—постоянные.
(Painlevd, Bulletin de la Soc. Math., XXVII)
28. Взяв e, > e2 > es, — ^(.<л') = е3, рассмотреть значения, при-
(<oz)
нимаемые выражением C(w)---------когда и движется вдоль периметра
прямоугольника с вершинами — <о, со,
29. Получить интеграл уравнения
со -|- со', — со -j- со'.
(Math. Trip., 1914)
— 44~ = 6£’(.г) + 3& в виде
a dz2
d Г а (г + с) ( z$' (с)
dz [а (г) а (с) еХР( Ь — 2@(с)
^С(с)}].
где с определяется уравнением
(&2 — 3^2) (с) = 3 (*з + ^3);
получить также другой интеграл в виде
;--± Х)(£±Л~ “Р I- rt («.> - л М).
ПРИМЕРЫ
831
где
(а,) + ® (а2) = Ь, р' (а,) + р' (д2) = О
и ни а, 4- а2> ни ai — а2 не сравнимы с нулем.
(Math. Trip., 1912)
30. Доказать, что
„ _ q (г + ^1) g (г + г2) а (г + г3) 3 (г + z4)
ъ \г) fl I
° 12г 4- (г1 + г2 + гз + za) г
является двоякопериодической функцией от z и
g (2) + S (г + “i) + g (г + “2) + g (-? + “I + “2) =
= — 2а у (г2 4- z3 — Zj — z4) | а (z3 4- z, — z2 — z4) | X
X з | j (^1 + г2 —г3 — г4) |.
(Math. Trip., 1893)
31. Пусть f(z)— двоякопериодическая функция третьего порядка с по-
люсами в z = C|, z — с2, z = с3, и пусть <р (г) — двоякопериодическая функ-
ция второго порядка с теми же периодами и полюсами в точках z — а,
z — р, причем ее значение вблизи z = а равно
? (2) ='z_"a (г — а) + ^2 (2 — а)2 + • • • i
доказать, что
з
1 К {/" (а) - /" (£)} — X {/' (а) + Г (?)} ¥ (С1) +
1
+ {/(*)—/(?)}
зи1 + 2 ? ? i °'
1 1
(Math. Trip., 1894)
32. Пусть X (z)—эллиптическая функция с двумя полюсами at, а2, и
пусть Zp z2...zin суть 2л постоянных, подчиненных только условию
г1+гг+ ••• + 22л — п (at 4 а2);
показать, что определитель, z-я строка которого есть
1. Х (2;), X2 (Z;), . . ., ЛЯ (zj, Xj (zz), X (zz) Xj (zz), X2 (zz) Xj (zz), .... X”"2 (zz) Xj (ZZ)
[где X, (zz) обозначает результат замены z на zz в производной от X (z)],
тождественно равен нулю.
(Math. Trip., 1893)
332
ГЛ. 20. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
33. Вывести из примера 21 переходом к пределу или другим путем, что
Г (г) Г U) ... Р(я-1)(г)
Р" (*) Р"'(г) ... ^n)(z)
= (—I)”-1 {П2!.. .(л—1)1}2о(п«)/{а(«)}"’.
P(n-1)(£) р(л) (г) ... р(2"*3) (г)
(Kiepert, Journ. fur Math., LXXVI)
34. Показать, что при определенных условиях в виде неравенств имеем
а (г 4- у) ш, " / лг , "V \ , 2z V ______________________ п
—т~г—т~г е — ~с>— ( сtg -и--Н ctg 75— ) -j---У. qlmn sin — (mz 4- ny),
a (z) а (у) 2a>1 \ a 2a>! ь 2Ш, ) 1 co, 4 a, ' I
где суммирование распространяется на все положительные целые значения
/ \
т и п, a q « exp I-----).
itz ,
2^ + ctS
35. Предполагая известной формулу
. . 2ш, 2ci)j
а(г) = е —i
(Math. Trip., 1895)
JJL. 1 — 2q2n cos------L qw
nz TT 4
sln 2^ 11
1 л-1
доказать, что
& (г) =
9 П2
cosec2 т;—
ZCOj
2 V1 пЯ2П пг’2
/1 1 9П C0S - >
1 —to
2
л = 1
когда г удовлетворяет неравенствам
-2 Re К
(Math. Trip., 1896)
36. Показать, что если 2и> — какая-нибудь из точек вида 2'znwj -f- 2/гш2 и
если
то х корнем уравнения шестой степени
л6 — 5^2х4 — 40g3x3 — 5^х2 — 8^2^3х — 5g| = 0,
и получить все корни этого уравнения.
(Trinity, 1898)
37. Показать, что
С {(х2—а) (хг — Ь)} 4 — 11g -1-4- 1g ° ~iz°\ ,
./ u ' 2 s :(z-r0)'2 sa(z + zz0)’
где
, . 1 1 26 1
X ~a+6 &2(z) — p(zQ)’ 82 ~ 3a(a—b)’ 83 ~0, P (2o) ~ 6 (a —6) ’
(Долбня, Darboux, Bulletin (2), XIX)
ПРИМЕРЫ
333
38. Доказать, что всякая аналитическая функция, которая удовлетворяет
трехчленному уравнению
2 /^+a)/(z-a)/(6 + c)/(6-c) = O
a, bt с
для общих значений а, Ь, с и г, выражается через элементарные функции
и сигма-функцию (которая в вырожденных случаях заменяется тригономет-
рической или алгебраической функцией).
(Hermite, Fonctions elliptiques, I, 187)
[Положив г = а = й = с = 0, найдем /(0) = 0; положив й = с, найдем
f{a—b)-\-f{b—а) = О, так что /(г) — нечетная функция.
Если F (г) — логарифмическая производная от /(г), то, дифференцируя
данное соотношение по b и полагая затем Ь = с, получим
/(z+a)/(z—а)/(2й)/'(0) _
f(z + b)f(z-b)f(a+b)f(a-b)
= F (z b) — F (z — 6) + F (a — b) — F(a-\-b).
Продифференцировав это равенство по b и положив b — 0, получим,
далее,
(г) _ (а).
{/(г)/(а)}2
Если бы f (0) было нулем, то F' (г) была бы постоянной и, интегрируя,
мы получили бы, что функция f(z) имеет вид A exp (Bz 4- Cz2), а это выра-
жение будет нечетной функцией только в тривиальном случае, когда оно
равно нулю.
Если /' (0) /= 0 и мы положим F' (г) = — Ф (г), то найдем, что коэффи-
циент при а4 в разложении выражения
12/ (z -J- a) f(z— а)
{/(г)!2
равен 6 {Ф (г)}2—Ф" (г), а коэффициент при а4 в выражении
12 {/(а)}2 {Ф(а) —Ф (г)}
будет линейной функцией от Ф (г). Отсюда Ф" (г) будет функцией второй
степени от Ф(г); если же мы умножим эту функцию на Ф' (г) и проинте-
грируем, то найдем, что
{Ф' (г)}2 = 4 {Ф (г)}3 + 12Л {Ф (г)}2 + 12ВФ {z) -f- 4С,
где А, В, С — постоянные. Если кубический полином справа не имеет рав-
ных линейных множителей, то (§20.6) Ф (г) = f? (г -j-«) + А, где а — по-
стоянная; интегрируя, отсюда получаем
f(z) — а {г + a) exp у Az2 —Kz—Lj,
где К и L—постоянные; так как f(z)—нечетная функция, то а = /< = 0 и
f(z) = a (г) ехр| — ~ Az2 — Z,|.
Если тот же полином имеет кратный линейный множитель, то сигма-
функция заменяется (§ 20.222) синусом аргумента, кратного г, а если он
полный куб, то сигма-функция заменяется кратным z.]
ГЛАВА 21
ТЭТА-ФУНКЦИИ
21.1. Определение тэта-функции
Когда в задачах, связанных с эллиптическими функциями, жела-
тельно получить определенный численный результат, то вычисления
легче всего выполняются при помощи вспомогательных функций,
известных под названием тэта-функций.
Эти функции представляют значительный самостоятельный интерес
и вне связи их с эллиптическими функциями, и мы изложим теперь
их основные свойства.
Тэта-функции впервые были изучены систематически Якоби ’),
который получил ряд их свойств чисто алгебраическими методами;
его анализ был настолько исчерпывающим, что, по существу, все
результаты, содержащиеся в этой главе (за исключением способа
рассмотрения задачи обращения в § 21.7 и след.), имеются в его
работах.
В соответствии с общим планом этой книги мы не будем поль-
зоваться методами Якоби, а воспользуемся более сильными методами,
основанными на применении теоремы Коши. Эти методы впервые
были применены в теории эллиптических и родственных им функций
Лиувиллем в его лекциях и после этого применялись в нескольких
других трактатах по эллиптическим функциям; наиболее ранним из
них был трактат Врио и Буке.
[Примечание. Первой функцией типа тэта-функций, появившейся
в анализе, была функция разбиения (Partition function) * 2)
л=1
) Jacobi, Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum (Konigs-
berg, 1829) и Ges. Werke, I, 497—538.
2) Эта и аналогичные функции были изучены Гауссом (Gauss, Comm.
Soc. reg. sci. Gottingensis, rec. I (1811), 7—12, Werke, II, 16—21 и Werke, 111,
433—480) и Коши (Cauchy, Comptes Rendus, X (1840), 178—181). Об иссле-
довании свойств различных функций, связанных с так называемыми основ-
21.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЭТА-ФУНКЦИИ
335
Эйлера (Введение в анализ бесконечных, I, § 304, М., 1961); при помощи
результатов, данных в § 21.3, легко выразить тэта-функции через функции
разбиения. Эйлер получил также некоторые свойства произведений типа
ОО
П а ± -и.
п=1
II (1 ± х«»), Д(1±л2«->).
Л=1 П = 1
Соответствующие ряды
“ у«(«+3) ~ 1Я(Я+1) 0°
£ т2 и 2 т
п=0 л=0 л=0
встречаются еще ранее в посмертной работе Якова Бернулли (Jacob Ber-
noulli, Ars Conjectandi, 1713, 55).
Тэта-функции также встречаются у Фурье (Fourier, La Theorie Analyti-
que de la Chaleur (Paris, 1822), 265).
Теория тэта-функций была развита из теории эллиптических функций
Якоби в его «Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum» (1829),
помещенной также в его Ges. Werke, 1, 49—239; обозначения, примененные
там, приводятся в § 21.62. В последующих лекциях он ввел функции, рас-
смотренные в этой главе; изложение этих лекций (1838) дано Борхардтом
(Borchardt) в собрании сочинений Якоби (Jacobi, Ges. Werke, I, 497-538).
Наиболее важные результаты, содержащиеся в них, по-видимому, были
открыты в 1835 г.; см. Kronecker, Sitzungsberichte der Akad. zu Berlin (1891),
653—659.]
Пусть т — (постоянное) комплексное число, мнимая часть ко-
торого положительна-, положим д = е/:,\ так что |д|<1.
Рассмотрим функцию &(г, q), определяемую рядом
Ш ?)= 5 (-ov^'A
П- — СО
как функцию переменной z.
Если А — любая положительная постоянная, то при | z | А имеем
I n‘±2niz I / I „ „2пА
\Я е I < I Я I е
при всяком целом положительном п.
Деламберово отношение (§ 2.36, часть 1) двух последовательных
членов ряда У |^р2е2”л равно |(?|2л+1е2Л и стремится к нулю при
Л = — оо
п—>со. Поэтому ряд для h(z, q) есть ряд аналитических функций,
равномерно сходящийся (§ 3.34, часть I) в любой ограниченной
ными числами (которые тесно связаны с функциями разбиения), см.
Jackson, Proc. Royal Soc., LXXIV (1905), 64—72; Proc. London Math. Soc.
(1), XXVIII (1897), 475—486, (2), I (1904), 63—88, II (1904), 192—220 и W a t s on.
Camb. Phil. Trans., XXI (1912), 281—299. Основная формула в теории основ-
ных чисел была дана Гейне (Heine, Kugelfunktionen (Berlin, 1878), I, 107).
336
ГЛ. 21. ТЭТА-ФУНКЦИИ
области значений z, и следовательно, он представляет целую функ-
цию (§§ 5.3, 5.64, часть I).
Очевидно, что
&(z, q) — 1 -2 2 (—l)"v" cos 2nz
n-1
И
Я (z + те, q) — Я (z, q);
далее,
OO
a(2+„, 7)= 2 (-1/
n = — co
oo
= — q~ie~2iz (-
n= — CQ
и следовательно,
q') =— q~’le~2‘z^ (z, q).
В соответствии с этими формулами &(z, q) называется ква-
зидвоякопериодической функцией от z. При прибавлении те или
тет к z функция &(z, q) умножается на 1 или —^-ie-2<z. соответ-
ственно этому 1 и —9-1е_2‘г называются мультипликаторами или
множителями периодичности, соответствующими периодам к и тех.
21.11. Четыре типа тэта-функций
Обычно пишут &4(z, q) вместо й(г, qy, остальные три тэта-функ-
ции определяются следующим образом.
Функция &3(г, q) определяется равенством
»3 (z, q) = П4 (z + у к, ?) = 1 + 2 q^ cos 2лг;
/2 = 1
затем &4(г, q) определяется через &4(г, q) равенством
^(г, q) = — ieZ+i ’"&4^-]- ~nz, q}=-.
= -/ 2 (-\)nq^e^lz,
П- — OO
откуда')
1), (z, q) = 2 2 (—sin (2л 4~ l)z-
n --- о
*) По всей этой главе многозначную функцию q'~ следует понимать
как ехр (Хя/т).
21.11. ЧЕТЫРЕ ТИПА ТЭТА-ФУНКЦИЙ 337
Наконец, &2(г, q) определяется равенством
&2 (z, q) = &j + y qj = 2 2) cos (2n!)•?•
/2-0
Если представим ряды в развернутом виде, то получим
1 2 21
(z, q)=2qi sin z — 2q4 sin 3z + 2q 4 sin 5г — ....
J_ _9_ _25_
f)2 (г, q) = 2q4 cos z -|- 2q4 cos 3г + 2q 4 cos 5г -f- ....
{>3 (г, q) — 1 2q cos 2г + 2^4 cos 4г 2q9 cos 6г -f- • • •.
S4 (г, q) — 1 — 2q cos 2г + 2<?4 cos 4г — 2q9 cos 6г + • • •
Очевидно, что ЯДг, q) — нечетная, функция от г, а остальные
тэта-функции — четные.
Обозначения, введенные сейчас, являются видоизменением обозна-
чений, примененных в трактате Таннери и Молька (Tannery, Molk);
единственное различие между этими обозначениями и обозначением
Якоби заключается в том, что $4(z, q) пишется там, где Якоби
писал бы &(г, q). К сожалению, различные авторы употребляют
различные обозначения; схема, сопоставляющая их между собой,
приводится в § 21.9.
Для краткости параметр q обычно опускается, так что мы будем
писать (г), ... вместо (г, Если желательно представить
зависимость тэта-функции от параметра т, то будем писать &(г|т).
Далее, вместо &2(0), Д3(0), &4(0) будем писать соответственно &2,
1)3, 04 и под &i будем понимать значение производной от &4(г)
при г = 0.
Пример 1. Показать, что
»з (г, q) = 93 (2г, q4) + &2 (2г, q4),
»4 (г, q) = &з (2z, q4) — &2 (2г, q4).
Пример 2. Получить соотношения
», (г) = — »2 + у я j = — (г -|- у я -j- j + у mA,
А4 = 94в'Ч
где
1
338
ГЛ. 21. ТЭТА-ФУНКЦИИ
Пример 3. Показать, что множители тэта-функций, соответствующие
периодам ~ и пт, даются схемой
9, (z) 92(z) »з(«) 94(z)
я — 1 — 1 1 1
7CT —
где W — q~'e~2iz.
Пример 4. Пусть & (z) — какая-нибудь одна из четырех тэта-функций
и 9'(z)—ее производная по z; показать, что
(* + ~) = (?) S' (z ф- пт) = _ 9' (z)
9(гфт) 9(z) ’ 9(гф-ПТ) 9(z) ’
21.12. Нули тэта-функций
Из квазипериодических свойств тэта-функций очевидно, что
если &(z) — одна из них и z0— какой-нибудь нуль функции &(z), то
гоф-
будет также нулем функции П(г) при любых целых значениях тип.
Покажем теперь, что если С — какая-нибудь ячейка с вер-
шинами
t, /—]—тс, t-ф-те-ф-тет, /-ф-тет,
то 0(z) имеет один и только один нуль внутри С.
Так как &(.?) — аналитическая функция во всей конечной части
плоскости г, то из § 6.31 части I следует, что число ее нулей
внутри С равно
Поступая с контуром по образцу § 20.12, видим, что
1 r^Ldz--L Г;
2пг J 9(z) 2та J I »(z)
С t
S' (z ф- пт) 1
9 (z ф- пт) j
1 Г ( »'(*)
2та J ( 9(z)
t
9' (z ф- п)
»(* + *)
dz =
t+n
-X /* 2ldz
2nl J
t
21.2. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ КВАДРАТАМИ ТЭТА-ФУНКЦИЙ
339
согласно примеру 4 § 21.11. Поэтому
I Г У (*)
2iw J Э (г)
с
dz=l;
таким образом, &(z) имеет только один простой нуль внутри С, что
и требовалось доказать.
Так как z — 0 является, очевидно, нулем функции ^(z), то отсюда
вытекает, что нулями функций ^(z), ^(z), H4(z) будут точки,
сравнимые с 0, yit, -^-к -ф-^-кт, -i- кт. Читатель заметит, что эти
четыре точки представляют собой последовательные вершины парал-
лелограмма, обходимого против часовой стрелки.
21.2. Соотношения между квадратами тета-функций
Очевидно, что если тэта-функции рассматривать как функции
только переменной z, то эта переменная может быть исключена из
уравнений, определяющих любую пару тэта-функций; в результате
получится соотношение1) между тэта-функциями, которое, как можно
ожидать по общим соображениям, будет не алгебраическим; имеются,
однако, чрезвычайно простые соотношения между любыми тремя
тэта-функциями, которые мы теперь и получим.
Каждая из четырех функций Я? (г), (z), 83 (z), $4 (z) — аналити-
ческая для всех значений z и имеет множители периодичности
1, q~2e~il1, соответствующие периодам к, кт; каждая из них имеет
двойной нуль (и никаких других нулей) в любой ячейке.
Отсюда заключаем, что если а, Ь, а' и Ь' — надлежащим обра-
зом выбранные постоянные, то каждая из функций
a&fc)+6924(z) a^(Z) + b'^(z)
(*)
будет двоякопериодической функцией (с периодами к, кт), имеющей
самое большее только один простой полюс в каждой ячейке. По
§ 20.13 такая функция будет равна постоянной, и, очевидно, можно
так выбрать а, Ь, а', Ь', чтобы постоянные в каждом из рассматри-
ваемых случаев равнялись единице.
Поэтому существуют соотношения вида
(г) = (z) + (г), (г) = (г) + (г).
*) Аналогичным соотношением для функций sin z и cos г является,
конечно, (sin г)2 (cos z)2 = 1.
340
ГЛ. 21. ТЭТА-ФУНКЦИИ
Чтобы определить а, Ь, а', Ь', дадим z частные значения ~ тег
и 0; так как
— q 4&3. а4 (4 ~Z) = 01 »1(4 =
то имеем
&3 =---Д&4, &2 = &2 ==--& ^4, = b &2.
Таким образом, мы получили следующие соотношения:
1)2 (г) f}2 = (г) &2 — f}2 (2) &!, »3 (2) &4 = »4 (*) &3 — С?) »2-
Если заменим z на гг—|— 47Г» т0 получим еще два соотношения:
Н1 (2) &4 = »з (2) &2 — »2 (г) Оз, &4 (г) О4 = 0^ (2) — «2 (*) &!
С помощью этих результатов можно выразить любую тэта-функ-
цию через любую пару других тэта-функций.
Следствие. Положив г = 0 в последнем соотношении, имеем
&2 + ®4 = ®з>
т. е.
16?(l + <Zb2+?2-3 W4+ ...)4 + (1-29 + 2^-2^+ ...)< =
= (1+2^ + 2^ + 2?’+ ...)«.
21.21. Формулы сложения для тэта-функций
Результаты, полученные только что, являются частными случаями
формул, содержащих две переменные; эти формулы не являются
теоремами сложения в прямом смысле, так как они не выражают
алгебраически тэта-функций от z-\-y через тэта-функции от z и у;
но они содержат тэта-функции от z — у наряду с тэта-функциями
от z-\-y, z и у.
Для того чтобы получить одну из этих формул, рассмотрим
03(z + у) &з {z — у) как функцию от z. Множители периодичности
этой функции, соответствующие периодам к и кт, будут 1
и (?_1е_2< (г+у) • q~xe~2t (г-у) = q~2e~ilz. Но функция afl2 (z) -ф- Ml2 (z)
имеет те же множители периодичности, и мы можем, очевидно, выбрать
отношение а : b так, чтобы двоякопериодическая функция
(гЧ-у)9з(г—у)
21.22. основные формулы якови
341
не имела полюсов в нулях функции 03(д— у); тогда указанная
функция будет иметь самое большее один простой полюс в любой
ячейке, а именно нуль функции в этой ячейке, и, следова-
тельно (§ 20.13), будет постоянной, т. е. не зависящей от z; поскольку
до сих пор было фиксировано только отношение а : Ь, мы можем
далее выбрать а и b так, чтобы эта постоянная была равна единице.
Теперь нам надо определить а и b из тождества относительно г‘.
а»! (г) + (г) s= &з (z + у) 03 (z — у).
Чтобы сделать это, положим z последовательно равным О
1 । 1
и у it у лт; тогда получим
й&з = И (у). ЬЪ\ (-1 it -4- itt ) =
= &з (у + у у) &з(4 У
и следовательно,
®з(у) . »?(У)
4Z —— _о , Ь — _ п
Итак, мы получили формулу сложения, а именно:
% (* + У) »з (* - У) »з = &з (У) &з (*) + (у) Я? (z). .
Совокупность формул, к типу которых относится последняя
формула, будет приведена в примерах 1 и 2 в конце этой главы.
21.22. Основные формулы Якоби1)
Полученные выше формулы сложения являются частными случаями ряда
тождеств, впервые данных Якоби, который получил их чисто алгебраиче-
скими методами; каждое тождество содержит целых четыре независимых
переменных: w, х, у, г.
Пусть w', х', у', г' выражаются через w, х, у, г формулами
2®' — — ® 4- х 4- у + •?,
2х' = ® — х 4- У + г,
2у' = ®4-х—у + г,
2г' = w 4- х + у — г.
Легко убедиться, что ®, х, у, г выражаются через ®,' х', у', z' теми же
формулами 2).
') Jacobi, Oes. Werke, 1, 505.
2) В работе Якоби знаки при w', х', у', z' всюду обратные, что нару-
шает полную симметрию соотношений; симметричные формулы, данные
здесь, принадлежат Смиту (Н. J. S. Smith, Proc. London Math. Soc.,I
(май 21, 1866), 1—12).
342
ГЛ. 21. ТЭТА-ФУНКЦИИ
Для краткости ') будем писать [г] вместо (w) 9Л (х) 8. (у) 9, (г) и [г]'
вместо (w') (х') (у') (г').
Рассмотрим [3], [1]', [2]', [3]', [4]' как функции от г. При прибавлении
~ или к z функции первой строки следующей таблицы переходят соот-
ветственно в функции второй и третьей строки.
[3] [1]' [2]' (3]' [4]'
г. [3] -[2]' -[1]' [4]' [3]'
ZT М[3] -ЛГ[4]' М[3]' М[2]' -М[1]'
Для краткости через N обозначено q~xe~2lz.
Отсюда как— [1]' + [2]' -|- [3]' -|- [4]', так и [3] имеют множителями перио-
дичности 1 и N, и следовательно, их отношение будет двоякопериодической
функцией самое большее с одним простым полюсом в любой ячейке, каковым
может быть лишь нуль функции <% (г) в этой ячейке.
Это отношение (§ 20.13) будет просто постоянным, т. е. не зависящим
от г; соображения симметрии показывают, что оно будет также не зави-
сящим от w, х и у.
Таким образом, получаем
Л[3]=-[1]' + [2]' + [3]' + [4]',
где А не зависит от w, х, у, г; для определения А положим иг = л = у = г = 0,
получим
отсюда, согласно следствию § 21.2, видим, что А —2.
Итак,
2[3] = -[1]' + [2]' + (3]' + [4]'. (I)
Это и есть одна из формул Якоби; чтобы получить другую, прибавим
к w, х, у, z (и тем самым к w', х', у', г') по утг; тогда получим
2[4] = [1]'-[2]' + [3]' + [4]'. (П)
Прибавляя ко всем переменным в (I) и (II) по тгт, получим дальней-
шие формулы
2 [2] = [!]' + [2]' + [3]' —[4]', (III)
2[1] = [1]' + [2]'-[3]' + [4]'. (IV)
[Примечание. Имеется 256 выражений вида (w) (х) (у) (г),
которые могут быть получены из &3 (w) 93 (х) Э3 (у) 93 (z) прибавлением
) Идею этого сокращенного обозначения можно усмотреть в мемуаре
Смита. Однако, по-видимому, оно никем не употреблялось до Кронекера
(Kronecker, Journ. fiir Math., СП (1887), 260—272).
21.3. ВЫРАЖЕНИЯ ЧЕРЕЗ БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 343
к w, х, у, z надлежащих полупериодов; но только те из них, в которых
значки р, q, г, s или попарно равны, или все различны, приводят к фор-
мулам, не содержащим четвертей периодов в правой части.]
Пример 1. Показать, что
[1] + [2] = [1]' + [2]'. [2] + [3] = [2]' + [3]', [1]+ [4] — [1]'+ [4]',
[3] + [4] = [3]' + [4]', [1] + [3] = [2]' + [4]', [2] + [4]=[1]' + [3]'.
Пример 2. Заменив w, х на w -]--^-it, fa следовательно, у',
z на у 4-’2’я> г ч у1С)’ показать> что
[3344] + [2211] = [4433]' + [1122]',
где [3344] обозначает Я3 (®) Я3 (х) $}4 (у) &4 (г) и т. д.
Пример 3. Показать, что
2 [1234] = [3412]' + [2143]' — [1234]' + [4321]'.
Пример 4. Показать, что
^(г)-Н(г) = ^(г)-НМ
21.3. Выражения Якоби для тэта-функций
через бесконечные произведения!)
Докажем теперь формулу
ft4(z) = GjI(l — 2c/2'i-1cos 2г-1-(74л-2)
Л=1
(где G не зависит от z) и три формулы, ей аналогичные.
Пусть
/С?) = 11(1 —<72я-1е2гг) JJ(1 —ф2"-1^-2^);
Л=1 п=1
оо
вследствие абсолютной сходимости ряда 2 <72Л-1 оба произведения
« = 1
сходятся абсолютно и равномерно в любой ограниченной области зна-
чений z (§ 3.341, часть I); следовательно, f (г) будет аналитической
функцией во всей конечной части плоскости г; таким образом, она
будет целой функцией.
Нулями функции f (г) будут простые нули в тех точках, где
е2Сг _е(2л+1)«Ч . _2, _] 0, 1, 2...),
т. е. где
2iz = (2n-{- 1) пгт-]- 2mirZ,
так что f(z) и
(г)
отношение -4
/(г-)
плоскости.
&4(г) имеют одни и те же нули; следовательно,
не имеет ни нулей, ни полюсов в конечной части
*) Jacobi, Fundamenta Nova, 145.
344 гл. 21. тэта-функции
Далее, очевидно, что f (z -|- it) = f (z) и
co oo
У (z~^~ ”т) = JJ (1 — ^2n+lg2Zz) JJ (1 — q'2n-3e-2iz^ —_
л=1 л=1
= = _ , 2/г f (.
\-qe2iz q 6 /{Z)-
Другими словами, f (z) и &4(z) имеют, одинаковые множители
периодичности (§ 21.11, пример 3). Поэтому
Mfl
/(г)
будет двояко-
периодической функцией без нулей и полюсов и, следовательно
(§ 20.12), будет постоянной, которую обозначим через О, поэтому
&4(z) = О П (1 — 272л-1 cos 2z + ^-2).
П = 1
В § 21.42 мы покажем, что G = JJ(1—q2n).
л = 1
О I 1
Заменяя в этом тождестве z на дД-утс, получим
&3 (д) — О {J (1 2<72я-1 cos 2z 4~ qin~2).
Л = 1
Далее,
&i(z) — — lq* elz&4+ 7 =
= — iq1 elzG J j (1 — q^e2lz) JJ (1 — q^~2e~2iz) =
n=l
2 -,00.
= 2Gq4 sin z || (1 — q2ne2iz) (1 — q2ne~2iz),
n=l n=l
так что
1 co
&i (z) — 2Gq4 sin z Ц (1 — 2q2n cos 2z + </4n);
n=l
наконец,
1 °0-
ftjW = ft] (г H" 7 = 2Gq4 cos z JJ (1 4- 2q2n cos 2z 4- qin).
' ' n=l
21.41. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ТЭТА-ФУНКЦИЯМИ
345
Пример. Показать, что )
со ч 8 ( оо \ 8 f ео
П (1 - ?2л-1) + 16<7 П (1 + - П <! + 9* 2'"1)
л=1 J I П = 1 J I Л»1
(Jacobi)
21.4. Дифференциальное уравнение,
которому удовлетворяют тэта-функции
Можно рассматривать &3(г|т) как функцию двух независимых
переменных z и т, и можно дифференцировать ряд для &3(г|т) лю-
бое число раз по z и т вследствие равномерной сходимости полу-
чаемых после этого рядов (следствие § 4.7, часть I); в частности,
^^1± = — 4 /г2 ехр (п2 к/т И- 2n/z) = — 4- --j* 1 ~)
п~ —оо
Следовательно, функция &3(z|t) удовлетворяет дифферен-
циальному уравнению с частными производными
Читатель легко докажет, что три другие тэта-функции также
удовлетворяют этому уравнению.
21.41. Соотношение между тэта-функциями
нулевого аргумента
Установим теперь замечательное соотношение
»'1(0) = »2(0)&3(0)&4(0)2).
Сначала надо получить некоторые формулы для производных всех
тэта-функций.
Так как получаемые при дифференцировании ряды сходятся рав-
номерно по исключении окрестностей нулей соответствующих тэта-
функций, то можно дифференцировать формулы для логарифмов
тэта-функций, которые следуют из § 21.3, сколько угодно раз.
’) Якоби называет это соотношение (Fundamenta Nova, 90) «aequatio
identica satis abstrusa» — «достаточно хорошо скрытое тождество».
2) Было дано несколько доказательств этого важного предложения, но ни
одно из них не является простым. Доказательство самого Якоби (Ges. Werke, I,
515—517), хотя несколько труднее данного здесь, однако весьма заслуживает
изучения. По поводу иных способов доказательства этого предложения см.
стр. 372—373, пример 21.
346
ГЛ. 21. ТЭТА-ФУНКЦИИ
Обозначая дифференцирование по z значком получим этим
путем
&з(г) = &з(£) У
_л=1
Ч1д2п 1e2iz
+ о2”-1 e2iz
fin-lg-Ziz
2n-Lg-2iz
л = 1
а'/.ч V %iq2n~' e2lz
(2) ^з(г) j । 2n-l e2iz
_л = 1
,2л—1 g-2lf
q2n—\ g—2lz
п = 1
,2 ^п-1 g2Zz
+ 3< ' ^l+g2n-le2iz^2
.2 2л-1 g-2Zz
^(l+92«-le-2Z^2
Заставляя z—>0, получим
/ и Ж'l л**»-1
&з(0) = 0, &з(0) = -8&3(0)^
Подобным же образом
ОО
/ // VI л2Я-1
&4 (0) = о, &4 (0) = 8&4 (0) 1Г2^_1)2
п—1 '
&2(0) = 0,
1Г п^п
&2(0) = &2(0) -i-82j 0 + ^)2
71 = 1
и если положим (z) = sin z • ср (z), то получим
со
?'(0) = 0, <ру(0) = 8У(0)2]Т1-/Я •.
п=1 4
Если же продифференцируем равенство (г) = sin z • <р (г) три
раза, то получим
(0) = ? (0), С (0) = Зс?" (0) - <р (0).
Отсюда находим
г// _ ОО
(0) _ ол V Ч2П 1
»;(0) ~ (1-9гл)2 ’
21.41. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ТЭТА-ФУНКЦИЯМИ
347
а из предыдущих формул
»2(0) , »з(0) , <(0)
<% (0) + (0) + &4 (0) —
О Г у qM у 92Л-' I у 92"-1 _
Zd (1+?2Л)2 Zl (1 +92Л-1)2 -1- (1 — “
Л=1 Л=1 Л=1
—«Г V qn I V qn V q2n
Ll (1 + qn)3 "Г Ll (1 — qny Ll (1 — qin)2
п = 1 п=1 Л=1
если объединим первые два ряда и представим третий как разность
двух рядов. Складывая соответствующие члены первых двух рядов
в последней строке, немедленно получим
, ^(0) , «£(0) , <(0)_олу q™ _ ®Г(0)
+ (0) (0) я4 (0) -^(О)’
Пользуясь дифференциальными уравнениями § 21.4, можем пере-
писать эту формулу в виде
1 d^ (0 | т)
(0 | т) di
_ 1 rf92(0|x) 1 <й3(0|?) , 1 ^Э4(0|т)
»2(0|т) dz "Г* &з (01 т) dz “г &4(0|т) dz
Интегрируя по т, найдем
(0, 9) = С»2(0, 9)&з(0, 9)&4(0, д).
где С — постоянная (не зависящая от д'). Для определения С заста-
вим д->0; так как
__i_
lim q 4 = 2,
о
-.1
lim q 4Э2 = 2, lim &3=1, lim &4=1,
q -> 0 ?-»0 ?->0
мы видим, что С = 1 и, следовательно,
01 =
что и представляет собой требуемый результат.
348
ГЛ. 21. ТЭТА-ФУНКЦИИ
21.42. Значение постоянной G
Из только что полученного результата мы можем найти значение
постоянной G, введенной в § 21.3.
По формулам этого параграфа
П=1
оо
Э4=0П(1- ?2л"1)2.
и следовательно (§21.41), имеем
°о 00 со оо
II (1 — q2n)2 = G2 П (1 + q2n)2 П (1 + <72л-1)2 II (1 - ?2л-’)2.
Л=1 Л = 1 п-1 Л=1
Далее, все произведения сходятся абсолютно, так как < 1,
и следовательно, допустимы следующие преобразования:
( со СО \ ( СО 00 1
П (1 -^2Л'1)П (1 - q2n) П (1 ч-?2*’1)!! (1 +<72л) =
(л=1 л«1 J 1л = 1 п-1 J
со - со со
= П (1 -?Л)П (14-?л)=П (1 -?2л).
л=1 л-1 Л-1
из коих первое следует из того, что все положительные целые числа
имеют один из видов 2л—1, 2п.
Отсюда находим, что уравнение, определяющее О, будет
Д(1 — ?2л)2 = <?2.
Л=1
и следовательно,
СО
0=±Ц(1-^).
Л = 1
Для определения знака заметим, что G— аналитическая (и сле-
довательно, однозначная) функция от q во всей области |^|< 1, и
из произведения для Я3(г) мы видим, что 0->1 при д’—>0. Отсюда
следует, что всегда нужно брать знак плюс, и следовательно, мы
получаем окончательно
О = 11(1-Л
Л = 1
Пример 1. Показать, что
1
= Ър G3.
21.43. СВЯЗЬ СИГМА-ФУНКЦИИ С ТЭТА-ФУНКЦИЯМи
349
Пример 2. Показать, что
ОО
»4 = П{(1-?2л-1)(1-9п)}.
Л = 1
Пример 3. Показать, что
ОО оо
1 + 2 2 qn' = П К1 - <72Л) (1 + 92Л-')2}.
4=1 Л = 1
21.43. Связь сигма-функции с тэта-функциями
Было показано (§ 20.421, пример 3), что функция а (г | coj, а>2) с перио-
дами 2с»!, 2<о2 может быть представлена в виде
/ ч 2cof / тп,г2 \ . / тсг \ . .
а(г) = —exp^Jsm^X
X JJ U1 — 2?2Л cos ^-+ (1 — Л"2},
л=1 1 1
—2- •
wi /
Если сравнить этот результат с произведением § 21.3 для (z | т), то
видим непосредственно, что
о-» _i- 00
П = 1
Чтобы выразить тц через тэта-функции, прологарифмируем и дважды
продифференцируем это равенство; получим
где и функция и та же, что в § 21.41.
2 со j
Разлагая по возрастающим степеням z и сравнивая между собою члены,
не зависящие от г, получим
0 = 31_____JL ( 71 V 4- ( * V (0)
3 \2ffl] / '* \2<oJ <р(0)
и, следовательно,
г.2 b'"
1,112(0, X"’
Следовательно, а (г | а»,, о>2) может быть выражена через тэта-функции
при помощи формулы
\ / “г \
а (г | <0!, <о2) = —г ехр------—г- 9, v---------,
7С&! \ / \ /
1
где № .
2 (0]
350
ГЛ. 21. ТЭТА-ФУНКЦИИ
Пример. Доказать, что
/ Л/1"
112
21.5. Выражение эллиптических функций
при помощи тэта-функций
Мы только что видели, что тэта-функции, по существу, экви-
валентны сигма-функциям, и таким образом, будут существовать
выражения для эллиптических функций через тэта-функции, соответ-
ствующие формулам §§ 20.5—20.53. С теоретической точки зрения
формулы §§ 20.5—20.53 важнее вследствие их симметрии относи-
тельно периодов, но с точки зрения практики выражения через тэта-
функции имеют два преимущества: (I) тэта-функции легче вычисляются,
чем сигма-функции; (II) тэта-функции ведут себя особенно просто
по отношению к вещественному периоду, который, как правило, и
имеет значение в применениях эллиптических функций в прикладной
математике.
Пусть f (д) — эллиптическая функция с периодами 2< 2ы2; пусть
выбрана такая основная совокупность нулей (ар а2, .... ая) и по-
люсов (Рр р2.....рл), что
2(аг-рг) = 0,
Г = 1
как в § 20.53.
Тогда по методам § 20.53 читатель легко проверит, что
где А3 — постоянная; точно так же, если
Г
2 Ar. m(z— $г')"т
rht — \
есть главная часть
дам § 20.52
п
/(д) = Д2 + 2-
г-1
функции f (д) в ее полюсе [Зг, найдем по мето-
(— I/”-1 Ar, т dm --3, |
(т—1)! dzm s Ц 2®! |
где А2 — постоянная.
Эта формула важна при интегрировании эллиптических функций.
В § 22.741 помещен пример применения этой формулы к одной
динамической задаче.
21.51. МНИМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЯКОБИ
351
Пример. Показать, что
»|(г) _ d ! Уз
&1(г) dz Мг)
и вывести, что
1
Г »!(*) л % № . /1 \ аз^
/ -----dz = —j---------И ~т- — z )----F •
i м*) V )
21.51. Мнимое преобразование Якоби
Если эллиптическая функция имеет периоды 2а>р 2о>2 такие, что
1т(^>0,
то иногда удобно рассматривать вместо них периоды 2ш2, — 2шр
ибо эти числа являются периодами, и если Im > 0. то и
Im ~ > 0- В эллиптические функции, которые рассматривались
до сих пор, периоды входили симметрично, и указанный подход
не давал никаких преимуществ. Но в случае тэта-функций, которые
являются лишь квазипериодическими, поведение функций по отноше-
нию к вещественному периоду л значительно отличается от ее по-
ведения по отношению к комплексному периоду лт. Следовательно,
имея в виду результат, полученный в § 21.43, можно ожидать по-
лучения преобразований для тэта-функций, в которых отношения
периодов двух тэта-функций, связанных преобразованием, будут
1
соответственно т и------.
т
Эти преобразования для четырех тэта-функций впервые были по-
лучены Якоби1) из теории эллиптических функций; впрочем, Пуассон2)
ранее получил формулу, тождественную с одной из формул преобра-
зований, из которой при помощи элементарной алгебры могут быть
получены и другие три преобразования. Прямое доказательство пре-
образований принадлежит Ландсбергу, который применил методы
интегрирования по контуру3).
‘) Jacobi, Journ. fiir Math., Ill (1828), 403—404 (Ges. Werke, I (1881),
264—265).
2) Poisson, Mem. de 1’Acad, des Sci., VI (1827), 592; в частном слу-
чае эта формула для г=0 была дана раньше Пуассоном в Journ. de Г Ecole
polytechnique, XII (тетрадь XIX), (1823), 420.
3) Этот метод указан в примере 17 главы 6, ч. I, стр. 174. См. Lands-
berg, Journ. fiir Math., CXI (1893), 234—253.
352
ГЛ. 21. ТЭТА-ФУНКЦИИ
Вывод формул Якоби, который мы сейчас дадим, основывается
на теореме Лиувилля; формула, которую мы докажем, имеет вид
03 (г Н) = (- /т)" ехр (^-) 03 (4 j -,
где значение (— /т) 2 определяется условием | arg (— lx) | < -j- тс.
Для краткости положим
---= х', q' = exp (тс/У).
Единственными нулями функций &3(г|т) и U3 (t/z | т') будут про-
стые нули, расположенные в точках, в которых
Z — гитсптст-4-4 тс —-i- -тст, zx' = т''к-\-п,'кх' -|- ~ тс -ф- кх'
соответственно, где т, п, пг', п' принимают все целые значения;
взяв т' — — п—1, п' — т, видим, что отношение
<p(z) = exp (-4т-)^3(4| — 4) : &з(*|т)
будет целой функцией без нулей.
