МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени М.В. ЛОМОНОСОВА
Механико-математический факультет
Б. Я. ЛЕВИН
ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ
( КУРС ЛЕКЦИЙ )
МОСКВА-1971

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИA^eни М. В. ЛОМОНОСОВА
Механико-математический факультет
Б. Я. ЛЕВИН
ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ
( КУРС ЛЕКЦИЙ)
MOCKBA-I97I

ВВЕДЕНИЕ
Теория целых функций является одной из классических областей
теории функций. Вопросы связи распределения корней целой функции
с ее ростом были исследованы еще в 90-х годах XIX века и в начале
XX века в работах Адамара, Бореля, Линделефа, явившихся дальнейшим
развитием классических теорем Сохоцкого, Вейерштрасса, Пикара. К
проблемам целых функций сводятся многие задачи теории
дифференциальных уравнений (задачи единственности, задачи полноты и
минимальности семейств решений и др.) , задачи теории интерполирования,
проблемы полноты экспоненциальных семейств и др.
Многочисленные применения теория целых функций нашла в
различных областях функционального анализа, в особенности в теории
банаховых алгебр. В настоящее время интерес к целым функциям все
возрастает как со стороны специалистов по дифференциальным уравнениям,
так и со стороны специалистов в области функционального анализа.
Несмотря на известную законченность теории, остается открытым даже
ряд классических вопросов.
В настоящем курсе лекций излагается общая теория целых
функций, а также разбирается ряд вопросов, имеющих приложение к
дифференциальным уравнениям и к функциональному анализу* Большое
внимание уделено вопросам приложения целых функций к задачам
функционального анализа и, в частности к банаховым алгебрам. Предлагается
также ряд задач для решения.
Желающим глубже ознакомиться с теорией целых функций следует
обратиться к монографии Б.Я.Левина "Распределение корней целых
функций11.
3

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ
ЛЕКЦИЯ I
Целой функцией называется функция аналитическая во
всей комплексной плоскости, то есть представляющаяся степенным
рядом вида
£(t)=fc„2\ ест "JToTT^O.
о ' /?-*<»
Это наиболее простой класс аналитических функций. ■
Он всего блике к полиномам. Полиномы классифицируются по их степе-]
ням, то есть по их росту при /2/?°° л
Чем больше корней у полинома, тем быстрее он растет]
Это свойство распространяется на произвольные целые функции, одна
ко у них оно приобретает значительно более сложный характер*
Вопрос о связи между ростом целой функции и
распределением ее корней является основным вопросом всей теории.
Не давая пока определения я замечу, что есть
большой цикл теорем, смысл которых состоит в том, что если целая
функция "не слишком быстро растет*1, а множество ее корней расположено
"очень густо", то 4(1)^0 • Это теоремы единственности,аналогии
ные простейшей теореме единственности для полинома. (Полином
степени Ц , имеющий больше чем Л корней,тождественно равен нулю)»
К таким теоремам сводится решение многих задач о полноте системы
функций, в частности о полноте собственных функций краевых задач.
Второй цикл вопросов-это изучение связи между
ростом (иди убыванием)функции по различным направлениям и ее глобаль|
mm ростом. Полином равномерно растет по всем направлениям. Асимш
тотическое поведение целой функции при X —*■ °° значитель-f
но сложнее. Основные факты относящиеся к этому вопросу можно ха-
4

рактеризовать так: целая функция имеющая "юлый" глобальный рост,
не может "слишком быстро убывать по какому-нибудь направлению11 ♦
В основе таких оценок лежат различные варианты теоремы Фрагмена и
Линделефа.
Простейший факт этого типа это теорема Лиувилля, которую
можнс сформулировать так: если -fCz)~ <л\%\) и на некоторой
последовательности Я*-*0** выполняется /(*»)-+0 f
то /7x)sO • Ужв этот простейший факт имеет много
приложений и, в частности,на нем основано доказательство И.М.Гельфанда
основной теоремы теории банаховых алгебр. Вообще теоремы такого
типа используются в функциональном анализе (в частности в теории не-
самосопряженных операторов).
Наконец» многие вопросы о разложении функции
вещественного или комплексного переменного в ряды по заданной системе функций
(вопрос о базисах), сводятся к некоторым вопросам теории
интерполирования целыми функциями.
Таким образом, теория целых функций дает весьма сильный
аппарат для решения многих вопросов классического и
функционального анализа.
Я намерен в своем курсе изложить теорию целях функций под
этим углом зрения, останавливаясь на приложениях.
I. ШКАЛА РОСТА
Целая функция может различно расти по разным
направлениям. Для общей оценки роста в плоскости вводится функция
Mf&h ц* №4
Из принципа максимума следует, что эха функция монотонно растет .
Как быстро может расти
ТЕОРЕМА. Если
■I r \ (J -вещественное),
то уш - полином степени ^Х .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Мы исходим из неравенства Коти
5

то есть |Си|£ U^^L * ~ О при ъ>Х .
Поэтому "для того, чтобы классифицировать целые функции
по их росту, нужно строить шкалу более быстро растущих функций»
Возможен ли сколь угодно быстрый рост .М/М ?
Я предлагаю следующую задачу: пусть ¥(ъ) произвол*,]
ная, монотонно возрастающая функция при Z,t °& ♦ 'Построить целуй
функцию ~£(2) , так чтобы было верно неравенство JA{(*$>¥&)
Определение порядка роста
Целая функция ((%)к называется функцией конечного по-|
рядка роста, если ММ^ Сг при некотором числе К , то
есть, можно указать такое %к>&к » что при 1^1«
выполняется равенство M(l)< € • Читать "асимптотически меньше!]
Порядком роста целой функции *ffe) называется Jrvf К , при
которых выполняется это асимптотическое неравенство. Из него следует,
При этом правая часть неравенства асимптотическая, а м|
вая выполняется для некоторой последовательности.
Дважды логарифмируя имеем
4,4* M(t)
Итак,
или
у * -Сиг. oi y
?=^ —Wz
Существуют ли целые функции любого неотрицательного по-*
рядка ? На этот вопрос мы ответим несколько позже*
Заметим, что среди функций одного и того же порядка еся|
функции растущие весьма различно. Например,
Их различают пользуясь понятием типа функции.
*/ Приведенные функции не целые, но нетрудно подобрать целые у
которых М* (ъ) растет аналогично.

Тип целой Функдии
Пусть порядок роста Я . Целая функция имеет конечный
тип, если при некотором А* О
Типом с?/ целой функции называется/п/ А , при которых
справедливо неравенство (1.0). Поэтому
Логарифмируя и деля на f , получаем:
и, следовательно
Если при данном f *• о тип функции бесконечен, то она
называется целой функцией наксимального типа. При 6/ у О - нормального
и - минимального. В последнем случае верно неравенство
_ с
Об
ПРИМЕРЫ.
Проверять: что &<п> <&& имеет^ - 4 ъ <Г - </L,
Ч10 -^^г- порядка Т и типа I ;
Связь между ростам qe^nft функции
м быстротой убывания
коэффициентов ее степени разложения
ЛЕММА lei. Если целая функция
{{*)*£ Сп*п (1Л)
о
удовлетворяет неравенству
М<%)& C"* <г ~°~>, (1.2)
А г.
хо
' ' <*« \ п J • (1.3)
Доказательство. Из (1.2) следует, в силу неравенства Коп,
7

1
Дифференцируя показатель в приравнивая его нулю,получаем •
т^-— С/ . Отсюда ftt ~^y * , и подстаЦ
ляя, получаем (1.3). (При достаточно большом К , 2*.
-велико и (1.2) выполнено).
ЛЕММА 2.1.
Вой /®=|! Л*"
,оверио щ^ем\
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заметим сначала, что если целая
функция 4i£) удовлетворяет неравенству (1.4), то и
полиномы
удовлетворяют тому же асимптотическому неравенству.
Действительно: ^
Так как к &
Таким образом конечное число членов ряда не играет роли. Поэтому
можно считать* что все G? л*^^... удовлетворяют неравенству]
(1.3). Тогда, из (I.I) следует, что
JL и,
При \V>K знаменатель растет при увеличении к • Поэтому замена"Й
на *У\^Е($) может лишь увеличить коэффициент (конечное число члено)
роди не играет).
8

ITdh **>>4 имеем:
п.
(еАък)'*<(еАгк)ти.
Отсюда следует:
(используется формула Стирлинга /и/^гг/ »/ А№(1+0(1)) ) .
Очевидно, что при больших значениях У*\ верно
)/ЛГт(4+о(4)) <(Л±М
) есть
и наконец .,
Лемма доказана.
из леммы I.I. следует, что если K^Jnf К } при
которых выполняется (1.3) и 9^ ^/ К. » ПРИ которых
выполняется (1.2), то Ч^<? % а из леммы 2.1. следует, чг 9^^ •
Итак, 9^^ • Аналогично получаем, подставив вместо h'
величину о в (1.2) и (1.3), что
при которых имеет место (1.3); = (Г , то есть А равно типу
целой функции.
Имеем, при любом А>0 (в частности при А~4 )
Логарифмируя, имеем
л
q+s
ЬеИ-**] i *1*1>£г[**Н-**7 -
9

или
nhn
*&-[И4$<Ь{5Итг№'
и окончательно
?-^S7%fe?+A£
Таким образом» получилась георема.
ТЕОРЕМА LL Порядок целой функции вида (I.I) вычио|
яяется по Формуле:
(1.5)
Аналогично, из А ~& получается
ТЕОРЕМА 2.1. Тип целой функции порядка р удов лей
воряет равенству
(1.6)
Функция
имеет порядок у и тип С . Нетрудно построить целую функн
цию минимального типа при заданном порядке о
Действительно Л jfef f & "(^^
рядок функции равен «^ , а
и по формуле (1.5) п<1
го есть по формуле (1.6) &^0
• Функция
№=%(*si^)'z* f
имеет максимальный тип при порядке у 9 так как по-прежнему
iai <?
ю

Легко видеть также, по формуле (5), что целая функция
<M-r(b)v
имеет бесконечный порядок, а
имеет порядок o=sO •
II

ЛЕКЦИЯ 2
Связь между ростом целой функции и ее корнями, (общие теорекы)
Для исследования этого вопроса нам понадобится рял Формул
I. Формула Неванлинны - Иенсена
а) Мы будем считать известной следующую формулу Пуассону
дающую представление функции гармонической в круге /?/<ft
и непрерывной вплоть до контура, то есть в круге |^|^R :
о
Эту формулу мы можем также записать в форме
Ц1А]~~Л*У ' \$-Z\Z *Jj °/Яе*-* (2.1)1
б) Мы будем также пользоваться формулой Шварца для ппгдс-1
тавления функции голоморфной в круге \XI* R- , у которой вещест|
венная часть непрерывна в замкнутом круге \Zj4R.
гж
l^bW*) j&Jf* W°) • (2.2
Здесь /fe)="$+iar^ и f^Re* .мы дека-
жем эту формулу проверкой. 5 силу (2.1) вещественные части левого
и правого выражения в (2.2) тождественны в l^|<ft # Отсюда
следует, что сами эти выражения отличаются на чисто мнлмую постояЯ
ную. Но при К—О правые части в (2.2) равны и(о)±№(о)^=:р(о) J
Формула доказана.
Если в круге
голоморфная функция в этом круге и формула (2.2) запишется так
щ(*щщ т^)\ Ц^г °'f +iC> <2-«
.(2.1)».. &l*H=&jW<^|jff^ .
12

Пусть теперь %%**- в*, — . - корни ffc) в круге \%1<Я,
расположенные в порядке возрастания их модулей и пусть
ШфО при |*|=*R .
Составим функцию
иемлно те^-ЩЯе^ . т*о „р, |*I*R .
Применяя к функции VYi) формулы (2.2 ) и (2.1 ),получим
г* „ас.
Для того, чтобы «1 од.., я-? <*ыл однозначно
определен можно произвести разрезы вдоль продолжения лучей идущих
из нуля в точки &к • Бели точка X попадает при этом на
разрез, то мы изогнем его в направлении против часовой
стрелки;очевидно также:
Формула называется формулой Неванлинны-Иенсена (и лежит в
основе неванлинновской теории распределения значений)*
Из нее мы выведем формулу Пенсена.
Предположим сначала, что ^(о)фО t тогда
положив %**0 , получим
Иначе
Левую часть равенства можно записать в форме интеграла Стильтьеса.
Обозьачм» через л(£) число точек |^|<"t , мы получим непре-
13

рывную слева, монотонную, целочисленную, кусочно постоянную функ-|
цию. Ее называют "счетной" для корней.
Имеем:
йчательно
\о о
и окончательно
5^^^^|/(^1|л^1ро)| .
*/
Это известная формула Иенсена.
ЗАМЕЧАНИЕ. Если Ш) - мероморфная в круге Щ*И
и К(£) непрерывная в p$UR. , то функцию ffe) следует
выбрать так:
п ^-^
Это голоморфная в круге 1^1<К функция, не равная нулю. Форму]
(А) принимает вид:
а формула Иенсена
Вводя величину
ал
О
it >
s/ cu. примечание на странице 6
14

мы получим
Легко видеть, что
и с помощью (Д) мы получаем, так называемую первую теорему Неван-
яинны
T(fc,Mii)=T(R,f)v 00).
I случае целой функции
обратную зависимость можно получить из (Б)
I. Из (Б)
2* _. , «•
^|«^Й>1?И^Ч^^^^л-|^
то есть
Например,при амеем
В чаемоети, если м('ч<п,1 t T0
то есть порядок один и тот же, у
*/ При |(°)~0* следует в определении ¥w в делителе дописать
множитель (#•) , где V - кратность нулевого корня* Формула (С)
т »»<* прш/е* вид|^Ц5д^йеТ|/Г-£и|Йр| ,
Пв 1ЦСфги.(1)-П*(+0)
15

и
где Mt) = Mt)-nM •
Цекоторые выводы из Формулы Иенсена;
I.
Щ°Ь^щЫ№ •
Точка нуль монет быть при этом заменена любой точкой плоскости*
п- Срязь мещ «ДО ж ЬлМ\$.
Имеем при|Ш|~ \ (это не нарушает общности)
Отсюда
Щл)*1*^-&>№
€1
или короче.
№)4l«ilH.
(Е)
ЛЕКЦИЯ 3
Некоторые приложения Формулы Иенсена
Было доказано, что для мероморфной функции имге
(3.1
место равенство д^
В частности, ллк голоморфной функции /£?) % , J
круге 1*1^ с непрерывным модулем в |*|^R *\(№L*)\jzA
о ° (3*2
I. ТЕОРЕМА 1.3. (Полиа). Если /&)е<& (~Ж) •*)
16

|(§^*»^ -S fWlFO на сколь угодно малом
интервале • то fdhO почти всюду.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Делая сдвиг периодической
функции f(b) f мы подучим ¥(£)=£(£-Ж) , равную нулю при
j-S<|t|< Л н
По формуле Эйлера имеем
* -iht
*-^«* *
(Много коэффициентов равных нулю)* Докажем, что равны нулю все
коэффициенты! Пусть yfy^Lo . Определим функцию
J ui JJ* :*f
и не нарушая общности можем считать» что fl0)**" .
Легко видеть, что f&) - целая функция
(возможно дифференцирование по #? под знаком интеграла при всех
значениях <£ ) и
Ч„8 ад *
Кроме toro, ^(*»)=0 при И-*ак . То есть f(%)
медленно растет и имеет много корней.
Имеем ft(i)*fr|(i)4 *ЧФ , где \(t) - число точек
0<hK<"t и St("t) число целых точек <Ь
Очевидно ЯдДИк+о^К и, при ПН<Ъ$ И«ц , имеем:
*^<fc-*
•к.
Отсюда следует, что *ьШ---*>± •
-£ (3«Л)
I?

Если считать в обе стороны, то
¥*->*•
И мк как a(i)^Ri(t) , to 4im Щ^->Л . (3.J
Применяя формулу Иенсена (3.2) получаем:
Из (ЗЛ ) следует
Отсвда , Cv
Противоречие! У функции оказалось слишком много ко|
вей для ее роста. Итак £({;)~0 почти всюду. Теорема доказана.
ЗАДАЧА. Пусть
f^Xbe*** {ХЫ«*>, Л-веществ.
ж &ZL-m,oo при И-*±°° .Тогда, если f(t)-0 ]
при (при каком нибудь "&> и 9>о ), то
Указание: использовать формулу (3.1).
Теоремы о полноте системн показателей функций [С г
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: система 1^к\ элементов Занахо-Ц
ва пространства Е - называется полной, если любой элемент
•X^F можно приблизить по норме линейными конечными комби
нациями элементов {Уи$ » то есть
Если полноты нет, то замкнутая линейная оболочка мнс|
жества \Хь) , есть собственное подпространство <J£<=-£*"
и по теореме Хана-Банаха можно определить функционал не тождестве*!
но равный нулю и такой,что «£^и)-0 при И-1;£,.♦..
Наличие такого функционала есть необходимое и достаточное условие
полноты. J^tijct]
Пусть дана система
18
te**}

ТЕОРЕМА 1.3. Если для последовательности
фп система р J подна ? С о-Л,Д} » то есть д
г>иысле равномерной сходимости.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если нет полноты, то по
теореме Рисса есть функция ограниченной вариации &(Ь) такая, что
uAi/fc
-Л
Функция
je^ofti-o , 0*A)
* at
целая, f(^0 и |Г($*ьфУ«1<Г. в
Если , то по формуле (3.2)
5 "Ь Д.Л ^
Так как £ £с , то получаем
(1+«)*+О(<)4.»1+0(*).
Противоречие! Следовательно
ЗАДАЧА. Доказать:если Ue-^S^^ Д^Л-о^ ш
A-h^^ тУк »где И1>Я»>^>0 , то система
\6С " \ полна в C(-J;JT) .
Показатель сходимости последовательности корней
и верхняя плотность
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Показателем сходимости последовательное-
называется #.— } £»»(*)
^^~t^~ ' (3.5.)
а верхней плотностью, цри данной показателе сходимости,
д = 1СК МУ-- . (3.6)
19

Очевидно, что
q4+£
1>"*<ке1)<ъ (3.5*)
ТЕОРЕМА 2.3* Пусть с4 - показатель сходимости и пусть
К=^ Зи{ Л при которых
Х^Г<^ > $W (3.7)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Очевидно
со
Интегрируя во частям имеем .,
>ируя во частям имеем ^
Если ряд (3.7) сходитсяу то ограничен, а значит сходится интеграл
поэтому есть предел --Цр*" , очевидно равный нулю. Итак: если
Л Ж f то УФЙ<^ . отсюда ft^K- • С другой с|
роны из (3.5 ) следует
км < i ***.
^о ...
Поэтому при •Ae^ + fe интеграл VljUi^ сходится и
T^i ^^ f а значит сходится и ряд. Отсюда
K*fy+£ » то есть lC4fi # Теорема доказана
ТЕОРЕМА 3.3. Цот?ат^д» ^одрюстд дорн^й цедрЦ фунуцри
превышает ее порядка роста.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из неравенства
(см. (Е) ))Имеем ^ £пЩ <(^^(^M_i^i f
20

io есть $i&Q
ЛЕКЦИЯ *
т
Одна из основных теорем теории целых функций-это
ТЕОРЕМА I.» (Адамара). Целая Функция конечного порядка
представляется в Форме
дя равные нтдю корни Ауикшш f О) ; р4? , tyi*'
подиной от £ степени fy4q , a m - крагаость нулевого
КОРНЯ йУНКШШ ffe) .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По формуле (А) инеем
(не нарушая общности можно считать, что М355^)*
Продифференцируем эту формулу Р-М раз, где p-£ty)
-z $-*>w +24|ь^)^ •
Имеем ~
и, из оценок п+£
«н получаем, переходя к пределу при R-* °°
21

