и*л
Издательство
иностранной
литературы

A TREATISE ON THE
THEORY OF
BESSEL FUNCTIONS
by
G. N. WATSON
1945

Г. Н. В А Т С О Н
ТЕОРИЯ
БЕССЕЛЕВЫХ
ФУНКЦИЙ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ПЕРЕВОД
СО 2-го АНГЛИЙСКОГО ИЗДАНИЯ
В. С. БЕРМЛНЛ
1949
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА

ПРЕДИСЛОВИЕ
К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
В русском издании классический трактат Ватсона по теории бесселе-
бесселевых функций разделен на две части: в первую часть отнесены главы
I—XIX английского издания, содержащие теоретический материал, во
вторую — таблицы бесселевых функций и относящаяся к ним глава XX.
Это изменение произведено для удобства пользования книгой, объем ко-
которой как в первой, так и во второй части достаточно велик.
В конце первой части редактором перевода дано примечание (стр.
716—718) к главам XIII и VIII, в котором приведены некоторые резуль-
результаты исследований советских авторов, относящиеся к теории бесселевых
функций. Они существенно дополнят издание сведениями, которых со-
советский читатель не найдет у Ватсона.
Кроме того, к русскому переводу приложено добавление (стр. 719—
731), представляющее собой перевод нескольких параграфов из 1-го
издания редкой книги Бромвича (Bromwich, Theory of Infinite Series),
на которые постоянно ссылается Ватсон. Эти параграфы посвящены из-
изложению различных вопросов, относящихся к теории несобственных
интегралов с параметром; в русской учебной литературе соответствую-
соответствующие вопросы освещены недостаточно. Помещение этого перевода в
книге Ватсона значительно облегчит советскому читателю пользование
книгой.
В редакционных подстрочных примечаниях в соответствующих
местах перевода книги Ватсона даются ссылки на русскую учебную
литературу.
Пользуемся случаем выразить благодарность академику В. А. Фоку,
давшему ряд ценных указаний при переводе и редактировании книги.
Редакция.

ПРЕДИСЛОВИЕ
К ПЕРВОМУ АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
При составлении этой книги мы ставили себе две задачи. Во-первых, — расшире-
расширение области применения фундаментальных методов теории функций комплексного
переменного. Бесселевы функции идеально подходят для этой цели; это можно объ-
объяснить тем, что они представляют значительно больше возможностей для приложения
теории функций комплексного переменного, чем тригонометрические функции в теории
рядов Фурье.
Во-вторых — соединение в единое целое ряда разрозненных результатов, которые
могли бы принести пользу все возрастающему числу математиков и физиков, стал-
сталкивающихся в своей практике с бесселевыми функциями. Необходимость этого вызы-
вызывается, как нам кажется, сравнительно малой осведомленностью о свойствах тех видов
бесселевых функций (особенно функций с большим индексом), которые в последнее
время стали встречаться в различных областях математической физики.
Стараясь дать теорию бесселевых функций в таком объеме, который с чисто
математической точки зрения мог бы рассматриваться как исчерпывающий, мы
должны были также попытаться включить в книгу все формулы — общие или специаль-
специальные— может быть, лишенные теоретического интереса, однако важные для практи-
практических приложений; эти формулы даются, насколько это возможно, в виде наиболее
удобном для упомянутой цели. Широта поставленных задач в соединении с необ-
необходимостью удержать размеры книги в определенных рамках заставляли нас вести
изложение настолько сжато, насколько это было возможно без ущерба для ясности.
Эта книга, в основном, является дальнейшим развитием теории бесселевых функ-
функций в том виде, как она изложена в Курсе современного анализа профессором Уит-
текером и мною; поэтому мы предпочитаем ссылаться на упомянутый Курс, как на
основную справочную книгу по общим вопросам, чем отправлять читателя к перво-
первоисточникам.
Обратим внимание читателя на функцию, которую мы рассматривали как канони-
каноническую функцию второго рода, а именно, на функцию, определенную Вебером и исполь-
использованную впоследствии Шлефли, Графом и Гублером и, наконец, Нильсеном. Может
быть, из соображений исторической справедливости желательно было бы найти оправ-
оправдание пользования функциями Ханкеля. Однако три соображения препятствовали этому.
Первое — необходимость стандартизации функций второго рода; на наш взгляд, сей-
сейчас имеется больше авторитетных математиков, пользующихся функцией Вебера, чем
таких, которые пользуются любой другой функцией второго рода. Второе — парал-
параллелизм между двумя видами бесселевых функций и двумя видами (косинус и синус)
тригонометрических функций, который объясняет преимущественное пользование
функциями Вебера. Третье — существование способа, дающего возможность интер-
интерполяции с помощью таблиц [см. таблицы I и III во 2-й части этого издания: „Табли-
„Таблицы бесселевых функций"]; последнее делает функцию Вебера незаменимой в вычисли-
вычислительной работе^
В каждом из разделов мы указываем мемуары или книгу, в которых описываемые
результаты были опубликованы ранее; но доказательства этих результатов далеко не

ПРЕДИСЛОВИЕ
всегда совпадают с первоначальными авторскими доказательствами. Библиография
в конце книги составлена настолько полно, насколько это оказалось возможным,
хотя, без сомнения, в ней могут обнаружиться упущения. Мы не намеревались упо-
упомянуть решительно все мемуары, касающиеся бесселевых функций, но тем не менее
надеемся, что мы не пропустили ни одного мемуара, содержащего что-нибудь ори-
оригинальное и хотя бы в небольшой мере относящееся к теории бесселевых функций.
В изложении вопросов, связанных с уравнением Риккати, мы пользовались весьма
различными по своему характеру источниками, однако лишь постольку, поскольку они
казались уместными в общем плане изложения.
21 августа 1922 года. Г. N. Ватсон.
ПРЕДИСЛОВИЕ
КО ВТОРОМУ АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
Для того чтобы включить в эту книгу исследования в области бесселевых функ-
функций за последние двадцать лет, потребовалось бы написать наново по меньшей мере
главы XII — XIX; однако, после 1922 года я уже меньше интересовался бесселевыми
функциями и в результате оказался не готовым взяться за такую задачу без ущерба
для других моих занятий. Подготавливая это новое издание, я поэтому ограничился
исправлением мелких ошибок и опечаток и исправлением некоторых утверждений
(например о недоказуемости гипотезы Бурже), которые могли быть высказаны
в 1922 году, но определенно являются устарелыми для 1941 года.
31 марта 1941 года. Г. Н. Ватсон.

Глава I
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ ДО 1826 ГОДА
1.1. Дифференциальное уравнение Риккати
Теория бесселевых функций тесно связана с одним типом дифферен-
дифференциального уравнения первого порядка, известного под названием уравнения
Риккати. Действительно, функция Бесселя обычно определяется как частное
решение линейного дифференциального уравнения второго порядка (уравне-
(уравнения Бесселя), которое может быть получено из уравнения Риккати путем
элементарного преобразования.
Наиболее раннее упоминание уравнения типа Риккати встречается в статье1)
Ивана Бернулли, опубликованной в 1694 году. В своей работе Бернулли приводит
в качестве примера уравнение такого типа и отмечает, что не решил его2).
В нескольких письмах3) к Лейбницу, написанных между 1697 и 1704 гг.,
Яков Бернулли указывает на уравнение, которое он записывает в виде
dy = yydx -\- xxdx,
и констатирует, что не может решить его. Так, он пишет B7 января 1697 г.):
«Vellem рог го ех Те scire num et hanc tentaveris dy = yydx -\- xxdx. Ego
in mille formas transmutavi, sed operam meam improbum Problema perpetuo lusit*)».
Пять лет спустя ему удается свести это уравнение к линейному уравнению
второго порядка и он пишет Лейбницу4) A5 ноября 1702 г.):
«Qua occasione recordor aequationes alias memoratae dy =yydx -\- x2dx in
qua nunquam separare potui indeterminatas a se invicem, sicut aequatio mane-
ret simpliciter differentialis: sed separavi illas reducendo aequationem ad hanc
differentio-differentialem5) ddy:y = — x2dx2»**).
!) Acta Eruditorum publicata Lipsiae A694), стр. 435—437.
2) „Esto proposita aequatio differentialis haec x2dx-\-y2dx = cfidy quae an per se-
parationem indeterminatarum construi possit nondum tentavia (стр. 436). [Я еще не выяс-
выяснил, можно ли разрешить дифференциальное уравнение x2dx-\-y2dx=a2dy путем
разделения переменных. (Прим. перев.)]
«) См. Leibnizens gesammelte Werke, Dritte Folge (Mathematik), III (Halle, 1855),
стр. 50—57.
*) «Я бы хотел далее от тебя узнать, пытался ли ты исследовать dy =
=yydx -|- xxdx. Я делал множество попыток, но решение этой задачи постоянно
ускользало от меня*. (Прим. перев.)
4) Ibidm> стр. 65. Прием Бернулли, по существу, состоял во введении в уравнение
^ нового переменного и, определяемого из формулы
u
с последующей заменой и через у.
5) Связь этого уравнения с одним специальным видом уравнения Бесселя будет
установлена в § 4.3.
**) «Кстати, я вспоминаю другое уравнение dy=yydx -\-x2dx, в котором мне не
удалось разделить переменные так, чтобы уравнение осталось просто дифференциаль-
дифференциальным; но я разделил их сведением к следующему дифференциально-дифференциаль-
дифференциально-дифференциальному уравнению ddy:y = — x2dx2T>. (Прим. перге.)

10 ГЛАВА I
Когда этот результат был достигнут, уже нетрудно было представить
решение уравнения в виде ряда и затем получить искомое решение уравне-
уравнения первого порядка в виде частного двух степенных рядов.
И действительно, именно в этом виде Яков Бернулли примерно через
год сообщил решение Лейбницу, сформулировав его в следующих словах:г)
«Reduco autem aequationem dy = yydx -f- xxdx adfractionem cujus uterque
terminus per seriem exprimitur, ita
x* хч , *u x™ . x™ ,
p,+p
_ 3 3-4-7 *~3-4-7-8-ll 3-4-7-8-11-12-15^3-4.7-8-1Ы2-15-16-19
У— _x^_ , x* _ x™ , x™ __
3^4 + 3-4-7-8 3-4-7.8-1Ы2 + 3.4-7.8.11.12-15.16 '
quae series quidem actuali divisione in unam conflari possunt, sed in qua ratio
progressions non tam facile patescat, scil.
i5 #
Конечно, в те времена, поскольку это относится к дифференциальным
уравнениям, математики стремились получить решения в конечном виде,
поэтому вряд ли открытие Якова Бернулли могло быть оценено по достоин-
достоинству. Двадцатью двумя годами позже Даниил Бернулли сопроводил статью2),
в которой Риккати впервые рассматривал уравнение, носящее теперь его имя,
заметкой3), в которой утверждал, что решение уравнения4)
axndx -\- uudx = bdu
было до того неразрешенной задачей. Заметка оканчивалась опубликованием
решения, зашифрованного анаграммой:
«Solutio problematis ab 111. Riccato proposito characteribus occultis invo-
involute 24a, 6ft, 6c, 8rf, 33e, 5/, 2g, 4A, 33/, 6/, 21m, 26я, 16о, 8/?, bq, Mr,
165, 25/, 32я, 5x9 3y, +, —, , ±, =,4, 2, 1».**)
i) Cm. Leibnizens gesammelte Werke, Dritte Folge (Mathematik), III (Halle, 1855),
стр. 75,
*) «Разрешаю уравнение в виде дроби, числитель и знаменатель которой выра-
выражаются через ряды, а именно:
*7 4 хП х™ L х19
У~
И Т*Д*
3^4 + 3.4-7.8 3.4.7-8.1Ы2 + 3.4-7.8.1Ы2-15-16
фактически произведя деление, можно записать результат в виде единого ряда, в ко-
котором не так легко открыть закон образования коэффициентов,
^—3" + 3^7 + 3.3.3.7-11 + З.3.З.3.5.7.7.Ц +*1-**
2) Ada Eruditorum, Suppl. VIII A724) стр. 66 — 73. Риккати рассматривал урав-
уравнение в виде
xmdq = du-\- uudx: q,
где q = xn.
3) Ibid., стр. 73—75. Даниил Бернулли указывал, что решения были получены
тремя другими членами его семьи — Иваном, Николаем старшим и Николаем младшим.
4) Читатель заметит, что в результате подстановки
bdz
получается уравнение, легко разрешимое с помощью рядов.
**) «Решение проблемы, предложенной Риккати, записанное тайными знаками:
24а, 6ft, 6г, Ы, ЪЪе, 5/, 2^, 4/г, 33/, 6/, 21/тг, 26л, 16о, 8д 5?, 17г, 16^, 25^, 32к, 5х, Ъу,
+ , —э , ±, =,4, 2, 1.*.(Прим. перге.}

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ ДО 1826 ГОДА 11
Анаграмма, кажется, никогда не была разгадана, но приблизительно через
год Бернулли опубликовал и само решение*). Оно заключалось в опреде-
определении ряда значений п вида — 4/тг/B^+1), где т — целое, для каждого из
которых уравнение оказывалось разрешенным в конечном виде; детали этого
решения будут даны в §§ 4.1, 4.11.
Большое значение, которое придавал Даниил Бернулли работе Риккати,
в соединении с тем, что уравнение Риккати являлось несколько более общим,
чем уравнение Ивана Бернулли 2), и привело к тому, что имя Риккати было
присвоено не только тому уравнению, которое он рассматривал, но не решил
его, а также и уравнению гораздо более общего вида.
Теперь общепринято называть3) обобщенным уравнением Риккати любое
уравнение вида
где Р, Q, R— заданные функции от х.
Предполагается, что Р и R не равны тождественно нулю. Если R = 0, то урав-
уравнение линейно; если Я = 0, то уравнение сводится к линейному при введении \\у
в качестве нового переменного.
Последнее уравнение было изучено Эйлером4); оно может быть сведено
к полному линейному уравнению второго порядка, которое, в свою очередь,
сводится к уравнению Бесселя путем элементарного преобразования (см.
§§ 3.1, 4.3, 4.31).
Здесь следует указать два мемуара Эйлера. В первом 5) из них доказы-
доказывается, что известное частное решение уг обобщенного уравнения Риккати,
позволяет свести это уравнение путем замены у на уг-\-\1и к линейному
уравнению первого порядка, и общее решение можно найти, таким образом,
двумя квадратурами. Далее доказано (там же, стр. 59), что два известных
частных решения позволяют проинтегрировать уравнение до конца с помощью
одной лишь квадратуры; этот результат можно найти также и во втором6)
мемуаре. Соответствующие теоремы будут рассмотрены в главе IV.
1.2. Механическая задача Даниила Бернулли
В 1738 г. Даниил Бернулли опубликовал7) сообщение о ряде открытых
им теорем, относящихся к колебаниям висящих цепей. Восьмая8) теорема
гласит:
«De figura catenae uniformiter oscillantis. Sit catena AC uniformiter gra-
vis et perfecte flexilis suspensa de puncto Л, eaque oscillationes facere unifor-
mes intelligatur: pervenerit catena in situm AMF\ fueritque longitudo cate-
!) Exercitationes quaedam mathematicae (Venice, 1724), стр. 77—80; Act a Erudi-
toram A725), стр. 465—473.
2) Cm. James Bernoulli, Opera Omnia,\\ (Geneva, 1744), стр. 1054—1057; там
утверждается, что суть задачи Риккати состоит в отыскании решения в конечном
виде, и приводится решение, напоминающее решение Даниила Бернулли.
3) Термин «уравнение Риккати» употребил Даламбер (D ' А 1 emb e rt), Hist, de
VAcad. R. des Set. de Berlin, XIX A763), (опубл. 1770), стр. 242.
4) Institationes Calculi Integralts, II (Петербург, 1769), стр. 88—89. Относительно
приведения уравнения к линейному см. письмо Якова Бернулли к Лейбницу, цитиро-
цитированное выше.
б) JVovi Comm. Acad. Petrop., VIII A760—1761), (изд. 1763), стр. 32.
6) Ibid., IX A762—1763), (изд. 1764), стр. 163—164.
7) «Theoremata de oscillationibus corporum filo flexili connexorum et catenae vertica-
liter suspensae», Comm. Acad. Sci. Imp. Petrop*, VI A732—3), (изд. 1738), стр. 108—122.
») Ibid., стр. 116.

12
пае — /: longitudo cujuscunque partis FM = x, sumatur n ejus valoris x) ut fit
1_1_lA ^!_ i ft ll i etc _0
n "г 4пп 4-9яЗ > 4.9.16л4 " 4.9-16-25Я& ~Ге^ w-
Ponatur porro distantia extremi puncti F ab linea verticali = l, dico fore
distantiam puncti ubicunque assumpti M ab eadem linea verticali aequalem
. X_ . XX Xs , X4 X5 I 4- *\
7+ЙЙ 4^9^ l.9-16/z4 ~4-9.16.25/z5 +etc->:> )
Далее он говорит: «Invenitur brevissimo calculo /z = proxime 0,691 /. . . .
Habet autem littera n infinites valores alios». **)
Последний ряд известен в наше время как функция Бесселя2) с нулевым
индексом от аргумента 2ух\п\ и последнее замечание гласит, что эта функ-
функция имеет бесконечное число нулей.
Доказательство своих теорем Бернулли опубликовал3) немного позже.
В теореме VIII он получил уравнение движения, рассматривая силы, дей-
действующие на отрезок FM длины х. Много лет спустя, уравнения движения
получил также Эйлер4), рассмотрев силы, действующие на элемент цепи.
Идея рассуждения Эйлера состоит в следующем.
Пусть р — линейная плотность цепи (которая предполагается однородной), и пусть
Т—натяжение в точке, находящейся на расстоянии х от нижнего конца невозмущенной
цепи. Колебание будет поперечным; проектируя элемент цепи длиною $х на верти-
вертикальную ось, мы получим уравнение ЪТ — gpbx. Интегралом этого уравнения будет
Горизонтальная компонента натяжения, очевидно, есть Т[-~ ) , где у — сме-
щение (горизонтальное) элемента; уравнение движения, таким образом, приобретает вид
.,^y_,(^dy\
Подставляя вместо Т его значение и переходя к пределу, находим:
Р 8dx\Xdx)'
!) Буква п обозначает длину простого эквивалентного маятника.
*) «О фигурах колебаний однородной цепи. Пусть однородная тяжелая идеально-
тонкая цепь АС подвешена в точке А\ примем, что колебания происходят непрерывно.
Пусть цепь заняла положение AMF\ пусть / — длина всей цепи, х — длина произ-
произвольно выделенной части FM', возьмем наименьшее /г, удовлетворяющее условию
~п~т~Апп 49/гЗ + 4916Л4 491625/г5+И Т* Д*~"°*
Предположим, далее, что отклонение крайней точки F от вертикали равно 1; я ут-
утверждаю, что расстояние точки М будет равно
X XX Х^ Х^ X**
1 + + +
1 - п +4^~ W+ 4?Ш~ 4-9.16-25/I» +"Т- Д'
**) «По самому короткому расчету пприблизительно равно 0,961 /... . Но буква п
может иметь и бесконечно много других значений». (Прим. перев.)
2) В большей части Европы эти функции обычно называются цилиндрическими
функциями, иногда, следуя Гейне,— функциями Фурье — Бесселя] см. Heine, Journal
far Math., LXIX A868), стр. 128; см. также Math. Ann., 111A871), стр. 609—610.
3) Comm. Acad. Petrop., VII A734—35), (изд. 1740), стр. 162—179.
4) Acta Acad. Petrop., V часть 1 (Математика), A781), (изд. 1874), стр. 157—177.
Эйлер обозначал через Е вес отрезка цепи длиною е, a g определял как меру рас-
расстояния (не удвоенного), проходимого частицей из состояния покоя за секунду под
влиянием силы тяжести.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ ДО 1826 ГОДА 13
Если / — длина простого эквивалентного маятника, то для любого собственного
колебания можно написать:
у = А ПD-
где Л и С — постоянные; тогда П (x/f) будет решением уравнения
d ( dv\ v
Обозначив xjf через а, представим решение в виде ряда Бернулли:
v— X "т" 1-4 17479"+" 1-4-9-16 * * * "
Далее можно показать, что общее решение уравнения может быть представлено
и
в виде Dv -f- Cv ^ —- , где С и D — постоянные. Поскольку у ограничено при х — О,
С должно быть нулем.
Если а — длина всей цепи, то у = 0 при х = а, и уравнение для определения /
будет иметь вид
1 ~ Ь/ + Ь4/2 ~~ 1.4-9/3 + * • * = °*
Весьма остроумным путем, который будет приведен полностью в главе XV, Эйлеру
удалось доказать, что три наименьших значения a\f, обращающих в нуль правую
часть, равны соответственно 1,445795; 7,6658 и 18,63 (более точные значения их
1,4457965; 7,6178156 и 18,7217517).
В мемуаре1), вышедшем непосредственно после упомянутого выше исследова-
исследования, Эйлер получил общее решение (в форме ряда) уравнения ~t~\uj~) +*>—О,
но его способ образования последовательных коэффициентов был весьма несовершенен.
Этот способ приводился им также в Institutiones Calculi Integralis2), II (Петербург, 1769),
§ 977, стр. 233—235.
1.3. Механическая задача Эйлера
В 1764 г. Эйлером3) были изучены колебания упругой мембраны. Он
получил уравнение
#2 d?2 df-ъ \ у df I f'i dy2'
где z — поперечное смещение точки с полярными координатами (г, <?>) к мо-
моменту t; e — постоянная, зависящая от плотности и упругости мембраны.
Для построения частного решения Зйлер полагает
z = и sin (at + Л) sin (^ -f В),
где а, А, C, В — постоянные, а и — функция от г; в результате подстановки
этого значения z получается уравнение:
Решение этого уравнения, ограниченное в начале координат, дано на
!) Ada Acad. Petrop., V, ч. 1 (Математика), 1781 (изд. 1784 г.), стр. 178—-190.
2) См. также в §§ 935, 936 (стр. 187 и ел.) решение присоединенного уравне-
уравнения, которое будет рассмотрено в § 3.52.
3) Novi Comm. Acad. Petrop., X A764), (изд. 1766 г.), стр. 243—260.

14
стр. 256 мемуара Эйлера; оно имеет вид
3 Г 1 а
U Г \ 2(п
2(п+\)е* Г2-4(л+1)
здесь через /г обозначена1) величина 2[$-j-l.
Это дифференциальное уравнение известно теперь как уравнение Бес-
Бесселя с индексом р; при этом [$ может принимать2) значения 0,1,2, ....
Соответствующий ряд (с некоторым постоянным множителем) называется
бесселевой функцией с индексом [$ от аргумента arje. Периоды собственных
колебаний круглой мембраны радиуса а с закрепленными краями3), равные
2тг/а, могут быть определены из условия и = 0 при г = а.
Таким образом в этом исследовании Эйлера впервые в анализе были
введены бесселевы функции с любым целым индексом.
1.4. Исследования Лагранжа, Карлани и Лапласа
Всего через несколько лет после того, как Эйлер пришел к бесселевым
функциям в своих исследованиях колебания мембран, эти функции вновь
появились в одной астрономической проблеме. В 1770 г. Лагранж4) пока-
показал, что в эллиптическом движении планеты вокруг Солнца, находящегося
в фокусе орбиты, под действием силы, обратно пропорциональной квадрату
расстояния, соотношения между радиусом-вектором г, средней аномалией М
и эксцентрической аномалией ?", имеющие вид
М = Е — esini:, r=a(\ —ecosE),
приводят к разложениям
00
— =1 + 4-?2+ ? Вя cos пМ;
а
здесь а — большая полуось, е — эксцентриситет орбиты,
00 ОО
9 ^ (— \)т яя + |я1 zn + 2m у^ (— \)т (п -J- 2т)-пп
п ?* 2n + *mm\(n-\-m)\ ' п ^ 2п + 2
Лагранж дает эти выражения для я =1,2, 3. Задачей является получение
выражения для эксцентрической аномалии и радиуса-вектора в функции
времени.
В современных обозначениях эти формулы имеют вид
An = 2Jn(ns)ln, Bn = — 2(е/я)У„'(ле).
Пуассон (Р о i s s о п) заметил в Connaissance des Temps, 1836 (опубликовано
в 1833), стр. 6, что
йА
отметим еще, что в мемуаре Лефорта (Lefort), Journal de Math. XI A846),
стр. 142—152, исправлена одна ошибка, допущенная Пуассоном.
1) Причины, побудившие Эйлера произвести такое изменение обозначений, неясны.
2) Если р — не целое число, подстановка не дает однозначную функцию точки
ввиду присутствия множителя sin (pep -}- В).
3) Ср. В о u r g e t, Ann. Sci de lEcole norm. sap. Ill A866), стр. 55—95 и С h г е е,
Quarterly Journal, XXI A886), стр. 298.
^) Hist, de VAcad. R. des Sci. de Berlin, XXV A769), (изд. 1771), стр. 204—233.
[Oeuvres, III A869), стр. 113—138.]

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ ДО 1826 ГОДА 15
Весьма интересное вычисление приближенного значения Лп для случая,
когда п велико и 0<^е<М, было проведено Карлини1); хотя оно не яв-
является вполне строгим (и было бы трудно сделать его таким), оно представ-
представляет достаточно интереса, чтобы описать его вкратце.
Легко показать, что Ап является решением дифференциального уравнения
Вводя новую функцию а, определяемую формулой Ап = 2пп~1 е^ jni, преоб-
преобразуем уравнение к виду
(? Л ва — пЦ\ — e»)f=0.
Отсюда либо к, либо и2, либо -=- для больших п должно быть велико.
Если и—О(п*), то можно ожидать, что и2 и — будут иметь соответственно по-
порядки О (я2а) и О (яа). Рассмотрев наивысшие степени п в различных членах последнего
дифференциального уравнения, находим, что а = 1. Таким образом, можно предполо-
предположить, что и может быть разложено по убывающим степеням п в виде
и = ли0 + «1 + щЦп + • •.,
где иь иъ щ, ... не зависят от п.
Подставляя этот ряд в дифференциальное уравнение первого порядка и прирав-
приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях я, находим, что
4 = О - г2)/е2> е («о + 2«o«i) + «0 = 0,.. „
1 g
где Uq==-—-; таким образом, «0 = zt , щ = 2, и поэтому
d« = л {In J—j7=^ ± lAT^IF ^ ! | __ ^ 1п A _
далее, поскольку значение Ап таково, что \ ads ^n In — е, когда е мало, следует брать.
хии добавлять не i
получается:
гп ехр \п У\ — е2}
верхний знак и постоянной интеграции добавлять не нужно.
Из формулы Стирлинга сразу получается:
что и представляет собой результат Карлини. Такой метод аппроксимации был приме-
применен значительно позже Мейсселем (см. § 8.11). Коши2) также рассматривал асимпто-
асимптотические формулы для Ап в случае движения комет по почти параболическим орби-
орбитам (см. § 8.42), где метод Карлини, очевидно, непригоден.
Описанное вычисление все же гораздо более корректно, чем рассужде-
рассуждения Лапласа3) при выводе соответствующих асимптотических формул для
Вп. Доказательства Лапласа вполне строги, и применяемый им метод имеет
!) С а г 1 i n i, Ricerche sulla convergenza della serie che serva alia soluzione del
problema di Keplero (Milan, 1817). Эта работа была переведена на немецкий: Якоби
(Jacobi), Astr. Nach.t XXX A850), столбцы 197—254. [Werke, VII A891), стр. 189—
245.] См. также две заметки Шейбнера (Scheibner), датированные 1856 г., перепеча-
перепечатанные в Math. Ann., XVII A880), стр. 531—544, 545—560.
2) С аи ch у, Comptes Rendas, XXXVIII A854), стр. 990—993.
3) Laplace, Mecanlque Celeste, Дополнение, т. V (впервые опубликовано
в 1827 г.). Oeuvres, V (Paris, 1882), ст . 486—489.

16 ГЛАВА I
существенное значение, когда в Вп знаки всех коэффициентов ряда изменены
на положительные, или же, когда s предполагается чисто мнимым. Однако
Лаплас утверждает, что его аппроксимация, справедливая для случая чисто
мнимых переменных, может быть использована „sans crainte" *) и в случае
вещественных переменных. Ошибочный характер такого рассуждения очевиден
для всякого знакомого с современной теорией асимптотических рядов.
Первая часть исследования Лапласа основана на том принципе, что
в случае ряда с положительными членами, которые сначала увеличиваются
до определенного значения, а затем уменьшаются, порядок величины суммы
ряда часто может быть получен при рассмотрении порядка величины мак-
максимального члена ряда.
Другие, более поздние, применения этого принципа можно найти у Стокса
(Stokes), Proc. Camb. Phil. Sac, VI A889), стр. 362—366 [Math, and Phys. Papers,
V, A905) стр. 221—225], и Харди (Hardy), Proc. London. Math. Soc. B), II A905),
стр. 332—339; Messenger, XXXIV A905), стр. 97—101. Обоснование этого прин-
принципа было дано Борелем (В о г el), Ada Mathematica, XX A897), стр. 393—394.
Не лишено интереса приложение этого принципа к примеру, разобран-
разобранному Лапласом.
Рассматриваемый ряд имеет вид
о И) _о V (п + 2т)пп+2гг
здесь п велико, а е— фиксированная положительная величина. Максимальным членом
будет тот, для которого //г = jx, где |х — наибольшее целое число, удовлетворяющее
соотношению
4р. (п + V-) (л +¦ 2р. — 2) ^ (л +¦ 2ц) /*2?2;
таким образом, |х приблизительно равно
Обозначая, далее, через ат общий член в Вп , легко показать с помощью
*
формулы Стирлинга, что в первом приближении ^^ «v, q* , где
\nq = — 2 /l + e» / (ле«).
Отсюда
поскольку1) q примерно равно 1.
Далее, по формуле Стирлинга,
я-1 ехр { пУГ+12 }
*) Без боязни. {Прим. перев.)
00
*) Формула 1 +2 2^2/^ V^l (I — q) может быть выведена на основании общих
г—о
теорем о рядах; см. Bromwich, Theory of Infinite Series, § 51; она является также
следствием формулы преобразования Якоби в теории эллиптических функций
= (— h) ~\h@1 — х-1);
см. Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, ч. II, § 21. 51.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ ДО 1826 ГОДА 17
и, таким образом,
Из полученного результата Лаплас делает вывод, что
1
В -и. BУ1~ g2 )* ?П ехР Ь Vl — ?2 }
Эта формула оказывается верной для е<^1 (это ограничение необходимо»
хотя причина его не очевидна), однако, ее нелегко доказать без применения
контурного интегрирования (§ 8.31). Вероятно, Лаплас и сам сомневался
в правильности своего вывода, потому что сразу же после доказательства
для вещественного и мнимого переменных он указывает, как бы для под-
подкрепления, что ему известно и иное доказательство; однако, на свет оно
не появилось.
1.5. Исследования Фурье
В 1822 г. вышел классический трактат Фурье1), La Theorie analy-
tique de la Chaleur); в этом труде функции Бесселя с индексом нуль
встречаются при рассмотрении симметричного движения тепла в твердом
круглом цилиндре. Фурье показал (§§ 118—120), что температура v, время t
и расстояние х от оси цилиндра удовлетворяют уравнению
dv __ К ((Pv , \dv\
dt~~ CD\dx** x dx) '
(
dt~~ CD\dx** x dx)
где К, С, D обозначают соответственно коэффициент теплопроводности, теп-
теплоемкость и плотность цилиндра; он получил решение в виде
gX2 g2^4 g%xb \
— — 4-22742— 22.42.б2+ ••• />
где g=mCDjK, a m должно быть выбрано так, чтобы на границе цилиндра
выполнялось равенство
hv-\-K(dvldx) = 0;
здесь h — коэффициент внешней теплопроводности.
С помощью теоремы Ролля Фурье показал (§§ 307—309), что уравнения
для определения величин т имеют2) бесчисленное множество вещественных
корней и ни одного комплексного. Его доказательство несколько неполно,
так как он допускает справедливость некоторых теорем для целых функций,
доказанных только для полиномов; этот недостаток нетрудно исправить,
и в мемуаре Гурвица3) доказательство Фурье было проведено уже с полной
строгостью.
Следует указать, что Фурье нашел также формулу {§ 3.13) разложения
в непрерывную дробь для частного бесселевой функции и ее производ-
производной; обобщения этой формулы будут рассмотрены в §§ 5.6, 9.65. Другая
!) Большая часть исследований Фурье содержалась в мемуаре, сданном в архивы
Французского института 28 сентября 1811 г. Этот мемуар можно найти в Мёт. de
I'Acad. de Sci., IV A819), (опубл. 1824), стр. 185—555; V A820), (опубл. 1826), стр. 153—246.
2) Это является обобщением утверждения Бернулли, цитированного в § 1. 2.
«) Hurwitz, Math. Ann., XXXIII A889), стр. 246—266.

18
формула, данная Фурье, а именно,
была доказана Парсевалем *) несколькими годами ранее; это — частный случай
формулы, известной теперь под названием интеграла Бесселя и Пуассона
(§ 2.2, 2.3).
Фурье занимался также вопросом о разложении произвольной функции
в ряд по бесселевым функциям с индексом нуль (§§ 314—320); он дал фор-
формулу для коэффициентов разложения в виде определенных интегралов.
Справедливость разложения Фурье доказали значительно позже: Ханкель (Н а п-
kel), Math. Ann., VIII A875), стр. 471—494, Шлефли (Schlafli), Math. Ann. X A876),
стр. 137—142; Дини (Dini), Serie di Fourier, I (Pisa, 1880), стр. 246—269; Гобсон
(Hobs on), Proc. London Math. Soc. B), VII A909), стр. 359—388; Юнг (Young),
Proc. London Math. Soc. B), XVIII A920), стр. 163—200. Об этом разложении будет
итти речь в главе XVIII.
1.6. Исследования Пуассона
Несимметричное движение тепла в сплошном шаре, а также в сплошном
цилиндре, было исследовано Пуассоном2) в пространном мемуаре, опублико-
опубликованном в 1823 г.
В задаче о шаре 3) он получил уравнение
где г — расстояние от центра, р — постоянная, п — положительное целое число
(включая нуль), R — множитель, зависящий от температуры и являющийся
обычно функцией радиуса-вектора. Пуассон показал, что решение этого урав-
уравнения имеет вид
rn+i I cos ^Гр cos ы) sin
in2A1+1
со
и случаи /г=0, 1, 2, ... были им рассмотрены детально. Впоследствии бу-
будет видно (§ 3.3), что такой определенный интеграл совпадает (с точностью
до множителя) с бесселевой функцией индекса /г-|~—.
В задаче о цилиндре (ibid., стр. 340 и ел.) аналогичный интеграл
имеет вид
тс
\п \ cos (h\ cos со) sin271 со did,
0
где я = 0, 1, 2, . .., a \ — расстояние от оси цилиндра. Этот интеграл из-
известен теперь как интеграл Пуассона (§ 2.3).
!) Parseval, Mem. des savants etrangers, I A805), стр. 639—648. Эта работа
содержит также точную формулировку теоремы о коэффициентах Фурье, иногда на-
называемой теоремой Парсеваля; в другой работе этого автора, не пользующегося ши-
широкой известностью (Mem. des savants etrangers, I A805), стр. 379—398), имеется
общее решение уравнения Лапласа, содержащее произвольные функции.
2) Journal de VEcole R. Poly technique, XII (тетрадь 19), A823), стр. 249—403.
3) Ibid., стр. 300 и ел. Это уравнение было изучено также Р 1 a n a, Mem. della
R. Accad. delle Sci. di Torino, XXV A821), стр. 532—534, и разбиралось после этого
многочисленными авторами, некоторые из которых упомянуты в § 4. 3. См. также
Poisson, La Theorie Matheraatique de la Ghaleur (Paris, 1835), стр. 366—369.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ ДО 1826 ГОДА 19
В случае п = 0 для последнего интеграла и его производной Пуассон
получил важную асимптотическую формулу (ibid., стр. 350—352), справедли-
справедливую при больших значениях аргумента; сущность рассуждений Пуассона за-
заключается в следующем.
Пусть 1)
тс тс
Уо (k) = — \ cos (k cos со) du>, fQ(k) — I cos со sin (k cos со) <tfco.
о о
Тогда J0(k) будет решением уравнения
dk2
Когда k велико, величиной 1/D&2) можно пренебречь по сравнению с единицей и, та-
таким образом, можно представить Jo (k) У& приближенно в виде A cos k -\- В sin k, где
А и В — постоянные.
Для определения А и В заметим, что
тс
cos k • Jo (k)— sin k • Л (k) = — 1 ( cos2 -к со cos Bk sin2 — со) -f- sin2 — со cos Bk cos2 — со)) dсо.
ft J I 2 Z Z Z )
0
Заменив во втором слагаемом под знаком интеграла со на ft — со, получим:
тс
2 Г 1 1
cos k • Jo (k) — sin k • jUk) = — I cos2 — со cos Bk sin2 —- со) rfco =
ft J 2 Z
о
= —j= I
0
и подобным же образом:
0 nVk J V 2kJ
0
Но, по хорошо известной формуле2),
УШ л оо
cos п . Г cos Л л 1 , /1
Г
J
2*
Замечание: строго показать законность перехода к пределу не так легко.
Простейший способ опирается на теорему Таннери в интегральной формуле Бромвича
(В г о m w i с h), Theory of Infinite Series, §174.*)
!) См. также Rohrs, Proc. London Math. Soc, V A874), стр. 136—137. Пуассон
не пользовался обозначением JQ (k).
2) Доказательство этих формул с применением контурных интегралов см. Watson,
Complex Integration and Gauchy's Theorem (Camb. Math. Tracts, № 15, 1914), стр. 71;
[В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. 3, гл. VI, 127 A939), стр. 421—423.
—Прим. ред.]
*) Имеется в виду следующая теорема Таннери — Бромвича: если последователь-
последовательность положительных функций /(х, п) при каждом фиксированном х(а^х<С<я)
00 .у 00
убывает и \ Ф (х) dx сходится, то lim \ f (x, n)<&(x)dx= \ Ф(х) lim f (xf n) dx [см.
а, а а
Добавление 2, § 3J. (Прим. ред.)

20
Далее следует:
cos k • Jo (k) — sin k • J'o(k) = -Дг A + еЛ),
У 7C&
sin Л • Л № + cos k -fQ (fo) = -fL A -f t)A),
У %k
где S? »> 0 и т)?—> () при k—> oo, откуда
Л (Л) = *¦ [A -f tk) cos
f0 (k) = —L [~ A + eft) sin « + A + 4*) cos k].
у ш
—L
у ш
Затем Пуассон допускает, что ./0(&) можно представить в виде
где Л = В = 1. На самом деле эти ряды не сходящиеся, а асимптотические, и закон-
законность такого разложения оыла установлена Липшицом почти 40 лет спустя: Lip-
schitz, Journal fur Math., LVI A859), стр. 189—196..
d2 1
В результате формального применения оператора -^ + 1 -f- — к разложению
Пуассона для функции J0{k)V^%k получается выражение
+**
[s
[ sri
Приравнивая нулю члены этого ряда, находим:
At L# л» ^—А А'"—
А— 8 /^, л — 282 ' ""
2-3.
n q 9
Таким образом, разложение интеграла Пуассона принимает вид
Однако, поскольку ряды справа не сходятся, в строгом изложении исследования
Липшица и последующих авторов должны быть предпосланы работе Пуассона при
использовании ее последней части.
Необходимо указать, что явная форма общего члена разложения была указана
первоначально Гамильтоном (Hamilton W. R.), Trans. R. Irish. Acad., XIX A843),
стр. 313; его результат был выражен в форме
Г П"
и он рассматривал разложение как полусходящееся; [О]-» и — ^-\
/ 1\/ 3\ / 1 \
обозначают 1/л! и ( — "о") ( — 1>у\ — /г"^"^у*

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ ДО 1826 ГОДА 21
Важный результат был получен Пуассоном в следующем мемуарех); он
нашел, что общим решением уравнения
является
1 г - г
1 г - г
у = Ах2 } е-ьхсо*ша«)-\-Вх2 \ e-Hxcos<»ln (хsin2 и>)
о о
где Л и В— постоянные.
Отсюда сразу следует, что общим решением уравнений
будет
= А] е-bxcos™d(j)-f-В \ ?-**cos«>ln (д;sin2(о)
о о
На этот результат, как на известную теорему, ссылался в 1850 г.
Стоке2), и представляется вероятным, что он вывел его из интеграла, при-
приведенного в мемуаре Пуассона, хотя — как часто, впрочем, бывает — и не
указал на первоисточник3).
1.7. Исследования Бесселя
Мемуар4), в котором Бессель подробно изучает функции, носящие теперь
его имя, был написан в 1824 г., однако, уже в более раннем мемуаре6) он
показал, что разложение радиуса-вектора движущейся планеты имет вид
я=1
где
л ft
Bn = — sin и sin (пи — ns sin и) du;
о
это выражение для Вп можно сравнить с рядом, данным в § 1.4.
В мемуаре 1824 г. Бессель систематически изучает функцию, определяе-
определяемую интегралом 6)
Ikh = о- ] cos (hu — k sin и) du.
о
!) Journal de I'Ecole R. Poly technique, XII (тетрадь 19), A823), стр. 476. Со-
Соответствующий общий интеграл присоединенного уравнения в частных производных
был дан в более раннем мемуаре; ibid., стр. 227.
2) Camb. Phil. Trans., IX A856), стр. 38 [Math, and Phys. Papers, III A901), стр. 42].
3) См. Encyclopedie des Sci. Math., II, 28 (§ 53), стр. 213.
4) Berliner Abh., 1824(опубл.в 1826 г.), стр. 1—52. Дата выхода этого мемуара под на-
названием <Untersuchung des Theils der planetarischen Storungen, welcher aus derBewegung
der Sonne entsteht» — 29 января 1824 г.
б) Berliner Abh. A816—1817) [опубликовано в 1819], стр. 49—55.
6) Этот интеграл встречается в разложении эксцентрической аномалии; учитывая
замечание, данное в § 1.4, имеем
эту формулу дал Poisson, Connaissance des Temps A825), (опубл. 1822), стр. 383.

22 ГЛАВА I
Предполагая h целым, он получил многие из результатов, которые будут
изложены подробно в главе II. Интегралом Бесселя не пользуются для опре-
определения бесселевых функций при h нецелом (см. § 10.1), так как функции,
представляющие наибольший интерес для нецелых значений h — это не Ikh,
а функции, определенные Ломмелем, которые будут изучены в главе IIL
После Бесселя исследования, посвященные бесселевым функциям, стали
столь многочисленными, что представляется разумным прервать на данном этапе
хронологическое описание и перейти к изложению теории в систематической
и логической последовательности.
Историческое описание исследований от Фурье до 1858 г. составлено
Вагнером (W agпег), Bern Mittheilungen A894), стр. 204—266.
Краткое описание более ранних исследований было дано Маджи (Maggi),
АШ delta R. Accad. dei Lincei, (Transunti), C) IV A880), стр. 259—263.

Глава II
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ
2.1. Определение бесселевых функций с целым индексом
Предметом этой главы будет исследование основных свойств функций,
известных под названием бесселевых функций с целым индексом. Существуют
различные способы определения этих функций; здесь будет использован метод
определения их в виде коэффициентов некоторого разложения. Этот метод
применял Шлемильх1); исходя из такого определения, он получил многие
свойства этих функций и, в частности, показал, что они равны тем самым
определенным интегралам, с помощью которых ранее определял их Бессель 2).
Необходимо, однако, указать, что обратная теорема о равенстве интегралов
Бесселя коэффициентам такого разложения была найдена Хансеном 3) за 14 лет
до опубликования мемуара Шлемильха. Некоторые сходные факты были опуб-
опубликованы Якоби в 1836 г. (§ 2.22).
Для бесселевых функций с целым индексом производящая функция
имеет вид
Далее мы покажем, что эта функция может быть разложена по аргу-
аргументу t в ряд Лорана; коэффициент при tn в этом разложении называется
бесселевой функцией с индексом п от аргумента z и обозначается символом
Jn{z), так что
A) е^{"^= 1 t«Jn(z).
«=—00
Чтобы доказать законность такого разложения, заметим что е 2 может быть
разложена в абсолютно сходящийся ряд по возрастающим степеням tt a
е 2 может быть разложена в абсолютно сходящийся ряд по убывающим
степеням t для всех значений tt за исключением нуля. Перемножив эти два
ряда, получим в произведении абсолютно сходящийся ряд, который можно
расположить по степеням t\ тем самым мы получаем формулу A), справедли-
справедливую для всех значений z и t, за исключением t = 0.
1) Sch 16 milch, Zeitschrift fur Math, und Phys., II A857), стр. 137—165. В из-
известной степени аналогичное разложение для функции ^cos9 можно найти у Fru-
iani, Mem. Soc. Ital. (Modena), XVIII A820), стр. 503. Отметим, что Шлемильх, сле-
следуя Хансену, обозначав! через Jzn то, что теперь записывается как JnBz)\ однако,
обозначение, данное в тексте, является ныне общепринятым. Следы обозначений Хан-
Хансена можно обнаружить повсюду, см., напр., Schlaf.li, Math. Ann., 111A871), стр. 148.
2) Bess el, Berliner Abh. A824) (напечатано в 1826), стр. 22.
3) Hans en, Ermittelung der Absoluten Stdrungen in Ellipsen von beliebiger
Exentricit'dt und Neigung, часть I. [Schriften der Sternwarte Seeburg: Gotha, 1843],
стр. 106. См. также французский перевод, Memoire stir la determination des pertur-
perturbations absolues (Paris, 1845), стр. 100, wLeipziger Abh.,U A855), стр. 250—251.

24 ГЛАВА II
Если в A) заменить t на —\\t, то получим:
е2 ' =2 (-t)-»Jn(z)= 2 (-/)«/_„(г);
«= — оо п= — оо
в последней строке /г заменено на — /г. Сравнив только что полученное раз-
разложение с A), в силу единственности разложения Лорана1), получим:
B) '-„(*) = ( —1L,B:),
где # — целое; эту формулу нашел Бессель, пользуясь определением Jn (z)
в виде интеграла.
Из B) следует, очевидно, что A) можно представить в виде
C) e*S{t~j) = J0(z) + 2 {/я + ( —1)я/-я}УяBг).
я = 1
Описание элементарных свойств Jn (z) было составлено Холлом (Н а 11), The
Annalist, I A874), стр. 81—84; сводку элементарных приложений этих функций к за-
задачам математической физики дал Гаррис (Harris), American Journal of Math.
XXXIV A912), стр. 391—420.
Функция с индексом единица встретилась Турьеру (Tourriere), Nonv. Ann.
de Math., IX A909), стр. 433—441, в связи с кривыми быстрейшего ската на поверх-
поверхности z=yEx2—у4).
2.11. Ряд для Jn(z) no возрастающим степеням аргумента
Явное выражение для Jn(z) в форме ряда по возрастающим степеням
можно получить из рассмотрения рядов для expf- zt\ и ехр ( — - z\t\, a
именно:
1 V / 1 \m
/тг!
r=0 /и=0
Если п — целое положительное или нуль, то единственным членом первого
ряда в правой части равенства, который, будучи умножен на общий член
второго ряда, даст член, содержащий tn, будет тот, для которого г = п-\-т;
поскольку я^зО, существует только один член, для которого г имеет такое
значение. Собрав такие члены для всех значений т, мы обнаружим, что
коэффициентом при tn в произведении будет
оо (L ^+m
Таким образом, в результате получим:
/и=0
!) Действительно, в противном случае нуль можно было бы разложить по t
в ряд Лорана, у которого некоторые из коэффициентов (например, коэффициент
при tm) были бы не равны нулю. Умножив в этом случае разложение на t"m~1 и
проинтегрировав по окружности с центром в начале координат, мы пришли бы
к противоречию. Этот результат указал Коши (С a u ch ч), Comptes Rendus, XIII A841),
стр. 911.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ
25
где п — целое положительное или нуль. Первые члены ряда имеют вид
В частности,
C)
1 I 11-
22.1-(/z-f-l) ~2*-Ь2-(л + 1
^== "^"T 22.42 22-42-62
2)
Чтобы получить функции Бесселя с целым отрицательным индексом, вы-
выпишем в произведении рядов для ехр( - zt) и ехр (—тт^/н члены, содер-
\ ^ J \ ^ J
жащие t~n, где п — целое положительное. Членом второго ряда, который,
будучи умножен на общий член первого ряда, дает член, содержащий t~nt
будет тот, для которого т = п-\-г. Таким образом мы получаем:
оо /1 Vf 1 \П+Г
J (z) — Z-, ^ J ^ }
откуда снова следует формула §2.1 B), а именно,
J_n(z) = (— \)nJn[z).
Следует заметить, что в ряде A) отношение (m-j-l)-ro члена к
m-му равно —-г-22{/я (# + #*)}, и оно стремится к нулю при т—> оо для
всех значений z и п. Согласно признаку сходимости Даламбера, ряд, пред-
представляющий Jn(z), сходится для всех значений z и п и является, таким
образом, целой функцией от z при /г = 0, +1, ±2, ±3,... .
Ниже (в § 4.73) обнаружится, что Jn (z) не является алгебраической функ-
функцией от z и, таким образом, есть трансцендентная функция; более того, она
не является элементарной трансцендентной, другими словами, она не может
быть выражена в виде комбинации из конечного числа показательных, лога-
логарифмических и алгебраических функций и их неопределенных интегралов.
Из A) можно получить два полезных неравенства, которые понадобятся
нам (см. гл. XVI) при исследовании рядов, общий член которых содержит
бесселеву функцию в качестве множителя.
Независимо от того, является ли z вещественным или комплексным
мы имеем:
2г
2т
\г
Ь
2m
п\
и таким образом, при я
получаем:
D)
I •/«(*)!
\г
л!
•ехр
л+1
п\
ехр т
Это неравенство было найдено Коши (С а и с h у), Comptes Rendus, XIII A841),
стр. 687, 854; подобное же, но более слабое неравенство
было использовано Нейманом (Neumann), Theorie der Bessel'shen Funktionen (Leip^
zig, 1867), стр. 27.

26
E)
где
Рассматривая все члены ряда для Jn (z) кроме первого, находим:
Н"
Заметим, что ряд справа в § 2.1A) сходится равномерно во всякой ограниченной
области изменения переменных z и t, не содержащей начала координат в ^-плоскости.
Действительно, если о, Д и /?— положительные постоянные и если
то члены
разложения ехр ( -^zt).exp[ 77 Ф) не будут превышать по абсолютной
\ z J \z J
величине соответствующих членов произведения ехр (тт #Д )• ехр ( — /?/8 ); таким об-
разом, равномерная сходимость вытекает из признака Вейерштрасса. Подобные рас-
рассуждения могут быть применены к рядам, полученным из разложения 2 ^п^п (z) путем
почленного дифференцирования по z или по t, или по z и по t одновременно.
2.12. Рекуррентные формулы
Равенства1)
A) ViW+^+iW = 7y»W»
B) Jn-Л*)— Jn+1(z) = 2/n(z),
которые связывают три последовательные бесселевы функции, удобны для
составления таблиц; эти равенства носят название ре/сур рентных формул.
Для доказательства продифференцируем по t основное разложение из
§ 2.1, а именно,
>«-«>= ^ tnJn[z),
п ——оо
мы получим:
и, таким образом,
/г =—оо /г =—оо
Если выражение слева расположить по возрастающим степеням t и прирав-
приравнять коэффициенты при t" в обоих рядах Лорана, то получим:
что и представляет собою первую из рекуррентных формул2).
!) Штрихи употребляются повсюду для обозначения производной функции по
ее аргументу.
2) Дифференцирование допустимо, потому что (§ 2.11) получающийся ряд
сходится равномерно. Приравнивание коэффициентов возможно благодаря единствен-
единственности разложения Лорана.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ 27
Продифференцировав основное разложение по z, получим:
откуда
« = —00 «= — 00
Сравнивая в последнем тождестве коэффициенты при tn справа и слева,
получим формулу B).
Складывая и вычитая равенства A) и B), получим:
C) zJ^(z)-\-nJn(z)=zJn_1(z),
D) гЛИ —*/я(г) = -гУя+1(г).
Последние равенства эквивалентны следующим:
E) ?z
F) ?{ +
В случае я = 0 формула A) становится тривиальной, вторая же пере-
переходит в
G) Л
Формулы A) и D), из которых могут быть выведены все остальные, были най-
найдены Бесселем (В е s s e 1), Berliner Abh., 1824, (опубл. 1826), стр. 31, 35. Приведенный
здесь метод доказательства дан Шлемильхом (S с h 1 о m i ]I с h), Zeitschrift fur Math, und
Phys.y\\ A857), стр. 138. Шлемильх доказал A) примененным выше способом, однако,
B) он получил путем непосредственного дифференцирования ряда для Jn(z).
Формула, выведенная Шлемильхом [ibid., стр. 143] из B) имеет вид
(8)
j m{
где rCm — биномиальный коэффициент.
Из E) и F) получаем по индукции:
О)
где п — произвольное целое число, т — произвольное целое положительное
число. Формула A0) была получена Бесселем [ibid., стр. 34).
В качестве примера на формулы этого параграфа отметим соотношения
1)»-W2|,(*) + (-\)NzJm+l(z) =
2
п—1
так как zJ2N+1 (z)—>0 при N—*оо, по § 2.11D).

28 ГЛАВА II
Полученное таким путем разложение
A1) zJx(z) = 4 2 (-1)«-1яУ2„(г),
используется в неймановской теории бесселевых функций (§ 3.57).
2.13. Дифференциальные уравнения для Jn(z)
Выпишем формулы E) и F) из § 2.12 в виде
? <*Ч, (*)> = z"Jn-l (*). Tz izi-nJn-i (*)} = - *1-% (*)•
В результате исключения Jn_x (z), очевидно, получим:
ИЛИ
гаким образом мы приходим к дифференциальному уравнению Бесселя1)
Выкладки упрощаются, если воспользоваться оператором 0, определяе-
d
мым как 2 -т-.
Рекуррентные формулы в новой записи будут иметь вид
(» + л) У„ Bг) = */„_, (г), (b — n-\-l)Jn_i (z) = — zJn(z),
и, таким образом,
или
*-»(» — я) (Э + я) Jn (z) = — 2гУ„ (z),
и уравнение
сразу сводится к уравнению Бесселя.
Замечание. Это же самое уравнение получается, если из двух уравнений
Ф + п + 1) Jn+1 (z) = zJn (z)y (d - n) Jn (г) = - zJn+1 (z)
исключить Jn+i{z).
2.2. Интеграл Бесселя для бесселевых функций с целым индексом
Мы сейчас докажем, что
A) Jn(z)=7^\ cos(nb — zsinb)db.
о
Именно это равенство Бессель принимал2) в качестве определения
функции Jn(z).
1) Bess el, Berliner Abh. 1824 (опубл. 1826), стр. 24; см. также F г u 1J ani.
Mem. Soc. Hal. (Modena), XVIII A820), стр. 504.
2) Ibid., стр. 22 и 35.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ 29
Часто бывает удобно видоизменить правую часть равенства A), деля
пополам промежуток интегрирования и заменяя во втором интеграле 6 на
2тг — Ь. Это дает:
B)
Jn (Z) = JL j cos (пЬ — z sin 6) db.
Так как подинтегральная функция имеет период 2тг, равенство A) может
быть записано в виде
+
C) /л (z) = ^ J cos (л8 — 2: sin в) db,
где а — произвольный угол.
Для доказательства формулы A) умножим основное разложение в § 2.1 A)
на 1~п~г и проинтегрируем г) по контуру, обходящему один раз вокруг начала
координат в направлении против часовой стрелки.
Мы получим:
@+) 1 оо @+)
(+)
(
J
Все интегралы, стоящие справа, за исключением одного, для которого
= п, обращаются в нуль; таким образом мы приходим к формуле
D) Jn (z) = 2^7
Примем за контур интегрирования окружность радиуса единица и поло-
положим t-=ie~m, где 6 можно считать уменьшающимся от 2тг-{-а до а. Таким
путем мы получим:
2тг+«
+
E) *W=i J
к этому результату пришел Хансен2) в случае а = 0.
В этом равенстве положим а = — тг, разделим пополам промежуток
интегрирования и заменим в первом интеграле б на —6. Тогда получим:
Jn B) = JL Г { еЩЛ - ssin 0) _|_? - f A18 - • sinO) } ^
о
откуда сразу следует равенство B), из которого можно вывести также A).
Можно получить различные виды интеграла Бесселя, записав
Jn (Z)= If cos nb cos (z sin 6) db + \ J sin /26 sin B: sin 6) db.
о о
Почленное интегрирование допустимо в силу равномерной сходимости разло-
(+)
(+)
жения на контуре. Принято обозначать символом \ интегрирование по контуру,
охватывающему точку а в направлении против часовой стрелки.
2) На risen, Ermittelung der absoluten Storungen (Gotha, 1843), стр. 105.

30
Если в этих двух интегралах заменить 9 на тс — 6, то при п нечетном пере-
переменит знак первый интеграл, а при п четном—второй. Отсюда имеем:
F)
G)
re
Jn (z) = — I sin яб sin (z sin 6) db
о
= -?- Г sin /^ 8 sin (z sin 8) </6
о
re
/л (z) = — \ cos /zQ cos (z sin 8) д?8
0
= — I cos /^8 cos (z sin 8) ^/8
2 — нечетное),
(я— четное).
Если заменить в крайних членах равенств F) и G) 9 на — тг — tj, to
получим:
(8) y.W = 4(-D'(-1)
I cos ят) sin (z cos tj) Л] (я — нечетное),
(9)
2 ~2n С
-—( 1) COS tf7j COS (Z COS 7j) flflf]
0
(л — четное).
Последние два результата по существу были получены Якоби!).
Замечание. Парсеваль (Parseval), Mem. des savants etrangers,\ A805),
стр. 639—648, показал, что
ге
а2 . а4 а6
22.42.б2
... = — I cos (а sin x) dx,
и поэтому B) при /г = 0 называют интегралом Парсеваля. В § 2.3 будет показано,
что два представления для Jn(z) в виде интегралов, а именно, интеграла Пуассона и
интеграла Бесселя при п = 0, становятся тождественными, и это оправдывает специальное
название интеграла в рассматриваемом случае.
Предоставляем читателю получить (как это делал Бессель) формулы § 2.12 A) и
§ 2.12 D) из интеграла Бесселя.
2.21. Различные формы интеграла Парсеваля
Отметим две формулы, содержащие определенные интегралы, непосредственна
связанные с интегральной формулой Парсеваля. Первую из этих формул, а именно,
A)
2___V2|==i. r
i) Jacobi, Journal fur Math., XV A836), стр. 12—13 [Ges. Math. Werke, VI A891),
стр. 100—102]. Интегралы, которые фактически были получены Якоби, имели пределы
Оио коэффициенты 1/я вместо 2/тс. См. также Anger, Neueste Schriften der
Naturf. Ges. in Danzig, V A855), стр. 1 и Cauchy, Comptes Rendus, XXXVIII A854),
стр. 910—913.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ 31
получил Бессель1). Чтобы вывести ее простейшим путем, запишем выражение справа
в виде
2* J
разложим по степеням у cos G -f- iz sin 0 и воспользуемся формулой
к тс
С (у cos 0 + iz sin ОJ^1 дГО = 0, f (у cos 0 + fc sin 0J/г^0 =
после этого сразу получается нужная формула.
Второй из интересующих нас определенных интегралов получил Каталан2).
Этот интеграл имеет вид
B) 70B/У7) = — UA + s) cos e cos j A— г:) sin 0 }rfO,
о
и является частным случаем A), когда z и у заменены соответственно на 1 — z и 1 -(- г.
Интеграл Каталана можно получить независимым путем, применяя формулу
@+)
1—L Г
m!~~2ic/ J
так что
@+)
^г^ zm 1 \^ zm Г
т=0 т=0 J
t"m"mletdt =
( + )
=го j ехр (*+т) t=s
причем в качестве контура интегрирования берется единичная окружность. Нужная
формула получается отсюда делением пополам промежутка интегрирования.
2.22. Разложения в ряды по бесселевым функциям, по лученные Якоби
Два ряда, тесно связанные с интегралами Бесселя, были найдены Якоби 3).
Наиболее просто получить их, если положить ? = Ч-?19 в основном разложе-
разложении § 2.1 C). Мы имеем:
=Л № +2 2 Л/Д*) cos 2n^ =Ь 2г' 2 /2«+1 ^ sin ^2я + *) °*
!) Bessel, Berliner Abh., 1824 (опубл. 1826), стр. 37. См. также Anger, Neueste
Schriften der Naturf. Ges. in Danzig V A855), стр. 10, и Lommel, Zeitschrift, far
Math, und Phys., XV A870), стр. 151.
2) Catalan, Bulletin de VAcad. JR. de Belgique B), XLI A876), стр. 938.
3) J а с о b i, Journal fur ЛШ/*., XV A836), стр. 12 [Ges. Math. Werke^l A891), стр. 101].

32 ГЛАВА II
Складывая и вычитая эти два равенства, находим:
A) cos (г sin 9) = /0 (г)+ 2 ^ J2n(z) cos 2пЪ,
п — \
B) sin(?sinN= 2 fj Уяя+1Bг)81пBл + 1)в.
Заменяя тттт— 7) на 6, получим:
C) cosBrcosij) = 70Br) + 2 f; (—l)nJ2n(z)cos2nrh
D) slni2rcos4)= 2 f)(—1)л/2я+1Bг) cos B/1+1) Ч.
л = 0
Формулы C) и D) были найдены Якоби, формулы A) и B) были получены позд-
позднее Ангером *). Метод Якоби заключается в разложении cos (z cos tq) и sin (z cos tq) в ряд
по Косинусам кратных tq и в определении коэффициентов по правилу Фурье в форме
интегралов, которые, очевидно, будут связаны с интегралами Бесселя.
Исходя из того, что первые члены в A) и C) образуются не по общему
закону, оказывается удобным ввести множитель Неймана 2) ея, который счи-
считается равным 2, когда п не равно нулю, и равным 1, когда п есть нуль.
С помощью этого множителя, который будет часто встречаться в дальней-
дальнейшем, A) и B) можно записать в более компактном виде:
•оо
E) cos (z sin 6) = 2 Чп Ля (z) cos 2/*6,
n=Q
F) sin(*sin6)= 2еЯя+1/Яя+1Bг)81пB/1+1)8.
Положив в E) 6 = 0, находим:
л=0
Если же сначала продифференцировать несколько раз E) и F), а затем поло-
положить 6 = 0, то мы получим выражения для некоторых полиномов в виде
рядов по бесселевым функциям. В дальнейшем несколько иным методом мы
покажем, что любая функция вида zm (m — целое положительное число) раз-
разлагается в ряд по бесселевым функциям. Очевидно в таком случае, что и
любой полином допускает подобное разложение. Последний факт является
частным случаем общей теоремы о разложении, доказанной Нейманом, кото-
которая будет рассмотрена в главе XVI.
Здесь мы ограничимся замечанием, что если F) сначала продифференци-
продифференцировать, а затем положить 6 = 0, то получим:
(8) г= 2?
л=0
если же после двухкратного дифференцирования E) и F), положить 8 рав-
равным 7) тг, то будем иметь:
(9) zslnz = 2{22J2(z) —
A0)
J) Anger, Neueste Schriften der Natarf, Ges. in Danzig, V A855), стр. 2.
2) Neumann, Theorie der Besserschen Funktionen (Leipzig, 1867), стр. 7.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ 33
Последние результаты получил Ломмель *).
Замечание. Выражение ехр { тт z (t — \jt) У рассмотренное в § 2Л, не является
производящей функцией в строгом смысле. Производящей функцией2) для sn Jn (z)
будет
Обозначив это выражение через S и применив рекуррентную формулу § 2.12 B),
будем иметь:
Решив это дифференциальное уравнение, получим:
l-z{t-vt) 1 / i\ h(t-iit) Г -h(t-nt)
e2 +^t+±)e2 J
(П) S = e< +±и + ^)е' \е ' J0(z)dz.
О
Эквивалентный результат указал Бренке (Brenke), Bull. American Math. Soc,
XVI A910), стр. 225—230.
2.3. Интеграл Пуассона
Незадолго до выхода в свет мемуара Бесселя, посвященного возмущениям
планетных орбит, Пуассон опубликовал важную работу по теплопроводно-
теплопроводности 3), в которой рассматривал интегралы типа4)
к тс
[ cos (z cos 6) sin2"*1 9 db, f cos (z cos 6) sin2" 6 db,
о о
где n — целое и положительное или нуль. Он доказал, что эти интегралы
являются решениями некоторых дифференциальных уравнений5) и нашел при-
приближенное значение интегралов при больших положительных z для частного
случая п — 0; последнее исследование приведено выше в § 1.6.
Сейчас мы покажем, что
A)
cos (z cos 0) sin2" 6 db;
*) Lommel, Studien iiber die Bessel'schenFunktionen (Leipzig, 1868), стр. 41.
2) В гл. XVI будет показано, что эта функция является „ломмелевской функ-
функцией двух переменных". ,
3) Poisson, Journal de VEcole R. Poly technique, XII (тетрадь 19), A823),
стр. 249—403.
4) Ibid., стр. 293 и ел., стр. 340 и ел. Эквивалентные интегралы изучал ранее
Е и 1 е г, Inst. Calc. Int., II (Петербург, 1769), [гл. X, § 10.36], однако, форма, данная Пуас-
Пуассоном, более изящна, и изложение его более систематично. См. также § 3.3.
5) Например, на стр. 300 он доказал, что если
к
/?=/•"+1 ^ cos (rp cos to) sin2"+г (о d<o,
о
то R удовлетворяет дифференциальному уравнению
d2R n(n+\)
Р RPR

34 ГЛАВА II
при этом, принимая во внимание важность исследований Пуассона, мы будем
называть выражения в правой части1) формулы A) интегралами Пуассона
Jn(z). В случае #=0 интеграл Пуассона переходит в интеграл Парсеваля
(§ 2.2).
Легко доказать, что рассматриваемые выражения равны Jn{z)\ действи-
действительно, разлагая подинтегральное выражение в ряд по степеням z и интегри-
интегрируя почленно2), получим:
cos2™
« оо тс
1 cos (г cos 6) sin2" 6 db= ~ ]Г (~'?* z*m f
5...Bя —
"" 2d {2m) \ ' 2-4-6... Bn + 2m)
rn — O
= 1.3-5 ... B«—I
rn — O
откуда и вытекает искомый результат.
Пуассон заметил3) также, что
к к
Г eiz cos Q sin2/18 db = Г cos (г cos 6) sin2" 6 M;
это становится очевидным, если рассмотреть среднее арифметическое инте-
интеграла, стоящего слева, и интеграла, полученного из него заменой 6 на тг — 6.
Мы, таким образом, получаем:
B) JAZ)=Z r( MiYM §'
Формула
1 Лп
C) J,
являющаяся незначительным видоизменением предыдущей, послужила отправ-
отправным пунктом для многих важных исследований (см. § 6.1) в теории Бессе-
Бесселевых функций.
!) Nielsen, Handbuch der Theorie der Cylinderfunktionen (Leipzig, 1904), стр. 51,
называет их вторыми интегралами Бесселя, однако, наименование, принятое выше,
предпочтительнее.
2) Интегрируемый ряд, очевидно, сходится равномерно; метод доказательства
заимствован у Пуассона, ibid., стр. 314, 340.
3) Пуассон, в действительности, рассматривал (стр. 293) интеграл, содержащий
sin^+iQ; однако, как он подчеркивает на, стр. 340, повсюду в его выводе нечетные
степени могут быть заменены четными.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ 35
Заметим также, что
тс ~2
D) [ cos (г cos 8) sin2" 8 г/8 =2 [ cos(*cos8)sin2/I8flf8 =
= 2 J cos (z sin 8) cos2* 8 rf6,
0
причем каждое из этих выражений приводит к новой форме интеграла Пуассона.
Интересное приложение интегралов Бесселя и Пуассона нашел Ломмель *),
который умножил обе части равенства
* 4/г2 { 4/г2— 22 } ... } 4/г2 — Bт — 2J }
1Г ( * ^ si
1Г ,
на cos (z cos 6), а затем проинтегрировал. После этого он получил:
* 4/г2 { 4/г2 — 22 }... | 4/г2 — Bт — 2f\ г
E) J2n(z) = (— I)«2, (—•/ 2^^ 55-'
2.31. Исследование интеграла Пуассона Бесселем
Бесселево доказательство2) совпадения функции Jn (z) с интегралом Пуас-
Пуассона несколько длинно. Существо его состоит в следующем.
Легко проверить, что
-^ Tcos 8 sin271-18 cos (z cos 8) — 2/г4-1 sin2/I+1 ^ sin ('2rjCOS ^) 1 =
Отсюда, интегрируя, при п^\, получаем:
к к
B/i — 1) ^ cos (z cos 8) sin2*-2 ft dft — 2n [ cos B: cos 8) sin2/I
_
0
к
r
0
Если теперь положить
(i V тс
V2*J f л л
—-—^—^—-—г- \ cos (^rcosS) sin2/18 fif6 = у (п)>
то последняя формула показывает, что
zu (п — 1) — 2яср (я) + 2<р (л + 1) = Oi
так что ср (я) и 7л B^) удовлетворяют одной и той же рекуррентной формуле.
х) Lomrael, Studien iiber die Bessel'schen Functionen (Leipzig, 1868), стр. 30.
2) В e s s e 1, Berliner Abh., 1824 (опубл. 1826), стр. 36—37. Якоби (J а с о b i), Journal
far Math., XV A836), стр. 13, или Ges. Math. Werke, VI A891), стр. 102, доказывая
(§ 2.32) формулу об интеграле Пуассона, отмечал искусственность доказательства
Бесселя.

36 ГЛАВА II
Но, если воспользоваться интегралом Бесселя, легко убедиться, что
<f@)=J0(z),
к к
<f>(l) = ~ f cos (z cos 6) sin26 db = — ~ Г ^ {sin (z cos 6) } sin 6 db =
о о
к
= ~ Г sin (z cos 6) cos 6 db = — J^(z) = Jl(zI
0
и, таким образом, из рекуррентной формулы по индукции получаем:
V(n) = jn(z),
для /1 = 0, 1, 2, 3, ... .
2.32. Преобразование интеграла Пуассона, данное Якоби
Задача о непосредственном преобразовании интеграла Пуассона в интег-
интеграл Бесселя была успешно разрешена Якоби !); он применил формулу
где ji=cos6. Предположим на время эту формулу установленной. Различные
доказательства ее мы приведем в §§ 2.321—2.323.
В силу того, что первые л—1 производные от A—jx2) 2 no jx обра-
обращаются в нуль при jjl = ±1, после л-кратного интегрирования по частям мы
будем иметь:
it 1 !
zn ^ cos (z cos 6) sin2" b db = zn J cos (z\x) - A — ja2)" ~~* d]L=
0 —1
1
Используя формулу Якоби, а также формулы (8) и (9) § 2.2, учитывая,
6— ^ ш) Равен( — 1) 2* cos B: cos 6) или (—1) 2" п~ sin (z cos 6),
что cos iz cos '
в зависимости от четности или нечетности л получим:
_ 1-3-5...Bя— 1) С cos/ _lrj\ dsini
/г
= 1.3-5... Bл—1) [cosf^cose— I? пп)
J \ ^ /
0
= 1.3.5... Bл— 1)тгУя(?г),
что и требовалось доказать.
1) Jacob i, Journal fur Math., XV A836), стр. 12—13. [Ges. Math. Werke, VI A891),
стр. 101—102.] См. также Journal de Math. I A836), стр. 195—195.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ 37
2.321. Доказательство формулы преобразования Якоби
Доказательство формулы преобразования, использованной в § 2.32, данное Якоби,
основано на сведении ее к частному случаю формулы Лакруа1). Однако само дока-
доказательство Лакруа дает повод для возражений, так как в нем элементарный, по суще-
существу, результат получен с помощью бесконечных рядов. Доказательство, основанное на
теории линейных дифференциальных уравнений, было найдено Лиувиллем (L i о u v i 11 е),
Journal de Math., VI A841), стр. 69—73; оно будет дано в § 2.322. Двумя годами
позднее Лиувилля любопытное символическое доказательство опубликовал Буль (В о-
о 1 е), Camb. Math. Journal, HI A843), стр.216—224. Элементарное доказательство мето-
методом индукции дал Грунерт (Grunert), Archive der Math, and Phys., IV A844),
стр. 104—109. Он показывает, что если
п
то
d®
)^
V
—2^0Л —/г(/г—1) I 0Л
1
и что (—IO1 1-3-5.. . B/г — 1)(sinпЩп удовлетворяет этой же рекуррентной фор*
муле.
Другие доказательства подобного рода дал Тодхантер (Т odhu n t er), Differential
Calculus (London, 1871), гл. XXVIII и Кроуфорд2) (Crawford), Proc. Edinburgh Math.
Soc, XX A902), стр. 11—15; однако все эти доказательства содержат сложные алгеб-
алгебраические выкладки.
Доказательство с применением контурного интегрирования дал Шлефли (S с h 1 а-
fli), Ann. di Mat. B) V A873), стр.201—202. Контурные интегралы, встречающиеся у
Шлефли, — того же вида, что и в разложении Лагранжа; в § 2.323 будет дано видоизме-
видоизмененное доказательство Шлефли, в котором контурные интегралы будут заменены раз-
разложениями Лагранжа.
Для доказательства формулы Якоби произведем дифференцирование по формуле
Лейбница; тогда получим:
1-3-5. ..Bя—1) dy."-1*
3 5 2 ' ~A~!
п-т-\
[ I \2iB-f-l/ 1\ 2я—2/я—1
tn ^= 0
что и требовалось 3).
i)Lacroix, Traite du Calc. Diff., I (Paris, 1810, 2-е издание), стр. 182—183
См. также заметку Каталана, написанную в 1868 г.: Catalan, Mem. de la Soc. R. des
Set. de Liege B), XII A885), стр. 312—316.
2) Кроуфорд приписывает эту формулу Родригу, возможно, из-за ошибочного
утверждения Frenet (Recueil d'Exercices (Paris, 1866), стр. 93), о том, что она встре-
встречается в диссертации Родрига (Rodrigues), Corresp. sur VEcole R. Poly technique,
III A814—1816), стр. 361—385.
3) Это доказательство сообщил мне. Прис (С. Т. Р г ее се).

38
2.322. Доказательство Лиувилля
Лиувилль дал следующее доказательство формулы Якоби.
л — \ а
Пусть у= A — ji2) , и пусть D обозначает — ; тогда, очевидно,
но
Продифференцируем это уравнение п раз; тогда
A — ii2) Dn+iy __ ? Dny + л2 Dn-iy = 0;
и, таким образом,
Отсюда
?>/z-i^ — л sin /z0 + ^ cos лО,
где А и Z? — постоянные. Поскольку Dn~~ly, очевидно, — нечетная функция от 0, В
есть нуль. Для определения А сравним коэффициенты при 0 в разложениях Оп~гу
и Asinnb по возрастающим степеням 0. В Dny членом, содержащим 0, будет, как
легко видеть,
^"92яЧ ==(_1)л-1Bл—1)Bл —3)... 3-1-0,
sinл94
—0rf0
так что
пА = (— I)'7" I • 3-5 ... Bп — 1),
откуда и получается нужный результат:
2.323. Доказательство Шлефли
Прежде всего напомним разложение Лагранжа, которое для z = [i -f- hf (z)
имеет вид
и, таким образом,
= 0
допуская обычные условия сходимости *).
Далее возьмем
/(z)«- I A -2*),
предполагая при этом, что ?' (г) приводится к V1 — р2, т. е. к sin 0 при h -у 0.
Особенности ^ как функции от h будут при /i = ?=t я, так что при 0 веществен-
вещественном разложение У^1 — р2 по степеням /г будет сходиться, когда \h\ и \z\ меньше
единицы.
Далее,
г= { 1— V\— 2ц/г— /г2 }/л,
й, таким образом,
'
hi
См. Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, ч. 1, § 7.32.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ 39
Отсюда следует, что
(_ 1)/г—1 dn-1
2/z-i . (# _ 1)! йГ|ал~1
является коэффициентом при /г"" в разложении V\ — *2 ' jf по степеням h.
Однако очевидно, что
г- дг A — ПеЩ-W - A — he- Щ~у>2 _
у l-z ._.__ _ __
_ yi 1-3-5... B/»-1) g""-*-"*»
~~ 2Li 2.4-6... Bл) " /
п = 1
рассматривая коэффициенты при л» в последнем выражении, мы и получаем фор*
мулу Якоби.
2.33. Об одном применении формулы Якоби
Якоби рассматривал формальное разложение
/ (cos *) cos nxdx=\ 2 ( — ! )т amf{n+2m) (cos x)dx,
Ь 0 m = 0
0 m =
в котором ат — коэффициент при tn+2m в разложении Jn(t)jJ0 (t) no возрас-
возрастающим степеням t1). Чтобы доказать его справедливость, проинтегрируем п
раз по частям выражение, стоящее слева; оно перейдет (§ 2.32) в
О
и после замены sm2nx суммой косинусов углов, кратных х, примет вид
2/г о i 2л(л—1)
О
Проинтегрируем далее fW (cos д:) cos 2дг, /^)(cosa:) cos4jc, ... по частям; после
многократного повторения этого процесса мы, очевидно, придем к формаль-
формальному разложению рассмотренного типа. Если /(cos л;) является полиномом
от cos л:, процесс, очевидно, обрывается и преобразование имеет реальный
смысл.
Чтобы найти значения коэффициентов
\/(cos*) cos л* dx = \ 2 (—l)mczmf(n+2m)(cosx)dxi
О о т=0
положим
/(COSJt)EEE(— \УП COS(^COSJC), (— l)^"^ sin (t COS X)
соответственно четности или нечетности п\ тогда из § 2.2 (8) и (9) получим:
т=0
!) J а с о b i, Journal far Math., XV A836), стр. 25—26 [Ges. Math. Werke, VI A891),
стр. 117—118]. См. также Jacobi, Astr. Nach., XXVIII A849), столбец 94 [Ges. Math
Werke, VII A891), стр. 174].

40 ГЛАВА II
Тем самым значения ат установлены.
Выше было указано, что разложение имеет смысл, когда /(cos x) является
полиномом от cos л:; оно будет справедливо также, если /(cos x) есть целая
функция от cos*, например,
оо
2+ п\ '
где lim ^/\ Ьп | меньше первого положительного корня уравнения Jo (t) — 0;
п -> оо
мы не будем подробно рассматривать этот случай, поскольку он не имеет,
повидимому, практического значения.
2.4. Теорема сложения для бесселевых функций
Для бесселевых функций существует формула сложения, согласно кото-
которой Jn(y-\-z) может быть выражена через бесселевы функции от у и z. Эта
формула, найденная впервые Нейманом1) и Ломмелем2), имеет вид
A)
т = — оо
Для доказательства используем формулу § 22.4. Она дает нам:
@ + ) оо
' f X
J т — -
оо
ТП =^ — 00
оо
fm—n — 1
-00
@ + )
м \
чем теорема и доказана.
Многочисленные обобщения этого разложения будут приведены в гл. XI.
2.5. Ряд Хансена для квадратов и произведений бесселевых функций
Еще в 1843 г. Хансен3) указал несколько частных случаев теоремы сло-
сложения Неймана. Первая группа его формул получается после возведения
в квадрат основного разложения § 2.1 A). Мы имеем:
!) Neumann, Theorie der Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1867), стр. 40.
2) Lommel, Studien uber die Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1868), стр. 26—27.
См. также Schlaf li, Math. Ann., Ill A871), стр. 135—137.
3) H a n s e n, Ermittelung der absoluten Storungen (Gotha, 1843), стр. 107 и ел.
Хансен не дает формулы D), а только частный случай формулы B), для которого
п=\. Более общие формулы вывел Lommel, Studien uber die Bessel'schen Funktio-
Funktionen (Leipzig, 1868), стр. 33.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ 41
Представим произведение в правой части в виде ряда Лорана по степе-
степеням t и разложим в ряд Лорана выражение в правой части. Сравнивая в полу-
полученных рядах коэффициенты при tn, находим:
¦/„B*)= S Jr(z)Jn_r(z).
г = — оо
В частности, полагая п = 0, имеем1):
A) Уо Bz) = J* (г) + 2 J (- 1 )rJ\ (*) = | (- 1 )г Ь J* (*>•
По общей формуле получаем:
B) /„ Bг) = |] Уг (г) У„_г (г) + 2 2 (— 1)' Уг (z) Jn+r (z);
при этом бесселевы функции с отрицательным индексом исчезают, в силу
§ 2.1 B).
Подобным же образом, из равенств
вытекает,
C)
D)
= exp{iz
что
2л
2(-D4(
(t—llt)
J\ («) +
} exp
ОО
2 2
^) + 2
{у^(—
J2r(z) =
оо
2-М*
=о.
Равенство D) получается из рассмотрения коэффициента при t2n в раз-
разложении Лорана; рассмотрение коэффициента при t2n+1 ничего не дает.
Хансен отметил важные следствия формулы C), а именно, при х вещест-
вещественном и г=1, 2, 3 имеют место неравенства
E) |Л(*I<1, |yr(*)l<VK2.
2.6. Интеграл Неймана для J2n{z)
Из § 2.2 E) видно, что
и, следовательно,
It П
у2 (^) = i. Г Г ет (9 + v) е-~ iz (sin 8 + sin v)
Чтобы свести полученный двойной интеграл к обыкновенному, перейдем
к новым переменным, определяемым равенствами
6 —cp = 2Z,
1) Для краткости пишем j\ (z) вместо \Jn(z)\2.

42
так что
Отсюда следует, что
у2 (z\ __ 1 . I I e2nity e— liz sin ф cos X rfy ^ф?
где областью интегрирования является квадрат, для которого
— п^1 — Ф^тс, — 1
Поскольку подинтегральное выражение не изменяется при одновременном уве-
увеличении 1 и ф на тг или при одновременном увеличении j( на тт и уменьше-
уменьшении ф на тт, за область интегрирования можно принять прямоугольник, для
которого
О ф
Отсюда
it к
О
О ~
о
Если заменить i на -ь-тт + б, в зависимости от того, является ли 1 острым
углом или тупым, мы окончательно получим:
A) Ля(г) = ^§ J2nBzsinb)db.
О
Эту же формулу можно, очевидно, записать в виде
п
B) Jl(z) = \^J2n{2z sin b)db,
что и представляет собой результат, в действительности полученный Нейма-
Нейманом г). Он вывел этот результат с помощью длинных вычислений из теоремы
сложения, которая будет дана в § 11.2. Идея только что приведенного дока-
доказательства заимствована из доказательства теоремы сложения, опубликован-
опубликованного Графом и Гублером2).
Можно получить иные формы вышеприведенного интеграла, если вместо
интегрирования по i провести интегрирование по ф. Это дает:
J\ (*) = 5J J h B* sin Ф) «*"¦ <*Ф
х) Neumann, Theorie der BesseJ'schen Functionen (Leipzig, 1867), стр. 7.
2) Graf und G u b J e r, Einleitung in die Theorie der BessePschen Funktionen.
II (Bern, 1900), стр. 81—85.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ 43
ИЛИ
п
C) J2n{z) = ^ Г Jo Bz sine})) cos 2я ф йф =
n
= -i- Г Уо B2Г sin ф) cos 2яф </ф;
о
последний результат Шлефлиг) считает принадлежащим Нейману.
2.61. Ряд Неймана для Pn(z)
Разлагая в правой части формулы § 2.6 A) коэффициенты Бесселя в ряд
по степеням z и интегрируя затем почленно, Нейман2) показал, что
00
m\Bn-\-m)\
m = 0
^
= о
Сам Нейман записывал этот результат в виде
^ ^^ (/г!J L x 1 Bл + 1) n \-2^2n + 1)Bл + 2)
где
2л+ 1
B)
2 2л + 2 '
7 _Bл+1)Bл + 3)
'^'
б — —
Bл + 2) Bл + 4) Bл + 6) '
Это разложение является частным случаем более общего разложения
(полученного Шлефли) для произведения любых двух бесселевых функций,
представленных в виде степенных рядов со сравнительно простыми коэффи-
коэффициентами (§ 5.41).
2.7. Разложение Шлемильха функции zm в ряд по бесселевым
функциям
Сейчас мы переходим к разложению функции zm, где т — любое целое
и положительное число, в ряд по бесселевым функциям, о котором шла речь
в § 2.22. Разложение для случая т = 0 было дано ранее в § 2.22 G).
1) Эта формула немедленно следует из уравнения 16 на стр. 69 трактата Неймана.
2) Neumann, Math. Ann., Ill A871), стр. 603. Мемуар, в котором впервые при-
приводится этот результат, опубликован в Letpzlger Berichte, XXI A869), стр. 221—256.

44
Подставим в формулы § 2.22 A) и B) вместо cos2/z9 и smBn-\-\)b
их выражения через степени sin2 0. Эти выражения имеют вид *)
I ? A) g^l^, B sin6)-+4
После подстановки получим:
n=l
Меняя расположение членов в рядах справа, рассматриваемых как сте-
степенные ряды по sin б (допуская законность такого действия), имеем:
cos
—1I
= 1 V л — «у
• / • n\ V^ (— l)JBsin0J*+1 J v^ Bл-4- \)-(n-\-s)! . . .1
sin (*sraO) = ^ B*+1I i 2- (F=^I Jzn+i(*)\-
Разлагая теперь левые части равенств по степеням sin 6 и приравнивая
коэффициенты, находим:
оо
00
^1 2п»(П-\- S — ^)*/ /\ / 1OQ
п — s
оо
х \— I - v~^ B/2 -|- 1)*(л -|- s)! , /v . л 1 о
л= s
Первая из этих формул уже была получена нами; остальные же можно
объединить в единую формулу
оо
О \2 ) = 2а п\ Jm+2n\z)- (m = 1, 2, 3, . . . )
Частные случаи формулы A) для т=1, 2,3 были даны Шлемильхом2).
Он указал также путь для получения общей формулы, которая и была нес-
несколькими годами позже получена в явном виде Нейманом8) и Ломмелем4).
1) См. Hobs on, Plane Trigonometry A918), §§ 80, 82. ~
2) Sch 16 milch, Zeitschrift fur Math, und Phys.y II A857), стр. 140—141.
3) Neumann, Theorie der Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1867), стр. 38.
4) L о m m e 1, Studien uber die Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1868), стр. 35—36.
Исследование Ломмеля приводится ниже.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ 45
Сейчас необходимо обосновать законность перестановки членов двойного ряда.
Мы докажем это, если установим его абсолютную сходимость.
Воспользуемся для этого неравенствами
\*
2Л+ 1
и применим их к ряду для sin (z sin 0); тогда получим:
00
|2sin^|2j+1
s—0
12 sin 0 |
— о
1
2Л+1
-i*i2W
4I J
J-= 0
таким образом, ряд модулей сходится. Доказательство для ряда cos (z sin в) провр-
дится аналогичным образом.
Можно обойти только что приведенное несколько длинное вычисление,
воспользовавшись доказательством по индукции Ломмеля, однако, последнее
обладает тем недостатком, что предполагает разложение известным и лишь
нуждающимся в проверке. Если, следуя Ломмелю, мы положим
2Z) — 2а Т\ 'Jm+2n\zh
л = 0
(это равенство было доказано в § 2.22 (8) для частного случая т=1), то
найдем:
со
2Z) ~~
л=0
=?
— 0
n\ Jm + l+2n (Z)'
Поскольку (m-\-ri)\ Jm+2n(z)lnl—^0 ПРИ п—>«», перестановка членов
в третьей строке вывода является законной. Из полученного результата
вытекает справедливость доказательства по индукции для 7Я = 2,3,4... .
Исключительно изящное доказательство такого разложения дал Диксонх). Вот оно.
2t
Пусть t — комплексное переменное, а и определяется равенством и = -= т?- J
таким образом, когда t описывает небольшой контур вокруг начала координат (внутри
круга |*| = 1), с и происходит то же самое.
l) Dixon А. С, Messenger, XXXU A903), стр. 8; в общих чертах такое же дока-
доказательство для случая т=\ ранее дал Каптейн (Kapteyn), Nieuw Archief voor
Wiskunde, XX A893), стр. 120.

46
Мы имеем:
@ + )
— / * ^~j J
п — 0
при этом в последнем интеграле была совершена перестановка порядка суммирования
и интегрирования, допустимая в силу равномерной сходимости ряда на контуре, и
подсчитана сумма вычетов относительно начала координат. Тем самым требуемая
формула установлена.
Замечание. Когда т = 0, -г- нужно заменить на —-г—- .
L m dt J dt \
2.71. Разложения Шлемильха вида
Формулы
A) 2 W
й = 1
B) 2
я =
в которых /? — любое целое положительное число [нуль может входить в B), но не
в A)], а Р^ —числовой коэффициент, — очевидно, родственны результатам § 2.7. Эти
формулы были получены Шлемильхом (S с h 1 б m i 1 с h), Zeitschrift fur Math, und
Phys., II A857), стр. 141, и для Р^ им было дано выражение
<\т
где mCk — биномиальный коэффициент, а последним членом, входящим в сумму,
является член, для которого k равно -^ т— 1 или ir(tn— 1). Для доказательства пер-
первой формулы возьмем уравнение § 2.22 A), продифференцируем 2р раз по в, а затем
положим в равным нулю. Тогда получим:
[d2P ^2,

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ 47
Члены, для которых тур, будучи расположены по убывающим степеням 0, не
включают член с 02Р, и, таким образом, достаточной оценкой будет следующая:
Bm) \ Jq__o
v^ d2pi(
Bm) ! jL*l d№P \ BiJm
~ 2*Jp=2 (~
поскольку члены, равноотстоящие от начала и конца суммирования по k, равны друг
другу. Справедливость равенства A) становится, таким образом, очевидной, а равен-
равенство B) доказывается подобным же образом из § 2.22 B).
Читатель легко проверит справедливость следующих частных разложений, най-
найденных Шлемильхом:
D)
2.72. Разложение функции z2m в ряд по квадратам бесселевых
функций, данное Нейманом
Из разложения Шлемильха (§ 2.7) функции z2m в ряд по бесселевым
функциям с четным индексом легко получить разложение функции z2m в ряд
по квадратам бесселевых функций, используя при этом интеграл Неймана,
данный в § 2.6.
Рассмотрим разложение
„ зш «,» = ± "¦ + »•»+-'>¦/,«. B, Sin *
п=0
интегрируя его по 9, находим*
Л 00
I sin2/7Z9db = \,
/г!
откуда
A) (±г)- =
п=0
Этот результат получил Нейман *). В другой записи формула
справедлива и при т = 0, так как она сводится в этом случае к формуле
Хансена, указанной в § 2.5.
1) Neumann, Leipziger Berichte, XXI A869), стр. 226 [Math. Ann., HI A871),
стр. 585].

48
В частных случаях получаем:
C)
/z=2
00
п=Ъ
Дифференцируя A), а затем применяя § 2.22 B) и, наконец, меняя порядок чле-
членов, легко находим, что
-1 т\(т— 1)! ^ Bт + 2п— \)-Bт + п — 2)! , , ч ,
( }
B/я— 1)!
п— О
п\
На существование такого разложения указал Нейман.

Глава III
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ
3.1. Обобщение дифференциального уравнения Бесселя
В главе II бесселевы функции рассматривались как функции двух пере-
переменных z и /г, причем z могло принимать любые значения, а п предполагалось
целым. Сейчас мы перейдем к обобщению этих функций, имея в виду полу-
получить функции от двух переменных (комплексных) с неограниченной областью
изменения.
Такое обобщение было осуществлено Ломмелем1), который определил бесселеву
функцию, обобщив интеграл Пуассона; в своих исследованиях он показал, что функция,
определенная таким образом, является решением линейного дифференциального урав-
уравнения, которое будет рассмотрено в этом разделе. Бесселеву функцию JH(z) от аргу-
аргумента z с индексом v Ломмель определял в виде2)
.и = _/ i\ _/i\ cos<*cos9)sln2vш<
-' о
интеграл в правой части сходится при всех комплексных значениях v, для которых
R (v) превышает — —. Ломмель, очевидно, имел в виду только вещественные значе-
значения v; Ханкель3) же ввел в рассмотрение также комплексные значения; функции
с индексом, меньшим — - , определялись Ломмелем путем обобщения рекуррентных
2»
формул из § 2.12.
Читатель отметит из сравнения § 3.3 с § 1.6, что Плана и Пуассон рассматривали
функции Бесселя с индексом, равным половине нечетного числа, почти за полвека до
опубликования исследования Ломмеля.
Мы заменим в дифференциальном уравнении Бесселя целое число п на
число4) v (вещественное или комплексное) с неограниченной областью изме-
изменения и затем определим бесселеву функцию с индексом v как некоторое
решение этого уравнения; конечно, желательно подобрать такое решение,
которое обращалось бы в Jn (z), когда v принимает целое значение п.
Мы будем изучать, таким образом, решения дифференциального урав-
уравнения
которое называется уравнением Бесселя с индексом v.
х) Lomrael, Studien tiber die Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1868), стр. 1.
2) Подобные интегралы (с необязательно целым v) изучал Дюамель (D u h a m e 1),
Cours d'Analyse, II (Paris, 1840), стр. 118—121.
3) Hank el, Math. Ann., I A869), стр. 469.
4) Следуя Ломмелю, мы пользуемся символами v, ц для обозначения произволь-
произвольных чисел, оставляя символы /г, т для целых.

50 ГЛАВА III
Построим решение уравнения A), определенное вблизи начала координат;
мы будем искать его в виде ряда по возрастающим степеням z, а именно,
оо
т — 0
где число а и коэффициенты ст подлежат определению; предполагается, что
с — не нуль.
Для краткости дифференциальный оператор в уравнении A) обозначим
через yv, так что
Легко видеть, что г)
оо оо оо
Выражение справа обращается в первый член первого ряда, а именно,
в с0 (а2 — v2) z*, если подобрать коэффициенты ст таким образом, чтобы
в обоих рядах справа коэффициенты при соответствующих степенях z взаимно
уничтожались.
В результате такого выбора получим систему уравнений
^{(а+1J— v2} =0
ст\(а 4-шJ— V2} + 'ст__'2 =0
Если эти уравнения будут удовлетворены, то получим:
00
D) Vv 2 с^*+т — с0(а2 — v2)z*.
т = 0
Отсюда видно, что введенный выше ряд может стать решением уравне-
уравнения A) только при a = 4rv> поскольку с0 не равно нулю, а z* исчезает
только для отдельных значений z.
Рассмотрим теперь т-е уравнение системы C) (т^>1). Оно может быть
записано в виде
ст(а — v + m)(a + v + /») + *m-2 = °»
и, таким образом, для всех значений т, больших 1, оно определяет ст
через ст_2, если только a — v или a-f-v не является отрицательным целым
числом, другими словами, если —2v не есть отрицательное целое число
(когда а = — v) или если 2v не есть отрицательное целое число (когда a = v).
Если пренебречь на некоторое время (см. §§ 3.11, 3.5) этими особен-
особенными значениями v, то (а-\-тJ — v2 не обращается в нуль при т= 1, 2, 3,... .
Таким образом из уравнений C) следует, что с, = с3 = с5 = . . . =0 и что
с2т выражается через с0 с помощью равенства
сгт =
{а _ v _|_ 2) (а ¦— v + 4) ... (а — v + 2/и) (а + > + ^) (а + v + 4) • • • (а +
х) Если постоянные а и ст определить в соответствии с дальнейшими выклад-
выкладками, то полученные формальным путем ряды, как легко видеть, будут сходящимися
и дифференцируемыми; таким образом, формальные выкладки, действительно, дают
решение дифференциального уравнения.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ 51
Система уравнений C) теперь удовлетворена, и если взять a =v, то
из D) видно, что
E) с0А\ +
является формальным решением уравнения A). Если же взять а = — v, то
получится второе формальное решение:
.]¦
F)
В последней формуле вместо с0 записано с'о, так как построение F),
очевидно, может быть проведено независимо от построения E), и постоян-
постоянные с0 и с'о являются, таким образом, независимыми.
Постоянным с0 и с'о могут быть приписаны любые значения, независимо
от z\ однако ввиду желательности получения решений, обращающихся в Jn (z)
при v—> п, мы их определим с помощью формул1)
1 ' 1
Ряды E) и F) могут быть теперь записаны в виде
?
В рассматриваемом случае, т.е. когда 2v — нецелое, эти степенные ряды схо-
сходятся для всех значений z (исключая z = 0), и, таким образом, допустимо их
почленное дифференцирование. Тем самым операции, произведенные при
выводе2) последних формул оправданы, и мы, действительно, получили два
решения уравнения A).
Первый из двух рядов определяет функцию, называемую бесселевой
функцией первого рода3) с индексом v от аргумента z; она обозначается
символом J^{z). Поскольку на v не наложено никаких ограничений (за исклю-
исключением того временного условия, что 2v — не целое), вторым рядом опреде-
определяется, очевидно, функция 7_v (z).
В соответствии со сказанным выше, функция 7V (z) определяется равен-
равенством
». Г
171 = О
Из § 2.11 очевидно, что это определение сохраняет силу, когда
v—целое положительное число (включая нуль), и бесселева функция с целым
индексом оказывается тождественной с бесселевой функцией, рассмотренной
в главе II.
1) О свойствах гамма-функции см. Уиттекер и Ватсон, Курс современного
анализа, ч. 2, гл. XII.
2) Который до настоящего момента был чисто формальным.
3) Функций второго и третьего рода определяются в §§ 3.5, 3.54, 3.57, 3.6.

52 ГЛАВА III
Интересное символическое решение уравнения Бесселя было дано Коттером*);
оно имеет вид
где ?>==—, а Л и В — постоянные. Его можно получить, выписывая последова-
последовательно
[D (zD — 2v) + z] zvy=0,
[zD —
zD (z~"y) 4-
что и приводит к результату Коттера.
3.11. Функции, индекс которых равен половине нечетного числа
В § 3.1 было временно отложено рассмотрение двух выводов обобщен-
обобщенного уравнения Бесселя, а именно, (i) когда v равно половине нечетного числа,
и (И) когда v — целое2). Сейчас мы покажем, что случай (i) можно включить
в общую теорию для произвольного значения v.
Пусть в случае V, равного половине нечетного числа,
где г — целое положительное или нуль.
Положив при выводе в § 3.1 а = r-\~-^ y получим:
=0,
и, таким образом,
с
-2m 2 -4 ... Bл!)-Bг 4- 3) Br 4- 5)... Br 4- 2m 4-1)'
что дает значение c2m из § 3.1, если а и v заменить через
Если взять
1
то получим решение в виде
его обычно обозначают символом J г (z); таким образом, определение
§3.1 (8) все еще остается в силе.
Однако, если положить а = — г ^-, уравнения для ст принимают вид
с1Л(—2г) =0,
1) Cotter, Proc. R. Irish Acad., XXVII (A), A909), стр. 157—161.
2) Оба случая, рассматриваемые вместе, образуют случай, когда Ъ — целое.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ 53
Как и прежде, cl9 cBi., , с2г_1 все равны нулю, но уравнение для ?2v+1
будет иметь вид
это уравнение удовлетворяется любым значением ?2r+i» когДа m^> r> c2m+\
определяется равенством
...Bт+\)-2>4...Bт~2г) '
Если определить J,,(z) с помощью § 3.1 (8), полагая v = — г — - > полу-
ченное решение будет иметь вид 1)
\ '2 ^ ' ' 2
Итак, для случая v^^fc (г~ ) не требуется никакого изменения опре-
определения функции J^(z); единственной, по сути дела, особенностью решения в.
данном случае будет то, что отрицательный корень рассматриваемого уравнения
позволяет получить ряд с двумя произвольными постоянными с0 и с2г+ь
т. е. общее решение дифференциального уравнения.
3.12. Фундаментальная система решений уравнения Бесселя
Если ух и у2 — два решения линейного дифференциального уравнения
второго порядка, а )/' и у" — их производные по независимому переменному,,
то, как известно, эти решения будут линейно независимы, если вронскиан2),
Уг У 2
У1 У*
не равен тождественно нулю; если же вронскиан обращается тождественно
в нуль, то либо одно из двух решений тождественно равно нулю, либо част-
частное этих двух решений есть постоянная.
Если вронскиан не обращается тождественно в нуль, любое решение
дифференциального уравнения может быть выражено в виде c1y1-\-c2y2i где
сг и с2 — постоянные, зависящие от начальных условий; в этом случае говорят,,
что Vj и у2 образуют фундаментальную систему.
Для краткости будем обозначать вронскиан от у1 и у2 в виде
первая запись будет применяться в случае необходимости выделить незави-
независимое переменное.
Попробуем теперь найти
3B{/V(*). /
Умножив уравнения
1) В связи с рядами, представляющими это решение, см. Р 1 a n a, Mem. della R*
Accad. delle ScL di Torino, XXVI A821), стр. 519—538.
2) О свойствах вронскиана см. Encyclopedie des Sci. Math. II, 16 (§ 23), стр. 109.
Доказательства теорем, упоминаемых в тексте, дал Форсайт (F о г s у t h), Treatise
on Differentia] Equations A914), §§ 72—74. [В. В. Степанов, Курс дифференциаль-
дифференциальных уравнений, гл. V, § 2 A945), стр. 174—185.—Прим. ред.]

54 ГЛАВА III
соответственно на Jv(z), J__v(z) и вычтя результаты, получим уравнение, кото-
которое может быть записано в виде
откуда, после интегрирования, имеем:
A) 2Й{/,(*). .J-,(*)} = §-,
где С — некоторая постоянная.
Для определения С заметим, что если v — не целое и \z\ мал, то
подобные выражения получим и для J__^(z) и J'__4(z); отсюда
JAz)J' ,{z) — J_,{z)j',(z)=: — {V( , *. -— 1 —Л Д-0 (z) =
vW ~vW — v\ / \ / ^r ^ I (v —[— 1I (— v) Г (v) 1 (— v -j- 1) ) ' v '
Из сравнения полученного результата с A) ясно, что выражение в правой
части, имеющее порядок О (г), должно быть равным нулю, и, таким образом, !)
B) ЯЧ-М*).'-,(*>} =
Поскольку sin vtt — не нуль (так как v — не целое), функции /v (z), 7_v (<г) обра-
образуют фундаментальную систему решений уравнения § 3.1 A).
Если v — целое (мы его обозначим через п)у то, как мы видели из
определения § 2.1 B),
J_n(z) = (—\rJn(z);
положив в § 3.1 (8) v равным—п, получим:
В силу того, что первые п членов этого ряда равны нулю, он обращается
в (—\)nJn(z), и, таким образом, два определения J_n(z) оказываются экви-
эквивалентными и функции Jn (z), J_n (z) не образуют фундаментальной системы
решений уравнения Бесселя для функций порядка п. Фундаментальная система
для этого случая будет рассмотрена в § 3.63.
Резюмируя, отметим, что функция /v (z) при помощи разложения § 3.1(8)
определена для всех значений v; функция J^(z), определенная таким об-
образом, всегда будет, решением уравнения Vvj; = O. Если v — не целое, то
функции J^(z) и J_v(z) образуют фундаментальную систему решений $того
уравнения.
Одно из обобщений бесселевых функций получил Джексон в своих исследованиях
рп \
базисных чисел („basic numbers"). Базисное число [п] определяется как т , где
!) Этот результат установил Ломмель (L о га га е 1), Math. Ann., VI A871), стр. 104.
Он получил значение С, полагая z—у оо и используя асимптотические формулы, кото-
которые будут рассмотрены в главе VII.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ 55
р—базис] базисная гамма-функция Г^(у) определяется так, чтобы удовлетворялась
рекуррентная формула Г^ (v -|- 1) ±= [v] -Г^ (v).
Базисная функция Бесселя определяется как результат замены обычных чисел,
встречающихся в ряде для бесселевой функции, базисными числами. Было показано,
что многие теоремы о бесселевых функциях имеют свои аналоги в теории базисных
бесселевых функций; однако рассмотрение их выходит за рамки настоящей работы.
Важнейшие результаты Джексона (Jackson F. Н.) можно найти в ряде работ (Ргос.
Edinburgh Math. Soc, XXI A903), стр. 65—72; XXII A904), стр. 80—85; Ргос Roy. Soc.
Edinburgh, XXV A904), стр. 273—276; Trans. Roy. Soc. Edinburgh. XLI A905), стр. 1—28,
105—118, 399—408; Ргос. London Math. Soc. B) I A904), стр. 361—366; B), II A905),
стр. 192—220; B) III A905), стр. 1—23).
Далее в § 4.4 мы встретимся с более очевидным обобщением бесселевых функ-
функций, получаемым путем увеличения множителей в знаменателях членов ряда. См.,
например, Кайе (Cailler), Mem. de la Soc. de Phys. de Geneve, XXXIV A905), стр. 354;
другое обобщение, а именно, построение бесселевой функции двух переменных, было
дано Уиттекером (Whittaker), Math. Ann., LVII A903), стр. 351, и Пере (Peres),
Comptes Rendus, GLXI A915), стр. 168—170.
3.13. Общие свойства функции Jy(z)
Ряд, определяющий Jv (z), сходится абсолютно и равномерног) в любой
замкнутой области изменения z (в случае R (v)<^ 0 начало координат не
включается в область) и в любой ограниченной области значений v.
Действительно, когда | v | ^ N и | z | ^ Д, отношение последующего члена
к предыдущему равно
т (v -f- m)
т (т — N)
если только т взято больше положительного корня уравнения
m2—mN — ~Д2 = 0.
Такой выбор т не зависит от v и z, и теперь остается только применить
признак Вейерштрасса.
Таким образом2), J^(z) есть аналитическая функция от z для всех
значений z (возможно, за исключением z = Q) и аналитическая функция
от v для всех значений v.
Важным следствием этой теоремы является допустимость почленного
дифференцирования и интегрирования (по z или по v) ряда для /, (z).
Отметим неравенство Нильсена 3)
A)
где
\
/
-i
и i v0 ~|- 1 | — наименьшее из чисел | v -f- 1 |, | v -f- 2 |, | v -f- 3 |,... .
Этот результат можно доказать точно таким же путем, как § 2.11 E); в дальней-
дальнейшем его следует сравнить с неравенствами, которые будут даны в § 3.3.
!) В г о m w i с. h, Theory of Jnfinite Series, § 82. [Курс современного анализа, ч. 1,
§ 3.34. — Прим. ргд.]
2) Курс современного анализа, ч. I, § 5.3.
3) Math. Ann., L1I A899), стр. 230; Nyt Tidsskrift, IX, В A898), стр. 73; см. также
Math. Ann. LV A902), стр. 494.

56 ГЛАВА III
Наконец, необходимо уточнить смысл функции ?v, являющейся множите-
множителем при J^(z). Мы определяем ее в виде exp(vlti2), где фазе*) комплекс-
комплексного числа г приписывается главное значение, так что
— тс <^ arg z ^ тт.
Если требуется „продолжить" функцию /v (z) за пределы этих значений
аргумента z, необходимо точное указание, каким именно образом это продол-
продолжение должно быть произведено.
3.2. Рекуррентные формулы для J^(z)
Обобщение Ломмеляг) рекуррентных формул для бесселевых функций
с целым индексом имеет вид:
A) J.-i(z) + Jv+t{z)=*JAz)>
B) J.-!(z)-A+1{z) = 2j;(z),
C) zj\ (г) + v/, (z) = гЛ-i (*),
D) zj'Az) — vJ4(z) = — zJ,+1 (z).
Это — в точности такого же вида формулы, как и в § 2.12, с той лишь
разницей, что вместо целого индекса п поставлен индекс v, область измене-
изменения которого неограниченна.
Для доказательства их заметим, что
(- IVя z2^2m _
2mr(v-f m)
Выполнив дифференцирование произведения в левой части, мы сразу
получим C). Подобным же образом
J lz)\ = — У
LirJ
00
т
оо
^- 2v+a«-i-(iif — 1) ! Г (v + т + 1)
= 1
т = О
*) Здесь и в дальнейшем фазой комплексного числа z = x-\-iy называется (много-
у
значная) величина argz = arc tg —; главное значение фазы — то, которое заключено
в границах — тс < arg z ^ -\- я. (Прим. ред.)
1) L о га га е 1, Studien uber die Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1868), стр. 2, 6, 7.
Формулы (З) для случая, когда v равно половине нечетного числа, дал Плана (Plan a),
Mem. delta R. Accad. delle Set. di Torino, XXVI A821), стр. 533.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ 57
откуда, очевидно, следует D); что касается B) и A), то они могут быть
получены путем сложения и вычитания C) и D).
Далее, выполняя повторные дифференцирования, можно получить обоб-
обобщенные формулы:
E)
F) {¦—) т {z-*J, (*)} = (- 1Г z—'-J,, +m (г),
где т — любое целое положительное число.
Все эти результаты Ломмель получил из своего обобщения интеграла
Пуассона, которое было описано в §3.1.
Формула A) широко используется1) при составлении таблиц бесселевых
функций.
Выражая Jv_t(z) и Jr1—V (z) через Jrd=v (z) и /±*B), можно с помощью C)
и D) вывести из формулы § 2.12 B) формулу Ломмеля2)
G) Л (z) Л-v (г) + J_,(z) /_, (г) =
Введем обозначение Q^(z)~ j\(z)\ интересным следствием A) и B) является сле-
следующая формула:
она была найдена Ломмелем, получившим из нее целый ряд следствий (L о m га е 1),
Studien ttber die Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1868), стр. 48 и ел. См. также
Нейман (Neumann), Math. Ann., Ill A871), стр. 600.
3.21. Бесселевы функции с комплексным индексом
Действительная и мнимая части функции J^+i (х), где v, jx и х действи-
действительны, были рассмотрены Ломмелем3), и его результаты впоследствии рас-
расширены Бохером4).
Ломмель, определив вещественные функции Къ 1Х (х) и 5V> (x) с помощью
уравнений Б)
п
получил, в частности, формулы
B)
C)
г) См., напр., Lommel, Munchener Abh.,XV A884—1886), стр. 644—647.
2) Lommel, Math. Ann., IV A871), стр. 105. Некоторые относящиеся сюда фор-
мулы даны в § 3.63.
3) Lommel, Math. Ann., Ill A871), стр. 481—486.
*) В о cher, Annals of Math., VI A892), стр. 137—160.
5) Смысл введения в правую часть множителя станет ясным из сравнения с фор-
формулами, которые будут установлены в § 3.3.

58 ГЛАВА III
а также многочисленные формулы подобного же типа. Эти результаты, пови-
димому, не представляют большого интереса, и мы ограничимся ссылкой на
мемуары, в которых они были напечатаны.
В частном случае, когда v = 0, уравнение Бесселя принимает вид
решение этого уравнения в виде ряда было уже давно дано Булем *).
3.3. Представление функции J^(z) с помощью интеграла Пуассона,
данное Ломмелем
Мы сейчас покажем, что при R (v) ^> — -^
\2Z) Г
A) J (z) = —?—V^/ /1X cos{zcosft)sin2^db.
Если 2v — целое положительное число (включая нуль), то, как доказал
Пуассон 2), выражение справа является решением уравнения Бесселя; это вы-
выражение и было взято Ломмелем 3) в качестве определения функции Js(z) для
положительных значений v -f- тт •
Сначала Ломмель доказывает, что функция, определенная таким образом, является
решением обобщенного уравнения Бесселя и удовлетворяет рекуррентным формулам
из § 3.2; далее он определяет J^(z) для значений v в интервалах ( —тт » —"о")»
— тг > о"» ( —-о-» —о")' **• с ПОМ°ЩЬЮ последовательного применения фор-
мул § 3.2A).
Чтобы вывести A), исходя из определения J^(z), принятого в нашем
изложении, преобразуем общий член ряда для J^(z) следующим образом:
(~Dm(^
при условии, что R (v) ^> — 7j •
1) Boole, Phil. Trans, of the Roy. Soc. A844), стр. 239.
2) P о i s s о n, Journal de VEcole R. Polytechniqae, XII (тетрадь 19), A823), стр. 300
и ел. Строго говоря, Пуассон показал, что когда 2v нечетно, выражение справа,
умноженное на Уг~, является решением уравнения, полученного из уравнения Бесселя
путем соответствующей замены зависимого переменного.
3) Lommel, Studien uber die Bessel'schen Ftmktionen (Leipzig, 1868), стр.1 и ел.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ 59
Если R (v) ^ тт, то ряд
у—
-t 2(l-t) 2
сходится равномерно по t во всем интервале @,1), и поэтому его можно
интегрировать почленно; добавляя к полученному результату член, соответ-
соответствующий т = 0у 2l именно, у 2 A —t) 2 dt (который существует), находим;
о
1 \v i 1
-
И у <-1Г«~н-*)
где R (v) ^ -^ ; отсюда, после подстановки /f = sin2O и использования того
факта, что подинтегральное выражение остается неизменным при замене 9 на
тг — 6, следует нужный результат.
В случае «¦ < Я М< тг Для получения последнего равенства необходимо
несколько более длинное рассуждение. Повидимому, проще всего проинтегрировать
ряд по частям, вычеркнув предварительно два первых члена. Тогда мы получим:
г — 2
после вторичного интегрирования по частям. Перемена порядка суммирования и инте-
интегрирования во второй строке допустима в силу равномерной сходимости ряда. До-
Добавляя интегралы, соответствующие членам т = 0, т=\ (эти интегралы сходятся),
получаем нужный результат.
Таким образом, при /?(v)^> — имеем:
1
t ~2A— I

60 ГЛАВА III
В дополнение к A) с помощью дальнейших преобразований получаем:
2(-z\ 1 1
B) ./,(*)= / П /П fA~ttf~* cos(zt)dt,
C) Ыг)= n /A [A—^~^cos(^)^.
2 -1
D) iv (г) = , v:/ /1N A -12) 2 e'*'dt
2У-1
E) Jv @) = in / ч f cos (^cos 9) sifl2v 9 rfe»
rf v 4-1 ] гf 11 J
\ ' 2y \2/ °
F) Jv @) = _ ^ N / N f ^'Й C0S 9 Sill2V 9 ^9-
Иногда бывает полезна формула, которая получается из E) с помощью
интегрирования по частям, а именно,
-f
<ZV — I)- 1-2 1 р
rfv+iirfi) nJ
G) Л
UX2J' \2y
она справедлива лишь при R (v) ^> ^.
Разложение, содержащее полиномы Бернулли, получил из D) Нильсен х); при этом
он воспользовался разложением
00
/>а$ /1 л-ач V1,
здесь «р^(Е) обозначает л-й полином Бернулли и a=izt.
[Замечание. Интегралы типа C) до Пуассона изучал Плана (Plan а), Мет.
della R. Accad. delle ScL di Torino, XXVI A821), стр. 519—538 и затем Куммер
(Kumraer), Journal fur Math., XII A834), стр. 144—147; Лобатто (Lobatto), Journal
fttr Math., XVII A837), стр. 363—371; и Дюамель (D u h a m e 1), Cours d'Analyse, II
(Paris, 1840).
Функция, определяемая уравнением
и, по существу, эквивалентная J^(z), была рассмотрена Ломмелем (Lommel), Archiv
der Math, und Phys., XXXVII A861), стр. 349—360. Обратную задачу нахождения
^Nielsen, Math. Ann., LIX A904), стр. 108. Обозначение в тексте совпадает
с приведенным в Курсе современного анализа, ч. 1, § 7.2. Нильсен пользовался дру-
другим обозначением.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ 61
дифференциального уравнения, которое удовлетворяется выражением
также рассматривал Ломмель (Lommel), Archiv der Math, and Phys., XL A863)»
стр. 101—126. См. также Эйлер (Е u 1 е г), Inst. Calc. Int., II (Петербург, 1769), § 1036,
и Петцваль (Petzval), Integration der linearen Differentialgleichunpen (Vienna,
1851), стр. 48.] * * V
3.31. Неравенства, получаемые из интеграла Пуассона
0)
Если v вещественно и больше —тт , то, по § 3.3F),
2я) \ Г
ГЫ№1
Подобным же образом, используя формулы § 3.2A) и D), находим:
1 \2
B)
Ь-Г
il"l
Пользуясь1) вместо / г (z) выражением {2/ (ттг)}2 cos z, можно доказать
справедливость A) при v = —-у.
Эти неравенства следует сопоставить с менее строгими неравенствами,
полученными в § 3.13. Когда v комплексно, можно таким же способом полу-
получить неравенства более сложного вида, которые, однако, не представляют
значительного интереса.
3.32. Обобщение интеграла Пуассона, данное Гегенбауэром
Гегенбауэр 2) вывел интересную формулу:
(—/)»ГBу).л! (L
A)
!) Читателю нетрудно будет проверить этот результат. Формальное доказательство
более общей теоремы будет дано в § 3.4.
2) Gegenbauer, Wiener Sitzungsberichte, LXVII B), A873), стр. 203; LXX B),
A875), стр. 15. См. также Бауэр (Bauer), Mttnchener Sitzungsberichte, V A875),
стр.262, и Смит (О. A. S m i t h), Giornale di Math. B), XII A905), стр. 365—373.
Функция С\ (t) была подробно изучена Гегенбауэром в ряде мемуаров в Wiener
Sitzungsberichte', некоторые из наиболее важных его результатов приведены в Курсе
современного анализа, ч. 2, § 15.8.

62 ГЛАВА III
в которой Cn(t) является коэффициентом при ап в разложении A—\
по возрастающим степеням а; формула справедлива, когда R (v) ^> — —, а
п — целое положительное или нуль. При п==0 имеем, очевидно, интеграл
Пуассона.
В случае v = 77 интеграл принимает вид
I
I к
n+^z) = (— w [ij $ei*cos e p* (cos 6) sin
это уравнение подробно исследовал Уиттекер х).
Для доказательства формулы Гегенбауэра возьмем интеграл Пуассона,
записанный в виде
у. (-) = VT / Pc™A f)'+—?
и проинтегрируем его я раз по частям; в результате получим:
Далее, известно 2), что
*!Г(у + я + ±)ГBу)
л)
отсюда пол>чаем:
C)
(-0».ГBу)-л!й*У A
е"*(\—Р) 2
откуда и вытекает результат Гегенбауэра.
Формула Гегенбауэра в символической записи имеет вид
4*V ГBу).л!
для случая v = 7j она была дана Рэлеем 3).
Читатель может вывести C) методом индукции с помощью рекуррентной формулы
1) Wtuttaker, Proc. London Math. Soc, XXXV A903), стр. 198—206. См.
6.17, 10.5.
2) См. Курс современного анализа, ч. 2, § 15.8.
3) Rayleigh, Proc. London Math. Soc, IV A873), стр. 100, 263.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ 63
Файлон (Filon), Phil. Mag. F), VI A903), стр. 198, дал формулу, в известной
степени обратную к D), а именно *),
(S\ Г'
где Р~ ^ — обобщенная функция Лежандра; доказательство этой формулы мы предо-
предоставляем читателю.
3.33. Двойной интеграл Гегенбауэра типа Пуассона
Гегенбауэр показал2), что при /?(v)^>0
/ 1 ~У ™
A) / (&):= г П exp[/ZcosO — iz(cos cpcos6-\-sincpsin6cos ф)]Х
о о
где оJ = Z2 -j- z2 — 2Zz cos ср и Z, г:, <р — переменные (комплексные). Этот
результат сначала был получен Гегенбауэром с помощью сложных интеграль-
интегральных преобразований некоторых формул сложения, которые будут рассмотрены
в главе XI. Последнюю формулу можно, однако, получить совершенно естест-
естественным путем с помощью преобразований такого же вида, какие применяются
в геометрии на сфере 3).
Заметив, что при ^=0 мы приходим к формуле, являющейся очевидным
следствием интеграла Пуассона, а именно,
yv (Z) = -^2 { [ eiZ cos 8 sin2'' 6 Urn2* ф dty,
^ о о
мы рассматриваем ф и б как долготу и широту точки на единичной сфере;
обозначим, далее, направляющие косинусы вектора, идущего из центра к этой
точке, через (/, т, п), а элемент поверхности в этой точке — через dw.
Затем, произведя циклическую перестановку координатных осей, мы пре-
преобразуем интеграл Пуассона следующим образом 4):
^г-т-\ ^facossin2vesin2^^e^= -Ц77
«Г (у) JJ * ^ «Г (у)
v-i d(o = -^уыГ J J ***Sin б C°S Ф cos2v 9 sin 9 '
0 0
Предполагается, что
^^ г (v — ^-h-i)
2) Gegenbauer, IF/^/z^ Sitzungsberichte, LXXIVB), A877), стр. 128—129.
3) Таким методом можно получить многие теоремы, которые были доказаны
Гегенбауэром аналитическим путем; но кажется мало вероятным, что он находил их
этим же путем; см. § 12.12, 12.14. Этот метод был использован Бельтрами (Beltrami),
Lombardo Rendiconti B), XIII A880), стр. 328, совсем для другой цели.
*) Символ \ \ обозначает, что интегрирование распространяется на поверхность
/я^О
полусферы, на которой т положительно.

64
Теперь подынтегральное выражение является целой периодической функцией
от ф, поэтому пределы интегрирования по ф могут быть взяты равными а и
а-|-2тг, где а—-произвольное (комплексное) число. Это следует из теоремы
Коши.
Таким образом мы получаем:
laV ?«.+*¦
2 / ^ ^ ei& sin 9 cos ¦ cos2"-1 б sin
^
2
^ о о
С С ^f& sin 8 COS (<H-a)cos2v-l Q sjfl g
Определим, далее, число а с помощью пары уравнений
ш cos a = Z — z cos ^, ш sin a = ? sin ^,
так что
v ±тс
2 2k
\ 2 У Г Г
yv (&) = -^r v 3 3 exp \i (Z — z cos cp) sin б cos ф —
' о о
— iz sin cp sin ф sin 6] cos2* б sin б dty db.
Полученная формула отличается от формулы
yv(E) = -^г v 3 J exp fi<o sin 8 cos ф] cos^-1 в sin в ^ф л?в
о о
только видом показательной функции; и мы теперь повторим все этапы до-
доказательства, пользуясь измененной формой показательной функции. Таким
путем мы последовательно получим показатели в виде
i (Z — z cos cp) / — iz sin cp • mt
i (Z — zcosy)n — tesincp-/,
i(Z — z cos cp) cos б — iz sin cp cos ф sin 6.
Последнее выражение можно переписать так:
iZ cos б — iz (cos cp cos б -f- sin cp sin б cos ф),
так что окончательно получаем:
тс тс
\ \ exp [iZ cos б — iz (cos cp cos б -|~ sin cp sin б cos ф)] sin27 ф sin2v б db db,
' ' 0 0
что и дает формулу Гегенбауэра.
[Замечание. Способ использования преобразования полярных координат, при-
примененный в настоящем разделе для оценки определенных интегралов, принадлежит,
вероятно, Лежандру (Legendre), Mem. de I'Acad. des Scl., 1789, стр. 372, и Пуассону
(Poisson), Мёт. de VAcad. des Set., Ill A818), стр. 126.]

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ 65
3.4. Выражение функции J / i\(z) в конечном виде
Из интеграла Пуассона мы выведем ниже важную теорему: если v — по-
половина нечетного числа, то функция 7V (z) может быть выражена конечным
образом через алгебраические и тригонометрические функции от z.
В дальнейшем (§ 4.74) будет показано, что если v имеет другие значе-
значения, то /v (z) не может быть представлена таким образом; эта обратная теорема
значительно сложнее теоремы, которую мы собираемся сейчас доказывать.
[Замечание. Решения в конечном виде дифференциальных уравнений, связан-
связанных с функцией J г (z), были получены ранее другими авторами; Эйлер (Е и 1 е г),
Misc. Taurinensia, III A762—1765), стр. 76, заметил, что решение уравнения относи-
относительно eizJ i (z) может быть выражено в конечном виде; другое уравнение, кото-
I
рому удовлетворяет функция z2j г (z), решили в конечном виде: Лаплас (L а р 1 асе),
п+-
Сопп. de Terns, 1823 [1820], стр. 245—257 и Mecanique Celeste, V (Paris, 1825),
стр. 82—84; Плана (Р 1 a n a), Mem. della R. Accad. delle Sci. di Torino, XXVI A821),
стр. 533—534; Паоли (Р а о 1 i), Mem. di Mat. e di Fis. (Modena), XX A828), стр. 183— 188;
и, наконец, Стоке в 1850 г. (Stokes), Trans Camb. Phil. Soc, IX A856), стр. 187
[Math, and Phys. Papers, II A883), стр. 356]. Рассмотрение, которое будет приведено
ниже, основано на работе Ломмеля (Lommel), Siudien iiber die Bessel'schen Funktionen
(Leipzig, 1868), стр. 51—56.]
Для доказательства удобно считать п положительным целым числом
(включая нуль); тогда, по § 3.3 D),
J
(г)
± /г!
(W"
e
2л .r+1
dtr
после Bп -~\~ 1)-крзтного интегрирования по частям; в силу того, что A—t2)n
является полиномом степени 2я, интегрирование на этой степени заканчи-
заканчивается.
Чтобы упростить последнее выражение, заметим, что если по формуле
п -к dr(l — t2f
Лейбница вычислить —-—у-1— , воспользовавшись для этого равенством
A—t2)n = (l—t)n(\ -\-t)n, то единственный член, не обращающийся в нуль
при t=ly получается при дифференцировании множителя п раз, и следова-
следовательно, при дифференцировании другого множителя г—п раз; таким образом,
нам необходимо рассмотреть лишь члены, для которых г ^ п.
Отсюда
и аналогично
—— l ~~~^ ll _V->_./*. ——————
L r л B/г ~r)!

66
Следовательно,
\
ir+122"-r.r\
2я
и, таким образом,
п п
(___ г-п-1 {п
-**
Последнее можно записать в виде
В частности, мы имеем:
I I
C) Jl(z)={^) sin г, Уз(^)=(=)(- cos*);
первая из эти; формул легко вытекает из рассмотрения степенного ряда
для J\_(z).
2
Воспользовавшись снова рекуррентной формулой, мы получим:
откуда с помощью A) выводим:
а п
~or\(n-r)\{2z)r r^0 r\(n-r)\Bzf
Но, по индукции, очевидно, что функция
/ d \n P~i
V-г dz) z
l) Краткий способ получения этой формулы был предложен Валле-Пуссеном
(Vail ее Poussin), Ann. de la Soc. Set de Bruxelles, XXIX A905), стр. 140—143.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ 67
может быть представлена в виде полинома от \jz, умноженного на e^lzy и,
таким образом, мы должны иметь:
А (ч- i)r~n (n + r)\ ( и \п e~iz
p+iz v ——- — — / i \п zn + i 1 •
Z-i r!. (Л __ Г) \ Bz)r —" v } \zdzj z >
если бы это было не так, то из предшествующего тождества следовало бы, что
где срх (/г), ср2 (г) — полиномы от 1/г; однако, такое тождество, очевидно, не-
невозможно !).
Отсюда имеем: 2)
eiz
" /-".(„ + '
Следовательно,
D)
J ig\
~~П— 2
и, таким образом,
E)
F)
1 ( <у\
В частности,
J 1\Z) —
( 2 V Г /
/ 1
мы имеем:
1
/2\2
1 1 Г*Г\С ^
1 ( —
о rl
от J
(Л-Л)
п»
1 \П
I)
'п. (/г 4-
I —Г)!
1
^5 ^" \^ ~~
г = 0
3 {2}
' 2
1+Г)\
! {2z)r
\zdzj
1
— /г—
г)! , iz л
Bzf ° <
2 ( \)г (
La Bг) ! (л —
Bт+1)!(л
1
\kz] ч
?/г_|- ^~/г
i V7/ ~|
^; 1 '
2
<т^ (— i)r
_0 '"Ил —
л + 2г)!
2rj! B-гJГ
. (/г -|- 2г -\- 1
— 2г—1)!(
cos г
— sin
A-)!B2r)r J
1) J I
о _\2/"+l 1
•)¦
!) Ср. Н о b s о n, Squaring the Circle, (Cambridge, 1913), стр. 51. [В. В. С т е п а н о в,
Курс дифференциальных уравнений, гл. VI, § 1 A945), стр. 214 — Прим. ргд.\
-) Из ряда
,„. 2-у.
очевидно, что

Таким образом любая функция Бесселя с индексом, равным половине не-
нечетного числа, представлена нами в конечном виде с помощью алгебраических
и тригонометрических функций.
Можно написать явные выражения многих функций этого типа, пользуясь число-
числовыми результатами, содержащимися в письме Эрмита к Гордану (Hermite, Gor-
dan), Journal fur Math., LXVI A873), стр. 303—311.
3.41. Обозначения для функций, порядок которых равен половине
нечетного числа
Функции вида J \^(z) встречаются в различных областях математи-
ческой физики настолько часто, что многие авторы сочли нужным ввести для
них специальный символ. К сожалению, не удалось притти к единой системе
обозначений, и ни об одной из многих существующих систем нельзя сказать,
что она является преобладающей. Поэтому мы не будем пользоваться в этой
работе специальными символами для таких функций, а ограничимся лишь их
сводкой.
В своих работах о колеблющихся сферах, окруженных газом, Стоке (Stokes).
Phil. Trans, of the Royal Soc, CLVIII A868), стр. 451 [Math, and Phys. Papers, IV
A904), стр. 306] пользовался рядом
/if я 4-1) (л — \)п(п + \)(п + 2) ,
* 2Лтг * 2A.(imrJ +•••»
обращающимся в нуль при действии на него оператора
dr2 dr r2 '
Этот ряд Стоке обозначил символом fn (r) и писал
г Ф„ = Sne~tmrfn (г) + S'n eimrfn (- г),
где Sn и S'n — зональные сферические функции, так что фл переводилось в нуль
оператором
dr2 ' r dr
и оператором в частных производных
д2 , 2 д , 1
Обозначениями Стокса пользовался и Рэлей (Rayleigh), Proc. London Math.
Soc, IV A873), стр. 93—103,253—283 и также Proc. Royal Soc, LXXH A903), стр.40—41
[Scientific Papers, V A912), стр. 112—114], если не считать малозначительного изме-
изменения, заключающегося в том, что Рэлей писал fn{imr) там, где Стоке писал fn{r).
Чтобы получить решение, ограниченное в начале координат, Рэлей в своих вы-
выводах полагал 5^ = ( — \)n+1Sn и, таким образом, получал:
2
Из § 3.4 следует, что
lrfa(lr) f d\ne-ir
«+i v rdr) r •
v! lfn c>)+«"•/-»-v» (- "

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ 69
Чтобы получить простые обозначения для комбинаций функций вида e=i=irfn (zt ir),
которые входят в состав решения, конечного в начале координат, Ламб в своих ран-
ранних работах считал целесообразным писать
сЬ (z\ = 1 — I -
l/lV ; 2Bл Н- 3)^" 2• 4-B/г + 3) B/2 -f- 5)
(Lamb), Proc. London Math. Soc, XIII A882), стр. 51—66; 189—212; XV A884),
стр. 139—149; XVI A885), стр. 27—43; Phil. Trans, of the Royal Soc. CLXXIV A883),
стр. 519—549; это же обозначение применял Рэлей (Rayleigh), Proc. Royal Soc,
LXXVI1, A A906), стр. 486—499 {Scientific Papers, V A912), стр. 300—312], а также
Лав1) (Love,) Proc. London Math. Soc, XXX A899), стр. 308—321.
При таком обозначении, очевидно, имеем:
л+4
Впоследствии Ламб нашел, однако, нужным видоизменить это обозначение и в своем
труде по гидродинамике, а также в Proc London Math. Soc, XXXII A901), стр. 11—20,
120—150 пользовался обозначением 2)
. () I fl *' I
2Bл + 3)~г
™* ' 1-3-5. ..Bя + 1)[ 2Bл + 3)г2.4Bл+3)Bл+5)
он писал также:
i
л ^ z dz j y
откуда
в то же время Рэлей (Rayleigh), Phil. Trans, of the Royal Soc, CCIII, A A904),
стр. 87—110 [Scientific Papers, V A912), стр. 149—161] считал удобным заменять
символ fn{z) на in(z). Лав (Love), Phil. Trans, of the Royal Soc. CCXVAA915),
стр. 112, опускал множитель (—\)n и писал:
V e
i \ ( d Y
Зоммерфельд (So m m e rf el d), Ann. der Physik und Chemie D), XXVIII A909),
стр. 655—736 и два его ученика, Марх (Marc h), Ann. der Physik und Chemie D)
XXXVII A912), стр. 29 и Рыбчинский (R у b cz у n s ki), Ann. der Physik und Chemie
D), XLI A913), стр. 191, пользовались еще другим обозначением, а именно,
J) В этой статье Лав определяет функцию Е„ (z) как (—IV*-1-3...Bл — 1)(
\zdzj z
однако в своей более поздней работе он изменил это определение.
2) Это обозначение ближе к обозначению Гейне (Heine), Handbuch der Kugel-
funktionen, I (Berlin, 1878, стр. 82); в этой книге Гейне обозначил через tyn(z) удвоен-
удвоенную правую часть этого равенства, но в его мемуаре (Н е i n e), Journal fur Math.,
LXIX A869), стр. 128—141—уже другие обозначения.

70 ГЛАВА III
которое, безусловно, является наиболее удобным при исследовании электрических
волн, которым они занимались.
Обозначение Зоммерфельда представляет собой слегка видоизмененную форму
обозначения Лоренца, который писал vn uvn-\-(—\)awn вместо фл и Сл;см. его мемуар
об отражении и преломлении света, L о г е п z, К- Danske Videnskabernes Selskabs
Skrifter, F) VI A890), [Oeuvres scientifiques, I A898), стр. 405—502].
3.5. Второе решение уравнения Бесселя с целым индексом
Ранее мы видели (§ 3.12), что если только v — не целое, то пара функ-
функций 7V (z) и 7_v (z) обозначают фундаментальную систему решений уравнения
Бесселя для функций с индексом V. Если же v — целое ( = п), это уже не
имеет места, в силу зависимости J_n(z) = (—l)nJn(z).
Поэтому необходимо получить решение уравнения Бесселя линейно не-
независимое от Jn (z). Эти два решения образуют тогда фундаментальную си-
систему решений.
Решение, к построению которого мы сейчас приступим, было найдено
Ханкелем х); детальное исследование этого построения впервые опубликовал
Бохер 2).
Другой метод построения решения Ханкеля нашел Форсайт; его способ основан
на общем методе Фробениуса (Frobenius), Journal fur Math., LXXVI A874),
стр. 214—235, поскольку он может быть применен к любому дифференциальному
уравнению. Решение Форсайта содержалось в его лекциях по дифференциальным
уравнениям, читанным в Кембридже в 1894 г., и позже было напечатано в его книге:
Forsyth, Theory of Differential Equations, IV (Cambridge, 1902), стр. 101—102 и в его
трактате: Forsyth, Treatise on Differential Equations (London, 1903 и 1914), гл. VI,
замечание 1.
Очевидно, при любом v и при любом целом п (положительном, отрица-
отрицательном или нуле) функция
./,(*) —( — 1 )»/_,(*)
является решением уравнения Бесселя для функций с индексом v; и это ре-
решение исчезает при v = n.
Следовательно, поскольку у^п, функция
также является решением уравнения Бесселя для функций с индексом v; эта
функция принимает неопределенный вид при3) у = п.
Теперь мы рассмотрим выражение
lim Л(*) — (-
и покажем, что оно является решением уравнения Бесселя для функций
с индексом п и линейно не зависит от Jn (z); таким образом, оно может
быть принято в качестве искомого решения 4).
!) Hank el, Math. Ann. I A869), стр. 469—472.
2) В 6c her, Annals of Math., VI A892), стр. 85—90. См. также Ni em oiler,
Zeitschrift fur Math, und Phys., XXV A880), стр. 65—71.
3) Основа работы Ханкеля состоит в построении выражения, удовлетворяющего
уравнению, когда v — не целое, принимающего неопределенный вид, когда v равно це-
целому л, и стремящегося к пределу при v -+ п.
4) Читателю ясно, что если имеется решение дифференциального уравнения, за-
зависящее от параметра, то еще не очевидно, что предельная форма этого решения
будет решением соответствующей предельной формы данного уравнения.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ 71
Очевидно,
Л (г) ~ (— 1)* J-v Bг) = Л (*) — Л (*) / n/i -/-v(*) — ^-ВМ _^
V П V — П
_ ( \)n UJ~^
при v—^ я, поскольку обе частные производные существуют1).
Следовательно, существует предел
это выражение называется бесселевой функцией второго рода с индексом п.
Чтобы отличать ее от других функций, которые тоже называют функ-
функциями второго рода, мы ее будем называть функцией Ханкеля. Следуя
Ханкелю, обозначим ее символом Yn(z) 2); таким образом,
или
B) ?„(*) =
Теперь нам нужно показать, что Yn(z) является решением уравнения
Бссселя.
Поскольку обе функции /^ (z) являются аналитическими как от z, так
и от v, порядок взятия частных производных от /dbV (z) no z и v безразли-
безразличен 3). Таким образом, результат дифференцирования по v пары уравнений
можно записать в виде
(Р dJ+_ v (-г) d dJ^^ (г) dJ+ v [г)
dz2 dv ' dz dv ' y ; dv
Объединяя оба эти результата, находим:
так что
+ 2v {/,(«) — ( — !)"-/_(г)}.
!) См. § 3.1. Удобнее записывать дифференцирование по z в виде полной про-
производной, в то время как дифференцирование по v — в виде частной производной. Ко-
Конечно, во многих разделах теории изменения v не рассматриваются.
2) Символ Yn(z\ который в действительности был употреблен Ханкелем, исполь-
используется в этой работе для обозначения функции Ханкеля Yn (z\ умноженной на —
(§ 3.54).
3) См., напр., Hobs on, Functions of a Real Variable A921), §§312, 313.
[В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. 1, гл. V, § 150 A937), стр. 338.
— Прим. ред.].

72 ГЛАВА III
Теперь будем считать v—*п. Все функции в последнем уравнении не-
непрерывны по v, и, следовательно, мы имеем:
где v нужно положить равным п после того, как будет выполнено дифферен-
дифференцирование по v. Таким образом доказано, что
C) V,,Ye(s) = 0,
т. е. что Yn (z) является решением уравнения Бесселя для функций
с индексом п.
Заметим, что
V —|— /Z
откуда следует результат, по существу, полученный Ломмелем *),
D) Y_e(*) = ( —l)»Ye(*).
Далее
а в силу того, что J^(z) моногенна по v при v = 0, имеем:
откуда следует, что
Эквивалентный результат Дюамель 2) получил еще в 1840 г.
3.51. Разложение функции Y0(z) в ряд по возрастающим
степеням z
Прежде чем рассматривать разложение функций Yn(z) общего вида,
удобно будет изучить функцию с индексом нуль: тогда исследование будет
проще, и окончательная форма разложения будет более компактна.
Мы воспользуемся только что полученной формулой
00 ( —Wy*
которая после выполнения почленного дифференцирования дает:
YeBT)
[оо
m = 0 *'"•'
^Lommel, Studien tiber die Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1868), стр.87.
Ломмель фактически доказал эту формулу для функции, называемой иногда функцией
Неймана второго рода. См. § 3.58 (8).
2) Duhamel, Cours d'Analyse, II (Paris, 1840), стр. 122—124.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ 73
где ф обозначает, как обычно, логарифмическую производную гамма-функции !).
Поскольку 0 < ф (т -\- 1)< т при т = 1, 2, 3, ..., сходимость ряда для Y0(z)
может быть установлена, если воспользоваться признаком Даламбера для ряда, в ко-
котором ф (/гг —[— 1) заменено на т. Сходимость этого ряда является также прямым
следствием общей теоремы об аналитических функциях. См. Уиттекер и Ватсон,
Курс современного анализа, ч. 1, § 5.3.
Отметим следующие виды разложений:
™( 1
со / \) \ -—
0) Y0(*) = 2 ? \* ' Ы-1 *) -ф (*+ 1I ,
~ (~\)m[4r- *2m
B) Y0(*) = 2|ln{.±- ¦¦* ' -л х ^2
C) \0(z) =
Читатель заметит, что
является решением уравнения Бесселя для функций с индексом нуль. Разло-
Разложение такой функции имеет вид
Эта функция рассматривалась Нейманом (Neumann), Theorie der Bessel'schen
Funktionen (Leipzig, 1867), стр. 42—44, как каноническая функция второго рода
с индексом нуль; см. § 3.57.
Однако последний ряд был получен задолго до этого Эйлером 2) как решение
уравнения Бесселя. Результат Эйлера в его же обозначениях таков: общим решением
уравнения
ххдду -f- хдхду -f- gxny дх* = О
является
2Ag 6Лр-2 22 A g* „ ЮОЛр-4
(о- р-2 р-3 р
1 2. гяЛ- хгп - jc3« 4- х*п etc
где у4 и л — произвольные постоянные. Он указал следующее правило для нахожде-
нахождения последовательных числителей в первой строке:
6 = 3.2—Ь0, 22 = 5.6 — 4.2, 100 = 7.22 — 9-6,
548 = 9.100—16.22 3 528=11.548 — 25.100 и т. д.
1) Курс современного анализа, ч. 2, гл. 12. Следует вспомнить, что при т целом
и положительном имеем
-Т. Ф(« + 1) = у + 4-+-"+^—Г.
где 7 обозначает постоянную Эйлера (у = 0,5772157...).
2) Euler, Inst. Calc. Int., II (Петербург, 1769), § 977, стр. 233—235. См. также
Ada Acad. Petrop., V A781) [опубликовано в 1784], ч. 1, Математика, стр. 186—190.

74 ГЛАВА III
Если обозначить
2/J_ , _1_ , ,_1 \ <х„
то этот закон, очевидно, выражается формулой
3.52. Разложение Yn(z) в ряд по возрастающим степеням z
и определение %(z)
В этом параграфе мы рассмотрим разложение Ханкеля1) функции Yn(z)
более общего вида, где я— любое целое положительное число. [Ср. § 3.5,
уравнение D)].
Очевидно,
= и v
АЛ —О
при условии, что v—>#, где я — целое положительное число. Таким образом,
^ т\(п-\-т)\
/га = и
Оценка выражения 1-^ оказывается несколько более сложной
L dv J vi=/j
из-за наличия полюса функции ф(—v-f-m-f-1) при v = « в членах, для которых
/п = 0, 1, 2, ..., п—1. Мы рассматриваем ряд для /_v (z), как состоящий из
двух частей, а именно,
и заменяем в первой части
1 Г (у — т) sin (у — т) я
. .—_—. }-jq ______________________________ (
1) Hankel, Afatf/z. Л/z/z., I A869), стр. 471.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ 75
Тогда, при 0 ^ т <^ п,
'1 \-* + 2т
¦ т) sin fv — т) тг
Z=Z\\~2Z) ^ (v —/п) \тг~1сЬ (v — /и) sin (v — m) тг -\- cos (v — /я) тг
— тт" lnf тг 2r )sin(v — т)тгИ =
V 2. J ) J v = n
/1 \ —П+2Ю
= 1-2: 1 (п — т) cos (п — т) тг,
\ * J
откуда
= у {и1 (п~т
00
/
f±Q ml
1
ИЛИ
при этом во втором ряде мы заменили т на п-\-т.
Объединяя A) и B), получаем формулу Ханкеля
п-1 со f_if(l
/Зч у Ы— У (п-т-\)\П \~Н+гт + У V2
F) 4n(Z) — —2* ml ^Z 2-
ml ^ ml
= О /И = О
¦)}-
= О
л —1
,', +±.±.14- I-
В первом слагаемом (т = 0) последней суммы выражение в фигурных скоб-
скобках равно
Часто бывает удобным (следуя Ломмелю г) писать
Loramel, Studien ilDer die Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1868), стр. 77.

76 ГЛАВА III
так что
оо / 1) i —-
^v *-^ т\ Г (v -j-
где v — целое отрицательное число, a 3>v С2') определяется как предел выра-
выражения в правой части.
Таким образом, мы имеем:
F) Ye (z) = 2 /„ B) In 2- + % (г) + (-1)" 3-я W.
^2у
Полное решение уравнения х-~^-\-ау = 0 дано в виде ряда (часть которого со-
содержит логарифмический множитель) Эйлером (Euler), last. Calc. Int., II (Петербург,
1769), §§ 935, 936; решениями этого уравнения являются
хх% х^2\г Bа112 х^\
Эйлер также дал (см. там же § 937, 938) полное решение уравнения х3/ -~-,
"О; решения этого уравнения будут:
3.53. Определение функции Yv(z)
До сих пор мы имели определение функции второго рода только в случае,
когда индекс был целым числом. Определение, которым пользовался Ханкель !)
для произвольных значений v (за исключением тех, для которых 2v оказы-
оказывается целым), было таким:
A) Yv (z) =
Это определение не годится как в случае, когда v — целое, так и в
случае, когда v равно половине нечетного числа, из-за того, что 2утг обра-
обращается в нуль. В последнем случае несостоятельность определения не может
быть устранена; однако в первом случае функция может быть определена
как предел выражения, находящегося в правой части, и это определение не-
нетрудно согласовать с определением из § 3.5.
Для того чтобы доказать это, заметим, что
lim Yv(*) = lim
v
Г— ¦ —
Г
л I cos VTC sin vic
v ' v-s-n L v —n J
этим самым доказано, что
B)
i) Hankel, Math. Ann., 1 A869), стр. 472.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ
Теперь стало очевидным, что Yv (z), определенная либо с помощью ра-
равенства A), либо через предельную форму этого равенства, является решением
уравнения Бесселя для функций с индексом v как в случае, (i) когда v при-
принимает любое значение (за исключением тех, для которых 2у оказывается
целым), так и в случае, (и) когда v является целым [последнее следует из
равенства B) в соединении с § 3.5C)].
Функция Yv (z), определенная таким образом, называется бесселевой функ-
функцией второго рода (типа Ханкеля) с индексом v; определение оказывается
несостоятельным только в случае, когда v -\- тт оказывается целым.
Замечание. Читатель не должен упускать из виду, что, несмотря на иную
запись, функция Yv(^), как функция от v, остается непрерывной при v~n, за исклю-
исключением случая ? — 0; действительно, при v ->- п функции J^{z) и Yv(z) стремятся
к своим пределам Jn (z) и Yn (z) равномерно по z, за исключением окрестности z —- 0,
где п — любое целое число, положительное или отрицательное.
3.54. Функция Вебера — Шлефли второго рода
Определение функции второго рода, данное Ханкелем (§ 3.53), было не-
несколько видоизменено Вебером г) и Шлефли 2) с целью устранения неудобства,
вызываемого несостоятельностью определения в случае, когда индекс функции
равен половине нечетного числа.
Функция, которую Вебер рассматривал в качестве канонической функции
второго рода, выражается через функции первого рода формулой J)
yv (?) cos vrc — J-y(z)
sin vie
{или ее пределом, когда v — целое).
Шлефли же ввел дополнительно множитель тттг; он обозначил свою
функцию символом К, так что, по его определению,
К tz\ _ I гг Л (z) cos утс — J-H (z)
v ^ ' 2 sin vie
Однако последующие авторы обычно опускали этот множитель, как, например,
Граф и Гублер в своем трактате 4), а также Нильсен; таким образом, упомя-
упомянутые авторы пользовались определением Вебера.
Символ К все же широко применяется, главным образом, английскими
физиками, для обозначения бесселевых функций совершенно другого типа
(§ 3.7), так что было бы желательно использование здесь иного обозначения.
Для устранения путаницы в обозначениях следовало бы, как это делает
!) Weber, Journal fur Math., LXXVI A873), стр. 9; Math. Ann. VI A873), стр. 148.
Эти статьи датированы соответственно сентябрем 1872 г. и октябрем 1872 г. В статье,
написанной несколькими месяцами ранее этих, Journal fur Math.y LXXV A873),
стр. 75—105, датированной маем 1872 г., Вебер пользовался функцией Неймана вто-
второго рода (см. §§ 3.57, 3.58).
2)Schlafli, Ann. di Mat. B), VII A875), стр. 17; эта статья датирована
4 октября 1872 г.
3) Вебер определял эту функцию с помощью интеграла (см. § 6.1), равного дан-
данному выражению; данная формула (включая множитель ~ к ] в действительности
была получена Шлефли.
*) Graf und HubJer, Einleitung in die Theorie der Bessel'schen Funklionen, I
(Bern, 1898), стр. 34 и ел.

78 ГЛАВА III
Нильсен1), пользоваться для обозначения функции Вебера символом V^(z)
и принять ее за каноническую функцию второго рода, за исключением тех не-
немногих случаев, когда пользование функцией Ханкеля с целым индексом
позволяет в некоторых формулах избавиться от числа я.
Мы имели бы тем самым:
m у (А — J^{z) cos V7t ~ J~*{z) —cos ж v i?\
/ГкЧ л, . ч ,. JJz) cos vtc—J ,m 1 -. . .
B) Yn(z) = hm -^ : ?—!- = —Yn(z).
y n v ' v -> л sin vt: я л v ;
[Замечание. Функцией Шлефли пользовались Бохер (В б с h e r), Annals of
Math., VI A892), стр. 85—90 и Макмагон (McMahon), Annals of Math., VIII
A894), стр. 57—61; IX A895), стр. 23—30. Шафхейтлин и Хевисайд пользовались
функцией Вебера с обратным знаком, так что функция, которую мы (следуя Нильсену)
обозначаем через Y^(z)9 Шафхейтлином 2) записывалась как —Yv(z) и Хевисайдом 3j
(при у — п) как —Gn(z).
Грей и Мэтьюз4) иногда употребляли функцию Вебера, обозначая ее симво-
символом Гл.
Ломмель в своей более поздней работе пользовался функцией Неймана второго
рода (см. § 3.57), однако в своих Studien uber die Bessel'schen Funktionen (Leipzig,
1868), стр. 85—86 он употреблял функцию
1 Л "i
где Yn (z) — функция Вебера. Недостатком этого выбора функции является присутствие
члена ф ( п -f — ), который значительно усложняет рекуррентные формулы; см. об
этом Юлиус (Julius), Archives Neerlandaises, XXVIII A895), стр. 221—225].
3.55. Определение функции второго рода по Гейне
Определение функции второго рода, данное Гейне 5), обладает с точки
зрения теории функций Лежандра некоторыми преимуществами: оно дает воз-
возможность выразить в более компактном виде некоторые обобщения формулы
Мелера (§ 5.71), а именно,
Функция, которую Гейне обозначает символом Kn(z), выражается через кано-
канонические функции и равна 7riiYn(z) или —-^-Yn(z); таким образом, эта
А А
функция отличается лишь знаком от функции, впервые использованной Шлефли.
!) Как и в случае других функций, Нильсен пишет сверху число, указывающее
индекс функции, а именно Y4 (z) (N i е 1 s e n), Handbuch der Theorie der Gylinderfunktionen
(Leipzig, 1904), стр. 11. Имеются существенные возражения против такого способа
обозначения; мы оставим его для функции, которой пользовался Нейман (§ 3.58) и
которая вышла теперь из употребления.
2) См., напр., Schafheitlln, Journal fur Math-, GXIV A895), стр. 31—44,
а также другие статьи; то же в Die Theorie der Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1908).
3) He a vi side., Proc. Royal Soc, LIV A893), стр. 138 и Electromagnetic Theory,
II (London, 1899), стр. 255; перемена знака была произведена в соответствии с его
Electrical Papers, II (London, 1892), стр. 445.
4)Gray and Mathews, A Treatise on Bessel Functions (London 1895),
стр. 65—66.
5) Heine, Handbuch der Kugelfunktionen, I (Berlin, 1878), стр. 185—248.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ 79
Вне Англии, на континенте, функцией Гейне уже не пользуются, повидимому,
много лет; Грей и Мэтьюз рассматривали ее в своем трактате х), обозначая ее через
Qn (z). В таком виде эта функция была подробно табулирована сначала Олдисом 2),
а затем Эйри 3) и, наконец, в British Association Reports, 1913, 1914 и 1916 гг.
Этот возврат к функции Гейне представляется весьма неудачным, как по при-
причине существования множества других функций, так и в силу того факта (с которым
мы ближе познакомимся в главах VI и VII), что соотношения между функциями
Jlt (z) и Yn (z) во многом напоминают соотношения между косинусом и синусом и,
таким образом, использование 4) функций Jn(z) и Gn(z) в качестве канонических можно
сравнивать с использованием cos 2 и — — т: sin ^ в качестве канонических тригономет-
тригонометрических функций. Необходимо также подчеркнуть, что символ Gn (z) употребляли
в смысле, отличном от только что упомянутого по крайней мере еще два автора,
а именно Хевисайд (Heaviside), Proc Royal Soc, LIVA893), стр. 138 (как это было
указано в § 3.54) и Доугалль (D о u g a 11), Proc Edinburgh Math. Soc, XVIII A900),
стр. 36.
Замечание. Ошибка в знаке на стр. 245 трактата Гейне была указана Мор-
тоном (Morton), Nature, LXI11 A901), стр. 29; эта ошибка равносильна изменению
знака у f в формуле § 3.51 C) и ел. Мортон также заметил, что эта ошибка была,
повидимому, повторена многими другими авторами, в том числе (на что еще ранее
указал Грей 5)) Томсоном (J. J. Thomso n), Recent Researches in Electricity and Mag-
Magnetism (Oxford, 1893), стр. 263. Другая ошибка, отмеченная Мортоном в работе
Томсона, возникла из-за путаницы в обозначениях, примененных Гейне: так, на стр. 245
своего трактата Гейне использует символ Kq для обозначения функции —tjtcKq, и
тот же символ Ко на стр. 248 обозначает выражение — тс (Уо — /70).
3.56. Рекуррентные формулы для Y^(z) и Yv(z)
Рекуррентные формулы, которым удовлетворяет Yv(z), имеют тот же
вид, что и формулы, которым удовлетворяет 7V (z): таким образом, мы имеем
A) Y,-
B) Yy_
C) л
функция К, входящая в эти формулы, может быть всюду заменена на Y.
Для доказательства этих формул возьмем равенства § 3.2 C) и D) в виде
?- {*VV (*)} = **/,_! (z), ^ {*V_V (*)} = — *V_V+1 (*);
умножая их на ctgvrr и cosec угг и затем вычитая, получим:
d_
dz
1) Gray and Mathews, A Treatise on Bessel Functions (London, 1895), стр. 91,
147, 242.
2) A Id is, Proc. Royal Soc, LXVI A900), стр. 32—43.
3) Airey, Phil. Mag. F) XXII A911), стр. 658—663.
4) В защиту функции Ханкеля, а также функции Неймана, можно было бы кое-что
сказать, имея в виду историческую точку зрения; о функции же Гейне, появившейся,
позднее, нельзя сказать даже этого.
5) Gray, Nature, XL1X A894), стр. 359.

80 ГЛАВА III
откуда немедленно следует C). Равенство D) выводится подобным же обра
зом из формул
d I d
С помощью сложения и вычитания равенств C) и D) получаем B) и A).
Формулы, приведенные выше, пока доказаны лишь в предположении, что
v — не целое; однако, поскольку Уы (z) и ее производные являются непрерыв-
непрерывными функциями от v, для перехода к пределу при v, стремящемся к це-
целому значению я, нужно просто заменить v на п.
Заметим, наконец, что по умножении этих четырех равенств на пеуш sec vtt
или, что то же, на 7T?(v=t:1)Ki sec (v± 1) тг, получаем, что функции У можно
всюду заменить на Y.
Для случая функций с целым индексом эти формулы были выведены Ломмелем
(L о га га е 1), Studien fiber die Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1868), стр. 87. Читатель
может вывести их для упомянутых функций непосредственно из ряда, приведенного
в § 3.52.
Исследование Неймана, относящееся к формуле D), мы рассмотрим в § 3.58.
3.57. Функция Неймана второго рода
Функция, которую Нейман г) рассматривал в качестве канонической
функции второго рода, обладает тем преимуществом, что она выражается
через интегралы типа Пуассона более просто, чем функции второго рода,
которые рассматривались нами до сих пор; другими преимуществами функция
не обладает.
Мы сначала определим функцию с индексом нуль 2), которую обо-
обозначим через У(°) (z).
Второе решение уравнения Бесселя для функций с индексом нуль, как
известно, должно содержать логарифмы; Нейман в качестве решения рас-
рассматривал выражение
J0(z) In z-\-wy
где w есть функция от ?, которую нужно найти.
Для того чтобы это выражение обращалось в нуль под действием опе-
оператора Vo, должно выполняться уравнение
VqW = _ Vo {Уо (г) 1п2г}= — 2z4 (г).
Однако, согласно § 2.12A1),
— 2zJ'o (z) = 2zJ, (*) = 8 S (— 1 )»-i nJ2n {г);
таким образом, принимая во внимание равенство V0J2n(z) — 4/г2У2л (z), имеем
перемена порядка операций 2 и Vo может быть легко обоснована.
!) Neumann, Theorie der Bessel'schen Funktionen, (Leipzig, 1867), стр. 42—44.
Нейман называет эту функцию сопряженной с функцией Бесселя и предлагает дру-
другую функцию, On(z)> в качестве функции второго рода (§ 9.1). Однако, поскольку
Оп (z) не является решением уравнения Бесселя, такое определение не является целе-
целесообразным. В дальнейшем оно не удержалось.
2) Обозначение функции Неймана отличается от обозначении функции Вебера —
Шлефли местоположением индекса.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ 81
Отсюда одним из возможных значений для w будет
2 ?(-1)»-1./аA (*)//!,
и поэтому функция Неймана К(°) (z)y определяемая равенством
оо
A) YW(z) = J0(z)lnz-{-2 if)
является решением уравнения Бесселя для функций с индексом нуль.
В силу того, что w—>0 при z—*0 (поскольку ряд для w является ана-
аналитической функцией от z вблизи начала координат), становится очевидным, что
J0(z) и Y@)(z) образуют фундаментальную систему решений и, таким образом,
YoB) может быть выражено в виде линейной комбинации из Уо (z) и F<Q)(z);
сравнение поведения этих трех функций вблизи начала координат показы-
показывает, что они связаны соотношением
B) V{0) (г) = ~ Yo (z) + (In 2 — Y) Jo (z).
3.571. Интеграл типа Пуассона для
Пуассон 2) показал, что
j eix cos w In (x sin2 о) ^/@
0
является решением уравнения Бесселя для функций с индексом нуль от
аргумента х\ позже Стоке получил выражение для этого интеграла в виде
ряда по восходящим степеням (см. § 3.572).
Относящийся к этой же категории интеграл
1 cos (z sin 6).In Dzcos2 b)dby
тс J
как показал Нейман2), можно отождествить с функцией Y^0)(z); рассуждения
с помощью которых он получил этот результат, достаточно интересны, чтобы
быть приведенными здесь (с некоторыми небольшими изменениями в деталях).
Из § 2.2(9) имеем:
(-!)%»(*) =1 Г Cos(zcos6)cos2rt6</6,
п niz j
о
1) P о i s s о n, Journal de VEcole Я Poly technique, XII (тетрадь 19), A823), стр. 476
Решение соответствующего дифференциального уравнения в частных производных
было дано ранее (там же, стр. 227). См. также D u ham el, Cours d'Analyse, II (Paris,
1840), стр. 122—124 и Spitzer, „Zeitschrift fur Math, und Phys., II A857),
стр. 165—170.
2) Neumann, Theorie der Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1867), стр. 45—49. См.
также Niemoller, Zeitschrift fur Math, und Phys. XXV-A880), стр. 65—71.

82 ГЛАВА III
и, допуская возможность перемены порядка суммирования, и интегрирования,
получим:
= — 4 J cos (^ cos в). In D sin2 6)
о
сравнивая этот результат с интегралом Парсеваля (§ 2.2) и определением
функции yW (z), мы сразу получим формулу
A) у(°) (z)= — \
V ' V ' я J
О
после чего результат Неймана становится очевидным.
Так как Ъп~1 cos 2/гв вблизи 0 —0 не сходится равномерно, то допущение
о возможности перемены порядка суммирования и интегрирования требует специаль-
специального обоснования. Мы заметим, что, поскольку S (— l)n /^ (z)jn сходится, из теоре1\ш
Абеля *) следует, что
оо
У (— \)«J*n(z)ln= lim
= hm — > \
« — 1 0
Далее, в силу того, что а < 1, S (ал cos 2/z0)//z сходится равномерно во всей области
интегрирования (из сравнения с 2,ап), и, таким образом, перемена порядка суммирова-
суммирования и интегрирования допустима; тем самым
IX f cos(zcos8)^^6rfe==ir cos (^ cos 9) У g"co
= — -- cos (z cos 6) In A — 2a cos 26 + a1) dQ,
откуда имеем:
]) Cm. Bromwich, Theory of Infinite Series, § 51. [В. И. Смирнов, т. III.
гл. IV, § 99 A939), стр. 336. —Прим. ред.]

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ 83
Теперь мы докажем, что })
lim cos iz cos 0) | In A — 2a cos 20 -f- д2) — In Dд sin2 8)} д*0 = 0.
a~* ~~ о
Очевидно, что
1 — 2a cos 20 -f я2 _ 4a sin2 0 -_ (i __ eJ ^ 0 f
и, таким образом,
In A —- 2я cos 26 -f- аЩ ^ In Dя sin2 6).
Отсюда, обозначив через А верхнюю грань2) модуля | cos(* cos0)|, при
0^ 6 ^ —г я имеем:
j cos (-г cos 0) j In A — 2я cos 20 -f- д*) — In Dя sin2 0)} //0 h^
о '
=^ Л ^ {In A — 2a cos 20 + a^) — In {Aa sin2 0)frf0 =
о
= A \ J— 2^ +ln(l/fl) — 21nBsinQU rfO= -тсЛ1пA/д);
при этом почленное интегрирование допустимо, поскольку д < 1. Отсюда, при а < 1,
CQs(zcos0){ln(l —-2д cos 20-f я2) — 1пDя sin2©)} rfe|< I кА In A/я)—>О,
когда а —> 1 — 0, что и требовалось доказать.
Следовательно,
= I cos (z cos 0) • In D sin2 0) d*0,
0
и, таким образом, возможность перемены порядка суммирования и интегрирования
окончательно доказана.
Читатель может вывести полученный результат из интеграла Пуассона для J^(z)f
используя § 3.5 E).
3.572. Ряд Стокса для интеграла Пуассона — Неймана
d2y I dy
В 1850 г. Стоке3) рассмотрел дифференциальное уравнение з-^Н ~г- — т2у =
= 0, где т — постоянная. Оно представляет собой уравнение Бесселя для функции
1) Величина этого предела была получена Нейманом.
2) Если z вещественно, А=1; если же нет, А ^ехр || I (z) |{.
3) Stokes, Trans. Camb. Phil. Soc. IX A856), стр. 38 [Mathematical and Physical
Papers, III A901), стр. 42].

с индексом нуль относительно аргумента imz. Стоке заметил (вероятно, имея в виду
Пуассона), что, как известно, общим решением этого уравнения является
у=\ \ С + D In (г sin2 0)} ch {mz cose) д?0.
о
Легко видеть, приняв во внимание замечание Неймана, что значение выражения
в правой части равно
4* {С — D In D//и) J Уо (imz) + ^ kDV{0) (imz)-
Это выражение Стоксом было разложено в ряд; оно оказалось равным
cos2*0 In sin 0 db;
интегрируя по частям, Стоке получил рекуррентную формулу, из которой можно
вывести, что
3.58. Определение функции Yn (z) no Нейману
Нейманг) определял бесселезу функцию второго рода с целым индек-
индексом /г, исходя из Y(°\z), по индукции, используя формулу
A) z dzK) — nYW (z) = — zYC+V (z),
которая представляет собой рекуррентную формулу того же типа, что и
§2.12 D). Из написанного уравнения вытекает, что
B) YW(z) = (-zr^)n
Далее, Y^ (z) удовлетворяет уравнению
и если применить к этому уравнению п раз оператор 2) —-^ и воспользоваться
теоремой Лейбница, то мы получим:
!) Neumann, Theorie der Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1867), стр. 51. Функ-
Функция становится неопределенной, если ее индекс — не целое число.
2) Выводы упрощаются, если положить — z2 —С, так что
d _ d
zdz~dV

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ 85
и, таким образом,
(z
,zdzj *~
Это уравнение сводится сразу к
D) V Y(n) (z) = 0<
откуда получаем, что Y^ (z) является решением уравнения Бесселя для
функций с индексом п.
Уравнение C) может еще быть записано в виде
7 JL / z-n~\Y(n+D (z)\ Bп4-2)z-n-1Y(n~hl>> (z)-A-z-nY(nUz) = Qt
dzx v // v i ; v / i v / i
так что
^у(Я+1) / \ i 1
' ' 1 I у(я + 1) /^\ V{ft) (z\ - ~ 0
откуда получаем другую рекуррентную формулу
E) z —-\-п YW (z)^=zY^n~^ (z).
Сравнивая A) и E), мы немедленно получаем следующие рекуррентные
формулы:
F) Г<*-1) (z) + Yl»+» (z) = | К(»> (*),
G) У(д-') (z) — K("+J) (г) = 2 ДГ Дг1').
Таким образом, F(") (г) удовлетворяет тем же самым рекуррентным формулам,
что и Jn(z), Yn(z) и У„(г). Из § 3.57 B) следует, что
(8) У<»> (г) = I тгГл (г) + (In 2 - у) Jn (z) = \ Yn (z) + (In 2 — у) У„ (г).
Решение уравнения Чп(у) — 0 в виде определенного интеграла, сводящегося при
п = 0 к интегралу из § 3.571, нашел Шпитцер (Spitzer), Zeitschrift fur Math, und
Phys., Ill A858), стр. 244—246; см. § 3.583.
3.581. Разложение функции YW (z) no Нейману
Обобщение формулы § 3.57 A) было дано Нейманом1); оно имеет вид
/¦|\ у(л)/2.\__у (^Wln^ 5 !• У — 'n-Jm(z) I
V / ^ ; л\ / i nf Аи {n—m)'m\zn~m ""
00
т~ 1
__J^ , 1 I J__i _i _! 0
г) Neumann, Theorie der Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1867), стр. 52. См.
также Lommei, Studien iiber die Bessel'schen Funktionen (Leipzig 1868)'
стр. 82—84; Otti, Bern Mitheilungen A898), стр. 34—35; Haentzschel. Zeitschrift
fur Math, and Phys. XXXI A886), стр. 25—33, J

Для доказательства этой формулы определим сначала функции Ln(z) и
Un (z) с помощью уравнений
B, i,w=j.v)b,-
получая, таким образом, что К<°) (я) = Io (z) — U0(z).
Мы докажем, что 1Л (z) и ?/л (г) удовлетворяют рекуррентным фор-
формулам:
D) Ln^(z) = — L'n(z) + {nlz)Ln(z), Un+,(z) = — U'n(z
а тогда A) будет вытекать по индукции из § 3.58 B).
Очевидно, можно записать
±lhd?l\=\nzA Ш^( , -М?_)_ у 2*-«-i.,»i d (Jm(z)\
dz\zaf dz \ гп j • zn+i jL+ {n — mym\ dz \ z^-mf
2n-m.nl
и первая из рекуррентных формул D) доказана. Для доказательства второй
формулы вычислим
dz\ z* f ndz
У
?+ m(n-\-m) dz
= 1
/я = 1
и тем самым доказана вторая формула. Из § 3.58 B) следует, что
yin+i) {z)_ Ln+x {z) + Un+x {z)^ d j v(n) {z) „ Ln (z) + Un {z)y
zn dz\ zn f'
и поскольку выражение справа исчезает при лг = 0, по индукции очевидно,
что оно исчезает и для всех целых значений п. Отсюда
чем и доказана справедливость равенства A).

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ 87
3.582. Степенной ряд для Un{z)
Шлефли1) выразил функцию Un(z), которая была определена в
§ 3.581 C) как ряд по бесселевым функциям с целыми индексами, в виде
степенного ряда с простыми коэффициентами, а именно,
Ц
т — 0
Чтобы доказать эту формулу, заметим сначала, что, в силу § 3.51 C) и
§ 3.57 A), она справедлива при /г=0, и что после непосредственного диф-
дифференцирования выражение справа удовлетворяет той же самой рекуррентной
формуле, что и выражение § 3.581 D) для Un(z); после этого равенство A)
становится очевидным по индукции.
Замечание. Было бы интересно получить этот результат путём вычисления
коэффициента при \t:z) в разложении правой части § 3.581 C).
Читатель теперь легко докажет следующие формулы:
B) % (z) = U - In 2} Jn (z) - Un (s),
C) № (z) = Ln (z) + %t (z) + {In 2 - Y} Jn (Z),
D) ±TzYn(z) = Ln(z) + %n(z).
3.583. Интеграл типа Пуассона для
Формула Пуассона — Неймана из § 3.571 для К(°) (z) была обобщена Ломмелем
(Lorarae I), Studien fiber die Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1868), стр. 86, с приме-
применением обозначений, значительно отличающихся от обозначении Неймана; чтобы
получить результат Ломмеля в обозначениях Неймана, мы заметим сначала, что,
дифференцируя интеграл Пуассона для Jv {z\ мы получаем:
м
и, таким образом, по § 3.582 C),
/1 \п
2 4И
X \ cos B" sin 9) cos2'I9 *{ In cos2 9—ф {/r —I—) —y>
SchlSf U Math. Ann., Ill A871), стр. 146-147.

и отсюда, в силу равенства ф( —) = ФA) — 2 In 2 — — 7 — 2 In 2, приходим к формуле
2I,2<
2
в которой следует учитывать, что Ln(z) выражается в виде конечной комбинации
бесселевых функций с целым индексом и степеней z.
3.6. Функции третьего рода
В многочисленных исследованиях по теории бесселевых функций, в осо-
особенности основывающихся на работах Ханкеля (главы VI и VII) по интегральным
представлениям и асимптотическим разложениям функций Jv (z) и Kv (z), весьма
часто встречаются две комбинации бесселевых функций, а именно, J^ (z) 4h /Tv (z).
Эти же комбинации можно встретить и в теории бесселевых функций от
чисто мнимого аргумента (§ 3.7).
Исходя из этого, Нильсенг) считал нужным рассматривать пары функ-
функций Jv(z)zbiYy(z) как основные решения уравнения Бесселя и называл их
функциями третьего рода; в честь Ханкеля Нильсен обозначил их симво-
символом Н. Эти две функции третьего рода определяются с помощью равенств2)
A) H?\z) = J,(z) + iY4(z). Hi2){z)=J,(z) — iY4(z).
Рассматривая эти определения совместно с § 3.54 A), имеем:
В случае, когда v — целое, правые части этих равенств должны быть заме-
заменены их предельными значениями.
Из того что 7V (z) и Fv (z) удовлетворяют одним и тем же рекуррентным
формулам (§§ 3.2, 3.56), в которые функции входят линейно, а также из того
что функции третьего рода являются линейными комбинациями (с постоян-
постоянными коэффициентами) функций /v (z) и Fv (z), следует, что функции третьего
рода удовлетворяют этим же самым рекуррентным формулам.
Отсюда непосредственно вытекают следующие формулы:
C)
D)
1) Nielsen, Ofversigt over det K- Danske Videnskabernes Selskabs Fornandlin-
ger A902), стр. 125; Handbuch der Theorie der Gylinderfunktionen (Leipzig, 1904), стр. 16.
2) Нильсен пользовался символами H\(z\ H\{z).

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ
== О, Vv Я (v2) (г) = О,
zdz
Замечание. Рэлей (R а у 1 e i g h) во многих случаях, например, Phil. Mag.
E) XLIII A897), стр. 266; F) XIV A907), стр. 350—359 {Scientific Papers, IV A904),
стр. 290; V A912), стр. 410—418], пользовался символом Dn{z) для обозначения функ-
функции, которую Нильсен записывал в виде —%Ш^ (z).
3.61. Соотношения между бесселевыми функциями первого,
второго и третьего рода
Нетрудно получить нижеследующую совокупность формул, выражающих
одну из бесселевых функций через бесселевы функции других двух родов.
Читатель заметит, что некоторые из этих формул являются просто опреде-
определениями соответствующих функций:
/i\ т i \ --v v-/ i --v v*J Y—,Az) — / Лг) cos vrc
A) J^(z) = ' ^ =
yZr) J—y>\Z) 7y~
D) Y ,(z) = ~
—^y' sin vk
E) //v B^) = —
v ; /sinvn:
e^it
r_j
(z) cos vrc -
sinvic
f№ (z) — e
2/
sin vtc
>B)
--vtc/
>
(г)
*
¦)
Э
/sinvn: sinvn:
Из E) и F) очевидно, что
G) НИ] (z) = ^/yvA) (z), И{1\ (z) = e~^H?] (z).
3.62. Бесселевы функции от аргумента —z и zemrl
В силу того, что уравнение Бесселя не меняет своего вида при за-
замене z на —2, можно ожидать, что функции y=fcv(—z) будут решениями
того же уравнения, что и функции J^^(z).
Чтобы устранить небольшое затруднение в связи с предположением, что
берутся главные значения1) фаз обеих комплексных переменных z и —z,
мы образуем функции Бесселя от аргумента zemni\ здесь т — целое число,
для arg z взято главное значение и, кроме того, предположено, что
arg (zem*1') = ттс -j- arg z.
l) В силу того, что Arg(—z) ~ Arg z =ь тс, смотря по тому, какое из неравенств
О имеет место.

90
Поскольку J^(z) lz4 можно считать однозначной функцией, очевидно,
будет целесообразно предполагать, что когда фаза независимого перемен-
переменного z не ограничена, функция 7V (z) определяется при помощи того же
условия, что и функция zv; соответственно получаем уравнения
A) J<t(zemni) = em™iJAz),
B) 7_v (zemrti) = e-mwiJ^(z).
Теперь функции второго и третьего .рода можно определить для всех
значений аргумента с помощью уравнений § 3.54 A), § 3.6A); после этого
уже нетрудно получить следующие формулы:
C) Fv (zemni) = е~т™* Fv (z) + 2* sin л*утг ctg vtt7v (z),
D) F__v (zeniKi) = e~m^Y^ (z) + 2/ sin mm cosec vtt7v B:),
E) Я,A) (^^0 = е~т^н11] (z) — 2e-™* ^^ 7V (z) =
Sin VII
F)
+
sinA+m)v" H?) (z)
sin vir v ;
4
sin vtc
Формула C) для частного случая, когда /й=1 и v — целое, принадлежит Хан-
келю (Hankel), Math. Ann., VIII A875), стр. 454. Формулы, эквивалентные E) и F),
для случая /я — 3 были получены Вебером (W e b e r), Math. Ann., XXXVII A890),
стр. 411, 412; см. § 6.11. Наконец, в мемуаре Графа (Graf), Zeitschrift fur Math,
und Phys., XXXVIII A893), стр. 115—120, получены общие формулы.
3.63. Фундаментальные системы решений уравнения Бесселя
Мы видели (§3.12), что Jy (z) и J__^(z) образуют фундаментальную
систему решений уравнения Бесселя тогда и только тогда, когда v — не целое.
Сейчас мы рассмотрим вронскианы других пар решений, имея в виду опре-
определение фундаментальных систем в критическом случае, когда v — целое.
Из § 3.54 A) видно, что
2» {7V (*). ГЛ-г)} = —cosec V7T-2B {7,B),/ И}
Эта формула получена в предположении, что v — не целое, однако из
соображений непрерывности следует, что
A) ЗВ{ЛB), КЛ2)} = 2/(ТГ2Г),
независимо от того, будет ли v целым или нет. Отсюда J^(z) и Kv(?)
всегда образуют фундаментальную систему решений.
Легко вывести, что
B)
и, в частности1),
B), Vv (z)\ =
Выразив функции третьего рода через 7V (z) и
D) Ж {Н^ (z), Н?] (z)\ = — 2/ 2В (Л (г).
(z), получим:
1) Ср. Lommel,
A875), стр. 457.
. Лял., IV A871), стр. 106 и Hankel, Math. Ann., VIII

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ 91
так что функции третьего рода для всех значений v также образуют фунда-
фундаментальную систему решений.
Некоторые формулы, связанные с A) и C), дал Бассет (Basset), Proc. London
Math. Soc, XXI A889), стр. 55; их легко получить, выража-я последовательные про-
производные от J^(z) и Yv(z) через J^(z), J[(z) и Y^(z). Y\(z) путем повторного диффе-
дифференцирования уравнения Бесселя. Формулы Бассета (первые из них часто приме-
применяются в физических проблемах) записываются в наших обозначениях следующим
образом:
F)
G) JAz)Y";(z)-YMJ'M =
(8) J; (z) Y";(z) - Y: (z) /: (z) = JL (™
A0, Л (z) F<IV> (z) - Kv (z
(id y;
Во всех этих формулах Fv можно заменить на У_„, если выражения в правой
части умножить предварительно на — sin vrc; точно так же /v, Fv могут быть всюду
заменены на Н^\ Н^\ если выражения справа умножить на —2/.
Формулу, близкую указанным, получили Ломмельх) (Lomme I), Math. Ann., IV
A871), стр. 106, и Ханкель (Han k el), Math, Ann., VIII A875), стр. 458; она имеет
вид
Доказывается она таким же способом, как и § 3.2 G).
3.7. Функции Бесселя от чисто мнимого аргумента
В задачах математической физики часто встречается дифференциальное
уравнение
отличающееся от уравнения Бесселя только коэффициентом при у; в упомя-
упомянутых задачах обычно является желательным представить решение в вещест-
вещественном виде, и поэтому фундаментальные системы 7V (iz) и J_y(iz) или J^(iz)
и Y (iz) оказываются для этой цели непригодными.
Однако функция е z 7V (iz), будучи решением рассматриваемого урав-
уравнения, является вещественной функцией от z. Ее принято обозначать симво-
символом /v (z), так что
B) /,(*)= X
т ! Г (v -|- т + 1)'
т =0
В случае, когда z рассматривается как комплексное переменное, целе-
целесообразно определять его фазу не по отношению к главному значению
Ломмель дал соответствующую формулу для функции Неймана второго рода.

92 ГЛАВА III
как это могло бы показаться естественным из рассмотрения функции 7V (iz),
а по отношению к главному значению arg z\ таким образом,
i 3VW- _зге.
Символ /v (z) для обозначения «функции мнимого аргумента» принад-
принадлежит Бассету *); это обозначение является теперь общепринятым. Необхо-
Необходимо указать, что за четыре года до опубликования работы Бассета Никола2)
предложил для этой цели символ /\ (z), однако, другие авторы этим обо-
обозначением не пользовались.
Отметим, что в трактате Нильсена3) ни функция Iv(z\ ни второе решение K^(z\
которое будет нами далее определено, даже не упоминаются, несмотря на их важность
для приложений к физике.
Функция I_^{z) также является решением уравнения A), и легко до-
доказать (ср. § 3.12), что
Таким образом, когда v— не целое, функции /v (z) и I_v(z) образуют фунда-
фундаментальную систему решений уравнения A).
В случае функций с целым индексом второе решение должно быть
построено с помощью методов §§ 3.5—3.54.
Функция Kn(z), которая в этой книге всюду далее будет рассматри-
рассматриваться в качестве второго решения, определяется равенством
D) К (z)= lim —-
Эквивалентным определением служит
Можно показать с помощью методов § 3.5, что Kn(z) является решением
уравнения A), когда индекс v равен п.
Макдональд4) определил функцию /Cv (z) для произвольных значений v
при помощи равенства
пользуясь этим определением, можно показать, что
G) Kn(z)=limKy(z).
Из F) легко вывести, что
(8) К, (z) = | пк^ Н™ (iz) = 1 те~ * "* H(l\ (iz).
1) Basset, Proc. Camb. Phil. Soc, VI A889), стр. 11 [эта статья была впервые
опубликована в 1886 г.]. Бассет в своей работе определил функцию с целым индексом
в виде i+nJn(iz), однако впоследствии в своей Hydrodynamics, II (Cambridge, 1888),
стр. 17, он заменил это определение на приведенное в тексте. Последнее и вошло
ныне во всеобщее употребление.
2) Nicolas, Ann. ScL йг VEcole norm. sap. B) XI A882), приложение, стр. 17.
3) Nielsen, Handbiich der Theorie der Gylinderfunktionen (Leipzig, 1904).
*)Macdonald, Proc. London Math. Soc, XXX A899), стр. 167.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ 93
Важность функции K^(z) для физики заключается в том, что она
является решением уравнения A), стремящимся экспоненциально к нулю,
когда z—*сс, принимая положительные значения. Это фундаментальное
свойство функции будет установлено в § 7.23
Определение Kn(z) ввел Бассет (Basset), Proc. Camb. Phil. Soc. VI A889),
стр. 11; оно эквивалентно определению с помощью D) и E); несобственные инте-
интегралы, с помощью которых он в действительности определял эту функцию, будут
рассмотрены в § 6.14 и 6.15. Впоследствии в своей Hydrodynamics, II (Cambridge,
1888), стр. 18—19, Бассет видоизменил свое определение этой функции, и его послед-
последнее определение эквивалентно
1 \dl_jz) dfjz)!
Чтобы получить «функцию, удовлетворяющую той же рекуррентной формуле,
что и /v(-2r), Грей и Мэтьюз в своей книге A treatise on Bessel Functions (London,
1895), стр. 67, опускают множитель 1/2^, так что их определение эквивалентно
1 \df_Az) dlt
2 [ ^ dv
Единственное простое обобщение этого определения на функции с любым
индексом дает формула
Kv (z) = - тс ctg vie j /_ v (z) — /v (г)}
(ср. Курс современного анализа, ч. 2, § 17.71), однако, образованная таким путем
функция обладает тем существенным недостатком, что она обращается в нуль, как
только 2v оказывается нечетным числом. Поэтому мы будем пользоваться функцией
Макдональда, несмотря на то, что она не удовлетворяет нашим рекуррентным
формулам.
Рассмотрение формулы (8) показывает, что в определении функции К^(^) было бы
удобно опустить множитель ттгс; однако, исходя из наличия обширных таблиц
функций Макдональда, такое изменение не может быть рекомендовано; вообще при-
присутствие этого множителя не является столь же нежелательным как, например, на-
наличие соответствующего множителя в функции Шлефли (§ 3.54), поскольку линейные
комбинации функций I^(z) и Ky(z) встречаются редко.
3.71. Формулы для Iw(z) и K^{z)
Мы сейчас выпишем несколько формул для Iv{z) и K^(z), аналогичных
формулам из §§ 3.2—3.6 для обыкновенных бесселевых функций. Доказа-
Доказательство этих формул предоставляется читателю.
9v / ч Ъ ы t ч
1(z) = — —Klt(z)>
zK\ (z) + v К, (z) = — z К,_г (z),
A) /
B) /
C)
D)
* '
G)
(8)
v_1BL-/, + ]
/ d \m f /v i
\zdzj I z
rt
I-n
1 w — 1
(z) = %
\z) = zl
, (z)== zj
(z)=/1
(*)='„
:U4
K(z),
',-1 (г),
(z),
(z),
Ко (z) = — K, (z),
K_, (z) = K, (z).

94
Нижеследующие интегральные формулы справедливы только при
1 у
(9) /, (г) = , ч,/ ,,, ch (г cos 0) sin^v 6
r(i)r(i)^
1 V i
2Z
2l -i
1 \
1
2
(\—t2) 2ch (zt)dt
Эти результаты принадлежат Бассету. Далее мы имеем:
г —С
1 л

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ 95
A3) КUz)=(~Y e~\
A4)
п-2т !
тс
A6) K0{z) = —~ f
о
(U) Iv(zemrJ) = em^Iv(z)y
A8) K^ze»1*') =.е-т™*Кч (z) — т ~
B0) /v (z) Ky+1(z)-\-Iy+i (z) К, (z) = \\z.
Интеграл, входящий в формулу A6), был рассмотрен Стоксом (см. 3.572).
Интегралы (9) и ряд A4) для случая v = 0 были рассмотрены Риманом (Rieraann)
в его мемуаре «Zur Theorie der Nobili'schen Farbenringe», Ann. der Physik and Che-
mie, B) XGV A855), стр. 130—139; он рассмотрел также ряд по восходящим степеням
для I0(z).
Рекуррентные формулы были даны Бассетом (Basset), Proc. Camb. Phil. Soc,
VI A889), стр. 2—19; Макдональдом (Macdonald), Proc. London Math. Soc, XXIX
A899), стр. 110—115 и Аичи (Aichi), Proc. Phys. Math. Soc. of Japan, C), II
A920), стр. 8—19.
Функциями такого типа, индекс которых равен половине нечетного числа
(см. равенства A0) и A2)), пользовался Гертц в своей берлинской диссертации, 1880
[Ges. Werke, I A895), стр. 77—91]; он вводил еще одно обозначение для описыва-
описываемых функций, отличающееся от перечисленных в § 3.41.
3.8. Функции Томсона Ьгг(г) и bei(z) и их обобщения
Целый класс функций, встречающихся в электротехнике, представляют со-
1 3
бой бесселевы функции, аргумент которых имеет фазу, равную -т-тг или —- тт.
Функции с индексом нуль были впервые изучены Томсоном!); их можно
определить посредством уравнения2)
где х вещественно, а Ьег и bei обозначают вещественные функции. В случае
комплексных аргументов мы вводим определения с помощью формул
B) ber (z) + / bei (z) = J() (zl Vzb. i) = A) (z У"zh: '")•
1) Thomson, Presidential Address to the Institute of Electrical Engineers.
[Math, and Phys. Papers, III A890), стр. 492.]
2) В случае функций с нулевым индексом этот индекс обычно опускается.

96 ГЛАВА III
Отсюда имеем:
C) ber (z) = \-
!J
E!)
Рэссел1) и Уайтхед2) распространили эти определения на функции первого,
второго и третьего рода с любым индексом.
Функции второго рода с индексом нуль были определены Рэсселом при
помощи пары уравнений, напоминающих B), причем функция /0 заменялась
функцией АТ0, а именно,
E) ker (z) Чз / kei (z) = Ко (z Vzb* )•
Функции с любым индексом v Уайтхед определял, пользуясь бесселевыми
функциями первого и третьего рода, а именно,
_ *т*
{7) herv(?):t/heivB) = ^A)B^~4 );
заметим, что 3)
(8) ker (z) = — 7т тг hei (z), kei (z) = 77 тт her (z),
вследствие § 3.7 (8).
Без затруднений можно получить следующие, найденные Рэсселом, ряды:
(9) ker (z) = — ln(^z).ber (z) -f-~nbei (z) -f-
+
A0) keiBr) = —ln^
1 *V 4 \ A
m~0
4m +2
4 У
m = o {B« +1)!}2
Рэссел заметил также, что первые члены разложения ber2 (-г) -\- bei2 (.г) имеют
простые коэффициенты, а именно,
A1) ber«W4-b^W=l+^|^ + ^^ + ^^ +
правда, этот же самый результат получил в других обозначениях Нильсен (ср. § 5.41)
/ 1 \ Am
коэффициент при \—z) в разложении справа равен Ц[(т[J-Bт)\\.
1) Russel, Phil. Mag., F), XVII A909), стр. 524—552.
2) Whit eh e ad, Quarterly Journal, XLII A911), стр. 316—342.
3) Интегралы, равные ker (z) и kei (z), встречаются в мемуаре Гертца (Н е г t z),
Ann. der Physik uud Chemie, C), XXII A844), стр. 450 [Ges. Werke, I A895), стр. 289],

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ
Многочисленные виды разложений, содержащих подобные квадраты и
произведения, были получены Рэсселом; читатель может найти эти формулы
в мемуаре Рэссела, а также в статье Сэвиджа1).
Формулы, аналогичные выведенным в §§ 3.61, 3.62, рассмотрел Уайтхед;
здесь достаточно будет привести следующие:
A2) ber__vB) = cos V7T- berv (z) — sin vtt- [heiv (z) — beiv (z)]9
A3) bei_v (z) = cos vtt • beiv (z) + sin vn - [her, (z) — berv (z)],
A4) her_v (z) = cos viT-herv (z) — sin vtt- heiv(^),
A5) hei_v (z) = sin vtt- herv (z) -f-cos V7r-heivB).
Читатель может построить рекуррентные формулы, которые были под-
подробно разработаны Уайтхедом.
Функции с индексом единица были недавно рассмотрены Смитом2).
3.9. Определение цилиндрических функций
Многие авторы, главным образом Сонин3) и Нильсен4), изучали анали-
аналитические функции двух переменных %4(z), удовлетворяющие паре рекур-
рекуррентных формул:
в которых z и v могут принимать любые комплексные значения. Эти рекур-
рекуррентные формулы удовлетворяются каждым из трех видов бесселевых
функций.
Сонин в своем мемуаре подробно рассматривал также функции, которые
удовлетворяют одной из этих двух формул. Краткое изложение его резуль-
результатов будет дано в гл. X.
Следуя Сонину, мы будем называть всякую функцию #vB), удовлетво-
удовлетворяющую обеим формулам A) и B), цилиндрической функцией.
Комбинируя эти формулы, находим:
C) *«U*) + V«vB) = 2«v-i(*).
D) z%\ (z) — v»v (z) = — z%,+l (z),
и, написав & вместо z (djdz), получаем:
E) (& + v)#v(*)=*«v-lB),
F) (& — V) »,(*) = — 2#v+i(*)-
Таким образом,
(92 — v2) %Л2) = ф — v) {*?,_, (г)) =г (» — v+ 1) gv_t (z) =
ИЛИ
G) V$,(z) = 0.
Отсюда
1) Savidge, Phil. Mag. F), XIX A910), стр. 49—58.
2) Smith, Proc. American Soc. of Civil Engineers, XLVl A920), стр. 375—425.
3) Sonioe, Math. Ann. XVI A880), стр. 1—80.
4) Nielsen, Handbuch der Theorie der Gilinderfunktionen (Leipzig, 1904), стр. 1,
42 и ел.

98
где а^ и &v не зависят от z, хотя они и могут зависеть от v. Подставив
в C), находим:
и в силу того, что J^mml(z)jY^_x(z) не зависит от z, должны выполняться ра-
равенства
Отсюда tfv и ?v должны быть периодическими функциями от v с перио-
периодом, равным единице; и обратно, если эти функции относительно v имеют
период, равный единице, то, как легко видеть, A) и B) удовлетворяются.
Итак, общее решение уравнений A) и B) имеет вид
(8) ?ч (z) = a, (v) Л (г) + <ь2 (v) К„ (z),
где (bj (v) и (Ь2 (v) — произвольные периодические функции от v с периодом,
равным единице. Можно заметить, что эквивалентным решением является
(9) #v (г) = a, (v) tfvA) (*) -f <»4 (v) ^vB) (г).
Уравнение более общего вида, чем A), было исследовано Барнсом (Barnes),
Messenger\ XXXIV A905), стр. 52—71; при некоторых условиях решение выражается
через бесселевы функции, хотя обычно оно содержит гипергеометрические функции.
Замечание. Название цилиндрические функции употребляется Нильсеном
как для обозначения 7V (z), Y^(z\ Н^ (z) и Н^ (z), так и для обозначения функций
более общего вида, рассмотренных в этом разделе. Очевидно, Нильсен следует здесь
принципу, высказанному Миттаг-Лефлером, что нежелательно, вообще говоря, назы-
называть функции именами отдельных математиков.
Название цилиндрических функций обязано своим происхождением тому факту,
что нормальные решения уравнения Лапласа в цилиндрических координатах выра-
выражаются в виде
(см. § 4.8 и Курс современного анализа, ч. 2, § 18.5).
Некоторые авторы *), следуя Гейне2) который называл Jn (г) функцией Фуры —
Бесселя» называют Jn (z) функцией Фурье.
Хотя бесселевы функции с целыми индексами рассматривались задолго до Бесселя
(ср. § 1.3, 1.4), представляется вполне разумным называть их именем Бесселя, и не
только потому что это вошло в привычку, но и благодаря значительному продвиже-
продвижению Бесселем работы своих предшественников с помощью введенного им простого
ц компактного обозначения для этих функций.
Название функции Бесселя впервые употребил Якоби (J а с obi), Journal fur Math.,
XV A836), стр. 13 [Ges. Math. Werke, VI A891), стр. 101].
«Transcendentium l\ naturam variosque usus in determinandis integralibus definitis
exposuit ill. Bessel in commentatione celeberrima» *).
По вопросу о том, какое название на самом деле следовало бы присвоить этим
функциям, нет полного согласия. Полемику на эту тему можно найти в ряде писем
в Nature, LX A899), стр. 101, 174; LXXX1 A901), стр. 68.
1) Напр. Nicolas, Ann. Sci. de VEcole norm, sup., B), XI A882), приложение.
2) Heine, Journal fur Math., LXIX A868), стр. 128. Повидимому, Гейне тоже
поддерживал введение термина цилиндрические функции,
*) «Свойства Ilk и их различное использование в виде определенные интегралов
описал прославленный Бессель в своем знаменитом мемуаре* (Прим. перев.).