Кроме того,
ф (z + тст): (z) = ехр ?-1е-2‘'г = 1
и
2/2
, / . , , . (— 2гтс 4- тс2 V , ,-1 —— ,
ф(.г —тс): ф(дг) = ехр^--J X q е *=1.
Следовательно, ф(г) — двоякопериодическая функция без нулей
и полюсов; согласно § 20.12 <p(z) должна быть постоянной, ска-
жем А (не зависящей от z).
Таким образом,
Д&з (ф) = ехр Ф' |т');
,1 ,1 , 1 . I
а заменяя z последовательно через z Н-у z~r ту’”» z-g-тс -g-тст,
легко получим
Д&4 (z | т) = ехр °2 (^' I ^).
Л&2 (z | т) = ехр &4 I
Д(г | -с) = — i ехр (-“) (zx' | х').
21.51. МНИМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЯКОБИ
353
£
Остается еще доказать, что Д = (—/т)2. Для этого продиффе-
ренцируем последнее равенство и положим затем z — 0; получим
да; (0|т) = — /vs; (о । х').
Но
»;(0|t) = &2(0|t)&3(0|t)&4(0|t)
0'(0|t')=02(0|t')&3 (0|т')&4(0|О;
деля последние формулы друг на друга и пользуясь предыдущими,
.-2 . ,
получим непосредственно А — — tv, и следовательно,
А= ± (—гс)2.
Для определения знака отметим, что
д[)з(0|х)==Вз(0|О,
причем обе тэта-функции являются аналитическими функциями от t
при 1m т > 0; таким образом, функция А аналитическая и однознач-
ная в верхней полуплоскости т.
Так как обе тэта-функции будут положительными, когда т чисто
мнимое, то в этом случае нужно будет взять знак плюс. Отсюда,
по теории аналитического продолжения, мы всегда имеем
что и дает требуемое преобразование.
Таким образом нами показано, что
ОО оо
en?Kiz+2niz — 1
п=—со П- — со
Пример 1. Показать, что
&4 (0 | т) »2 (0 | г')
&3(0|т) МОЮ’
когда тт' = — 1.
Пример 2. Показать, что
М0|* + 1) = J»2 (0 | т)
МОИ + D М0|х) •
Пример 3. Показать, что
и показать затем, что следует взять знак плюс.
12 Э. Т. Уиттекер, Дж, Н. Ват сов
354
ГЛ. 21. ТЭТА-ФУНКЦИИ
21.52. Преобразование типа Ландена
Ландену (Landen) принадлежит преобразование (§ 22.42) эллипти-
ческих интегралов (§ 22.7), имеющее исторический интерес; это
преобразование получается непосредственно из одной формулы, свя-
зывающей тэта-функции с параметрами т и 2т, а именно:
(г I т) »4 (г I т) _ S3 (01 т) »4 (01 т)
»4 (2г | 2т) (0 12т)
которую мы и должны теперь доказать.
Нулями выражения &3 (г| т) &4 (г| г) будут простые нули в точках
z = (т ±j к + (п 4- у) кт
и в точках
z =?= mrt 4-^я у) кт,
где т и п принимают все целые значения; в тех же точках 2г = тк 4~
4-(»4—• 2т, т. е. эти точки будут нулями и функции &4(2г|2т).
Следовательно, отношение
Аз (-? I т) Э4 (г | т)
»4 (2г |2т)
не имеет ни нулей, ни полюсов. Кроме того, по отношению к перио-
дам к и кт оно имеет множители: 1 и
(9-1е-2»г)(—^-1е-2/г) . (_g-2e-4/z)__ 1;
поэтому оно будет двоякопериодической функцией и, следовательно
(§ 20.12), постоянным. Значение этой константы можно найти, поло-
жив г = 0, тогда мы получим высказанный выше результат.
Если заменим z на z 4“ у 1С'С» то получим соответствующую фор-
мулу для других тэта-функций, а именно:
»г(г|г)»,(г|т) .. &3(0|т)84(0|т)
»1(2г|2г) »4(0|2т)
21.6. Дифференциальные уравнения,
которым удовлетворяют отношения тэта-функций
Из примера 3 § 21.11 видно, что функция
’W: &4(z)
имеет множители периодичности —1, 4~1. соответствующие перио-
дам к, кт; поэтому и ее производная
{0;(z)04(z)~ ^ (?)&!(*)} :»4(г)
имеет те же самые множители периодичности.
21.6. ДИФФ. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОТНОШЕНИЙ ТЭТА-ФУНКЦИЙ
355
„ . , »2 (г) 4)3 (г)
С другой стороны, легко убедиться, что и имеет мно-
(г)
жители периодичности —1, -|-1; следовательно, если обозначим
через ср (2) отношение
(2)64(2)-®; (2) 01 (2)} : р2(2) Э3(2)),
то ср (2) будет двоякопериодической функцией с периодами тс и тст;
единственно возможными полюсами функции ср (г) будут простые по-
1 1,1.
люсы в точках, сравнимых с -^-тс и у тс тст.
Теперь рассмотрим <р (z -|- тс-с); из соотношений § 21.11,
а именно:
/ 1 \ ___I / । \ __1_
&il2-j--^- T.-rj — iq 4e_/z&4(2), &4(2-J--2 тс-d — iq 4e_‘z®1(2),
&2(z + у= Я 4«-/гМг)> &з(* + у4e-Zz»2(2),
легко видеть, что
ср(2 +1 TCt) = {- (2) &! (2) + &; (2) Э4 (2)} : {&з (2) (2)).
Следовательно, ср (2) — двоякопериодическая функция с перио-
дами тс и -i-тс-с. Поэтому единственно возможными полюсами функ-
ции <р (2) являются простые полюсы в точках, сравнимых с у тс
по этим периодам.
Поэтому (§ 20.12) ср (2) — постоянная; заставляя 2->0, видим,
что значение этой постоянной равно
{&;&4} : {Мз1 =
Таким образом, мы установили важный результат, а именно:
d ( »i (2) 1 _ „2 Э2 (г) »3(г) .
dz I (г) J — 4 (2) (г) ’
е (г)
положив с s ‘;
(Z)
и применяя результаты § 21.2, видим, что
Это дифференциальное уравнение имеет решение
видеть, что общим решением
будет
4- (г Ч~ g)
- М2-М 1
»1 (2) „
-^у. Нетрудно
где а — постоян-
ная интегрирования; так как это отношение изменяет знак, когда а
12*
356 гл. 21. тэта-функции
возрастает на ", то отрицательный знак можно отбросить, не нарушая
общности решения.
Пример 1. Показать, что
d Р (*) 1 _ »2 8, (г) М*)
dz 1 94 (г) f “ 3 (г) 84 (г) '
Пример 2. Показать, что
d I »з W 1 .2 »! (г) Ы*)
dz I &4 (г) f * 2 Й4 (г) »4 (г) ‘
21.61. Генезис эллиптической функции Якоби snti1)
Дифференциальное уравнение
полученное в § 21.6, может быть приведено к каноническому виду
при помощи несущественной замены переменных.
Положим2)
593 02
тогда, если написать k2 вместо ф-, уравнение, определяющее у как
«з
функцию от и, будет
Это дифференциальное уравнение имеет частное решение
___________________________ ®з (м^з 2)
э4р3’Т
Функция от и справа имеет множители периодичности —1, 1,
соответствующие периодам она будет поэтому двояко-
периодической функцией с периодами 2тг&з, В любой ячейке она
имеет два простых полюса в точках, сравнимых с ят&з и к&з 4~
1 2
—^-тттИз; принимая же во внимание характер квазипериодичности
переменной у, видим, что вычеты в этих точках будут равны и про-
) Якоби и другие ранние авторы пользовались обозначением sin am
вместо sn.
2) Отметим, что из формул § 21.3 видно, что #2¥=0, 8з#=0, когда | q | < 1,
исключая случай, когда q — 0; в последнем случае тэта-функции вырождаются;
подстановки поэтому законны.
21.61. ГЕНЕЗИС ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ЯКОБИ Stl U
357
тивоположны по знаку; нулями функции являются точки, сравнимые
с 0 и “Я3.
Принято рассматривать у как функцию, зависящую от k, а не
от д; чтобы представить у как функцию от и и k, пишут
или, проще,
у — sn (м, k)
y = snw.
Очевидно, что sn(«, k) — эллиптическая функция второго из типов,
указанных в § 20.13; далее, при q->0 (так что k—.>0) легко видеть,
что
sn(«, &)->sin«.
Постоянная k называется модулем-, если k'2—-^-, так что
2
k2-\-k' =1, то k' называется дополнительным модулем. Квази-
периоды т:т&з обычно обозначаются через 2К, 2iK', так что sn (и, k)
имеет периоды 4/С, 2iK'.
Из § 21.51 видим, что 2/С = тс&з(01т'), так что К' будет той же
самой функцией от х', как функция
от х, если тх' — —1.
Пример 1. Показать, что
d ЫО .. о2 М£)_ Mf)_
dz 0., (г) 3 Э4 (г) (г) ’
и вывести отсюда, что если
: «4 М*)
У »4 (г)
и и — г&з,
то
Пример 2. Показать, что
d Ыг)________q2 », (г) »2 (г)
dz &4(г) 2 &4(г) 94(г) ’
и вывести отсюда, что если
то
.. __ (г)
У -% (г)
и и — zf^,
= (1-«2) (и2—А'2).
\du J
358
ГЛ. 21. ТЭТА-ФУНКЦИИ
Пример 3. Получить следующие формулы:
j 2
(^)2 =»2 = 2'74 (1 +'72 + '76 + <712 + ‘72о+
—V =&3 = 1+2? + 2^+2^+
1
=&4 = 1—2^ + 2^ + 299— ..„
Я /
\ч /
[Эти формулы удобны для вычисления k, k', К, К', когда q дано.]
21.62. Более ранние обозначения Якоби1).
Тэта-функция Я (и) и эта-функция Н(«)
Наличие множителей Из 2 в выражении для sn(«, k) делает иногда
желательным использовать обозначения, которые Якоби употреблял
в «Fimdatnenta Nova» и впоследствии оставил. Функция, имеющая
первостепенную важность в этой системе обозначений, есть функ-
ция 0(ц), определяемая равенством
0(ц) = О4(«&з’2|т)>
так что периоды для 0 (и) будут 2К и 2iK'.
Функция &3(г) тогда заменяется функцией 0(м-|-Л'); вместо функ-
ции (z) имеем функцию Н(м), определяемую равенством
Н(и) = — lq 4е2К 0 (« + IK') = («Э-Г2| т);
&2(z) заменяется функцией по-
читатель не встретит затруднений в переводе содержания этой
главы в ранние обозначения Якоби.
Пример 1.
в'(«)=4^
’ du
(mod 2К, 2iK'), и
Пример 2.
гт к . 0' (и)
Показать, что особыми точками функции , где
являются простые полюсы в точках, сравнимых с X'
что вычет в каждой особой точке равен 1.
Показать, что
Н' (0) = 1 (К) в (0) 0 (К).
) Эти обозначения применялись в «Fundamenta Nova».
21.7. ЗАДАЧА обращения 359
21.7. Задача обращения
До сего времени эллиптическая функция Якоби sn («, k) неявно
рассматривалась как зависящая скорее от параметра q, чем от мо-
дуля k, и было показано, что она удовлетворяет дифференциальному
уравнению
= 0 — sn2 “) 0 ~ & sn2 «)•
где
А2= »!(0, ?)
»1(0, <7) '
Но в тех задачах прикладной математики, в которых встречаются
эллиптические функции, мы имеем дело с решением дифференциаль-
ного уравнения
Ш-о-ло-т
в котором модуль k задан, и мы a priori не знаем значения q-, для
того чтобы доказать существование аналитической функции sn (и, fe),
удовлетворяющей этому уравнению, мы должны показать, что суще-
ствует такое число т!), что
,2_ ^(0|О
^(0|т) •
Если уже показано, что такое число t существует, то можно
построить, как отношение тэта-функций, функцию sn(«, k), которая
будет удовлетворять дифференциальному уравнению, будет аналити-
ческой, исключая простые полюсы, и будет обладать свойством
двоякой периодичности и, кроме того, свойством
Иными словами, мы можем обратить интеграл
к==7----------1--------г
° (1 — Z2)2 (1 — й2/2)2
и в результате получим уравнение y = sn(«, k~).
) Существование числа т, для которого Im т > 0, влечет за собою су-
ществование такого числа q, что | q | < 1. Другим способом было бы непо-
средственное изучение дифференциального уравнения по методу главы 10.
360
ГЛ. 21. ТЭТА-ФУНКЦИИ
Трудность, конечно, заключается в том, чтобы показать, что
уравнение
= &г(0И)
С ^(0|т)
(в котором с написано вместо k2) имеет решение.
Если 0 < с < 1 ’), то легко видеть, что решение существует.
Из тождества, данного в следствии § 21.2, ясно, что достаточно
доказать существование решения уравнения
, »1(0|т)
1 С " 4 •
(О|Т)
которое можно переписать в виде
Но при возрастании q от 0 до 1 произведение справа остается
непрерывным и монотонно уменьшается от 1 до 0; таким образом
(§ 3.63, часть I), оно пройдет через значение 1—с один и только
один раз. Следовательно, решение уравнения относительно т суще-
ствует и задачу обращения можно считать решенной.
21.71. Задача обращения для комплексных значений с.
Модулярные функции /(т), ^(т), Л(т)
Задачу обращения можно рассматривать как задачу интегрального
исчисления и при помощи несколько длинных алгебраических рассуждений,
состоящих в изучении поведения интеграла
У 1 1
J (1 — 2 (1 — k42)~7 dt\
о
когда у лежит на «римановой поверхности», можно доказать, что задача
обращения имеет решение. Для исчерпывающего изучения этого вопроса
отсылаем читателя к книге Хэнкока (Hancock, Elliptic Functions, I (New York,
1910)).
Однако в соответствии с общим характером этой книги лучше бу-
дет доказать при помощи метода Коши (§ 6.31, часть I), что уравнение
«2 (° I
с = —------ имеет один корень, лежащий в определенной области плоско-
»з(0 | т)
сти т, и что этот корень (подчиненный определенным ограничениям) будет
аналитической функцией от с, когда с рассматривается как переменная. Мы
видели, что существование этого корня дает решение задачи обращения;
') Это практически наиболее важный случай.
21.711. ГЛАВНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ / (т) С = 0 361
будет, таким образом, доказано и существование эллиптической функции
Якоби с данным модулем k.
Только что указанный метод имеет то преимущество, что он раскрывает
возможности так называемых модулярных функций.
Общая теория этих функций (которые имеют большое значение в тео-
рии преобразования эллиптических функций) рассмотрена в трактате Клей-
на и Фрике ’)
Пусть
~ ( 1+е2^т 18 »4(0|<)
/(т)-1&?”т JJJ j (2л_1)яи | &2(0|т) ’
я = 1 v 1
1 — е(2п-1)т1т р »4(0|т)
1+e(2„-l)nix j = &4(0[х)
Л(т)
/(*)
Тогда, если тт'= —1, введенные функции, по следствию § 21.2 и при-
меру 1 § 21.51, обладают следующими свойствами;
/(т + 2)=/(т), g(x+2)=g(T), /(т) + £(т) = 1,
/(т + 1) = Л (т), /(т') = £(т), £(т')=Лт)-
Легко видеть, что при Im г -> + оо функции -рт- e~Klxf(t) = ft (т) и g (т)
стремятся к единице равномерно относительно Re т, когда
— 1 < Re т < 1;
производные же их по т стремятся при этом равномерно к нулю 2).
21.711. Главное решение уравнения /(т) — с = 0
Мы видели в § 6.31 части I, что если функция /(т) аналитическая на
каком-нибудь контуре и внутри его, то число корней уравнения/(т)—с = 0
внутри контура, помноженное на 2т, равно интегралу
Г... .1.
J f(t)—c dt а'
взятому по рассматриваемому контуру.
Возьмем контур ABCDEFE'D'CВ'А, показанный на чертеже; временно
предположим3), что /(т)—с не имеет нулей на контуре.
Контур составлен следующим образом:
ЕЕ параллельна вещественной оси и лежит на большом расстоянии от
нее;
АВ получается из ЕЕ инверсией относительно окружности | т | = 1;
) F. Klein, Vorlesungen liber die Theorie der elliptischen Modulfunk-
tionen (ausgearbeitet und vervollstandigt von R. Fricke) (Leipzig, 1890.)
2) Это вытекает из выражений для тэта-функций в виде степенных ря-
дов относительно q, если заметим, что | q | -> 0, когда Im т -> -|- оо.
3) Значения функции / (т) в точках на контуре будут рассмотрены
362
ГЛ. 21. ТЭТА-ФУНКЦИИ
окружности [ х | = 1,
получается из ED инверсией относительно
D берется так, что D1 = АО.
элементарных геометрических соображений
точки С и D в инверсии соответствуют друг другу и
ВС
причем
Из
Рис. 5.
следует, что так как
точка 1 соответствует
сама себе, то окружность, построенная на D1
как на диаметре, проходит через С; таким обра-
зом, дуга CD этой окружности есть отражение
дуги АВ относительно прямой Re х = — .
Левая половина чертежа есть отражение
правой половины относительно прямой Re х = 0.
Предполагая, что РЕ достаточно удалено
от вещественной оси, покажем теперь, что
уравнение /(т) — с = 0 имеет один и только
один корень внутри начерченного контура,
если исключить случаи с 1 и с<0'). Этот
корень называется главным корнем урав-
нения.
Чтобы установить существование корня,
Г 1 df(z) ,
рассмотрим интеграл ] ~fjz)-------с ~ rfx dz’
взятый по различным частям контура.
Так как/(х-j-2) =/(х), то имеем
/ Г+ Л 1 df^dz^.
I J ,/ I /(х)—с dz
' DE E'D' > '
В'С, то х
Далее, если х описывает ВС и
но E'D' и ED и, следовательно,
( С+ Л 1. d^dz = [ Г+ ________________________^Ldz~
I •/ J I f —c dz | ,/ J | g (z')—c dz
1 BC CB' > 1 BC CB' )
описывает соответствен-
1
1 dh(z) .
---------dz;
J J /W-с
* D’C CD. 1
но если x' описывает В'AB, то
по всему контуру приводится к
С 1 1 df(z) , 1
dz
= f+ Л ' =
U / и' )«<’>-' л
ибо g (х' 2) — g (х') и соответствующие элементы интеграла сокращаются.
Наконец, так как /(х ± 1) = h (z), то имеем
J____,_________________________
dz J h(z)—c dz
В'AB
x описывает ЕЕ'; таким образом, интеграл
интегралу
dh (х')
h (х') — с dz
4/W)
1
J l/W-c
ЕЕ'
dz
1
df&t____________1_________dh (x) 1 dg (x)
h (x) {1 — c • h (x)} dz ‘ g (z) — c dz
J l /(т) — c dz
EE'
’) В § 21.712 будет показано, что если с^>1 или c<JO, то /(х)—с имеет
нуль на контуре.
21.712. ЗНАЧЕНИЯ МОДУЛЯРНОЙ функции /(т) 363
Далее, когда ЕЕ' уходит в бесконечность1), f (?)—с ->—с =А О,
g (') — с -> 1 — с =/= 0, и предел этого интеграла будет
— lira / ~i----------* , . { lg h (?)} dx =
,/ 1 — с • h (?) dx 1 6 v
EE'
^f^-]dx.
at
l-c.h(x)-+l,
(~) . n dg (?)
dx ’ dx
и таким образом, предел интеграла будет
J" та’ dx = 2та.
Е'Е
Далее, если мы с самого начала возьмем ЕЕ' настолько далеко от веще-
ственной оси, что /(?)—с, 1 — c-h(x), g(x)-—c не имеют нулей, когда
точка ? находится выше ЕЕ', то контур не пройдет ни через один нуль
выражения f(x)—с, когда ЕЕ’ уходит в бесконечность и радиусы дуг CD,
D'C', В'АВ уменьшаются до нуля; от такого изменения контура интеграл
не меняется, и таким образом, исходный контурный интеграл равен 2та,
а число нулей выражения /(?)—с внутри исходного контура будет в точ-
ности равно единице.
21.712. Значения модулярной функции /(т)
на рассмотренном выше контуре
Рассмотрим теперь вопрос, упомянутый в начале § 21.711, о нулях
функции /(?)—с на полупрямых2 *), соединяющих точки ±1 и ± 1 -|-оо«, и
на полуокружностях ОВС1 и (— /) С'В'О.
Когда т движется от + 1 до 4- 1 +ooz или от — 1 до — 1 -|-coz, функ-
ция /(?) изменяется от —со до 0, оставаясь в области действительных
отрицательных значений. Таким образом, при с отрицательном мы делаем
надлежащий полукруговой вырез на DE и соответствующий вырез на D'E',
с помощью которых выделяем точки, в которых/(?)— с = 0; при этом инте-
гралы предыдущего параграфа по сделанным вырезам взаимно сократятся
в силу соотношения f (х 4- 2) = f (?).
Пусть теперь т описывает полуокружность ОВС1-, тогда х' изменяется
от —14-coz до —1, а функция /(?) = g (?') = 1 — f(x') изменяется от 1 до
4- со, оставаясь действительной. Аналогичным образом и здесь при с поло-
жительном, большем 1, делаем надлежащие вырезы на ВС и В'С для избе-
жания встречающейся трудности; подробнее на этом не останавливаемся;
аналогичное будет и с В'С'О. Исследуем теперь поведение т как функции
от с, именно, как должно изменяться с в своей плоскости, чтобы т изменя-
лось в вышерассмотренной области, оставаясь однозначным и непрерывным.
') Временно предполагается, что с =4= 0 и с =/= 1.
2) Мы видели, что ЕЕ' может быть взято таким образом, что / (?)—с
не будет иметь нулей ни на ЕЕ', ни на малых дугах контура.
364
ГЛ. 21. ТЭТА-ФУНКЦИИ
Для этого будем С изменять вблизи вещественной оси и отметим, что
при переходе ее знак вещественной части т изменяется. Если теперь
О < Re с < 1, то т при таком переходе изменяется непрерывно, и если
Re с < 0, то т переходит от точки, близкой к DE, к точке, близкой к D' Е'
(или обратно), и в этом случае значение q изменяется непрерывно; наконец,
если Rec> 1, то т переходит от точек, близких к ВС, к точкам, близким
к В'С', и в этом случае q — e*1^ терпит разрыв, пока нет разреза в плоско-
сти с от -|-1 к Д- со; но в разрезанной плоскости q будет уже однозначной
и непрерывной функцией от с через посредство т, лежащего в рассмотрен-
ной области; эту функцию обозначим через q (с); она определяется по
формуле q (с) = (с), где
, . 1 /* х df (z)
Т (с) = I -7-7-Т---------Т” dz,
' 2rw J f (z) — c dz
как это следует из § 6.3 части I.
Из сказанного легко заключаем, что если с описывает замкнутый контур,
не окружающий точки с = 1, то q (с) возвратится к исходному значению;
для того же, чтобы т (с) возвращалось к прежнему значению, необходимо,
чтобы контур не окружал и точку с = 0.
21.72. Периоды, рассматриваемые как функции модуля
Так как К = -g- (0, q), то мы видим по § 21.712, что К будет одно-
значной аналитической функцией от с (— /г2), когда в плоскости с сделан
разрез от 1 до Д-оо; но так как К' = — 1~К, то мы видим, что К' будет
однозначной функцией от с только после того, как будет сделан добавочный
разрез от 0 до — оо; ниже (§ 22.32) мы покажем, что разрез от 1 до Д- со,
который необходим для однозначности К, не необходим для К'-
21.73. Задача обращения,
связанная с эллиптическими функциями Вейерштрасса
Покажем теперь, что если заданы инварианты g2 и g2 такие, что Д=
27gg, то можно построить эллиптическую функцию Вейерштрасса с этими
инвариантами; иными словами, покажем, что можно построить ') периоды
2<О|, 2w2 такие, чтобы функция о>2) имела инварианты g2 и g2.
Задача будет решена, если мы сможем получить решение дифференциального
уравнения
(Srf = 4У3-^>’-^з
в виде
у = К*! <»ь <»2)'
Получим решение уравнения с помощью тэта-функций.
Пусть v = Az, где А—постоянная, которую сейчас определим.
С помощью методов § 21.6 легко видеть, что
»2 (Д »! (>) - О) »2 (>) = - »3 О) О') »2-
') Относительно действительного вычисления периодов см. R. Т. A. Innes,
Edinburgh Royal Sos., XXVII (1907), 357—368.
21.73. ЗАДАЧА ОБРАЩЕНИЯ
365
а отсюда, воспользовавшись результатами § 21.2, найдем
d &2 (>) 2 2 )2
------5----®3»4
dz У2 (v) J
v?o> /vh>) /v?(>)
+ &з ) •
Пусть теперь elt e2, e3—корни уравнения 4y3—g2y—g3 = 0, взятые
в таком порядке, что —!-- не будет ’) вещественным числом, отрицатель-
^1
ним или большим единицы.
При этих условиях уравнение
gl-g2 &|(0|т)
*1—^3 ьз (° I т)
имеет решение (§ 21.712) такое, что Im т > 0; это уравнение определяет
параметр т тэта-функций, который был до сих пор в нашем распоряжении.
Выбрав т таким образом, возьмем затем А такое, что2)
Л2^ = й1— е2.
Тогда функция
&2 О I ~)
у=л2-|-44&2(о^)»4(о^)+^
$1 (м I т)
удовлетворяет уравнению
(-^]2 = 4(У —^)(у —е2)(У—е3).
7СТ
Периоды у, как функции от z, будут лЛ, -г- ; обозначив их через
А
2аj, 2о>2, имеем
По этим периодам можно построить функцию g> (z | о>2), и легко
видеть, что
й| (v | т) „ „
v (г)_л2-^4-&2(0И)&1(°1")-^
»1 01 т)
— еj ei — gf, — ej
*) Если -------> 1, то 0 <----------< 1; а если --------< 0, то
et— ek et —ej ei — ek
ei Sj Sj ei ( Si ek 1
1-----------> I и ----------= 11-------------( < i-
Sk ej ek I el ej J
Значения 0, 1, оо для выражения (et — e2)/(et — e3) исключаются, так как
#= 27g2.
2) Знак, приписываемый А, совершенно безразличен, так как мы имеем
дело исключительно с четными функциями от ч и г.
366 ГЛ. 21. ТЭТА-ФУНКЦИИ
будет эллиптической функцией без полюса в начале координат'); она будет
поэтому постоянной, скажем С.
Если G2, G3—инварианты функции f? (г ш2), то имеем
4g> з (г)- G2® (z)~G3 = S’л (г) =
= 4{g> (г)_С-е,} {§>(*)-С-г2) {«> (г)-С-в,},
и таким образом, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях (? (г),
находим
О = 12С, G2 = g2 — 12С* 2, G3 = g3 — g2C + 4C3.
Отсюда
C = 0, G2 = g2, G3 = g3,
и таким образом, функция g> (z | <»„ <o2) с требуемыми инвариантами по-
строена.
21.8. Вычисление эллиптических функций
Ряды, расположенные по возрастающим степеням, удобны для вы-
числения тэта-функций даже тогда, когда |^| довольно большой,
например 0,9. Но обычно на практике случается, что бывает задан
модуль k и необходимо вычислить величины К, К' и q. Ниже увидим
(§§ 22.301, 22.32), что К, К' могут быть выражены через гипер-
геометрические функции при помощи равенств
но эти ряды сходятся медленно, за исключением случая, когда |fe|
и |&'| соответственно весьма малы, так что эти ряды никогда одно-
временно не пригодны для численных вычислений.
Для того чтобы получить ’ более пригодные для этого ряды, вы-
, »|(0, q)
числим сначала q как корень уравнения k = ----------- и затем по-
®з(°, 9)
| 2
лучим по формуле К — (0. q) и /С по формуле
К'= 1g (1).
(о. q)
Уравнение k — —.------- эквивалентно уравнению2)
МО- 9)
__ (0. 9)
МО, q) ’
’) Члены с z~2 взаимно уничтожаются, а членов с г-* вообще нет, так
как функция четная.
2) При вычислениях обычно бывает 0 < k < 1, и таким образом, q поло-
жительно и 0 < Уk' < 1.
21.8. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
867
Положив 2е = -5—(так что 0 < е < —, когда 0 < k < 1 \,
1+УОг' \ 2 /
получим
_ »з(0, ?)-М0. 9) = МО. ?4)
МО. ?) + »4 (0, <7) МО, <74) •
Мы видели (§§ 21.71—21.712), что это уравнение относительно q*
имеет решение, которое является аналитической функцией от е4, когда
|е| < -i-; таким образом, q можно разложить в ряд Маклорена по
степеням е в этой области1). Остается определить коэффициенты
в этом разложении из уравнения
9 + 99 + 925+ ...
1+2^ + 29>М ... ’
которое может быть переписано в виде
q = s + 2q% — <79 + 2<716е — ?25+ ...;
легко убедиться последовательной подстановкой s-!r2q'is—q9 . .. 2)
вместо q в правую часть, что четыре первых члена даются рядом
q = е + 2е5 + 15е9 + 150е13 -ф- О (е17).
Только что было показано, что этот ряд сходится, когда
[Примечание. Обычно достаточно двух первых членов этого раз-
ложения; даже когда k равно, например, /0,8704 = 0,933..., е = ,
2е5 = 0,0000609, 15е9 = 0,0000002.]
Пример. При данных k = k' = -7=- вычислить q, К, К' при помощи
г 2
только что полученного разложения, а также на основании того, что т = I,
так что q — е~\
[q = 0,0432139, К = К' = 1,854075.] * 2
’) Тэта-функции не обращаются в нуль нигде в области | q | < 1, кроме
точки 9 = 0; таким образом, эта последняя есть единственная возможная
точка ветвления.
2) Это разложение дано Вейерштрассом (Weierstrass, Werke, II
(1895), 276).
368
ГЛ. 21. ТЭТА-ФУНКЦИИ
21.9. Обозначения, применяемые для тэта-функций
Следующая схема указывает главные системы обозначений, применяе-
мые различными авторами; символы в каком-либо одном столбце обозна-
чают одну и ту же функцию.
&i (кг) &2 (~г) Оз (кг) | & (яг) Якоби (Jacobi)
»> (^) ®2 (-”) 0з (-?) &4 (*) Таннери и Мольк (Tannery, Molk)
01 (о>г) 02 (иг) Оз («?) 0 (а>г) Врио и Буке (Briot, Bouquet)
0, (г) 02 (г) 0з (*) 0о (г) Вейерштрасс, Альфан, Хенкок (Weierstrass, Halphen, Hancock)
0(г) 91 (г) Оз (г) 02(г) Жордан, Харкнесс, Морли (Jordan, Harkness, Morley)
Эрмит, Смит (Н. J. S. Smith) и некоторые другие математики применяют
обозначения, выражаемые равенством
“ -г(2л+11)2 /к(2л+|д.) —
2 (-1) е а (|Л=О, 1; у = 0,1).
п — —со
При этом обозначения формулы примера 3 § 21.11 принимают весьма
сжатую форму:
бр, , (X + в) = (—1)%,, (X), 0|1>,(х + ат) = (—1)\"*е а 0р.,, (X).
Кэли применяет ранние обозначения Якоби (§ 21.62). Преимущество обо-
значений Вейерштрасса заключается в том, что единица (а не я) является
вещественным периодом функций 03 (г) и 0О (г).
Обозначения Жордана показывают аналогию между тэта-функциями и
тремя сигма-функциями, определенными в § 20.421. Легко получить соотно-
шения, подобные соотношениям § 21.43, связывающие 0Г (г) с ar (2wj2), когда
r= 1, 2, 3.
ЛИТЕРАТУРА
L. Euler, Opera Omnia (1), XX (Leipzig, 1912).
С. О. J. Jacobi, Fundamenta Nova1) (Konigsberg, 1829); Oes. Math. Werke, I,
497—538.
C. Hermite, Oeuvres Mathematiques (Paris, 1905—1917).
F. Klein, Vorlesungen liber die Theorie der elliptischen Modulfunktionen
(ausgearbeitet und vervollstandigt von R. Fricke) (Leipzig, 1890).
H. Weber, Elliptische Funktionen und algebraische Zahlen (Brunswick, 1891).
J. Tannery et J. M о 1 k, Functions elliptiques (Paris, 1893—1902).
*) Напечатано в его Oes. Math. Werke, 1 (1881), 49—239.
ПРИМЕРЫ
369
А. Гурвиц, Теория аналитических и эллиптических функций, Ленинград,
ГТТИ, 1933.
Н. И. Ахиезер, Элементы теории эллиптических функций, Гостехиздат,
М,—Л„ 1948.
Примеры
1. Получить формулы сложения
(У + •?) 8j (У — г) (у) »2 (г) — (У) fl3 (гУ = & 71 (У) ®4 (*) — ®4 (у) &1 (г)>
®2 (у + z) 82 (у — г) 82 = 82 (у) 8| (г) — (у) 8| (г) = 82 (у) 82 (г) — 8| (у) 82 (г),
»з (у + *) «3 (У - *) = »4 (У) ®2з (*) - (У) (*) = 83 (У) ®1 (*) - э2 (У) (г).
&4 (у + »4 (У - г) ®4 = (У) »3 U) - «2 (У) »2 (г) = (У) «4 (*) - »i (У) 8? (*)•
(Jacobi)
2. Получить формулы сложения
84 (У + *) ®4 (У - *) (У) ®2 (*) + 8| (у) 8? (г) = 82 (у) 82 (г) + 82 (у) 82 (г),
84 (У + *) 84 (у - г) 82 = 82 (у) 82 (г) + 82 (у) 82 (г) = 82 (у) 82 (г) + 82 (у) 82 (г)
и увеличением у на полупериоды получить соответствующие формулы для
8Г(У + г)8г(У — г)&| и &г (у + г) (У — г)8|,
Где г = 1, 2, 3.
(Jacobi)
3. Получить формулы
8, (у ± z) &2 (у Т г) 8384 = 8, (у) 82 (у) 83 (г) 84 (г) ± 83 (у) 84 (у) 8, (г) 82 (г),
8, (у ± z) 83 (у + г) 8284 = 8, (у) 83 (у) 82 (г) 84 (г) ± &2 (у) 84 (у) 8, (г) 83 (г),
81 (У ± z) &4 (у + z) &2&3 = 8, (у) 84 (у) 82 (г) 83 (z) ± &2 (у) 83 (у) 8, (г) &4 (г),
82 (у ± z) 83 (у + z) 8283 = 82 (у) 83 (у) 82 (г) 83 (г) + 8, (у) 84 (у) 8, (г) 84 (г),
&2 (у ± г) 84 (у + z) &284 = 82 (у) 84 (у) &2 (г) 84 (г) + 8, (у) &3 (у) 8( (г) &3 (г),
83 (у ± z) &4 (у + z) 8384 = &3 (у) &4 (у) 83 (г) 84 (г) + &4 (у) &2 (у) 8, (г) 82 (г).
(Jacobi)
4. Получить формулы удвоения
&2 (2у) 82824 = 82 (у) &2 (у) - Э2 (у) Э2 (у),
83 (2у) 8382 = 82 (у) &2 (у) - 82 (у) &22 (у),
&4 (2у) 83 = 8| (у) - 8^ (у) = 8^ (у) - 8} (у).
(Jacobi)
5. Получить формулу удвоения
8, (2у) 828304 = 28] (у) &2 (у) &з (у) 84 (у).
(Jacobi)
6. Получить формулы удвоения из результатов, указанных в примере 2.
7. Показать, что при обозначениях § 21.22
[1]—[2] = [4]'—[3]', [1]-[3] = [1Г-[3]', [1]-[4] = [2]'-[3]',
[2]-[3] = [1Г-[4]', [2] — [4] = [2J'— [4]', [3] - [4] = [2f - [1]'.
370
ГЛ. 21. ТЭТА-ФУНКЦИИ
8. Показать, что
2 [1122] == [1122]' + [2211]' — [4433]' + [3344]',
2 [1133] = [1133]' 4- [3311]' — [4422]' + [2244]',
2 [1144] = [1144]' + [4411]' — [3322]' + [2233]',
2 [2233] = [2233]' + [3322]'— [4411]' + [1144]',
2 [2244] = [2244]' + [4422]' — [3311]' + [1133]',
2 [3344] = [3344]' + [4433]' — [2211]' + [1122]'.
(Jacobi)
9. Получить формулы
2 1 оо
2^-'Kk2 = 2?4 Д {(1— <7М)2(1 — q2n-'Y2},
п = 1
1 1 со
k2k' 2 =2^41[{(1+^)2(1-^-)"2}.
Л = 1
10. Вывести из примера 9 следующие результаты:
,2п-1)б = 2q4'k 2,
n=i
^kk'K3,
л=1
= bn~3q 4k2k'2K3,
П=1
Д(1+92«-1)6 = 2?4(^') 2,
Л = 1
со 11
Д(1+4’2Я)6 = |/7**'Ч
Л=1
Д(1+^)6 = |?"4л2л,_1.
п=1
(Jacobi)
С &4<z)
11. Рассматривая интеграл / --г e2rliz dz, взятый
J «4 \г)
образованному параллелограммом с вершинами —уте, -%
— у те-|-тех, показать, что когда п — положительное целое число,
I
2 Я ,
Г (*)
0 - Ч2п) / -Лга e2ntz = 2те/?«
J V4 (.?)
2 ’
и вывести отсюда, что при
| Im z | < Im (тгт)
по контуру,
1 ,
:, — те-|-тет,
$4 С?) ^sin2n2>
i—•
/2 = 1
ПРИМЕРЫ
871
12. Получить следующие разложения:
»; (г)
«1 (г)
уч q2n sin 2nz
~ ctS г + 4 Zj 1 —
Л=1
9'(г)
»2(г)
= — tg^ + 4
(—1)" чгп sin 2т
\ — q2n
&з (г) * (—1)” qn sin 2nz
M^j- = 42i
n=l
каждое из которых имеет место в полосе плоскости z, в которой соответ-
ствующий ряд абсолютно сходится.
13. Показать, что если | Im у | < 1m (ят) и | Im z | < Im (ят), то
8, (у + •?) в! vr уч
= ctg у 4- ctg г + 4 У У q2mn sin (2my + 2nz).
Vi (У) vi и)
m-\ л=1
(Math. Trip., 1908)
14. Показать, что при | Im z | < Im (~)
Kk2 »4 1 , V о
— W=2“o+^nCOS
Л=1
где
“ (m +4) (2z!+m+"5-)
й„ = 2 T(-r?’ 2Л 2<
m=0
(Math. Trip., 1903)
[Получить формулу приведения для ап, рассматривая интеграл
j {8< (г)}~гe2nii dz,
взятый по контуру примера И.]
15. Показать, что выражение
81 (г)
СО
ctg Z 4-4^
Л = 1
q2n sin 2z
1 — 2q2n cos 2z 4- qin
будет двоякопериодической функцией от z без особых точек, и вывести
отсюда, что оно будет равно нулю.
372
ГЛ. 21. ТЭТА-ФУНКЦИИ
Доказать подобным же образом, что
82 , V Sin 2г
4 1 4-2^2« cos 2г + ?4Л ’
Л = 1
»з(г) у ?2"-1 sin 2г
"&ГСгГ “ “ 4 1 +2?2л-‘ cos 2г + ?4Л-2 ’
п=\
1>4 (г) л V' q2n~l sm2z
~МгУ = 4 X 1— 292я-1 cos 2г + 94Л-2 ‘
п = 1
16. Получить значения k, k', К, К' с точностью до шести десятичных
знаков при q = -jg-.
[А == 0,895769, k' = 0,444518,
К = 2,262700, К' = 1,658414.]
17. Показать, что если о’ + х + у + г = 0, то в обозначениях § 21.22
[3] + [1] = Й + [4],
[1234] + [3412] + [2143] + [4321] = 0.
18. Показать, что
&4 (У) , а4 (г) °4 (У + г) _ °1 (У) °1 (*) ai (У +
&4 (У) + (г) »4 (У + г) ~ А »4 (У) &4 (г) »4 (У + Z) •
19. Положив х = у = г, w — Зх в основных формулах Якоби, получить
следующие формулы:
(х) (Зх) + 1)3 (х) 04 (Зх) = (2х) 84,
ЦЗ (х) »3 (Зх) - 1)43 (х) &4 (Зх) = Of (2х) ?2,
»з (х) i}2 (Зх) +1)3 (х) {)4 (Зх) = 1)3 (2х) 83.
20. Показать, исходя из примера 19, что
2_ 2
{»! (X) Э1 (Зх) + »з (X) 1)4 (Зх) 3 + {i)3 (х) аз (Зх) 8| -1)3 (х) 84 (Зх) з .=
£
= (X) &2 (Зх) + &з (х) Э4 (Зх) } 3.
(Trinity, 1882)
21. Показать с помощью теоремы Лиувилля, что
28, (г)М*)Ыг)»4(^)
8, (2г) 82 (0) 83 (0) i)4 (0)
— постоянная, и затем, заставляя г-»0, что эта постоянная равна 1.
примеры 373
Отсюда сравнением коэффициентов при гг в разложениях выражений
. (2г) . &2 (г) . &3 (г) . &4 (г)
g 2», (г) И g &2 (0) + g &з (0) + g й4 (0)
по формуле Маклорена вывести, что
а7(0) &;(0) &;«)) &4 (0)
ЗД и2 (0)+ а3 (0) + а4 (0)
Отсюда, далее, по способу § 21.41 вывести, что
а; (0) = &2(0)»з(0)»4(0).
[На этот способ вывода предварительной формулы § 21.41 указал авто-
рам Стюарт (С. A. Stewart).]