Интегрируя обе части этого равенства р+< раз по любому пути,не
пересекающему разрезов и соединяющему точки О и 2 ,мы получи*
Отсюда следует формула (4.1). . . ■
Целое число Q — ftuX (P;V/ называется родоУ
целой функции. Из теоремы Адамара следует, что род целой функции
не превышает ее порядка.
Заметим, что целая функция нулевого рода имеет вид
*М«С*"П(Н;) , («*-) (,.2)
1
И
оо
при ^-0 по теореме Адамара {!(%) имеет вид (4.2)
Целая функция первого рода имеет вид
Функция f I*/ /г первого порядка. По теореме Адамара она не
выше чем первого рода и притом четная. Объединяя в (4.3)
соответствующие множители, получаем известное разложение
ОО щ
ЗАДАЧА. Показать,что преобразование Фурье финитной
функции имеет бесконечное множество корней (комплексных).
q Решение. Функция
очевидно целая и удовлетворяет во всей плоскости оценке
\^)\<Cedm («*-*«* (i«i;
22

Если число ее корней конечно, то по теореме Адамара
где Р№* " полином. Но преобразование Фурье должно
стремиться к нулю при (Х!-*^30 , а функция f(x) вида (4.4.) не может
стремиться к нулю не будучи тождественным нулем.
ЗАМЕЧАНИЕ. То же утверждение, очевидно, справедливо
если ; «f*
где ®~№) - функция ограниченной вариации, не сводящаяся к
одному скачку.
Опенка канонического произведения
Т(*)=Г1<И|,р).
Мы имели связь ^(Я)^™ Mjri&tj . Здесь мы
оценим wMjfify через ft(t) сверху. Для этого сначала
дадим оценку первичного множителя* (Оценка Бореля).
ЛЕММА 1Л. Деи р>0 и lu^o* верно
при у и
или
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Имеем
(б) очевидно. Пусть теперь M^p-ц . Тогда, из разложения
In (1-й) в ряд, получаем
23

Если se |u|> -Ej f то из неравенства #t(A+M)<|u(
инеем
где Ар~ЗСр
ЛЕША 2.4. Пусть
тогда произведе ние 7f(2) = П &("^ > f) сходится и
о %
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из оценки Боредя получаем
vp »
24

ЗАДАЧА, Пусть {c**t\ ~ множество всех показательных
Функций, удовлетворяющих уравнению в конечных разностях:
Доказать: I. Система функций |е * [полна в oC^t^l
т условии *~* * кгК • j i ti
г.Система фунт! \€ Г не полна в С [^ j, } •
З.Система функций (£ / полна в подпространстве^
пространства С[ЩЙ1 « состоящем из функций ^/f) , удовлетворяющих
уравнению (!) при т*0 •
и ЗАДАЧА* Исследовать аналогичную задачу для уравнения
вида ZCj{ie4i^hO К<~*<кк .
1ЕКШЯ 5
ТЕОРЕМА gQPBOT I,gt PDPfflOff роста данощч^яого
приведения равен показателю сходимости последовательности точек *к .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть р-наименьшее из целых чисел
при которых сходится ряд м
и 9i - показатель сходимости последовательности }<2*У •
Тогда р<9<*Р+< .Пусть сначала ^<^ •
Выберем В>С так, что *4+&<Р+* . Имеем
Из подученной на предыдущей лекции оценки канонического
произведения мы будем иметь г ^
* о г.
то есть
*. наконец, .+^
п (5Л)
Прщ <f 4»р-Н , как было рапае показано,
25

Отсюда, и из леммы (2Л.) получается, что
Таким образом, ф4?' и, сопоставляя со следствие
из теоремы Иенсена, получаем ф=*£( .
ТЕОРЕМА 1,6. У целой функции нецелого порядка о
показатель сходимости корней q4 равен порядку роста р
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО* Из представления целой функции конеч^
го порядка по Адамару и оценки (I) получаем
""" ЬМ;(*Ц-У+> > Д-м«(Мг). (5.2)
Но fy^S • Если при этом 9**Ф • то и Л<ф . а это проя|
воречит неравенству (5*2) Поэтому ф^ф • Теорема доказана*
ТЕОРЕМА 1,5* Если порядок роста ф - пелой функции
(0$ не пелое число* то <й и Д/ одновременно равны нулю,
бесконечности иди положительным числам*
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО* Из неравенства
Ш < U М(0с)
следует, что
то есть __ о
Для получения обратного неравенства воспользуемся оц<|
кой канонического произведения* Из неравенства
ас
следует, что * ^ ар -
и. так как Р^у . то
lis представления Адаиара целой функции /(2-) получав*
26

или _
Связь роста целой функции с распределением
ее корней при целом порядке
При целом порядке ^ - цолая функция может вовсе не
иметь корней; вообще возможно, что 9=r<V t где fy - степень
полинома в показателе в представлении Адамара, а в каноническом
произведении fy<Q • Но более существенна другая особенность целого
порядка. Оказывается, что при целом порядке, даже для канонического
произведения может не выполняться неравенство (5.3). Может,
например, существовать конечная верхняя плотность множества корней и
функция ЗГ(£) иметь максимальный тип.
Пример: со
*.f*-**p(HW
у обей фунхца!
ffc)-Xe fl(l+f)e ( Г - иостояшая Эйлер.)
n(t)~t
Очевидно, что показатель сходимости корней 9<~4 и, так как
функции несущественно отличаются от канонических произведений, то
обе они первого порядка. Принтом для лервой функции имем
и Qi=i£ f а для второй по известной формуле Стирлинга
(Плоскость предполагается разрезанной вдоль отрицательного луча и
I **$£!<Л" )# Из этой формулы получаем
27

и СЛ=; оо , то есть - максимальный тип*
Мы увидим, что "корень зла" в том, что в расположил
корней у первой функции есть симметрия, у второй ее нет.
Очевидно, что
р ^ ^ < p+i .
При 9 " делом либо f-p+i t либо9= р •
В первом случае, очевидно, ряд Х|#*Д~? сходн^
во втором - расходится.
В дальнейшем мы всюду через а? обозначаем
коэффициент пря старшей степени полинома Р(£) в представлении Адаиара
целой функции / (Ю •
при &уг*-° и /(*) - нормального типа при ОуФб.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО» По теореме Адаиара имеем
Из сходимости ряда:
Z\o*f9<°° : (5.*)
следует, как это было раньше показано, что
Об
S^WUoo «Щ)-^0 . (5.4')
оценки канонического произведения
г
и условий (5«Л ) получается
hi MxfrUArfM + nhoW • (5.5 )
Из представления Адамара получаем
ЬМ4Ь)<(Щ+9)г*. (5#б)
Для получения обратного наравенства кы будем исходя)
is очевидного соотношения
^i*»,0«"f*,*)+A*- (5.7)
или
28

Из равенства Иенсева
Учитывая (5.5) и (5.7) получаем отсюда
*^M>*<Mfc(i?L-i)*' • (5#8)
Утверждение теоремы следует as (5.6) и (5.8)
равны нулю, бесконечности иди положительной достоянной.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из формулы JA) получаем, положив *=*0 ,
Легко видеть* что логарифм первичного множителя имеет в
нуле корень кратности р+{ •
Поэтому [£f Лщ = о и, следовательно,
1И(*С) = р!в? ° -КРометого,
о
Из теоремы Иевоена, которая может быть записана в форме
гет, что
n(K)<AiJU(€tO+ott) > (5.9)
кю*с Н^ •
где С - некоторая постоянная не зависящая от функция.
следует, что
о
Наконец, из неравенства
получаем
29

Из этого неравенства получаем
Кроме того, из (5.9) имеем
и, окончательно
^ Cft (5.I0)
Для получения неравенства в другую сторону запишем
представление функции 1{%) по Адамару в виде
г*|Х1.
Используя далее оценку первичного множителя GH^jW ны получаем
Интегрирование по частям дает (также кая в лекции 4» )
Применяя далее неравенство n(t)< fatp , получаем
Д. >4(t) < to)** U ЦЖ+ф + oft9) .
Отсюда получается далее
■ЫЯ»—r-s 4о+^Ко4<<^0 , (У-постоянная),
то есть
Это неравенство, вместе с (5*10) доказывает теорему.
Л Б К Ц И Я б
Пусть Дя) аналитическая функция л области ofr
и ^е некоторая точка границы этой области. Обоглачим
30

Бели во всех точках границы Г выполнено неравен-»
ciBO i»l£(*)kM i *о м* будем говорить, что \4(жЫМ
на границе области €> .
Для ограниченных функций в ограниченной области^
принцип максимума может быть сформулирован так:
Бели lf(*)KM на границе Г области 2> , то
|f(?)k^ ^** • Такая формулировка легко получается из теоре-
кы о конечном покрытии.
Мы будем в этой лекции рассматривать аналитические
функции в специальных неограниченных областях.
ТЕОРЕМА 1,6. Пусть £> - дгод а<0А<}*<€ и
внутри этого угла аналитическая Функция /(5Q удовлетворяет
асимптотической опенке т?
^ на сторонах угла
Пусть, кроме того. 4-<L<-2L . Тогдд l^)U M
ПЕК Д6». У
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Не нарушая общности можно считать,
что а--<* . ц-Ji ; Ы<£~ . Выберем ^ f
гак, чтоо<о4<Л1 t и пусть *
Внутри всего угла <© оудет выполняться асимптотическое неравенств
во
при I^^R-8 . Так как crtfyJLX) , то при |Xl=R>R4
будет выполнено неравенство
Применяя принцип максимума модуля к функции ¥$(%) внутри
сектора l3$J<R,Jft*£i|<cC f мы получим, что в произвольной
точке ^о выполняется неравенство
или иначе Q
|{йЛ«мв,ы •
В силу произвольности а >0 получаем
Теорема доказана.
Л

ШШи^. Bern внутри таю & I /«*$* j<«i « g-
выподняется ^ииптпииеское неравенство *т
и, при эхом • то
ограничена на положительной дуче и на границе & (кроме беоконе*|
но удаленной точки)* По предыдуцей теореме она ограничена
некоторой константой в каждом из углов Q<^%^-£r ; 0£<^Я^-;г~
и следовательно в & . Применяя снова предыдущую теорему (bw)
мы получим 1ОДМ при£*& , иди
Утверждение теоремы получается, если перейти к пределу при ь\0
Особенно интересен случай аналитической внутри угла
функции порядка I и нормального типа С>0 . Такие функции
называются функциями экспоненциального типа ( <р.э.т. о* ) внутри
угла.
ТЕОРЕМА 3.6. Если {(%) Ф.э.т. (Г в полуплоскости
Я>0 (2=*+*д) и на веиественной оси |{(*)|<;М .то|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО» В предыдущей теореме при cL-jjh
9-i .« \Щ4Ме**.
имеем
Подстановка I (-£*) сводит нам случай к этому*
Заметим, .что оценка (I ) точная. Ома достигается на
функции |(*И Йв'чГ* . Рассматривая функцию f(*)e£r* r
мм легко убеждаемся в единственности функции, для которой в (I )
достигается равенство.
ЗАМЕЧАНИЕ I. Вели ЦЮ - целая функция эксяоненцна-|
льного типа (Г м U(x)J4M (-ео<х<4оо) f то
(6*2)
32

Бо всей плоскости*
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если ^(*) не выше чем первого
порядка и минимального типа и на вещественной оси Шх)|4М ,
то f(*h***fc.
Действительно* в эток случае (6#2) следует, что 1/(%)1*М
во всей плоскости. По теореме iMjwuamffZ)- oonAt .
ЗАМЕЧАНИЕ. Доказанные теоремы остаются верными и
для абстрактных аналитических функций (то есть со значениями в
некотором банаховом пространстве), если в формулировках заменить модуль
функции, на норму.
Действительно, если абстрактная функция ¥(%)
удовлетворяет например, неравенствам ^<f ч
а | С) - линейный функционал с нормой, равной единице, то ддя
обычной аналитической функции ^(2)—^£<?(£)]
будем иметь 1219
Применяя теорему I получаем
иди
•wH&W*" • <**а)-
Аналогично доказываются другие теоремы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вещественная функция Ч(%) называется
субгармонической в области $Ь , если она удовлетворяет двум
условиям:
a) /W tup U(30~U(£o) (полунепрерывность
*+о 1*-ДЦ<5 сверху)
ч б) Для любого До € 5Ь при г < SfXo)
Как видно из теоремы Иенсена логарифм модуля
аналитической функции - субгармоническая функция. Легко показать, что
если ¥(t) монотонно возрастающая выпуклая функция, а и(?)
• субгармоническая, то У(Ч(Щ (в частности еий* ) -
- субгармоническая функция. Отсюда в частности следует, что если
^(*) - аналитическая, то |{(2)|^ (Л>о) - субгармоническая
33

функция. Очевидно также, непосредственно из определения, что
где tt|(2)j%.MU|,(2) - субгармонические функции, также субгар.
моническая функция. В случае бесконечного множества субгармоничес]
ких функций иЛ*) ! функция
U(*)=*ff Ц*
может не быть субгармонической, так как может не удовлетворять
условию а). Однако, если "регуляризовать" ее, построив функцию
мы получим субгармоническую функцию.
Фундаментальным фактом теории субгармонических функод)
является теорема Рисса, которую мы приведем без доказательства:
ТЕОРЕМА, Пусть £#jy- субгармоническая функция в
некоторой области <£) и область &(ЦЪ . Тогда всюду в G*
функция И[Х) представляется в форме
& .
где ил(%) - гармоническая функция в & f а /ч^) - счетно-
аддитивйая мера,определенная на борелевских множествах (и не завя|
сящая от выбора области & ) .
Формула (!) есть обобщение простой формулы для
аналитических функций
^lf(*)H2>l*-*cl+<4f|l,
где 2ic - корни аналитической функции, а РЮ^ОН^.*. (£-£^)|
Последнее слагаемое гармоническая функция в G-
йз определения субгармонической функции непосредствен
следует, что она не может принять в области наибольшее значение
не будучи постоянной. На субгармонические функции также перенося^
ся теоремы Фрагмена и Лннделефа. Теорема аналогичная теореме I
формулируется так:
ТЕОРЕМА 1.6 Пусть Ц{Щ - субгармоническая ФункЦ
внутри угла |ЯЛ*Я| <cL f на сторонах этого угла
u(^uK<M и u(*)<c+l*|« (<?<£-)
при |йД|^|<^ .Тогда u(*)^M внутри всего угла. |
Для доказательства следует рассмотреть внутри сектор
достаточно большого радиуса субгармоническую функцию
34

где ? < ?i < ШХ * в подученвом веравевстве vf? ($>) ^ М
перейти в пределу ври 6 / О . Аналогично формулируются и доказывав
ртся остальные теоремы.
Укажем еще одну теорему, отвосящуюся х функциям
экспоненциального типа и доказываемую с помощью теоремы Фрагмева и Див-
дедефа для субгармонических функций,
ТВОРЕМА 4.6. Пусть {(%) аналитическая функция
экспоненциального типа <Г в верхней полуплоскости Ч> О %
непрерывная в замкнутой полуплоскости и
ТОГДа ПрМ ЛЮбОМ и ?0 оо 0 Рл>и
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно* что функция
аналитическая, экспоненциального типа ^ оъ полуплоскости у ?о
и ограниченная ва вещественной оси*
отсюда следует, что fy(2)-Д/*)<2 ,
- ограничена во всей верхней полуплоскости*
Далее функция ы
ограниченная, субгармоническая в полуплоскости и > О м U*(x)$N.
По теореме Фрагмева в Линдедефа получаем, что u%(Z)4 М нрии><? .
Переходя в пределу при Л/-» о* получаем
и, наконец, так как
подучави утверждение хеореш.
35

Л Е К Ц И Я 7
Применение теоремы Фрагмена и Линделефа
ТЕОРЕМА (Гедьфанд)* В банаховой алгебре ft элемент )|
(единица) является крайней точкой единичной сферы*
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим* что это не так. Тогда cymectj
ет элементX е ft такой, что
Из этого соотношения следует, что
Н+*(А)|<1', \hxLM)\*l
и поэтомух («/)*= О , то есть х -обобщенный нульственной эдеи^
Рассмотрим функцию ^
и, так как 1и»\ДхЦ-0 , то ||^(-А)| растет не быстрее!
чем целая функция порядка и минимального типа. Кроме того*
ем |1+—1-1 • ЯР» в^ественном J и п>М1. Отсюда]
|(I+Tt7 t^i и наконец//fW//f/. По теореме Фрагмеяа и
делефа отсюда следует е/* = const» что возможно лишь приХ=<|
*/ * »
Теорема доказана
2* Назовем "вещественными" элементы банаховой алгебры о
вещевтвеняым спектром, (кягебра&рггот не коммутативна). Hycri
любой элемент алгебры представляется в форме 2 = х + оц 9 и дус[
для любой тройки вещественных элементов справедливо равенство
тогда алгебра коммутативна*
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО* Пусть <э£ контур, охватывающий спектр
элемента X • Тогда
%-4
в^-бИ^-дМ* <7-"
XX
Где - расстояние от контура до спектра*
«/ это доказательство принадлежит М.Г.Крейну*
36

Таким образом qUk имеет экспоненциальный тип* Еслих -
вещественный элемент, то за контур <£ можно выбрать границу
прямоугольника^^!?; l^Ufc тогда при чисто мнимом Д=С^ поду-
х% -Ля
элемент алгебры £(Л)~С У^ очевидно есть целая функция
экспоненциального типа. Если х вещественный элемент, то при
вещественном Л я £^х - вещественней. Если, при этом, и ^ - веществен-
При J = oju имеем |1*(Л)|«С£* в*^' . Поэтому элементВДв1иЛ
ограничен на мнимой полуосм и на вещественной оси. По теореме Фраг-
иена м Линделефа он ограничен во всей верхней полуплоскости. Тоже
относится к элементу ЯЩё**** €j при<^*/< О . Таким образом,
имеем // * (J)ll^ Cl С*-*'*"'*/ ш на вещественной оси
j|£(i)||-K.uf ♦ Прменяя значение 2 (лекция 6) мы получаем, -го
*(Л)»е*мЛ илм е**чех*^% • 0!ГКУда е/*ц=ч€г* t
и приравнивая коэффициенты при oi имеем х-у ^ ух .Из
перестановочности вещественных элементов следует перестановочность
любых.
Индикатор и его свойства
Мы будем рарсматривать внутри угла 9<t^ &$. ©а
аналитическую функцию от % s te ** , удовлетворяющую неравенству
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Индикатором (роста) функции при
порядке Р называется функция
(Значек jp мы иногда будем опускать). Индикатор показывает как
меняется рост функции в зависимости от направления луча ДО^дГ-в*
Функцию ЩЦ~Ас*уЪ+Ъ№\фтл будем называть тригонометрической.
При 9~Qi<4r и в<гв^9$ можно определить тригонометрическую
функцию Щ принимающую заданные значения kj и кь в точках
Э± и В$ • Это Функция
57

ОПРЕДЕЛЕНИЕ, Функция К(9) (В^бЩ) наз^
вается тригонометрически выпуклой! если при 9з~68|< £~
из неравенств K(6«KH(®i) & ^(б^Х^в^) ^следует
к(в)«и(в) (^«во,) •
ТЕОРЕМА 4,7. Индикатор \(д) - тригонеметриУ
ки выпуклая Функция.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем числа At и »g так,
чтобы функция удовлетворяла
условиям 4(£(©j)sJ|(ft)+£ * j*4}i и Рассмотрим функцию
%^h^)^pf'{Aflbs)if\ • Из определения индикатора следует,
Поэтому и, по теореме Фрагмена и
Линделефа I получаем
\Vt№)\*he . (А/£ -постоянная)
Из последнего неравенства следует
Из определения индикатора и (7.6) следует
при любом £>0 . Переходя к предему при 8^0 и используя
(7Л) получав- Щ+Щ%
(7 8)
где 4ОД выбрано так. что Щ)~М(&}) j4'
Теорема доказана»
Из (7Л) и (7.8) получается следующее основное
соотношение для индикатора
М$)^$ге>)+ к&)*^р(ед-ф+Ме,)Ли.? (€Н0« О
\
Свойства индикатора
I, Если функция j?fr) удовлетворяет асимптотичй!
кой оценке (2) и при каком нибудь значении 9 9 например Р-в| \
38

Откуда
верно ^)*-оо » *° h(e)=-~ ВЙУТРИ всего
УгДействительно, в этом случае следует AL и В6 выбрать
гак, чтобы иметь4^(6,)<-|- и Mt(6^C » где
(3>Н^)^^вв Из доказательства наравенства (7.7) следует, что
1 fohr—-во
2. Бели индикатор конечен , то он -
непрерывная функция от 9 •
Доказательство основано на неравенстве (7.9). Из него
простым преобразованием получаем
С другой стороны имеем
фиксируя в< и приближая ©t, к Сф , получаем
После переобозначения получаем
3. Если функция ^?{*) удовлетворяет условию (2)
внутри угла, содержащего лучи а*^£~в и ^*~ $*^
и индикатор этой функции конечен, то
m+Ub+f-)>o. (7Л0)
39

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Положим ©^e+t (fx>) и 93=*е+£- ^
Тогда при ©д/5© верно неравенство (9). Пользуясь непрерывно^
тью индикатора можем перейти к пределу при *С-+0 . В резуль-J
тате получим неравенство (7.10), 1
4. Если функция <£(%) , аналитическая внутри углаГ^ЛВ
и непрерывная в его замыкании удовлетворяет асимптотическому нер*
венству (7.2), то равномерно внутри угла
IflWJKetoww • _ (7.П)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Разобьем отрезок W£f точками де*|
ления О-^^^Вич Л-8#. f=®n . Это точки деления мы выбереи
так, чтобы колебание к(&) на любом отрезке ГФ,©}м1 не превом
ходило некоторого заданного £>0 .Выберем числа А* и В{
так, что +lj((9;)-hj+& ,и ^(9^)- Iijh + t ,где L*b[Q.)
Тогда функция 1АгСШ?
стремится к нулю на сторонах угла 8;4 Mft^&j+i
и поэтому внутри всего угла/й(*)| ^ Q ( С; - постоянная)
Отсюда J J I
Из (7.12) следует, что при £>fcj
При достаточно малом $ и К»«л(Э^-^ < S и t> 4jjS
будем иметь •*
Т J ' J (7.I3)
Очевидно, что неравенство (7.13) верно внутри всего
угла ei^B^p при Ъ>>*.** *lje # Теорема доказана.
Замечание. Если внутри некоторого угла el£64f>
индикатор n(e)=»-e© ^ то^ несколько изменяя рассуждения,
можно показать, «о
г?
40
/d/f^i -—, (^Р<?)