Глава IV
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
4.1. Решение уравнения Риккати методом Даниила Бернулли
Решение уравнения
A) ^.z==az"-\-by\
данное Даниилом Бернулли1), заключается в доказательстве того, что при п,
принимающем любое из значений
0# ___ _4_ _4_. ___ _8_ _8_. 12. 12. 16 16
и любых постоянных2) а и b уравнение разрешимо в алгебраических, экспо-
экспоненциальных и логарифмических функциях. Значения п, приведенные выше,
охватываются формулой
где т — нуль или целое положительное число.
Метод Бернулли состоит в следующем. Назовем величину п индексом
уравнения; доказывается, что уравнение общего вида3) с индексом п может
быть преобразовано в уравнение общего вида с индексом N, где
sl также в уравнение общего вида с индексом v, где
D) v = —/I —4.
Уравнение Риккати с индексом нуль, очевидно, интегрируемо, так как
переменные разделяются. Отсюда, но D), уравнение с индексом —4 тоже
4
интегрируемо. И далее, по C), уравнение с индексом — также интегри-
о
руемо. Если, чередуя преобразования C) и D), этот процесс продолжать
далее, то мы получим указанный выше ряд случаев, в которых уравнение
разрешимо, и легко видеть, что эти случаи охватываются общей формулой B).
4.11. Бернуллиевы преобразования уравнения Риккати
Перейдем к рассмотрению метода, с помощью которого производятся
необходимые преобразования.
!) D. Bernoulli, Exerciiaiiones quaedam mathematicae (Venice, 1724), стр. 77—80;
Ada Eruditorum, 1725, стр. 473—475. Обозначения Бернулли нами несколько видо-
видоизменены, и в частности п не предполагается обязательно целым.
2) Предполагается, что а и Ъ — не нули. Если бы какой-нибудь из этих коэффи-
коэффициентов был равен нулю, переменные разделились бы.
3) Т. е. такое уравнение, в котором а и Ь имеют произвольные значения.

100 ГЛАВА IV
Возьмем уравнение § 4.1 A) в качестве стандартного уравнения с ин-
индексом п и произведем подстановку
zn + 1 7 у -
п+1 ' У~~ Y '
[Замечание. Такая подстановка возможна в силу того, что — 1 не находится
среди значений п. У Бернулли множитель п-\-\ в знаменателе отсутствовал; при
наличии же этого множителя преобразованное уравнение оказывается более простым.]
Тогда уравнение принимает вид
ИЛИ
гд /V— — nj(n-\-\)\ это — уравнение общего вида с индексом N.
Введем, далее, в уравнение § 4.1 A) подстановку
1 _С_ „2
z — у> У— ь ГЬ •
Тогда уравнение принимает вид
где v = — п — 4; это — уравнение общего вида с индексом v.
Преобразования, о которых шла речь в § 4.1, таким образом, выпол-
выполнены, и поэтому в перечисленных ранее случаях уравнение разрешимо.
Однако этот способ не дает решения в компактном виде.
4.12. Предельный вид уравнения Риккати с индексом —2
Если процесс, описанный в §§ 4.1, 4.11, прилагать к уравнению Риккати
неограниченное число раз, то значение, к которому стремится индекс, когда
в равенстве § 4.1B) т—^оо, будет равно —2. Следовательно, уравнение
с индексом — 2 не разрешимо посредством конечного числа преобразований
только что рассмотренного вида.
Чтобы решить уравнение с индексом — 2, а именно,
положим y = v\z\ тогда уравнение примет вид
это — уравнение с разделяющимися переменными.
Таким образом, и в этом предельном случае уравнение Риккати все еще
разрешимо в элементарных функциях.
Это решение в неявном виде было дано Эйлером (Euler), Inst. Calc. Int., II
(Петербург, 1769), § 933, стр. 185. Если положить (ср. § 4.14) у = — -—^р-, то урав-
уравнение для определения rj будет иметь вид
d2r\ , abr\

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 101
оно однородно и, следовательно, разрешимо без всякого затруднения [В. В. Сте-
Степанов, Курс дифференциальных уравнений, гл. IV, § 3, В, стр. 163 A945)].
Эйлер, повидимому, не указывал этого предельного случая уравнения Риккати
в явном виде, хотя он дал решение однородного линейного уравнения, а также
указал преобразование, связывающее любое уравнение типа Риккати с линейным
уравнением.
Ниже (§§ 4.7—4.75) мы увидим, что только что разобранные случаи являются
единственными, в которых уравнение Риккати разрешимо в конечном виде; другими
словами, уравнение Риккати разрешимо тогда и только тогда, когда индекс прини-
принимает одно из значений
0; --, --; --, --?-; ...• -2
или в тривиальных случаях, когда а или Ь (или оба одновременно) равны нулю.
Эта обратная теорема, доказанная Лиувиллем, разумеется, значительно тоньше,
чем теорема Бернулли о разрешимости уравнения для этих специальных случаев.
4.13. Решение уравнения Риккати методом Эйлера
Практический метод построения решения уравнения Риккати (в случаях,
когда оно разрешимо) был найден Эйлером *); мы приводим его здесь с не-
небольшими изменениями обозначений.
Сначала преобразуем уравнение Риккати [§ 4.1 A)], вводя новые пере-
переменные и постоянные следующим образом:
A) У = — Ф, ab = — c2, n = 2q — 2;
преобразованное уравнение будет иметь вид
и будет разрешимо в тех случаях, когда \\q — целое нечетное число.
Введем новую переменную с помощью уравнения
j , 1 dw л
\ * • ' w dz '
тогда уравнение B) примет вид
Решением последнего уравнения в виде ряда будет:
w=J?-i<*-1) у А -v
где положено
=
Ar $qc(r+l)
и если q принимает одно из значений ±\1Bт-{-\), ряд обрывается на члене
Amz~qm\ этот способ дает решение2), изученное Бернулли.
Общее решение уравнения Риккати было дано в явном виде Харгрейвом
(Hargreave), Quarterly Journal, VII A866), стр. 256—258, в излишне сложной
форме; двумя годами позже Кэли (С а у 1 е у), Phil. Mag. D), XXXVI A868), стр. 348—
351 [Collected Papers, VII A894), стр. 9—12], дал общее решение в виде, сильна
1) Euler, Nov. Comm. Acad. Petrop., VIII A760—1761) A763), стр. 3—63; а также
IX A762—1763) A764), стр. 154—169.
2) Когда индекс п уравнения Риккати равен —2, уравнение D) будет одно-
однородным.

102 ГЛАВА IV
напоминающем частное решение Эйлера; основная разница между этими двумя реше-
решениями состояла в перестановке членов ряда.
Кэли пользовался несколько более простым видом уравнения по сравнению
с B), так как он выбрал постоянные множители при обеих переменных в уравнении
Риккати с таким расчетом, чтобы привести его к виду
E) §4-^—С""а = 0.
4.14. Общее решение уравнения Риккати, данное Кэли
Мы видели, что уравнение Риккати может быть приведено к виду
g+ч2—<**«-*=о,
полученному в § 4.13 B); эта форма уравнения Рнккати будет рассматри-
рассматриваться как каноническая. Сейчас мы приведем метод решения этого уравне-
уравнения, данный Кэли !).
После подстановки2) r^ = d(lnv)ldz уравнение принимает вид
A) g —Лг2*-Ч, = 0;
и если ил и U2 — фундаментальная система решений этого уравнения, то
общим решением канонического уравнения Риккати будет
где Cj и С2 — произвольные постоянные, а штрихи обозначают дифференциро-
дифференцирование по z.
Чтобы выразить иг и U2 в конечном виде, положим
v = w exp (czq\q),
так что уравнение, которому удовлетворяет w, будет § 4.13 D). Решение
этого уравнения относительно w, расположенное по возрастающим, степе-
степеням zq, имеет вид
9A1) ~^q(qlJqBq\)CZ
(У—DCy—1)Eу—1)
q(q~lJqBq~~lKqCq~\)C * Г " ' '
Положим теперь Ut равным функции exp(czqlg), умноженной на этот ряд.
Уравнение A) не изменит своего вида, если переменить знак перед с, и мы
можем положить
1
оба эти ряда обрываются, если q является величиной, обратной нечетному
положительному числу. Поскольку отношение иг:и2 представляет собой
1) Gay ley, Phil. Mag. D), XXXVI A868), стр. 348—351 [Collected Papers, VII
A894), стр. 9—12]. Ср. также мемуары Эйлера, цитированные в § 4ЛЗ.
2) Это, конечно, та самая подстановка, которой в 1702 году пользовался Яков
Бернулли; ср. § 1.1.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
103
показательную функцию exp Bcz4jq), умноженную на алгебраическ-ую функ-
функцию от zQ, оно не может быть постоянным; и, таким образом, U^, U? образуют
фундаментальную систему решений уравнения A).
Если бы q было величиной, обратной нечетному отрицательному числу,
мы должны были бы записать A) в виде
откуда вытекало бы, что
•c2z2v-h... .
где Yi и Y2—постоянные, и что
Эти ряды будут изучены более подробно в §§ 4.4—4.42.
В случаях, когда уравнение Риккати разрешимо в конечном виде, читателю
нетрудно будет построить нижеследующие его решения:
(i)
(И)
(ш)
Уравнение
(drlldz) + rl2=\
{dt\ldz)-\-T?=z-^
(dflldz) + Tl2r=z'~SIS
Значения Ub U2
exp(zt2r)
A ц=3^1/3)ехр(±3^1/3)
(lnr5^5+f ^2/5)exp(±5^5)
(i)
(ii)
(in)
Уравнение
(drildz) + rl2~z-4
(dflldz) + fi2^z~813
(drlldz) + r]2=z-nls
Значения Vb V2
z exp (it \jz)
z(\ + 3*-1/3 exp (± 3^~1/3)
zfl? Sz-W + ^ z-^\ ехР(± bz~ W)
Заметим, что ряды Ь'ъ U2 (или, может быть, Vb V2) предполагаются обрываю-
обрывающимися на члене, предшествующем первому из членов, содержащему в числителе
нуль; см. § 4.42 и Глезер (G 1 a i s h e r), Phil. Trans, of the Roy. Soc, CLXXII A881),
стр. 773.
Среди авторов, изучавших уравнение A), укажем Куимера (К u m m e r), Journal
fur Math.. XII A834), стр. 144—147. Лобатто (Lobatto), Journal fur Math., XVII
A837), стр. 363—371, Глезера (см, мемуар, на который мы только что ссылались)
и Сюшара (Sue ha r), Bull, de la Soc. Math.de France, XXXII A904), стр. 103—116;
дальнейшие ссылки см. в § 4.3.
Читатель заметит, что при ^ = 0 уравнение A) является однородным и сразу
разрешается. Уравнение второго порядка, решенное Яковом Бернулли (§ 1.1), полу-
получается, если положить в A) q = 2 оно, таким образом, не входит в число раз-
разрешимых случаев.

104 ГЛАВА IV
4.15. Уравнение Риккати в канонической форме Шлефли
Уравнение Риккати, изучавшееся Шлефли!), имеет вид
A) d± = ta_t-a^u2.
Оно легко сводится к виду § 4.13 B), если взять —t~a/a в качестве нового
независимого переменного.
Чтобы решить рассматриваемое уравнение, Шлефли положил
dt
и пришел к уравнению
Если 2)
оо
F(a, t)=T
то общим решением этого уравнения относительно у будет
у =cxF(a, t) + c2t~"F(—a, t).
Решением A) тогда будет
l*)+ c2F(~ a—\,t)
cxF(a,t) + c2t aF(—a,t)
Таким образом, связь между уравнением Риккати и уравнением Бесселя ста-
становится очевидной; для того же, чтобы выявить связь между решением Кэли и
решением Шлефли, необходимо несколько более длинное исследование (§ 4.43).
Замечание. Функция <р (z), определенная в виде ряда
Х~^Т~*Г~2 ' z(z+\)~^~2^3 " z(z + l)\
которую, очевидно, можно, выразить через функцию Шлефли, была использована
Лежандром (L e g e n d r e), Elements de Geometrie (Paris, 1802), замечание 4, при до-
доказательстве иррациональности числа я.
Позднее эту функцию (в другом обозначении) изучал Клиффорд (KHfford); см. пос-
посмертный отрывок в его Math. Papers (London, 1882), стр. 346—349.
Очевидно, что
и в силу того, что при рассмотрении некоторых проблем устойчивости вертикальных
нитей, находящихся под действием силы тяжести, обозначение Шлефли — Клиффорда
упрощает анализ, недавно было предложено 3) заменить стандартные обозначения бес-
!) Schla"f I i, Ann. di Mat., B) I A868), стр. 232. Читатель заметит, что решение
Бернулли в виде ряда (§ 1.1) скорее должно связываться с решением Шлефли, чем
с решением Кэли.
2) Это обозначение следует сравнить с обозначением из § 4.4.
3) Greenhill, Engineering, GVII A919), стр. 334; Phil. Mag. F), XXXVIII A919),
стр. 501—528; см. также" Engineering, GIX A920), стр. 851.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 105
селевых функций на обозначения Шлефли — Клиффорда — предложение, которое пред-
представляется эквивалентным предложению о замене таблиц обычных тригонометриче-
тригонометрических функций таблицами функций
Bл)!'
0
4.16. Различные исследования уравнения Риккати
Решение уравнения Риккати, содержащее определенные интегралы, было полу-
получено Мэрфи (Murphy), Trans. Camb. Phil. So^., Ill A830), стр. 440—443. Уравнение,
которое он рассматривал, имеет вид
и если обозначить 1 /(/те -(- 2) через а и A-1d (lny) \dt через н, то решением его (при
АВа2 — 1) будет
1
I jVi [<р(/г)ехр(^//г) + <р A/Л) exp (htVa)] dh,
где
Г
0
hh°~1dh~ V
0 я=0
Если во второй части интеграла обозначить \\h через /г, то последнее выражение
для у окажется равным %Н, умноженному на вычет функции h~~1^ (/г) exp (tlla[h) от-
относительно начала координат, и связь между решением Мэрфи и решением Шлефли
(§ 4.15) становится очевидной.
Чаллис (GhalHs), Quarterly Journal, VII A866), стр. 51—53, связал два уравнения
типа § 4.13 B), а именно,
в одном из которых 1/# — нечетное положительное число, а в другом — нечетное
отрицательное число. Это исследование можно поставить в связь с построением двух
видов решений, данных в § 4.14.
Уравнение
^ + —
dz ' z
которое легко преобразуется в уравнение типа Риккати, если взять zn~~a+1 и z<*a
в качестве новых переменных, изучал Роусон (Raw son), Messenger, VII A878),
стр. 69 — 72. Он преобразовал это уравнение к виду
Х
dz z
положив bu~cz«ly\ эти два уравнения называются уравнениями родственными (cog-
(cognate) уравнениям Риккати. Уравнение, несколько напоминающее последнее, Брассин
(Brassinne), Journal de Math., XVI A851), стр. 255 — 256, свел к уравнению типа
Риккати.
Взаимная связь уравнений различных типов, которые принимались теми или дру-
другими авторами в качестве канонических форм уравнения Риккати, рассмотрена в статье
Гринхилла (Green hi 11), Quarterly Journal, XVI A879), стр. 294 — 298.
Читатель может познакомиться также с небольшой работой Сиаччи (Siacci), Na-
poli Rendiconti, C) VII A901), стр. 139—143. Монографию об уравнении Риккати,
которая, повидимому, содержит большинство результатов этой главы, написал М. Фельд-
блюм (Варшавские Университетские Известия, 1898, №№ 5, 7).

106
4.2. Обобщенное уравнение Раккати
Уравнение
где Р, Q, R — любые заданные функции от z, является очевидным обобще-
обобщением уравнения, рассмотренного в § 4.1. Такое уравнение изучал Эйлер1).
Предполагается, что ни Р, ни R не равны тождественно нулю, так как
если Р или R оказывается нулями, уравнение легко интегрируется в квад-
квадратурах.
Энестрем (Е nest rom), Encyclopedic des Sci. Math., II, 16, § 10, стр. 75, отме-
отметил, что специальное уравнение этого типа, а именно
пхх dx — пуу dx -\-xxdy = xy dx,
рассматривал Манфредиус (М а п f г е d i u s), De constructions aequationum differentialum
primi gradus (Bologna, 1707), стр. 167. «Sed tamen haec eadem aequatio non apparet
quomodo construibilis sit, neque enim videmus quomodo illam integremus, nee quomodo inde-
terminatas ab invicem separemus». *)
Уравнение A) легко приводится к линейному уравнению второго порядка,
если ввести новое зависимое переменное и, определяемое уравнением2)
/r.. I din и
<2) y=--R-dT-
После этого A) принимает вид
/о\ ^и
C) _
Обратно, если в общем линейном уравнении второго порядка
dzu , du , л
(где /70, р1? р2, — данные функции от z) положить
E) u = efyd*,
то для определения у мы будем иметь уравнение
{Ь) dz р0 р0У У*
принадлежащее к тому же типу, что и A). Таким образом, установлена пол-
полная эквивалентность обобщенного уравнения Риккати с линейным уравнением
второго порядка.
Уравнения этого параграфа были рассмотрены Анисимовым, Варшавские Уни-
Университетские Известия, 1896, стр. 1—33. [Jahrbuch ilber die Fortschritte der Mat К
A896), стр. 256.]
1) Euler, Nov. Comm. Acad. Petrop., VIII A760—1761) A763), стр. 32; см. также
небольшую работу Джонсона (W. W. Johnson), Ann. of Math., Ill A887),
стр. 112—115.
*) О решении дифференциального уравнения первого порядка (Болонья, 1707),
стр. 167. «Неизвестно, как решается это уравнение; мы не видим способа ни проинте-
проинтегрировать его, ни разделить переменные». (Прим. перев.)
2) Обобщение подстановки Якова Бернулли (§ 1.1); см. также Эйлер (Euler),
last. С ale. Int., II (Петербург, 1769), §§ 831, 852, стр. 88, 104.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 107
4.21. Теоремы Эйлера об обобщенном уравнении Риккати
Эйлерг) показал, что если известно одно частное решение обобщенного
уравнения Риккати, то общее решение может быть получено двумя квад-
квадратурами; если же известны два частных решения, то общее решение может
быть получено с помощью одной квадратуры2). Наконец, Вейр и Пикар уста-
установили, что при трех известных частных решениях общее решение может
быть получено без квадратур.
Для доказательства первого результата будем считать ^о частным реше-
решением уравнения
и положим y=yo-^-\jv. Относительно v мы получим уравнение
g + (Q + 2/?j>0)
решением которого будет
^ехр{ J(Q + 2tfyo)<fe}+Jflexpj
и поскольку v=\j(y—у0), справедливость первой теоремы доказана.
Для доказательства второй теоремы будем считать у0 и у1 двумя част-
частными решениями и положим
В результате подстановки в уравнение выражения (y^w — у0) j (w—1) вместо
у получим:
Уо~У\ dw i w *У\ L_ ^Уо р\п У1™—Уо \ р (У^ — УЛ 2
(w—\J dz^w—Xdz w~\dz ~х~v w—\ ~^~ \ w—\ )
и далее, подставляя вместо -—¦ и -~ выражения Р -\-Qyx-\- Ry\ и P-{-Qy0 -\>
-\-Ryl, приведем последнее уравнение к виду
\ dw n р,
n-Tz = Ry* — Ry»
откуда
w =
= с exp {^(Ry0 —
где с — постоянная интегрирования. Таким образом, из уравнения, опреде-
определяющего w, явствует, что у выражается функцией, которая содержит одну
единственную квадратуру.
Для доказательства третьего результата будем считать у0 и уг задан-
заданными решениями, а у2 — третьим решением, причем с' будет значением, которое
нужно приписать с, чтобы у сводилось к у2. Тогда
ZZlZo — JL .У2—Уо
У—У\ сг\у2—у1'
что и является решением, не содержащим квадратур.
Итак, общее решение выражается в виде
Cf,(z)+f2(z)
у Ch(
1) Euler, Nov. Comm. Ac ad. Pet гор., VIII A760—1761) A763), стр. 32.
2) /Ш„ стр. 59 и IX A762—1763) A764), стр. 163—164. См. также Minding,
Journal fur Math., XL A850), стр. 361.

108
Отсюда ясно, что если yv у2, у2У у±—любые четыре решения, получае-
получаемые путем придания постоянной С соответственно значений Cv C2, С3, С4, то
ангармоническое отношение
(
не зависит от z, поскольку оно равно
(Сг~ C2)(Cz — С4)
(Сг —С4)(С3 —С2)*
Несмотря на очевидность этой теоремы, ее впервые отметили, повидимому,
всего лишь около сорока лет* тому назад1).
Другие свойства обобщенного уравнения Риккати могут быть получены
из свойств соответствующего линейного уравнения (§ 4.2). Так, например,
Раффи2) дал два метода приведения уравнения Риккати к каноническому виду
da , „ п./р-ч
они соответствуют методам приведения линейного уравнения к нормальному
виду путем замен зависимого и независимого переменных.
Различные свойства решений уравнения Риккати, в котором Р, Q, R—рацио-
R—рациональные функции, получил Хилл (С. J. D. Hill), Journal far Math., XXV, A843),
стр. 23—37; Отон (A u t о п п е), Comptes Rendus, XCVI A883), стр. 1354—1356; CXXVIII
A899), стр. 410—412 и Жаме (Jamet), Comptes Rendus de VAssoc.Francaise (Ajaccio)
A901), стр. 207—228; Ann. de la Fac. des Sci. de Marseille, XII A902), стр. 1—21.
Поведение решения вблизи особенностей функций Р, Q, R изучал Фаяькенгаген
(F а 1 ken ha gen), Nieuw Archief voor Wiskunde, B), VI A905), стр. 209—248.
Уравнение второго порядка, решением которого является
^
где сь с2, съ — постоянные интегрирования (оно является очевидным обобщением реше-
решения уравнения Риккати), изучали Вессио (Vessiot), Ann. de la Fac. des Sci. de Tou-
Toulouse, IX A895), №6 и Валленбург (W a 11 e n b ur g), Journal fur Math., CXXI A900),
стр. 210—217; и Comptes Rendus, CXXXVII A903), стр. 1033—1035.
4.3. Различные преобразования уравнения Бесселя
Уравнения, к исследованию которых мы приступаем, получаются из урав-
уравнения Бесселя путем элементарных преобразований зависимого и независимого
переменных. Первым типом, который мы рассмотрим, будет3)
A)
dz2
где с — любое постоянное число. Это уравнение часто встречается в физи-
физических исследованиях, причем р бывает обычно целым.
С таким уравнением встречались в теории теплопроводности и теории звука
Пуассон (Poisson), Journal de VEcole Polytechnique, XII (тетрадь 19), A823),
стр. 249—403; Стоке (Stokes), Phil. Trans, of the Roy. Soc, A868), стр. 447—464 [Phil.
Mag. D), XXXVI A868), стр. 401—421; Math, and Phys.'Papers, IV A904), стр. 299—324],
1) Weyr, Abh. bohm. Ges. Wiss., F) VIII A875—1876); Math. Mem., I, стр. 30;
Picard, Ann. Sci. de VEcole norm. sup. (9), VI A877), стр. 342—343. Тезисы Пикара,
содержащие этот результат, посвящены теории поверхностей и кривых двойной кри-
кривизны, где уравнение Риккати находит различные применения.
2) Raff у, Nouv. Ann. de Math., D), II A902), стр. 529—545.
3) См. PI an a, Mem. della R. Accad. delle Sci di Torino, XXVI A821), стр. 519—538
и Р а о 1 i, Mem. di Mat, e di Fis. della Soc. Italiana delle Sci., XX A828), стр. 183—188.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 109
Рэлей (Rayleigh), Proc. London Math. Soc, IV A873), стр. 93—103, 253—283 [Sci-
[Scientific Papers, I A899), стр. 138, 139]. Частный случай уравнения, в котором />=2,
встречается в теории фигуры Земли; см. Эллис (Е I H s), Camb. Math. Journal, II A841),
стр. 169—177, 193—201.
Поскольку уравнение A) может быть записано в виде
?{ ( ) >"i =0;
его общим решением будет
1
B) u = z2(e k{ciz).
Р ' 2
Следовательно, это уравнение эквивалентно уравнению Бесселя для об-
общего р и, таким образом, заменяя изучение уравнения Бесселя изучением
уравнений типа A), мы не получаем никакой выгоды. Однако в случае, когда
р — целое, решения уравнения A) выражаются в конечном виде1) (ср. § 3.4),
и тогда часто бывает желательно рассматривать A) как каноническую форму.
Взаимная связь различных типов решений уравнения A) будет подробно изу-
изучена в §§ 4.41—4.43.
Другой тип уравнения получается из A) с помощью такого преобразо-
преобразования зависимого переменного, в результате которого у определяющего
уравнения оказывается нулевой корень. Корнями определяющего уравнения
для уравнения A) будут р-\-\ и — р, и мы положим а = vz~P\ таким образом
мы приходим к уравнению
C) ?|
v ' dz2 z
общим решением которого является
Уравнение C), которое подробно изучил Бах (Bach), Ann. Sci. de, VEcole norm-
sup., B), HI A874), стр. 47—68, встречается в некоторых физических исследованиях*'
см. Лоренц (Lorenz L), Ann. der Physik und Chemie, B), XX A883), стр. 1—21 [Oew
vres Scientifiques, I A898), стр. 371—396]; и Ламб (Lamb), Hydrodynamics (Cambridge,
1906), §§ 287—291. Решения уравнения C) в форме непрерывных дробей (ср. §§ 5.6,
9.65) исследовал Каталан (Catalan), Bulletin de VAcad. R. de BelgiqueyB\ XXXI A871),
стр. 68—73. См. также Ле-Пэж (Le Paige), там же, B) XLI A876), стр. 1011—
1016, 935—939.
Наконец, из уравнения C) путем замены независимого переменного мы
можем получить уравнение в нормальной форме. Положив z=?4jq, где
q= I/ Bp-\- 1), мы придем к уравнению
E)
решением которого будет
F) v =
Если включить постоянный множитель в знак Й\ то решение можно записать
в виде
1) Это было известно Плана, который изучал уравнения A) и E) в статье, на
которую мы только что ссылались.

110 ГЛАВА IV
Уравнение E), с которым мы уже встречались в § 4.14, изучали Плана (Р 1 а п а)
Mem. delta R. Accad. delle Sci. di Torino, XXXVI A821), стр. 519—538; Кэли (С а у ley).
Phil. Mag. D), XXXVI A868), стр. 348—351 [Collected Papers, VII A894), стр. 9—12];
и Ломмель (Lommel), Studien tiber die Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1868).
стр. 112—118.
Только что построенная система уравнений систематически рассматривалась
Глезером1); важнейший его мемуар содержит интересный обзор исследований
более ранних авторов.
Эти же уравнения изучал с иной точки зрения Хентцшель2), рассматри-
рассматривавший их как вырожденную форму уравнений Ламе, в которых оба инвари-
инварианта g2 и gB суть нули.
Нижеследующие работы Глезера также должны быть приняты во внимание: Phil.
Mag., D) XLIII A872), стр. 433—438; Messenger, VIII A879), стр. 20—23; Proc. London
Math. Soc, IX A878), стр. 197—202.
Приведем несколько видов записи уравнения A), принадлежащих различным
авторам.
(Пуассон)
(Глезер)
С уравнением A) Гринхилл3) встретился в своих исследованиях об устойчивости
вертикального стержня переменного сечения под действием силы тяжести. Когда попе-
поперечное сечение стержня постоянно, получается специальное уравнение, в котором
3 1
д—т; » и решение его выражается через функции Бесселя с индексом it-тт.
Z о
4.31. Преобразования уравнения Бесселя по методу Ломмеля
Ломмель рассматривал различные виды преобразований уравнений Бес-
Бесселя два раза; его более ранние исследования 4) носили несколько специальный
характер, позднейшие5) были более общими.
В своих ранних исследованиях, заметив, что общим решением уравнения
I1' dz2 z dz
является
B) y = z^(z),
Ломмель путем прямого преобразования построил уравнение, общим решением
которого является г^~л%>у(уг$), где а, р, у — постоянные. Мы ограничимся
здесь лишь приведением его результата, заключающегося в том, что общим
решением уравнения
C) ^g
является
D) и =
1) G1 а i s h e r, Phil. Trans, of the Roy. Soc, CLXXII A881), стр. 759—828; см. также
статью Куртиса (Curtis), Cambridge and Dublin Math. Journal, IX A854), стр. 272—290.
2) Haenhtzschel, Zeitschrift fur Math, und Phys., XXXI A886), стр. 25—33.
3) Green hi 11, Proc. Camb. Phil. Soc, IV A883), стр. 65—73.
4) Lommel, Studien uber die Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1868), стр. 98—120,
Math. Ann., Ill A871), стр. 475-487.
5) Lommel, Math. Ann., XIV A879), стр. 510—536.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 111
При р = О общее решение уравнения C) вырождается в
( + l)
а при y = 0 оно вырождается в
если только pv не равно нулю.
Решение уравнения C) в явном виде было дано во многих частных случаях. Для
справок достаточно будет привести следующие формулы:
G) *g + (i ,)
u=z'%m{v'i
S—0=
Об исследованиях Стокса, относящихся к решению уравнения A1), будет сказано
ниже в §§ 6.4, 10.2.
Более поздние исследования Ломмеля появились почти одновременно
с мемуаром Пирсона1), и некоторые результаты оказываются для обеих этих
работ общими. Ломмелевский метод состоял в упрощении уравнения2)
\yll (г) \ 2v—\d {уft (г)\ . у ^ Q
решением которого будет (§ 4.3)
A2) У =
После подстановки уравнение примет вид
VB) ! 2
Теперь определим функцию tp (г) уравнением
<р(г) f(«)^V ^
Эквивалентный результат получится, если положить
A4) V(z)=V (z){l(z)}2№(z)}**-1'
1) Pearson, Messenger, IX A880), стр. 127—131.
2) Функции i (z)и Ф ('г)"~~ произвольны.

112
Исключив х (z), мы найдем, что общим решением уравнения
d*y_fjzldy_ , ГЗ J y'(z)y I f(z) 3 f ?'(z)\2
1 } dz2 <?(z) dz* [4 X <p (*)/ 2 ?(*} 4 \<|/(*)/ "Г
очевидно, будет
В частном случае, когда <р (г) = 1, общим решением уравнения
~
является
A8) ^ = Кф(^)/Ф'(^)-
Наконец, возвращаясь к A3) и полагая j[ (z) ^ {ф(^)}1*", мы находим, что
общее решение уравнения
имеет вид
B0) >*={*
Следующие уравнения являются частными случаями уравнения A7):
B1) g_|_(ew_v*)y = 0; у = %Ле%
B2) ^g+ г4 у = 0; у = г%у(е4%
Пирсон в своих исследованиях шел независимо весьма сходными путями,
за исключением того, что он отправлялся от уравнения Бесселя, а не от его
модифицированной формы. Читатель может найти в его работе несколько
частных случаев уравнения A7), не записанных здесь.
Дифференциальное уравнение в частных производных, тесно связанное с G)
и (8), а именно,
д* ч да ди Л
H
изучалось Кепинским (К ер in ski), Math, Ann., LXl A906), стр. 397—405, и Миллер-
Лебедевой (М у 11 er-L e b ed e f f), Math. Ann., LXVI A909), стр. 325—330. Читатель
может проверить, что формула Кепинского
—J— ехр \-
f{w)dw
определяет решение; здесь f(w) означает произвольную функцию от w.
Частный случай уравнения, когда v—l, был также рассмотрен Кепинским (К е-
pinski), Bull. int. de VAcad. des Set. de Cracovie, 1905, стр. 198—205.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 113
4.32. Дифференциальное уравнение Мальмстена
За двадцать лет до того, как Ломмель опубликовал свои исследования, касаю-
касающиеся преобразований уравнения Бесселя, Мальмстен1) рассматривал условия интег-
интегрируемости в конечном виде уравнения
которое, очевидно, является обобщением уравнения Бесселя; оно также является част-
частным случаем § 4. 31 A5).
Чтобы преобразовать уравнение, Мальмстен вводит новые переменные с помощью
формул
где р, q — постоянные, которые должны быть подобраны соответствующим образом.
Преобразованное уравнение имеет вид
Постоянные pug выбираются так, чтобы полученное уравнение сводилось
к уравнению § 4.3 A), рассмотренному Плана. Таким образом, получаем:
откуда р— — -г —-т.
Теперь уравнение сводится к
АА . q*\4s + (l — rf\—1 |
+ ?-- —-yi — | и.
По § 4.3, оно интегрируется в конечном виде, если
где п—целое; таким образом,
Уравнение, очевидно, интегрируется также в тривиальных случаях А = 0 и т = —2.
4.4. Обозначения Похгаммера для обобщенных гипергеометрических
рядов
Компактное обозначение, предложенное Похгаммером2) и усовершенство-
усовершенствованное Барнсом3), будет весьма удобным при изучении рядов, которыми мы
займемся ниже. Мы будем писать
(а)л = а(а+- 1) (а —{-- 2)... (а-\-п— 1), (аH = 1.
1) М a I m s t e n, Camb. and Dublin Math. Journal, V A850), стр. 180—182. Случай
s~0 был рассмотрен Мальмстеном ранее, Journal fur Math., XXXIX A850),
стр. 108—115.
2) Poch hammer, Math. Ann., XXXVI A890), стр.84; XXXVIII A891), стр.227,
586, 587; ср. § 4.15.
3) Barnes, Proc. London Math. Soc, B), V A907), стр. 60. Варне ввел в употре-
употребление два индекса р и q перед и после F, чтобы явно показать число групп мно-
множителей.

114 ГЛАВА IV
Обозначение, о котором идет речь, имеет следующий вид:
F (а а а- о о о • г) — У ^^-'^ zn
pFq (av аг, ¦.. , ар, р„ р„ ..., р,, г) — ^ п[ ^^ ^ г .
В частности,
/2=0
00
*zn.
Функции, определяемые первыми двумя рядами, называют обобщенными
гипергеометрическими функциями,
Здесь можно упомянуть, что функция XFX (a; p; z) является решением диф-
дифференциального уравнения
и если р—нецелое число, то независимым решением этого уравнения будет
*i-p, xF\(a — p + l;2 — p;z).
Очевидно,
1-гУ
Различные интегральные представления функций вида iFb 0F2y 0^з изучались
Похгаммером (Р о с h h a m m е г), Math. Ann., XL1 A893), стр. 174—178, 197—218.
4.41. Различные решения в виде рядов
Сейчас мы переходим к изучению различных решений уравнения
и к установлению связей между ними; при этом мы будем, в основном, поль-
пользоваться обозначениями Похгаммера.
Сначала мы будем предполагать, что р не является целым положительным
числом или нулем и, равным образом, поскольку уравнение не изменяется
при замене р на — р—1, будем считать, что р не есть целое отрицательное
число.
I
Из § 4.3 уже известно, что общим решением1) будет zz% x (ciz) и что
Р~Т~2
из него могут быть получены частные решения
х) Из § 3.1 следует, что необходимо специальное исследование также в случае,
когда р равно половине нечетного числа.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 115
Рассматриваемое уравнение можно переписать в виде
что подсказывается тем фактом, что функции e—cz являются решениями исход-
исходного уравнения без правой части.
Написав О- вместо 2-т-, мы можем представить два последних уравнения.
в виде
(О — /7 — 1) @ -[- р) - (ue^cz) ± 2cz§ (ue^cz) = 0.
Если выписать их решения в виде рядов, то получим для и следующие четыре
выражения:
\ 2p-\-2;—2cz); z-Pe^^F^—p; — 2p; — 2cz)\
2p + 2;2cz); z~Pe~c*. tFt (—p; — 2p; 2cz),
Далее, простым умножением рядов два выражения слева могут быть пред-
представлены в виде рядов по возрастающим степеням, содержащих члены zP+1,
zp+2, zp+3,... . Подобным же образом выражения справа будут содержать
z~~p, z1"p1 z2~p,.... В силу того, что ни одна из групп степеней не повто-
повторяется, если только 2р—не целое, должны иметь место равенства
A) е". ,/=", (р + 1; 2р + 2; — 2«г) = е-«. ,F, (р + 1; 2р + 2; 2cz) =
=«Л (/> + §'• тЛ2)>
B) <**. ,/=•, ( — р; — 2р; — 2cz) = е~<*. ,/=¦, (— р; — 2р; 2cz) =
Эти формулы нашел Куммер1). После того как A) доказано для произ-
произвольных значений /?, справедливость B) становится очевидной, если заменить
в A) р на — р— 1.
Теперь нам осталось рассмотреть случай, когда 2р — целое число.
Если р имеет одно из значений -^ , --- , —,..., то решения, содержащие
z~p в качестве множителя, должны быть заменены рядами, содержащими лога-
логарифмы (§ 3.51, 3.52), и имеется единственное решение, содержащее только
степени z. В силу предшествующих рассуждений, равенство A) остается спра-
справедливым.
Если р имеет одно из значений 0, 1, 2,..., то сравнение наименьших
степеней z, входящих в решения, показывает, что A) все еще остается спра-
справедливым. Однако не является очевидным отсутствие соотношений вида
где ku k2 — постоянные, не равные нулю.
Поэтому мы должны будем дать независимое исследование равенств A)
и B), основывающееся на прямом умножении рядов.
1) Kummer, Journal fur Math., XV A836), стр. 138—141.

116 ГЛАВА IV
Замечание. В дополнение к исследованиям Куммера читатель может озна-
ознакомиться с исследованиями рядов, принадлежащими Кэли (С а у 1 е у), Phil, Mag,, D),
XXXVI A868), стр. 348—351 [Collected Papers, VII A894), стр. 9—12] и Глезеру
(Glaisher), Phil. Mag., D) XLIII A872), стр. 433—438; Phil. Trans, of the Roy. Soc,
GLXX1I A881), стр. 759—828.
4.42. Соотношения между решениями в виде рядов
Первое из равенств § 4.41 A), а именно,
ee2iFiU>+*u> 2/? + 2; — 2cz) = e-e*1F1(p+ 1; 2/7 + 2; 2сг\
представляет собой частный случай полученной Куммером]) формулы
A) лРЛ*\ р; С) = ^,Л(р —а; р; — О,
справедливой для всех значений аир, отвечающих определенным условиям (кото-
(которые будут сейчас установлены), налагаемым в тех случаях, когда аир при-
принимают целые отрицательные значения.
Мы предположим сначала, что р не является целым отрицательным чис-
числом; тогда коэффициенты при ?л в разложении произведения рядов для е^
и jFj (р — а; р; — Q будут иметь вид
у (-1)" (Р-«)*,_(-*)* у г /0_ач П—о —irt —
2+(п — т) т\(р)т ~п\{р)а lun m' l? )m{ P пЫ-т —
Здесь мы сначала воспользовались теоремой Вандермонда 2), а затем переста-
переставили множители в знаменателе; последнее выражение является коэффициентом
при С1 в xFy (a; p; Q. Таким образом, требуемое соотношение установлено для
случая, когда аир имеют любые комплексные значения 3).
Когда р — отрицательное целое число, равенство A), очевидно, теряет
смысл, если только а—неотрицательное целое число, удовлетворяющее усло-
условию |а|<Ор|. ^Ри этих условиях равенство A) может быть интерпретиро-
интерпретировано при помощи соответствующего предельного перехода.
Предположим сначала, что а—целое отрицательное число ( = — N)>
а р — не целое, т. е. что имеют место условия, при которых справедливо преды-
предыдущее рассуждение. Ряд 1F1(— N; p; Q будет в этом случае обрывающимся,
тогда как ряд 1/:г1 (р —J—./V; р; —?) оказывается бесконечным; в последнем
после первых N-{-1 членов идут члены, в которых начальные множители
р —J— А/', р —|— А/" —J— 1, р —J— Л/" —|— 2, ... из последовательностей, находящихся в
числителях, можно сократить с последними множителями в последовательностях
р? p-j-1, p-f-2, ..., находящихся в знаменателях.
После сокращения этих множителей ряд для ^ (—N; p; Q и ряд для
^(p-J-yV; р; — Q будут представлять непрерывные функции от р вблизи
р=—уИ, где М — любое из целых чисел Л/, N-f-1, A/-f-2,... .
!) V and erm o nde, Journal fur Math., XV A836), стр. 138—141; см. также
Бах (Bach), Ann. Sci. de I'Ecole norm, sup., B), 111 A874), стр. 55.
2) См. например, Ghrystal, Algebra, II A900), стр. 9. [Теорема Вандермонда
выражается равенством
(Р + <I)s = (P)s + sCi (P)s-i (Як + SC2 (Pb-2 (ЯJ + • • • + (?Ь-
Прим. ред.]
3) Другое доказательство, опирающееся на теорию контурных интегралов, дал
Варне (Barnes), Trans. Camb. Phil. Soc, XX A908), стр. 254—257.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 117
Таким образом, мы можем перейти к пределу при р—>¦ — М и записать
предельную форму равенства A) в виде1)
B) iF1( — N;—M;Qi = er«iF1(N — M; — M;QV,
здесь символ п обозначает, что ряд должен быть оборван на члене с ZN,
т. е. на последнем члене, в котором числитель не содержит нулевого множи-
множителя, в то время как символ 1 означает, что ряд содержит члены вплоть до
члена с rM~N, а затем продолжается с членов ?м+\ ^м+2^ ###. ПрИ Этом
нулевые множители в числителе и знаменателе сокращаются, как если бы их
отношение было единицей.
При таком условии легко видеть, что
C) ,/*,(— N; —M;Q}=XFA( — N; —Ж;С)н +
Заменив N на М — N, и ? на — ?, мы получим:
D) ,F1{N — M; — M; — ^)\=lF,(N — M-—
Согласно A) (в обычном случае), имеем:
,F,(M — N+\;M+2;Q = e<-1F1(N+\;M-{-2',— С),
и, объединяя этот результат с B), C) и D), заключаем, что
E) ,/*,(— W;— Af;CI=^l/7l(N — М; — М; — ;)п.
Это же можно было получить непосредственно из A), придавая р— а (вместо а)
целые значения, а затем переходя к пределу по р.
Теперь рассмотрим равенство
F) «**,/>, (р + 1; 2р + 2; — 2ег) = 0F1
представляющее собой второе из равенств § 4.41 A), оставшееся пока
неразобранным. Оно было также получено Куммером2).
Если предположить, что 2р — не отрицательное число, то коэффициент
при (cz)n в произведении рядов в левой части F) будет равен
Z4(n—.m)\ m\ B/7 + 2)т Bр + 2)п 2* ml(n — т)\
т=0 т=0
1 П
Далее, ряд -} ^ 2т-пСт (/7+ 1)т(— п — 2/7— 1)л_т является коэффици-
ентом при tn в разложении A —2/)"^~1A —t)n+2P+1, и, таким образом, он равен
@ + ) @ + )
± Г A— 2*)-P-i(l— ^)я+^+1Г»Л=^? Г A— u*)-P-*u-"-idu,
!) Ср. С а у 1 е у, Messenger (старая серия), V A871), стр. 77—82 [Collected Papers,
VIII A895), стр. 458—462] и Glaisher, Messenger, VIII, A879), стр. 20—23.
2) Kummer, Journal far Math,, XV A836), стр. 138—141. В связи с приведен-
приведенным здесь доказательством см. Barnes, Trans, Camb. Phil. Soc, XX A908), стр. 272.

118 ГЛАВА IV
где u = tl(\—/), и контуры интегрирования заключают начало координат
и не заключают никаких других особенностей подинтегральных выражений.
Разлагая подинтегральное выражение по возрастающим степеням и, находим,
+ 1)
что интеграл при п нечетном равен нулю, а при п четном равен ~7~у
[тп]]
Отсюда следует, что
п=0
n
что и требовалось доказать.
Взяв р стремящимся к отрицательному целому числу —N и переходя
к пределу, как и в предшествующем случае, мы получим:
lim \F1(p-\- \; 2р-\-2\ —2cz) = lF1(\—N; 2 — 2N; —2cz)~\-\-
Следовательно,
0^, (| — /V; \cW^j = **- ,/=", A — N; 2 — 2/V; —
Переменив всюду у с и z знаки и используя полученные только что
результаты, находим:
— М; jcW^e^.^il—N; 2 — 2N; —2cz)-\-\-
+ ^~^-1/71A— N; 2 — 2N; 2cz)~\;
при этом остальные члены правой части уничтожаются, в силу равенства A).
Это будет, разумеется, выражением для J x (tcz) в конечном виде, которое
было записано в других обозначениях. ~N+2
Доказательство формул Куммера, данное Барнсом, использующее методы
контурного интегрирования, см. в § 6.5.
4.43. Дифференциальное уравнение Шарпа
Уравнение
g
являющееся обобщением уравнения Бесселя для функций с нулевым индексом,
встречается в теории отражения звука параболоидом. Оно изучалось Шар-
лом1), который показал, что решение, равное единице в начале координат,
1) Sharp e, Messenger, X A881), стр. 174—185; XII A884), стр. 66—79; Ргос. Сamb.
Phil. Soc, X A900), стр. 101—136.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 119
имеет вид
B) .У = С cos (z cos 0 4" Л In ctg 1b\db,
где
C) 1 = С j cos f Л In ctg | б) db.
Этот интеграл представляет собой соответствующее видоизменение интеграла
Парсеваля (§ 2.3). Чтобы исследовать его сходимость, положим cos 0 = th cp;
тогда он примет вид
D) у =
В такой форме записи интеграла легко видеть, что он сходится для (ком
плексных) значений Л, удовлетворяющих условию |/(Л)|<М и1)
С = -ch^irA
к 2
Рассматриваемый интеграл был весьма подробно изучен Шарпом, который дал
также формулы для подсчета последовательных коэффициентов разложения у
по степеням z.
Простой формой решения (которая не была указана Шарпом) является
Читателю нетрудно будет в этом убедиться.
4.5. Уравнения выше второго порядка
Построение дифференциального уравнения любого порядка, разрешимого
с помощью бесселевых функций, было выполнено Ломмелем2). Возможность
получения такого уравнения заложена в том, что существуют ци-
цилиндрические функции, для которых частное ^_v(-z)/^v_B) не зависит от z.
Каждая из функций Jn (z) и Yn (z) с целым индексом обладает таким
свойством (§§ 2.31, 3.5), а функции третьего рода HW(z), Hf)(z) обладают
им (§ 3.61) при всех значениях V.
Далее, если § 3.9 E) записать в виде
то при m=2v цилиндрическая функция в правой части будет иметь ин-
индекс — v.
Это будет иметь место или (i) когда v — целое ( = п) и т — 2п, или (И)
когда v — я-{-7т и т=2п-\-\.
г) См. например, Watson, Complex Integration and Cauchy's Theorem A914), стр.
64—65.
2) Lommel, Studien fiber die Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1868), стр. 120; Math,
Ann. II A870), стр. 624—635.

120 ГЛАВА IV
Отсюда, если %п обозначает Jп или Yn, имеем
Из этого уравнения мы получаем результат Ломмеля о том, что функции
Кл (у V-г) являются решениями уравнения1)
где у имеет любое значение, удовлетворяющее условию у2/2 = (—1)W?2W, и,
таким образом,
Придавая у все возможные значения, мы получим 2п решений уравнения B),
которые образуют фундаментальную систему.
Далее, если % х обозначает Я*1) , мы имеем % , i \ =
= е^ *' ^я+- » и» таким образом,
2
откуда видно, что z2 * НМ (у ]/z) является решением уравнения
Z*
где у имеет любое значение такое, что у2л+1==с2л+1^ v 2^ , и,
образом,
Т= —/cexp{rir//(/i + yj} (г=0, 1, 2, ..., 2/1);
полученные таким путем решения образуют фундаментальную систему.
Некоторые приложения этих результатов см. у Форсайта (F о г s у t h), Quarterly
Journal, XIX A883), стр. 317—320.
l) Более общее уравнение
Jz*^
рассмотрел Молинз (Molins), Menu de I'Acad. des Sci. de Touluse, G), VIII A876),
стр. 167—189.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
121
Основываясь на уравнении A), справедливом для целого т, Ломмель (Lommel),
Math. Ann., II A870), стр. 635, предложил интерпретацию «производной дробного порядка»;
1
он предложил рассматривать (-т-) exp(zt7V^~) как ^Q^iVT). Эта идея была
развита несколько глубже в различных работах Хевисайдом.
Формулы Ломмеля можно обобщить, рассматривая уравнение § 4.31 A);
записав его в виде
(» + а) (» + а — 2j}v)u= — $2fz2$u,
мы получим решение в виде ^ = ^v~a^v (у^). В этом легко убедиться, поль-
пользуясь индукцией, так как при этом значении и имеем:
п-\
П(» + «
и, таким образом, решения уравнения
D) П (» 4- а —!
г = 0
будут иметь вид
где
у = с ехр (ЛТ///1) (г=0, 1,.. . , л— 1).
Придавая у эти значения, мы получим 2я решений, образующих фундамен-
фундаментальную систему.
В частном случае, когда /г == 2, уравнение D) превращается в
— 2р
Это уравнение напоминает уравнение, с которым встретился Никольсон1) в ис-
исследовании форм спикул губок (Sponge Spicules), а именно,
E) ^
или, в иной записи,
О @ — 1) (Ь + 4fx — 2) E + 4fx — 3)и = г*-*ш.
Если мы отождествим это уравнение со специальным видом уравнения D), то
получим четыре различных совокупности значений для а, р, ji, v:
а
0
2
6
5
]
?
1
1
?
3
5
1
2
0
1
4
5
3
V
1
"г"
2
5
6
10
1) Nicholson, Ягог. Roy. Soc, XGIII, A A917), стр. 506—519. См. также Dendy
and Nicholson, Proc. Roy. Soc, LXXXIX. В A917), стр. 573—587; частные случаи
уравнения E) при |j. = 0 или 1 были ранее решены Кирхгофом (Kirchhoff), Ber-
Berliner Monatsberichte A879), стр. 815—828 [Ann. der Physik und Chemie, C) X A880;,
стр. 501—512].

122 ГЛАВА IV
Эти четыре случая определяют нижеследующие уравнения и их решения:
F) ?? = «'• « = ^ >
G) 7&{*7[?}=
(9) EL/^^?i =
Повидимому, это — единственные уравнения типа Никольсона, разрешимые с по-
помощью бесселевых функций. В случае ji = 2 уравнение E) будет однородным. Общее
уравнение Никольсона связано с функцией
р /3 —2?х 2 + 2ц 14-2м,. z*~4 \
0 8l44 —2jiJ 4 — 2jx ' 4 — 2{x; D — 2jj.)V •
4.6. Символическое решение дифференциальных уравнений
Многие математики давали решение уравнения § 4.3A), а именно,
A) dJ±^C2u=PjPp)a,
х ' dz2 z2
в символическом виде, для случая, когда р — целое положительное число или
нуль. Их символические методы тесно связаны с рекуррентными формулами
для бесселевых функций.
Мы видели (§ 4.3), что общим решением рассматриваемого уравнения
является
и, по рекуррентной формуле § 3.9F), имеем:
Поскольку всякую цилиндрическую функцию вида # \ (clz) можно представить
2
в виде
где а и [} — постоянные, общее решение уравнения A) может быть записано
в виде
B) и==гР+1[77Гг) V
Другая форма этого уравнения (данная Глезером1)) имеет вид
C) «
1) Glaisher, Phil. Trans, of the Roy. Soc.y CLXXII A881), стр. 813. Глезер заме-
заметил, что уравнение C) дал, по существу, Ирншоу (Е а г n s h a w), Partial Differential
Equations (London, 1871), стр. 92. См. также Глезер (Glaisher), Quarterly Journal, XI
A871), стр. 269, формула (9), и стр. 270.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 123
где а' = а/с, E' — — $/с. В этом можно убедиться путем дифференцирования
выражения а'есг ~f- §хе~сг.
Замечание. Эквивалентную задачу1) поставил Гаскин; доказательство опу-
опубликовал Лесли Эллис (Leslie Ellis), Camb. Math. Journal, II A841), стр. 193—195,
а также Донкин (Don kin), Phil. Trans, of the Roy. Soc, CXLVII A857), стр. 43—57.
В задаче, как указал Гаскин, знак при с2 был изменен, так что решение выражалось
в круговых функциях вместо показательных.
Теперь мы докажем символическое равенство, полученное Глезером2),
а именно,
При действии на функцию оператором, находящимся в правой части,
предполагается, что функция умножается на \jz2P~2 перед применением опе-
оператора zs (~\ .
Для удобства положим
г = е\ *?- = »,
' dz *
а затем воспользуемся символической формулой
E) /(&).(**Z) = **./(& + <i)Zf
в которой а — постоянная, a Z — произвольная функция от z.
Доказательство этой формулы не представляет никаких трудностей, когда f(b) —
полином от ft, как в данном случае. См., например, Форсайт (Forsyth), Treatise on
Differential Equations A914), §33. [Валле-Пуссен, Курс анализа бесконечно малых,
т. 2, стр. 27Ю A933).]
Легко видеть из E), что
2р+1(ЛЛр =
\zdzj
• (е~Щ) • (е"Щ). ..
если последовательно выносить функции е~2В по одной за знаки операторов
с помощью повторных применений формулы E).
Теперь мы изменим порядок операторов3) в последней формуле и про-
проведем предыдущие выкладки в обратном порядке; тогда мы получим
(^А (9— 2) (& — 4). . . (» — 2р 4- 2) =
ZP+1
1) См. Cambridge University Calendar A839), стр. 319.
2) Gl aisher, Nouvelle Corr. Math., II A876), стр. 240—243, 349—350; Phil. Trans,
of the Roy. Soc, CLXXII A881), стр. 803—805.
3) Как было замечено Кэли (Cayley), Quarterly Journal, XII A872), стр. 132, в
примечании к статье Глезера, дифференциальные операторы вида za+larzz~a> T- е#
0 — а, подчиняются коммутативному закону.

124
что и требовалось доказать. Заменив р на р-f-l, находим:
V' U^; zp+*\\z dz
Преобразуя B) и C) с помощью D) и F), находим, что общее решение
уравнения A) выражается в следующем виде:
G) e
d2v 2pdv 9 Л
Решениями уравнения
(§ 4.3 C)), соответствующими B), C), G) и (8), будут:
(9) г
A0) ъ— ~ , .
A2) х
Бо/iee прямой метод получения G), отличающийся от приведенного выше, пред-
предложил Буль (Bool e), Phil Trans, of the Royal Soc. A844), стр. 251—252; Treatise on
Differential Equations (London, 1872), гл. XVII, стр. 423—425; см. также Куртис (Cur-
(Curtis), Cambridge and Dublin Math. Journal. IX A854), стр. 281. Решение (9) сначала
было дано Лесли Эллисом (Leslie Ellis), Camb. Math. Journal, II A841), стр. 169,
193 и Лебегом (Lebesgue), Journal de Math., XI A846), стр. 338. Разложения в
ряды получил из него Бах (Bach), Ann. sci de I'Ecole norm. sup. B), III A874), стр. 61.
d^v
В подобной же символической форме решения уравнения -г~г — c2z2<Z~2v — 0
рассматривал Филдз (Fields), John Hopkins University Circulars, VI A886—7), стр. 29.
Преобразование решения (9) дал Вильямсон (Williamson), Phil. Mag. D), XI
A856), стр. 364—371, а именно,
A3) v = c*P
1 д 1 д
Оно основывалось на эквивалентности операторов — -г-, — -г- , применен-
примененных к функциям от сг.
Мы делаем, таким образом, заключение об эквивалентности следующих операто-
операторов:
НШ][
нричем предполагается, что эти операторы применяются к функции от cz\ отсюда легко
вытекает формула Вильямсона.
4.7. Классификация элементарных трансцендентных функций
по Лиувиллю
Прежде чем дать доказательство общей теоремы Лиувилля (о которой
упоминалось в § 4.12) о невозможности решения Риккати в конечном виде,
за исключением классических случаев, найденных Даниилом Бернулли (и пре-

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 125
дельного случая с индексом — 2), мы изложим лиувиллевскую *) теорию эле-
элементарных трансцендентных функций. Для большего удобства мы введем
для них специальные обозначения.
Для краткости будем писать2)
Функцию от z мы назовем элементарной трансцендентной функцией :з),
если она может быть выражена как алгебраическая функция от z и от функ-
функций вида /rcp (z), ejk (z), С// (z), причем вспомогательные функции со (z), фB)> i(z)
выражаются через z и другие совокупности вспомогательных функций и т. д.;
при этом предполагается, что существует конечное число п такое, что п-я
совокупность вспомогательных функций будет состоять целиком из алгебраи-
алгебраических функций.
Порядок элементарной трансцендентной функции от z определяется по
индукции следующим образом.
(I) Всякая алгебраическая функция от z имеет порядок нуль4).
(II) Если fr (z) обозначает любую функцию порядка г, то всякая алге-
алгебраическая функция от функций типа
(которая выражается по крайней мере через одну из первых трех) называется
функцией порядка r-J— 1.
(Ill) Предполагается, что всякая функция должна быть представлена с
помощью функции порядка самого низкого из возможных. Так, например,
функция elfr(z) должна быть заменена fr(z) и является функцией порядка г,
а не порядка г-\-2.
В связи с этим и последующими параграфами читатель может обратиться к ра-
работе Харди (Hardy), Orders of Infinity (Camb. Math. Tracts, № 12, 1910). Функции,
которые исследовал Харди, составляли более узкий класс по сравнению с только что
рассмотренными нами, поскольку для стоявших перед нами задач не требовалось
введения символа <;, а функции считались действительными.
Заметим, что Лиувилль не изучал свойства символа <; подробно, а ограничился
лишь указанием на то, что он имеет много общих свойств с символом /.
4.71. Первая теорема Лиувилляь) о линейных дифференциальных
уравнениях
Лиувилль исследовал решение уравнения
О) g=«XW.
в котором i(z) — трансцеидент порядка6) п\ им была установлена следующая
теорема.
!) Liouville, Journal de Math., II A837), стр. 56—105; III A838), стр. 523—547;
IV A839), стр. 423—456.
2) Все интегралы считаются неопределенными.
3) «Une fonction finie explicite».
4) Для целей настоящего исследования иррациональные степени z, как, например
г*, конечно, не должны рассматриваться как алгебраические функции.
5) Liouville, Journal de Math., IV A839), стр. 435—442.
6) Это слово употреблено для сокращения термина «элементарная трансцендент-
трансцендентная функция порядка п».

126 ГЛАВА IV
Если уравнение A) имеет своим решением трансцендент порядка
т-\- \, где т^п, тогда либо существует решение уравнения порядка1) п,
либо, в противном случае, существует решение их вида
B) «i = ?^ */„(*),
где Д (z) имеет порядок jx, порядок ср^ (z) не выше ji, а \х удовлетворяет усло-
условию п sc: \i ^ т.
Пусть уравнение A) имеет решение порядка /ю-f-l, которое мы обозна-
обозначим через /т+1 B:); тогда /т+1(г) является алгебраической функцией от одной
или нескольких функций вида lfm(z), Qfm(z), efm(z), так же, как и (возможно)
от функций, порядок которых не выше т. Выберем одну определенную
функцию какого-нибудь из упомянутых трех типов и обозначим ее через б,
О- или в в соответствии с типом, к которому она принадлежит.
(I) Сначала в предположении, что A) имеет решение порядка т-\-\, мы
покажем, как построить решение, не содержащее функций типов б и &.
Допустим, если это возможно, что fm+l(z) = F(z, б), где F—алгебраиче-
F—алгебраическая функция от 6; и пусть всякая функция от z (отличная от самой б) по-
порядка т-\-\, входящая в Z7, алгебраически не зависит от б.
Тогда легко показать, что
C) *?_ w . _?_*/*(?> ^L I
dzz l k\ *) — dz^~rfm(z) dz dbdz"*
при этом, выполняя дифференцирование, мы считали z и Ь независимыми
переменными.
Выражение в правой части тождества C) является алгебраической функ-
функцией от б, которая обращается тождественно в нуль, когда б заменяется на
lfm(z). Но тогда она должна тождественно обращаться в нуль при всех
значениях б; в противном случае, приравнивая ее нулю, мы выразили бы
lfm(z) в виде алгебраической функции от трансцендентов, порядки которых не
выше т, а также от трансцендентов порядка m-f-1, которые, по сделанному
предположению, не зависят от б.
В частности, выражение в правой части тождества C) исчезает при за-
замене б на Ь-\-с, где с — произвольная постоянная; после такой замены вы-
выражение в левой части тождества C) переходит в
которое, в силу сказанного выше, равно нулю:
Взяв от D) частную производную по с, находим, что
дс ' дс*
1) Нулевым решением пренебрегаем; если бы и имело порядок меньше л, то и
1 dzu
— -r~l имела бы этот же порядок, что противоречит принятому допущению.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 127
являются решениями уравнения A) при всех значениях с, не зависящих от z.
Положив ? = 0, мы после выполнения дифференцирования приведем эти вы-
выражения к виду
dF(zfl) d*F(zft)
дЬ ' дР
и, следовательно, они являются решениями уравнения A). Для краткости мы
будем обозначать их через Fbi Fbb,....
Решения F и FQ либо образуют фундаментальную систему для A), либо
это не имеет места.
Если они не образуют фундаментальной системы, то должно иметь место ])
равенство
F, = AF,
где Л не зависит от z и 6. После интегрирования получим:
где Ф содержит трансценденты (порядка не выше/я-|-1)> которые алгебраи-
алгебраически не зависят от 6. Это, однако, невозможно, так как ем не является
алгебраической функцией от б; поэтому F и Fq образуют фундаменталь-
фундаментальную систему решений уравнения A).
Таким образом, F^ можно выразить через F и Fb с помощью равенств
вида
где Л и В — постоянные. Его можно рассматривать как линейное уравнение
с независимым переменным 6 (и постоянными коэффициентами); решением
этого уравнения будет
где Фг и Ф2— функции того же характера, что и Ф, а а и $ суть корни
уравнения
х2 — Ах — ?=0.
Функция F оказывается алгебраической функцией от 6 в единственном слу-
случае, когда а = $=-0\ и тогда F является линейной функцией от 6.
Подобным же образом, если fm+1(z) содержит функцию типа &, то можно
доказать, что она должна быть линейной функцией от &.
Следовательно, поскольку fm+l (z) содержит функции типа 6 и &, они
входят в нее линейным образом, так что мы можем написать
где функции <bptfg(z) имеют порядок не больше т-\-\, и единственные со-
содержащиеся в них функции порядка т-\-\ принадлежат к типу 0.
Возьмем какой-нибудь член из /m+1(z), который содержит наибольшее
количество множителей 6Т, b21...y$v &2,...; пусть это будет
Тогда с помощью аналогичных рассуждений получим, что
1) Поскольку F должно содержать О, F$ не может быть тождественным нулем.

128 ГЛАВА IV
является решением уравнения A); т. е. *Рр)(оB) является решением уравне-
лия A).
Но 1Vp,q(z) либо является функцией порядка не выше т, либо, в про-
противном случае, это — функция порядка т -\- 1, содержащая функции типа О,
а не типов в и &.
В первом случае мы повторим процесс понижения порядка функции; во
втором мы получим, что какое то из решений уравнения будет алгебраиче-
алгебраической функцией от функций типа в.
Таким образом мы доказали, что если A) имеет своим решением транс-
цендент порядка выше п, то либо существует решение его порядка пу либо,
в противном случае, оно имеет своим решением алгебраическую функцию
от функций типа ef^(z) и у^(г), где f^(z)— порядка jx, a y^(z)— порядка
не выше [X.
(II) Мы сейчас докажем, что если только A) имеет своим решением
трансцендент порядка выше /г, то оно имеет также решение, содержащее
трансцендент ef^(z), причем только в виде некоторой его степени, в качестве
множителя.
Мы рассмотрим частный случай трансцендента в вида ef^(z); тогда пред-
предполагаемое решение может быть записано как G (z,в), где G— алгебраическая
функция от в; всякая функция (отличная от самой в) порядка ]х -\- 1, которая
содержится в G, алгебраически не зависит от в.
Легко показать, что
E) g_o.zW=g^ g
Выражение, стоящее справа, представляет собой алгебраическую функцию
от 0, обращающуюся в нуль при замене 0 на ef^z), и, таким образом, в силу
рассуждений, приведенных в (I), обращающуюся в нуль тождественно. В част-
частности, она обращается в нуль при замене в на с9, где с не зависит от z.
Но в этом случае она равна
и, таким образом,
Дифференцируя это выражение по с, мы обнаружим, что
dG {z, ев) дЮ (z, ев)
Ос ' дс2
являются решениями уравнения A) при всех значениях с, не зависящих от z.
Если положить ?=1, то эти выражения преобразуются в следующие:
adG(z,S) a9 дЮ(z, 9)
Н дв ' * дв* ' - "
Отсюда, с помощью таких же рассуждений, как и в A), мы получим
= AG, или в противном случае
где Л и В—постоянные.
В первом случае О = ФвА, во втором G принимает одно из значений
или

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 129
где Ф, Ф1 Ф2,— функции от z порядка не выше jjl —|— 1; при этом все функ-
функции порядка jx —|— 1 алгебраически не зависят от в; через у и § обозна-
обозначены корни уравнения
х{х — 1) — Ах — В = 0.
В любом случае G или содержит в в виде множителя, являющегося степенью в,
или в противном случае G есть сумма двух выражений, в которые в входит
только указанным образом. В последнем случае V
есть решение уравнения A), содержащее 0 только в виде множителя, кото-
который является степенью в.
Повторяя этот процесс, мы обнаруживаем, что если в1? 62, ..., вг исчер-
исчерпывают собой все трансцендентные функции порядка jx-f-1, которые могут
встретиться в предполагаемом решении, то из этого решения можно полу-
получить последовательность решений, из которых s-e будет содержать 61? 62,...,8Д
только в виде множителей, являющихся степенями 61? 02, ... ,0^; следовательно,
r-й член последовательности содержит произведение степеней в1? 02,..., 6Г,
умноженных ка трансцендент, порядок которого не больше jx; это решение
может быть записано как
т. е. имеет вид ^(z) • ef^(z).
4.72. Вторая теорема Лиувилля о линейных дифференциальных
уравнениях
Если уравнение
(в котором i(z) имеет порядок п) имеет своим решением элементарную
трансцендентную функцию порядка больше я, то, как мы только что видели,
оно должно иметь решение вида
где jx ^ п. Пусть рассматриваемое уравнение имеет оолее одного решения
этого типа; выберем из них то, для которого р. имеет наименьшее значение,
и назовем его иГ Теорема Лиувилля, которую мы сейчас докажем, утверж-
утверждает, что для такого решения порядок производной L^jJfl* равен п.
Пусть
d In аг _
rf-гг ;
тогда ? будет иметь порядок не больше р.; пусть t имеет порядок N, где
Если N = n, то теорема доказана. Если N^>n, то уравнение, которому
удовлетворяет t, а именно,
1) Если Фг не равно тождественно нулю; в противном случае Ф2 В8 является
решением искомого типа.

130 Г
B) Ъ
имеет решение порядка N, большего чем п.
Пусть t—алгебраическая функция по крайней мере от одного транс-
цендента типа lfN_x(z), c:fN_1(zI efN_1(z) и (возможно) от трансцендентов,
порядок которых не выше N—1. Мы будем обозначать первые три транс-
трансцендентные функции соответственно через 6, ft, 0.
Если t содержит несколько трансцендентов типа 6, то, фиксируя внима-
внимание на каком-нибудь одном из них, мы положим
t = F(z,b).
С помощью рассуждений, аналогичных § 4.71, находим, что при
также является решением уравнения B). Соответствующим решением для
A) будет
exp ^ F (z, 6 + с) dz,
справедливое при любом с, не зависящем от z. Отсюда, дифференцируя по с,
находим, что функция и21 определенная как
также есть решение уравнения A); мы имеем:
иг = и\ \ F4 dz>
и, таким образом,
uid7~U* dz —uSv
Однако вронскиан, составленный из любых двух решений уравнения A)
есть постоянная *); следовательно,
где С—постоянная.
Если С=0, то F не зависит от 9, что противоречит сделанному пред-
предположению; поэтому С=/=0 и
Отсюда их является алгебраической функцией от 6; подобным же образом
их есть алгебраическая функция от всех функций типа 6 и 8, входящих в U
Далее рассмотрим произвольную функцию типа в, содержащуюся в t\
положим
и пользуясь рассуждениями, аналогичными примененным в § 4.71 и в на-
начале настоящего параграфа, находим, что функция #3, определенная как
является решением уравнения A); мы имеем:
и%=-иг С в G& dz,
1) См., например, Forsyth, Treatise on Differential Equations A914), §65.
[В. В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, гл. V, § 2, стр. 183 A945)].
— Прим. ред.]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 131
и, таким образом,
du% dnx 2л.
* dz зdz *
Вронскиан, состоящий из этих решений, будет постоянной величиной Cv
откуда
Следовательно, их есть алгебраическая функция не только от всех трансцен-
дентов типа б и Ь, но также и от функций типа в, входящих в t; поэтому
их имеет порядок N. Это противоречит предположению о том, что порядок а[
равен jjl —|— 1, где |х^Л/, если N^>n.
Полученное противоречие показывает, что N не может быть больше,
чем п; отсюда —^—- имеет порядок п. Тем самым теорема доказана.
4.73. Теорема Лиувилля^ об отсутствии у уравнения
Бесселя алгебраических интегралов
Мы сейчас покажем, что уравнение
не имеет решений (за исключением нулевого), являющихся алгебраическими
функциями от z.
Сначала мы приведем уравнение к нормальному виду
положив
1
2 /74
Оно принадлежит к типу
d*
где
B)
Допустим, что уравнение Бесселя имеет алгебраический интеграл; тогда
A) тоже имеет алгебраический интеграл. Пусть уравнение, определяющее этот
интеграл, и, как алгебраическую функцию от z, имеет вид
C) A(uyz) = 0,
где Л — полином от обоих переменных и и z\ предполагаем, что Л непри-
неприводим 2).
Поскольку и является решением уравнения A), мы имеем:
D) ЛииЛ1 — Ыи2АаА2 + ЛггЛ\ + d\ Ч (z) — 0.
1) Li о u vi lie, Journal de Math.JV A839), стр. 429—435; VI A841), стр. 4—7. Пер-
Первое исследование Лиувилля относилось к общему случаю, когда i(z) — некоторый
полином; применение (с различными видоизменениями) к уравнению Бесселя было
дано в последующей его работе: L i о u v i 11 e, Journal de Math., VI A841), стр. 1—13, 36.
2) Другими словами, Л не содержит множителей, являющихся полиномами от а
или от z или от обоих переменных а и z одновременно.

132 ГЛАВА IV
Уравнения C) и D) имеют общий корень, откуда и все корни C) удовлетво-
удовлетворяют уравнению D).
Действительно, в противном случае левые части уравнений C) и D)
(как функции от и) имели бы общий множитель, отличный от самого Л. Сле-
Следовательно, Л был бы приводимым, что противоречит сделанному допущению.
Пусть uv и2, ... ,им — все корни уравнения C). Тогда, если 5 — произ-
произвольное целое положительное число, то сумма
будет рациональной функцией от z, и существует по крайней мере одно зна-
значение s, не превышающее Ж, для которого эта сумма не равна нулю1).
Выберем какое-нибудь из значений s, удовлетворяющих такому условию,
и пусть
м
asm.
М
Пусть,далее, Wr = s(s—\)...(s — r+\)^u*-r(?^\ где r=l,2,...,s.
Поскольку все uv #2, ..., им суть решения 2) уравнения A), легко доказать, что
E) %*= W»
F) ^=Wr+, + i-(s —r+l)x(z)Wr_, (r=l, 2,...,s —1),
G) d^f = st(z)Ws_v
Поскольку Wo является рациональной функцией от z, ее можно разло-
разложить на элементарные дроби, а именно,
п, q
где Ап и Bnq — постоянные, % и 1 — целые, п — целое положительное
(только во второй сумме) и aq=^Q.
Пусть наибольшая из встречающихся в Wo степеней дроби \j(z — aq)
будет 1 / (z — aq)p.
Из E) и F) по индукции легко получить, что в Wr наивысшей степенью
дроби \j(z — aq) будет \f(z — aq)p+r, причем г=1,2, ...,5.
Отсюда следует, что в левой части G) имеется степень более высокая,
чем в правой. Полученное противоречие показывает, что в WQ нет членов
вида Bn^q(z — aq)~n и, таким образом,
Далее мы будем считать, что Лх^О, поскольку написанное выражение
для WOi если оно не обращается в тождественный нуль, должно иметь
какой то старший член.
*) Если бы это было не так, все корни уравнения C) были бы нулями.
2) В силу того, что D) удовлетворяется всеми корнями уравнения C), рассматри-
рассматриваемого как уравнение от а.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 133
Из E) и F) легко видеть, что членами с наивысшими степенями *) zy
встречающимися в Wo, Wx, W2i WB,..., будут
Пользуясь методом индукции, легко показать, что старшим членом в W2r
является
Axzl- 1 - 3.. Bг—1) -s(s — 2)...(s
Чтобы доказать, что старшим членом в W2r+1 будет
2°' 2
где индекс г-f-l указывает, что из гипергеометрического ряда должны быть
взяты только первые г-\-1 членов, потребуется индукция более сложного
характера.
Если 5 — нечетное, то старшие члены в левой и правой частях уравнения G)
(должны иметь соответственно степени X — 2 и X, что невозможно. Таким
образом, если 5 — нечетное, то Wo исчезает.
Если 5 — четное, то в результате приравнивания в G) коэффициентов при
zl~x получим:
т. е.
\б б б б
и, таким образом, по теореме Вандермонда,
Выражение слева обращается в нуль только при нулевом значении X2).
Итак, мы доказали, что при 5 нечетном Wo обращается в нуль, а при
5 четном Wo выражается в виде
2 А ?-п
причем AqjS не обращается в нуль.
Из теоремы Ньютона, выражающей коэффициенты уравнения через суммы
степеней корней, следует, что М должно быть четным и что уравнение
Л (#, z) = 0 можно записать в виде
(8) и*+Д и*--2^
где функции $рг являются полиномами от \\z.
J) Не следует забывать, что наивысшей степенью в i(z) будет — 1.
2) Доказательство Лиувилля (L i о u v i I 1 е), Journal de Math., VI A841), стр. 7,
в этом месте некорректно, поскольку он, очевидно, упускает случай возможного об-
обращения X в нуль. Ошибка представляется неустранимой, так как, например, по §3.4,
^л lBr)"t" ^—я— I есть алгебраическая функция от z. Дальнейшая часть доказатель-
доказательства, приведенного здесь, основывается на замечании Лиувилля (Li о u v i 11 e), Journal
de Math., IV A839), стр. 435; см. также Дженокки (Genocchi), Mem. Accad. delle
Set. di Torino, XXIII A866), стр. 299 — 362; Comptes Rendus, LXXXV A877), стр. 391 — 394.

134 ГЛАВА IV
Найдя решение уравнения (8) в виде ряда по возрастающим степеням
1 \z, мы обнаружим, что каждое из значений и выражается в виде
где п — целое положительное число и, кроме того, с0 не обращается в нуль,
по крайней мере для одного из значений, поскольку постоянные члены в функ-
функциях 9$г не все равны нулю. Ряды вида
00
как известно, сходятсяг) при всех достаточно больших значениях z.
Подставив этот ряд в левую часть уравнения A), мы обнаружим, что
в полученном уравнении коэффициент при постоянном члене равен ?0, так что
с0 должно быть нулем для каждого значения и в противоположность тому, что
только что было доказано. Полученное противоречие показывает, что уравне-
уравнение Бесселя не имеет алгебраических интегралов.
4.74. О невозможности интегрирования уравнения Бесселя
в конечном виде
Мы можем теперь доказать теорему Лиувилля2) о том, что уравнение
Бесселя с индексом v не имеет решений (за исключением тождественного
нуля), выражающихся в конечном виде через элементарные трансцендентные
функции, если только 2v не является нечетным числом.
Как и в § 4.73, мы записываем уравнение Бесселя в нормальном виде:
A) g = «X<*>.
где
*(*)=— 1+р(р+1)/*2 и р = -и —1.
Полагая d (In u)jdz = t, получим:
B) |
Поскольку i(z) имеет порядок, равный нулю, из §4.72 следует, что
если бы уравнение Бесселя имело интеграл, выражаемый в конечном виде, то
B) должно было бы иметь решение порядка нуль, т. е. иметь алгебраический
интеграл.
Пусть B) имеет алгебраический интеграл, а уравнение, выражающее этот
интеграл t как алгебраическую функцию от z, пусть будет
C) <4(t,z) = 0,
где Л — неприводимый полином от t и z.
Так как t является решением уравнения B), мы имеем:
D) d
г) Гурса, Курс математического анализа, II,М.—Л. A936), стр. 241—248. Во мно-
многих работах неявно подразумевается сходимость ряда, полученного из алгебраического
уравнения указанным путем.
2) Liouville, Journal de Math., VI A841), стр. 1—13,36.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 135
Как ив аналогичных выводах из § 4.73, все значения t удовлетворяют уравне-
уравнению D).
Сначала предположим, что существуют более двух значений t; обозначим
через tu t2, ts какие-нибудь три из них, а через uv u2, и3 — соответствующие
значения и (определяемые как exp \ t dz). Все эти функции являются реше-
решениями уравнения A) и, значит, вронскианы
diio da* dm du* du* dm
ff О fj & f1 1 ff 6 ft ? /f 1
Lin —:— ibn —:— , Urn : и-i , . W-\ : Wo —;;—
2 dz 3 dz ' 3 dz l dz ' l dz 2 dz
суть постоянные; мы их обозначим через Съ С2, С3.
Теперь легко проверить, что
^ duo du2 ,, , ч
и что t% —12 не равно нулю, так как если бы ts —12 было равно нулю, то
уравнение C) имело бы пару равных корней и не было бы поэтому непри-
неприводимым.
Таким образом, Сг =^ 0 и, значит,
Отсюда и2ив (и аналогично иъах и и1и2) является алгебраической функцией от z.
Но
и, следовательно, их—также алгебраическая функция от z. Этого, как мы
видели в § 4.73, быть не. может, и, таким образом, t не может иметь более
двух значений.
Далее предположим, что t имеет два значения, так что Л — полином вто-
второй степени по t. Соответствующие значения t пусть будут U-j^l^V, где
U и V—рациональные функции от z. Подставляя в B), находим:
Пусть V разложено на множители
где Л — постоянная, хд и X— целые числа, и, кроме того, х и а —не нули.
Второе из уравнений E) дает
U=—~-У тг- .
4z ^-4 4 (z — па)
и подставляя этот результат в первое из уравнений E), имеем:
Теперь рассмотрим главную часть выражения, стоящего слева, в окрест-
окрестности aq. Легко видеть, что ни одно из чисел xq не может быть меньше
чем — 2, а если какое-нибудь из них больше чем — 2, то оно должно удо-
удовлетворять уравнению
2

136 ГЛАВА IV
откуда xq равно 0 или —4—числам, которые исключены из рассмотрения.
Следовательно, все числа xq должны быть равны —2.
Далее, если мы рассмотрим главную часть в окрестности бесконечно уда-
удаленной точки, то обнаружим, что наивысшая степень V должна взаимно унич-
уничтожаться С ЧИСЛОМ 1 в X (Z)> ОТКуда I = — 5j Xg-
Следовательно, у V рационален, а, значит, Л (t, z) приводима, что про-
противоречит сделанному предположению.
Отсюда t не может иметь двух или более значений и, следовательно,
t должно быть рациональным.
В соответствии с полученным результатом, разложение t на элемен-
элементарные дроби будет иметь вид
л = —х n,q ч
где Ап и Bnq — положительные, х и к — целые, п принимает положительные
значения только во второй сумме и ад=^=0.
Подставив это значение t в B), получим:
У пА *«-i_Y пВп><1 1 / У Az*4-Y Bn'q
Если мы рассмотрим в выражении слева главную часть вблизи aq, то найдем,
что \j(z — aq) не может входить в t в степени выше первой и что
так что
Аналогично, рассмотрев главные части вблизи 0 и оо, найдем, что
*=1, (A^1Y — A^1 = p(p-\-l); 1 = 0, Al= — \.
Поскольку/7 = 4-v — у, можно принять А__г=—р без ограничения общ-
общности.
Тогда будем иметь:
я
Соответственно, если в A) заменить и на z~p e~izw, получим, что уравнение
должно обладать решением в виде полинома относительно z со свободным
членом, не равным нулю.
Если мы в G) вместо w подставим ^стгт, то найдем, что соотноше-
соотношение, связывающее последовательные коэффициенты, имеет вид
и, следовательно, ряд для w не может оборваться до тех пор, пока т — р—1
не станет равным нулю, т. е. пока р не равно нулю или целому положитель-
положительному числу.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 137
Таким образом, предположение о разрешимости уравнения Бесселя в ко-
конечном виде необходимо ведет к тому следствию, что одно из чисел
dzv — "о* является нулем или целым положительным числом; а это имеет
место тогда и только тогда, когда 2v— нечетное число.
Но мы видели, что при нечетном 2v уравнение Бесселя обладает фунда-
фундаментальной системой решений, выражающихся в конечном виде. Итак, иссле-
исследование разрешимости уравнения Бесселя проведено полностью.
О некоторых приложениях этой теоремы к уравнениям, рассмотренным в § 4.3,
сообщает Лебег (L e b e s g u e), Journal de Math., XI A846), стр. 338—340.
4,75. О неинтегрируемости уравнения Риккати в конечном виде
Пользуясь только что полученными результатами, мы можем доказать,
что уравнение Риккати
вообще говоря, не разрешимо в конечном виде.
Известно (§ 4.21), что это уравнение приводится к
где n = 2q— 2, а, по §4.3, последнее уравнение может быть сведено к урав-
уравнению Бесселя для функций порядка 1/B#), если только q^O.
Отсюда уравнение Риккати можно проинтегрировать только тогда,
когда q = 0 или \\q есть нечетное число; это будут как раз те случаи,
когда п равно —- 2 или равно
(«-=0,1,2,...).
Следовательно, единственными случаями, когда уравнение Риккати интегри-
интегрируемо в конечном виде, являются классические случаи, найденные Да-
Даниилом Бернулли (ср. § 4.11), и предельный случай, найденный по способу
Эйлера в § 4.12.
Эта теорема доказана Лиувиллем (Li о u vi lie), Journal de Math., VI A841),
стр. 1—13. Представляется мало вероятным, что ее можно доказать каким-либо другим,
существенно более коротким путем, чем это сделано в предыдущих параграфах.
4.8. Решения уравнения Лапласа
Функции Бесселя с произвольным целым индексом впервые появились в
анализе (как это мы видели в § 1.3) в связи с решением уравнения колебаний
круглой мембраны, эквивалентного уравнению Лапласа.
Теперь мы покажем, как возникают естественным образом бесселевы функ-
функции из предложенного Уиттекером1) решения уравнения Лапласа
п\ ^Л-^-Х-6^ — О
1) Whit take г, Monthly Notices of the R.A.S., LXIIA902), стр. 617—620; Math.
Ann., LVII A902), стр. 333—341.

138 ГЛАВА IV
Это решение имеет вид
к
B) V= \ / (z -{- lx cos и -f- iy sin я, и) da,
где/—произвольная функция от обоих своих аргументов.
В частности, решением будет
к
Г ek{z + ixcosu+iysinu) cos mu ^
где k — какая-нибудь постоянная, а т — какое то целое число.
В цилиндрических (полярных) координатах, заданных соотношениями
это решение примет вид
к к
ekz Г ei*?*os(a-4) cos mudu = ekz [ eik?zosVcos m (v -f- cp) dv =
= 2е^ f eik?cosV cos mi; cos m<p rfv=
о
= 2тг/т ^г cos mcp • Jm (
в силу § 2.2. Аналогично,
ek (z+ixcosa+iysina) sj
также будет решением; оно равно 2mmekzsinm^'Jm(kp). Оба эти решения —
аналитические вблизи начала координат.
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах1) имеет вид
dp2 ~i p p"~+"p2 ^^з "Г ^2 u»
нормальное *) решение этого уравнения, содержащее множитель ekz, должно
быть таким, чтобы выражение
1 ^!И
V df
не зависело от со, и если решение ищется однозначное, это выражение должно
быть приравнено к —т2, где т — целое число. Следовательно, функция
от р, являющаяся множителем при V, должна переводиться в нуль опера-
оператором
и поэтому она должна быть кратной Jm(kp), если требуется, чтобы она
оставалась аналитической вдоль линии р = 0.
х) Чтобы осуществить это преобразование простейшим способом, следует вос-
воспользоваться теоремой Грина. См. W. Thomson, Camb. Math, Journal, IV A845),
стр. 33—42.
*) Автор называет нормальным решением уравнения решение в виде произведе-
произведения функций, каждая из которых зависит только от одного из независимых перемен-
переменных. (Прим. ред.)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 139
Таким образом, мы снова получаем решения
cos
Эти решения были выведены Гобсоном *) из решения ekzJ0 (kp) по методу диффе-
дифференцирования гармоник по координатам, предложенному Кларком Максвеллом.
Другое решение уравнения Лапласа, содержащее бесселевы функции, получил
Гобсон (ibid,, стр. 447)" из уравнения в цилиндрических координатах; он рассматривал
при этом -^- как символический оператор. Полученное этим путем решение имеет вид:
где f (z)—произвольная функция; однако смысл этого решения для случая, когда gm
содержит функцию второго рода, остается невыясненным. Другие решения, содержа-
содержащие бесселеву функцию оператора, применяемого к произвольной функции, изучал
Гобсон (Hob son), Proc. London Math. Soc, XXIV A893), стр. 55—67; XXVI A895),
стр. 492—494.
4.81. Решения волновых уравнений
Мы сейчас изучим с этой же точки зрения волновое уравнение
dW*d*V_*d*V 1 д*У
'*' дх* "г ф/2 "Г $гг ci д& '
где t — время и с — скорость распространения волн.
Уиттекер2) дал решение этого уравнения в виде
к к
B) V=z j \^ f (x sin и cos v-\-у sin и sin v-\-z cos и-\-ct, и, v) du dv,
-ic 0
где / обозначает произвольную функцию трех переменных.
В частности, решением является
к к
\/ \ \ et{x sin и cos v +y sin и sin v + г cos и + ct) f (ц^ <у \
о
-тс о
где F обозначает произвольную функцию от и и v.
Физическое значение этого решения заключается в том, что оно является
общим решением, в котором все волны обладают одной и той же часто-
частотой kc.
Пусть теперь (г, 6, ср) будут сферическими координатами точки (х, у, z),
и пусть (со, ф) — угловые координаты направления (и, v) в новых осях коор-
координат, выбранных таким образом, что полярная ось идет в направлении F, ср),
а плоскость ф = 0 проходит через ось z. Основные формулы сферической
тригонометрии показывают, что
cos со = cos 9 cos и -f- sin 0 sin и cos (v — ср),
sin и sin (v — ср) = sin со sin ф.
1) Hobson, Proc. London Math. Soc, XXII A892), стр. 431—449.
2) Whittaker, Math. Ann., LVII A902), стр. 342—345. См. также H a v e I о с к,
Proc. London Math. Soc, B) II A904), стр. 122—137 и Watson, Messenger, XXXVI
A907), стр. 98—106.

140 ГЛАВА IV
Возьмем, далее, в качестве произвольной функции Z7^, v) функцию
Sn {и, v) sin и, где Sn — сферическая функция от (я, v) степени п; тогда можно
написать
5e(«,v) = 5II(e>cp; со, ф),
rjxeSn — сферическая функция1) от (со, ф) степени п.
Мы приходим, таким образом, к решению
к к
Г [eifcrcosu>Sn(b, ср; со, ф)
sin (о
_
Поскольку^ является сферической функцией степени п от (со, ф), мы
можем написать:
Sn @, <р; со, ф) = Л„ F, <р) • Р„ (cos со) +
_)_ 2 М(«' F, <р) cos тф + Я<*> F, <р) sin |яф} РГ (cos со),
где Ля(8, ср), Л^}F, ср) и Б^т)F, ср) не зависят от со и ф.
Выполняя интегрирование по ф, мы получаем:
Vn = 2тг ^/ШЛЛ F, ср) [ eikrz0S{iiPn (cos со) cos со rfco =
о
в силу § 3.32.
Уравнение волнового движения не изменяется при умножении х, у, z и t
на один и тот же постоянный множитель или при умножении г и t на один
и тот же постоянный множитель F и '«р остаются неизменными); поэтому
Ап F, ср) может быть выбрано не зависящим2) от постоянного множителя /г,
стоящего при г и t.
Отсюда \im{k~nV^) является решением волнового уравнения или, иначе
говоря, гпАп F, ср) также является решением (не зависящим от t) волнового
уравнения, а следовательно, и решением уравнения Лапласа. Таким образом,
ДД6, ср) есть сферическая функция п-то порядка. Допуская, что ЛлF, ср) мо-
может быть любой такой функцией, мы получаем, что
±_ cos
eikctr 2 J - {kr)Pmn (cos 6) . mco
/2 + | 7 v ' Sin *
есть решение волнового уравнения'6)-, движение, определяемое этим решением,
имеет частоту kc.
Для обоснования предположения о том, чтоАпф, ср) может быть любой сферической
функцией л-го порядка, мы построим нормальное решение волнового уравнения
д_( 2dV\.ld( . дУ\ 1 д*Уг2 д2У
имеющее множители вида el ct . mtp. Множитель, содержащий 0, должен иметь тогда
!) Это следует из инвариантности оператора Лапласа относительно преобразования
прямоугольных координат.
2) Это вытекает и из того, что Sn может быть выбрано не зависящим от k.
3) Ср. Bryan, Nature, LXXX A909), стр. 309.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 141
вид P^(cosO); множитель же, содержащий г, переводится в нуль оператором
и если этот множитель должен быть аналитической функцией в начале координат, то
он должен быть кратным J i {kr)lY г.
Л+ 2"
4.82. Теоремы, получаемые из решений уравнений
математической физики
Можно доказать (или во всяком случае показать) вероятность некоторых
теорем, касающихся бесселевых функций, путем сравнения различных реше-
решений уравнения Лапласа или волнового уравнения.
Так, взяв функцию
— 2ар cos <р}
и перенеся начало координат в точку (а, 0, 0), мы обнаруживаем, что она яв-
является решением уравнения Лапласа в цилиндрических координатах. Это ре-
решение имеет ekz в качестве множителя и является аналитическим во всех
точках пространства. Поэтому, естественно ожидать, что его можно разло-
разложить в ряд вида
A A0J0 (ftp) + 2 2 (Лт cos ту + Bm sin ту) Jm (fep) .
L /w=i J
Считая такое разложение возможным, мы обнаруживаем, что рассматриваемая
функция должна быть четной функцией от у и, таким образом, Вт = 0; да-
далее, в силу симметрии относительно р и а, Лт имеет вид cmJm(ka), где ст
не зависит от р и а.
Таким образом, мы получаем:
со
Л \k У?2 + а2 — 2а? cos ?I ¦= 2 ZnfmJm ik?) Jm (ka) cos my.
0
Разлагая обе части равенства по степеням р, a, cos у и сравнивая коэффици-
коэффициенты при (k2pacosy)m, мы получаем:
и, таким образом, приходим к разложению 1)
оо
—2apcos<p}= S eJTm (Ар) Ут {ka) cos тор,
которое будет строго доказано в §11.2.
Далее можно ожидать, что выражение e*k(ct+z\ являющееся решением
волнового уравнения и представляющее волновое движение в направлении
оси z от -f-co до —оо с частотой kc и длиной волны 2тг/&, можно раз-
разложить в ряд вида
9 X1
irJ eikct Д с«™я+1 (*г> р« (cos °)>
х) Это разложение дал Нейман (Neumann), Theorie der Bessel'schen Funktionen
(Leipzig, 1867), стр. 59—65.
2) Азимутальные члены отсутствуют в силу того, что функция симметрична
относительно оси г.

142 ГЛАВА IV
где сп — постоянные; таким образом,
1 оо
У ^oCjnJn+L(kr)Pn(coSb).
Сравнивая коэффициенты при (krcosb)n в обеих частях равенства, находим:
1
BяI
и, таким образом, сп= п-\- -^; этим путем мы приходим к разложению1)
^ ? (я 4-1) tnjn + ± (Аг) Ря (cos 6),
которое будет строго доказано в § 11.5.
4.83. Решения волнового уравнения в пространстве р изменений
Только что разобранный прием был распространен Гобсоном 2) на случай
уравнения
d^V__\d^V_\ I дгУ _\ д2У
дх\ » дх\ ' в'в "т" Л*? "" с2 ^^2 '
Частное решение этого уравнения с частотой kc, которое зависит только от
rut, где
должно обращаться в нуль оператором
поэтому такое решение, содержащее множитель eikct, должно иметь вид
J_(p_2)
Гобсон рассматривает частное^?! (kr)/(krJ как цилиндрическую
функцию ранга р; такую функцию можно записать в виде
V(kr\p).
Применяя это обозначение и используя общую концепцию р-мерного
пространства, Гобсон доказал ряд теорем о цилиндрических функциях с це-
целым индексом и с индексом равным половине нечетного числа.
В качестве примера мы рассмотрим разложение для
J {k Vr2 -\-a* — 2ar cosъ \ р),
1) Это разложение принадлежит Бауэру (Bauer), Journal fur Math., LVI A859),
стр. 104, 106.
2) H о b s о n, Proc. London Math. Soc, XXV A894), стр. 49—75.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 143
в котором rcoscp = xp. Эта функция, будучи умножена на eikct, является ре-
решением волнового уравнения, и если положить р = rsin cp, то она выразится
только через р, ср, t, и никакие другие координаты в нее входить не будут.
Отсюда
eikctJ {k Vr2-\-a2 — 2arcoscp | p\
переводится в нуль оператором
Р
р др "Г дх*
др* \ р др "Г дх\ ' '
или, что то же самое, оператором
^ L?jzi ? 4(р ~~ ^ cos ? 4
Таким образом, нормальные решения, переводимые в нуль таким опера-
оператором, имеют вид
% 1 [kr)
где Ря(со8ср|р) есть коэффициент1) при ап в разложении для
1 — !»
A— 2а cos (p -\-a2) 2 .
Рассуждая так же, как в § 4.82, мы заключаем, что
J {k]/r2 -\-а2 — 2ar cos<p | р) =
Далее разложим в ряд все бесселевы функции и сравним в обеих частях
равенства коэффициенты при (k2ar cos cp)w; мы имеем
2* Лп 2"
так что А„ = :
В обозначениях Гегенбауэра,
!- С% (cos?).

144
Таким образом, мы получим разложение
J.
i
(rz _j_ аг __ 2ar cos ф)
4^~2
(karf
Аналитическое доказательство этой формулы, справедливое для бесселевых
функций с любым индексом (данное здесь доказательство относится только
к случаю, когда р — целое), будет дано в § 11.4.
4.84. Решение обобщенного волнового уравнения, данное Бэитменом
Бэйтмен1) изучил две системы частных решений уравнения
ил,^ 2 3 1/л'4
и установил между этими системами связь.
Переходя к новым переменным р, а, ], ф, определяемым равенствами
лг1 = р cos ^, х3 = a cos ф,
х2 = р sin х, х4 = а sin ф,
мы преобразуем уравнение к виду
B) jdW 1 1 dV I l dW\ I {*V 1 ¦ 1 ^ 1 1 d2V\= l д2У
i до% ' р Ор ' р^ 0у^ Г I 01?2 ^ 0^ ^2 ^ф^ Г (j- 0^-
Для этого уравнения функции
/^ (Ар cos Ф) 7V (Aa sin Ф) е*№ +^Ф+*с0,
будут нормальными решениями с частотой Ас; здесь Ф — постоянная величина.
Далее, если положить
чтобы (г, "?> ф, ср) образовали, таким образом, полярную систему координат,
уравнение B) можно преобразовать к виду
3 dVJL l dW
,
' г2 cos- <р д^2 ' /*2 sin2 9 ^Ф2 <?2 ^^
Нормальные решения этого уравнения, содержащие множитель
переводятся в нуль оператором
д2 . 3 *
!) Bateman, Messenger, ХХХШ A904), стр. 182—188; Pro^:. London Math. Soc,
2) III A905), стр. 111—123.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 145
и поскольку эти решения выражаются в виде произведения функции от г на
функцию от ср, они должны переводиться в нуль каждым из операторов
*.Л- 3 д
где X — постоянная, значение которой зависит от характера рассматриваемого
частного решения. Полученные таким путем нормальные решения, как в этом
легко убедиться, имеют вид
<р sinv <р X
Поэтому можно предположить, что выражение
J^ {kr cos cp cos Ф) J^ (kr sin cp sin Ф)
представимо в виде
при этом суммирование распространяется на все возможные значения X, а коэф-
коэффициенты ах зависят от а и Ф, но не от г или ср. В силу симметрии оче-
очевидно, что
ax = bxcos^s\n^'2Fl{^- — X, E±^. + X+l; v+1; sin* ф) ,
где ^ не зависит от Ф.
Нетрудно заметить, что
X = l(pL +
Бэйтмен доказал, что
Мы не будем давать доказательства Бэйтмена, основывающегося на тео-
теории линейных дифференциальных уравнений, однако, ниже (§ 11.6) мы укажем
разложение для J^ (kr cos <p cos Ф) 7V (&r sin cp sin Ф) при помощи прямого преобра-
преобразования.

Глава V
РАЗЛИЧНЫЕ СВОЙСТВА БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
5.1. Неопределенные интегралы, содержащие одну бесселеву
функцию
В этой главе мы рассмотрим некоторые свойства бесселевых функций,
которые мы не затрагивали в двух предыдущих главах и которые все же мо-
могут быть получены элементарным путем.
Вначале мы найдем выражения для нескольких неопределенных инте-
интегралов.
Рекуррентные формулы § 3.9 E) и F) сразу дают:
A)
B) j z-"+i?v (z) dz= — *-"+!?,_! (г).
Чтобы обобщить эти формулы, рассмотрим
допустим, что этот интеграл равен
где A(z) и B(z) подлежат определению.
В результате дифференцирования получим
+ *' + » \B'(z) tf,+1 (*)+Д (*)«,(*)}•
Чтобы A(z) и B(z) могли не зависеть от цилиндрической функции, при-
примем A (z) = B'(z); тогда
Отсюда следует, что
C)
Этот результат получил Сонин (Sonine), Math. Ann., XVI A880), стр. 30, хотя
эквивалентную формулу (в других обозначениях) ранее получил Ломмель (L о m m e 1),
Studien iiber die Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1868), стр. 70. Дальнейшее усовер-
усовершенствование формулы C) произвел Нильсен (Nielsen), Nyt Tidsskrift, IX A898),
стр. 73—83, и Ann. di Mat., C), VI A901), стр. 43—46.

РАЗЛИЧНЫЕ СВОЙСТВА БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 147
Некоторые родственные интегралы, содержащие функции Ьег и bei, можно найти
у Уайтхеда (White head), Quarterly Journal, XLiI A911), стр. 338—340.
Необходимо выделить следующую формулу, являющуюся очевидным
следствием формулы C):
Z Z
D)
5.11. Интегралы Ломмеля, содержащие две цилиндрические
функции
Простейшими интегралами, содержащими две бесселевы функции, будут
интегралы, получающиеся из формулы § 3.12 B),
j t \ jf i \ r [ \ V ( \ 2 sin vtc
v v TX.Z
Интегрируя очевидные следствия этого равенства, получаем:
A) Г dz = к y~v<^
г dz % « J~ v (?) #
B) J 2r7v (г) 7_v (z) = 2sinvTt J^(z) *
аналогично, из § 3.63 A):
dz к Vv(z)
J z%(*) *
dz
\zJ{z)Y^)^JXnj!U^
dz
Читателю нетрудно будет построить аналогичные интегралы, содержащие в зна-
знаменателе любые две цилиндрические функции с одинаковым индексом. Формулы,
данные выше, принадлежат Ломмелю (Lommel), Math, Ann, IV A871), стр. 103—116.
Читатель может сравнить C) с результатом Эйлера, приведенным в § 1.2.
Другие интересные результаты, также принадлежащие Ломмелю *), можно
получить из обобщений уравнения Бесселя.
Если у и 7j удовлетворяют уравнениям
то, дифференцируя, можно легко проверить, что
Применим теперь этот результат к любым двум уравнениям типа
§ 4.31 A7). Если g^, Й\, обозначают две произвольные цилиндрические функ-
1) Lommel, Math. Ann., XIV A879), стр. 520—536.

148
ции соответственно с индексами jx и v, то
/
ШШ
где ср (<2г) и ф (г) — произвольные функции от z.
Эта формула носит слишком общий характер, чтобы ею можно было
пользоваться для практических целей. Возьмем частный случай, когда функ-
функции ср (z) и ф (z) кратны zy пусть это будут, например, kz и lz. Тогда по-
получим:
г
(pi — v) ^(te) tf ,
Выражение в левой части еще более упрощается в двух частных случаях,
когда (i) jx = v, (ii) k = l.
Полагая ji = v, получим:
(lz)\
Эту формулу можно получить, дифференцируя выражение в правой части.
Оно теряет смысл при &==/, так как знаменатель становится при этом рав-
равным нулю, в то время как числитель — постоянная величина.
Если эта постоянная равна нулю, то, применяя правило Лопиталя, полу-
получим, что при /—*k
z
(9) J z%^ (kz) W^(kz) dz=—^ \kz%^ (kz) ?; (kz) —
— kz^ (kz) ^v +, (kz) — ^ (kz) %^, (kz)}.
Чтобы исключить в правой части (9) производные, воспользуемся рекур-
рекуррентными формулами; тогда получим:
A0)
(fo) »„(Аг) — 5?,_, (kz) « , (ft«) — к , (tor)"?,,., (fta) }.

РАЗЛИЧНЫЕ СВОЙСТВА БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 149
Частные случаи этих формул:
Ъ* (kz) dz = I z* {V (kz) - *„_, (kz) ^+] (kz)} =
г
12) Jzff^to) ?_„(kz) dz=\z*{2tf„ (to) #_„ (to) + #„_, (to) «?_„_, (to) +
при этом последнее равенство мы получим, рассматривая е ^Kt(e^(kz) как
цилиндрическую функцию с индексом — jx.
Чтобы получить другой класс элементарных интегралов, положим в G)
k = l\ тогда найдем:
+-
1'
{JL-f-V
Полагая в этой формуле v—> pi, получим:
Последнее уравнение также легко получить, умножая уравнения
соответственно на у—~—¦ и — ^Bг), затем вычитая и интегрируя, и, на-
наконец, заменяя z на kz.
В частности, мы имеем:
A5)
Мы сейчас же дадим и другой метод получения этого результата.
Формулы, эквивалентные A1) для случая функций с нулевым индексом, известны
давно, со времени появления трактата Фурье (Fourier), La Theorie Analytique de la Cha-
leur, Paris, 1822, §§ 318 — 319; однако никакая из остальных формул этого параграфа,
повидимому, не была найдена до опубликования мемуара Ломмеля.
Различные частные случаи этих формул подробно изучали Марколонго (М а г с о-
longo), Navoli Rendiconti, B), 111A889), стр. 91—99 и Чессин (С h e s s i n), Trans,
Acad. ScL of St. Louis, XII A902), стр. 99—108.
5.12. Неопределенные интегралы, содержащие две цилиндрические
функции; второй метод Ломмеля
Ломмель1^ предложил другой метод вычисления некоторых из только что
рассмотренных интегралов. Пользуясь его методом, можно получить более
удобные для расчетов формулы.
±) Loramel, Math. Ann., XIV A879), стр. 530—536.

150
Метод заключается в сложении двух равенств
d
(z) <g, (z)}
+ (p - !A - v - 2) *p-i ^+
откуда
г г
(? + ^ + v) J zp-^,(z)?v(^)^ + (p — Ji — v — 2)J^-^F+1
= & {^. BГ) ^ (Z) + ^, + 1 (
и последующем выборе надлежащих значений для р.
Мы, таким образом, имеем:
A) 1^
= -2(,+Т+1) \*А*)*Л*) + *г+1 (z)V,+1 (z)},
г
B) j ^7
Частными случаями этих формул являются
z
C) J *-*-! *»„+, BГ) Л = - 4^р-2 {^? BГ)
D)
Далее, если положить р равным нулю, то
так что, складывая такие формулы, мы получим:
E) (j
г
= 5?, (z) #, (г) + 2 2 ^+т(г) gv+mBr) + Ш (z) ?,+
/И = 1
В частности, если pi = v = O, то
г
F) |ад»^
/г —1

РАЗЛИЧНЫЕ СВОЙСТВА БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 151
где /2=1, 2, 3, ... . Однако для
J
простой формулы, насколько известно, не существует.
Частный случай формулы A) см. у Рэлея (Rayleigh), Phil. Mag. E), XI A881),
стр. 217; Scientific Papers, I A889), стр. 516.
5.13. Интеграл Comma, содержащий две цилиндрические функции
Рассуждения § 5.1 были обобщены Сониным (S о п i n e); Math. Апп.% XVI A880),
стр. 30 — 33, применившим их к исследованию условий, при которых интеграл
может быть представлен в виде
результаты, однако, оказались очень сложными и не настолько значительными, чтобы
излагать их в этой книге.
5.14. Формула приведения Шафхейтлина
Шафхейтлин !) нашел формулу приведения для
являющуюся естественным обобщением формулы § 5.1 D), и применил ее к
определению скорости изменения корней функции #,(?) при изменении v
(§ 15.6).
Чтобы вывести эту формулу, заметим, что
Далее, интегрируя по частям, получим:
z
(ji + 3) (V+2#;2 (z) dz = [z»+* <ё'? (z)] +
и, таким образом,
z z
(Jl + 1) J ZW %'? (Z) dZ = [Z*+* %'? (Z)] + 2 f Z*+* (Z2 — V») «,(«) *\(Z)) dZ,
!) S с h a f h e i 11 i n, Berliner Sitzungsberichte, V A906), стр. 88.

152
откуда, после подстановки, имеем:
(z) «; (*)] +
)8 — 2v2}
)#; (z)
— (|1 + 3) J Z^+2g2 (г) dZ + (Ц + 1) {1 (Ц + 1 J — V2} J
Перегруппировывая члены, находим:
(ц + 2) j г^+2»; (г) dz = (|i + 1) {v2 — 1 (jjl + 1 J} J ^¦Sl(z) dz +
4- |[^+M^W— |^4-i)^,B)}2+^+1{^-v2+4-(»l + 1J}^^]'
что и представляет собой требуемую формулу приведения.
5.2. Разложения в ряди по бесселевым функциям
Мы рассмотрим сейчас некоторые простейшие разложения по бесселевым
функциям. Одно из них, а именно, разложение \ — z\ , мы уже имели в §2.7.
Общая теория разложений этого вида будет дана в гл. XVI.
Результат § 2.7 делает вероятным разложение
которое было доказано Гегенбауэром 1); оно справедливо если jjl — неотри-
неотрицательное целое число.
Чтобы доказать справедливость этого разложения, заметим, что
00
2* n\ \2Z) Jv-+2niz)
/1=0
есть ряд, составленный из аналитических функций, который сходится равно-
равномерно во всякой ограниченной области плоскости z (ср. § 3.13), и поскольку
то очевидно, что производная рассматриваемого ряда равна
Пи+я+1) ш
i)Gegenbauer, Wiener Sitzungsberichte, LXXIV B), A877), стр. 124—130.

РАЗЛИЧНЫЕ СВОЙСТВА БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 153
и, таким образом, сумма ряда есть постоянное число. Полагая z—>-0, находимг
что это число равно единице; итак,
п=0
П \ ' т
\2Z) Jv-+2n*
и требуемый результат доказан.
Читатель найдет без труда, что если члены разложения в правой части A) рас-
расположить по степеням z, то все коэффициенты, за исключением коэффициента при гм-,
исчезают; однако, это рассуждение не может служить доказательством разложе-
разложения A).
5.21. Разложение функции Бесселя в ряд по бесселевым функциям
Разложение
A) (|2r)"Vyv(-2T) = (|2r)^r(V+l—pi)X
У 01 + 2/»)Г(+я) , ,
представляет собой обобщение формулы, которую доказал Сонин г) для
случая, когда разность v — ji есть целое положительное число; оно справед-
справедливо, если jul, v и v — ji не являются целыми отрицательными числами.
Его легче всего получить, преобразуя каждую степень z в разложении
\-^zf ^Л(^) с помощью § 5.2 и приводя подобные члены в полученном
двойном ряду, который, как легко видеть, абсолютно сходится.
Таким образом мы находим:
V
~0 ' ' ' р—0
/
/I =0 v/w=0
применив при этом теорему Вандермонда; тем самым требуемый результат
доказан.
Полагая v = jx + ^г, находим, что
2 *J ^+т W — 4 Г( + л1 + л + 1)
Этот результат получен Сониным; его легко доказать по индукции.
1) Son in e, Math. Ann., XVI A880), стр. 22.

154 ГЛАВА V
Незначительно изменяя рассуждения, можно доказать, что при постоян-
постоянном k имеет место формула
m (!**)'-,,,**,=*'f тЙЙЦ
<+.—л:
Эта формула потребуется в §11.6 при выводе некоторых разложений
более общего вида.
5.22. Разложения Ломмеля для (z-\-h)~2*J^(V~z-{-h)
Функция (z-\-h) * ^(j/^-f-/*), как функция от z-\-h, является, оче-
очевидно, аналитической при всех значениях переменного, и, следовательно, по
формуле Тейлора в соединении в § 3.21 F), мы имеем:
A) ?
/га —О
= У
Далее, (z -\- hy 7V (]/ z-^-h) есть функция аналитическая всюду, за исклю-
исключением z-\-h = 0; и, таким образом, если |Л|<С.|^1, то
1
Эти формулы принадлежат Ломмелю *). Полагая вA) v==—- и в
2»
B) v = -r- , мы из § 3.4, после незначительных изменений в обозначениях,
получим:
7 /и —0 2
D) (A)W*-4^=|o^b^):
при этом D) справедливо только при | ^|<С~о l^l- Эти формулы принадлежат
Глезеру 2), рассматривавшему выражения в левой части как производящие
г) Lommel, Studien fiber die Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1868), стр. 11—16.
Формулу A) дал Бессель (Bessel), BerlinerAbh., 1824 A826), стр. 35,для бесселевых
функций с целым индексом.
2) Glaisher, Quarterly Journal, XII A873), стр. 136; British Association Report,
1878, стр. 469—470; Phil. Trans, of the Royal So»., GLXXII A881), стр. 774—781, 813.

РАЗЛИЧНЫЕ СВОЙСТВА БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 155
функции для функций с индексом, равным половине нечетного числа, подобно
тому, как ехр уту z (t— 1/^)| является производящей функцией для бесселевых
функций с целым индексом. Глезер доказал C) и D) путем непосредствен-
непосредственного разложения правых частей этих выражений; алгебраические преобразо-
преобразования в исследованиях подобного рода чрезвычайно громоздки.
Укажем теперь различные видоизменения A) и B).
Заменим в A) z и h на z2 и kz2; тогда
E) У?{*/ X
т = 0
и, в частности,
F) 7,{*V2)=2« ? ^_2
Разделив E) на A -\-kJ и затем полагая k—>¦—1, мы получим:
1 У (\ у*
Г (v +1) JL+ т\
Аналогично из B) имеем:
(8) JA __
т = 0 ""
при условии, что | k К 1.
Полагая k—>—1+0, по теореме Абеля, находим:
при условии, что ряд справа сходится. При v целом его сходимость очевидна.
Если v — не целое, то для больших т
(
-1)/» (\-z V
ЧгШ
Отсюда получаем условие сходимости: /?(v)^>0; если оно выполнено,
то сходимость будет абсолютной. Следовательно, если /?(v)^>0, а также при
любом целом v имеем:
~ (-DmU*
(9) Е
Подобным же образом, если /?(v)^>—1, а также при любом целом v
имеем:

156
Заметим, что в A), B), E) и (8) можно заменить функции первого
рода функциями второго рода при условии, что |Л|<^[г| и |?|<^1; таким
образом,
A1) ?
т = 0
оо ( 1
A2) W AJ
/ 1
A3) K Ц^
Это можно доказать, представляя функции второго рода как линейные комби-
комбинации функций первого рода; переходя к пределу при v стремящемся к Це-
Целому значению, мы убеждаемся, что формулы будут справедливыми и для
функций с целым индексом.
Объединяя A1) — A4) с соответствующими результатами для функций
первого рода, мы обнаруживаем, что всюду вместо символа Y можно подста-
подставить символ %.
Эти последние формулы были указаны Ломмелем (L о m m e 1), Studien, стр. 87.
Многочисленные обобщения их будут даны в гл. XI. Как заметил Эйри (A ire у),
Phil. Mag., F), XXXVI A918), стр. 234—242, они могут быть использованы для вы-
вычислений, связанных с корнями бесселевых функции^
Объединяя E) и A3) и затем заменяя у \ -\-k на X, мы находим, что
при 1X2— 1|<1
/ 1 \т
A5) X
и, в частности, при произвольном X
оо т ж (~ Y*
т=0
Последние две формулы часто называют1) теоремами умножения бессе-
бесселевых функций.
Заметим, что если A4) преобразовать подобно тому, как это было сделано с (8),
то мы получим (полагая v равным целому числу п):
A7) - («- 1)! B/г)« =« ? ^ J, ' Уп-т W.
т — 0
Другое доказательство формул умножения дал Бёмер (В б h m e r), Berliner Sitzungs-
berichte, XIII A913), стр. 35; при этом он применял интегрирование в комплексной
области; см. также Нильсен (Nielsen), Math. Ann., LIX A904), стр. 108, и (о различных
обобщениях этих формул) Вагнер (Wagner), Bern Mittheilungen, 1895, стр. 115—119;
18%, стр. 53—60.
1) См, например, Schafheitlin, Die Theorie der Bessel'schen Funktionen (Leipzig,
1908), стр. 83.

РАЗЛИЧНЫЕ СВОЙСТВА БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 157
[Замечание. Частный случай формулы A), когда v = 1, был найден Ломмелем
за семь лет до опубликования его трактата; см. Archiv der Math., XXXVII A861),
стр. 356.
Его метод заключался в вычислении двумя различными способами интеграла
~- 1 \ cos (& г cos 0 + т) г sin 0) dk di\,
взятого по площади круга S2 —(— тJ =г 1.
Интегрируя по гь мы получим:
1
i j [ sin (Ег cos 0 + nr sin0)]^-JL.
f sin 0
= — \ cos ?r cos 0) sinjV 1
l
¦
/-sin0
l
Jm
E(— I) (r sin
Bm + 1)!
m=o -l
_ V {г"\ТГ9ШУ Jm+1(rcost)
Переходя к полярным координатам (р, <р), найдем:
к 1 я 1
— \ \cosjrpcos(^ — 0)jp^pdty —тг~ 1 1 COS (r? COS f) ?dpdy =
2it J J ^J J
— тс 0 — л О
1
=±я
COS
—
Сравнивая эти два выражения, мы получим A) для случая v = l, с заменой z н h на
r2cos20 и г2 sin2 6.]
5. 23. Разложение функции Бесселя в ряд по бесселевым функциям
Из формулы § 5.22 G) Ломмель получил любопытный ряд по бесселе-
бесселевым функциям, представляющий любую заданную бесселеву функцию.
Пусть IX =^= v и IX — неотрицательное целое число; тогда
mrV+n + 1)
Полученный ряд абсолютно сходится; следовательно, мы можем переста-
переставить в нем члены, заменяя р на т — л, после чего получим:
у (г)-

158
откуда, по теореме Вандермонда,
2
Эту формулу для частного случая ji = 0 дал Ломмель (Lorarael), Studien tiber die
Bessel'schen Funktionen, Leipzig, 1868, стр. 22—23; дифференцируя по v и затем по-
полагая v = 0, находим:
Х{ф(л1+1) + ф(—Jt)— ф(« — Ц)},
и при ц = 0 мы имеем формулу Ломмеля:
/1 \т
1 Г / 1 \ ^ °° f — Г*
Полученный результат следует сравнить с разложением Неймана, данным
в § 3.57.
5.3. Формула сложения для бесселевых функций
Равенство
00
/71= —00
где |^|<^|^|, v — произвольное, представляет собой распространение фор-
формулы из § 2.4 на бесселевы функции с любым индексом. Эта формула при-
принадлежит Шлефли1); аналогичную формулу, являющуюся, однако, более
общей, а именно
оо
B) ^S^(Z-\-t)=^ 2j <&4—.m(ty%^m('^i
т= — оо
дал Сонин2>.
Сначала мы покажем, что ряд в правой части A) равномерно сходится
при условии, что
|
где 0<г<Я<Д.
Для больших положительных т произведение J^^m(t)Jm{z) сравнимо с
а сходимость ряда — со сходимостью биномиального ряда для A—f[
Если т велико и отрицательно ( = — л), то общий член ряда сравним с
и равномерная сходимость для обеих совокупностей значений т следует из
признака Вейерштрасса.
1) Schlafli, Math. Ann., Ill A871), стр. 135—137.
2) Ibid., XVI A880), стр. 7—8.

РАЗЛИЧНЫЕ СВОЙСТВА БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 159
Таким образом, допустимо почленное дифференцированиег) и мы получаем;
И= — 00
откуда после перегруппировки слагаемых видно, что все члены в правой
части взаимно уничтожаются и, таким образом,
Отсюда при | * К | * | ряд 2 Л-да @ Л* (*) естЬ аналитическая функ-
/гс= —оо
ция от z и tf, которая в самом деле зависит только от z-\-tf поскольку
ее производные по z и по t тождественно равны. Если обозначить эту функ-
функцию через F(z-\-t)t то
Полагая z=0, замечаем, что F(t) = Jy(t), после чего справедливость A)
становится очевидной.
Далее, если в A) переменить знаки перед v и яг, то получим:
= 2 (—1 г •/-,„.
и, объединяя этот результат с A), имеем:
C) YH (z+t)= S J^-« (')•/«(«).
m= — oo
Если сравнить это с A), формула B) становится очевидной.
Пользуясь этим же методом, читатель легко докажет, что при
справедливы равенства
D) JAt-z)= 2
/И=-
E) *,(<—*)= S
/И= —
F) kv (<-«)= 2
= — 00
Формула (^) для случая целого v принадлежитЛоммелю (Lorame 1), Studlen tiber
die Bessel'schen Funktioner, Leipzig, 1868, тогда как формулы D), E) и F) в явйом
виде были даны Графом2) (Graf), Math. Ann., XLIH A893), стр. 141—142. Различные
обобщения этих формул будут даны в гл. XI.
!) Ср. Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, ч. 1, § 5. 3.
2) См. также Epstein, Die vier Rechnungsoperationen mit Bessel'schen Funktionea
(Bern, 1894). [Jahrbuch uber die Fortrschritte der Math., 1893—1894, стр. 845—846].

160 ГЛАВА V
5.4. Произведения бесселевых функций
Многие авторы получали для произведения J^ (z) 7V (z) выражение в виде
ряда по возрастающим степеням z. Иногда такое разложение приписывают
Шёнгольцеру *), опубликовавшему его в 1877 г., однако в действительности
его ранее напечатал (в 1870 г.) Шлефли2). Позже это произведение иссле-
исследовал Орр3), тогда как разложения (ср. § 5.42) для произведений вида
J^z)Yn(z) и Ym{z)Yn(z)
дал Никольсон4).
В этом параграфе мы построим дифференциальное уравнение, которому
удовлетворяет произведение двух бесселевых функций, и найдем его решение
в виде ряда. Далее (§ 5.41) мы вновь получим это разложение путем непо-
непосредственного перемножения рядов.
Пусть даны два дифференциальных уравнения нормального вида:
d2v . , л d2w
обозначив через у произведение vw, получим:
у = v"w -f- 2v'w* -\- vw" ==
где штрихи обозначают дифференцирование по z.
Следовательно,
j-z \f + U + J) У) = WW + Ww" = — 2Ivw' — 2Jvfwy
откуда
')j> = (/ — J)(v'w — vw').
Таким образом, в частном случае, когда I = J,y удовлетворяет урав-
уравнению
A)
если же /^Л то с помощью дифференцирования легко показать, что
B)
Этой формой дифференциального уравнения пользовался Орр; что касается
A), —см. Аппель (Ар pell), Comptes Rendus, XCI A880), стр. 211—214.
!) Schonholzer, Uber die Auswerthung bestimmter Integrate mit Hilfe von
Veranderungen des Integrationsweges (Bern, 1877), стр. 13. Из более известных авторов,
приписывающих разложение Шёнгольцеру, можно упомянуть Графа и Гублера
(Graf und Gubler), Einleitung in die Theorie der Bessel'schen Funktionen, II (Bern,
1900), стр. 85—87, а также Нильсена (Nielsen), AnruSci.de VEcole norm. sap. C) XVI11
A901), стр. 50; Handbuch der Theorie der Cylinderfunktionen (Leipzig, 1904), стр. 20.
Как утверждает Нильсен (Nielsen), Nouv. Ann. de Math. D), II A902), стр. 396,
Мейссель приводит некоторые ряды произведений такого вида в Iserlohn Programm,
1862.
2) Schlafli, Math.Ann., Ill A871), стр. 141—142. Доказательство Шлефли имеет
тривиальную ошибку, состоящую в том, что он пользуется контурным интегралом,
который (как он сам это замечает) сходится только при У^ (jx —|— v —|— 1) >• 0.
3) О г г, Proc. Camb. PhiL Soc, X A900), стр. 93—100.
4) Nicholson, Quarterly Journal, XLI1I A912), стр. 78—100.

РАЗЛИЧНЫЕ СВОЙСТВА БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 161
Чтобы применить полученные результаты к уравнению Бесселя, его
нужно преобразовать к нормальному виду; как Орр, так и Нильсен дости-
i_
гают этого, взяв z2 #v (z) в качестве нового зависимого переменного; однако
чтобы получить решение в виде ряда, проще будет выбрать новое независи-
независимое переменное, а именно, положить
тогда
Отсюда мы получим уравнение, имеющее при jx2^v2 своими решениями
*)> в виде
т. е,
C) [»4-
а уравнение, имеющее своими решениями J^(z)J^4 (z)t — в виде
D) 0 (&2 — 4у2) j> + 4е29 (& + 1) у = 0.
Решения уравнения C) в виде рядов могут быть записаны в форме
00
где a = zblJlzbv и
т (а-{-Н-+> + 2т) (a -f- ji — v + 2/я) (а — |х —|— v —|— 2т) (а — ji — > + 2/и) *
Полагая a = ji-f-v и
, = 1
0 2н-+*Г(|л-
получаем ряд
A
-
г\ Г
другие ряды, являющиеся решениями уравнения C), получаются заменой зна-
знаков либо перед |л, либо перед v, либо как перед jji, так и перед v.
Если 2\i, 2v и 2 ([Л —j— v) — неотрицательные целые числа и если
то, рассматривая степени г, встречающиеся в произведении
легко получить, что
1
Подобно этому, находя решение D) в виде ряда, получаем, что если
2v не является целым отрицательным числом, то
00
F) Л(г)= Z ~
! Г Bv + т + 1) {Г (v + /л + 1) }*

оо (-l)«^lzj {2m)\
162 ГЛАВА V
а если v — не целое отрицательное число, то
G) 7V (z) 7_v (z) =
С помощью рассуждения, аналогичного тому, с которым мы встре-
встречались в § 4.42, можно показать, что F) справедливо, когда v равно
половине нечетного отрицательного числа, при условии, что частное
ГBу-}-2/я-|- 1)/ГBу-{-/я-|- 1) заменено произведением Bу)-\-т-\- \)т.
5.41. Произведение рядов, представляющих бесселевы функции
Результаты § 5.4 легко получить путем непосредственного перемноже-
перемножения рядов. Этот метод обладает тем преимуществом, что становятся излиш-
излишними отдельные исследования для случаев jx2 = y2 и (X-f-v<^0.
/1 \ M-+V+2/W
Коэффициент при (— lp(— z\ в произведении двух абсолютно
сходящихся рядов
( 1 \ 1Д.+2/И / 1 \v+2/z
равен
т
п !
__ (— !)«(— pi — у — 2/tt)m
если для суммирования конечных рядов применить теорему Вандермонда*
Отсюда для всех значений \L и v имеем:
A)
г ет=0
эта формула включает в себя формулы E), F) и G) из § 5.4.
Этот очевидный способ доказательства, повидимому, не был замечен ни одним
из более ранних авторов; его приводит Нильсен (Nielsen), Math. Ann.% LII A899),
стр. 228.
Ряды для Jo (z) cos z и Jo (z) sin z были даны Бесселем (В e s s e 1), Berliner Abh.t
1824 A826), стр. 38—39; соответствующие результаты для /vBr)cos2r и J^(z)smz по-
получил из интеграла Пуассона Ломмель (L о га m e 1), Studien tiber die Bessel'schen Funk-
tionen, Leipzig, 1868, стр. 16—18. Некоторые предложения, касающиеся функций ber и
bei, были получены У айтхедом (W h i t e h e a d), Quarterly Journal, XLII A911), стр. 342.
В более общем случае, если мы умножим ряды для J^(az) и для JH(bz)> то
получим разложение, в котором коэффициент при (— 1 )та?Ьч [ — z ) ** v равен
(— /w, — pi — m;v-\- 1;
2. л

РАЗЛИЧНЫЕ СВОЙСТВА БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 163
и, таким образом,
B) ^ (аг)Л (Ьг) = ^2 Г(, + ц—- X
/1 \2т
оо (— \)т -тгаг 2Л (— w» — \*> — т\ v 4-1»
т=0
этот результат может быть упрощен, если только гипергеометрический ряд
выражается в компактной форме.
Одним из таких случаев будет случай Ь = а; мы его уже рассмотрели;
другой — тот, когда Ь=*1а, при условии, что jx2 ^= v2.
В последнем случае мы воспользуемся формулой1)
и тогда найдем:
1 + 1
(— \)т _- az\ cos — тп
2а /и!Г(у
/ 1 \2т ( \ 1
D) 7_, («) л (**) - ? V
/ 1 1
Г ^-^-v + i-
/ 1 \
оо (-1Г4-«
E) У, («г) /_v («г) = V
Если положить в = е4 , то получим
F) ber?(г) + bei?(z) = f ж,Г(> Д^ГО + 2» + 1) :
0
главные члены этого разложения были приведены в §3.8.
Формулы C), D), E) были найдены Нильсеном (Nielsen), Atti delta R. Accad.
dei Lincei E), XV A906), стр. 490-497 и Monatshefte fur Math, und Phys.,XlX A908),
стр. 164—170, который рассматривал дифференциальные уравнения, имеющие решения
JAaz)J^(bz).
Несколько рядов для произведений вида J^(z) и У^ (z) J^^,(z) приведены в Quar-
Quarterly Journal, XLI A910), стр. 55, однако они слишком сложны, чтобы ими можно
было пользоваться на практике.
1) См. Kum mer, Journal far Math., XVA836), стр. 78,формула E3).

164 ГЛАВА V
Полагая в B) ]i:=zt:'2'' легко доказать, что
G) *•«"•/ 1Bгsin 6) = -Шу B sin в)'"'* ? гBу+^} «(сое 6).
Частный случай этой формулы для целого 2v дал Гобсон1),
5.42. Произведения, содержащие бесселевы функции второго рода
Ряды, выражающие произведения J^(z)Yn(z), Jm(z)Ya(z) и Ym(z) Yn(z),
подробно изучал Никольсон2); последующее представляет собой в общих
чертах изложение, с некоторыми видоизменениями, результатов Никольсона.
Мы имеем:
Ч (*) У„ {г) = ~ {7„ (z) 7, (z)} — (— 1)» ± {^ B) 7_v (г)},
~ {7„ (z) 7, (z)} — (— 1) ±
где v необходимо положить равным п после дифференцирования.
Далее
Ц U) Л W} — Ь (| 2г) • 7, Bг) Л
Г (ix + > -Ь 2r -f-
оо Г (~ 1)Г D" '2Г
X г!ГA1 + у + г+
г=о L
V I v _J- r _L \\ X.
+l) —Ф(Я —v + r+l) —ф( —v +
п — \ оо
Разобьем последний рядна две части 2 и 2* В первой из них мы имеем:
г^=0 г=л
1.
во второй части никакой неопределенности нет. Если в ней заменить г на
х) Hobson, Proc. London Math. Soc, XXV A894), стр. 66; см. также С a i 1 ] е г,
Шт. de la Soc. de Phys. de Geneve, XXXIV A902—1905), стр. 316.
2) Nicho lson, Quarterly Journal XLU\A9\2)y стр. 78—100. Разложение /0 (z) YQ(z)
ранее было дано Нильсеном (N i e*l s e n), Handbuch der Theorie der Gylinderfunk-
iionen (Leipzig, 1904), стр. 21,

РАЗЛИЧНЫЕ СВОЙСТВА БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 165
л-f-r, то получим:
n-i [-z\ {v.-n + r+l)r(n-r~ 1)!
r=0
r !(« + /)! Г(ц + г+1) Х
r=0
X {2 In A
Выражение справа есть непрерывная функция от ji при р. = ту где
т = 0у 1, 2, ..., и, таким образом, ряд для uJm(z) Yn(z) можно получить,
заменяя в правой части A) jx на т.
Ряд для Ym(z)Yn(z) может быть вычислен путем построения ряда для
(*)
1
аналогичным образом. Детали этого вывода, чрезвычайно сложного, можно
найти у самого Никольсона; мы здесь их повторять не будем.
5.43. Представление J^(z)-Jy)(z) в виде интеграла
Обобщение интеграла Неймана (§ 2.6) на Jn (z) можно получить, при-
применяя формулу1)
к результату, полученному в § 5.41; рассмотренный интеграл имеет указанное
значение, если т = 0, 1, 2, ..., при условии, что /?Ox-j-v)^> — 1.
Тогда очевидно, что
Я10 А
так что при /? (jx —J— v) ^>—1 имеем:
A) J^ (z) 7V (z) = ~ \ 7^+v Bz cos 6) cos (jjl — v) 6 db;
0
обоснование перестановки порядка суммирования и интегрирования не пред-
представит серьезных затруднений.
*) Эта формула принадлежит Коши; ее доказательство, использующее методы
контурного интегрирования, см. Курс современного анализа, ч. 2 A934), стр. 41.

166 ГЛАВА V
Если п — целое положительное число и R(\x — /г)^>-*-1, то
B) J^z) Jn (z) = 2{\Х)П [ Jy.-n Bz cos 6) cos (jji + n) Ш;
о
формула остается верной при любых целых jx и п.
Формулу A) для случая, когда оба числа fiztv — целые, дал Шлефли (Schlafli),
Math. Ann., Ill A871), стр. 142; общая формуда принадлежит Гегенбауэру (Ge ge n-
bauer), Wiener Sitzungsberichte, CXI Ba), A902), стр. 567.
5.5. Разложение \-z-z) V в виде ряда произведений бесселевых
функций
Естественным обобщением формул Неймана (§ 2.7) и Гегенбауэра (§ 5.2)
является формула
l1' U У — ~Г(|."+7+1Г" Х
X
т=0
Она верна, есл« [X, v — неотрицательные целые числа, однако, последу-
последующее доказательство использует только условие /? (jx —|— v —|— 1) ^> — 1.
По §5.2, мы имеем:
Если умножить это выражение на cos(pi — vH и проинтегрировать, то
из §5.43 видно, что
вычислив интеграл в левой части, получим требуемую формулу; для других
значений \i. и v результат можно получить методом аналитического продол-
продолжения.
Доказанную формулу можно сразу же вывести из формул Гегенбауэра (G e g e п-
bauer), Wiener Sitzungsberichte, LXXV A877), стр. 220.
5.51. Ряды Ломмеля по квадратам бесселевых функций
Разложение, полученное Ломмелемг) из формулы
!) Результаты этого параграфа см. Lommel, Math. Ann., II A870), стр. 632—633;
XIV A878), стр. 532; Munchener Abh., XV A866), стр. 548—549.

РАЗЛИЧНЫЕ СВОЙСТВА БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 167
имеет вид
00
-'v — 1 \Z) >
2,
71 = 0
и, таким образом,
i J */;_! (^) </* = X (
Отсюда, по § 5.11 A1), при /?(v)^>0 мы имеем:
A) x*2Uv-i (г) — Л_8(*)Л(*)} = Ё
л = 0
если устремить к 0 нижний предел интеграла; добавляя затем члены в на-
начале ряда, можно обнаружить» что ограничение /?(v)^>0 излишне.
Если мы возьмем последовательно v = y, v^-^» а затем сложим и
вычтем полученные результаты, то найдем (§ 3.4):
C) sin2? = у (_г
тогда как, полагая v=l, мы имеем:
D) \ *2 {А (г) + J\ (z)} = ? Bп + 1) &+i (г).
Еще одну формулу такого же типа можно вывести, дифференцируя ряд
в самом деле,
оо
и, таким образом, при /?(v)^>0 мы получаем видоизменение формулы Хансена
(§ 2.5), а именно,
E) ? *
я=0
В § 13.42 будет дано важное следствие этой формулы, а именно, оценка верх-
верхней границы для | Уу (

168 ГЛАВА V
Полагая v = tt, находим:
г
У в„У Az) = — \ sin2 / -г = -— 4- — l sin 2t -r
о
= 0
и, таким образом,
F)
где, как обычно, символ Si означает «интегральный синус». Этот результат
приводится Ломмелем в третьем из мемуаров, на которые мы ссылались.
5.6. Формулы, содержащие непрерывные дроби
Из рекуррентной формулы § 3.2 A) легко можно вывести выражений
для частного бесселевых функций в виде непрерывных дробей; так, записы-
записывая эту формулу в виде
мы легко находим:
Эту формулу нетрудно преобразовать в
— 2(v + l)/*— ... — 2(v + m)/z — JH + m(z) '
Полученные результаты справедливы для любых значений v; формула A) бы-
была найдена Бесселем г) для целых значений v. Эквивалентный результат, при-
принадлежащий Шлемильху 2), состоит в следующем: если
то
C) Q(,)—J_ IL ll Jl
IL ll Jl ^
v+1 —v + 2 — v + 3 — ...—v + m— 4
Выпишем ещё некоторые формулы, найденные Ломмелем 3):
!) В ess el, Berliner Abh., A824), A826), стр. 31. Формула B), кажется, ранее не
была найдена другими авторами; см. Encyclopedie des ScL Math., II, 28, § 5. 8,
стр. 217. Несколько отличной формой записи пользовался Граф (Graf), Ann. at Mat B),
XXIII A895), стр. 47.
2) Sch 16 milch, Zeitschrift fur Math, und Phys., II A857), стр. 142; Шлемильх
рассматривал только целые значения v.
3) Lommel, Studien tiber die Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1868), стр.5; см.
TaKHceSpitzer, Archiv der Math, und Phys., XXX A858), стр, 332, и Gunther,
Archiv der Math, und Phys., LVI A874), стр. 292 — 297.

РАЗЛИЧНЫЕ СВОЙСТВА БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 169
2(v + l) — 2(v + 2) — 2(v + 3) —...—
1-T2(v + 1) — 2(v + 2) —.*.— 2(v + m) — 7v+m(*) *
Во всех этих формулах бесселевы функции можно, очевидно, заменить лю-
любыми цилиндрическими функциями.
Бессель считал, что при т—*со последним частным можно пренебречь,
так что
k1 ^2/{(+1)l
() j^L^k!-
J^(z) 1 — 1 — 1 —....
Такого рода допущение не является очевидным, хотя иногда оно и
оправдывается после проведения специального доказательства. Строгое обо-
обоснование разложения частного бесселевых функций в бесконечную непрерыв-
непрерывную дробь будет дано в § 9.65 с помощью теории «полиномов Ломмеля»
[3 амечание. Неочевидность допущения Бесселя можно иллюстрировать тем
фактом, что из существования предела дроби pm\qm ПРИ т—*" °°» вообще говоря,
не вытекает даже существование предела дроби т^т ~y"m+l; в этом можно убе-
диться, взяв
Рт = т "Г sin /и, qm = m, ат= — 1].
Подробное исследование о представлении 7V (z) /7v_i (z) в виде непрерывной дроби
читатель найдет в мемуаре Перрона *) (Р е г г о п). Miinchener Sitzungsberichte, XXXVII
A907), стр. 483 — 504. Вильтон (Wilton), Quarterly Journal, XLVI A915), стр. 320 — 323,
исследовал решения уравнения Риккати, выражающиеся с помощью такого предста-
представления. Связь между непрерывными дробями рассмотренных в этом параграфе типов
и соотношениями, связывающими сопряженные гипергеометрические функции, была
замечена Гейне (Н е i п е), Journal fur Math., LVII A860), стр. 231 — 247 и Кристоффелем
(С h r i s t о f f e 1), Journal far Math. LVIII A861), стр. 90 — 92.
5.7. Выражение Хансена для J^(z) в виде предела
гипергеометрической функции
Хансен 2) нашел, что
Мы докажем этот результат для любых (комплексных) значений v и ^
при условии, что X и jjl стремятся к бесконечности, и считая их также ком-
комплексными.
Если X=l/5, jii==l/7], то (т-\-\)-й член разложения правой части будет
иметь вид
т~\
!) Этому мемуару посвящена статья Нильсена (Nielsen), Miinchener Sitzungsbe-
richte, XXXVIII A908), стр. 85 — 88.
2) Han sen, Leipziger Abh., II A855), стр. 252; см. гальберштадтскую диссертацию
Неймана, 1909. [Jahrbuch ttber die Forschritte ber Math., 1909, стр. 575.]

170
Эта функция непрерывна по 8 и 7), и если 80, 7j0— произвольные положитель^
ные числа (меньшие чем 2|?|~), то ряд, в котором она является (т-\-1)-м
членом, сходится равномерно по 8 и 7), если только одновременно | $ | < §0 и
17) | ^ 7H. Действительно, рассматриваемый член по абсолютной величине меньше
модуля (т-\~\)-го члена (абсолютно сходящегося) разложения функции
и равномерная сходимость следует из признака Вейерштрасса.
Далее, в силу того, что сходимость равномерна, сумма членов ряда есть
непрерывная функция от обеих переменных (8, т\) в точке @, 0) и, таким об-
образом, предел ряда равен сумме пределов отдельных членов, т. е.
что и требовалось доказать.
5.71. Бесселевы функции как пределы функций Лежандрс
Хорошо известно, что решения уравнения Лапласа, которые представляют
собой аналитические функции вблизи начала координат и которые удобны
при рассмотрении физических задач, связанных со сферой, можно представить
в виде линейных комбинаций функций вида
г"Ря (cos в), r"P% (cos 6) ^?ns Щ\
эти функции являются нормальными решениями уравнения Лапласа в сфери-
сферических координатах (г, 6, ср).
Рассмотрим теперь расположение координатных сфер, конусов и плоско-
плоскостей вблизи оси 6 = 0 на большом расстоянии от начала координат. Сферы
приближаются там к плоскостям, конусы к цилиндрам, а взаимное их распо-
расположение приближается к расположению координатных цилиндров и плоскостей
в цилиндрической (полярной) системе координат; нормальные решения уравнения
Лапласа в такой системе координат имеют вид (§ 4.8)
Поэтому, если run велики1), а 6 настолько мало, что г sin в (т. е. р) остается
ограниченным, следует ожидать, что функция Лежандра будет аппроксимиро-
аппроксимировать бесселеву функцию; другими словами, можно ожидать, что бесселевы
функции выражаются в виде пределов функций Лежандра.
Формулы бесселевых функций, полученные таким образом, представляют
собою частные случаи предела Хансена.
Наиболее важной из этих формул является
A) llmP. (со*?)=70(*).
!) Если бы п не было большим, то (sin17* 0)//я! было бы аппроксимирующей функ-
функцией для Р™ (cos Щ.

РАЗЛИЧНЫЕ СВОЙСТВА БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 171
Этот результат» который Нейману*), повидимому, был известен еще в 1862 г.,
рассматривали Мелер (Mehler), Journal fur Math., LXVIII A868), стр. 140; Math.
Ann., V A872), стр. 136, 141—144; затем Гейне (Н ein e), Journal fur Math., LXIX A869),
стр. 130; Рэлей (Ray lei gh), Proc. London Math. Soc.,\X A878), стр. 61— 64; Proc.
Royal Soc, XCII, A A916), стр, 433—437 [Scientific Papers, I A899), стр. 338—341;
VI A920), стр. 393—397] и Джулиани (G i u 1 f a n \\Giorn. di Mat., XXII A884), стр. 236—239.
Гейне и Рэлей распространили этот результат на обобщенные фуйкции Лежандра.
При доказательстве A) обычно считалось, что п стремится к бесконеч-
бесконечности, принимая целые значения; проще, однако, доказать A), считая, что п
стремится к бесконечности как непрерывное вещественное переменное.
Возьмем формулу Мэрфи
Рп (cos zfn) = 2Fr (— nt n -f-1; 1; sin21 z/n);
рассуждения предыдущего параграфа остаются в силе, и мы применяем их с
небольшим видоизменением, используя неравенство
где |2г|^2|я|; после этого можно сравнить два ряда
где §0 — произвольное положительное число, меньшее чем -о")^!", и|л|^> 1/й0.
Детали доказательства мы предоставляем читателю.
Если п — целое положительное число, ряд для Рп (cos zfn) обрывается и
для завершения доказательства нужно воспользоваться теоремой Таннери2).
Этот факт впервые заметил Джулиани; предшествующие авторы допускали
возможность перехода к пределу без доказательства.
В случае обобщенных функций Лежандра (с произвольным индексом т)
определение будет зависеть от того, заключен ли аргумент этих функций
между -|~ 1 и — 1 или нет; для вещественных значений х (между 0 и я)
мы имеем:
и, таким образом,
B) lim nmP-™(cos Z\ = Jm (x);
п-*оо \ }
однако, с другой стороны, мы имеем:
th« [\z\n\ .
и, таким образом,
C) limn>"P-
г) Ср. Neumann, Journal fur Math., LXII A863), стр.36—49.
2) Gp. Brorawich, Theory of Infinite Series, § 49. [См. Таннери, Введение в
теорию функций с одной переменной, т. 1, § 183, стр. 308—309. (Добавление § 2,
п. 4.) — Прим. ред.]

172
Соответствующую формулу для функций второго рода можно вывести из
уравнения, которое выражает !) Q™ через Р% и Р~т\ она имеет вид
. ,ч 1- Г п"т sin /не
/ « -2Г \ 
(ch *) J =
Эту формулу дал (в других обозначениях) Гейне2); она совсем легко
доказывается, если подставить вместо лежандровой функции интеграл типа
Лапласа, а затем перейти к пределу и использовать формулу E) из § 6.22.
Лорану3) принадлежит формула, немного отличающаяся от только что
рассмотренной, а именно,
E) lim
ее можно доказать, пользуясь второй формулой Мэрфи
Ря(со8в) = совяув.а/71 ( — л, —п; 1; — tg2^
[Замечание. Существование формул подобного рода необходимо особо отме-
отметить, поскольку ранее считалось, что между функциями Бесселя и функциями Лежандра
нет связи. Так, например, в трактате Тодхантера (Todhunter), Elementary Treatise on
Laplace's Functions, Lame's Functions and Bessel's Functions, London, 1875, стр. VI,
утверждалось: «они (т. е. бесселевы функции) не находятся в связи с главным пред-
предметом этой книги>].
5.72. Интегралы, связанные с формулой Мелера
Мелер, а впоследствии также Рэлей, дали совершенно отличный метод
доказательства формул предыдущего параграфа. Этот метод основывается
на использовании интеграла Лапласа, а именно,
к тс
Рп (COS 6) = -М (COS б -f- * Sin 9 COS Cp)n дГср = -M **In(cosS+ *sin8cos?)</<р.
о о
Поскольку
n In {cos (zjn) -j- / sin (zjn) cos cp} —>- iz cos cp
равномерно при п—*оо, где О^ср^тт, мы сразу получаем:
тс
lim Рп (cos z\n) = — ^coscp щ _ уо ^
п~* о
Гейне4) и де Балль6) переходили к пределу в интегралах типа Лапласа
для функций Лежандра аналогичным образом. Таким путем Гейне определял
!) Ср. Barnes, Quarterly Journal, XXXIX A908), стр. 109; в обозначениях Барнса
(принятых в этой книге) уравнение имеет вид
ч sin т% sin пк ^т Рп т Р™
"*-"> g v« ~Г{\~т + п)~Г(\+т + п)'
2) Heine, Journal fur Math., LXIX A868), стр. 131.
3) Laurent, Journal de Math. C), I A875), стр. 384—385; формула, в действи-
действительности данная Лораном, неправильна из-за допущенной арифметической ошибки.
4) Heine, Journal fur Math., LXIX A868), стр/131. См. также Шарп, XXIV A890),
стр. 383—386.
5) De Ball, Astr. Nach., CXXVIII A891), столбцы 1—4.

РАЗЛИЧНЫЕ СВОЙСТВА БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 173
бесселевы функции второго и третьего рода; мы используем его результат в
§ 6.22, когда будем иметь дело с интегральными представлениями для Y^(z).
Мелер доказал свою формулу, воспользовавшись интегралом Мелера — Дирихле
* J y2(cos f — cos 6)
Если щ = ф, то можно показать, что
f
о т
однако переход к пределу затруднителен, поскольку интеграл является несобственным.
В последнее время было получено несколько формул, показывающих
характер стремления к пределу функций Лежандра при стремлении ее индекса
к бесконечности.
Так, например, формальное разложение, принадлежащее Макдональдуг),
имеет вид
О) />r*(cos6)=(n+ip (cosie)~wx
X [ Jm(xL-sin2^b
где
Укажем формулы для верхнего предела ошибки, проистекающей от заме-
замены лежандровых функций с большим индексом функциями Бесселя; эти фор-
формулы имеют вид2)
B) Р„ (cos i))± лт-1 Qn (cos r,) = Ksec rre ^ 2>Kl S>>X
2
C) Pn (ch 5) = ^j2 /0(л6 A
j
62/?(/г)
D) Qrt(chS) -^)(^thV^
1) Macdonald, Pro^r. London Math. Soc. B), XIII A914), стр. 220—221; некоторые
относящиеся сюда результаты были получены этим же автором ранее, Proc. London
Math. Soc, XXXI A899), стр. 269.
2) Watson, Trans. Camb. Phil. Soc, XXII A918), стр.277—308; Messenger, XLVII
A918), стр. 151—160.

174 ГЛАВА V
где в B) 0^ 7j<^ — тт, а в C) и D) ?^0; числа 6^ 62, 63 по абсолютной
величине меньше единицы; п может быть комплексным при условии, что его
вещественная часть положительна. Доказательство этих результатов слишком
длинно, чтобы его здесь можно было привести.
5.73. Формулы Ольбрихта
Выше мы отмечали, что бесселевы функции выражаются по формуле
Хансена как пределы гипергеометрической функции. Этот факт привел Оль-
Ольбрихта г) к исследованию способов записи уравнения Бесселя в форме, анало-
аналогичной форме уравнений, связанных с римановыми Р-функциями.
Возьмем уравнение
дгу 2»+1 dy ¦ Л у»-|>»\ 0
dz% ' z dz ' \ z^ f* v
имеющее фундаментальной системой решений пару функций
и сравним это уравнение с уравнением, которое задается при помощи схемы
(«, ft, с, \
а, р, у, Л >
а'.РМГ, )
а именно,
<РУ 1 /1— « — «У I 1 — Р — К I 1— Т —1'\ dy ,
dz*i\ z — a » г — & ' г — с f dz ~^~
у У =о-
74 (г — л) (-г — ?) (г — ^
мы обнаружим при этом, что последнее сводится к первому, если
а ?, с, [$, р', у» Y' так стремятся к бесконечности, что Р + ^' и Y + Y' остаются
конечными (причем сумма их равна 2jx-{-1), тогда как j5f$' = YY' = x ^2 и
Таким образом, мы получаем схему
( 0, 2/р, — 2/р,
НтР < v — pL, p, y.
где Y,r = ^ + y±
Другой аналогичной схемой будет
Г 0, /
limP< v —ц,
^°° I -v-Я, -
с такими же значениями у и у', как и выше.
1) Olbricht, ^Vova Acta Caes.-Leop.-Acad. (Halle), 1888, стр. 1-48.

РАЗЛИЧНЫЕ СВОЙСТВА БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 175
Схема для J^(z), получающаяся непосредственно из формулы Хансена,
имеет вид
lim P
Ольбрихт предложил и другие схемы, но они не имеют большого значения, и,
тех примеров, которые здесь приведены, будет достаточно.
Замечание. Как указал Хентцшель (Н а е n t z s с h e 1), Zeitschrift fur Math, und
Phys., XXXI A886), стр. 31, уравнение
v2-4 hA
-p—h fy'
l
решением которого (§ 4.3) является а2 gv (hu), может быть получено из уравнения
Ламе
если инварианты ^2 и ^з эллиптической функции Вейершрасса полагать стремящимися
к нулю.

Глава VI
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ
ФУНКЦИЙ
6.1. Обобщение интеграла Пуассона
В этой главе мы изучим различные контурные интегралы, связанные
с интегралом Пуассона (§§ 2.3, 3.3) и интегралом Бесселя (§ 2.2). При под-
подходящем выборе контура интегрирования можно получить много изящных
формул, выражающих бесселевы функции через определенные интегралы. Эти
контурные интегралы будут применены также и в главах VII и VIII для по-
получения приближенных формул и асимптотических разложений /v (z) при боль-
больших z или v.
Иногда приложения интеграла Пуассона носят более элементарный ха-
характер, чем приложения интеграла Бесселя; в соответствии с этим, мы
сейчас изучим интегралы типа Пуассона, отложив изучение интегралов типа
Бесселя до § 6,2. Исследования обобщений интеграла Пуассона, которые мы
сейчас изложим, принадлежат в существенном Ханкелю1).
Простейшей из формул § 3.3 является формула § 3.3D), поскольку она
содержит под знаком интеграла только одну показательную функцию, тогда
как в других формулах имеются тригонометрические функции, которые выра-
выражаются через две показательные функции. Поэтому мы будем изучать усло-
условия, при которых контурные интегралы типа
ъ
Z*\eiztTdt
а
являются решениями уравнения Бесселя; при этом предполагается, что Т есть
функция одного t, но не z, и что пределы интегрирования а и Ъ суть ком-
комплексные числа, не зависящие от z.
Применяя к этому интегралу дифференциальный оператор Бесселя Vv,
определенный в § 3.1, получим:
/ ь \ ь ъ
V,\zH \ eiztTdt\ = ^+2 \ eiztT(\ — P)dt +Bv+ l)^v+1$ eiztTtdt =
\ a ) a a
[b b у -^
е**Т(Р—\) -f fcf+»5 еш\ Bv+ 1) Tt— ^ {T(P— 1)} dt;
при этом мы пользовались интегрированием по частям.
!) Hankel, Math. Ann., I A869), стр. 473 — 485. Рассмотрение соответствующих
интегралов для I^(z) и А^(-гг) принадлежит Шлефли (Schlafli), Ann. di Mat. B), I
A868), стр. 232 — 242, хотя результаты Шлефли выражены в других обозначениях
(см. § 4.15). Эти интегралы были также детально изучены Гублером (G u b 1 е г),
Zurich Vierteljahrsschrift, XXXIII A888), стр. 147—172, и, с точки зрения теории
линейных дифференциальных уравнений, которым они удовлетворяют, Графом (Graf),
Math. Ann., XLV A894), стр. 235 — 262; LVI A903), стр. 432 — 444. См. также de la
Vallee Poussin, Ann. de la Soc. Sci. de Bruxelles, XXIX A905), стр. 140 — 143.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
177
Мы получим решение уравнения Бесселя, если 7, а, Ь выбраны так, что
^{Т(Р— l)} = Bv+lOY,
Первое из этих уравнений показывает, что Т с точностью до постоянного
множителя равно (t2—1) 2, второе же показывает, что можно выбрать кон-
тур интегрирования либо замкнутым, причем eizt (t2 — 1) 2 будет возвра-
возвращаться к первоначальному значению, когда t опишет весь контур, либо таким,
что еш (t2—1) 2 будет обращаться в нуль в каждом из пределов.
Контур первого типа
имеет вид восьмерки, опи-
описанной вокруг точки t=\
в направлении против часо-
часовой стрелки и вокруг точки
t = — 1 — по часовой стрел-
стрелке. Контур второго типа,
если предположить на время,
что вещественная часть z по-
положительна, имеет вид пет-
петли, описанной против часо-
часовой стрелки, которая начи-
начинается в -f- oo/ и оканчи-
оканчивается там же, охватывая
точки — 1, —|— 1 (фиг. 1 и 2).
Если положить а, 6 = 4-1,
то нужно будет считать, что R (v-(~7t)^> 0, и мы получим интеграл Пуассона.
Чтобы приписать многозначной функции (t2 — 1) 2 определенное зна-
значение г\ будем считать, что в точке Л, где контуры пересекают вещественную
ось, и которая лежит справа от ?=1, фазы t—1 и t-\-\ равны нулю.
Мы приходим, таким образом, к изучению контурных интегралов
Фиг. 1.
Фиг. 2.
(-1 + , 1+)
— \) 2 dt,
dt.
-J-cof
Заметим, что при R(z)^>0 оба интеграла сходятся и дифференцирование
под знаком интеграла законно. Следовательно, оба интеграла являются анали-
аналитическими функциями от v для всех значений v.
Чтобы первый из интегралов выразить через бесселевы функции, мы
разложим подинтегральное выражение по степеням z; при этом полученный
ряд будет на контуре равномерно сходиться относительно t. Отсюда получаем:
A-Ь -1-)
i-i
ifnz^
m\
tm(t2
dt.
ti Предполагая, что v не принимает значений —, —, -к, ...| в противном слу-
<и Z, ?
чае подинтегральные выражения будут аналитическими функциями в а = zt 1 и оба
интеграла, по теореме Коши, обращаются в нуль.

178
v-A
Функция if71 (t2 — 1) 2 будет четной или нечетной функцией от t соот-
соответственно тому, будет ли т четным или нечетным; поэтому если взять кон-
контур симметричный относительно начала координат, то члены ряда, соответ-
соответствующие нечетным значениям т, исчезнут, и мы получим равенство
т — 0 О
A+)
Z* Bm)\
_ т — 0 б
где положено t = Yu; в последнем интеграле фазы и и # — 1 обращаются
в нуль, когда и лежит на вещественной оси справа от и = 1.
Чтобы вычислить интегралы в правой части, допустим на время, что
/?(v-f-7j )^>0; тогда контур можно деформировать в отрезок прямой линии от О
до \, взятый дважды; проходя его от 0 до 1, мы имеем и—1=A—и)е~™,
а возвращаясь от 1 к 0, имеем и—1=A—и)е+™, причем в обоих случаях
фаза 1 — и равна нулю.
Мы, таким образом, получаем:
A+) 1
Г т-1 V_I ( —(v-|)w (v-4)*/l С да-- v —!
и 2{и—\) 2 du=le —е 2 >\и 2{\—и) 2 du =
= 2/cosvtt-
Обе части равенства
7
и 2(и—1) 2 du = 2/cosvtt
6
суть аналитические функции от v при любых значениях v; и, следовательно,
в силу принципа аналитического продолжения1), этот результат, доказанный
для случая /?(v-f- -~) ^>0, справедлив для любых значений v.
!)Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, чЛ, § 5.5. Читатель мо-
может доказать полученный результат также в случае R (v -\- -^) < Q; для этого нужно не-
несколько раз применить рекуррентную формулу
A"f) m-I v + ,,-1 m + » + n+\{1V m-L
0 v i n i 2 °
которая получается интегрированием формулы
интеграл по этой формуле выражается через интеграл такого же типа, но с показа-
показателем при и — 1, имеющим положительную вещественную часть.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 179
Отсюда для всех1) значений v имеем:
Г v~" • (
I ~ /C°SV7T V -/„,=0
Поэтому, если v —f""o —не Делое положительное число, то
A) •/,(*) = — 77Т^ е<*<(Р-\) 2dt,
что и представляет собой обобщение интеграла Пуассона, данное Ханкелем.
Далее рассмотрим контур второго типа. Выберем этот контур так, чтобы
он целиком лежал вне круга |tf| = l; тогда {t2—1) 2 можно разложить
в ряд по убывающим степеням t, равномерно сходящийся на контуре; мы
получим: /1 \
V_I со Г — — v + m]
3 1
причем фаза t под знаком суммы лежит между — -^-п и -\- —тт.
Допуская2) возможность почленного интегрирования, имеем:
(-1+4 + ) г/1 , \(-1+4 + )
х) Если v —-- — целое отрицательное число, то проще всего найти этот инте-
интеграл, вычислив вычет подинтегрального выражения при «=1.
2) Чтобы доказать законность почленного интегрирования, заметим, что
(-1+4+) v_i
\eiztdt\ сходится; пусть он равен К- Поскольку разложение (t2— I) 2
сходится равномерно, можно для любого наперед заданного положительного числа s
подобрать такое целое число Л10, не зависящее от t, что сумма членов, следующих
за М первыми членами разложения, не превышает по абсолютной величине s/ДГ, если
только M^Mq. Мы, таким образом, получаем:
f
1+
Г
со/
и нужный результат следует из определения суммы бесконечного ряда.

180 ГЛАВА VI
Но
(-1 + 4 + ) @ + >
Г ^ m + l _^. 2/w^2v Г 2v-l-2W
со/ соехрш
где а — фаза z [заключенная между Ч- -тт J, и, по хорошо известной формуле1),
последний интеграл равен — 2тт//Г Bт — 2v -f- 1).
Отсюда
» _ ~ ' [ ' т ~w' " ™"[ тт —v -\-т
_1 ос
ei«(t*—i) *dt= V
при этом, чтобы выразить Г {2т — 2v-j-l) через Г( -—v+
и Г( — v-j-m-j-1), мы воспользовались формулой удвоения2).
Итак, если R(z)~^>0 и v-)-- —не целое положительное число, то
B) /_v(z) = -^ У/1\2 У
Это равенство также было получено Ханкелем.
Далее рассмотрим
(-1 + 4 + )
со/ехр(—/to)
где (о — острый угол, положительный или отрицательный. Этот интеграл
определяет функцию от «г, которая будет аналитической, если
а если дополнительно | arg ^ | <^ ^ тт, то контур интегрирования можно пре-
преобразовать во второй из двух контуров, которые только что были рассмотрены.
Отсюда аналитическое продолжение функции J_^(z) можно построить с по-
помощью интеграла по расширенной области значений arg^r; итак, мы имеем:
\ 2 / со/ехр(—/to)
где arg2: может принимать любое значение между — — тг —{— со и — тг —{— о.
*) Ср. /Где^ современного анализа, ч. 2, § 12.22.
2) Ср. Курс современного анализа, ч. 2, § 12.15.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
181
Подбирая для (о подходящее значение *), можно получить выражение для
J_v(z) при любом заданном значении arg z между —тг и тг.
Если /?(,г)>0 и R ( v -f- тт ) > 0> то можно выбрать контур так, как показано
на фиг. 3, причем предполагается, что радиусы кружков бесконечно малы. Выписывая
интегралы для каждого отрезка контура в отдельности, мы получаем:
.[ j ...
Г-
eizte"
\V"~2
-кф—i)
oo/
Y
Разбивая пополам третий путь интегрирования и заменяя в различных интегра-
интегралах t соответственно на it, —t, zt t, t, it, мы получаем формулу для J^.^(z\ принад-
принадлежащую Гублеру2), которая соответствует интегралу Пуассона для J^(z)\ эта формула
имеет вид:
D) У-, (г) - —. V/ttt X
1
V— —-
).(l—t2f 2 dt\
X sin vtc \ e~z
L о о
отсюда в соединении с интегралом Пуассона легко полу- Фиг. 3.
чается, что
E)
21 k
rvtl»
последняя формула также была найдена Гублером, хотя для целых значений v Вебер 3)
установил ее ранее.
г) Если бы | со 1 увеличивался последовательно до подходящего значения (боль-
(большего, чем тт я), то можно было бы получить представление для J-.v(z), справедливое
для любого наперед заданного значения arg гг.
2) Gubler, Zurich Vierteljahrsschrift, XXXIII A888), стр. 159. См. также Graf,
Zeitschrift fur Math, und Phys., XXXVIII A893), стр. 115.
Щ Weber, Journal fur Math. LXXVI A873), стр. 9. Ср. Hayashi, Nyt Tids-
skrift for Math., XXIII, В A912), стр. 86—90. Для случая v = 0 формулу исследовал
Эшерих (Es che rich), Monatshefte fur Math, und Phys.y 111A892), стр. 142, 234.

182
Исходя из изложенного выше, читателю нетрудно будет получить формулу,
тесно связанную с A), а именно,
F)
TiL2-V-{r
jVu'-*
2 cos (zt).dt,
в которой предполагается, что фаза t2 — 1 обращается в нуль, когда t находится на
вещественной оси справа от f = 1.
6.11. Видоизменения контурных интегралов Ханкеля
Возьмем R(z)^>0 и преобразуем два контура из § 6.1 в контуры,
изображенные на фигурах 4 и 5 соответственно.
Фиг. 4.
Фиг. 5.
Полагая части контуров, параллельные вещественной оси, уходящими
по оси ординат в бесконечность (так что взятые вдоль них интегралы будут
стремиться к нулю), мы получим следующие две формулы:
A)
'¦«"
X
X I" j eizt(t2_l)'"dt+ J
— 1 + oof
B)
2я/Г
X
*[]¦¦
1 + 00/
(-1 + )
r.
i
2dt
— 1 + 00/
J;
при этом будем считать, что в первой формуле многозначные функции имеют
фазу t2 — 1, равную 0 в А и равную тг в Б, тогда как во второй фор-
формуле — фазу t2 — 1, равную 0 в А и равную —тт в В,

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 183
Во избежание путаницы желательно в обеих формулах отсчитывать фазу
t2—1 одним и тем же способом; и если предположить, что в В фаза t2—1
равна -\-и, то формула A), конечно, не изменит своего вида, тогда как
вместо B) будем иметь:
r(*-')-ft
X
Г (V+) -I (~f"} v-I 1
e™1 eizt (P—\) 2 dt-\-e~v«' eizt (P—\) 2 dt\.
l+OO/ —1+00/
В последнем из написанных интегралов направление контура было изме-
изменено на обратное, а изменение в условии, определяющем фазу t2 — 1, потре-
бовало введения множителя е ч iJ .
Сравнивая выражения A) и C) с выражениями A) и C) из § 3.61, находим:
ч Г—1—Ч
- V ) • ( -^-х
<2)/„ч_.
н
если только v — не целое, так как в последнем случае выражения A) и C) не
будут независимыми.
В случае, когда v принимает целое значение (я), выражения D) и E) можно
получить исходя из того факта, что все входящие в них функции непрерывны
относительно v вблизи v = /z. Таким образом,
\
и аналогично для HJ^ (z).
Как и при аналогичных рассуждениях в § 6.1, области, для которых
справедливы D) и E), могут быть расширены вариацией контуров и использо-
использованием принципа аналитического продолжения.

184
1 3
Итак, если — -тт<^а)<^--тт, то
F) //v {z) =
оо i exp (— *
а если —— tt^gxT ^тт, то
2 J oo/ exp (—iio)
считая при этом, что как в F), так и в G) фаза переменного z заключена
между — — тг —|— со и — тг —|— со.
Таким образом, получены представления для Щ'(г) в случае, когда arg z
принимает любое значение между —тг и 2тт, и для Hf\z), когда arg z
имеет любое значение между —2тт и тг.
Если бы со увеличилось и вышло за указанные пределы, то пришлось бы брать
контуры с петлями вокруг особых точек подинтегрального выражения, что при чис-
числовых расчетах с такими интегралами легко могло бы привести к ошибкам. Однако
Вебер пользовался именно этим приемом (Weber), Math. Ann., XXXVII A890),
стр. 411—412, для вывода формул из § 3.62, связывающих И^ (—z)t Н^(—z) и
Замечание. С помощью формулы 2/Kv (z) = //J1) (z) — H^ (z) можно выразить
yv (z) через интегралы по петлям. Ханкель получил таким путем ряд для Yn (z), при-
приведенный в § 3.52. Мы не будем воспроизводить здесь выкладки, относящиеся к этому
способу, в силу того, что другой его метод, описанный в § 3.52, был значительно
проще.
6 Л 2. Интегральные представления функций третьего рода
Предположим, что в формуле § 6.11 F) фаза переменного z имеет неко-
некоторое значение между —тг и 2тг; определим [5 уравнением
так что —у'
Тогда
t—\=e~^ Z'1
где фаза —а возрастает от —тг —|— ^ до тг-|-{5, когда t описывает контур;
отсюда мы сразу получаем:
ооехр /р
где фаза \-\--^-iajz имеет свое главное значение. Далее, если считать [}
острым углом (положительным или отрицательным), то эта формула дает

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 185
представление для HK!,{z), справедливое в секторе ^-плоскости, в котором
— Y тг -\- E <^ arg z <^ ~2 к ~\- ?•
Аналогично1), из § 6.11 G) имеем:
где р — произвольный острый угол (положительный или отрицательный) и
Так как2), в силу § 3.61 G), И^\ (z) = e™ Н?\г), то, ограничивая v
условием /? fv-j- -^ )^>0, мы не теряем в общности; поэтому можно дефор-
деформировать контуры в линию, соединяющую начало координат с оо ехр / fj, взятую
дважды, поскольку интегралы по окружности малого радиуса (с центром
в начале координат) стремятся к нулю одновременно с радиусом окружности3)„
Преобразуя контур из A) указанным специальным образом, находим:
. 1 1 оо ехр /3
1 t (Z — -к- vt: — —тс)
где р может быть любым острым углом (положительным или отрицательным) и
Подобным же образом из B) имеем:
1 1 ч оо ехр /8
1 — I {Z — — V7T— —ТС) r.^ I
D) н*(г)=AIв , \, е-*'1
\ ) \ — I ' , 1 \ J
где р — произвольный острый угол (положительный или отрицательный)
и
Формулы C) и D) пока еще не доказаны в том случае, когда 2v — нечетное по-
положительное число. Однако из непрерывности входящих в формулы функций вблизи
Vz=zn-{-- (где /г = 0, 1, 2, ...) следует (так же, как ив сходном выводе из § 6.11), что
1) Чтобы вывести эту формулу, положим
2) Повидимому, не существует простого непосредственного доказательства того
что
@+) г ^ 1
ос ехр /8
является четной функцией от v.
3) Ср. Курс современного анализа, ч. 2, § 12.22.

186 ГЛАВА VI
13 5
C) и D) справедливы при v = —, -^-, у,.... Эти результаты для упомянутых зна-
значений v можно также получить, разлагая подинтегральные выражения в конечные
ряды по убывающим степеням z и интегрируя почленно; полученные таким путем
формулы легко согласуются с уравнениями из § 3.4.
Общие формулы C) и D) играют фундаментальную роль при рассмотре-
рассмотрении асимптотических разложений для J+v(z) при больших значениях \z\.
Этими приложениями формул C) и D) мы займемся в гл. VII.
Полезное видоизменение этих формул принадлежит Шафхейтлину!).
Если положить 2 = {J (так что угол avgz считается острым) и затем взять
u=2zctgb, то получим:
/1ч 9V+1 У
Ь
F)
откуда
G) /v(^) = __ _—__ гттхт: -* ^9»
о
I- 1
Эти формулы, которые справедливы, понятно, лишь при /?(v-]--)">0, были
использованы Шафхейтлином для изучения свойств корней бесселевых функ-
функций (§§ 15.32—15.35). Он использовал то обстоятельство, что выражения
справа являются решениями уравнения Бесселя, которые ведут себя особым
образом около начала координат.
Интеграл \ е uzu A -\- и) du, который при ц—v сводится к интегралам,
о
встречающимся в C) и D), был изучен Нильсеном (Nielsen), Math. Ann., LIX A904),
стр. 89—102.
Интегралы этого параграфа были также рассмотрены с точки зрения теории
асимптотических решений дифференциальных уравнений Брайцевым, Известия Вар-
Варшавского Политехнического Института, 1902, №№ 1, 2 [Jahrbuch iiber die Fortschritte
der Math., 1903, стр. 575—577].
6.13. Обобщенные интегралы Мелера—Сонина
Можно указать несколько изящных определенных интегралов для выра-
выражения бесселевых функций от положительного аргумента и с индексом, за-
заключенным внутри некоторой полосы. Для построения их заметим, что при
1) Schafheitlin, Journal fur Math., GXIV A894), стр. 31—44.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 187
положительном z( = x) и вещественной части у, меньшей тт , можно в § 6.11 F)
положить со = тттт, а в § 6.11 G) положить @ = — -тг; полученные кон-
туры будут такими, как это изображено на фиг. 6. Если, кроме того, веще-
вещественная часть v больше —-, то можно деформировать контуры (§ 6.12)
так, что первый контур будет состоять из отрезка вещественной оси от —|— 1
до -f-00» взятого дважды, тогда как второй контур будет состоять и$ взя-
взятого дважды отрезка вещественной оси от — 1 до — со.
Фиг. 6.
Таким образом, мы получаем формулы
H?\x)=-
«тA
при этом вторая получена из § 6.11 G) заменой t на —t.
Заменим в этих формулах v на —v и воспользуемся формулами § 3.61 G).
Тогда при л:^>0 и —^<СЛ^(У)<^2 полУчим:
оо
/1\ О i Put
так что
C)
2 Г sin {xt)-dt
оо
/4\ V(r\ — ?_ Г cos(xt)-dt
Формулу C) для частного случая v = 0 дал Мелер (М е h 1 е г), Math. Ann., V
A872), стр. 142; Сонин (Sonine), Math. Ann., XVI A880), стр. 39, дал для этого же
частного случая как формулу C), так и D). Другие обобщения интегралов Мелера-—
Сонина будут приведены в § 6.21.

188 ГЛАВА VI
6.14. Символические формулы Харгрейва и Макдональда
Если R(z)>0 и /?(v-f--)>0, то из формулы § 6.11 F) очевидно, что
r(y+i)r(i)^
причем фаза 1 — ?2 заключена между 0 и ——я.
Пусть Z) обозначает -т-, а / — какой-либо полином; тогда
так что /г/?м v4--tt Целом и положительном имеем;
2
—4 sin-г — /cos
Если же v-(-y не является целым и положительным, то последнюю запись можно
рассматривать как символическое выражение для Н^ (z)y считая при этом, что-
f(D) (e~izjz) обозначает
eiZtf(tt)dt
=bl-f 00/
Следовательно,
и аналогично
и, таким образом,
C)
D)
п*+з г*

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 189
Ряд, получаемый из D) разложением по возрастающим степеням Д не является
сходящимся, если только он не обрывается; ряд, получаемый таким же путем из C),
сходится только при R (v) > —-.
Выражения в правых частях C) и D) без постоянных множителей были найдены
Харгрейвом (Hargreave), Phil. Trans, of the Royal Soc, 1848, стр. 36, как реше-
решения уравнения Бесселя. Точные формулы принадлежат Макдональду (М a cd о n a I d),
Proc. London Math. Soc, XXIX A898), стр. 114.
Из § 6.11 D) можно вывести близкую формулу, справедливую для всех значе-
значений v. Если п — произвольное целое число, то из рассматриваемого выражения видно, что
гA-
*/г('1
J
A + D2f I (t2 —\) П~~2 eiztdt,
и, таким образом,
E)
Для другой функции третьего рода можно дать аналогичное выражение и, та-
таким образом,
F) «,(*)=¦
Этот результат, доказанный для случая R (z) > 0, путем аналитического продол-
продолжения может быть распространен на все значения z\ этот факт был обнаружен Сони-
ным (So nine), Math. Ann., XVI A880), стр. 66, для случая v;=n и использован
Штейнталем (Stein thai), Quarterly Journal, XVIII A882), стр. 338, для
v = /i-}-l/2; немного ранее, без употребления обозначений, связанных с .бесселевыми
функциями, результат был получен Глезером (G1 а у s h e г), Proc Camb. Phil. Soc,
III A880), стр. 259—271. Доказательство, использующее аргументы физического харак-
характера, было дано Хавелоком (Havelock), Proc. London Math. Soc. B), II A904)
стр. 124—125.
6.15. Интегралы типа Пуассона для ^(z) и K^(z),
данные Шлефли1)
Возьмем в § 6.1 C) со = -тг и заменим z на iz\ тогда при | arg z\ <^ \ тт
мы получим:
A) /_,(*) = _Л2 ) W
Г
J
при этом в точке, где t пересекает отрицательную вещественную полуось,
фаза t2 — 1 равна — 2тг.
!) Schlafli, Ann. di Mat. B), I A868), стр. 239—241. Шлефли получил формулы
A) и B) непосредственно с помощью метода, приведенного в § 6.1.

190
Если для обеспечения сходимости мы возьмем ^? (v-f--~-J ^>0, то в ка-
качестве пути интегрирования можно принять контур, изображенный на фиг. 7,
причем радиусы окружностей можно считать стремящимися к нулю. Мы по-
получаем, таким образом, формулуг)
(НИИ
(г) = -^ /mV2 ' X
()
Фиг. 7.
в которой обе фазы t2—1 и 1—t2 равны нулю. Далее, из § 3.71 (9)
мы имеем:
B) А,(*) = -
и, таким образом,
C) /_, (г) — /, {г) = /п
«ni
следовательно2),
г
D) /С,(г) = 7У V,/ «-"(^ — 1) >
откуда получаем формулу
E) К,, (z)= ^7 i\ I g-*chBsh"(U9,
предложенную Гобсоном в числе задач в Mathematical Tripos в 1898 г.
Все выписанные выше формулы справедливы при R(y-\-±\^>0 и larg^l^^rr.
Мы предоставляем читателю произвести вывод D) непосредственно из § 6.11 F).
6.16. Интеграл Бассета для K,,(xz)
ожительно, a z — комплексное число,
условию | argz \<^ -к тг; тогда интегральное представление для H^ixze2 V
Пусть х положительно, a z — комплексное число, удовлетворяющее
1 .
1) Ср. Serret, Journal de Math,, IX A844), стр. 204.
2) Интеграл, стоящий в правой части, в случае v —О изучал Риман (Riemann),
Ann. der Physik und Chemie, B), XGV A855), стр. 130—139.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 191
полученное из §6.11 F), может быть записано в виде
Теперь, если /?(v)^ — тт » интеграл, взятый по дуге окружности от р до
—7U —
2
ре 2 , по лемме Жордана, стремится к нулю при р—*оо.
По теореме Коши, путь интегрирования может быть деформирован в ли-
линию, вдоль которой R (zt)=O. Если, далее, положить zt=iu, то фаза — (u2jz2)—1
в начале координат на «-плоскости будет равна — тг.
Тогда из (8) § 3.7 получаем:
?> (xze?*) =
I
I (i.-
р / 1 \ V °°
и, таким образом, приходим к формуле Бассета
ч ос
A)
справедливой при /? [v+^ ^ 0, л:]>0, | arg^J <^^тг. Эту формулу Бассет1)
получил только для целых значений v; при доказательстве он рассматривал
К0(х) как предел лежандровой функции 2-го рода и выражал ее с помощью
соответствующего предела интеграла типа Лапласа (Курс современного ана-
анализа, ч. 2, § 15.33). Формулу для Kn(xz) можно получить, применяя не-
несколько раз оператор —-?-.
Бассет, кроме того, изучал аналогичную формулу для I^(xz), однако,
допустил в своих выводах ошибку.
Интеграл в правой части A) изучали до Бассета многие математики. Среди них
были Пуассон (см. § 6.32) (Poisson), Journal de VEcole Poly technique, IX A813),
стр. 239—241; Каталан (Catalan), Journal de Math., V A840), стр. 110—114 (пере-
(перепечатано с некоторыми исправлениями в Mem. de la Soc. R. des Set. de Liege B),
XII A885), стр. 26—31; и Ceppe (Serret), Journal de Math., VIII A843), стр. 20—21,
IX A844), стр. 193—210; Шлемильх (S ch 1 б mi 1 с h), Analytischen Studien, II (Leipzig,
1848), стр. 96—97. Эти авторы вычисляли интеграл A) в конечном виде для случая,
когда v -)-— целое положительное число.
Могут быть упомянуты еще следующие авторы: Мальмстен (М а 1 m s t ё n),
К. Svenska V. Akad. Handl., LXII A841), стр. 65—74 (см. § 7.23); Сванберг (Swan-
berg), Nova Ada Reg. Soc. Sci. Upsala, X A832), стр. 232; Лесли, Эллис (Leslie
i) Basset, Proc. Camb. PhiL Soc, VI A899), стр. 11; Hydrodynamics, II (Cam-
(Cambridge, 1888), стр. 19.

192 ГЛАВА VI
Ellis), Trans. Camb. Phil. Soc, VIII A849), стр. 213—215; Эннепер (Еп пере г),
Math. Ann., VI A873), стр. 360—365; Глезер (Glaisher), Phil. Trans, of the Royal
Soc.t GLXXII A881), стр. 792—815; Томсон (J. J. Thomson), Quarterly Journal, XVIII
<1882), стр. 377—381; Коте (С о a t e s), Quarterly Journal, XX A885), стр. 250—260;
Ольтрамаре (О 11 r a m а г е), Comptes Rendus de I'Assoc. Franpaise, XXIV A895),
часть II, стр. 167—171.
Последний из упомянутых авторов доказал с помощью интегрирования по кон-
контуру, что
00
Г cosxu-du (—ря-!^ г dn-l /е~хгУР
J {U2 + Z2)n — 2*2/1-1.(л— 1)! [[
i.(/z—1)!
Первый результат можно получить, дифференцируя равенство
оо г-
~хг*Р
I
cos xu-du ъе~
второй же можно затем получить, пользуясь разложением Лагранжа.
6.17. Обобщения Уиттекера1) интегралов Ханкеля
В формулах из § 3.32 предполагалось, что решения уравнения Бесселя
должны иметь вид
ъ
ъ
Z2
а
Пользуясь методами, примененными в § 6.1, можно показать, что
leiztTdt\=\z*eizt{\— *2)№ — Izt\V —
a
и, таким образом, этот интеграл будет решением, если Т будет, в свою
очередь, решением уравнения Лежандра для функций с индексом v и если
значения проинтегрированной части будут одинаковы на каждом из концов
пути интегрирования.
Если в качестве Т взята функция Лежандра Q 1 (t), то контур может
начинаться и оканчиваться в -|-оо/ехр(—ш); здесь (о — острый угол (поло-
(положительный или отрицательный) при условии, что z удовлетворяет неравенству
Если положить Т равным Р 1 (t), то можно взять тот же самый кон-
тур; однако при этом, в силу логарифмической особенности функции Р 1 (t)
v-2
i; Whittaker, Proc. London Math. Soc, XXXV A903), стр. 198—206.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 193
при t = —1 (если v ? не Целое) оказывается невозможным включить
в контур линию, соединяющую — 1 с 1, за исключением специального слу-
случая, рассмотренного в § 3,32; детальное исследование интеграла в общем
случае см. в § 10.5.
Перейдем теперь к подробному изучению значений интеграла по различ-
различным контурам.
Сначала рассмотрим
1 (-1 + Д+)
2 J
J
оо/ехр(—?
где фаза переменного t равна нулю в точке, лежащей справа от 2=1, в ко-
которой контур пересекает вещественную ось. Будем считать, что контур цели-
целиком лежит вне круга 11 \ = 1, и разложим Q г (t) по убывающим степеням t.
2
Рассуждая как и в § 6.1, мы находим:
A) Л(
и, следовательно,
B) •/_>(
Объединяя эти формулы и используя соотношениех), связывающее два
типа лежандровых функций, мы получим:
C) flfW==
ТС Г ( тг } COS VTC
Рассмотрим, далее,
оо/ехр(—/ш) 2
это выражение является решением уравнения Бесселя, и если взять контур
целиком лежащим справа от прямой R(t)=ay то очевидно, что при ?—*--|-оо/
интеграл будет иметь порядок О yz2 ехр (—a|?|)|. Отсюда получаем, что
интеграл является кратным Щ\г). Аналогично, полагая z—*—оо/, находим,
что выражение
I (-V+)
z2 \ eiztQ^__ a (t) dt
оо/ехр (—/«>) v 2
!) Соотношение, найденное Шлефли, имеет вид
ср. Н о b s о п, ЯЛЯ. Гт-а/и. о/ ^/гг Royal Soc, CLXXXVII A896), стр. 461.

194
ГЛАВА VI
является кратным H^(z). Поэтому из A) следует, что
B*J *Г2 V + Ъ)" (i+)
D) H«\z) = -т- Г «"Ч_ LW *•
E)
H?\z) =
2 ) оо/ехр<—/
1 Ь , К .
Г('+2)В (-1 + )
f
+
f
J
2 / oo/exp(—/ю)
откуда, в силу § 3.61, в соединении с соотношением Шлефли, имеем:
^uos
2
последнее очевидно также из C).
Интеграл, отличающийся от F) только тем, что вместо точки -f-1
охватывается точка — 1, равен нулю, так как подинтегральное выражение
внутри такого контура есть аналитическая функция.
В выражениях E) и F) arg(^+l) обращается в нуль в точке пересече-
пересечения контура с вещественной осью, справа от — 1; в выражении E) в этой
же точке arg(?—1) равен —тт.
6.2. Обобщения интеграла Бесселя
Мы переходим далее к изучению различных представлений бесселевых
функций с помощью системы определенных интегралов и контурных интегра-
интегралов, следуя Сонину1) и Шлефли2). Основная формула, получаемая при этом
для случая функций с целым индексом, легко сводится к интегралу Бесселя.
Возьмем хорошо известное обобщение3) второго интеграла Эйлера, данное
Ханкелем:
P(v-|-/ra+l) 2m
в котором фаза переменного t возрастает от
контур, а именно,
—тт до тт, когда t описывает
m=u =u -co Wl
Рассмотрим функцию, получающуюся при перестановке в правой части
знаков суммирования и интегрирования; это будет
@+)
х) Математический сборник, V (Москва, 1870); Math. Ann., XVI A880), стр. 9—29.
2) S с h I a f I i, Ann. di Mat. B), V A873), стр. 204. Можно также ознакомиться
с его мемуаром в Math. Ann., Ill A871), стр. 134—149. Дополнительно см. Graf,
Math. Ann., LVI A903), стр. 423—432, и С h e s s i n, Johns Hopkins University Circu-
Circulars, XIV A895), стр. 20—21.
3) Gp. Курс современного анализа, ч. 2, § 12.22.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 195
Полученное выражение является аналитической функцией от z для всех
значений z. Разложим ее в ряд Маклорена по возрастающим степеням. Коэффи-
Коэффициенты ряда можно получить, дифференцируя по г под знаком интеграла
и после дифференцирования полагая z равным нулю *). Отсюда
р.,- ехр {,_?1} а=? (~ 'Ки
— оо т=0
и мы сразу находим:
П у (Of)
Этот результат, полученный сначала Шлефли, был повторно найден Со-
ниным, который первым отметил особое его значение.
Если | arg z К -к тт, то контур можно вращать вокруг начала координат
до направления, образующего угол argz с отрицательной вещественной полу-
полуосью.
Положив t = -zu, мы для | arg z | <[ тттт получим:
@+)
B) У'<*) = 2й1
—00
Эту запись мы встречаем в первом из упомянутых мемуаров Сонина (стр. 335).
Полагая, далее, u = ew, мы получим выражение
00+7U
оо—m
справедливое npH|argz|<^ -тг. Это — первый из
результатов Шлефли.
Фиг. 8.
В последней формуле за контур приняты три
стороны прямоугольника с вершинами в оо — тг/, — тг/, тг/ и оо -\- тг/, как это
изображено на фиг. 8.
Если на сторонах прямоугольника, параллельных вещественной оси, по-
положить w равным t^ni, а на стороне, идущей через начало координат
к точкам zbir/, положить w равным +/6, то мы получим обобщение инте-
интеграла Бес селя, данное Шлефли'.
к оо
1 i „•„
D)
=JL Г cos (v8 — 2rsin 6) ^6 — ?i^ (V"-
о о
справедливое при | arg z \ <^ ^ it.
При arg 2—^zb^11 первый интеграл в правой части будет непрерывным,
а при /? (v) ^> 0 непрерывен также второй интеграл и, следовательно, будет
5) Ср. /Гу?»? современного анализа, ч. 1, §§ 5.32, 4.44.

196 ГЛАВА VI
непрерывной и J^(z). Итак, D) остается справедливым, когда z чисто мнимо,
при условии, что /?(v) положительно.
Только что рассмотренные интегралы Сонин детально исследовал в своем
втором мемуаре; в этом мемуаре он получал многочисленные определенные
интегралы, меняя соответствующим образом контур интегрирования. Так,
например, если ф — острый угол (положительный или отрицательный) и если
то контур в C) можно заменить другим, идущим из со — (тт — ф)/ в оо -|- (тг—J—ф) /.
Взяв в качестве контура три стороны прямоугольника с углами в оо — (тт — ф)/,
— (тт — ф)/, (тт-}-ф)/ и оо -j- (тг —|— ф)/, мы получим видоизменение формулы D).
E) J4 (z) = -^— eiz sin Ф cos e cos (vO — z cos ф sin 6) db —
0
Далее, взяв угол ф между 0 и тт, можно в C) заменить контур другим,
идущим из со—Г -i- тс —J— ф) / в со-{-(^тс-Ь-ф W и мы, таким образом, на-
находим:
F) /v(*) = ij cos(v0—
~ e-3shisin^>-^ sin (гch tcosф — ~vtt — vty) dt$
о
при условии, что |argz| меньше, чем с[> и чем тт — ф одновременно.
Если /?(v)^>0 и z положительно (=х), то в предыдущей формуле
можно положить ф = 0; тогда получим1):
~2К оо
if if/ 1 \
G) J (х) = — \ cos(v6 — xsinb) db-\ I e~~^sin[xcht — vtt \ dt.
0 0
Другую важную формулу можно получить из A), раздвигая контур до тех
пор, пока он не станет прямой линией, расположенной справа от начала ко-
координат, параллельно мнимой оси; по теореме Жордана, это возможно, если
/?(v)^>—1, и мы получаем формулу
со /
в которой с может иметь любое положительное значение; этот интеграл
служил основой многих исследований Сони на.
Интегралы, близкие рассмотренным в этом параграфе, играют важную роль
при исследовании диффракции света на призме; см. Карслоу (С а г s I a w), Proc. London
Math. Soc, XXX A899), стр. 121—161; Джексон (W. H. Jackson), Proc. London Math.
Soc, B), I A904), стр. 393—414; Уиппл (Whip pie), Proc. London Math. Soc, B),
XVI A917), стр. 94—111.
i) Gp. Gubler, Math. Ann., XLIX A897), стр. 583—584.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 197
6.21. Интегралы, представляющие функции второго и третьего рода
Подставляя интеграл Шлефли § 6.2 D) вместо обеих функций Бес-
Бесселя в правую часть равенства
Fv (z) = 7V (z) ctg vtt — /_v (z) cosec vir,
получим:
тс я
г г
tiV^(z) = ctg vtt J cos (v6 — z sin 9) S — cosec vtt \ cos (v6 -|- z sin 6) db —
о о
Если заменить теперь во втором интеграле в правой части 8 на я — О,
то после преобразования получим:
к со
A) yv(*) = i-J sin (г sin 6 — v6)</6 — -i
эта формула, по существу найденная Шлефли (который в действительности
дал соответствующую формулу для функции Ней-
Неймана), справедлива при | argz\<^ -к-11- Д-
С помощью полученного результата можно вы-
вычислить интеграл
oo + -ni О
Фиг. 9
— со
при | argz | <^ -у тт; для этого возьмем контур, составленный из трех прямых
линий, как показано на фиг. 9, и соответственно положим на них w равным
— t, /в, t-\-m; тогда мы получим выражение
00
JL Г^-***<#_|-± Г ^f (^sin 0 — v9) ^Q ! _?__^1 [
ni J ' я J ' ш J
0 0 0
которое будет равным 7v (z) -\- iY^ (z), в силу формул A) и § 6.2 D). Если
^ -^тт, то мы отсюда получаем:
_1 Г
1С/ J
—со
со
_ 1
— я/
B)
C)
Формулы, эквивалентные B) и C), были найдены Зоммерфельдом (S о m m е г f e I d),
Math. Ann., XLVII A896), стр. 327—357. Единственная разница между формулами
Зоммерфельда и приведенными выше состоит в повороте контура на прямой угол
с соответствующей заменой переменной интегрирования; см. также Хопф и Зоммер-
фельд (Hopf und Sommerfe Id), Archiv der Math, and Phys. C), XVIII A911),
стр. 1—16.

198
ГЛАВА VI
Произведя очевидную замену переменного, можно B) и C) переписать
в виде
со ехр та"
D)
ехр {-!*(« —!
О
со ехр (—
J
E)
р
—1 J й
контуры интегрирования изображены на рис. 10; они выходят из начала ко-
координат и затем загибаются — один направо, другой налево; эквивалентные
результаты получил Шлефли.
[Замечание. В силу непрерывности подинте-
гральных функций, эти результаты можно без труда
доказать для целых значений v; ср. § 6. П.]
Чтобы найти аналитическое продолжение функ-
функций H/P(z) и //VB)U), мы в D) и E) изменим пути
интегрирования.
Пусть а) — угол, заключенный между —тг и тг,
такой, что |о» — arg^K^
Фиг. 10.
оо ехр (л — ш) /
F)
G)
J
J
О ехр m>
со ехр (— тс — to) I
j
О ехр /«о
-!)} А;
контуры интегрирования изображены на фиг. 11 и 12. Полученные фор-
формулы выражают аналитические продолжения функций H^{z) и H^(z) за пре-
Фиг. 11.
Фиг. 12.
делы значений z, удовлетворяющих условию со — - тг <^ arg z <^ о -(- ^ тг;
со может принимать любое значение между1) —тг и тг.
х) Если бы | со I , увеличиваясь, вышло из указанных пределов, возникли бы труд-
трудности в определении фазы переменного и.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 199
Видоизменения выражений B) и C) можно получить, заменив w на
в+- да; таким способом мы находим'):
_ i «f
(8)
«У
""'
О
2W/ f
(9) #vB)(z) = — \ e-izchw-*w dw =
тег J
—co+^irf
A0) Я,A)(л:)=
TCZ J
при условии, что I argz\ <^ -«-я.
Особенно интересные формулы получаются, если в F) и G) считать z
положительным (=х) и —l<^/?(v)<M. Двухкратное применение леммы
Жордана (соответственно к кругам большого и малого радиусов) показывает,
что в данном случае можно положить а) = —тт в F) и со = —-^-тт в G).
Таким образом очевидно, что, заменяя а на zb/^f, получим:
¦
0
A1) Н<;2){х) = — е-т- Г в-^сь'-^л = —^-jr- f
—оо О
И отсюда при лг^>Ои — 1 <^/?(v)<^ 1 имеем:
00
A2) yv(x)=-|j sin(xcht — i
о
A3)
v(jc) = —-^ f cosfjech^ — -|virVch v^-dif;
о
Cp. Goates, Quarterly Journal,XXl A886), стр. 183—192.