ГЛАВА 22
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
22.1. Эллиптические функции с двумя простыми
полюсами
При доказательстве общих теорем об эллиптических функциях,
изложенных в начале главы 20, было указано, что наиболее простыми
являются два класса эллиптических функций, а именно классы эллип-
тических функций второго порядка. Функции первого класса имеют
двойной полюс (с нулевым вычетом) в каждой ячейке, функции
второго — два простых полюса, причем сумма вычетов в этих полюсах
равна нулю.
Пример функци» первого класса, а именно функция f’(z), был
рассмотрен подробно в главе 20; в настоящей главе мы рассмотрим
различные примеры функций второго класса, известных под назва-
нием эллиптических функций Якоби1).
Мы увидим (§ 22.122, примечание), что при известных условиях
функции Якоби вырождаются в обыкновенные круговые функции;
соответственно этому будут применяться обозначения (выведенные
Якоби и видоизмененные Гудерманом и Глешером), которые под-
черкивают аналогию между функциями Якоби и круговыми функ-
циями.
С теоретической точки зрения проще всего рассматривать функ-
ции Якоби как отношенйя тэта-функций (§ 21.61). Но так как
многие из их основных свойств могут быть получены при помощи
совсем элементарных методов, без обращения к теории тэта-функций,
мы будем изучать функции Якоби, не пользуясь главой 21, за исклю-
чением случаев, когда желательно к этому прибегнуть ради крат-
кости или простоты.
’) Эти функции были введены Якоби, но многие из их свойств были
получены независимо от него Абелем, который применял иные обозначения.
См. примечание на стр. 404.
22.11. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ sn «, спи, dn и 375
22.11. Эллиптические функции Якоби snu, спи, dn«
то
В § 21.61 было показано, что если
у цй’
где тэта-функции составляются с параметром т,
£
где k2 = 02(01 т)/&3(01 т). Обратно, если задана
ваемая модулем1)), то, кроме случаев, .когда
всегда может быть найдено значение т (§§ 21.7—21.712), для которого
^(0|т)
тогда решением дифференциального уравнения
Ш2==(1-у2)(1-т
постоянная k (назы-
й2 1 или А2 О,
подчиненным условию
в виде
k2t2) 2 dt,
== 1, будет
Ml (»/3з)
причем тэта-функции имеют в качестве параметра найденное значе-
ние т.
Дифференциальное уравнение можно переписать
у 1 1
о
и по методам § 21.73 можно показать, что если
между собой этой интегральной зависимостью, то
зить через и как отношение двух тэта-функций
указанной формуле.
Таким образом, если
и = J (1—t2) 2(1— О2) 2 dt,
о
то у можно рассматривать как функцию от а, определяемую отно-
у и и связаны
у можно выра-
по только что
') Если 0 < Л < 1 и 0 — острый угол, такой, что sin 0 = k, то 0 назы-
вается модулярным углом.
376
ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
шением тэта-функций; таким образом, у является аналитической
функцией от и, исключая особые точки, которые будут простыми
полюсами; для того чтобы выразить эту функциональную зависи-
мость, положим
у = sn (и, k)
или просто y = snzz, когда нет необходимости указывать модуль1).
Функция sn и есть одна из эллиптических функций Якоби
от и, и мы имеем
»3 «
sn и =----------;---57-.
&2 ®4 (и/аз)
(А)
[Если теория тэта-функций не предполагается известной, то чрезвы-
чайно трудно показать, что интегральная формула определяет у как функцию
от и, аналитическую всюду, за исключением простых полюсов. См. Hancock,
Elliptic Functions, I (New York, 1910).]
Теперь положим
ft. »,(«/&!)
сп (и,
»2 («/»!)
tin (a, = 3) 3
ft3 »4(«/&2)
(В)
(С)
Тогда из соотношения § 21.6 находим
4— sn и = сп и dn и, (I)
du v'
а из соотношений § 21.2 найдем
8П2И-|-СП2И= 1, (II)
A2 sn2 и 4- dn2 и = 1 (III)
и, очевидно,
cnO = dnO=l. (IV)
Мы будем теперь изучать свойства функций sn и, сп и, dn и, определен-
ных равенствами (А), (В), (С), пользуясь четырьмя соотношениями (I), (II),
(III), (IV); эти четыре соотношения достаточны для того, чтобы сделать
sn и, сп и, dn и определенными функциями от и.
Мы будем считать известным, что sn и, сп и, dn и — однозначные функ-
ции от и, аналитические всюду, за исключением их полюсов; также будем
считать известным, что они являются однозначными функциями от /г2, когда
в плоскости комплексной переменной k2 сделаны разрезы от 1 до 4-со и
от 0 до —со.
*) Модуль будет всегда указываться, когда он не равен k.
22.121. дополнительный модуль
377
22.12. Простые свойства функций sn«, спи, dna
Из формулы
у ± -1
u = f(l—t2)~2(l — k2t2) 2 dt
о
ясно, что при изменении знака у у изменяется также знак у и: для
доказательства достаточно заменить t на —t.
Отсюда следует, что sn и — нечетная функция от и.
Так как sn(—и) — — sn и, то из (II) вытекает, что сп(—«) =
= ± сп и; вследствие однозначности сп и из теории аналитического
продолжения вытекает, что всегда следует брать один и тот же
знак, верхний или нижний. В частном случае, когда и — 0, следует
взять верхний знак, и таким образом он берется всегда; отсюда
сп (— и) — сп и, и следовательно, сп и будет четной функцией
от и. Подобным же образом dn и является четной функцией от и.
Эти результаты ясны также из определений (А), (В) и (С) § 22.11.
Продифференцируем теперь равенство sn2 и сп2 и — 1 и исполь-
зуем равенство (I); тогда получим
d сп и
—— = — sn и dn и;
ли ’
подобным же образом из соотношений (III) и (I) находим
d dn и
du
k2 sn и сп и.
22.121. Дополнительный модуль
Если А2-|-А'2=1 и А'->-|-1, когда А-»0, то kf называется
дополнительным модулем. При наличии разреза в плоскости k2
от 1 до-{-оо k' является однозначной функцией от k.
Г —
[С помощью тэта-функций мы можем сделать и А'2 однозначным,
определяя его как
(0| “О 1
(01 т) -J
Пример. Показать, что если
1 _1 _Д
и = J (1 —t*)~ 2 (k,!t + А2/2)" 2 dt,
у
то
у = СП (и, k).
378 ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
Показать также, что если
1 J_ 1
u=j° (1— t* 2)~2(t2 — k'2)~'2 dt,
У
то
у = dn (и, k),
[Эти результаты иногда пишутся в форме
и= 2U'2 + ^2) 2dt= (\ — t2)"2 (t2—k'2) 2 dt.
сп и dn и
22.122. Обозначение Глешера1) для отношений
Глешером введено было краткое и удобное обозначение для
обратных величин и отношений эллиптических функций Якоби; для
обозначения обратных величин изменяется порядок букв, обозна-
чающих функцию, например:
1 1.1
ns и —-----, пс и —-------, паи = -3—,
sn и сп и dn и
а для обозначения отношений пишутся по порядку первые буквы
названий функций, стоящих в числителе и знаменателе, например:
sn и . sn и , сп и
sc и =-----, sd и — -j—, cd и — -,—,
сп и dn и dn и
сп и . dn и , dn и
cs« =------, dszt =-------, de и —---------.
sn и sn и сп и
[Примечание. Якоби обозначал функции sn и, сп и, dn и соответ-
ственно через sinam и, cosam и, Д ат «; сокращенное обозначение, применяе-
мое ныне, принадлежит Гудерману2), который писал также tn и как сокра-
щенное обозначение для tg am и, вместо чего теперь пишется sc и.
Основанием обозначений Якоби было то обстоятельство, что он рас-
сматривал обращение интеграла
и = J” (1 — k2 sin2 6) 2
о
как основную функцию и писал 3) <р = am и; он же употреблял обозначение
1
Дер = (1 — Л2 sin2 !р)2 ДЛЯ
*) Olaisher, Messenger of Mathematics, XI (1882), 86.
2) Gudermann, Journ. fiir Math., XVIII (1838), 12, 20.
8) Fundamenta Nova, 30. Когда й->0, то amu->u.
22.2. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ sn «
379
Пример. Получить следующие результаты:
sc« _1_ _1_ co __J_
«•= J (1 + /* 2)~2 d + A'2/2)"2 dt= J(/2+l) 2(t3 *+k'3) 2 dt^
0 cs и
= J (1— A'!t2)~2(l+ A2t2)~2dt — J (Z2 — A'2)-2 (Z2 + A2) 2 dt=*
0 ds и
1 _1 _1 1 _±
J (I — /2) 2(1— k2t2) 2 dt — j" (t2 — 1) 2 (t2—k2) 2 dt=*
cd и de и
co 1 1 nc и
J (t2 — 1)~7(/2— k2)~2 dt =
ns a
1) 2 (fe'2/2 + fe2) 2 dt =
nd и 1
й'2/2) 2 dt.
22.2. Теорема сложения для функции sn«
Покажем теперь, как выразить sn(«d-^) через эллиптические
функции Якоби от « и V, результат и будет теоремой сложения для
функции sn и; это будет теорема сложения в точном смысле слова,
так как она может быть написана в виде алгебраического соотно-
шения, связывающего sn и, snv, sn (и -1- v).
[Имеется много методов доказательства теоремы сложения; приводимый
нами, по существу, принадлежит Эйлеру *), который первым нашел (в 1756,
1757 гг.) интеграл уравнения
dx dy =
Vx УТ
в форме алгебраического соотношения между х и у, где X обозначает
полином 4-й степени от х, a Y — тот же самый полином от у.
Три других метода2) даны как примеры в конце этого параграфа.]
Предположим, что и и v изменяются
так, что a-j-v остается
постоянным и равным а, т. е. так, что
dv
du
1.
!) Acta Petropolitana, VI (1761), 35—57. Эйлер получил некоторые част-
ные случаи этого результата на несколько лет раньше.
2) Иной метод дан Лежандром (Legendre, Fonctions Elliptiques, I
(Paris, 1825), 20), и весьма интересное геометрическое доказательство дано
Якоби (Jacobi, Journ. fur Math., Ill (1828), 376).
380 ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
Введем теперь в качестве новых переменных и s2, определяе-
мые равенствами
Si = sn и, s2 = sn v,
так что!)
s2 = (l — S2)(l _A>2S2)
и
^2=(1 - *i)(i - ^).
т:к как v* 2 * — 1.
Дифференцируя по и и деля соответственно на 2S[ и 4s2, найдем,
что для общих значений2) и и v
= — (1 А2)+ 2^3, S2 = — (1 + /г?) S2 + 2Л24
Отсюда при помощи легких алгебраических действий находим
1?2 ~ * 2S1 _ 2fe2SrS2 (s2 — sf)
«М — (s| — s'2) (1 — fe2S^) ’
T. e.
(Sl52 S2S1) (S1S2 S2S1) — (1 k2sis2) (! A2sis2);
интегрируя это уравнение, находим
Sj52 — $251
где C — постоянная интегрирования.
Заменяя выражения в левой части их значениями через и и v,
получим
сп и dn и sn v Д- сп v dn v sn и _ „
1 — k2 sn2 и sn2 v
Таким образом, имеем два интеграла уравнения du -j- dv = 0,
а именно:
и 4- v = а (I)
и
sn и сп v dn v -f- sn v сп и dn и /Т1Ч
1 — k2 sn2 и sn2 v ~С' ( '
!) Для краткости обозначаем производные по и точками над буквами,
а именно:
dv •• d2v
v=-^~r-
du du2
2) To есть для тех значений, для которых сп и dn и и сп v dn v не
равны нулю.
22.2. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ sn «
381
причем каждый интеграл содержит произвольную постоянную. По
общей теории дифференциальных уравнений первого порядка эти
интегралы не могут быть функционально независимыми, и таким
образом,
sn ы сп у dn у -f- sn у сп м dn ы
1 — k2 sn2 и sn2 у
является функцией от u-f-v; назовем эту функцию через /(и-]-и).
Положив V = 0, видим, что /(«) = sn«, и следовательно, функ-
ция f есть sn.
Таким образом, мы доказали формулу
, , . sn и сп у dn у 4- sn у сп и dn и
sn (и -4- V) =---5------п-Ц----~,
4 ' ’ 1 — k2 sn2 u sn2 у
что и представляет теорему сложения.
Пользуясь очевидными обозначениями1), можем написать
sn (и -|- v) =
<SjC2<^2 ^2^1^!
1 —
Пример 1. Получить теорему сложения для sin и, воспользовавшись
формулами
j d sin и \2 , . , / d sin у \2 , . ,
(---;----1=1 ----Sin2 И, -----3----1=1 ----Sin2 У.
\ du ) \ dv
Пример 2. Доказать, пользуясь соотношениями (I) — (IV) § 22.11, что
/ _d_______________________d_\ _ 0
\dv ди j 1 — ft2s2s|
и вывести теорему сложения для sn и.
(Abel, Journ. fiir Math., II (1827), 105)
Пример 3. Показать, что
51с1<^2 4" s2c2^1 s1^1c2 "Ь s2^2cl
8П (U + У)-------------з— =--------;--з--~Г = -j-j----Г~Е5-----•
*^1^2^2 ^2^ j d 1 ^1^2 + S^U j ^2^2 ^1^2 i~ 1*^2^ 1^2
(Cayley, Elliptic Functions (1876), 63)
Пример 4. Получить теорему сложения для sn и из формул
О, (у + г) (у — г) Мз = »i (У) 4 (У) »2 (2) »з (г) + 4 (у) »3 (у) (г) 4 (г),
4 (У + 2) »4 (У -*)»! = »4 (У) (*) - (У) °1 Ст-
ланных в примерах 1 и 3 к главе 21 (стр. 369).
(Jacobi)
*) Эти обозначения
(1881), 92, 124).
принадлежат Глешеру (О la is her, Messenger, X
882
ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
Пример 5. Предполагая, что координаты любой точки кривой
у2 = (1 — х2) (1 — k2x2)
могут быть выражены в виде (sn и, сп и dn и), получить теорему сложения
для snu по методу Абеля (§ 20.312).
[Рассмотреть точки пересечения данной кривой с переменной кривой
у = 1 + пгх пх2, одна из них будет (0, 1); пусть другие имеют параметры
«I, и2, и3, из которых «1( и2 могут быть взяты произвольно при надлежащем
выборе тип. Показать методом § 20.312, что «1 + «2 + и3 постоянна, и
вывести, что эта постоянная равняется нулю, полагая
ОТ = 0, у(1+Й2).
Заметим также, что в силу соотношений
(k2 — п2) хгх2х3 = 2m, (k2 — п2) (xt + -*2 + -Уз) = 2тл
имеем
л3 (i — k2x2x22) = х3 — (1 + ki^_ n^ 2mxrx2 =
— х3 — 1тххх2 — nxlx2 (xt + х2 4~ *з) =
= (%! + х2 + х3 — nxtx2x3) — (%! + х2) — 2тх,х2 — nxlx2(xl -f- х2) =
= — Х1У2—
22.21. Теоремы сложения для сп» и dn»
Докажем теперь формулы
. . . сп и сп v—snusnvdnudnv
СП (« 4~ ^) =-------’
, . , . dn и dn v — k2 sn и sn v сп и сп v
dn (и -4- v) —------,---5;
v 1 ' 1 — k2 sn2 u sn2 v
наиболее просто будет получить их из формулы для sn(»-)-‘u).
Пользуясь обозначением, введенным в конце § 22.2, имеем
(1 — k2s2stf сп2 (и v) — (1 — A2s2s2)2 {1 — sn2 (и 4- и)} =
— (1 — A2S2S2)2 — (5/2^2 4- S2Cldlf ~
= 1 — 2£2s2s2 4- — s2 (1 — s2) (1 — Fs2) —
— S2(l — S])(l — ^2si) — 2siS2ClC2rflrf2 =
= (! — s2) (1 — s2) 4- s2s2(1 — fe2s2) (1 — k2s22) — 2sis2c1c2(Z1(Z2 =«
(^1^2 ^i^2^1^2)^’
и таким образом,
cn(«4-t>)= ±
1 — k sjs2
Но обе части этого равенства являются однозначными функциями
от и, аналитическими всюду, кроме полюсов, и невозможно по тео-
рии аналитического продолжения, чтобы -их отношение было 4"1
22.21. теоремы сложения для спи и dn и 383
для одних значений и и —1 для других значений, так что двойной
знак является в действительности определенным; положив и — О,
видим, что следует взять знак плюс. Первая формула, следовательно,
доказана.
Формула для dn(H-j->u) получается подобным же образом из
тождества
(1 — k2s2stf — й2 (sxc2d2 + s2cxd^ =
s (i _ (1 _ + k^2 (J - (1 _ - 2^^^,
доказательство которого предоставляется читателю.
Пример 1. Показать, что
d2 — k2s[ci
dn (и + v) dn (и— v) = ----ууу-.
1 — й 5^2
(Jacobi)
[Совокупность 33 формул подобного рода, связывающих функции от
u 4~ v и от и—v, дана в «Fundamenta Nova», 32—34.]
Пример 2. Показать, что
д сп и cn v _______ д сп и 4- cn v
ди sn и dn v 4- sn v dn и dv sn к dn v 4- sn v dn и ’
так что отношение (сп и 4- cn v)/(sn к dn v 4- sn v dn и) является функцией
только от к 4- v, и вывести, что оно равно {1 4- сп (и v)}/sn (и 4- v).
Получить соответствующий результат для функции (5,с2 4- s2c1)/(d1 4- rf2).
(Cayley, Messenger, XIV (1885), 56—61)
Пример 3. Показать, что
1 — k2 sn2 (и + v) sn2 (u— v) = (1 — k2 sn4 u) (1— k2 sn4 v) (1 — k2 sn2 и sn2v)“2,
k'3 4- k2 cn2 (« 4- v) СП2 (“ — v) —
= (Й'2 4- k2 cn4 «) (fe'2 4- k2 cn4 v) (1 — k2 sn2 и sn2 v)”2.
(Jacobi, Glaisher)
Пример 4. Получить теоремы сложения для сп (и 4- v), dn (и 4- V) по
методу примера 4 § 22.2.
Пример 5. Применяя сокращенные обозначения Глешера (Messenger, X
(1881), 105), а именно:
s, с, d = sn и, сп и, dn и и S, С, D — sn 2u, cn 2«, dn 2u,
доказать, что
2scd 1—2s24-A2s4 1 — 2k2s2 4- k2sf
6 “ 1 — k2s* ’ C ~ 1 — k2s4 ’ ° ~ 1 — A2s4 ’
2 4
(1 4-S)2 — (1—S)2
5 _ у у.
(14- AS)2 4-(l — kS)2
384
ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
Пример 6. В обозначениях примера 5 показать, что
2 1 — С 1 — D D—k2C—k'2 D — C
s - 1 + О~ fe2(l+Q- k2(D—C) -k^ + D_k2c’
2 D + C _ D + k2C — k'2 _ k'2(\ — D) 6'2(1+Q
C~l+O~ *2(1+<?) ~ k2(D-C) ~ k'2 + D_k2C ’
k'2 + D + k2C _ D + C _ k'2 (1 — C) _ k'2 (1 + D)
~~ 1 + 0 ~ 1 + C ~ D—C ~ k'2 + D — k2C '
(Olaisher)
22.3. Постоянная К
Мы видели, что если
о
то
y = sn(«, k).
При верхнем пределе, равном единице (причем путь интегриро-
вания — прямая), принято обозначать значение этого интеграла сим-
волом К, так что sn(/G А)=1.
§ 22.302 увидим, что это определение К эквивалентно определению
его как в § 21.61.J
Очевидно, что сп К — 0 и dn К = ± k'\ для определения знака
предположим, что 0 < k < 1, и проследим, как изменяется выраже-
1
ние (1 —/г2/2)2, когда t возрастает от 0 до 1; так как это выраже-
ние первоначально равно единице и так как t не встречает ни одной
из его точек ветвления (точек t = ± А-1), то конечное значение вы-
ражения будет положительно и, следовательно, будет равно
так как dn Д' — непрерывная функция от k, то ее значение будет
всегда +~k'.
Значения эллиптических функций при и —К даются, таким обра-
зом, формулами
sn/C = l, cn/C = O, dn/( = &'.
22.301. Выражение К через k
Положим f = sin<p в интеграле, определяющем М, тогда получшм
1
M = J (1—Д2 sin2 <р) 1 d<f.
о
22.302. эквивалентность определений К 385
При |А| < 1 подинтегральная функция может быть разложена
в ряд по степеням k, ряд будет равномерно сходящимся относи-
тельно ср (по § 3.34 части I, так как sin2" ср 1); интегрируя его
почленно (§ 4.7, часть I), получим
„ _ 1 Р ( 1 1 . 1. , _ 1 р /1 1 . 1. \
К 2 ^(2 ’ 2’ ^)“27'^\2’ 2’ 1,с)’
где с = А2. По теории аналитического продолжения этот результат
сохраняется для всех значений с, когда в плоскости с сделан разрез
от 1 до -j-00- ибо как подинтегральная функция, так и гипергео-
метрическая функция будут однозначными и аналитическими в раз-
резанной плоскости.
Пример. Показать, что
d ( ылг d%\ и,
kk —пт I = kK.
dk \ dk /
(Legendre, Fonctions Elliptiques, 1 (1825), 62)
22.302. Эквивалентность определений К
Положив в §21.61 u = y7t&3, видим сразу, что sn(-~-02^ = l и, таким
образом, cn лО2^ = 0. Следовательно, 1 — sn и имеет двойной, нуль при
1л&2. Так как число полюсов функции sn и в ячейке с вершинами
0, 2л&|, л (т 4-1) л(т — 1)&з равно двум, то на основании § 20.13 заклю-
чаем, что нули, расположенные в точках и — л (4m + 1 + 2пл) О2, где т и
п—целые числа, будут единственными, нулями функции 1 — snu. Поэтому
по определению § 22.3
К — ~ л (4m + 1 + 2лт) &з.
Возьмем теперь т чисто мнимым, так что 0 < k < 1, а К вещественно;
мы имеем п = 0, так что
1
2 ” __1_
— л (4m 4- 1) $з = У (1 — k2 sin2 f) 2 dy,
о
где m—положительное целое число или нуль; отрицательным целым числом
оно, очевидно, быть не может.
Если бы т было положительным числом, то, поскольку
а _ 1
J (1 — k2 sin2 iy) 2 dy
о
13 Э. Т. Уиттекер, Дж. H. Ватсон
386
ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
является непрерывной функцией от а и, следовательно, пробегает все значе-
ния между 0 и К при возрастании я от 0 до -g- г., мы могли бы найти значе-
1
ние а, меньшее я, такое, что
« 2
_K_ = j = /(1-k2 sin2?)
о
то тогда
sn = sin a < 1,
что неверно, так как
Поэтому т должно быть нулем, другими словами, имеем
Как К, так и r.S1 2 являются аналитическими функциями от k в пло-
скости с с разрезом от 1 до + оо, и таким образом, по теории аналитического
продолжения, это соотношение, доказанное для 0< k < 1, сохраняется во
всей разрезанной плоскости.
Эквивалентность двух определений К, таким образом, установлена.
Пример 1. Рассматривая интеграл
(!+) _1
J (1 — t2) 2 (1 — й2/2) 2 dt,
о
показать, что sn 2К = 0.
Пример 2. Доказать, что
_2 2 2 2
snlK=(l+F) 2, сп4-К=Л'2 (1 + Л')~2 , dn4-K=*'2.
[Обратить внимание на то, что, когда и = у К, сп 2и == 0. Для опреде-
ления знаков, которые следует приписывать различным радикалам, проще
всего заставить й->0, k' -»1, тогда snu, спи, dnu вырождаются в sin и,
cos и, 1.]
Пример 3. Доказать при помощи теории тэта-функций, что
1
1 1 V
cs^/<=dn^ K = k'\
22.32. постоянная К'
387
22.31. Свойства периодичности (связанные с Л4
эллиптических функций Якоби
Тесную связь величины К со свойствами периодичности функций
sn и, сп и, dn и, которую можно предвидеть из свойств периодичности
тэта-функций, связанных с у, докажем теперь непосредственно, ис>
ходя из теоремы сложения. Согласно § 22.2 имеем
, , sn и сп К dn К 4- sn К сп и dn и
sn (и -4- К) =---т---п—А-----5-77----= cd и.
v 1 ' 1 — k1 sn2 и sn2 К
Подобным же образом (§ 22.21)
сп (и —/С) = — k' sd и, dn (и -|-Ю = kr nd и.
Отсюда
sn(« + 2^=-Hc"(“±-g
4 1 ' dn (и 4- К)
k' sd и
-tt—j— = — sn и
k nd и
и подобным же образом
сп(и-|-2/Q = — спи, dn(и-42^) —dn и.
Окончательно получаем
sn (и 4- 4/Q = — sn (и 4- 2/Q = sn и, сп (и 4- 4К) = сп и.
Таким образом, 4К является периодом функций sn и, сп и,
в то время как dn и имеет меньший период 2К.
Пример 1. Получить формулы
sn (и + К) = cd и, сп (и + К) = — k' sd и, dn (« 4- К) — k' nd и
непосредственно из определений функций sn и, сп и, dn и как отношений
тэта-функций.
Пример 2. Показать, что cs и cs (К— и) = k'.
22.32. Постоянная К'
Обозначим интеграл
1 _1 _L
J (1 — t2) 2 (1 — &'2t2) 2 dt
о
символом К', так что К' является той же самой функцией от £'*(= с'),
что и Д' от Л2(=с), и следовательно,
/с =4^(1 1; k'2)’
когда плоскость с' разрезана от 1 до--4 со, т. е. когда плоскость с
разрезана от 0 до — оо.
13*
388 ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
Чтобы показать, что это определение К' эквивалентно определению
§ 21.61, заметим, что К при тт' = — 1 будет в разрезанной плоскости одно-
значной функцией от k2, определяемой уравнениями
К=у^(0|т), й2 = ^(0|т):&*(0|т),
в то время как, согласно определению § 21.51,
К' = у т:»2 (О I г') , й'2 = &2 (0 | т'): (01 т'),
так что К' должно быть той же самой функцией от k'2, как К от k2, а это
согласуется с интегральным определением К' как
1 _1 _1
J (1 — ?) 2(1 — k,2t2) 2 dt.
о
Покажем теперь, что если плоскость с разрезана от 0 до —оо
и от 1 до 4- оо, то в разрезанной плоскости К’ может быть опре-
делено равенством
1
* _i __i_
К’ = f (s2 — 1) 2(1— W) 2 ds.
i
Сначала предположим, что 0<А< 1, тогда и 0 < kr < 1, и
соответствующие интегралы будут вещественны.
В интеграле
1 _ £
Р (1—/2) 2 (1 _£'2/2) 2dt
сделаем подстановку
s = (l
которая дает
(S2 — 1)2 =k't{\ — k'2t2) 2,
± 2 _ 1
(1 — &2S2)2 = (1 _/2)2 (1 __ k>2t2) 2>
ds ___ k'2t
~di J ’
(1 — A'2/2)2
причем предполагаем, что каждый корень положителен.
22.32. постоянная К'
389
После подстановки непосредственно получим требуемый результат:
1
_± _
K' = f (s* 2—-1) 2(1— k2s2) 2 ds,
i
если 0 < k < 1; теперь нужно обобщить этот результат на комплекс-
ные значения k.
Рассмотрим интеграл
1
ь j_ 1
J (1 — /2)~2 (1 — k2t2)~dt,
о
где путь интегрирования проходит над точкой 1 и не пересекает мнимой
оси '). Этот путь может быть составлен из отрезков прямой, соединяющих
точки 0, 1 — 6 и точки 1 4- б, k~\ и из полуокружности (малого) радиуса б
над вещественной осью. Если (1—t2)2 и (1 — k2t2)2 приводятся к 4~1 при
1 1
t = 0, то значение первого радикала в точке 1 -f- б равно е 2 б2 (2 4- б)2 =
1
= —i (t2 —I)2, где каждый радикал положителен; значение же последнего
в точке t — 1 равно 4“ &, когда k вещественно, а отсюда, по теории ана-
литического продолжения, оно всегда равно 4~ &'
Заставим б->0, тогда интеграл по полуокружности стремится к нулю,
1
х о
как ь , и мы получим
1 1
k j _1 k 1
J (I — /2) 2(1— k2t2) 2di^K + if (*2—I) 2 (1 — k2t2)~2 dt.
О 1
Но интеграл 2)
1
_2_ _1 1 _1 1
j* (1 —/2) 2(1— k2i2) 2 dt = J (k2 — и2) 2 (1 — и2)" 2 du
о о
и величина К — аналитические функции во всей разрезанной плоскости.
Следовательно, и интеграл
1
к _1 _2-
j* (t2 — 1) 2 (1 — k2t2) 2 dt
i
') Re k > 0, так как | arg с | < я.
2) Путь интегрирования проходит над точкой и = k.
390 гл. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
будет аналитической функцией на всей разрезанной плоскости, а так как он
равен аналитической функции К' при 0 < k < 1, то это равенство сохра-
няется на всей разрезанной плоскости; другими словами,
1
fe _L __L
К' = J (Z2 — 1) 2 (1 — k2t2) 2 dt
i
во всей с-плоскости, разрезанной от 0 до —оо и от 1 до +
Так как
1
k _А _1
КЛ-iK’ = f (1 — t2) 2 (1 — k2t2) 2 dt,
о
то мы имеем
sn(K + z7C) = j. dn(K4-Z/C) = 0,
£
а значение cn (K -j- IK') есть значение радикала (1—Z2)2, когда t
1 x
проходит по вышеуказанному пути в точку -у, и, таким образом,
— i k' -Г- ikr
его значение равно ——, а не —.
Пример 1. Показать, что
1 1е0 1
4 f {Z(1-Z)(1-*2Z)}~2 Л = 4 f dt — K,
6 _1_
Л2
1
0 _± 1
4 f {-1 (1 - 0 (1 - k4)} 2 dt^^f {t (t - 1) (1 - k4)}~ 2 dt = K'.
— CO 1
Пример 2. Показать, что К' удовлетворяет тому же самому линей-
ному дифференциальному уравнению, что и К (§ 22.301, пример).
22.33. Свойства периодичности *) (связанные с К-\-ИС)
эллиптических функций Якоби
Если воспользуемся тремя равенствами:
sn(K + iK') = k~\ va(K + iK') = — Ui'/k, dn^ + Z/Cz) = O,
то получим непосредственно из теорем сложения для sn и, спи, dnu
’) Двоякая периодичность функции sn и может быть выведена из дина-
мических соображений. См. Э. Т. Уиттекер, Аналитическая динамика.
ОН! И, М.— Л., 1937, § 44.
22.34. СВОЙСТВА ПЕРИОДИЧНОСТИ (связанные с 1К')
391
следующие формулы:
sn (и —К 4~ iK') =
__ sn и cn (К + IK') dn (К4- iK') 4- sn (К 4- IK') cn zz dn zz , _ i
— 1 — 62sn2zzsn2(K4-z7<') — A dC“
и подобным же образом
сп (zz 4~ Д'4- iK') — — ik'k~ ’пс и,
dn {и 4~ К 4- iK') — ik' sc и.
Повторным применением этих формул получим, далее.
sn (zz 4“ 2А^ -4 2lK') = — sn и,
cn (zz 4- 2К 4~ 2lK') — сп и,
dn (zz 4~ 2К 4- 2lK')—— — dn zz,
sn (и 4- 4К + 4iK') = sn и,
cn (zz -|- 4К 4~ 41К') — сп и,
dn (zz Ц- 4К 4- 4iK’) — dn и.
Следовательно, функции sn zz zz dn zz имеют период 4K~\-4iK',
в то время как сп и имеет меньший период 2К 4- 2iK'.
22.34. Свойства периодичности (связанные с 1К')
эллиптических функций Якоби
По теореме сложения имеем
sn (zz 4- IK') — sn (zz — К 4- К 4- IK') = k~x de (u — K) = k~r ns zz.
Подобным же образом получим равенства
сп (иiK') =— ik 1 ds zz, dn (и 4- iK') =— Zes zz.
Повторным применением этих формул найдем
sn (zz 4~ 2iK') — sn zz,
cn (zz4- 2iK') — — спи,
dn (zz 4- 2iK') — — dn zz,
sn (zz 4- 4lK') — sn и
cn (zz 4~ 4z7C) — cn и
dn (zz 4- 4iK') = dn zz
Следовательно, функции cn zz zz dn zz имеют период 4iK', в то
время как sn zz имеет меньший период 21К'.
Пример. Получить формулы
sn (zz 4- 2тК + 2т'К') — (—l)m sn и,
cn (zz 4- 2тК 4- 2шД') = (—1)'"+и сп и,
dn (zz 4- 2тК4- 2niK') = (—1)" dn zz.
392 ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
22.341. Поведение эллиптических функций Якоби
в окрестности начала координат и в окрестности 1К'
Имеем
d
sn и — сп и dn и,
du
d3
-^з sn и — 4Л2 sn2 и сп и dn и — сп и dn и (dn2 и -ф- Z?2 сп2 и).
Отсюда по теореме Маклорена, используя нечетность функции sna,
имеем для малых значений |а|
sn и = и — -L- (1 —|— &2) м3 —|— О (и5).
Подобным же образом
сп и = 1 — у и2 -|- О (и4),
dn и = 1 — у k2u2 + О (и4).
Отсюда найдем
sn (и-ф-z'/C) — A ns и — —-g(l —f—Л2)м2—|— О (и4) I =
= -Г- + -М7?2 и -j- О (и3),
ku 1 6k ' 4 '
и подобным же образом
сп (и -I- IK’) = 2k2^-~ + 0 («3)>
dn (« + IK') = - ± lu + О (а3).
Таким образом, в точке 1К' функции sn а, спи, dn и имеют
простые полюсы с вычетами k *, —Ik \ —i соответственно.
Пример. Получить вычеты функций sna, спи, dna при и = 1К' из
теории тэта-функций.
22.35. Общее описание функций sno, спа, dnu
Предыдущие исследования функций sn и, сп и, dn и могут быть
сведены к следующим заключениям.
(I) Функция sn и есть двоякопериодическая функция от и с перио-
дами 4АГ, 21К'. Она аналитическая всюду, за исключением точек,
сравнимых с 1К' и с 2/<-]-Z/C (mod 4/G 2iK'); эти точки являются
простыми полюсами; вычеты для первой совокупности полюсов
равны k~\ а вычеты для второй совокупности полюсов равны —k~1',
22.351. СВЯЗЬ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ вейерштрасса и ЯКОБИ 393
кроме того, функция имеет простые нули во всех точках, сравни-
мых с 0(mod2/<, 2Z/C).
Заметим, что sn и — единственная функция от и, имеющая эти свойства;
ибо если бы имелась другая такая функция <р (и), то sn и —? (и) не имела бы
особых точек и была бы двояко-периодической функцией; следовательно
(§ 20.12), она приводилась бы к постоянной, а эта постоянная равнялась бы
нулю, как это видно, если положить и = 0; таким образом, ^(u)~snu.
Если 0 < Аг2 < 1, то очевидно, что К и К' вещественны; тогда
sn и вещественна для вещественных значений и и чисто мнимая,
когда и чисто мнимое.
(II) Функция спи — двоякопериодическая функция от и с перио-
дами 4/< и 2ЛГ-|-2Z/C. Она аналитическая всюду, за исключением
точек, сравнимых с iK' и с 2ЛГ-|-Z/C (mod 4/С, 2ЯГ -4—2ZA7'); эти точки
являются простыми полюсами; вычеты в первой совокупности полю-
сов равны —Ik ’, а вычеты во второй совокупности полюсов
равны ik функция имеет простые нули во всех точках, сравни-
мых с К (mod 2ЛГ, 2Z/C)-
(III) Функция dn и — двоякопериодическая функция от и с перио-
дами 2/< и 'ПК'. Она аналитическая всюду, за исключением точек,
сравнимых с Z/С и с 'ПК' (mod ЧК, 41К'); эти точки суть простые
полюсы; вычеты в первой совокупности полюсов равны — Z, а вы-
четы во второй совокупности полюсов равны Z; функция имеет про-
стые нули во всех точках, сравнимых с K-\-iK' (mod 2/C, 2Z/C).
[Чтобы видеть, что функции не имеют других нулей или полюсов, кроме
только что указанных, следует обратиться к их определению через тэта-
функции.]
22.351. Связь между эллиптическими функциями
Вейерштрасса и Якоби
Если еи е2, е3— какие-нибудь три различных числа, сумма которых
равна нулю, и если положим
,, _ „ , g| —е3
У 3 + sn2 (Xu, k) ’
то имеем
(~^u~) = 4 (^i — е^2 П§2 С§2 ds2 =
= 4 (г, — е3)2 X2 ns2 Xu (ns2 Xu — 1) (ns2 Xu — k2) —
= 4X2 (et — г3)-1 (у — <?3)(У— ei){y— k2 (е, — e3) — e,}.
Таким образом, если X2 = ex — e3 и k2 — (e2— е3)Цех — e3), то у удовле-
творяет уравнению ’)
/ dy \2
Ы = 4У3-^У-^
*) Значения g3 и g3 будут, как обычно, равны —1 У] е2е3 и 4-^|^2ез-
4 id 4
394
ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
и следовательно,
«3 + («1 — еа) ns2
i «‘-.-.А
= g> (и 4- a; g2, £3),
где а — постоянная. Заставляя «->0, мы видим, что а будет периодом, и,
таким образом, имеем
Р («; ёг> ёз) = е3 + (et — е3) ns2 { и (<?, — е3)? } ,
причем эллиптическая функция Якоби имеет модуль, определяемый уравне-
нием
k2 е2—е3
et — e3
22.4. Мнимое преобразование ’) Якоби
Результат § 21.51, дающий преобразование тэта-функций с пара-
метром т в тэта-функции с параметром т'==-------естественно, при-
водит к преобразованию эллиптических функций Якоби, это преобра-
зование выражается уравнениями
sn(Z«, А) = Z sc(«, k'), cn(iu, й) = пс(и, k'), £) = dc(«, k').
Предположим для простоты, что 0 < с < 1 и у > 0; пусть
‘у 4 _1_
f (1 — Z2) 2 (1 — A2f2) 2 dt = lu,
о
так что
Zy = sn (iu, k);
возьмем прямолинейный путь интегрирования, имеем
1 L
cn(Z«, k) = (1 -ф-у2)2, dn(Z«, й) = (1 4~й2у2)2.
2
Положим теперь у = т;/(1—т]2)2, где 0 < т; < 1, так что t изме-
4 4
няется от 0 до Zv;/(1 — vj2)2 по прямой, а отсюда, если Z= — Z2)2,
то Zt изменяется от 0 до т; также по прямой.
’) Fundamenta Nova, 34, 35; Абель (Abel, Journ. fiir Math. (1827), 104)
выводит двоякую периодичность эллиптических функций из этого резуль-
тата. См. письмо Якоби от 12 января 1828 г. Лежандру (Jacobi, Ges.
Werke, I (1881), 402).
22.41. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЯКОБИ 395
Кроме того,
__з 2 .2
dt = l(l — ty 2Mj, (1— t2)2 = (1 — t2) 2t
2. _1
l_^2=(l_^)-2(l_Z2f2.
и мы получаем
71 1 1
lu = f (1 - ti) 2(1—fc'2/?) 2.rfZi.
0
следовательно,
7] = sn («, k'),
и, значит,
у — sc («, k').
Таким образом, мы получили, что
sn(Z«, £) = Zsc(«, k').
Далее получим
i __i_
сп(iu, k) = (1 -ф-у2)2 = (1 — v;2) 2 = nc («, k'),
2 L _1
dn (/«, k) — (1 — £2y2)2 = (1 — й/2т]2)2 (1 — т;2) 2 = de(«, k').
Ho sn(z«, k) и /sc (и, k') — однозначные функции от и и k
(в разрезанной плоскости с) с изолированными полюсами. Поэтому
по теории аналитического продолжения формулы, доказанные для
вещественных значений и и k, сохраняют силу для любых комплекс-
ных значений и и k.
22.41. Доказательство мнимого преобразования Якоби
при помощи тэта-функций
Найденные результаты могут быть получены весьма просто при
помощи тэта-функций. Например, по § 21.61
sn (ш, k) —
2ч (0 | т) », (iz | т)
$2 (0 | т) (iz I т) ’
где
z~ и/^1 (0 |т);
следовательно (§ 21.51),
sn (iu, k) =
»3 (О I *')
#4 (О I т')
— z&! (iz-.' | т')
(iz~’ | V)
= — I sc (т», k'),
где
v — (01 т') = izx' (— гт) &|(0|т) = —и,
так что окончательно
sn (iu, k) — i sc (и, k').
396 ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
Пример 1. Доказать, что
сп (iu, k) = пс (и, k'), dn (iu, k) = de (и, k'),
при помощи тэта-функций.
Пример 2. Показать, что
sn (у iK', = z sc К', k'^ = ik 2 ,
1-1 1
cn(l iK', ^ = (1+^)2 k 2, dn(-i iK', /г} = (\ + k)2.
[Если применить не преобразование Якоби, а какой-либо другой метод,
то определение знаков sn-^-zX', сп -% iK', tin-% IK' представляет большие
трудности.]
Пример 3. Показать, что
1
с„1«+,ет=
dnlw+«.) = ^il<L+4=^^.
Пример 4. Пусть 0 < k < 1 и 6 — модулярный угол; показать, что
1 Т —5"‘ 8 ______
sn (К + IK') —е Vcosec О,
1 -4'
сп у (К + 1К') = е У ctg О,
, -1/8 _____
dn 1-(К + гХ') = е 2 /cos 6.