СЛЕДСТВИЕ. Тип о? функции внутри угла равен гу****** <* ♦
Применение свойств индикатора
а) Теорема Карлсона 2.7. Если 4(f) -
аналитическая экспоненциального типа в полуплоскости J^jc^q y то ест»
i^ce^', , (7.1.)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО* Вне кружков |*-,Ч-д<д7 имее*
место следующая оценка снизу функции -JcmJT*
|*Ь.**|> ***Щ Ц>о) . (7Л5)
Отсюда следует, что функция
аналитическая в полуплоскости Rsl%>0 , и вне указанных
,СТ1ЮЯ , ff ,41*1
М^*?е • (7Лб)
Неравенство (7Л6) остается в силе по принципу максимума и внутри
кружков. Кроме того из (7.15) следует, что
и^наконец, *у(хНЦ* Z/<0 . По свойству 3 индикатора отсюда
следует, что Ьу(0/~"/(в)—~°° дрИ -£<©<27 • *ь Очевидно
также, что индикатор равен — <*> и для функции $?/с
при любом &>0 , то есть \lhde \^ХО ПРИ 1*1"*°°»
последовательно '
где М = **Х W| • Отсюда |f (^^^l
при любом и, следовательно
б) ТЕОРЕМА (ШИЛОВА! . Пусть /ДО - бесконечно
гийФарйнг^ируемая функция на числовой оси и
41

где £ а в - некоторые постоянные. Тогда, если oL*p<±
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, Из неравенства (7.17) следует, что qJ
та точный член формулы Тейлора стремится к нулю при любом «X d
следовательно, l(xj продолжается на всю плоскость как целая фунц]
ция $(*) • ^
Разлагая эту функцию в ряд Тейлора с центром в точке
.X получаем p. J
(о - постоянная). Отсюда^
и, наконец, £- 4-
(а - постоянная). Таким образом -f\%) - целая функция порядок i
торой не превышает <j>=s^qr • Так как дано, что <>L+p>=?l
то Х> JL— и, следовательно
Из свойства I индикатора и замечания к свойству 4
получаем отсюда, что $?)=0 . Теорема доказана.
ТЕОРЕМА (Морган). Пусть функция f(i) (-*•< i<«y
такова, что f(i)eA^-+0 Шк i~**°° и некоторо!
/4>0 и ее преобразование Фурье фОО удовлетворяет усд
вию ffxJe*'*' -*<?при некотором В>0\|
Тогда, есдц fr+£<i Р;*>0 . 12 ^)^0
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно Р>1 . Положим
до. J |ft)e *А .
Так как - убывает быстрее любой показательной функции, то
$-(*) - целая функция, совпадающая на вещественной оси с npeotfl
разованием Фурье функции f(t) . Кроме того
42

ge нарушая общности можно считать, что л>-р- . (Иначе, вмеом
0цл рассмотрим -$.(Ач ). Воспользовавшись неравенством
?L\<&£ + №*- U-+4-=H) ,мы подучим а,
ю есть порядок ^ функции |(Я») не превосходит <L< & #
Из условия теоремы имеем
откуда следует, что f(x)^0 , а значит и £(Ь)^0*
ЗАДАЧА I* При -£-^ найти соотновение между
постоянными А и В , при выполнении которого возможно Я[±)фо •
Доказать достаточность этого неравенства»
ЗШЧА 2* Доказать следующую теорем*' -Hafr/y #
Be3» Щ\$ (\Ь\НМ)<С (-^i<~)
и преобразование Фурье этой функции Q.(*) таково, что
•
где Рн(£) - полном степени не больней чем К.
ЛЕКЦИЯ 8
ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА И ТЕОРЕНА ПОЛИА.
ОО ы
Пусть %*)=£&* ,
0 П( (8.1)
целая функция экспоненциального типа в* , (первого порядка и
нормального тина <У ). Легко видеть из формулы для типа целой
функции, что § пг—р
Ассоциированной функцией fee называется функ-
fw V Ж™ (8.2)
По тг -реме Адамара этот ряд сходится вне круга
радиуса R^^JfpVil и расходится внутри
этого круга.
Таким образом радиус сходимости для ассоциированной Функции равен
Зилу вддрЕ фушщи fffcj (Of~flf) .
43

Возможно, что функция <ffa) продолжается внутрь
круга l%U R • Выберем наименьшее из выпуклых множеств на
внешность которых функция $(%)_ может быть аналитически продо*!
жена* Это выпуклое множество J называется сопряженной диаграмм
функции
В дальнейшем мы всякое замкнутое выпуклое множество
будем называть "выпуклой областью* ♦ В частности прямолинейный
отрезок иди точка являются * выпуклыми областями".
Важным понятием является понятие об опорной функции
выпуклой области /£ •
/%(#)- max (хсм6+уяпб) (1-х + Су;0±#*291) (8.3)
Очевидно, что прямая %ю*6 + уха&-К(в) ( # - фиксировано)
является опорной прямой перпендикулярной лучу ол^Х- G .
(то есть эта прямая имеет общие точки с областью К. и вся эта
область лежит по одну сторону от нее).
ДРЩЩРЦ» Опорная функция точки &>
Опорная функция прямолинейного отрезка (-Цса) К(в/^а l**1^™ •
Опорная функция круга K|$R \(J&)Sfl. •
Суммой выпуклых областей К=Ц^К^ называется
множество точек вида ^+2^ , где X+g\U C-{fj^ .Конеч«
но, сумма выпуклых областей есть выпуклая область.
Из определения опорной функции получаем, что для
суммы выпуклых областей ,^= ^ до + ^ до %
ТЕОРЕМА ДОЛИА. Для целой функции экспоненциального
типа (п.Ф.э.т.) Т(Х) име^т место раренртрр
где К(в) — опорная йункпия сопряженной диаграммы.
Доказательство этой теоремы основывается на двух
интегральных формулах, связывающих функции *Г(Ю и £(?)
" &*)•&$№**• (М)
где К^ - круг 1*Иё . -..
Действительно, интегрирование по^д(1+К£/ можно
запенить интегрированием по окружности^kV+£ и формула ( 4)
получается почленным интегрированием ряда
У &- е .
4- *и"
Н

Из формулы (4) легко получается неравевтсво
^следовательно k(©) ^ К (-©) • <8»5>
e ^«fteV^e** • <м>
о
„рШ j(epi8+«fi»u© > kf-0); Re(*eie) >Kfe)(8.7)
Дли доказательства этой формулы заиеяш, что is
неравенства №^<е^в) + *,
следует, что в области X&i ©+JfК* #> к(-0)+Я£ *
интеграл (8.6) сходится равномерно и, следовательно представляет
собой аналитическую функцию в области (8,7). Проверим теперь, что
при Я*Ъ^С )\%\>Ъ& » эта аналитическая функция
совпадает с ^(<?) • Действительно, в этом случае интеграл
(8.6) принимает вид
с
В раз лохении
можно так оценить остаточный член
>t
< ЛДО , £
<
Пр» г>3<^ получаем
J<J(ie V e ett-Je e £тН е AJ<
О о© в . I
<2*)е Jit •
Почленное интегрирование дает равенство (8.6) .
Итак) -ДО) аналитическая в области Хы9+уОь$> к(-6) •
45

Следовательно К(в)£кН?) •Соединяя *
(8.5) получаем ^(G)=h(-©) •
Теорема доказана.
Очевидно, что h(©) является^опорной функции
выпуклой области Ц , которая получается из I отражением в
вещественной оси. ,
ЗАМЕЧАНИЕ. Пусть чГЙ) - голоморфна внутри угщ|
</,** €> $ J3 и экспоненциального типа. Тогда ее преобра
зование Лапласа (8.6) - аналитическая функция £(%) в объединен^]
пояупдосксютей_<^<м0+у*а<<9>Ь(-в) # Дополнение к
этой области I есть пересечение полуплоскостей (замкнутых),
Граница области I содержит два луча,перпендикулярные лучам
OAfi^r-oL и ал^;?=г-.£ # _
Из всех областей такого вида область I -
наименьшая, содержащая все особенности •
(Доказать самостоятельно, используя известную фор|
мулу обращения преобразования Лапласа)
Л Е К Ц И ft\ 9
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ПОЛИА
ПРИМЕРЫ. I. Пусть £(*)*jftW® , где Л
комплексные числа, а Я<(<*)- полиномы. Ассоциированные функции
для £ре к* , это и^ЛТ^"" * Поэт01|У ассоциирован»!
функция для Tft) имеет полюсы в точках А и никаких
других особенностей. Сопряженная диаграмма для этой функции это вы
пуклая оболочка точек J,;,.. }M , а индикаторная, по те|
реме Полна - выпуклая ободочка точек Jir~ ,Xt
2. Пусть К - произвольная выпуклая области
Выберем счетное плотное множество точек \Лц\ на множестве
и построим функцию
№=lfbjK (п*к-У
(9.1)
46

Очевидно, что {(%) - аналитическая вне ЯГ и ве
продолжаема внутрь. Поэтому К есть индикаторная диаграмма функции
О
Теорема Винера - Паду. Для того, чтобы функция f(x)
представлялась в фрю
fM=]w)*dt {m*Zi(-*,<)) (9-3)
-е.
необходимо и достаточно:
а) чтобы $(Х) - продолжалась ва всю комплексную плоскость
как целая функция a(i) экспоненциального типа;
б) #00й <^(-~,~).
Доказательство, а) Необходимость условий а) и б) « В
силу теоремы Пданшереля
»»«*<■-,-> ■ lyir^k •
Кроме того, функция £ г
целая (так как при любом комплексном <е можно дифференцировать
под знаком интеграл) в . € ,
Jul*- (9*5)
Из (9.5) следует, что ftPQ экспоненциального типа.
Если обозначить 0^ м 9L типы функции <?£*) в верхней
(<j>0) и нижней (ц^-0) полуплоскости, то получаем
****■', *.*4. (9#6)
ДОСТАТОЧНОСТЬ. Преобразование Лапласа
№)=Т$Ме**Лх ; №>о. (9.7)
аналитическая функция вне сопряженной диаграммы. Кроме того, из
того, что fyteQsXii-00,0") легко следует, что У(£) —
аналитическая всюду в полуплоскости
Точно также получаем
V(*>-lf(*)e~**Jx ; b*<0 • (9*8)
Таким образом~,°сопряжеиная диаграмма есть отрезок мномой оси при-
ваддежаций отрезку (-№9 tf) .
Используя формулу обращения (см. 8.7) для (9.7) и (9.8) мы
получим:
47

Вне сопряженной диаграммы V^+iw^^-O+Ct) •
Поэтому в! - ч
Теорема доказана.
Замечание: Из (9.9) следует, что (Li9^ и ^<Ф1
Сопоставляя с (9.6) получаем, что интервал £-вц<п] есть oaojJ
ный интервал для функции HTfc) .
ТЩРЩ. Если делая Функпия экспоненциального тшц
обращается в нуль в точках К-0,4Г~ . то опорная прямая mi
дикаторной диаграммы отвечающая направлению 0=0 имеет!
ней общий отрезок, длина которого не меньше чем &JT .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Функция
очевидно аналитическая в правой полуплоскости К*^ ^^ •
Для того, чтобы оценить ее рост мы заметим, что неравенство
выполняется всюду в комплексной плоскости вне кружков \*-и|<£
(аи-0,4,1,.^ ) # Поэтощу ¥(,£) - есть функция экспо]
ненциального типа в полуплоскости $*£^0 . Имеем приО<|6(<|
йи 41Ы1= «я Mfeil + AST &1*~ВД
г-voo t г-*<*>
и из (9.10) получаем при 0<lSUj-
^le)=kv(e)+Jr|*,6| • (9Л1)
В силу непрерыввости индикаторов равенство (9.II) верно и при
в=Ч?. Функция Ь<р(6) является опорной функцией [фи \ВШ
некоторой выпуклой области K«f (индикаторной диаграммы фуии
ции ¥(*) ), a 3r|*w.©( - опорная функция отреэка 1л9\
OlJT, tJQ мнимой оси. Из (9.II) следует, что \\^(В) - i
есть опорная функция индикаторной диаграммы Kf функции f(%)
совпадает при I&U-? с опорной функцией суммы выпуклых облас«|
Ку и Iji .Но граница выпуклой области Ky+Ijf
содержит отрезок длины не меньшей, чем Aj , параллельный
мнимой оси. Теорема доказана.
48

Задача А.Г» Коотюченко. Доказать, что система функций
{е** -Jcnhij полна в i^x{OjJr)m
ge варувая общности, можно считать, что (L<0 . Положим
rMMm)euWt«/t , (9.i2)
где функция ОД€<Х*. порождав» ортогональный функционал.
Тогда
где
в
Очевидно, что
TUH^PO-^U)] .
0
0
(9.13)
(9.1*)
(9.15)
о
Функция м«Д)€ад. и поэтому, как легко видеть,
№№|e4^wlei,(^) при любом©.
Кроме того, $(ti)^0 К=0}4}1}^*
ПОЛОЖИМ <?/1Л
**т Жи ' Оле)
Очевидно также, что $1?) - голоморфная функция в плоскости,?:
Разрезанной по отрицательному лучу от -<*> до нудя. Кроме
того» предельные значения ва вещественной оси &(х*10) щ *Э(х-С0)
* принадлежат l^ (r*>*J
Вернее, а?&)«*£ ж^1
"7 Из вещественности i?GW
на положительном луче
следует, что разность пре-
Ржи I дельных значений сверлу
49
#

и снизу на отрицательном луче- чисто мнимая.
Обозначив
будем иметь ^
то есть
о
(9.17)
(9.18)
(9.19)
С другой стороны, из (9.12) следует, что функция fft) инее!
вид
(9.20)
Обозначив в первой интеграле ((L+t)t = £ , а во втором(Лч^--
мы получим , . „
иди
affi*i&\
Рис* 2
а%-с&
Р№=£.\Ш.<1* (9.22)
/ис/ алЗ $-л **»
Из (9.22) следует, что функция /£9 голоморфна на плоскости,
разрезанной по 2Г • Поэтому она не имеет особенностей на отреИ
ках (ал* 1*у И) и (ajr-cF; -*■*).
Кроме того, из представления (9.19) следует, что /V*)
продолжаема справа через 2- в полуполосу lty|<X,
вещественна на вещественной оси.
Бели функцию f(2) продолжать из точки £ , обход
-2Г сверху м через луч (-<*>> <Mi+£jr) % ) сверху
вниз, то $(%) продолжается, и, так как #(2+iJr) тоже,
продолжается, той i?(i-£jr) продолжается. Итак, 1>(4
продолжается через луч (-<*>, А-*) сверху вниз. Точно также
доказывается, что она продолжается снизу вверх. Разность продолжу
на дуче (~<*>; AJt) чисто мнимая.
50

Кроме того, из доказанного ранее следует, что
отсюда получаем, что ya+i-H
й из неравенства ^J 4
следует, что
Ф(эО=*0
Кроме того, очевидно, что если от продолжения функции
/(£) в G- (см, рис. 2) через X отнять
продолжение с обходом -ft сверху, то получим функцию ¥^) ;
голоморфную в О- и обладающую следующими свойствами:
а) 4>(х) вещественна на вещественной оси;
б) У(1Х+и«) - вещественная функция;
в) Щ*)^ О ДР» fL*-*-00*
г) на it ^(Э?) голоморфна (кроме концов) и
¥((««#)-& Уф;
д) в точках # и &sl+LX - точки ветвления,
причем у[с)=0} tfgj+ij)90.
Не доказан пока только пункт д). Докажем:
Из (10) легко следует, что функция У(*)~X(*€****) ЯР*3™*86* на
сторонах угла с вершиной в нуле вещественные значения. Поэтому она
продолжаема через эти стороны, затем через их отражения и т.д. Кро-
метого X(*ei7rU)^XW'
Поэтому функция
голоморфна в круге с выброшенным центром в нуле
««-£«. <*)гч. (9.гз)
Теперь покажем, что все коэффициента в (9.23 ) при отрицательных
степенях равны нулю.
51

Иэ представления (9.23 ) имеем при «?££
W-m [№-№)!' c»J
где £fe) и fafe) - предельные значения функции /{-?) cnpaJ
и слева. Функция ^(>) прододхаема справа налево через 21
потому ограничена в окрестностн^точкн О . Функция £(*)
представляется в & (и б- ) формулой (9*22)* Применяя нЛ
равенство Коми - Банковского х каадощу слагаемому хн подучим, W
ШФ^- >
где а - расстояние от точки % до доманой X •
Из формулы для коэффициентов разложения функции /(J
или д
и, наконец,
-ju
Таким образом, C-b*0 при К-М ♦ Поз)
Если <2>*0 , то V($)^^l . Итак, <3>-0
следовательно, f(o)^0
Для того, чтобы исследовать функцию W-?' в окрес|
ности точки <?в-ДЯЧсХ » мы рассмотрим функцию
Легко убедиться в том, что она принимает вещественнее значения
сторонах угла с вершиной в точке £о ♦
Повторяя рассуждения, получаем, что
(9.24
и потому ¥(2о)~0 0
Итак, если функция ^* * 6*7 не постоянна, Ч
она отобрахает область (у- на ограниченную область Л> пдос|
кости W • При этом образ границы области (г- долхеи по*
рывать всю границу области ф • Но образ границы ¥(ty ^
лежит на отрезке вещественной оси и отрезке прямой Wxe^^'r
52