200
и, в частности, (ср. § 6.13).,
00
1 \ 2 Г sin xt'dt
00
2 С cos xt-dt
где ch ? заменено на t.
Две последние формулы принадлежат соответственно Мелеру (М е h I e r), Math.
Ann., V A872), стр. 142 и Сонину (So nine), Math. Ann., XVI A880), стр. 39; их
исследовал также Бассет (Basset), Proc. Camb. Phil. Soc, VIII A895), стр. 122—128.
Несколько отличное выражение для A4) дал Харди (Н а г d y\_Quarterly Journal,
XXXII A901), стр. 369 — 384; если в A4) положить х=2У"аЬ, xt = a
то получим:
00
A6)
Замечание. Поучительно вывести A4) из формулы
У 2 (cos Ь — cos <p)
пользуясь также и формулой § 5*71 A). В этом состоял оригинальный метод, предло-
предложенный Мелером.
6,22. Интегралы, представляющие /v (z) и Kv (z)
Видоизменения предшествующих рассуждений, которые используются при
рассмотрении /v (z) и К^ (z), представляют достаточный интерес; они принадле-
принадлежат Шлефли*), который записывал свои результаты с помощью функции
F(aJ) (см. § 4.15).
Небольшим изменением рассуждений § 6.2 легко доказать, что
откуда при |arg?|<^7jiT имеем:
@+)
— 00
оо -f id
j
Формулы B) и C) справедливы для arg z = + — it при условии, что
/? (v) > о.
1) Schlaf U Лпп. di Mat. B), V A873), стр. 199 — 205.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 201
Если в C) за контур интегрирования принять три стороны прямоугольника
с вершинами в оо—тг/, —тп, ш, oo-j-тг/, то получим:
к оо
D) /v (*) = -1 j ^cosQ cos v6 db — S^ J *
о о
и, следовательно,
оо
о
откуда при | arg z | <^ -^ тс
оо
E) К, (z) = I e~sch t ch v/• dt\
о
последнюю формулу Шлефли1) получил с помощью сложных преобразований.
Пользуясь полученными результатами, вычислим интеграл
2%i J
— оо'— к/
при условии, что | arg z |<^ у тг.
Нетрудно видеть, что
1
— о©'—т I—оо—ш оо—т.
оо + тс/ / 00 — к/ оо + л/ >
кг)
оо
= ^ J
оо — ш
—оо—те/
gvic/
2/sin v« ' -v
откуда
оо + тс/
F) i f
Далее, можно записать E) в виде
00
G) КЛ*) = \
— ОО
откуда с помощью рассуждений, приведенных в § 6.21, получим:
оо ехр (— ш)
(8) *,(*) = у j а
О ехр ш
1) Schlaf li, Ann. di Mat. B), V A873), стр. 199—201; этой формулой восполь-
воспользовался Гейне (Heine), Journal fur Math., LXIX A868), стр. 131, взяв ее в качестве
определения, о котором упоминалось в § 5.72.

202
ГЛАВА VI
при условии, что —тг<[(о<^тг и —тт n
Аналогично,
р(л — <о)/
f )/
(9) «"'/_(*)—в"™'/, (*)^ J
0 ехр (— тс-f- со)/
последнее справедливо, если 0<^(ю<[2тс и —тт тс -{- (о <^ arg 0 <^ тт тг + (о.
Контуры интегрирования для формул (8) и (9) показаны соответственно
на фиг. 13 и 14.
Фиг. 13. Фиг. 14.
Далее, если z — положительно ( = дг) и —1 <^ R (v)<^ 1, контур интегри-
интегрирования для (8) можно изгибать до тех пор, пока он не совпадет с поло-
положительной мнимой полуосью; таким образом, находим:
оо
KM)=ke~** f^ exp{—kix[v—i)}d*>
или
A0)
и, меняя знак перед v, получаем:
Из. этих формул видно, что
и, таким образом,
оо
последние две формулы справедливы при дг^>Он —1
В частности,
о о
этот результат Мел ер г) получил в 1870 г.
Mehler. Math. Ann., XVIII A881), стр. 182.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 203
Отметим, что, подставляя в G) -F-zet = ^, мы получим:
считая при этом R (z2) > 0. Интеграл в правой части изучали многие математики,
среди которых упомянем Пуассона (Poisson), Journal de I'Ecole Poly technique, IX
(тетрадь 16), 1813, стр. 237; Глезера (Glaisher), British Association Report, 1872,
стр. 15—17; Proc. Camb. Phil. Soc, III A880), стр. 5 — 12; и Каптейна (Kapteyn),
Ball, des Sci. Math., B), XVI A892), стр. 41—44. Интегралы, в которых v имеет
1 3
значения — и -~- , исследовал Эйлер (Euler,) Jnst. Calc. Jnt., IV (Петербург, 1794),
стр. 415; вычисление интеграла для случая, когда v равно половине нечетного числа,
дали Лежандр (Leg end re), Exercices de Calcul Integral, I (Paris, 1811), стр. 366,
Коши (С аи ch у), Exercices des Math. (Paris, 1826), стр. 54 — 56, и Шлемильх,
(Schlomilch), Journal fur Math., XXXIII A846), стр. 268 — 280. Интегралы с произ-
произвольными пределами интегрирования исследовал Бинэ (Binet), Comptes Rendus, XII
1841), стр. 958 — 962.
6.23. Формулы Харда для интегралов типа Дюбуа-Реймона
Интегралы
оо оо
sin*-sin у -P-idt, cost-cos j-F-^dt,
о о
в которых х^>0, —1 <C^?(V)<C^» были изучены Хардиг) в качестве частных
-случаев интеграла Дюбуа-Реймона
оо
f sin
fit) t-P~ldt,
J J w cos
0
в котором f(t) все быстрее осциллирует при t—*0. Построив дифференциаль-
дифференциальное уравнение четвертого порядка, Харди сумел выразить эти интегралы через
бесселевы функции; проще, однако, получить значения этих интегралов, исполь-
используя результаты § 6.21, 6.22.
Если заменить t на лг?', то, очевидно,
оо оо
| sin t sin ~ • t*""^dt = х* I sin (xe*) sin (хе~*) *ё** dt =
0 -—оо
оо
—; J_ xv I fe2ixcht I e—2ixcht e2ixsb.t e-2ixsht\ e*t ^--=
— 00
1 — I vie/ -vit/
= — -jx?[me 2 n{l\Bx)—nie2 H{l\Bx)-~
— 2e~ *vw ^Bx) — 2eV
откуда получим:
A) Jsin/^sinf .t>~4t= —*y— [ЛB^) — y.vBJc) + /-vB*) — /vB^)]
Hardy, Messenger, XL A911), стр. 44 — 51.

204
и аналогично
оо
B) I costcos^'P dt=-
J 4sin-^-vit
Когда v равно нулю, эти формулы принимают вид
00
C)
о
оо
D) (cos/cosy т = — yi
6.24. Обобщение интеграла Бесселя, полученное Тейзингером
Любопытное следствие формул Якоби из § 2.2 для функций J0(x) и Ji(x) указал
Тейзингер (Т h ei singer); Monatshefte fur Math, und Phys., XXIV A913), стр. 337—
341. Мы дадим сейчас обобщение формулы Тейзингера для функции с индексом v, где
-t<v<t-
Если а — произвольное положительное число1), то из интеграла Пуассона легко-
вытекает, что
у, (X) =
2(ьу г
J V2 J A —e~axsmb) cos(Arcos0)sin2v0 d9.
И далее
2 Г A — е-** sin e) cos (jt cos 6) sin2v 6 rfG =
о
Г j e—cosine
= J sh (x sin 6) sh (x sin b~ix cos 6) si°2V Ь dbT=
о
i
Д
J
о
l~exp (±-
В исследовании Тейзингера а~ четное число.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 205
где контур интегрирования проходит над началом координат. Возьмем за контур
вещественную ось (начало координат обходится по малой полуокружности) и положим
на обеих частях контура z = jt tg— <j>; тогда мы обнаружим, что последнее выраже-
ние равно
Г 1—exv(axi
V1C/
-J
и, следовательно,
A) -i / N Ч J yv (x) = e~ axsln 9 cos (x cos 0) sin2v
I" sin
/^/ ctg2>
Преобразование невозможно при v ^ -, так как интеграл, взятый по полуокруж-
ности вокруг исключенного начала координат, не стремится к нулю одновременно
с радиусом полуокружности. Выражение Теизингера для случая v=l отличается от A),
так как он пользуется формулой § 3.3 G), которая дает:
B) -A f ^i ¦ Л (*) = [ e-axsin 9 sin (x cos 0) sin2v~2 0 cos OrfO
sinf l?axctgv jcos [ Tr^xctg^ — vie ) ~—, ^v 7 ctg2v-2<« J^_
^ о ьтг^1 о st j sin(jcctgf^ T cin^'«
1 3
при условии, что тт < v < —.

206 ГЛАВА VI
6.3. Эквивалентность интегральных представлений
функции Kv(z)
В §§ 6Л5 D), 6.22 E) и 6.16 A) нами были получены три различных
интеграла для Ky(z), а именно,
Г(т)'(-Ж . * г
К, (z) = -±Ц—Ц-i- \ er-*{fi — 1) >й= e-2ch< ch tf.dt,
Эквивалентность первого и второго была непосредственно доказана Шлефли г)
в 1871 г.; однако еще в 1813 г. Пуассон доказал эквивалентность первого и
третьего, а Мальмстен в 1841 г. доказал, хотя и не столь непосредственно,
эквивалентность второго и третьего. Мы переходим к рассмотрению трех
упомянутых доказательств.
6.31. Преобразование Шлефли
Сначала мы дадим выдержку из рассуждений Шлефли (Schlaf H), Ann, di Mat
B), V A873), стр. 199 — 201. Требуется доказать соотношение
(i)-(M'
I e-zt Qt _ i/ з л __ I
которое получается при сравнении двух интегральных представлений для А%(г); его
можно было бы проверить с помощью рассуждений, подобных приведенным в § 2.323.
Для обеспечения сходимости интегралов мы должны, конечно, полагать #(<г)>0;
кроме того, вначале удобнее будет считать2), что — — <#(v) < 1.
Определим, далее, 5 выражением
X
1
где дг^И; тогда если t = x — (х—\)а, то
2
!) Более раннее доказательство принадлежит Куммеру (Kummer), Journal far
Math., XVII A837), стр. 228—242, однако, оно значительно сложнее, чем доказательство
Шлефли.
2) Для больших значений R(v) этот результат устанавливается либо путем анали-
аналитического продолжения, либо пользуясь рекуррентными формулами.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 207
при этом мы разложили последний множитель подинтегрального выражения по степе-
степеням и и проинтегрировали почленно.
Заменяя х на ch 0, находим:
chQ
^ = 2V 2 Ш sh v0,
(chb — ty
chQ
(t2—\
¦гй)
и далее, интегрируя по частям, получаем:
-1 J
Ы °
2
00
T(l-v) J
о
Г Г
? Г Г в-ж,т_ nv-I
-r(l-v)JJe (t l)
1 1
0000
1
1
OO 00
H
1 0
при этом мы меняем порядок интегрирования, что может быть без труда обосно-
обосновано; таким образом, требуемое соотношение установлено.
6.32. Преобразование Пуассона
Прямое доказательство того, что
1 Г
2 J
r(v+i).Bzr p cos (ха) da
J
принадлежит Пуассону1) (Poisson), Journal de I'Ecole Polytechniqaey IX A813),
стр. 239— 241. Это равенство справедливо, если j arg 2г|<ття, д:>Ои /?(v)> — -,
однако в ходе доказательства удобнее считать, что #(v) > tj и | argz \ < -j «, и
выводить нужный результат для остальных значений ги v, используя рекуррентные
формулы и аналитическое продолжение.
!) См. также Р а о 1 i, Mem. di Mat. e di Fis» delta Soc. Italiana delle Sci.t XX
A828), стр. 172.

208 ГЛАВА VI
Если заменить t новой переменной, определяемой из уравнения v = x*e~**, то
для доказательства требуемого соотношения, очевидно, достаточно будет установить
равенство
0 (U*+Z2) 2 0
Выражение в левой части равно
00 00 1 СО СО
Ч Г* Г* л
t 2 e~tcos ха dtdu_ I i v" exp{— s(uz + z2)} cos xu*dsda
+4 J J *
0 0 (m2-|-^2) * 0 0
cooo _i
= \ \ {exp(— •stt^cosJCM-rfttl-.s 2 exp(—
о о
где положено ? = s (и2 -f- *2) и изменен порядок интегрирования
Таким образом,
со
о
и мы имеем:
I ехр(—
LT,L^ со
ехр | — ^ (v1^ + д:^-1^j dv,
что и требовалось. °
[Замечание. Очевидно, что s = — хе~Цг = - vllvjz. Единственное соображе-
соображение в пользу преобразования
со
И-
со
с помощью новой переменной v состоит в том, что при этом получается интеграл,
имеющий явно тот же самый вид, что и интеграл, который в действительности рассмат-
рассматривал Пуассон; в его обозначениях, этот интеграл таков:
со
\ ехр (— хп — а2х~п) dx.\
о
6.33. Преобразование Мальмстена
Метод, которым пользовался Мальмстен2) для доказательства равенства
j'+i
(I-)'<i)l
. .ГA)(Н f
f,
!) Gp. Bromwich, Theory of Infinite Series, §177. [См. Дополнение —Прим.
ред.].
2) Ma lms ten, A". Swenska V. Akad. HandL, LXII A841), стр. 65—74.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 209
при условии что R(z)>0 и R(v)^>——, не является таким же элементарным, как
примененный в § 6.31, 6.32, поскольку он использует теорию дифференциальных урав-
уравнений. Мальмстен впервые показал, что три выражения
если их рассматривать как функции х, переводятся в нуль 1) оператором
и что при дг->-|~°° третье выражение будет порядка 0{ехг\ тогда как первое и вто-
второе будут ограничены, при условии, что #(v)>0. Отсюда следует, что второе и
третье выражения образуют фундаментальную систему решений уравнения
и первое оказывается, таким образом, линейной комбинацией второго и третьего.
В силу того, что при дг-»-(-оо третье выражение не ограничено, становится очевид-
очевидным, что первое должно быть пропорционально второму:
оо
cos (xu) du
i
, l.
0 (U2 + Z*) 2
где С не зависит от х. Чтобы найти С, положим х -» 0; тогда
оо оо
откуда
и требуемое преобразование для случая /?(v)>0 получается, если воспользоваться
формулой удвоения для гамма-функции.
Простым следствием преобразования Мальмстена является возможность пред-
ставления I С0$-*М'^и в конечном виде; действительно, этот интеграл равен
о
0
я —1
Bxz)m B/г — т — 1)!
1(л— 1)! ^ т\(п — т— 1I *
Такой метод вычисления этого интеграла проще метода, предложенного Катала-
ном (Catalan), Journal, de M.ath.^4 A840), стр. ПО—111, и, кроме того, доказательство
Каталана не на всех этапах является строгим. Данное преобразование рассматривал
Серре (Serret), Journal de Math., VIII A843), стр. 20, 21; IX A844\ стр. 193 — 216;
см. также Кэли (Cayley), Journal de Math., XII A847), стр. 236 [Collected Papers, I
A889), стр. 213].
1) Читателю нетрудно будет доказать это.

210 ГЛАВА VI
6.4. Интеграл Эйри
Интеграл
оо
\ cos
о
впервые встречающийся в исследованиях Эйри1) «Об интенсивности света
в окрестности каустики», принадлежит к классу интегралов, выражающихся
через бесселевы функции. Он был протабулирован Эйри, однако, примененный
им для этого способ чрезмерно труден. Позднее де Морган2) нашел ряд по
возрастающим степеням х; для обоснования способа де Моргана необходимо
применить преобразование Стокса (которое мы сейчас рассмотрим) или восполь-
воспользоваться теорией обобщенных интегралов3), предложенной Харди.
Стоке заметил 4), что рассматриваемый интеграл удовлетворяет дифферен-
дифференциальному уравнению
и получил также асимптотическое разложение интеграла для больших значений хг
как положительных, так и отрицательных.
Как было указано Стоксом (loc. cit., стр. 187) это дифференциальное уравнение
можно свести к уравнению Бесселя; ср. § 4.3 E) при 2# = 3. Выражение для инте-
интеграла Эйри через бесселевы функции с индексами5) zt~^- впервые приведено в мало-
о
известном мемуаре Виртингера (Wi r tin g er), Berichte des natur.-med. Vereins in
Innsbruck, XXIII A897), стр. 7—15 и позже у Никольсона (Ni ch ol s*o n), Phil. Mag,
(б), XVII A909), стр. 6—17.
Позже Харди (Hardy), Quarterly Journal, XLI A910), стр. 226—240, указал на
связь между интегралом Эйри и интегралами, рассмотренными в §§ 6.21, 6.22, и изучил
различные обобщения интеграла Эйри (§§ 10.2—10.22).
Для вычисления интеграла Эйри6) заметим, что его можно записать в виде
оо
\ ( exp (it* ±- ixt) dt
— оо
i) Airy, Trans. Camb. Phil. Soc, VI A838), стр. 379—402. Эйри пользовался дру-
другой формой записи:
оо
г 1
I cos — %(w%—
J 2
mw) dw,
которая легко сводится к данной в тексте.
2) Его результат был сообщен Эйри 11 марта 1848 г.; см. Trans. Camb, Phil.
Soc, VIII A849), стр. 595—599.
3) Hardy, Quarterly Journal, XXXV A904), стр. 22—66; Trans. Camb, Phil. Soc,
XXI A912), стр. 1—48.
4) Stokes, Trans. Camb. Phil. Soc, IX A856), стр. 166—187. [Math, and Phys.
Papers, II, 1883, стр. 329—349.] См. также письмо Стокса к Эйри от 12 мая 1848 г.:
G. G. Stokes, Memoir and Scientific Correspondence, II (Cambridge, 1907), стр. 159—160.
5) Другие случаи применения этих функций см. Рэлей (R а у 1 е i g h), Phil, Mag.
F), XXVIII A914), стр. 609—619; XXX A915), стр. 329—338 [Scientific Papers, VI A920),
стр. 266—275; 341—349] об устойчивости движения вязкой жидкости; см. также Вейль
(Weyl), Math. Ann., LXVIII A910), стр. 267; об асимптотических формулах см. § 8.43
и далее.
6) Интеграл сходится. Ср. Hardy, loc, cit., стр. 228 или de la Vallee Pous-
sin, Ann. de la Soc. Sci. de Bmxelles, XVI A892), стр. 150—180.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 211
Рассмотрим теперь подинтегральное выражение вдоль двух дуг окружности
радиуса р с центром в начале координат и с концами соответственно в
— ш — т
р, р?6 и р?6 , р? • По лемме Жордана, интегралы вдоль этих двух дуг
стремятся к нулю, если р—>¦ сю, откуда, по теореме Коши, мы приходим к
преобразованию Стокса:
оо оо ехр 1*
ехр (it* ± ixt) dt =
exp(— т3
[ cos (P±:xi)dt = — f
0 J 5
oo exp-g-
= J_ {в** exp(—t3±
во втором интеграле интегрирование выполняется по двум лучам, исходящим
U frf
из начала координат; третий интеграл получается заменой t на хеD , т^ь
вдоль этих лучей.
Далее, в силу сходимости полученных рядов, можно показать !), что
= X -
О т=0
откуда
? со^ (± ж)я, cos (Т1Я+¦«¦)« °Г
cos(t*-±xt)dt= 2-. Ц ^—
о
-if
k 3W
Этот результат получен де Морганом. Если ряды в правой части запи-
записать с помощью бесселевых функций, то мы получим формулы (в которых х
должно быть взято положительным), принадлежащие Виртингеру и Николь-
сону:
оо
B)
(
|\ зуТ/
См. Bromwich, Theory of Infinite Series, § 176 [см. Добавление].

212 ГЛАВА VI
6.5. Интегральные представления бесселевых функций
по Барнсу
Используя интегралы, введенные Пинчерле 1) иМеллином2), Барнс 3) полу-
получил такие представления бесселевых функций, с помощью которых легко дать
доказательство формулы Куммера из § 4.42.
Рассмотрим вычет функции
— Г Bm— s)-{tz)s
при s=2m~\-r, где г=0, 1, 2, . .. . Этот вычет равен (— \)r(izJm+rlr\, так
что сумма вычетов равна (—\)тz2me~~iz.
Отсюда, по теореме Коши, имеем:
/ 1 У (о+)
" т = 0 оо
при условии, что контур охватывает точки О, 1, 2,. ... Легко убедиться, при-
применяя формулу Стирлинга, что эти интегралы сходятся.
Теперь предположим, что /?(v)^> , и выберем контур так, чтобы
на нем /?(v-f-s)^> г-. Когда это последнее условие выполнено, ряд
2
ГBт — s)
сходится и оказывается равным
1 1 1
в силу известной формулы Гаусса. Следовательно, если мы изменим порядок
суммирования и интегрирования4), то получим:
Подинтегральное выражение имеет внутри контура полюсы только в О, 1, 2.
Подсчитав сумму вычетов в этих полюсах, получим:
1) Pincherle, Rend, del R. Istituto Lombardo, B), XIX A886), стр. 559—562-
Atti delta R. Accad. del Lincei, серия 4, Rendicontl, IV A888), стр. 694—700, 792—799'.
2) Меллин напечатал сводку своих результатов в Math. Ann., LXVIII A910)
стр. 305—337.
3) Barnes, Camb. Phil. Trans., XX A908), стр. 270—279. Библиографию, относя-
относящуюся к интегралам этого типа, см. у Барнса (Barnes), Proc. London Math. Soc. B) V
A907), стр. 59—65.
4) Ср. Bromwich, Theory of Infinite Series § 176. (См. Добавление).

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 213
ИЛИ
A)
последнее соотношение принадлежит Куммеру. Подобным же образом находим:
B) jAz)ei* = \l^1F1(v + ±; 2V+1; 21Z)'
Эти формулы, доказанные для случая R (у) ^> — -у, представляют собой
соотношения между функциями от V, аналитическими при всех значениях V,
и, таким образом, по закону аналитического продолжения, они справедливы
и в общем случае.
Можно представить бесселевы функции с помощью интегралов, не содер-
содержащих экспоненциального множителя. С этой целью рассмотрим функцию
T(-v-s)T{-s) (±.lz)-+u
как функцию от s. Она имеет полюсы в точках
* = 0, 1, 2, ...; — v, — v-fl,— v-f2,....
Вычет при s = m равен
sin vrc т\ Г (v -{- т + 1)
тогда как вычет при 5 = — у -|- т равен
-v + 2/W
sin vtt ml Г (v -{- /и + 1) '
так что
C) т-*
и аналогичным образом
D) 1гД('+1>-
при этом контур интегрирования начинается в -[-со, обходит вокруг полюсов
подинтегрального выражения против часовой стрелки и возвращается обратно
к -|-со. Если в C) | arg/z | <^ у тг или в D) | arg (— iz) <[-^-7Г, то кон-
контуры можно брать не замкнутыми: они могут начинаться в оо/ и оканчиваться
в — со /. Меняя направление обхода, получим:
/с*\ 2 Т-1 \ )( \ 1 "Р / \ "Р / \f\y7
— с — оо/
при условии, что | arg/г | <^-^-тг, и
-f + tttf
F) ие" №Uz) = — \ T( — y — s\Tl—s)( — ±izY+2Sd<!
— С — 00 /

214 ГЛАВА VI
при условии, что Iarg( — ^)|<С~о"тг> в этих интегралах с — любое положи*
тельное число, большее чем /?(v), и путь интегрирования идет параллельно
мнимой оси.
Существует интеграл, похожий на приведенные выше и представляющий
функцию первого рода с индексом v, который, однако, сходится только тогда,
когда R (v) ^> 0 и аргумент у функции положительный.
Этот интеграл имеет вид
со/ / 1 \ v+2.9
G) Jy (х) = e7L V 2 / ds;
— оо/
он получается тем же путем, что и предыдущие интегралы; читатель заметит,
что для больших 151 на контуре подинтегральное выражение имеет порядок
о (И—1).
6.51. Представления Барнса для функций третьего рода
Пользуясь формулой удвоения для гамма-функции, можно записать только
что полученные результаты в виде
+ s + 4"V(=
BzY (V
2/Уя J (
оо
Рассмотрим теперь интеграл
00/
~i7FT J Г(—*)Г(-2у-
/
подинтегральное выражение которого отличается от подинтегрального выра-
выражения в A) множителем, периодическим по 5. Будем сначала считать, что 2v —
не целое и что путь интегрирования проходит так, что последовательности
полюсов 0, 1, 2, ... и —2v, 1 —2v, 2 — 2v, . . . находятся справа от конту-
1 3 5
ра, тогда как -последовательность полюсов — v — тг, — v — , —v — — , ...
А А А
лежит слева от контура. Прежде всего мы покажем, что при | argz\ <Стгп
интеграл, взятый по полуокружности радиуса р справа от мнимой оси, стре-
стремится к нулю при р —>- оо ; действительно, если 5 = oeib , то
ST( — S)T( — 2v —*)Г (v + 5 + 4)-B^ = r-^-
и, по формуле Стирлинга,
te) — (v + ре'9 ) (In р + Л) + р^'9 — \ In Bтг);
ого выражения стремится к — со при — -тг
вследствие того, что — р cos В In p является главным членом. Когда 6
вещественная часть этого выражения стремится к — со при — -тг <^8 <^

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 215
приблизительно равно dz — тт, [ sin stt | сравним с ~ехр {ртг | sin6 |J> и главным
членом вещественной части логарифма подинтегрального выражения, умножен-
умноженного на s, будет
р cos 6 In | 2-2Г | — p sin 6 • arg 2iz — p cos 9 In p 4- рб sin 9 -j- p cos 6 — 2ртг | sin 6 |;
это выражение стремится к — оо при р—^оо, если [ arg- iz \ <С т>- тт.
Отсюда подинтегральное выражение, взятое 5 раз, стремится к нулю по-
повсюду на полуокружности и, таким образом, интеграл по полуокружности
стремится к нулю, если полуокружность минует полюсы подинтегрального вы-
выражения.
Если I arg iz I <^ тг к и 2v— не целое число, то из теоремы Коши следует,
что величину интеграла
00/
-~f= f Г( — *)Г(—2v — 5))rfv + 5+|) .Bfzyds
— оо/
можно подсчитать, находя вычеты в полюсах справа от контура.
Вычеты выражения
Г(— s)T( — 2v — s)
при s = т и s = — 2v-\-m равны соответственно
Г (у 4- т + y) '№т к Г (~v + т + у) -B/
sin2vtc ml ГBv -f-m + 1) sin 2vrc ml T(—2v+m + 1)
откуда
оо/
I* Г(_5)Г( —2v —5)Г
2/y« - .
— oor
sin2vn: ГBу-|-1)
3
1
4; 2v + l; to) —
i — 2v)
1 H2 J
sin 2v7r ' v v 7
Следовательно, если | arg iz \ <^ -^ тг, то
00/
X J Г( — 5)Г( —2v

216 ГЛАВА VI
о
и аналогично, если | arg (— iz) | <^ у тг, то
C) нт (г) = - ™р ""' X
— ooi
Ограничение «v — не целое число» можно устранить обычным путем с по-
помощью предельного перехода;-однако второе ограничение «2v — не есть целое
нечетное число» нельзя устранить, так как в этом случае полюсы, которые
должны находиться справа от контура, совпали бы с полюсами, которые
должны быть слева.

Глава VII
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ
ФУНКЦИЙ
7.1. Асимптотические формулы для Jv(z)
В гл. III были получены различные представления бесселевых функций
в виде рядов по возрастающим степеням аргумента z, которые в некоторых
случаях могли содержать множитель In z. Эти ряды очень удобны для число-
числовых расчетов, когда z2 невелико по сравнению с 4 (v -f-1), 4 (v —[— 2), 4 (v —[— 3),...,
поскольку для таких значений z они сходятся очень быстро. Однако при
большом \z\ ряды сходятся медленно и рассмотрение их начальных членов не
дает возможности получить приближенные значения функций /v (z) и Y^(z).
Это утверждение справедливо за одним исключением: e<^HV-|- — не очень
большое целое число, выражения для функций /±^ (z) в конечном виде (§ 3.4)
дают возможность вычислить их без всяких затруднений.
Предметом этой главы будет вывод формул, которые позволят практи-
практически вычислять значения фундаментальной системы решений уравнения Бес-
Бесселя при больших z.
Рассматриваемая задача имеет по сути дела две стороны; решение ее
в случае большого v весьма отличается от решения в случае, когда у невелико.
В первом случае решение имеет во всех отношениях более тонкий характер,
чем во втором; мы откладываем его рассмотрение до гл. VIII.
Прежде чем перейти к дальнейшему изложению, заметим, что первые
шаги в решении задачи были сделаны Карлини 1) за несколько лет до опуб-
опубликования Пуассоном2) своего исследования о поведении функции Уо (х) при
больших положительных значениях х.
Формальное разложение, полученное Пуассоном, имело вид
_i_
*2-32 , Р.32.52.72
/2\2Г / 1
=4«J ros \х-т
I-]
где х — большое и положительное. Однако, поскольку ряды в правой части
не сходятся и Пуассон не дает исследования остатка ряда, его рассуждения
(за исключением метода вычисления главного члена) можно назвать скорее
изобретательными и остроумными, чем убедительными.
На протяжении этой главы будет показано, что ряд Пуассона является асимпто-
асимптотическим: это доказали Липшиц, Ханкель, Шлефли, Вебер, Стилтьес и Барнс.
1) С а г 1 i n i, Ricerche sulla convergenza della serie che serva alia soluzione del
problema di Keplero (Milan, 1817). Содержание этих исследований уже было изложено
в § 1А
2) P о i s s о n, Journal de I'Ecole Poly technique, XII (тетрадь 19), A823, стр. 350—352;
см. § 1.6. Грей и Мэтьюз выполнили исследование функции /v (x), аналогичное иссле-
исследованию Пуассона для Jq(x) (Gray and Mathers, A Treatise on Bessel Fun-
Functions (London, 1895), стр. 34—38).

218 ГЛАВА VII
Заметим, что Пуассон указал лишь закон образования последовательных членов
ряда, не давая явного выражения для общего члена; такое выражение было получено
Гамильтоном *) (ср. § 1.6).
Аналогичное формальное разложение для Jx (x) принадлежит Хансену2);
немногими годами позже Якоби3) получил более общую формулу, которую
теперь обычно записывают в виде
1
1_ 1_
( D/г2 — 12)D/г2 — З2) ¦ D/г^ — I2) D/г2 — З2) D/г2 — 52) D/г2 — 72)
\ 2!(8д:J "Г 4!(8д:L
г __ 12 Dл2 — I2) D/г2 — З2) D/г2 — 52)
Эти разложения функций J$(x) и J\(x) Хансен использовал для числовых расче-
той. Сравнение результатов, полученных для отдельных значений х, с результатами,
полученными с помощью рядов по возрастающим степеням, привели Хансена к заклю-
заключению, что для вычислений можно с успехом пользоваться даже расходящимися раз-
разложениями 4).
За два года до опубликования разложения Якоби, Плана5) нашел метод
преобразования интеграла Парсеваля, с помощью которого оказалось возмож-
возможным более аккуратно обосновать разложение для Уо (хN). После его работы
появились работы Липшица7), давшего первое строгое исследование асимптоти-
асимптотического разложения для Jq(z) с помощью теории контурного интегрирования;
Липшиц также кратко указал, как могут быть применены его результаты
к Jn(z).
Общие формулы для Jv{z) и Kv(z), где v имеет любое заданное (ком-
(комплексное) значение, а комплексное число z достаточно велико, были получены
в обширном мемуаре Ханкеля8), написанном в 1868 г.
Общий характер формулы для Yn (z) был указан Ломмелем (Lommel), Studien
iiber die Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1868), как раз перед опубликованием мемуара
Ханкеля. Следует упомянуть также исследования Вебера (Weber), Math. Ann., VI
A873), стр. 146—149.
х) Некоторые подробности, касающиеся исследований Гамильтона, можно найти
в книге G. G. Stokes, Memoir and Scientific Correspondence, I (Cambridge, 1907),
стр. 130—135.
2) H a n s e n, Ermittelung der absoluten Storungen [Schriften der Sternwarte
Seeburg], (Gotha, 1843), стр. 119—123.
3) Jacobi, Astr. Nach., XXVIII A849), столбец 94. [Ges. Math. Werke, VII A891),
стр. 174.] Этот результат получается с помощью преобразования Якоби
) ( ) + sin л:,
/ 1 1 \ \-п(п+1) ^п(п-1)
y2-sin I х — ~пп — — п) =(—1) sinx —(—1) cosx,
совершаемого в упомянутом разложении.
4) См. замечание Нимёллера (N i е m 6 11 е г), Zeitschrift fur Math, und Phys.,
XXV A880), стр. 44—48.
5) P la na, Mem. delta R. Accad. delle Sci. di. Torino, B), X A849), стр. 275—292.
6) Макмагон применил метод, подобный методу Плана, с целью получения асимп-
асимптотических разложений для J^(z) и Ys(z). См. McMahon, Annals of Math., VIII A894),
стр. 57 — 61.
7) Lips chit z, Journal fur Math., LVI A859), стр. 189—196.
8) Hankel, Math. Ann. I A869), стр. 467 — 501.
У 2- cos 1х~-^пк~-~к ) ==(— 1) cos л:+ ( — 1)

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 219
Асимптотическое разложение для К^ (z) было исследовано (с доказатель-
доказательством его асимптотичности) Куммером1); его результат был воспроизведен
с добавлением соответствующей формулы для /v(z) Кирхгофом2); в мало-
малоизвестной работе Мальмстена3) также содержится исследование асимптоти-
асимптотического разложения для Kv(z).
Изучение остатка ряда в асимптотических разложениях для Jq(x), Yq(x), 1§(х)
и Kq(x) провел Стилтьес (Stieltjes), Ann. Sci.de lEcole norm. sup. C), III A866),
стр. 233—252; Калландро (С а 1 1 a n dr e a u), Bull, des Sci. Math., B), XIV A890),
стр. 110—114, развил некоторые пункты рассуждений Стилтьеса с целью распростра-
распространения их на функции с любым целым индексом; наконец, Вебер (W e b e r), Math. Ann..
XXXVII A890), стр. 404—416, получил результаты, относящиеся к остаткам ряда для
случая комплексных переменных.
Асимптотические разложения изучали также Адамов4), Известия Петербург-
Петербургского политехнического института, 1906, стр. 239—265 и Валевинк 5) в Гаарлемской
диссертации, 1905 г.
Исследование асимптотических разложений для Jv(z) и Y^(z) при большом
| z | и фиксированном у, повидимому, проще всего выполнить с помощью ин-
интеграла типа Пуассона. Однако Шлефли 6) показал, что можно получить много
результатов путем преобразований интегралов типа Бесселя; Барнс7) же рас-
рассматривал асимптотические разложения с помощью интегралов Пинчерле — Мел-
лина (содержащих гамма-функции), которые были изучены в §§ 6.5, 6.51.
7.2. Асимптотические разложения Ханкеля для Н&Цг) и H@)(z)
В этом параграфе мы получим асимптотические разложения функций
третьего рода, действительные для больших значений | z | ; с незначительными
изменениями мы будем в наших рассуждениях следовать Ханкелю8).
Возьмем формулу § 6.12 C), а именно,
1 ооехр/р
111 О
справедливую при — у тт < [3 < у тт и —у тг + Р <С ar&z <С у ^~Ь Р и ПРИ
условии», что /?fv-(--2")l>0-
Разложение множителя (l+ уш^" 2 т убывающим степеням г
имеет вид
"^ 2z "i" 2-4- г2
однако, поскольку этот ряд не сходится на всем контуре интегрирования, мы
выделим в нем конечное число членов и остаток.
1) Kum mer, Journal fur Math., XVII A837), стр. 228—242.
2) Ibid., XLVIII A854), стр. 348—376.
3) Malmsten, К* Swenska V. Akad. HandL, LXII A841), стр. 65—74.
4) Cm. Jahrbuch uber die Fortschritte der Math., A907), стр. 492.
5) Ibid., 1905, стр. 328.
«) Schlaf II, Ann. di Mat. B), VI A875), стр. 1—20.
i) Barnes, Trans. Camb. Phil. Soc, XX A908), стр. 270—279.
8) Hankel, Math. Ann., I A869), стр. 491—495.

220
ГЛАВА VII
Для всех целых положительных значений р мы имеем
р-1 Ьг —
т\
т—0
—Y+
2iz) \
1)!
11 \ Р \ I // г \ v — V
~\ \ (\—f\P-l ( \ — JE-) Р 2&.
Ъъ) J v ; V 2iz)
Удобно брать р столь большим, чтобы R I v — р ^ ^0; далее, возьмем
любой положительный угол 8, удовлетворяющий неравенству
В результате такого выбора, когда 8 уже фиксировано, выбор z ограничи-
ограничивается неравенством
— тг-f 28 2§
После этого для рассматриваемых значений t и и мы получим:
ut
\
Wz
¦¦ sin 8,
1 — туг- <тг,
и, таким образом,
где Ар не зависит от z.
Подставляя разложение для Ап вместо ( 1 -j- ^~
руя почленно, находим:
1 .
и интегри-
интегригде
= 0 т!Г(у + у
0
здесь В —функция от v, p и 8, не зависящая от z.
Отсюда при R (v — р т)<С^и^(у4~"т)^>^ имеем:
A)
/я! B/гг)««
^Уиттекер иВатсон, Курс современного анализа, § 5.41. Повидимому исполь-
использование этой формы биномиального разложения принадлежит Графу и Гублеру (Graf
und G u b 1 е г), Einleitung in die Theorie der Bessel'schen Funktionen, I (Bern, 1898),
стр. 86,87. Ср. Whit taker, Modern Analysis (Cambridge, 1902), § 161; Gibson,
Proc. Edinburgh Math. Soc, XXXVIII A920), стр. 6—9; nMacRobert, ibid. стр. 10—19.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 221
где z удовлетворяет условию — тг -|- 2§ ^ arg z ^ 2тг — 28, причем 8 — любой
положительный острый угол, а О — символ Бахмана—Ландау, обозначающий
функцию порядка1) z~p при \z\—^оо.
Формула A) справедлива также при R fv— р -) ]>0; это можно по-
( 1 \
казать, считая /? Г v — р о")^^» а затем> взяв целое число q настолько
большим, чтобы иметь R fv — q — yj <^ 0; если переписать выражение в квад-
квадратных скобках из A), подставляя всюду q вместо р, то его можно будет пред-
представить в виде суммы р членов и q—р-\~ 1 членов, причем каждый из последних
будет иметь порядок 0{z~p) или o(z~p); таким образом, сумма этих
Я — Р ~\~ 1 членов будет иметь порядок O(z~p).
Подобным же образом (изменяя знак перед / в предыдущих рассужде-
рассуждениях) можно вывести из § 6.12 D), что
B)
?+ rn\( — 2iz)m
m=0
• JrO{z-P)
при условии, что R[v-\--7r)^>0 и что область значений z задается неравен-
неравенствами
— 2тг + 24 < arg-г =^ 7г — 24.
Если, следуя Ханкелю, положить
(v, m) = { — 1)'
— 32}. ..J4v^ —B/тг —1J|
22m'tn\
то эти разложения примут вид
1
/9\
C)
D)
r=i 0
Для краткости мы перепишем их в следующем виде:
E) j
1 1
Поскольку (v, m) — четная функция от v, из формул §3.61 G), связыва-
связывающих функции третьего рода с индексом v с соответствующими функциями
с индексом — v, следует, что ограничение v^>—— является излишним. Итак,
х) См. Курс современного анализа, ч. 1, § 2.1.

222
глава vii
формулы A) — F) оказываются справедливыми для всех значений v, если
только z расположено в одном из двух секторов с углом, меньшим Зтг.
Пользуясь обозначениями обобщенных гипергеометрических функций, раз-
разложение можно записать в виде
G,
" Tiz Г
при этом G) справедливо при —тг <^arg z <^2тт, а (8) — при — 2тг <^arg ? <jt.
7.21. Асимптотические разложения J^(z), J_y(z) и Yv(z)
Из формул § 3.61 (которые выражают бесселевы функции первого и вто-
второго родов через функции третьего рода) в сочетании с формулами § 7.2 мы
находим:
(п
B)
C)
sln ^__vn__
ГГ - /" 1
L
c
L
—о
/ 1 1
cos ^_^W_T
/71=0
от—о
_sln
v, 2т)
(— l)m-(v, 2/я+1)
]
(—l)«.(v, 2m4-l)
) 1
J|
i
2 \ 2
J
l 1 \ х^(~l)m-(v,
m—Q
т-
оо
и (в случае функций только с целым индексом v)
оо
E)
/72=0
, 2«+1>1
—\)тЛп, 2т)
)
J
Все эти формулы справедливы для больших значений | z \ при условии,
что \argz\<^v;; ошибка, происходящая из-за отбрасывания остатка ряда, оче-

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 223
видно, равна порядку величины последнего из оставшихся членов, умножен-
умноженного на \\z. Однако, в действительности, множитель \jz можно заменить на
\jz2\ это можно обнаружить, взяв в разложениях для H^\z) и И^ (z) сле-
следующие два слагаемых, считая от последнего члена в рассматриваемой частной
сумме ряда.
Как это было показано в §7.2, интегралы, получающиеся в случае
R(v)"> ^-, представляют #vA) (z) и H^2\z), если же /?(v)^——, то инте-
Z Z
) из которых получаются асимптотические разложения, представляют
) я H^(z). Это различие в способах исследования J^(z) и Y^(z) для
таких значений v привело, повидимому, некоторых авторов к заключению1),
что формула A) справедлива лишь в случае R(v)^> «-.
Липшиц 2) получил асимптотическое разложение для JQ (z), интегрируя
еш A — t2) ^ по прямоугольнику с вершинами в + 1 и ±l-\-ooi (с исклю-
исключенными точками zfcl). Теорема Коши сразу дает:
1 • °?
eTKl \ e{i~a)ztT^ {2-\-iu)~^ da —
°
со
— e* )e-{i+a)zu 2 B — ia) 2 da = 0,
о
и дальнейшие рассуждения проходят по уже знакомому пути. Однако, для того
чтобы получить асимптотическое разложение обоих решений уравнения Бес-
Бесселя, повидимому, необходимо применять метод, использующий на известном
этапе интегралы по контурам в виде петли, рассмотренные в гл. VI.
Полезно будет выписать в явном виде выражения для начальных членов
разложений, содержащихся в уравнениях A) — D); они имеют вид
у. (-Л)м.(у, 2т) __ __ Dу2—12)Dу2 —З2) ,
^ BzJ"* 2!(8zJ '
Dу2 — 12) Dу2 — 32) Dу2 —
4v2— I2 Dv2— I2)Dv2 — З2) Dv2 — 52) ,
1! Sz ЗТЩр '
Читатель заметит, что
это соотношение нашел Ломмель (L о m m e 1), Studien, стр. 67.
Замечание. Метод, с помощью которого Ломмель пробовал получить асимп-
асимптотическое разложение для Yn(z) в своих Studien, стр. 93 — 97, заключался в диффе-
дифференцировании разложений для Jzi=v(z) no v; однако, теперь уже хорошо известно, что
почленное дифференцирование асимптотического разложения по параметру вызывает
различные теоретические затруднения. Заметим, что более поздняя работа Ломмеля
(L о mm el), Math. Ann., IV A871), стр. 103, свободна от алгебраических ошибок, встре-
встречающихся в его более ранней работе. Эти ошибки перечислил Юлиус (J u I i и s), Archi-
1) Ср. Sheppard, Quarterly Journal, XXIII, A889), стр. 223; Searle, Quarterly
Journal, XXXIX A908), стр. 60. Ошибка, повидимому, восходит к Тодхантеру (Tod-
hunter), An Elementary Treatise on Laplace Functions, Lame's Functions and BesseJ
Functions (London, 1875), стр. 312—313.
2) Lipschitz, Journal fur Math., LV1 A859), стр. 189—196.

224 глава vii
ves Neerlandaises, XXVH1 A895), стр. 221—225. Асимптотические разложения для
Jn{z) и Yn(z) изучали также Макмагон (McMahon), Ann. of Math., VIII A894), стр. 57—61
и Каптейн (Kapteyn), Monatshefte fur Math, und Phys., XIV A903), стр. 275 — 282.
В последние годы была открыта новая область применения таких асимп-
асимптотических разложений — аналитическая теория числовых делителей. В подоб-
подобных исследованиях достаточно главных членов разложения. Этот факт в со-
сочетании с тем, что теория бесселевых функций в упомянутых исследованиях
составляет лишь тривиальную часть, позволяет ограничиться одними ссылками
на работы Вороного1) и Вигерта2) и более подробные статьи Харди3).
7.22. Явление С токе а
Формула § 7.21 A) для J^(z) была установлена для значений zy удовлет-
удовлетворяющих условию | arg z | <^ тт. Если мы возьмем argz между 0 и 2тг (так
что arg ze—™ будет заключен между — тг и тт), то получим соответственно:
cos
(ze-Ki ^ vtt Т тг
\ 2 4
так что при
( , , 1 \ V (-l)/ra-(v,2m+lI
sin [z + -2 m-T~-I re) ^—i Bzfm+i •
Полученное разложение по внешнему виду совершенно отлично от § 7.21 A).
Мы займемся сейчас подробным изучением причин этого факта.
Разложения § 7.21 были получены из формулы
и повсюду в секторе, в котором — п <^ arg z <^ 2тт, функция Д,A) (z) имеет
своим асимптотическим разложением
()
т — О
Соответствующее разложение для Hi (z), а именно,
A)
1) Voronoi, Ann. Set de UEcole norm. sup. C), XXI A904), стр. 207—-268,
459 — 534; Verh. des Int. Math. Congresses in Heidelberg, 1904, стр. 241—245.
2) Wigert, Act a Mathematics XXXVII A914), стр. ИЗ— 140.
3) Hardy, Quarterly Journal, XLVI A915), стр. 263 — 283; Proc. London Math.
Soc. B), XV A916), стр. 1—25.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
225
справедливо, однако, в секторе —2тс < arg z <^ тг. Чтобы получить разложение
в секторе 0<^arg?<^2Tr, мы воспользуемся формулой § 3.62F), а именно,
(z) = 2 cos vtt.#vB) (ze~ni)
это дает:
B)
щ •=. О
/и = О
Оба разложения A) и B) справедливы при 0<^argz<^Tr; их разность
имеет своим асимптотическим разложением
и благодаря множителю eiz это выражение будет более низкого порядка
(при большом | z |), чем ошибка, происходящая от отбрасывания остатка ряда
за любым данным членом разложения A), так как при отбрасывании остатка
— ~ L
ряда за р-м членом ошибка имеет порядок О {e~iz z 2). Таким образом про-
противоречие между A) и B) в случае 0<^arg2<^Tr является только кажущимся,
потому что ряд A) необходимо рассматривать вместе с его остатком.
Вообще мы имеем:
nt = О
Biz)m
771 — О
где постоянные cv c2 имеют значения, зависящие от выбора области значений
argz. Если argz непрерывно возрастает (или убывает) при неизменном \z\, то
значения сх и с2 должны изменяться скачкообразно, причем изменение каждой
из постоянных происходит тогда, когда функцией, на которую умножаете?
данная постоянная, можно пренебречь по сравнению с функцией, на которую
умножается другая постоянная; т. е. изменения с, происходят, когда I(z)
положительна, тогда как изменения с2 происходят, когда I (z) отрицательна.
Нетрудно показать, что постоянным сх и с2 должны быть приписаны сле-
следующие значения:
где р — целое число (положительное или отрицательное).
Это явление скачкообразного изменения постоянных было открыто Стоксом
и рассмотрено им в ряде статей. Оно относится не только к бесселевым функ-

226 ГЛАВА VII
циям, а является характерным вообще для целых функций, имеющих асимпто-
асимптотические разложения простого типа *).
Тот факт, что постоянные, содержащиеся в асимптотическом разложении анали-
аналитической функции Л (z), меняются скачками, был найден Стоксом в 1857 г.; это откры-
открытие произвело большой эффект. См. Стоке (G. G. Stoke s), Memoir and Scientific
Correspondence, I (Cambridge, 1907), стр. 62. Стоке опубликовал свой результат в сле-
следующих статьях 2): Trans. Camb. Phil. Soc, X A864), стр. 106 —128; XI A871),
стр. 412—425; Ada Math., XXVI A902), стр. 393 — 397 [Math, and Phys. Papers, IV
A904), стр. 77—109; 283 — 298; V A905), стр. 283 — 287]. Третья из них была, пови-
димому, последней статьей Стокса.
7.23. Асимптотические разложения I4(z) и K^(z)
Формула §7.2 E) в сочетании с уравнением § 3.7 (8), связывающим
К^ (z) и #vA) (iz), сразу дает
1
1 г
_l2)Dv2_32) .
1 г
±У е-*\ 1 I 4v~12 1
2г) [ ^ 1!8* ~Г
2!
1
тг сЪппллл/ттс» 1 I v\ о
оо —z-\- (v-f- —-) ты
v, m) I e
о
при условии, что \2iigz \<^-^п. Формула Iv(z) = e2 J^(e 2 "* z) дает
оо
m. r / \ ?г \^ (—l)m-(v, т) , е
\z) JAZ) i Аи nz\m ^Г
BtzzJ BtzzJ
1 ^ .3
при условии, что — 77 тг <^ arg z <^ п.
1 , 1 .
С другой стороны, формула /v(z) = ? 2 7v (^2 ,г) дает
— z — (v + —-) w оо
(-l)v, "г) , g У Km)
B^)« "Г 1 Zjl nZ)m
3
при условии, что —
Кажущееся противоречие между B) и C), когда z принимает значения,
для которых atgz лежит между —-ц тг и ^тт, служит, конечно, примером
явления Стокса, которое было только что рассмотрено.
Формулы этого параграфа в явном виде были найдены Куммером (К u m m e r),
Journal fur Math., XVII A837), стр. 228—242 и Кирхгофом (Kirchhoff), Journal
fur Math., XLVIH A854), стр. 348—376, за исключением того, что в B) и C) ими был
опущен, не имеющий большого значения, второй ряд. Мы удержали его с целью фор-
формального согласования A) и C) с § 3.7 F).
Эти формулы дал также Риман (R i e m a n n), Ann. der Physik und Chemie, B) XCV
A855), стр. 135 для случая v = 0. Доказательства можно найти на стр. 495 — 493
мемуара Ханкеля.
!) Ср. Bromwich, Theory of Infinite Series, § 133.
2) Стоке указал при этом на бесселевы функции с индексами 0, it-ri эти пос-
ледние он получал из интеграла Эйри (§ 6.4).

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 227
Ряд исключительно интересных исследований символических формул можно
найти в работах Хевисайда *); однако, трудно сделать заключение об их ценности, если
применить к ним современные требования строгости.
Мальмстену2) принадлежит замечательный мемуар, содержащий формулу
X
00
f cosax-dx ne~~a
(ср. § 6.3). Эта формула символически записывается в виде
00
Г cosax-dx ъе~а (* , 1 \пя
о
квадратные скобки обозначают, что [п]-т следует заменить на (п)_т; в обо-
обозначениях Мальмстена этому соответствует
Заметим, что такое обозначение отличается от обозначения из § 4.4.
7.24. Асимптотические разложения ber(z) и bei (г)
Пользуясь формулами, полученными в § 7.21, 7.23, можно записать без
труда асимптотические разложения функций Томсона Ьег (z) и bei (z), а также
их обобщений. Уайтхед3) дал формулы для функций с любым индексом, однако,
здесь мы не будем приводить эти формулы из-за их сложности. Функции
с нулевым индексом изучались ранее Рэсселом4); ему представлялось более
удобным пользоваться логарифмами5) функций третьего рода; его формулы
можно записать в таком виде:
п> /Ьег (г) expa(z) cos
1 ' 1bei(*)= УъГг sin^'
B) (Ш(г) ехра(-г) cos
где
z . 12513
384^3^2 128*4
!25
!
162?
Эти формулы справедливы при | аг^,г | <^ — тг в случае A) и при |arg-^|<^—тс
в случае B).
Сэвидж (Savidge), PhlL Mag., F) XIX A910), стр. 51, выразил эти результаты
в несколько иной форме.
i)Heaviside, Proc. Royal Soc, LII A893), стр. 504 — 529, Electromagnetic
Theory, II (London, 1899).
2) Malms ten, K. Svenska V. Akad. HandL, LXII A841), стр. 65—74.
3) Whit eh e ad, Quarterly Journal, XLII A911), стр. 329 — 338.
4) Russel, Phil. Mag. F), XVII A909), стр. 531, 537.
5) Ср. аналогичный прием, принадлежащий Мейсселю, который пояснен в § 8.11.

228 глава vii
7.25. Асимптотические разложения в форме Адамара
Адамару принадлежит результат большого теоретического значения1); он
показал, что можно так видоизменить различные асимптотические разложения,
что они превращаются в сходящиеся ряды с остаточным членом, стремя-
стремящимся к нулю. Мы докажем эти формулы для вещественных значений аргу-
аргумента, однако читателю нетрудно будет внести изменения, соответствующие
переходу к комплексному аргументу.
Сначала рассмотрим /v (х) при v^> —. Если заменить sin—б на и> то
получим:
/IV
/,(*)= / 1 \ / i e*cos 6 siv 6 db =
— i *^
Ц-r р- I ехр (—2и2х) - ь
r-i
1
6
—2u2x) du\
при этом последний результат справедлив, в силу сходимости ряда интегралов
Мы можем переписать это уравнение в виде
/1\ / / \ еХ
A) 7vW =
A — у)
\ 2 I
i\r/i
2П
I
J
где у обозначает «неполную гамма-функцию» Лежандра2),
Для больших значений х разность между
и(i
++4
будет порядка 0(х i е~2х) и для всякого целого значения я — порядка оA).
1) Had am ard, Bull, de la Soc. Math, de France, XXXVI A908), стр. 77 — 85.
2) Ср. Курс современного анализа, ч. 2, § 16.2.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 229
В случае обычных бесселевых функций мы возьмем выражение для
функции третьего рода
*=
I {X jrVic— -тс) 5
1 1 ч / 1 \ 2г
/ о \ * * v"v —«F VTC—Xтс) °° (— t)m I V I Г 1
= Ш2 1 2 ^ V ( V2 Jm a*+»-le-«du +
т\ Bх\т J l
~ J.
и, таким образом,
аналогично,
Из написанных формул легко получить сходящиеся ряды для функций
первого и второго рода.
Адамар дал формулы только для функций с индексом нуль; однако, распростра-
распространение их на функции с любым индексом, превышающим — —, очевидно.
7.3. Формулы для остатков асимптотических разложений
Как было показано в § 7.2, остатки асимптотических разложений для
и //\/ (z) имеют тот же порядок, что и первые отбрасываемые члены.
В случае функций первого и второго рода легко получить более точную и
весьма любопытную теорему о том, что если v вещественно1), а х положи-
положительно, то (начиная с некоторого номера) остатки асимптотических разложе-
разложений для y^v (x) и K±v (x) будут численно меньше первых отбрасываемых чле-
членов, а при помощи несколько более тонких рассуждений (§ 7.32) можно дока-
доказать, что остатки будут иметь тот же знак^ что и первые отбрасываемые
члены.
Положим
. J.-.-i{(. +?)"*
~^*2 J о
1) Без ограничения общности можно взять

230
ГЛАВА VII
и, таким образом,
A) ^,W
B) rd=v(x)
J
Далее, /(v) = 0, ив рассуждениях § 7.2 можно взять $ равным-^- тг, по-
поскольку переменные вещественны, откуда А2р=\.
Далее, если взять р столь большим, что 2p^v о", то найдется чи-
число 6, не превышающее единицы по абсолютной величине и такое, что
2ixJ 
, v)J,
, v)-f
-vtt — jtt) Q(x, v)J.
Сложив результаты, содержащиеся в этой формуле, получим *):
Ш2т+
0 Bm)!
+ " B/7)!
где |60|^l; и поскольку 60, очевидно, вещественно, имеем
После интегрирования получим:
2m
B»i)!
7-0
гР
оо
Г -a N
и так как
то становится очевидным, что остаток после р членов в разложении для
Р(ху у) не превышает по абсолютной величине (р-\-\)-го члена, при усло-
условии, что 2p^>v
Из формулы
~2 — V ^~
m!
2/*
±u\m
2/*; "+"
B/7+1)!
V 2/^
х) Этот же результат получен несколько отличным путем Липшйцом (L i p s с h i t z),
Journal fur Math., LVI A859), стр. 189—196.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 231
мы аналогичным путем получаем, что остаток после р членов в разложении
для Q(x, v) по абсолютной величине не превышает (р -j- 1)-го члена, при
о
условии, что 2p^v — -7J-.
Эти результаты получил Ханкель (Hank el), Math, Ann., I A869), стр. 491—494;
их воспроизвели Грей и Мэтьюз (Gray and Mathews), Treatise on Bessel Functions,
London, 1895, стр. 70; в обоих исследованиях однако впоследствии были найдены не-
небольшие неточности, см. Орр (О г г), Trans Camb., Phil.Soc, XVII A899), стр. 172—180.
В случае функции К^(х) мы имеем формулу
р-Л
1
и если /?^2V — ttj T0 последний член можно записать в виде
^¦{т-)Р{иу*с
_Р _
(р—\)\ \2х
о
где O^Gj^l и, таким образом, после интегрирования получим:
где 0^62^1, если p^v — -z--
Этот результат является более точным по сравнению с теми, которые
были получены такими же методами для Р(х, v) и Q (*, v); ббльшая точность
обеспечивается, несомненно, тем фактом, что f I -f- -у utjx ) 2 положи-
положительно и, следовательно, не изменяет знака подобно f I -J- -^- iutjx ) 2 +¦
7.31. Исследования Стилтьеса функций J0(x), У0(х) и К0(х)
Стилтьесг) придал результатам § 7.3 более точную форму; он дока-
доказал не только то, что остатки в асимптотических разложениях, относящихся
к J0(x), Y0(x) и К0(х), численно меньше первых отброшенных членов, но
также и то, что остатки имеют тот же знак, что и упомянутые члены.
*) Stieltjes, Ann, ScL del'Ecole norm. sup. C), III A886), стр. 233—252.

232 ГЛАВА VII
Стилтьес изучал также /0 (х)\ но его результаты сложны и мы не будем их приво-
приводить здесь !). Конечно, и следует ожидать, что исследование функции 10(х) ока-
окажется сложным, в силу того, что в её главном разложении все члены одного знака,
тогда как в трех остальных асимптотических разложениях знаки членов чередуются.
Из определений § 7.3 вытекает, что
о
Заменим в этих формулах A -f~ ~ it*
. zt — iu sin2 cp
Тогда, очевидно,
I-
-J- м2 sin4 '
=м
V ( 1 +l«*si
где р — целое положительное число (включая нуль).
Таким образом, очевидно,
I* l-
J i
o 1 + T
где 6 лежит между 0 и 1; отсюда
Если умножить это выражение на положительную функцию е~ах и
проинтегрировать, то, очевидно, получим:
1) Функцию /v(jc) изучал также Шафхейтлин (Schafheitlin), Jahresbericht
der Deutschen Math. Veretntgung, XIX A910), стр. 120—129, однако, он пользовался
остаточным членом ряда Тейлора в форме Лагранжа, когда это было незаконно.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 233
где 0<^Ь1<^\ и р — любое целое положительное число (включая нуль); это
и представляет собой требуемый результат для Р(х, 0).
Аналогично из формулы
1 1
 ~
находим,что
где О<^62<^1 и р — любое положительное число (включая нуль); этой дает
требуемый результат для Q(x,0).
В случае функции К0{х) Стилтьес брал формулу
1
Л , 1 \~
и заменял
(л , 1 \ 2 2 f rf»
A -\~ -^ и ] на— \ г- ; дальнейшее доказательства
проходит согласно описанному методу и приводит снова к результату § 7.3.
С помощью остроумного приема Калландро !) удалось применить результат
Стилтьеса для получения аналогичных результатов, относящихся к функциям с лю-
любым целым индексом; однако мы сейчас изложим другой метод, с помощью которого
можно получить точные результаты для функций с любым вещественным индексом
7.32. Знаки остатков в асимптотических разложениях,
соответствующих Jv(x) и Y^(x)
Мы уже видели, что J^(x) и Yv(x) могут быть выражены с помощью
двух функций Р(х, v) и Q(x, v), имеющих асимптотические разложения более
простого вида. Сейчас мы обобщим результат Стилтьеса (§ 7.31), имея
в виду показать, что при любом вещественном значении2) индекса v остаток
после р членов разложения для Р(х, v) имеет тот же знак (в дополнение
к тому, что он является меньшим по величине3), что и (р-\-\)-й член, при
условии, 4to2/?]>v — y» соответствующий результат справедлив для Q(x,v)t
если 2р ^> v — -к. Учитывая ограничения, накладываемые этими условиями
на P(x,v) и Q (x, v), можно сформулировать теорему следующим образом:
Остатки рядов, определяющих Р(х, v) и Q (*, v), численно меньше пер-
первых отброшенных членов и совпадают с этими членами по знаку.
i)Callandreau, Bull, des Set. Math. B), XIV A890), стр. 110—114.
2) Как и в § 7.3, можно считать v^O, не теряя общности доказательства.
3) Это было уже доказано в § 7.3.

234 ГЛАВА VII
Незначительно видоизменяя формулы из § 7.3, получаем:
*
2J о
и точно таким же путем, как в § 7.3, можно показать, что
2p-i
r
j A-
0
Xj A-^я-»1/{ (l+i/irf) -\\~lat) }dt.
0
Теорема будет установлена, если мы покажем, что при
последнего члена постоянен и совпадает со знаком
Для этого достаточно показать, что выражение
1
равно *)
X
>—у—4-) г
3
ч/ /| Л2р-2± / X 2
О О
-)^n
.— Л2Я 2sinD-^^ Л dl.
2;б о
Но (I —tJP-2 есть монотонно убывающая функция от t; поэтому, по вто-
второй теореме о среднем, существует такое число S, лежащее между 0 и I, что
Поскольку
sin ( — \ut) ^-^-^и^> условие 2р >v—— обеспечивает абсолют-
абсолютную сходимость интеграла с бесконечным пределом.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 235
Поскольку функция Т Bр — v~b"o") положительна, мы тем самым преоб-
преобразовали
1
в несобственный интеграл, в котором подинтегральное выражение положи-
положительно, а следовательно, первоначальное выражение также положительно.
Таким образом,
,
B/я)!
где 6^0 если 2/?^>v ^". Мы уже видели (§ 7.3), что при этих условиях
|6|^1. Следовательно, 0^6^ 1; теперь, умножая последнее уравнение
на е~их и 2 и интегрируя, мы сразу получаем требуемое утверждение для
Р(х, v).
Соответствующее свойство для Q (л:, v) вытекает из равенства
v-1 -i P-i(-nm(±-\ (laJ""
2
у*у-Ч- Х
1 !
X
б
читателю нетрудно будет провести это доказательство подробно.
Замечание. Это рассуждение не удается провести при < v < — , если
/ \v—^
р берется равным нулю; однако в этом случае фаза выражения (lit —/и J 2
заключена между 0 и +Ыу— 4)л и» таким образом, 1/( 1 +-^ ш) 2 -4-
-к-ш) > имеет тот же знак, что и единица, и аналогично тт { ( 1+ тт ^) 2 —
— (^—Т'и) 2 г/г' имеет тот же знак, что — (v—77) и\ следовательно, Р(х, v) и
Q(x,v) имеют такой же знак, как и первые члены в их разложениях и, таким обра-
образом, окончательные выводы остаются справедливыми; окончательный вывод справед-
1 3
лив для Q(x} v) также при-^-< v <—, если/? = 0.

236
ГЛАВА VII
7.33. Формулы Вебера для остатков в разложениях функций
третьего рода
Вебером*) были указаны некоторые неравенства, которым удовлетворяют
остатки в асимптотических разложениях для Н^]\г) и H^l\z). Ценность этих
неравенств заключается в том, что они остаются верными независимо от того,
вещественны ли z и v или комплексны. В нижеследующем мы для простоты
будем считать v вещественным, хотя, как это станет очевидным, достаточно
видоизменить лишь некоторые детали в методе доказательства, чтобы его
можно было применить и для комплексных значений v. He будет также огра-
ограничением общности, если положить, что v^O, R(z)^0. Мы обозначим
l^l —г, и так как сначала рассматриваются большие значения \z\, мы будем
считать, что 2r^==v— -у.
Если v ^-^>0, то, по § 6.12C), мы имеем2):
I)
(I)
(>+§)'
da
fl\
BV e'{
00
1
exp < — й 1
• Vi—.
Если же 0 ^ v <] -х-, то мы воспользуемся рекуррентной формулой
4&
и применим только что полученное неравенство к каждой из функций в пра-
правой части.
Тогда найдем:
A)
и аналогично
B)
1) Weber, уИ^/z. Ллл., XXXVII A890), стр. 404—416.
2) В третьей строке вычислений используется неравенство
l-\-x (x ^z Q)*

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 237
где
= 1,-
°Ч>—^ Ь+
('>*
Эти результаты можно назвать грубыми оценками Вебера для И^ (z) и
и\/ (z). С помощью изящного приема Веберу удалось вывести из них более
тонкие оценки. Способ Вебера состоит в следующем.
Возьмем первые р членов ряда, входящих в два ханкелевых разложения
и обозначим их символами 2^ (z> p)> S^fC2^/7)» T* е*
Р-\ /7-1
V* (—l)w.(v, w) \?B), v V4
D)
m-0 v~ ' m — 0
Легко проверить, что
+2' а + '
Мы будем рассматривать это как уравнение, которое нужно решить методом
вариации постоянных; тогда получим:
^ {A (z) f#> (z) + В(z) M
где A (z) и Л B) — функции от 2, которые выбраны так, что
(A'(z) НУ (z) + В' (z) Я(? (z) = О,
Следовательно,
и, таким образом,
о г ;
где А — постоянная.
Аналогичное выражение мы получим для B(z); отсюда следует, что
1 3
Если ><тт> то возьмем 2a*>v4- —.
? 2

238 ГЛАВА VII
Исследуя поведение обеих частей этого равенства при х—*-(-сс, не-
нетрудно установить, что Л=1, а В—О.
Таким образом, можно записать формулы Ханкеля в виде
я»м=
причем остаток /?У можно определить как
J
Так как R(z)^Oy то | z-\-t \ ^]^r2-\-t2y и, используя грубые неравен-
неравенства, мы находим, что модуль последнего подинтегрального выражения не
превышает
22-Ятг- * G2. (г2
Отсюда
j
о
и, таким образом, при р^1 мы имеем:
D) |/?(;)|<2G2|(v,p)| —
г I2
и, аналогично,
E) \R{l)\^2G2\(v,i
Г (±р +1) .
Это и есть результаты Вебера; заметим, что никаких предположений от-
относительно значений v и р при доказательстве сделано не было; этим резуль-
результаты Вебера отличаются от результатов, полученных другими авторами.
7.34. Приближенные выражения для остатков асимптотических
разложений
Когда аргумент бесселевой функции не очень велик!), асимптотическое
разложение приносит для числовых расчетов мало пользы вследствие тогог
что наименьший его член (считая и остаток после наименьшего члена) не так
уж мал; в то же время аргумент может быть настолько велик, что ряд по
возрастающим степеням этого аргумента будет сходиться очень медленно.
Остроумный метод обхода этих вычислительных затруднений предложил
Стилтьес2); мы подробно рассмотрим этот метод на примере функции К0(х)
1) Соответствующие значения х для функций Уо С*)» ^о (•*) и Ао (х) заключены при-
приблизительно в интервале от 4 до 10.
2) Stieltjes, Ann. Sci. de I'Ecole norm. sup. C), III A886), стр. 241 — 252,

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
239
и с его помощью установим результаты, которые Стилтьес получил для фун-
функций Jq(x) и У0(х).
Применим преобразование, указанное в §7.31, к формуле § 6.15D);
тогда получим:
e-xu (
>-*V2
оо 2№
dQdu
¦ -^ и sin2 i
n 1 oo 2
Zu \ \ l I 2flSin
0 0 «
oo 2^ —лги
— -тг и sin3
оо и
Отсюда
о
где
«sin2 9
Значение т, для которого частное @, m)lBx)m будет наименьшим, при-
примерно равно 2лг, если х велико; соответственно, для того чтобы исследовать
остаток после наименьшего члена ряда для К0(х), мы выберем р таким, что
1 ,
где j меньше единицы; тогда
оо тс
*,= %
0 0
dbdu-
1 -1ц
Далее, при возрастании и от 0 до оо, -гг^е 2 увеличивается от 0 до
максимума е~~1 (при и = 2)у а затем уменьшается до 0; итак, мы имеем:
4ж
где ? возрастает от —оо до оо; из аналогичных соображений мы имеем:

240
ГЛАВА VII
Область интегрирования распространяется на всю плоскость (?, 7j), и мы
лосле некоторых вычислений находим:
где
00 00
и
l/V9=0
Следовательно1) главными членами асимптотического разложения для Rp
при больших значениях р будут
и, таким образом,
Легко проверить с помощью теоремы Стирлинга, что
. , \)Р.2(Х)
{2х)Р V '
и, таким образом, ошибка, происходящая при обрыве разложения на каком-нибудь
из наименьших членов, в грубом приближении равна половине первого из опущен-
опущенных членов.
Подобным же образом Стилтьес доказал, что если Р(х, 0) и Q(x, 0)
определены как в § 7.3, то
m —О
где
E)
#>-{$ ~[ь+**+У+1а+-'
it*--Lt—i.
2T 4 6
при условии, что р выбрано близким к х, а т определено как х — р.
Формулы этого типа полезны при табулировании бесселевых функций в крити-
критической области; некоторые из аналогичных формул были с этой целью использованы
Эйри (Ai г е у), Archiv der Math, und Phys., C), XX A913), стр. 240—244; C), XXII A914),
стр. 30—43; также British Association Reports, 1913, 1914.
Представляет известный интерес распространение формул, которые Стилтьес
установил для бесселевых функций с нулевым индексом (так же как для интеграль-
интегрального логарифма и некоторых других функций), на бесселевы функции с любым индек-
индексом.
1) Ср. Bromwich, Theory of Infinite Series,
торая будет доказана в § 8.3.
133, 137 и 174 или лемму, ко-

коАСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 241
7.35. Следствия из интегралов Шафхейтлина
Если в формулах § 7.32 заменить и на 2tg6, то получим выражения
Bх) + ^ *г siflV 2 Ocosf > — i
sin
напоминающие интегралы Шафхейтлина из § 6.12.
Отсюда легко вытекает, что
Интересным следствием этих результатов является возможность доказатель-
доказательства того, что отношение
есть возрастающая функция от х при —*2"<^v<^"9" и У^ываЮ]и^ая Функ-
1 5
ция от х при '<^V<^"#
Действительно, мы имеем
Q\x, v) Р (х, v) — Я'(*, v) Q (х, v) =
{! 4 2 ^ТС ^ТС
"" J J
" J
Г \v +  J J о о
где
f = (sinesm,) cos / ц Qsjn / _
(cos б cos у) ^ \ ^/ V z
(cos б cos у)
и, таким образом,
sin (i_
Если в двойном интеграле мы поменяем местами переменные 6, у и
сложим полученные результаты, то найдем, что при —-^-<^v<^-^-двойной
интеграл имеет тот же знак, что и ^—v; таким образом, требуемый резуль-

242 глава vii
7.4. Асимптотические разложения бесселевых функций
по Шлефли
В одном из своих мемуаров, не получившем, к сожалению, той оценки,
которой он заслуживает, Шлефли1) приводит весьма изящное хотя и не-
несколько длинное рассуждение, касающееся асимптотических разложений функ-
функций третьего рода.
Интегральные формулы, из которых Шлефли получил свои разложения,
являются обобщениями интеграла Бесселя; хотя интеграл Бесселя и не столь
удобен для построения асимптотического разложения функции /v (z) при боль-
большом z и фиксированном v, как интеграл Пуассона, однако, с помощью метода
Шлефли удается не только получить само разложение, но и найти выражения
для остатков в изящной и компактной форме.
Прием Шлефли заключается в следующем. Рассматриваются интегралы
типа
причем контур интегрирования выбирается так, чтобы фаза2) выражения
оставалась на контуре постоянной. Шлефли берет два контура, на которых
постоянные значения фаз равняются, соответственно 0 и тг; при этом г пред-
предполагается положительным, а а вещественным.
(I) Рассмотрим сначала случай, когда фаза равна тг; положим
где р положительно, а 6 вещественно; тогда выражение
будет отрицательным и, следовательно, равным своему комплексному сопря-
сопряженному.
Отсюда имеем:
П) sin (a
Возьмем, далее, новое переменное
ф = 26 + Я — тг;
тогда
cos ± (a — ?) ,„_П2
г sin» у
v ' 1 ц 1 1
cos - (а + ?) cos — (а — ср) cos -j (а + ср)
Когда ср меняется от —(тг — а) до (тг — а), дописывает контур, выходящий
из начала координат в направлении, образующем с вещественной полуосью
угол —(тг — а), и уходящий в бесконечность в направлении, образующем
1) S с h I a f I i, Ann. di Math. B), VI A8/5), стр. 1—20. Единственная известная
работа по бесселевым функциям, в которой отмечается значение этого мемуара,—
работа Графа и Гублера.
2) Читатель может сравнить общие методы этого параграфа с «методом перевала»,
который употребляется для получения различных асимптотических разложений в
гл. VIII.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 243
с вещественной полуосью угол (тг — а); при этом предполагается, что
0<а<2тг.
Если на а это ограничение не наложено, контур имеет более одной
ветви, уходящей в бесконечность.
Мы будем считать, что а ограничено вышеприведенным условием; тогда
контур будет принадлежать к типу, соответствующему формуле §6.22 (9)
при условии, что для (о и SLtgz выбрано одно и то же значение а, поскольку
это является допустимым.
Таким образом мы имеем:
7_v (reia) — е" virf/v (rela)
2i sin vn: 2n/
в 1 «--
где и определяется через ср с помощью уравнения B).
Перемена знака у ср эквивалентна замене и на 1/#, поэтому, рассма-
рассматривая выражение в левой части как функцию третьего рода и заменяя его
значением этой функции, имеем:
C) > ^
О
Из B) следует, что —rei<x(u—1J/# монотонно1) возрастает от 0 до
-f- сю , когда ср меняется монотонно от 0 до тг — а; и если обозначить
— ге*«(и— \Jju = ti
так что t остается положительным, пока и принимает значения на контуре,
то мы получим:
da dt d±
e 2
при этом граница значений axgu меньше тг.
Далее, по теореме Коши,
u2 +u 2 j V rt
точку С=1 удобно выбрать внутри контура, однако точка ?=0 должна
оставаться вне контура, потому что начало координат является точкой раз-
разветвления.
Таким образом,
1 -1 (Я + Д/Я+) v-1
Отсюда 2" J ff
E)//(V)( гДв  тс)^| =^ 2 ехр(г*'«) Г Г
1 \ / I I/. J J
2Ч22
I
2ъЧг2е2
В силу того, что
— sin2 у _ sin у A+ 2 cos a cos у + cos2 у)
dy cos а -{- cos <p (cos а -j- cos уJ

244
ГЛАВА VII
Далее, очевидно, что
/7-1
(~\)mt:mtm
С ~ 1J + ^/(г^а) w~0 (С — lJm+2 (r^)w ^ (С — \fp {геы)Р \ (С }
где р— любое целое положительное число (включая нуль). В последующем
будет удобно считать, что р превосходит как R fv — у], так и
* (-»-!)¦
Производя соответствующую подстановку в последнем подинтегральном
выражении и замечая, что
1
! (У, /77)
(в обозначениях § 7.2), находим:
F) /Л1>(г,'(-Ц = ( 2 \! exp(re,. * .
где
CO (« + ,l/. +
(~1) Г
iVT* J J
0
(С-:
Сначала рассмотрим интеграл
if
- 1J -f- C^/(r^a){ •
С Р 2
Если р превосходит R[v — - ) и i?(— v— -^ ) ,
Фиг. 15
то получим:
2« J ('
то мы выберем контур таким, как на фиг. 15;
когда радиусы большой и малой окружностей
стремятся соответственно к с» и 0, ин-
интегралы по этим окружностям стремятся к
нулю. Если на обоих радиусах (представля-
(представляющих собой все, что осталось от контура)
мы положим
>-? dl
(— lfcosv* [
= * J
1 P-v-I
A-х)

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 245
Числитель подинтегрального выражения положителен (при вещественном v),
а модуль знаменателя никогда не становится меньше единицы при условии,
1 3
что 2п<Са<С~2 п* для ДРУГИХ же значений а он никогда не бывает
меньше | sin a |.
Поэтому
Mfr /(^ e0|(,p)|
о о
где |60| равно 1 или |coseca| в соответствии с тем, отрицателен ли cos a
или положителен. Когда v — комплексное, легко видеть, что
cosvit
cos R (vit)
Br)P
1 3
Наконец, при —-^ тг < arg z < у тг,
(8)
где | вх | не превышает 1 или |sec(arg?)|, в соответствии с тем, положи-
положительна ли I (z) или отрицательна, и при условии, что v вещественно и
р -f-r ^> I v[. Если v — комплексное, следует воспользоваться видоизменённой
формой остатка по формуле G).
Так как R{\—tx(\—x)j(rei(X)) ^ 0 при R(e~ia) ^ 0, то вещественная
часть множителя 6Т из (8) положительна, если при этом v вещественно и
I
Если в (8) заменить z на iz, то при \axgz\ <^п получим:
1 1
(9) ^^=B5) ^B^ (^
и если v вещественно, то
(i) R(%)^0 и |63|<1 при #(*)> О,
(ii) |63l<|cosec(arg^)| при /?(^)<0.
В случае комплексных значений v потребуются небольшие видоизменения
в выкладках, произвести которые мы предоставляем читателю.
(II) Допустим теперь, что фаза выражения
равна нулю. Как и ранее, мы положим
тогда reiap2e2i®l( I -j- p?'9) положительно и поэтому равно своему комплексному
сопряженному, и мы снова приходим к уравнению A). Но в отличие от пре-
предыдущего, мы теперь положим
<р = —B6 + а),
так
A0)
что
«=
1
sin-(a + <p)
sin | (a — <р)

246 ГЛАВА VII
Когда ср изменяется от — а до а, и описывает контур, выходящий из начала
координат в направлении, образующем с вещественной полуосью угол а
и уходящий в бесконечность в направлении, образующем с вещественной
полуосью угол —а, при условии, что а лежит между —тс и тс. Этот кон-
контур будет принадлежать к типу, соответствующему формуле § 6.22 (8), при
условии, что для со и aigz выбрано одно и то же значение а, поскольку
это является допустимым.
Следовательно, при —тг<^а<^тс мы имеем:
-'-i
exp
— a
где и определяется как функция от ср с помощью уравнения A0); поэтому
(И) /^)(„'(—T«)) = ^-J («- + «>) ехр {-!
0
откуда, полагая
находим:
i{\ 2 f f 2 2 2
f f
J J
Мы выразили, таким образом, второе решение уравнения Бесселя в виде?
удобном для получения асимптотического разложения; дальнейшие рассужде-
рассуждения проводятся как и в случае Н^ (z); окончательно получаем, что, при
A3)
где |62] не превышает 1 или | sec (arg^) ], в соответствии с тем, будет ли
I(z)^0 или I(z)"^0, при условии, что v вещественно и /? —|—^- ^> | v |;
кроме того, предполагается, что R F2) ^ 0 при I(z)^0. Если v комплексно,
форма остатка видоизменяется, точно так же как и для (8).
Заметим, что поскольку подинтегральные выражения в C) и A1) суть
четные функции от v, в этих рассуждениях нет надобности предполагать,
что R (v) превышает ^ как это было необходимо в рассуждениях, осно-
основывавшихся на интегралах типа Пуассона.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 247
7.5. Асимптотические разложения бесселевых функций по Барнсу1)
Из формул Барнса, полученных в § 6.5, 6.51, непосредственно выте-
вытекают асимптотические разложения для функций третьего рода. Рассмотрим
оо i — v — р
J Г(— s)T(— 2v —
— oo * — v — p
ooi
Tl—s — v-\-p)T(s—p + ±)(—2L
-ooi
о
Если | arg(—iz\^yu—^» T0
oo i
— pA-Jr\( — 2iz)sds
J
J
001
oo i
J iTi-
i
J
— oo i
и, таким образом, последний интеграл сходится, а, следовательно, первый
интеграл имеет порядок
О {(— 2iz)^~P).
Однако, вследствие § 6.51, первый интеграл равен —2тг/—кратной сумме
вычетов в полюсах, находящихся справа от контура, т. е. равен
5
z)\\ei{<z~m) cos vrrBz)v] плюс —2ш — кратная сумма вычетов в точ-
13 1 1
равен
(]
13 1 1
ках s = — v — 2~,—v — I'*'*' —V~"^ + T* Вычет в —v — m — у
TJ Г
ml (— 2iz)
так что при | arg (— iz) \ < у тг — 5,
X 2ra
2iz)
+ О {(— 2/г)-'-"} =
что эквивалентно результату, полученному в § 7.2. Проводя аналогичное
рассуждение для Н^ (z), заменяем всюду / на —/.
Читатель заметит, что определение порядка малости остатка при
помощи этого метода является совсем простым; однако, пользуясь им, невоз-
невозможно получить точные оценки величины и знака остатка, как это мы делали,
применяя ранее рассмотренные методы.
1) Barnes, Trans. Camb. Phil. Soc, XX A908), стр. 273—279.

248 глава vii
7.51. Асимптотические разложения произведений бесселевых
функций
Для четырех произведений вида J+ ^(г)-/^ (z), повидимому, невозможно
получить асимптотические разложения, коэффициенты которых имели бы
простой вид, даже при jjl = v. Объясняется это тем, что не существует про-
простого выражения для общего члена асимптотических разложений произведе-
произведений H^\z)^H^\z) и H^\z)*h!P(z); главные члены этих разложений имеют
вид
2е
Однако произведения H$)(z)*fJ?)(z) и Н^ (z) • #vA) (z) имеют простые асим-
асимптотические разложения; из них можно получить асимптотические разложе-
разложения для
и для
Простейший путь построения таких разложений дает метод Барнса, только
что рассмотренный нами в § 7.5. Исследование рядов, полученных в § 5.41,
было основано на изучении интеграла
00/
при этом контур интегрирования выбирался таким образом, чтобы полюсы
функции rBs-f-l) оказывались слева от контура, а полюсы четырех осталь-
остальных гамма-функций — справа от контура; кроме того, временно допускалось,
что ji, v и д ztzv — не целые и что, таким образом, подинтегральное выражение
не имеет двойных полюсов. Этот интеграл сходится при условии, что
Сначала вычислим интеграл по раздвинутому контуру, охватывающему
последовательности полюсов, находящихся справа от контура; этот интеграл
будет равен сумме вычетов в упомянутых полюсах, взятых со знаком минус,
а вычет в т -f- — (\х -j- v) будет равен

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 249
Следовательно,
00 /
Q—7 \ 1 \2S —j— 1I — 5 1 1 I - 5 I X
— 00/
sin {лтг sinvit I sin({x -)- v) я sin (}i—v)n
sin (v — [л) я sin (fA -)- v) я /
^ 2 {2 cos fin cos уя + / sin (u. + v) я}
^v), ^ M Y" W -
ctg I (pi — v) я {/„, B) Fv (z) — Y^ (z) Л (z)}] —
2 cos ^ ((i + >)«
| (ji — v) тг {7^ (z) Kv (^) — K^ (z) J4 (z)}\.
Заменяя повсюду / на —/, находим, что если |arg«z| и |arg( — iz)
о
меньше -к тт, т. е. если |argz|<^it, то
О) f ИЛ- № J- & + Yf. (z) Kv («)} —
— ctg ^ (pi — v) тг• {Уа (z) Kv (*)—K,, (z) 7V (z)}j =
00/
i
— 00/
И
B) f [{Л (г) Л (?) + i; («) У, («)}] +
2 cos ^ (n + *)n
4- tg: | (pi — v) тт. {J^ (z) Kv (z) — Y^ (z) Л (z)\ =
00/

250 ГЛАВА VII
Эти формулы справедливы для всех значений |аи v (безразлично — целых
или не целых) при условии, что в первом случае дЦ-v и jjl — v не являются
четными, а во втором jjl —j— v и ji — v не являются нечетными.
Теперь, подобно тому как это было сделано в § 7.5, мы получим асим-
асимптотические разложения функций, находящихся в левых частях равенств
A) и B).
Сначала мы выберем р настолько большим, чтобы единственными полю-
полюсами подынтегральных выражений, находящимися слева от линии R(s) =
= — р— — , были полюсы функции ТB$-{-1); тогда разность
00/ ^
J- I
(под знаком \ —любая из интегрируемых нами функций] , равна сумме
вычетов в полюсах, лежащих между контурами, умноженной на 2nL Поскольку
Г
J
s
мы находим, что при \argz\<^n искомыми асимптотическими разложениями
будут
C) [Jr(z)J,(z)-\-r^(z)Y,(z)] — ctg±(iL — v)Tt. [J^z)Y,{z)-J^z)Y^z)\=
i
B/ra-fl)! GW)
и
D)
м 2 ___ >
nz sin-(H
2
Я* COS 7Г (
V2
. — v)rc
,(*)+
u —v)jt
2 ^J 2 ^J 2
2 ' 21
t&id1 —v) w-[^ (z) ^W — Л И Y^ (z)] -4.
*4^i( 2 J 2 ' 2 J 2 ' 2 ; ^2 ) *
В частном случае, когда pi = v, последняя формула сводится к
00
E) 4+^^

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 251
и, в частности, при v = 0
F) JHzL- Y*(z) - 1 У (-1Г<'-3.5..,Bм-1)}4
m = 0
Формула E), повидимому, была найдена Лоренцом (Lorenz), К* Danske Vidensk.
Selskabs Serifter, F), VI A890) [Oeuvres scientifiques, I A898), стр. 435]; более общие
формулы (а) и D) установил Орр (О г г), Proc. Camb. Phil. Soc, X A900), стр. 99,
Доказательство разложения E), опирающееся на преобразования кратных интегралов,
дал Нильсен (Nielsen), Handbuch der Theorie der Cylinderfunktionen (Leipzig, 1904),
стр. 245—247; заметим, однако, что Лодж (A. L о d g e), British Association Report,
1906, стр. 494—498, приписывает разложение E) Уолтеру Грегори.
Пользуясь этим методом, трудно дать точную оценку величины или знака
остатка в рассматриваемых асимптотических разложениях. В § 13.75 будет
дан другой метод получения асимптотического разложения для Jv(z)-\- Y*(z),
и тогда такая оценка окажется возможной.

Глава VIII
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ
8.1. Бесселевы функции с большим индексом
Предметом этой главы будет изучение некоторых общих свойств бес-
бесселевых функций, включая приближенные формулы, полные асимптотические
разложения и различные неравенства, связанные с бесселевыми функциями;
хотя в основном будут рассматриваться функции с большими индексами,
результаты могут оказаться справедливыми также и для функций с любыми
положительными индексами.
Сначала мы получим чисто формальные результаты, относящиеся к фор-
формуле Карлини (§ 1.4). Затем с помощью «принципа стационарной фазы»
Кельвина*) получим несколько асимптотических разложений и, наконец,
изучим контурные интегралы, найденные Дебаем2); последние мы применим,
во-первых, для получения асимптотических разложений в случае веществен-
вещественных переменных, во-вторых, для вывода многочисленных неравенств различ-
различной степени важности и, в-третьих, для получения асимптотических разло-
разложений бесселевых функций от комплексного аргумента и с комплексным
индексом.
При исследовании функции /v (х) с положительными v и х мы обнару-
обнаружим, что рассматриваемые проблемы следует разделить на три категории,,
смотря по тому, какова величина отношения x/v, — меньше ли она единицы,
равна или больше единицы. Соответствующее разделение необходимо произ-
произвести и в теоремах, относящихся к комплексным переменным.
Легко построить асимптотическое разложение для Л (z) в случае, когда v велико,
a z фиксировано.
Применяя теорему Стирлинга к разложению из § 3.1, мы, очевидно, получим:
+ у) In»}
где Cq =r l/]/2rc; этот результат отметил Хорн (Horn), Math. Ann., LII A899), стр. 359.
[Замечание. Физические приложения асимптотических формул для функций
с большими индексами можно найти у нижеследующих авторов: Макдональд (М а с d o-
nald), Proc. Royal Soc, LXXI A9ЭЗ), стр. 251—258; LXXH A904), стр. 59—68; XG. A
A914), стр. 50—61; Phil. Trans, of the Royal Soc, GXX. A A910), стр. 113—144; Де-
бай (D e b у e), Ann. der Physik und Chemie, D), XXX A909), стр. 57—136; Mapx (Marc h),
Ann. der Physik und Chemie, D), XXXVII A912), стр. 29—50; Рыбчинский (R у b с z у 'n s k i)r
Ann. der Physik und Chemie, D) XLI A913), стр. 191—208; Никольсон (Nicholson)
Phil. Mag. F), XIX A910), стр. 516—537; Лав (Love), Phil. Trans, of th? Royal Soc,
CGXV, A A915), стр. 105—131; Ватсон (Watson), Proc Royal Soc, XGV, A A918),
стр. 83—99, 546—563. Все цитированные выше работы относятся к задаче о распро-
распространении электрических волн над поверхностью земли и в основном имеют целью
привести в согласие теоретические и практические результаты].
1) Kelvin, Phil. Mag., E), XXIII A887), стр. 252—255. [Math, and Phys. Papers,
IV A910), стр. 303—306.j См. об этом принципе Stokes Trans. Camb. Phil. Soc. y
IX A856), стр. 175, сноска. [Math., and Phys. Papers., II A833), стр. 341.]
2) Deb ye, Math. Ann., LXVII A909), стр. 535—558; Munchener Sitzungsbe-
richte, XL E), A910).

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ 253
8.11. Первое обобщение формулы Карлини, данное Мейсселем
Первым членом асимптотического разложения бесселевой функции с боль-
большим индексом является приближение (§ 1.4), полученное Карлини; последую-
последующие члены разложения вычислил Мейссель (Meissel), Astr Nach., CXXIX,
A892), столбцы 281—284; ниже приводится его способ.
Уравнение Бесселя можно, очевидно, переписать в виде
определяя функцию и (z) с помощью уравнения
Л ( у*) = г (v V+ ц ехР { j и (*) dz } ,
можно преобразовать уравнение A) в
B) z2 [u'(z) + {" (z)}2) + zu(z) — v2(l— z2) = 0.
Если теперь предположить, что, для больших значений v, a (z) разложима
в ряд по убывающим степеням v, т. е.
где и0, uv и2, й8,...—функции от 2, не зависящие от v, то после подста-
подстановки выражения для и (z) в B) и приравнивания нулю коэффициентов при
различных степенях v в левой части находим:
4z+
6 8A — ^4 > -4 128A—;
_ 16г + 368гЗ + 924*5 + 374^7 -f 13^9
Ub 32A—^2O
Отсюда после интегрирования получим (ср. § 1.4):
1 / 2 + 3г2 ч\ 1 4^2 + ^ 1
24v) A—^2K/2 / ' 16>2A— ^2K ~Г
16 —1512^2 —3 654^ — 375^6 .A i 32^2 + 288^+ 232^+ 13^8
1Ь|Г
A—^2)9/2
Таким образом, мы приходим к формуле Мейсселя
C) Уу (vz) = M-exp{v/T^;.exp(-KQ

254 глава viii
где
мл V 1 f
A—^2K/2
— 3654^ — 375^ \ 32,2*+ 288** +232*»+ 13*8 ,
lb 128v*(l —zzf "Г • • • •
Из § 8.4 станет ясным, что выражение для Vv является суммой четырех
главных членов асимптотического разложения, заведомо справедливого, когда
Z лежит между 0 и 1, a v велико.
Граф и Гублер г) утверждают, что первое приближение, получаемое из C), а именно
принадлежит Дюамелю; однако, поиски этой формулы в сочинениях Дюамеля не были
успешными, и даже если эта формула была найдена Дюамелем, то во всяком случае
Карлини сделал свое открытие раньше.
Замечание. Читатель заметит, что C) может быть записано также в виде
E)
где
F) lFv
cth9 a A6 — 1 512 sch2 a — 3654 sch* a — 375 sch^ a) -
— 71F7 C2 sch2 a -f- 288 sch* a + 232 sett* a + 13 sen* a) -f ... .
8.12. Второе разложение Мейсселя
С помощью разложения, полученного в § 8.11, очевидно, нельзя пред-
представить 7V (v2), когда z вещественно и больше единицы; для таких значений
Z Мейссель2) получил два формальных решения уравнения Бесселя; если
положить 2 = sec p, то, как заметит читатель, несколько видоизменяя § 8.11 E),
эти решения можно записать в виде
где3)
_ ^!1 C2 sec2 р + 288 sec4 р + 232 sec6 р + 13 sec8 p) +
_|_ 1^1 G68 sec2 р + 41 280 sec4 р + 14 884 sec6 р + 17 493 sec8 p -+
242 sec10 р + 103 sec12 р) + ...,
!) Graf und Н u b 1 е г, Einleitung in die Theorie der Bessel'schen Funktionen, I,
(Bern, 1898), стр. 102.
2) Meissel, Astr. Nach., CXXX A892), столбцы 363—368.
3) Читатель заметит, что приближение было получено двумя ступенями дальше,
чем в соответствующих рассуждениях § 8.11.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ 255
B) Qv==v(tg:p_^)_c-g!B + 3sec^) —
6—1 512 sec2 j} — 3654 sec4 [5 — 375 sec6 [5) —
— qoo *zn r B56 + 78 720 sec2 |5 + 1 891 200 sec4 В + 4 744 640 sec6 8 +
o2i2i ooUv*^
+ 1 914 210 sec8 p 4-67 599 sec10 P) 4-
Чтобы выразить Js (v sec ji) с помощью этих разложений, мы будем счи-
1
тать В стремящимся к -^-тт и сравним полученные этим путем результаты
с разложениями типа Ханкеля, данными в § 7.21; мы обнаруживаем, что
При [} —* — 7Т
Р, —0, Qv-v(^sec[5 —-i
откуда
C)
D) //?>(vsec $)=У ^Р .e-^-'Q^+T".
Таким образом,
E) А
F) Y.
где Pv и Qv определяются по A) и B). Ниже (§ 8.41) мы увидим, что эти
формулы в действительности являются асимптотическими разложениями для
7v(vsec[5) и Kv(vsecP), когда v велико, а р — какой-нибудь данный острый
угол.
Формулы, справедливые для малых значений [5, т. е. асимптотические
разложения для J^(z) и Kv (z), имеющие место, когда z и v велики и примерно
равны друг другу, не могут быть легко получены с помощью этого метода;
однако, из § 8.2 будет видно, что для таких значений переменных можно
получить хорошие приближения, пользуясь обобщением бесселевого интеграла,
данным Шлефли.
Замечание. Главные члены в разложениях E) и F), которые можно записать
в виде
G) Л
где
Qv -v. Yx2 — v2 — vie -f- v arc sin (v/jc),
за два года до опубликования работы Мейсселя были получены Лоренцом в его ме-
муаре по физической оптике (L о г е п z), К* Danske Vtdenskabernes Selskabs Skrifter
F) , VI A890). [Oeuvres Scientifiques, I A898), стр. 421—436.1

256 ГЛАВА VIII
Лоренц, основываясь на результатах, изложенных в § 7.51, допускал, что
2 2li v2~T , 1-з(~Т) ' Г"~Т
М-, •*- —- 1+-7Г • —13 Го-г :
....]
1 i —
±
а затем использовал точное равенство
(которое легко выводится из формулы § 3.63 A)) для доказательства того, что
00
отсюда требуемое приближение для <?v следует без затруднений.
Дальнейшие изыскания в направлении, указанном Лоренцом, проводили Макдо-
нальд (Macdonald), Phil, Trans, of the Royal Soc, GGX. A A910), стр. 131—144 и
Никольсон (Nicholson,) Phil. Mag., F), XIV A907), стр. 697—707; F) XIX A910),
стр. 228—249; 516—537; Proc. London Math. Soc.t B) IX A911), стр. 67—80; B) XI
A913), стр. 104—126. Результат, касающийся разности Qv+i — Q-*, находящийся в близ-
близкой связи с (8), опубликовал Лодж (A. Lodge), British Association Report, 1906,
стр. 494—498.
8.2. Принцип стационарной фазы. Бесселевы функции с индексом,
равным аргументу
Принцип стационарной фазы был сформулирован Кельвином1) в связи с
одной задачей гидродинамики, хотя этот принцип можно найти в некоторых
работах Стокса2) об интеграле Эйри (§ 6.4) и интеграле Парсеваля (§ 2.2),
написанных ранее, а также в посмертной работе Римана3).
Задача, предложенная Кельвином, заключалась в отыскании приближенного вы-
выражения для интеграла
1 Г
и~2к )
COS
о
выражающего для точки (х, t) эффект мгновенного возмущения, произведенного в
точке @,0), причем f (т) — скорость распространения двумерных волн в воде, соот-
соответствующая длине волны 2к//к. Принцип интерференции, изложенный Стоксом и Рэ-
леем в их труде о фазовой групповой скорости, навел Кельвина на мысль, что для
больших значений х — tf(m) часть интеграла, приходящаяся на внешнюю часть про-
промежутка (р — a, jjl -\- а) значений т, оказывается благодаря интерференции незначи-
незначительной, если jjl есть значение (или значения) т такое, что
? И*-
а) можн
нно,
—р)—-1*{ц/" 00+ 2/'00} (да —
Далее, в интервале (ц — a, jjl -f- а) можно заменить выражение т{х — tf(m)} тремя
первыми членами ряда Тейлора, а именно,
^Kelvin, Phil. Mag. E), XXIII A887), стр. 252—255. [Math. and. Phys. Papers,
IV A910), стр. 303—306.]
2) Stokes, Camb. Phil. Trans., IX A856), стр. 175, 183. [Math, and Phys. Papers»
II A883), стр. 341, 351.]
3) Riemann, Ges. Math. Werke (Leipzig, 1876), стр. 400—406,

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ 257
после чего находим, что1) при
т— р = , ¦ —,
V
имеет место соотношение
В последнем интеграле пределы для а, которые оказываются большими, даже если
а мало, были заменены на — оо и + оо.
Суть принципа Кельвина, как это можно усмотреть из предшествующих рас-
рассуждений, состоит в том, что в интеграле от быстро осциллирующей функции
главная часть интеграла получается от того участка области интегрирования,
вблизи которого фаза тригонометрической функции, содержащейся в подинтеграль-
ном выражении, стационарна2).
Впоследствии было обнаружено3), что можно дать строгое доказательство
принципа Кельвина для широкого класса осциллирующих функций; для этого было
использовано обобщение интегральной формулы Дирихле, данное Бромвичем4).
Теорема Бромвича в форме, отвечающей требованиям приложения ее
к бесселевым функциям, формулируется следующим образом:
Пусть F (х) — функция от х с ограниченным полным изменением при
х^О; пусть у — функция от v такая, что vy—*оо, когда v—*оо. Тогда,
если — 1 <^ jx <М, то при v —* оо
7 оо
v** \ x*-lF (x) sinvx-dx—+F(-\-O) ] ^-1 sin t-dt = F(-\-O)T (jjl) sin ^ jxtt;
о о
и если 0 <^ jx <^ 1, то синусы всюду могут быть заменены косинусами.
Рассмотренный только что метод мы сейчас используем для получения
асимптотической формулы для /v (v) при большом положительном v* Эта фор-
формула, найденная Коши5), имеет вид
A) Л(>)^ 2 11-
23 # 3® irv3
Сравнительно недавно эту формулу с помощью принципа стационарной фазы
исследовали Никольсон (Ni ch о 1 s on), Phil. Mag., F) XVI A909), стр. 276—277 и
Рэлей (Rayleigh), Phil. Mag., F), XX A910), стр. 1001—1004 [Scientific Papers,
V A912), стр. 617—620]; см. также Ватсон (Watson), Proc. Camb. Phil. Soc, XIX
A918), стр. 42—48.
Из § 6.2 D) вытекает, что
тс оо
Л (v) = ~ \ cos {v<6—sin 6)} db — S^P \
!) Эта подстановка соответствует случаю, когда т\х — tf (m)\ имеет минимум
при m = \i; в случае максимума знак подкоренного выражения должен быть изменен.
2) Тщательное исследование обнаруживает следы использования этого принципа
в работе Коши. См., напр., уравнение A19) в примечании 16 его Theorie de la propa-
propagation des Ondes, законченной в сентябре 1815 г., Мёт. presentes par divers sa-
savants, I. A827) [Oeuvres, A), I A882), стр. 230].
3) Watson, Proc. Camb. Phil. Soc, XIX A918), стр. 49—55.
*) Bromwich, Theory of Infinite Series, § 174. [См. Добавление 2.]
б) Cauchy, Comptes Rendus, XXXVIII A854), стр. 993. [Oeuvres, A) XII A900),
стр. 663.] Доказательство с помощью метода Коши будет дано в § 8.21.

258 глава viii
и очевидно, что
о
Отсюда
ГС
I (v) = ~ j cos {v F — sin 6)} <*0 + О {1/v).
о
Теперь пусть ср = в— sin 6; тогда
Но
lim
1-COS0— 62'3'
2
и есла <Р3/О—cos8) — функция с ограниченным изменением а интервале
(О, тг), то из теоремы Бромвича следует, что
Г cos у? d ^ _2_ Г -
J 1 — COS 9 ^ fi2'3 J
J
О
откуда и вытекает A).
2
Нам осталось доказать еще, что <р3/A — cos б) есть функция с ограниченным
изменением; чтобы установить это, заметим, что
_
d [ у3 }
|i —coser 3A —cosep )»
^ (в) = A — cos 6J/A -f cos в) ^ О,
так что
откуда после интегрирования получаем, что ^(9)^0, если только 0^9^я. Следо-
2_
вательно ^3 /A — cos б) монотонна и, очевидно, ограничена. Тем самым нужный резуль-
результат доказан.
При помощи интегрирования по частямг) можно получить следующее
приближение:
гD) з1г
B) ЛМ= L ? L L \_
23 ' 36 ' nv3 23 ' 140лу3
i) Cm. W a t s о n, Proc. Camb. Phil. Soc, XIX A918), стр. 42—48.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ 259
можно также доказать, что
(а) Л (v) = 31/3Г^з + ° (v~2/3)'
сюда же относится формула
D) Kv(v) -
Асимптотические разложения, главные члены которых даны в вышепри-
вышеприведенных формулах, будут изучаться в § 8.42 с использованием более мощ-
мощного аналитического аппарата.
8.21. Третье разложение Мейсселя
Только что рассмотренный интеграл был использован Коши2) и Мейс-
селем2) для получения формальных асимптотических разложений для Jn (n),
когда п — большое целое число. Сейчас мы покажем, как это разложение
получил Коши и (в более полной форме) Мейссель; теоретическое обоснова-
обоснование будет дано в § 8.42.
Возьмем формулу
Jn (я) = I- j cos {n F — sin 6)}.
и положим 6 — sinO = -7r-?3; тогда, для достаточно малых значений ?, получим:
m=0
1 _i i _1 i _ ! ! 43
^¦0 » 1 fin » 2
1400' 3 25200' 4 17 248 000'
1213
Л5 7 207 200 000
Следовательно,
1
тс
При большом п, ^- nt% становится больше верхнего предела, и, как выводит
Мейссель,
1 ^
ТС ^^
т—О
1) Cauchy, Comptes Rendus, XXXVIIIA854), стр. 990—993, 1104—1107.
A), XII A900), стр. 161—164, 167—170.]
2) Meissel, Astr. Nach., CXXVIIA891), столбцы 359—362, GXXVIII A891), столб-
столбцы 145—154. Относительно формулы A) Мейссель утверждает: «Schon vor dreissig
Jahren war ich zu folglenden Formel gelangt» («Еще тридцать лет тому назад я полу-
получил следующую формулу»).

260 ГЛАВА VIII
где G — знак, указывающий на «обобщенный интеграл» (§ 6.4); отсюда,
интегрируя почленно и применяя формулу Эйлера, Мейссель получает
172=0
Мейссель, кроме того, дал приближенное выражение для \т при большом т\ это
выражение указывает на расходящийся характер разложения A).
Упомянутое приближение для \т можно получить с помощью теории, развитой
в мемуаре Дарбу (Darboux), Sur Г approximation des fonctions de tres grands nombres,
Journal de Math, C), IV A878), стр. 5—56, 377—416.
Будем рассматривать 0 как функцию от t и исследуем ее особенности; этими осо-
особенностями (функция 0 не является моногеннрй) являются точки, в которых в = 2гя
и t= A2псK , где г = zt I, z? 2, z? 3, ...; вблизи1) t = zt A2irK главные члены
разложения для 0 имеют вид
—Ц- V #
A2*)*"'
По теории Дарбу, приближенное значение для \т равно сумме коэффициентов
при t2m+1 в разложениях двух функций, содержащихся в последней формуле, т. е.
2ГB/я+4
V з
откуда, по формуле Стирлинга,
B) \т^-
Это и есть приближение Мейсселя; приближения такого же вида получил Каши
(С au ch у), loc. city стр. 1106.
8.22. Приложение принципа Кельвина к функции Jv(vsecfi)
Принцип стационарной фазы был применен Рэлеем2) для получения асим-
асимптотической формулы для /v(vsecf5), где [5 — фиксированный положительный
острый угол, a v велико3).
Как и в § 8.2, мы имеем:
к
yv(v sec E) = i J cos {v F — sec 0 sin 6)}^9 + О A/v);
о
здесь 6 — sec p sin 6 стационарно (принимает наименьшее значение) при 6 = [}.
Положим 6 — sec [5 sin 6 = [5 — tg* p —|— ср; при увеличении 6 от 0 до [5, ср
будет умет!ьшаться, а при увеличении 6 от [5 до тг — увеличиваться.
х) Эти особенности будут ближайшими к началу координат.
2) Ray lei gh. Phil. Mag. F), XX A910), стр. 1004. [Scientific Papers, V A912),
стр. 620.]
Ц Си. также Macdonald, PML Trans, of the Royal Soc, CCX, A A910),
стр. 131-144 и Proc. Royal Soc, LXXI A903), стр. 251—258; LXXIIA904), стр.59—68.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ 261
Тогда
к 0 KP-ftgP
J cos {v F— seep sin 6)} <Я=\ f + f COSK? + P —
0 LgP-P 0 J
Отсюда, если у1'2 -г- имеет в сегменте О^б^тт ограниченное полное
изменение, то, по теореме Бромвича, получаем:
к оо
Г cos {v F — sec р sin 6)} d6 — 2 J cos {v (cp + p — tg p)}
и, таким образом,
cos|v(tgp _р)_1я|
A) Л (v seep)
i4^i
Формула
sin{v(tgp — p) — -i-тс}
B) rv(vsecP)->
выводится из § 6.21 A) аналогичным образом.
Читатель заметит, что полученные выше выражения представляют собой
главные члены в разложениях Мейсселя § 8.12 E), F).
Чтобы закончить строгое доказательство этих формул, нам осталось показать,
что y2(dbldy) есть функция с ограниченным изменением.
Действительно, квадрат этой функции, который мы обозначим через 2
е —seegsine
A — secpcos6J v h
и
., ,m cos p cosec 6 A — sec p cos QJ — 2 F — sec ft sin Q — p -f- tg ft)
I™ cosp cosec6A — seep cos 0K
Числитель этой дроби, который мы обозначим через &@), имеет производную
— cos p cos в cosec2 в A — sec p cos вJ,
так что k(b) монотонно убывает при возрастании в от 0 до —л» -3 затем монотонно
2,
возрастает при возрастании 0 от —тс до тс; поскольку ^(в) = 0 при 0 = р<— тс,
А А
то h' @) ^ 0 при 0 ^ б ^ р, и /г' @) в интервале р ^ 0 ^ тс один раз меняет знак (с от-
отрицательного на положительный).
Отсюда | У Л @) | есть монотонная (и убывающая) функция при 0 ^ 0 ^ р, имеющая
одну стационарную точку (минимум) в интервале р < 0 < тс; так как функция \Уh @) |
ограничена и непрерывна при 0 ^ 0 ^ тс, то она имеет ограниченное изменение при
0^0^тс, что и требовалось доказать.

262 ГЛАВА VIII
8.3. Метод перевала
Так называемый метод перевала1), являющийся развитием теории контур-
контурного интегрирования, был применен Дебаем2) для получения интегральных
представлений бесселевых функций с большим индексом, из которых легко
получить асимптотические разложения. Если мы вообще рассматриваем
интеграл
в котором |v| предполагается большим, то контур интегрирования выбирается
так, чтобы он проходил через точку wOj в которой f (w) исчезает; в осталь-
остальном же он определяется из условия, что мнимая часть функции f(w) на нем
постоянна. Таким образом, уравнение контура может быть записано в виде
/f(w)=/f(w0).
Чтобы получить геометрическую характеристику контура, положим w = и -\- iv4
где и и v вещественны, и построим поверхность, координаты точек которой
определяются величинами
и, vy Rf(w).
Если Rf(w) = z и если считать ось z вертикальной, то такая поверхность
не будет иметь абсолютных максимумов, за исключением тех случаев, когда
f{w) перестает быть моногенной; действительно, во всех остальных точках
Точки [иОу v0, Rf(wQ)] являются седловыми точками или перевалами и, таким
образом, контур интегрирования есть проекция кривой, лежащей на поверх-
поверхности и проходящей через один из перевалов. Эта кривая обладает следую-
следующим свойством, которое можно вывести, пользуясь уравнением контура: так
как модуль скорости изменения функции f(w), в силу ее моногенности, коне-
конечен, и поскольку If(w) не меняется, когда w пробегает контур, то отсюда
вытекает, что Rf(w) должна меняться с наибольшей скоростью; другими
словами, рассматриваемая кривая характеризуется тем, что ее направление
в любой точке выбрано так, что она является кривой самого крутого спуска
среди всех кривых, проходящих через данную точку поверхности.
Может оказаться, что имеется несколько точек перевала и несколько
проходящих через них контуров; тогда наш выбор будет определяться тем
соображением, что кривая должна опускаться по обе стороны перевала, так
как если бы кривая поднималась, то Rf(w) стремилась бы к -f- oo (исключая
некоторые специальные случаи) при удалении w от точки перевала, и тогда
интеграл расходился бы при /?(v)^>0.
Далее, контур должен быть выбран3) с тем условием, чтобы под-
интегральное выражение осциллировало на нем не слишком быстро,
!) Английское: «Method of steepest descents», французское: «Methode du Gob,
немецкое: «Methode der Sattelpunkte».
2) Deb ye, Math. Ann., LXVII A909), стр. 535—558; Munchener Sitzungsbericht\
XL[5] A910). Этот метод восходит к посмертному мемуару Римана (Riemann), Werke,
стр. 405; недавно его стали применять для получения асимптотических разложений
различных функций.
3) Перечень исследований, в которых в качестве контура интегрирования выбрана
вещественная ось, см. на стр. 1343—1350 статьи Буркхардта в Encyclopudie der Math.
Wiss., II, 1 A916).

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ 263
и тогда можно ожидать, что приближенное значение интеграла будет опре-
определяться поведением подинтегрального выражения вблизи точки перевала;
с физической точки зрения, мы избежали интерференционных явлений (ср.
§ 8.2), которые встретились бы нам при любом другом выборе контура.
Способ получения асимптотических разложений из рассматриваемого
интеграла станет ясным при изучении специальных функций в §§ 8.4—8.43,
8.6, 8.61. Однако здесь будет целесообразно привести одну лемму1); она
дальше пригодится нам при доказательстве того, что найденные разложения
будут асимптотическими в смысле Пуанкаре.
Лемма. Пусть функция F(z) будет аналитической при \х\^.а-\-Ь,
где я^>0, §^>0, и пусть
00
при | т | ^ а, причем г положительно; пусть, далее, \ F (т) [ <^ Kebr, где К
и Ь — положительные числа, не зависящие от т, когда г положительно
и х^а. Тогда асимптотическое разложение
°9 00
о т~1
справедливо в смысле Пуанкаре при достаточно большом | v | и
\
где Д — произвольное положительное число.
Если М—какое-нибудь фиксированное целое число, то, очевидно, можно
подобрать такую постоянную Кх, что
м-\
- S <
если только т^= 0, независимо от того, т^а или т^а; следовательно,
где
\
о
= КгТ {Mjr)l\R (v)
при условии, что R(v)^>by что будет иметь место при | v[ ^> Ьcosec Д. Рас-
Рассуждение остается верным также и тогда, когда Ь есть функция от v такая,
что /?(v) — Ь не слишком мало по сравнению с v. Мы, таким образом, дока-
доказали, что
О
тем самым лемма установлена.
Ср. Watson., Proc. London Math. Soc. B), XVII A918), стр. 133.

264 ГЛАВА VIII
8.31. Построение контуров1) Дебая в случае вещественных
переменных
В §§ 6.2, 6.21 было показано, что различные типы функций, связанных
с 7V (х), могут быть представлены интегралами вида
взятыми по специально выбранным контурам. Предполагая, что v и х поло-
положительны, мы сейчас займемся вопросом о том, принадлежат ли какие-нибудь
из контуров, пригодных для метода перевала, к типам, рассмотренным
в §§ 6.2, 6.21.
В согласии с принципами метода перевала, мы, как это было выяснено
в § 8.3, должны прежде всего найти стационарные точки выражения
рассматриваемого как функция от w, т. е. должны решить уравнение
A) xchw — v=0;
нгсри этом сразу видно, что придется исследовать три различных случая,
соответственно тому, будет ли частное дг/v меньше, равно или больше еди-
единицы. Мы рассмотрим эти случаи поочередно.
(I) Пусть at/v<M; можно подобрать положительное число а такое, что
B) Ar = vscha,
и тогда общим решением уравнения A) будет
w =±= + а -\- 2пт.
Достаточно будет рассмотреть стационарные точки2) Ч^а; в этих точках
мнимая часть выражения xshw — vw равна нулю и, таким образом, уравне-
уравнение контура, которое необходимо исследовать, будет иметь вид
/ (х sh w — yw) = 0.
Положим w = u-\-iv> где иу v вещественны; тогда уравнение примет вид
ch и sin v — v ch а = 0,
и, таким образом, либо ^=0, либо
C) chu—— .
v ' sine/
Контур v = 0 дает расходящийся интеграл. Поэтому остановимся на кон-
контуре, который определяется уравнением C). Значениям v между 0 и тт будут
соответствовать пары значений и, равных друг другу, но противоположных
по знаку; с возрастанием v от 0 до тг положительная величина и монотонно
возрастает от а до —[— оо. Уравнение не меняет своего вида при перемене
знака у v, так что контур оказывается симметричным относительно осей;
часть контура между v = — тг и v = n изображена на фиг. 16.
Если
т= sha — acha — (sh -re; — wcha),
x) Контуры, рассматриваемые в этом параграфе, были изучены Дебаем в более
ранней его работе (Debye), Math. Ann., LXVII A909), стр. 535—558, с той разницей,
что их ориентации были противоположны', ср. § 6.21.
2) Иной выбор стационарных точек приведет к перемещению контура парал-
параллельно мнимой оси.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ
265
то легко проверить, что т (вещественное вдоль кривых, изображенных на
рисунке) увеличивается в направлениях, показанных стрелками.
Когда w пробегает контур от оо—т до оо-|-тг/, т уменьшается от
—|— оо до 0, а затем увеличивается до 4"°°» и так как» по § 6.2 C),
00 -f~ М
со — ni
то отсюда можно вывести заключение о поведении J^(x) при больших х и v
в случае a:/v<^1. Подробное исследование этого интеграла будет дано ниже*
в §§ 8.4, 8.5.
Рассматривая части контура
от —оо до оо + тг/, можно получить
следствия, относящиеся ко второму
решению уравнения Бесселя; однако,
эта задача усложняется явлением
Стокса, благодаря наличию на кон-
контуре двух стационарных точек.
(II) Пусть a:/v^>1; тогда можно
подобрать положительный острый
угол [5 такой, что
D) x = vsec?;
7Ti
о
-т
Фиг. 16
интересующие нас стационарные точки, которые в данном случае являются
корнями уравнения
zhw — cos p = 0,
будут
Стационарной точке /[} соответствует контур
I (shw — wcos jj) = sin p — [5 cos [$,
так что, заменяя w на u-\-ivy получаем уравнение контура в виде
— p) cos p
E)
chu =:
sint/
Для значений v, лежащих между 0 и тг, функция
sin (S -f- (v — Р) cos p — sin v
имеет минимум (v=§), в котором значение функции равно нулю; для осталь-
остальных значений v между 0 и тг
sin р -[- (v — Р) cos Р > sin <r;-
Таким образом, для значений v, лежащих между 0 и тг, уравнение E)
дает два вещественных значения и (равных и противоположных по знаку),
которые совпадают только в случае v= [} и которые становятся бесконечными,
когда v равно 0 или тг.
Кривые, определяемые уравнением E), изображены на верхней половине
фиг. 17; полагая
т = / (sin р — E cos Р) — (sh w — w cos [J),
легко проверить, что т (которое остается вдоль кривых вещественным) уве-
увеличивается в направлениях, указанных стрелками. Когда w пробегает контур

266
ГЛАВА VIII
от —сю до сю-Ц-тг/, т уменьшается от -f-сю до 0, а затем увеличивается
до —[— оо; мы получаем, таким образом, кривую, из рассмотрения которой
[§ 6.21 D)] можно вывести заключение о поведении Мг)(х) при больших х
и v в случае a:/v^>1. Подробное исследование интеграла будет дано
в § 8.41, 15.8.
Если бы мы рассматривали стационарную точку — гр, то получили бы кри-
кривые, изображенные на нижней половине фиг. 17, и кривая, идущая из —оо
в оо—тг/, давала бы интеграл, связанный с И\\х); в § 8.41 мы рассмотрим
и этот случай. Оба полученных интеграла образуют фундаментальную систему
решений уравнения Бесселя, так что между случаем at/v<^1 и случаем лг/У>1
имеется существенное различие.
Фиг. 17
Фиг. 18
(III) Случай v = at можно получить как предельный случай из (I) или
из (II), полагая а или [J равными 0. Кривые, которые должны быть рассмот-
рассмотрены при этом, суть t/ = 0 и
F)
как это изображено на фиг. 18.
Мы судим о поведении функций Н^\ч) и //J2)(v), изучая кривые от — оо
до оо + тг/, тогда как заключение о поведении функции 7V (v) выводится из
изучения кривой, идущей из оо—тг/ в сю-[-я/. Подробное исследование
этого случая будет дано в §§ 8.42, 8.53, 8.54.
8.32. Геометрические свойства контуров Дебая
Интересный результат, который играет большую роль при изучении корней бес-
бесселевых функций (§ 15.8) и, кроме того, используется в доказательстве некоторых
асимптотических формул (устанавливаемых в § 8.43), связан со вторым из трех только
что рассмотренных контуров (фиг. 17 из § 8.31). Теорема, о которой идет речь,
состоит в том, что крутизна1) ветви, идущей из — оо в оо -{- я/, положительна и не
превышает Т^З.
Очевидно, что для рассматриваемой кривой
и du sin (v —
Sh U—- = !
dv
-(v — P) cos v cos
sin2 v
Ho sin (v — p) sec v — (v — p) cos p имеет положительную производную cos p tg2t/,
откуда вытекает, что
sin (v — P) — (v — p) cos v cos p
!) Watson, Proc. Camb. Phil. Soc, XIX A918), стр. 105. Поскольку в предельном
случае (фиг. 18), когда р = 0, крутизна равна 0 слева от начала и У~3 справа от на-
начала, этот результат нельзя улучшить.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ 267
имеет тот же знак1), что и v — р. Таким образом, поскольку для исследуемой кривой
значения v—р и и либо оба положительны, либо оба отрицательны, — положи-
положительна.
Для доказательства того, что — не превышает УЗ, положим
. sin р + (v — Р) cos р.
4>(v) = : ,
TV 7 Sin t/
после этого достаточно будет доказать, что
Зф'2 (V) __ ф2 (tr) _f- 1 ^ 0.
Выражение в левой части (обращающееся в нуль при v = р) имеет своей произ-
производной
\v — P) J sin2 v -f- 3 cos2 v\ cos p -f- sin- v sin p — 3 cos v sin (v — p)J.
Но выражение
sin2 v sin p — 3 cos v sin (v — P)
4 sin4 v cos P
имеет положительную производную -р-^—-j-g—~-, и поскольку оно положительно
при t/ = 0, оно остается положительным также при 0 < v < тс. Поэтому из того,
что ф' (v) имеет тот же знак, что и v — р, вытекает, что
2ф' (v) [З^И —
имеет тот же знак, что и v — р и, следовательно, выражение
имеет у==р своим единственным минимумом между »==0 и t? = ic. Таким образом
этот минимум не отрицателен. Это и доказывает требуемый результат.
8.4. Асимптотическое разложение2) для /v(vscha)
Из результатов, установленных в § 8.31, мы сейчас получим асимптотиче-
асимптотическое разложение для функции первого рода в случае, когда аргумент меньше
индекса, причем как аргумент, так и индекс — большие и положительные.
Мы сохраним обозначения §8.31 (I); очевидно, что для каждого поло-
положительного значения т можно найти два значения w, которые мы будем обо-
обозначать через wt и w2; wl и w2 отличаются только знаком мнимой части,
и мы предположим, что
/(«,)> 0, /(<»,)< 0.
Тогда мы получим:
о
где л; —vscha.
Далее мы рассмотрим разложения wx и w2 по возрастающим степеням т.
1ак как т и —— исчезают при w = a, то разложение т по степеням w — а
Л) Это очевидно из рисунка.
2) Асимптотическое разложение, описанное в этом параграфе, а также в §§ 8.41,
8,42, было установлено Дебаем (D е Ь у е), Math. Ann., LXV11 A909), стр, 535—558.

268
ГЛАВА VIII
начинается членом с (w — аJ; обращая его, мы получим разложения вида
ОО , 00
а„
wo
и, по теореме Лагранжа, эти разложения имеют место для достаточно малых
значений |т|. При этом
1 С f dw-i\ dx 1 Г dw
Двойной контур в т-плоскости необходим для того, чтобы избавиться от
дробных степеней т; простой контур вокруг а в «ш-п лоск ости будет соот-
соответствовать двойному контуру, описанному вокруг начала координат в т-пло-
т-плоскости. Из последнего контурного интеграла следует, что ат является коэф-
- 1// Ч -4AЯ+1)
фициентом при \j(w — а) в разложении т г по возрастающим степеням
w — а; это дает возможность подсчета коэффициентов ат.
Обозначая w — а через W, имеем:
где Cq = к- sh а, сг= ^- ch а, с2 = — — sh а, ... . Поэтому а является
коэффициентом при Wm в разложении для {co-\-c1W-\-c2W2-\- .. .} 2
Будем обозначать коэффициенты разложения через aQ (m), «x (m),
а2{т), ...; таким образом, мы будем иметь:
A)
\ 2-1!
2-1!
c* i
\ 2-1! c0
c4
23-3!
22-2!
22-2!
22-2!
23.3!
2<M!
4)

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ
269
Подставляя соответствующие значения т, находим:
B)
Actha-Acth3 a},
Далее,
при условии, что |т| достаточно мал, и поскольку
aw
= ch а — ch w.
то - Г~ стремится к нулю при т—^оо.
Таким образом, условия леммы § 8.3 выполнены, и при больном х
dx
имеет своим асимптотическим разложением
1 j
Из того, что argK?^ — а)/т2}—^тт при т—^0, следует, что фаза
коэффициента а0 в B) должна определяться условием argtfo = 7rTr, откуда
где
D)
Ло=1,
8 24
Формула C) дает асимптотическое разложение для 7V (v Sch а), справедливое
при любом фиксированном положительном числе а и большом положитель-
положительном V.

270 ГЛАВА VIII
Соответствующее разложение для функции второго рода, получающееся когда
контур выбран идущим из — w в оо± тс/, имеет вид
E) K,(v sch a)
yvtha)'
Отметим расположение особенностей производной —^-~ —, рассматри-
рассматриваемой как функция от т. Эти особенности соответствуют точкам, в кото-
которых w перестает быть моногенной функцией от т, т. е. тем точкам, где -^— исче-
зает. Таким образом, особенности соответствуют значениям + а~Ь/иг/ функ-
функции w; это такие точки, в которых
т = 2/ит/ ch а, т = 2 (sh a — a ch a) -\- 2nm ch a,
а п принимает все целые значения.
Легко вывести формулу для — в виде контурного интеграла. Пусть (w0, х0)—
пара соответствующих значений (w, т); тогда, по теореме Коши,
(то 4;) (»о+)
f dw\ 1 Г dw dx 1 Г dw
\dx Jo 2ш j dx x — x0 2ni J x — x0 y
причем контур не содержит точек (за исключением wQ), в которых т принимает значе-
значение х0.
8.41. Асимптотические разложения для /v(vsec{3) и Kv(vsec{3)
В § 8.4 мы получили асимптотическое разложение для бесселевой функ-
функции с большими значениями аргумента и индекса, у которой аргумент был
меньше индекса; сейчас мы найдем асимптотические разложения фундамен-
фундаментальной системы решений уравнения Бесселя для больших значений аргумента
и индекса, когда аргумент больше индекса.
Сохраним обозначения § 8.31 (II); очевидно, что для всякого положитель-
положительного т найдутся два значения w, лежащих на контуре, идущем из — сю
в оо-}-тг/; эти значения мы обозначим через wl и w2 и будем считать, что
Тогда
где A;:=vsec{$. Дальнейшие рассуждения проходят совершенно таким же
путем, как в §8.4, за исключением того, что а всюду заменяется на /?
и что берется бесселева функция третьего рода.
Мы, таким образом, находим, что

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ
271
Чтобы определить фазу коэффициента а0, т. е. фазу выражения
( — - / sin p ] , заметим, что arg {{wt — /{3)/т
яо=:И /|/ysin ($.
Следовательно,
~тп ПРИ т—*0> так что
v/(tgP —P)— i«/
A) //(D(vsecp)
Подобным же образом, выбрав в качестве контура зеркальное отражение
предыдущего контура относительно вещественной оси ^-плоскости, нахо-
находим, что
B)
-v/(t*p-P)+I«/
е
В эти формулы, справедливые при условии, что [} — фиксированный поло-
положительный острый угол, a v — большое положительное число, мы должны
подставить
Объединяя A) и B), находим, что
D) Л (v seep)-
00 (— l)w Г 2/72
А
т=.О
E) Kv (v sec B)
г,±
_cos(vtgp — vp — I
m—0
r.l
Главными членами этих разложений являются члены, полученные с по-
помощью принципа стационарной фазы в § 8.21.

272 глава viii
8.42. Асимптотические разложения бесселевых функций,
порядок и индекс которых приблизительно равны
Формулы, которые были выведены в §§ 8.4, 8.41, очевидно, не дают
хороших приближений, если а (или E) мало, иными словами, если аргумент
и индекс рассматриваемой бесселевой функции приблизительно равны. Все же
в этом случае возможно пользоваться прежними методами нахождения асимптоти-
асимптотических разложений, причем оказывается, что предположение о том, что пере-
переменные z и v комплексны, не вносит никаких дополнительных затруднений.
В соответствии с этим мы будем рассматривать функции
где z и v — комплексные числа с большим модулем такие, что \z— v| неве-
невелик. Как это будет видно из дальнейшего, необходимо считать, что
i_
z — y = o(z3), так как именно при этом предположении далекие члены разло-
разложений оказываются малыми.
Мы положим
v = *(l—е),
и для удобства будем временно считать, что
Тогда
A) H[1)(z)=-r \ exp \z (sh w—w)~\-zsw\ dw,
— CO
причем соответствующий контур изображен на фиг. 18; на этом контуре shw — w
вещественно и отрицательно.
Положим
x — w — shw,
и обозначим через w1 и w2 значения w, соответствующие произвольному
значению т, причем w1 будет комплексным числом с положительной веще-
вещественной частью, a w2 — вещественным отрицательным числом.
Тогда мы будем иметь:
со
<2) tf(D (г) = 1 j е-" {exp (zsw,)^ - exp (zsw2) Щ dx.
О
Разложение т по степеням w начинается с члена, содержащего wB, и мы,
таким образом, получаем разложения вида
2 оо 1
Тт
т = О
т = 0
справедливые в случае, когда |т| достаточно мал.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ
273
Чтобы определить коэффициенты Ьт, заметим, что
@+, 0 +, 0 +)
exp (zeWi)
=_L f
1 бтс/ J
rfx
\{m + 1)
@+)
(w — sh
1(W + 1)
1
следовательно, Ът равно — е
Как и в аналогичном исследовании § 8.4, однократный контур в т-пло-
скости оказывается недостаточным, и, чтобы избавиться от дробных степе-
степеней т, необходим тройной контур; тройной контур, проведенный вокруг начала
координат, в т-шюскости будет соответствовать простому контуру в w пло-
плоскости.
~чт-по-
~чт-по, умноженному на коэффициент
при wn в разложении
exp (zsw) • {(sh w — w)lwB\ 3
Коэффициенты этого разложения мы обозначим через bo(m), bx(m)>
Ьг (ш), . . ., и, таким образом,
Легко показать, что
C)
60
2 , (
Для краткости мы будем писать
и, таким образом1),
!) Значения #0@), ^г(^)» •••» ^ю(^) были найдены Мейсселем (Meissel), Astr.
Nach., CXXVII A891), столбцы 359—362; за исключением вида использованных конту-
контуров, рассуждения Мейсселя (ср. § 8.21) по существу совпадают с приведенными в этом
параграфе. Методы контурного интегрирования используются с целью обхода труд-
трудностей, вызванных применением обобщенных интегралов.
Выражения В§(гг), B1{zz) и Bq(sz) можно найти у Эйри (A ire у), Phil. Mag., F)
XXXI A916), стр. 524.

274
ГЛАВА VIII
D)
Во (ег) = 1,
1
20'
-к*2*2
~^280
3 1 43
1 1
6 ТВcZ"
655 200 000
¦}
Таким образом, мы получим:
— т
т — 0
и ехр (^гетг;) • -^ удовлетворяет условиям леммы §8.3.
Применяя лемму § 8.3, получаем:
E)
и, аналогично,
-7Г Z
= о
Отсюда мы легко выводим:
G)
(8)
2 BM
+
^^ 0
(Н
Из формулы Коши — Мейсселя § 8.21 B) можно вывести заключение, что
для больших т
2
(9)
2
лт
однако простой формулы для Bm(sz), повидимому, не существует.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ 275
Главные члены в G) были получены Мейсселем в f(iel Programm*), 1892; некото-
некоторые аналогичные результаты, несколько напоминающие те, которые были установ-
установлены в § 8.43, получил Коппе в Berlin Programm2), 1899. Главные члены в (8), также
как и в G), были исследованы, кроме того, Никольсоном (Nicholson), Phil. Mag., F),
XVI A908), стр. 271—279, несколько ранее появления мемуара Дебая.
Выясним, каким образом может быть ослаблено условие largz |<^ -^тг,
наложенное при выводе формул E) — (8).
Особенностями подинтегрального выражения в B), рассматриваемого как
функция от т, будут те значения т, для которых wx (или w2) перестает быть
моногенной функцией от т, так что особенностями являются значения т, соот-
соответствующие тем значениям w, для которых
?-=<>•
dw
Таким образом, это будут точки
т = 2яш,
где п принимает все целые значения.
Отсюда вытекает, что контур можно повернуть (безразлично, в положи-
положительном или отрицательном направлении) на любой угол \ меньший прямого
угла, и получить аналитическое продолжение функций H^{z) и H^(z) за
пределы — -^- тг — 7j <^ arg z^—tz — rj. Придавая 7j подходящие значения, мы
найдем, таким образом, что разложения E) — (8) справедливы в расширен-
расширенной области
Если бы мы ограничились вещественными переменными, то обнаружили бы, что
решение задачи не совсем полно; мы нашли асимптотические разложения для J^(x),
справедливые при больших х и v, и если (i)x/v<l, (п)лг/у>1, (iii) | х — v| невелик
по сравнению с хъ. Однако существуют промежуточные области между (i) и (iii),
а также между (ii) и (iii), где дг/v приблизительно равно единице, тогда как | х — v |
велик. В этих промежуточных областях простых разложений (содержащих только
элементарные функции в каждом члене) не существует. Все же Никольсоном были
найдены важные асимптотические формулы, содержащие бесселевы функции с индек-
индексом it-Q-. Мы сейчас переходим к исследованию этих формул.
о
8.43. Асимптотические формулы для промежуточных
областей
Непригодность для промежуточных областей формул, данных в §§ 8.4—8.42,
заставила Никольсона3) исследовать вторые приближения для интеграла
Бесселя.
В случае функций с целым индексом
к
Jn (х) = — I cos (nb — х sin ft) db,
1) См. Me i ее el, Jahrbuch ttber die Fortschritte der Math., 1892, стр. 476—478.
2) См. К op ре, Jahrbuch ttber die Fortschritte der Math^ 1899, стр. 420—421.
3) Nicholson, Phil. Mag. F), XIX A910), стр. 247—249; см. также Emde,
Archiv der Math, und Phys. C), XXIV A916), стр. 239—250.

276 ГЛАВА VIII
и если х и п близки друг к другу (причем оба велики), то из
принципа стационарной фазы (§ 8.2) следует, что важнейшей частью контура
интегрирования является та, вдоль которой 6 мал; вдоль этой части кон-
контура sin 9 приблизительно равен 0 -б3. Отсюда вытекает, что для рассматри-
рассматриваемых значений х и п
1С СО
jn[x) ^ -i- [cos (пЪ — хЬ-{-~хьА М -^~ [cos (nb — хЬ-\-~х^А db;
о о
последнее выражение является одним из интегралов Эйри (§ 6.4). Следова-
Следовательно, при х<^п
22(n~x)J
а при х
1 - ±
где аргументы бесселевых функций в правых частях равны — {2(х — п)}21х2.
Соответствующая формула для Уп (х) при х ^> п также была найдена
Никольсоном; в обозначениях, принятых в этой книге, она имеет вид
C)
Основной недостаток этих формул состоит в том, что представляется
невозможным достаточно точно установить области их применимости, а также
порядки ошибок, возникающих при пользовании ими.
С целью исправления этого недостатка Ватсонг) исследовал интеграл
Дебая и нашел метод теоретически несложный (хотя практически весьма
трудоемкий), с помощью которого получаются формулы, аналогичные форму-
формулам Никольсона, и одновременно указываются верхние пределы ошибок.
Этот метод состоит в следующем.
Интеграл Дебая для функции Бесселя, индекс v которой больше ее аргу-
аргумента х (= v sch а), можно записать в виде2)
СО -f- 3tf
„v(tha-a) p
/v (v sch a) = —^— e~Xr dw,
CO — It/
где
т= —sh a {ahw— 1) — cha(sh^ — w)y
причем контур выбирается так, чтобы т было на нем положительным.
Если т разложить по возрастающим степеням w, получается формула
Карлини; при этом аппроксимация осуществляется путем отбрасывания всех
степеней w, за исключением наинизшей, — w2 sh а; если же а = 0, то ана-
1) Watson, Proc. Camh. Phil. Soc, XIX A918), стр. 96—110,
2) Это можно вывести из § 8.31, взяв в ^-плоскости другое начало координат.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ 277
логично, отбрасыванием всех степеней w, кроме самой малой, а"^8' п0ЛУ~
чается формула Коши § 8.2A).
Эти рассуждения наводят на мысль об изучении вопроса о том, не могут
ли первые два члена, а именно,
— ~2-w2sh а — -g- w3 ch a,
давать приближение, справедливое всюду в первой промежуточной области.
Поэтому мы изучим интеграл
где т= — y^sha — -~- VP ch а, и контур в плоскости комплексного пере-
переменного W выбран так, чтобы т было на нем положительно. Если W=U-\-iV,
то этот контур является правой ветвью гиперболы
и эта кривая имеет в начале координат касание третьего порядка с контуром
Дебая.
Таким образом, необходимо показать, что приближением к значению
оо + те* °о exp (-g-rc/)
\ е~Хх dw является С e~Xx dW.
i 1
1
Эти интегралы отличаются друг от друга на
г
J
О
и задача сводится, таким образом, к нахождению верхней границы для
——г • И действительно, при помощи довольно тонких рассуждений,
которые мы здесь приводить не будем, можно доказать, что
d(w —
dx
откуда
<37Tscha,
О со
бтс
V
со О
Таким образом
со ехр ( —ш
со -f- ш х *
1 Г __х_ 1
— \ е w -^
со — szi / 1 д
со ехр( — "з"гс? 1
где |61|<1.
Чтобы оценить интеграл в правой части (принадлежащий к типу, рас-
рассмотренному в § 6.4), деформируем контур так, чтобы он превратился в две

278 глава viii
полупрямые, начинающиеся в точке, где W= — th а, и образующие с веще-
вещественной осью углы -h-rrir.
о
Если мы положим на каждой из этих полупрямых W=—tha-f-
-f- $? , то интеграл обратится в
? \хр ( ~ v th3 а Н ехр / — i-v?3 — -I v& з" rath2 a 1 dl —
V ^ У J i о * )
— е a ехр f^-
Разложив подинтегральные выражения по степеням th2 а и проинтегрировав
почленно — операция, которую нетрудно обосновать, — мы найдем после упро-
упрощений:
L — у
| ехр (^l
откуда получается формула
D) 7v(vscha) =Jj^exp jv(tha+y th8a —
^-! ехр {v (th a — a)},
где |61|<^1. Это—более точная форма приближения A) Никольсона.
Можно показать, что независимо от того, мало ли -^ v th3 a, средней ли
оно величины или велико, величина ошибки будет меньшего порядка (при
большом v), чем приближение, даваемое первым членом в правой части.
Рассмотрим теперь случай, когда индекс v меньше аргумента x(^vsec^).
Мы имеем:
//V (v sec p) =-—-. \ e-x^ dw,
где т = — isin$(chw—1) — cos^sh're; — w); при этом контур выбирается
так, чтобы т было на нем положительным.
Рассуждение, подобное примененному ранее, приводит к рассмотрению
интеграла
где
т=—-i
и контур в плоскости комплексного переменного W выбран так, что т на
нем положительно. Если W=U-\- iV, то этот контур является ветвью кривой
третьего порядка
•4. о 1 •
которая идет из — оо —/ tg р через начало координат в оо ехр -^ т.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ 279
оо + / (тс — Р)
Таким образом, нужно показать, что \ e~xx dw является прибли-
со ехр — т
женным значением для \ е~хх dW.
— СО — 1 tg Р
Разность этих интегралов равна
JJ
со О
причем, как это было доказано, имеет место неравенство
I
если !) p ^ -j тт.
Отсюда следует, что
со-f I (тс— P)
1 f _*T j 1 Г
— со — /p — со — r tg p
где |6'|<1.
Чтобы вычислить интеграл в правой части, заменим рассматриваемый кон-
контур двумя прямыми, пересекающимися в W=—i'tg p, и образующими с ве-
вещественной осью соответственно углы -к-тт и тт. На этих прямых положим
I-
1F=—г tg р — ?, —itg$-\-?e ,
разложим подинтегральные выражения по степеням tg2 [} и проинтегрируем
почленно; тогда получим:
со ехр 1*/
J ^-« J1F= | тг/ tg р ехр ( — -1 v/ tg8?) X
— со — i tg p
3
После сравнения вещественных и мнимых частей сразу найдем:
_p]l Гу у 1
y^ L -3 3 J
246,/v,
!) Наиболее существенными значениями f* являются, конечно, малые значения.
Если 3 не мало, то хорошие приближения дают формулы Дебая из § 8,41. При дока-
доказательстве цитированной теоремы было использовано геометрическое свойство конту-
контура Дебая, доказанное в § 8.32.

280 ГЛАВА VIII
F)
 3
где аргумент каждой из бесселевых функций J , находящихся в правой
=4
=4
части, равен -o-v^B^> а 1^г1» как и |в3|, меньше 1. Эти равенства являются
наиболее точной формой уравнений B) и C) Никольсона; они дают хорошие
приближения всюду, за исключением тех значений [$, которые лежат вблизи
корней главных членов правой части.
Очень вероятно, что полученные верхние границы возможных ошибок
значительно превосходят действительные значения ошибок.
8.5. Общие свойства1) Л (vat) при 0<^х^1
В § 8.31 (I) нами был получен контурный интеграл для функции
7v(vscha), который, как было показано в § 8.4, приводит к ее асимптоти-
асимптотическому разложению. В действительности этот интеграл имеет большее зна-
значение потому, что он дает точное выражение функции, тогда как асимптоти-
асимптотическое разложение может в лучшем случае давать лишь приближенное зна-
значение. Кроме того, контурный интеграл (включая также предельную его форму
при л:=1) может быть использован с успехом для характеристики поведения
функции Л (vat) при положительном v.
Будем в контурном интеграле считать v положительным и положим
так что u = lnr, v = b.
На рассматриваемом контуре выражение
xsh w — w
равно своему комплексному сопряженному значению, а путь интегрирования
совпадает со своим зеркальным отражением относительно вещественной оси.
Следовательно,
со -f- m к
7V (vx) = 2^. ?v (х sh w ~ w)dw = i I ** (*sh «r - »)dv.
со — izi 6
В измененных обозначениях уравнение контура будет иметь вид
откуда
подставляя значение г, получаем для (w — х sh w) выражение
In -i— r-д ctg 0 • V и2— х2 sin2 0.
a: sin 0 ь
Последнее выражение мы всегда будем обозначать символом2) F(b,x),
так что
!) Результаты этого параграфа рассмотрены несколько более подробно в статье
Ватсона (Watson), Proc. London Math. Soc, B), XVI A917), стр. 150—174.
2) Эту функцию не следует смешивать с функцией Шлефли, определенной в §4.15.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ 281
Дифференцируя под знаком интеграла (законность этой операции нетрудно
обосновать), мы находим:
к
/оч тЧ ч if -^(Q.-у) ° "~ ** Sil1 ° C0S ° -«
0
Этот же результат легко получается из выражения
оо -f-та
Л (ух) = ~ ev(xshw- w) sh
00 — Ш
Прежде чем перейти к выводу дальнейших свойств бесселевых функций,
отметим некоторые свойства1) функции F(b,x). Читатель легко проверит>
что
D) ^
откуда
E) F(b,x)^F@, x)^*F@, l) = 0;
и, далее,
^ Q — х2 sin 6 cos Q
№) 51 Г (fj' Х) = ~ х VW^i4tfl ^ °
Теперь мы установим менее очевидное неравенство
G) FF, x)^F@,*) + 1 (б2 — х2 sin* 6)/
Для доказательства сначала покажем, что
\ в — -я2 sin ® cos ®
)
Очевидно,
так что, если g(b, x), как функция от 6, достигает своего наибольшего значения
в 0 или тг, то это значение будет меньше у\ -\-х2. Если же ^@, х) достигает
своего наибольшего значения, когда 6 принимает некоторое значение 62 меж-
между 0 и тс, то
1 — х2 cos 200 @О — х2 sin 90 cos 0ОJ ^
<e;i-x2sinV/s (e^-^sin2eo)% "" '
так что
g F, х) < ? F0, х) = Kb=r
В дальнейшем всюду предполагается, что 0<х^1, 0^0^тс.

282 глава viii
и, таким образом, где бы ^F, х) ни достигала своего наибольшего значения,
это значение не может превышать }/~\ -\- х2.
Следовательно,
dF @, х) _ лгтг2 о . -fi^ О - ^sin 0 cos 0
I2 — x2 sin2 6
со
и, таким образом,
О
откуда сразу следует G).
Другое, более простое, неравенство, принадлежащее к этому типу, имеет вид
(8) FF, х) > F@, х) +1 б2 Vl— х2.
Для доказательства его заметим, что
и проинтегрируем; после этого неравенство становится очевидным.
Пользуясь полученными результатами, мы можем теперь доказать теоре-
теоремы о 7v(vx) и 7v(vx), рассматриваемых как функции от v. Так, поскольку
^ _ 1 Г f F, х) е— **$>*) М < О,
^ _ 1
о
где подинтегральное выражение положительно, в силу E), то /v(vx) есть по-
положительная убывающая функция от vf подобным же образом и У
есть положительная убывающая функция от V. Аналогично, поскольку
где подинтегральное выражение положительно, в силу E), e^F(°* *) Jv(vx) есть
убывающая функция от v; подобным эюе образом это справедливо для функ-
функции ey>F^^x^J[)(yx). Наконец, из (8) мы имеем:
и, таким образом,
(9)
A
Последнее выражение легко приводится к приближенному выражению Карлини
(§§ Ь4, 8.11) для yv (vx); таким образом, для всех1) положительных v фор-
формула Карлини дает значение функции с избытком.
!) Из разложения Дебая видно, что для достаточно больших значений v полу-
получаемое выражение дает значение функции с избытком.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ 283
Соответствующий результат для j!> (vx) выводится из G). Положим
и для краткости заменим G F, х) на G.
Тогда
к 1
(vx) = — I *- vF(e- ¦*)—dy ; {G F, x)\ db <
о
F@, лг) Г ( 1
- j ехр<| — yv
о
j
о
и, таким образом,
A0) XJ[ (vx) < e~ VjP(°» ¦*> A + x2) 4
Заметим, что множитель J/l—x2 в знаменателе уже не фигурирует.
Почти аналогичным образом можно доказать формулуг)
Этим мы заканчиваем изложение результатов, касающихся бесселевой
функции, аргумент которой меньше чем индекс.
8.51. Одна лемма относительно функции
Теперь мы докажем лемму о том, что при 0=^x^1 и
,„ q|u _ (F (M _ F@,,))' -*??; > ^ о.
Мы сразу же воспользуемся этой леммой для доказательства важной теоремы
об асимптотическом поведении функции 7v(vx).
Обозначив Y§2 — x2sin26 через //F,х), мы сначала докажем, что
) /йН(Ъ,х)
/
clb / db
есть неубывающая функция от б, т. е. что
_ хг Sjn2 8
0 — х2 sin 0 cos о
является неубывающей функцией от 6.
Частная производная по 6 от этой последней функции равна
F_ х2 sin 6 cos 6)~2 Г (ft2 cosec2 6—1 — ysin2 6)A"л;2) +
+ 2 (б2 cosec2 6 — б3 ctg 6 cosec2 6 — ~ sin2 б) A — х2) +
V 6 J
+ 2х2 A — 6 ctg 6) F cosec 6 — cos бJ + sin2 6A— х2J];
!) Ср. Proc. London Math. Soc^ B), XVI A917), стр. 157.

284 глава viii
каждая группа членов в этом выражении положительна (или равна нулю), в
силу элементарных тригонометрических неравенств.
Для доказательства заметим сначала, что при 0^0 ^т:
(i) 0 + sin 0 cos 0 — 20" sin2 0 ^ 0,
(ii) 0 + sin 0 cos 0 — 202 ctg 0 ^ 0,
(iii) sin 0 — 0 cos 0 — ~ sin^ 0 ^ 0,
о
в силу того, что выражения в левой части исчезают при 0 = 0 и имеют положитель-
положительные производные
(i) 2 (cos 0 — 0 sin 0J, (ii) 2 (cos 0 — 0 cosec 0J, (Hi) sin 0 @ —- sin 0 cos 0);
после этого мы имеем:
62 cosec2 0 — 03 cig 0 cosec2 0 — 4 sin2 0 =
о
= @2 cosec2 0—1) A—0 ctg 0) + cosec 0 (sin0 —OcosO — -i-
V 3
1
в2 cosec2 0 ~ 1 — ^ sin2 0 =
о
= 0 cosec2 0 @-+- sin 0 cos 0 — 20 sin2 0) 4- cosec 0 (sin 0 — 0 cos 6 — i- sin-?b\ ^>0,
откуда и вытекают требуемые неравенства.
Следовательно, мы показали, что
где 6 и х считаются независимыми переменными, а штрихи обозначают диф-
дифференцирование по 6. Отсюда вытекает, что
и если мы проинтегрируем это неравенство от 0 до 6, то получим:
Поскольку F' и Н\Н' исчезают при 0 = 0, это неравенство эквивалентно
следующему:
и после подстановки в это последнее неравенство значения Я(8, х) справед-
справедливость леммы становится очевидной.
8.52. Монотонность отношения Л (vx)/yv (v)
Мы сейчас докажем важную теорему: если х фиксировано и 0^х^1г
то Л (vx)/7v (v) является не возрастающей функцией от v; при этом v пред-
предполагается положительным.
[Приводимое ниже доказательство теоремы будет справедливо лишь при о ^jc^I
(где Ь — произвольно малое положительное число), так как некоторые выраженияг
используемые в доказательстве, содержат х в знаменателе; но теорема, очевидно,
верна и при Os^xs^S, поскольку гvF®'х^ Л (vx) и е~ Vjp(°> •*) jjv (v) являются невоз-
растающими функциями от v при достаточно малом х\ более того, как это будет
показано в главе XVII, эта теорема в действительности имеет место и для всех зна-
значений х в некоторой окрестности единицы.]

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ 285
Сначала покажем, что
dx
Чтобы установить этот результат, заметим, что (в обычных обозначе-
обозначениях)
тс
дх 2ти
о
>-vF{Q,x)(
и, после дифференцирования под знаком интеграла,
д\>
к
— ъГх J >°(Oj
- г4 j F ^ X^ <° & x» ^-^УИ '^M dfi=
о
I
0
если первый из двух интегралов проинтегрировать по частям.
Отсюда следует, что
О О
где
> 2 (О ft x)^[gj^U+ f ^~С}'' -' ^Д] > 0;
здесь мы использовали неравенство F (<b, x)^ F @, х) в сочетании с теоремой
из § 8.51.
Поскольку Q F, ф) не отрицательна, двойной интеграл также не может
быть отрицательным; отсюда вытекает, что
" дх
и, следовательно,
О
Интегрируя это неравенство в пределах от х до 1, получим:

286 ГЛАВА VIII
и, таким образом,
Поскольку 7V (ух) и 7V (v) положительны, это неравенство можно пере-
переписать в виде
B) g-K(v*)//v(v)}<0,
откуда и вытекает, что отношение /v(vx)/yv(v) есть невозрастающая функция от v.
8.53. Свойства функций 7v(v) и y^(v)
Если для краткости мы напишем F (8) вместо ^F, 1), так что
A) FF) = l
то формулы1) для yv(v)Hyv'(v) примут вид
B) /,(v) = - [e-^db, S.(v) = ±- f Q
0 0
Первым членом разложения для ^(б) по возрастающим степеням 6 будет
4б3/(9 КЗ); мы установим ряд неравенств, ведущих к доказательству того,
что F(b)/№ есть неубывающая функция от 6.
Сначала мы покажем, что
Чтобы доказать это, заметим, что
F' @) |A—0ctg0)/02}2 . « -./тг; . on
-р— = !_2 >- ^ .. -f~и * у W — sinJи,
и что
d jV^~ sin2 Q 1 @2 cosec2 0 + 6 ct^Q—2) sin20
rf6 ^ p / —
Отсюда следует, что
\
db\ в2 / 03@2
X F + sin 6 cos 6 — 262 ctg) ^ 0,
в силу неравенств, доказанных в § 8.51.
Следовательно,
C) в/7" F) — 2/7/(8)^0,
т. е.
!) Под обозначением J[(v) следует, очевидно, подразумевать значение dJ^ (x)jdx,
когда х принимает значение v.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ 287
Если проинтегрировать это неравенство от 0 до 6, то получим
D) б/7'(8) — 3FF)^O,
откуда и вытекает, что /7F)/63 является неубывающей функцией от 0.
Следовательно,
и поэтому
так что приближение Коши для Jv (v) дает значение этой функции с избытком.
В дальнейшем нам потребуется неравенство
E) 2 @2 — Sin2 0) F* @) — 3 @ — sin 0 cos 0) F @) ^ 0.
Для доказательства его достаточно переписать выражение слева в виде
@2 — 2 sin2 0 + 0 sin 0 cos в)/7(в) + (в — sin 0 cos 0) {W @) —
где каждая группа членов положительна (ср. § 8.51).
[Замечание. Вот еще одна близкая формула:
F)
}¦
0 3<'3.M'iyJV
см. Watson, Я/г//. Mag., (б), XXXV A918), стр. 364 — 370].
8.54. Монотонность функций 7v(v) и 7v(v)
Мы уже видели (§ 8.5), что функции 7V (v) и yv'(v) являются убываю-
убывающими функциями от v. Сейчас будет показано, что функции vJ/Vv(v) и v2/Vv' (v)
являются монотонно возрастающими1) функциями от v.
Чтобы доказать это для первой функции, заметим, что
о
к
так как проинтегрированная часть обращается в нуль в каждом пределе и
(§ 8.53) последнее подынтегральное выражение положительно.
!) Из асимптотических разложений получить эти свойства монотонности невоз-
невозможно. Если /(v)-^<p (v) при v-^oo и если <р (v) монотонна, то, вообще говоря, ника-
никаких выводов относительно монотонности / (v) сделать нельзя.

288 глава viii
Отсюда v37v(v) есть возрастающая функция от v, и поэтому
A) vVv(v)<lim{v4(v)} = rD-)/B35iT) =0,44731.
В связи с этим результатом можно указать, что
7,A) = 0,44005, 278(8) = 0,44691.
Доказательство аналогичного свойства второй функции проводится тем
же самым методом. Мы имеем:
- 1
2^
в силу § 8.53 E); таким образом, v37v(v) есть возрастающая функция от v.
Отсюда
B) v3j;(v)<Hm<,v3Jv(v)f=36 ГD)Д28тг)=0,41085.
Укажем, что
J[ A) = 0,32515, 4Jg (8) = 0,38354.
8.55. Монотонность отношения v37v(v)/7v(v)
Несколько более тонкой является теорема о том, что отношение
является монотонно возрастающей функцией от v.
Для доказательства этого мы воспользуемся интегральными представле-
представлениями четырех функций
4 Ь
с которыми мы уже встречались в §§ 8.53, 8.54.
Обозначая в первом и третьем интегралах переменную интегрирования
через ф вместо 6, находим:
v37v(v)J 0 0

где
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ 289
j F, ф) = 4 F'{b) VP — sin*6 — 9~sin9cos9 F F) —
6 I/92 — i2 e
согласно §8.51. Функция Q1 (8, ф), повидимому, не всегда положительна
(ср. § 8.52); чтобы обойти это затруднение, поменяем местами переменные
Ь и ф и сложим полученные результаты; тогда
I 37()J о 0
}
v37v(v)J о 0
В силу только что доказанного неравенства,
2^ \6
^ оУ02_§1п20 I3 /'
Поскольку обе функции б}/б2 — sin2 6 и уб/7' F)—Z7 F) являются возраста-
возрастающими функциями от G (§ 8.53), оба сомножителя, входящие в первый член
суммы в правой части, либо одновременно положительны, либо одновременно
отрицательны, а, согласно §§8.51, 8.53, второй и третий члены этой суммы поло-
положительны. Отсюда следует, что сумма $^F, ф) -f- йх (ф,6) положительна и поэтому
откуда и вытекает требуемое неравенство.
8.6. Асимптотические разложения бесселевых функций с большим
комплексным индексом
Результаты Дебая (§§ 8.31—8.42) относительно функций Jv(x) и Kv (x)
при больших и положительных v и х были впоследствии распространены им1)
г) Debye, Mlinchener Sitzungsberichte, XL[5], A910); асимптотические разложе-
разложения для /v (x) и Кч (х) были получены в явном виде Никольсоном (Nicholson),
Phil. Mag. F), XX A910), стр. 938—943.

290 ГЛАВА VIII
на случай комплексных переменных. В дальнейшем изложении, которое в не-
некоторой части является более детальным, чем в мемуаре Дебая, мы получим
асимптотические разложения для 7V (z) при больших и комплексных v и z.
Сначала мы предположим, что \arg z\<^~ тг и положим
v = z ch у = zch (а -Мр),
где аир вещественны, а у комплексно. Существует взаимно однозначное
соответствие между a-\-i$ и v/z, если считать р заключенным в от/срытом1)
интервале @, тг), тогда как а может иметь любое вещественное значение.
При таком ограничении z/v не может попасть в интервал от — 1 до 1, но
этот случай был уже исследован (•§ 8.4).
Интегралы, которые необходимо исследовать, имеют вид
со + я/
. г*
v W ш J W'
— со
со—т со
— __1 [ e~zfiw)dw— -- [ ezf
—со —oo-f-тс/
где /(w) = w ch у — sh-ш.
Подинтегральное выражение имеет у своей стационарной точкой, и по-
поэтому мы изучим кривую, уравнение которой имеет вид
//(да) = //(?).
Заменив w на a-\-iv, перепишем это уравнение в виде
(v — E) ch a cos [5 ~|- (и — a) sh a sin [5 — ch м sin t; -|~ ch а sin [5 = 0.
Вблизи (а, р) кривая может быть дана уравнением
{(а — аJ — (v — РJ} ch a sin fi + 2 (я — a)(v — р) sh a cos p = 0,
и, таким образом, наклон двух ее ветвей, проходящих
через эту точку, составляет
Фиг. 19 — jTr+|arctg(thactgp),
где arc tg берется в пределах от — ^ до -ц ; Rf(w) возрастает по мере уда-
удаления w от у по первой ветви и убывает с удалением w от у по второй
ветви. Это возрастание (или убывание) монотонно и Rf(w) стремится к -j- со
(или к —со), когда w уходит в бесконечность, за исключением того случая,
когда кривая имеет вторую точку2) самопересечения.
Обозначая через (i) и (И) целые контуры, части которых, помеченные
этими же буквами, изображены на фиг. 19, положим
(i)
T. e. 0 < p < тт.
Э й
1) T. e. 0 < p < тт.
2) Этот случай, как будет видно из дальнейшего, является исключительным.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ 291
и с„ помощью таких же рассуждений, как в § 8.41 (за исключением того, что
/р должно быть заменено на y)> найдем, что асимптотические разложения для
и S&) (z) имеют вид
+ ~2) Лт
A)
~v(thT-Y)+!*/ ж Г { т
где
arg ( — y vtt/ th у) = arg z-j- arg (— z sh y),
и для arg (— / sh у) берется значение, лежащее между — — тг и — тт.
Значения Ло, Аъ А2, . . . будут равны
-g- 24
C) л _
Л2—576
Осталось выразить H^{z) и Н@) (z) через 5^(<г) и ^(v2)B:); чтобы выпол-
выполнить ьто, необходимо более подробно исследовать кривую
8.61. Форма контуров Дебая в случае комплексных переменных
Уравнение кривой, введенной в предыдущем параграфе, имеет вид
A) (v — Р) ch a cos р 4- (й — a) sh а sin [i —
— ch # sin т/ -J- ch a sin [} = О,
где (//, t/) — текущие декартовы координаты и 0 <^ р <^ тг.
Поскольку уравнение не изменяется при перемене знака перед и и пе-
перед а, мы сначала изучим случай а ^ 0; и так как уравнение не изменяется,
если писать тг — v и тг—[5 вместо v и [}, мы кроме этого сначала будем
предполагать, что 0 <^ [5 < -н- тг, хотя многие результаты, доказанные в пред-
предположении, что р — острый угол, остаются справедливыми и в случае, когда р —
тупой угол.
Для краткости обозначим левую часть уравнения A) через <p(u,v). Так
как
• у ,"' = sh a sin В — sh и sin г;,
да v
то, при заданном ?/, ~ обращается в нуль только при одном значении и и,
таким образом, уравнение относительно и,

292 глава viii
имеет, самое большее, два вещественных корня; один из них будет бесконеч-
бесконечным, если v является кратным тт.
При 0<^v^тг1) мы имеем:
ср (— оо, v) = — сю, ср ( 4- оо, v) = — оо,
ср (a, v) = cba {(v — [}) cos ($ — sin г; -|- sin p} ^ 0,
и, таким образом, один из корней уравнения относительно и,
будет меньше а, а другой больше а; при v=$ корни совпадают.
Из рассмотрения конечного корня уравнений
видно, что в любом случае этот корень меньше а;
так что больший корень стремится к -\- оо, когда v
стремится к -|-0 или к тг — 0, а для значений г>,
немного меньших нуля или немного больших тг,
уравнение <р (я, v) = 0 имеет большой отрицательный
_^ корень. Таким образом, кривая будет приблизительно
у-гтп иметь вид, изображенный на фиг. 20 сплошными
фиг# 20 линиями.
Рассмотрим теперь форму кривой в том слу-
случае, когда v лежит между 0 и —тт. Если v равно —К, у " обращается
ои
в нуль при # = — а, откуда ср {и,— р) имеет минимум, равный
2 ch a sin р A — р ctg р — a th a)
при # = — а. Теперь необходимо рассмотреть два случая в соответствии
с тем, (I) положительно ли выражение
1 — р ctg р — atha
или (II) отрицательно.
Области значений комплексной величины у=а-(-/р, для которой
— atha
п
положительно (в полосе 0 ^ Р ^тг), занумерованы на фиг. 21 цифрами 1, 4Т 5;
в областях, отмеченных 2, 3, 6а, 66, 7а, 16, это выражение будет
отрицательным; соответствующие области для комплексного числа v/z =
= ch(a-|-/p) имеют на фиг. 22 такие же номера.
(I) Если 1 — Pctgp — atha положительно, функция ср(#, — E) будет
строго положительна, так что кривая никогда не сможет пересечь прямую
г> = —р. Поэтому остается единственная возможность, что кривая после
пересечения с вещественной осью уходит в —оо, как это изображено верх-
верхней пунктирной кривой на фиг. 20.
(II) Если 1—Pctgp — atha отрицательно, уравнение ср (—a,v) = 0 не
имеет вещественных корней между 0 и р — 2тт, так как
ду (— a, v) «/о \
т v ——¦ = ch a (cos p — cos v).
!) Поскольку ^ Vх' — ch a (cos p — cost/) и это выражение имеет тот же знак,
что я v — р, функция ? (a, v) имеет при v = $ минимум, равный нулю.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ
293
Поэтому ср(—а, г;) имеет единственный максимум в —р и ее значение в этой
точке отрицательно, так что ср (—a,v) отрицательна, когда v лежит между О
и р —2тт.
Точно так же ср («, р — 2тг) имеет максимум при и = а и значение ее
там отрицательно, так что кривая ср (и, v) = 0 не пересекает прямой v = $ — 2тг;
/г/
76
7o
—^
5
у"з
A
0
Фиг.
21
поэтому, после того, как кривая пересекла вещественную ось, она должна
уходить в сю — то, как это изображено пунктирной кривой на фиг. 20
справа.
Этим заканчивается изучение той части кривой, связанной с SM(z), где
^ 1
ЗтП
i - - -
m
к
м
к.
Затем мы должны рассмотреть, что происходит с этой кривой после ее
пересечения с прямой v= -f-тг.
Поскольку
ср (a, v) = ch a {(v — [J) cos р — sin v -f- sin p},
и выражение справа положительно при v ^ p, кривая никогда не пересекает
линию и = а; точно так же,
ср (и, /лт) = (и — a) sh a sin р -\- (пи — р) ch a cos p -\- ch a sin j$,
и это выражение положительно при и^> а так что часть кривой, уходящая
в бесконечность справа, должна иметь вид, изобра-
изображенный на фиг. 23 в верхнем левом углу.
Когда
1 — a th a -f- (тг — Р) ctg p ^> О,
т. е. когда (а, р) лежит в какой-нибудь из областей
с номером 1, 2 и 3 на фиг. 21, нами установлено,
что кривая не пересекает прямой г> = 2тг—р и,
таким образом, после пересечения прямой г> = ттт ухо-
уходит в — оо -\- ттг, как это изображено на фиг. 23 пунк-
пунктирной линией.
Далее нужно рассмотреть, что происходит, когда
(а, Р) лежит в области с номером 6а на фиг. 21. В
этом случае
1— atha-f (тт— |
о
Фиг. 23
и ср(—а, г;) имеет максимум при г> = 2тт—E, причем значение ср (—а, 2тт — $)
отрицательно. Кривая после пересечения линии г> = тт идет, таким образом,
справа от прямой и= — а, пока не оказывается над прямой г> = 2ти—р.

294
ГЛАВА VIII
Функция <р (—a, v) возрастает в интервалах
(Р,2тг—Р), Bтг+р, 4ir — p), Dтг+р, бтг—р), ...;
пусть первым из интервалов, в которых она становится положительной, будет
Тогда ср (и, 2/Итт -|- 2тг—[3) имеет положительный минимум при и = — а,
и поэтому кривая не может пересекать линию v = 2Мп -\- 2тг—(J;
поэтому она должна уходить в бесконечность слева и, следовательно,
она стремится к
— оо-\-BМ-{-\)т;
ниже она не может уходить в бесконечность, ибо в этом случае кривая
пересекала бы горизонтальную линию более чем в двух точках.
Когда (а, [5) лежит в 6а, кривая стремится к
— оо-\-BМ-\-\)т,
где М— наименьшее целое число, для которого 1—a th а -\- {(М-\- 1) тг—?}} ctg [5
оказывается положительным.
Теперь мы имеем возможность составить таблицу концевых точек кон-
контуров, соответствующих S^(z) и ^2)(^), и выразить эти интегралы через
Н^Цг) и Н&Цг), когда (а, [}) лежит в областях, обозначенных на фиг. 21
номерами 1, 2 и 6а; далее, с помощью соответствующих отражений мы мо-
можем получить концевые точки для остальной части полосы, в которой 0 <^ [5 <^ тт.
Поскольку это касается области 1, читатель заметит, что не имеет значения,
будет ли угол [} острым или тупым.
Если М—наименьшее целое число, для которого выражение
1 — a th а + {(Ж + 1) тт — ^} ctg ^
положительно при положительном ctg S, и если N — наименьшее целое число,
для которого выражение
1— aiha — (MT-f[$)ctg(}
положительно при отрицательном ctg [}, таблицы значений S^ (z) и S^2) (z) будут
иметь вид
Области
1, 3, 4
2, 6а
5, 16
66
la
Концевые точки
ОО, 00 —|— ТС/
00 ТС/, 00 -|- ТС/
— оо, —оо -|- 2тс/
— со — 2Nn, оо -|- тс/
— 00, 00 +BМ+ О*"
2/ч (г)
2<?~таг •/_,(*)
Г** Н*;Нгё-м«)

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ
295
Области
1, 2, 5
3, la
4, 66
6а
16
Концевые точки
ОО -f- ТС/, 00
00 -)~ ТС/, 00 ТС/
оо -|- 2тс/, оо
— оо -f- BA4 -f- 1) тс/, оо
— оо -f- тс/, оо — 2jVtc/
Пользуясь этими таблицами, можно построить асимптотические разложе-
разложения любой фундаментальной системы решений уравнения Бесселя, когда v и
z — сколь угодно большие комплексные числа, а вещественная часть z по-
положительна. Применение этих разложений может быть распространено и на
более широкую область значений aigz, если воспользоваться приемом, ука-
указанным в § 8.42.
Читатель может доказать самостоятельно, что в критическом случае р =
контуры идут от —оо до оо -f-iw и от —оо -\- тс/ до оо, так что имеют место раз-
разложения, соответствующие области 1.
Замечание. Различие между формулами для областей 6а и 66, а также для
областей 1а и 16, очевидно, не было замечено Дебаем, а также и Ватсоном, Ргос.
Royal Soc, XGV, A A918), стр. 91.
8.7. Неравенство Каптейна для Jn(nz)
Распространение формулы Карлини (§§ 8.11, 8.5) на бесселевы функции
с целыми индексами от комплексного аргумента было проведено Каптейном*),
который показал, что для любого z (вещественного или комплексного), для
которого z2—1 не является вещественным положительным числом2), имеет
место неравенство
zn ехр {п У\ — z
A)
Эта формула менее точна, чем формула Карлини, поскольку в знаменателе пра-
1 1
вой части отсутствует множитель BтсяJA — ?2L, но, тем не менее, неравенство ока-
оказывается достаточно сильным для наших целей 3).
Чтобы получить это неравенство, рассмотрим интегральную формулу
@+)
-"-1 ехр {|/iz(*— 1/
@+
=ii J
где контур представляет собой окружность радиуса еа, а и — положительное
число, которое мы выберем впоследствии.
1) Kapteyn, Ann. ScL de VEcole norm. sap. C), X A893), стр. 91—120.
2) Поскольку обе части неравенства непрерывны, когда z приближается к вещест-
вещественной оси, неравенство остается справедливым и когда z% — 1 положительно; для
таких значений z радикалу может быть приписан любой знак в соответствии с тем,
каким образом z приближается к разрезам.
3) См. гл. XVII.

296 ГЛАВА VIII
Положив t = ea+ib, получим:
z(eV* — e-"e-n) — и — /011 db.
Jn(nz) = ±
Теперь, если через N1 обозначить максимальное значение выражения
ехр A z (е Vе — e-ue~ib) —и —ft \ I
на контуре, то, очевидно,
\Jn(nz)\^M\
Но если z=pei(Xi где р положительно, а а вещественно, то веществен-
вещественная часть выражения
| z (еае^ — е-Ч~^) — и — /О
равна
| р {ги cos (а + в) — е~и cos (а — в)} — и;
последнее выражение достигает максимального значения там, где
tg6 = — cth tftga,
и это значение равно
р Vsh2 и -\- sin2 a — и.
Отсюда, для всех положительных и,
I Jn(n?et*) I < ехР N Ksh2 ^ + sin2 a — пи].
Имея целью получить наиболее сильное неравенство, выберем и так,
чтобы выражение справа стало насколько возможно малым.
Выражение
р }/sh2 и -j- sin2 a — и
имеет, как функция от и, минимум, когда и является положительным корнем
уравнения !)
sh и ch и 1
+ sin2 a P
При таком выборе и можно доказать, что
2 |Л — z2• sh и ch и = -± (ch 2а — e2i*),
и, взяв z вещественным, необходимо, во избежание неопределенности, оста-
оставить в выражении положительный знак. Отсюда
и, таким образом,
In
j
2 V
sh м ch rx
= p Ksh2 a + sin2 а — и,
!) Это — уравнение второго порядка относительно sh2 и, имеющее один положи-
положительный корень.

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ
297
откуда легко вытекает, что
Интересным следствием этого неравенства является то, что
если только одновременно |<г|^1 и
1— z2
zexp)
1.
Чтобы изобразить область, в которой удовлетворяется последнее нера-
неравенство, положим, как и ранее, z = peia и определим и уравнением
sh и ch и 1
У sh2 и + sin2 a P
Предыдущие рассуждения показывают,
что если
то
р у sh2 и -\- sin2 а — а = 0.
Следовательно,
sin2 a = sh и (и ah и — sh и).
Фиг. 24. Область, в которой
\Jn(nz)\ заведомо не превосходит
единицы.
При возрастании а от 0 до 1,1997..., sin2 а возрастает от 0 до 1, а р
хрУ 1 —z2
уменьшается от 1 до1) 0,6627434.... Очевидно, что
1 внутри
и на границе некоторой овальной кривой, включающей начало координат.
Эта кривая изображена на рис. 24; она имеет большое значение в теории
рядов Каптейна (гл. XVII).
Когда мы имеем бесселеву функцию с положительным, но необязательно целым
индексом, то в качестве контура интегрирования мы можем взять часть окружности
радиуса еа, ограниченную двумя лучами, образующими с вещественной осью углы
it тс — arc tg (cth u tg а). Если на этих лучах положить \t\=evy то получим:
00
ch (и -\-v) — cos 2a ch (и —
Ksh2 и -f- sin3 a
(v — u)\dv\
u) I
--"I
и, таким образом,
sin vtc
l) Это значение нашел Плуммер (Plummer), Dynamical Astronomy (Cambridge^
1918), стр. 47.

Глава IX
ПОЛИНОМЫ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ
9.1. Определение полинома Неймана On(t)
Предметом этой главы будет изучение некоторых полиномов, встречаю-
встречающихся в задачах, связанных с бесселевыми функциями.
Впервые в анализе полиномы такого рода встречаются в работе Ней-
Неймана х), посвященной вопросу о разложении произвольной аналитической
функции f(z) в ряд вида ^anJn{z)- Функция Оп (t), которую теперь обычно
называют полиномом Неймана, определяется как коэффициент при snJn(z)
в разложении \j(t — z) в ряд по бесселевым функциям с целыми индексами2);
таким образом,
О) ^Ь = Jo (*) °о V) + 2У, (г) О, (*) + 2У2 (z) O2 (t) +... = ? з„У„ (г) On (*).
п=0
Пользуясь этим определением, мы получим явное выражение для функции Оп (t),
после чего станет ясным, что разложение A) справедливо при условии, что
z | <^ ] 11. Чтобы получить нужное выражение, допустим, что | z \ <^ 11 \ и,
разложив \\{t — z) в ряд по возрастающим степеням #, подставим вместо
каждой из степеней z ее выражение в виде ряда Шлемильха по бесселевым
функциям с целыми индексами (§ 2.7).
Выполнив это, получим:
t — z t ' ^
e j
m=0
miV Л / V (s + 2m).(s + m-\y \
Допуская временно, что двойной ряд абсолютно сходится3), произведем
перестановку членов, заменяя s на п — 2т; полученный ряд будет рядом
1) Neumann С. G., Theorie der Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1867), стр. 8—
15, 33; см. также Journal fur Math., LXVII A867), стр. 310—314. Метод Неймана,
основывающийся на разложении A), состоит в выводе некоторого дифференциального
уравнения, которое мы дадим впоследствии (§ 9.12) и решении его с помощью рядов.
2) В § 16.11 будет показано, что можно получить разложение произвольной
аналитической функции, подставляя в формулу
вместо \l(t — z) правую часть A).
3) Ср. несколько более общее исследование Pincherle, Rendiconti R. 1st. Lorn-
bardo, B), XV A882), стр. 2J4—225.

ПОЛИНОМЫ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 299
бесселевых функций с целыми индексами; таким образом, мы получим:
— — -Ye У (,) + Ус /^V 2"m п.(п-т-1)\{, ,
t—z t **+ c2mJ2m\*J TL^/i | ^ tn-2m+l tn\ fJn\*)
Следовательно, функция Оп (^) должна иметь вид
B) О (Л = 4- Y -" '"
m=0 /я! ( — t
C) O0(t) = \/L
Легко видеть, что
и *пУп\Ч fn+i у ^ 2B« — 2)^2-4-B« —
2) Bл — 4)
и ряд обрывается до того, как знаменатель может обратиться в нуль или
стать отрицательным.
Нам осталось обосновать перестановку членов двойного ряда для \l(t—z). Для
этого достаточно установить сходимость ряда
Г /
jT|i т\
s=ll l \ Q
Чтобы доказать это, заметим, что, по § 2.11D), мы имеем:
ml
)
= О
Отсюда
t\(\t\-\z\)
Таким образом, установлена абсолютная сходимость двойного ряда, в пред-
предположении, что |г|<^|^|. Поэтому разложение A) будет справедливо при
|z|<^|tf| и коэффициенты при бесселевых функциях в этом разложении оп-
определяются формулами B) и C)

300 ГЛАВА IX
Легко также показать, что сходимость разложения A) в области
^r, где R^>r^>0, будет равномерной.
В самом деле, если эти неравенства выполнены, то сумма модулей членов ряда
не превышает
Поскольку выражение в правой части не зависит от z и t, равномерная сходи-
сходимость ряда A) обеспечивается признаком Вейерштрасса.
Функция On(t) была названа Нейманом бесселевой функцией второго
рода1), однако, теперь этим термином пользуются (ср. §§ 3.53 и 3.54) для
обозначения одного из решений уравнения Бесселя, поэтому термин Неймана
нужно считать устаревшим. Функция Оп (t) представляет собой полином от \jt
степени п-\-\ и обычно называется полиномом Неймана п-го порядка.
Если в полиноме Неймана порядок членов изменить на обратный, под-
подставляя для этого в B) -п — т или -ц (п—1)—т вместо т, в зависи-
зависимости от того, будет п четным или нечетным, то мы сразу получим:
E) On(t) = ±
л=0\2'Л '"Д 2
1 , я2 , /г2 Г/г2 — 22) . п2(п2 — 22)(п2~42) .
^у + ^П ^ 1 ^ К--1 (^ —четное)
1
2
(,-нечетное)
Эти результаты можно объединить в формуле
Выражения E), F) и G) были найдены Нейманом.
Применяя методы § 2.11, легко доказать, что
(8) I^AWKfw
(9) SnOn(t)=±.
!) По аналогии с функцией Лежандра второго рода Qn (t), которая удовлетво-
удовлетворяет соотношению
00
/2=0
Ср. Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, ч. 2, § 15.4.

ПОЛИНОМЫ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 301
где
[ехрA |*|a)_i]/B/i —2).
Из этих формул следует, что ряд ^anJn(z) On(t) сходится, когда ряд
2а/г(.г//)/г сходится абсолютно; и если z выходит за пределы круга сходимо-
сходимости последнего ряда, то anJn{z)On{t) не стремится к нулю при п—>¦ оо и,
таким образом, первый ряд не сходится. Легко также установить, что
при п—^оо
и, следовательно, можно показать*), что точки на окружности круга сходи-
сходимости, в которых один из рядов сходится2), совпадают с точками круга,
в которых сходится другой ряд. Можно также доказать, что если какой-ни-
какой-нибудь из рядов сходится равномерно в некоторой области значений z и t, то
это же имеет место и для другого ряда.
Поскольку в правой части A) мы имеем равномерно сходящийся при
kl<CI^I Ряд аналитических функций, то после дифференцирования получим3):
p q
dz dt
где /?, q — любые целые положительные числа (включая нуль).
Ниже приведены явные выражения первых полиномов Неймана:
О4 (t) = 1 \t + 16/Я + 192/*5, О5 (t) = ЦР + 120/^4 4"
Коэффициенты полиномов On(t) для п =1,2, ..., 15 были вычислены Отти
(Otti), Bern Mitthellungen, 1898, стр. 4, 5.
9.11. Рекуррентные формулы для On(t)
Мы . сейчас докажем формулы
9 (пч— \\ 2лsin'*--me
A) (я —1)ОяфН* + 1)О(') } ^
B) Оп_х W —Ол+1 W= 20; (*), (л > 1)
C) — <М*) = Оо(/).
Первая из этих формул была найдена Шлефли (Sch I af li), Math. Ann., Ill A871),
стр., 137 и доказана Гегенбауэром (G e g en b a u er), Wiener Sitzungsberichte, LXV
B), A872), стр. 33—35; две другие доказал несколькими годами ранее Нейман (Neu-
(Neumann), Theorie der Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1867), стр. 21.
Поскольку известные в литературе доказательства представляют собой
лишь проверку готовой формулы, мы повторять их здесь не будем, а приве-
приведем более естественный вывод этих формул из соответствующих формул для
бесселевых функций с целыми индексами.
х) Достаточно воспользоваться теоремами о том, что если ряд %Ьп сходится, то
сходится также ^Ьп/п, а ^Ьп/п2 сходится абсолютно.
2) Это было замечено Pincherle, Bologna Memorie, D), III A881—1882),
стр. 160.
3) Ср. Курс современного анализа, ч. 1, § 5.33.

302 ГЛАВА IX
Заметим, что если взять |г|<^|^|, то, по § 9.1 A) и § 2.22 G),
00 00
(/ — z) X ?„Л (*) Оя (*) = 1 = ? ?« cos2 i «* • Jn (*),
/г = 0 /г = 0
откуда
00 °°
* X SA (*) Оя С) = 21 ?>Л И {'Оя (*) - cos* -I /пг} =
л = 0 л = 0
n = l
в силу того, что tO0(t)=\. Если теперь для преобразования выражения
в правой части воспользоваться рекуррентной формулой для Jn (z), то получим:
оо оо
2^ ?nJn (Z) ®n @ = ^ Un-l(Z)-\~^n + l(Z)} {tOn(f) COS2 у/Пг}//1.
л=0 л=1
Заметив, что Л_|_1 (г) {Юл (/) -— cos2 у шт}//г при п —> оо стремится к нулю,
мы после перегруппировки, очевидно, получим:
Будем теперь рассматривать z как переменное, a t оставим постоянным;
если не все коэффициенты при бесселевых функциях в левой части исчезают,
то, взяв \z\ достаточно малым, можно добиться того, что первый не обра-
обращающийся в нуль член превысит по абсолютной величине сумму всех осталь-
остальных. Таким образом, все коэффициенты ряда тождественно обращаются
в нуль1), откуда и вытекает формула A).
Для доказательства B) и C) заметим, что
(д л_д\ \
и, таким образом, при \z\ меньшем, чем \t\t имеем:
оо оо
X saJn(z) О'п (t) + X snJ'»(z)On (t) = 0.
Перегруппировывая члены ряда в левой части, мы находим:
оо оо
X е„Уя(*) О'„ (t) = У, (z) O0 (t) — X {¦/„_,(*) — Jn+i(z)} On (t) =
п—О л=1
= — J0(z)O1(t) —
1) Это рассуждение используется для доказательства того, что у сходящегося
степенного ряда, обращающегося в тождественный нуль, все коэффициенты суть нули
(ср. Курс современного анализа, ч. 1, § 3.73). В данном случае это рассуждение спра-
справедливо потому, что рассматриваемый ряд бесселевых функций с целыми индексами
равномерно сходится всюду в области, содержащей z = 0.

ПОЛИНОМЫ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 303
т. е.
оо
Приравнивая коэффициент при Jn (z) в левой части нулю, точно так же,
как это было сделано при доказательстве A), мы получим B) и C).
Объединяя A) и B), мы получаем эквивалентные формулы
D) пЮп_х (t) —{п2 — \)Оп (t) = (л — 1) Ю'я (t) + n sin21от,
/ d \
Если в этих формулах писать $ вместо л - , то они примут вид
F) (я —1) (&-}-«+1)О„ (*)=«{*O«-iW —sin*
G)
Шлефлиа) определил полином Неймана для целого отрицательного п
с помощью уравнения
(8) 0_n(t) = (—\y0n(t).
При таком определении формулы A) — G) остаются справедливыми для
всех целых значений п.
9.12. Дифференциальное уравнение2) для On(t)
Из рекуррентных формул § 9.11 F) и G) легко вытекает, что
= — t{tOn(t) — cos2-nn\-]-nsln2~ пи,
и, следовательно, Оп (t) удовлетворяет дифференциальному уравнению
(» + 1 J <^„ @ + (*2 — ^2) Ол @ = t cos2 ~ от + п sin2 ~ от.
Таким образом, общим решением уравнения
о л ( 9 Л cos2—пи л sin2—от
3 dy I ( l * * )y 2 1 2
1
будет
о
и поэтому On(t) есть единственное решение уравнения A), выражающееся
в конечном виде.
1) Schlafli, Math. Ann., Ill A871), стр. 138.
2) Neumann, Theorie der Bessel'schen Funktion (Leipzig, 1867), стр. 13; Journal
fur Math., LXVII A867), стр. 314.

304 ГЛАВА IX
Иногда бывает удобно записывать A) в виде
где
п \ njt2 (n — нечетное)
Можно построить дифференциальное уравнение и другим способом, а именно, если
заметить, что
00 00
д2 д
и, таким образом,
00
п — 0
. ! I ______ -—-
(г — zf ' (^ — -гJ ' t — z
= {
Далее,
/г=0
откуда
/г=0
Поэтому
00
Приравнивая нулю коэффициент при Ул(-гг) в левой части этого тождества, как и
в § 9.11, мы сразу получаем дифференциальное уравнение, которому удовлетво-
удовлетворяет Оп (t).
9.13. Контурные интегралы Неймана, связанные с функциями Оn(z)
Как показал Нейман!), для любого замкнутого контура С имеют место
равенства
A)
[jm(z)On(z)dz = 0,
C)
B)
С
С
где k есть избыток числа положительных витков контура С, описанных вокруг
начала координат, над числом отрицательных витков.
Первая формула легко вытекает из теоремы Коши, поскольку произве-
произведение Om (z) • On(z) имеет единственную особенность в начале координат, где
вычет равен нулю.
!) Neumann, Theorie der Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1867), стр. 19.

ПОЛИНОМЫ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 305
Третья формула получается аналогичным путем; подынтегральное выраже-
выражение имеет своим единственным полюсом простой полюс в начале координат,
где вычет равен 1/ел.
Для доказательства второй формулы умножим уравнения
соответственно на zOn (z) и Jm (z) и вычтем одно из другого. Если написать U (z)
вместо
то результат вычитания примет вид
z*U' (z) + zU (z) + (т* — я2) zJm (z) On (z) == z3gn (z) Jm (z),
откуда
[zU {z)]c + (m* — n*) J Jm (z) On (z) dz = § z*gn (z) Jm (z) dz.
с с
Проинтегрированная часть исчезает, так как U(z) однозначна, а интеграл
справа равен нулю потому, что подинтегральное выражение есть аналитиче-
аналитическая функция для всех значений z; и, таким образом, при т2=^=п2 мы полу-
получаем B).
Вот еще два следствия, принадлежащие Шлефли (Schlafli), Math, Ann., Ill
A871), стр. 138:
@ + )
D) lj
E)
р — —оо
второе же получается путем очевидной замены переменных.
9.14. Интеграл Неймана для функции On(z)
Нейман!) установил, что
(- * +)
1 J Om
Первое из них получается, если применить B) и C) к формуле § 2.4 A), а именно
00
7„
О
Мы сейчас докажем по индукции эквивалентную формулу
оо ехр fa
2 (I
где а — любой угол такой, что I a -J- arg z \ <^ -^ тт; полагая t = ujz, можно бу-
будет убедиться и в справедливости A).
х) Neumann, Theorie der Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1867), стр. 16; Journal
far Math., LXVII A867), стр. 312.

306 ГЛАВА IX
Видоизменением уравнения B) будет
00 + Ш
C) On(z)=Y J {еп*-\~{—\)пе-«*}
о
Чтобы доказать B), заметим, что
оо ехр fa оо ехр ш
O0(z)= $ e-«dt> Ot(z)= J te-«dt;
о о
и, следовательно, воспользовавшись рекуррентной формулой § 9.11 B), можно
написать:
оо ехр fa
$
где
D) ?я+,(')-2*?я(<)-ср„-1(<)=0,
И
E) ?о(')=1, <Pi (*) = '•
Решение дифференциального уравнения D) имеет вид
где А и В не зависят от /г, хотя они могут быть функциями от t. Но из усш>
вий E) следует, что A = B=y> таким образом, формула B) установлена.
Это доказательство в символическом виде было дано Сониным*), который вместо
оо ехр fa
нашего \ yn(t) e~zt dt писал ^n(D)-(\jz) (D означает ( 2-
Совершенно другим путем получил эту формулу Каптейн2); его рассуж-
рассуждения опираются на разложение § 9.1 A), которое мы теперь запишем в виде
Если |С|<М, то
при этом р должно быть выбрано так, чтобы
a 1 / 1
Таким образом,
г— i
v) S о n i n e, Math. Ann., XVI A880), стр 7. Аналогичные рассуждения в симво-
символической записи см. в § 6.14 и далее.
2) Kapteyn, Ann. Set. de VEcole norm, sup., C), X A893), стр. 108,

ПОЛИНОМЫ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ
307
Покажем, что перестановка знаков суммирования и интегрирования законна;
достаточно будет проверить, что для любых значений Саг (таких, что | С | < I z \)
величина
м <»
•МО
e~udu
может быть сделана сколь угодно малой, если N взять достаточно большим1); далее,
так что
о
00
J
1*1
Таким образом, поскольку | С | < | z |, мы имеем:
М со , г ,
и выражение слева может быть сделано сколько угодно малым, если N достаточно
велико, a z и С фиксированы.
Отсюда, при |?|<^ jz\, мы имеем:
^1= ? /,(
я=0
где функция Оп (z) определена уравнением
п {Z)=] к
оп
легко видеть, что определенная таким выражением функция Оп (z) есть поли-
полином от \\z степени п-\-\.
Если подинтегральное выражение разложить2) по степеням z и проинтег-
проинтегрировать почленно, то нетрудно будет привести это определение функции Оп (z)
в согласие с формулой § 9.1 D).
9.15. Исследование Сониным интеграла Неймана
Сонину3) принадлежит чрезвычайно интересное и плодотворное исследо-
исследование одного общего типа разложения для 1/(а — z). Из этого общего раз-
1) Ср. Bromwich, Theory of Infinite Series, § 176. [См. Добавление 2в конце
книги.]
2) Ср. Hob son, Plane Trigonometry A918), § 264.
3) Математический сборник, (Москва), V A870), стр. 323—382. Обозначения
Сонина слегка видоизменены нами, однако, символы фиф введены им.

308 ГЛАВА IX
ложения без затруднения получается формула Неймана (§ 9.1) и интеграл из
§ 9.14. Общая теорема Сонина формулируется так:
Пусть ф (w) — произвольная функция от w; далее, если ф (w) = х, то
пусть w = fy(x), так что ф есть функция, обратная ф.
Пусть Zn и Лп определяются уравнениямиг)
@ + )
\
Тогда
при этом предполагается, что ряд в правой части сходится.
Допустим, что для любого заданного положительного значения х на
некоторой замкнутой кривой С, охватывающей начало координат и точку z,
имеет место неравенство | w | ^> | ф (х) |, а на замкнутой кривой с, охватываю-
охватывающей начало координат, но не включающей точку z, справедливо неравен-
неравенство | w | <^ | ф (х) |. Тогда
л=0
00
1 Г/ I П *,ь^_„*. dwdx
О
2ic/ J J
о
о
00
= l/(a —*),
при условии, что /?(,г)<^/?(а); таким образом, результат установлен, если
лроизведенные преобразования допустимы.
Чтобы получить разложение Неймана, возьмем
тогда
х) Это связано с преобразованием Лапласа. См. Burkhardt, Encyclopadie der
Math. Wiss., II (Analysis) A916), стр. 781—784. [См. Смирнов, Курс высшей мате-
математики, т. IV, § 69, или Р. Курант и Д. Гильберт, Методы математической фи-
физики, т. II, гл. III, Дополнение,— Прим. ред.].

ПОЛИНОМЫ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 309
Поскольку
мы сразу получаем интеграл Неймана.
Сонин замечает (стр. 328), что
л1, вя0я (а) - п\ (д
так что разложение для 1/(а — z) сходится при | z | < | а |. В последней части своего
мемуара он дает и другие приложения своей общей формулы.
9.16. Производящая функция для On(z)
00
Ряд 2 (—1)л zntn0n(z), формально являющийся производящей функцией для
п=0
On(z), не сходится ни для какого значения ?, кроме нуля. Каптейн1) «просуммировал»
этот ряд, пользуясь методом Бореля, следующим образом:
z Аи А (\
п=о п=От=о(п — /я)!(—
2шй Z*k T\ \
п=0т=0 (п — m)\\—z\
т=\ п-=.т (п — т) ! ( — Z 1
m
oo
Lu ?-d / 1
= 0 n—m (n — m)\ ( y
Bm) I t2n(l + t2) 1 v^ B/w-fl)!
от = С
oo
__ l-f-^2 уч (—.l)w.m?^m
m = (
00
f e-udu
Борелевская сумма этого ряда равна A -f-№) \п _^\z^L.2tu1 причем интегРал
о
сходится при условии, что A—Щ z\t неотрицательно.
00
Нетрудно проверить, что ряд 2 (—*)п еп*п On{z) представляет собой асимпто-
П=г-0
тическое разложение интеграла для малых положительных значений t при | arg z \ < тг,
и что, таким образом, интеграл можно рассматривать как производящую функцию
для On{z). Каптейн дал построение теории функций Неймана, отправляясь от этого
факта.
!) Kapteyn, Nieuw Ar-chief voor Wiskunde, B), VI A905), стр. 49—50.