(Glaisher)
22.42. Преобразование Ландена *)
Докажем теперь формулу
f(l—kl sin2 0J"2 zZ0j = (1 + k’) J (1 — Л2 sin2 0) 2 z/0,
и о
где
у
sin — (1 4- k') sin <p cos ср (1—k2 sin2 <p) 2
— (1 — k')l(l k').
) Landen, Phil. Trans, of the Royal Soc., LXV (1775), 285.
22.42. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАНДЕНА 397
Эта формула, открытая Ланденом, может быть представлена при
помощи эллиптических функций Якоби в виде
sn {(1 + k') и, = (1 k') sn (и, k) cd («, k),
если положим
— am w, cpj — amnp
Для доказательства этой формулы воспользуемся соотношениями
§ 21.52, а именно соотношениями
»3 (г | т) &4 (г | т) _ &2 (г | т) (г | т) __ 93 (0 | т) (0 | т)
а4 (2г 12т) »1(2г|2т) — а4 (012т)
Положим!) Tj = 2т, и пусть kv X, Л.' суть модуль и четверти
периодов, соответствующие параметру тг; тогда равенство
(г | т) (г | т) _ 9,(2г|т,)
&з (г | т) 94 (г | т) ' »4(2г|т,)
может быть, очевидно, переписано в виде
1
A sn (2/<z/ir, k)cd(2Kz/Tt, k) = k? sn(4Az/ir, k^. (A)
Чтобы найти выражение kx через k, положим г = -^-1т и тогда
тотчас получим
что дает по возведении в квадрат kv — yqrp" >
выше. Для определения Л разделим равенство
1
затем г->0; тогда получим 2Kk = 4Aj2 Л, так
2/^2’
Отсюда, заменив в (А) —— на и, получим
(1 -j- k') sn («, £)cd(«, &) = sn {(!-(-£')«, AJ,
так как
4Az/ir — 2Nu!K — (1 -|- k') u.
Итак, преобразование Ландена доказано.
как и утверждалось
(А) на z и заставим
что
) Для того чтобы избегнуть затруднений в определении знака, которые
возникают, когда Ret, не лежит между +1, предполагается, что | Re т | < ’/а-
Когда 0 < k < 1, это условие удовлетворяется, ибо т тогда чисто мнимое.
398 гл. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
д/ 2Д’/
Пример 1. Показать, что -д- = —, а отсюда, что Д' = (1 + k') К'-
Пример 2. Показать, что
сп {(1 + £') } = (1 — О + £') sn2 (“> £)} П<1 («> k),
dn {(1 + k') и, k}} = {k' 4- (1 — k') cn2 (u, k)} nd (u, k).
Пример 3. Показать, что
dn (и, k) — (1 — k') cn {(1 4- k') u, 4-(l + k') dn {(1 4- k') «, kt},
где
A = /(1 4-A,)-
22.421. Преобразование эллиптических функций
Формула Ландена есть частный случай так называемого преобразования
эллиптических функций; преобразование состоит в выражении эллиптических
функций с параметром т через те же функции с параметром
а 4- bz
-г-)- > где
с 4- dz
а,
Ь, с, d целые. Другим примером такого преобразования, уже нами рассмотрен-
ного, является преобразование, в котором а — — 1, 6 = 0, с = 0, d = 1, т. е.
мнимое преобразование Якоби. Для ознакомления с общей теорией преобра-
зований, выходящей за рамки этой книги, читатель отсылается к книгам:
Jacobi, Fundamenta Nova; Klein, Vorlesungen uber die Theorie der elliptischen
Modulfunktionen (изданной Фрике) и Cayley, Elliptic Functions (London, 1895).
Пример. Рассматривая преобразование ,г2 = т±1, показать спосо-
бом § 22.42, что
sn (k'u, k2) = k' sd (u, k),
I k
где k2 — + -p-, знак ± выбирается, смотря по тому, будет ли Re т < 0
или Re т > 0; далее, получить формулы для cn (k'u, k2) и dn (k'u, k2).
22.5. Бесконечные произведения
для эллиптических функций Якоби ’)
Бесконечные произведения для тэта-функций, полученные в § 21.3,
дают непосредственно бесконечные произведения для эллиптических
функций Якоби; положив и — 2К , очевидно, получаем из фор-
мул (А), (В) и (С) § 22.11
о Та “4 • тт f 1 — 2<72л cos 2х 4- qin )
sn и — 2q^k 2 sin х | I ( -j---Q 2J_,----„ , 4„-2 >.
7 JLJL I 1 — 2q cos 2x + q*n 2 J
n = l
о Ta/4a"4 тт 1 1 4- 2q2n cos 2x 4- qin )
cn и= 2<74«'z& 2 cosx I I { ' 7 .----5—r~ ,-y_2 >,
7 Ц I 1 — 2q2n 1 cos 2x 4- qin 2 J
n = 1
, a/4tt I 1 4-2<72л-1 cos 2x 4~ <74"-2 )
Uli I 1 _ 2?2«-‘ cos 2x 4- 9«-2 J '
’) Fundamenta Nova, 84—115.
22.5. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
399
По этим произведениям могут быть составлены произведения для
девяти обратных величин и отношений.
Имеются двадцать четыре другие формулы, которые могут быть полу-
чены следующим образом.
По формулам удвоения (§ 22.21, пример 5) имеем
1 — спи 1,1 l-ф-dn и ,1 1
--------= sn 77 и de 77 и, ---!---- = ds 77 U,I1 С 77 U,
dn и 4- сп и 1 ,1
-------------= сп тг и ds тг и.
sn и 2 2
Возьмем первую
1 j 1
сп -% и, dn у и; тогда
1
из них и воспользуемся произведениями для sn -% и,
получим
1 — сп и _ 1 — cos х | 1 — 2 (— q)n cos х 4- q2n )
sn и — cos х _|_J I 1 + 2 (— q)'! cos x -f- q2n j
«=1
произведя почленное перемножение бесконечных произведений.
Заменим здесь и на и~1~/(их на x-j--?-к, получим
dn и + k’ sn и _ 1 4- sin х J 1 + 2 (— q)n sin x I- q2n )
enu ~~ cos x JL1 { 1 — 2(—q)n sin x 4- Q2n ('
n-1
Заменяя и на u-\-iK' в этих формулах, получим
k sn и -J- i dn и
1-4-2z(—\)п q 2 sin х—q2n~.'
1 — 2i (—\)пЧП 2sinx— q^-i
Отсюда получается выражение для k cd и 4- ik' nd и путем замены sin х
на cos х в этом произведении.
Из тождеств
(1 — сп и) (1 4- сп и) = sn2 и, (k sn и 4- i dn и) (k sn и — i dn и) = 1
и т. д. мы получаем непосредственно четыре другие формулы, что в общем
даст восемь формул; другие шестнадцать получаются таким же образом
из выражений для ds и пс и и сп и ds -% и.
Это предоставляется читателю в виде упражнения; отметим одну из них:
sn и 4- i сп и = ie
ут ( (1 — q4n~3e2ir) (1 — qin^le-2ix)
I I ( (1 — q4,!~,e2i') (1 — 9«-зе-2<лу
400
ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
Пример 1. Показать, что
dn ~ (К + iK') = k'2 JJ
n—i
n+4
i
»+ o-
i+ (-!)«/? 2
Пример 2. Показать, пользуясь примером 1 и примером 4 § 22,41,
что если 0 — модулярный угол, то
1
« + "о
1 — (-1)” iq 2
1
1+ (-!)«/? 2
а затем, взяв логарифмы, получить формулу Якоби:
СО 1
1 VI л+ у у— у -
J 0 = X (“ 1)" arctg? =arctgK? —arcigK?3 + arctgW— ....
cquae inter formulas elegantissimas censer! debet» >) (Fundamenta Nova, 108).
Пример 3. Разложением каждого члена в равенстве
lg sn и — 1g (г?7) — у lg k + lg sin x +
+ Og (1— q2ne2,x) +lg(l—q2'1e~2ix)—lg(l—q2n~1e2lx)—lg (1—q2n~Je~2lx)}
n=l
по степеням e±2ix и перестановкой членов в полученном двойном ряде
показать, что
/ 1\ оо
1 1 (г, 4l 1 1 «. । 1 • , X? 2qmcos2mx
lg sn u = lg \2?4/— ~^\gk +lgsinx+ 2j X(1+?T’
m=l
если Im г | - Im
Получить подобные же ряды для 1g сп и, lg dn и.
(Jacobi, Fandamenta Nova, 99)
*) «Которую следует считать одной из самых изящных».
22.6. РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЯКОБИ 401
Пример 4. Вывести из примера 3, что
к
У lg snwdw =— —g- k.
0
(Glaisher, Proc. Royal Soc., XXIX)
22.6. Ряды Фурье для эллиптических функций Якоби
Кх
Если и == 2 , то sn и будет нечетной функцией от х
(с периодом 2к), которая, очевидно, удовлетворяет условиям Дирихле
(§ 9.2, часть I) для вещественных значений х; поэтому (§ 9.22,
часть I) можно разложить sn и в ряд Фурье по синусам дуг, крат-
ных х; таким образом,
sn и — 2 bn sinnx,
П=Л
причем разложение справедливо для всех вещественных значений х.
Легко видеть, что коэффициенты Ьп даются формулой
ТС
izibn = J sn и ехр (nix) dx.
— ТС
Чтобы найти значение этого интеграла, рассмотрим интеграл
J" sn и ехр (nix) dx, взятый вдоль параллелограмма, вершины кото-
рого — к, к, ~т, —2ir-|~itt.
Из свойств периодичности функций sn« и ехр(п/х) мы видим,
тст —тс
что интеграл J погашает интеграл J* ; следовательно, прини-
тс — 2тс-|-тст
мая во внимание, что —~-(-уи у кт являются единственными
полюсами подинтегральной функции (как функции от х) внутри
контура с вычетами* 2)
—A-1 Q- ~/А^ехр^—ni~ -^-^nizit^
и
А-1 (у ехр mziz'j
') Эти результаты главным образом принадлежат Якоби (Jacobi,
Fundamenta Nova, 101).
2) Множитель у л//< следует добавить, так как мы имеем дело с функ-
цией sn (2Кх/п).
402
ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
соответственно, имеем
sn и exp (nix) dx — q 2 " {1
(-1)"}.
Заменив во втором интеграле х на х — тс —тст, получим
к .1
{1 + (—1)"?"} f sn и exp (nix) dx = ~q2 "{! — (— 1)"}.
— IZ
Отсюда при n четном bn — 0; при n нечетном
_ 2-
— Kk 1 — qn‘
А £
, g2 sin Зх , q2 sin 5х ,
' 1—I 1 — 95 + • • • •
Итак, имеем
Ьп
о
q* sin х
1 —Q
когда х вещественно; но правая часть этого равенства будет ана-
литической, если как q2 exp(nix), так и q2 ехр(—nix) стремятся
к нулю при п—>оо, а левая часть будет аналитической, всюду
кроме полюсов sn и.
Отсюда следует, что обе части равенства будут аналитическими
в полосе (в плоскости комплексной переменной х), определяемой
неравенством | Im х | < у ~ Im т.
Следовательно, по теории аналитического продолжения получаем
разложение
1
ОО П+
' 2л у q 2sin(2n+l)x
SnM— Kk ]_ „2/.+1
n = 0 '
(где u^^Kx'i^), годное во всей полосе | Im х | <ул1тт.
Пример 1. Показать, что при и — 2Кх1п
п+
q 2 cos (2n 4- 1) х
у 2qn sin 2nx
^«(1 + ^)
qn cos 2nx
1+^
am и = j dn £ dt — x
о
причем разложения имеют силу при | Im х | < л Im т.
2л
22.61. РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ОБРАТНЫХ ВЕЛИЧИН
403
Пример 2. Заменяя в уже полученных результатах х на х -j- у я,
показать, что если
и = 2Кх/г. и | Im х | < у л Im т,
то j
. „ _ у (—l)ng + 2 cos(2/?4-l)x
сйм“ /<А Zl
n=0 4
1
со п+ —
_ 271 V (—2 sin (2n + 1) X
Kkk' Zd \+а2п"г
. к 2л \т (—1)" qn cos 2nx
—
22.61. Ряды Фурье для обратных величин
эллиптических функций Якоби
В формуле, полученной в § 22.6, заменим и на и-\-1К' и, сле-
довательно, х на х -1~ у тогда при 0 > Im х >—it Inn:
г j -r'x V q Sin(2n + 1)(-V+2’IT)
л = 0 4
и таким образом (§ 22.34),
1(1 _1 )
гл V /+г \qn+ 2e^n+^tx-q " 2(2„+1) Zx J-
nsM — к 2,1 ~
л=0 4
___ i~ Vi {2z<72n+I sin (2n-|-1) x-|-(1 — ^-2л-1) e-(2n+i)zx| _
~~ — ~K ] — e2zz + l —
n = 0 4
___ 2it V g2"+1 sin (2/z 4-1) x гл-Vi _(2«+i;/x
— К \-q2n+l К ^4e
n=0 4 n-0
t. e.
n . 2it \7 92n+1 sin (2n 4-I)x
П5ц==ЖСО5есх + ^1 1-^+1 •
n = 0 4
Но, за исключением изолированных полюсов в точках х = пк,
обе части этого равенства являются аналитическими функциями от х
в полосе it Im т > Im х > — it Im т, которая вдвое шире той полосы,
404
ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
где справедливость формулы была доказана; следовательно, по
теории аналитического продолжения это разложение для ns и имеет
силу во всей расширенной полосе, за исключением точек х — п~.
Пример. Получить следующие разложения, справедливые в полосе
| Im х | < тс 1m т, за исключением полюсов первых членов в правых частях
соответствующих разложений:
ds
тс
и = 7Т77 cosec х
гг\
2~ у
п = 0
д’2г' ~'1 sin (2п 1) х
1 _|_92п+1
cszz = ctgx
2тс у q2n sin 2пх
~К Li
Л = 1
de
и = sec х +
2тс у (—1)л g’2n+1 cos (2п 4-1) х
К L 1_о2л + 1
л = 0 7
ПС и —
2Kk' SeCX
2л V (— l)n<?2/7 + 1 cos (2п + 1) х
” 7<kT Li T+fn+'
п=0 1 4
2л у
~Kkr L
n = l
(—l)ng’2fisin2nx
l + tf2"
22.7. Эллиптические интегралы
Интеграл вида J* R(w, x)dx, где R обозначает рациональную
функцию от ® и х, a w2— полином четвертой или третьей степени
от х (без кратных корней), называется эллиптическим интегралом1).
[Примечание. Эллиптические интегралы имеют большое историче-
ское значение вследствие того, что весьма большое число важных свойств
таких интегралов было открыто Эйлером и Лежандром раньше, чем вы-
яснилось, что следовало бы рассматривать как основные функции анализа
скорее обращения некоторых канонических типов таких интегралов, чем
сами эти интегралы.
Первым математиком, рассматривавшим эллиптические функции как
обращения эллиптических интегралов, был Гаусс (§ 22.8), но первые
результаты были опубликованы Абелем 2) и Якоби 3). На результаты, полу-
') Точнее говоря, такой интеграл называется эллиптическим интегралом
лишь тогда, когда его невозможно выразить при помощи элементарных
функций и требуется применение эллиптических интегралов трех родов,
введенных в § 22.72.
2) Abel, Journ. fur. Math., Il (1827), 101—196.
3) Якоби изложил свое открытие в двух письмах (датированных
13 июня 1827 г. и 2 августа 1827 г.) к Шумахеру (Schumacher), который
опубликовал выдержки из них в «Astr. Nach.» (VI, № 123) в сентябре 1827 г.,
т. е. в том же месяце, когда появился мемуар Абеля.
sc“= 2/^‘8-М
22.7. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 405
ценные Абелем, Якоби указал Лежандру немедленно после опубликования
Лежандром «Traite des fonctions elliptiques». В добавлении (том III (1828),
стр. 1) Лежандр говорит об их открытиях в следующих выражениях:
«А peine mon ouvrage avait-il vu le jour, a peine son titre pouvait-il
fitre connu des savans etrangers, que j’appris, avec autant d’etonnement que de
satisfaction, que deux jeunes geometres, MM. Jacobi (C.—G.—J.) de Koenig-
sberg et A b e 1 de Christiania, avaient reussi, par leurs travaux particuliers,
a perfectionner considerablement la theorie des fonctions elliptiques dans ses
points les plus eleves.» l).
Интересная переписка между Лежандром и Якоби была напечатана
в «Journ. fur Math>, LXXX (1875), 205—279. В одном из своих писем Лежандр
упоминает об утверждении Гаусса, что он получил многие из результатов,
опубликованных Якоби и Абелем, уже в 1809 г. Основательность этого
утверждения была установлена впоследствии Шерингом (Schering) (см. Gauss,
Werke, III (1876), 493, 494), хотя исследования Гаусса (Werke, III, 404—460)
оставались неопубликованными до его смерти.]
Дадим теперь краткое изложение важной теоремы, что каждый
эллиптический интеграл можно выразить через тэта-функции в ком-
бинации с элементарными функциями.
Мы уже видели (§ 20.6), что в частном случае интеграла J* w~1dx
это можно выполнить, так как эллиптические функции Вейерштрасса
могут быть легко выражены через тэта-функции и их производные
(§ 21.73).
[Практически наиболее важен тот случай, когда /? есть вещественная
функция от х и w, которые в свою очередь вещественны на пути интегри-
рования; покажем теперь, что при этих условиях интеграл может быть
выражен в вещественной форме.]
Так как /?(w, х) есть рациональная функция от w и х, то
мы можем написать
R(w, x) = P(w, x)IQ(w, х),
где Р и Q — полиномы от w и х; тогда полхчим
. wP (w, х) Q (—w, х)
R(w, х) = X)Q(—w, •
Но Q(w, х) Q( — w, х)—рациональная функция от и х,
так как она не изменяется при перемене знака w, поэтому она мо-
жет быть представлена как рациональная функция от х.
Если теперь выполним умножение в wP(w, x)Q(—w, х) и под-
ставим вместо w2, где оно встречается, его выражение через х, то
•) «Едва моя работа вышла-в свет, едва стало известным иностранным
ученым ее название, как я узнал с таким же изумлением, как и удовлетво-
рением, что двум молодым геометрам, Якоби в Кенигсберге и. Абелю
в Христиании, удалось независимо друг от друга внести значительные усо-
вершенствования в теорию эллиптических функций, и притом в сложнейших
ее вопросах».
406 ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
мы в конце концов придем к полиному от х и w, линейному
относительно и>.
Таким образом, мы получим тождество вида
R(w, х) = {/?! (х) + wR2(x) } /w,
где R} и R2 обозначают рациональные функции от х.
Интеграл J* R2(x)dx может быть вычислен при помощи только
элементарных функций1); таким образом, задача свелась к вычис-
лению интеграла j'w~1R1 (x)dx. Для этого необходимо получить
каноническое выражение для w2, к чему мы теперь и перейдем.
22.71. Представление полинома четвертой степени
в виде произведения двух сумм квадратов
Покажем теперь, что любой полином четвертой (или тре-
тьей2)) степени относительно х (с неравными корнями) может
быть представлен в форме
{А С* — а)2 + А О — ₽)2} !А О — а)2 + в2 — ₽)2}.
где все числа Лр Bv А2< В2, а, р вещественны, если коэффици-
енты в данном полиноме вещественны.
Чтобы получить этот результат, заметим, что любой полином
четвертой степени может быть представлен в виде SjS2, где
S2—полиномы второй степени от х3):
= а}х2 —2(?^х —Ср S2 = а2х2 —<2Ь2х —с2.
Далее, если к — постоянная, то — cS2 будет полным квад-
ратом относительно х, когда
(«j — Ха2) (Cj — Хс2) — (Z>i — \b2)2 = 0.
Пусть Xj и Х2 — корни этого уравнения; тогда, по предположе-
нию, существуют такие числа а и р, что
— Хг$2 s («! — \а2) (х — a)2, Si — /.2S2 = (а1 — Х2а2) (х — Р)2;
) Интегрирование рациональных функций одной переменной рассмат-
ривается в руководствах по интегральному исчислению.
2) В последующем анализе полином третьей степени можно рассматривать
как полином четвертой степени, в котором коэффициент при х4 равен нулю.
3) Если коэффициенты в полиноме четвертой степени вещественны, то
разложение на множители можно выполнить таким образом, что коэффи-
циенты в S, и S2 будут вещественны. В частном случае, когда полином
имеет четыре вещественных линейных множителя, эти множители должны
быть соединены попарно (чтобы дать S, и S2) таким образом, чтобы корни
одной пары не перемежались с корнями другой пары; основание для этого
увидим в примечании в конце параграфа.
22.72. три рода эллиптических интегралов 407
решая эти уравнения относительно S2, получим, очевидно, резуль-
таты вида
S^X^x-a^ + B^x-P)* 2 * * *, S2 = X2(x —а)2 + В2(х-₽)2;
этим требуемое приведение полинома четвертей степени выполнено.
[Примечание. Если полином четвертой степени веществен и имеет
два или четыре комплексных корня, то пусть Sj имеет комплексные корни;
тогда X] и Х2 вещественны и различны, так как
(«1 — Хд2) (с, — Хс2) — (b, — Х&2)2
положительно при X = 0 и отрицательно ’) при X = aja2.
Если 3, и 32 имеют вещественные корни и их разложения суть
(x-e^x-Q, (х-е2)(х— е'),
то условие для того, чтобы X, и Х2 были вещественны, легко получить
в виде
01 -2) 0i Q 01 ’г) 01 ^г) > °-
а это условие удовлетворяется, когда нули выражений Sj и 32 не пере-
межаются; это и было, конечно, причиной выбора множителей Sj и S2 дан-
ного полинома таким образом, чтобы их нули не перемежались.]
22.72. Три рода эллиптических интегралов
Пусть а, р определены по только что полученному в § 22.71
правилу; введем в интегралеJ w~1 Rx(x)dx новую переменную t,
определяемую равенством2)
t — (х — а)/(х — Р);
тогда имеем
dx____________________ । (а— dt
{(Л.^ + В,) (Л2^ + В2)}2
Если написать Rx(x) в виде ± (а — ₽)/?3(О, где /?3 рациональна,
то получим
fR^xydx _ Г R3(t)dt
J w J 2 ’
{GVM В,) (Л2<8 + в2)}2
') Кроме случая al:a2 — bt:b2; в этом случае
•Si=«i(x—а)2Bb 32 = а2 (х — а)2 В2.
2) Замечательно, что Якоби не обратил внимания на существование этой
дробно-линейной подстановки; в своем приведении он применял квадратич-
ную подстановку, эквивалентную применению преобразования Ландена к
эллиптическим функциям, которое мы введем далее.
408 ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
Теперь положим
R3 (О + Яз (- О = 2/?4 (/* 2), R3 (0 - R3 (-t) = 2tR- (/2):
тогда R4 и R- — рациональные функции от t2 и, таким образом,
/?3(О = /?4а2) + ^5(^2).
Но интеграл
f {(Axt2 + Вх) (A2t2 + В2))" tRs (t2) dt
можно выразить через элементарные функции, приняв t2 за новую
переменную1); так что если разложим /?4(f2) на простейшие дроби,
то задача интегрирования J* R(w, x)dx приведется к вычислению
интегралов следующих типов:
J ^{(Л^ + в1)(Л2/2 + 52)}-2Л(
f( 1 + Nt2)-m {(Л/2 + Вх) (Л2/2 + В2)} ’2 dt-
в первом из них т — целое число, во втором т — положительное
целое число и А^О. Дифференцированием выражений вида
t2m~\(Axt2 + Bx)(A2t2+B2}}2
И
t (1 + М2)1 ~т W2 + Вх) (Л2/2 + В2)}2
легко получить формулы приведения, при помощи которых выше-
приведенные интегралы могут быть выражены через один из трех
канонических интегралов:
(I) f {(Axt2Вх) (A2t2-\-В2)}~^ dt,
(П) f t2{{Axt2 + Bx)(A2t2 + B2)\~2dt,
(III) f (1 + м2)“1{(л1^2 + в1)(^2+в2)}-2 Л.
Эти интегралы были названы Лежандром2) соответственно эллип-
тическими интегралами первого, второго, и третьего рода.
Эллиптический интеграл первого рода не создает никаких за-
труднений, так как он может быть проинтегрирован при помощи
') См., например, Hardy, Integration of Functions of a single Variable
(Camb. Math. Tracts, № 2). Есть русский перевод: Г. Гарди, Интегриро-
вание элементарных функций, ОНТИ, М.-Л., 1935.
2) Legendre, Exercices de Calcul Integral, I (Paris, 1811), 19.
22.72 ТРИ РОДА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ 409
подстановки, основанной на интегральных формулах §§ 22.121,22.122;
так, например, если все числа Лр Вх, А2, В2 положительны и
А2ВХ>АХВ2, то нужно положить
£
Ахt = Вхcs(«, А). [А'2 = (А.В^А.В,).]
Пример 1. Убедиться, что в случае вещественных интегралов сле-
дующая схема дает все возможные существенно различные комбинации
знаков, и определить подстановки, необходимые для вычисления соответ-
ствующих интегралов.
А, + + — + + —
в, + — + — — +
Л2 + + + +
в2 + + + — 4- +
Пример 2. Показать, что
f J 1 , 1 — k cd и
J 2A & 1 -f- k cd и
J* dn и du = am zz,
f , . 1 . 1 — cn и
I ds и du = lg -=-i-----------•,
J 2 ь 1 -f-cn и
J' cn и du — k 1 arctg (A sd zz),
f j 1 । dnzz4~A'
sc и du — lg ---------'-TT-
J 2k e dnzz—k
C , . 1 , 1 + sn и
I de и du = тт lg i,
J 2 1 — sn и
и получить шесть других подобных формул, заменив и на и + К-
(Glaisher)
Пример 3. Доказать дифференцированием эквивалентность следующих
двенадцати выражений:
и — А2 sn2 и du, k,2u 4- A2 J cn2 и du.
J Рdn2 и du, и — dn zz cs zz — J1 ns2 и du,
А/2ы 4* dn zz sc и — A'2 J j* nc2 и du, A2 sn и cd и 4- A'2 j nd2 и du,
dn и sc и — A'2 j sc2 и du, k,2u 4- A2snzzcd zz 4- A2 A'2 f sd2 и du,
и 4- k2 sn и cd и — A2 j cd2 и du. — dn и cs и — J cs2 и du.
k,2u— dn и esu — I ds2 и du, и 4- dn и sc и — I de2 zz du.
410
ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
Пример 4. Показать, что
d U = п(п — 1) sn”-2 и — п2 (1 4- k2) sn” и 4- п (п 4- 1) k2 sn”+2 и,
и получить одиннадцать других подобных формул для вторых производных
от cn”«, dn”zz, ..., nd"zz. Какая связь имеется между этими формулами и
формулой приведения для
_ 1_
P”{(AZ24-s,)W2 + b2) } 2 dt?
(Jacobi; Glaisher, Messenger, XI)
Пример 5. При помощи § 20.6 показать, что если а и р положи-
тельны, то
J {(а2 —х2)(х24-р2)} ^dx = J (4s3 — g2s — g3) 2 ds,
-а ex
где — вещественный корень кубического полинома,
g2 = («2 - ?2)2 - «2 ?2, = - («2 - ?2) { («2 - Г'2)2 + 36 а2 Э2}/216;
доказать также, что если g2 = 0, то а и р даются уравнениями
J_ _L
а2_ jj2 = _з (2g3)3' а2 4^2 = 2КЗ |2^3|3.
Пример 6. Вывести из примера 5 и из интегральной формулы для сп и,
что при g3 положительном
со __i_ _j_
f (4s3 -g3) 2 rfs = 2(a2 + ₽2) 2 к,
f (4s3 4- g3> 2 ds = 2 (a2 4- ₽2) 2 K',
где ± ,
a2 = ^3 _ j) (2g3) 31 p2 = (/3 4- j) (2g3)3 ,
а модуль равен ,
a(a2 + P2)'7-
22.73. Эллиптический интеграл второго рода. Функция Е(и)1)
Для приведения интеграла типа
/2{(Л/2+В1)(А^2 + В2)}'7Л
') Это обозначение было введено Якоби (Jacobi, Journ. fiir Math., IV
(1829), 373; Ges. Werke, I (1881), 299). В «Fundamenta Nova» он писал
E (am и) там, где мы пишем Е (и).
22.ТИ>. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА. ФУНКЦИЯ Е(и) 411
применим ту же подстановку через эллиптические функции, что и
в случае эллиптического интеграла первого рода с тем же подко-
ренным выражением. Таким образом мы придем к одному из две-
надцати интегралов
J* sn2 и du, J* сп2 и du,..., J* nd2 и du.
Согласно примеру 3 §22.72 таковые могут быть выражены через и,
эллиптические функции от и и J* dn2 и dw, удобно рассматривать
и
E(u)=s. J* dn2 и du
о
как основной эллиптический интеграл второго рода, через который
могут быть выражены все остальные; когда требуется особо выде-
лить модуль, мы пишем Е(и, k) вместо Е(и).
Заметим, что
-rf£,(M) = dn2«, Е(0) = 0.
du '
Далее, так как dn2«— четная функция с двойными полюсами
в точках 2т/< —(2/г —|-1) и с вычетами в этих точках, равными
нулю, то легко видеть, что Е{и) будет нечетной однозначной1)
функцией от и с простыми полюсами в полюсах функции dn и.
Покажем теперь, что Е(и) можно выразить через тэта-функции;
наиболее подходящим типом тэта-функции будет здесь функция 0(и).
Рассмотрим
d J 0'(и))
du ( в (и) ) ’
это выражение является двоякопериодической функцией от и с двой-
ными полюсами в нулях функции 0 (и), т. е. в полюсах функции
dn и; таким образом, если А — надлежаще выбранная постоян-
ная, то
dn2 м — д A JAMI
du I 0 (и) )
— двоякопериодическая функция от и с периодами 2/С, 21К' и с од-
ним только простым полюсом в каждой ячейке. Поэтому она будет
постоянной; эта постоянная обычно пишется в виде EfK. Для опре-
деления постоянной А заметим, что главная часть функции dn2«
в точке 1К' будет согласно § 22.341 равна —(и — вычет
же. отношения 0'(м)/0(м) в этом полюсе равен единице; следова-
') Так как вычеты функции dn2 и равны нулю, то интеграл, определяющий
Е(и), не зависит от взятого пути (§ 6.1, часть I).
412 ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ якови
, d ( 0' (и) ) , , .v'-l
тельно, главная часть функции j Q £ также будет —(и— tK) .
Отсюда А = 1, так что
2 d ( 0' (и)) . Е
dnJ и — -г- < д , / > 4- -г; .
du | 0 (и) | К
Интегрируя и замечая, что 0' (0) = 0, получим
Е (и) = 0' (и)/0 (и) + иЕ/К.
Так как Q'(K) = Q, то имеем Е(К) = Е; отсюда
1
А- 2* j
Е— I* dn2 и du — У* (1—Fsin2<p)2 = y -i-; 1; ,'e2V
о о
Принято (§ 22.3) называть К и Е полными эллиптическими инте-
гралами первого и второго рода. Таблицы для них, как для функ-
ций модулярного угла, даны Лежандром (Legendre, Fonctions
Elliptiques, II).
Пример 1. Показать, что
Е (и 4- 2пК) = Е (и) 4- 2пЕ,
если п—целое число.
Пример 2. С помощью выражения для 0 (и) через функцию
я и/К^ и ее разложения около точки и = iK' показать, что
22.731. Дзета-функция Z («)
Функция Е(и) не имеет периодами ни 2Af, ни 2iK', но при
изменении аргумента на эти величины она изменяется на постоян-
ные слагаемые
9 {2iK'E-Ki} .
zc, к
удобно иметь функцию того же общего типа, что и Е (и), но про-
сто периодическую; такой функцией является
Z(a)s9'(«)/e (и);
22.732. формулы сложения для Е(и) и Z(tz)
413
согласно этому определению имеем *)
Z (и) — Е (и) — uEjK,
0 (а) = 0 (0) ехр
J Z (/) dt
о
22.732. Формулы сложения для £ (я) и Z (я)
Рассмотрим выражение
в' (м 4- v)
0 (и + v)
0'(и) 0'(V) . „ /14
0^0 ~”0^)sn«sn‘Usn(a + ‘U)
как функцию от и. Эта функция двоякопериодическая2) (с периодами
2£ и 21К') с простыми полюсами, сравнимыми с 1К' и 1К'—V,
вычет первых двух членов в 1К' равен —1; вычет же выражения
sn и sn v sn (и + v) равен /г"* 1 (II) (III) sn v sn (IK' -)-'») = /г-2.
Следовательно, эта функция двоякопериодическая и не имеет
полюсов в точках, сравнимых с 1КГ, и (подобным же образом)
в точках, сравнимых с 1К'— V- По теореме Лиувилля она равна
постоянной, а положив и = 0, видим, что эта постоянная равна
нулю. Отсюда получаем формулы сложения
Z («) + Z (v) — Z (и + v) = ft2 sn и sn v sn (и + v),
E (и) -j- E (v) — E (« + v) — k2 sn и sn v sn (и v).
[Примечание. Так как Z (ы) и £ (и) не являются двоякопериодиче-
скими функциями, то можно доказать, что не существует алгебраического
соотношения, связывающего их с sn и, сп и и dn и, так что полученные фор-
мулы не являются теоремами сложения в точном смысле 3).]
>) Интеграл в выражении для 0 (и) не будет однозначным, так как Z (Z)
имеет вычет 1 в своих полюсах; но разность интегралов, взятых по любым
двум путям с общими концами, равна 2пга, где п — число охваченных
этими путями полюсов; показательная функция от интеграла будет поэтому
однозначной, как и должно быть, так как 0 (и) — однозначная функция.
2) 2iK' есть период, так как аддитивные постоянные для первых двух
членов взаимно уничтожаются.
3) Теорема, принадлежащая Вейерштрассу, утверждает, что аналити-
ческая функция f(z), обладающая теоремой сложения в точном смысле
слова, должна быть или
(I) алгебраической функцией от z,
или
(II) алгебраической функцией от ехр (r.iz/и),
или
(III) алгебраической функцией от $ а>2),
где «, а>|, а>2 — надлежаще выбранные постоянные. См. Forsyth, Theory
of Functions (1918), Chap. XIII.
414 ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
22.733. Мнимое преобразование Якоби !) для функции Z(ti)
Из § 21.51 ясно, что должно существовать преобразование типа
Якоби для функции Z(«). Для получения его переведем формулу
£
&2 (ix | т) — (— Z")2 ехр (— гЧ'х2/тс) 1)4 (1х~.' | т'),
в ранние обозначения Якоби; тогда она примет вид
1 / ~и2
Н (Z« —А7, й) = (— Z?)2 ехр \ 4/<7<' / © («> k'\
откуда
/• I ; \ (О I х) в (м, kr)
сп (iu, А) — ( Zt) ехр ( 4КК, j (0! т) 0(.ц .
Взяв логарифмическую производную от обеих частей, получим
с помощью § 22.4
Z(Z«, k) = i dn(«, &')sc(m, k')— I7i(u, k')— zZm/(2A7C').
22.734. Мнимое преобразование Якоби для функции £(я)
Удобно получить преобразование функции Е(и) непосредственно
из интегрального определения; имеем
E(iu, k) = f dn2(Z, k)dt — f dn2 (it', k)idt' = i J dc2(Z', k')dt',
0 0 0
если положим t = It' и воспользуемся § 22.4.
Отсюда согласно примеру 3 § 22.72 имеем
E(lu, k) — i «4~dn(«, k') sc (и, k')— f dn2(Zz, k') dt' >
о J
и, таким образом,
E(iu, k) — iu Z dn (u, &')sc(m, k') — iE(u, k').
Это и есть искомое преобразование.
Удобно обозначить через Е' ту же функцию от k', какой
является Е от k, так что Е' = Е(К', k'\, тогда
E(2iK', k')^2i(K' — Е').
*) Fundamenta Nova, 161.
22.735. соотношение лежандра 415
22.735. Соотношение1) Лежандра
Из только что полученных преобразований для функций £(и) и
Z(«) можно вывести замечательное соотношение, связывающее пол-
ные эллиптические интегралы обоих родов, а именно соотношение
ЕК'~\~Е'К — =
Действительно, согласно преобразованиям § 22.733, 22.734 имеем
E(Z«, A) —Z(Z«, k) = lu — l{E(u, k') — Z(u, k')}
и, воспользовавшись связью между функциями Е(и, А) и Z(«, А),
получим
luEjK = 1и — I {иЕ'/К'} irZ«/(2A7C').
Так как мы можем взять и + 0, то требуемый результат полу-
чается непосредственно из этого равенства; он аналогичен соот-
ношению vjjWj — vfeuij = у kZ, которое встречается в теории Вейер-
штрасса (§ 20.411).
Пример 1. Показать, что
Е (и 4~ К) — Е(и) = Е — A2 sn и cd а.
Пример 2. Показать, что
Е (2и + 2iK’) = Е (2м) + 2Z (К' — Е').
Пример 3. Вывести из примера 2, что
Е (и + 1К') — у Е (2и + 21К') + -j- A2 sn2 (и 4- iK') sn (2и 4- 2iK’} =
= Е (и) + сп и ds и 4- i {К' — Е').
Пример 4. Показать, что
Е {и 4- К 4- iK’) = Е (и) — sn и de и 4- Е 4- Z (К' — Е').
Пример 5. Получить следующие’ разложения:
ОО
(kK)2sn2 и = к2— КЕ— 2л2 ,
со
ллг7 / \ п V* qn sin 2nx
KZ = ’
n-\
справедливые при
| Im x | <~r. Imr,
(Jacobi)
’) Legendre, Exercices de Calcul Int6gral, I (1811), 61. Геометри-
ческое доказательство см. у Глешера (Gia is he г, Messenger, IV (1874),
416
ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
22.736. Свойства полных эллиптических интегралов,
рассматриваемых как функции модуля
Если формулу
1
Г
Е = J (1—A2 sin2 ср)2 d<?
о
продифференцировать по k под знаком интеграла (§ 4.2, часть I),
то получим
1
2 ”
44 =— f A sin2 с? (1—A2 sin2 ср) 2 <7ср = .
UK J R
о
Поступая таким же образом с формулой для К, получим
J* Asin2<p(l—A2 sin2 ср) 2 rfcp — A J* sd2 и du =
о о
_____1_
~ АА'2
согласно примеру 3 § 22.72, так что
dK _ Е К
dk ~ АА'2 А
Если положить А2 —с, А'2 — с', то полученные формулы при-
нимают вид
2 dE _ Е — К 2dK E—Kc'
de с ' de ~ сс'
Пример 1. Показать, что
2 dE' = К' — Е' 2 dK' = сК' - Е'
de с' ’ de ее'
Пример 2. Показать дифференцированием по с, что ЕК' + Е’К— КК'
постоянно.
Пример 3. Показать, что К и К' суть решения уравнения
J* dn2 и du — [А/2
о
и что Е и Е' — К! суть решения уравнения
(Legendre)
ЧЧЛЪ!. ЗНАЧЕНИЯ ПОЛНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ДЛЯ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИЙ k 417
22.737. Значения полных интегралов для малых значений k
Из интегральных определений функций Е и К легко видеть,
разлагая по степеням k, что
lim К — lim Е = i тс, lim (К — E)[k2 — 4- тс.
й->0 £-»0 *->о 4
Подобным же образом
1
2 я
lim Е' — I cos<prf<p=l.
fc->° i
Найти подобным образом lim К' нельзя, вследствие того что
й->0
_2_
(1—k' sin2 ср) 2 претерпевает разрыв при <р = 0, k — 0; но из при-
мера 21 главы 14 (стр. 105) следует, что при | arg k | < тс
lim {К' — lg(4/A)} = 0.
й-»0
Этот результат можно также вывести и из формул
2(7<'= г.т!)2, й = &2/»2,
заставляя <?—>(); он может быть, кроме того, доказан для вещественных
значений k следующим элементарным путем.
В силу § 22.32 имеем
1 1 1
Е' = J (t2 — k2)~ 2 — i dt.
k 4
По если k < t < V k, то 1 — t2 лежит между 1 и 1 — А, а если У~к < t < 1,
to if2—k2)/t2 лежит между 1 и 1 — k.
Поэтому E' лежит между
ir~k ^2 1 i
J (t2 — k2) 2dt+ f t~'(l — t2) 2 dt
* V~k
1 V * _1 ’ _1 ]
(1-A)~2{ f (t2—k2) 2 dt+ J t~l(l-t2) 2 dt
k VI f
и следовательно,
-If, + fl L
«•-<!-«) |'S------------t-------l8l + r—J-
= (1-OA) 2 (21g {l+Kl^J-lg^L
где 0< 6 < 1.
|4 3. T. Уиттекер, Дж. H. Вагсон
418
ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
Но
Г _1_ I
lim [2 (1 — 6k) 2 lg {1 4- ]/'i — k} — lg4J = 0,
fe->0
lim {1 —(1— 0A)~2} lgA = O,
й->0
и следовательно,
lim {/С — lg(4/£)} =0,
*->o
что и представляет собой требуемый результат.
Пример. Вывести соотношение Лежандра из примера 2 § 22.736,
заставляя А->0.
22.74. Эллиптический интеграл третьего рода1)
Чтобы выразить интеграл типа
/(1 + {(H/2+^i)(-V2+ dt
через известные функции, сделаем подстановку, которую мы делали
в соответствующих интегралах первого и второго рода (§§ 22.72,
22.73). Тогда интеграл приводится к виду
Г а + Р sn2 и , _ /* sn2 U ,
/ тл----+ (В — av) / -j—:------------------5— du,
J 1 -b v sin2 и 1 4 ! J 1 + v sn2 и
где a, p, v — постоянные; если v = 0, —1, 00 или —k2, то инте-
грал может быть выражен через интегралы первого и второго рода;
для других значений v мы определяем параметр а при помощи
уравнения v =—A2sn2a, и тогда, очевидно, можно принять за основ-
ной интеграл третьего рода интеграл
и
гт , . Г A2 sn а сп д dn a sn2 и ,
11 (и, а)— —i----rj—5----5----du.