^/^=€"^Jtt (-«»<?<<») • Такое множество не может быть
границей ограниченной области. Поэтому ¥(л)~ОеилЬ t и
уак как У(о)=0 , то Vfr)sOm Отсюда Щ)гО
Теорема доказана*
Замечание. Результат остается справедливым, если
^1 {Ф)Л) заменить на Lp (<>;j) (4<$р < ©oj) .
В C(ojf) HeT полноты (дефект, равен двум).
ЛЕКЦИЯ 10
ОЦЕНКА СНИЗУ АНАЛИТИЧЕСКИХ И СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
^Неравенство Каоатеодоои. Пусть f(2)=u(*)+Lvl*)
аналитическая функция в круге 1*1 ^R. , нормированная в нуле так,
что 1(о)~0 , и пусть А(Ц)~Упй# iv(ReCV
Тогда W«ar
l^Uf^) (*^eC&) • (10Л)
Это неравенство дает возможность оценить рост модуля аналитической
(в частности целой) функции в зависимости от роста ее вещественной
части*
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из формулы Шварца следует, что
Далее, в силу нормировки, имеем
Отсюда следует
или
юдулнм получаем
о
Переходя к модулям получаем
о
Теорема доказана.
Заметим, что из этого неравенства получается оценка
снизу для гормонмческой функции и№ в круге 1*1* R.
53

при нормировке и(о)~0
ft-* ^^Ч^^^Х '
Отсюда непосредственно получается:
ТЕОРЕМА 10.2. Если аналитическая функция ^fa) щ
обращается в нуль в круге |;t|^R. » то при |£U*<#- ^
будем иметь оценку снизу
В частности при &.- 2Л имеем
При наличии корней у аналитической функции в круге U\$£L
мы будем иметь р, *
где •/ (*) полином, а второе слагаемое гармоническая функция
qfft) , то есть
&l/Wk£4j*-*i«l + <W
и задача об оценке снизу сводится к оценке снизу первого члена.
Очевидно, что такая оценка вогможна лишь если исключить из области
некоторые окрестные точки ^к .
Мы будем рассматривать несколько более общую задачу об|
оценке снизу потенциала некоторой конечной массы.
ТЕОРЕМА 10. 3. Пусть
од- #^*Му*ь
где Ji($) - регулярная мера определения на всех боредевских
множествах и ft Jjn(t)*:*-< °° * Тогда* при заданном Н>0
можно так выбрать систему кружков на плоскости, что
где у - радиусы этих кружков и
«Ф£ *&-£-, (Ю-5)|
вскду вне этих; дружков.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Назовем точку плоскости р - нор-|
мальной, если n(ij*)<pt,ri* и^*^|<£ <*/•(*) •
Если Я: есть р - ненормальная "точка, то существует значение
t , при котором n('Lj*)^pt . Пусть t^^juft
при которых верно это неравенство. Докажем, что этот супремум
достигается. Действительно, пусть i* t^ и n^^^pfc, ■
Тогда *(*?/^£р4|-* р?? # Итак, каядой ненормальной то*
5^

ке отвечает радиус ^ и исключительный кружок Сл\ 1£~£|<^
Пусть 2у -г +**f%(^) • Докажем, что и этот
супремум достигается в некоторой точке. Заметим, что при заданном
£?о можно так выбрать R.e что масса, всей области tfcl>£fc
меньше чем £ , а поэтому, при заданном \>о и ^
лежащем вне достаточной большого круга будем иметь t*<tf •
Иначе 1%-*° при % -» °° . ^
Пусть теперь последовательность *?п - такова, что
**п ' н . Так как последовательность £* лежит в
компакте I^UR. , то можно, не нарушая общности считать, что
K(V^)>K(^K ^к)^Р^Л-^ p^i • Таким образом
nlV«-*#)> Р^ "• в силу Р€ГУ^РН0СТ«[ меры
fc(V*)£pZi-
Выбросим из плоскости исключительный кружок
С4:\>'^с\<1^ # В оставшейся части также достигается в
некоторой точке максимум радиуса ненормальности. Выделяем
соответствующий кружокии т. д. Получаем последовательность исключительных
кружков: Ci)CZr^rc^)... с центрами *,;ffr*.;... и радиусами
Покажем, что ни одна точка плоскости не может быть
покрыт* более чем пятью кружками. Действительно, пусть точка #*£'
покрыта кружками С/г*.,${ с радиусами V^*/& — &*м
Проведем из точки #' векторы в центры % £',..,#
этих кружков. Так как центр кружка лежит вне всех друмпс кружков,
то угол между двумя любыми из этих векторов больше чем 60° •
Таких векторов не больше чем 5.
Кружки С - исключительные, то есть
*(*),*)»?*) - -nC>3t04r
Выбрав Р-тг «и получим
Очевидно, что fy-*0 , и так как каллой ненормальной точке Jf
отвечает некоторый радиус ненормальности \?^о , То любая
ненормальная точка будет покрыта каким-нибудь кружком Cj
Остается оценить потенциал и(&) в
произвольной нормальной точке. Очевидно, что
«(*)> if ^IM Aj*(*>)s\ Ы M*,V ,
55

я ля
и так как
ri(?,£)<pt , so
Кроме того, шеек n(^"t^< rt.=p"H .
Поэтому
И, окончательно
то вве исключительно
В частности, если Р(з?)^= (» (*-**)
крукков (£») с суммой радиусов €^~# имеет место неравад!
(Эта оценка не точна* У А, Картава есть более точная оценка: понм
зано, что для V&) выполнено (Ю#5) при X Ъ-2.М . В patio]
те А.Ф, Гришина доказана оценка А.Картана для произвольной cy<J-i
гармонической функции»}
ЛЕКЦИЯ II
ОЦЕНКА СНИЗУ МОДУЛЯ ФУНКЦИИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ В КРУГЕ
Из теорем Фрагмена и Линделефа мы получили, что целая (4
аналитическая внутри угла) функция икеюцая "небольшой глобальный
рост" не может "слишком быстро убывать" по какому-нибудь направо
нию. Оценка снизу, о которой будет сейчас идти речь, имеет в обад
тот же характер* Бели целая функция f(i) невелика в некотором щ
ге она не может в несколько меньшем круге принимать слишком малй[
значения. Конечно такая оценка возможна лишь вне исключительных
кружков, так как функция ^/>) может в данном круге обращаться
***** о 1
Тогда в круге fck<R. t Е9 ЕЮ ЙСШ^ТШШ, КРУ*1«1
|;|^)<^j о 9умцрЦ РШУ99Р
(Cj)!
56

верва оценка
&\{(4>-Щ&Л№)- <П-г)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Построим функцию
где &t, ••• ^п. - корни функции /^) в круге !&| <£& .
Имеем Ш={ ш Wui«*>1\*eer . .
Функция Ц*г« **/
не имеет корней в круге |г|^Х£ , ив скду неравенства (10.3)
имеем при |*|<ft,
н тем более
Таким образом при |*K(v.
Оценим второе слагаемое в правой части этого равенства:
При |*Ц& имеем
О^Ю1-***]<£*') • (П.6)
С другой стороны, из (ЮЛ) м (10.5) следует, что нри ""f *?£
всюду вне кружков (Cj) о суммой радиусов 21\ "*%&-
будет выполняться неравенство о J
& 17|*-а.1^лйЛ)А %■ • (п.7)
Таким образом, учитывая (II.6) получаем при 1*|<& , но вне
вдужков (ф
откуда следует:
Воспользовавшись неравенством п(2Я)$ 4» J4 (lefty ,
меем при I^UR. , но вне хруяков (q)
ШФ~4*М(*е*)[Ь^-]
57

Эхо неравенство вместе с (И.*) н (II.5) дает прн |#|$£ » но **,
кружков (Cj) - ,
Теорема доказана.
Из пожученной оценки оянву легко следует ряд теорем о pJ
те произведения н частного цела функций конечного порядка.
Сформулируем одну из них *, \
конечного порядка и нормального типа, есть педая Функция, то e»J
рост на больна чем норядка <? и нормального типа.
докштагсгда- пусть
\Щ<М,е№. <п-8>
при всех значениях £ е £4 • Тогда, имеем при .*.<£-,
вовне исключительных кружков (СА с jTfy ^Ч^- неравенство!
Отсюда следует, что вне (Cj) , но в круге
Если окружность |*1~^ не пересекает исключительных кружков (б)
то применяя к (G) принцип максимума подучим
мг11)<еА*< ■ „ (П-9)
Между числами найдется такое R^ , чт(
окружность li|=&i не пересекает (Cj) . Отсюда следует
(II.9) для всех значений И , превосходящих некоторое Qo>0
(при несколько изменяемой постоянной А )• Теорема доказана
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество кружков ( (3 ) в плоскости мм на]
зовем С0 - множеством если
Ми* (-£! %W,
где jfy - центры кружков ( Cj ) .
ЗАДАЧА. Доказать, что если ^(л) - целая функция ми№
мального типа при порядке о , то всюду вне некоторого С0чине
Alf«l-»<w»).
Теорема (2.II) допускает олежуищее обобщение: I
теорема злт. £да -(<(*) - функция аиартвческа*. I
в«1»РВ Зт *««***<£ Щ реет порядок, 9 1ШЯЩ
58

яуй ш, a fz(X) - целая функция порядка 9 * нормажмгого
угла» если частное Vfa)~ fi(X)/h(%) - аналитическая внутри того
же угла» и н* сторонах угла ' У
то *П*) не выше чем порядка р и нормального типа*
Доказательство несущественно отличается от
доказательства теоремы (2Л1).
Чаще всего теоремы (2.II) и (3.II) приходится
применять к функциям экспоненциального типа*
ЛЕКЦИЯ 12
ОЦЕНКА КАНОНИЧЕСКОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ,КОРНИ КОТОРОГО ЛЕЖАТ НА ОДНОМ
ЛУЧЕ
Пусть 0^<.„ <fl*«... * И-^) - число точек
множества ^Оп)" на интервале (o,i) и существует
^^J^jL (12 Л)
причем о - нецелое число* Пусть
Р
iil
да=[1е(1,р)
где &M-U-u)eu+£+'"+p
Положим -ЗГ< (3Ui^(i-u)< J # Тогда выражение -&i £(и>р) опре
деляется однозначно в плоскости разрезанной вдодь луча [1,°°)
ТЕОРЕМА 1Л2. При указанных условиях на
последовательность [&*) в плоскости, разрезанной вдодь положительного
луча [0,оо) имеет место асимптотическое равенство
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО* Имеем

Рассмотрим разность
. IbiteWeW^^* (I2.3)
Последнее неравенство верно прн N > //(&) . При фиксированно
//>№) и t ><£Л/ получаем, что
0+
Для оценки второго слагаемого J^fafi) в (12,3) положим i-tt
и подучим
ВД^Г<>К)==М •
где Ср - постоянная! зависящая лишь от <£ Вычисляя интеграа
Эйлера в (12.3) получаем
Теорема доказана. Заметим в дополнение, что
равномерно относительно аргумента д%} 0< В<ЛТ #
ЗАДАЧА. Доказать асимптотическое равенство (12.2)
считая, что Лп. - комплексные числа, -j-^-^A • Беря
вещественную часть от обеих частей этого равенства мы получим
Ш^Щ<*№+Щ • (ад
Очевидно, отсюда получается
М8) Нйл**?^' 0<e<AJr > (12.5)
и в силу непрерывности индикатора (12.5) верно для всех лучей
0£&<3,Ж f а по свойству 4 индикатора получается
ч^ИЩ&р^-'Н^ • (12-б)
60

таоРЩ (?.г?). Вод последовательность по ломте яь-
чисел р4 такова, что JL _, д , а
tf ^(8)=^ГА|««в| ^jjgg е^х ставствтет прадед
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Последовательность j£ имеет
плотность Л при порядке у =4* , то есть
По предыдущей теореме имеем
Так как R**«4-I*l t a £-«0=* **#* * то
ТЕОРЕМА ОБ ОТРЕЗКЕ НА ГРАНИЦЕ ИНДИКАТОРНОЙ ДИАГРАММЫ
ТЕОРЕМА 3.12. Если делая йункдия Jfc) -
экспоненциального типа обращается в нудь в точках (лн) JL*>0 с,
плотностью
Л=^Гоо ТГ ' (12#8)
то опорная прямая» к этой диаграмме ортогональная к направденюэ
ал$ &~о имеет с ее индикаторной диаграммой общий
отрвяпу лдчии ^. ZJ А
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим отношение
. *«-%■
где J"(i)— у п*- j* j . Это отношение по теореме II.2
есть функция экспоненциального тина в полуплоскости
(biZ^O • Очевидно, что при |&|^-£
го есть индикаторная диаграмма фукции £&) есть суша индикатор-
вой диаграммы функции f(h) и отревка [-iXAjCjtaJ #
61

Теорема доказана.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Полосой ширины d называется
область & ограниченная непрерывными кривыми и^а(Х) и
ТЕОРЕМА 4.12. Если все особенности функции /fe)
ассоциированной к /(*) лежат в оваасе шириной d и Т(%)
обращается в нуль на положительно! последовательности {Дк\ ,
имеющей плотностью ^^^^"Tn^ijf t то J*(£)^0 . ^
Действительно, построив наименьшую выпуклую областьJ
содержащую все особенности функции /(•?), мы легко убеждаемся в
том, что опорная к I вертикальная прямая не может содержать
отрезок длины 2жл на границе выпуклой области I •
ПРИЛОЖЕНИЕ, Пусть A (Q) пространство функций
аналитических ъ Q , в котором сходимость определяется как
равномерная на каждом компакте К<=£3 . Пусть область Л — ОКц ,
где КкН^Кг\ i Kft - компакты со связным дополнением,
содержащим бесконечную удаленную точку» Известно, что любой линейный
непрерывный функционал в /4(Р) дается формулой
/[*М Yl*)/fe) <** > (I2'9)
(GO
где /(£) - функция аналитическая (однозначная) вне К-м , рав-1
ная нулю на бесконечности, a d - система контуров
принадлежащих области /? и содержащих компакт \С^ .
, ^ж ТЕОРЕМА*/ 5.12. Если —=->-*-1 , то система функций
{*? j* полна в А (Я) где Q — произвольная полоса ширины |
5т и не полна в любой области содержащей отрезок длины 2 Ж
параллельный мнимой оси*
Докажем сначала первую часть. Пусть некоторый функцио-|
нал из А (Я) ортогонален ко всем функциям семейства {е **V
то есть
№0
следует доказать, что £(%.) SO .
Функция
W)-s
ex*f(z)dx.
(со
*/ Эта теорема была доказана независимо автором и А.Ф.
Леонтьевым.
62

целая экспоненциального типа и вое особенности ее преобразования
Лапласа ^Р(2) лежат в полосе Q . Из равенств 3^(Лк)=*0,
11=0,4,^,,,, следует ^Ц)^0 и поэтому £(Z)==0 •
Пусть теперь область & содержит отрезок соединяющий
а-иг и <L+i]r . Индикаторная диаграмма функции
Щ-е^ЦЦ-Ъ)
как видно из формулы (12.5)
совпадает с отрезком
а сопряженная с отрезком
Очевидно
где С - контур из G-, охватывающий Т f a Sfa) -ассо -
циированная функция. Функционал,порожденный функцией /^)^о f
очевидно ортогонален ко всем функциям jeJ**\ , и
следовательно, эта система полна.
ОЦЕНКА СНИЗУ ДЛЯ ФУНКЦИЙ Jfe)
Для целой функции
А = Urn- ъеГ \
подучим асимптотическую формулу _
которая бессодержательна при ©—О ; однако можно уточнить
асимптотическую формулу так, что она будет иметь смысл и при этих
значениях 9 , но при этом, разумеется, придется выбросить из
плоскости некоторые исключительные кружки, содержащие корми
функции, то есть точки Лк • Точнее, имеет следующая теорема
ТЕОРЕМА 6Л2« Существует С - множество кружков
(С?) t то есть таких, что ^
J &m 4-21 *\*\ i UJ" ЦейТРН) •
65

и при j^ie^e С/ ; имеет место асимптотическая формула:
причем <5(t?) ЧГ? стремится к нулю равномерно относительно Q
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Нами было доказано, что неравенство
^H|<j^c*9(M-8] & (12.6)
выполняется всюду при Т>Ъ£ , а неравенство [О)
всюду при Ъ>Ъ6 и 0< 84>&**£Я-$.
.g. Выберем на прямой Фде£~§" произвольную точку
^?0=г 1об и рассмотрим'функцию
в курге |w|eft •
В силу оценки модуля голоморфной функции снизу при
заданном Yj >0 всюду вне кружков ( С; ) таких, что
£Л?< ty R- имеет место неравенство:
J щ^ы)\>-щм<?№).
Выберем R^Z&lo. Тогда из неравенств (12.4) и (12.6) получим:
К,± - постоянная. Итак вне кружков ( С: ) » но при jvvj^XS't
^M>-hwh^- (12Л1)
Положив <£-&>* W , мы подучим
и в силу оценок (12.6) и (12.11) при |£-&>| <£§<,£ , но вне
исключительных кружков ( С? )
Учитывая, что X я |*| — (l-iS)^ ,

Кн получим в той же об лас я _ Пл т .
С/ЯЩ "[Я^х [м&? - /t*H(q) KJS -ej г'
)
Выбрав иio *ак, что йг4-=^=. ; (ц = е^), «ш получи:
При достаточно большой |<2о| нн ножен считать, что & = f$
окончательно, вне кружков ( Cj ), но в области \<УЩ%\^. Z8
^({-S)<l2|<'ze(i+S)) имеем *
Соединяя с оценкой (12.6), мы подучим при *МЬ&)<|£|< Wt+8)^
произвольном ©; (©^jUr) , l^o^T.5 и вне кружков ( Cj )
Щж[\е19)\ >[^г С*ф-Ж)-8] Ъ? (12.12)
Из (12.8) непосредственно следует утверждение теоремы.
ЗАМЕЧАНИЕ 1# Из доказанной теоремы легко получить,
что асимптотическое равенство (12*10) справедливо вне некоторого
Со - множество кружков, то есть такого множества,-ч*о
**- l*jl<R
Мы предоставляем это сделать слушателям, оо •
ЗАМЕЧАНИВ 2. Если ЗГ(*) - fl [l~Jt) ) JT
-*»А
то делая замену <2Л—W, мы получим целую функцию нецелого порядка
9= дг > и пРименяя * ней предыдущую теорему мы получим, что вне
некоторого С - множества
&i | *(*е^|» *Д1 rt*Gl* + 7(г)
ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если корни f #*f лежат на дуче f ,
то очевидно асимптотическое равенство (12.10), заменяется
асимптотическим равенством
MKie^i^ertvfe-HM+^W; r«a« wx,
65