310
ГЛАВА IX
9.17. Неравенство типа Каптейна для функции On(nz)
Из интеграла Неймана можно получить для функции Оп (nz) неравенство,
подобное неравенству для Jn(nz), которое было получено в § 8.7. Мы имеем:
00
Оп (nz) = -~^j J \{
{w —
)n\ e~nw dw,
где путем интегрирования служит контур, лежащий в ^-плоскости, так что
где значение радикала выбирается с таким расчетом, чтобы подинтегральное
выражение имело больший модуль. Стационарной точкой для функции
{w-\-Vw2-{~z2}e-
является w = 1/^1—z2, и, таким образом,
A)
где путь интегрирования выбран так, чтобы подинтегральное выражение в
стационарной точке было наибольшим.
Если образовать над ^-плоскостью поверхность указанного в § 8.3 типа,
то стационарная точка будет единственной точкой перевала на поверхности,
а обе точки ^ = О и w = ~^~ со будут расположены ниже уровня перевала
при условии, что
гехр У\ — z2
B)
Поскольку, если условие B) выполнено, в качестве пути интегрирования
можно взять контур, идущий из начала координат в бесконечность, и по-
поскольку интеграл, входящий в неравенство A), сходится на этом контуре,
то всюду, где удовлетворяется условие B), неравенство
^ "ч ' ^1*1* гехрП — z*
выполняется для некоторого постоянного Л; последнее неравенство принадле-
принадлежит к тому же типу, что и неравенство из § 8.7.
9.2. Обобщение полинома Неймана, данное Гегенбауэром1)
Если разложить z^j(t — z) по возрастающим степеням z и заменить каждую
из степеней z ее разложением по бесселевым функциям (§ 5.2), то после
перестановки слагаемых найдем:
00 00 ( 00 \
(v -f- 5 4- 2/я) • Г (v -f- 5 + т) т \
t—z
и—о
т\
-п — т)
т\
Gegenbauer, Wiener Sitzungsbericltte, LXXIV B), A877), стр. 124—130.

ПОЛИНОМЫ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 311
при перестановке была произведена замена s на п — 2т. Обоснование пере-
перестановки слагаемых можно провести не сложнее, чем в соответствующем
месте § 9.1.
Мы пришли, таким образом, к рассмотрению полинома Гегенбауэра Лп v (t),
определяемого уравнением
/и=0
Это определение законно, если v не есть нуль или целое отрицательное
число; при |^|<^U| мы имеем:
оо
Читателю нетрудно будет доказать следующие рекуррентные формулы:
C) ^ + n-\)An+uJt) + (y + n+l)An_h4(t)-2i(v+tnJ-^An}4(t) =
2V(v+n){(v+^l}r(v + Y«-i-)
sin2 -я- «я,
16)
G) М
Дифференциальное уравнение, решением которого является
имеет вид
где
2'
(9) &,, W =
+ м V n2 ^ «in21 «тт.
Общим решением уравнения (8) является Ath4 (Q+^" ^v

312 ГЛАВА IX
Формулы C), D), (8) и (9) принадлежат Гегенбауэру; он также доказал,
что
@+)
(Ю) ±- §An^(t)e**tdt=Ti»T(v).(v-\-n)C;(z),
где C^n(z) есть коэффициент при ап в разложении A — 2az-\-a2)~^; эту фор-
формулу легко получить, найдя вычет функции (lzt)m A (t) в начале координат.
Соответствующая формула для полинома Неймана имеет вид
@ + )
A1) —г J On(t)eizt dt = incos {писcosz}.
Можно указать еще следующие формулы:
A2) ^Am^(z)An^(z)dz=0, (т = п и тфп)
с
A3) ^z-JH+
с
A4) j *~4+
с
где С — любой замкнутый контур, я = 0, 1, 2,... и k есть избыток числа
положительных витков над числом отрицательных витков контура С, описан-
описанных вокруг начала координат.
Первая и третья из трех последних формул доказываются по методу
§ 9.13, а вторая выводится из уравнений
из которых следует, что
с с
9.3. Полиномы Шлефли Sn(t)
Шлефли исследовал один класс полиномов, тесно связанный с полино-
полиномами Неймана Оп (t). Благодаря большой простоте некоторых свойств полиномов
Шлефли, ими часто бывает более удобно пользоваться, чем полиномами Неймана.
Шлефли ^ определяет свои полиномы следующим образом:
A) ^ = S ^Н
т=0
B) So(t) = O.
Сравнивая A) с § 9.1 B), мы сразу обнаруживаем, что
C) у nSn (t) = Юп (t) — cos21 ятг.
Подставляя в рекуррентные формулы § 9.11 A) и B) вместо Оп (t) его
выражение через Sn(t), получим из § 9.11 A):
1) Schlafli, Math. Ann., Ill A871), стр. 138.

ПОЛИНОМЫ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 313
D) Sn+1 (t) + 5„_! (*) — 2nt-*Sn (t) = «-' cos* i mr
и из § 9.11 B):
L(n—\)Sn-1(t)(n + l)Sn + 1(t) = nSn(t) ntSn(t) 2t4osnn.
Умножив последнее выражение на 2 и прибавив полученный результат
к D), получим:
Формулы D) и E) можно, конечно, доказать элементарным путем, ис-
исходя из определения полиномов Sn (t) и не пользуясь свойствами полиномов
Неймана.
Полином Шлефли для целого отрицательного п определяется следующим
образом:
F) S_n(t) = (—\)»+*Sn(t)\
при таком определении полинома соотношения D) и E) остаются справедли-
справедливыми для всех целых значений п.
Интересная формула, указанная Шлефли,
G) $„
легко выводится из C) и D).
Приведем некоторые рекуррентные формулы, которые можно получить из
D) и E):
(8) tSn_x (t) — nSn (t) — tS'a (t) = 2 cos21 im,
(9) tSn+1 (t) — nSn (t) + tSn (t) = 2 cos* 1 /иг.
Написав & вместо м;т;)» можно привести эти формулы к виду
A0) (& + в) 5„ (/) = <5Я_1 (t) — 2cos2 i ятт,
A1) {b — n)SH(t) = — tSn+1(t) + 2cos*± nn.
Следовательно,
(»2 _ я») 5„ (/) = t (» + 1 — В) Se_! (/) + 2й COS2 \ ПК =
— _ ^^ (jf) _j_ 2/ sin2 у лтс + 2л cos2 i- mz,
и, таким образом, 5П(^) является решением дифференциального уравнения
A2) P^-\-t^-\-{P — n?)y^2tsin^nu-\-2nzos^mz.
Первые из полиномов Шлефли (п = 1, 2, ..., 6) имеют следующий вид:
5 (/) = 2// + 48//S _[- 768/Ц5, S6 (t) = 12/г!2 + 384/г1* + 7 680/^.

314 ГЛАВА IX
Отти дал явные выражения для Sn (t) в виде рядов по убывающим сте-
степеням:
* „_f-m—
A3) 5Я(^)=?-Г^ п\гт= («-четное)
2/г , 2/г(/г2 —22) , 2/г (/г^.— 22) (/г^ — 42
. 2/г (/г^ ^— 2^) (/г^ — 4?) ,
"Г ?6 -Г»--»
= X у! V2 п /1 чая,+1= (я-нечетное)
_ .1 J_ 2(^2— 12) ! 2(Я2— 12)(Я2 —32) ,
Коэффициенты полиномовSn(t) для я= 1, 2, ..., 12 были вычислены Отти (Otti),
Bern Mittheitungen, 1898, стр. 13—14; формулы Отти воспроизведены (с несколькими
очевидными ошибками) Графом и Гублером (Graf, G u b 1 е г), Einleitung in die Theo-
rie der Bessel'schen Funktionen, II (Bern, 1900), стр. 24.
9.31. Формулы, связывающие полиномы Неймана и Шлефли
Нам уже встречались две формулы, связывающие полиномы Неймана и
Шлефли, а именно,
L 1
из которых первая является непосредственным следствием определений, а вто-
вторая вытекает из рекуррентных формул. Ряд других формул, связывающих
рассматриваемые функции, принадлежит Крельег); они легко выводятся из
ранее полученных формул, и мы здесь рассмотрим наиболее важные из них.
Если исключить cos2 —пп из § 9.3C) и § 9.3 (8) [или (9)J, то получим:
A) Sn_1{t)-S'n(t) = 2On(t),
B) Sn+t{t) + S'n(t) = 2On(t).
Затем, просуммировав равенства типа § 9.3 E), мы найдем, что
C) 5я@=— 2
т=0
и, таким образом,
D) s^+S^if) = - 2
от=0
Далее, из § 9.3 G) и E) мы имеем:
4 {О„_г @ + Оп+1 (t)} = Sn_2 (t) + 25, (f)+Sn+2 (t) =
= {Sn_2 (t) - Sn (t)\ - {Sn (t) - 5,+2 (^} 45, @ =
= 2^_a@ - 2S;+1 W + 45, (t) = 4S'> (t) + 4Sn (t),
i)Grelier, Comptes Rendus, GXXV A897), стр. 421—423; 860—863; Bern Mit-
theilungen, 1897, стр. 61—96.

ПОЛИНОМЫ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 315
и, таким образом,
Это — наиболее интересная из формул, полученных Крелье.
Наконец, просуммировав формулы типа § 9.11 B), получим:
<?(/*-!)
откуда
G) оп (t) + оп_г (о = - 2 До;_т_3 w + о1 (о + о 0 (о.
9.32. Выражение Графа для полинома Sn (z) в виде суммы
бесселевых функций
Своеобразная формула разложения в ряд
A) Sn {z)=ufl_n\Jn (z) Ym(z)-Jm(z) Yn(z)}
была найдена Графом1) в 1893 г., а доказательство ее было дано позднее
в книге Графа и Гублера2). Эту формулу легче всего доказать по индукции;
она, очевидно, верна для п = 0, а также, в силу § 3.63 A2), для п = \;
если теперь сумму в правой части временно обозначить через ®n(z), то оче-
очевидно, что
л + 1 /i-f-1
= 4+iW 2 Ym(z)—nYJI+1(z) 2 Jm(z) +
ПЪ'==: ~~ fl—1 tTl — -~~ П ~~1
п—\ л—1
I тг / (?\ ^^ V^ (?\ - ТГ V (?\ / / (Z\ ——
я п
— yZiiixx. 4>jJn yicj j?^ i _, \&) ~i— \4iiii &) I „ \?) j?^ m \ )'
Ttf=-—П ТП =—П
Если бы во всех шести слагаемых в правой части суммирование произ-
производилось от — п до п, то, как легко проверить, коэффициенты при суммах
2 ^т (z) и 2 ^т (z) обратились бы в нули. Поэтому
-тгУ,., BГ) {Yn (z) + Г_, Wj+nY^iz) {Jn (z) + J_n (z)} =
в силу § 3.63 A2); следовательно, vn(z) удовлетворяет той же рекуррентной
формуле, что и Sn (z), и отсюда по индукции мы, очевидно, получим, что
V{z) S(z)
1) Graf, Math. Ann., XLIII A393), стр. 138.
2) Graf und Gubler, Einleitung in die Theorie der Bessel'schen Funktionen, II
(Bern, 1900), стр. 34—41.

316
9.33. Интеграл Крелье для полинома Sn(z)
Если проинтегрировать по частям формулу § 9.14 B)
о
то в результате получим:
о
о 1 ооехр/а
COS2 — ЛТС р - . . - __
Отсюда следует, что
оо ехр/а
A) $„(*) =
О ' - i -
Последнее выражение, которое Шлефли (S с h I a f I i), Math. Ann., Ill A871),
стр. 146, дал в виде
оо -f- /a
B) Su(z) =
'п(г)= \
служит основой исследований Крелье1); мы наметим их здесь только вкратце.
Положим временно
Тп = {t+V'T+F}« — {t—1
тогда
так что
Inlin-\
и, таким образом,
J L
здесь непрерывная дробь содержит /z элементов. Отсюда следует, что Tn+1jTn
есть частное двух простых контачу ант2), т. е.
Тп+1_ KBt,2t,...,2t)n
Тп
причем индексы /г, /г—1 обозначают число элементов в континуанте.
Отсюда вытекает, что3) TjKBt)n_x не зависит от п; и поскольку
KBtH=l,
i) Grelier, Comptes Rendus, GXXV A897), стр. 421—423, 860—863; Bern Mit-
theilungen, 1897, стр. 61—96.
2)Chrystal, Algebra, II A900), стр. 494—502. [А. Я. Хинчин, Цепные дро-
дроби, стр. 7A935). — Прим. ред.\
8) Так как все элементы континуанты одинаковы, то можно пользоваться также
ее сокращенным обозначением.

ПОЛИНОМЫ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 317
ТО
Tn = 2V\+t
откуда
оо ерх zet
C) Sn{z) = 2
Исходя из этого выражения и используя свойства континуант, можно
получить все рекуррентные формулы для Sn(z).
9.34. Разложение Sn (t-\-z) no бесселееым функциям, данное Шлефли
Сейчас мы докажем теорему, принадлежащую Шлефли *): если
то функция Sn{z-\-t) может быть разложена в ряд
A) Sn(t + z)= 2 Sn_m(t)Jm(z).
Для положительных значений п проще всего выводить эту формулу по
индукции2). Она, очевидно, справедлива при п = 0, поскольку в этом случае
обе части формулы исчезают; при п = 1 выражение справа оказывается равным
S, (t) Jo (z)+ 2 {S,_m (t) Jm (z) + Sm+i (t) J_m (z)} =
= 2O0 (t) Jo (- z) + Д {5m_, 0 + 5m+1 (<)} Ут (- z) =
00
= 2 2 еж0ж(*)./ ( —*) =
в силу § 9.1 A) и § 9.3 G).
Теперь, если мы допустим справедливость A) для полиномов Шлефли по-
порядков О, 1, 2, . .., я, то будем иметь:
= 2 Sn_m_1(t)Ja{z) — 2 2 S'n_m(t)Jm(z) =
т=—оо т— — оо
т——оо
= 2 sn+l_m(t)jm{z),
и, таким образом, индукция справедлива; вторая строка вывода была напи-
написана на основании очевидного равенства
1) S с h I a f I i, Math. Ann., HI A871), стр. 139—141; исследование сходимости
этого ряда мы предоставляем читателю (ср. § 9.1).
2) Доказательство распространяется на отрицательные значения с помощью
§ 9.3 F).

318 ГЛАВА IX
Шлефли получил свою формулу, разлагая каждый из членов правой части A)
по возрастающим степеням z и убывающим степеням t. Приведенный здесь вывод при-
принадлежит Сонину (So nine), Mat. Ann., XVI A880), стр. 7. Сонин исследовал более
широкий (нежели полиномы Шлефли) класс функций, называемых полуцилиндрическими
функциями (§ 10.8).
Если воспользоваться равенством § 9.3 G), то при J2|<^|tf| очевидно,
что
B) On(t + z)= S On_m{t)Jm{z).
т——оо
Это равенство было непосредственно доказано Гегенбауэром (G e g e n b a u e г),
Wiener Sitzungsberichte, LXVI B), A872), стр. 220 — 223, который разложил On(t+z)
по возрастающим степеням z по теореме Тейлора, использовав при этом очевидную
формулу [ср. § 9.11 B)]
р
- VmPcm-on-p+ т it)
at m—0
и перегруппировав члены полученного двойного ряда.
Не представляет затруднений вывод формул Графаг) (справедливых при,
<
D) Sa(t — z)= S
т=—оо
00
E) On(t — z) = 2 On+m(t)Jm(z).
m=—оо
9.4. Определение полинома Неймана Qn(t)
Формула § 2.72B) выражает любую четную степень z в виде ряда по
квадратам бесселевых функций с целыми индексами. Нейман2), естественно
обобщая эту формулу, поставил задачу о разложении произвольной четной
аналитической функции в ряд такого вида.
Для того чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся вспомогательным
разложением для \\(t — z), которое будет соответствовать разложению
\j(t2 — z2)y данному в § 9.1; при этом функция Qn(t) будет определена как
коэффициент при enft (z) в разложении lj(t2 — z2), так что
О) «злг = Jl & Qo W + Щ (*)Q! (О
я=0
Чтобы получить явное выражение для &n(t), будем считать |^|<^|^|, и,
разложив ll(t2 — z2) по возрастающим степеням z, подставим вместо каждой
степени .гряд из квадратов бесселевых функций, полученный Нейманом (§ 2.72).
1) Graf, Math. Ann., XLIII A893), стр. 141 — 142; см. также Epstein, Die vier
Rechnungsoperationen mit Bessel'schen Funktionen (Bern, 1894) [Jahrbuch uber die
Fortschritte der Math., 1893—1894, стр. 845—846.]
2) N e u m a n n, Leipziger Berichte, XXI A859), стр. 221—256. [Math. Ann., Ill A871),
стр. 581—610.]

ПОЛИНОМЫ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ
319
Как и в § 9.1, мы имеем:
2 22
S—0
/и '
ел-/л
n—ls=l
после перегруппировки членов ряда с заменой т на я — 5; обоснование такой
перегруппировки не сложнее, чем в соответствующем месте § 9.1.
В соответствии с этим функция Qn (t) определяется равенствами
B)
C)
id / 1
s=0(n-s)!Bs)! (j
Изменяя в B) порядок членов на обратный, находим:
Q (t\— I V п.Bп-т-\)\{(п-т)\J
*n\f) 4 ^ / 1
т=0 ш!B/г — 2/тг)! (~
так как, если B) написать полностью, то оно примет вид
— 22) , Ь2-
Таким образом,
где
G)
—42)
Г
•B/г—1) "Г Ь2.B/г— 1)B/г — 2) » " *#
• * • * 1 -2... /г-B/г — 1)B/г — 2)... п( '
-3)
Й
2"~ 2л ' 4~ 2/г B/г — 2) »
} B/г — 1) B/г — 3) B/г — 5)
6 2/г B/г — 2) B/г — 4) '
2л 2/г B/г — 2) ... 2
1, то, используя методы § 2.11, легко показать, что
? А (О I < 22Л I * I ¦~2Л~2 (^ О2 ехр (| 112),
Поскольку
(8)
и при #]>
(9)
где
|6|<{ехр|*|2 —1}/Bл —1).
Рассуждая подобно тому, как в конце §9.1, легко показать, что области
сходимости рядов ^anJl(z)Qn(t) и ^ап(г^Jп совпадают.
ея0я(Q = 22^-2я-2 (п f JA + 6),

320
Читателю нетрудно будет проверить любопытную формулу, принадлежа-
принадлежащую Каптейну !):
9.41. Рекуррентные формулы для Qn{t)
Мы выпишем сейчас формулы для полинома й/г (?), соответствующие
§ 9.11B) и C):
B)
C) J
Простой формулы, аналогичной § 9.11A), повидимому, не существует.
Метод, при помощи которого Нейман2) получил эти формулы, описан в § 9.11.
Рассмотрим основное разложение § 9.4A); мы имеем:
и, в силу разложения Хансена из §2.5,
00
2Уо(гO'о(г)= — г 2 \Л-г (г) — fn+i {z)\jn.
П — \
Дифференцируя по t и по z, находим:
- z*Y = 2/0 (г) У; B) Q0@ -\-z
=* 2 {^_, и —'*+
Из сравнения полученных результатов легко вытекает, что
Выделив слева коэффициент при Уд (я) и приравняв его нулю (ср. § 9.1),
мы сразу получим три нужные формулы.
9.5. Обобщение полинома Неймана Qn(t), данное Гегенбауэром
Если разложить z^+^\{t — z) по возрастающим степеням z, а затем заме-
заменить каждую степень z ее разложением в ряд произведений бесселевых функ-
а) Kapteyn, Ann. Set. de VEcole norm, sup., C), X A393), стр. 111.
2) Neumann, Leipziger Berichte, XXI A869), стр. 251. [Math. Ann, III A871),
стр. 606.]

ПОЛИНОМЫ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 321
ций, данный в § 5.5, то после перегруппировки членов (с заменой 5 на
п — 2#г), мы найдем.
A ml ii+^ + *w v + I
/z=0 w = 0
Г fv+l72 —
при этом предполагается, что | z | <^ 11 \; обоснование законности перегруппи-
перегруппировки членов не сложнее, чем в соответствующем месте § 9.1.
Мы приходим, таким образом, к рассмотрению полинома Bn;v.^(t)y опре-
определяемого равенством
(П В lt)-2*+*
m
Этот полином был изучен Гегенбауэром х); он удовлетворяет различным
рекуррентным формулам, причем все они имеют сложный вид.
Заметим, что
B) B2n;O,o(t) = entQn(t).
Заслуживают внимания следующие обобщения формул Гегенбауэра, кото-
которые получаются путем разложения бесселевых функций в ряды по возрастаю-
возрастающим степеням и определения вычетов:
@ + )
C) 2Й J *-Vv B* sin <р) В2п+1; ^ v (t) dt = 0.
@ + )
D) gg Г ГУ, B^ sin ср) ?2л; ^ v (t) dt =
Gegenbauer, Wiener Sitzungsberichte, LXXV, B), A877), стр. 218—222,

322 ГЛАВА IX
В частном случае, когда jx = v, эта формула сводится к следующей:
@ + )
E) -L Г tf-Vv B* sin <р) ?2л; v, vW^=22v(v + «) Г (v) sin'cpCMcos2cp).
2и J
Последняя формула может быть еще более специализирована, если поло-
1 1
жить ср равным —-тг или -тт-тг.
9.6. Определение полиномов Ломмеля1) Rm^(z)
Рекуррентную формулу
можно, очевидно, использовать для того, чтобы выразить J^+m(z) линейно
через /v (z) и Jyt_1 (z); коэффициентами такого линейного выражения
будут полиномы от 1/г, которые называются полиномами Ломмеля. Мы
сейчас покажем, как получить их выражения в явном виде.
В результате исключения /v+1 (z), /v+2 (z), ..., Л+m-i (z) из системы урав-
уравнений
Л+p+i (z) — {2(v-\-p)lz\Jv+p (^)+Л+р-1 (-г) = 0 (р = 0, 1, ... т— 1),
мы, как легко видеть, получим уравнение
Л+/и (*)» —2z~1(v-\-ni — 1), 1, 0
0, 1, — 2г-1(у-}-яг — 2) 0
0, 0, 1, 0
= 0.
0, 0, 0, 1
v_iB) — Bv/*)yv(*)» °» °» !
Разлагая детерминант по элементам первого столбца, находим, что мно-
множителем при Jv+m(z) будет единица, а множителем при (—1 )т-г /v (z) будет
1? '— 2*-i(v4-w —2), l' 0,' 0
0,' 1, — 22r-1(v + 'w —3), .... 0, 0
б,6,0, .. \—2zLHv+l), 1* '
О, 0, 0, ... 1, —2z~\
Множителем при (— \)m~lJv-\ (z) будет минор этого же детерминанта,
полученный вычеркиванием последней строки и последнего столбца.
Множитель при (— \)m~lJs(z) обозначается символом (— \)т Rm, v (z)\
определенный таким образом полином Rm, v (z) называется полиномом Ломмеля.
Он имеет степень т относительно \\z и ту же степень т относительно V.
Вычеркивание последней строки и последнего столбца в детерминанте, опре-
определяющем Rm^{z), эквивалентно увеличению v и уменьшению т на единицу;
таким образом, множителем при (— l)'""^^^) будет (—l)w"~1^?m_i, v-fi (z).
Отсюда следует, что
т. е.
A) +
i) Lommel, Math. Ann., IV A871), стр 108—116,

ПОЛИНОМЫ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ
323
Легко видеть, что1) Rm v (z) является числителем последней подходящей
дроби для
2Z (V + т — 1) —
2г-1 (у + т _ 2) _ 2^_1 (у + m__ 3) — ... — 2^Ь #
Функция Rm^(z) была определена Ломмелем с помощью уравнения A).
Затем он получил явное выражение для коэффициентов полинома при помощи
довольно длинного вывода, основанного на методе индукции; проще опреде-
определять коэффициенты, пользуясь рядом для произведения двух бесселевых функ-
функций, как будет указано в § 9.61.
Как заметил Бессель (В е s s e 1), Berliner Abh., 1824, стр. 32, из рекуррентных
формул вытекает существование полиномов An—i(z), Bn~i(z) таких, что
Jn (г) = -
где [ср. § 9.62 (8)]
п-г (z) /0 (г) - Вп-Х (г) Л (г)},
Л„_г(z)Bn (z)- Ап (z)Bn-X (z) = 2г.ц,..Л2п
Укажем, что Граф 2) и Крелье 3) пользовались обозначениями, отличающимися от
обозначения Ломмеля; они записывали уравнение A) в виде
9.61. Явное представление полиномов Ломмеля
Легко видеть, что (—l)w»/_v_m B), как функция целого числа яг, удов-
удовлетворяет тем же рекуррентным формулам, что и J^+m(z); отсюда, пользуясь
результатами § 9.6, получим:
A) (_ 1)*/_,_ж (*)=/_ v (г) /?mjV (z) + 7_v + ] (г) R^U4+1 (z).
Умножим это уравнение на 7v-1 (z)9 а уравнение § 9.6A) — на ./_v+i(z)
и сложим результаты. Тогда
B) yv+mB)/_v
в силу § 3.2G). Но, по §5.41, мы имеем:
\ т+2р+1
^ p, г (v
f( _ v + 2 + J) »
/_v_m (z) /v_! (г) =
+
/И + 2/7+1
P-=o
1) Ср. Ghrystal, Algebra, II A900), стр. 502.
2) Graf, Ann. di Mat, B), XXIII A895), стр. 45 — 65; Einleitung in die Theorie der
BesseJ'schen Funktion, II (Bern, 1900), стр. 98—109.
3) Crelier, Ann. di Mat., B), XXIV A896), стр. 131—163.

324 ГЛАВА IX
где в последнем суммировании п заменено на т-\- р -\-\. Используя очевид-
очевидное равенство
\)l p\
и ряд для произведений бесселевых функций, получим:
1Г(-у~
? п\(т — 2
причем члены, для которых п*^>-^т, обращаются в нуль благодаря наличию
в числителе множителя (— т-\-п)п.
)п.
Если v — не целое, то мы находим:
7Г\(т — 2л)!Г(у+л)
Но первоначальное определение полинома Rm v (z) с помощью детерми-
детерминанта показывает, что Rm^(z) есть непрерывная функция от v для всех зна-
значений V, целых или не целых; поэтому с помощью очевидного процесса пре-
предельного перехода мы убеждаемся, что выражение C) справедливо для Rm^(z)
также и в случае целого v. Когда v есть отрицательное целое число, может
оказаться необходимым в нескольких слагаемых заменить частное
Ряд C) был получен Ломмелем (Lommel), Math. Ann.,\V A871), стр. 108—111;
эквивалентный результат в других обозначениях был опубликован им десятью годами
ранее, Archiv der Math, und Phys., XXXVII A861), стр. 354—355.
Интересное соотношение, основанное на только что упомянутом факте
эквивалентности частных, было впервые указано Графом1), а именно:
D) *»,,(*) = ( —1ГЯя,_
В обозначениях Похгаммера (ср. §§ 4.4, 4.42) мы имеем:
т^;vw I
/?m?v {z)\Z) как линейная комбинация произведений цилиндрических функций
порядков v-j-tfz и v—1, переводится в нуль оператором
— 1)
Graf, Ann. di Mat., B), XXIII A895), стр. 56.

ПОЛИНОМЫ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 325
где {)• = ?—; таким образом, Rm^(z) является решением дифференциального
уравнения
F) [F_}-m)(» + 2v + m — 2) (в — 2v — /и) F — т — 2)\у-\-
\)у = 0.
Эквивалентный результат получил Гурвиц (Н u r wi t z), Math. Ann., XXXIII A899),
стр. 251; довольно сложное доказательство этого результата было дано Нильсеном
(Nielsen), Ann. di Mat. C), VI A901), стр. 332—334; еще одно простое доказатель-
доказательство, отличающееся от только что приведенного, можно получить из формулы E).
9.62. Свойства полиномов Ломмеля
Ниже мы укажем несколько теорем, касающихся Rmy) (z), которые были
опубликованы Ломмелем в его мемуаре в 1871 году.
Прежде всего, формула § 9.6A) справедлива не только для бесселевых
функций, но и для любых других функций, удовлетворяющих таким же ре-
рекуррентным формулам; в частности,
A) YH+m (г) = Y, (z) Rm>, (г) - У^г (г) Rm-V v+1 (z),
откуда следует, что
B) Y,+m{z)J4_,{z)-J^m{z) П-1(*) =
= *„, v (*) {К & Л-1 (г) — У, (z) Fv_, (z)\ = — 2Rm>, {z)\{tiz).
Будем, далее, в § 9.61 B) считать т произвольным четным числом; заме-
заменим т на 2т и v на v — т. Тогда равенство примет вид
C) 7v+m(z) ym+1_v (z) + 7_v_m (z) У_т_! +v (z) =
= 2( — 1)" sin m-R2nh ^m (z)l(nz),
и в частном случае v = y мы получим:
D) Jl +1. <*) + У1т_ i. W = 2 (- 1Г я2т> ^_т (,)/(«),
т. е.
л) 1 Bт — 2п)!
Последнее выражение является частным случаем асимптотического раз-
разложения из § 7.51, когда индекс равен половине нечетного числа.
В частности, мы имеем:
F)

326 ГЛАВА IX
Формула E) была опубликована Ломмелем1) в 1870 г., который тогда получил ее
непосредственно, перемножив разложения (§ 3.4)
и проведя затем для определения коэффициентов произведения довольно длинное рас-
рассуждение по методу индукции.
Укажем частные случаи формул § 9.6 A) и § 9.61 A):
1
Возводя в квадрат и складывая, мы из D) находим2):
(8)
RlL() + lt_^() (r2m>L_m()
Наконец, если в § 9.61 B) заменить т нечетным числом 2т-\-\у а затем
заменить v на v — m, то получим:
О) Л+т+1 (г) 7_v+m+1 (*)—/_,_„_, (г) /_„_, {г) =
= 2( —1Г81п-ж/?,ж+ь,_т(г)/(те).
Интересный результат, указанный Нильсеном (Nielsen), Ann. di Mat., C), V
n
A901), стр. 23, состоит в том, что из любого тождества типа 2 fm(z)'^^+m(z)^^^
т— 0
где fm(z) — алгебраические функции от z, можно сразу получить два тождества
т—0 т—0
записав исходное тождество в виде
2 fm W { Л (г) Rm, v (г) - Л_х (г) Rm-h v+1 (г) | я 0
/и = 0
и замечая, что, в силу § 4.74 в сочетании с § 3.2 C), частное 7v_j (z)jj^(z) не является
алгебраической функцией. Нильсен указывает в этом своем мемуаре и в следующем
за ним (ibid. C), VI A901), стр. 331—340), что с помощью этой формулы можно полу-
получить многие интересные разложения в ряды по полиномам Ломмеля; некоторые из
этих формул можно найти в его Handbuch der Theorie der Cylinderfunktionen (Leipzig,
1904). Мы здесь их приводить не будем.
9.63. Рекуррентные формулы для полиномов Ломмеля
В основной формуле
Л+« (*) = Л (г) Rm, v (г) — JH_X (г) Rm_h v+, (z),
произведем замену т на т -\- 1 и v на v — 1. Сравнивая два выражения для
v_! BГ) } = { Л (Z) + Л-2 W } /?т, v (z).
!) L о т т е 1, Л1л^Л. Л/г/г„ II A870), стр. 627—632.
2) Этот результат получил Ломмель (Lommel), Math. Ann., IV A871),
стр. 115—116.

ПОЛИНОМЫ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 327
После деления на 7V-1 (z), которая не равна тождественно нулю, мы
получаем:
Чтобы получить вторую рекуррентную формулу, заменим в § 9.62 B)
т на т-\-1 и т—1, а затем воспользуемся рекуррентными формулами, свя-
связывающими бесселевы функции с индексами у-\-т — 1 и v -f- /w -f- 11 тогда
мы будем иметь:
<2) Я«_1, v (z) + Rm+1,, {г) = Щ^- Rm,, (z),
и отсюда, в сочетании с A) и B),
Запишем, далее, равенство § 9.62 B) в виде
_{r-v-myv + mB)}{z
и продифференцируем его. Мы получим:
D) /С v (*) =^ Лт,, И + Ят+1,,_, (г) -
откуда, вследствие C), A) и B),
E) #„,,(*) ^
F) /?'я,,,(г)
G) ^,И
Большую часть этих формул дал Ломмель (Lommel), Math. Ann., IV A871),
стр. ИЗ—116, однако,F) принадлежит Нильсену (Nielsen), Ann. di Mat. C), VI A901),
стр. 332; формулой B) воспользовался Портер (Р or ter), Annals of Math. B), HI A901),
стр. 66, при исследовании вопроса о корнях полинома Rm,v(z)-
Формулу B) можно, очевидно, использовать для определения функции
Rm v (z) в случае, когда т есть нуль или целое отрицательное число; таким
образом, для того чтобы B) была справедливой при всех целых значениях т,
в силу формул
*,„М=^^-1. *,„<*) = т'
должны иметь место соотношения
(8) Яо,Л*)=1. *_,,,(*) = 0, /?_,,,(*) = —1,
и отсюда, по индукции, вообще
(9) /?_«„(*) = (—l)"-1 Ят_,, ,_,(*).
Последнюю формулу дал Граф (G r a f), Ann. di Mat. B), XXIII A895), стр. 59.
Сравнивая (9) с другой формулой Графа § 9.61 D), мы находим:
Если функции с отрицательным параметром определить согласно уравне-
уравнению (9), все формулы A) — G) будут справедливы для отрицательных значе-
значений т так же, как и для положительных.

328 ГЛАВА IX
9.64. Трехчленные соотношения, связывающие полиномы Ломмеля
Из рекуррентных формул предыдущего параграфа можно вывести один
класс соотношений, которые были рассмотрены Крельег). Он получил эти
соотношения, пользуясь теорией непрерывных дробей.
Прежде всего заметим, что из § 9.63 B) следует, что J^+m(z) и /?m?v(z),
как функции от т, удовлетворяют одной и той же рекуррентной формуле,
которая связывает три последовательные функции; так что, повторяя рассуж-
рассуждения § 9.6 (с заменой бесселевых функций на соответствующие полиномы
Ломмеля), получим:
A) Rm+rh ;(z) = Rm,, (z) Rnt v+m (г) — Rm_,, v (z) Rn_h v+m+1 (z).
Далее, заменим в § 9.63 B) m на т—1 и v на v —{— 1, а затем исклю-
исключим 2(m-\-i)lz из этих двух уравнений; тогда найдем:
m-l, v + l (*) =
и, таким образом, значение левой части не меняется при замене т на т — 1.
Это означает, что она не зависит от т\ и так как при т = 0 ее значение
равно единице, то справедлива формула Крелье
B) Rmt, (z) Rm, ,+1 (г) - /?m+1> v (z) /?„_,, v+1 (г) = 1;
в случае v = 0 этот результат принадлежит, по существу, Бесселю (ср. §9.6).
В более общем случае, если бы мы заменили в § 9.63 B) т на т — п
и v на v-f й, мы бы нашли аналогичным образом, что
= Rm-U v (z) Rm-n, v+« И — Rm, v (Z) Rm_n_h ,+n (Z);
таким образом, значение левой части не меняется при замене т на т — 1.
Это означает, что она не зависит от т. И поскольку при т = п это значе-
значение равно /?я_! v (z), мы из § 9.63 A0) находим:
C) Rm v (г) Rm_n+1, ,+п (z) — Rm+1, v (z) Rm_n, v+/z (z) = Rn_h v (z);
в другой форме этот результат был дан Ломмелем2).
Если в этом равенстве мы заменим т и п на т—1 и /z —j— 1, то получим:
D) Rm_h v (г) /?т_л_1? ,+п+1 (z) — Rm v (z) /?т^л_2, v+w+1 (z) = Rn, v (z).
Переписав это уравнение с заменой п на р и исключив из последних двух
уравнений /?m_b v (z), мы найдем:
Rfn—n-2, v + «+l \z) Rfn—p-1, v+p+1 W J^^^m, v l^) Rn-p-V v
согласно C).
Если теперь в каждом из членов преобразовать второй сомножитель
с помощью § 9.63 A0), то получим результат Крелье (lor. cit., стр. 143)
E) Rn9 v (г) Rp_m_h v+m+1 (z) - Rp9 v (z) Rn_m_h v+m+1 (z) =
1) GreHer, Ann. di Mat. B), XXIV A896), стр. 136 и ел.
2) Lommel, Math. Ann., IV A871), стр. 115.

ПОЛИНОМЫ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 329
Это — наиболее общее линейное соотношение из рассмотренных Крелье
типов; оно связывает любые три полинома /?m? v (z), /?л? v (z), Rpt> v (z) с одним
и тем же параметром v и одинаковым аргументом z! Последнюю формулу
можно записать в более симметричном виде
6) /?„,, (z) Rp_m_u v+m+1 (z) + Rp,, (z) /?„_„_,, v+n+1 (z) +
или
(?) 2 *«,,(*>*,-«-
Для любых трех бесселевых функций, индексы которых отличаются на
целые числа, можно получить аналогичную формулу. Если исключить J^+m^i(z)
из уравнений1)
-m, v+m (z)
то получим:
Л + л (z)Rp-m-l, v + m + i (z) Л+р (z)^w~m-l, v+m+1
) Rp-tn, v + m (z) ^?л-т-1, v+m + 1 (z) J =
последнее выражение получается из равенства E), если заменить в нем
т, я, р, v соответственно на 0, я — яг, /? — яг, v-f-m.
Таким образом,
(8) 2 A+n(z)Rp-m-U^m+l(z) = °,
m, л, р
и можно, очевидно, доказать более общее соотношение
(9) 2 tf»+*(*)V«-^+*+i<*>=0'
m, л, р
где # обозначает любую цилиндрическую функцию.
Последние две формулы, повидимому, никогда ранее не были установлены
в явном виде, хотя Граф и Гублер указывали на существование таких равенств,
Einleftung in die Theorie der Bessel'schen Funktionen, II (Bern, 1900), стр. 108, 109.
[Замечание. Если исключить yv_x(z) из уравнений
Л+m-l (*) = Л W ^я-1, v (*) — Л-1 W Rm-% v+1 W
и для упрощения полученного уравнения использовать B), то получим:
Л (*) = — Л+т («) ^m-2, v+1
и поэтому, заменяя v на v — /и, имеем:
У,_т BГ) = — У, (Z) Rm-% v-m + l B
Воспользовавшись § 9.63 A0), находим:
Vv-* <2Г) = У, BГ) #_Л, v BГ) — Л-1 W ^-m-1, v + 1 (^Х
т. е. что уравнение § 9.6 A), которое рассматривалось до сих пор только при
положительных значениях параметра т, оказывается справедливым и для отрица-
отрицательных значений].
L) Временно полагаем, что т есть наименьшее из целых чисел /и, я, р\ однако,
в силу симметричности результата, это ограничение можно отбросить. См. также при-
примечание в конце этого параграфа.

330 ГЛАВА IX
9.65. Предельное соотношение Гурвица для полиномов Ломмеля
Мы сейчас докажем, что
Этот результат был приложен Гурвицем (Н u r wi t z), Math. Ann., XXXIII A889),
стр. 250—252, к рассмотрению вопроса о вещественности корней функции Jy)(z) при
вещественном v (§ 15.27). Этим же вопросом занимались Граф (G г a f), Ann. di Mat.,B),
XXIII A895), стр. 49—52 и Крелье (С re Her), Bern Mitt net lunge n, 1897, стр. 92—96.
Из § 9.61 C) мы имеем:
Обозначим теперь
(/я —
(m
и, таким образом,
л/ , (т — п)(т~п—\)...(т~2п-\-\)
J \m> a> (V _|_ ^ (V _j_ Ллг — 1).. . (V _|_ //г — лг 4- 1) '
Если, теперь, N—наибольшее целое число, содержащееся в |v|, то для
n^>N каждый из сомножителей числителя в выражении для Ь(т, п) будет
численно меньше, чем соответствующий сомножитель в знаменателе.
Отсюда при n^>N и m^>2N имеем:
и для любого фиксированного значения п имеем:
Ит 6(т, л)=1.
т -> оо
Поскольку ряд
абсолютно сходится, то, по теореме Таннери1), имеем:
«i« (-i).( V+2"
lim !1А2^
n^o п!Г(у+/г+1)
чем и устанавливается теорема Гурвица.
Кроме того, поскольку сходимость ряда 2^ , „( ,—ЦГТТ— является равно-
равномерной в любой ограниченной области2) значений z (согласно признаку Вейерштрасса),
1) Ср. В г о m w i с h, Theory of Infinite Series, § 49. [См. Дополнение 2 в конце
книги. — Прим. ред.]
2) При #(v)s^0 из этой области, очевидно, следует исключить произвольно
малую окрестность начала координат.

ПОЛИНОМЫ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 331
сходимость последовательности
также будет равномерной в любой ограниченной области значений z.
Из теоремы Гурвица легко получить выражение для Jy)_1 (z)jJ^ (z) в виде
бесконечной непрерывной дроби. Действительно, считая Jy)(z)=^=Oy мы имеем:
Ш-+ОЭ
[ J L
в силу § 9.63 A). Выполняя деление и замечая, что
мы находим:
откуда
i; JH(z)
Такой прием позволяет обойти непосредственное доказательство того, что при
т -> оо последним элементом непрерывной дроби
можно пренебречь. Этот прием принадлежит Графу (Graf), Ann. di Mat. B), XXIII
A895), стр. 52.
9.7. Видоизмененное обозначение для полиномов Ломмеля
Чтобы изучить свойства нулей полиномов Ломмеля, удобно, следуя Гур-
вицу, изменить обозначения, основываясь на том соображении, что полиномы
Ломмеля содержат только степени переменного с чередующимися знаками.
В соответствии с этим мы определяем видоизмененный полином Ломмеля
gm,Az) уравнением!)
A) Sm,v(*)= JL т-пСп 1>+л+1) '
так что
B) ^m9^+Az)={jzYmgm9, (I**
Производя необходимые изменения в обозначениях §§ 9.63, 9.64, чита-
читатель легко получит следующие формулы:
C) ^+M(z) = (v4-w-|-lL,vW-%-i,vD [§ 9-63 B)]
D) gm+1 y)_1(z) = vgm ^(z)—zgm__1 v + 1(^), [§ 9.63 A)]
E) jk?№*m,A*)}=*gn-hA*) + gm+u*-ii*)> В 9-63 G)]
(z)y [§ 9.63 D)]
G) gm,{z) gm+u v+, B) — gm+2,, (г) g-m_i( v+1 (z)=zm g0} v (z) gu v
[частный случай формулы § 9.64 E)].
1) Это обозначение отличается от обозначения Гурвица несущественными
деталями.

332 ГЛАВА IX
Эти формулы потребуются нам в дальнейшем; выписывание других фор-
формул, аналогичных формулам из §§ 9.6—9.64, представляется нам излишним.
В результате исключения из системы C) функций с соседними значками
мы получаем выражения, имеющие известный интерес. Для любого т мы
имеем:
(v + т) gm+2, v (z) = ст (z) gm, v (z) — (v + m + 2) s* gm_2, v (z),
где
Мы получаем, таким образом, систему уравнений
2) gt, v (*) = с2 (z) g2t v (z) — (v + 4)
(8)
(v + &) g2s+2, v (z) = c2s (z) g2s, v (z) — (v + 2s + 2) 2»а
(v + 2/Ti — 2) ^2OTj v (^) = ?2/7^2 (^) ^2m_2f v B) — (v
9.71. Вещественность корней полинома g2m^(z) при v> — 2
Мы сейчас дадим доказательство Гурвица его теоремы1) о том, что при
v^> — 2 все корни полинома g2m^(z) вещественны и, кроме того, что все
они положительны, за исключением случая — 1 ^> v ^> — 2, когда один из
корней отрицателен.
Заметив, что g2m^(z) есть полином от z степени т% мы покажем, что
функции g2m^ v (z)y g2m'_2, v (z)y . .., g2i v (z), g% v (z) образуют последовательность
Штурма. Достаточным условием для этого является (i) существование соотно-
соотношений § 9.7 (8) и (ii) теоремы о том, что вещественные корни полинома
g2m-2,Az) чередуются с вещественными корнями полинома g2m^{z).
Для доказательства чередования корней достаточно доказать, что отно-
отношение g2m^ v (^)/^2т-2, ^ (z) есть монотонная функция вещественного перемен-
переменного z, за исключением тех точек, где знаменатель равен нулю и отношение
перестает быть непрерывным.
Мы имеем:
Р* (z\— {JzmiAL\— _ №
ё 2т-2, v \z) dz \g2m_^ 4B)f— ^2m, 2m-2>
где
и из § 9.7 C) следует, что
/ S»2«, 2m-2 =g\m-2, v W + (V + 2m
\ 2S2m-i, 2m-2 = *2 2B2m_3,2m_4 + (v + 2m — 2) g*2m_e, v (^),
и, таким образом,
2S = «L (г) + (v + 2m) "^' (v + 2r) ^»-»«-> ^
l
и, следовательно, при m^l, 2Б2ОТэ2/7г_2 может быть представлено в виде
суммы положительных членов, считая при этом v^> — 2.
Таким образом, свойство монотонности установлено; отсюда вытекает, что
корни полинома g2m—2,v(z) чередуются с корнями полинома g2m ^(z).
!) Hurwitz, Math. Ann., XXXIII A889), стр. 254—256.

ПОЛИНОМЫ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ
333
Из теоремы Штурма следует, что число корней полинома g2nis v (z) на
любом интервале вещественной оси равно избытку числа перемен знака
в последовательности выражений g2m v(z), g2m^2, v (z)> • • •» So, v (z)» вычисленных
для правого конца интервала, над числом перемен знака в такой же последо-
последовательности для левого конца интервала.
Число корней равно избытку, а не недостатку числа перемен знаков, потому
что частное g2mi v (*)/g2/M—2, v (z) есть убывающая, а не возрастающая функция от z,
как это имеет место в обычной формулировке теоремы Штурма. См. Бёрнсайд и Пан-
тон (Burnside, Pan ton), Theory of equations, I A918), § 96*).
Распределение знаков для последовательности функций, когда z имеет
значения —оо , 0, оо, будет следующим:
00
0
00
2т
+
( 1I»
2т — 2
+
(- iy»-i
2т — 4
+
(_1)«-2
2
+
—
0
+
+
+
Во второй строке верхние или нижние знаки выбираются в соответствии
с тем, положительно ли v-j-1 или отрицательно. В частности, из этой таблицы
вытекает справедливость теоремы Гурвица.
9.72. Отрицательные корни полинома g2m^(z) nPu V<C —2
Пусть v будет меньше, чем — 2, и пусть целое положительное число
деляется неравенствами
— 2s>v>—2s —2.
Мы сейчас покажем, что1) при —2s—1<CV<C—%s полином g2m^{z
2
не имеет отрицательных корней; если же — 2s — 2<^v<^ — 2s — 1, то
полином g2rU9 v (z) имеет один отрицательный корень. При этом предпола-
предполагается, что т взято столь большим, что v -\- 2т положительно.
Сначала покажем, что отрицательные корни (если таковые существуют)
полинома g2m^ v (z) чередуются с отрицательными корнями полинома g2m_2j v (z).
С помощью формул, полученных в § 9.7, легко находим:
— /
dz I
v (Z)
= (v + 2m)
(г) - 2T»«-i} > О,
при условии, что v-\-2m положительно, a z отрицательно. Поэтому, в еде
ланных предположениях, отношение
*) См. А. К. Сушкевич, Основы высшей алгебры, 1941, § 83. (Прим. ред.)
*) Это доказательство отличается от доказательства Гурвица; см. Proc. London
Math. Soc, B), XIX A921), стр. 266—272.

334
есть убывающая функция, откуда чередование корней становится очевидным.
Существование системы уравнений § 9.7 (8) показывает теперь, что
функции
образуют последовательность Штурма.
При z = — оо эти функции имеют знаки
и число перемен знака равно 5. При z — Q функции имеют знаки
причем верхние знаки берутся для —2s^>v^>— 2s—1, а нижние—для
— 2s — 1 ^> v ^> — 2s — 2; число перемен знака будет соответственно равно s
и s + 1. Отсюда, для — 2s ^> v ^> — 2s — 1, полином g2m^ v (z) не имеет
отрицательных корней, в то время как при — 2s — 1 ^>v^> — 2s —2 он имеет
один отрицательный корень. Таким образом, сформулированная теорема доказана.
9.73. Положительные и комплексные корни полинома g2m^{z) nPa
v<^ — 2
Как и в § 9.72, определим целое положительное число 5 неравенствами
— 2s>v> — 2s — 2.
Теперь мы покажем1), что при —2s—l<^v<[ — 2s полином g2m v(z)
имеет m — 2s положительных корней, а при — 2s — 2 <^ v <^ — 2s'— 1
полином g2m^{z) имеет m — 2s—1 положительных корней. При этом
предполагается, что в обоих случаях т столь велико, что //г-j-v положи-
положительно.
Прежде всего, по правилу знаков Декарта, в каждом случае число кор-
корней полинома g2m^ v (z) не может превышать некоторого вполне определенного
числа. Действительно, при —2s—1<CV<C — %s коэффициенты g2m v(z) при
1 z z2 ... z2s z2s+l z2s+2 z2s+B . . . zm
имеют знаки
и поскольку имеется т — 2s перемен знака, число положительных корней не
может быть больше, чем т — 2s. При — 2s — 2<^v<^ — 2s — 1 соответ-
соответствующая последовательность знаков имеет вид
i / 1 \т.
и поскольку имеется т — 2s—1 перемен знака, число положительных кор-
корней не может превышать т — 2s — 1.
Затем, исходя из системы уравнений § 9.7 (8), мы докажем по индук-
индукции, что число корней равно как раз указанному числу перемен знака.
При —2s—l<^v< — 2s все коэффициенты в gis^(z) имеют одинако-
одинаковые знаки (будучи положительными), и, таким образом, этот полином не имеет
положительных корней.
г) Это доказательство носит более элементарный характер, чем доказательство
Гурвида. См. статью, цитированную в § 9.72.

ПОЛИНОМЫ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 335
С другой стороны,
и, таким образом, g^s+2^(z) имеет один положительный корень,—пусть это
будет аг гш, из соображений, приведенных выше, следует, что других поло-
положительных корней у него нет. Возьмем теперь gis+±9 v (z); из § 9.7 (8) следует,
что знаки этого полинома в 0, я1?1,-|-со, суть -[-, —, -j-; таким образом,
он обладает двумя положительными корнями и никакими другими, в соответ-
соответствии с соображениями, приведенными выше. Таким образом, индукция (при-
(причем мы доказываем, что корни каждой из функций лежат между корнями после-
последующей), очевидно, проведена, и мы приходим к выводу, что g2ni9^(z) имеет
т — 2s положительных корней и не более.
Далее, при — 2s — 2<^v<^ — 2s — 1 коэффициенты имеют одинаковые
знаки (будучи отрицательными) и, таким образом, эта функция не имеет поло-
положительных корней. С другой стороны,
и, таким образом, ?4*+4, v(z) имеет °ДИН положительный корень и, по сообра-
соображениям, приведенным выше, других положительных корней у нее нет.
Изменяя соответствующим образом предыдущие рассуждения, мы после-
последовательно докажем, что gis+^ v (z), gis+8, v (z),... имеют 2, 3, ... положитель-
положительных корня и, вообще, что g2m^(z) имеет т — 2s—1 положительных корней.
Соединяя полученные результаты с результатом § 9.72, мы получаем
теорему Гурвица: при v<^ — 2 и т настолько большом, что m-\-v поло-
положительно, функция g2mf v (z) имеет 2s комплексных корней, где s — такое
целое число, что
— 2s>v> — 2s — 2.

Глава X
ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ
10.1. Функции JvB) и EvB) в исследованиях Ангера и Вебера
В этой главе мы изучим свойства различных функций, к определению
которых приводят некоторые представления бесселевых функций. Сначала мы
исследуем функции, определяемые интегралами, напоминающими интегралы
Бесселя и интеграл Пуассона, а затем, изучив свойства некоторых функций,
связанных с Yn (z), мы рассмотрим класс функций, впервые определенных
Ломмелем, частным случаем которых являются бесселевы функции.
Первая функция, которая будет нами сейчас изучена, Jv(z), возникла из
интеграла Бесселя.
Она определяется уравнением
A) Jv(^)=
Эта функция, очевидно, превращается в Jn (z), когда v принимает целое
значение п. Из § 6.2D) следует, что если v — не целое, эти две функции
оказываются различными. Функция такого же типа, как Jv (z), была изучена
Ангером1), но верхний предел интеграла он брал равным 2тг; функцию Jv(«z)
обычно называют функцией Ангера от аргумента z с индексом v.
Аналогичную функцию позже рассматривал Вебер2); он исследовал также
функцию Ev(z), определяемую выражением
п
B) Ev (z) = - Г sin (v 6 — z sin 6) ffl.
ft «J
о
В связи с этой функцией следует указать также на исследования Ломмеля (L о т-
mel), Math. Ann., XVI A880), стр. 183—208.
2те
Можно упомянуть, что функция — I cos (v0 — z sin 0) flfO, которую в действитель-
1) Anger, Neueste Schriften der Naturf. Ges. in Danzig, VA855), стр. 1—29.
Пуассон показал, что
к
yv \ cos (v 0 — z sin 0) dQ = (z — v) sin vrc,
0
Additions a la Conn, des Temps, 1836, стр. 15 (ср. § 10.12). Однако, поскольку он к
этим вопросам больше не возвращался, функцию правильнее будет называть функцией
Ангера.
2) Weber, Zurich Vierteljahrsschrift, XXIV A879), стр. 33—76. Вебер в своем
определении функции Ev(^) опускает множитель — .

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 337
ности рассматривал Ангер, легко выражается через J^ (z) и Ev (z)\ действительно, если
в правой половине интервала интегрирования заменить 0 на 2гс— 0, то получим:
2тс тс тс
\ С \ Г 1 Г
-i- cos (vO — z sin 0) dQ = — cos (v0 — г sin 0) dO + ^ \ cos Bvrc — vO + z sin 0) afO =
2ic J 2я J ^src J
о о
= cos2 vie • Jv B:) + sin vie cos w• Ev (z).
Чтобы разложить функции JvB) и Ev (z) по возрастающим степеням z%
заменим в интегралах 6 на yTT-ftp и, пользуясь формулой Кошк1), произве-
произведем следующие преобразования:
Г Г ч
sin™ G sin vO d§ = cosm у sin ( ^
-i-
= 2 Sin 7j V 7T I COSm cp COS Vr>p dty =
0
Подобно этому,
тс
I sinm 6 cos v6 db —
Но, очевидно,
со «
"^o B/и)! jJ
так что
со
C) Jv(«) cosi-v^X"
_ l__ gj[j
2'"Г
П \)
2
2™r(
(-
CO
'7T 7
ic.mlsli
1
"TT" I ] ( "«"
1 ^ (-1
\)m A Л*
+ l)r(/«+-iv
(- l)m(
'i'
r(
t
.)»г:
+ 1
1С
' mAr 2"V+lJ
TC
• 1)! 1 '
0
) +
\ 2m + l
x) G a u с h y, M^m. ^rzr les integrales definies (Paris, 1825), стр. 40. См. Уиттекер
и В а т с о н, Курс современного анализа, ч. 2, стр. 41.

338
и, аналогично,
D) Ev (z) = sin —-
2
со ( 1 \m I JL. у
1
Эти разложения можно записать в ином виде:
.j-, I . . sinvrcf .. <г2 . z* zQ . 1 .
(О) J^(Z) "^-[А — 22 __ V2 "Г B2 — у-')D2—V2)~~ B2 — V2) D2— v2) F2—v2) "Г • • • J ~Г
. sin уя Г <г z3 , zb
П 5 +
I2 —>2 (l* — v2)C2 — v2)"+"(l2 — v2)C2— v2)E2 — >2) •"
F) Ev(^)= - [1 — 22__ v2 + B2__ V2)D2__ V2)— ' • • J —
1 -{- cos vtc Г z ?^ , zb
Я [l2 — V2 (I2 — V2) C2 — V2) » A2 — V2) C2 _ V2j E2 _ y2j
Эквивалентные результаты были получены Ангером и Вебером.
Формулу, соответствующую E), Ангер сообщил (до появления в печати своего
мемуара) в письме к Коши, которое было опубликовано Французской Академией Наук
17 июля 1854 года; см. Comptes Rendus, XXX1X A854), стр. 128—135.
По соображениям, которые станут ясными из дальнейшего (§ 10.7), нам
будет удобнее писать;
V)
в этих обозначениях мы имеем:
(9) jv(z) = !il
A0)
Из полученных результатов легко вывести следующие формулы:
тс
A1) f cos v8 • cos B: sin 8) J6 = — v sin vtt- s_1jV (,г),
о
тс
A2) J sin v8 -cosB: sin 8) J6 = — v A — cos ж)-s_ljV B:),
0
тс
A3) \ sin v8- sin B: sin 8) J8 = sin vn-s0^ (z),
0
тс
A4) ^ cos v9 • sin (z sin 8) db = A -f- cos vn) • 50?v Br),

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 339
A5) I cos vcp-cos (z coscp) */<p = — v sin 7j vrc-.s_1>v (z),
«.б» j
cosvcp-sin (zcoscp)^ = cos -^
J
о
Интеграл, несколько напоминающий интегралы, рассмотренные в этом параграфе,
а именно,
f COS (/zQ — cos в) rfO,
sin
был изучен Унфердингером (Unferdinger), Wiener Sitzungsbericht°f LVII B)
A868), стр. 611-620.
Харди (Hardy), Messenger, XXXV A906), стр. 158—166, также изучал интеграл
оо
С //ft
sin (v0 — z sin 0) ^
0
и доказал, что при вещественном v он равен —я ^ ^лЛхС2)» г#е ^я равно 1,0
п=—со
или —1, в соответствии с тем, положительна ли разность v — /г, равна нулю или от-
отрицательна.
10.11. Формулы Вебера, связывающие функции Вебера
с функциями Лнгера
Из формул § 10.1 (9), A0), A5) и A6) очевидно, что
4 COS 7) VTC р
A) Jv(^) + J-vB)= " j cosv<pcos(zcos<p)</<p,
0
i h
4 Sin — vtc
4 sin — vtc p
B) -M^)— J~vB:)=== — I cosvcpsin (zcos cp)^,
0
4 COS 77 VTC p
C) Ev (z) + E^v (z) = —
\ f тс J
0
4 Sin 77 VTC
4 Sin 7J vr^ f*
D) EV(J2T) — E_VBT)= j COS V<p COS (Z COS <p) flty.
0
Складывая, получаем:
J, (г) = \ ctg I vtt {Ev (z) - E_v (z)\ - | tg I vti {Ev (z) + E_v (*)},
и, таким образом,
E) sin vtu- Jv (z) = cos vtc- Ev (z) — E_v (z),

340 ГЛАВА X
и, аналогично,
F) sin vtu • Ev (z) = J_v (z) — cos vtu . Jv (z).
Формулы E) и F) принадлежат Веберу.
10.12. Рекуррентные формулы для Jv(z) и E^(z)
Рекуррентные формулы, которым удовлетворяют функции Ангера и Ве-
бера, были указаны Вебером.
Вычисляя определенные интегралы, мы находим:
2sinvTC
тс
= ^й {sin (v9 — z sin 6)} ^6 =
тег J d0 ' v 7/
0
cos vtc)
о
Нетрудно также показать, что
Из этих результатов мы выводим восемь формул:
/\ 2v?/4 2 sin vtc
B) Jv-,B) — J,+1(z) = 2j;(«),
C) (ft + v) Jv B) = г Jv_, (z) + (sin vrt) /n,
D) (» — v) Jv (z) = — *JV+I (z) — (sin V7i)/ir,
E) Ev_, (z) + Ev+] (z) = %Ev (z) - W-*»**) f
F) E,-,(*) — Е,+1(г) = 2Е,(г),
G) (ft + v) Ev (z) =z Ev_, (*) + A — cos yir)/it,
(8'J (»— v) Ev {z)=—z Ev+1 (z) — A — cos vrt)/Tt,
где &, как обычно, обозначает ^(^-)«
Наконец, мы находим дифференциальные уравнения; очевидно,
(82 _ V2) Jv (г) = (ft _ V) {ZJv-1 (Z) + (Sin VTU) /ТГ} =
= z (Ь 4-1 — v) Jv_! Bг) — (v sin vtt)/тг =
/tt — (v sin утг)/тг,

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 341
и, таким образом,
Мы также имеем:
(О2 — v2) Ev (z) = (Ь — v) {^Ev_1 (z) -f- A — cos vtt)/tt} =
= z (» + 1 — v) Ev_j (z) — v A — cos vtt)/tt =
= — 22EVB) — z(\ -|-cos vtt)/tt — v(l —cos vtt)/tt,
и, таким образом,
A0) уЛ(г)=:- f±I _(*->) COS v« _
Формулы, эквивалентные (9) и A0), получили соответственно Ангер (Anger),
Neueste Schriften der Naturf. Ges. in Danzig, V A855), стр. 17 и Вебер (Weber),
Zurich Vierteljahrsschrift, XXIV A879), стр. 47; формулу (9) ранее получил Пуассон
(ср. § ЮЛ).
10.13. Интегралы, выражающиеся через функции Ангера
и Вебера
В силу определений, имеем:
A) Jv (z) ± i Ev (z) =\ j exp {± i (v6 — *sin 9)} db.
о
Пользуясь этим выражением в сочетании с формулами, полученными в
§ 6.2—6.22, можно выразить многие определенные интегралы через функции
Бесселя, Ангера и Вебера.
Так, из § 6.2 D) мы имеем:
B)
о
где | arg z \ <^ -тг тт; эта формула справедлива и при | arg z \ = — тт, если толь-
только /?(v)>0.
Далее, мы имеем:
C)
0
и, таким образом, объединяя B) и C), получаем:
оо
D) ^e-zsbtchvtdt=±ntg~m{^(z) — Jw(z)\ — i-тг {Ev
о
оо
E) j^--sh'shv/^ 4ti{/()J^)}
о
оо
Интеграл \e~zchtthvtdt был уже вычислен нами ранее (§ 6.3); однако
о

342 ГЛАВА X
повидимому, не поддается простому вычислению; его разложение по возра-
возрастающим степеням z можно получить из формулы § 6.22D),
оо
/_v (z) + /v(*) = ~ \ ez cos 9 cos v9 M + ^p Г е~г ch t sh vt dt%
о о
но, поскольку
m
;
рассматриваемый интеграл не может быть выражен в какой-либо простой
форме г).
Формулы B) — E) непригодны, когда v — целое; однако из §§ 6.21,
9.33 мы имеем:
F)
G)
6
Близкие интегралы
оо
С COS Г .C
J sin J si
{xch t)dt
sin
рассматривал Коте (Goates), Quarterly Journal, XX A885), стр. 260.
Интегралы такого типа встречаются в исследованиях дифракции на призме, см.
например, Уиппл (W hippie), Proc. Lond. Math. Soc. B), XVI A917), стр. 106.
10.14. Асимптотические разложения функций Ангера — Вебера
от большого аргумента
Чтобы получить асимптотическое разложение функций J=tv(^), когда \z\
велик и | zxgz\ <^ у71' достаточно, как это следует из § 10.13 B), найти
асимптотическое разложение интегралов
со
С e^t- z sh t at.
о
Для этого мы сначала представим chv^/ch/ и shv^/ch/ в виде ряда по
возрастающим степеням sh^.
Положив e2t = u, мы имеем, подобно тому, как это было сделано в § 7.4,
(и-М/в-f) \_ 1 v
L
!) См. Андинг (Anding), Sechsstellige Tafeln der Besselschen Funktionen ima-
ginaren Arguments (Leipzig, 1911) [Jahrbuch ttber die Fortschritte der Math, 1911,
стр. 493—494] и Такеучи (Takeuchi), Tdhoku Math. Journal, XVIII A920),
стр. 295—296.

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 343
и, таким образом,
(Н-Л/И+Д+) i_v_!
chv*__j_ Г :2 2c~\)d
en t 2«c/ J (С — IJ — 4С sh2 *
(в+,1/в+,1+) гр-1
—L f ст*-т E 22"g
~2я/ J *• Lm=:o(s —
i
• (С 1JР—1
Далее,
(-l)»cosivic
== я Bm)! '
и если выбрать p столь большим, что /?(/? —1—^ ±7 V)J>^> a КОНТУР вы-
выбрать таким, как это изображено на фиг. 15 в § 7.4, то получим:
(о
Т
if с 2
Г х1
Когда v и ^ действительны, последнее выражение может быть записано
в виде
Ol « B/7)!
где 0^61<1, поскольку 1 —|— 4л:A—x)sh2t^\.
Следовательно, при R[p-\- тг + тг v/^0 мы имеем:
V ^ ^ /
cosier я-1 (-1)"r(m+I+4-»)r(m+-l—5-v)
cn vt z I V1 V ^ ^ / V ^ ^ //Ось j\2m 1
i
2" J-
+ в, V U V 2 2 ; B s
Для комплексных значений v и t это уравнение должно быть видоизме-
видоизменено путем замены условия 0<8j^l менее строгим; читателю это должно
быть уже знакомо из аналогичных доказательств, встречающихся во многих
параграфах гл. VII.
Таким образом мы имеем:
г

344 ГЛАВА X
и, следовательно,
(и + ,1/и + ,1 + )
shvf J_ Г
sh2* ~~Ъп J
Г'
(С—IP —4C
t , 22.
— 25 J ^ [^ (С—
откуда вытекает, что если взять р столь большим, что R(p-\- 1
то
ь Sini
Интегрируя эти равенства, получим:
J
о
Jshtf.«
-ivK oo
2tu
Если v вещественно, а ? положительно, то эти асимптотические разло-
разложения обладают следующим свойством: остаток после р членов совпадает
по знаку, и численно меньше (р-\- \)-го члена, при условии, что р настолько
велико, что R(p-\- 1 + 77 П^>0.
Из §§ 10.13B) и C) в сочетании с § 10.11F) следует, что
sinv^r v vB2 —V2) у B2 — V2) D2 __ v
_У_ V B2 — yg) , у B2 — V2) D2 — у2) _ 1
B) E, (z) —-У, (z)
1 — cos vtu
Эти результаты без доказательства были даны Вебером (Webe r), Zurich Vier-
teljahrsschrift, XXIV A879), стр. 48, и Ломмелем (Lommel), Math. Ann., XVI A880),
стр. 186—188. Они были получены как частные случаи значительно более общих
формул Нильсеном (Nielsen), Handbuch der Theorie der Cylinderfunktionen (Leipzig,
1904), стр, 228. Доказательство, приведенное в этом параграфе, ранее, кажется, никем
не было указано.
Поскольку все особенности отношений chv//ch^ и shv^/ch/, рассматри-
рассматриваемых как функции от sh t, определяются уравнениями sh^ = + /, можно
заменить контуры интегрирования кривыми на ^-плоскости, на которых arg(shtf)

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 345
есть положительный или отрицательный острый угол; отсюда мы находим
обычным путем (ср. § 6.1), что формулы A) и B) справедливы везде в сек-
секторе \\^
10.15. Асимптотические разложения функций Ангера — Вебера
с большим индексом и аргументом
Мы сейчас получим асимптотические разложения, представляющие функ-
функции JV(Z) и Ev (z) при больших |v| и |z|, аналогичные разложениям, иссле-
исследованным в гл. VIII.
Принимая во внимание результаты, полученные в § 10.13, достаточно
получить асимптотические разложения двух интегралов
со
Как и в гл. VIII, положим
v — zch (а + гр) = z ch
где 0 ^ E ^тг, а | не находится вблизи*) т.
(I) Сначала рассмотрим интеграл
« J * J
о о
в котором временно будем считать у/z положительным.
Когда спу положительно, tch^-\-sht монотонно возрастает от 0 до сю
при возрастании / от 0 до оо. Мы возьмем эту функцию от t в качестве
новой переменной т.
Легко показать, что t есть моногенная функция от т, за исключением, возможно*
тех случаев, когда
х = B/г -f-1) ш ch y it sh y ^ь y c^ T»
где /г — целое число; когда ch y положительно, ни одно из этих значений х не является
вещественным положительным числом; в самом деле, если y вещественно, Bл -f- 1) тс/chY
не обращается в нуль, а если y—чисто мнимое ( = /р), особенности будут на мнимой
оси, причем не в начале координат, поскольку y н^ равно ти/.
Разложение ^ по возрастающим степеням т имеет вид
где
@+) @4-)
dt
Л (о+) « л @+)
\ Г \ dt . 1 Г
== ._— i di == — i
2ы ] т2т+1 дГх 2тс/ ] •
«у j
и, таким образом, ат является коэффициентом при \\t в разложении z~2m~l
по возрастающим степеням t. В частности, мы имеем:
а° 1 +chY' ai 2A -f ch yL ' &2 24A +c1iyO j
225 — 54 ch т + ch^ T
3 720A+c1iyI0 "
!) Разложения, справедливые вблизи y = ni1 будут получены в конце этого па-
параграфа.

346
В силу общей теоремы из § 8.3, мы можем теперь написать разложение
1 ^ Bт)! ът
Это разложение справедливо, когда v/z положительно. Мы установили
его в предположении, что | arg Z \ <^ тт тг; однако, поворачивая контур в т-пло-
скости, можно расширить границы применимости разложения на всю область,
где | arg z | < тг.
Выясним, что изменится, если отказаться от допущения о веществен-
вещественности ch у. Если положить t=u-\-iv, то кривая, на которой т вещественно,
будет иметь своим уравнением
и sh a sin [J -f- trch a cos jj -f- ch и sin v = 0.
Вид этой кривой можно изучить, пользуясь методами, напоминающими
методы § 8.61. Для краткости положим
и sh a sin E -f-1/ ch a cos ^ -|- ch гг sin t/ e^ Ф (и, v).
Поскольку Ф(и, v) не меняет своего вида при перемене знака перед #,
а также перед а, мы сначала рассмотрим кривую, для которой а ^ 0. Оче-
Очевидно, эта кривая имеет в начале координат центр симметрии.
Так как
дФ(и, v) u ¦ о ? 1
—х-—l — sh a sin p -4- sh и sin -и,
то, при любом заданном значении vy — обращается в нуль только при одном
значении и, и, таким образом, уравнение
рассматриваемое как уравнение относительно и, имеет, самое большее, два
действительных корня; когда v кратно тг, один из них всегда бесконечен.
При 0^>г>^> — тг мы имеем:
Ф(— сс,г>) = — сю, ф(-|-эо,г>) = — ее;
если v=$ — тт, то функция Ф (и, v), рассматриваемая как функция от и, имеет
максимальное значение при и = а, которое
равно
— ch a sin р {1 — a th а + (тг — р) ctg ji}.
фИГв 25 Если это значение отрицательно, уравнение
Ф(«, j$—тг) не имеет действительных корней
и, таким образом, контур не пересекает прямую v=$ — я или (в силу сим-
симметрии) прямую v = Tt—[5.
Отсюда, при условии, что точка (a, fi) лежит в одной из областей,
занумерованных 1, 2, 3 на фиг. 21 (см. § 8.61), контур Ф (и, v) = 0 имеет
вид, изображенный на фиг. 25, причем сплошная кривая относится к случаю,
когда а положительно, а пунктирная — к случаю, когда а отрицательно; направ-
направления возрастания т указаны стрелками.
Таким образом, разложение A) справедливо, когда (а, E) находится в лю-
любой из областей 1, 2, 3.
Теперь рассмотрим асимптотическое разложение в случае, когда (а, [})
не лежит ни в одной из этих областей. Чтобы быстрее достичь цели, мы

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 347
определим вид той ветви кривой Ф (я, г/) = 0, которая проходит через начало
координат.
Сначала рассмотрим случай, когда а положительно, а угол [$ — острый. Фун-
Функция Ф(а, v) имеет при v = Bn-\- 1) тг— E максимумы и при v = Bn-\- 1)тг —f—- fl
минимумы, причем каждый из минимумов больше, чем предыдущий; а поскольку
tp(a, [5— тг) теперь положительна, то <р(а, г>) положительна, когда г/ больше
чем —тг.
Поэтому рассматриваемая кривая не может пересекать линии и —а выше
точки, где v =— тг, и подобным же образом она не может пересекать линии
а = — а ниже точки, где г> = тг. Ветвь кривой, идущая вниз от начала
координат, не выходит поэтому за пределы полосы —а<^и<^а до тех пор,
пока не оказывается под линией v = — 2Кп-\-п — [5, где К— наименьшее целое
число, для которого
Далее, кривая не может пересекать прямую v = —{2К-\- 1) тг-4- C, и по-
поэтому пересекает прямую и = а и уходит в бесконечность в направлении,
определяемом прямой v = — 2Кп.
Таким образом, если а положительно, а угол [} — острый, то
CQ—2K1U 00
тогда как если а отрицательно и угол [j — острый, то
оо-f 2Kizi
1 J
Объединяя эти результаты с результатами, полученными в § 8.61, мы полу-
получаем асимптотические разложения для областей 6а и 1а.
Если же [5 — тупой угол, а а положительно, то ветвь, идущая от начала
координат под осью и, не может пересекать прямую и = а ниже (а, тс—E)
и не пересекает ось а вторично, поэтому она должна уходить в — со в на-
направлении прямой v = — B Z, —|— 1) тг, где L — наименьшее целое число,
для которого
1 — a th а — {BL + 1) тг + р} ctg- р > 0.
Таким образом, если 2 положительно, а угол [$ — тупой, то
<4) 1 Г
„о
Bт)\а„
О
тогда как, если а отрицательно и угол [}—-тупой, то-
Г
Объединяя эти результаты с результатами, полученными в § 8.61, мы
получаем асимптотические разложения для областей 4, 5, 6tf и 16.
Поскольку формула A) оказывается единственной имеющей практическое
значение, мы не будем давать других разложений более подробно.

348 ГЛАВА X
Асимптотическая формула для а.т при большом т и ?, равном нулю, а именно,
была получена Коши (Cauchy), ComptesRendus, XXXVIII A854), стр. 1106.
(II) Рассмотрим, далее, интеграл
оо оо
JL \ evt-zsht dt = ± \ e-z{-
* J * J
0
Единственное отличие его от предшествующего интеграла состоит в перемене
знака перед ch у; таким образом, когда у лежит в любой из областей, зану-
занумерованных 1, 4, 5 на фиг. 21 (см. § 8.61), то мы имеем:
оо
E) 1Л ^t~zsht ^ ^ l ^ Bт)\ат
где ат получена из ат переменой знака перед ch у; таким образом,
1 / 2
(l—ch^L' 24 A — ch yO '
Это разложение теряет свою силу, когда у мало, точно так же, как пред-
предшествующее A) теряет свою силу, когда у близко к тс/.
Чтобы исследовать этот случай, положим
v = 2(l—e), i = t — shf,
следуя методу, изложенному в § 8.42. Тогда мы найдем:
—оо
dt
О
^ л 1(т+1) ^ / _ \т-\
откуда
Эквивалентный результат дал Эйри (Airey), Proc. Royal Soc, XCIV,A A918),
стр. 313.
10.2. Обобщения интеграла Эйри, данные Харди
Интеграл, рассмотренный Эйри и Стоксом (§ 6.3), Харди1) обобщил
следующим образом.
1) Hardy, Quarterly Journal, XLI A910), стр. 226—240.

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ
349
Введем обозначение s=:sh<p; тогда
и вообще
2 ch 4cp =
2 sh 5<р = 32s5 -[- 40s3 -j- 10s,
{— у л, у —Т^;
причем ch или sh берутся в зависимости от того, четно ли п или нечетно.
Обозначим теперь
так что
Тогда следующие три интеграла будут обобщениями*) интеграла Эйри:
Cin(a)=l cos Tn(t, a) dt,
0
оо
о
оо
A)
B)
C)
Можно показать2), что первые два интеграла сходятся, если а вещественно
(безразлично, положительно или отрицательно) и если п—2, 3, 4, ...
Третий интеграл сходится и при комплексном а и, более того, Ein(a),
очевидно, есть целая функция от а.
Когда п — четное, все эти три функции выражаются через бесселевы функ-
функции; когда же п—нечетное, то только первая из них выражается через бессе-
бесселевы функции, а две другие требуют для своего выражения функцию Вебера.
Прежде чем вычислять интегралы, заметим, что существуют целые функ-
функции, которые совпадают с функциями &п{а) и Sin{a) при действительном а.
В самом деле рассмотрим линейную комбинацию
Cin (a) + iSin (a) = J exp {iTn (t, a)} dt.
О
По лемме Жордана, этот интеграл, будучи взятым по дуге круга ра-
% ' )
диуса R с центром в начале координат (от точки R до точки
стремится к нулю при R—>оо.
^Второй из них, в случае п~3, был изучен Стоксом (Stokes), Camb.
Phil. Trans., IX A856), стр. 168—182. [Math, and Phys. Papers, II A883), стр. 332—339].
2) Харди (Hardy), loc. clt., стр. 228.

350 ГЛАВА X
Поэтому
оо ехр (-^-7г//я )
Cin (a) + iSin (a) = J ехр {iTn (t, a)}dt =
о
1 w//Moo
ехР {— тп (т> ае-™Ш)} ft,
где T = fe 2 , и последний интеграл является, таким образом, целой функцией
от а. Линейная комбинация Cin(a) — /Sin(a) может быть выражена аналогич-
аналогичным образом. Тем самым требуемый результат, очевидно, установлен.
10.21. Вычисление интегралов Эйри — Харди с четным индексом
Чтобы вычислить три интеграла Cln (a), Sin (а) и Еьп (а,) когда п—четное, бу-
будем временно считать а положительным, и тогда, вводя в интегралы под-
подстановку
1
t = 2aTsh(ujn)
и применяя § 6.21 A0), находим:
1 « !
C'ln (a) "f" iSin (а) = — 1 ехр Bа2 /ch и) ch (u/n) du ==
о
1 1
. f \-rdln н{\) ( ~п\
или, что то же самое,
а. (а) + т.
Сравнивая действительную и мнимую части, находим:
' n
"") + J B*")
B) SiB (a) = ^ r- {J-vn Ba5"") + JVn Ba*")}.
2/z cos f уя/ J
Подобным же образом
Я/я (а) = Щ- Г ехр (— 2а^" ch л) ch (л/л) du,
о
и, таким образом, по § 6.22E),
C) Ein(a) = Ba*ln)Kim{2a* ).
Эти результаты были получены в предположении, что а положительно;
но выражения справа являются целыми функциями от а, которые превра-
превращаются в Cin(a), Sln(oi) и Ein(a), если а действительно, независимо от того, по-

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 351
ложительно оно или отрицательно. Таким образом, когда а отрицательно,
уравнения A), B) и C) все еще остаются справедливыми, так что мы имеем,
например,
2л sin ( ~я/г ^ — т
независимо от того, положительно а или отрицательно.
Отсюда, заменяя а на— [5, мы видим, что когда [J — положительное, а /г —
четное, то
»2" I« 1 -
W ая(—р)=-
2/zsin
E)
2л cos ( — 1
2р' П-
Из § 4.31(9) следует, что при четном п функции &п(а) и 5/л(а) перево-
переводятся в нуль оператором
и что ?"/л (а) переводится в нуль оператором
Для первых двух функций было бы нелегко получить этот результат!)
непосредственно из определений, так как интегралы, получающиеся после
двухкратного дифференцирования под знаком интеграла, расходятся.
10.22. Вычисление интегралов Эйри — Харда с нечетным индексом
Чтобы вычислить Cin(a), когда п — нечетное, будем временно считать, что
а положительно; тогда, в силу § 6.22A3),
I °°
Cin (a) = ^- J cos Bа1" sh и) ch (ujn) du =
о
I /i
2
/i
2а2 cos «я/л
3) X a p д и, /ос. cit.} стр. 229, доказал его с помощью теории «обобщенных ин-
интегралов».

352 ГЛАВА X
или, что то же самое,
I
2а2 cos (т«/л
A) Cin(a) = A1Z
1 г-{/_1/яBа*") — /1/яBа'")}.
2я8ш(— я/я
Воспользовавшись приемом, указанным в § 10.21, мы находим, что при
положительном E
B) а„(— в)=—
2я sin ( ~ тс/я
Следовательно, равенство § 10.21 D) справедливо как при четном, так и
при нечетном п; в любом из этих случаев Cin (а) переводится в нуль опе-
оператором
— Л- (— 1 )пп2ап~2
da [ ч
при всех действительных значениях а.
Далее мы вычислим Ein(a), когда а положительно; произведя обычную
подстановку, находим, что, в силу § 10.13D),
Е1п (а) = -?- \ ехр (— 2а sh и) ch (ujn) da =
Отсюда получаем, что ряд, представляющий Ein(a) при нечетном п
и любом а, имеет вид
,ov р. ч тса ^(— \)та
л sin (я/л) \ ?л_т\Г(т+ 1— 1/я) u Z^ ml V(m + 1 + 1/л)|'
и, следовательно,

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Затем рассмотрим Cin(a)-\-iSin(a)> где а временно считается положи-
положительным. Из § 10.13D) мы находим:
С/„(а) + iSin (а)=- ехр Bа i sh и) ch (в/я) da =
I
¦77 тг/л I Ji/M—*& i) — мм—*& l
not
3 1
n cos ( -7Г я/л j m=o i(w+———
1 /г sin i
и, таким образом,
l
E) vS^ (a) = —
j
/zcos r-
n —j ^"v-^\^ f-j-hin(^ )},
2/zcos f —те/л ,
откуда следует, что при [} ^> О
Н
2/zcos [—KJ
и поэтому для всех действительных значений а
G)
Для я = 3 это уравнение было дано Стоксом.
Заметим, что
4
(8) Л"я(а) + ( — IJ
где р= —а, а и В действительны.

354 ГЛАВА X
Формулы предыдущих трех параграфов принадлежат Харди, хотя он по-
получил их другими методами, а некоторые из них дал только в частном слу-
случае, когда п = 3.
10.3. Числа Коши
В связи с обобщением интеграла Бесселя, предложенным Бурже и изучен-
изученным впоследствии Джулиани (см. § 10.31), целесообразно исследовать один
класс величин, известных под названием чисел Коши.
Число N__n^ л? т определено Коши1) как коэффициент члена, не завися-
зависящего от t, в разложении для
по возрастающим степеням t. При этом предполагается, что п, k и т суть
делые числа, из которых последние два неотрицательны.
Из теоремы Коши следует, что
@+)
0) AU*.-ii
+k-m Г*
-— e-nibcoskbsinmbdb=
—тс
-Yk'tn (* i
к 1 ^ {е-»Я + (— 1)^я/0} cos*0 sinmH db =
о
-— cosf -Ш7Т — nb\ cosk()sinmHdb.
Очевидно, что, в силу определения, N_n^m равно нулю, если —п-\- k-\-m
нечетно или отрицательно.
Из A) вытекает, что
B) ^_Я)й>я, = (-1Г^я,й,Я1 = (-1)»-*^,4,/я.
Эти результаты, а также рекуррентные формулы для вычисления после-
последовательных чисел, были получены Бурже2).
Рекуррентные формулы
D) N~n, k,m = N-n + l, k, m-\ — N-n-
являются непосредственным следствием тождеств
t-n(t-\-1/^)^(^ —1/^)^=,^-^(/4-1/^)*-^^ — i/^)w
t ~n(t +1 jt)\t — i jt)m =^ p-n(t -f l \t)k(t — l \t)m~l — t~n-\t + \/t)*(t — l jt)m-\
С помощью этих формул любые числа Коши выражаются, в конце концов,
через числа типа М_Пу ^ 0, ~N__m^m.
i)Cauchy, Comptes Rendus, XI A840), стр. 473—475, 510—511; XII A841),
стр. 92—93; XIII A841), стр. 682—687, 850—854.
2) В о ur get Journal de Math., B), VI A861), стр. 33—54.

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 355
Другой класс рекуррентных формул, также принадлежащих Бурже, полу-
получается из тождеств
Используя его, мы получим:
@+)
[j dt
@+)
применяя интегрирование по частям. Выполнив дифференцирование, находим:
E) (»+l)^-»,*,« = «^_B,*_i,m+1 —(А
и, аналогично,
F) (ft+l)^-n.*,«=«^-B,* + I,«-1—(Я+
Дальнейшие результаты, принадлежащие Чессину (Chessin), Ann. of Math.,
X A895—1896), стр. 1—2, имеют вид
G) N-n,k,m= ^*Сг-М-п + з-1г,к-з,т,
(8) ^-n9k.m= S (~l)rsCr-^-^s-2r, k,m-s-
Они могут быть получены по индукции из C) и D).
Укажем еще одну формулу, принадлежащую Чессину:
(9) #-я>л>1Я=2 (~l)rkCp-r-mCr,
г=0
где pz=2 — (k-\-m — п). Ее можно доказать, определив коэффициенты при fr в про-
произведении
10.31. Функции Бурже и Джулиани
Функция /^ k (z) определяется как обобщение интеграла Бесселя
(О-В
J
где п — целое, а & — положительное целое.
Мы имеем, таким образом,
Jn, л (*) = i j ехр { — / (яв — 2г sin 0)}. B cos 6)* e№,
откуда
к
B) Ул? л Bг) = -1J B cos 0)* cos (nb — z sin в) db.

356 ГЛАВА X
функцию Ja,k(z) изучал Бурже (В о urget), Journal de Math., B), VI A861),
стр. 42—55, имея в виду различные астрономические приложения; Джулиани (Giuliani),
Giornale di Mat., XXVI A888), стр. 151—171, нашел линейное дифференциальное урав-
уравнение четвертого порядка, которому удовлетворяет эта функция.
[Замечание. В более ранней статье Джулиани, Giornale di Mat.> XXV A88Д
стр. 198—202, излагаются свойства другого обобщения интеграла Бесселя, а именно,
к
JL cos (л0 — / sin'7 9) dQ,
о
однако, его рассуждения в этой статье не являются полностью корректными].
Разложив подынтегральное выражение в A) по степеням z, мы получаем,
по § 10.3, что
C) -/n,^)
а из A) вытекает, что
W Jn9Q(z) = Jn(z).
Далее, из § 10.3B) и C) легко получить, что
E) •/_.„,* (*) = (-l)n-4,t(*),
F) •'»,*(*>=-/»-i,*-l<*) + -/n + l,*-l(*>!
и если в этой формуле положить k = 1, то
G) /„,,(*) = ! •/„(*)•
Эти результаты получил Бурже; читателю не представит труда доказать, что
(8) 2У'я,л(г) = Уя_1>л(г) — Jn+Uk(z).
Укажем еще формулы (принадлежащие, соответственно, Бурже и Джу-
Джулиани)
(9) Л, *+2^) = ?^,*+1^ , +,
(Ю) 4У"Я, ч_г (г) = УЛ; , (z) - 4Ул> ,_2 (г).
Упомянутое выше дифференциальное уравнение проще всего получить,
пользуясь методом самого Джулиани; мы имеем:
к
= — ^ ] (п + z cos 8) sin (« 9 — z sin 6) B cos б)* sin 6^0 =
о
к
= — 2kzJ'n9 k(z) -f 2~ [ /^ cos (л 6 — * sin 6) j B cos 6)*-* sin 6^6 =
0
к
= — 2kzJ'n> k(z) — ^ J cos («6 — г sin 0) |0 {B cos в)*-» sin 6} d6,
0

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 357
и, таким образом,
V», *(*)=- 2**JU (г) - *Ч,, л (*) + 4* (* — 1) Jnth_t (г).
Применив к этому уравнению оператор з-g-f-1 и используя A0), мы получим:
отсюда мы и приходим к уравнению Джулиани
A1) z2Jlvn9 k (z) + B? -j- 5) zJn,'k(z) + \2z'2 ~
+ Bfc + 5) 2^B:) + (z2 + ? + 2 — n2) Jn9 k (z) = 0.
Джулиани указал также, что
оо
A2) е^™» B cos6)*= 2 ?2лУ2й) ft (г) cos 2/гб +
л =0
+ 2
л =0
в чем можно убедиться, применив правило Фурье (ср. § 2.2) к функции
в правой части.
В известной степени аналогичная функция J(z\v,k) была изучена Брунсом
(В runs), Astr. Nach.t CIV A883), столбцы 1—8. Эта функция определяется рядом
13) ( k) Z
Важнейшее ее свойство следующее:
A4) J(z- v, k) - J(z; *,k+\) = (v + 2k *J^
откуда следует, что
Л 2уУ (z)
\ib) ^ v> >~ 2-4 (v-f 2/и—2) (v+2aw + 2)'
10.4. Определение функции Струве Uy(z)
Теперь, после изучения функций, определяемых интегралами, соответст-
соответствующими интегралам Бесселя, естественно рассмотреть функции, определяемые
интегралами, соответствующими интегралу Пуассона. Эти функции носят наз-
название функций Струве, хотя сам Струве исследовал V только специальный
вид функций этого рода с индексами нуль и единица. Свойства общих функ-
функций Струве были изучены несколько позже Симоном2) и Уокером3).
1) Struve, Mem. de VAcad. Jmv. des Set. de St. Petersbourg G), XXX A882), № 8,
Ann. der Physik, C), XVII A882), стр. 1008—1016. См. также L о m m e 1, Archiv der
Math, and Phys., XXXVI A861), стр. 399.
2) Si em on, Programm, Luisenschule, Berlin, 1890. [Jahrbuch tiber die Fortschritte
der Math., 1890, стр. 340—342.]
\Walker, The Analytical Theory of Light (Cambridge, 1904), стр. 392—39a.
В этой книге содержатся результаты, приведенные в настоящем параграфе, за исклю-
исключением C), D), A0) и A1).

358
ГЛАВА X
A)
Функция Струве Hv (z) с индексом v определяется уравнениями
1
A— t2f~ sin zt-dt =
r(-+i)r(b«
при условии, что R (v) ^>—тт.
Рассуждая, как в § 3.3, получим:
sin (z cos 6) sin2v6
(-1)тг2""-1 f
(—
I )?±0 B»1 + 1)!Г
и, таким образом,
B)
Это равенство определяет функцию Hv (z) для всех значений v, незави-
независимо от того, выполняется ли неравенство R (v) ^> — -^ или нет. Очевидно,
A V
— z) *
то оставшееся выражение также будет целой функцией от z.
Как легко видеть [ср. §§ 2.11 E), 3.121 A)],
C)
где
A+9),
iJ
— наименьшее из чисел
Мы можем вывести рекуррентные формулы следующим образом:
H /_U _
=0 2
+
7 Г

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 359
и, аналогично,
|) Г
Сравнивая полученные результаты, находим:
1 V
E)
F)
(?)
(8) (»— v)
В частности, мы имеем:
О) 4
Далее, из G) и (8) имеем;
@2_v2)Hv(z =(f> —
Г v + I ) Г[ i
так что Hv(z) удовлетворяет дифференциальному уравнению

360
Функция LvBr), которая связана с функцией Струве таким же соотношением,
каким Д, (z) связана с Jv (z), была изучена (в случае v — 0) Никольсоном *) (Nicholson),
Quarterly Journal, XLII A911), стр. 218. Эта функция определяется уравнением
¦?] Г
sh (z cos 0) sin2v 0fl?9,
причем последнее равенство справедливо только при R (v) > — —.
Читателю нетрудно будет вывести основные свойства этой функции.
10.41. Интеграл по петле для функции Hv(z)
Приведенное в § 10.4 определение функции Hv (z) с помощью инте-
интеграла теряет свою силу при R (v) ^ — -^ , поскольку этот интеграл в верх-
верхнем пределе расходится. Можно устранить этот недостаток, рассматривая
вместо определенного интеграла интеграл по петле.
Рассмотрим интеграл
! — 1)"~2 sinzt-dt,
в котором фаза t2 — 1 обращается в нуль в точке, лежащей справа от / = 1,
где контур пересекает действительную ось; предполагается, что точка I = — 1
не лежит на контуре.
Если считать R (v) ^> — тт , то можно преобразовать контур в сегмент
@,1) вещественной оси, взятый дважды, что дает нам:
^ — \) sinzt-dl = 2i cos т ] A — t2) 2 sin zt-dt,
о о
где фаза 1—t2 равна нулю.
Отсюда, при R (v) ^> — -ц , мы имеем:
A) HvH=-^ j \\ J (^2 —1) 2sinzt.dL
A) J
J
Обе части этого равенства являются аналитическими функциями от v для
всех2) значений v; и, таким образом, в силу основного принципа аналитиче-
аналитического продолжения, равенство A) справедливо для всех значений v.
!) См. также G u b I e r, Zurich Vierteljahrsschrift, XLVII A902), стр. 424.
1 3 5
2) Изолированные значения - , - , - , ... исключаются из рассмотрения, так
как в этом случае выражение в правой части принимает неопределенный вид.

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ
361
Из полученного результата, в сочетании с § 6.1 F), мы находим:
B)
„г(±
1
произвольным
комплексного
Чтобы преобразовать это выражение, будем считать со
острым углом (положительным или отрицательным), а фазу
числа z заключенной между — — тг —|— со и - тс -[- со. Преобразуем теперь
исходный контур в контур, изображенный на фиг. 26, у которого все четыре
параллельные линии образуют с мнимой осью угол —со. Очевидно, что при
удалении отрезков контура, параллельных вещественной оси, в бесконечность,
интегралы вдоль них будут стремиться к нулю. Интеграл вдоль пути, начи-
начинающегося и кончающегося в 1 -f- oo ie-iiO, равен //(*) (z); на пути, проходя-
проходящем через начало координат, положим t = iu, так что на нем
Таким образом, получаем:
/Hv(z) = #„<»(*) + -
оо ехр (— fu>)
>i) f
.м
dut
причем берется главное значение фазы 1 А-и2; отсюда
I \ v оо ехр (— ш)
C)
Эта формула, справедливая для любых значе-
значений v, а также для любого значения z, удовлетво-
удовлетворяющего условию—тг <^ arg z <^ тг, будет немед-
немедленно использована нами для получения асимптоти-
асимптотического разложения U^(z) при большом \z\.
Результат, эквивалентный формуле B),
был получен Уокером г\ который принимал, что
R (v) ^> — у» R(z)^>0, так что. to могло быть
взято равным нулю. Для случая v = 0 этот ре-
результат ранее был получен Рэлеем2), использо-
использовавшим метод Липшица (§ 7.21).
Если, как в § 6.12, заменить со на arg z— [5, то
станет очевидным, что C) может быть записано в
виде
Фиг. 26
D)
V — 1
оо ехр i ?
1
где _1
^ и
!) J. Walker, The Analytical Theory of Light (Cambridge, 1904), стр. 394—395.
2)Rayleigh, Proc. London Math. Soc, XIX A839), стр. 504—507. [Scientific
Papers, 111 A902), стр. 44—46.]

362 ГЛАВА X
Это уравнение определяет функцию Hv (z) при | arg1 z | <^ тт. Чтобы получить
интегральное представление, справедливое для левой половины вещественной
оси, мы определим Hv (z) для всех значений axgz уравнением
E) Hv (ze^i) = e "^+D«' Н^(-гг)
и воспользуемся D) с ze^™ вместо z.
Если в C) положить z = txt где х положительно, то при R{y) <i получим:
) = e 2 Yiix) + —j ^ ' <?-'*«(l+o») 2
1\%Х) [е-,
+ 4W4U
+ 0) 2 da,
и, отделяя мнимые части, находим:
F) Lv (*) = /_
2D*
этот результат для случая v = 0 получен Никольсоном (Nicholson), Quarterly Jour-
Journal, XLII A911), стр. 219.
10.42. Асимптотическое разложение функции Hv(z) при большом \z\
Мы сейчас получим асимптотическое разложение, которое можно исполь-
использовать для табулирования функции Струве при фиксированном v, когда аргу-
аргумент z велик. Поскольку соответствующее асимптотическое разложение
Y^(z) было подробно рассмотрено в гл. VII, то, как следует из § 10.41 D),
достаточно найти асимптотическое разложение для
ос ехр ф 1
I
0
Как и в § 7.2, мы имеем:
2 p~1(—l)m'['2'-v)m^2m
J V
Возьмем /7 настолько большим, чтобы /?(v — р j ^ 0, и пусть § —
какой-нибудь положительный угол, для которого
1Р|<яг \argz р|<^
таким образом, z заключено в секторе плоскости, для которого
— тг -\- 2S < arg z ^ тг — 28.
Тогда мы имеем:
Izfc'-^l^sind.

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ
363
и, таким образом,
•-/>-«¦
где Ар не зависит от z.
Ин
нтегрируя, получим:
оо ехр /р
где
l«,l<Jf
\ (sin
p-i (__ 1)ff
I 2
1Ч
оо ехр
•B/я)»
= О
Когда | arg ^| <^тг и |г| велик, мы находим:
A)
т=0
при условии, что R(p — у-\--\^0; последнее ограничение можно
как и в § 7.2.
Это асимптотическое разложение можно записать также в виде
снять.
р-х
B)
2т—v-J-1
Если v вещественно, a z положительно, то методом § 7.32 можно без
труда доказать, что остаток асимптотического разложения после р членов
совпадает по знаку и численно меньше первого отброшенного члена, при ус-
условии, что R[p-\--R—
Асимптотическое разложение1) для случая v = 0 было дано Рэлеем (R а у 1 е i g h\
Proc. London Math.Soc, XIX A888), стр. 504, и для случая v —1 Струве (Struve),
Mem. de I'Acad. Imp. des Sci. de St. Petersbourg,G) XXX A882), № 8, стр. 101 и Ann.
der Phys. und Chemie, C), XVII A882), стр. 1012; в общем случае разложение было дано
Уокером (Walker J.), The Analytical Theory of Light (Cambridge, 1904), стр. 394—395.
1 3
Если v принимает какое-нибудь из значений — , —, ..., то величину
A+«2/*2)'
можно выразить в виде конечного ряда, и функция Fv (z)
1) Рзлей дал также асимптотическое разложение сходного интеграла
da;
см. Rayleigh, Phil. Mag., F), VIII A904), стр. 481—487. [Scientific Papers, V
A912), стр. 206-211.] F

364 ГЛАВА X
также выражается в конечном виде. Таким образом, когда v равно половине
нечетного положительного числа, Hv (z) выражается через элементарные функ-
функции. В частности,
Uk(z)=(~y A COS2T),
C) : 5 . ... .. .....
cos z\
10.43. Асимптотическое разложение функции Струве с большим
индексом
Мы сейчас получим асимптотические разложения, которые представляют
функцию Струве Hv (z) при больших |v| и \z\, аналогичные разложениям»
исследованным в гл. VIII.
Как обычно, положим
v = г ch (а + ф = z ch у
и для простоты ограничимся частным случаем, когда ch у вещественно и по-
положительно. Более общий случай, когда ch у комплексно, может быть иссле-
исследован с помощью методов, использованных в § 8.6 и § 10.15, однако, боль-
большого практического значения он не имеет, анализ же его оказывается до-
довольно сложным.
В разбираемом случае метод перевала применяется к интегралу типа
Пуассона, а не к интегралу типа Бесселя, как в предыдущих исследованиях.
Принимая во внимание формулу § 10.41 C), мы рассмотрим интеграл
dw
(] _l_^2\v —______
v ' ' V 1 -f- m* '
который запишем в виде
dw
у
где i^zw—ch у• In A -\-w2).
Легко видеть, что т, как функция w, имеет стационарные точки там, где
w = 6=^t; так что, поскольку у равно а или /[5, следует рассмотреть два слу-
случая, которые приводят к стационарным точкам:
(I) е^\ (II) *=*?.
Соответственно, отдельно рассмотрим случай (I), когда zjv меньше 1, и слу-
случай (И), когда zfv больше 1.
(I) Когда у представляет собой вещественное положительное число а, т
будет вещественным, если w вещественно и, при возрастании w от 0 до оо,
т сначала возрастает от 0 до е—* — ch a-In A -}-?—2а), а затем уменьшается
до еа — ch a-In A -\-е2а) и, наконец, возрастает до -|~ оо.
Чтобы найти контур, вдоль которого т возрастает монотонно, предпо-
предположим, что w сначала перемещается вдоль вещественной оси от начала коор-
координат до точки ?~~а, а затем начинает двигаться по некоторой кривой, кото-
которая отходит от вещественной оси под прямым углом и на которой т положи-
положительно и возрастает.
Чтобы определить форму этой кривой, удобно ввести новые переменные,
положив
w=shC, ^ = Н-/7Ь ^~a=shS0,
где q, 7j и ?0 вещественны.

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 365
Кривая в ^-плоскости, вдоль которой т вещественно, имеет уравнение
ch ? sin 7j = 2 ch a arc tg (th ? tg 7j)
и двойную точку1) в ?0.
Положим, далее,
' ' Т" = сп 5 sin т) '
и рассмотрим значения /7(?, 7j), когда ? описывает прямоугольник с верши-
вершинами О, Л, Б, С, имеющими комплексные координаты
О, arcshl, arc sh 1-[-у тг/, утт/.
Когда С перемещается от 0 к Л, F(?, 7j) равна 2sh?/ch2? и монотонно
возрастает от 0 до 1.
Когда ? находится на АВ, /7(?, 7j) равна
У 2 • arc tg (-4-2- ] cosec я
и монотонно возрастает от 1 до тт/]/2" при 7j, возрастающем от 0 до -^ тт.
Замечание. Чтобы доказать это, положим tg т) = t V~2 и заметим, что
d r
*2 у
в силу того, что • ЛТ arc tg t% обращающееся в нуль вместе с t, имеет положи-
2^2 B + ^2)
тельную производную ' .
Когда ^ находится на ВС, F(?, yj) равна тт sch ? и монотонно возрастает
otttVa2 до тт при С, перемещающемся от В к С, и, наконец, когда ? нахо-
находится на СО, Z7 (?, yj) равна нулю.
Таким образом, кривая, на которой F(?, tj) равна
sch а, нигде не может выйти за пределы прямоуголь-
прямоугольника ОАВС, за исключением двойной точки на
стороне ОА; поэтому часть кривой, лежащая внутри
прямоугольника, должна итти от этой двойной точки
к угловой точке С.
Контуры в ш-плоскости, для которых а имеет значе-
значения 0, -у , изображены на фиг. 27 соответственно пунктир-
пунктирной и сплошной кривой.
Следовательно, контур в ^-плоскости, на ко- Фиг. 27
торим т вещественно, состоит из отрезка действи-
действительной оси, соединяющего начало координат с е~а и кривой, идущей от этой
точки к особой точке /; когда w описывает этот контур, т возрастает от
О до эо.
Таким образом, если разложение для —г- по степеням т записать в виде
оо
За исключением случая а = 0, когда она имеет тройную точку.

366 ГЛАВА X
ТО
О 0 /я=0
откуда, по § 10.4A), мы получим:
Г
J
0
(I) Н,(г)-^—/.
Легко проверить, что
Ьл=\, b-, — 2chv,
(II) Если у — чисто мнимое ( = /[J), то т вещественно и монотонно возрастает
от 0 до оо, когда w пробегает по вещественной оси от 0 до оо; и, таким
образом,
i<
о о
Отсюда и из § 10.41C) вытекает, что
v4 Г i 1 dw\
w*) *dw^\ <г" у— ^ dx.
B) Hv(«)~ М*)+-
при условии, что | arg z \ <^ -~ тг. Этот результат можно распространить на не-
сколько более широкую область значений arg z по способу, изложенному
в § 8.42.
Основываясь на соответствующих результатах теории бесселевых функ-
функций, следует ожидать, что эти результаты будут справедливы и для соответ-
соответствующих областей комплексных значений аргументов.
В частности, мы можем доказать, что для функций от чисто мнимого аргумента
C) Ц {ух) -v, Д (>х),
когда | v i велик, I arg z |< ~ я, х фиксировано, и что ошибка будет порядка ве-
величины
1 П+У1+*2 ,
V71 2 ехр{
умноженной на выражение справа.
[Замечание. Если бы в (I) мы взяли контур, идущий от w — О к w = e~<>- и
далее к w = — /, то получили бы формулу, в которую вместо —iJ^{z) входило бы
U^(z). Это указывает на то, что мы опять сталкиваемся с явлением Стокса, когда -у
пересекает линию [1 = 0.]
10.44. Соотношение между функциями Hn(z) и En(z)
Когда индекс п есть целое положительное число (или нуль), то из
§ 10.1D) можно получить, что разность En(z) и —Ня (#) есть полином от z\
когда же п есть отрицательное целое число, то разность между этими двумя
функциями является полиномом от \\z.

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 367
Действительно, если п — целое положительное число или нулъ, то
? 777
oo -~mKt()
J (z)—ift (z)— V
и, следовательно, поскольку Jw (^г) = Jn (z), мы имеем:
или
B)
m=0 Г(л+2 ~
Подобным же образом, если —п — целое отрицательное число, то
Н(г)
X
10.45. О знаке функции Струве
Мы сейчас докажем, что функция Hv (x) положительна, если х положи-
положительно, a v имеет любое положительное значение, большее или равное — .
Этот результат, указанный Струве1) для случая v=l, можно получить из
некоторого определенного интеграла (который будет дан в § 13.47), имею-
имеющего важное значение в теории дифракции.
1) Mem. de I'Acad. des Sci. de St. Petersbourg, G), XXX A882), №8, стр. 100—101.
Приведенное здесь доказательство является естественным расширением доказательства
Струве.

368
Чтобы получить этот результат элементарным путем, проинтегрируем
§ 10.4A) по частям; тогда для значений v, превышающих -, получим:
= г(,+(Уг(|) \
1 Л V—1
ky*) (
cos (x cos 6) sin2*-
ie 2 —
Jo
— Bv —1) cos(A7Cos6)sin2v-26
о
()cos 6rfol =
о I
:Цi—/l—Bv—1) cos (* cos 6) sin2*-2 6 cos 6 off)
r(>+i)r(i)\ J
sin2v-2 6 COS 8 {1 — COS (* COS 6)} db > 0,
в силу того, что подинтегральное выражение положительно.
Когда v меньше — интегрирование по частям неосуществимо. Когда v = —,
мы имеем:
и тем самым теорема установлена полностью.
Сравнение асимптотического разложения, полученного в § 10.42, с разложением
для Kv(jc), данным в § 7.21, показывает, что при х положительном и достаточно
большом функция Н^(лс) положительна, если v>— и неоднозначна, если v< — ;
это видно из того, что главный член асимптотического разложения для Hv(-*)
ИлМе^т вид
/IV i
9 ) /2\2/ 1 1
2 } или [А) sinfi L
соответственно тому, будет ли v > - или v < — . В этом параграфе мы доказали
более общий результат: функция Струве положительна для всех положительных зна-
значений ху если v > -—, а не только для достаточно больших значений.
Из этой теоремы вытекает, что между функцией Струве и бесселевыми функциями
имеется существенная разница; действительно, из асимптотических разложений
гл. VII видно, что при достаточно больших значениях х функции /v(-?) и Y4(x)
не обладают постоянством знака.

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 369
10.46. Интеграл Тейзингера
Если взять уравнение
= | J e-
в качестве контура интегрирования принять мнимую ось с обходом по полуокруж-
полуокружности вокруг начала координат1) и, далее, положить 2 = it / tg ~ у, то получим:
t{lo(x)-Lo(x)}= J cos (x ctg <p) In tg (j«+|'
4 Г fl\di
h (x) — Lo(x) = -2 J cos (* tg y) In ctg ^ 2 ^J^^'»
и, таким образом,
A)
эта формула была дана Тейзингером (Т h e i s i n g e r), Monatshefte fur Math, und
Phys., XXIV A913), стр. 341.
Если заменить х на х sin 9, умножить на sin 9 и проинтегрировать, то, переменив
порядок интегрирования в абсолютно сходящемся интеграле в правой части, находим:
Г / 1 \ flf» тс Г
| Ех (х tg <р) In ctg I -к <Р J —— = у ] \h (х sin 9) — Lo (x sin 9)} sin 9 db
о S<P о
и, таким образом, получим:
f E
J 1
B)
6
разлагая подинтегральное выражение в правой части по степеням х. Этот любопыт-
любопытный результат также принадлежит Тейзингеру.
10.5. Интеграл Уиттекера
Интеграл
1 1
z2 [e{ztP t(t)dt,
_! v"
являющийся решением уравнения Бесселя только в том случае, когда 2v
есть нечетное число, был изучен Уиттекером2).
) Наличие логарифмического множителя обеспечивает сходимость интеграла вдоль
полуокружности.
2) Whittaker, Proc. London Math. Soc, XXXV A903), стр. 198—206.

370
Из § 6.17 следует, что для всех значений v
A) vJs* [ешР 1{t)dt\=— lim
{ J V~ J M 1
2 i
= — COSV7T-Z2 ?"~te.
ТС
Если мы разложим подинтегральное выражение, умноженное на eizt по
возрастающим степеням z и проинтегрируем почленно1), то получим:
B) г2 е*«Р 1 (t) dt = 2z2e~iz У,
Принимая во внимание формулу из § 3.32, полагаем:
^^ Г ^Я i (<) ^ = Wv (z);
теперь легко проверить следующие рекуррентные формулы либо с помощью
ряда B), либо используя рекуррентные формулы для функций Лежандра:
[2~"v ~
%2 *
[2~"v ~
w,(*> - ^ %2 z*e~l—- ,
^r(f~V)r(f+V)J
_ 9/2 r 2p-u
2/
F) (ft — v)WvB)=—
i-v I
2 г2
Пользуясь уравнением Лежандра, можно установить рекуррентную формулу
1 1
Г
1
Г 2/?z2 Г
A+*)»Р _iW«=7 ГТ2
Г 2
можно также доказать, что \ Р (t) dt-= — , разлагая
I ^ г(А+.)гA-„)
ft I ~-v; - +v; 1; ^ — i П по возрастающим степеням \~t и интегрируя
\ 2 2 2, 2, J
почленно:

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 371
Асимптотическое разложение для функции Wv (z) при больших значениях
\z\ может быть получено путем деформирования контура интегрирования по
методу Липшица (§ 7.21).
Таким образом рассматриваемая функция равна
J-1J -1+ОО/ y-V I- 1+00/
— 1
i
I
Но вблизи tf=l, как известно1),
и, поскольку
1—00/
I

1+00/
1
мы получаем асимптотические разложения
ГО W,(*)—L
Некоторые функции, удовлетворяющие уравнениям такого же общего вида, как
A) были указаны Нагаока (N a g а о k a), Journal of the Coll. of Set. Imp. Univ. Japan,
IV A891), стр. 310.
г) Ср. Barnes, Quarterly Journal, XXXIX A908), стр. 111.

372 ГЛАВА X
10.6. Функции, составляющие функцию Yn{z) в сумме
В § 3.52 мы установили, что бесселевы функции второго рода с целым
индексом могут быть записаны в виде
п — 1
т = 0
Ряд в правой части можно представить в виде суммы четырех функций, каж-
каждая из которых обладает весьма простыми рекуррентными свойствами,
а именно,
где
я —1
B)
55
и (ср. § 3.582)
Функции Гл (.г) и (/яBг) были рассмотрены Шлефли (S с h I a f 1»)» Math. Ann., Ill
A871), стр. 142—147, причем он пользовался несколько иными обозначениями, а
именно,
более поздние исследования принадлежат Отти1) и Графу и Гублеру2).
Функцию Тп (z) проще всего представить с помощью определенного ин-
интеграла, принадлежащего Шлефли:
к
D) Tn(z) = ~ (Ч* — в) sin(^rsin6 — nb)db.
о
1) Otti, Bern Mittheilungen, 1898, стр 1—56.
2) Graf und G u b 1 e r, Einleitung in der Theorie der Besselschen Funktionen, II
(Bern, 1900), стр. 42—69; можно использовать также трактат Ломмеля, стр. 77—87.

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 373
Чтобы доказать эту формулу, заметим, что
г л оо (—1)от \-7гАа+ М ~\
Л j. \& J " I _л 7 р / I I I v р / | | 1 | v I ~~~~~
111 Is ^; О
*- /Я > — -^П — ~2 -Jev
/1 \ Й + 2/П @+)
=l\l f {-1)n^z) f
2и\ дв ^ {п-\-2т)\ J
1
1 \n+2m @+)
( )gJ Г
2w? Z- (л + 2/и)! J
« со
2 Г у
я'9 (- Iz sin
0 «>-in-i
где t заменено на ^BQ —«)'.
Таким образом, мы имеем:
X ¦
Но
00
пл-гт Jch (— iz sin 9)
(— /2г sin 0)n+zm j ch (— iz sin 9) (л — четное)
(n — нечетное)
2
и, следовательно,
^—J. /g—/ssla6 I ( 1)n eiz sin 81
if/ i \
• /,у\ L I (А тг \ \onib — iz sin 0 _1 />ш @ — тс) -4- iz
Теперь формула D) получается сразу, если в интеграле, полученном из
предыдущего отбрасыванием первого экспоненциального слагаемого, заменить
в на тт — G.
Соответствующий интеграл для Un(z) получается, если заметить, что
таким образом, по § 6.2 D), находим:
E) */,(*) = { In (-1*)—<
ТС ТС
~ Г 0 sin (лв — г sin 6) </6-f (— 1)л [е-»*-

374
10.61. Рекуррентные формулы для Tn{z) и Un(z)
Из § 10.6 D) находим:
Тп_г (z) + Тп+Х (z) — B/i/s) Tn (z) =
тс
= 4 J (у " - 9) sin (^ sin 5 - 4 • {2 cos 8 - 2л/4
"интегрируя по частям и пользуясь интегралом Бесселя.
Таким образом,
A) Тп_г (z) + Tn+x (*) = Bл/*) Tn{z)-\-4
Далее,
Tn(z)—^\ (}tt-8J sin 6 cos (z sin 6 — л6)Л,
0
и, следовательно,
<2) ^(z) — 7;+1(z) = 2re(z).
Из этих формул следует, что
C) (ft + «) г„ И = «7-.-1 (*) — 2 cos2 у «« + 2У„ B),
D) (& — я) Г„ (z) = — zTn+l (z) + 2 cos* ^ «* — 2УЯ (г),
откуда (ср. § 10.12) находим:
E) Vn7n (г) = 2 {г sin2 у яя -f л cos2 -i- пи) — \nJn (z).
Пользуясь этими формулами в сочетании с соответствующими формулами
для /„(г), Yn(z) и Sn(z), мы находим из § 10.6 A), что
F) ?/„_! (z) + ?/я+, (*) = Bя/*) ?/„ (z) — B/г) У„ (г),
G) Un_x (z) — ?/я+1 (z) = 2U'n (z) — B/г) Ул (г),
(8) (ft + n) Un (z) = zUn_x (z) + 2У„ (г),
<9) (» —«) и„ (z) = — zUn+i («), fcp- §§ 3.58 A), 3.58 B)]
(Ю) ед,(*) = —2*Уя+1(*).
Читатель может вывести эти фор^мулы непосредственно из определения,
§ 10.6 C).
Функцию Т__п (z) с отрицательным индексом удобно определять выраже-
выражением, эквивалентным интегралу § 10.6 D). Если в этом интеграле мы заменим 6
на тг — б, то получим:
г_яф = ±- J (^—тг — 6J sin (z sin 6 + лб) db =
о
It
б

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 375
и, таким образом,
Теперь можно определить функцию U_n(z), предполагая, что § 10.6 A)
справедливо для всех значений п; таким образом, мы получим:
02) U_n (z) = (- 1)" \Un (z) — Тп (z) + Sn (z)\.
10.62. Ряды для Tn(z) и Un(z)
Сейчас мы покажем, как из уравнения § 10.6 D) получить разложение
со
(!) Tn{z)= Y, ^
Для этого мы подставим
_-тт —6 = ^ m
в интеграл для Tn(z), а затем проинтегрируем почленно. Эту операцию необ-
необходимо обосновать, так как ряд Фурье не сходится равномерно вблизи 6 = 0
и 6 = тг, и действительно, только что написанное уравнение неверно для этих
двух значений 6.
Чтобы обосновать почленное интегрирование1), будем считать Ь и е сколь угодно
малыми положительными числами. Так как при S^Os^rc — 8 ряд сходится равномерно,
то можно найти такое целое число /гс0, что
м
sin 2mb
всюду в области I ^ 0 <; к — Ь для всех значений М, превышающих mQ. Далее, для
всех значений 0 между 0 и я мы имеем:
l
2*
_1_я_б— V sin 2m0 = Г {1-|-2cos2^ + 2cos4^+ ... + 2cos 2Mt) dt ==
= Г smBM+\)t t dt =
J t 'sin*
BЖ + 1)
для некоторого значения «р между 9 и уя, в силу второй теоремы о среднем, поскольку
tjsin t есть монотонная (возрастающая) функция.
Из графика функции x~~1s\vlx легко видеть, что последнее выражение не может
к
I —
J
о
превышать по абсолютной величине !ц I —— dx\ обозначив эту величину через
2 J x
о
х) Нижеследующие рассужления принадлежат Джексону (D. J а с h s о п)
Palermo Rendiconti, XXXII A911), стр. 257—262. Значение постоянной Л равно 1,8519... '

376
7j :rЛ, мы имеем:
rc=i 0
M
J
тс—5
X I sin (г sin в — /гО) | rffl <— {тсЛЗ + (я — 28) г}В,
где В есть верхняя граница для | sin (z sin 0 — /г0) |.
Поскольку 2 (Л§ -|- е) В произвольно мало, по определению сходящегося
ряда, имеем 1)\
ТпМ = т X f8^-sin (гsin6-«6)^8= 1^Л+2я(г)-Ул.2п(г)},
m~\% tn—\
что и требовалось.
Напомним, что Un{z) была ранее определена (§ 3.581) в виде ряда бес-
бесселевых функций с целыми индексами
± <
и что в § 3.582 это определение было отождествлено с определением Un(z)
в виде степенного ряда, данного в § 10.6 C).
10.63. Разложение Графа для функции Tn(z-{-f) no бесселевым
функциям с целыми индексами
Нетрудно получить разложение
A) Г, (* + <)= X Tn_m(t)Jm(z);
действительно, из § 10.6 D) легко вытекает:
о
тс
J
^ ^ ^
р 00
= 4 ("Г71") 2 ^„Wslfl^slne —(л
О yw=-oo
Это разложение было найдено Schlaf И, Math. Ann., Ill A871), стр. 146.

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 377
используя § 2.1; поскольку ряд под знаком интеграла равномерно сходится,
порядок суммирования и интегрирования можно изменить, откуда результат
становится очевидным.
Доказательство этой формулы, данное Графом (G r a f), Math. Ann., XLIII A893),
стр. 141, более сложно; оно основано на использовании ряда из § 10.62 в соедине-
соединении с § 2.4.
Эквивалентного простого выражения для Un(z-\-t), повидимому,не существует.
10.7. Определение функций Ломмеля S^^(z) и s^^z)
Общее выражение, частными случаями которого являются полиномы
Неймана и Шлефли zOn(z) и Sn(z), было получено Ломмелем (Lommel),
Math. Ann., IX A876), стр. 425—444, как частное решение уравнения
A) Vj = kz*+\
где k и jx — постоянные. Легко показать, что частное решение этого уравне-
уравнения, расположенное по возрастающим степеням z, начиная с 2f*+1, имеет вид
[
(ц+1J_у2 {}{
\ \ 2/W + 2
2
— / 1 1 , 1 \ /1 ,1 ,
/i \2m+2
_eo (_l)i»(I*J ]
m=0
Для краткости запишем выражения в правой части в форме
ksp, v (z).
Функция s^ v (z) становится, очевидно, неопределенной, если какое-нибудь
из чисел pt-hv оказывается нечетным отрицательным числом1). Отвлекаясь
от этого ограничения, можно записать общее решение уравнения A) в виде
C) У = #v (z) + ^и-, v U)-
Аналогично, общим решением уравнения
будет
E) :
~ia~
Затем рассмотрим решение уравнения A) методом вариации постоянных.
Мы будем искать решение в виде2)
1) Решение уравнения для таких значений р и v рассматривается в § 10.71.
2) Ср. Forsyth, Treatise on differential Equations A914), § 66 [В. В. Степа-
Степанов, Дифференциальные уравнения, гл. V, § 3, стр. 191—194, A945)]; временно
предполагается, что v — не целое.

378 ГЛАВА X
где A(z) и B(z) суть функции от z, определяемые равенствами
Щг) A' (z) + JL, {г) В' (z) =
Используя равенство § 3.12 B), находим:
А <*> = 2Ш7, f
f "J <*> dZ *W
Таким образом, решением1) уравнения A) будет
где нижние пределы интегралов произвольны.
Аналогично, решением уравнения A), справедливым для всех значений v,
независимо от того, являются они целыми или нет, будет
G) у = \k п [ Г, (z) J ^yv (z) dz — 7V (г) J
Легко видеть, что если оба числа jx ^bv ~f" 1 имеют положительные
вещественные части, то нижние пределы в F) и G) могут быть взяты рав-
равными нулю. Разлагая подинтегральные выражения по возрастающим степеням z,
можно представить выражение в правой части F) в виде степенного ряда, не
содержащего никаких иных степеней z, кроме z*+1, z^+B, z**4*5, .... Отсюда,
вследствие C), получаем, что поскольку ни одно из чисел \х -4- v не является
нечетным отрицательным, то
Z Z
(8) v (*) = rib; [J* (z) j ^y- w dz—y- (*) jz^ w dz\ •
о о
При выводе этой формулы предполагалось, что v — не целое; если же
ввести функции второго рода, то получим выражение
(9) ^,Л*) = утт [Yv(*) §z»Jv(z)dz— Js(z) ^ z*Ys(z) dz],
о
в котором можно переходить к пределу, считая v целым.
Заметим, что, в обозначениях Похгаммера (§ 4.4),
+ 1) X
Присоединенная функция S^v получается, если рассматривать решение
уравнения A) в виде убывающего ряда. Мы переходим к построению этого
решения и исследованию его свойств.
!) Обобщение этого результата, получаемое путем замены ZK-+1 в A) произволь-
произвольной функцией от z, было дано Чессиным (С h e s s i n), Comptes Rendas, GXXXV
A902), стр. 678—679; он применил это обобще ше (Comptes Rendas, GXXXVI A902),
стр. 1124—1126, для решения ряда уравнений, напоминающих уравнение Бесселя.

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 379
10.71. Построение функции S^4(z)
Частное решение уравнения § 10.7 A), расположенное по убывающим
степеням z, начиная с z»*-, имеет вид
8 |
г4
Однако этот ряд не сходится, если только он не обрывается; если же он
обрывается, то он является решением уравнения § 10.7 A), и мы его обозна-
обозначим через &S (г).
Ряд обрывается, если ja — v — положительное нечетное число, или
jjl —|— v — положительное нечетное число, и ни в каком другом случае.
В первом случае возьмем ц = v -\- 2р -\- 1; тогда получим:
г / 1 1 1 \ / 1 1 1 \
5 ^z) = zv-i у V 2 2_! ?_/ \_21 21 ? У _
1 2
 W~T) x V2 ^ ' 2" V +
cos -к (v- + v) я
Так как ja — v = 2/? -f-1, то функция
v + 4) sinv1I 7_,W
исчезает, и, таким образом, когда р. — v — нечетное положительное число,
мы имеем:
B) S^) = s
Поскольку обе части этого равенства являются четными функциями от v,
равенство будет справедливо также в случае, когда pi —]— v — нечетное положи-
положительное число; следовательно, оно справедливо во всех случаях, для которых
выше была определена функция S^v(z). Мы примем его за основное определе-
определение функции 5 v (-г), за исключением того случая, когда v — целое; в последнем
случае мы будем пользоваться эквивалентным определением:
C) 5h,W = V
X [sin I (ii — v) тт • Уч (z) — cos 1 (ц — v) я • Y,t (г)].

380 ГЛАВА X
В § 10.73 будет показано, что Sa v (z) имеет предел, когда pi —|— v или
jx—v является нечетным отрицательным числом, т. е. когда sy^(z) ока-
оказывается неопределенным; таким образом, второй функцией-Ломмеля, <S^v(z),
часто бывает более удобно пользоваться, чем первой (s^v (z)).
В § 10.75 будет показано, что ряд A), с помощью которого S^v(z)
определяется, когда каждое из чисел fi + v есть нечетное положительное,
продолжает сохранять смысл, когда числа jx+v не являются нечетными поло-
положительными. Именно, он дает асимптотическое разложение для <Sa?v (z), справед-
справедливое для больших значений переменного z.
10.72. Рекуррентные формулы для функций Ломмеля
Из § 10.7 B) видно, что
ИЛИ
A) MM
Далее, легко проверить, что
так что
B
и, аналогично,
C) ^, (, V
Вычитая и складывая эти равенства, мы получаем формулы
D) Bv/2T)^v(^) = (^ + v—l)^_i,v_i(^) — (Pt — v—l)^_i,v + i(^).
E) 2^,v(*) = 0i + v— 1K_i,v-i (*) + № — v— l)*H,Hi(*
Читателю нетрудно будет получить из § 10.71 B), что всюду в этих форму-
формулах функции s^,v(z) могут быть заменены функциями S^(z); таким образом,
F)
G)
(8)
(9) (
A0)
Эти формулы можно преобразовать различными способами, используя A) и F).
Они принадлежат Ломмелю (Lommel), Math. Ann., IX A876), стр. 429—432, но его
методы доказательства не всегда оказываются вполне удовлетворительными.
10.73. Функции Ломмеля S^v(z) в случае, когда pt±v — нечетное
отрицательное число
Формула § 10.71 B) принимает неопределенный вид, когда ja — v или
J*-f-v — нечетные отрицательные числа1). Функцию 5V_2 1<v (z) легко выра-
!) Так как S^9H{z)—четная функция от v, то достаточно рассмотреть случай,
когда fi — v — нечетное отрицательное число.

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 381
зить через S^h,t(z) с помощью повторного применения § 10.72 F); это дает:
Далее мы определим Sv_lfV(*)» пользуясь предельным видом формулы
§ 10.72 F), а именно
Числитель (который является аналитической функцией от fi вблизи
jx = v—1) обращается при jji = v—1 в нуль, и, таким образом, по теореме
Лопиталя !),
Теперь легко проверить, что
оо / \)т (±_
а также, что
ln 2+J<j>
_
откуда вытекает формула
C) S,_,,,W=i,T(v) S „,,.,,|2J,, X
/1 Л 2т
оо / i)W [ L \
m—0
Эта формула кажется непригодной, когда v — целое отрицательное
число; но в действительности она не пригодна только при v = 0; в самом
деле, когда у = — п (где п — целое положительное число), мы определяем
рассматриваемую функцию с помощью формулы
5_в_1,_я(«) = 5_я_ья(«).
в которой функция справа определяется выражением § 10.73 A).
Чтобы исследовать случай v = 0, возьмем формулу
которая дает
х) Ср. В г о m w i с h, Theory of Infinite Series, § 162. [В. И.Смирнов, Курс
высшей математики, т. 1, гл. IV, § 63, стр. 132—133, A937). Прим. ред.]

382
Поскольку
1 . 3\12 ?,
' + 7 )
то после преобразования получим:
со
X
10.74. Функции, выражающиеся через функции Ломмеля
Полином Неймана On(z), как это видно из § 10.71 A), может быть
выражен через функции Ломмеля с помощью равенств
и, аналогично, полином Шлефли Sn (z) может быть выражен с помощью
равенств
B) S2m(z)
Можно выразить через функции Ломмеля также важные интегралы
Так, мы имеем:
~ {zVv (г) ¦ «1 -»^_ь,_, (г)} = zJ,_x (z) 5(l_ljV_] (z) + (ji—v
jz -Vv_, (z)-z-*S^ (z)\ =—zJ, (z) S^ (
Исключая *S j, v_j (z) из правых частей этих уравнений, используя
§ 10.72F) и интегрируя, мы находим:
C) j Z*J4 (z) dz = (pL -f v — 1) */v B:) ^_1? 4_x (z) — ^v_!
аналогично доказывается, что
и, в более общем виде, что
E) \ z*%4 (z) dz = (|i -f- v — 1) zgv (z) ^_i,v-i W — ^^v_i (z) Sp, v (^)-
Частные случаи этих формул получаются при таком выборе jjl и v,
чтобы правые части обращались в полиномы Неймана и Шлефли; мы, таким

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 383
образом, имеем:
F> J z%im (z) dz = ^ {^37 *>» (*) 02ffl_, И - Ъш_х (г) 02т (z) J ,
G) J dz= Jz ^2т+г (*) S2m (z) — «?2m (z) S2m+1 (z)\.
Из этих формул A), C), D) и F) содержатся в статье Ломмеля (Lommel), Math.
Ann., IX A876), стр. 425—444; F) и G) дал Нильсен (Nielsen), Handbuch der Theo-
rie der Cylinderfunktionen (Leipzig, 1904), стр. 100, однако в его формулах имеется
несколько опечаток.
Заметим, что функция Ломмеля в случаях, когда она выражается в ко-
конечном виде, эквивалентна полиному Гегенбауэра из § 9.2. Формулы, связы-
связывающие эти функции, имеют вид г)
' + »+".> + 2" + 'j' <z\
Таким образом, наиболее общий случай, в котором интеграл E) вы-
выражается через элементарные и цилиндрические функции, дается формулой
Функция, определяемая рядом
2
z
^v— 3/2, 1/2)
Г (V — 1) 5v + 1/2, 1/2 W»
была детально изучена Юнгом2); эта функция обладает многими свойствами, аналогич-
аналогичными свойствам бесселевых функций. Мы не будем здесь приводить результатов Юнга,
так как изложенные факты относительно функций Ломмеля носят более общий характер.
00
Интеграл v \ v^ ' dt был изучен (при v целом) Веббом (Н. A. Web b),
о t{Z~t)
Messenger, XXXIII A904), стр. 58, который утверждал, что при v = n значение интег-
интеграла равно On(z). Однако это ошибочно (как указал Каптейн); его значение для
любого v равно у)
|Si,v(-*)-vS0,, (~*)}/*>
причем R(v) > 0 и | arg (— z) \ < к.
§ 10.75. Асимптотическое разложение для S (z)
Мы сейчас покажем, пользуясь методом Барнса4), что если [JlH^v не
являются нечетными положительными числами, то S (z) допускает асимпто-
асимптотическое разложение
когда | z | велик и | arg z \ <^ тт.
1) Gegenbauer, Wiener Sitzungsberichte, LXXIV B), A877), стр. 126.
2 W. H. Joung, Quarterly Journal, XLIII, A911),стр. 151-177.
S) Gp. Gubler, Zurich ViertHjahrsschrift, XLVII A902), стр. 422—428.
4) В zrnes,Proc. London Math.Soc.B), VA907), стр, 59—118; ср. §§ 6.5, 7.5, 7.5L