' J 1 — ft2 sn2 a sn2 и
о
Чтобы выразить его через тэта-функции, заметим, что подинте-
гральную функцию при помощи теоремы сложения для дзета-функ-
ции можно записать в виде
k2 sn и sn a [sn (и -f- а) Н~ sn (а — а)} =
= {7л (а — а) — Z (и 4~ а) 2Z (а)};
*) Legendre, Exercices de Calcul Integral, I (1811), 17; Fonctions Ellip-
tiques, I (1825), 14—18, 74, 75; Jacobi, Fundamenta Nova (1829), 137—172;
мы применяем обозначения Якоби, а не Лежандра.
22.74. эллиптический интеграл третьего рода 419
пользуясь формулой Z(rz) — 0'(и)/0 (и), получим непосредственно
П(«, «) = 4-lg-g-g^g-4-«Z(a),
результат, показывающий, что II (и, а) является многозначной функ-
цией от и с логарифмическими особенностями в нулях функций
0(и±а).
Пример 1. Получить формулу сложения )
„ , ч , тт / ч , ч 1 , © (и + v 4- а) 0 (и — а) 0 (v — а)
П (и, а) 4- П (ц, а) — II (и 4- v, а) = ~ 1g ; ;—т ,—:—~ =
' ' 2 6(u,-\-v—а) 0 (и + а) 0 (v 4- а)
__ 1 1 — k2 sn a sn и sn v sn (и 4- v—а)
2 s 1 4- к2 sn a sn a sn v sn (u 1 v 4- a)
(Legendre)
[Взять
x: y: z: w = u: v: ±a: u-\-v + a
в основной формуле Якоби
[4]4-[1] = [4]' + [1]'.]
Пример 2. Показать, что
П (и, а) — II (а, и) — 1Л (а) — (Л (и).
(Legendre и Jacobi)
[Это так называемая формула перестановки аргумента и параметра.[
Пример 3. Показать, что
П (и, а) 4~ П (и, Ь) — П (и, а 4- Ь) =
1 , 1 — k2 sn a sn b sn и sn (a 4- b — u)
= тт lg -j— /-----г-------—г 4- uk2 sn a sn 6 sn (a 4- b).
2 1 4- к2 sn a sn b sn и sn (a 4- b 4- a) ~ v ’
(Jacobi)
[Это так называемая формула сложения параметров.]
Пример 4. Показать, что
П (гы, ia 4- К, А) = П (а, а 4- К.', к’).
(Jacobi)
Пример 5. Показать, что
П (и 4- и, а 4- Ь) 4- П (и — v, а — Ь) — 211 (и, а) — 2П (v, b) =
= — A2 sn a sn & {(ы 4~ v) sn (а 4~ &) — (ы — v) sn (а — b)} 4-
. 1 . 1 — A2 sn2 (а—a)sn2(a—b)
"г 2 1 4~ sn2 (а 4- a) sn2 (v b) ’
и получить частные виды этой формулы, положив v или b равными нулю.
(Jacobi)
') Для выражения справа было получено не менее 96 различных форм.
См. О 1 a i s с h е г, Messenger, X (1881), 124.
14*
420 ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
22.741. Динамическое приложение
эллиптического интеграла третьего рода
Из выражения для П (и, а) через тэта-функции ясно, что если и, a, k
вещественны, то средняя скорость роста функции П (и, а) при возрастании и
на 2К есть Z (а), так как О (и ± а) есть периодическая функция с вещест-
венным периодом 2/<.
Этот результат определяет среднюю прецессию по отношению к не-
изменяемой оси при движении твердого тела относительно его центра тя-
жести под действием сил, равнодействующая которых проходит через его
центр тяжести.
Очевидно, что для целей вычисления результат этого рода предпочти-
тельнее соответственного результата, выраженного через сигма-функции и
дзета-функции Вейерштрасса, вследствие того, что тэта-функции имеют
особенно простое поведение относительно своего вещественного периода,
т. е. периода, имеющего значение в прикладной математике, и что ряды по
степеням q значительно лучше приспособлены для вычисления, чем произве-
дение, при помощи которого сигма-функция определяется наиболее просто.
22.8. Лемнискатные функции
х _1
Интеграл J" (1—/4) * 2 dt встречается в задаче спрямления дуги
о
лемнискаты 4); если обозначить этот интеграл через <р, то зависимость ср
от х выражают так2):
х — sin lemn <р.
Подобным же образом, если
<?! = / (S—t^dt,
х 0
то пишут
х = cos lemn фр
и мы имеем соотношение
sin lemn ср — cos lemn — <р^.
Эти лемнискатные функции, которые были первыми функ-
циями3), определенными посредством обращения интеграла, легко
выразить через эллиптические функции с модулем ~^=-; ибо из фор-
*) Уравнение лемнискаты; г2 = a2 cos 20; уравнение ~ ~----------------г
( ds \2 . / г dti \2
легко вывести из формулы \-^г) —1+1 -д )
2) Гаусс писал si и с! вместо sin lemn и cos lemn (Werke, III (1876), 493).
3) Gauss, Werke, III (1876), стр. 404. Идея исследовать эти функции
пришла Гауссу 8 января 1797 г.
22.8. ЛЕМНИСКАТНЫЕ ФУНКЦИИ
421
мулы (§ 22.122, пример)
О
легко видеть (положив у = (^2), что
sin lemn ср
подобным же образом
cos lemn ср =
Далее, ч> есть наименьшее положительное значение ср, для ко-
торого сп^ср]/2, ~ 0’ так что индекс у полного
эллиптического интеграла поставлен, чтобы отметить, что он соот-
ветствует частному значению модуля, равному
Этот результат дает возможность выразить Ко через гамма-функ-
цию:
1 1 _1 __з 1 _з. _£
/С0 = 22 f (1 —/4) 2^ = 2 2 “(1 —«) 2rfw =
о о
3 1
=2-Тг(1)г(1)/г(2) = 1л{г(1)Г;
это выражение впервые получено Лежандром J).
Так как k = kr, когда k = —L-, то Кп — К'п и,
у 2 ° °
зом, да = е~г-.
таким обра-
Пример 1. Выразить Ко через гамма-функцию, пользуясь формулой
Куммера (см. главу 14, пример 12 в конце главы).
2
Пример 2. Положив t = (1 — и2)2 в формуле
— I
£0 = t^2 (1 — /3)” 2 dt,
о
') Legendre, Exercices de Calcul Integral, I (Paris, 1811), 209. Значе-
ние Ко есть 1,85407468 .... a 2 = 2,62205756 ..,
422
ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
показать, что
1 1 _± 1
22 *£0= J” (1 —и4) 2 du + J и2 (1 — и4) 2 du,
О о
и получить отсюда, что
£
2£0 -Хо = 2г.'2
-2
Пример 3. Вывести соотношение Лежандра (§ 22.735) из примера 2
совместно с примером 2 § 22.736.
Пример 4. Показать, что
. , , 1 — cos lemn2 а
sin lemn2 ср = :----;----
1 -f- cos lemn2 ср
22.81. Значения К и К' для частных значений k
Мы видели, что при k = значение К может быть выражено через
гамма-функцию и, кроме того, что К = К'', это является частным случаем
общей теоремы ), утверждающей, что если
К' __g4-hVd
К ~~ c + dVn ’
где а, Ь, с, d, п—целые числа, то k — корень алгебраического уравнения
с целыми коэффициентами.
Эта теорема основана на теории преобразования эллиптических функ-
ций и выходит за пределы этой книги; но имеются три определенных слу-
чая, в которых k, К, К' имеют весьма простые значения, а именно;
(I) k = V2— 1, K’ = KV2,
(II) * = sin^-rr, К' = К/3,
(III) k = tg21T., K’ = 2K.
Мы дадим здесь краткое исследование этих случаев 2).
(I) Четверти периодов с модулем V2— 1. Преобразование Ландена
дает соотношение между эллиптическими функциями с произвольным мо-
дулем k и эллиптическими функциями с модулем й,=(1—k')\ чет-
верти периодов Л, Л', соответствующие модулю kx, удовлетворяют соотно-
шению Л'/Л = 2/<7Л'
Если взять такое k, что kx — k , то Л = К и k\ = k, следовательно,
Д' = К и соотношение Л'/Л = %К'1К дает Л'2 = 2Л2.
*) Abel, Journ. fur Math., Ill, 184 (Oeuvres, I (1881), 377).
2) Относительно нескольких подобных формул менее простого харак-
тера см. Kronecker, Berliner Sitzungsberichte, 1857, 1862.
22.81. значения К и К' для частных значений k 423
Итак, четверти периодов Л, Д', соответствующие модулю kit заданному
уравнением k-, = (1 — &i)/(l + &i), таковы, что Д' = ±Afr2, т. е. если
kt — 1, то Д' = Л 1^2 (так как, очевидно, числа Д и Д' положительны).
(II) Четверти периодов, соответствующие модулю sin я. Случай
k — sin -^2 я был исследован Лежандром ’), который получил замечательный
результат, а именно, что при таком значении k
К' =К/3.
Этот результат вытекает из соотношения между определенными инте-
гралами
J* (1 — х3) 2dx = yr3j* (х3—1) 2 dx.
— со 1
Для доказательства этого соотношения рассмотрим интеграл
f (1 — z3) 2 dz,
взятый по контуру, составленному из отрезка вещественной оси (с вырезом
при г=1в виде дуги окружности радиуса /?-1), соединяющего точки О
и R, отрезка прямой, соединяющего точки Re и 0, и дуги окружности
радиуса R, соединяющей точки R и Re ; когда /?->со, интеграл, взятый
по дуге окружности, стремится к нулю, как и интеграл, взятый по выемке,
и таким образом, по теореме Коши
1 _j_ со о __i_
J* (1 — х3) 2 dx + i j* (х3 — 1) 2 dx + е3 у (1 + х3) 2 dx = 0,
0 1 оо
у п/
если на оставшихся двух отрезках заменим z соответственно на х и хе
Положив
1 _2- 00 _±
(1—х3) 2</х=/ь J* (х3—1) 2dx — Iit
0 1
с° 2. 0 1
J (l+x3)"2dx= J (1 — X3)"2 dx = /3t
0 — со
имеем
Ц + г’Л — ~2 0 + 1) Iз>
‘) Legendre, Exercices de Calcul Integral I (1811), 59, 210; Fonctlons
Elliptiques, I (1825), 59, 60.
424
ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
откуда, сравнивая вещественные и мнимые части, получим
Л = |/з, /2 = -рз/3
и, следовательно,
/1 + Л — Л = "ту А 4~ Л —Л = О,
что и дает требуемое соотношение ).
Но согласно примеру 6 § 22.72
1 __1_
/2 = 4 (а2[32)~ 2 К, Л+Л = 4(а2 + ?3) 2/,
причем модуль равен
а(а2 + ₽2)"2’
И _
а2=2/3‘ —3, р2=2/з+3,
что дает
й2 = 2.(2 —/з) = sin2л.
Итак, когда модуль k равен sin «, имеем
_1 Л 1
3 42Д = 3 42Д' = /2 = 32/1 =
1 2 1 1
О
(III) Четверти периодов с модулем tg2 Если в преобразовании
о
Ландена (§ 22.42) взять k = , то получим Л'/Л = 2А,''/Л = 2; далее, для
этого значения k имеем
соответствующие четверти периодов Л, Л' будут
1 ( _1\ / _2\
~2 V + 2 /Ко и \1 -f" 2 / ко.
Пример 1. Рассмотреть четверти периодов, когда k имеет значения
1 А
(2/2—2)2, sin-ру л и24 (/§" — 1).
) Другой метод доказательства этого соотношения заключается в вы-
ражении /,, /2, /3 через гамма-функции путем замены х соответственно на
2-2. 2
/, t 3, (Z-1 — I)3 в интегралах, определяющих /1( 1г и 73.
22.81. ЗНАЧЕНИЯ К и К' ДЛЯ ЧАСТНЫХ значений k
425
Пример 2. Показать, что
— 1 ОО — 1 00
24е 24 ==П(1+е'(2Л+1)ТС)- З4е~18 =П(1-г-2да/14Г).
л=0 л=1
(Glaisher, Messenger, V)
Пример 3. Выразить координаты
в виде
2
X 1 ' 32(1 —СП»)
+ 1 -f-СПИ ’
любой точки на кривой у2 — л3 — 1
3
_ 2 • З4 sn и dn и
У ~~ (1 + СП и)2 *
* . . 1 ах “т
где модуль эллиптических функции равен sin тс, и показать, что -г- = 3 у.
к £ Cl Lv
оо 1 2К
С помощью соотношения J* y_|dx = 3 4 J” du выразить значение К
1 о
, А • 1
через гамма-функцию, когда к = sin те.
Пример 4. Показать, что при у2 = х3 — 1
ОО
J y-3(x-l)’dX=[_|y->
1
со
П°° 4 f
(1—X-1)2 +~ (х-2у-' — х~’у~') dx,
J1 о J
1
а затем, пользуясь примером 3 и выражая последний интеграл через
гамма-функции при помощи подстановки х = t 3, получить формулу Ле-
жандра (Legendre, Calcul Integral, 60), связывающую первый и второй пол-
ные эллиптические интегралы с модулем sin -у=- те:
4/3 К
Пример 5. Представив координаты любой точки на кривой Г2 = 1 —X3
в виде
З2 (1 — cn v)
1 cn v
з
2 • 34sn v dn v
(1 + cn v)2
, .5
где модуль эллиптических функции равен sin Ъ и выразив
о
} Г-’(1— X)2 dX
426
ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
через гамма-функции, получить формулу Лежандра, по которой') при
k = sin -утг я имеем
/3 —1
2/У
К'
22.82. Геометрическое толкование функций sn«, спи, dn«
Геометрическое представление эллиптических функций Якоби с моду-
лем k = дается дугой лемнискаты, как мы видели в § 22.8; для функций
Якоби с произвольным модулем k (0 < k < 1) мы можем воспользоваться
кривой на сфере, известной под названием сферической спирали Зейферта* 2).
Возьмем сферу единичного радиуса с центром в начале координат,
и пусть' цилиндрические координаты любой точки на ней будут (р, <р, г),
так что элемент дуги кривой, проведенной на сфере, дается формулой3)
(ds)2 = р2 (d<p)2 + (1 — р2)-1 (dp)2.
Спираль Зейферта определяется уравнением
<р = ks,
где s — дуга, измеряемая от полюса сферы (т. е. от точки, где ось z встре-
чается со сферой), a k — положительная постоянная, меньшая единицы 4).
Для этой кривой имеем (ds)2 (1 — А2р2) = (1 — р2)-1 (dp)2, и следова-
тельно, так как s и р равны нулю одновременно, р — sn (s, k).
Выражения цилиндрических координат любой точки на кривой через
дугу, измеряемую от полюса, поэтому будут
(р, у, z) = (sn s, ks, cn s),
и легко видеть, что dn s будет косинусом угла, под которым кривая пере-
секает меридиан. Отсюда видно, что если К есть длина дуги кривой от
полюса до экватора, то sn s и cn s имеют период 4К, в то время как dn s
имеет период 2К-
ЛИТЕРАТУРА
А. М. Legendre, Traite des Fonctions Elliptiques (Paris, 1825—1828).
C. G. J. Jacobi, Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum
(KOnigsberg, 1829).
’) Интересно отметить, что когда Лежандр дифференцированием дока-
зал, что EK’ + Е'К — КК' постоянно, то он воспользовался для определения
этой постоянной результатами примеров 4 и 5, прежде чем применить ме-
тоды примера 3 § 22.8 и § 22.737.
2) Seiffert, Ueber eine neue geometrische Einfiihrung in die Theorie
der elliptischen Funktionen (Charlottenburg, 1896).
3) Это — очевидное преобразование формулы
(ds)2 = (dP)2 + p2 (d¥)2 + (dz)2,
когда риг связаны соотношением р2 + z2 — 1.
4) Если k > 1, то кривая будет мнимой.
ПРИМЕРЫ
427
J. Tannery et J. Mo Ik, Fonctions Elliptiques (Paris, 1893—1902).
A. Cayley, Elliptic Functions (London, 1895).
P. F. Verhulst, Traite elementaire des fonctions elliptiques (Brussels, 1841).
A. En neper, Elliptische Funktionen, zweite Auflage von F. Miiller (Halle,
1890).
H. И. Ахиезер, Элементы теории эллиптических функций, Гостехиздат,
М, —Л., 1948.
А. Гурвиц, Теория аналитических и эллиптических функций, Ленинград,
ГТТИ, 1933.
Примеры
1. Показать, что одно из значений выражения
г 1 1П 1
J / dn и -j- cn и \ 2 . / dn и— сп и \ 2 U / 1 — sn и \ 2~ ,
(\ 1 4-сп и ) ‘ V 1 — спи / J { \ dn и—k' sn и ) '
2_ %
, ( 1 + sn И \ 2 I
‘ \ dn и + k' sn и J ]
есть 2 (1 +
(Math. Trip., 1904)
2. Пусть
х + iy — sn2 (и + iv) и х — iy — sn2 (и — i v);
показать, что
2
{(x— I)2 У2}2 = C^ + y2)2 йп2и сп 2и.
(Math. Trip., 1911)
3. Показать, что
,. , z , Г1 , z (сп и ± сп v)2
{1 ± сп (и 4- w)} {1 ± сп (и— г?)} = .
' " 1 — A2sn2usn2v
4. Показать, что
, , . , . z ч СП2 и 4- СП2 V
1 4- СП (U 4- V) СП (И — t>) = --------~-=--------j----.
7 ’ 1 — k2 sn2 и sn2 V
(Jacobi)
_ „ 14- сп (и 4- v) сп (и — v) , , , ,
5. Представить Г(и 4^) dn (и-о) КаК ФУНК1*ИЮ °т sn2«4-sn2v.
6. Показать, что
(Math. Trip., 1909)
, . . , , ч sn u dn и cn v — sn v dn v cn u
sn (u — v) dn (u 4- v) =--------=---—— ---------------------
1 — k2 sn2 и sn2 V
7. Показать, что
(Jacobi)
{1—(1 4- Й') sn u sn(u 4- K)} {1—(1—k') sn U sn (u 4- K)} — {sn (и 4- К)—sn и}2.
(Math. Trip., 1914)
428
ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
8. Показать, что
„ ( , 1 ,А ,, , 2 k' sn и + сп и dn и
= + M (1lV)sn2tt ,
4
( । 1 -^Л ,,~2 (1 + k) sn и + i сп и dn и
sn и + v iK = k' -i—!—!——--L_-----------.
\ 2 j 1 + k sn2 и
(Math. Trip., 1914)
9. Показать, что
, , , . , . ., 2 sn и сп и dn v
sin {am (и + v) + am (и — v)} = n,
" 1 — &2sn2 и sn2 v
, , . , . ., cn2 v — sn2 v dn2 и
cos am u + v)-am a -v) = -j---------—5---.—-.
" 1 — &2sn2usn2r?
10. Показать, что
dn (и -f"v) dn (u — v) =
(Jacobi)
ds2 и ds2 v + й2А'г
ns2 и ns2 v—k2 *
и, пользуясь этим, представить
Г (О (м 4- v) — <?2 g> (и — у) — г2 ~12
L (и 4- v) — е3 @ (и — v) — е3 J
как рациональную функцию от £>(и).и f>(v).
(Trinity, 1903)
11. Комбинируя формулы для cn (2 К—и) и dn (2А7—и) с формулами
для 1 4~ сп 2и и 1 4- dn 2и, показать, что
(1 — сп у к) (1 4- dn у к) = 1.
(Trinity, 1906)
12. В обозначениях, подобных обозначениям § 22.2, показать, что
с1а?2—_________ сп (и, 4-«2) — dn (tii 4" “2)
S| • ~ s2 sn (W] 4- u2)
и вывести отсюда, что при щ 4- и-г 4~ из + “а = 2/<
(cid2 — c2di) (c3d4 — c4d3) = k'2 (Sj — s2) (s3 — s4).
(Trinity, 1906)
13. Показать, что при и 4- v 4- w = 0
1 — dn2 и — dn2 v — dn2 w 4- 2 dn и dn v dn w = A4 sn2 и sn2 v sn2 w.
(Math. Trip., 1907)
14. По теореме Лиувилля или каким-либо другим образом показать, что
dn и dn (и 4- w) — dn v dn (v 4- w) —
= A2 [sn v cn и sn (v 4- cn (u 4- №) — sn и cn v sn (u 4- w) cn (v 4- ®)}
(Math. Trip., 10)
ПРИМЕРЫ
429
15. Показать, что
2 сп и2 сп и3 sn (и2— и3) dn «j +
-|- sn (и2 — и3) sn (и3 — и,) sn (и, — u2) dn и, dn и2 dn и3 = О,
где суммирование распространяется на индексы 1, 2,
(Math. Trip., 1894)
16. Получить формулы
„ А „ В , „ С
sn Зи = , сп Зи = , dn Зи = ,
где
Л = 3s — 4 (1 + й2) s3 + 6A2ss — •
В = с {1 — 4s2 + 6£2s4 — 4£4s6 + A4s8},
С = d {1 — 4Z?2s2 + 6Z?2s4 — 4A2se + £4s8},
D = 1 — 6Z?2s4 + 4/?2 (1 + k2) s6 — 3&4s8
и
s = sn u, c = cn u, d = dn u.
17. Показать, что
1 — dn Зи _ Z 1 — dn и \ Z 1 и, dn u -[- flg dn2 и дз ^п3 и -f- a4 dn4 u \2
1 + dn 3u \1 -f- dn и J \ 1 — at dn и -f- n2 dn2 u— a3 dn3 и 4- a4 dn4 u J ’
где Иь a2, аз, a4 — постоянные, подлежащие определению.
(Trinity, 1912)
18. Положив P (и) = f I ^7 dn \ 2 показать чт0
' ' \ 1 + dn u )
P (и) + P (u 4~ 2z7C) _ sn2ncnu
P(u) — P(u-\-2i.K.') ~ cn2usnu
Определить полюсы и нули функции Р (и) и первый член в разложении
функции около каждого полюса и нуля.
(Math. Trip., 1908)
19. Показать, что
АВС
sn (Uj + «2 + “з) = -р- . СП (Uj + «2 + Из) = -р- > dn (Hi + U2 + И3) = -g- ,
где
А = S1s2s3 {- 1 - *2 + 2^ *1 - (*2 + 2 + 2*444$ +
+ 2 \SlC2C^2di{X +2&2S^| — k2 2 Фз)},
В = С1С2С3 {1 — k2 2 Фз + 2*4^з} +
4~.2 icls2s3^2^3(— 1 4"2^2S2S2 2^2S2 — Л2 2 525з)1 >
С = d^d2d^ {1 k 2 S2S3 ~b 2&2s2s2s3|
+ /г2 2 {^25зс2сз (— 1 + 2A2s2s2 + 2s2! — k2 2 Фз)}•
D = 1 — 2£2 2 S2S3 + 4 (^2 + ^4) si5p'2 — 2&4s2s2s2 2 si + 2 s2sa
и суммирование распространяется на индексы 1, 2, 3.
(Glaisher, Messenger, XI)
430
ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ- ФУНКЦИИ ЯКОБИ
20. Показать, что
sn (и, +и2 + и3) = -^7-, cn (uI + «2 + И3) = -рг, dn (И) + «2 -т- «з) = р-т .
где
А' = 2 slC2C3d2d3 ~ S1S2S3 0 + 2 S1 +
В = Г1С2С3 (1 ^51Фз) dld2d3 2 s2S3Cldl’
с' = d1d2dA(\ —&23]$2$з) — ^2<;1с2сз2 s2s3cldv
£>' = 1 — Й2 2 Фз 4" А'1Фз ~ ^sls2s3 2 slC2C3rf2rf3
(Cayley, Journ. fiir Math., XLI)
21. Применяя метод Абеля (§ 20.312) к точкам пересечения кривой
двойной кривизны %2 + у2=1, г2 -|- k2x2 = 1 с переменной плоскостью
1х 4- ту 4' пг == Ь показать, что при ut 4- “г 4* “з 4- 11 i — 0 имеем
S| G dl 1
s2 C2 1 = 0
«3 c3 d3 1
s4 Ci di 1
Получить этот результат также из равенства
(s2 — 5|) (c3tt4 — с4^з) '4 ($4 — $з) (^1^2 — Cs^i) = 0»
которое может быть доказано тем же методом, что и в примере 12.
(Cayley, Messenger, XIV)
22. Показать, что
(s2 - ?3) (ф2 - = (з2 - s2) (ф2 - ф2),
выражая каждую часть равенства через s,, s2, s3, s4; вывести из примера 21,
что при Hj 4- и3 4- г,з 4~ и4 = 0 имеем
ЗдС^г 4- s3c2dx 4- s2c3rf4 4- stc4d3 = 0,
s4c26Zj 4~ s3c^d2 4- s2c4<Z3 4- stc3d4 — 0.
.(Forsyth, Messenger, XIV)
23. Показать, пользуясь основными формулами Якоби для тэта-функций,
что при «! 4- иг 4- «з 4- «4 “ 0 имеем
— kik'2SiS1s3si 4- k2CiC2c3c4 — dyd2d3d4 — 0.
(Gudermann, Journ. fiir Math., XVIII)
ПРИМЕРЫ 431
24. Показать, пользуясь основными формулами Якоби для тэта-функций,
что при и, + и2 + и3 + ц4 = 0 имеем
k2 (s,s2c3c4 — CiC2s3s4) — d}d2 + d3d4 = 0,
(S[S2 — s3s4) 4" d^d2c2Ci — C\C2d2di — 0,
s ^s2d2d^ dxd2s2st 4~ c3c4 — CjC2 0.
(H. J. S. Smith, Proc. London
Math. Soc. (I), X)
25. При U| -p и2 + w3 -I- w4 = 0 показать, что ангармоническое отношение
функций sn и,, sn u2, sn «з, sn и4 равно ангармоническому отношению функ-
ций sn (и, + К), sn («2 + К), sn (и3 4- /<), sn (и4 4- К).
(Math. Trip., 1905)
26. Показать, что
sn2 (и 4- v) sn (и 4- v) sn (и — v) sn2 (и — v) 2
. _ . 8# $ 1 SoC 1 Соd 1 dn
СП2 (и 4-*9 СП (и 4- V) СП (и — V) сп2 (и — V) =-----т----2 2 2 3—.
dn2(zr4-v) dn (и 4- v) dn (и — v) dn2 (и — v) sis2)
(Math. Trip., 1913)
27. Найти все вещественные системы значений и и v, для которых
sn2 (и 4- iv) вещественно, причем 0 < k2 < 1.
(Math. Trip., 1901)
28. Пусть k’ = у (a-1 — a)2, где 0 < a < 1; показать, что
г 1 rz 4д3
S" 4 (1 4- a2) (1 4- 2a — a2)
з
и что sn2-j К получается отсюда заменой а на —а-1.
(Math. Trip., 1902)
29. Пусть значения функции сп г, для которых сп 3z = а, равны
Cl с2 с9; показать, что
9 ’ 9
3*4ПС'+ *'4 2 Сг = 0.
Г=1 г-1
(Math. Trip., 1899)
30. Пусть
а 4- sn (и 4- v) _ b 4- сп (и 4- v) _ с + dn (и 4~
а 4- sn (и — v) b 4- сп (и — v) с 4- dn (и — v) ’
и пусть ни одна из функций sn v, сп и, dn и, 1 — k2 sn2 и sn2 v не равна
нулю; показать, что и удовлетворяет уравнению
k2 (k'2a2 + b2 — с2) sn2 и = k'2 + k2b2 — с2.
(King’s, 1900)
432 ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
31. Показать, что
. „ , . ,, . . ТТ I 0— 72л~')2 (1— 2<7л sin х + 7гл)2 )
1 sn (2/<х/к) - (1 sinx)J_[| (14-92«)2 (1 —2^2«-1 соз2х + 74Л“2) I '
(Math. Trip., 1912)
32. Показать, что
1—sn(2/(x/rc) ТТ ( 1 — 2q2n~' sinx + <74«-2 )
1 l 1 +2^2"-1 sinx + tf4"-2 J*
{dn (2/<х/я) — k' sn (2/<x/tc)} 2 л
(Math. Trip., 1904)
33. Показать, что если k настолько мало, что k' можно пренебречь, то
для малых значений и имеем
sn к = sin а — 1 k2 cos и • (и — sin к cos и).
(Trinity, 1904)
34. Показать, что при | Im х| < ~ п Im т
СО
. , Vi 4(in sin2 rax
lg СП (2КХ/К) = lg cos х - •
/1=1
[Проинтегрировать ряд Фурье для sn (2/(х/к) de (2/<х/л).]
(Math. Trip., 1907)
35. Показать, что
4 f 1 \ 3
С 1—&2Sn4U , ( o’ i >/«.zT
/ -----2-------- dU = I 0 + k ) — 1 J / k •
J cn2udn2n 4 ’'
0
[Выразить подинтегральную функцию через функции от 2м.]
(Math. Trip., 1906)
36. Показать, что
cn v du
sn v — sn и
где 2/<х = км, 2Ку — ^v.
(Math. Trip., 1912)
ПРИМЕРЫ
433
37. Показать, что
к
(\A-k'}k'2 С
’ J (1 +cnu) dn2u ~ *•
о
(Math. Trip., 1903)
38. Показать, что
а+3
, 1 4- sn a sn 3
sn и du = lg-j—1—т-------я-.
ь 1 — k sn a sn Р
а-Р
(St. John’s, 1914)
39. Взяв интеграл J с2,г dn и cs и dz вдоль прямоугольника, вершины
которого ± -1 л, ± -i- л 4-оо/ (где 2/<г =-и), и интегрируя затем по
частям, показать, что при 0 < k2 < 1
к
Г 1 11 \
/ cos (тм/К) lg sn и du = К th (л/т j.
о
(Math. Trip., 1902)
40. Показать, что К и К' удовлетворяют уравнению
.. . d2u , ,, „ . du 1
с(1 — с) 4-(1 — 2с) —---Tu=Q,
' ' de2 1 ' 'de 4
где с = k2, и вывести отсюда, что они удовлетворяют уравнению Лежандра
для функций степени —у с аргументом 1—2/г2.
41. Выразить координаты любой точки кривой л3 4- у3 — 1 в виде
£
2 • З4 sn и dn и — (1 — сп и)2
X- у ,
2 • З4 sn и dn и 4- (1 — сп и)2
У —
п
VI (1
2 cos л (1 — сп и) < 1 4- tg -^2 ~ сп и
4
2- З4 sn и dn и 4- (1 —сп и)2
причем модуль эллиптических функций равен зшу^-л; показать, что
1 у _2 _£ 4
J (1 — ^3) 3 dx = j" (I — у2) 3dy — 2 3-З4и.
х о
Показать, далее, что сумма параметров трех коллинеарных точек на
графике этого кубического полинома является периодом.
434
ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
[См. Richelot, Journ. fiir Math., IX (1832), 407—408 и Cayley, Proc. Camb.
Phil. Soc., IV (1883), 106—109. Униформизующая переменная для общего куби-
ческого уравнения в канонической форме X3 У3 + Z3 Д- 6mXYZ — 0 была
получена Бобеком (Bobek, Einleitung in die Theorie der elliptischen Funktio-
nen, 251 (Leipzig, 1884)); Диксон (Dixon, Quarterly Journal, XXIV (1893),
167—233) развил теорию эллиптических функций, взяв в качестве основной
кривой кривую х3 у3 — Зтху = 1 вместо эквивалентной кривой
у2 = (1 — X2) (1 — 62Х2).]
2 _ £
42. Выразить интеграл J" {(2х — х2) (4х2 Д- 9)} 2 dx через полный эллип-
о
тический интеграл первого рода с вещественным модулем.
(Math. Trip., 1911)
43. Пусть
СО 1
« = J {('+W+*+l)}”2 dt-,
X
выразить х через эллиптические функции Якоби от и с вещественным мо-
дулем.
(Math. Trip., 1899)
44. Пусть
х 2.
И = J (1 +/2—2/4) 2 dt\
о
выразить х через и при помощи эллиптических функций Якоби или Вейер-
штрасса.
(Math. Trip., 1914)
45. Показать, что
(л ОО
I ^-Этс , „-25* , _ V — 1/ \4/
е д- е Д- е д- ... — —3------ .
п 4 _ 4
2 К
(Trinity, 1881)
46. При а > х > 3 > 7 сделать приведение интегралов
а ___1_ X 1
J {(а —0(<—Р)(? —Т)} 2 dt, f {(a-t)(t-?)(t--i)} 2 dt
x ₽
соответственно подстановками
x—'t — (a — 7) dn2 и, x — 7 = (3 — 7) nd2 v,
где
*2 = («-?)/(«-7)-
Отсюда вывести, что при и. Д- v — К
1 — sn2 и — sn2 v -j- k2 sn2 и. sn2 -и = 0.
ПРИМЕРЫ
435
Подстановкой у — (а— t)(t—'fi)l(t— 7), примененной к вышеприведен-
ному интегралу, взятому между пределами 3 и а, получить гауссову форму
преобразования Ландена:
1 1
2 " _1 2 " _1
J” (a2 cos2 0 -j- Z>2 sin2 0) 2 dO = J” (a2 cos2 9 4- b2 sin2 0) 2 M,
о о
где ah bt — арифметическое и геометрическое среднее чисел а и Ь.
(Gauss, Werke, III, 352; Math. Trip., 1895)
47. Показать, что
sc и = — k’-1 {C (u—K) — С (и — К — 2iK') — H (2iK')},
где дзета-функции составлены по периодам 2а>ь 2<о2 = 2/<, 4z7<'.
(Math. Trip., 1903)
48. Показать, что Е — k'2К удовлетворяет уравнению
л I d2U
4СС -d^-U’
где с — k2, и найти интеграл этого уравнения.
(Math. Trip., 1911)
49. Показать, что
1 1
п knK' dk = (n—l)j’ kn~2E' dk,
О о
1 1
(п + 2) у knE' dk = (n + l) § knK' dk.
о о
(Trinity, 1906)
50. Пусть
х _1
Ц=1 У {Ц1—Z)(l-cO} 2 dt;
о
показать, что
£
. d2u , .. du 1 1 I х(1 —х) ) 2
с (с — 1) -yv + (2с — 1)-т- + -г и = -г ( -р----И .
' ’ de2 . de 1 4 4 ( (1 — ex)3 I
51. Показать, что интегралом уравнения
будет
__= 0
dk k 1 — k2 v
A(E-K)jA'E'
Л£ + А' (£' — А") ’
где А, А' — постоянные.
(Trinity, 1896)
(Math Trip., 1906)
436
ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
52. Вывести из теоремы сложения для Е {и), что если
И1 + и2 4~ из 4~ и4 = О,
то выражение
(Stl Ut SH U2-8П И3 Sn U4) Sn (И] + u2)
не изменяется при любой перестановке индексов.
(Math. Trip., 1910)
53. Показать, что
Е (Зи) - ЗЕ (и) -I^№+4(fe2 + ,4)56_3fe458 •
(Math. Trip., 1913)
54. Показать, что
2К
3kf § ucd4 и du— 2К{(2+k2) К—2(1 + k2) Е}.
о
(Положить и = К + v.)
(Math. Trip., 1904)
55. Рассматривая кривые
у2 = х (1 — х) (1 — k2x), у = Z + тх 4- nx2t
показать, что при
Wj ~Р ^2 4” «3 4~ W4 О
имеем
I
[ 4 ) 2
£ (и ) + Е (u2) + Е (и ) + Е (и4) = k 2 «г + 2с1с2с3с4 — 2S1s2s3s4 - 2 .
I r = l )
(Math. Trip., 1908)
56. Методом примера 21 получить следующие семь выражений для
£ (uj + £ (и2) + % (из) + % («Д когда «t + «2 + ^з + w4 =
4
fe2sts2s3s4 V crdr
1 -|- &2-$1$25354 $Г
4
fe2C]C2C3C4
— k'2 cr
4
k2dxd2d3d^ srcr
k'2 + di</2d3d4 dr ’
4
fe2s1s2s3s4rf,rf2rf3d4 yt cr
^2/e/2s,s2s3s4—dld,d3di srdr
T = 1
4
— й2С|С2с3сл^]<72<У3^4 V sr
dLd2d3d4 + k2cxc2czcA crdr ’
fe2sts2s3s4 +C]C2c3c4 у dr
^1^2^3^4 “P ^1^2^3^4 * Sr^r
4
— k2 {(StSnSiSi) ~1 + (C1C2C3C4)_ 1 + й4 (did2dzdt)~ *) V 1
лял о fCftl p
r=l
(Forsyth, Messenger, XV)
57. Показать, что
/2К\2 2/2Kx\ „ , 4K(K — E) -V nq2nzos2nx
(-v) nS (—) = cosec2 x +------------2-------8 2 -TZ^—’
Л = 1
ПРИМЕРЫ
437
когда J Im х | < т: Im т, и вывести отсюда дифференцированием, что
6 ns4 j = 6 cosec4 х + 4 [(1 + А2) — 1 j cosec2 х 4-
4- 64 (1 + k2) — 2k2 —
- 32 2 n[d + *2) (-^)2 - n2]
Л = 1
Показать также, что при | Im х | < -у я Im т
1
СО Л+ —
J2Kx\ yi ( 1 4- (2«4-1)2 / я \2 ) 2я<? 2 sin (2« 4- 1) х
sn\~lT)~^\ 2k3 2k3 \2/<J j /<(l_?2»+i)
л=0
(Jacobi)
58. Показать, что если а — большая полуось эллипса, эксцентриситет
которого равен sin-yg-я, то периметр эллипса равен
„I * V I Л 4. 1 \ Г(7з) , 2Г(5/6Ц
Ц г(7б) + гс/з) Г
(Ramanujan, Quarterly Journal, XLV)
59. Вывести из примера 19 главы 21, что
, „ —k'2 4- dn3 и dn Зи . , о k'2 4- k2 сп3 и сп Зи
1 4- k2 sn3 и sn Зи 1 4- k2 sn3 и sn Зи
(Trinity, 1882)
60. Из формулы sd (iu, k) — i sd (и, k') вывести, что
и и лежит внутри параллелограмма с вершинами
± iK ± К'.
438
ГЛ. 22. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
Интегрированием от и до К', от 0 до и и снова от и до К' доказать,
что
± _ Д2 _ „2) + /<2 V (-1)П/+? ch ( Н?) Н _
64A (2га +1)3 (1 + 72z1+1) \ К J
л = 0
(-1)п^+г f (”+ 2 ) ~и
(2га + 1)3(1 +^л+1) С0^ К' J
[Формула, которая может быть выведена из последней, если положить
и = 64-гт), гДе бит) вещественны, и приравнять мнимые части, была полу-
чена Томсоном и Тэтой (Thomson and Tait, Natural Philosophy, II (1883), 249),
но они не заметили, что их формула есть не что иное, как следствие мни-
мого преобразования Якоби. К этой формуле Томсон и Тэт пришли, решая
одну задачу теории упругости.]
ГЛАВА 23
ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
И УРАВНЕНИЕ ЛАМЕ
23.1. Определение эллипсоидальных гармонических функций
Мы видели раньше в этой книге (§ 18.4), что решения уравне-
ния Лапласа, аналитические вблизи начала координат и пригодные
для исследования физических задач, связанных со сферой, могут
быть представлены как линейные комбинации функций типа
rn Рп (cos 9), rn Р™ (cos 9)
где т и п — положительные целые числа (включая нуль).
Если разложить Z3„(cos9) в произведение множителей, линей-
ных относительно cos2 9 (умноженное на cos 9, когда п нечет-
ное), и заменить cos 9 через то мы видим, что зональная гармо-
ническая функция r”/3„(cos9) выразится как произведение множите-
лей, линейных относительно х2, у2 и z2, причем это произведение
умножается еще на z, когда п нечетное. Тессеральные гармониче-
ские функции подобным же образом разлагаются на множители,
линейные относительно х2, у2 и z2, причем все произведения умно-
жаются на одно из восьми произведений 1, х, у, z, yz, zx,
ху, xyz.
Поверхностями, на которых данная зональная или тессеральная
гармоническая функция обращается в нуль, являются поверхности,
на которых 9 или имеет некоторые постоянные значения, т. е.
конусы вращения или плоскости, причем в определенных случаях
в число их входят координатные плоскости.
Когда дело касается физических задач, связанных с эллипсои-
дами, координатные поверхности полярной системы координат, т. е.
сферы, конусы и плоскости, заменяются софокусными поверхно-
стями второго порядка. Только что объясненное свойство сфери-
ческих гармонических функций подсказывает способ построения
440 ГЛ. 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ функции
совокупности гармонических функций, обращающихся в нуль на
определенных поверхностях этой софокусной системы.
Такие гармонические функции называются эллипсоидальными.
гармоническими функциями; они были изучены Ламе *) в первой
половине XIX столетия при помощи эллипсоидальных координат.
Выражения для эллипсоидальных гармонических функций в декар-
товых координатах были получены много лет спустя Нивеном* 2), и
нижеследующий обзор их построения основан на его исследованиях.
За основную поверхность примем эллипсоид
всякая софокусная с ним поверхность второго порядка будет
х2 . у2 . г2 _.
я2 + в "г Ь2 + В “Г" с2 + 0 ’
где 9 — постоянная. Нам необходимо будет рассматривать совокуп-
ности таких поверхностей второго порядка, причем для краткости
будем писать
у* 2 «,2 5» 2
.—-------1__у-----1---------1=0
а2 + -Г- *2 + 0р . С2 + 0р
у2 z%
~^+Тр + Ь2 + 0р + с2 + 6р ~ КР-
Уравнение любой поверхности такой совокупности будет тогда
0р = О.