верным вне некоторого с° - множества кружков
ЗАМЕЧАНИЕ 4. Если корни О* расположены на кон^ч
ном числе лучей 0>&?£—Ук с плотностями Ак ♦ то вне С°-
множества
Иначе это асюштотическое равенство можно записать в форме
Y е-*зг
где Л (¥)-кусочно постоянная неубывающая функция и
Этот результат допускает обобщение: обозначим через
— число корней канонического произведения jrf£) в сек*
торе l^l^'Z. и 0^uAQ%<4 f и пусть для всех значений ¥
(кроме, может быть счетного множества) существует предел
( р— нецелое)
Тогда всюду вне некоторого С° - множества верна следующая
асимптотическая формула
Цж(Щ^ Ь(Ф9 + о(1?) , (12.14)
где индикатор К(б) допускает представление
Доказательство этой теоремы требует дополнительной техники. Мы его
допускает.
При 9 - целом кроме (12.13) требуется еще
выполнение условия: существует
Из (12.13) и(12.16) следует выполнение (12.14) всюду вне
некоторого С° - множества. В этом случае справедлива формула:
©
^©Ь-^^^Ы^^^^^со^^Оо). (12Л7)
9-2JT
Целые функции, удовлетворяющие условию (12.14) называются
функциями вполне регулярного роста.
Имеет место обратимая теорема. У целой функции вполне
регулярного роста корни удовлетворяют условию (12.13) причем
вв

4й*4-4№±^ •
(12.18)
При Q - целом выполняется также (12*16).
При 9^1 (то есть в случае экспоненциального типа)
равенство (12.18) имеет простую геометрическую интерпретацию:
Проведем опорные прямые,перпендикулярные направлениям
0й§ £-*&/£, и пусть S(4i}4^) - длина дуги индикаторной
диаграммы между точками опоры %± и Х^ этих прямых • Тогда плотность
множества корней функции внутри угла Hj<0Wj£^Ht, I
it*
"Доказательство этих корней можно найти в книге
Б.Я.ЛЕВИНА п Распределение корней целых функций11 , гл. П и Ш.
ЛЕКЦИЯ 13
В этой лекции мы докажем теоремы, которые можно
рассматривать как обратные к теоремам, доказанным к лекции 12.
ТЕОРЕМА I3.I. Пусть корни целой функции $(%) лежат
на положительном луче и пусть, при любом &>0 и некотором
нецелом о имеет место асимптотическая формула
^iv\jro
д<9<2Ж-<д.
Тогда существует предел
где nl"fc) , как обычно, число точек
или, что тоже, на интервале ( 0}Ь ).
Ы
в адуге
(I3.I)
(13.2)
1*1 *t
67

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО» Из асимптотической формулы (I3.I)
следует, что при 0< 9<ЛХ
Мб)а8^й?вР1^",)- (13-3>
По непрерывности индикатора - это равенство верно и ори д~0 ч
Отсюда следует
Как было показано на предыдущей лекции, из (13.4) и (13*5) следуе*,!
что всюду вне С° - множество кружков ( Су ) содержащих точке
{&к\ имеет место асимптотическая формула (13.1)
Пусть теперь величина Z>0 выбрана так, что окру»,
ность l^l^R не пересекает исключительных кружков {(5f) •
Тогда по теореме Иенсена!*^
или
2JT
о у о
Yiy наконец, ^
]^&= fHUo№) . (I3.5)
Если К. таково, что окружность JXj-R пересекает
исключительные кружки, то при любом 5>0 можно найти такое 0<к<о%
что окружности |*hR({-K) и |2|«£({*к) не пересекают
исключительное С° - множество и мы получаем
о У
Отсюда конечно получается
Jl!giUi-f-R*+o(K») (13.6)
для всех значений ° R •
Выбрав К>1 , мы легко получим из (13.6)
*/ Принимаем, что не нарушает общности /(о)=1 ♦
68

Отсюда получаются два неравенства
*(kR)&K^K4)R? + o(R9)
я я»
лШ_ >-A-JSl^l— R? + o(R?) .
этих двух неравенств получаем, что при любом
tte^'fc^t*?
Перейдя к пределу при К 4 i мы подучим
R-*c*>
R^<
Теорема доказана.
Для доказательства более сильной теоремы, принадлежащей
Тигчмаршу, нам понадобится одна общая теорема.
ТЕОРЕМА (о двух константах). Пусть У(«2)
аналитическая ограниченная функция в полуплоскости Ч> О и 1¥(*)\^ЛЬ
при х<о; 1¥ДО1$МХ при j(>o.
Тогда при О ^ & ** X
\Щ*М*Н?*. {13'7)
•г
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть
Очевидно, что Ы(Х) - гармоническая функция в полуплоскости
Ц>0 • Функция
Э W(5J)=4i|^)hu(X)
субгармоническая, ограниченная в полуплоскости U >0 и на
вещественной оси , WW^O . По теореме Фрагмена и Линделефа
отсюда следуетУУДО^О при Ч>0 .Потенцируя это неравенство полу-
69

чаем (13.7).
СЛЕДСТВИЕ. Если ¥(%) - аналитическая, ограничен*^
В ПОЛУПЛОСКОСТИ И ¥(х)-*~0 ПРИ «X->+<** f T0 У (£)-">* О
равномерно внутри угла <?<" аЛА%4)(<]Г»
Действительно, если |^)|<i и при Х>Х& имеэд
место неравенство |V(x)| < & % то внутри угла
имеет место неравенство
Из этого неравенства следует утверждение ,
ТЕОРЕМА (Титчмарш). Пусть корни целой функции
нецелого порядка О и нормального типа лежат на положительном
луче и
тогда
a(t)=At4o(t?) • (13.8)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме Адамара
где РДя) - полином, степени fy< у и поэтому
^|1К)|=^с^1Г9гЧо(г?) • (13.9)
Нами была уже доказана формула |
Так как f(2) - нориадьного еипа, то K(t)<ct „t следовательно
при 0<8ИЭ£2Ж-Ъ ^
70

Обозначим
,= h *№- - жа (13Л1>
Щ-
Т*Г -им. згу
В силу (13.10) функция f(%) ограничена внутри угла 0< & 4 оЛвХ^
^^j-g • Кроме того, очевидно, что ^(-ty-^o '. По следствию из
Теоремы о двух константах получаем, что ^(&)^Ь О при 0<S^
4 0Д|Х^ ZX-b . Отсюда
fa jr^^Mil e^j) + of^); (SN<е?* *т-8).
йз этого асимптотического равенства по предыдущей теореме следует
Itft^ Д"£' +o("fc*) . Теорема доказана.
71

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА
По теореме Фрагмена и Линдедефа функция экспоненциально^
типа в полуплоскости Ц к. О , ограничена на вещественной оси,
то есть 1|(х)|^М (как было показано) всюду в полуплоскости удоь
летворяет неравенству [^(Х+иЛ^Мв^ t WW ОТ - тип функции,
• Таким образом, если, например у всех функций некоторого
множества \$п(%)) экспоненциальный тип в верхней полуплоскости orJ
раничен постоянной &0 , то из равномерной сходимости
последовательности |п(2) на вещественной оси следует ее равномерная
сходимость в любой полосе конечной ширины параллельной вещественной
оси, причем предельная функция также имеет экспоненциальный тип
(Г ^ <Г„ .
Аналогичное явление имеет место, если вместо #хр||(.х)|
рассматривать норму JlfL=j^|i(x)|prfxP • p^i (или обобщенную
норму при р >0 ). *~ * I )
Мы будем рассматривать в этой части курса функции
экспоненциального типа, ограниченные на вещественной оси в более слабом
смысле, а именно удовлетворяющие условию
р#ЦМ<- со,
Такие функции мы будем в дальнейшем называть функциями класса С
Оказывается, что функции этого класса обладают особой регулярность»!
роста и особой правильностью в расположении корней. Эти свойства
играют большую роль в приложениях. Это легко понять, если
вспомнить, что преобразование Фурье финитной функции (или обобщенной
финитной функции) есть целая функция экспоненциального типа,
удовлетворяющая на вещественной оси условию (0) . Кроме того, функции
такого типа часто встречаются при узучении краевых задач. Обычно
собственные значения являются корнями таких функций. Изучение фушН
ций класса ( С ) основано на применении формулы дающей предета*|
ление таких функций и теореме Хеймана, об оценке снизу потенциала
массрасположенных в замкнутой полуплоскости.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ПОЛУПЛОСКОСТИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ФУНКЦИИ, ЛОГАРИФМ МОДУЛЯ КОТОРОЙ ИМЕЕТ
ПОЛОЖИТЕЛЬНУЮ ГАРМОНИЧЕСКУЮ МАЖОРАНТУ
72

Сначала мы выведем формулу Рисса - Херглотца» дающую
представление в круге lw|<£ аналитической функции с
неотрицательной вещественной частью*
Формула Шварца дает представление такой функции внутри
круга M<f <R ^ :
-jr >
(yT*)=u(;0+l<K*))
или
где ^o(!^)=:\u(c>e ) dC -неубывающая функция и
° ^(JT)-^(.jr)« U(o).
По теореме Хелли можно так выбрать последовательность о tR
что ЛД^--*. <у^ (в основном) и получим
это и есть формула Рисса - Херглотца.
Для положительной в круге \w| < R. гармонической функции
имеем соответственно $
Пусть теперь ^(2) =: U(2)+ C^{2) голоморфная функция в
полуплоскости у > о м ^?) ;> о при Ч > О .
Положив *
W l+Z > ** l J. + W '
«н получи» функцию Yfw^t^i ТТуу") » которая, по доказанному
представляется в форме
-л
Вещ в точке f = ЗГ есть сосредоточенная масса, то естественно
73

загасая это представление в форме
Делая обратную подстановку получаен
Положив ~ ^
мы получим формулу Неванливнн
¥(*)-£ T-if^f- <ty ft) + «*- i (б)
в которой Jilt) имеет ограниченную вариацию на всей числовой oci,
прн v(i)»J(M*)^(i)
формула (б) принимает вид
да-f rfe+f**leW+<r* • (б,)
где ^ —
— о©
Выделяя в правой части (6f) мнимую часть мы получаем
*«-£!-№+ev . С8)
Сформулируем полученную теорему:
ТЕОРЕМА I. Функция \>(2) - гармоническая и положительная
в полуплоскости ^>0 представляется в форме (8), где V(£) -
неубывающая функция удовлетворяющая условию (7).
Легко дать формулу для вычисления функции V(t) . Интегрт]
руя обе части равенства (6) по Л мы получим при ч>0
Функция [u/ic"w-^-т1/ есть угол под которым отрезок ]oi fb\
виден из точки £ ^ х+1н • Поэтому имеем в точках
непрерывности v(-t)
1
74
ftm. \ 1>(Л+^)с(л = У,С^-У(^). (9)

Формула (8) верна при произвольных oL и р , если положить в
точках разрыва Vf£)=^[v(t^o)+^(t-0)] . Из формулы (9) следует,
что для любой положительной гармонической функции величины \>(t) ш
(5 определяются однозначно.
ЗАМЕЧАНИЕ. Если функция V~(Z) определена и на
границе полуплоскости и» при любых ol и 61 можно сделать
предельный переход под значком интеграла, то dv(i) — a(i) db . в
частности, если $(%) аналитическая функция в полуплоскости *hvdk&0
не обращается в нуль во внутренних точках 7т_Х > ° и fa\l№foQ
при }иг£ <0 , то
ТЕОРЕМА 2. Пусть Н%) - голоморфная функция в
полуплоскости \>0 и
* &.if(*)l**uo .
где ^(^) - положительная гармоническая функция в полуплоскости
U>0 и пусть |&к\ - корни функции.
< оо
KI4 • <10>
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Функция
в которой Pf£) - сопряженная гармоническая функция, имеет теже
корна, что и ffe) , голоморфна и 1¥(£)\<£ при v>0 «He
нарушая общности можно считать, что ¥(1)^0 •
Функция
YM = *(££&■)
голоморфна в единичном круге, ¥(о)Фо и |*iP(w)|^i .
По формуле Иенсена имеем
14, Л.Л 1 л
Отсюда следует в.
а,тем более
jCat<k(t);>&i|W|
75

В другой записи получаем
где 0* - корни функции т(Wj . Отсюда следует сходимость ряда
|>|4к1*&№>1,
которая в силу неравенств -cL>IAi\i~'cL)> -f^f эквивалентна сходи*
мости ряда ^ оо
Но корни б* связаны с й* - соотношением
* ь+«<
Поэтому о^
или, что тоже
оо «у
.1 .. 1*
Очевидно, что при Jw. <2<,> 0 верно неравенство .Ыя*! £ К + 0х|
и, следовательно,
О©
< оо>
(К)
Теорема доказана.
ЗАМЕЧАНИЕ. При выполнении условий теоремы
X|:w-y<~.
Действительно при 1^к\^ £ имеем
В частности (12) имеет место, если функция f (£) не
имеет корней в окрестности нуля
ЛЕММА I. Если Уто^УО и имеет место (10), то
РЯД оо
равномерно сходится на любом компакте принадлежащем полуплоскости
ЗтХ>0 .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Имеем

Пусть сходится ряд (10). Тогда
«&fcft*££l^i<oe
Поэтому ряд
сходится равномерно на каждом компакте с полуплоскости ^ > О
Отсюда следует равномерная сходимость ряда (13), а значит и
утверждение леммы.
ТЕОРЕМА 3. Если функция $(Х) голоморфна в
полуплоскости Jyvi% >0 и функция йг||^имеет в этой полуплоскости
положительную гармоническую мажоранту U(<£) , то
где О* все корни функции }{£) в полуплоскости Jm% >0
<°°) j=i,^. (15)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Функция
голоморфна в верхней полуплоскости, |v(^Ui при Ч>0 ж ¥>(*)
имеет теже корни, что ж $(Х) •
Функция л
u*(*)=WW|-I>lfftl
субгармоническая и ограничена в полуплоскости у>0 t а на
границе ^(Х)^.0 . По теореме Фрагмена и Линдедефа для
субгармонических функций получаем U*i(i)^0 при Ц ~г. О .
Это неравенство можно записать так:
77

2>l£tliut№)l
Отсюда следует сходимость ряда
и UooiZ^BiZ)— *н>\¥щ гармоническая функция в полуплоскоо,|
ти Ц>0 • Кроме того, очевидно \<Loo{%)£0 • итак
&||(*)(=иф-иоо(*) + &(*)
в полуплоскости М[>0 .По теореме 2 имеем
причем c(V(i) и rfVoe(i) удовлетворяет условию (15).
Теорема доказана.
ЗАМЕЧАНИЕ. Если /(*?)- голоморфна в замкнутой
полуплоскости, то, согласно замечанию к теореме I можно сделать
предельный переход под знаком интеграла и форкула(14) принимает вщ|
Шг< - . (15'
Так как
то получается, что при существовании у функции
^|fW|положительной гармонической мажоранты в полуплоскости Ч>0 существует
интеграл
у-^&<
или, что тоже
Заметим, что если л (Ю голоморфна и ограниченная
в полуплоскости ^^.0 , то -&г||Щ имеет положительную
гармоническую мажоранту. Мы можем теперь сформулировать следующую теорему
единственности:
ТЕОРЕМА 4. Если f(i) - голоморфна и ограничена
В ПОЛУПЛОСКОСТИ 4^.0 И cjp
-о© •*• *~
78

то ffc)SO .
Эта теорема непосредственно следует иэ предыдущего
замечания.
Прежде чем перейти к изучению асимптотического поведения
функции, имеющей положительную гармоническую мажоранту мы дадим
одно приложение предыдущей теоремы.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ТЕОРИИ КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИХ
КЛАССОВ
Пусть задана последовательность j^rt \ положительных
чисел n-o.l^^s, . Через Gk^. обозначается класс функций
вещественной переменной *Ь (-<*><£<<*>) . Бесконечно
дифференцируемых и удовлетворяющих неравенствам
lfwWk*tK.\ (I6)
в которых постоянная К. - зависит от функции. Очевидно, что
класс Смъ линейный. Он называется квазианалитических (л) ,
если из равенств ^Y^H^ ^V* следует ^(i)sO •
Легко видеть, что если №*.— И-! » *о функция класса
Смк аналитические на всей числовой оси (это легко получается
исследование остаточного члена формулы Тейлора). Очевидно, что
чем медленнее возрастает последовательность ^ hOj , тем больше
оснований ожидать, что определяемые ею класс - квазианалитический
(л) • Для характеристики роста последовательности {w*l)
вводится функция • к
(чем медленнее возрастает последовательность Vn^ , тем быстрее
растет функция Т(ъ) )•
ТЕОРЕМА 5. (Карлеман). Для квазианалитичности (Д)
класса Ctvitu необходимо и достаточно, чтобы расходился интеграл
] А^Л— •. (18)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Не нарушая общности можно считать, что
в неравенствах (16) K-L • (В противном случае мы
рассматривали бы функцию ^(К* t ). Кроме того, рассматривая функцию |{£ «■ £0)
можно считать, что
4l%)=0} * = 0,L}L,.~ . (lit)
Для доказательства достаточности условия (18) для
квазианалитичности класса С^к мы положим ^tfc)^0 при Ь<0
(при этом $[Ъ) не выйдет из класса Сгл^ ) й возьмем
преобразование Фурье ?9

У£)«ТДОЛИ - (i9)
интегрирование по частям дает ч ,
и получается оценка оо ±
Очевидно, что i(^+0 класса С • Если выполнено (18), то
—СО (
и следовательно, TQfy^O • Обращение преобразования (19) дает
|(i) —О • Достаточность условия (18) доказана*
Пусть теперь оо *-,, Л
Построим гармоническую ty>o) функцию'
Она непрерывна в полуплоскости <f^0 и U(X)^0 •
ФУНКЧИЯ J^e"'**^ '
где 1^Д)- сопряженная гармоническая функция, ограничена в Ч>0
Т(М)(1+Х4)
Бе преобразование Фурье
равно нулю на левой полуоси т <0 (по лемме 1ордана из теории
вычетов) и
Отсюда
ГАис
in^-ifefe^,
то есть ти • Теорема доказана*
В дальнейшем изучение функций класса С основыва*
ется на представлении (I*).
80

ТЕОРЕМА ХЕЙМАНА. Мы изучим асимптотическое поведение
функции заданной в полуплоскости р." (3г*%>0), и несколько более
общего вида чем представленная формулой (14). Именно будем
рассматривать функции вида ^ <х>
где dfoft) и dV[b) - регулярные меры и
О ' —О©
Множество кружков ( Cj ) с центрами <2? в точках верхней
полуплоскости и радиусами -tr мы назовем множеством конечного
обзора, если сходится ряд:
ТЕОРЕМА 6. Всюду в полуплоскости Ч ^ О • но вне
некоторого исключительного множества кружков, имеющего конечный
обзор, верна асимптотическая формула
^(*)=o(lS|). (В)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Прежде всего преобразуем равенство
(I41). Для этого введем меры .
Тогда можно функцию 0~(^0 записать в виде
Очевидно, что У"(2)>0 при J** % > О . Поэтому следует лишь
оценить функцию ч)*(£) сверху. Для ядра. KfoV)
непосредственно устанавливаются следующие оценки:
При \Ь*|<-|-
> «сюду при У >0
81

Введен теперь понятие <£ - нормальной точки. Точку
Л [JtoZztyiu будем называть £ - нормальной (при данном £>Oi
Важной для дальнейшего является лемма:
ЛЕММА 2. При каждом 8>0 , все £- ненормальные
точки могут быть заключены в систему кружков (Q) , имеющую
конечный обзор, то есть удовлетворяющую условию (А),
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство этой леммы в ряде
мест проходит аналогично доказательству теоремы об оценке снизу
потенциала конечных масс. В этих местах мы проведем рассуждения
сокращенно.
Для каждой точки % .можно выбрать величину ~Ь
настолько большой, что JJ ^^£)<ilb, . Поэтому в £
ненормальной точке множество значений t>0 % для которых имеет мест'
кратное неравенство (!) jj (h(Y)$)2L&- » ограничено.
при которых это неравенство справедливо, обозначаем *1% -
радиус ненормальности. Неравенство (I) имеет место при Ъ~Ъ% <
Соответствующий круг обозначим С% •
Из всех таких кругов с центром в полукруге \^1^R~ ;
Jw7J?^0 выбираем наибольший (см.лекцию 10) и обозначим его
Ci • (центр 5t )# Отбрасывая внутренность этого круга выбира
ем в оставшемся множестве наибольший круг ненормальности Q,
так далее. Очевидно, что радиусы этих кругов образуют убывающую,
стремящуюся к нулю,последовательность. Из построения-последоватея]
ности ( С] ) вытекает (см. лекцию 10), что никакая точка полу]
круга lXl^fL » ^Уч^^-О не покрыта более чем пятью кругами и
следовательно £ £ iL < £"tt dl tvi(*) <J 5>>v •
Отсюда следует, что Ij у и и, следовательно, все нормальные точв^|
из полукруга Ц^ покрыты кружками (С} )•
Рассмотрим затем £ - ненормальные точки в области
Я^1£Ы1Я ,-но вне уже выделенных кружков и также заключим их
в исключительные кружки и так далее. Тогда все построенные кружя*
покрывают любую точку полуплоскости $y*%2lO не более чем 5 раз
и содержат все ненормальные точки. Имеем
5гъ -
8г