384
Рассмотрим интеграл
oof-
~5" J
При этом целое число р возьмем настолько большим, чтобы единствен-
единственными полюсами подинтегрального выражения слева от контура были полюсы
выражения cosecsTr, а полюсы гамма-функций оказывались справа от контура.
Рассматриваемый интеграл сходится, когда |argz|<^Tr и, как легко за-
заметить, он имеет порядок О(г*—2Р).
Пользуясь асимптотическим разложением гамма-функции, можно показать,
что интеграл от этого же самого подинтегрального выражения, взятый по
той полуокружности радиуса R с центром в —р ^» которая лежит
справа от первоначального пути интегрирования, стремится к нулю, когда
R—»-сх5, причем R должно стремиться к бесконечности таким образом, чтобы
полуокружность никогда не проходила ни через какой из полюсов подинтег-
подинтегрального выражения.
Отсюда следует, что выражение, данное выше, равно сумме вычетов
функции
l „ , l ..\p/i i_ Lv^ sinSK
в точках
0, —1, —2, ... , — (р— 1),
1, 2, 3, ... ,
1 11 _3___± _ 1 5 1
~~~~^ TV' 2 2^ 2 V' Y~Y
3 lil 5 1
Найдя эти вычеты, мы получим:
1 1 , 1 , W 1 1
^^-71 \^-/Г 11 (,/1 Г—14-^-+
2т
A It
|
1
Г ' 2"-~~2" ^~ 2"

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 385
так что
; (г.
sin v*
X [cos-i(}JL — v)TT-y_vB) — cos-±-
и, таким образом, по § 10.71 B), мы получаем формулу
которая эквивалентна асимптотическому разложению A).
10.8. Полу цилиндрические функции
Функции Sn (z), удовлетворяющие единственной рекуррентной формуле
A) S^t*) —Se+1(*) = 2S;(a:)
и условию
B) S1(z) = -S'0(z)y
были подробно изучены Сониным!). Их называют полуцилиндрическими
функциями.
Функция Sn(z), очевидно, может быть выражена в виде
S» (*)=/„(*>)• So (*),
где D = — , a fn (D) — полином от D степени п\ при этом полином /л(?)
удовлетворяет рекуррентной формуле
/«-!(?)—/,+, E) = 25/, (Е)
и условию
/o(S) = i, /,(S)=—5.
По индукции получаем (ср. § 9.14), что
и поэтому
Если предположить, что A) справедливо для отрицательных значений п,
то легко видеть, что
So nine, Math. Ann., XVI A880), стр. 1—9, 71—80.

386
Чтобы получить другое выражение для C), положим
ch nt
sh nt
f ch n
f (S) = s
й ( —
+ 2Г & Ч 4! S4 + • • •
-— 12) t
]—- ? — »
Л »
— r-f- 5
откуда
Г So (г) + ^ S^ (ar)+
F Уо W -
S?
So" U) - • • • •
= sht; тогда1)
In—четное)
(n—нечетное)
(Л—четное)
(я—нечетное)
(«-четное)
(«-нечетное)
Заметим, что On(z), Tn(z) и Ел (z) являются полуцилиндрическим ц
функциями, тогда как Sn (z), Un (z) и Un (z) таковыми не являются.
Заметим еще, что аналогичная рекуррентная формула
?,.,<*>+Х,+1м=*
определяет функции, по существу, не более интересные, чем полиномы
Ломмеля.
10.81. Теорема сложения для полуцилиндрических функций
Мы сейчас получим важное разложение Сонина2) ,
A)
Это разложение справедливо, когда z-\-t лежит внутри наибольшего
круга с центром в точке z, не содержащего никаких особенностей рассмат-
рассматриваемых полуцилиндрических функций.
Возьмем контур в виде окружности С с центром z, и пусть функция
So @ не имеет особенностей ни внутри этой окружности, ни на ней самой.
Тогда
2
п = 0
1) См., напр., Hob son, Plane Trigonometry A918), § 264.
2) Sonine, Math. Ann., XVI A880), стр. 4—8. См. также К б nig, Math. Ann., V
A872), стр. 310—340; ibid., XV11 A880), стр. 85—86.

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 387
Ряд под знаком интеграла сходится на контуре равномерно и мы, та-
таким образом, имеем:
1 у<
nZ° с
Xc I (t\f ( <MfS»«<C)/*r
- „ = о
Однако легко проверить, что
F),
так что
т п — \П т~П
откуда и вытекает формула Сонина.
Заметим, что если через Sn(z) обозначить функцию более общего вида,
чем полуцилиндрическая, а именно, функцию, которая только лишь удовлет-
удовлетворяет уравнению
но не удовлетворяет условию S3 (z) = —S'o (z), мы все-таки будем иметь:
и, таким образом, формула A) остается справедливой. Тем самым мы полу-
получим другое доказательство формул §§ 5.3, 9.1, 9.34 и 10.63.
10.82. Функциональные уравнения Нильсена
Система двух уравнений
A)
B)
где fy (z) и g^ (z) — данные произвольные функции переменных v и z, пред-
представляют собой очевидное обобщение системы функциональных уравнений,
которыми определяются цилиндрические функции. Нильсен!) показал, что
функции fv(z) и g^(z) должны удовлетворять соотношению
доказано2) также, что если это соотношение удовлетворяется, то си-
система может быть сведена к системе двух совместных разностных уравнений
первого порядка.
р
!) Nielsen, Ann. di Mat.,{3), VI A901), стр. 51—59.
-) Watson, Messenger, XLVIII A919), стр. 49—53.

388 ГЛАВА X
Для краткости будем писать:
Л (*) + g, (*) = av (*¦), /v (лг) — ft (г) = ^ (z);
тогда данная система уравнений будет эквивалентна системе
C) / (» + v) Fv (г) = zFv_, (z) — av (г),
D) \ (» — v) Fv (z) = — zF,+ 1 (z) — % (z).
Очевидно, что
@« — v») F4 (z) = (» — v) [*/=;_, (z) — av (г)] =
= — z*F,, (z) — «pv_, (г) — (» — v) a, (z),
так что
VVFV (z) = — гр,_, (г) — (ft — v) av (z).
Далее,
= (» + V) [—«f v+] (г) - pv («)] =
v) p, (z).
Таким образом, мы приходим к уравнению
E)
где
F) j zSv(z)
G) \ 2(bv (^) +
Сравнивая полученные значения a>v (z), мы сразу получаем условие
Нильсена
(8) /v_, (г)+/,+, И —Bv/z)/v(«) = ft_i («) — ft+i(«) — 2< (z).
Теперь мы должны доказать, что условие Нильсена достаточно для
существования решения данной системы.
Пусть условие (8) выполнено; тогда, определив <bv (z) с помощью F) и
G), мы решаем E) методом вариации постоянных. Решение имеет вид
z
(9) FAz)—J^z)\c4—\:Ti\Y.
а
+ Y4(Z) |tfv+ | тг j Jv (t) a>v (/)
где а и ft—произвольные постоянные; cv и ^v могут считаться не завися-
зависящими от z, хотя, вообще, они зависят от v.
Осталось показать, что ?v и d^ могут быть подобраны так, что значение
/\(г), найденное из (9), будет удовлетворять A) и B) или (что. сводится
к тому же), что оно будет удовлетворять C) и D). Если C) удовлетворяется,

ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ
389
то
4-t (z)
— i-тг J
(t) dt}—±nzJ, (z)
_! (z) |dv + yT
ИЛИ
z
Однако легко проверить, что
в силу того, что F) и G) удовлетворены; таким образом, C) удовлетворяется,,
если
{ — cv_! — 1 тг [>„_, (г) ^v_, (г) —
и это условие, по § 3.63A2), сводится к
*/,_, (г) {с, - Cv_, + -i тг [Kv_j (а) р,_, (а) -
_, (z) К - *,-i — 4 "[yv-i (*) Pv_i (&) -Л (*) a, (ft)]} = 0.
Итак, поскольку это касается C), достаточно выбрать с„ и dy такими,
чтобы удовлетворялись разностные уравнения
A0)
с, — су_х = — i- тг {Kv_, (a) pv_! (a) — Fv (a) a, (a)},
rf, — rf,_, = -1 ™ {Л-i (ft) P,_i (ft) —Л (ft) av. (ft)};
читателю теперь нетрудно будет проверить, что если эти разностные уравнения
(в которых повсюду v заменено на v-4-l) удовлетворены, то функция Fv(z)
(9) действительно является решением уравнения D).

390 ГЛАВА X
Эти разностные уравнения принадлежат к типу уравнений, решения ко-
которых могут считаться известными1), так что условие (8) является доста-
достаточным, равно как и необходимым, условием существования решения данной
системы двух функциональных уравнений A) и B).
Если при z —>¦ оо
^~4 ~*
где §^>0, то можно положить а—^ос, Ь—^ос, и тогда
так что общее решение можно записать в виде
A2) F, (z) = J(z) I irt (v) + | тг | ]
(z) I тг2 (v) — iir J 7V (t)v4 (t) dt j,
где iTj (v) и тг2 (v) — произвольные периодические функции от v с периодом
единица.
Замечание. Интересные свойства функций, которые удовлетворяют только
уравнению B), можно найти в более ранней статье Нильсена (Nielsen), Ann. di Mat.,
F), V A901), стр. 17—31.
Так, например, из системы формул вида
Fv_! (z) + F4+1 (г) - Bv/*) F (z) = 2g, (z)\z
легко вывести, что
A3) F4+n (z) = F4 (z) Rn, v (z) - /=•,_! (z) Rn_h v+1 (z) +
n — \
+ B/*) 2 gv + m(*)Rn-m-l
Здесь в правой части равенства ряд является частным решением разностного урав-
уравнения, а первые два слагаемых дают общее решение соответствующего однородного
уравнения.
!) Перечень различных мемуаров, относящихся к уравнениям этого типа, дает Bar-
Barnes, Proc. London Math. Soc, B), II A904), стр. 438—469.

Глава XI
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ
11.1. Общие сведения о теоремах сложения
Ранее было доказано (§ 4.73), что функции Бесселя не являются алге-
алгебраическими функциями; далее, из асимптотических разложений, полученных
в гл. VII, совершенно очевидно, что они не являются также периодическими
функциями и, следовательно, не являются двоякопериодическими функциями.
Таким образом, согласно теореме Вейерштрассах), невозможно выразить
J^{Z-\-z) как алгебраическую функцию от /v (Z) и /v (z), т. е. для бесселе-
бесселевых функций не существует теорем сложения в строгом смысле этого
термина.
Существуют, однако, два класса формул, которые обычно рассматри-
рассматриваются как теоремы сложения. В случае функций с нулевым индексом эти
классы совпадают, и формула для функций первого рода принимает вид
70 {!/> + **_ 2Zzcos<?} = 2 ejm (Z) Jm (z) cos тЪ
m=0
как мы указывали в § 4.82.
Наиболее простое из строгих доказательств этой формулы принадлежит
Нейману2), использовавшему преобразование интеграла Парсеваля; другое
доказательство принадлежит Гейне3), получившему эту формулу как следствие
формулы сложения для функций Лежандра.
11.2. Теорема сложения Неймана*)
Мы сейчас выведем формулу
<*) Л И = S *MZ) JmWcos тъ
т = 0
где для краткости положено
ш = ]/Z2 4- z2 —- 2Zz cos cp;
•при этом предполагается, что все переменные, вообще говоря, комплексны.
Возьмем формулу (интеграл Парсеваля)
к
=1 f
—к
Ц Эта теорема приводится в § 1—3 лекций Вейерштрасса, изданных Шварцем
(Berlin, 1893); доказательство теоремы см. у Фрагмена (Р h ragmen), Ada Math., VII
A885), стр. 33—42, и Форсайта (Forsyth), Theory of Functions, A918), гл. XIII.
2) Neumann, Theorie der Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1867), стр. 59—70.
3) Heine, Handbuch der Kugelfunktionen, I (Berlin, 1878), стр. 340—343. Ср.
§ 5.71 и Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, ч. 2, § 7.
4) В дополнение к трактату Неймана, цитированному в § 11.1, см. Бельтрами
(Beltrami), Atti delta R. Accad. di Torino, XVI A880—1881), стр. 201—202.

392
справедливую для всех (комплексных) значений ш и а, в которой подинтег-
ральное выражение является аналитической функцией от 6 с периодом 2тг.
Затем предположим, что а определяется уравнениями
(bsina = Z—^coscp, ш cos a = z sin cp;
тогда, очевидно,
к
JoE>) = — I exp{/(Z—zcos®) sin в -f- /.г sin cp cos 0} db=^
— it
m — - oo
oo
oo
* m=z~oo
здесь перемена порядка суммирования и интегрирования оправдывается равно-
равномерной сходимостью ряда, а последующее равенство вытекает из периодично-
периодичности подинтегрального выражения.
Если теперь сгруппировать члены со значениями т> отличающимися
только знаком, мы сразу получим формулу Неймана.
Соответствующая формула для бесселевых функций с индексами it -~- была най-
найдена Клебшем (Clebsch), Journal fur Math., LXI A863), стр. 224—227, четырьмя
годами ранее опубликования формулы Неймана, см. § 11.4.
1L3. Обобщение формулы Неймана, данное Графом
Теорема сложения Неймана была распространена на функции с произволь-
произвольным индексом v двумя путями. Обобщение, которое представляется более важ-
важным по своим приложениям к физике, принадлежит Графу1); его формула
имеет вид
т=—оо
она справедлива в случае, когда оба числа | ze—^ | меньше \Z\.
Доказательство Графа основывается на теории контурного интегрирования.
Через два года после его опубликования независимое доказательство дал Уокер
(G. Т. W а 1 k e r), Messenger, XXV A896), стр. 76—80; его доказательство пригодно
только для функций с целыми индексами; оно может быть получено из доказатель-
доказательства Графа заменой контурных интегралов на обычные определенные интегралы.
Чтобы доказать общую формулу, заметим, что при сделанных предполо-
предположениях ряд в правой части A) сходится, и, таким образом, если aigZ=ay
!) Graf, Math. Ann., XLIII A893), стр. 142—144 и Verhandlwigen der SchweizNa-
turf. Ges.j 1896, стр. 59—61. Один частный случай теоремы получил также Нильсен
(Nielsen), Math. Ann., LII A899), стр. 241.

ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ 393
то
оо
/га=—оо
@ + )
-J- V f
1 f
= 53 J
*=-оо ..ooeip^/a)
@+)
J
— ooexp(—id)
обоснование перемены порядка суммирования и интегрирования1) не пред-
представляет затруднений.
Положим теперь
(Z— ze-iv)t = &a, (Z
где, как обычно, &=yZ2-\-z2— 2Zzcoscp, и будем считать, что значение
квадратного /сорня берется таким, что ш—*-\-Z при z—>-0.
При всех допустимых значениях z фазой ш/Z будет острый угол, поло-
положительный или отрицательный. Принятое определение о> дает возможность
выбрать й-контур так, чтобы он начинался и оканчивался в — оо ехр (— /?5),
где [}г=аг?ш.
В этом случае мы будем иметь:
" 2™ \
—ооехр (—I
по § 6.2 B); это и представляет собой результат Графа.
Если определить угол с]) уравнениями
Z — z cos ср = (Ь cos ф, ,г sin ср = ш sin ф,
где ф—>-0 при 2г—^0 (так что для действительных значений переменных мы
получаем соотношение, указанное на фиг. 28), то формулу Графа можно пе-
переписать в виде
B) ***Ч(а)= S Jv+
переменив знаки у ср и ф, имеем:
C) *-'*/»= S yv
х) Ср. Bromwich, Theorie of Infinite Series, § 176. [См. Добавление в конце
книги.]

394
откуда следует, что
Если в этой формуле переменить знаки у v и т, то из § 3.54 легко
получается, что
E) М*JГ>ф = S y,+
т = — оо
и, таким образом,
F) «?,(«)? v<j> — 2 'e^m^
т = — оо
Формула E) для случая v —0 была дана в трактате Неймана, см. также Зоммер-
феад (Sommerfeld), Math. Ann., XLV A894), стр. 276; ibid., XLVII A896), стр. 356.
Некоторые приложения этих формул к физике дал Шварцшильд
(Schwarzschild), Math. Ann., LV A902), стр. 177—247.
Если в этих равенствах заменить Z, z и <о соответственно
на /Z, iz и /&, то, очевидно, получим:
'*(*)?*!>= 2 {-^K+m{Z)Im(z)^mb
т —— оо
00
= 2
Заметим, что формула G) была выведена Бельтрами (В е 1-
tvami),Atti delta R. Accad. di Torino, XVI A880—1881), стр. 201,
202.
Укажем следующие формулы, которые получаются, если положить
=—оо
?,(») sinv$= 2 {—
(9)
A0)
где
Физическую интерпретацию этих формул читатель найдет в статьях
Уокера и Шварцшильда; заметим, что в частном случае, когда v — целое
число и когда в формулы входят только функции первого рода, можно не
требовать выполнения неравенств \zezi=t'<f\<^\Z\.
11.4. Теорема сложения Гегенбауэра
Почти за двадцать лет до опубликования работы Графа, Гегенбауэр1)
получил другое обобщение теоремы Неймана.
Если формулу Неймана из § 11.1 продифференцировать п раз по cos ср,
то получим:
dn COS (т + П)
т— О
Gegenbauer, Wiener Sitzungsberichte, LXX B), A875), стр. 6—16.

ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ 395
Эта формула была распространена Гегенбауэром на функции с нецелым индек-
индексом; при этом он пользовался теорией дифференциальных уравнений в част-
частных производных (см. § 11.42). Однако Сонин*) дал доказательство, осно-
основанное на непосредственном преобразовании ряда, которое мы здесь и
воспроизводим; заметим, что в A) отношение \z\j\Z\ не предполагается
ограниченным (как в § 11.3).
Возьмем разложение Ломмеля, данное в § 5.22, а именно,
и заменим ? и h соответственно на Z2-\-z2 и —2Z^coscp; если положить для
краткости Q вместо Jv (<5)/<5\ то получим:
у (Zzzosy)P J
= У У (
p—0 q—0 У ч
где, применив еще раз разложение Ломмеля, мы заменили С и h на Z2 и ?2.
Но, по § 5.21,
J,+P+q(Z)_ у» ^?
fo \ 2* Г(v
так что
О == У У У ( — 1К (у + ^ + 26) Г (у 4-р + 2?) ^+2g cosp у
причем тройной ряд в правой части абсолютно сходится, как это следует из
сравнения его с рядом
оо оо q
V V V
Однако для абсолютно сходящегося ряда
со q оо оо
так что
— \)к+п (у 4- Я 4- 26) Г (у 4-
(у + /> + 2A;) Г(у
у (- \)k У+т~2к (v 4- m) Г (у 4- m — k) cos™-2* у 7v+m (Z) 7v + m (г)
^ (/я — 2
k=0m—2k y
oo
-2*)!*!
Son in e, Мя^Л. Лл/z., XVI, A880), стр. 22—23.

396 ГЛАВА XI
Далее,
где, как в § 3.32, C*m (cos <p) обозначает коэффициент при ат в разложении
для A — 2а cos'f ~j-a2)~v no возрастающим степеням а. Таким образом, мы
получаем разложение
2 ?В = 2,г (у) ? (v + „) ^*Ш ^i?l с; (cos Т),
которое справедливо для всех значений Z, ? и <р и для всех значений v, за
исключением 0, — 1, —2, ... .
В частном случае, когда v = -7r> мы имеем:
C) -тг=п2.{т+т)—-w vT~ p
/tz —О
Последняя формула принадлежит Клебшу (Clebsch), Journal fur Math., LXI
A863), стр. 227; ее получили также Гейне (Heine), Journal fur Math., LXIX A868),
стр. 133 и Нейман (Neumann), Letpztger Berichte, 1886, стр. 75—82. Формула, в
которой 2v есть целое положительное число, была получена Гобсоном (Н о b s о п),
Proc. London Math. Soc, XXV A894), стр. 60—61, из рассмотрения решений уравне-
уравнения Лапласа в пространстве 2v«-{- 2 измерений.
Обобщение разложения B) дала Вендт (W e n d t), Mnnatshefte fur Math, und
Phys., XI A900), стр. 125—131; с помощью этого обобщения можно выразить
в виде ряда бесселевых функций, коэффициентами которого являются детерминанты до-
довольно сложного вида.
11.41. Видоизмененная форма теоремы сложения Гегенбауэра
Формула
00
A) '-=^ = 2'1»? (_1Г(у + /я)-Ь^:Ц^?>С;(созу)
т==0
может быть установлена тем же путем, что и формула Гегенбауэра — Сонина
из § 11.4; невидимому, эта формула не была получена ранее в явном виде,
хотя в неявном виде она используется при выводе некоторых результатов,
которые будут приведены ниже в этом параграфе.
В отличие от формул из § 11.4, эта формула справедлива только тогда,
когда \z\ настолько мал, что выполняются оба неравенства \ге—*ч\<^ \ Z\;
однако, при доказательстве формулы лучше сначала предположить, что выпол-
выполняются неравенства
Далее мы воспользуемся разложением Ломмеля для § 5.22 B) в виде
V
(С + А) Ь
р
которое справедливо при | h \ <^ | С|.

ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ 397
Незначительно видоизменяя рассуждения § 11.4, мы получаем:
Ро^ Л) 1Г<1-,-/>_*) Z^
_ у у у (- if+U* + p + 2k)Y(—v — p — 2k — n) zP+2k+2n cosP у J^-p-2ktZ) =
Zu 2Ll Lu 22*+2л/М?!л!ГA — v — p — k) Zv
— V V ( — 1^ У+Р (y+P4-2k)Y(v + p + k) cosp у J^-p-ъ
^ ^ pi k I Zv
_ V V (—l)m"
= 2' Г (V) ? ( — 1)» (V + I») J-,-m
и, таким образом, требуемый результат установлен, при условии, что
Последнее выражение является аналитической функцией от z, если z
лежит внутри круга сходимости ряда1)
этот круг будет кругом сходимости также для ряда
Таким образом, данный ряд сходится и представляет собой аналитическую
функцию от z при единственном условии, что | zeP^v \ <^ | Z |; когда оба эти
условия выполнены, 7-v (co)/(bv также является аналитической функцией от z.
Отсюда, в силу основного принципа аналитического продолжения, A)
справедливо повсюду в области тех значений z, для которых
Если в A) заменить v на —v, то получим:
B) "^ = - 2-' Г (- v) ? (-1Г (v - т) rJ4_m (Z) z" /_V+M (*) С~" (cos <p).
1) Ср. § 5.22.

398 ГЛАВА XI
Далее, сопоставляя A) и § 11.4 B), мы видим, что в области значений z%
которую мы сейчас рассматриваем,
C) у-?> = 2' Г (v) ? (v + ») Ъ**& ^^ С; (cos ?),
^ т — 0
и, таким образом, вообще
D) ЩЫ = 2>Г(v) ? (v + и) ®"™{Z) J^d±с;(cos<р).
Если в C) положить v —> 0 и воспользоваться формулами
С°о (cos ср) = 1, lim {Г (v) (v + т) Ст (cos и)} = 2cos /юр, (/я ф 0)
v-»0
то получим:
00
C) Уо (&) = Z ?« ^ (z) Л„ (г) cos от?.
Формулы A) и B) ранее опубликованы не были; формула C) принадлежит Геген-
бауэру, а формула E) была дана Нейманом в его трактате, где, впрочем, вместо
функций Ym рассматривались функции У . Формулу C) при v, равном целому числу,
исследовал также Гейне (Н е i n e), Handbuch der Kugelfunktionen, I (Berlin, 1878),
стр. 463—464. Некоторое расширение формулы D) имеется у Игнатовского
(Ignatowsky), Archiv der Math, und Phys., C), XVIII A911), стр. 322—327.
Если в формулах из § 11.4 и этого параграфа заменить Z, z и © на
/Z, iz и #о, то получим:
F) (^ = 2»r(v)
т — 0
G) ^#> = 2» г (v) ? (— 1 г (v 4-») 7-^B) ^^ с; (cos
(8) ^_2^Г(у) ? (v + «) ^^(Z) (^rlC-m(cosу).
Формула (8) принадлежит Макдональду (М a k d о n a I d), Proc. London Math. Soc.y
XXXII A900), стр. 156—157; формулы F) и G) в частном случае, когда у = тг-,6ыли
даны Нейманом.
Формулы § 11.4 и этого параграфа имеют важное физическое значе-
значение в случае v=--. Если изменить обозначения, положив ka, kr и 6 вместо
Z, z и ср, то формулы примут вид
v ; У>! i a2 _ 2аг cos 9 ^' V ! 2 У у^ УГ mV
cos ^Уг« + д2 — 2arcosQ
—2arcos0

ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ 399
п\\ ехр { — kVr* + д2 — 2ar cos 8}
1 \ 1 a p /rnq (h
m=Q
Эти формулы используются в задачах о распространении колебаний, исходящих
из точки на оси z (являющейся осью симметрии задачи), находящейся на расстоянии
а от начала координат и при наличии сферы с центром в начале координат. См.
Карслоу (Cars law), Math. Ann., LXXV A914), стр. 141 и ел.
Гегенбауэр указал следующие частные случаи формулы D), которые мы
здесь выпишем.
При ср = тг мы имеем:
При ср = ~ мы имеем:
A3) gv \vZ2 + *2} = 2, у (_ ! )/я ( 1 L
Если Z = z, <р = 0, а вместо %ч берется 7v, то
„4, *¦=*¦'»?+» х
Эта формула была ранее (§ 5.5) получена другим методом; по этому вопросу
читатель может обратиться к статье Гегенбауэра (G e g e n b a u е г), Wiener
Sitzungsberichte, LXXV, B) A877), стр. 221.
В более общем виде, взяв Z = z, <p=?0, ^v = /v, мы имеем:
J^ ( 2z sin —• «р
A5) ДУ
Гегенбауэр, loc. с it., приводит также частные случаи этой формулы при
тс
Далее, можно показать, что1) если /? (v) ^> — у, то
= 0
(
I sin2" cp C^ (cos <р) С; (cos ср) ^ _ тс
!) Gegenbauer, W7e/ier Sitzungsberichte, LXX, B) A875), стр. 433—443, и В а-
ternan, Proc. London Math. Soc, B), IV A906), стр. 472; см. также Barnes, Quar-
Quarterly Journal, XXXIX, A908), стр. 189; Курс современного анализа, ч. 1, § 15.51 и Ргос.
London Math. Soc. B), XVII A919), стр. 241—246.

400
и, таким образом, при условии, что R (v) ^> — у,
0 (Z2-fx?2 — 2Zx?coscpJ
или, в более общем виде,
т) Г A) ЯУ?)^)
(cos со) sin2v cp г/ср =
Простое доказательство этой формулы1) в том частном случае, когда m~Q, a
цилиндрические функции являются функциями первого рода, было дано Сониным
(Sonine), Math. Ann., XVI A880), стр. 37. Другое, прямое, доказательство для функ-
функций первого рода принадлежит Кливеру (К 1 и у v е г), Proc. Section of Set. К. Acad.
van Wet. te Amsterdam, XI A909), стр. 749—755. Косвенное доказательство, с исполь-
использованием § 12.13 A), принадлежит Гегенбауэру (G e g e n b a u е г), Wiener Sitzungsbe-
richte, LXXXV B), A882), стр. 491—502.
[Замечание. Интересное следствие формулы D), указанное Гегенбауэром
(Gegenbauer), Wiener Sitzungsberichte, LXXIV B), A887), стр. 127, состоит в том,
что если всюду на контуре интегрирования выполняется 1 ze~%v? | < | Z | , то (см.
§ 9.2)
@-f)
A8) 2^. Г Ь1»} Ат , (z) dz = 2v Г (v).(v + т) ^® Ст (cos ?).
(
Г
Частные случаи этой формулы, напоминающие результаты из § 9.2, можно полу-
получить, взяв <р равным 0 или я].
11.42. Исследование теоремы сложения, данное Гегенбауэром
Метод, которым пользовался Гегенбауэр (Gegenbauer), Wiener Sitzungsbe-
richte, LXX B), A875), стр. 6—16, для получения теоремы сложения из § 11.4, более
сложно обосновать, чем преобразование Сонина. Он состоит в доказательстве того,
что 2 является решением дифференциального уравнения в частных производных
<Р& , 2v-f_l д& , _1_ д*2 ,2vctg® д2
dz* ~т~ г dz^zzdv*^ z* dy~^~ '
и предполагает, что 2 может быть разложено в ряд
2=2 Bm.Cm(cosf),
где Вт не зависит от cp, a C^m (cos <p) есть полином степени т от cos <p; отсюда следует, что
есть полином Cm(cos <p), умноженный на постоянное, так что С*т (cos ?) можно взять
в качестве коэффициента при ат в разложении A — 2а cos ^ -j~a2)"~v«
Тогда Вт, как функция от z, будет удовлетворять дифференциальному урав-
уравнению
1) Формулу A6) в случае, когда v = 0, получил Н е а v i s i d e, Electromagnetic
Theory, III (London, 1912), стр. 267, в несколько иной форме.

ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ 401
и, таким образом, Вт с точностью до постоянного будет совпадать с z~^j^+m (Z)\
второе решение этого дифференциального уравнения не является аналитическим
вблизи начала координат.
Из соображений симметрии Гегенбауэр заключает, что Вт, как функция от Z,
есть кратное для Z~V4J+/W(Z), и, таким образом,
где Ьт является функцией только от v и т, а Ьт находится путем сравнения коэф-
коэффициентов при zmZm cos my в 2 и в выражении в правой части.
Аналогичный прием был использован Гегенбауэром для доказательства § 11.41 C),
однако, здесь его рассуждения представляются менее убедительными, чем в случае
функций первого рода.
11.5. Вырожденная форма теоремы сложения
Формула
была найдена Бауэром1) еще в 1859 году; ее обобщил Гегенбауэр2), полу-
получив разложение
B) «"со., = 2v Г (V) ^ (V + «) i1» ^^ С (COS ?).
Результат Бауэра является, очевидно, частным случаем этого разложения
при v = -х-. В пределе при v —»> 0 разложение превращается в основное раз-
разложение из § 2.1.
Разложение Гегенбауэра можно получить из разложения § 11.41 D),
V+JL
умножая его на Z 2 и полагая Z—>-сс; тогда из § 11.41(9) и A0) ста-
становится очевидной физическая интерпретация разложения; оно представляет
плоскую волну, падающую из бесконечности в направлении оси z (являю-
(являющейся осью симметрии задачи), в форме удобной для учета возмущения,
вызываемого наличием сферы с центром в начале координат.
Простое аналитическое доказательство разложения Гегенбауэра полу-
получается путем разложения z*eizcosv по степеням z и подстановки вместо каж-
каждой степени ряда бесселевых функций по формуле из § 5.2; тогда мы получаем:
П\
i) Bauer, Journal fur Math., LV1 A859), стр. 104, 106.
2)Gegenbauer, Wiener Sltzungsbertchte, LXVIII, B) A874), стр. 375—367; LXX1V,
B) A877), стр. 128 и LXXV, B) A877), стр. 904—905.

402 ГЛАВА XI
Если произвести перегруппировку членов двойного ряда, положив я =
= т — 2k, то получим:
оо ^ ~2т .
= 24»
что и дает результат Гегенбауэра.
Гегенбауэр дал это разложение и в других формах:
C) *«овФ = 2Т (v) S (V + го) ^?) С (cos cp),
2
/и=0
2
m — 0
E) cos (z cos ?) = 2T (v) 2 (- 1Г • (v + 2m) ^±^> CL (cos ш),
0 z
F) si
m—0
оо
« = 0
G) 1 = 2\|о' ¦ ' ,' *,
к
(8) \ ^coscp C^ (cos
о
Последнее выражение представляет собой обобщение интеграла Пуассона,
которое было получено в § 3.32 другим методом. Оно справедливо только
при /?(V)> — у.
Эти формулы можно найти на стр. 363—365 первого из цитированных мемуаров
Гегенбауэра.
Формула A) была получена Гобсоном (Hobson), Proc. London Math. Soc,
XXV A894), стр. 59, из рассмотрения решений уравнения Лапласа в пространстве
" " " измерений Bv + 2 — целое).
Некоторые более общие формулы могут быть получены из B) заменой
cos cp на cos cp cos cp' -\- sin cp sin cp' coscj^ с последующим умножением на sin^ ф
и интегрированием по ф. Из интегралаА)
к
Ст (cos cp cos cp' -j^ sin cp sin cp' cos ф) sin2*-1 ф dty =
22v~1m!{r(v)}2
= ГB, + т) C* <COS V) Cm (cos cp'),
l) Cm. Gegenbauer.l^tor Sitzungsberichte, LXX, B) A874), стр.433; Gil Ba),

ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ 403
имеющего смысл, когда R (v) ^> 0, следует, что
exp [iz (cos ср cos ср' -|- sin ср sin ср' cos ф)] sin27"
о
=2*-1{1»}||я2о-
и, таким образом,
J t (z sin cp sin cp')
(9) exp \iz cos cp cos cp'
v 2
(z sin cp sin cp')
Интеграл, которым мы пользовались при доказательстве, сходится только
при /?(v)^>0, однако, конечный результат, в силу принципа аналитического
продолжения, справедлив для всех значений v.
Для случая v = —- этот результат дал Бауэр (Baue r), Munchener Sitzungsberichte,
V A875), стр. 263; общая формула принадлежит Гегенбауэру (G e gen b аи е г), Мо-
natshefte fur Math, und Phys., X A899), стр. 189—192. См. также Бэйтмен (Bateman),
Messenger, XXXIII A904), стр. 182 и письмо Гегенбауэра к Каптейну, Proc. Section
of Set., К. Acad. van Wet. te Amsterdam, IV A902), стр. 584—588.
Интересные частные случаи последней формулы получаются, если положить ср'
равным ср или ~ ; полагая ср' равным —, а затем умножая на eiZzosv sin2v cp и инте-
грируя, получаем:
(Ю)
— \ J x (z sin cp) elZ
z 2 о 2
= 2VV2^ . V ( n^ Г(у -|-/7г)-(у -\-2rn) Jv+2m(z)Jy + 2m(Z)
' m = о //г! 2rv Zv '
и, таким образом, выражение в левой части оказывается симметричной функцией от
z и Z; эта формула также была дана Бауэром для случая v = —¦.
11.6. Разложение Бэйтмена
Мы сейчас установим разложение
A) —zJAz cos cp cos Ф) /v (г sin cp sin Ф) =
2
n = 0
действительное для всех значений ft и v, за исключением целых отрицательных.

404 ГЛАВА XI
Некоторые результаты § 11.5 являются частными случаями этого раз-
разложения, которое было найдено Бэйтменом *) при изучении двух типов нор-
нормальных решений обобщенного волнового уравнения, рассмотренного в § 4.84.
Мы переходим к доказательству разложения A) путем непосредственного
преобразования.
Из разложения (§ 5.21) бесселевой функции в ряд по бесселевым функ-
функциям легко вывести, что
-Tj- z J^ (z cos cp cos Ф) /v (z sin cp sin Ф) =
( — \)m l-~ z) (COS <p COS
V 2„/Г(,+.»+¦) J.I? **
tn = 0
X ? { + + + +
л = 0 • v -г /
«+l; v+ 1; sin2 со sin2 Ф)}] =
= cosh-<рcosi*Фsin"<psin"Ф 2 A^ + > + 2й + 1)У 2n+1(z)X
w = 0 L
l2 ФГ + +
X
= о
[ y^,^^++n+1 X
4( — ^, jjl —{— v —j— az —J— 1; [JL+1» v-f-1; cos2<f>cos2Ф, sin2cpsin^) ,
где через ^4 обозначена гипергеометрическая функция Аппеля2) четвертого
типа от двух переменных, определяемая равенством
Чтобы получить равенство A), нам теперь необходимо преобразовать3)
функцию Аппеля в произведение гипергеометрических функций; для этого
мы будем предполагать, что R (\х) ^> 0; впоследствии это ограничение, очевидно,
может быть снято путем применения аналитического продолжения.
Искомое преобразование является результатом следующего вычисления,
в процессе которого производится перестановка членов ряда и используется
1) Bateman, Messenger, XXXIII A904), стр. 182—188; Proc. London Math. Soc,
B), III A905), стр. 111—123.
2) Appell, Comptes Rendus, XG A880), стр. 296, 731.
3) Существование такого преобразования ранее не было установлено, за исклю-
исключением частного случая, когда Ф = <р, см. Appell, Journal de Math, C), X A884),
стр. 407—428; некоторые относящиеся сюда исследования см. у Т i s s e r a n d, Annales
(Memoires) de VObservatoire (Paris), XVIII A885), mem. G.

ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ 405
теорема Вандермонда:
cos2^.$4(— n, [jl + v + /2+1; [JL+l, v+l; cos2 cp cos2 Ф, sin2 <р sin2 Ф) =
n n- г
= У V (~"!r+tt!)
п n—r r-\-s оо
V V (— n)r + s (У- + v + П + l)r +j (— !)'+« Sin^ cp sin^a Ф
V Ф
П 00 U
XV V ( — n)t(\i + v + n + 1 Mv +1 + Ц + 1 )я-/ (-—1)я+а sin3^ у sin3" Ф
_ -~ -~ r!(v+ l)r(^ — f)\ (u — r)\ (|i + 1)л_я "
sjn ,р .
It u-
+ w + l; v + l; sin»X
V- —«. v + « + l; v + l;
2i + + я + 1; v
Отсюда сразу получаем выражение
-^zJ(zcos cp cos Ф) /v (zsin to sinФ) =
— cos^фcost*Фsin'«sin'Ф У 0* + v + 2ft + l)r(i* + y4« + l)у , x
— cos^tpcos пшрш у ^ /г!Г(|1 + 1)Г(у + 1) Jv-+->+2n+i \z>
+ w + 1; v + 1; sin2(P)X
ХЛ( + ; v + l; 81п*Ф),
из которого, очевидно, и вытекает разложение Бэйтмена.

Глава XII
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
12.1. Различные типы определенных интегралов
В этой главе мы рассмотрим несколько типов определенных интегралов
с конечными пределами, содержащих под знаком интеграла бесселевы функ-
функции или функции, родственные им. Вычисление этих интегралов в большин-
большинстве случаев будет производиться с помощью хорошо известных приемов;
единственной новой чертой будет систематическое использование метода, при
котором двойной интеграл рассматривается как поверхностный интеграл, взя-
взятый по части сферы, отнесенной к одной из двух систем полярных координат. Наи-
Наиболее интересные интегралы рассмотрены в §§ 12.2—12.21; они принадле-
принадлежат Каптейну и Бэйтмену. Эти интегралы, по причинам не вполне ясным,
оказываются более тонкого характера в сравнении с другими интегралами,
рассмотренными в этой главе; значение их выяснилось после недавних работ
Харди, которые изложены в § 12.22. Многие важные типы интегралов с бес-
бесконечными верхними пределами отнесены к гл. XIII.
Напомним читателю об одном очень важном интеграле, принадлежащем
Сонину и Гегенбауэру, который был нами получен в § 11.41, а именно;
тс
J
(cos <р) sin2* <f></<f> =
12.11. Первый определенный интеграл Сонина
Формула
A)
справедливая, когда R(\i) и R (v) превышают—1, выражает любую бесселеву
функцию через интеграл, содержащий бесселеву функцию с меньшим индексом.
Эта формула была установлена в несколько отличной форме Сониным!),
Рутгерсом 2) и Шафхейтлином3); ее можно доказать весьма просто, разлагая
1) So nine, Math. Ann., XVI A880), стр. 36; см. также Гегенбауэр (Gegen-
bauer), Wiener Sitzangsberichte, LXXXVIII B), A884), стр. 979.
2) Rutgers, NienwArchief voor Wiskunde, B), VI A905), стр. 370.
3) S с h a f h e i 11 i n, Die Theorie der Bessel'schen Funktionen (Лейпциг, 1908), стр. 31.
Шафхейтлин, очевидно, не был знаком с более ранними исследованиями того инте-
интеграла, который он назвал новым.

ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 407
подынтегральное выражение по степеням z и интегрируя почленно; мы, таким
образом, получаем:
I
I
m = 0
откуда и вытекает наша формула.
Заметим, что множитель sin[X+16 в подинтегральном выражении приводит
к сокращению в знаменателях множителей Т(\L-\-m-\- 1). Если бы мы ввели
в качестве множителя sin1""^, в знаменателе отсутствовали бы множители tnL
Таким образом, если /?(v)^> — 1, а \х произвольно, то мы имеем:
B) Г J^ (z sin 6) sin1^6 cos2v+1 8db = ^Г^ч^г Д *
0
В частности, полагая v = тг , имеем:
C) f—V /„ (zsin8)sin1-<x6<26 = H J_D.
Vic; j 2
Из A) легко вывести формулу 1)
f-T')(T')'
\к
С
D) у @sine)/v
о
где /? (v) ]^> /? (jx) ^> — 1. Ее можно доказать, разлагая /v (z cos 6) в ряд, а за-
затем интегрируя почленно и, наконец, применяя разложение Ломмеля, данное
в §5.21.
Функциональное уравнение, получающееся из A), если вместо бесселевых функ-
функций подставить неизвестные функции F» и Z^+^+i, изучил Сокин (Soni ne), Math.
Ann., LIX A904), стр.529—552.
Несколько частных случаев формул этого параграфа были укаааны Бельтрами
(Beltrami), Istituto Lombardo Rendiconti, B), XIII A880), стр. 331 и Рэлеем (Ray-
leigh), PhiLMag., E), XIIA881), стр. 92. [Scientific Papers, I A899), стр. 528.]
Легко видеть, что интеграл Пуассона есть частный случай формулы A), соответ-
соответствующий значению ц = — .
Некоторое расширение результатов этого параграфа читатель может найти
в двух статьях Рутгерса (Rutgers), Nieuw Archief voor l&iskunde, B), VI A905),
стр. 368—373; B), VII A907), стр. 88—90.
i) Rutgers, Nieuw Ar chief voor Wiskunde, B), VII A907), стр. 175.

408 ГЛАВА XII
12.12. Первый интеграл Сонина (геометрическое доказательство)
Одно поучительное доказательство формулы предыдущего параграфа опи-
опирается на метод (описанный в § 3.33) интегрирования по части поверхности
единичной сферы с различным выбором системы полярных координат.
Пусть (/, т, п) суть направляющие косинусы отрезка, соединяющего
центр сферы с элементом поверхности д?(о, долгота и зенитный угол которого
суть соответственно ср и 6; тогда, применяя интеграл Пуассона, получим:
Wh-uJ- г г4-1 D-
2 тс
И-
о о
/1 4IH-V + 1 Г Г
'И-
о о
¦[
откуда и вытекают формулы Сонина.
С помощью указанного метода1) можно вычислить интеграл, содержащий
две бесселевы функции, а именно,
j Jv(z sin26) 7v (z cos26)sin2v+1 9 cos2v+1 6 db,
0
где для обеспечения сходимости предположено, что R (v) ^> .
Если обозначить
6J == Sin46 4- cos4Q — 2 sin26 cos26 cos се = 1 — sin228 cos2 ~ cp,
!) Этот интеграл был вычислен Рутгерсом (Rutgers), NieuwArchiefvoor Wis-
kunde, B), VH A907), стр. 400 с помощью иного метода; ср. также § 12.22.

ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 409
и воспользоваться § 11.41 A6), то мы найдем, что последний интеграл равен
J J
»0
2; о о A _ sir
Г j (z sin 6) sinv+1 6 cos2v cp cos2v 6 db dv=
Г
J
и, таким образом, окончательно, по § 12.11 A),
о
)sin6cos6are=— 3.
22ч+5Г(у+1)г2
Бэйтмен, Каптейн и Рутгерс исследовали несколько интегралов, напоминающих
только что полученный, но значительно труднее поддающихся вычислению; см. § 12.2.
В качестве простого примера интеграла, поддающегося вычислению с помощью
этого приема, читатель может проверить, что при /?(v)>—-^
2
(Х2 —
B) (х2 — Щг cost-
о
для чего интеграл слева нужно записать в виде
тс тс
я
ei*cos 6+^sinGcoscp sin2v+1 e
Эту формулу (в случае v —0) дал Бохер (B6cher), Annals of Math., VIIIA894),
стр. 136.

410 ГЛАВА XII
12.13. Второй определенный интеграл Сонина
Формула
{!) 7^(zsin8)./v(Zcos8)sin^+18cosv+1
которая справедлива, когда R (jx) и R (v) превышают —1, также принадлежит
Сонину1); формулу, приведенную в § 12.11, он фактически получил из фор-
формулы A), разделив обе ее части на Zv, а затем полагая Z—*0.
Проще всего доказать эту формулу, разлагая интеграл по степеням znZ и про-
проверив затем, что объединение членов степени ц-{-у + 2/7г дает
(— \f z* Г (Z2 -j-jtyn
Доказательство с помощью этого метода мы предоставляем читателю.
Мы переходим к доказательству формулы Сонина путем интегрирования
по части поверхности единичной сферы. В предположении, что/?(ц), а также
/?(v), превышает—1/2, мы находим, пользуясь обозначениями § 12.12, что
г/ , Mrfx1^"
Г
J
о
2ТС тс тс
0 0 0
0 0 0
О Л^О, /5 Л
V +
= П$
sin2
2 " 2Н 2тс
Г Г Г
— 1 I I ?zsin6
J J J
0 0 0
So nine, Math. Ann., XVI A880), стр. 35 — 36.

ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 411
Показательная функция, входящая в подинтегральное выражение, является
периодической аналитической функцией от ф с периодом 2ir, так что, по тео-
теореме Коши, можно в качестве пределов интегрирования по ф взять а и 2тг —|— at,
где а определяется уравнениями
a) cos a = z, <bsina=Z,
а 65 =:|/z2 -\-z2. При таком выборе пределов интегрирования, с последующей
заменой ф на ф-j-a, тройной интеграл примет вид
2*2* 2к
cos 2v cpsin <р cos2** 8 sin2v+2 6 d<b dw db.
ooo
Этот интеграл может быть также получен из своей первоначальной формы
путем замены z на оЗ и Z нулем. Соответствующее преобразование будет
иметь вид
1*
ш<
ср sin2v
0 0 0
и
г U+ 4
из сравнения исходного выражения с конечным вытекает формула Сонина.
Доказательство этой формулы Сониным основано на использовании несоб-
несобственных интегралов; достаточно строгое его изложение потребовало бы боль-
больших и утомительных рассуждений.
При помощи аналитического продолжения полученную формулу можно
распространить на области, где — -тг^1 R(V-)^> — 1 и ^
Если в формуле Сонина заменить Z на j/Z2 -\-Q — 2Z?cos<p, умножить
обе части на sin2vcp/(Z2 -f- С2 — 2Z? cos cp) 2 и проинтегрировать, то, используя

412 ГЛАВА XII
§ 11.41A6), получим:
w ] J^(z sm Q) yv (Zcos8)yv(^cos(
о
= —z- ¦-——~ I ^+v+1—fUE ~*~ ~~ C0S(p sin2vcpflfcp,
2vr ( v + t-j Г ( —. ) J 9 |0*-ИН-1)
при условии, что
R(Iх)^> — i» R(v)^> — T7•
z
Этот результат принадлежит Сонину, /?/*/., стр. 45. Читатель найдет ма-
материал, относящийся к формулам этого параграфа, в мемуаре Макдональда
(Macdonald), Proc. London Math, Soc, XXXV A903), стр. 442,443.
12.14. Определенный интеграл Гегенбауэра
Интеграл, несколько напоминающий первый из интегралов Сонина, а именно,
f cos v + -
sin ^ C0S " C0S ^^v-— (z sln ® sm Ф) Cr (cos ') sin 2
0 2
вычислил Гегенбауэр1); мы применим наш обычный метод интегрирования по
единичной сфере.
Таким образом, мы будем иметь:
0
2ZSmV f f ^(cos6co^+sia9si^cos(P)C;(COs6)sin2v6sin^l^cp^6 =
rwrf-i-
я

:sin^)Cv(
вйчавес^-ф)^ (sinQ cos »)
0J0J
!) Gegenbauer, Мелел Sitzungsberichte, LXXV, B), A877), стр.221 и LXXXV
B), 1882, стр. 491—502.

ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 413
0J 0J
поскольку предпоследнее подинтегральное выражение является периодической
функцией от <р с периодом 2тс.
Пользуясь последним выписанным интегралом вместо непосредственно
предшествующего ему, мы найдем, что исходный интеграл равен
Я ^</cosi
I» Г ~
1 \ v ___
7- ^ sin ф ) 2
1 — Г Г eiznC\ (n cos ф — / sin ф) m^-ida) =
J J elSC°S °r
2 0 0
Далее, по теореме сложенияг) для функций Гегенбауэра, имеем:
C*r (cos ф cos 6 — sin ф sin 8 cos cp) =
х c;i^ (cos 6) c;+; (C0S ф> с*р~* (cos <?).
Если это выражение умножить на sin2v"~1cp и проинтегрировать, то все
члены суммы обратятся в нуль, за исключением первого, который будет равен
тс
~~^ С (cos 6) С; (cos ф) J sin"-^ <*р.
о
Таким образом, мы находим:
тс !
Г gtecosO созф у ^ (^ sin 0 sin ф) О (COS 6) Sin" 2 Q ^6 =
тс
C; (cos ф) Г ^cos0 C; (cos6)sin2v6 ^6,
l) Доказательство было дано Гегенбауэром, Wiener Sitzungsberichte, LXX B),
A874), стр. 433; СИ Bл), A893), стр. 942.

414 ГЛАВА XII
откуда, по § 3.32,
тс
A) [
J
О
Приравнивая действительные и мнимые части, получаем формулы Геген-
бауэра:
тс ^
B) Г cos (z cos б cos ф) У _ 1 (z sin 0 sin ф) С; (cos 6) sin"+ ^ 6 db =
oJ V 2
_J (_lJr^2 sinv 2фс;(со8ф)Л+г(Д (г-четное)
C)
(г— нечетное)
тс
г *+-
sin (z cos 6 cos ф) J^_ j. (z sin 6 sin ф) C^ (cos 9) sin 2 6 d% =
J 2
0, (r — четное)
(—1JV (— J sin ф C^(cos ф) 7v + r B^). (r — нечетное)
12.2. Интегралы, получаемые из разложения Бэйтмена
Положим в разложении Бэйтмена (§ 11.6) Ф = ср; тогда, принимая во
внимание формулу Якоби1)
2 {2Гг(—я, \x-\-y-\-n-\-l; v-j-1, sin2cp)}2cos2fJ-+1cpsin2v+1cp^cp =
находим, при условии, что R (]х) и R (v) превышают —1, что
п оо
A) г Jp(^
О
т. е.
B)
i
Важным следствием этой формулы является равенство, которое справед-
справедливо при условии, что R (\х) ^> 0 и R (v) ^> — 1:
—^7 =
о
!) Jacobi, Journal fiir Math., LVI A859), стр. \49—l75[Werket VI A891), стр.
184—202].

ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 415
и, таким образом,
C) ^
О
Эта формула принадлежит Бэйтменуг); несколько частных случаев ее было
найдено независимо Каптейном 2), рассматривавшим только целые значения jjl и v.
Заметим, что из B) в сочетании с § 2.22 B) можно получить:
D) \j
о о
когда, соответственно, —\ <^R(\x)<^\ и —1 < R (ja)< 2.
Меняя в C) местами \х и v, а также t и z— t, находим для положитель-
положительных #(fi) и #(v):
Мы не будем приводить здесь то несколько сложное доказательство,
с помощью которого Каптейн устанавливает C) для частного случая jx = v = 1 т
а также рассуждения Рутгерса, относящиеся к общему случаю3).
12.21. Тригонометрические интегралы Каптейна*)
Формула
A) J
о
имеет более простой вид, чем только что рассмотренные.
Для ее доказательства обозначим левую часть A) через и; тогда, как
это легко проверить,
и, таким образом,
и = zJ0(z) -[- ^ cos z -f- В sin 2,
где А и В—постоянные интегрирования.
Но, когда z мало,
так что Л = Б=0, и формула доказана.
Из A), дифференцируя, получаем:
B) \
о
1) В at em an, Proc. London Math. Soc, B), HI A905), стр. 120. Этим же автором
было исследовано несколько аналогичных интегралов, встречающихся в теории ин-
интегральных уравнений, ibid., B), IV A906), стр. 484.
2) Kapteyn, Proc. Section of Sci., К. Akad. van Wet. te Amsterdam, VII A905),.
стр. 499; Nieuw Archief voor Wiskunde, B), VII A907), стр. 20—25; Mem. de la Soc.
Я. des Sci. de Liege, C), VI A906), №5.
3) Rutgers, Nieuw Ar chief voor Wiskunde, B), VII A907), стр. 385—405.
*) Kapteyn, Mem. de la Soc. R. des Sci. de Liege, C), VI A906), № 5.

416 ГЛАВА XII
и, интегрируя по частям, имеем:
Z
C) J sin (z — t)- Jx (t) dt = sin z — zJ0 (z).
0
Формула
n(zt)dt = ?(l)
о w = °
справедливая при /?(ji)^>0, носит более тонкий характер, и для ее доказа-
доказательства необходимо воспользоваться результатом предыдущего параграфа.
Положим
г
тогда
z
= j -у* - о ^г ^+^ («)=^ (*)/*,
о
j
о
в силу § 12.2.
Пользуясь методом вариации постоянных (ср. § 7.33), находим, что
z
= A cos z\\\
о
и поскольку
-\-В sin z-\-\l I sin (.г — ^) -iy— dt,
о
для малых z, получаем, что при R (\х) ^> О
чем и устанавливается требуемый результат.
Дифференцируя D) по z, находим:
E)
12.22. Метод вычисления определенных интегралов, данный Харди
В качестве типичного примера применения очень сильного метода вычисления опре-
определенных интегралов1) мы дадим сейчас доказательство формулы (ср. § 12.12)
*) Я должен выразить свою благодарность проф. Харди за сообщение мне этого
метода до его опубликования автором. Впоследствии этим методом воспользовался
Рамануджан для вычисления многих интересных интегралов; читатель может применить
его для вычисления интегралов, уже рассмотренных ранее в этой главе.

ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 417
I
A) J^(z sirfi 9) J^ (г cos2 Щ sin
о
которая имеет место при R (ц) > — — и JR (v) > — — .
Этот метод более глубок, чем любой другой из рассмотренных в этой
главе, поскольку он предполагает использование несобственных интегралов в сочета-
сочетании с теоремой Лерха 1) о нуль-функциях.
Пусть
с
Jp(zr2sin2 0) Jv(zr2 cos20)/*2H-+2v + 3sin2!A+10 cos2v+19rf9 === /x(r),
0
Переходя от полярных координат (г, 0) к декартовым (х,у) и используя § 13.2 E), мы
обнаруживаем, что при t>\I(z)\
[ exp(— r2t)'fx(r)dr = [ exp(— хЧ) J^zx2) х^+Ых [ exp(— уЧ) J (zy*)y*v-+i dy =
J J J r
0 0 0
Mrf,+i
О
откуда, по теореме Лерха, Д (г) тождественно равна /2 (г), чем и доказана наша формула.
1) Lerch, Act a Matemotica, XXVII A903), стр. 339—352. Для наших нужд тео-
теорема может быть сформулирована следующим образом: если f (г) есть непрерывная
функция от г при г > 0 такая, что
exp{—r*t)-f(r)dr = Q
о
для всех достаточно больших значений t, то она тождественно равна нулю.

418 ГЛАВА XII
12.3. Интеграл Чессина для функции Yn(z)
Интересный интеграл для функции Yn(z) был получен Чессиным (Chessin),
American Journal, XVI A894), стр. 186—187, из формулы
1.1, . 1
подставляя это выражение в коэффициенты ряда по возрастающим степеням для Yn (z),
мы получаем нужную формулу, а именно,
/1 \—п+2т
^ (л —т—1)!
dt

Глава XIII
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
13.1. Различные типы несобственных интегралов
Предметом этой главы будет изучение различных классов несобственных
интегралов, содержащих под знаком интеграла бесселевы функции
или функции, родственные им. Методы вычисления этих интегралов
немногочисленны; по большей части они состоят в следующем:
I. Разложение бесселевой функции по степеням ее аргумента и почлен-
почленное интегрирование.
II. Замена бесселевой функции интегралом Пуассона и перемена порядка
интегрирования.
III. Замена бесселевой функции каким-нибудь обобщением интеграла Бес-
Бесселя и перемена порядка интегрирования; этим приемом систематически поль-
пользовался Сонин1) в своем важном мемуаре.
IV. Замена по формуле Гегенбауэра (ср. § 12.1) произведения двух бес-
бесселевых функций с одинаковыми индексами, находящихся под знаком интег-
интеграла, интегралом от одной функции, с последующей переменой порядка интегриро-
интегрирования2).
V. Замена по формуле Неймана (§ 4.43) произведения двух бесселевых
функций с различными индексами, но от одного и того же аргумента, нахо-
находящихся под знаком интеграла, интегралом от одной бесселевой функции,
с последующей переменой порядка интегрирования.
VI. Замена бесселевой функции под знаком интеграла контурным интегра-
интегралом типа Барнса (§ 6.5), содержащим гамма-функцию, с последующей пере-
переменой порядка интегрирования; этот весьма сильный метод не был ранее си-
систематически использован.
Несобственные интегралы, содержащие бесселевы функции под знаком
интеграла, представляют значительный интерес не только с чисто математи-
математической точки зрения, но также и потому, что они оказываются исключительно
важными для многих областей математической физики. Число различных типов
этих интегралов настолько велико, что мы здесь можем привести только не-
некоторые важнейшие из них. Значения этих интегралов будут найдены с по-
помощью наиболее подходящих методов, причем на каждый метод будет дано
по нескольку примеров.
Несмотря на неполноту этой главы, ее размеры по необходимо-
необходимости значительно превышают размеры главы об определенных интегралах.
1) So nine, Math, Ann,, XVI A880), стр. 33—60.
з) Гегенбауэр пользовался этим приемом в ряде статей, опубликованных в
Wien&r Sitzangsberichte.

420 ГЛАВА XIII
13.2. Интеграл Липшица с обобщениями Ханкеля
Липшиц *) показал, что;
/ -I \ I n.t г I I_ l\ 11 A
где R (а) ^> 0 и, для обеспечения сходимости при верхнем пределе интегри-
интегрирования, оба числа R (aA^lb) положительны. Значение корня выбирается та-
таким, чтобы выполнялось неравенство |а-}-]/ аг-\-Ьг \ ^> \Ь\.
Простейший метод доказательства этой формулы состоит в замене бес-
бесселевой функции с целым индексом интегралом Парсеваля (§ 2.2) с последу-
последующей переменой порядка интегрирования; обоснование этого метода не
представляет труда. Мы, таким образом, имеем:
00 00
(e~atJQ(bt) dt=-\
я J a—ib cos§
о
и формула доказана.
Рассмотрим теперь более общий интеграл
Этот интеграл во всей его общности впервые был рассмотрен Ханкелем2)
в мемуаре, опубликованном уже после его смерти, приблизительно в то же
время, когда появились две статьи Гегенбауэра3). Эти авторы доказали сле-
следующее: если для обеспечения сходимости в начале координат считать
/?(ji-4-v) ]> 0, а для обеспечения сходимости на бесконечности принять преж-
прежние условия относительно а и Ь> то рассматриваемый интеграл будет
равен
Чтобы доказать это, предположим сначала, что на Ь наложено допол-
дополнительное ограничение |^|<^|л|. Разложив подинтегральное выражение по сте-
степеням Ь и интегрируя почленно, получим:
/ 1
m = 0
1) L i p s с h i t z, Journal fur Moth., LVI A859), стр. 191—192.
2) Hank el, Math Ann., VIII A875), стр. 467—468.
*) Gegenbauer, №7*?ягг Sitzungsberichte, LXX B), 1875, стр. 433—443; ibid., LXXII
B), A876), стр. 343—344. Ранее частный случай jx = v -f-1 изучался посредством интег-
интеграла, данного в § 3.32; позднее Гегенбауэр получил общую формулу, подставляя
вместо J4(bt) интеграл Пуассона.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 421
Последний ряд сходится абсолютно, поскольку | Ь | <^ | а | и, таким образом,
почленное интегрирование законно г); отсюда мы имеем:
B)
B) j
0
Пока что результат доказан только в случае R (а) ^> О и |#|<^|#[,' од-
однако, если только
/?( + й)>0 и
обе части равенства B) будут аналитическими функциями от Ь\ поэтому, в силу
принципа аналитического продолжения, B) справедливо для указанной более
широкой области значений Ь.
Пользуясь далее, преобразованиями гипергеометрических функций, можно
переписать B) в следующем виде:
оо
C)
О
ji> + w 2 i_
1 +i
я«Т(
Формула B) была использована Гегенбауэром2) для представления торо-
тороидальных функций в виде несобственных интегралов; специальные виды ин-
интеграла B) встречаются в различных физических исследованиях, среди кото-
которых исследование Ламба3) может считаться наиболее типичным.
Объединяя две бесселевых функции, легко получить, что
со
D) J e v —
о
r=CtgVTC ^ 2^1 (^-оА —
„cosecvTr
1) Cp. Bromwich, Theory of Infinite Series, § 176 [см. Добавление 2 в конце
книги].
2) Gegenbauer, Wiener Sitzungsberichte, С B), A891), стр. 745 — 766; Гегенба-
уэр также нашел выражение для рядов, общие члены которых содержат тороидальные
и бесселевы функции, через интегралы, содержащие бесселевы функции под знаком
интеграла.
3) La mb, Proc. London Math. Soc, XXXIV A902), стр. 276—284; B), VII A909),
стр. 122—141. См. также Macdonald, Proc. London Math. Soc, XXXV A903),
стр. 428—443 и Basset, Proc. Camb. Phil. Soc, V A886), стр. 425—433.

422 глава xiii
при условии, что /?(ц)> l/?(v)l и R(a±ib)>0', частные случаи этой формулы при-
принадлежат Гобсону (Н о b s о п), Ргос. London Math. Soc, XXV A892), стр. 75 и Хевисайду
(Heaviside), Electromagnetic Theory (London, 1912), стр. 85.
Очевидно, что можно получить интересные частные случаи рассмотренных фор-
формул, выбирая |и и v таким образом, чтобы гипергеометрические функции сводились
к элементарным функциям. Например, взяв ц равным v-j-1 или v^j-2, мы получаем
формулы
E)
о?
e-<Av (bt) F dt =
о
? 2a.
F) e-°*J^ (bt) f + г dt =
0 (fl2
при условии, что соответственно R(v) > - или #(v)>— *•
Эти формулы были получены Гегенбауэром (Gegenbauer), Wiener Sitzungsbe-
richte, LXX B), A875), стр. 433—443), их упоминают также Сонин (So nine), Math.
Ann., XVI, A880), стр 45 и Харди (Hard у), Trans. Camb. Phil. Soc, XXI A912), стр. 12t
тогда как Бельтрами (В е 11 r a m i), Atti della R. Accad. delle Sci. di Torino, XVI
A880—1881), стр. 203 и Bologna Memorie, D), 11A880), стр. 461—505, получил различ-
различные частные формулы, взяв jx = 1 и положив v равным произвольному целому
числу.
Вот еще две частные формулы:
т
[Замечание. Как указал Пинчерле (Pincher I e), Bologna Метопе, D), VIII
A887), стр. 125—143, эти интегралы могут быть получены из обобщенной формы
интегралов Бесселя (§ 6.2) с помощью преобразования Лапласа (ср. § 9.15). С этой
точки зрения проблема была изучена Макдональдом (Macdonald), Proc. London
Math. Soc, XXXV A903), стр. 428—443 и Кайе (Gailler), Mem. de la Soc. de Physi-
Physique de Geneve, XXXIV A902—1905), стр. 295—368. Дифференциальные уравнения, ко-
которым удовлетворяют E) и F), рассматриваемые как функции от а, изучал Каптейн
(Kapteyn), Archives Neerlandaises, B), VI A901), стр. 103—116.]
СО
Интеграл 1 Jo(bt) tdt был вычислен Нейманом (Neumann), Journal fur
J sh nt
о
Math., LXXII A863), стр. 46, как предел ряда по функциям Лежандра (ср. § 14.64).
Этот интеграл, повидимому, не поддается вычислению в конечном виде, хотя для него
легко получить ряд, пользуясь разложением
оо
2 V ?-
л—0
Ряд, сходящийся более быстро (когда b велико), будет указан в § 13.51.
Несколько интегралов такого же общего вида даны Вебером (Weber), Journal
fur Math., LXXV A873), стр. 92—102; несколько позже Каптейн (Kapteyn), Мёт.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 423
dela Soc R. des Sci. de Liege, C), VI A906), № 9, получил формулу
справедливую при /?(v) > 0 и \l(b)\ < я.
13.21. Интегралы Липшица — Ханке ля, выраженные через
функции Лежандра
Ханкель заметил, что гипергеометрические функции, встречающиеся в ин-
интегралах только что рассмотренного вида, принадлежат к специальному типу
функций, связанному с лежандровыми функциями. Впоследствии Гегенбауэр
выразил такие интегралы через тороидальные функции (которые, как известно,
выражаются через лежандровы функции),- несколько позже Гобсон1) дал более
подробные формулы.
Чтобы получить основные формулы 2) этого типа, мы изменим обозначе-
обозначения, полагая
где а — комплексное число такое, что
— ~ тг</(а)< -2 тг;
таким образом, мы получаем формулу
00
A) Г e~tch */v (t sh a) № dt = Г (ц + v + 1) P~* (ch a),
о
при условии, что #(ji+l)]>—1-
Частный случай этой формулы, когда v = 0, был дан Каяландро (С а 11 а п d r e а и),
Bull, des Set. Math., B), XV A891), стр. 121—124, за два года до того, как Гобсон
опубликовал общую формулу.
Из A) сразу следует, что
00
B) §e-'*'K,(tsha)tKit= J^/+y)K Г(>1 —v+l)Q;(cha),
О
при условии, что R (ji + 1) > | R (v) |,
Видоизмененная формула A), которой нужно пользоваться, когда аргумент
функции Лежандра 3) положителен и меньше единицы, имеет вид
1) Hob son, Proc. London Math. Soc, XXV A893), стр. 49—75.
2) Поскольку с помощью замены переменного интегралы могут быть выражены
через отношение Ь к а, общность доказательства не нарушается. Различные выраже-
выражения лежандровых функций, которые будут использованы в дальнейших рассужде-
рассуждениях в виде гипергеометрических рядов, указал Барнс (Barnes), Quarterly Journal,
XXXIX A908), стр. 97—204.
3) Читатель вспомнит, что в такой области функции Лежандра принято опреде-
определять иначе; ср. Hobson, Phil. Trans, of the Royal Soc, CLXXXVII, A A896), стр. 471, a
также Курс современного анализа, ч. 2, §§ 15.5, 15.6.

424 глава xiii
00
C)
О
откуда получаем:
00
D) L-'^y¦ {tsin $)tKit = . 77; , • Пц->+1)
J vV v' sin (j* -\- v) я т: ^
0
0
X [q; (cos p 4- о/) eT™' + Q; (cos p — о/) *- т "' ].
Несколько частных случаев этой формулы были даны Гобсоном (Н о b s о п), lor.
cit., стр. 75 и Хевисайдом (Н е a v i si d e), Electromagnetic Theory, III (Лондон, 1912),
стр. 85.
На первый взгляд далекая формула, а именно,
о
была изучена Штейнталем !). Но на самом деле она связана с прежними фор-
формулами посредством преобразования Уиппла функций Лежандра2), которое вы-
выражает функцию от ch а через функцию от cth а. Более общая формула та-
такого же типа имеет вид
_JL
0 Q* ?(cha)
у к/2 - shM 2
В этих формулах /?(pt + v)^>0 и
Заменяя в F) v на —v, находим, что
ji
Р 2 i (ch a)
G)
о shr 2 a
эта формула справедлива, когда R (ц) ^> | /? (v) | и R (cha)^>—1.
Если бы мы взяли ch а — 0, то получили бы
(8)
о
эту формулу для случая v = 0 дал Хевисайд3).
Когда ц=1, G) принимает вид
00
Г тс shvot
(9) J е-иъ*КЛ*)<Н = ~$^ -^НТ
откуда, если v — О,
00
arcsh'Ka2 — 1 arc sin V\—a2 arccosa
1) Stein thai, Quarterly Journal, XVIII A882), стр. 337—340
2) Whip pie, Proc. London Math. Soc, B), XVI A917), стр. 301—314.
3) Heaviside, Electromagnetic Theory, HI (London, 1912), стр. 269.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 425
Если заменить а на ± ib, то получим:
°° — тс =ь / arc sh Ъ
так что при | I(b) | < 1
(Ю)
(И)
Первая из этих формул принадлежит Бассету (Basset), Hydrodynamics, II (Gam-
bridge, 1889) стр. 32. J
[Замечание. Многие авторы изучали интегралы Липшица — Ханкеля, исходя из
теории потенциала; например, в простейшем случае, если (р, <р, z) суть цилиндрические
координаты, то
о
Представляется вероятным, что поскольку е~~?Ц§(гг) есть потенциальная функция,
интеграл слева также будет потенциальной функцией, которая конечна во всех точках
вещественного пространства, за исключением начала координат, и которая на*) пло-
плоскости z = 0 равна !/о; таким образом, она должна быть потенциалом единичного за-
заряда, помещенного в'начале координат. Однако, такая аргументация не учитывает воз-
возможности существенной особенности в начале координат, так что наше рассуждение
следует рассматривать не как доказательное, а скорее как предположительное.
Исследования по теории потенциала, использующие интегралы этого параграфа,
читатель может найти у Гафена (На fen), Math. Ann., LXIX, стр. 517—537. Некоторое
развитие исследований, основывающихся на изучении потенциальной функции
— 00
см. у Бэйтмена (В a t e m a n), Messenger, XLI A912), стр. 94].
13.22. Приложения формулы сложения к интегралам Липшица—-
Ханкеля
Из результатов предыдущих параграфов в соединении с§ 11.41A6) легко
вывести, что если все четыре числа R(azt:ib-+zic) положительны и
R (jjl -\- 2v) ^> 0 и если й> означает |/ Ь2 -\-с2 — 2bc соТср, то
0)
Л-
Г f ji -f 2v)
iu^+2vrBv + l)
б
На оси z интеграл равен постоянной, деленной на \z\.

426 ГЛАВА XIII
Гипергеометрическая функция сводится к элементарной функции, если|х=1
или 2; при jx == 1 мы имеем:
B)
2bc
Случай \i = 2 можно получить отсюда дифференцированием по а
Эти формулы или их частные случаи изучали следующие авторы: Бельтрами
(В el tr ami), Bologna Memorie, D), II A880), стр. 461—505; Attidella R. Accad. delle
Sci. di Torino, XVI A880—1881), стр. 201—205; Зоммерфельд (S о m m e r f e 1 d), KOnigs-
berg Dissertation, A891); Гегенбауэр (Gegenbauer), Monatshefte fur Math, und
Phys., V A894), стр. 55 и Макдональд (М а с d о п а 1 d), Proc. London Math. Soc, XXVI
A895), стр. 257—260.
Полагая в A) jjl = —1, >=1, находим, что
r Jht)dt i } . .
J e-"'-1-^ = ^ J {У<*' +2-
о о
2cos <p-я} A+cos <p)rf<p,
(так что интеграл слева, с которым встретился Рэлей (R а у 1 е i g h), Phil. Mag., E), XLII
A896), стр. 195 [Scientific Papers, IV A904), стр. 260], выражается через эллипти-
эллиптический интеграл.
Укажем еще один интеграл, который может быть приведен в связь с A):
CO 2
C) \cosatI0(bt)K0(ct)dt= f -7=
tJ J V a-1
cf — 4bc sin?9
и и
Он был найден Кирхгофом1) еще в 1853 году; читателю нетрудно
будет получить его из § 13.21A0) в сочетании с § 11.41A6). Равенство спра-
справедливо, если все числа
положительны.
До некоторой степени аналогичный результат, а именно,
СО
D) Г е-*'^~\^(&*)
о
Г V ^~ Ту Г \2] (а2 + 2lac cos f — сг cos2 T
имеющий место при JR(a± ib ± ic) > 0 и R (р) > — -^ , принадлежит Гегенбауэру (G е-
genbauer), WienerSitzungsberichte, LXXXVIII, B), A884), стр. 995. Его проще всего
получить, подставив вместо бесселевых функций интегралы Пуассона. В цитирован-
цитированном мемуаре Гегенбауэр приводит также перечень случаев, в которых интеграл справа
может быть выражен через элементарные функции (ср. § 13.23).
Kirch h of f, Journal fur Math., XLVIII A854), стр. 364.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 427
13.23. Выводы Гегенбауэра из интегралов Липшица и Ханкеля
Объединяя результаты из § 13.2 с интегральной формулой из § 5.43 для
произведения двух бесселевых функций, можно получить формулу, принад-
принадлежащую Гегенбауэру, (G e g e n b a u e r), Monatshefte fur Math, und Phys.,
IV A893), стр. 397—401; таким образом, оказывается возможным выразить
некоторые экспоненциальные интегралы, содержащие две бесселевы функции,
через интегралы от тригонометрических функций 1). Основной результат, най-
найденный Гегенбауэром, получается из формулы
Jf. № Л («) = 4 J -V+v B« cos ¦?) cos fti — v)? d'x>
о
умножением ее на е~2аН^+'' и интегрированием от 0 до оо; так, считая
и /?(fi + v)>— 4-, находим:
о о
о о
I j ' 1 COS ([Х-V)<
о Dя2 4- 4^2 cos2 у)
Обоснование перестановки порядка интегрирования не представляет трудностей;
отсюда
00
A) [
cosiU/+v!p cos (ji — v) <p
COS2
_1_
) 2
Этот результат для частного случая, когда ц r= v = 0, ранее получил Бельтрами
(Beltrami), Atti della R. Accad. delle ScL di Torino, XVI A880—1881), стр. 204.
В качестве частных случаев интеграла A) возьмем ji=l и v равным 0 или —1.
Тогда получим:
00
B) [ e~2atA(bt)J0(bt)tdt = К~~~Е
См. также более раннее замечание Гегенбауэра, ibid., стр. 379—380.

428 глава xiii
f
J
о
C) I »-2at r*ih+\H+ — \*"т-">'\ ~ %(а2-\-Ь2)Е
где модуль полных эллиптических интегралов /С и Е равен Ь\Уаг -\~Ь2.
Соответствующая формула Бельтрами имеет вид
00
D) Г e~™l ?
J
Заменяя Ь на ib, находим из B), что
00
E)
где JR(a) > | /?(b) | и модуль kx эллиптического интеграла равен bja. Формулы C) и D)
могут быть видоизменены аналогичным образом.
Гегенбауэр установил, что интегралы B), C) и E) выражаются через эллиптиче-
эллиптические интегралы, однако он не привел окончательных результатов; несколько формул,
являющихся следствиями формул этого параграфа, были даны Мейсселем (Meissel),
Kiel Programm, 1890 [Jahrbuch ttber die Fortschritte der Math., 1890, стр. 521—522],
13.24. Несобственный интеграл Вебера по Шафхейтлину
Формула
m CJJfidt I 2"
\ ' I /v-a + 1 , /
J t r r>v —(J- + 1 Г /
в которой 0<^R(jx)<[R(v)-j- —-, была получена Вебером1) ддя целых значе-
ний v. Сонин2) распространил этот результат на любые значения v. Оконча-
Окончательный результат был получен Шафхейтлином3).
Эта формула носит более тонкий характер, чем экспоненциальные интегральные
формулы, данные в § 13.2; она может быть получена как предельный случай этих
формул, так как, в силу § 13.2 C), поскольку условия *) сходимости выполнены, имеет
место равенство
(гМ1?
J fv-,t+i
2T(v
отсюда сразу получается нужная формула.
Чтобы вычислить этот интеграл непосредственно, нужно подставить вместо бес-
бесселевой функции интеграл Пуассона, а затем изменить порядок интегрирования; этим
методом пользовался Шафхейтлин, однако, его рассуждения представляются сложными,
поскольку результат сначала устанавливается для ограниченной области значений
|л и v, а затем распространяется с помощью рекуррентных формул и интегрирования
по частям.
!) Weber, Journal far Math., LXIX A868), стр. 230. Частный случай v = 0 был
предложен Стоксом в качестве проблемы на соискание премии Смита 29 января
1867 года. [Math, and Phys. Papers, V A905), стр. 347.]
2) Sonine, Math. Ann., XVI A880), стр. 39.
3) Schafheitlin, Math. Ann., XXX A887), стр. 157—161.
4) Gp. Bromwich, Theorie of Infinite Series, § 172. [В.И.Смирнов, Курс
высшей математики, т. 2, п. 84 A937).— Прим. ред.]

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 429
Можно в значительной степени избежать аналитических трудностей, поль-
пользуясь вместо определенных интегралов Шафхейтлина контурными интегралами.
Если предположить, что R (р.)<^ 0 и R (v) ^>—^, то найдем (учитывая, что
интегралы являются абсолютно сходящимися):
@+) @+) *
+ 00
— 2/sin {ire- Г(|х) cos — |itc
1 cos-^Osin^ bdb —
В силу принципа аналитического продолжения, этот результат справедлив,
когда jjl и v подчинены единственному ограничению /?(;л)<^/? (v~b""9"/#
Когда /?(|х)]>0, мы деформируем контур в действительную положитель-
положительную полуось, взятую дважды, и сразу получаем формулу Вебера — Шафхейтлина.
Интеграл *)
i
(
+00
может быть рассмотрен точно таким же путем; единственной разницей в рас-
рассуждениях будет то, что cos (t cos 6) должен быть заменен на —sin (t cos 0),
а также, в силу формулы Эйлера (приспособленной для контурных интегралов),
множитель cos—]1тг должен быть заменен на —sin— pur.
Таким образом, мы находим:
при условии, что /?(\i<^R (v4~y) и
При R (jjl) ^> — 1 контур может быть деформирован в действительную
положительную полуось, взятую дважды, так что
при условии, что —
х) Обобщения, получающиеся в результате замены в интегралах этого параграфа
и во многих других интегралах бесселевых функций функциями Ломмеля (§ 10.7),
рассмотрел Nielsen, /(. Danske Videnskabernes Selskabs Skifter, G), V A910),
стр. 1—37.

430 ГЛАВА XIII
Если взять ji = O, v—1, то получим, что
ОС
о
Этот результат в соединении с асимптотической формулой
1 ?н
s J
был использован Струве (Struve), Ann. der Physik und Chemie, C), XVII A882),
стр. 1014 для табулирования интеграла
ос
1 ?jfM20
как при больших, так и при малых х. Этот интеграл играет важную роль в теории,
дифракции.
[Замечание. Дифференцируя A) под знаком интеграла, мы получаем результат
Вебера
00
D) J J0(t)\ntdt = — T — 1п2;
о
эту формулу исследовал также Лерх (L е г с h), Monatshefte fur Math, und Phys
I A890), стр. 105—112.
Формулой для функций второго рода, соответствующей A), будет
Г
J
о
J
о
3
при условии, что | R (v) | < R([i — v)<-^-- Этот результат для случая v = 0 дал Хеви-
сайд (Heaviside), Electromagnetic Theory, III (Лондон, 1912), стр. 273].
13.3. Первый экспоненциальный интеграл Вебера и его обобщения
Интегральная формула
ос
A) J J0
О
= ±-2 exp( —^-
была выведена Вебером!) из его формулы с двойным интегралом, которая
будет рассмотрена в § 14.2. Этот интеграл отличается от ранее рассмотренных
в этой главе тем, что в показательную функцию входит квадрат переменного.
Предполагается, что для обеспечения сходимости | arg p | <^ -j- тг, однако, а яв-
является произвольным комплексным числом.
Также прямым путем доказывается более общая формула Ханкеля2)
!) Weber, Journal fur Math., LXIX A863), стр. 227. Вебер также вычислил B)
в случае fi = v -f- 2, причем v предполагалось целым.
2) Han k el, Math. Ann., VIII A875), стр.469. См. также Gegenbauer, Wiener-
sitzungsberichte, LXXII B), A876), стр. 346.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 431
оо
B) J
о
2V i 2
Для обеспечения сходимости в начале координат предположим, что1)
Для доказательства требуемого результата заметим, что, в силу сходимо-
сходимости (см. § 7.23) интеграла
00
J/|v|(|«|*).|exp( — p4*)\-\t^\dt,
о
можно вычислить данный интеграл, разлапая функцию J^ (at) по степеням t и
интегрируя почленно2).
Таким образом, мы получим:
оо
Г
О
X J r+H-2m-l exp ( _ p2^2) dt —
о
что эквивалентно требуемому результату.
Применяя в формуле B) к функции в правой части первое преобразова-
преобразование Куммера (§ 4.42), находим:
00
C) J ^ (at) ехр (— рЧ2) t^~l dt =
о
' V ; 4/72 У'
так что рассматриваемый интеграл выражается в конечном виде, если только
;х — v есть четное положительное число.
В частности, мы имеем:
оо
О
при условии, что /?(v)}>—1. Этот интеграл послужил основой нескольких
исследований Сонина (Sonine), Math. Ann., XVI A880), стр. 35 — 38; неко-
некоторые из них будут рассмотрены в § 13.47.
Для того чтобы к гипергеометрической функции, которая входит в пра-
правую часть B), можно было применить второе преобразование Куммера (§ 4.42),
J) Этим ограничением можно пренебречь, если заменить определенный интеграл
оо @-f)
(f)
\ контурным интегралом \ .
О
О оо
2) Ср. Bromwich, Theory of Infinite Series, § 176 [см. Добавление 2 в конце
книги].

432 ГЛАВА XIII
положим ji=l; тогда, заменяя v на 2v, находим:
00
E) j y2v (at) ехр (-рЧ*) dt = ^ exp ( - ^ ) . /, (g,
0
Этот результат был получен Вебером для 4-=-??
Если заменить v на —v, то легко следует, что
00
F) \ Y24(a
когда |/? (v) | <^-о ; и если р —* О (причем а нужно считать положительным),
то, используя § 7.23, находим, что
00
G)
когда \R(v)\<^~2 ; в частности,
(8)
Формулы E) и F) были даны (для v == 0) Хевисайдом (Н е a v i s i d e), Electromagne-
Electromagnetic Theory, III (Лондон, 1912), стр. 271.
Другой метод оценки интеграла в левой части C) указал Бассет (Basset),
Proc. Cambridge Phil. Soc, VIII A895), стр. 122—128; некоторые авторы вычисляли
интегралы с помощью преобразования Лапласа, см. Макдональд (М а с d о n a I d), Proc.
London Math. Soc, XXXV A903), стр. 428—443; см. также Керзон (Gurzon), Proc.
London Math. Soc, B), XIII A914), стр. 417—440; формулы, получаемые при чисто
мнимом р2, см. уХарди (Hardy), Trans. Camb. Phil. Soc, XXI A912), стр. 10,27.
Некоторые приложения рассмотренных в этом параграфе интегралов к теории
теплопроводности см. у Рэлея (Rayleigh), Phil. Mag.,F), XXII A911), стр. 381—396
[Scientific Papers, VI A920), стр. 51—64].
13.31. Второй экспоненциальный интеграл Вебера
Применяя формулу § 11.41 A6) к только что рассмотренному интегралу,
мы преобразуем его путем замены бесселевой функции, входящей под знак
интеграла, произведением двух бесселевых функций с такими же индексами.
Если ш — У а2 -\-Ь2 — 2ab cos у и если R (v) > — ~, /?Bv-j-jx) > О,
оо
^ ехр( — рЧ2) 7V (at) 7V (Ы) t^ dt =
о
/ 1 \ v оо тс
п/ ,1 \
fabV С ( со2\ / ц &*\ .
_ ехр ——~ . FJ 1 — ~ ; v4- 1;т-т] sin2v c
К/72/ J V 4/?2; 11^ 2' ~ '4//V

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 433
Гипергеометрическая функция обращается при [X = 2 в единицу, так что
1
J 2p3r^ + l)r(i-)J V *
Если разложить показательную функцию, находящуюся под знаком интег-
интеграла, то получим:
00
A)
6
Эта формула справедлива при R (v) ^> — 1 и | arg р | <^ -j тс.
Как и результат из § 13.3, это равенство принадлежит Веберу (W eb er), Journal
fur Math., LXIX A868), стр. 228; Вебер дал для него иное доказательство; другое
доказательство дал также Ханкель (Hankel), Math. Ann., VIII A875), стр. 469—470.
Приведенное здесь доказательство принадлежит Гегенбауэру (G e ge nb a u er), Wiener
Sitzungsberichte, LXXII B), A876), стр. 347. Кроме того, имеются исследования Сонина
(So nine), Math. Ann., XVI A880), стр. 40, Зоммерфельда (S о m m erf el d), KQnigsberg
Dissertation, 1891, Макдональда (Mac don aid), Proc London Math. Soc, XXXV
A903), стр. 438 и Кайе (Cailler), Mem.delaSoc.Phys.de Geneve, XXXIVA902—1905),
стр. 331. Некоторые физические приложения имеются у Карслоу (Gars law), Proc.
London Math. Soc, B), VIII A910), стр. 365—374.
13.32. Обобщения второго экспоненциального интеграла Вебера
Когда бесселевы функции, входящие в интегралы рассмотренного типа,
имеют различные индексы, обычно оказывается невозможным представить ре-
результат в каком-либо простом виде. Единственный метод, который можно при-
применить к интегралу наиболее общего вида
J ^ (at) Jv (bt) exp (— рЧ2) t1-1 dt,
о
состоит в подстановке ряда из § 11.6 вместо произведения бесселевых
функций с последующим почленным интегрированием, однако, приводить здесь
эти выкладки не представляется необходимым. В частном случае, когда X = v — jx,
Макдональдг) показал, что рассматриваемый интеграл равен
при этом он пользовался преобразованием, основанным на результатах, описанных
в §§ 12.11, 13.7.
i)MacdonaJd, Proc. London Math. Soc, XXXV A903), стр. 440.

434 ГЛАВА XIII
Исключением будет случай а = Ь; если R (к -(- ц. -f- v) ^> 0, то мы имеем:
it) J4 (at) exp (— p2*2) ^-1 dt = —
0
I
X з^зV 2 ' 2 ' 2 ' ^+lj v+]» ^+v+*; —^2 J,
используя разложение из § 5.41. Несколько частных случаев этой формулы
были исследованы Гегенбауэром !).
13.33. Интеграл Струве, содержащий произведения бесселевых
функций
Сейчас мы покажем, что при R (jx —J— v) }> 0
Этот результат был получен Струве (S t г u v e), Mem. de I'Acad. Imp. des Set. de
St Petersboarg, G), XXX A882), стр. 91, для частного случая ji = v = 1; выражение в пра-
правой части равно тогда 4/(Зтс).
При вычислении этого интеграла сначала удобно считать, что оба числа
/?(ja) и R (v) превышают -. Тогда из § 3.3G) следует, что
00
i
oo 2 2№
0 0 0
Принимая во внимание тот факт, что t~2 sin (t sin b) sin (t sin у) численно не
превышает наименьшее из чисел \jt2 и sin б sin со, повторный интеграл абсо-
абсолютно сходится, так что можно изменить порядок интегрирования.
Поскольку2)
j Itt since,
О v "
тройной интеграл равен
Г Г
-^ тт Г Г cos2**-2 б cos2v~2 cp sin2 б sin cp db dy +
о о г
Г cos2^-2 б cos2v~2 со sin б sin2
-j- -|п Г Г
о о
*) Ge^enbauer, lF^/г^/- Sitzungsberichte, LXXX VIII A884), стр. 999—1000.
2) Этот результат легко получить с помощью контурного интегрирования.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 435
Однако интегрированием по частям мы получим:
Bv — 1) [ cos2v~2 <р sin <p ( С cos2!X-2 6 sin2
Г г lfTC r
~ L ' Jo п
i*
о
2,
Второй интеграл вычисляется аналогичным путем, так что мы имеем:
г
откуда требуемый результат очевиден. Его можно при помощи теории анали-
аналитического продолжения распространить на область значений д и V, удовлетво-
удовлетворяющих единственному условию R (\х -[- v) ^> 0.
Если /?(ix + v) положительно, то подобным же образом можно показать, что
также
Этот результат для случая pL == v = 1 также был получен Струве (Struve), lbld.tr
стр. 104.
Если /?(|i.) и /?(v) больше — , то, пользуясь § 10.45, мы находим;
"
B{х— l)Bv—I) "f f f {1 — cos (^ sin 0)} {1 — cos (t sin у)}
о о
X cos2^ 0 cos2v <p sin 0 sin <p db dy dt.
Теперь, если а и р положительны, то из рассмотрения интеграла
.(i_e«&)(i_<
Г
взятого по контуру, состоящему из вещественной оси и опирающейся на нее большой
полуокружности, следует, что
Т {! — cos (а*Ж ! ~~ cos (Р*)} ? sin (qf) sin (^)
J
t'

436 ГЛАВА XIII
Отсюда вытекает, что рассматриваемый тройной интеграл равен тройному интегралу,
вычисленному при доказательстве A), и, следовательно, B) может быть доказано тем
же путем, что и A).
Если оба числа R(\l) и R(v) превышают — , то подобным же образом читатель
может доказать, что
т ?Ьё^«
. 2
это равенство может быть распространено на область значений ц и v, для которой
Интегралы
OO 00
л п.. (t) rL (t) r* H
I _r _ dt I —
J ^+v+2 ' J
о о
могут быть вычислены аналогичным путем, однако, результаты таких вычислений не
лредставляют большого интереса х).
13.4. Разрывный интеграл Вебера и Шафхейтлина
Интеграл
nJ'l(at)f*{bt)dt,
б котором а и Ь предполагаются положительными для обеспечения сходимости
в верхнем пределе, был исследован Вебером (Weber), Journal fur Math.,
LXXV A873), стр. 75 — 80, для некоторых частных случаев, а именно,
(i) Х = д = О, v=l, (u) l=— ~, jx = 0, v = ±y .
Вычисление этого интеграла при всех значениях 1, ц и v, для которых он схо-
сходится, выполнил Сонин 2) (So nine), Math. Ann., XVI A880), стр. 51—52, однако, его
исследование не было достаточно детальным и он не отметил, что при а = Ь проис-
происходит нарушение непрерывности. Несколькими годами позднее этот интеграл весьма
подробно изучил Шафхейтлин 3), однако, его вводные рассуждения содержат слишком
много ссылок на теорию линейных дифференциальных уравнений.
Частный случай, когда Х~0, исследовал в 1895 г. Гублер 4), воспользовавшийся
весьма изящным преобразованием контурных интегралов, которое, к сожалению, нельзя,
повидимому, распространить на случай I Ф 0. (Этот случай будет рассмотрен ниже в
§ 13.44.)
*) Несколько родственных интегралов были вычислены Симоном (Si em on),
Programm, Lulsenschule, Berlin, 1890 [Jahrbuch iiber die Fortschritte der Math., 1890,
стр. 341].
2) См. также § 13.43 в связи с исследованиями Гегенбауэра (G e g en b a u er),
Wiener Sitzungsberichte, LXXXVIII, B), A884), стр. 990—991.
3) Schafheitlin, Math. Ann., XXX A887), стр. 161—178. Вопрос о приоритете
обсуждался Сониным, Math. Ann., XXX A887), стр. 582—583 и Шафхейтлином, Math.
Ann., XXXI A888), стр. 156.
4)Gubler, Math. Ann., XLVIII A897), стр. 37—48. См. также Graf und,
Gubler, Einleitung in die Theorie der Bessel'schen Funktionen, II (Bern, 1900),
стр. 136—148.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 437
Первый способ вычисления, который мы дадим здесь, основывается на
результатах § 13.2. Условиями сходимости будут1) следующие неравенства;
причем предполагается, как уже упоминалось об этом, что а и b положительны.
Сначала мы предположим, что предыдущие условия выполнены, а также
будем считать, что Ь<^а. Рассуждения намного сократятся, если взять но-
новые постоянные, определяемые уравнениями
= v — X —
Мы будем предполагать эти соотношения выполненными вплоть до конца
§13.41.
Известно, что
°° / (at) 7V (bt) f J (at) 7V (bt)
-i= dt — lim e- ct — ,, dt,
так как интеграл в левой части сходится; далее, при любом положительном с
интеграл в правой части сходится для комплексных значений Ь\ если заменить
Ь на 2, то полученный интеграл будет аналитической функцией от z при ус-
условии, что R (г) > 0 и | / B) | < с.
Теперь,
у \ 00
J
.у, v— f *-Л- ,
при условии, что2)
oo (—!)«( •—¦ z
абсолютно сходится; легко показать, что это имеет м^есто в случае, когда \z\<^c.
Отсюда, если \z\<^c, то
f
Из асимптотического разложения бесселевых функций следует, что условия
достаточны для обеспечения сходимости, когда а — b, при условии, что ji—v — нечет-
нечетное число.
2) Bromwich, Theory of Infinite Series, § 176 [см. Добавление в конце книги].

438 ГЛАВА XIII
и гипергеометрическая функция в правой части может быть заменена на г)
.2Fx(a + m + ^9 i_p_m;|.; -^_Л
Модули членов разложения функции
не превышают по абсолютной величине соответствующих членов разложения
функции A—Ух }~А~2т, где А есть наибольшее из чисел | 2а| и 2j3— 11; ана-
аналогично, модули членов разложения функции
не превышают по абсолютной величине соответствующих членов разложения
функции
Таким образом, члены полученного бесконечного ряда не превышают по
.абсолютной величине членов ряда
y + 2m~l
??0 гп\ Г (ч + т)
где д: = ^2/(л:2 -)— с2). Однако, этот последний ряд абсолютно сходится, когда
— с2 — с и в этой области он представляет аналитическую функцию
от z.
Отсюда, в силу общего принципа аналитического продолжения,
00
() ГBа + 2//г)
1)
т== О
Хл(в + я1~Р-я: а —Р + 1;
при условии, что 2 удовлетворяет трем соотношениям
Ср. Forsyth, Treatise on Differential Equations, A914), § 127.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
439
Теперь возьмем положительное число С настолько, малым, что
Ь < VV + С2 — С,
и возьмем 0 <^ с ^ С, так что также
Ъ
— с.
Далее, в последней интегральной формуле можно положить ? = ?, после чего,
пользуясь точно так же, как и ранее, мажорирующими функциями, находим,
что члены полученного ряда меньше членов абсолютно сходящегося ряда
~^ь
я! Г (-у -f-m)
(Я2
+¦
где л = с<7 (с
Отсюда, по признаку Вейерштрасса, первоначальный ряд сходится равно-
равномерно по с, когда О^с^С, и поэтому предел суммы ряда при с—* 0 сов-
совпадает с значением суммы ряда при ? = 0.
Итак,
lini
с-» о
Г (а — р Н- 1)
,y—p-m; а—р+1; 1),
и поэтому
= у
т-~0
Таким образом, доказано, что
1 \ '
о,
т. е.
dt=
27-s-9 а*+
^•«^(«.Р! т: 5)-
h Г I
т)
X
ух 4-v — ^+1 v—X —ti + 1 л
2 " J 2 '

440
ГЛАВА XIII
при условии, что 0 <^Ь <С^а и что интеграл сходится. Это и есть результат,
который получили Сонин и Шафхейтлин.
Если повсюду в рассуждении поменять местами а и Ъ, а также \i и v, то,
предполагая, что 0<^а<^Ь и что интеграл сходится, получим:
J
)
Г (т — а) Г (а — р + 1)
Теперь оказывается, что выражения в правых частях A) и C) не являются
аналитическими продолжениями одной и той же функции. Следовательно,
в случае а = Ь формула претерпевает разрыв непрерывности и нужно иссле-
исследовать этот факт несколько подробнее.
13.41. Критический случай интеграла Вебера — Шафхейтлина
В случае, когда в рассматриваемом интеграле а = Ь, мы имеем, как и ра-
нее.
-, lim
полагая, для обеспечения сходимости, что R (ji-f-v -f-
Рассмотрим теперь
H
де z— комплексное переменное с положительной R(z).
Когда R(z)^>2a, можно разложить подинтегральное выражение по воз-
возрастающим степеням а и проинтегрировать почленно; эта операция законна
в силу того, что получающийся ряд сходится.
Используя § 5.41, мы, таким образом, получаем:
оо
00 г*
(— 1)» ("J «
л/и!Г(а pfmf)
от = О
Интеграл в левой части является аналитической функцией от г, если
)^, и, таким образом, когда z принимает малое положительное значе-
значение с, его значение может быть найдено как аналитическое продолжение ряда,
стоящего в правой части.
Но, в силу результатов Барнса1), ряд справа и его аналитическое
1) Barnes, Proc. London Math, Soc, B), V A907), стр. 59—118. См. также § 6.5,
6.51 и ел.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 441
продолжение можно представить интегралом
00/
JL. Г
2я/ J
1
— оо/ '
этот интеграл представляет функцию от z, которая является аналити-
аналитической при | arg z | <^ тт. При этом предполагается, что контур состоит из
мнимой оси с петлями, благодаря которым полюсы функции Г( — s) оказы-
оказываются справа от контура, а полюсы функций Г Bа -f- 2s) и Г (а — р -\~ у -f- 2s) —
слева от контура.
Когда |z|<^2a, интеграл можно вычислить, видоизменяя контур таким
образом, чтобы полюсы оказались слева от него, а затем определяя в них вы-
вычеты. Сумма этих вычетов образует два сходящихся ряда, расположенных по
возрастающим степеням z\ отсюда, при R(z)^>0 и \z\<^2a имеем;
_ 1 V
2 ?+
2 т=о т\ Г( 1 —8—-
Но /?(у — а — [3)^>0 и, таким образом, если приписать z положительное
значение с, а затем положить с—^0, то найдем:
2ГA-р)Г(Т —а)Г(т-Р)
при условии, что /?(а)^>0, /?(у — а—Р>
Поэтому из формулы Гаусса для 2FX (a, p; у; 1) следует, что рассматри-
рассматриваемый интеграл не имеет разрыва непрерывности, хотя формула, служащая
для его выражения, претерпевает разрыв, когда Ь, возрастая, переходит через а.
Этот же результат можно записать в иной форме:
ОО
B) J
2Г -i~X4-~v -и 4-™'
при условии, что /?(ji-f"v^
Если [1 — v нечетно, то интеграл сходится при 0^/?(Х)^>—1; этот
случай будет далее рассмотрен.

442 глава xiii
Мы заменим обозначения в предыдущих рассуждениях, положив п-\-р и
а — р—1 вместо \i и v; если /?(Х)^>0, то мы находим:
2im J
J (
— 00/
оо (— l)m ( La)-k-m-lzmY(l — т) Г^а — -i X + ~
v^ \ * JV l l
i
lx-l
откуда
оо
J " ^X 2X]
если только X ^= 0. Эту формулу следует сравнить с более общими форму-
формулами, полученными из § 13.4, а именно, при Ь<^
и при
оо
E)
О
J *x
„ / К , , 1 , . , , а?
Поскольку а=^=0, функции в правых частях D) и E) не стремятся ни
к какому пределу при а —>¦ Ь.
С другой стороны, когда Х = 0, контурный интеграл приобретает вид
ds,
la+s)
и вычет при s = — а равен (—iy/Ba).

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 443
Следовательно,
ft'"" Г (а)
F) y.+p{at)J.-p-i(bt)dt = < (—\)PjBa),
I О,
в соответствии с тем, будет ли b<^a, b = a или ft^>a. Поскольку
2F,(a,— р; а—р; 1) = (—!)'/>! Г(а — р)/Г(а),
то очевидно, что значение интеграла при Ь = а равно среднему его предельных
значений при Ь = а — 0 и Ь = а-\-0.
Если в B) положить Х= 1, то получим:
G) \« !
\«> = ;
О
эту формулу также легко получить, вписывая пределы в § 5.11 A3); ее весьма
подробно исследовал Каптейн (К а р t е у n), Proc. Section of ScL, К- Acad. van Wet.
te Amsterdam, IV A902), стр. 102—103; Archives Neerlandaises, B), VI A901),
стр. 103—116.
13.42. Частные случаи разрывных интегралов
Можно получить много интересных частных случаев, если в приведенных
выше рассуждениях выбрать для постоянных X, jjl, v специальные значения.
Чтобы в дальнейшем не повторяться, условимся, что если будут даны три
значения интеграла, то первое из них будет относиться к случаю Ь<^а, вто-
второе—-к случаю Ь = а и третье — к случаю Ь^>а; если будут даны два зна-
значения, то первое будет для Ь^а, второе—для Ь^а\ и, наконец, могут
быть случаи, когда значение интегралов может относиться к любым значениям
постоянных, при которых он сходится.
Следующие частные случаи представляются наиболее важными *):
A)
о
^ { ]i~l sin \]i arc sin (ft/a)},
B) " *
о
C)
6
Г ja cos {\i arc sin (ft/a)},
f = <| д:^ cos — {Air
1) Многие другие частные случаи были даны Нильсеном (Nielsen), Ann.
di Mat., C), XIV A908), стр. 82—90; интегралы в D) и E) расходятся для некоторых
значений ц при а~Ь.

444 глава xiii
( sin \\l arc sin{bja)\
D) \ J^at) sin bt-dt=) сю или 0, [R(v)> —
a^ cos -y jjltc
cos {p. arc sin {
CO
E) -4И) cos bUdt =
0
oo или О,
sin —
Частными случаями предыдущих формул будут формулы
г f
F) yo(a^)sinW.rf/==J со,
У [
G) yo(a*)cos«.<0 = J ос,
о (о.
Последние две формулы, которые были даны Вебером (W e b e r), Journal fur
Math., LXXV A873), стр. 77, известны как разрывные множители Вебера *); они
связаны с задачей об определении потенциала наэлектризованного круглого диска 2).
Известна еще одна частная формула
(8) У^)^_!(«)Л = ] l/Bft), [/? Oi) > 0]
о И;
если в ней положить }i=l, то получим результат Вебера (ibid., стр. 80)^
Г f°'
(9) J0(at)J1(bt)dt = \ l/Bft),
Функция, получающаяся из (8), если й ней положить ц = ~ известна как
рывный множитель Дирихле', см. статью Фосса (V о s s), Encyclopudie der Math.
Wiss., II A), A916), стр. 109.
Другие частные виды формул нашли применение в теории рядов Фурье, см.
Юнг (W. H. Young), Leipziger Berichte, LXIII A911), стр. 369—387.
Иной метод вычисления E) дали Хопф и Зоммерфельд (Hopf Sommerfeld),
Archiv der Math, und Phys.t C), XVIII A911), стр. 1—16.
Следует указать одно следствие формулы A). Когда v > 0, в силу § 5.51 E), мы
имеем:
Х
2
= 2v Г J^t) f ^ 2v Г J?(t) f=l,
0 0
0
и, таким образом,
(Ю)
х) Первая из них была за много лет до этого известна Стоксу, который включил
ее в число вопросов при испытаниях на соискание премии Смита в феврале 1853 г.
[Math, and Phys. Papers, V A905), стр. 319.]
2) Ср. Gallop, Quarterly Journal, XXI A886), стр. 230—231.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 445
при единственном условии, что v положительно; этот результат является интересным
обобщением неравенства Хансена (§ 2.5); он был получен Ломмелем (Lommel), Мйп-
скгпгг АЬК, XV A886), стр. 548—549.
Читатель может вывести интеграл Бэйтмена*)
J
о
из теоремы Вебера — Шафхейтлина.
13.43. Исследование интеграла Вебера — Шафхейтлина, данное
Гегенбауэром
В частном случае, когда функции Бесселя имеют одинаковые индексы,
Гегенбаузр2) нашел, что с помощью его метода интеграл Вебера можно вы-
вычислить весьма просто.
Если #Bv+l)>/?(X)>/?(v + 4-)> то, в силу § 13.22, имеем:
—1— JJ ± \- sin» <fd<,dt-
4"J° ° ^ 2
>2
sin
Когда Ь<^а, выражение в правой части имеет вид
ь \ п С* v
к. / J
Далее, из рекуррентных формул
3) Bateman, Messenger, XLI A912), стр. 101; доказательство этой формулы
другим методом см. у Hardy, Messenger, XLII A913), стр. 92—93.
2} Gegenbauer, Wiener Sitzungsberichte, LXXXVIII, B), A884), стр. 99L

446 ГЛАВА XIII
находим:
1 9\ "
— 2v — 1) I 2A
J
— 2у+я+Т~" J A Z) dz
i i
i-l) f n V""»^ ...
так что
К
\ С1* (cos ®) sin2v cp ^/ср =
О
: 1-,, \ С^_! (cos cp) sin2vcp ^fcp.
Отсюда следует, что
1 1
Г
i
X
и это находится в согласии с результатом из § 13.4*
Приведенный здесь метод по существу не отличается от метода Геген-
бауэра; однако, рассуждения Гегенбауэра несколько сложнее, поскольку он
избегает пользоваться теорией аналитического продолжения при установлении
результата для более широкой области значений /?Bv-f-1)^>/? (Х)^>—1.
Разлагая полученный интеграл по степеням cos cp, мы приходим к фор-
формуле
X
которая справедлива при а^>Ь или а<С^Ъ. Этот результат был дан Гегенбау-
эром; в такой форме разрывность его оказывается скрытой.
Читатель может самостоятельно изучить критический случай, когда
в интеграле с конечными пределами полагают Ь = а.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
447
13.44. Исследование интеграла Вебера — Шафхейтлина, данное
Гублером
Мы сейчас исследуем интеграл
(bt) dt,
пользуясь методом Гублера1).
Удобнее будет рассмотреть сначала более общий интеграл
}
J4(bt)
dt,
хотя он и не может быть просто вычислен по методу Гублера. Сначала мы
будем предполагать, что /?(v)>0, R (к) ]> -^ , R (|i — Х)>—1 и, как обычно,
что а и Ь положительны и
Принимая во внимание обобщенный интеграл Бесселя, вычисленный в
§ 6.2B), мы видим, что рассматриваемый интеграл равен
оо @4-)
—00
Мы будем считать, что выбранный контур, как это показано на фиг. 29,
пересекает окружность 12:1 = 1 и прямую R(z) = O только при z = -4-i:
уд , р ур,
пересекает окружность |,г| = 1 и прямую
тогда для всех рассматриваемых значений
z и t
и повторный интеграл сходится абсолютно,
в силу того, что произведение интегралов
оо (О-}-)
Фиг. 29
сходится. Таким образом, можно изменить порядок интегрирования, и мы по-
получим:
оо @+)
j |
Если положить
b(z— \jz)=—
1/0
l) Gubler, Math. Ann., XLVIII A897), стр. 37—48.

448
ГЛАВА XIII
и считать, что берется то значение JJ, для которого
мы будем иметь:
, то, по § 13.2,
о
J —^—
1
@+)
г 0» -h 1)
1
X
2«
[X
4C-
при этом мы пользовались преобразованием Куммера1).
Рассмотрим теперь путь, проходимый С, когда z описывает свой контур.
Поскольку выбирается значение ? с наибольшим модулем, то этим путем будет
кривая, изображенная на фиг. 29 справа от окружности;
эта кривая не может иметь более простого вида, так как
различные ветви z, рассматриваемого как функция от
^, берутся на разных ее участках. Кривая встречает
единичную окружность только в точках ?-f*°, где со
есть острый угол, для которого b = a sin со.
Далее, оба интеграла, как первоначальный, так и
результирующий контурный, являются аналитиче-
аналитическими функциями от \ при R (к) ^>—1, если а-=^Ь.
Таким образом, можно взять2) Х = 0 при условии, что
R (ji) ^>—1; тогда мы имеем:
Фиг. 30
оо
@+)
Положим теперь ? = 2т; тогда
и контур для т будет таким, как это изображено на фиг. 30; он начинается
в — Ь\ал обходит начало координат в направлении по часовой стрелке и воз-
возвращается в — Ь\а\ там, где контур пересекает действительную ось, мы имеем
Поскольку
dz
adx
2
2 х(Ъх+а)
г) Kum mer, Journal fur Math., XV A836), стр. 78, формула E7). См. также
Barnes, Quarterly Journal, XXXIX A908), стр. 115—119.
2) Если I Ф 0, гипергеометрическая функция, вообще говоря, не сводится к эле-
элементарной, и вычисления не могут быть доведены до конца.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 449
мы находим (меняя ориентацию контура), что
оо @+) 1 1
Г 1 Г т^-р-Ъ
dt=M) Т
/
@+) 1 1
Если правую часть полученного выражения разложить по возрастающим
степеням Ь2\а2 и подставить значения интегралов Эйлера—Похгаммера, то ре-
результат Гублера
00
будет доказан.
13.45. Видоизменение интеграла Вебера — Шафхейтлина
Интеграл
оо
J K*laHJ*mdt,
который сходится, если /? (а) ^> | / (Ь) \ uR(y-\-\—X) ^> |/?(jjl)|, можно выра-
выразить через гипергеометрические функции, аналогично тому, как это имеет
место для интеграла Вебера — Шафхейтлина, с той разницей, что у рассматри-
рассматриваемого интеграла не будет разрыва непрерывности при а = Ь.
Чтобы вычислить его, разложим Jv \bt) по степеням Ь, считая временно
| Ь | <^ | а | для того, чтобы в результате почленного интегрирования получился
сходящийся ряд. Используя § 13.21 (8), находим:
J IT— dt-2*Q п!Г(» + Л + П J t
A)
О Л=0 х ' ' О
1 1 1
V О О Г* Г~ г)
f f ^__/ у
2x+V~x+1r(v + l)
и, в частности,
,2,
при условии, что /?(v+l)>|/?(jx)| и >|)|
Формула A) была дана Хевисайдом *) для случая д = v = 0 и Х = 0или1.
х) Н е a v i s i d e, Electromagnetic Theory, Щ (London, 1912), стр. 249, 268, 275.

450 ГЛАВА XIII
13.46. Обобщения интеграла Вебера—Шафхейтлина
Для того чтобы найти значения интегралов, содержащих под знаком
интеграла три бесселевых функции, возьмем интеграл
Jv.iaQJJbt) ,,
— —¦ at.
Заменим b на у b2 -\-c2 — 2bccos <p, где Ь и с положительны, умножим на
sin2yl(b2-}-c2 — 2bccosyJ и проинтегрируем. Тогда получим:
о V 2 у V 2 У о о
V 2 у V 2 У
где ш = Yip2 -\-с2 — 2bc cos ш), а интеграл справа абсолютно сходится, если
Изменим в правой части порядок интегрирования; тогда в результате
интегрирования по t получим элементарную функцию от ш, если X -—{— v —}— 1 ==
= zb№ 9та функция имеет вид
j t*> t
Следовательно,
f
i)r(i)J
(
где значение А равно
f
fl2 _ ^2 _ C2 j^ 2bc cos
?2 Л. ^2 ___ a2
0, arc cos Wc , я
в соответствии с тем, какое из трех неравенств удовлетворяется:
a2<C(b — сJ, {Ь — сУ<а2<(Ь-\-сJ, или
при условии, что R (|i), а также R (v), превышает — —.
В частности,
Г dt \-2bc) Г
B) \ Jv + l(at)Jv(bt)Jv{ct) — = ) ^\—ТТ\ \ sin2yd?-
о
Умножим обе части равенства на а*+1 и продифференцируем под знаком
1
интеграла по а; тогда, считая R(v)^> — -—, мы получим интересный результат:

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 451
C)
при условии, что а, Ь, с являются сторонами треугольника с площадью Д;
если же а, Ъ, с не являются сторонами треугольника, то интеграл равен
нулю.
Эта формула принадлежит Сонину (So ni n e), Math, Ann. XVI A880), стр. 46; не-
несколько с иной точки зрения ее рассматривал Доугалль (D о u g а 11), Ргос. Edinburgh
Math. Soc, XXXVII A919), стр. 33 — 47.
Макдональд 1) заметил, что интеграл в левой части равенства A) всегда
может быть выражен через лежандровы функции. Это можно получить из
интеграла, стоящего в правой части равенства, следующим образом.
В случае, когда а, Ь, с являются сторонами треугольника, мы с помощью
подстановки
. 1 . 1 л . А
sin — ср == sin -тр A sin и
получим:
А
Г (а2 — ?2 — С2 _|_ 2Ьс cos cp)!*-*-1 sin2v yd<p =
° А
= BЬсу-4-1 \ (cos ср — cos Л)^-^-i sin2v cp rfcp =
if*/ 1 л v —
i-v-i S[n2(x-i и. | 1 —sin2 — Л sin2 8 ) 2 X
X sin2vOcos2il-2v-1 6 uf6=4f-i
Г а+-
и поэтому, если/? (pi), а также /? (v), превышает и а, Ъ, с суть стороны
треугольника, мы получим:
ОО
D) j У^аО У,(Й) У (ct) fi-v-dt
М а с d о n a I d, Ргобг. Io/г^о/г Afa№ Soc, B), VII A909), стр. 142—149.

452 глава xiii
Если же а2 ^> (Ь —|— <7J, мы положим
и, следовательно,
тс
Г (fl2 _ ь2 — с2 -f- 26с cos cp)^-^-i sin2v ср afcp =
о
тс
= B^)ft-v- ПсЬ^-}-008?)^""
о
(ЧИР
= Bfc ch AY—' г^Тп X
Х/.^ + ^Ч1-1'' v+l;sch^),
так что при а2 ^>(Ь -\- сJ мы имеем:
E)
f
Аналогично, из § 13.45 B) находим:
2 4
F)
Bт:J
где 2^^A'=«2-|- ^?2 -I- с2; в этой формуле a, b, с могут быть комплексными,
при единственном условии, что четыре числа
R(a±: ib ± ic)
положительны; результат также принадлежит Макдональду.
[Замечание. Кажущееся несоответствие между этими формулами и формула-
формулами из статьи Макдональда является следствием различных определений функции Q™ ;
см. § 5.71.]
Другие формулы, содержащие три бесселевых функции, могут быть по-
получены из формулы § 11.6 A), если заменить в ней z на х, умножить на
2J?(x cos Щх1
и затем проинтегрировать.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 453
Таким образом, мы находим:
оо
I
dx
J (x cos cp cos Ф) /v (х sin cp sin Ф) J (x cos 6) х
0
cos'a Ф sinv ysinv Ф cosp 0
( Ц
(
Х2М — я,
Х2/М — я,
если
v+1; sin?)X
; v+1;- sin»Ф)],
и cos 8 не равен ±С05(Ф=Ьср).
Несколько частных случаев этой формулы были указаны Гегенбауэром в письме
к Каптейну (К а р t е у n), Proc. Section of Sci., К. Acad. van Wet. te Amsterdam, IV
A902), стр. 584—588.
Несколько формул, являющихся расширениями формулы C), были не-
недавно получены Никольсоном *). Пусть аъ а2, ... , ат — положительные числа,
расположенные в порядке убывания; если
то легко показать, что
оо
проще всего доказать это по индукции, подставляя формулу Гегенбауэра из
§ 11.41 (в предположении, что i?(v)^> -) вместо /v{am_1t) J^(amt)y а за-
затем меняя порядок интегрирования.
Когда числа аъ а2, ... , ат таковы, что могут рассматриваться как
длины сторон многоугольника, интеграл не может быть вычислен, за исклю-
исключением случаев т = 3 (что было рассмотрено выше) и т = 4.
Если аъ #2, яа, #4 могут служить сторонами четырехугольника, положим
4
16Д2= П (e1 + a2+ae + e4 —2в„),
Я —1
так что А будет площадью четырехугольника со сторонами аъ а21 аъ, а4,
вписанного в круг.
^Nicholson, Quarterly Journal, XLVIII A920), стр. 321—329. Некоторые
относящиеся сюда интегралы будут рассмотрены в § 13.48.

454 глава xiii
Рассматриваемый интеграл можно вычислить просто тольког) в случае
v = 0; чтобы получить его значение, удобнее будет сначала получить выра-
выражение для интеграла в случае R (v) ^> -к-, а затем найти значение для v = 0
с помощью аналитического продолжения; заметим, что интеграл может при-
принимать различные значения в зависимости2) от выполнения того или иного из
неравенств
или, что то же самое, из неравенств
2 9
Мы обозначим ш2 = а2 ~\- аъ — 2a2ascos ср и заменим Jv (a2t) /v (ast) no фор-
формуле Гегенбауэра, так что
4
П 1 (п i\dt —
1 1 ^vUVi o.. — т
on = 1
i / v2. 2 sin <p rfcp
V 1 4/ / Гг^ »
где нижний предел равен o>==at — д4, а верхний предел равен оз = ах -\- а±
или a2-\-as, в зависимости от того, какая из этих величин меньше.
Положим
?2 (аДJ (д+Д)а (Д1-,Д4J
так что верхний предел для х равен 1 или к\у аха2аъа^\ это выражение мы
будем обозначать через \jk.
Пользу51сь аналитическим продолжением (случай ал -\- а4 = а2 -\~ ап нужно
исключить, так как при этом интеграл расходится в верхнем пределе, если
V —0), мы получим:
^=-i J
1 или 1/k
dx
k2x2)
Отсюда имеем:
00 4
) П J0(ant)tdt =
х я = 1
(9) )\yMant)tdt=\ i \ ь
х) Для других значений v он выражается в виде гипергеометрической функции
трех переменных.
2) Мы продолжаем считать, что

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 455
где К обозначает полный эллиптический интеграл первого рода, модуль кото-
которого меньше единицы.
Никольсон вычислил также
00
I
при i?(v)^>0 и #^>0. Проще всего рассматривать этот интеграл как частный
случай предшествующего; таким образом, он равен
I 2v
'2 sin i
г»
и отсюда г)
00
A0) (V,(«0}4-^i = —
J * ^тг Г
13.47. Разрывные интегралы Сонина и Гегенбауэра
Несколько разрывных интегралов более общего вида, чем интеграл Ве-
бера — Шафхейтлина, были исследованы Сониным2) и Гегенбауэром8); некоторые
видоизменения этих интегралов имеют важное значение в физических про-
проблемах.
Первый пример4), который мы здесь приводим, принадлежит Сонину, а
именно,
Для обеспечения сходимости а и Ь берутся положительными, и R^
>} — 1; если а = Ь, то мы берем /?(v) y> R (\i-\- 1) >0. Число z
есть произвольное комплексное число, и интеграл сводится к интегралу Ве-
бера — Шафхейтлина при z=0.
Допустим, что входящие в формулу интегралы абсолютно сходятся5);
х) Арифметическая ошибка в работе Никольсона здесь исправлена. Для значений
/?(v) между0 и-— результат получается с помощью аналитического продолжения.
2) So nine, Math. Ann., XVI A880), стр. 38 и ел.
») G е g е n b а и е г, Wiener SLtzungsberichte, LXXXVII1 A884), стр. 990—1003.
4) Эту формулу исследовал также Кайе (С a i 11 е г), Mem. de la Soc. de Phys. de
Geneve, XXXIV A902—1905), стр. 348—349.
5) Сходимость будет абсолютной только при R(v) > R(\i-{- 1) > 0; для значений v,
не охватываемых этим условием, справедливость формулы устанавливается с помощью
аналитического продолжения.

456 ГЛАВА XIII
тогда из § 6.2 (8) видно, что если ?^>0, то
oo c-\-ooi
j j
О с —cot
C+OOi
Г
+
b* Г tt v Y(a* — b*)u az*\ ,
_ t йк—v exp :——/ ^tt
—00/
Если a<^b, то контур последнего интеграла можно преобразовать в бес-
бесконечно большую полуокружность, расположенную справа от мнимой оси,
причем интеграл вдоль нее будет равен нулю; если же а^Ь, то, применяя
§ 6.2 (8), мы сразу получаем требуемую формулу1).
Родственный интеграл
можно вычислить аналогичным способом.
Предположим, что а и Ь положительны2) и что /?(|х)^>—1; при вычис-
вычислении этого интеграла удобно считать, что | argz | <^ -т я; в дальнейшем
можно распространить область значений г до | arg^l <^—я с помощью ана-
аналитического продолжения.
Из § 6.22 (8) следует, что интеграл в левой части B) равен
оо оо
I j J J^ (bt) t»+ '«—i exp [ - La (a + ^-2) 1 du dt =
о о
что и требовалось доказать.
Пусть теперь argz—^4^ 1 я. Полагая z = iy, где у^>0, находим:
СО
C)
О
1) Приложение этого интеграла к физике см. у Ламба (Lamb), Proc. London
Math. Soc, B), VII A909), стр. 122—141.
2) При некоторых дополнительных ограничениях а и Ъ могут быть комплекс-
комплексными.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 457
при условии, что /?(v)<^l; при этом предполагается, что контур интегриро-
интегрирования не содержит особенности t=-y, которая устраняется при помощи об-
обхода ее сверху, и что знак перед У t2—у2 выбирается таким, чтобы рассмат-
рассматриваемое выражение было положительным при t^>y.
Если бы мы положили z =—/у, то должны были бы обходить
особую точку снизу и тогда повсюду в C) знак перед / изменился бы «а
обратный.
В частности,
Г
J
D) Г j b ехр{-дУ7^1 =
где верхний или нижний знак выбирается в соответствии с тем, над или под
осью у была обойдена особая точка.
Последняя формула с нижним знаком была использована в физических иссле-
исследованиях Зоммерфельда (S о m m e r f е 1 d), Ann. der Physik und Chemie, D), XXVIII
A909), стр. 682 — 683; см. также Бэйтмен (В at em an), Electrical and Optical Wave-
Motion (Cambridge, 1915), стр. 72.
Если A) разделить на b^ и положить b—^0, то получим формулу Сонина
Г
I
T^^+1* = 5^F^i-W-,<«>.
при условии, что а^О и Wttv х)^^^)^*—^' ее можно было бы
получить и независимо, с помощью метода, который был использован выше.
Аналогично, из B) мы имеем:
если й>0 и /?([х)>—1.
Заменим в E) v на 2v, а на 2 sin 6 и проинтегрируем от в = Одов = —тг.
Тогда получим соотношение
m
г(!1 + 1) ГЛ
справедливое при R I v — — j ]>/? (jx) ^> — 1.
Интеграл в правой части легко разлагается по степеням z; при этом
единственный интересный случай будет при 2v= 2jjl —(— 3; тогда мы получим;
(8) J <** + **)' — 2г'+1У?

458
глава xiii
так что
(9)
обе эти формулы справедливы при /? (v) ^> —. Последняя формула была най-
найдена другим путем Струве1). Из нее мы получаем важную теорему2): если
v ^> -^ и х^>0, то Hv (л:) положительна. Интеграл Струве имеет большое
значение в теории дифракции.
Несколько видоизменений разрывного интеграла Сонина можно получить
путем умножения на b^+l с последующим интегрированием по Ь от 0 до Ь.
Таким образом, мы находим:
со
{a
Z2)
со
I f
о
v-jj.-1
причем верхний предел последнего интеграла равен меньшему из чисел b и а.
Если Ь<^а, то интеграл в правой части, повидимому, не вычисляется;
если же Ь^>а, то можно положить и = я sin 6, и тогда мы получим:
при условии, что R (v -f- 1) ^> R (д) ^>—1; это — один из интегралов Сонина.
Если в A) мы заменим а на и, а затем возьмем а^Ь и, разделив
предварительно на а, проинтегрируем по и от а до ос, то получим для
положительных z\
-f- ^2)V
со со
^Z oo
2
dvdt =
1) Struve, Ann. der Physik und Chemie, C), XVII A882), стр. 1010—1011.
2) Ср. § 10.45.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
459
в силу § 13.3 D), откуда следует, что
при условии, что а<^Ь и R (v -f- 2) ^> R (jji) ^>—1; после этого ограничение,
наложенное на z, может быть снято.
Формула A0), которую можно записать в виде
A2)
где R (v-4-2) ^> R (jjl)^>0 и Ь^> а, была обобщена двумя способами Гегенба-
уэром х), который применял для этого обычные методы подстановки интеграла
Неймана или интеграла Гегенбауэра (ср. § 13.1) вместо второй функции
Бесселя.
Первый метод дает:
A3)
- v)cp dv dt =
о о
bv-
при условии, что
и /? (v —[— X —]——- j ^> R
Положив & = У а2-\-с2 — 2ас cos cp, с помощью второго метода получим:
04)
oo тс
\ J J v'
f 4--L Г —
^ 2 J \2 / - -
^:j z" z* '
если ^>а + с и /? (^2v + |-j >/? Ы>0.
По индукции, если Ь Ъ> 2 а, получим:
Gegenbauer, l^/e/wr SiUungslerichte, LXXXVII1,B) A884), стр. 1002—1003.

460 ГЛАВА XIII
где произведение распространяется на п значений а и
Индукция по второму методу после однократного применения первого метода
позволяет получить дальнейшие обобщения.
Частным случаем соотношения A5) при z—>0 будет соотношение
,.6,
J^«П„,<«.»г--«=^ П
его указал Кливер (К 1 и у v e r), Proc. Section of Sci., К- Akad. van Wet. te Amsterdam,
XI A909), стр. 749—755.
13.48. Задача о случайных перемещениях
Задача, которую поставил Пирсон *) (для случая двух измерений), форму-
формулируется так:
«Некто начинает двигаться из точки О и проходит по прямой линии
расстояние а; затем поворачивается в каком-то направлении на некоторый
угол и снова проходит по второй прямой расстояние а. Этот процесс повто-
повторяется п раз.
«Требуется найти вероятность того, что, пройдя таким образом п отрез-
отрезков, он окажется на расстоянии между г и г-\-Ьг от точки выхода О».
Задача в обобщенном виде, когда отрезки не равны друг другу, — мы
их обозначим av а2, ..., ап — была решена Кливером2) с помощью раз-
разрывных интегралов, которые были рассмотрены в § 13.42; впоследствии
Рэлей3) дал детальное исследование этой задачи (Кливер дал краткое реше-
решение) и, кроме того, дал решение соответствующей задачи о перемещениях
в трех измерениях.
Пусть sm — замыкающая для аъ а2,..., ат (т= 1, 2, . . ., п—1), и
пусть 6т есть угол между sm и ат+х в двумерной задаче; тогда все значе-
значения угла Ьгп между — тг и тг будут равновероятными.
Пусть, далее, Рп{г\ах,а2, ...,ап) обозначает вероятность того, что
после прохождения п отрезков расстояние от начальной точки будет меньше,
чем г, и, таким образом, вероятность того, что расстояние будет находиться
между г и r-j-8r, будет равна
dPn{r\ аь а2, ...,ап)
dr
Тогда очевидно, что
Ьг.
1L It iL
п (г, аи ая, ..., «„) =-B^Г J J • • • J" J rf9*-, dK-2 ¦ • ¦
p
— тг — тг —it
!) Pearson, Nature, LXXII A905), стр. 294, 342 (см. также стр. 318); Drapers,
Company Research Memoirs, Биометрическая серия, 111 A906).
2) Kluyver, Proc. Section of Set., K. Akad. van WetAe Amsterdam, VIII A906),
стр. 341—350.
3)Rayleigh, Phil Mag., F), XXXVII A919), стр. 321—347 [Scientific Papers,
VI A920), стр. 604—626].

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 461
где 6j, 92, ..., 9W_2 могут принимать любые значения между — тс и тс, тогда
9„_1 должно иметь только такие значения, при которых г)
для каждой совокупности значений 6Х, 92, . ..,6Я_2.
Но нам известно (§ 13.42), что
так что если этот разрывный множитель ввести в (п — 1 )-кратный инте-
интеграл, то для значений Ьп__г может быть взят интервал (— тс, тс).
Мы изменим порядок интегрирования по Ьп_х и t и, принимая во внима-
внимание, что
s^= sn—\ -j- а2п — 2sn_xan cos bn_v
получим:
тс оо оо
г [ [ JAr^Jbis^dtdb» ,=2nr[jx(rt)JQ(sn 4)J0(aJ)dt,
-я О О
в силу § 11.41 A6).
Далее введем подстановку
2 2,2 Ол
и выполним интегрирование по 9W_2- Повторяя этот прием, мы находим,
в конце концов, что
оо п
Рп (г; ах, аг, ...,an)=r\jl (rt) П J0(aJ) dt,
О т — \
что и представляет собой результат Кливера.
Теперь мы рассмотрим соответствующую задачу в пространстве р изме-
измерений. Здесь значения 9т уже не будут равноправны. Если воспользоваться
обобщенными полярными координатами (в которых 9т рассматривается как
угол, отсчитываемый от положительного направления m-й оси), то элемент
обобщенного пространственного угла будет содержать Ьт только в виде мно-
множителя sinP~2ftmdbm и 9т будет изменяться от 0 до тт. Симметрия относи-
относительно полярной оси позволяет пренебречь множителем, зависящим от долгот.
Если через Рп (г; аъ а2у .. ., ап | р) обозначить вероятность того, что
окончательное расстояние меньше г, то, как и ранее, находим:
где интегрирование по б распространяется на такие значения 6n_j, при кото-
которых 5„<Г.
Введем разрывный множитель
J1 (snt)
\
J \p ip-i «О; (sn>r)
Следует вспомнить, что sm есть функция переменных 0Ъ в2» • • •» em~i.

462 ГЛАВА XIII
тогда, поскольку, по § 11.41 A6),
(smt)
J1 (sm-,t) J (amt)
о а 2
мы получим:
Pn(r,ava2, ...,an\p) =
Если все перемещения av a2, ..., an равны awn велико, то можно дать
значению интеграла асимптотическую оценку посредством процесса Лапласа1).
Главной частью подинтегрального выражения будет та, для которой t
мало, и для таких значений t
J
так что (§ 13.3)
00
Рп(г;а,а, ...,а\р) д-у j (д^J J k(rt) exp (—
r2p \
В случаях /? = 2, р = 3 этот процесс аппроксимации был продвинут несколько
дальше Рэлеем, Пирсон же дал различные арифметические таблицы, относя-
относящиеся к этой проблеме.
§ 13.49. Разрывные интегралы Галлопа и Харди
Интеграл
Г
J
сходится при условии, что а и Ъ положительны и /? (jljl —|— v) ]^>—1; если
a = h, последнее условие следует заменить на R (д-f-v) ^
^Laplace, La theorie analytique des Probabilites (Paris, 1812), гл. III. Этот
процесс можно рассматривать как несколько завуалированную форму метода перевала.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 463
Частный случай этого интеграла, при [а = 0, у — —-, был исследован Галлопом
(Gallop), Quarterly Journal, XXI A886), стр. 232—234, а случай а = Ь рассмотрел
Харди (Н ardy), Proc. London Math. Soc. B), VII A909), стр. 469. Этот интеграл,
очевидно, должен быть связан с разрывными интегралами Вебера и Шафхейтлина.
Чтобы вычислить интеграл в общем случае, можно воспользоваться мето-
методом, найденным Харди; предположим, что а ^Ь, и возьмем сначала
1 1
R (v) ^> г > R (Iх) ^> т > Т0ГДа интеграл Пуассона можно подставить вместо
бесселевой функции второго рода, и все интегралы, которыми придется поль-
пользоваться, будут абсолютно сходящимися. Напишем t вместо t-\-? и положим
z — ? = ^Г; тогда интеграл, который нужно вычислить, примет вид
00
-' ——-dt =
i
1
Г ( v + "о" ) 1 \ "о ) -со О
00 К
J\x.\a К** ~г rHcns ibt cos со) sin2v со Jcp flf/ ==
(Z-\-t)v- ' '
(—b)"
2
Г v4-~- Г — •
cos
Г Л. I J_^ Г / J \ J J ^
Г v+-^ Г ~
— 1 \ / рГ 1 ^2 — ^2cos2cp) 2cos(^Zcoscp)sin2vcp<3fcp,
в силу частного случая § 13.4 B).
Этот интеграл выражается просто только при \1 = — этот случай рас-
рассматривал Галлоп, или при я = b — случай, рассмотренный Харди.
Мы легко получаем два результата Галлопа:
0)
и формулу Харди
00
—оо
1 \ n / ,1
I
J

464 ГЛАВА XIII
Для читателя может представить интерес вывод равенства A) посредством инте-
интегрирования выражения
J
- /0 (bt) dt
по контуру, состоящему из вещественной оси и бесконечно большой полуокружности
над ней; при этом следует предполагать, что точка — .г (если .г — вещественное) исклю-
исключается при помощи обхода ее сверху.
Галлоп рассматривал также интеграл
— 00
Чтобы вычислить его, заметим, что
i-=i— z
z + t '
и, таким образом, этот интеграл можно записать в виде
О оо
{ { — sin a (z + Щ /0 (bt) dt -j- J sin a (z -J-1) Jo (bt) dt +
J
оо
J % ]
— оо О
оо а со
= 2 cos яг \ sin at Jo (bt) dt -f- z f \ cos « @ -f- ^) Л (
о о -00
« 00
— 2^ \\ cos « BГ +1) Jo (bt) dt da =
о о
00 «00
= 2 cos oz \ sin at Jo (bt) dt-\-2z \ \ sin wz sin at Jo (bt) dt da»
О 0 0
Отсюда, если а^Ь, то
оо а
... Г 111 sin a (z -)- t) r ,,,v j. 2o,osaz , n
\ T" I 1 I j 0 \ ^ / *'*'*' """" f I *j?/
ccha
f
0
же a<^b, то
E)
13.5. Вычисление определенных интегралов посредством интегри-
интегрирования по контуру
Многие определенные интегралы можно вычислить, рассматривая инте-
интегралы вида
~. |?(г) //<'> («г) <fe, 2^.Jcp(z) ^ (te) Я^} (аг) dz,

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 465
взятые по подходящим контурам; при этом предполагается, что ср (z) есть
алгебраическая функция, и что а положительно.
Соответствующие контуры разделяются на два типа. Мы выбираем пер-
первый тип, когда y(z) не имеет в верхней полуплоскости никаких особенностей,
за исключением полюсов; в качестве контура в этом случае берется большая
полуокружность над действительной осью с центром в начале координат,
которая замыкается частью действительной оси, соединяющей концы полу-
полуокружности (причем начало координат обходится сверху).
Мы выбираем второй тип в том случае, когда ср (z) имеет точки развет-
разветвления в верхней полуплоскости; в этом случае контур получается из контура
первого типа добавлением петель, каждая из которых охватывает по точке
разветвления и начинается и заканчивается у начала координат. Таким обра-
образом, подинтегральное выражение не будет иметь особенностей внутри контура.
Более сильный прием (ср. § 13.1), применяемый при вычислении инте-
интегралов от бесселевых функций, заключается в подстановке вместо бесселевой
функции какого-нибудь интеграла из рассмотренных в § 6.5 и в перемене по-
порядка интегрирования; поскольку подинтегральное выражение в § 6.5 G),
как функция от х, имеет порядок О (х*~ь), где 5 — произвольно малое поло-
положительное число, двойной интеграл обычно абсолютно сходится в тех же
случаях, что и первоначальный интеграл, и обоснование перемены порядка
интегрирования не составляет трудности.
13.51. Интеграл Ханкеля, содержащий одну бесселеву функции)
Прежде чем приступить к исследованиям наиболее сложных интегра.-ов
(которые будут рассмотрены нами в гл. XIV), Ханкель вычислил широкий
класс определенных интегралов1) путем рассмотрения интеграла
*p-i H®> (az)
взятого по контуру первого типа, описанному в § 13.5. В этом интеграле
а—положительное число, т — целое положительное (включая нуль), г — комп-
комплексное с положительной мнимой частью, и
7
Первое неравенство обеспечивает сходимость интеграла, когда радиус полу-
полуокружности, по которой производится обход вокруг начала координат, стре-
стремится к нулю; второе неравенство, в силу леммы Жордана, обеспечивает
стремление к нулю интеграла по большой полуокружности, когда радиус
стремится к бесконечности.
Единственной особенностью подинтегрального выражения внутри контура
является точка г. Таким образом,
] l A) аг) dz
(h)
1 С х*-~1\нA)(ах) — е^Н^Цахе^)] _ \ Г z?
__ j ______ dx = _ j ___„_____
о
(С —
—2m\\d&) >Г
1) Работа Ханкеля была опубликована посмертно (Hankel), Math. Ann., VIII
A875), стр. 458—461. Исследование интеграла в частном случае v = п, р = 2п -\- 2, т = п
дал Neumann, Theorie der Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1867), стр. 58.

466 ГЛАВА XIII
Из § 3.62 E) следует, что
оо
J 1С + ""-""> J. (°*> 4-' 0
Этот результат можно выразить в более прозрачном виде, полагая
r = ik, так что R (k) ^> 0. Таким образом, мы получаем1):
оо
B) [[cos—( )n-J (ах) 4- sin -^- — )n-Y(ax^ x°~l dx
Читатель может отметить следующие частные случаи этой формулы:
C)
7 xv+1 У, (ах) dx ^ arnk>-mK,-m jak)
о
3 3
Первая имеет место при — 2т~-^ </?(v)< 1, вторая — при — 1 </? (v)< 2т + —.
Обобщение формулы D) на случай нецелого т см. в § 13.6 B).
Формула
являющаяся частным случаем предыдущей, была указана Мелером (Mehler), Math.
Ann., XVIII A881), стр. 194, и Бассетом (Basset), Hydrodynamics, II (Cambridge,
1889), стр. 19; Никольсон (Nicholson), Quarterly Journal, XLII A911), стр. 220,
получил другую формулу:
оо
{ Y0(ax)dx_ Kp(ak)
F)
F) J
о
путем сложных преобразований кратных интегралов.
Можно привести здесь еще несколько интегральных формул, напомина-
напоминающих своим видом полученные выше, хотя доказательство их удобнее прово-
проводить без использования теоремы Коши.
Так, Никольсон заметил, что
J
0 0
г) Вычисление интегралов такого же типа, содержащих только одну из двух
бесселевых функций, проводится в § 13.6.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
в силу § 10.4 A1), при условии, что а и R(k) положительны; таким об-
образом
оо
г»
G) J
J x2 + k2 = 2k
0
В более общем случае, если R (v) ^> — у» мы имеем:
(V
и поскольку, в силу равенства B) (где v = p—1, m = 0),
— oo
при условии, что R (v)<^ 2 и а положительно, мы имеем:
1 \v 2 * oo
2v
_- 0 -oo
oo
_ fa-" Г y,
— * J
6
откуда получаем формулу
(8)
О
1
где а]> 0, /? (^) ^> 0 и — -<^R (v)<] 2. Обоснование перемены порядка
интегрирования не представляет затруднений.
В известной степени аналогичным будет интеграл
который сходится при R (v) ^> — ^ и /? (д) ^> 0.

468 ГЛАВА XIII
Если выбрать k так, чтобы /?(&)^>0, то, по § 6.16 A), мы будем иметь:
оо
оо оо
К, (ах) dx V п 2 У BаУ cos xa • da dx
Г [ _- \ J J v-f-
0 12/ 00^24.^ (tl2 4_ „г\ 2
используя при этом § 10.41 C). Отсюда, при R (v) ^> — ~, получим:
оо
(9) J —#^Г- = 4-^ {Н-, («А) - F_v (в*)},
0
и поэтому при /?(v)<^-2~ имеем:
A0)
Эти формулы (при v —0) принадлежат Никольсону; последняя из них
была также получена Хевисайдом.
Интеграл
оо
/v (ax) dx
х*-
0
был исследован Гегенбауэром!). Для его вычисления мы предположим, что
R (v) ^> к- и чт0 а и R (k) положительны; тогда получим:
оо
I-
«I-
2 / J_ ду
J,(ax)dx_ \2п) Г Г cos (ад: cos 9)
^- JJ
. &
о о
тг а ) я
I-
и, таким образом,
о
!) Gegenbauer, Wiener Sitzungsberichte, LXXII, B), A876), стр. 349. Результат
Гегенбауэра неверен, поскольку в нем отсутствует член — Lv(#&), и следовательно,
результаты, полученные им на основе этой формулы, не корректны. Аналогичную
ошибку допустил Бассет (Basset), Proc. Catnb. Phil. Soc> VI A889), стр. 11. Пра-
Правильный результат нашел Гублер (Gubler), Zurich Vierteljahrsschrift, XLVIIA902),
стр. 422—424.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 469
Условие /?(v)^> ?r можно теперь заменить менее сильным условием
R (v) ^> ;г-, воспользовавшись аналитическим продолжением.
Укажем интеграл, который с помощью этого метода можно выразить в виде
ряда:
О
J
о
он является обобщением интеграла Неймана, описанного в § 13.2; при этом предпо-
предполагается, что
Взяв интеграл
по контуру, описанному выше, мы находим, что этот определенный интеграл равен
сумме вычетов функции ——H^(bz) z*^~l в точках /, 2/, 3/,..., умноженной на я/.
sn %z
Следовательно,
A2) shax yv фх) x* + ldx = ±Y (— i)«-i л^ +1 sin na. % (пЪ).
J sh %x ic ^—*
о п=л
Ряд сходится быстро при достаточно большом Ъш
Интеграл, выраженный подобным рядом, изучал Риман (Riemann), Amu der
Physik and Chemie, B), XGV A855), стр. 132—135.
13.52. Обобщение интеграла Ханке л я
Рассмотрим теперь интеграл
Он отличается от интеграла Ханкеля присутствием (комплексного) числа
jjl вместо целого числа т. Условия сходимости (при втором типе контура,
определенного в § 13.5) будут1):
7
При этом контур выбирается с петлей, чтобы исключить точку ikt как
показано на фиг. 31, после чего внутри контура полюсов не будет и при
стремлении радиуса к бесконечности интеграл вдоль большой полуокружно-
полуокружности будет стремиться к нулю. Таким образом,
оо (/*+)
1 Г г j^(x)/ ч „/0__2iOih jL/U)/_,rAi x?~~Xdx 1 Г z? xHW{az)dz
= JL Г
2я/ J
о
Теперь
2я/ J
Как и в § 13.51, мы считаем R(k) > 0.

470
ГЛАВА XIII
Отсюда, разлагая Н^ (az) по возрастающим степеням z, находим:
° 9~х
[(И
2m
и поэтому
00
,х
X
> — v р -
~2~~' ~
a2k2
Естественно задаться вопросом, можно
ли найти метод вычисления для интеграла
такого типа, содержащего одну бесселеву
функцию; нам представляется, что единствен-
единственным эффективным методом такого вычи-
вычисления будет метод, который мы дадим в
§ 13.6.
13.53. Интегралы Ханкеля, содержащие
произведение бесселевых функций
Интегралы, напоминающие интегралы из § 13.51, за тем исключением,
что они содержат произведение бесселевых функций, были изучены Ханке-
лем1) путем приложения теоремы Коши к интегралу
в котором а^Ь^>0, т — целое положительное, г—комплексное число с
положительной мнимой частью, а й^ обозначает произвольную цилиндриче-
цилиндрическую функцию с индексом jx, и
[Когда %„ есть бесселева функция первого рода, в этом неравенстве можно за-
заменить
на —
Hank el, Math. Ann., VIII A875), стр. 461—467.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 471
Если а = Ь, то наличие безосцилляционного члена*) в асимптотическом
разложении подинтегрального выражения требует в неравенстве замены
2т -\- 4 на 2т -J- 3; такая замена необходима для того, чтобы интеграл, взя-
взятый по большой полуокружности над действительной осью, стремился к нулю
при увеличении радиуса до бесконечности.
Контур, который должен быть взят, указан в § 13.52; рассуждая так
же, как в упомянутом параграфе, находим:
оо
1 Г
о
Многочисленные частные случаи этой формулы даны Ханкелем.
Необходимо подчеркнуть, что при р = 2т-{-3 и а — Ъ интеграл по большой
полуокружности стремится к пределу, отличному от нуля, когда радиус стремится к
бесконечности; если положить
%^ (az) ss cxH^ (az) + c2H^ (az),
то мы получаем новую формулу
B)
.!_ j [^ (ax) tf,W (ах) + ^ («Н) Я U) (ахЫ)\
i<H._v) «
Заслуживает специального упоминания частный случай формулы A), когда
= 2, т = 0, а Й'^есть бесселева функция первого рода; мы имеем:
C) J4(**) [cos|-(jt —v)ir.y,(ejc) + sini(n —v)ir.K,(ax)] ^ц =
при условии, что а ^ Ь ^> 0 и /? (jx) ^> | /? (v) | — 2.
Если взять )i = v и /?(v)^> — 1, то получим:
Г
0J
xdx
соответственно тому, какое из неравенств а~^Ъ имеет место.
Существование разрыва в выражении для этого интеграла было указано
Ханкелем.
Видоизменяя формулу C), можно обнаружить, что при
/? (k) ^> 0 имеет место формула
оо
^ [ + i(^ v)ir.K,(aje)] dx =
4
!) Поскольку Н$\az)H^\az) -v, —е^ , когда \z велкк.
* zaz

472 глава xiii
В более общем случае, взяв равенство A), в котором положено
и Й^ = Jy., получим:
Заменим в этой формуле рнар-j-v, а на }/а2 -|- с2 —¦ 2аг cos 6, где а —
1
— V
умножим на sin2v 6/(a2 -f- ?2— 2a?cos6J и проинтегрируем по 6 от 0 до тг;
тогда, по формуле Гегенбауэра § 11.41 A6), получим:
cos — (р -\- ]i) тг Jy (ax
Этот процесс можно повторять сколько угодно раз, и если а
то
~ N
J
== —L(bk) П /v МО-/С, №)•*
Далее, рассматривая интеграл
взятый по контуру, указанному выше (причем числа b и \i различны в различ-
различных множителях произведения), мы получим несколько более общую формулу
(9)
при условии, что а ^> 2j I К (и) \ и
Если р + 2^1 —v есть четное число, то интеграл в левой части содер-
содержит только функции первого рода; формула, содержащая интегралы от про-
произведения функций первого рода, была дана Гегенбауэром, который, однако,
не заметил необходимости указанного ограничения (ср. § 13.51).
Можно получить обобщение формул Ханкеля, рассматривая интеграл
1 f^-i-AifaV^ + C2} н№(аг) ,
взятый по контуру того же типа, причем а ^ b ^> 0, т — целое положитель-
положительное, и
IR (v)|< R (р)< 2т + 4 + R (}i).

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 473
Таким образом,
±Ж*Ш {« W ^ «Н} dx=
„A), 1
и, в частности,
J
J
этот результат Сонин получил гораздо более сложным способом (Math. Ann.,
XVI A880), стр. 56 — 60).
13.54. Обобщения интеграла Никольсона
Интересное следствие интеграла Мелера § 13.51 E) принадлежит Ни-
кольсону2), а именно, если а и k положительны, то
j
о
Эта формула получается следующим образом:
о
со к
2 \k2 Л \а У?2 + ^2 — 2р& cos 9} ^/ср ^/р.
о о
Полученный повторный интеграл можно рассматривать как абсолютно
сходящийся двойной интеграл, так как подинтегральное выражение имеет по-
_ з
рядок О(р 2), когда р велико. Изменим теперь начало полярных координат,
положив
p sin (f>
тогда получим:
оо тс оо
— « J J A2 + 2AACOS6 + 2A2 — J V4 , ш '
J V/4 , ш
0 '
что и требовалось установить.
Чтобы обобщить полученный результат, рассмотрим интеграл
1 az) dz
взятый по контуру, изображенному на фиг. 32.
N i с h о 1 s о п, Quarterly Journal, XLII A911), стр. 224.

474
ГЛАВА XIII
При этом предполагается, что а положительно и что, для обеспечения
сходимости,
Предполагается также, что | argk | <^-j-tt и что петли контура охваты-
охватывают точки
С помощью рассуждений, подобных
приведенным в § 13.52, читатель может по-
получить, что
B)
j [C0S(l"P~~T
sin D-p—lv-2,1I»
(ах)]
^rfip+4
X
cos
р — v — 4jx ~[- 2/я
Если сравнить ряды в правой части с рядом из § 5.41, то становится
ясно, что первый из них выражается в виде произведения бесселевых функ-
функций, если р — 2 = v = ji-|-77 или если р — 4 = v = jx-j--!r' тогда как по-
следний выражается в таком виде, если р — 2= — v = jjl-|-- или если
р_4=—у =
Соответствующий интеграл, содержащий одну бесселеву функцию, будет
рассмотрен в § 13.6.
13.55. Интегралы Сонина
Многие определенные интегралы, частные случаи которых были указаны
Сониным (Sonine), Math, Ann., XVI A880), стр. 63 — 66, могут быть вы-
вычислены посредством интегрирования по контуру.
Наиболее общий контурный интеграл, который мы будем рассматривать,
имеет вид
он берется по контуру, состоящему из дуг окружностей \z\ = 8, |?|=/^
с концами на лучах arg( — 2r) = 4h тг, и отрезков, соединяющих концы ука-
указанных дуг 2).
Ср. Курс современного анализа, § 6.2; или § 7.4 и ел.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 475
При этом предполагается, что т есть целое число, a k — не отрицатель-
отрицательное вещественное число. Интеграл по дуге |2|=i стремится к нулю, когда
?—^0, при условии, что R (р) ]> | R (v) | ; интеграл по дуге \z\ = R стремится
к нулю, когда R—^оо, при условии, что
По теореме Коши, имеем:
и, таким образом,
ОО
1 Г* i(x+k)
= JL L -
dx =
= 11 е%\ lfl-1 Г/, (*) {sin (р 4- v) те + 2/ cos vtt cos
0
4- iY4(x) sin (P — v) тг] ^/лг.
В частности, полагая т = 0, получим:
оо
j p ei(x+k) xp-l
= — —xA-k— Wx) ^sin (? ~Ь v) те 4" 2г*cos VTr cos P^} 4" '^W sin (P —'v) n]dx.
о
Рассматривая интеграл
находим, что
C) к?~~г Н^ (k) =
оо
___ I ^—[/v(jc) {sin (р4~У)те—2/cos vtt cos рте} — iY4{x) sin (p—v)tt]^x.
7C J X -f- R
0
Взяв р=1, v = 0, получим:
D)
j
0
oo
E) Ke(A) 4
0
Последние две формулы принадлежат Сонину 1).
В более общем случае, полагая р === v —|— 1 и —"о" <[/? (v)<^-тг , получим:
1 Г
1) См. также Lerch, Monatshefte fur MatK und Phys., I A890), стр. 105—112.

476 ГЛАВА XIII
этот результат также принадлежит Сонину.
Написав
о
и используя формулы F) и G) из § 13.42, Сонин нашел из E), что
со 2^
G) M*)=-f
о о
откуда, по §§ 3.56B), 9.11B),
2
со
(8) Yn(k) = — -М On(x-\-k) J0(x)dx-\-^ j si
о о
13.6. Новый метод1) вычисления определенных интегралов
Здесь мы дадим метод вычисления нескольких определенных интегралов
путем замены бесселевой функции, находящейся под знаком интеграла, опре-
определенным интегралом из § 6.5, с последующей переменой порядка интегриро-
интегрирования.
В качестве первого примера рассмотрим интеграл типа Ханкеля
00
 /Да*)
dx,
в котором сначала будем считать
tf(v)>0, /?BpL + 2)>^(рЧ-v)>0;
кроме того, для того чтобы интеграл сходился, примем, что а есть вещест-
вещественное (положительное) число.
Рассматриваемый интеграл равен
± f f Г(-,) »l{2-*) dsdx_± Г Г(-
2тсг J J Г(у+<?+1) (x2+№)v-+i Л 2тс/ J Г(у+*
О /
J J
О —оо*
Вычисляя его (при этом движемся вдоль контура тек, чтобы полюсы подин-
1) Этот метод принадлежит Лерху (Lerch), Rozpravy, V A896), №23 [Jahrbuch
uber die Fortschritte der Math., A896), стр. 233]; он показал, что
оо/
3
2х
Ш J
однако не привел других примеров использования метода.
2) Законность перемены порядка интегрирования легко может быть доказана.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 477
тегрального выражения оставались справа от контура), находим:
00
X
При известных условиях гипергеометрические функции в правой части сво-
сводятся к бесселевым функциям; первая — если p = v-f-2 или р =v -f- 2pi -|~ 2,
вторая — если р = 2 + V.
В силу принципа аналитического продолжения, формула A) справедлива,
когда
В частности, полагая р = v -|— 2, находим:
J (
J (
эту формулу другим методом получил Сонин (So nine), Math. Ann., XVI A880),
стр. 50; она справедлива, когда
Полагая p = l,pi= , можно получить имеющую некоторый интерес
формулу, в которой гипергеометрические функции представляются через квад-
квадраты произведений бесселевых функций; другую аналогичную формулу можно
лолучить, полагая р = 1 —- v, |x = v j .
Мы находим, таким образом (ср. § 5.41), что
о
при условии, что #(v)> — 1; а также, что
fx-'.Mfl*)** Bд/*УГ(у + 1).
D) J {х2 + /г*у + Ч^ ГB» + 1) I
при условии, чтоЯ(у)^> 2"
Рассмотрим теперь интеграл
00
J (Х* + Ш)^ + 1 Э

478 глава xiii
в котором а ^>0 и |arg&|<^ —тт. Сначала будем считать
Тогда интеграл будет равен
со со/
2тс/ J _^. Г (v + ^ +
x u y
¦»*Г Me_L_Lv4_iJ\
\4p~r4'9/
X
Г (ц +
Это разложение дает значение интеграла, если jx, v и р связаны условием
Рассмотрим теперь случай, когда первый ряд сводится к произведению
бесселевых функций, а именно,
y или р—4 = v |x4
По § 5.41, мы тогда получаем формулы
f
]
Первая из них справедлива при R (v) ^> х", вторая — при R (v) ^> -g-; в
обоих случаях а ^> 0 и | arg /? | <^ -т- тт.
Наконец, в качестве примера, относящегося к § 13.55, мы рассмотрим
интеграл
оо
ГУ"/,
J {x +
dx

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 479
в котором а^>0 и |arg^|<^ir. Сначала будем считать, что
Рассматриваемый интеграл будет равен
оо со/
-S) X?~l[~t
ds dx-
~2irf J
0 —со/
со/
~ (- 1)" 77
sin (р + v — ц) it .Г ([1 + 1) [„f^o ml Г (v + /я + 1) Г (р + v —
ak) ГA1 + /я+1) sin tt(p + v — ji—
Первый ряд сводится к J^(ak), когда jx=O, а второй ряд при этом
выражается через функции Ломмеля (ср. § 10.7). В частности, мы имеем:
О j*^-*?:[«-.<"»-'-«"И
о
1 3
при условии, что ^-<С^М<Су-
Читатель может проверить, что многие из интегралов, рассмотренные в
этой главе, можно вычислить при помощи этого метода.
13.61. Интегралы, содержащие произведения бесселевых функций
Если интеграл содержит произведение двух бесселевых функций от
одного и того же аргумента (но не обязательно с одинаковыми индексами),
то можно ожидать, что его удастся вычислить путем замены произведения
интегралом Неймана (§ 5.43) с последующим использованием только что опи-
описанного метода или же путем замены произведения интегралом
со/
^ J П
,/С
2it/ ] Г /•• _1_ о _1_ 1 I Г Л« _J_ о _l_ 1 \ Г /.. I « _i_ о ! \\ wo>»
«у
— 00/
в котором полюсы функции Г( — s) расположены справа от контура, а полюсы
функции Г (fx —]— v —J— 2s-\-X) — слева; искомое выражение легко получается иа
§ 5.41 с помощью метода, примененного в § 6.5.
Читатель может вычислить при помощи этих методов интеграл
со
г
б
В результате получится комбинация двух функций типа 3^Ч с последним элемен-
элементом в каждой из них, имеющим вид a2k2.

480 ГЛАВА XIII
Другая интегральная формула, получающаяся путем замены J^(b{x) интегралом,
имеет вид
оо
A) [ x^lJ^{ax)J,(blx)dx =
о
{
Она справедлива, когда а и Ъ положительны и
Общую формулу нашел Хануманта Pao (Hanumanta Rao), Messenger, XLVI
A918), стр. 134—137; до этого частные случаи ее указали Кайе (С ai 11 ег), Мёт. de la
Soc. de Phys. de Geneve, XXXIV A902—1905), стр. 352, Бэйтмен (В a tern an), Trans.
Camb. Phil. Soc, XXI A912), стр. 185, 186 и Харди, который рассмотрел случай функ-
функций с индексами it- (см. § 6.23).
К интересному примеру интеграла1), содержащего произведение, приводит
00
lim \
o J
5
00
\\ exp(—p*x*)JV(*)A_,
LJ
который можно представить в виде
1
Х
00 1
Г ( -кХ smvsz \
J exp(-p^) h (д) A_v {х) - -^-^
О v
1) На этот интеграл обратил мое внимание Дарвин (С. G. D a r v i n), которому он
встретился в задаче о диффузии солей в жидкости, заключенной в круглом цилиндре.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 481
Легко доказать, что
оо , 1 ,
тт х sin v,w ,
'
I exp(—
о
8« J J
о i_e
8лг J
ds
Bп+1)\BрГ
2
00
где последний ряд является целой функцией от —.
Чтобы получить асимптотическое представление интеграла, справедли-
справедливое, когда \р\ мал и | argр | <-j-тг, заметим, что последнее подинтегральное
выражение имеет двойные полюсы в 0 и —1 и простые полюсы в ,
-2, -А, -3,... .
Отсюда находим:
f + ooi
I
I-co/
BpJs
oo
A — 2v)sin утг 2 , у
и, таким образом,
00
I
lim
5-*4
Г °°
[ Jexp(—
sin vir , i /rk4 i . , i4 . /rfc . r» i ^ i 9 A—2v) sin vrc
HB) 4>(v+l) ФB v) 21n2p}p2 l
-f
л=3 2я(л —

482 глава хш
В частном случае, когда v = 0, находим:
C)
±±-J- + j exp (- р*х*) Jo (x) Jx (x) §
" jL^ к*Bт + 1)'Ц2т + 3)-Bт-
m—Q
13.7. Интегральные представления произведений бесселевых
функций
Из формулы Гегенбауэра § 11.41 A6) можно вывести интересную фор-
формулу, если взять цилиндрическую функцию первого рода и подставить вместо
функции, находящейся под знаком интеграла, выражение § 6.2 (8).
Тогда получим:
тс с -4- оо/
4
О
1
О c — ooi
и, переменив порядок интегрирования, находим:
Этот результат доказан в предположении, что R (v) ^> — у и [ z |<^ Z |;
однако, первое из этих двух ограничений может быть заменено на /?(v)^>— 1,
а второе может быть вообще снято в силу симметрии относительно z и Z.
Можно также переходить к пределу, считая, что |z| —> \Z-\-
Используя формулы § 6.21 D) и E), мы таким же путем находим:
с 4-оог
,2, i
j
О
с — оо/
,3)
при условии, что R (v) ^> — 1 и | z | <^ | Z |.
Формула A) была найдена Макдональдом (М а с d о n a I d), Proc. London Math.
Soc, XXXII A900), стр. 152—155, с помощью теории линейных дифференциальных
уравнений; далее он получил интеграл Гегенбауэра, проводя рассуждения Гегенбауэра
в обратном порядке. Формулы B) и C) были даны Макдональдом, хотя в иной форме
их можно также найти в мемуаре Сонина (So nine), Math. Ann., XVI A880), стр. 61.
Сонин указал дальнейшее видоизменение интегралов в правой части B) и C),
имеющее целью исключение показательных функций.
Физические приложения этих интегралов см. у Макдональда (М а с d о n a I d),
Proc. London. Math. Soc, B), XIV A915), стр. 410—427.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 483
13 71. Представление произведения K^(Z)K^(z) в виде интеграла
Мы далее получим формулу, принадлежащую Макдональдух), которая
выражает произведение К^ (Z) Кы (z) в виде интеграла, содержащего единствен-
единственную функцию типа /Cv, а именно,
оо
м\ „,»„.. if Г v Z2 + г2
Эта формула справедлива для всех значений v при условии, что
|argZ|<7i, |argz|<TT и | arg (Z + z) |<-i-тт;
однако, удобнее будет доказывать ее для случая, когда Z, z имеют положи-
положительные значения X, х, а затем перейти к общему случаю с помощью прин-
принципа аналитического продолжения; эта формула, которая, очевидно, должна
быть поставлена в связь с § 11.41 A6), имеет некоторое значение при иссле-
исследовании корней функции типа Кч (z). Рассматриваемую формулу можно дока-
доказать, не применяя довольно длинных преобразований, употреблявшихся при
доказательстве § 11.41 A6); нижеследующее доказательство, которое отли-
отличается от данного Макдональдом, в основном проводится по методу § 2.6.
По § 6.22 G), мы имеем:
ОО 00
— 00
00
— 00
Если в интеграле
со
— оо
ОО
— оо
Г e-xzh{T+u)
>Г-*сЬ(Г + 1
— Jtrch(r— U)
взять выражение (ХеТ-\-хе~Т) еи в качестве нового переменного, то он при-
примет вид
О
и, таким образом,
ОО ОО
1
— оо О
Выполняя интегрирование по Г, мы сразу получаем теорему Макдональда
в случае, когда X и х положительны.
13.72. Интегральные представления произведений, данные
Никольсоном
Мы сейчас рассмотрим несколько интегральных представлений бесселевых
функций, которые могут быть связаны с интегралом Неймана из § 5.43.
i)Macdonald, Proc. London Math. Soc, XXX A899), стр. 169—171.

484 глава xiii
Формулы этого типа были исследованы Никольсоном !); мы приведем две
из них, которые легче всего доказываются:
A) K^(z)KAz)=
оо
= 2 J /^_v Bz ch t) ch (ji + v) t dt
о
причем |arg^]<^ утг, a jjl и v произвольны.
Чтобы доказать эти формулы, используем равенство § 6.22 E), которое
показывает, что
оо оо
— оо —оо
Повторный интеграл абсолютно сходится и его можно рассматривать как
двойной интеграл Сделаем в двойном интеграле подстановку
тогдз
оо оо
= y J J e~2^hTchuchii(T-]-U)chy(T — U) dTdU.
о
Но
hv(r — U) =
= ch (|i + v) T ch (ji — v) U + ch (ji — v) T ch (jjl + v)
+ sh (|i + v) T sh (ji —v) U-f- sh (jx — v) T sh (ji + v) U.
Интегралы, соответствующие последним двум из этих четырех слагаемых,
очевидно, обращаются в нуль; и если в интеграле, соответствующем второму
слагаемому, поменять местами переменные интегрирования Т и U, то получим
формулу
оо оо
=\ \ \ ^~2
— v)UdTdU.
Если проинтегрировать по ?/, получается первый вид формулы A), если
же проинтегрировать по 7, получается второй вид формулы A).
Формула
z
(z) L, {z) = — /^+>, Bz cos 6) cos {
B) I (z) /v (z) = -\ L+H Bz cos 8) cos ([X — v) 9 db,
справедливая при R (jx 4~ v) ^> — 1» сразу получается из формулы Неймана.
Положим jj. = 0 и переменим знак перед v; тогда находим:
C)
/0 (г) /Cv (г) = ^ J /Cv B2r cos 6) cos v 6 db.
i) Nicholson, Quarterly Journal, XLII A911), стр. 220—223.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 485
В более общем случае положим \х = — т, а затем заменим jji и v на т
и — v; тогда если | R (v — /w) | <M, то
D) Im (z) К, (z) =: ( гс 1 ATv_m B^ cos 6) cos (m -\- v) 6 я?6.
о
Объединяя C) с § 6.16 A), находим:
2 VY~T~ 2 / Г Г D^r)v cos (a cos в) cos vO ,A
=T 7Tr— —— —^ -^—— dudb,
Г л л C0S О V + ~
при условии, что — -х- <С R (v) <С ^» в частности,
со
E^ / (z) К (z)" 1
о
Последняя формула является частным случаем формулы § 13.6 C).
13.73. Интеграл Никольсона1) для J*(z)-{- Y?(z)
Обоснование представления суммы J2 (z) -\- V2^ (z) в виде интеграла, ана-
аналогичного только что рассмотренным, не является элементарным. Прежде
всего нужно считать аргумент положительным ( = лг), затем необходимо исполь-
использовать теорию обобщенных интегралов, данную Харди, или какую-либо ана-
аналогичную теорию.
Возьмем формулу (§6.21)
00 + Tzi
-И
Рассматривая порядок стремления к нулю подинтегрального выражения
при | w \ —>¦ сх) по контуру, мы видим, что при введении показательного мно-
множителя ехр {— \w2\ полученный интеграл будет сходиться равномерно по 1
и будет, таким образом, непрерывной функцией от X. Отсюда2)
с)= lim Л
х-^ + о^
— оо
По теореме Коши, рассматриваемый контур можно преобразовать в пря-
прямую I(w) =~2- тс, считая, что К имеет определенное положительное значение;
!) Nicholson, Phil. Mag., F), XIX A910), стр. 234; Quarterly Journal, XLII
A911), стр. 221.
2) Hardy, Quarterly Journal, XXXV A904), стр. 22—66; Trans. Camb. Phil.Soc,
XXI A912), стр. 1—48. В этом интеграле знак предела и знак интеграла можно поме-
поменять местами.

486 ГЛАВА XIII
написав t-\- — ni вместо -ш, мы получим:
— со
J exp{
2 Г
— со
пользуясь обозначениями Харди. Аналогично
где должен подразумеваться показательный множитель ехр < —\ (и ш: ) j
Поскольку при Х^>0 требуемые условия сходимости выполнены, можно
рассматривать произведение двух интегралов
ОО 00
— оо — оо
(в котором ех (t) и е2 (и) занимают место показательных множителей) как
двойной интеграл
оо оо
SC e. it\ р (и\ eix (ch ^ - cti й) - v (f -f в) ifii л„\
\ ei\l) e2 W e \ul' uur
— oo — oo
Таким образом, мы получаем:
со со
— оо — оо
где должен подразумеваться показательный множитель
еХр |_Х (* + т raj _Х(й--щ) }.
Сделаем подстановку t~\-u = 2T, t — u = 2U; тогда
СО 00
r2(A:)}=:G Г Г e2ixshTshu-^T (dT dU)f
— оо — оо
где должен подразумеваться показательный множитель
ехр {—2ХГ2 — 2Х (^+4 ™'J} •
В силу абсолютной сходимости этого интеграла его можно заменить
повторным интегралом, в котором первое интегрирование выполняется по ?/,

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 487
и мы имеем:
- тг2{у2 (х) + г; {X)j = и |
о ~
О —°о
со со
о —°°
где в обоих случаях подразумевается показательный множитель
ехр {— 2Х72 — 2Х
Сначала рассмотрим интеграл
со
I ехр {— 2Х ( U + 7Г- ш
J 1 V *
— со
в котором Т положительно.
Когда Т положительно, G-контур интегрирования можно деформиро-
вать в контур I(U) = -^n; положив, далее, Uz=v-\- — m1 где v вещественно,
мы приведем интеграл к виду
00
\ ехр{— 2l(v-\-mJ}e~2xshTchv dv =
— со
00
= 2 ехр Bатг2) [ ехр (— 2\v2) cos ЬъЪ • е~2х sh Tch v dv —
о
со
= 2 ехр BХтт2) \ е~2х
о
— 2 ехр BХтт2) \' {1 — ехр (— 2Хг;2) cos 4ттХ^} е~2х **?*** dv.
о
о
00
Чтобы оценить последний интеграл, когда X мало, воспользуемся нера-
неравенствами
О < 1 — ехр (— 2Xz>2) cos 4ulv =
= 1 — ехр (— 2Xz>2) + 2 ехр (— 2Xt>2) sin2 2nlv < 2Xz;2 + втт2.2^2,
так что, для некоторого значения 0, лежащего между 0 и 1,
со
f ехр |— 2Х
— СО
СО СО
= 2 ехр BХтг2) \е-2х sh т ch v dv — BХ + 8тг2Х2) 8 v2e~ 2x sh Tch г' dv =
о о
= 2 ехр BХтт2) ^0 Bл: sh Т) — BХ + 8тг2л2) 6 |^ ^ Bх sh Г)} _J .
СО

488 глава xiii
Если аналогичным образом преобразовать интеграл
со
Г ехр |— 2Х
со
| D J} sh rs
— 00
то найдем, что он равен
2К0 Bх sh Л — 2X6, (|^ B* sh Г)] _о ,
где 0 ^61^1, при условии, что Т положительно.
Объединяя полученные результаты и имея в виду, что \ имеет тот же
о
смысл, что и lim [ , мы находим:
s+o ?
со
= lim lim f ГехрBХтг2)ЛГ0Bл:8ЬГ) —
l j е~ът dT -\-
1 н- = (Ь
-j- lim lim \\KQBxshT) — 2\bA^-zK BxshT)\ еътdT.
Но, рассматривая последующее выражение как функцию от Г, имеем:
при условии, что Т мало; таким образом, в силу сходимости интеграла, можно
сразу перейти к пределу, полагая § —>> 0. Далее, в силу сходимости инте-
интегралов
о
мы, полагая \—^0, получим:
со
лг) + У\ {*)} = \ Ко Bх sh T) (е- ™ + еът) dT.
о
Таким образом, доказано, что при х
00
Jl (x) + Y\ (*) = J- J Ko Bx sh Г) ch 2v7 rfr.
0
Если заменить д; на 2:, то, при условии, что R(z)^>0, обе части этого
равенства будут аналитическими функциями от z. Отсюда, в силу принципа

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 489
аналитического продолжения, мы имеем:
A) P(z)+ Y2(z) = ^§ K0Bz sht) ch2vt dt,
0
при условии, что R (z) ^> 0.
С помощью этого метода1) можно установить еще одну интегральную»
формулу
со
B) Mz)dJ^l-yAz)dJ^l==-
Чтобы доказать ее, предположим сначала, что z — положительное перемен-
переменное (которое мы заменим на х)\ тогда
00 — 00
00 00
__J_G j \ (и —
00
Г
— 0
00
= — ^j-G f f
0 —o
00 00
__j_G f f
__G
— 00 — 00
00 00
oo
00 00
О —оо
Теперь, если Т положительно, мы имеем:
BU-\-m) ехр | — 2\ f ?/+ J ™У\еЯ*sh rsh^dU
00
= 2 \ (v-\-m)exp{—2l(v + mJ}e-2xs
— 00
и поскольку ftfjf sh T ch ^ есть нечетная функция от vy можно доказать, что
последний интеграл равен
00
2тг/
— 00
где постоянная, которую мы обозначим символом О (к), является функцией
от Г, для которой интеграл по Т от 0 до оо сходится.
х) Подробности этого доказательства см. у Ватсона (W a t s о п), Proc. Royal Soc.%
XCIV, A A918), стр. 197—202.

490 ГЛАВА XIII
Подобным же образом,
оо
J {2U-\-m) ехр | — 2\ (U-\-1 itf
00
= Г 2z;exp(—
Отсюда следует, что
¦—00
00 00
- if Г
— 1 1
к J J
О —оо
00
= _?( K0BxshT)e~2*TdT.
Полученный результат распространяется на случай, когда аргумент бес-
бесселевых функций есть комплексное число с положительной действительной
частью, таким же образом как и в A).
Заметим, что формула B) имеет важное значение при рассмотрении об-
общих свойств корней бесселевых функций.
Для читателя может представить интерес доказательство равенства
откуда следует
г д?^(г) r dJ^(z) 4 v __
Вот еще две формулы, которые можно установить, пользуясь методами этого
параграфа;
(^+^ cos (pi- v) it} Л,
E) ^ W Kv (*) - Л W ^ W - 4Sin^2""V^ J ^v-a B* Sh « в-fr + v) / dt\
они имеют место, если R(z)^>Q и \R(\*. — v)| < 1; повидимому, ранее они никем не
были опубликованы.
13.74. Следствия интеграла Никольсоца
Поскольку Ко(?) есть убывающая1) функция от $, из § 13.73A) оче-
очевидно, что
1) Это вытекает из формулы Ко E) — \ е~~^ch *сН.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 491
есть убывающая функция от х при любом вещественном значении v, когда х
положительно.
Так как эта функция приближенно равна 2/(ттлг), когда х велико, то мы
исследуем функцию
стающей функцией от х при v <^ тт
и докажем, что она является убывающей функцией от х при v}>-^ и возра-
щей функцией от х п
Легко проверить, что
оо
= J- J {Ко B* sh Т) + 2* sh ТКо Bх sh T) ch 2v7" dT =
о
7) th Г ch 2угГ
ОО
-^2 J /Г0Bх sh Г) [ch 2v7— A {th7ch
если во втором члене интеграла выполнить интегрирование по частям.
Отсюда
ОО
о
Но X th IT есть возрастающая функция от X, когда X ^> 0, и поэтому послед-
последнее подинтегральное выражение отрицательно или положительно, в зависимо-
зависимости от того, будет ли 2v^>l или 0<^2v<M, чем и устанавливается требуе-
требуемый результат.
Далее мы докажем, что при x
есть возрастающая функция от х.
Опуская в производной рассматриваемого выражения положительный мно-
_!
житель 8 (л:2 — V2) 2/тс2, мы получим:
ОО
Г \хК0Bх sh t) -\- 2 (д:2 — v2) sh t- К'0Bх sh t)} ch 2vt dt,
о
и для доказательства теоремы достаточно установить, что этот интеграл является
положительным.

492 глава xiii
Для этого дважды проинтегрируем по частям последнюю часть второго
члена интеграла; мы имеем:
2v2 j sh tKo Bx sh t) ch 2v* dt =
о
oo
= Г v sh t sh 2vt Kq Bx sh t) 1 °° — v ( ^ {sh ? /^ Bx sh t) sh 2v* Л =
о
oo
= _ v ( |_ {sh t Ко Bx sh t)} sh 2v* Л =
о
00
= — v^2xshtchtK0Bxsht)sh2vtdt =
о
= Г—x
oo
о
oo
0 Bx sh t) + 2x2 sh ^ ch2 tKo Bx sh 0] ch 2vt dt,
причем для упрощения после второго шага было использовано дифференци-
дифференциальное уравнение
Таким образом, рассматриваемый интеграл сводится к
со
f [— 2x sh21Ko Bx sht) — 2x2 sh3 tKo Bx sh t)\ ch2 vt dt =
o B* sh *) ch 2
о
со
= * j ЛГ0Bx sh /) [th« ^ ch 2v* + 2v sh31 sch * sh 2v*] dt
о
и оказывается положительным, так как подинтегральное выражение положи-
положительно; отсюда частная производная от
положительна, и требуемый результат установлен.
В силу того, что пределы обеих функций
х {Л (х) + 1$(хI (х2 - vV {Д (х) + Y\ (х)}

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 493
равны 2/тг, из последних двух формул следует, что при х ^ v ^ -_-
A) _3&LT>J;w + y;w>^.
Элементарное доказательство последнего неравенства (а также различных род-
родственных неравенств) было получено Шафхейтлином (S с h a f h e i 11 i n), Berliner
Sitzungsberichte, V A906), стр. 86, из формулы
где
Укажем еще одно следствие, которое мы выведем из интегралов, полу-
полученных в § 13.73: если v положительно, то
Чтобы получить этот результат, заметим, что выражение слева можно
переписать в виде
о о
Но, для каждого положительного значения t, 2vsh(—) является убывающей
функцией от v, и поскольку Ко (х) есть положительная убывающая функция
своего аргумента, то и
00
О
есть убывающая функция от v и поэтому
(используя асимптотические разложения из § 8.42), что и доказывает требуе-
требуемый результат.
13.75. Асимптотическое разложение для A(z)-\-yI{z)
Асимптотическое разложение для J^(z) -{- Y^(z) легко вывести из формулы
Никольсона, полученной в § 13.73:
00
А (г) + Y3, (z) = -|. J Ко Bг sh t) ch 2v tdt;

494 глава xiii
действительно, по § 7.4 D), мы имеем:
ch 2vt V^ ml (v, m) су^т^игп
z\\t *±0 {2m)\
где
id 1^1 cos vir \p\\(R(v\p)\
l^l^l cos^Ml Bp)l
и если v вещественно, а р настолько велико, что р -j- — ^> v, то Rp лежит
между 0 и
Отсюда мы сразу получаем асимптотическое разложение
/и=0
или, по § 13.21 (8),
A) ^)|J ^
формула A) доказана для R(z)^>0, однако, ее можно распространить на более
обширную область |arg,z|<^TT; и если тг вещественно, a z положительно и р
превышает v ^> то остаток после р членов имеет тот же знак, что и
(р-}~1)-й член, и численно меньше его.
13.8. Интегралы Рамануджана
Несколько необычных интегралов были получены Рамануджаном1), кото-
который применил теорему об интеграле Фурье2) к хорошо известной формуле
Коши
справедливой при R (]X -f- v) ^> 1. При этом получается, что
оо ш ( B cos-g-^) )-.it(y—^)
где t—любое вещественное число.
1) Quarterly Journal, XLVIII A920), стр. 294—310.
2) Ср. Курс современного анализа, ч. 1, §§ 9.7, 11.1.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 495
Применяя разложение по возрастающим степеням х и _у, а затем исполь-
используя полученную формулу, находим, что
0)
если —тг<^<^тг; для остальных значений t интеграл равен нулю.
В частности,
B) j Ун-« (*) ^-6 (*) rfS = Ун-, Bх).
Принимая во внимание исследования Марха (March), Ann. der Physik
und Chemie, D), XXXVII A912), стр. 29—50 и Рыбчинского (Rуbczyri-
(Rуbczyrisk i), Ann. der Physik und Chemie, D), XLI A913), стр. 191—208, кажется
вполне вероятным (несмотря на некорректность рассуждений этих авторов !>),
что интегралы, вычисленные Рамануджаном, могут сыграть важную роль в тео-
теории передачи электромагнитных волн.
1) Ср. L о v e, Phil. Trans, of the Royal Soc, GGXV, A A915), стр. 123—124.

Глава XIV
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
14.1. Задачи, связанные с кратными интегралами
Различие между интегралами этой главы и предыдущей будет состоять не
только в добавлении лишнего знака интеграла. В гл. XIII мы рассматри-
рассматривали интегралы от хорошо известных функций какого-нибудь независимого
переменного и нескольких вспомогательных параметров; в интегралах же, ко-
которыми мы будем заниматься сейчас, функции под знаком интеграла в боль-
большей или меньшей степени будут произвольны. Так, например, в первой
задаче функция, находящаяся под знаком интеграла, должна лишь являться
решением некоторого уравнения в частных производных и иметь непрерывные
частные производные во всех точках вещественного трехмерного пространства.
В дальнейших задачах, обобщающих интегральную формулу Фурье, на
рассматриваемые функции могут накладываться даже меньшие ограничения,
например, абсолютная интегрируемость или ограниченное полное изменение.
14.2. Несобственные интегралы Вебера
Интегралы, которые мы сейчас будем рассматривать, могут и не содер-
содержать бесселевых функций, однако, именно эти интегралы представляется же-
желательным изучить несколько подробнее, потому что из них могут быть полу-
получены как следствия многие формулы гл. XIII (как они в действительности
и были найдены Вебером).
Исследования Вебера1) основываются на результате Фурье2), который
нашел решение уравнения теплопроводности
ди д2и , д2а . д2и
SF дх**ду2 ' dz2
в виде
~ J J J Ф(х + 2*1/7, y-\-2YVJ,
— СО —СО —СО
X ехр { — (X2 4- У2 + Z2)) dXdYdZ,
где Ф — произвольная функция трех переменных.
Вебер первый показал, что если функция Ф (х, у, z) является решением
уравнения
!) Weber, Journal fur Math., LXIX A868), стр. 222—237.
2) Fourier, La Theorie Analytique de la Ghaleur (Paris, 1822), § 372. Более про-
простое уравнение, содержащее в правой части только один член, ранее было решено
Лапласом (L а р 1 асе), Journal de VEcole polytechnique, VIII A809), стр. 235—244.

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 497
то
B) «=ехр( —А«)Ф(*, у, г),
при условии, что Ф имеет непрерывную первую и вторую частные производ-
производные, и что сходимость интеграла носит такой характер1), что возможно пре-
преобразование к полярным координатам.
Метод, с помощью которого был получен этот результат, с успехом мо-
может быть использован для представления более общего тройного интеграла
в виде однократного интеграла [ср. равенство D) ниже].
Если перейти к полярным координатам, полагая
2.Y]/T=/-sin6cos<p, 2F]/7:=/-sm6sin<f>, 2Z]/7 =^/-cos6,
то мы получим:
00 ТС ТС
и = з/2 I I I Ф (х -\- г sin 0 cos <р, у + г sin 6 sin <р, z -f- r cos 6) X
X ехр f— Jf ) r2 s!n 6 dV d® dr-
Рассмотрим теперь функцию от /*, определяемую выражением
тс тс
&(/•)= \ \ ф (х + г sin 6 cos ср? у -j- r sin 6 sin cp, 0 + /• cos 6) sin 8 dtp d6.
0 -it
Это будет непрерывная функция от г с непрерывными первой и второй част-
частными производными при любом положительном значении г\ в результате при-
применения оператора
L
к ш (г) мы получим
О 0 — it
О —п
Покажем, что последний интеграл равен нулю. Пользуясь дифференци-
дифференциальным уравнением A), которому удовлетворяет Ф, находим:
Чтобы избежать затруднения2), вызванного очевидной особенностью под-
интегрального выражения на полярной оси, рассмотрим интеграл по поверхно-
поверхности сферы, за исключением небольшого участка у каждого из полюсов, опре-
определяемого телесным углом §; поскольку подинтегральное выражение в левой
части ограничено у полюсов, интегралы по упомянутым участкам могут быть
сделаны сколь угодно малыми, если § достаточно мало.
х) Достаточным условием будет ограниченность функции Ф при всех действи-
действительных значениях переменных, включая их бесконечные значения. Ср. исследование
в случае двух измерений, Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, ч. 2,
§ 12.41.
2) Это затруднение не было замечено Вебером.

498 глава xiv
Интегрируя второй член правой части по ср, мы обнаруживаем, что полу-
полученный интеграл исчезает, поскольку ^- предполагается однозначной функ-
функцией точки. Первый член правой части дает
г2
— тс
Это выражение может быть сделано сколь угодно малым, если взять 3
достаточно малым, в силу непрерывности, а следовательно, и ограниченности
производной
<?Ф/(вт 6 дЬ).
Отсюда выражение
1 d ( , da
может быть сделано сколь угодно малым, если о выбрано достаточно милым,
и поэтому оно равно нулю.
Следовательно,
C) ?igWl+ *'*<') = О,
и поэтому
. Asinkr -{-В cos kr
где Л и В—постоянные; поскольку & (г) и ее производная непрерывны при
всех значениях г, А и В должны иметь одни и те же значения для всех зна-
значений г.
Полагая г—>О, находим:
В = О, А = 4тт Ф (х, у, z)fk.
Отсюда 1)
j ( ?) , у, z),
чем и доказывается результат Вебера.
Если Ф(х, у, г) является решением уравнения A) рассмотренного выше
типа, а /(/*) — произвольная непрерывная функция от г, то, переходя анало-
аналогичным образом к полярным координатам, находим:
00 00 00
D) j j J Ф(Х, Y,
j
— 00 —00 —00
j
0
2) Этот интеграл может быть легко вычислен путем дифференцирования хо-
хорошо известного равенства
00
I ехр (— -тт ) cos krdr = V'к t exp (— k4)
по переменному k>

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 499
Читателю не составит труда указать достаточные условия абсолютной схо-
сходимости, благодаря которой становятся возможными перестановки в порядке
интегрирования. Одна группа таких условий состоит в том, что Ф должна
быть ограниченной при стремлении переменных к бесконечности, и что
f(r) = O(r~P), (/-—0); f(r) = O(r-*), (/•—оо),
где р<3, #> 1.
Примерно в это же время Вебер*) нашел более простую формулу, а именно,
если и (г, 6) есть функция полярных координат (г, 0), имеющая непрерывную первую
и вторую частные производные во всех точках, где 0 ^ г ^ я, значение которой в на-
начале координат равно и0, и которат является решением уравнения
ТО
— It
где 0 ^ г ^ а. Доказательство этого мы предоставляем читателю.
14.3. Общее исследование интеграла Неймана
Формула
00 00 тг
A) \udu\\ /--(^,ф).уо[иУ/?2 + /-2 — 2flrcos(<l> —
О 0 —я
была дана Нейманом в его трактате2), опубликованном в 1862 г. В этой
формуле F(R, Ф) — произвольная функция двух переменных (R, Ф), и интеграл
по переменным (R, Ф) есть двойной интеграл.
В частном случае, когда произвольная функция не зависит от Ф, мы за-
заменяем двойной интеграл повторным, а затем выполняем интегрирование по Ф;
тогда рассматриваемая формула сводится к следующей:
B) \udu\F{R) Jo {uR) Jo(ur)RdR = F(r),
о о
что уже значительно ближе к интегралу Фурье3), чем A).
Распространение формулы B) на функции с любым индексом, а именно,
00 00
C) \udu\F(ЯOv («#) Л (*') RdR = F(r),
о о
было сделано Ханкелем 4). В последней формуле, очевидно, необходимо счи-
считать v^5 — -, хотя в измененном виде теорема (§§ 14.5—14.52) справед-
1) Weber, Math. Ann., I A869), стр. 8—11.
2) С. G. Neumann, Allgemeine L6sung des Problemes tiber den stationaren Tem-
peraturzustand eines homogenen Korpers, welcher von zwei nlchtconcentrischen Kugel-
flachen begrenzt wird (Halle, 1862), стр. 147—151.Gp. Gegenbauer, Wiener Sitzangs-
berichte, XGV, B) A887), стр. 409—410.
3) Ср. Курс современного анализа, ч. 1, § 9.7.
4) Hankel, Math. Ann., VIII A875), стр. 476—483.

500 ГЛАВА XIV
лива для всех вещественных значений v; когда v = 4z -тг, C) является, в дей-
действительности, частным случаем формулы Фурье.
Формулы B) и C), естественно, легче доказать, чем A); доказательство
формулы C) носит точно такой же характер, как и доказательство формулы B);
произвольность индекса бесселевых функций не вносит здесь никаких доба-
добавочных затруднений.
Следуя Ханкелю, многие авторы1) называют интегралы B) и C) «инте-
«интегралами Фурье» или «интегралами Фурье —Бесселя».
Ввиду большей простоты мы дадим доказательство формулы C) ранее
доказательства формулы A). Здесь будет удобно привести краткий перечень
исследований этих формул различными авторами.
Как уже указывалось, Ханкель первым2) установил общую формулу C).
Он преобразовал этот интеграл в
lim
= lim \ RF (R) [RJy+1 (IR) 7V (kr) — rJ,+1{l r) /v (I R) —
Woo 0J R2 — Г2
а затем применил к подинтегральному выражению вторую теорему о среднем,
совершенно таким же образом, как при оценке интегралов Дирихле. По суще*-
ству, такое же доказательство было дано Шеппардом 3), который подчеркнул
тот важный факт, что значение интеграла зависит только от той части обла-
области интегрирования по /?, которая находится в непосредственной близости от
значения R = r и поэтому величина интеграла оказывается не зависящей от
значений, которые F(R) имеет вдалеке от точки R — r.
Другой метод доказательства, основанный на теории разрывных интегра-
интегралов, дал Сонин4), который проинтегрировал формулу (§ 13.42)
RH , (R<r)
О, (Я>г)
от 0 до оо, предварительно умножив ее на F(R)RdR; в полученном ра-
равенстве
#*+i F (R) dR;
0 0 0
он обе стороны продифференцировал по /\ после чего сразу получилась фор-
формула C); однако, весь этот процесс очень трудно обосновать.
Доказательство, носящее более непосредственный физический характер,
дал Бассет5), однако, как указывают Грей и Мэтьюз, против его доказа-
доказательства можно выдвинуть много возражений.
*) См., напр., статью Орра, цитируемую ниже в этом параграфе.
2) Указание о способе вывода C) из A) для целого v сделал Weber, Math. Ann.,
VI A873), стр. 149, однако, это было, по всей вероятности, после исследований Хан-
келя, поскольку статья Вебера датирована 1872 г., тогда как мемуар Ханкеля— 1869 г.
3) Scheppard, Quarterly Journal, XXIII A889), стр. 223—244.
4) S onin e, Math. Ann., XVI A880), стр. 47.
б) Basset, Proc. Camb. Phil. Soc.y V A886), стр. 425—433. См. Gray и Mat-
hews, A Treatise on Bessel Functions (London, 1895), стр. 80—82.

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 501
Доказательство, основанное на теории интегральных уравнений, построил
Вейль !).
Обобщение формулы Ханкеля, которое получается путем замены бессе-
бесселевых функций произвольными цилиндрическими функциями, было получено
Вебером2); оно будет рассмотрено нами в §§ 14.5—14.52.
Орр3) сделал попытку заменить бесселевы функции любыми цилиндри-
цилиндрическими функциями, взяв в качестве пути интегрирования контур с исклю-
исключенным началом координат. Однако некоторые из интегралов, использованных
им в доказательстве, повидимому, расходятся, так что трудно судить, в ка-
какой мере его результаты справедливы. С такой же критикой необходимо по-
подойти к решению задачи Вебера в трактате Нильсена. В § 14.5 будет по-
показано, что если, как это предполагает Нильсен, две цилиндрические функции,
находящиеся под знаком интеграла, не обязательно принадлежат к одному
и тому же типу, то повторный интеграл не будет непременно сходящимся.
Укажем, что если г является точкой разрыва функции F (/?), то выраже-
выражения в правых частях B) и C) следует заменить на4)
так же как и в теореме Фурье.
С более поздними исследованиями Неймана читатель может познакомиться в его
трактате Uber die nach Keihs-, Kugel- und Gylinder-funktionen fortschreitenden
Entwicklungen (Leipzig, 1881).
Формула A) Неймана была получена Мелером5) как предельный случай
формулы, содержащей лежандровы функции; это представляется естественным,
если принять во внимание его вывод формулы из § 5.71,
lim Яя{(со8(*/л)} = /0(*),
#-»оо
но, повидимому, этому доказательству нелегко придать полную строгость
(ср. § 14.64). Более прямой метод доказательства дан в мемуаре Дюбуа-Рей-
мона6), посвященном общей теории интегралов типа интеграла Фурье.
Доказательство, которое мы проведем в дальнейшем (§ 14.6 и ел.), будет
основано на этих исследованиях Дюбуа-Реймона.
Впоследствии Ермаков7) указал, что формулу Неймана можно также
получить из формулы Дюбуа-Реймона, которая является непосредственным
обобщением на случай двух переменных теоремы Фурье для одного перемен-
переменного, а именно,
оо оо
оо
§V{X,Y)cos{a(X—x)-\-${Y—y)}.(dXdY)da
— СО — СО — ОО — ОО
Ермаков вывел эту формулу, сделав переход к полярным координатам при
помощи подстановки
а = # cos со, f5 = #sina),
а затем проинтегрировав по со.
1) Н. Weyl, Math. Ann., LXVI A909), стр. 324.
2) Weber, Math. Ann., VI A873), стр. 146—161.
3) Or г, Proc. Royal Irish. Acad., XXVII, A A909), стр. 205—248.
4) Значение интеграла в точке разрыва было достаточно подробно изучено
С a iller, Archives des Sci. (Soc. Helvetique), D), XIV A902), стр. 347—350.
5) Me filer, Math. Ann., V A872), стр. 135—137.
6) Du Bois Reymond, Math. Ann., IV A871), стр. 362—390.
1) Ermakoff, Math. Ann., V A872), стр. 639—640.

502 ГЛАВА XIV
Если (г, ср) и (/?, Ф) — полярные координаты, отвечающие декартовым
координатам (х, у) и (X, Y) соответственно, то при замене ф (X, Y) на
F(R, Ф) формальный результат становится совершенно очевидным; однако
корректное проведение этого метода затруднительно, поскольку, повидимому,
совсем нелегко доказать, что повторный интеграл, взятый по площади прямо-
прямоугольника в плоскости (а, р), можно заменить повторным интегралем, взятым
по площади круга бесконечно большого радиуса.
Если произвольная функция F (R, Ф) не непрерывна, то множитель F(r, cp),
входящий в правую часть A), необходимо заменить пределом среднего значе-
значения функции F(R, Ф) на окружности радиуса 5 с центром в (г, (р) при 8—>0.
Это и было доказано Нейманом в его трактате в 1881 г.; мы приведем это
доказательство в § 14.6—14.63. Читатель может пропустить эти рассужде-
рассуждения, если они известны ему из теории рядов Фурье.
Формула
D)
у J
носящая более тонкий характер, чем C), была изучена Бэйтменом (В ate man), Proc.
London Math. Soc, B), IV A906), стр. 484; ср. § 12.2.
14.4. Повторный интеграл Ханкеля
Обобщение интегральной формулы Неймана для функций одного перемен-
переменного, данное Ханкелем (ср. § 14.3), может быть сформулировано следующим
образом:
Пусть F (R) — произвольная функпия действительного переменного R,
для которой интеграл
00
существует и абсолютно сходится, и пусть порядок v бесселевой функции
будет не г) ниже - . Тогда
00 00
§ —0)},
О
при условии, что положительное число г находится внутри интервала,
где F(R) имеет ограниченное полное изменение.
Доказательство, которое мы здесь дадим, по существу совпадает с дока-
доказательством Ханкеля и носит тот же общий характер, что и доказательство
теоремы Фурье; оно будет проведено так же, как доказательство теоремы
Фурье в Курсе современного анализа, гл. IX. Сначала нам придется дока-
доказать несколько лемм.
14.41. Аналог леммы Римана—Лебега
Результат, напоминающий лемму Римана — Лебега2) в теории рядов Фурье,
который нам понадобится при доказательстве теоремы об интеграле Ханкеля,
может быть сформулирован следующим образом:
х) Представляется вероятным, что достаточно требование v > — 1, однако, для
Золее широкой области значений v доказательство было бы более сложным.
2) Ср. Курс современного анализа, ч. 1, § 9.41.

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
503
и
Пусть1) интеграл \ F{R)V~RdR существует и (если он является
а
несобственным) абсолютно сходится; пусть, далее, v^ — —. Тогда, если
то
Доказательство удобно разделить на три части; в первой части допу-
допускается, что F(R)Yli ограничена, и что Ъ конечно; во второй части ограни-
ограничение, наложенное на Ъ, снимается; и в третьей части снимается условие,
что F{R)YR ограничена.
I. Пусть К есть верхняя граница для | F (R) vR |. Разделим интервал
интегрирования (а, Ь) точками xv х2, ..,, хп__х (хо=?а, хп = Ь) на п равных
частей и выберем п столь большим, чтобы
/я = 1
где s — сколь угодно малое положительное число, a Um и Lm суть верхняя
и нижняя границы F(R)yR в т-м интервале.
Положим F(R)VR = F(Rm__l)VRm__1-\-<um(R)r так что когда R лежит
в т-м интервале, \®m(R)
ции от х,
Um
Lm. Теперь, если v^ — ~, обе функ-
функо
* i
будут ограничены при лг^О, даже если интеграл не сходится при х—> оо-.
Пусть Л и В будут верхними границами модулей этих функций. Тогда оче-
очевидно, что
= 1
Взяв ). достаточно большим (п остается неизменным после того, как
сделан выбор s), последнее выражение можно сделать меньше 2Лё/КГ и, таким
образом, исходный интеграл будет иметь порядок оA/)/Х),
х) Верхний предел интеграла может быть бесконечным; кроме того, а^О. Множи-
Множитель /?, очевидно, существенный, позволяет избежать аналогии с § 14.3C).

504 ГЛАВА XIV
II. Когда верхний предел бесконечен, возьмем с таким, чтобы
00
с
и воспользуемся неравенством
a a
после чего, рассуждая как в A), получим:
°° 2Ав
F(R)Jv(kR)RdR
Выбор п зависит теперь от s вследствие специального выбора с, равно как и
вследствие специального способа подразделения интервала интегрирования (а, с);
но выбор п остается независимым от )., и поэтому можно сделать вывод, что
интеграл (с бесконечным верхним пределом) продолжает сохранять порядок
o(i/КГ).
III. Если функция F(R)yR не ограничена1), то. точки, в которых она
обращается в бесконечность, можно заключить в определенное число р интер-
интервалов 8 таких, что
Применяя рассуждения из I и II к частям интервала (а, Ь), оставшимся
вне этих интервалов, получим, что
где К обозначает теперь верхнюю границу для \F(R)\\//rR вне интервалов §.
Выбор Кип теперь зависит от s, однако, попрежнему не зависит от I,
и, таким образом, тот факт, что интеграл имеет порядок оA/]А.), продол-
продолжает оставаться справедливым.
14.42. Обращение повторного интеграла Ханкеля
00
Мы сейчас докажем, что если v^= — — и интеграл 1 F(R)\^RdR суще-
о
ствует и абсолютно сходится, то
00 00 00 X
\udu\F(R)J^uR)J^ur)RdR= lim j F(R) { j У (uR) Jv(ur)udu) RdR,
0 0 X-»oo0 0
при условии, что предел справа существует.
1) Ср. Курс современного анализа, ч. 1, § 9.41.

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 505
Для любого заданного значения X и произвольного положительного
числа s существует, по предположению, такое число (S, что
00
где Л есть постоянная, определенная в § 14.41.
Обозначая
F(R) 7v (uR) У (иг) uR = y (/?, и),
получим 1):
со X X со
I г (г 1 С( С \
\ \ [ \ ср (/?, и) du } dR — \ \ \ ср (/?, и) dR ) du =
0 0 0 0
оо X X со
j {$
P о
со X X со
{j }|
Jj }|{j
P 0 0 0
oo X X oo
Р 0 0 Р
Поскольку этот результат справедлив для сколь угодно малых значений г,
можно сделать вывод, что
со X X со
0 0 0 0
причем интеграл в левой части существует, в силу предположения о суще-
существовании интеграла в правой части. Если интеграл в левой части стремится
к некоторому пределу, когда X—*-эо, то из определения несобственного
интеграла очевидно, что
со со X со
^^ У (uR) JH (иг) RdR = lim j udu j F (R) /v (uR) /v (ur) RdR =
x~>0° о о
oo X
= lim \F(R){\j^(uR)J^ur)udu} RdR;
Wo° о о
это и есть формула обращения, которую требовалось доказать.
14.43. Существенная часть пути интегрирования в повторном
интеграле Ханкеля
Далее мы докажем, что в интеграле Ханкеля единственной частью R —
области интегрирования, от которой зависит значение интеграла — является
часть контура, находящаяся в непосредственной близости от г; при этом
предполагается лишь, что интеграл от F (/?)]//? абсолютно сходится.
1) Обоснование перестановки порядка интегрирования для конечного прямоуголь-
прямоугольника со сторонами I и f не представляет больших трудностей.

506 ГЛАВА XIV
Для доказательства достаточно показать, что если г не является точкой
интервала *) (я, &), то
со Ъ
\tidu\F (R) 7V (uR) 7V (иг) RdR = 0.
О а
Мы меняем порядок интегрирования, как в § 14.42, и если пределы
в правых частях существуют, то находим:
оо Ъ Ъ X.
[ и da J F (Я) /„ («/?) /v (иг) R dR = lira j F (/?) { J У, (и/?) Уч (иг) ийи} /?<»? =
A.-»co
Поскольку оба интеграла
ъ з ъ 1
Г P/D\ D
)dR.
в силу наших предположений, являются сходящимися, то из обобщенной леммы
Римана — Лебега A4,41) следует, что последние два предела равны нулю;
поэтому
О а
при условии, что г не удовлетворяет соотношению
ъ х
1
14.44. Ограниченность интеграла j ^J^(uR)J)t(ur)uR2dudR
а 0
Теперь мы покажем, что при \—*оо повторный интеграл
Ъ \ t
а 0
остается ограниченным, при условии, что а и Ъ имеют любые (ограничен-
ные) положительные значения. Не исключено, что а и Ъ могут быть функ-
функциями от X, причем одно из них (или даже оба) могут стремиться к г,
когда X стремится к оо.
1) Значение b может лежать и в бесконечности.

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 507
Рассмотрим сначала интеграл, содержащий главные члены асимптотиче-
асимптотических разложений, а именно,
ъ х
cos й/? vtt тт cos йг vtt тт ] du dR =
. . 2 4 J \ 2 4 )
а 0
s'ml(R-r) cos{l(R + r)~ уд} — cosvrci
a
X (b - r) X (ft -f r)
1 Г f sin x , Г cos (л: — vn) . , , ^ -4- ^
= —t^ I dx — dx -4- cos vtc In —H- .
X(fl-r) X(« + r)
оо
Первый интеграл ограничен в силу сходимости \ dx, второй инте-
00 ~~°°
грал ограничен в силу сходимости Г cos(^r уд) ^х. таким образом, и рассмат-
,j X
—00
риваемый интеграл сходится и имеет своим пределом при \—*оо предел
выражения
_JU[ J
sin х , . . Ь
х
Х(я - г)
при условии, что этот предел существует.
Но мы можем написать:
b X
\ \ У,
a 0
boo
\ f yv (irf?) Л (ur) uR* du dR =
6oo
= -^= [4-таЛ(л/?)Л(ЛГ)
п V r J J L ^
л О
— cos («/?— j vtt — — ttJ cos (ur —yv^ — -^-TTJ \dudR —
у nuJ^ (uR) 7V (ur) VRr —
cos (uR—-jVn — -jTi\ cos ^r—yvn —--tt^I dudR-\-
bco
b X
-) 7= I I cos f#/? —у vtt — -j-TTj cos [ur 7-vtt — -j-тг)
« 0
Первый из интегралов, выписанных в правой части, является интегралом
по R от интеграла (по и), который равномерно сходится в любой положи-
положительной области значений R и г и поэтому является непрерывной (а следо-
следовательно, ограниченной) функцией от г, если г положительно и ограничено.
Третий интеграл, как это было показано, также ограничен и сходится
к некоторому пределу, при условии, что это же имеет место для интеграла
sin х ,
-dx.
х
X («"- г)

508 ГЛАВА XIV
Второй интеграл можно записать в виде
Ь 00
J J
0 X
4v2—1 Г Г Г 1 -
где cp, (X,) cp2 (X) и cp3 (X) суть функции от X и /?, стремящиеся равномерна
к нулю, когда X—>-оо.
Таким образом, при X—*-оо для #??л; ограниченных значений а, ?, г
интеграл
JJ /,(«/?) JH(ur)uR*dudR
а О
ограничен; он сходится к некоторому пределу, если это же имеет место для
интеграла
)
J л
)
J
\(а - г)
14.45. Доказательство интегральной теоремы Ханкеля
После того как доказаны все вспомогательные леммы, собственно дока-
доказательство теоремы Ханкеля оказывается совсем простым.
Поскольку в интервале, для которого г является внутренней точкой,
функция F(R) имеет ограниченное изменение, то таким же свойством обладает
и F(R)VR; следовательно, имеет место разложение
F(R)VrR=h(R)-h(R),
где it (R) и i2 (R) суть монотонно возрастающие (положительные) функции.
Взяв произвольное положительное число е, мы выбираем положительное
число 8 настолько малым, чтобы F (R) имело в интервале (г — 8, г-\-8) огра-
ограниченное полное изменение, а также чтобы
Z](r_0) — b(r —
Применив вторую теорему о среднем, мы обнаруживаем, что существует
такое число ?, 0<^?<^§, что
'

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 509
Поскольку
когда I—voo, a 8 остается постоянным, из § 14.44 следует, что первый
член в правой части стремится к пределу, когда X—*оо, а д остается
постоянным. Второй же член справа не превышает по абсолютному значению
Се, где С — верхняя граница модуля повторного интеграла (ср. § 14.44).
Отсюда, если
г4-Ь X
lim J
Х-*оо г
ТО
г + Ъ X
И*
lim \ \ъ (R) Л (uR) J4 (ur) uR 2 da dR
X -> oo
существует и равен ^
Проделаем аналогичные преобразования над foW и применим подобное
рассуждение к интервалу (г— 8, г); тогда если
то
lim \ [ J (uR) J (ur) uR2 dudR=-^,
lim \ ^F (R) 7v (uR) 7v (ur) uR du dR
X-»oo г^_ь о
существует и равен
ClF(r + 0)-\-C2F(r—0).
Теперь нам необходимо вычислить Сх и С2. По теории обобщенных
интегралов А), мы имеем:
77) J 4
f ' xJ \J
О г
00
= lim \ exp |
p -* q
г + S oo
= lim f (
в силу § 13.31 A).
]) Hardy, Quarterly Journal, XXXV A904), стр. 22—66. Другой метод вычисле-
вычисления Сг и С2 см. в § 14.52.

510 ГЛАВА XIV
Далее, повсюду в области интегрирования мы имеем:
J
если р—> ().
Отсюда
ТЬ1Р
i 1 Г Г (R — rJ) , I С
Сл = lim 7= \ ехр <— К dR = lim -7=. \ ехр(
p-^o2^^ J \ 4^ / P-*oVn J
г О
и, аналогично,
о
С2 = lim -j=z. \ ехр ( — х2) dx = — .
Таким образом, мы показали, что
lim ^ j F (/?) 7V («/?) 7V (иг) ^/? du dR
существует и равен
Но если этот предел существует, то, по § 14.42,
со со
\uda\F(R) У, (и/?) У, (иг) /МЯ
о о
также существует и равен ему. Этим доказана теорема Ханкеля, сформулиро-
сформулированная в § 14.4.
Впервые использовал теорию обобщенных интегралов при доказательстве этой
теоремы, повидимому, Зоммерфельд в своей Кёнигсбергской диссертации, 1891. Неко-
Некоторые приложения этих методов в сочетании с общими результатами этой главы
к проблеме моментов Стилтьеса см. в мемуаре Харди (Hardy), Messenger, XLVII
A918), стр. 81—88.
14.46. Замечание относительно первоначального доказательства
теоремы Ханкеля
В авторском доказательстве формулы Ханкеля имеются, как нам кажется, два не
вполне корректных этапа. Первый относится к пределу интеграла
со X
lira \\f (/?) У, (и/?) /v (ur) uR du dR,
X ->• со J «J
о о
который он заменяет через
со
lim Гр (/?) [/?Л+1 (Щ Л (X г) - г7,+1 (X г) yv (kR)]
X -> со J

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 511
Чтобы найти приближенное значение этого интеграла, Ханкель подставляет пер-
первые члены асимптотических разложений бесселевых функций, не проверяя того,
можно ли пренебречь интегралами, получающимися от второго и последующих чле-
членов (что является существенным дефектом для строгости доказательства), и не при-
принимая во внимание следствий того, что 1R обращается в нуль в нижнем пределе кон-
контура интегрирования.
Второй — аналогичного характера — относится к пределv
доказав с помощью только что упомянутого метода, что рассматриваемый предел
равен нулю, когда $ стремится к положительному пределу и равен -^ при $ = 0, Хан-
кель считает, что этот предел должен быть ограниченным, если $—> 0, когда X—>- оог
а это, вообще говоря, не очевидно.
14.5. Распространение теоремы Ханкеля на произвольные
цилиндрические функции
Мы сейчас рассмотрим интегралы типа
00 00
\udu[F{R) #v (uR) #v (ur) R dR,
в которых индекс v произвольной цилиндрической функции {*v(r) есть какое-
нибудь вещественное1) число. Нижние пределы интегралов будут установ-
установлены впоследствии, поскольку им удобно приписывать значения, завися-
зависящие от v.
Для определенности будем считать, что
#v(z) = a {cosa«/v (z)-\-sina- Yv(z)},
где a и a — постоянные.
Аналог леммы Римана — Лебега (§ 14.41), а именно, тот факт, что интеграл
ъ
а
при условии t что