Анализ становится более определенным, если принять за ось Ох
наибольшую ось основного эллипсоида, а за ось Oz наименьшую,
так что а > Ь > с.
23.2. Четыре вида эллипсоидальных гармонических функций
Разложения сферических гармонических функций на множители
дают повод предполагать, что следует рассмотреть четыре возмож-
ных вида эллипсоидальных гармонических функций. Таковые содер-
жатся в схеме
х, yz, ]
1, у, ZX, xyz I 01©2 •" ®т>
z, ху, J
где то или иное из выражений в фигурных скобках служит множи-
телем при произведении 0!02 ... 0,„.
) Lame, Journ. de Math., IV (1839), 100—125, 126—163.
2) W. D. Niven, Phil. Trans, 182A (1892), 231—278.
23.21, ПОСТРОЕНИЕ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 441
Если обозначить для краткости
0^2 ... 0Ш = П(0),
то любая гармоническая функция вида П(0) называется эллипсо-
идальной гармонической функцией первого вида.
Гармоническая функция любой из трех форм1) х11(0), у11(0),
zll(0) называется эллипсоидальной гармонической функцией вто-
рого вида-, гармоническая функция любой из трех форм1) угП(0),
гхП(0), хуП (0) называется эллипсоидальной гармонической функ-
цией третьего вида-, наконец, гармоническая функция формы
xyz П(0) — эллипсоидальной гармонической функцией четвер-
того вида.
Члены высшей степени в этих видах гармонических функций
имеют соответственно степени 2т, 2/пЦ-1, 2т2, 2m-j-3.
Впоследствии (§ 23.26) обнаружится, что можно составить 2n-j- 1
линейно независимых гармонических функций п-й степени, откуда
будет следовать, что совокупность членов п-й степени в этих гар-
монических функциях образует фундаментальную систему (§ 18.3)
гармонических функций п-й степени.
Перейдем к детальному рассмотрению построения гармонических
функций первого вида и дадим затем общий обзор построения гар-
монических функций трех других видов. Читателя не затруднит
заполнить пробелы в этом обзоре путем сравнения с соответствую-
щими местами исследования для функций первого вида.
23.21. Построение эллипсоидальных гармонических функций
первого вида
В качестве простого случая рассмотрим сначала гармонические
функции первого вида и второй степени. Такая гармоническая функ-
ция должна быть просто вида 0j.
Результат действия оператора Лапласа, а именно
д2 д2 . д2 х2 . у2 , г2 1
++ + ++ г дг2 - на Д2 + е, + i2 + 0! + С2 + 01 ~’ 1
будет
_______।____?_____I___?__
Я2 — (j/' Z?2-|~Oj С2 + 01
и таким образом, 0j будет гармонической функцией, если 0t
является корнем квадратного уравнения
(6 + 62) (0 + с2) +- (0 + с2) (6 + а2) + (0 + а2) (0 + Z>2) = 0.
’) Эти три формы одного и того же вида будем отличать друг от друга
тем, что будем говорить, что они принадлежат к различным типам этого
вида.
442 гл. 23. эллипсоидальные гармонические функции
Один из корней этого квадратного уравнения лежит между — с2
и —Ь\ другой — между —Ь2 и —а2. Поэтому его корни различны,
и, приняв за 6 значение каждого корня по очереди, мы получим
две *) эллипсоидальные гармонические функции первого вида и второй
степени.
Теперь рассмотрим произведение 0t • 02 ... 0,п; это произведе-
ние обозначим через 11(0) и предположим, что оно не имеет оди-
наковых множителей, — предположение, которое будет подтверждено
позже (§ 23.43). Если временно рассматривать 0V 02, ... , 0т как
промежуточные переменные, то обычная формула дифференцирова-
ния сложной функции дает
дП(в) y* dn(0) дер V dn(0) 2х
дх 2i двр дх 24 д>др a2 -f- 0р ’
р=1
и если продифференцировать снова, то получим
d2II (в) _ у dll (8) 2 у d2II (6)_____________8х2
дх2 ~ 2i двр а2 + ' 24 дЬр двч (а2 + 0„) (а2 + 0„) ’
р=1 p+-q
где последнее суммирование распространяется на все пары нерав-
ных целых чисел 1, 2.......т.-Члены, для которых p~q, могут
быть опущены, так как ни одно из выражений 0р 02, .... 0 не
входит в 11(0) в степени выше первой.
Результат применения оператора Лапласа к П(0) будет
т
Sdll ) 2 , 2 , 2 ) ,
дер t а2 + вр ь2 + 0р с2 + 6р ( +
р=1
V d2n (6) f 8х2 8у2 . 8г2 )
-Г 24 двр d$q { (а2+0р) (а2+04) + (i2+6p) (i2+04) + (с2+0р) (с2-;-- 0 ) j '
рфч
Но
у х2 __________________ ®р— 6?
24 (а2 + 0р) (а2 + 0в) “ 0?-0р !
/х, У,
\а, Ь, с)
ЙП (0) а _
далее, есть произведение 11(0) за вычетом множителя 0р,
Р d2II((-J) ...^
в то время как есть произведение 11 (0) за вычетом мно-
п л aVp
жителей 0 и 0 .
‘) Полная совокупность пяти эллипсоидальных гармонических функций
второй степени составляется из этих двух вместе с тремя гармоническими
функциями уг, гх, ху, которые будут третьего вида.
23.21. ПОСТРОЕНИЕ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 443
Таким образом,
й2П(6) _ <Ш(0) й д’П(в) _ <Л1(0)
дер deq ~ deq ’ ь<? дер deq ~ дер ‘
Принимая все это во внимание, видим, что
может быть написано в виде
т ( т \
У е>П(€>) 2 , 2 2 , уУ____8
д<др 1 а2 + 0„ “Г Л2 + с2 + Zj И - ’
р=1 ( <7 = 1 I
причем штрих обозначает, что член с q = p при суммировании
опускается.
Если 11(0)— гармоническая функция, то оператор Лапласа обра-
щает ее в нуль, и это наверное будет иметь место, если можно подо-
брать 6р 92, • • • > так- чтобы удовлетворялись уравнения
_1_____l-_L_+. 1 . + У'^_ = О
а2 + ер b2-f-Op с2 + 6р ^Zj 6р-0? и’
где р принимает значения 1, 2.....т.
Пусть теперь 6 — переменная и Aj(9) обозначает полином сте-
пени т относительно 6:
т
П(0-еЛ
<7 = 1
Если А] (9) обозначает л?Ах (6)/«/6, то непосредственным диф-
ференцированием получим, что А1(9) равна сумме всех возможных
произведений выражений 6 — 9р 6 — 92, ... , 9 — 9/п, взятых по
т—1, a Ai(9) равна удвоенной сумме всех произведений тех же
самых выражений, взятых по т — 2.
Поэтому, если дать 9 частное значение 9р, то отношение
Ai(9p)/A;(9p)
будет равно удвоенной сумме обратных величин выражений Вр — 9Р
9р—92........9р— 9т (выражение 6р — вр опускается).
Следовательно, совокупность уравнений, вытекающих из пред-
т
положения, что Ц 0О — гармоническая функция, показывает, что
р=1
выражение
а2 + О Ь2 + в с2 4- 0 ' д' (0)
обращается в нуль, когда 9 принимает частные значения 9р 92.9т.
444 ГЛ. 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ функции
Отсюда видно, что выражение
(а2 + 9) (Ь2 + 9) (с2 + 9)Д; (9) + ( S (*2 + 9) (с2 + 0)! Aj (9)
“ 1а, Ь,с )
есть полином относительно 9, обращающийся в нуль, когда 9 при-
нимает какое-либо из значений 9Р 92, .... 9т, и следовательно, он
имеет линейные множители 9 — 9Р 6 — 92, ..., 9 — 9т. Но этот по-
лином имеет степень т -1 относительно 9 и коэффициент при 9m+1
равен т(т-{- Так как т множителей известны, то остающийся
множитель должен иметь вид
т (т + у) 9 4-1 С,
где С — постоянная, которая будет определена впоследствии.
Таким образом, мы показали, что
(«2 + б) (£2 + 0) (С2 + 0) Л" (0) + | {• V {Ь2 + 0) (С2 + 0)}Л; (б) =
'а>Ь,с '
= {т (т +|) 9 + (9).
Другими словами, любую эллипсоидальную гармоническую функ-
цию первого вида (четной) степени п можно представить в форме
1
2 "
тт( ___________________________а
11 1а2 + вр^ *2 + вр с24Л )’
р=1
где 9Р 92, ,,. , 91 — нули некоторого полинома At (9) степени 4-«; а
этот полином в свою очередь должен быть решением дифференциаль-
ного уравнения типа
4 ]/(fl2+0)(Z,2+0)(c2+0) А (fl2 + б) (62 + 0) (С2 + б) ^0] =
= {п^+Об + С}^).
Это уравнение называется дифференциальным уравнением Ламе.
Оно будет исследовано весьма подробно в §§ 23.4—23.71, и при
исследовании окажется, что: (I) имеется ровно уй-|-1 разных ве-
щественных значений С, для которых уравнение имеет решение в виде
полинома относительно 9 степени 1 п, и (II) что эти полиномы не
имеют кратных корней.
23.22. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВТОРОГО ВИДА 445
Рассуждения этого параграфа можно было бы после этого про-
вести шаг за шагом в обратном порядке: мы установили бы суще-
ствование /г—(— 1 эллипсоидальных гармонических функций первого
вида (четной) степени п, и элементарная теория гармонических
функций первого вида была бы закончена.
Теперь мы вкратце укажем соответствующие результаты для гар-
моник второго, третьего и четвертого вида, придерживаясь, пока это
возможно, уже введенных обозначений.
23.22. Эллипсоидальные гармонические функции второго вида
За типичную гармоническую функцию второго вида степени 2т 1
т
примем х 0 . Результат применения оператора Лапласа к ней
выразится так:
у <Ш(6)
Zi " де„
J 6 +_2_ + ^__1 +
t а2 + 6р с2 4-0,
V <Э2П(0) ( 8х2 .
+ Zj dQp д% I (а2 + 0р) («2 4- м
. 8у2 . 8г2
+ (*2 + ОР) (й2 4- 6?) ' (с2 4- М (с2 4- М
и это выражение должно обращаться в нуль. Отсюда, полагая
л2(б) = Й(е-е 9).
?=i
найдем, рассуждая как в § 23.21, что Л2(6) является решением диф-
ференциального уравнения
(а + 9) № + 9) (с2 + 9) Л; (6) +1 {3 + 0) (с* + 0) +
+ (с 4“6)(a —9) —(а2 —б) (Z»2 —0)} Л2 (0) =
= |т (/й4_"2') 9 Ц- С21 Л2 (0),
где С2— постоянная, подлежащая определению.
Если теперь положим Л2 (0) == —Л , то увидим, что Л(0)
У а2 + 0
является решением дифференциального уравнения
4 |/(а2-4-0)> + 0)(С2+0) [/(а2+е)(^+0)(С2+0) =
= ((2/и —1) —j— 2) 9 —|— С} Л (9)t
446
ГЛ. 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
где
с = с24-а24-с2.
Заметим, что это дифференциальное уравнение того же самого
типа, что и уравнение, выведенное в § 23.21; постоянная п и здесь
равна степени гармонической функции, так как степень в данном
случае равна 2т-}-1.
Отсюда вытекает,' что исследование гармонических функций вто-
рого вида сводится к исследованию решений , дифференциального
уравнения Ламе. В случае гармонических функций первого типа
требуется, чтобы решения были полиномами относительно 9, умно-
женными на фла2-|- 6; соответствующие множители для гармонических
функций второго и третьего типа будут фл£24-9 и флс24-9. Позже
будет показано, что каждому из трех типов будет соответствовать
в точности т-\-1 значений С, так что в общем получается 3/и4~3
гармонических функций второго вида степени 2zn-|-l.
23.23. Эллипсоидальные гармонические функции третьего вида
За типичную гармоническую функцию третьего вида степени 2т+-2
т
примем yz JJ 0 . Результат применения оператора Лапласа к этой
p = i
функции будет
V <?П(6) ( 2 , 6 , 6 1 I
dQp 1^ + 0^ + i2 + 6p“,_ c2 + 0p 1^
Р~ | V <?2П(0) j 8х2 .
+ h дерде9 I (а2 + 0Р) (а? + 0?) +
рфч
8у2. 8г2
(&2 + М (&2 + в?) (с2 + 0„) (с2 + 0?)
и это выражение должно равняться нулю. Отсюда, полагая
А3(6)^П(9 - 6?).
?=i
найдем, рассуждая, как в § 23.21, что А3(0) будет решением диф-
ференциального уравнения
(а2 4- 6) (/>2 + 6) (с2 + 6) Аз' (0) +1 {(&2 + 0) (С2 + 0) +
4- 3 (с2 + 6) (а2 + 0) 4- 3 (а2 + 0) (й2 + 0)} Аз (0) =
— j т [т 4- у) 0 -ф- С3 | А3 (6),
где С3 — постоянная, подлежащая определению.
23.24. эллипсоид, гармонические функции четвертого вида 447
Если теперь положим
Л3 (0) = А(0) -Z- ,
У(&2 + 0)(с2ф-О)
то найдем, что Л(6) является решением дифференциального урав-
нения
4 /(«2 + 6)(^+0)(С2 + 0) -А [у(а2+0)(й2+е)(с2+е) =
= {(2m + 2) (2m + 3) 6 4 С} Л (6),
где
C = C3+46z24-Z>2 + c2.
Заметим, что последнее уравнение того же самого типа, что и
уравнение, полученное в § 23.21; постоянная п по-прежнему равна
степени гармонической функции, которая в данном случае равна 2т-]-2.
Отсюда вытекает, что исследование гармонических функций
третьего вида приводится к исследованию решений дифференциаль-
ного уравнения Ламе. В случае гармонических функций первого типа
требуется, чтобы решения' были полиномами относительно 6, умно-
женными на У (Z»2-]- 6)(с2+ 0); соответствующие множители для гар-
монических функций второго и третьего типа будут У(с2-|- 6)(а2-|-0)
и У(а24-0)(й2+'Г).
Позже будет показано, что каждому из трех типов соответствует
ровно т-ф 1 значений С, так что в общем получается 3m-|-3 гар-
монических функций третьего вида степени 2m-ф 2.
23.24. Эллипсоидальные гармонические функции четвертого вида
Гармоническую функцию четвертого вида степени 2m-фЗ можно
т
представить в форме xyz Ц 0„. Результат применения к ней опе-
р=1
ратора Лапласа будет
448 ГЛ. 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ функции
это выражение должно равняться нулю. Отсюда, полагая
т
л4(е)^П(9_0),
найдем, рассуждая, как в § 23.21, что Л4(9) является решением
уравнения
(а2+6)(^+е)(г+б)л;(б)+4| 2 о2+0)(с2+б)Ы(0)=
\ а, Ь, с )
— | т Ч—2^ 6 Ч~ ’4 ^4 | -^4 (®)>
где С4 — постоянная, подлежащая определению.
Если теперь положить
Л4 (6) = Л (6)//(а2 + 6)(^ + 0)(С2+б)-,
то найдем, что Л (9) является решением дифференциального уравнения
4 y(fl2+9)(Z,2+e)(c2+e) _£ |У(а2+0)(г,2+0)(с2_р) j =
= {(2/ц + 3) (2т + 4) 0 -j- С} Л (9),
где
С=С44-4(а2 + ^+с2).
Заметим, что последнее уравнение того же самого типа, что и
уравнение, полученное в § 23.21; постоянная п и здесь равна сте-
пени гармонической функции, которая в данном случае равна -2т-^-3.
Отсюда следует, что исследование гармонических функций четвер-
того вида приводится к исследованию решений дифференциального
уравнения Ламе. Требуется, чтобы решения были полиномами отно-
сительно 9, умноженными на |/(а‘2-г 9)(Z>2-{- 9) (с2-|- 9) • Позже будет
показано, что этому типу решений соответствует ровно т -j- 1 зна-
чений С, так что получается т-(-1 гармонических функций четвер-
того вида степени 2m.— 3.
23.25. Выражения Нивена
для эллипсоидальных гармонических функций
через однородные гармонические функции
Если Gn(x, у, z) обозначает какую-либо из гармонических функ-
ций степени п, предварительное построение которых только что было
произведено, то Gn(x, у, z) состоит из конечного числа членов сте-
пеней п, п—2, п—4, . . . относительно х, у, Z. Если Нп (х, у, z)
представляет совокупность членов степени п, из однородности опе-
ратора Лапласа следует, что Нп(х, у, z) сама является решением
23.25. ВЫРАЖЕНИЯ НИВЕНА
449
уравнения Лапласа; эта функция может быть, очевидно, получена из
GB(x, у, z) заменой множителей 0р, встречающихся в выражении
функции Ов(х, у, z) в виде произведения, множителями Кр.
Нивен (цит. сочинение, стр. 243—245) показал, что Gn(x, у, г)
можно получить из Нп(х, у, г), применяя к последней функции диф-
ференциальный оператор
1 °2 । D4
2(2/г— 1) "+ 2 • 4 • (2n—1) (2п —3) “
_______________2е______________L.
2 • 4 • 6 (2n—1) (2/г —3) (2п —5) ' “ ”
где D2 обозначает символ
и члены, содержащие степени D, большие п, могут быть опущены.
Дадим доказательство этого результата для любой гармонической
функции первого вида !).
Для таких гармонических функций степень будет четной, и мы
положим
1 1
2 " 2П
Оп(х, У, г) = Пер = П(^-1) = 5в-5„_2 + 5в_4- ....
Р=1 Р=1
где Sn, S„_2, SB_4, ...—однородные функции степеней п, п—2,
п—4, ... соответственно и
1
2 Я
Sn = Hn(x, у, г) = ПКр.
р=1
Функция 5в_2г, очевидно, равна сумме произведений множителей
К,, К2.....Кг , взятых по Дп— г.
"г я
Если Кг, К2.....Ki рассматривать как промежуточные пе-
2" Л
ременные, то' по обычной формуле дифференцирования сложной
) Доказательства для гармонических функций трех других видов пре-
доставляются читателю в виде упражнения. Доказательство, приложимое
к функциям всех четырех видов, дано Гобсоном (Hobson, Proc. London
Math. Soc., XXIV (1893), 60—64). Доказательство, приведенное в тексте, пред-
ставляет некоторое видоизменение доказательства Нивена.
Доказательство Гобсона приведено также в его книге «Теория сфери-
ческих и эллипсоидальных функций», ИЛ, 1952, стр. 458—461. — Прим- ред.
15 Э. Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон
450 ГЛ. 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ функции
функции имеем
1 1
2 " 2 "
д§п-2г __у dSn _гг дКр ____у' 2г
дх £1 дК-, дх дКв а2 + 0о ’
p=i ' р=1
и если продифференцируем снова, то получим
г
2 П
d2Sn-2r __ у4 dSn_2r___2______. Vi d2Sn_2r__________8-У2____
дх2 U дКр а2 + ч„' Li. дКр дКч (а2 + 0_) (а2 + 0.) ’
р = 1 p + q
Члены с могут быть опущены, так как ни одна из
функций Кр не встречается в Sn_2r в степени выше первой.
Отсюда следует, что
1
2 ”
SdSn_2r ( 2а2 , 2Ь2 , 2с2 ) ,
дКр I + + с2 + 0р 1^"
, V ^2S„_2r I 8л2х2 , 8й2у2 ,
t- XJ дКрдКч 1 (а2 + 0р) (а2 + 0?) “Г (*2 + о ) (62 + 0 ,
. 8с2г2
+ (с2 + Ор)(с2 + О,>
Теперь покажем, что выражение справа отличается лишь постоян-
ным множителем от 5„_2г_2-
Заметим сначала, что
V а2хг 'ЬрКр — 0?^?
(«2 + 0р) («2 + 0?) ~ Ор-0,
р, У, 24
\а, Ь, с)
и что согласно уравнению § 23.21 для 9р
1
2 "
2^-',2А=3+,'£А-
а, Ь, с а, Ь, с ^=1 м 4
так что
D2Sn_2r
1
2 "
А V
дКр
1
2 П
4- 8 У 0 -Sn~2L
г ° Ju up дКр
р^
„ у ^25п-2л ^pKp — ^qKq
23.25. ВЫРАЖЕНИЯ НИВЕНА 451
Но dSn^rfdKp равна сумме произведений выражений Kv
KQ, •. К\ (где К„ опускается), взятых по ± п — г — 1;
2"л 2
a Kq д^п-^ЦдКр дКд) состоит из тех членов этой суммы, которые
содержат множитель Kq.
Следовательно,
д$п — 2г IS
дКр дКрдКр
равна сумме произведений выражений Kv К%.......Ki (где Кр и
Кд опускаются), взятых по у п — г—1; а потому по симметрии
имеем
д$П-2Г IS __ д$П-2Г IS д2$п — 2Г
оКр *<1дКрдКч~~ дКч ^РдКрдКр’
так что
д2$П-2Г / д$П-2Г dSn-2r 1 / /IS IS \
дКрдКр~\ дКр dKq ^р>-
После подстановки этого выражения для второй производной
найдем, что
D*Sn_2r
д$п-2г
~дК^
1
2П
6 + 89„£'
9=i
1
ер-е?
Т”
' ®р^р
" (0p-Wp-K?)
«=1
2 2
__у dSn-2r _ Rvv КР _
— LidKp ° Kp — K9 ~
p=l L 9=1 J
4я
=<4« - 2> S -8 s {- K- }!«’ - Kf-
p = l p^q
Далее, мы можем записать <S„_2r в форме Sn_2r- + ^5n
— 2г- -2+
+ад -2г-2 +VA _2г_4, где S2.„ обозначает сумму произведе-
ний ^J, Къ.......Кг (где Кр и Кд опускаются), взятых по т;
Т п
тогда мы увидим, что
is dSn — 2r is dSn — 2r / JS k'
* p ~дКр Л« dKq —^P~^ «> d»-2r-2-
15*
452 ГЛ. 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ функции
Отсюда
1
2 п
&Sn_2r = (4/г - 2) 2 - 8^ Sn_2r_2.
/>=1 Р Р^Ч
Теперь ясно, что выражение справа есть однородная симметри-
ческая функция от Кх, К2......A" i степени ~п— г—1; кроме
того, оно не содержит ни одного из выражений К2............К i
Т"
в степени выше первой. Поэтому оно будет кратным выражению
^л-2г-2* Для определения постоянного множителя отметим, что когда
5п_2Г-2 написано в развернутом виде, то оно содержит С\ 1 членов,
~2 П
тогда как число членов в
Iя
р=1 р=£ц
равно
I п (4/1-2). С\ -8-с\ •с;-*
£ — Я—1 —Я — Л—2
Искомый множитель, следовательно, будет
4 л (4л — 2)-С\ -8-С2 .СГ1
______________у"-1 2п 1п~2
Сг^
что равно (2г —2) (2лг—2г—1).
Следовательно, доказано, что
D2Sn _2г = (2г + 2) (2л - 2г - 1) _2г_2.
По индукции непосредственно получается, что
Г)2гс
с _____._________________йп__________________
о„-2г— 2.4...2/.(2л-1)(2л-3)... (2п—2r + 1) ’
23.26. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ СТЕПЕНИ п
453
и формула
Gn{x, у, z)*=
г 1
1п
_ v (—1)гГ>2г
2-4 ... 2г (2л—1) (2л —3) ... (2л —2г+ 1)
*-г=о
Нп(х, у, z),
где Gn(x, у, z) — эллипсоидальная гармоническая функция первого
вида, теперь очевидна.
Пример 1. Доказать формулу Нивена, когда Gn (х, у, г) — эллипсои-
дальная гармоническая функция второго, третьего или четвертого вида.
Пример 2. Получить символическую формулу
/1 \ /1 \я+4
G„ (х, у, г) = Г (д - лДт Dj 1_п_ LФ) • Нп {х, у, г}.
23.26. Эллипсоидальные гармонические функции степени п
Результаты, доказанные и высказанные в §§ 23.21 — 23.24, пока-
зывают, что когда п четное, то имеется у л-у- 1 гармонических функ-
3
ций первого вида и п гармонических функций третьего вида; когда п
нечетное, то имеется ^-(л-]-1) гармонических функций второго вида
и-^-(л— 1) гармонических функций четвертого вида, так что в каждом
случае имеется в общем 2n-j- 1 гармонических функций.
Из § 18.3 следует, что если совокупности членов степени п
в этих гармонических функциях линейно независимы, то они со-
ставляют фундаментальную систему гармонических функций степени л;
любая однородная гармоническая функция степени л может быть вы-
ражена как линейная комбинация однородных гармонических функ-
ций, которые получаются отбором членов степени л из 2л + 1 эллип-
соидальных гармонических функций.
Для того чтобы получить результаты о числе гармонических
функций степени л и установить их линейную независимость, необ-
ходимо глубже заняться изучением уравнения Ламе, но, прежде чем
приступить к этому исследованию, займемся представлением эллип-
соидальных гармонических функций в эллипсоидальных координатах.
Эти выражения для эллипсоидальных гармонических функций имеют
историческое значение ввиду исследований Ламе, но выражения, только что
полученные методом Нивена, в некоторых отношениях более удобны для
физических приложений.
454
ГЛ. 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
О приложениях эллипсоидальных гармонических функций к исследова-
нию фигуры Земли и о приведении гармонических функций к формам, при-
способленным к численному вычислению, читатель может прочесть в ме-
муаре Дарвина: О. Н. Darwin, Phil. Trans., 197А (1901), 461—537.
23.3. Эллипсоидальные координаты
Если (X, Y, Z) обозначают текущие координаты в трехмерном
пространстве и если а, Ь, с положительны (а > Ь > с), то уравнение
№ , Г2 . Z2 ,
а2 ' 62 ' с2 ~1
представляет эллипсоид; уравнение любой софокусной поверхности
второго порядка будет
X2 . Г2 , Z2 _.
д2 0 >* “Г С2_|_ (J —
где 9 называется параметром этой поверхности.
Поверхность второго порядка проходит через заданную точку
(х, у, z), если 6 взято так, что
V2 9%
- х____I___У_____।______— 1
a2-f-9 “Г -Г ^2 _|_ Q х-
Независимо от того, удовлетворяет ли 6 этому уравнению, удобно
писать
. х2 у2 г2 ___________________________________/(9)________
а2 + 9 Ь2 + 9 с2 + 9 ~ (а2 + 9) (62 + 9) (с2 + 9) ’
и так как /(6) — кубический полином от 6, то ясно, что через каждую
заданную точку (х, у, z) проходят, вообще говоря, три поверхности
второго порядка софокусной системы.
Для определения характера этих трех поверхностей второго
порядка составим следующую таблицу:
б Л(»)
+ 1111 8 + 8 С % ~ 1 1 1 + е ь С 1 1 1 | + в* «м еч 3 з
Из этой таблицы видно, что уравнение /(9) —0 имеет три веще-
ственных корня X, р, v, и если они расположены так, что
23.3. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
455
X > р > v, то
X > — с2 > р > — Z>2 > v > — а2;
кроме того,
/(9)s(9-X) (9-р) (9-v).
Из значений X, р, v ясно, что поверхности, на которых 9 имеет
значения X, р, v, суть соответственно эллипсоид, однополостный
гиперболоид и двуполостный гиперболоид.
Возьмем теперь тождество относительно 9:
1 *2 У2 _ (в — Х)(0 — |х)(0— 4
а2 + 0 Ь2 + 0 с2 + 0 ~~ (а2 + 0) (Ь2 + 0) (с2 + 0) ’
умножим его последовательно на а2 4-9, b2 -9, с2 —j—0 и после
этого заменим 9 соответственно на —а2, —Ь2, —с2. Таким обра-
зом найдем, что
„2 _ (а2 + А)(а2 + !л)(аг_н>
~ (а2 — Ь2)(а2 — с2)
„2 _ _ (^ + Х) (6г + ;х) (й2 + 4
у ~ (а2 — Ь2) (Ь2 — с2)
(с2-И) (с2+ 4 (с2+ 4
(а2 — с2)(Ь2 — с2)
Из этих уравнений ясно, что если (х, у, г)—какая-нибудь
точка пространства и если X, р, v обозначают параметры поверх-
ностей второго порядка, софокусных с
X2 Y2 . Z2 _.
а2 । ja т С2 1 •
проходящих через эту точку, то (х2, у2, z2) однозначно определяются
через (X, р, >), и наоборот.
Параметры (X, р, >) называются эллипсоидальными координа-
тами точки (х, у, z) относительно основного эллипсоида
X2 Y2 . Z2 _ -
а2 ' Ь2 ' с2 ~ **
Легко показать, что эллипсоидальные координаты образуют орто-
гональную систему; в самом деле, рассмотрим направляющие коси-
нусы касательной к кривой пересечения поверхностей (р) и (v); эти
косинусы будут пропорциональны выражениям
/ дх ду dz \
Ux' дХ’ Ж)‘
и так как
дх дх . ду ду . dz dz 1 V' а2 + ч _____
ЗХ ф? + ~д\ ду. вк ду. ~~ Т Zj (a2— b2) (а2 — с2) — U'
а, Ь, с
456
ГЛ 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
то очевидно, что направления
/ дх ду dz\ (дх ду дг\
\ д/ д\ ' д'/)’ \ др ’ др ’ др. /
перпендикулярны; подобным же образом каждое из этих направле-
ний перпендикулярно направлению
/дх ду дг\
\ dv ’ дч ’ dv/ ‘
Таким образом, показано, что три системы поверхностей, на
которых X, р, v соответственно будут постоянными, образуют три-
ортогональную систему.
Поэтому квадрат линейного элемента, а именно
(8х)2 + (8у)2 + (8г)2,
может быть представлен в виде
(Н, 8X)2 + (//28p)2 + (//38v)2,
где
2 /дх\2 , /ду\2 . /дг\2
i=W + w +
подобные же выражения имеют место для и Н23 с заменой X
на р и v.
Чтобы выразить Н\ через (X, р, v), заметим, что
2 1 /дх2\2 1 /ду2\2 1 /дг2\2_
П 1 —’ 4х2 \ дХ ) 4у2 \ дХ ) 4г2 ( дХ ) ~~
_ 1 V (а2 + р.) (а2 4-V)
4 (а2 + X) (а2 — fc2) (а2 — с2) •
а, Ь, с
Но если разложим
(X — р)(Х— м)
(а2+Х) (й2 + X) (с2 4- X) ’
как функцию от X, на простейшие дроби, то увидим, что она как
раз равна
S(a2 4- р) (а2 4- ч)
(а24-Х)(а2 —62)(а2 —с2) ’
а, Ь, с
й следовательно,
„2_ (X—,р)(Х —у)
4(а24- X) (62 4-Х) (с24- X) *
Значения и Нз получаются из этого выражения круговой
перестановкой (X, р, v).
23.31 . УНИФОРМИЗИРУЮЩИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
457
Формулы, эквивалентные выведенным в этом параграфе, были получены
Ламе (Lame, Journ. de Math., II (1837), 147—183).
Пример 1. В обозначениях этого параграфа показать, что
х2 4 У2 + г2 = а2 + ^2 + с2 + ^ + Iх +
Пример 2. Показать, что
о Х% V8 2%
4«2__ л_______।___У_____। г
(«2 + М2 (*2+Х)2 («24Мг ‘
23.31. Униформизирующие переменные, связанные
с эллипсоидальными координатами
В § 23.3 мы видели, что если выразить декартовы координаты
(х, у, г) через эллипсоидальные координаты (X, р, >), то полученные
таким образом выражения не будут однозначными функциями
от (X, р., >). Для того чтобы избегнуть вызываемой этим неопре-
деленности, выразим (X, р, v) через три новые переменные (и, v, w)
соответственно, положив
^(И)=Х+1(а24-62 + С2),
т=и+4(«2-м2+с2),
р (то) = у у (а2 + Ь2 с2),
где инварианты g2 и g3 эллиптической функции Вейерштрасса опре-
деляются тождеством
4 {а2 + X) (Ь2 4- X) (с2 -F X) 4рз (и) _ g$ («) _ g3.
Дискриминант, соответствующий этим эллиптическим функциям
(ср. § 20.33, пример 3), будет равен
16 (а2 — Ь2)2 (62 — с2)2 (с2 — а2)2,
и таким образом, он будет положителен; поэтому ’) первый из трех
периодов 2о>1, 2о>2 и 2о>3, а именно период 2о>р будет положитель-
ным, период же 2о>3 чисто мнимым; 2и>2 имеет отрицательную
вещественную часть, так как o)t u>2 -f- u>3 = 0; мнимая часть ш2
будет положительной, так как Im (w2/u,j > 0.
При этих обстоятельствах е, > е2 > и таким образом, имеем
3ej = а2 4- Ъ2 — 2с2, Зс2 = с2 4- а2 — %Ь2, Зе3 — Ь2 4 с2 — 2а2.
*) Ср. пример 1 § 20.32.
458 ГЛ. 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ функции
Выразив затем (х, у, г) через {и, v, w), получим
2 _ (д2 + >) (д»+н) (Д2 + у) _ {g> 00 - *3Щ (у) - (эд) - е3} __
(е,_ез)((?2_ез) —
__ 4 (ц) °3 (р) °3 (да) g2(wl) °2(м2)
а2 (U) а2 (у) а2 (эд) g2 ( И1) а2 ( а>2)
согласно примеру 4 § 20.53. Поэтому по § 20.421 имеем
х — ± е ~ гв“за2 (о>3)
33 (и) 33 (у) g3 (w)
g (u) g (у) g (w)
и подобным же образом
у = ± (<о2)
g2 (и) g2 (у) g2 (w)
g (u) g (v) g (w)
Z = ± e_,ii“>o2 (aq)
°i (“)°i OOgi (w)
g (u) g (y) g (w)
Результат увеличения каждой из переменных и, v, w на 2ш3
скажется в изменении знака выражения для х, в то время как
выражения для у и z остаются без изменения; подобное же утвер-
ждение имеет место при увеличении и, г», w на 2о>2 и 2и>!; и кроме
того каждое из трех выражений изменяет знак при изменении знаков
у и, V, W.
Отсюда следует, что если взять верхние знаки в этих двузначных
выражениях, то будет иметь место однозначное соответствие между
всеми совокупностями значений (х, у, z), вещественными или ком-
плексными, и всеми совокупностями значений (и, V, те»), у которых
все три представителя и, v и w лежат в любой заданной ячейке.
Униформизация, следовательно, осуществляется, если взять
x = g-^,g2( ).дз(Д^)°з(«)
“ g (u) g (у) g (эд)
у — е~т^а1 (ш2)
g2 (и) g2(t») g2 (эд)
g (и) g (р) g (эд) ’
z = е-т‘‘ш'о2 ((ot)
g, (M)gt (y)g, (эд)
g (и) g (v) g (эд)
Формулы, отличающиеся от приведенных только перестановкой
индексов 1 и 3, даны Альфаном (Halphen, Fonctions Elliptiques,
II (1888), 459).
23.32. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА В ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 459
23.32. Уравнение Лапласа в эллипсоидальных координатах
Ламе и Томсоном!) было показано, что уравнение Лапласа,
отнесенное к любой ортогональной системе координат (X, р, v),
имеет вид
д | Н2Н3 dV ) , д f Н3Н{ dV ) . д ( Н,Н2 dV ) _
д\ ( Я, д\ | “г др I Н2 др J ’+ д Д Н3 дч j U’
где (//р Н2, Н3) определяются тем, что
(Н1 ВХ)* 2 —j—(Z/2 Bp)2 —j—(/Y3 Sv)2
является квадратом линейного элемента. Хотя доказательство этого
результата, принадлежащее Томсону и основанное на рассуждениях
физического характера, чрезвычайно просто, все аналитические
доказательства либо весьма длинны, либо сильно ужаты.
Тем не менее Ламе2) доказал, что в частном случае, когда
(X, р, ч) — эллипсоидальные координаты, уравнение Лапласа прини-
мает простую форму, которую можно получить без кропотливых
выкладок; когда за координаты принимаются униформизирующие пе-
ременные (и, V, w) § 23.31, форма уравнения Лапласа становится
еще проще.
Прямым дифференцированием можно доказать, что если любые
три независимые функции (X, р, v) от (х, у, z) принимаются за
независимые переменные, то выражение
d2V , d2V d2V
дх2 ‘ ду2 “Г dz2
преобразуется в такое:
V 170>- V । /^У д_ / dxynд2у I
Zj дх / ' \ ду / "г” \ dz ) J дХ2 '
X, р., v
, 2 X1 Г др дч др дч . др дч 1 d2V ,
‘ 2d [ дх их~^~ ду ду * dz dz J др дч "I"
, у Гс'2д д_ д2К । д2\ 1 dV
Zj [дх2 ду2 ’ dz2 J дХ ’
X, р., V
Для того чтобы упростить это выражение, заметим, что X удо-
влетворяет уравнению
х2 , У2 , г2 _ .
а2 + Р i2-f-X'c24-X—* *
') См. примечание на стр. 253.
2) Lam ё, Journ. de Math., IV (1839), 133—136.
460
ГЛ. 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
откуда, принимая х, у, z за независимые переменные, дифференци-
рованием получим
2х \ х2 у2 г2 ) дХ п
а2 4- X I (а2 4- X)2 (А2 + Х)2 ~Г (с2 + Х)2 ( дх ~ U’
2 4 дХ 0 | х2 , у2 , г2 ) ( дХ V
а2 4- X (а24-Х)2 дх \ (а2 + 1)3 + (Л2 4- X)3 (с2 4-X)3 Цдх/
( х2 у2 z2 1 д2\ __
I (а2 4- X)2 (Ь2 4- X)2 + (с2 4- X)2 ( дх2 =~
Отсюда находим
2 2х2
а2 4- X (а2 4- X)3 //2
4//? А
дх2
и подобные же соотношения для р, v и у, z.
Из соотношения первого типа видно, что коэффициент при
1 лл d2V
равен —тт, а коэффициент при ------ равен нулю; если сложить
Н\ др дч
соотношения второго типа, получаемые круговой перестановкой
X, у, Z, то получим
и и2 ! о2/. , д2Х , д2Х ) V 2
11 дх2 + ду2 дг2\~ 2d а2 4-Х
а, Ь, с
и подобные же соотношения для р и v.
Если для краткости положим
уШ4(П>#2 + АНД>
и аналогично определим Д^ и Ду, то увидим, что
д2Х д2Х ( сРх A2 j 2 2 2 ]
дх2 ду2 dz2 (X —р) (X — \) | а2 4- Х ^~ Ь2 4-X с2 4- X i
_ 4ДЛ г/Ах
(X — р.) (X — ч) d\ ’
и таким образом, уравнение Лапласа примет вид
у 4 Гд2 д _ о
(X — p.) (X — ч) [ л (XX2 ' х dX <?х J
К, р., у
ИЛИ
ф_7)Д>4ми+(>_А)д Ид
vr ' А д\ (. А дк ) 1 ' ' и др. ( р др (~
4-(Л— p,)AvA|Av^L|=Ot
23.33. ЭЛЛИПСОИД. ГАРМ. функции в эллипсоид, координатах 461
Эквивалентное уравнение с независимыми переменными (a, v, w)
имеет вид
№ (г)) _ р (да)) _|_ {£> (w) _ (и)) g. + (F(w) _ F w} = О
или, короче,
, .<?2У . , ,.<w . л ,<w л
^<?и2 dv2 dw2 -~0,
Последние три уравнения будем рассматривать в дальнейшем
исследовании как канонические формы уравнения Лапласа.
23.33. Эллипсоидальные гармонические функции
в эллипсоидальных координатах
Если функцию 0р Нивена, определяемую как
х2 , У2 . г2 _.
+ + с2 + 0р *’
выразим через эллипсоидальные координаты (X, р, v) точки (х, у, г),
то она примет вид
(Х-6р) (p-вр) (^-6р)
(а24-вр) (Ь2 + Ор) (с2 + 6р) ’
и следовательно, если опустим постоянные множители вида
-(«24Л)(^+М(с2+6Д
эллипсоидальные гармонические функции примут вид
X У 2 т т т
1 у ZX хуг JJ(X —0p)JJ(p —0p)JJ(v—0р).
z ху P=1 P=1 P=1
Если теперь мы заменим х, у, z их выражениями через X, р, v, то
увидим, что любая эллипсоидальная функция выражается, с точ-
ностью до постоянного множителя, в виде AMN, где А—функция
только от X, а М и N — такие же функции от р и v, как А от X.
Далее, А есть полином степени т относительно X, умноженный
в случае гармонических функций второго, третьего или четвертого
вида на одно, два или три из выражений
/ц2+Х, К^ТХ. /сЧ^Х.
ОТ
Так как полином, содержащийся в А, равен Д (X — 0 ), то из
p=i р
рассмотрения §§ 23.21—23.24 вытекает, что А является решением
462 ГЛ. 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
дифференциального уравнения Ламе
4/(a2 + k)(Z>2 + X)(c2 + k) A[]/(a2 + k)(Z>2-|-k)(C2^k) ^-] =
= 1)Х—j- С} А,
где п — степень рассматриваемой гармонической функции относи-
тельно х, у, z. К этому результату можно придти также, рассма-
тривая решения уравнения Лапласа, которые имеют вид1):
V = AMN,
где А, М, N — функции соответственно только от X, р., v.
Ибо если подставить это выражение в уравнение Лапласа в форме
§ 23.32, то после деления на V найдем, что
g>(v)—g’(w) d2A <12M P(u) — P(v) d2S
A du2 M dv2 N dw2 ~U'
Последние два члена, рассматриваемые как функции от и, являются
линейными функциями от у (и), и следовательно, также должно
быть линейной функцией от ^(«); так как оно не зависит от коор-
динат и и w, то имеем
где и В — постоянные.