откуда и следует утверждение леммы.
Оценим теперь функцию V~(%) во всех нормальных
точках. Положим
т4 т)М*)<А\\щЧп.$-,<1^)<
где
^("t)^ Jj 4**(£) • В силу нормальности точки «2, , име-
ем )г(£) < &Ь • . Производя с помощью этого неравенства
оценку и переходя к пределу при S-i/O , мы получим
«!(*)-й KU,^Xwft)<^€!3S| • (19)
Положим далее l*-*U*l
и опять, воспользовавшись неравенством ft(t) <~к— ♦ получим
Vitt) < «l^f^V1- +т5 ^J< в*£г • (20)
Далее,» пусть *
Имеем IM>V*
Но hc?| ^ ^ и, следовательно,
irdU)<lB1^Um(^<2Bi£^ • (21)
И?наконец, °
ЩЮ=§ K(*,*)rfmfc) < Вч Я тЙ&^'^аУ(22)
83

Объединяя все сделанные оценки получаем» что на множестве £ -.
нормальных точек, то вне некоторого круга
W*) < Се Ш <23>
С-постоянная не зависящая от функции.
Выберем теперь SK^0 и R,^ , так, что в l^|>R.k
?
и чтобы вне этих кружков, но в 13f | > гСк выполнялось неравенство
и включим в исключительное множество вое кружки с центрами между
к+{ • Тогда получим
\Г(*)=: о(\Х\)
вне исключительных кружков. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 7. (М.Г.Крейн). Для того, чтобы целая
функция ^(?) принадлежала классу Q , то есть чтобы
выполнялись условия:
а) 4(2) - экспоненциального типа,
необходимо и достаточно, чтобы функция имела
положительные гррмонические мажоранты в полуплоскостях х$>° и у<0
ДОСТАТОЧНОСТЬ. По замечанию к теореме 3 из
существования положительной гармонической мажоранты в полуплоскостк и>0
вытекает выполнение условия б).
Кроме того, по теореме Хеймана
& |*юн сг+з * у (\*о , (ао
6il^{x)|«or.^+ о (1*1)
всюду вне "малой" системы исключительных кружков ( С? ). Из
(24) следует, что вне кружков С? при £>0
||(г)|< е(*+01*' ; сг-т««(вг.,сг+). (25)
По принципу максимума (25) выполняется и внутри кружков ( Cj )'
НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть Ш)ьС • Из б) следует что
существует при Ч>0 интеграл

представляющий в полуплоскости у>0 положительную гармоническую
функцию» предельные значения которой на вещественной оси совпадают
с Ы\Ш% • Функция
где *НЯ) - функция сопряженная функции U(%) , голоморфная
экспоненциального типа ^СГ в полуплоскости U>0 и \Wx)\^i •
По теореме Фрагмена и Линделефа имеем неравенство
где 0+ - тип функции $(%) в полуплоскости Ч>0 . Отсюда
Итак, функция имеет положительную
гармоническую мажаранту в верхней полуплоскости* Аналогично доказывается
существование положительной гармонической мажоранты в нижней
полуплоскости» Теорема доказана*
Подчеркнем, что из асимптотических равенств (24) вне
множества кружков С) конечного обзора следует существование у
функции класса С предела
^ Ы\фе1е)\ (4^6; (0*6 <jr)
множестве значений & плотной в Г^-£#] .
Теорема 8. Ecjh |1(^) - педая йуншшя
экспоненциального типа, а £/*) - класса, С Ж ¥{Э-)=* &(*)/*(*) » 12
Ц®)^)* Ьд(8) (2?)
и соответственно индикаторная диаграмма Функции ¥(£) равна сумме
Действительно, на плотном множестве лучей имеем
*/ Легко показать, исходя из доказанного, что функции класса
относятся к функциям вполне регулярного роста, о которых
было рассказано на лекции 12. Утверждение теоремы 8 остается в
силе если ДС*) - произвольная целая функция вполне
регулярного роста
85

то есть h\f(9)~hf4[9)+ к/4(б) • в СИЛУ непрерывности всех щ^
индикаторов это равенство верно при всех значениях 8. ,
Заметим, что без требования ^*,(б)еС можно ящ
утверждать, что , причем нетрудно построй^
примеры функций |4(!?) и $±(Я) * для которых имеет место строгое
неравенство»
ЗАМЕЧАНИЕ. К классу С t очевидно, относятся це*
дые функции экспоненциального типа, ограниченные на вещественной
оси, а значит и преобразование Фурье любой финитной функции из
Lr(ae) (i^p^00) • Заметим также, что преобразование Фурье
финитной функции, если целая функция экспоненциального типа
сопряженная диаграмма которой совпадает с опорным интервалом финитной
функции (см.доказательство теоремы Винера - Пэли в лекции 9 ).
ТЕОРЕМА 9. Титчмарш. Пусть ^ Ц) и {L(b) Ш&
ные функции из /^ с опорными интервалами [я gj и [С}а],
если Финитная функция (из ^1 ) с опорным интервалом JatC;*+tfJ.
ЗАМЕЧАНИЕ♦ Очевидно, что опорный интервал сверти
u"t) должен принадлежать интервалу р?+с; &+d ] . Смысл теорвмн
Титчмарша в том, что опорный интервал функции ^(£) совпадает с
интервалом Пя+£; &fd] •
ДОКАЗАТЕЛЬСТВр. Преобразования Фурье всех трех функ-|
ций связаны равенством
Сопряженные диаграммы i^f*) и ^й) - это интервалы [&)£]
[t/d] . При перемножении они, по предыдущей теореме, складывают
ся. Поэтому сопряженная диаграмма функции сР(л) это интервал
Теорема доказана.
ЗАДАЧА И.У.ГельФаида. Найти все инвариантные под-|
пространства оператора^ x(s)ds в пространстве функций изЛ^]
Эта задача решается правильным использованием
теоремы Титчмарша»
г Пусть Е - инвариантное подпространство* Тогда ее
ли X(i)€t , то
fflr*®*
S6
Е
Огоюда, если ?(t) - полином, то
и, конечно,
86

X t
где i ft)- любая непрерывная функция Hato/iJ. Беря V*lS)
S - последовательность получаем, что J( (-h~Z) ^ F
Пусть <P(x) - функционал ортогональный к Е •
Тогда 4 4
при всех 0^1>4{ , и положив 4^s)=-^(l-5) будем иметь
Опоршй интервал для ^($) (oijiifi *i)« t а для >f(sj (Г|бу
Для свертки опорный интервал Г^+if j^-v £J • Имеем d+Y^i
и ci<|>$i . Значит ^>о и J((,t)5'0 п.в. на интервале
[0>V) • Очевидно, и обратное, т.е. что это подпространство ин-
рариавтно относительно оператора интегрирования.
ТЕОРЕМА 10. (М.Г.Коейна). Если ffc) делая
( уЛп. - веществ.) (28)
то f(^) целая функция экспоненциального типа и класса .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть <**в* + 1£и .Тогда мы
имеем
^тл(Щ№~гМ
где У} О?) - разложение вида (28) с положительным коэффициентам.
Очевидно ?*ий$<0 при 2ы;?><2 . Поэмму^фчЫ.
то есть &.\Щ-1\=ф)>0-
Имеем неравенство
<Й1+|а|+1к*|^|+гпА .
Отсюда
но | *flfc)| < | y.(2)-L| . Поэтому
или
87

Таким образом у функции vn. wf(3)| есть положительная гармоническая
мажоранта в верхней полуплоскости. Аналогично - в нижней полуплю
кости. По теореме Хеймана
то есть $(%) - экспоненциального типа. Кроме того, из суще*
ствования положительной гармонической мажоранты следует
даМ <~
Заметим, что утверждение теоремы остается в силе, если
ибо это равенство может быть записано в форме
я мы свели этот случай к доказанной теореме.
КОРНИ- ФУНШИ КЛАССА С
Расположение корней целой функции клаооа С отличается
особой правильностью. Для изучения этого расположения мы выведем
формулу, которую можно рассматривать как обобщение формулы Иенсена.
Обобщенная Формула Иеноена
Воспользуемся принципом аргумента для определения числа
корней голоморфной функции /£?) в секторе: ol^^^Z^ JbjM^
Мы будем считать, что на границе этого сектора нет корней функции
£(*) . Тогда
88

С помоцью условий Кошм-Римана эта формула преобразуется
о tar ^ L Jts?
Предположим, что ве нарушит общности, что \^(о)|=^1 в обозиа-
Формула (29) зашшется теперь в виде .
Поделив обе части этого равенства на ZJPt t цроэнтегрировав от
нуля до t и введя обозначение
f=«L
. т
мы
получим i i + JL 1
(И)
89

Эту формулу мы и называем обобщенной формулой Иенсена. Обычная ф^
мула Иенсена получается из нее при 9>~оС+ХЛ~.
Пусть теперь f С?) - целая функция класса С ♦
Умножая ее на €lXx t мы можем нормировать ее так, чтобы ее
индикаторная диаграмма была отрезком мнимой оси, расположенным ся**
метрично относительно вещественной оси, то есть так, что
1^(в)=(г1*и9|. (з2)
Кроме того, по теореме Хеймаиа вне множества скол*»
угодно малого обзора верна асимптотическая формула
бк\$ы%\т+щ • (33>
Выбрав луч ДЛ^Я-0 на котором выполнено (33)^
будем иметь
и наконец^
ЛЕММА 3. Если Ki(t) - неубывающая функция при Т>0
( п(£)»0 при 0*i<t) i
имеет предел d при К -** °° , то функция ^ - также
имеет предел Cl(**A) #
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, Пусть К>1 • Тогда
n
монотонности *l( w следует х/ lu-D^L
Из левого неравенства после деления на К получаем
а из правого
авого
х/ При <£.•=-1 рассуждения аналогичные.
90

Из этих двух неравенств, очевядно следует что существует предел и
демма доказана.
Из формулы (33) легко следует что у функции класса
существует предел н
&нЙ*Ш=4£ - (35)
Действительно, выбрав *l>0 так, чтобы окружностьЩ~К
не пересевала исключительных кружков и записав формулу Иенсена мы
подучим, в силу (33), что
Из монотонности Np (R/ легко следует, что (36) верно при всех
значениях FL ♦ По лемме 3 из (36) следует (35).
С помощью обобщенной формулы Иенсена мы докажем более
сильную теорему. Введем сначала обозначение Уь±[Ъ}*0 - число
корней функции £(£) внутри сектора
и *Ч(Ъ,Л) - множество корюй £(l) в секторе щ<ч
ТЕОРЕМА II. Множество коржей ^^ О^ф-О целой
Функции $(%) класса С удовлетворяет сяедувшш уодовшш;
1. Х|й".Ю<°° •
.00 '
2. При любом 0<«L4?-
где а - ширина индикаторной диаграммы Фтаудв $(%) , тр..
есть efsr^g+Tpf) . прием оба предела стаеотви».
3. Суиесгаует предел
^ У
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, Утверадение I. получается
непосредственно из теоремы 2, если воспользоваться теоремой М.Г» Ерейка об
эквивалентности класса С классу функций ffe) , у которых
-fttlfWI имеет положительные гармонические мажоранты в полуя-
лоскостях Ч>0 и ]*0 .
91

Для доказательства утверждения 2 мм воспользуемся
обобщенной фомудой Иенсена (31). В левой части равенства (31) ct0fe
неубывающая функция от ^ с конечным числом точек разрыва. Тавм
хе, очевидно,является функция $р\§0 J/W4ir-1 • Поэтому^
но при интегрирования этой функции применять формулу Ньютона-Лей^
от у с конечным.числом т
хе, очевидно,является функция $р\§0 J/Wtt 1 • ПоэтоЧГ в***
и интегрировании —м ж ~ *-
ннца.
Проинтегрируем обе части равенства (31) по ft • ^
f до f+K и по oi от ot до oC4-f # Тогда будем ииеп
'urj
Можно выбрать ее ♦ (Ь 9 1С н £ так, чтобы на всех лучах
с&йХ***}р}*+1}}+к выполнялось асимптотическое равею*
тво (34). Кроме того* ве нарушая общности можно считать, что это
равенство выполняется на окружности |Я|-Ъ
Будем иметь
При <l>f4r0 функция А(1Р)~СГ|*^У| . Поэтому, при
достаточно малых К и £ будем иметь
h$fV,f>i*#)<^g№<fcSf,fi+e+*(i), (*>
где
Заме тин. что величава Sfi^fj^O если <Lb>0 и Stttd^eL
Из (57) следует, что цри 0<J«s£
92

я по лемме 3 ,
в аналогично , . . ,
Утверждение 2 доказано.
Для доказательства утверждения 3 мы воспользуемся
представлением Невандиниы-Шварца из лекции 2.
Дифференцируя обе части этого равенства и положив Z
мы будем иметь
В силу асимптотического равенства (34), при условии, что окружность
|5|= R не пересекает исключительных кружков равенство (37)
может быть переписано в Форме
£.&-%•&№«-*>£$-■■ (38)
Нужно^показать, что последнее слагаемое, которое мы обозначим
Jr.1^ имеет предел при &-><*> • Для этого рассмотрим отдельно
корни О* - лежащие в полуплоскости йе<2*^0 • Сравним величину
\{ °$ с ведигашой W^*i •
Имеем:
Из сходимости ряда ) , ., - следует, что эта разность стремит-
ся к нулю при R->°© • Далее имеем g
* в 0
93

По утверждению 2 fy (£}-*£-£ + o(t) • Поэтому
и, следовательно,
Аналогично показывается, что
Отсюда следует 1$]й^-> О при R-** °°
Из равенства (38) получаем
\at\<i f(o)
Утверждение 3 доказано.
ЗАМЕЧАНИЕ I. Из существования плотности
следует, что Ki(f^0)-M(R)— o(Kj .Поэтому, если располагай
корни /tf^ 9 как обычно, в порядке возрастания их модулей, торя
Гл"{ сходится в обычном смысле и
1 -f_R = T-i- (39)
{(о) -f ** '
ЗАМЕЧАНИЕ 2. По теореме Адамара всякая целая фунвф|
экспоненциального типа /(%) представляется в форме х'
fb)sAe*f} [!-%)€** , (a - постоянная);
непосредственно проверяем что С — ^тГаГ • Иа (59) получаем,
что всякая целая Функция класса С (при £(6)фо)
представляется в форме
/«=/*(! (Ю-
Сходимость бесконечного произведения условия и равномерная на люб^
компакте. , *, ±1
Система функций /^ j называется минимальной в
банаховом пространстве Е % если из ||]Г 0£ 6 к \~**0
следует, что а£->-0 при n->oo #
х/ Мы предполагаем, что $[6)Ф0 , что не нарушает общности.
9k

ТЕОРЕМА 12. Для того, чтобы система е^**
^ття минимальной в Л,^f-Л JT} необходимо и достаточно, чтобы
существовала цалая функция ¥(Х) экспоненциального типа О ^ Ж
_Ш1
?^^KJrj.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточность. Пусть <?k(A)= Л££
ПОЛОМИ ^ ^"-*lt
Тогда л
-л
и следовательно,
-Л
Таким образом в этом случае есть биортогональная система, и
следовательно, afcSsOiiCjJk)-*-*? нри К.?- J°
НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть, е"Л*> минимальная.
Тогда замкнутая линейная оболочка в (п^к)не содержит ^
Поэтому есть нетривиальный функционал ортогональный ко всем
функциям \е^А^) (^^К! • По геореме Рисса он имеет вид
Функция лг ^ . -j *
гцМ>Ло)$к,мёшЛх
удовлетворяет всем условиям.Теорема доказана. tint
ТЕОРЕМА 13. Для того, чтобы система б
была полной и минимальной в //j(-JT;J)) t необходимо и
достаточно» чтобы выполнялись следующие условия;
1°.Сушествует целая функция ¥{Х) обращающаяся в нуль в
точках {А*} и только в них экспоненциального типа (ГггОГ в обеих
.полуплоскостях»
3°.Если У(Л) не более чем минимального типа при порядке
95

и минимального тела, а это противоречит условию 3°.
Теорема доказана*
ЗАМЕЧАНИЕ. Из замечания 2 к теореме II, следует, что ф^
дня f (Л) должна иметь вид
f&lfrAn ({-&).
О ПОЛНОТЕ И МИНИМАЛЬНОСТИ СИСТЕМЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ С Uttt
л , Пусть задана последовательность комплексных чисел
/\~ (Aj и соответственно система Ел показательных функад
£>U** т есди эта система неполна в пространстве Lz(-jf $) ,
то должна существовать нетривиальная функция A("fc)^JL* (-Jf jA
ортогональная ко всем функциям системы Q^hb . функция;
т=\,
целая экспоненциального типа G£^ JT , CL^JT , f (Л/бА^0*,*)
и fiXnj—О на всем множестве \Лп) ХЛ Наоборот, если
целая функция $Ц)ф О удовлетворяет этим условиям, то функция
№=&&*. \{U)eut Jit <«>
-оо
no теореме Винера-Пэли равна нулю вне интервала (-JT, Л") ,
принадлежит L2(-J\}%) и, в силу (40) ортогональна всем функциям
системы Bj\ • Сформулируем этот результат в виде теоремы»
ТЕОРЕМА I?f Для того, чтобы система £ быда ндп^
ной в к2 (-л jr) необходимо и достаточно, чтобы система чисел
Д входила во множество корней целой Функции экспоненциального
типа С- £ JT принадлежащей jL^ ^-©^ *©;
Функция экспоненциального типа принадлежащая *>*
относится к классу (2 . Сопоставляя теорему (/4) с теоремой
II о распределении ворней функции класса С • то подучим следу**
щий результат»
ТЕОРЕМА 14, Если последовательность у\ не может
*/ Линейным преобразованием интервал (-JT, ЗГ ) может dm переведи
в любой конечный интервал* 2. Точки Ли. не обязательно различны.
Если Л^АЛл^ — ^Лл+ртМл+рж то чиоду Лп. ставится в соответствие
система функций е*"*"*, teU/lt;„.;t е^ ". При этом получается <? =
В дальнеймем мы будем для простоты
считать, что АцФ А* при ПФК .
96

дитъ включена в последовательность }/ удовлетворяющую условиям
^ б), о) теоремы II, то система £^ - полна в /^ <Ц л) .
Из этой теоремы непосредственно получаются
достаточные условия полноты. Приведем два из них:
а) Если для множества А . й ч *)
Л Ш **- СИ)*
то система £д полна в ^(^л) •
Действительно, если Л включается в
последовательность Пц корней_функции класса С и типа JT f то
а)$д£^д>1 , что противоречит условию б),
б) Если\ohaX*~j\ *1<j- и
-§uj:
то система АГд - полна в А^ (-^, w яри любом ъ #
Действительно, если Jl^ *£ , то
Из этого условия полноты простой заменой независимой переменной
может быть получена известная теорема Мюнтца о полноте системы
степеней. * 1
j Л ЗАДАЧА j. Если какую-нибудь одну функцию 6
при f*ofj\> можно приблизить в Lzi-JitJl) линейными
комбинациями функций из Ел , то ЕА - полная система.
ЗАДАЧА 2. Если А множество корней целой
функции ¥М) экспоненциального типа, и
^\Ще~т\>о ,
то система ВА - полна в А/* (-JT,*)
Система элементов fA*j банахова пространства Я
называется минимальной, если из того, что|Ц1 Q*hK\->0 при
^->°° следует, что <*-к -** О .
ТЕОРЕМА 15. Для того, чтобы система Р{=* f^' * }
*/ Величина в левой части равенства называется максимальной
плотностью в полуплоскости КлЛ^О
97