существует и сходится абсолютно, может быть доказан с помощью точно
таких же методов, как в § 14.41, при условии, что а^Ь ^оо, и что
( а ^ 0, если 0 < v < у ,
1 а>0, если v>-?- .
v *
Теорема из § 14.44 должна быть немного видоизменена; а именно, повтор-
повторный интеграл
ъ \
1) Без ограничения общности можно упростить последующие рассуждения,
ПОЛОЖИВ V^: 0.

512 ГЛАВА XIV
ограничен, когда I—*оо, a z фиксировано; как и в § 14.44, а и Ь могут
быть функциями от X, имеющими конечные пределы при X—»*оо. Число т
положительно, хотя оно может быть и нулем, если 0 ^ v ^ <г .
Повторный интеграл и интеграл
i-r)
Г sin х .
\ dx
-г)
также одновременно либо сходятся, либо колеблются, когда \—>-оо.
[Замечание. Если бы две цилиндрические функции в повторном интеграле
были разнотипными, т. е. если бы нам пришлось рассматривать интеграл
ъ х
\\*8ч (uR) %ч (иг) uV"R- du dR,
а т
то мы обнаружили бы, что сходимость этого интеграла требует сходимости интеграла
х (ь г г)
1 — cos х dx;
X
Х(а-г)
и, таким образом, если X (Ь — г)—>¦ оо при I—>-оог то повторный интеграл расхо-
расходится !).]
14.51. Обобщение теоремы Ханкеля на случай O^v^-—
Сохраняя обозначения §§ 14.4 —14.5, мы докажем сейчас следующую
теорему:
00
Пусть \ F(R)V R dR существует и абсолютно сходится, и пусть
о
О ^ v ^ тр. Тогда
00 00
A) \uda\F (R) #v (uR) <в, {иг) RdR =
S о
при условии, что положительное число г находится внутри интервала,
в котором F(R) имеет ограниченное полное изменение.
Как и в § 14.42, можно показать, что
00 00
\udu\ F(R)%v(uR)%v(ur)RdR= lim \f {R)\%,(uR)%,{ur)uRdu dR,
при условии, что предел в правой части существует.
!) При изложении теоремы Ханкеля Нильсен (Nielsen), Handbuch der Theorie
der Cylinderfunktionen, (Leipzig, 1904), стр. 365, этого обстоятельства не заметил.

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 513
Но теперь мы обнаруживаем, что
х
о
= л^=7Г [«Я #v + i («Я) »v(«r) - «г ?v+1 (яг) #v («/?)? =
2с2 sin a sin (a + w) /?2v — r2v
r.sinvrc #vrv(/?2—г2) '
Отсюда заключаем, что если г не является точкой интервала (я, Ь), то
ь х
\ F(R) [ #v (tiR) ?v (иг) uR da dR =
a 0
2a2Sinasin(a+v7r) r /?JV — rJV
= o(l) : \ -ТТГ—tttv» *\F(R)RdR*
itsinvTr J ti f (Jx—f?)
a
когда X—^oo; и, таким образом, при \—voo последний повторный интеграл
имеет предел.
Выберем теперь произвольное положительное число е, а затем возьмем Ь
настолько малым, чтобы в интервале (г — 8, /- —j— в) функция F(R) имела
ограниченное полное изменение и чтобы
F(R) — /7(r+0)|<?, если г<Жг-4-8,
F(R)— F(r — 0)|<е, если г —5</?<г.
Рассмотрим, далее,
оо X
J Z7 (Я) J #v (йЯ) ^v (ЙГ) ЙЯ da dR,
о о
и разделим/? — контур интегрирования — на четыре части, а именно,
(О, г —S), (г — д,/-), (г, r-j-S), (г + d, ос).
Как и в § 14.45, применим вторую теорему о среднем; тогда получим:
оо X
J Z7 (Я) J #v (яЯ) ^v (ЙГ) ЙЯ da dR =
о о
2a2 sin a sin (a -f- vir) ' -
sin (a -f- vir) j
sin vtc \ _
x
Г
r
r 0
r- 5 о
где [7]| имеет верхнюю границу, которая не зависит от к и может быть
сколь угодно мала при достаточно малом е.

514 ГЛАВА XIV
Интегралы в правой части сходятся к пределам при к—»-<х>, так что
полагая ?—* 0 после предельного перехода X—*оо, мы находим, что
оо оо
[udu\F (R) #v (я/?) #v (ur) R dR
о о
сходится и равен
2з2 sin a sin
тс sin
+ F(r+0)
00
оо r-j-б
lim J j gv(tf/;
g->o 0 r
00 Г
lim j ) <S,){ui
S~*0 о r —8
F(f?\
l
>*dRdu +
l
/?2" flf/? da,
при условии, что пределы в правой части существуют.
Чтобы доказать существование этих пределов и одновременно их вы-
вычислить, положим F(R) = R>t, когда r<^/?<V-j~S и F(R) — O для всех
остальных значений /?.
Тогда мы находим:
г
оо г4-б
= lim [ J gv
при условии, что этот повторный предел существует; и аналогично
°
2 lim \ \ gv
00 Г
= lim \ \
Булем для краткости писать Ь вместо r-\-b. Тогда получим:
^v(uR) %Aur) uR*+1dRdu =
00
v + ] И) — r4+1gv + 1 (иг)} S?, (иг) ?/и ==
оо
=_lirao \ {^+1^+, (aft) -/
поскольку второй из этих трех интегралов сходится, а третий абсолютно
сходится при 0 <^ р <^ 1 — v.

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 515
Теперь последнее выражение можно заменить комбинацией четырех инте-
интегралов, имеющих вид
все они абсолютно сходятся. Эти интегралы можно вычислить, рассматривая
их как частные случаи разрывного интеграла Вебера из § 13.4; мы находим,
таким образом:
gin sin (а -\- pit) sin (a 4- vie)- f(v + 1 — p) ., .
22p sin p»: sin vit F(v -f 1) Г (p + 1)
r*> Г(>+1)ГBР)
a2/—7 sin a sin (a -f- рте -f- vrc) • Г A—p)
22p sin (рте-f уте) sin уте-ГA — v) Г (v-f- p _f- 1)
+ 2P гЛ—о у Q- 1 у ГМ г^+2о ГA~у)ГBр) ]
X
Предел этого выражения при p~~vO после алгебраических преобразований
сводится к
—v)],
а предел последнего выражения при b—*г-\-0 равен просто — a2rv.
Аналогичным путем можно показать, что
00 Г
lim \ \ \
и мы доказали, таким образом, что
оо оо
\udu\F{R) %, (uR) #v (ur) RdR =
о о
О
в предположении, что 0^v^-~-, что функция F(R) отвечает условиям, ука-
указанным в § 14.4, и что
#v (z) = a {cos a7v (z) + sin aKv (z)};
это и есть та общая теорема, которая была сформулирована в начале этого
параграфа.

516 ГЛАВА XIV
14.52. Интегральная теорема Вебера
со
Как вытекает из § 14.51, если \ F (R)]/RdR существует и абсолютно
а
сходится, причем а^>0, то
со
Um J F(R) [#?v+1 (kR) <ё„ (кг) — г tf ,+1 (к г) ?ч (kR)]
при условии, что г находится внутри интервала, в котором F (R) имеет огра-
ограниченное полное изменение, а F(R) (по определению) равна нулю при
0^/?<^#, если индекс цилиндрических функций лежит между —1 и тт.
Мы сейчас установим справедливость этой формулы для цилиндрических
функций с любым индексом.
Пусть
1 (kR) ?, (кг) — r?v+1 (кг) <6„ (IR)] ^Л-р = Ф, (R, г; I).
Пользуясь рекуррентными формулами, легко находим:
Ф„ (R, г ;Ц — Ф,_, (R, г, I) =_!-[»,_, (IR) <6Ч (кг) + gv_, (kr) ?v (IR)],
и, таким образом, по аналогу леммы Римана — Лебега (§ 14.41), имеем:
со
B) lim \№(R, гЛ)—Фч-г{Я, r,l)]RF(R)dR = 0.
Складывая несколько таких формул, получаем:
со
C) lim \ [Ф„ (R, П I) — Ф, ± „ (R, г, 1)} RF (R) dR = О,
а
где п — любое целое положительное число.
Выберем п так, чтобы одно из целых чисел v 4z n оказывалось между
2~ и +-о"; тогда из (^)
со
lim \$>^n(R,r;l)RF(R)dR = -T3*{F(r~\-0)-{-F(r— 0)},
и, таким образом, для всех вещественных значений v, из C) находим:
со
D) lim \ФАЯ, r;l)RF(R)dR = -?G*{F(r + O)-\-F(r — 0)}.
По сути дела этот результат принадлежит Веберу !); он был получен
методом, указанным в § 14.46.
Чтобы получить этот результат в форме, данной самим Вебером, по-
положим
, (z) = Г, (г) Л (г) —Л (г) У,(г),
1) Weber, ЛГя^Л. Лот., VI A873), стр. 146—161.

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 517
Тогда
и
Ъ^ (uR) ~ & v (йГ) -j \:=\?\i TJ) 1 &v (йГ) e
выражение в левой части также равно
u[R%v + 1 (я/г) #v (яг) — r#v+1 (яг) ^(я/г)] =
= й/г [У, (R) /v + 1 (uR)—J, (R) Fv + 1 (я/?)] [Kv (r) 7V (ur)—J^ (r) Fv («r)] —
— яг[Г7 (г) 7V+1 (яг) —Л (г) Fv+1 (яг)] [Fv (/г) Л (я/?) — 7V (/?) Fv (я/г)] =
= uY, (R) Fv (r) [fl/v+t (я/?) Л (яг) — r/v+1 (яг) Л (я/?)] +
+ \ а {Л(Л) ^v (г) — 7V (r) Fv (/г)} [ЛЛ+1 (й/?) rv (ЙГ) — ^^v+i («Л) Л (йг) —
— rFv + 1 (яг) 7V (я/?) + r7v+1 {ur) Yv (я/г)] —
^ я {7V (/г) Fv (г) 4- 7V (r) Fv (/?)} Г/г^+1 (й/?) Dv (ЙГ) — rDH,
— /?DV +, (я/?) Z)v (яг) + r D v+j (ят) D, (я/?)] —
— «У, (/?) Л (r) [RKv+1 (яЛ) Fv (ur) — гК,+1 (яг) Kv (я/?)],
где
Предположим теперь, что
00
существует и абсолютно сходится, и рассмотрим
lim { /(#) { #v (яг) ^v (я/?) я/? йи dR.
Выполним интегрирование по и и заменим проинтегрированное выражение
суммой четырех членов, выписанных выше, разделенной на R2 — г2.
Поскольку выражение
/?-г2
ограничено вблизи z и имеет ограниченное полное изменение в любом огра-
ограниченном интервале, содержащем z, интегралы, соответствующие второй
группе членов, в силу обобщенной леммы Римана—Лебега, стремятся к нулю,
когда \ —> оо.
В третьей группе членов мы получаем два интеграла, которые оказы-
оказываются взаимно уничтожающимися.
Используя A), мы приходим, таким образом, к следующему результату:
lim J f(R) \%

518 ГЛАВА XIV
т. е.
оо оо
F) J udu $/(#)#„ (иг) ?., (aR) RdR -.
/(г— о)},
причем цилиндрические функции определяются здесь с помощью E), а г лежит
внутри интервала, в котором /(/?) имеет ограниченное полное изменение.
За исключением деталей в обозначениях, этот результат был получен
Вебером для случая функций с целым индексом.
14.6. Формулировка интегральной теоремы Неймана
Мы сейчас точно сформулируем теорему, которая будет служить пред-
предметом исследования в ближайших параграфах. Эту теорему удобно излагать
в обобщении Дюбуа-Реймона *), которое получается при замене бесселевой
функции любой функцией, удовлетворяющей некоторым общим условиям.
Обобщенная теорема формулируется следующим образом:
I. Пусть lF (X, Y) — произвольная ограниченная функция двух веществен-
вещественных переменных (X, Y) такая, что двойной интеграл
00 ОО 1
[ [ 4х (ЛГ, Y)-(X*4-Y2)~ *-(dXdY)
— 00—00
существует и абсолютно сходится.
II. Обозначим функцию lV(X, Y), выраженную в полярных координа-
координатах, через F(R, Ф); пусть F(R, Ф) (для всех значений Ф между —тг и -|-тт),
как функция от /?, обладает полным ограниченным изменением в интер-
интервале (О, оо), и пусть ее полное изменение, а также полное изменение F(-\- О, Ф),
будет интегрируемой функцией от Ф.
III. Обозначим через Q (/?, Ф) полное изменение функции F(R, Ф)
в интервале (zb О, R); пусть &(/?, Ф) стремится к нулю при R—> 0 равно-
равномерно во всем интервале (— я, я), за исключением2) значений Ф в секто-
секторах, сумма углов которых может быть взята сколь угодно малой.
Поскольку | F (/?, Ф) — Z7 (-|- О, Ф) | ^ Q (/?, Ф), это условие требует, чтобы
F(R,<&) стремилась к F(-\-0, Ф) равномерно вне исключенных секторов.
IV. Пусть g (R) — непрерывная функция положительного переменного R
такая, что g(R)YR ограничено при R—>0 и при R—^оо.
/? оо
Пусть ^ g(t)tdt = G(R), и пусть §G(t)^ сходится.
о о
Тогда
оо оо оо
\ udu { { 4х(X, Y).g{u)/X* -\-V2}- (dXdY)
О —оо—оо
i)Du BoisReymond, Math. Ann., IV A871), стр. 383—390. Формула Неймана
(ср. § 14.3) получается, если положить g(t)~jQ(t); условия I — III будут, по су-
существу, те же, которые даны в трактате Неймана, опубликованном в 1881 г.
2) Эта оговорка имеет целью обеспечить применимость рассуждений к случаю
(который имеет важное физическое значение), когда Ч* (X, Y) равна нулю в области,
ограниченной одной или несколькими аналитическими кривыми и равна, например,
некоторой постоянной внутри этой области, причем начало координат находится па
границе области.

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 519
сходится и равен
где Ш F( -\- О, Ф) обозначает
1
— я
Прежде чем доказывать основную теорему, мы докажем, точно так же,
как и при изучении интеграла Ханкеля, несколько лемм.
14.61. Аналог леммы Римана — Лебега
Соответственно результату из § 14.41 мы имеем теорему: если через Т
обозначить неограниченную область 2), которая охватывает начало коорди-
координат и для которой начало координат не является ни внутренней, ни
граничной точкой, то при 1—^ сю имеем:
F (Я, Ф) <
т
Заметим, принимая во внимание условие II из § 14.6, что эта теорема значи-
значительно слабее, чем теорема из § 14.41. Объясняется это тем, что для некоторых зна-
значений R функция G(\R) может иметь порядок3) 0A^1)', в силу этого, рассужде-
рассуждения, аналогичные использованным в § 14.41, неприменимы.
Для доказательства леммы предположим сначала, что Т ограничена.
Тогда для любого значения Ф функция F(R, Ф) может быть представлена
в виде разности 4) двух (возрастающих) монотонных функций ^ (/?, Ф), jB (/?, Ф),
сумма которых дает полное изменение функции F(R, Ф) в интервале (О,/?).
Если Ro и R1 суть крайние значения R для некоторого значения Ф, то
из второй теоремы о среднем следует, что для некоторого значения /?2, на-
находящегося между Ro и Rv
f Xl (/?, Ф) G (IR) d-§ = h(R0, Ф) f G (IR) а-§ + Ь (Rv Ф) f О (IR) d-§ =
Ro Ro R,
= Ъ(Яо>Ф> J G(t)^ + b(Rv Ф) j Q(t)%.
°° (it
Поскольку интеграл 1 G (t) -— сходится, для произвольного положительного е
!) Тот факт, что повторный интеграл равен выражению, содержащему среднее
значение функции F(R, Ф), если начало координат является для F(R, Ф) точкой раз-
разрыва, обнаружил Нейман (Neumann), Uoer die nach Kjreis-, Kugel- und Cylinder-
funktionen fortschreitenden Entwicklungen (Leipzig, 1881), стр. 130—131.
2) Через Т может быть обозначена, например, вся плоскость, за исключением
круга радиуса S с центром в начале координат.
3) Это будет, например, когда g(R)i== JQ(R); тогда G(R)~RJX{R). Вполне воз-
возможно, что в отдельных случаях некоторые из условий, наложенных на F(R, Ф),
могут оказаться излишними.
4) Ср. Курс современного анализа, ч. 1, § 3.64.

520 ГЛАВА XIV
можно подобрать столь большое X, что
для всех значений ?, не меньших, чем наименьшее значение /?0. Далее,
1х (я Ф)|< {х(я Ф)^( + °ф)} +
(eo, Ф)-y^( + 0 Ф) +
и аналогично
откуда следует, что
= 2s J{Q(oo,
поскольку Р(-\-0,Ф) ограничена, это выражение можно сделать сколь угодно
малым, взяв е достаточно малым, и величина его не будет зависеть от внеш-
внешней границы области Т. Таким образом, можно переходить к пределу, когда
внешняя граница уходит в бесконечность.
Итак, когда Т совсем не имеет внешней границы, модуль интеграла
может быть сделан сколь угодно малым, если \ взято достаточно большим,
что и требовалось доказать.
14.62. Обращение повторного интеграла Неймана
Мы сейчас докажем, что существование и абсолютная сходимость
интеграла
ОО 00
т/v m (dXdY)
— оо — оо
являются достаточными условиями предельного соотношения
оо оо оо
[udu
О —оо
оо оо X
= lim [ [ Ч?(Х, Y) [g{uVx2-\-Y4udu(dXdY),
Х-»°° _^оо-оо О
при условии, что предел в правой части существует.

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 521
Для любого заданного \ и произвольного s существует такое число [}, что
-яр
где Л есть верхняя граница для \g(u)\Vu.
Мы имеем:
оо X
[ \ F(R,Ф)g(uR)udu¦R(dRdФ) —
*j *j *j
—тс О О
X тс оо
— \ J J F(R,4>)g(uR)R(dRd<b)udu =
-*тс О
тс оо X
J J j F (/?, Ф) * (иЛ) a rfa • R (dRdФ) —
¦TC 5 0
TC 00
[ \ [F{R,$)g{uR)R{dRd<&)udu ^
о — w p
тс oo X | i
Л f ^ I/=¦(/?, Ф)|й?йГй/??
«^ «^ -'
-тс р
\. TC
—тс р О
X тс oo i
0 —тс р
Поскольку это справедливо для произвольно малых значений г, мы
находим:
00 Я 00
\ \ \ F(R,Ф)g(uR)R(dRdФ)udu =
•J J »J
я оо X
= lim \ [ [ F(R, Ф) g(uR) и du-R (dR d<b),
О -тс О
я оо X
>оо-п0 О
причем интеграл в левой части существует в силу предположения о сущест-
существовании предела в правой части.
Отсюда следует, что если предел в правой части существует, то
оо я оо
\udu \ J F(R, Ф) g(uR) R (dRdФ) =
О —и О
= Иш
14.63. Доказательство интегральной теоремы Неймана
Сейчас мы без труда можем доказать теорему Неймана, сформулирован-
сформулированную в § 14.6. Сначала мы возьмем произвольно малое положительное число s,
а затем выберем секторы, в которых сходимость функции Q(/?, Ф) к нулю
будет равномерной, таким образом, чтобы сумма их центральных углов пре-
превышала 2тт — е. Далее возьмем настолько малое 8, чтобы в этих секторах

522
ГЛАВА XIV
выполнялось неравенство й (R,
5, как только R ^ 5; верхние границы для
оо
и
о(«Lг"
пусть будут В и С.
Применим теперь вторую теорему о среднем. Мы имеем:
где
Далее
Отсюда
G Q.R)
R
<2С.
Хо
j F (/?, Ф) О AR) ^ = F ( + 0, ф) j О (и) Ц + г),
причем внутри секторов, где сходимость является равномерной,
чем 2sC, а в остальных секторах |7j| —меньше чем 2ВС.
Отсюда следует, что
те Ь
, Ф) G (Щ
0,Ф) J О (в) f
— « о
< 2тт• 2sC + s • 2БС = 2sC {2тт -j- Б},
Таким образом, для больших значений \, имеем:
П
\ [ F(R, Ф) G {IR)^^- 2я<ЖF( + О, Ф) [ О («) ^
т. е.
lim
X -> оо
-71 О
Выражение в левой части не зависит от е; следовательно, поскольку е
сколь угодно мало, предел должен быть равен нулю. Таким образом, предел
lim
Х-+оо
—л о

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 523
существует и равен
о
Принимая во внимание результат § 14.62, получаем, что теорема Неймана
полностью доказана.
В частном случае, когда g(u)=^J0(u), мы имеем:
и
ltg(t)dt=uJ1{u),
о
и поэтому
G(u) = uJx{u),
о
Отсюда имеем:
ОС ОО 00
A) \ udu \ \
О —оо —оо
= 2ттДОР ( 4- 0 • cos Ф, + 0 • sin Ф).
Перенеся начало координат, находим:
00 СО 00
B) [udu j J 4F(X,Y)-J0[uV(X—x)*-\-{Y—y)>]-(dXdY) =
— 00 — 00
= 2x15014* (лг+б.ссюФ, j;-f О-втФ).
И, наконец, переходя к полярным координатам, получаем:
00 Л 00
C) \itdu \ \ F (/?, Ф) Уо [и VR2 + г2 — 2Rr cos (Ф — cp)J R dR ^I> =
0 —ic —оо
= 2Tr3JtF(r,<p),
где через ЗК/^г, ср) теперь обозначено среднее значение функции F(R, Ф),
когда (/?, Ф) пробегает окружность бесконечно малого круга с центром (г, ср).
14.64. Исследование интеграла Неймана, данное Мел ером
Мелер !) получил интеграл Неймана из формулы
ТС ТГ
J J f <в' ф) Рп
sin
п~ о 0 —
с помощью предельного перехода; в этой формуле
cos у = cos 6 cos 0 -f- sin 6 sin 6 cos (Ф -— cp).
Написанная формула была получена 2) им путем построения решения
!) Mehler, Math. Ann., V A872), стр. 135—137; ср. Lamb, Proc. London Math.
Soc, B), II A905), стр. 384.
2) Ср. Курс современного анализа, ч. 2, § 18.4.

524 глава xiv
уравнения Лапласа, внутри сферы радиуса х, имеющего заданное значение
/F, <р) на поверхности этой сферы.
Предельный переход, которым пользовался Мелер, возникает из резуль-
результатов § 5.71; радиус сферы предполагается бесконечно большим, и вводятся
новые переменные R, г, которые определяются уравнениями
таким образом, /?, г оказываются, по существу, цилиндрическими координа-
координатами точек, полярные координаты которых равны (я, в, Ф), (х, 6, <р); функция
точки /(в, Ф) обозначается после этого через /7(/?, Ф), a Pn(cosy) оказы-
оказывается приблизительно равным У0(/яо>/рс), где
ш2 = #2 _|_ Г2 _ 2Rr cos (Ф — ср).
Таким образом, мы приходим к уравнению
оо хтс тс
F(r,cp) = lim S2^t4 f ИЛ,Ф)Л(W*)пrrfФ•
Если теперь обозначить njx через и и заменить суммирование интегрированием
(взяв \\х в качестве дифференциального элемента), то получим:
F(r, <P) = ^f «<*«[ f НЯ, Ф)/
О 6
[ f
6 —тс
что и представляет собой результат Неймана.
Однако такое рассуждение вряд ли может послужить базисом строгого
доказательства, так как в нем имеется очень много мест, требующих серьезного
обоснования.
Например, несмотря на то, что
т)" т И ; @> ф) р« <cos y) sin е
И
является потенциальной функцией (при г<^и), принимающей на поверхности
сферы значение /F, ср), теорема о том, что в ряде можно положить р=^х,
требует рассмотрения вопроса о сходимости ряда на поверхности сферы;
также и дальнейший переход от сферы к плоскости, полагая х—^оо, с соответ-
соответствующим переходом от ряда к интегралу, представляет значительные
трудности.
Возможно, что именно с помощью описанного метода Нейман нашел
в 1862 г. свою интегральную формулу. Он сам говорит о своем методе:
«Die Methode, durch welche ich diese Formel so eben abgeleitet habe,
ist nicht vollstandig strenge» *).
*) «Метод, с помощью которого я получил эту формулу, не является совсем
строгим».

Глава XV
КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
15.1. Задачи, связанные с корнями бесселевых функций
В этой главе будет рассмотрено много типов задач, связанных с корнями
бесселевых функций. Мы начнем с доказательства общих теорем о том, что
бесселевы функции имеют бесконечное множество корней и о взаимном рас-
расположении этих корней относительно корней некоторых других функций.
Далее мы изучим вопрос о вещественности корней бесселевых функций
(и цилиндрических функций) с вещественным индексом и рассмотрим вопрос
об интервалах, в которых вещественные корни располагаются; при этом мы
будем пользоваться либо элементарными методами, либо интегралами Пуассона —
Шафхейтлина. Далее мы рассмотрим корни функции Jv (z) при v не обязательно
вещественном, и построим выражение этой функции в виде произведения
Вейерштрасса. После этого мы приступим к численному нахождению корней
для функции с заданным индексом и, наконец, рассмотрим порядок возраста-
возрастания корней с увеличением индекса и вопрос о расположении корней цилинд-
цилиндрических функций с бесконечно большим индексом. Полное исследование
вопросов, касающихся приложений результатов этой главы к задачам матема-
математической физики, выходит из рамок этой книги, хотя ссылки на такие прило-
приложения на протяжении этой главы мы будем приводить.
Всюду, за исключением §§ 15.4—15.54, будет предполагаться, что индекс v
рассматриваемых функций есть вещественное число.
Корни функций, индекс которых равен половине нечетного числа, оче-
очевидно, легче поддаются изучению, чем корни прочих функций.
+
В частности, корни производной -z исследова;:и Шверд и
Рэлей х); несколько позже Эрмит 2) исследовал корни функции Jn + -^ (х). Корни
этой же функции были предметом исследования в статьях Рудского 3), который
пользовался методами Штурма; однако, как указали Портер и Шафхейтлин 4),
некоторые результаты Рудского не совсем корректны, в частности, неверна
l)Schwerd, Die Beugungserscheinungen (Mannheim, 1835); ср. Verdet, Lecons
d'Optique Physique, I (Paris, 1869), стр. 266; Rayleigh, Proc. London Math. Soc.,\V
A873), стр. 95—163.
2) Hermite, Archiv der Math, und Phys., C), I A901), стр. 20—21.
») Rudski, Mem. de la Soc. R. des. Set. de Liege, *2), XVIII A895), № 3. См.
также Prace Matematyczno-Fizyczne, III A892), стр. 69—81. [Jahrbuch iiber die Fort-
schritte der Math., A892), стр. 107—108.]
±) Porter, American Journal of Math., XX A898), стр. 198; S с h a f h e i 11 in,
Journal fur Math., GXXII A900), стр. 304.

526 ГЛАВА XV
его теорема о том, что наименьший положительный корень функции J \ (х)
заключен между —(п-{-\)п и ~ (п ¦+• 2) тт. Эта теорема была бы несовмести-
несовместимой с неравенствами § 15.3E) и формулами §§ 15.81, 15.83.
15.2. Теорема Бесселя — Ломмеля о корнях функции J^(x)
Еще Даниил Бернулли *) и Фурье2) указывали, что функция J0(z) имеет
бесконечное множество вещественных корней; формальное доказательство
этого результата было найдено Бесселем 3) с помощью интеграла Парсеваля.
Впоследствии Ломмель 4) заметил, что рассуждения Бесселя могут быть непо-
непосредственно применены к интегралу Пуассона для функции J^(z) при условии, что
— -^-<^v^-y. Прямым применением теоремы Ролля к x-^J^x) мы в этом
случае можем получить доказательство следующей теоремы Ломмеля; при
любом вещественном v функция 7V (z) имеет бесконечное множество веще-
вещественных корней.
Рассуждения Бесселя — Ломмеля показывают, что если -<^v^ —
и если х лежит между шт. и (/#-{- — )тг, то 7V (x) будет положительной для
четных значений/я и отрицательной—для нечетных значений т.
Так как 7V (x) есть непрерывная функция от х прих^О, то очевидно, что
7V (х) имеет нечетное число корней в каждом из интервалов (тт^, тг), D-я, 2тг),
п, тг), f—
|тг, Зтг)
Некоторые более точные результаты аналогичного типа будут даны в § 15.32—15.36.
Для доказательства теоремы Ломмеля положим лг= I/л-j- —&)тг, где
;0-^1; после из очевидных преобразований интеграла Пуассона полечим:
1 \v 2m -f 9 1
~ я | Г COS ~ 1
*}
и, таким образом,
1
cos
sgn 7V (x) = sgn j da.
о {Bm-f eJ-_u2jT™v
Последний интеграл можно переписать в виде
2
г=1
1) Сотт. Acad. Set. Imp. Petrop., VI A732—3) [1738], стр. 116.
2) Fourier, La Theorie Analytique de la Ghaleur (Paris, 1822), § 308.
Щ Bessel, Berliner Abh., 1824, стр. 39.
4) L о m m e 1, Studien uber die Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1868), стр. 65—67.

КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 527
где
2/П {B/И + 0J — ц2}
Если теперь взять и = 2г—1 :;Ъ ^Л а затем положить
{ + — Bг—
то, очевидно, получим
sin i-
и поскольку г) v <; y I fr (U) есть положительная возрастающая функция2) от г.
Следовательно,
и, таким образом,
sgri У7 I //иг —]—jr- Отг 1 = sgn [(—1 )m{v' —|— (vm — ^т__\) -\- (^/т„-> — v _ 3) —|— ...}]^^
поскольку v' очевидно, не отрицательно.
Таким образом, при к- <^ v ^ —г ,
(+' (m = 0f 2, 4,...),
^_i (JB==li3i5f...),
откуда теорема Ломмеля получается с помо!цыо указанного выше приема.
Корни функции J\(x), так же как и корни функции Jq(x), были исследованы
Бэром (В а е h r), Archives Neerlandaises, VII A872), стр. 351—358, с помощью метода,
напоминающего метод Бесселя — Ломмеля. Результат Бэра для J\{x) состоит в том, что
эта функция является положительной, если х находится в интервалах @, я)Д—я, Згс),
~-тг, Ьъ\, ..., и отрицательной, если х лежит в интервале f-~-rc, 2тс), I — я, 4т: j
тг я, 6я],... Функцию J\(x) исследовал при помощи этого же метода Мур
(Moore G. N.), Ann. of Math., B), IX A908), стр. 156—162.
Только что полученные результаты носят менее точный характер, чем резуль-
результаты Шафхейтлина (§§ 15.33—15.35), основывающиеся на более тонких соображениях.
Уэвелл (Whewell), Trans. Camb. Phil. Soc.j IX A856), стр. 156, отметил, что
функция Jq(x) имеет корень между 2 и 2У~2, а функция Но(^) имеет несколько
вещественных корней.
1) Именно в этом месте требуется условие v^-; условие v> — - обеспечи-
вает сходимость интеграла.
2) Читатель докажет это без всякого труда, рассматривая г в качестве перемен-
переменного, а затем дифференцируя fr{U) по г.

528 глава xv
15.21. Отсутствие кратных корней у цилиндрических функций
Легко показать, что #v (z) не имеет кратных корней, за возможным
исключением начала координат1). Действительно, если бы %^(z) и %\{z)
обращались одновременно в нуль, то с помощью повторного дифференцирова-
дифференцирования дифференциального уравнения V^<e^(z) = 0 можно было бы показать, что
все производные функции #v (z) обращаются в нуль при значении, равном их
общему корню, а тогда, по теореме Тейлора, #v (z) была бы тождественным
нулем.
15.22. Чередование корней бесселевых функций
Мы сейчас покажем, что если /v, i» yv, 2 • • • СУТЬ положительные корни
функции J^(x), расположенные в порядке возрастания, то при v ^>—1 имеет
место соотношение
Этот результат иногда формулируют так: положительные корни функции
J4(x) чередуются с положительными корнями функции /v+1 (х).
Для доказательства этого воспользуемся рекуррентными формулами
первая из которых показывает, что между каждой последовательной парой
корней функции xJ^(x) имеется по крайней мере один корень функции
x~v7v+1 (л:), вторая же показывает, что между каждой последовательной парой
корней функции -*rv+1*/v+1 (x) имеется по крайней мере один корень функции
x4+1J4(x); тем самым требуемый результат становится очевидным.
Если v^ — 1, корни, очевидно, все еще чередуются, но наименьший корень функ-
функции Л-нМ лежит ближе к началу координат, чем "наименьший корень функции J^{X).
Чередование положительных корней, очевидно, имеет место в случае любой
вещественной цилиндрической функции2) %^(х) и соседней с ней функции <e(
Это простое и очень важное свойство бесселевых функций, повидимому,
не было доказано ранее 90 гг.3) прошлого века, когда доказательство его
было опубликовано почти одновременно четырьмя авторами; доказательство,
которое только что было здесь изложено, принадлежит Гегенбауэру4) и Пор-
Портеру5); другие, несколько более длинные, доказательства, принадлежат Гоб-
сону6) и ван Флеку 7).
Как указал Портер, из соотношения
!) Это является частным случаем теоремы, доказанной Штурмом (S t u r m), Jour-
Journal de Math., I A836), стр. 109.
2) Вещественной цилиндрической функцией называется выражение
в котором а, р и v вещественны, и х положительно.
3) Ср. Gray and Mathews, A Treatise on Bessel Functions (London, 1895),
стр. 50.
4) Gegenbauer, Monatshefte fur Math, und Phys., VIII A897), стр. 383 — 384.
5) Porter, Bulletin American Math. Soc, IV A898), стр. 274—275.
6) Hobs on, Proc. London Math. Soc, XXVIII A897), стр. 372—373.
7) Van V 1 e с k, American Journal of Math., XIX A897), 75—85.

КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
529
следует, что при любом положительном значении корня 7V (x) функции Jy+1 (х)
и J4+2(x) имеют один и тот же знак; однако, для двух последовательных
значений корней функции 7v (x) функция J^+1(x) имеет разные знаки, так что
между каждой последовательной парой положительных корней функции J^(x)
имеется нечетное число корней функции J^+2(x)\ если всюду в этом рассуждении
поменять местами функции iv+2(x) и /,(#), то мы получим теорему Портера
о том, что положительные корни функций 7v+2 (x) и 7V (x) чередуются.
15.23. Теорема Диксона о чередовании корней
Результат несколько более общего характера, чем теорема из § 15.2.2,
принадлежит Диксону1); он заключается в следующем: если v ^>—1 и /1,5,
С, D суть постоянные такие, что AD =^= Z?C, то положительные корни функ-
функции AJ^ (x) -\- BxJ1 (x) чередуются с положительными корнями функции
CJ4 (x) -\-DxJ'^(x), и никакая функция этого типа не может иметь кратного
корня т
Последняя часть теоремы есть непосредственное следствие формулы,
вытекающей из § 5.11 A1), а именно,
(х)
xJ[(x)
d{xJ[(x)}
dx
dx
так как этот интеграл положителен при положительном х, а выражение в пра-
правой части обращается в нуль при значении х, равном кратному корню функ-
функции AJ4(x)-\-BxJ[(x).
Чтобы доказать первую часть теоремы, положим
Ajjx)
тогда
А, В
С, D
о
так что ср(лг) монотонна. Поэтому положительные корни функции ср (х)
чередуются с ее положительными полюсами, откуда и вытекает первая часть
теоремы.
Если функцию 7V (x) заменить вещественной цилиндрической функцией
I, то получим:
\ (х)
dx
dx
Л-
2vp (a sin vtc —J— P cos vtc)
tc sin vtc
при условии, что —l<^v<M, и, таким образом, теоремы об отсутствии
кратных корней и чередовании корней у функций А%^(х)-\-Вх*ё\(х) и С^^(х)-{-
-\-Dx^[(x) будут справедливыми при условии, что {$ (a sin vn -\- $ cos vk)
положительно.
г) А. С. Dixon, Messenger, XXXII A903), стр. 7; см. также Bryan, Proc. Camb.
Phil. Soc.y VI A889), стр. 248—264.

530 ГЛАВА XV
Далее, поскольку
- _ * 1(г% v2\9Z2(x)
теорема справедлива для корней, превышающих + V у2> независимо от того,
лежит ли v между — 1 и 1 или нет.
Результат из § 15.22 есть частный случай теоремы Диксона, когда
15.24. Чередование корней цилиндрических функций с индексом v
Пусть <ё^(х)и %^(х) — какие-нибудь различные цилиндрические функции
с одинаковым индексом; мы докажем, что их положительные корни чередуются *).
Если _
то
Мы знаем теперь, что для двух последовательных положительных корней
функции <ёу(х) производная *ё\(х) имеет противоположные знаки; отсюда,
в силу последнего уравнения, #v (x) имеет противоположные знаки, откуда
вытекает, что #v(x) имеет нечетное число корней между каждой последова-
последовательной парой корней функции #v(at); аналогично, %^(х) имеет нечетное
число корней между каждой последовательной парой положительных корней
функции %^(х), и, таким образом, корни должны чередоваться.
Если в качестве одной из цилиндрических функций мы возьмем функцию
первого рода, то получим, что все вещественные цилиндрические функции
имеют бесконечное множество положительных корней.
15.25, Теорема Ломмеля о вещественности корней функции JJz)
Обобщение теоремы Фурье2) о том, что функция Уо (z) не имеет иных
корней, кроме вещественных, было выполненно Ломмелем3). Расширенная
теорема формулируется так: если индекс v превышает — 1, то функция J^(z)
не имеет никаких других корней, кроме вещественных.
Чтобы доказать теорему Ломмеля, предположим, если это возможно,
что а — не вещественный корень функции /v (z). Из рассмотрения ряда для 7v (z)
следует, что а не может быть чисто мнимым, так как тогда ряд
содержал бы только положительные члены.
1) Ольбрихт (Olbricht), Nova Ada Сaes,-Leop.-Acad., (Halle, 1888), стр. 43—
48, дал подробное исследование этой теоремы, сопроводив его несколькими поучи-
поучительными диаграммами.
2) Fourier, La Theorie Analytique de la Chaleur (Paris, 1822), § 308; см. также
Steam, Quarterly Journal, XVII A880), стр. 93.
3) Studien iiber die Bessel'schen Funklionen (Leipzig, 1868), стр. 69.

КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 531
Пусть а0 будет комплексным числом, сопряженным с а; тогда а0 также
будет корнем функции /v (z), так как ряд лля J^(z) имеет вещественные
коэффициенты.
Поскольку v>—1, из § 5.11(8) следует, что
UAat)JAaot)dt = -?
О
и, таким образом, принимая во внимание, что
1
5
о
Подинтегральное выражение слева положительно, и мы пришли, таким
образом, к противоречию. Следовательно, число а не может существовать,
и теорема доказана.
G помощью аналогичных рассуждений1) можно показать, что если А и В ве-
вещественны и v> — 1, то функция AJ^(z)-\-Bzf^z) имеет только вещественные корни,
за исключением случая (AjB) +v< 0» когда она имеет два чисто мнимых корня.
Эти результаты следуют из рассмотрения ряда для — \zAIBJy{z)\ в сочетании
CLZ
с формулой
5
о
которая имеет место, если р и р0 — корни функции AJ4 (z) -f- Bzf4 (z), причем такие, что
15.26. Аналог теоремы Ломмеля для функций второго рода
Методов § 15.25 недостаточно, чтобы доказать отсутствие комплексны*
корней у функции2) Kv (z) в области3), где | arg^l <^ тт. Однако Шафхейтлину4)
удалось доказать, что Y0(z) не имеет иных корней с положительной веще-
вещественной частью, кроме вещественных.
Действительно, пусть ft будет комплексным корнем функции Yo (z)> и пусть
fjo будет его комплексно сопряженным, так что [}0 также будет корнем фун-
функции Y0(z). Тогда, в силу §§ 5.11(8) и § 3.51A), имеем:
* [у
1) См. А. С. Dixon, Messenger, XXXII A903), стр. 1.
2) Или, более обще, %,,{z\
8) Если arg z = zt тс, то Fv (г) = ^w Kv (— 2?) zt 2/ cos ж /v (—^г), откуда, по § 3.63A),
функция Y^(z) не может обращаться в нуль, за исключением случая, когда v равно
половине нечетного числа. Этот способ доказательства принадлежит Макдональду
Proc. London. Math. Soc, XXX A899), стр. 165—179.
4) Schafheitlin, Archiv der Math, and Phys., C), I A901), стр. 133—137.
В этой работе Шафхейтлин аналогичными приемами исследует также комплексные
корни функции Y\ (z).

532 ГЛАВА XV
и, таким образом, полагая р = р?/и>, получим:
I'
где левая часть положительна, тогда как правая часть отрицательна, если
угол (о — острый.
15.27. Теорема Гурзица о корнях функции J^{z)
Доказательство того, что все корни функции J0(z) вещественны, данное
Фурье, Гурвиц1) сделал более строгим и обобщил; он доказал, что (i) если
v]>— 1, то все корни функции У7(г) вещественны; (ii) если s есть целое
положительное число или нуль, a v лежит между—Bs-j-l) и—Bs-j-2),
то 7V (z) имеет 4s-\-2 комплексных корня, из которых два чисто мнимы; (ш)
если s есть целое положительное число, a v лежит между —2s и —B^-j-l),
то /v (z) имеет 4s комплексных корня, из которых ни один не является чисто
мнимым. Излагая доказательства этих результатов, мы воспользуемся обозна-
обозначениями § 9.7.
Возьмем функцию g2m^ v(?), которая имеет в случае (i) m положительных
корней, в случае (ii) т — 2s—1 положительных корней, 1 отрицательный
корень и 2s комплексных корней и в случае (ш) т — 2s положительных
корней и 2s комплексных корней.
со
Сейчас мы докажем, что функция /v {Q = У^тут—Г i \\ имеет п0
меньшей мере столько же комплексных корней, сколько и g2m^@- Следуя
Гурвицу, положим
срт (?, ч) =
где ?, Г] вещественны и C = $-{-nj, ?' = ? — Щ. Как нетрудно показать,
у функции <рт (S, г^) членами наивысшей степени будут
1
и поскольку g-3 v имеет вещественные коэффициенты, то вместе с комплек-
комплексным корнем С функция g2m^ v (С) будет обладать комплексным корнем ?'; таким
образом, комплексные корни' должны удовлетворять уравнению
Далее, нетрудно вывести из рекуррентных формул (§ 9.7), что
, Ч) = (v + 2т + 2) ftm+1,, (С) ftm+1, ,(C) + (S2 + Ч») -fm E
5,
Отсюда при достаточно больших /я (т. е. таких, для которых у-\-2т
положительно) кривая <pm(S, 4) = 0 помещается на конечной части плоскости;
при этом <pm(S, ч) отрицательна, когда срш+1 (?, г^) равна нулю, и, таким об-
образом, кривая cpOT+1(S, 7j) = 0 лежит целиком внутри одной из двух замкнутых
ветвей, образующих кривую срот(?, г^) = 0.
1) Hurwitz, Math. Ann., XXXIII A889), стр. 246—266; ср. также S e g а г, Messen-
Messenger, XXII A893), стр. 171—181, где рассматриваются бесселевы функции с целыми ин-
индексами. Изложение в этом параграфе до некоторой степени отличается от изложения
Гурвица; см. Watson, Proc. London Math. Soc. B), XIX A921), стр. 263—272.

КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 533
Отсюда при т—»• о© комплексные корни функции g2 v (Q лежат в огра-
ограниченных областях ^-плоскости, и, следовательно, имеют предельные точки.
Далее, так как, в силу § 9.65, 9.7, величина
может быть сделана сколь угодно малой в любой ограниченной области С-пло-
скости, если только т выбрано достаточно большим, то из разложения Ла-
гранжа1) следует, что число корней функции /v (Q в любой малой области
по меньшей мере равно числу корней функции g2m^{Q B этой же области,
если только т достаточно велико; таким образом, /V(Q имеет 2s комплексных
корней. Ни один из них не является вещественным, в противном случае для
двух сопряженных комплексных корней функции g2m ч {Q существовала бы
общая предельная точка, которая была бы, таким образом, двойным корнем
функции/V(Q; однако, /v(?) не имеет двойных корней.
Далее, в силу определения /V(Q, когда v лежит между —B^ —|— 1)
и —Bs-f-2), функция /V(Q должна иметь один отрицательный корень,
и только один, так как в противном случае функция gmt> V(C) при изменении
? от 0 до — оо изменяла бы знак более одного раза [так как можно считать,
что функция g2m<t v (Q отличается от /V(Q на сколь угодно малое число], что
невозможно.
По аналогичным соображениям /v (ц) не может иметь более 2s комплексных
корней.
Если заменить ? на Т^2' так что 0ТРии.ательные значения ? будут соот-
соответствовать чисто мнимым значениям ?, то мы получим те же результаты,
что и в случае /v (z)
Сравнительное исследование корней бесселевых функций и корней полиномов,
основанное на других идеях, читатель может найти у Линднера (Lindner), Sltz. der Ber-
Berliner Math. Ges., XI A911), стр. 3—5. Заметим^ что в короткой заметке (Hamburger
Mitthellungen, II A890), стр. 25—31) Гурвиц распространил свои результаты на обоб-
обобщенные функции Бесселя.
15.28. Гипотеза Бурже
Бурже2) предположил, что если v есть целое положительное число
(включая нуль), то функции /v (z), J^+m(z) не имеют общих корней, за исклю-
исключением начала координат, при всех положительных значениях т.
Соответствующая теорема, повидимому, не была доказана до 1929 г., за
исключением нескольких простых частных случаев, а именно, т=\ и т = 2
(ср. § 15.22).
Формула
показывает, что поскольку J^(z) и J^_1(z) не имеют общих корней, об-
общие корни функций /v (z) и Jv+m(z) должны удовлетворять уравнению
т. е. они должны быть алгебраическими числами.
!) Ср. Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, ч. 1, § 7.32.
2) В о ur get, Ann. Sci. de VEcole norm, sap., Ill A866), стр. 55—95.

534 ГЛАВА XV
Однако Зигельг) доказал, что J^(z) не является алгебраическим числом,
когда v рационально, a z есть алгебраическое число, отличное от нуля; от-
отсюда следуют теоремы, содержащие гипотезу Бурже как частный случай.
Когда v равно половине нечетного числа, легко показать, что /v (z) и
J^+m{z) не имеют общих корней2); действительно, общие корни были бы
алгебраическими числами, тогда как известно, что никакое алгебраическое
число3) не может удовлетворять уравнению
так как правая часть при v, равном половине нечетного числа, является
алгебраической функцией от z.
Доказательство3) иррациональности тт2, данное Ламбертом и Лежандром,
можно применить к § 5.6F), для того чтобы показать, что J^(z) не имеет
корней, квадрат которых есть рациональное число, если v рационально; из
рассмотрения полинома Rm-i,v+\(z) немедленно следует элементарное дока-
доказательство гипотезы Бурже для случаев т = 3 и m = 4.
15.3. Элементарные свойства корней функции J^(x)
Много интересных сведений о характере наименьших корней функции
J^(x) и родственных функций при v положительном можно получить, рассмат-
рассматривая дифференциальное уравнение для Jv (x) вместе с рекуррентными фор-
формулами; мы установим сейчас некоторые теоремы о таких корнях.
Читатель найдет более систематическое исследование4) этих теорем в различных
статьях Шафхейтлина, главным образом в Journal fur Math., CXX1I A900), стр. 299—
321; Archiv der Math, md Phys., C), I A901), стр. 133—137; Berliner Sitzungsberichte,
III A904), стр. 83—85.
Обозначим для краткости наименьшие положительные корни функций
А(х)> ^vW, J"(x)} ... через /,, /v, /Г» ... Аналогично наименьшие поло-
положительные корни функций Y^(x)y Y\ (х), К"(х), ... обозначим через у^ У^>
/;,....
Докажем сначала, что
A) /;>v, />v.
Из выражений для Jv (x) и /, (х) в виде степенного ряда находим, что
•эти функции положительны при достаточно малых положительных значениях
х, а из дифференциального уравнения
х
dx\X dx I—l>
следует, что при x <^ v и положительной /v (x) функция xj[ (x) является по-
положительной и возрастающей и, таким образом, /^ (х) возрастает вместе с х.
!) Sie gel, Abhandlmgen Acad. Berlin. A929), стр. 1—70. Этот глубокий и важ-
важный ме луар содержит многочисленные примеры приложений основной теоремы Зигеля.
2) Это было замечено Портером (Porter), American Journal of Math., XX
A898), стр. 203.
3) Ср. Hobs on, Squaring the Circle (Cambridge, 1913), стр. 44, 51—53.
*) Несколько относящихся сюда результатов можно найти у Ватсона Proc. Lon-
London Math. Soc, B) XVI, A917), стр. 165—171.

КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 535
Отсюда при 0<^x<^v обе функции J^(x) и xj\ (х) положительны и воз-
возрастают; следовательно, j\ и j\ не могут1) быть меньше v.
Далее, из дифференциального уравнения имеем:
О,
и, таким образом, j"(x) становится отрицательной до того, как х возрастает
от нуля до значения v. Отсюда при 3) v ^> 1
B) /:<v.
Далее, поскольку
выражение в правой части положительно при х
Теперь, если бы j\ было меньше, чем у v(v-f-2), то при х равном /^(ко-
/^(которое, как это видно из графика, меньше /v), выражение в правой части
было бы отрицательным. Поскольку в данном случае это не имеет места, то
C)
Далее, из § 15.22 следует, что
и поскольку
как это только что было показано, то J^(j^) и 7,+2(у'О положительны. Если
теперь в формуле
положить x=j\> то, очевидно, будем иметь:
D) /;<l/2v(v+
Аналогично, полагая x=j\ в формуле
находим:
и поэтому
E)
Подобным же образом из формул
можно вывести, что
!) Ср. Riemann, Partielle Differentialgleichungen (Brunswick, 1876), стр. 269.
2) Когда 0 < v < 1, У"(х) будет отрицательной для достаточно малых значениях-

536 ГЛАВА XV
Эти неравенства можно улучшить, если воспользоваться более сложными
формулами; так, используя уравнения
Шафхейтлин1) получил, что
т. е. что
3/t — 16 >
Поскольку jl заведомо меньше, чем -^ (v -\- 2) (v -(- 4), то, по доказанному
О
ранее, j\ должно быть меньше самого малого положительного корня уравнения
Зх4 — 1 б (v + 2) (v + 4) х2 + 1 б (v + 1) (v + 2) (v -f 4) (v + 5) == О,
откуда, a fortiori,
Аналогично, используя уравнение
Шафхейтлин вывел, что
(8)
и при v
(9)
это неравенство было выведено им из рассмотрения того факта, что j\ лежит
между положительными корнями уравнения
Х4 _ з (v -f 2J х2 -I- 2v (v + 1) (V + 3) (v + 4) = 0.
Исследование у^ будет несколько сложнее. Воспользуемся тем, что
есть убывающая функция от х; это очевидно из § 13.73. Отсюда следует,
что Y\ (х) убывает в интервале @, /,') и, таким образом, vv превышает /,'; далее,
в этом интервале Y^(x) отрицательна, и из § 3.63 A) следует, что Kv(yv)
положительна, поскольку Jv (y'J, очевидно, отрицательна.
Отсюда
(Ю) /<Л<Л.
Это неравенство (в котором вместо /, стояло v 4" -q-) Шафхейтлин2)
установил с помощью довольно сложных рассуждений.
15.31. Стационарные значения цилиндрических функций*)
Мы уже видели, что цилиндрическая функция 7v(x)cosa—Yv (x) sin x
или %ч (х) имеет бесконечное множество положительных корней и, таким об-
1) Schaf heitl in, Berliner Sitzwigsberlchte, III A904), стр. 83.
2) Schafheitlin, Journal fur Math., GXXII A900), стр. 317—321.
5) Gp. Proc. Loadon Math. Soc, B), XVI A917), стр. 170—171.

КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 537
разом, существует бесконечное множество положительных значений х, в ко-
которых она принимает стационарное значение. Те из значений ху которые пре-
превышают индекс v (по предположению, положительный), мы обозначим через
J*i, ^2, ^з» • • > причем
Теперь мы изучим некоторые простейшие свойства последовательности
Первая теорема, которую мы установим, состоит в том, что
1^Ы1>1^(^I>1^(^8I>....
Для доказательства заметим, что функция А(х), определенная формулой
имеет отрицательную производную
— 2х3 #> (х) I (х2 — v2)
и, таким образом,
Поскольку A(}An) = gf (|х„), справедливость теоремы очевидна.
К более интересным результатам приводит рассмотрение асимптотической
формулы Ханкеля (§ 7.21)
*4™
Оно указывает на возможность получения неравенств типа
I #,0*») 1=о 0/Viu
при больших |хя.
Действительно, можно показать, что
(I) Значения, принимаемые функцией (х2 — v2L | ipv (л:) | при x = \lx,
jjl2, j!i3, ..., образуют возрастающую последовательность, члены кото-
которой не превосходят величины 1^2/тс.
(II) Значения, принимаемые функцией х2 | ^v (л:) | при х = \хг, |хг+1,
}ir+2, ..., образуют убывающую последовательность, члены которой превос-
превосходят ]/2/тт при условии, что
(i) v>~]/3~, (ii) fir>v2 {4v2 + 4 + ]/48v2 +13}/Dv2 — 3).
Рассмотрим функцию
A (x) %\ (x) + 2B (x) %^ (x) %\ (x) + С (x) %'? (x) = 0 (x),
где Л (х), В(х), С (х) будут подобраны надлежащим образом. Мы имеем:
Q'(x) = {А' (х) — 2(х2 — v2) В{х)\х2)%\ (х) +
+ 2 {?' (х) -\-А(х) — В (хIх — (х2 — v2) С (х)/*2} ^v (x)& (x) -f

538 ГЛАВА XV
где
D (х) = С (х) -f 2В (х) — 2С (хIх,
считая, что А (х) взято произвольным, а В(х) и С(х) определены из уравнений
2В (х) = х*А' (хI(х2 — v2),
С(х) =.х* {В' (х) + А (х) — В (хIх}1(х* — v2).
(I) Если А(х) = (х2 — ч2J , то
2D (х) (х2 — v2J = х* (Зх4 + 14jc2v2 + 4v4) > 0,
и, таким образом, S(x) есть возрастающая функция от хл которая будет
поэтому меньше, чем
lim в (х) = 2/тг.
X -> СО
Так как 0(|1п) = (|Хя — v2J ^?(|хя), то когда л принимает значения 1,2, . ..,
числа ([Лл — v2) *" | #v (цл) | образуют возрастающую последовательность и не
превосходят "|//тг.
(II) Если Л(лг)^л:, то
2D (х) (х2 — v2L = — х2 {Dv2 — 3) х4 — 8v2 (v2 + 1)х* + ^ Dv2 — 1 )}< О,
при условии, что 4v2 ^> 3 и х превышает наибольший корень уравнения
Dv2 — 3)x4 — 8v2(v2+1)a:2 + v4Dv2— l)±=0.
В этом случае 0 (х) есть убывающая функция, и для доказательства
теоремы (II) мы можем применить рассуждения, аналогичные использованным в (I).
15.32. Исследование корней функции J0(x), данное Шафхейтлином
При помощи интегралов, полученных в § 6.12, Шафхейтлин показал1),
что все положительные корни функции J0(x) лежат в интервалах (ттг -j- -j- тт,
/тт-|--д-тс), а положительные корни функции Yq(x) лежат в интервалах
1 3
(ти -\- -j- тг, ггт -\- ~ тг), где т = 0, 1, 2, ....
Мы сначала дадим с небольшими изменениями доказательство Шафхейт-
лина для JQ (x), а затем докажем аналогичные результаты для цилиндрических
функций вида
7V (x) cos а — F; (х) sin а
1 5 ч
(где v лежит между — у и -^), пользуясь его же методами.
Исследования Шафхейтлина были пригодны только для значений а, рав-
равных 0 и -тг.
1) Schafheitlin, Journal fur Math., CXIV A894), стр. 31—44.

КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 539
Из формулы § 6.12 G),
"К sin [ х 4- ^ i
с sin
- —
« J si
о
легко вытекает, что при ти<^ х <^ шп -\- — тт,
sgn {sin (* + y б) } = sgn (— 1 )т
и, таким образом,
Следовательно, J0(x) не имеет корней в интервалах (ттт,
Чтобы доказать, что Уо (х) не имеет корней в интервалах /щг-|- — тт,
ттт-|-тт) , положим
х = {т-\-\)п — ср;
тогда
V
J sinQ
Последнее подинтегральное выражение будет отрицательным или положи-
положительным в соответствии с тем, какое из двух неравенств
0<6<2?, 2^<6<|тг
имеет место. Так как сгк^-^-тг, то второй из этих интервалов будет более
длинным; функция
е- 2х ctg о
sin в >^cos в
будет возрастающей функцией1) от в, если х^>-^- тт и угол 6 — острый.
Таким образом, каждому значению 6 между 0 и 2<р соответствует другое
значение между 2ср и -тт, для которого sin f ^8 —cpj имеет то же абсолют-
абсолютное значение, но с положительным знаком; сомножитель при sin f ^ 8—cpj
для второй совокупности значений 6 будет больше, чем для первой. Следо-
Следовательно, рассматриваемый интеграл положителен и, таким образом, Уо (х) не
может иметь корня ни в каком из интервалов (тп-\- тгтт, шт-)-1) • Поэтому
C
ти -j- — тт,
1) Ее логарифмическая производная равна
Bх — sin 0 cos 0) cosec2 0 -f — tg 0.

540 ГЛАВА XV
15.33. Теоремы типа Шафхейтлина для —-o-<CVa^"o
Мы сейчас обобщим результаты Шафхейтлина на функции типа
#v (х) = 7V (х) cos a — Kv (x) sin а,
где 0<^а<^тг и о <С v =^ тг •
Z 2
Сначала мы установим, что все положительные корни функции %^(х)
лежат в интервалах
[тк +х7Т + ^гV7T — а> шт-4-тс— а),
V 4 А /
где т^=0, 1, 2, ... . Этот факт непосредственно следует из формул § 6.12,
согласно которым
г cos V~^~ 9 sin f x4av0 +
v + l *.v г
1ч /П f
т)Г(т) J
sin2v+10
V ' 21 V2 J о
так как если
лиг —aO<nm4-4it-b?vn-
ТО
= sgn( —
f 6)]
и, таким образом, для таких значений х функция ^^(х) не равна нулю. Сле-
Следовательно, все корни функции #v (x) лежат в указанных интервалах, и в каж-
каждом из них заключено нечетное число корней, за исключением, быть может,
первого, если a^> —tt-j-^vtt.
Теперь мы установим более точный результат: все положительные корни
функции {?v (x) лежат в интервалах
3,1 ,7,1
-j тс + у vtt — а, шт -\- — я + -j vtt — a
где m = 0, 1, 2, . . . , за исключением случая, когда значение а достаточно
близко к тс и корни *) могут попасть в интервал
7 . 1
-jT Я -j- --r VTC СС, ТС СС
Мы докажем этот результат, проверив, что g'v(x) имеет постоянный знак
в каждом из интервалов2)
u-{-'^u-[--jVix — a, mn-{-n — aj .
Положим
x = (m-\-\)TZ — a — A— 2v)cp,
x) Рассматривая как крайний случай функцию J^^(x) и пользуясь теоремой
из § 15.24, мы находим, что больше одного такого корня быть не может.
3) Если х < —- и /7г = 0, то рассуждение становится неприменимым при тгя-f-
2 о

КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 541
где угол ср лежит между 0 и — тг.
При этом значении х имеем;
Каждому значению 8 между 0 и 2ср соответствует значение между 2ср
и — тг, для которого sin | A —2v) f-^ 6 — cpj j имеет ту же абсолютную вели-
величину, но знак положительный.
Далее,
есть возрастающая функция от 6 при условии, что
2*>max [Bv+l) sin6cose+(v-J-
которое выполняется при х^>—, так как v^-^-
Отсюда, если х^>— и
то мы имеем:
sgn#v(*) = sgn(—1Г+1,
чем и доказывается более точная теорема.
15.34. Теоремы типа Шафхейтлина для ir<Cv<Cv
Мы сейчас рассмотрим функцию
gv (х) = 7V (x) cos а — Kv (дг) sin а,
где, как и ранее, О^а<^тг и, кроме того, предполагается, что ^-<Cv<Ct-
Сначала мы покажем, что все положительные корни функции #>(л:) лежат
в интервалах
/ 1.1 л
1тп — а, ти — -^тг-|-уvtt — а)
где1) /п = 0, 1, 2, . . . . Это вытекает непосредственно из формул § 6.12,
согласно которым
1 !
v+i yv 2rTC cos" 2 в sin ( x -f- a — v0 -[- — в )
ЛI \ ±J p~ 2x ctg q ^A
v+i yv r
Л I
и если
ягтт — -jTr-j-'^VTr — а<^х<^(яг--|-1)тг — а,
1 1
димо исключить из рассмотрения,
Если a> — v—j-W, то интервал, для которого /я —0, конечно, необхо-

542 глава xv
ТО
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теперь мы установим более точный результат: все положительные корпи
функции e*v (x) лежат в интервалах
/ 1_те , lV7l_а ти i_^ , jlVTr а
где т = 0, 1, 2, . . . , за исключением случая, когда а достаточно близко
к тг, и один корень может попасть в интервал (тг — а, -^ л + -т vtt — а 1.
Применим те же обозначения и рассуждения, что и в § 15.33; но тольк©
в настоящем случае, если положить
р— 2х ctge COeV 2~ ft/sin2**1 6= f(ft)
/(б) не будет обязательно возрастающей функцией от 6; однако, теперь
достаточно доказать, что при 0«
Чтобы доказать это, заметим, что
А,„/B? + Ф) о„
2v + l 1
¦ф)йпB? —Ф) J*
— sin4ср /о , .. 2 /о - +
т cos Bf + ф) cos B<p ¦— ф) '
Но L
[cosec2 B<p + Ф) + cosec2 B<р — ф)] sin B«p + ф) sin Bcp — ф)
есть возрастающая функция от ф. Поэтому, a fortiori,
[cosec2 B? -f- ф) -f- cosec2 B<p — ф)] cos Bcp + ф) cos Bcp — ф)
есть возрастающая функция; действительно, в силу того, что угол 4? — острый, она
превосходит предыдущую на новую возрастающую функцию; таким образом,
—In {./rt ,[ будет всегда положительной, если она положительна при ф = 0, т. е.
йф /Bf — Ф)
если
v — -«- ) tg2 2cp -|- Bv -f- 1) ) sin 4f,
что и имеет место, когда х > "у"^"я"'
Отсюда при — <^ v <^ -у все корни функции #v (л:), которые превышают
3 , 1
tv i "g"» Лежа<г в интервалах
f ттг — утг-f- x vie — а, шг — -j-тг-|- - vrr — а).
Примененный нами метод уже не годится при больших значениях v, ввиду осцил-
лирования sin(x-\~a — vO —J— ^ 6^ , при возрастании 0 от 0 до тттг; в следу-
следующем параграфе мы дадим метод, пригодный для таких больших значений v.

КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 543
15.35. Корни цилиндрических функций со сколь угодно большим
индексом (по Шафхейтлину)
Сейчас мы докажем, что при v^>tt корни цилиндрической функции
/v (л:) cos а — Fv (x) sin а,
которые превышают Bv -J- 1) Bv ~j- 3)/тг, лежат в интервалах
(тп — а-f- о^+
где т — целое положительное.
Доказательство этого предложения основано на идее Шафхейтлина1).
Но следует отметить, что Шафхейтлин рассматривал только функции первого
рода и только с целым индексом, и его рассуждения слишком длинны и затем-
затемнены рассуждениями, эквивалентными применению второй теоремы о среднем,
тогда как явное применение этой теоремы значительно упростило бы дело.
Как и ранее, положим
#v (х) = 7V (дг) cos a — Fv (дг) sin a,
так что
i v r cos 20sin (x + a — v0-f- — 0)
х V 2 J -2
i
ла
—v0—
Функция ctg2v+1O-? 2ха%* возрастает при возрастании 6 от 0 до 02,
1 у
а затем уменьшается, когда 8 возрастает от 62 до -^ тг, где в2 := arc tg ^ •
Заметим, что 62 приближенно равно —те, когда х велико по сравне-
сравнению с v.
Предположим теперь, что х заключено между
тп — d -г~ тг тс ( v — -а ) и ти — t
а затем выберем Oj так, чтобы
х~\-а— (v +
Легко проверить, что
2v~-1 J^ /fi ^ 2v
2 ^ J^2v -f-3 2 J
так что 8j есть положительный угол, меньший чем 62, при условии, что
. V "" ^ тс
arc tg ——- <
4v + 6 '
Schafheitlin, Journal fur Math., GXXII A900), стр. 299—321.

544 глава xv
Теперь мы предположим, что
так что 9Х будет заведомо меньше 02.
Тогда, по второй теореме о среднем, существует число 0о между 0 и
такое, что
COS в
cos 2
Теперь выражение
cos (x + a — v6 — i
рассматриваемое как функция от 6, будет иметь стационарное значение,
если sin (х -\- а — v 6 -\- тгб ) = 0; для этих значений 9 наша дробь равна
2 6.
Отсюда
cos
cos 0o
численно не может превышать наибольшего значения 1/cos 26 винтер-
вале @, 6j), и поэтому
I cos (т*+ О) cos
\— 1 Г~Т
\ cosV 2 Oi cosV 2 в
Таким образом, поскольку знак sin(x-{-a — v6-(-tt6) совпадает со зна-
ком (— 1)т, когда б лежит между Ьг и i я, мы заключаем, что для рас-
сматриваемых значений х
Следовательно, когда л: превышает Bv -|— 1) Bv -|— 3)/тг, функция #v(x) не
имеет корней в интервалах типа
тп — а-\~^п — \ я, шг —

КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 545
так что все корни функции #v(a:), которые превышают Bv —[-1) Bv -J— 3)/тг,
лежат в интервалах вида
11 13
ти— а -\--к vrr-f-V тт, //гтг — а-\--^ v п-\--г п
откуда при а = 0 и v целом и получается результат Шафхейтлина !).
Читатель заметит, что эта теорема ничего не говорит относительно вели-
величины наименьших корней функции %^ (х) при больших v; из § 15.8 станет
ясным, что имеется большое количество корней, меньших чем Bv —[— 1) Bv-J-3)/tt,
и что существенные сведения о них можно получить, используя интегралы
Дебая.
15.36. Теорема Бохера2) о корнях функции ^0(х)
Рассматривая формулу § 11.41 A6), Бохер получил результат, который
несколько отличается от только что найденных нами. Его теорема состоит
в том, что $90(х) имеет бесконечное множество положительных корней и
что расстояние между последовательными корнями не превышает 2у0,
где у'о есть наименьший по лож: и тельный корень функции Уо (х).
Чтобы доказать это, положим в § 11.41 A6) v = 0 и z=j0; тогда
\ %0 («) <*Р = it #o (Z) Л (Уо) = 0.
о
Отсюда следует, что %>0 (&) не может сохранять знак при возрастании ср
от 0 до тт, т. е. при увеличении & от Z—у0 до Z-\-j0; поэтому $90 (<Ь) должна
обращаться в нуль по меньшей мере при одном значении3) ш в интервале,
(Z — /0, Z-f-y'o)- Поскольку Z — произвольное положительное число (большее
чем/0), утверждение Бохера становится очевидным.
[Замечание. Одно из следствий теоремы Грина имеет вид
\ и -?- as — I v— as,
) dv J dv
д2и . д*и .
где a, v суть два решения дифференциального уравнения з—?-(-—-f-tf —0 с непре-
непрерывными частными производными второго порядка внутри замкнутой кривой s,
а з указывает дифференцирование по нормали.
Взяв v — J0 {Ух2-{-у2) и кривую xz-\-y2=j\, Вебер4) нашел, что и должно
обращаться в нуль по крайней мере дважды на каждой окружности радиуса /о-
Бохер на основании этого пришел к следующему выводу: поскольку gn(/*)cos/i6
удовлетворяет требуемым условиям всюду, за исключением начала координат, если
только окружность радиуса /0 проведена так, что центр ее находится на оси х и что
она видна из начала координат под углом меньше тс/л, то где то на окружности %п(г)
должна обращаться в нуль. Отсюда расстояние между положительными корнями
функции %п (г) должно быть меньше, чем 2/0, а расстояние от начала координат до
наименьшего из корней не должно превышать /0 I I -(-cosec ~ } .
Эти результаты интересны тем, что методы их доказательства крайне просты.
1) Шафхейтлин дает Bv -[- 3) Bv -f- 5)/тс в качестве нижнего предела значений,*",
для которых корни лежат в указанных интервалах.
2) В 6 cher, Bulletin American Math. Soc.,V A899), стр. 385—388.
в) Ср. Курс современного анализа, ч. 1, § 3.63.
*) Weber, Math. Ann., I A869), стр. 10.

546 ГЛАВА XV
15.4. О числе корней функции Jv(z) в заданной полосе z-плоскости
Ниже мы дадим выражение для 7V (z) в виде произведения Вейерштрасса
и вместе с тем получим выражение для отношения бесселевых функций в виде
суммы элементарных дробей; предварительно нам будет удобно доказать тео-
теорему, дающую указания о расположении корней функции J^(z) с большими
модулями. При этом не будет предполагаться, что v — вещественное число,
но мы будем считать v отличным от целого отрицательного числа. Если v
вещественно, то теорема, которая сейчас будет доказана, может быть заме-
заменена в известной степени результатами § 15.2.
Пусть С—прямоугольный контур с вершинами
± IB + 1 ml (v), ± IB + яиг + i vn +1 я,
где В— (большое) положительное число.
Мы покажем, что если т — достаточно большое целое число, то число
корней функции z~" 7V (z) внутри С в точности равно г) т.
Поскольку z-^J^(z) является целой функцией от z> число ее корней
внутри С равно
Рассмотрим теперь поочередно все четыре стороны контура С. Заметим сна-
сначала, что на всех его сторонах
где rjj v(w) и Ti2^(w) будут порядка О (l/w), когда \w\ велик.
Теперь, поскольку подинтегральное выражение есть нечетная функция2),
мы имеем при В—^оо:
г
J
IB -f i ml (v) iB — 4
J 2
iB + \ ic//(v)
idw — — il (v).
/B _ I
!) Если v — вещественное отрицательное число (в некоторых случаях и при
комплексных значениях v), пары корней могут оказаться на мнимой оси; в этом слу-
случае в контуре С должны быть сделаны вырезы, и каждую пару корней следует рас-
рассматривать как один корень.
2) В начале следующего рассуждения следует учесть произведенные вырезы (см.
предыдущую сноску). "

КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 547
Возьмем, далее, интеграл по верхней горизонтальной стороне контура С;
он будет равен
г ^+
J ~A
i Г %+i'
2tc/
tc+21 vtc + ^t
= - Г
2n J
+
при ^ —>¦ эо .
Аналогично, интеграл по нижней стороне стремится к этой же величине,
так что предел интеграла по трем рассмотренным сторонам равен т-\-
4
Нам осталось рассмотреть интеграл вдоль четвертой стороны; с этой
целью мы сначала рассмотрим разность
которая при большом | w \ равна
Далее,
11
vtt
j tg^w —iVn—-i-ii
так что
2«
— /J3 —j- fttK -j— — V 71 -\- — •-
*: + ? VTt + i.

548 глава xv
Следовательно, предел интеграла по всему прямоугольнику равен
т-\-О(\\т).
При достаточно большом т рассмотренное выражение становится
меньше 1, а поскольку наш интеграл по прямоугольнику должен быть целым
числом, он равен т.
Таким образом, число корней функции z~^J^(z) между мнимой осью и
линией, на которой
() +{?() + ±} тг,
в точности равно т.
Замечание. Приближенные формулы для функций третьего рода показывают,
что не может существовать далеких корней, имеющих большую мнимую часть; таким
образом, все корни функции J^(z) лежат внутри полосы, стороны которой параллельны
действительной оси и находятся на ограниченном расстоянии от нее, когда | v I
ограничен.
15.41. Выражение функции Jv(z) в виде бесконечного произведения
Можно выразить J\ (z) в виде произведения «простых множителей» типа
Вейерштрасса, каждый из которых обращается в нуль при одном из значений
корня функции 7V (z). Чтобы представить 7V (z) в таком виде, удобно будет
сначала выразить логарифмическую производную функции z~"*J^(z) в виде ряда
рациональных дробей по теореме Миттаг-Лефлера *).
Обозначим корни функции z~*J^(z) через ±yv, 1? zfc/Vj2» ±Л, з» • • •» где 2)
R (Л, п) > ° и I Я (Л, i) I < I R (Л, г) I < I # (Л, 3) I <•'..; никакие значения /v? г,
Л 2» Л, з' • • • ПРИ этом не будут равны друг другу (§ 15.21). Начертим (боль-
(большой) прямоугольник D с вершинами zb^i'i?» где А я В положительны, и
предположим, что doj\,m являются корнями с наибольшим номером среди
всех корней, лежащих внутри прямоугольника.
Рассмотрим теперь интеграл
, ^iN dw
— z) J^{w) '
2tzI } w(w — z)
D
где z — произвольная точка внутри прямоугольника, отличная от корня функ-
функции 7V (w), a v есть целое неотрицательное число.
Единственными полюсами подинтегрального выражения в прямоугольнике
будут Z, ±ЛИ, ±/,,2. • • • > ± Л,т-
Вычет в z будет равен J4+1(z)jJ^(zI a вычеты в zhj\ n будут равны
поскольку, по § 3.2, J'^(z) — — Jv+1 (z), когда z= ^J .
Следовательно,
=— Г
2« J
W \W — ;
D
1) Mittag-Leffler, Ada Soc. Sclent. Fennicae. XI A880), стр. 273—293. Gp.
Курс современного анализа, ч. 1, § 7.4.
2) Если /? (zt уVj л) = 0 при любом значении л, выберем у v л так, чтобы его мни-
мнимая часть была положительной.

КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 549
Мы покажем сейчас, что, придавая А и В подходящую беспредельно воз-
возрастающую последовательность значений, можно добиться того, что отноше-
отношение J^ + 1(w)jJ^(w) будет ограничено в D.
Поскольку эта функция является нечетной функцией от w, достаточно
рассмотреть правую половику области D.
Возьмем A ~Mn-\-R (-^-v -\---г) тс,где Ж—целое положительное и столь
большое, что М — т (что возможно, в силу § 15.4) и, кроме того, столь боль-
большое, чтобы функции 7jv?1(ze/), 7jv? 2 (w), определенные в §15.4, стали по
абсолютной величине меньшими, скажем, чем -г .
Тогда 7V+1 (w)jJ^ (w) будет ограниченной, если только1)
меньше тт или больше 2; когда же это выражение не находится в указанных
пределах, I (w) ограничена, a w не приближается сколь угодно близко к зна-
значению корня функции J^(w)y так что, в силу асимптотического разложения из
§ 7.21, /,+1 (w)jJ^(w) ограничена в части прямоугольника внутри этой полосы.
Таким образом Jw+1(w)jJ^(w) ограничена на всем периметре прямоуголь-
прямоугольника D, когда Б и М стремятся к бесконечности.
Следовательно,
w(w — z) /v (w)
D
и поэтому2)
У
Интегрируя,находим:
о
{ f ) ехр (~А-)} П{ (l +JL.) exp f_
откуда
Это и есть выражение для 7V (z) в нужной форме.
I 1 / I
1) В силу неравенства -—j—ry > - .
1 -Г /4 ^
2) Если бы мы взяли прямоугольник со сторонами A zt tB, —Ar ±/jS, to обнару-
обнаружили бы независимо, что два ряда в правой части сходятся.

550 ГЛАВА XV
Формулу B) можно записать и в другом виде:
Эта формула была получена Эйлером (Е и 1 е г), Ada Acad. Petrop., V, ч. 1
A781) [1784], стр. 170, для v —0, а впоследствии еще некоторыми авторами для дру-
других значений v (ср. § 15.5; 15.51).
Доказательство, приведенное в этом параграфе, принадлежит, по сути дела,
Графу и Гублеру (Graf and Gubler), Einleitang in die Theorie der Bessel'schen
Funktionen (Берн, 1898), стр. 123—130; в явном виде оно было дано Каптейном
(Kapteyn), Monatshefte fur Math, und Phys., XIV A903), стр. 281—282.
Разложение в правой части A) очевидно, может быть, представлено в виде сте-
степенного ряда; коэффициенты такого ряда были выражены в виде некоторых детер-
детерминантов Каптейном, Proc. Section of Set., К. Acad. van Wet. te Amsterdam., VIII A905),
стр. 547—549, 640—642; Archives Neerlandaises, B), XI A906), стр. 149—168. Не-
Несколько относящихся сюда формул опубликовал Форсайт (F о г s у t h), Messenger
I A921), стр. 129—149.
15.42. Разложение Кнезера — Зоммерфельда
Укажем формулу, напоминающую в некотором смысле разложение на эле-
элементарные дроби, полученное в § 15.41:
j\4nX) ЛЛ (XZ) f J / \ у / у ч у
где x it X суть положительные числа такие, что O^x^.Y^l, a z a v
— произвольные (комплексные) числа, с единственным ограничением R (z) ^> 0.*>
Кнезер (К п е s e r), Math. Ann., LXIII A907), стр. 511—517, получил это разложе-
разложение для случая v = 0, как специальную форму разложения, встречающегося в теории
интегральных уравнений. Доказательство этого и связанных с ним разложений для
целых значений v было впоследствии опубликовано Зоммерфельдом (S о m m er f e 1 d),
Jahresbericht der Deutsche-n Math. Vereinigang, XXI A912), стр. 309—353, однако, его
метод доказательства подвергся критике в статье Карслоу (С а г s I a w), Proc. London
Math. Soc. B), XIII A914), стр. 239.
Заметим, что рассматриваемое разложение находится в некоторой связи с разло-
разложениями «Фурье — Бесселя», которые будут даны в гл. XVIII.
Для доказательства рассмотрим интеграл
^ {w) JJxw)
d
m J
2m ^)
в котором путем интегрирования служит прямоугольник с вершинами -f- Bi,
A -\z 81, причем начало координат обходят по малой полуокружности в правой
полуплоскости.
Интеграл по этой полуокружности стремится к нулю вместе с ее радиу-
радиусом, независимо от того, будет ли v целым или нет. Интегралы вдоль двух
отрезков мнимой оси взаимно уничтожаются.
Далее, если х и X удовлетворяют указанным неравенствам, функция
{И? (Xw) #vB) (w) — #vB) (Xw) #vA) (w)\ 7V (xw)jJ^ (w)
*) В цитированной ниже статье Зоммерфельда на стр. 320 в знаменателях левой
части соответствующей формулы отсутствуют множители ]ъП. {Прим ред.).

КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 551
остается ограниченной на трех остальных сторонах прямоугольника, когда
В—>¦ сю и Л—>-оо, принимая значения, указанные в § 15.41.
Следовательно, предел интеграла вдоль прямоугольника равен нулю, от-
откуда предел суммы вычетов подинтегрального выражения в полюсах справа от
мнимой оси также равен нулю.
Но вычет в z равен
J"{Xz) Y^{z)~
а вычет в /Vj n равен
— 2i/v (yv, nX) Kv (J\J
Суммируя эти вычеты, сразу получаем требуемое разложение.
Карслоу (С а г s I a w), Proc. London Math. Soc, B), XV} A917), стр. 84—93, обоб-
обобщил это выражение путем замены в контурном интеграле Jv (xw)jJ^ (w) на
^,t{xw)l(jg^(w). Им же были найдены некоторые аналогичные ряды, содержащие кроме
функций Бесселя также функции Лежандра; эти ряды дают функции Грина, необхо-
необходимые при решении некоторых физических задач. См. также Бельтрами (В е 11 г a m i),
Lombardo Rendiconti, B), XIII A880), стр. 336 и Лоренц (Lorenz), Oeavres Scienti-
fiques, II A890), стр. 506.
15.5. Исследование корней функции У0B|/Т),
данное Эйлером
Эйлер1) нашел остроумный метод вычисления наименьших корней функции
и применил его для нахождения трех наименьших корней функции Уо B Vz).
Если обозначить корни, расположенные в порядке возрастания2), через
av а2, а3, . .., то, по § 15.41, имеем:
Как уже было указано (§ 15.41), этой формулой пользовался Эйлер; взяв
логарифмическую производную, получим:
, ~ °° 1
-?ta-M2^=E;rb=
00 ОО
zm
при условии, что \z\<^a.{, при этом последний ряд абсолютно сходится.
со
Положим 2j l/zn ~am + i и изменим порядок суммирования; тогда
п~ 1
!) Euler, Acta Acad. Petrop., V, ч. 1, A781) [1784], стр. 170 и ел.; см. также
статью Штерна (Stern), Journal fur Math., XXXIII A846), стр. 363—-365.
2) Из § 15.25 следует, что эти корни положительны и не равны друг другу.

552
ГЛАВА XV
dz
т—0
Заменим У0B]/^) в обеих частях равенства рядом
12 I 12.22 12.22.32 ~l '••»
произведем в .правой части почленное перемножение и приравняем в тождестве
коэффициенты при соответствующих степенях z\ тогда получим системуг)
уравнений
1
144 G
1
2 880 G
1
86 400 J
4
6
1
?, '
"J3 1
' J4"i
~a5 1
1
~ ~4G
1
 J
1
~ 3 '
1
2 36
1
3 36
1
4 36
J4 —
J2 '
J3
11
48 '
1
576
, 1
1 576
J5 —
J2
19
120 :
1
14 400
t j6 —
откуда
Поскольку 0<^аг <Са2<Саз<С • • • > то» очевидно,
и, таким образом,
Составив следующую таблицу:
473
т
1
2
3
4
5
6
/72
1,000 000
1,414 213
1,442 250
1,445 314
1,445 724
1,445 785
ат1ат+1
2,000 000
1,500 000
1,454 545
1,447 368
1,446 089
Эйлер путем экстраполяции нашел, что аг
1/^ = 0,691661, 2У'с
Приняв эту величину за аи положив
оо
п =2
= 1,445795, откуда
= 2,404824.
!) Эта система, очевидно, является обобщением системы Ньютона для алгебраи-
алгебраического уравнения.

КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 553
и использовав неравенства
Эйлер получил, что а2 = 7,6658, и, далее, продолжая этот же процесс сту-
ступенью дальше, что а3= 18,63.
Эти результаты любопытно сравнить с истинными значениями
аг = 1,445796, <х2 = 7,6178, ct3 = 18,72
из таблиц Вильсона и Пейрса (W i 11 s о n and Peirce), Bulletin American Math.
Soc.y III A898), стр. 153—155.
Пуассон1) дал для ог значение 1,446796491 (с опечаткой 1,46796491); как утвер-
утверждает Фримен2), этот результат для Пуассона вычислил Ларжето, решив уравнение
четвертой степени, получаемой приравниванием нулю первых пяти членов ряда для
Уо B уг)\ знания шестого члена вполне достаточно для того, чтобы судить о вели-
величине ошибки.
15.51. Обобщение Рэлея формулы Эйлера
Только что описанный метод был независимо применен Рэлеем3) для
вычисления наименьшего положительного корня функции 7V (z).
Взяв формулу (§ 15.41)
Л(*) =
и положив
мы находим, следуя Рэлею, что
cU) = 1 , jB) = * э 0C) = _
29 (v + 1M (v + 2J (v + 3) (v + 4) (v + 5) *
Наименьшие положительные корни функций Jo (z) и Jx (z) оказываются рав-
равными 2,404826 и 3,831706.
Немедленно вслед за этим Кэли4) заметил, что а^ можно быстро вычислить,
когда г есть степень двойки; метод, которым он пользовался и который приписы-
приписывается им Энке5), известен больше как метод Грэффе6) для приближенного решения
алгебраических уравнений.
!) Р oi s s о п, Mem. de VAcad. R. de Sci.y XII A883), стр. 330.
2) Freeman, Proc. Camb. Phil. Soc, HI A880) стр. 375—377. Ср. английский
перевод Фримена книги Фурье (F о и г i е г), La Theorie Analytique de la Chaleur, стр. 310,
сноска.
3) Rayleigh, Proc. London Math. Soc.y V A874), стр. 119—124 [Scientific Pa-
Papers, I A899), стр. 190—195].
4) Cay ley, Proc. London Math. Soc.fV A874), стр. 123—124 [Collected Papers>
IX A896), стр. 19—20].
5) En eke, Journal fur Math., XXII A841), стр. 193—248.
6) Graeffe, Die Auflosung der hoheren numerischen Gleichungen (Zurich, 1837).

554 глава xv
Последний состоит в том, что из исходного уравнения образуется последова-
последовательность уравнений, каждое из которых имеет своими корнями квадраты корней
предшествующего уравнения; и когда г есть степень двойки, отношение о^р: 1//^
быстро стремится к единице *).
Этим путем Кэли нашел, что а<8) равна
429V& + 7 640v4 _j_ 53 752v3 _|_ 185 430>2 -f- 311 387v + 202 738
Граф и Гублер*) заметили, что правильность вычисления а^ легко контроли-
контролируется с помощью формулы
где Вг есть r-е число Бернулли; эта формула является очевидным следствием ра-
равенства
Распространение некоторых из этих результатов на корни выражения zJ\(z) -f-
-\-hJ^(z), где h постоянно было сделано Ламбом (Lamb), Proc. London Math. Soc,
XV A884), стр. 273.
Наименьший корень функции Jv{z) для различных значений v между 0 и 1 был
недавно вычислен Эйри (A ire у), Phil. Mag. F), XLI A921), стр. 200—205, с помощью
формулы Рэлея — Кэли.
[Замечание. Идея вычисления суммы r-х степеней корней некоторого урав-
уравнения с целью определения числовой величины его наибольшего корня, повидимому.
принадлежит Варингу (Waring), Meditationes Analyticae (Cambridge, 1776), стр. 311;
из других авторов, знавших этот метод до Грэффе, укажем Эйлера (ср. § 15.5);
Дандлена2) (D а п d е 1 i n), Mem. de I'Acad. R. des Set. de Bruxelles, III A816), стр. 48;
Лобачевского2), Алгебра, или вычисление конечных (Казань, 1834, §257].
15.52. Большие корни функции J0(x)
Наиболее эффективный метод вычисления больших корней цилиндрических
функций (с не очень большим индексом) принадлежит, в существенном,
Стоксу3); последующие авторы до некоторой степени улучшили его приемы.
Метод Стокса можно хорошо иллюстрировать его собственным приме-
примером4) с функцией J0(x), корни которой являются корнями уравнения
(пользуясь обозначениями § 7.3). Напомним, что асимптотические разложения
функций Р(х, 0) и Q (х, 0) имеют вид
Ь9<25
*) См., напр,, А. К. С у ш к е в и ч, Основы высшей алгебры, М.-Л., 1941 г., гл. V,
§ 96, стр. 169—172. (Прим. ред.)
!) Graf und G u b 1 е г, Einleitung in die Theorie der Bessel'schen Funktionen, I
(Bern, 1898), стр. 130—131.
2) Этими двумя ссылками я обязан профессору Уиттекеру.
3) Stokes, Camb. Phil. Trans., IX A856), стр. 182—184 [Math, and Phvs. Pa-
Papers, II A883), стр. 350—353].
4) Стоке с целью изучения расположения темных полос, видимых в искусствен-
искусственной радуге, рассматривал также интеграл Эйри (§ 6.4) и Ух (х).

КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 555
При достаточно больших значениях х, Р(х, 0) положительна, Q (х, 0)
отрицательна, а частное Q (х, 0)/Я(х, 0) есть отрицательная возрастающая
функция1) от х. Функция ctg (х—-j-irj есть убывающая функция, которая
обращается в нуль при х = тг— -г тг и, таким образом, из графика
ctg ( x—~лп) очевидно, что существует положительное число N такое, что,
при п "> N, Уо (х) имеет в точности один корень в каждом из интервалов
пп— -j я, пп -\- -j-u J и что расстояние от корня до левого конца интервала
стремится к нулю, когда п—^оо.
Далее, если обозначить через иг и vr(r-\- \)-е члены функций Р(х, 0)
и Q (х, 0), то можно получить:
/72—1 /72—1
Р(х, 0) = 2 и, + ««„, Q {х, 0) = 2 ^ + 6,*т,
где 6 и 67 — некоторые функции от х и т, заключенные между 0 и 1.
Рассмотрим теперь уравнение
/72-1
г —О
причем временно будем считать, что 6 и 6t вместо своих истинных значений
имеют любые значения между 0 и 1.
Исследуемое уравнение не содержит функций более сложных, чем три-
тригонометрические. Если бы х было комплексным, то в х-плоскости существо-
существовал бы ряд контуров, каждый из которых проходил через одну из точек
1
rm—-J-7I, и на котором
1
ctg ( х — д-тг) | превышал бы модуль частного в пра-
правой части.
По теореме2) Бирмана, видоизмененное уравнение имело бы один корень,
заключенный внутри части контура, окружающей пи — -т тг, который можно
было бы разложить по убывающим степеням яти — -^ тг.
Таким образом мы получаем разложение для корня уравнения в виде
где коэффициенты j^.(8, 6t) ке зависят от я, но зависят от 6 и 6^ легко убе-
убедиться, что первые m коэффициентов действительно ке зависят от 6 и 61? так
что при r<^m можно записать:
1) Читатель может проверить с помощью § 3.63, что ее производная равна
где Р, Q написаны вместо Р(х, 0), Q(x,0); из асимптотического разложения видно,
что это выражение становится в конце концов положительным.
2) Ср. Курс современного анализа, ч. 1, § 7.31.

556 ГЛАВА XV
Сумма членов после т-то есть ограниченная функция от 6 и 6^ когда
6 и 6j изменяются от 0 до 1; верхняя граница модуля этой функции, оче-
очевидно, имеет порядок О(п~2т~1), когда п—^ао. Отсюда, если величинам 6 и
6t приписать их истинные значения, принимаемые ими при рассматриваемом
значении корня, то сумма членов после m-го будет продолжать оставаться ве-
величиной порядка О (п~2т~1).
Тем самым мы доказали, что существует один корень (приблизительно
равный пп — -j тт) и что значение его дается формулой
Г-Wfi
Отсюда асимптотическое разложение корня имеет вид
1 °° f
Теперь осталось только определить несколько первых коэффициентов fr.
Если
__ Q (¦*, 0)
"" Р(х,0)'
где ф—^0, когда х—*оо, то
1 33 , 3 417
так что
гЬ^. 1 25 , 1 073 __
^ "^ 8х 384x3 "Г 5 120л:5
и уравнение, которое необходимо решить, принимает вид
1 25 , 1 073 _
^ 8х 384^3 ~Г 5 120л;5 ' * *
Возвращаясь к прежнему ряду, получим:
1 31 , 3 779
8(л«—-р я] 384 (ля—i-я) 15360 [пк — —я )
V4/ \4; ^4;
Этот ряд пригоден для вычисления всех корней функции Уо (х) по мень-
меньшей мере с пятью знаками, за исключением наименьшего корня, для которого
л=1.
15.53. Большие корни цилиндрических функций
Легко видеть, что большие корни любой цилиндрической функции
7V (z) cos a — Yy (z) sin a,
где v и a не обязательно должны быть вещественными, можно вычислить по
методу Стокса, рассматривая уравнение
Представляется излишним доказывать, что такие корни существуют (с боль-
большой положительной вещественной частью) и что их можно вычислять, пола-

КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 557
гая ряды для Р (z, v) и Q (z, v) сходящимися, поскольку доказательство отли-
отличалось бы от доказательств предыдущего параграфа лишь второстепенными
деталями.
Выражение для больших корней цилиндрической функции с любым ин-
индексом было дано Макмагономх), использовавшим метод Стокса, однако, Ка-
лене2) и Маршалл3) в последующих мемуарах упростили исследование и про-
продвинулись одной ступенью дальше, дав лучшее приближение без большой
затраты вычислительного труда.
Следуя Маршаллу, определим4) две функции от z, которые мы будем
обозначать через М и ф, с помощью уравнений
М cos ф = Р (z, v), M sin ф = — Q (z, v),
предполагая, что М—>-\-\ и ф—*0 при z—^-j-"°°-
Тогда, очевидно,
1
7V (z) cos a — Fv (z) sin a = ( — ) M cos (z — 77 v тг — — it -j- a — ф ) .
Далее,
дифференцируя это уравнение и используя § 3.63 C), находим,
- d^ 2/(гсг)
и, таким образом, в силу § 7.51,
Рели разложить выражения в правой части, выписав члены до 1/z8 вклю-
включительно, то получим:
1 _^Ф 1 У — 1 (Н- — l)(fx —25) (|х — 1) Qx2 —
dz ^ 2^2
(fi — 1) E|хЗ—1 535|х2 +54 703р. — 375 733) _
215^8 " •-->
в этом соотношении мы писали для краткости jx вместо 4v2. Интегрируя,
получаем:
l (
. (|i — l)([i — 25) . (tx —1)^-114tx +1073) ¦
"Г 3.27^3 "Г 5-2io^5 ~T
— 1 535[x4-54 703[t—375 733) .
4- (^
1 72^
и, таким образом, уравнение, которое необходимо решить, принимает вид5)
1 ,1 , 11 — 1 (ix —I) (ii —25)
1) McMahon, Annals of Math., IX A895), стр. 23—25; см. также A i г е у, Ргос
Phys. Soc.t A911), стр. 219—224, 225—232.
2) Kalahne, Zeitschrift fur Math, und Prys., LIV A907), стр. 55—86.
3) Marshall, Annals of Math., B), XI A910), стр. 153—160.
4) Cp. Nicholson, Phil. Mag., F), XIX A910), стр. 228—249.
5) Это уравнение (в случае v=l) имеется в записной книжке Гаусса и датиро-
датировано 16 октября 1797 г., однако, в ней нет никаких указаний на метод, при помощи
которого оно получено. (Ср. Math. Ann., LVII A902), стр. 19.)

558 глава xv
Если [J=f/z-]-—v — -j-jtt —а, то, возвращаясь к исходному виду
уравнения, получим:
pi —I (tx —l)Gtx —31) (|х-1X83^-982^+3 779)
z^ P 23{t 3-27рз 15-2Юр5
({j, — 1) F 949[x3—153 855^+1 585 743ii—6 277 237) _
~"~ 105-215 07 "
Следовательно, большие корни функции Jy{z) cos a—Yv(z) sin а даются
асимптотическим разложением
,1 1 \ 4v2 — 1
/f+Tv—TU —a —
v2—I)B8v2 —31)
• + t-t)— Г ¦"¦
384
[Замечание. То обстоятельство, что У^ (z) -f- K^ B:) имеет асимптотическое
разложение простого вида, дает возможность, как это указал Маршалл, сократить
рассуждения; он воспользовался уравнениями
1
и решил последнее, разлагая М в ряд по убывающим степеням].
15.54. Корни функций, связанных с цилиндрическими функциями
Метод Стокса можно конечно, применять не только к рассмотренным
выше функциям. Так, Макмагон1) вычислил большие корки для S?' (z) и
— в случае, когда цилиндрическая функция есть функция Бесселя
первого или второго рода.
Общая формула для больших корней функции g^ (z) имеет вид
й ^ + 3 7^ + 82{х — 9
Pl 8p! 384 р;
где ^ = [п-\- у v-|-"T ) п — а> а соответствующая формула для больших
_1
корней —^-—- имеет вид
dz
Pl 8p! 384 Й
Корни функции
J BГ) У v (Л2Г) — Kv BГ) ^
где k — постоянная, а также функции
Me Mali on, Annals of Math., IX A895), стр. 25—29.

КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 559
были исследованы аналогичным образом Макмагоном. Калене1) составил таблицы кор-
корней первой из указанных функций для k, равного 1,2, 1,5, 2,0 и v, равного
0, -тр 1, — , 2, y ; как доказал Карслоу (С а г s I a w), Conduction of Heat (London,
1922), стр. 128, все эти корни вещественны при вещественных v и k. Корни функций
К (z) ^v (kz) — Y[{z) Л (kz) были изучены Сасаки (Sasaki), Tohoku Math. Journal,
V A914), стр. 45—47.
15.6. Характер изменения корней цилиндрической функции при
изменении индекса
Уравнение
рассматриваемое как уравнение относительно z, имеет бесконечное множество
корней, значения которых зависят от v; поскольку J^(z) является аналитиче-
аналитической функцией как от z, так и от v (считая z=^=0), каждый корень этого
уравнения (в известных пределах) является аналитической функцией от v. Ана-
Аналогичный факт всегда справедлив при замене функции первого рода любой
цилиндрической функцией вида 7V (z) cos a — Kv (z) sin а, где а — постоянная.
Если через j обозначить какой-нибудь корень функции Jv(z), то скорость
изменения j с изменением v дается обычным уравнением с частной произ-
производной:
Так как У,(/)=0, то j'4(j)=—7v+, (j)=^=0, поскольку / не является
корнем производной; следовательно, по §5.11 A5), при R (v) ^> 0 имеем:
B) dj — Ъ [
()
Из этой формулы видно, что когда v положительно, положительные
корни функции J^(x) возрастают с увеличением v.
Уравнение B) было дано без доказательства Шлефли (S с h I a f I i), Math. Ann.,
XA876), стр. 137; частный случай его для наименьшего корня функции Jv(x) полу-
получил другим способом Гегенбауэр2) (G eg en b а и е г), Mem. de la Soc. R. de Set. de
Liege C), II A900), № 3.
Мы переходим к распространению полученных результатов на положи-
положительные корни функции
#v (z) ~ Jv (z) cos a — Fv (z) sin a,
где v вещественно, а а постоянно (т. е. не зависит от v).
Обобщенная теорема формулируется так:
Всякий положительный корень с функции 8*v (x) можно рассматривать
как непрерывную возрастающую функцию вещественного переменного v.
Чтобы доказать эту теорему, заметим, что с есть такая функция от v,
при которой выражение
arctg
1) Kalahne, Zeitschrift fur Math, und Phys., LIV A907), стр. 55—86.
2) Читатель может заметить, что рассуждения в последней части мемуара Геген-
бауэра некорректны, так как они основаны на ошибочном утверждении Рудского (§ 15.1).

560 ГЛАВА XV
постоянно, так что
и поэтому
Отсюда, по § 13.73B), мы имеем:
<3> %-¦ ~
Поскольку подинтегральное выражение положительно, из этой формулы
видно, что с есть возрастающая функция от v.
Менее общую теорему, — если с есть корень, величина которого больше
индекса v (который предполагается положительным), то с есть возрастаю-
возрастающая функция от v, доказал Шафхейтлин1) с помощью весьма сложных рас-
рассуждений.
Из определения функции Fv (z) следует, что с стремится к нулю только
тогда, когда v стремится к какому-нибудь отрицательному значению, удо-
удовлетворяющему уравнению
sin (a—-vtu) = O.
Заметим, что из C) видно, что если v берется комплексным, ас — также
комплексным, но с по лож: ите ль ной вещественной частью, то с будет анали-
аналитической функцией от v; таким образом, когда v изменяется, корни функции
^?v (z) изменяются непрерывно и могут появиться вновь или исчезнуть только,
когда с перестает быть аналитической функцией от v, т. е. когда с = 0.
Следовательно, при изменении v положительные корни функции 'e^(z)
образуются из положительных корней функции #i/3B) непрерывным движени-
движением, за исключением того случая, когда v проходит через какое-нибудь из осо-
особых отрицательных значений и один из корней исчезает.
Выберем теперь такое а, что2) О^а<^ти; тогда при изменении v от
— до любого значения, превышающего (а/тг)—1, не исчезнет ни один корень;
таким образом, в случае, когда корни столь велики, что может быть приме-
применена формула типа Стокса (§ 15.53), формула
, _1_ I __ 4v2— 1
/гтт: —1——- vtc —к — a
дает значение n-vo положительного корня, считая при этом положительные
корни расположенными в порядке возрастания.
Если же v изменяется так, что в конце концов оказывается между
(а/ти) — k и (а/тг)— k— 1,где k — целое положительное, то k корней исчезают,
и приведенная выше формула дает (п — k)-n положительный корень.
Это рассуждение принадлежит Макдональду (М а с d о n a I d), Proc. Lond. Math.
Soc, XXIX A898), стр. 575—584; он применил его к рассмотрению вопроса о корнях
бесселевых функций первого рода с индексом, превышающим — 1.
!) Schaf heitlin, Berliner Sitzun^sberichte, V A906), стр. 82—93; Jahreske-
richt der Deutschen Math. Vereinigung, XVI A907), стр. 272—279.
2) Это не нарушит общности доказательства.

КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
561
7
Вычертим кривую <ёх(у) = О; она, очевидно, состоит из ряда ветвей, на-
начинающихся в точках отрицательной полуоси х и идущих вверх направо; при
этом на каждой ветви х и у неограниченно возрастают.
Возьмем точку с положительными координатами (v0, у0) и проведем из
нее одну прямую вправо, а другую вниз до пересечения с осью х; кри-
кривая <ёх(у) = 0, очевидно, пересекает каждую из
этих прямых в одном и том же числе точек.
Отсюда следует, что у ё\Д.Уо)> рассматривае-
рассматриваемой как функция от v, число корней, превышаю-
превышающих v0, равно числу положительных корней у
^v0 (у), рассматриваемой как функция от у, кото-
которые меньше у0. Этот факт является обобщением
теоремы, принадлежащей Макдональду1), который
полагал vo = O, а в качестве цилиндрической функ-
функции брал функцию первого рода.
На фиг. 33 показан общий вид кривых
Jx(y) = 0, длина сторон квадратов взята в две
единицы. Более обширная и подробная диаграмма
этого ряда была построена Гассером2), который
составил аналогичную диаграмму также для
Ух (у) — 0. Диаграмма для <&х (у) = 0 имеет, в об-
общем, такой же характер, как и для Jx(y) = 0, за
исключением того, что части кривой под осью х
состоят лишь из ряда изолированных точек, лежа-
лежащих на прямых 2х = С, где С нечетно.
I
нем для
D)
Фиг. 33
[Замечание. Читатель может вывести из § 13.73 C), что если с' является кор-
BГ), ТО
dc' 2c' f
^ - ?т—г J С'2 ch 2t -
о
е' sh ') е~Ш dt>
откуда, если переменные вещественны и с' > | v | > 0, то с* возрастает вместе с v.
Знак производной —• был также рассмотрен (с помощью более элементарных мето-
методов) Шафхейтлином (Schafheitlin), Jahresbericht der Deutschen Math. Vereinigang,
XVI A907), стр. 272—279, однако вычисления Шафхейтлина исключительно сложны].
15.61. Задана о колебании мембраны
Рэлей3) изучал характер возрастающих корней функции /v (x) при воз-
возрастании v, используя рассуждения, основанные на свойствах поперечных коле-
колебаний мембраны, имеющей форму кругового сектора. Если границы мембраны
образованы прямыми 6 = 0 и 6 = тг/v ( где v ^> тА и окружностью г = а, и если
прямые срезы мембраны закреплены, то смещение мембраны при нормальном
колебании будет пропорционально
Л (rPlc) sin v 9 cos (Р* + ?)»
J) См. письмо Макдональда к Карслоу, Proc. London Math. Soc.,B), XIII A914),
стр. 239.
2) Gasser, Bern Mitteilungen, 1904, стр. 135.
3) Rayleigh,PM.Ma?:,F), XXI A911), стр. 53—58 [Scientific Papers, VI A920),
стр. 1—5]. Gp. Phil, Mag. F), XXXII A916), стр. 544—546 [Scientific Papers, VI A920),
стр. 444—446].

562 ГЛАВА XV
где с — скорость распространения колебаний. Если закреплен круговой срез
мембраны, то значения ар\с являются корнями функции /v (х); если же граница
мембраны свободна, то эти значения являются корнями функции f4 (х).
Влияние ограничителей свободы колебания, выполняемых в виде зажимов,
которые постепенно уменьшают эффективный угол сектора, сказывается в том,
что v увеличивается, а период колебания сокращается; таким образом, р оказы-
оказывается возрастающей функцией от v, и поэтому (поскольку а и с не меняются) apjc
также есть возрастающая функция от v, т. е. корни функций /v (х) и J[(x)
растут вместе с v.
Используя аргументы подобного характера, Рэлей дал доказательства ряда
теорем, которые в разных местах этой главы доказаны аналитическими методами.
15.7. Корни функции K^(z)
Корни функции K^(z), где v — данное положительное число (включая
нуль), a z лежит в области, для которой ] arg ^r |<^ — тт, были изучены с ка-
качественной стороны Макдональдом *).
Из обобщения интеграла Бесселя, данного в § 6.22, очевидно, что K^(z)
не имеет положительных корней; Макдональд показал, кроме того, что Kv(z)
не имеет корней, для которых |arg2J^: — тт. Это сразу можно доказать,
рассмотрев интеграл, данный в § 13.71; действительно, если бы z = ret(X было
таким корнем ( г^>0, —7Г<\а<\'7Т)' т0 Zz==re~i(X было бы вторым кор-
корнем; но из рассмотрения интеграла видно, что
00
,. ч if \ V г2 cos 2а \ jrr (r*\dv >. л
-") = 2" J ехр \ - т ^— } К, [-) - > О,
О
в противоречие со сделанным предположением.
Если а равно db"^1' то мы имеем:
IК (re'2 Kt)\ = ±
так что K^(z) не имеет чисто мнимых корней.
Далее мы изучим корни К„ (х), для которых R {z) отрицательна, а фаза
1 1
числа z находится между у я и тт или между — — тт и — тг.
Можно показать, что число всех корней в этих двух квадрантах равно
ближайшему к v — тг четному2) числу, если только v — тг не является це-
лым; в последнем случае число всех корней равно v ^ .
Прежде всего, на линиях arg z= Ч^тт корней нет, если только v ^ —
не целое; в самом деле, К^ (ге~™) = e^dK^ (r) =p tt//v (г), и если вещественная
и мнимая части этого выражения должны обращаться в нуль, то должны
1) Macdonald, Proc. London Math. Soc, XXX A899;, стр. 165—179.
2) Макдональд дает другое число.

КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 563
иметь место оба равенства
cos V7T.К, (г) = О, sin V7T • К, (г) -f rc/v (г) = 0.
Поскольку вронскиан пары функций в левой части равенств равен
(Tr/r)cosvrc, они не могут обращаться одновременно в нуль, за исключением
случая, когда cosvn = 0.
Посмотрим теперь, как изменяется фаза функции ?*К^ (z), когда z опи-
описывает контур, состоящий из дуг большой и малой окружности, оканчиваю-
оканчивающихся на линиях argz = Ч^тг, и отрезков этих линий, заключенных между
концами дуг (ср. фиг. 15 из § 7.4).
Если обозначить окружности через Г и у (их уравнениями будут |г|=/?
и |z| = S), то очевидно, что число корней функции K^(z) в двух рассмат-
рассматриваемых квадрантах равно числу корней функции внутри контура, которое
в свою очередь, равно, умноженному на 1/Bтс) изменению фазы функции
z^K^ (z) при обходе точкой z полного контура.
Это изменение фазы равно
ехр
[
При R—у оо и 8—>-0 два первых числа1) стремятся соответственно
к 2тг (v— — ] и 0, поскольку когда | z \ на контуре велик или мал, то соот-
соответственно 2)
TV (z) -v- z*~ je~z ]/%* , z4KH (z) -v- 2v-i Г (v)-
Последние два члена принимают вид
1 • о Г а Я COS VTC /v (г) 1 Я
lim 2 arctg 7^-7-тп -~—гт-т
Далее, ATV (г) есть положительная убывающая функция от г, тогда как
/v (r) есть положительная возрастающая функция, так что знаменатель послед-
последнего выражения имеет один корень, если sin vtt отрицателен, и не имеет корней
вовсе, если sinvrc положителен.
Поэтому если допустить, что обратная функция исчезает при г—>-0, то
ее пределом при г—>- ос будет arc tg (ctg yrc), причем берется значение обратной
функции, численно меньшее двух прямых углов и имеющее тот же знак, что
и cosvtt.
Отсюда число всех корней функции K^(z) в обоих квадрантах3), где R(z)
отрицательна и | arg21<^тс, равно
V— !+-^a
читатель легко может проверить, что это число равно ближайшему к
v _ I четному числу.
!) Это легко вытекает из того, что асимптотическое разложение из § 7.23 спра-
справедливо при | arg z | ^ л.
2) Для случая v = 0 вторая приближенная формула должна быть видоизменена.
§) Оба корня функции Кг(я) не слишком удалены от точек —1,29 ±0,44/.

564 ГЛАВА XV
Когда v — 7т —целое, K^(z) есть полином от z, умноженный на функцию,
не имеющую корней на конечной части плоскости и, таким образом, число
корней, для которых R (z) <^ 0, в точности равно v — 77.
Рассмотрим теперь часть плоскости, где тт <^ argz ^ 2 тт.
Положим z = ?е2 ; тогда
К W=—\ ™~ ~2* [К (О + i A + 2*2-г) У, @J,
так что К^ (z) обладает последовательностью корней, лежащих вблизи отри-
отрицательной части мнимой оси. Корни с большим модулем, входящие в эту
последовательность, приближенно совпадают с корнями уравнения
С— | w — in) = —/A
можно проверить, что в конце концов они оказываются по правую или по
левую сторону мнимой оси .г-плоскости в соответствии с тем, какое из нера-
неравенств cos2 VTT<^ -г, cos2 vтг^>-j- выполняется, т. е. в соответствии с тем, отли-
отличается ли v от ближайшего целого числа больше или меньше, чем на -^ .
о
Такой последовательности корней не существует, если eblzi = — 1, т. е. если
v равно половине нечетного числа.
В последнем случае существует аналогичная последовательность корней
3
вблизи линии axgz=— — тт.
15.8. Корни бесселевых функций с большим индексом
Предшествующие доказательства, основанные, главным образом, на инте-
интегралах типа Пуассона, позволили выяснить свойства корней бесселевых функ-
функций, индекс которых v не слишком велик. Это, конечно, связано с тем фактом,
что асимптотические разложения Ханкеля, рассмотренные в гл. VII, имеют
смысл только, когда v2 мало по сравнению с аргументом бесселевой функции.
То обстоятельство, что интегралы Дебая из § 8.31 дают представления
функций с большим индексом, позволяет надеяться, что эти интегралы могут
оказаться и эффективным средством исследования корней таких функций,
что в действительности имеет место !). Сверх того, большая часть результатов,
которые будут нами получены, справедлива для функций с любьш положи-
положительным индексом, хотя они приобретают особое значение, когда индекс уве-
увеличивается.
Мы примем обозначения § 8.31, так что2)
sec (J) = ?—?— J
где —т—shte/ — w-\-itg j} (chw—1), а контур в плоскости комплексного
переменного w выбран так, что т на нем положительно.
1) Watson, Proc. Roy. Soc, XCIV, A A918), стр. 190—206.
2) Прилгну мы будем пользоваться обоими обозначениями х и v sec p.

КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 565
Положим w = u-\- iv, где а и v вещественны, и и v непрерывно воз-
возрастают, когда w описывает контур, так что интегралы
00 1С—р
—00 —3
положительны.
Отсюда, рассматривая [5 как переменное и определяя
оо +те/—?Р
arg
как положительный острый угол, когда [5 = 0, который изменяется непрерывно
вместе с [5, получим, что он останется положительным острым углом при
всех значениях [5 между 0 и — тг; более того, по § 8.32, он не может пре-
превысить -гя, так как -т-^Т/З.
о аи
Мы обозначим этот положительный острый угол через j(> а затем опре-
определим *F уравнением
*Р = v (tg В 8) -J--1 - тт.
Тогда очевидно, что
где 9Л положительно (не нуль), и
/v (х) = fflt cos lF, Yv (x) = 9Jc sin lF.
Если
#v (x) = 7V (x) cos a — Y^(x) sin a,
то очевидно, что все корни функции e>v(x), ббльшие чем v, получаются
при таких значениях Ч;, для которых *F-{--a равно нечетному числу прямых
углов.
Легко показать, что 4s возрастает при возрастании х, если v остается
постоянным. Действительно, мы имеем:
Следовательно, когда х возрастает, Ч* возрастает монотонно и, таким
образом, каждому значению У, для которого
соответствует о^мл и только один положительный корень функции #v (x).
Теперь мы докажем, что % есть также возрастающая функция от лг.
Это — более глубокая теорема, поскольку для ее доказательства требуется
результат из § 13.74; мы имеем:
2/( г)У^=Г^2
lim
л:->00
Из асимптотического разложения Ханкеля вытекает, что
; = lim \х— ^ V1T—-j-тс — У х2 — v2 -{- v arc cos (v/x) -{- I тг
-i*.

566
ГЛАВА XV
и, таким образом,
где выражение слева есть положительный острый угол.
Чтобы найти и оценить значение J(» когда v велико, положим
отсюда, по § 8.42, имеем:
lim yv = -д тт
и, когда v велико,
*Т,= ^1-
следовательно, когда v велико, yv есть возрастающая функция от V.
В следующей таблице даны в градусном измерении (с точностью до полу-
полуминуты) углы, которые в радиальном измерении равны yv; она показывает
насколько yv близко к своему пределу даже в случае, когда v сравнительно
мало:
V
Tv
0
0
1
2
28°39'
1
29° 23--
to| oo
29°38'
2
29°45'
3
29°5Г
4
29°54'
6
29°56~-
8
29°57~-
10
29°58'
12
29°58~-
oo
30°
На основании этой таблицы можно предположить, что yv есть возрастаю-
возрастающая функция от v при всех положительных значениях v; чтобы доказать,
что это в действительности так и есть, нам потребуется теорема о том, что
как раз это неравенство было установлено в § 13.74.
Теперь мы можем сделать вывод, что g*v (v sec j5) имеет корень, для которого
= »*—а,
где т — любое целое положительное число (за возможным исключением еди-
единицы), поскольку в значениях положительных корней функции ^(vsecp),
(с возможным исключением первого) величина v (tg f$—р) лежит между
т -г ) тг — а и тп — у^ — ^>
4 у
и разность между этими выражениями (когда v не мало) несколько превы-
превышает г^ТТ.
Из соотношения § 15.3 A0) следует, что фазовый угол функции //ф (X) еи
возрастает от а — -^ я до 1? -\- а, когда X возрастает от 0 до любого значе-
ния, превышающего v; таким образом, если 0<^а<^тт, то число корней

КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 567
функции #v (X) в интервале @,х) равно наибольшему целому числу, содержа-
содержащемуся в Ds -j- а) /тг + "о" •
Здесь можно указать простую теорему, которая вытекает из § 13.74: если
уъу» то, для любого положительного Ъ, I ~^<№ уменьшается с возрастанием Ь.
Это показывает, что интервал между последовательными корнями функции %^(х)
уменьшается с возрастанием номера корня.
Другое доказательство этой теоремы дал Портер; ср. § 15.82.
15.81. Наименьшие корни функций JH (х) и YH{x)
Мы видели (§ 15.3), что /v (х) и Kv (x) не имеют корней в интервале
(О, v), когда v положительно, а из асимптотических формул, полученных
в § 8.42, совершенно очевидно, что у них нет и корней вида v-j-o^3),
когда v велико.
Асимптотические формулы, которые были установлены в § 8.43, пока-
показывают (в обозначениях § 15.8), что
f t8fi'3
где под арктангенсом подразумевается отрицательный острый угол.
Отсюда, для наименьшего корня функции J^(x),
Когда р возрастает от 0 до ~тт, выражение в левой части возрастает от
1 _|_0 A/J/V), тогда как выражение в правой части уменьшается от 0,2679
до 0; наименьший корень получается при таком значении р, для которого
о с
y(tgp—р) лежит между -^-тт и -j-тт и, таким образом,
1
1
Следовательно, если мы решим уравнение
то полученное значение $ будет равно величине -^vtg3 p, с ошибкой порядка
O(v ^). Это значение 5 оказывается равным приблизительно 2,383447, откуда
наименьшим положительным корнем функции /v (x) будет
v + v3 X 1,855757 + 0A).
Подобно этому, решая уравнение

568 ГЛАВА XV
наименьший корень ? которого равен приблизительно 0,847719, находим, что
наименьшим корнем функции Kv (x) будет
v + v3 X 0,931577 + 0A).
Формула для наименьшего корня функции Jv (х) дана Эйри (A i r e у), Phil. Mag.y
F), XXXIV A917), стр. 193. Она была получена из асимптотического разложения
Дебая (§ 8.42) для J4(x), где х имеет такое значение, что
При таких значениях переменных справедливость разложения Дебая доказана
не была, и хотя метод Эйри дает два главных члена для наименьшего корня функции
J^(x) без ошибки, численное значение наименьшего корня функции /,(х), данное
Эйри, не совпадает с указанным в § 15.83. Метод Эйри дает верный результат по той
причине, что 7V (v -f- С) можно разложить по степеням С [поскольку С имеет поря-
порядок о (v)] и в полученное разложение можно подставить формулы Дебая для 7V (v).
Формула для наименьших корней функции 7_v(jc) была дана Эйри. Этот корень
лежит где то между 0 и наименьшим корнем функции Уу(дг), в зависимости от вели-
величины V.
Повидимому, применяя методы этого параграфа, невозможно получить новые ре-
результаты в том же направлении. Мы сделаем сейчас отступление, чтобы пояснить
методы Штурма (которые были применены к уравнению Бесселя многими математи-
математиками); мы дадим доказательство, приводящее к эффектному выводу, что те два выра-
выражения, о которых в этом параграфе было установлено, что они имеют порядок 0A),
оказываются в самом деле порядка О (v 3); таким образом, нами были получены при-
приближения для наименьших корней функций J^(x) и Kv(at), ошибки которых имеют
порядок О (у 3), т. е. эти ошибки становятся незначительными, когда v велико.
[Замечание. Элементарный результат, относящийся к наименьшему корню
функции J^(x), был получен на основании формулы из § 5.43 Гегенбауэром (Gegen-
b а и е г), Wiener Sitzungsberichte, CXI Ba), A902), стр. 571; если jjl = v -f- e, где 0 < s < 1,
то наименьший корень функции J2v+6 (•*) будет меньше удвоенного наименьшего корня
функции JJ.X), так как для последнего значения х подинтегральное выражение не
может не менять знака.]
15.82. Приложения метода Штурма
Многие авторы изучали свойства бесселевых функций с помощью общих
методов исследования линейных дифференциальных уравнений второго порядка,
предложенных Штурмом1). Полученные до сих пор результаты представляют
известный интерес, хотя и не кажутся, по сути дела, глубокими; большинство
их доказано в этой главе другими методами.
Теорема, лежащая в основе упомянутых исследований, формулируется так:
пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка в нормальном виде
S+'—¦>¦
где коэффициент / положителен; тогда чем больше значения /, тем сильнее
колеблются решения уравнения с увеличением х.
!) Sturm, Journal de Math., I A836), стр. 106—186; сводка различных исследований
по дифференциальным уравнениям, использующим метод Штурма, сделана в лекции
Бохера (В ос he r), Proc. Int. Congress of Math., I (Cambridge, 1912), стр. 163—195;
[В. В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, гл. VI, § 2, п. 3, стр. 241—24б„
A938). Прим. ред.]

КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 569
В качестве одного из приложений этой теоремы можно взять теорему, принад-
принадлежащую Штурму (ibid., стр. 174—175) и Бурже (В о ur g e t), Ann. set de VEcole norm.
sup., Ill A866), стр. 72, заключающуюся в следующем: если v2 — -j- положительно,
а с — какой-нибудь корень функции %^(х), который превышает |/v2 — — , то корень
функции gv (x), который следует по величине за с, не превышает с -{- ¦
Эта теорема сразу следует из того, что функция х2 %^{х) переводится в
нуль оператором (§ 4.3)
и что при х ^ с
Несколько более тонкий результат принадлежит Портеру (Porter), American
Journal of Math., XX A898), стр. 196—198; он состоит в том, что если v2>-i и если
корни функции %^(х), превышающие|/v2 — — и записанные в порядке возрастания,
суть съ съ ?3,..., то сп + 1 — сп уменьшается с возрастанием п. Мы уже доказали это
в § 15.8 с помощью другого метода.
Другие теоремы аналогичного характера принадлежат Бохеру (Bocher), Bulletin
American Moth. Soc, III A897), стр. 205—213; VII A901), стр. 333—340 и Гассеру
(Gasser), Bern Mittheilungen, 1904, стр. 92—135.
15.83. Приложения методов Штурма к функциям с большим
индексом
Мы переходим к доказательству ряда фактов, касающихся цилиндриче-
цилиндрических функций с большим индексом, которые основаны на следующей теореме
типа Штурма:
Пусть иг (х) и и2 (х) — такие решения уравнений
что при х = а
и пусть 1г и /2 непрерывны в интервале а^х^Ь, а и[(х) и и'2/х)также
непрерывны в указанном интервале.
Тогда если /\^/2 повсюду в интервале1), то \и2(х)\ превышает
\ иг (х) | при условии, что х лежит между а и первым корнем решения
иг (х) в этом интервале, и, таким образом, первый корень решения их (х)
в интервале лежит левее первого корня решения и2(х).
!) Для упрощения доказательства теоремы, здесь, если это окажется необходи-
необходимым, удобно будет переменить знаки перед и^(х) и щ(х), чтобы Щ(х) оказалась поло-
положительной; непосредственно справа от х = а знаки модулей можно повсюду опустить.

570 ГЛАВА XV
Далее, если и[(а) имеет тот же знак, что и ux(a)f то точка, в кото-
которой | их (л:) | имеет первый максимум, лежит слева от соответствующей
точки для |#2(л;)|; более того,
max | их(х) | <^ max | и2(х) \.
Для доказательства этой теоремыг) заметим, что поскольку их(х) и и2{х)
положительны,
и, таким образом, после интегрирования получаем:
1 dx 2 dx \а
Так как прследнее выражение в нижнем пределе обращается в нуль,
то
A) Ulp
v ' г dx
Отсюда мы имеем:
dx
и поэтому
V 11 ~\ Y
о,
Г «г'
откуда
^2 (х)щ(а)_
и(а)
Следовательно, во всем промежутке от а до первого корня функции
ui (х) функция и2(х) удовлетворяет неравенству | и2 (х) | ^ | их (х) |.
Таким образом, первая часть теоремы доказана.
Далее, если и[ (а) положительно, так же как и их (а), то их (х), прежде
чем обратиться в нуль, должно пройти через максимум, и в этой точке р.х
мы, по A), имеем:
так что u'2(ixx) положительно, а следовательно, и'2(х) в интервале @, р.х)
также должно быть положительным. Отсюда следует, что первая точка мак-
максимума jji2 для и2 (х) должна находиться справа от р.х.
Окончательно мы имеем:
max их(х) = их(р.г) < и2(р.х) < ti2 (p.2) = max u2 (x),
и теорема доказана полностью.
Когда имеют дело с двумя функциями их(х), и2(х), обладающими
такими же свойствами, как в доказанной теореме, удобно говорить, что
их(х) есть более колеблющаяся2) функция, чем и2(х), а и2 (х) есть менее
колеблющаяся функция, чем их (х).
Воспользуемся только что доказанной теоремой для доказательства резуль-
результатов3), касающихся поведения функций 7v(x) и Fv(x), когда v велико их — v
г) По существу, эта теорема принадлежит Штурму (S t u r га), Journal de Math., I
A836), стр. 125—127, 145—147.
2) Основания для такого способа выражения становятся ясными, если рассмотреть
тот частный случай, когда 1г и /2 — положительные постоянные.
3) Эти результаты заменяют неравенства, полученные Ватсоном, Proc. Math. London
Soc.tB), XVI A917), стр. 166—169.

КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 571
— порядка О (v3 ). Наш прием будет заключаться в подборе пар функций, кото-
которые колеблются соответственно немного больше и немного меньше, чем дан-
данные функции.
Прежде всего, положив x = veB, приведем уравнение Бесселя к нормаль-
нормальному виду; тогда получим:
C) [*. + *(**• —1)]
Решая уравнение
D)
мы, очевидно, получим функцию, немного менее колеблющуюся, чем $
при небольших положительных значениях 6, поскольку е2® — 1 ^ 26, когда
6^0.
Общим решением уравнения D) будет
1 , А 1-
о" — / O2v62
<Р I
причем произвольные постоянные, входящие в эту цилиндрическую функцию,
должны быть подобраны так, чтобы и и ее производная были равны #v (v?°)
и ее производной при 6 = 0.
Таким образом, мы получаем функцию, колеблющуюся (немного) менее,
чем %S) (х) при х ^2 v, в виде
Попробуем теперь построить функцию, колеблющуюся (несколько) более,
чем *ён(х), имея при этом в виду заключить ^^(х) между двумя функциями,
которые легче поддаются исследованию, чем #v (x).
Рассматривая формулу для менее колеблющейся функции в сочетании
с результатом, найденным в § 8.43, мы приходим к выводу, что нужную
функцию следует искать в виде *)
где 6F) пока нам неизвестна. По § 8.43, можно предположить, что функ-
функция ф F) должна иметь вид -o-tg3p, где secS1^^0, но на деле оказывается,
что такая функция приводит к дифференциальному уравнению, решение
которого колеблется в зависимости о г относительных значений v и 6, и
это не дает возможности получить необходимые результаты.
Как известно (§ 4.31), коэффициентом при неизвестной функции в уравне-
уравнении для
1) Множитель в цилиндрической функции берется с той целью, чтобы произве-
произведение удовлетворяло дифференциальному уравнению нормального вида; ср. § 4.31A7).

572 глава xv
будет
и требуется, чтобы это выражение несколько превышало V2 (е2®—1). Пред-
Представляется, таким образом, естественным исследовать функцию ф F), опреде-
определенную уравнениями
имея в виду проверить, выполняется ли при таком определении соотношение
3 /сИ@ у , 5
' 36
2 ф'@) 4 \ф'(в)/ ' 36
Заменив ?9 на sec jj, находим:
4>'(O)=tgp, ф (в)=tg p — р,
и, таким образом, остается проверить справедливость соотношения
E) 3(tgp —р)<
Выражение
отрицательно, когда tg2j$<^yr24 — 3, и положительно для больших зна-
значений tg 2[$.
Отсюда, поскольку соотношение E) справедливо при [} = 0, оно будет
справедливо также при 0 ^ ^ ^ [Jo, где р0 — некоторый угол между
arctg]/V 24 — 3 и -j71- ^ градусном измерении он равен 59°39'24",27.
Рассуждая дальше так же, как и в предыдущем случае, находим, что
функция
з
колеблется несколько больше, чем /v(vsecC), если при этом1) О^р^ро*
Мы можем получить весьма существенный результат относительно наи-
наименьшего из корней функции S?v (л;), который превышает v; пусть -^ У? будет
наименьшее значение величины ?, при котором
jl_ 2
з з
*) Такое ограничение, по сути, тривиально, поскольку мы должны рассматривать
такие значения g, для которых vg3 ограничено, т. е. малые значения g.

КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 573
обращается в нуль. Оба уравнения
26 = X;/v*, vftgf—p)=±-i;
дают одно и то же значение x = v-{--^Цу3 -\- О (у 3). Так как, по теореме
Штурма, корень функции 4?v (л:) заключен между двумя выражениями такого
вида, то ближайшее следующее за v значение корня функции %^ (х) равно
Если в качестве 4?v (л:) взять /v (л:), то легко убедиться, пользуясь таб-
таблицами бесселевых функций с индексами Ч3-5-, что
о
Xv= 1,926529 + 0 (v 3);
таким образом, наименьший корень функции J^(x), когда v велико, равен
_L _ 1_
v + v3 X 1,855757 +О(v 3).
Подобным же образом наименьший корень функции Fv (x) равен
v+v3 X0,931577 + O(v 3 )•
Аналогичным путем можно найти точку, в которой функция /v (x) имеет
первый максимум, для чего необходимо продифференцировать *) приближенные
выражения, полученные выше.
Если -~- jx3 — наименьшее из значений ?, которое обращает в нуль2) вы-
выражение
3 3
то в результате мы получим, что первый максимум функции /v (x) наступает
в точке
JL L
т. е. в точке
1 1
v + v3 X 0,808618 + О (v Т).
Первый максимум функции Fv (x) не может быть найден таким путем потому, что
он расположен справа от первого корня; это сразу следует из § 15.3, так как Kv (x)
возрастает от — оо до 0, когда х возрастает от 0 до первого корня.
Исследование вопроса о максимуме функции Fv (x) при изменении v читатель может
найти в статье Мейсселя (Meissel), Astr. Nach., CXXVIII A891), столбцы 435—438.
1) Законность этого вытекает из второй части теоремы Штурма, которую мы
только что доказали.
2) Значение 5 приблизительно равно 0,685548.

Глава XVI
РЯД НЕЙМАНА И ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
ЛОММЕЛЯ
16.1. Определение ряда Неймана
В этой и следующих главах мы ставим себе задачу исследовать различ-
различные виды разложений аналитических функций комплексного переменного
в ряды, общие члены которых содержат одну или несколько бесселевых
функций или функций, родственных им. Эти разложения в известном смысле анало-
аналогичны хорошо известным разложениям аналитических функций в ряды Тейлора и
Лорана. Разложения, аналогичные разложению Фурье для функции веществен-
вещественного переменного, носят более тонкий характер; они будут рассмотрены
в гл. XVIII и XIX.
Всякий ряд вида ^
называют рядом Неймана, хотя в действительности Нейман1) рассматривал
только частный случай такого ряда, когда v — целое; исследование ряда более
общего вида принадлежит Гегенбауэру2).
Чтобы не смешивать этот ряд с рядами, которые были рассмотрены нами в §16.14,
Нильсен (Nielsen), Math. Ann., LV, A902), стр. 493, предложил название «ряды Ней-
Неймана первого рода>.
Читатель вспомнит, что в гл. V нами уже рассматривались различные
разложения функций в ряды Неймана. Здесь достаточно будет напомнить
следующие формулы:
п\
(v + m)
где &2z=Z2-\-z2 — 2Zzcoscp.
Сначала мы рассмотрим вопрос о возможности разложения произвольной
функции в ряд Неймана; далее мы исследуем особенности аналитической
функции, выраженной в виде ряда Неймана с данными коэффициентами;
и, наконец, рассмотрим разложения некоторых функций специального вида.
В мемуарах Нильсена (Nielsen), Journal fur Math., CXXXII A907), стр. 138—146;
Leipziger Berichte, LXI A909), стр. 33—61, читатель может найти весьма широкий
разбор обобщений всех типов рядов по бесселевым функциям.
1) Neumann, Theorie der Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1867), стр. 33—-35.
2)Gegenbauer, Wiener Sitzungsberichte,LXXlV B), A887), стр. 125—127.

РЯД НЕЙМАНА И ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ЛОММЕЛЯ 575
Многие разложения, напоминающие разложения Неймана (отличающиеся от при-
реденных в этой главе), принадлежат Веббу (Н. A. W e b b), Phil. Trans, of the Roy&l
Soc, CCIV A905), стр. 487 и Нильсену (N i e 1 s e n), Atti delta R. Accad. del LtncelAbl
XV A906), стр. 490—497.
16.11. Разложение произвольной функции в ряд по бесселевым
функциям с целым индексом, данное Нейманом1)
Пусть f(z) будет функцией от z, аналитической внутри окружности
радиуса R с центром в начале координат. Если через С обозначить контур,
образованный этой окружностью, а через z—его внутреннюю точку, то, по
теореме Коши, имеем:
Далее, по § 9.1,
причем последнее разложение сходится на контуре равномерно. Мы получаем
сразу:
A) /И = ДяЛ(*),
где
что и является разложением Неймана.
Если ряд Маклорена функции f(z) имеет вид
00
то
т=0
и, таким образом,
т—О
!) Neumann, Theorie der Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1867), стр. 33-—35.
См. также Кёниг (К б nig), Math. Ann., V A872), стр. 338—340.

576 ГЛАВА XVI
Из этого результата видно, что ряд Неймана для заданной функции
имеет простой вид, когда можно подобрать простое выражение для суммы
2*г ~
т—О
ml
Построение ряда Неймана в случае, когда разложение Маклорена задано,
является, таким образом, лишь вопросом искусства выкладки.
16.12. Аналог Неймана1) разложения Лорана
Пусть f(z) — функция от 0, аналитическая и однозначная в кольцеобраз-
кольцеобразной области, определяемой неравенствами
Пусть С и с — контуры, образованные окружностями
|z| =Я, \z\ = r,
вдоль которых мы установим положительное направление против часовой
стрелки; тогда для точки г, лежащей внутри кольца, имеем:
~ f f{t)dt —
2nij z—t
= Z h JnW \ /w °»wdt + X Й on(z) j /(о у„ (t) at.
/2=0 ^ «~0 с
/2=0 ^ «~0 с
Следовательно, f(z) может быть представлена в виде
A) 2S
где
B) an^
С с
Если разложение Лорана функции f(z) внутри кольца имеет вид
оо оо и'
/W24 2^
тО, как и в § 16.11, мы находим:
C)
п ?*l 2п+2™т\(п-\-т)\
N е u m a n n, Theorie der Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1867), стр. 36— Ш

РЯД НЕЙМАНА И ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ЛОММЕЛЯ 577
16.13. Обобщение разложения Неймана, данное Гегенбауэром
Использовав полином Ап^ (t), определенный в § 9.2, Гегенбауэр 1) обоб-
обобщая формулу, данную в § 16.11.
Если f(z) — аналитическая функция внутри и на окружности \z\ = R, a
С — контур, образованный этой окружностью, то
t — z
С
ь /2—0
и, таким образом,
со
A) *7(*> = ?
/2 — 0
где
с
при одном лишь условии, что v—не отрицательное целое число.
Если, как и в § 16.11, разложение Маклореиа этой функции имеет вид
n=zQ
ТО
C) ап = (у + п) X 2*+*-*»!Tl*+ »2
т = 0 т*-
Разложение Неймана из § 16.12 может быть обобщено аналогичным об-
образом.
16.14. Разложение функции в ряд по квадратам или произведениям
На основании разложения (см. § 9.5)
/2=0
которое справедливо при |?|<^|2|, мы сразу находим, что если f(z)
регулярна при |^|^г, то при |.гг|<^г имеет место разложение
коэффициенты которого даются формулой
B) an==
С
х) Gegenbauer, Wiener Sitzungsberichte, LXXIV B), A877), стр. 124—130.
Некоторые частные случаи этого разложения см. в Wiener Denkschriften, XLVIII
A884) стр 293—316
торые чстны
A884), стр. 293—316.

578 глава xvi
где С — контур, образованный окружностью \z\ = r. Это разложение принад-
принадлежит Гегенбауэру !). Имеется разложение, тесно связанное с предыдущим»
а именно,
оо
C) ?
где
D) a'n
и Qn (t) есть второй полином Неймана (§ 9.4); оно справедливо при условии,,
что f(z) есть четная аналитическая функция', это разложение получил
Нейман2).
Формула Гегенбауэра была исследована впоследствии Нильсеном (Nielsen)
Nouv. Ann. de Math., D) II, A902), стр. 407—410.
Из формулы § 5.22 G) можно получить ряд, несколько отличающийся no-
типу от рассмотренных выше, а именно,
— Jl
из которого видно, что
где
т=0
Разложения этого вида были предметом специального исследования Ниль-
Нильсена 3).
16.2. Теорема Пинчерле и ее обобщения
оо
Пусть ^ЯдЛ+я (z) — Ряд Неймана, и пусть f(z) обозначает функцию,
л—о
определяемую этим рядом и ее аналитические продолжения.
Пусть, далее,
Функцию f(z)N и ее аналитические продолжения мы будем называть
соединенным степенным рядом функции f(z).
Ряд Неймана сходится всюду в области, где
1) Gegenbauer, Wiener Sitzungsberichte, LXXV B), A877), стр. 218—222.
2) Neumann, Math. Ann., Ill A871), стр. 599.
S) Nielsen, VVyf Tidsskrift, IX (B) A898), стр. 77—79.

РЯД НЕЙМАНА И ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ЛОММЕЛЯ 579
и, в силу асимптотической формулы Хорна (§ 8.1), эта область тождественна
с областью, в которой
4-л
Следовательно, ряд Неймана имеет точно такую же область сходимости,
как и степенной ряд, и круги сходимости ряда Неймана и присоединенного
степенного ряда тождественны.
Теорема о тождестве области сходимости ряда Неймана и степенного
ряда принадлежит Пинчерле1); однако, здесь можно продвинуться значительно
дальше, а именно, можно доказать, что f(z) не имеет особенностей, которые
не были бы в то же время особенностями для f(z)A.
Для доказательства мы положим
тогда внутри круга сходимости2)
1
/(*) = jcosjzlA
о
В силу основного принципа аналитического продолжения, если ср (z)
регулярна для некоторого значения z, то это же будет выполняться и для
f(z), при условии, что путь интегрирования выбран надлежащим образом;
отсюда следует, что все особые точки функции f(z) должны быть особыми
точками функции y(z).
Ряд, определяющий функцию ср (z), можно записать в виде
IZ у^\ пп I (V -h Л -h 1) -.
и, по теореме Адамара3), если
Ft (z) = 2 М". F2 (z) = 2 cnz4, f8 (г) = 2 V»«".
то все особенности функции F9{z) выражаются в виде ^у» где Р есть ка"
кая-нибудь особенность функции Fx(z)9 а у — какая-нибудь особенность
функции F2 (z).
Поскольку единственную особенность на конечном расстоянии гипергео-
1) Pincherle, Bologna Метопе, D), III A881), стр. 151—180; см. также Нильсеи
(Nielsen), Math. Am^ LV A902), 493—496.
2) Предполагается, что R (v+"o") положительно; в противном случае некото-
некоторые из рассматриваемых рядов должны быть укорочены путем удаления членой, для
которых R (у+п + —\ отрицательно; общий ход рассуждений от этого не на-
нарушится.
3) Hadamard, Ada Math., XXII A899), стр. 55—64; La Serie de Taylor (Paris,
1901), стр. 69. [Э.Гурса, Курс математического анализа, т. II, §341, стр. 216, М.—Л., 1936.)

580 ГЛАВА XVI
метрическая функция
имеет в точке 2*=1, все особенности функции ср (z) будут особенностями
и для f(z)N; и поэтому все особенности функции f{z) будут особенностями
и для f(z)N; что и требовалось доказать.
Читателю нетрудно будет сформулировать и доказать аналогичные тео-
теоремы !) для других видов разложений, которые встречаются в этой главе.
16.3. Частные случаи рядов Неймана
Число рядов Неймана, коэффициенты которых имеют простой вид,
а суммы представляют функции с важными аналитическими свойствами, не-
невелико; мы приведем некоторые ряды этого типа, имеющие специальный интерес.
Воспользовавшись разложением
1 оо
(*4 _ 2^2 cos 26 + 1)" = 2 t~*n-*Pn (cos 29),
Пинчерле2) заметил, что
00 t (о+) exp fl.z(t—llt)) dt
где контур целиком лежит вне круга \t\-= 1.
Если теперь положить — (t—ljt) = w, так что контуром в w-плоскости
станет (большая) замкнутая кривая, охватывающая начало координат, то получим;
оо @+) zw
е dm
Е
откуда вытекает формула
оо
A) ^ У2я+1 (z) Рл (cos26) =
л=0
где модуль эллиптической функции равен sin 6.
Любопытное разложение
@+) (W+
дал Жолифф 3), который доказал, что ряд в правой части удовлетворяет
1) Ряд таких теорем, касающихся разложения из § 16.14, см. Nielsen, Math.
Ann., LIL A899), стр. 230 и ел.
2) Pincherle, Bologna Memorie, D), VIII A887), стр. 125—143. В своих выво-
выводах Пинчерле пользовался эллиптическими функциями модуля cosecO.
3) Jolliffe, Messenger, XLVA916), стр. 16. Соответствующее разложение
для z2 J^lI—A Л(-jz) получил Нильсен (Nielsen), Nyt Tidsskrift, IX, В A898),
стр. 80.

РЯД НЕЙМАНА И ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ЛОММЕЛЯ 581
тому же дифференциальному уравнению, что и ЛГ-у^). Это разложение
легко выводится как частный случай из разложения § 11.6 A), однако прямое
доказательство, приведенное ниже, не лишено интереса.
По формуле Неймана (§ 5.43) мы имеем1):
г )
и если разложить J2^(zyt) в ряд
2 ^
то, интегрируя, получим:
где
О
J
о
f
J
о
J
о
после m интегрирований по частям.
Следовательно, ат есть коэффициент при hm в разложении
I I
j^_^A—
о
но возрастающим степеням h; это разложение при | h j <^ 1 абсолютно схо-
сходится.
Если положить
u(\-h)
1 — Ни '
то
1
00
— h{\— t
= _1 Л 2(^ —и) 2{}—№и) 2 da.
г) При /?fv-f--rt-]<0 мы используем, вместо определенного интеграла, инте-
интеграл но петле.

582 глава xvi
Теперь очевидно, что а2п+1 = 0 и что
1
1 Ь3...Bл— 1) Г » + я-{ -{
_ 1.1-3..,2,-1)
тс 2-4...Bл) Г(у+л + 1)
из последней формулы сразу получаем разложение Жолиффа.
16.31. Суммирование рядов Неймана по Ломмелю
Преобразования рядов Неймана с помощью рекуррентных формул были
систематически изучены Ломмелем *); ему удалось с помощью этого приема
определить суммы различных рядов вида
гдз ап — полином от п.
Возьмем функции
= 2 (v + 2«+l)/am(v + 2« + l)yv+gB+1(«),
s = О
= 2 (v + 2я + 2)/am_, (v + 2л + 2) J,+2n+2(z),
n=zO
где /m(v)—функция, которая будет определена ниже.
По рекуррентной формуле мы имеем:
A) | Л,,т (z) = Д/*» (v + 2« + 1) {Л+2я (г) + Л+2„,г («)}=
/г/?« условии, что fm (v) удовлетворяет уравнению в смешанных разностях2)
Гш (> + 2« + 3) +/2m (v + 2я + 1) = 2 (v + 2я + 2)/2m_x (v + 2я + 2).
Решением этого уравнения будет
Мы зафиксируем это выражение /m(v) и далее, применяя этот же метод,
получим:
B) у #,,», (г) = — /2т_г (v) Л+1 (г) + 2^v, *-! (г).
Отсюда следует, что
Abm(z)=±zf?
!) Lommel, Studien iiber die Bessel'schen Functionen (Leipzig, 1868), стр. 46—49.
2) Дальнейшие приложения рядов Неймана к решению уравнений в смешанных
разностях принадлежат Бэйтмену (В a t e m a n), Proc. Int. Congress of Math., I (Gam-
bridge, 1912), стр. 291—294.

РЯД НЕЙМАНА И ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ЛОММЕЛЯ 583
и, таким образом,
т i j
C/v V //Z V 7 " ^ ^^^ I О /o*t I * 1 ¦*¦ / */ к» \ ^ /
Далее, поскольку
мы имеем:
C)
2от-
r{h+"+i) fi
оо !|— v-+-a-h-— ] .. ч2от-2/г + 2|
I ^ г( 1 , 1\ V2
[я=оГту-« + 7
•^2
и аналогично, из выражения для 53V5
л=о
3\
I n=Q A
1
Возможности применения другой рекуррентной формулы
также были исследованы Ломмелем, однако, результаты оказались не столь интерес-
интересными. В качестве примера его разложений читатель может проверить, что
^
п—т '
Эти равенства были получены Ломмелем, хотя в его формулах содержатся чис-
численные ошибки.

584 глава xvi
16.32. Суммирование рядов Неймана по Каптейну
Сумма ряда
^nJn(z)Jn(a)
Л = 1
может быть выражена интегралом
суммы четных и нечетных членов ряда были получены Каптейном *) в виде ин-
интегралов, из которых можно вывести интеграл, написанный выше; и наоборот,
формулы Каптейна могут быть получены из этого интеграла.
Мы переходим к доказательству этого результата, применяя метод Кап-
Каптейна в упрощенной форме.
Рассматриваемый ряд можно записать в виде 2)
оо lz @+)@+) сю
(«> = ^ f f S
где в качестве контуров можно взять окружности \и\ = \, \t\=A^> I.
Теперь, пусть
<о+>
1 Г 1 A / 1
2ш J tu — 1 у \ 2 V "
Тогда если m~^-(t — Iff), то
di . r I f 1 /1 , 1
^ + /n/ = 2ir J т(т + 7г
откуда, интегрируя, получим:
а
!) Kapteyn, Меида Archief voor Wiskivide, B), VII A907), стр. 20—25; Proc.
Section of ScL, К.АШ. van Wet. te Amsterdam, VII A905), стр. 494—500; Каптейн
впоследствии просуммировал и другие ряды, ibid., XIV A912), стр. 962—969.
2) Перестановка суммирования и интегрирования законна, поскольку |*и|>1,
где U п — любые точки контуров.

РЯД НЕЙМАНА И ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ЛОММЕЛЯ 585
где С не зависит от а; взяв а = 0, находим, что С=1/?.
Таким образом, мы имеем:
=xp {J (.-
z — a-\-v)]J0 (v) dv,
где ббльшая часть членов имеет при t = 0 вычет, равный нулю. Следовательно,
т. e.
О) X nJn (Z) Jn <a) = T z — v Ju{OL — v)dv.
n—l 0
Если в каждой из сторон этого равенства отделить нечетные функции z
от четных, то получим:
B) ? B11+1)/ (*)У(«)
что и представляет собой одну из формул Каптейна. Далее,
Та Za " 2«
после интегрирования по частям.
Отсюда следует, что
я=1 О О
это дает вторую формулу Каптейна

586 ГЛАВА XVI
Читателю нетрудно будет доказать с помощью аналогичных методов,
что при R (v) ^ О
D) ?
а
+ 42 Г JAZ V) , , ч -
16.4. Теория рядов Неймана, данная Веббом и Каптейном
Вебб1) изучал ряды Неймана с точки зрения теории функций веществен-
вещественного переменного. Его теорию впоследствии развили Каптейн2) и Бэйтмен3).
Теория оказывается не столь значительной, как это могло бы показаться
с первого взгляда, поскольку, как это станет ясно читателю, приходится иметь
дело с функциями, которые должны вести себя определенным образом, когда
переменное стремится к +оо, и должны, кроме того, удовлетворять слож-
сложному интегральному уравнению. В действительности функции, которые при-
пригодны для этой теории, повидимому, должны входить в класс функций, к
которым приложимы методы теории функций комплексного переменного; даже
для простых функций, построенных с указанной целью, теория функций
вещественного переменного оказалась неприменимой.
Рассматриваемая теория основывается на следующем результате (§ 13.42):
интеграл
оо
dt I °
Т = | 1/Dя
так что если нечетная функция f(x) допускает разложение вида
со
Дх)= V a2n + 1J2n+l(x),
П — Q
и если допустимо почленное интегрирование, то
о
Таким образом, мы находим вероятным выражение
00
со
n — Q
Мы докажем справедливость этого разложения при следующих условиях:
A) интеграл
существует и абсолютно сходится,
1) Webb, Messenger, XXXIII A904). стр. 55.
2) Kapteyn, Messenger, XXXV A906), стр. 122—125.
3) В ate man, Messenger, XXXVI A907), стр. 31—37.

РЯД НЕЙМАНА И ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ЛОММЕЛЯ 587
(II) функция f(t) имеем непрерывную производную при всех положитель-
положительных значениях переменного,
(III) функция f(t) удовлетворяет уравнению
00
B) 2/ (t) = J ^ {/ (v
О
где ? ^ д:.
Сейчас мы переходим к суммированию ряда
для чего прежде всего проверим законность перестановки порядка суммиро-
суммирования и интегрирования. Очевидно, что ряд
сходится равномерно по ? для положительных (сколь угодно больших) значе-
значений t, потому что \J2n{t)\^\ и 2l ^2я + 1 М I сходится. Отсюда, поскольку
интеграл от f(t) абсолютно сходится, можно произвести перестановку, и
тогда, по § 16.32,
{
о о
0 О
v
о о
Преобразуя последний интеграл с помощью § 12.2, получим1):
оо оо
х
У, (и)/(х — и) du =f(x) — [ Уо (и)/' (х — и) da.
Первое преобргоовацие производится при помощи замены
v = х -\-1 — и.

588 глава xvi
Отсюда
00
C) X
о
Положим теперь
f(v) _ | j ^} у {t _|_ W) _j_/(/ — i>)} <ff = F (v),
0
так что F(v) есть непрерывная функция от v> поскольку интеграл от Jx (t)jt
абсолютно сходится.
Далее, если мы желаем иметь S=f(x) для любого значения х в интер-
интервале @, л:), то в этом интервале должно выполняться условие
[jQ(x —
о
о
дифференцируя по х, имеем:
F (х) = J Jx (х — v) F (v) dv.
о
Так как | Jx(x — v) \ < 1 jV~2 и
о
то из выражения для F (х) по индукции находим, что
А-хп
I1 -nl
где Л есть верхняя граница модуля ^(лг)! в рассматриваемом интервале, а
я — любое положительное число.
Полагая п—*оо, получаем, очевидно, что F(x) = Q; таким образом, не-
необходимость уравнения B) установлена.
Достаточность уравнения B) для того, чтобы разложение1) имело
место, очевидна из C).
Каптейн заметил, что функция sin (x cosec а) принадлежит к числу таких,
для которых уравнение B) не выполняется; Бэйтмен пытался поэтому найти
общие признаки решений уравнения B); однако, до сих пор простых при-
признаков не найдено.
[Замечание. Если f(x) — не нечетная функция, то мы разложим две нечетные
функции
Достаточность (но не необходимость) этого уравнения доказал Каптейн.

РЯД НЕЙМАНА И ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ЛОММЕЛЯ 589
каждую в отдельности; тогда, преобразуя второе разложение, легко доказать, что
00
я=0
где *
f(x)Jx(\x\)dx,
— 00
оо
J I х I
(n>0)
— 00
при условии, что удовлетворяются соответствующие интегральные уравнения.]
16.41. Применение трансформации Бореля
Теория рядов Неймана, данная Веббом и Каптейном, которую мы только
что изложили, соприкасается в нескольких местах с теорией, принадлежащей
Кайе 1). Последняя основывается на теории преобразования Бореля. Так, если
/(*)= 2v.
я—о
то функция f(z)R, определяемая рядом
00
f(z)R = 2 cn.n\z",
я—О
который предполагается сходящимся при достаточно малых значениях \z\,
может быть представлена интегралом
О
Функция f(z)^ называется трансформацией Бореля функции f(z).
Если ряд Неймана функции f(z) записать в виде
/(*)= 2 «ЛИ.
то формально мы будем иметь:
—" о
Положим теперь
тогда
ijCalller, Mem. de la Soc. de Phys. de Geneve, XXXIV A902—1905),
стр. 295—368.

590 ГЛАВА XVI
со
Таким образом, если ряд Неймана функции f(z) имеет вид 2j anJn (z)t
со
то сумма ряда 2 aJ>n будет равна
п—о
I ?2/ ( 1 ?2 )
при условии, что эта функция является аналитической вблизи начала ко-
координат.
В более общем случае, если f(z) имеет точку разветвления вблизи
начала координат такую, что
A) /(г)=|«Л,(г),
ТО
Подобным же образом, если
C) /(*)= 2<
п=0
ТО
со
D)
"" " ¦¦¦¦¦¦-- - - ™- ¦ - -_ zyR
[Замечание. Если
со
в*** Sin bz= 2 an^n(z)y
п=\
ТО
Ъа,п 2^A+^)
^
— 2az — 2:2J 4_ 4b*z2 *
Этот результат, который сразу следует из теории Кайе, был выдвинут в качестве
задачи в Mathematical Tripos в 1896 г.]
16.5. Функция Ломмеля двух переменных
Ломмель1) в своем большом мемуаре по дифракции на круглом от-
отверстии и дифракции на прямом угле исследовал с исчерпывающей полнотой
две функции, которые играют в этой теории большую роль и которые
определяются простыми рядами типа Неймана.
Функции с целым индексом п> обозначаемые символами Un (w, z) и
Vn (wy z)y определяются равенствами
V J
\ti Л- 2m
!) L о m m e 1, Abh. der math. phys. С lass e der k. b. Acad^ der Wiss. (Munchen),
XV A886), стр. 229—328, 529—664. В первом мемуаре рассматриваются функции
с целым индексом; определение функции Vn (w, z) отличается в нем от принятого
позже множителем (— 1)". Значительная часть работы Ломмеля воспроизведена
Уокером (J. Wai ker), The Analytical Theory of Light (Cambridge, 1904). Функции Лом-
Ломмеля встречаются в различных задачах физики, что было отмечено Поклингтоном
(Р о с к П n g t о п), Nature, LXXI A905), стр. 607—608.

РЯД НЕЙМАНА И ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ЛОММЕЛЯ 591
B) Vn(w, z) = 2_t (—1)J
Легко видеть из § 2.22 C), что
Последнее равенство можно получить из предшествующего заменой п на
п-\- 1.
Не представляет труда распространить определение A) на функции
с нецелым индексом; для любых значений v мы полагаем
°° / w
E) ^v(^, z)= 2L (—1)™ ("Т
m=zO
Выражение в правой части является целой функцией от z и (при отбра-
отбрасывании множителя w*) целой функцией от w.
Соответствующее обобщение равенства B) приводит к ряду, который сходит-
сходится только при целом v. Следовательно, удобно определять V4 (w, z) для любых,
значений v путем естественного обобщения равенства C), а именно,
F) V4 (w, г) = cos (? + ^ + f) + ^-v+2 К
Очевидно,
G) t/, (w, 2) + ?/,+1 (w, z) = (H.) V, (z),
(8) V, (w,
Из § 2.22 мы выводим частные случаи этих формул:
(9) Uo (z, z) = Vo (z, z) = у {Уо (г) + cos 2},
(Ю) X/,(z,z) = —^(z,z) i
откуда, в силу G) и (8), имеем:
A1) ^(^)=^2,Л^)-4(-1)
A2) U2n+,(z,z) = -
и—1
при условии, что в A1) п^\ и в A2) я
Укажем еще одну формулу, являющуюся обобщением предыдущих:
A3) Vn (да, z) = (— 1)»t/n (г'/w, г).

592 глава xvi
Функции
^ sin
2шЛ COS
оо
), У sm
тесно связанные с функциями Ломмеля, рассматривали соответственно Каптейн,
(К apteyn), Proc. Section of Sci., К. Akad. van Wet. te Amsterdam, VII A905),
стр. 375—376 и Харгрейвс (H a rgre a v e s), Phil. Mag., F), XXXVI A918),
стр. 191—199.
16.51. Дифференциальные уравнения для функций Ломмеля
от двух переменных
Дифференцируя § 16.5 A), мы, очевидно, получим,
откуда
и, следовательно,
Таким образом очевидно, что ?/v (w, z) есть частное решение уравнения
Поскольку общее решение однородного уравнения имеет вид
A cos -z—\~B sin <T- ,
где А и В не зависят от z, то из § 16.5 F) явствует, что V_4+2 (w, z)
также является частным решением. Поэтому I/, (w, z) есть частное решение
уравнения
,оч &У 1 ду , z*y
C) +
Эти уравнения принадлежат Ломмелю (L о га m е 1), Мйпспепег АЪК, XV A866),
стр. 561—563.
16.52. Рекуррентные формулы для функций Ломмеля
от двух переменных
Мы только что получили рекуррентную формулу для ?/v (w, z)y а именно,
Чтобы получить дальнейшие формулы, заметим, что
О тт. ЧГ"Ч
dw v ' ^^
1 х ч / ^. (И .

РЯД НЕЙМАНА И ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ЛОММЕЛЯ 593
и, таким образом,
B) 2^t/v (w, г) = ?/,_! (w, г) + (*М2 ^v+i (w, г).
Далее, дифференцируя § 16.5 F), находим:
C) fzV,,(w,z) = ^^V^(w,z),
D) 2 ^ К, (да, z) = Vy +, (да, г) + (z/w)« l/v_, (да, г).
Если теперь положить w = cz, где с—постоянная, то получим:
E) 2 A ?/v (cz, z) = cUy_, (cz, z) — A jc) tf,+] (cz, z),
F) 2TzV^cz> «) = cK,+ 1(w, г)
Отсюда находим:
= сЧ-2 (Z) -f- C*~2J^ (Z) (C -
Отсюда следует, что ?/v (cz, z) и аналогично l/_v+2 (cz, -г) суть частные
решения уравнения
G) 4g+ (С+7)% = ^Ч-2И + ^ЗД-
Особый интерес представляет случай, когда z = 0; мы имеем:
(8) C/,(w, 0)= ~~
и, таким образом, U^(w, 0) и l/_v+2('I?'' 0) выражаются через функции Ломмеля
от одного переменного с помощью равенств
(9) ?/v(w, 0) =
i
" « - / 1
1
s
;
Написанные здесь формулы A)—(8) взяты из мемуара Ломмеля.
Укажем еще следующие формулы, справедливые при п целом положи-
положительном (включая нуль):
(И) y3Bto0) = (-l)"[«>s-jW-X
A2) U2n + i(w> °) = (— 1)л [siny^— 2j 2^ l{ h
/1 1 \
A3) U_n(w, 0) = cos у^ + уН*

594 глава xvi
Отсюда вытекает, что
A4) V0(w,0)=\, Vn+r(
п
A5) V_2n(w,0) = (—!)« У
2m+l
16.53. Интегральные представления функций Ломмеля
Формулы
A) U^w,z) = ~=-
о
1
u{wz)
B)
2
0
которые справедливы при /?(v)^>0, можно легко проверить, разлагая под-
интегральные выражения по степеням w и пользуясь при почленном интегри-
интегрировании формулой § 12.11 A). Для других значений v эти формулы можно
заменить следующими:
@-Ь)
C) U^(w,z) = — А-г(—zt)-cosier w(\—t*)\.(—tydt,
2iz sin 2vrc J l z '
l
@+)
где фазовый угол переменного —t увеличивается от —тг до тг, когда t опи-
описывает контур.
Очевидно, что при R (v) ^> 0
1
(о) C/V(w, z)±tU^1(w,z) = ~ri^J^l(zt)exp{±l-lw(\— fi)} ^ dt.
Видоизменяя эту формулу, можно получить интегральные представления
функции Vv (w, z), справедливые для положительных значений w и z. Рас-
Рассмотрим выражение
00
-^ j Л-1 (^) exp {± y w A — *2)} ¦ Г dt.
О
Этот интеграл сходится в нижнем пределе при R (v) ^> 0 и в верхнем пре-
деле при R(y)<^-^, если только w и z положительны.
Чтобы вычислить последний интеграл, будем вращать путь интегриро-
интегрирования вокруг начала, пока он не совпадет с лучом arg^ = ^p-j-TT, причем

РЯД НЕЙМАНА И ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ЛОММЕЛЯ 595
знак выберем в соответствии со знаком в интеграле; такое видоизменение
контура допустимо, в силу леммы Жордана *).
Разлагая полученный интеграл по возрастающим степеням z, как и
в § 13.3, находим:
о
v 2m
9v-i iU
ооехр(ч=
Г
J
т. е.
00
/о\ w^ Г т
F) -^zij A-i
о
Объединяя результаты, содержащиеся в этой формуле, находим, что
если w > 0, z > 0 и 0 < /? (v)< |-, то
G) 7^
0
oo
(8) J*L Г
о
Из A) и B) в сочетании с § 16.5 F) легко вытекает, что
00
v Г ( 1
(9) K2-.v (^» ^) = VZT ^-i(**)cos|yw(l
i
00
A0)
Поскольку не требуется сходимости в начале координат, ограничение
/?(v)^>0 может быть снято, в силу основного принципа аналитического про-
продолжения.
В измененных обозначениях имеем:
(И)
*) В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. 3, гл. IV, § 131 A939 г.),
стр. 429. (Прим. ред.)

596 ГЛАВА XVI
A2) V^_1(w,z) = —±F-.
1
при условии, что w и z положительны и R (v) ^> тт .
Отметим еще следующие формулы:
1
A3) jhs^ill = J J2n_x (Zt) cos { 1 г A — /2)} • **»# =
A4) U2n+\{ZrZ)=^2n (zt) cos { \ zI1 —
0
1
sin { \ z
!
о
Далее, из F) мы находим:
A5) I Jv_j B*0 exp
о
и, в частности,
A6) \ Л(^) • \-Fr\tdt=
v ; J °v f sin \ 2 У
0
со
_L sin
w cos
б
Последние формулы можно сравнить с § 13.3; см. также Харди (Hardy), Trans.
Camb. Phil. Soc, XXI A912), стр. 10—11.
Каждую из/ формул этого параграфа можно найти в первом или во втором из
мемуаров Ломмеля.
16.54. Формулы обращения, полученные Ломмелем
Из § 16.5A3) видно, что функции типа Uv(z2/w, z) тесно связаны
с функциями типа U^(w, z) при услоеиа, что v — целое.
Чтобы выяснить значение этих соотношений, заметим, что
= — zJs (zt) sin (I wtA .
я,
A) ~ J
Интегрируя, находим:
l
Л (zt) sin [\wt*) P-* dt =
0

РЯД НЕЙМАНА И ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ЛОММЕЛЯ 597
и аналогично
1
B) -^-^ JA*t) cos ^
Отсюда следует, что
1
C) -^г f Л-v (zt) cos { i да A — П) ¦ Р dt ==
z о
= -MI4+si4 w-^-(l' °) +cos 5 ••"-(?• o)
и
1
D) -^J'{i}
последние интегралы отличаются от соответствующих интегралов предыду-
предыдущего параграфа только знаком индекса бесселевой функции.
Читатель может найти несколько дополнительных формул, содержащих функции
Ломмеля, в статье Шафхейтлина (S с h a f h e i t \i n), Berliner Sitzungsberichte
VIII A909), стр. 62—67.
16.55. Формулы псевдосложения для функций
с индексами "%• и ~9
Ломмель получил несколько весьма любопытных формул, связав функции
типа ?/, (wy z) с функциями такого же типа, в которых второе переменное есть
1 3
нуль, при условии, что v равно у или у.
Полагая в § 16.53E) v==-^-, мы получим:
L(w, z) ± iUs(w9 г)= (~^j 2 Jexp {±l (±w — zt~-±-wt^ } dt
о
Взяв теперь
2w '
находим:
, z) ± /C/з (tw, г) = <г*'*(±у j ехр{±«"A —

598
глава xvi
где в интегралах положено
и Mi V % определяются условиями г)
Отсюда имеем:
UL(w, z)±
2
*. 0) ± lUb_ Bа, 0)} +
/i B«, 0)± И/з B5, 0)}
2 2
Г ехр {+01A — S2)},
Взяв в последних двух интегралах а$2 и 8?2 соответственно за новые
переменные, обнаруживаем, что эти интегралы взаимно уничтожаются; таким
образом, мы имеем:
(J) U±(w9 z) ± /(/зК г) = ±е*** {UlBg, 0)±iU* Ba, 0)} +
2 2 2 2
+ *е±щикBЬ, 0)±iUs B8, 0)}
2 2
и как следствие —
B) UL(z, z)
z (z, z)= \ e^* {Uk{Az, 0)±iUz Dz, 0)}.
2^ 2
Эти формулы принадлежат Ломмелю (Lommel), Miinchener АЬКУ XV A886),
стр. 601—605; они воспроизведены Уокером (Walker), The Analytical Theory of
Light (Cambridge, 1904), стр. 401—402.
16.56. Интегралы Френеля
Легко видеть из § 16.53 A) и B), что при /?(v)>0
1
1
(w, 0) = y_?y J ^~1 sin { i w A -
at,
l) Они не совпадают с условиями Ломмеля.

РЯД НЕЙМАНА И ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ЛОММЕЛЯ 599
так что
A)
«2> fSfjJ
J sin (i
Полагая v = ^ и тт w = z = 77 пи2, мы находим:
Г /1 \ 1 Г 12\2 , ^ 1 Г г
C) cos T^Tti2) dt= тт h cos/J/=:^\ У ^iftdt —
0 0 0 J
= [г/А B2:, 0) cos z + f/3 B2:, 0) sin 2:]/1^2
2 2
B2:, 0) sin ,г+^3 B2:, (
= [г/1 B2:, 0) sin 2: — U1 Bz, 0) cos 2:J/|/2 =
2 2
= i — lVk Bz> 0)cosz—V3 Bz, 0) sin4/|/2.
z 2 2
Мы получаем, таким образом, ряды по возрастающим степеням и асимп-
асимптотические разложения для интегралов Френеля1^
Й »
r /i \ Г /i \
I cos ^2 ^y ^' J SinV2 t^2) dt'
о о
Ряд по возрастающим степеням, впервые данный Кнокенхауэром (Knocken-
hauer), Ann, der Physik und Chemie, B), XLI A837), стр. 104, легко выводится из
//-рядов, а именно:
f,0,= (if {?-!$&+...}.
2
J) Fresnel, Mem. de I'Acad. des Sci.y V A818), стр. 339; [Oeuvres, I A866),
стр. 176].

600 ГЛАВА XVI
тогда как асимптотические разложения, данные Коши (С а и с h у), Comptes Rendas,
XV A842), стр. 554, 573, столь же легко получаются из \Арядов, а именно:
(8)
Таблицы интегралов Френеля были составлены Жильбером (G i I b е г t), Mem.
couronnees de I'Acad. R.des Sci.de Bruxelles, XXXI A863), стр. 1—52 и Линдштедтом
(Lindstedt), Ann. der Physik und Chemie, C), XVII A882), стр. 720, а также Лом-
мелем в своем втором мемуаре.
Ломмель дал различные представления интеграла Френеля в виде рядов;
эти представления являются частными случаями формул 1)
(9)
/г = О
Их легко проверить при помощи дифференцирования. Вот еще две фор-
формулы Ломмеля:
z з. г °°
(И) \J 1(t)dt = 21cO3±z\4?t(-iyj (±z)] +
2
A2)
0 2
Они также могут быть проверены путем дифференцирования.
16.57. Интегралы Харди для функций Ломмеля
Тот факт, что интегралы
00 00
Г ( г Ъ\ dt Г . ( м b\ tdt
cos [at— — 1 _^_ , sin! atf — yj y-^2
о о
могут быть выражены через элементарные функции2), если только а и Ь
х) В (9) предполагается, что R (v) > — 1.
2) Hardy, Quarterly Journal, XXXII A901), стр. 374. Когда берется нижний знак,
то рассматривается главное значение интегралов.

РЯД НЕЙМАНА И ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ЛОММЕЛЯ 601
положительны, привел Харди *) к рассмотрению интегралов
00 00
, Ь
+ ^
о о
он нашел, что эти интегралы выражаются через функции Ломмеля от двух
переменных с индексами нуль и единица. Этот результат имеет интерес благо-
благодаря тому обстоятельству, что большинство интегралов, представляющих
такие функции, содержит под знаком интеграла бесселевы функции.
Написав \\t вместо t, находим:
оо оо
/1 ч Г .. Л а I Ь \ dt , [ / LA , a \ dt
о о
, b\ tdt , f . / А , b\ dt Г . /' , а\ tdt
о o
и так как, в силу § 6.13 C),
о
то можно ограничиться случаем, когда Ь<^а. Положим теперь
1
с помощью подстановок t = ceau chu = x находим:
оо оо
I » \ dt Г cos (x ch и) du
—00
\cea+\l(ce)u + ce-+\nce-*)}du==
00
аА-Ь Г cos (xz) - x d?
1
Рассмотрим теперь
1 Г g^TrfT
2ic/J (G2_|_x2)-j/^Zi '
где контур Г состоит из действительной оси и большой полуокружности,
расположенной над ней, причем вокруг г = ± 1 сделаны обходы по полуокруж-
полуокружностям, лежащим в верхней полуплоскости.
Единственным полюсом гюдинтегрального выражения является /6 и, таким
образом,
Г
/ J
eixx
21С/ J (Q2 _|_ Х2)ух2_1 2/
*) Hardy, Messenger, XXXVIII A909), стр. 129—132.

602 ГЛАВА XVI
Когда радиус большой полуокружности стремится к бесконечности, то
взятый вдоль нее интеграл, по лемме Жордана, стремится к нулю, откуда
00 1
Г cos(.r:)'TdT | 1 Г sin (xx)>-zdx пе~х®
J @2 __[_ Х2) Y^^J ~1~ T J^(Q2+x2)Yl __Т2 2/»МЛ '
Мы, таким образом, имеем:
00 , _ v К
Г ( +А-Ь\ dt тс^ а-\- Ъ fsin(jccos<p)*cos
J С0Чat-T-TJ Т+р— 2 2F"J
о о
Ho
cos
так что мы получаем:
C)
0
Аналогично находим х):
D) JslnU + yJr^ = =?-5 ^22c22WW^
ОО rv-s
E) pfcos(a< + 4)r31F = T
OO
F) pj.
oo
sin
0
Последние две формулы можно переписать в виде
оо
cos (S +
G) Ul(w, x)+ Vl{w, x)= -LP j
0
00
. (хЧ
(8) U2 (w, x) + Vo (w, *)=—| P j sin (g + 5) 1^7-3 •
при условии, что
16.58. Интегралы типа Жилъбера для функции Ломмеля
Функции U^(w, z) и V^(w, z), очевидно, можно представить интегралами,
если в соответствующий ряд вместо каждой бесселевой функции подставить
Ц Детали рассуждений можно найти в цитированной статье Харди.

РЯД НЕЙМАНА И ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ЛОММЕЛЯ 603
интеграл Бесселя — Шлефли из § 6.2. Таким образом, мы получим:
оо @±)
expir — • dt
Когда контур выбран лежащим целиком вне круга |tf| = -— \w\, можно
изменить порядок суммирования и интегрирования; тогда мы получим;
(о+, ?*?)
Вычеты подинтегрального выражения в ЧЬ — to равны
и, таким образом,
@4-)
—оо
Вводя незначительные изменения в обозначениях, находим, что
(о+)
г)— ! Г
Т'
причем, в этом интеграле, точки ^to лежат вне контура.
Вообще невозможно видоизменить контур в B) так, чтобы он превра-
превратился в действительную отрицательную полуось, взятую дважды, так как под-
интегральное выражение обладает в начале координат существенной особен-
особенностью. Исключением будет случай 2 = 0, так как при этом существенная
особенность исчезает и
@-1) 1/
откуда
°°erxpfa
n\ sin VTC l и е
>0)=" J i+
О
при условии^ что /? (v) }> 0 и а — острый угол (положительный или отрица-
отрицательный) такой, что
тт.

604 ГЛАВА XVI
1 3
Если v равно — или —, то интеграл в правой части D) носит название инте-
2 2*
грала Жильбера1).
Формула D) была получена Ломмелем2) из формулы § 16.53 A1) путем преобра-
преобразований несобственных интегралов.
Если v и w положительны, то из D) вытекает, что V^(w, 0) совпадает по знаку
и численно меньше, чем
Аналогичное неравенство, являющееся, однако, менее точным, было получено
Ломмелем.
Читатель заметит также, что V^{wy 0)/sin vis есть положительная убывающая функ-
функция от w, если w положительно.
16.59. Асимптотические разложения функций Ломмеля от двух
переменных
Из интегралов Жильбера легко вывести асимптотические разложения для
VH(w, 0) и UH(w, 0) при больших значениях \w\; по § 16.5 (8), мы имеем:
р-\
УА^ 0)= X — {Т
т=0 ГA—V—2/И).
где р — любое целое положительное число. Мы выберем р столь большим,
что /?(v-f-2p)>0; тогда, по § 16.58 D), имеем:
ооехр/а
ооехр/а
1 о
где \w\ велик и, как и в аналогичном рассуждении §7.2,
Отсюда для рассматриваемых значений w имеем:
Когда v-j-2p и w положительны, (—\)р Kv+2 (w, 0) совпадает по знаку
и численно меньше чем
оо
— ~uw i 1 \Р
!) Gilbert, Mem. couronnees de VAcad. R. des Set. de Bruxelles, XXXI A863),
стр. 1—52. ;
2) Loramel, Munchener Abh.y XV A886), стр. 582—585.

РЯД НЕЙМАНА И ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ЛОММЕЛЯ 605
так что остаток после р членов в A) имеет тот же знак, и численно меньше,
чем (р-\- 1)-й член.
Подобным же образом можно доказать, на основании § 16.53 A1), что
оо
B) 1/ (w, z) - X (— l )m (zW+2m J-,-2ln (*)
т = 0
при условии, что \w\ велико, a v и z фиксированы; однако, найти простое
выражение для величины и знака остатка ряда затруднительно.
Из § 16.5 F) очевидно, что соответствующие формулы для U^(w9z)
будут иметь вид
C) Ц(«,0)^сов(т«,-1уп)+У 2,
4 J m=o i(v — 1— 2m){^—wj
D) U^ (w, z) -v, cos ( — w -j- у ^/^ 2~V7T
Эти результаты были указаны Ломмелем {), однако, он не дал сколько-ни-
сколько-нибудь подробного их исследования.
Асимптотические разложения для Vv (ex, х) при v = 0 илиv^=l и фикси-
фиксированном с, а х большом и положительном, изучил Мэйолл2).
Главный член для любых (вещественных) значений v, больших чем — — ,
легко находится из § 16.53 A2); из его выражения следует, что
VAcx, х) с4т| (?f C0S (Л + —
1
Теперь, если с^>1, то с возрастанием t от 1 до сю функции
— гл: A—t2) Ч- f х^ -[~ "VTt — X ^J ИЗменяются монотонно; отсюда путем ин-
интегрирования по частям получается, что
E)
при этом следующий член разложения будет иметь порядок О(х 2).
Если же с<^\, то у<?хA—t2) -J- / xt -\- •— vtt—х71) » как Функция
от t, имеет в 1/с максимум; отсюда, пб принципу стационарной фазы (§ 8.2),
вытекает, что
F) Vv (сх, х) -^ -—: ее
!) L от га el, Munchener Abh.y XV A886), стр. 540, 572—573.
2) May all, Proc. Camb. Phil. Soc, IX A898), стр. 259—269.

606 ГЛАВА XVI
Наконец, когда с=\, то точка максимума находится на одном из концов
области интегрирования, так что выражение в правой части F) должно быть
уменьшено вдвое. Следовательно, мы получаем:
G) fv(*,*)- |( |)
Это равенство, так же как и равенства E) и F), выведено в предполо-
предположении, что v*^> — —; справедливость всех этих трех равенств может быть
доказана для любых действительных значений v с помощью рекуррентной
формулы § 16.5 (8).

Глава XVII
РЯДЫ КАПТЕЙНА
17.1. Определение ряда Каптейна
Ряды вида
с фиксированным индексом v1) и постоянными коэффициентами ап называются
рядами Каптейна.
Эти ряды, как функции комплексного переменного, впервые систематиче-
систематически исследовал Каптейн2) в мемуаре, опубликованном в 1893 г. В своем
мемуаре он изучал вопрос о возможности разложения произвольной функции
в ряд указанного вида и вообще пытался поставить теорию этих рядов в
положение, подобное тому, которое занимали к тому времени ряды Неймана.
Хотя свойства рядов Каптейна носят, вообще, более сложный характер,
чем свойства рядов Неймана, ряды Каптейна имеют большее практическое
значение; они впервые появились у Лагранжа3) при решении задачи Кеплера
и затем через полстолетия при решении той же задачи у Бесселя4); связан-
связанные с ними ряды встречаются в задачах об эллиптическом движении тел под
влиянием сил, действующих по закону обратных квадратов; задача Кеплера
среди них наиболее типична. Позже они нашли применение в работах Шотта5)
по теории электромагнитного излучения.
Астрономические задачи, в которых переменные всегда бывают веще-
вещественными, проще по своему характеру, чем задачи, рассмотренные Каптей-
ном. Чтобы изложить теорию рядов Каптейна, лучше всего начать с рядов,
встречающихся при изучении эллиптического движения.
17.2. Задача Кеплера и связанные с ней задана в исследовании
Бесселя
В этом параграфе при изучении движения частицы по эллипсу под дей-
действием центральной силы, направленной к фокусу и притягивающей точку по
закону обратных квадратов, мы примем следующие обозначения.
Большую полуось, малую полуось и эксцентриситет эллипса обозначим соот-
соответственно через а, Ь и е. Оси эллипса примем за координатные оси, причем
направление оси х установим от центра эллипса к притягивающему фокусу. Этот
притягивающий фокус возьмем за начало полярных координат, причем радиус-
вектор частицы обозначим через г; истинную аномалию, т. е. угол между
!) Большей частью мы будем предполагать, что v равно нулю.
2) Kapteyn, Ann. sci. de VEcole norm, sup., C), X A893), стр. 91—120.
3) La grange, Hist, de VAcad. R. des Sci. de Berlin, XXV A769) [1770], стр.
204-233. [Oeuvres, III A869), стр. 113—138.]
4) В ess el, Berliner Abh. A816—7), [1819], стр. 49—55.
5) Schott, Electromagnetic Radiation (Cambridge, 1912).

ГЛАВА XVII
радиусом-вектором и осью х обозначим через w. Эксцентрическую аномалию,
т. е. эксцентрический угол частицы на эллипсе *), обозначим через Е. Время,
отсчитываемое от того момента, когда частица находится в положительном
конце главной оси, обозначим через t.
Средняя аномалия М, по определению, есть угол, на который повер-
повернулся бы радиус-вектор за время t, вращаясь равномерно с тем же периодом,
что и у действительного движения.
Уравнения эллипса, определяющие его геометрические свойства, имеют
вид !)
A)
l-^-ecosw
из них можно вывести уравнения
B) tgl^^
C)
sin w
1 — г cos E
1 -|- S COS W
если же проинтегрировать уравнения движения, (аналитическое выражение
второго закона Кеплера), то получим уравнение
D)
М=Е
Задача Кеплера состоит в том, чтобы найти координаты г, w, E, опре-
определяющие положение частицы2) в функции времени t, иными словами, в функ-
функции от М. При этом, конечно, предполагается, что переменные вещественны
и, поскольку движение совершается по эллипсу (или, в предельном случае, по
параболе), что 0<^г^1
Решение задачи, предложенное Лагранжем, носило приближенный ха-
характер, так как он вычислял только немногие начальные члены разложений
для Е и г.
Более полное решение, данное Бесселем, основано на том обстоятельстве,
что D) определяет Е как непрерывную возрастающую функцию от М и та-
такую, что, при увеличении М на 2тс, Е возрастает также на 2тг.
Таким образом, любая функция от Е с ограниченным полным изменением
является также функцией от М с ограниченным полным изменением и, следо-
следовательно, функции от Е могут быть разложены в ряды Фурье по функциям
sin nM и cos nM.
В частности, esinZ; есть нечетная периодическая функция от М и, таким
образом, для всех вещественных значений Е ее можно разложить в ряд Фурье
по синусам:
00
ssinE= 2 Ап sin nM,
1
*) Точное определение: эксцентрическая аномалия есть угол, образованный
большой полуосью и направлением от центра эллипса к точке пересечения перпенди-
перпендикуляра к большой полуоси, проведенного через текущую точку эллипса, с описанной
окружностью эллипса. (Прим. ред.)
!) Вывод этих уравнений можно найти в любом учебнике астрономии или дина-
динамики точки. [См., напр., Э. Стремгрен и Б. Стрем грен, Астрономия, М.-Л.,
1941 г., § 121, стр. 178—179. {Прим. ред).}
2) Сам Кеплер выражал Е через М.

РЯДЫ КАПТЕЙНА 609
где
Ап = — esinEsinnMdM =
о
тс
Г 2s sin E cos пМ~]к , 2 Г A/rd(s sin ?) ...
= j » cos #714 ¦ ^..—- dM=
[_ яте Jo ' «TtJ rf/И
о
тс
2 Г
= —
/гтс J
о
cos/гЖ
2 1 2
= — I cos nM-dE = — Jn (m).
mz J n n v
о
Следовательно,
CO
( ) ~ ~uJ
этим достигнуто полное аналитическое решение задачи Кеплера об эксцентри-
эксцентрической аномалии. Ряд в правой части является рядом Каптейна, который быстро
сходится при е<^1 и остается сходящимся и при е=1 (ср. §§ 8.4; 8.42).
Подобным же образом радиус-вектор можно разложить в ряд по косину-
косинусам; мы имеем:
со
— == ^о ~\~ / л Вп cos пЛ4,
я=1
где
тс
0 = -i 1A — г cos E)dM =
о
тс J
О
а при
я = ~ A —ec
о
J 0 ' «тс J
О
тс
= _ g Г sin E sin (л? — /is sin ЩйЕ=—Ц J'n(ne),
о
и, таким образом,
со
F) ? = 1 -f 1 ?2 - ? |- У'„(яе) cos яЖ.

610 ГЛАВА XVII
Разложение истинной аномалии можно получить, основываясь на том, что
w — М есть нечетная периодическая функция от М, так что
оо
w—м = 2 сп s*
П — \
где
тс
{M) sin nM dM=
о
L яте Jo ¦ яте J
cos nM • f — —
б
= 1 cositAf %dE =
пъ J dE
о
тс
Г cos (пЕ — пе sin Е) ,р
J 1 — s cos ?
Последнее выражение не является столь простым, как Ап и Вп. Лучший
способ его вычисления предложил Бессельх), использовавший разложение
где
Подставив этот ряд в выражение Сп, находим:
00
Г
17.21. Разложения, связанные с разложениями Кеплера — Бесселя
Широкий класс выражений, связанных с радиусом-вектором, истинной ано-
аномалией и эксцентрической аномалией, можно разлагать в ряды, которые в
большинстве принадлежат к типу рассмотренных выше. Эти ряды были систе-
систематически изучены Герцем 2); мы здесь рассмотрим некоторые из них, наиболее
важные; все они получаются по правилу Фурье, и, повидимому, нет необхо-
необходимости приводить подробные доказательства, которые читатель без труда
может построить самостоятельно.
Прежде всего, мы имеем:
г cos w = x — ае =
1) Bessel, Berliner Abh., A824) [1826], стр. 42.
2) Herz, Astr. Nach., GVII A884), столбцы 17—28. Несколько разложений нашел
также Плана (Plan a), Mem. delta R. Acad. delle Sci. di Torino, B), X A849),
стр. 249—332. Вопросами.сходимости этих рядов занимался Коши (Gauchy) Comptes
Rendus, XVIII A844), стр. 625—643 [Oeuvres, A), VIII A893), стр. 168—188.]

РЯДЫ КАПТЕЙНА 611
так что
A* COS W
(I)
и
у оо
/r»\ A*S\tlZ2> Ъ . j-, *|/1 —S2 V^ 2
B) sin? *2
а а -
тогда как
C)
Далее, если т — любое целое положительное число1), то
Xs» 1
D) cosmE = m 2^~{Jn-m(n€) — Jn+m(ne)\ cos nM,
оо j
E) sinmE = m ? —{Jn_m(ne) -{-Jn+m (tie)} sin nM.
Разложение а\г весьма просто, а именно,
00
п v^
Разложения cos^ и sin^ имеют вид
G) cos w= —e-| У\ 2Jn(ne) cos nM,
(8) sin w = У \ —e2 2^ 2J'n (ne) sin nM.
Разложения cosw/r2, sinwjr2 имеют простой вид, а именно,
(9) ~ cos w = ^1 ^n^n (ne) cos n^>
i 00
a2 V1 e2 v^
A0) -2 sin^ = z > 2/i7w (яе) sin nM.
[Замечание. Как указал Плуммер (Plummer), Dynamical Astronomy (Camb-
(Cambridge, 1918), стр. 39, последние формулы легко выводятся из декартовых уравнений
движения в форме
d2x .a^zosw Л d2y .
в сочетании с A) и B)].
!) Из C) очевидно, что разложение D) при /тг, равном единице, должно быть
изменено путем добавления постоянного члена. Эти две формулы были даны Якоби
(J ас obi), Astr. Nach.t XXVIII A849), столбец 69 [Ges. Math. Werke, VII A891),
стр. 149J.

612 ГЛАВА XVII
17.22. Сумма рядов Каптейна специального вида
Читатель заметит, что разложения четных функций от М упрощаются,
если брать частицу на одном из концов главной оси, так как в этом случае
все три аномалии оказываются равными 0 или тт, а радиус-вектор равным
а(\—е) или а(\-\-г). Пользуясь результатами предыдущего параграфа, мы
получаем, таким образом, следующие формулы, которые были даны Герцем
в уже упоминавшемся мемуаре:
m х 4- х ?— У Г"{пг) 1— ] е—У ( \\n-x J»{nt)
/2 = 1 П = 1
— ? °О JL? 00
B) rzre T^T
/2 = 1 ~ П=:1
C)
В более общем случае, дифференцируя равенство § 17.21 F), мы получаем:
00
* ' 2 \_dM2m 1 — в cos Е\ м=о -^ '
E) к
Поскольку ttj^^tz: н If* выРажения в л^вой части D) и E), при на-
наличии достаточного времени, могут быть вычислены для любого целого поло-
положительного т.
Далее, если мы будем рассматривать е и М как независимые переменные,
то легко видеть, что
д ( 1 1 cos E дЕ_
Тг \ sin?(l— s cos E) / sin2?(l — е cos E) дг
, COS
sin? A — s cos EJ \
s sin E д 1
A — s cos E)% dM 1 —
так что, по § 17.21 F),
i {stafd-.cosg)} = ~2 X nJn(m)s\nnM,
П =1
откуда, интегрируя с нижним пределом е = 0, находим:
оо ?
о
Дифференцируя по М, получим:
cos M • s
~6cos ?"K
Jn (nx) dx*

РЯДЫ КАПТЕЙНА 613
Последние два разложения, повидимому, ранее не были опубликованы.
Выражения, напоминающие правые части (б) и G), неоднократно встречаются
в исследованиях Шотта (S с h о 11), Electromagnetic Radiation (Cambridge, 1912).
Так, Шотт доказал (ibid., стр. ПО), что
(8) X rAf^2m^ = 2(l-^ Ё П2 J Jin{2nX) dx = 6(l-W'
п=1 п=\ О
эти выражения являются частными случаями формул D) и E).
Вторую формулу Шотта можно получить из G), полагая М равным нулю или тс.
17.23. Разложения Мейсселя типа разложений Каптейна
Два чрезвычайно интересных ряда, а именно,
' ?*^ B/г—:
c5?4
были найдены Мейсселем1); он же указал многие следствия их; здесь2) мы
будем предполагать, что 0 <^ s ^ 1 и что ? вещественно.
Чтобы установить справедливость этих разложений, проще всего взять ряд
Фурье 3)
cos 2nM 7г ch (тг — 2Af) 5 1_
лз_|-р 2Esh7iE ' 2«
00
Z
(что справедливо при О^М^тг), заменить Ж на Е—esinZ: и проинтегри*
ровать от 0 до тт. Тогда мы получим:
2-
л=1
7С
_i f
— я J \
О
i-
1 Г f
— 7 J 1
-I-
=1 Г /л
1 J I
ch2Ea-chBs^cos6)
1) Meissel, Л^л Мг^Л., GXXX A892), столбцы 363—368.
2) Обобщение на случай комплексного переменного сделано в § 17.31.
3) См. Legend re, Exercices de Calc. Int., II (Paris, 1817), стр. 166.

614 ГЛАВА XVII
Последнее выражение есть целая четная функция от s, и, таким образом,
на основании формулы Коши1), оно допускает разложение вида2)
1
c0S2m 0 ch 2&0
/И —1
откуда и вытекает первая формула Мейсселя.
Вторая формула получается аналогичным образом из ряда Фурье:
00
V CQSB/z~ *)м
Z- B/z-
Поскольку ряды, полученные из A) и B) с помощью дифференцирования
по ?2, равномерно сходятся в любой ограниченной области значений вещест-
вещественного переменного ?, их можно продифференцировать несколько раз, а затем
положить ?—^0.
Мы, таким образом, находим, что
^^ #2m » ^^ B/z—lJm
полиномы3) от е; первый из них есть четный полином степени 2/я, вто-
второй— нечетный степени 2т—1.
Коэффициенты первого полинома были найдены Месселем для случаев т= 1,2,3,
4, 5; при т =1,2,3 этот полином имеет вид соответственно
?2 ?2 ?4 ?2 5?4 ?6
2"' Y"""8"' ~2"~2+72*
Второй полином при /п=1, 2, 3 имеет вид соответственно
? ? ?3 ? 5s3 . ?5
Мейссель нашел коэффициенты второго полинома также для случаев т = 4, 5.
Наоборот, очевидно, что каждый четный полином степени 2т можно пред-
представить в виде
00
^anJ2nBne),
п=0
!) С аи с h у, Мёт. sur les integrates definies (Paris, 1825), стр. 40. Ср. Курс со-
современного анализа, ч. 2, стр. 41.
2) Легко убедиться, что член не зависящий от ?, обращается в нуль.
3) Заметим, что коэффициенты при ?2w и s2»* в соответствующих полиномах
не равны нулю. Они равны
(— \)т'1 {—\)т'1
\)
2-(mlJ 2-12. З2...Bш—1J*

РЯДЫ КАПТЕЙНА 615
а каждый нечетный полином степени 2т — 1 — в виде
n=Q
где ап и Ьп суть четные полиномы соответственно от \\п и \/Bп— 1) сте-
степени 2т.
17.3. Простые ряды Каптейна с комплексными переменными
В § 17.1 упоминалось, что вообще ряды Каптейна носят более тонкий
характер, чем ряды Неймана; мы сейчас укажем одно характерное различие
между этими двумя типами рядов.
В случае рядов Неймана вообще возможно разложить каждую бесселеву
функцию по степеням аргумента, а затем перегруппировать члены полученного
двойного ряда так, чтобы область его сходимости совпадала с областью схо-
сходимости исходного ряда.
Соответствующие свойства ряда Каптейна будут совсем другими; дейст-
действительно, ряд Каптейна
сходится и представляет собой аналитическую функцию (ср. § 8.7) в области,
где
1
тогда как двойной ряд, получающийся при разложении каждой бесселевой
функции по степеням z, абсолютно сходится только в области, где
при этом последняя область меньше первой; так, например, если предел
в правой части равен 1, первая область ограничена кривой, изображенной на
фиг. 24 § 8.7, в которой больший диаметр соединяет точки + 1, а меньший —
точки Н-/ X 0,6627434, тогда как вторая область1) есть внутренность круга
|| ,6627434.
Таким образом, если при рассуждениях с рядами Каптейна применяется
метод разложения в двойной ряд, мы в лучшем случае доказываем теоремы
лишь для части той области, в которой они в действительности справедливы;
распространение же доказательства на оставшуюся часть области должно опи-
опираться либо на принцип аналитического продолжения, либо основываться на
совершенно иных методах.
В качестве примера метода, который применяется в подобных случаях,
мы приведем данное Каптейном2) доказательство теоремы о том, что
П—\
х) О величине этой области см, Puiseux, Journal de Math., XIV A849),
стр. 33—39, 242—246.
2) Kapteyn, Nieuw Archief voor Wiskunde, XX A893), стр. 123—126; Ann. scL
de VEcole norm, sup., C), X A893), стр. 96—102.

616
ГЛАВА XVII
при условии, что z находится в открытой области
В последующих рассуждениях эта область будет специально обозначена
через К; она представляет собой внутренность кривой, изображенной на
фиг. 24 § 8.7.
Формула A) подсказана, конечно, формулой § 17.22 B).
Чтобы установить справедливость этого разложения, положим
exp {l*(f_
тогда нужно будет доказать, что S (z) = 1/A—z).
Если можно подобрать окружность Г с центром в начале координат та-
такого радиуса, что на ней справедливо неравенство
B)
то, поскольку
будет иметь место равенство
C)
Чтобы исследовать B), воспользуемся рассуждениями § 8.7. Если,г = р?/а,
t = eu+®, где р, и, а, 6 все вещественны (причем р и и положительны), то B)
удовлетворяется для всех значений 6 при условии, что
-^-i exp {!*(*_
р У sh2a + sin2a — и < О,
и если и выбрано так, что левая часть последнего выражения имеет наимень-
наименьшее значение, то это значение будет равно (§ 8.7)
гехр У\— z2
In
— z*
и оно будет отрицательным, если z находится в области К- Таким образом,
когда z лежит в области ДГ, можно подобрать положительное а такое, что
при \t\ = eu выполняется неравенство B).
Далее, если заменить в C) t на 1/tf, то получим:
D)
где у обозначает окружность | t\ = e

РЯДЫ КАПТЕЙНА 617
Объединяя C) и D), находим:
таким образом, 2S (z) равно сумме вычетов под интегрального выражения
в полюсах, находящихся внутри кольца, образованного Г и у.
Мы докажем сейчас, что внутри этого кольца имеется только один полюс1)
и что в таком случае это, очевидно, будет точка t=\.
Действительно, число полюсов равно
2w j
(r+, T-)
ytj±
dt=
TU
(ТЛЛ
d\x\\ —x
M J
dt
(r+)
Но первый из этих интегралов обращается в нуль; в самом деле, если
положить
то | U | <^ 1 на Г, и рассматриваемое выражение можно записать в виде
причем интеграл от каждого из членов равномерно сходящегося ряда равен нулю.
Следовательно, число корней функций 1 — t ехр | -к z (t — 1//) ?
в кольце равно
Отсюда следует, что 2S (z) равно вычету функции
при ^=1; как легко проверить, этот вычет равен 2/A—z)~
г) Соответствующая часть нашего доказательства проведена, повидимому, более
строго, чем у самого Каптейна.

618 ГЛАВА XVII
Таким образом, доказано, что S(z) равно 1/A—z) всюду в области К,
т. е. всюду в открытой области, где сходится ряд, определяющий S (z).
[Замечание. Можно доказать, что 5 сходится к сумме 1/A — z) всюду и на
границе области К, за исключением точки г==19 однако, для доказательства этого
факта необходимо использовать теоремы типа абелевых; ср. § 17.8.]
17.31. Обобщение разложений Мейсселя на случай комплексных
переменных
Мы сейчас покажем, как получить разложения
¦
Bл—1J-f с2 ~~ 12 + г:21A2 + г:2)(з2 + г:2) •"
+ A2 +С2) C2 +С2) |E2 +С2) +•••»
имеющие место, когда комплексное переменное z находится в области /С,
а комплексное переменное С подчинено единственному очевидному ограниче-
ограничению: ?/ в A) не должно быть целым числом, а в B) — нечетным. Эти фор-
формулы являются очевидными обобщениями формул Мейсселя из § 17.23.
[Замечание. Когда С чисто мнимо, разложения могут быть доказаны с по-
помощью предельного перехода приближением С к мнимой оси; далее, поскольку все
функции, входящие в A) и B), относительно С являются четными, мы не теряем общ-
общности, считая R(Vj положительным.]
Для доказательства этих формул удобно будет сначала обобщить на слу-
случай комплексных переменных разложение я/г, приведенное в § 17.21 F). Итак, мы
берем разложение
оо
1+22 Ja(nz) cosпу,
которое будем обозначать символом S(zy cp), и суммируем его по методу
Каптейна (изложенному в § 17.3), в предположении, что со вещественно и что z
находится в области К. Определим комплексное переменное ф с помощью
равенства
ср = ф — zsinty.
Особенности ф, рассматриваемого как функция от ср, определяются из
уравнения coscj)=l/z, или, что то же самое,—
ср = arc sec z — \ z2 — 1.
Если z лежит в области /С, то ни одно из этих значений ср не является
вещественным *); а когда ср возрастает от 0 до оо, принимая вещественные
!) Легко показать, что вещественные значения у должны были бы удовлетворять
уравнению
откуда вытекало бы, что | е=*=Ъ \ < 1.

РЯДЫ КАПТЕЙНА 619
значения, cb описывает волнистую кривую, которая может быть непрерывно
деформирована в вещественную ось ф-плоскости, причем не придется перехо-
переходить ни через одну особую точку.
Если положить для краткости
то
l — U2 dt
* t '
в обозначениях § 17.3. Применяя методы настоящего параграфа, имеем:
9 1 Г \ — 1Р dt
я> (z, <р) — 2я/ j 1_2f/cos?+ZT2 т .
(г~г» т—)
от/суда вытекает, что 2S(z, cp) равно сумме вычетов подинтегрального
выражения в полюсах, лежащих внутри кольца, ограниченного кривыми Г и у.
Мы сейчас покажем, что существуют только два полюса внутри кольца;
в таком случае этими полюсами, очевидно, будут точки t = *l^
По теореме Коши, число полюсов равно
Г dln(\
1 Г d\n(\ — 2?/cos<p + ?/2) 1 Г
(Г+Т) (Г+
7 J л S J л
(Г+.Т-) (Г+)
(г+)
причем интеграл от каждого члена равномерно сходящегося ряда обращается
в нуль, также как и в § 17.3.
Оба вычета функции
1 —?/2 _1_
1 — 2U cos 'f -f ?/2 " ^
в t = 6=i=ity равны 1/A—zcoscj;); таким образом, при сделанных допущениях,
доказано, что
1 °°
C) 1_-гсО5ф = ! + 2 X У« М C0S W>
ряд в правой части является периодической функцией от ср и сходится рав-
равномерно при всех значениях вещественного переменного ср.
Поэтому при R (?) ^> 0 мы можем умножить последнее выражение на ^~^
и проинтегрировать:
О л=1
Таким образом,
оо
D)

620 ГЛАВА XVII
где за путь интегрирования в ф-плоскости взята волнистая кривая, соответ-
соответствующая в ер-плоскости вещественной оси; по теореме Коши, интеграл не
изменяется, если эту волнистую кривую непрерывно деформировать в веще-
вещественную ось.
Если за путь интегрирования принять вещественную ось, то интеграл
в левой части D) будет целой функцией от z\ ее можно представить в виде
ряда
т\
Меняя всюду знак перед zy получаем две формулы:
П= 1 ТП— 1
Bл —
—Z-i Bщ—1)! J e
m = l О
Sln
Sln
справедливость которых теперь установлена в предположении, что z лежит в
области К и что R (С) У> 0.
Разделяя путь интегрирования на интервалы @, тг), (тг, 2я),... и заме-
1 3
няя в соответствующих интервалах ф на тг-тг-]-^,-^тг4-6,..., мы находим:
Z Z
oo 2
Г i Г
\ е~™ sin2m cp dty = -* \
*) оЬ _ >ггГ •)
II
ОО
"~ С {С2 + I2} {С2 + З2}... {С2 + Bm — Щ '
Подставляя полученные выражения в E) и F) и заменяя в E) ? на 2?,
мы сразу доказываем справедливость A) и B) при i?(Q^>0; метод, с помощью
которого полученные результаты могут быть распространены на остальные
значения С, нами уже был рассмотрен. Таким образом, обобщения разложений
Мейсселя установлены полностью.
17.32. Разложение zn в ряд Каптейна
С помощью обобщенной формулы Мейсселя легко получить разложение
любой целой степени z в ряд Каптейна. Четные и нечетные степени удобнее
будет рассматривать отдельно.

РЯДЫ КАПТЕЙНА 621
В случае четной степени, z2n, мы записываем уравнение § 17.31 A) в
виде
п\ 1 Г2Г(я+1+*С)Г(я + 1—К) у J2mBmz) „__
к ч 2ш J ^2я-1ГA+/ОГA—/С) <" /w2 + C2 at*
W2 = 1
_ J_ f У Г(Я+1+Д0Г(Я+1- К) ,м „„_,,,_, -
v /Я — 1
где за контур интегрирования принята окружность | С | = я4-—.. Так как на
окружности оба ряда сходятся равномерно, если z лежит в области К, то
почленное интегрирование допустимо.
Рассмотрим теперь значение интеграла
— Г
2тс/ J
При т^п вне контура полюсов нет; таким образом, его можно пре-
преобразовать в бесконечно большую окружность, и рассматриваемое выражение
оказывается равным единице; если же т^>п, то полюсы Л^Ьт находятся вне
окружности, и интеграл оказывается равным единице минус сумма вычетов
подинтегрального выражения в этих двух полюсах, т. е. равным
Выражение в левой части A) поэтому равно
Найдем теперь
_1_ Г
2тс/ J
При т^п подинтегральное выражение имеет единственный полюс в на-
начале координат, и если за контур взять бесконечно большую окружность, то
интеграл оказывается равным единице.
Если же т^>п, то внутри окружности | ? | = я-j-тт- полюсов нет, и ин-
интеграл равен нулю.
Таким образом, мы имеем:
B) 2^Л
т = 1 т = п-\-\
Заменяя п на п — 1 и вычитая полученный результат из B), находим:
00
z2" = 2 ]Г
(/n+n—\)\J2m{2mz) 2 у (т + п)\ J2m{2mz)
т = п
и, таким образом,
00
П\ ^2л_9я2 У {rn + n— \)\J2mBmz)

622 ГЛАВА XVII
Если /i=l, уравнение C) можно сразу вывести из уравнения B) без
промежуточных выкладок.
В случае нечетной степени z2n~~l мы записываем уравнение § 17.31B)
в виде
2я/ J
... \Bп — 1J +С2}
X
Z2m~l ?2m-2n—l
Х ^а { I2 + С2} {З2 + С2} . .. {Bт — 1J + С2 J ^
и с помощью аналогичных рассуждений выводим:
E) 2
/^{B/я 1L2 ? jr
I w = «+i (/«—— V -(т — п—1I
Отсюда
F) ^2я-1==2 (л JLV ^ (/У1
Формулы C) и F) можно объединить в одну формулу
/1 \я Д
2г) =П 2-
/72 = О
которая, очевидно, является справедливой во всех точках области К при п,
равном любому из значений 1, 2, 3, ....
Эта формула была найдена Каптейном 1); доказательство, которое здесь
было приведено, значительно короче доказательства Каптейна, хотя и пред-
представляется, возможно, несколько искусственным.
17.33. Исследование ряда Каптейна для zn no методу индукции
Мы сейчас дадим другой метод 2) разложения zn в ряд Каптейна, обла-
обладающий тем преимуществом, что в основе его лежит использование весьма
несложных формул вида
0)
которые были доказаны для случая вещественного переменного в § 17.22 и
для случая комплексного переменного в § 17.3; при этом, конечно, пред-
предполагается, что если z вещественно, то —1<^2<М, а если комплексно,
то оно находится в области К,
1) Kapteyn, Ann. sci. de VEcole norm, sup., C), X A893), стр. 103.
2) Watson, Messenger, XLVI A917), стр. 150—157.

РЯДЫ КАПТЕЙНА 623
Индукция, которой мы будем пользоваться, основана на следующем факте:
00
если сумма f(z) равномерно сходящегося ряда Каптейна V* amJm {mz) изве-
оо т = \
стна, то сумма F(z) ряда ^ пт т 2 может быть получена с помощью
двух квадратур. Чтобы доказать это, заметим, что, дифференцируя почленно,
имеем:
ОО
= 2 ат \z2 J"m (tnz) + {z\m) fm (mz)} =
m — \
и, таким образом,
/
Z тт.
отсюда сразу следует, что F(z) можно выразить через f(z) с помощью двух
квадратур.
Далее, из A) мы имеем:
z2
так что если
TO
Поэтому в области К
где Л и 5—постоянные интегрирования. Полагая z—*0, обнаруживаем, что
Следовательно,
B) г* = 2^ -
Подобным же образом из A) выводим:
откуда
C^ 2 — 2 У
Итак, разложения для zn в случаях я=1, я = 2 найдены.

624 ГЛАВА XVII
Допустим теперь, что, при некотором значении /z, zn можно представить
в виде
00
zn = n2Y* bm,nJm{mz),
и рассмотрим функцию v(z), определенную равенством
00
ср (z) =(п-\- 2J ^ т ~п Ьт^п Jm (mz).
Выполняя дифференцирование, получим:
= (n-\-2Jzn+2.
Интегрируя, находим:
ср (z) = zn+2 -f A' In 2 4" ^'*
Рассматривая поведение ср («г) вблизи начала координат, мы замечаем,
что Л'=?' = 0.
Таким образом, разложение для zn+2 имеет вид
z»+' = {n + 2f S bm,n+2Jm(mz),
т — \
где
fm,n+2 тг ит,п'
По индукции сразу следует, что
т
и, таким образом,
00
z2n = n2 >
•2» — 2„-1-/1 ~Л 6«,2.
т. е,
00
Г {Ш
_Оа72 V Г {Ш + Я> У2т B/W2T)
~ ^ т2п+1?{т — л + 1) J
что и представляет собой уравнение § 17.32 C). Разложение для z24
получается аналогичным образом из разложения для z; мы предоставляем этот
вывод читателю.
Мы получаем, таким образом, разложение
( l ЛП—п2 У
[~2Z -~ ^--
т =
т = О
которое совпадает с разложением из § 17.32, полученным другими методами;
это разложение имеет место в каждой точке области К.

РЯДЫ КАПТЕЙНА 625
Поскольку ряд
00
*-* (п-{-2т)п+1-пй
ш "=. О
абсолютно сходится (что вытекает из сравнения с 2 ^1т% разложение D)
сходится равномерно всюду в области К и на ее границе. Поэтому разложе-
разложение справедливо (из соображений непрерывности) на границе области К и, в