Если подставить это выражение в дифференциальное уравнение,
то получим (тождественное) равенство нулю линейной функции от
£>(«), и таким образом, коэффициенты в этой линейной функции
должны равняться нулю; отсюда найдем уравнения
К (т - Hw)} —-2- + = °’
разрешая их (и замечая при этом, что р(г») — ^(w) не равно нулю
тождественно), получим три уравнения:
//2 А
-^={АН«) + Я)А,
-^= +
’) Гармоническую функцию, являющуюся произведением трех функций,
каждая из которых зависит только от одной координаты, иногда называют
нормальным решением уравнения Лапласа. Так, нормальными решениями
в полярных координатах (§ 18.31) будут rnP% (cos 0) ту.
23.4. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЛАМЕ 463
Когда за независимую переменную принимается X, первое
уравнение принимает вид
4Д* 4 {д>- 4г}={+в+4 к («2+*2+<2)}л-
а это и есть уравнение, уже полученное для Л; степень п гармони-
ческой функции дается формулой
п(п-\- 1) — К.
Мы продвинулись теперь в изучении эллипсоидальных гармони-
ческих функций настолько далеко, насколько было возможно, не
прибегая к использованию свойств уравнения Ламе.
Теперь мы приступим к подробному рассмотрению этого урав-
нения.
23.4. Различные формы дифференциального уравнения Ламе
Мы уже встречались с двумя формами уравнения Ламе, а именно:
4Д^{д^4г}==(/г</г+1)х+с)л>
или
1 1 11
d2A , 2 2 . 2 {п (п 4-1) X + С} Л
d/2 а2 + X + Ь2 + X с2 4- X J dX ~ 4 (а2 4- X) (b2 + X) (с2 4-"Х)~ ’
которая может быть названа алгебраической формой, и
d2 Л
которая может быть названа формой Вейерштрасса, так как она
содержит эллиптическую функцию Вейерштрасса р (и); постоянные В
и С связаны соотношением
В +1 п (п + 1) (а2 + й2 4- с2) = С.
О
Если примем функцию )э(«) за новую независимую переменную,
которую обозначим через £, то получим несколько видоизмененную
алгебраическую форму (ср. § 10.6):
1 L 1
d2A 2 , 2 . 2 dA _ {а (а 4- 1) g 4-В} X
di2 -i” $—e, i—e2 i—e3 di 4 (; — <?,) (?— e2) (5 — e3)
Это дифференциальное уравнение имеет особые точки в elt е2. е3.
в каждой из которых показатели равны 0, у, и особую точку на
бесконечности, показатели в которой равны —-l/i, -1(/г-|-1).
464 ГЛ. 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Вейерштрассовская форма уравнения была изучена Альфаном (Halphen,
Fonctions Elliptiques, II (Paris, 1888), 457—531).
Алгебраическая форма была изучена Стилтьесом (Stieltjes, Acta Math.,
VI (1885), 321—326), Клейном (Klein, Vorlesungen iiber lineare Differential-
gleichungen (литографировано, Gottingen, (1894)) и Бохером (BOcher, Ueber
die Reihenentwicklungen der Potentialtheorie (Leipzig, 1894)).
Более общее дифференциальное уравнение с четырьмя особыми точками,
в которых показатели произвольны (за исключением того, что сумма всех
показателей во всех особых точках равна 2), было исследовано Хейном
(Heun, Math. Ann., XXXIII (1889), 161—179); произвольное расположение
особых точек приводит только к кажущемуся выигрышу в общности, так как
при помощи дробнолинейного преобразования независимой переменной одну
из особых точек можно перевести в точку на бесконечности, а тогда перенос
начала координат достаточен для того, чтобы сделать сумму комплексных
координат трех конечных особых точек равной нулю.
Другая важная форма уравнения Ламе получается, если перейти
к эллиптическим функциям Якоби; если положить
zx — и ]/^е1 — е3,
то форма Вейерштрасса примет вид
d2A Г / , 1 х I
az{ L I
а положив zx — a — iK', где 2iK' — мнимый период функции snzr
получим простую форму
{«(«+ 1)й2sn2 a —X] А,
где А — постоянная, связанная с В соотношением
В-\-е3п («4- 1) = А(в1 — е3).
Форма Якоби была изучена Эрмитом в мемуаре «Sur quelques applica-
tions des fonctions elliptiques», Comptes Rendus, LXXXV (1887), опубликован
отдельно, Paris, 1885.
При изучении свойств уравнения Ламе лучше пользоваться не
одной только формой, а брать ту форму, которая является наиболее
удобной для данной цели. Для практических приложений форма
Якоби, приводящая к тэта-функциям, является наиболее подходящей.
Для получения свойств решений уравнения наилучшей формой
является, вообще говоря, вторая алгебраическая форма, хотя в неко-
торых задачах более простое исследование получается при форме
Вейерштрасса.
23.41. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛАМЕ В ВИДЕ РЯДОВ 465
23.41. Решения уравнения Ламе в виде рядов
Допустим, что уравнение Ламе, которое можно написать так
— {«(«+ 1)£ + В] л = о,
имеет решение вида
оо 1
л=5м£—е2)2 п '
г=0
Ряд справа, если он является решением, будет сходиться (§ 10.31,
часть I) при достаточно больших значениях 15 — е21; но нашей целью
является не изучение сходимости, а выбор такого В, чтобы ряд
обрывался на конечном числе членов, так что исследование сходи-
мости окажется излишним.
Результатом подстановки этого ряда для Л в левую часть уравне-
ния Ламе и расположения его по степеням £ — е2 будет ряд
GO J
е^2" —Г + |)6г —
г=0
--{ 3^2 ('У П-п (п е2-----------------7^} ^г-1
+ («1 — е2) («2 — ез) (у» — г + 2) (4 п ~ r + ^-2]
со знаком минус, причем коэффициенты Ьг с отрицательными ин-
дексами следует считать равными нулю.
Поэтому, если ряд является решением, зависимость, связываю-
щая последовательные коэффициенты, должна быть следующей:
г(п — г + у) Ьг = | Зе2 (у я—г +1)2 —п («4- 1)е2 —
— («1 — «2) («2 — «з) (у я — г + 2^| п — г + у) Ьг_2
и
(я — у) Ьх = { ~ п?е2 — у п (п + 1) е2 — 1В J Ьо.
Если взять 60=1, что мы можем сделать, не теряя общности,
то коэффициенты Ьт окажутся функциями от В со следующими
свойствами:
(I) Ьт — полином относительно В степени г;
(II) — знак коэффициента при Вт в выражении для Ьг будет
(—1/ в предположении, что г^п; сам коэффициент при Вг равен
(-1У________________.
2 • 4 ... 2г (2л — 1) (2л— 3) ... (2л— 2r -f- 1) ’
466 ГЛ. 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
(III) если elt е2, е3 и В вещественны и ех > е2 > е3, то при
br_l = 0 значения Ьт и Ьт_2 противоположны по знаку в предполо-
жении, что г < у (га 3) и г < га.
Теперь предположим, что га четное и что мы взяли такое В, что
61 = 0.
1 n+1
Если сделан этот выбор, то рекуррентная формула показывает,
что
'1 =61 — ... — 0.
уЛ+З уЛ+4
Таким образом, ycaoBHes чтобы уравнение Ламе
решения полином от £, заключается в том, что
корнем определенного алгебраического уравнения
если положить в ней г = -!• га4-2, а если как bi , так и Ь\ —
"2 Т л+* 2
нули, то дальнейшие рекуррентные формулы удовлетворяются,
если взять
имело в качестве
В должно быть
1 , 1
степени -g-ra-}-!,
если га четное.
Когда же га нечетное, мы берем Ь\ < равным нулю, тогда 6^
также будет равняться нулю, и то же будет с дальнейшими коэф-
фициентами; так что, когда га нечетное, условие заключается в том,
что В должно быть корнем определенного алгебраического уравне-
ния степени -i(ra-|-l).
Легко показать, что при ех > е2 > е3 все корни этих алгебраи-
ческих уравнений вещественны. В самом деле, свойства (II) и (III)
показывают, что выражения 60, 6Ь Ь2......Ьг, как функции от В,
образуют ряд функций Штурма1), когда г < — (п 3), и таким обра-
зом, у уравнения
61 —0 или 61 =0
2 л + 1 2"(л +
все корни вещественные2) и неравные.
Таким образом, если постоянные ех, е2, е3 вещественны (случай,
который является практически важным, как было видно в § 23.31),
') Sturm, Mem. presentes par les Savants Etrangers, VI (1835), 271—318.
2) Этот способ рассуждения принадлежит Лиувиллю (L1 о u v 111 е, Journ.
de Math., XI (1846), 221).
23.41. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАМЕ В ВИДЕ РЯДОВ
467
то при п. четном имеется -g- п 1 вещественных и различных зна-
чений В, для которых уравнение Ламе имеет решение вида
п—г
Ьг£-егУ ,
г-О
а при и нечетном имеется j— 1) вещественных и различных зна-
чений В, для которых уравнение Ламе имеет решение вида
7(я-1) 1
2 bT^~e^n~r.
г=0 •
Когда не все постоянные et, е2, е3 вещественны, уравнение, которому
удовлетворяет величина В, может иметь равные корни; решения уравнения
Ламе в таких случаях были исследованы Коном (Cohn) в Кенигсбергской
диссертации (1888 г.).
Пример 1. Исследовать решения уравнения Ламе типа
2 оо 2П_Г_2
О) (е—*i)2 2Х(£-*2)2 2.
г=0
(П)
г=0
(Ш) (5 - (6 - еЛ 2 Ь"; (6 - е^ \
г=0
получив рекуррентные соотношения
(I) г(п — г =
=|3e2 (i-п—г + (<?2 — (4 П~Г + т) — 4 п ~ Т В} Ьг-1—
— (<?!—е2) («2 ——г + у)(тл —г + 1)^"2’
(II) г^п — г + 4)6г =
={ 3<?2 (4 п~г+ 4)2 ~(е' ~е^ (4 л—г+т) “ 4 л (л +— Т В }Ь"" 1—
— (*i — е2) (е2 — с3) (у п — г 4- у) (4 л — Г 9 Ь'г~2 ’
(Ш) г(л—г+4)*"'={3^(4n—r+4)2—
-4^2 (П2+п+1)-4В}С1-
—(<?i—е2) (^—^з) (4л—г + 4 (4л—г+4)б'’-2 •
468
ГЛ. 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
•Пример 2. В обозначении примера 1 показать, что число веществен-
ных различных значений В, при которых уравнению Ламе удовлетворяют
обрывающиеся ряды различного вида, равно
или или
(III) -1 (п — 2) или у (п — 3).
23.42. Определение функций Ламе
Если собрать результаты, полученные в § 23.41, то будет ясно,
что для уравнения
/72 А
АА = [„(«+!)£>(«) + £] А
с целым положительным п имеется 2n-|- 1 значений В, при которых
уравнение имеет решение одного из четырех видов, описанных
в §§ 23.21—23.24.
Если при разложении такого решения по убывающим степеням $
- и
коэффициент при высшем члене Г2 берется равным единице, как
это было сделано в § 23.41, то полученная таким образом функция
называется функцией Ламе степени п первого рода первого (вто-
рого, третьего или четвертого) вида. Полученные таким образом
2п-]-1 функций обозначаются символом
£"($) (/»=!, 2......2л+1);
когда же имеем дело лишь с одной такой функцией, то она может
быть обозначена символом
Таблицы выражений, дающих функции Ламе для п = 1, 2....10 были
составлены Герриторе (Guerritore, Giornale di Math. (2), XVI (1909), 164—172).
Пример 1. Получить пять функций Ламе второй степени, а именно:
/X + 62рт+с», /гр^2/ГТр2.
Пример 2. Получить семь функций Ламе третьей степени, а именно:
/(Х + а2) (Х-|-62) (Х + с2),
и шесть функций, получаемых перестановкой а, Ь, с в выражениях
/ Х + а2 Гх -j-1 (а2 + 2Z>2 + 2с2) ± -1 /а4 + 464 + 4с4 — 762с2—с2а2 — aV1.
I и & J
23.44. ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ ФУНКЦИЙ ЛАМЕ 469
23.43. Об отсутствии кратных корней у функций Ламе
Покажем теперь, что все линейные множители, на которые раз-
лагается функция Е™ (0, различны. Этот результат легче всего полу-
чается из дифференциального уравнения, которому удовлетворяет
функция £^(Е); ибо если $ — — какой-нибудь множитель функ-
ции £:«(£), где не равно ни одному из чисел е}, е2, е3, то
будет правильной точкой уравнения (§ 10.3, часть 1), и любое реше-
ние, разложение которого по степеням ? — не начинается с члена
(?— ^)° или (£ — Sj)1, должно тождественно равняться нулю.
Точно так же, если бы было одним из чисел ер е2 или е3, то
определяющее уравнение, соответствующее особой точке £р имело
бы корни 0 и1; таким образом, разложение функции (:) по воз-
1
растающим степеням $—начиналось бы с члена ($ — ^)°или($ — ?1)2.
Таким образом, ни при каких обстоятельствах £^(£), как функ-
ция от •!-, не имеет равных корней.
Определение чисел 6Р 62.....6т, введенных в §§ 23.21 — 23.24,
можно считать теперь законченным, ибо мы видели, что решения
уравнения Ламе могут быть составлены из неравных множителей
и значения 6Р 62, .... соответствующие корням функции £“(') = 0,
удовлетворяют уравнениям, необходимым для обеспечения того, чтобы
произведения Нивена были решениями уравнения Лапласа.
Остается еще показать, что 2п -|-1 эллипсоидальных гармони-
ческих функций, построенных таким образом, образуют фундамен-
тальную систему решений степени п уравнения Лапласа.
23.44. Линейная независимость функций Ламе
Покажем теперь, что 2n —j— 1 функций Ламе степени п
линейно независимы, т. е. что между ними не существует линейных
соотношений, имеющих место тождественно относительно
Во-первых, если бы существовало линейное соотношение, в кото-
рое входили бы функции различных видов, то очевидно, что над-
лежащим изменением знака радикалов ]/£ — У^—е2, У%—е3
можно было бы получить другие соотношения, которые при сло-
жении с первоначальным соотношением и вычетании из него дали бы
два (или более) новых линейных соотношения, каждое из которых
связывало бы функции не только одного и того же вида, но даже
одного и того же типа.
Пусть одно из таких соотношений, если они существуют, будет
2ат£?($) = 0 (ат^0).
и пусть это соотношение содержит г функций.
470
ГЛ. 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Подействуем на это тождество оператором
d2
4т —га(га4 Щ
du2 v 1 '
г — 1 раз.
Результаты последовательных действий будут
= Ъ (s=l, 2..........г-1),
где В™— значение В, соответствующее функции Е„ ($).
Исключим av а2.......аг из г полученных уравнений; тогда
найдем, что
1 1 1 ... 1
Вхп Со а Сй я w ... ВТп = 0.
«-1... ... «Г1
Но определитель слева равен произведению разностей чисел
а эти разности не могут равняться нулю по § 23.41. Поэтому опре-
делитель не может равняться нулю, и таким образом, предполагае-
мого соотношения не существует.
Линейная независимость 2га 4 1 функций Ламе степени га, таким
образом, доказана.
23.45. Линейная независимость
эллипсоидальных гармонических функций
Пусть О” (х, у, z)—эллипсоидальная гармоническая функция
степени га, соответствующая функции £"г(;), и пусть у, z)—
соответствующая однородная гармоническая функция.
Теперь легко показать не только линейную независимость 2га 4 1
гармонических функций G™(x, у, z), но и линейную независимость
2га 4 1 гармонических функций Н™ (х, у, г).
Во-первых, если бы существовало линейное соотношение между
гармоническими функциями G„ (х, у, z), то, выразив эти гармониче-
ские функции через эллипсоидальные координаты (X, р, v), мы должны
были бы получить линейное соотношение между функциями Ламе
£„ (£), где $ = X 4 4-(fl2 + b24 с2). а мы видели, что такого соот-
ношения не существует.
Затем, если бы существовало линейное соотношение между одно-
родными гармоническими функциями Н™ (х, у, Z), то, действуя на
23.46. ТЕОРЕМА СТИЛТЬЕСА О НУЛЯХ ФУНКЦИЙ ЛАМЕ
471
него оператором Нивена (§ 23.25)
2 (2n—1) ' 2 4 (2п—1) (2п—3)
мы получили бы из него линейное соотношение, связывающее функ-
ции Gn(x, у, z), а так как только что было показано, что такого
соотношения не существует, то заключаем, что и однородные гармо-
нические функции степени п, линейно независимы.
23.46. Теорема Стилтьеса о нулях функций Ламе
Мы видели, что любая функция Ламе степени п может быть
представлена в виде
т
(9 4- а* 2 */1 (9 + Ь2)*2 (9 + с2)” П (9 - 9Р).
р=1
где хр х2, х3 равны 0 или у, а числа 9р 92, 9т вещественны
и не равны друг другу и числам — о2, — Ь2, — с2; кроме того,
— п — т -J- X] + х2 + х3. Когда хр х2, х3 заданы, число функций
Ламе этой степени и типа равно т-\- 1.
Стилтьесом ’) была доказана замечательная теорема, утверждаю-
щая, что эти m-f-l функций могут быть расположены таким обра-
зом, что г-я функция имеет г—1 нулей2) между —а2 и — Ь2,
а остающиеся т — г+1 нулей между —Ь2 и —с2, так что, между
прочим, все корни 9Р 92......9т всех т-}-1 функций лежат между
— а2 и — с2.
Чтобы доказать эту теорему, предположим, что срр ср2.....Чт —
любые вещественные переменные, такие, что
| — а2 + срр + — b2 {р— 1. 2, .... г — 1),
I — b2 + + — с2 (р — г, г + 1, .... т),
и рассмотрим произведение
т г _£ 1 , _1Т
П = Ш1<рр+а2Г + 4 |?Р+^Г2 4 |?р + с2Г5'+4]П|?р — ??|.
Р=1
Это произведение равно нулю, когда все переменные срр имеют
свои наименьшие значения, а также когда они имеют свои наиболь-
шие значения; когда переменные tf>p не равны друг другу и числам
) Stieltjes, Acta Mathematica, VI (1885), 321—326.
2) Нули —а2, —Ь2, —с2 опускаются из перечисления, принимаются
во внимание только 0Ь 02....6т.
472 ГЛ. 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ функции
— а2, —Ь2, --с2, произведение П положительно и, очевидно,
является непрерывной ограниченной функцией переменных <рр.
Отсюда заключаем, что имеется система значений переменных,
для которых II достигает своей верхней грани, которая строго
положительна (см. § 3.62, часть 1). Для этой системы значений пере-
менных условия максимума дают
din П _ din П _ _
т. е.
xi + ~4 'л2 + ~4 7-з + -4 у, 1
<?р + а2 + <fp + b2 <fp + с2 ~ °’
«=1
где р принимает последовательно значения 1, 2, ..., т.
Но эта система уравнений представляет собой как раз систему,
посредством которой определяются 9р 92, ..., 9р(см. §§23.21—23.24);
таким образом, система уравнений, определяющих 9Р 92, .... 9
имеет решение, удовлетворяющее неравенствам
( — а2 <С 9р <^ ~ д2 (р = 1, 2, .... г — 1),
| — Ь2 < 9р < — с2 (р — г, г Д- 1.....т).
Следовательно, если г—какое-нибудь из значений 1, 2, .... от Д-1,
то существует функция Ламе с г— 1 нулем между — а2 и — Ь2
и с остающимися т—г Д-1 нулями между — Ь2 и —с2.
Так как имеется всего т Д- 1 функция Ламе определенного типа,
то они получаются все, если дать г последовательно значения
1, 2......от-Д-1, а это и есть теорема Стилтьеса.
Стилтьес дал интересную статическую интерпретацию теоремы, а имен-
но: пусть т Д- 3 частицы, притягивающиеся друг к другу по закону
обратной пропорциональности расстояниям, расположены на прямой, причем
три из этих частиц, массы которых равны -л, + , х2-|--^-, х3Д-^-, закре-
плены в точках с координатами —а2, —Ь2, —с2, а остальные частицы имеют
единичную массу и могут свободно перемещаться по прямой, тогда In П будет
потенциалом тяготения системы и положениями равновесия системы будут
такие положения, в которых координаты подвижных частиц равны О,,
62, ..., 0т, т. е. имеют значения, для которых какая-либо из функций Ламе
степени 2 (от Д- %) + х2 + -л3) будет равна нулю.
Пример. Рассмотреть положения нулей полиномов, удовлетворяющих
уравнению типа
d2A у \-as dA ?г_2(в)
d62 + 0— as М + г л-и>
5=1
23.47. функции ламе второго рода 473
где <рг_2 (6)—полином степени г — 2 относительно 0, в котором коэффи-
циент при 0Г-2 равен
{Г 1
m + f — 1 — 2 I ’
5=1 J
где m — положительное целое число, а остальные коэффициенты в функ-
ции (9) определяются из того соображения, что уравнение имеет реше-
ние в виде полинома.
(Stieltjes)
23.47. Функции Ламе второго рода
Рассмотренные до сего времени функции Е^(Е) известны как
функции Ламе первого рода. Легко убедиться в том, что вторым
независимым решением уравнения Ламе
= Щ + А
будет функция F™ (г). определяемая равенством !)
и
м du
Fn G) = (2п + 1) G) J ^(£),2 ;
эта функция F™ (%) называется функцией Ламе второго рода.
Из этой формулы ясно, что вблизи « — О
^(е)=х(2«+!)«-«{1-|-0 (и)} J и2п (1-1-0 («)) du = un+1 {l-j-0 («)},
о
а мы, очевидно, имеем £”г(') — и~п {1 О («)}.
Из этих результатов ясно, что F™ (£) никогда не может быть
функцией Ламе первого рода, и таким образом, не имеется зна-
чений В™, для которых уравнение Ламе удовлетворялось бы
двумя функциями Ламе первого рода различных видов или типов.
Можно получить выражение для F™(£), свободное от квадратур,
аналогично формуле Кристоффеля для Qn(z), данной на стр. 155
(пример 29). Сделаем это для случая, когда Е™(£) есть функция
первого вида. Единственными неприводимыми полюсами выраже-
1 л.
ния -г——г=-> как функции от и, являются точки и., и<>, .... ип,
1 2
которые не будут ни периодами, ни половинами периодов.
*) Это определение функции А™ (;) принадлежит Гейне (Heine, Journ.
fiir Math., XXIX (1845), 194).
474 ГЛ. 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ функции
Вблизи любой из этих точек мы имеем разложение вида
= —мг) + М« —мг)2Ч-Мм — мг)3+ • • •
и после подстановки этого ряда в дифференциальное уравнение
найдем, что й2 равно нулю.
Отсюда заключаем, что главная часть разложения (*)}^
л 1
вблизи иг равняется , и следовательно, вычет равен нулю.
Поэтому можно найти такие постоянные Аг, что функция
2 П
-2ак«-«г)
г= 1
не будет иметь полюсов в точках, сравнимых с точками иг-, и значит
по теореме Лиувилля она равна некоторой постоянной А, так как
она является двоякопериодической функцией от и.
Отсюда
11 п
f I Ет 12 = Лг ((М “/)+’ (мг)}•
О I п ( г=1
Но точки иг могут быть сгруппированы в пары, суммы которых
равны нулю, так как Л"!(?)—четная функция от и.
Если взять ип_г — — иг+1, то получим
/ i Р^ 12 = Лц ~ S Л' {Ц« —О-Н(«+«г)) =
О I £« WI Г=1
1п Тп
= Л« — 2: (и) X Лг — L
Г = 1 Г = 1
и следовательно,
^© = (2Л-Ь1)
2 "
ли — 2:<«) 2 лг
,G).
где »] (?) — полином относительно ? степени ti— 1.
-л-1 2
Пример. Получить формулы, аналогичные этому выражению для (?),
когда Е™ (?) второго, третьего или четвертого вида.
23.5. УРАВНЕНИЕ ЛАМЕ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ 475
23.5. Уравнение Ламе
в связи с эллиптическими функциями Якоби
Все результаты, полученные до сих пор в связи с функциями
Ламе, конечно, имеют свои аналоги в обозначениях через эллипти-
ческие функции Якоби, и в руках Эрмита (ср. § 23.71) применение
эллиптических функций Якоби в исследовании обобщений уравнения
Ламе дало чрезвычайно интересные результаты.
К сожалению, невозможно без потери симметрии применить эллип-
тические функции Якоби, в. которых все переменные были бы ве-
щественны.
Симметричные формулы могут быть получены, если взять новые
переменные а, р, 7, определяемые равенствами
а = 1К' -ф- и уге1 — е3,
р — iK' -4- v Уе1 — е3,
f = iK' + w е3,
и тогда формулы § 23.31 будут эквивалентны формулам
х — k2 V а2 — с2 sn a sn р sn у,
у ==-------------------р- У а2 — с2 • сп а cn р cn 7,
z = }/ а2 — с2 dn а dn р dn 7,
причем модуль эллиптических функций равен
Г а2 — Ь2
г а2 — с2 ‘
Уравнение поверхности второго порядка софокусной системы,
на которой а постоянно, будет
X2_____________Y2_____________Z2 _ .
(а2—62)sn2a (а2 — Ь2) сп2 а (а2—с2) dn2 а
Это уравнение представляет эллипсоид, если а лежит между iK'
и K+iK'; поверхность второго порядка, на которой р постоянно,
будет однополостным гиперболоидом, если р лежит между K-j-iK'
и К; поверхность второго порядка, на которой постоянно 7, будет
двуполостным гиперболоидом, если 7 лежит между 0 и АГ; при
этом определении (а, р, 7) точка (х, у, z) лежит в положительном
октанте.
Мы уже видели (•§ 23.4), что в этих обозначениях уравнение
Ламе принимает форму
= {«(« -у- l)fe2sn2a-j- Л] А
476 ГЛ. 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
и решения, которые можно выразить как периодические функции
от а, обозначаются *) через Е™ (а). Функции Ламе первого вида будут
тогда полиномами относительно sn* 2a, и вообще вид может быть
определен схемой, аналогичной схеме § 23.2:
sna, cnadna,
1, cn a, dnasna, sna cnadna
dn a, sn a cn a
JJ (sn2 a — sn2 ap).
p
23.6. Интегральное уравнение, которому удовлетворяют
функции Ламе первого и второго вида2)
Покажем теперь, что если Е% (а)— какая-нибудь функция Ламе
первого вида (я четное) или второго вида (я нечетное) с множите-
лем sna, то £^(а) будет решением интегрального уравнения
1К
Е%(а.) = \ f P„(ksnasnO)E^(6)d6,
-2К
где X — одно из «характеристических чисел» (§ 11.23, часть I).
Для доказательства этого результата нам нужна лемма: диффе-
ренциальный оператор с частными производными
------— я (я -ф-1) k2 (sn2 a — sn2 9)
да2 ov2 v I / \ /
аннулирует функцию P„ (k sn a sn 9).
Для доказательства леммы заметим, что, обозначая для крат-
кости fesnasnO через р., имеем, если воспользуемся дифференциаль-
ным уравнением Лежандра (§ 15.13),
( д2 д2 \ D
snasn9) =
= k2 {cn2 a dn2 a sn2 9 — cn2 9 dn2 9 sn2 a} P" (p.)
4- 2/г3 sn a sn 9 (sn2 a — sn2 9) P'n (p.) —
= k2 (sn2 a - sn2 9) [(p2 - 1) P"n (p.) + 2p P'n (p)J =
= k2 (sn2 a — sn2 9) я (я -ф- 1) Pn (p.).
Лемма тем самым доказана.
*) Опасности смешения их с соответствующими функциями Е™ (?) не су-
ществует.
2) Это интегральное уравнение и соответствующие формулы § 23.62 для
эллипсоидальных гармонических функций даны Уиттекером (Whittaker,
Proc. London Math. Soc (2), XIV (1915), 260—268). Доказательства формул,
содержащих функции третьего и четвертого видов, даны в этой работе
впервые.
23.6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ ЛАМЕ 1-ГО И 2-ГО ВИДА 477
Результат применения оператора
~ — п (я + 1) k2 sn2 а — Ап
к интегралу
2А
J* Рп (k sn a sn 9) Е% (9) d9
-2К
будет поэтому
2К
J —я(я_]_ 1)й28П2а — H^|p„(fesnasn9)E™(9)rf9 =
-2А
2/Г
= У* — п (п -+-1) k2 sn2 9 — А'п | Pn (k sn a sn 9)j (9) <Z9,
-2K
откуда, интегрируя два раза по частям, получим
Г дРп (fe j; а sn 6)- Е% (9) - рп {k sn a sn 9) 4-
L и и <* v J
2К
/ Рп (k sn а sn 9) ---п(п-\- 1) #2sn2 9 — Д™ } £^(9)rf9 — 0.
-2Я"
Отсюда следует, что оператор
-^-2---п (п + 1) !г sn2 а — А™
аннулирует интеграл
+2К
J P„(Asnasn9)E^(9)rf9;
-2А
кроме того, этот интеграл есть, очевидно, полином степени п относи-
тельно sn2a. Так как уравнение Ламе имеет только один интеграл
этого типа!), то заключаем, что интеграл будет кратным функции
Еп (а), если он не нуль; таким образом, результат установлен.
Оказывается, что всякое характеристическое число уравнения
2А
/(a) = A J* Рп (k sn a sn 6) /(6) М
-2К
приводит к решению уравнения Ламе (см. Ince, Proc. Royal Soc. Edin., XLII
(1922), 43—53).
') Второе решение, будучи разложено по нисходящим степеням sna,
начинается с члена (sn а)~"~1.
478 ГЛ. 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ функции
Пример 1. Показать, что ядро интегрального уравнения, которому
удовлетворяет функция Ламе первого -вида (с четным п) или второго вида
(с нечетным п) с множителем сп а, может быть взято равным
Рп сп а сп 9
Пример 2. Показать, что ядро интегрального уравнения, которому
удовлетворяет функция Ламе первого вида (с четным п) или второго вида
(с нечетным п) с множителем dn а, может быть взято равным
23.61. Интегральное уравнение, которому удовлетворяют
функции Ламе третьего и четвертого вида
Теорема, аналогичная теореме § 23.6 в случае функций Ламе
третьего или четвертого вида, заключается в том, что функция Ламе
четвертого вида (с нечетным п) или третьего вида (с четным п)
с множителем cnadna удовлетворяет интегральному уравнению
Е™(а.)=Л J* cna dn а сп 9 dn 9 Рп (k sn a sn 6) Е„ (9) d9.
Аналогично § 23.6 необходима предварительная лемма, заклю-
чающаяся в том, что оператор
-4-5- — -/м — /г (п 4- 1) й2 (sn2 a — sn2 9)
да* ov* ' '
аннулирует ядро
cn a dn а сп 9 dn 9 Р"п (k sn a sn 9).
В самом деле, имеем
{cn a dn a Р" (k sn a sn 9)] —
==&2 cn3 a dn3a sn2 9P^V (p)—ЗЙ sn a cn a dna sn 9 (dn2 a4~A2cn2a)P"' (p) —
— cn a dn a (dn2a 4- k2 cn2 a — 4A2 sn2 a) P'n (p),
и следовательно,
< d2 d2 1 ,
< -г-5--V7T > !cn a dn a cn 9 dn 9 P'(k sn a sn 0)1 =
( Oa* do2 | I n I
— k cn a dn a cn 9 dn 9 (sn2a—sn2 9) [(p2 — 1)P^V (p) + 6pP^ (p)4-
4- §P'n (p)} = &2cn a dn a cn 9 dn 9 (sn2 a — sn2 9) |(p2—l)P’n (p-)l =
— k2n («4“ 1) cn a dn a cn 9 dn 9 (sn2 a — sn2 9) P" (p),
23.62. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
479
что и доказывает лемму. Доказательство того, что Ет{л) удовле-
творяет интегральному уравнению, получается теперь точно так же,
как и в случае интегрального уравнения § 23.6.
Пример 1. Показать, что ядро интегрального уравнения, которому
удовлетворяют функции Ламе четвертого вида (с нечетным п) или третьего
вида (с четным п) с множителем sn a dn а, может быть взято равным
sn a dn a sn 0 dn О Р" СП а СП 0^ .
Пример 2. Показать, что ядро интегрального уравнения, которому
удовлетворяют функции Ламе четвертого вида (с нечетным п) или третьего
вида (с четным п) с множителем sna спа, может быть взято равным
sn а сп a sn 0 сп 8 р"п (-р- dn a dn ©j .
Пример 3. Получить три следующих интегральных уравнения, ко-
торым удовлетворяют функции Ламе четвертого вида (с нечетным п) и
третьего вида (с четным п):
(1) A2sn2a£™ (a) ==
f d I 1 dEn (9) I
= X cn a dn a I Pn (k sn a Sn 0) 1 -„j—„ --77,-- ( d0,
J " ' dO I cn 0 dn 0 d0 ) '
—IK
(П) — k2 cn2 a £™ (a) =
2 T Iik \ d [ 1 dE"1 (0) 1
= ?.A' snadna j Рд I-ту-cna СП 0)-^д < -n „-------tt.- Id0,
J n\ k' / dO sn 0 dn 0 dO ’
-2A ' ’
(III) X2 dn2 a (a) =
2 ГК I 1 \ d ( 1 dE™(b\ 1 „
— Kk' snacna I P-dnadn0)-^r ---------------й-к- ---тт.-
J \ k / dO sn 0 cn 0 d0
-IK
в случае функций четного порядка каждая из функций различных типов удо-
влетворяет только одному из этих уравнений.
23.62. Интегральные формулы
для эллипсоидальных гармонических функций
Рассмотренные интегральные уравнения позволяют получить
изящное представление эллипсоидальной гармонической функции
G™ (х, у, z) и соответствующей однородной гармонической функции
Н™ (.х, у, z) через определенные интегралы.
480 ГЛ. 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ функции
По общей формуле § 18.3 очевидно, что Н„(х, у, z) может
быть представлена в форме
те
Нп(х, у, z)~ J (х cos t у sin t -4- lz)n f (t) dt,
— те
где f(t)—периодическая функция, подлежащая определению.
Но результат применения оператора Нивена D2 к функции
(х cos 14~ У sin t -j- lz)n будет
я (я — 1) (a2 cos21 b2 sin21 — c2) (x cos 14- у sin t 4- iz)n~2,
и, таким образом, по формуле Нивена (§ 23.25) найдем, что
Од (х, y,.z) может быть представлена в виде
те
Gn (х, у, z) = Г\%“- У Г'2»24-
—те
I »(я—1) (я —2) (я —3) 9Гл-4«4 _ ) f ..
2 • 4 (2я — 1) (2л —- 3) л ...jjwat,
где
= х cos t у sin 14- Iz,
2J ss )/(a2 — f2) cos21 -4- (b2 — c2) sin21 ’
так что
(* У> z) =
__ 2" (n!)2 f / x cos / 4-у sin 4-zz
— (2я)! J "\V(a1 — c2} cos21 4- (b2 — c2) sin21
— те
Положим теперь sin t = cd 9, причем модуль эллиптических функ-
ций, как обычно, дается равенством
f(f)dt.
Новыми пределами интегрирования будут —3^ и К, но они
могут быть заменены —2К и 2К вследствие периодичности под-
интегрального выражения.
Таким путем найдем, что
2К
oj(x. у. 2)= f р. \т(8)д,
-чк ' Vе /
где ср (9) — периодическая функция от 9, не зависящая от х, у, z и
все еще подлежащая определению.
23.62. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
481
Если выразить эллипсоидальную гармоническую функцию как
произведение трех функций Ламе, то с помощью формул § 23.5
найдем, что
2К
Е^(а)Е^^)Е^^) = С f P„(fi)cp(9)d9,
-2tf
где С — известная постоянная и
k2
р. = k2 sn a sn p sn у sn 9 — cn a cn p cn 7 cn 9 —
k
dn a dn 8 dn 7 dn 9.
Если рассматриваемая эллипсоидальная гармоническая функция —
первого вида или второго вида и первого типа, то, дав j) и у част-
ные значения
видим, что
P=K, 1==К + 1К'.
2К
С J* Рп (k sn a sn 9) ср (6) db
-2К
есть решение уравнения Ламе, и следовательно, по § 23.6 ср (9) есть
решение уравнения Ламе, которое не может быть не чем иным* 1),
как кратным функции Е„ (9).
Отсюда получается, что
2К
G”(x, у, z) = K f Рп ( k'x sn ° + Усп6+/> dn 0 \
-2К ' УЬ2 — С2 )
где X — постоянная.
Если G„ (х, у, z) — второго вида и второго или третьего типа,
то положим
р = 0, *[ = К-\-1К'
или
Р = 0, 7 = К
соответственно и получим снова ту же самую формулу.
*) Если бы <р (0) содержала второе решение, то интеграл не сходился бы.
1/< 15 Э. Т. Уиттекер. Дж. Н. Ватсон
482 ГЛ. 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ функции
Таким образом, получается, что если G™ (х, у, z)— какая-нибудь
эллипсоидальная гармоническая функция первого или второго вида, то
2К
G™(x, у, z) = k f P„(p)Z^(9)d9,
-2Х
(X, у, z) = X----------------- х
- п
2'2 (я!)2 (62 —с2)2
гс
X (k'x sn 9 у сп 0 -|- Iz dn 9)" Е„ (fr)dd,
— Я
где
k'x sn 6 + у сп О -I- iz dn 9
U Е=--------т----- .
г Уь2 — с2
23.63. Интегральные формулы
для эллипсоидальных- гармонических функций
третьего и четвертого вида
Чтобы получить интегральные представления для гармонических
функций третьего и четвертого вида, обратимся к уравнению § 23.62,
а именно:
Е^Е^Е^^С f РЛ(|1)?(9)Д
-2 А
где
1
р.=й2 sn a sn р sn 7 sn 9-р^-сп а cn ? cn T cn ®-dn a dn p dn 7 dn 9;
этому уравнению удовлетворяют гармонические функции всех видов.
Предположим теперь, что £«(<*)—четвертого вида или первого
типа третьего вида, так что она имеет множителем cnadna.
Продифференцируем уравнение по р и 7 и затем положим р = К,
7==Л’_|_г%/.
Таким путем найдем, что
Er [ dp
= С J
-2К
2К
дгРп (й) 1
<p(9)d9.
23,7. ОБОБЩЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛАМЕ
483
Но
ГдРп (Р-) 1 _------1 jn a dn р dn 0 Р'п (р),
L ii=K+iK'
так что
[--^”5—-1 = — й cn a dn а сп 9 dn 9Рп (A sn а sn 9).
L op Jp=K, у^к+iK'
Поэтому
2К
J* сп а dn а сп 9 dn 9 Рп (k sn а sn 9) ср (9) <79
-2 Д’
есть решение уравнения Ламе с множителем сп a dn а, и таким об-
разом, по § 23.61 <р(9) не может быть не чем иным, как крат-
ным функции Е"1 (а).
Таким образом, мы нашли, что формула
2К
G”(x, y,z) = X f Рп(^Е,л(9)бд
-2К
имеет место для любой эллипсоидальной гармонической функции,
имеющей множителем cnadna; соответствующая формула для одно-
родной гармонической функции будет
Н^х. у, z) — X---------(2”)! 1я X
2” (п!)2(62 — с2)2 ”
2К
X J* (k'x sn 9 -f-y cn 9 4- Izdn в)” (9) dd.
-2K
Пример. Показать, что формула этого параграфа имеет место для
эллипсоидальных гармонических функций, имеющих множителем snadna
ИЛИ sn а СП а.
23.7. Обобщения уравнения Ламе
Два обобщения уравнения Ламе напрашиваются сами собою.
В первом постоянная В не равна ни одному из характеристических
значений В™, для которых одно из решений выражается как алге-
браическая функция от (э (и); во втором степень н не предполагается
более целым числом. Первое обобщение полностью было разработано
Эрмитом1) и Альфаном2); единственный случай второго обобщения,
привлекший некоторое внимание, это тот, когда п равно половине
’) Hermite, Comptes Rendus, LXXXV (1877), 689—695, 728—732,
821—826.
2) H a 1 p h e n, Fonctions Elliptiques, Il (Paris, 1888), 494—502,
X15*
484 ГЛ 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ функции
нечетного целого числа; этот случай был рассмотрен Бриоски’),
Альфаном* 2) и Кроуфордом 3).
Рассмотрим теперь решение уравнения
1)^(«)_р23} Л.
где В — произвольное, а п — положительное целое число, методом
Линдемана — Стилтьеса, уже объясненным в связи с уравнением
Матье (§§ 19.5—19.52). Произведение какой-либо пары решений
этого уравнения является решением уравнения
-g- _ 4 [п (п + 1) $ (и) + В} - 2я (я + 1) Г (я) X = О
по § 19.52. Алгебраическая форма этого уравнения будет
4(£ — ег)($ — е2)(; — e3)-rfp~+ 3
— 4 {(я2 4-я — 3)^4-В} ~ — 2я(я4- 1)%-=0.
Если искать решение этого уравнения в виде ряда по убываю-
щим степеням $ — е2:
Х=^сг(^-е2)п-г (с0—1),
г = 0
то рекуррентная формула для коэффициентов сг будет
4г (я —г+у)(2я—г+1)сг =
= (я — г 4- 1) {12е2 («— г) (я—г2)— 4е2(я24- «—3)— 4В) сг_,—
—2(я —г+ 1)(я — г-^Ч){ех — е2)(е2 — е3)(2я — 2г 4-3)с,_2.