была минимальной в 1г(-fif Jf) необходимо и достаточно, чтобыл^
щеетвовала целая функция Y(J)экспоненциального типа rrJT'jf
такая, что Ч>(Лк)^0 и
■$& ***(-*,*)■
ДОСТАТОЧНОСТЬ. Пусть &кМ= (j-ЦУ* &М(лк) '
где рк - кратность корня Ац функции V/U) . Положим
-«о
тогда JT %
и,следовательно
Таким образом, функции Кк(ъ) образуют биортогональную систему
к ГЛ и следовательно ^-(Ц^^НЭПРИХ^^^^О
по норме. Система £д - минимальная.
НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть Щл - минимальная в
Тогда замкну тая % линейная оболочка системы \Q ^фп. н«
содержит функции £L**ni: • Поэтому есть нетривиальней функционал
ортогональной ко всем QL^k^ (хФк) . По теореме Рисса ои
имеет вид jr .
Функция "-л -
^(^(jl^Jko^e"^
удовлетворяет всем условиям. Теорема доказана.
Теперь естественно поставить вопрос об условиях, ко*
торым должна удовлетворять последовательность /\ для того,
чтобы система £д была одновременно полной и минимальной.
ТЕОРЕМА 16. Для того, чтобы система функции и А
была полной и минимальной в Л^(-Л)Л) необходимо и достаточно»
чтобы выполнялись следующие условия.
I? Бесконечное произведение *'
*/ Мы считаем, что не нарушает общности, что нуль не входит в
последовательность Л •
98

£явномерно сходится на любом компакте ( Лц - расположены в
доярке возрастания их модулей) и представляют целую Функцию
экспоненциального типа, причем Ь^( Д) цД у (-£■)-Л,7Г•
3°о Если л (д) - делая функция не более чем
минимального типа при первом порядке, то
НЕОБХОДИМОСТЬ, Из минимальности системы (6 )
следует, как было уже показано, что существует целая функция &(Л)
экспоненциального типа (У4 $ такая, что 0(Uk}~ О и
выполняется условие 2, Пусть функция в {Л) имеет еще хотя бы один
корень М и ^
Функция ^ iJ-k й
принадлежит Л^ и равна нулю вне интервала (r~J[> Л) ♦
Так как JT . . *
то функция ортогональна всем функциям системы
Итак 6?м) не имеет корней кроме точек /*Хк| .
Так как функция Э(Л) удовлетворяет условию 2°, то она
принадлежит классу (2 и поэтому имеет вид
где бесконечное произведение сходится равномерно на любом компакте.
Очевидно что
Если неравенство строгое, то есть Пу>(гЛ^(~*/ °^ »
то функция м MJHTU.
A[J-he Ш)—7
99

принадлежит ]^г {Loo,aoj обращается в нудь во всех точках пос„
дедоватедьности /[ и при правильно подобранном вещественном 4>
имеет тип ЗГ . Отсюда следует, что система J^/\ неполна, а это
противоречит предположению* Итак, доказано что выполняются усдовщ»
1° и 2° .
Пусть теперь Х[л) - целая функция, не выше чем ищ„
нимального типа при порядке_Д и ^(^УЦ)—^^) ^JL^ f"*0?/0^
Тогда очевидно A^f)4^(-^)=iJT *¥(Лк)=0; *~0,1&ч.\
то есть опять, вопреки предположению система Ел неполна. Нео&,
ходимость доказана.
ДОСТАТОЧНОСТЬ, Из условия I и 2 следует Минина^
ност%-$истемы. Пусть система jQL^^\ неполна. Тогда существует
нетривиальная функция \J^b)^ J^zC^Jf) ортогональная по всей
системе. Функция J , .,
целая экспоненциального типа V£ Jt f принадлежит А^ (т00;***)
и обращается в нуль во всех точках \Лк) • Функция
целая, экспоненциального типа и, так как
то kjc(0)=Ц,(8)-Jif [О) . Но Кч/(в)=(г1 Vin©| и Ку(в>а|Л8| .
Поэтому k^(e)=^Jf)|^©| , то есть kjt/Э) $ 0 • Отсюда
следует, что д(у4)- не выше чем первого порядка и минимального типа,
Получаем, что *Р1Л)Х(^) ^^1 Г"00/00) • а это противоречит
условию 3. Итак система jgUn-kL полна и минимальна.
ЗАДАЧА I. Если &(*) - целая функция
экспоненциального типа, /tg^U/^f^WU и на прямой 4-GL
Kt (i+wyVz < I efjr* 4i< Кг (Ы4Г
- множество корней функции . то ы *
- полная и минимальная система в JLi (-Ж, Л) .
ЗАДАЧА 2. Доказать, что если [Лк-кN^/<^" f
то система /в * J полна и минимальна в Л (-#-#) •
100

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЦЕЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО
ТИПА
В теории целых функций рассматривается следующая
задача: заданы две последовательности чисел (ЛЛ (Л^ЦпЫ0") и
\ЬЛ\ . Найти целую функцию, порядок которой не превосходит
данного числа <у> , а тип, при порядке р , не превосходит данного
числа tf (класса 1<?,р1 ) и которая решает интерполяционную
задачу, то есть имеют место равенства /(Un)=^n, • Jt-^^- •
Иногда, вместо ограничения на тип СГ , требуют, чтобы индикатор
функции J[j£) не превосходил заданной функции. Это более
жесткое требование. Конечно, такая задача не всегда имеет решение.
Исследуют условия существования и единственности решения задачи, а
также методы построения функции по интерполяционным данным. Обычно
для решения последней задачи используются интерполяционные ряды
Ньютона или Лагранжа.
Мы ограничимся рассмотрением некоторых частных задач
в классе функций экспоненциального типа. Многие вопросы приводит к
задачам интерполирования функциями этого класса с узлами
интерполяции в целых точках или в точках, в каком нибудь смысле близким к
целым.
Рассмотрим класс функций аналитических и
экспоненциального типа в полуплоскости Rjl£ >Q с широкой индикаторной
диаграммы %/<1Л (fy-hilE)* k{-3[-) j . Пусть узлы
интерполяции У1*1}Лу . Тогда, по теореме Карлсона (см.лекцию 7) при
заданной последовательности значений fv^J возможно не более
одного решения интерполяционной задачи. Если узды интерполяции все
целые числа, то условие 8s< ЛЛ можно заменить более слабым.
ТЕОРЕМА 17. Если тип целой функции Jfe) экспонен-
циазьного типа <%<Л; .f(±jr)=0; *« WJlM i ^ШиАё*1^
то f(?}5 0 . 3->±JJll4»
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Функция
экспоненциального типа. Так как J*ift JTi^J > (£"-£)в • то
/ty (-£] ^ О . Поэтому индикаторная диаграмма функции VY^-
отрезок вещественной оси или точка. Функция £u, JlX имеет
по всем направлениям кроме &~99>?* регулярный рост ( то есть
существует предел )t(9)~lu»t ^1*Н*€С )\ . Поэтому инди-
101

каторная диаграмма функции ffifcVfitffaftz есть сУ**а
индикаторных диаграмм сомножителей* Если индикаторная диаграмма
функции У(Х) - отрезок, то индикаторная диаграмма функции
//-?) - прямоугольник высоты 1<Х * Тип функции f{%) равен
половине диагонали этого прямоугольника, то есть G>>JT . Итак
индикаторная диаграмма функции ¥(*) - точка нуль, то есть YY*)L
минимального типа. По условию /^^l/l^Je^1 она ограничена н$
мнимой оси, следовательно постоянная, следовательно нуль* Теорема
доказана*
ЗАДАЧА* Пусть т(^) и /6?) - целые функции экс*
поненциального типа, Op-iGip , пусть
целая функция и |^(Су)|<:^ <со при -ор<у<оо . тогда ^-СЧР
УКАЗАНИЕ: Воспользуемся тем, что W?) - классаС.
I. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАН1А С УЗЛАМИ
В ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ
Пусть дана последовательность комплексных чисел lQc)\
ilCaOji,... и пусть Л\Ск\*<<х> (р>1) •
Составим ряд
Сходимость ряда в правой части (3*1) при р>1
проверяется так: Хт -1%,* л \%
Ряд
.2)
yizhixhp
очевидно сходится равномерно на любом компакте не содержащем целых
точек* Этот ряд представляет всюду в плоскости, кроме целых точек
непрерывную периодическую функцию с периодом единица» Поэтому
102

^
<&
Так как все члены этого
ряда убывают при росте Ы
то условие |^f| ^ i
жет быть отброшено.
МО-
Теперь из неравенства (3.2) получаем при 1&-к1^5"
< а (з.з)
Iw^UM^i^i'
при ^)^>Ns • Таким образом ряд (3.1) сходится равномерно
в любой полосе l*jUk<°* , но вне кружков |*~ 1С\<& S
Принцип максимума дает возможность снять последнее требование.
итак: Ряд (3.1) сходится равномерно на любом компакте и
представляет целую функцию £(%) , удовлетворяющую во всей плоскости
неравенству тг1ч|
Заметим еще, что в силу
(3.*)
(3.3)
.&
< а
(3.5)
Дальнейшее
X №йг \<1г
и поэтому при Ш~>°°
При P^i оценка (3.3) упрощена так;
пн ■ * к I о -££ (
проходит без изменений.
ТЕОРЕМА 18. Любой последовательности {Сы\^6^> (Р-£/
отвечает единственная целая функция ^[Х) $ удовлетворяющая
условию (3.5) и решающая интерполяционную задачу fhc)^^' ^К^О}1^....
Она представляется интерполяционным рядом (3.1).
Действительно» после проведения рассуждений нужно
доказать только единственность. Она непосредственно следует из теоремы
17.
Случай р~°° особый. В этом случае ряд (3.1) может
расходится. Однако при этом равномерно на любом компакте сходится
ряд
(Штрих означает, что при К-О второе слагаемое в квадратной
скобке не пишется). Проверим это.
103

и опять вне кружков (2-ф8>0 при т>к>/Че
5пЛ(г)<г|г1. (5.7)
Отсюда следует равномерная сходимость ряда (3.7) на произвольном
компакте. Кроме того, из неравенства (3.7) следует, что
Поэтому имеем
при \Х\-> °° . Остановимся на вопросе о единственности
определения функции /Г?) ее значениями в целых точках. Пусть целая
функция /(%) удовлетворяет условию (3.8) и обращается в нуль во
всех целых точках. Тогда
целая функция и • По теореме Лиувилля
ТЕОРЕМА 19. Любой ограниченной последовательности
чисел {Ск\ отвечает целая функция f(J) удовлетворяющая
условию (3.8) и решающая интерполяционную задачу 3(К)^С* \
*К*0;1,2Г^ . Эта функция определяется указанными условиями о
точностью до слагаемого вида С -#и Jf£ и представляется по
Формуле
/W«^£HJ4[fc--tf* с а. п (5-5)
ЗАДАЧА I» Доказать, что если функция fix)
представляется формулой (3.9), то
\MeW=o(W) (3.ю)
ЗАДАЧА 2. Если целая функция /fj?)
экспоненциального типа С4 X ограничена в целых точках, то есть
|-f(*)kM<~ ■
ItfM
e~J|^ —*■ о (з.п)
1С»

f0 jtffl представляется формулой (3.6).
ЗАДАЧА 3. Если целая функция ^(%)
экспоненциального типа <3V3T ограничена в целых точках и
№(*)И И,
то /fe) представляется рядом (3.9) .
задача ». пусть leK| = o(uO; S<i;K=^*i,...
равномерно сходится на произвольном компакте и целая функция ffe) ,
разрешающая интерполяционную задачу f(^)-C^ t удовлетворяет
условию
при £|->с
>Оо
шт.
£. Если 1^1=0 (к ) , a f(Z) целая
функция экспоненциального типа 6} 4 JT ( решающая
интерполяционную задачу -/(к)—£* » и удовлетворяющая условию
При Ы-** о© f то
где - произвольный полином степени ^ in •
ПОВЕДШИЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА (Г^ JT
НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ЕЕ ПОВЕДЕНИЯ В
ццд точщ
Сначала мы рассмотрим наиболее простой случай -
целых функций экспоненциального типа <T<Jt принадлежащих /^ (jr,jr)«
ТЕОРЕМА 20» (Котедьникова). Каждая целая функция
fl*t экспоненциального типа (J4 JT и принадлежащая >6Л~°^°^
представляется в Форме
105

дой последовательносм^}* fl. отвечает по Формуле ri~g^
целая Функция -Р(%) экспоненциального типа CFVJT и пг
жашая /,. (-ос^ ов) . При этом
Sir«f^=i^Mf
(3.13)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме Винера и Пэли целая фуа^
Ч** /С?) t удовлетворяющая условиям теоеремы, представляется в
Форме £ ?±*
гдеШ)*^^^)-^ . Подставляя в (3.14) вместо функции ¥(«?)
ее разложение в ряд Фурье
сходящееся в 1.^(-^л) мы подучим равенство (3.12). Очевидно
также, что ^к)^<5^±К=0;1/1г%, • Кроме того, имеем
Обратно: пусть задана последовательность! Ос/^ц^ • По формуле
(ЗЛ5) определяем функцию Ч*0О , затем по формуле (3.14), строп
целую функцию ./(^)£>L^ и экспоненциального типа CT<JT ,
которая очевидно представляется в форме (3.12). Теорема доказана*'»
Для того, чтобы перейти от Lii-00;*0) к ^p (-<*>,<*)
при р>1 нам нужно будет воспользоваться свойствами
специального класса функций голоморфных в полуплоскости Ч>0 •
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Классом Нр - называется класс
функций г (X) - голоморфных в полуплоскости Ч>0 , удовлетворяющих
условию °? р '
3 1^0^)1 ^ ^ М < оо , (и>0 р>1) .
Аналогично определяется Нр в полуплоскости У^О • Напомню!
(см. лекцию 6), что если целая функция экспоненциального типа
принадлежит Xpf""00;00) » г°
-о© '
Таким образом, в этом случае №)&** ^Цр. Очевидно также, что
*/ Иначе можно доказать теорему непосредственно проверив орто-
нормированноеть системы функций ТТдНс) •
106

функция Y(2+tt:) и ^(^lt)eu*x} (t>0) принадлежа! Ц* .
Класс rip (P^i) обрадох полное нормированное npocipaeo-
rBo с норной ^
При у-** + 0 функция $(x + ty)
стремится при у^О по норме к предельной функции» которую мы
будем обозначать 4>(х) . Очевидно 4(по теореме Фрагмена и Линде-
лефа), что 1{|рЦ$ДО|Г)* '
При р>1 | 4 , "сопряженным к пространству tip
является пространство Ъмр"*&я1) * то 6СТЬ 0<5щий вид Функционала
в 44 р следующий: * *
ЛЕММА *- . Пусть то)6 tip и Hil-
последовательность точек, удовлетворяющих двум условиям
U 0<$<Ъ*Лк<к и 2. ЦгЛ|с|£*&>0 Щ>* Л-*)С
Тогда
Z|TUj|r<cktWffj (Qr^)4
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из определения класса Tip следует,
ЧТО к Ов р
а «ню
Отсюда и из условий на «Art следует, что
rfliwfa^ufi; (зле)
С другой стороны из интегрального представления Коши голоморфной
функции - имеем
J2JT .
о
или
107

Наконец,
С*
Сопоставляя это неравенство с (ЗЛб) мы получим утверждение лемм*,
ЗАМЕЧАНИЕ, Из леммы d следует в частности, что/
если Р£?) - целая функция экспоненционального типа f(x)^ Lp
ТО оо
|i«'<^ P j i^)i^. (5.17)
' 1 -с©
Действительно, чтобы это доказать достаточно заметить, что функция
Конечно, в этом замечании можно целые числа заменить
любой последовательностью чисел jA*] » лежащих в полосе р^Л»!**-
и таких, что
Обозначим А/g- подпространство /*(-.оо,о©) f состоящее
из всех, входящих в Д, , целых функций экспоненциального типа
£& •
ТЕОРЕМА 21, Для произвольной последовательности
комплексных чисел {С^€^р (4<р<ов) ЕЖ
{(Xhjfl. ПТ^фр- (3.19)
сходится по норме Лр ^°°/ов) и. следовательно, интерполирующая
целая функция ^(jl)^JS (-*><», <*>) #
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, Обозначим
М ^ Ск
V^)sa2 миг
и
Функция Яп;т (*0 - целая, экспоненциального типа
и поэтому при любом W>0
J\%r,(4^^eJ^l\\^^^
(3.20)
108

С ДРУг°й стороны
р Таким образом, для установления сходимости ряда (ЗЛ9)
3 А, (-оо,^) , достаточно получить соответствующую оценку нормы
функции V^m^^J • Функция ¥*,*(%+&)€ т{р . Поэтому для
оценки ее нормы можно воспользоваться общим видом функционала в *Нр •
lV^p*ftc \\^+ЩШ , (3-22)
где i(x) произвольная функция из Л\с^ с нормой равной единице.
. Определим в нижней полуплоскости $*j? <0 голоморфную
функцию У(?) по фо|>мулг У(%)~ V (?) . Тогда t очевидно
Вычисление этого интеграла с помощью вычетов дает
Далее из неравенства Гельдера получаем л,
Применяя лемму £ мы подучим ^ . \,
Поэтому при некотором ft^ и yv\>h>Vi£ будем иметь
и, как это видно из (3.23),
Отсюда следует, что при достаточно большом N^ и YV\>h*>«v£
Ряд (3.19) сходится по норме
Теорема доказана. '
Заметим, что из неравенства (3.23) следует, что
l№,*cVL мТ, <з-2*>
где С - константа зависящая лишь от р # С другой стороны
замечание в лемме ol дает неравенство в другую сторону
tS WT^CjfWp . (3.25)
109

Иначе неравенства (3*24) и (3.25) записываются так:
, Введем в рассмотрение подпространства Лр г^ v
дяя Др^^^р*^ , состоящие из целых функций экспоненциально^
го типа ^ О* ♦
Чтобы доказать замкнутость этого подпространства замети*
что из неравенства 4/
следует, что при любом kfcO .
-(И *~ w г м I
Пусть теперь к - произвольная точка комплексной плоскости ш|зд,
По формуле Коми ZJ
и по неравенству Гедьдера
Умножая на ^d'l и интегрируя от нудя до единицы получаем
Из этого неравенства следует, что сходимость последовательности
функций из А^Г по норме влечет за собой равномерную сходимость
на каждом компакте и предельная целая функция имеет
экспоненциальный тип не превосходящий С
Кроме того, из (3.28) легко получается
ТБОРЕМА 22» Целая функция Р$ ЦС стремится к нулю
при ^-*А<зо . у
Действительно, из (3.26) следует, что
-< \(
ж неравенство (3.28) дает
яри j(> • Теорема доказана.
Заметим, что в этой теореме можно вещественную ось
заменить любой параллельной ей прямой.
НО