частности, в точках 2= Н- 1 так же, как и всюду в области К.
17.34. Разложение функции 1/(*— г) в ряд Каптейна
Из разложения для zn, полученного в двух предыдущих параграфах, мы
можем вывести, следуя Каптейну х), разложение для 1/ (t — z), когда z лежит
в области К, & t находится вне некоторой области, границы которой будут
указаны ниже.
Допуская, что 11 \ ^> | z |, мы имеем:
1 , Vil-ii-V ?? V r(n + m)Jn+2m{(n
я1 л 1
Далее, если
1+VI—2
повторный ряд можно заменить абсолютно сходящимся двойным рядом при
условии, что двойной ряд
00 00
у у 2пп2 Т{п + т)
п = 1 /я = 0 (
сходится. Члены этого ряда меньше членов двойного ряда
у у 2nVn+2m 2Кехр V2
~х _Q m\\t\n+l |*|(|*| — 2VV
при условии, что
Отсюда, если
то можно перегруппировать члены повторного ряда для 1/(* — z); придав ему вид
ряда Каптейна, мы получим формулу
00
A) r~ =OoW + 2 ? Dn(t)Jn(nz),
где 2)
B) ?)„(<)= 1/<,
Ф
г — ж— 1I
71—\
w!f — /it I
1) Kapteyn, Л/г/г, se/. ^ /'?"^о/^ логт. «ир., C), X A893), стр. 113—120.
2) Ср. Kapteyn, Nieuw Archie/ voor Wiskunde, XX A893), стр. 122.

626 ГЛАВА XVII
Из последней формулы можно вывести замечательную теорему, найден-
найденную Каптейном; мы имеем:
< — п < — п
1 ^ (п — т — \)\ 1 у^ (п—2тJ-(п — т—\)\
2~
dtl 4 ^Л ,/ 1 ^\п-2т 4 ^-*Л , / 1 Лп-ът
т = о m\(Tnt)
откуда, по § 9.1B),
так что, по § 9.12 A),
D) ?)я (t) = п A — t2) On (nt) + sin2 ^nn-\-t cos21 /ztt
1
при /z= 1,2,3,....
Итак, полином Каптейна ?)п (t) выражается через полином Ней-
Неймана On(nt).
Можно расширить область, в которой справедливо разложение A); дей-
действительно, из § 8.7 в сочетании с § 9.17 следует, что ряд в правой части
A) является равномерно сходящимся рядом аналитических функций от z и t>
если z и t лежат в областях, где удовлетворяются неравенства
E)
где
Q(z) =
z exp К 1 — z2
— z2
Поэтому разложение A) справедливо всюду в тех областях, где удовле-
удовлетворяются оба неравенства E).
[Замечание. Мы получим несколько более широкую область значений t, чем
указанная Каптейном, который не использовал теорему § 9 17 и заметил только, что
при 11 \ ^ 1 (в силу положительности коэффициентов ряда для ?)п (t) и D)) имеют
место неравенства
1©(
таким образом, Каптейн доказал, что формула A) справедлива, когда
17.35. Другие выводы разложения функции \\(t — z) в ряд Каптейна
После того как получены явные выражения для коэффициентов разложения
00
Т~ = ©О С) + 2 У ?>п (t) Jn О»*).
в справедливости этого разложения можно убедиться различными способами. Так,
если положить ?)п (t) равной
п A — t2) Оп (nt) + sin2 1 т + t cos21 т,
можно рассмотреть ряд
со
T + f^$2 + 2A~'2) 21 nOn(nt)Jn(nz),
n=zl
подставить вместо бесселевых функций с целым индексом и полиномов Неймана соот-
соответствующие интегралы и привести результат к виду lj(t — z), как это сделано в
§ 9.14; такое рассуждение может представить для читателя несомненный интерес.

РЯДЫ КАПТЕЙНА 627
С другой стороны, если дважды проинтегрировать разложение по zt то получим
со
я-= О
разделив, далее, на 1 — z2 и используя § 17.3 A), находим:
2t2 t (t2 + 3) t* + 6t2-\-l
(t2—- \)(t—zf (t2—\f(t — zf (t2— \f(t —
l) sin2-i/zn: 4* (*2 -f 1) cos2 у/zrc
отсюда легко построить дифференциальное уравнение для ?)п (t) в виде
.i- ^2 _|_ !) sin2i. яя ^ (*2 + 1) cos2 1.
Оя@ (^_1K (^2 — 1K
из которого следует, что
?)n(t) = n(l—t2)On(nt) + sin*jnK + tcos2 jrm + t-i\AnJn(nt)-\-BnYn(nt)\,
где Ап и ^л не зависят от t\ однако, повидимому, нелегко доказать, что Ап = Вп= О'
17.4. Разложение произвольной аналитической функции в ряд
Каптейна
Мы сейчас докажем следующую теорему:
Пусть функция f (z) — аналитическая всюду в области, в которой
Q(z)^a, где а^\.
Тогда во всех внутренних точках z этой области
A) /(*) = о0 + 2 2 an
п = 1
где
а путем интегрирования является кривая, на которой Q{t) = a.
Это утверждение становится очевидным, если подставить равномерно
сходящееся разложение
2и ?>„(*) 4, (л*)>
вместо l/(t — z), в уравнение
поскольку на контуре имеет место Q(t) = a, и если <г лежит внутри контура, то
Q(*)<1 и Q{z)<Q(t).
Эта теорема принадлежит Каптейну.
Если f(z) представлена рядом Маклорена
о

628 ГЛАВА XVII
то легко вывести, что
C)
D) п —1
v ' ип 4
n 4 Jb—d ( i \ n—2m+ 1
17.5. Ряд Каптепна, в котором v я# равно нулю
Можно построить теорию рядов Каптейна вида
00
2 amJ-,*m\
в котором v — не нуль и не целое число, используя разложение степени z".
На основании § 17.33 можно сделать вывод, что
A)
всюду в области К.
Совсем нетрудно установить это разложениег) при | z | <^ 0,6627434;
однако, непосредственного доказательства справедливости разложения в осталь-
остальной части области К нет, и приходится устанавливать справедливость разложе-
разложения с помощью аналитического продолжения.
Чтобы получить разложение внутри указанного круга, разложим ряд в
правой части по степеням z; коэффициент при z"+2r будет иметь вид
Г (v)
у
+l) m = o rn\(r — т)\ Г(у)
При г^1 последний ряд будет полиномом от v степени Зг—1, который,
как известно, тождественно равен нулю, если только v — целое число. Таким
образом, он тождественно равен нулю для всех значений v. Поэтому разложе-
разложение A) может быть установлено внутри круга путем сравнения коэффициентов
при ?* в обеих частях равенства.
Отсюда можно доказать, что при условиях, указанных в § 17.4,
со
<2) ?*
где
7=7= ?«
п =0
<\п
(?\ — 1 У (у + п—2т)
0 I fj
n-2m+l
mlt
1) Для 1 -г|< 0,659 это сделал Нильсен (Nielsen), Ann. sci. de VEcole norm,
sup., C) XVIII A901), стр. 42—46.

РЯДЫ КАПТЕЙНА
629
Нетрудно1) выразить An^{t) через полином Гегенбауэра Ап^ (nt-^-^vt) ,
определенный в § 9.2.
Если f(z) удовлетворяет условиям, определенным в § 17.4, то, как
легко проверить,
D) «"/(*)= S «„, ,/,+„{(*+ «)*},
п — 0
где
E) «„^a
причем интегрирование идет по контуру, охватывающему начало координат;
отсюда
_i V
v 2 +-*
(v +^ — 2mJ Г(v + /г — т) ап_2
1
-—- v -f- п
«m!
где я0, #T,...— коэффициенты ряда Маклорена для f(z).
[Замечание. Якоби в одной из своих более поздних работ (J а с о b i), Astr.
NacK XXVIII A849), столбцы 257—270 [Ges. Math. Werke, VII A891), стр. 175—188],
не соглашался с утверждением Карлини, что некоторые разложения справедливы
только при \z | < 0,663... . Разложения Карлини были получены с помощью пере-
перегруппировки повторных рядов, которая была допустима только в указанной области,
что и объясняет его утверждения, хотя в действительности эти разложения справед-
справедливы во всей области /{.]
17.6. Ряды Каптейна второго рода
Ряды вида
были подробно изучены Нильсеном 2). Однако до сих пор единственными прак-
практически важными3) рядами этого типа оказались некоторые специальные
ряды с jx = v и простыми коэффициентами.
Необходимые для применений результаты получаются с помощью инте-
интегрирования разложения Мейсселя § 17.31 A) после замены z на 2 sin 6. Таким
образом, для всей области К мы получаем:
2 f
* J
Q
так что
откуда заключаем, что 2 ^ (nz)ln2m есть полином от z2 степени т\ сумма
ряда типа 2 п2т^2п (nz)может ^ыть найдена аналогичным образом из соответствую-
соответствующего разложения 2 n2mJ2nBnz).
1) Ср. Nielsen, Ann. set de I'Ecole norm, sup., C), XVIII A901), стр. 60.
2) Nielsen, Ann. sci de VEcole norm, sup., C), XVIII A901), стр. 39—75,
3) Gp. Schott, Electromagnetic Radiation (Cambridge, 1912), гл. VIII.

630 ГЛАВА XVII
Так, Шотт показал,*) что
C)
()
Общий метод, аналогичный изложенному в § 16.14, состоит в использо-
использовании разложения
W2 = 0
которое легко получается из § 17.5 A) и справедливо всюду в области К\
нам не представляется необходимым входить в дальнейшие подробности рас-
рассуждений, которые читатель может провести самостоятельно.
17.7 Ряд Каптейна, сходящийся вне области К
Если __
lim |^ая| = 1,
л-»оо
то, как мы видели, ряд Каптейна ^i0inJn(nz) представляет аналитическую
функцию во всей области К. Если же х вещественно, то \Jn(nx) |<^1, и по-
поэтому ряд сходится во всех точках вещественной оси; при | z | ^> 1 ряд не схо-
сходится в тех точках, которые не лежат на вещественной оси.
Резюмируя2), можно кратко описать поведение ряда Каптейна в следую-
следующих словах: он напоминает степенной ряд всюду в области К и ряд
Фурье — на вещественной оси вне К*
В качестве примера рассмотрим ряд
nz=L\
Очевидно, если <р = ф-—х sin ф, то
S =
0
поскольку ряд Фурье сходится равномерно.
Когда х^>\, у уменьшается при возрастании ф от 0 до arc cos(l/x), a
затем увеличивается до я при возрастании ф от arc cos A/лг) до я. Пусть
т — такое целое число, что минимальное значение ср лежит между — 2тк и
— 2(т-]-\)п, и пусть значения ф, соответствующие значениям со, равным
0, — 2тт, —4тг,..., — 2шг, — 2/шг,..., — 2тг, 0,
будут соответственно у0, у1?. .. ут, ЬтУ tm-v .., Jlf So; тогда
OT_lTr+i *т т-\ ьг * j оо
!) Schott, Electromagnetic Radiation (Cambridge, 1912), стр. 120.
2) На эти аналогии указал проф. Харди.

РЯДЫ КАПТЕЙНА 631
Когда ф лежит в интервалах (уг, уг+1) и (§г, §г+1), сумма ряда под знаком
интеграла равна
и поскольку
(ф — х sin ф) dty = у ф2 + х cos Ф*
(ф — at sin фJ йГф = уф3 +2лг(Ф соэф —sin ф)-}-у *2 (Ф — sin ф cos ф),
((
то без больших затруднений можно показать, что
т
l г=1
Читатель заметит, что с помощью этого метода*) можно суммировать широ-
широкий класс рядов Каптейна.
17.8. Сходимость ряда Каптейна на границе области К
За исключением точек Чз 1» граница области К не представляет особого
интереса, поскольку с помощью асимптотического разложения Дебая исследова-
исследование сходимости ряда. Каптейна ^iOLnJyi+n{(y) -\- n) z) сводится к изучению схо-
сходимости степенного ряда
на
и двух других аналогичных рядов2), получающихся после замены У~п
У
1, У
Точки 4h 1 представляют большой интерес, так как в них обычное асим-
асимптотическое разложение не имеет места. Однако получающийся при этом пробел
заполняется в случае вещественного v следующей теоремой типа Абеля:
Для того чтобы ряд 2 алЛ+л (v -\~п) сходился, а ряд 2 апЛ+я {(v ~Ь п) х\
был непрерывной функцией во всех точках замкнутого интервала3) 0 ^ х ^ 1,
достаточно, чтобы ряд
00
был сходящимся*
A. j_
Так как ^ctjn3 сходится, а последовательность {nj(v-\-ri))z монотонна и
\_
имеет предел при п—*оо, то4) 2an/(v~b^K сходится; и поскольку, по § 8. 54,
1) См. Nielsen, Oversigt К-Danske Videnskaberne$ Selskabs, 1901,стр. 127—146.
2) Еслиа^/У/Г не стремится к_нулю, ряд не может сходиться; если же это отно-
отношение стремится к нулю, To2a«/V«5 абсолютно сходится, и таким образом, заменяя
каждую из бесселевых функций первыми двумя членами асимптотического разложе-
разложения и остаточным членом, получаем, что ряд из остальных членов абсолютно сходится.
3) С возможным исключением точки х = 0 в случае v < 0.
4) См. Bromwich, Theory of Infinite Series, § 19. [Э. Гурса, Курс математиче-
математического анализа, т. I, § 158, стр. 368 A936).]

632 ГЛАВА XVII
(v -f- nK Jy)+n (v -f- п) монотонна и имеет предел при п —* оо , ряд
2аяЛ + я(^ + л) СХОДИТСЯ.
Далее, поскольку
является функцией от п, которая не возрастает с увеличением п при лю-
любых значениях х в замкнутом интервале O^at^I, пользуясь признаком
равномерной сходимостиг) типа Абеля, получаем, что ряд
равномерно сходится (и поэтому дает непрерывную функцию) всюду в зам-
замкнутом интервале 0 ^ х ^ 1, что и доказывает теорему.
Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что если
2«+ сходится, то сходится также и ^ajn3 и, таким образом,
сходимость ряда 2ая/л3 является как необходимым, так и достаточным усло-
условием справедливости теоремы. Тем самым наша теорема оказывается наилучшей
среди аналогичных теорем такого типа2).
!) В г о m v i с h, Theory of Infinite Series, § 44.
2) Это отметил проф. Харди. Ср. Watson, Proc. London Math. Soc, B),
XVI A917), стр. 171—174.

Глава XVIII
РЯДЫ ФУРЬЕ —БЕССЕЛЯ И ДИНИ
18.1. Формальное разложение Фурье для произвольной функции
В своих исследованиях по теории теплопроводности Фурье1) пришел
к необходимости представления произвольной функции f(x) вещественного
переменного х в виде
00
где через Jv у2, /3,... обозначены положительные корни функции J0(z), рас-
расположенные в порядке их возрастания.
Потребность в таком разложении произвольной функции возникла также
в задаче Даниила Бернулли о колебаниях цепи под действием силы тяжести
и в задаче Эйлера о колебаниях круглой мембраны с произвольным симме-
симметричным начальным отклонением (§§ 1.3, 1.5).
Чтобы определить коэффициенты ат разложения, Фурье умножил обе
части равенства A) на xJ0(Jmx) и проинтегрировал в пределах от 0 до 1.
Из § 5.11 следует, что
1 @, тфп,
откуда
B)
rn)
Если теперь изменить смысл обозначения jm и считать, что символы2)
/i» Л> Л» * • * обозначают положительные корни функции J^{z)^ расположенные а
порядке возрастания величины, то, полагая
00
C) /М = 1>тЛ(Ут*)>
мы будем иметь аналогично:
Эта общая формула была найдена Ломмелем 3), однако, как в общем, так
и в частном случае v = 0, указанный способ получения формулы не доказы-
!) Fourier, La Theorie Analytique delaGhaleur(Paris, 1822), § 316—319.
2) Для упрощения формул мы не будем писать значок v; это не вызовет недо-
недоразумения.
3) Lommel, Studien uber die Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1868), стр. 69—73.

634 ГЛАВА XVIII
вает ее справедливости; с его помощью можно лишь определить коэффициенты,
предполагая, что разложение действительно существует и сходится рав-
равномерно.
При известных ограничениях, наложенных на функцию f(x), естественно
ожидать, что разложение окажется справедливым при всех значениях v, для
которых интеграл
1
сходится, т. е. при v^ — 1.
Однако Дини констатировал трудность изучения области — 1 <^ v <^ — -к и
ограничился областью v^ — -^ . Некоторые последующие авторы, доказывая
теоремы для второй из указанных областей, утверждали, что распространение
доказательства на первую область требует лишь более подробной записи;
однако, до 1922 г. никто не взял на себя труда выполнить эту большую и
малоинтересную работу. В наших рассуждениях будет также предполагаться,
что v ^ — -к .
Первая попытка строгого доказательства разложений A) и C) имеется
в нескольких заметках, написанных в 1869 г. Ханкелем 1) и опубликованных
посмертно. Более полное исследование дал Шлефли2) через год после опубли-
опубликования работы Ханкеля; далее, в важной работе Харнака3) разложение C)
было изучено с помощью методов, значительно отличающихся от методов,
которые применялись предшествующими авторами.
Через несколько лет после появления исследований Ханкеля и Шлефли
Дини4) изучил более общее разложение
где ^t, )i2, \,... обозначают положительные корни (расположенные в порядке
возрастания) функции
*-*{*/;(*) +ЯМ*)},
при условии, что v ^з — -к , а Н—некоторая данная постоянная.
Коэффициенты разложения даются формулой
F) {fli-v^OJ + *U2(UI*m = 2P Jtf{t)JA\mt)at.
J
0
В соответствии со способом определения числа \т функция /(х) должна
удовлетворять так называемому «смешанному граничному условию», а именно,
f'(x)-\-Hf(x) должна обращаться в нуль при дг=1.
Разложение E) было рассмотрено Фурье (при v = 0) в задаче о распре-
распределении тепла в излучающем круглом цилиндре. В этой задаче физический
!) Н a n k e I, Math. Ann. VIII A875), стр, 471—494. В этих заметках содержится вывод
интегральной формулы из § 14.4 как предельного случая C).
2) Schlafli, Math. Ann.% X A876), стр. 137—142.
3) Harnack, Leipzig Berichte, XXXIX A887), стр. 191—214; Math. Ann., XXXV
A889), стр. 41—62.
*) Dini, Serie di Fourier (Pisa, 1880), стр. 190—277.

РЯДЫ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ И ДИНИ 635
смысл величины Н есть отношение внешней проводимости цилиндра к его
внутренней проводимости.
Дини указал, что в случае #-|-v = 0 в разложении E) необходимо до-
добавить начальный член *); и хотя в рассуждениях Дини содержится числовая
ошибка, за это открытие справедливее было бы называть рассматриваемое
разложение именем Дини, нежели именем Фурье.
Исследования, о которых только что упоминалось, опираются в конечном
счете на ряд лемм, которые доказываются с помощью теоремы Коши о вы-
вычетах. Другие авторы, например, Кнезер2) и Гобсон 3), избегают пользоваться
комплексным переменным, насколько это оказывается возможным, и свои до-
доказательства основывают на теории интегральных уравнений.
В последнее время теория рядов Дини стала значительно более полной
благодаря важному мемуару Юнга4), который по-новому осветил многие сто-
стороны этой теории на основе последних достижений теории функций вещест-
вещественного переменного в сочетании с теорией вычетов. Упомянем здесь еще один
более ранний мемуар Файлона 5), благодаря которому некоторые рассуждения
становятся более доступными.
Вопрос о допустимости почленного дифференцирования разложения, пред-
представляющего функцию в виде ряда по бесселевым функциям, был рассмотрен
Фордом6), который с помощью совсем простых рассуждений получил суще-
существенные результаты (ср. § 18.4).
Более глубокие исследования в этой области принадлежат Муру7), ко-
который после изучения суммируемости разложения с помощью средних Чезаро
исследовал равномерность сходимости разложения в окрестности начала ко-
координат, а также равномерность суммируемости разложения (в случае, когда
оно не является обязательно сходящимся) в этой же окрестности.
Необходимость особого рассмотрения вопроса о равномерности сходи-
сходимости (или суммируемости) разложения в окрестности начала координат вы-
вытекает из того, что в общем доказательстве нужно пользоваться асимптоти-
асимптотическими формулами для /v (Ьтх), которые справедливы при большом 1тх; и
с приближением х к нулю наименьшее значение т, для которого асимптоти-
асимптотические формулы оказываются применимыми, непрерывно возрастает.
При изложении материала этой главы мы будем пользоваться теорией
вычетов значительно шире, чем это обычно делалось в предыдущих исследо-
исследованиях. Этим мы возвращаемся к методам Ханкеля и Шлефли, а также (в
случае рядов Фурье) Коши. Преимуществом этих методов является упроще-
упрощение выкладок на протяжении всей теории. И хотя, повидимому, нерационально
доказывать некоторые теоремы (например8), связанные с дробными порядками
суммирования), пользуясь комплексным переменным, выигрыш в простоте был
настолько велик, что оказалось возможным включить в эту главу намного
больше материала, чем это можно было бы сделать при более последователь-
последовательном проведении методов теории функций вещественного переменного.
1) В § 18.3 будет указано, как нужно видоизменить разложение E) в случае
И-f-v ^0. Необходимость этого видоизменения заметил также Кирхгоф (Kirchhoff),
Berliner Sitzungsberichte, A883), стр. 519—524.
2) Kneser, ArchivderMath, andPhys., C), VII A903), стр. 123—133; Math. Ann.,
LXIII A907), стр. 477—524.
3) Hob son, Proc. London Math. Soc.y B), VII A909), стр. 359—388.
*) W. H. Young, Ibid., B), XVIII A920), стр. 163—200.
*) Filon, Ibid., B), IV A906), стр. 396—430. Ср. §§ 19.21—19.24.
6) Ford, Trans. American Math. Soc, IV A903), стр. 178—184.
7) Moore, Ibid., X A909), стр. 391—435; XII A911), стр. 181—206; XXI A920),
стр. 107—156.
8) Подобные теоремы были рассмотрены Муром и Юнгом.

636 ГЛАВА XVIII
В качестве примера упрощения, вносимого использованием комплексного
переменного, можно указать, что такого сравнительно грубого неравенства.
как
где сг — постоянная, не зависящая от 2, a v — заданная величина, превыша-
превышающая — -^, достаточно для доказательства всех нужных теорем, касающихся
сходимости в точке (или суммируемости в точке); его достаточно также для
доказательства теорем о равномерности суммируемости в промежутке, кон-
концом которого может быть и начало координат. Прямое доказательство теорем
о равномерности сходимости в таком промежутке потребовало бы использо-
использования более точных неравенств; мы обходим здесь необходимость их приме-
применения, выводя равномерность сходимости из равномерности суммируемости
с помощью теоремы сходимости Харди1).
Можно считать, что теоремы этой главы в точности соответствуют тео-
теоремам о рядах Фурье, приведенным в Курсе современного анализа.
В дополнение к цитировавшимся ранее мемуарам можно указать еще следую-
следующие: Бельтрами (Be ltra mi), R. 1st. Lombardo Rendiconti, B), XIII A880),
стр. 327—337; Гегенбауэр (G e g e n b a u e r), Wiener Sitzuagsberichte, LXXXVIII B), A884),
стр. 975—1003; Александер (Alexander), Trans. Edinburgh Roy. So<\, XXXIII A888),
стр. 313—320; Шеппард (Sheppard), Quarterly Journal, XXIII A889), стр. 223—260;
Вольтерра (Volterra), Ann. di Mat., {2), XXV A897), стр. 145; Стефенсон (Ste-
(Stephen s о n), Phil. Mag., F), XIV A907), стр. 547—549; Messenger, XXXIII A904),
стр. 70—77, 178—182; Рутгерс (Rutgers), Nieuw Archie/, B), VIII A909), стр.
375—380; Opp (Orr), Proc. R. Irish Acad.y XXVII, A A910), стр. 233—248; и Д и н н и к,
Известия Киевского Политехнического Ин-та (отделение инженерно-механическое)
A911), № 1, стр. 83—85 [ Jahrbuch ttber die Fortschritte der Math., A911), стр. 492].
Исследования Александера основаны, главным образом, на методах операторного
исчисления, тогда как Орр пользуется разложениями, содержащими функции второго
рода.
18.11. О различных типах рядов
Как известно, при рассмотрении тригонометрических рядов необходимо
учитывать различие2) между любым тригонометрическим рядом вида
оо
"ао+ X (amcosmx-\-bmsinmx)
и рядом Фурье, коэффициенты которого выражаются в виде интегралов
к тс
ат=^\ /С) cos «* dt< bm =4 J
— К — ТС
Подобное же различие3) необходимо делать между рядами, которые
будут изучаться в этой главе; а именно, любой ряд вида
1) Ср. У иттекер и Ват сон, Курс современного анализа, ч. 1, § 8.5.
2) Ср. Курс современного анализа, ч. 1, § 9.1.
3) Большая часть применяющейся здесь терминологии принадлежит Юнгу
(Young), Proc. London Math. Soc, B), XVIII A920), стр. 167—168.

РЯДЫ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ И ДИНИ 637
с произвольными коэффициентами ат мы будем называть рядом по бесселевым
функциям] если же коэффициенты этого ряда определяются по формулег)
1
то ряд будет называться рядом Фурье — Бесселя функции f(x).
Если, далее, этот ряд имеет своей суммой f(x) в любой точке х интер-
интервала @,1), то мы будем называть его разложением Фурье — Бесселя функ-
функции f(x).
Аналогично, ряд
где lj, 12, \} ... суть положительные корни для
будет называться рядом Дини по бесселевым функциям.
Если коэффициенты Ьт определяются по формуле2)
то ряд будет называться рядом Дини функции f(x).
Если, далее, этот ряд сходится к f(x) в любой точке х интервала @,1),
то будем называть его разложением Дини функции f(x).
Некоторые авторы склонны рассматривать разложения Фурье — Бесселя
только как частный случай разложений Дини, получаемых в предположении,
что Н—>сю; однако, между этими двумя разложениями имеются определенные
различия, которые делают такую точку зрения в известной степени ошибоч-
ошибочной (ср. §§ 18.26, 18.34, 18.35).
18.12. Частные случаи разложений Фурье — Бесселя и Дини
В очень немногих случаях можно получить разложения простых функ-
функций с коэффициентами, имеющими простой вид.
Одну из таких функций, разложение которой имеет простые коэффици-
коэффициенты, мы уже рассматривали в § 15.42. Другой такой функцией будет xf;
она допускает разложения вида
A) -Г =
00
B) JfV==S
Впоследствии будет видно, что A) справедливо при 0<^л;<М, а B)—•
при 0^лг<1, если только #-|-v>0. Ср. §§ 18.22, 18.35.
!) Предполагается, что этот интеграл сходится для всех целых положительных зна-
значений т.
2) Предполагается, что ряд берется в измененном виде, как в § 18.34, для случая
#fv<0

638
ГЛАВА XVIII
Нетрудно установить рекуррентную формулу
dmt) dt = (
(\т) -
- \п
1
о
которая позволяет получить разложение Дини для ;п+2л при любом целом положи-
положительном v. Аналогично можно найтн разложение Дини для х*+2п+1\ в последнем слу-
случае общий коэффициент разложения имеет вид
Чтобы вычислить его для целого v, Макмагон1) предложил табулировать функцию
X
-2" ГJo(t)dt = Jx(x) + Jz(x) + Jb(x) + ...,
0
которая является частным случаем одной из функций Ломмеля от двух переменных
(§§ 16.5, 16.56).
18.2. Методы Ханкеля и Шлефли
Предыдущие исследования, описанные в § 18.1, основывались на рас-
рассуждениях, примененных Дирихле2) в его работах по тригонометрическим
рядам Фурье; такой метод, очевидно, вытекает из того факта, что тригоно-
тригонометрические ряды представляют собой частный случай разложения Фурье —
Бесселя, получающегося при y = -h-y .
Для доказательства теоремы Фурье о том, что
sin
где
ат = Т J fit) cos mt dt, bm = 1 Г f(t) sin ml dt,
достаточно установить, что
т. е. что
i r
—1)-\-...-\-cosn(x — t))f(t)dt,
1
~K (X
!) Me Mahon, Proc. American Assoc, A900), стр. 42—43. Проще всего произ-
произвести табулирование, используя § 10.74 C) в сочетании с таблицей I из 2-й части
настоящего издания «Таблицы бесселевых функций>. См. также таблицу VIII
(там же).
2) Di rich let, Journal fur Math, IV A829), стр. 157—169.

РЯДЫ ФУРЬЕ—БЕССЕЛЯ И ДИНИ 639
В случае общего разложения Фурье — Бесселя соответственно требуется
вычислить предел
1
т/
и поэтому необходимо изучить поведение суммы
т—\ Jv + lUm)
при больших п; в этом исследовании пользование теорией вычетов более
чем желательно.
В случае разложения Дини соответствующая сумма, которую необходимо
будет изучить, имеет вид
Как показывает применение теории вычетов, изложенное в §§ 18.3—18.33,
разность этих двух сумм легко поддается оценке, что избавляет от необхо-
необходимости повторять для разложения Дини рассуждения, относящиеся к разло-
разложению Фурье — Бесселя.
18.21. Контурный интеграл Ханкеля — Шлефли
Изучение разложений Фурье — Бесселя мы начнем с исследования свойств
функции Тн (t, лг), определяемой равенством
где 0<^х^1, O^t^l и индекс v—вещественное число, отвечающее
условию
Метод, которым мы сейчас будем пользоваться, в основном принадлежит
Ханкелю1) и Шлефли2), причем многие детали рассуждений заимствованы из
одного из последних мемуаров Юнга3).
Очевидно, функция Тп (i, x) играет в теории разложений Фурье — Бесселя
столь же фундаментальную роль, как функция
sin
sin±-(x-t)
— в теории рядов Фурье.
Чтобы вывести формулы для Тп (t, x), которые дальше нам потребуются,
необходимо выразить m-й член суммы для Тп (?, х) в виде вычета в jm не-
некоторой функции комплексного переменного w, имеющей полюсы в
1) Hankel, Math. Ann., VIII A875), стр. 471—494.
2) Schlaf li, Ibid., X A876), стр. 137—142.
3) Young, Proc. London Maih. Soc, B), XVIII A920), стр. 163—200.

640 ГЛАВА XVIII
/р Л» Л» ••- » Ли- После того как это будет достигнуто, мы выразим
Tn(t, x) в виде интеграла этой функции вдоль прямоугольного контура,
одна из сторон которого лежит на мнимой оси, а противоположная ей прохо-
проходит между ]'п и /л+1. Затем стороны, параллельные вещественной оси, будут
отодвинуты в бесконечность в противоположных направлениях; таким обра-
образом, для обеспечения сходимости интеграла необходимо будет обеспечить
исчезание поди нтегрального выражения при \l(w)\—>-oo.
Мы изучим три подынтегральных выражения:
B) 2 {Us (xw) /v+1 (tw) — xJ, (tw) yv+1 (xw)}\{(t* — x*) У2 (w)},
C) tzw {/, (w) K, (xw) — J, {xw) Y4 (w)} J4 (tw)jJ, (w\
D) nw {J4 (w) Fv (tw) — /v (tw) Fv (w)} J, (xw)\J4 (w).
Первое из них рассматривал Шлефли; два других связаны с работой Кнезера
и Карслоу, которая была описана в § 15.42.
Исследование асимптотических свойств этих подинтефальных выражений
показывает, что B) удобно рассматривать в случае, когда х =^t и 0 <^x-\-t<^2;
C)_когда*) 0<^<л:<1 и D) —когда 0<лг<*<1.
Мы переходим к проверке того, что все эти подинтегральные выражения
имеют в w=jm один и тот же вычет, а именно,
В случае B) мы определяем функцию2) g(w) формулой
E) g(w) = jj|5L {U, {xw) 7V+1 (tw) - xJv {tw) 7V+1 (xw)}
и, далее, если w=jm-\-b, где 6 мало, мы имеем:
и, таким образом,
Пользуясь дифференциальным уравнением Бесселя, легко проверить, что
коэффициент при б3 в правой части обращается в нуль; отсюда вычет функ-
функции g(w)j{wP(w)} в ]т будет равен
g'Um)l\jmJ?<Jm)h
что с помощью рекуррентных формул легко можно свести к виду
В случае C) вычет в jm будет равен
*/« {Л UJ У, Umx) -J. Umx) Г, UJ) Л UJ)K Um) =
=- чл итх) л uj) у, иж uj=
') Это становится более очевидным, если записать подинтегральное выражение
в виде
i- *iw {fjM (w) H™ (xw) — H^ (xw) H<® (w) \ 7, (tw)IJ^ (w).
2) Результаты, которые могут быть получены при использовании B), весьма
подробно изучены Графом и Гублером (Graf und H u b 1 е г), Einleitung in die Theorie
der Bessel'schen Funktionen, I (Bern, 1898), стр. 131—139.

РЯДЫ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ И ДИНИ 641
в силу § 3.63, что и представляет собой требуемое выражение; с подинте-
гральным выражением D) поступают таким же образом.
Возьмем теперь за контур интегрирования прямоугольник с вершинами
в -Ь^\ ^/jdbZU» причем Б впоследствии будем стремить к сю, а Ап выбе-
выберем так, чтобы УЯ<С Ai^C/я+г Если будет желательно выбрать для Ап
определенное значение, мы будем считать его равным ( п -\- -~- v -\- -j-)тт; в
случае, когда п достаточно велико, это значение будет лежать между jn и
(§ 153)'
Теперь легко проверить, что рассматриваемые три подынтегральных
выражения являются нечетными функциями от w и, таким образом, все три
интеграла вдоль левых сторон прямоугольников обращаются в нуль *).
Далее, если w==u -\-iv, то при большом v, безразлично — положительном
или отрицательном, и при а^О подинтегральные выражения, как это можно
проверить, будут иметь порядки соответственно:
О (?-<*-')i*i), О (*-('-*>i*i),
и, таким образом, для любого заданного значения Ап интегралы, взятые вдоль
верхней и нижней сторон прямоугольника, стремятся к нулю при В—>-оо,
когда х и t имеют соответствующие значения, которые были выбраны выше.
Мы получаем, таким образом, три формулы;
Аг+°О/
A
— ooi
=i Г i
-00/ О
G) Tn{t,x) = ± j w {Л (w) Fv (xw) -7V (xw) Kv (w)} ^
Лп — oo/
<f x) = I j ^{7V (*) Fv (to) - 7V (tw)
Из уравнения F) легко найти верхнюю границу для \Tn(t,x)\; действи-
действительно, если v + y положительно (или равно нулю) и ограничено, то, со-
согласно асимптотическому разложению из § 7.21, существуют положительные
постоянные сх и с2 такие, что
(9) \
V\w\
x) Начало координат необходимо обойти, например, по полуокружности
в правой полуплоскости; интеграл по этой полуокружности будет стремиться к нулю
одновременно с ее радиусом.

642
ГЛАВА XVIII
при этом w берется на линии, соединяющей Ап—со/ с Лп -\- оо/,
и п превышает некоторое значение, зависящее от v. Отсюда
ou
2с С*
1 ехр {—B—х — t)\v\)dv,
Vxt J
так что
A0)
Fn(t, x)\
Ас\
Последнее неравенство определяет собой искомую верхнюю границу.
Нетрудно также видеть, что
A 1
лп-<
откуда
(И)
5 — х2) dt
[Замечание. Область применимости формул, получаемых из интегралов,
которые содержат только бесселевы функции первого рода, обычно можно расши-
расширить так, чтобы она включала и начало координат; в данном случае это возможно
в силу того, что постоянная сг в равенстве (9) не зависит от t, если 0 ^ t ^ 1.
Таким образом, A1) можно записать в виде
Г
причем 0^л:^1, Os^f^l. Такое обобщение нельзя осуществить столь же просто,
когда имеют дело с интегралами, содержащими функции второго рода, так как уже
простейшее неравенство, соответствующее (9), имеет вид
}cxp{\I(tw)\}y
и весьма затруднительно вывести из него простое выражение для верхней границы
подинтегрального выражения в (8)].
Равенство F) было использовано Шлефли для доказательства того, что
при большом п
Т (t х)
s[nAn(t-x) sinAn(t+x)
sin
однако, поскольку порядок величины ошибки такого приближения неизвестен,
ниже мы приводим несколько интегралов, содержащих Тп (tt x), которые
позволят обойти трудности, вызванные неизвестной величиной ошибки.

РЯДЫ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ И ДИНИ 643
18.22. Интегралы, содержащие Tn(t, x)
Мы сейчас получим две важные формулы
1
A) lim
о
х
B) lim ^+1Tn{t,x)dt = ^x\
Они показывают, что
1
C) lim t"+1Tn(t, x)dt = ~-x\
X
Из доказательства A) будет видно, что при п—> оо
1
If
'2 \
о
1
о
равномерно по х в интервале
где Д — любое положительное число.
Мы исследуем также вопрос об ограниченности
t
в интервале 0 <^ t ^ 1.
Формула A) была найдена Юнгом (Young), Proc. London Math. Soc. B), XVIII
A920), стр. 173—174; мы даем здесь доказательство самого Юнга. Формула B), по-
видимому, — новая, хотя она содержится в неявном виде в мемуаре Гобсона.
Очевидно,
1
?+1Tn(t, x)dt =
Если преобразовать сумму в правой части в контурный интеграл, подобно
тому, как это сделано в § 18.21, то получим:
оо/ Ап -f- оо/
1 Г 27V (xw) dw 1 Г 2 Jv {xw) dw
—'оо/ V An —• ooi
В первом из этих двух интегралов начало координат должно быть исключено
путем обхода его по полуокружности справа от мнимой оси.
Поскольку подинтегральное выражение есть нечетная функция от w,
первый из интегралов оказывается равным вычету подинтегрального выраже-
выражения в начале координат, умноженному на тг/, так что
n +
\ е+чп (*, х) dt = # -± f
О А
J
Ап — оо*

644
ГЛАВА XVIII
Далее,
Ап-\- ос/
An-coi
2JV (xw) dw
J^ (w)
c2AnVx
c2An A-х) V'x '
откуда формула A) становится очевидной; очевидно также, что при п
оо
*+1Tn(t, x)dt — x
стремится равномерно к нулю, если 0 ^ х ^ 1 — А.
Заметим, что важное разложение
,1 1 00
D)
X
которое было упомянуто в § 18.12, непосредственно вытекает из A).
Формула B) может быть доказана примерно таким же способом (хотя
в деталях доказательство должно быть несколько более подробным) с исполь-
использованием подинтегрального выражения, содержащего функции второго рода.
Легко видеть, что
= lim ^ Г
f 1 От)
w) Г, (jcw) — 7V (xw)
i (xw) dw
An-Bi
Возьмем теперь в последнем интеграле 0 <^ х ^ 1 и заменим бесселевы
функции главными членами им соответствующих асимптотических разложений,
справедливых при большом | w \ (§ 7.21). Получающаяся при этом ошибка
в подинтегральном выражении будет, самое большее, иметь порядок O(\jw2)y
если 0<^Хё^1; когда же п—*эо, мы будем иметь:
Ап -j- оо/
dw
Лп-оо/'
В результате подстановки упомянутых главных членов получим:
An-Bi
v г*
— lim —.
= lim -^
' COS ( W —
1
~i coslw — -vrc — 4~я ) — cos( 2хш — w— - viz rri
f V 2<WV24
А„ — Bi
= 77 xv — lim
w cos (w — — vtt — —-
—w — -vrc——
dw =
w cos

РЯДЫ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ И ДИНИ 645
Мы должны будем вскоре рассмотреть несколько интегралов подобного вида,
поэтому здесь же будет удобно доказать их ограниченность при п—*оо.
Лемма. Интеграл
А 4-Я/ Л 1 1 '
*п+*' COS [lW— -^VTC — —я
Hm \ / i i \ rfw
-В-юс ^ J_^. ДО COS ( W jy V7T—~7'IZ)
имеет порядок 0{1/п)при п—^оо, если —1 < X < 1; он ограничен, если
Если положить w = Anz*i ivy где, как обычно, через Ап обозначено
п + ~9"v Н" Т )я» то рассматриваемое выражение можно переписать в виде
Когда — 1 < X < 1, его модуль не превышает
00 ОС
2 Г ch \v • dv I 2 Г i; | sh \v \ i
AnJ chv A2nJ zhv '
и первая половина леммы становится очевидной.
Далее, если O^X^l, то, обозначая v(\—X) через $, мы имеем1):
О ^ v A — X) sh Iv = 5 sh (v — 5) ^ ch v,
так что рассматриваемый интеграл не превышает (по абсолютной величине)
этим доказана и вторая половина леммы.
Из леммы сразу вытекает, что
X
PTn(t,x)dt = ±
О
при 0<^дг<^1; последнее равенство эквивалентно B).
Более того, если интервал значений х мы замкнем справа^ т. е. будем
рассматривать 0<^jc^1, то, по лемме, получаем, что при п—»-оо интегралы
X 1
\t>+*Tn(t, x)dt, \t^Tn{t,x)dt
о о
будут ограничены
Наконец, мы рассмотрим
t
и докажем что при 0<^==^1 и 0<^jc^1 этот интеграл будет ограничен-
ограниченной функцией от п, х и t, когда п—>оо.
!) Функция Ssh(t; — S) имеет один максимум, например в ?0, и значение ее там
равно sh2 (и — ?o)/ch (v — ^о)> что не превышает sh (v — ^о)-

646 ГЛАВА XVIII
С помощью методов, которыми мы только что пользовались, легко пока-
показать, что при 1—д:-|-/^1, т. е. при
Г
J
тп
Bi
= lim *¦?- Г {Л (да) Kv (xw) — Уч (лсда) Г., (да)}
, 1_ A +B/ . /1 1 \
t С V 2 4 /
— lim j— i
5->oo ~ J _
=о (!) - li
cos (xw + tw — w— — vtc — -—я
vц 4
V-Hr л«+5/ cos (w + tw — xw ^t-vtc -it
^;- f —^* *
Эти интегралы принадлежат к типу, изученному в только что доказанной
лемме; таким образом, первоначальный интеграл будет ограниченным при
— \<^x-\-t— 1<1 и — 1 <14-* —лг< 1, т. е. при 0<*<лг<1.
Для доказательства ограниченности рассматриваемого интеграла при
^t ^\ сначала устанавливаем, что
An+Bi
J j
An—Bi
а затем, пользуясь только что проведенными рассуждениями, находим прибли-
приближенное значение интеграла в правой части; детали доказательства мы пре-
предоставляем читателю.
Таким образом доказано, что для произвольного положительного
числа Д
где U не зависит от п, х и t, при условии, что
Последние результаты составляют необходимые предварительные теоремы
о свойствах Тп (t, x); теперь мы можем рассмотреть интегралы, содержащие
функции Tn{t,x), которые встречаются при исследовании разложения Фурье —
Бесселя для произвольной функции f(x).
18.23. Аналое леммы Римана — Лебега1)
Мы сейчас докажем, что если (а, Ь) есть какая-нибудь часть замкну-
замкнутого интервала @,1), не содержащая точки х, 0<^л:^1, внутри или на
х) Ср. Курс современного анализа, ч. 1, § 9. П.

РЯДЫ ФУРЬЕ—БЕССЕЛЯ И ДИНИ 647
концах, то для того чтобы при п—>со имело место соотношение
ь
\tf{t)Tn(t,x)dt = o{\),
а
достаточно абсолютной сходимости интеграла1)
ь I
\t2f(t)dt.
а
Читатель заметит, что в этой теореме утверждается, что единственным
участком пути интегрирования в
1
\tf(t)Tn(t,x)dt,
о
влияющим на величину интеграла при п—*оо, является участок, непосред-
непосредственно примыкающий к точке х.
Доказательство этой теоремы удобно разбить на три этапа. Сначала бу-
будем считать, что t2 f(t) ограничена и что начало координат не является ко-
конечной точкой для (а, Ь)\ затем мы снимем требование ограниченности и, на-
наконец, снимем условие относительно начала координат.
(I) Пусть
и пусть К—верхняя граница для l/7^)) на [а, Ь). Разделим (а, Ь) на р равных
частей точками tv t2, ..., tp_x (to = a, tp = b); затем, взяв произвольное
положительное число е, выберем р настолько большим, чтобы
S {Vm-Lm){tm-tm_x)<Cs,
где Um и Lm суть верхняя и нижняя границы F(t) на (^m-1, tm).
Пусть
так что \am(t)\<Um—Lm на (tm_lt tm).
Тогда, очевидно,
ъ tm
[jtf(t)Tn(t,x)dt= 2 /"(^-i) j t^1Tn(t1 x)(t2-
p ^
+ 2 ^v+1 Tn (t, x) (t2 — x2) (om (t) dt,
откуда, в силу неравенств A0) и A1), из § 18.21, имеем:
ь
tf(t)Tn(t,x)dt
пB — х — Ь)Ух [
4с2 Р
Если х=1, то, конечно, предполагается, что Ъ < 1.

648
ГЛАВА XVIII
т. е.
Выбор s фиксирует р; после того как s (а, следовательно, и р) выбрано, мы
имеем возможность взять Ап столь большим, чтобы Ап ^> 2/(/?/s, т. е. при
соответствующем выборе Ап можно сделать интеграл в левой части меньше,
чем
*tfSB — X —
и тем самым произвольно малым. Следовательно, рассматриваемый интеграл
стремится к нулю при Ап —> оо, что и требовалось доказать.
(II) Если F(t) не ограничена на (а> Ь)> то можно выбрать некоторое
число г интервалов ji, вне которых функция F(t) ограничена и
Если t лежит в одном из интервалов jx, то мы воспользуемся неравен-
неравенством
откуда, если К является верхней границей для \F(t)\ на участках интервала
(я, Ь), находящихся вне интервалов jx, то, применяя (I) к каждому из этих
участков, мы получим:
ь
\(t,x)dt
Взяв s достаточно малым (фиксируя, таким образом, К), а затем выбирая Ап
достаточно большим, можно сделать выражение в правой части (а следова-
следовательно, и выражение в левой части) сколь угодно малым, что и требовалось
доказать.
ъ 1
(III) Если j t2 f(t) dt существует и абсолютно сходится, то можно вы-
о
брать настолько малое ijf что
№
t2f(t)
и, далее, поскольку
г\ ±
то, в силу (II), имеем:
ъ
ъ
\§tf(t)Tn(t,
x)dt
(г + \)Кр i 3s

РЯДЫ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ И ДИНИ 649
где К есть верхняя граница для \F(t)\ на (ij, b) с выброшенными интерва-
интервалами JX.
Отсюда следует, что выражение в левой части может быть сделано сколь
угодно малым, если взять п достаточно большим. Таким образом, аналог леммы
Римана — Лебега установлен.
18.24. Разложение Фурье — Бесселя
Мы сейчас докажем следующую теорему*), с помощью которой опреде-
определяется сумма ряда Фурье — Бесселя для любой заданной функции:
Пусть f(t)—произвольная функция, заданная на интервале @,1);
\ L
пусть, далее, t2f(t)dt существует (в случае, если он — несобственный) и
о
абсолютно сходится.
Положим
где v-j-~^O.
Пусть х — какая-нибудь внутренняя точка интервала (а, Ь) такого,
что 0<^а<^Ь<^1 и что f(t) имеет на нем ограниченное полное изме-
изменение.
Тогда ряд
со
сходится, и сумма его равна -^ {f(x-\-0)-\-f(x — 0)}.
Заметим, что, в силу §§ 18.21, 18.22,
S amJ^fmx)=\tf(t)Tn(tiX)dt,
^{/(x_0)-f-/(x4-0)}= limjr-v/(* — (
i
+ lim х-/(х + 0) f Г+i Tn(t,x)dt.
Отсюда, если
X
то для доказательства сходимости ряда
/га —1
amJ, Umx)
Hobs on, Proc. London Math. Soc, B), VII A909), стр. 387—388.

650 ГЛАВА XVIII
к сумме -_¦ {/(*-!-0)-|-/(л:—0)} достаточно установить, что Sn (х)—> 0 при
п—*оо.
Мы здесь подробно рассмотрим
1
после чего читатель может точно таким же способом исследовать другие
интегралы, содержащиеся в выражении для Sn (x).
Функция t~4f(t) — x"^f(x-{-0) имеет на (х, Ь) ограниченное полное из-
изменение, так что можно положитьг)
где )d (t) и i2 (t) суть ограниченные положительные возрастающие функции
от t на (х, Ь) такие, что
Отсюда, для заданного произвольного положительного числа е, сущест-
существует положительное число §, не превышающее b — х такое, что
если только х
Мы имеем:
1
= f r+
4»
Х+Ь х+Ь
J
+ J t^b^T^x)^— J P^i2(t)Tn(t,x)dt.
X
Для трех интегралов в правой части мы уже имели оценки. Так, из аналога
леммы Римана — Лебега следует, что при достаточно большом п модуль первого
интеграла может быть сделан меньше е.
Далее, из второй теоремы о среднем вытекает существование числа S,
заключенного между 0 и Ь такого, что
х+Ъ
а, по § 18.22, модуль этого интеграла не должен превышать 2?/е; аналогично
модуль третьего интеграла также не будет превышать 2?/е. Поступая с ин-
интегралом в пределах от 0 до д: аналогичным образом, находим, что при до-
достаточно большом п можно сделать разность между
п
И <*mJ, (/«*) и ^ {/(* + °) + /(* — 0) }
г) Ср. Курс современного анализа, ч. 1, § 3.64.

РЯДЫ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ И ДИНИ 651
численно меньшей, чем (86r-j-2)s; последнее же выражение может быть сколь
угодно мало.
Отсюда, в силу определения сходящегося ряда, вытекает, что, при сде-
оо
ланных предположениях, ряд 2j am^^Umx) сходится и сумма его равна
m=z\
Тем самым наша теорема полностью доказана.
18.25. Равномерная сходимость разложения Фурье — Бесселя
Пусть f(t) удовлетворяет условиям, указанным в § 18.24, и, кроме того,
пусть f(t) будет непрерывной (в дополнение к тому, что эта функция имеет
ограниченное полное изменение) в интервале (я, Ь).
Тогда разложение Фурье — Б ее се ля функции f(t) сходится равномерно
к f(x) во всяком интервале (а-|-Д, Ь — Д), где Д — любое положительное
число.
Эта теорема аналогична обычной теореме о равномерной сходимости ря-
рядов Фурье1); вопрос о равномерной сходимости разложения Фурье — Бесселя
вблизи лг=1 и вблизи х = 0 требует несколько более тщательного анализа,
во-первых, благодаря тому, что формула § 18.22 A) становится неверной при
х=\ и, во-вторых, потому, что затруднительно оценивать интеграл
при малых х и t, не пользуясь при этом приближенными выражениями для
бесселевых функций второго рода.
Трудности в случае исследования окрестности точки х=1 можно легко
преодолеть (ср. § 18.26); однако, трудности в случае исследования окрестности
начала координат весьма велики; мы откладываем рассмотрение последнего
случая до § 18.55.
Мы докажем теорему о равномерной сходимости на (а-\-к, Ь — Д) путем
более внимательного анализа рассуждений предыдущего параграфа.
Прежде всего, поскольку непрерывность влечет за собой равномерную
непрерывность2), выбор 5, сделанный в § 18.24, не зависит от х, когда х
лежит на (a -f-Д, Ь — Д).
Рассмотрим интеграл вида
- х j \X)f 1 [г, x) ai»
Поскольку Ь не зависит от х, из доказательства леммы Римана — Лебега
(§ 18.23) следует, что при п—^оо этот интеграл равномерно стремится
*) Ср. Курс современного анализа, ч. 1, § 9.44.
2) Ср. Курс современного анализа, § 3.61. Сейчас уместно наложить дополни-
дополнительное (тривиальное) ограничение на 3, а именно, 3 должно быть меньше А, для того
чтобы интервал (х — 8, x-j-8) лежал внутри интервала (а, Ь).

652 ГЛАВА XVIII
к нулю при условии, что
1 л
есть ограниченная функция от х.
Далее, интеграл
1
J
-x-"f(x)}dt
и является ограниченным на (a-f-Д, Ь — Д), поскольку f(x) непрерывна и,
следовательно, ограничена в этом интервале.
Аналогично, другие интегралы, определенные в § 18.24, стремятся к нулю.
равномерно и, таким образом, при п—^оо
п
т=1
стремится равномерно к нулю, что и доказывает нашу теорему.
18.26. Равномерная сходимость разложения Фурье — Бесселя
вблизи х=\
Очевидно, что все члены разложения Фурье — Бесселя обращаются в нуль
в точке х=\ и, таким образом, сумма членов этого разложения равна нулю.
Поскольку из равномерности сходимости ряда непрерывных функций вы-
вытекает непрерывность суммы, условие
/A—0) = 0,
очевидно, необходимо для того, чтобы сходимость разложения Фурье — Бесселя
для функции fit) была равномерной вблизи *=1.
Мы сейчас докажем, что непрерывности f(x) на (а, 1) и равенства /A)
нулю в сочетании с условиями, установленными г) в § 18.24, достаточно
для того, чтобы сходимость была равномерной повсюду на (a-j-Д, 1).
Рассуждения будут почти такими же, как в предыдущем параграфе. Как
и ранее, мы берем интеграл
1
j>+i {t~\f(t) — x-^f(x)} Tn (t, x) dU
о
и затем делим интервал @, 1) либо на три части @, х — S), (х — §, х -}-§)>
§, 1), если д:^1—8, либо на две части @, л; — §), (х — S, 1), если
\—§; после этого доказываем, что соответствующие три интеграла (или>
возможно, два интеграла) равномерно стремятся к нулю.
Далее, поскольку /A) = 0, можно выбрать S1 таким, чтобы
| *-*/(*) К *> I/WIO
при 1 — §j ^ х ^ 1.
Тогда выражение
х) Интервал (а, Ь), конечно, должен быть заменен интервалом (я, 1).

РЯДЫ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ И ДИНИ 653
стремится равномерно к нулю *) при п—>оо, если х лежит на (я-}-Д, 1 —8t),
и оно не превышает (U-\-\)s при любом п, если х лежит на A—bv 1).
Таким образом,
1
о
можно сделать сколь угодно малым для всех значений х на (а-]-А, 1), если
выбрать соответствующее п, которое не зависит от х\ это и доказывает,
при сделанных предположениях, равномерную сходимость интеграла
1
к f(x) на {а-\-А, 1).
18.27. Порядок абсолютной величины членов рядов Фурье — Бесселя
Легко доказать, что если t2f(t) имеет ограниченное полное изменение
на (а, Ь), где (а, Ь) является какой-нибудь частью интервала @, 1) (или
всем этим интервалом), то при \ —>- оо
It tJ \t dt = o[-
а ^2
Из этой теоремы мы сразу получаем результат Шеппарда 2);
^ 0
если 0<^д:^1; это равенство, конечно, имеет хорошо известную аналогию
в теории рядов Фурье.
Сначала заметим, что из асимптотического разложения § 7.21 вытекает
оценка:
а
где с — постоянная, не зависящая от t, если t лежит в интервале @, эо).
i_
Далее положим t2 f(t)= tyt(t) — ф2 (t), где tyt(t) и cb2 (t) монотонны на
(<2, b); тогда существует такое число ?, что
Аналогичный результат имеет место для ф2 (?), и таким образом, требуе-
требуемая теорема доказана.
х) Поскольку содержащийся в этом выражении интеграл, в силу § 18.21, равно-
равномерно стремится к х" повсюду на (Д, 1 — о^.
2) Sheppard, Quarterly Journal, XXIII A899), стр. 247.

654 ГЛАВА XVIII
Если же известно только, что
а
существует и абсолютно сходится, тогда можно доказать, что
ь
Эта теорема принадлежит Юнгу *), и ее можно доказать точно таким же
способом, как теорему из § 18.23. Здесь мы дадим доказательство для случая,
когда \t2 f(t)\ ограничен и имеет верхнюю границу К, и предоставим чита-
читателю провести доказательство в случае, когда функция не ограничена, подобно
тому, как это сделано в § 18.23.
Разделим (а, Ь) на р равных частей точками tv t2, ...,tp__x (tQ — a,
tp = b)9 и пусть этих частей будет столько, что
где Um и Lm суть верхняя и нижняя границы функции i2 f(t) на {tm_v tm).
Далее, пусть
1
t
тогда
ь
i_ p m i_
t2Jv(\t)dt -}- 2 \t2JAM)»m
d-l т = г tnU
_
где ^' есть верхняя граница для |^2yv(^)| в интервале @, оо). Отсюда, та-
такими же рассуждениями, как и в § 18.23, получаем, что интеграл в левой
части имеет порядок о (X 2), что и требовалось.
Можно записать формулы этого параграфа и для замкнутого интервала
@1) а именно,
ф
Это становится очевидным, если вспомнить, что
Таким образом, общий член ряда Фурье — Бесселя для f(x) стремится
к нулю (после умножения на У^х) всюду в интервале @^д:^1), если
\_ 1
интеграл от x2f(x) абсолютно сходится; если x2f{x) имеет ограниченное
полное изменение, то общий член стремится к нулю как 1/ут.
2) W. H. Young, Proc. London Math. Soc. B), XVIII A920), стр. 169—171.

РЯДЫ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ И ДИНИ 655
18.3. Приложение методов Ханкеля — Шлефли к разложению Дина
Мы сейчас рассмотрим один класс контурных интегралов, с помощью
которых можно получить теоремы о разложении Дини, аналогичные теоремам,
доказанным для разложений Фурье — Бесселя, или непосредственно, или с по-
помощью соответствующих теорем о разложениях Фурье — Бесселя.
Разложение Дини для f(x) имеет вид
где \v \2, Х3, ... —положительные корни (расположенные в порядке возраста-
возрастания) функции
причем Н и v — вещественные постоянные и
v + 1^0.
Коэффициенты Ът определяются по формуле
1 1
ьт \ tA (imt) л=J tf(t) л (imt) аи
о о
так что
21гт §
Прежде чем идти дальше, мы поясним одну особенность, присущую некото-
некоторым разложениям Дини, не имеющую аналога в теории разложений Фурье —
Бесселя.
Исследование разложений Дини основано на свойствах некоторой функции,
которая (i) имеет полюсы в корнях выражения
(ii) в случае #-|-v = 0 имеет корень в начале координат, (Ш) в случае
#-(-v<^0 имеет два чисто мнимых корня.
Можно ожидать, что эти корни должны быть как-то связаны с членами
ряда, и в действительности такая связь имеет место.
Если // —{— v = 0, то, благодаря наличию корня в начале координат, сле-
следует добавить к разложению Дини начальный член
A)
Если //-f-v<^0 и чисто мнимые корни имеют вид +Ло, то, благодаря
наличию этих корней, необходимо добавить начальный член

656 ГЛАВА XVIII
Эти начальные члены в соответствующих случаях будут обозначаться
общим символом 3Bq{x), так что фактически мы будем рассматривать ряд
00
т=\
причем 530(лг) равно нулю, когда Я-j-v положительно и равно A) или B)
соответственно в случаях #-j-v = O, //_|_v<^o.
[Замечание. То обстоятельство, что при Н -f- v = 0 необходимо вводить на-
начальный член, было указано Дини (Dini), Serie di Fourier (Pisa, 1880), стр.268, однако,
сам Дини дал для этого члена неверное значение, пропустив множитель х**. Ошибоч-
Ошибочная формула Дини была перепечатана в книге Нильсена (Nielsen), Handbuch der
Theorie der Cylinderfunktionen (Leipzig, 1904), стр. 354. Исправление этой ошибки
можно найти у Бриджмена (Bridgeman), Phil. Mag., F), XVI A908), стр. 947—948,
Кри (Chree), Phil. Mag., F), XVII A909), стр. 329—331 и Мура (С. N. Moore),
Trans American Math. Soc, X A909), стр. 419—420].
Теперь мы рассмотрим следующую функцию от со:
Она имеет полюсы в Д, /2, у3, ..., lv 12, Х3, ..., @ или ±/Х0).
Вычет этой функции в jm равен
J?Um)
Вычет в \т равен
л (U М а«)+А а«)+"А Aт)) о?т - V2) л (х4
Вычет в начале координат при условии, что /У -j-v = 0, равен
— 4(v-f-l)^v.
Вычет в zfcA0 при условии, что Я-f-v отрицательно, равен
Пусть теперь Dn — число, лежащее между \п и \n+v не равное ни
одному из чисел jm; пусть jN будет наибольшее из чисел ут, не превышаю-
превышающих Dn.
Пусть
m=l Л-(-1(Ут)
n
где ^0(лг, t) обозначает 0, 2(v-\-l)x4P или

РЯДЫ ФУРЬЕ—БЕССЕЛЯ И ДИНИ 657
соответственно тому, является ли //~j-v положительным, нулем или отрица-
отрицательным.
Тогда, очевидно,
N п 1
2 aj4 (Jmx) - ЗВ0 (х) - 2 bmJ, (lmx) = f tf(t) Sn (*, xi H) dt.
Мы теперь переходим к доказательству ряда теорем, приводящих к следую-
следующему результату: если 0<^лг<^1, то абсолютной сходимости интеграла
j t* fit) dt
о
достаточно для того, чтобы при п —^ оо имело место соотношение
1
о
Последнее обстоятельство дает возможность связать вопросы о сходи-
сходимости рядов Дини 1) с соответствующими вопросами о рядах Фурье — Бесселя.
18.31. Контурный интеграл для Sn(t,x;H)
Из теории вычетов Коши легко вывести, что
bn(ttx,H)=— J j-
oof
-i-.p f _
v (xw) yv
где символ Р обозначает главное значение в смысле Коши *). Поскольку
подинтегральное выражение является нечетной функцией от w, второй инте-
интеграл обращается в нуль, и мы получаем:
0)
Из этой формулы сразу же следует (ср. § 18.21), что
B) \Sn(t, x; И
где cs не зависит от я, х и t.
Кроме того,
Aif
!) За исключением точки х = 1.
*) Т.е. lim j . (Прим.ред.)

658 ГЛАВА XVIII
откуда
t
u*
n(U x; H)dt
'B-x-t)DnVx '
где ?4 не зависит от я, л: и U
18.32. Аналог леммы Римана — Лебега для функции Sn(t, x; H)
Мы сейчас докажем следующую теорему: пусть (а, Ь) — некоторая
часть интервала (О, 1) (или весь этот интервал); тогда если интеграл
J t*f(t)dt
а
существует и абсолютно сходится, то при п—>оо
ь
§tf(t)Sn(t,x;H)dt = o(\)
а
при условии, что 0 <^ х <^ 1. Если Ь <^ 1, то теорема справедлива при
0<*<1.
Доказательство удобно разделить на три части так же, как это было
сделано в соответствующей теореме (§ 18.23) для Tn(t9 x) Мы сейчас про-
проведем первую часть доказательства, а именно, предполагая, что t2 f(t) ограни-
ограничена и что а^>0. Завершение доказательства без затруднений может быть
проведено читателем.
Пусть
t-"f{t)=F{t);
верхнюю границу для | F (t) | на (а, Ь) обозначим через К»
Разделим (а, Ь) на р равных частей точками tv t2, ..., tp__1 (to = at
tp = b), выберем произвольное положительное число е и возьмем р столь
большим, чтобы
2 (um-Lm)(tm-tm_,x*,
где Um и Lm — верхняя и нижняя границы функции F(t) на (tm_1, tm).
Пусть
и, таким образом,
КС)К*/«-?* в (tm_vtm).
Тогда
ь
= il F(*m-i) f P+iSn(t,x;H)dt+ ij f P+4>m(t)Sn(t,x;H)dt.
m==1 C-i m==1 C-i
Отсюда, в силу § 18.31,
s,«,« h,

РЯДЫ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ И ДИНИ 659
и если теперь взять п столь большим, что DnecB^>2Kpcv то получим;
ъ
^tf(t)Sn(t,x;H)dt
<
B — х — Ь) Ух '
гле выражение в правой части может быть сделано сколь угодно малым. Та-
Таким образом, при п—^оо интеграл в левой части стремится к нулю.
Теперь остается, пользуясь методом § 18.23, освободиться от предполо-
предположения об ограниченности и о значении аг и теорема будет полностью
доказана.
Отметим как следствие, что при п —> оо
х2 \tf(t)Sn(t,x\H)dt
стремится к нулю равномерно, при условии, что O^xs^rl, если Ь <^ 1 и
что 0 ^ х ^ 1—А, если й<1, где А — произвольное положительное число.
18.33. Разложение Дини для произвольной функции
Из результатов предыдущего параграфа непосредственно вытекает, что
существование и абсолютная сходимость интеграла
о
является достаточным условием для того, чтобы сходимость (или суммируе-
суммируемость) во всех точках интервала @<^лг<^1) имели место одновременно у раз-
разложения Дини и у разложения Фурье — Бесселя функции f(x); то же относится
и к равномерной сходимости этих разложений.
Действительно, очевидно,
п N
#о(*)+ SV.M- 2 <*MJmx)
стремится к нулю при п—>¦ оо, если 0<^лг<^1; эта сумма (умноженная на
Ух) стремится равномерно к нулю, если 0^д:^1—Д.
Далее, поскольку числа 1т и jm, превышающие | v |, перемежаются
(§ 15.23), то можно выбрать Dn так, чтобы п — N имело одно и то же зна-
значение для всех достаточно больших п.
Поэтому, поскольку
^ 2 «тЛD*)—о
m=zN-\-\
равномерно на @, 1), то при п—> оо
хт, (х) + 2 xi {bj4(lmx) -anJ4(jmx)}
стремится к нулю равномерно на @, 1 —А).

660 ГЛАВА XVIII
Таким образом, ряд
jl_ 00 J.
^/ i °mJv \KmX) amJv
равномерно сходится всюду на @, 1—Д), и сумма его равна нулю*
Следовательно, если для какого-нибудь специального значения х в ин-
интервале @, 1 — Д) ряд
00 J
S X2*m
l
S
m=l
соответствующий функции f(x), сходится (или суммируется каким-либо
методом), то ряд
1 00 1
2 x^bJAKx)
0
сходится (или суммируется тем же методом) и эти ряды имеют одну
и ту же сумму.
Если, далее, ряд Фурье — Бесселя (умноженный на V~x) равномерно схо-
сходится (или равномерно суммируется) всюду на интервале (а,Ь), где
то ряд Дини (умноженный на V~x) тоже равномерно сходится (или рав-
равномерно суммируется) всюду на (а, Ь).
В частности, если f(x) имеет ограниченное полное изменение на (а, Ь),
где
0<
то ряд
«о(*)
сходится к
во всех точках х таких, что а-\-&^х ^Ь — Д, где Д произвольно мало;
сходимость будет равномерной, если f(x) непрерывна на (а, Ь).
18.34. Сумма ряда Дини при х=\
Мы закончим исследование суммы ряда Дини рассмотрением точки х=\;
мы докажем теорему, принадлежащую Гобсону1), что если f(x) имеет ограни-
ограниченное полное изменение в интервале (а, 1), то сумма ряда Дини при х=\
равна /A — 0).
Сначала положим
Tn(t,x; H) = Tn(t,x) — Sn{t,x\H) =
Hob son, Proc. London Math. Soc. B), VII A909), стр. 388.

РЯДЫ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ И ДИНИ
661
тогда получим
Ta(t,x;H)=.
wy (wt x) 7V (tw) dw
где
X f
te/y (да, f) yv (jcep) ^t^ ,
cp (w, л:) = я \{wJt (w) + ЯД,
) + HY, (w)}
Первое выражение для Тп (t9 х; И) имеет место при
рое — при 0 < х < t < 1.
х ^ 1, вто-
вто[Замечание. Эти выражения для Гл (t, х\ Н) аналогичны выражениям § 18.21 G)
и § 18.21 (8); отсутствие формулы для Tn(t%x\ Я), аналогичной § 18.21 F), послужило
причиной того, что ряды Дини рассматривались в § 18.33 с помощью теории рядов
Фурье — Бесселя].
Рассмотрим теперь значение интеграла
I
+1Tn(t, 1; H)dt
при
1. Мы имеем:
n +
f
J
wJ'(w)-\-HJ,(w)
= Hm С
Л>оо J
Dn —
Из § 18.21 следует, что для любого заданного положительного § послед-
последний интеграл является ограниченной функцией от t в интервале (S, 1). При
i^t^l—§ он имеет порядок О(\jDn). Если же t=\, то при л—> оо он
имеет пределом 1.
Таким образом,
H)+ 2
г
-/(l-0)=
о
Поскольку разность t~^f{t)—/A —0) имеет ограниченное полное изме-
изменение на {а, 1), ее можно представить в виде Xi @ — Ъ W» г^е Zi W и Z» W
суть ограниченные положительные убывающие функции от t, такие, что
Следовательно, если задано произвольное число е, то можно подобрать
положительное число § такое, что
при условии, что 1 — § ^ t ^ 1.

662 ГЛАВА XVIII
Тогда мы будем иметь.
1
1—6
о
1 1
r+1li(*)Tn(t,UH)dt —
1 — 8 1-8
Так же, как в § 18.24, можно показать, что при п—> сю первый инте-
интеграл в правой части имеет порядок оA); второй, а также третий не превы-
превышают по абсолютной величине
2slim
(ср. § 18.24), а последнее выражение может быть сделано сколь угодно малым.
Таким образом,
lim
и этим доказано, что
сходится к /A —0), если выполнены предположения, сформулированные в на-
начале параграфа.
Это различие в поведении рядов Дини и рядов Фурье — Бесселя
(§18.26) заслуживает внимания.
18.35. Равномерная сходимость разложения Дини в интерзале,
включающем точку х — \
Поскольку ряд Дини не обращается тождественно в нуль при х = 1,
представляется вероятным, что условие непрерывности f(xI) на (аг 1), в со-
сочетании с существованием и абсолютной сходимостью интеграла
о
и с тем, что f(x) имеет ограниченное полное изменение на (а, 1), является до-
достаточным для обеспечения равномерной сходимости разложения Дини на
+ Д 1)
> )
Мы покажем, что в действительности это так и есть.
Причина неравномерной сходимости разложения Фурье — Бесселя вблизи
х—\ (§ 18.26) состоит в том, что
1
1) Без всякого ограничения на величину /A — 0).

РЯДЫ ФУРЬЕ—БЕССЕЛЯ И ДИНИ 663
не сходится равномерно к atv на (Д, 1), как это было показано в § 18.22.
Мы докажем, что, напротив,
1
сходится равномерно к х** на (Д, I). Тем самым не останется причины для
неравномерной сходимости ряда Дини. Действительно, используя рассуждения
§ 18.26, читатель сможет вывести без затруднения, что разложение Дини
сходится на (а-(-Д, 1) равномерно.
Из § 18.34 легко видеть, что интеграл
О
равен сумме вычетов выражения
itf+i \{wA (w) + HJ, (w)\ Kv+1 (tw) — {wY[ (w) + // J\ (w)} 7V+1 (tw)) X
в X,, X2, ..., \n плюс половина вычета в 0 или в Чз/Х0, если
Отсюда
1
о
есть сумма вычетов выражения
— B/w) (Я + v) 7V (xw)l{wA (w) + Hj\ (w)},
и, таким образом, если 0<^лг^1, то
О
причем подинтегральное выражение в правой части1) имеет тот же порядок,
что и
ехр{ —A-
и, следовательно, интеграл в правой части сходится равномерно к нулю вместе
с \f(DnV х) при Д ^л:^ 1, т. е.
1
\t^'Tn(t, x;H)dt
о
сходится равномерно к лгу на (Д, 1), а мы только что видели, что это усло-
условие достаточно для равномерной сходимости ряда Дини функции f(t) к сумме
f(x) на (a-j-Д, 1) при предположениях, сделанных относительно f(t).
х) Член wj[(w) важнее члена 7V (w), за исключением предельного случая, когда Н
бесконечно*, отсюда ясно видна причина различия в характере разложения Дшш
и разложения Фурье—Бесселя (ср. § 18.26).

664 ГЛАВА XVIII
18.4. Дифференцирование разложений Фурье — Бесселя
В начале этой главы мы получили разложение, которое, будучи записано
полностью, имеет вид
A) /(*)= 2 amJAJm,,x).
пг = 1
Мы сейчас установим условия, при которых можно написать:
B) Я*)= 2 amjm^TUm,,x).
т = 1
Этим вопросом занимался Форд1), и его исследования аналогичны иссле-
исследованиям Стокса о дифференцировании рядов Фурье2).
Форд изучал также вопрос о дифференцировании разложения Дини при И = — v,
но для других значений И его метод непригоден.
Мы докажем справедливость B), если нам удастся установить, что
C) /'W--J/(*) = - |] aJm,J,+iVm,,^
т — \
и что числа ym?v являются положительными корнями выражения
Но мы знаем, что f'(x) — (v/x)f(x) допускает разложение Дини вида
00
2 Ьт Л 1 (Jm V*)
внутри интервала, на котором функция имеет ограниченное изменение, и при
условии, что
Г 1
J *2{А') —7/(')}Л
о
существует и абсолютно сходится.
Коэффициенты Ьт даются формулой
1
/Зм J \tf(t) - vf(t)} Уч+1 (JmJ) dt
b — °
m,
условии, что
!) Ford, Гтя5. American Math. Soc, IV A903), стр. 178—184.
2) Ср. Ауре современного анализа, ч. 1, § 9.31.

РЯДЫ ФУРЬЕ—БЕССЕЛЯ И ДИНИ 665
Для того чтобы это последнее имело место, достаточно, чтобы
(i) Л+2/(*)—*0 при г—*0,
(ii) /A—0) = О,
(Hi) f(t) была непрерывной в открытом интервале @, 1).
Эти условия в сочетании с существованием и абсолютной сходимостью
интеграла
1
о
достаточны для того, чтобы B) было справедливо в любом интервале, где
имеет ограниченное полное изменение.
18.5. Суммируемость рядов Фурье — Бесселя
Рассматривая значения коэффициентов ряда Фурье — Бесселя для f(x) в со-
сочетании с представлением Тп (t, x) в виде контурного интеграла, легко придти
к выводу, что изучение вопроса о суммируемости разложения Фурье — Бесселя
с помощью средних Чезаро должно быть очень сложным.
Однако выяснить этот вопрос сравнительно нетрудно, если воспользо-
воспользоваться методом суммирования Риса1), после чего суммируемость (С1) полу-
получается с помощью элементарных рассуждений.
Выражение, которое, следуя методу Риса, будет принято за «сумму» ряда,
имеет вид
в случае, если этот предел существует, мы будем говорить, что ряд Фурье —
Бесселя суммируем (R).
Очевидно,
п / г \ С
/i\ > I 1 1т\п 1 (/ у\ 1= \ tf(t\ T it И Р\ dt
m = l n 0
где
п
B) Tn{t,x\R)- 2Л1 Aj
JUlUm)
и, таким образом, будет удобно рассмотреть свойства Тп (t, x\ R) подобно тоету,
как это сделано в § 18.22, прежде чем начинать дальнейшее продвижение
в решении главной задачи.
18.51. Теоремы о* функции Tn(t,x\R)
Функция Tn(t, x\R), определенная равенством § 18.5 B), симметрич-
симметрична относительно t и х, так что мы в дальнейшем будем изучать е?
в предположении, что 0^^^л:^1 и выписывать соответствующие
свойства при 0 ^ х ^ t ^ 1, меняя в полученных результатах t и х местами»
1) Ср. Hardy, Proc. London Math. $oc, B), VIII A910), стр. 309.

666 ГЛАВА XVIII
Заметим сначала, что Tn(tf x\R) представляет собой сумму вычетов вы-
выражения
то A - jj К М У* (xw) - Л (xw) Fv (w)\ tjfiZJ
в точках ;\, у2, у3, ..., jn.
Для краткости положим
w {J, (w) Fv (xw) — Л (*w) rv (w)} еее Ф (w, л:);
тогда очевидно, что при1) t<^x
Ап + оо i
1
Ап — оо / — оо /
~2i J Л Ап
, — ooi
ooi
, (tw) dw
— oof
поскольку Ф (w, x) 7V (tw)\JH (w) есть нечетная функция от w.
Сейчас мы выведем некоторые оценки для
как в случае, когда w лежит на линии, соединяющей Ап — оо / с Ап -f- сю /,
так и в случае, когда w лежит на мнимой оси; формулы, которые сейчас бу-
будут рассматриваться, будут справедливы при 0^л:^1 и O^tf^l, причем
знак х — t не будет существенным.
Чтобы получить эти оценки, мы воспользуемся рядами по возрастающим
степеням w для малых | *ге/1 и неравенствами, получаемыми из формул гл. VII
для больших \w |.
Сначала мы займемся множителем 7V (tw)/J^ (w). Заметим2), что
на каком бы контуре w ни лежало; это вытекает из неравенств типа § 18.21 (9),
если \w\ не является малым, и из ряда по возрастающим степеням, если \w\
невелик (т. е. меньше jm).
Затем мы рассмотрим функцию Ф (w, лг), равную
у iw {Д,A> (w) Я/2> (xw)—H^ (xw) Я/2> (w)};
целесообразно рассмотреть эту функцию по отдельности при — — ^ v ^ тг и
2 2
при v ^ у .
г) Когда t ^ х, интегралы, взятые вдоль линий, соединяющих it iB с Ап + iB%
не стремятся к нулю при В—^оо. Нет необходимости обходить начало координат,
поскольку Ф (w, x) в начале координат регулярна.
2) Предполагается, что числа къ k2t k%, ... положительны и не зависят от wtx
и t\ однако, они могут зависеть от v.

РЯДЫ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ И ДИНИ 667
(I) Первый случай совсем прост. Из § 3.6 и § 7.33 следует, что
B)
I xw I \xw\
для всех рассматриваемых значений w и х при — — =^: у ^ — • Отсюда
C) I Ф (w, х) I <" ~- ехр {A — х I / (w) I}.
У*
(II) Если v^-y и \w\ невелик, то, пользуясь рядом по возрастающим
степеням для Jv(w), Yy){w), J^{xw) и Y^(xw), легко вывести, что
D) \Ф(т9 л:) |< k3 \ w \ х~\
Если | w | не является малым, то мы воспользуемся неравенствами (выте-
(вытекающими из § 7.33)
\wI3 v \w\
в сочетании с неравенствами
г
1^) (Xw) |< Л4 {| *Н~ 2" -Н ляг* hi Ieixw I >
F) 1 irrB) ri i
Из § 3.6 и § 7.33 следует, что неравенства F) справедливы независимо от
того, велик | xw | или мал. Отсюда
G) | Ф (w, х) |< k2kA {лг~ T + ^~vklT"V} ехр {(\—x)\I(w)\},
если v ^-н- и | w | велик, независимо от величины1) |;ют|.
Если теперь объединить результаты, содержащиеся в формулах C), D)
и G), то независимо от того, имеет ли место —-к-^ v^"o" или v^-o > полу-
Z 2, Z
чим:
(8)
где w — любая точка любого из контуров и O^ats^I. Таким образом,
в силу A), получаем:
(9) ^l^^:r
где (Хл:<1 и 0< * < 1.
Вернемся теперь к интегральной формуле для 7W (^, л: \R). Если в первом
и втором контурных интегралах заменить w соответственно на Ап -\-iv и -4- iv,
то найдем, что при 0^<^ 1
Конечно, при условии, что

668 ГЛАВА XVIII
Тем самым мы доказали два неравенства
A0) |Г.«,^* '+
(И)
Вспомним, что kQ не зависит от х и ?, так что | л:—?| можно устремить
к нулю, если это окажется необходимым.
Для исследования Тп (t1 x \ R) при значениях х и t, близких друг
к другу, потребуется другая пара неравенств. Чтобы получить их, положим
где 0 ^ t ^ х ^ 1; при этом за контур интегрирования берется прямоуголь-
прямоугольник с вершинами ±iAn, An-4- 1Ап.
Легко видеть, что (9) удовлетворяется независимо от того, лежит ли w
на горизонтальных или на вертикальных сторонах этого прямоугольника; мно-
множитель же 1—{wlAn) по абсолютной величине не превышает V% в любой
точке контура.
Следовательно, модуль подинтегрального выражения не превышает
и так как длина контура равна 6Лл, то при 0^.t^.x^ \ мы находим:
I т a ЗЛ&вA4"*
и аналогично, при 0^л:
A3) \Tn(t,x\R)\<: M
Последних двух неравенств достаточно для изучения суммируемости (/?)
рядов Фурье — Бесселя. Читатель мог заметить, что рассмотрение малых значе-
значений х несколько удлинило рассуждения.
18.52. Аналог теоремы Фейера
Теперь мы можем доказать, что существование и абсолютная сходимость
интеграла
1 1
обеспечивают суммируемость [R) ряда Фурье — Бесселя функции f(t) во всех
точках х открытого интервала @, 1), в которых существуют оба предела
/(аг^ЬО). Сумма (/?) этого ряда равна

РЯДЫ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ И ДИНИ 669
Эта теорема, очевидно, является аналогом теоремы Фейера1) из теории рядов Фурье.
Поскольку2) вообще сходящийся ряд суммируем (/?), из § 18.35 следует,
что при 0 <^ х <^ 1
X
Iim \t^Tn(tix\R)dt=\im \t^Tn{t,x\R)dt = \-x\
Отсюда вытекает, что если пределы f(x + 0) существуют, то
X 1
Iim \ t^Tn{t, x\R)x-*f(x— 0)Л + Iim f^1^^, *|#) x~*f (x-\-0)dt =.
{/(* + 0)+/(* —0)}.
Рассмотрим теперь сумму Sw(a:|/?), а именно,
+1 тп (*>х I
1
— §t^Tu(t,x\R)x-*f(x
X
мы докажем, что она может быть сделана сколь угодно малой при достаточно
большом п.
Сумма Sn(x\R) равна
+ j Г" {t~>f{t) - х-"Дх + 0)} Тп (t, х | R) dt.
Теперь предположим, что пределы /(лгИ^О) существуют; тогда для любого
положительного числа е найдется положительное3) Ь такое, что
Выберем, далее, положительную функцию от «, например а (я), которая
меньше § при достаточно больших /г, и разделим интервал @,1) на шесть
частей точками x^hb, x-hajn), x.
В интервалах @, х — §), (л: — §, х — а(п))9 а также в интервалах
(at + j (/2), лг + §)» (а: —|— S, 1) мы будем пользоваться неравенствами вида
§ 18.51 A0) и A1); а в интервалах (х — а (л),*), (*,*--[-а (л)) — неравен-
неравенствами вида § 18.51 A2) и A3).
х) Ср. Курс современного анализа, ч. 1, § 9.4.
2) Ср. Курс современного анализа, ч. 1, § 8.43.
3) Целесообразно будет взять Ь меньше, чем х и 1—х.

670 ГЛАВА XVIII
Из этих неравенств вытекает, что | Sn (x \ R) | не превышает
8
J
x— я (л)
Г
1
Г
J
Для любого заданного е (и следовательно, 8 ) первый и последний члены
этого выражения, в силу сходимости интеграла
1
могут быть сделаны произвольно малыми, если п взято достаточно большим.
Остальные члены не превышают
+х
и если положить а(я)^Е1/Лл, то последнее выражение не будет зависеть
от я, и его можно будет сделать сколь угодно малым, выбрав достаточно
малым исходное е.
Таким образом, можно сделать промежуточные члены в выражении для
| Sn (x | R) | сколь угодно малыми, выбрав г достаточно малым, после чего
первый и последний члены можно также сделать сколь угодно малыми, взяв доста-
достаточно большое п.
Следовательно | Sn (x | /?) | можно сделать произвольно малым, если выб-
выбрать п достаточно большим; таким образом,
lim 5я(дг|/?) = 0.
Отсюда
я->оо т — i
поскольку пределы в правой части существуют.

РЯДЫ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ И ДИНИ 671
Так как каждый из пределов в правой части равен -~ xv, то этим самым
доказано, что ряд
00
суммируем (R) и имеет своей суммой -^ {f (х-\-0)-\-f (х— 0)} при условии,
что пределы f(x^hO) существуют, что и требовалось доказать.
Для непрерывной на (а, Ъ) функции / (t) читатель сможет без затруднений пока-
показать, что суммируемость (R) будет равномерной повсюду в интервале а-\- k^x^b—А,
где д — любое положительное число (ср. § 18.25).
18.53. Равномерная суммируемость рядов Фурье — Бесселя вблизи
начала координат
Мы сейчас исследуем равномерность суммируемости (R) разложения
Фурье — Бесселя во всех точках интервала, концевой точкой которого является
начало координат. При этом мы будем предполагать, что разложение видо-
видоизменено, а именно, умножено на Ух , и затем докажем, что для функции
t~^f(t), непрерывной в интервале (О, Ь), видоизмененное разложение равно-
равномерно суммируемо всюду на @,Ь—Д), где Д— любое положительное число.
Для данного е можно подобрать Ь (меньшее, чем Д) такое, что
при условии, что х — §^?^дг-]-§ и г^зО и если х лежит на (О, Ь — Д).
Поскольку непрерывность влечет равномерную непрерывность, такой
выбор Ь может быть сделан независимо от х.
Мы положим
1
I
а затем изучим | x2Sn (x\R) |, пользуясь методом § 18.52.
Представим х2 Sn (x \ R) в виде суммы шести интегралов (некоторые
из них можно будет опустить при х<^Ь); тогда обнаружится, что \х2 Sn (x\R)\
не превышает
*-5
[
Х—Ъ х—а{

672 ГЛАВА XVIII
В этой формуле любой из отрицательных пределов интегрирования должен
быть заменен нулем.
i_
Верхняя граница для |*2 <$„(•*: |/?)| не превышает
и так как функция x~^f(x) ограничена (поскольку она непрерывна), ее можно
сделать сколь угодно малой, выбрав соответствующее я, которое не будет
зависеть от х.
г_
Следовательно, x2Sn(x\R) при п—> оо стремится к нулю равномерно.
Ранее уже было показано (в § 18.22), что
сходится равномерно на @, 1 — Д) и, поскольку равномерность сходимости
влечет равномерность суммируемости,
\t^Tn(t%x\R)dt
стремится равномерно к x2f(x) на (О, Ь — Д).
1
Отсюда, поскольку х2 Sn(x\R) стремится к нулю равномерно,
б
п 1
1
\tf(t)Tn(t,x\R)dt
о
1-v Г 1
равномерно стремится к х2 f(x)) t4+lTn(t,x\R)dt, т.е. к x2f(x) на @,?--Д).
о
Таким образом доказано, что ряд
равномерно суммируем (R) на (О, Ь —Д) и имеет сумму х2f(x), при условии,
что интеграл
\t*f{f)dt
о
существует и абсолютно сходится, и что функция ^~v/(/) непрерывна на (О, Ь).

РЯДЫ ФУРЬЕ—БЕССЕЛЯ И ДИНИ 673
18.54. Методы суммирования рядов Фурье — Бесселя
Мы сейчас изучим методы суммирования рядов Фурье — Бесселя1) вида
т — 0
в предположении, (i) что пределы f(xA^O) существуют, (и) что интеграл
существует и абсолютно сходится, и (ш) что ряд суммируем (/?).
1
Для краткости будем писать fm(х) вместо атх2 J^(Jmx), так что fm(x)
будет равномерно стремиться к нулю (§ 18.27) при т—^оо, если х лежит
на @,1).
Рассмотрим сначала предел
с помощью которого можно суммировать ряд наиболее естественным методом
(типа Риса).
Поскольку (jnlAn)—*1, то, очевидно,
п
Hm У
существует и равен
.¦5. S
Далее, поскольку fn(x) = o(l), то легко видеть, что
так что
и поэтому
lira Xf1—rV»«w= Iira
причем предел в правой части существует, вследствие предположения, сделан-
сделанного в начале этого параграфа.
Далее, поскольку
Jm rn_
I
1) Множитель х2 вводится лишь с той целью, чтобы исследование могло охва-
охватить также вопрос о равномерности суммируемости вблизи начала координат.

674 ГЛАВА XVIII
независимо от того, будет ли т порядка о (п) или О(п), мы имеем
так что
п
и* Е 0-¦?)/«<*>=lta SO-г
Таким образом, существование пределов /(-X*zb;O), 0 <^лг <^ 1, существование
и абсолютная сходимость интеграла
1 1
о
достаточны для того, чтобы ряд
00 1
был суммируем (С\) и имел своей суммой — х2 {f(x-{-O)-\-f(x — 0)}.
Если /(х) непрерывна на (а, Ь)> то, рассуждая точно таким же образом,
находим, что суммируемость (С1) будет равномерной на (а-\-А,Ь — Д); и
если я = 0, a t~^f(t) стремится к пределу при t—>0, то суммируемость
(С\) будет равномерной на (О, Ь — Д).
18.55. Равномерная сходимость разложения Фурье — Бесселя вблизи
начала координат
Используя теорему сходимости Харди х), мы можем теперь доказать, что
если tmf(t) имеет ограниченное полное изменение на @,&), причем f(t)y кроме
того, отвечает условиям § 18.53, то ряд
00 1
штл ТП V \J ffl I
tn—\
1
равномерно сходится на (О, Ь — Д) и имеет своей суммой х2 f(x).
Пусть h(t) — вспомогательная функция, равная f(t) на @, ?) и нулю
на (Ь, 1); пусть, далее,
- ряд Фурье — Бесселя функции h (t).
00 1
Тогда, по § 18.54, ряд 21 атх^^^Umx) равномерно суммируем (С\)
\_
hi (О, Ь — Д) и имеет своей суммой х2 /(х), и, по теореме Шеппарда
(§ 18.27), ajYJ^ имеет порядок ОA/т), тогда как (jmxJ 7V (jmx) является
ограниченной функцией от х и т. Отсюда, по теореме сходимости Харди,
1) Ср. Курс современного анализа, ч. 1, § 8.5.

РЯДЫ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ И ДИНИ 675
ряд
т — \
равномерно сходится на @,&—Д) и имеет своей суммой х7* f(x).
Далее,
2 (ат
m-~\
1 1}
(ат -ат)х* Л (Jmx) = х* \ tf(t) Tn (/, х) dt;
последнее выражение при п—>• оо стремится равномерно к нулю на (О, Ь —Д),
в силу аналога леммы Римана—Лебега (§ 18.23).
п
Отсюда 2 V2^(/mx) ПРИ п—^°° стремится равномерно к х2 f(x) на
(О, Ь — Д); это и требовалось доказать.
18.56. Суммируемость рядов Дини
За исключением случая х=\, суммируемость (С1) ряда Дини функции
f(t) может быть установлена путем соединения результатов из § 18.33 и
§§ 18.51 — 18.53.
Однако можно доказать суммируемость (С1) для всех точек х, 0<^х ^\.
и независимо1), заменяя Ап и функции J^{w) и Kv (w), встречающие
в § 18.5, соответственно на Dn и функции wJf^(w)-\- HJy)(w) и wY[(w)-\-
-f- HYH (w); детали рассуждений мы предоставляем читателю. В частности,
при х = 1 выражение — {/(х -\-0) -\-/(х — 0)} должно быть заменено на
/A-0).
Если f(x) непрерывна на (а, 1), то доказательство равномерности сумми-
суммируемости в интервале (#-|-Д, 1) может быть проведено тем же путем, что и
доказательство равномерной сходимости (см. §§ 18.33, 18.35).
Установление суммируемости рядов Дини (и рядов Фурье — Бесселя) с по-
помощью видоизменения метода Абеля имеет и специальный физический интерес.
Рассмотрим, например, задачу Фурье2) о теплопроводности бесконечного твер-
твердого цилиндра единичного радиуса. Здесь температура v и расстояние г от
оси удовлетворяют уравнению
dv u\^v \ 1 dv\
dt \dr~2 ' Tdrf
dv_
dt
и граничному условию
= 0,
при условии, что начальное распределение тепла симметрично.
Нормальные решения этого дифференциального уравнения, удовлетворяю-
удовлетворяющие граничному условию, имеют вид
У0(Хтг)ехр(— kl2mt),
1) Конечно, в предположении, что функция f(t) отвечает условиям, принятым
в § 18.53.
2) F о ц г i е г, La Theorie Analitique de la Chaleur (Paris, 1822), §§ 306—320.
Gp. Rayleigh, Phil. Mag., F), XII A906), стр. 106, 107 [Scientific Papers, V A912),
стр. 338—339] и Kirchhoff, Berliner Sltzungsberlchte, 1833, стр. 519—524.

676 ГЛАВА XVIII
так что температура v получается в виде ряда1)
где коэффициенты Ьт подлежат определению из того условия, что ряд
2
1
является рядом Дини функции /(г), определяющей начальную температуру.
Очевидно, что начальная температура выражается в виде
lim 2j bmJ0 (Ami
причем последний предел существует, если ряд Дини суммируем (/?).
18.6. Единственность рядов Фурье — Бесселя и рядов Дини
Юнг2) показал, что существование и абсолютная сходимость интеграла
являются достаточным условием для того, чтобы при равенстве нулю всех
коэффициентов ат ряда Дини (или ряда Фурье — Бесселя) функции f{t)
сама функция f(t) была тождественным нулем.
Чтобы доказать эту теорему, заметим, что если р = 0, 1,2,..., то можно
положить
где коэффициенты ат определяются формулой
1
о
а ряд в правой части сходится равномерно на @, 1—Д) и ограничен на
A—Д, 1). Таким образом, можно умножить это разложение на t2 f(t) и ин-
интегрировать почленно.
Следовательно,
о т=° о
Поскольку все интегралы
\t (p=\, 2, 3, ...)
!) В данной физической задаче //>0, и, таким образом, начальный член, который
следовало бы добавить, отсутствует.
2) Young, Proc, London Math. Soc, B) XVIII A920), стр. 174—175.

РЯДЫ ФУРЬЕ-БЕССЕЛЯ И ДИНИ 677
суть нули, то, по теореме Лерха!), ty(t) тождественно равна нулю, и этим
теорема для рядов Фурье — Бесселя доказана. Теорема для рядов Дини может
быть доказана точно таким же путем и является, по существу, более простой,
потому что ряд Дини для Р+2р остается равномерно сходящимся на A—Д, 1).
Возможно построить теорию рядов по бесселевым функциям вида
00 СО
(где коэффициенты ат и Ьт — любые константы), аналогичную римановой тео-
теории тригонометрических рядов2).
Однако эта теория скорее относится к рядам Шлемильха по бесселевым
функциям, которые будут рассмотрены в гл. XIX; кроме того, представ-
представляется целесообразным отложить исследование рядов типа
2 j*(\«) 2
tit — 1 т — 1
с помощью методов Римана до § 19.7, где оно будет простым следствием
результатов, полученных для рядов Шлемильха.
1) Lerch, Ada Mathemattca, XXVII A903), стр. 345—347; Young, Messenger, XL
A910), стр. 37—43. Ср. § 12.22.
2) Ср. Курс современного анализа, ч. 1, §§ 9.6—9.632.

Глава XIX
РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА
19.1. Разложение функции вещественного переменного, банное
Шлемильхом
В гл. XVIII мы изучали разложение функции f(x) вещественного пе-
переменного х в ряд вида
00
/(•*)= 2 amJAJmX)>
где jm есть т-й положительный корень функции 7V (z), так что для больших
значений т
, 1
Таким образом, в достаточно далеких членах ряда аргумент бесселевой функ-
функции оказался приблизительно пропорциональным номеру члена.
В этой главе мы рассмотрим ряд, состоящий из членов, у которых аргу-
аргумент бесселевой функции строго пропорционален номеру члена. Выбирая под-
подходящую переменную, можно записать ряд в виде
оо
2 ат1 (тих).
т — \
В дальнейшем будет видно, что к этому ряду удобно приписывать начальный член
(§ 19.11; ср. § 18.33), и что рассуждения упрощаются, если ввести неболь-
небольшие изменения в форму записи коэффициентов ряда (§ 19.2).
Ряды этого типа были впервые исследованы Шлемильхом1). Для физика
они не имеют такого значения, как ряды Фурье — Бесселя, хотя, как показал
Рэлей2) (в случае v = 0), они естественно возникают при исследовании перио-
периодического поперечного колебания двумерной мембраны, если это колебание
слагается из бесконечного множества одинаковых одномерных поперечных
колебаний, равномерно распределенных по обоим измерениям мембраны.
Кроме своего значения для приложений к физике, ряды представляют
во многих отношениях чисто математический интерес; замечательно, например,
что функция, тождественно равная нулю, выражается рядом такого типа,
коэффициенты которого не все нули (§ 19.41).
В некоторых отношениях ряд Шлемильха более доступен изучению, чем
ряды Фурье — Бесселя, однако оба эти типа рядов имеют много общих свойств
и читатель будет прав, если из сравнения аргументов jmx и тх сделает вы-
вывод, что интервал значений х, в котором естественно рассматривать ряд
Шлемильха, есть интервал (О,тт), поскольку для ряда Фурье — Бесселя таким
интервалом был интервал @,1).
1) Sch 16 milch, Zeitschrift fur Math, und Phys., II A857), стр. 155—158;
Шлемильх рассматривал только частные случаи у=0 и >=1.
2) Ray lei gh, Phil. Mag. F), XXI A911), стр. 567—571. [Scientific Papers, VI
A920), стр. 22—25.]

РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА
679
19.11. Разложение в ряд по бесселевым функциям с индексом нуль,
данное Шлемильхом
Мы сейчас сформулируем и докажем теорему, найденную Шлемильхом.
Она относится к разложению произвольной функции f(x) вещественного пере-
переменного х и в современной терминологии выражается так*.
Пусть f(x) — произвольная функция с производной f'(x), непрерывной
в замкнутом интервале (О, тг) и имеющей в этом интервале ограниченное
полное изменение.
Тогда f(x), при 0 ^ х ^ тг, допускает разложение в сходящийся ряд
вида
A)
где
B)
1
А*) = "Г
2 ат
т—\
1
1С Г
lf j1 af (asin <t)d<fdu,
о о
ат = — I uf(u sin cp) cos mu dy du.
о о
Шлемильх исходил из интегрального уравнения
1
C)
= 4 f ^(-^ sin б) ^6,
о
непрерывным решением которого является
D) g(x) =
Проверим, что функция g(x), определенная при помощи D), действительно
дает решение уравнения C); подставим D) в правую часть уравнения C);
тогда
1
0
g(x sin 6)^6
i
2Л
0
@L-
5"
¦xsir
5"
i
2я
0
V f [/(^ sin 6 sin cp) sin
о о
Заменим теперь 6 новым переменным j(, определяемым из уравнения
sin jf == sin 6 sin cp,

680 ГЛАВА XIX
и изменим порядок интегрирования. Тогда найдем:
2
4 Г g(xsinQ)db — /@) = y Г Г У (a: sin в sin cp)
0 0
У ( p) sin 0
0 0
-л
2х f p sin 0 cos x
j j/Vsinx)
j j/Vsinx) ysin28_sina]t
sin 6 cos y db dy
0 0
1 1
2* Г
— I fix sin y)
* J J *
ь I
?f [f'(xslni) Г — arcsin fc0>)]2
= x \ f\x sin %) cos i d% =/(x) —/@),
0
и, таким образом, если функция g(x) определена равенством D), то она яв-
является решением уравнения C).
Поскольку /' (х) — непрерывная функция с ограниченным полным изме-
изменением в интервале @, тс), то, в силу D), и g(x) обладает этими свойствами;
отсюда, по теореме Фурье, g(x) допускает разложение вида
оо
1 , v4
~ "о" а0 ~Т~ 2^am Cos mx->
где
am = ~ \ g(u) cos mudu = —\ /@)-|-a f'(u sin y) d<p \ cos mu du;
о о °
этот последний ряд сходится равномерно во всех точках интервала @, тг).
Таким образом, законно почленное интегрирование и мы имеем:
я J I 2
что и дает требуемое разложение. Легко убедиться, что значения, получен-
полученные для коэффициентов ат, совпадают со значениями коэффициентов в фор-
формулах B).

РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА 681
Если не требовать ограниченного полного изменения функции /' (х), то
ряд Фурье для функции g(x) не будет обязательно сходящимся, однако, в
силу непрерывности /' (л:), он будет равномерно суммируем (С\) в интервале
(О, тг); тогда, интегрируя почленно, получим, что ряд
оо
1 п JU V п 1 1тг\
2 "О "Т" Z~i amJ0 \'ПХ)
равномерно суммируем (С1) в интервале @, тг) к сумме f(x); применяя теорему
сходимости Харди !), находим, что дополнительное условие
является достаточным, чтобы обеспечить сходимость ряда Шлемильха к сумме
/(х), если только х лежит в полуоткрытом интервале 0<^х^ъ.
Дальнейшие сведения о суммируемости рядов Шлемильха читатель мо-
может найти в мемуаре Чапмена2).
[Замечание. Интегральное уравнение, связывающее f (х) и g (x)y было одним
из тех, которые Абель (Abel), Journal fur Math., I A826), стр. 153, решил в 1823 г.
Впоследствии исследованием его занимались 3) Бельтрами (В е It r a m i), 1st. Lombardo
Rendiconti, B), XIII A880), стр. 327—402, Вольтерра (V о 11 e r r a), Ann. di Mat., B),
XXV A897), стр. 104, Смит (С. Е. Smith), Trans. American Math. Soc, VIII A907),
стр. 92—106.
Справедливость равенства
l i
2x С Г
— /'(jc sin б sin ?) sin в rfy дЮ = / (jc) — /@)
о о
проще всего установить, используя метод замены осей полярных координат, изложен-
изложенный в § 3.33; этим методом пользовался Гвайзер (G w у t h e г), Messenger, XXXIII
A904), стр. 97—107, однако, ввиду произвольности / (х), аналитическое доказатель-
доказательство, приведенное в тексте, представляется предпочтительным. Что касается закон-
законности перестановки порядка интегрирования, см. Уиттекер и Ватсон, Курс современ-
современного анализа, ч. 1, § 4.51.
19.2. Определение ряда Шлемильха
В предыдущем параграфе мы рассмотрели задачу Шлемильха о разло-
разложении произвольной функции в ряд по бесселевым функциям с индексом
нуль, в котором аргумент (т-\-\)-го члена был пропорционален т\ разло-
разложение имело место в интервале @, тг).
Ряды этого типа могут быть обобщены путем замены функций с индек-
индексом нуль на функции с произвольным индексом v; дальнейшее обобщение
можно осуществить, включив в общий член кроме функции Jv(mx) еще одну
функцию, находящуюся в таком же отношении к бесселевой функции, как
синус к косинусу. Последнее обобщение возникает, конечно, из теории рядов
Фурье, и можно предположить, что существуют разложения, справедливые в
интервале (—тг,тт) изменения переменного.
*) Ср. Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, ч. 1, § 8.5.
2) Chapman, Quarterly Journal, XLIH A911), стр. 34.
3) Несколько интересных приложений теоремы об интеграле Фурье к упомяну-
упомянутому интегральному уравнению дал Стерн (Stearn), Quarterly Journal, XVII A880),
стр. 90—104.

682 ГЛАВА XIX
В качестве функции, о которой только что упоминалось, естественно
рассматривать бесселеву функцию второго рода или функцию Струве; ряды,
которые получаются при введении этих функций, можио записать в виде1)
" п° — "лЛ (mx)
m = l \—mxJ
Ряды первого типа (при v = 0) исследовал Коте2), однако, его доказатель-
доказательство возможности разложения произвольной функции f(x) в такой ряд, пови-
димому, несостоятельно, за исключением тривиального случая, когда f(x) —
периодическая (с периодом 2тт) и стремится к нулю при х—*оо.
Ряды второго типа, представляющие значительно больший интерес, яв-
являются непосредственным обобщением тригонометрических рядов. Они носят
название обобщенных рядов Шлемилъха.
При изучении обобщенных рядов Шлемильха возникают два рода задач.
Первый — о разложении произвольной функции в такой ряд и второй — об
определении свойств такого ряда с заданными коэффициентами и, в частности,
построение аппарата (сходного с аппаратом Римана для тригонометрических
рядов) для решения вопроса о том, можно ли с помощью обобщенного ряда
Шлемильха, в котором не все коэффициенты равны нулю, получить функцию,
тождественно равную нулю, или равную нулю всюду, кроме конечного числа
точек; такие функции в дальнейшем называются нуль-функциями.
Обобщенные ряды Шлемильха рассматривались в нескольких мемуарах Ниль-
Нильсеном (N i е 1 s e n), Math. Ann., LII A899), стр. 582—587; Nyt Tidsskrift, X. В A899),
стр. 73—81; Oversigt К Danske Videnskabernes Selskabs, 1899, стр. 661—665; 1900,
стр. 55—60; 1901, стр. 127—146; Ann. di Mat., C), VI A901), стр. 301—329.
Нильсен8) дал выражения для коэффициентов в обобщенном разложении
Шлемильха произвольной функции и весьма подробно исследовал структуру
ряда Шлемильха, представляющего нуль-функцию; однако, его рассуждения
существенно отличаются от тех, которые будут приведены в дальнейшем
изложении.
Рассматривая вопрос о возможности разложения произвольной функции
в обобщенный ряд Шлемильха, мы будем основываться на исследовании
Файлона4) для случая v = 0, которое он дает в своем мемуаре, посвященном
приложению теории вычетов к разложениям произвольных функций в ряды
по заданным функциям. Повидимому такое исследование5) представляет ин-
!) Множитель х* введен в знаменатель для того, чтобы члены второго ряда
были однозначными (ср. § 19.21).
2) Coates, Quarterly Journal, XXI A886), стр. 189—190.
3) См. напр. Niels en, Handbuch der Theorie Cylinderfunktionen (Leipzig, 1904),
стр. 348.
*) Filon, Proc. London Math. Soc, B), IV A906), стр. 396—430.
б) Предполагается, что — < v < — . Но результаты, которые будут получены
2 2
в § 19.41—19.62, покажут, что трудности, которых можно было бы ожидать для дру-
других значений v, являются только кажущимися.

РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА 683
терес, поскольку не существует очевидного метода, с помощью которого
можно было бы преобразовать систему функций /v (mx), Hv (mx) в нормаль-
нормальную ортогональную систему в интервале (— тг, тг); и, следовательно, не су-
существует такого метода получения коэффициентов разложения Шлемильха,
с помощью которого их можно было бы находить так же просто, как коэффициенты
разложения Фурье — Бесселя (§ 18.1).
Исследование вопроса о возможности представления нуль-функции с по-
помощью обобщенного ряда Шлемильха, занимающее последнюю часть этой
главы, аналогично исследованиям Римана по тригонометрическим рядам, приве-
приведенным в Курсе современного анализа, ч. 1, § 9.6—9.632.
19.21. Приложение теории вычетов к обобщенному разложению
Шлемильха
Мы сейчас укажем способг) нахождения коэффициентов обобщенного
разложения Шлемильха, представляющего произвольную функцию f(x), когда
индекс v бесселевой функции заключен между 9" и "9" " Затем, не приводя
обоснования этого способа, мы прямо докажем, что ряд Шлемильха с полу-
полученными таким путем коэффициентами действительно сходится к f(x).
Наш способ аналогичен приему, с помощью которого Дирихле доказал теорему
Фурье; он находил коэффициенты разложения
/ (х) = -^ «о + ^ ^т cos тх ~^~ $т sin mx^
т—\
умножая разложение на zosmx и на sin mx, а затем интегрируя в пределах от —я
до я, таким образом, значения ат и рш получались в виде
тс
а =i- f(t) cos mtdt, Pm~—
m я J %
Далее он рассматривал ряд, коэффициенты которого заданы этими выражениями,
а именно,
i |/(')л+ X ^f(t)cosm(x-t)dt,
и доказал, что этот ряд в самом деле сходится к f (х).
Чтобы сократить изложение, рассмотрим вместо пары функций
J^mx) j(j- mxj\ Hv (mx)l(^ mx
две комбинации из этих функций
Н
2) За исключением различия в обозначениях, последующие рассуждения принад-
принадлежат Файлону; в только что упомянутом мемуаре он рассматривал случай v —Q,
однако, обобщение на случай v, лежащего между — — и -|— , не составляет труда.

684 ГЛАВА XIX
Введем обозначение
A)
2 г
таким образам1), функция (f>v(?) будет аналитической и однозначной для всех
конечных значений комплексного переменного z; очевидно также, что
Заметим теперь, что (—\)ту^(тх) есть вычет функции
sin тс^г
в z = m, где /я = 0, + 1> ±2,... . Далее мы будем рассматривать интеграл
вида
где за контур С взята окружность радиуса Af-j-y с центром в начале коор-
координат, а М—целое число, которое мы в дальнейшем будем удалять в бес-
бесконечность.
Предполагается, что функция F(z) является однозначной во всей z-пло-
скости и аналитической на бесконечности (ср. § 19.24), с единственной осо-
особенностью на конечной части плоскости, а именно, существенно особой точкой
в начале координат.
По лемме Жордана, рассматриваемый интеграл стремится к нулю, если
М стремится к бесконечности, при условии, что v^> —у.
Вычисляя вычеты, мы находим, что выражение
— m)tf,( — mx)}
/71=1
равно вычету функции
в начале координат, т. е.
оо
B) ?(— \r{F(m)yAmx) + F( — m)<p,(— mx)\ =
@+)
Г
(+
= 1 Г
2п J
sin kz
( 1 V
х) Введение в знаменатель множителя \тгг) позволяет применять к ?v(?)
теорему Коши также и в случае, когда контур интегрирования охватывает начало
координат.

РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА 685
Таким образом, задача о разложении произвольной функции f(x) в обоб-
обобщённый ряд Шлемильха сводится к нахождению вида функции, для которой
@+)
2я/ J ^ sin nz
отличается от f(x) на. постоянное.
19.22. Построение функции F(z)
Рассмотрим контурный интеграл
@ + )
2тсг J
чтобы вычислить его наиболее простым образом, предположим, что F(z)
допускает разложение типа Файлона1)
где tyn(z) обозначает сумму тех членов ряда Маклорена функции тг si
степень которых не превышает п, коэффициенты же рп будут определены
позже.
В частности,
При таком построении F(z) очевидно, что для малых значений \z\
sin iw ^i 1 ^ Sin Я2Г/
\^ (n+l)!sint«
Мы сразу получаем, что
@ + )
_-L \
2тсг J
sin П2г
oo
2
и, следовательно, можно попытаться отождествить
_у '-(Т*)'
!) Эти ряды составляют основу теории Файлона и не существенны для разло-
разложений Шлемильха; так, в своей работе по теории рядов Фурье — Бесселя, Шлемильх
заменяет sin %z на 2"VV (-гг), а через §п (z) обозначает сумму всех членов разложения,
степень которых не превышает п.

686 ГЛАВА XIX
с f(x) —/@). С этой целью мы временно допустим, что f(x) имеет в начале
координат производные всех порядков, после чего определим коэффи-
коэффициенты рп с помощью уравнения
/1
Л")@) Рп\~21
Преобразуем теперь это уравнение так, чтобы сумма ряда, определяю-
определяющего F(z), могла быть записана в компактном символическом виде; это пре-
преобразование может быть выполнено путем представления коэффициентов рп
в таком виде, чтобы п содержалось только в показателе степени. С этой
целью воспользуемся интегралами Эйлера первого рода, причем для обеспе-
обеспечения их сходимости ограничимся случаем — — <^ v <^ тт • Мы, таким обра-
зом, находим:
r(i)(n-f2») Г
= ^71 ч-/(Л)@) 1A
;"г г i
i-vW \- dun Ja=
2
откуда получаем символическую формулу
1
гле D обозначает -г- .
du
Располагая теперь ряд
ос
по убывающим степеням z, легко убедиться, что
ос
у Фя (z) Рп
it{iz—~P)
откуда
П 1

РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА
Далее из рассмотрения B) следует, что нам потребуется суммиро-
суммировать ряд
что можно выполнить с помощью формулы D); мы, таким образом, находим:
Мы только что получили символические выражения для всех коэффи-
коэффициентов обобщенного разложения Шлемильха функции f(x)\ теперь их необ-
необходимо преобразовать к более удобному виду, для чего нужно выяснить смысл
hD
оператора -—^г г-г, как в случае, когда z произвольно, так и для z = 0.
19.23. Преобразование символических операторов в обобщенном
разложении Шлемильха
Мы переходим к интерпретации *) символического выражения
[sh izD ,,. Л
Обычной интерпретацией выражения ^ fifa) является
a
oizu С ,
где а есть постоянная интегрирования; отсюда
а
Далее, по теореме Тейлора в символической записи, мы имеем:
!) Интерпретацию многочисленных выражений, содержащих символические опера-
операторы рассматриваемых типов, можно найти у Грегори (Gregory), Cambridge
Math. Journal, 1 A839), стр. 22—32 и у Буля (Bool e), Differential Equations (London,
1872), гл. XVI и XVII.

ГЛАВА XIX
где i(u) есть произвольная функция от и\ отсюда следует, что
и -f- it
— e~K[Z e~izv
а а
т. е.1)
sh
Второй член в правой части имеет простые корни во всех точках, где
= 0, ±1, ±2, ... .
Таким образом, поскольку это касается нахождения вычетов функции
Sill 1L2
в 0, 4^1, ^2, ..,, ^w можем опустить второй член в правой части A)
и находить вычеты функции
где
2
Далее из § 19.22 F) и равенства A) этого параграфа мы имеем:
1 / 1 \ -,
л = 1
Первый член в правой части C) равен Г (v —|— 1) /@), за исключением
случая2) v = 0, когда этот член равен нулю.
!) Выражение для F(z), получаемое из этой формулы, может и не иметь особен-
особенности в начале координат, если только а не бесконечно или не является функцией
от z\ но от этого строгость наших рассуждений не будет ослаблена.
2) Когда у отрицательно, нужно пользоваться видоизмененным выражением для
интегралов; ср. § 19.3.

РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА
689
Таким образом, мы получаем разложение
D)
В частном случае, когда v = 0, из видоизмененной формы выражения {3)
видно, что в правую часть D) необходимо ввести дополнительный член.
Переходя к обозначениям, обычно применяемым в теории бесселевых
функций и функций Струве, мы придадим разложению вид
1а
2 ° 1 V ат
-j-mx\
где
F)
Б J<-«-'"At'
2 У о
I f(tv) cos mvdv \dt4
1
n JA~'2) 2 й
sin
dt.
Это и есть обобщенная форма разложения Шлемильха.
19.24. Ограниченность функции F{z) при \z\—*оо
Мы сейчас покажем, что если функция f {х) удовлетворяет некоторым условиям,
то функция F{z) будет ограничена при \z\—>¦ оо, независимо от величины arg-г. Чита-
Читатель вспомнит, что предположение о том, что F{z) ограничена, было сделано в § 19.21
для обеспечения сходимости контурного интеграла.
Мы возьмем ряд § 19.26 A).
которым первоначально определялась F{z\ и разделим его на две части, а именно,
первые N членов и остаток, причем А/ будем считать таким, что
Если nz^N, то члены, входящие в ^n{z), не превышают Kn~x\z\njn\ и поэтому
N
при n
шп x\z\n{n\)
ff/I-l
Если /г ^ 7V, то
Поскольку
|г|« + 1 |г|.(л—1)!"
<^~1shi:|^| и поэтому
sh тс|
1) При v== 0 выражение для л0 должно быть изменено путем добавления члена 2/@),
так как в этом случае выражение в правой части C) становится разрывным.

690 ГЛАВА XIX
стремится к нулю при \г\—> во, то очевидно, что достаточным условием для того,
чтобы F(z) была ограниченной при \г\—> оо, будет сходимость ряда
это будет иметь место, если f(x) такова, что ряд
2 п 2|/(«>@I
СХОДИТСЯ. п = 1
19.3. Разложение произвольной функции в обобщенный ряд
Шлемильха
После того, как с помощью метода Файлона мы нашли выражения коэф-
коэффициентов в обобщенном разложении Шлемильха, сравнительно легко устано-
установить достаточные условия для сходимости этого разложения.
Мы сейчас докажем следующую теорему *):
Пусть число v заключено в интервале ( — "о" > Т) и пУсть f(x) Удо-
Удовлетворяет2) в интервале (— тг, тг) следующим условиям:
1. Функция h(x), определяемая равенством
существует и непрерывна в замкнутом интервале (—тг, я).
II. Функция h (x) имеет ограниченное полное изменение в интер-
интервале (— тт, тг).
III. Если v отрицательно*), то интеграл
А
/¦»
6
абсолютно сходится при любом (малом) Д, положительном или отрица-
отрицательном.
Тогда f(x) допускает разложение
0) J v*/— Г(у+Т) l Z* /1
где
B)
,= f f r/lSeC
И sec' * и
—т- г—у-р- —- [sin2v cp {/(« sin со) —/@)}] sin
—Jt 0
1) Эту теорему доказал Нильсен (Nielsen), Handbuch der Theorie der Cylinder-
funktionen (Leipzig, 1904), стр. 348; однако, формулы, которые он дает для коэффициен-
коэффициентов разложения, повидимому, не совпадают с формулами B).
2) Условия I и II служат лишь для того, чтобы обеспечить равномерную сходи-
сходимость одного специального ряда Фурье, связанного с h (x)t
3) Если v положительно, то это условие Липшица; оно удовлетворяется, в силу II.

РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА 691
при т^>0; значение коэффициента а0 может быть получено путем введе-
введения дополнительного члена
в правую часть первого равенства системы B).
Мы будем исходить из интегрального уравнения
C)
и покажем, что его непрерывное решение дается формулой
4) tf(*)=r(v+l)/@)-L
Г -г
\ sec*""op iLfsln*- <р{/(* sincp) -/@)}] df.
o
[Замечание. Сходимость (абсолютная) интеграла, входящего в эту формулу,
обеспечивается условием III. Заметим, что все члены равенства D), содержащие /@),
могут быть опущены, если только v положительно, в силу формулы
l IT
(которая справедлива только при положительном v).]
Переходим к доказательству того, что функция g(x), определяемая
равенством D), действительно является решением уравнения C). Подставим
эту функцию в правую часть C) и покажем^ что полученный результат может
быть приведен к f(x).
После подстановки будем иметь:
2 cos
1С
Таким
2cos
1С
VTI cos2v6sec2v+1<p [sin2v
0 0
образом, i
0 0
нужно доказать, что
= /(*) —
7@).
Заменим ср в левой части новым переменным ^ которое определяется
уравнением
sin 5J=sin

692 ГЛАВА XIX
изменим в полученном абсолютно сходящемся интеграле порядок интегрирова-
интегрирования, а затем заменим 6 новым переменным ф, которое определяется уравне-
уравнением
cos 0 = cos i sin ф.
я
о о
После этого мы получим:
cos2v 8 sec2v+1 cp — [sin2v <р {f(x sin 9 sin cp) — /@)}] ds> dft =
v I
о о (sin2б — sin2/) 2
sin б cos2v б
о i (cos2x —cos29)
откуда требуемая формула становится очевидной; таким образом, уравнение C)
действительно удовлетворяется функцией g(x), определяемой ио фор-
формуле D).
По теореме Фурье,
*о4~ 2-л (ат C0S mx ~\~ Ьщ Sirl mX)->
где
=1Г
/71 тг 1
E)
тс
= ~ ) g (и) sin mudu;
легко проверить, что если f(x) есть непрерывная функция с ограниченным
полным изменением в интервале (— тг, тг), то этим же свойством обладает
и g(x), и поэтому разложение для g(x) равномерно сходится при —тг-f-S^
^лг^тг — 8, где 5 — произвольно малое положительное число.
Возьмем разложение функции g(x), заменим в нем х на xsinO, умножим
на функцию cos2'6, абсолютно интегрируемую на любом интервале, и про-

РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА 693
интегрируем почленно; мы сразу получим, что
• mx
причем это разложение равномерно сходится при —тг-
Значения ат и Ьт, определяемые по формуле E), легко согласуются со
значениями, получаемыми по формуле B).
Заметим, что, в силу леммы Римана — Лебега, ат и Ьт имеют при боль-
большом т порядок O(\jm). Это связано, повидимому, с тем допущением, что
ряд 2 Ьт1т сходится (или с другими эквивалентными допущениями), без кото-
которого в исследовании любого ряда Шлемильха нельзя рассчитывать на успех;
как это будет видно в § 19.62, допущение необходимо в силу того, что
дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция Струве, не-
неоднородно, и поэтому функция Струве не принадлежит к типу функций,
встречающихся в решениях уравнения Лапласа или волнового уравнения.
Таким образом, повидимому, существуют основания физического характера
для ограничений, которые были наложены на /(л:), чтобы сделать возможным
разложение Шлемильха.
[Замечание. Точно так же, как в §19.11, если не выполнено условие II отно-
относительно ограниченного полного колебания функции 2v/ (x) + xf (х), то все утвержде-
утверждения этого параграфа, сделанные выше, относительно сходимости должны быть заме-
заменены аналогичными утверждениями относительно суммируемости в смысле (С 1).]
Имеется одно важное следствие из того факта, что ат и Ьт имеют поря-
порядок О(\\т) при т—>-ос, если 2vf(x)-\-xf (x)—функция с ограниченным
полным изменением на (—тг, тг), а именно, в окрестности —тг и тг общий член
разложения Шлемильха имеет порядок О(\1т 2), так что разложение
представляет непрерывную функцию; тем самым разложение сходится (равно-
(равномерно) к f(x) всюду в интервале (— тг, тг).
19.4. Специальные функции, представляемые рядами Шлемильха
В математической физике имеется некоторое число задач (отличилх от
тех, которые упоминались в § 19.1), в которых ряды Шлемильха появляются
естественным образом; мы сейчас дадим их обзор.
Рассмотрим очень простой ряд
00
1 + 2 e~mzJQ (mp);
этот ряд сходится, когда р и z положительны, и если р и z обозначают
цилиндрические (полярные) координаты, то он является решением уравнения
Лапласа во всех точках пространства над плоскостью z — 0.
Различные преобразования этого ряда были даны Уиттекером1); так,
переходя к декартовым координатам (х, у, z) и используя § 2.21, мы имеем:
оо к
— ехр { — (z -j- ix cos a -\- iy sin a)
Whit taker, Math., Ann., LVII A9ЭЗ), стр. 341—342.

694 ГЛАВА XIX
Если х2-\-у2-]-z2 <^ 1, то подинтегральное выражение можно разложить по
возрастающим степеням z -f- ix cos a -j- iy sin #.
Выполнив это, мы получимг):
_ 1 f ^ | 1 ,
2тс J .г + *¦* cos и +*> sin и "т" 2 '
00
т = 1 у 'ш
где (г, 6) суть полярные координаты, соответствующие цилиндрическим (поляр-
(полярным) координатам (р, г), a Bv В2, Вь, ... —числа Бернулли.
Другое преобразование рассматриваемого ряда, также данное Уиттекером,
получается из разложения функции 1/A—е~() на элементарные дроби; послед-
последнее имеет вид *)
00
1
откуда находим:
оо
C) Ч
B/тш -j- zf -f- x~ -f- у2 У B/тш — zf
Следовательно, этот ряд выражает электрический потенциал системы
единичных зарядов, положительных или отрицательных, помещенных в начале
координат и в точках zm = 2Timi (т= ... , — 2, — 1, О, 1, 2, ...).
Для читателя может представить интерес исследование интеграла Липшица —
Ханкеля из § 13.2, как предельной формы рядов Уиттекера.
Некоторые другие ряды были рассмотрены Нагаока2) в связи с задачей
о дифракции. Один такой ряд получается из ряда Фурье для функции, рав-
равной 1/У—х2 в интервале (—1, 1).
Этот ряд Фурье имеет вид
D)
и сходится равномерно всюду в интервале (—1+Д, 1—Д), где Д — любое
положительное число.
Умножая его на eaxi и интегрируя, получаем формулу (также принадле-
принадлежащую Нагаока)
X ^
eaxi dx ieaxi Г 1 • ^ v^ j . . a cos mizx — nvri sin ткх 1
г) GP. § 4.8 и Курс современного анализа, ч. 1, § 7.2, ч. 2, § 18.31.
2)Nagaoka, Journal of the Coll. of Set., Imp. Univ. of Japan, IV A891),
стр. 301—322. Некоторые формулы Нагаока приводит Чинелли (Cinnelli), Nuovo
Cimento, D), I A895), стр. 152.
современного анализа, ч. 1, § 7.4.

РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА 695
Ряд в правой части E) сходится равномерно в интервале (— 1, 1), так
что в качестве пределов интегрирования можно взять — 1 и 1.
Таким образом, при всех значениях а (вещественных и комплексных)
имеем:
Более общая формула, справедливая при R (V4""o-) ^0» имеет вид
оо
a\v v^ ( — i)mJ^(mit) 1
"j") 2L —5—— •
Это же разложение получается, если v представить в виде суммы
a^sina
элементарных дробей !).
Различные представления интеграла, находящегося в левой части E), были полу-
получены Нагаока; приведенная формула является, повидимому, наиболее интересной
из них.
Наконец, мы укажем формулу2)
00
т = 1
Ее можно вывести из ряда Фурье
оо
v^ cos Bm—\)х _зт_ 91 |\ ( << s* \
т = \
заменяя х на х sin 6 и интегрируя по 0 от 0 до у тг.
В качестве примера вычисления суммы ряда Шлемильха, когда перемен-
переменные находятся вне интервала (—тг, тг), возьмем тг<^л:<^2тг; тогда, обозначая
сумму ряда Фурье через f(x), получим:
0
arc sin (л/jf)
j
2
j J
0 arc sin (k[x)
arc sin (k/x)
-| J i B*sine — 3n)<rt,
arc sin (л:/дг)
x) См. /О7/7^ современного анализа, ч. 1, § 7.4.
2) Эта формула была предложена в виде задачи в Mathematical Tripos, 1895.

696 ГЛАВА XIX
так что при тг <^ х <^ 2тг мы имеем:
(9) 2- "
Л{B— \)х\
19.41. Выражение нуль-функции с помощью ряда Шлемильха
Мы сейчас докажем замечательную теорему: при 0<^д:<^п имеет место
равенство
A) |
при дг = О этот ряд колеблется, а при х = тг расходится к оо.
Эта теорема не имеет аналога в теории рядов Фурье; и действительно,
хорошо известно1), что ряд Фурье по косинусам не может представлять
нуль-функцию всюду в интервале @, я).
Теорему A) легко доказать с помощью интеграла Парсеваля; если М —
большое целое число, то мы имеем:
М Г* i М
я»=1 X ^ /я=1
/-»
cos { ( M + — ) * sin t
2>
cos I -y x sin
= пП)
cos-тг- a
о ^
при yVf—^oo; здесь мы воспользовались леммой Римана — Лебега2), которую
можно применить, так как интеграл
cos
у а- Ух2 — и2
существует и равномерно сходится при 0«
Итак, мы доказали, что
г м
lim 2+2-1 (—]
где 0<[x<^tt, что и требовалось.
х) Ср. Курс современного анализа, ч. 1, §§ 9.6—9.632.
2) Ср. Курс современного анализа, ч. 1, § 9.41.

РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА 697
Подобным же образом легко доказать, что
B) Г(Дп + Z ("~"/ Г^°\ ? = °«
-7Г "**
при условии, что (i) —у^^^Т и 0<л:<[тг, или (ii) v> —и
Для доказательства равенства B) снова используем интеграл Пуассона;
поскольку v ]> — у , мы получаем:
1
2
г
= _^ 2 '
= -, ^-Ц-гт—
г(» + т г T^i
при Ж—^оо, если только интеграл
х v JL
J cosT«
существует и абсолютно сходится; последнее как раз имеет место, если х и
v удовлетворяют поставленным условиям.
Справедливость B) теперь очевидна.
Если п — целое положительное и если v столь велико, что v — 2п^> — -ц ,
то оператор
xdx \ dx
можно применить п раз к уравнению B). В результате однократного приме-
Л1 \v
-тл: функция умножится на
— т2; поэтому при
4
¦ = о,
т. е.
00

698 ГЛАВА XIX
при условии, что выполняется любое из неравенств
(i)—-^<CV — 2п^\ и °^*О или (ii) v — 2^>-^ и
Формулы, данные в этом параграфе, принадлежат Нильсену l) (Nielsen), Math.
Ann., L1I A899), стр. 582—587; примерно в это же время им были опубликованы две
другие работы, посвященные тому же вопросу, Nyt Tldsskrlft, X, В A899), стр. 73—81;
Oversigt К- Danske Videnskabernes Selskabs, 1899, стр. 661—665. В первых двух
из этих трех работ рассматривались только целые значения v, в третьей же было
сделано обобщение на любые значения v.
Вскоре после этого2) Нильсен дал формулу для суммы ряда в B) при х > к; ее
легко получить из интеграла типа Дирихле
(* COS ( M-h-fr )tl v—i
V 2/ *- и2) 2
cos-i«
(**- и2) 2 du.
изучая подинтегральное выражение в точках а = к, Згс, 5гс,... .
Он нашел, таким образом, что при положительном х и целом д таком, что
имеет место равенство
( — \)mJMx)_ V2 > у (l__Bn~\J^\v
) X V 2J *=1
Формулы Нильсена показывают, что если функция/(лг), заданная в интервале
(— тг, тг), может быть представлена рядом Шлемильха, сходящимся всюду
в этом интервале (за исключением, быть может, конечного числа точек), то
это представление не является единственным и существует бесконечное мно-
множество рядов Шлемильха, сходящихся к функции f(x) всюду в этом интер-
интервале, за исключением конечного числа точек, именно тех, которые упомина-
упоминались выше, а также начала координат и (если o'<CV?^7r) граничных то-
чек +ТГ; в этом и состоит важность результатов Нильсена.
Обратная теорема о том, что всякий ряд Шлемильха с неисчезающими
коэффициентами, представляющий нуль-функцию во всех точках интервала
1 1 \
при3) — — <^ v ^ у ) , за исключением начала координат, со-
совпадает с точностью до постоянного множителя с рядом
L
2 , v (—ir-M***)
2 )
г) Формула A) имеется также у Гвайзера (G w у t h e r), Messenger, XXXI11 A904),
стр. 101.
2) Nielsen, Oversigt /С. Danske Videnskab ernes Selskabs, 1900, стр. 55—60; см.
также последнюю работу Нильсена (Nielsen), Ann. dl Mat., C), VI A901), стр. 301—
329, в которой указаны более сложные теоремы. Ср. § 19.4(9).
3) Теорема становится неверной при v > —; ср. формулу C). Было бы интересно
знать, может ли какой-нибудь ряд Шлемильха, отличный от приведенного в тексте,
представлять функцию, тождественно равную нулю при — < v< —-.

РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА 699
носит, конечно, более глубокий характер и доказательство ее, повидимому, еще
ке было опубликовано. Мы рассмотрим далее ряд предложений, носящих
подготовительный характер; рассуждения, которыми мы будем при этом поль-
пользоваться, напоминают в главных чертах рассуждения Римана !), применяющиеся
в теории тригонометрических рядов.
19.5. Теоремы о сходимости рядов Шлемильха
Мы сейчас рассмотрим специальный вид рядов Шлемильха, в которых
v = 0 ив которых не встречаются функции Струве; мы вводим такое огра-
ограничение для большей ясности изложения, которая в более общем случае из-
за сложности формул была бы недостижима. За очень немногими исключени-
исключениями, усложнения общего случая будут иметь место только за счет деталей;
усложнения, которые не будут относиться к этой категории, мы подробно
рассмотрим в §§ 19.6—19.62.
Мы сейчас рассмотрим ряд
оо
A) ^ «О+ЦЛ*Л ("**)>
т = 1
в котором коэффициенты ат суть произвольные заданные функции от т.
Сначала мы установим справедливость аналога леммы Кантора2): для то-
того чтобы удовлетворялось соотношение
ат = о (\/т),
достаточно, чтобы amJ0(tnx)—^0 при т—^оо во всех точках некоторого
интервала оси х.
[Замечание. Если рассматриваемый интервал содержит начало координат, то,
очевидно,
Возьмем любую часть3) интервала, не содержащего начала координат,
и обозначим ее через /г Обозначим длину интервала 1г через Lv
Во всех точках 1г мы имеем (§ 7.3):
X Я(тлг, 0)cos \тх — —тм —Q(mx, 0) sin f mx — -т1) »
причем если т—>оо, то
Р(тх, 0) —* 1, Q (тх, 0) — 0.
Отсюда для всех достаточно больших значений т (например, для всех зна-
значений, превышающих т0)
во всех точках интервала Iv
1) Ср. Курс современного анализа, ч. 1, §§ 9.6—9.632.
2) Курс современного анализа, ч. 1, § 9.61.
3) Поскольку J§{mx) есть четная функция от х, можно, не теряя общности, пред-
предполагать, что эта часть лежит справа от начала координат.

700
ГЛАВА XIX
Теперь допустим, что ат не имеет порядка о (У1п); нам нужно доказать,
что такое предположение приводит к противоречию.
Если ат не имеет порядка о (У~т), то должно существовать положитель-
положительное число s такое, что
как только т принимает какое-нибудь значение из некоторой бесконечной
последовательности/т^1). Обозначим наименьший член этой последовательности,
превышающий числа mQ и 2izlLv через т\.
Тогда cos (т'гх — — тг) принимает на 1г все свои возможные значения ит
таким образом, на 1г должен существовать интервал2), например /2, такой,
что во всех его точках имеют место неравенства
cos
sin [т\х — jT
Если L2—--длина интервала /2, то Z,2 = —тг/mj .
Далее, пусть наименьший член последовательности тг который превы-
превышает числа т'г и 2тс//,2, будет т'^
1
Тогда cos (т' х ^тг) принимает на /2 все свои возможные значе-
значения и, таким образом, на /2 должен существовать участок, например /8, та-
такой, что во всех его точках имеют место неравенства
cos [ т' х Т тг
2 4
sin [m'2x — 47
1
Если обозначить длину интервала /3 через Lv то Z,3 = — тг/Wg .
Продолжая этот процесс дальше, мы получаем последовательность интервалов,
каждый из которых содержится в предшествующем; поэтому должна суще-
существовать внутренняя точка, общая всем этим интервалам, и в ней мы
имеем:
cos (тХ— -j-TT
если т принимает любое из значений m'v m'v m'v ...
Для таких значений т мы имеем, следовательно,
Т
\amJ0{mX)\:
X
тъХ
Q (тХу 0)
/3 — 1
что противоречит предположению о том, что amJ0 (mx) стремится к нулю во
всех точках интервала Iv
Полученное противоречие показывает, что коэффициент ат должен иметь
порядок о (Vln).
1) Можно предположить, что тг < т2 < т% < ... .
2) В действительности на 1г существует, по меньшей мере, два таких интервала;
чтобы определить /2 единственным образом, мы возьмем тот интервал, который
лежит слева от всех остальных.

РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА 701
Теперь легко доказать следующую теорему: если ряд Шлемильха схо-
сходится во всех точках некоторого интервала, то для того чтобы он схо-
сходился при некотором положительном х (независимо от того, принадлежит
ли х к интервалу или нет), необходимо и достаточно, чтобы ряд
cosf тх— т тт ] 4--- sin [тх гтт
при этом значении х был сходящимся.
Эта теорема является следствием того факта, что общий член тригоно-
тригонометрического ряда отличается от amJ0 (тх) на функцию от т, которая имеет
порядок О \атт 2) = о(т~2), а ряд ^о(т~2) сходится.
19.51. Присоединенная функция
Сумму ряда
т—\
в любой точке его сходимости будем обозначать через f(x).
Пусть
Эту функцию F (х) будем называть присоединенной функцией ряда Шлемиль-
Шлемильха, сумма которого равна /(х).
Легко видеть, что если ряд, определяющий f(x), сходится во всех точ-
точках некоторого интервала, то ряд, определяющий F (лг), сходится при всех
вещественных значениях х.
Действительно, amJQ(тх) —> 0 при т—+ оо во всех точках рассматрива-
рассматриваемого интервала, и поэтому (§ 19.5)
ат = о(Ут).
Далее, по § 2.5E), для всех вещественных значений х
и, следовательно,
amjo(mx) _
Поскольку ряд
00
сходится, то, очевидно, ряд в правой части A) тоже должен сходиться.
Больше того, очевидно, что эта сходимость будет не только абсолютной,
но также равномерной во всякой области значений переменного х.

702 ГЛАВА XIX
19.52. Лемма I
Мы сейчас докажем, что если F (х) — присоединенная функций рйда
Шлемилъха, сумма которого равна f(x), и если
mo
B) lim Q(x,a) = xf(x)
cc-»0
в любой точке х сходимости ряда, определяющего f(x), при условии*
что1)
ат =
Из A) легко вывести, что
X [(х -+- а) /0 (тх + 2та) + (* — а) /0 (м* — 2ma) — 2xJ0 (mx)];
а по правилу Лопиталя легко получить, что
lim [(л:
а_>о ^^
а ->0
_j_ 2т (х 4- a) /q (mx + 2ma) — 2m (x — a) /^ (/iwr —
= xJq (mx) -\- J'o (mx)\m = — xJ0 (mx).
Следовательно, пределом каждого из членов ряда, определяющего G (лг, а)у
будет соответствующий член ряда, определяющего xf(x).
Поэтому достаточно показать, что ряд, представляющий G (л:, а), схо-
сходится равномерно по а в интервале, содержащем точку а = 0, при любом
значении х, для которого ряд, представляющий f(x), сходится.
Можно предположить, не нарушая общности доказательства, что х поло-
положительно2); далее, мы возьмем \а\ столь малым, чтобы он не превышал
-J- х; теперь покажем, что ряд для G (л:, а) сходится равномерно, если
Заметив, что
лг-4-a— V"x~(x-{-2a)=
и что ряд
г) Так как мы не предполагаем, что ряд fix) сходится более чем в одной точке,
то из § 19.5 еще нельзя заключить, что ат должно иметь порядок о(Ут)-
2) Мы рассматриваем четные функции от х, и поскольку G @, а) —0, частный
случай х==0 не требует дальнейшего рассмотрения.

РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА 703
равномерно сходится (причем всюду должны быть взяты либо верхние, либо
нижние знаки), мы находим, что G(at, а) отличается от
X [Ух + 2а-JQ(mx + 2та) -{-Ух — 2а-J0(mx — 2та) —
на сумму двух рядов, каждый из которых равномерно сходится.
Поэтому достаточно проверить равномерную сходимость последнего из вы-
выписанных рядов.
Для этого возьмем общий член ряда, а именно,
— 2а-Jo (тх — 2та) —
и запишем его в виде
/п— Г
/2х
/ 1
cos [mx-j
8m (x2 —
• ( M
sin mx -j- те J _
V 4 / cos 2ma .
Smx (x2 — 4a2) * ^2 Г
_ /2JT [2Ф (mx) — Ф (mx + 2ma) — Ф (mx —• 2ma)~\
" ^ F /mr ' L 4m2a2 J
где Ф(^) определено формулой
Таким образом, общий член выражается в виде суммы четырех членов;
покажем, что каждый из соответствующих четырех рядов равномерно схо-
сходится.
Равномерная сходимость первых двух рядов вытекает из теории тригоно-
тригонометрических рядов1); третий же сходится согласно признаку Вейерштрасса.
Что касается четвертого ряда, то заметим, что, по первой теореме о сред-
среднем, существуют числа2) 6 и 9t такие, что
х) Ср. Курс современного анализа, ч. 1, §§ 9.62, 9.621. Обычно (но не обязательно
бсегда) старались получить различные свойства рядов, не устанавливая равномерного ха-
характера сходимости. При рассмотрении первого ряда предполагается сходимость ряда,,
представляющего /(х); второй ряд может быть рассмотрен при менее сильном допу-
допущении, а именно, что ат = о (Ут).
2) Число 0 будет функцией переменного t, которое мы сейчас введем.

704 ГЛАВА XIX
дли которых
2Ф (гпх) — Ф (тх -f- 2та) — Ф (тх — 2та) =
1
== 2та j {Ф' (тх — 2mat) — Ф' (тх + 2/иа*)}
о
= — 2та I 4та*Ф" (тх — 2таЫ) dt = — 4/w2a2 Ф"(тх
о
Поскольку Ф" (у) = О (\ 1у2) при большом v, очевидно, что ряд
m — 1
равномерно сходится по а.
Таким образом, G(x, а) является суммой шести равномерно сходящихся
по а рядов в интервале — х <^ а <С -г- *> поэтому
lim G (х, а)
«-»о
равен сумме пределов членов ряда для G(x, а), т. е. равен х/(х)у при усло-
условии, что ряд дли f(x) сходится, что и требовалось доказать.
19.53. Лемма II
Далее мы покажем, что, в обозначениях §§ 19.51, 19.52, условие
ат= о(ут) достаточно для того, чтобы
lim {х + а) F (* + 2а) +{х "" а) F {х "" 2а)"~ 2х F W = О
«->о а
при всех значениях х.
Как и в § 19.52, будем рассматривать только положительные значения х.
Представим ряд для a G (х, а) в виде суммы шести рядов, каждый из кото-
которых, как легко видеть, равномерно сходится при — х'<^а<^ -j jc, в силу
теорем о тригонометрических рядах, которыми мы пользовались в § 19.52.
Отсюда
lim [a G (х, а)] =
а-»0
-\-(х — a) Jo (тх — 2та) — 2xJQ (тх)] == О,
что и доказывает лемму.
19.54. Аналог теоремы Римана1) о тригонометрических рядах
Теперь мы можем доказать, что если два рассматриваемых ряда Шле-
мильха (т. е. при v = 0 и без функции Струве) сходятся в интервале @, тс)
к одной и той же функции, то соответственные коэффициенты этих двух рядов
совпадают. Точная формулировка теоремы такова:
1) Ср. Курс современного анализа, ч. 1. § 9.63.

РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА 705
Два ряда Шлемилъха специального вида, сходящиеся к одной и той же
сумме во всех точках замкнутого интервала @, тг), за возможным исклю-
исключением конечного числа точек, должны иметь равные соответственные
коэффициенты, если только концы интервала 0 и тг не являются исклю-
исключенными точками.
Если же концевые точки являются исключенными, то эти ряды могут
и отличаться друг от друга, но при этом разность между ними будет
иметь вид
с некоторым постоянным множителем.
Пусть разность двух рассматриваемых рядов равна
оо
" «О + X amJo{^x)^
и пусть сумма последнего ряда равна f(x) и, таким образом, ряд f(x) схо-
сходится к нулю для всех значений х между 0 и тг, кроме исключенных точек.
Пусть ?а, ?2 будут любыми точками (за исключением начала координат)
интервала @, тт), причем такими, что внутри1) интервала ($1? $2) исключенных
точек нет.
Покажем, что если F (х) есть присоединенная функция ряда Шлемильха
для /(х), то она является линейной функцией от In л: в интервале (?v S2).
Это — аналог леммы Шварца2).
Если 6=1, или если 6 = —1, и если
то <р (лг) непрерывна при
Если первый член в выражении для <р (х) не равен нулю3) всюду в ин-
интервале ($!, 22), то найдется точка с, в которой он не равен нулю. Выберем
знак 6 таким, чтобы первый член функции у (с) был положительным прил;=<:,
а затем выберем h настолько малым, чтобы со (с) все еще оставалось поло-
положительным.
Так как функция ср (а:) непрерывна на (^, S2), то она достигает своей
верхней границы, которая будет положительна, поскольку ср (с) положительно.
Пусть она достигает своей верхней границы в си так что Z1<C^Z
По лемме I (§ 19.52), имеем:
lim (gi + а) У (ci + 2а) + (gi — а) у (^ — 2а) — 2ех у(сх) _ 2
г) Сами точки $ъ ^2 могут входить в число исключенных.
2) Ср. Курс современного анализа, ч« 1, § 9.631.
3) Если он равен нулю на (?ь ?2) всюду, то F(x) будет, очевидно, линейной функ-
функцией от In х.

706 ГЛАВА XIX
Но у(с1-]~2а)^:у(с1), ц(сг — 2а)^ср(<:1) и, таким образом, предел в ле-
левой части должен быть отрицательным или нулем. Полученное противоречие
доказывает, что первый член функции ср (х) должен быть нулем всюду на
(?а, ?2), т. е. что F (х) должна быть линейной функцией от 1плг, что и тре-
требовалось доказать.
Таким образом, кривая с уравнением y = F(x) состоит из нескольких
отрезков логарифмических кривых, уравнения которых имеют вид
у — Л In х -f- В.
Далее, в силу § 19.51, функция F (х) непрерывна на @, тг) и, таким образом^
эти логарифмические кривые в исключенных точках смыкаются; кроме того,
кривая v = F(at) не может иметь излома в исключенной точке, так как, по
лемме II,
даже если ?—исключенная точка; тем самым
= ?F'(S — 0).
Следовательно, постоянные Л и В не могут изменяться при переходе
через исключенную точку и поэтому они должны иметь одни и те же зна-
значения для всех значений х в интервале @, тт).
Таким образом, при ®<Сх<\п
= А1пх-\-В.
Пусть х—vO; тогда ряд в левой части, в силу равномерной сходимости,
будет иметь пределом
поэтому А\пх-\-В при х—>• 0 имеет предел; но в таком случае Л=0.
Следовательно, при 0 ^ х ^ тг
V атМтх) 1
где ряд. в левой части сходится равномерно всюду на @, тг), и, таким обра-
образом, допустимо почленное интегрирование.
Заменим х на л;sin 6, умножим на sin 6 и проинтегрируем от 0 до -^-тт:
тогда, по § 12.11,
? f
m=l q m=l
Отсюда при 0 ^ x ^ тт
X
amsinmx 1
am
12
m = 1
___ 1 s_
— V2aQx

РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА 707
Умножим это равенство на sin тх и проинтегрируем от 0 до тг; тогда,
очевидно,
2m* —[ } Ь
Поскольку ат, по условию, имеет порядок о (Vm), из этого равенства
следует, что
12 ' т
Отсюда мы будем иметь:
/(*) = <
[оо
1Я=1 J
Из результатов, изложенных в § 19.41 относительно поведения ряда
в правой части при х = 0 и х = тт, следует, что f(x) не может быть пред-
представлена рядам Шлемильха, сходящимся в любой точке, если только ап не
равно нулю; тем самым теорема, сформулированная в начале этого параграфа,
полностью доказана.
19.6. Теорема о сходимости обобщенных рядов Шлемильха
Теперь мы переходим к изучению ряда
in
2 ° ,
A) r(v + l) "+
/' 1
f —
Сначала мы докажем, что если v<^~и если (т-{-\)-й член ряда стремится
к нулю при т —>- ос во всех точках некоторого интервала значений х, то
ат:== °(т 2)» Ьт = о (т 2).
[Замечание. Если начало координат является точкой рассматриваемого интер-
интервала, то, очевидно,
Поскольку рассматриваемый ряд не изменяет своего вида при перемене
знака перед х, если при этом изменяются также знаки всех коэффициентов
Ьт, то, не нарушая общности, можно предположить, что интервал сходимости
ряда A) лежит справа от начала координат.
Обозначим этот интервал через /х; во всех его точках мы имеем, по
§ Ю.41 D),
X \Р(тх, v)
1 V+i .-
-2mx) ^ъ
cos [тх — ~т — \n—rimj — Q (тх, v) sin [тх — ~у
где ат = ст cos rim, bm = ст sin rim.

708
ГЛАВА XIX
Предположим, далее, что объединенная последовательность ат и Ьт не
); покажем, что это допущение приводит к противо-
противоимеет порядка о (т
речию.
Если объединенная последовательность ат и Ьт не имеет порядка о(т 2),
то должно существовать положительное число s такое, что
где т принимает какое-нибудь значение из определенной бесконечной число-
числовой последовательности mv m2, ms,....
Точно так же, как в § 19.5, мы можем доказать, что в интервале 1Х
существует некоторая точка X, в которой имеют место неравенства
icoshnX—tjv1t — -г-71 — ri
sin (hi*— Ivtt-^71—\
если только т принимает какое-нибудь значение из некоторой подпоследова-
подпоследовательности (т'г) последовательности (тг).
Для значений т из этой подпоследовательности мы имеем,
1
, (тХ)
¦е(УТ-1)
1
"n
— е-ОAи
1
и так как v ~ отрицательно, то выражение в правой части не может быть
произвольно малым. Полученного противоречия достаточно* для того, чтобы
v -J
утверждать, что ат и Ьт должны иметь порядок о (т 2), если (т-}-1)-й
член ряда Шлемильха стремится к нулю во всех точках интервала Iv
Читатель может теперь доказать (так же, как в § 19.5) следующую тео-
теорему, пусть v <^ у, и пусть ряд Шлемильха сходится во всех точках не-
некоторого интервала; тогда необходимым и достаточным условием того,
чтобы этот ряд сходился при некотором положительном значении х (при-
(принадлежащем к этому интервалу или нет), будет сходимость ряда
/ 1 1
cos f true — vtt j- it -
-5 sin [true ^t-vtt j-tt-
8mx \ 2 4
при этом значении х.
1 v4- —

РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА 709
19.61. Присоединенная функция
Пусть — у <С v <С "Т » СУММУ РяДа
во всех точках его сходимости обозначим через
Пусть
A)
Тогда будем называть Fv (л:) присоединенной функцией ряда Шлемильха, сумма
которого равна Д(лг).
Легко доказать, что если ряд, определяющий /v (л:), сходится во всех
точках некоторого интервала, то ряд, определяющий Fv(at), сходится для
всех вещественных значений х.
Доказательство этой теоремы будет отличаться от рассуждений, приве-
приведенных в § 19.51, только тем, что потребуется дополнительная теорема об
ограниченности Hv {х)\х^ как функции вещественного переменного х.
Далее, пусть
B) Gv (*, а) = \ [(х + 2va + a) Fv (х + 2а) +
+ (х — 2va — а) Fv (х — 2а) — 2х Fv (x)]/а2.
Тогда, точно так же, как и в § 19.52, мы сможем доказать, что1)
ton Gv (дс, а) = дгД (х)
00 ья
любой точке х, в которой ряд, определяющий Д(лг), сходится при уело-
Л со
ш, что ат и Ьт имеют порядок о(т 2) и что ряд 2 bmjm сходится.
Далее, мы можем доказать, что
lim [aGv(*, a)]==0,
a ->¦ О
единственном условии, что ат и Ът имеют порядок о(т 2), незави-
оо
симо от того, сходится ряд 2 ^т\т иЛп нет-
J) Ряд в правой части последнего равенства появится по той причине, что диф-
дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция Струве, не является одно-
однородным.

710 ГЛАВА XIX
19.62. Аналог теоремы Римана
Мы докажем здесь, что у двух обобщенных рядов Шлемильха с одина-
одинаковым индексом v [где T^^^Y/ ' сх°дящихся к одной и той же
функции во всех точках замкнутого интервала (— тт, тг), за возможным
исключением конечного числа точек (предполагается, что начало координат
и точки + тг не являются исключенными точками), причем коэффициенты
членов, содержащих функции Струве, в этих двух рядах достаточно
близки1) друг к другу, все соответствующие коэффициенты рядов равны.
Пусть разность двух рассматриваемых рядов равна
1
— 1 (
и пусть сумма этого ряда будет /v (x)\ таким образом, ряд для /v (x) будет
сходиться к нулю во всех точках интервала (—тт, тг), за исключением конеч-
конечного числа таких точек.
Поскольку ряд для /v (х) сходится в интервале (—тт, тг) почти всюду, tq
необходимо должны выполняться равенства
а °(т" 2) Ь (т" +*)
Требование достаточной близости коэффициентов членов, содержащих
функцию Струве двух рассматриваемых рядов, должно означать, что Ьт—>0
при т—^ сю с такой быстротой, что ряд 2 — сходится.
1
2
^= 1
Рассмотрим теперь функцию Fv (лг), являющуюся присоединенной функцией
ряда Шлемильха для f\ (x). Можно доказать2), что если интервал (Е1? 52) не
содержит внутри себя начала координат и исключенных точек (если таковые
имеются), то на этом интервале Fv (x) является линейной функцией3) от at~2v.
Далее, можно показать, что в исключенных точках функция Fv (лг) не претер-
претерпевает разрыва, откуда мы заключаем, что
f Fv (x) = Ах~^ -\-В, @ < х < тг)
\ ?^(х) = А>\х\-*>-\-В\
тг)
где Л, В, А', В' — постоянные.
Возьмем теперь выражение
т= 1 t
заменим х на л; sin 0, умножим на sin2v+16/cos2v6 (эта функция абсолютно
интегрируема) и проинтегрируем от 0 до ^-тг. Ряд для Fv(xsin6) равномерно
сходится в этом интервале и поэтому почленное интегрирование допустимо.
!) Мы уточним это утверждение впоследствии.
2) Нам кажется излишним повторять рассуждения, уже приведенные в § 19.54.
3) Если v равно нулю, то х~^ должно быть заменено на

РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА 711
Таким образом, мы находим, что
am Jv (тх sin 6) -f- bm Hv (mx sin 0) sin
tflyl**
^Mj J T[2 V ^, g^staiyuc+^Cl — cosmx)
m*x
2
Заменяя Fv(xsin0) его значением, находим:
oo
ж-^ am sin mx 4- 6m A — cos j
12
при условии, что О^х^тг; для 0 ^ х ^ — тг может быть получено анало-
аналогичное уравнение.
Поскольку ат и Ът имеют порядок о(т 2), то равенство A) можно
дважды дифференцировать почленно при условии, что 0^>v^> ^ ; если же
O^v^-y, то его можно дифференцировать только один раз.
Ряд, получающийся в левой части после двухкратного или, соответственно,
однократного дифференцирования, стремится к некоторому пределу, если х —> О,
тогда как выражение, получающееся в правой части, не стремится к пределу,
если А не равно нулю.
Таким образом, мы заключаем, что Л^=0, и аналогично, что А9 должно
быть равно нулю; а из непрерывности ?\(х) в начале координат следует, что
В и В' должны быть равны.
Далее из A) получаем:
B) V am^rnx-\-bm{\~zosmx) _ а^ Вх1 ы I \\
1
т = 1
где — тг ^ х ^ тг.
Умножим B) на zosmx и проинтегрируем от — тг до тг; тогда найдем, что
Умножим, далее, на sin тх и проинтегрируем; тогда
это равенство противоречит тому факту, что ат имеет порядок о (т 2),
если не выполнено условие

712 ГЛАВА XIX
и, таким образом,
Тем самым ряд для /v (х) должен иметь вид
_1_
2
а0
_1_
2
Теперь, поскольку, по меньшей мере, одна из точек 0, тг, —тс не является
исключенной, ряд для /v (x) не может сходиться в этой точке, если а0 не
будет равно нулю, откуда ат также должно быть равно нулю.
Мы доказали, таким образом, что если ряд ^Ьт\т сходится, то все
коэффициенты ат и Ьт должны обращаться в нуль, т. е. соответственные
коэффициенты двух исходных рядов Шлемильха должны быть равны. Тео-
Теорема доказана.
Мы установили, таким образом, теоремы о рядах Шлемильха для слу-
случая ?"<CV<C'2~' К0Т0Рые аналогичны обычным теоремам о представлении
нуль-функции с помощью тригонометрических рядов.
19.7. Теоремы типа Римана о рядах по бесселевым функциям и
о рядах Дини по бесселевым функциям
Мы сейчас дадим очень краткий набросок метода исследования рядов,
рассмотренных в гл. XVIII, а именно,
00 00
2 aJALx), 2
Jmmi ТП ^\Jfn '» Jem
(где v^> 2"), аналогично тому, с помощью которого Риманом были ис-
исследованы тригонометрические ряды.
Этот метод тождественен методу исследования рядов Шлемильха
(см. §§ 19.6—19.62), с некоторыми различиями в деталях1), которые в слу-
случае рядов Шлемильха отсутствовали благодаря тому обстоятельству, что ]т
и \т не были линейными функциями от т.
Сначала, пользуясь методом, примененным в § 19.5, легко можно дока-
доказать, что из сходимости рядов
2 <*mJ,(Jmx\ S bmJv(lmx)
во всех точках некоторого интервала оси следуют равенства
Далее мы вводим присоединенную функцию; положим
/(*)= 2«тЛЦ„*);
!) Эти детали весьма многочисленны и никакая из них не вызывает особых
затруднений при анализе; полное перечисление их было бы длинным и утомительным,
и при большой затрате места в книге не оправдывалось бы их важностью. Читатель,
которому эти детали покажутся необходимыми, может ознакомиться со статьями
Мура (С. N. Moore), Trans. American Math. Soc, X A909), стр. 391—435; XII A911),
стр. 181—206; XXI A920), стр. 107—156.

РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА 713
тогда присоединенная функция f(x) будет определяться равенством
00
F(X)= ? ejnJ*(jmX)u
Можно доказать, что если ряд, определяющий f(x), сходится при неко-
некотором положительном значении х и если выражение
^ [(а: + 2v « + я) F (х 4- 2а) — 2xF (х) -|- (х — 2у а — а) Z7 (л: — 2а)]
представлено в виде ряда, т-й член которого имеет #т в качестве множи-
множителя, то этот ряд равномерно сходится по а в некотором интервале, содер-
содержащем точку а = 0, и его предел при а—>0 равен —x1~v/:(jc).
Можно также доказать, что, независимо от сходимости ряда для/(х), условия
) достаточно для того, чтобы выражение
стремилось к нулю вместе с а.
Доказательство этих теорем опирается на ряд лемм таких, как, например,
лемма!) о том, что
есть ограниченная функция от а; доказательство этих лемм может быть проведено
по той же схеме, что и доказательство для частного (тригонометрического) случая,
когда v = -2"
Далее обычным путем (ср. § 19.54) мы находим, что если f(x) есть
нуль-функция в интервале (О, 1), то F (х) удовлетворяет дифференциальному
уравнению
d2F(x) dF(x)
откуда 2)
где А и В—постоянные. Это уравнение справедливо при 0<^л:^1.
Теперь, поскольку v ^> — — выражение JvUmx)lUmxY ограничено при
O^jc^I, независимо от значения т\ таким образом, при3) v<C"T Ряд
00 ,
сходится равномерно для O^x^l, по признаку Вейерштрасса.
Следовательно, F(x) есть непрерывная функция от х в замкнутом интер-
интервале, и, таким образом, В равно нулю, если только v положительно; В' равно
н}лю в случае, когда v = 0.
*) Ср. Курс современного анализа, ч. 1, § 9. 62.
2) Когда v = 0, F(x) = A-}- В' In x.
3) При v^tt для обеспечения равномерной сходимости достаточно сходимости
ряда для f{x))x' при дг™0.

714 ГЛАВА XIX
При любом заданном значении п умножение ряда для F(x) на. x^+iJ
не нарушит равномерной сходимости; и интегрируя почленно, находим:
1
J(Ax-> + Вх-) xJv (Jnx) dx =
an-J* Ш= ... ¦
J
= yn[fiiA_A (A + B).
Теперь, если п велико, то
и, таким образом, только что полученная формула для ап оказывается не-
несовместимой с тем, что а =0A^^), если v^> г-, за исключением случая,
когда А-\-В и В равны нулю1); а тогда и ап равно нулю.
Следовательно, ряд по бесселевым функциям ( при v "> — -к-) не может
V l J
сходиться к нулю во всех точках интервала (О, 1), за возможным исключением
конечного числа точек (причем при v^>-^- начало координат не является ис-
исключенной точкой2)), если только все коэффициенты ряда не равны нулю.
Мы получаем, таким образом, что два ряда по бесселевым функциям
с v ^> — у не могут сходиться к одной и той же сумме во всех точках
интервала (О, 1), за возможным исключением конечного числа точек, если
только соответственные коэффициенты этих двух рядов не равны друг другу.
Ряд Дини 3)
00
может быть исследован таким же способом. Присоединенная функция опреде-
определяется равенством
оказывается, что если на интервале @,1) задана нуль-функция f(x), то суще-
существуют постоянные А и В такие, что
= 0 при
1) Исключением может быть случай v — 1= —; однако, в этом случае мы имеем
тригонометрические функции.
2) В этом случае частное от деления ряда на х^ будет сходиться в начале ко-
координат.
3) Сначала предполагается, что Н -f- v > 0, так что начальные члены не добав-
добавляются.

РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА 715
Далее, при большом п
так что если В=^0, то
"* 2* Г (v) '
что противоречит соотношению
п
поскольку v^> — -тт.
Следовательно, Л = 0 и поэтому
40 -%)л2(Хл) +у
Это равенство противоречит соотношению
если только Л не равно нулю, поскольку /v+1 (Хл)— не нуль; тогда ?я должно
быть нулем.
Рассмотрим, далее, что происходит, если H-\-v есть нуль или отрица-
отрицательное число; в этих случаях ряды Дини принимают, соответственно, вид
со
Vv(>-o*)+ fj bmj^Kx)-
Во втором из этих двух случаев появление начального члена не нару-
нарушает предыдущих рассуждений; первый же случай требует более тщатель-
тщательного исследования, поскольку начальный член, который должен быть введен
в присоединенную функцию, имеет вид
и, таким образом, при п
1
Поскольку /?я=то(У^), мы из рассмотрения члена с (-^Хл) сначала на-
находим, что В = 0у а затем что ^0==0, откуда Ьп = 0 при всех значениях п.
Мы обнаруживаем также, что, как и в предельном случае рядов по бес-
бесселевым функциям, ряды Дини по бесселевым функциям не могут представ-
представлять нуль-функции повсюду в интервале @,1), и что если два ряда Дини
(с одинаковыми v и Н) сходятся и равны друг другу во всех точках интер-
интервала @,1), за исключением конечного числа точек, то соответствующие коэф-
коэффициенты этих рядов совпадают друг с другом.

Примечание редактора русского перевода
НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ СОВЕТСКИХ АВТОРОВ
1. Несобственный интеграл В. А. Фока (к главе XIII)
В 1926 г. в своих исследованиях по теории электроразведки1) академик
В. А. Фок получил следующую формулу:
00
Эта формула в дальнейшем применялась разными авторами в физических ис-
исследованиях. В 1934 г. Н. С. Кошляков (ДАН СССР, 2:3, стр. 10) дал простой
вывод общего интеграла, содержащего A) как частный случай. Приводим
содержание заметки Н. С. Котлякова.
Пусть k и k!—два числа, удовлетворяющие условиям R (k)^>R(kf) ^0.
Положим x = (k2 — k'2)lB12-\-k2-\-k'2)\ тогда, в силу формулы § 13.2 C),
в которой мы полагаем a=\Jx, b = i, мы будем иметь:
B)
Используя теперь преобразование Куммера
dt
и интеграл
*) ЖРФХО, серия физическая, т. 58, вып. 2, стр. 356—363, 1926; также Ann. der
Phys., т. 17, вып. 4, стр. 401—420, 1933.

ПРИМЕЧАНИЕ 717
легко вытекающий из формулы Гегенбауэра — Сонина § 13.7B), получим иско-
искомую формулу:
oo
(Vb— —
0
C)
где положено
Формула A) В. А. Фока получается при подстановка в C) jx = O. Впрочем,
как указывает Н. С. Кошляков, формула A) получается и без преобразова-
преобразования Куммера: достаточно формулу § 13.2 (8) умножить на JQ(pl), проинтегриро-
проинтегрировать по X и преобразовать полученное выражение с помощью равенства B).
2. Асимптотические разлоэюения для бесселевых функций
с большим индексом (к главе VIII)
В. А. Фок получил в 1934 г. (ДАН СССР, 1:3, стр. 97) асимптотичес-
асимптотические формулы для функций 7V (x) и Fv (x) с большим индексом v, пригодные
равномерно для всех значений х от 0 до со и для некоторых комплексных
значений х; эти формулы имеют вид:
sin|-
7v(v sch a) =^— ]/actha— 1 К\ (va — vtga),
|- y^ (V tg p — v p) + cos |-Kj_ (v tg
г з
Kv(vscha) =^—Yd ctha — 1 i 2 /j_(va~v th a) -}- — ^4 (va — vtha)
Вычисления по этим формулам проводятся с помощью таблиц значений функ-
функций с индексом -у , приведенных во второй части. Близкие выражения даны
о
у Лангера (R. E. Langer), On the asymptotic solution of ordinary dif-
differential equations, with an application to the Bessel functions of large order,
Trans. Amer. Math. Soc, 33 1), стр. 23—64 A931) и 34C), стр. 447—480
( \
( ~\
A932) с оценкой остаточного члена, который будет порядка О \у 3), если
аи^ имеют порядок О \у 3).
В другом местех), в связи с задачей о дифракции радиоволн вокруг
земной поверхности, В. А. Фок дает асимптотические выражения для
!) Дифракция радиоволн вокруг земной поверхности, изд. АН СССР, М. —Л., 1946.

718 ПРИМЕЧАНИЕ
функции ? (х) = 1/ -77 Н^\ (х) и ее производной:
V 2. л + -
1
(р) =-/ (|)
±
здесь v== p -4- ( 4- ) t, и функция w (^) = —= \ exp [ tz — -r ^8) ^z' причем путь
\* J у к J \ * J
г
интегрирования Г идет от бесконечности до нуля по лучу axgz = —-»-и от
нуля до бесконечности по положительной полуоси вещественной оси; эти вы-
выражения справедливы как при вещественных, так и при комплексных значе-
4
ниях t. Отброшенные члены в фигурных скобках имеют порядок О (р 3) .
Функция w (t) есть целая трансцендентная функция от t и может быть выра-
выражена через функцию Ханкеля 1-го рода с индексом -~-:
о
и/и в виде степенного ряда
где
w @) = —~- е 6 , w'@) =
A\
Таблицы значений вещественной и мнимой части функции w (t) для веще-
вещественных значений t приведены в цитированной книге В. А. Фока.

Добавление II
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ
ПАРАМЕТРА
§ 1. Равномерная сходимость несобственных интегралов
рассматривая интеграл (который предполагается сходящимся)
f(x,y)dx,
а
мы замечаем, что нижняя грань значений $, для которых будет справедли-
справедливо неравенство
J
вообще говоря, зависит как от у, так и от г. Мы назовем этот интеграл
равномерно сходящимся в интервале (а, [}), если для всех значений у в этом
интервале $ остается меньше некоторой функции Х(в), зависящей от s, но
не зависящей от у. Если же это условие не выполняется в любом интервале,
содержащем данную точку у0, то у0 называется точкой неравномерной схо-
сходимости интеграла.
Пример 1. Если f(x,y) = \j(x-\-уJ, где^/^О, то
Таким образом, Е = A/е)—_у (если у < 1/е) или ? —О (если у у 1/е) и, следова-
следовательно, этот интеграл сходится равномерно для всех положительных значений у
(в силу того, что можно положить Л"(е)=1/е).
оо
Пример 2. Если f(x,y)=yl(l+x*y2), то ^ f{x,y)dx = ctg-i{ly), если ^§0,
х
или 0, если у = 0. ^
Таким образом, E = ctge/|_y|, если 3/ >0, или 5 = 0, если .у = 0.
Следовательно _у = 0 является точкой неравномерной сходимости рассматрива-
рассматриваемого интеграла.
Так же как при изучении рядов, мы обычно пользуемся признаком
равномерной сходимости, который аналогичен общему признаку (Коши) обыч-
обычной сходимости. Необходимым и достаточным условием равномерной сходи-
00
г»
мости интеграла \ f(x, у) dx в некотором интервале значений у является
а
существование талого значения ?==?(е), не зависящего от у, что
для произвольного заданного s)>0 й любого $'

720 ДОБАВЛЕНИЕ
Единственным новым элементом по сравнению с признаком обычной схо-
сходимости является независимость ? от у.
На практике пользуются более удобными признаками, которые легче
применять в различных частных случаях. Вот три наиболее полезные из них:
1. Признак Вейерштрасса.
Предположим, что для всех значений у в интервале (а, [}) функция
f(x, у) удовлетворяет условию
|/(*,.у)|<Л*(х),
где М(х) есть положительная функция, не зависящая от у. Тогда, если
со со
интеграл \M(x)dx сходится, интеграл \/(х, у) dx сходится абсолютно
а а
и равномерно для всех значений у в интервале (а, р).
со
Действительно, можно выбрать ? независимо от у так, что \ М (х) dx
будет меньше г, и поэтому
S' ?' оо
| j /(*, у) dx|< j M(x) dx<C^M(x) dx<Ce.
Таким образом, интеграл сходится равномерно; абсолютная его сходи-
сходимость очевидна.
2. Признак Абеля1).
со
Интеграл \ f(x, у) <р (х) dx сходится равномерно в интервале (а, [}) при
а
оо
условии, что \ ср (х) dx сходится и что для любого фиксированного значения
а
у в интервале (а, р) функция f(x, у) положительна и монотонно убывает
с возрастанием х, а /(а, у) меньше некоторой постоянной К {не зависящей
от у).
Действительно, по второй теореме о среднем 2), мы имеем:
при $1? изменяющемся
I Г
где Н есть верхняя граница выражения \ <р (х) dx
Т
СО
от ? до ?'. Далее, в силу того, что \y(x)dx сходится, мы можем найти ?,
не зависящее от у, так чтобы Я<^ г/ДГ, и следовательно, рассматриваемый
интеграл сходится равномерно.
Очевидно, что ср (х) может быть заменена на у (х, у) при .условии, что
со
\ ср(х, y)dx равномерно сходится в интервале (а, [}).
!) Bromwich, Proc. London Math. Soc, B), т. 1, 1903, стр. 201.
2)Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, ч. 1, § 4.14.

ДОБАВЛЕНИЕ 721
3. Признак Дирихле.
оо
Интеграл \ f(x, у)ю(х) dx равномерно сходится в интервале (а, 0), если
о
00
\y(x)dx изменяется в конечных пределах, а функция f(x, у) положи-
а
телъна и при фиксированном у монотонно стремится к нулю с возраста-
возрастанием х равномерно по у в интервале (а, [$).
Действительно, \ f(x, у) со (х) dx <^ ///(?, у), где Н меньше некоторой
постоянной, не зависящей от у. После этого мы можем фиксировать ?, не-
независимо от у, чтобы удовлетворялось неравенство /(?, у)<^г\Н.
00
Отметим, что <р (л:) может содержать у при условии, что \ <р (х) dx ограничен в
а
интервале (а, р).
Пример 3. Признак Вейерштрасса.
00 00 00 °°
Г cos(jcv) . Г $\п(ху) Г cos(^) f sin(^v)
Интегралы J —^dx, J —^ ^, J —p^-iU, J «у
11 О
сходятся равномерно в любом интервале изменения у.
Пример 4. Признак Абеля.
оо °°
Интегралы Г е~х* <~~d^ ) е~*У ^JTdx
сходятся равномерно в любом интервале (O^j/^Л) в силу того, что интегралы
оо оо
sinx
Г cos х . С sin
\ dx, \
J х J
сходятся {Курс современного анализа, т. 1, §4.43 ) [S t о k e s, Math, and Phys. Paper's,
т. 1. стр. 284].
оо
Вообще \ е~*У f (д:) dx сходится равномерно в любом аналогичном интервале,
а
оо
при условии, что \ y(x)dx сходится.
Пример 5. Признак Дирихле.
00 00
Г
0
Г cos-r , Г sin л:
\ -{— dx, \ dx
1 1 У2
Интегралы
сходятся равномерно в любом интервале изменения у.
00 00
.. Г х cos {xy) . С х
Интегралы J -—-^-dx, J -
1 i
сходятся равномерно в любом (замкнутом) интервале, не содержащем у = 0.

722 ДОБАВЛЕНИЕ
§ 2. Приложения равномерной сходимости
00
Свойства интеграла \/(х, y)dx, сходящегося равномерно в интервале
а
(а, [5), во многом аналогичны свойствам равномерно сходящегося ряда. Так,
мы имеем:
1. Если f(x,y) есть непрерывная функция от у в интервале (а, E),
то интеграл также есть непрерывная функция от у, при условии, что он
сходится равномерно в интервале (а, (ЗI).
Доказательство аналогично доказательству для рядов.
Пример 1. Интегралы
00 00 00 ОО
Г cos (ху) Г sin (ху) С cos (ху) С sin (ху)
1 loo
непрерывны по у в любом интервале.
ОО
Пример 2. Если \ <р (х) dx сходится, то (см. § 1, пример 4)
а
00 ОС
Игл \ е~ху © (х) dx~ \ ®(x)dx. [Дирихле]
у -* О J
7 а а
Пример 3. Не следует ожидать непрерывности интегралов
ОО 00
Г х sin (ху) , С sin (ху) ,
1 -^ ' /г *• 1 ч -* ' г] у
О О
при у = 0; и действительно, нетрудно видеть, что они разрывны в этой точке.
2. При тех же условиях, что ив 1°, можно интегрировать по у под
знаком интеграла при условии, что пределы интегрирования не выходят из
интервала (а, [}).
Доказательство аналогично доказательству для рядов.
Пример 4. Если
00 У 00
sin(
Г . f si
// — I __L_iL.' dx, TO
0 0
если
00
" l-cos(xy)
Г sin (ху) _, Г _, С \
0
3. Равенство
00 00
справедливо, при условии, что интеграл в правой части сходится равномерно, и
что интеграл в левой части сходится2).
!) Stokes, Math, and Phys. Papers, т. 1, стр. 283.
2) Последнее условие несколько сильнее, чем это необходимо для^доказательства
теоремы. [Доказательство всех этих теорем см., напр., В. Немыцкий и др., Курс
математического анализа, т. II, гл. 15, § 2 A944).]

ДОБАВЛЕНИЕ 723
Укажем еще одну теорему:
оо
Если в интеграле F(z) = \ / (х, z) dx под интегральная функция является анали-
а
тической функцией комплексного переменного z во всех точках некоторой области
Т плоскости z, то F(z) также будет аналитической функцией внутри Т, при
условии, что существует вещественная положительная функция М(х), для кото-
ос
д1
dz
рой \ М {х) dx сходится, и что выполняется неравенство
< М (х) во всех
точках области Т.
Пример 5. Чтобы показать необходимость условия равномерной сходимости
оо
. Г sin (xy) ,
в подобных задачах о сходимости интегралов, рассмотрим интеграл \ -——^— dx,
о
00
продифференцировав его по,у под знаком интеграла, мы получим интеграл \ cos (xy) dx}
который расходится.
Пример б. С другой стороны, равенства
оо оо
d
о о
оо оо
d f sin х _, Г
\ е-ху dx — — \ е~ху sin х dx
о
оказываются справедливыми.
4. Аналог теоремы Таннери.
С теорией равномерной сходимости рядов близко связана следующая
теорема *):
Пусть дана сумма
F(n) = vo(n)-Jrv1(n)-\-v2(nL- ... -\-vp(n),
для которой ищется предел lim F(n), причем предполагается, что р стре-
я-»оо
мшпся монотонно к бесконечности вместе с п. Тогда если lim vr (n) = wr
л->оо
(г — фиксировано), то
lim F (п) = w0 -f- w1 -f- w2 -f- ... == W
я-*оо
при условии, что \ vг (п) \ ^ Мг, где Мг не зависит от п, и ряд 2 Мг схо-
сходится.
Сначала выберем число q (которое, очевидно, не зависит от п) такое, что
и возьмем п столь большим, чтобы p^>q\ тогда получим
или
Также
Таннери, Введение в теорию функций одной переменной, § 183 A912).

724 ДОБАВЛЕНИЕ
Таким образом,
при этом следует помнить, что до сих пер п было ограничено только лишь усло-
условием /? > q.
Поскольку q фиксированно и не зависит от п, можно в последнем неравенстве
устремить п к бесконечности; тогда мы найдем:
lim | F(n) — W | ^r 2s,
в силу того, что lim vr(n) = wr.
я-*оо
Таким образом, поскольку е произвольно мало, мы получлм:
lim[F{n)~ W] = 0
или
lim F {n) = W — Wq -\- Wi -{- w2 -\- ...
n-*oo
Следующая теорема является интегральным аналогом теоремы Таннери.
Если
lim f(x, n) = g(x), lim ln = оо,
то
lim \ f(x, n) dx=\ g(x) dx
при условии, что f(x, n) стремится к своему пределу g(x) равномерно
в любом фиксированном интервале, и что можно указать положительную
функцию М(х), удовлетворяющую соотношению \f(x, п)\^М(х) при всех
00
значениях п, для которой \M(x)dx сходится.
а
оо
Действительно, пусть ? выбрано так, что \ М(х) dx меньше е; тогда, если п столь
велико, что \п > 5, то
\\fdx-\gdx
а а а
Поскольку ? фиксированно, то в интеграле в правой части |/ — ^| стремится
к нулю равномерно (при п —>оо); таким образом, этот интеграл стремится к нулю.
Дальнейшее доказательство проводится точно так же, как и для рядов.
Пример 7. Чтобы убедиться в необходимости условия применения признака
Таннери, рассмотрим интеграл
п
Поскольку п[(п2 -f--^2)^ 1/л> Ит. п/(п2-}-х2) = 0; таким образом, если применить
правило, не выяснив вопроса о существовании М{х), то мы найдем предел
dx
\+х* 2
Но (п—1)/(л-[-1) стремится к 1, так что интеграл стремится к пределу, равному
— я, ноне у я.

ДОБАВЛЕНИЕ 725
§ 3. Обобщение интегральной формулы Дирихле
Существует теорема, находящаяся в таком же отношении к признаку
Абеля (§ 1), как теорема Таннери (§ 2) к признаку Вейерштрасса.
Пусть /(х, п), — положительная и монотонно убывающая (с возраста-
00
наем х, при постоянном п) функция; если \ y(x)dx сходится, то
а
\п оо
lim \ f(x, n)y(x)dx= \ g(x)y(x)dx
при условии, что НтХл = оо, что f(n, x) стремится к своему пределу g(x)
равномерно в любом заданном интервале, и что f(a, n) меньше постоянной
А при всех значениях п.
Действительно, в силу второй теоремы о среднем,
К
I [f(x,n)<?(x)dx
, n)H<f(a,n)H<AH,
5'
где И — верхний предел для \ y(x)dx при изменении ?' от ? до оо Поскольку
последний интеграл, будучи распространен на бесконечный интервал, сходится, можно
найти такое $, чтобы АН < е; тогда будем иметь:
00
g(x) f (x) dx\< g(Z) H< AH< s,
так как g(x) с увеличением х уменьшается и не превосходит А.
Таким образом, мы находим:
00
;, п) 4(x)dx—\ g(х) ср (х) dx <
а а
<2е+ \ \f(x,n) — g{X)\*(x)dx
a
Поскольку S фиксировано, предел последнего интеграла при п —> оо равен
нулю, и мы, таким образом, имеем:
\п 00
lim [ f(x, ri)y(x)dx— [ g(x)y{x)dx ^2e.
n —»oo I *j *j
о а
Следовательно, рассматриваемый верхний предел равен нулю, или
кп ОС
lim \ / (дг, п) ф (х) dx = \ g(x) у (х) dx,
а а
что и требовалось.
В частности, пусть ^(х) — заданная неубывающая функция (х^О)., и
/(х, n) = F \r~\ ; тогда на каждом конечном интервале /(х, п) равномерно
стремится к /?(-|-0), и, по доказанной теореме,
00 Ч ^п1п
Г Г /х\ г
\ F(-\-0)(o{x)dx = lim \F —) y(x)dx = hm nF(t) <p (nt) dt;
J П-+00 J \П J n-»00 J
0 0 0
для ®(nt) = n^ t^~l sin nt эта формула была использована в § 8.2.

726
ДОБАВЛЕНИЕ
§ 4. Интегрирование бесконечных рядов на бесконечном интервале
Теорема о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда,
справедливая для конечного промежутка интегрирования, не переносится не-
непосредственно на бесконечный промежуток. Мы укажем ниже некоторые
достаточные условия для выполнения равенства
= 2 U (x)fn (x) dx.
ос
А. /:?/ш \\y(x)\dx( = J) сходится, то последнее равенство справед-
а
оо
ливо при условии, что ряд 2 fn (x) сходится равномерно для всех х^ а.
Действительно, можно найти такое //г, не зависящее от лс, что
р
2
Таким образом,
ПРИ
dx
<f (x) | rfx = e7.
00 p
Следовательно, V \ y(x) fn(x) dx сходится, откуда
О
г?
О а
С другой стороны, мы имеем:
и, таким образом,
2
о
m — \
О
Отсюда мы находим:
я 0 2
и поскольку J конечно, можно выбрать такое т, чтобы 2гУ было сколь угодно мало;
но левая часть последнего неравенства не зависит от т и поэтому должна быть
равна нулю.
Итак,
00 по по ©О
Т (х) [2 fn И] dx=:%
что и требовалось доказать.

ДОБАВЛЕНИЕ 727
Но часто бывает необходимо получить подтверждение этого равенства
00
в случае, когда либо \ | ср (х) \ dx расходится, либо когда известно, что
n(x) сходится равномерно на каждом конечном интервале*); в этих слу-
о
чаях необходимо пользоваться каким-нибудь новым признаком сходимости.
Так, например, если
/о W + h W + • • • + in (*) = Sn (*) = B*/>*2) е~JcW> то lira sn(*) = 0;
я>оо
максимум частной суммы Sn(x) равен V~2l(nV~e), и, таким образом, Sn(x) сходится
00
равномерно к пределу для всех х^О. Далее, полагая <р(х)= 1, имеем: I Sn(x) dx = 1,
о
00 00
откуда lim \ Sn{x)dx— 1, и последнее не равно \ [ lim Sn (x)) dx = 0.
я-юо J J я->ос
О а
00
Рассмотренный пример является иллюстрацией случая, когда \ \y{x)\dx pacxo-
а
дится (поскольку «р (jc) = 1); затруднение второго типа встает при интегрировании рядов
типа экспоненциального ряда ^дгл/л!, которые сходятся равномерно в любом конеч-
конечном интервале, но не сходятся равномерно в бесконечном интервале.
В. Во многих практических случаях бывает достаточен следующий
признак:
Если 2 fn(x) сходится равномерно в любом интервале a^ix^h, где
b произвольно, и если ср (х) непрерывна для всех конечных значений х, то
00 00
<Р (*) 12 /„(*)] dx = 21 ?(*) /я(х^ rf*
оо
яря условии, что или интеграл \\®{x)\{^j\fn{x)\) dx или ряд
а
оо
2 j I ? (*) Н /л М И* годятся.
а
Прежде всего, в силу тождества
эту теорему можно легко свести к случаю, когда у и /л нигде не отрицательны.
В этом случае функция
J) Различие между равномерной сходимостью на конечном и на бесконечном
интервалах может быть показано на двух примерах: sn(x) — xln и sn (x)= Щх-\-п).
Первый ряд сходится равномерно к нулю в любом интервале (О, Ь), где Ь конечно,
хотя может быть и сколь угодно велико; второй же сходится равномерно к нулю
при всех положительных х.

728 ДОБАВЛЕНИЕ
нигде не будет убывать при возрастании I и ц; следовательно, рассуждая так же,
как при доказательстве теоремы о перемене порядка суммирования в двойных рядах *),
мы получим, что из существования lim { lim F(l, p.) ] вытекает существование второго
Х-»ОО (i.~>O0
повторного предела и что эти пределы равны друг другу.
Далее, в силу равномерной сходимости ряда j?jfn(x), мы имеем:
lim
и, таким образом,
°? оо
lim { lim F(\, ji)} = \ <p (х) ГУ fn (x)] dx.
X—>oo a-»oo «J n
Второй повторный предел, как это видно из аналогичного рассуждения, равен
2 \i(x)fn(x)dx,
0 а
откуда и вытекает утверждение теоремы.
Пример 1.
Рассмотрим
00
Jj?=T**
где а положительно и Ь — р-\-iq, причем \q\~s<a] поскольку
| sin (bx) | = [sh2 (^лг) + sin2 {px)f < ch sx < e™
и интеграл
0
сходится, то из теоремы В следует, что почленное интегрирование допустимо1) в силу
того, что все члены ряда
\1(еах — 1) = е~<*х _|_ е-2ах _|_ е-Ъах -}-...
положительны. Таким образом, мы имеем:
lSin(bX) dx- b 1 Ь 1 Ь 1
о
При а = 2л последнее выражение будет равно2)
2 \еЪ — \ Ь^~ 2
откуда в общем случае, подставляя в интеграл 2nz вместо ах, получим:
00
sin bx % f 1
2
2) Заметим, что с помощью такого же рассуждения можно в интервал интегри-
интегрирования включить 0, хотя бы ряд и расходился в этой точке.
2) Курс современного анализа, ч. 1, § 7.4.
*) Э. Г у р с а, Курс математического анализа, т. I, гл. VIII, § 161 (М.—Л. 1936).

ДОБАВЛЕНИЕ 729
Пример 2.
Подобным же образом мы докажем, что
fsm(bx) _ Ь Ь Ь Ц\ K_V
J еах + \йх — cfi + W BяJ -f- Ъ* +CлJ + ^2 ''' ~2\b a shnbfaj'
О
последнее имеет место в силу § 7.4 Курса современного анализа, ч. 1.
Пример 3.
Разлагая sin(bx) по степеням х, мы аналогичным образом находим, при
О < Ь < я, что
При любом Ь, пользуясь значениями Г( —), Г( — ),..., аналогично получаем:
о
С. Теорема В не охватывает всех случаев, могущих встретиться на прак-
практике. Например, как нетрудно заметить, ряд
можно интегрировать почленно в пределах от 1 до ос, хотя признак, данный
выше, неприменим. Приведенный случай и многие другие охватываются сле-
следующим признаком:
X
Положим \ fn(x) dx = gn(x) и допустим, что ряд ^fn(x) равномерно
а
сходится в любом конечном интервале (а, Ь), тогда как ряд 2 ?п(х) сходится
равномерно в бесконечном интервале х^а\ тогда
г °° 1
I г I
0) 2 J fn (x) dx\ сходится,
La J
B> \VLfnW)dx сходится,
C) значения A) и B) равны друг другу [Дини].
Действительно, для каждого конечного интервала (а,х), мы имеем
и поскольку 2 ?п(х) равномерно сходится,
ОО рОО
J12/»(¦*)]**= >to [2&w]=21^n00s-«w=2 J

730 ДОБАВЛЕНИЕ
§ 5. Перемена порядка интегрирования в повторном интервале
Формулировка достаточно общих условий, при которых справедливо ра-
равенство *)
00 ОО 00 00
A) \dx\f(x,y)dy=\dy[f{x,y)dx,
a b b a
является отнюдь не легкой задачей.
Мы рассмотрим здесь лишь простейший случай, когда функция /(х, у)
положительна, либо же такова, что сходимость интегралов не нарушается
при замене /(х, у) на |/(х,.у)|.
Положим
F(k, ]L) = \ dx \ f(x, у) dy = \ dy J f(x, y) dx;
a b b a
последнее равенство справедливо, если f(x, у) непрерывна для всех конечных
значений х, у (или, по меньшей мере, для тех, которые встречаются в наших
рассуждениях *). Далее положим
^ 00
'f (х, ii)=\f(x,y)dyt <b(*) = lim ?(х, ]i) = \ f(x,y)dy,
допуская, что последний интеграл сходится. Разделим интервал (а, 1) на п
подинтервалов, длиною / каждый, и обозначим через hr (ja) минимум функции
у (х, |л) в г-м интервале; тогда получим:
п
F(k,]L)= lim 2 lK(P-)-
/z-»oo r = l
Эта сумма не может уменьшаться при стремлении п и |х к бесконеч-
бесконечности2); поэтому, так же как в соответствующем месте §4, мы будем иметь
B)
lim \ lim S /A(ji)l=li I
lim \ lim S /Ar(ji)l=lim I lim 2
при условии, что хотя бы один из этих пределов существует. Таким об-
образом,
п
C) lim F(\ ji)= lim 2^» r^e ^r = lim Ar(ji).
p.-»00 /2-»00 1 [x->00
Ниже мы докажем, что &r является минимумом для ф (х) = lim ср (х, |л)
в г-м интервале; отсюда, в силу определения интеграла, мы получаем:
D) lim 2'*,= ty{x)dx.
п*сс ! ^
!) Доказательство этого предложения в более общих условиях см. Proc. London
Math. Soc, C), т. 1, 1903, стр. 187. См. также Gibson, Calculus, гл. XXI B-е изд.).
и Jordan, Cours d'Analyse, т. 2, §§ 71, 72. В. И. Смирнов, Курс высшей матема-
математики, т. V, гл. II, § 3, п." 70 A947).
*) Курс современного анализа, ч. 1, § 4. 3.
2) Функция ср (х, [х) возрастает вместе с у- (в силу того, что / (х, у) неотрица-
неотрицательна) и, таким образом, это же будет справедливым и для /гг(ц).

ДОБАВЛЕНИЕ 731
Поскольку последний интеграл предполагается сходящимся (в противном
случае уравнение A) не имело бы смысла), из уравнения D) следует, что
предел в правой части B) существует; таким образом, сделанное предполо-
предположение оправдано. Из уравнений C) и D) получаем *):
оо X X оо
J dy \ f(x, у) dx = J dx\f(x, у) dy.
b a a b
Из C) и D) также легко вытекает, что
00 00
\ dx \ f(x, у) dy= lim {lim F(k,
J b X-*oo V-»oo
аналогично находим, что второй интеграл из A) равен повторному пределу
F(k, \s.) с обратным порядком предельного перехода.
В силу того, что F(l, \х) не может убывать с возрастанием I и }Jt, вновь
может быть применена теорема, использованная в § 4, и мы получаем сле-
следующую теорему Валле-Пуссена:
Уравнение A), приведенное выше, справедливо при условии, что оба ин-
интеграла
\f(x,y)dx, \f(x,y)dy
a b
сходятся и что сходится какой-нибудь из повторных интегралов.
Заметим, что (заменяя / на /4-|/|) можно распространить эту теорему
на случай, когда / меняет знак, если только все интегралы остаются сходя-
сходящимися при замене / на |/|.
Нам осталось еще доказать, что минимум H(\l) функции <р(х, у.) в любом интер-
интервале p^x^q стремится к пределу k, являющемуся минимумом функции ф (х) в
этом же интервале.
По определению h (ц) мы имеем: Л(ц)^<р(лг, ц), откуда, полагая }х—^оо, на-
находим:
E) ty(x)^sk.
Если окажется, что <р (/?, ц) <; k, то очевидно, что и ф (р) ^ k и, таким образом, из
E) находим, что ф (р) ¦= k и, следовательно, k является минимумом функции ф (х)
в интервале (/?, q).
Если же <р (/?, ji) > k^h(\L), то из непрерывности «р {х, jj.) вытекает, что уравне-
уравнение <р(х, ji) =k имеет, по крайней мере, один корень в интервале (/;, q)\ пусть ^ будет
наименьшим таким корнем. Тогда, если v > ц, то
и поэтому 6V^^; следовательно Svnpnv—> оо стремится к пределу $. Далее ^ (?v,
^(p($v)v) = ^, (v > ji), откуда, полагая v—^oo, получим:
Итак, ф(Е)^^ и, следовательно, из E) вытекает, что ф(8) = ^; таким образом,
k действительно является минимумом функции ф (х).
*) Подчеркнем, что мы не пользовались каким-либо условием равномерной сходи-
сходимости, как в § 2 B); вместо этого мы применили условие неотрицательности /.

БИБЛИОГРАФИЯ1)
АДАМОВ, А. А.
Об асимптотических выражениях цилиндрических функций J^(z) и их производ-
производных J[(z) при больших значениях модуля z, Известия С.-Петербургского Политех-
Политехнического Института, 1906, 239—265.
АКИМОВ, М. (Akimoff)
Transcend antes de Fourier — Bessel a plusieurs variables (July 10, 1916; June 25,1917;
Dec. 24, 1917), Comptes Rendus, CLXIII A916), 26—29; CLXV A917) 23—25, 1100—1103.
АНИСИМОВ B. A.
Уравнение Риккати общего вида, Варшавские Университетские Известия, 1896,
№ 1, 1—16, № 2, 17—34.
БРАЙЦЕВ, И.
О функциях Фурье — Бесселя и приложении их к изысканию асимптотических
представлений интегралов дифференциальных линейных уравнений с рациональными коэф-
коэффициентами, Известия Варшавского Политехнического Института, 1902, №№ 1,2.
ВОРОНОЙ Г. (Voronoi, G.)
Sur une fonction transcendante et ses applications a la sommation de quelques series,
Ann. sci. de VEcole norm. sup. C), XXI A904), 207—268, 459—534.
Sur le developpement, a l'aide des fonctions cylindriques, des sommes doubles
ou pm2-\~2qmn-\-rn2 est une forme positive a coefficients entiers, Verh. des dritten Int.
/Congresses in Heidelberg A904), 241—245.
ДИННИК, A.
О разложении произвольной функции в ряд Бесселя, Известия Киевского Поли-
Политехнического Института (Отдел инженерно-механический), 1911, № 1, 83—85.
Tafeln der Besselschen Funktionen J^_ г und J 2 »Archiv der Math, und Pays. C),
XVIII A911), 337—338.
Tafeln der Besselschen Funktionen J г , J 3 , J 5 , Archiv der Math, und Phys.
C), XX A913), 238—240.
Tafeln der Besselschen Funktionen J x und J 3 , Archiv der Math, und Phys,
C), XXI A913), 324—326.
Tafeln der Besselschen Funktionen J г (xi) und J 2 (•*'")• Archiv der Math, und
Phys. C), XXII A914), 226—227.
ЕРМАКОВ, В. (Ermakoff)
Uber die Cylinderfunktionen (May, 1872), Math. Ann. V A872), 639—640.
!) В случае, если мемуар, на который необходимо сослаться, трудно доступен,
мы указываем аннотацию в Jahrbuch fiber die Fortschritte der Mathematik или каком-
либо другом источнике.

БИБЛИОГРАФИЯ 733
ЗЕЛИНСКИЙ, И. И.
Об интеграле уравнения Риккати, Собрание протоколов заседаний секции физико-
математических наук общества естество-испытателей при имп. Казанском уни-
университете, VIII A890), 337—341.
КЕПИНСКИЙС.(Кертзк1, S.).
Uber die Differentialgleichung
d2z т-\- \ dz n dz
оЧ>+ ~~х~ дх ~~ ~х di ~ °
(Jan. 1905), Math. Ann., LXI A906), 397—406.
Integration der Differentialgleichung
d? 5 dt~U)
Bull, int. de VAcad. des Sci. de Cracovie, 1905, 19-8—205.
ЛЕБЕДЕВА В. (Lebedeff, Wera Myller)
Uber die Anwendung der Integralgleichungen in einer parabolischen Randwertaufgabe,
Math. Ann., LXV1 A909), 325—330.
СОНИН, Н. И. (Sonine)
О разложении функций в бесконечные ряды A7/29 января 1870 г.), Математи-
Математический сборник, V A870), 271—302, 323—382.
Recherches sur les fonctions cylindriques et le developpement des fonctions conti-
continues en series (Aug. 1879), Math. Ann., XVI A880), 1—80.
Sur les fonctions cylindriques (Oct. 24, 1887), Math. Ann., XXX A887), 582—583.
(Замечание по поводу одной статьи Шафхейтлина].
Sur les fonctions cylindriques (Extrait d'une Lettre adressee a M. Niels Nielsen,
a Copenhague, May 6, 1904), Math. Ann., LIX A904), 529—552.
ФЕЛЬДБЛЮМ, М.
Теория уравнений Риккати и свойства функций, ему удовлетворяющих, Варшав-
Варшавские Университетские известия, 1898, №№ 5, 7.
AICHI, К.
Note on the Function Km{x), the Solution of the Modified Bessel's Equation, Proc.
Phys. Math. Soc. of Japan, C), II A920), 8—19.
AIREY, J. R.
The Roots of the Neumann and Bessel Functions (Dec. 29, 1910), Proc. Phys. Soc
XXIII A911), 219—224.
The Vibrations of Circular Plates and their Relation to Bessel Functions (Feb. 15,
1911), Proc, Phys. Soc, XXIII A911), 225—232.
The Oscillations of Chains and theif Relation to Bessel and Neumann Functions, Phil.
Mag. F), XXI A911), 736—742.
Tajles of Neumann Functions Gn(x) and Yn (x), Phil. Mag. F), XXII A911),
658—663.
The Asymptotic expansions of Bessel and other functions, Archiv der Math, und
Phys. C), XX A913), 240—244.
The Vibrations of Cylinders and Cylindrical Shells, Archiv der Math, und Phys. C)
XX A913), 289—294.
Tables of the Neumann functions or Bessel functions of the second kind, Archiv der
Math, und Phys.B>), XX11 A914), 30—43.
Bessel and Neumann Functions of Equal Order and Argument, Phil. Mag. F), XXXI
<191(?), 520—528.
The Roots of Bessel and Neumann Functions of High Order. Phil. Mag. F), XXXII
A916), 7—14.
Bessel Functions of Equal Order and Argument, Phil. Mag. F), XXXII A916),
237—238.
The Numerical Calculation of the Roots of the Bessel Function Jn(x) and its first deri-
derivative fn{x), Phil. Mag. F), XXXIV A917), 189—195.
The Addition Theorem of the Bessel Functions of Zero and Unit Orders, Phil. Mag.
F), XXXVI A918), 234—242.

734 БИБЛИОГРАФИЯ
The Lommel — Weber Q Function and its Application to the Problem of Electric Waves
on a Thin Anchor Ring (Dec. 7, 1917), Proc Royal Soc, XCIV. A A918), 307—314.
Bessel Functions of small Fractional Order and their application to problems of
Elastic Stability, Phil. Mag. F), XLI A921), 200—205.
AIRY, GEORGE B.
On the Diffraction of an Object-glass with Circular Aperture (Nov. 24, 1834), Trans.
Camb. Phil. Soc, V A835), 283—291.
On the Intens ity of Light in the neighbourhood of a Caustic (May 2, 1836; March
26, 1838), Trans. Camb. Phil. Soc, VI A838), 379—402.
On the Diffraction of an Annular Aperture (Dec. 4, 1840), Phil. Mag. C), XVIII
A841), 1—10.
Supplement to a Paper, On the Intensity of Light in the neighbourhood of a Caustic
(March 24, 1848), Trans. Camb. Phil. Soc, VIII A849), 595—599.
ALDIS, W. S.
Tables for the Solution of the Equation
d2y 1 dy
(June 16, 1898), Proc. Royal Soc, LXIV A899), 203—223.
On the numerical computation of the functions Oq(x), Gx(x) and Jn(xYT) (June 15,
1899), Proc Royal Soc, LXVI A900), 32—43.
ALEXANDER, P.
Expansion of Functions in terms of Linear, Cylindric, Spherical and Allied Functions
(Dec. 20, 1886), Trans. Edinburgh Royal Soc, XXXIII A888), 313—320.
ANDING, E.
Sechsstellige Tafeln der Besselschen Fackionen imaginaren Arguments (Leipzig, 1911).
ANGER, C. T.I)
Untersuchungen tiber die Function l\ mit Anwendungen auf das Kepler'sche Pro-
Problem, Neueste Schriften der Naturfofschenden der Ges. in Danzig, V A855), 1—29.
APPELL, P. Ё.
Sur reversion approchee de certaines integrales reelles et sur l'extension de l'equa
tion de Kepler et des fonctions de Bessel (April 6, 1915), Comptes Rendus, CLX A915),
419—423.
AUTONNE, L.
Sur la nature des integrales algebriques de l'equation de Riccatt (May 7, 1883), Com-
Comptes Rendus, XCVI A883), 1354—1356.
Sur les integrales algebriques de 1'equation de Riccati (Feb. 13, 1899), Comptes
Rendus, CXXVIII A899), 410—412.
BACH, D.
De Integration par les series de l'equation
d*y ___ n— 1 dy __
dx* x~dx~y'
Ann. sci. de VEcole norm. sup. B), III A874), 47—68.
BAEHR, G. F. W.
к л
Sur les racfnes des equations \ cos (x cos со) dco = 0 et \ cos (x cos со) sin2o) dco = 0
April, 1872), Archives Neerlandaises, VII A872), 351—358.
BALL, L. DE
Ableitung einiger Formeln aus der Theorie der Bessel'schen Funktionen (June 6
1391), Astr. Nach., CXXVIII A891), столбцы 1 — 4.
!) См. также Bourget и Cauchy.

БИБЛИОГРАФИЯ 735
BARNES, E. W.
On the homogeneous linear difference equation of the second order with linear coeffi-
coefficients, Messenger, XXXIV A905), 52—71.
On Functions defined by simple types of Hypergeometric Series (March 12, 1906),
Trans. Camb. Phil. Soc, XX A908), 253—279.
The asymptotic Expansion of Integral Functions defined by generalised Hypergeo-
Hypergeometric Series (Dec. 3, 1906), Proc, London Math, Soc. B), V A907), 59—116.
BASSET, A. B.
On a method of finding the potentials of circular discs by means of Bessel's fun-
functions (May 10, 1886), Proc. Camb. Phil. Soc. V A886), 425—443,
On the Potentials of the surfaces formed by the revolution of Limagons and Cardioids
about their axes (Oct. 25, 1886), Proc. Camb. Phil. Soc. VI A889), 2—19.
A Treatise on Hydrodynamics B тома), (Cambridge, 1888).
On the Radial Vibrations of a Cylindrical Elastic Shell (Dec. 12, 1889). Proc, London
Math. Soc, XXI A891), 53—58.
On a Class of Definite Integrals connected with Bessel's Functions (Nov. 13, 1893)„
Proc. Camb. Phil, Soc, VIII A895), 122—128.
BATEMAN, H.
Certain definite integrals connected with the Legendre and Bessel functions, Messenger.
XXXIII A904), 182—188.
A generalisation of the Legendre polynomial (Jan. 1, 1905), Proc, London Math.
Soc B), III A905), 111—123.
The inversion of a definite integral (Nov. 8, 1906), Proc. London Math. Soc. B), IV
A906), 461—498.
On an expansion of an arbitrary function into a series of Bessel functions, Messenger,
XXXVI A907), 31—37.
The Solution of Linear Differential Equations by means of Definite Integrals (Jan. 25,
1909), Trans, Camb, Phil, Soc, XXI A912), 171—195.
The History and Present State of the Theory of Integral Equations British Asso-
Association Report, 1910, 345—424.
Notes on integral equations, Messenger, XLI A912), 94—101, 180—184.
Some equations of mixed differences occurring in the Theory of Probability and the
related expansions in series of Bessel's functions, Proc. Int. Congress of Math., I (Cam-
(Cambridge, 1912), 291—294.
Electrical and Optical Wave-motions (Cambridge, 1915).
BAUER, G.
Von den Coefficienten der Reihen von Kugelfunktionen einer Variablen, Journal filr
Math., LVI A859), 101—121.
Bemerkungen tiber Reihen nach Kugelfunktionen und insbesondere auch tiber Reihen,
welche nach Producten oder Quadraten von Kugelfunktionen fortschreiten mit Anwendung
auf Cylinderfunktionen (July 3, 1875), Munchener Sitzungsberichte, V A875), 247—272.
BECKER, J.
Die Riccatische Differential-Gleichung, Programm Karlsbad, 1908 B5 стр). [Jahrbuch
uber die Fortschritte der Math, 1908, 395.]
BELTRAMI, E.
Intorno ad un teorema di Abele e ad alcune sue applicazioni, R. 1st. Lombardo
Rendiconti, B), XIII A880), 327—337.
Intorno ad alcune serie trigonometriche (June 17, 1880), R. 1st, Lombardo Rendi-
Rendiconti, B), XIII A880), 402—413.
Sulle funzioni cilindriche (Jan. 14, \88\),Attt della R. Accad.delle Sci.di Torino, XVI
A880—81), 201—205.
Sulla teoria delle funzioni potenziali simmetriche (April 28, 1881), Bologna Memorie,
D) II A880), 461—505.
BERNOULLI, DANIEL
Correspondence with Leibniz 1697—1704. [Напечатано в Leibnlzens Ges. Werke
Dritte Folge (Mathematik), III (Halle, 1855).]
Notata in praecedens schediasma 111. Co. Jacobi Riccati, Actoram Eruditoram quae
Lipsiae pablicantur Sapplementa, VIII A724), 73—75.