Положим г = я4-1‘, тогда увидим, что сл+1 = 0, затем положим
г = я4- 2 и получим сл+2 = 0; рекуррентные формулы при г > я-|- 2
удовлетворяются, если положим
сл+3 = сп+4= ... =0.
Следовательно, обобщенное уравнение Ламе всегда имеет два
решения, произведение которых имеет вид
>) Brioschi, Comptes Rendus, LXXXVI (1878), 313—315.
2) H a 1 p h e n, Fonctions Elliptiques, II (Paris, 1888) 471—473.
3) Crawford, Quarterly Journal, XXVII (1895), 93—98.
23.7. ОБОБЩЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛАМЕ
485
Этот полином может быть переписан в виде
П{н«)-ти.
где ар а2.....ап пока определены с точностью до знаков; эти
два решения уравнения Ламе назовем Лр Л2.
Можно различить два случая: (I) когда -у1- постоянно, (II) когда
л2
А)
—Л не постоянно.
Л2
(I) Первый случай рассмотреть легко; ибо если полином
П{5~Р(«г)}
Г = 1
не есть полный квадрат относительно возможно умноженный на
выражения типа В— В— е2, В — е3, то алгебраическая форма урав-
нения Ламе имеет определяющее уравнение, один из корней кото-
рого равен в одной или нескольких точках В = ^(аг), а в дан-
ном случае это не имеет места (§ 23.43).
Следовательно, полином должен быть квадратом, умноженным,
возможно, на одно или более из выражений В—В — е2, В — е3,
и тогда Aj является функцией Ламе, так что В равно одному из
характеристических значений В™; но это — случай, подробно рас-
смотренный в §§ 23.1—23.47.
(II) Во втором случае имеем (§ 19.53)
Д ^_Л ^А1_ = 2б„
1 du 2 du
где 6— постоянная, не равная нулю. Тогда
din А2 din A| 2G
du du X ’
dlnA2 । din A, 1 dX
du 1 du X du
так что
dinA] _ 1 dX G dlnA2 _ 1 dX_ ,
du 2X du X ’ du ЧХ du ' X '
Проинтегрировав, увидим, что можно взять
Aj = j/А ехр j— 6 J* 4г}’
16 Э, Т. Уиттекер, Дж. И. Ватсон
486
ГЛ. 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
С другой стороны, если продифференцируем уравнение
1 сЩ _ 1 dX_________
Л] du 2Х du X ’
то найдем, что
1 d2A, f 1 dXt )2 1 d2X 1 (dX\2 6 dX
Xx du2 ( Л| du f — 2X du2 2X2 \ du / X2 du ’
отсюда при помощи уравнения Ламе получим интересную формулу
, , . r 1 d2X / 1 dX\2 > G2
Если теперь == j? (аг), то по
найдем, давая и частное значение
IdX \2
\ di
du2 (2Х du I ~ X2 '
этой формуле (умноженной на Л"2)
аг, что
4G2
VW
Фиксируем теперь знаки ар а2, ап, взяв
(dX\ _ 2g
\ di ~~ +!?' (ar) 1
2(£
Тогда, если разложим как функцию от на простейшие
дроби, то увидим, что
п п
^-=2 - s {^ («- «г) - ^(«+«л- (О1.
г=1 Г Г=1
2
и следовательно,
п
| 2 {lgo(ar + «) —1go(ar—«)— 2wC(a,)}
X ехр
откуда следует, что (§ 20.53, пример 1)
п ( п
г=1 Г=1
И
п
Л2 = ТТ { а(«)а(а,) } еХр 1 ( 1
Г=1 Г-1 )
Таким образом, получено полное решение для произвольных
значений постоянной В.
23.71. ФОРМА ЯКОБИ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЛАМЕ 487
23.71. Форма Якоби обобщенного уравнения Ламе
Мы построим теперь решение уравнения
= {л(л _|_ 1) *2 8П2а-ф- Л} д
для любых значений А в форме, похожей на форму § 23.6.
Решение, соответствующее решению § 23.6, будет1)
А — ТТ J Н <а + I е?а
11.1 О(а) Г ’
г = 1
где р, ар а2, ..., ал— постоянные, подлежащие определению.
Дифференцируя это равенство, найдем, что
1 а _ v ( н'(“ + М 0/ (“)) । , _
А ~ { Н (а фаг) в (Л /
Г=1
п
= 2 {Z (а + аг 4- IK') - Z (а)} + р +1 ПкЦК,
Г=1
так что
1 d2A f 1 dA )2 vt
-r-—7-5--— /j dn^a-j-a.-P 1К ) — dn2a ,
A da2 ( A da j [ ' Г 1 7 J*
Г = 1
и следовательно, так как А является решением уравнения Ламе,
постоянные р, аь <х2.....ап определяются из условия, что равенство
п (п -ф- 1) k2 sn2 а -ф- А = {dn2 (а -ф- аг -ф- 1К') — dn2 а} -ф-
Г = 1
- п -12
2 {Z (а + а, + iK') - Z (а)} + Р +1 пкЦК
Г=1
должно быть тождеством, т. е. из условия
n2k2 sn2 а -{- п -ф- А -ф- cs2 (а -ф- аг) =
Г = 1
- п -,2
= ^IZ^ + ^ + ^O-ZH + p+jn^
Г=1
) Это решение было опубликовано в 1872 г. в литографированных
записках лекций Эрмита, читанных в Политехнической школе.
16*
488
ГЛ. 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Но обе части предположенного тождества суть двоякопериоди-
ческие функции от а с периодами ЧК, Ч1К', и их особые точки
суть двойные полюсы в точках, сравнимых с —1К', —ар
— а2, .... —ап; главные части их вблизи —1К' и —аг будут
соответственно
п2 1
(а + 1К')2' (а + М2‘
Все вычеты выражения слева равны нулю, и таким образом, если
возьмем р, а2, .... ал так, что вычеты выражения справа будут
нулями, то по теореме Лиувилля эти два выражения будут отличаться
друг от друга только на постоянную, которую можно сделать равной
нулю надлежащим выбором А.
Мы получаем, таким образом, я-|-2 уравнения, связывающих р,
otp я2, . . ., ап с А, но эти уравнения не все независимы.
Легко доказать, что вблизи —аг
п
{Z (« + -ф- 1К') — Z (а)} —|— р —f— ПкЦК =
г=1
п
==VT^ + 2/z(%-ar+^/)+«Z(ar) + p +
Р=1 +|(Я-1)^-4-О(а + аг)>
где штрих обозначает, что член, для которого р — г, опускается;
точно так же вблизи — 1К' имеем
п
2 {Z (a + + iKf) - Z (а)} + р +1 ^1/К =
г=1
п
Г=1
Следовательно, вычеты выражения
- п т2
{Z (a + + IK') - Ъ (а)} + р
_Г = 1
равняются нулю, если р, ар а2, ..., ал выбраны так, что все уравнения
п
2' Z (ap — ar + IK') + п.1 (af) p -|-1 (» - 1) кЦК = 0,
. p = 1
n
£z(«r)+p=o
r=l
удовлетворяются.
23.71. ФОРМА ЯКОБИ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЛАМЕ 489
Последнее уравнение дает просто значение величины р, а именно:
-2Z(af),
Г = 1
и, подставив это значение в систему первых уравнений, найдем, что
2' [z (а, - аг + iK') + Z (аг) - Z (%) 4-1 щ/к] = О,
р=1
где г = 1, 2.....п. Согласно примеру 2 § 22.735 сумма левых частей
этих уравнений равна нулю, так что система эквивалентна самое
большее п—1 уравнению; если ар а2, а„ имеют какие-либо
значения, которые удовлетворяют этим уравнениям, то разность
ra2fe2 sn2 ос 4~ «4~ Лcs2 (ос —|— ar) —
г = 1
Г " I2
- 2 {z (а + + iK') - Z (а)-Z (аг) +1 ^к]
_г = 1
будет постоянной. Взяв а = 0, видим, что эта постоянная равна
нулю, если
Я-4-Л-4-2 cs2ar = { z (ar + — Z (ar) 4- ~i)K | ,
r=i Lr=i k
т. e. если
{n p n
2 cn a, d s a J — 2 ns2 ar = A.
r=l J r=l
Сделаем теперь приведение системы п уравнений; при обозначении § 22.2,
отмечая функции от ар, аг значками 1 и 2, легко видеть, что
Z {ар - аг 4- iK') 4- Z (ar) - Z (ap) 4- 1 rd/К =
— Z (яр — + iK') 4- Z (ar) — Z (ap 4- iK') + Cxdjsx —
= k2 sn (ap 4- iK') sn ar sn (ap 4- iK' — ar) 4- cxdxlsx = — 4. =
о i ьп \p-p <лг) ]
s2 (slc2^2 H" S2C1^1) + (S1 si) SxCxdx 4- -S2c2^2
sl(sl—s2)
Следовательно,
д=±[^«р|-»гИ
Г = 1
490
ГЛ. 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
будет решением уравнения Ламе
{п(я-Ь l)Fsn2a-{- Л) А
в предположении, что аг, а2, <хп выбраны так, что они удовле-
творяют п независимым уравнениям, содержащимся в системе
YV Г sn ар СП ар dn Пр + sn аг СП ar dn аг
L sn2 <х„ — sn2 аг
р = 1
* п Т2
2 cn ar ds аг
_г 1
п
— 2 ns2ar — А,
Г — 1
и если это решение уравнения Ламе не является двоякопериодиче-
ским, то
П[~еЙаГ~ехр {aZM
Г-1
будет вторым, решением.
Существование решения системы п-f-l уравнений вытекает
из § 23.7.
ЛИТЕРАТУРА
G. Lame, Journ. de Math., II (1837), 147—188; IV (1839), 100—125, 126—163,
351—385; VIII (1843), 397—434; Lefons sur les fonctions inverses des trans-
cendantes et les surfaces isothermes (Paris, 1857) Lefons sur les coordon-
nees curvilignes (Paris, 1859).
E. Heine, Journ. fiir Math., XXIX (1845), 185—208 Theorie der Kugelfunk-
tionen, Il (Berlin, 1880)
C. Hermite, Comptes Rendus, LXXXV (1877), 689—695, 728—732, 821—826;
Ann. di Mat. (2) IX (1878), 21—24; Oeuvres Mathematiques (Paris,
1905—1917).
О. H. H a 1 p h e n, Fonctions Elliptiques, Il (Paris, 1888);
F. Lindemann, Math. Ann., XIX (1882), 323—386.
K. Heun, Math. Ann., XXXIII (1889), 161—179, 180—196.
L. Crawford, Quarterly Journal, XXVII (1895), 93—98; XXIX (1898), 196—201.
W. D. Niven, Phil. Trans, of the Royal Society, 182A (1891), 231—278.
A. Cayley, Phil. Trans, of the Royal Society., 165 (1875), 675—774.
G. H. Darwin, Phil. Trans, of the Royal Society, 197 A (1901), 461—557;
198A (1901), 301—331.
E. В. Гобсон, Теория сферических и эллипсоидальных функций, ИЛ, 1952.
Примеры
1. Получить формулу
(х, у, г) = У D2nPn е~и du Нп (х, у, г\
0
(Niven, Phil. Trans. 182А (1891), 245)
ПРИМЕРЫ
491
2. Показать, что
Н ( д д d \ 1 _ (— 1)” • (2д)! Нп (х, у, г)
\дх’ ду ’ dz ) /х2 + у2 + z2 2п п\ ' п+-"
(х2 + у2 + г2) 2
(Hobson, Proc. London Math. Soc., XXIV)
3. Показать, что «внешняя эллипсоидальная гармоническая функция»
Гд (?) Е™ (^) Е™ (С) есть постоянное кратное выражения
, Д2
п\дх ’ ду ’ dz/\ 2 • (2л 4-3)
+_______________________________________________+ )_________1
2 • 4 • (2п 4- 3) (2п 4-5) / ]Е х2 4- у2 4~ г2
(Niven; Hobson, Proc. London
Math. Soc., XXIV)
4. Рассмотреть предельную форму уравнения Ламе, когда инварианты
g2 и g3 эллиптической функции Вейерштрасса стремятся к нулю; выразить
решение через функции Бесселя.
(Haentzschel, Zeitschrift filr
Mats. und Phys., XXXI)
5. Пусть v означает
где X и p — постоянные; показать, что уравнение Ламе имеет решение, ко-
торое выражается как линейная комбинация производных
d"1v dn~3v dn~5v
dtnn~l ' da.n~2’ dan~s ’ '' ’ ’
где X2 и sn2p—алгебраические функции постоянной А.
(Hermite)
6. Получить решения уравнения
— = 12Л2 Sn2 г — 4 (1 4- k2) ± 5 /1 — k2 4- А4.
w dz2 1
(Stenberg, Acta Math., X)
7. Рассмотреть решение уравнения
г(г—1)(г — а)-^-4-
4~ [(“ + ₽ + О г2 — {“ + ₽ — ® 1 + (7 + ®)а}г + °П] ~Ьа?(г — Q) У
в виде ряда,
00
14-аЗУ__________________________________________
PZjn!7(74-l)...(7 + n)’
492
ГЛ. 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
где
О] (?) = ?> О2 (?) = °$?2 + {(“ + ? — 8 + 1) + (Т + 8) а) Я — «Г.
Gn+1 (?)=[«{(“ + ₽ — 6 + «) + (7 + 5 + « — 1) а} + «??] Gn (q) —
— (а + п — 1) (3 + п — 1) (7 + п — 1) паОп_ ((q),
(Heun, Math. Ann., XXXIII)
8. Показать, что показатели в особых точках 0, 1, а, со уравнения Хейна
будут
(0,1-7), (0,1 — 6), (0, 1-е), («,₽),
где
7 + в + г = а + 3 + 1-
(Heun, Math., Ann., XXXIII)
9. Получить следующую группу подстановок для уравнения Хейна,
соответствующую группе
1 г г— 1
1 — г ’ г — 1 ’ ~г ’
ния:
1 z г— 1
1 — г ’ г — 1 ’ г ’
a z z — а
для гипергеометрического
г а — г а
а’ а ’ г ’ а — г ’ г — а’ г ’
г— а г — 1 1 — а а — 1 z — а г—1
1 — а' а — 1’ z — а' г — 1’ г — 1’ г — а’
г — а (а—1) z а (г—1) а (г—1) z — а (1 — а)г
а (г — 1) ’ а (г — 1) ’ г — а ’ {а— 1) z ’ (1 — a) г ’ г— а '
(Heun, Math. Ann., XXXIII)
10. Обозначая ряд примера 7 через
F (a, q; а, £, 7, 8; г),
получить 192 решения дифференциального уравнения в форме степеней
г, г—1 и г—а, умноженных на функции типа F.
[Хейн дает 48 этих решений.]
11. При « = 2о показать, что уравнение Ламе
d2A
.^Г={« (п. + !)£>(«) + В] д
может быть преобразовано в уравнение
-J4- - 2« Оу ~ + 4 [п (2/г — 1) ? (v) - В] L = 0
dv2 ft (у) dv 1 ' ' J
при помощи подстановки
Д={Г (0}-пД.
12. Полагая С = j? (о), показать, что
£=рг(С-е,Г
г=0
примеры 493
есть формальное решение уравнения примера 11, причем а и Ьг определяются
уравнениями
(<х—2л) (а— л + у) = 0
И
4 (а — Г — 2п) (а — г — П 4- -i-) Ьг [12г2 (а — г 4- 1) (а — г —2п 4- 1) 4-
4- 4г2л (2n—l) — 4B]Z>r_1 —
— 4 G?i — е2) (*г — е3) (а — г 4- 2) (а — г — п 4- ^Ьг _ 2 = 0.
(Brioschi, Comptes Rendus,
LXXXVI (1878), 313—315 и Halphen)
13. Показать, что если п равно половине нечетного положительного
целого числа, то решение уравнения примера 11, которое выражается в ко-
нечной форме, имеет вид:
1
п~ 2
i = 2 br£-e2)2n-r'
r = 0
причем br определяются уравнениями
4г (п— г 4- у) 4- [12г2 (2п — г 4- 1) (г — I) — 4г2и (2п — 1) 4-4В] Ьг_} 4-
4- 4 (г, — е2) (е2 — е3) (2п — г 4- 2) (п — г 4- у) Ьг_2 = О,
а В определяется так, чтобы b г = 0.
”+2'
(Brioschi и Halphen)
14. Показать, что если п равно половине нечетного целого числа, то
решение уравнения примера 11, которое выражается в конечной форме,
имеет вид:
1
я-2 1
* , п-р—-
£'=2М'~^
причем Ьр определяются уравнениями
4? (п4-/> +4)Z,P —
— [12е2 (л —Р 4- j) (я 4-Р — j) — 4*2я (2я — 0 + 45 ] ь'р-л +
(3\ t
п — р 4-— l)0p.2=°,
а b 1=0 есть уравнение, которое определяет В.
(Crawford)
494
ГЛ. 23. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
15. Сохраняя обозначения примеров 13 и 14, показать, что если
f’p = (—1)р (е, — е2)р (е2 — е3)р с ,,
• п-р--
то уравнения, которые определяют с0, с р тождественны с урав,
п~'2
нениями, определяющими ba, bt.....b ,, и вывести отсюда, что если одно
П~'2
из решений уравнения Ламе (в котором п равно половине нечетного целого
числа) выражается как алгебраическая функция от j? (v), то тем же свойст-
вом обладает и второе.
(Crawford)
16. Доказать, что значения В, определяемые в примере 13, вещественны,
когда eit е2, е3 вещественны.
17. Показать, что общим решением уравнения
будет
1 d2A 3 пх
A du2 4 ° '
где А и В — произвольные постоянные.
(Halphen, Мёт. par divers savants,
XXV11I (I), 1880, 105)
18. Показать, что общим решением уравнения
будет
1 d2A
A da2
3 1
= |Fsn2a-±(l + A2)
А = | sn (С — а) СП i (С — a) dn -i- (С — а)
1
о ( 1
р + В8п2у(С — а)
где А и В — произвольные постоянные и С == 2К + iK!
(Jamet, Comptes Rendus, CXI)
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ1)
Абель (Abel N. Н.) I 29, 30, 73, 83,
84, 297, 324; II 184, 277, 291, 307,
374, 381, 394, 404—405, 422
Адамар (Hadamard J.) I 152, 299
Адамов А. II 182, 186, 187
Адамс (Adams J. С.) I 177; II 152,
260
Аити (Aichi К.) II 286
Айне (Ince Е. Lindsay) II 261, 284,
286, 288, 477
Александров П. С. I 65
Алексеевский II 56
Альфан (Halphen G. Н.) II 320, 368,
458, 464, 483, 484, 490, 493, 494
Амигес (Amigues Е. Р. М.) I 173
Андинг (Anding, Е.) II 221
Аппель (Appel Р. Е.) II 102, 106, 161,
252 275
Арган (Argand J. R.) I 20
Ахиезер Н. И. II 325, 369, 427
Барнс (Barnes Е. W.) I 179, 222;
II 15, 57, 78, 88, 101, 105, 108, 150,
163, 175, 176, 182, 208
Бассет (Basset А. В.) II 213, 214, 230
Бауэр (Bauer G.) II 155, 252
Бахман (Bachmann Р.) I 23
Бейкер (Baker Н. F.) I 78
Берже (Berger А.) I 270
Бернсайд (Burnside W. S.) I 299;
II 196, 321, 327
Бернулли Д. (Bernoulli Daniel) I 224-
II 190
Бернулли И. (Bernoulli Johann) I 335
Бернулли H. (Bernoulli Nicolas) 1 29
Бернулли Я. (Bernoulli Jacob) I 177,
179; II 190, 290, 335
Бертран (Bertrand, G. L. F.) I 103;
II 253
Бессель (Bessel F. W.) II 168. 169,
189, 205
Бессо (Besso D.) II 184
Бинё (Binet J. P. M.) II 32, 40, 51,
52, 54, 55, 126
Бо (Beau О.) I 274
Бобек (Bobek К ) II 434
Больцано (Bolzano В.) I 24
Бонне (Bonnet P.) I 94, 225, 248
Борель (Borel Ё.) I 78, 142, 153, 196,
202, 216, 217, 222, 223
Борхардт (Borchardt C. W.) I 149;
11 325 335
Бохер (Bocher M.) I 119, 287, 298,
311, 323, 324, 325; II 196, 464
Браункер (Brouncker W.) I 28
Врио (Briot С.) II 325, 334, 368
Бриоски (Brioschi F.) II 484, 493
Бромуич (Bromwich T. J. Га) I 21,
39, 41, 50, 57, 67, 73, 85, 109, 117,
202, 219, 222, 328; II 24, 93
Брунс (Bruns H.) II 286
Буке (Bouquet С.) II 325, 334,
368
Бурге (Bourguet J.) II 29, 50, 52, 56,
222, 246
Буркгардт (Burkhardt H. F. K- L.)
I 268; II 140, 250
Бьерлинг (Bjorling E. G.) I 339
Бэйтмен (Bateman H.) I 184, 324;
II 185, 250, 254, 255
Бэрджесс (Burgess J.) II 169
Бюрман (Burmann H.) I 181
Валле-Пуссен (Vallee Poussin Ch J.
de la) I 58, 85, 104, 117, 153, 226,
243, 252, 255, 268
Валлис (Wallis J.) I 22, 48, 331, 334;
Il 81
’). Римские цифры обозначают I или II часть книги, арабские — стра-
ницы.
496
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ватсон (Watson G. N.) I 65, 78, 85,
113, 153, 222; II 103, 183, 186, 221,
286, 335
Вебер (Weber Н.) II 176, 182, 210,
226, 228, 325, 368
Вейерштрасс (Weierstrass К- Т. W.)
I 14, 24, 62, 66, 72, 142, 153, 156,
192, 327; II 296, 320, 323, 325, 367,
368
Бессель (Wessel С.) I 20
Вольстенхольм (Wolstenholme J.) I 174
Вольтерра (Volterra V.) I 300, 307,
324
Вронский (Wronski J. Ноёпё) I 206
Гамбургер (Hamburger М.) II 268
Гамбьоли (Gambioli D.) I 206
Гамильтон (Hamilton Sir William Ro-
wan) I 18, 243
Ганзен (Hansen P. A.) II 221
Гантмахер Ф. P. I 299
Гаусс (Gauss K- F.) I 18, 20; II 20,
29, 32, 82, 83, 98, 101, 133, 291,
334, 405, 420, 435
Гегенбауэр (Gegenbauer L.) II 149,
159 196 242
Гейне ’(Heine H. E.) I 78, 79; II 128,
133, 136, 149, 150, 205, 221, 253,
335, 473, 490
Гентцшель (Haentzschel E.) II 491
Герриторе (Guerritore G.) II 468
Гёльдер (Holder О.) I 94; II 15
Гиббс (Gibbs J. W.) I 274
Гильберт (Hilbert D.) I 300, 319, 324;
II 250
Гишар (Guichard С.) I 207
Глешер (Glaisher J.) I 177; II 153,
169, 374, 378, 381, 383, 384, 396,
409, 410, 415, 419, 425, 430
Гмайнер (Gmeiner J. A.) I 26
Гобсон (Hobson E. W.) I 13, 21, 78,
82, 97, 109, 117, 225, 226, 268, 328,
336, 341; II 96, 140, 149, 150, 156,
200, 217, 225, 228, 256, 449, 490,
491
Голубев В. В. I 294; II 304
Грегори (Gregory J.) I 29
Грейс (Grace J. H.) I 173
Грэй (Gray A.) II 214, 221
Гудерман (Gudermann С.) II 374, 378,
430
Гурвиц (Hurwitz A.) I 110, 225, 332;
И 58, 325, 369, 427
Гурса (Goursat Ё.) I 78, 85, 88, 117,
123, 124, 152, 202, 294, 324
Гутцмер (Gutzmer C. F. A.) I 155
Даламбер (D’Alembert J. le Rond)
I 36, 224, 225
Даниэльс (Daniels A. L.) Il 325
Данчер (Dantscher V. von) I 21
Дарбу (Darboux J. G.) I 64, 88, 138,
176; II 108, 128
Дарвин (Darwin G. A.) II 454, 490
Дауголл (Dougall J.) II 107, 251, 286
Дебай (Debye P.) II 208
Дедекинд (Dedekind J. W.) I 14, 15,
21
Де Морган (De Morgan A.) I 37, 338
Джеффри (Jeffery G. В.) II 256
Диксон (Dixon A. С.) I 181; II 107,
108, 434
Дини (Dini U.) I 252; II 225
Дирихле (Dirichlet P. G. L.) I 30, 39,
73, 102, 112, 117, 225, 248; II 32,
46, 47, 78, 127
Дирксен (Dirksen E. H.) I 243
Долбня II 332
Донкин (Donkin W. F.) II 256
Дынник II 221
Дю Буа Реймон (Du Bois Reymond
P. D. G.) I 96, 117, 156, 263
Ежек (Jezek О.) I 206
Жаме (Jamet E. V.) II 494
Жордан (Jordan M. E. С.) I 162, 171,
252; II 45, 368
Залшютц (Saalschiit» L.) II 25, 26,
107
Зейдель (Seidel P. L.) I 66
Зейферт (Seiffert L. G. A.) II 426
Зигмунд A. I 268
Зоммерфельд (Sommerfeld A. J. W.)
II 221
Иннес (Innes R. T. A.) II 364
Ишервуд (Isherwood J. G.) II 221
Йенсен (Jensen J. L. W. V.) II 65, 78
Калландро (Callandreau О.) II 200
Кантор (Cantor G. F. L. P.) I 14, 225,
258, 263, 264
Карда (Carda К.) I 177
Карлини (Carlini F.) II 208
Каре (Carse G. A.) I 268
Карслоу (Carslaw H. S.) I 274
Кельвин (Kelvin Sir William Thom-
son, Lord) II 221, 242, 244, 250,
253 438 459
Керзон (Curzon H. E. J.) I 296; II 183
Киперт (Kiepert L.) II 327, 329, 332
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
497
Клаузен (Clausen Т.) II 103
Клебш (Clebsch R. F. А.) II 242, 324
Клейн (Klein G. F.) I 287, 289, 294,
295; II 84, 361, 368, 398, 464
Клеро (Clairaut А. С.) I 232
Клёйвер (Kluyver J. С.) I 199
Кнезер (Knezer J. С. С. А) I 314
Коддингтон Э. А. I 294
Кори (Corey S. А.) I 153
Кох (Koch N. F. Н. von) I 54, 57
Коши (Cauchy A. L.) I 25, 35, 39, 42,
43, 44, 45, 60, 64, 86, 103, 112, 123,
124, 134, 149, 172, 225, 339; II 25,
54, 55, 228, 334
Кристел (Chrystal G.) I 37
Кристоффель (Christoffel Е. В.) II
155
Кронекер (Kronecker L.) I 173, 204;
II 342, 422
Кроуфорд (Crawford L.) II 484, 490,
493 494
Крэг (Craig Т.) I 294
Кузьмин Р. О. II 221
Кх’ммер (Kummer Е. Е.) II 35, 53, 81,
' 86, 101, 103, 163
Купрадзе В. II 264, 282
Курант (Courant R.) I 324; II 250
Кэджори (Cajori F.) I 86
Кэли (Cayleu А.) I 206, 280; II 104,
296, 303, 324, 368, 381, 383, 398,
427, 430, 434, 490
Кэннингхем (Cunningham Е.) I 296
Кэптейн (Kapteyn W.) I 205; II 219
Лагер (Laguerre Е. N.) II 168
Лагранж (Lagrange С.) I 206, 232
Лагранж Ж. Л, (Lagrange J. L.)
I 138, 186; II 117, 163, 184, 189
Лалеско (Lalesco Т.) I 324
Ламе (Lame G.) II 253, 254, 258, 440,
457, 459, 490
Ландау (Landau Е. G. Н.) I 13, 23;
II 74, 78, 80, 168
Ланден (Landen J.) II 354, 396, 397
Ландсберг (Landsberg G.) I 175;
II 351
Лаплас (Laplace Р. S.) I 297; II 29,
123, 208
Лебедев Н. Н. II 48, 101, 150, 183
Лебег (Lebesgue Н.) I 78, 90, 229,
252, 268
Левинсон Н. I 294
Леви-Чивита (Levi-Civita Т.) I 202
Лежандр (Legendre А. М.) I 172,223;
II 13, 20, 22, 40, 41, 51, НО, 113,
120, 145, 150, 158, 168, 290, 379,
385, 394, 404—405, 408, 412, 415,
416, 418, 419, 421, 423, 425, 426
Лейбниц (Leibniz G. W.) I 28, 96,
331; II 190
Лерх (Lerch М.) I 118, 153, 155, 156,
208; II 67, 79
Ли (Lie S.) I 62
Лизем (Leathern J. G.) I 22
Линделёф (Lindelof Е. L.) I 152, 171,
204; II 48, 78, 84
Линдеман (Lindemann С. L. F.)
I 296; II 274, 286, 490
Линдштедт (Lindstedt А.) II 286
Липшиц (Lipschitz R. О. S.) I 252;
II 221
Литлвуд (Littlewood J. Е.) I 129, 222;
II 78, 80
Лиувилль (Lionville J.) I 149, 297,
311; II 293, 325, 334, 466
Ломмель (Lommel Е. С. J. von)
II 191, 201, 221, 224, 225, 228
Лондон (London F.) I 41
Лоран (Laurent R. А.) I 142, 173;
II 136
Лэмб (Lamb Н.) I 90; II 253
Ляв (Love А. Е. Н.) II 250
Ляпунов I 255
Мазерес (Maseres F.) I 14
Макдональд (Macdonald Н. М.) I 170;
II 158, 214, 227, 229, 232
Мак Клинтон (McClintock Е.) I 187
Мак-Лахлан Н. В. II 286
Маклорен (Maclaurin R. С.) I 103,
112, 135, 179, 212; II 260, 286, 290
Мальмстен (Ма1тз1ёп С. J.) II 34
Манжо (Mangeot S.) I 206
Матье (Mathieu Е. L.) II 258, 266,
286, 287, 288
Мейер (Meyer F. G.) I 117
Мейсель (Meissel D. F. Е.) II 221
Мелер (Mehler F. G.) II 127, 206, 228
Меллин (Mellin R. Hj.) I 222; II 48,
88, 101
Меншен (Mansion Р.) I 64
Мерфи (Murphy R.) I 315; II 121, 123
Мерц (Merz J. T.) I 327
Милднер (Mildner R.) I 208
Милн (Milne A.) I 325; II 183, 187
Миндинг (Minding E. F. A.) I 167
Миттаг-Леффлер (Mittag-Leffler
M. G.) I 187
Мольк (Molk C. F. J.) I 29, 328;
II 325, 337, 368, 427
Морера (Morera G.) I 127, 156
Морли (Morley F.) II 107, 368
498
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Мур (Moore Е. Н.) II 15
Мэтьюс (Mathews G. В.) I 327; II 214,
221
Невиль (Neville Е. Н.) II 253
Нейман (Neumann К-) I 311; II 138,
149, 191, 212, 215, 219, 221, 222,
224, 230, 231, 232
Нейман (Neumann F.) II 135
Нетто (Netto Е.) I 92
Нёрлунд (Norlund N. Е.) I 199
Нивен (Niven W. D.) II 253, 440, 449,
490, 491
Николсон (Nicholson J. W.) II 208,
221, 226, 228
Николь (Nicole F.) I 199
Нильсен (Nielsen N.) I 199; II 48, 150,
183, 210, 221, 225, 231
Ньюман (Newmann Е. W.) II 14
Ньютон (Newton Sir Isaak) I 29, 331,
334
Олбрихт (Olbricht R.) II 150, 157, 221
Олдис (Aldis W. S.) II 221
Ольденбург (Oldenburg H.) I 331
Op (Orr W. Me. F.) II 104
Осгуд (Osgood W. F.) I 67, 72, 85,
104, 127
Папперитц (Papperitz J. E.) I 291;
Il 101
Парсеваль (Parseval M. A.) I 257
Пенлеве (Painleve P.) II 330
Пинкерле (Pincherle S.) I 155, 199,
209; II 88, 101, 159
Пирпонт (Pierpont J.) I 109
Пирс (Peirce В. О.) II 221
Плана (Plana G. A. A.) I 204
Полна (P61ya G.) I 171
Портер (Porter M. В.) II 196
Похгаммер (Pochhammer L.) II 44, 96,
104
Прингсгейм (Pringsheim A.) I 29, 30,
41, 42, 50, 57, 156, 328; II 33, 48
Пуанкаре (Poincare J. Henri) I 54,
212, 222
Пуассон (Poisson S. D.) I 175, 225;
II 207, 227, 246, 351
Пэнтон (Panton A. W.) I 299; II 196,
321
Раабе (Raabe J. L.) I 178; II 51
Равю (Ravut L.) I 127
Райф (Reiff R. A.) I 29
Рассел (Russel H. B. A. W.) I 16,21,
327
Релей (Rayleigh J. W. Strutt, Lord)
I 268; II 246, 250, 286
Риман (Riemann G. F. В.) I 41, 57,
90, 117, 123, 124, 225, 226, 243, 252,
258, 262, 268, 291, 294, 295; II 58,
60, 68, 78, 98, 101, 214
Рисе (Riesz M.) I 219
Ритт (Ritt J. F.) I 215
Родриг (Rodrigues О.) II 111
Салмон (Salmon G.) II 324
Селлерье (Sellerier С.) I 156
Сильва (Silva J. A. Martins da) II 153
Сильвестр (Sylvester J. J.) I 54, 327;
II 251, 276
Симон (Simon H.) I 58
Смирнов В. И. II 101, 150, 221, 250
Смит (Smith В. А.) II 221, 341, 342,
368, 431
Солднер (Soldner J. von) II 169
Сонин Н. И. II 199, 226, 229
Стенберг (Stenberg О. А.) II 491
Стилтьес (Stieltjes Т. J.) II 52, 155,
168, 274, 278, 286, 464, 471, 472,
473
Стирлинг (Stirling J.) I 135, 179, 199,
212; II 87
Стокс (Stokes G. G.) I 66, 106, 112,
118, 213, 234, 243, 288; II 221, 227
Стретт Дж. — см. Релей
Стюарт (Stewart С. А.) II 368
Сушкевич А. К- II 321
Сэвидж (Savidge Н. G.) II 221
Таннери (Tannery J.) I 328, 331;
II 325, 337, 368, <27
Тейлор (Taylor В.) I 133
Тейт (Tait Р. G.) II 242, 244, 250, 438
Тейшейра (Teixeira F. G.) I 184, 186,
204, 205; II 155
Титчмарш (Titchmarsch Е. С.) I 266,
268
Тодгунтер (Todhunter I.) I 289; II 150
Томе (Thome L. W.) I 279, 294; II 138
Томсон (Thomson Sir William) — см,
Кельвин
Трансон (Transon А. Е. L.) I 206
Туиди (Tweedie С.) I 179, 199
Уайтхед (Whitehead A. N.')' I 21, 327
Уилбрэм (Wilbraham Н.) I 274
Уилсон (Willson R. W.) II 221
Уиттекер (Whittaker Е. Т.) I 298, 325;
II 162, 165, 167, 176, 182, 183, 185,
236, 250, 261, 266, 284, 286, 325,
390, 476
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
499
Фабер (Faber G.) I 328
Фаньяно (Fagnano Giulio Carlo de
Toschi di) II 290
Фату (Fatou P.) I 229
Фейер (Fejer L.) I 225, 238
Феррере (Ferrers N. M.) II 140, 150
Филон (Filon L. N. G.) II 250
Флоке (Floquet A. M. G.) II 268, 286
Фо (Feaux В.) II 35
Форсайт (Forsyth A. R.) I 275, 284,
286, 289, 294; II 86, 235, 238, 239,
251, 298, 324, 413, 430, 436
Фредгольм (Fredholm E. I.) I 300, 324
Френд (Frend W.) I 14
Фреше (Frechet M.) I 324
Фрике (Fricke R.) II 361
Фробениус (Frobenius F. G.) I 279,
284, 294- II 133, 140, 279, 313, 329
Фукс (Fuchs I. L.) I 279, 294; II 268
Фурье (Fourier J. B. J.) I 225, 266;
II 250, 335
Фусс (Fuss P. H.) II 16
Фюрстенау (Fiirstenau E.) I 54
Халм (Halm J. К. E.) I 296
Ханкель (Hankel H.) I 21; II 26, 202,
208, 209, 211, 214, 221, 225, 231
Харгрив (Hargreave C. J.) II 227
Харгривз (Hargreaves R.) II 119
Харди (Hardy G. H.) I 21, 30, 57, 73,
74, 85, 100, 118, 196, 219, 222, 243,
329; II 68, 78, 80, 102, 408
Харкнесс (Harkness J.) Il 368
Харнак (Harnack A.) I 225
Хейвуд (Heywood H. В.) I 324
Хейман (Heymann K- W.) II 103
Хейн (Heun К.) II 153, 464, 490, 492
Хеффтер (Heffter L. W.) I 63
Хикс (Hicks W. M.) II 253
Хилл (Hill G. W.) I 54, 61, 139;
II 102, 260, 261, 273, 286
Ходжкинсон (Hodgkinson J.) II 123
Хэнкок (Hancock H.) II 360, 368, 376
Чапмен (Chapman S.) I 222
Чезаро (Cesaro E.) I 58, 84, 217, 219
Шайбнер (Scheibner W.) I 154, 155
Ulapnii (Charpit P.) II 239
Шартье (Chartier J.) I 104, 112
Шафхайтлин (Schafheitlin P.) II 232
Шварц (Schwarz К. H. A.) I 327;
II 296, 320, 325
Шендель (Schendel L.) II 159
Шёнгольцер (Schonholzer J. J.) II 223
Ширер (Shearer G.) I 268
Шлезингер (Schlesinger L.) I 294
Шлефли (Schlafli L.) II 111, 150, 155,
156, 191, 198, 199, 210, 213, 223,
225
Шлёмильх (Schlomilch О. X.) I 199,
201, 202, 223, 323, 329, 331; II 24,
48, 56, 168, 188, 219
Шмидт (Schmidt O. J. E.) I 319, 324
Штикельбергер (Stickelberger L.) II
313 329
Штольц (Stolz О.) I 21, 26, 42
Штрёмер (Stromer F. C.'M.) I 172
Штурм (Sturm J. C. F.) II 466
Шумахер (Schumacher H. С.) II 404
Эйзенштейн (Eisenstein F. G. M.)
I 77
Эйлер (Euler L.) I 29, 100, 168, 179,
212, 217, 223, 225, 229, 335; II 13,
16, 41, 43, 49, 50, 52, 54, 58, 81,
168, 189, 212, 246, 335, 368, 379,
404
Эйри (Airey J. R.) II 221
Эмбер (Humbert P.) II 286
Эмде (Emde F.) II 169, 221
Эннепер (Enneper A.) II 325, 427
Эрмит (Hermite С.) II 106, 107, 155,
181, 274, 327, 329, 333,368,464,483,
487, 490, 491
Юнг (Young W. H.) I 82; II 225, 260,
286
Якоби (Jacobi K. G. J.) I 60, 154, 155,
175; II 126, 207, 290, 291, 334, 335,
337, 341, 343, 345, 351, 356, 358,
368, 369, 370, 374, 378, 379, 381,
383, 394, 398, 400, 401, 404—405,
407, 410, 415, 418, 419, 426, 427,
428, 437
Якобсталь (Jacobsthal W.) II 163, 182
Янке (Jahnke P. R. E.) II 169, 221
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ’)
Абеля неравенство 1 29
следствие Харди I 30
Абсолютная сходимость | двойных
рядов I 43 к
признак Даламбера I 36
~, — Де Моргана I 37
— Коши I 35
~ ряда I 32
Абсолютно сходящиеся | бесконечные
произведения I 48
~ двойные ряды I 43
~ ряды I 32
~ , основные свойства I 40, 41
-----, умножение I 44
Абсолютное значение — см. Модуль
Автоморфные функции II 325
Аксиомы арифметики и геометрии I
327
Алгебраическая лемма Адамара I 299
Амплитуда I 20
Аналитическая функциональная зави-
симость I 62, 122
Аналитические выражения I 120
— функции I 120—156
значение в точке, лежащей внутри
контура I 127, 128
~, Коши теорема I 124
неравенство Коши I 130
~, обращение Морера теоремы Коши
I 156
определение I 121
~, отличие от монотонной функции
(по Борелю) I 142
—, представляемые интегралами I 132
~, представляемые равномерно схо-
дящимися рядами I 131
^-.производные I 129
Аналитические функции, уравнения
Римана I 123
Аналитическое продолжение I 138, 139
~ гипергеометрического ряда (функ-
ции) II 90
~, невозможность I 140
~ по двум различным путям I 139
~, формула I 140, 197, 198
Аналитичность суммы степенного ря-
да I 132
— функции I в области I 122
~ во всей области I 126
~ в смысле Коши I 121, 141
~ ~, эквивалентность определению
Вейерштрасса I 141
— в точке I 122, 127
~ по Вейерштрассу I 141
Аналог параллелограмма периодов II
325
Аргана диаграмма I 20
Аргумент I 20, 339
—, главное значение I 339
—, непрерывность I 339
— суммы комплексных чисел I 21
Асимптотические разложения I 210—-
223
дифференцирование I 215
интегрирование I 214
~, умножение I 213
Асимптотическое равенство для функ-
ции параболического цилиндра
большого порядка II 187
Асимптотическое разложение | бесселе-
вых функций II 206—208, 210, 214
~ ~ при большом |z| II 206—207
~ ~ Ханкеля для комплексной обла-
сти II 208
*) Римские цифры обозначают I или II часть книги, арабские — страницы.
Тире (—) заменяет слово, тильда (~)—группу слов (если заменяется не
весь предыдущий термин, то конец заменяемой группы слов отмечен вер-
тикальной черточкой).