ТВОРВМА &. Ряд rt91 дает линейное топологическое
лтображенне всего пространства £р ngn i < p < о© f на все
дюстранство LjT I
BnMafiTWffirTW" В теореме 21 доказано, что ряд
(3.19) дает линейное непрерывное отображение всего ^р в
пространство Х*р . Наоборот, как следует из замечания к лемме <*L ,
каждой функции ^Р&)бДр отвечает последовательность |/(К)\
принадлежащая ,£р • Нужно только проверить, что любая функция
из Хр представляется в форме
Действительно, пусть
функция ¥$) , очевидно принадлежит Л» и обращается в нуль
во всех целых точках .
По теореме 22 из того, что
следует, что на вещественной оси ¥($-*> О при \Х\->> со и
поэтому
Так кап \-$*ц ЛГЗ\ £ £8 €Л^ при \?-k\:> £>0;
то целая функция
ограничена во всей плоскости (внутри кружков и5—К|<Ь по
принципу максимума) и следовательно тождественно равна постоянной*
Так как, при Я-*<=*> по любой прямой параллельной
вещественной оси Ч*(2") -> О , то ¥(*)30 , и
следовательно *Р£?)з О • Итак, доказано равенство (3*30) и, тем самым,
теорема •
Требование в этой теореме р>1 существенно» Это
показывает пример функции $fa)~^J0 • Очевидно, что
последовательность £(н) принадлежит * 1? при любом р>£ 9 ио
#*)^р(-~,~) яри р«1 .
При р=?«о f ряд (3.19), вообще говоря
расходится. Однако, можно утверждать больше. А именно, что не всякая
ограниченная последовательность {Ск) , может быть
интерполированна целой функцией экспоненциального типа ОЧ X ограниченной
на вещественной оси. Сначала мм докажем общую теорему. Для того,
III
(

чтобы ее сформулировать введем семейство функционалов:
где
*С - целое число, а а^ zs H) С% .
ТЕОРЕМА 24. Для того, чтобы существовала делая
функция ^(2) экспоненциального типа <У 4 X » ограниченная^
вещественной оси и принимающая в целых точках |С^ 0}±ly %. t
значения £(|фгСк » I2S. /^к)" заданная ограниченная
последовательность» необходимо и достаточно, чтобы при всех целых значениям
Ъ выполнялось неравенство
|АГ;К)|<М , (3.32)
в котором /Ч - независящая от Ч£ - постоянная.
ДОСТАТОЧНОСТЬ» Пусть задана ограниченная
последовательность {Су\ , удовлетворяющая условию (3.31). Ряд в (3.6)
составленный по этой последовательности равномерно сходится на
любом компакте и представляет целую функцию JG&) , удовлетворяющую
условию (3.8) и поэтому экспоненциального типа <Г-^Х .
Остается доказать, что ^Ч*) ограничена на вещественной оси. Для
этого выберем % - четное и рассмотрим разность
Из ограниченности последовательности /W|A 11 «ifК С ) «левы
при 0$.>U.2. V '
[.£■ Л-к±Г J5 k±i I 4 '
где С^ не зависит от X и X . Кроме того
Из последних двух неравенств следует, что при 0-$J< <£
l^tHV|(^0| <[м^^сд]А1
Так как, кроме того 1|и*уК ^3 ПРИ 04<Х4& » *°
|f(x+t±t)|<C^ 0$J<1 Ъ- четное, или, что тоже
\^(X±l)\<C^ t по теореме Фрагмена и Лин#'
лефа для полосы отсюда следует |f(x)|<C* (-«о<*<оо)
112

HKOirenflypingTfr- Пусть £(%) целая функция
экспоненциального типа C^JT и ограниченная на вещественной оси. Тогда,
до теореме 19 функция $(%) представляется рядом по фор-»
луде (3.9).
Пусть *Е - четное число. Тогда
in л у
L-K
Из ограниченности функции •£(•*) на вещественной прямой следует
ее ограниченность на параллельной пряной ^-н) . Поэтому пол;-
и следовательно семейство L^l I^kjJ ограничено при всех четных
значениях чисел X . Оценка при нечетных V получается из фор»
ИуЛЫ с-»
Теорема доказана.
ЗАУЕЧАНИЕ, Если выбрать Дкв1 при 0<К4^ н
«К"-"! при К^О и K>t> t то получим для
соответствующей последовательности с£ , МСкН9*! л
Ц.1<£\№Ьг + о(1) .
По теореме Банаха - Штейнгауза отсюда следует существование
ограниченной последовательности jC^ , для которой
ЗАДАЧА. Построить ограниченную последовательность
(С* J для которой условие (3.32) не выполнено.
Из приведенных соображений следует, что существуют
целые функции экспоненциального типа ЭГ 9 удовлетворяющие
условию (3.8), например, построенные по формуле (3.6) ограниченные в
целых точках и не ограниченные на вещественной оси.
Иначе обстоит дело, если потребовать, чтобы тип целой
функции О/ был меньше X . Для того, чтобы доказать
существующую теорему мы выведем сначала интерполяционную формулу Боаса
ИЗ

1
Р.П. и С.Н.Бернштейна.
ТЕОРЕМА 24. Если ^fe) - делая Функпия ^^
ненциадьного типа ^(f-)^L(-f) < XT * |/S)k7l "^
во всех целых точках, то * *
fOl)sj^^mbj0z±. (з.зз)
-о© \ * К)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заметим, что ье нарушая общности
можно считать л (•$-)« МНЁг5" К • Зафиксируем параметр
^ (выберем число со ; 0<оО< JT—j< ) и
рассмотрим функцию
При фиксированном <£ это целая функция
экспоненциального типа, обращаясь в нуль во всех целых точках. Поэтому,
после деления этой функции на ЛиЛ£ мы получим также
целую функцию экспоненциального типа от £
г-к)
Индикатор первого слагаемого при с?-*^-
В силу непрерывности индикатора он будет отрицательным в некоторой
окресч
тности лучей ЯЛвv ===■ ^ ^Р • Второе слагаемое стремится
Из
к нулю по любому лучу ййа^— д при &ФСк Ж
теоремы Фрагмена и Линделефа следует, что У(^х)^0
Теким образом, мы получаем тождество
W *
из которого предельным переходом при £"->л? получаем (3.33)»
ТЕОРЕМА 25. (Н.Каотрайт). Bon f С?) - ВДЛая фун*
ция эйспризрциадоого тща, Д^»=Н^(Д 4-М<>(-^)<ДХ 2
|{(к)|^М во воет пелых точках, то
|^)|^QM . (3.»)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По предыдущей теореме функция
представляется в форме л/ \ » /-. >
114
J

На прямых £ж.У*ч получается следующая оценка
Применяя теорему фрагмена и Линделефа в полосе WUi мы
получаем (3.34). Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 26. (Полна и Планшерель). Если $(%)
целая функция экспоненциального THna.l^=^-(J)+Lf-^< 3T и
Р °° Р г
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При ?-°° утверждение
эквивалентно, только что доказанной, теореме М. Картрайт. При 1< р< °о
утверждение следует из теоремы 23. При р«4 мы снова
воспользуемся формулой (3»33).
Обозначив
(3.35)
кы будем иметь
©в Jf(0\ °*
tax/ U^ JtXJ '
Им ' "■> л-м
Субгармоническая в полосе 1чК1 функция
"АГ»)-(|*уи(^)|Л
-У
ограничена в этой полосе я
Применяя теорему Фрагмена и Линделефа, подучим
и« наконец
со jr+ц) *и
Отсюда следует что ряд (3,35) сходится по норме h (-оо;оо)
115

1
Обратное неравенство следует из лешш d .
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ. Нами было замечено» что при bL^x
из ограниченности целой функции экспоненциального типа в целых г0Чщ
ках не следует, вообще говоря, ее ограниченность на вещественной *
оси. Бели же потребовать дополнительно |£(х)|= о (Щ)
то окажется, что
Действительно, записывая функцию £(%) по фор»
муле (3.9) мы получим, что
то есть
\(ММ\<ф££я1\)»г№ .
откуда легко следует утверждение. Этот факт был обнаружен С.Н.
Бернштейном и назван им "интерференцией" *' # Им же дано точное
значение константы вЛ
ЗАДАЧА. Доказать, что если /ф)^ tt , а $(*)
- целая функция экспоненциального типа 0-<£Ж % причем, если
е=*Т f то ffc)e*Mz-*_+o • и #*)"<*)**-4V*
то
Приложения к алгебре W
Алгебра W это алгебра -2 JT — периодических
сютно сходящимся р
функций с абсолютно сходящимся рядом Фурье
©о
и нормой M-X&l •
Положим ~"°
зе/ В одном близком вопросе аналогичный факт был установлен
также С.Н.Бернштейном и независимо Рагозинским.
хх/ В ряде работ изучены другие линейные (не обязательно
разностные) операторы и нейден общий вид интерференционного
оператора.
116

-л
Очевидно, что $(%) - целая функция экспоненциального TnnaOvjr
и /flO^Ck • Как было Ухе показано, функция <£(У) - при этом
не обязательно принадлежит Л (-<*>,<») . Алгеброй V
называется алгебра функций, представимых в форме
о» ~в
и |Vl~ Ш(*)ЦХ • Очевидно, что все функции алгебры
\J (или \Д/ ), обращающиеся в нуль на некотором замкнутом
множестве В , образуют замкнутый идеал* Идеалы в алгебре V »
состоящие из всех функций,равных нулю вне некоторого
интервала,изоморфны друг другу, так один идеал переходит в другой пои линейном
преобразовании независимой переменной ¥(Ъ)*->> ЩйЬ+ь) .
ТЕСШЕМА 27. Если Jp - идеал в алгебре V
состоящий из всех функций алгебры равных нулю при \il>C"
(gxcr^Jt) . то рреобрааорадвд
4i)*Lnt+t*3) (3.38)
дает изоморфное топологическое отображение всего идеала Jn- на
идеад J^ с W всех Функций на алгебры VN/ равных иу-
дю нд сегмент; [<Т} 2*-*] .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если функция<f (t; равна нулю вне
интервала (-о- <у ), то периодическая функция определенная
равенством (3.38) равна нулю на сегменте^; l$l~crj ш кроме
того, коэффициенты разложения этой функции
Имеем *е , »
Так как, ^(i) - целая функция экспоненцванального типа и
Щ * X. (—,-) • * ° £ I/WI < ~ . Иначе
говоря, функция Уб£) определенная равенством (3.38)
принадлежит идеалу 1<г .
Наооборот, если некоторая функция utj с J ^ 9
то
117

fto-hlme^dt (з.з9)
есть целая функция экспоненциального тина 40~<Х • Кроме того
^Г If (k)l < °° • По теореме Полна и Планшереля отсюда еде*
дует, что $(х)* >L(-oo;©o) э и записав формулу обращения д^
(3.39), получим
—о©
причем т)=Ш) при |il«T и *(±)=б при
Гм ><Г . Таким образом, произвольная функция Y^fc/^Ie*
получается по формуле (3.38) из некоторой функции W^^Jcr .
Теорема доказана.
СЛЕДСТВИЕ» Вое идеалы 1^ при О < (Г <JT
изоморфны.
ЗАДАЧА I. Доказать, что максимальный идеал в W
не изоморфен никакому идеалу "[$ •
ЗАДАЧА 2. Доказать, что если ^(tj^W , то
^ ( о ; |tl>j;
принадлежит алгебре V.
ЗЩЧ4.1. Доказать (иди опровергнуть) что, если
функция fft)€ W , то функция
принадлежит алгебре V •
Более обмие множества узлов дн^рдодятщр
Теоремы об интерполяции с узлами в целых точках
обобщаются на более общие множества узлов. Целые точки это корни
функции 4i* 1£ . Мы примем за узды интерполяции корни
функций которые мы называем функциями "типа синуса".
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Целая функция Т(%) называется
функцией типа синуса, если она удовлетворяет следующим условиям:
а) Она экспоненциального типа, причем у нее k(fpli^)^J .
б) Все ее корни лежат в некоторой полосе \4\ih (jfsrjf+lu) .
в) Ее корни отделены, то ео*ь%{\Ак~А][—Х$>0 .
118

г) На некоторой прямой *-.)(+£+1 (4/>К) функция|Т(?)|
ограничена сверху и снизу положительными числами Cd и ^ ,ю
еС1Ь (ХС^тХ+Щ^е* .
Для получения основной интерполяционной формулы для
этого случая нам понадобятся две леммы,
ЛЕММА* Всюду вне кружков радиуса S* с центрами
в корнях функции ЗХ?) выполняется неравенство
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО* Рассмотрим сначала функцию ¥(*) *
полосе Ijfl^fW^H). Из г) следует, что $Qf) ограничена в
любой полосе ly|^,Hi (^1>Ю • Поэтому семейство функций
Щ2+Т) (-•e<t <*») является в этой полосе условно компактным.
Пусть J к - корни функции Уб?) и С* -
кружки |?-i^i < S . Предположим в противоположность
утверждению, что в полосе 1Ч|<Н есть такая последовательность точек
ft^Xi+uji » что j(*j) "^^ • Выделим последовательность
JjjjJ так, чтобы последовательность функций S$eTfc+J(f)
равномерно сходилась на любом компакте лежащем в полосе Ы^И* »
то есть %00^%(2) • Эта предельная функция не равна
тождественно нулю (в силу условия (г) |^(х+ь*Н)\£:С| )•
С другой стороны, имеем §[1ц1)->>0 и потому £(ty/)--*0 .
Если у* - предельная точка для Jfj , то 5£(l<*{)=50 .
По теореме Гурваца отсюда следует, что в круге |*-ijf0| <%% и
j > jg все функции 5} (д) имеют корни. Иначе
говоря функция ?"(2) имеет корни в кружках |*-*/|< ^ . Но
2/ находится вне всех кружков С^: |5?-Лк|< В • Таким
образом, в полосе М^*Н » но вне кружков Ск имеем
!T(?)(£W$ . Вне полосы М 4\\ оценка слеудет из
представления ^ .
и аналогично в нижней полуплоскости (см. замечание к теореме I ).
ЛЕММА. Для функции J (Я) - типа синуса имеет
место оценка , , .
\?'M\nNi>0
во всех корнях Лк функции ?(<?) •
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО* Предыдущая лемма дает неравенство
119

1г-дк|=*
и принцип минимума для гармонических функций дает нужную оценку.
Повторяя без существенных изменений рассуждения, к*
торые были проведены для того случая когда узлы интерполяции
находятся в целых точках, мы получим теорему.
ТЕОРЕМА 28. Пусть 3~(2) - делая Функция щщ^
синуса. Лк - множество ее корней и {ск) произвол™^
последовательность из A (4<р<*°) • Тогда ряд
сходится в Lf (г**;0*) и дает линейное топологическое п»л
бражение всего Лъ на все J* (-е^«©) .
Доказательство мы предоставляем читателю провести
самостоятельно по той же схеме, что и в случае целых узлов
интерполяции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Система элементов {Уп\ гильбертова
пространства \\ называется базисом Рисса - Бари, если любой
элемент пространства X представляется рядом
Uf-Ifcl1. <3.„>
И.М.Гельфанд показал, что условие (3.41) является необходимым и
достаточным для того, чтобы базис {Хь\ был безусловным, то
есть чтобы он оставался базисом при любых перестановках.
ТЕОРЕМА 29 . Если /Л} суть корни пелой
Функции ФМ типа синуса» то система Функций Jp£<XNtl» образует
базис Рисса - Бари в ^. (-JT, л)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ¥(£),€ Jl2 (-J, l) и
Тогда xU)€ 1*х и потому представляется рядом
Iж
сходящимся в L*i и
1
Htf-Iifwi*
120

дедая обратное преобразование Фурье мы будем иметь
т JCM л «акови, что
Эти функции образуют биортогонадьную систему для {& ) .
Мы доказали, что биортогональная система |/6i("fc) J образует
базис Рисса - Бари в ^ (~jf jr) . Отсюда легко получить
утверждение теоремы. }

ЛИТЕРАТУРА
По общим вопросам:
1. ЛЕВИН Б.Я. Распределение корней целых функций
ГИТТЛ Москва 1956
2. Boae R.P# Entire functions Hew York 1954
3. ЕВГРАФОВ M.A. Асимптотические оценки и целые функции
ГИТТЛ Москва 1962
Приложения к гармоническому анализу:
4. ВИНЕР Н. и ПЭЛИ Р. Преобразование Фурье в комплексной
области
Перевод с английского* Из-во "Наука"
Москва 1964-
5* Levinson N* Gap a density theorems» American Math»
See* coll.Publications New York (1940)
По интерполяции целыми функциями:
6# ГЕЛЬФОНД А.О. Исчисление конечных разностей
ГИТТЛ Москва 196Л
7. ЕВГРАФОВ М.А* Интерполяционная задача Абеля-Гончарова
ГИТТЛ Москва 1954
8. ЛЕОНТЬЕВ А.Ф. Статьи
НАМ и Математический сборник
По придожениям в функциональном анализе и теории приближений:
9. ГЕЛЬФАНД И.М.,
РАЙКОВ Д.А.,ШИЛОВ Г.Е. Коммутативные нормированные кольца
Физматгиз Москва I960
10. ГОХБЕРГ И.Ц..
КРЕЁН М.Г. Введение в теорию линейных
несамосопряженных операторов
"Наука" Москва Ifel I965
11. АХИЕЗЕР Н.И» Лекции по теории аппроксимации
"Наука" Москва 1965
122

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
ЧАСТЬ I
Лекция I
1. Шкала роста 5
2. Связь между ростом целой функции и быстротой
убывания ее коэффициентов 7
Лекция 2
1. Связь между ростом целой функции и ее корнями
Формула Неванлинды - Иенсена 12
2. Некоторые выводы из формулы Иенсена 16
Лекция 3
1. Некоторые приложения формулы Иенсена 16
2* Теоремы о полноте системы показательных
функций 18
3. Показатель сходимости последовательности
корней и верхняя плотность 19
Лекция 4
Ь Теорема Адамара 21
2. Оценка канонического произведения 23
Лекция 5
1. Теорема Бореля 25
2. Связь роста целой функции с распределением
корней 27
Лекция 6
I. Теоремы Фрагмена - Линделефа 30
Лекция 7
1. Применение теорем Фрагмена - Линделефа 36
2. Индикатор и его свойства 37
3. Применение свойств индикатора 41
Лекция 8
I. Целые функции экспоненциального типа и
теорема Полна 43
Лекция 9
I. Некоторые приложения теоремы Полна 46
Лекция 10
I. Оценка снизу аналитических и
субгармонических функций 53
Лекция II
I. Оценка снизу модуля функции аналитической в
круге 56

Лекция 12
1. Оценка канонического произведения корни которого
лежат на одном луче 59
2. Теорема об отрезке на границе индикаторной
диаграммы 61
3. Оценка снизу канонического произведения 63
I e к ц и я 13
1, Теорема о "двух константах11 69
2* Теорема Титчмарша 70
ЧАСТЬ 2
I* Функции экспоненциального типа 72
2. Представление в полуплоскости аналитической функции,
логарифм которой имеет положительную гармоническую
мажоранту 72
3* Приложение к теореме квазианалитических классов 79
4. Корни функций класса С i/int^ 88
5. О полноте и минимальности системы [в J 96
6. Интерпретация целыми функциями экспоненциального
типа 101
1. Интерполяционная формула Лагранжа 102
8, Поведение целых функций экспоненциального типа
(Г « Я1 на вещественной оси в зависимости от ее
поведения в целых точках 105
9. Приложение к алгебре W 116
10. Более общие множества узлов интерполяции 118
Литература 122
124
0

Борис Яковлевич Левин
Целые функции
(дуре лекций)
Подписано в печати УЁ-71?., Л - II5365
Формат 60 х 90 I/I6. Объен 8 п.л., Тираж 400 экз.
Заказ 477 Цена 60 коп.
Плав издания механико-иатематичеохого факультета МГУ 1971г.
Позиция 23
итпечатаво на ротапринте института механики иг*
I

Цена 60 коп.
fir.
' ■ .5 ' ' I