736 БИБЛИОГРАФИЯ
Solutio problematis Riccatiani propositi in Act. Lips. Suppl, том VIII, стр. 73, Ada
Hruditoram publicata Lipsiae, 1725, 473—475.
Exercitationes quaedam mathematicae (Venice, 1724), 77—80.
Theoremata de oscillationibus corporum filo flexili connexorum et catenae verticaliter
suspensae, Comm. Acad. Sci. Imp. Petrop., VI A732—33) [1738], 108—122.
Demonstraliones Theorematum suorum de oscillationibus corporum filo flexili connexo-
rum et catenae verticaliter suspensae, Comm. Acad, Sci. Imp. Petrop., VII A734—35)
[1740], 162—179.
BERNOULLI, JOHN
Methodus generalis construendi omnes aequationes differentiales primi gradus, Ada
Eruditorum publicata Lipsiae, 1694, 435—437. [Opera, I, Lausanne and Geneva, 1742, 124.]
BERNOULLI, NICHOLAS (младший)
Переписка с Гольдбахом. См. Fuss.
BESSEL, F. W.
Analytische Auflosung der Keplerschen Aufgabe (July 2, 1818), Berliner Abh.
1816—17 [1819], 49—55. [Abhandlangen, herausgegeben von R. Engelmann, I A875),
17—20.]
Uber die Entwicklung der Funktionen zweier Winkel и und u' in Reihen, welche
nach den Cosinussen und Sinussen der Vielfachen von a und a' fortgehen (June 21,
1821), Berliner Abh. 1820—21 [1822], 56—60, [Abhandlungen, II A876), 362—364.]
Untersuchung des Theils der planetarischen Storungen, welcher aus der Bewegung
der Sonne entsteht (Jan. 29, 1824), Berliner Abh. 1824 [1826], 1—52. [Abhandlungen, I
A875), 84—109.]
Beitrag zu den Methoden die Storungen der Kometen zu berechnen (Sept. 24, 1836),
Astr. Nach., XIV A837), столбцы 1—48. [Abhandlangen, I A875), 29—54.]
BINET, J. P. M.
Note sur l'integrale \ y2i dy e y' prise entre des limites arbitrages (May 24,
1841), Comptes Rendus, XII A841), 958—962.
BOCHER, M.
On Bessel's functions of the second kind (Jan. 1892), Annals of Math., VI A892),
85—90.
On some applications of Bessel's functions with pure imaginary index (Feb. 11, 1892),
Annals of Math., VI A892), 137—160 *).
On certain methods of Sturm and their application to the roots of Bessel's functions
<Feb. 1897), Bulletin American Math. Soc, III A897), 205—213.
An elementary proof that Bessel's functions of the zeroth order have an infinite number
of real roots (Feb. 25, 1899), Bulletin American Math. Soc, V A899), 385—388.
Non-oscillatory linear differential equations of the second order (Feb. 4, 1901),
Bulletin American Math. Soc, VII A901), 333—340.
BOHMER, P. E.
Uber die Zylinderfunktionen (Nov. 26, 1913), Sit г. der Berliner Math. Ges., XIII
<1913), 30—36.
BOHREN, A.
Uber das Airysche Integral 2) (Oct. 6, 1902), Bern Mittheilungen., 1902, 236—239.
BOOLE, G.
On the transformation of Definite Integrals, Camb. Math. Journal, III A843),
216—224.
1) См. также ibid, стр. 136.
2) В этой статье, ria которую можно было бы сослаться в § 6.4, имеется фор-
формула § 6.4 A), однако, автор не приводит в ней формулы § 6.4 B).

БИБЛИОГРАФИЯ 737
On a general method in analysis (Jan. 18, 1844), Phil. Trans, of the Royal Soc.
1844, 225—282.
A Treatise on Differential. Equations (London, 1872).
BOURGET, J.
Note sur une formule de M. Anger (Aug. 7, 1854), Comptes Rendus, XXXIX
A854), 283.
Memoire sur les nombres de Cauchy et leur application a divers problemes de meca-
nique celeste, Journal de Math., B), VI A861), 33—54.
Memoire sur le mouvement vibratoire des membranes circulaires (June 5, 1865), Ann.
sci. de VEcole norm, sup., Ill A866), 55—95.
BRASSINNE, E.
Sur diverses equations differentielles du premier ordre analogues A l'equation de
Ricatti (sic), Mem. de VAcad. R. des Sci. de Toulouse. C), IV A848), 234—236.
Sur des equations differentielles qui se rattachent a l'equation de Ricatti, Journal de
Math., XVI A851), 255—256.
BRENKE, W. С
Summation of a series of Bessel's functions by means of an integral (Nov. 27, 1909),
Bull. American Math. Soc, XVI A910), 225—230.
BRIDGEMAN, P. W.
On a Certain Development in Bessel's Functions (July 22, 1908), Phil. Mag. F), XVI
A 908), 947—948.
BRUNS, H.
Uber die Beugungsffgur des Heliometer-Objectives (Oct. 15, 1882), Astr. Nach., CIV
A883), столбцы 1—8.
BRYAN, G. H.
On the waves on a viscous rotating cylinder (June 4, 1888), Proc Camb. Phil. Soc
VI A889), 248—264.
Wave Motion and Bessel's Functions, Nature, LXXX A909), 309.
BURKHARDT, H. F. K. L.
Trigonometrische Reihen und Integrate (bis etwa 1850), Encvklopudie der Math.
Wiss. II, 1 (Leipzig, 1904—16), 819—1354.
BUTTERWORTH, S.
On the Evaluation of Certain Combinations of the Ber, Bei and Allied Function
(May 30, 1913), Proc. Phys. Soc, XXV A913), 294—297.
CAILLER, С
Sur les fonctions de Bessel, Archives des Sci. (Soc Helvetique), D), XIV A902)
347—350.
Note sur une operation analytique et son application aux fonctions de Bessel (March,
1904), Mem. de la Soc. de phys. et d'histoire naturelle de Geneve, XXXIV A902—5),
295—368.
CALLANDREAU, O.
Calcul des transcendantes de Bessel
a\n r fay (a
"*^'— 1-2...;
pour les grandes valeurs de a au moyen de series semiconvergentes, Bulletin des Set.
Math. B), XIV A890), 110—114.

738 БИБЛИОГРАФИЯ
Sur le calcul des polynomes Xn (cos 9) de Legendre pour les grandes valeurs de /z,
Bulletin des ScL Math. B), XV A891), 121—124.
CARLINI, F.
Ricerche sulla convergenza della serie che serva alia soluzione del problema di
Kepleroi) (Milan, 1817).
CARSLAW, H. S.
Some Multiform Solutions of the Partial Differential Equations of Physical Mathe-
Mathematics and their Applications (Nov. 10, 1898), Proc. London Math. Soc, XXX A899),
121—161.
The Green's function for a wedge of any angle and other Problems in the Conduc-
Conduction of Heat (Oct. 30, 1909), Proc. London Math. Soc. B), VIII A910), 365—374.
The Scattering of Sound Waves by a Gone, Math. Ann. LXXV A914), 133—147.
The Green's function for the equation V2u-\-k2u = 0 (April 28, 1913; March 20,
(Г916), Proc. London Math. Soc. B), XIII A914), 236—257; B), XVI A917), 84—93.
The Theory of the Conduction of Heat (London, 1921).
CATALAN, E. С
oo
Note sur l'integrale i cos ax f* (Feb. 1840), Journal de Math. V A840), 110—114.
[Перепечатано, Mem. de la Soc. R. des ScL de Liege, B) XII A885), 26—31.]
Sur l'equation de Riccati (March 4, 1871), Bulletin de VAcad. R. de Belgique, B)
XXXI A871), 68—73.
Note sur l'equation xy"-\-ky'— xy = Q par M. C. Le Paige (Rapport de M. Cata-
Catalan), Bulletin de VAcad. R. de Belgique, B) XLI A876), 935—939.
Application d'une formule de Jacobi (Nov. 1868), Mem. de la Soc. R. des Sci. de
Liege, B), XII A885), 312—316.
CAUCHY, A. L.
Resume d'un memoire sur la mecanique celeste et sur un nouveau calcul appele
calcul des limites (Lu a l'Acad. de Turin, Oct. 11, 1831), Exercices d'Analyse, II (Paris,
1841), 48—112. [Oeuvres, B) XII A916), 48—112.]
Memoire sur la convergence des series (Nov. 11, 1839), Comptes Rendusy IX A839),
587—588. [Oeuvres, A) IV A884), 518—520.]
Considerations nouvelles sur la theorie des suites et sur les lois de leur convergence
(April 20, 1840), Comptes Rendus, X A840), 640—656. [Oeuvres), A) v. A885), 180—198.]
Methode simple et generate pour la determination numerique des coefficients que ren-
ferme le developpement de la fonction perturbatrice (Sept. 14, 1840), Comptes Rendusy XI
A840), 453—475. [Oeuvres, A), v. A885), 288—310,]
Note sur le developpement de la fonction perturbatrice (Sept. 21, 1840), Comptes
Rendusy XI A840), 501—511. [Oeuvres, A), V A885), 311—321.]
Methodes propres a simplifier le calcul des inegalites periodiques et seculaires des
mouvements des planetes (Jan. 11, 1841), Comptes Rendus, XII A841), 84—101. [Oeuvres,
A) VI A888), 16—34.1
Note sur une transcendante que renferme le developpement de la fonction pertur-
perturbatrice relative au systeme planetaire (Oct. 4, 1841), Comptes Rendus, XIII A841), 682—
687. [Oeuvres, A)> VI A888), 341—346.]
Note sur la substitution des anomalies excentriques aux anomalies moyennes, dans le
developpement de la fonction perturbatrice (Oct. 25, 1841), Comptes Rendusy XIII A841),
850—854. [Oeuvres, A), VI A888), 354—359.]
Nouveau Memoire sur le calcul des inegalites des mouvements planetaires (April 8,
1844), Comptes Rendus, XVIII A844), 625—643. [Oeuvres, A) VIII A893), 168—188].
Sur la transformation des fonctions implicites en moyennes isotropiques, et sur leurs
developpements en series trigonometriques (May 22, 1854), Comptes Rendus, XXXVIII
A854), 910—913. [Oeuvres, A) XII A900), 148—151.]
Sur la transformation des variables qui determinent les mouvements d'tme planete on
meme d'une comete en fonction explicite du temps, et sur le developpement de ses fon-
fonctions en series convergentes (June 5, 1854), Comptes Rendus, XXXVIII A854), 990—993.
[Oeuvres, (I) XII A900), 160—164.]
i) Немецкий перевод см. J а с о b i, Astr. Nach., XXX A850), столбцы 197—254.
[Ges. Math. Werke VII A891), 189—245.]

БИБЛИОГРАФИЯ 739
Sur la resolution des equations et sur le developpement de leurs racines en series
convergentes (June 26, 1854), Comptes Rendus, XXXVIII A854), 1104—1107. [Oeuvres, A)
XII A900), 167—170.]
Sur une formule de M. Anger et sur d'autres formules analogues (July 15, 1854),
Comptes Rendus, XXXIX A854), 129—135. [Oeuvres, A), XII A900), 171—177.]
CAYLEY, A.
Sur quelques formules du calcul integral, Journal de Math., XII A847), 231—240.
[Collected Papers, I A889), 309—316.]
On Riccati's equation (Sept. 29, 1868), Phil. Mag. D), XXXVI A868), 348—351.
[Collected Papers, VII A894), 9—12.]
Note on the integration of certain differential equations by series. Messenger (старая
серия), V A869), 77—82. [Collected Papers, VIII A895), 458—462.]
Proc. London Math, Soc. i), V A874), 123—124. [Collected Papers, VL A896), 19—20.]
CHALLIS, H. W.
Extension of the Solution of Riccati's Equation (Oct 5, Ш64), Quarterly Journal, VII
A856), 51—53.
CHAPMAN, S.
On the general theory of summability with applications to Fourier's and other series,
Quarterly Journal, XLHI A911), 1—52.
CHESSIN, A. S.
Note on the General Solution of Bessel's Equation, American Journal of Math, XVI
A894), 186—187.
On the expression of Bessel's Functions in Form of Definite Integrals, Johns Hop-
Hopkins Univ. Circulars, XIV A895), 20—21.
Note on Gauchy's Numbers, Annals of Math. X A896), 1—2.
On the relation between Cauchy's numbers and Bessel's Functions (July 1, 1898)
Annals of Math. XII A899), 170—174.
On some relations between Bessel functions of the first and of the second kind (Oct.
20, 1902), Trans, Acad. Sci. of St. Louis, XII A902), 99—108.
Sur l'equation de Bessel avec second membre (Oct. 27, 1902), Comptes Rendas,
CXXXV A902), 678—679.
Sur une classe d'equations differentielles redactibles a Г equation de Bessel (May 11,
1903), Comptes Rendus, CXXXVI A903), 1124—1126.
CHREE, С
Longitudinal vibrations of a circular bar, Quarterly Journal, XXI A886), 287—298.
On the Coefficients in certain Series of Bessel's Functions, Phil. Mag. F), XVII
A909), 329—331.
CHRISTOFFEL, E. B.
Zur Abhandlung: "Ubet die Zahler und Nenner der Naherungswerte von Kettenbru-
chen" pag. 231 des vorigen Bandes2) (Match, I860), Journal fur Math,, LVIII A861),
90—92.
CINELLI, M.
Diffrazione per aperture fatte sopra superfid curve, II Nuovo Cimento, D) I A895),
141—155.
CLEBSCH, R. F. A.
Uber die Reflexion an einer Kugelflache (Oct 30, 1861), Journal fur Math., LXI
A863), 195—262.
CLIFFORD, W. K.
On Bessel's Functions3), Mathematical Papers (London, 1882), 346—349.
COATES. С V.
Bessel's functions of the Second order, Quarterly Journal, XX A885), 250—260.
Bessel's functions of the Second order, Quarterly Journal, XXI A886), 183—192.
1) Cm. Rayleigh.
2) Cm. Heine.
3) Клиффорд скончался 3-го марта 1879 года.

740 БИБЛИОГРАФИЯ
COCKLE, JAMES
On Linear Differential Equations of the Second Order (Dec. 24, 1861; Jan. 15, 1862;
May 21, 1862), Messenger (Старая серия), I A862), 118—124, 164—173, 241—247.
COTTER, J. R.
A New Method of Solving Legendre's and Bessel's Equations and others of a similar
type (May 27, 1907), Proc. R. Irish AcadA), XXVII, A A909), 157—161.
CRAWFORD, L.
n ( 1 d\n~i
- r-
A proof of Rodrigues' Theorem2) six\nx = __ . ( -—-y- I
and some expansions derived from it (Dec. 13, 1901), Proc. Edinburgh Math. Soc, XX
1902, 11—15.
CRELIER, L.
Sur quelques proprietes des fonctions Besseliennes tirees de la theorie des fractions
continues (June, 1895), Ann. di Mat. B), XXIV A896), 131—163. [Dissertation, Bern,
1895.]
Sur la fonction Besselienne de lie espece Sn (x) (Dec. 1896), Bern Mittheilutgen, 1897
[1898], 61—96.
Sur les fonctions besseliennes On(x) et Sn (x) (Sept. 6, 1897; Nov. 29, 1897), Comptes
Rendus, CXXV A897), 421—423, 860—863.
CURTIS, A. H.
On the integration of Linear and Partial Differential Equations (Nov. 24, 1854), Camb.
and Dublin Math. Journal, IX A854), 272—290.
CURZON, H. E. J.
Generalisations of the Hermite functions and their connexion with Bessel function
(Nov. 10, 1913), Proc. London Math. Soc. B), XIII A914), 417—440.
DATTA, A.
On a generalisation of Neumann's Expansion in a Series of Bessel Functions (Feb.
29, 1920), Bulletin Calcutta Math. Soc, XI A921), 23—34.
On an extension of Sonine's Integral in Bessel Functions3) (Jan. 6, 1921), Bulletin
Calcutta Math. Soc, XI A921), 221—230.
DEBYE, P.
Naherungsformeln fur die Zylinderfunktionen fur grosse Werte des Arguments und
unbeschrankt veranderliche Werte des Index (Dec. 1908), Math. Ann. LXVII A909), 535—558.
Semikonvergente Entwicklungen fur die Zylinderfunktionen und ihre Ausdehnung ins
Komplexe (Feb. 5, 1910), Munchener Sitzungsberichte, XL A910), № 5.
DE LA VALLEE POUSSIN, С J.
Integration de ['equation de Bessel sous forme finie (Jan. 26, 1905), Ann. de la
Soc. Sci. deBruxelles, XXIX. (lere partie) A905), 140—143.
DENDY, A. and NICHOLSON, J. W.
On the Influence of Vibrations upon the Form of Certain Sponge Spicules (May 11,
1917), Proc. Royal Soc. LXXXIX. В A917), 573—587.
DINI, U.
Serie di Fourier e altere rappresentazioni analitiche delle funzioni di una variabile
reale (Pisa, 1880).
x) В Jahrbuch ttber die Fortschritte der Math, ошибочно указано Trans. Camb.
Phil. Soc.
2) См. примечание на стр. 37.
3) Эта статья, в которой рассматривается интеграл Никольсона в исправленном
виде, а именно, § 13.46 A0), а также другие близкие интегралы, была напечатана после
сдачи гл. XIII в печать.

БИБЛИОГРАФИЯ 741
DIXON, А. С.
On a property of Bessel's Functions, Messenger, XXXII A903), 7—8.
The expansion of jkt« in Bessel's Functions, Messenger, XXXII A903), 8.
DONKIN, W. F.
On the Equation of Laplace's Functions, etc. (Dec. 11, 1856), Phil. Trans, of the
Royal Soc. CXLVII. A857), 43—57.
DOUGALL, J.
The determination of Green's function by means of Cylindrical or Spherical Harmo-
Harmonics (March 9, 1900), Proc. Edinburgh Math. Soc. XVIII A900), 33—83.
A Theorem of Sonine in Bessel Functions with two Extensions to Spherical Harmo-
Harmonics (Dec. 13, 1918), Proc. Edinburgh Math. Soc. XXXVII A919), 33—47.
DU BOIS REYMOND, P. D. G.
Die Theorie der Fourier'schen Integrale und Formeln (June 26, 1871), Math. Ann.
IV A871), 362—390.
EARNSHAW, S.
Partial differential equations. An essay towards an entirely new method of integra-
integrating them (London, 1871).
ELLIS, R. L.
On the Integration of certain Differential Equations (Nov. 1840 and Feb. 1841), Camb.
Math. Journal, II A841), 169—177, 193—201.
On the Method of Least Squares (March 4, 1844), Trans. Camb. Phil. Soc, VIII
A849), 204—219.
EMDE, Fi).
Zur Berechnung der reelen Nullstellen der Bessel'schen Zylinderfunktionen, Archiv
der Math, und Phys. C) XXIV. A916), 239—250.
ENNEPER, A.
Uber eiii bestimmtes Integral, Math. Ann. VI A873), 360—365.
EPSTEIN, S. S.
Die vier Rechnungsoperationen mit Bessel'shen Funktionen nebst einer geschichtli-
chen Einleitung (Bern, 1894,58 стр.). [Jahrbuch uber die Fortschritte der Math. 1893—94,
845—846.]
ESGHERIGH, G.
Zur Bessel'schen Differential-Gleichung, Monatshefte% far Math, und Phys., Ill;
A892), 142.
Uoer eine Naherungsformel, Monatshefte fur Math, und Phys., Ill A892), 234.
EULER, L.
Lettre de M. Euler a M. de la Grange (Jan. 1, 1760), Misc. Taurinensia, II A760—
61), 1—10.
Recherches sur I'integration de l'equation
ddzddz b dz с
Misc. Taurinensia, III A762—65), 60—91.
См. также Jalmke.

742 БИБЛИОГРАФИЯ
De integralione aequationum differentia Hum, Novi. Comm. Acad. Petrop., VIII A760—61)
[1763], 154—169.
De resolutione aequationis dy-{-ayy dx = bxmdx, Novi Comm. Acad. Petrop., IX
A762—63) [1764], 154—169.
De motu vibratorio tympanoruni, Novi Comm. Acad. Pet гор., X A764) [1766],
243—260.
Institutionum Calculi Integralis II (Петербург, 1769).
De oscillationibus minimis funis libere suspensi, Act a Acad. Petrop., V, pars 1 A781)
[1784], 157—177.
De perturbatiori3 motus chordarum ab earum pondere oriunda, Acta. Acad. Petrop.
V, pars 1 A781) [1784], 178—190.
Analysis facilis aequationem Riccatlanam per fractionem continuam resolvendi, Mem.
de VAcad. R. des ScL de St. Petersbourg, VI A818), 12—29.
FALKENHAGEN, J. H. M.
Uber das Verhalten der Integrale einer Riccati'schen Gleichung in der Nahe einer
singulSren Stelle, Nieuw Archief voor Wiskunde, B) VI A905), 209—248.
FAXEN, H.
CO
Expansion in series of the integral \ е~х{-1^1 ^ V dt (April 14, 1920), Arkiv fur
Mat. Astr. och Fysik, XV A921), № 13. У
FERIET, K.
Sur les fonctions hypercylindriques (June 13, 1921), Comptes Rendus, GLXXII A921),
1464—1466.
FIELDS, J. G.
A method of solving Riccati's Equation (April 8, 1886), Johns Hopkins Univ. Circu-
Circulars, VI A886—87), 29.
dnv
Solutions Analogous to Riccati's of Equations of the form -~-n — xmy(Maу 19, 1886),
Johns Hopkins Univ. Circulars, VI A886—87), 29—30.
FILON, L. N. G.
On a New Mode of Expressing Solutions of Laplace's Equation in Terms of Ope-
Operators involving Bessel Functions, Phil. Mag. F), VI A903), 193—213.
On the expansion of polynomials in series of functions (May 10, 1906), Proc. Lon-
djn Math. Soc. B), IV A906), 396—430.
FORD, W. B.
On the possibility of differentiating term-by-term the developments for an arbitrary
function of one real variable in terms of Bessel functions (June, 1902), Trans. American
Math. Soc, IV A903), 178—184.
FORSYTH, A. R.
On linear differential equations: in particular that satisfied by the series
"i-fe -*" 1.2.T
Quarterly Journal, XIX A883), 292—337.
The expression of Bessel functions of positive order as products, and of their inverse
powers as sums of rational fractions, Messenger, L A921), 129—149.
FOURIER, J. B. J.
La Theorie analytique de la Ghaleur (Paris, 1822). [Английский перевод см.
A. Freeman, Cambridge, 1878.]

БИБЛИОГРАФИЯ 743
FREEMAN, A.
Note on the value of the least root of an equation allied to JQ (z) = 0 (April 19,
1880), Proc. Camb. Phil. Soc, III A880), 375—377.
FRESNEL, A. J.
Memoire sur la diffraction de la lumiere [July 29, 1818; завершено 1819], Mem. de
VAcad. R. des Sci., V A821—22), 339—476. [Oeuvres, I A886), 247—382].
FRULLANI, G.
Sopra la dipendenza fra i differenziali delle funzioni e gli Integrali definiti (Feb. 4,
1818), Mem. soc. ital. (Modena), XVIII A820), 458—517.
FUSS, P. H.
Gorrespondance mathematique et physique de quelque celebres geometres du
XVIII*»* sieclei), II (Petersburg, 1843).
GALLOP, E. G.
The distribution of electricity on the circular disc and the spherical bowl, Quar-
Quarterly Journal, XXI A886), 229—256.
GASSER, A.
Uber die Nullstellen der Besselschen Funktionen (July, 1904), Mittheilungen der
Naturf. Ges. in Bern, 1904, 92—135.
GEGENBAUER, L.
Note tiDer die Bessel'schen Funktionen zweiter Art (Feb, 8, 1872), Wiener Sitzungs*
berichte, LXV B) A872), 33—35.
Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen zweiter Art (July 4, 1872), Wiener Sitzungs-
Sitzungsberichte, LXVI B) A872), 220—223.
Note uber bestimmte Integrate (Feb. 6, 1873), Wiener Sitzungsberichte, LXVII B)
A873), 202—204.
Uber die Funktionen X™ (June 13, 1873), Wiener Sitzungsberichte, LXVIII B)
A874), 357—367.
Uber die Bessel'schen Funktionen (March 19, 1874), Wiener Sit zungsb erichte,LXX B)
A875), 6—16.
Uber einige bestimmte Integrate (June 18, 1874), Wiener Sitzungsberichte, LXX B) A875)
433—443.
Uber einige bestimmte Integrate (June 17, 1875), Wiener Sitzungsberichte, LXXII B)
A876), 343—354.
Uber die Bessel'schen Funktionen (June 22, 1876), Wiener Sitzungsberichte, LXXIV B)
A877), 124—130.
Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen (Jan. 18, 1877), Wiener Sitzungsberichte,
LXXV B) A877), 218—222.
Uber die Funktionen Cn (x) (April 12, 1877), Wiener Sitzungsberichte, LXXV B)
A877), 891—905.
Das Additionstheoren derjenigen Funktionen welche bei der Entwicklung von eaxi nach
den Naherungsnennerm regularer Kettenbruche auftreten, Wiener Sitzungsberichte, LXXXV
B) A882), 491—502.
Uber die Bessel'schen Funktionen (Oct. 11,1883), Wiener Sitzungsberichte, LXXXVIII B)
A884), 975—1003.
!) В этой работе содержится ряд писем Николая Бернулли (младшего) к Гольд-
Гольдбаху, в которых можно найти бернуллиево решение уравнения Риккати. Заметим,
что в письме Даниила Бернулли к Гольдбаху (ibid., стр. 254, 256, 259) уравнение,
упомянутое в предметном указателе под названием уравнения Риккати, в действитель-
действительности является линейным уравнением; уравнение же Риккати приведено на стр. 260-

744 БИБЛИОГРАФИЯ
Zur Theorie der Funktionen Cn(x), Wiener Akad. Denkschriften, XLVIII A884),
293—316.
Uber die Bessel'schen Funktionen (March 10, 1387), Wiener Sitzungsberichte, XGV
B) A887), 409—410.
Einige Satze uber die Funktionen Cn(x\ Wiener Akad. Denkschriften, LVII A890),
425—480.
Uber die Ringfunktionen (June 4, 1891), Wiener Sitzungsberichte, С Ba) A891),
745—766.
Bemerkung zu der von Herrn Elsas gegebenen Theorie der elektrischen Schwingungen
in cylmdrischen Drahten, Monatshefte fur Math, und Phys., IV A893), 379—380.
Uber die zum elektromagnetischen Potentiale eines Kreisstromes associierte Funktion,
Monatshefte fur Math, und Phys., IV A893), 393—401.
Eine Integralrelation, Monatshefte fur Math, und Phys., V A894), 53—61.
Bemerkung uber die Bessel'schen Funktionen, Monatshefte fur Math, und Phys.t
VIII A897), 383—384.
Notiz uber die Bessel'schen Funktionen erster Art., Monatshefte far Math, und Phys.,
X A899), 189—192.
Quelques proprietes nouvelles des racines des fonctions de Bessel, Mem. de la
Soc. R. des Sci. de Liege, C) II A900), № 3.
[Письмо по поводу статьи Макдональда (Н. М. Macdonald).] Proc. London Math.
Soc, XXXII A901), 433—436.
Uber eine Relation des Herrn Hobson (May 22, 1902), Wiener Sitzungsberichie,
CXI Ba) A902), 563—572.
On integrals containing functions of Bessel, [Письмо к Каптейну.] Proc. Section of
Sci., Д-. Akad. van Wet. te Amsterdam, IV A902), 584—588.
GENOCCHI, A.
Studi intorno ai casi d'integrazione sotto forma finita, Met. dell' Acad. delle Sci. dl
Torino, XXIII A866), 299—362.
Sur l'equation de Riccati (Aug. 13, 1877), Comptes Rendus, LXXXV A877), 391—394.
GIBSON, G. A.
A Proof of the Binomial Theorem with some Applications (Dec. 12, 1919), Pros.
Edinburgh Math. Soc, XXXVIII A920), 6—9.
GILBERT, L P.
Recherches analytiques sur la diffraction de la lumiere, Mem. couronnes de Г Acad. R.
des Sci. de Bruxelles, XXXI A863), 1—52.
GIULIANI, G.
Sopra la funzione P«(cos 7) per n infinito, Giornale di Mat., XXII A884), 236—239.
Sopra alcune funzioni analoghe alle funzioni cilindriche, Giornale di Mat., XXV
A887), 198—202.
Alcune osservazioni sopra le funzioni spheriche di ordine superiore ai secondo e sopra
altre funzioni che se ne possono dedurre (April, 1888), Giornale di Mat., XXVI
A888), 155—171.
GLAISHER, J. W. L.
On Riccati's equation (March 15, 1871), Quarterly Journal, XI A871), 267—273.
On the Relations between the particular Integrals in Gayley's solution of Riccati's
Equation (May 12, 1872), Phil. Mag. (A), XLIII A872), 433—438.
On the Evaluation in Series of certain Definite Integrals, British Association Report,
1872, 15—17.
Notes on definite integrals, Messenger, II A873), 72—79.
On a Differential Equation allied to Riccati's (Oct. 11, 1872), Quarterly Journal,
XII A873), 129—137.
Sur une Propriete de la Fonction eV*. Nouvelle Corr. Math., II A876), 240—243,
349—350.
On a Formula of Gauchy's for the Evaluation of a class of Definite Integrals (Nov. 6,
1876), Proc Camb. Phil. Soc, III A880), 5—12.
On certain Identical Differential Relations (Nov. 9, 1876), Proc. London Math. Socr
VIII A877), 47—51.
A Generalised Form of Certain Series (May 9, 1878), Proc London Math. Soc, IX
A878), 197—202.

БИБЛИОГРАФИЯ 745
On the Solution of a Differential Equation allied to Rfccati's, British Association
Report, 1878, 469—470.
Example illustrative of a point in the solution of differential equations by series,
Messenger, VIII A879), 20—23.
On a symbolic theorem involving repeated differentiations (May 19,1879), Proc Сamb.
Phil. Soc, III A880), 269—271.
On Riccati's Equation and its Transformations and on some Definite Integrals which
satisfy them (June 16, 1881), Phil. Trans, of the Royal Soc. 172 A881), 759—828. [Proc.
Royal Soc, XXXII A881), 444.]
GORDAN, P.
Cm. Hermite.
GRAF, J. H.
Uber die Addition und Subtraction der Argumente bei Bessel'schen Funktionen nebst
einer Anwendung (March, 1893), Math. Ann., XLIII A893), 136—144.
Uber einige Eigenschaften der Bessel'schen Funktion erster Art, insbesondere fur
.ein grosses Argument, Zeitschrift fur Math., XXXVIII A893), 115—120.
Beitrage zur Auflosung von linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit
linearen Goefficienten so wie von Differentialgleichungen zweiter Ordnung denen gewisse
bestimmte Integrale gentigen (March, 1894), Math. Ann., XLV A894), 235—262.
Relations entre la fonction Besselienne de Ire espece et une fraction continue (May,
1894), Ann. di Mat. B), XXIII A895), 45—65.
Ableitung der Formeln fur die Bessel'schen Funktionen bei welchen das Argument ein
Distanz darstellt (Aug. 4, 1896), Verhandlungen der Schweiz-Naturf. Ges., LXXIX A896),
59—62.
Einleitung in die Theorie der Besselschen Funktionen, von J. H. Graf und E. Gubler
B Hefte; Bern, 1898, 1900).
Beitrag zur Auflosung von Differentialgleichungen zweiter Ordnung denen gewisse
bestimmte Integrale gentigen (May, 1902), Math. Ann., LVI A903), 423—444.
GRAY, A.i).
A Treatise on Bessel Functions, by Andrew Gray and G. B. Mathews (London,
1895).
GREENHILL, A. GEORGE
On Riccati's Equation and Bessel's Equation, Quarterly Journal, XVI A879), 294—298.
On the Differential Equation of the Ellipticities of the Strata in the Theory of the
Figure of the Earth (April 8, 1880), Quarterly Journal, XVII A880), 203—207.
Determination of the greatest height consistent with stability that a vertical pole or
mast can be made, and of the greatest height to which a tree of given proportions can
grow (Feb. 7, 1881), Proc. Camb. Phil. Soc, IV A883), 65—73.
The Bessel — Clifford Function (March 14, 1919), Engineering, GVII A919), 334.
The Bessel — Clifford Function and its applications (Aug. 11, 1919), Phil. Mag. F)>
XXXVIII A919), 501—528.
GRUNERT, J. A.
/-i ai
Beweis der Gleichung ——^-f* =(— l/"xl-3 ... B/— 1) ^—^ fur z =
= cosjc, Archiv der Math, und Phys., IV A844), 104—109.
GUBLER, E.2)
Die Darstellung der allgemeinen Bessel'schen Funktion durch bestimmte Integrale
(Sept. 1888), Zurich Vierteljahrsschrift, XXXIII A888), 130—172.
Verwandlung einer hypergeometrischen Reihe im Anschluss an das Integral
Inaugural-dissertation, Zurich, 1894 C8 стр.). [Graf und Gubler, Einleitung in die
Theorie der Besselschen Funktionen, II (Bern, 1900), 110—135, 156.]
Uber ein discontinuierliches Integrale (Dec. 1895), Math. Ann., XLVIII A897),
37—48.
1) См. также Thomson.
2) См. также Graf.

746 БИБЛИОГРАФИЯ
Beweis einer Formel des Herrn Sonine (Dec. 1896), Math. Ann,, XLIX A897), 583—584.
Uber bestimmte Integrate mit Bessel'schen Funkttonen (Oct. 1902), Zurich Viertel-
jahrsschrift, XLVII A902), 422—428.
GUNTHER, S.
Bemerkungen uber Gylinderfunktionen, Archiv der Math, und Phys., LVI A874),
292—297.
GWYTHER, R. F.
The employment of a geometrical construction to prove Schlomilch's series, and to
aid in its development into a definite integral, Messenger, XXXIII A904), 97—107.
HADAMARD, J.
Sur l'expression asymptotique de la fonction de Bessel, Bulletin de la Soc. Math,
de France, XXXVI A908), 77—85.
HAENTZSGHEL, E.
Uber die funktionentheoretischen Zusammenhang zwischen den Lame'schen, Lapiace'-
-schen.und Bessel'schen Funktionen, Zeitschrift far Math., XXXI A886), 25—33.
Uber die Fourier Bessel'sche Transcendente (Nov. 20, 1887), Zeitschrift fur Math.,
XXXIII A888), 185—186.
HAFEN, M.
Studien uber einige Probleme der Potentialtheorie, Math. Ann., LXIX A910), 517—537.
HAGUE, B.
A Note on the Graphs of the Bessel Functions of Integral Order, Pfoc. Phys. Soc,
XXIX A917), 211—214.
HALL, A.
The Besselian Function, The Analyst, I A874), 81—84.
HAMILTON, WILLIAM ROWAN i)
On Fluctuating Functions (June 22, 1840), Trans. R. Irish Acad., XIX A843), 264—321.
On the Calculation of the Numerical Values of a certain class of Multiple and Definite
Integrals (Sept. 29, 1857), Phil. Mag. D), XIV A857), 375—382.
HANKEL, H.
Die Gylinderfunktionen erster und zweiter Art (Dec. 15, 1868), Math. Ann., I A869)
467-501.
Bestimmte Integrate mit Gylinderfunktionen 2), Math. Ann., VIII A875), 453—470.
Die Fourier'schen Reihen und Integrate fur Gylinderfunktionen (May 16, 1869), Mat.,
Ann., VIII A875), 471—494.
HANSEN, P. A.
Ermittelung der absoluten Storungen in Ellipsen von beliebiger Excentricitat und
Neigung, I, Schriften der Sternwarte Seeberg (Gotha, 1843). [Memoire sur la determi-
determination des perturbations absolues dans les ellipses d'une excentricite et d'une inclinaison
quelconques, par M. Hansen, Traduit de l'Allemand par M. Victor Mauvais (Paris, 1845).]
Entwicklung des Products einer Potenz des Radius Vectors mit den Sinus oder
Cosinus eines Vielfachen der wahren Anomalie in Reihen, Leipziger Abh., II A855),
181—281.
HANUMANTA RAO, G. V.
On a certain definite integral, Messenger, XLVII A918), 134—137.
HARDY, G. H.
General theorems in contour integration: with some applications,Quarterly Journal, XXXII
A901), 369—384.
Notes on some points in the integral calculus, XVIII, Messenger, XXXV A906),
158—166.
1) Письмо Гамильтона по поводу бесселевых функций опубликовано в книге
Stokes, Memoir and Scientific Correspondence, I A907), 131—135.
2) Ханкель умер 29-го августа 1873 года. Напечатанные мемуары были составлены на
основании материалов, найденных в его бумагах.

БИБЛИОГРАФИЯ 747
Fur ther researches in the Theory of Divergent Series and Integrals (May 18, 1908),
Trans. Camb. Phil. Soc, XXI A912), 1—48.
On an Integral Equation (Feb. 20, 1909), Proc. London Math. Soc. B) VII A909),
445—472.
On certain definite integrals whose values can be expressed in terms of Bessel's
functions, Messenger, XXXVIII A909), 129—132.
On certain definite integrals considered by Airy and Stokes, Quarterly Journal, XLI
A910), 226—240.
Notes on some points in the integral calculus, XXVII, Messenger, XL A911), 44—51.
Notes on some points in the integral calculus, XXXV, Messenger, XLII A913), 89—93.
On the expression of a number as the sum of two squares. Quarterly Journal,
XLVI A915), 263—283.
On Dirichlet's divisor problem (April 22, 1915), Proc. London Math. Soc. B), XV A916);
1—25.
Notes on some points in the integral calculus, XLVII, Messenger, XLVIII A918),
81—88.
HARGREAVE, G. J.
On the Solution of Linear Differential Equations (June 10, 1847), Phil. Trans, of the
Royal Soc. 1848, 31—54.
On Riccati's Equation (April 4, 1865), Quarterly Journal, VII A866), 256—258.
HARGREAVES, R.
A Diffraction Problem and an Asymptotic Theorem in Bessel's Series, Phil. Mag. F),
XXXVI A918), 191—199.
HARNACK, A.i)
Uber die Darstellung einer willkurlichen Funktion durch die Fourier — Bessel'schen
Funktionen (Dec. 12, 1887), Leipziger Berichte, XXXIX A887), 191—214; Math. Ann., XXXV
A889), 41—62.
HARRIS, R. A.
On Harmonfc Functions, American Journal of Math., XXXIV A912), 391—420.
HARTENSTEIN, J. H.
d2f 34
Integration der Differentialgleichung —^i-{-~-2z=k2f fur elliptische und parabolische
Coordinate^ Archiv der Math, und Phys. B), XlV A896), 170—199.
HATTENDORF, K.
Cm. Riemann»
HAVELOCK, Т. Н.
Mathematical Analysis of Wave Propagation in Isotropic Space of p Dimensions
(March 16, 1904), Proc. London Math. Soc. B), II A904), 122—137.
HAYASHI, T.
On a definite integral for Neumann's cylindrical function, Nyt Tidsskrift, XXIII.
В A912), 86—90. [Jahrbuch uber die Fortschritte der Math. 1912, 55.]
1С
On the Integrals exp ( x cos pb ) cos q8 dQ (Dec. 1920), Tdhoku Math. Journal, XX
J \ sin у sin
A922), 107—114.
HEAVISIDE, O.
Electrical Papers, I., II (London, 1892).
On Operators in Physical Mathematics (Dec. 15, 1892; June 8, 1893), Proc. Royal Soc.f
LII A893), 504—529; LIV A893), 105—143.
Electromagnetic Theory2), II, III (London, 1899, 1912).
!) Харнак умер 3-го апреля 1888 года.
2) Эта книга, составлена на основе ряда статей, впервые опубликованных в The
Electrician, Nature и других местах в 1894 г. и позже, с многочисленными добавле-
добавлениями.

748 БИБЛИОГРАФИЯ
HEINE, H. E.
Uber die Zahler und Nenner der Naherungswerthe von Kettenbruchen!) (Sept. 1859),
Journal fur Math,, LVII A860), 231—247.
Die Fourier — BesseVsche Funct.on (June, 1868), Journal fur Math., LXIX A869),
128—141.
Handbuch der Kugelfunktionen: Theorie und Anwendungen B Bande), (Berlin, 1878,
1881).
HERMITE, G.
Sur la transcendante En, Ann. di Mat. B), HI A870), 83 2).
Extrait d'une lettre de Monsieur Ch. Hermite a Monsieur Paul Gordan (June 9,
1873), Journal fur Math., LXXVI A873), 303—311.
Extrait d'une lettre a M. E. Jahnke (Nov. 25, 1900), Archiv der Math, und Phys.
C), I A901), 20—21.
HERTZ, H.
Uber die Induktion in rotierenden Kugeln, Dissertation, Berlin, March 15, 1880.
[Ges. Werke, I (Leipzig, 1895), 37—134.]
Uber das Gleichgewicht schwimmender elasticher Plattert, Ann. der Phvsik und Chemie,
C), XXII A884), 449—455. [Ges. Werke, I (Leipzig, 1895), 288—294].
HERZ, N.
Bemerkungen zur Theorie der Bessel'schen Funktionen (Sept. 21, 1883), Astr. Nach.,
GVII A884), столбцы 17—28.
Note, betretfend die Entwicklung der storenden Krafte (Mar. 30, 1884), Astr. Nach., GVII
A884), столбцы 429—432.
HILB, E.
Zur Theorie der Entwicklungen willkurlicher Funktionen nach Eigenfunktionen (Sept
11, 1917), Math. Zeitschrift, I A918), 58—69.
Uber die Laplacesche Reihe (March 15, 1919; Nov. 17, 1919), Math. Zeitschrift, V
A919), 17—25; VIII A920), 79—90.
HILL, G. J. D.
De radicibus rationalibus aequationis Riccatianae
dxy + a + by + cy2 = 0,
ubi a, b, с functiones rationales ipsius x (May 24, 1840), Journal fur Math., XXV A843),
22—37.
HOBSON, E. W.3)
Systems of Spherical Harmonics (June 11, 1891), Proc. London Math. Soc, XXII
A891), 431—449.
On the Evaluation of a certain Surface-Integral, and its application to the Expansion,
in Series, of the Potential of Ellipsoids (Jan. 12, 1893), Proc. London Math. Soc, XXIV
A893), 80—96.
On Bessel's Functions, and Relations connecting them with Hyper-spherical and
Spherical Harmonics (Dec. 14, 1893), Proc. London Math. Soc, XXV A894), 49—75.
On the most general solution of given Degree of Laplace's Equation (May 9, 1895),
Proc. London Math. Soc, XXVI A895), 492—494.
Note on some properties of Bessel's Functions (Jan. 14, 1897). Proc London Math.
Soc, XXVIII A897), 370—375.
On the representation of a function by series of Bessel's functions (Dec. 10, 1908),
Proc London Math. Soc, B), VII A909), 359—388.
HOPF, L. und SOMMERFELD, A. J. W.
Uber komplexe Integraldarstellungen der Zylinderfunktionen, Archiv der Math, und
Phys. C), XVIII A911), 1—16.
HORN, J.
Uber lineare Differentialgleichungen mit einem veranderlichen Parameter (Dec. 30,
1898), Math. Ann., LII A899), 340—362.
x) См. также Кристоффель.
2) В этой заметке содержится формула Карлини. которую Эрмит, повидимому,
вывел из интеграла Пуассона.
3) См. также Gegenbauer.

БИБЛИОГРАФИЯ 749
HURWITZ, A.
Uber die Nullstellen der Bessel'schen Funktion (June 2, 1888), Math. Ann., XXXIII
A889),. 246—266,
Uber die Wurzeln einiger transcendenten Gleichungen, Hamburger Mittheilungen,
II A890), 25—31. [Jahrbuch uber die Fortschritte der Math. 1890, p. 115.]
HYMERS, J.
Treatise on Differential Equations, and on the Calculus of Finite Differences (Camb-
(Cambridge, 1839).
IGNATOWSKY, W.
Uber die Reihenentwicklungen mit Zylinderfunktionen (May 13, 1911), Archiv der
Math.,,und Phys. C), XVIII A911), 322—327.
Uber Reihen mit Zylinderfunktionen nach dem Vielfachen des Argumentes (Dec. 1913),
Archiv der Math, and Phys. C), XXIII A915), 193—219.
ISELI, F.
Die Riccati'sche Gleichung, Dissertation, Bern, 1909 D2 стр.). [Jahrbuch uber die
Fortschritte der Math. 1909, 369.]
ISHERWOOD, J. G.
Tables of the Bessel Functions for pure imaginary values of the argument (April 26,
1904), Manchester, Memoirs, XLVIII A903—4), № 19.
IACKSON, F. H.
Generalised forms of the series of Bessel and Legendre, Proc. Edinburgh Math. Soc.
XXI A903), 65—72.
On Generalised functions of Legendre and Bessel (Nov. 16, 1903), Trans. Edinburgh
Royal Soc, XLI A905), 1—28.
A generalization of Neumann's expansion of an arbitrary function in a series of
Bessel functions (Nov. 26, 1903), Proc. London Math. Soc, B), I A904), 361—366.
Theorems relating to a Generalisation of the Bessel-Function (March 21, 1904), Trans.
Edinburgh Royal Soc, XLI A905), 105—118.
Note on a theorem of Lommel (May 13, 1904), Proc. Edinburgh Math. Soc, XXII
A904), 80—85.
The application of Basic numbers to Bessel's and Legendre's functions (June 2, 1904
Dec. 1, 1904; Jan. 18, 1905), Proc London Math. Soc. B), II A905), 192—220; B) III
A905), 1—20, 21—23.
The complete solution of the differential equation for Jrn\ (July 4, 1904), Proc. Edin-
Edinburgh Royal Soc, XXV A904), 273—276.
Theorems relating to a Generalization of Bessel's Function (Feb. 20, 1905), Trans.
Edinburgh Royal Soc, XLI A905), 399—408.
JACKSON, W. H.
On the diffraction of light produced by an opaque prism of finite angle (Nov. 11,
1903). Proc London Math. Soc, B), I A904), 393—414.
JACOBI, С G. J. i)
Formula transformationis integralium definitorum (July 9, 1835), Journal fur Math.
XV A836), 1—26. [Ges. Math. Werke, VI A891), 86—118.]—Formule pour la transforma-
transformation d'une classe d'integrales definies, Journal de Math., A836), I, 195—196.
Versuch einer Berechnung der grossen Ungleichheit des Saturns nach einer strengen
Entwicklung. Astr. Nach., XXVIII A849), столбцы 65—80, 81—94. [Ges. Math. Werke,
VII A«91), 145—174].
Uoer die annahernde Bestimmung sehr entfernter Glieder in der Entwicklung der
elliptischen Coordinaten, nebst einer Ausdehnung der Laplace'schen Methode zur Bestim-
Bestimmung der Funktionen grosser Zahlen, Astr. Nach., XXVIII A849), столбцы 257—270. [Ges.
Math. Werke, VII A891), 175—188.]
JAHNKE, P. R. E.2)
Funktionentafeln mit Formeln und Kurven, von E. Jahnke und F. Emde (Leipzig,
1909). S
!) См. также CarlinL
2) См. также Hermite.

750 БИБЛИОГРАФИЯ
Uber einige, in der elektromagnetischen Strahlungstheorie auftretende, bestimmte
Integrale, Archiv der Math, und Phys. C), XXIII A914), 264—267.
JAMET, E. V.
Sur les equations anharmoniques (Sept. 13, 1901), Comptes Rendus de I'Assoc. Fran-
caise, XXX (Ajaccio) A901), 207—228.
Sur les equations anharmoniques, Ann. de la Fac. des Sci. de Marseille, XII A902),
1—21.
JEKHOWSKY, B.
Les fonctions de Bessel de plusieurs variables exprimees par des fonctions de Bes-
sel d'une variable (Feb. 28, 1916), Comptes Rendus, CLXII A916), 318—319.
Sur la fonction genera trice des fonctions de Bessel a plusieurs variables, Bulletin
des Sci. math. B) XLI A917), 58—60.
Sur les fonct'ons de Bessel a deux variables (May 30, 1921), Comptes Rendus,
GLXXII A921), 1331—1332.
JOHNSON, W. W.
On the Differential Equation
Annals of Math., HI A887), 112—115.
JOLLIFFE, A. E.
The expansion of the square of a Bessel function in the form of a series of Bessel
functions, Messenger, XLV A916), 16.
JULIUS, V. A.
Sur les fonctions de Bessel de deuxieme espece (Dec. 1893), Archives Neerlandaises,
XXVIII A895), 221—225.
Sur les ondes lumineuses spheriques et cylindriques (Dec. 1893), Archives Neerlan*
daises, XXVIII A895), 226—244.
KALAHNE, A.
Uber die Wurzeln einiger Zylinderfunktionen und gewisser aus ihnen gebildeter
Gleichungen (March 1, 1906), Zeitschrift fur Math, und Phys., LIV .A907), 55—86.
KAPTEYN, W.
Nouvelles formules pour representer la fonction Jn__im(x), Bulletin des Sci. Math.
B), XVI A892), 41—44.
Over Bessel'sche Functien (March 12, 1892), Nieuw Archief voor Wiskvm.de XX
A893), 116—127.
Recherches sur les fonctions de Fourier—Bessel, Ann. sci. de I'Ecole norm, sup C)
X A893), 91—120. h
Sur quelques integrates definies contenant des fonctions de Bessel, Archives Neer-
landaises, B), VI A901), 103—116.
A definite integral containing Bessel's functions (June 29, 1901), Prctc. Section of
Sci., K. Akad. van Wet. te Amsterdam, IV A902), 102—103.
Sur un developpement de M. Neumann, Nieuw Ar chief voor Wiskunde, B), VI A905),
49—55.
Einige Bemerkungen uber Bessel'sche Funktionen, Monatshefte fur Math, und Phvs
XIV A903), 275—282. ^ *'
The values of some definite integrals connected with Bessel functions (Nov. 26, 1904),
Proc. Section of Sci., A". Akad. van Wet. te Amsterdam, VII A905), 375—376.
On a series of Bessel functions (Dec. 24, 1904), Proc. Section of Sci., К Akad van
Wet. te Amsterdam, VII A905), 494—500.
A definite integral of Kummer (Sept. 30, 1905), Proc. Section of Sci., K. Akad. van
Wet. te Amsterdam, VIII A906), 350—357.

БИБЛИОГРАФИЯ 751
On an expansion of an arbitrary function in a series of Bessel functions, Messenger,
XXXV A906), 122—125.
Sur la sommation d'une serie infinie. Nieuw Archief voor Wiskunde, B), VII A907),
20—25.
The quotient of two successive Bessel Functions (Dec. 30, 1905; Jan. 27, 1906),Proc.
Section of Sci., K. Akad. van Wet. te Amsterdam, VIII A906), 547—549, 640—642.
Sur le quotient de deux fonctions besseliennes successives, Archives Neerlandaises
B), XI A906), 149—168.
Recherches sur les fonctions cylindriques, Mem, de la Soc. R. des Sci, de Liege, C)
VI A906), № 5.
Sur le calcul numerique de la serie
Mem, de la Soc. /?. des Sci. de Liege, C) VI A906), № 9.
On some relations between Bessel's Functions (Feb. 24, 1912), Proc. Section of
Sci., K. Akad. van Wet. te Amsterdam, XIV A912), 962—969.
KELVIN
On the waves produced by a single impulse in water of any depth or in a disper-
dispersive medium (Feb. 3, 1887), Proc. Royal Soc, XLII A887), 80; Phil. Mag. E), XXIII
A887), 252—255. [Math, and Phys. Papers, IV A910), 303—306.]
Ether, Electricity and Ponderable Matter (Jan. 10, 1889), Journal of Inst. of Electri-
Electrical Engineers, XVIII A890), 4—37. [Math, and Phys. Papers, III A890), 484—515.]
KIRCHHOFF, G.
Uber den inducirten Magnetismus eines unbegrenzten Cylinders von weichem Eisen
(June, 1853), Journal fur Math., XLVIII A854), 348—376.
Zur Theorie der Bewegung der Elektricitat in unterseeischen oder unterirdischen Tele-
graphendrahten (Oct. 29, 1877), Berliner Monatsberichte, 1877, 598—611.
Uber die Transversalschwingungen eines Stabes von veranderlichem Querschnitt
(Oct. 27, 1879), Berliner Monatsberichte, 1879, 815—828; Ann. der Physik und Chemie,
C), X .A880), 501—512.
Uber die elektrischen Stromungen in einem Kreiscylinder (April 26, 1883), Berliner
Sitzungsberichte, 1883, 519—524.
KLUYVER, J. G.
A local probability problem (Sept. 30, 1905), Proc. Section of Sci., K- Akad. van
Wet. te Amsterdam, VIII A906), 341—350.
An integral theorem of Gegenbauer (Feb. 27, 1909), Proc. Section of Sci., К- Akad.
van Wet. te Amsterdam, XI A909), 749—755.
KNESER, J. G. G. A.
Die Entwicklung willkurlicher Funktionen in Reihen die nach Bessel'schen Funktio-
nen fortschreiten (July, 1903), Archiv der Math, und Phys. C), VII A903), 123—133.
Die Theorie der Integralgleichungen und die Darstellung willktirlicher Funktionen
in der mathematischen Physik, Math. Ann., LXIH A907), 477—524.
KNOCKENHAUER, K. W.
Uber die Orter der Maxima und Minima des gebeugten Lichtes nach den Fres-
nel'schen Beobachtungen, Ann. der Physik und Chemie, B), XLI A837), 103—110.
KONIG, J.
Uber die Darstellung von Funktionen durch unendliche Reihen (Sept., 1871), Math.
Ann., У A872), 310—340.
Uber Reihenentwicklung nach Bessel'schen Funktionen A880), Math. Ann., XVII A880),
85—86.

752 БИБЛИОГРАФИЯ
KOESTLER, W.
BeitrSge zu Reihenentwicklungen nach Besselsche Zylinderfunktionen, Dissertation
Bern, 1907 (ПО стр.). [Jahrbuch uber die Fortschritte der Math. 1908, 535.]
KOPPE, M.
Die Ausbreitung einer Erschiitterung an der Wellenmaschine darstellbar durch einen
neuen Grenzfall der Bessel'schen Funktionen, Programm (96), Andreas Realgymn. Berlin,
1889 B8 стр.). [Jahrbuch uber die Fortschritte der Math. 1899, 420—421.]
KUMMER, E. E.
Sur l'integration de l'equation de Riccati par des integrates definies, Journal fur
Mathxl XII A834), 144—147.
Uber die hypergeometrische Reihe
a.B a(a+l)ft(ft + l) „o ,
l+T^x^ 1.2.T(T + 1) X^ Ь
Journal fur Math., XV A836), 39—83, 127—172.
De integralibus quibusdam difinitis et seriebus infinitis (April, 1837), Journal fur Math.
XVII A837), 228—242.
Note sur l'integration de l'equation —^ = xm-y, Journal fur Math., XIX A839),
286—288.
Sur integration de l'equation ~^ = x™-yt Journal de Math., IV A839), 390—391.
LAGRANGE, J. L.
Sur le probleme de Kepler (Nov. 1, 1770). Hist, de I'Acad.R. des Sci.de Berlin XXV
<1769) [1771], 204—233. [Oeuvres, III A869), 113—138.]
LAMB, H.
On the Oscillations of a Viscous Spheroid (Nov. 10, 1881), Proc. London Math
Soc, XIII A882), 51—66.
On the Vibrations of an Elastic Sphere (May 11, 1882), Proc. London Math Soc
XIII, A882), 189—212.
On Electrical Motions in a Spherical Conductor (March 14, 1883), Phil. Trans of
the Royal Soc, GLXXIV A883), 519—549.
On the Induction of Electric Currents in Cylindrical and Spherical Conductors (Jan
10, 1884), Proc. London Math. Soc, XV A884), 139—149.
Note on the Induction of Electric Currents in a Cylinder placed across the Lines of
Magnetic Force (June 12, 1884), Proc. London Math. Soc, XV A884), 270—274.
On the Motion of a Viscous Fluid contained in a Spherical Vessel (Nov. 13, 1884)
Proc. London Math. Soc, XVI A885), 27—43.
A problem in Resonance illustrative of the Theory of Selective Absorption of Light
(Jan. 8, 1900), Proc. London Math. Soc, XXXII A901), 11—20.
Problems relating to the Impact of Waves on a Spherical Obstacle in an Elastic
Medium (March 8, 1900), Proc. London Math. Soc, XXXII A901), 120—150.
On Boussinesq's Problem (Feb. 13, 1902), Proc. London. Math. Soc, XXXIV A902),
276—284.
On Deep-water Waves (Nov. 10, 1904), Proc. London Math. Soc. B), II A905)
371—400. [Presidential Address.]
On the theory of waves propagated vertically in the atmosphere (Dec. 6 1908)
Proc London Math. Soc B), VII A909), 122—141.
LAMBERT, A.
Cm. Wangerin, A,

БИБЛИОГРАФИЯ 753
LANDAU, E. G. H.
Uber die Gitterpunkte in einem Kreise (May 8, 1915; June 5, 1915; June 4, 1920),
Nachrichten von der K. Ges. der Wiss. zu Gb'ttingsn, 1915, 148—160, 161—171; 1920,
109—134.
Zur analytischen Zahlentheorie der definiten quadratischen Formen (Uber die Gitter-
Gitterpunkte in einem mehrdimensionalen Ellipsoid) (May 20, 1915), Berliner Sitzungsberichte
(Math.-phys. Klasse), XXXI A915), 458—476.
Uber Dirichlets Teilerproblem (July 3, 1915), Munchener Sitzungsberichte, 1915,
317—328.
LAPLACE, P. S.
Memoire sur la diminution de la duree du jour par le refroidissement de la terre.
Conn, des Terns, 1823 [опубл. 1820], 245—257.
Traite de Mecanique Celeste, V (Paris, 1825 и 1882).
LAURENT, PAUL MATHIEU HERMANN
Memoire sur les fonctions de Legendre, Journal de Math. C), I A875), 373—398.
LEBESGUE, V. A.
Remarques sur 1'equation y" -f — y' -f ny = 0, Journal de Math., XI A846), 338—340.
LEFORT, F.
Expression numerique des integrates definies qui se presentent quand on cherche les
termes generaux du deveJoppement des coordonnees d'une planeie, dans son mouvement
eliptique, Journal de Math., XI A846), 142—152.
LEIBNIZ, G. W.
Cm. Daniel Bernoulli.
LE PAIGE, C.i)
Note sur 1'equation xy" + ky' — xy = 0, Bull, de VAcad. R. de Belgijue, B), XLI
A876), 1011—1016.
LERCH, M.
Mittheilungen aus der Integralrechnung, Monatshefte fur Math, und Phys., I A890)
105—112.
Betrachtungen uber einige Fragen der Integralrechnung, Rozpravy, V A896), № 23
A6 стр.) [Jahrbuch uber Fortschritte der Math. 1896, 233—234].
LINDNER, P.
Die Beziehungen der begrenzten Ableitungen mit komplexen Zeiger zu den Besselschen
Funktionen und ihren NullsteLen (Nov. 29, 1911), Sitz. der ВггИпег Math. Ges.t XI A911),
3—5.
LINDSTEDT, A.
Zur Theorie der Fresnel'schen Integrate (Aug. 1882), Ann. der Physik und Chemie
C), XVII A882), 720—725.
LIOUVILLE, J.
Sur la classification des transcendantes et sur l'impossibilite d'exprimer des racines de
certaines equations en fonctions finies explicites des coefficients (June 8, 1835), Journal
de Math., II A837), 56—105; III A838), 523—547.
Sur l'integration d'une classe d'Equations differentielles du second ordre en quantites
finies explicites (Oct. 28, 1839), Comptes Rendus, IX A839), 527—530; Journal de Math.,
IV A839), 423—456.
Remarques nouvelles sur l'equation de Riccati (Nov. 9, 1840), Comptes Rendus, X
A840), 729; Journal de Math., VI A841), 1—13.
x) См. также Catalan,

754 БИБЛИОГРАФИЯ
Sur I'integrale \ cos i(u —-jcsin u) du, Journal de Math., VI A841), 36.
Sur une formule de M. Jacobi (March, 1841), Journal de Math., VI A841), 69—73.
LIPSGHITZ, R. O. S.
Uber ein Integral der Differentialgleichung f^ + ^-|j + /==0 (July 14, 1858),
Journal fur Math., LVI A859), 189—196.
LOBATTO, R.
Sur l'mtegration des equations
(April, 1837), Journal fur Math., XVII A837), 363—371.
LODGE, A.
Note on the Semiconvergent Series of Jn(x), British Association Report, York, 1906,
494-498.
LOMMEL, E. G. J.
BeitrMge zur Theorie der Beugung des Lichts, Archiv der Math, und Phys., XXXVI
A861), 385—419.
Methode zur Berechnung einer Transcendenten, Archiv der Math, und Phys., XXXVII
A861), 349—360.
Zur Integration linearer Differentialgleichungen, Archiv der Math, und Phys.. XL
A863), 101—126.
Studien tiber die Bessel'schen Funktionen (Leipzig, 1868).
«+4- s2m+1v
Integration der Gleichung x г ш+* ц:у = 0 i), Math. Ann., II A870), 624—635.
Uber der Anwendung der Bessel'schen Funktionen in der Theorie der Beugung,
Zeitschrift fur Math, und Phys., XV A870), 141—169.
Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen (Dec. 1870), Math. Ann., Ill A871),
475—487.
Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen (Jan. 1871), Math. Ann., IV A871),
103— U 6.
Uber eine mit den Bessel'schen Funktionen verwandte Funktion (Aug. 1875), Math.
Ann., IX A876), 425—444.
Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen (Oct. 1878), Math. Ann., XIV A879),
510—536.
Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen (Oct. 1879), Math. Ann., XVI A880),
183—208.
Die Beugungserscheinungen einer kreisrunden Offnung und eines kreisrunden Schirm-
chens theoretisch und experimentell bearbeitet, Munchener Abh., XV A884—86), 233—328.
Die Beugungserscheinungen geradlinig begrenzter Schirme, Munchener Abh., XV
A884—86), 531—663.
LORENZ, L.
Sur le developpement des fonctions arbitrages au moyen de fonctions donnees, Tids-
skrift for Mathematik, 1876, 129—144. [Oeuvres Scientiflques, II A899), 495—513.]
Theorie de la dispersion, Ann. der Physik und Chemie, C), XX A883), 1—21.
[Oeuvres Scientifiques, I A898), 371—396.]
Sur la lumiere reflechie et refractee par une sphere transparente, K- Danske Videns-
kabernes Selskabs Skrifter, F), VI A890), 1—62. [Oeuvres Scientifiques, I A894),
405—502.]
LOVE, A. E. H.
The Scattering of Electric Waves by a Dielectric Sphere (Feb. 9, 1899), Pros. London
Math. Soc, XXX A899), 308—321.
l) Над страницами этой статьи написано: «Zur Theorie der Bessel'schen Funk-
Funktionen*.

БИБЛИОГРАФИЯ 755
The Transmission of Electric Waves over the Surface of the Earth (Dec. 19, 1914),
Phil. Trans, of the Royal Soc, GGXV, A A915), 105—131.
MAGDONALD, H. M. i)
Note on Bessel Functions (Nov. 11, 1897), Proc. London Math. Soc, XXIX A898),
110—115.
Zeroes of the Bessel Functions (April 7, 1898; Jan. 12, 1899), Proc. London Math.
Soc, XXIX A898), 575—584; XXX A899), 165—179.
The Addition Theorem for the Bessel Functions (April 5, 1900), Proc. London Math.
Soc, XXXII A901), 152—157.
Some Applications of Fourier's Theorem (Dec. 11, 1902), Proc. London Math. Soc,
XXXV A903), 428—443.
The Bending of Electric Waves round a Conducting Obstacle (Jan. 21, 1903; May 12,
1903), Proc. Royal Soc, LXXI A903), 251— 253; LXXII A904), 59—6S.
Note on the evaluation of a certain integral containing Bessel's functions (Dec. 6,
1908), Proc. London Math. Soc. B), VII A909), 142—149.
The Diffraction of Electric Waves round a Perfectly Reflecting Obstacle (Aug. 13,
1909), Phil. Trans, of the Royal Soc, CCX, A A910), 113—144.
The Transmission of Electric Waves around the Earth's Surface (Jan. 10, 1914), Proc.
Royal Soc, XG A A914), 50—61.
Formulae for the Spherical Harmonic P~m (ji) when 1 — ji is a small quantity (Feb. 6,
1914), Proc. London Math. Soc. B), XIII A914), 220—221.
[Выдержка из письма к Garslaw, Oct. 17, 1912.] Proc. London Math. Soc. B), XIII
A914), 239—240.
A class of diffraction problems (Jan. 14, 1915), Proc. London Math. Soc. B), XIV
A915), 410—427.
The Transmission of Electric Waves around the Earth's Surface (May 23, 1916), Proc
Royal Soc, XCII, A A916), 433—437.
McMAHON, J.
On the Descending Series for Bessel's Functions of Both Kinds, Annals of Math.,
VIII A894), 57—61.
On the Roots of the Bessel and certain Related Functions, Annals of Math., IX
A895), 23—30.
The Expression for a Rational Polynomial in a Series of Bessel functions of nth
Order as required in certain Gases of Dirichlet's Problem, Proc American Assoc 1900,
42—43.
MacROBERT, Т. М.
The Modified Bessel Function Kn(z), (Feb. 13, 1920), Proc. Edinburgh Math. Soc
XXXVIII A920), 10—19.
Asymptotic Expressions for the Bessel Functions and the Fourier — Bessel Expansion
(Jan. 14, 1921), Proc. Edinburgh Math. Soc, XXXIX A921), 13—20.
MAGGI, G. A.
Sulla storia delle funzioni cilindriche, Atti della R. Accad. dei Lincei, Ser. 3 (Trans-
unti), IV A880), 259—263.
Sopra un problema di elettrostatica (June 3, 1880), Rend, del R. 1st. Lombardo, B),
XIII A880), 384—390.
MALMSTEN, G. J.
oo
On Integrale Г Tpj^ili» K' Svenska V. Akad. Handlingar, LXII A841), 65—74.
о
De l'equation differentielle y"x + — + Axmy = о (March 18, 1849), Journal fur Math.,
XXXIX A850), 108—115.
Theoremes sur Integration de l'Fquation —-^-f-^-^ — (bx™ + -~\y, Camb. and
Dublin Math. Journal, V A850), 180—182.
l) См. также Gegenbauer.

756 БИБЛИОГРАФИЯ
MALTEZOS, С.
Sur la chute des corps dans le vide et sur certaines fonctions transcendantes, Nouvel-
les Annales de Math. D), XI A902), 197—204.
MANFREDIUS, G.
De constructione aequationum differentialium primi gradus (Bologna, 1707).
MARCH, H. W.
Uber die Ausbreitung der Wellen der drahtlosen Telegraphie auf der Erdkugel
(Oct. 21, 1911), Ann. der Physik und Chemie, D), XXXVII A912), 29—50.
MARCOLONGO, R.
Alcuni teoremi sulle funzioni cilindriche di prima specie (April 6, 1889), Napoli Ren-
diconto, B), III A889), 96—99.
MARSHALL, W.
On a New Method of Computing the Roots of Bessel's Functions (Oct. 1909), Annals
of Math. B), XI A910), 153—160.
MATHEWS, G. B.
Cm. Gray.
MAY ALL, R. H. D.
On the Diffraction Pattern near the Focus of a Telescope (Feb. 22, 1897), Proc.
Camb. Phil. Soc, IX A898), 259—269.
MEECH, L. W.
Integration of Riccati's Equation, Annals of Math., I A886), 97—103; III A887),
47—49.
MEHLER, F. G.
Uber die Vertheilung der statischen Electricitat in einem von zwei kugelkalotten
begrenzten Korper (July, 1867), Journal fur Math., LXVIII A868), 134—150.
Uber eme mit den Kugel- und Cylinderfunktionen verwandte Funktion und ihre An-
wendung in die Theorie der Electricitatsvertheilung. [Elbing Jahresbericht, 1870.] Math.
Ann., XVIII A881), 161—194.
Uber die Darstellung einer willkiirlichen Funktion zweier Variablen durch Cylinder-
Cylinderfunktion *) (Dec. 1, 1871), Math. Ann., V (-1872), 135—140.
Notiz uber die Dirichlet'schen Integralausdrucke fur die Kugelfunktionen Pn (cos b)
und uber eine analoge Integralform fur die Cylinderfunktion 2) J(x) (Dec. 2, 1871), Math.
Ann., V A872), 141—144.
MEISSEL, D. F. E.
Iserlohn Programm, 1862. [Nielsen, Nouvelles Annales de Math. D), II A902),
396—410.]
Tafel der Bessel'schen Funktionen l\ und l\ von ? = 0 bis k =15,5 (Nov. 8, 1888),
Berliner Abh. 1888. (Math. Abh. I.)
Uber die Besselschen Funktionen J°k und j\, Programm, Oberrealschule, Kiel, 1890.
Jahrbuch uber die Fortschritte der Math. 1890, 521—522.]
Einige Entwicklungen die Bessei'schen /-Funktionen betreffend (May 3, 1891), Astr.
Nach., CXXVII A891), столбцы 359—362.
Beitrag zur Theorie der allgemeinen Bessel'schen Funktion (June 11, 1891), Astr.
Nach., CXXVIII A891), столбцы 145—154.
Abgekurzte Tafel der Bessel'schen Funktionen /? (July 10, 1891), Astr. Nach.,
CXXVIII A891), столбцы 154—155.
Beitrag zur Theorie der Bessel'schen Funktionen (Oct. 7, 1891), Astr. Nach., CXXVIII
A891), столбцы 435—438.
Neue Eritwicklungen fiber die Bessel'schen Funktionen (Jan. 25, 1892), Astr. Nach..
CXXIX A892), столбцы 281—284.
!) Над страницами этой статьи написано: «Uber die Cylinderfunktion J(x)».
2) Над страницами этой статьи написано: «Notiz uber die Funktionen P7* (cos 0)
und J()

БИБЛИОГРАФИЯ 757
Weitere Entwicklungen iiber die Bessel'schen Funktionen (May 2, 1892), Astr. Nach.,
GXXX..A892) столбцы 363—368.
Uber die Absoluten Maxima der Bessel'schen Funktionen, Programm, Oberrealschule,
Kiel, 1892 A1 стр.). [Jahrbuch uber die Fortschritte der Math. 1892, 476—478.]
MELLIN, R. HJ.
Abriss einer einheitlichen Theorie der Gamma und der hypergeometrischen Funktio-
Funktionen (June, 1909), Math. Ann., LXVIII A910), 305—337.
MIGHELL, J. H.
The Wave Resistance of a Shipi) (Aug. 9, 1897), Phil. Mag. E), XLV A898),
106—123.
MOLINS, H.
dkv
Sur Integration de l'equation differentielle -^ — ax^y (March 6, 1876), Mem. de
VAcad. des Sci. de Toulouse, G), VIII A876), 167—189.
MOORE, G. N.
Note on the roots of Bessel functions, Annals of Math. B), IX A908), 156—162
The summability of the developments in Bessel functions with applications (Sept. 11
1908), Trans. American Math. Soc, X A909), 391—435.
On the uniform convergence of the developments in Bessel functions (Oct. 30, 1909),
Trans. American Math. Soc, XII A911), 181—206.
A continuous function whose development in Bessel's functions is non-summable of
certain orders (Sept. 4, 1916), Bulletin American Math. Soc, XXIV A918), 145—149.
On the summability of the developments in Bessel's functions (Sept. 4, 1917), Trans.
American Math. Soc, XXI A920), 107—156.
MORTON, W. B.
The Value of the Cylinder Function of the Second Kind for Small Arguments
(Oct. 25, 1900), Nature, LXIII A901), 29.
MURPHY, R.
On the general properties of definite integrals (May 24, 1830), Trans. Camb. Phil.
Soc, III A830), 429—443.
MYLLER-LEBEDEFF, W,
См. Лебедева.
NAGAOKA, H.
Diffraction Phenomena produced by an Aperture on a Curved Surface, Journal of
the Coll. of Sci. Imp. Univ. Japan, IV A891), 301—322.
NEUMANN, CARL GOTTFRIED 2)
Allgemeine Losung des Problems uber den stationaren Temperaturzustand ernes
homogenen Korpers, welcher von zwei nicht concentrischen Kugelflachen begrenzt wird
(На11ел 1862).
Uber das Gleichgewicht der Warme und das der Electricitat in einem Korper,
welcher von zwei nicht concentrichen Kugelflachen begrenzt wird A862), Journal fur
Math:i LXII A863), 36—49.
Uber die Entwicklung beliebig gegebener Funktionen nach den Besselschen Funk-
Funktionen (March 28, 1867), Journal fur Math., LXVII A867), 310—314.
Theorie der Bessel'schen Funktionen. Fin Analogon zur Theorie der Kugelfunktio-
nen (Leipzig, 1867).
Uoer die Entwicklungen einer Funktion nach Quadraten und Producten der Fourier-
Bessel'schen Funktionen (Nov., 1869) Leipziger Berichte, XXI A869), 221—256. [Math.
Ann., Ill A871), 581—610.]
Uber Producte und Quadrate der Bessel' chen Funktionen, Math. Ann., II A870)
192.
Uoer die nach Kreis-, Kugel- und Cylinder-funktionen fortschreitenden Entwick-
Entwicklungen (Leipzig, 1881).
!) В этой статье имеется несколько таблиц бесселевых функций, вычисленных
Смитом.
2) См. также Шлефли.

758 БИБЛИОГРАФИЯ
Uber gewisse particulare Integrate der Differential gleichung ilF~F insbesondere
iiber die Entwicklung dieser particularen Integrate nach Kugelfunktionen (March 8, 1886),
Leipziger Berichte, XXXVIII A886), 75—82.
NEUMANN, F. E.
Eine Verallgemeinerung der Zylinderfunktionen, Dissertation, Halberstadt, 1909
B5 стр.). [Jahrbuch uber die Fortschritte der Math. 1909, 575.]
NICHOLSON, J. W.i)
The Asymptotic Expansions of Bessel Functions of High Order, Phil. Mag. F), XIV
A907), 697—707.
On Bessel Functions of Equal Argument and Order, Phil. Mag. F), XVI A908),
271—279.
On the Inductance of Two Parallel Wires (June 12, 1908), Phil. Mag. F), XVII
A909), 255—275.
' On the Relation of Airy's Integral to the Bessel Functions, Phil. Mag. F), XVIII
A909), 6—17.
The Asymptotic Expansions of Bessel Functions, Phil. Mag. F), XIX A910), 228—249.
On the Bending of Electric Waves round a Large Sphere, I, Phil. Mag. F), XIX
A910), 516—537.
The Approximate Calculation of Bessel Functions of Imaginary Argument, Phil. Mag.
F), XX A910), 938—943.
The Scattering of Light by a Large Conducting Sphere (March 10, 1910), Proc.
London Math. Soc. B), IX A911), 67—80.
Notes on Bessel Functions, Quarterly Journal, XLII A911), 216—224.
The products of Bessel functions, Quarterly Journal, XLIII A912), 78—100.
The pressure of radiation on a cylindrical obstacle (Dec. 14, 1911), Proc. London
Math. Soc. B), XI A913), 104—126.
The Lateral Vibrations of Bars of Variable Section (May 11, 1917), Proc. Royal Soc,
XGIII, A A917), 506—519.
Generalisation of a theorem due to Sonine, Quarterly Journal, XLVIII A920),
«>2j 329
A Problem in the Theory of Heat Conduction (Sept. 29, 1921), Proc. Royal Soc.
С, А A922), 226—240.
NICOLAS, J.
Etude des fonction-s de Fourier (premiere et deuxieme espece), Ann. sci. de I'Ecole
norm. sup. B), XI A882), supplement, 3—90.
NIELSEN, N. 2)
Sur le produit de deux fonctions cylindriques (July 30, 1898), Math. Ann., LII A899),
228—242.
Udviklinger efter Cylinderfunktioner (Aug. 28, 1898), Nyt Tidsskrift, IX, В A898),
73—83.
Sur le developpement de zero en fonctions cylindriques (March 25, 1899), Math.
Ann., LII A899), 582—587.
Flertydige Udviklinger efter Cylinderfunktioner, Nyt Tidsskrift, X, В A899), 73—81.
Note sur les developpements schlomilchiens en serie de fonctions cylindriques
(Nov. 15, 1899), Oversigt K. Danske Videnskabernes Selskabs, 1899, 661—665.
Note supplementaire relative aux developpements schlomilchiens en serie de fonc-
fonctions cylindriques (June 23, 1900), Oversigt K. Danske Videnskabernes Selskabs, 1900,
55—60.
Sur une classe de polynones qui se presentent dans la theorie des fonctions cylin-
cylindriques (Feb. 26, 1900; Jan. 8, 1901), Ann. di Mat. C), V A901), 17—31; C), VI A901),
331—340.
Evaluation nouvelle des integrates indefinies et des series infinies contenant une fonc-
tion cylindrique (May 23, 1900), Ann. di Mat. C), VI A901), 43—115.
Sur une classe de series infinies analogues a celles de Schlomilch selon les fonctions
cylindriques (Aug. 17, 1900), Ann. di Mat. C), VI A901), 301—329.
Recherche sur les series des fonctions cylindriques dues a MM. C. Neumann et
W. Kapteyn, Ann. sci. de VEcole norm. sup. C), XVIII A901), 39—75.
*) См. также Datta и Dendy.
2) См. также Сонин.

БИБЛИОГРАФИЯ 759
Note sur la convergence d'une serie neumannienne de fonctions cylindriques (Feb. 10
1901), Math. Ann., LV A902), 493—496.
Recherches sur une classe de series infinies analogue a celle de M. W. Kaptey»
(April 13, 1901), Oversigt К Danske Videnskabernes Selskabs, 1901, 127—146.
Sur les series de factorielles (Jan. 20, 1902), Comptes Rendas, GXXXIV A902),
157—160,
Theorie nouvelle des series asymptotiques obtenues pour les fonctions cylindriques et
pour les fonctions analogues (March 16, 1902), Oversigt K. Danske Videnskabernes
Selskabs, 1902, 117—177.
Equations differentielles lineaires obtenues pour le produit de deux fonctions cylin-
cylindriques, Nouvelles Annales de Math, D), II A902), 396—410.
Haiadbuch der Theorie der Cylinderfunktionen (Leipzig, 1904).
Note sur les series de fonctions bernoulliennes (Dec. 14, 1903), Math. Ann., LIX A904),
103—109.
Sur une integrale definie (June 5, 1904), Math. Ann,, LIX A904), 89—102.
Sur quelques proprietes nouvelles des fonctions cylmdriques • (April 1, 1906), Atti
della R. Accad. dei Lincei, E), XV A906), 490—497.
Recherches sur quelques generalisations d'une identite integrale d'Abel (Sept. 17,
1906), К Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter, G), V A910), 1—37.
Sur les series des fonctions cylmdriques, Journ. fur Math., GXXXII A907), 127—146.
Sur quelques proprietes fondamentales des fonctions spheriques (Dec. 20, 1906), Ann.
di Mat. C), XIV A908), 69—90.
Uber die Verallgememerung einiger von F. und G. Neumann gegebenen nach Kugel-
und Zylinderfunktionen fortschreitenden Reihenentwicklungen (Jan. 26, 1908), Leipziger
Berichte, LXI A909), 33—61.
Uber das Produkt Zvveier Zylinderfunktionen. Monatshefte fur Math, and Phys.
XIX A.908), 164—170.
Uoer den Legendre — Besselschen Kettenbruch (July 4, 1918). Mttnchener Sitzangs-
berichte, XXXVIII A908), 85—88.
NIEMOLLER, F.
Uoer Schwingungen einer Saite deren Spannung eine stetige Funktion der Zeit ist,
Zeitschrift fur Math., XXV A880), 44—48.
Formeln zur numerischen Berechnung des allgemeinen Integrals der Bessel'schen
Differentialgleichungen, Zeitschrift fur Math., XXV A880), 65—71.
OLBRICHT, R.
Studien tiber die Kugel- und Cylinderfunktionen (June 2, 1886), Nova Act a Acad.
Caes. Leop. (Halle), 1888, 1—48.
OLTRAMARE, G.
Note sur i'integrale
oo
Г cos^ dx
J {a*-\-b*x*Y щ
о
Comptes Rendus de I'Assoc. Francaise, XXIV A895), часть Т, стр. 182; часть II,
стр, 167—171.
ONO, A.
On the First Root of Bessel Functions of Fractional Order (April 2, 1921), Phil.
Mag. F), XLII A921), 1020—1021.
ORR, W. McF.
On Divergent (or Semiconvergent) HypeFgeometric Series (May 16, 1898; April 3»
1899), Trans. Catnb. Phil. Soc.t XVII A899), 171—199, 283—290.
On the product Jm(x)Jn(x) (May 15, 1899), Proc. Catnb. Phil. Soc, X A900),
93—100.
Extensions of Fourier's and the Bessel—Fourier Theorems (Dec. 14, 1908), Proc. R.
Irish Acad. XXVII, A A910), 205—248.
OSEEN, G. W.
Neue Losung des Sommerfeldschen Diffraktionsproblems (Jan. 10, 1912), Arkiv f6r
Mat. Astr. och Fysik, VII A912), № 40.

760 БИБЛИОГРАФИЯ
OTTI, Н.
Eigenschaften Bessel'scher Funktionen IIter Art, Bern Mittheilungen, 1898 [1899],
61—96.
PAOLI, P.
Sopra gl' integrali definiti (Oct. 8, 1827), Mem. di Mat. e di Fis. della Soc. Italiana
delle Sci. (Modena), XX A828), 161—182.
Still' integrazione dell' equazione
(Oct. 8, 1827), Mem. di Mat. e di Fis. della Soc. Italiana delle Sci. XX A828), 183—188.
PARSEVAL, M. A.
Memoire sur les series et sur Integration complete d'une equation aux differences
partielles lineaires du second ordre a coefficiens constans (Le 16 germinal, an 7—April 5,
1799), Mem. presentes a I'Inst. par divers savans, I A805), 639—648.
PEARSON, K.
On the solution of some differential equations by Vessel's functions, Messenger IX
A880), 127—131.
The Problem of the Random Walk, Nature, LXXII A905), 294, 34?.
A mathematical theory of random migration, Drapers Company Research Memoirs
Bio metric Series, III A906).
PEIRGE, B. O.
Cm. Willson. , ,
PERES, J.
Sur les fonctions de Bessel de plusieurs variables (August 9, 1915), Comptus Rendus
GLXI A915), 168—170.
PERRON, O.
Uber die Kettenbruchentwicklung des Quotienten zweier Bessel'schen Funktionen
(Dec. 7, 1907), Mttnchener Sitzungsberichte, XXXVII A907), 483—504.
PETZVAL, J.
Integration der linearen Differental-Cleichungen, I (Vienna, 1851).
PIGARD, С. Ё.
Application de la theorie des complexes lineaires a l'etude des surfaces et des courbes
gauches, Ann. sci. de VEcole norm. sup. B), VI A877), 329—366.
PINGHERLE, S.
Sopra alcuni sviluppi in serie per funzioni analftiche (Jan. 12, 1882). Bologna Memorie,
D), III A881), 151—180.
Alcuni teoremi sopra gli sviluppi in serie per funzioni analitiche (March 23, 1882),
Rend, del R. 1st. Lombardo, B), XV A882), 224—225.
Della trasformazione di Laplace e di alcune sue applicazioni (Feb. 27, 1887), Bologna
Memorie, D), VIII A887), 125—143.
PLANA, G. A. A.
d2v
Note sur Integration de l'equation -^-{-gxmy^O (Jan. 20, 1822), Mem. della R,
Accad. delle Sci. di Torino, XXVI A821), 519—538.
Recherches analytiques sur la decouverte de la loi de pesanteur des planetes vers le
Soleil et sur la theorie de leur mouvement elliptique (June 20, 1847), Met. della R. Accad.
delle Sci. di Torino, B), X A849), 249—332.
POGHHAMMER, L.
tiber die lmeare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit linearen Goefficienten,
Mat h.^ Ann., XXXVI A890), 84—96.
Uber einige besondere Falle der linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit
linearen Goefficienten (Sept. 1890), Math. Ann., XXXVIII A891), 225—246.
Uber eine binomische lineare Differentialgleichung nter Ordnung (Sept. 1890), Math.
Ann., XXXVIII A891), 247—262.

БИБЛИОГРАФИЯ 761
Uber die Differentialgleichung der allgemeineren F-Reihe (Jan. 1891), Math. Ann.,
XXXVIII A891), 586—597.
Uber eine specielle lineare Differentialgleichung 2ter Ordnung mit linearen Coeffi-
cienten (May, 1891), Math. Ann., XLI A893), 174—178.
Uber die Differentialgleichungen der Reihen g(p, o; x) und g(p, о, т; х) (June, 1891).
Mat. Ann. XLI A893), 197—218.
POISSON, S. D.
Memoire sur les integrates definies, Journal de I'Ecole Polytechnique, IX (cahier 16)
A813), 215—246.
Sur une nouvelle maniere d'exprimer les coordonnees des planetes dans le mouve-
ment elliptique, Connaissance des Terns, 1825 [1822], 379—385.
Memoire sur I'lntegration des equations lineaires aux differences partielles, Journal
de I'Ecole Polytechnique, XII (cahier 19) A823), 215—248.
Suite du Memoire sur les integrales definies et sur la sommation des series insere
dans les precedens volumes de ce Journal, Journal de I'Ecole Poly technique, XII (cahier 19)
A823), 404—509.
Memoire sur le calcul des variations (Nov. 10, 1831), Met. de VAcad. R. des Set.,
XII A833), 223—331.
Sur le developpement des coordonnees d'une planete dans son mouvement elliptique
et la fonction perturbatrice de ce mouvement, Connaissance des Terns, 1836 [1833], 3—31.
La Theorie de la Chaleur (Paris, 1835).
PORTER, M. B.
Note on the roots of Bessel's Functions, Bulletin American Math. Soc, IV A898),,
274—275.
On the Roots of the Hypergeometric and Bessel's Functions (June 3, 1897), Ameri-
American Journal of Math., XX A898), 193—214.
On the roots of functions connected by a linear recurrent relation of the second
order (Feb. 1901), Annals of Math. B), III A902), 55—70.
PUISEUX, V.
Sur la convergence des series qui se presentent dans la theorie du mouvement
elliptique des planetes, Journal de Math., XIV A849), 33—39.
Seconde note sur la convergence des series du mouvement elliptique, Journal de
Math., XIV A849), 242—246.
PURSER, F.
On the application of Bessel's functions to the elastic equilibrium of a homogeneous
isotropic cylinder (Nov. 11, 1901), Trans. R. Irish Acad.f XXXIJ A902), 31—60.
Some applications of Bessel's functions to Physics (May 14, 1906), Proc R. Irish
Acad., XXVI, A A907), 25—66.
RAFFY, L.
Une lecon sur Г equation de Riccati. Nouv. Ann. de Math. D), II A902), 529—545,
RAMANUJAN, S.
A class of definite integrals, Quarterly Journal, XLVIII A920), 294—310.
RAWSON, R.
On Cognate Riccatian Equations A876), Messenger, VII A878), 69—72.
Note on a transformation of Riccati's equation. Messenger, XII A883), 34—36.
RAYLEIGH (J. W. Strutt)
On the Vibrations of a Gas contained within a Rigid Spherical Envelope (March 14
1872), Proc. London Math. Soc, IV A873), 93—103.
Investigation of the Disturbance produced by a Spherical Obstacle on the Waves of
Sound (Nov. 14, 1872), Proc. London Math. Soc, IV A873), 253—283.
Notes on Bessel's Functions, Phil. Mag. D), XLIV A872), 328—344.
Note on the Numerical Calculation of the Roots of Fluctuating Functions (June 11,
1874), Proc. London Math. Soc, V A874), 112—194. [Scientific Papers, I A899)r
190—195].
The Theory of Sound B тома, London, 1877, 1878; 2-е издание 1894, 1896).
[Рэлей, Теория звука, ч. 1, 2, ОГИЗ, 1944].

762 БИБЛИОГРАФИЯ
On the Relation between the Functions of Laplace and Bessei (Jan. 10, 1878), Proc.
London Math. Soc, IX A878), 61—64. [Scientific Papers, I A899), 338—341.]
On Images formed without Reflection or Refraction, Phil. Mag. E), XI A881),
214—218. {Scientific Papers, I A899), 513—517.]
On the Electromagnetic Theory of Light, Phil. Mag. E), XII A881), 81—101.
[Scientific Papers, I A899), 518—536.J
On the Vibrations of a Cylindrical Vessel containing Liquid, Phil. Mag. E), XV
A883), 385—389. [Scientific Papers, II A900), 208—211.]
On Point-, Line-, and Plane Sources of Sound (June 14, 1888), Proc. London Math.
Soc, XIX A889), 504—507. [Scientific Papers, III A902), 44—46.]
On the Theory of Optical Images, with special reference to the Microscope, Phil.
Mag. E), XLII A896), 167—195. [Scientific Papers, IV A904), 235—260.]
On the Passage of Waves through Apertures in Plane Screens, and Allied Problems,
Phil. Mag. E), XLIII A897), 259—272. [Scientific Papers, IV A904), 283—296.]
Oh the Bending of Waves round a Spherical Obstacle (May 23, 1903), Proc. Roy.
Soc, LXXII A903), 40—41. [Scientific Papers, V A912), 112—114.]
On the Acoustic Shadow of a Sphere (Jan. 21, 1904), Phil. Trans, of the Royal
Soc, CCII1, A A904), 87—110. [Scientific Papers, V A912), 149—161.]
On the Open Organ Pipe Problem in two Dimensions, Phil. Mag. F), VIII A904),
481—487. [Scientific Papers, V A912), 206—211.)
On the Experimental Determination of the Ratio of the Electrical Units, Phil. Mag.
F), XII A906), 97—108. [Scientific Papers, V A912), 330^-340.]
On the Light dispersed from Fine Lines ruled upon Reflecting Surfaces, Phil. Mag.
F), XIV A907), 350—359. [Scientific Papers, V A912), 410—418.]
The Problem of the Whispering Gallery, Phil. Mag. F), XX A910), 1001—1004.
[Scientific Papers, V A912), 617—620.]
Note on Bessel's Functions as applied to the Vibrations of a Circular Membrane.
Phyl. Mag. F), XXI A911), 53—58. [Scientific Papers, VI A920), 1—5.]
On a Physical Interpretation of Schlomilch's Theorem in Bessel's Functions, Phil.
Mag. F), XXI A911), 567—571. [Scientific Papers, Vi A920), 22—25.]
Problems in the Conduction of Heat, Phil. Mag. F), XXII A911), 381—396.
[Scientific Papers, VI A920), 51—64.]
On the propagation of Waves through a stratified Medium (Jan. 11, 1912), Proc.
Royal Soc, LXXXVI, A A912), 207—226. [Scientific Papers, VI A920), 111—120.]
Electrical Vibrations on a thin Anchor Ring (June 27, 1912), Proc. Royal Soc,
LXXXVII, A A912), 193—202. [Scientific Papers, VI A920), 111—120.]
Further Applications of Bessel's Functions of High Order to the Whispering Gallery
and Allied Problems, Phil. Mag. F), XXVII A914), 100—109. [Scientific Papers, VI
A920), 211—219.]
Further remarks on the Stability of Viscous Fluid Motion, Phil. Mag. F), XXVIII
A914), 609—619. [Scientific Papers, VI A920), 266—275.]
On the Stability of the simple Shearing Motion of a Viscous Incompressible Fluid,
Phil. Mag. F), XXX A915), 329—338. [Scientific Papers, VI A920), 341—349.]
On Legendre's Function *) Pn(§), when n is great and 0 has any value (April 27,
1916), Proc. Royal Soc, XCII, A A916), 433—437. [Scientific Papers, VI A920), 393—397.]
On Convection Currents in a horizontal Layer of Fluid, when the higher Temperature
is on the under side, Phil. Mag. F), XXXII A916), 529—546. [Scientific Papers, VI
A920), 432—446.]
On the Problem of Random Vibrations and of Random Flights in one, two, or three
dimensions, Phil. Mag. F), XXXVII A919), 321—347. [Scientific Papers, VI A920),
604—626.]
REINECK, A.
Die Vervandtschaft zweichen Kugelfunktionen und Besselschen Funktionen, Disserta-
Dissertation, Bern (Halle, 1907). G2 стр.) [Jahrbuch uber die Fortschritte der Math. 1907,
495.J
RICCATI, J. F.
Antmadversationes in aequationes differentiales secundi gradus, Actorum Fruditorum
quae Lipsiae publicantur Supplementa, VIII A724), 66—73.
Com. Jacobi Riccati Appendix ad Animadversationes in aequationes differentiates
secundi gradus, editus in Actis Eruditorum quae Lipsiae publicantur. Tomo VIII. Supple-
mentorurn, Sectione II, 66, Ada Fruditorum publicata Lipsiae, 1723, 502—510.
l) Другие авторы обозначают эту функцию через Рп (cos 0).

БИБЛИОГРАФИЯ 763
RIEMANN, G. F. В.
Zur Theorie der Nobili'schen Farbenringe (March 28, 1855), Ann. der Physlk und
Chemie, B) XCV A855), 130—139.
Partielle Differentialgleichungen und deren Anwendung auf physikalische Fragen,
von Bernhard Rieraann. Fur den Druck bearbeitet und herausgegebenen von Karl Hatten-
dorf (Brunswick, 1876).
ROHRS, J. H.
Spherical and Cylindric Motion in Viscous Fluid (May 14, 1874), Proc. London Math.
Soc, V A874), 125—139.
RUDSKI, P.
Uber eine Klasse transcendenter Gleichungen, Prace Mat. Fiz., Ill A892), 69—81.
[Jahrbuch uber die Fortschritte der Math. 1892, 107—108.]
Note sur la situation des racines des fonctions transcendantes J x (x) = 0 (May 10,
1891), Mem. de la Soc. R. des Sci. de Liege, B), XVIII A895), № 3.
RUSSELL, A.
The Effective Resistance and Inductance of a Concentric Main, and Methods of Com-
Computing the Ber and Bei and Allied Functions (Jan. 22, 1909), Phil. Mag. F), XVII A909),
524—552.
RUTGERS, J. G.
i
Over die bepaalde integraal \ e~qzzp~xdz, Nieuv Archief voor Wiskunde, B), VI
О 905), 368—373.
Over eene reeks met Besselsche Functies, Nieuw Archie/ voor Wiskunde, B), VII
A907), 88—90.
Over reeksen van Besselsche functies en daarmede samenhangende bepaalde integra-
len, waarin Besselsche functies voorkomen, Nieuw Archief voor Wiskunde, B), VII A907),
164—181.
Sur les fonctions cylindriques de premiere espece, Nieuw Archief voor Wiskunde, B),
VII A907), 385—405.
Over eenige toepassingen der Fourier'sche ontwikkeling van een willekeurige functie
naar Bessel'sche functies, Nieuw Arhief voor Wiskunde, VIII A909), 375—380.
RYBCZYNSKI, W.
Uber die Ausbreitung der Wellen der drahtlosen Telegraphie auf der Erdkugel
(March 5, 1913), Ann. der Physik und Chemie, D) XLI A913), 191—208.
SASAKI, S.
On the roots of the equation *| Г , ,| = 0, Tdhoku Math. Journal, V A914),
45—47.
SAVIDGE, H. G.
Tables of the ber and bei and ker and kei Functions with further formulae for their
Computation (Nov. 12, 1909), Phil. Mag. F), XIX A910), 49—58.
SCHAFHEITLIN, P.i)
Uber die Darstellung der hypergeometrische Reihe durch ein bestimmtes Integral
(Feb. .1887), Math. Ann., XXX A887), 157—178.
Uber eine Integraldarstellung der hypergeometrischen Reihen (Jan. 1888), Math.
Ann., .XXXI A888), 156
Uber die Gauss sche und Besselsche Differentia lgleichung und eine neue Integral-
form der letzteren (Feb. 16, 1894), Journal fur Math., CXIV A895), 31—44.
Die Nullstellen der Besselschen Funktionen, Journal far Math., CXXII A900),
299—321.
Uber die Nullstellen der Besselschen Funktionen zweiter Art (Jan. 10, 1901), Archiv
der Math, und Phys. C), I A901), 133—137.
!) См. также Сонин,

764 БИБЛИОГРАФИЯ
Uber den Verlauf der Besselschen Funktionen (May 18, 1904), Berliner Sitzungs-
berichte, III A904), 83—85.
Die Lage der Nullstellen der Besselschen Funktionen zweiter Art (June 27, 1906),
Berliner Sitzungsberichte, V A906), 82—93.
Uber den Verlauf der Besselschen Funktionen zweiter Art, Jahresbericht der Deut-
schen Math. Vereinigung, XVI A907), 272—279.
Die Theorie der Besselschen Funktionen. Von Paul Schafheitlin (Leipzig und Berlin,
1908; Math. Phys. Schriften fur Ingenieure und Studierende, 4).
Beziehungen zwischen dem Integrallogarithmus und den Besselschen Funktionen (Feb.
24, 1909), Berliner Sitzungsberichte, VIII A909), 62-^-67.
Die semikonvergenten Reihen fur die Besselschen Funktionen (Sept. 1, 1909), Jahres-
Jahresbericht der Deutschen Math. Vereinigung, XIX A910), 120—129.
SCHEIBNER, W.
On the asymptotic values of the coefficients in the development of any power of the
radius vector according to the mean anomaly (March, 1856), Gould's Astronomical Journal,
IV A856), 177—182. [Math. Ann., XVII A880), 531—544.]
Uber die asymptotische Werthe der Coefficienten in den nach der mittleren'Anoma-
lie vorgenommenen Entwicklungen (May 31, 1856), Leipziger Berichte, VIII A856),
40—64. [Math. Ann., XVII A880), 545—560.]
SCHERK, H. F.
Uber die Integration der Gleichung -^- = (ь-\-$х)у, Journal far Math. X A833),
dxn
92—97.
SCHLAFLI, L.
Sulle relazioni tra diversi integrali definiti che giovano ad esprimere la soluzione
generale della equazione di Riccati, Ann. di Mat. B), I A868), 232—242.
Einige Bemerkungen zu Herrn Neumann's Untersuchungen fiber die Bessel'schen
Funktionen (May 4, 1870), Math. Ann., Ill A871), 134—149. [С замечанием Неймана
на стр. 149.]
Sopra un teorema di Jacobi recato a forma piu generale ed applicata alia funzione
cilindrica (Aug. 1871), Ann. di Mat, B), V A873), 199—205.
Sull'uso delle linee lungo le quali il valore assoluto di una funzione ё constante
(Oct. ..4, 1872), Ann. di Mat. B), VI A875), 1—20.
Uber die Convergenz der Entwicklung einer arbitraren Funktion f (x) nach den
Bessel'schen Funktionen /а(р1д:), Уa(p2x), 7a(p3r), ..., wo plf p2l fe, ... die positiven
Wurzeln der Gleichung У7(р)=О vorstellen (Jan. 17, 1876), Math'Ann. X A876), 137—142.
SCHLOMILCH, O. X.
Note sur la variation des constantes arbitraires d'une integrate definie, Journal fur
Math., XXXIII A846), 268—280.
Analytische Studien, II (Leipzig, 1848).
Uber die Bessel'schen Funktion, Zeitschrift fur Math, und Phys., II A857),
137—165.
SCHONHOLZER, J. J.
Uber die Auswerthung bestimmte Integrale mit Hulfe von Veranderungen des Inte-
grationsweges {Dissertation, Bern, 1877). [Graf and Gubler, Einleitug in die Theorie
der Bessel'schen Funktionen, II (Bern, 1900).]
SCHOTT, G. A.
Electromagnetic Radiation (Cambridge, 1912).
SCHWARZSCHILD, K.
Die Beugung und Polarisation des Lichts durch einen Spalt, Math. Ann. LV A902),
177—247.
SCHWERD, F. M.
Die Beugungserscheinungen aus den Fundamentalgesetzen der Undulationstheorie
(Mannheim, 1835).

БИБЛИОГРАФИЯ 765
SEARLE, J. H. С.
On the propagation of waves in an atmosphere of varying density, Quarterly Jour-
Journal, XXXIX A908), 51—66.
SEGAR, H. W.
On the roots of certain continuants, Messenger, XXII A893), 171—181.
SERRET, J. A.
Note sur quelques formules de calcul integral, Journal de Math., VIII A843), 1—27.
Memoire sur l'integration d'une equation differentielle a l'aide des differentielles a
indices quelconques (Sept. 4, 1843), Comptes Rendus, XVII A843), 458—475; Journal
de Math., IX A844), 193—216.
SHARPE, H. J.
On the Reflection of Sound at the Surface of a Paraboloid (Nov., 1874), Quarterly
Journal, XV A877), 1—8.
On a differential equation, Messenger, X A881), 174—185; XI A882), 41—44.
On a transcendental differential equation, Messenger, XI A882), 56—63.
On a differential equation, Messenger, XIII A884), 66—79.
Note on Legendre's coefficients, Quarterly Journal, XXIV A890), 383—386.
On The Reflection of Sound at a Paraboloid (June 20, 1899), Proc. Camb. Phil.
Soc, X A900), 101—136.
SHEPPARD, W. F.
On some expressions of a function of a single variable in terms of Bessel's functions,
Quarterly Journal, XXIII A889), 223—260.
SIACCI, F.
Sulla integrazione di una equazione difierenziale e sulla equazione di Riccati (A ril 13,
1901), Napoli Rendiconto, C), VII A901), 139—143.
SIBIRANI, F.
Sopra l'equazione di Riccati, Riv. fis. mat., XIX A909), 216—220. [Jahrbuch uber
die Fortschritie der Math. 1909, 369.]
SIEMON, P.
Uber die Integrale einer nicht homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung,
Programm, Luisenschule, Berlin, 1890, 22 стр. [Jahrbuch uber die Fortschritte der
Math. 1890, 340—342.]
SMITH, B. A.i)
Table of Bessel's Functions Yo and Yb Messenger, XXVI A897), 98—101.
Arched Dams, Proc. American Soc. of Civil Engineers, XLVI A920), 375—425.
SMITH, CLARA E.
A theorem of Abel and its application to the development of a function in terms of
Bessel's functions (June 8, 1906), Trans. American Math. Soc, VIII A907), 92—106.
SMITH, O. A.
Quelques relations integrales entre les fonctions spheriques et cylindriques, Giornale
di Mat. B), XII A905), 365—373.
SOMMERFELD, A. J. W. 2)
Die willkiirlichen Funktionen in der mathematischen Physlk, Dissertation, K$nigs-
berg, 1891 G5 стр.). \Jahrbuzh uber die Fortschritte der Math. 1891, 519—523.]
Zur analytischen Theorie der Warmeleitung, Math. Ann., XLV A894), 263—277.
Mathematische Theorie der Diffraction (Summer, 1895), Math. Ann., XLVII A896)
317-3.74.
Uber die Ausbreitung der Wellen der drahtlosen Telegraphie (Jan. 15, 1909), Ann.
der Physik und Chemie, D), XXVIII A909), 665—736.
Die Greensche Funktion der Schwingungsgleichung, Jahresbericht der Deutscher
Math. Vereinigung, XXI A912), 309—353.
x) См. также Michell.
2) См. также Hopf.

766 БИБЛИОГРАФИЯ
SPITZER, S.
Integral der Ditferentialgleichung xy"—y = Q, Zeltschrlft far Math, und Phys.,
II A857), 165-170. *
Entwicklung von elx + ^* in unendliche Reihen, Zeltschrlft far Math, und Phys.,
III A858), 244—246.
Darstellung des unendlichen Kettenbruches
2*+14 \
2x +3 -\ i r
in geschlossener Form, Archiv der Math, und Phys. XXX A858), 331—334.
Uber die Integration der Differentialgleichung
**&- = •*-у
dxn
A859), Journal far Math. LVII A860), 82—87.
STEARN, H.
On some cases of the Varying Motion of a Viscous Fluid, Quarterly Journal, XVII
A880), 90—104.
STEINER, L.
lntensitats-verhaltnisse der Beugungserscheinung durch eine kreisformige Offnung
(June 19, 1893), Math, und Naturwtss. BerUhte aus Ungarn, XI A892—93) [1894],
362373.
ST
On the Solution of the Equation
( ,
362—373.
STEINTHAL, A. E.
Quarterly Journal, XVIII A882), 330—345.
STEPHENSON, A.
An extension of the Fourier method of expansion in sine series, Messenger, XXXIII
A904), 70—77.
A more general case of expansion in sine series, Messenger, XXXIII A904),
178—182.
On Expansion in Bessel's Functions (June, 1907), Phil. Mag. F), XIV A907).
547—549.
STERN, M. A.
Uber die Anwendung der Sturm'schen Methode auf transcendente Gleichungen,
Journal fur Math. XXXIII A846), 363—365.
STIELTJES, T. J.
Recherches sur quelques series semi-convergentes, Ann. scL de VEcole norm. sup.
C), III A886), 201—258.
STOKES, GEORGE GABRIEL
On the numerical Calculation of a Class of Definite Integrals and Infinite Series
(March 11, 1850), Trans. Camb. Phil. Soc, IX A856), 166—187. \Math. and Phys.
Papers, II A883), 329—357.]
On the Effect of the Internal Friction of Fluids on the Motion of Pendulums (Dec. 9,
1850), Trans. Camb. Phil. Soc, IX A856); [8]—[106]. [Math, and Phys. Papers, III
A901), 1—141.]
On the Discontinuity of Arbitrary Constants which appear in Divergent Developments
(May 11, 1857), Trans. Camb. Phil. Soc, X A864), 106—128. [Math, and Phys. Papers,
IV A904), 77—109.]
Supplement to a paper on the Discontinuity of Arbitrary Constants which appear in
Divergent Developments (May, 25, 1868), Trans. Camb. Phil. Soc, XI A871), 412—425.
[Math, and Phys. Papers, IV A904), 283—298.]

БИБЛИОГРАФИЯ 767
On the Communication of Vibration from a Vibrating Body to a surrounding Gasl)
(June 18, 1868), Phil. Trans, of the Royal Soc, CLVIII A868) [1869J, 447—463. [Math,
and Phys. Papers, IV A9^4), 299—324.]
Smith's Prize Examination Papers, Feb. 1853, Jan. 29, 1867. [Math, and Phys.
Papers, V A905), 319, 347.]
Note on the Determination of Arbitrary Constants which appear as Multipliers of
Semi-convergent Series (June 3, 1889), Proc. Camb. Phil. Soc, VI A889), 362—366.
[Math, and Phys. Papers, V A905), 221—225.]
On the Discontinuity of Arbitrary Constants that appear as Multipliers of Semi-con-
Semi-convergent Series2) (April 23, 1902), Ada Math., XXVI A902), 393—397. [Math, and Phys.
Papers, X A905), 283—287.]
STRUTT, J. W.
Cm. Rayleigh.
STRUVE, H.
Uber den Einfluss der Diffraction an Fernrohren auf Lichtscheiben (May 25, 1882).
Mem. de VAcad. Imp. des Set. de St. Petersbourg, G), XXX A882), № 8.
Beitrag zur Theorie der Diffraction an Fernrohren (Aug. 1882), Ann. der Physik und
Chemie, C), XVII A882), 1008—1016.
STURM, J. С F.
Sur les Equations differentielles lineaires du second ordre (Sept. 28, 1833), Journal
de Math. I A836), 106—186.
SUCHAR, P. J.
Sur les equations differentielles lineaires reciproques du second ordre (Nov. 18, 1903),
Bull, de la Soc. Math, de France, XXXII A904), 103—116.
SVANBERG, A. F.
De integralibus definitis disquisitiones, Nova Ada R. Soc. Set. Upsala, X A832),
231—288.
TAKEUCHI, T.
1С
On the integral [ ex cos p* sin qQ cos qb db (May 17, 1920), Tdhoku Math. Journal,
XVIII A920), 295—296.
THEISINGER, L.
Bestimmte Integrale, Monatshefte far Math, und Phys., XXIV A913), 328—346.
THOMAE, J.
Die Brauchbarkeit der Bessel—Fourierschen Reihe, Bertchte der Math. Seminar zu
Jena, 1912—13, 8—10. [Int. Catalogue of Set. Lit., XIII A913), 100.]
THOMSON, JOSEPH JOHN
CO
Note on Г cossx dx, Quarteriy Journal, XVIII A882), 377—381.
Recent Researches in Electricity and Magnetism (Oxford, 1893). [Обзор Грея
(A. Gray), Nature, XLIX A894), 357—359.]
THOMSON, W.
Cm. Kelvin.
TODHUNTER, I.
Elementary Treatise on Laplace's Functions, Lame's Functions and Bessel's Functions
(London, 1875).
TURRIERE, E.
Une application geometrique de la serie consideree par Airy dans la diffraction des
ouvertures circulates. Nouvelles Annales de Math. D), IX A909), 433—441.
!) Извлечение из этой статьи можно найти в Proc. Royal Soc. XVI A868)
470—471.
2) Эта последняя из написанных Стоксом статей содержит сводку его научных
работ, составленную для сборника, посвященного столетию со дня рождения Абеля.

768 БИБЛИОГРАФИЯ
UNFERDINGER, F.
Uber die beiden Integrale \ esin xC°S(nx — cos x) dx (April 16, 1868), Wiener Sit-
J sin
zungsberichte, LVII A868), 611—620.
VALEWINK, G. С. А.
Over asymptotische ontwikkelingen (Dissertation, Haarlem, 138). [Jahrbuch uber
die Fortschritte der Math. 1905, 328.J
VAN VLECK, E. B.
On the Roots of Bessel- and P-functions, American Journal of Math., XIX A897),
75—85.
VERDET, E.
Lecons d'Optique Physique, I (Paris, 1869).
VESSIOT, E.
Sur quelques equations differentielles ordinaires du second ordre, Annales de la
Fac. des Sci. de Toulouse, IX A895), № 6.
VOLTERRA, V.
Sopra alcune question! di inversione di integral! definiti, Ann. di Mat. B), XXV
A897), 139—178.
WAGNER, С
Beitrage zur Entwicklung der Bessel'schen Function I. Art., Bern Mittheilungen, 1894,
204—266.
Uber die Darstellung einiger bestimmten Integrale durch Bessel'sche Funktionen
(June 12, 1895; Aug. 5, 1895), Bern Mittheilungen, 1895, 115—119; 1896, 53—60.
WALKER, G. T.
Some formulae for transforming the origin of reference of Bessel's functions, Mes-
Messenger, XXV A896), 76—80.
WALKER, G. W.
The scattering of electromagnetic waves by a sphere, Quarterly Journal, XXXI
A900), 36—49.
WALKER, J.
The Analytical Theory of Light (Cambridge, 1904).
WALLENBURG, G.
Ueber Rtccati'sche Differentialgleichungen hoherer Ordnung, Journal fur Math.,
GXXI A900), 196—199.
Die Differentialgleichungen deren allgemeines Integral eine lineare gebrochene Funk-
tion der willkurlichen Constanten ist, Journal fur Math., CXXI A900), 210—217.
Sur l'equation differentielle de Riccati du second ordre (Dec. 14, 1903), Comptes
Rendus, CXXXVII A903), 1033—1035.
WANGERIN, A.
Cylinderfunktionen oder Bessel'sche Funktionen, Bncyclopudie der Math, Wiss.,
т. И, ч. 1 (Leipzig, 1904—16), 742—757. [Bncyclopedie des Sci. Math., т. II,
книга 5 (Paris et Leipzig, 1914, 209—229), перевод A. Lambert.]
WATSON, G. N.
On a certain difference equation of the second order, Quarterly Journal, XLI A910),
50—55.
Bessel Functions and Kapteyn Series (April 26, 1916), Proc. London Math. Soc. B),
XVI A917), 150—174.
Bessel Functions ot Equal Order and Argument (June 17, 1916), Phil. Mag. F),
XXXII A916), 232—237.
Simple types of Kapteyn Series, Messenger, XLVI A917), 150—157.
Bessel functions of equal order and argument (Nov. 13, 1916), Proc. Camb. Phil.
Soc, XIX A918), 42—48.

БИБЛИОГРАФИЯ 769
The limits of applicability of the Principle of Stationary Phase (Nov. 22, 1916), Proc.
Camb. Phil. Soc, XIX A918), 49—55.
Bessel functions of large order (June 14, 1917), Proc. Camb. Phil. Soc, XIX A918),
96—110.
The Zeros of Bessel Functions (Aug. 17, 1917), Proc. Royal Soc, XCIV, A A918),
190—206.
Bessel Functions of Equal Order and Argument, Phil. Mag. F), XXXV A918),
364—370.
The Diffraction of Electric Waves by the Earth (May 29, 1918), Proc. Royal Soc,
XCV, A A919), 83—99.
The Transmission of Electric Waves round the Earth (Jan. 13, 1919), Proc. Royal
Soc, XCV, A A919), 546—563.
On Nielsen's functional equations, Messenger, XLVIII A919), 49—53.
The zeros of Lommel's polynomials (May 15, 1919), Proc London Math. Soc B)
XIX A921), 266—272.
WEBB, H. A.
The expansion of an arbitrary function in a series of Bessel functions, Messenger,
XXXIII A904), 55—58.
On the Convergence of Infinite Series of Analytic Functions (Nov. 10, 1904), Phil.
Trans, of the Royal Soc. CCIV, A A904), 481—497.
WEBER, H.
Ober einige bestimmte Integrale (Jan. 1868), Journal fur Math., LXIX A869),
222—237.
Ober die Integration der partiellen Differentialgleichung: •^-^-\~-
1868), Math. Ann., I A869), 1—36.
Ober die Besselschen Funktionen und ihre Anwendung auf die Theorie der elektri-
schen Strome (May, 1872), Journal fur Math., LXXV A873), 75—105.
Ober die stationaren Stromungen der Electricitat in Cylindern (Sept. 1872), Journal,
fur Math., LXXVI A873), 1—20.
Ober eine Darstellung willkurlicher Funktionen durch Bessel'sche Funktionen (Oct.
1872), Math. Ann., VI A873), 146—161.
Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen (July, 1890), Math. Ann., XXXVII A890),
404—416.
WEBER, H. F.
Die wahre Theorie der Fresnel'schen Interferenz-Erscheinungen, Zurich Vterteljahrs-
schrift, XXIV A879), 33—76; Ann. der Physik und Chemie, C), VIII A879), 407—444.
WEBSTER, A. G.
Application of a definite integral involving Bessel's functions to the self-inductance
of solenoids (Dec. 29, 1905), Bulletin American Math. Soc, XIV A907), 1—6.
WENDT, CACILIE
Eine Verallgemeinerung des Additionstheoremes der Bessel'schen Funktionen erster
Art, Monatshefte fur Math, und Phys., XI A900), 125—131.
WEYL, H.
Singulare Integralgleichungen (April, 1908), Math. Ann., LXVI A909), 273—324.
WEYR, E.
Zur Integration der Differential-Gleichungen erster Ordnung, Abh. buhm. Ges. Wiss.
(Prag), F), VIII A875—76), Math. Mem. 1.
WHEWELL, W.
Of the Intrinsic Equation of a Curve and its Application (Feb. 12, 1849), Trans.
CamK Phil. Soc, VIII A849), 659—671.
Second Memoir on the Intrinsic Equation of a Curve and its Application (April 15,
1850), Trans. Camb. Phil. Soc, IX A856), 150—156.

770 БИБЛИОГРАФИЯ
WHIPPLE, F. J. W.
Diffraction by a wedge and kindred problems (Nov. 8, 1915), Proc. London Math.
Soc. B), XVI A917), 94—111.
WHITE, F. P.
The Diffraction of Plane Electromagnetic Waves by a Perfectly Reflecting Sphere
(June 9, 1921), Proc. Royal Soc. С, А A922), 505—525.
WHITEHEAD, С S.
On the functions ber x, beijc, ker x, keix, Quarterly Journal, XLII A911), 316—342.
WHITTAKER, E. T.
On the General Solution of Laplace's Equation and the Equation of Wave Motions
and on an undulatory explanation of Gravity, Monthly Notices of the R. A. S., LXII
A902.), 617—620.
On the partial differential equations of mathematical physics, Math. Ann., LVII
A903), 333—355.
On a new Connexion of Bessel Functions with Legendre Functions (Nov. 13, 1902),
Proc. London Math. Soc, XXXV A903), 198—206.
WIGERT, S.
Sur quelques fonctions arithmetiques (March, 1913), Acta Math., XXXVII A914),
113—140.
WILLIAMSON, B.
On the Solution of certain Differential Equations (March 5, 1856), Phil. Mag. D),
XI A856), 364—371.
WILLSON, R. W. and PEIRCE, B. O.
Table of the first forty roots of the Bessel equation Jo (x) = 0 with the correspon-
corresponding values of Jx(x), Bulletin American Math. Soc.y III A897), 153—155.
WILTON, J. R.
A continued fraction solution of the linear differential equation of the second order
Quarterly Journal, XLVI A915), 318—334.
WIRTINGER, W.
Zwei Bemerkungen zu Airy's Theorie des Regenbogens. Berichte des natur.-med
Vereins in Innsbruck, XXIII A897), 7—15.
WORMS DE ROMILLY, P.
Note sur l'integration de l'equation
dx* ' x dx
Journal de Math. C), IV A878), 177—186.
YOUNG, W. H.
On infinite integrals involving a generalisation of the sine and cosine function
Oct. 6, 1911), Quarterly Journal, XLIH A911), 161—177.
On series of Bessel functions (Dec. 6, 1917), Proc. London Math. Soc. B), XVIII
A920), 163—200.

ТАБЛИЦА ОБОЗНАЧЕНИЙ
(Цифры указывают страницы, на которых введены обозначения.)
Am, 269, 271, 291
An, 14, 641
Ап„ @,311
Ло (•*,*). 656
A^m (z), 582
ЛЛ|,С). 628
a, 14
^ 14
Bm(sz), 273
go(jc), 656
S^W»582
Ьег(лг), bei(*)» 95
berv(*), beivU), 96
Сл, 610
С/я(«), 349
^ (z) 62
C« ^'»
gv BГ), 97
g№), 142
cy 559
?>я, 656
?>„(*)> 89
Ey 14
?«W, 69
Etn{*), 349
Ev (*), 336
e,en 125
/40), 286
/ЧМ), Ю4
F(Q,x), 280
^v U), 92
pFq(aba2*~> ap> Pi» P2»-,
...,P^;2r), 114
FW, 701
Fv (j:), 709
84 («»P; t.t'; 5,tj)» 404
M*),68
ЛИ. 532
/W^,578
/(^, 589
G, 237, 259
GwBr), 78, 79
G (*,<*), 602
Gv(j:,o), 709
^Л @,304
gn,A*)> 311
rr /y\ 001
H, 634
//v1} (z), Iff {z), 8S
HvBr), 358
her (z), hei (*), 96
herv(^), heivBr), 96
/*, 21
/,W. 91
•/oW» 19, 25
Jn (z), 14, 23, 28
¦/-„(*), 25
/ /y\ 4Q
yfti,jr), 60
УBг//?), 142
Jn,k И, 356
У(^; v,/fe), 357
Jv BГ), 336
3vW, 74
y, 559,
/m, 633
/ , /', /", 534
7\,Л» 528
/<Г, 616
^ГяИ» 92
^W» 92
/Г (^), 57
^B0я, 317
К, И» 93
ker (z), kei (z), 96
1Я(^),86
LvBr), 360
/, ln 125
Л1, 14, 557
3R, 519, 523, 565
N-n,k,m, 354
0, 221
On (t), 298, 299
0_e(*), 303
?)„(*), 625
P, 602
Pv> 254
Р„И, 171
Pm»-iB), 323
P,~Hz), 63
Pn (cos ?|p), 143
Pn(r\ aba2,...,an), 460
Л1С". al.«2,-,en/p), 461
P(x, v), 229
fe ft, * "I
P<«.P. Т. * Ь »74
<?„, 255
<?7И.172
<?(.*,>)> 229
/?, 665
/?ОТ)Ч(г), 322
R-m,Jz), 327
r, 14
Sn,Sn, 68
S»«). 312
Sn(x), 649
S^W, 57
S,m(*), 378
Sn(f,x; Л), 656
SaWR),m

772 ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ
Si И, 168 Yw(z), 78 e(r)) 553
Я„(«), 349 *<>)(*), 81 ?>\r, 125
S<a>(*), Sf(z), 290 И«)(г),84 Гл (*), 78
SnU), 385 Yo(*), 72 *„(?), 60
^VW,377 УЯИ,71 Ф, 565
' У_л(г),72 Ф(^,69
/я.« \Jz),K Ф. 557
Г«(г)>372 у у' у" 534 ФИ, 73
rn(f,a), 349 , . 22у ф, 308
ГИ^^бЗЭ р ' 2Л(«). 318
Tn(t,x;H),660 ^у'з а> 63,98
Г„(*,дН/г),665 T'(v,x), 228 («)»• Ш
^Лет ¦-50 и2'
Ул(^,-г), 591 ew, 37, 319
VJw,z), 591 9,126 Г 2q
0, 28, 126 J '
Wv(^),370 lm, 634 Г Г
Ж, 59 ,х, 36, 49 )}'Ь6
*>> 608 Iii, »i2 jig,..., 537
Гл(*)>78 v, 49 П

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
(Цифры указывают страницы)
Аналитическая теория чисел, связь
с асимптотическими разложениями
бесселевых функций, 224
Ангармоническое отношение решений
уравнения Риккати, 108
Аппроксимации бесселевых функций с ин-
индексом нуль и большим аргументом, 19;
с большим индексом (Карлини),
15 (обобщение Мейсселя) 253, 254,
259, 275, 573; в промежуточных об-
областях, 275; остатков асимптотиче-
асимптотических разложений, 238;
сумм рядов с положительными чле-
членами, 16;
функций больших чисел (Дарбу), 260;
(Лаплас), 462;
— Лежандра больших степеней, 78,
170, 171, 172;
см. также Асимптотические разложе-
разложения, Метод стационарной фазы и
Метод перевала
Аппроксимация Карлини, 15
Аппроксимация Мейсселя, 253, 254, 259,
275, 573
Аргумент бесселевой функции (определе-
(определение), 51
Асимптотические разложения бесселевых
функций с индексом нуль и большим
аргументом, 18, 20, 217;
— — с произвольным индексом и
большим аргументом, 217—251 (гла-
(глава VII); функции мнимого аргумента,
226; функции первого и второго рода,
222; функции третьего рода, 219; функ-
функции третьего рода (метод Барнса),
247; функции третьего рода (методы
Шлефли), 242;
с большими индексом и аргу-
аргументом, 252—297 (глава VIII);
индекс больше аргумента, 267;
индекс меньше аргумента, 270;
индекс близок к аргументу, 272; ин-
индекс (комплексный) не близок к ар-
аргументу (тоже комплексному), 289;
величины остатков, 229, 236, 238, 263,
344, 362, 378, 494;
знаки остатков, 229, 233, 241, 344,
363, 494;
приближенные выражения для остат-
остатков, 238;
преобразования в сходящийся ряд, 228;
функций Ангера и Вебера (с произ-
произвольным индексом и большим аргу-
аргументом), 342; с большими (одновре-
(одновременно) индексом и аргументом, 345;
— Ломмеля, 383;
— Ломмеля от двух переменных, 604;
— Струве (с произвольным индексом
и большим аргументом), 362;
с большими (одновременно) индексом
и аргументом, 364;
— Томсона ber (z) и bei (z), 227;
— Уиттекера, 372
Базисные числа, приложение к бесселе-
бесселевым функциям, 54
Бесселева функция с нулевым индексом,
большой аргумент, асимптотическое
разложение, 20, 217;
дифференциальное уравнение, 9, 10;
общее решение, 10, 21, 73;
интегральное представление Парсева-
ля, 18;
колебания однородной тяжелой це-
цепи, 11;
корни, 13;
предел функции Лежандра, 78, 170, 172;
см. также Бесселевы функции с ну-
нулевым индексом, Бесселевы функ-
функции и Дифференциальное уравне-
уравнение Бесселя
Бесселевы функции с целым индексом
Jn(z), 13, 21, 23—48 (глава II)
индекс, 23; отрицательный индекс, 24;
интеграл Бесселя, 28;
квадраты, 41;
неравенства, 26, 41, 295;
обозначения, 23;
производящая функция, 23, 31, 33;
разложение в степенной ряд, 24;
рекуррентные формулы, 26;
теоремы сложения, 40;
см. также Бесселевы функции с ну-
нулевым индексом, Бесселевы функ-
функции и дифференциальное урав-
уравнение Бесселя
Бесселевы функции с произвольным ин-
индексом 49—98 (глава III);
аргумент (определение), 51;
дифференциальные уравнения выше
второго порядка, 119;
индекс (определение), 51, 70, 76, 80,84;
история, 9—22 (глава I); — составлен-
составленная Маджи и Вагнером, 22;

774
предметный указатель
неопределенные интегралы, 146—151;
отрицательный аргумент, 89;
пределы Р-функций, 174;
— функций Ламе, 175;
представление цилиндрических функ-
функций, 97;
ранг (определение), 142;
решение волнового уравнения, 139;
— уравнения Лапласа, 98, 137;
— различных разностных уравнений,
97, 387;
соотношения между различными ро-
родами их, 89;
трехчленные соотношения, 328;
см. также все разделы указателя, на-
начинающиеся словами: Бесселевы
функции ..., а также Дифферен-
Дифференциальное уравнение Бесселя, Ин-
Интеграл Бесселя и Цилиндрические
функции
Бесселевы функции первого рода Jv(z),
49;
большой аргумент, см. Асимптотиче-
Асимптотические разложения;
дифференциальное уравнение (Бессе-
(Бесселя), 49;
индекс/г-f--?7 j 52; выражение в ко-
нечном виде, 65; обозначения 68, 95;
индекс* комплексный, 57;
корни, см. Корни бесселевых функ-
функций;
неравенства, 61, 283, 295, 444;
несобственные интегралы, 419-—495
(глава XIII);
обобщения, 54, 336—390;
обобщения гипергеометрическая функ-
функция, 114, 115;
полином Ломмеля, 326;
предел гипергеометрической функции,
169;
— лежандровой функции, 170 физиче-
физическое значение, 170;
— полинома Ломмеля, 330;
представление в виде произведения
Вейерштрасса, 548;
— интегралами, содержащими функ-
функции Лежандра, 192;
— интегралом типа Барнса, 212;
Бесселя, 195;
Пуассона, 58—59; видоизме-
видоизменения, 176, 179, 182, 186;
произведения, см. Произведения бес-
бесселевых функций;
разложение в ряды по возрастающим
степеням, 50;
по убывающим степеням, см.
Асимптотические разложения;
рекуррентные формулы, 56, 322;
символические формулы, 188;
теоремы сложения, 158, 391, 394, 396,
400, 401;
частное двух функций, выраженное
в виде непрерывной дроби, 168, 331
Бесселевы функции второго рода, боль-
большой аргумент, См. Асимптотичес-
Асимптотические разложения;
дифференциальное уравнение (Бессе-
(Бесселя), 71, 72;
интегралы, содержащие функции пер-
первого рода, 147, 416, 474;
корни, см. Корни бесселевых функ-
функций
непрерывность (по индексу), 76;
несобственные интегралы, 420, 423,
430, 465, 470, 474;
обозначения по Веберу-Шлефли, кано-
канонический вид Uv(?), 77; по Гейне
Gn (z), 78, по Нейману Пп) (*), 80;
по Ханкелю, YvB), 70, 76;
отрицательный аргумент, 89;
представление в виде суммы функций,
372;
— интегралами, содержащими функции
Лежандра, 192;
— интегралом типа Бесселя, 197;
Пуассона, 81, 87, 176; видоиз-
видоизменения, 186;
произведения, 164; представление не-
несобственными интегралами, 248;
асимптотические разложения, 248,
493;
разложение в ряды по возрастающим
степеням, 72, 74, 83, 87;
по убывающим степеням, см.
Асимптотические разложения;
рекуррентные формулы, 79, 85;
символические формулы, 184;
теоремы сложения, 158, 391, 394, 396,
403;
см. также Полином Неймана
Бесселевы функции третьего рода,
) 88;
большой аргумент, асимптотические
разложения, 222, 236, 242;
большие аргумент и индекс, асимпто-
асимптотические разложения, 270, 272, 289;
отрицательный аргумент, 89;
представление интегралами, содержа-
содержащими лежандровы функции, 194;
Барнса, 214;
— интегралом типа Бесселя, 197;
Пуассона, 184; видоизмене-
видоизменения, 185, 186, 187;
символические формулы, 188
Бесселевы функции от мнимого аргу-
аргумента /v(*), K^(z), KN(z), 91;
большой аргумент; асимптотические
разложения, 226;
дифференциальное уравнение, 91;
индекс п -f- — , 94;
корни, 562; вычисление корней, 563;
монотонность, 490;
представление интегралами типа Бес-
Бесселя, 200; типа Пуассона, 93, 189;
эквивалентность различных пред-
представлений, 206—210;
рекуррентные формулы, 93

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
775
Бесселевы функции с большим индексом,
252—297 (глава VIII);
аппроксимация Карлини, 15; обобще-
обобщение Мейсселя, 253, 254;
— Лапласа, 17;
— Хорна, 252;
асимптотические разложения, 267,270,
272, 289;
корни, 564, 567, 568, 569;
метод стационарной фазы, 259;
— перевала, 264;
промежуточные области, 275; различ-
различные свойства, 280—289;
см. также Бесселевы функции с ин-
индексом, равным аргументу
Бесселевы функции с дробным индек-
индексом;
индексы zt -q- (интеграл Эйри), 210;
о
устойчивость вертикального стерж-
стержня, 110;
небольшой дробный индекс, 554;
см. также Бесселевы функции с ин-
индексом =*z(n-\—-
V ^
Вронскиан, 53, 90, 92
Выражение в конечном виде
V
Бесселевы функции с индексом
+ ±) 18, 65, 94;
выражение в конечном виде, 65; обоз-
обозначения, 68, 93
Бесселевы функции с индексом, равным
аргументу;
аппроксимации, 252, 258, 259, 287, 288,
493, 566;
асимптотические разложения, 272;
представление интегралами, 286
Большие числа;
метод аппроксимаций функций (Дарбу),
260; (Лаплас), 17, 462;
см. также Аппроксимации и Асим-
Асимптотические разложения
Большой индекс, см. Функция Ангера,
Функция Бесселя с большим индек-
индексом, Функция Вебера и функция
Струве
В
Величина остатков асимптотических раз-
разложений, 229, 236, 238, 263, 344,
362, 378, 494
Верхняя граница, см. Неравенства
Верхняя граница Хансена для Jn(x) 41;
обобщение, 444
Вещественность корней бесселевых функ-
функций, 530, 562
Волновое уравнение;
вывод теорем сложения для бесселе-
бесселевых функций, 143;
обобщение на р измерений, 141; общее
решение, 139
Волны
на поверхности воды; метод стацио-
стационарной фазы, 256;
электрические, 70, 252
бесселевых функций с индексом /z-f- —э
65;
— — с индексами, отличными от
/z-f-у (не выражаются в конеч-
конечном виде), 131;
решения уравнения Риккати, 99, 100,
102;
, случаи Даниила Бернулли
и их предел (как единственно воз-
возможные), 137
Вычисление корней бесселевых функций;
метод Грэффе, 553;
— Стокса, 554;
— Штурма для наименьшего корня,
568;
см. также Корни бесселевых функций
Вязкой жидкости движение и интеграл
Эйри, 210
Г
Гамма-функция;
использование в асимптотических раз-
разложениях, 247, 248;
— для оценки несобственных интег-
интегралов, 419, 476, 482;
представление бесселевых функций
интегралами, 212, 214, 248;
— функций Ломмеля интегралами,
383, 384
Гипергеометрическая функция Шлефли,
104
Гипергеометрические функции, предель-
предельный переход к бесселевым функциям,
169
Гипергеометрические функции (обобщен-
(обобщенные), 104, 113;
выражение для бесселевых функций,
113, 114;
решение дифференциального уравне-
уравнения Шарпа, 118;
соотношения между ними (формулы
Куммера), 114, 116;
Граница верхняя, см. Неравенства
Групповая скорость, 256
Д
Детерминант Вронского, 53, 90, 92
Детерминанты, представляющие полило-
полиломы Ломмеля, 322
Дифференциальное уравнение Бесселя
9, 28;
обобщение, 49;
отсутствие алгебраических решений,
131; преобразования, 108, ПО;
разрешимость в конечном виде ( для
функций с индексомп-\—— 1,65
решение в виде рядов по возрастаю-
возрастающим степеням, 49, 50, 70, 72—74

776
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Дифференциальное уравнение Бесселя,
9, 28; по убывающим степеням, см.
Асимптотические разложения;
— в символическом виде, 52;
фундаментальная система решений
53, 90;
функции от чисто мнимого аргумента,
91;
— с нулевым индексом, 14, 19, 72,73;
см. также Бесселевы функции и Бес-
селевы функции с целым индек-
индексом
Дифференциальное уравнение Риккати,
9, ю, 99—107;
предельный вид, 100;
преобразования; 99;
решение Якова Бернулли в виде беско-
бесконечных рядов, 9;
решения Даниила Бернулли, 10, 99,
101; Кэли, 102; Шлефли, 104; Эйле-
Эйлера, 101;
родственное уравнение, 105;
связь с уравнением Бесселя, 9, 104;
случаи разрешимости (Д. Бернулли), 99;
исчерпываются формулой Д. Бер-
Бернулли и ее предельным значением,
137
Дифференциальное уравнение Риккати,
обобщенное, 4, 105, 106, 107;
ангармоническое отношение решений,
107;
особенности, 108;
решение при помощи квадратур
(двух, одной) или без квадратур,
11, 107;
эквивалентность линейному уравне-
уравнению, 105
Дифференциальное уравнение Шарпа, 118;
решение с помощью обобщенной ги-
гипергеометрической функции, 119
Дифференциальные уравнения;
колеблющиеся решения, 569;
линейные, второго порядка, эквива-
эквивалентные обобщенному уравнению
Риккати, 105;
порядка выше второго, решение
в бесселевых функциях, 119;
решение в виде произведения двух
бесселевых функций, 160;
— в элементарных трансцендентных
функциях, 125;
символические решения, 52, 122;
см. также различные специальные По-
Полиномы. .. и Функции...; например,
Функция Ангера
Дифференциальные уравнения в частных
производных;
решение с помощью интеграла, со-
содержащего бесселевы функции, 112;
см. также Уравнение Лапласа и Вол-
Волновое уравнение
Дифференцирование;
разложений Фурье — Бесселя, 664;
рядов Шлемильха специального вида,
697
Дифракция;
интеграл типа Бесселя, 196;
— Эйри, 210;
ряды Шлемильха, 694;
функция Струве, 458
Диффузия солей в жидкости;
несобственные интегралы, содержа^
щие бесселевы функции, 480
Единственность
радов Фурье — Бесселя и Дини, 676;
— Шлемильха, 710
Задача Кеплера, 14, 607, 610;
решение Бесселя, 21;
— Лагранжа, 14
Задача о случайных перемещениях, 460
Знак остатков асимптотических разло-
разложений, 229, 231, 233, 240, 344,
363, 494
Знак функции Струве, 367, 458
И
Индекс бесселевой функции;
определение, 49, 70, 76, 80, 84;
интегралы по индексу, 494
Интеграл Бэсселя для бесселевых функ-
функций с целым индексом, 28, 29;
видоизмененная форма для бесселевых
функций с любым индексом, 194,
197, 200;
обобщения и распространения, см.
Функция Ангера, Функция Брунса,
Функция Бурже и Функция Вебера;
преобразование Тейзингера, 204;
применение в теории дифракции, 196;
— к асимптотическим разложениям,
242; см. также Интеграл Парсеваля
Интеграл Крелье для полинома Шлефли
316;
См. также Интеграл Неймана для по-
полинома Неймана
Интеграл Мелера — Дирихле для функций
Лежандра, выражение для предель-
предельной формы в виде интеграла Пуас-
Пуассона, 172.
Интеграл Неймана
для fin{z), 41;
для полинома Неймана, 305, 307
Интеграл Парсезаля
для JQ(z), 18, 30;
видоизменения, 30
Интеграл Пуассона;
бесселевы функции, 58; обобщение Ге-
генбауэра, 61; символическая фор-
формула, 62, 63;
второго рода, 81, 87;
от мнимого аргумента, 94, 95;
с целыми индексами, 21, 33, 35;
предел интеграла Мелера—Дирихле для
функций Лежандра, 172;

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
777
преобразование в контурные интегра-
интегралы, представление бесселевых функ-
функций с любым индексом: первого ро-
рода, 176; второго рода, 182; третьего
рода, 184; от мнимого аргумента,
189;
преобразования контурных интегралов,
185, 186, 187, см. также Интеграл
Парсеваля и Функции Струве
Интеграл Эйри, 210;
выражение через бесселевы
функции с индексом —, 211;
о
выражения Харди для обобщенного
интервала через функции Ангера,
Бесселя и Вебера, 350;
обобщения Харди, 348
Интегралы, выражающиеся через функции
Ангера и Вебера, 341;
Ломмеля от двух переменных,
594;
значения, получаемые с помощью тео-
теорем сложения, 400;
с осциллирующими подинтегральными
выражениями, 203;
полиномы Неймана и Гегеибауэра под
знаком интеграла, 304, 312;
см. также Определенные интегралы
и Несобственные интегралы
Интегралы Дюбуа—Реймона с осцил-
осциллирующими подинтегральными вы-
выражениями, выраженными через бес-
бесселевы функции, 203
Интегралы Жильбера, 602
Интегралы Рамануджана от функций
Бесселя по индексу, 494
Интегралы Сонина — Меллера для бессе-
бесселевых функций, 186
Интегралы Френеля, 598;
асимптотические разложения, 599
Интегралы Фурье—Бесселя, см. Кратные
несобственные интегралы
Интегралы Харди для функций Ломмеля
от двух переменных, 600
Интегралы Шафхейтлина для бесселевых
функций и цилиндрических функ-
функций, 186, 540, 541, 543
Интегральное представление Тейзингера
бесселевы функции, 204;
функции Вебера и Струве, 369
Интегральный синус, выражение в виде
ряда по квадратам бесселевых функ-
функций с целыми индексами, 168
Интерференция. 256
Иррациональность числа тс, 104;
я*, 534
К
Квадраты бесселевых функций, см.
Произведения бесселевых функций
Колебания
мембран, 13, 561,633,678;
однородных тяжелых цепей, 11, 633.
Колеблющиеся решения линейных диф-
дифференциальных уравнений, 569
Комплексные корни
бесселевых функций, 532;
от мнимого аргумента, 562;
полиномов Ломмеля, 334
Континуанты, связь с полиномами Шлеф-
ли, 316
Корни бесселевых функций, 525—573
(глава XV);
бесконечность множества корней,
12,526
вещественность, 530, 532;
вычисление (различными методами),
156, 551; (Гр^ффе), 553; (Стоке), 554:
(Штурм), 568;
исследование, 13, 562—568;
неравенства,- пределы, порядки роста,
534, 538, 541, 543, 545, 546, 558, 559,
564, 567, 569;
несовпадение корней у функций с раз-
различными индексами, 533;
от мнимого аргумента, 562;
отсутствие кратных корней, 528;
порядок роста, 534;
с неограниченно большим индексом,,
564, 567;
чередование, 530;
число корней в полосе заданной ши-
ширины, 546
Корни комплексные, см. Комплексные
корни
Корни полиномов Ломмеля, веществен-
вещественность, 332—335
Корни функции Струве, 527
Кратные интегралы, 496—524 (глава XIV);
исследования Неймана, 499, 518; об-
обобщение Ханкеля, 499, 502, 512; об-
обобщение Орра, 501; видоизменение
Вебера, 516;
леммы Римана — Лебега аналог, 502,
519; несобственные, типа Вебера, 496.
Куб бесселевой функции, разложение, 163
Л
Лемма Римана — Лебега,
519, 646, 658
М
аналог, 502,
Максимальные значения бесселевых
функций, 536
Мембран колебания, 13, 633, 678,
круговых, 13;
секториальных, 561
Метод Грэффе вычисления корней, 553
Метод Дарбу аппроксимации функций
больших чисел, 260
Метод перевала, 262;
функции Ангера и Вебера, 345;
— Бесселя, 264, 267, 270, 272, 289;
— Струве, 364;
связь с методом аппроксимации Лап-
Лапласа, 462
Метод постоянной фазы Шлефли, 242
Метод Рамануджана оценки определен-
определенных интегралов, 418

778
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Метод стационарной фазы, 252, 256;
применение к бесселевым функциям;
257, 260
Метод Стокса вычисления корней бессе-
бесселевых функций и цилиндрических
функций, 554
Метод трансформации Бореля, 589
Метод Харди оценки определенных ин-
интегралов, 416
Методы Лапласа аппроксимации функций
больдшх чисел, 16, 462
Методы Штурма;
вещественность корней бесселевых
функций, 532;
полиномов Ломмеля, 332, 334;
оценки наименьшего корня бесселевых
функций и цилиндрических функций,
568, 569, 573
Минимальные значения бесселевых функ-
функций, 536
Мнимый аргумент бессеаевых функций,
см. Бесселевы функции от мни-
мнимого аргумента;
функции Струве, 357, 362
Множитель Неймана еп (= 1 или 2), 32
Множитель разрывный (Вебера), 444;
(Дирихле) 449
Монотонность
отношения функций 7V (vx)/7v (v), 284;
l
у3Л'/ЛМ> 288;
функций yv(v) и j;(v
функции Kq{x), 490
Н
286;
Наименьшие корни бесселевых функций,
13, 551, 568, 569,573
Неопределенные интегралы, содержащие
бесселевы функции под знаком ин-
интеграла, 146—152, 382, 638
Непрерывные дроби, 168;
сходимость, 169, 331;
частное двух бесселевых функций,
331
Неравенства, которым удовлетворяют бес-
бесселевы функции, 25, 41, 61,283,295,
444;
корни бесселевых функций, 534, 537,
538, 543, 545, 566, 567, 569-—573;
полиномы Неймана, 298, 310;
функция Струве, 357, 368, 458
Несобственные интегралы, имеющие бес-
бесселевы функции под знаком инте-
интеграла, 419—495 (глава XIII);
методы вычисления (описание), 419;
обобщенные, 485;
разрывные, 436, 440, 443, 445, 447,
450, 455, 462;
типа Рамануджана (интегралы от бес-
бесселевых функций по индексу), 494;
см. также под отдельными названиями,
например, Несобственные интегра-
интегралы Липшица-Ханкеля
Несобственные интегралы
Вебера (Weber H.), 428, 430, 432, 433,
разрывные типы, 436, 440, 443, 445,
447, 450;
Липшица — Ханкеля, 420; обобщение,
425;
Никольсона, 473, 485;
Сонина, 474;
Струве, 434, 435;
Ханкеля, 420, 423, 425, 427, 465, 469,
470, 476
Нуль-функция, 682;
представление рядами Шлемильха,
696, 710;
теорема Лерха об интегральных пред-
представлениях, 417
О
Область К (Каптейна), 615; чертеж, 297
Обобщенные гипергеометрические функ-
функции, см. Гипергеометрические
функции (обобщение)
Обобщенные интегралы (с подразуме-
подразумевающимся показательным множи-
множителем), 210, 485, 508, 509
Определенные интегралы для бесселевых
функций с целым индексом* 406—418
(глава XII);
метод оценки Рамануджана-Харди, 416;
оценка геометрическими методами,
408, 410, 412;
см. также Несобственные интегралы
Определенные интегралы, выражающие
специальные функции, см. Бесселе-
Бесселевы функции и Интегралы
Определенный интеграл
Сонина, 406; обобщение, 417;
типа Бэйтмена, 414, 417;
— Гегенбауэра, 412;
— Каптейна, 415
Особенности обобщенного уравнения Рик-
кати, 108;
функций, определенных рядами Ней-
Неймана (теорема Пинчерле), 578;
Остаток асимптотического разложения,
см. Асимптотические разложении
Осциллирующие подинтегральные вы-
выражения, см. Интегралы Дюбуа
Реймона
П
Перевала метод, см. Метод перевала
Полином Гегенбауэра Лп, y(t), 310;
дифференциальное уравнение, 318;
контурные интегралы, 312, 577;
рекуррентные формулы, 310;
эквивалентность специальному виду
функции Ломмеля, 382
Полином Гегенбауэра Bn^^{t), 320,577
Полином Каптейна ?in(t)lвыражение че-
через полином Неймана, 625, 626
Полином Ломмеля Rm^ (z), 322, 323;
дифференциальное' уравнение, 325;
корни, 332, 333, 334;
обозначение Гурвица gm^(z), 331;
отрицательный индекс JR—т, v С*) 327;

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
779
предел, выраженный через бесселеву
функцию, 330;
рекуррентные формулы, 326;
в обозначениях Гурвица, 331;
связь с бесселевыми функциями, 323,
325, 330;
трехчленные соотношения, 328, 329,
Полином Неймана On(t), 298;
бесселева функция второго рода
(в устаревшей терминологии), 80,300;
выражение через функции Ломмеля,
382;
дифференциальное уравнение, 303;
контурные интегралы, 304;
неравенства, 300, 310;
несобственные интегралы, 474;
обобщение Гегенбауэра, см. Полином
Гегенбауэра An^(t)\
представление интегралом Неймана,
305, 307;
производящая функция, 309;
рекуррентные формулы, 301;
связь с полиномом Каптейна, 626;
Неймана 2Л(*),319;
Шлефли, 313, 314;
с отрицательным индексом (определе-
(определение), 303
Полином Неймана 2n(t), 318;
выражение в виде интеграла, содер-
содержащего полином Неймана Оп (t), 320;
обобщение Гегенбауэра, см. Полином
Гегенбауэра Вп^у v(f);
рекуррентные формулы, 320
Полином Шлефли Sn(t)t 312, 314;
выражение через" бесселевы функции,
315;
— — функцию Ломмеля, 382;
вычисление интегралов, 382;
дифференциальное уравнение, 313;
интеграл Крелье, 316;
рекуррентные формулы, 313;
связь с полиномом Неймана On(t),
314;
теорема сложения, 317
Полиномы Бернулли, связь с интегралом
Пуассона, 60
Полуцилиндрические функции $п (z);
выражение через функцию с нулевым
индексом, 385;
определение, 385;
теорема сложения, 386
Полярные координаты;
выражение бесселевых функций как
предела функций Лежандра, 170;
преобразование интегралов путем за-
замены осей, 64 408, 410, 412
Постоянной фазы метод Шлефли, 242
Представление Гегенбауэра функции
j\ (z) двойным интегралом, сходным
с интегралом Пуассона, 63
Преобразование Лапласа, 308, 432
Преобразование Родрига, см. Преобра-
Преобразование Якоби
Преобразование Уиппла функций Ле-
Лежандра, 424
Преобразование Якоби, связывающее
функцию sin/zG с (п—1)-й частной:
производной от sin2» в по cos 0,36;
ошибочно приписываемое Родригу, 37;
различные методы доказательства,
37—39
Проблема моментов (Стилтьеса), 510,
Произведения бесселевых функций, 40,
41, 43, 96, 160, 162, 164; большой
аргумент, асимптотические разло-
разложения, 248, 493;
интегральные представления, 41, 165,
248, 482 483, 485, 490, 493;
разложение Бэйтмеиа, 144, 403;
— произвольных функций, 577, 629;
ряды, 40, 166
Произведения Вейерштрасса;
выражение бесселевых функций, 548
Производная дробного порядка, 121, 139
Производящая функция для бесселевых
функций с целыми индексами, 23,31;
для полиномов Неймана, 309
Промежуточные области для асимптотиче-
асимптотических разложений бесселевых функ-
функций с большими индексами, 275
Р-функции, выражение для предельных
форм через бесселевы функции, 174
Равномерная сходимость рядов Дини,
659, 662;
— Каптейна, 632;
— Фурье — Бесселя, 651;
— Шлемильха, 693
Радиус-вектор орбиты, разложение в три-
тригонометрический ряд по главной
аномалии, 14, 28, 607, 610
Разложение
Дини, 637, 659; см. также Ряды Дини
Зоммерфельда (или Кнезера-Зоммер-
фельда) комбинации бесселевых
функций в ряд Фурье-Бесселя, 550;
Фурье — Бесселя, 637; см. также Ряды
Фурье — Бесселя
Разложение произвольных функций
вещественного переменного, см. Ряды
Дини» Ряды Неймана, Ряды Фурье—
Бесселя (теория Вебба — Каптейна)
и Ряды Шлемильха;
комплексного переменного, см. Ряды
Каптейна и Ряды Неймана
Разностные уравнения (линейные с ли-
линейными коэфициентами), решение
в бесселевых функциях, 97; см. так-
также Функциональные уравнения
и Рекуррентные формулы
Разрывность произвольных постоянных
(явление Стокса), 224, 265, 366
Разрывные интегралы, 436, 440, 443, 445,
447, 450
Разрывные несобственные интегралы
Галлопа, 462;
Гегенбауэра, 455;
Сонина, 455;

780
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Шафхейтлина, 436, 440, 443,445,447,450
Разрывный множитель
Вебера (Weber H.), 4#44;
Дирихле, 444
Ранг бесселевых функций и цилиндриче-
цилиндрических функций, 142
Распространение тепла в цилиндре, 17,
18, 496, 633, 675
Рекуррентные формулы;
бесселевы функции с целыми индек-
индексами, 26;
первого рода, 56;
второго рода, 79, 84;
третьего рода, 89,
от мнимого аргумента, 93;
полиномы Гегенбауэра, 310,
— Ломмеля, 326, 331;
— Неймана On(t), 301;
2Я(*) 320;
— Шлефли, 312;
функции Ангера, 340;
— Бурже, 356;
— Вебера, 340;
— Ломмеля 382;
от двух переменных, 592;
— Струве, 357;
— Уиттекера, 369;
— Шлефли, 374;
цилиндрических функций, 97;
числа Коши, 354;
см. также Функциональные уравне-
уравнения, Полуцилиндрические функции
и Трехчленные соотношения
Решение уравнения Риккати;
Бернулли (Даниил), 99, 101,137;
Кэли, 102;
Шлефли, 104;
Эйлер, 101
Ряды бесселевых функций, определение,
637
Ряды Дини, 634, 637, 655, 663, 675, 677
(глава XVIII);
единственность, 676, 714;
лемма Римана-Лебега, аналог, 658;
методы теории функций комплексного
переменного, 655, 657;
поведение на границе области, 660;
равномерная сходимость, 659, 662;
разложение произвольной функции
вещественного переменного, 637,659;
суммируемость, 659, 675;
теорема Римана, 714
Ряды Каптейна, 14, 21, 607—632 (глава
XVII);
второго рода, 629;
область сходимости Каптейна (Д% 615;
чертеж, 297;
основные разложения, 612, 613, 615,
618, 620, 622, 625;
разложение произвольной аналитиче-
аналитической функции, 627;
разложения, связанные с задачей Кеп-
Кеплера, 610;
связь с задачей Кеплера, 607; сходи-
сходимость на границе (Д") и вне ее, 631.
Ряды Мейсселя типа рядов Каптейна, 613,
618, 620, 622
Ряды Неймана, 574—606 (главз XVI);
обобщение, 577;
частные случаи, 40, 47, 82, 85, 166;
разложение Лорана, аналог, 576;
— произвольной аналитической функ-
функции, 575;
специальные ряды, 26, 31, 35, 43, 45,
142, 144, 152, 153, 154, 580, 638;
теорема Пинчерле об особенностях,
578;
теория Вебба-Каптейна (вещественное
переменное), 586;
см. также Функции Ломмеля от двух
переменных и Теоремы сложения
Ряды, содержащие бесселэвы функции;
см. Ряды Дини, Ряды Каптейна,
Ряды Неймана, Ряды Фурье-Бес-
Фурье-Бесселя и Ряды Шлемильха
Ряды с положительными членами;
аппроксимация суммы (метод оценки
наибольшего члена), 14
Ряды Фурье-Бесселя, 633—677 (глава
XVIII);
единственность, 676, 712;
лемма Римана-Лебега (аналог) 646;
методы теории функций комплексного
переменного, 638, 665;
поведение вблизи точки х=\, 652, 660;
порядок членов (теорема Шеппарда),
653;
почленное дифференцирование, 635,
664;
равномерная сходимость, 651, 652;
вблизи начала координат, 674;
— суммируемость, 671;
разложение Кнезера — Зоммерфельда
комбинации бесселевых функций
550;
— произвольной функции веществен-
вещественного переменного, 633, 637;
суммируемость, 635, 665, 673;
теорема Фейера, 668;
— Римана, 712
Ряды Шлемильха, 678—715 (глава XIX);
единственность, 704, 712;
обобщение (определение), 683;
определение, 681;
разложение произвольной функции
вещественного переменного, 679, 683,
690;
связь с теорией функций комплекс-
комплексного переменного, 683;
символические операторы, 686, 687;
специальные случаи, 693;
теорема Римана о тригонометрических
рядах (аналог), 704—710;
теорема о сходимости, 699, 707;
выражения для нуль-функции, 696
Символические операторы
выражения для бесселевых функций,
62, 188;

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
781
решения дифференциальных уравне-
уравнений, 52, 63, 122;
теория рядов Шлемильха, 687
Случайные перемещения, задачи, 460
Стационарной фазы метод, 252, 256;
приложение к бесселевым функци-
функциям, 258, 260
Сферическая геометрия;
представление бесселевых функций
в виде предела функций Лежандра,
170;
преобразование интегралов, 63, 408,
410, 412
Т
Теорема Пинчерле об особенностях функ-
функций, определенных рядами Римана,
578
Теорема Римана о тригонометрических
рядах;
аналог для рядов Фурье — Бесселя
и Дини, 712;
Шлемильха, 704, 710
Теорема Фейера;
аналог для рядов Фурье—Бесселя, 668
Теоремы сложения, 391—405 (глава XI);
бесселевых функций с индексом нуль,
141, 391;
с индексом я, 40;
или цилиндрических функций
любого рода (типа Графа), 158, 392;
(ТИПа Гегенбауэра), 396;
• первого рода (типа Гегенбауэра),
394, 400;
(ТИПа Графа), 144, 158,
392, 400;
полином Шлефли, 317;
полученные из решений дифференци-
дифференциального уравнения, 400;
полуцилиндрических функций, 386;
физическое значение, 141, 142, 394,
396, 399;
функции Шлефли Tn(z), 376;
функций Ломмеля от двух перемен-
переменных, 597;
частные случаи и случаи вырождения,
399, 401
Трансцендент элементарный;
определение, 125;
порядок, 125;
решение дифференциальных уравне-
уравнений, 125
Трехчленные соотношения, связывающие
бесселевы функции, цилиндрические
функции и полиномы Ломмеля, 328
Уравнение Бесселя, см. Дифференциаль-
Дифференциальное уравнение Бесселя
Уравнение Лапласа;
использование для вывода теорем
сложения бесселевых функций, 141;
общее решение Парсеваля, 18;
Уиттекера, 137;
решения, содержащие бесселевы функ-
функции, 98, 137
Уравнение, родственное уравнению Рик-
кати, 105
Устойчивость вертикального стержня пе-
переменного сечения, НО
Ф
Формулы Куммера, связывающие обоб-
обобщенные гипергеометрические функ-
функции, 114, 116
Формулы обращения для функций Лом-
Ломмеля от двух переменных, 596
Фундаментальная система решений диф-
дифференциального уравнения Бесселя,
53, 90, 92
Функции Бесселя Jy(z); см. Бесселевы
функции
Функции больших чисел — см. аппрокси-
аппроксимации Лапласа—Дарбу, 16, 462, 260;
также Аппроксимации, Асимптоти-
Асимптотические разложения, Метод пере-
перевала и Метод стационарной фазы
Функции Брунса J(z;v,k) 357
Функции Бурже Jn, k (z) 355;
дифференциальное уравнение, 356;
рекуррентные формулы, 356
Функции Вебера (Weber, H. F.) Ev(-z),
336; большой аргумент, асимптотиче-
асимптотическое разложение, 342;
большие аргумент и индекс, асимпто-
асимптотическое разложение, 345;
дифференциальное уравнение, 341;
интеграл Тейзингера, 369;
интегралы, 341;
обобщенный интеграл Эйри, 352;
рекуррентные формулы, 340;
связь с функциями Ангера, 339,"
Струве, 366
Функции Гегенбауэра С\ (г), 61, 142,
396, 402, 412, 445
Функции гипергеометрические, см. Ги-
Гипергеометрические функции
Функции Джулиани, см. Функции Бурже
Функции Ламе, выражения для предель-
предельных форм через функции Бесселя,
175
Функции Лежандра;
большой индекс, аппроксимация, 172;
интегралы, 62, 193, 369, 523;
обозначения Барнса, 172;
предельные формулы, выражение че-
через бесселевы функции, 78, 170, 172;
физическое значение, 170;
преобразование Уиппла, 424;
связь между двумя типами, 193;
см. также Функции Гегенбауэра
Функции Ломмеля ^,v (*), Stt,v (*) 377, 379;
большой аргумент, асимптотическое
разложение, 383;
выражение в конечном виде, 383;
лредставление интегралами, 378, 382;
— полиномами Гегенбауэра, Неймана
и Шлефли, 382;

782
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
рекуррентные формулы, 380;
частные случаи, когда ji:+: v — нечет-
нечетное число, 380
Функции Ломмеля от двух переменных
U^(wfz)Vv(w,z) 590;
большой аргумент, асимптотические
разложения, 604;
представление интегралов, 594, 600;
рекуррентные формулы, 592;
формулы обращения, 596;
— сложения, 597;
частный случай, 638
Функции Нильсена — Ханкеля, см. Бессе-
левы функции третьего рода
функции полуцилиндрические, см. Полу-
Полуцилиндрические функции
Функции Струве Hv(,z), 357;
большой аргумент, асимптотические
разложения, 362;
большие аргумент и индекс, асимпто-
асимптотические разложения, 364;
дифференциальное уравнение, 359;
знак, 367, 458;
индекс ± (п -f- -j J, 364;
интеграл Тейзингера, 369;
корни, 528;
мнимый аргумент, 359, 362;
неравенства, 358;
несобственные интегралы, 429, 434,
457, 467, 479;
обобщенные ряды Шлемильха, 682,
683, 693, 707, 709, 710;
представление интегралами, 358, 361;
рекуррентные формулы, 359;
связь с функциями Вебера, 366
Функции Томсона Ьег (z), bei (z) 95;
большой аргумент, асимптотические
разложения, 227;
квадраты и произведения, 96, 164
обобщения, 96;
связь с бесселевыми функциями, 95
Функции Уиттекера WVU), 370;
большой аргумент, асимптотическое
разложение, 371;
дифференциальное уравнение, 370;
рекуррентные формулы, 370
Функции Фурье — Бесселя, 12, 45
Функции Харди С7л(а), «S/ (а),?/л(а) (обоб-
(обобщения интегралов Эири), 348;
выражение через функции Ангера,
Бесселя и Вебера, 349, 350
Функции Шлефли Tn(z) и Un(z), 85,
373—375;
дифференциальные уравнения, 374;
отрицательный индекс, 375;
рекуррентные формулы, 85, 374;
теоремы сложения, 376
Функциональные уравнения, определяю-
определяющие цилиндрические функции 97;
обобщение Нильсена, 387
Функция Ангера J^(z)y 336;
большой аргумент, асимптотическое
разложение, 342;
и индекс, асимптотическое раз-
разложение, 345;
дифференциальное уравнение, 340;
интегралы, 341;
представление (обобщенного) интегра-
интеграла Эйри, 350;
рекуррентные формулы, 340;
связь с функцией Вебера, 339
Ц
Цилиндрические функции %Az) 12, 97,
528;
название, 97;
ранг, 142;
решение дифференциальных уравнений
выше второго порядка, 119;
связь с бесселевыми функциями, 97;
теорема сложения, 158, 396, 405;
трехчленные соотношения, 328;
см. также Бесселевы функции и
Полуцилиндрические функции
Частное бесселевых функций, выражение
в виде непрерывной дроби, 168, 331
Чередование корней бесселевых функции
и цилиндрических функций, 530
Числа Коши N—n,kiTny 353; рекуррентные
формулы, 354
Э
Электрические волны, 70, 252
Электромагнитное излучение, 607, 613,
Элементарные трансцендентные функ-
функции, см. Трансцендент
Явление Стокса, 224, 265, 366

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
(Цифры указывают страницы. Ссылки на записи в библиографии (стр. 732—770) не
ириводятся.)
Абель (Abel, N. Н.), 82, 675, 681
Адамар (Hadamard, J.), 228. 229, 579
Адамов А., 219
Аичи (Aichi, К.)> 95
Александер (Alexander, P.), 636
Ангер (Anger, С), 30—32, 336—342
Андияг (Anding, Е.), 342
Анисимов В. А., 106
Аппель (Appell, P. Ё.), 160, 404
Балль (Ball, L. de), 172
Варне (Barnes, E. W.), 98, ИЗ, 116—118,
172, 212, 214, 217,219,247, 248, 371, 383,
390, 399, 419, 423, 440
Бассет (Basset, А. В.), 91—95, 190, 191,
200, 421, 425, 432, 466, 468, 500
Бауэр (Bauer, G.), 61, 142, 401, 403
Бах (Bach, D.), 109, 116, 124
Бахман (Bachmann, P.), 221
Бельтрами (Beltrami, E.), 63, 390, 394, 407,
422, 426—428, 551, 636, 681
Бёмер (Вбтег, Р. Е.), 156
Бёрнсайд (Burnside, W. S.), 333
Бернулли Даниил (Bernoulli, Daniel, 1700—
1782), 10—12, 17, 99—101, 124, 137, 526,
633
Бернулли Иван (Bernoulli, John, 1667—
1748), 9—11
Бернулли Николай (старший) (Bernoulli Ni-
Nicholas, 1687—1759), 10
Бернулли Николай (младший) (Bernoulli,
Nicholas, 1695—-1726), 10
Бернулли Яков (Bernoulli, James, 1654—
1705) 9—11, 102, 103, 106
Бессель (Bessel, F. W.), 9, 11, 12, 14, 17,
18, 21—24, 27, 28, 30, 31, 35, 49, 98, 154,
162, 168, 1&9, 176, 323, 336, 526
Бинэ (Biriet, J. P. M.), 203
Борель (Borel, Ё.), 16, 309, 589
Бохер (Вбспег, М.), 57, 70, 78, 409, 545,
568, 569
Брайан (Bryan, G. H.), 140, 529
Брайцев Е. 186
Брассин (Brassinne, E.), 105
Бренке (Brenke, W. C), 33
Бриджмен (Bridgeman, P. W.), 656
Бромвич (Bromwich, T. J.), 16, 19, 55, 82,
171, 208, 211, 212, 226, 240, 257, 258, 261,
307, 330, 381, 393, 421, 428, 431, 437, 631,
632, 660, 720
Брунс (Bruns, H.), 357
Буль (Boole, G.), 37, 58, 124, 687
Бурже (Bourget, J.), 14, 353, 355, 356, 533,
534, 569
Буркхардт (Burkhardt, H. F. К. L.), 262,308
Бэйтмен (Bateman, H.), 144, 145, 399, 403—
406, 409, 414, 415, 425, 445, 457, 480,
502, 582, 586, 588
Бэр (Baehr, G. F. W.), 527
Вагнер (Wagner, C), 22, 156
Валевинк (Valewink, G. G. A.), 219
Валленбург (Wallenburg, G.), 108
Валле-Пуссен, де ла-^е la Vallee-Poussin,
Ch. J.) 66, 123, 176, 210
Вандермонд (Vandermonde, A.), 116, 405
Ван-Флек (van Vleck, E. B), 528
Варинг (Waring, E.), 554
Ватсон (Watson, G. N.), 16, 19, 38, 51, 73,
119, 139, 159, 173, 178, 220, 252, 257, 258,
263, 266, 267, 276, 280, 300, 337, 387, 391
489, 497, 532—534,564, 570, 622, 632, 636,
681, 721
Вебб (Webb, H. A.), 383, 575, 586, 589
Вебер Генрих (Weber, Heinrich), 77, 78,90,
181, 184, 195, 217—219, 236—238, 295,
422, 428, 430, 432, 433, 436, 444, 449, 450,
496—501, 516, 518, 545
Вебер Генрих Фридрих (Weber, Heinrich
Friedrich), 336, 337—341, 344
Вейерштрасс (Weierstrass, С. Т. W.), 391
Вейль (Weyl, H.), 210, 501
Вейр (Weyr, E.), 107, 108
Вендт Цецилия (Wendt, Cacilie), 396
Верде (Verdet, Ё.), 525
Вессио (Vessiot, E.) 108
Вигерт (Wigert, С S.), 224
Вильсон (Willson, R. W.), 553
Вильтон (Wilton, J. R.), 169
Вильямсон (Williamson, В.), 124
Виртингер (Wirtinger, W.), 210, 211
Вольтерра (Volterra, V.), 636, 681
Вороной Г., 224
Галлоп (Gallop, E. G.), 444, 463, 464
Гамильтон (Hamilton, W. R.), 20, 218
Гаррис (Harris, R. A.), 24
Гаскин (Gaskin, Т.), 123
Гассер (Gasser, A.), 561, 569
Гаусс (Gauss, С F.), 212, 557
Гафен (Hafen, M.), 425
Гвайзер (Gwyther, R. F.), 681, 698
Гегенбауэр (Gegenbauer, L.) 61, 63, 143,
152, 166, 301, 310, 312, 318, 321, 394, 398—
403, 406, 412, 413, 419—423, 426—428,
430, 433, 434, 436, 445, 446, 453, 455, 459,
468, 472, 482, 499, 528, 559, 568, 574, 577,
578, 636

784
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Гейне (Heine, H. Е.), 12, 69, 78, 79, 98,
169, 171, 172, 201, 391, 396, 398
Гертц (Hertz, H.), 95, 96
Герц (Herz, N.), 610, 612
Гильберт (Hilbert, D.), 308
Гибсон (Gibson, G. А.), 220
Глезер (Glaisher, J. W. L.), ЮЗ, ПО, 116,
117, 122, 123, 154, 155, 189, 192, 203
Гобсон (Hobson, E. W.), 18, 44,67, 71, 139,
142, 164, 190, 193, 307, 386, 396, 402,
422—424, 528, 534, 635, 643, 649, 660
Гордан (Gordan, P. А.), 68
Граф (Graf, J. H.), 42, 77, 90, 159, 160, 168,
176, 181, 194, 220, 242, 254, 314, 315, 318,
323, 324, 327, 329—331, 372, 377, 392—
394, 436, 550, 553, 554, 640
Грегори Дункан (Gregory, Dunkan), 687
Грегори Уолтер (Gregory, Walter), 251
Грей (Gray, A.), 78, 79, 93, 217, 231, 500,
528
Грин (Green, G.) 138
Гринхилл (Greenhill, A. G.), 104, 105, ПО
Грунерт (Grunert, J. A.), 37
Грэффе (Graeffe, С. Н.), 553, 554
Гублер (Gubler, E.), 42, 77, 160, 176, 181,
196, 220, 242, 254, 314, 315, 329, 360, 372,
383, 436, 447, 449, 466, 550, 553, 554, 640
Гурвиц (Hurwitz, A.), 17, 325, 330—333,
335, 532, 533
Гурса (Goursat, E. J. В.), 134, 728
Гюнтер (Gunther, S.), 168
Даламбер (D'Alembert, J.), 11
Дандлен (Dandelin, G. P.), 554
Дарбу (Darboux, J. G.), 260
Дарвин (Darwin, С G.), 480
Дебай (Debye, P.), 252, 262, 264, 266, 267,
275—277, 279, 282, 289, 290, 295, 564, 568
Денди (Dendy, A.), 121
Джексон Вильям (Jackson, William), 196
Джексон Дэнхем (Jackson, Dunham), 375
Джексон Фрэнк (Jackson, Frank), 54, 55
Дженокки (Genocchi, A.), 133
Джонсон (Johnson, W. W.), 106
Джулиани (Giuliani, G.), 171, 354—357
Диксон (Dixon, A. C), 45, 529—531
Дини (Dini U.), 18, 634, 635, 637, 655, 656,
676
Динник А., 636
Дирихле (Dirichlet, P. G. Lejeune), 173, 638,
644, 688, 722
Донкин (Donkin, W. F.), 123
Доугалль (Doygall, J.), 79, 451
Дюамель (Duhamel, J. M. C), 49, 60, 72, 81,
254
Дюбуа Реймон (Du Bois Reymond, P. D. G.),
203, 501, 518
Ермаков В., 501
Жаме (Jamet, E. V.), 108
Жильбер (Gilbert, L. P.), 600, 602, 604
Жолифф (Jolliffe, A. E.), 580, 582
Жордан (Jordan, C), 349, 730
Зигель (Siegel, С L.), 534
Зоммерфельд (Sommerfeld, A. J. W.), 69,
70, 197, 394, 426, 433, 444, 457, 510, 550
Игнатовский (Ignatowski, W.), 398
Ирншоу (Earnshaw, S.), 122
Кайе (Cailler, C), 55, 164, 422, 43 3, 455
480, 501, 589, 590
Калене (Kalahne, A.), 557, 559
Калландро (Callandreau, O.), 219, 233, 423
Кантор (Cantor, G. E. L. P.), 699
Каптейн (Kapteyn, W.), 45, 203, 224, 295,
306, 309, 310, 320, 383, 403, 406, 409,
415, 422, 443, 453, 550, 584, 586, 588, 589,
592, 607, 615, 617, 618, 622, 625—-627
Карлини (Carlini, F.), 14, 15, 217, 252—254,
276, 282, 295, 629
Карслоу (Carslow H. S.), 196, 399, 433, 550,
551, 559, 561, 640
Каталан (Catalan, E. C), 31, 37, 109, 191, 209,
Кельвин (Kelvin, William Thomson), 95, 138,
227, 252, 256, 257, 260, 276
Кёниг (Konig, I.), 386, 575
Кепинский (Kepinski, S.), 112
Кеплер (Kepler, J.), 607—609
Керзон (Curzon, H. E.), 432
Кирхгоф (Kirchhoff, G.), 121, 219, 226,
426, 635, 675
Клебш (Clebsch, R. F. A.), 392, 396
Кливер (Kluyver, J. C), 400, 460, 461
Клиффорд (Clifford, W. K.), 104, 105
Кнезер (Kneser, I. С. С. А.), 550, 635, 640
Кнокенхауэр (Knockenhauer, К- W.), 599
Коппе (Корре, М.), 275
Коте (Coates, С. V.), 192, 199, 342, 682
Коттер (Cotter, J. R.), 52
Коши (Caushy, A.L.), 15, 24, 25, 30, 165,
203, 257, 259, 260, 274, 277, 287, 337, 338,
348, 354, 600, 610, 614, 635, 657
Кошляков Н. С, 716, 717
Крелье (Crelier, L.), 314, 316, 323, 328—
330
Кри (Chree, С), 14, 656
Кристал (Chrystal, G.), 116, 316, 323
Кристоффель (Christoffel, E. В.), 169
Кроуфорд (Crawford, L.), 37
Куммер (Kummer, E. Е.), 60, 103, 115—118,
163, 206, 212, 213, 219, 226, 431, 448,
716
Курант (Courant, R.), 308
Куртис (Curtis, A. H.), ПО, 124
Кэли (Cayley, A.), 101, 102, ПО, 116, 117,
123, 209, 553
Лав (Love, A. E. Н.), 69, 252, 495
Лагранж (Lagrange J. L), 14, 37, 38, 607
Лакруа (Lacroix, S. F.), 37
Ламб (Lamb, H.), 69, 109, 421, 456, 523,
554
Ламберт (Lambert, J. H.), 534
Ламе (Lame, G.), 110, 175
Лангер (Langer, R. E.), 717
Ландау (Landau, E. G. H.), 221
Лаплас (Laplace, P. C), 15—18, 65, 308,
432, 462, 496

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
785
Ларжето (Largeteau, С. L.) 553
Лебег Анри (Lebesgue, H.), 502
Лебег Виктор (Lebesgue, Victor Amedee),
124, 137
Лебедева В. (Миллер), 112
Лежандр (Legendre, A. М.), 64, 104, 203,
370, 534, 613
Лейбниц (Leibniz, G. W.)> 9—11
Ле-Пэж (Le Paige, С), 109
Лерх (Lerch, M.), 417, 430, 475, 476, 677
Лефорт (Lefort, F.), И
Линднер (Lindner, Р.), 533
Линдштедт (Lindstedt, A.), 600
Липшиц (Lipschitz, R. О. Я), 20, 217, 218,
223, 230, 361, 371, 420, 425, 690
Лиувилль (Liouville, J.), 37, 38, 101, 125,
129, 131, 133, 134, 137
Лобатто (Lobatto, R.), 60, 103
Лобачевский Н. И., 554
Лодж (Lodge, A.), 251, 256
Ломмель (Lommel, E. С. J.), 22,31,33 35, 40,
44, 45, 49, 54—58, 61, 65, 72, 75, 78, 80,
85, 87, 90, 91, ПО, 111, 113, 119, 121,
146, 147, 149, 154, 156—159, 162, 166, 218,
223, 322—328, 330, 331, 336, 344, 357, 372,
377, 380, 382, 383, 445, 526, 530, 582, 583,
590, 592—594, 596—598, 600—602, 604,
605, 633
Лопиталь (l'Hospital, G. F. А.), 148
Лоран Поль (Laurent, P. M. Н.), 172
Лоран Пьер (Laurent, P. А.), 23, 24, 28,
41, 576
Лоренц (Lorenz, L.), 70, 109, 251, 255, 256,
551
Маджи (Maggi, G. А.), 22
Макдональд, (Macdonald, H. М.), 92, 93, 95,
173, 188, 189, 252, 256, 260, 398, 410, 421,
422, 426, 432, 433, 451, 452, 482, 483, 531,
560, 561, 569
Макмагон (McMahon, J.), 78, 218, 224,
557—559, 638
Макроберт (MacRobert, Т. М.), 220
Максвелл (Maxwell, J. Clerk), 139
Мальмстен (Malmsten, С. J.), 113, 191, 206
208, 219, 227
Манфредиус (Manfredius, G.), 106
Марколонго (Marcolongo, R.), 149
Mapx (March, H. W.), 69, 252, 495
Маршалл (Marschall, W.), 557, 558
Мейссель (Meissel, D. F. E.), 15 160 227
253—255, 259, 261, 273, 275, 428, 573, 613',
614, 618, 620, 629
Мелер (Mehler, F. G.), 78, 171, 172 180
186, 187, 200, 202, 466, 473, 501, 523, 524,
Меллин (Mellin, R. Hj.),212, 219
Миллер-Лебедева (см. Лебедева), 112
Миндинг (Minding, F.), 107
Миттаг-Лефлер (Mittag-Leffler), 98, 548
Моллинз (Molins, H.), 120
Морган, де (De Morgan, A.), 210, 211
Мортон (Morton, W. В.), 79
Мур (Moore, С. N.), 527, 635, 656, 712
Мэйолл (Mayall, R. H. D.), 605
Мэрфи (Murphy, R), 105, 171
Мэтьюз (Mathews, G. В.), 78, 79, 93, 217,
231, 500, 528
Нагаока (Nagaoka, Н.), 371, 694, 695
Нейман Карл (Neumann, Carl Gottfried),
25, 32, 40, 42—44, 47, 48, 57, 73, 80—85,
87, 141, 158, 165, 166, 169, 171, 298, 300,
301, 303—305, 309, 312—314, 318, 320,
377, 382, 391, 392, 394, 396, 398, 422,
459, 465, 499, 501, 502, 518—521, 523, 524,
574—576, 578
Нейман Фридрих (Neumann, Fridrich E.),
169
Немыцкий В. В., 722
Никола (Nicolas, J.), 92, 98
Никольсон (Nicholson, J. W.), 121, 122, 160,
164, 165, 210, 211, 252, 256, 257, 275, 276,
278, 360, 362, 453, 466, 468, 473, 484, 485,
557
Нильсен (Nielsen, N.),34, 55,60, 77, 78, 88,
89, 92, 96—98, 146, 156, 160—163, 169,
186, 251, 325—327, 344, 383, 387, 390,
392, 429, 443, 501, 512, 574, 578—580,
628, 629, 631, 656, 682, 690, 698
Нимеллер (Niemoller, F.), 70, 81, 218
Ньютон (Newton, Jsaac), 133, 552
Олдис (Aldis, W. S.), 79
Ольбрихт (Olbricht, R.), 174, 530
Ольтрамаре (Oltramare, G.), 192
Opp (Orr, W.), 160, 161, 231, 251, 501, 636
Otoh (Autonne, L.), 108
Отти (Otti, H.), 85, 301, 314, 372
Пантон (Panton, A. W.), 333
Паоли (Paoli, P.), 65, 108, 207
Парсеваль (Parseval, M. A.), 18, 30, 34, 82,
119, 256 391, 420
Пейрс (Peirce, В. О.), 553
Пере (Peres, J.), 55
Перрон (Perron, O.), 169
Петцваль (Petzval, J.), 61
Пикар (Picard, С. Е.) 107, 108
Пинчерле (Pincerle, С. Е.), 212, 219, 298,
301, 422, 579, 580
Пирсон (Pearson, Karl), 111, 460, 462
Плана (Plana, G. A. A.), 18, 53, 56, 60, 65,
108—110, 113, 218, 610
Плуммер (Plummer, H. C), 297, 611
Поклингтон (Pocklington, H. C), 590
Портер (Porter M. В.), 327, 525, 528, 534,
567, 569
Похгаммер (Pochhammer, L.), 113, 114, 324,
378, 449
Прис (Ргеесе, С. Т.), 37
Пуанкаре (Poincare, F. H.), 263
Пуассон (Poisson, S. D.), 14, 18, 19, 20,
21, 33—36, 49, 58, 60 61, 64, 65, 81, 108,
110, 191, 203, 206—208, 217, 218, 336,
402, 526, 529, 553
Пюизо (Puiseux, V.), 615
Рамануджан (Ramanujan, S.), 494, 495
Раффи (Raffу, L.), 108
Рёрс (Rohrs, J. H.), 19

786
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Риккати (Riccati, J. F.), 9—11, 99—108
Риман (Riemann, G. F.), 95, 190, 226, 256,
262, 469, 535, 682, 683, 699, 712
Рис (Riesz, M.), 665, 673
Родриг (Rodrigues, О.), 37
Роусон (Rawson, R.), 105
Рудский (Rudski, P.) 525, 559
Рутгерс (Rutgers, J. G.), 406—409, 415, 636
Рыбчинский (Rybczynski, W.), 69, 252, 495
Рэлей (Rayleigh, J. W. Strutt,) 62, 68, 69,
89, 109, 151, 171, 172, 210, 256, 257, 260,
361, 363, 407, 426, 432, 460, 462, 525,
553, 561, 675, 678
Рэссел (Russell, A.), 96, 97, 227
СасакЯ (Sasaki, S.), 559
Сванберг (Svanberg, A. F.), 191
Ceppe (Serret, J. A.), 190, 191, 209
Сиаччи (Siacci, F.), 105
Симон (Siemon, P.), 357, 436
Сирль (Searle, J. H. C.)> 223
Смирнов В. И., 19, 71, 82, 308, 381, 428,
595, 730
Смит Бернард (Smith, Bernard), 97
Смит Клара (Smith, Clara E.), 681
Смит Otto (Smith, Otto A.), 61
Сонин Н. И., 97, 146, 151, 153, 158, 187,
189, 194—196, 200, 306, 307, 318, 385, 386,
395, 400, 406, 407, 410, 412, 419, 428
430, 436, 440, 451, 455, 473—477, 482, 500
Степанов В В., 53, 67, 101, 130, 377, 568
Стерн (Stearn, H.), 530, 681
Стефенсон (Stephenson, А. А.), 636
Стилтьес (Stiltjes, T. J.), 217, 219, 231—233,
238—240, 510
Стерлинг (Stirling, J.), 15, 16, 240
Стоке (Stokes, G. G.), 16, 21, 65, 68, 81,
83, 84, 95, 108, 111, 210, 218, 225, 226,
252, 256, 265, 348, 349, 353, 428, 444, 554,
556—558, 721, 722
Стретт (Strutt, J. W.), см. Рэлей
Струве (Struve, H.), 357, 363, 367, 368, 430,
434, 435, 458
Сушкевич А. К., 333, 554
Сэвидж (Savidge, H. G.), 97, 227
Сэджер (Segar, H. W.), 532
Сюшар (Suchar, P. J.), 103
Такеучи (Takeuchi, Т.), 342
Таннери (Tannery, J.), 19, 171, 330, 723
Тейзингер (Theisinger, L.), 204, 205, 369
Тиссеран (Tisserand, F), 404
Тодхантер (Todhunter, L.), 37, 172, 223
Томсон Вильям (Thomson William), см.
Кельвин
Томсон Иозеф (Thomson Joseph), 79, 192
Турьер (Turriere, E.), 24
Уайтхед (Whitehead, С. S.), 96, 97, 147, 162,
227
Уиппл (Whipple, F. J. W.), 196, 342, 424
Уиттекер (Whittaker, E. Т.), 16, 38, 51, 55,
62, 73, 137, 139, 159, 178, 192, 220, 300,
327, 369, 391, 497, 533, 554, 636, 681, 693,
694, 720
Унфердингер (Unferdinger, F.), 339
Уокер Джемс (Walker, James), 357, 361,
363, 590, 598
Уокер Джильберт (Walker, Gilbert Т.),
392, 394
Уэвелл (Whewell, W.), 527
Файлон (Filon, L. N. G.), 63, 635, 682, 683,
685, 690
Фалькенгаген (Falkenhagen, J. H. M.), 108
Фейер (Fejer, L), 668, 669
Фельдблюм М., 105
Филдз (Fields, J. C), 124
Фок В. А., 716—718
Форд (Ford, W. В.), 635, 664
Форсайт (Forsyth, A. R.), 53, 70, 120, 123,
130, 377, 391, 438, 550
Фосс (Voss, A.), 444
Фрагмен (Phragmen, E.), 391
Френе (Frenet, F.), 37
Френель (Fresnel, A. J.), 599, 600
Фримен (Freeman, A.), 553
Фробениус (Frobenius, F. G.), 70
Фруллани (Frullani, G.), 23, 28
Фурье (Fourier, J. В.), 12, 17, 18, 23, '32,
98, 149, 494, 496, 500—502, 525, 530, 532,
553, 633—635, 675
Хавелок (Havelock, Т. Н.), 139, 189
Ханкель (Hankel,H.), 18, 49, 70, 71, 74—77,
88, 90, 91, 176, 179, 180, 182, 184, 194, 218,
219, 221, 231, 255, 420, 425, 430, 465,
470—472, 476, 499, 500—502, 504, 505,
508, 510—512, 519, 564, 565, 634, 635,
638, 639, 694
Хансен (Hansen, P. A.), 23, 29, 40, 41, 47,
167, 169, 174, 218, 320, 445
Хануманта Pao (Hanumanta, Rao), 480
Харгрейв (Hargreave, С J.), 101, 188, 189
Харгрейвс (Hargreaves, R.), 592
Харди (Hardy, G. H.), 16, 125, 200, 203,
210, 224, 339, 348—351, 354, 406, 416, 422,
432, 445, 463, 480, 485, 486, 509, 510, 596,
600—602, 630, 636, 638, 665, 674, 681
Харнак (Harnack, A.), 634
Хаяши (Hayashi, Т.), 181
Хевисайд (Hewiside, О), 78, 79, 121, 227
400, 422, 424, 430, 432, 449, 468
Хентцщель (Haentzschel, E.), 85, 110, 175
Хилл (Hill, С. J. D.), 108
Хинчин А. Я., 316
Холл (Hall, A.), 24
Хопф (Hopf, L), 197, 444
Хорн (Horn, J.), 252, 579
Чаллис (Challis, H. W), 105
Чапмен (Chapman, S.), 681
Чессин (Chessin, A. S.), 149, 194, 355, 378
418
Чинелли (Cinelli, M.), 694
Шарп (Sharpe, H. J.), 118, 172
Шафхейтлин (Schafheitlin, P.), 78, 151, 156,
186, 232, 241, 406, 428, 436, 440, 445, 447,
449, 450, 493, 525, 527, 531, 534, 536,538,
540, 541, 543, 545, 560, 561, 597

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
787
Шварц (Schwarz, К- Н. А.), 391, 705
Шварцшильд (Schwarzschild, K-), 394
Шверд (Schwerd, F. М.), 525
Шейбнер (Scheibner, W.), 15
Шёнгольцер (Schonholzer, J. J.), 160
Шеппард (Scheppard, W. F.), 223, 500, 636,
653, 674
Шлемильх (Schlomilch, О. X.), 23, 27, 43,
44, 46, 47, 168, 191, 203, 677, 678, 679,
683, 685, 689
Шлефли (Schlafli, L.), 18, 23, 37, 38, 40, 43,
77, 78, 80, 87, 93, 104, 105, 158, 160, 166,
176, 189, 193—195, 197, 198, 200, 201, 206,
217, 219, 242, 255, 281, 301, 303, 312—
314, 316—318, 372, 376, 377, 559, 634, 635,
638—640, 642
Шотт (Schott, G. А.), 607, 613, 629, 630
Шпитцер (Spitzer, S.), 81, 85, 168
Штейнталь (Steinthal, A. E.), 189, 424
Штерн (Stern, M. D.), 551
Штурм (Sturm, J. С. F.), 332, 333,525, 528,
568, 569, 573, 570
Эйлер (Euler, L.), И—14, 33, 61, 65,73,
76, 100—102, 106, 107, 137, 147, 203, 429,
550, 551, 554, 633
Эйри (Airey, J. R.) 79, 156, 240, 273, 348,
554, 557, 568
Эйри (Airy, G. В.), 210, 256, 276, 348—350
Эллис (Ellis, R. L.), 109, 123, 124, 191
Эмде (Emde, F.), 275
Энестрём (Enestrom, G.), 106
Энке (Encke, J. F.), 553
Эннепер (Enneper, A.), 192
Эпштейн (Epstein, S. S.), 159, 318
Эрмит (Hermite, C), 68 525
Эшерих (Escherich, G.), 181
Юлиус (Julius, V. A.), 78, 223
Юнг (Joung, W. H.), 18, 383, 444, 635, 636,
639, 643, 654, 676, 677
Якоби (Jacobi, С G. J.), 15, 16, 23, 30—32,
35—39, 98, 218, 414,611, 629

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к русскому изданию
Предисловие к первому английскому изданию
Предисловие ко второму английскому изданию
ГЛАВА 1
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ ДО 1826 ГОДА
1.1. Дифференциальное уравнение Риккати
1.2. Механическая задача Даниила Бернулли
1.3. Механическая задача Эйлера
1.4. Исследования Лагранжа, Карлини и Лапласа
1.5. Исследования Фурье
1.6. Исследования Пуассона
1.7. Исследования Бесселя
ГЛАВА II
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ
2.1. Определение бесселевых функций с целым индексом
2.11. Ряд для Jn(z) по возрастающим степеням аргумента
2.12. Рекуррентные формулы
2.13. Дифференциальные уравнения для Jn(z)
2.2. Интеграл Бесселя для бесселевых функций с целым индексом
2.21. Различные формы интеграла Парсеваля
2.22. Разложения в ряды по бесселевым функциям, полученные Якоби . . ,
2.3. Интеграл Пуассона
2.31. Исследование интеграла Пуассона Бесселем
2.32. Преобразование интеграла Пуассона, данное Якоби
2.321. Доказательство формулы преобразования Якоби
2.322. Доказательство Лиувилля
2.323. Доказательство Шлефли
2.33. Об одном применении формулы Якоби
2.4. Теорема сложения для бесселевых функций
2.5. Ряд Хансена для квадратов и произведений бесселевых функций ....
2.6. Интеграл Неймана для J%(z)
2.61. Ряд Неймана для J%(z) 43
2.7. Разложение Шлемильха функции zm в ряд по бесселевым функциям . . 43
2.71. Разложение Шлемильха вида ^npjn(z) 46
2.72. Разложение функции z2m в ряд по квадратам бесселевых функций, дан-
данное Нейманом 47

СОДЕРЖАНИЕ
ГЛАВА III
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ
3.1. Обобщение дифференциального уравнения Бесселя
3.11. Функции, индекс которых равен половине нечетного числа
3.12. Фундаментальная система решений уравнения Бесселя
3.13. Общие свойства функции J^(z)
3.2. Рекуррентные формулы для Jv(z)
3.21. Бесселевы функции с комплексным индексом
3.3. Представление функции J^(z) с помощью интеграла Пуассона, данное
Ломмелем
3.31. Неравенства, получаемые из интеграла Пуассона
3.32. Обобщение интеграла Пуассона, данное Гегенбауэром
3.33. Двойной интеграл Гегенбауэра типа Пуассона
3.4. Выражение функции J lx(z) в конечном виде
*(»+т)
3.41. Обозначения для функций, порядок которых равен половине нечетного
числа .
3.5. Второе решение уравнения Бесселя с целым индексом
3.51. Разложение функции Yq (z) в ряд по возрастающим степеням z
3.52. Разложение Yn (z) в ряд по возрастающим степеням z и определение
3,(*)
3.53. Определение функции Yv (z)
3.54. Функция Вебера — Шлефли второго рода
3.55. Определение функции второго рода по Гейне
3.56. Рекуррентные формулы для Yv(z) и Ys(z)
3.57. Функция Неймана второго рода
3.571. Интеграл типа Пуассона для Y^\z)
3.572. Ряд Стокса для интеграла Пуассона — Неймана
3.58. Определение функции Y^n\z) по Нейману
3.581. Разложение функции Y^n\z) по Нейману
3.582. Степенной ряд для Un(z)
3.583. Интеграл типа Пуассона для Y^n\z)
3.6. Функции третьего рода
3.61. Соотношение между бесселевыми функциями первого, второго и треть-
третьего рода 89
3.62. Бесселевы функции от аргумента — z и гетк? 89
3.63. Фундаментальные системы решений уравнения Бесселя 90
3.7. Функции Бесселя от чисто мнимого аргумента 91
3.71. Формулы для /v (z) и Кн (г) 93
3.8. Функции Томсона ber (z) и bei (z) и их обобщения 95
3.9. Определение цилиндрических функций 97
Г Л А В А IV
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
4.1. Решение уравнения Риккати методом Даниила Бернулли 99
4.11. Берну л лиевы преобразования уравнения Риккати 99
4.12. Предельный вид уравнения Риккати с индексом —2 100
4.13. Решение уравнения Риккати методом Эйлера 101
4.14. Общее решение уравнения Риккати, данное Кэли 102
4.15. Уравнение Риккати в канонической форме Шлефли 104

СОДЕРЖАНИЕ
Различные исследования уравнения Риккати 105
Обобщенное уравнение Риккати 106
Теоремы Эйлера об обобщенном уравнении Риккати 107
Различные преобразования уравнения Бесселя 108
Преобразования уравнения Бесселя по методу Ломмеля ПО
Дифференциальное уравнение Мальмстена 113
Обозначения Похгаммера для обобщенных гипергеометрических рядов 113
Различные решения в виде рядов 114
Соотношения между решениями в виде рядов 116
Дифференциальное уравнение Шарпа 118
Уравнения выше второго порядка 119
Символическое решение дифференциальных уравнений 122
Классификация элементарных трансцендентных функций по Лиувиллю . 124
Первая теорема Лиувилля о линейных дифференциальных уравнениях . 125
Вторая теорема Лиувилля о линейных дифференциальных уравнениях . . 129
Теорема Лиувилля об отсутствии у уравнения Бесселя алгебраических
интегралов 131
О невозможности интегрирования уравнения Бесселя в конечном виде . 134
О неинтегрируемости уравнения Риккати в конечном виде 137
Решения уравнения Лапласа 137
Решения волновых уравнений 139
Теоремы, получаемые из решений уравнений математической физики . . 141
Решения волнового уравнения в пространстве р измерений 142
Решение обобщенного волнового уравнения, данное Бэйтменом 144
ГЛАВА V
РАЗЛИЧНЫЕ СВОЙСТВА БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
Неопределенные интегралы, содержащие одну бесселеву функцию ... 146
Интегралы Ломмеля, содержащие две цилиндрические функции .... 147
Неопределенные интегралы, содержащие две цилиндрические функции;
второй метод Ломмеля 149
Интеграл Сонина, содержащий две цилиндрические функции 151
Формула приведения Шафхейтлина 151
Разложения в ряды по бесселевым функциям 152
Разложение функции Бесселя в ряд по бесселевым функциям 153
f t
Разложение Ломмеля для (z-\-h) J^(Vz-\-h) 154
Разложение функции Бесселя в ряд по бесселевым функциям 157
Формула сложения для бесселевых функций 158
Произведения бесселевых функций 160
Произведение рядов, представляющих бесселевы функции 162
Произведения, содержащие бесселевы функции второго рода 164
Представление Jv.(z)J^(z) в виде интеграла 165
~2г) в виде ряда произведений бесселевых функций . 166
Ряды Ломмеля по квадратам бесселевых функций 166
Формулы, содержащие непрерывные дроби 168
Выражение Хансена для 7V (z) в виде предела гипергеометрической
функции 169
Бесселевы функции как пределы функций Лежандра 170
Интегралы, связанные с формулой Мелера 172
Формулы Ольбрихта. 174

СОДЕРЖАНИЕ 791
ГЛАВА VI
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
Обобщение интеграла Пуассона 176
Видоизменения контурных интегралов Ханкеля 182
Интегральные представления функций третьего рода 184
Обобщенные интегралы Мелера — Сонина 186
Символические формулы Харгрейва и Макдональда 188
Интегралы типа Пуассона для J^(z) и Д^ (z), данные Шлефли 189
Интегралы Бассета для K^(xz) 190
Обобщения Уиттекера интегралов Ханкеля 192
Обобщения интеграла Бесселя 194
Интегралы, представляющие функции второго и третьего рода .... 197
Интегралы, представляющие 7V (z) и Кн (z) 200
Формулы Харди для интегралов типа Дюбуа-Реймона 203
Обобщение интегрела Бесселя, полученное Тейзингером 204
Эквивалентность интегральных представлений функции K^(z) 206
Преобразование Шлефли 206
Преобразование Пуассона 207
Преобразование Мальмстена 208
Интеграл Эйри 210
Интегральные представления бесселевых функций по Барнсу 212
Представления Барнса для функций третьего рода 214
ГЛАВА VII
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
Асимптотические формулы для J^z) 217
Асимптотические разложения Ханкеля для H^\z) и H^\z) 219
Асимптотические разложения J^{z), J-V(z) и Y^(z) 222
Явление Стокса 224
Асимптотические разложения J^(z) и K^{z) 226
Асимптотические разложения ber(^) и bei(z) 227
Асимптотические разложения в форме Адамара 228
Формулы для остатков асимптотических разложений 229
Исследования Стилтьеса функций JQ(x), YQ(x) и К0(х) 231
Знаки остатков в асимптотических разложениях, соответствующих
J^(x) и У^(х) 233
Формулы Вебера для остатков в разложениях функций третьего рода 236
Приближенные выражения для остатков асимптотических разложений 238
Следствия из интегралов Шафхейтлина 241
Асимптотические разложения бесселевых функций по Шлефли 242
Асимптотические разложения бесселевых функций по Барнсу 247
Асимптотические разложения произведений бесселевых функций .... 248
ГЛАВА VIII
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С БОЛЬШИМ ИНДЕКСОМ
Бесселевы функции с большим индексом 252
Первое обобщение формулы Карлини, данное Мейсселем 253
Второе разложение Мейсселя 254
Принцип стационарной фазы. Бесселевы функции с индексом, равным
аргументу 256

СОДЕРЖАНИЕ
Третье разложение Мейсселя 259
Приложение принципа Кельвина к функции /v(vsecf) 260
Метод перевала 262
Построение контуров Дебая в случае вещественных переменных .... 264
Геометрические свойства контуров Дебая 266
Асимптотическое разложение для /v (v sch a) 267
Асимптотические разложения для /v(vsecf) и K^(vsecf) 270
Асимптотические разложения бесселевых функций, порядок и индекс
которых приблизительно равны 272
Асимптотические формулы для промежуточных областей 275
Общие свойства /Дух) при 0<х^1 280
Одна лемма относительно функции F(b, x) 283
Монотонность отношения Jsiyx)jJ^{y) 284
Свойства функций /Ду) и /v'(v) 286
Монотонность функций /v(v) и /v'(v) 287
Монотонность отношения v /v'(v)/yv(v) 288
Асимптотические разложения бесселевых функций с большим комплекс-
комплексным индексом 289
Форма контуров Дебая в случае комплексных переменных 291
Неравенство Каптейна для Jn (nz) 295
ГЛАВА IX
ПОЛИНОМЫ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Определение полинома Неймана On(t) 298
Рекуррентные формулы для On(t) 301
Дифференциальное уравнение для On(t) 303
Контурные интегралы Неймана, связанные с функциями On{z) 304
Интеграл Неймана для функции On(z) 305
Исследование Сониным интеграла Неймана 307
Производящая функция для On(z) 309
Неравенство типа Каптейна для функции On(nz) 310
Обобщение полинома Неймана, данное Гегенбауэром 310
Полиномы Шлефли Sn(t) 312
Формулы, связывающие полиномы Неймана и Шлефли 314
Выражение Графа для полинома Sn(z) в виде суммы бесселевых
функций 315
Интеграл Крелье для полинома Sn{z) 316
Разложение Sn(t + z) по бесселевым функциям, данное Шлефли . . . 317
Определение полинома Неймана &n(t) 318
Рекуррентные формулы для &n(t) 320
Обобщение полинома Неймана йл (t\ данное Гегенбауэром 320
Определение полиномов Ломмеля Rm^ (z) 322
Явное представление полиномов Ломмеля 323
Свойства полиномов Ломмеля 325
Рекуррентные формулы для полиномов Ломмеля 326
Трехчленные соотношения, связывающие полиномы Ломмеля 328
Предельное соотношение Гурвица для полиномов Ломмеля 330
Видоизмененное обозначение для полиномов Ломмеля 331
Вещественность корней полинома g2m^z) ПРИ v> — 2 332
Отрицательные корни полинома g2m^z) ПРИ v<—2 333
Положительные и комплексные корни полинома g2m^(z) при v< — 2 . 334

СОДЕРЖАНИЕ 793
ГЛАВА X
ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕССЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Функции JvBr) и EvBr) в исследованиях Ангера и Вебера 336
Формулы Вебера, связывающие функции Вебера с функциями Ангера . 339
Рекуррентные формулы для JvBr) и Ev(^) 340
Интегралы, выражающиеся через функции Ангера и Вебера 341
Асимптотические разложения функций Ангера — Вебера от большого
аргумента 342
Асимптотические разложения функций Ангера —Вебера с большим индек-
индексом и аргументом 345
Обобщения интеграла Эйри, данные Харди 348
Вычисление интегралов Эйри — Харди с четным индексом 350
Вычисление интегралов Эйри — Харди с нечетным индексом 351
Числа Коши 354
Функции Бурже и Джулиани 355
Определение функции Струве U^(z) 357
Интеграл по петле для функции H^(z) 360
Асимптотическое разложение функции U^(z) при большом \z\ 362
Асимптотическое разложение функции Струве с большим индексом . . 364
Соотношение между функциями Нп (z) и Еп (z) 366
О знаке функции Струве 367
Интеграл Тейзингера 369
Интеграл Уиттекера 369
Функции, составляющие функцию Yn(z) в сумме 372
Рекуррентные формулы для Tn(z) и Un(z) 374
Ряды для Тп (г) и Un {г) 375
Разложение Графа для функции Tn(z-\-t) по бесселевым функциям
с целыми индексами 376
Определение функций Ломмеля S^(z) и s^(z) 377
Построение функции S^(z) 379
Рекуррентные формулы для функций Ломмеля 380
Функции Ломмеля S^iz) в случае, когда jiztv — нечетное отрицатель-
отрицательное число 380
Функции, выражающиеся через функции Ломмеля 382
Асимптотическое разложение для S^(z) 383
Полуцилиндрические функции 385
Теорема сложения для полуцилиндрических функций 386
Функциональные уравнения Нильсена 387
ГЛАВА XI
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ
Общие сведения о теоремах сложения 391
Теорема сложения Неймана 391
Обобщение формулы Неймана, данное Графом 392
Теорема сложения Гегенбауэра 394
Видоизмененная форма теоремы сложения Гегенбауэра 396
Исследование теоремы сложения, данное Гегенбауэром 400
Вырожденная форма теоремы сложения 401
Разложение Бэйтмена 403

СОДЕРЖАНИЕ
ГЛАВА XII
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Различные типы определенных интегралов 406
Первый определенный интеграл Сонина 406
Первый интеграл Сонина (геометрическое доказательство) 408
Второй определенный интеграл Сонина 410
Определенный интеграл Гегенбауэра 412
Интегралы, получаемые из разложения Бэйтмена 414
Тригонометрические интегралы Каптейна 415
Метод вычисления определенных интегралов, данный Хард и 416
Интеграл Чессина для функции Yn(z) 418
глава хш
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Различные типы несобственных интегралов 419
Интеграл Липшица с обобщениями Ханкеля 420
Интегралы Липшица — Ханкеля, выраженные через функции Лежандра . 423
Приложения формулы сложения к интегралам Липшица — Ханкеля ... 425
Выводы Гегенбауэра из интегралов Липшица и Ханкеля 427
Несобственный интеграл Вебера по Шафхейтлину 428
Первый экспоненциальный интеграл Вебера и его обобщения 430
Второй экспоненциальный интеграл Вебера 432
Обобщения второго экспоненциального интеграла Вебера 433
Интеграл Струве, содержащий произведения бесселевых функций . . . 434
Разрывный интеграл Вебера и Шафхейтлина 436
Критический случай интеграла Вебера — Шафхейтлина 440
Частные случаи разрывных интегралов 443
Исследование интеграла Вебера — Шафхейтлина, данное Гегенбауэром . 445
Исследование интеграла Вебера — Шафхейтлина, данное Гублером . . . 447
Видоизменение интеграла Вебера — Шафхейтлина 449
Обобщения интеграла Вебера — Шафхейтлина 450
Разрывные интегралы Сонина и Гегенбауэра 455
Задача о случайных перемещениях 460
Разрывные интегралы Галлопа и Харди 462
Вычисление определенных интегралов посредством интегрирования по
контуру 464
Интеграл Ханкеля, содержащий одну бесселеву функцию 465
Обобщение интеграла Ханкеля 469
Интегралы Ханкеля, содержащие произведение бесселевых функций . . 470
Обобщения интеграла Никольсона 473
Интегралы Сонина 474
Новый метод вычисления определенных интегралов 476
Интегралы, содержащие произведения бесселевых функций 479
Интегральные представления произведений бесселевых функций .... 482
Представление произведения A"v (Z) A"v (-г) в виде интеграла 483
Интегральные представления произведений, данные Никольсоном . . . 483
Интеграл Никольсона для J^(z) -\-Y^(z) 485
Следствия интеграла Никольсона 490
Асимптотическое разложение для J^,(z)-\-Y^(z) 493
Интегралы Рамануджана 494

СОДЕРЖАНИЕ 795
ГЛАВА XIV
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Задачи, связанные с кратными интегралами 496
Несобственные интегралы Вебера 496
Общее исследование интеграла Неймана 499
Повторный интеграл Ханкеля 502
Аналог леммы Римана — Лебега 502
Обращение повторного интеграла Ханкеля 504
Существенная часть пути интегрирования в повторном интеграле
Ханкеля 505
14.44. Ограниченность интеграла \ [ J^(uR)J^(ur)uVR du dR 506
а о
Доказательство интегральной теоремы Ханкеля 508
Замечания относительно первоначального доказательства теоремы Ханкеля 510
Распространение теоремы Ханкеля на произвольные цилиндрические
функции 511
Обобщение теоремы Ханкеля на случай 0^v^-— 512
Интегральная теорема Вебера 516
Формулировка интегральной теоремы Неймана 518
Аналог леммы Римана — Лебега 519
Обращение повторного интеграла Неймана 520
Доказательство интегральной теоремы Неймана 521
Исследование интеграла Неймана, данное Мелером 523
ГЛАВА XV
КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
Задачи, связанные с корнями бесселевых функций 525
Теорема Бесселя — Ломмеля о корнях функции /v (z) 526
Отсутствие кратных корней у цилиндрических функций 528
Чередование корней бесселевых функций 528
Теорема Диксона о чередовании корней 529
Чередование корней цилиндрических функций с индексом v 530
Теорема Ломмеля о вещественности корней функции J^{z) 530
Аналог теоремы Ломмеля для функций второго рода 531
Теорема Гурвица о корнях функции J^{z) 532
Гипотеза Бурже 533
Элементарные свойства корней функции Jv(x) 534
Стационарные значения цилиндрических функций 536
Исследование корней функции Jq{x), данное Шафхейтлином 538
Теоремы типа Шафхейтлина для о" < v ^ ~о~ 540
Теоремы типа Шафхейтлина для—-< v <-^- 541
Корни цилиндрических функций со сколь угодно большим индексом
(по Шафхейтлину) 543
Теорема Бохера о корнях функции %^{х) 545
О числе корней функции /v (z) в заданной полосе <г-плоскости 546
Выражение функции /v (z) в виде бесконечного произведения 548

СОДЕРЖАНИЕ
Разложение Кнезера — Зоммерфельда 550
Исследование корней функции JQBVz), данное Эйлером 551
Обобщение Рэлея формулы Эйлера 553
Большие корни функции Jq(x) 554
Большие корни цилиндрических функций 556
Корни функций, связанных с цилиндрическими функциями 558
Характер изменения корней цилиндрической функции при изменении
индекса 559
Задача о колебании мембраны 561
Корни функции A"v (z) 562
Корни бесселевых функций с большим индексом 564
Наименьшие корни функций Jv (х) и Kv (х) 567
Приложения метода Штурма 568
Приложения методов Штурма к функциям с большим индексом .... 569
ГЛАВА XVI
РЯД НЕЙМАНА И ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ЛОММЕЛЯ
16.1. Определение ряда Неймана 574
16.11. Разложение произвольной функции в ряд по бесселевым функциям
с целым индексом, данное Нейманом 575
Аналог Неймана разложения Лорана 576
Обобщение разложения Неймана, данное Гегенбауэром 577
Разложение функции в ряд по квадратам или произведениям 577
Теорема Пинчерле и ее обобщения 578
Частные случаи рядов Неймана 580
Суммирование рядов Неймана по Ломмелю 582
Суммирование рядов Неймана по Каптейну 584
Теория рядов Неймана, данная Веббом и Каптейном 586
Применение трансформации Бореля 589
Функция Ломмеля двух переменных 590
Дифференциальные уравнения для функций Ломмеля от двух пере-
переменных 592
16.52. Рекуррентные формулы для функций Ломмеля от двух переменных . . 592
16.53. Интегральные представления функций Ломмеля 594
16.54. Формулы обращения, полученные Ломмелем 596
1 3
16.55. Формулы псевдосложения для функций с индексами — и — 597
16.56. Интегралы Френеля 598
16.57. Интегралы Хардн для функций Ломмеля 600
16.58. Интегралы типа Жильбера для функции Ломмеля 602
16.59. Асимптотические разложения функций Ломмеля от двух переменных. . 604
ГЛАВА XVII
РЯДЫ КАПТЕЙНА
Определение ряда Каптейна 607
Задача Кеплера и связанные с ней задачи в исследовании Бесселя . . . 607
Разложения, связанные с разложениями Кеплера — Бесселя 610
Сумма рядов Каптейна специального вида 612
Разложения Мейсселя типа разложений Каптейна 613
Простые ряды Каптейна с комплексными переменными 615

СОДЕРЖАНИЕ 797
17.31. Обобщение разложений Мейсселя на случай комплексных переменных 618
17.32. Разложение zn в ряд Каптейна 620
17.33. Исследование ряда Каптейна для zn по методу индукции 622
Разложение функции \j(t — z) в ряд Каптейна 625
Другие выводы разложения функции \j(t — z) в ряд Каптейна 626
Разложение произвольной аналитической функции в ряд Каптейна . . . 627
Ряд Каптейна, в котором v не равно нулю 628
Ряды Каптейна второго рода 629
Ряд Каптейна, сходящийся вне области К 630
Сходимость ряда Каптейна на границе области К 631
ГЛАВА XVIII
РЯДЫ ФУРЬЕ — БЕССЕЛЯ И ДИНИ
Формальное разложение Фурье для произвольной функции 633
О различных типах рядов 636
Частные случаи разложений Фурье — Бесселя и Дини 637
Методы Ханкеля и Шлефли 638
Контурный интеграл Ханкеля — Шлефли 639
Интегралы, содержащие Tn(t, х) 643
Аналог леммы Римана — Лебега 646
Разложение Фурье — Бесселя 649
Равномерная сходимость разложения Фурье — Бесселя 651
Равномерная сходимость разложения Фурье—Бесселя вблизи х=\ . . 652
Порядок абсолютной величины членов рядов Фурье—Бесселя 653
Приложение методов Ханкеля — Шлефли к разложению Дини 655
Контурный интеграл для Sn(t, x\ H) 657
Аналог леммы Римана — Лебега для функции Sn(t, x\ H) 658
Разложение Дини для произвольной функции 659
Сумма ряда Дини при х = \ 660
Равномерная сходимость разложения Дини в интервале, включающем
точку х = \ 662
Дифференцирование разложений Фурье — Бесселя 664
Суммируемость рядов Фурье — Бесселя 665
Теоремы о функции Tn{t,x\R) 665
Аналог теоремы Фейера 668
Равномерная суммируемость рядов Фурье — Бесселя вблизи начала
координат 671
18.54. Методы суммирования рядов Фурье — Бесселя 673
18.55. Равномерная сходимость разложения Фурье — Бесселя вблизи начала
координат 674
18.56. Суммируемость рядов Дини 675
18.6. Единственность рядов Фурье — Бесселя и рядов Дини 676
ГЛАВА XIX
РЯДЫ ШЛЕМИЛЬХА
19.1. Разложение функции вещественного переменного, данное Шлемильхом 678
19.11. Разложение в ряд по бесселевым функциям с индексом нуль, данное
Шлемильхом 679
19.2. Определение ряда Шлемильха 681
19.21. Приложение теории вычетов к обобщенному разложению Шлемильха 683

СОДЕРЖАНИЕ
19.22. Построение функции F(z) 685
19.23. Преобразование символических операторов в обобщенном разложении
Шлемильха 687
19.24. Ограниченность функции F(z) при |г|-»-оо 689
19.3. Разложение произвольной функции в обобщенный ряд Шлемильха . . 690
19.4. Специальные функции, представляемые рядами Шлемильха 693
19.41. Выражение нуль-функции с помощью ряда Шлемильха 696
19.5. Теоремы о сходимости рядов Шлемильха 699
19.51. Присоединенная функция 701
19.52. Лемма I 702
19.53. Лемма II 704
19.54. Аналог теоремы Римана о тригонометрических рядах 704
19.6. Теорема о сходимости обобщенных рядов Шлемильха 707
19.61. Присоединенная функция 709
19.62. Аналог теоремы Римана 710
19.7. Теоремы типа Римана о рядах по бесселевым функциям и о рядах
Дини по бесселевым функциям 712
ПРИМЕЧАНИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА 716
ДОБАВЛЕНИЕ 719
БИБЛИОГРАФИЯ 732
ТАБЛИЦА ОБОЗНАЧЕНИЙ 771
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 773
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ 783

Редакторы: Г. Шалое и 7\ Солнцева.
&
Технические редакторы: Л. Дронов
и Б. Викторов
Корректор А1. Шулименко.
&
Сдано в производство 16/VIII — 1948 г.
Подписано к печати 12/11 — 1949 г.
А-01500. Печ. л. 50. Уч. изд. л. 74,6
Формат 70X108l/ie. Изд. № Vse
Цена 70 руб.
Зак. № 2342
Набрано в 1-й Образцовой тип. им. А. А. Жданова
„Главполиграфиздата" при Совете
Министров СССР.
Отпечатано с матриц во 2-й типографии Издательства
Академии Наук СССР
Москва, Шубинский пер., д. 10